Różnica pomiędzy stronami "Pomyłki sądowe – mordercy którym pozwolono zabić ponownie" i "Ciągi liczbowe"

Z Henryk Dąbrowski
(Różnica między stronami)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
m (1 wersja)
 
(Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">12.03.2022</div> __FORCETOC__ == Ciągi nieskończone == <span style="font-si...")
 
Linia 1: Linia 1:
−
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">29.05.2015</div>
+
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">12.03.2022</div>
  
 +
__FORCETOC__
  
  
  
−
[[File:StopThem.gif|center]]
+
== Ciągi nieskończone ==
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C1</span><br/>
 +
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli każdej liczbie <math>n</math> przypiszemy pewną liczbę rzeczywistą <math>a_n</math>, to powiemy, że liczby <math>a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math> tworzą ciąg nieskończony.
  
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C2</span><br/>
 +
Ciąg nieskończony <math>a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math> będziemy oznaczać <math>(a_n)</math>. Często, o&nbsp;ile nie będzie prowadziło to do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywać po prostu ciągiem.
  
  
  
−
W&nbsp;artykule ''Porozmawiajmy o&nbsp;argumentach (3)''<ref name="p1"/> rozważaliśmy problem pomyłek sądowych. Interesują nas dwa rodzaje pomyłek:
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C3</span><br/>
 +
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Ciąg <math>(a_n)</math> będziemy nazywali
 +
::* ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \geqslant a_n</math>
 +
::* ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \leqslant a_n</math>
  
 +
Ciągi rosnące dzielimy na
 +
:::* ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} > a_n</math>
 +
:::* ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>
  
−
# Niewinna osoba zostaje przez pomyłkę oskarżona o&nbsp;popełnienie zabójstwa. W&nbsp;uczciwym procesie sądowym nie zostaje wykryta bezpodstawność oskarżenia i&nbsp;sąd wydaje wyrok śmierci, który zostaje WYKONANY.
+
Ciągi malejące dzielimy na
−
# Sąd lub inne właściwe dla danej sytuacji władze traktują zabójcę zbyt łagodnie (niski wyrok, przedterminowe zwolnienie, przepustka, możliwość kontaktu z&nbsp;innymi więźniami, brak właściwego nadzoru). W&nbsp;wyniku takiej pomyłki zabójca
+
:::* ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} < a_n</math>
−
:::* wychodzi na wolność i&nbsp;zabija kolejne niewinne osoby
+
:::* ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>
−
:::* odbywa karę w&nbsp;więzieniu i&nbsp;zabija współwięźniów lub osoby z&nbsp;personelu więziennego
 
−
:::* będąc na wolności lub przebywając w&nbsp;więzieniu zleca zamordowanie świadków
 
  
  
−
W&nbsp;przypadku pierwszej z&nbsp;rozpatrywanych pomyłek istotnym elementem jest to, aby wyrok został wykonany. W&nbsp;przeciwnej sytuacji obecność kary śmierci w&nbsp;kodeksie karnym w&nbsp;niczym nie wpływa na wynik sprawy.
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C4</span><br/>
 +
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Liczbę <math>a</math> będziemy nazywali granicą ciągu <math>(a_n)</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon</math> w&nbsp;przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> znajdują się '''prawie wszystkie wyrazy ciągu''' <math>(a_n)</math> (to znaczy wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością).
  
−
Nie są mi znane pomyłki pierwszego rodzaju, które zdarzyłyby się w&nbsp;ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat. Natomiast istnieje ogromna ilość pomyłek drugiego rodzaju. Pomyłki te są skrzętnie tuszowane, ukrywane i&nbsp;przemilczane przez media oraz przez przeciwników kary śmierci. Podkreślmy to z&nbsp;całą mocą
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C5</span><br/>
 +
1) sens definicji jest taki: jeżeli liczba <math>a</math> jest granicą ciągu <math>(a_n)</math>, to dla dowolnie małego <math>\varepsilon > 0</math>, poza przedziałem <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> może się znaleźć co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu <math>(a_n)</math>
  
 +
2) słabsze żądanie, aby w&nbsp;przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> znajdowała się nieskończona ilość wyrazów ciągu nie prowadzi do poprawnej definicji granicy. Przykładowo, w&nbsp;przedziale <math>(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)</math> znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a_n = (-1)^n</math>, ale ani liczba <math>1</math>, ani liczba <math>- 1</math> nie są granicami tego ciągu. O&nbsp;ciągu <math>a_n = (- 1)^n</math> mówimy, że nie ma granicy.
  
−
<div style="font-size: 150%; font-weight: bold; line-height: 1.5em">Przeciwnikom kary śmierci zupełnie nie przeszkadza, gdy w&nbsp;wyniku pomyłki sądowej, zabójcy mordują niewinne osoby.</div>
+
3) ze względu na równoważność warunków
  
 +
::* <math>\quad a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math>
 +
::* <math>\quad a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon</math>
 +
::* <math>\quad - \varepsilon < a_n - a < \varepsilon</math>
 +
::* <math>\quad | a_n - a | < \varepsilon</math>
  
 +
definicja C4 może być wypowiedziana następująco
  
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C6</span><br/>
 +
Liczbę <math>a</math> będziemy nazywali granicą ciągu <math>(a_n)</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> '''prawie wszystkie wyrazy ciągu''' <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>|a_n - a| < \varepsilon</math>.
  
−
W&nbsp;tym artykule chcemy przedstawić Czytelnikowi pomyłki drugiego rodzaju. Ich ilość wprawia w&nbsp;przerażenie. Aby wykonane przez nas zestawienie było łatwe do odczytania, a&nbsp;jednocześnie niosło jak najwięcej informacji, będziemy chcieli uwzględnić różne sytuacje w&nbsp;jakich doszło do zabójstw. Zauważmy najpierw, że jeśli osoba przebywa na wolności, to może popełnić zabójstwo w&nbsp;czterech sytuacjach
 
  
−
* jest osobą niekaraną
 
−
* jest osobą karaną, która odbyła całą zasądzoną karę więzienia
 
−
* jest osobą karaną i&nbsp;znajduje się na warunkowym przedterminowym zwolnieniu
 
−
* jest osobą karaną i&nbsp;znajduje się na przepustce
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C7</span><br/>
 +
Ciąg <math>(a_n)</math> mający granicę (w rozumieniu definicji C4 lub C6) będziemy nazywali ciągiem zbieżnym, a&nbsp;fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco
  
−
Jeżeli osoba znajduje się w więzieniu, to może popełnić zabójstwo w&nbsp;następujących sytuacjach
+
::<math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;lub&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a_n \longrightarrow a</math>
  
−
* zabijając współwięźnia lub osobę z&nbsp;personelu więziennego
+
(od łacińskiego słowa ''limes'' oznaczającego granicę).
−
* uciekając z&nbsp;więzienia i&nbsp;zabijając osoby poza więzieniem
 
  
  
−
Zauważmy, że niezależnie od wypisanych wyżej sześciu sytuacji morderca może popełnić morderstwo zlecając zabójstwo wskazanych osób. W&nbsp;tym przypadku zarówno morderca jak i&nbsp;ofiara mogą znajdować się w więzieniu lub na wolności.
 
  
 +
Zauważmy jeszcze, że wprost z&nbsp;definicji granicy wynika</br>
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C8</span><br/>
 +
::1. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0</math>
  
−
Pierwszą z&nbsp;wypisanych wyżej sytuacji (przestępca nie był wcześniej karany) NIE oznaczymy żadnym symbolem. Pozostałym wypisanym sytuacjom przypiszemy litery od A do E. Następująca po literze cyfra oznacza ilość zabójstw popełnionych w danej sytuacji. Myślnik rozdziela różne sytuacje. Jeżeli morderstwo było morderstwem "na zlecenie" dodajemy dodatkową literę K. Dla ułatwienia przedstawimy możliwe sytuacje w tabeli.
+
::2. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |</math>
  
−
Uwaga: w poniższej tabeli słowa „zabójca”, „zabił”, „zabił ponownie”, „poprzednie zabójstwo/zabójstwa” odnoszą się również do osób, które zleciły zabójstwo [ang. contract killing].
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1.'''<br/>
 +
Prawdziwość twierdzenia wynika ze względu na identyczność warunków, które muszą spełniać prawie wszystkie wyrazy ciągu
  
 +
::<math>| a_n - a | < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad | (a_n - a) - 0 | < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \big|| a_n - a | - 0 \big| < \varepsilon</math>
  
−
{| class="wikitable"  style="text-align: left; margin: 1em auto 1em auto;"
+
'''Punkt 2.'''<br/>
−
! Litera przed liczbą w kolumnie ''Kategoria''
+
Dla dowolnych liczb <math>x, y \in \mathbb{R}</math> prawdziwa jest nierówność
−
! Znaczenie przed pierwszą liczbą
+
 
−
! Znaczenie przed drugą i&nbsp;kolejnymi liczbami
+
::<math>\big|| x | - | y | \big| \leqslant |x - y|</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_n)</math> spełniona jest nierówność <math>|a_n - a| < \varepsilon</math>, to tym bardziej prawdą jest, że <math>\big|| a_n | - | a |\big| < \varepsilon</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C9 (twierdzenie o&nbsp;trzech ciągach)</span><br/>
 +
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek
 +
 
 +
::<math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>
 +
 
 +
oraz
 +
 
 +
::<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = g</math>
 +
 
 +
to <math>\lim_{n \to \infty} x_n = g</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną, ustaloną liczbą większą od <math>0</math>. Z&nbsp;założenia prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>|a_n - g| < \varepsilon</math>. Możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu <math>N_a</math>. Podobnie prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(b_n)</math> spełniają warunek <math>|b_n - g| < \varepsilon</math> i&nbsp;podobnie możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu <math>N_b</math>
 +
 
 +
Nierówność <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math> jest spełniona dla wszystkich wyrazów, poczynając od <math>N_0</math>, zatem oznaczając przez <math>M</math> największą z&nbsp;liczb <math>N_a</math>, <math>N_b</math>, <math>N_0</math>, możemy napisać, że o&nbsp;ile <math>n > M</math>, to spełnione są jednocześnie nierówności
 +
 
 +
::* <math>\quad g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon\</math>
 +
::* <math>\quad g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon\</math>
 +
::* <math>\quad a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>
 +
 
 +
Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności
 +
 
 +
::<math>g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon</math>
 +
 
 +
Co oznacza, że dla <math>n > M</math> zachodzi
 +
 
 +
::<math>g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon</math>
 +
 
 +
Czyli prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(x_n)</math> spełniają warunek <math>|x_n - g| < \varepsilon</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Bez dowodu podamy kilka ważnych twierdzeń.<br>
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C10*</span><br/>
 +
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
 +
 
 +
::<math>a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \leqslant M</math>
 +
 
 +
to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny.<br/>
 +
'''Inaczej mówiąc: ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony od góry jest zbieżny.'''
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C11*</span><br/>
 +
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
 +
 
 +
::<math>a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \geqslant M</math>
 +
 
 +
to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny.<br/>
 +
'''Inaczej mówiąc: ciąg malejący i&nbsp;ograniczony od dołu jest zbieżny.'''
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C12*</span><br/>
 +
Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty} b_n = b</math>, gdzie <math>a, b</math> są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to
 +
 
 +
# <math>\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b</math>
 +
# <math>\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b</math>
 +
 
 +
Jeżeli dodatkowo dla każdego <math>n</math> jest <math>b_n \neq 0</math> i <math>b \neq 0</math>, to
 +
 
 +
:&nbsp;&nbsp;3. <math>\quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C13</span><br/>
 +
Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(x_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że dla każdej wartości <math>n</math> prawdziwa jest nierówność <math>| x_n | < M</math>, to
 +
 
 +
::<math>\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot a_n) = 0</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną liczbą większą od zera. Chcemy pokazać, że prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>f_n = x_n \cdot a_n</math> spełniają warunek <math>| f_n | < \varepsilon</math>.
 +
 
 +
Z założenia ciąg <math>(a_n)</math> ma granicę równą <math>0</math>, zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>| a_n | < \varepsilon'</math>, gdzie <math>\varepsilon'</math> jest dowolną liczbą większą od zera.
 +
 
 +
Ponieważ <math>M > 0</math> jest pewną stałą, a&nbsp;wartość <math>\varepsilon'</math> możemy wybrać dowolnie, to połóżmy <math>\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{M}</math>. Możemy założyć, że warunek <math>| a_n | < \frac{\varepsilon}{M}</math> spełniają wszystkie wyrazy ciagu <math>(a_n)</math>, dla których <math>n > n_0</math>.
 +
 
 +
Zauważmy teraz, że dla wyrazów ciągu <math>(f_n)</math> o&nbsp;wskaźnikach <math>n > n_0</math> prawdziwe jest oszacowanie
 +
 
 +
::<math>| f_n | = | x_n \cdot  a_n | = | x_n | \cdot | a_n | < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon</math>
 +
 
 +
Zatem warunek <math>| f_n | < \varepsilon</math> jest spełniony dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(f_n)</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \to \infty} f_n = 0</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C14</span><br/>
 +
Dla <math>a \geqslant 0</math> i <math>n \geqslant 1</math> prawdziwa jest nierówność
 +
 
 +
::<math>(1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Wzór jest prawdziwy dla <math>a = 0</math>. Zakładając, że <math>a > 0</math> i&nbsp;korzystając ze wzoru dwumianowego, mamy dla <math>n \geqslant 1</math>
 +
 
 +
::<math>\left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] \geqslant</math>
 +
:::::<math>\;\; \geqslant \sum_{k=0}^{1}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] =</math>
 +
:::::<math>\;\; = 1 + n \cdot \frac{a}{n} =</math>
 +
:::::<math>\;\; = 1 + a</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C15</span><br/>
 +
Jeżeli <math>A > 0</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Dla <math>A > 1</math> możemy napisać <math>A = 1 + a</math>, gdzie <math>a > 0</math>, wtedy z&nbsp;twierdzenia C14 otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>1 < \sqrt[n]{A} = (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach dostajemy natychmiast (dla <math>A > 1</math>)
 +
 
 +
::<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>
 +
 
 +
W przypadku gdy <math>0 < A < 1</math>, możemy napisać <math>A = \frac{1}{B}</math>, gdzie <math>B > 1</math>, wtedy ze względu na udowodniony wyżej rezultat <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{B} = 1</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{B}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{B}} = 1</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>A = 1</math>, to <math>\sqrt[n]{A} = 1</math> dla każdego <math>n \geqslant 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C16</span><br/>
 +
Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>0 < m < a_n < M</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_n)</math> jest
 +
 
 +
::<math>0 < m \leqslant a_n \leqslant M</math>
 +
 
 +
Zatem dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>a_n</math> mamy
 +
 
 +
::<math>\sqrt[n]{m} \leqslant \sqrt[n]{a_n} \leqslant \sqrt[n]{M}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia C15 wiemy, że <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1</math>, zatem na podstawie twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C17</span><br/>
 +
Następujące ciągi są silnie rosnące i&nbsp;zbieżne
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|- style=height:4em
 +
| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e = 2.718281828 \ldots</math>
 +
|- style=height:4em
 +
| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} = 0.367879441 \ldots</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1'''<br/>
 +
W twierdzeniu A6 pokazaliśmy, że ciąg
 +
 
 +
::<math>a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
 +
 
 +
jest silnie rosnący i&nbsp;ograniczony od góry. Zatem z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że jest zbieżny. Liczbę będącą granicą tego ciągu oznaczamy literą <math>e</math>, jest ona podstawą logarytmu naturalnego.
 +
 
 +
'''Punkt 2'''<br/>
 +
Pokażemy najpierw, że ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math> jest silnie rosnący. Musimy pokazać, że prawdziwa jest nierówność
 +
 
 +
::<math>\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} > \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math>
 +
 
 +
Łatwo sprawdzamy prawdziwość nierówności dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz, że <math>n \geqslant 2</math>. Przekształcając,
 +
 
 +
::<math>\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1} > \left( \frac{n - 1}{n} \right)^n</math>
 +
 
 +
::<math>\frac{n}{n + 1} \cdot \left( \frac{n}{n + 1} \right)^n \cdot \left( \frac{n}{n - 1} \right)^n > 1</math>
 +
 
 +
::<math>\left( \frac{n^2}{n^2 - 1} \right)^n > \frac{n + 1}{n}</math>
 +
 
 +
otrzymujemy nierówność równoważną,
 +
 
 +
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > 1 + \frac{1}{n}</math>
 +
 
 +
którą już łatwo udowodnić, bo
 +
 
 +
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \left( \frac{1}{n^2} \right)^k > \sum_{k = 0}^{1} \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^{2k}} = 1 + \frac{1}{n}</math>
 +
 
 +
Ponieważ dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \leqslant 1</math> (bo iloczyn liczb mniejszych od <math>1</math> nie może być liczbą większą do jedności), to z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że ciąg ten jest zbieżny. Zatem możemy napisać
 +
 
 +
::<math>\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = g</math>
 +
 
 +
Rozważmy teraz iloczyn wypisanych w&nbsp;twierdzeniu ciągów
 +
 
 +
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n = \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n}</math>
 +
 
 +
Łatwo widzimy, że ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2}</math> jest podciągiem ciągu <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math>, zatem jest ograniczony i&nbsp;dla <math>n \geqslant 2</math> spełniony jest układ nierówności
 +
 
 +
::<math>0 < \left( \frac{3}{4} \right)^4 \leqslant \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \leqslant 1</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia C16 dostajemy
 +
 
 +
::<math>\lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia C12 p. 2 wynika natychmiast, że
 +
 
 +
::<math>e \cdot g = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \right] = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
 +
 
 +
Zatem <math>g = \frac{1}{e}</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C18</span><br/>
 +
Dla <math>n \geqslant 2</math> prawdziwe są następujące nierówności
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|- style=height:4em
 +
| <math>\quad 1. \quad</math> || <math> \frac{1}{n + 1} < \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}</math>
 +
|- style=height:4em
 +
| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>- \frac{1}{n - 1} < \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - \frac{1}{n}</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Ponieważ ciąg <math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math> jest silnie rosnący, to
 +
 
 +
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e</math>
 +
 
 +
Logarytmując powyższą nierówność, mamy
 +
 
 +
::<math>n \cdot \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < 1</math>
 +
 
 +
Stąd wynika natychmiast, że
 +
 
 +
::<math>\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}</math>
 +
 
 +
 
 +
Ponieważ ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math> również jest silnie rosnący, to postępując analogicznie, dostajemy
 +
 
 +
::<math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n < \frac{1}{e}</math>
 +
 
 +
::<math>n \cdot \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - 1</math>
 +
 
 +
::<math>\log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - \frac{1}{n}</math>
 +
 
 +
 
 +
Przekształcając otrzymane wzory, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>- \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n + 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n + 1} \right) = \log \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) < - \frac{1}{n + 1}</math>
 +
 
 +
oraz
 +
 
 +
::<math>- \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n - 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n - 1} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{n - 1} \right) < \frac{1}{n - 1}</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Liczby pierwsze w&nbsp;ciągach arytmetycznych ==
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C19</span><br/>
 +
Każda liczba naturalna <math>n \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/>
 +
Przypuśćmy, że istnieją liczby naturalne większe od <math>1</math>, które nie są liczbami pierwszymi ani nie są iloczynami liczb pierwszych. Niech <math>m</math> oznacza najmniejszą<ref name="WellOrdering"/> z&nbsp;takich liczb. Z&nbsp;założenia <math>m</math> nie jest liczbą pierwszą, zatem <math>m</math> może być zapisana w&nbsp;postaci <math>m = a \cdot b</math>, gdzie liczby <math>a, b</math> są liczbami naturalnymi mniejszymi od <math>m</math>.
 +
 
 +
Ponieważ <math>m</math> jest najmniejszą liczbą naturalną, która nie jest liczbą pierwszą ani nie jest iloczynem liczb pierwszych, to liczby <math>a</math> i <math>b</math> muszą być liczbami złożonymi, ale jako mniejsze od <math>m</math> są one iloczynami liczb pierwszych, zatem i&nbsp;liczba <math>m</math> musi być iloczynem liczb pierwszych.
 +
 
 +
Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie jest fałszywe.
 +
 
 +
 
 +
<span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/>
 +
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest oczywiście prawdziwe dla <math>n = 2</math>.
 +
Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla '''wszystkich''' liczb naturalnych <math>k \in [2, n]</math>, dla liczby <math>n + 1</math> mamy dwie możliwości
 +
 
 +
* <math>n + 1</math> jest liczbą pierwszą (wtedy twierdzenie jest prawdziwe w&nbsp;sposób oczywisty)
 +
* <math>n + 1</math> jest liczbą złożoną wtedy, <math>n + 1 = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < n + 1</math>; zatem na podstawie założenia indukcyjnego liczby <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami pierwszymi lub iloczynami liczb pierwszych, czyli <math>n + 1 = a b</math> jest iloczynem liczb pierwszych.
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C20 (Euklides, IV w. p.n.e.)</span><br/>
 +
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> . Wtedy liczba <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1</math> jest większa od jedności i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia C19 wynika, że posiada dzielnik będący liczbą pierwszą, ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>a</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>p</math> będąca dzielnikiem pierwszym liczby <math>a</math> i&nbsp;różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C21</span><br/>
 +
Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>4 k + 3</math><ref name="LiczbaJestPostaci"/>, to ma dzielnik postaci <math>4 k + 3</math> będący liczbą pierwszą.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy zatem sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;założenia <math>n</math> jest liczbą nieparzystą, zatem możliwe są trzy typy iloczynów
 +
 
 +
::<math>(4 a + 1) (4 b + 1) = 16 a b + 4 a + 4 b + 1 = 4 (4 a b + a + b) + 1</math>
 +
 
 +
::<math>(4 a + 1) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 4 b + 3 = 4 (4 a b + 3 a + b) + 3</math>
 +
 
 +
::<math>(4 a + 3) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 12 b + 9 = 4 (4 a b + 3 a + 3 b + 2) + 1</math>
 +
 
 +
Widzimy, że liczba złożona postaci <math>4 k + 3</math> jest iloczynem liczb postaci <math>4 k + 1</math> i <math>4 k + 3</math>. Wynika stąd natychmiast, że liczba złożona postaci <math>4 k + 3</math> posiada dzielnik postaci <math>4 k + 3</math>. Niech <math>q</math> oznacza najmniejszy dzielnik liczby <math>n</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Pokażemy, że <math>q</math> jest liczbą pierwszą. Istotnie, gdyby <math>q</math> była liczbą złożoną, to miałaby dzielnik <math>d</math> postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;byłoby <math>d < q</math>, wbrew założeniu, że <math>q</math> jest najmniejszym dzielnikiem liczby <math>n</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C22</span><br/>
 +
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>. Niech będą to liczby <math>p_1, \ldots, p_s</math>. Liczba
 +
 
 +
::<math>M = 4 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 4 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 3</math>
 +
 
 +
jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C21, ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Ale jak łatwo zauważyć, żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C23</span><br/>
 +
Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>6 k + 5</math>, to ma dzielnik postaci <math>6 k + 5</math> będący liczbą pierwszą.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;twierdzenia C19 wiemy, że w&nbsp;tym przypadku liczba <math>n</math> będzie iloczynem liczb pierwszych. Zauważmy, że nieparzyste liczby pierwsze mogą być jedynie postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math> (liczba <math>6 k + 3</math> jest liczbą złożoną). Ponieważ iloczyn liczb postaci <math>6 k + 1</math>
 +
 
 +
::<math>(6 a + 1) (6 b + 1) = 36 a b + 6 a + 6 b + 1 = 6 (6 a b + a + b) + 1</math>
 +
 
 +
jest liczbą postaci <math>6 k + 1</math>, to w&nbsp;rozkładzie liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze musi pojawić się przynajmniej jeden czynnik postaci <math>6 k + 5</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C24</span><br/>
 +
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>. Niech będą to liczby <math>p_1, \ldots, p_s</math>. Liczba
 +
 
 +
::<math>M = 6 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 6 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 5</math>
 +
 
 +
jest postaci <math>6 k + 5</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C23 ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math>. Ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C25</span><br/>
 +
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>3 k + 2</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Jeżeli <math>k = 2 j</math> jest liczbą parzystą, to otrzymujemy ciąg liczb parzystych
 +
 
 +
::<math>3 k + 2 = 6 j + 2</math>
 +
 
 +
w którym jedynie liczba <math>2</math> jest liczbą pierwszą (dla <math>j = 0</math>).
 +
 
 +
Jeżeli <math>k = 2 j + 1</math> jest liczbą nieparzystą, to otrzymujemy ciąg liczb nieparzystych
 +
 
 +
::<math>3 k + 2 = 3 (2 j + 1) + 2 = 6 j + 5</math>
 +
 
 +
o którym wiemy, że zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (zobacz twierdzenie C24). Zatem w&nbsp;ciągu arytmetycznym postaci <math>3 k + 2</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C26</span><br/>
 +
Zauważmy, że liczby postaci <math>2 k + 1</math> to wszystkie liczby nieparzyste dodatnie. Ponieważ wszystkie liczby pierwsze (poza liczbą <math>2</math>) są liczbami nieparzystymi, to wśród liczb postaci <math>2 k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
 +
 
 +
Wszystkie omówione wyżej przypadki ciągów arytmetycznych: <math>2 k + 1</math>, <math>3 k + 2</math>, <math>4 k + 3</math> i <math>6 k + 5</math>, w&nbsp;których występuje nieskończona ilość liczb pierwszych są szczególnymi przypadkami udowodnionego w 1837 roku twierdzenia<br/>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C27* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C28</span><br/>
 +
Dowód twierdzenia Dirichleta jest bardzo trudny. Natomiast bardzo łatwo można pokazać, że dowolny ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math> zawiera nieskończenie wiele liczb złożonych. Istotnie, jeżeli liczby <math>a, b</math> nie są względnie pierwsze, to wszystkie wyrazy ciągu są liczbami złożonymi. Jeżeli <math>a, b</math> są względnie pierwsze i <math>b > 1</math>, to wystarczy przyjąć <math>k = b t</math>. Jeżeli są względnie pierwsze i <math>b = 1</math>, to wystarczy przyjąć <math>k = a t^2 + 2 t</math>, wtedy
 +
 
 +
::<math>a k + 1 = a^2 t^2 + 2 a t + 1 = (a t + 1)^2</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C29</span><br/>
 +
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi 99, przykładowo 199, 499, 599, 1399, 1499, ...
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Wszystkie liczby naturalne zakończone cyframi <math>99</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>a_n = 100 k + 99</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{N}</math>. Ponieważ ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem arytmetycznym, a&nbsp;liczby <math>99</math> i <math>100</math> są względnie pierwsze, to na podstawie twierdzenia Dirichleta stwierdzamy, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi <math>99</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C30</span><br/>
 +
Niech <math>a \geqslant 2</math> będzie liczbą całkowitą. Wartość funkcji <math>\pi(n; a, b)</math> jest równa ilości liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, które przy dzieleniu przez <math>a</math> dają resztę <math>b</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C31</span><br/>
 +
Zauważmy, że w&nbsp;twierdzeniu Dirichleta na liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> nałożone są minimalne warunki: <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Sytuacja w&nbsp;przypadku funkcji <math>\pi (n ; a, b)</math> jest odmienna – tutaj mamy <math>a \geqslant 2</math> oraz <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jest tak dlatego, że podział liczb pierwszych, który odzwierciedla funkcja <math>\pi (n ; a, b)</math> jest podziałem pierwotnym, a&nbsp;twierdzenie Dirichleta jest tylko jego uzasadnieniem. Podział
 +
liczb pierwszych musi być też precyzyjnie określony, tak aby zachodził naturalny związek
 +
 
 +
::<math>\sum_{b = 0}^{a - 1} \pi (n ; a, b) = \pi (n)</math>
 +
 
 +
Oczywiście nie przeszkadza to w&nbsp;liczeniu liczb pierwszych w&nbsp;dowolnym ciągu arytmetycznym. Niech na przykład
 +
 
 +
::<math>u_k = 7 k + 101 = 7 (k + 14) + 3 \qquad</math> gdzie <math>k = 0, 1, \ldots</math>
 +
 
 +
Ilość liczb pierwszych w&nbsp;ciagu <math>(u_k)</math> jest równa
 +
 
 +
::<math>\pi (n ; 7, 3) - \pi (7 \cdot 13 + 3 ; 7, 3) = \pi (n ; 7, 3) - 5</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C32</span><br/>
 +
Pokazać, że dla dowolnej liczby całkowitej <math>m \geqslant 1</math>
 +
 
 +
* wśród liczb naturalnych zawsze można wskazać <math>m</math> kolejnych liczb, które są złożone
 +
* w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zawsze można wskazać <math>m</math> kolejnych wyrazów, które są złożone
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
'''Punkt 1.'''<br/>
 +
W przypadku liczb naturalnych, łatwo widzimy, że kolejne liczby
 +
 
 +
::<math>(m + 1) ! + 2, \quad (m + 1) ! + 3, \quad \ldots, \quad (m + 1) ! + (m + 1)</math>
 +
 
 +
są liczbami złożonymi. Co oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>m</math> zawsze możemy wskazać taką liczbę <math>n</math>, że <math>p_{n + 1} - p_n > m</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''<br/>
 +
W przypadku ciągu arytmetycznego <math>u_k = a k + b</math> rozważmy kolejne wyrazy ciągu począwszy od wskaźnika
 +
 
 +
::<math>k_0 = \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b)</math>
 +
 
 +
Łatwo zauważamy, że dla <math>k = k_0, k_0 + 1, \ldots, k_0 + (m - 1)</math> wyrazy ciągu arytmetycznego <math>u_k = a k + b</math> są liczbami złożonymi. Istotnie, niech <math>t = 0, 1, \ldots, m - 1</math> wtedy
 +
 
 +
::<math>u_k = a k + b =</math>
 +
 
 +
:::<math>\! = a (k_0 + t) + b =</math>
 +
 
 +
:::<math>\! = a k_0 + (a t + b) =</math>
 +
 
 +
:::<math>\! = a \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b) + (a t + b)</math>
 +
 
 +
i liczba <math>a t + b</math> dzieli iloczyn <math>\prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b)</math> dla <math>t = 0, \ldots, m - 1</math>. Co należało pokazać.
 +
 
 +
Wiemy, że jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech będą to liczby <math>q_1, q_2, \ldots, q_r, \ldots</math>. Uzyskany rezultat oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>m</math> zawsze możemy wskazać taką liczbę <math>n</math>, że <math>q_{n + 1} - q_n \geqslant a (m + 1)</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C33</span><br/>
 +
Rozważmy ciąg arytmetyczny <math>u_k = 3 k + 2</math> i&nbsp;wskaźnik
 +
 
 +
::<math>k_0 = \prod^{12}_{j = 0} (3 j + 2) = 3091650738176000</math>
 +
 
 +
Trzynaście wyrazów tego szeregu dla <math>k = k_0 + t</math>, gdzie <math>t = 0, 1, \ldots, 12</math> to oczywiście liczby złożone, ale wyrazy dla <math>k = k_0 - 1</math> i <math>k = k_0 + 13</math> są liczbami pierwszymi.
 +
 
 +
Przeszukując ciąg <math>u_k = 3 k + 2</math> możemy łatwo znaleźć, że pierwsze trzynaście kolejnych wyrazów złożonych pojawia się już dla <math>k = 370, 371, \ldots, 382</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C34</span><br/>
 +
Jeżeli <math>n \geqslant 3</math>, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (n)</math> liczb pierwszych.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Warunek <math>n \geqslant 3</math> nie wynika z&nbsp;potrzeb dowodu, a&nbsp;jedynie pomija sytuacje nietypowe, których twierdzenie nie obejmuje. Zawsze istnieje jedna liczba naturalna, która jest liczbą pierwszą i&nbsp;łatwo możemy wskazać dwie kolejne liczby naturalne będące liczbami pierwszymi.
 +
 
 +
Niech <math>k \in \mathbb{N}</math>. Wartość funkcji
 +
 
 +
::<math>Q(k, n) = \pi (k + n) - \pi (k)</math>
 +
 
 +
jest równa ilości liczb pierwszych wśród <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych od liczby <math>k + 1</math> do liczby <math>k + n</math>.
 +
 
 +
Uwzględniając, że wypisane niżej wyrażenia w&nbsp;nawiasach kwadratowych mogą przyjmować jedynie dwie wartości <math>0</math> lub <math>1</math>, dostajemy
 +
 
 +
:* <math>\biggl| Q (k + 1, n) - Q (k, n) \biggr| = \biggl| \bigl[\pi (k + n + 1) - \pi (k + n) \bigr] - \bigl[\pi (k + 1) - \pi (k) \bigr] \biggr| \leqslant 1</math>
 +
 
 +
Ponadto mamy
 +
 
 +
:* <math>Q(0, n) = \pi (n) \qquad</math> bo <math>\pi (0) = 0</math>
 +
:* <math>Q((n + 1) ! + 1, n) = 0 \qquad</math> bo liczby <math>(n + 1) ! + 2, \ldots, (n + 1) ! + (n + 1)</math> są liczbami złożonymi
 +
 
 +
Ponieważ wartości funkcji <math>Q(k, n)</math> mogą zmieniać się tylko o <math>- 1</math>, <math>0</math> lub <math>1</math>, to <math>Q(k, n)</math> musi przyjmować '''wszystkie''' wartości całkowite od <math>0</math> do <math>\pi (n)</math>. Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>k_r</math>, że <math>Q(k_r, n) = r</math>, gdzie <math>0 \leqslant r \leqslant \pi (n)</math>.
 +
 
 +
 
 +
::[[File: C_Q10.png|none]]
 +
 
 +
Fragment wykresu funkcji <math>Q(k, 10)</math>. Widzimy, że dla <math>k = 113</math> po raz pierwszy mamy <math>Q(k, 10) = 0</math>, a&nbsp;funkcja <math>Q(k, 10)</math> przyjmuje wszystkie wartości całkowite od <math>0</math> do <math>5</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C35</span><br/>
 +
Czytelnik może łatwo sprawdzić, że ciąg <math>( 1308, \ldots, 1407 )</math> stu kolejnych liczb całkowitych zawiera dokładnie <math>8</math> liczb pierwszych.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C36</span><br/>
 +
Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C34, że istnieje <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych
 +
 
 +
::<math>1001! + 2, 1001! + 3, \ldots, 1001! + 1001</math>
 +
 
 +
nie zawiera żadnej liczby pierwszej. Wielokrotnie zmniejszając wszystkie wypisane wyżej liczby o&nbsp;jeden, aż do chwili, gdy pierwsza z&nbsp;wypisanych liczb będzie liczbą pierwszą uzyskamy <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
 +
 
 +
Uwaga: dopiero liczba <math>1001! - 1733</math> jest pierwsza.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C37</span><br/>
 +
Pokazać, że istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Rozwiązywanie zadania rozpoczniemy od dwóch spostrzeżeń
 +
 
 +
:* wśród pierwszych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> jest <math>13</math> liczb pierwszych
 +
:* w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych (zobacz zadanie C32), zatem istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej
 +
 
 +
Pierwsze spostrzeżenie pokazuje, że rozwiązanie problemu jest potencjalnie możliwe. Rozwiązanie mogłoby nie istnieć, gdybyśmy szukali <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> wśród których jest, powiedzmy, <math>15</math> liczb pierwszych.
 +
 
 +
Drugie spostrzeżenie mówi nam, że ilość liczb pierwszych wśród kolejnych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> zmienia się od <math>13</math> do <math>0</math>. Analiza przebiegu tych zmian jest kluczem do dowodu twierdzenia.
 +
 
 +
 
 +
Zbadajmy zatem, jak zmienia się ilość liczb pierwszych wśród kolejnych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>. Rozważmy ciąg <math>a_k = 6 k + 1</math>, gdzie <math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>
 +
 
 +
<math>(a_k) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127}, 133, \mathbf{139}, 145, \mathbf{151}, \mathbf{157}, \mathbf{163}, 169, 175, \mathbf{181}, 187, \mathbf{193}, \mathbf{199}, 205, \mathbf{211}, \ldots)</math>
 +
 
 +
Liczby pierwsze zostały pogrubione.
 +
 
 +
 
 +
Niech <math>(B^n)</math> będzie fragmentem ciągu <math>(a_k)</math> rozpoczynającym się od <math>n</math>-tego wyrazu ciągu i&nbsp;złożonym z <math>20</math> kolejnych wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>. Przykładowo mamy
 +
 
 +
<math>(B^1) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115 )</math>
 +
 
 +
<math>(B^2) = ( \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121 )</math>
 +
 
 +
<math>(B^3) = ( \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127} )</math>
 +
 
 +
 
 +
Musimy zrozumieć, jak przejście od ciągu <math>(B^n)</math> do ciągu <math>(B^{n + 1})</math>
 +
wpływa na ilość liczb pierwszych w&nbsp;tych ciągach.
 +
 
 +
* jeżeli najmniejszy wyraz ciągu <math>(B^n)</math> jest liczbą złożoną, to po przejściu do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych w&nbsp;tym ciągu w&nbsp;stosunku do ilości liczb pierwszych w&nbsp;ciągu <math>(B^n)</math> może
 +
** pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą złożoną)
 +
** zwiększyć się o&nbsp;jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą pierwszą)
 +
 
 +
* jeżeli najmniejszy wyraz ciągu <math>(B^n)</math> jest liczbą pierwszą, to po przejściu do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych w&nbsp;tym ciągu w&nbsp;stosunku do ilości liczb pierwszych w&nbsp;ciągu <math>(B^n)</math> może
 +
** zmniejszyć się o&nbsp;jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą złożoną)
 +
** pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą pierwszą)
 +
 
 +
 
 +
Wynika stąd, że przechodząc od ciągu <math>(B^n)</math> do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych może się zmienić o <math>- 1</math>, <math>0</math> lub <math>1</math>. Z&nbsp;drugiego ze spostrzeżeń uczynionych na początku dowodu wynika istnienie takiej liczby <math>r</math>, że wśród ciągów
 +
 
 +
::<math>(B^1), (B^2), \ldots, (B^r)</math>
 +
 
 +
ilość liczb pierwszych będzie przyjmowała '''wszystkie''' możliwe wartości od liczby <math>13</math> do liczby <math>0</math>. Co zapewnia istnienie takich <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, że wśród nich jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C38</span><br/>
 +
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a \geqslant 2</math> i <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> są względnie pierwsze, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb postaci <math>a k + b</math>, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (a (n - 1) + b ; a, b)</math> liczb pierwszych.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Twierdzenie można udowodnić uogólniając dowód twierdzenia C34 lub wykorzystując metodę zastosowaną w&nbsp;rozwiązaniu zadania C37.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C39</span><br/>
 +
Niech <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> występują kwadraty wszystkich liczb pierwszych <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste <math>p \geqslant 5</math> mogą być postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math>. Ponieważ
 +
 
 +
::<math>(6 k + 1)^2 = 6 (6 k^2 + 2 k) + 1</math>
 +
 
 +
::<math>(6 k + 5)^2 = 6 (6 k^2 + 10 k + 4) + 1</math>
 +
 
 +
zatem kwadraty liczb pierwszych są postaci <math>6 k + 1</math> i&nbsp;nie mogą występować w&nbsp;ciągu postaci <math>6 k + 5</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C40</span><br/>
 +
Dany jest ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze. Pokazać, że
 +
 
 +
* jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a</math>, to żaden wyraz ciągu <math>a k + b</math> nie jest podzielny przez <math>p</math>
 +
* jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> nie dzieli <math>a</math>, to istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a k + b</math>, które są podzielne przez <math>p</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
'''Punkt 1.'''<br/>
 +
Zauważmy, że liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem liczba pierwsza <math>p</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>a</math> i <math>b</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p|a</math>, to wynika stąd, że <math>p</math> nie dzieli <math>b</math>. Jeśli tak, to
 +
 
 +
::<math>a k + b = (n p) k + b</math>
 +
 
 +
i <math>p</math> nie dzieli żadnej liczby postaci <math>a k + b</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''<br/>
 +
<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/>
 +
Niech <math>k_0 \in \mathbb{N}</math>. Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych <math>i, j</math> takich, że <math>1 \leqslant i < j \leqslant p</math> liczby <math>a(k_0 + i) + b</math> oraz <math>a(k_0 + j) + b</math> dają tę samą resztę przy dzieleniu przez liczbę pierwszą <math>p</math>. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez <math>p</math>
 +
 
 +
::<math>p| [a (k_0 + j) + b] - [a (k_0 + i) + b]</math>
 +
 
 +
czyli
 +
 
 +
::<math>p|a (j - i)</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>p \nmid a</math> to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70), mamy
 +
 
 +
::<math>p| (j - i)</math>
 +
 
 +
co jest niemożliwe, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant p - 1 < p</math>.
 +
 
 +
Zatem reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> są wszystkie różne, a&nbsp;ponieważ jest ich <math>p</math>, czyli tyle ile jest różnych reszt z&nbsp;dzielenia przez liczbę <math>p</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>p</math>, czyli ze zbiorem <math>S = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że wśród <math>p</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jeden z&nbsp;tych wyrazów jest podzielny przez <math>p</math>. Zatem istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a k + b</math>, które są podzielne przez <math>p</math>.
 +
 
 +
 
 +
<span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/>
 +
Problem sprowadza się do wykazania istnienia nieskończenie wielu par liczb naturalnych <math>(k, n)</math>, takich że
 +
 
 +
::<math>a k + b = n p</math>
 +
 
 +
Co z&nbsp;kolei sprowadza się do badania rozwiązań całkowitych równania
 +
 
 +
::<math>n p - a k = b</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Na mocy twierdzenia C73 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
 +
 
 +
::<math>n = n_0 + p t</math>
 +
::<math>k = k_0 + a t</math>
 +
 
 +
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą, a&nbsp;para liczb <math>(n_0, k_0)</math> jest dowolnym rozwiązaniem tego równania. Widzimy, że dla dostatecznie dużych liczb <math>t</math> zawsze możemy uzyskać takie <math>n</math> i <math>k</math>, że <math>n, k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazaliśmy w&nbsp;ten sposób, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
 +
 
 +
 
 +
<span style="border-bottom-style: double;">Trzeci sposób</span><br/><br/>
 +
Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Lemat Bézouta zapewnia istnienie takich liczb całkowitych <math>x</math> i <math>y</math>, że
 +
 
 +
::<math>a x + p y = 1</math>
 +
 
 +
Niech <math>k_0 = r p - b x</math>, gdzie <math>r</math> jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, ale na tyle dużą, aby <math>k_0</math> była liczbą dodatnią bez względu na znak iloczynu <math>b x</math>. Łatwo sprawdzamy, że liczba <math>a k_0 + b</math> jest podzielna przez <math>p</math>
 +
 
 +
::<math>a k_0 + b = a (r p - b x) + b =</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\; = a r p - a b x + b =</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\; = a r p + b (1 - a x) =</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\; = a r p + b p y =</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\; = p (a r + b y)</math>
 +
 
 +
Zatem w&nbsp;ciągu <math>a k + b</math> istnieje przynajmniej jeden wyraz podzielny przez liczbę pierwszą <math>p</math>. Jeśli tak, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez <math>p</math>, bo dla <math>k = k_0 + s p</math>, gdzie <math>s \in \mathbb{N}</math>, mamy
 +
 
 +
::<math>a k + b = a (k_0 + s p) + b = a s p + (a k_0 + b)</math>
 +
 
 +
Czyli <math>p|a k + b</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C41</span><br/>
 +
Łatwo możemy napisać w&nbsp;PARI/GP funkcję, która zwraca najmniejszą liczbę naturalną <math>k_0</math>, dla której wyraz ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jest podzielny przez <math>p</math> (przy założeniu, że liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze).
 +
 
 +
f(a,b,p) = lift( Mod(-b,p)*Mod(a,p)^(-1) )
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Ciągi nieskończone i&nbsp;liczby pierwsze ==
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C42</span><br/>
 +
Choć wiele ciągów jest dobrze znanych i&nbsp;równie dobrze zbadanych, to nie wiemy, czy zawierają one nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przykładowo
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
| <math>\quad 1. \quad</math>
 +
| <math>a_n = n^2 + 1</math>
 +
| [https://oeis.org/A002496 A002496]
 +
|-
 +
| <math>\quad 2. \quad</math>
 +
| <math>b_n = n^2 - n - 1</math>
 +
| [https://oeis.org/A002327 A002327]
 +
|-
 +
| <math>\quad 3. \quad</math>
 +
| <math>c_n = n^2 + n + 1</math>
 +
| [https://oeis.org/A002383 A002383]
 
|-
 
|-
−
| style="text-align: center" | ''brak litery''
+
| <math>\quad 4. \quad</math>
−
| Zabójca nie był karany przed popełnieniem pierwszego zabójstwa lub (najczęściej) oznacza brak danych o&nbsp;przestępstwach i&nbsp;wyrokach w&nbsp;okresie przed popełnieniem pierwszego zabójstwa.
+
| <math>d_n = n^4 + 1</math>
−
|
+
| [https://oeis.org/A000068 A000068]
 
|-
 
|-
−
| style="text-align: center" | A
+
| <math>\quad 5. \quad</math>
−
| Zabójca był karany przed popełnieniem pierwszego zabójstwa. Pierwsze zabójstwo popełnił po całkowitym odbyciu kary za ostanie przestępstwo/przestępstwa.
+
| <math>u_n = n! + 1</math>
−
| Zabił ponownie po całkowitym odbyciu kary za poprzednie zabójstwo/zabójstwa.
+
| [https://oeis.org/A002981 A002981]
 
|-
 
|-
−
| style="text-align: center" | B
+
| <math>\quad 6. \quad</math>
−
| Zabójca był karany przed popełnieniem pierwszego zabójstwa. Pierwsze zabójstwo popełnił podczas warunkowego przedterminowego zwolnienia<sup>(*)</sup>.
+
| <math>v_n = n! - 1</math>
−
| Zabił ponownie po otrzymaniu warunkowego przedterminowego zwolnienia<sup>(*)</sup> udzielonego mu, kiedy odbywał karę za poprzednie zabójstwo/zabójstwa.
+
| [https://oeis.org/A002982 A002982]
 
|-
 
|-
−
| style="text-align: center" | C
+
| <math>\quad 7. \quad</math>
−
| Zabójca był karany przed popełnieniem pierwszego zabójstwa. Pierwsze zabójstwo popełnił podczas pobytu na przepustce<sup>(**)</sup>.
+
| <math>M_n = 2^n - 1</math> (liczby Mersenne'a)
−
| Zabił ponownie w czasie przepustki<sup>(**)</sup> udzielonej mu, kiedy odbywał karę za poprzednie zabójstwo/zabójstwa.
+
| [https://oeis.org/A000043 A000043]
 
|-
 
|-
−
| style="text-align: center" | D
+
| <math>\quad 8. \quad</math>
−
| Zabójca był karany przed popełnieniem pierwszego zabójstwa i&nbsp;znajdował się w&nbsp;więzieniu<sup>(x)</sup>. Pierwsze zabójstwo popełnił w&nbsp;więzieniu<sup>(x)</sup>.
+
| <math>F_n = 2^{2^n} + 1</math> (liczby Fermata)
−
| Zabił ponownie w więzieniu<sup>(x)</sup>, gdzie odbywał karę za poprzednie zabójstwo/zabójstwa.
+
| [https://oeis.org/A019434 A019434]
 
|-
 
|-
−
| style="text-align: center" | E
+
| <math>\quad 9. \quad</math>
−
| Zabójca był karany przed popełnieniem pierwszego zabójstwa i&nbsp;znajdował się&nbsp;w więzieniu<sup>(x)</sup>. Pierwsze zabójstwo popełnił po ucieczce<sup>(z)</sup> z&nbsp;więzienia<sup>(x)</sup>.
+
| <math>F_n (a) = a^{2^n} + 1</math> (uogólnione liczby Fermata, <math>a</math> parzyste)
−
| Zabił ponownie po ucieczce<sup>(z)</sup> z&nbsp;więzienia<sup>(x)</sup>, gdzie odbywał karę za poprzednie zabójstwo/zabójstwa.
+
| [https://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFermatNumber.html MathWorld]
 
|}
 
|}
  
 +
Nie wiemy, czy istnieje wielomian całkowity <math>W(n)</math> stopnia większego niż jeden taki, że <math>W(n)</math> jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu liczb <math>n</math>.
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C43</span><br/>
 +
Łatwo sprawdzić, że wartości wielomianu <math>W(n) = n^2 + n + 41</math> są liczbami pierwszymi dla <math>1 \leqslant n \leqslant 39</math>. Oczywiście <math>41 | W(41)</math>.
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C44</span><br/>
 +
Niech <math>a, n</math> będą liczbami całkowitymi takimi, że <math>a \geqslant 2</math> i <math>n \geqslant 1</math>. Jeżeli liczba <math>a^n + 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a</math> jest liczbą parzystą i <math>n = 2^m</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Gdyby liczba <math>a</math> była nieparzysta, to <math>a^n + 1 \geqslant 4</math> byłoby parzyste i&nbsp;nie mogłoby być liczbą pierwszą.
 +
 +
Niech teraz wykładnik <math>n = x y</math> będzie liczbą złożoną, zaś <math>x</math> będzie liczbą nieparzystą. Wtedy
 +
 +
::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1</math>
 +
 +
Oznaczając <math>b = a^y</math> oraz <math>x = 2 k + 1</math> mamy
 +
 +
::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1 =</math>
 +
 +
::::<math>\: = b^x + 1 =</math>
 +
 +
::::<math>\: = b^{2 k + 1} + 1 =</math>
 +
 +
::::<math>\: = (b + 1) \cdot (b^{2 k} - b^{2 k - 1} + \ldots - b^3 + b^2 - b + 1)</math>
 +
 +
Wynika stąd, że w&nbsp;takim przypadku <math>a^n + 1</math> jest liczbą złożoną. Zatem wykładnik <math>n</math> nie może zawierać czynników nieparzystych, czyli musi być <math>n = 2^m</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C45</span><br/>
 +
Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 1</math> liczba <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>, bo <math>x - y</math> dzieli <math>x^1 - y^1</math>. Załóżmy, że <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>, czyli <math>x^n - y^n = (x - y) \cdot k</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
 +
 +
::<math>x^{n + 1} - y^{n + 1} = x x^n - y x^n + y x^n - y y^n =</math>
  
−
(*) - Mamy tutaj na myśli wszelkie decyzje, które po wydanym wyroku przerywają odbywanie kary na z&nbsp;założenia długi i&nbsp;zależny od zwolnionego więźnia okres czasu. Zatem będą to: zwolnienie w wyniku apelacji, ułaskawienie, warunkowe przedterminowe zwolnienie, zastosowanie aresztu domowego, areszt ochronny itd. [w języku angielskim: parole, conditional release, early release, conditional early release, conditional discharge, home arrest, protective custody]. Dotyczy to również zwolnień z&nbsp;psychiatrycznych zakładów zamkniętych.
+
:::::<math>\quad \, = (x - y) x^n + y (x^n - y^n) =</math>
  
−
(**) - Mamy tutaj na myśli wszelkie decyzje, które po wydanym wyroku przerywają odbywanie kary na z&nbsp;założenia krótki i&nbsp;niezależny od zwolnionego więźnia okres czasu, czyli również urlop [ang. pass, furlough]
+
:::::<math>\quad \, = (x - y) x^n + y (x - y) \cdot k =</math>
  
−
(x) - Mamy na myśli wiezienie, areszt, zakład poprawczy lub zakład psychiatryczny, a&nbsp;w&nbsp;ogólności dowolne wyznaczone przez właściwe władze miejsce obowiązkowego przebywania.
+
:::::<math>\quad \, = (x - y) (x^n + y \cdot k)</math>
  
−
(z) - Mamy tutaj na myśli wszelkie działania więźnia prowadzące do opuszczenia przez niego obszaru, w&nbsp;którym z&nbsp;polecenia właściwych władz obowiązany był przebywać.
+
Czyli <math>x - y</math> jest dzielnikiem <math>x^{n + 1} - y^{n + 1}</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C46</span><br/>
 +
Jeżeli <math>n \geqslant 2</math> oraz <math>a^n - 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a = 2</math> i <math>n</math> jest liczbą pierwszą.
  
−
'''Przykłady oznaczeń:'''
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z twierdzenia C45 wiemy, że <math>x - y | x^n - y^n</math>. W&nbsp;przypadku gdy <math>a > 2</math> mamy
  
−
1-A2 – Zabójca zamordował jedną osobę. Sąd skazał go na 15 lat więzienia. Zabójca wyszedł z&nbsp;więzienia po 15 latach (po odbyciu całej kary) i&nbsp;zabił kolejne dwie osoby.
+
::<math>a - 1 | a^n - 1</math>
  
−
A2-B1 – Przestępca poprzednio karany za próbę zabójstwa. Karę odbył w całości. Po wyjściu z więzienia zamordował dwie osoby. Sąd skazał go na karę dożywotniego więzienia. Po 10 latach uznano, że może zostać warunkowo zwolniony. Po opuszczeniu więzienia zabójca zabił kolejną osobę.
+
Czyli musi być <math>a = 2</math>. Z&nbsp;tego samego twierdzenia wynika też, że jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną <math>n = r s</math>, to
  
−
1-C1 – Zabójca zamordował jedną osobę. Sąd skazał go na 25 lat więzienia. W&nbsp;czasie odbywania kary uzyskał przepustkę dla załatwienia spraw osobistych. Będąc na przepustce zabił kolejną osobę.
+
::<math>2^r - 1 | 2^{r s} - 1</math>
  
−
3-D1 – Zabójca zamordował trzy osoby. Sąd skazał go na karę dożywotniego więzienia. W&nbsp;czasie odbywania kary zamordował współwięźnia (lub osobę z&nbsp;personelu więziennego).
+
bo <math>a^r - b^r | (a^r)^s - (b^r)^s</math>. Zatem <math>n</math> musi być liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
D1-D1 – Przestępca został skazany za gwałt i&nbsp;w&nbsp;czasie odbywania kary zamordował współwięźnia. Sąd skazał zabójcę na karę dożywotniego więzienia. Po przeniesieniu do więzienia o&nbsp;zwiększonych środkach bezpieczeństwa zabójca zabija kolejnego więźnia (lub osobę z&nbsp;personelu więziennego).
 
  
−
1-E1 – Zabójca zamordował jedną osobę. Sąd skazał go na 50 lat więzienia. W&nbsp;czasie odbywania kary uciekł z więzienia. Uciekając przed pościgiem włamał się do przypadkowego domu i&nbsp;zabił właściciela.
 
  
−
K1-DK3 – Zabójca wydał polecenia zamordowania jednej osoby. Sąd skazał go za zlecenia zabójstwa na 60 lat więzienia. Będąc w więzieniu zabójca zlecił pozostającym na wolności wspólnikom zamordowanie trzech świadków i&nbsp;osoby te zostały zamordowane.
 
  
  
  
 +
== Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych ==
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C47</span><br/>
 +
Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych<ref name="PAPWiki"/><ref name="PAPMathWorld"/> zbudowane z&nbsp;dwóch liczb pierwszych nie są interesujące, bo dowolne dwie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Dlatego będziemy się zajmowali ciągami arytmetycznymi liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>.
  
−
Korzystając głównie z danych dostępnych na stronie http://murderpedia.org sporządziłem zamieszczoną niżej tabelę. W&nbsp;kolumnie '''''Rok''''' podajemy rok pierwszego zabójstwa. W&nbsp;kolumnie '''''Informacje''''' podajemy informacje o&nbsp;kolejnych zabójstwach (tylko w przypadku Polski) i&nbsp;linki do stron internetowych, gdzie znajduje się dokładniejszy opis każdego przypadku. Czytelnik powinien pamiętać, że każda liczba w kolumnie '''''Kategoria''''' (poza pierwszą liczbą) oznacza niewinne ofiary pomyłki sądowej. Ilość tych ofiar przeraża – taka jest prawdziwa cena jaką społeczeństwo płaci za łagodne wyroki, wygodne cele i&nbsp;fikcję resocjalizacji.
+
Ponieważ nie da się zbudować ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>, w&nbsp;którym pierwszym wyrazem jest liczba <math>p_0 = 2</math>, to będą nas interesowały ciągi rozpoczynające się od liczby pierwszej <math>p_0 \geqslant 3</math>
  
−
{| class="wikitable sortable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: left; margin: 1em auto 1em auto;"
+
Jeżeli do liczby pierwszej nieparzystej dodamy dodatnią liczbę nieparzystą, to otrzymamy liczbę parzystą złożoną, zatem różnica ciągu arytmetycznego <math>d</math> musi być liczbą parzystą, aby zbudowanie jakiegokolwiek ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math> było możliwe.
−
! data-sort-type="text" | Zabójca
+
 
−
! data-sort-type="text" | Kategoria
+
Istnienie nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> pokazano już wiele lat temu<ref name="Corput"/>. Temat ciągów arytmetycznych liczb pierwszych zyskał na popularności<ref name="largestPAP"/> po udowodnieniu przez Bena Greena i&nbsp;Terence'a Tao twierdzenia o&nbsp;istnieniu dowolnie długich (ale skończonych) ciągów arytmetycznych liczb pierwszych<ref name="GeenTao"/>.
−
! data-sort-type="text" | Kraj
+
 
−
! data-sort-type="number" | Rok
+
 
−
! class="unsortable" | Informacje
+
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C48* (Ben Green i&nbsp;Terence Tao, 2004)</span><br/>
 +
Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele <math>n</math>-wyrazowych ciągów arytmetycznych liczb pierwszych.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C49</span><br/>
 +
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> i <math>n = 4</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
 +
W przypadku <math>n = 3</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 2 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 +
 
 +
W przypadku <math>n = 4</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 6 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 +
 
 +
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
 +
 
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 3}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
|-
 
|-
−
| B. Henryk
 
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://plus.pomorska.pl/wiadomosci-z-regionu/a/zabil-posiedzial-po-siekierezadzie-umrze-w-celi-wideo,12158010 LINK1], [http://www.expressbydgoski.pl/aktualnosci/a/oskarzenie-za-oskarzeniem-od-kierowcy-po-zabojce-z-siekiera,12062536/2/ LINK2], [https://bydgoszcz.tvp.pl/32706433/zabil-po-raz-drugi-ma-proces LINK3], [http://bydgoszcz.wyborcza.pl/bydgoszcz/7,35590,21926000,siedzial-12-lat-za-zabojstwo-wyszedl-wzial-siekiere-i-zabil.html LINK4], Bydgoszcz, 19.11.2016
 
 
|-
 
|-
−
| B. Jerzy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [http://opole.gazeta.pl/opole/1,35114,2916487.html LINK1],  [http://www.nto.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20090927/KRYMINAL/778776977 LINK2], Opole, 09.02.2004
 
 
|-
 
|-
−
| B. Paweł
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [http://www.rp.pl/artykul/1076509.html?print=tak&p=0 LINK1],  [http://www.zw.com.pl/artykul/664446.html LINK2], Warszawa, 2010
 
 
|-
 
|-
−
| B. Sławomir
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2009
 
−
| [https://radiogdansk.pl/index.php/wiadomosci/item/40497-prokuratura-w-slupsku-przejmuje-sledztwo-ws-zabojstwa-w-wiezieniu-jest-data-przesluchania.html LINK1], [http://www.polskatimes.pl/fakty/kraj/a/smierc-w-zakladzie-karnym-w-czarnem-zarzut-zabojstwa-dla-wieznia,9890289/ LINK2], [https://gp24.pl/kolejne-25-lat-wiezienia-dla-juz-skazanego-na-dozywocie/ar/13889225 LINK3], Czarne, 11.04.2016
 
 
|-
 
|-
−
| B. Tadeusz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1?
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1985
 
−
| [http://www.dziennikwschodni.pl/magazyn/n,1000077958,zabil-za-ptaka.html LINK1], Wólka Cycowska, 12.06.2006
 
 
|-
 
|-
−
| B. Władysław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-C1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1990
 
−
| [http://raciborz.naszemiasto.pl/artykul/pierwsze-dozywocie-w-raciborzu,1612173,art,t,id,tm.html LINK1],  [http://www.fakt.pl/kryminalista-z-zawieszonym-dozywociem-znow-zabil-i-dostal-dozywocie,artykuly,421273,1.html LINK2], Racibórz, 13.10.2010
 
 
|-
 
|-
−
| C. Marian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1(?)
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://wiadomosci.onet.pl/lubuskie/seryjny-morderca-w-zielonej-gorze-policjanci-poszukuja-cial/n0ycs LINK1],  [http://zielonagora.gazeta.pl/zielonagora/1,35182,16930543,Mroczna_seria_zabojstw__Ilu_ludzi_zabil_bezdomny_.html LINK2], [http://www.fakt.pl/wydarzenia/francuz-seryjny-morderca-z-zielonej-gory-przed-sadem,artykuly,509027.html LINK3], Zielona Góra, 2008
 
 
|-
 
|-
−
| C. Mirosław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 2-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1990?
 
