Różnica pomiędzy stronami "Ciągi liczbowe" i "Całkowanie numeryczne. Metoda Simpsona"

Z Henryk Dąbrowski
(Różnica między stronami)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
(Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">12.03.2022</div> __FORCETOC__ == Ciągi nieskończone == <span style="font-si...")
 
(Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.07.2022</div> __FORCETOC__ == Funkcje kawałkami klasy <math>C^n</math> ==...")
 
Linia 1: Linia 1:
−
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">12.03.2022</div>
+
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.07.2022</div>
  
 
__FORCETOC__
 
__FORCETOC__
Linia 5: Linia 5:
  
  
−
== Ciągi nieskończone ==
+
== Funkcje kawałkami klasy <math>C^n</math> ==
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C1</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F1</span><br/>
−
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli każdej liczbie <math>n</math> przypiszemy pewną liczbę rzeczywistą <math>a_n</math>, to powiemy, że liczby <math>a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math> tworzą ciąg nieskończony.
+
Czytelnik może pominąć ten temat przy pierwszym czytaniu i&nbsp;powrócić do niego, gdy uzna, że potrzebuje bardziej precyzyjnego ujęcia omawianych tu problemów. Z&nbsp;pojęcia funkcji kawałkami klasy <math>C^n</math> będziemy korzystali bardzo rzadko i&nbsp;jeśli Czytelnik chciałby jedynie poznać metodę Simpsona przybliżonego obliczania całek, to nie musi tracić czasu na zapoznawanie się z&nbsp;tym tematem.
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C2</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja F2</span><br/>
−
Ciąg nieskończony <math>a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math> będziemy oznaczać <math>(a_n)</math>. Często, o&nbsp;ile nie będzie prowadziło to do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywać po prostu ciągiem.
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^0</math> (lub kawałkami ciągła<ref name="PiecewiseContFun"/>) w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, jeżeli jest ona zdefiniowana i&nbsp;ciągła wszędzie poza skończoną liczbą punktów <math>x_k \in \left[ a, b \right].</math> Przy czym w&nbsp;każdym z&nbsp;punktów <math>x_k</math> istnieją skończone granice jednostronne <math>\lim_{x \to x^-_k} f (x)</math> oraz <math>\lim_{x \to x^+_k} f (x)</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>x_k = a</math> musi istnieć skończona granica prawostronna, a&nbsp;w&nbsp;przypadku, gdy <math>x_k = b</math> musi istnieć granica lewostronna.
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C3</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F3</span><br/>
−
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Ciąg <math>(a_n)</math> będziemy nazywali
+
Niech
−
::* ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \geqslant a_n</math>
 
−
::* ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \leqslant a_n</math>
 
  
−
Ciągi rosnące dzielimy na
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{rcc}
−
:::* ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} > a_n</math>
+
  a &  & x = - 5\\
−
:::* ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>
+
  - x &  & - 5 < x < 0\\
 +
  b &  & x = 0\\
 +
  x &  & 0 < x < 5\\
 +
  c &  & x = 5
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Ciągi malejące dzielimy na
+
Zbadać, dla jakich wartości liczb <math>a, b, c</math>
−
:::* ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} < a_n</math>
+
 
−
:::* ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>
+
:* funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>
 +
:* funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Ponieważ
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to - 5^+} f (x) = - 5</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to 0^-} f (x) = 0</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to 0^+} f (x) = 0</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to 5^-} f (x) = 5</math>
 +
 
 +
to tylko dla wartości <math>a = - 5</math>, <math>b = 0</math>, <math>c = 5</math> funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. Ale wybór liczb <math>a, b, c</math> nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>b = 0</math> i <math>a \neq - 5</math> funkcja <math>f(x)</math> będzie (w jednym kawałku) kawałkami ciągła, ale nie będzie funkcją ciągłą. W&nbsp;przypadku, gdy <math>b \neq 0</math> funkcja <math>f(x)</math> będzie (w dwóch kawałkach) kawałkami klasy <math>C^0 ([a, b])</math>. Nawet gdyby wartości funkcji <math>f(x)</math> były nieokreślone w&nbsp;punktach <math>a, b, c</math>, to i&nbsp;tak funkcja <math>f(x)</math> byłaby kawałkami klasy <math>C^0 ([a, b])</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C4</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F4</span><br/>
−
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Liczbę <math>a</math> będziemy nazywali granicą ciągu <math>(a_n)</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon</math> w&nbsp;przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> znajdują się '''prawie wszystkie wyrazy ciągu''' <math>(a_n)</math> (to znaczy wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością).
+
Pokazać, że funkcje <math>{\small\frac{1}{x}}</math> oraz <math>\sin \! \left( {\small\frac{1}{x}} \right)</math> nie są kawałkami klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>.
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C5</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja F5</span><br/>
−
1) sens definicji jest taki: jeżeli liczba <math>a</math> jest granicą ciągu <math>(a_n)</math>, to dla dowolnie małego <math>\varepsilon > 0</math>, poza przedziałem <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> może się znaleźć co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu <math>(a_n)</math>
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^1</math><ref name="PiecewiseSmoothFun"/> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, jeżeli jest ona kawałkami ciągła w <math>[a, b]</math>, a&nbsp;jej pochodna <math>f' (x)</math> istnieje i&nbsp;jest kawałkami ciągła w <math>[a, b]</math>.
  
