CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego: Różnice pomiędzy wersjami

Z Henryk Dąbrowski
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Linia 904: Linia 904:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J30</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, <math>a, d \in \mathbb{Z}</math> i <math>p \nmid d</math>. Pokazać, że
  
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
  
−
== Symbol Jacobiego ==
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J30</span><br/>
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
−
Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
  
−
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \mid (k^2 - a)</math>.
+
'''Punkt 1. i 2.'''
  
−
Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
+
Aby udowodnić dwa pierwsze wzory, wystarczy zauważyć, że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0</math>
  
−
nie ma rozwiązania.
+
'''Punkt 3.'''
  
 +
Z założenia liczby <math>p</math> i <math>d</math> są względnie pierwsze. Z&nbsp;twierdzenia C55 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
  
 +
::<math>x_k = a + k d</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J31</span><br/>
+
przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>.
−
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">isQR(a, m) =
+
Zatem wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p .</math> Czyli
−
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
 
−
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
 
−
{
 
−
'''local'''(w);
 
−
'''if'''( '''gcd'''(a, m) > 1, '''return'''(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
 
−
w = -1;
 
−
'''for'''(k = 1, '''floor'''(m/2), '''if'''( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; '''break'''() ));
 
−
'''return'''(w);
 
−
}</span>
 
  
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0 = 0</math>
  
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J32</span><br/>
 
−
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo <math>m</math>, w&nbsp;której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w&nbsp;takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
 
−
 
−
Przykładowo:
 
  
−
::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math>
 
  
−
Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J31</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli <math>k \in S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to dla każdego <math>k</math> istnieją liczby <math>x_k</math> i <math>y_k</math> takie, że
  
−
Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
+
::'''A.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>x_k \cdot k + y_k \cdot p = 1</math>
  
−
Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W&nbsp;zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
+
::'''B.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>p \nmid x_k</math>
  
 +
::'''C.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>x_k \cdot k \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
  
 +
::'''D.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>k \neq j</math>, to <math>x_k \not\equiv x_j \!\! \pmod{p}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J33</span><br/>
+
::'''E.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;gdy <math>k</math> przebiega cały zbiór <math>S</math>, to <math>x_k</math> przebiega zbiór <math>S'</math> identyczny ze zbiorem <math>S</math> modulo <math>p</math>
−
Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i&nbsp;modulo <math>n</math>.
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w&nbsp;uwadze J11.<br/>
+
'''A.''' Dla każdego <math>k \in S</math> mamy <math>\gcd (k, p) = 1</math>, zatem punkt A. wynika z&nbsp;lematu Bézouta (zobacz C71).
 +
 
 +
'''B.''' Gdyby <math>p \mid x_k</math>, to mielibyśmy <math>p \mid 1</math>, co jest niemożliwe.
 +
 
 +
'''C.''' Kongruencję otrzymujemy, rozpatrując punkt A. modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
'''D.''' Gdyby dla <math>k \neq j</math> było
 +
 
 +
::<math>x_k \equiv x_j \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to z&nbsp;różnicy kongruencji (zobacz punkt C.)
 +
 
 +
::<math>x_k \cdot k - x_j \cdot j \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>x_k (k - j) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co jest niemożliwe, bo <math>p \nmid x_k</math> (punkt B.) oraz <math>p \nmid (k - j)</math>, bo dla <math>k \neq j</math> mamy <math>1 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2</math>.
 +
 
 +
'''E.''' Z&nbsp;założenia <math>k</math> przebiega zbiór wszystkich reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>p</math> poza liczbą zero. Z&nbsp;punktu B. wiemy, że dla każdej liczby <math>x_k</math> jest <math>x_k \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Z&nbsp;punktu D. wiemy, że różnym liczbom <math>k, j \in S</math> odpowiadają różne (modulo <math>p</math>) liczby <math>x_k, x_j</math>. Zatem modulo <math>p</math> zbiór <math>S'</math> musi być identyczny ze zbiorem <math>S</math>.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 964: Linia 979:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J34</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J32</span><br/>
−
Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że
−
Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
+
 
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Do rozwiązania problemu wykorzystamy liczby <math>x_k</math>, które zostały zdefiniowane i&nbsp;omówione w&nbsp;zadaniu poprzednim.
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k + x_k \cdot k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + x_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + x_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
Gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>x_k</math> przebiega pewien zbiór <math>S'</math>. Wiemy, że zbiory <math>S</math> i <math>S'</math> są identyczne modulo <math>p</math>.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math>
+
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{a = 1} \left( {\small\frac{1 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
 +
::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{b = 2}^{p} \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
 +
::::::<math>\;\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{b = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J35</span><br/>
+
::::::<math>\;\;\;\, = - 1</math>
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
 
  
 +
(zobacz J30). Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J36*</span><br/>
 
−
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J33</span><br/>
−
|-
+
Pokazać, że jeżeli <math>p \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieją:
−
| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\,  
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4}
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8}
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\,
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8}
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot
 
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4}
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|}
 
  
 +
:* dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>
 +
:* dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Dla <math>p = 7</math> łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
+
'''Punkt 1.'''
−
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z&nbsp;powyższego twierdzenia i&nbsp;tabela z&nbsp;twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
 
  
 +
Zauważmy, że przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność
  
 +
::<math> -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/>
+
W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
+
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
| <math>2</math> || <math>1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9</math>
 +
|-
 +
| <math>5</math> || <math>4, 5</math>
 +
|-
 +
| <math>10</math> || <math>9, 10</math>
 +
|}
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Rozważmy wszystkie możliwe wartości <math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4</math> i <math>p \geqslant 11</math>. Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{k}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{1} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{2}</math> || <math>\boldsymbol{3}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{4} \,\,</math> || <math>\,\, \boldsymbol{5} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{6}</math> || <math>\boldsymbol{(…)}</math> || <math>\boldsymbol{p-1}</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{A.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{B.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{C.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{D.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|}
  
−
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
+
'''A.''' W&nbsp;tym przypadku liczby <math>2, 3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
−
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
 
−
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
 
  
−
Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>.
+
'''B. i C.''' W&nbsp;tym przypadku dokładnie jedna z&nbsp;liczb <math>2, 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 3}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
  
−
Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
+
'''D.''' W&nbsp;tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby <math>2, 3</math> są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J39</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J34</span><br/>
−
Wszystkie liczby kwadratowe i&nbsp;niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
+
Wzmocnimy wynik uzyskany w&nbsp;poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =
 
−
{
 
−
'''local'''(k, S, V);
 
−
S = [];
 
−
V = [];
 
−
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
 
−
S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
 
−
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
 
−
V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
 
−
'''print'''("QR: ", V);
 
−
'''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
 
−
}</span>
 
−
<br/>
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J35</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J40</span><br/>
+
:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math>
−
Pokazać, że
+
:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
'''Punkt 1.'''
−
Zauważmy, że
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
  
−
::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
  
−
::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
+
Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
  
−
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
+
::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::<math>\; = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Po kolei wyliczymy sumy po lewej stronie
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
::::<math>\; =
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = 2}^{p - 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
 +
</div>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
 +
</div>
 +
 
 +
(zobacz J30 i&nbsp;J32). Zatem
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>N =  
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+
  {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 1 \, \pmod{4} \\
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
+
  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 3 \, \pmod{4} \\
−
      - 1 & \text{gdy } r = 5
 
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
  
−
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
+
Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
  
−
::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
+
'''Punkt 2.'''
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math>
+
Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
  
−
Łatwo zauważamy, że
+
::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
  
 +
::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J41</span><br/>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
Pokazać, że
+
:::<math>\; = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
Wartości sum wyliczyliśmy już w&nbsp;punkcie 1. Zatem
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5
 
−
\end{cases}</math>
 
  
 +
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
Czyli
 +
 
 +
::<math>N =  
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
+
  {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 1 \, \pmod{4} \\
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
+
  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 3 \, \pmod{4} \\
−
      - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3
 
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
  
−
'''Punkt 1.'''
+
::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math>
  
−
Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i&nbsp;Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W&nbsp;tym przypadku mamy
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math>
 
  
−
i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
 
  
−
::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math>
 
  
−
::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
 
  
−
::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
== Symbol Jacobiego ==
  
−
::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J36</span><br/>
 +
Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
  
−
Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J36 p.9)
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \mid (k^2 - a)</math>.
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+
 
−
</div>
+
nie ma rozwiązania.
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
'''Punkt 2.'''
 
  
−
Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J36 p.9)
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
 +
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">isQR(a, m) =
 +
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
 +
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
 +
{
 +
'''local'''(w);
 +
'''if'''( '''gcd'''(a, m) > 1, '''return'''(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
 +
w = -1;
 +
'''for'''(k = 1, '''floor'''(m/2), '''if'''( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; '''break'''() ));
 +
'''return'''(w);
 +
}</span>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
−
</div>
 
  
−
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/>
 +
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo <math>m</math>, w&nbsp;której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w&nbsp;takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
  
−
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Przykładowo:
  
−
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math>
  
−
:::<math>\:\, \quad =
+
Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
+
Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W&nbsp;zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J39</span><br/>
 +
Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i&nbsp;modulo <math>n</math>.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
 
+
Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w&nbsp;uwadze J11.<br/>
−
Co należało pokazać.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1212: Linia 1229:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J40</span><br/>
−
Wykorzystując podane w&nbsp;twierdzeniu J36 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w&nbsp;PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
+
Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
 +
Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J41</span><br/>
 +
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) =
 
−
{
 
−
'''local'''(r, w);
 
−
'''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
 
−
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a &equiv; b (mod n)
 
−
w = 1;
 
−
'''while'''( a <> 0,
 
−
        '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
 
−
        \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n &equiv; 3,5 (mod 8)
 
−
        \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
 
−
        r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
 
−
        a = n;
 
−
        n = r;
 
−
        '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
 
−
        \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a &equiv; n &equiv; 3 (mod 4)
 
−
        a = a % n;
 
−
      );
 
−
'''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
 
−
}</span>
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J42*</span><br/>
 +
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J43</span><br/>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
−
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a&nbsp;symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
+
|-
−
 
+
| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math>
−
W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w&nbsp;formie uproszczonej <math>(a \mid m)</math> i&nbsp;nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
+
|-
−
 
+
| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
−
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Legendre'a
+
|-
−
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
+
| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
−
:* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
+
|-
−
 
+
| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\,
 +
  \begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
 +
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4}
 +
  \end{cases}</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
 +
  \begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 +
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8}
 +
  \end{cases}</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\,
 +
  \begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
 +
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8}
 +
  \end{cases}</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
 +
      - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4}
 +
  \end{cases}</math>
 +
|}
  
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J43</span><br/>
 +
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z&nbsp;powyższego twierdzenia i&nbsp;tabela z&nbsp;twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
  
−
== Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
 
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J44</span><br/>
 
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J44</span><br/>
 +
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
+
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
 +
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
 +
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>.
  
−
ma rozwiązanie.
+
Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 
  
−
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J45</span><br/>
 +
Wszystkie liczby kwadratowe i&nbsp;niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =
 +
{
 +
'''local'''(k, S, V);
 +
S = [];
 +
V = [];
 +
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
 +
S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
 +
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
 +
V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
 +
'''print'''("QR: ", V);
 +
'''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Ponieważ <math>p^n \mid (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
 
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
 
  
−
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J46</span><br/>
 +
Pokazać, że
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5
 +
\end{cases}</math>
  
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i&nbsp;pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
+
::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i&nbsp;czytelność dowodu. Zatem
+
::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
+
bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
  
−
Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
+
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
  
−
::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
+
::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
+
::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
+
::::<math>\; =
−
 
+
\begin{cases}
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
+
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } r = 5
 +
\end{cases}</math>
  
−
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
+
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
  
−
Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
+
::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
  
−
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
  
−
::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math>
  
−
bo <math>p^{n + 1} \mid p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
+
Łatwo zauważamy, że
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1321: Linia 1380:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J45</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J47</span><br/>
−
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \mid 2^n</math>.
+
Pokazać, że
  
−
Kongruencja
+
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
−
 
+
\begin{cases}
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
+
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5
 +
\end{cases}</math>
  
−
ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
 
  
−
Kongruencja
+
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3
 +
\end{cases}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
  
−
ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
+
'''Punkt 1.'''
  