−
| [http://www.gazetakrakowska.pl/artykul/326718,krakow-dozywocie-dla-zabojcy-mieszkanki-wadowic,id,t.html LINK1],  [http://www.krakow.po.gov.pl/akt-oskar%C5%BCenia-p-ko-miros%C5%82awowi-c.html LINK2], Wadowice, 21.12.2006
 
 
|-
 
|-
−
| C. Piotr
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 61</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2010
 
−
| [http://www.kurierlubelski.pl/wiadomosci/lublin/a/cypis-przed-lubelskim-sadem-smiertelnie-pobil-kolege-bo-smierdzial,11552896/ LINK1], [http://www.dziennikwschodni.pl/lublin/chyba-dyzio-zdechl-ale-jeszcze-oddycha-zmasakrowal-kolege-i-poszedl-do-baru,n,1000193837.html LINK2], [http://www.kurierlubelski.pl/wiadomosci/lublin/a/lublin-oskarzony-o-zabojstwo-ma-problemy-z-pamiecia,11822295/ LINK3], Lublin, 20.06.2016
 
 
|-
 
|-
−
| Ch. Stanisław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://www.policja.pl/pol/aktualnosci/108336,Policjanci-zatrzymali-sprawce-zabojstwa-25-letniej-kobiety.html LINK1], [http://radiogdansk.pl/index.php/wydarzenia/item/20902-zabil-kobiete-i-sam-zawiadomil-policje-to-recydywista-ktory-siedzial-za-morderstwo-zony.html LINK2], [http://trojmiasto.gazeta.pl/trojmiasto/1,35636,18172088,Zabil__zeby_wrocic_do_wiezienia__Zasluguje_na__szczegolne.html#BoxLokKrajLink LINK3], Gdańsk, 31.01.2015
 
 
|-
 
|-
−
| Cz. Mirosław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 24}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://www.zielona-gora.po.gov.pl/index.php?id=3&ida=5424 LINK1],  [http://www.policja.pl/pol/aktualnosci/61306,Jest-akt-oskarzenia-w-sprawie-zabojstwa-sprzed-27-lat.html LINK2], [http://nasygnale.pl/kat,1025341,title,Zgwalcil-i-zabil-17-latke-skazali-go-po-30-latach,wid,14335071,wiadomosc.html?ticaid=614c3d LINK3], Radomia, 24.05.1983
 
 
|-
 
|-
−
| D. Jakub
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 28}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2005
 
−
| [http://www.bielsko.info/15687-zabilem-szatana-na-osiedlu-zlote-lany-mezczyzna-zabil-wlasna-matke-bielsko-biala LINK1], [http://www.bielsko.info/15732-zabilem-szatana-to-nie-pierwsza-zbrodnia-35-letniego-bielszczanina-bielsko-biala LINK2], [https://www.radiobielsko.pl/wiadomosci/zabilem-szatana-to-juz-druga-ofiara-jakuba-d/36778 LINK3], [http://katowice.wyborcza.pl/katowice/7,35055,23352516,chory-psychicznie-mezczyzna-zabil-ponownie-czyja-to-wina.html LINK4], Bielsko-Biała, 14.02.2018
 
 
|-
 
|-
−
| F. Jerzy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1985
 
−
| [http://player.pl/programy-online/cela-nr-odcinki,1001/odcinek-30,jerzy-falc,S00E30,16024.html LINK], ?, 1996
 
 
|-
 
|-
−
| G. Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 34}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 200?
 
−
| [http://www.nowosci.com.pl/aktualnosci/a/prokuratura-bezdomnego-skatowali-ojciec-z-synem,12064988/ LINK1], [http://torun.wyborcza.pl/torun/7,48723,22191298,wyrok-za-smiertelne-pobicie-10-lat-dla-ojca-6-dla-syna.html?disableRedirects=true LINK2], [http://kujawsko-pomorskie.onet.pl/torun-ojciec-i-syn-z-wyrokami-wiezienia-za-smiertelne-pobicie-bezdomnego/y13s0xc LINK3], Grudziądz, 22.06.2016
 
 
|-
 
|-
−
| G. Mariusz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 36}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 37</math>||<math> 67</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A?1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/warszawa/zabojstwo-61-latka-w-pruszkowie-policja-zatrzymala-podejrzanych/7xrenm1 LINK1], [https://warszawa.onet.pl/brutalne-zabojstwo-w-pruszkowie-policja-zlapala-sprawcow/yqvre71 LINK2], [https://tvnwarszawa.tvn24.pl/informacje,news,morderstwo-61-latka-w-pruszkowie-policja-zatrzymala-dwie-osoby,228004.html LINK3], [http://warszawa.naszemiasto.pl/artykul/kradziez-tortury-i-morderstwo-zapadl-wyrok-w-sprawie,4798577,artgal,t,id,tm.html LINK4], Pruszków, 16.03.2017
 
 
|-
 
|-
−
| G. Roman
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 38}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://plus.dziennikzachodni.pl/wiadomosci/a/slaski-alfabet-zbrodni-p-jak-partyjka-z-bestia,3815051 LINK], Tarnowskie Góry, 02.07.2001
 
 
|-
 
|-
−
| G. Sebastian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 40}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A?1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://www.tvn24.pl/lodz,69/zabil-staruszke-ktora-chciala-mu-pomoc-mialem-ochote-na-piwo,588439.html LINK1], [http://lodz.wyborcza.pl/lodz/1,35153,19075147,zabojstwo-w-centrum-lodzi-zabil-i-poszedl-na-piwo.html?disableRedirects=true LINK2], Łódź, 19.10.2015
 
 
|-
 
|-
−
| G. Tadeusz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1999
 
−
| [http://www.debata.olsztyn.pl/wiadomoci/olsztyn/4161-czekali-az-zamorduje-kafelek.html LINK1],  [http://olsztyn.wm.pl/242503,Znamy-kulisy-zabojstwa-kobiety-przy-ul-11-Listopada-w-Olsztynie.html LINK2], Olsztyn, 23.01.2015
 
 
|-
 
|-
−
| J. Dawid
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 53</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2006
 
−
| [https://wydarzenia.interia.pl/zachodniopomorskie/news-zaginiona-nastolatka-zamordowana-zatrzymany-przyznal-sie-do-,nId,5267078 LINK1], [https://niezalezna.pl/397750-to-nie-pierwsza-zbrodnia-mordercy-18-latki-dawid-j-wyszedl-z-poprawczaka-po-4-latach LINK2], [https://wiadomosci.radiozet.pl/Polska/Cialo-kobiety-odnaleziono-pod-Kamieniem-Pomorskim.-Onet-nieoficjalnie-to-zaginiona-18-latka LINK3], [https://www.o2.pl/informacje/ide-z-dawidem-potwor-zabil-po-raz-drugi-wczesniej-zamordowal-13-latke-6645570335263552a LINK4], [https://szczecin.se.pl/dawid-j-zabil-i-zgwalcil-pierwszy-raz-gdy-mial-14-lat-teraz-przyznal-sie-do-morderstwa-slicznej-magdy-aa-rUZo-RzR1-fveH.html LINK5], Sulikowo, 24.05.2021
 
 
|-
 
|-
−
| J. Zbigniew
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 50}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://www.nto.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20090927/KRYMINAL/778776977 LINK1],  [http://opole.gazeta.pl/opole/1,35114,2916487.html LINK2], Opole, 09.02.2004
 
 
|-
 
|-
−
| K. Artur
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 54}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 43</math>||<math> 59</math>||<math> 73</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C2
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2004
 
−
| [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/warszawa/podwojne-zabojstwo-w-warszawie/rqe5c78 LINK1], [https://www.se.pl/wiadomosci/lokalne/warszawa/byl-skazany-za-zabojstwo-narzeczonej-wyszedl-na-przepustke-zabil-kolejna-aa-zytM-ADkG-pbkk.html LINK2], Warszawa, 08.09.2018
 
 
|-
 
|-
−
| K. Cezary
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 43</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 199?
 
−
| [http://tvnwarszawa.tvn24.pl/informacje,news,napadal-i-bil-trzy-starsze-kobiety-zmarly-skazany-za-rozboje-nie-zabojstwa,187852.html LINK1], [http://www.tvp.info/15223146/malzenstwo-polowalo-na-starsze-kobiety-trzy-ofiary-zmarly LINK2], [http://warszawa.wyborcza.pl/warszawa/1,34862,19309962,skazany-za-brutalne-napady-dlaczego-nie-za-zabojstwo.html?disableRedirects=true LINK3], [http://wiadomosci.radiozet.pl/Wiadomosci/Kraj/Prokuratura-chce-20-i-15-lat-wiezienia-za-napady-na-starsze-kobiety-00015038 LINK4], Warszawa, 28.08.2012,&nbsp;04.10.2012,&nbsp;11.01.2013
 
 
|-
 
|-
−
| K. Jan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 64}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://www.policja.waw.pl/portal/pl/1/21811/Pchnal_nozem_podczas_sasiedzkiej_klotni.html LINK1],  [http://wiadomosci.onet.pl/warszawa/zabil-sasiada-bo-ten-chcial-go-uciszyc/ex69m LINK2], Warszawa, listopad 2012
 
 
|-
 
|-
−
| K. Janusz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 66}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 47</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B?1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1992?
 
−
| [http://www.policja.waw.pl/portal/pl/1/8281/Zabil_kolege_bo_ten_go_denerwowal.html LINK1],  [http://www.zw.com.pl/artykul/489573_Zabil__bo_kolega_zmienil_stacje.html LINK2], Warszawa, 25.06.2010
 
 
|-
 
|-
−
| K. Kamil
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 68}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [https://www.dziennikwschodni.pl/wlodawa/zabojstwo-w-celi-straznik-znalazl-wieznia-w-kaluzy-krwi,n,1000293000.html LINK1], [https://wiadomosci.wp.pl/taboret-narzedziem-zbrodni-zabojstwo-w-wiezieniu-6666739334757248a LINK2], Włodawa, 03.11.2020
 
 
|-
 
|-
−
| K. Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 72}</math>||<math> 7</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 67</math>||<math> 79</math>||<math> 107</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 201?
 
−
| [http://tustolica.pl/skatowal-kobiete-byl-juz-skazany-za-zabojstwo_77917 LINK1], [http://www.targowek.info/2018/09/zabojstwo-w-bloku-na-wysockiego/ LINK2], [https://www.se.pl/wiadomosci/lokalne/warszawa/awantura-na-brodnie-nie-zyje-kobieta-aa-AxG3-mAMk-z3Vt.html LINK3], Warszawa, 13.09.2018
 
 
|-
 
|-
−
| K. Marcin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 78}</math>||<math> 11</math>||<math> 23</math>||<math> 71</math>||<math> 73</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A?1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [https://gazetakrakowska.pl/brutalne-zabojstwo-w-centrum-krakowa-glowny-oskarzony-z-wyrokiem-11-lat-wiezienia/ar/c1-15016108 LINK1], [https://krakow.naszemiasto.pl/poturbowali-50-latka-pozniej-podpalili-jego-cialo/ar/c16-7737361 LINK2], Kraków, 11.08.2018
 
 
|-
 
|-
−
| K. Piotr
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 80}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1993
 
−
| [http://wiadomosci.wp.pl/kat,1342,title,12-lat-wiezienia-za-smiertelne-pobicie,wid,8074680,wiadomosc.html LINK1],  [http://archiwum.rp.pl/artykul/531197-Zabil-bezdomnego.html LINK2], Kalisz, 14.02.2005
 
 
|-
 
|-
−
| K. Zbigniew
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 84}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 43</math>||<math> 73</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2000
 
−
| [http://zgorzelec.naszemiasto.pl/artykul/zgorzelec-zyje-zeby-zabijac,970947,art,t,id,tm.html LINK1],  [http://www.zinfo.pl/artykuly/5567 LINK2], Zgorzelec, 31.01.2011
 
 
|-
 
|-
−
| KUKUŁA, Henryk
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 47</math>||<math> 59</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/slask/henryk-kukula-monstrum-z-chorzowa-wyjdzie-na-wolnosc/f0rwbyj LINK1], [http://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/slask/henryk-kukula-monstrum-z-chorzowa-pedofil-ktory-mordowal-dzieci/ty7qzxe LINK2], [http://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/slask/henryk-kukula-fakt24-wytropil-monstrum-z-chorzowa-ministerstwo-sprawiedliwosci/n9gfqnt LINK3], Krupski Młyn, 10.01.1984, Ruda Śląska, 28.07.1990
 
 
|-
 
|-
−
| L. Sebastian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 94}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://wiadomosci.onet.pl/kujawsko-pomorskie/bydgoszcz-wiezienny-zabojca-dostal-dozywocie/5h50r LINK], Potulice, 18.10.2007
 
 
|-
 
|-
−
| LESZUK, Krystian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1997
 
−
| [http://www.poranny.pl/wiadomosci/bialystok/a/zabojstwo-jaroslawa-rudnickiego-trafi-do-wiezienia-na-wiecej-niz-12-lat,12291344/ LINK1], [https://bialystok.onet.pl/bialystok-proces-oskarzonego-o-zabojstwo-bylego-wiceprezesa-jagiellonii/xxtydeq LINK2], [http://www.poranny.pl/wiadomosci/bialystok/a/jaroslaw-rudnicki-nie-zyje-krystian-leszuk-oskarzony-o-zabojstwo-akcjonariusza-jagiellonii,12557468/ LINK3], [http://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/krystian-leszuk-zamordowal-akcjonariusza-jagiellonii-bialystok/vj3kn66 LINK4], Dobrzyniewo Duże, 19.02.2017
 
 
|-
 
|-
−
| Ł. Artur
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 98}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A2
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1991
 
−
| [http://tustolica.pl/zabojca-z-bielan-wczesniej-zabil-sasiada-i-napadl-na-taksowkarza_60552 LINK1], [http://www.fakt.pl/Wielokrotnie-karany-Artur-l-w-weekend-zamordowal-swoja-byla-konkubine-i-jej-synka,artykuly,148573,1.html LINK2], Warszawa, 11.03.2012
 
 
|-
 
|-
−
| M. Antoni Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 102}</math>||<math> 7</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 79</math>||<math> 89</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1990
 
−
| [http://www.se.pl/wiadomosci/polska/dobre-antoni-m-zabil-dziewyczne-bo-go-zdradzaa_253223.html LINK], Kosów Lacki, 08.05.1991
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| M. Elżbieta
 
−
| style="text-align: center" | 1-C1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2003
 
−
| [http://wiadomosci.onet.pl/na-tropie/dusicielka-z-tarnowa/v4xw5 LINK1],  [http://www.gazetakrakowska.pl/artykul/223222,sad-dusicielka-z-tarnowa-skazana-na-dozywocie,id,t.html LINK2], Tarnów, marzec 2006
 
 
|-
 
|-
−
| M. Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 104}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A?1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 199?
 
−
| [http://www.mmszczecin.pl/artykul/niewinna-ofiara-prowokacji-czy-seryjny-zabojca-kici,2743744,art,t,id,tm.html LINK1], [http://www.gs24.pl/wiadomosci/szczecin/art/4982352,jako-nastolatek-zabil-ojca-siekiera-pozniej-dwie-kobiety-kici-wyjdzie-za-50-lat-lub-wcale,id,t.html LINK2], [http://www.gs24.pl/wiadomosci/region/art/5529146,skazany-za-zabojstwo-kochanki-kici-zapewnia-ze-nie-zabil,id,t.html LINK3], [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/zabil-dwie-kobiety-dostal-dozywocie/hx2vjdz LINK4], Lipiany, listopad 2009, listopad 2011
 
 
|-
 
|-
−
| M. Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 108}</math>||<math> 23</math>||<math> 41</math>||<math> 131</math>||<math> 163</math>||<math> 173</math>||<math> 223</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1999
 
−
| [http://poznan.wyborcza.pl/poznan/1,36001,168537.html LINK1], [http://poznan.wyborcza.pl/poznan/1,36001,8369816,Przyznal_sie__ze_zabil_matke.html LINK2], [http://www.gloswielkopolski.pl/artykul/414042,poznanski-sad-zabil-babcie-zabil-matke-po-dopalaczach,id,t.html LINK3], [http://www.polskieradio.pl/5/3/Artykul/748036,Zabil-matke-po-dopalaczach-Dostal-dozywocie LINK4], Poznań, 10.09.2010
 
 
|-
 
|-
−
| M. Marcin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 110}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2003
 
−
| [https://www.se.pl/wiadomosci/polska/zabil-brata-bo-puscil-oko-do-jego-dziewczyny-aa-XpoC-HfYQ-MbmP.html LINK], Czemierniki, 13.12.2018
 
 
|-
 
|-
−
| M. Marian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 114}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 79</math>||<math> 83</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 199?
 
−
| [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/wroclaw/wroclaw-nozownik-zabil-romana-bo-podejrzewal-go-o-gwalt-na-magdzie/lnxgl9c LINK1], [https://wroclaw.tvp.pl/44316639/proces-recydywisty-znow-zabil-po-odsiadce-za-zabojstwo LINK2], [https://wroclaw.wyborcza.pl/wroclaw/7,35771,25290278,wyrok-za-zabojstwo-zbrodnia-tak-brutalna-ze-sad-zgodzil-sie.html LINK3], Wrocław, 18.10.2018
 
 
|-
 
|-
−
| MUCHA, Stanisław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 29</math>||<math> 31</math>||<math> 37</math>||<math> 43</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [http://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/lodz-dozywocie-dla-mordercy-dwoch-osob/mlf3lw6 LINK1], [http://www.dzienniklodzki.pl/artykul/227408,ochroniarz-z-lodzi-zabijal-z-zimna-krwia-dostal-dozywocie,id,t.html LINK2], [http://lodz.naszemiasto.pl/artykul/dozywocie-dla-mordercy,333638,art,t,id,tm.html LINK3], Głuszyca, 01.03.2006
 
 
|-
 
|-
−
| MUSIATOWICZ, Grzegorz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 124}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2002?
 
−
| [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/dozywotniacy-grzegorz-musiatowicz-z-zabrza-opowiada-o-zbrodni/c3b5s4b LINK1], [https://www.youtube.com/watch?v=MxauM_oZzGs LINK2], [https://www.gliwice.po.gov.pl/rzecznik-prasowy1/234-akt-oskarzenia-przeciwko-sprawcom-dwoch-zabojstw-oraz-dokonania-szeregu-rozbojow-na-terenie-zabrza-i-gliwic LINK3], [http://katowice.wyborcza.pl/katowice/1,35063,19101180,zabrze-dozywocie-i-15-lat-wiezienia-za-zabojstwo-bezdomnych.html?disableRedirects=true LINK4], [https://www.tvn24.pl/katowice,51/akt-oskarzenia-ws-zabojstwa-dwoch-bezdomnych,516031.html LINK5], Zabrze, 12.01.2014, 06.03.2014
 
 
|-
 
|-
−
| N. Mariusz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 97</math>||<math> 101</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1993
 
−
| [http://lubin.naszemiasto.pl/artykul/zabojca-z-prusic-zostal-aresztowany,971325,art,t,id,tm.html LINK1],  [http://zlotoryja.naszemiasto.pl/artykul/mord-w-prusicach-pod-zlotoryja-od-ciosow-siekiera-zginal,968959,art,t,id,tm.html LINK2], Prusice, 24.06.2011
 
 
|-
 
|-
−
| P. Damian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 132}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2000
 
−
| [http://wiadomosci.wp.pl/kat,35116,title,Sprawca-glosnego-mordu-na-dziecku-oskarzony-o-kolejne-zabojstwo,wid,8349444,wiadomosc.html?ticaid=114f0a&_ticrsn=3 LINK1],  [http://www.archiwum.wyborcza.pl/Archiwum/1,0,1001801,20000119RP-DGW,Ukarac_czy_leczyc,.html LINK2], Chocianów, 22.12.2005
 
 
|-
 
|-
−
| P. Grzegorz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 134}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B?1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1983?
 
−
| [http://www.pomorska.pl/apps/pbcs.dll/article?AID=/20080225/AKTUALNOSCI/986595194 LINK1], [http://wiadomosci.gazeta.pl/wiadomosci/1,114873,4398564.html LINK2], Toruń, 18.08.2007
 
 
|-
 
|-
−
| P. Łukasz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 138}</math>||<math> 41</math>||<math> 61</math>||<math> 73</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 173</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2010
 
−
| [http://www.kurierlubelski.pl/wiadomosci/lublin/a/lublin-pobil-na-smierc-czeka-na-prawomocny-wyrok-za-pomoc-w-innym-zabojstwie,9801914/ LINK1], [http://www.fakt.pl/polska/smiertelne-pobicie-w-lublinie-sprawcy-aresztowani,artykuly,621484.html LINK2], Lublin, 21.03.2016
 
 
|-
 
|-
−
| PLUTA, Józef
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 144}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 79</math>||<math> 113</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E6
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://poznan.naszemiasto.pl/artykul/mroczny-poznan-seryjny-morderca-jozef-pluta-bestia-ktora,1968834,art,t,id,tm.html LINK1], Pąchy, 10.09.1979, Suchy Las, 20.10.1979
 
 
|-
 
|-
−
| PŁOCINIAK, Grzegorz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 47</math>||<math> 73</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C2
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://www.fakt.pl/gwalciciele-i-mordercy-wychodza-na-wolnosc,artykuly,440063,1.html LINK1],  [http://archiwum.rp.pl/artykul/92254-Morderca-ocalil-glowe.html LINK2], Olsztyn, 05.08.1992
 
 
|-
 
|-
−
| POKŁADEK, Jerzy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 154}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://wyborcza.pl/1,75248,898349.html LINK1],  [http://wroclaw.naszemiasto.pl/archiwum/zabil-juz-dwa-razy,245953,art,t,id,tm.html LINK2],  [http://prawo.money.pl/orzecznictwo/sad-najwyzszy/wyrok;sn;izba;karna,ik,v,kk,93,03,5621,orzeczenie.html LINK3], w Ł., 29.04.2000
 
 
|-
 
|-
−
| R. Czesław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 156}</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>||<math> 67</math>||<math> 71</math>||<math> 107</math>||<math> 127</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://www.tvn24.pl/wiadomosci-z-kraju,3/poczet-zwyrodnialcow-sejm-zajmie-sie-ustawa-o-zaburzonych-przestepcach,340526.html LINK], w Ż., 15.07.1988
 
 
|-
 
|-
−
| R. Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 162}</math>||<math> 29</math>||<math> 107</math>||<math> 109</math>||<math> 197</math>||<math> 239</math>||<math> 269</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2000?
 
−
| [http://www.polskatimes.pl/fakty/kraj/a/dozywocie-za-okrutne-morderstwo-sad-tego-czlowieka-trzeba-izolowac-na-zawsze,9465557/ LINK1], [http://www.gazetawroclawska.pl/wiadomosci/psie-pole/a/dozywocie-za-okrutne-morderstwo-sad-tego-czlowieka-trzeba-izolowac-na-zawsze,9465557/ LINK2], [http://wroclaw.eska.pl/komunikacja/dozywocie-i-25-lat-wiezienia-sa-wyroki-za-brutalna-zbrodnie-na-zakrzowie-audio/124413 LINK3], Wrocław, 07.11.2014
 
 
|-
 
|-
−
| R. Walter
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 164}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 2-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/wroclaw/wyrok-dla-brzytwy-emeryt-morderca-dostal-dozywocie-i-umrze-w-wiezieniu/2stmnpe LINK1], [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/wroclaw/brzytwa-wpadl-w-czasie-emisji-997/b56kkq9 LINK2], [https://www.polsatnews.pl/wiadomosc/2021-01-22/za-podwojne-zabojstwo-odsiedzial-25-lat-teraz-81-letni-brzytwa-mial-zabic-ponownie/ LINK3], Kamienna Góra, 11.12.2020
 
 
|-
 
|-
−
| R. Zenon
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 168}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 31</math>||<math> 43</math>||<math> 61</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2000
 
−
| [http://www.gk24.pl/wiadomosci/koszalin/art/9382609,zarzut-zabojstwa-cios-to-byl-glupi-odruch,id,t.html LINK1], [http://www.archiwum.wyborcza.pl/Archiwum/1,0,1354696,20010220PO-DLO,Tak_sie_przytulil,.html LINK2], Wałcz, 18.04.2015
 
 
|-
 
|-
−
| Rz. Dariusz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 174}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1997
 
−
| [http://www.gazetakrakowska.pl/artykul/372098,andrychow-zlecila-zasztyletowanie-meza-uslyszala-wyrok,id,t.html LINK1], [http://www.se.pl/wiadomosci/polska/kobieta-potwor-zlecia-kochankowi-zabojstwo-meza_139239.html LINK2], Andrychów, 22.05.2009
 
 
|-
 
|-
−
| S. Artur
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 178}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://fakty.interia.pl/wiadomosci-lokalne/news-lublin-udusil-kobiete-kablem-od-zelazka,nId,2552160 LINK1], [http://www.dziennikwschodni.pl/lublin/cialo-mlodej-kobiety-w-wersalce-sa-zarzuty-dla-47-latka-udusil-ja-kablem-od-zelazka,n,1000214394.html LINK2], [http://www.kurierlubelski.pl/wiadomosci/lublin/a/zabojstwo-przy-ul-1-maja-w-lublinie-podejrzany-wczesniej-zabil-ojczyma-konkubiny,12978468/ LINK3], Lublin, 28.01.2018
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| S. Dorota
 
−
| style="text-align: center" | 1-B1?
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 199?
 
−
| [http://wiadomosci.gazeta.pl/wiadomosci/1,126765,7718076,Zabila_znajomego_noga_od_stolu__bo_sie_zdenerwowala_.html LINK1], [http://nasygnale.pl/kat,1025341,title,Ona-nienawidzi-mezczyzn-zabila-juz-drugiego,wid,12125864,wiadomosc.html LINK2], [http://www.rmf24.pl/fakty/polska/news-zakatowala-znajomego-noga-od-stolu-to-nie-jej-pierwsza-zbrod,nId,269684 LINK3], Kutno, 27.03.2010
 
 
|-
 
|-
−
| S. Henryk
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 13</math>||<math> 19</math>||<math> 59</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 198?
 
−
| [http://www.karasmierci.info.pl/swarzedz101995.htm LINK1], [http://poznan.naszemiasto.pl/archiwum/dozywocie-za-zabojstwo,500172,art,t,id,tm.html LINK2], Swarzędz, 29.10.1995
 
 
|-
 
|-
−
| S. Henryk
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 186}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 107</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2000
 
−
| [http://nasygnale.pl/kat,1025341,title,Rozplatal-siekiera-sasiada-na-pol-bo-flirtowal-z-jego-zona,wid,13600203,wiadomosc.html LINK1], [http://www.fakt.pl/Rozplatal-siekiera-sasiada-na-pol-bo-,artykuly,109105,1.html LINK2], Strzelce Wielkie, 09.07.2011
 
 
|-
 
|-
−
| S. Jakub
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 188}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-A?1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2009?
 
−
| [https://www.fakt.pl/wydarzenia/polska/lodz/zabojstwo-w-lodzi-przy-ul-zgodnej-zwloki-znalezione-w-studni/wk87451 LINK1], [https://expressilustrowany.pl/zwloki-mlodego-mezczyzny-ukryte-w-studni-to-bylo-morderstwo/ar/c1-14676151 LINK2], [https://www.se.pl/lodz/rozlupal-koledze-czaszke-a-zwloki-ukryl-w-studni-aa-P5WQ-kNyD-q28s.html LINK3], Łódź, listopad 2019
 
 
|-
 
|-
−
| S. Michał
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 190}</math>||<math> 3</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 2011
 
−
| [http://www.tvn24.pl/wiadomosci-z-kraju,3/zabil-wspolwieznia-czekajac-na-proces-o-zabojstwo,194385.html LINK1], [http://gniezno.naszemiasto.pl/artykul/michal-s-znow-zabil,1020449,art,t,id,tm.html LINK2], [http://nasygnale.pl/kat,1025341,title,To-juz-pewne-potrojny-morderca-zgnije-w-wiezieniu,wid,15967288,wiadomosc.html LINK3], Toruń, 30.07.2011
 
 
|-
 
|-
−
| S. Robert
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 192}</math>||<math> 5</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 139</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [https://expressbydgoski.pl/wujek-uderzyl-tylko-raz/ar/11346793 LINK1], [https://nowosci.com.pl/to-bylo-morderstwo-czy-nieszczesliwy-wypadek/ar/11283720 LINK2], [https://nowosci.com.pl/ci-przestepcy-otrzymali-najwyzsze-wyroki-w-toruniu-zobacz-za-co/ga/13397597/zd/30486471 LINK3], Zielnowo (koło Wąbrzeźna), 24.09.2006
 
 
|-
 
|-
−
| SOBIERAJ, Henryk
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 198}</math>||<math> 13</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>||<math> 113</math>
−
| style="text-align: center" | C1-E1
+
|}
−
| style="text-align: center" | Polska
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
−
| style="text-align: center" | 1995
+
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
−
| [http://ttv.pl/henryk-sobieraj,58647,n.html LINK1],  [http://player.pl/programy-online/cela-nr-odcinki,1001/odcinek-23,henryk-sobieraj,S00E23,15213.html LINK2], Ełk, 1996
+
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 4}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
|-
 
|-
−
| STELTER, Ryszard
 
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://www.tvn24.pl/wiadomosci-z-kraju,3/poczet-zwyrodnialcow-sejm-zajmie-sie-ustawa-o-zaburzonych-przestepcach,340526.html LINK1], [http://www.archiwum.wyborcza.pl/Archiwum/1,0,951266,19991110RP-DGW_D,STOJE_POD_KLAPA_I_CZEKAM,.html LINK2], Rawicz, 27.01.1992
 
 
|-
 
|-
−
| Ś. Józef
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 41</math>||<math> 61</math>||<math> 251</math>||<math> 601</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://www.tvn24.pl/lodz,69/kara-smierci-amnestia-i-kolejne-zabojstwo-horror-w-kutnie,476019.html LINK1],  [http://nasygnale.pl/kat,1025341,title,Wyszedl-z-wiezienia-i-znow-zabil-ukochana,wid,16094501,wiadomosc.html LINK2], Kutno, 16.10.2013
 
 
|-
 
|-
−
| T. Mirosław
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 47</math>||<math> 127</math>||<math> 227</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://www.fakt.pl/Zgwalcil-i-udusil-Jadzie-Nowe-fakty-,artykuly,101330,1.html LINK1],  [http://prawo.legeo.pl/prawo/iii-kk-293-11/ LINK2], Parczew, 13.04.2004
 
 
|-
 
|-
−
| U. Andrzej
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18}</math>||<math> 5</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 113</math>||<math> 313</math>||<math> 673</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | ?
 
−
| [http://www.policja.pl/pol/aktualnosci/10454,Kryminalni-rozwiklali-sprawe-zabojstwa.html LINK1], [http://www.bielany.waw.pl/page/index.php?str=124&id=282 LINK2], Warszawa, listopad 2007
 
 
|-
 
|-
−
| W. Rafał
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 24}</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 349</math>||<math> 419</math>||<math> 499</math>||<math> 569</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1997
 
−
| [http://www.gazetakrakowska.pl/artykul/3852397,krakow-rafal-w-odsiedzial-wyrok-za-zabojstwo-teraz-znowu-zabil,id,t.html LINK1],  [http://www.krakow.po.gov.pl/oskar%C5%BCony-zab%C3%B3jstwo.html LINK2], Kraków, 22.08.2014
 
 
|-
 
|-
−
| Z. Krzysztof
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://www.policja.pl/pol/aktualnosci/85156,Dozywotnio-skazany-za-zabojstwo.html LINK1], [http://m.szczecin.gazeta.pl/szczecin/1,106520,13359896,Trudna_sprawa_Carlosa__Sad_musi_odbyc_dluga_narade.html LINK2], Resko, 02.11.2010
 
 
|-
 
|-
−
| N. N1
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 36}</math>||<math> 31</math>||<math> 241</math>||<math> 281</math>||<math> 311</math>||<math> 751</math>||<math> 911</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1(?)
 
−
| style="text-align: center" | Polska
 
−
| style="text-align: center" | 199?
 
−
| [http://www.rmf24.pl/fakty/news-po-odsiedzeniu-wyroku-za-zabojstwo-zamordowal-kolejna-osobe,nId,274276# LINK1], [http://www.dzienniklodzki.pl/artykul/248237,wstrzasajaca-zbrodnia-w-bytomiu,id,t.html?cookie=1 LINK2], [http://www.bytom.slaska.policja.gov.pl/ka4/informacje/wiadomosci/9800,Siedzial-za-zabojstwo-i-wroci-za-kraty-bo-znowu-zabil.html LINK3], Bytom, 23.04.2010
 
 
|-
 
|-
−
| ABBOTT, Jack Henry
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 97</math>||<math> 107</math>||<math> 157</math>
−
| style="text-align: center" | D1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1965
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a/abbott-jack-henry.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ABLES, Tony Alvin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 613</math>||<math> 643</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1970
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Tony_Ables LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ALLEN, Clarence Ray
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 54}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 239</math>||<math> 379</math>||<math> 719</math>
−
| style="text-align: center" | K1-DK3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a1/allen-clarence.htm LINK1],  [http://pl.wikipedia.org/wiki/Clarence_Ray_Allen LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| ALLEN, Howard Arthur
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 19</math>||<math> 43</math>||<math> 47</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a/allen-howard-arthur.htm LINK]
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| ALLEN, Wanda Jean
 
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/female.A/a/allen-wanda-jean.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| AMIN, Sivan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 66}</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 241</math>||<math> 251</math>||<math> 521</math>||<math> 541</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Szwecja/UK
 
−
| style="text-align: center" | 2008
 
−
| [http://bham.pl/wiadomosci/west-midlands/10051-home-office-pozwolilo-mordercy-wjechac-do-uk-ten-zabil-kolejna-ofiare-w-wolverhampton LINK1], [https://news.sky.com/story/savage-balaclava-killer-sivan-amin-jailed-for-40-years-for-his-second-murder-10835545 LINK2], [http://www.bbc.com/news/uk-england-birmingham-39591192 LINK3], [http://www.birminghammail.co.uk/news/midlands-news/murderer-who-stabbed-former-housemate-12889449 LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| ARNOLD, Jermarr Carlos
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 72}</math>||<math> 7</math>||<math> 67</math>||<math> 167</math>||<math> 347</math>||<math> 947</math>||<math> 1217</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a1/arnold-jermarr.htm LINK1], [http://www.tdcj.state.tx.us/death_row/dr_info/arnoldjermarr.jpg LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| ARTHUR, Thomas Douglas
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 78}</math>||<math> 23</math>||<math> 73</math>||<math> 113</math>||<math> 233</math>||<math> 353</math>||<math> 443</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://law.justia.com/cases/alabama/supreme-court/1985/472-so-2d-665-1.html LINK1], [http://www.al.com/news/index.ssf/2015/01/tommy_arthur_scheduled_to_die.html LINK2], [http://theforgivenessfoundation.org/index.php/scheduled-executions/40-news/general/2697-thomas-arthur-of-alabama-given-execution-date-of-february-19-2015 LINK3], [https://en.wikipedia.org/wiki/Work_release LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| ASKEW, Douglas
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 84}</math>||<math> 5</math>||<math> 29</math>||<math> 149</math>||<math> 179</math>||<math> 379</math>||<math> 439</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://abc7chicago.com/killer-freed-from-prison-charged-in-new-murder;-victims-family-wants-answers-/2441147/ LINK1], [https://chicago.suntimes.com/news/man-who-killed-girlfriend-in-1989-accused-in-similar-murder/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| ATKINS, Joseph Ernest
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 47</math>||<math> 61</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1969
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a1/atkins-joseph-ernest.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| AVERHART, Rufus Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>||<math> 631</math>||<math> 761</math>||<math> 1471</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a/averhart-rufus.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| AYRES, Anthony
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 102}</math>||<math> 7</math>||<math> 47</math>||<math> 127</math>||<math> 257</math>||<math> 337</math>||<math> 557</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1993
 
−
| [http://murderpedia.org/male.A/a/ayres-anthony.htm LINK1], [https://www.thesun.co.uk/news/1505720/pint-sized-murderer-who-served-19-years-for-brutal-slaying-killed-his-new-partner-in-sadistic-assault/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BABIC, Zdravko "Frank"
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 108}</math>||<math> 23</math>||<math> 163</math>||<math> 223</math>||<math> 293</math>||<math> 353</math>||<math> 643</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://www.heraldsun.com.au/news/victoria/frank-banic-murders-again-six-months-after-release-from-prison/story-e6frf7kx-1225906563136 LINK1], [http://www.heraldsun.com.au/news/victoria/threats-and-violence-with-no-remorse-from-double-killer-frank-babic/story-e6frf7kx-1225906704288 LINK2], [http://www.smh.com.au/national/man-jailed-for-life-over-frenzied-murder-20080620-2u4w.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| BARTON, Corey R.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 114}</math>||<math> 79</math>||<math> 349</math>||<math> 569</math>||<math> 709</math>||<math> 1259</math>||<math> 2039</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://articles.courant.com/1999-01-08/news/9901080259_1_sentence-death-penalty-strangulation LINK1], [http://www.pomc.com/repeat.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BAXENDALE, David
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 71</math>||<math> 73</math>||<math> 107</math>||<math> 149</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Hiszpania/UK
 
−
| style="text-align: center" | 2001
 
−
| [http://www.bbc.com/news/uk-england-surrey-12777397 LINK1], [http://www.getsurrey.co.uk/news/surrey-news/david-baxendale-loses-appeal-over-7222973 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BEARDSLEE, Donald Jay
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 101</math>||<math> 131</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1969
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b1/beardslee-donald.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Donald_Beardslee LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BEGGS, William Frederick Ian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 132}</math>||<math> 5</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 257</math>||<math> 277</math>||<math> 487</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/beggs-william.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BELLEN, Michel
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 138}</math>||<math> 73</math>||<math> 173</math>||<math> 383</math>||<math> 463</math>||<math> 563</math>||<math> 773</math>
−
| style="text-align: center" | 3-B1
 
−
| style="text-align: center" | Belgia
 
−
| style="text-align: center" | 1964
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/bellen-michel.htm LINK1],  [http://nl.wikipedia.org/wiki/Michel_Bellen LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BENSON, Malcolm B.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 144}</math>||<math> 29</math>||<math> 509</math>||<math> 599</math>||<math> 1019</math>||<math> 1579</math>||<math> 2609</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-3555255/Convicted-murder-set-free-early-good-behavior-sentenced-life-prison-killing-months-released.html LINK1],  [https://www.washingtonpost.com/news/morning-mix/wp/2016/04/25/he-was-released-early-for-good-behavior-it-took-him-less-than-a-year-to-kill-again/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BIEGENWALD, Richard Fran
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 163</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1958
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/biegenwald.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Biegenwald LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BIRKBECK, Warren
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 156}</math>||<math> 41</math>||<math> 151</math>||<math> 191</math>||<math> 461</math>||<math> 571</math>||<math> 641</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1963
 
−
| [http://wfla.com/2017/08/02/twice-convicted-murderer-accused-of-killing-again-in-pasco-county/ LINK1], [http://www.fox13news.com/news/local-news/271447393-story LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BIRLEY, Ian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 162}</math>||<math> 107</math>||<math> 197</math>||<math> 337</math>||<math> 967</math>||<math> 1297</math>||<math> 1627</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-3350182/Why-monster-streets-Killer-given-life-term-stabbed-pensioner-69-times-steal-500-pay-drug-debt-18-months-released-prison-murder.html LINK1], [http://www.thestar.co.uk/news/local/video-freed-south-yorkshire-murderer-killed-again-18-months-after-release-1-7607859 LINK2], [http://www.thestar.co.uk/news/local/special-report-disturbing-parallels-between-ian-birley-s-evil-murders-1-7607733 LINK3], [http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/couple-murdered-pensioner-pay-drug-6975421 LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| BJORK vel JACKSON, Craig Dennis
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 168}</math>||<math> 43</math>||<math> 73</math>||<math> 83</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 373</math>
−
| style="text-align: center" | 4-D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [https://www.startribune.com/minnesota-family-killer-could-face-death-penalty-for-killing-oregon-cellmate/442520273/ LINK1], [https://www.startribune.com/what-to-do-with-a-murderer-who-keeps-killing-in-prison/568439942/?refresh=true LINK2], [https://eu.statesmanjournal.com/story/news/crime/2019/12/24/no-death-penalty-oregon-prison-murder-serial-killer-craig-dennis-bjork/2741389001/ LINK3], [https://eu.statesmanjournal.com/story/news/crime/2016/04/25/trial-underway-man-accused-killing-inmate/83495832/ LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| BLACK, Johnny Dale
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 174}</math>||<math> 19</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>||<math> 509</math>||<math> 839</math>||<math> 929</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b1/black-johnny.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BLAIR, Terry A.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 59</math>||<math> 61</math>||<math> 101</math>||<math> 103</math>||<math> 281</math>||<math> 283</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B6
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/blair-terry.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BLAND, Jimmy Dale
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 186}</math>||<math> 11</math>||<math> 151</math>||<math> 271</math>||<math> 281</math>||<math> 491</math>||<math> 691</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b1/bland-jimmy-dale.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BOLDER, Martsay L.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 192}</math>||<math> 37</math>||<math> 157</math>||<math> 307</math>||<math> 647</math>||<math> 1087</math>||<math> 1427</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b1/bolder-martsay.htm LINK1], [http://www.upi.com/Archives/1993/01/27/Killer-of-former-cellmate-executed/5352728110800/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BOMAR, Arthur J., Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 198}</math>||<math> 13</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 263</math>||<math> 373</math>||<math> 853</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://articles.dailypress.com/1997-12-14/news/9712140111_1_parole-bomar-burglary-charge LINK1], [https://www.washingtonpost.com/archive/politics/1997/12/12/police-say-man-slipped-through-their-hands/1cfd30d7-2f50-42d4-a766-a142afe15761/ LINK2], [http://www.delcotimes.com/general-news/20141124/bomar-is-one-step-closer-to-death-aimee-willards-killer-loses-latest-bid-to-escape-execution LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| BRANDT, Carl
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 204}</math>||<math> 79</math>||<math> 149</math>||<math> 449</math>||<math> 479</math>||<math> 569</math>||<math> 919</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/brandt-carl.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BRETON, Robert J., Sr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 103</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/breton-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BRILEY, Linwood Earl<ref name="briley_linwood"/>
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 216}</math>||<math> 11</math>||<math> 181</math>||<math> 761</math>||<math> 1021</math>||<math> 1061</math>||<math> 1231</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A11
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Briley_Brothers LINK1], [http://murderpedia.org/male.B/b1/briley-linwood.htm LINK2], [http://murderpedia.org/male.B/b1/briley-james.htm LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| BRISBON, Henry, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 222}</math>||<math> 17</math>||<math> 157</math>||<math> 197</math>||<math> 547</math>||<math> 617</math>||<math> 787</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/brisbon-henry.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BROWN, Marshall Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 228}</math>||<math> 43</math>||<math> 263</math>||<math> 313</math>||<math> 593</math>||<math> 953</math>||<math> 1093</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [https://webapps.doc.state.nc.us/opi/viewoffender.do?method=view&offenderID=0050673&searchOffenderId=0050673&listurl=pagelistoffendersearchresults&listpage=1 LINK1], [https://news.google.com/newspapers?nid=1454&dat=19961231&id=ILVOAAAAIBAJ&sjid=SBUEAAAAIBAJ&pg=4671,5131086&hl=en LINK2], [https://newbernsunjournal.newspaperarchive.com/new-bern-sun-journal/1996-12-31/page-3/ LINK3], [http://68.71.163.9/newspapers/Mooresville_Tribune/1997/JANUARY_1997.pdf LINK4], [https://en.wikipedia.org/wiki/I_(Almost)_Got_Away_With_It LINK5]
 
 
|-
 
|-
−
| BROWN, Raymond Eugene
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 234}</math>||<math> 359</math>||<math> 499</math>||<math> 619</math>||<math> 829</math>||<math> 1549</math>||<math> 2309</math>
−
| style="text-align: center" | 3-A1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1960
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/brown-raymond.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BRUMFITT, Paul
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 41</math>||<math> 67</math>||<math> 107</math>||<math> 139</math>||<math> 263</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B1
 
−
| style="text-align: center" | Dania/UK
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [https://books.google.pl/books?id=poOK_C-sqFsC&lpg=PA79&ots=UxlhcllUDv&dq=Paul%20Brumfitt%20%20murderer&hl=pl&pg=PA79#v=onepage&q&f=false LINK1], [http://www.independent.co.uk/news/uk/this-britain/convicted-murderer-killed-again-after-release-706972.html LINK2], [http://www.telegraph.co.uk/news/uknews/1387977/Ten-men-freed-to-kill-and-rape.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| BRYAN, Peter
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 246}</math>||<math> 31</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>||<math> 331</math>||<math> 541</math>||<math> 661</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1993
 
−
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Peter_Bryan LINK1], [http://murderpedia.org/male.B/b/bryan-peter.htm LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BUCK, William J.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 252}</math>||<math> 5</math>||<math> 17</math>||<math> 97</math>||<math> 127</math>||<math> 197</math>||<math> 257</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [https://www.daily-chronicle.com/2001/08/04/suspect-arrested-in-rockford-shooting/aqriqsz/export2460.txt LINK1], [https://caselaw.findlaw.com/il-court-of-appeals/1039562.html LINK2], [https://www.odmp.org/officer/15745-detective-kevin-darrell-rice-sr LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| BUNDY, Theodore Robert
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 258}</math>||<math> 53</math>||<math> 313</math>||<math> 503</math>||<math> 1103</math>||<math> 1873</math>||<math> 3253</math>
−
| style="text-align: center" | 17-E3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ted_Bundy LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Ted_Bundy LINK2], [http://murderpedia.org/male.B/b1/bundy-ted.htm LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| BURGESS, Raymond
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 264}</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 89</math>||<math> 199</math>||<math> 379</math>||<math> 409</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/burgess-raymond.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| BURTON, Graeme
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 229</math>||<math> 491</math>||<math> 557</math>||<math> 613</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Nowa Zelandia
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [https://de.wikipedia.org/wiki/Graeme_Burton LINK1], [http://www.stuff.co.nz/national/crime/6146386/Graeme-Burtons-isolation-ends LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BUSS, Timothy D.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 276}</math>||<math> 181</math>||<math> 191</math>||<math> 401</math>||<math> 601</math>||<math> 661</math>||<math> 1171</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b/buss-timothy.htm LINK1], [http://articles.chicagotribune.com/1996-07-06/news/9607060051_1_penalty-timothy-buss-christopher-meyer LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| BUTLER, Jerome
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 282}</math>||<math> 137</math>||<math> 317</math>||<math> 457</math>||<math> 1297</math>||<math> 1747</math>||<math> 1787</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.B/b1/butler-jerome.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| CALVO, Jose Javier
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 288}</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 233</math>||<math> 353</math>||<math> 463</math>||<math> 743</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C1
 
−
| style="text-align: center" | Hiszpania
 
−
| style="text-align: center" | 2003
 
−
| [https://www.bbc.com/news/world-europe-46921214 LINK1], [https://metro.co.uk/2019/01/19/wife-killer-jumped-off-bridge-murdering-lawyer-got-prison-8362982/ LINK2], [https://elpais.com/elpais/2019/01/21/inenglish/1548072310_211707.html LINK3], [https://www.euroweeklynews.com/2019/01/19/shocking-convicted-wife-murderer-stabs-lawyer-who-defended-him-during-his-trial/ LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| CARTER, Francis James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 294}</math>||<math> 59</math>||<math> 89</math>||<math> 139</math>||<math> 269</math>||<math> 349</math>||<math> 719</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://www.brisbanetimes.com.au/queensland/double-murderer-francis-james-carter-released-from-gatton-prison-20150114-12oa0z.html LINK1], [http://www.capitalbay.news/australia/671435-double-murderer-francis-james-carter-now-free-on-parole.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| CASTIGADOR, Victor
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 7</math>||<math> 47</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://www.worcesternews.co.uk/news/14817355.Convicted_murderer_sentenced_to_life_in_prison_for_HMP_Long_Lartin_murder/ LINK1], [http://www.bbc.com/news/uk-england-hereford-worcester-37729962 LINK2], [http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/human-torch-killer-victor-castigador-8900111 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| CHAFFIN, Benny Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 306}</math>||<math> 491</math>||<math> 691</math>||<math> 971</math>||<math> 1321</math>||<math> 1471</math>||<math> 2341</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [https://books.google.pl/books?id=I8MiBgAAQBAJ&lpg=PA110&ots=3KjJ-wx7bo&dq=The%20complete%20details%20of%20the%20sordid%20events%20that%20occurred%20from%20approximately%209%20p.m.%20on%20Friday%2C%20December%207%2C%201984%20until%20very%20early%20the%20following%20Sunday%20mo&hl=pl&pg=PA115#v=onepage&q&f=false LINK1], [https://news.google.com/newspapers?id=5ZBTAAAAIBAJ&sjid=y4YDAAAAIBAJ&pg=6419%2C4728497 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| CHAVIRA, Timothy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 312}</math>||<math> 127</math>||<math> 257</math>||<math> 347</math>||<math> 547</math>||<math> 607</math>||<math> 757</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [https://www.latimes.com/california/story/2019-12-21/man-suspected-of-strangling-retired-doctor LINK1], [https://abcnews.go.com/US/man-released-parole-murdering-stepmom-now-accused-2nd/story?id=68296877 LINK2], [https://edition.cnn.com/2020/01/15/us/california-los-angeles-timothy-chavira-trnd/index.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| CHIVERS, Marc
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 318}</math>||<math> 283</math>||<math> 373</math>||<math> 653</math>||<math> 1063</math>||<math> 1493</math>||<math> 1823</math>
−
| style="text-align: center" | A1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Niemcy/UK
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/england/essex/8411966.stm LINK1], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-1235764/Convicted-killer-die-bars-murder-mother-died-days-alerting-police.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| CLANTON, Earl, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 324}</math>||<math> 179</math>||<math> 349</math>||<math> 839</math>||<math> 2389</math>||<math> 2699</math>||<math> 2879</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c1/clanton-earl.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| CLARK, Raymond Robert
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 23</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>||<math> 127</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1964
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c1/clark-raymond-robert.htm LINK1],  [http://www.nytimes.com/1990/11/20/us/florida-executes-convicted-killer.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| CLARKE, Shaun
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 336}</math>||<math> 11</math>||<math> 61</math>||<math> 281</math>||<math> 311</math>||<math> 421</math>||<math> 491</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/england/staffordshire/6296201.stm LINK1], [http://www.examiner.co.uk/news/west-yorkshire-news/double-murderer-is-found-hanged-5053392 LINK2], [http://www.derbytelegraph.co.uk/Police-saved-Donna-killer-says-victim-s-family/story-11641478-detail/story.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| CODAY, William
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 342}</math>||<math> 7</math>||<math> 67</math>||<math> 137</math>||<math> 257</math>||<math> 467</math>||<math> 887</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Niemcy/USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://www.pomc.com/history.html LINK1], [https://news.google.com/newspapers?id=RRQoAAAAIBAJ&sjid=HdgEAAAAIBAJ&pg=6154%2C923239 LINK2], [http://trib.com/news/local/robert-and-charlotte-hullinger-fondly-recall-their-daughter-lisa/article_0060bd48-08ed-53af-8eb9-b7430384cfbe.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| CONNER, Kevin Aaron
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 348}</math>||<math> 5</math>||<math> 73</math>||<math> 563</math>||<math> 593</math>||<math> 743</math>||<math> 1373</math>
−
| style="text-align: center" | 3-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1988
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c1/conner-kevin.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| COOK, David
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 354}</math>||<math> 89</math>||<math> 239</math>||<math> 389</math>||<math> 509</math>||<math> 659</math>||<math> 739</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://www.bbc.com/news/uk-wales-17920039 LINK1], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2138363/David-Cook-released-judge-jails-Leonard-Hill-murder.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| COOMBES, John Leslie
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 101</math>||<math> 107</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1984
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c/coombes-john.htm LINK1],  [http://www.theage.com.au/victoria/triple-killer-to-die-in-jail-for-murder-that-ought-never-have-happened-20110826-1jddd.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| CORLISS, Charles E.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 366}</math>||<math> 461</math>||<math> 571</math>||<math> 1481</math>||<math> 1511</math>||<math> 1901</math>||<math> 2111</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1965
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c/corliss-charles.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| CORLISS, Edward
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 372}</math>||<math> 7</math>||<math> 547</math>||<math> 857</math>||<math> 877</math>||<math> 1087</math>||<math> 2887</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://www.boston.com/news/local/massachusetts/articles/2011/09/30/edward_corliss_killer_of_jamaica_plain_store_clerk_sentenced_to_life_in_prison/ LINK1], [http://www.universalhub.com/2011/guilty-all-charges-edward-corliss-spend-rest-miser LINK2], [http://www.wickedlocal.com/article/20110928/News/309289339 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| COWANS, Jessie James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 378}</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 163</math>||<math> 313</math>||<math> 503</math>||<math> 563</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c/cowans-jessie.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| CRAWFORD, John Martin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 384}</math>||<math> 139</math>||<math> 229</math>||<math> 719</math>||<math> 1229</math>||<math> 1439</math>||<math> 1699</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | Kanada
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c/crawford-john-martin.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| CREECH, Thomas Eugene
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 31</math>||<math> 43</math>||<math> 59</math>||<math> 131</math>||<math> 157</math>||<math> 197</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1967
 
−
| [http://murderpedia.org/male.C/c/creech-thomas-eugene.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DANIELSON, Robert Wayne, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 396}</math>||<math> 5</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 431</math>||<math> 691</math>||<math> 701</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B6
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1970
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d/danielson-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DAWSON, Andrew
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 402}</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 167</math>||<math> 727</math>||<math> 997</math>||<math> 1637</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://www.bbc.com/news/uk-england-derbyshire-14189216 LINK1], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2016377/Andrew-Dawons-Murderer-butchered-2-neighbours.html LINK2], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2421724/Revealed-The-murderers-given-life-jail-freed-kill-again.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| DEL VECCHIO, George W.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 408}</math>||<math> 13</math>||<math> 223</math>||<math> 643</math>||<math> 683</math>||<math> 1063</math>||<math> 1213</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1965
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d1/del-vecchio-george.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DEMOUCHETTE, James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 414}</math>||<math> 269</math>||<math> 359</math>||<math> 619</math>||<math> 1039</math>||<math> 1879</math>||<math> 2089</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1976
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d1/demouchette-james.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DEMPS, Bennie Eddie
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 47</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d1/demps-bennie-eddie.htm LINK1], [https://news.google.com/newspapers?id=tsFWAAAAIBAJ&sjid=POoDAAAAIBAJ&pg=3797%2C3131912 LINK2], [https://news.google.com/newspapers?id=tsFWAAAAIBAJ&sjid=POoDAAAAIBAJ&pg=5958%2C3183285 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| DENGIZ, Özgür
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 426}</math>||<math> 5</math>||<math> 131</math>||<math> 181</math>||<math> 431</math>||<math> 761</math>||<math> 811</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Turcja
 
−
| style="text-align: center" | 1997
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d/dengiz-ozgur.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DENT, Anthony Richard
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 432}</math>||<math> 227</math>||<math> 617</math>||<math> 857</math>||<math> 997</math>||<math> 1657</math>||<math> 1667</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://www.theherald.com.au/story/2204300/wickham-murder-suspects-letter-to-court/ LINK1], [http://www.abc.net.au/local/stories/2014/04/07/3979784.htm LINK2], [http://www.news.com.au/national/nsw-act/courts-law/how-could-anthony-dent-have-been-allowed-free/news-story/c2d31e34a7172d4e69ac978969cf2840 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| DENT III, Omar
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 438}</math>||<math> 5</math>||<math> 53</math>||<math> 383</math>||<math> 1163</math>||<math> 1303</math>||<math> 1873</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d/dent-omar.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DILLBECK, Donald David
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 444}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 1109</math>||<math> 1669</math>||<math> 1889</math>||<math> 2029</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d/dillbeck-donald-david.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Donald_Dillbeck LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| DIX, Glyn
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 11</math>||<math> 97</math>||<math> 149</math>||<math> 193</math>||<math> 251</math>||<math> 359</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [http://www.telegraph.co.uk/news/uknews/1505665/Wife-killer-must-spend-rest-of-his-life-in-prison.html LINK1], [http://www.holdthefrontpage.co.uk/2013/news/journalists-murder-coverage-features-in-tv-series/ LINK2], [https://books.google.pl/books?id=1OFiCgAAQBAJ&lpg=PT73&ots=Bx4Vd0kX98&dq=GLYN%20DIX%20%20%20Pia%20Overbury&hl=pl&pg=PT73#v=onepage&q&f=false LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| DOTSON, Jessie
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 456}</math>||<math> 191</math>||<math> 521</math>||<math> 631</math>||<math> 1171</math>||<math> 1291</math>||<math> 2341</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B6
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d/dotson-jessie.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DOTY, Wayne C.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 462}</math>||<math> 47</math>||<math> 107</math>||<math> 137</math>||<math> 277</math>||<math> 307</math>||<math> 367</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1996
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Wayne_C._Doty LINK1], [https://www.dailymail.co.uk/news/article-3286388/Double-murderer-demand-die-Florida-s-rickety-Ol-Sparky-electric-chair-lethal-injection.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| DRAIN, Joel
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 468}</math>||<math> 193</math>||<math> 293</math>||<math> 503</math>||<math> 683</math>||<math> 733</math>||<math> 1013</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2016
 
−
| [https://eu.cincinnati.com/story/news/2020/05/17/death-penalty-warren-correctional-institution-inmate-joel-drain-murder-trial-ohio/3088546001/ LINK1], [https://www.dailymail.co.uk/news/article-7375345/Ohio-inmate-indicted-aggravated-murder-charges-admitting-killing-prisoner.html LINK2], [https://www.washingtontimes.com/news/2019/aug/21/ohio-prison-inmate-charged-in-slaying-of-fellow-in/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| DRUCE, Joseph Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 474}</math>||<math> 5</math>||<math> 29</math>||<math> 379</math>||<math> 479</math>||<math> 719</math>||<math> 829</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1988
 
−
| [http://murderpedia.org/male.D/d/druce-joseph.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| DUDGEON/TAYLOR, John Hope
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 127</math>||<math> 347</math>||<math> 439</math>||<math> 449</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [https://books.google.pl/books?id=ZKCAVqeKzv0C&lpg=PP1&hl=pl&pg=PA108#v=onepage&q&f=false LINK1], [https://www.shieldsgazette.com/news/killer-loses-freedom-bid-1-1253338 LINK2], [https://www.shieldsgazette.com/news/jailed-killer-s-euro-law-hope-1-1255931 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| EALY, James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 486}</math>||<math> 241</math>||<math> 811</math>||<math> 941</math>||<math> 1361</math>||<math> 1861</math>||<math> 1871</math>
−
| style="text-align: center" | 4-B1<ref name="ealy_james"/>
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [https://www.chicagotribune.com/news/ct-xpm-1986-04-01-8601230928-story.html LINK1], [https://www.nbcnews.com/id/wbna16095797 LINK2], [https://www.pressreader.com/usa/chicago-sun-times/20061205/281543696433415 LINK3], [https://www.leagle.com/decision/1986703146illapp3d5571623 LINK4]
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| EDGINGTON, Nicola Caroline
 