−
2) słabsze żądanie, aby w&nbsp;przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> znajdowała się nieskończona ilość wyrazów ciągu nie prowadzi do poprawnej definicji granicy. Przykładowo, w&nbsp;przedziale <math>(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)</math> znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a_n = (-1)^n</math>, ale ani liczba <math>1</math>, ani liczba <math>- 1</math> nie są granicami tego ciągu. O&nbsp;ciągu <math>a_n = (- 1)^n</math> mówimy, że nie ma granicy.
+
Oznacza to, że musi istnieć skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> wyznaczających podział przedziału <math>[a, b]</math> w&nbsp;taki sposób, że
  
−
3) ze względu na równoważność warunków
+
:* funkcja <math>f(x)</math> jest zdefiniowana i&nbsp;ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
 +
:* pochodna <math>f' (x)</math> istnieje i&nbsp;jest ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
 +
:* istnieją skończone granice jednostronne funkcji <math>f(x)</math> i <math>f' (x)</math> na krańcach każdego z&nbsp;przedziałów <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
  
−
::* <math>\quad a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math>
 
−
::* <math>\quad a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon</math>
 
−
::* <math>\quad - \varepsilon < a_n - a < \varepsilon</math>
 
−
::* <math>\quad | a_n - a | < \varepsilon</math>
 
  
−
definicja C4 może być wypowiedziana następująco
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja F6</span><br/>
 +
Niech <math>r \in \mathbb{Z}_+</math>. Funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, jeżeli jest ona kawałkami ciągła w <math>[a, b]</math>, a&nbsp;jej pochodne <math>f^{(i)} (x)</math>, gdzie <math>i = 1, \ldots, r</math> istnieją i&nbsp;są kawałkami ciągłe w <math>[a, b]</math>.
  
 +
Oznacza to, że musi istnieć skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> wyznaczających podział przedziału <math>[a, b]</math> w&nbsp;taki sposób, że
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C6</span><br/>
+
:* funkcja <math>f(x)</math> jest zdefiniowana i&nbsp;ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
−
Liczbę <math>a</math> będziemy nazywali granicą ciągu <math>(a_n)</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> '''prawie wszystkie wyrazy ciągu''' <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>|a_n - a| < \varepsilon</math>.
+
:* pochodne <math>f^{(i)} (x)</math>, gdzie <math>i = 1, \ldots, r</math>, istnieją i&nbsp;są ciągłe w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
 +
:* istnieją skończone granice jednostronne funkcji <math>f^{(i)} (x)</math>, gdzie <math>i = 0, 1, \ldots, r</math>, na krańcach każdego z&nbsp;przedziałów <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C7</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja F7</span><br/>
−
Ciąg <math>(a_n)</math> mający granicę (w rozumieniu definicji C4 lub C6) będziemy nazywali ciągiem zbieżnym, a&nbsp;fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^r</math> w <math>\mathbb{R}</math>, jeśli jest ona kawałkami klasy <math>C^r</math> w&nbsp;każdym ograniczonym przedziale <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math>.
  
−
::<math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;lub&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a_n \longrightarrow a</math>
 
  
−
(od łacińskiego słowa ''limes'' oznaczającego granicę).
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F8</span><br/>
 +
Rozważmy funkcję
  
 +
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
 +
  0 &  & - 5 \leqslant x < 0\\
 +
  1 &  & 0 < x \leqslant 5
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Zauważmy jeszcze, że wprost z&nbsp;definicji granicy wynika</br>
+
Celowo nie określiliśmy wartości funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>. Ponieważ
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C8</span><br/>
 
−
::1. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0</math>
 
  
−
::2. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |</math>
+
::<math>\lim_{x \to - 5^+} f (x) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>\lim_{x \to 0^+} f (x) = \lim_{x \to 5^-} f (x) = 1</math>
−
'''Punkt 1.'''<br/>
+
 
−
Prawdziwość twierdzenia wynika ze względu na identyczność warunków, które muszą spełniać prawie wszystkie wyrazy ciągu
+
zatem spełnione są warunki definicji F1 i&nbsp;funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami ciągła (kawałkami klasy <math>C^0</math>). Zauważmy, że funkcja ta jest funkcją skokową Heaviside'a<ref name="HeavisideStepFun"/> <math>H(x)</math> obciętą do przedziału <math>[- 5, 5]</math>.
 +
 
 +
::<math>H(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
 +
  0 &  & x < 0\\
 +
  1 &  & x \geqslant 1
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
Warto zauważyć, że wartość funkcji Heaviside'a w <math>x = 0</math> nie jest ustalona. Niekiedy podaje się <math>H(0) = 0</math>, a&nbsp;czasami <math>H(0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Oczywiście funkcja Heaviside'a jest kawałkami klasy <math>C^0(\mathbb{R})</math>. Przyjmując <math>H(0) = 1</math>, policzmy pochodne jednostronne funkcji <math>H(x)</math> w <math>x = 0</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{h \to 0^-} {\small\frac{H (0 + h) - H (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{0 - 1}{h}} = - \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{h}} = + \infty</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{h \to 0^+} {\small\frac{H (0 + h) - H (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1 - 1}{h}} = 0</math>
 +
 
 +
Czyli pochodna <math>H' (0)</math> nie istnieje, ale granice jednostronne pochodnej w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> istnieją. Istotnie, dla <math>x \neq 0</math> mamy <math>H' (x) = 0</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to 0^-} H' (x) = \lim_{x \to 0^+} H' (x) = 0</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że funkcja Heaviside'a jest kawałkami klasy <math>C^1 (\mathbb{R})</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F9</span><br/>
 +
Pokazać, że funkcja
 +
 
 +
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
 +
  x^2 \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) &  & 0 < | x | \leqslant 5\\
 +
  0 &  & x = 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
:* jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>
 +
:* jest różniczkowalna w&nbsp;całym przedziale <math>[- 5, 5]</math>
 +
:* nie jest klasy <math>C^1 ([- 5, 5])</math>
 +
:* nie jest kawałkami klasy <math>C^1 ([- 5, 5])</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Ponieważ
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to 0} f (x) = 0</math>
 +
 
 +
to funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[- 5, 5]</math>, czyli jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>.
 +
 
 +
Zauważmy też, że funkcja <math>f(x)</math> jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>
 +
 
 +
::<math>f' (0) = \lim_{h \to 0} {\small\frac{f (h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cdot \sin \! \left( \frac{1}{h} \right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \cdot \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) = 0</math>
 +
 
 +
Ostatnia granica wynika z&nbsp;układu nierówności
 +
 
 +
::<math> - h \leqslant h \cdot \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) \leqslant h</math>
 +
 
 +
 
 +
Czyli pochodna funkcji <math>f(x)</math> jest równa
 +
 
 +
::<math>f' (x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
 +
  2 x \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \! \left( \frac{1}{x} \right) &  & 0 < | x | \leqslant 5\\
 +
  0 &  & x = 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
::<math>| a_n - a | < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad | (a_n - a) - 0 | < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad \big|| a_n - a | - 0 \big| < \varepsilon</math>
+
i istnieje dla każdego punktu <math>x \in [- 5, 5]</math>.
  