−
Kongruencja
+
Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i&nbsp;Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W&nbsp;tym przypadku mamy
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
+
::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math>
  
−
ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
+
i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
  
 +
::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math>
  
 +
::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J46</span><br/>
+
::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
−
Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
+
Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J42 p.9)
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
</div>
  
−
ma rozwiązanie.
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
</div>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
</div>
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
</div>
  
−
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
+
'''Punkt 2.'''
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J42 p.9)
  
−
Ponieważ <math>2^n \mid (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \mid (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 +
</div>
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math>
+
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
  
−
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
+
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
+
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
:::<math>\:\, \quad =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9
 +
\end{cases}</math>
  
−
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i&nbsp;pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
+
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
  
−
Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
+
::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
  
−
::<math>r =
+
::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
−
  \begin{cases}
 
−
  0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\
 
−
  1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą}
 
−
  \end{cases}</math>
 
  
−
Zauważmy, że
+
::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
  
−
::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
  
−
::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
Co należało pokazać.<br/>
−
 
 
−
::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
 
−
 
 
−
::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
 
−
 
 
−
bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a&nbsp;dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
 
−
 
 
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
 
−
 
 
−
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
−
 
−
 
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J47</span><br/>
 
−
Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w&nbsp;zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
 
  
  
  
 
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/>
 
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/>
−
Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z&nbsp;chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3 i&nbsp;J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z&nbsp;kongruencji
+
Wykorzystując podane w&nbsp;twierdzeniu J42 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w&nbsp;PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
  
−
::<math>\begin{align}
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) =
−
  x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
+
{
−
    & \,\,\,\cdots \\
+
  '''local'''(r, w);
−
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
+
'''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
−
\end{align}</math>
+
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a &equiv; b (mod n)
 +
w = 1;
 +
'''while'''( a <> 0,
 +
        '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
 +
        \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n &equiv; 3,5 (mod 8)
 +
        \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
 +
        r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
 +
        a = n;
 +
        n = r;
 +
        '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
 +
        \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a &equiv; n &equiv; 3 (mod 4)
 +
        a = a % n;
 +
      );
 +
'''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
 +
}</span>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J49</span><br/>
 +
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a&nbsp;symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
  
−
Z definicji J27, twierdzeń J44 i&nbsp;J46, uwagi J45 i&nbsp;wniosku J47 otrzymujemy
+
W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w&nbsp;formie uproszczonej <math>(a \mid m)</math> i&nbsp;nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
  
 +
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Legendre'a
 +
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
 +
:* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/>
 
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
 
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 
  
−
::{| border="0"
+
== Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest&nbsp; <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>8 \mid ( a - 1 )</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>4 \mid ( a - 1 )</math>
 
−
|}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J50</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
  
 +
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J50</span><br/>
+
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
  
−
nie ma rozwiązania wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z&nbsp;warunków
+
ma rozwiązanie.
−
 
 
−
::{| border="0"
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
 
−
|}
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
'''Punkt 1.'''
+
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
−
Z założenia <math>d \mid m</math>. Gdyby kongruencja
+
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
  
−
miała rozwiązanie, to również kongruencja
+
Ponieważ <math>p^n \mid (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
+
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
  
−
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
+
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i&nbsp;pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
  
−
Punkty 2. i 3. wynikają wprost z&nbsp;twierdzenia J49.<br/>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i&nbsp;czytelność dowodu. Zatem
  
 +
::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J51</span><br/>
+
Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
−
Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;tabelach zestawiliśmy kongruencje i&nbsp;ich rozwiązania.
+
 
 +
::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
+
ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
−
|-
 
−
! Kongruencje || Rozwiązania
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
 
−
|-
 
−
! Kongruencje || Rozwiązania
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|}
 
  
 +
::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
  
 +
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J52</span><br/>
+
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
−
Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
 
  
−
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
−
Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w&nbsp;postaci
 
  
−
::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
+
bo <math>p^{n + 1} \mid p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
  
−
Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
+
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math>
 
  
−
::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math>
 
  
−
Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J51</span><br/>
 +
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \mid 2^n</math>.
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
+
Kongruencja
  
−
nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
  
−
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
  
−
również nie ma rozwiązania.<br/>
+
Kongruencja
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
  
 +
ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J53</span><br/>
+
Kongruencja
−
Rozwiązać kongruencję
 
  
−
::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
−
Rozwiązywanie kongruencji w&nbsp;przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w&nbsp;przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
 
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
 
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
 
  
−
Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J52</span><br/>
 +
Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
  
−
::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
  
−
::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
  
−
::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
  
−
::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math>
+
ma rozwiązanie.
  
−
::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
+
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
 +
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
  
−
Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W&nbsp;naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
+
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
+
Ponieważ <math>2^n \mid (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \mid (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math>
  
 +
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
  
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
 +
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
 +
 +
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
  
−
== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
+
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i&nbsp;pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J54</span><br/>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
−
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i&nbsp;zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego.
 
  
 +
Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
  
 +
::<math>r =
 +
  \begin{cases}
 +
  0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\
 +
  1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą}
 +
  \end{cases}</math>
  
 +
Zauważmy, że
  
−
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+
::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
−
| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
 
−
|}
 
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J55</span><br/>
+
::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
−
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
−
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 
−
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 
−
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 
−
|}
 
  
 +
::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
  
 +
bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a&nbsp;dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J56</span><br/>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
−
Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
+
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
−
{
+
&#9633;
−
'''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
+
{{\Spoiler}}
−
'''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
 
−
'''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
 
−
}</span>
 
  
−
Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J53</span><br/>
 +
Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w&nbsp;zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J57</span><br/>
 
−
Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J54</span><br/>
−
Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
+
Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z&nbsp;chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3 i&nbsp;J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z&nbsp;kongruencji
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
::<math>\begin{align}
 +
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
 +
    & \,\,\,\cdots \\
 +
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
 +
\end{align}</math>
  
−
::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
+
Z definicji J27, twierdzeń J50 i&nbsp;J52, uwagi J51 i&nbsp;wniosku J53 otrzymujemy
  
−
Skąd wynika, że
 
  
−
::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
 
  
−
Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J55</span><br/>
−
&#9633;
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
  
 +
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 +
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:1em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest&nbsp; <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 +
|-style=height:1em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>8 \mid ( a - 1 )</math>
 +
|-style=height:2.5em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>4 \mid ( a - 1 )</math>
 +
|}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J58</span><br/>
 
−
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
 
  
−
:* &nbsp;liczba <math>2</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math>
 
−
:* &nbsp;liczba <math>3</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
 
−
:* &nbsp;liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J56</span><br/>
−
Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
  
−
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
−
\,\,
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
 
−
  \end{cases}</math>
 
  
−
Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
+
nie ma rozwiązania wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z&nbsp;warunków
  
−
Z zadania J41 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:1em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
|-style=height:1em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
 +
|-style=height:2.5em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
 +
|}
  
−
::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
+
'''Punkt 1.'''
  
−
::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
+
Z założenia <math>d \mid m</math>. Gdyby kongruencja
  
−
::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
  
−
Drugi i&nbsp;trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
+
miała rozwiązanie, to również kongruencja
  
−
::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
  
−
::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math>
+
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
  
−
a z&nbsp;pierwszego i&nbsp;czwartego mamy
+
Punkty 2. i 3. wynikają wprost z&nbsp;twierdzenia J55.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math>
 
  
−
::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math>
 
  
−
Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J57</span><br/>
 +
Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;tabelach zestawiliśmy kongruencje i&nbsp;ich rozwiązania.
  
−
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
 +
|-
 +
! Kongruencje || Rozwiązania
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math>
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math>
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math>
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
 +
|-
 +
! Kongruencje || Rozwiązania
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 +
|-
 +
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 +
|}
  
−
::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
 
  
−
Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
 
  
−
chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J58</span><br/>
−
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
+
Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
−
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
+
 
−
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
+
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w&nbsp;postaci
  
−
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
+
::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
+
::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
Postępując jak wyżej, otrzymujemy
+
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
  
−
chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
+
Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
−
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
 
−
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
 
−
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
 
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math>
  
 +
::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J59</span><br/>
+
Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
−
Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
−
Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
−
u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
 
−
u & \equiv a \pmod{p_n}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
+
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
+
również nie ma rozwiązania.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
−
Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy
 
  
−
::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J59</span><br/>
 +
Rozwiązać kongruencję
  
−
wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
+
::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Rozwiązywanie kongruencji w&nbsp;przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w&nbsp;przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
  
−
Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J29), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
+
::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
bo <math>8 \mid (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
+
Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z&nbsp;nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math>
  
 +
::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J60 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
+
::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math>
−
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
−
Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
 
  
−
Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+
Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W&nbsp;naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
  
−
(zobacz J29 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy
+
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
−
::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
 
  
−
::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math>
 
  
−
Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
 
  
−
::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
+
== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
  
−
gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J60</span><br/>
 +
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i&nbsp;zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego.
  
−
::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
 
  
−
Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
 +
| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
 +
|}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J61</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J61</span><br/>
−
W twierdzeniu J59 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
+
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, "  ", p); '''break'''() )))</span>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
 
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
−
W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
+
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
−
 
 
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
 
|-
 
|-
−
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>  
+
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>  
−
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math>
+
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 
−
| <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math>
 
 
|}
 
|}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J62</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J62</span><br/>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
+
Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
  
−
::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
 +
{
 +
'''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
 +
'''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
 +
'''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
 +
}</span>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
−
Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z&nbsp;oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
 
  
−
::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
 
  
−
::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
 
  
−
Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J63</span><br/>
 +
Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
  
−
::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
  
−
Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
+
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
  
−
::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+
::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
  
−
Ale z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
+
Skąd wynika, że
  
−
::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math>
+
::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math>
+
Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w&nbsp;postaci
 
  
−
::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
 
  
−
Skąd otrzymujemy
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J64</span><br/>
 +
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
  
−
::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math>
+
:* &nbsp;liczba <math>2</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math>
 +
:* &nbsp;liczba <math>3</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
 +
:* &nbsp;liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math>
  
−
::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
−
&#9633;
+
\,\,
−
{{\Spoiler}}
+
  \begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 +
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
 +
  \end{cases}</math>
  
 +
Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
  
 +
Z zadania J47 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J63*</span><br/>
+
::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
 
  
−
::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
+
::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
  
 +
::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
  
 +
::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J64</span><br/>
+
Drugi i&nbsp;trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
−
Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
 
  
−
::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
+
::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math>
  
 +
::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math>
  
 +
a z&nbsp;pierwszego i&nbsp;czwartego mamy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J65</span><br/>
+
::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math>
−
Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math>
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 
−
| <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math>
 
−
| <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 
−
|}
 
  
 +
Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji
  
 +
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J66</span><br/>
+
::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
−
Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
−
Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
 
  
−
Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
+
chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
−
 
+
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
−
Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
+
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
 +
 
 +
Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
 +
 
 +
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
 +
 
 +
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
 +
 
 +
Postępując jak wyżej, otrzymujemy
  
−
::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
 +
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
  
−
i jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1894: Linia 1978:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J65</span><br/>
 +
Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
  
−
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+
::<math>\begin{align}
−
| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
+
u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
−
|}
+
u & \equiv a \pmod{p_n}
 +
\end{align}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J67</span><br/>
+
gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
−
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W&nbsp;jednym i&nbsp;drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w&nbsp;zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
 
  
 +
::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J68</span><br/>
+
Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
+
::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
  
−
nie ma rozwiązania.
+
wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
  
  
 +
Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J29), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J69</span><br/>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 +
</div>
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
bo <math>8 \mid (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
−
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 
−
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 
−
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 
−
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
 
−
|}
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
|-
+
::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
−
! <math>\boldsymbol{m}</math>
+
</div>
−
| <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>  
 
−
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
 
−
|}
 
  
 +
Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z&nbsp;nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J70</span><br/>
 
−
Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J66 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
−
{
+
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
−
'''local'''(p, res);
+
 
−
p = 1;
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
'''while'''( p < m,
+
Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
−
        p = '''nextprime'''(p + 1);
+
 
−
        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
+
Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
−
        res = -1;
+
 
−
        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
+
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
−
        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
 
−
      );
 
−
}</span>
 
  
−
Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
+
(zobacz J29 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
+
::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
−
{
+
</div>
−
'''local'''(p, res, t);
 
−
t = m%8;
 
−
'''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
 
−
t = m%12;
 
−
'''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
 
−
t = m%24;
 
−
'''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
 
−
'''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
 
−
t = m%30;
 
−
'''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
 
−
p = 1;
 
−
'''while'''( p < m,
 
−
        p = '''nextprime'''(p + 1);
 
−
        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
 
−
        res = -1;
 
−
        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
 
−
        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
 
−
      );
 
−
}</span>
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
  
 +
::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J71</span><br/>
+
Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
−
Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
 
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
  
−
::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
+
::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
  
−
Skąd wynika, że
+
Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
−
 
+
&#9633;
−
::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
 
−
 
 
−
Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
 
−
&#9633;
 
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J72</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J67</span><br/>
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
+
W twierdzeniu J65 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, "  ", p); '''break'''() )))</span>
−
Z twierdzenia J36 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
  
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math>
 +
|}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J73</span><br/>
 
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
 
  
−
:*&nbsp;&nbsp;<math>4 \mid m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math>
 
−
:*&nbsp;&nbsp;<math>m = 12 k \pm 4</math>
 
  
−
to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J68</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math>
−
Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \mid m .</math> Rozważmy kongruencję
 
  
−
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z&nbsp;oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
  
−
Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia J50 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
+
::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
  
−
Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
+
::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
−
m &\equiv 0 \pmod{4} \\
 
−
m &\equiv 1 \pmod{3}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
oraz
+
::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
−
m &\equiv 0 \pmod{4} \\
 
−
m &\equiv 2 \pmod{3}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
którym, na mocy chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
+
::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math>
+
Ale z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math>
  
 +
Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w&nbsp;postaci
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J74</span><br/>
+
::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
−
Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Skąd otrzymujemy
−
Zapiszmy <math>m</math> w&nbsp;postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
+
::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math>
  
−
miała rozwiązanie, to również kongruencja
+
::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
+
Co należało pokazać.<br/>
−
 
 
−
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J41), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2070: Linia 2113:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J75</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J69*</span><br/>
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
−
Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
 