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 2005
 
−
| [http://murderpedia.org/female.E/e/edgington-nicola.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ELLEDGE, James Homer
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 492}</math>||<math> 7</math>||<math> 107</math>||<math> 947</math>||<math> 1607</math>||<math> 2897</math>||<math> 3037</math>
−
| style="text-align: center" | B1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://murderpedia.org/male.E/e1/elledge-james-homer.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| FALCONER, Christopher Alexander
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 498}</math>||<math> 73</math>||<math> 883</math>||<math> 953</math>||<math> 983</math>||<math> 1723</math>||<math> 1913</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Kanada
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2547927/Convicted-murderer-released-10-years-spend-rest-life-prison-guilty-AGAIN-dumping-girl-19-shallow-grave-left-club.html LINK1], [http://www.cbc.ca/news/canada/nova-scotia/christopher-falconer-guilty-in-amber-kirwan-murder-1.2514116 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| FERRELL, Jack Dempsey
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 504}</math>||<math> 89</math>||<math> 109</math>||<math> 229</math>||<math> 359</math>||<math> 599</math>||<math> 619</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.F/f/ferrell-jack-dempsey.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| FLICK Albert
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 13</math>||<math> 67</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>||<math> 97</math>||<math> 167</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [https://www.nbcnews.com/news/us-news/murderer-released-after-being-deemed-too-old-kill-again-kills-n1031736 LINK1], [https://nypost.com/2019/07/18/killer-released-from-prison-dubbed-too-old-to-be-dangerous-kills-again/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| FLOWERS, Wendell
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 516}</math>||<math> 31</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 1181</math>||<math> 1361</math>||<math> 1471</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.F/f/flowers-wendell.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| FOUNTAIN, Clayton Anthony
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 522}</math>||<math> 47</math>||<math> 487</math>||<math> 907</math>||<math> 1097</math>||<math> 1237</math>||<math> 1747</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.F/f/fountain-clayton.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Clayton_Fountain LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| GAGLIANO, Bartolomeo
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 528}</math>||<math> 13</math>||<math> 73</math>||<math> 443</math>||<math> 503</math>||<math> 653</math>||<math> 1213</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E2
 
−
| style="text-align: center" | Włochy
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/gagliano-bartolomeo.htm LINK1], [http://www.cnsnews.com/news/article/serial-killer-fails-return-genoa-prison LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| GALLESE, Eustachio
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 534}</math>||<math> 839</math>||<math> 919</math>||<math> 1019</math>||<math> 1399</math>||<math> 1579</math>||<math> 1619</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Kanada
 
−
| style="text-align: center" | 2004
 
−
| [https://www.cbc.ca/news/canada/montreal/eustachio-gallese-pleads-guilty-1.5477989 LINK1], [https://montreal.ctvnews.ca/quebec-wants-answers-from-canada-after-convicted-killer-out-on-parole-allegedly-kills-again-1.4783198 LINK2], [https://www.thestar.com/news/canada/2020/02/27/quebec-man-pleads-guilty-to-killing-sex-worker-while-out-on-day-parole.html LINK3]
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| GARCIA, Guinevere Falakassa
 
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/female.G/g/garcia-guinevere.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GARDNER, John Steven
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 37</math>||<math> 73</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [https://murderpedia.org/male.G/g/gardner-john-steven.htm LINK1], [https://www.texastribune.org/2020/01/15/texas-execution-john-gardner-death-row/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| GARDNER, Ronnie Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 546}</math>||<math> 31</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 401</math>||<math> 431</math>||<math> 821</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1984
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Ronnie_Lee_Gardner LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GARRISON, Wayne Henry
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 552}</math>||<math> 67</math>||<math> 257</math>||<math> 277</math>||<math> 727</math>||<math> 1427</math>||<math> 2267</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://www.tulsaworld.com/archives/child-killer-accepts-deal-for-life-term/article_3d7da60b-504f-5eb2-9afd-839957aafe3a.html LINK1], [http://newsok.com/article/2764829 LINK2], [http://www.tulsaworld.com/archives/killer-s-path-long-gory-wayne-garrison-s-own-grandmother/article_2be7f7bf-4713-51bf-95b8-3506778e7ff2.html LINK3], [https://news.google.com/newspapers?id=RLlOAAAAIBAJ&sjid=wR4EAAAAIBAJ&pg=6737%2C1632077 LINK4], [https://books.google.pl/books?id=DwNVbOcTncwC&lpg=PP1&hl=pl&pg=PA346#v=onepage&q&f=false LINK5]
 
 
|-
 
|-
−
| GASKINS, Donald Henry
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 558}</math>||<math> 463</math>||<math> 593</math>||<math> 673</math>||<math> 1013</math>||<math> 1583</math>||<math> 2243</math>
−
| style="text-align: center" | D1-8-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1953
 
−
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Donald_Henry_Gaskins LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Donald_Henry_Gaskins LINK2], [https://murderpedia.org/male.G/g1/gaskins-donald-henry.htm LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| GEARY, Melvin Joseph
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 564}</math>||<math> 109</math>||<math> 179</math>||<math> 659</math>||<math> 719</math>||<math> 859</math>||<math> 1429</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/geary-melvin-joseph.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GIBBS, David Earl
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 23</math>||<math> 31</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 163</math>||<math> 241</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1985
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g1/gibbs-david-earl.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GIUGLIANO, Maurizio
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 576}</math>||<math> 151</math>||<math> 401</math>||<math> 541</math>||<math> 991</math>||<math> 1061</math>||<math> 1091</math>
−
| style="text-align: center" | 7-D1
 
−
| style="text-align: center" | Włochy
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/giugliano-maurizio.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GLEASON, Robert Charles, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 582}</math>||<math> 37</math>||<math> 127</math>||<math> 457</math>||<math> 647</math>||<math> 967</math>||<math> 1087</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2007
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g1/gleason-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GLEN, Paul
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 588}</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 223</math>||<math> 233</math>||<math> 443</math>||<math> 613</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2420137/Revealed-The-12-convicted-murderers-freed-licence-kill-AGAIN-past-decade.html LINK1], [http://www.murderuk.com/one_off_paul_glen.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| GOLLEHON, William Jay
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 594}</math>||<math> 5</math>||<math> 89</math>||<math> 439</math>||<math> 599</math>||<math> 839</math>||<math> 1019</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1985
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/gollehon-william-jay.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GOMEZ, Jason
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 31</math>||<math> 101</math>||<math> 173</math>||<math> 227</math>||<math> 229</math>||<math> 239</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
+
|}
−
| style="text-align: center" | UK
+
<br/>
−
| style="text-align: center" | 2001
+
&#9633;
−
| [http://www.birminghammail.co.uk/news/midlands-news/evil-killer-stabbed-fellow-inmate-11679238 LINK1], [http://www.kentonline.co.uk/sheerness/news/prisoners-get-life-for-inmates-43442/ LINK2], [http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/prisoner-who-killed-fellow-inmate-6463415 LINK3]
+
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C50</span><br/>
 +
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 5</math> i <math>n = 6</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
 +
W przypadku <math>n = 5</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 6 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 +
 
 +
W przypadku <math>n = 6</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 30 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 +
 
 +
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
 +
 
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 5}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
|-
 
|-
−
| GOMEZ, Louis Andres
 
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [http://www.courts.ca.gov/opinions/revnppub/D041699.PDF LINK1], [http://www.teenkillers.org/index.php/juvenile-lifers/offenders-cases-state/individual-offender-profiles/los-angeles-county/ LINK2], [http://articles.ivpressonline.com/2002-10-18/mental-retardation_24155089 LINK3], [http://articles.ivpressonline.com/2002-12-05/penalty-phase_24154382 LINK4], [http://www.federalcrime.us/images/Opposing_Parole_for_Serial_Killers_and_Sociopaths.pdf LINK5], [http://leginfo.legislature.ca.gov/faces/billNavClient.xhtml?bill_id=201120120SB9 LINK6]
 
 
|-
 
|-
−
| GRAY, Jimmy Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1968
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g1/gray-jimmy-lee.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Jimmy_Lee_Gray LINK2], [http://www.nytimes.com/1983/09/02/us/killer-of-3-year-old-mississippi-girl-executed-after-justices-reject-plea.html LINK3], [http://www.capitalpunishmentuk.org/Gray.pdf LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| GREEN, Gregory
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1991
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/green-gregory.htm LINK1], [https://www.washingtonpost.com/news/true-crime/wp/2017/03/08/a-woman-married-a-paroled-murderer-years-later-he-killed-all-her-children/?utm_term=.986f766c607e LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| GREEN, Malcolm
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 37</math>||<math> 107</math>||<math> 137</math>||<math> 151</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/green-malcolm.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| GROVES, Vincent Darrell
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/groves-vincent.htm LINK1],  [http://www.huffingtonpost.com/2012/03/07/denver-authorities-dead-i_n_1326477.html LINK2],  [http://articles.latimes.com/2012/mar/07/nation/la-na-nn-colorado-dna-20120307 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| GUINAN, Frank Joseph
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g1/guinan-frank-joseph.htm LINK1],  [http://www.nytimes.com/1993/10/07/us/missouri-executes-inmate-who-killed-2-while-in-prison.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| GUZMAN, James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>||<math> 113</math>||<math> 571</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [http://murderpedia.org/male.G/g/guzman-james.htm LINK1],  [http://articles.orlandosentinel.com/1996-12-03/news/9612020695_1_guzman-murder-conviction-colvin LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| HAIGH, Paul Steven
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 13</math>||<math> 61</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>||<math> 103</math>||<math> 503</math>
−
| style="text-align: center" | 6-D1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/haigh-paul-steven.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HAMEEN, Abdullah Tanzil
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h1/hameen-abdullah.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HANCOCK, Timothy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 29</math>||<math> 107</math>||<math> 239</math>||<math> 281</math>||<math> 359</math>||<math> 379</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1990
 
−
| [http://caselaw.findlaw.com/oh-supreme-court/1356855.html LINK1], [https://news.google.com/newspapers?id=Og4wAAAAIBAJ&sjid=yAMEAAAAIBAJ&pg=5376%2C891235 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| HANKS, John Norris
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hanks-john-norris.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HARRELSON, Charles Voyde
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 223</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1968
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/harrelson-charles-voyde.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HARRIS, Ambrose
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 101</math>||<math> 103</math>||<math> 367</math>||<math> 397</math>||<math> 577</math>||<math> 1013</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/harris-ambrose.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HARRIS, Richard Eugene
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 127</math>||<math> 157</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1968
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/harris-richard-eugene.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HAWKINS, Thomas William, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 263</math>||<math> 331</math>||<math> 571</math>||<math> 823</math>||<math> 947</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hawkins-thomas-william.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HEATH, Ronald Palmer
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 252}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/heath-ronald-palmer.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HEIN, Juergen
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 491</math>||<math> 557</math>||<math> 613</math>||<math> 641</math>||<math> 743</math>||<math> 827</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Niemcy
 
−
| style="text-align: center" | 1967
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hein-juergen.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HENRY, John Ruthell
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 83</math>||<math> 223</math>||<math> 383</math>||<math> 419</math>||<math> 509</math>||<math> 523</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/henry-john-ruthel.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HERNANDEZ-LLANAS, Ramiro
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 79</math>||<math> 113</math>||<math> 127</math>||<math> 317</math>||<math> 457</math>||<math> 491</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | Meksyk/USA
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [https://www.bbc.com/news/world-us-canada-26964869 LINK1], [https://www.dailymail.co.uk/news/article-2601239/I-no-pain-no-guilt-All-I-love-Mexican-national-executed-1997-beating-death-Texas-man.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| HILL, Warren Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 227</math>||<math> 293</math>||<math> 349</math>||<math> 577</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1985
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hill-warren-lee.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HINES, Douglas, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 59</math>||<math> 229</math>||<math> 311</math>||<math> 619</math>||<math> 1097</math>||<math> 1489</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hines-douglas.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HINOJOSA, Richard
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 19</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 67</math>||<math> 193</math>||<math> 199</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h1/hinojosa-richard.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HITTLE, Daniel Joe
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 426}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 2-B5
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h1/hittle-daniel-joe.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HOLLAND, Tommy P.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 11</math>||<math> 149</math>||<math> 193</math>||<math> 599</math>||<math> 1033</math>||<math> 1117</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2015
 
−
| [https://www.wishtv.com/news/crime-watch-8/pendleton-prisoner-receives-3rd-life-sentence-after-fatally-stabbing-inmate/ LINK1], [https://www.dailymail.co.uk/news/article-8748201/Man-serving-life-requests-death-Indiana-prison-slaying.html LINK2], [https://lailasnews.com/convicted-us-murderer-serving-two-life-sentences-tells-judge-hell-kill-again-unless-hes-given-death-penalty-after-murdering-fellow-inmate/ LINK3], [https://www.lawenforcementtoday.com/murderer-ill-keep-dropping-bodies-until-you-give-me-the-death-penalty/ LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| HORTON, Wayne Donald
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 474}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 3-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/horton-wayne-donald.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HUGUELEY, Stephen Lynn
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 11</math>||<math> 347</math>||<math> 491</math>||<math> 1019</math>||<math> 1103</math>||<math> 1723</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [https://www.o2.pl/informacje/mial-zaraz-poznac-date-swojej-smierci-zostal-znaleziony-martwy-w-celi-6661971651324672a LINK1], [https://murderpedia.org/male.H/h/hugueley-stephen.htm LINK2], [https://eu.dnj.com/story/news/crime/2021/07/16/tennessee-death-row-inmate-stephen-hugueley-found-dead/7990283002/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| HUNT, Brian Alpress
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 13</math>||<math> 89</math>||<math> 97</math>||<math> 167</math>||<math> 229</math>||<math> 419</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hunt-brian-alpress.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HUNTER, Bert Leroy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 113</math>||<math> 211</math>||<math> 281</math>||<math> 379</math>||<math> 673</math>||<math> 919</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1968
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h1/hunter-bert-leroy.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| HUNTER, Steven James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 31</math>||<math> 157</math>||<math> 241</math>||<math> 269</math>||<math> 647</math>||<math> 839</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://murderpedia.org/male.H/h/hunter-steven.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| JABLONSKI, Philip Carl
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 594}</math>||<math> 5</math>||||||||||
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.J/j/jablonski-philip.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Phillip_Carl_Jablonski LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| JACKSON, Larry Kenneth
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 283</math>||<math> 311</math>||<math> 353</math>||<math> 509</math>||<math> 1223</math>||<math> 1531</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
+
|}
−
| style="text-align: center" | USA
+
{| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
−
| style="text-align: center" | 1985
+
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
−
| [http://murderpedia.org/male.J/j1/jackson-larry-kenneth.htm LINK]
+
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 6}</math>
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
+
|- style="text-align: center;"
−
| JACKSON, Patricia Ann Thomas
+
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
+
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/female.J/j/jackson-patricia-ann.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| JACKSON, Royston
 
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/england/norfolk/8583541.stm LINK1], [http://www.theguardian.com/society/2010/apr/07/gordon-boon-murdered LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| JOHNSON, Cecil J., Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 107</math>||<math> 359</math>||<math> 541</math>||<math> 2221</math>||<math> 6673</math>
−
| style="text-align: center" | 3-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://murderpedia.org/male.J/j1/johnson-cecil-jr.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| JOHNSON, George
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 53</math>||<math> 641</math>||<math> 5443</math>||<math> 10091</math>||<math> 12457</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-1383104/Widow-89-battered-death-released-murderer-handyman.html LINK1], [http://www.expressandstar.com/news/2011/04/22/murderer-george-johnson-kills-again/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| JOHNSON, Theodore
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 13</math>||<math> 503</math>||<math> 1973</math>||<math> 2351</math>||<math> 5081</math>||<math> 10709</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [https://www.independent.co.uk/news/uk/crime/theodore-johnson-serial-wife-killer-26-years-murdering-third-partner-angela-best-old-bailey-courts-a8144176.html LINK1], [http://www.bbc.com/news/uk-42583114 LINK2], [https://www.theguardian.com/uk-news/2018/mar/08/theodore-johnson-man-killed-three-partners-harsher-sentence-appeal LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| JONES, Claude Howard
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 239</math>||<math> 281</math>||<math> 701</math>||<math> 2339</math>||<math> 2437</math>||<math> 10613</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1976
 
−
| [http://murderpedia.org/male.J/j1/jones-claude-howard.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| JONES, David Wyatt
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 2467</math>||<math> 4637</math>||<math> 6079</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://murderpedia.org/male.J/j/jones-david-wyatt.htm LINK1],  [http://kidnappingmurderandmayhem.blogspot.com/2008/11/unnecessary-death.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| JORDAN Hilman
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 397</math>||<math> 1013</math>||<math> 1307</math>||<math> 17029</math>||<math> 20963</math>||<math> 24337</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [https://www.washingtonpost.com/local/public-safety/dc-admits-lax-monitoring-of-mental-patient-accused-in-unprovoked-killing/2019/11/19/96ad647a-0af5-11ea-bd9d-c628fd48b3a0_story.html LINK1], [https://www.washingtonpost.com/opinions/dc-must-provide-answers-on-the-unprovoked-killing-of-javed-bhutto/2019/11/09/bc0f1308-ffe7-11e9-9518-1e76abc088b6_story.html LINK2], [https://heraldpublicist.com/pak-origin-scholar-killed-by-man-who-shot-a-friend-and-was-in-asylum/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| JULIUS, Arthur James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 47</math>||<math> 179</math>||<math> 199</math>||<math> 257</math>||<math> 389</math>
−
| style="text-align: center" | 1-C1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.J/j1/julius-arthur-james.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KAYA, Ali
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 331</math>||<math> 2207</math>||<math> 3677</math>||<math> 5021</math>||<math> 6323</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B9
 
−
| style="text-align: center" | Turcja
 
−
| style="text-align: center" | 1997
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/kaya-ali.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Ali_Kaya_%28serial_killer%29 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| KAYAPINAR, Hamdi
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 557</math>||<math> 1201</math>||<math> 2377</math>||<math> 8467</math>||<math> 9923</math>||<math> 12107</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B6-B1
 
−
| style="text-align: center" | Turcja
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Hamdi_Kayap%C4%B1nar LINK1], [http://www.hurriyetdailynews.com/turkish-serial-killer-the-hunter-sentenced-to-life-in-prison-again-141154 LINK2], [https://www.dailysabah.com/investigations/2018/08/08/serial-killer-back-in-prison-after-another-murder LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| KELL, Troy Michael
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 83</math>||<math> 223</math>||<math> 587</math>||<math> 1511</math>||<math> 4073</math>||<math> 4423</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/kell-troy-michael.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KEMPER III, Edmund Emil
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 127</math>||<math> 491</math>||<math> 2129</math>||<math> 2857</math>||<math> 3137</math>||<math> 5153</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B8
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1964
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/kemper-edmund.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KENNEDY, Edward Dean
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 227</math>||<math> 577</math>||<math> 1669</math>||<math> 9187</math>||<math> 13331</math>||<math> 13933</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k1/kennedy-edward-dean.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KEOUGH, Roy E.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 229</math>||<math> 3701</math>||<math> 9007</math>||<math> 9833</math>||<math> 13291</math>||<math> 17911</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/keough-roy.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KILGORE, Dean
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 193</math>||<math> 613</math>||<math> 743</math>||<math> 1289</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/kilgore-dean.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KINSMAN, Ronald Leroy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 149</math>||<math> 1381</math>||<math> 1451</math>||<math> 3607</math>||<math> 5651</math>||<math> 8521</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/kinsman-ronald-leroy.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KIRKLAND, Anthony
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 11</math>||<math> 5051</math>||<math> 8719</math>||<math> 10567</math>||<math> 11113</math>||<math> 13591</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/kirkland-anthony.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KOEDATICH, James J.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 97</math>||<math> 419</math>||<math> 811</math>||<math> 3191</math>||<math> 3583</math>||<math> 4283</math>
−
| style="text-align: center" | D1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/koedatich-james.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| KOMIN, Alexander
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 379</math>||<math> 673</math>||<math> 3851</math>||<math> 3907</math>||<math> 7043</math>||<math> 12377</math>
−
| style="text-align: center" | D1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.K/k/komin.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LADD, Robert Charles
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 269</math>||<math> 1039</math>||<math> 2887</math>||<math> 3853</math>||<math> 10979</math>||<math> 11399</math>
−
| style="text-align: center" | 3-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l/ladd-robert-charles.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LAGRONE, Edward Lewis
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 8839</math>||<math> 23371</math>||<math> 38183</math>||<math> 44189</math>||<math> 59743</math>||<math> 63467</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l1/lagrone-edward-lewis.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LANDRIGAN, Jeffrey Timothy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 179</math>||<math> 193</math>||<math> 1637</math>||<math> 2267</math>||<math> 2897</math>||<math> 4813</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l1/landrigan-jeffrey.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LANG, Donald
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 660}</math>||<math> 163</math>||<math> 317</math>||<math> 401</math>||<math> 2753</math>||<math> 3229</math>||<math> 5077</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1965
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l/lang-donald.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LEE, Desmond
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 690}</math>||<math> 277</math>||<math> 1523</math>||<math> 6101</math>||<math> 10427</math>||<math> 15971</math>||<math> 27059</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1989
 
−
| [http://www.examiner.co.uk/news/west-yorkshire-news/christopher-pratt-murder-accused-desmond-5000913 LINK1], [http://www.dewsburyreporter.co.uk/news/local/gay-lover-died-in-drug-sex-session-1-1353320 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| LEGERE, Allan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 720}</math>||<math> 1231</math>||<math> 3793</math>||<math> 4003</math>||<math> 6229</math>||<math> 7573</math>||<math> 10079</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E4
 
−
| style="text-align: center" | Kanada
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Allan_Legere LINK1], [https://murderpedia.org/male.L/l/legere-allan.htm LINK2], [https://www.cbc.ca/news/canada/new-brunswick/allan-legere-capture-30-years-1.5369306 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| LEICESTER, Mark
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 750}</math>||<math> 1051</math>||<math> 1289</math>||<math> 1583</math>||<math> 2857</math>||<math> 12377</math>||<math> 18523</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1988
 
−
| [http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/321833.stm LINK1], [http://www.theguardian.com/uk/1999/apr/17/vikramdodd LINK2], [http://www.telegraph.co.uk/news/uknews/1349257/Jailed-murderer-killed-again-on-a-days-parole.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| LIBERTY, Robert Willard
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 780}</math>||<math> 1151</math>||<math> 3517</math>||<math> 3923</math>||<math> 4637</math>||<math> 5309</math>||<math> 9929</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l/liberty-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LITTLE, Dwaine Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 810}</math>||<math> 1993</math>||<math> 7817</math>||<math> 11443</math>||<math> 17519</math>||<math> 52631</math>||<math> 109919</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1964
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l/little-dwaine.htm LINK1], [https://news.google.com/newspapers?nid=1310&dat=19660211&id=WaxVAAAAIBAJ&sjid=DOEDAAAAIBAJ&pg=5587,2135664&hl=pl LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| LORD, Brian Keith
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 97</math>||<math> 313</math>||<math> 1061</math>||<math> 1753</math>||<math> 1901</math>||<math> 2593</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l/lord-brian-keith.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Brian_Keith_Lord LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| LUCAS, Henry Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 870}</math>||<math> 2039</math>||<math> 2179</math>||<math> 5273</math>||<math> 5987</math>||<math> 9431</math>||<math> 10957</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B10
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1960
 
−
| [http://www.murderpedia.org/male.L/l/lucas-henry-lee.htm LINK1], [https://pl.wikipedia.org/wiki/Henry_Lee_Lucas LINK2], [https://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Lee_Lucas LINK3], [https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_serial_killers_by_number_of_victims#Disputed_cases LINK4], [http://www.biography.com/people/henry-lee-lucas-11735804 LINK5]
 
 
|-
 
|-
−
| LUNDIN, Peter
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 900}</math>||<math> 1747</math>||<math> 12541</math>||<math> 14767</math>||<math> 21193</math>||<math> 31511</math>||<math> 40289</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | USA/Dania
 
−
| style="text-align: center" | 1991
 
−
| [http://murderpedia.org/male.L/l/lundin-peter.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| LUST, Kevin Carl
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 930}</math>||<math> 7</math>||<math> 293</math>||<math> 9043</math>||<math> 10247</math>||<math> 34327</math>||<math> 38891</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1993
 
−
| [http://www.chiefads.com/news/local/territorial-inmate-gets-more-years/article_d60c8722-9254-11e0-aaaa-001cc4c03286.html LINK1], [http://www.oregonlive.com/news/index.ssf/2009/11/man_convicted_of_1993_portland.html LINK2], [http://lmtribune.com/murderer-kevin-lust-gets-life-in-prison/article_4159beee-871a-5c7d-b28f-fffc9f7f253a.html LINK3], [http://community.seattletimes.nwsource.com/archive/?date=19930304&slug=1688707 LINK4], [https://news.google.com/newspapers?id=58AjAAAAIBAJ&sjid=89AFAAAAIBAJ&pg=6474%2C914097 LINK5], [https://news.google.com/newspapers?id=MVsfAAAAIBAJ&sjid=GvEDAAAAIBAJ&pg=6352%2C3520600 LINK6]
 
 
|-
 
|-
−
| MAIDMENT, Alan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 960}</math>||<math> 4943</math>||<math> 8737</math>||<math> 15373</math>||<math> 28351</math>||<math> 35393</math>||<math> 36919</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1999
 
−
| [https://www.thesun.co.uk/news/4657820/convicted-murderer-kills-again-less-than-a-year-after-being-released-from-a-life-sentence-for-strikingly-similar-attack/ LINK1], [http://www.bbc.com/news/uk-england-manchester-41561207 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| MANN, Nathan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 990}</math>||<math> 1249</math>||<math> 1319</math>||<math> 2467</math>||<math> 2957</math>||<math> 4049</math>||<math> 8291</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 2007
 
−
| [http://www.theguardian.com/uk/2012/jul/12/pair-killed-disembowelled-inmate LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MANTOVANI, Antonio
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1020}</math>||<math> 887</math>||<math> 929</math>||<math> 2441</math>||<math> 4639</math>||<math> 15083</math>||<math> 19997</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | Włochy
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mantovani-antonio.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MARQUETTE, Richard Lawrence
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 53</math>||<math> 257</math>||<math> 443</math>||<math> 839</math>||<math> 1103</math>||<math> 3469</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1961
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/marquette-richard.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MARTYNOV, Sergey
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1080}</math>||<math> 1423</math>||<math> 9011</math>||<math> 10663</math>||<math> 27799</math>||<math> 36493</math>||<math> 51473</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B8
 
−
| style="text-align: center" | Rosja
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/martynov-sergey.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MASHIANE, Johannes
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1110}</math>||<math> 3847</math>||<math> 9643</math>||<math> 10357</math>||<math> 11743</math>||<math> 16223</math>||<math> 21977</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B12
 
−
| style="text-align: center" | RPA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mashiane-johannes.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Mashiane LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| MASSIE, Robert Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1140}</math>||<math> 1063</math>||<math> 1301</math>||<math> 1553</math>||<math> 1777</math>||<math> 5683</math>||<math> 6397</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1965
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m1/massie-robert-lee.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MATTHEWS, Ryan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1170}</math>||<math> 379</math>||<math> 701</math>||<math> 911</math>||<math> 2143</math>||<math> 2297</math>||<math> 2857</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2903643/Paranoid-schizophrenic-stabbed-nurse-death-wouldn-t-sent-no-smoking-unit-without-wifi-never-released-judge-tells-him.html LINK1], [http://www.bbc.com/news/uk-england-gloucestershire-30729493 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| MAUDSLEY, Robert
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1200}</math>||<math> 367</math>||<math> 2677</math>||<math> 3391</math>||<math> 18749</math>||<math> 34961</math>||<math> 59699</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D3
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Maudsley LINK1], [http://www.theguardian.com/uk/2003/apr/27/ukcrime LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| MAUST, David Edward
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1230}</math>||<math> 2539</math>||<math> 6053</math>||<math> 6823</math>||<math> 9091</math>||<math> 12101</math>||<math> 14831</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B3
 
−
| style="text-align: center" | Niemcy/USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/maust-david.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| McCAFFERTY, Archibald Beattie
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 359</math>||<math> 617</math>||<math> 739</math>||<math> 1051</math>||<math> 1619</math>||<math> 1931</math>
−
| style="text-align: center" | 3-D1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mccafferty-archibald.htm LINK1], [http://www.parliament.nsw.gov.au/prod/parlment/hansart.nsf/V3Key/LA20010405017 LINK2], [https://news.google.com/newspapers?id=JftjAAAAIBAJ&sjid=p-UDAAAAIBAJ&pg=1425%2C8046941 LINK3], [https://news.google.com/newspapers?id=XoVWAAAAIBAJ&sjid=o-YDAAAAIBAJ&pg=6984%2C2719251 LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| McDONALD, Roderick
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1290}</math>||<math> 149</math>||<math> 17747</math>||<math> 20981</math>||<math> 24481</math>||<math> 46643</math>||<math> 47917</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mcdonald-roderick.htm LINK1], [http://www.heraldscotland.com/news/12614665.Bisexual_man_gets_life_sentence_for_murder_of_wife/ LINK2], [http://www.blackpoolgazette.co.uk/news/kinky-killer-found-dead-in-his-cell-1-407941 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| McDUFF, Kenneth Allen
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1320}</math>||<math> 53</math>||<math> 977</math>||<math> 991</math>||<math> 2237</math>||<math> 9461</math>||<math> 20983</math>
−
| style="text-align: center" | 3-B6
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m1/mcduff-kenneth.htm LINK1],  [http://pl.wikipedia.org/wiki/Kenneth_McDuff LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| McGINLAY, Joseph
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1350}</math>||<math> 811</math>||<math> 937</math>||<math> 3877</math>||<math> 14923</math>||<math> 16001</math>||<math> 18493</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mcginlay-joseph.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| McLAUGHLIN, Jeremy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1380}</math>||<math> 3613</math>||<math> 9227</math>||<math> 15541</math>||<math> 16927</math>||<math> 17417</math>||<math> 18089</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Australia/Nowa Zelandia
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mclaughlin-jeremy.htm LINK1], [http://www.stuff.co.nz/national/crime/70660631/double-child-killer-jeremy-mclaughlins-appeal-dismissed.html LINK2], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2315145/Convicted-killer-strangled-13-year-old-British-girl-burned-house-cover-tracks-attack-ex-lovers-daughter-New-Zealand.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| McLOUGHLIN, Ian John
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1410}</math>||<math> 367</math>||<math> 2593</math>||<math> 12421</math>||<math> 50599</math>||<math> 60889</math>||<math> 80629</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1-C1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1984
 
−
| [http://www.theguardian.com/uk-news/2013/oct/21/convicted-killer-admits-graham-buck-murder LINK1], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2470058/Triple-killer-Ian-McLoughlin-murdered-Good-Samaritan-jailed-40-years.html LINK2], [http://www.bbc.com/news/uk-england-beds-bucks-herts-24608144 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| MEACH III, Charles L.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1440}</math>||<math> 439</math>||<math> 6277</math>||<math> 20753</math>||<math> 21929</math>||<math> 39079</math>||<math> 57727</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/meach-charles.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MELLORS, Simon
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 1279</math>||<math> 1877</math>||<math> 2383</math>||<math> 2393</math>||<math> 2749</math>||<math> 2801</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1999
 
−
| [http://www.bbc.com/news/uk-england-nottinghamshire-43704929 LINK1], [https://www.thesun.co.uk/news/5705898/accused-murderer-simon-mellors-hanged-himself-cell-killed-two-girlfriends/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| MILLER, Joseph Robert
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1500}</math>||<math> 7331</math>||<math> 8423</math>||<math> 15493</math>||<math> 28513</math>||<math> 31607</math>||<math> 38453</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1976
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/miller-joseph-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MINGHELLA, Maurizio
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1530}</math>||<math> 2741</math>||<math> 3203</math>||<math> 8537</math>||<math> 14389</math>||<math> 20143</math>||<math> 21277</math>
−
| style="text-align: center" | 5-B3
 
−
| style="text-align: center" | Włochy
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/minghella-maurizio.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MITCHELL, David
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1560}</math>||<math> 419</math>||<math> 727</math>||<math> 3499</math>||<math> 3919</math>||<math> 6257</math>||<math> 9029</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1990
 
−
| [http://www.bbc.com/news/uk-england-leeds-27768323 LINK1], [http://www.examiner.co.uk/news/west-yorkshire-news/murderers-like-david-mitchell-kill-7245450 LINK2], [http://www.mirror.co.uk/news/uk-news/released-murderer-caught-cctv-victim-3669093 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| MITCHELL, William Gerald
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1590}</math>||<math> 2213</math>||<math> 2339</math>||<math> 4523</math>||<math> 6469</math>||<math> 9241</math>||<math> 9857</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mitchell-william-gerald.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MONE, Robert Francis
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1620}</math>||<math> 7717</math>||<math> 9103</math>||<math> 12379</math>||<math> 37607</math>||<math> 43613</math>||<math> 46567</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E3
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1967
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m/mone-robert.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Mone LINK2]
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| MOSS, Pamela Carole
 
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1996
 
−
| [http://murderpedia.org/female.M/m/moss-pamela.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MOTTS, Jeffrey
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1650}</math>||<math> 19</math>||<math> 3001</math>||<math> 3659</math>||<math> 4051</math>||<math> 4289</math>||<math> 11527</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m1/motts-jeffrey.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MUHAMMAD, Askari Abdullah
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 197</math>||<math> 997</math>||<math> 1289</math>||<math> 1319</math>||<math> 2309</math>||<math> 2683</math>
−
| style="text-align: center" | 2-E1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m1/muhammad-askari.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| MU'MIN, Dawud Majid
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1710}</math>||<math> 373</math>||<math> 1549</math>||<math> 1913</math>||<math> 2711</math>||<math> 12539</math>||<math> 15031</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.M/m1/mumin-dawud.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| NASH, Viva Leroy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1740}</math>||<math> 1621</math>||<math> 5387</math>||<math> 6269</math>||<math> 15551</math>||<math> 61723</math>||<math> 77543</math>
−
| style="text-align: center" | B1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.N/n/nash-viva-leroy.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| NAYLOR, George
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1770}</math>||<math> 1483</math>||<math> 13691</math>||<math> 15329</math>||<math> 20873</math>||<math> 23869</math>||<math> 29917</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1985
 
−
| [https://www.chroniclelive.co.uk/news/north-east-news/freedom-bid-killer-rejected-1616350 LINK1], [https://www.thetelegraphandargus.co.uk/news/8068678.the-nearest-thing-to-a-serial-killer/ LINK2], [https://en.wikipedia.org/wiki/Murdered_sex_workers_in_the_United_Kingdom LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| NEUSCHAFER, Julius Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1800}</math>||<math> 421</math>||<math> 967</math>||<math> 1499</math>||<math> 6217</math>||<math> 30983</math>||<math> 37171</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.N/n/neuschafer-julius.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| NICOLAUS, Robert Henry
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1830}</math>||<math> 31</math>||<math> 17909</math>||<math> 46567</math>||<math> 89057</math>||<math> 105619</math>||<math> 128341</math>
−
| style="text-align: center" | 3-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1964
 
−
| [http://murderpedia.org/male.N/n/nicolaus-robert-henry.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| O'HARA, Paul
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1860}</math>||<math> 5087</math>||<math> 6151</math>||<math> 9133</math>||<math> 16567</math>||<math> 23819</math>||<math> 29881</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [http://www.bbc.com/news/uk-england-lancashire-28089357 LINK1], [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2675314/Convicted-murderer-stabbed-girlfriend-death-detectives-freed-early-jail-previous-killing-die-bars.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| O'NEAL II, Robert Earl
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 23</math>||<math> 727</math>||<math> 1109</math>||<math> 1279</math>||<math> 1409</math>||<math> 1543</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.O/o1/oneal-robert-earl.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| OBERHANSLEY, Joseph
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1920}</math>||<math> 79</math>||<math> 1493</math>||<math> 13967</math>||<math> 19973</math>||<math> 41351</math>||<math> 46867</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-3050923/Indiana-man-face-rape-charge-ex-girlfriends-death.html LINK1] [http://www.wprost.pl/ar/469536/Zabil-dziewczyne-i-matke-a-po-wyjsciu-z-wiezienia-zjadl-wnetrznosci-mlodej-kobiety/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| OLIVER, Russell
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1950}</math>||<math> 3259</math>||<math> 4813</math>||<math> 8803</math>||<math> 12373</math>||<math> 13577</math>||<math> 13619</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 2013
 
−
| [https://www.thesun.co.uk/news/4166109/murderers-awarded-380000-in-legal-aid/ LINK1], [http://www.bbc.com/news/uk-england-35894749 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| OSUNA, Jaime
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1980}</math>||<math> 1511</math>||<math> 3863</math>||<math> 4969</math>||<math> 5039</math>||<math> 7027</math>||<math> 9337</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2011
 
−
| [https://fakty.interia.pl/swiat/news-obcial-wspolwiezniowi-glowe-wczesniej-go-torturowal,nId,2961999 LINK1], [https://www.mirror.co.uk/news/us-news/convicted-killer-tortured-beheaded-cellmate-14791081 LINK2], [https://www.apnews.com/694230bcd84f43cabe913b7a04cccd8c LINK3], [https://www.latimes.com/local/lanow/la-me-ln-inmate-beheads-cellmate-20190426-story.html LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| PARKER, Norman, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2010}</math>||<math> 1303</math>||<math> 3739</math>||<math> 7309</math>||<math> 13763</math>||<math> 22093</math>||<math> 31151</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.P/p/parker-norman.htm LINK1], [http://law.justia.com/cases/florida/supreme-court/1984/61512-0.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| PIGGE, Casey
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2040}</math>||<math> 1039</math>||<math> 6779</math>||<math> 7507</math>||<math> 8963</math>||<math> 10069</math>||<math> 12281</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2008
 
−
| [https://eu.chillicothegazette.com/story/news/2016/06/27/casey-pigge-chillicothe-murder-2008/86443092/ LINK1], [https://www.daytondailynews.com/news/prison-guards-didn-know-inmate-bus-was-being-murdered/u1iPtDYMtxgtjAp03i41KK/ LINK2], [https://www.denverpost.com/2017/09/27/ohio-killer-hannibal-lecter-gets-25-years/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| PILLADO, Raymond
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2070}</math>||<math> 1097</math>||<math> 2063</math>||<math> 2917</math>||<math> 4289</math>||<math> 6571</math>||<math> 11149</math>
−
| style="text-align: center" | 3-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2006
 
−
| [https://newsok.com/article/3417398/3-time-oklahoma-city-killer-gets-3-life-sentences LINK1], [https://nypost.com/2019/02/27/convicted-child-killer-beaten-strangled-to-death-by-cellmate/ LINK2], [https://www.fakt.pl/wydarzenia/swiat/usa-siedzial-za-zabojstwo-8-latki-sam-zostal-zabity/7blhcz2 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| PINTARIC, Vinko
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 29</math>||<math> 281</math>||<math> 757</math>||<math> 1459</math>||<math> 1847</math>||<math> 2503</math>
−
| style="text-align: center" | 2-E3
 
−
| style="text-align: center" | Chorwacja
 
−
| style="text-align: center" | 1973
 
−
| [http://murderpedia.org/male.P/p/pintaric-vinko.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| PORTER, James Scott
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2130}</math>||<math> 3677</math>||<math> 5077</math>||<math> 11699</math>||<math> 17159</math>||<math> 21149</math>||<math> 31159</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://murderpedia.org/male.P/p1/porter-james-scott.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| POUGH, James Edward
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2160}</math>||<math> 5849</math>||<math> 6619</math>||<math> 24329</math>||<math> 43019</math>||<math> 114419</math>||<math> 126823</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B11
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/James_Edward_Pough LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| PRATT, Steven
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2190}</math>||<math> 643</math>||<math> 4283</math>||<math> 4339</math>||<math> 23743</math>||<math> 24821</math>||<math> 30211</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1984
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-2790614/steven-pratt-convicted-murderer-clubbed-64-year-old-mother-gwendolyn-death-just-two-days-release-30-year-prison-sentence.html LINK1], [http://www.huffingtonpost.com/2014/10/13/steven-pratt-mother-killed_n_5975428.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| PREJEAN, Dalton
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2220}</math>||<math> 4229</math>||<math> 11243</math>||<math> 11467</math>||<math> 12503</math>||<math> 13693</math>||<math> 26209</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.P/p1/prejean-dalton.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Dalton_Prejean LINK2], [http://www.nytimes.com/1990/05/19/us/louisiana-executes-man-who-killed-at-age-17.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| PRUETT, Robert Lynn
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2250}</math>||<math> 4721</math>||<math> 6359</math>||<math> 17321</math>||<math> 19477</math>||<math> 21661</math>||<math> 23117</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://murderpedia.org/male.P/p/pruett-robert-lynn.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| QUINTILIANO, Matthew
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2280}</math>||<math> 719</math>||<math> 2399</math>||<math> 15797</math>||<math> 22391</math>||<math> 23189</math>||<math> 27809</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Q/q/quintiliano-matthew.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| RARDON, Gary Duane
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 37</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>||<math> 547</math>||<math> 661</math>||<math> 859</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1962
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r/rardon-gary.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| RIVERA, Vincent Faustino
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2340}</math>||<math> 107</math>||<math> 4363</math>||<math> 5483</math>||<math> 9613</math>||<math> 12413</math>||<math> 14737</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1990
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r/rivera-vincent.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ROBEDEAUX, James Glenn
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2370}</math>||<math> 1187</math>||<math> 1831</math>||<math> 4211</math>||<math> 7963</math>||<math> 9419</math>||<math> 15607</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r1/robedeaux-james.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ROBINSON, John George
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2400}</math>||<math> 503</math>||<math> 853</math>||<math> 4787</math>||<math> 15091</math>||<math> 20327</math>||<math> 23603</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1962
 
−
| [https://www.examinerlive.co.uk/whats-on/killers-strike-being-set-free-5044068 LINK1], [https://www.pressreader.com/uk/yorkshire-post/20141004/281973195886778 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| ROBINSON, Leigh
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2430}</math>||<math> 13217</math>||<math> 31039</math>||<math> 38851</math>||<math> 43261</math>||<math> 46747</math>||<math> 67481</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Australia
 
−
| style="text-align: center" | 1968
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r/robinson-leigh.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| RODRIGUEZ, Michael Anthony
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2460}</math>||<math> 227</math>||<math> 1459</math>||<math> 6779</math>||<math> 6863</math>||<math> 18553</math>||<math> 29207</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r1/rodriguez-michael-anthony.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| RODRIGUEZ, Miguel Salas
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2490}</math>||<math> 1237</math>||<math> 7621</math>||<math> 14411</math>||<math> 19801</math>||<math> 46457</math>||<math> 55921</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [https://news.google.com/newspapers?id=ZERTAAAAIBAJ&sjid=YoUDAAAAIBAJ&pg=4117%2C5902496 LINK1], [https://news.google.com/newspapers?id=ZERTAAAAIBAJ&sjid=YoUDAAAAIBAJ&pg=2810%2C5932140 LINK2], [http://cases.justia.com/texas/third-court-of-appeals/03-02-00242-cr.pdf?ts=1396148555 LINK3], [http://offender.tdcj.state.tx.us/OffenderSearch/offenderDetail.action?sid=01712226 LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| ROUSE, Danny R.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 113</math>||<math> 709</math>||<math> 1013</math>||<math> 1181</math>||<math> 1303</math>||<math> 1409</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [http://articles.chicagotribune.com/2007-01-26/news/0701260176_1_rouse-parole-board-indiana LINK1], [http://www.cbsnews.com/news/missing-indiana-girl-found-dead/ LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| ROWELL, Robert Dale
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2550}</math>||<math> 1871</math>||<math> 9403</math>||<math> 33203</math>||<math> 36241</math>||<math> 70009</math>||<math> 74587</math>
−
| style="text-align: center" | D1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r1/rowell-robert-dale.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ROWLES, Paul Eugene
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2580}</math>||<math> 277</math>||<math> 6101</math>||<math> 29383</math>||<math> 35851</math>||<math> 55871</math>||<math> 61723</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.R/r/rowles-paul.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| RYAN, Steven
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2610}</math>||<math> 5179</math>||<math> 8539</math>||<math> 8861</math>||<math> 10093</math>||<math> 15679</math>||<math> 17989</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1993
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-3272024/Convicted-killer-murdered-pensioner-stabbing-scissors.html LINK1], [http://www.express.co.uk/news/uk/611893/Life-Fresh-demand-murderer-freed-kill-again LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SANDISON, Steven D.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2640}</math>||<math> 9283</math>||<math> 10781</math>||<math> 12377</math>||<math> 12433</math>||<math> 13679</math>||<math> 22751</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1991
 
−
| [http://www.opposingviews.com/i/society/crime/convicted-murderer-admits-killing-his-cellmate LINK1], [http://www.mlive.com/news/saginaw/index.ssf/2015/02/murderer_says_he_killed_prison.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SATTIEWHITE, Vernon Lamar
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2670}</math>||<math> 1039</math>||<math> 4133</math>||<math> 12589</math>||<math> 14731</math>||<math> 16411</math>||<math> 23789</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1976
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s1/sattiewhite-vernon.htm LINK1], [http://www.nytimes.com/1995/08/16/us/texas-executes-man-who-killed-his-ex-girlfriend-out-of-jealousy.html LINK2], [http://www.ca5.uscourts.gov/opinions\unpub\94/94-50444.0.wpd.pdf LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SATTLER, Rodney Joseph
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2700}</math>||<math> 8629</math>||<math> 10267</math>||<math> 16217</math>||<math> 17477</math>||<math> 18149</math>||<math> 19843</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/sattler-rodney-joseph.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SCARVER, Christopher J.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 19</math>||<math> 631</math>||<math> 761</math>||<math> 811</math>||<math> 1091</math>||<math> 1423</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1990
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/scarver-christopher.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Christopher_Scarver LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SCHMITZ, Leroy
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2760}</math>||<math> 7</math>||<math> 2473</math>||<math> 2767</math>||<math> 9137</math>||<math> 9403</math>||<math> 9767</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1986
 
−
| [http://missoulian.com/whitefish-murder-suspect-convicted-of-similar-killing-in-massachusetts/article_eb4450ef-0a04-53b5-a7c9-19339b411c52.html LINK1], [http://www.southcoasttoday.com/article/19990622/news/306229995 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SHAWCROSS, Arthur John
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2790}</math>||<math> 6899</math>||<math> 15733</math>||<math> 20353</math>||<math> 20899</math>||<math> 23447</math>||<math> 29201</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B11
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/shawcross-arthur.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SHREENAN, Alan
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2820}</math>||<math> 727</math>||<math> 1259</math>||<math> 3023</math>||<math> 7951</math>||<math> 17989</math>||<math> 20201</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://www.dailyrecord.co.uk/news/local-news/dumbarton-double-killer-working-kids-2587812 LINK1], [http://www.heraldscotland.com/news/12132069.Freed_killer_jailed_for_stabbing_death/ LINK2], [https://www.highbeam.com/doc/1G1-80257437.html LINK3], [http://www.telegraph.co.uk/news/uknews/1387977/Ten-men-freed-to-kill-and-rape.html LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| SIEBERT, Daniel Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2850}</math>||<math> 379</math>||<math> 463</math>||<math> 2843</math>||<math> 4831</math>||<math> 9661</math>||<math> 10067</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B8
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Lee_Siebert LINK1], [http://murderpedia.org/male.S/s/siebert-daniel.htm LINK2], [https://www.youtube.com/watch?v=1sBqgOUIScw LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SILVA, Mauricio Rodriguez
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2880}</math>||<math> 1459</math>||<math> 2803</math>||<math> 4973</math>||<math> 7283</math>||<math> 8543</math>||<math> 12281</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/silva-mauricio-rodriguez.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SILVERSTEIN, Thomas
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2910}</math>||<math> 397</math>||<math> 12409</math>||<math> 19087</math>||<math> 25121</math>||<math> 37441</math>||<math> 41081</math>
−
| style="text-align: center" | 0-D1-D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Silverstein LINK1], [https://murderpedia.org/male.S/s/silverstein-thomas.htm LINK2], [https://www.denverpost.com/2019/05/22/thomas-silverstein-dies-in-lakewood/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SIMMONS, Denver<ref name="simmons_denver"/>
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 17</math>||<math> 383</math>||<math> 691</math>||<math> 983</math>||<math> 2393</math>||<math> 2797</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2007
 
−
| [http://abcnews4.com/archive/man-pleads-guilty-to-killing-woman-her-son LINK1], [http://www.wmbfnews.com/story/13119814/suspect-pleads-guilty-in-2007-murder-of-mother-son LINK2], [http://wtkr.com/2017/04/11/man-accused-of-murdering-4-inmates-in-south-carolina-has-ties-to-virginia-beach/ LINK3], [https://www.postandcourier.com/archives/boyfriend-accused-in-slayings-of-police-sailor-killed-sangaree-intermediate/article_79f556d6-c410-5e6f-ad9b-32c37bc130fe.html LINK4], [http://www.independent.co.uk/news/world/americas/murder-death-row-prisoner-strangled-inmates-denver-simmons-jacob-philips-south-carolina-a7811571.html LINK5], [https://www.usatoday.com/story/news/nation-now/2017/04/08/2-inmates-charged-killing-4-south-carolina-prison/100211802/ LINK6], [https://www.usnews.com/news/best-states/south-carolina/articles/2017-06-27/inmate-details-4-prison-killings-i-did-it-for-nothing LINK7]
 
 
|-
 
|-
−
| SIMON, Robert R.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2970}</math>||<math> 1031</math>||<math> 2879</math>||<math> 3593</math>||<math> 5147</math>||<math> 6029</math>||<math> 6673</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/simon-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SINCLAIR, Angus Robertson
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3000}</math>||<math> 907</math>||<math> 35543</math>||<math> 45413</math>||<math> 60337</math>||<math> 65713</math>||<math> 89009</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B7
+
|}
−
| style="text-align: center" | UK
+
<br/>
−
| style="text-align: center" | 1961
+
&#9633;
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/sinclair-angus.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/World's_End_Murders LINK2]
+
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C51</span><br/>
 +
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> i <math>n = 8</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
 +
W przypadku <math>n = 7</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 30 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 +
 
 +
W przypadku <math>n = 8</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 +
 
 +
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
 +
 
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 7}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 +
|-
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||||||||||
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 47</math>||<math> 179</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 619</math>||<math> 829</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 193</math>||<math> 1619</math>||<math> 2239</math>||<math> 2659</math>||<math> 4259</math>||<math> 5849</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 1637</math>||<math> 2267</math>||<math> 5569</math>||<math> 8369</math>||<math> 11003</math>||<math> 11633</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 1061</math>||<math> 1753</math>||<math> 3623</math>||<math> 4493</math>||<math> 5651</math>||<math> 6043</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 53</math>||<math> 3469</math>||<math> 6653</math>||<math> 8629</math>||<math> 8783</math>||<math> 8837</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 359</math>||<math> 1931</math>||<math> 2063</math>||<math> 3323</math>||<math> 4583</math>||<math> 13933</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 1279</math>||<math> 2393</math>||<math> 2801</math>||<math> 8117</math>||<math> 8191</math>||<math> 9661</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1289</math>||<math> 1319</math>||<math> 2683</math>||<math> 2969</math>||<math> 11261</math>||<math> 12941</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 1279</math>||<math> 1723</math>||<math> 1811</math>||<math> 1879</math>||<math> 2693</math>||<math> 4583</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 1847</math>||<math> 3947</math>||<math> 26497</math>||<math> 34913</math>||<math> 35771</math>||<math> 36187</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 71</math>||<math> 547</math>||<math> 1019</math>||<math> 1063</math>||<math> 1367</math>||<math> 1747</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 113</math>||<math> 1181</math>||<math> 1409</math>||<math> 5413</math>||<math> 7109</math>||<math> 7933</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 631</math>||<math> 811</math>||<math> 1091</math>||<math> 2417</math>||<math> 3643</math>||<math> 3821</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2760}</math>||<math> 7</math>||||||||||
 
|-
 
|-
−
| SKILLICORN, Dennis James
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 17</math>||<math> 6317</math>||<math> 6911</math>||<math> 9433</math>||<math> 11927</math>||<math> 12373</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B5
+
|}
−
| style="text-align: center" | USA
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
−
| style="text-align: center" | 1979
+
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s1/skillicorn-dennis.htm LINK]
+
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 8}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
|-
 
|-
−
| SLOVÁK, Jozef
 
−
| style="text-align: center" | 1-B4
 
−
| style="text-align: center" | Słowacja/Czechy
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Jozef_Slov%C3%A1k LINK1], [http://murderpedia.org/male.S/s/slovak-jozef.htm LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Dennis Keith
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 619</math>||<math> 881</math>||<math> 3499</math>||<math> 3709</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1982
 
−
| [https://books.google.pl/books?id=gh6q_-Vzc0YC&lpg=PP1&hl=pl&pg=PA108#v=onepage&q&f=false LINK1], [https://products.kitsapsun.com/archive/1995/12-26/341666_vancouver__family_searches_for_.html LINK2], [https://www.columbian.com/news/2011/nov/26/vigil-planned-for-2-long-lost-women/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Frank Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 2239</math>||<math> 10243</math>||<math> 18493</math>||<math> 29297</math>||<math> 39199</math>||<math> 40343</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1960
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/smith-frank-lee.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Gary<ref name="smith_gary"/>
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 1637</math>||<math> 11003</math>||<math> 38693</math>||<math> 53161</math>||<math> 56477</math>||<math> 198971</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [https://www.theguardian.com/uk-news/2013/sep/23/prisoners-life-murdering-child-killer LINK1], [http://www.bbc.com/news/uk-england-24211219 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Gerald M.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 6043</math>||<math> 6883</math>||<math> 10861</math>||<math> 11701</math>||<math> 84521</math>||<math> 103837</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s1/smith-gerald-m.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Lemuel Warren
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 8837</math>||<math> 41507</math>||<math> 246289</math>||<math> 302273</math>||<math> 382727</math>||<math> 499679</math>
−
| style="text-align: center" | 5-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1958
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Lemuel_Smith LINK1], [http://murderpedia.org/male.S/s/smith-lemuel-warren.htm LINK2], [http://www.nytimes.com/1981/08/13/nyregion/tooth-marks-of-suspect-key-in-murder-of-guard.html LINK3], [https://books.google.pl/books?id=TqA4NcM_pm0C&lpg=PA1&ots=qF39yCJk79&dq=The%20Evil%20Within%20-%20A%20Top%20Murder%20Squad%20Detective%20Reveals%20The%20Chilling%20True&hl=pl&pg=PT238#v=onepage&q&f=false LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Michael
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 2063</math>||<math> 3323</math>||<math> 87511</math>||<math> 145949</math>||<math> 208099</math>||<math> 213247</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://news.bbc.co.uk/2/hi/uk_news/england/staffordshire/6656159.stm LINK1], [http://www.expressandstar.com/news/2007/05/15/bottle-murderer-jailed/ LINK2], [http://www.staffordshirenewsletter.co.uk/Life-murderer-killed/story-20147069-detail/story.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SMITH, Samuel D.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 8191</math>||<math> 15289</math>||<math> 101027</math>||<math> 102497</math>||<math> 187931</math>||<math> 227399</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s1/smith-samuel.htm LINK1], [https://business.highbeam.com/435553/article-1G1-74866082/missouri-set-execute-killer-prison-inmate-mother-victim LINK2], [http://missourideathrow.com/2008/12/smith_sam/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SNELGROVE, Edwin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1289</math>||<math> 11261</math>||<math> 31333</math>||<math> 33013</math>||<math> 133919</math>||<math> 193283</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/snelgrove-edwin.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SOBIG, Klaus Peter
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 2693</math>||<math> 15493</math>||<math> 15607</math>||<math> 17497</math>||<math> 45767</math>||<math> 47657</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Niemcy
 
−
| style="text-align: center" | 1976
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/sobig-klaus-peter.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SPEER, William
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 1847</math>||<math> 34913</math>||<math> 37013</math>||<math> 39113</math>||<math> 83311</math>||<math> 102871</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1991
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/speer-william.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SPENGLER, William H., Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 1019</math>||<math> 3823</math>||<math> 5557</math>||<math> 6133</math>||<math> 7853</math>||<math> 9941</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B3
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1980
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/spengler-william.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| SPIRKO, John George, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 5413</math>||<math> 7109</math>||<math> 19141</math>||<math> 21661</math>||<math> 23509</math>||<math> 24763</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1969
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/spirko-john.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| STANWORTH, Dennis
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 1091</math>||<math> 4721</math>||<math> 7451</math>||<math> 22079</math>||<math> 49339</math>||<math> 53759</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://www.insidebayarea.com/news/ci_22356622/dennis-stanworth-history-crime?source=pkg LINK1], [http://scocal.stanford.edu/opinion/people-v-stanworth-22555 LINK2], [http://www.mercurynews.com/crime-courts/ci_25370595/dennis-stanworth-found-unfit-stand-trial-allegedly-slaying LINK3], [http://www.mercurynews.com/ci_22358879/dennis-stanworth-one-107-death-row-inmates-spared LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| STEVENS, William Richard
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 9433</math>||<math> 11927</math>||<math> 14867</math>||<math> 50587</math>||<math> 80933</math>||<math> 127207</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/stevens-william-richard.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| STOKES, Winford Lavern, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 433</math>||<math> 3583</math>||<math> 7877</math>||<math> 24677</math>||<math> 27827</math>||<math> 49031</math>
−
| style="text-align: center" | 2-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1969
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s1/stokes-winford-lavern.htm LINK1], [http://missourideathrow.com/2008/12/stokes_winford/ LINK2], [https://news.google.com/newspapers?id=1skfAAAAIBAJ&sjid=rtgEAAAAIBAJ&pg=1259%2C1855127 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SUCCO, Roberto
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 6571</math>||<math> 9041</math>||<math> 39791</math>||<math> 210391</math>||<math> 213751</math>||<math> 217111</math>
−
| style="text-align: center" | 3-B4
 
−
| style="text-align: center" | Włochy/Francja
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/succo-roberto.htm LINK1],  [http://pl.wikipedia.org/wiki/Roberto_Succo LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| SUFF, William Lester
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 8971</math>||<math> 10429</math>||<math> 27737</math>||<math> 28387</math>||<math> 37313</math>||<math> 57047</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B12
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/William_Suff LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Suff LINK2], [http://murderpedia.org/male.S/s/suff-william.htm LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| SUTTON, Nicholas Todd
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 45767</math>||<math> 82037</math>||<math> 155569</math>||<math> 473513</math>||<math> 477293</math>||<math> 511873</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [http://murderpedia.org/male.S/s/sutton-nicholas-todd.htm LINK1], [https://www.foxnews.com/us/tennessee-executes-nicholas-sutton-killer-of-fellow-inmate-in-1985-after-slaying-3-in-1979 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| TAMIHERE, David Wayne
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 1699</math>||<math> 2909</math>||<math> 5689</math>||<math> 25033</math>||<math> 29873</math>||<math> 40559</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Nowa Zelandia
 
−
| style="text-align: center" | 1972
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t/tamihere-david.htm LINK1], [https://en.wikipedia.org/wiki/Murder_of_Urban_H%C3%B6glin_and_Heidi_Paakkonen LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| TAVARES, Daniel, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 12547</math>||<math> 16747</math>||<math> 37013</math>||<math> 57139</math>||<math> 89899</math>||<math> 94099</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1991
 
−
| [https://www.boston.com/uncategorized/noprimarytagmatch/2013/04/08/triple-killer-daniel-t-tavares-jr-charged-with-a-fourth-murder-1988-death-of-fall-river-woman LINK1], [https://www.bostonglobe.com/2015/12/01/man-who-killed-mother-his-neighbors-washington-now-convicted-homicide/jIbuEhWsX0nmD2uYgXxxZI/story.html LINK2], [http://www.seattletimes.com/seattle-news/family-of-slain-graham-couple-seeks-20m-over-killers-early-prison-release/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| TAYLOR, Michael
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 20809</math>||<math> 87623</math>||<math> 142271</math>||<math> 262733</math>||<math> 267143</math>||<math> 439009</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t/taylor-michael.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| TERRY, Benjamin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 103</math>||<math> 1531</math>||<math> 3083</math>||<math> 3257</math>||<math> 6427</math>||<math> 9461</math>
−
| style="text-align: center" | 3-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [https://news.google.com/newspapers?id=uVslAAAAIBAJ&sjid=raIFAAAAIBAJ&pg=4227%2C3496450 LINK1], [http://law.justia.com/cases/federal/appellate-courts/F2/974/372/437682/ LINK2], [http://law.justia.com/cases/pennsylvania/supreme-court/1975/462-pa-595-0.html LINK3], [http://articles.philly.com/1994-06-17/news/25831933_1_death-warrant-joseph-thomas-szuchon-death-sentence LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| THOMPSON, William Eugene
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 3907</math>||<math> 13313</math>||<math> 30427</math>||<math> 35257</math>||<math> 40087</math>||<math> 72547</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t/thompson-william-eugene.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| THORNTON, David
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 13477</math>||<math> 14951</math>||<math> 25073</math>||<math> 25931</math>||<math> 30113</math>||<math> 57457</math>
−
| style="text-align: center" | 2-A1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 2004
 