−
'''Punkt 2.'''<br/>
+
Ale granice funkcji <math>f' (x)</math> w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> nie istnieją
−
Dla dowolnych liczb <math>x, y \in \mathbb{R}</math> prawdziwa jest nierówność
 
  
−
::<math>\big|| x | - | y | \big| \leqslant |x - y|</math>
+
::<math>\lim_{x \to 0} f' (x) = \lim_{h \to 0} f' (0 + h) = \lim_{h \to 0} \left[ 2 h \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) - \cos \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) \right] = - \lim_{h \to 0} \cos \left( {\small\frac{1}{h}} \right)</math>
  
−
Wynika stąd, że jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_n)</math> spełniona jest nierówność <math>|a_n - a| < \varepsilon</math>, to tym bardziej prawdą jest, że <math>\big|| a_n | - | a |\big| < \varepsilon</math><br/>
+
Zatem pochodna funkcji <math>f(x)</math> nie jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>, czyli <math>f(x)</math> nie jest funkcją klasy <math>C^1</math>. Co więcej, funkcja <math>f(x)</math> nie jest nawet funkcją kawałkami klasy <math>C^1</math>, bo granice jednostronne pochodnej <math>f' (x)</math> nie istnieją w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 90: Linia 165:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C9 (twierdzenie o&nbsp;trzech ciągach)</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F10</span><br/>
−
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek
+
Pokazać, że funkcja
  
−
::<math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}
 +
  x^2 \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) &  & 0 < | x | \leqslant 5\\
 +
  1 &  & x = 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
oraz
+
:* nie jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>
 +
:* jest kawałkami klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>
 +
:* nie jest kawałkami klasy <math>C^1 ([- 5, 5])</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Metoda Simpsona (parabol) ==
  
−
::<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = g</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F11</span><br/>
 +
Jeżeli punkty <math>(- h, y_0)</math>, <math>(0, y_1)</math> oraz <math>(h, y_2)</math> leżą na pewnej paraboli <math>g(x)</math>, to
  
−
to <math>\lim_{n \to \infty} x_n = g</math>.
+
::<math>\int^h_{- h} g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2)</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną, ustaloną liczbą większą od <math>0</math>. Z&nbsp;założenia prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>|a_n - g| < \varepsilon</math>. Możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu <math>N_a</math>. Podobnie prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(b_n)</math> spełniają warunek <math>|b_n - g| < \varepsilon</math> i&nbsp;podobnie możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu <math>N_b</math>
+
Nim przejdziemy do dowodu, zilustrujemy problem rysunkiem
 +
 
 +
::[[File: F_Parabola.png|none]]
 +
 
 +
 
 +
Z założenia funkcja <math>g(x)</math> jest parabolą, co oznacza, że może być zapisana w&nbsp;postaci
 +
 
 +
::<math>g(x) = A x^2 + B x + C</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>\int^h_{- h} g (x) d x = \int^h_{- h} (A x^2 + B x + C) d x</math>
 +
 
 +
:::::<math>\;\;\, = {\small\frac{A x^3}{3}} + {\small\frac{B x^2}{2}} + C x \biggr\rvert_{- h}^{h}</math>
 +
 
 +
:::::<math>\;\;\, = {\small\frac{2 A h^3}{3}} + 2 C h</math>
 +
 
 +
:::::<math>\;\;\, = {\small\frac{h}{3}} (2 A h^2 + 6 C)</math>
 +
 
 +
Z drugiej strony parabola <math>g(x) = A x^2 + B x + C</math> przechodzi przez punkty <math>(- h, y_0)</math>, <math>(0, y_1)</math> oraz <math>(h, y_2)</math>. Wynika stąd, że współczynniki <math>A, B, C</math> muszą spełniać układ równań
 +
 
 +
::<math>y_0 = A h^2 - B h + C</math>
  
−
Nierówność <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math> jest spełniona dla wszystkich wyrazów, poczynając od <math>N_0</math>, zatem oznaczając przez <math>M</math> największą z&nbsp;liczb <math>N_a</math>, <math>N_b</math>, <math>N_0</math>, możemy napisać, że o&nbsp;ile <math>n > M</math>, to spełnione są jednocześnie nierówności
+
::<math>y_1 = C</math>
  
−
::* <math>\quad g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon\</math>
+
::<math>y_2 = A h^2 + B h + C</math>
−
::* <math>\quad g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon\</math>
 
−
::* <math>\quad a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>
 
  
−
Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności
+
Dodając do siebie pierwsze i&nbsp;trzecie równanie, otrzymujemy
  
−
::<math>g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon</math>
+
::<math>y_0 + y_2 = 2 A h^2 + 2 C</math>
  
−
Co oznacza, że dla <math>n > M</math> zachodzi
+
Stąd już łatwo znajdujemy, że
  
−
::<math>g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon</math>
+
::<math>2 A h^2 + 6 C = (2 A h^2 + 2 C) + 4 C = y_0 + y_2 + 4 y_1</math>
  
−
Czyli prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(x_n)</math> spełniają warunek <math>|x_n - g| < \varepsilon</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 124: Linia 230:
  
  
−
Bez dowodu podamy kilka ważnych twierdzeń.<br>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F12</span><br/>
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C10*</span><br/>
+
Jeżeli punkty <math>(a, y_0)</math>, <math>(c, y_1)</math> oraz <math>(b, y_2)</math> leżą na pewnej paraboli <math>g(x)</math>, gdzie <math>c = a + h</math>, <math>b = a + 2 h</math> i <math>h > 0</math>, to
−
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
 
  
−
::<math>a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \leqslant M</math>
+
::<math>\int^b_a g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) = {\small\frac{b - a}{6}} (y_0 + 4 y_1 + y_2)</math>
  
−
to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny.<br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
'''Inaczej mówiąc: ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony od góry jest zbieżny.'''
+
Nim przejdziemy do dowodu, zauważmy, że w&nbsp;rzeczywistości twierdzenie F12 wynika z&nbsp;twierdzenia F11.
  