  
−
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
 
  
−
Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J36).<br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J70</span><br/>
−
&#9633;
+
Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J76</span><br/>
 
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i&nbsp;podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J71</span><br/>
−
Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
+
Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
  
−
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math>  
 +
| <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 +
|}
  
−
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
 
  
−
Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J41).<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J72</span><br/>
 +
Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J77</span><br/>
+
Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
−
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
−
Z założenia <math>3 \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math>
+
::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
+
i jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2116: Linia 2159:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J78</span><br/>
 
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Z twierdzenia J107 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
+
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
 +
| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
 +
|}
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J73</span><br/>
 +
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W&nbsp;jednym i&nbsp;drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w&nbsp;zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J74</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
  
−
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
nie ma rozwiązania.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J79</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J75</span><br/>
−
Pokazać, że podanym w&nbsp;pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w&nbsp;drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
+
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 
|-
 
|-
−
! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
+
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J75
+
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
 +
|}
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
| <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
+
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
−
|-
+
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
−
| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | J76
 
−
|-
 
−
| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | J77, J78
 
−
|-
 
−
| <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
 
−
|-
 
−
| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J78
 
−
|-
 
−
| <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>  
 
−
|-
 
−
| <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>  
 
 
|}
 
|}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J80</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J76</span><br/>
−
Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
+
Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
  
−
::<math>\begin{array}{lll}
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
−
  \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
+
{
−
  \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
+
'''local'''(p, res);
−
\end{array}</math>
+
  p = 1;
−
 
+
'''while'''( p < m,
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
        p = '''nextprime'''(p + 1);
 +
        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
 +
        res = -1;
 +
        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
 +
        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
 +
      );
 +
}</span>
  
−
'''Punkt 1.'''
+
Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
  
−
W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
−
 
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
−
'''Punkt 2.'''
+
{
−
 
+
'''local'''(p, res, t);
−
Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
+
t = m%8;
−
 
+
'''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
−
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math>
+
t = m%12;
−
 
+
'''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
−
nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \mid 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
+
t = m%24;
−
 
+
'''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
−
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
+
'''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
 +
t = m%30;
 +
'''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
 +
p = 1;
 +
'''while'''( p < m,
 +
        p = '''nextprime'''(p + 1);
 +
        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
 +
        res = -1;
 +
        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
 +
        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
 +
      );
 +
}</span>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
również nie ma rozwiązania (zobacz J50).
 
  
−
Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
 
  
−
::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J77</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
  
−
możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math>
−
x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\
 
−
x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
+
::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
  
−
::<math>x'_0 =
+
Skąd wynika, że
−
  \begin{cases}
 
−
  \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
 
−
  x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
  
−
jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a&nbsp;tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
+
::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2209: Linia 2268:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J81</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J78</span><br/>
−
Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
  
−
::<math>\begin{array}{lllll}
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
  \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2        & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\
+
Z twierdzenia J42 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
−
  \mathbb{n} (4 m) = 3         & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
+
&#9633;
−
\end{array}</math>
+
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
  
−
'''Punkt 1.'''
 
  
−
Z twierdzenia J75 wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J79</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
  
−
'''Punkt 2.'''
+
:*&nbsp;&nbsp;<math>4 \mid m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;<math>m = 12 k \pm 4</math>
  
−
Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia J50 wynika, że kongruencja
+
to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \mid m .</math> Rozważmy kongruencję
  
−
nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/>
+
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia J56 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
  
 +
Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J82</span><br/>
+
::<math>\begin{align}
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
+
m &\equiv 0 \pmod{4} \\
 +
m &\equiv 1 \pmod{3}
 +
\end{align}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
oraz
−
Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>\begin{align}
 +
m &\equiv 0 \pmod{4} \\
 +
m &\equiv 2 \pmod{3}
 +
\end{align}</math>
  
−
ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
+
którym, na mocy chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
  
−
::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math>
  
−
Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \mid m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
+
Co należało pokazać.<br/>
−
 
 
−
::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math>
 
−
 
 
−
co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2257: Linia 2317:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J83</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J80</span><br/>
−
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
+
Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J82). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
+
Zapiszmy <math>m</math> w&nbsp;postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
  
−
Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
+
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
+
miała rozwiązanie, to również kongruencja
  
−
nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;kongruencji
+
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
+
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J47), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
−
 
+
&#9633;
−
musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z&nbsp;twierdzenia J44 wiemy, że wtedy kongruencja
 
−
 
 
−
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
 
−
 
 
−
również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
 
−
&#9633;
 
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J84</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J81</span><br/>
−
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
  
−
::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
  
−
gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
+
::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
−
Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia J83, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
 
  
−
::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
+
Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J42).<br/>
−
 
 
−
Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z&nbsp;każdą z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2299: Linia 2351:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J85</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J82</span><br/>
−
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i&nbsp;podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
  
−
::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
  
−
::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math>
+
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
−
 
 
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia J83 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
 
  
−
::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
+
nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
  
−
Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń J62 i&nbsp;J63.<br/>
+
Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J47).<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2317: Linia 2367:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J86</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J83</span><br/>
−
Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
+
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
  
−
::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>3 \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
  
 +
::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math>
 +
 +
nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J84</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
  
−
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
| &nbsp;'''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>&nbsp;
+
Z twierdzenia J113 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
−
|}
 
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J87</span><br/>
+
::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
−
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i&nbsp;najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
−
! <math>\boldsymbol{m}</math>
+
&#9633;
−
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
+
{{\Spoiler}}
−
|-
 
−
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>  
 
−
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 
−
|-
 
−
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 
−
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
 
−
|-
 
−
!  <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
 
−
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
 
−
|}
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J88</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J85</span><br/>
−
Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
+
Pokazać, że podanym w&nbsp;pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w&nbsp;drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =  
+
::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;"
−
{
+
|-
−
'''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) );
+
! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
−
'''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) );
+
|-
−
'''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) ));
+
| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J81
−
}</span>
+
|-
 +
| <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
 +
|-
 +
| <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
 +
|-
 +
| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | J82
 +
|-
 +
| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | J83, J84
 +
|-
 +
| <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
 +
|-
 +
| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J84
 +
|-
 +
| <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
 +
|-
 +
| <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>  
 +
|}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J89</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J86</span><br/>
−
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w&nbsp;tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z&nbsp;innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I&nbsp;tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
+
Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
  
−
Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
+
::<math>\begin{array}{lll}
 +
  \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
 +
  \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
 +
\end{array}</math>
  
−
Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu J62. Łatwo zauważamy, że
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
+
'''Punkt 1.'''
  
−
::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
+
W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
  
−
::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math>
+
'''Punkt 2.'''
  
−
::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
+
Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
  
−
Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
+
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math>
  
 +
nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \mid 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
  
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J90</span><br/>
+
również nie ma rozwiązania (zobacz J56).
−
Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
−
Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
 
  
−
::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
  
−
Zatem jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
+
możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\begin{align}
 +
x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\
 +
x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
 +
\end{align}</math>
  
 +
Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
  
 +
::<math>x'_0 =
 +
  \begin{cases}
 +
  \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
 +
  x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
 +
  \end{cases}</math>
  
 +
jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a&nbsp;tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J87</span><br/>
 +
Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
  
−
== Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
+
::<math>\begin{array}{lllll}
−
 
+
  \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2         & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J91</span><br/>
+
  \mathbb{n} (4 m) = 3        & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
−
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
+
\end{array}</math>
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 
−
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 
−
| <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 
−
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math>
 
−
|}
 
  
−
Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a&nbsp;liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>.
+
'''Punkt 1.'''
  
 +
Z twierdzenia J81 wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
  
 +
'''Punkt 2.'''
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J92</span><br/>
+
Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia J56 wynika, że kongruencja
−
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
 
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 
−
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 
−
| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>  
 
−
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math>
 
−
|}
 
  
−
Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>.
+
nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>.
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J88</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J93</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
+
Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 
−
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 
−
| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 
−
| <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>  
 
−
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
 
−
|}
 
  
−
Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>.
+
ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
  
 +
::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math>
  
 +
Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \mid m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J94</span><br/>
+
::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math>
−
Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w&nbsp;liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
+
 
 +
co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>.
 
  
−
Niech
 
  
−
::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J89</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
  
−
<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
+
Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J88). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
  
−
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są parzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> nieparzyste.
+
Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
  
−
<math>\boldsymbol{n = 2}</math>
+
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
  
−
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
+
nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;kongruencji
  
−
::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
+
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
  
−
Co jest niemożliwe.
+
musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z&nbsp;twierdzenia J50 wiemy, że wtedy kongruencja
  
−
<math>\boldsymbol{n = 3}</math>
+
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
  
−
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a&nbsp;liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
+
również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
 
  
−
Co jest niemożliwe.
 
−
</div>
 
−
Mamy
 
  
−
::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J90</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
  
−
::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math>
+
::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
  
−
Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i
+
gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
  
−
::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia J89, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
  
−
Czyli
+
::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
  
−
::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math>
+
Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z&nbsp;każdą z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \mid (x + a)</math> i&nbsp;musi być
 
  
−
::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math>
 
  
−
Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \mid (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J91</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
  
−
::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math>
+
::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math>
  
−
W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \mid l</math> lub <math>n \mid r</math>.
+
::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math>
  
−
Łatwo otrzymujemy
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia J89 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
  
−
::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math>
+
::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
  
−
::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math>
+
Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń J68 i&nbsp;J69.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Ostatecznie
 
  
−
::<math>Q = x^2 + n y^2</math>
 
  
−
::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J92</span><br/>
 +
Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
  
−
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math>
+
::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
  
−
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math>
 
  
−
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math>
 
  
−
<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
 
−
<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
 
  
−
::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math>
 
  
−
<math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math>
+
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
 +
| &nbsp;'''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>&nbsp;
 +
|}
  
−
W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J93</span><br/>
 +
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i&nbsp;najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
  
−
::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
</div>
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
 +
|}
  
−
Co kończy dowód.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J94</span><br/>
 +
Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J95</span><br/>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =
−
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
+
{
 +
'''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) );
 +
'''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) );
 +
'''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) ));
 +
}</span>
  
−
::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
 
  
−
::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math>
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J95</span><br/>
 +
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w&nbsp;tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z&nbsp;innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I&nbsp;tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
  
 +
Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J96</span><br/>
+
Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu J68. Łatwo zauważamy, że
−
Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
−
W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>.
 
  
−
Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z&nbsp;jakim liczba <math>2</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>.
+
::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
  
−
'''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math>
+
::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math>
  
−
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+
::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
  
−
b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math>
+
Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
  
−
'''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math>
 
  
−
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
 
  
−
b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J96</span><br/>
 +
Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
  
−
'''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
  
−
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+
::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
  
−
b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math>
+
Zatem jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
−
 
 
−
c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math>
 
−
 
 
−
Co należało pokazać.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2594: Linia 2659:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J97</span><br/>
 
−
Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
 
  
−
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
 
  
−
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
+
== Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
  
−
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J97</span><br/>
 +
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
  
−
wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 +
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math>
 +
|}
  
−
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + y^2</math>
+
Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a&nbsp;liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>.
  
−
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 2 y^2</math>
 
  
−
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 3 y^2</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J98</span><br/>
 +
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 +
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>  
 +
| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math>
 +
|}
  
−
Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
+
Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>.
  
−
::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+
Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>.
  
−
Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji
 
  
−
::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
 
  
−
Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J99</span><br/>
 +
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
|-
−
</div>
+
! <math>\boldsymbol{n}</math>  
−
 
+
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math>
−
Z twierdzenia J36 i&nbsp;zadania J40 otrzymujemy natychmiast
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
 +
|}
  
−
:(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math>
+
Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>.
  
−
:(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>
 
  
−
:(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math>
 
  
−
Co należało pokazać.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J100</span><br/>
 +
Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w&nbsp;liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>.
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
Niech
  
−
'''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math>
+
::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math>
  
−
Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
+
<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
  
−
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
+
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są parzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> nieparzyste.
  
−
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
+
<math>\boldsymbol{n = 2}</math>
  
−
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
+
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
  
−
Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy
+
::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
Co jest niemożliwe.
  
−
(zobacz J36 i&nbsp;J40) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
+
<math>\boldsymbol{n = 3}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
+
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a&nbsp;liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
  
−
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że
+
::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
  
−
::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+
Co jest niemożliwe.
 +
</div>
 +
Mamy
  
−
Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
+
::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
  
−
::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math>
  
−
W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
+
Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i
  
 +
::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math>
  
−
'''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego'''
+
Czyli
  
−
Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję
+
::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math>
  
−
::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+
ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \mid (x + a)</math> i&nbsp;musi być
  
−
Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
+
::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math>
  
−
::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
+
Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \mid (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być
  
−
Zatem
+
::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math>
  
−
::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math>
+
W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \mid l</math> lub <math>n \mid r</math>.
  
−
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
+
Łatwo otrzymujemy
  
−
::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math>
+
::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math>
  
−
Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby
+
::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math>
  
−
::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math>
+
Ostatecznie
  
−
takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i&nbsp;dla których
+
::<math>Q = x^2 + n y^2</math>
  
−
::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math>
+
::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math>
  
−
Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję
+
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math>
  
−
::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math>
  
−
Zatem wynikające z&nbsp;powyższej kongruencji równanie
+
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math>
  
−
::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
+
<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
  
−
ma rozwiązanie dla liczb
+
::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math>
  
−
::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math>
+
<math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math>
  
−
Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i&nbsp;będzie to istotny element dowodu.
+
W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać
  
 +
::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math>
 +
</div>
  
−
'''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/>
+
Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Pomysł dowodu został zaczerpnięty z&nbsp;książki Hardy'ego i&nbsp;Wrighta<ref name="HardyWright1"/>.
 