−
| [http://www.baltimoresun.com/news/maryland/baltimore-city/bs-md-ci-thornton-murder-conviction-20150915-story.html LINK1], [http://www.stattorney.org/media-center/press-releases/836-murderer-faces-33-years-in-prison-for-stabbing-17-year-old-over-a-10-debt LINK2], [http://articles.baltimoresun.com/2006-03-31/news/0603310070_1_thornton-murder-cases-murder-charges LINK3], [http://casesearch.courts.state.md.us/casesearch/inquiryDetail.jis?caseId=104362026&loc=69&detailLoc=DSK8 LINK4], [http://casesearch.courts.state.md.us/casesearch/inquiryDetail.jis?caseId=105189012&loc=69&detailLoc=DSK8 LINK5]
 
 
|-
 
|-
−
| TISON, Gary Gene
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 3413</math>||<math> 8663</math>||<math> 44179</math>||<math> 49429</math>||<math> 111109</math>||<math> 648107</math>
−
| style="text-align: center" | D1-E6
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1967
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t/tison-gary-gene.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| TISSIER, Patrick
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 1559</math>||<math> 18899</math>||<math> 36389</math>||<math> 43711</math>||<math> 59393</math>||<math> 75541</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Francja
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t/tissier-patrick.htm LINK1],  [http://fr.wikipedia.org/wiki/Patrick_Tissier_%28repris_de_justice%29 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| TUCKER, Richard, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 187477</math>||<math> 231109</math>||<math> 402137</math>||<math> 680123</math>||<math> 706463</math>||<math> 712133</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1963
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t1/tucker-richard.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| TUGGLE, Lem Davis, Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 73</math>||<math> 29959</math>||<math> 152389</math>||<math> 158269</math>||<math> 317021</math>||<math> 2115961</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t1/tuggle-lem-davis.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| TURNER, Douglas
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 12239</math>||<math> 22469</math>||<math> 38543</math>||<math> 50893</math>||<math> 72533</math>||<math> 90863</math>
−
| style="text-align: center" | 3-D6
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1987
 
−
| [http://murderpedia.org/male.T/t/turner-douglas.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ULAYUK, Eli
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 37097</math>||<math> 86869</math>||<math> 92639</math>||<math> 224633</math>||<math> 440269</math>||<math> 641327</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Kanada
 
−
| style="text-align: center" | 1988
 
−
| [http://www.csc-scc.gc.ca/publications/ci-report05-06/ex_summary_06-03-09-eng.shtml LINK1], [http://www.csc-scc.gc.ca/publications/ci-report05-06/executive_summary-eng.pdf LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| UMEKAWA, Akiyoshi
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 1063</math>||<math> 20599</math>||<math> 21701</math>||<math> 27109</math>||<math> 41611</math>||<math> 46187</math>
−
| style="text-align: center" | 1-A4
 
−
| style="text-align: center" | Japonia
 
−
| style="text-align: center" | 1963
 
−
| [http://murderpedia.org/male.U/u/umekawa-akiyoshi.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| UNTERWEGER, Johann "Jack"
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 3167</math>||<math> 7457</math>||<math> 22669</math>||<math> 62347</math>||<math> 69067</math>||<math> 75787</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B9
 
−
| style="text-align: center" | Austria/USA/Czechy
 
−
| style="text-align: center" | 1976
 
−
| [http://murderpedia.org/male.U/u/unterweger-jack.htm LINK1],  [http://pl.wikipedia.org/wiki/Jack_Unterweger LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| UNWIN, Stephen<ref name="unwin_stephen"/>
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 17</math>||<math> 5581</math>||<math> 6947</math>||<math> 7151</math>||<math> 13469</math>||<math> 14081</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-5482203/Sunderland-murder-accused-convicted-killers.html LINK1], [https://www.irishtimes.com/news/crime-and-law/two-men-convicted-of-murdering-woman-after-rape-and-torture-1.3442450 LINK2], [https://www.belfastlive.co.uk/news/belfast-news/stephen-unwin-william-mcfall-murder-14436709 LINK3], [https://www.wprost.pl/zycie/10106420/torturowali-i-gwalcili-samotna-matke-po-czym-spalili-ja-zywcem-na-tle-plomieni-zrobili-selfie.html LINK4]
 
−
|- style="background-color: #FFC0CB"
 
−
| VAN DUNGEY, Tracey Antoinette
 
−
| style="text-align: center" | 1-A1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 2004
 
−
| [http://murderpedia.org/female.V/v/van-dungey-tracey.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| VAN EIJK, Willem
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 3347</math>||<math> 53309</math>||<math> 281557</math>||<math> 370879</math>||<math> 380447</math>||<math> 466897</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B3
 
−
| style="text-align: center" | Holandia
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.V/v/van-eijk-willem.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Willem_van_Eijk LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| VICKERS, Robert Wayne
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 206047</math>||<math> 348163</math>||<math> 363037</math>||<math> 435661</math>||<math> 576677</math>||<math> 906107</math>
−
| style="text-align: center" | D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.V/v1/vickers-robert-wayne.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| VINTER, Douglas Gary
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 29387</math>||<math> 36947</math>||<math> 39191</math>||<math> 44267</math>||<math> 342389</math>||<math> 349949</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-561230/Sentenced-life--murderer-freed-prison-stab-wife-death.html LINK1], [http://www.gazettelive.co.uk/news/local-news/life-for-double-killer-vinter-3733567 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| WALKER, Tony Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 6553</math>||<math> 14323</math>||<math> 25169</math>||<math> 28549</math>||<math> 36319</math>||<math> 42061</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w1/walker-tony-lee.htm LINK1], [http://www.tdcj.state.tx.us/death_row/dr_info/walkertony.jpg LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| WALKER, Walter
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 137</math>||<math> 4091</math>||<math> 7237</math>||<math> 8117</math>||<math> 12071</math>||<math> 24029</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1997
 
−
| [http://www.denverpost.com/ci_14208967 LINK1], [http://www.denverpost.com/ci_14127276 LINK2], [http://www.9news.com/video/60504179001/0/Inmate-killed LINK3], [https://www.highbeam.com/doc/1G1-67604836.html LINK4]
 
 
|-
 
|-
−
| WARD, Bruce Earl
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 3593</math>||<math> 21017</math>||<math> 35591</math>||<math> 43781</math>||<math> 49727</math>||<math> 59021</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [https://www.huffingtonpost.com/entry/these-are-the-seven-men-scheduled-to-be-executed-this-month_us_58ef6880e4b0bb9638e1abfa?guccounter=1 LINK1], [https://caselaw.findlaw.com/ar-supreme-court/1162958.html LINK2], [https://www.newspapers.com/newspage/88041181/ LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| WARD, Keith John
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 86599</math>||<math> 173909</math>||<math> 788413</math>||<math> 1251869</math>||<math> 1365019</math>||<math> 1392731</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [https://www.theguardian.com/commentisfree/2013/may/21/maria-stubbings-public-inquiry-domestic-violence LINK1], [https://books.google.pl/books?id=ZKCAVqeKzv0C&lpg=PP1&hl=pl&pg=PA127#v=onepage&q&f=false LINK2], [https://www.theguardian.com/society/2018/jan/03/theodore-johnson-freed-to-kill-domestic-violence-failure LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| WATERHOUSE, Robert Brian
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 541</math>||<math> 1867</math>||<math> 63703</math>||<math> 132283</math>||<math> 140893</math>||<math> 175837</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w1/waterhouse-robert.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WHITE, Billy<ref name="white_billy"/>
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 9403</math>||<math> 83563</math>||<math> 84421</math>||<math> 93241</math>||<math> 187823</math>||<math> 296983</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 2015
 
−
| [https://www.theguardian.com/uk-news/2017/sep/25/prison-inmates-convicted-murder-billy-white-long-lartin LINK1], [https://www.bbc.com/news/uk-england-41390320 LINK2], [https://www.bbc.com/news/uk-england-essex-40245178 LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| WHITE, John Douglas
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 11087</math>||<math> 195203</math>||<math> 219799</math>||<math> 352813</math>||<math> 426973</math>||<math> 487651</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w/white-john-douglas.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WILLIAMS, Connie J.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 199</math>||<math> 937</math>||<math> 10177</math>||<math> 21031</math>||<math> 27961</math>||<math> 30271</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1974
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w/williams-connie.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WILLIAMS, Kenneth Dewayne
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 1609</math>||<math> 157181</math>||<math> 182867</math>||<math> 663049</math>||<math> 1028479</math>||<math> 1037929</math>
−
| style="text-align: center" | 2-E1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1998
 
−
| [http://www.theforgivenessfoundation.org/index.php/scheduled-executions/40-news/general/3398-arkansas-stays-execution-of-kenneth-williams LINK1], [http://thecabin.net/stories/061505/loc_0615050011.shtml LINK2], [http://caselaw.findlaw.com/ar-supreme-court/1068135.html LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| WILLIAMS, Laron Ronald
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 521</math>||<math> 3449</math>||<math> 10181</math>||<math> 50417</math>||<math> 84229</math>||<math> 218363</math>
−
| style="text-align: center" | 1-E2
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1978
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w/williams-laron-ronald.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WILLIAMS, Ronnie Keith
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 61</math>||<math> 43013</math>||<math> 89923</math>||<math> 220333</math>||<math> 294479</math>||<math> 490493</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1984
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w/williams-ronnie-keith.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WILLIAMSON, Dana
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 6949</math>||<math> 17029</math>||<math> 54293</math>||<math> 99023</math>||<math> 125353</math>||<math> 125899</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1975
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w/williamson-dana.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WILLIS, Fred
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 6143</math>||<math> 16433</math>||<math> 179057</math>||<math> 211777</math>||<math> 681949</math>||<math> 1018357</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1984
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w/willis-fred.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WILSON, Paul Russell
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 9109</math>||<math> 91153</math>||<math> 218527</math>||<math> 447817</math>||<math> 513167</math>||<math> 1113239</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Nowa Zelandia
 
−
| style="text-align: center" | 1995
 
−
| [https://www.nzherald.co.nz/nz/news/article.cfm?c_id=1&objectid=12205728 LINK1], [https://www.stuff.co.nz/national/crime/103420907/david-bains-friend-paul-wilson-took-murderous-revenge-on-the-women-who-rejected-him LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| WISE, Jessie Lee
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 9419</math>||<math> 28603</math>||<math> 28871</math>||<math> 37861</math>||<math> 43691</math>||<math> 75041</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w1/wise-jessie-lee.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WOOD, Stephen Edward
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 14657</math>||<math> 21491</math>||<math> 52321</math>||<math> 63241</math>||<math> 79997</math>||<math> 80621</math>
−
| style="text-align: center" | 2-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1992
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w1/wood-stephen-edward.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WRIGHT, Douglas Franklin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 49681</math>||<math> 70607</math>||<math> 187009</math>||<math> 198139</math>||<math> 209269</math>||<math> 219613</math>
−
| style="text-align: center" | 2-B4
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1969
 
−
| [http://murderpedia.org/male.W/w1/wright-douglas-franklin.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| WRIGHT, Ernest
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 24197</math>||<math> 57143</math>||<math> 68483</math>||<math> 158617</math>||<math> 212297</math>||<math> 237257</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1971
 
−
| [http://www.dailymail.co.uk/news/article-1262069/Shotgun-killer-Ernest-Wright-jailed-shooting-man-39-years-murder.html LINK1], [http://www.telegraph.co.uk/news/uknews/crime/7535795/Man-who-killed-again-while-on-parole-for-murder-will-die-in-prison.html LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| YAMAJI, Yukio
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 4483</math>||<math> 4673</math>||<math> 9619</math>||<math> 16223</math>||<math> 21169</math>||<math> 66161</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | Japonia
 
−
| style="text-align: center" | 2000
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Y/y/yamaji-yukio.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Yukio_Yamaji LINK2], [http://www.japantimes.co.jp/news/2006/05/02/national/man-pleads-guilty-to-murdering-sisters/#.VSVI3fPgFpg LINK3]
 
 
|-
 
|-
−
| YAPICIOGLU, Yavuz
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 3511</math>||<math> 241793</math>||<math> 469613</math>||<math> 517949</math>||<math> 548263</math>||<math> 643469</math>
−
| style="text-align: center" | 4-B8-B6
 
−
| style="text-align: center" | Turcja
 
−
| style="text-align: center" | 1994
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Y/y/yapicioglu-yavuz.htm LINK1],  [http://en.wikipedia.org/wiki/Yavuz_Yap%C4%B1c%C4%B1o%C4%9Flu#cite_note-z1-1 LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| YONGMING, Zhang
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 6221</math>||<math> 10531</math>||<math> 22501</math>||<math> 40343</math>||<math> 216233</math>||<math> 280187</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B11
 
−
| style="text-align: center" | Chiny
 
−
| style="text-align: center" | 1979
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Y/y/yongming-zhang.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| YONGZHI, Piao
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 18211</math>||<math> 65437</math>||<math> 126943</math>||<math> 137239</math>||<math> 149939</math>||<math> 361213</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | Chiny
 
−
| style="text-align: center" | 1977
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Y/y/yongzhi-piao.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| YOUNG, David Franklin
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 7477</math>||<math> 24391</math>||<math> 41669</math>||<math> 76913</math>||<math> 95213</math>||<math> 181211</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Y/y/young-david-franklin.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| YOUNG, Graham
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 26003</math>||<math> 435577</math>||<math> 448177</math>||<math> 558431</math>||<math> 571031</math>||<math> 583631</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B2
 
−
| style="text-align: center" | UK
 
−
| style="text-align: center" | 1962
 
−
| [https://en.wikipedia.org/wiki/Graham_Young LINK1], [http://murderpedia.org/male.Y/y/young-graham.htm LINK2]
 
 
|-
 
|-
−
| YUKL, Charles William
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 19289</math>||<math> 35437</math>||<math> 40949</math>||<math> 53791</math>||<math> 59357</math>||<math> 94309</math>
−
| style="text-align: center" | 1-B1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1966
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Y/y/yukl-charles.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ZEITVOGEL, Richard Steven
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 15913</math>||<math> 55843</math>||<math> 77773</math>||<math> 179519</math>||<math> 418927</math>||<math> 670853</math>
−
| style="text-align: center" | D1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1981
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Z/z1/zeitvogel-richard.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| ZUERN, William G., Jr.
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 5843</math>||<math> 7433</math>||<math> 9391</math>||<math> 31729</math>||<math> 40543</math>||<math> 53773</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
 
−
| style="text-align: center" | USA
 
−
| style="text-align: center" | 1983
 
−
| [http://murderpedia.org/male.Z/z1/zuern-william.htm LINK]
 
 
|-
 
|-
−
| N. N2
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 2141</math>||<math> 15581</math>||<math> 270143</math>||<math> 335021</math>||<math> 405269</math>||<math> 448741</math>
−
| style="text-align: center" | 1-D1
+
|-
−
| style="text-align: center" | Norwegia
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 3343</math>||<math> 12097</math>||<math> 16993</math>||<math> 19259</math>||<math> 63611</math>||<math> 81001</math>
−
| style="text-align: center" | 2014
+
|-
−
| [http://www.mojanorwegia.pl/aktualnosci/w-norweskim-wiezieniu-zabito-pedofila-morderca-polskiego-pochodzenia-12470.html LINK1], [http://www.aftenposten.no/norge/Drapsdomt-mann-i-50-arene-siktet-for-drap-pa-medinnsatt-i-Ringerike-fengsel-615990b.html LINK2], więzienie Ringerike, 25.02.2017
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 6029</math>||<math> 6211</math>||<math> 26171</math>||<math> 27653</math>||<math> 32441</math>||<math> 51839</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 40879</math>||<math> 87793</math>||<math> 87991</math>||<math> 159491</math>||<math> 285497</math>||<math> 485389</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 6947</math>||<math> 15923</math>||<math> 27337</math>||<math> 79481</math>||<math> 111227</math>||<math> 364687</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 41039</math>||<math> 48491</math>||<math> 142049</math>||<math> 144667</math>||<math> 159157</math>||<math> 161263</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 12409</math>||<math> 36583</math>||<math> 51283</math>||<math> 161363</math>||<math> 218989</math>||<math> 578267</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 23957</math>||<math> 74161</math>||<math> 79633</math>||<math> 89071</math>||<math> 109367</math>||<math> 120977</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 33997</math>||<math> 121853</math>||<math> 136973</math>||<math> 203429</math>||<math> 330413</math>||<math> 379369</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 12781</math>||<math> 64613</math>||<math> 505559</math>||<math> 588529</math>||<math> 614071</math>||<math> 873121</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 15053</math>||<math> 33071</math>||<math> 41131</math>||<math> 160781</math>||<math> 176321</math>||<math> 209357</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 7001</math>||<math> 10459</math>||<math> 64579</math>||<math> 80329</math>||<math> 103409</math>||<math> 119159</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 6037</math>||<math> 17807</math>||<math> 21997</math>||<math> 33767</math>||<math> 71917</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 32321</math>||<math> 66179</math>||<math> 82349</math>||<math> 99661</math>||<math> 130343</math>||<math> 219451</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 22859</math>||<math> 28579</math>||<math> 43759</math>||<math> 43913</math>||<math> 60139</math>||<math> 95107</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 6703</math>||<math> 23293</math>||<math> 29009</math>||<math> 45599</math>||<math> 51341</math>||<math> 57917</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 91463</math>||<math> 276037</math>||<math> 524857</math>||<math> 874063</math>||<math> 940319</math>||<math> 957119</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 6571</math>||<math> 70529</math>||<math> 117037</math>||<math> 227147</math>||<math> 797119</math>||<math> 814129</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 120713</math>||<math> 225769</math>||<math> 242989</math>||<math> 343601</math>||<math> 819229</math>||<math> 965711</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 4219</math>||<math> 6101</math>||<math> 15643</math>||<math> 25471</math>||<math> 33073</math>||<math> 42901</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 12917</math>||<math> 34877</math>||<math> 59407</math>||<math> 62047</math>||<math> 85667</math>||<math> 193607</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 9803</math>||<math> 129379</math>||<math> 147229</math>||<math> 238229</math>||<math> 270157</math>||<math> 289253</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 87613</math>||<math> 90583</math>||<math> 117223</math>||<math> 512671</math>||<math> 574297</math>||<math> 623353</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 29567</math>||<math> 47837</math>||<math> 86491</math>||<math> 268189</math>||<math> 424819</math>||<math> 511201</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 1861</math>||<math> 2711</math>||<math> 8093</math>||<math> 10831</math>||<math> 11161</math>||<math> 11909</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 881</math>||<math> 19571</math>||<math> 79531</math>||<math> 529829</math>||<math> 654767</math>||<math> 812353</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 6899</math>||<math> 23201</math>||<math> 52267</math>||<math> 73823</math>||<math> 92723</math>||<math> 462079</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 8941</math>||<math> 30091</math>||<math> 39367</math>||<math> 58603</math>||<math> 63737</math>||<math> 80611</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 6857</math>||<math> 218761</math>||<math> 236699</math>||<math> 237733</math>||<math> 300319</math>||<math> 300499</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 33829</math>||<math> 46183</math>||<math> 50929</math>||<math> 70459</math>||<math> 283859</math>||<math> 361651</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 1117</math>||<math> 2729</math>||<math> 22469</math>||<math> 30757</math>||<math> 50497</math>||<math> 165391</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 13339</math>||<math> 23767</math>||<math> 44549</math>||<math> 47791</math>||<math> 92399</math>||<math> 142699</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 2857</math>||<math> 5821</math>||<math> 147089</math>||<math> 948263</math>||<math> 1044859</math>||<math> 1094123</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 81649</math>||<math> 154073</math>||<math> 164239</math>||<math> 398539</math>||<math> 443881</math>||<math> 556123</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 9689</math>||<math> 30269</math>||<math> 105379</math>||<math> 316501</math>||<math> 337081</math>||<math> 398023</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 12713</math>||<math> 20023</math>||<math> 33503</math>||<math> 40813</math>||<math> 69829</math>||<math> 92251</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 5501</math>||<math> 19471</math>||<math> 26501</math>||<math> 29153</math>||<math> 40471</math>||<math> 56773</math>
 
|}
 
|}
 +
<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C52</span><br/>
 +
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 9</math> i <math>n = 10</math>.
  
−
Wszystkie wymienione wyżej przypadki pomyłek aparatu sprawiedliwości są dobrze udokumentowane i&nbsp;ujawniają skrajną niekompetencję sądów przy podejmowaniu decyzji o&nbsp;warunkowym zwolnieniu bandytów oraz całkowity brak troski o&nbsp;życie zwykłych obywateli. Poniższe zestawienie pokazuje cenę jaką płaci społeczeństwo za łagodne wyroki, wygodne cele i&nbsp;zabawę w&nbsp;resocjalizację.
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
 +
W przypadku <math>n = 9</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^9</math>.
  
 +
W przypadku <math>n = 10</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^{10}</math>.
  
 +
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
  
−
{| class="wikitable"  style="text-align: center; margin: 1em auto 1em auto;"
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
−
! width="200px" | Kraj / grupa państw
+
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
−
! width="160px" | Liczba morderców, którym sądy pozwoliły zabić ponownie
+
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 9}</math>
−
! width="160px" | Liczba ofiar pomyłek sądowych drugiego rodzaju
+
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 +
|-
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 3499</math>||<math> 10859</math>||<math> 564973</math>||<math> 1288607</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 52879</math>||<math> 53299</math>||<math> 56267</math>||<math> 61637</math>||<math> 3212849</math>||<math> 3544939</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 279857</math>||<math> 514949</math>||<math> 939359</math>||<math> 964417</math>||<math> 965047</math>||<math> 1003819</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 6043</math>||<math> 10861</math>||<math> 103837</math>||<math> 201781</math>||<math> 915611</math>||<math> 916451</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 26052251</math>||<math> 33267943</math>||<math> 54730813</math>||<math> 87640921</math>||<math> 112704443</math>||<math> 115677517</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 2063</math>||<math> 1040089</math>||<math> 2166511</math>||<math> 2202547</math>||<math> 4152847</math>||<math> 4400639</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 101027</math>||<math> 363949</math>||<math> 1936289</math>||<math> 2534561</math>||<math> 2536031</math>||<math> 3248197</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 31333</math>||<math> 216947</math>||<math> 258527</math>||<math> 316621</math>||<math> 607109</math>||<math> 4635361</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 15607</math>||<math> 45767</math>||<math> 194113</math>||<math> 534211</math>||<math> 997201</math>||<math> 1442173</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 34913</math>||<math> 37013</math>||<math> 102871</math>||<math> 176087</math>||<math> 581393</math>||<math> 583493</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 3823</math>||<math> 60317</math>||<math> 80761</math>||<math> 563117</math>||<math> 574813</math>||<math> 1215583</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 19141</math>||<math> 23509</math>||<math> 1058597</math>||<math> 1061117</math>||<math> 1465993</math>||<math> 5650097</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 4721</math>||<math> 65881</math>||<math> 122069</math>||<math> 123059</math>||<math> 124799</math>||<math> 125789</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 11927</math>||<math> 145723</math>||<math> 1222279</math>||<math> 12424921</math>||<math> 23527081</math>||<math> 33820273</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 433</math>||<math> 24677</math>||<math> 49031</math>||<math> 348763</math>||<math> 1243393</math>||<math> 1640071</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 210391</math>||<math> 213751</math>||<math> 245173</math>||<math> 1863509</math>||<math> 3831437</math>||<math> 6470249</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 57047</math>||<math> 133271</math>||<math> 150343</math>||<math> 153913</math>||<math> 399433</math>||<math> 920827</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 473513</math>||<math> 1282607</math>||<math> 3536881</math>||<math> 4045763</math>||<math> 4049543</math>||<math> 5655283</math>
 
|-
 
|-
−
| Polska (od 1971)
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 1699</math>||<math> 99877</math>||<math> 103867</math>||<math> 649217</math>||<math> 1614973</math>||<math> 2732441</math>
−
| 67
 
−
| 84
 
 
|-
 
|-
−
| UK (od 1961)
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 12547</math>||<math> 89899</math>||<math> 835721</math>||<math> 2544221</math>||<math> 5013919</math>||<math> 11254637</math>
−
| 45
 
−
| 60
 
 
|-
 
|-
−
| USA (od 1958)
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 262733</math>||<math> 439009</math>||<math> 12940541</math>||<math> 15091459</math>||<math> 27878321</math>||<math> 29196199</math>
−
| 201
 
−
| 383
 
 
|-
 
|-
−
| Pozostałe przypadki
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 55697</math>||<math> 64919</math>||<math> 85363</math>||<math> 89983</math>||<math> 217409</math>||<math> 372751</math>
−
| 50
 
−
| 145
 
 
|-
 
|-
−
| Razem
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 30427</math>||<math> 35257</math>||<math> 72547</math>||<math> 351749</math>||<math> 2985809</math>||<math> 6020477</math>
−
| 363
+
|-
−
| 672
+
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 25073</math>||<math> 57457</math>||<math> 531359</math>||<math> 1245479</math>||<math> 2491381</math>||<math> 7136659</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 3413</math>||<math> 44179</math>||<math> 2117239</math>||<math> 2122489</math>||<math> 2649067</math>||<math> 4895993</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 144779</math>||<math> 913921</math>||<math> 1280987</math>||<math> 2243491</math>||<math> 2283571</math>||<math> 2289031</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 706463</math>||<math> 915221</math>||<math> 10882211</math>||<math> 21206993</math>||<math> 21212663</math>||<math> 23859467</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 152389</math>||<math> 4896887</math>||<math> 6559873</math>||<math> 9131321</math>||<math> 19210043</math>||<math> 24248461</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 206191</math>||<math> 357661</math>||<math> 517003</math>||<math> 1910927</math>||<math> 5835283</math>||<math> 10292729</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 641327</math>||<math> 1962449</math>||<math> 2797723</math>||<math> 3626881</math>||<math> 4663249</math>||<math> 5601139</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 20599</math>||<math> 155461</math>||<math> 161971</math>||<math> 573437</math>||<math> 4395739</math>||<math> 6457669</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 62347</math>||<math> 69067</math>||<math> 5072869</math>||<math> 9545051</math>||<math> 10379081</math>||<math> 11184743</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 17</math>||<math> 7151</math>||<math> 13469</math>||<math> 36469</math>||<math> 38261</math>||<math> 309167</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 1241197</math>||<math> 1247479</math>||<math> 2614559</math>||<math> 4496813</math>||<math> 4575947</math>||<math> 7799837</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 1445303</math>||<math> 8526533</math>||<math> 12683299</math>||<math> 12690649</math>||<math> 21459209</math>||<math> 21466559</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 29387</math>||<math> 342389</math>||<math> 539839</math>||<math> 2141497</math>||<math> 7573327</math>||<math> 7580887</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 6553</math>||<math> 28549</math>||<math> 36319</math>||<math> 90373</math>||<math> 819317</math>||<math> 827087</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 137</math>||<math> 4091</math>||<math> 24029</math>||<math> 31393</math>||<math> 165313</math>||<math> 182687</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 35591</math>||<math> 59021</math>||<math> 287629</math>||<math> 401627</math>||<math> 410257</math>||<math> 702323</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 6127909</math>||<math> 8133469</math>||<math> 8528483</math>||<math> 8536883</math>||<math> 14448397</math>||<math> 19175929</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 132283</math>||<math> 2164387</math>||<math> 6903121</math>||<math> 10892747</math>||<math> 10901357</math>||<math> 17489623</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 84421</math>||<math> 466451</math>||<math> 3052177</math>||<math> 3905777</math>||<math> 11397371</math>||<math> 53189407</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 2630153</math>||<math> 4927921</math>||<math> 5686141</math>||<math> 6043399</math>||<math> 8411567</math>||<math> 8510357</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 937</math>||<math> 21031</math>||<math> 53681</math>||<math> 62921</math>||<math> 95339</math>||<math> 495791</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 1028479</math>||<math> 1832711</math>||<math> 8104549</math>||<math> 15802459</math>||<math> 43975031</math>||<math> 97126691</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 521</math>||<math> 464413</math>||<math> 707071</math>||<math> 716731</math>||<math> 1197121</math>||<math> 1259053</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 576439</math>||<math> 1115923</math>||<math> 7516427</math>||<math> 9249301</math>||<math> 16561691</math>||<math> 16571561</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 6949</math>||<math> 125353</math>||<math> 156941</math>||<math> 949517</math>||<math> 3363089</math>||<math> 3373169</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 6143</math>||<math> 1535489</math>||<math> 2477177</math>||<math> 4259887</math>||<math> 5294563</math>||<math> 10818191</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 1113239</math>||<math> 1841087</math>||<math> 7005059</math>||<math> 8026327</math>||<math> 13707959</math>||<math> 22837799</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 314299</math>||<math> 439123</math>||<math> 735467</math>||<math> 1784911</math>||<math> 1923049</math>||<math> 2781203</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 52321</math>||<math> 285521</math>||<math> 527909</math>||<math> 538829</math>||<math> 1673941</math>||<math> 2214349</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 187009</math>||<math> 198139</math>||<math> 255803</math>||<math> 547499</math>||<math> 2160253</math>||<math> 11518723</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 57143</math>||<math> 559051</math>||<math> 1091561</math>||<math> 10756139</math>||<math> 13865323</math>||<math> 13876663</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 4673</math>||<math> 9619</math>||<math> 89659</math>||<math> 112643</math>||<math> 155317</math>||<math> 166601</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 3458731</math>||<math> 5759843</math>||<math> 6305939</math>||<math> 6904789</math>||<math> 11527693</math>||<math> 15296227</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 10531</math>||<math> 1911199</math>||<math> 2210573</math>||<math> 2298397</math>||<math> 15519563</math>||<math> 21608347</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 1067597</math>||<math> 1778461</math>||<math> 1784599</math>||<math> 3551221</math>||<math> 7384493</math>||<math> 12485003</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 184291</math>||<math> 651017</math>||<math> 804493</math>||<math> 1536187</math>||<math> 4158103</math>||<math> 4751293</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 435577</math>||<math> 558431</math>||<math> 571031</math>||<math> 727369</math>||<math> 2890117</math>||<math> 3367363</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 116953</math>||<math> 166909</math>||<math> 5627029</math>||<math> 6623117</math>||<math> 10981339</math>||<math> 10994149</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 1691411</math>||<math> 3574871</math>||<math> 22963981</math>||<math> 27098723</math>||<math> 29812603</math>||<math> 31218403</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 40543</math>||<math> 104651</math>||<math> 313219</math>||<math> 4705247</math>||<math> 4718477</math>||<math> 6268289</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 2141</math>||<math> 448741</math>||<math> 815261</math>||<math> 1560997</math>||<math> 1574437</math>||<math> 2070517</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 3343</math>||<math> 96997</math>||<math> 110647</math>||<math> 521047</math>||<math> 1590961</math>||<math> 2276503</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 110437</math>||<math> 124297</math>||<math> 138157</math>||<math> 148891</math>||<math> 152017</math>||<math> 152947</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 2679239</math>||<math> 2886281</math>||<math> 3817111</math>||<math> 6446353</math>||<math> 6460423</math>||<math> 6976289</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 364687</math>||<math> 749773</math>||<math> 1867573</math>||<math> 2146181</math>||<math> 2434997</math>||<math> 4112627</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 144667</math>||<math> 161263</math>||<math> 259603</math>||<math> 286333</math>||<math> 336251</math>||<math> 377809</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 36583</math>||<math> 578267</math>||<math> 8529749</math>||<math> 14365553</math>||<math> 14380253</math>||<math> 14830787</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 74161</math>||<math> 109367</math>||<math> 120977</math>||<math> 1260011</math>||<math> 1372211</math>||<math> 11898287</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 121853</math>||<math> 689459</math>||<math> 822383</math>||<math> 11354437</math>||<math> 37245407</math>||<math> 48384221</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 7713709</math>||<math> 8049187</math>||<math> 11583113</math>||<math> 12934973</math>||<math> 16769749</math>||<math> 30793649</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 160781</math>||<math> 580577</math>||<math> 4095187</math>||<math> 5838409</math>||<math> 9523079</math>||<math> 10473559</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 64579</math>||<math> 103409</math>||<math> 182587</math>||<math> 849869</math>||<math> 865619</math>||<math> 1468729</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 6037</math>||<math> 17807</math>||<math> 137147</math>||<math> 652969</math>||<math> 989977</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 66179</math>||<math> 219451</math>||<math> 511843</math>||<math> 583421</math>||<math> 812431</math>||<math> 848567</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 43759</math>||<math> 339263</math>||<math> 355643</math>||<math> 695047</math>||<math> 2011517</math>||<math> 2893309</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 6703</math>||<math> 29009</math>||<math> 2489183</math>||<math> 4028743</math>||<math> 9340181</math>||<math> 10005263</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 940319</math>||<math> 3772907</math>||<math> 3873007</math>||<math> 9905921</math>||<math> 79622351</math>||<math> 95679271</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 797119</math>||<math> 18296627</math>||<math> 23152907</math>||<math> 38133913</math>||<math> 60796007</math>||<math> 83709047</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 225769</math>||<math> 1452511</math>||<math> 1469731</math>||<math> 1606379</math>||<math> 2415473</math>||<math> 3469069</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 15643</math>||<math> 25471</math>||<math> 42901</math>||<math> 1170599</math>||<math> 3120547</math>||<math> 3983249</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 193607</math>||<math> 211247</math>||<math> 7624613</math>||<math> 10290239</math>||<math> 16104047</math>||<math> 22618907</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 129379</math>||<math> 289253</math>||<math> 1341433</math>||<math> 1728911</math>||<math> 1746761</math>||<math> 2918737</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 1013921</math>||<math> 1038209</math>||<math> 2703941</math>||<math> 3580333</math>||<math> 3914689</math>||<math> 11110339</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 29567</math>||<math> 511201</math>||<math> 1615723</math>||<math> 1890701</math>||<math> 1989811</math>||<math> 2008081</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 2711</math>||<math> 25643</math>||<math> 40853</math>||<math> 149143</math>||<math> 194839</math>||<math> 213319</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 881</math>||<math> 9421469</math>||<math> 10687877</math>||<math> 11455753</math>||<math> 14740463</math>||<math> 21499799</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 73823</math>||<math> 462079</math>||<math> 804113</math>||<math> 823013</math>||<math> 1323799</math>||<math> 1370987</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 63737</math>||<math> 322171</math>||<math> 520193</math>||<math> 999763</math>||<math> 1023487</math>||<math> 1032067</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 682411</math>||<math> 743747</math>||<math> 1343669</math>||<math> 1373233</math>||<math> 1782499</math>||<math> 2574437</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 50929</math>||<math> 738919</math>||<math> 1773689</math>||<math> 1793219</math>||<math> 6121807</math>||<math> 18867007</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 2729</math>||<math> 30757</math>||<math> 360163</math>||<math> 1652591</math>||<math> 18160973</math>||<math> 18862889</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 142699</math>||<math> 162649</math>||<math> 239957</math>||<math> 302287</math>||<math> 322237</math>||<math> 661547</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 3330211</math>||<math> 5620609</math>||<math> 6413401</math>||<math> 15055609</math>||<math> 32094917</math>||<math> 52863893</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 1158881</math>||<math> 1216213</math>||<math> 1236583</math>||<math> 3893899</math>||<math> 7991839</math>||<math> 8012209</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 9689</math>||<math> 316501</math>||<math> 398023</math>||<math> 2047813</math>||<math> 2219557</math>||<math> 2240137</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 12713</math>||<math> 20023</math>||<math> 141079</math>||<math> 159571</math>||<math> 296117</math>||<math> 914813</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 5501</math>||<math> 19471</math>||<math> 65837</math>||<math> 688139</math>||<math> 3980407</math>||<math> 8983031</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 10}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 +
|-
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 243051733</math>||<math> 498161423</math>||<math> 2490123989</math>||<math> 5417375591</math>||<math> 8785408259</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 52879</math>||<math> 3544939</math>||<math> 725283077</math>||<math> 1580792347</math>||<math> 1931425157</math>||<math> 8392393693</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 964417</math>||<math> 1021331</math>||<math> 3710699</math>||<math> 174610351</math>||<math> 396598051</math>||<math> 525173641</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 915611</math>||<math> 24748189</math>||<math> 33791509</math>||<math> 314727967</math>||<math> 510756371</math>||<math> 1079797657</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 130006783</math>||<math> 208734751</math>||<math> 400663741</math>||<math> 963551671</math>||<math> 1219200119</math>||<math> 1231110787</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 6722909</math>||<math> 27846803</math>||<math> 63289771</math>||<math> 1000262819</math>||<math> 1476482057</math>||<math> 4565705117</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 2534561</math>||<math> 189999707</math>||<math> 833570987</math>||<math> 1168004581</math>||<math> 2010828277</math>||<math> 3182258251</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1343205113</math>||<math> 3033769813</math>||<math> 4093882757</math>||<math> 4112814241</math>||<math> 4348188919</math>||<math> 4749575333</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 41513261</math>||<math> 95317913</math>||<math> 6232033069</math>||<math> 6361761239</math>||<math> 6709899029</math>||<math> 8521839071</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 34913</math>||<math> 581393</math>||<math> 8397091</math>||<math> 10200607</math>||<math> 31913837</math>||<math> 258411317</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 2564251</math>||<math> 7245143</math>||<math> 15898823</math>||<math> 34834237</math>||<math> 51404371</math>||<math> 60858179</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 1058597</math>||<math> 8226307</math>||<math> 438716653</math>||<math> 799422581</math>||<math> 975166567</math>||<math> 983999677</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 122069</math>||<math> 123059</math>||<math> 158633</math>||<math> 3319219</math>||<math> 3427393</math>||<math> 5082629</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 2546781317</math>||<math> 3736609957</math>||<math> 4895747497</math>||||||
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 34071019</math>||<math> 1174379903</math>||<math> 1247572429</math>||<math> 1914733781</math>||<math> 5502174781</math>||<math> 5598860513</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 210391</math>||<math> 762261571</math>||<math> 2289797801</math>||<math> 5842998881</math>||<math> 5973997177</math>||<math> 6486241481</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 150343</math>||<math> 920827</math>||<math> 47896129</math>||<math> 110935963</math>||<math> 124813783</math>||<math> 253908793</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 4045763</math>||<math> 162045979</math>||<math> 3611162221</math>||<math> 3953439013</math>||<math> 5751477079</math>||<math> 6389572141</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 99877</math>||<math> 2732441</math>||<math> 145829681</math>||<math> 1512868211</math>||<math> 1519374557</math>||<math> 1905288811</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 75187297</math>||<math> 436800197</math>||<math> 825073159</math>||<math> 953483507</math>||<math> 1237285949</math>||<math> 1620977257</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 343475219</math>||<math> 718394137</math>||<math> 1714841501</math>||<math> 4312513897</math>||<math> 4433557501</math>||<math> 7302174197</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 85363</math>||<math> 372751</math>||<math> 926879</math>||<math> 10645541</math>||<math> 11022827</math>||<math> 11027447</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 30427</math>||<math> 6020477</math>||<math> 16424981</math>||<math> 151254533</math>||<math> 229780123</math>||<math> 482610239</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 145866041</math>||<math> 226851517</math>||<math> 292104419</math>||<math> 517266257</math>||<math> 986618569</math>||<math> 1785262393</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 2117239</math>||<math> 134051459</math>||<math> 444256783</math>||<math> 635071121</math>||<math> 3239335223</math>||<math> 3689988833</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 2283571</math>||<math> 11988607</math>||<math> 17327831</math>||<math> 18230447</math>||<math> 97175423</math>||<math> 168445523</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 21206993</math>||<math> 42322087</math>||<math> 232282121</math>||<math> 530515507</math>||<math> 2074726021</math>||<math> 2176462667</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 769792447</math>||<math> 1028745119</math>||<math> 2716511507</math>||<math> 2850255403</math>||<math> 4059527753</math>||<math> 4338343433</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 98202331</math>||<math> 218657237</math>||<math> 508050341</math>||<math> 965528153</math>||<math> 1963343323</math>||<math> 2133623147</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 46452799</math>||<math> 161073877</math>||<math> 416581987</math>||<math> 444443777</math>||<math> 799148171</math>||<math> 1536915817</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 155461</math>||<math> 11699279</math>||<math> 59259649</math>||<math> 82736531</math>||<math> 138908647</math>||<math> 156852947</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 62347</math>||<math> 18249241</math>||<math> 402509117</math>||<math> 646946233</math>||<math> 694032349</math>||<math> 748855249</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 1664417</math>||<math> 3306839</math>||<math> 6703841</math>||<math> 10343167</math>||<math> 16988767</math>||<math> 17046329</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 12331793</math>||<math> 21994589</math>||<math> 32695477</math>||<math> 135554233</math>||<math> 355138829</math>||<math> 730901161</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 12683299</math>||<math> 21459209</math>||<math> 38446267</math>||<math> 423264613</math>||<math> 3158377081</math>||<math> 5208862573</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 7573327</math>||<math> 369901513</math>||<math> 2755541693</math>||<math> 2774476609</math>||<math> 3311703233</math>||<math> 5004136327</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 28549</math>||<math> 819317</math>||<math> 3721051</math>||<math> 11941571</math>||<math> 35273473</math>||<math> 46949093</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 1024853</math>||<math> 355670309</math>||<math> 446786191</math>||<math> 547343483</math>||<math> 682871447</math>||<math> 1772834893</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 7328437</math>||<math> 15275849</math>||<math> 17503261</math>||<math> 22737017</math>||<math> 27294053</math>||<math> 45150331</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 8528483</math>||<math> 40313929</math>||<math> 243787771</math>||<math> 385895737</math>||<math> 467671013</math>||<math> 797154607</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 10892747</math>||<math> 17489623</math>||<math> 28416517</math>||<math> 55350017</math>||<math> 200631439</math>||<math> 449962543</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 275550449</math>||<math> 340210649</math>||<math> 375439381</math>||<math> 1299902701</math>||<math> 7189505563</math>||<math> 8000213747</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 31057003</math>||<math> 150282967</math>||<math> 634308509</math>||<math> 643690123</math>||<math> 2295863833</math>||<math> 2515095703</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 53681</math>||<math> 14224981</math>||<math> 14432399</math>||<math> 23559377</math>||<math> 28467293</math>||<math> 42049001</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 334554023</math>||<math> 488051653</math>||<math> 2038389299</math>||<math> 2162899399</math>||<math> 2445407273</math>||<math> 3057392207</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 707071</math>||<math> 125628439</math>||<math> 303544463</math>||<math> 441911263</math>||<math> 449336813</math>||<math> 511484261</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 16561691</math>||<math> 26691349</math>||<math> 373909451</math>||<math> 558247033</math>||<math> 626630117</math>||<math> 1074793063</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 3363089</math>||<math> 35937059</math>||<math> 57814343</math>||<math> 83864653</math>||<math> 264068017</math>||<math> 2293066417</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 459609859</math>||<math> 522069971</math>||<math> 535273337</math>||<math> 720980111</math>||<math> 1617247087</math>||<math> 1769323693</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 38610347</math>||<math> 185388121</math>||<math> 511207351</math>||<math> 512002717</math>||<math> 573447551</math>||<math> 728734969</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 2781203</math>||<math> 10327159</math>||<math> 15741997</math>||<math> 161184019</math>||<math> 290334601</math>||<math> 387848743</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 527909</math>||<math> 8754457</math>||<math> 19711711</math>||<math> 68442943</math>||<math> 70092481</math>||<math> 108555763</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 187009</math>||<math> 74743931</math>||<math> 1717072597</math>||<math> 2241197341</math>||<math> 3885152797</math>||<math> 5442728839</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 13865323</math>||<math> 151172779</math>||<math> 155052347</math>||<math> 169766761</math>||<math> 417004037</math>||<math> 759377761</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 166601</math>||<math> 178151</math>||<math> 189701</math>||<math> 2902951</math>||<math> 2939267</math>||<math> 6906061</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 15296227</math>||<math> 115733179</math>||<math> 793412467</math>||<math> 2045327461</math>||<math> 3317282629</math>||<math> 3405094727</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 70627031</math>||<math> 81131437</math>||<math> 190977547</math>||<math> 295424263</math>||<math> 435613939</math>||<math> 436230467</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 96579871</math>||<math> 196123667</math>||<math> 1414855181</math>||<math> 1594532899</math>||<math> 1852156771</math>||<math> 5477685029</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 355974491</math>||<math> 1228212781</math>||<math> 1597738157</math>||<math> 2356239043</math>||<math> 2537515919</math>||<math> 2664004501</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 558431</math>||<math> 4885897</math>||<math> 62631409</math>||<math> 222308641</math>||<math> 247236973</math>||<math> 597208309</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 10981339</math>||<math> 73391203</math>||<math> 614195423</math>||<math> 722428933</math>||<math> 1804485667</math>||<math> 2011342889</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 37278391</math>||<math> 396360829</math>||<math> 477013687</math>||<math> 1035592279</math>||<math> 1668997513</math>||<math> 1740405707</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 4705247</math>||<math> 43971617</math>||<math> 150462859</math>||<math> 3214143193</math>||<math> 4385611183</math>||<math> 6156888427</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 1560997</math>||<math> 2070517</math>||<math> 319796189</math>||<math> 397320779</math>||<math> 534628103</math>||<math> 1466338729</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 96997</math>||<math> 8628157</math>||<math> 23309989</math>||<math> 84831493</math>||<math> 95865989</math>||<math> 183786877</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 110437</math>||<math> 124297</math>||<math> 138157</math>||<math> 152947</math>||<math> 166807</math>||<math> 180667</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 6446353</math>||<math> 6976289</math>||<math> 9167027</math>||<math> 315420997</math>||<math> 324294169</math>||<math> 850130293</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 8022137</math>||<math> 46017523</math>||<math> 49573471</math>||<math> 84264127</math>||<math> 201286747</math>||<math> 664107853</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 4421849</math>||<math> 7258067</math>||<math> 55181701</math>||<math> 266196461</math>||<math> 400560449</math>||<math> 658093439</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 14365553</math>||<math> 79088123</math>||<math> 578429339</math>||<math> 1590374273</math>||<math> 1620663103</math>||<math> 1692678277</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 1313271217</math>||<math> 1398822683</math>||<math> 3458123993</math>||<math> 5050258823</math>||<math> 8564509277</math>||
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 643929523</math>||<math> 1697175937</math>||<math> 3456724013</math>||<math> 3604668029</math>||<math> 5105194837</math>||<math> 5972188679</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 423644591</math>||<math> 792183047</math>||<math> 1013912467</math>||<math> 1239474463</math>||<math> 1707297247</math>||<math> 1918187839</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 15113711</math>||<math> 49877209</math>||<math> 90195289</math>||<math> 113317157</math>||<math> 542625751</math>||<math> 801528769</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 849869</math>||<math> 281904709</math>||<math> 741349123</math>||<math> 1196157763</math>||<math> 1264569469</math>||<math> 1628362679</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 3178141</math>||<math> 47378869</math>||<math> 105168887</math>||<math> 140273363</math>||<math> 315104063</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 3360767</math>||<math> 7292851</math>||<math> 8511059</math>||<math> 10038841</math>||<math> 26643899</math>||<math> 35098631</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 339263</math>||<math> 2893309</math>||<math> 7118387</math>||<math> 189387287</math>||<math> 209606629</math>||<math> 266620267</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 381816437</math>||<math> 695288453</math>||<math> 1555003309</math>||<math> 2096563163</math>||<math> 2844269837</math>||<math> 4876784057</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 143614397</math>||<math> 681135667</math>||<math> 1337835403</math>||<math> 1547432483</math>||<math> 1809315247</math>||<math> 2850704453</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 83709047</math>||<math> 1041057263</math>||<math> 1265416651</math>||<math> 1665987569</math>||<math> 2529254831</math>||<math> 4576482871</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 1452511</math>||<math> 10612519</math>||<math> 16814099</math>||<math> 216348577</math>||<math> 382728461</math>||<math> 532388587</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 25471</math>||<math> 137293657</math>||<math> 632342783</math>||<math> 960368107</math>||<math> 5503090291</math>||<math> 6704824913</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 193607</math>||<math> 33411011</math>||<math> 511632469</math>||<math> 819466853</math>||<math> 960062011</math>||<math> 1178974859</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 1728911</math>||<math> 4584401</math>||<math> 7627309</math>||<math> 77294621</math>||<math> 99462899</math>||<math> 170832131</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 51826531</math>||<math> 210101329</math>||<math> 235062067</math>||<math> 605501191</math>||<math> 1083324911</math>||<math> 2230437163</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 1989811</math>||<math> 825611753</math>||<math> 2281896011</math>||<math> 2468212757</math>||<math> 2968471043</math>||<math> 4958366753</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 194839</math>||<math> 1044739</math>||<math> 1075237</math>||<math> 2169967</math>||<math> 2467369</math>||<math> 3135841</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 90365419</math>||<math> 551760331</math>||<math> 1165944209</math>||<math> 1887703247</math>||<math> 1932471091</math>||<math> 3396823123</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 804113</math>||<math> 1087721813</math>||<math> 2462595313</math>||<math> 3420103007</math>||<math> 5068097201</math>||<math> 5268928117</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 1023487</math>||<math> 6202067</math>||<math> 6640901</math>||<math> 19304167</math>||<math> 78325591</math>||<math> 152030453</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 13154717</math>||<math> 123351947</math>||<math> 180065461</math>||<math> 191400653</math>||<math> 307980523</math>||<math> 526607503</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 1773689</math>||<math> 128832049</math>||<math> 226504217</math>||<math> 544697521</math>||<math> 880832749</math>||<math> 1511819633</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 216443629</math>||<math> 1460073841</math>||<math> 2172351869</math>||<math> 3696955411</math>||<math> 4020404251</math>||<math> 4234603313</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 142699</math>||<math> 302287</math>||<math> 661547</math>||<math> 64740661</math>||<math> 176566177</math>||<math> 562542581</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 77727823</math>||<math> 585546277</math>||<math> 1013154997</math>||<math> 1309662637</math>||<math> 2007871577</math>||<math> 2231189419</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 1216213</math>||<math> 7991839</math>||<math> 156234857</math>||<math> 1222246309</math>||<math> 2382533789</math>||<math> 2523592993</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 2219557</math>||<math> 508048529</math>||<math> 906000787</math>||<math> 1111806827</math>||<math> 2134225213</math>||<math> 6894499589</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 2397931</math>||<math> 4022297</math>||<math> 4043087</math>||<math> 15314617</math>||<math> 26974879</math>||<math> 35575247</math>
 +
|-
 +
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 49402277</math>||<math> 263368843</math>||<math> 701455591</math>||<math> 2403274567</math>||<math> 3097244987</math>||<math> 5984865767</math>
 +
|}
 +
<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C53</span><br/>
 +
Niech <math>d, k, k_0, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> z&nbsp;dzielenia <math>n</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
 +
 
 +
::<math>x_k = a + k d \qquad</math> dla <math>\; k = k_0 + 1, \ldots, k_0 + n</math>
 +
 
 +
przez liczbę <math>n</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \}</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że wśród <math>n</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego <math>(x_k)</math> jeden z&nbsp;tych wyrazów jest podzielny przez <math>n</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych <math>i, j</math> takich, że <math>1 \leqslant i < j \leqslant n</math> liczby <math>a + (k_0 + i) d</math> oraz <math>a + (k_0 + j) d</math> dają tę samą resztę przy dzieleniu przez <math>n</math>. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez <math>n</math>
 +
 
 +
::<math>n| [a + (k_0 + j) d] - [a + (k_0 + i) d]</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>n|d (j - i)</math>
 +
 
 +
Ponieważ liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70), mamy
 +
 
 +
::<math>n| (j - i)</math>
 +
 
 +
Co jest niemożliwe, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant n - 1 < n</math>.
 +
 
 +
Zatem reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> są wszystkie różne, a&nbsp;ponieważ jest ich <math>n</math>, czyli tyle ile jest różnych reszt z&nbsp;dzielenia przez liczbę <math>n</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>n</math>, czyli ze zbiorem <math>S = \{ 0, 1, 2, \ldots, n - 1 \}</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C54</span><br/>
 +
Niech <math>d \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech będzie dany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
 +
 
 +
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
 +
 
 +
Z żądania, aby dany ciąg arytmetyczny był ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, wynika, że muszą być spełnione następujące warunki
 +
 
 +
:* <math>p_0 \nmid d</math>
 +
:* <math>n \leqslant p_0</math>
 +
:* <math>P(n - 1) |d</math>
 +
:* jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>
 +
 
 +
gdzie <math>P(t)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>t</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1.'''<br/>
 +
Gdyby <math>p_0 |d</math>, to dla <math>k \geqslant 1</math> mielibyśmy <math>p_k = p_0 \left( 1 + k \cdot \frac{d}{p_0} \right)</math> i&nbsp;wszystkie te liczby byłyby złożone.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''<br/>
 +
Ponieważ <math>p_0</math> dzieli <math>p_0 + p_0 d</math>, więc musi być <math>n - 1 < p_0</math>, czyli <math>n \leqslant p_0</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''<br/>
 +
Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą mniejszą od <math>n</math>, a&nbsp;liczby <math>r_k</math> będą resztami uzyskanymi z&nbsp;dzielenia liczb <math>p_k = p_0 + k d</math> przez <math>q</math>, dla <math>k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia liczby <math>p_0, \ldots, p_{n - 1}</math> są liczbami pierwszymi większymi od <math>q</math> (zauważmy, że <math>p_0 \geqslant n</math>), to żadna z&nbsp;reszt <math>r_k</math> nie może być równa zeru. Czyli mamy <math>q</math> reszt mogących przyjmować jedynie <math>q - 1</math> różnych wartości. Zatem istnieją różne liczby <math>i, j</math>, takie że <math>0 \leqslant i < j \leqslant q - 1</math>, dla których <math>r_i = r_j</math>. Wynika stąd, że różnica liczb
 +
 
 +
::<math>p_j - p_i = (p_0 + j d) - (p_0 + i d) = d (j - i)</math>
 +
 
 +
musi być podzielna przez <math>q</math>. Ponieważ <math>q \nmid (j - i)</math>, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant q - 1 < q</math>, zatem z&nbsp;lematu Euklidesa <math>q|d</math>.
 +
 
 +
Z uwagi na fakt, że jest tak dla każdej liczby pierwszej <math>q < n</math>, liczba <math>d</math> musi być podzielna przez
 +
 
 +
::<math>P(n - 1) = \prod_{q < n} q</math>
 +
 
 +
'''Punkt 4.'''<br/>
 +
Ponieważ <math>P(n - 1)|d</math>, to wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>n</math> muszą być dzielnikami <math>d</math>. Wynika stąd, że jeśli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to musi być <math>q \geqslant n</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C55</span><br/>
 +
Czasami, zamiast pisać „ciąg arytmetyczny liczb pierwszych”, będziemy posługiwali się skrótem PAP od angielskiej nazwy „''prime arithmetic progression''”. Konsekwentnie zapis PAP-<math>n</math> będzie oznaczał ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, a&nbsp;zapis PAP<math>(n, d, q)</math> ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, pierwszym wyrazie <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C56</span><br/>
 +
Jakkolwiek sądzimy, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych rozpoczynających się od dowolnej liczby pierwszej <math>q</math> i&nbsp;o&nbsp;dowolnej długości <math>3 \leqslant n \leqslant q</math>, to obecnie jest to tylko nieudowodnione przypuszczenie.
 +
 
 +
Dlatego '''nawet dla najmniejszej''' liczby pierwszej <math>q</math> takiej, że <math>q \nmid d</math> nierówność <math>n \leqslant q</math>, pokazana w&nbsp;twierdzeniu C54, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W&nbsp;szczególności nie możemy z&nbsp;góry przyjmować, że dla liczby <math>n = q</math> znajdziemy taką liczbę <math>d</math> będącą wielokrotnością liczby <math>P(q - 1)</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>q</math>, że będzie istniał PAP<math>(q, d, q)</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C57</span><br/>
 +
Rozważmy dwie różnice <math>d_1 = 6 = 2 \cdot 3</math> oraz <math>d_2 = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7</math>. Zauważmy, że liczba pierwsza <math>5</math> nie dzieli ani <math>d_1</math>, ani <math>d_2</math>. Co więcej, liczba pierwsza <math>5</math> jest '''najmniejszą''' liczbą pierwszą, która nie dzieli rozpatrywanych różnic, zatem nierówność <math>n \leqslant 5</math> zapewnia najmocniejsze oszacowanie długości ciągu <math>n</math>. Łatwo sprawdzamy w&nbsp;zamieszczonych tabelach, że dla <math>d = 6</math> oraz dla <math>d = 42</math> są ciągi o&nbsp;długości <math>3, 4, 5</math>, ale nie ma ciągów o&nbsp;długości <math>6, 7, \ldots</math>
 +
 
 +
W szczególności z&nbsp;twierdzenia C54 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;określonej długości <math>n</math>, należy szukać ich tylko dla różnic <math>d</math> będących wielokrotnością liczby <math>P(n - 1)</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C58</span><br/>
 +
Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że jeżeli <math>p_0 = 3</math>, to dwa następne wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych są różnych postaci.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Ponieważ <math>p_0 = 3</math>, a&nbsp;rozpatrywany PAP jest rosnący, to kolejne wyrazy ciągu są większe od liczby <math>3</math> i&nbsp;mogą być przedstawione w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia C54 wiemy, że musi być <math>n \leqslant p_0 = 3</math>, czyli długość rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi dokładnie <math>3</math> i&nbsp;istnieją tylko dwa następne wyrazy.
 +
 
 +
Rozważmy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych składający się z&nbsp;trzech wyrazów <math>p, q, r</math> takich, że <math>p = 3</math>. Mamy
 +
 
 +
::<math>r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>r + q = 3 q - 3</math>
 +
 
 +
Widzimy, że prawa strona powyższej równości jest podzielna przez <math>3</math>. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być różnych postaci, bo tylko w&nbsp;takim przypadku lewa strona równości będzie również podzielna przez <math>3</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C59</span><br/>
 +
Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że wszystkie wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math>, gdzie <math>p_0 \geqslant 5</math> i <math>n \geqslant 3</math> muszą być jednakowej postaci.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech liczby <math>p, q, r</math> będą trzema kolejnymi (dowolnie wybranymi) wyrazami rozpatrywanego ciągu. Łatwo zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>p + q = 3 q - r</math>
 +
 
 +
::<math>q + r = 3 q - p</math>
 +
 
 +
::<math>p + r = 2 q</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że prawa strona wypisanych wyżej równości nie jest podzielna przez <math>3</math>, bo liczby <math>p, q, r</math> są liczbami pierwszymi większymi od liczby <math>3</math>. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być tej samej postaci, bo gdyby było inaczej, to lewa strona tych równości byłaby podzielna przez <math>3</math>, a&nbsp;prawa nie. Czyli każda para liczb z&nbsp;trójki <math>p, q, r</math> musi być tej samej postaci i&nbsp;wynika stąd, że wszystkie trzy liczby muszą być tej samej postaci. Ponieważ trzy kolejne wyrazy ciągu <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math> były wybrane dowolnie, to wszystkie wyrazy tego ciągu muszą być tej samej postaci.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C60</span><br/>
 +
Niech <math>d > 0</math> będzie różnicą ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
 +
 
 +
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
 +
 
 +
Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C54, że jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Przypuśćmy, że <math>n > q</math> tak, że <math>q < n \leqslant p_0</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>q < p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>q \nmid d</math>, to na mocy twierdzenia C53 wśród <math>q</math> kolejnych wyrazów <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math> (zauważmy, że <math>q - 1 < n - 1</math>) jedna liczba pierwsza <math>p_k</math> musi być podzielna przez <math>q</math>, zatem musi być równa <math>q</math>. Jednak jest to niemożliwe, bo <math>q < p_k</math> dla wszystkich <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Zatem nie może być <math>n > q</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C61</span><br/>
 +
Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą, a&nbsp;liczby pierwsze
 +
 
 +
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> gdzie <math>\; k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>
 +
 
 +
tworzą ciąg arytmetyczny o&nbsp;długości <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d > 0</math>.
 +
 
 +
Równość <math>p_0 = q</math> zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>q \nmid d</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
<math>\Longrightarrow</math><br/>
 +
Jeżeli <math>p_0 = q</math>, to <math>q</math>-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma postać
 +
 
 +
::<math>p_k = q + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>
 +
 
 +
Gdyby <math>q|d</math>, to mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>p_k = q \left( 1 + k \cdot \frac{d}{q} \right)</math>
 +
 