 +
Istotnie, przesunięcie paraboli wzdłuż osi <math>O X</math> nie zmienia pola pod parabolą, zatem udowodnione wyżej twierdzenie możemy natychmiast uogólnić dla dowolnych punktów na osi <math>O X</math>. Dla dowolnie wybranych <math>a</math> oraz <math>h > 0</math> mamy <math>c = a + h</math> oraz <math>b = a + 2 h</math>. Jeżeli punkty <math>(a, y_0)</math>, <math>(c, y_1)</math> oraz <math>(b, y_2)</math> leżą na pewnej paraboli <math>g(x)</math>, to musi być
  
 +
::<math>\int^b_a g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2)</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C11*</span><br/>
+
W&nbsp;twierdzeniu F11 wybraliśmy na osi <math>O X</math> punkty <math>- h, 0, h</math>, aby uprościć obliczenia, które w&nbsp;przypadku ogólnym są znacznie bardziej skomplikowane i&nbsp;oczywiście dają ten sam rezultat.
−
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
 
  
−
::<math>a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \geqslant M</math>
 
  
−
to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny.<br/>
+
Dla zainteresowanego Czytelnika przedstawimy główne kroki dowodu w&nbsp;przypadku ogólnym. Niech <math>g(x) = A x^2 + B x + C</math> będzie poszukiwanym równaniem paraboli. Współczynniki <math>A, B, C</math> wynikają z&nbsp;układu równań
−
'''Inaczej mówiąc: ciąg malejący i&nbsp;ograniczony od dołu jest zbieżny.'''
 
  
 +
::<math>\left\{ \begin{array}{l}
 +
  y_0 = A a^2 + B a + C\\
 +
  y_1 = A c^2 + B c + C\\
 +
  y_2 = A b^2 + B b + C
 +
\end{array} \right.</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C12*</span><br/>
+
Rozwiązując i&nbsp;uwzględniając, że <math>c = \tfrac{1}{2} (a + b)</math>, otrzymujemy
−
Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty} b_n = b</math>, gdzie <math>a, b</math> są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to
 
  
−
# <math>\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b</math>
+
::<math>A = {\small\frac{2 (y_0 - 2 y_1 + y_2)}{(b - a)^2}}</math>
−
# <math>\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b</math>
 
  
−
Jeżeli dodatkowo dla każdego <math>n</math> jest <math>b_n \neq 0</math> i <math>b \neq 0</math>, to
+
::<math>B = - {\small\frac{y_0 (a + 3 b) - 4 y_1 (a + b) + y_2 (3 a + b)}{(b - a)^2}}</math>
  
−
:&nbsp;&nbsp;3. <math>\quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}</math>
+
::<math>C = {\small\frac{(b y_0 + a y_2) (a + b) - 4 a b y_1}{(b - a)^2}}</math>
  
  
 +
Zamiast uciążliwego wyliczania współczynników z&nbsp;układu równań, możemy funkcję <math>g(x)</math> zapisać od razu w&nbsp;takiej postaci, aby spełniała warunki <math>g(a) = y_0</math>, <math>g(c) = y_1</math> oraz <math>g(b) = y_2</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C13</span><br/>
+
::<math>g(x) = y_0 \cdot {\small\frac{(x - b) (x - c)}{(a - b) (a - c)}} + y_1 \cdot {\small\frac{(x - a) (x - b)}{(c - a) (c - b)}} + y_2 \cdot {\small\frac{(x - a) (x - c)}{(b - a) (b - c)}}</math>
−
Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(x_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że dla każdej wartości <math>n</math> prawdziwa jest nierówność <math>| x_n | < M</math>, to
 
  
−
::<math>\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot a_n) = 0</math>
+
Jeżeli położymy <math>c = \tfrac{1}{2} (a + b)</math>, to otrzymamy równanie identyczne z <math>g(x) = A x^2 + B x + C</math>.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną liczbą większą od zera. Chcemy pokazać, że prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>f_n = x_n \cdot a_n</math> spełniają warunek <math>| f_n | < \varepsilon</math>.
 
  
−
Z założenia ciąg <math>(a_n)</math> ma granicę równą <math>0</math>, zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>| a_n | < \varepsilon'</math>, gdzie <math>\varepsilon'</math> jest dowolną liczbą większą od zera.
+
Przechodząc w&nbsp;wypisanym wyżej wzorze do nowej zmiennej <math>t = x - c</math> oraz zauważając, że <math>b - a = 2 h \;</math> i <math>\; b - c = c - a = h</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>g(t) = {\small\frac{1}{2 h^2}} [(y_0 - 2 y_1 + y_2) t^2 + h (y_2 - y_0) t + 2 h^2 y_1]</math>
 +
 
 +
 
 +
Konsekwentnie w&nbsp;całce również musimy dokonać zamiany zmiennych. Kładąc <math>t = x - c</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>\int^b_a g (x) d x = \int^h_{- h} g (t) d t</math>
  
−
Ponieważ <math>M > 0</math> jest pewną stałą, a&nbsp;wartość <math>\varepsilon'</math> możemy wybrać dowolnie, to połóżmy <math>\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{M}</math>. Możemy założyć, że warunek <math>| a_n | < \frac{\varepsilon}{M}</math> spełniają wszystkie wyrazy ciagu <math>(a_n)</math>, dla których <math>n > n_0</math>.
+
:::::<math>\;\: = {\small\frac{1}{2 h^2}} \int^h_{- h} [(y_0 - 2 y_1 + y_2) t^2 + h (y_2 - y_0) t + 2 h^2 y_1] d t =</math>
  