  
−
Jeżeli w&nbsp;rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i&nbsp;twierdzenie jest udowodnione. W&nbsp;przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z&nbsp;istniejącego rozwiązania równania
 
  
−
::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J101</span><br/>
 +
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
  
−
otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
+
::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
  
−
::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
+
::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math>
  
−
takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
 
  
−
Zauważmy, że podział na parzyste i&nbsp;nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 3</math>. W&nbsp;pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
 
  
−
'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J102</span><br/>
 +
Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
  
−
Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia J96 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>.
  
−
::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
+
Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z&nbsp;jakim liczba <math>2</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>.
  
−
gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z&nbsp;istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
+
'''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math>
  
−
::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
+
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
  
−
gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
+
b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math>
  
−
'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą'''
+
'''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math>
  
−
Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
+
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
  
−
::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
+
b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math>
  
−
Zatem
+
'''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math>
  
−
::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math>
+
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
  
−
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
+
b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math>
  
−
::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math>
+
c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math>
  
−
Połóżmy
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math>
 
  
−
Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \mid (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \mid p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>.
 
  
−
Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;uwzględniając, że
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J103</span><br/>
 +
Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
  
−
::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
+
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
  
−
::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math>
+
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
  
−
otrzymujemy
+
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
  
−
::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>
+
wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że
  
−
Mamy też oszacowanie
+
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + y^2</math>
  
−
::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math>
+
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 2 y^2</math>
  
−
Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że
+
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 3 y^2</math>
  
−
::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
Mnożąc stronami powyższe równanie i&nbsp;równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy
+
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math>
+
Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
  
−
::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
+
::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
(zobacz J95). Zauważmy teraz, że
+
Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji
  
−
::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
+
::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math>
+
Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
  
−
::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
</div>
  
−
::::<math>\quad \; = m x_1</math>
+
Z twierdzenia J42 i&nbsp;zadania J46 otrzymujemy natychmiast
  
 +
:(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math>
  
−
::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math>
+
:(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>
  
−
::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math>
+
:(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math>
  
−
::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math>
+
Co należało pokazać.
  
−
::::<math>\;\;\, = m y_1</math>
 
  
−
Gdzie oznaczyliśmy
+
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
−
::<math>x_1 = p - r x - n s y</math>
+
'''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math>
  
−
::<math>y_1 = s x - r y</math>
+
Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
  
−
Wynika stąd, że
+
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
  
−
::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math>
+
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
  
−
Zatem
+
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
  
−
::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math>
+
Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy
  
−
gdzie
+
::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
 
 +
(zobacz J42 i&nbsp;J46) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że
 +
 
 +
::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
  
−
::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>
+
::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>.
+
W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
  
  
−
'''D. Jednoznaczność rozkładu'''
+
'''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego'''
  
−
Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia J94. Co kończy dowód.<br/>
+
Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
  
 +
Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J98</span><br/>
+
::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
−
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+
Zatem
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) =
 
−
{
 
−
'''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1);
 
−
'''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") );
 
−
x = 1;
 
−
'''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
 
−
x = x - '''round'''(x/p)*p;
 
−
y = 1;
 
−
m = (x^2 + y^2)/p;
 
−
'''while'''( m > 1,
 
−
        r = '''round'''(x/m);
 
−
        s = '''round'''(y/m);
 
−
        x1 = p - r*x - s*y;
 
−
        y1 = r*y - s*x;
 
−
        x = x1;
 
−
        y = y1;
 
−
        m = (x^2 + y^2)/p;
 
−
      );
 
−
'''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]);
 
−
}</span>
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math>
  
 +
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J99</span><br/>
+
::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math>
−
Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>r</math>
 
−
będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
 
−
:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 
−
:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 
−
:*&nbsp;&nbsp;liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby
  
−
'''Punkt 1.'''
+
::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math>
  
−
Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy
+
takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i&nbsp;dla których
  
−
::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
+
::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math>
  
−
Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;modulo <math>4</math> mamy
+
Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję
  
−
::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>
+
::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
Przypuśćmy, że
+
Zatem wynikające z&nbsp;powyższej kongruencji równanie
  
−
::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
+
::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
  
−
gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
+
ma rozwiązanie dla liczb
  
−
'''Punkt 2.'''
+
::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math>
  
−
W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie J97. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
+
Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i&nbsp;będzie to istotny element dowodu.
  
−
::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
 
  
−
::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math>
+
'''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/>
  
−
::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math>
+
Pomysł dowodu został zaczerpnięty z&nbsp;książki Hardy'ego i&nbsp;Wrighta<ref name="HardyWright1"/>.
  
−
'''Punkt 3.'''
+
Jeżeli w&nbsp;rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i&nbsp;twierdzenie jest udowodnione. W&nbsp;przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z&nbsp;istniejącego rozwiązania równania
  
−
Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze J95 mamy
+
::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
  
−
::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
+
otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
  
−
:::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math>
+
::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Zauważmy, że podział na parzyste i&nbsp;nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 3</math>. W&nbsp;pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
  
 +
'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
  
 +
Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia J102 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
  
 +
::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
  
−
== Twierdzenia o&nbsp;istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo ==
+
gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z&nbsp;istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J100</span><br/>
+
::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
−
Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
 
  
−
:* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math>
+
gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
−
:* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą'''
−
Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
 
  
−
::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math>
+
Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
  
−
gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy
+
::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
  
−
::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math>
+
Zatem
  
−
::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math>
+
::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math>
  
−
::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math>
+
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
  
−
Z twierdzenia J49 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
+
::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math>
  
−
::<math>s =
+
Połóżmy
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
dla <math>2^n = 4</math> i&nbsp;gdy
+
::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math>
  
−
::<math>s =
+
Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \mid (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \mid p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>.
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/>
+
Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;uwzględniając, że
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
  
 +
::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J101</span><br/>
+
otrzymujemy
−
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie J100 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia J102. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
 
  
−
Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
+
::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
+
Mamy też oszacowanie
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math>
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 
−
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{q}</math>
 
−
| style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math>
 
−
|}
 
  
 +
Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że
  
−
W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
+
::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math>
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
Mnożąc stronami powyższe równanie i&nbsp;równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 
−
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
 
−
|-
 
−
! <math>\boldsymbol{q}</math>
 
−
| style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math>
 
−
|}
 
  
 +
::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math>
  
 +
::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J102</span><br/>
+
(zobacz J101). Zauważmy teraz, że
−
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
−
Niech
 
−
::<math>s =  
 
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
+
::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math>
  
−
::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
+
::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math>
  
−
Czyli
+
::::<math>\quad \; = m x_1</math>
  
−
::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math>
 
  
−
i otrzymujemy
+
::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math>
  
−
Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
+
::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math>
  
−
Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że
+
::::<math>\;\;\, = m y_1</math>
  
−
::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math>
+
Gdzie oznaczyliśmy
  
−
z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>.
+
::<math>x_1 = p - r x - n s y</math>
  
−
'''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math>
+
::<math>y_1 = s x - r y</math>
  
−
Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
+
Wynika stąd, że
  
−
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math>
+
::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math>
  
−
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
+
Zatem
  
−
'''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math>
+
::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math>
  
−
Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
+
gdzie
  
−
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math>
+
::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>
  
−
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
+
Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>.
  
−
'''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math>
 
  
−
Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
+
'''D. Jednoznaczność rozkładu'''
  
−
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math>
+
Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia J100. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
 
  
−
'''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math>
 
  
−
Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J104</span><br/>
 +
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) =
 +
{
 +
'''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1);
 +
'''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") );
 +
x = 1;
 +
'''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
 +
x = x - '''round'''(x/p)*p;
 +
y = 1;
 +
m = (x^2 + y^2)/p;
 +
'''while'''( m > 1,
 +
        r = '''round'''(x/m);
 +
        s = '''round'''(y/m);
 +
        x1 = p - r*x - s*y;
 +
        y1 = r*y - s*x;
 +
        x = x1;
 +
        y = y1;
 +
        m = (x^2 + y^2)/p;
 +
      );
 +
'''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]);
 +
}</span>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J105</span><br/>
 +
Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>r</math>
 +
będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
 +
:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 +
:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 +
:*&nbsp;&nbsp;liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
 
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy
 +
 
 +
::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
 +
 
 +
Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;modulo <math>4</math> mamy
 +
 
 +
::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>
 +
 
 +
Przypuśćmy, że
 +
 
 +
::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
 +
 
 +
gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie J103. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
 +
 
 +
::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
 +
 
 +
::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math>
 +
 
 +
::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math>
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''
 +
 
 +
Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze J101 mamy
 +
 
 +
::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Twierdzenia o&nbsp;istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo ==
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J106</span><br/>
 +
Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
 +
 
 +
:* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math>
 +
:* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
 +
 
 +
::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy
 +
 
 +
::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math>
 +
 
 +
::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math>
 +
 
 +
::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia J55 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
 +
 
 +
::<math>s =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
dla <math>2^n = 4</math> i&nbsp;gdy
 +
 
 +
::<math>s =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J107</span><br/>
 +
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie J106 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia J108. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
 +
 
 +
Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{q}</math>
 +
| style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{q}</math>
 +
| style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J108</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech
 +
::<math>s =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
 +
 
 +
::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math>
 +
 
 +
i otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
 
 +
Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że
 +
 
 +
::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math>
 +
 
 +
z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>.
 +
 
 +
'''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math>
 +
 
 +
Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
 +
 
 +
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math>
 +
 
 +
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
 +
 
 +
'''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math>
 +
 
 +
Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
 +
 
 +
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math>
 +
 
 +
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
 +
 
 +
'''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math>
 +
 
 +
Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
 +
 
 +
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math>
 +
 
 +
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
 +
 
 +
'''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math>
 +
 
 +
Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
  
 
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math>
 
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math>
−
 
+
 
−
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
+
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
−
 
+
 
−
Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/>
−
&#9633;
+
&#9633;
−
{{\Spoiler}}
+
{{\Spoiler}}
−
 
+
 
−
 
+
 
−
 
+
 
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J103</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J109</span><br/>
−
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
+
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
−
 
+
 
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz J97). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
+
W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz J103). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
−
 
+
 
−
Modulo <math>q</math> możemy napisać
+
Modulo <math>q</math> możemy napisać
−
 
+
 
−
::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
+
::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
−
 
+
 
−
Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid x</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
+
Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid x</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
−
 
+
 
−
::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
+
::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
−
 
+
 
−
Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9)
+
Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9)
−
 
+
 
−
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
−
 
+
 
−
Co kończy dowód.<br/>
+
Co kończy dowód.<br/>
−
&#9633;
+
&#9633;
−
{{\Spoiler}}
+
{{\Spoiler}}
−
 
+
 
−
 
+
 
−
 
+
 
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J104</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J110</span><br/>
 
Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 
Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz J97).  
+
Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz J103).  
 
Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
 
Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
  
Linia 3100: Linia 3365:
 
::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math>
 
::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math>
  
−
Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9 i&nbsp;p.6)
+
Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9 i&nbsp;p.6)
  
 
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}  
 
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}  
Linia 3114: Linia 3379:
  
  
−
Twierdzenia J103 i&nbsp;J104 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
+
Twierdzenia J109 i&nbsp;J110 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J105*</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J111*</span><br/>
 
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J106</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J112</span><br/>
 
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
 
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
  
Linia 3146: Linia 3411:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J107</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J113</span><br/>
 
Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
 
Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia J36 p.9 dostajemy
+
Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia J42 p.9 dostajemy
  
 
::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
 
::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
Linia 3164: Linia 3429:
  
 
Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
 
Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J108*</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J114*</span><br/>
 
'''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
 
'''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
  
Linia 3171: Linia 3436:
  
  
−
Zauważmy, że twierdzenie J108 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
+
Zauważmy, że twierdzenie J114 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J109</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J115</span><br/>
 
'''A.''' Jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 10 , 11</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
 
'''A.''' Jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 10 , 11</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
  
Linia 3183: Linia 3448:
 
Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b</math>.
 
Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b</math>.
  
−
Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J50 i&nbsp;J82).
+
Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J56 i&nbsp;J88).
  
−
Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J50).
+
Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J56).
  
−
Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J50).
+
Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J56).
  
 
Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>.
 
Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>.
Linia 3195: Linia 3460:
  
 
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 5</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b</math>, to liczba pierwsza <math>q = 11</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
 
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 5</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b</math>, to liczba pierwsza <math>q = 11</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
−
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J108 i&nbsp;J82).
+
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J114 i&nbsp;J88).
  
  
Linia 3233: Linia 3498:
  
 
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 13</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>, to liczba pierwsza <math>q = 5</math> lub <math>q = 17</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
 
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 13</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>, to liczba pierwsza <math>q = 5</math> lub <math>q = 17</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
−
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J108 i&nbsp;J82).
+
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J114 i&nbsp;J88).
  
 
Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 17</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 1</math>.
 
Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 17</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 1</math>.
Linia 3254: Linia 3519:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J110</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J116</span><br/>
 
Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
 
Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
  
Linia 3262: Linia 3527:
 
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
  
−
(zobacz J36&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
+
(zobacz J42&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
  
 
'''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math>
 
'''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math>
  
−
Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J66 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J36&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
+
Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J72 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J42&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
  
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
Linia 3274: Linia 3539:
 
'''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math>
 
'''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math>
  
−
Z twierdzenia J102 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J36 p.9 otrzymujemy natychmiast  
+
Z twierdzenia J108 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast  
  
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
Linia 3286: Linia 3551:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J111</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J117</span><br/>
−
Udowodnić twierdzenie J110 w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia J102.
+
Udowodnić twierdzenie J116 w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia J108.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Linia 3296: Linia 3561:
 
'''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math>
 
'''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math>
  
−
Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J41). Mamy
+
Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J47). Mamy
  
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
Linia 3306: Linia 3571:
 
'''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math>
 
'''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math>
  
−
Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J36&nbsp;p.6 oraz J41). Otrzymujemy
+
Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J42&nbsp;p.6 oraz J47). Otrzymujemy
  
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
Linia 3312: Linia 3577:
 
</div>
 
</div>
  
−
Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia J36&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia J42&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}

Wersja z 17:15, 20 maj 2023

22.03.2023



Chińskie twierdzenie o resztach

Twierdzenie J1
Niech [math]\displaystyle{ a, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m n} }[/math]

jest równoważna układowi kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv a \pmod{m} \\ u &\equiv a \pmod{n} \end{align} }[/math]
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ u - a }[/math] jest podzielna przez iloczyn [math]\displaystyle{ m n }[/math], to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m} }[/math]

wynika, że [math]\displaystyle{ u - a = k m }[/math], zaś z kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{n} }[/math]

otrzymujemy [math]\displaystyle{ n \mid (u - a) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n \mid k m }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ n \mid k }[/math] (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ s }[/math], że [math]\displaystyle{ k = s n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ u - a = s n m }[/math], a stąd [math]\displaystyle{ u \equiv a \!\! \pmod{m n} }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie J2
Dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] istnieje dokładnie jedna taka liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]), że prawdziwy jest układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Dowód

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ m x + n y = 1 }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ c = a n y + b m x }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ c \equiv a n y \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ c \equiv a (1 - m x) \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ c \equiv a \pmod{m} }[/math]

Natomiast modulo [math]\displaystyle{ n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ c \equiv b m x \pmod{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ c \equiv b (1 - n y) \pmod{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ c \equiv b \pmod{n} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby [math]\displaystyle{ c }[/math]. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby [math]\displaystyle{ c }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid (d - a) }[/math] i [math]\displaystyle{ m \mid (c - a) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] dzieli różnicę tych liczb, czyli [math]\displaystyle{ m \mid (d - c) }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ n \mid (d - c) }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to [math]\displaystyle{ m n \mid (d - c) }[/math] (zobacz C73), co oznacza, że

[math]\displaystyle{ d \equiv c \pmod{m n} }[/math].

Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant c \leqslant m n }[/math].
□


Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz niech [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że kongruencja

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} }[/math]

jest równoważna układowi kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a \pmod{m} \\ u & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Dowód

Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]

Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv c \; \pmod{m} \\ u \equiv c \; \pmod{n} \\ \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv a \; \pmod{m} \\ u \equiv b \:\, \pmod{n} \\ \end{array} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga J4
Chińskie twierdzenie o resztach[1] (CRT[2]) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv 1 \pmod{4} \\ u &\equiv 3 \pmod{8} \end{align} }[/math]

nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest [math]\displaystyle{ u = 4 k + 1 }[/math], które dla liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych ma postać

[math]\displaystyle{ u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5 }[/math]

i nie może być [math]\displaystyle{ u \equiv 3 \!\! \pmod{8} }[/math].


Zadanie J5
Niech [math]\displaystyle{ u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k }[/math] są parami względnie pierwsze (czyli [math]\displaystyle{ \gcd (m_i, m_j) = 1 }[/math] dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math]), to istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k }[/math]) taka, że układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ & \cdots \\ u & \equiv a_k \pmod{m_k} \end{align} }[/math]

można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} }[/math]
Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math], dla liczby [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] otrzymujemy układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\ u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} \end{align} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}} }[/math]

gdzie liczba [math]\displaystyle{ c' }[/math] jest dokładnie jedna i jest określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1} }[/math]. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]. Co kończy dowód indukcyjny.
□


Przykład J6
Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po [math]\displaystyle{ 5 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 3 }[/math], a kiedy próbujemy ustawić je po [math]\displaystyle{ 7 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \end{align} }[/math]

Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo [math]\displaystyle{ 35 }[/math]. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie 

chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )

uzyskujemy wynik Mod(18, 35), zatem równoważna kongruencja ma postać

[math]\displaystyle{ n \equiv 18 \pmod{35} }[/math]

Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi [math]\displaystyle{ 18 }[/math].

Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo

[math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 1 \pmod{2} \\ n &\equiv 2 \pmod{3} \\ n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \\ n &\equiv 5 \pmod{11} \end{align} }[/math]

to argumenty należy zapisać w postaci wektora 

chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )

Otrzymujemy Mod(1523, 2310).



Wielomiany

Twierdzenie J7
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] będzie dowolnym wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math]. Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] można przedstawić w postaci

[math]\displaystyle{ W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], a współczynniki wiodące wielomianów [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] są sobie równe.

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math]. Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x) }[/math]

Gdzie przez [math]\displaystyle{ U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math] oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy [math]\displaystyle{ k - 1 }[/math]. Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x) }[/math]

Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math]. Ponieważ ze wszystkich wielomianów [math]\displaystyle{ a_k U^{(k)} (x) }[/math], wielomian [math]\displaystyle{ a_n U^{(n)} (x) }[/math] ma największy stopień równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Czyli

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]

Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że [math]\displaystyle{ a_n = b_{n - 1} }[/math]. Czyli współczynnik wiodący wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. Co należało pokazać.
□


Definicja J8
Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math], będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math].


Definicja J9
Powiemy, że wielomian całkowity [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a_n }[/math]. Jeżeli każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n }[/math], jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieokreślony.


Twierdzenie J10
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] będzie wielomianem całkowitym i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ x \equiv y \!\! \pmod{m} }[/math], to

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]
Dowód

Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ x^k - y^k }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ x - y }[/math], co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że

[math]\displaystyle{ x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid (x - y) }[/math], zatem dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ m \mid (x^k - y^k) }[/math]. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje

[math]\displaystyle{ \begin{align} a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\ a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\ a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\ & \cdots \\ a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} \end{align} }[/math]

Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga J11
Niech [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1) }[/math]

gdzie liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze.

Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2) }[/math]

Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math]. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] nie ma rozwiązania, to kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n} }[/math] również nie ma rozwiązania.

Załóżmy, że każda z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech

  • [math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x \equiv b \!\! \pmod{n} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n} }[/math]

Pierwiastki te tworzą układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} x &\equiv a \pmod{m} \\ x &\equiv b \pmod{n} \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3) }[/math]

Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej

[math]\displaystyle{ x \equiv c \pmod{m n} }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Istotnie z twierdzenia J10 mamy

[math]\displaystyle{ \begin{align} W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\ W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} \end{align} }[/math]

ale liczby [math]\displaystyle{ m, n }[/math] są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że

[math]\displaystyle{ W (c) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]

Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań [math]\displaystyle{ (3) }[/math] odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math].

Podsumujmy: jeżeli kongruencje

[math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \end{align} }[/math]

mają odpowiednio [math]\displaystyle{ r }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math] jest równa iloczynowi [math]\displaystyle{ r s }[/math] i istnieje [math]\displaystyle{ r s }[/math] różnych rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]



Twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie J12
Kongruencja

[math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

A. Istnienie rozwiązania

Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 = k p }[/math], to istnienie liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ k }[/math], dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a_1, p) = 1 }[/math], to istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math] (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid r }[/math], bo gdyby tak było, to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieliłaby wyrażenie [math]\displaystyle{ a_1 r + p s }[/math], ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math]. Czyli modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ a_1 r \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ x \equiv - a_0 r \pmod{p} }[/math]

B. Brak innych rozwiązań

Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Jeśli oznaczymy je przez [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math], to otrzymamy

[math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \mid a_1 (x_1 - x_2) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ p \mid (x_1 - x_2) }[/math]. Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p} }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)
Jeżeli wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], to kongruencja

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań.

Dowód

Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Niech wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math]. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek [math]\displaystyle{ x \equiv s \!\! \pmod{p} }[/math]. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]

gdzie wielomian [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo wielomiany [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] mają jednakowe współczynniki wiodące.


Z założenia [math]\displaystyle{ x \equiv s \!\! \pmod{p} }[/math] jest jednym z pierwiastków kongruencji [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

wynika, że musi być (zobacz C72)

[math]\displaystyle{ x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]


Z założenia indukcyjnego kongruencja

[math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] rozwiązań, zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie J14
Jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań, to wszystkie współczynniki [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, \ldots, n }[/math], muszą być podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \} }[/math] będzie zbiorem takim, że dla każdego [math]\displaystyle{ k \in S }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \nmid a_k }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym. Niech [math]\displaystyle{ j }[/math] oznacza największy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ j = 0 }[/math], to wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ 0 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i

[math]\displaystyle{ a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Konsekwentnie, dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]

bo dla każdego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math].

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ j \neq 0 }[/math], z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ j \leqslant n }[/math] rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.
□


Przykład J15
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ p }[/math] rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] jest

[math]\displaystyle{ x^p \equiv x \pmod{p} }[/math]


Przykład J16
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ n \geqslant p }[/math], możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że [math]\displaystyle{ n \lt p }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ p = 5 }[/math] i

[math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ x^5 \equiv x \!\! \pmod{5} }[/math], to

[math]\displaystyle{ W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5} }[/math]

Co wynika również z faktu, że [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 }[/math]

ale [math]\displaystyle{ x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5} }[/math] na mocy twierdzenia Fermata.



Twierdzenie Wilsona

Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)
Liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną. Zatem liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] ma dzielnik [math]\displaystyle{ d }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ 2 \leqslant d \leqslant p - 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d \mid p }[/math], to prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ 0 \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]

co jest niemożliwe.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Niech teraz [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany

[math]\displaystyle{ W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1)) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ V(x) = x^{p - 1} - 1 }[/math]

Zauważmy, że

  • stopnie tych wielomianów są równe [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math]
  • współczynniki wiodące są równe [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
  • wyrazy wolne są równe odpowiednio [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] oraz [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]
  • wielomiany mają [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ U(x) = W (x) - V (x) }[/math]

Zauważmy, że

  • stopień wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 2 \geqslant 1 }[/math], ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji
  • wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] ma [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo dla każdego [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy [math]\displaystyle{ U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] nie może mieć więcej niż [math]\displaystyle{ p - 2 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi dzielić każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math] wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy [math]\displaystyle{ (p - 1) ! + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie J18
Liczba całkowita nieparzysta [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]
Dowód

Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]

W przypadku, gdy liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] są określone modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to odejmując od każdego czynnika większego od [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Twierdzenie Fermata

Twierdzenie J19 (Pierre de Fermat, 1640)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą

  • to liczba [math]\displaystyle{ a^p - a }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^p \equiv a \!\! \pmod p }[/math]
  • i jeśli dodatkowo [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Zauważmy, że
a) twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math]
b) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ a^p - a = a^2 - a = a (a - 1) }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math], bo jedna z liczb [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą
c) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 1 }[/math], to jest też prawdziwe dla [math]\displaystyle{ - a }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a) }[/math]


Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math] twierdzenie jest prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math].

Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1^p - 1 = 0 }[/math] zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a }[/math], czyli [math]\displaystyle{ p|a^p - a }[/math], otrzymujmy dla [math]\displaystyle{ a + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k }[/math]


Z założenia indukcyjnego [math]\displaystyle{ p|a^p - a }[/math], zaś [math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math] (ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem [math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) }[/math] jest podzielne przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math].

Punkt 2.

Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^p - a = a (a^{p - 1} - 1) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math].
□


Twierdzenie J20
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math] i liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Dowód

Z założenia

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p|y }[/math]. Wtedy z powyższej kongruencji mamy natychmiast, że [math]\displaystyle{ p|x }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i z twierdzenia Fermata dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]

Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] musi być liczbą parzystą, czyli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie J21
Niech [math]\displaystyle{ x, y, n \geqslant 0 }[/math]. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2^n }[/math]

są liczby

  • [math]\displaystyle{ x = 2^{n / 2} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y = 0 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \, x = 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y = 2^{n / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ 2 \mid n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ x = y = 2^{(n - 1) / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ 2 \nmid n }[/math]
Rozwiązanie

A. Gdy jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (powiedzmy [math]\displaystyle{ y }[/math]), to mamy [math]\displaystyle{ x = 2^{n / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest parzyste. Gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że [math]\displaystyle{ x, y \geqslant 1 }[/math]

B. Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Gdy obie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4} }[/math]

Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] i w tym przypadku mamy [math]\displaystyle{ (x, y) = (1, 1) }[/math].