 +
i wszystkie liczby <math>p_k</math> dla <math>k \geqslant 1</math> byłyby złożone, wbrew założeniu, że <math>p_k</math> tworzą <math>q</math>-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych.
 +
 
 +
<math>\Longleftarrow</math><br/>
 +
Ponieważ <math>q</math> jest długością rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych, to z&nbsp;twierdzenia C54 wynika, że musi być <math>q \leqslant p_0</math>.
 +
 
 +
Z założenia liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia C53 wiemy, że <math>q</math> musi dzielić jedną z&nbsp;liczb <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math>.
 +
 
 +
Jeżeli <math>q|p_k</math>, to <math>p_k = q</math>. Ponieważ <math>q \leqslant p_0</math>, to możliwe jest jedynie <math>q|p_0</math> i&nbsp;musi być <math>p_0 = q</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C62</span><br/>
 +
Niech ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> ma postać
 +
 
 +
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
 +
 
 +
Z udowodnionych wyżej twierdzeń C54 i&nbsp;C61 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> można podzielić na dwie grupy
 +
 
 +
:* jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>, to <math>P(n - 1) |d</math> oraz <math>p_0 = n</math> (dla ustalonego <math>d</math> może istnieć tylko jeden ciąg)
 +
:* jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną lub <math>n|d</math>, to <math>P(n) |d</math> oraz <math>p_0 > n</math>
 +
 
 +
Funkcja <math>P(t)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>t</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C63</span><br/>
 +
Niech różnica ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi <math>d = 10^t</math>, gdzie <math>t \geqslant 1</math>. Zauważmy, że dla dowolnego <math>t</math> liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
 +
 
 +
Jeżeli długość ciągu <math>n = 3</math> i <math>n \nmid d</math>, to musi być <math>p_0 = n = 3</math> i&nbsp;może istnieć tylko jeden PAP dla każdego <math>d</math>. W&nbsp;przypadku <math>t \leqslant 10000</math> jedynie dla <math>t = 1, 5, 6, 17</math> wszystkie liczby ciągu arytmetycznego <math>(3, 3 + 10^t, 3 + 2 \cdot 10^t)</math> są pierwsze.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C64</span><br/>
 +
Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14, 16</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że dla każdej z&nbsp;podanych różnic <math>d</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
 +
 
 +
Ponieważ <math>n = 3</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;dla wypisanych <math>d</math> liczba <math>n \nmid d</math>, to w&nbsp;każdym przypadku może istnieć tylko jeden ciąg, którego pierwszym wyrazem jest liczba pierwsza <math>p_0 = n = 3</math>. Dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14</math> łatwo znajdujemy odpowiednie ciągi
 +
 
 +
::<math>(3, 5, 7)</math>, <math>\qquad (3, 7, 11)</math>, <math>\qquad (3, 11, 19)</math>, <math>\qquad (3, 13, 23)</math>, <math>\qquad (3, 17, 31)</math>
 +
 
 +
Dla <math>d = 16</math> szukany ciąg nie istnieje, bo <math>35 = 5 \cdot 7</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C65</span><br/>
 +
Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11</math> i <math>d = P (n - 1)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z założenia PAP ma długość <math>n</math>, liczba <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>. Zatem może istnieć tylko jeden PAP taki, że <math>p_0 = n</math>. Dla <math>n = 3, 5</math> i&nbsp;odpowiednio <math>d = 2, 6</math> otrzymujemy ciągi arytmetyczne liczb pierwszych
 +
 
 +
::<math>(3, 5, 7)</math>, <math>\qquad (5, 11, 17, 23, 29)</math>
 +
 
 +
Ale dla <math>n = 7, 11</math> i&nbsp;odpowiednio <math>d = 30, 210</math> szukane ciągi nie istnieją, bo
 +
 
 +
::<math>(7, 37, 67, 97, 127, 157, {\color{Red} 187 = 11 \cdot 17})</math>
 +
 
 +
::<math>(11, {\color{Red} 221 = 13 \cdot 17}, 431, 641, {\color{Red} 851 = 23 \cdot 37}, 1061, {\color{Red} 1271 = 31 \cdot 41}, 1481, {\color{Red} 1691 = 19 \cdot 89}, 1901, 2111)</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C66</span><br/>
 +
Przedstawiamy przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych, takie że <math>n = p_0</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11, 13</math>. Zauważmy, że wypisane w&nbsp;tabeli wartości <math>d</math> są wielokrotnościami liczby <math>P(n - 1)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabelę|Hide=Ukryj tabelę}}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| style="background:#98fb98;"|<math>\mathbf{n = p_0}</math>
 +
| colspan=10 style="background:#ffd890;"| <math>\mathbf{d}</math>
 +
|-
 +
|-
 +
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{3}</math>||<math>2</math>||<math>4</math>||<math>8</math>||<math>10</math>||<math>14</math>||<math>20</math>||<math>28</math>||<math>34</math>||<math>38</math>||<math>40</math>
 +
|-
 +
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{5}</math>||<math>6</math>||<math>12</math>||<math>42</math>||<math>48</math>||<math>96</math>||<math>126</math>||<math>252</math>||<math>426</math>||<math>474</math>||<math>594</math>
 +
|-
 +
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{7}</math>||<math>150</math>||<math>2760</math>||<math>3450</math>||<math>9150</math>||<math>14190</math>||<math>20040</math>||<math>21240</math>||<math>63600</math>||<math>76710</math>||<math>117420</math>
 +
|-
 +
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{11}</math>||<math>1536160080</math>||<math>4911773580</math>||<math>25104552900</math>||<math>77375139660</math>||<math>83516678490</math>||<math>100070721660</math>||<math>150365447400</math>||<math>300035001630</math>||<math>318652145070</math>||<math>369822103350</math>
 +
|-
 +
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{13}</math>||<math>9918821194590</math>||<math>104340979077720</math>||<math>187635245859600</math>||<math>232320390245790</math>||<math>391467874710990</math>||<math>859201916576850</math>||<math>1024574038282410</math>||<math>1074380369464710</math>||<math>1077624363457950</math>||<math>1185763337651970</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Przykłady takich ciągów dla jeszcze większych liczb pierwszych Czytelnik znajdzie na stronie [http://oeis.org/A088430 A088430].<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C67</span><br/>
 +
Liczby <math>3, 5, 7</math> są najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego '''kolejnych''' liczb pierwszych. Zauważmy, że tylko w&nbsp;przypadku <math>n = 3</math> możliwa jest sytuacja, że <math>n = p_0 = 3</math>. Istotnie, łatwo stwierdzamy, że
 +
 
 +
:* ponieważ <math>p_0</math> i <math>p_1</math> są '''kolejnymi''' liczbami pierwszymi, to <math>p_1 - p_0 < p_0</math> (zobacz zadanie B22)
 +
:* dla dowolnej liczby pierwszej <math>q \geqslant 5</math> jest <math>q < P (q - 1)</math> (zobacz zadanie B26)
 +
 
 +
Przypuśćmy teraz, że istnieje ciąg arytmetyczny '''kolejnych''' liczb pierwszych, taki że <math>n = p_0 \geqslant 5</math>. Mamy
 +
 
 +
::<math>d = p_1 - p_0 < p_0 < P (p_0 - 1) = P (n - 1)</math>
 +
 
 +
Zatem <math>P(n - 1) \nmid d</math>, co jest niemożliwe.
 +
 
 +
Wynika stąd, że poza przypadkiem <math>n = p_0 = 3</math> ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek <math>P(n)|d</math>, czyli <math>P(n)|(p_1 - p_0)</math>.
 +
 
 +
Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długościach <math>n = 3, 4, 5, 6</math> dla rosnących wartości <math>p_0</math>. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> dla <math>p_0 < 10^{13}</math>. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
 +
 
 +
Znane są ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długościach <math>n \leqslant 10</math><ref name="CPAP1"/>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
 +
 
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 3}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{3}}</math>
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{3}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>2</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{47}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{151}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{167}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{199}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>12</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{251}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{257}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{367}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{557}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{587}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{601}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{647}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{727}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{941}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{971}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 4}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{4}}</math>
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{251}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{1741}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{3301}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{5101}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{5381}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{6311}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{6361}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 5}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{8}}</math>
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{9843019}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{37772429}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{53868649}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{71427757}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{78364549}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{79080577}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{98150021}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{99591433}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
|}
 
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 +
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 +
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 6}</math>
 +
|- style="text-align: center;"
 +
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{10}}</math>
 +
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{121174811}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{1128318991}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{2201579179}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{2715239543}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{2840465567}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{3510848161}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{3688067693}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{3893783651}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{5089850089}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{5825680093}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{6649068043}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{6778294049}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{7064865859}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{7912975891}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{8099786711}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{9010802341}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{9327115723}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{9491161423}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|-
 +
| <math>\mathbf{9544001791}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 +
|}
 +
<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C68</span><br/>
 +
Uzasadnij przypuszczenie, że ciągów arytmetycznych '''kolejnych''' liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> możemy oczekiwać dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że ilość liczb pierwszych nie większych od <math>x</math> w&nbsp;dobrym przybliżeniu jest określona funkcją <math>\frac{x}{\log x}</math>. Ponieważ funkcja <math>\log x</math> zmienia się bardzo wolno, to odcinki liczb naturalnych o&nbsp;tej samej długości położone w&nbsp;niewielkiej odległości od siebie będą zawierały podobne ilości liczb pierwszych. Przykładowo, dla dużych wartości <math>x</math>, ilość liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(x, 2 x)</math> jest tego samego rzędu, co ilość liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(1, x)</math><ref name="PrimesInInterval"/>.
  
  
−
<div style="font-size: 120%; font-weight: bold; line-height: 1.2em">Ta cena nikogo nie niepokoi i&nbsp;nie usłyszymy głosów sprzeciwu. Przecież godność prawie niewinnych morderców nie ma ceny.</div>
+
Zatem liczbę <math>\frac{1}{\log x}</math> możemy traktować jako prawdopodobieństwo trafienia na liczbę pierwszą wśród liczb znajdujących się w&nbsp;pobliżu liczby <math>x</math>. Zakładając, że liczby pierwsze są rozłożone przypadkowo, możemy wyliczyć prawdopodobieństwo tego, że <math>n</math> kolejnych liczb pierwszych, położonych w&nbsp;pobliżu liczby <math>x</math>, utworzy ciąg arytmetyczny
  
 +
::<math>\text{prob}_{\text{cpap}} (n, x) = \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)}</math>
  
 +
gdzie <math>d = P (n)</math>. Jest tak, ponieważ w&nbsp;ciągu kolejnych liczb całkowitych musimy trafić na liczbę pierwszą, następnie na <math>d - 1</math> liczb złożonych, taka sytuacja musi się powtórzyć dokładnie <math>n - 1</math> razy, a&nbsp;na koniec znowu musimy trafić na liczbę pierwszą. Czyli potrzebujemy <math>n</math> liczb pierwszych, na które trafiamy z&nbsp;prawdopodobieństwem <math>\frac{1}{\log x}</math> oraz <math>(n - 1) (d - 1)</math> liczb złożonych, na które trafiamy z&nbsp;prawdopodobieństwem <math>1 - \frac{1}{\log x}</math>, a&nbsp;liczby te muszą pojawiać się w&nbsp;ściśle określonej kolejności.
  
−
<div style="font-size: 120%; font-weight: bold; line-height: 1.2em">W&nbsp;postępowych mediach nikt nie powie społeczeństwu, że tylko Pan Bóg się nie myli i&nbsp;dlatego każdy morderca nigdy nie powinien wyjść na wolność.</div>
 
  
 +
Ilość ciągów arytmetycznych utworzonych przez <math>n</math> kolejnych liczb pierwszych należących do przedziału <math>(x, 2 x)</math> możemy zatem oszacować na równą około
  
 +
::<math>Q_{\text{cpap}}(n, x) = x \cdot \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)}</math>
  
−
<div style="font-size: 120%; font-weight: bold; line-height: 1.2em">Nie spotkamy głębokich, filozoficzno – religijnych rozważań, czy moralne jest poświęcanie życia niewinnych osób, aby godność morderców była uszanowana.</div>
 
  
 +
Porównując powyższe oszacowanie z&nbsp;rzeczywistą ilością <math>\# \text{CPAP}(n, x)</math> ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(x, 2x)</math> dostajemy
  
 +
::<math>\frac{\# \text{CPAP}(n, x)}{Q_{\text{cpap}} (n, x)} = f (n, x)</math>
  
−
<div style="font-size: 120%; font-weight: bold; line-height: 1.2em">Nikt nie oświadczy, że państwo ma chronić życie swoich obywateli i&nbsp;dlatego każdy morderca powinien zostać powieszony lub skazany na dożywotni pobyt w&nbsp;więzieniu.</div>
+
gdzie w&nbsp;możliwym do zbadania zakresie, czyli dla <math>x < 2^{42} \approx 4.4 \cdot 10^{12}</math> mamy
  
 +
::<math>f(n, x) \approx a_n \cdot \log x + b_n</math>
  
 +
Stałe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> wyznaczamy metodą regresji liniowej. Musimy pamiętać, że uzyskanych w&nbsp;ten sposób wyników nie możemy ekstrapolować dla dowolnie dużych <math>x</math>.
  
 +
W przypadku <math>n = 5</math> oraz <math>n = 6</math> dysponowaliśmy zbyt małą liczbą danych, aby wyznaczyć stałe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> z&nbsp;wystarczającą dokładnością. Dlatego w&nbsp;tych przypadkach ograniczyliśmy się do podania oszacowania funkcji <math>f(n, x)</math>.
  
−
<div style="font-size: 120%; font-weight: bold; line-height: 1.2em">I&nbsp;nie dowiesz się, że poświęcane jest życie setek osób, aby możliwa była realizacja absurdalnych pomysłów Postępu – bowiem dopuszczalne jest każde kłamstwo i&nbsp;każda manipulacja.</div>
+
Uzyskany wyżej rezultaty są istotne, bo z&nbsp;wyliczonych postaci funkcji <math>f(n, x)</math> wynika, że są to funkcje bardzo wolno zmienne, a&nbsp;ich ekstrapolacja jest w&nbsp;pełni uprawniona.
  
  
 +
W zamieszczonej niżej tabeli mamy kolejno
  
 +
:* <math>n</math>, czyli długość CPAP
 +
:* wartość iloczynu <math>n \cdot P (n)</math>
 +
:* znalezioną postać funkcji <math>f(n, x)</math> lub oszacowanie wartości tej funkcji <math>C_n</math> na podstawie uzyskanych danych; w&nbsp;przypadku <math>n = 7</math> jest to oszacowanie wynikające z&nbsp;obserwacji, że wartości funkcji <math>f(n, x)</math> są rzędu <math>n \cdot P (n)</math>
 +
:* wyliczoną wartość <math>\frac{\# \text{CPAP}(n, 2^{40})}{Q_{\text{cpap}}(n, 2^{40})}</math>, czyli <math>f(n, 2^{40})</math>
 +
:* wartość funkcji <math>f(n, 2^{70})</math> wynikające z&nbsp;ekstrapolacji wzoru <math>f(n, x) = a_n \cdot \log x + b_n \qquad</math> (dla <math>n = 3, 4</math>)
 +
:* wartość <math>x</math> wynikającą z&nbsp;rozwiązania równania
 +
::: <math>\qquad (a_n \cdot \log x + b_n) \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad</math> (dla <math>n = 3, 4</math>)
 +
::: <math>\qquad C_n \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad</math> (dla <math>n = 5, 6, 7</math>)
 +
:* dla porównania w&nbsp;kolejnych kolumnach zostały podane dwie najmniejsze wartości <math>p_0</math> dla CPAP-n
  
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>n</math> !! <math>n \cdot P(n)</math> !! <math>f (n, x) \quad \text{lub} \quad C_n</math> !! <math>f (n, 2^{40})</math> !! <math>f (n, 2^{70})</math> !! <math>\sim p_0</math> !! <math></math> !! <math></math>
 +
|-
 +
| <math>\quad 3 \quad</math> || <math>18</math> || <math>0.52 \cdot \log x + 6.3</math> || <math>20.94</math> || <math>30</math> || <math>130</math> || <math>47</math> || <math>151</math>
 +
|-
 +
| <math>\quad 4 \quad</math> || <math>24</math> || <math>0.53 \cdot \log x + 11.6</math> || <math>26.61</math> || <math>36</math> || <math>1.5 \cdot 10^3</math> || <math>251</math> || <math>1741</math>
 +
|-
 +
| <math>\quad 5 \quad</math> || <math>150</math> || <math>120</math> || <math>121.45</math> || <math></math> || <math>15 \cdot 10^6</math> || <math>9843019</math> || <math>37772429</math>
 +
|-
 +
| <math>\quad 6 \quad</math> || <math>180</math> || <math>235</math> || <math>228.27</math> || <math></math> || <math>540 \cdot 10^6</math> || <math>121174811</math> || <math>1128318991</math>
 +
|-
 +
| <math>\quad 7 \quad</math> || <math>1470</math> || <math>2500</math> || <math>0</math> || <math></math> || <math>2 \cdot 10^{20}</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|}
  
 +
Zauważając, że funkcje <math>f(n, x)</math> są rzędu <math>n \cdot P (n)</math> i&nbsp;przyjmując, że podobnie będzie dla <math>f(7, x)</math>, możemy wyliczyć wartość <math>x</math>, dla której może pojawić się pierwszy CPAP-7. Wartość ta jest równa w&nbsp;przybliżeniu <math>2 \cdot 10^{20}</math> i&nbsp;wynika z&nbsp;rozwiązania równania
  
 +
::<math>f(7, x) \cdot Q_{\text{cpap}}(7, x) = 1</math>
  
 +
Możemy ją łatwo wyliczyć w&nbsp;PARI/GP. Oczywiście funkcję <math>f(7, x)</math> zastąpiliśmy jej oszacowaniem <math>C_7 = 2500</math>
  
 +
P(n) = prod(k=2, n, if( isprime(k), k, 1 ))
 +
Q(x) = 2500 * x * ( 1/log(x) )^7 * ( 1 - 1/log(x) )^( (7-1)*(P(7)-1) )
 +
solve(x=10^10, 10^23, Q(x) - 1 )
 +
<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
== Uzupełnienie ==
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C69 (lemat Bézouta)</span><br/>
 +
Jeżeli liczby całkowite <math>a</math> i <math>b</math> nie są jednocześnie równe zeru, a&nbsp;największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>D</math>, to istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
 +
 +
::<math>a x + b y = D</math>
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>S</math> będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich postaci <math>a n + b m</math>, gdzie <math>n, m</math> są dowolnymi liczbami całkowitymi. Zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, bo przykładowo liczba <math>a^2 + b^2 \in S</math>. Z&nbsp;zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych wynika, że zbiór <math>S</math> ma element najmniejszy, oznaczmy go literą <math>d</math>.
 +
 +
Pokażemy, że <math>d|a</math> i <math>d|b</math>. Z&nbsp;twierdzenia o&nbsp;dzieleniu z&nbsp;resztą możemy napisać <math>a = k d + r</math>, gdzie <math>0 \leqslant r < d</math>.
 +
 +
Przypuśćmy, że <math>d \nmid a</math>, czyli że <math>r > 0</math>. Ponieważ <math>d \in S</math>, to mamy <math>d = a u + b v</math> dla pewnych liczb całkowitych <math>u</math> i <math>v</math>. Zatem
 +
 +
::<math>r = a - k d =</math>
 +
 +
::<math>\;\;\, = a - k (a u + b v) =</math>
 +
 +
::<math>\;\;\, = a \cdot (1 - k u) + b \cdot (- k v)</math>
 +
 +
Wynika stąd, że dodatnia liczba <math>r</math> należy do zbioru <math>S</math> oraz <math>r < d</math>, wbrew określeniu liczby <math>d</math>, czyli musi być <math>r = 0</math> i <math>d|a</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>d|b</math>.
 +
 +
Jeżeli <math>d'</math> jest innym dzielnikiem liczb <math>a</math> i <math>b</math>, to <math>d' |d</math>, bo <math>d' | (a u + b v)</math>. Zatem <math>d' \leqslant d</math>, skąd wynika natychmiast, że liczba <math>d</math> jest największym z&nbsp;dzielników, które jednocześnie dzielą liczby <math>a</math> oraz <math>b</math>.
 +
Czyli <math>d = D</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C70 (lemat Euklidesa)</span><br/>
 +
Niech <math>a, b, d \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>d|a b</math> i&nbsp;liczba <math>d</math> jest względnie pierwsza z <math>a</math>, to <math>d|b</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia liczby <math>d</math> i <math>a</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (twierdzenie C69) istnieją takie liczby całkowite <math>x</math> i <math>y</math>, że
 +
 +
::<math>d x + a y = 1</math>
 +
 +
Mnożąc obie strony równania przez <math>b</math>, dostajemy
 +
 +
::<math>d b x + a b y = b</math>
 +
 +
Obydwa wyrazy po lewej stronie są podzielne przez <math>d</math>, bo z&nbsp;założenia <math>d|a b</math>. Zatem prawa strona również jest podzielna przez <math>d</math>, czyli <math>d|b</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C71</span><br/>
 +
Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Równanie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest dzielnikiem liczby <math>c</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>D</math> oznacza największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math>.
 +
 +
<math>\Longrightarrow</math>
 +
 +
Jeżeli liczby całkowite <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są rozwiązaniem rozpatrywanego równania, to
 +
 +
::<math>a x_0 + b y_0 = c</math>
 +
 +
Ponieważ <math>D</math> dzieli lewą stronę równania, to musi również dzielić prawą, zatem musi być <math>D|c</math>.
 +
 +
<math>\Longleftarrow</math>
 +
 +
Jeżeli <math>D|c</math>, to możemy napisać <math>c = k D</math> i&nbsp;równanie przyjmuje postać
 +
 +
::<math>a x + b y = k D</math>
 +
 +
Lemat Bézouta (twierdzenie C69) zapewnia istnienie liczb całkowitych <math>x_0</math> i <math>y_0</math> takich, że
 +
 +
::<math>a x_0 + b y_0 = D</math>
 +
 +
Czyli z&nbsp;lematu Bézouta wynika, że równanie <math>a x + b y = D</math> ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach całkowitych. Przekształcając, dostajemy
 +
 +
::<math>a(k x_0) + b (k y_0) = k D</math>
 +
 +
Zatem liczby <math>k x_0</math> i <math>k y_0</math> są rozwiązaniem równania
 +
 +
::<math>a x + b y = k D</math>
 +
 +
Co oznacza, że równianie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C72</span><br/>
 +
Z twierdzenia C71 wynika, że szukając rozwiązań równania <math>A x + B y = C</math> w&nbsp;liczbach całkowitych, powinniśmy
 +
 +
:* obliczyć największy wspólny dzielnik <math>D</math> liczb <math>A</math> i <math>B</math>
 +
:* jeżeli <math>D > 1</math>, należy sprawdzić, czy <math>D|C</math>
 +
:* jeżeli <math>D \nmid C</math>, to równanie <math>A x + B y = C</math> nie ma rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
 +
:* jeżeli <math>D|C</math>, należy podzielić obie strony równania <math>A x + B y = C</math> przez <math>D</math> i&nbsp;przejść do rozwiązywania równania równoważnego <math>a x + b y = c</math>, gdzie <math>a = \frac{A}{D}</math>, <math>b = \frac{B}{D}</math>, <math>c = \frac{C}{D}</math>, zaś największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest równy <math>1</math>.
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C73</span><br/>
 +
Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to równanie
 +
 +
::<math>a x + b y = c</math>
 +
 +
ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych.
 +
 +
Jeżeli para liczb całkowitych <math>(x_0, y_0)</math> jest jednym z&nbsp;tych rozwiązań, to wszystkie pozostałe rozwiązania całkowite można otrzymać ze wzorów
 +
 +
::<math>x = x_0 + b t</math>
 +
::<math>y = y_0 - a t</math>
 +
 +
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>1</math> i&nbsp;dzieli liczbę <math>c</math>. Na mocy twierdzenia C71 równanie
 +
 +
::<math>a x + b y = c</math>
 +
 +
ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach całkowitych.
 +
 +
Zauważmy, że jeżeli para liczb całkowitych <math>(x_0, y_0)</math> jest rozwiązaniem równania <math>a x + b y = c</math>, to para liczb <math>(x_0 + b t, y_0 - a t)</math> również
 +
jest rozwiązaniem. Istotnie
 +
 +
::<math>a(x_0 + b t) + b (y_0 - a t) = a x_0 + a b t + b y_0 - b a t =</math>
 +
 +
:::::::::<math>\, = a x_0 + b y_0 =</math>
 +
 +
:::::::::<math>\, = c</math>
 +
 +
Pokażmy teraz, że nie istnieją inne rozwiązania niż określone wzorami
 +
 +
::<math>x = x_0 + b t</math>
 +
::<math>y = y_0 - a t</math>
 +
 +
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą.
 +
 +
Przypuśćmy, że pary liczb całkowitych <math>(x, y)</math> oraz <math>(x_0, y_0)</math> są rozwiązaniami rozpatrywanego równania, zatem
 +
 +
::<math>a x + b y = c = a x_0 + b y_0</math>
 +
 +
Wynika stąd, że musi być spełniony warunek
 +
 +
::<math>a(x - x_0) = b (y_0 - y)</math>
 +
 +
Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70) <math>b|(x - x_0)</math>. Skąd mamy
 +
 +
::<math>x - x_0 = b t</math>
 +
 +
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą. Po podstawieniu dostajemy natychmiast
 +
 +
::<math>y - y_0 = - a t</math>
 +
 +
Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
  
−
PS.<br/>
 
−
Proszę Czytelników o&nbsp;pomoc w&nbsp;uzupełnieniu powyższej tabeli, w&nbsp;szczególności w&nbsp;części dotyczącej Polski. Informacje z&nbsp;dołączonymi linkami, skanami wyroków sądowych lub dokładnym opisem sytuacji proszę przesyłać na adres: brakkarysmierci@gmail.com
 
  
  
Linia 2410: Linia 2918:
 
<references>
 
<references>
  
−
<ref name="p1">Henryk Dąbrowski, ''Porozmawiajmy o argumentach (3)'', ([http://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Porozmawiajmy_o_argumentach_%283%29 LINK])</ref>
+
<ref name="WellOrdering">Korzystamy w&nbsp;tym momencie z&nbsp;zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb naturalnych, która stwierdza, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_dobrego_uporz%C4%85dkowania Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle Wiki-en])</ref>
 +
 
 +
<ref name="LiczbaJestPostaci">Określenie, że „liczba <math>n</math> jest postaci <math>a k + b</math>”, jest jedynie bardziej czytelnym (obrazowym) zapisem stwierdzenia, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>n</math> przez <math>a</math> wynosi <math>b</math>. Zapis „liczba <math>n</math> jest postaci <math>a k - 1</math>” oznacza, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>n</math> przez <math>a</math> wynosi <math>a - 1</math>.</ref>
  
−
<ref name="briley_linwood">Kolejnych zabójstw Linwood Briley dokonał z&nbsp;młodszymi braćmi: Jamesem i&nbsp;Anthonym. Linwood i&nbsp;James zostali skazani na karę śmierci i&nbsp;straceni.</ref>
+
<ref name="PAPWiki">Wikipedia, ''Primes in arithmetic progression'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="ealy_james">Ława przysięgłych w&nbsp;sprawie z&nbsp;1982 roku uznała go za winnego, ale sąd apelacyjny w&nbsp;Illinois uchylił werdykt ze względu na błędy policji popełnione przy aresztowaniu i&nbsp;przeszukaniu.</ref>
+
<ref name="PAPMathWorld">MathWorld, ''Prime Arithmetic Progression'', ([https://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html LINK])</ref>
  
−
<ref name="simmons_denver">Zamordował czterech więźniów wspólnie z&nbsp;Jacobem Philipem, również odsiadującym wyrok za podwójne morderstwo (2013 r.)</ref>
+
<ref name="Corput">J. G. van der Corput, ''Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten'', Mathematische Annalen, 116 (1939) 1-50, ([https://ur.booksc.eu/book/6643172/bf77bf LINK])</ref>
  
−
<ref name="smith_gary">Zabójstwo w&nbsp;więzieniu popełnił wspólnie z&nbsp;Lee Newellem, również odsiadującym wyrok za morderstwo (1988 r.)</ref>
+
<ref name="largestPAP">Wikipedia, ''Largest known primes in AP'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression#Largest_known_primes_in_AP Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="unwin_stephen">Zabójstwo popełnił wspólnie z&nbsp;Williamem McFallem również skazanym za morderstwo (1996) i&nbsp;zwolnionym warunkowo.</ref>
+
<ref name="GeenTao">Ben Green and Terence Tao, ''The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions.'', Ann. of Math. (2) 167 (2008), 481-547, ([https://annals.math.princeton.edu/2008/167-2/p03 LINK1]), Preprint. 8 Apr 2004, ([http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188 LINK2])</ref>
  
−
<ref name="white_billy">Zabójstwo w&nbsp;więzieniu popełnił wspólnie z&nbsp;Garym Lindleyem. Billy White został skazany za zamordowanie swojej partnerki. Gary Lindley został skazany za udział we włamaniu z&nbsp;użyciem przemocy. Zamordowany Brett Rogers został skazany za zabójstwo swojej matki i&nbsp;jej przyjaciela.</ref>
+
<ref name="CPAP1">Wikipedia, ''Primes in arithmetic progression - Largest known consecutive primes in AP'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression#Largest_known_consecutive_primes_in_AP Wiki-en])</ref>
 +
 
 +
<ref name="PrimesInInterval">Henryk Dąbrowski, ''Twierdzenie Czebyszewa o&nbsp;liczbie pierwszej między n i 2n - Uwagi do twierdzenia'', ([https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Twierdzenie_Czebyszewa_o_liczbie_pierwszej_mi%C4%99dzy_n_i_2n#Uwagi_do_twierdzenia LINK])</ref>
  
 
</references>
 
</references>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
  
  

Wersja z 12:42, 12 mar 2022

12.03.2022



Ciągi nieskończone

Definicja C1
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli każdej liczbie [math]\displaystyle{ n }[/math] przypiszemy pewną liczbę rzeczywistą [math]\displaystyle{ a_n }[/math], to powiemy, że liczby [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots }[/math] tworzą ciąg nieskończony.


Uwaga C2
Ciąg nieskończony [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots }[/math] będziemy oznaczać [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]. Często, o ile nie będzie prowadziło to do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywać po prostu ciągiem.


Definicja C3
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będziemy nazywali

  • ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \geqslant a_n }[/math]
  • ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \leqslant a_n }[/math]

Ciągi rosnące dzielimy na

  • ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \gt a_n }[/math]
  • ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = a_n }[/math]

Ciągi malejące dzielimy na

  • ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \lt a_n }[/math]
  • ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = a_n }[/math]


Definicja C4
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ a }[/math] będziemy nazywali granicą ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math] znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] (to znaczy wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością).


Uwaga C5
1) sens definicji jest taki: jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest granicą ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], to dla dowolnie małego [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], poza przedziałem [math]\displaystyle{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math] może się znaleźć co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]

2) słabsze żądanie, aby w przedziale [math]\displaystyle{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math] znajdowała się nieskończona ilość wyrazów ciągu nie prowadzi do poprawnej definicji granicy. Przykładowo, w przedziale [math]\displaystyle{ (1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon) }[/math] znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ a_n = (-1)^n }[/math], ale ani liczba [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ani liczba [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] nie są granicami tego ciągu. O ciągu [math]\displaystyle{ a_n = (- 1)^n }[/math] mówimy, że nie ma granicy.

3) ze względu na równoważność warunków

  • [math]\displaystyle{ \quad a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \quad a - \varepsilon \lt a_n \lt a + \varepsilon }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \quad - \varepsilon \lt a_n - a \lt \varepsilon }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \quad | a_n - a | \lt \varepsilon }[/math]

definicja C4 może być wypowiedziana następująco


Definicja C6
Liczbę [math]\displaystyle{ a }[/math] będziemy nazywali granicą ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ |a_n - a| \lt \varepsilon }[/math].


Definicja C7
Ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] mający granicę (w rozumieniu definicji C4 lub C6) będziemy nazywali ciągiem zbieżnym, a fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a }[/math]      lub      [math]\displaystyle{ a_n \longrightarrow a }[/math]

(od łacińskiego słowa limes oznaczającego granicę).


Zauważmy jeszcze, że wprost z definicji granicy wynika
Twierdzenie C8

1. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a | }[/math]
Dowód

Punkt 1.
Prawdziwość twierdzenia wynika ze względu na identyczność warunków, które muszą spełniać prawie wszystkie wyrazy ciągu

[math]\displaystyle{ | a_n - a | \lt \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad | (a_n - a) - 0 | \lt \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \big|| a_n - a | - 0 \big| \lt \varepsilon }[/math]

Punkt 2.
Dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R} }[/math] prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ \big|| x | - | y | \big| \leqslant |x - y| }[/math]

Wynika stąd, że jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniona jest nierówność [math]\displaystyle{ |a_n - a| \lt \varepsilon }[/math], to tym bardziej prawdą jest, że [math]\displaystyle{ \big|| a_n | - | a |\big| \lt \varepsilon }[/math]
□


Twierdzenie C9 (twierdzenie o trzech ciągach)
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n \gt N_0 }[/math] jest spełniony warunek

[math]\displaystyle{ a_n \leqslant x_n \leqslant b_n }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = g }[/math]

to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = g }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] będzie dowolną, ustaloną liczbą większą od [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Z założenia prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ |a_n - g| \lt \varepsilon }[/math]. Możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu [math]\displaystyle{ N_a }[/math]. Podobnie prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ |b_n - g| \lt \varepsilon }[/math] i podobnie możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu [math]\displaystyle{ N_b }[/math]

Nierówność [math]\displaystyle{ a_n \leqslant x_n \leqslant b_n }[/math] jest spełniona dla wszystkich wyrazów, poczynając od [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], zatem oznaczając przez [math]\displaystyle{ M }[/math] największą z liczb [math]\displaystyle{ N_a }[/math], [math]\displaystyle{ N_b }[/math], [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], możemy napisać, że o ile [math]\displaystyle{ n \gt M }[/math], to spełnione są jednocześnie nierówności

  • [math]\displaystyle{ \quad g - \varepsilon \lt a_n \lt g + \varepsilon\ }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \quad g - \varepsilon \lt b_n \lt g + \varepsilon\ }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \quad a_n \leqslant x_n \leqslant b_n }[/math]

Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ g - \varepsilon \lt a_n \leqslant x_n \leqslant b_n \lt g + \varepsilon }[/math]

Co oznacza, że dla [math]\displaystyle{ n \gt M }[/math] zachodzi

[math]\displaystyle{ g - \varepsilon \lt x_n \lt g + \varepsilon }[/math]

Czyli prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ |x_n - g| \lt \varepsilon }[/math]. Co kończy dowód.
□


Bez dowodu podamy kilka ważnych twierdzeń.
Twierdzenie C10*
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ n }[/math] i rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \gt n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad a_k \leqslant M }[/math]

to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny.
Inaczej mówiąc: ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.


Twierdzenie C11*
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ n }[/math] i rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \gt n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad a_k \geqslant M }[/math]

to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny.
Inaczej mówiąc: ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.


Twierdzenie C12*
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n = b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to

  1. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b }[/math]

Jeżeli dodatkowo dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ b_n \neq 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math], to

  3. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} }[/math]


Twierdzenie C13
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math], zaś ciąg [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdej wartości [math]\displaystyle{ n }[/math] prawdziwa jest nierówność [math]\displaystyle{ | x_n | \lt M }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot a_n) = 0 }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] będzie dowolną liczbą większą od zera. Chcemy pokazać, że prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ f_n = x_n \cdot a_n }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | f_n | \lt \varepsilon }[/math].

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] ma granicę równą [math]\displaystyle{ 0 }[/math], zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | a_n | \lt \varepsilon' }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] jest dowolną liczbą większą od zera.

Ponieważ [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math] jest pewną stałą, a wartość [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] możemy wybrać dowolnie, to połóżmy [math]\displaystyle{ \varepsilon' = \frac{\varepsilon}{M} }[/math]. Możemy założyć, że warunek [math]\displaystyle{ | a_n | \lt \frac{\varepsilon}{M} }[/math] spełniają wszystkie wyrazy ciagu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], dla których [math]\displaystyle{ n \gt n_0 }[/math].

Zauważmy teraz, że dla wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math] o wskaźnikach [math]\displaystyle{ n \gt n_0 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | f_n | = | x_n \cdot a_n | = | x_n | \cdot | a_n | \lt M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon }[/math]

Zatem warunek [math]\displaystyle{ | f_n | \lt \varepsilon }[/math] jest spełniony dla prawie wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (f_n) }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f_n = 0 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie C14
Dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n} }[/math]
Dowód

Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math] i korzystając ze wzoru dwumianowego, mamy dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] \geqslant }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; \geqslant \sum_{k=0}^{1}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = 1 + n \cdot \frac{a}{n} = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = 1 + a }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie C15
Jeżeli [math]\displaystyle{ A \gt 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1 }[/math].

Dowód

Dla [math]\displaystyle{ A \gt 1 }[/math] możemy napisać [math]\displaystyle{ A = 1 + a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math], wtedy z twierdzenia C14 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 1 \lt \sqrt[n]{A} = (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy natychmiast (dla [math]\displaystyle{ A \gt 1 }[/math])

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1 }[/math]

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ 0 \lt A \lt 1 }[/math], możemy napisać [math]\displaystyle{ A = \frac{1}{B} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ B \gt 1 }[/math], wtedy ze względu na udowodniony wyżej rezultat [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{B} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{B}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{B}} = 1 }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ A = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{A} = 1 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie C16
Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ 0 \lt m \lt a_n \lt M }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 }[/math]

Dowód

Z założenia dla prawie wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 \lt m \leqslant a_n \leqslant M }[/math]

Zatem dla prawie wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ a_n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{m} \leqslant \sqrt[n]{a_n} \leqslant \sqrt[n]{M} }[/math]

Z twierdzenia C15 wiemy, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1 }[/math], zatem na podstawie twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 }[/math]
□


Twierdzenie C17
Następujące ciągi są silnie rosnące i zbieżne

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e = 2.718281828 \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} = 0.367879441 \ldots }[/math]
Dowód

Punkt 1
W twierdzeniu A6 pokazaliśmy, że ciąg

[math]\displaystyle{ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }[/math]

jest silnie rosnący i ograniczony od góry. Zatem z twierdzenia C10 wynika, że jest zbieżny. Liczbę będącą granicą tego ciągu oznaczamy literą [math]\displaystyle{ e }[/math], jest ona podstawą logarytmu naturalnego.

Punkt 2
Pokażemy najpierw, że ciąg [math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n }[/math] jest silnie rosnący. Musimy pokazać, że prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \gt \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n }[/math]

Łatwo sprawdzamy prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy teraz, że [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]. Przekształcając,

[math]\displaystyle{ \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1} \gt \left( \frac{n - 1}{n} \right)^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{n}{n + 1} \cdot \left( \frac{n}{n + 1} \right)^n \cdot \left( \frac{n}{n - 1} \right)^n \gt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( \frac{n^2}{n^2 - 1} \right)^n \gt \frac{n + 1}{n} }[/math]

otrzymujemy nierówność równoważną,

[math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n \gt 1 + \frac{1}{n} }[/math]

którą już łatwo udowodnić, bo

[math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n \gt \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \left( \frac{1}{n^2} \right)^k \gt \sum_{k = 0}^{1} \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^{2k}} = 1 + \frac{1}{n} }[/math]

Ponieważ dla każdego [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \leqslant 1 }[/math] (bo iloczyn liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] nie może być liczbą większą do jedności), to z twierdzenia C10 wynika, że ciąg ten jest zbieżny. Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = g }[/math]

Rozważmy teraz iloczyn wypisanych w twierdzeniu ciągów

[math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n = \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} }[/math]

Łatwo widzimy, że ciąg [math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} }[/math] jest podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n }[/math], zatem jest ograniczony i dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] spełniony jest układ nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \lt \left( \frac{3}{4} \right)^4 \leqslant \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \leqslant 1 }[/math]

Z twierdzenia C16 dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1 }[/math]

Z twierdzenia C12 p. 2 wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ e \cdot g = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \right] = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ g = \frac{1}{e} }[/math].
□


Twierdzenie C18
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] prawdziwe są następujące nierówności

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} \lt \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \lt \frac{1}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ - \frac{1}{n - 1} \lt \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \lt - \frac{1}{n} }[/math]
Dowód

Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }[/math] jest silnie rosnący, to

[math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \lt e }[/math]

Logarytmując powyższą nierówność, mamy

[math]\displaystyle{ n \cdot \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \lt 1 }[/math]

Stąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \lt \frac{1}{n} }[/math]


Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n }[/math] również jest silnie rosnący, to postępując analogicznie, dostajemy

[math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \lt \frac{1}{e} }[/math]
[math]\displaystyle{ n \cdot \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \lt - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \lt - \frac{1}{n} }[/math]


Przekształcając otrzymane wzory, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n + 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n + 1} \right) = \log \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) \lt - \frac{1}{n + 1} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ - \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n - 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n - 1} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{n - 1} \right) \lt \frac{1}{n - 1} }[/math]

□



Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych

Twierdzenie C19
Każda liczba naturalna [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.

Dowód

Pierwszy sposób

Przypuśćmy, że istnieją liczby naturalne większe od [math]\displaystyle{ 1 }[/math], które nie są liczbami pierwszymi ani nie są iloczynami liczb pierwszych. Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] oznacza najmniejszą[1] z takich liczb. Z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest liczbą pierwszą, zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] może być zapisana w postaci [math]\displaystyle{ m = a \cdot b }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami naturalnymi mniejszymi od [math]\displaystyle{ m }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest najmniejszą liczbą naturalną, która nie jest liczbą pierwszą ani nie jest iloczynem liczb pierwszych, to liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] muszą być liczbami złożonymi, ale jako mniejsze od [math]\displaystyle{ m }[/math] są one iloczynami liczb pierwszych, zatem i liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] musi być iloczynem liczb pierwszych.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie jest fałszywe.


Drugi sposób

Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest oczywiście prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych [math]\displaystyle{ k \in [2, n] }[/math], dla liczby [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] mamy dwie możliwości

  • [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] jest liczbą pierwszą (wtedy twierdzenie jest prawdziwe w sposób oczywisty)
  • [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] jest liczbą złożoną wtedy, [math]\displaystyle{ n + 1 = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt n + 1 }[/math]; zatem na podstawie założenia indukcyjnego liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są liczbami pierwszymi lub iloczynami liczb pierwszych, czyli [math]\displaystyle{ n + 1 = a b }[/math] jest iloczynem liczb pierwszych.

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie C20 (Euklides, IV w. p.n.e.)
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Dowód

Przypuśćmy, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n }[/math] . Wtedy liczba [math]\displaystyle{ a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1 }[/math] jest większa od jedności i z twierdzenia C19 wynika, że posiada dzielnik będący liczbą pierwszą, ale jak łatwo zauważyć żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n }[/math] nie jest dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math]. Zatem istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] będąca dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i różna od każdej z liczb [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie C21
Jeżeli liczba naturalna [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math][2], to ma dzielnik postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] będący liczbą pierwszą.

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy zatem sytuację gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną. Z założenia [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem możliwe są trzy typy iloczynów

[math]\displaystyle{ (4 a + 1) (4 b + 1) = 16 a b + 4 a + 4 b + 1 = 4 (4 a b + a + b) + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ (4 a + 1) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 4 b + 3 = 4 (4 a b + 3 a + b) + 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ (4 a + 3) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 12 b + 9 = 4 (4 a b + 3 a + 3 b + 2) + 1 }[/math]

Widzimy, że liczba złożona postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] jest iloczynem liczb postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Wynika stąd natychmiast, że liczba złożona postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] posiada dzielnik postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] oznacza najmniejszy dzielnik liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokażemy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą. Istotnie, gdyby [math]\displaystyle{ q }[/math] była liczbą złożoną, to miałaby dzielnik [math]\displaystyle{ d }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i byłoby [math]\displaystyle{ d \lt q }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest najmniejszym dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie C22
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Dowód

Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Niech będą to liczby [math]\displaystyle{ p_1, \ldots, p_s }[/math]. Liczba

[math]\displaystyle{ M = 4 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 4 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 3 }[/math]

jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jak wiemy z twierdzenia C21, ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Ale jak łatwo zauważyć, żadna z liczb [math]\displaystyle{ p_1, \ldots, p_s }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ M }[/math]. Zatem istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] różna od każdej z liczb [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_s }[/math]. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
□


Twierdzenie C23
Jeżeli liczba naturalna [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math], to ma dzielnik postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math] będący liczbą pierwszą.

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy sytuację gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną. Z twierdzenia C19 wiemy, że w tym przypadku liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] będzie iloczynem liczb pierwszych. Zauważmy, że nieparzyste liczby pierwsze mogą być jedynie postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math] (liczba [math]\displaystyle{ 6 k + 3 }[/math] jest liczbą złożoną). Ponieważ iloczyn liczb postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (6 a + 1) (6 b + 1) = 36 a b + 6 a + 6 b + 1 = 6 (6 a b + a + b) + 1 }[/math]

jest liczbą postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math], to w rozkładzie liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze musi pojawić się przynajmniej jeden czynnik postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie C24
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math].

Dowód

Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math]. Niech będą to liczby [math]\displaystyle{ p_1, \ldots, p_s }[/math]. Liczba

[math]\displaystyle{ M = 6 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 6 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 5 }[/math]

jest postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math] i jak wiemy z twierdzenia C23 ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math]. Ale jak łatwo zauważyć żadna z liczb [math]\displaystyle{ p_1, \ldots, p_s }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ M }[/math]. Zatem istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math] różna od każdej z liczb [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_s }[/math]. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
□


Twierdzenie C25
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 3 k + 2 }[/math].

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ k = 2 j }[/math] jest liczbą parzystą, to otrzymujemy ciąg liczb parzystych

[math]\displaystyle{ 3 k + 2 = 6 j + 2 }[/math]

w którym jedynie liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą pierwszą (dla [math]\displaystyle{ j = 0 }[/math]).

Jeżeli [math]\displaystyle{ k = 2 j + 1 }[/math] jest liczbą nieparzystą, to otrzymujemy ciąg liczb nieparzystych

[math]\displaystyle{ 3 k + 2 = 3 (2 j + 1) + 2 = 6 j + 5 }[/math]

o którym wiemy, że zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (zobacz twierdzenie C24). Zatem w ciągu arytmetycznym postaci [math]\displaystyle{ 3 k + 2 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
□


Uwaga C26
Zauważmy, że liczby postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math] to wszystkie liczby nieparzyste dodatnie. Ponieważ wszystkie liczby pierwsze (poza liczbą [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) są liczbami nieparzystymi, to wśród liczb postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Wszystkie omówione wyżej przypadki ciągów arytmetycznych: [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 3 k + 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math], w których występuje nieskończona ilość liczb pierwszych są szczególnymi przypadkami udowodnionego w 1837 roku twierdzenia


Twierdzenie C27* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.


Uwaga C28
Dowód twierdzenia Dirichleta jest bardzo trudny. Natomiast bardzo łatwo można pokazać, że dowolny ciąg arytmetyczny [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] zawiera nieskończenie wiele liczb złożonych. Istotnie, jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie są względnie pierwsze, to wszystkie wyrazy ciągu są liczbami złożonymi. Jeżeli [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są względnie pierwsze i [math]\displaystyle{ b \gt 1 }[/math], to wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ k = b t }[/math]. Jeżeli są względnie pierwsze i [math]\displaystyle{ b = 1 }[/math], to wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ k = a t^2 + 2 t }[/math], wtedy

[math]\displaystyle{ a k + 1 = a^2 t^2 + 2 a t + 1 = (a t + 1)^2 }[/math]


Zadanie C29
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi 99, przykładowo 199, 499, 599, 1399, 1499, ...

Rozwiązanie

Wszystkie liczby naturalne zakończone cyframi [math]\displaystyle{ 99 }[/math] możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ a_n = 100 k + 99 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math]. Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest ciągiem arytmetycznym, a liczby [math]\displaystyle{ 99 }[/math] i [math]\displaystyle{ 100 }[/math] są względnie pierwsze, to na podstawie twierdzenia Dirichleta stwierdzamy, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi [math]\displaystyle{ 99 }[/math].
□


Definicja C30
Niech [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] będzie liczbą całkowitą. Wartość funkcji [math]\displaystyle{ \pi(n; a, b) }[/math] jest równa ilości liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math], które przy dzieleniu przez [math]\displaystyle{ a }[/math] dają resztę [math]\displaystyle{ b }[/math].


Uwaga C31
Zauważmy, że w twierdzeniu Dirichleta na liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] nałożone są minimalne warunki: [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{Z} }[/math]. Sytuacja w przypadku funkcji [math]\displaystyle{ \pi (n ; a, b) }[/math] jest odmienna – tutaj mamy [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ 0 \leqslant b \leqslant a - 1 }[/math]. Jest tak dlatego, że podział liczb pierwszych, który odzwierciedla funkcja [math]\displaystyle{ \pi (n ; a, b) }[/math] jest podziałem pierwotnym, a twierdzenie Dirichleta jest tylko jego uzasadnieniem. Podział liczb pierwszych musi być też precyzyjnie określony, tak aby zachodził naturalny związek

[math]\displaystyle{ \sum_{b = 0}^{a - 1} \pi (n ; a, b) = \pi (n) }[/math]

Oczywiście nie przeszkadza to w liczeniu liczb pierwszych w dowolnym ciągu arytmetycznym. Niech na przykład

[math]\displaystyle{ u_k = 7 k + 101 = 7 (k + 14) + 3 \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots }[/math]

Ilość liczb pierwszych w ciagu [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \pi (n ; 7, 3) - \pi (7 \cdot 13 + 3 ; 7, 3) = \pi (n ; 7, 3) - 5 }[/math]


Zadanie C32
Pokazać, że dla dowolnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ m \geqslant 1 }[/math]

  • wśród liczb naturalnych zawsze można wskazać [math]\displaystyle{ m }[/math] kolejnych liczb, które są złożone
  • w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, zawsze można wskazać [math]\displaystyle{ m }[/math] kolejnych wyrazów, które są złożone
Rozwiązanie

Punkt 1.
W przypadku liczb naturalnych, łatwo widzimy, że kolejne liczby

[math]\displaystyle{ (m + 1) ! + 2, \quad (m + 1) ! + 3, \quad \ldots, \quad (m + 1) ! + (m + 1) }[/math]

są liczbami złożonymi. Co oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej [math]\displaystyle{ m }[/math] zawsze możemy wskazać taką liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ p_{n + 1} - p_n \gt m }[/math].

Punkt 2.
W przypadku ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ u_k = a k + b }[/math] rozważmy kolejne wyrazy ciągu począwszy od wskaźnika

[math]\displaystyle{ k_0 = \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b) }[/math]

Łatwo zauważamy, że dla [math]\displaystyle{ k = k_0, k_0 + 1, \ldots, k_0 + (m - 1) }[/math] wyrazy ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ u_k = a k + b }[/math] są liczbami złożonymi. Istotnie, niech [math]\displaystyle{ t = 0, 1, \ldots, m - 1 }[/math] wtedy

[math]\displaystyle{ u_k = a k + b = }[/math]
[math]\displaystyle{ \! = a (k_0 + t) + b = }[/math]
[math]\displaystyle{ \! = a k_0 + (a t + b) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \! = a \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b) + (a t + b) }[/math]

i liczba [math]\displaystyle{ a t + b }[/math] dzieli iloczyn [math]\displaystyle{ \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b) }[/math] dla [math]\displaystyle{ t = 0, \ldots, m - 1 }[/math]. Co należało pokazać.

Wiemy, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to w ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech będą to liczby [math]\displaystyle{ q_1, q_2, \ldots, q_r, \ldots }[/math]. Uzyskany rezultat oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej [math]\displaystyle{ m }[/math] zawsze możemy wskazać taką liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ q_{n + 1} - q_n \geqslant a (m + 1) }[/math]
□


Przykład C33
Rozważmy ciąg arytmetyczny [math]\displaystyle{ u_k = 3 k + 2 }[/math] i wskaźnik

[math]\displaystyle{ k_0 = \prod^{12}_{j = 0} (3 j + 2) = 3091650738176000 }[/math]

Trzynaście wyrazów tego szeregu dla [math]\displaystyle{ k = k_0 + t }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t = 0, 1, \ldots, 12 }[/math] to oczywiście liczby złożone, ale wyrazy dla [math]\displaystyle{ k = k_0 - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = k_0 + 13 }[/math] są liczbami pierwszymi.

Przeszukując ciąg [math]\displaystyle{ u_k = 3 k + 2 }[/math] możemy łatwo znaleźć, że pierwsze trzynaście kolejnych wyrazów złożonych pojawia się już dla [math]\displaystyle{ k = 370, 371, \ldots, 382 }[/math].


Twierdzenie C34
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], to istnieje [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb naturalnych, wśród których znajduje się dokładnie [math]\displaystyle{ r \leqslant \pi (n) }[/math] liczb pierwszych.

Dowód

Warunek [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] nie wynika z potrzeb dowodu, a jedynie pomija sytuacje nietypowe, których twierdzenie nie obejmuje. Zawsze istnieje jedna liczba naturalna, która jest liczbą pierwszą i łatwo możemy wskazać dwie kolejne liczby naturalne będące liczbami pierwszymi.

Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math]. Wartość funkcji

[math]\displaystyle{ Q(k, n) = \pi (k + n) - \pi (k) }[/math]

jest równa ilości liczb pierwszych wśród [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb naturalnych od liczby [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] do liczby [math]\displaystyle{ k + n }[/math].

Uwzględniając, że wypisane niżej wyrażenia w nawiasach kwadratowych mogą przyjmować jedynie dwie wartości [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math], dostajemy

  • [math]\displaystyle{ \biggl| Q (k + 1, n) - Q (k, n) \biggr| = \biggl| \bigl[\pi (k + n + 1) - \pi (k + n) \bigr] - \bigl[\pi (k + 1) - \pi (k) \bigr] \biggr| \leqslant 1 }[/math]

Ponadto mamy

  • [math]\displaystyle{ Q(0, n) = \pi (n) \qquad }[/math] bo [math]\displaystyle{ \pi (0) = 0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ Q((n + 1) ! + 1, n) = 0 \qquad }[/math] bo liczby [math]\displaystyle{ (n + 1) ! + 2, \ldots, (n + 1) ! + (n + 1) }[/math] są liczbami złożonymi

Ponieważ wartości funkcji [math]\displaystyle{ Q(k, n) }[/math] mogą zmieniać się tylko o [math]\displaystyle{ - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ Q(k, n) }[/math] musi przyjmować wszystkie wartości całkowite od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ \pi (n) }[/math]. Wynika stąd, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k_r }[/math], że [math]\displaystyle{ Q(k_r, n) = r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant r \leqslant \pi (n) }[/math].


C Q10.png

Fragment wykresu funkcji [math]\displaystyle{ Q(k, 10) }[/math]. Widzimy, że dla [math]\displaystyle{ k = 113 }[/math] po raz pierwszy mamy [math]\displaystyle{ Q(k, 10) = 0 }[/math], a funkcja [math]\displaystyle{ Q(k, 10) }[/math] przyjmuje wszystkie wartości całkowite od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ 5 }[/math].
□


Przykład C35
Czytelnik może łatwo sprawdzić, że ciąg [math]\displaystyle{ ( 1308, \ldots, 1407 ) }[/math] stu kolejnych liczb całkowitych zawiera dokładnie [math]\displaystyle{ 8 }[/math] liczb pierwszych.


Zadanie C36
Pokazać, nie korzystając z twierdzenia C34, że istnieje [math]\displaystyle{ 1000 }[/math] kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.

Rozwiązanie

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ 1000 }[/math] kolejnych liczb naturalnych

[math]\displaystyle{ 1001! + 2, 1001! + 3, \ldots, 1001! + 1001 }[/math]

nie zawiera żadnej liczby pierwszej. Wielokrotnie zmniejszając wszystkie wypisane wyżej liczby o jeden, aż do chwili, gdy pierwsza z wypisanych liczb będzie liczbą pierwszą uzyskamy [math]\displaystyle{ 1000 }[/math] kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.

Uwaga: dopiero liczba [math]\displaystyle{ 1001! - 1733 }[/math] jest pierwsza.
□


Zadanie C37
Pokazać, że istnieje [math]\displaystyle{ 20 }[/math] kolejnych liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math], wśród których jest dokładnie [math]\displaystyle{ 5 }[/math] liczb pierwszych.

Rozwiązanie

Rozwiązywanie zadania rozpoczniemy od dwóch spostrzeżeń

  • wśród pierwszych [math]\displaystyle{ 20 }[/math] liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ 13 }[/math] liczb pierwszych
  • w ciągu [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych (zobacz zadanie C32), zatem istnieje [math]\displaystyle{ 20 }[/math] kolejnych liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math], wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej

Pierwsze spostrzeżenie pokazuje, że rozwiązanie problemu jest potencjalnie możliwe. Rozwiązanie mogłoby nie istnieć, gdybyśmy szukali [math]\displaystyle{ 20 }[/math] liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] wśród których jest, powiedzmy, [math]\displaystyle{ 15 }[/math] liczb pierwszych.

Drugie spostrzeżenie mówi nam, że ilość liczb pierwszych wśród kolejnych [math]\displaystyle{ 20 }[/math] liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] zmienia się od [math]\displaystyle{ 13 }[/math] do [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Analiza przebiegu tych zmian jest kluczem do dowodu twierdzenia.


Zbadajmy zatem, jak zmienia się ilość liczb pierwszych wśród kolejnych [math]\displaystyle{ 20 }[/math] liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]. Rozważmy ciąg [math]\displaystyle{ a_k = 6 k + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, 2, \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ (a_k) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127}, 133, \mathbf{139}, 145, \mathbf{151}, \mathbf{157}, \mathbf{163}, 169, 175, \mathbf{181}, 187, \mathbf{193}, \mathbf{199}, 205, \mathbf{211}, \ldots) }[/math]

Liczby pierwsze zostały pogrubione.


Niech [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] będzie fragmentem ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] rozpoczynającym się od [math]\displaystyle{ n }[/math]-tego wyrazu ciągu i złożonym z [math]\displaystyle{ 20 }[/math] kolejnych wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]. Przykładowo mamy

[math]\displaystyle{ (B^1) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115 ) }[/math]

[math]\displaystyle{ (B^2) = ( \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121 ) }[/math]

[math]\displaystyle{ (B^3) = ( \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127} ) }[/math]


Musimy zrozumieć, jak przejście od ciągu [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] do ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] wpływa na ilość liczb pierwszych w tych ciągach.

  • jeżeli najmniejszy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] jest liczbą złożoną, to po przejściu do ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] ilość liczb pierwszych w tym ciągu w stosunku do ilości liczb pierwszych w ciągu [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] może
    • pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] jest liczbą złożoną)
    • zwiększyć się o jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] jest liczbą pierwszą)
  • jeżeli najmniejszy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] jest liczbą pierwszą, to po przejściu do ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] ilość liczb pierwszych w tym ciągu w stosunku do ilości liczb pierwszych w ciągu [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] może
    • zmniejszyć się o jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] jest liczbą złożoną)
    • pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] jest liczbą pierwszą)


Wynika stąd, że przechodząc od ciągu [math]\displaystyle{ (B^n) }[/math] do ciągu [math]\displaystyle{ (B^{n + 1}) }[/math] ilość liczb pierwszych może się zmienić o [math]\displaystyle{ - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Z drugiego ze spostrzeżeń uczynionych na początku dowodu wynika istnienie takiej liczby [math]\displaystyle{ r }[/math], że wśród ciągów

[math]\displaystyle{ (B^1), (B^2), \ldots, (B^r) }[/math]

ilość liczb pierwszych będzie przyjmowała wszystkie możliwe wartości od liczby [math]\displaystyle{ 13 }[/math] do liczby [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Co zapewnia istnienie takich [math]\displaystyle{ 20 }[/math] kolejnych liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math], że wśród nich jest dokładnie [math]\displaystyle{ 5 }[/math] liczb pierwszych.
□


Twierdzenie C38
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 0 \leqslant b \leqslant a - 1 }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to istnieje [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb postaci [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], wśród których znajduje się dokładnie [math]\displaystyle{ r \leqslant \pi (a (n - 1) + b ; a, b) }[/math] liczb pierwszych.