−
Zauważmy teraz, że dla wyrazów ciągu <math>(f_n)</math> o&nbsp;wskaźnikach <math>n > n_0</math> prawdziwe jest oszacowanie
+
:::::<math>\;\: = {\small\frac{1}{2 h^2}} \left[ {\small\frac{2 h^3}{3}} (y_0 - 2 y_1 + y_2) + 2 h^2 y_1 \cdot 2 h \right]</math>
  
−
::<math>| f_n | = | x_n \cdot  a_n | = | x_n | \cdot | a_n | < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon</math>
+
:::::<math>\;\: = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2)</math>
  
−
Zatem warunek <math>| f_n | < \varepsilon</math> jest spełniony dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(f_n)</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \to \infty} f_n = 0</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 179: Linia 291:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C14</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F13 (całkowanie przybliżone metodą Simpsona)</span><br/>
−
Dla <math>a \geqslant 0</math> i <math>n \geqslant 1</math> prawdziwa jest nierówność
+
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, to przybliżoną wartość całki <math>\int_a^b f (x) d x</math> możemy obliczyć ze wzoru
  
−
::<math>(1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
+
::<math>\int_a^b f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} [f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4 f (x_3) + 2 f (x_4) + \ldots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n)]</math>
 +
 
 +
 
 +
Wzór ten możemy zapisać w&nbsp;zwartej postaci
 +
 
 +
::<math>\int_a^b f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right]</math>
 +
 
 +
 
 +
gdzie <math>n</math> jest liczbą parzystą, a <math>n + 1</math> punktów <math>x_k</math> zostało wybranych w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> tak, aby
 +
 
 +
::<math>a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n - 2} < x_{n - 1} < x_n = b</math>
 +
 
 +
Punkty te tworzą parzystą liczbę przedziałów <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math> o&nbsp;takich samych szerokościach <math>h = {\small\frac{b - a}{n}}</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Wzór jest prawdziwy dla <math>a = 0</math>. Zakładając, że <math>a > 0</math> i&nbsp;korzystając ze wzoru dwumianowego, mamy dla <math>n \geqslant 1</math>
+
Niech funkcja <math>f(x)</math> będzie ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. Aby znaleźć przybliżoną wartość całki <math>\int_a^b f (x) d x</math>, dzielimy przedział <math>[a, b]</math> na parzystą liczbę przedziałów <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Każdy z&nbsp;tych utworzonych przedziałów ma jednakową szerokość <math>h = x_{k + 1} - x_k = {\small\frac{b - a}{n}}</math>.
  
−
::<math>\left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] \geqslant</math>
+
::[[File: F_Simpson.png|none]]
−
:::::<math>\;\; \geqslant \sum_{k=0}^{1}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] =</math>
 
−
:::::<math>\;\; = 1 + n \cdot \frac{a}{n} =</math>
 
−
:::::<math>\;\; = 1 + a</math>
 
  
−
Co należało pokazać.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Liczba przedziałów musi być parzysta, bo będziemy rozpatrywali pary przedziałów <math>[x_0, x_2]</math>, <math>[x_2, x_4]</math>, ... , <math>[x_{2 k - 2}, x_{2 k}]</math>, ... <math>[x_{n - 2}, x_{n}]</math>. Dla każdej takiej pary przedziałów istnieją trzy punkty charakterystyczne, odpowiadające wartości funkcji <math>f(x)</math> na początku, na końcu i&nbsp;w&nbsp;środku przedziału. Żądanie, aby parabola przechodziła przez te trzy punkty, określa jednoznacznie współczynniki paraboli i&nbsp;jest ona przybliżeniem funkcji <math>f(x)</math>.
 +
 +
Na podstawie twierdzenia F12 całka <math>I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x</math>, gdzie <math>g (x)</math> jest parabolą przechodzącą przez punkty <math>(x_{2 k - 2}, f (x_{2 k - 2}))</math>, <math>(x_{2 k - 1}, f (x_{2 k - 1}))</math> oraz <math>(x_{2 k}, f (x_{2 k}))</math> jest równa
  
 +
::<math>I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} [f (x_{2 k - 2}) + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k})]</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C15</span><br/>
 
−
Jeżeli <math>A > 0</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Sumując całki <math>I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x</math> dla kolejnych par przedziałów, otrzymujemy przybliżenie całki oznaczonej <math>\int_a^b f (x) d x</math>
−
Dla <math>A > 1</math> możemy napisać <math>A = 1 + a</math>, gdzie <math>a > 0</math>, wtedy z&nbsp;twierdzenia C14 otrzymujemy
 
  
−
::<math>1 < \sqrt[n]{A} = (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
+
::<math>\int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{h}{3}} [f (x_0) + 4 f (x_1) + f (x_2)] + {\small\frac{h}{3}} [f (x_2) + 4 f (x_3) + f (x_4)] + \ldots + {\small\frac{h}{3}} [f (x_{2 k - 2}) + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k})] + \ldots + {\small\frac{h}{3}} [f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n)]</math>
  
−
Z twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach dostajemy natychmiast (dla <math>A > 1</math>)
+
:::::<math>\;\; = {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4 f (x_3) + 2 f (x_4) + \ldots + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k}) + \ldots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n) \right]</math>
  
−
::<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>
 
  
−
W przypadku gdy <math>0 < A < 1</math>, możemy napisać <math>A = \frac{1}{B}</math>, gdzie <math>B > 1</math>, wtedy ze względu na udowodniony wyżej rezultat <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{B} = 1</math>
+
Współczynnik <math>4</math> występuje przy wszystkich wyrazach <math>f(x_{2 k - 1})</math>, czyli dla argumentów o&nbsp;indeksie nieparzystym. Współczynnik <math>2</math> występuje przy wszystkich wyrazach <math>f(x_{2 k})</math>, czyli dla argumentów o&nbsp;indeksie parzystym, ale nie dotyczy to indeksów <math>0</math> oraz <math>n</math>. Dlatego liczba wyrazów ze współczynnikiem <math>4</math> jest o&nbsp;jeden większa od liczby wyrazów ze współczynnikiem <math>2</math>. Używając symboli sumy, możemy powyższy wzór zapisać w&nbsp;postaci
  