C. W przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać [math]\displaystyle{ x = 2^a u }[/math], [math]\displaystyle{ y = 2^b w }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ u, w }[/math] są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant a \leqslant b \lt {\small\frac{n}{2}} }[/math]. Dostajemy

[math]\displaystyle{ u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a} }[/math]

Widzimy, że nie może być [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math], bo suma liczby nieparzystej i parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem [math]\displaystyle{ a = b }[/math] i otrzymujemy równanie

[math]\displaystyle{ u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a} }[/math]

które ma rozwiązanie w liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika [math]\displaystyle{ n - 2 a = 1 }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ u = w = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ x = y = 2^{(n - 1) / 2} }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] musi być liczbą nieparzystą.
□


Twierdzenie J22
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Dowód

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x = y }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2 y^2 }[/math] i jeśli liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] nie ma dzielnika pierwszego postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], to nie ma go również liczba [math]\displaystyle{ 2 y^2 }[/math]. Przykładowo [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r} }[/math]. Dlatego zakładamy, że [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] jest równa zero. Dlatego zakładamy, że [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = d }[/math], zatem mamy [math]\displaystyle{ x = a d }[/math], [math]\displaystyle{ y = b d }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, a \neq b }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \, a \neq b }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J21). Z twierdzenia J20 zastosowanego do liczby [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
□



Kryterium Eulera

Definicja J23
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ p \mid (k^2 - a) }[/math].

Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

nie ma rozwiązania.


Twierdzenie J24
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], kwadraty liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ p - k }[/math] są takimi samymi liczbami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z oczywistej kongruencji

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p} }[/math]

Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ (1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right) }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1 }[/math]

to wypisane pary wyczerpują cały zbiór [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Co więcej, liczby [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math] są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], a jednocześnie [math]\displaystyle{ i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p} }[/math]. Gdyby tak było, to mielibyśmy

[math]\displaystyle{ (i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z prostych oszacowań

[math]\displaystyle{ 1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j \lt p - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 \lt i + j \lt p - 1 }[/math]


Ponieważ (z definicji) liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] musi przystawać do pewnego kwadratu modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest tyle samo, co kwadratów [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math]. Czyli jest ich dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Pozostałe liczby w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] to liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i jest ich również [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie J25 (kryterium Eulera, 1748)
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

●    liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
●    liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Niech [math]\displaystyle{ Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że

   A       [math]\displaystyle{ | Q | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]    zobacz J24
   B       [math]\displaystyle{ | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]    zobacz twierdzenie Lagrange'a J13
   C       jeżeli [math]\displaystyle{ a \in Q }[/math], to [math]\displaystyle{ a \in S \qquad }[/math]    wynika z ciągu implikacji:
         [math]\displaystyle{ a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p} }[/math]
         [math]\displaystyle{ a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]   
         [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S }[/math]
   D       [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math]    z punktu C wynika, że każdy element zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]


Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]

Skąd łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ | Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math], a zbiory [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J26). Prostą konsekwencją równości zbiorów [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] jest stwierdzenie

   liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]   

Co kończy dowód punktu pierwszego.

Punkt 2.

Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika[3], że

   liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p} }[/math]   

Z twierdzenia Fermata

[math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

wynika natychmiast, że jeżeli [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], to musi być

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie

   liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]   

Co należało pokazać.
□


Zadanie J26
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B | }[/math], to [math]\displaystyle{ \; A = B }[/math].

Rozwiązanie

Ponieważ zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ B }[/math] można przedstawić w postaci sumy zbiorów [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] takich, że żaden element zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] nie jest elementem zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing }[/math]

Ponieważ z założenia zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są rozłączne, to wiemy, że

[math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ | B | = | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]

Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ | C | = 0 }[/math], zatem zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ B = A }[/math]. Co należało pokazać.


Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)
Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie [math]\displaystyle{ | A \cup C | \leqslant | A | + | C | }[/math], bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math], zatem od sumy [math]\displaystyle{ | A | + | C | }[/math] musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math]. Co daje ogólny wzór[4]

[math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]

□



Symbol Legendre'a

Definicja J27
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Symbolem Legendre'a[5] nazywamy funkcję [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] zdefiniowaną następująco

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\ - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \mid a \end{cases} }[/math]


Uwaga J28
Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math]

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math]


Twierdzenie J29*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości

  1.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) \gt 1 }[/math]
  2.   [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
  3.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
  4.   [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math]
  5.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1 }[/math]
  6.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
  7.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
  8.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
  9.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]


Zadanie J30
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, [math]\displaystyle{ a, d \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid d }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]
Rozwiązanie

Punkt 1. i 2.

Aby udowodnić dwa pierwsze wzory, wystarczy zauważyć, że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0 }[/math]

Punkt 3.

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math] są względnie pierwsze. Z twierdzenia C55 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

[math]\displaystyle{ x_k = a + k d }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math].

Zatem wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p . }[/math] Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0 = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie J31
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ k \in S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], to dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math] istnieją liczby [math]\displaystyle{ x_k }[/math] i [math]\displaystyle{ y_k }[/math] takie, że

A.   [math]\displaystyle{ x_k \cdot k + y_k \cdot p = 1 }[/math]
B.   [math]\displaystyle{ p \nmid x_k }[/math]
C.   [math]\displaystyle{ x_k \cdot k \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
D.   jeżeli [math]\displaystyle{ k \neq j }[/math], to [math]\displaystyle{ x_k \not\equiv x_j \!\! \pmod{p} }[/math]
E.   gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega cały zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math], to [math]\displaystyle{ x_k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ S' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ S }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Rozwiązanie

A. Dla każdego [math]\displaystyle{ k \in S }[/math] mamy [math]\displaystyle{ \gcd (k, p) = 1 }[/math], zatem punkt A. wynika z lematu Bézouta (zobacz C71).

B. Gdyby [math]\displaystyle{ p \mid x_k }[/math], to mielibyśmy [math]\displaystyle{ p \mid 1 }[/math], co jest niemożliwe.

C. Kongruencję otrzymujemy, rozpatrując punkt A. modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

D. Gdyby dla [math]\displaystyle{ k \neq j }[/math] było

[math]\displaystyle{ x_k \equiv x_j \!\! \pmod{p} }[/math]

to z różnicy kongruencji (zobacz punkt C.)

[math]\displaystyle{ x_k \cdot k - x_j \cdot j \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

mielibyśmy

[math]\displaystyle{ x_k (k - j) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ p \nmid x_k }[/math] (punkt B.) oraz [math]\displaystyle{ p \nmid (k - j) }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ k \neq j }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2 }[/math].

E. Z założenia [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór wszystkich reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ p }[/math] poza liczbą zero. Z punktu B. wiemy, że dla każdej liczby [math]\displaystyle{ x_k }[/math] jest [math]\displaystyle{ x_k \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Z punktu D. wiemy, że różnym liczbom [math]\displaystyle{ k, j \in S }[/math] odpowiadają różne (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) liczby [math]\displaystyle{ x_k, x_j }[/math]. Zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] zbiór [math]\displaystyle{ S' }[/math] musi być identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ S }[/math].
□


Zadanie J32
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]
Rozwiązanie

Do rozwiązania problemu wykorzystamy liczby [math]\displaystyle{ x_k }[/math], które zostały zdefiniowane i omówione w zadaniu poprzednim.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k + x_k \cdot k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + x_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + x_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ x_k }[/math] przebiega pewien zbiór [math]\displaystyle{ S' }[/math]. Wiemy, że zbiory [math]\displaystyle{ S }[/math] i [math]\displaystyle{ S' }[/math] są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{a = 1} \left( {\small\frac{1 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{b = 2}^{p} \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{b = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = - 1 }[/math]

(zobacz J30). Co należało pokazać.
□


Zadanie J33
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 7 }[/math] jest liczbą pierwszą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieją:

  • dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
  • dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Rozwiązanie

Dla [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math] łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.

Punkt 1.

Zauważmy, że przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność

[math]\displaystyle{ -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych

[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 4, 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 9, 10 }[/math]

Punkt 2.

Rozważmy wszystkie możliwe wartości [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{1} \,\, }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{4} \,\, }[/math] [math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{5} \,\, }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{(…)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{A.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{B.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{C.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{D.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

A. W tym przypadku liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

B. i C. W tym przypadku dokładnie jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 3}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

D. W tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Uwaga J34
Wzmocnimy wynik uzyskany w poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.


Twierdzenie J35
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

  • istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
  • istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Po kolei wyliczymy sumy po lewej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = 2}^{p - 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

(zobacz J30 i J32). Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 1 \, \pmod{4} \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 3 \, \pmod{4} \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math]

Punkt 2.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wartości sum wyliczyliśmy już w punkcie 1. Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 1 \, \pmod{4} \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 3 \, \pmod{4} \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math]

Co należało pokazać.
□



Symbol Jacobiego

Definicja J36
Niech liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ m \mid (k^2 - a) }[/math].

Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania.


Uwaga J37
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. 

isQR(a, m) = 
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
{
local(w);
if( gcd(a, m) > 1, return(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
w = -1;
for(k = 1, floor(m/2), if( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; break() ));
return(w);
}


Uwaga J38
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], w której warunek [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math] zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w takim przypadku liczba [math]\displaystyle{ 0 }[/math] nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Przykładowo:

[math]\displaystyle{ \left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10} }[/math]

Liczby kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math] to [math]\displaystyle{ \left\{ 1, 9 \right\} }[/math], a niekwadratowe to [math]\displaystyle{ \left\{ 3, 7 \right\} }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ \left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\} }[/math] nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math].

Jeśli odrzucimy warunek [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math] będą [math]\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\} }[/math], a niekwadratowymi [math]\displaystyle{ \left\{ 2, 3, 7, 8 \right\} }[/math].

Inny przykład. Niech [math]\displaystyle{ m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 }[/math]. W zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie albo [math]\displaystyle{ 11 }[/math], albo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].


Zadanie J39
Niech liczby [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Pokazać, że liczba [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i modulo [math]\displaystyle{ n }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ W(x) = x^2 - a }[/math]. Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.
□


Definicja J40
Symbol Jacobiego[6] [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] jest uogólnieniem symbolu Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla dodatnich liczb nieparzystych. Niech [math]\displaystyle{ n = \prod_i p_i^{\alpha_i} }[/math] będzie rozkładem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, wtedy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i} }[/math]


Uwaga J41
Zauważmy, że w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math].


Twierdzenie J42*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości

  1.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) \gt 1 }[/math]
  2.   [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
  3.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
  4.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
  5.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1 }[/math]
  6.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
  7.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
  8.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
  9.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]


Uwaga J43
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.


Uwaga J44
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą

  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to nie musi być [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math]

Przykład: jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ a }[/math] może być liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m^2 }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 5, 8 }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23 }[/math].


Uwaga J45
Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:

Pokaż kod
QRandQNR(m) = 
{
local(k, S, V);
S = [];
V = [];
for(k = 1,  m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); S = concat(S, k));
S = Set(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
for(k = 1,  m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); V = concat(V, k^2 % m));
V = Set(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
print("QR: ", V);
print("QNR: ", setminus(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
}



Zadanie J46
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \end{cases} }[/math]
Rozwiązanie

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ - 1 & \text{gdy } r = 5 \end{cases} }[/math]

bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1 }[/math]

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie J47
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \end{cases} }[/math]


[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\ - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3 \end{cases} }[/math]
Rozwiązanie

Punkt 1.

Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. W tym przypadku mamy

[math]\displaystyle{ 3 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

i odpowiednio dla różnych postaci liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest

[math]\displaystyle{ m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J42 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ 5 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to nie ma już znaczenia, czy [math]\displaystyle{ m \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], czy też [math]\displaystyle{ m \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J42 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 10 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7, 9 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, \quad = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9 \end{cases} }[/math]

bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7, 9 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1 }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga J48
Wykorzystując podane w twierdzeniu J42 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze. 

jacobi(a, n) = 
{
local(r, w);
if( n <= 0 || n % 2 == 0, return("Error") );
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
w = 1;
while( a <> 0,
       while( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; if( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
       \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
       \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
       r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
       a = n;
       n = r;
       if( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
       \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
       a = a % n;
     );
if( n == 1, return(w), return(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
}


Uwaga J49
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] nie istnieje, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] dostarcza jedynie ograniczonych informacji.

W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:

  • jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Legendre'a
  • jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Jacobiego
  • jeżeli nie wiemy, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Jacobiego



Rozwiązywanie kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]

Twierdzenie J50
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid (r^2 - a) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ p \mid (r^2 - a) }[/math], co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]

ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n} }[/math] i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ u_n }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant u_n \lt p^n }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] może zostać wybrana dowolnie (modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem

[math]\displaystyle{ u^2_n - a = k p^n }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jednoznacznie określona, bo wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] została ustalona. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2 u_n, p) = 1 }[/math], to równanie

[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k }[/math]

ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] będą rozwiązaniem tego równania. Zatem

[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a ) }[/math]
[math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]

Modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} \mid p^{2 n} }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□


Uwaga J51
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Ponieważ zakładamy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ x }[/math] nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy [math]\displaystyle{ 0 \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid 2^n }[/math].

Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2} }[/math]

ma dokładnie jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math].

Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{4} }[/math]

ma dwa rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.

Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]

ma cztery rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.


Twierdzenie J52
Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]

ma rozwiązanie.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ 2^n \mid (r^2 - a) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ 2^3 \mid (r^2 - a) }[/math]. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^3} }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]

ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n} }[/math] i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że [math]\displaystyle{ u^2_n - a = k \cdot 2^n }[/math]. Niech

[math]\displaystyle{ r = \begin{cases} 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\ 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} \end{cases} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ (u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ k + r }[/math] jest liczbą parzystą, a dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 2 n - 2 \geqslant n + 1 }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1} }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□


Wniosek J53
Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą, to kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] w zależności od tego, czy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math].


Uwaga J54
Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3 i J11) wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\ & \,\,\,\cdots \\ x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\ \end{align} }[/math]

Z definicji J27, twierdzeń J50 i J52, uwagi J51 i wniosku J53 otrzymujemy


Twierdzenie J55
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

●    dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest  [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]
●    jeżeli  [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math],  to  [math]\displaystyle{ 8 \mid ( a - 1 ) }[/math]
●    jeżeli  [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math],  ale  [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math],  to  [math]\displaystyle{ 4 \mid ( a - 1 ) }[/math]


Twierdzenie J56
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków

●    jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika [math]\displaystyle{ d }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
●    jeżeli  [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math]  i  [math]\displaystyle{ 8 \nmid ( a - 1 ) }[/math]
●    jeżeli  [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math],  ale  [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math]  i  [math]\displaystyle{ 4 \nmid ( a - 1 ) }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Z założenia [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Gdyby kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

miała rozwiązanie, to również kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{d} }[/math]

miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ d }[/math].

Punkty 2. i 3. wynikają wprost z twierdzenia J55.
□


Przykład J57
Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W tabelach zestawiliśmy kongruencje i ich rozwiązania.

Kongruencje Rozwiązania
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19} }[/math] [math]\displaystyle{ 25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19} }[/math] [math]\displaystyle{ 13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19} }[/math] [math]\displaystyle{ 9, 29, 47, 67 }[/math]
Kongruencje Rozwiązania
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23} }[/math] [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]


Zadanie J58
Rozwiązać kongruencję, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą

[math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2, p) = 1 }[/math], to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ 4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]

Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ b }[/math], że [math]\displaystyle{ b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p} }[/math], zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 x + r \equiv \pm b \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p} }[/math]

Jeśli [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] nie jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to kongruencja

[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]

nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

również nie ma rozwiązania.
□


Zadanie J59
Rozwiązać kongruencję

[math]\displaystyle{ 5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
Rozwiązanie

Rozwiązywanie kongruencji w przypadku konkretnych wartości liczb [math]\displaystyle{ r, s }[/math] jest łatwiejsze niż w przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy [math]\displaystyle{ x }[/math]. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.

[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19} }[/math]
[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19} }[/math]
[math]\displaystyle{ x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19} }[/math]

Otrzymujemy: [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{19} }[/math] lub [math]\displaystyle{ x \equiv 13 \!\! \pmod{19} }[/math].


Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że

[math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

□



Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

Uwaga J60
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego.



 A. Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] 

Przykład J61
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]


Uwaga J62
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

A(p) = 
{
if( p == 2, return(0) );
if( !isprime(p), return(0) );
forprime(q = 2, p, if( jacobi(q, p) == -1, return(q) ));
}

Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, bo wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).


Twierdzenie J63
Niech [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Zadanie J64
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest

  •  liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math]
  •  liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 7 }[/math]
  •  liczba [math]\displaystyle{ \geqslant 5 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 1 }[/math]
Rozwiązanie

Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]

Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (i tylko dla takich liczb) liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Z zadania J47 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math]. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j \pm 5 }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z czterech warunków

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]

Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4} }[/math]

a z pierwszego i czwartego mamy

[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24} }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24} }[/math]

Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 5 \pmod{12} }[/math]

Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać 

chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)

Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] spełnia kongruencje

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{12} }[/math]

Postępując jak wyżej, otrzymujemy 

chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie J65
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q }[/math], że [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ 2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n }[/math] będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę [math]\displaystyle{ u }[/math] tak, aby spełniała układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\ u & \equiv a \pmod{p_n} \end{align} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a }[/math] oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_n }[/math]. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math]


Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ c }[/math], bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ u \equiv 0 \pmod{p_k} }[/math]

wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1 }[/math] i z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ u }[/math] spełniających kongruencję [math]\displaystyle{ u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]). Oznaczmy przez [math]\displaystyle{ q }[/math] dowolną z tych liczb pierwszych.


Ponieważ [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] (zobacz J29), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ p_k \lt p_n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ 8 \mid (q - 1) }[/math]. Dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p_n }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie J66 (Sarvadaman Chowla)
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ P(m) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza dowolną z nich.

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

(zobacz J29 p.7). Oczywiście [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ q_i \leqslant m }[/math] z twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wiemy też, że (zobacz A9)

[math]\displaystyle{ a = 4 P (m) \lt 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1} }[/math]

Załóżmy teraz, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] została wybrana tak, że liczba [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math] jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie

[math]\displaystyle{ p = p_{\min} (a, 1) \lt a^L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika (możemy przyjąć [math]\displaystyle{ L = 5 }[/math]). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 \gt \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} \gt {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math]

Każdemu wyborowi innej liczby [math]\displaystyle{ m' \gt m }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ P(m') \gt P (m) }[/math] odpowiada inna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p' }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p') \gt {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}} }[/math], zatem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math] jest nieskończenie wiele.
□


Uwaga J67
W twierdzeniu J65 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] istnieją takie liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby [math]\displaystyle{ p \in S_\mathbb{n} }[/math] liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie 

forprime(n = 2, 50, forprime(p = 2, 10^10, if( A(p) == n, print(n, "   ", p); break() )))

W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też A000229).

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 479 }[/math] [math]\displaystyle{ 1559 }[/math] [math]\displaystyle{ 5711 }[/math] [math]\displaystyle{ 10559 }[/math] [math]\displaystyle{ 18191 }[/math] [math]\displaystyle{ 31391 }[/math] [math]\displaystyle{ 422231 }[/math] [math]\displaystyle{ 701399 }[/math] [math]\displaystyle{ 366791 }[/math] [math]\displaystyle{ 3818929 }[/math]


Twierdzenie J68
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \lt \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Dowód

Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \nmid p }[/math], to z oszacowania [math]\displaystyle{ x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \leqslant x }[/math] wynika, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 \lt \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \lt \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} \lt p + \mathbb{n} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 0 \lt \mathbb{n} u - p \lt \mathbb{n} }[/math]

Liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} u - p }[/math] musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Ale z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant u }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \lt p + \mathbb{n} }[/math]

Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} \lt {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie J69*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie[7][8][9]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]


Uwaga J70
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa[10]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]


Uwaga J71
Możemy też badać najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]


Twierdzenie J72
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] najmniejsza nieparzysta liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą mniejszą od [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich nieparzystych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy też dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.

Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 = 2^2 \lt 5 \leqslant p }[/math] jest parzystą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] jest liczbą pierwszą.

Niech [math]\displaystyle{ 3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2 }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że każda liczba [math]\displaystyle{ a \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą złożoną, czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zauważmy, że żadna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zatem obie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mniejszą od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.
□



 B. Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Uwaga J73
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math] W jednym i drugim przypadku liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ p }[/math] lub [math]\displaystyle{ m . }[/math] Dlatego będziemy je oznaczali również jako [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) . }[/math]


Definicja J74
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Powiemy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ m }[/math] taką, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania.


Przykład J75
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ 42 }[/math] [math]\displaystyle{ 44 }[/math] [math]\displaystyle{ 46 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Uwaga J76
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

B(m) = 
{
local(p, res);
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}

Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby [math]\displaystyle{ m . }[/math] Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.

Pokaż kod
B(m) = 
{
local(p, res, t);
t = m%8;
if( t == 3 || t == 5, return(2) );
t = m%12;
if( t == 4 || t == 8, return(3) );
t = m%24;
if( t == 9 || t == 15, return(2) );
if( t == 10 || t == 14, return(3) );
t = m%30;
if( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, return(5) );
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}


Twierdzenie J77
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{m} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
□


Zadanie J78
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Rozwiązanie

Z twierdzenia J42 wiemy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Co należało pokazać.
□


Zadanie J79
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków

  •   [math]\displaystyle{ 4 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (3, m) = 1 }[/math]
  •   [math]\displaystyle{ m = 12 k \pm 4 }[/math]

to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid m . }[/math] Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], co nie wyklucza możliwości, że również [math]\displaystyle{ 8 \mid m . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 4 \nmid (3 - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid (3 - 1) }[/math], to z twierdzenia J56 wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m} }[/math] nie ma rozwiązania. Jeśli tylko [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math] W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ 3 \nmid (12 k \pm 4) . }[/math]

Można też zauważyć, że żądanie, aby [math]\displaystyle{ \gcd (3, m) = 1 }[/math], prowadzi do dwóch układów kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 1 \pmod{3} \end{align} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 2 \pmod{3} \end{align} }[/math]

którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne

[math]\displaystyle{ m \equiv \pm 4 \pmod{12} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie J80
Niech [math]\displaystyle{ m = 24 k \pm 10 . }[/math] Pokazać, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zapiszmy [math]\displaystyle{ m }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ m = 2 m' }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m' = 12 k \pm 5 . }[/math] Gdyby kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'} }[/math]

miała rozwiązanie, to również kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m'} }[/math]

miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J47), czyli [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m' . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
□


Twierdzenie J81
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_2 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 2 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (zobacz J42).
□


Twierdzenie J82
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą parzystą niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math] (zobacz J47).
□


Twierdzenie J83
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą dodatnią podzielną przez [math]\displaystyle{ 6 }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ 3 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]
□


Twierdzenie J84
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math].

Dowód

Z twierdzenia J113 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzielą [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie J85
Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) . }[/math]

Postać liczby [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{𝕟(m)} }[/math] Uwagi
[math]\displaystyle{ m=24k \pm 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] J81
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] J82
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] J83, J84
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] J84
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 60 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 90 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]


Twierdzenie J86
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lll} \mathbb{n} (2 m) \gt \mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) \gt 2 \end{array} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \gt 2 = \mathbb{n} (m) }[/math], bo [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) }[/math] musi być liczbą względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ 2 m . }[/math]

Punkt 2.

Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wiemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid 2 m }[/math], to wynika stąd natychmiast, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m} }[/math]

również nie ma rozwiązania (zobacz J56).

Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) . }[/math] Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1) }[/math]

możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\ \end{align} }[/math]

Z definicji [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem kongruencja [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez [math]\displaystyle{ x_0 . }[/math] Łatwo zauważamy, że liczba

[math]\displaystyle{ x'_0 = \begin{cases} \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\ x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\ \end{cases} }[/math]

jest rozwiązaniem układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] i [math]\displaystyle{ (3) }[/math], a tym samym kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązanie dla każdego [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) . }[/math]
□


Twierdzenie J87
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lllll} \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\ \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\ \end{array} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Z twierdzenia J81 wynika, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \mid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 . }[/math]

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 8 \nmid 4 m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 4 \nmid (3 - 1) }[/math], zatem z twierdzenia J56 wynika, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{4 m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 3 \nmid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) = 3 . }[/math]
□


Twierdzenie J88
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

Dowód

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math], to prawdziwa jest też kongruencja

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

co przeczy założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□


Twierdzenie J89
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to istnieje taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

Dowód

Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ p_1, \ldots, p_s \} }[/math] i powiązany z dzielnikami pierwszymi [math]\displaystyle{ p_k }[/math] zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \} }[/math], z których każda jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J88). Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] musi być mniejsza od każdej z liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]

Z definicji liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], co oznacza, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s . }[/math] Zatem przynajmniej jedna z kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k} }[/math]

musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J50 wiemy, że wtedy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k} }[/math]

również nie ma rozwiązania. Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_k \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} \lt \mathbb{n}_k }[/math], co przeczy definicji liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]
□


Twierdzenie J90
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) ) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p_k) }[/math] są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p_k . }[/math]

Dowód

Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia J89, ale musimy jeszcze pokazać, że [math]\displaystyle{ \gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 . }[/math] Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p_k |\mathbb{n} (m) }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant s . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą pierwszą, to musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p_k }[/math], ale wtedy

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p_k) \lt p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k) }[/math]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant s . }[/math] Co kończy dowód.
□


Twierdzenie J91
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \lt \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5 }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] takim, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) }[/math] (z twierdzenia J89 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \lt F (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] jest funkcją rosnącą, to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) \lt F (p) \leqslant F (m) }[/math]

Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J68 i J69.
□


Uwaga J92
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] wynosi[11]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots }[/math]



 C. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] 

Przykład J93
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{c( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]


Uwaga J94
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

C(m) = 
{
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(p = 2, m, if( jacobi(p, m) == -1, return(p) ));
}


Uwaga J95
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] oznaczyliśmy jako [math]\displaystyle{ c(m) }[/math]. Zauważmy, że są to liczby inne od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math]. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] i [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] dla [math]\displaystyle{ m = 15, 33, 39 }[/math]. Różnice wynikają z innej definicji liczb [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] – jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] nie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.