Dowód

Twierdzenie można udowodnić uogólniając dowód twierdzenia C34 lub wykorzystując metodę zastosowaną w rozwiązaniu zadania C37.
□


Zadanie C39
Niech [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że w ciągu [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] występują kwadraty wszystkich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] mogą być postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ (6 k + 1)^2 = 6 (6 k^2 + 2 k) + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ (6 k + 5)^2 = 6 (6 k^2 + 10 k + 4) + 1 }[/math]

zatem kwadraty liczb pierwszych są postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] i nie mogą występować w ciągu postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math].
□


Zadanie C40
Dany jest ciąg arytmetyczny [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze. Pokazać, że

  • jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a }[/math], to żaden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] nie jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math]
  • jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ a }[/math], to istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], które są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math]
Rozwiązanie

Punkt 1.
Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może jednocześnie dzielić liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math]. Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p|a }[/math], to wynika stąd, że [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ b }[/math]. Jeśli tak, to

[math]\displaystyle{ a k + b = (n p) k + b }[/math]

i [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli żadnej liczby postaci [math]\displaystyle{ a k + b }[/math].

Punkt 2.
Pierwszy sposób

Niech [math]\displaystyle{ k_0 \in \mathbb{N} }[/math]. Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych [math]\displaystyle{ i, j }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \lt j \leqslant p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ a(k_0 + i) + b }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a(k_0 + j) + b }[/math] dają tę samą resztę przy dzieleniu przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ p| [a (k_0 + j) + b] - [a (k_0 + i) + b] }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ p|a (j - i) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math] to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70), mamy

[math]\displaystyle{ p| (j - i) }[/math]

co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ 1 \leqslant j - i \leqslant p - 1 \lt p }[/math].

Zatem reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] są wszystkie różne, a ponieważ jest ich [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli tyle ile jest różnych reszt z dzielenia przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli ze zbiorem [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math]. W szczególności wynika stąd, że wśród [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] jeden z tych wyrazów jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], które są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].


Drugi sposób

Problem sprowadza się do wykazania istnienia nieskończenie wielu par liczb naturalnych [math]\displaystyle{ (k, n) }[/math], takich że

[math]\displaystyle{ a k + b = n p }[/math]

Co z kolei sprowadza się do badania rozwiązań całkowitych równania

[math]\displaystyle{ n p - a k = b }[/math]

Zauważmy, że ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Na mocy twierdzenia C73 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych

[math]\displaystyle{ n = n_0 + p t }[/math]
[math]\displaystyle{ k = k_0 + a t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ t }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą, a para liczb [math]\displaystyle{ (n_0, k_0) }[/math] jest dowolnym rozwiązaniem tego równania. Widzimy, że dla dostatecznie dużych liczb [math]\displaystyle{ t }[/math] zawsze możemy uzyskać takie [math]\displaystyle{ n }[/math] i [math]\displaystyle{ k }[/math], że [math]\displaystyle{ n, k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazaliśmy w ten sposób, że w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math].


Trzeci sposób

Zauważmy, że ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Lemat Bézouta zapewnia istnienie takich liczb całkowitych [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], że

[math]\displaystyle{ a x + p y = 1 }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ k_0 = r p - b x }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, ale na tyle dużą, aby [math]\displaystyle{ k_0 }[/math] była liczbą dodatnią bez względu na znak iloczynu [math]\displaystyle{ b x }[/math]. Łatwo sprawdzamy, że liczba [math]\displaystyle{ a k_0 + b }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ a k_0 + b = a (r p - b x) + b = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = a r p - a b x + b = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = a r p + b (1 - a x) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = a r p + b p y = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = p (a r + b y) }[/math]

Zatem w ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] istnieje przynajmniej jeden wyraz podzielny przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeśli tak, to w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez [math]\displaystyle{ p }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ k = k_0 + s p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ s \in \mathbb{N} }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ a k + b = a (k_0 + s p) + b = a s p + (a k_0 + b) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ p|a k + b }[/math].
□


Uwaga C41
Łatwo możemy napisać w PARI/GP funkcję, która zwraca najmniejszą liczbę naturalną [math]\displaystyle{ k_0 }[/math], dla której wyraz ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math] (przy założeniu, że liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] są względnie pierwsze). 

f(a,b,p) = lift( Mod(-b,p)*Mod(a,p)^(-1) )



Ciągi nieskończone i liczby pierwsze

Uwaga C42
Choć wiele ciągów jest dobrze znanych i równie dobrze zbadanych, to nie wiemy, czy zawierają one nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przykładowo

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ a_n = n^2 + 1 }[/math] A002496
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ b_n = n^2 - n - 1 }[/math] A002327
[math]\displaystyle{ \quad 3. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ c_n = n^2 + n + 1 }[/math] A002383
[math]\displaystyle{ \quad 4. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ d_n = n^4 + 1 }[/math] A000068
[math]\displaystyle{ \quad 5. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ u_n = n! + 1 }[/math] A002981
[math]\displaystyle{ \quad 6. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ v_n = n! - 1 }[/math] A002982
[math]\displaystyle{ \quad 7. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ M_n = 2^n - 1 }[/math] (liczby Mersenne'a) A000043
[math]\displaystyle{ \quad 8. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ F_n = 2^{2^n} + 1 }[/math] (liczby Fermata) A019434
[math]\displaystyle{ \quad 9. \quad }[/math] [math]\displaystyle{ F_n (a) = a^{2^n} + 1 }[/math] (uogólnione liczby Fermata, [math]\displaystyle{ a }[/math] parzyste) MathWorld

Nie wiemy, czy istnieje wielomian całkowity [math]\displaystyle{ W(n) }[/math] stopnia większego niż jeden taki, że [math]\displaystyle{ W(n) }[/math] jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu liczb [math]\displaystyle{ n }[/math].


Przykład C43
Łatwo sprawdzić, że wartości wielomianu [math]\displaystyle{ W(n) = n^2 + n + 41 }[/math] są liczbami pierwszymi dla [math]\displaystyle{ 1 \leqslant n \leqslant 39 }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ 41 | W(41) }[/math].


Twierdzenie C44
Niech [math]\displaystyle{ a, n }[/math] będą liczbami całkowitymi takimi, że [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a^n + 1 }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ n = 2^m }[/math].

Dowód

Gdyby liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] była nieparzysta, to [math]\displaystyle{ a^n + 1 \geqslant 4 }[/math] byłoby parzyste i nie mogłoby być liczbą pierwszą.

Niech teraz wykładnik [math]\displaystyle{ n = x y }[/math] będzie liczbą złożoną, zaś [math]\displaystyle{ x }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Wtedy

[math]\displaystyle{ a^n + 1 = (a^y)^x + 1 }[/math]

Oznaczając [math]\displaystyle{ b = a^y }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x = 2 k + 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ a^n + 1 = (a^y)^x + 1 = }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = b^x + 1 = }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = b^{2 k + 1} + 1 = }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = (b + 1) \cdot (b^{2 k} - b^{2 k - 1} + \ldots - b^3 + b^2 - b + 1) }[/math]

Wynika stąd, że w takim przypadku [math]\displaystyle{ a^n + 1 }[/math] jest liczbą złożoną. Zatem wykładnik [math]\displaystyle{ n }[/math] nie może zawierać czynników nieparzystych, czyli musi być [math]\displaystyle{ n = 2^m }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie C45
Dla dowolnej liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ x - y }[/math] jest dzielnikiem wyrażenia [math]\displaystyle{ x^n - y^n }[/math].

Dowód

Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ x - y }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ x^1 - y^1 }[/math]. Załóżmy, że [math]\displaystyle{ x - y }[/math] jest dzielnikiem wyrażenia [math]\displaystyle{ x^n - y^n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ x^n - y^n = (x - y) \cdot k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^{n + 1} - y^{n + 1} = x x^n - y x^n + y x^n - y y^n = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \, = (x - y) x^n + y (x^n - y^n) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \, = (x - y) x^n + y (x - y) \cdot k = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \, = (x - y) (x^n + y \cdot k) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ x - y }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ x^{n + 1} - y^{n + 1} }[/math]. Co kończy dowód indukcyjny.
□


Twierdzenie C46
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a^n - 1 }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ a = 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą.

Dowód

Z twierdzenia C45 wiemy, że [math]\displaystyle{ x - y | x^n - y^n }[/math]. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ a \gt 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ a - 1 | a^n - 1 }[/math]

Czyli musi być [math]\displaystyle{ a = 2 }[/math]. Z tego samego twierdzenia wynika też, że jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną [math]\displaystyle{ n = r s }[/math], to

[math]\displaystyle{ 2^r - 1 | 2^{r s} - 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ a^r - b^r | (a^r)^s - (b^r)^s }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ n }[/math] musi być liczbą pierwszą. Co kończy dowód.
□




Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych

Uwaga C47
Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych[3][4] zbudowane z dwóch liczb pierwszych nie są interesujące, bo dowolne dwie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Dlatego będziemy się zajmowali ciągami arytmetycznymi liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math].

Ponieważ nie da się zbudować ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], w którym pierwszym wyrazem jest liczba [math]\displaystyle{ p_0 = 2 }[/math], to będą nas interesowały ciągi rozpoczynające się od liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_0 \geqslant 3 }[/math]

Jeżeli do liczby pierwszej nieparzystej dodamy dodatnią liczbę nieparzystą, to otrzymamy liczbę parzystą złożoną, zatem różnica ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ d }[/math] musi być liczbą parzystą, aby zbudowanie jakiegokolwiek ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] było możliwe.

Istnienie nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] pokazano już wiele lat temu[5]. Temat ciągów arytmetycznych liczb pierwszych zyskał na popularności[6] po udowodnieniu przez Bena Greena i Terence'a Tao twierdzenia o istnieniu dowolnie długich (ale skończonych) ciągów arytmetycznych liczb pierwszych[7].


Twierdzenie C48* (Ben Green i Terence Tao, 2004)
Dla dowolnej liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] istnieje nieskończenie wiele [math]\displaystyle{ n }[/math]-wyrazowych ciągów arytmetycznych liczb pierwszych.



Przykład C49
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 4 }[/math].

Pokaż tabele

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 2 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^8 }[/math].

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 4 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 6 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^8 }[/math].

Jeżeli w tabeli jest wypisanych sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 24} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 28} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 34} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 36} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 38} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 40} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 42} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 48} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 50} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 54} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 64} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 66} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 68} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 72} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 78} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 80} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 84} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 94} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 96} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 98} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 102} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 104} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 108} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 131 }[/math] [math]\displaystyle{ 163 }[/math] [math]\displaystyle{ 173 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 110} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 114} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 124} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 126} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 132} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 134} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 138} }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 173 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 144} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 154} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 156} }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 162} }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 197 }[/math] [math]\displaystyle{ 239 }[/math] [math]\displaystyle{ 269 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 164} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 168} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 174} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 178} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 186} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 188} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 190} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 192} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 198} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 4} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 251 }[/math] [math]\displaystyle{ 601 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 227 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math] [math]\displaystyle{ 673 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 24} }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 349 }[/math] [math]\displaystyle{ 419 }[/math] [math]\displaystyle{ 499 }[/math] [math]\displaystyle{ 569 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 36} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 241 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 751 }[/math] [math]\displaystyle{ 911 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 42} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 48} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 613 }[/math] [math]\displaystyle{ 643 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 54} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 239 }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 66} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 241 }[/math] [math]\displaystyle{ 251 }[/math] [math]\displaystyle{ 521 }[/math] [math]\displaystyle{ 541 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 72} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 167 }[/math] [math]\displaystyle{ 347 }[/math] [math]\displaystyle{ 947 }[/math] [math]\displaystyle{ 1217 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 78} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 233 }[/math] [math]\displaystyle{ 353 }[/math] [math]\displaystyle{ 443 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 84} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math] [math]\displaystyle{ 179 }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 439 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 96} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 631 }[/math] [math]\displaystyle{ 761 }[/math] [math]\displaystyle{ 1471 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 102} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 337 }[/math] [math]\displaystyle{ 557 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 108} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 163 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math] [math]\displaystyle{ 293 }[/math] [math]\displaystyle{ 353 }[/math] [math]\displaystyle{ 643 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 114} }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 349 }[/math] [math]\displaystyle{ 569 }[/math] [math]\displaystyle{ 709 }[/math] [math]\displaystyle{ 1259 }[/math] [math]\displaystyle{ 2039 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 126} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 131 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 132} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 277 }[/math] [math]\displaystyle{ 487 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 138} }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 173 }[/math] [math]\displaystyle{ 383 }[/math] [math]\displaystyle{ 463 }[/math] [math]\displaystyle{ 563 }[/math] [math]\displaystyle{ 773 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 144} }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 509 }[/math] [math]\displaystyle{ 599 }[/math] [math]\displaystyle{ 1019 }[/math] [math]\displaystyle{ 1579 }[/math] [math]\displaystyle{ 2609 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 163 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 156} }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 151 }[/math] [math]\displaystyle{ 191 }[/math] [math]\displaystyle{ 461 }[/math] [math]\displaystyle{ 571 }[/math] [math]\displaystyle{ 641 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 162} }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 197 }[/math] [math]\displaystyle{ 337 }[/math] [math]\displaystyle{ 967 }[/math] [math]\displaystyle{ 1297 }[/math] [math]\displaystyle{ 1627 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 168} }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 373 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 174} }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math] [math]\displaystyle{ 509 }[/math] [math]\displaystyle{ 839 }[/math] [math]\displaystyle{ 929 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 283 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 186} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 151 }[/math] [math]\displaystyle{ 271 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math] [math]\displaystyle{ 691 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 192} }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 307 }[/math] [math]\displaystyle{ 647 }[/math] [math]\displaystyle{ 1087 }[/math] [math]\displaystyle{ 1427 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 198} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 263 }[/math] [math]\displaystyle{ 373 }[/math] [math]\displaystyle{ 853 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 204} }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math] [math]\displaystyle{ 449 }[/math] [math]\displaystyle{ 479 }[/math] [math]\displaystyle{ 569 }[/math] [math]\displaystyle{ 919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 216} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 181 }[/math] [math]\displaystyle{ 761 }[/math] [math]\displaystyle{ 1021 }[/math] [math]\displaystyle{ 1061 }[/math] [math]\displaystyle{ 1231 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 222} }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 197 }[/math] [math]\displaystyle{ 547 }[/math] [math]\displaystyle{ 617 }[/math] [math]\displaystyle{ 787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 228} }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 263 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math] [math]\displaystyle{ 593 }[/math] [math]\displaystyle{ 953 }[/math] [math]\displaystyle{ 1093 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 234} }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 499 }[/math] [math]\displaystyle{ 619 }[/math] [math]\displaystyle{ 829 }[/math] [math]\displaystyle{ 1549 }[/math] [math]\displaystyle{ 2309 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 240} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math] [math]\displaystyle{ 263 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 246} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 331 }[/math] [math]\displaystyle{ 541 }[/math] [math]\displaystyle{ 661 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 252} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 197 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 258} }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math] [math]\displaystyle{ 1103 }[/math] [math]\displaystyle{ 1873 }[/math] [math]\displaystyle{ 3253 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 264} }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 270} }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math] [math]\displaystyle{ 557 }[/math] [math]\displaystyle{ 613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 276} }[/math] [math]\displaystyle{ 181 }[/math] [math]\displaystyle{ 191 }[/math] [math]\displaystyle{ 401 }[/math] [math]\displaystyle{ 601 }[/math] [math]\displaystyle{ 661 }[/math] [math]\displaystyle{ 1171 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 282} }[/math] [math]\displaystyle{ 137 }[/math] [math]\displaystyle{ 317 }[/math] [math]\displaystyle{ 457 }[/math] [math]\displaystyle{ 1297 }[/math] [math]\displaystyle{ 1747 }[/math] [math]\displaystyle{ 1787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 288} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 233 }[/math] [math]\displaystyle{ 353 }[/math] [math]\displaystyle{ 463 }[/math] [math]\displaystyle{ 743 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 294} }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math] [math]\displaystyle{ 269 }[/math] [math]\displaystyle{ 349 }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 300} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 306} }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math] [math]\displaystyle{ 691 }[/math] [math]\displaystyle{ 971 }[/math] [math]\displaystyle{ 1321 }[/math] [math]\displaystyle{ 1471 }[/math] [math]\displaystyle{ 2341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 312} }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 347 }[/math] [math]\displaystyle{ 547 }[/math] [math]\displaystyle{ 607 }[/math] [math]\displaystyle{ 757 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 318} }[/math] [math]\displaystyle{ 283 }[/math] [math]\displaystyle{ 373 }[/math] [math]\displaystyle{ 653 }[/math] [math]\displaystyle{ 1063 }[/math] [math]\displaystyle{ 1493 }[/math] [math]\displaystyle{ 1823 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 324} }[/math] [math]\displaystyle{ 179 }[/math] [math]\displaystyle{ 349 }[/math] [math]\displaystyle{ 839 }[/math] [math]\displaystyle{ 2389 }[/math] [math]\displaystyle{ 2699 }[/math] [math]\displaystyle{ 2879 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 330} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 336} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 421 }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 342} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 137 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 467 }[/math] [math]\displaystyle{ 887 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 348} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 563 }[/math] [math]\displaystyle{ 593 }[/math] [math]\displaystyle{ 743 }[/math] [math]\displaystyle{ 1373 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 354} }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 239 }[/math] [math]\displaystyle{ 389 }[/math] [math]\displaystyle{ 509 }[/math] [math]\displaystyle{ 659 }[/math] [math]\displaystyle{ 739 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 360} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 366} }[/math] [math]\displaystyle{ 461 }[/math] [math]\displaystyle{ 571 }[/math] [math]\displaystyle{ 1481 }[/math] [math]\displaystyle{ 1511 }[/math] [math]\displaystyle{ 1901 }[/math] [math]\displaystyle{ 2111 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 372} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 547 }[/math] [math]\displaystyle{ 857 }[/math] [math]\displaystyle{ 877 }[/math] [math]\displaystyle{ 1087 }[/math] [math]\displaystyle{ 2887 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 378} }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 163 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math] [math]\displaystyle{ 563 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 384} }[/math] [math]\displaystyle{ 139 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math] [math]\displaystyle{ 1229 }[/math] [math]\displaystyle{ 1439 }[/math] [math]\displaystyle{ 1699 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 390} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 131 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 197 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 396} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 431 }[/math] [math]\displaystyle{ 691 }[/math] [math]\displaystyle{ 701 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 402} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 167 }[/math] [math]\displaystyle{ 727 }[/math] [math]\displaystyle{ 997 }[/math] [math]\displaystyle{ 1637 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 408} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math] [math]\displaystyle{ 643 }[/math] [math]\displaystyle{ 683 }[/math] [math]\displaystyle{ 1063 }[/math] [math]\displaystyle{ 1213 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 414} }[/math] [math]\displaystyle{ 269 }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 619 }[/math] [math]\displaystyle{ 1039 }[/math] [math]\displaystyle{ 1879 }[/math] [math]\displaystyle{ 2089 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 426} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 131 }[/math] [math]\displaystyle{ 181 }[/math] [math]\displaystyle{ 431 }[/math] [math]\displaystyle{ 761 }[/math] [math]\displaystyle{ 811 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 432} }[/math] [math]\displaystyle{ 227 }[/math] [math]\displaystyle{ 617 }[/math] [math]\displaystyle{ 857 }[/math] [math]\displaystyle{ 997 }[/math] [math]\displaystyle{ 1657 }[/math] [math]\displaystyle{ 1667 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 438} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 383 }[/math] [math]\displaystyle{ 1163 }[/math] [math]\displaystyle{ 1303 }[/math] [math]\displaystyle{ 1873 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 444} }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math] [math]\displaystyle{ 1109 }[/math] [math]\displaystyle{ 1669 }[/math] [math]\displaystyle{ 1889 }[/math] [math]\displaystyle{ 2029 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 450} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 251 }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 456} }[/math] [math]\displaystyle{ 191 }[/math] [math]\displaystyle{ 521 }[/math] [math]\displaystyle{ 631 }[/math] [math]\displaystyle{ 1171 }[/math] [math]\displaystyle{ 1291 }[/math] [math]\displaystyle{ 2341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 462} }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 137 }[/math] [math]\displaystyle{ 277 }[/math] [math]\displaystyle{ 307 }[/math] [math]\displaystyle{ 367 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 468} }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 293 }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math] [math]\displaystyle{ 683 }[/math] [math]\displaystyle{ 733 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 474} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 479 }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math] [math]\displaystyle{ 829 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 480} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 347 }[/math] [math]\displaystyle{ 439 }[/math] [math]\displaystyle{ 449 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 486} }[/math] [math]\displaystyle{ 241 }[/math] [math]\displaystyle{ 811 }[/math] [math]\displaystyle{ 941 }[/math] [math]\displaystyle{ 1361 }[/math] [math]\displaystyle{ 1861 }[/math] [math]\displaystyle{ 1871 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 492} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 947 }[/math] [math]\displaystyle{ 1607 }[/math] [math]\displaystyle{ 2897 }[/math] [math]\displaystyle{ 3037 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 498} }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 883 }[/math] [math]\displaystyle{ 953 }[/math] [math]\displaystyle{ 983 }[/math] [math]\displaystyle{ 1723 }[/math] [math]\displaystyle{ 1913 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 504} }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 599 }[/math] [math]\displaystyle{ 619 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 510} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 167 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 516} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 1181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1361 }[/math] [math]\displaystyle{ 1471 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 522} }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 487 }[/math] [math]\displaystyle{ 907 }[/math] [math]\displaystyle{ 1097 }[/math] [math]\displaystyle{ 1237 }[/math] [math]\displaystyle{ 1747 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 528} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 443 }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math] [math]\displaystyle{ 653 }[/math] [math]\displaystyle{ 1213 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 534} }[/math] [math]\displaystyle{ 839 }[/math] [math]\displaystyle{ 919 }[/math] [math]\displaystyle{ 1019 }[/math] [math]\displaystyle{ 1399 }[/math] [math]\displaystyle{ 1579 }[/math] [math]\displaystyle{ 1619 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 540} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 546} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 401 }[/math] [math]\displaystyle{ 431 }[/math] [math]\displaystyle{ 821 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 552} }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 277 }[/math] [math]\displaystyle{ 727 }[/math] [math]\displaystyle{ 1427 }[/math] [math]\displaystyle{ 2267 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 558} }[/math] [math]\displaystyle{ 463 }[/math] [math]\displaystyle{ 593 }[/math] [math]\displaystyle{ 673 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013 }[/math] [math]\displaystyle{ 1583 }[/math] [math]\displaystyle{ 2243 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 564} }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 179 }[/math] [math]\displaystyle{ 659 }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math] [math]\displaystyle{ 859 }[/math] [math]\displaystyle{ 1429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 570} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 163 }[/math] [math]\displaystyle{ 241 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 576} }[/math] [math]\displaystyle{ 151 }[/math] [math]\displaystyle{ 401 }[/math] [math]\displaystyle{ 541 }[/math] [math]\displaystyle{ 991 }[/math] [math]\displaystyle{ 1061 }[/math] [math]\displaystyle{ 1091 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 582} }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 457 }[/math] [math]\displaystyle{ 647 }[/math] [math]\displaystyle{ 967 }[/math] [math]\displaystyle{ 1087 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 588} }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math] [math]\displaystyle{ 233 }[/math] [math]\displaystyle{ 443 }[/math] [math]\displaystyle{ 613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 594} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 439 }[/math] [math]\displaystyle{ 599 }[/math] [math]\displaystyle{ 839 }[/math] [math]\displaystyle{ 1019 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 600} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 173 }[/math] [math]\displaystyle{ 227 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 239 }[/math]


□


Przykład C50
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 6 }[/math].

Pokaż tabele

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 6 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^8 }[/math].

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 6 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 30 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^8 }[/math].

Jeżeli w tabeli jest wypisanych sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 5} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 137 }[/math] [math]\displaystyle{ 151 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 42} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 48} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 571 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 96} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 239 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 126} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math] [math]\displaystyle{ 101 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 367 }[/math] [math]\displaystyle{ 397 }[/math] [math]\displaystyle{ 577 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 240} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 263 }[/math] [math]\displaystyle{ 331 }[/math] [math]\displaystyle{ 571 }[/math] [math]\displaystyle{ 823 }[/math] [math]\displaystyle{ 947 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 252} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 270} }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math] [math]\displaystyle{ 557 }[/math] [math]\displaystyle{ 613 }[/math] [math]\displaystyle{ 641 }[/math] [math]\displaystyle{ 743 }[/math] [math]\displaystyle{ 827 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 300} }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math] [math]\displaystyle{ 383 }[/math] [math]\displaystyle{ 419 }[/math] [math]\displaystyle{ 509 }[/math] [math]\displaystyle{ 523 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 330} }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 317 }[/math] [math]\displaystyle{ 457 }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 360} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 227 }[/math] [math]\displaystyle{ 293 }[/math] [math]\displaystyle{ 349 }[/math] [math]\displaystyle{ 577 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 390} }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 619 }[/math] [math]\displaystyle{ 1097 }[/math] [math]\displaystyle{ 1489 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 426} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 450} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 599 }[/math] [math]\displaystyle{ 1033 }[/math] [math]\displaystyle{ 1117 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 474} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 480} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 347 }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math] [math]\displaystyle{ 1019 }[/math] [math]\displaystyle{ 1103 }[/math] [math]\displaystyle{ 1723 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 510} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 167 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 419 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 540} }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 211 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 673 }[/math] [math]\displaystyle{ 919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 570} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 241 }[/math] [math]\displaystyle{ 269 }[/math] [math]\displaystyle{ 647 }[/math] [math]\displaystyle{ 839 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 594} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 600} }[/math] [math]\displaystyle{ 283 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 353 }[/math] [math]\displaystyle{ 509 }[/math] [math]\displaystyle{ 1223 }[/math] [math]\displaystyle{ 1531 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 6} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 541 }[/math] [math]\displaystyle{ 2221 }[/math] [math]\displaystyle{ 6673 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 641 }[/math] [math]\displaystyle{ 5443 }[/math] [math]\displaystyle{ 10091 }[/math] [math]\displaystyle{ 12457 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math] [math]\displaystyle{ 1973 }[/math] [math]\displaystyle{ 2351 }[/math] [math]\displaystyle{ 5081 }[/math] [math]\displaystyle{ 10709 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math] [math]\displaystyle{ 239 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 701 }[/math] [math]\displaystyle{ 2339 }[/math] [math]\displaystyle{ 2437 }[/math] [math]\displaystyle{ 10613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 2467 }[/math] [math]\displaystyle{ 4637 }[/math] [math]\displaystyle{ 6079 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math] [math]\displaystyle{ 397 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013 }[/math] [math]\displaystyle{ 1307 }[/math] [math]\displaystyle{ 17029 }[/math] [math]\displaystyle{ 20963 }[/math] [math]\displaystyle{ 24337 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 179 }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 389 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 240} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 331 }[/math] [math]\displaystyle{ 2207 }[/math] [math]\displaystyle{ 3677 }[/math] [math]\displaystyle{ 5021 }[/math] [math]\displaystyle{ 6323 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 270} }[/math] [math]\displaystyle{ 557 }[/math] [math]\displaystyle{ 1201 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 8467 }[/math] [math]\displaystyle{ 9923 }[/math] [math]\displaystyle{ 12107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 300} }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 223 }[/math] [math]\displaystyle{ 587 }[/math] [math]\displaystyle{ 1511 }[/math] [math]\displaystyle{ 4073 }[/math] [math]\displaystyle{ 4423 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 330} }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 491 }[/math] [math]\displaystyle{ 2129 }[/math] [math]\displaystyle{ 2857 }[/math] [math]\displaystyle{ 3137 }[/math] [math]\displaystyle{ 5153 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 360} }[/math] [math]\displaystyle{ 227 }[/math] [math]\displaystyle{ 577 }[/math] [math]\displaystyle{ 1669 }[/math] [math]\displaystyle{ 9187 }[/math] [math]\displaystyle{ 13331 }[/math] [math]\displaystyle{ 13933 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 390} }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 3701 }[/math] [math]\displaystyle{ 9007 }[/math] [math]\displaystyle{ 9833 }[/math] [math]\displaystyle{ 13291 }[/math] [math]\displaystyle{ 17911 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 613 }[/math] [math]\displaystyle{ 743 }[/math] [math]\displaystyle{ 1289 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 450} }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math] [math]\displaystyle{ 1381 }[/math] [math]\displaystyle{ 1451 }[/math] [math]\displaystyle{ 3607 }[/math] [math]\displaystyle{ 5651 }[/math] [math]\displaystyle{ 8521 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 480} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 5051 }[/math] [math]\displaystyle{ 8719 }[/math] [math]\displaystyle{ 10567 }[/math] [math]\displaystyle{ 11113 }[/math] [math]\displaystyle{ 13591 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 510} }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 419 }[/math] [math]\displaystyle{ 811 }[/math] [math]\displaystyle{ 3191 }[/math] [math]\displaystyle{ 3583 }[/math] [math]\displaystyle{ 4283 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 540} }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 673 }[/math] [math]\displaystyle{ 3851 }[/math] [math]\displaystyle{ 3907 }[/math] [math]\displaystyle{ 7043 }[/math] [math]\displaystyle{ 12377 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 570} }[/math] [math]\displaystyle{ 269 }[/math] [math]\displaystyle{ 1039 }[/math] [math]\displaystyle{ 2887 }[/math] [math]\displaystyle{ 3853 }[/math] [math]\displaystyle{ 10979 }[/math] [math]\displaystyle{ 11399 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 600} }[/math] [math]\displaystyle{ 8839 }[/math] [math]\displaystyle{ 23371 }[/math] [math]\displaystyle{ 38183 }[/math] [math]\displaystyle{ 44189 }[/math] [math]\displaystyle{ 59743 }[/math] [math]\displaystyle{ 63467 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math] [math]\displaystyle{ 179 }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 1637 }[/math] [math]\displaystyle{ 2267 }[/math] [math]\displaystyle{ 2897 }[/math] [math]\displaystyle{ 4813 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 660} }[/math] [math]\displaystyle{ 163 }[/math] [math]\displaystyle{ 317 }[/math] [math]\displaystyle{ 401 }[/math] [math]\displaystyle{ 2753 }[/math] [math]\displaystyle{ 3229 }[/math] [math]\displaystyle{ 5077 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 690} }[/math] [math]\displaystyle{ 277 }[/math] [math]\displaystyle{ 1523 }[/math] [math]\displaystyle{ 6101 }[/math] [math]\displaystyle{ 10427 }[/math] [math]\displaystyle{ 15971 }[/math] [math]\displaystyle{ 27059 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 720} }[/math] [math]\displaystyle{ 1231 }[/math] [math]\displaystyle{ 3793 }[/math] [math]\displaystyle{ 4003 }[/math] [math]\displaystyle{ 6229 }[/math] [math]\displaystyle{ 7573 }[/math] [math]\displaystyle{ 10079 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 750} }[/math] [math]\displaystyle{ 1051 }[/math] [math]\displaystyle{ 1289 }[/math] [math]\displaystyle{ 1583 }[/math] [math]\displaystyle{ 2857 }[/math] [math]\displaystyle{ 12377 }[/math] [math]\displaystyle{ 18523 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 780} }[/math] [math]\displaystyle{ 1151 }[/math] [math]\displaystyle{ 3517 }[/math] [math]\displaystyle{ 3923 }[/math] [math]\displaystyle{ 4637 }[/math] [math]\displaystyle{ 5309 }[/math] [math]\displaystyle{ 9929 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 810} }[/math] [math]\displaystyle{ 1993 }[/math] [math]\displaystyle{ 7817 }[/math] [math]\displaystyle{ 11443 }[/math] [math]\displaystyle{ 17519 }[/math] [math]\displaystyle{ 52631 }[/math] [math]\displaystyle{ 109919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math] [math]\displaystyle{ 1061 }[/math] [math]\displaystyle{ 1753 }[/math] [math]\displaystyle{ 1901 }[/math] [math]\displaystyle{ 2593 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 870} }[/math] [math]\displaystyle{ 2039 }[/math] [math]\displaystyle{ 2179 }[/math] [math]\displaystyle{ 5273 }[/math] [math]\displaystyle{ 5987 }[/math] [math]\displaystyle{ 9431 }[/math] [math]\displaystyle{ 10957 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 900} }[/math] [math]\displaystyle{ 1747 }[/math] [math]\displaystyle{ 12541 }[/math] [math]\displaystyle{ 14767 }[/math] [math]\displaystyle{ 21193 }[/math] [math]\displaystyle{ 31511 }[/math] [math]\displaystyle{ 40289 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 930} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 293 }[/math] [math]\displaystyle{ 9043 }[/math] [math]\displaystyle{ 10247 }[/math] [math]\displaystyle{ 34327 }[/math] [math]\displaystyle{ 38891 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 960} }[/math] [math]\displaystyle{ 4943 }[/math] [math]\displaystyle{ 8737 }[/math] [math]\displaystyle{ 15373 }[/math] [math]\displaystyle{ 28351 }[/math] [math]\displaystyle{ 35393 }[/math] [math]\displaystyle{ 36919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 990} }[/math] [math]\displaystyle{ 1249 }[/math] [math]\displaystyle{ 1319 }[/math] [math]\displaystyle{ 2467 }[/math] [math]\displaystyle{ 2957 }[/math] [math]\displaystyle{ 4049 }[/math] [math]\displaystyle{ 8291 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1020} }[/math] [math]\displaystyle{ 887 }[/math] [math]\displaystyle{ 929 }[/math] [math]\displaystyle{ 2441 }[/math] [math]\displaystyle{ 4639 }[/math] [math]\displaystyle{ 15083 }[/math] [math]\displaystyle{ 19997 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 443 }[/math] [math]\displaystyle{ 839 }[/math] [math]\displaystyle{ 1103 }[/math] [math]\displaystyle{ 3469 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1080} }[/math] [math]\displaystyle{ 1423 }[/math] [math]\displaystyle{ 9011 }[/math] [math]\displaystyle{ 10663 }[/math] [math]\displaystyle{ 27799 }[/math] [math]\displaystyle{ 36493 }[/math] [math]\displaystyle{ 51473 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1110} }[/math] [math]\displaystyle{ 3847 }[/math] [math]\displaystyle{ 9643 }[/math] [math]\displaystyle{ 10357 }[/math] [math]\displaystyle{ 11743 }[/math] [math]\displaystyle{ 16223 }[/math] [math]\displaystyle{ 21977 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1140} }[/math] [math]\displaystyle{ 1063 }[/math] [math]\displaystyle{ 1301 }[/math] [math]\displaystyle{ 1553 }[/math] [math]\displaystyle{ 1777 }[/math] [math]\displaystyle{ 5683 }[/math] [math]\displaystyle{ 6397 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1170} }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 701 }[/math] [math]\displaystyle{ 911 }[/math] [math]\displaystyle{ 2143 }[/math] [math]\displaystyle{ 2297 }[/math] [math]\displaystyle{ 2857 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1200} }[/math] [math]\displaystyle{ 367 }[/math] [math]\displaystyle{ 2677 }[/math] [math]\displaystyle{ 3391 }[/math] [math]\displaystyle{ 18749 }[/math] [math]\displaystyle{ 34961 }[/math] [math]\displaystyle{ 59699 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1230} }[/math] [math]\displaystyle{ 2539 }[/math] [math]\displaystyle{ 6053 }[/math] [math]\displaystyle{ 6823 }[/math] [math]\displaystyle{ 9091 }[/math] [math]\displaystyle{ 12101 }[/math] [math]\displaystyle{ 14831 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 617 }[/math] [math]\displaystyle{ 739 }[/math] [math]\displaystyle{ 1051 }[/math] [math]\displaystyle{ 1619 }[/math] [math]\displaystyle{ 1931 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1290} }[/math] [math]\displaystyle{ 149 }[/math] [math]\displaystyle{ 17747 }[/math] [math]\displaystyle{ 20981 }[/math] [math]\displaystyle{ 24481 }[/math] [math]\displaystyle{ 46643 }[/math] [math]\displaystyle{ 47917 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1320} }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 977 }[/math] [math]\displaystyle{ 991 }[/math] [math]\displaystyle{ 2237 }[/math] [math]\displaystyle{ 9461 }[/math] [math]\displaystyle{ 20983 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1350} }[/math] [math]\displaystyle{ 811 }[/math] [math]\displaystyle{ 937 }[/math] [math]\displaystyle{ 3877 }[/math] [math]\displaystyle{ 14923 }[/math] [math]\displaystyle{ 16001 }[/math] [math]\displaystyle{ 18493 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1380} }[/math] [math]\displaystyle{ 3613 }[/math] [math]\displaystyle{ 9227 }[/math] [math]\displaystyle{ 15541 }[/math] [math]\displaystyle{ 16927 }[/math] [math]\displaystyle{ 17417 }[/math] [math]\displaystyle{ 18089 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1410} }[/math] [math]\displaystyle{ 367 }[/math] [math]\displaystyle{ 2593 }[/math] [math]\displaystyle{ 12421 }[/math] [math]\displaystyle{ 50599 }[/math] [math]\displaystyle{ 60889 }[/math] [math]\displaystyle{ 80629 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1440} }[/math] [math]\displaystyle{ 439 }[/math] [math]\displaystyle{ 6277 }[/math] [math]\displaystyle{ 20753 }[/math] [math]\displaystyle{ 21929 }[/math] [math]\displaystyle{ 39079 }[/math] [math]\displaystyle{ 57727 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math] [math]\displaystyle{ 1279 }[/math] [math]\displaystyle{ 1877 }[/math] [math]\displaystyle{ 2383 }[/math] [math]\displaystyle{ 2393 }[/math] [math]\displaystyle{ 2749 }[/math] [math]\displaystyle{ 2801 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1500} }[/math] [math]\displaystyle{ 7331 }[/math] [math]\displaystyle{ 8423 }[/math] [math]\displaystyle{ 15493 }[/math] [math]\displaystyle{ 28513 }[/math] [math]\displaystyle{ 31607 }[/math] [math]\displaystyle{ 38453 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1530} }[/math] [math]\displaystyle{ 2741 }[/math] [math]\displaystyle{ 3203 }[/math] [math]\displaystyle{ 8537 }[/math] [math]\displaystyle{ 14389 }[/math] [math]\displaystyle{ 20143 }[/math] [math]\displaystyle{ 21277 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1560} }[/math] [math]\displaystyle{ 419 }[/math] [math]\displaystyle{ 727 }[/math] [math]\displaystyle{ 3499 }[/math] [math]\displaystyle{ 3919 }[/math] [math]\displaystyle{ 6257 }[/math] [math]\displaystyle{ 9029 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1590} }[/math] [math]\displaystyle{ 2213 }[/math] [math]\displaystyle{ 2339 }[/math] [math]\displaystyle{ 4523 }[/math] [math]\displaystyle{ 6469 }[/math] [math]\displaystyle{ 9241 }[/math] [math]\displaystyle{ 9857 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1620} }[/math] [math]\displaystyle{ 7717 }[/math] [math]\displaystyle{ 9103 }[/math] [math]\displaystyle{ 12379 }[/math] [math]\displaystyle{ 37607 }[/math] [math]\displaystyle{ 43613 }[/math] [math]\displaystyle{ 46567 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1650} }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3001 }[/math] [math]\displaystyle{ 3659 }[/math] [math]\displaystyle{ 4051 }[/math] [math]\displaystyle{ 4289 }[/math] [math]\displaystyle{ 11527 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math] [math]\displaystyle{ 197 }[/math] [math]\displaystyle{ 997 }[/math] [math]\displaystyle{ 1289 }[/math] [math]\displaystyle{ 1319 }[/math] [math]\displaystyle{ 2309 }[/math] [math]\displaystyle{ 2683 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1710} }[/math] [math]\displaystyle{ 373 }[/math] [math]\displaystyle{ 1549 }[/math] [math]\displaystyle{ 1913 }[/math] [math]\displaystyle{ 2711 }[/math] [math]\displaystyle{ 12539 }[/math] [math]\displaystyle{ 15031 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1740} }[/math] [math]\displaystyle{ 1621 }[/math] [math]\displaystyle{ 5387 }[/math] [math]\displaystyle{ 6269 }[/math] [math]\displaystyle{ 15551 }[/math] [math]\displaystyle{ 61723 }[/math] [math]\displaystyle{ 77543 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1770} }[/math] [math]\displaystyle{ 1483 }[/math] [math]\displaystyle{ 13691 }[/math] [math]\displaystyle{ 15329 }[/math] [math]\displaystyle{ 20873 }[/math] [math]\displaystyle{ 23869 }[/math] [math]\displaystyle{ 29917 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1800} }[/math] [math]\displaystyle{ 421 }[/math] [math]\displaystyle{ 967 }[/math] [math]\displaystyle{ 1499 }[/math] [math]\displaystyle{ 6217 }[/math] [math]\displaystyle{ 30983 }[/math] [math]\displaystyle{ 37171 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1830} }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 17909 }[/math] [math]\displaystyle{ 46567 }[/math] [math]\displaystyle{ 89057 }[/math] [math]\displaystyle{ 105619 }[/math] [math]\displaystyle{ 128341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1860} }[/math] [math]\displaystyle{ 5087 }[/math] [math]\displaystyle{ 6151 }[/math] [math]\displaystyle{ 9133 }[/math] [math]\displaystyle{ 16567 }[/math] [math]\displaystyle{ 23819 }[/math] [math]\displaystyle{ 29881 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 727 }[/math] [math]\displaystyle{ 1109 }[/math] [math]\displaystyle{ 1279 }[/math] [math]\displaystyle{ 1409 }[/math] [math]\displaystyle{ 1543 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1920} }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 1493 }[/math] [math]\displaystyle{ 13967 }[/math] [math]\displaystyle{ 19973 }[/math] [math]\displaystyle{ 41351 }[/math] [math]\displaystyle{ 46867 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1950} }[/math] [math]\displaystyle{ 3259 }[/math] [math]\displaystyle{ 4813 }[/math] [math]\displaystyle{ 8803 }[/math] [math]\displaystyle{ 12373 }[/math] [math]\displaystyle{ 13577 }[/math] [math]\displaystyle{ 13619 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1980} }[/math] [math]\displaystyle{ 1511 }[/math] [math]\displaystyle{ 3863 }[/math] [math]\displaystyle{ 4969 }[/math] [math]\displaystyle{ 5039 }[/math] [math]\displaystyle{ 7027 }[/math] [math]\displaystyle{ 9337 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2010} }[/math] [math]\displaystyle{ 1303 }[/math] [math]\displaystyle{ 3739 }[/math] [math]\displaystyle{ 7309 }[/math] [math]\displaystyle{ 13763 }[/math] [math]\displaystyle{ 22093 }[/math] [math]\displaystyle{ 31151 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2040} }[/math] [math]\displaystyle{ 1039 }[/math] [math]\displaystyle{ 6779 }[/math] [math]\displaystyle{ 7507 }[/math] [math]\displaystyle{ 8963 }[/math] [math]\displaystyle{ 10069 }[/math] [math]\displaystyle{ 12281 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2070} }[/math] [math]\displaystyle{ 1097 }[/math] [math]\displaystyle{ 2063 }[/math] [math]\displaystyle{ 2917 }[/math] [math]\displaystyle{ 4289 }[/math] [math]\displaystyle{ 6571 }[/math] [math]\displaystyle{ 11149 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 281 }[/math] [math]\displaystyle{ 757 }[/math] [math]\displaystyle{ 1459 }[/math] [math]\displaystyle{ 1847 }[/math] [math]\displaystyle{ 2503 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2130} }[/math] [math]\displaystyle{ 3677 }[/math] [math]\displaystyle{ 5077 }[/math] [math]\displaystyle{ 11699 }[/math] [math]\displaystyle{ 17159 }[/math] [math]\displaystyle{ 21149 }[/math] [math]\displaystyle{ 31159 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2160} }[/math] [math]\displaystyle{ 5849 }[/math] [math]\displaystyle{ 6619 }[/math] [math]\displaystyle{ 24329 }[/math] [math]\displaystyle{ 43019 }[/math] [math]\displaystyle{ 114419 }[/math] [math]\displaystyle{ 126823 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2190} }[/math] [math]\displaystyle{ 643 }[/math] [math]\displaystyle{ 4283 }[/math] [math]\displaystyle{ 4339 }[/math] [math]\displaystyle{ 23743 }[/math] [math]\displaystyle{ 24821 }[/math] [math]\displaystyle{ 30211 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2220} }[/math] [math]\displaystyle{ 4229 }[/math] [math]\displaystyle{ 11243 }[/math] [math]\displaystyle{ 11467 }[/math] [math]\displaystyle{ 12503 }[/math] [math]\displaystyle{ 13693 }[/math] [math]\displaystyle{ 26209 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2250} }[/math] [math]\displaystyle{ 4721 }[/math] [math]\displaystyle{ 6359 }[/math] [math]\displaystyle{ 17321 }[/math] [math]\displaystyle{ 19477 }[/math] [math]\displaystyle{ 21661 }[/math] [math]\displaystyle{ 23117 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2280} }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math] [math]\displaystyle{ 2399 }[/math] [math]\displaystyle{ 15797 }[/math] [math]\displaystyle{ 22391 }[/math] [math]\displaystyle{ 23189 }[/math] [math]\displaystyle{ 27809 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 547 }[/math] [math]\displaystyle{ 661 }[/math] [math]\displaystyle{ 859 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2340} }[/math] [math]\displaystyle{ 107 }[/math] [math]\displaystyle{ 4363 }[/math] [math]\displaystyle{ 5483 }[/math] [math]\displaystyle{ 9613 }[/math] [math]\displaystyle{ 12413 }[/math] [math]\displaystyle{ 14737 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2370} }[/math] [math]\displaystyle{ 1187 }[/math] [math]\displaystyle{ 1831 }[/math] [math]\displaystyle{ 4211 }[/math] [math]\displaystyle{ 7963 }[/math] [math]\displaystyle{ 9419 }[/math] [math]\displaystyle{ 15607 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2400} }[/math] [math]\displaystyle{ 503 }[/math] [math]\displaystyle{ 853 }[/math] [math]\displaystyle{ 4787 }[/math] [math]\displaystyle{ 15091 }[/math] [math]\displaystyle{ 20327 }[/math] [math]\displaystyle{ 23603 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2430} }[/math] [math]\displaystyle{ 13217 }[/math] [math]\displaystyle{ 31039 }[/math] [math]\displaystyle{ 38851 }[/math] [math]\displaystyle{ 43261 }[/math] [math]\displaystyle{ 46747 }[/math] [math]\displaystyle{ 67481 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2460} }[/math] [math]\displaystyle{ 227 }[/math] [math]\displaystyle{ 1459 }[/math] [math]\displaystyle{ 6779 }[/math] [math]\displaystyle{ 6863 }[/math] [math]\displaystyle{ 18553 }[/math] [math]\displaystyle{ 29207 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2490} }[/math] [math]\displaystyle{ 1237 }[/math] [math]\displaystyle{ 7621 }[/math] [math]\displaystyle{ 14411 }[/math] [math]\displaystyle{ 19801 }[/math] [math]\displaystyle{ 46457 }[/math] [math]\displaystyle{ 55921 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 709 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013 }[/math] [math]\displaystyle{ 1181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1303 }[/math] [math]\displaystyle{ 1409 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2550} }[/math] [math]\displaystyle{ 1871 }[/math] [math]\displaystyle{ 9403 }[/math] [math]\displaystyle{ 33203 }[/math] [math]\displaystyle{ 36241 }[/math] [math]\displaystyle{ 70009 }[/math] [math]\displaystyle{ 74587 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2580} }[/math] [math]\displaystyle{ 277 }[/math] [math]\displaystyle{ 6101 }[/math] [math]\displaystyle{ 29383 }[/math] [math]\displaystyle{ 35851 }[/math] [math]\displaystyle{ 55871 }[/math] [math]\displaystyle{ 61723 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2610} }[/math] [math]\displaystyle{ 5179 }[/math] [math]\displaystyle{ 8539 }[/math] [math]\displaystyle{ 8861 }[/math] [math]\displaystyle{ 10093 }[/math] [math]\displaystyle{ 15679 }[/math] [math]\displaystyle{ 17989 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2640} }[/math] [math]\displaystyle{ 9283 }[/math] [math]\displaystyle{ 10781 }[/math] [math]\displaystyle{ 12377 }[/math] [math]\displaystyle{ 12433 }[/math] [math]\displaystyle{ 13679 }[/math] [math]\displaystyle{ 22751 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2670} }[/math] [math]\displaystyle{ 1039 }[/math] [math]\displaystyle{ 4133 }[/math] [math]\displaystyle{ 12589 }[/math] [math]\displaystyle{ 14731 }[/math] [math]\displaystyle{ 16411 }[/math] [math]\displaystyle{ 23789 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2700} }[/math] [math]\displaystyle{ 8629 }[/math] [math]\displaystyle{ 10267 }[/math] [math]\displaystyle{ 16217 }[/math] [math]\displaystyle{ 17477 }[/math] [math]\displaystyle{ 18149 }[/math] [math]\displaystyle{ 19843 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 631 }[/math] [math]\displaystyle{ 761 }[/math] [math]\displaystyle{ 811 }[/math] [math]\displaystyle{ 1091 }[/math] [math]\displaystyle{ 1423 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2760} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 2473 }[/math] [math]\displaystyle{ 2767 }[/math] [math]\displaystyle{ 9137 }[/math] [math]\displaystyle{ 9403 }[/math] [math]\displaystyle{ 9767 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2790} }[/math] [math]\displaystyle{ 6899 }[/math] [math]\displaystyle{ 15733 }[/math] [math]\displaystyle{ 20353 }[/math] [math]\displaystyle{ 20899 }[/math] [math]\displaystyle{ 23447 }[/math] [math]\displaystyle{ 29201 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2820} }[/math] [math]\displaystyle{ 727 }[/math] [math]\displaystyle{ 1259 }[/math] [math]\displaystyle{ 3023 }[/math] [math]\displaystyle{ 7951 }[/math] [math]\displaystyle{ 17989 }[/math] [math]\displaystyle{ 20201 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2850} }[/math] [math]\displaystyle{ 379 }[/math] [math]\displaystyle{ 463 }[/math] [math]\displaystyle{ 2843 }[/math] [math]\displaystyle{ 4831 }[/math] [math]\displaystyle{ 9661 }[/math] [math]\displaystyle{ 10067 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2880} }[/math] [math]\displaystyle{ 1459 }[/math] [math]\displaystyle{ 2803 }[/math] [math]\displaystyle{ 4973 }[/math] [math]\displaystyle{ 7283 }[/math] [math]\displaystyle{ 8543 }[/math] [math]\displaystyle{ 12281 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2910} }[/math] [math]\displaystyle{ 397 }[/math] [math]\displaystyle{ 12409 }[/math] [math]\displaystyle{ 19087 }[/math] [math]\displaystyle{ 25121 }[/math] [math]\displaystyle{ 37441 }[/math] [math]\displaystyle{ 41081 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 383 }[/math] [math]\displaystyle{ 691 }[/math] [math]\displaystyle{ 983 }[/math] [math]\displaystyle{ 2393 }[/math] [math]\displaystyle{ 2797 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2970} }[/math] [math]\displaystyle{ 1031 }[/math] [math]\displaystyle{ 2879 }[/math] [math]\displaystyle{ 3593 }[/math] [math]\displaystyle{ 5147 }[/math] [math]\displaystyle{ 6029 }[/math] [math]\displaystyle{ 6673 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3000} }[/math] [math]\displaystyle{ 907 }[/math] [math]\displaystyle{ 35543 }[/math] [math]\displaystyle{ 45413 }[/math] [math]\displaystyle{ 60337 }[/math] [math]\displaystyle{ 65713 }[/math] [math]\displaystyle{ 89009 }[/math]


□


Przykład C51
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 8 }[/math].

Pokaż tabele

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 30 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^8 }[/math].

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 8 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 210 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^8 }[/math].