−
::<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{B}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{B}} = 1</math>
+
::<math>\int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right]</math>
  
−
Jeżeli <math>A = 1</math>, to <math>\sqrt[n]{A} = 1</math> dla każdego <math>n \geqslant 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 220: Linia 338:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C16</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F14</span><br/>
−
Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>0 < m < a_n < M</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math>
+
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^4 ([a, b])</math>, a&nbsp;funkcja <math>W(x)</math> jest równa
 +
 
 +
::<math>W(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  {\large\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) &  & a \leqslant x \leqslant c\\
 +
  {\large\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) &  & c < x \leqslant b
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
gdzie <math>c = {\small\frac{1}{2}} (a + b)</math>, to
 +
 
 +
::<math>\int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z założenia dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_n)</math> jest
+
Dowód oparliśmy na pomyśle Talvili i&nbsp;Wiersmy<ref name="TalvilaWiersma"/>. Dla wygody wprowadźmy oznaczenia
  
−
::<math>0 < m \leqslant a_n \leqslant M</math>
+
::<math>W(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  U (x) &  & a \leqslant x \leqslant c\\
 +
  V (x) &  & c < x \leqslant b
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Zatem dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>a_n</math> mamy
+
gdzie
  
−
::<math>\sqrt[n]{m} \leqslant \sqrt[n]{a_n} \leqslant \sqrt[n]{M}</math>
+
::<math>U(x) = {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b)</math>
−
 
 
−
Z twierdzenia C15 wiemy, że <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1</math>, zatem na podstawie twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math><br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>V(x) = {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b)</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C17</span><br/>
+
Wyliczając wartości <math>U^{(n)} (a)</math>, <math>U^{(n)} (c)</math>, <math>V^{(n)} (c)</math> oraz <math>V^{(n)} (b)</math>, gdzie <math>n = 0, 1, \ldots, 4</math> sporządziliśmy tabelę wartości funkcji <math>W(x)</math> i&nbsp;jej pochodnych w&nbsp;punktach <math>x = a</math>, <math>x = c</math> i <math>x = b</math>.
−
Następujące ciągi są silnie rosnące i&nbsp;zbieżne
 
  
 
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
|- style=height:4em
+
|-
−
| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e = 2.718281828 \ldots</math>
+
| <math>\quad n \quad</math> || <math>U^{(n)} (a)</math> || <math>U^{(n)} (c)</math> || <math>V^{(n)} (c)</math> || <math>V^{(n)} (b)</math>
−
|- style=height:4em
+
|-
−
| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} = 0.367879441 \ldots</math>
+
| <math>\quad 0 \quad</math> || <math>0</math> || <math>- {\small\frac{(b - a)^4}{192}}</math> || <math>- {\small\frac{(b - a)^4}{192}}</math> || <math>0</math>
 +
|- style=height:2.5em
 +
| <math>\quad 1 \quad</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>0</math>
 +
|-
 +
| <math>\quad 2 \quad</math> || <math>0</math> || <math>{\small\frac{(b - a)^2}{4}}</math> || <math>{\small\frac{(b - a)^2}{4}}</math> || <math>0</math>
 +
|- style=height:2.5em
 +
| <math>\quad 3 \quad</math> || <math>- (b - a)</math> || <math>2 (b - a)</math> || <math>- 2 (b - a)</math> || <math>b - a</math>
 +
|- style=height:2.5em
 +
| <math>\quad 4 \quad</math> || <math>6</math> || <math>6</math> || <math>6</math> || <math>6</math>
 
|}
 
|}
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Zauważmy: trzecia pochodna funkcji <math>W(x)</math> jest funkcją nieciągłą w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>, zatem funkcja <math>W(x)</math> jest klasy <math>C^2 ([a, b])</math>. Natomiast czwarte pochodne funkcji <math>U(x)</math> i <math>V(x)</math> są funkcjami stałymi i&nbsp;są sobie równe.
−
'''Punkt 1'''<br/>
+
 
−
W twierdzeniu A6 pokazaliśmy, że ciąg
 
  
−
::<math>a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
+
Dowód przeprowadzimy całkując wielokrotnie przez części całkę <math>\int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x</math>. Ponieważ dla <math>n = 0, 1, 2</math> funkcje <math>W^{(n)} (x)</math> są ciągłe oraz spełniony jest warunek
  
−
jest silnie rosnący i&nbsp;ograniczony od góry. Zatem z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że jest zbieżny. Liczbę będącą granicą tego ciągu oznaczamy literą <math>e</math>, jest ona podstawą logarytmu naturalnego.
+
::<math>W^{(n)} (a) = W^{(n)} (b) = 0</math>
  
−
'''Punkt 2'''<br/>
+
to otrzymujemy kolejno
−
Pokażemy najpierw, że ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math> jest silnie rosnący. Musimy pokazać, że prawdziwa jest nierówność
 
  
−
::<math>\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} > \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math>
+
::<math>\int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = f^{(3)} (x) W (x) \biggr\rvert_{a}^{b} - \int^b_a f^{(3)} (x) W^{(1)} (x) d x</math>
  
−
Łatwo sprawdzamy prawdziwość nierówności dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz, że <math>n \geqslant 2</math>. Przekształcając,
+
:::::::<math>\;\;\;\,\, = - \int^b_a f^{(3)} (x) W^{(1)} (x) d x</math>
  
−
::<math>\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1} > \left( \frac{n - 1}{n} \right)^n</math>
+
:::::::<math>\;\;\;\,\, = - f^{(2)} (x) W^{(1)} (x) \biggr\rvert_{a}^{b} + \int^b_a f^{(2)} (x) W^{(2)} (x) d x</math>
  