Ponieważ [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to mamy natychmiast oszacowanie: [math]\displaystyle{ c(m) \geqslant \mathbb{n} (m) }[/math] (poza przypadkami, gdy [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math]).

Dla [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J68. Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ c = c (15) = 7 \gt \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]
[math]\displaystyle{ c = c (39) = 7 \gt \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]
[math]\displaystyle{ c = c (105) = 11 \gt \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]
[math]\displaystyle{ c = c (231) = 17 \gt \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]

Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m \lt 10^9 }[/math].


Twierdzenie J96
Niech [math]\displaystyle{ c, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ c }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] musi być liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ c = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt c }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].
□



Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Przykład J97
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 85 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb [math]\displaystyle{ x , y }[/math] nie zostały uwzględnione.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 68 }[/math] [math]\displaystyle{ 72 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 74 }[/math] [math]\displaystyle{ 80 }[/math] [math]\displaystyle{ 81 }[/math] [math]\displaystyle{ 82 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 5,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 7,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 7,6 }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 21 }[/math] nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].


Przykład J98
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 73 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 44 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ 54 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 66 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 68 }[/math] [math]\displaystyle{ 72 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,6 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 33 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math].

Zauważmy też, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 35 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 27 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math].


Przykład J99
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 103 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 63 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 75 }[/math] [math]\displaystyle{ 76 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 81 }[/math] [math]\displaystyle{ 84 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 93 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 100 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 10,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 10,1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 5,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 55 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 91 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math].


Twierdzenie J100
Jeżeli liczba nieparzysta postaci [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math], ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.

Dowód

W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].

Niech

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] są parzyste, a liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] nieparzyste.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] występująca w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2 }[/math] muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ y }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ b }[/math] nieparzysta, wtedy modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 3} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, a liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] parzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

Mamy

[math]\displaystyle{ x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ (x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ f = \gcd (x - a, b - y) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f }[/math] jest liczbą parzystą i

[math]\displaystyle{ x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ r(x + a) = n s (y + b) }[/math]

ale liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] są względnie pierwsze, zatem [math]\displaystyle{ s \mid (x + a) }[/math] i musi być

[math]\displaystyle{ x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r }[/math]

Gdyby [math]\displaystyle{ k }[/math] było liczbą nieparzystą, to liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \gcd (r, s) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ k }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ 2 s \mid (x + a) }[/math], czyli możemy pokazać więcej. Musi być

[math]\displaystyle{ x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r }[/math]

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math], zauważmy, że [math]\displaystyle{ n \mid l }[/math] lub [math]\displaystyle{ n \mid r }[/math].

Łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) }[/math]
[math]\displaystyle{ y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) }[/math]

Ostatecznie

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2 , 3} }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ l, r }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right) }[/math]

Co kończy dowód.
□


Uwaga J101
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] jest liczbą tej samej postaci.

[math]\displaystyle{ (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2 }[/math]


Twierdzenie J102
Niech [math]\displaystyle{ x, y, a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math]. Jeżeli liczba parzysta [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R = a^2 + n b^2 }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Dowód

W szczególnym przypadku, gdy [math]\displaystyle{ R = 1 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ R = 1^2 + n \cdot 0^2 }[/math].

Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R }[/math] jest liczbą nieparzystą postaci [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 }[/math].

1. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ y }[/math] nieparzysta, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4| (x + y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2 }[/math]

c) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4| (x - y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie J103
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a)  [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
(b)  [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]
(c)  [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

(a)  [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math]
(b)  [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math]
(c)  [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math]
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] może być przedstawiona w postaci [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] są liczbami takimi, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant x_0, y_0 \lt p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid y_0 }[/math], a rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ - n y_0^2 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Z twierdzenia J42 i zadania J46 otrzymujemy natychmiast

(a) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
(b) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math]
(c) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Co należało pokazać.


[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

A. Istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}} }[/math]

Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a)  [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
(b)  [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]
(c)  [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Wynika stąd, że dla (a) [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], (b) [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], (c) [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

(zobacz J42 i J46) i liczba [math]\displaystyle{ - n }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ x_0 = k }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 = 1 }[/math] są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] możemy jawnie wypisać: [math]\displaystyle{ x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! }[/math]


B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego

Niech liczby [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \nmid y_0 }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wybierzmy liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb [math]\displaystyle{ {\small\frac{x_0}{p}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y_0}{p}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \lt {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \lt {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] możemy wybrać liczby

[math]\displaystyle{ x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i dla których

[math]\displaystyle{ 0 \lt x^2 + n y^2 \lt \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p }[/math]

Ponieważ modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest [math]\displaystyle{ x \equiv x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y \equiv y_0 }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

ma rozwiązanie dla liczb

[math]\displaystyle{ | x | \lt {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | \lt {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m \lt {\small\frac{(n + 1) p}{4}} }[/math]

Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu.


C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata[12][13]

Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta[14].

Jeżeli w rozwiązaniu [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p = x^2 + n y^2 }[/math] i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math]. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie [math]\displaystyle{ x_k, y_k, m_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math]. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.

Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest konieczny tylko w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą parzystą

Jeżeli [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] jest liczbą parzystą, to z twierdzenia J102 wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] może być zapisana w postaci

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}} }[/math], aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą i [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą nieparzystą

Niech liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom [math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{m}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y}{m}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{m}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x - r m | \lt {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \lt {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może jednocześnie dzielić liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ m^2 \mid (x^2 + n y^2) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] musi być różna od [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

Rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ y \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Mamy też oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 \lt a^2 + n b^2 \lt \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m }[/math]

Wynika stąd, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] spełniająca warunek [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math], że

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 = m_1 m }[/math]

Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]

(zobacz J101). Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = m (p - r x - n s y) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = m x_1 }[/math]


[math]\displaystyle{ a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = x y - r m y - y x + s m x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = m (s x - r y) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = m y_1 }[/math]

Gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ x_1 = p - r x - n s y }[/math]
[math]\displaystyle{ y_1 = s x - r y }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math]

Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math].


D. Jednoznaczność rozkładu

Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia J100. Co kończy dowód.
□


Uwaga J104
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.

Pokaż kod
SumOfTwoSquares(p) = 
{
local(m, r, s, x, y, x1, y1);
if( p%4 <> 1 || !isprime(p), return("Error") );
x = 1;
for(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
x = x - round(x/p)*p;
y = 1;
m = (x^2 + y^2)/p;
while( m > 1,
       r = round(x/m);
       s = round(y/m);
       x1 = p - r*x - s*y;
       y1 = r*y - s*x;
       x = x1;
       y = y1;
       m = (x^2 + y^2)/p;
     );
return([ abs(x), abs(y), p ]);
}


Zadanie J105
Niech liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokazać, że

  •   liczby [math]\displaystyle{ r, p r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, r^2 }[/math] nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
  •   liczby [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ 2 p }[/math], [math]\displaystyle{ p^2 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r^2 }[/math] mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
  •   liczba [math]\displaystyle{ p q }[/math], [math]\displaystyle{ p \neq q }[/math] ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
Rozwiązanie

Punkt 1.

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r }[/math] są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Suma [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Przypuśćmy, że

[math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość, zatem [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], co w sposób oczywisty jest niemożliwe.

Punkt 2.

W przypadku liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] odpowiedzi udziela twierdzenie J103. Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2 }[/math]

Punkt 3.

Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math] i [math]\displaystyle{ q = a^2 + b^2 }[/math]. Ze wzorów podanych w uwadze J101 mamy

[math]\displaystyle{ p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□



Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Zadanie J106
Niech [math]\displaystyle{ s = \pm 1 }[/math]. Zbadać podzielność liczby [math]\displaystyle{ p - s a^2 }[/math]

  • przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 4 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3 }[/math]
  • przez [math]\displaystyle{ 8 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7 }[/math]
Rozwiązanie

Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja

[math]\displaystyle{ p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n = 2, 3 }[/math], ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n} }[/math]
[math]\displaystyle{ s a^2 \equiv r \pmod{2^n} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^2 \equiv s r \pmod{2^n} }[/math]

Z twierdzenia J55 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być [math]\displaystyle{ 2^n \mid (s r - 1) }[/math], co jest możliwe tylko, gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 4 }[/math] i gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math] i [math]\displaystyle{ r = 3, 5 }[/math] rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.
□


Uwaga J107
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy[15]. Zadanie J106 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia J108. Z zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby [math]\displaystyle{ s }[/math] z postacią liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] nie jest przypadkowe.

Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math] wynik [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] nie oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math]


W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Twierdzenie J108
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 17 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Dla ustalonych liczb [math]\displaystyle{ n }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] rozważmy liczbę [math]\displaystyle{ u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}} }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ 3 \leqslant u (a) \lt p }[/math]. Jeżeli liczba ta jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C21). Zatem możemy napisać [math]\displaystyle{ u (a) = t q }[/math], co oznacza, że

[math]\displaystyle{ p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ p \equiv s a^2 \pmod{q} }[/math]

i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Zatem liczba [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb [math]\displaystyle{ u(a_1), \ldots, u(a_r) }[/math] takich, że

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant u(a_1) \lt \ldots \lt u(a_r) \lt p }[/math]

z których jedna musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek pierwszy: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} \lt {\small\frac{p + 9}{4}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k + 1, 2 k + 3 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek drugi: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} \lt {\small\frac{p - 1}{4}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 21 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k - 1, 2 k + 1 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek trzeci: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} \lt {\small\frac{p + 9}{8}} \lt {\small\frac{p + 25}{8}} \lt {\small\frac{p + 49}{8}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 23 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek czwarty: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} \lt {\small\frac{p - 25}{8}} \lt {\small\frac{p - 9}{8}} \lt {\small\frac{p - 1}{8}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 73 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k - 6, k - 3, k - 1, k \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 2, r + 1, r + 3, r \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \lt 73 }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie J109
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

W przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieją takie liczby całkowite dodatnie [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] (zobacz J103). Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ q \leqslant x^2 + y^2 \lt x^2 + 2 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid x }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenie J110
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 12 k + 7 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{6} }[/math], zatem istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math] (zobacz J103). Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i być względnie pierwsze. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe. Zatem [math]\displaystyle{ x = 2 k }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] musi być nieparzysta. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to jedynie w przypadku gdy [math]\displaystyle{ k = y = 1 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ k = y }[/math]. Mielibyśmy wtedy [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math], ale z założenia musi być [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ k \neq y }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ k^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] (zobacz J22). Oczywiście [math]\displaystyle{ q \leqslant k^2 + y^2 \lt 4 k^2 + 3 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid k }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9 i p.6)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenia J109 i J110 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.[15]
Twierdzenie J111*
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 13, 37 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].


Uwaga J112
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math]


W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Twierdzenie J113
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] jest liczbą całkowitą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ m - 4 \geqslant 3 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C21). Czyli [math]\displaystyle{ m - 4 = k q }[/math] i z twierdzenia J42 p.9 dostajemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□


Można też pokazać, że[16]
Twierdzenie J114*
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].


Zauważmy, że twierdzenie J114 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.
Twierdzenie J115
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Punkt B

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J56 i J88).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J56).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J56).

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].


Zbierając:

  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 11 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J114 i J88).


Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 11 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. 

for(m = 3, 15, forprimestep(q = 3, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math].

Punkt A

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math].

Jeżeli jedna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ 17 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (5 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to nie istnieją liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 \mid [(4 k + 1) - 1] }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zbierając:

  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 5 }[/math] lub [math]\displaystyle{ q = 17 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J114 i J88).

Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 17 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. 

for(m = 3, 20, forprimestep(q = 1, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math].
□


Twierdzenie J116
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math]

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

(zobacz J42 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 1} }[/math]

Niech liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J72 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 3} }[/math]

Z twierdzenia J108 wynika, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Zadanie J117
Udowodnić twierdzenie J116 w przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], nie korzystając z twierdzenia J108.

Rozwiązanie

Z założenia [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] może być postaci [math]\displaystyle{ k = 3 j }[/math], [math]\displaystyle{ k = 3 j + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 3 j + 2 }[/math]. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

Ponieważ nie ma liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] i będących postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], to pozostaje rozważyć przypadki [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 11} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math] (zobacz J47). Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Czyli wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ q = 3 }[/math].

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 7} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J42 p.6 oraz J47). Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1 }[/math]

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ p - 12 \geqslant 7 }[/math] jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 12 }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W przeciwnym razie z twierdzenia J42 p.4 mielibyśmy [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□








Przypisy

  1. ↑ Wikipedia, Chińskie twierdzenie o resztach, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  2. ↑ CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: Chinese remainder theorem
  3. ↑ Wikipedia, Logical equivalence, (Wiki-en)
  4. ↑ Wikipedia, Zasada włączeń i wyłączeń, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  5. ↑ Wikipedia, Symbol Legendre’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  6. ↑ Wikipedia, Symbol Jacobiego, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  7. ↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
  8. ↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
  9. ↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
  10. ↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
  11. ↑ Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.
  12. ↑ Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)
  13. ↑ W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)
  14. ↑ G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.
  15. ↑ 15,0 15,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.
  16. ↑ Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414






 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=CRT,_twierdzenia_Lagrange%27a,_Wilsona_i_Fermata,_kryterium_Eulera,_symbole_Legendre%27a_i_Jacobiego&oldid=540”