Jeżeli w tabeli jest wypisanych sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 7} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 179 }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math] [math]\displaystyle{ 619 }[/math] [math]\displaystyle{ 829 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 1619 }[/math] [math]\displaystyle{ 2239 }[/math] [math]\displaystyle{ 2659 }[/math] [math]\displaystyle{ 4259 }[/math] [math]\displaystyle{ 5849 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math] [math]\displaystyle{ 1637 }[/math] [math]\displaystyle{ 2267 }[/math] [math]\displaystyle{ 5569 }[/math] [math]\displaystyle{ 8369 }[/math] [math]\displaystyle{ 11003 }[/math] [math]\displaystyle{ 11633 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math] [math]\displaystyle{ 1061 }[/math] [math]\displaystyle{ 1753 }[/math] [math]\displaystyle{ 3623 }[/math] [math]\displaystyle{ 4493 }[/math] [math]\displaystyle{ 5651 }[/math] [math]\displaystyle{ 6043 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 3469 }[/math] [math]\displaystyle{ 6653 }[/math] [math]\displaystyle{ 8629 }[/math] [math]\displaystyle{ 8783 }[/math] [math]\displaystyle{ 8837 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math] [math]\displaystyle{ 359 }[/math] [math]\displaystyle{ 1931 }[/math] [math]\displaystyle{ 2063 }[/math] [math]\displaystyle{ 3323 }[/math] [math]\displaystyle{ 4583 }[/math] [math]\displaystyle{ 13933 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math] [math]\displaystyle{ 1279 }[/math] [math]\displaystyle{ 2393 }[/math] [math]\displaystyle{ 2801 }[/math] [math]\displaystyle{ 8117 }[/math] [math]\displaystyle{ 8191 }[/math] [math]\displaystyle{ 9661 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math] [math]\displaystyle{ 1289 }[/math] [math]\displaystyle{ 1319 }[/math] [math]\displaystyle{ 2683 }[/math] [math]\displaystyle{ 2969 }[/math] [math]\displaystyle{ 11261 }[/math] [math]\displaystyle{ 12941 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math] [math]\displaystyle{ 1279 }[/math] [math]\displaystyle{ 1723 }[/math] [math]\displaystyle{ 1811 }[/math] [math]\displaystyle{ 1879 }[/math] [math]\displaystyle{ 2693 }[/math] [math]\displaystyle{ 4583 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math] [math]\displaystyle{ 1847 }[/math] [math]\displaystyle{ 3947 }[/math] [math]\displaystyle{ 26497 }[/math] [math]\displaystyle{ 34913 }[/math] [math]\displaystyle{ 35771 }[/math] [math]\displaystyle{ 36187 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 547 }[/math] [math]\displaystyle{ 1019 }[/math] [math]\displaystyle{ 1063 }[/math] [math]\displaystyle{ 1367 }[/math] [math]\displaystyle{ 1747 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math] [math]\displaystyle{ 113 }[/math] [math]\displaystyle{ 1181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1409 }[/math] [math]\displaystyle{ 5413 }[/math] [math]\displaystyle{ 7109 }[/math] [math]\displaystyle{ 7933 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math] [math]\displaystyle{ 631 }[/math] [math]\displaystyle{ 811 }[/math] [math]\displaystyle{ 1091 }[/math] [math]\displaystyle{ 2417 }[/math] [math]\displaystyle{ 3643 }[/math] [math]\displaystyle{ 3821 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2760} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 6317 }[/math] [math]\displaystyle{ 6911 }[/math] [math]\displaystyle{ 9433 }[/math] [math]\displaystyle{ 11927 }[/math] [math]\displaystyle{ 12373 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 8} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math] [math]\displaystyle{ 619 }[/math] [math]\displaystyle{ 881 }[/math] [math]\displaystyle{ 3499 }[/math] [math]\displaystyle{ 3709 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 2239 }[/math] [math]\displaystyle{ 10243 }[/math] [math]\displaystyle{ 18493 }[/math] [math]\displaystyle{ 29297 }[/math] [math]\displaystyle{ 39199 }[/math] [math]\displaystyle{ 40343 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math] [math]\displaystyle{ 1637 }[/math] [math]\displaystyle{ 11003 }[/math] [math]\displaystyle{ 38693 }[/math] [math]\displaystyle{ 53161 }[/math] [math]\displaystyle{ 56477 }[/math] [math]\displaystyle{ 198971 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math] [math]\displaystyle{ 6043 }[/math] [math]\displaystyle{ 6883 }[/math] [math]\displaystyle{ 10861 }[/math] [math]\displaystyle{ 11701 }[/math] [math]\displaystyle{ 84521 }[/math] [math]\displaystyle{ 103837 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math] [math]\displaystyle{ 8837 }[/math] [math]\displaystyle{ 41507 }[/math] [math]\displaystyle{ 246289 }[/math] [math]\displaystyle{ 302273 }[/math] [math]\displaystyle{ 382727 }[/math] [math]\displaystyle{ 499679 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math] [math]\displaystyle{ 2063 }[/math] [math]\displaystyle{ 3323 }[/math] [math]\displaystyle{ 87511 }[/math] [math]\displaystyle{ 145949 }[/math] [math]\displaystyle{ 208099 }[/math] [math]\displaystyle{ 213247 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math] [math]\displaystyle{ 8191 }[/math] [math]\displaystyle{ 15289 }[/math] [math]\displaystyle{ 101027 }[/math] [math]\displaystyle{ 102497 }[/math] [math]\displaystyle{ 187931 }[/math] [math]\displaystyle{ 227399 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math] [math]\displaystyle{ 1289 }[/math] [math]\displaystyle{ 11261 }[/math] [math]\displaystyle{ 31333 }[/math] [math]\displaystyle{ 33013 }[/math] [math]\displaystyle{ 133919 }[/math] [math]\displaystyle{ 193283 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math] [math]\displaystyle{ 2693 }[/math] [math]\displaystyle{ 15493 }[/math] [math]\displaystyle{ 15607 }[/math] [math]\displaystyle{ 17497 }[/math] [math]\displaystyle{ 45767 }[/math] [math]\displaystyle{ 47657 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math] [math]\displaystyle{ 1847 }[/math] [math]\displaystyle{ 34913 }[/math] [math]\displaystyle{ 37013 }[/math] [math]\displaystyle{ 39113 }[/math] [math]\displaystyle{ 83311 }[/math] [math]\displaystyle{ 102871 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math] [math]\displaystyle{ 1019 }[/math] [math]\displaystyle{ 3823 }[/math] [math]\displaystyle{ 5557 }[/math] [math]\displaystyle{ 6133 }[/math] [math]\displaystyle{ 7853 }[/math] [math]\displaystyle{ 9941 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math] [math]\displaystyle{ 5413 }[/math] [math]\displaystyle{ 7109 }[/math] [math]\displaystyle{ 19141 }[/math] [math]\displaystyle{ 21661 }[/math] [math]\displaystyle{ 23509 }[/math] [math]\displaystyle{ 24763 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math] [math]\displaystyle{ 1091 }[/math] [math]\displaystyle{ 4721 }[/math] [math]\displaystyle{ 7451 }[/math] [math]\displaystyle{ 22079 }[/math] [math]\displaystyle{ 49339 }[/math] [math]\displaystyle{ 53759 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math] [math]\displaystyle{ 9433 }[/math] [math]\displaystyle{ 11927 }[/math] [math]\displaystyle{ 14867 }[/math] [math]\displaystyle{ 50587 }[/math] [math]\displaystyle{ 80933 }[/math] [math]\displaystyle{ 127207 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3150} }[/math] [math]\displaystyle{ 433 }[/math] [math]\displaystyle{ 3583 }[/math] [math]\displaystyle{ 7877 }[/math] [math]\displaystyle{ 24677 }[/math] [math]\displaystyle{ 27827 }[/math] [math]\displaystyle{ 49031 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3360} }[/math] [math]\displaystyle{ 6571 }[/math] [math]\displaystyle{ 9041 }[/math] [math]\displaystyle{ 39791 }[/math] [math]\displaystyle{ 210391 }[/math] [math]\displaystyle{ 213751 }[/math] [math]\displaystyle{ 217111 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3570} }[/math] [math]\displaystyle{ 8971 }[/math] [math]\displaystyle{ 10429 }[/math] [math]\displaystyle{ 27737 }[/math] [math]\displaystyle{ 28387 }[/math] [math]\displaystyle{ 37313 }[/math] [math]\displaystyle{ 57047 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3780} }[/math] [math]\displaystyle{ 45767 }[/math] [math]\displaystyle{ 82037 }[/math] [math]\displaystyle{ 155569 }[/math] [math]\displaystyle{ 473513 }[/math] [math]\displaystyle{ 477293 }[/math] [math]\displaystyle{ 511873 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3990} }[/math] [math]\displaystyle{ 1699 }[/math] [math]\displaystyle{ 2909 }[/math] [math]\displaystyle{ 5689 }[/math] [math]\displaystyle{ 25033 }[/math] [math]\displaystyle{ 29873 }[/math] [math]\displaystyle{ 40559 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4200} }[/math] [math]\displaystyle{ 12547 }[/math] [math]\displaystyle{ 16747 }[/math] [math]\displaystyle{ 37013 }[/math] [math]\displaystyle{ 57139 }[/math] [math]\displaystyle{ 89899 }[/math] [math]\displaystyle{ 94099 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4410} }[/math] [math]\displaystyle{ 20809 }[/math] [math]\displaystyle{ 87623 }[/math] [math]\displaystyle{ 142271 }[/math] [math]\displaystyle{ 262733 }[/math] [math]\displaystyle{ 267143 }[/math] [math]\displaystyle{ 439009 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4620} }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 1531 }[/math] [math]\displaystyle{ 3083 }[/math] [math]\displaystyle{ 3257 }[/math] [math]\displaystyle{ 6427 }[/math] [math]\displaystyle{ 9461 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4830} }[/math] [math]\displaystyle{ 3907 }[/math] [math]\displaystyle{ 13313 }[/math] [math]\displaystyle{ 30427 }[/math] [math]\displaystyle{ 35257 }[/math] [math]\displaystyle{ 40087 }[/math] [math]\displaystyle{ 72547 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5040} }[/math] [math]\displaystyle{ 13477 }[/math] [math]\displaystyle{ 14951 }[/math] [math]\displaystyle{ 25073 }[/math] [math]\displaystyle{ 25931 }[/math] [math]\displaystyle{ 30113 }[/math] [math]\displaystyle{ 57457 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5250} }[/math] [math]\displaystyle{ 3413 }[/math] [math]\displaystyle{ 8663 }[/math] [math]\displaystyle{ 44179 }[/math] [math]\displaystyle{ 49429 }[/math] [math]\displaystyle{ 111109 }[/math] [math]\displaystyle{ 648107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5460} }[/math] [math]\displaystyle{ 1559 }[/math] [math]\displaystyle{ 18899 }[/math] [math]\displaystyle{ 36389 }[/math] [math]\displaystyle{ 43711 }[/math] [math]\displaystyle{ 59393 }[/math] [math]\displaystyle{ 75541 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5670} }[/math] [math]\displaystyle{ 187477 }[/math] [math]\displaystyle{ 231109 }[/math] [math]\displaystyle{ 402137 }[/math] [math]\displaystyle{ 680123 }[/math] [math]\displaystyle{ 706463 }[/math] [math]\displaystyle{ 712133 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5880} }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 29959 }[/math] [math]\displaystyle{ 152389 }[/math] [math]\displaystyle{ 158269 }[/math] [math]\displaystyle{ 317021 }[/math] [math]\displaystyle{ 2115961 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6090} }[/math] [math]\displaystyle{ 12239 }[/math] [math]\displaystyle{ 22469 }[/math] [math]\displaystyle{ 38543 }[/math] [math]\displaystyle{ 50893 }[/math] [math]\displaystyle{ 72533 }[/math] [math]\displaystyle{ 90863 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6300} }[/math] [math]\displaystyle{ 37097 }[/math] [math]\displaystyle{ 86869 }[/math] [math]\displaystyle{ 92639 }[/math] [math]\displaystyle{ 224633 }[/math] [math]\displaystyle{ 440269 }[/math] [math]\displaystyle{ 641327 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6510} }[/math] [math]\displaystyle{ 1063 }[/math] [math]\displaystyle{ 20599 }[/math] [math]\displaystyle{ 21701 }[/math] [math]\displaystyle{ 27109 }[/math] [math]\displaystyle{ 41611 }[/math] [math]\displaystyle{ 46187 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6720} }[/math] [math]\displaystyle{ 3167 }[/math] [math]\displaystyle{ 7457 }[/math] [math]\displaystyle{ 22669 }[/math] [math]\displaystyle{ 62347 }[/math] [math]\displaystyle{ 69067 }[/math] [math]\displaystyle{ 75787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6930} }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5581 }[/math] [math]\displaystyle{ 6947 }[/math] [math]\displaystyle{ 7151 }[/math] [math]\displaystyle{ 13469 }[/math] [math]\displaystyle{ 14081 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7140} }[/math] [math]\displaystyle{ 3347 }[/math] [math]\displaystyle{ 53309 }[/math] [math]\displaystyle{ 281557 }[/math] [math]\displaystyle{ 370879 }[/math] [math]\displaystyle{ 380447 }[/math] [math]\displaystyle{ 466897 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7350} }[/math] [math]\displaystyle{ 206047 }[/math] [math]\displaystyle{ 348163 }[/math] [math]\displaystyle{ 363037 }[/math] [math]\displaystyle{ 435661 }[/math] [math]\displaystyle{ 576677 }[/math] [math]\displaystyle{ 906107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7560} }[/math] [math]\displaystyle{ 29387 }[/math] [math]\displaystyle{ 36947 }[/math] [math]\displaystyle{ 39191 }[/math] [math]\displaystyle{ 44267 }[/math] [math]\displaystyle{ 342389 }[/math] [math]\displaystyle{ 349949 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7770} }[/math] [math]\displaystyle{ 6553 }[/math] [math]\displaystyle{ 14323 }[/math] [math]\displaystyle{ 25169 }[/math] [math]\displaystyle{ 28549 }[/math] [math]\displaystyle{ 36319 }[/math] [math]\displaystyle{ 42061 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7980} }[/math] [math]\displaystyle{ 137 }[/math] [math]\displaystyle{ 4091 }[/math] [math]\displaystyle{ 7237 }[/math] [math]\displaystyle{ 8117 }[/math] [math]\displaystyle{ 12071 }[/math] [math]\displaystyle{ 24029 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8190} }[/math] [math]\displaystyle{ 3593 }[/math] [math]\displaystyle{ 21017 }[/math] [math]\displaystyle{ 35591 }[/math] [math]\displaystyle{ 43781 }[/math] [math]\displaystyle{ 49727 }[/math] [math]\displaystyle{ 59021 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8400} }[/math] [math]\displaystyle{ 86599 }[/math] [math]\displaystyle{ 173909 }[/math] [math]\displaystyle{ 788413 }[/math] [math]\displaystyle{ 1251869 }[/math] [math]\displaystyle{ 1365019 }[/math] [math]\displaystyle{ 1392731 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8610} }[/math] [math]\displaystyle{ 541 }[/math] [math]\displaystyle{ 1867 }[/math] [math]\displaystyle{ 63703 }[/math] [math]\displaystyle{ 132283 }[/math] [math]\displaystyle{ 140893 }[/math] [math]\displaystyle{ 175837 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8820} }[/math] [math]\displaystyle{ 9403 }[/math] [math]\displaystyle{ 83563 }[/math] [math]\displaystyle{ 84421 }[/math] [math]\displaystyle{ 93241 }[/math] [math]\displaystyle{ 187823 }[/math] [math]\displaystyle{ 296983 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9030} }[/math] [math]\displaystyle{ 11087 }[/math] [math]\displaystyle{ 195203 }[/math] [math]\displaystyle{ 219799 }[/math] [math]\displaystyle{ 352813 }[/math] [math]\displaystyle{ 426973 }[/math] [math]\displaystyle{ 487651 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9240} }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 937 }[/math] [math]\displaystyle{ 10177 }[/math] [math]\displaystyle{ 21031 }[/math] [math]\displaystyle{ 27961 }[/math] [math]\displaystyle{ 30271 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9450} }[/math] [math]\displaystyle{ 1609 }[/math] [math]\displaystyle{ 157181 }[/math] [math]\displaystyle{ 182867 }[/math] [math]\displaystyle{ 663049 }[/math] [math]\displaystyle{ 1028479 }[/math] [math]\displaystyle{ 1037929 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9660} }[/math] [math]\displaystyle{ 521 }[/math] [math]\displaystyle{ 3449 }[/math] [math]\displaystyle{ 10181 }[/math] [math]\displaystyle{ 50417 }[/math] [math]\displaystyle{ 84229 }[/math] [math]\displaystyle{ 218363 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9870} }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 43013 }[/math] [math]\displaystyle{ 89923 }[/math] [math]\displaystyle{ 220333 }[/math] [math]\displaystyle{ 294479 }[/math] [math]\displaystyle{ 490493 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10080} }[/math] [math]\displaystyle{ 6949 }[/math] [math]\displaystyle{ 17029 }[/math] [math]\displaystyle{ 54293 }[/math] [math]\displaystyle{ 99023 }[/math] [math]\displaystyle{ 125353 }[/math] [math]\displaystyle{ 125899 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10290} }[/math] [math]\displaystyle{ 6143 }[/math] [math]\displaystyle{ 16433 }[/math] [math]\displaystyle{ 179057 }[/math] [math]\displaystyle{ 211777 }[/math] [math]\displaystyle{ 681949 }[/math] [math]\displaystyle{ 1018357 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10500} }[/math] [math]\displaystyle{ 9109 }[/math] [math]\displaystyle{ 91153 }[/math] [math]\displaystyle{ 218527 }[/math] [math]\displaystyle{ 447817 }[/math] [math]\displaystyle{ 513167 }[/math] [math]\displaystyle{ 1113239 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10710} }[/math] [math]\displaystyle{ 9419 }[/math] [math]\displaystyle{ 28603 }[/math] [math]\displaystyle{ 28871 }[/math] [math]\displaystyle{ 37861 }[/math] [math]\displaystyle{ 43691 }[/math] [math]\displaystyle{ 75041 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10920} }[/math] [math]\displaystyle{ 14657 }[/math] [math]\displaystyle{ 21491 }[/math] [math]\displaystyle{ 52321 }[/math] [math]\displaystyle{ 63241 }[/math] [math]\displaystyle{ 79997 }[/math] [math]\displaystyle{ 80621 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11130} }[/math] [math]\displaystyle{ 49681 }[/math] [math]\displaystyle{ 70607 }[/math] [math]\displaystyle{ 187009 }[/math] [math]\displaystyle{ 198139 }[/math] [math]\displaystyle{ 209269 }[/math] [math]\displaystyle{ 219613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11340} }[/math] [math]\displaystyle{ 24197 }[/math] [math]\displaystyle{ 57143 }[/math] [math]\displaystyle{ 68483 }[/math] [math]\displaystyle{ 158617 }[/math] [math]\displaystyle{ 212297 }[/math] [math]\displaystyle{ 237257 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11550} }[/math] [math]\displaystyle{ 4483 }[/math] [math]\displaystyle{ 4673 }[/math] [math]\displaystyle{ 9619 }[/math] [math]\displaystyle{ 16223 }[/math] [math]\displaystyle{ 21169 }[/math] [math]\displaystyle{ 66161 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11760} }[/math] [math]\displaystyle{ 3511 }[/math] [math]\displaystyle{ 241793 }[/math] [math]\displaystyle{ 469613 }[/math] [math]\displaystyle{ 517949 }[/math] [math]\displaystyle{ 548263 }[/math] [math]\displaystyle{ 643469 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11970} }[/math] [math]\displaystyle{ 6221 }[/math] [math]\displaystyle{ 10531 }[/math] [math]\displaystyle{ 22501 }[/math] [math]\displaystyle{ 40343 }[/math] [math]\displaystyle{ 216233 }[/math] [math]\displaystyle{ 280187 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12180} }[/math] [math]\displaystyle{ 18211 }[/math] [math]\displaystyle{ 65437 }[/math] [math]\displaystyle{ 126943 }[/math] [math]\displaystyle{ 137239 }[/math] [math]\displaystyle{ 149939 }[/math] [math]\displaystyle{ 361213 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12390} }[/math] [math]\displaystyle{ 7477 }[/math] [math]\displaystyle{ 24391 }[/math] [math]\displaystyle{ 41669 }[/math] [math]\displaystyle{ 76913 }[/math] [math]\displaystyle{ 95213 }[/math] [math]\displaystyle{ 181211 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12600} }[/math] [math]\displaystyle{ 26003 }[/math] [math]\displaystyle{ 435577 }[/math] [math]\displaystyle{ 448177 }[/math] [math]\displaystyle{ 558431 }[/math] [math]\displaystyle{ 571031 }[/math] [math]\displaystyle{ 583631 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12810} }[/math] [math]\displaystyle{ 19289 }[/math] [math]\displaystyle{ 35437 }[/math] [math]\displaystyle{ 40949 }[/math] [math]\displaystyle{ 53791 }[/math] [math]\displaystyle{ 59357 }[/math] [math]\displaystyle{ 94309 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13020} }[/math] [math]\displaystyle{ 15913 }[/math] [math]\displaystyle{ 55843 }[/math] [math]\displaystyle{ 77773 }[/math] [math]\displaystyle{ 179519 }[/math] [math]\displaystyle{ 418927 }[/math] [math]\displaystyle{ 670853 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13230} }[/math] [math]\displaystyle{ 5843 }[/math] [math]\displaystyle{ 7433 }[/math] [math]\displaystyle{ 9391 }[/math] [math]\displaystyle{ 31729 }[/math] [math]\displaystyle{ 40543 }[/math] [math]\displaystyle{ 53773 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13440} }[/math] [math]\displaystyle{ 2141 }[/math] [math]\displaystyle{ 15581 }[/math] [math]\displaystyle{ 270143 }[/math] [math]\displaystyle{ 335021 }[/math] [math]\displaystyle{ 405269 }[/math] [math]\displaystyle{ 448741 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13650} }[/math] [math]\displaystyle{ 3343 }[/math] [math]\displaystyle{ 12097 }[/math] [math]\displaystyle{ 16993 }[/math] [math]\displaystyle{ 19259 }[/math] [math]\displaystyle{ 63611 }[/math] [math]\displaystyle{ 81001 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13860} }[/math] [math]\displaystyle{ 6029 }[/math] [math]\displaystyle{ 6211 }[/math] [math]\displaystyle{ 26171 }[/math] [math]\displaystyle{ 27653 }[/math] [math]\displaystyle{ 32441 }[/math] [math]\displaystyle{ 51839 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14070} }[/math] [math]\displaystyle{ 40879 }[/math] [math]\displaystyle{ 87793 }[/math] [math]\displaystyle{ 87991 }[/math] [math]\displaystyle{ 159491 }[/math] [math]\displaystyle{ 285497 }[/math] [math]\displaystyle{ 485389 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14280} }[/math] [math]\displaystyle{ 6947 }[/math] [math]\displaystyle{ 15923 }[/math] [math]\displaystyle{ 27337 }[/math] [math]\displaystyle{ 79481 }[/math] [math]\displaystyle{ 111227 }[/math] [math]\displaystyle{ 364687 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14490} }[/math] [math]\displaystyle{ 41039 }[/math] [math]\displaystyle{ 48491 }[/math] [math]\displaystyle{ 142049 }[/math] [math]\displaystyle{ 144667 }[/math] [math]\displaystyle{ 159157 }[/math] [math]\displaystyle{ 161263 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14700} }[/math] [math]\displaystyle{ 12409 }[/math] [math]\displaystyle{ 36583 }[/math] [math]\displaystyle{ 51283 }[/math] [math]\displaystyle{ 161363 }[/math] [math]\displaystyle{ 218989 }[/math] [math]\displaystyle{ 578267 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14910} }[/math] [math]\displaystyle{ 23957 }[/math] [math]\displaystyle{ 74161 }[/math] [math]\displaystyle{ 79633 }[/math] [math]\displaystyle{ 89071 }[/math] [math]\displaystyle{ 109367 }[/math] [math]\displaystyle{ 120977 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15120} }[/math] [math]\displaystyle{ 33997 }[/math] [math]\displaystyle{ 121853 }[/math] [math]\displaystyle{ 136973 }[/math] [math]\displaystyle{ 203429 }[/math] [math]\displaystyle{ 330413 }[/math] [math]\displaystyle{ 379369 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15330} }[/math] [math]\displaystyle{ 12781 }[/math] [math]\displaystyle{ 64613 }[/math] [math]\displaystyle{ 505559 }[/math] [math]\displaystyle{ 588529 }[/math] [math]\displaystyle{ 614071 }[/math] [math]\displaystyle{ 873121 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15540} }[/math] [math]\displaystyle{ 15053 }[/math] [math]\displaystyle{ 33071 }[/math] [math]\displaystyle{ 41131 }[/math] [math]\displaystyle{ 160781 }[/math] [math]\displaystyle{ 176321 }[/math] [math]\displaystyle{ 209357 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15750} }[/math] [math]\displaystyle{ 7001 }[/math] [math]\displaystyle{ 10459 }[/math] [math]\displaystyle{ 64579 }[/math] [math]\displaystyle{ 80329 }[/math] [math]\displaystyle{ 103409 }[/math] [math]\displaystyle{ 119159 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15960} }[/math] [math]\displaystyle{ 1847 }[/math] [math]\displaystyle{ 6037 }[/math] [math]\displaystyle{ 17807 }[/math] [math]\displaystyle{ 21997 }[/math] [math]\displaystyle{ 33767 }[/math] [math]\displaystyle{ 71917 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16170} }[/math] [math]\displaystyle{ 32321 }[/math] [math]\displaystyle{ 66179 }[/math] [math]\displaystyle{ 82349 }[/math] [math]\displaystyle{ 99661 }[/math] [math]\displaystyle{ 130343 }[/math] [math]\displaystyle{ 219451 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16380} }[/math] [math]\displaystyle{ 22859 }[/math] [math]\displaystyle{ 28579 }[/math] [math]\displaystyle{ 43759 }[/math] [math]\displaystyle{ 43913 }[/math] [math]\displaystyle{ 60139 }[/math] [math]\displaystyle{ 95107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16590} }[/math] [math]\displaystyle{ 6703 }[/math] [math]\displaystyle{ 23293 }[/math] [math]\displaystyle{ 29009 }[/math] [math]\displaystyle{ 45599 }[/math] [math]\displaystyle{ 51341 }[/math] [math]\displaystyle{ 57917 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16800} }[/math] [math]\displaystyle{ 91463 }[/math] [math]\displaystyle{ 276037 }[/math] [math]\displaystyle{ 524857 }[/math] [math]\displaystyle{ 874063 }[/math] [math]\displaystyle{ 940319 }[/math] [math]\displaystyle{ 957119 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17010} }[/math] [math]\displaystyle{ 6571 }[/math] [math]\displaystyle{ 70529 }[/math] [math]\displaystyle{ 117037 }[/math] [math]\displaystyle{ 227147 }[/math] [math]\displaystyle{ 797119 }[/math] [math]\displaystyle{ 814129 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17220} }[/math] [math]\displaystyle{ 120713 }[/math] [math]\displaystyle{ 225769 }[/math] [math]\displaystyle{ 242989 }[/math] [math]\displaystyle{ 343601 }[/math] [math]\displaystyle{ 819229 }[/math] [math]\displaystyle{ 965711 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17430} }[/math] [math]\displaystyle{ 4219 }[/math] [math]\displaystyle{ 6101 }[/math] [math]\displaystyle{ 15643 }[/math] [math]\displaystyle{ 25471 }[/math] [math]\displaystyle{ 33073 }[/math] [math]\displaystyle{ 42901 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17640} }[/math] [math]\displaystyle{ 12917 }[/math] [math]\displaystyle{ 34877 }[/math] [math]\displaystyle{ 59407 }[/math] [math]\displaystyle{ 62047 }[/math] [math]\displaystyle{ 85667 }[/math] [math]\displaystyle{ 193607 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17850} }[/math] [math]\displaystyle{ 9803 }[/math] [math]\displaystyle{ 129379 }[/math] [math]\displaystyle{ 147229 }[/math] [math]\displaystyle{ 238229 }[/math] [math]\displaystyle{ 270157 }[/math] [math]\displaystyle{ 289253 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18060} }[/math] [math]\displaystyle{ 87613 }[/math] [math]\displaystyle{ 90583 }[/math] [math]\displaystyle{ 117223 }[/math] [math]\displaystyle{ 512671 }[/math] [math]\displaystyle{ 574297 }[/math] [math]\displaystyle{ 623353 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18270} }[/math] [math]\displaystyle{ 29567 }[/math] [math]\displaystyle{ 47837 }[/math] [math]\displaystyle{ 86491 }[/math] [math]\displaystyle{ 268189 }[/math] [math]\displaystyle{ 424819 }[/math] [math]\displaystyle{ 511201 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18480} }[/math] [math]\displaystyle{ 1861 }[/math] [math]\displaystyle{ 2711 }[/math] [math]\displaystyle{ 8093 }[/math] [math]\displaystyle{ 10831 }[/math] [math]\displaystyle{ 11161 }[/math] [math]\displaystyle{ 11909 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18690} }[/math] [math]\displaystyle{ 881 }[/math] [math]\displaystyle{ 19571 }[/math] [math]\displaystyle{ 79531 }[/math] [math]\displaystyle{ 529829 }[/math] [math]\displaystyle{ 654767 }[/math] [math]\displaystyle{ 812353 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18900} }[/math] [math]\displaystyle{ 6899 }[/math] [math]\displaystyle{ 23201 }[/math] [math]\displaystyle{ 52267 }[/math] [math]\displaystyle{ 73823 }[/math] [math]\displaystyle{ 92723 }[/math] [math]\displaystyle{ 462079 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19110} }[/math] [math]\displaystyle{ 8941 }[/math] [math]\displaystyle{ 30091 }[/math] [math]\displaystyle{ 39367 }[/math] [math]\displaystyle{ 58603 }[/math] [math]\displaystyle{ 63737 }[/math] [math]\displaystyle{ 80611 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19320} }[/math] [math]\displaystyle{ 6857 }[/math] [math]\displaystyle{ 218761 }[/math] [math]\displaystyle{ 236699 }[/math] [math]\displaystyle{ 237733 }[/math] [math]\displaystyle{ 300319 }[/math] [math]\displaystyle{ 300499 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19530} }[/math] [math]\displaystyle{ 33829 }[/math] [math]\displaystyle{ 46183 }[/math] [math]\displaystyle{ 50929 }[/math] [math]\displaystyle{ 70459 }[/math] [math]\displaystyle{ 283859 }[/math] [math]\displaystyle{ 361651 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19740} }[/math] [math]\displaystyle{ 1117 }[/math] [math]\displaystyle{ 2729 }[/math] [math]\displaystyle{ 22469 }[/math] [math]\displaystyle{ 30757 }[/math] [math]\displaystyle{ 50497 }[/math] [math]\displaystyle{ 165391 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19950} }[/math] [math]\displaystyle{ 13339 }[/math] [math]\displaystyle{ 23767 }[/math] [math]\displaystyle{ 44549 }[/math] [math]\displaystyle{ 47791 }[/math] [math]\displaystyle{ 92399 }[/math] [math]\displaystyle{ 142699 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20160} }[/math] [math]\displaystyle{ 2857 }[/math] [math]\displaystyle{ 5821 }[/math] [math]\displaystyle{ 147089 }[/math] [math]\displaystyle{ 948263 }[/math] [math]\displaystyle{ 1044859 }[/math] [math]\displaystyle{ 1094123 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20370} }[/math] [math]\displaystyle{ 81649 }[/math] [math]\displaystyle{ 154073 }[/math] [math]\displaystyle{ 164239 }[/math] [math]\displaystyle{ 398539 }[/math] [math]\displaystyle{ 443881 }[/math] [math]\displaystyle{ 556123 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20580} }[/math] [math]\displaystyle{ 9689 }[/math] [math]\displaystyle{ 30269 }[/math] [math]\displaystyle{ 105379 }[/math] [math]\displaystyle{ 316501 }[/math] [math]\displaystyle{ 337081 }[/math] [math]\displaystyle{ 398023 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20790} }[/math] [math]\displaystyle{ 12713 }[/math] [math]\displaystyle{ 20023 }[/math] [math]\displaystyle{ 33503 }[/math] [math]\displaystyle{ 40813 }[/math] [math]\displaystyle{ 69829 }[/math] [math]\displaystyle{ 92251 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 21000} }[/math] [math]\displaystyle{ 5501 }[/math] [math]\displaystyle{ 19471 }[/math] [math]\displaystyle{ 26501 }[/math] [math]\displaystyle{ 29153 }[/math] [math]\displaystyle{ 40471 }[/math] [math]\displaystyle{ 56773 }[/math]


□


Przykład C52
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 9 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10 }[/math].

Pokaż tabele

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 9 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 210 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^9 }[/math].

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 10 }[/math] wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla [math]\displaystyle{ d = 210 k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant 100 }[/math] i (przy ustalonym [math]\displaystyle{ d }[/math]) dla kolejnych liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0 \leqslant 10^{10} }[/math].

Jeżeli w tabeli jest wypisanych sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 9} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math] [math]\displaystyle{ 3499 }[/math] [math]\displaystyle{ 10859 }[/math] [math]\displaystyle{ 564973 }[/math] [math]\displaystyle{ 1288607 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 52879 }[/math] [math]\displaystyle{ 53299 }[/math] [math]\displaystyle{ 56267 }[/math] [math]\displaystyle{ 61637 }[/math] [math]\displaystyle{ 3212849 }[/math] [math]\displaystyle{ 3544939 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math] [math]\displaystyle{ 279857 }[/math] [math]\displaystyle{ 514949 }[/math] [math]\displaystyle{ 939359 }[/math] [math]\displaystyle{ 964417 }[/math] [math]\displaystyle{ 965047 }[/math] [math]\displaystyle{ 1003819 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math] [math]\displaystyle{ 6043 }[/math] [math]\displaystyle{ 10861 }[/math] [math]\displaystyle{ 103837 }[/math] [math]\displaystyle{ 201781 }[/math] [math]\displaystyle{ 915611 }[/math] [math]\displaystyle{ 916451 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math] [math]\displaystyle{ 26052251 }[/math] [math]\displaystyle{ 33267943 }[/math] [math]\displaystyle{ 54730813 }[/math] [math]\displaystyle{ 87640921 }[/math] [math]\displaystyle{ 112704443 }[/math] [math]\displaystyle{ 115677517 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math] [math]\displaystyle{ 2063 }[/math] [math]\displaystyle{ 1040089 }[/math] [math]\displaystyle{ 2166511 }[/math] [math]\displaystyle{ 2202547 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152847 }[/math] [math]\displaystyle{ 4400639 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math] [math]\displaystyle{ 101027 }[/math] [math]\displaystyle{ 363949 }[/math] [math]\displaystyle{ 1936289 }[/math] [math]\displaystyle{ 2534561 }[/math] [math]\displaystyle{ 2536031 }[/math] [math]\displaystyle{ 3248197 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math] [math]\displaystyle{ 31333 }[/math] [math]\displaystyle{ 216947 }[/math] [math]\displaystyle{ 258527 }[/math] [math]\displaystyle{ 316621 }[/math] [math]\displaystyle{ 607109 }[/math] [math]\displaystyle{ 4635361 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math] [math]\displaystyle{ 15607 }[/math] [math]\displaystyle{ 45767 }[/math] [math]\displaystyle{ 194113 }[/math] [math]\displaystyle{ 534211 }[/math] [math]\displaystyle{ 997201 }[/math] [math]\displaystyle{ 1442173 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math] [math]\displaystyle{ 34913 }[/math] [math]\displaystyle{ 37013 }[/math] [math]\displaystyle{ 102871 }[/math] [math]\displaystyle{ 176087 }[/math] [math]\displaystyle{ 581393 }[/math] [math]\displaystyle{ 583493 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math] [math]\displaystyle{ 3823 }[/math] [math]\displaystyle{ 60317 }[/math] [math]\displaystyle{ 80761 }[/math] [math]\displaystyle{ 563117 }[/math] [math]\displaystyle{ 574813 }[/math] [math]\displaystyle{ 1215583 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math] [math]\displaystyle{ 19141 }[/math] [math]\displaystyle{ 23509 }[/math] [math]\displaystyle{ 1058597 }[/math] [math]\displaystyle{ 1061117 }[/math] [math]\displaystyle{ 1465993 }[/math] [math]\displaystyle{ 5650097 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math] [math]\displaystyle{ 4721 }[/math] [math]\displaystyle{ 65881 }[/math] [math]\displaystyle{ 122069 }[/math] [math]\displaystyle{ 123059 }[/math] [math]\displaystyle{ 124799 }[/math] [math]\displaystyle{ 125789 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math] [math]\displaystyle{ 11927 }[/math] [math]\displaystyle{ 145723 }[/math] [math]\displaystyle{ 1222279 }[/math] [math]\displaystyle{ 12424921 }[/math] [math]\displaystyle{ 23527081 }[/math] [math]\displaystyle{ 33820273 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3150} }[/math] [math]\displaystyle{ 433 }[/math] [math]\displaystyle{ 24677 }[/math] [math]\displaystyle{ 49031 }[/math] [math]\displaystyle{ 348763 }[/math] [math]\displaystyle{ 1243393 }[/math] [math]\displaystyle{ 1640071 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3360} }[/math] [math]\displaystyle{ 210391 }[/math] [math]\displaystyle{ 213751 }[/math] [math]\displaystyle{ 245173 }[/math] [math]\displaystyle{ 1863509 }[/math] [math]\displaystyle{ 3831437 }[/math] [math]\displaystyle{ 6470249 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3570} }[/math] [math]\displaystyle{ 57047 }[/math] [math]\displaystyle{ 133271 }[/math] [math]\displaystyle{ 150343 }[/math] [math]\displaystyle{ 153913 }[/math] [math]\displaystyle{ 399433 }[/math] [math]\displaystyle{ 920827 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3780} }[/math] [math]\displaystyle{ 473513 }[/math] [math]\displaystyle{ 1282607 }[/math] [math]\displaystyle{ 3536881 }[/math] [math]\displaystyle{ 4045763 }[/math] [math]\displaystyle{ 4049543 }[/math] [math]\displaystyle{ 5655283 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3990} }[/math] [math]\displaystyle{ 1699 }[/math] [math]\displaystyle{ 99877 }[/math] [math]\displaystyle{ 103867 }[/math] [math]\displaystyle{ 649217 }[/math] [math]\displaystyle{ 1614973 }[/math] [math]\displaystyle{ 2732441 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4200} }[/math] [math]\displaystyle{ 12547 }[/math] [math]\displaystyle{ 89899 }[/math] [math]\displaystyle{ 835721 }[/math] [math]\displaystyle{ 2544221 }[/math] [math]\displaystyle{ 5013919 }[/math] [math]\displaystyle{ 11254637 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4410} }[/math] [math]\displaystyle{ 262733 }[/math] [math]\displaystyle{ 439009 }[/math] [math]\displaystyle{ 12940541 }[/math] [math]\displaystyle{ 15091459 }[/math] [math]\displaystyle{ 27878321 }[/math] [math]\displaystyle{ 29196199 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4620} }[/math] [math]\displaystyle{ 55697 }[/math] [math]\displaystyle{ 64919 }[/math] [math]\displaystyle{ 85363 }[/math] [math]\displaystyle{ 89983 }[/math] [math]\displaystyle{ 217409 }[/math] [math]\displaystyle{ 372751 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4830} }[/math] [math]\displaystyle{ 30427 }[/math] [math]\displaystyle{ 35257 }[/math] [math]\displaystyle{ 72547 }[/math] [math]\displaystyle{ 351749 }[/math] [math]\displaystyle{ 2985809 }[/math] [math]\displaystyle{ 6020477 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5040} }[/math] [math]\displaystyle{ 25073 }[/math] [math]\displaystyle{ 57457 }[/math] [math]\displaystyle{ 531359 }[/math] [math]\displaystyle{ 1245479 }[/math] [math]\displaystyle{ 2491381 }[/math] [math]\displaystyle{ 7136659 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5250} }[/math] [math]\displaystyle{ 3413 }[/math] [math]\displaystyle{ 44179 }[/math] [math]\displaystyle{ 2117239 }[/math] [math]\displaystyle{ 2122489 }[/math] [math]\displaystyle{ 2649067 }[/math] [math]\displaystyle{ 4895993 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5460} }[/math] [math]\displaystyle{ 144779 }[/math] [math]\displaystyle{ 913921 }[/math] [math]\displaystyle{ 1280987 }[/math] [math]\displaystyle{ 2243491 }[/math] [math]\displaystyle{ 2283571 }[/math] [math]\displaystyle{ 2289031 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5670} }[/math] [math]\displaystyle{ 706463 }[/math] [math]\displaystyle{ 915221 }[/math] [math]\displaystyle{ 10882211 }[/math] [math]\displaystyle{ 21206993 }[/math] [math]\displaystyle{ 21212663 }[/math] [math]\displaystyle{ 23859467 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5880} }[/math] [math]\displaystyle{ 152389 }[/math] [math]\displaystyle{ 4896887 }[/math] [math]\displaystyle{ 6559873 }[/math] [math]\displaystyle{ 9131321 }[/math] [math]\displaystyle{ 19210043 }[/math] [math]\displaystyle{ 24248461 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6090} }[/math] [math]\displaystyle{ 206191 }[/math] [math]\displaystyle{ 357661 }[/math] [math]\displaystyle{ 517003 }[/math] [math]\displaystyle{ 1910927 }[/math] [math]\displaystyle{ 5835283 }[/math] [math]\displaystyle{ 10292729 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6300} }[/math] [math]\displaystyle{ 641327 }[/math] [math]\displaystyle{ 1962449 }[/math] [math]\displaystyle{ 2797723 }[/math] [math]\displaystyle{ 3626881 }[/math] [math]\displaystyle{ 4663249 }[/math] [math]\displaystyle{ 5601139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6510} }[/math] [math]\displaystyle{ 20599 }[/math] [math]\displaystyle{ 155461 }[/math] [math]\displaystyle{ 161971 }[/math] [math]\displaystyle{ 573437 }[/math] [math]\displaystyle{ 4395739 }[/math] [math]\displaystyle{ 6457669 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6720} }[/math] [math]\displaystyle{ 62347 }[/math] [math]\displaystyle{ 69067 }[/math] [math]\displaystyle{ 5072869 }[/math] [math]\displaystyle{ 9545051 }[/math] [math]\displaystyle{ 10379081 }[/math] [math]\displaystyle{ 11184743 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6930} }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 7151 }[/math] [math]\displaystyle{ 13469 }[/math] [math]\displaystyle{ 36469 }[/math] [math]\displaystyle{ 38261 }[/math] [math]\displaystyle{ 309167 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7140} }[/math] [math]\displaystyle{ 1241197 }[/math] [math]\displaystyle{ 1247479 }[/math] [math]\displaystyle{ 2614559 }[/math] [math]\displaystyle{ 4496813 }[/math] [math]\displaystyle{ 4575947 }[/math] [math]\displaystyle{ 7799837 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7350} }[/math] [math]\displaystyle{ 1445303 }[/math] [math]\displaystyle{ 8526533 }[/math] [math]\displaystyle{ 12683299 }[/math] [math]\displaystyle{ 12690649 }[/math] [math]\displaystyle{ 21459209 }[/math] [math]\displaystyle{ 21466559 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7560} }[/math] [math]\displaystyle{ 29387 }[/math] [math]\displaystyle{ 342389 }[/math] [math]\displaystyle{ 539839 }[/math] [math]\displaystyle{ 2141497 }[/math] [math]\displaystyle{ 7573327 }[/math] [math]\displaystyle{ 7580887 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7770} }[/math] [math]\displaystyle{ 6553 }[/math] [math]\displaystyle{ 28549 }[/math] [math]\displaystyle{ 36319 }[/math] [math]\displaystyle{ 90373 }[/math] [math]\displaystyle{ 819317 }[/math] [math]\displaystyle{ 827087 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7980} }[/math] [math]\displaystyle{ 137 }[/math] [math]\displaystyle{ 4091 }[/math] [math]\displaystyle{ 24029 }[/math] [math]\displaystyle{ 31393 }[/math] [math]\displaystyle{ 165313 }[/math] [math]\displaystyle{ 182687 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8190} }[/math] [math]\displaystyle{ 35591 }[/math] [math]\displaystyle{ 59021 }[/math] [math]\displaystyle{ 287629 }[/math] [math]\displaystyle{ 401627 }[/math] [math]\displaystyle{ 410257 }[/math] [math]\displaystyle{ 702323 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8400} }[/math] [math]\displaystyle{ 6127909 }[/math] [math]\displaystyle{ 8133469 }[/math] [math]\displaystyle{ 8528483 }[/math] [math]\displaystyle{ 8536883 }[/math] [math]\displaystyle{ 14448397 }[/math] [math]\displaystyle{ 19175929 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8610} }[/math] [math]\displaystyle{ 132283 }[/math] [math]\displaystyle{ 2164387 }[/math] [math]\displaystyle{ 6903121 }[/math] [math]\displaystyle{ 10892747 }[/math] [math]\displaystyle{ 10901357 }[/math] [math]\displaystyle{ 17489623 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8820} }[/math] [math]\displaystyle{ 84421 }[/math] [math]\displaystyle{ 466451 }[/math] [math]\displaystyle{ 3052177 }[/math] [math]\displaystyle{ 3905777 }[/math] [math]\displaystyle{ 11397371 }[/math] [math]\displaystyle{ 53189407 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9030} }[/math] [math]\displaystyle{ 2630153 }[/math] [math]\displaystyle{ 4927921 }[/math] [math]\displaystyle{ 5686141 }[/math] [math]\displaystyle{ 6043399 }[/math] [math]\displaystyle{ 8411567 }[/math] [math]\displaystyle{ 8510357 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9240} }[/math] [math]\displaystyle{ 937 }[/math] [math]\displaystyle{ 21031 }[/math] [math]\displaystyle{ 53681 }[/math] [math]\displaystyle{ 62921 }[/math] [math]\displaystyle{ 95339 }[/math] [math]\displaystyle{ 495791 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9450} }[/math] [math]\displaystyle{ 1028479 }[/math] [math]\displaystyle{ 1832711 }[/math] [math]\displaystyle{ 8104549 }[/math] [math]\displaystyle{ 15802459 }[/math] [math]\displaystyle{ 43975031 }[/math] [math]\displaystyle{ 97126691 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9660} }[/math] [math]\displaystyle{ 521 }[/math] [math]\displaystyle{ 464413 }[/math] [math]\displaystyle{ 707071 }[/math] [math]\displaystyle{ 716731 }[/math] [math]\displaystyle{ 1197121 }[/math] [math]\displaystyle{ 1259053 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9870} }[/math] [math]\displaystyle{ 576439 }[/math] [math]\displaystyle{ 1115923 }[/math] [math]\displaystyle{ 7516427 }[/math] [math]\displaystyle{ 9249301 }[/math] [math]\displaystyle{ 16561691 }[/math] [math]\displaystyle{ 16571561 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10080} }[/math] [math]\displaystyle{ 6949 }[/math] [math]\displaystyle{ 125353 }[/math] [math]\displaystyle{ 156941 }[/math] [math]\displaystyle{ 949517 }[/math] [math]\displaystyle{ 3363089 }[/math] [math]\displaystyle{ 3373169 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10290} }[/math] [math]\displaystyle{ 6143 }[/math] [math]\displaystyle{ 1535489 }[/math] [math]\displaystyle{ 2477177 }[/math] [math]\displaystyle{ 4259887 }[/math] [math]\displaystyle{ 5294563 }[/math] [math]\displaystyle{ 10818191 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10500} }[/math] [math]\displaystyle{ 1113239 }[/math] [math]\displaystyle{ 1841087 }[/math] [math]\displaystyle{ 7005059 }[/math] [math]\displaystyle{ 8026327 }[/math] [math]\displaystyle{ 13707959 }[/math] [math]\displaystyle{ 22837799 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10710} }[/math] [math]\displaystyle{ 314299 }[/math] [math]\displaystyle{ 439123 }[/math] [math]\displaystyle{ 735467 }[/math] [math]\displaystyle{ 1784911 }[/math] [math]\displaystyle{ 1923049 }[/math] [math]\displaystyle{ 2781203 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10920} }[/math] [math]\displaystyle{ 52321 }[/math] [math]\displaystyle{ 285521 }[/math] [math]\displaystyle{ 527909 }[/math] [math]\displaystyle{ 538829 }[/math] [math]\displaystyle{ 1673941 }[/math] [math]\displaystyle{ 2214349 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11130} }[/math] [math]\displaystyle{ 187009 }[/math] [math]\displaystyle{ 198139 }[/math] [math]\displaystyle{ 255803 }[/math] [math]\displaystyle{ 547499 }[/math] [math]\displaystyle{ 2160253 }[/math] [math]\displaystyle{ 11518723 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11340} }[/math] [math]\displaystyle{ 57143 }[/math] [math]\displaystyle{ 559051 }[/math] [math]\displaystyle{ 1091561 }[/math] [math]\displaystyle{ 10756139 }[/math] [math]\displaystyle{ 13865323 }[/math] [math]\displaystyle{ 13876663 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11550} }[/math] [math]\displaystyle{ 4673 }[/math] [math]\displaystyle{ 9619 }[/math] [math]\displaystyle{ 89659 }[/math] [math]\displaystyle{ 112643 }[/math] [math]\displaystyle{ 155317 }[/math] [math]\displaystyle{ 166601 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11760} }[/math] [math]\displaystyle{ 3458731 }[/math] [math]\displaystyle{ 5759843 }[/math] [math]\displaystyle{ 6305939 }[/math] [math]\displaystyle{ 6904789 }[/math] [math]\displaystyle{ 11527693 }[/math] [math]\displaystyle{ 15296227 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11970} }[/math] [math]\displaystyle{ 10531 }[/math] [math]\displaystyle{ 1911199 }[/math] [math]\displaystyle{ 2210573 }[/math] [math]\displaystyle{ 2298397 }[/math] [math]\displaystyle{ 15519563 }[/math] [math]\displaystyle{ 21608347 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12180} }[/math] [math]\displaystyle{ 1067597 }[/math] [math]\displaystyle{ 1778461 }[/math] [math]\displaystyle{ 1784599 }[/math] [math]\displaystyle{ 3551221 }[/math] [math]\displaystyle{ 7384493 }[/math] [math]\displaystyle{ 12485003 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12390} }[/math] [math]\displaystyle{ 184291 }[/math] [math]\displaystyle{ 651017 }[/math] [math]\displaystyle{ 804493 }[/math] [math]\displaystyle{ 1536187 }[/math] [math]\displaystyle{ 4158103 }[/math] [math]\displaystyle{ 4751293 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12600} }[/math] [math]\displaystyle{ 435577 }[/math] [math]\displaystyle{ 558431 }[/math] [math]\displaystyle{ 571031 }[/math] [math]\displaystyle{ 727369 }[/math] [math]\displaystyle{ 2890117 }[/math] [math]\displaystyle{ 3367363 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12810} }[/math] [math]\displaystyle{ 116953 }[/math] [math]\displaystyle{ 166909 }[/math] [math]\displaystyle{ 5627029 }[/math] [math]\displaystyle{ 6623117 }[/math] [math]\displaystyle{ 10981339 }[/math] [math]\displaystyle{ 10994149 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13020} }[/math] [math]\displaystyle{ 1691411 }[/math] [math]\displaystyle{ 3574871 }[/math] [math]\displaystyle{ 22963981 }[/math] [math]\displaystyle{ 27098723 }[/math] [math]\displaystyle{ 29812603 }[/math] [math]\displaystyle{ 31218403 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13230} }[/math] [math]\displaystyle{ 40543 }[/math] [math]\displaystyle{ 104651 }[/math] [math]\displaystyle{ 313219 }[/math] [math]\displaystyle{ 4705247 }[/math] [math]\displaystyle{ 4718477 }[/math] [math]\displaystyle{ 6268289 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13440} }[/math] [math]\displaystyle{ 2141 }[/math] [math]\displaystyle{ 448741 }[/math] [math]\displaystyle{ 815261 }[/math] [math]\displaystyle{ 1560997 }[/math] [math]\displaystyle{ 1574437 }[/math] [math]\displaystyle{ 2070517 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13650} }[/math] [math]\displaystyle{ 3343 }[/math] [math]\displaystyle{ 96997 }[/math] [math]\displaystyle{ 110647 }[/math] [math]\displaystyle{ 521047 }[/math] [math]\displaystyle{ 1590961 }[/math] [math]\displaystyle{ 2276503 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13860} }[/math] [math]\displaystyle{ 110437 }[/math] [math]\displaystyle{ 124297 }[/math] [math]\displaystyle{ 138157 }[/math] [math]\displaystyle{ 148891 }[/math] [math]\displaystyle{ 152017 }[/math] [math]\displaystyle{ 152947 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14070} }[/math] [math]\displaystyle{ 2679239 }[/math] [math]\displaystyle{ 2886281 }[/math] [math]\displaystyle{ 3817111 }[/math] [math]\displaystyle{ 6446353 }[/math] [math]\displaystyle{ 6460423 }[/math] [math]\displaystyle{ 6976289 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14280} }[/math] [math]\displaystyle{ 364687 }[/math] [math]\displaystyle{ 749773 }[/math] [math]\displaystyle{ 1867573 }[/math] [math]\displaystyle{ 2146181 }[/math] [math]\displaystyle{ 2434997 }[/math] [math]\displaystyle{ 4112627 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14490} }[/math] [math]\displaystyle{ 144667 }[/math] [math]\displaystyle{ 161263 }[/math] [math]\displaystyle{ 259603 }[/math] [math]\displaystyle{ 286333 }[/math] [math]\displaystyle{ 336251 }[/math] [math]\displaystyle{ 377809 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14700} }[/math] [math]\displaystyle{ 36583 }[/math] [math]\displaystyle{ 578267 }[/math] [math]\displaystyle{ 8529749 }[/math] [math]\displaystyle{ 14365553 }[/math] [math]\displaystyle{ 14380253 }[/math] [math]\displaystyle{ 14830787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14910} }[/math] [math]\displaystyle{ 74161 }[/math] [math]\displaystyle{ 109367 }[/math] [math]\displaystyle{ 120977 }[/math] [math]\displaystyle{ 1260011 }[/math] [math]\displaystyle{ 1372211 }[/math] [math]\displaystyle{ 11898287 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15120} }[/math] [math]\displaystyle{ 121853 }[/math] [math]\displaystyle{ 689459 }[/math] [math]\displaystyle{ 822383 }[/math] [math]\displaystyle{ 11354437 }[/math] [math]\displaystyle{ 37245407 }[/math] [math]\displaystyle{ 48384221 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15330} }[/math] [math]\displaystyle{ 7713709 }[/math] [math]\displaystyle{ 8049187 }[/math] [math]\displaystyle{ 11583113 }[/math] [math]\displaystyle{ 12934973 }[/math] [math]\displaystyle{ 16769749 }[/math] [math]\displaystyle{ 30793649 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15540} }[/math] [math]\displaystyle{ 160781 }[/math] [math]\displaystyle{ 580577 }[/math] [math]\displaystyle{ 4095187 }[/math] [math]\displaystyle{ 5838409 }[/math] [math]\displaystyle{ 9523079 }[/math] [math]\displaystyle{ 10473559 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15750} }[/math] [math]\displaystyle{ 64579 }[/math] [math]\displaystyle{ 103409 }[/math] [math]\displaystyle{ 182587 }[/math] [math]\displaystyle{ 849869 }[/math] [math]\displaystyle{ 865619 }[/math] [math]\displaystyle{ 1468729 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15960} }[/math] [math]\displaystyle{ 1847 }[/math] [math]\displaystyle{ 6037 }[/math] [math]\displaystyle{ 17807 }[/math] [math]\displaystyle{ 137147 }[/math] [math]\displaystyle{ 652969 }[/math] [math]\displaystyle{ 989977 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16170} }[/math] [math]\displaystyle{ 66179 }[/math] [math]\displaystyle{ 219451 }[/math] [math]\displaystyle{ 511843 }[/math] [math]\displaystyle{ 583421 }[/math] [math]\displaystyle{ 812431 }[/math] [math]\displaystyle{ 848567 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16380} }[/math] [math]\displaystyle{ 43759 }[/math] [math]\displaystyle{ 339263 }[/math] [math]\displaystyle{ 355643 }[/math] [math]\displaystyle{ 695047 }[/math] [math]\displaystyle{ 2011517 }[/math] [math]\displaystyle{ 2893309 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16590} }[/math] [math]\displaystyle{ 6703 }[/math] [math]\displaystyle{ 29009 }[/math] [math]\displaystyle{ 2489183 }[/math] [math]\displaystyle{ 4028743 }[/math] [math]\displaystyle{ 9340181 }[/math] [math]\displaystyle{ 10005263 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16800} }[/math] [math]\displaystyle{ 940319 }[/math] [math]\displaystyle{ 3772907 }[/math] [math]\displaystyle{ 3873007 }[/math] [math]\displaystyle{ 9905921 }[/math] [math]\displaystyle{ 79622351 }[/math] [math]\displaystyle{ 95679271 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17010} }[/math] [math]\displaystyle{ 797119 }[/math] [math]\displaystyle{ 18296627 }[/math] [math]\displaystyle{ 23152907 }[/math] [math]\displaystyle{ 38133913 }[/math] [math]\displaystyle{ 60796007 }[/math] [math]\displaystyle{ 83709047 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17220} }[/math] [math]\displaystyle{ 225769 }[/math] [math]\displaystyle{ 1452511 }[/math] [math]\displaystyle{ 1469731 }[/math] [math]\displaystyle{ 1606379 }[/math] [math]\displaystyle{ 2415473 }[/math] [math]\displaystyle{ 3469069 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17430} }[/math] [math]\displaystyle{ 15643 }[/math] [math]\displaystyle{ 25471 }[/math] [math]\displaystyle{ 42901 }[/math] [math]\displaystyle{ 1170599 }[/math] [math]\displaystyle{ 3120547 }[/math] [math]\displaystyle{ 3983249 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17640} }[/math] [math]\displaystyle{ 193607 }[/math] [math]\displaystyle{ 211247 }[/math] [math]\displaystyle{ 7624613 }[/math] [math]\displaystyle{ 10290239 }[/math] [math]\displaystyle{ 16104047 }[/math] [math]\displaystyle{ 22618907 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17850} }[/math] [math]\displaystyle{ 129379 }[/math] [math]\displaystyle{ 289253 }[/math] [math]\displaystyle{ 1341433 }[/math] [math]\displaystyle{ 1728911 }[/math] [math]\displaystyle{ 1746761 }[/math] [math]\displaystyle{ 2918737 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18060} }[/math] [math]\displaystyle{ 1013921 }[/math] [math]\displaystyle{ 1038209 }[/math] [math]\displaystyle{ 2703941 }[/math] [math]\displaystyle{ 3580333 }[/math] [math]\displaystyle{ 3914689 }[/math] [math]\displaystyle{ 11110339 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18270} }[/math] [math]\displaystyle{ 29567 }[/math] [math]\displaystyle{ 511201 }[/math] [math]\displaystyle{ 1615723 }[/math] [math]\displaystyle{ 1890701 }[/math] [math]\displaystyle{ 1989811 }[/math] [math]\displaystyle{ 2008081 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18480} }[/math] [math]\displaystyle{ 2711 }[/math] [math]\displaystyle{ 25643 }[/math] [math]\displaystyle{ 40853 }[/math] [math]\displaystyle{ 149143 }[/math] [math]\displaystyle{ 194839 }[/math] [math]\displaystyle{ 213319 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18690} }[/math] [math]\displaystyle{ 881 }[/math] [math]\displaystyle{ 9421469 }[/math] [math]\displaystyle{ 10687877 }[/math] [math]\displaystyle{ 11455753 }[/math] [math]\displaystyle{ 14740463 }[/math] [math]\displaystyle{ 21499799 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18900} }[/math] [math]\displaystyle{ 73823 }[/math] [math]\displaystyle{ 462079 }[/math] [math]\displaystyle{ 804113 }[/math] [math]\displaystyle{ 823013 }[/math] [math]\displaystyle{ 1323799 }[/math] [math]\displaystyle{ 1370987 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19110} }[/math] [math]\displaystyle{ 63737 }[/math] [math]\displaystyle{ 322171 }[/math] [math]\displaystyle{ 520193 }[/math] [math]\displaystyle{ 999763 }[/math] [math]\displaystyle{ 1023487 }[/math] [math]\displaystyle{ 1032067 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19320} }[/math] [math]\displaystyle{ 682411 }[/math] [math]\displaystyle{ 743747 }[/math] [math]\displaystyle{ 1343669 }[/math] [math]\displaystyle{ 1373233 }[/math] [math]\displaystyle{ 1782499 }[/math] [math]\displaystyle{ 2574437 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19530} }[/math] [math]\displaystyle{ 50929 }[/math] [math]\displaystyle{ 738919 }[/math] [math]\displaystyle{ 1773689 }[/math] [math]\displaystyle{ 1793219 }[/math] [math]\displaystyle{ 6121807 }[/math] [math]\displaystyle{ 18867007 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19740} }[/math] [math]\displaystyle{ 2729 }[/math] [math]\displaystyle{ 30757 }[/math] [math]\displaystyle{ 360163 }[/math] [math]\displaystyle{ 1652591 }[/math] [math]\displaystyle{ 18160973 }[/math] [math]\displaystyle{ 18862889 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19950} }[/math] [math]\displaystyle{ 142699 }[/math] [math]\displaystyle{ 162649 }[/math] [math]\displaystyle{ 239957 }[/math] [math]\displaystyle{ 302287 }[/math] [math]\displaystyle{ 322237 }[/math] [math]\displaystyle{ 661547 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20160} }[/math] [math]\displaystyle{ 3330211 }[/math] [math]\displaystyle{ 5620609 }[/math] [math]\displaystyle{ 6413401 }[/math] [math]\displaystyle{ 15055609 }[/math] [math]\displaystyle{ 32094917 }[/math] [math]\displaystyle{ 52863893 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20370} }[/math] [math]\displaystyle{ 1158881 }[/math] [math]\displaystyle{ 1216213 }[/math] [math]\displaystyle{ 1236583 }[/math] [math]\displaystyle{ 3893899 }[/math] [math]\displaystyle{ 7991839 }[/math] [math]\displaystyle{ 8012209 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20580} }[/math] [math]\displaystyle{ 9689 }[/math] [math]\displaystyle{ 316501 }[/math] [math]\displaystyle{ 398023 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047813 }[/math] [math]\displaystyle{ 2219557 }[/math] [math]\displaystyle{ 2240137 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20790} }[/math] [math]\displaystyle{ 12713 }[/math] [math]\displaystyle{ 20023 }[/math] [math]\displaystyle{ 141079 }[/math] [math]\displaystyle{ 159571 }[/math] [math]\displaystyle{ 296117 }[/math] [math]\displaystyle{ 914813 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 21000} }[/math] [math]\displaystyle{ 5501 }[/math] [math]\displaystyle{ 19471 }[/math] [math]\displaystyle{ 65837 }[/math] [math]\displaystyle{ 688139 }[/math] [math]\displaystyle{ 3980407 }[/math] [math]\displaystyle{ 8983031 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 243051733 }[/math] [math]\displaystyle{ 498161423 }[/math] [math]\displaystyle{ 2490123989 }[/math] [math]\displaystyle{ 5417375591 }[/math] [math]\displaystyle{ 8785408259 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math] [math]\displaystyle{ 52879 }[/math] [math]\displaystyle{ 3544939 }[/math] [math]\displaystyle{ 725283077 }[/math] [math]\displaystyle{ 1580792347 }[/math] [math]\displaystyle{ 1931425157 }[/math] [math]\displaystyle{ 8392393693 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math] [math]\displaystyle{ 964417 }[/math] [math]\displaystyle{ 1021331 }[/math] [math]\displaystyle{ 3710699 }[/math] [math]\displaystyle{ 174610351 }[/math] [math]\displaystyle{ 396598051 }[/math] [math]\displaystyle{ 525173641 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math] [math]\displaystyle{ 915611 }[/math] [math]\displaystyle{ 24748189 }[/math] [math]\displaystyle{ 33791509 }[/math] [math]\displaystyle{ 314727967 }[/math] [math]\displaystyle{ 510756371 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079797657 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math] [math]\displaystyle{ 130006783 }[/math] [math]\displaystyle{ 208734751 }[/math] [math]\displaystyle{ 400663741 }[/math] [math]\displaystyle{ 963551671 }[/math] [math]\displaystyle{ 1219200119 }[/math] [math]\displaystyle{ 1231110787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math] [math]\displaystyle{ 6722909 }[/math] [math]\displaystyle{ 27846803 }[/math] [math]\displaystyle{ 63289771 }[/math] [math]\displaystyle{ 1000262819 }[/math] [math]\displaystyle{ 1476482057 }[/math] [math]\displaystyle{ 4565705117 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math] [math]\displaystyle{ 2534561 }[/math] [math]\displaystyle{ 189999707 }[/math] [math]\displaystyle{ 833570987 }[/math] [math]\displaystyle{ 1168004581 }[/math] [math]\displaystyle{ 2010828277 }[/math] [math]\displaystyle{ 3182258251 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math] [math]\displaystyle{ 1343205113 }[/math] [math]\displaystyle{ 3033769813 }[/math] [math]\displaystyle{ 4093882757 }[/math] [math]\displaystyle{ 4112814241 }[/math] [math]\displaystyle{ 4348188919 }[/math] [math]\displaystyle{ 4749575333 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math] [math]\displaystyle{ 41513261 }[/math] [math]\displaystyle{ 95317913 }[/math] [math]\displaystyle{ 6232033069 }[/math] [math]\displaystyle{ 6361761239 }[/math] [math]\displaystyle{ 6709899029 }[/math] [math]\displaystyle{ 8521839071 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math] [math]\displaystyle{ 34913 }[/math] [math]\displaystyle{ 581393 }[/math] [math]\displaystyle{ 8397091 }[/math] [math]\displaystyle{ 10200607 }[/math] [math]\displaystyle{ 31913837 }[/math] [math]\displaystyle{ 258411317 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math] [math]\displaystyle{ 2564251 }[/math] [math]\displaystyle{ 7245143 }[/math] [math]\displaystyle{ 15898823 }[/math] [math]\displaystyle{ 34834237 }[/math] [math]\displaystyle{ 51404371 }[/math] [math]\displaystyle{ 60858179 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math] [math]\displaystyle{ 1058597 }[/math] [math]\displaystyle{ 8226307 }[/math] [math]\displaystyle{ 438716653 }[/math] [math]\displaystyle{ 799422581 }[/math] [math]\displaystyle{ 975166567 }[/math] [math]\displaystyle{ 983999677 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math] [math]\displaystyle{ 122069 }[/math] [math]\displaystyle{ 123059 }[/math] [math]\displaystyle{ 158633 }[/math] [math]\displaystyle{ 3319219 }[/math] [math]\displaystyle{ 3427393 }[/math] [math]\displaystyle{ 5082629 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math] [math]\displaystyle{ 2546781317 }[/math] [math]\displaystyle{ 3736609957 }[/math] [math]\displaystyle{ 4895747497 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3150} }[/math] [math]\displaystyle{ 34071019 }[/math] [math]\displaystyle{ 1174379903 }[/math] [math]\displaystyle{ 1247572429 }[/math] [math]\displaystyle{ 1914733781 }[/math] [math]\displaystyle{ 5502174781 }[/math] [math]\displaystyle{ 5598860513 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3360} }[/math] [math]\displaystyle{ 210391 }[/math] [math]\displaystyle{ 762261571 }[/math] [math]\displaystyle{ 2289797801 }[/math] [math]\displaystyle{ 5842998881 }[/math] [math]\displaystyle{ 5973997177 }[/math] [math]\displaystyle{ 6486241481 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3570} }[/math] [math]\displaystyle{ 150343 }[/math] [math]\displaystyle{ 920827 }[/math] [math]\displaystyle{ 47896129 }[/math] [math]\displaystyle{ 110935963 }[/math] [math]\displaystyle{ 124813783 }[/math] [math]\displaystyle{ 253908793 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3780} }[/math] [math]\displaystyle{ 4045763 }[/math] [math]\displaystyle{ 162045979 }[/math] [math]\displaystyle{ 3611162221 }[/math] [math]\displaystyle{ 3953439013 }[/math] [math]\displaystyle{ 5751477079 }[/math] [math]\displaystyle{ 6389572141 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3990} }[/math] [math]\displaystyle{ 99877 }[/math] [math]\displaystyle{ 2732441 }[/math] [math]\displaystyle{ 145829681 }[/math] [math]\displaystyle{ 1512868211 }[/math] [math]\displaystyle{ 1519374557 }[/math] [math]\displaystyle{ 1905288811 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4200} }[/math] [math]\displaystyle{ 75187297 }[/math] [math]\displaystyle{ 436800197 }[/math] [math]\displaystyle{ 825073159 }[/math] [math]\displaystyle{ 953483507 }[/math] [math]\displaystyle{ 1237285949 }[/math] [math]\displaystyle{ 1620977257 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4410} }[/math] [math]\displaystyle{ 343475219 }[/math] [math]\displaystyle{ 718394137 }[/math] [math]\displaystyle{ 1714841501 }[/math] [math]\displaystyle{ 4312513897 }[/math] [math]\displaystyle{ 4433557501 }[/math] [math]\displaystyle{ 7302174197 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4620} }[/math] [math]\displaystyle{ 85363 }[/math] [math]\displaystyle{ 372751 }[/math] [math]\displaystyle{ 926879 }[/math] [math]\displaystyle{ 10645541 }[/math] [math]\displaystyle{ 11022827 }[/math] [math]\displaystyle{ 11027447 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4830} }[/math] [math]\displaystyle{ 30427 }[/math] [math]\displaystyle{ 6020477 }[/math] [math]\displaystyle{ 16424981 }[/math] [math]\displaystyle{ 151254533 }[/math] [math]\displaystyle{ 229780123 }[/math] [math]\displaystyle{ 482610239 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5040} }[/math] [math]\displaystyle{ 145866041 }[/math] [math]\displaystyle{ 226851517 }[/math] [math]\displaystyle{ 292104419 }[/math] [math]\displaystyle{ 517266257 }[/math] [math]\displaystyle{ 986618569 }[/math] [math]\displaystyle{ 1785262393 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5250} }[/math] [math]\displaystyle{ 2117239 }[/math] [math]\displaystyle{ 134051459 }[/math] [math]\displaystyle{ 444256783 }[/math] [math]\displaystyle{ 635071121 }[/math] [math]\displaystyle{ 3239335223 }[/math] [math]\displaystyle{ 3689988833 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5460} }[/math] [math]\displaystyle{ 2283571 }[/math] [math]\displaystyle{ 11988607 }[/math] [math]\displaystyle{ 17327831 }[/math] [math]\displaystyle{ 18230447 }[/math] [math]\displaystyle{ 97175423 }[/math] [math]\displaystyle{ 168445523 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5670} }[/math] [math]\displaystyle{ 21206993 }[/math] [math]\displaystyle{ 42322087 }[/math] [math]\displaystyle{ 232282121 }[/math] [math]\displaystyle{ 530515507 }[/math] [math]\displaystyle{ 2074726021 }[/math] [math]\displaystyle{ 2176462667 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 5880} }[/math] [math]\displaystyle{ 769792447 }[/math] [math]\displaystyle{ 1028745119 }[/math] [math]\displaystyle{ 2716511507 }[/math] [math]\displaystyle{ 2850255403 }[/math] [math]\displaystyle{ 4059527753 }[/math] [math]\displaystyle{ 4338343433 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6090} }[/math] [math]\displaystyle{ 98202331 }[/math] [math]\displaystyle{ 218657237 }[/math] [math]\displaystyle{ 508050341 }[/math] [math]\displaystyle{ 965528153 }[/math] [math]\displaystyle{ 1963343323 }[/math] [math]\displaystyle{ 2133623147 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6300} }[/math] [math]\displaystyle{ 46452799 }[/math] [math]\displaystyle{ 161073877 }[/math] [math]\displaystyle{ 416581987 }[/math] [math]\displaystyle{ 444443777 }[/math] [math]\displaystyle{ 799148171 }[/math] [math]\displaystyle{ 1536915817 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6510} }[/math] [math]\displaystyle{ 155461 }[/math] [math]\displaystyle{ 11699279 }[/math] [math]\displaystyle{ 59259649 }[/math] [math]\displaystyle{ 82736531 }[/math] [math]\displaystyle{ 138908647 }[/math] [math]\displaystyle{ 156852947 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6720} }[/math] [math]\displaystyle{ 62347 }[/math] [math]\displaystyle{ 18249241 }[/math] [math]\displaystyle{ 402509117 }[/math] [math]\displaystyle{ 646946233 }[/math] [math]\displaystyle{ 694032349 }[/math] [math]\displaystyle{ 748855249 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6930} }[/math] [math]\displaystyle{ 1664417 }[/math] [math]\displaystyle{ 3306839 }[/math] [math]\displaystyle{ 6703841 }[/math] [math]\displaystyle{ 10343167 }[/math] [math]\displaystyle{ 16988767 }[/math] [math]\displaystyle{ 17046329 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7140} }[/math] [math]\displaystyle{ 12331793 }[/math] [math]\displaystyle{ 21994589 }[/math] [math]\displaystyle{ 32695477 }[/math] [math]\displaystyle{ 135554233 }[/math] [math]\displaystyle{ 355138829 }[/math] [math]\displaystyle{ 730901161 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7350} }[/math] [math]\displaystyle{ 12683299 }[/math] [math]\displaystyle{ 21459209 }[/math] [math]\displaystyle{ 38446267 }[/math] [math]\displaystyle{ 423264613 }[/math] [math]\displaystyle{ 3158377081 }[/math] [math]\displaystyle{ 5208862573 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7560} }[/math] [math]\displaystyle{ 7573327 }[/math] [math]\displaystyle{ 369901513 }[/math] [math]\displaystyle{ 2755541693 }[/math] [math]\displaystyle{ 2774476609 }[/math] [math]\displaystyle{ 3311703233 }[/math] [math]\displaystyle{ 5004136327 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7770} }[/math] [math]\displaystyle{ 28549 }[/math] [math]\displaystyle{ 819317 }[/math] [math]\displaystyle{ 3721051 }[/math] [math]\displaystyle{ 11941571 }[/math] [math]\displaystyle{ 35273473 }[/math] [math]\displaystyle{ 46949093 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 7980} }[/math] [math]\displaystyle{ 1024853 }[/math] [math]\displaystyle{ 355670309 }[/math] [math]\displaystyle{ 446786191 }[/math] [math]\displaystyle{ 547343483 }[/math] [math]\displaystyle{ 682871447 }[/math] [math]\displaystyle{ 1772834893 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8190} }[/math] [math]\displaystyle{ 7328437 }[/math] [math]\displaystyle{ 15275849 }[/math] [math]\displaystyle{ 17503261 }[/math] [math]\displaystyle{ 22737017 }[/math] [math]\displaystyle{ 27294053 }[/math] [math]\displaystyle{ 45150331 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8400} }[/math] [math]\displaystyle{ 8528483 }[/math] [math]\displaystyle{ 40313929 }[/math] [math]\displaystyle{ 243787771 }[/math] [math]\displaystyle{ 385895737 }[/math] [math]\displaystyle{ 467671013 }[/math] [math]\displaystyle{ 797154607 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8610} }[/math] [math]\displaystyle{ 10892747 }[/math] [math]\displaystyle{ 17489623 }[/math] [math]\displaystyle{ 28416517 }[/math] [math]\displaystyle{ 55350017 }[/math] [math]\displaystyle{ 200631439 }[/math] [math]\displaystyle{ 449962543 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8820} }[/math] [math]\displaystyle{ 275550449 }[/math] [math]\displaystyle{ 340210649 }[/math] [math]\displaystyle{ 375439381 }[/math] [math]\displaystyle{ 1299902701 }[/math] [math]\displaystyle{ 7189505563 }[/math] [math]\displaystyle{ 8000213747 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9030} }[/math] [math]\displaystyle{ 31057003 }[/math] [math]\displaystyle{ 150282967 }[/math] [math]\displaystyle{ 634308509 }[/math] [math]\displaystyle{ 643690123 }[/math] [math]\displaystyle{ 2295863833 }[/math] [math]\displaystyle{ 2515095703 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9240} }[/math] [math]\displaystyle{ 53681 }[/math] [math]\displaystyle{ 14224981 }[/math] [math]\displaystyle{ 14432399 }[/math] [math]\displaystyle{ 23559377 }[/math] [math]\displaystyle{ 28467293 }[/math] [math]\displaystyle{ 42049001 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9450} }[/math] [math]\displaystyle{ 334554023 }[/math] [math]\displaystyle{ 488051653 }[/math] [math]\displaystyle{ 2038389299 }[/math] [math]\displaystyle{ 2162899399 }[/math] [math]\displaystyle{ 2445407273 }[/math] [math]\displaystyle{ 3057392207 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9660} }[/math] [math]\displaystyle{ 707071 }[/math] [math]\displaystyle{ 125628439 }[/math] [math]\displaystyle{ 303544463 }[/math] [math]\displaystyle{ 441911263 }[/math] [math]\displaystyle{ 449336813 }[/math] [math]\displaystyle{ 511484261 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 9870} }[/math] [math]\displaystyle{ 16561691 }[/math] [math]\displaystyle{ 26691349 }[/math] [math]\displaystyle{ 373909451 }[/math] [math]\displaystyle{ 558247033 }[/math] [math]\displaystyle{ 626630117 }[/math] [math]\displaystyle{ 1074793063 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10080} }[/math] [math]\displaystyle{ 3363089 }[/math] [math]\displaystyle{ 35937059 }[/math] [math]\displaystyle{ 57814343 }[/math] [math]\displaystyle{ 83864653 }[/math] [math]\displaystyle{ 264068017 }[/math] [math]\displaystyle{ 2293066417 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10290} }[/math] [math]\displaystyle{ 459609859 }[/math] [math]\displaystyle{ 522069971 }[/math] [math]\displaystyle{ 535273337 }[/math] [math]\displaystyle{ 720980111 }[/math] [math]\displaystyle{ 1617247087 }[/math] [math]\displaystyle{ 1769323693 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10500} }[/math] [math]\displaystyle{ 38610347 }[/math] [math]\displaystyle{ 185388121 }[/math] [math]\displaystyle{ 511207351 }[/math] [math]\displaystyle{ 512002717 }[/math] [math]\displaystyle{ 573447551 }[/math] [math]\displaystyle{ 728734969 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10710} }[/math] [math]\displaystyle{ 2781203 }[/math] [math]\displaystyle{ 10327159 }[/math] [math]\displaystyle{ 15741997 }[/math] [math]\displaystyle{ 161184019 }[/math] [math]\displaystyle{ 290334601 }[/math] [math]\displaystyle{ 387848743 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10920} }[/math] [math]\displaystyle{ 527909 }[/math] [math]\displaystyle{ 8754457 }[/math] [math]\displaystyle{ 19711711 }[/math] [math]\displaystyle{ 68442943 }[/math] [math]\displaystyle{ 70092481 }[/math] [math]\displaystyle{ 108555763 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11130} }[/math] [math]\displaystyle{ 187009 }[/math] [math]\displaystyle{ 74743931 }[/math] [math]\displaystyle{ 1717072597 }[/math] [math]\displaystyle{ 2241197341 }[/math] [math]\displaystyle{ 3885152797 }[/math] [math]\displaystyle{ 5442728839 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11340} }[/math] [math]\displaystyle{ 13865323 }[/math] [math]\displaystyle{ 151172779 }[/math] [math]\displaystyle{ 155052347 }[/math] [math]\displaystyle{ 169766761 }[/math] [math]\displaystyle{ 417004037 }[/math] [math]\displaystyle{ 759377761 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11550} }[/math] [math]\displaystyle{ 166601 }[/math] [math]\displaystyle{ 178151 }[/math] [math]\displaystyle{ 189701 }[/math] [math]\displaystyle{ 2902951 }[/math] [math]\displaystyle{ 2939267 }[/math] [math]\displaystyle{ 6906061 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11760} }[/math] [math]\displaystyle{ 15296227 }[/math] [math]\displaystyle{ 115733179 }[/math] [math]\displaystyle{ 793412467 }[/math] [math]\displaystyle{ 2045327461 }[/math] [math]\displaystyle{ 3317282629 }[/math] [math]\displaystyle{ 3405094727 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 11970} }[/math] [math]\displaystyle{ 70627031 }[/math] [math]\displaystyle{ 81131437 }[/math] [math]\displaystyle{ 190977547 }[/math] [math]\displaystyle{ 295424263 }[/math] [math]\displaystyle{ 435613939 }[/math] [math]\displaystyle{ 436230467 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12180} }[/math] [math]\displaystyle{ 96579871 }[/math] [math]\displaystyle{ 196123667 }[/math] [math]\displaystyle{ 1414855181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1594532899 }[/math] [math]\displaystyle{ 1852156771 }[/math] [math]\displaystyle{ 5477685029 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12390} }[/math] [math]\displaystyle{ 355974491 }[/math] [math]\displaystyle{ 1228212781 }[/math] [math]\displaystyle{ 1597738157 }[/math] [math]\displaystyle{ 2356239043 }[/math] [math]\displaystyle{ 2537515919 }[/math] [math]\displaystyle{ 2664004501 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12600} }[/math] [math]\displaystyle{ 558431 }[/math] [math]\displaystyle{ 4885897 }[/math] [math]\displaystyle{ 62631409 }[/math] [math]\displaystyle{ 222308641 }[/math] [math]\displaystyle{ 247236973 }[/math] [math]\displaystyle{ 597208309 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12810} }[/math] [math]\displaystyle{ 10981339 }[/math] [math]\displaystyle{ 73391203 }[/math] [math]\displaystyle{ 614195423 }[/math] [math]\displaystyle{ 722428933 }[/math] [math]\displaystyle{ 1804485667 }[/math] [math]\displaystyle{ 2011342889 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13020} }[/math] [math]\displaystyle{ 37278391 }[/math] [math]\displaystyle{ 396360829 }[/math] [math]\displaystyle{ 477013687 }[/math] [math]\displaystyle{ 1035592279 }[/math] [math]\displaystyle{ 1668997513 }[/math] [math]\displaystyle{ 1740405707 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13230} }[/math] [math]\displaystyle{ 4705247 }[/math] [math]\displaystyle{ 43971617 }[/math] [math]\displaystyle{ 150462859 }[/math] [math]\displaystyle{ 3214143193 }[/math] [math]\displaystyle{ 4385611183 }[/math] [math]\displaystyle{ 6156888427 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13440} }[/math] [math]\displaystyle{ 1560997 }[/math] [math]\displaystyle{ 2070517 }[/math] [math]\displaystyle{ 319796189 }[/math] [math]\displaystyle{ 397320779 }[/math] [math]\displaystyle{ 534628103 }[/math] [math]\displaystyle{ 1466338729 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13650} }[/math] [math]\displaystyle{ 96997 }[/math] [math]\displaystyle{ 8628157 }[/math] [math]\displaystyle{ 23309989 }[/math] [math]\displaystyle{ 84831493 }[/math] [math]\displaystyle{ 95865989 }[/math] [math]\displaystyle{ 183786877 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 13860} }[/math] [math]\displaystyle{ 110437 }[/math] [math]\displaystyle{ 124297 }[/math] [math]\displaystyle{ 138157 }[/math] [math]\displaystyle{ 152947 }[/math] [math]\displaystyle{ 166807 }[/math] [math]\displaystyle{ 180667 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14070} }[/math] [math]\displaystyle{ 6446353 }[/math] [math]\displaystyle{ 6976289 }[/math] [math]\displaystyle{ 9167027 }[/math] [math]\displaystyle{ 315420997 }[/math] [math]\displaystyle{ 324294169 }[/math] [math]\displaystyle{ 850130293 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14280} }[/math] [math]\displaystyle{ 8022137 }[/math] [math]\displaystyle{ 46017523 }[/math] [math]\displaystyle{ 49573471 }[/math] [math]\displaystyle{ 84264127 }[/math] [math]\displaystyle{ 201286747 }[/math] [math]\displaystyle{ 664107853 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14490} }[/math] [math]\displaystyle{ 4421849 }[/math] [math]\displaystyle{ 7258067 }[/math] [math]\displaystyle{ 55181701 }[/math] [math]\displaystyle{ 266196461 }[/math] [math]\displaystyle{ 400560449 }[/math] [math]\displaystyle{ 658093439 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14700} }[/math] [math]\displaystyle{ 14365553 }[/math] [math]\displaystyle{ 79088123 }[/math] [math]\displaystyle{ 578429339 }[/math] [math]\displaystyle{ 1590374273 }[/math] [math]\displaystyle{ 1620663103 }[/math] [math]\displaystyle{ 1692678277 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14910} }[/math] [math]\displaystyle{ 1313271217 }[/math] [math]\displaystyle{ 1398822683 }[/math] [math]\displaystyle{ 3458123993 }[/math] [math]\displaystyle{ 5050258823 }[/math] [math]\displaystyle{ 8564509277 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15120} }[/math] [math]\displaystyle{ 643929523 }[/math] [math]\displaystyle{ 1697175937 }[/math] [math]\displaystyle{ 3456724013 }[/math] [math]\displaystyle{ 3604668029 }[/math] [math]\displaystyle{ 5105194837 }[/math] [math]\displaystyle{ 5972188679 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15330} }[/math] [math]\displaystyle{ 423644591 }[/math] [math]\displaystyle{ 792183047 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013912467 }[/math] [math]\displaystyle{ 1239474463 }[/math] [math]\displaystyle{ 1707297247 }[/math] [math]\displaystyle{ 1918187839 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15540} }[/math] [math]\displaystyle{ 15113711 }[/math] [math]\displaystyle{ 49877209 }[/math] [math]\displaystyle{ 90195289 }[/math] [math]\displaystyle{ 113317157 }[/math] [math]\displaystyle{ 542625751 }[/math] [math]\displaystyle{ 801528769 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15750} }[/math] [math]\displaystyle{ 849869 }[/math] [math]\displaystyle{ 281904709 }[/math] [math]\displaystyle{ 741349123 }[/math] [math]\displaystyle{ 1196157763 }[/math] [math]\displaystyle{ 1264569469 }[/math] [math]\displaystyle{ 1628362679 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 15960} }[/math] [math]\displaystyle{ 1847 }[/math] [math]\displaystyle{ 3178141 }[/math] [math]\displaystyle{ 47378869 }[/math] [math]\displaystyle{ 105168887 }[/math] [math]\displaystyle{ 140273363 }[/math] [math]\displaystyle{ 315104063 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16170} }[/math] [math]\displaystyle{ 3360767 }[/math] [math]\displaystyle{ 7292851 }[/math] [math]\displaystyle{ 8511059 }[/math] [math]\displaystyle{ 10038841 }[/math] [math]\displaystyle{ 26643899 }[/math] [math]\displaystyle{ 35098631 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16380} }[/math] [math]\displaystyle{ 339263 }[/math] [math]\displaystyle{ 2893309 }[/math] [math]\displaystyle{ 7118387 }[/math] [math]\displaystyle{ 189387287 }[/math] [math]\displaystyle{ 209606629 }[/math] [math]\displaystyle{ 266620267 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16590} }[/math] [math]\displaystyle{ 381816437 }[/math] [math]\displaystyle{ 695288453 }[/math] [math]\displaystyle{ 1555003309 }[/math] [math]\displaystyle{ 2096563163 }[/math] [math]\displaystyle{ 2844269837 }[/math] [math]\displaystyle{ 4876784057 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 16800} }[/math] [math]\displaystyle{ 143614397 }[/math] [math]\displaystyle{ 681135667 }[/math] [math]\displaystyle{ 1337835403 }[/math] [math]\displaystyle{ 1547432483 }[/math] [math]\displaystyle{ 1809315247 }[/math] [math]\displaystyle{ 2850704453 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17010} }[/math] [math]\displaystyle{ 83709047 }[/math] [math]\displaystyle{ 1041057263 }[/math] [math]\displaystyle{ 1265416651 }[/math] [math]\displaystyle{ 1665987569 }[/math] [math]\displaystyle{ 2529254831 }[/math] [math]\displaystyle{ 4576482871 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17220} }[/math] [math]\displaystyle{ 1452511 }[/math] [math]\displaystyle{ 10612519 }[/math] [math]\displaystyle{ 16814099 }[/math] [math]\displaystyle{ 216348577 }[/math] [math]\displaystyle{ 382728461 }[/math] [math]\displaystyle{ 532388587 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17430} }[/math] [math]\displaystyle{ 25471 }[/math] [math]\displaystyle{ 137293657 }[/math] [math]\displaystyle{ 632342783 }[/math] [math]\displaystyle{ 960368107 }[/math] [math]\displaystyle{ 5503090291 }[/math] [math]\displaystyle{ 6704824913 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17640} }[/math] [math]\displaystyle{ 193607 }[/math] [math]\displaystyle{ 33411011 }[/math] [math]\displaystyle{ 511632469 }[/math] [math]\displaystyle{ 819466853 }[/math] [math]\displaystyle{ 960062011 }[/math] [math]\displaystyle{ 1178974859 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 17850} }[/math] [math]\displaystyle{ 1728911 }[/math] [math]\displaystyle{ 4584401 }[/math] [math]\displaystyle{ 7627309 }[/math] [math]\displaystyle{ 77294621 }[/math] [math]\displaystyle{ 99462899 }[/math] [math]\displaystyle{ 170832131 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18060} }[/math] [math]\displaystyle{ 51826531 }[/math] [math]\displaystyle{ 210101329 }[/math] [math]\displaystyle{ 235062067 }[/math] [math]\displaystyle{ 605501191 }[/math] [math]\displaystyle{ 1083324911 }[/math] [math]\displaystyle{ 2230437163 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18270} }[/math] [math]\displaystyle{ 1989811 }[/math] [math]\displaystyle{ 825611753 }[/math] [math]\displaystyle{ 2281896011 }[/math] [math]\displaystyle{ 2468212757 }[/math] [math]\displaystyle{ 2968471043 }[/math] [math]\displaystyle{ 4958366753 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18480} }[/math] [math]\displaystyle{ 194839 }[/math] [math]\displaystyle{ 1044739 }[/math] [math]\displaystyle{ 1075237 }[/math] [math]\displaystyle{ 2169967 }[/math] [math]\displaystyle{ 2467369 }[/math] [math]\displaystyle{ 3135841 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18690} }[/math] [math]\displaystyle{ 90365419 }[/math] [math]\displaystyle{ 551760331 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165944209 }[/math] [math]\displaystyle{ 1887703247 }[/math] [math]\displaystyle{ 1932471091 }[/math] [math]\displaystyle{ 3396823123 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18900} }[/math] [math]\displaystyle{ 804113 }[/math] [math]\displaystyle{ 1087721813 }[/math] [math]\displaystyle{ 2462595313 }[/math] [math]\displaystyle{ 3420103007 }[/math] [math]\displaystyle{ 5068097201 }[/math] [math]\displaystyle{ 5268928117 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19110} }[/math] [math]\displaystyle{ 1023487 }[/math] [math]\displaystyle{ 6202067 }[/math] [math]\displaystyle{ 6640901 }[/math] [math]\displaystyle{ 19304167 }[/math] [math]\displaystyle{ 78325591 }[/math] [math]\displaystyle{ 152030453 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19320} }[/math] [math]\displaystyle{ 13154717 }[/math] [math]\displaystyle{ 123351947 }[/math] [math]\displaystyle{ 180065461 }[/math] [math]\displaystyle{ 191400653 }[/math] [math]\displaystyle{ 307980523 }[/math] [math]\displaystyle{ 526607503 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19530} }[/math] [math]\displaystyle{ 1773689 }[/math] [math]\displaystyle{ 128832049 }[/math] [math]\displaystyle{ 226504217 }[/math] [math]\displaystyle{ 544697521 }[/math] [math]\displaystyle{ 880832749 }[/math] [math]\displaystyle{ 1511819633 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19740} }[/math] [math]\displaystyle{ 216443629 }[/math] [math]\displaystyle{ 1460073841 }[/math] [math]\displaystyle{ 2172351869 }[/math] [math]\displaystyle{ 3696955411 }[/math] [math]\displaystyle{ 4020404251 }[/math] [math]\displaystyle{ 4234603313 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 19950} }[/math] [math]\displaystyle{ 142699 }[/math] [math]\displaystyle{ 302287 }[/math] [math]\displaystyle{ 661547 }[/math] [math]\displaystyle{ 64740661 }[/math] [math]\displaystyle{ 176566177 }[/math] [math]\displaystyle{ 562542581 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20160} }[/math] [math]\displaystyle{ 77727823 }[/math] [math]\displaystyle{ 585546277 }[/math] [math]\displaystyle{ 1013154997 }[/math] [math]\displaystyle{ 1309662637 }[/math] [math]\displaystyle{ 2007871577 }[/math] [math]\displaystyle{ 2231189419 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20370} }[/math] [math]\displaystyle{ 1216213 }[/math] [math]\displaystyle{ 7991839 }[/math] [math]\displaystyle{ 156234857 }[/math] [math]\displaystyle{ 1222246309 }[/math] [math]\displaystyle{ 2382533789 }[/math] [math]\displaystyle{ 2523592993 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20580} }[/math] [math]\displaystyle{ 2219557 }[/math] [math]\displaystyle{ 508048529 }[/math] [math]\displaystyle{ 906000787 }[/math] [math]\displaystyle{ 1111806827 }[/math] [math]\displaystyle{ 2134225213 }[/math] [math]\displaystyle{ 6894499589 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20790} }[/math] [math]\displaystyle{ 2397931 }[/math] [math]\displaystyle{ 4022297 }[/math] [math]\displaystyle{ 4043087 }[/math] [math]\displaystyle{ 15314617 }[/math] [math]\displaystyle{ 26974879 }[/math] [math]\displaystyle{ 35575247 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 21000} }[/math] [math]\displaystyle{ 49402277 }[/math] [math]\displaystyle{ 263368843 }[/math] [math]\displaystyle{ 701455591 }[/math] [math]\displaystyle{ 2403274567 }[/math] [math]\displaystyle{ 3097244987 }[/math] [math]\displaystyle{ 5984865767 }[/math]