−
::<math>\frac{n}{n + 1} \cdot \left( \frac{n}{n + 1} \right)^n \cdot \left( \frac{n}{n - 1} \right)^n > 1</math>
+
:::::::<math>\;\;\;\,\, = \int^b_a f^{(2)} (x) W^{(2)} (x) d x</math>
  
−
::<math>\left( \frac{n^2}{n^2 - 1} \right)^n > \frac{n + 1}{n}</math>
+
:::::::<math>\;\;\;\,\, = f^{(1)} (x) W^{(2)} (x) \biggr\rvert_{a}^{b} - \int^b_a f^{(1)} (x) W^{(3)} (x) d x</math>
  
−
otrzymujemy nierówność równoważną,
+
:::::::<math>\;\;\;\,\, = - \int^b_a f^{(1)} (x) W^{(3)} (x) d x</math>
  
−
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > 1 + \frac{1}{n}</math>
 
  
−
którą już łatwo udowodnić, bo
+
Ponieważ funkcja <math>W^{(3)} (x)</math> jest nieciągła w&nbsp;punkcie <math>x = c = {\small\frac{a + b}{2}}</math>, to musimy całkować osobno dla <math>x \in [a, c]</math> i&nbsp;dla <math>x \in [c, b]</math>
  
−
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \left( \frac{1}{n^2} \right)^k > \sum_{k = 0}^{1} \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^{2k}} = 1 + \frac{1}{n}</math>
+
::<math>\int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = - \int^c_a f^{(1)} (x) U^{(3)} (x) d x - \int^b_c f^{(1)} (x) V^{(3)} (x) d x</math>
  
−
Ponieważ dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \leqslant 1</math> (bo iloczyn liczb mniejszych od <math>1</math> nie może być liczbą większą do jedności), to z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że ciąg ten jest zbieżny. Zatem możemy napisać
+
Mamy
  
−
::<math>\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = g</math>
+
::<math>- \int_a^c f^{(1)} (x) U^{(3)} (x) d x = - f (x) U^{(3)} (x) \biggr\rvert_{a}^{c} + \int^c_a f (x) U^{(4)} (x) d x</math>
  
−
Rozważmy teraz iloczyn wypisanych w&nbsp;twierdzeniu ciągów
+
:::::::::<math>\:\! = - f (c) U^{(3)} (c) + f (a) U^{(3)} (a) + 6 \int^c_a f (x) d x</math>
  
−
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n = \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n}</math>
+
:::::::::<math>\:\! = - 2 (b - a) f (c) - (b - a) f (a) + 6 \int^c_a f (x) d x</math>
  
−
Łatwo widzimy, że ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2}</math> jest podciągiem ciągu <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math>, zatem jest ograniczony i&nbsp;dla <math>n \geqslant 2</math> spełniony jest układ nierówności
+
:::::::::<math>\:\! = - (b - a) [f (a) + 2 f (c)] + 6 \int^c_a f (x) d x</math>
  
−
::<math>0 < \left( \frac{3}{4} \right)^4 \leqslant \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \leqslant 1</math>
 
  
−
Z twierdzenia C16 dostajemy
 
  
−
::<math>\lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
+
::<math>- \int_c^b f^{(1)} (x) V^{(3)} (x) d x = - f (x) V^{(3)} (x) \biggr\rvert_{c}^{b} + \int^b_c f (x) V^{(4)} (x) d x</math>
  
−
Z twierdzenia C12 p. 2 wynika natychmiast, że
+
:::::::::<math>= - f (b) V^{(3)} (b) + f (c) V^{(3)} (c) + 6 \int^b_c f (x) d x</math>
  
−
::<math>e \cdot g = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \right] = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
+
:::::::::<math>= - (b - a) f (b) - 2 (b - a) f (c) + 6 \int^b_c f (x) d x</math>
  
−
Zatem <math>g = \frac{1}{e}</math>.<br/>
+
:::::::::<math>= - (b - a) [f (b) + 2 f (c)] + 6 \int^b_c f (x) d x</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Zatem
  
 +
::<math>\int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = - (b - a) [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + 6 \int^b_a f (x) d x</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C18</span><br/>
+
Skąd otrzymujemy natychmiast
−
Dla <math>n \geqslant 2</math> prawdziwe są następujące nierówności
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::<math>\int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x</math>
−
|- style=height:4em
 
−
| <math>\quad 1. \quad</math> || <math> \frac{1}{n + 1} < \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}</math>
 
−
|- style=height:4em
 
−
| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>- \frac{1}{n - 1} < \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - \frac{1}{n}</math>
 
−
|}
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Co kończy dowód.<br/>
−
Ponieważ ciąg <math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math> jest silnie rosnący, to
+
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e</math>
 
  
−
Logarytmując powyższą nierówność, mamy
 
  
−
::<math>n \cdot \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < 1</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F15</span><br/>
 +
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją klasy <math>C^4 ([a, b])</math> i <math>c = {\small\frac{1}{2}} (a + b)</math>. Jeżeli wartość całki <math>\int^b_a f (x) d x</math> przybliżymy wartością całki <math>\int^b_a g (x) d x</math>, gdzie <math>g(x)</math> jest parabolą przechodzącą przez punkty <math>P_a = (a, f (a))</math>, <math>P_c = (c, f (c))</math> oraz <math>P_b = (b, f (b))</math>, to błąd takiego przybliżenia jest nie większy niż <math>{\small\frac{M (b - a)^5}{2880}}</math>, gdzie <math>M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) |</math>.
  
−
Stąd wynika natychmiast, że
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Zauważmy, że z&nbsp;definicji punkty <math>P_a</math>, <math>P_b</math> i <math>P_c</math> są punktami wspólnymi funkcji <math>f(x)</math> i&nbsp;paraboli <math>g(x)</math>.
  