□


Twierdzenie C53
Niech [math]\displaystyle{ d, k, k_0, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ d }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_n }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

[math]\displaystyle{ x_k = a + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = k_0 + 1, \ldots, k_0 + n }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \} }[/math]. W szczególności wynika stąd, że wśród [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ (x_k) }[/math] jeden z tych wyrazów jest podzielny przez [math]\displaystyle{ n }[/math].

Dowód

Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych [math]\displaystyle{ i, j }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \lt j \leqslant n }[/math] liczby [math]\displaystyle{ a + (k_0 + i) d }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a + (k_0 + j) d }[/math] dają tę samą resztę przy dzieleniu przez [math]\displaystyle{ n }[/math]. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ n| [a + (k_0 + j) d] - [a + (k_0 + i) d] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ n|d (j - i) }[/math]

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ d }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70), mamy

[math]\displaystyle{ n| (j - i) }[/math]

Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ 1 \leqslant j - i \leqslant n - 1 \lt n }[/math].

Zatem reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_n }[/math] są wszystkie różne, a ponieważ jest ich [math]\displaystyle{ n }[/math], czyli tyle ile jest różnych reszt z dzielenia przez liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math], to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ n }[/math], czyli ze zbiorem [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, 2, \ldots, n - 1 \} }[/math].
□


Twierdzenie C54
Niech [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech będzie dany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Z żądania, aby dany ciąg arytmetyczny był ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, wynika, że muszą być spełnione następujące warunki

  • [math]\displaystyle{ p_0 \nmid d }[/math]
  • [math]\displaystyle{ n \leqslant p_0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ P(n - 1) |d }[/math]
  • jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math], to [math]\displaystyle{ n \leqslant q }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ t }[/math].

Dowód

Punkt 1.
Gdyby [math]\displaystyle{ p_0 |d }[/math], to dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] mielibyśmy [math]\displaystyle{ p_k = p_0 \left( 1 + k \cdot \frac{d}{p_0} \right) }[/math] i wszystkie te liczby byłyby złożone.

Punkt 2.
Ponieważ [math]\displaystyle{ p_0 }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ p_0 + p_0 d }[/math], więc musi być [math]\displaystyle{ n - 1 \lt p_0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n \leqslant p_0 }[/math].

Punkt 3.
Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą mniejszą od [math]\displaystyle{ n }[/math], a liczby [math]\displaystyle{ r_k }[/math] będą resztami uzyskanymi z dzielenia liczb [math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d }[/math] przez [math]\displaystyle{ q }[/math], dla [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, q - 1 }[/math]. Ponieważ z założenia liczby [math]\displaystyle{ p_0, \ldots, p_{n - 1} }[/math] są liczbami pierwszymi większymi od [math]\displaystyle{ q }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ p_0 \geqslant n }[/math]), to żadna z reszt [math]\displaystyle{ r_k }[/math] nie może być równa zeru. Czyli mamy [math]\displaystyle{ q }[/math] reszt mogących przyjmować jedynie [math]\displaystyle{ q - 1 }[/math] różnych wartości. Zatem istnieją różne liczby [math]\displaystyle{ i, j }[/math], takie że [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i \lt j \leqslant q - 1 }[/math], dla których [math]\displaystyle{ r_i = r_j }[/math]. Wynika stąd, że różnica liczb

[math]\displaystyle{ p_j - p_i = (p_0 + j d) - (p_0 + i d) = d (j - i) }[/math]

musi być podzielna przez [math]\displaystyle{ q }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ q \nmid (j - i) }[/math], bo [math]\displaystyle{ 1 \leqslant j - i \leqslant q - 1 \lt q }[/math], zatem z lematu Euklidesa [math]\displaystyle{ q|d }[/math].

Z uwagi na fakt, że jest tak dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q \lt n }[/math], liczba [math]\displaystyle{ d }[/math] musi być podzielna przez

[math]\displaystyle{ P(n - 1) = \prod_{q \lt n} q }[/math]

Punkt 4.
Ponieważ [math]\displaystyle{ P(n - 1)|d }[/math], to wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ n }[/math] muszą być dzielnikami [math]\displaystyle{ d }[/math]. Wynika stąd, że jeśli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ q \geqslant n }[/math]. Co należało pokazać.
□


Uwaga C55
Czasami, zamiast pisać „ciąg arytmetyczny liczb pierwszych”, będziemy posługiwali się skrótem PAP od angielskiej nazwy „prime arithmetic progression”. Konsekwentnie zapis PAP-[math]\displaystyle{ n }[/math] będzie oznaczał ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math], a zapis PAP[math]\displaystyle{ (n, d, q) }[/math] ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math], pierwszym wyrazie [math]\displaystyle{ q }[/math] i różnicy [math]\displaystyle{ d }[/math].


Uwaga C56
Jakkolwiek sądzimy, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych rozpoczynających się od dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q }[/math] i o dowolnej długości [math]\displaystyle{ 3 \leqslant n \leqslant q }[/math], to obecnie jest to tylko nieudowodnione przypuszczenie.

Dlatego nawet dla najmniejszej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ q \nmid d }[/math] nierówność [math]\displaystyle{ n \leqslant q }[/math], pokazana w twierdzeniu C54, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W szczególności nie możemy z góry przyjmować, że dla liczby [math]\displaystyle{ n = q }[/math] znajdziemy taką liczbę [math]\displaystyle{ d }[/math] będącą wielokrotnością liczby [math]\displaystyle{ P(q - 1) }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ q }[/math], że będzie istniał PAP[math]\displaystyle{ (q, d, q) }[/math].


Przykład C57
Rozważmy dwie różnice [math]\displaystyle{ d_1 = 6 = 2 \cdot 3 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ d_2 = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 }[/math]. Zauważmy, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ 5 }[/math] nie dzieli ani [math]\displaystyle{ d_1 }[/math], ani [math]\displaystyle{ d_2 }[/math]. Co więcej, liczba pierwsza [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli rozpatrywanych różnic, zatem nierówność [math]\displaystyle{ n \leqslant 5 }[/math] zapewnia najmocniejsze oszacowanie długości ciągu [math]\displaystyle{ n }[/math]. Łatwo sprawdzamy w zamieszczonych tabelach, że dla [math]\displaystyle{ d = 6 }[/math] oraz dla [math]\displaystyle{ d = 42 }[/math] są ciągi o długości [math]\displaystyle{ 3, 4, 5 }[/math], ale nie ma ciągów o długości [math]\displaystyle{ 6, 7, \ldots }[/math]

W szczególności z twierdzenia C54 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o określonej długości [math]\displaystyle{ n }[/math], należy szukać ich tylko dla różnic [math]\displaystyle{ d }[/math] będących wielokrotnością liczby [math]\displaystyle{ P(n - 1) }[/math].


Zadanie C58
Wiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p \gt 3 }[/math] można przedstawić w jednej z postaci [math]\displaystyle{ 6 k - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p_0 = 3 }[/math], to dwa następne wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych są różnych postaci.

Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ p_0 = 3 }[/math], a rozpatrywany PAP jest rosnący, to kolejne wyrazy ciągu są większe od liczby [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i mogą być przedstawione w jednej z postaci [math]\displaystyle{ 6 k - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]. Z twierdzenia C54 wiemy, że musi być [math]\displaystyle{ n \leqslant p_0 = 3 }[/math], czyli długość rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi dokładnie [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i istnieją tylko dwa następne wyrazy.

Rozważmy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych składający się z trzech wyrazów [math]\displaystyle{ p, q, r }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ p = 3 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ r + q = 3 q - 3 }[/math]

Widzimy, że prawa strona powyższej równości jest podzielna przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być różnych postaci, bo tylko w takim przypadku lewa strona równości będzie również podzielna przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math].
□


Zadanie C59
Wiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p \gt 3 }[/math] można przedstawić w jednej z postaci [math]\displaystyle{ 6 k - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]. Pokazać, że wszystkie wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p_0 \geqslant 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] muszą być jednakowej postaci.

Rozwiązanie

Niech liczby [math]\displaystyle{ p, q, r }[/math] będą trzema kolejnymi (dowolnie wybranymi) wyrazami rozpatrywanego ciągu. Łatwo zauważmy, że

[math]\displaystyle{ r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ p + q = 3 q - r }[/math]
[math]\displaystyle{ q + r = 3 q - p }[/math]
[math]\displaystyle{ p + r = 2 q }[/math]

Zauważmy, że prawa strona wypisanych wyżej równości nie jest podzielna przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math], bo liczby [math]\displaystyle{ p, q, r }[/math] są liczbami pierwszymi większymi od liczby [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być tej samej postaci, bo gdyby było inaczej, to lewa strona tych równości byłaby podzielna przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math], a prawa nie. Czyli każda para liczb z trójki [math]\displaystyle{ p, q, r }[/math] musi być tej samej postaci i wynika stąd, że wszystkie trzy liczby muszą być tej samej postaci. Ponieważ trzy kolejne wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1} }[/math] były wybrane dowolnie, to wszystkie wyrazy tego ciągu muszą być tej samej postaci.
□


Zadanie C60
Niech [math]\displaystyle{ d \gt 0 }[/math] będzie różnicą ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Pokazać, nie korzystając z twierdzenia C54, że jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math], to [math]\displaystyle{ n \leqslant q }[/math].

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ n \gt q }[/math] tak, że [math]\displaystyle{ q \lt n \leqslant p_0 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ q \lt p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ q \nmid d }[/math], to na mocy twierdzenia C53 wśród [math]\displaystyle{ q }[/math] kolejnych wyrazów [math]\displaystyle{ p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1} }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ q - 1 \lt n - 1 }[/math]) jedna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_k }[/math] musi być podzielna przez [math]\displaystyle{ q }[/math], zatem musi być równa [math]\displaystyle{ q }[/math]. Jednak jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ q \lt p_k }[/math] dla wszystkich [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]. Zatem nie może być [math]\displaystyle{ n \gt q }[/math].
□


Twierdzenie C61
Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą, a liczby pierwsze

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, q - 1 }[/math]

tworzą ciąg arytmetyczny o długości [math]\displaystyle{ q }[/math] i różnicy [math]\displaystyle{ d \gt 0 }[/math].

Równość [math]\displaystyle{ p_0 = q }[/math] zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ q \nmid d }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Longrightarrow }[/math]
Jeżeli [math]\displaystyle{ p_0 = q }[/math], to [math]\displaystyle{ q }[/math]-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma postać

[math]\displaystyle{ p_k = q + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, q - 1 }[/math]

Gdyby [math]\displaystyle{ q|d }[/math], to mielibyśmy

[math]\displaystyle{ p_k = q \left( 1 + k \cdot \frac{d}{q} \right) }[/math]

i wszystkie liczby [math]\displaystyle{ p_k }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] byłyby złożone, wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ p_k }[/math] tworzą [math]\displaystyle{ q }[/math]-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych.

[math]\displaystyle{ \Longleftarrow }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ q }[/math] jest długością rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych, to z twierdzenia C54 wynika, że musi być [math]\displaystyle{ q \leqslant p_0 }[/math].

Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math], zatem z twierdzenia C53 wiemy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] musi dzielić jedną z liczb [math]\displaystyle{ p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1} }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ q|p_k }[/math], to [math]\displaystyle{ p_k = q }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ q \leqslant p_0 }[/math], to możliwe jest jedynie [math]\displaystyle{ q|p_0 }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ p_0 = q }[/math].
□


Uwaga C62
Niech ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Z udowodnionych wyżej twierdzeń C54 i C61 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math] można podzielić na dwie grupy

  • jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ n \nmid d }[/math], to [math]\displaystyle{ P(n - 1) |d }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p_0 = n }[/math] (dla ustalonego [math]\displaystyle{ d }[/math] może istnieć tylko jeden ciąg)
  • jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną lub [math]\displaystyle{ n|d }[/math], to [math]\displaystyle{ P(n) |d }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p_0 \gt n }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ t }[/math].


Przykład C63
Niech różnica ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi [math]\displaystyle{ d = 10^t }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t \geqslant 1 }[/math]. Zauważmy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ t }[/math] liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z oszacowania [math]\displaystyle{ n \leqslant 3 }[/math] wynika, że musi być [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math].

Jeżeli długość ciągu [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \nmid d }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ p_0 = n = 3 }[/math] i może istnieć tylko jeden PAP dla każdego [math]\displaystyle{ d }[/math]. W przypadku [math]\displaystyle{ t \leqslant 10000 }[/math] jedynie dla [math]\displaystyle{ t = 1, 5, 6, 17 }[/math] wszystkie liczby ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ (3, 3 + 10^t, 3 + 2 \cdot 10^t) }[/math] są pierwsze.


Zadanie C64
Znaleźć wszystkie PAP[math]\displaystyle{ (n, d, p) }[/math] dla [math]\displaystyle{ d = 2, 4, 8, 10, 14, 16 }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla każdej z podanych różnic [math]\displaystyle{ d }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z oszacowania [math]\displaystyle{ n \leqslant 3 }[/math] wynika, że musi być [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] jest liczbą pierwszą i dla wypisanych [math]\displaystyle{ d }[/math] liczba [math]\displaystyle{ n \nmid d }[/math], to w każdym przypadku może istnieć tylko jeden ciąg, którego pierwszym wyrazem jest liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_0 = n = 3 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ d = 2, 4, 8, 10, 14 }[/math] łatwo znajdujemy odpowiednie ciągi

[math]\displaystyle{ (3, 5, 7) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad (3, 7, 11) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad (3, 11, 19) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad (3, 13, 23) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad (3, 17, 31) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ d = 16 }[/math] szukany ciąg nie istnieje, bo [math]\displaystyle{ 35 = 5 \cdot 7 }[/math].
□


Zadanie C65
Znaleźć wszystkie PAP[math]\displaystyle{ (n, d, p) }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 3, 5, 7, 11 }[/math] i [math]\displaystyle{ d = P (n - 1) }[/math].

Rozwiązanie

Z założenia PAP ma długość [math]\displaystyle{ n }[/math], liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ n \nmid d }[/math]. Zatem może istnieć tylko jeden PAP taki, że [math]\displaystyle{ p_0 = n }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n = 3, 5 }[/math] i odpowiednio [math]\displaystyle{ d = 2, 6 }[/math] otrzymujemy ciągi arytmetyczne liczb pierwszych

[math]\displaystyle{ (3, 5, 7) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad (5, 11, 17, 23, 29) }[/math]

Ale dla [math]\displaystyle{ n = 7, 11 }[/math] i odpowiednio [math]\displaystyle{ d = 30, 210 }[/math] szukane ciągi nie istnieją, bo

[math]\displaystyle{ (7, 37, 67, 97, 127, 157, {\color{Red} 187 = 11 \cdot 17}) }[/math]
[math]\displaystyle{ (11, {\color{Red} 221 = 13 \cdot 17}, 431, 641, {\color{Red} 851 = 23 \cdot 37}, 1061, {\color{Red} 1271 = 31 \cdot 41}, 1481, {\color{Red} 1691 = 19 \cdot 89}, 1901, 2111) }[/math]

□


Przykład C66
Przedstawiamy przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych, takie że [math]\displaystyle{ n = p_0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 3, 5, 7, 11, 13 }[/math]. Zauważmy, że wypisane w tabeli wartości [math]\displaystyle{ d }[/math] są wielokrotnościami liczby [math]\displaystyle{ P(n - 1) }[/math].

Pokaż tabelę
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = p_0} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 42 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 96 }[/math] [math]\displaystyle{ 126 }[/math] [math]\displaystyle{ 252 }[/math] [math]\displaystyle{ 426 }[/math] [math]\displaystyle{ 474 }[/math] [math]\displaystyle{ 594 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{7} }[/math] [math]\displaystyle{ 150 }[/math] [math]\displaystyle{ 2760 }[/math] [math]\displaystyle{ 3450 }[/math] [math]\displaystyle{ 9150 }[/math] [math]\displaystyle{ 14190 }[/math] [math]\displaystyle{ 20040 }[/math] [math]\displaystyle{ 21240 }[/math] [math]\displaystyle{ 63600 }[/math] [math]\displaystyle{ 76710 }[/math] [math]\displaystyle{ 117420 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{11} }[/math] [math]\displaystyle{ 1536160080 }[/math] [math]\displaystyle{ 4911773580 }[/math] [math]\displaystyle{ 25104552900 }[/math] [math]\displaystyle{ 77375139660 }[/math] [math]\displaystyle{ 83516678490 }[/math] [math]\displaystyle{ 100070721660 }[/math] [math]\displaystyle{ 150365447400 }[/math] [math]\displaystyle{ 300035001630 }[/math] [math]\displaystyle{ 318652145070 }[/math] [math]\displaystyle{ 369822103350 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{13} }[/math] [math]\displaystyle{ 9918821194590 }[/math] [math]\displaystyle{ 104340979077720 }[/math] [math]\displaystyle{ 187635245859600 }[/math] [math]\displaystyle{ 232320390245790 }[/math] [math]\displaystyle{ 391467874710990 }[/math] [math]\displaystyle{ 859201916576850 }[/math] [math]\displaystyle{ 1024574038282410 }[/math] [math]\displaystyle{ 1074380369464710 }[/math] [math]\displaystyle{ 1077624363457950 }[/math] [math]\displaystyle{ 1185763337651970 }[/math]


Przykłady takich ciągów dla jeszcze większych liczb pierwszych Czytelnik znajdzie na stronie A088430.
□


Przykład C67
Liczby [math]\displaystyle{ 3, 5, 7 }[/math] są najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego kolejnych liczb pierwszych. Zauważmy, że tylko w przypadku [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ n = p_0 = 3 }[/math]. Istotnie, łatwo stwierdzamy, że

  • ponieważ [math]\displaystyle{ p_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] są kolejnymi liczbami pierwszymi, to [math]\displaystyle{ p_1 - p_0 \lt p_0 }[/math] (zobacz zadanie B22)
  • dla dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q \geqslant 5 }[/math] jest [math]\displaystyle{ q \lt P (q - 1) }[/math] (zobacz zadanie B26)

Przypuśćmy teraz, że istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych, taki że [math]\displaystyle{ n = p_0 \geqslant 5 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ d = p_1 - p_0 \lt p_0 \lt P (p_0 - 1) = P (n - 1) }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ P(n - 1) \nmid d }[/math], co jest niemożliwe.

Wynika stąd, że poza przypadkiem [math]\displaystyle{ n = p_0 = 3 }[/math] ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek [math]\displaystyle{ P(n)|d }[/math], czyli [math]\displaystyle{ P(n)|(p_1 - p_0) }[/math].

Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o długościach [math]\displaystyle{ n = 3, 4, 5, 6 }[/math] dla rosnących wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math]. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] dla [math]\displaystyle{ p_0 \lt 10^{13} }[/math]. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla [math]\displaystyle{ p_0 \sim 10^{20} }[/math].

Znane są ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o długościach [math]\displaystyle{ n \leqslant 10 }[/math][8].

Pokaż tabele
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0 \leqslant 10^{3}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{47} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{151} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{167} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{199} }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{251} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{257} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{367} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{557} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{587} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{601} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{647} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{727} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{941} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{971} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 4} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0 \leqslant 10^{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{251} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{1741} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3301} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{5101} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{5381} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{6311} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{6361} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 5} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0 \leqslant 10^{8}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{9843019} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{37772429} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{53868649} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{71427757} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{78364549} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{79080577} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{98150021} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{99591433} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 6} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0 \leqslant 10^{10}} }[/math] [math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{121174811} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{1128318991} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{2201579179} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{2715239543} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{2840465567} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3510848161} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3688067693} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3893783651} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{5089850089} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{5825680093} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{6649068043} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{6778294049} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{7064865859} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{7912975891} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{8099786711} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{9010802341} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{9327115723} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{9491161423} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{9544001791} }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math]


□


Zadanie C68
Uzasadnij przypuszczenie, że ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] możemy oczekiwać dopiero dla [math]\displaystyle{ p_0 \sim 10^{20} }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że ilość liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ x }[/math] w dobrym przybliżeniu jest określona funkcją [math]\displaystyle{ \frac{x}{\log x} }[/math]. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ \log x }[/math] zmienia się bardzo wolno, to odcinki liczb naturalnych o tej samej długości położone w niewielkiej odległości od siebie będą zawierały podobne ilości liczb pierwszych. Przykładowo, dla dużych wartości [math]\displaystyle{ x }[/math], ilość liczb pierwszych w przedziale [math]\displaystyle{ (x, 2 x) }[/math] jest tego samego rzędu, co ilość liczb pierwszych w przedziale [math]\displaystyle{ (1, x) }[/math][9].


Zatem liczbę [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log x} }[/math] możemy traktować jako prawdopodobieństwo trafienia na liczbę pierwszą wśród liczb znajdujących się w pobliżu liczby [math]\displaystyle{ x }[/math]. Zakładając, że liczby pierwsze są rozłożone przypadkowo, możemy wyliczyć prawdopodobieństwo tego, że [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb pierwszych, położonych w pobliżu liczby [math]\displaystyle{ x }[/math], utworzy ciąg arytmetyczny

[math]\displaystyle{ \text{prob}_{\text{cpap}} (n, x) = \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ d = P (n) }[/math]. Jest tak, ponieważ w ciągu kolejnych liczb całkowitych musimy trafić na liczbę pierwszą, następnie na [math]\displaystyle{ d - 1 }[/math] liczb złożonych, taka sytuacja musi się powtórzyć dokładnie [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] razy, a na koniec znowu musimy trafić na liczbę pierwszą. Czyli potrzebujemy [math]\displaystyle{ n }[/math] liczb pierwszych, na które trafiamy z prawdopodobieństwem [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log x} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (n - 1) (d - 1) }[/math] liczb złożonych, na które trafiamy z prawdopodobieństwem [math]\displaystyle{ 1 - \frac{1}{\log x} }[/math], a liczby te muszą pojawiać się w ściśle określonej kolejności.


Ilość ciągów arytmetycznych utworzonych przez [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb pierwszych należących do przedziału [math]\displaystyle{ (x, 2 x) }[/math] możemy zatem oszacować na równą około

[math]\displaystyle{ Q_{\text{cpap}}(n, x) = x \cdot \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)} }[/math]


Porównując powyższe oszacowanie z rzeczywistą ilością [math]\displaystyle{ \# \text{CPAP}(n, x) }[/math] ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych w przedziale [math]\displaystyle{ (x, 2x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \frac{\# \text{CPAP}(n, x)}{Q_{\text{cpap}} (n, x)} = f (n, x) }[/math]

gdzie w możliwym do zbadania zakresie, czyli dla [math]\displaystyle{ x \lt 2^{42} \approx 4.4 \cdot 10^{12} }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ f(n, x) \approx a_n \cdot \log x + b_n }[/math]

Stałe [math]\displaystyle{ a_n }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n }[/math] wyznaczamy metodą regresji liniowej. Musimy pamiętać, że uzyskanych w ten sposób wyników nie możemy ekstrapolować dla dowolnie dużych [math]\displaystyle{ x }[/math].

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n = 6 }[/math] dysponowaliśmy zbyt małą liczbą danych, aby wyznaczyć stałe [math]\displaystyle{ a_n }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n }[/math] z wystarczającą dokładnością. Dlatego w tych przypadkach ograniczyliśmy się do podania oszacowania funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math].

Uzyskany wyżej rezultaty są istotne, bo z wyliczonych postaci funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] wynika, że są to funkcje bardzo wolno zmienne, a ich ekstrapolacja jest w pełni uprawniona.


W zamieszczonej niżej tabeli mamy kolejno

  • [math]\displaystyle{ n }[/math], czyli długość CPAP
  • wartość iloczynu [math]\displaystyle{ n \cdot P (n) }[/math]
  • znalezioną postać funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] lub oszacowanie wartości tej funkcji [math]\displaystyle{ C_n }[/math] na podstawie uzyskanych danych; w przypadku [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] jest to oszacowanie wynikające z obserwacji, że wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] są rzędu [math]\displaystyle{ n \cdot P (n) }[/math]
  • wyliczoną wartość [math]\displaystyle{ \frac{\# \text{CPAP}(n, 2^{40})}{Q_{\text{cpap}}(n, 2^{40})} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f(n, 2^{40}) }[/math]
  • wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(n, 2^{70}) }[/math] wynikające z ekstrapolacji wzoru [math]\displaystyle{ f(n, x) = a_n \cdot \log x + b_n \qquad }[/math] (dla [math]\displaystyle{ n = 3, 4 }[/math])
  • wartość [math]\displaystyle{ x }[/math] wynikającą z rozwiązania równania
[math]\displaystyle{ \qquad (a_n \cdot \log x + b_n) \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad }[/math] (dla [math]\displaystyle{ n = 3, 4 }[/math])
[math]\displaystyle{ \qquad C_n \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad }[/math] (dla [math]\displaystyle{ n = 5, 6, 7 }[/math])
  • dla porównania w kolejnych kolumnach zostały podane dwie najmniejsze wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math] dla CPAP-n
[math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ n \cdot P(n) }[/math] [math]\displaystyle{ f (n, x) \quad \text{lub} \quad C_n }[/math] [math]\displaystyle{ f (n, 2^{40}) }[/math] [math]\displaystyle{ f (n, 2^{70}) }[/math] [math]\displaystyle{ \sim p_0 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 3 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 0.52 \cdot \log x + 6.3 }[/math] [math]\displaystyle{ 20.94 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 130 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 151 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 0.53 \cdot \log x + 11.6 }[/math] [math]\displaystyle{ 26.61 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 1.5 \cdot 10^3 }[/math] [math]\displaystyle{ 251 }[/math] [math]\displaystyle{ 1741 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 5 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 150 }[/math] [math]\displaystyle{ 120 }[/math] [math]\displaystyle{ 121.45 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 15 \cdot 10^6 }[/math] [math]\displaystyle{ 9843019 }[/math] [math]\displaystyle{ 37772429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 6 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 180 }[/math] [math]\displaystyle{ 235 }[/math] [math]\displaystyle{ 228.27 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 540 \cdot 10^6 }[/math] [math]\displaystyle{ 121174811 }[/math] [math]\displaystyle{ 1128318991 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 7 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 1470 }[/math] [math]\displaystyle{ 2500 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2 \cdot 10^{20} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważając, że funkcje [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] są rzędu [math]\displaystyle{ n \cdot P (n) }[/math] i przyjmując, że podobnie będzie dla [math]\displaystyle{ f(7, x) }[/math], możemy wyliczyć wartość [math]\displaystyle{ x }[/math], dla której może pojawić się pierwszy CPAP-7. Wartość ta jest równa w przybliżeniu [math]\displaystyle{ 2 \cdot 10^{20} }[/math] i wynika z rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ f(7, x) \cdot Q_{\text{cpap}}(7, x) = 1 }[/math]

Możemy ją łatwo wyliczyć w PARI/GP. Oczywiście funkcję [math]\displaystyle{ f(7, x) }[/math] zastąpiliśmy jej oszacowaniem [math]\displaystyle{ C_7 = 2500 }[/math] 

P(n) = prod(k=2, n, if( isprime(k), k, 1 ))
Q(x) = 2500 * x * ( 1/log(x) )^7 * ( 1 - 1/log(x) )^( (7-1)*(P(7)-1) )
solve(x=10^10, 10^23, Q(x) - 1 )


□



Uzupełnienie

Twierdzenie C69 (lemat Bézouta)
Jeżeli liczby całkowite [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] nie są jednocześnie równe zeru, a największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy [math]\displaystyle{ D }[/math], to istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

[math]\displaystyle{ a x + b y = D }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich postaci [math]\displaystyle{ a n + b m }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n, m }[/math] są dowolnymi liczbami całkowitymi. Zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] nie jest zbiorem pustym, bo przykładowo liczba [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 \in S }[/math]. Z zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych wynika, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] ma element najmniejszy, oznaczmy go literą [math]\displaystyle{ d }[/math].

Pokażemy, że [math]\displaystyle{ d|a }[/math] i [math]\displaystyle{ d|b }[/math]. Z twierdzenia o dzieleniu z resztą możemy napisać [math]\displaystyle{ a = k d + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant r \lt d }[/math].

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ d \nmid a }[/math], czyli że [math]\displaystyle{ r \gt 0 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d \in S }[/math], to mamy [math]\displaystyle{ d = a u + b v }[/math] dla pewnych liczb całkowitych [math]\displaystyle{ u }[/math] i [math]\displaystyle{ v }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ r = a - k d = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = a - k (a u + b v) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = a \cdot (1 - k u) + b \cdot (- k v) }[/math]

Wynika stąd, że dodatnia liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] oraz [math]\displaystyle{ r \lt d }[/math], wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ d }[/math], czyli musi być [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ d|a }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ d|b }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ d' }[/math] jest innym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math], to [math]\displaystyle{ d' |d }[/math], bo [math]\displaystyle{ d' | (a u + b v) }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ d' \leqslant d }[/math], skąd wynika natychmiast, że liczba [math]\displaystyle{ d }[/math] jest największym z dzielników, które jednocześnie dzielą liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math]. Czyli [math]\displaystyle{ d = D }[/math].
□


Twierdzenie C70 (lemat Euklidesa)
Niech [math]\displaystyle{ a, b, d \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ d|a b }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ d }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ a }[/math], to [math]\displaystyle{ d|b }[/math].

Dowód

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ d }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (twierdzenie C69) istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], że

[math]\displaystyle{ d x + a y = 1 }[/math]

Mnożąc obie strony równania przez [math]\displaystyle{ b }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ d b x + a b y = b }[/math]

Obydwa wyrazy po lewej stronie są podzielne przez [math]\displaystyle{ d }[/math], bo z założenia [math]\displaystyle{ d|a b }[/math]. Zatem prawa strona również jest podzielna przez [math]\displaystyle{ d }[/math], czyli [math]\displaystyle{ d|b }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie C71
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z} }[/math]. Równanie [math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] jest dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ D }[/math] oznacza największy wspólny dzielnik liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math].

[math]\displaystyle{ \Longrightarrow }[/math]

Jeżeli liczby całkowite [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] są rozwiązaniem rozpatrywanego równania, to

[math]\displaystyle{ a x_0 + b y_0 = c }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ D }[/math] dzieli lewą stronę równania, to musi również dzielić prawą, zatem musi być [math]\displaystyle{ D|c }[/math].

[math]\displaystyle{ \Longleftarrow }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ D|c }[/math], to możemy napisać [math]\displaystyle{ c = k D }[/math] i równanie przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ a x + b y = k D }[/math]

Lemat Bézouta (twierdzenie C69) zapewnia istnienie liczb całkowitych [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] takich, że

[math]\displaystyle{ a x_0 + b y_0 = D }[/math]

Czyli z lematu Bézouta wynika, że równanie [math]\displaystyle{ a x + b y = D }[/math] ma rozwiązanie w liczbach całkowitych. Przekształcając, dostajemy

[math]\displaystyle{ a(k x_0) + b (k y_0) = k D }[/math]

Zatem liczby [math]\displaystyle{ k x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k y_0 }[/math] są rozwiązaniem równania

[math]\displaystyle{ a x + b y = k D }[/math]

Co oznacza, że równianie [math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math] ma rozwiązanie.
□


Uwaga C72
Z twierdzenia C71 wynika, że szukając rozwiązań równania [math]\displaystyle{ A x + B y = C }[/math] w liczbach całkowitych, powinniśmy

  • obliczyć największy wspólny dzielnik [math]\displaystyle{ D }[/math] liczb [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ D \gt 1 }[/math], należy sprawdzić, czy [math]\displaystyle{ D|C }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ D \nmid C }[/math], to równanie [math]\displaystyle{ A x + B y = C }[/math] nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych
  • jeżeli [math]\displaystyle{ D|C }[/math], należy podzielić obie strony równania [math]\displaystyle{ A x + B y = C }[/math] przez [math]\displaystyle{ D }[/math] i przejść do rozwiązywania równania równoważnego [math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a = \frac{A}{D} }[/math], [math]\displaystyle{ b = \frac{B}{D} }[/math], [math]\displaystyle{ c = \frac{C}{D} }[/math], zaś największy wspólny dzielnik liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ 1 }[/math].


Twierdzenie C73
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to równanie

[math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math]

ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

Jeżeli para liczb całkowitych [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] jest jednym z tych rozwiązań, to wszystkie pozostałe rozwiązania całkowite można otrzymać ze wzorów

[math]\displaystyle{ x = x_0 + b t }[/math]
[math]\displaystyle{ y = y_0 - a t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ t }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą.

Dowód

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, zatem największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy [math]\displaystyle{ 1 }[/math] i dzieli liczbę [math]\displaystyle{ c }[/math]. Na mocy twierdzenia C71 równanie

[math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math]

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych.

Zauważmy, że jeżeli para liczb całkowitych [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] jest rozwiązaniem równania [math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math], to para liczb [math]\displaystyle{ (x_0 + b t, y_0 - a t) }[/math] również jest rozwiązaniem. Istotnie

[math]\displaystyle{ a(x_0 + b t) + b (y_0 - a t) = a x_0 + a b t + b y_0 - b a t = }[/math]
[math]\displaystyle{ \, = a x_0 + b y_0 = }[/math]
[math]\displaystyle{ \, = c }[/math]

Pokażmy teraz, że nie istnieją inne rozwiązania niż określone wzorami

[math]\displaystyle{ x = x_0 + b t }[/math]
[math]\displaystyle{ y = y_0 - a t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ t }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą.

Przypuśćmy, że pary liczb całkowitych [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] są rozwiązaniami rozpatrywanego równania, zatem

[math]\displaystyle{ a x + b y = c = a x_0 + b y_0 }[/math]

Wynika stąd, że musi być spełniony warunek

[math]\displaystyle{ a(x - x_0) = b (y_0 - y) }[/math]

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70) [math]\displaystyle{ b|(x - x_0) }[/math]. Skąd mamy

[math]\displaystyle{ x - x_0 = b t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ t }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą. Po podstawieniu dostajemy natychmiast

[math]\displaystyle{ y - y_0 = - a t }[/math]

Co kończy dowód.
□









Przypisy

  1. ↑ Korzystamy w tym momencie z zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb naturalnych, która stwierdza, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. (Wiki-pl), (Wiki-en)
  2. ↑ Określenie, że „liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ a k + b }[/math]”, jest jedynie bardziej czytelnym (obrazowym) zapisem stwierdzenia, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] przez [math]\displaystyle{ a }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ b }[/math]. Zapis „liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ a k - 1 }[/math]” oznacza, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] przez [math]\displaystyle{ a }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math].
  3. ↑ Wikipedia, Primes in arithmetic progression, (Wiki-en)
  4. ↑ MathWorld, Prime Arithmetic Progression, (LINK)
  5. ↑ J. G. van der Corput, Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten, Mathematische Annalen, 116 (1939) 1-50, (LINK)
  6. ↑ Wikipedia, Largest known primes in AP, (Wiki-en)
  7. ↑ Ben Green and Terence Tao, The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions., Ann. of Math. (2) 167 (2008), 481-547, (LINK1), Preprint. 8 Apr 2004, (LINK2)
  8. ↑ Wikipedia, Primes in arithmetic progression - Largest known consecutive primes in AP, (Wiki-en)
  9. ↑ Henryk Dąbrowski, Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n - Uwagi do twierdzenia, (LINK)









 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Pomyłki_sądowe_–_mordercy_którym_pozwolono_zabić_ponownie&oldid=294”