−
::<math>\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}</math>
+
Z twierdzenia F14 wiemy, że
  
 +
::<math>\int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x</math>
  
−
Ponieważ ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math> również jest silnie rosnący, to postępując analogicznie, dostajemy
+
Uwzględniając twierdzenie F12, możemy napisać
  
−
::<math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n < \frac{1}{e}</math>
+
::<math>\int^b_a f (x) d x = \int^b_a g (x) d x + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x</math>
  
−
::<math>n \cdot \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - 1</math>
 
  
−
::<math>\log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - \frac{1}{n}</math>
+
Zatem błąd, jaki popełniamy, przybliżając funkcję <math>f (x)</math> parabolą <math>g (x)</math> przechodzącą przez punkty <math>P_a</math>, <math>P_b</math> i <math>P_c</math>, wynosi
  
 +
::<math>\left| \int^b_a f (x) d x - \int^b_a g (x) d x \right| = {\small\frac{1}{6}} \left| \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x \right|</math>
  
−
Przekształcając otrzymane wzory, otrzymujemy
+
::::::::::<math>\leqslant {\small\frac{1}{6}} \int^b_a | f^{(4)} (x) W (x) | d x</math>
  
−
::<math>- \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n + 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n + 1} \right) = \log \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) < - \frac{1}{n + 1}</math>
+
::::::::::<math>\leqslant {\small\frac{M}{6}} \int^b_a | W (x) | d x</math>
  
−
oraz
+
gdzie <math>M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) |</math>. Pozostaje policzyć całkę
  
−
::<math>- \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n - 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n - 1} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{n - 1} \right) < \frac{1}{n - 1}</math><br/>
+
::<math>\int^b_a | W (x) | d x = {\small\frac{1}{12}} \int^c_a | (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) | d x + {\small\frac{1}{12}} \int^b_c | (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) | d x</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
Ponieważ prawdziwy jest następujący ciąg nierówności
  
 +
::<math>a < {\small\frac{2 a + b}{3}} < {\small\frac{a + b}{2}} < {\small\frac{a + 2 b}{3}} < b</math>
  
 +
a&nbsp;funkcje podcałkowe są iloczynami liniowych funkcji rosnących to, po znalezieniu miejsc zerowych tych funkcji, otrzymujemy natychmiast informację o&nbsp;znaku funkcji podcałkowych w&nbsp;interesujących nas przedziałach
  
−
== Liczby pierwsze w&nbsp;ciągach arytmetycznych ==
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 200px; background:transparent; font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
| <math>x</math> || <math>a</math> || <math>c</math> || <math>{\small\frac{a + 2 b}{3}}</math>
 +
|-
 +
| <math>x - a</math> || <math>0</math> || <math>+</math> || <math>+</math>
 +
|-
 +
| <math>3 x - a - 2 b</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>0</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 200px; margin-right: 5px; background:transparent; font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
| <math>x</math> || <math>{\small\frac{2 a + b}{3}}</math> || <math>c</math> || <math>b</math>
 +
|-
 +
| <math>x - b</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>0</math>
 +
|-
 +
| <math>3 x - 2 a - b</math> || <math>0</math> || <math>+</math> || <math>+</math>
 +
|}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C19</span><br/>
 
−
Każda liczba naturalna <math>n \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Widzimy, że funkcje <math>(x - a)^3 (3 x - a - 2 b)</math> oraz <math>(x - b)^3 (3 x - 2 a - b)</math> są ujemne w&nbsp;swoich przedziałach całkowania, zatem (zobacz [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+-1%2F12*%28x-a%29%5E3+*+%283*x-a-2*b%29+from+a+to+%28a%2Bb%29%2F2 WolframAlpha1], [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+-1%2F12*%28x-b%29%5E3+*+%283*x-2*a-b%29+from+%28a%2Bb%29%2F2+to+b WolframAlpha2])
−
<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/>
 
−
Przypuśćmy, że istnieją liczby naturalne większe od <math>1</math>, które nie są liczbami pierwszymi ani nie są iloczynami liczb pierwszych. Niech <math>m</math> oznacza najmniejszą<ref name="WellOrdering"/> z&nbsp;takich liczb. Z&nbsp;założenia <math>m</math> nie jest liczbą pierwszą, zatem <math>m</math> może być zapisana w&nbsp;postaci <math>m = a \cdot b</math>, gdzie liczby <math>a, b</math> są liczbami naturalnymi mniejszymi od <math>m</math>.
 
  
−
Ponieważ <math>m</math> jest najmniejszą liczbą naturalną, która nie jest liczbą pierwszą ani nie jest iloczynem liczb pierwszych, to liczby <math>a</math> i <math>b</math> muszą być liczbami złożonymi, ale jako mniejsze od <math>m</math> są one iloczynami liczb pierwszych, zatem i&nbsp;liczba <math>m</math> musi być iloczynem liczb pierwszych.
+
::<math>\int^b_a | W (x) | d x = - {\small\frac{1}{12}} \int^c_a (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) d x - {\small\frac{1}{12}} \int^b_c (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) d x</math>
  
−
Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie jest fałszywe.
+
::::::<math>\: = {\small\frac{(b - a)^5}{960}} + {\small\frac{(b - a)^5}{960}}</math>
  
 +
::::::<math>\: = {\small\frac{(b - a)^5}{480}}</math>
  
−
<span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/>
+
Podstawiając, otrzymujemy ostatecznie
−
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest oczywiście prawdziwe dla <math>n = 2</math>.
 
−
Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla '''wszystkich''' liczb naturalnych <math>k \in [2, n]</math>, dla liczby <math>n + 1</math> mamy dwie możliwości
 
  
−
* <math>n + 1</math> jest liczbą pierwszą (wtedy twierdzenie jest prawdziwe w&nbsp;sposób oczywisty)
+
::<math>\left| \int^b_a f (x) d x - \int^b_a g (x) d x \right| \leqslant {\small\frac{M}{6}} \cdot {\small\frac{(b - a)^5}{480}} = {\small\frac{M (b - a)^5}{2880}}</math>
−
* <math>n + 1</math> jest liczbą złożoną wtedy, <math>n + 1 = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < n + 1</math>; zatem na podstawie założenia indukcyjnego liczby <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami pierwszymi lub iloczynami liczb pierwszych, czyli <math>n + 1 = a b</math> jest iloczynem liczb pierwszych.
 
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 377: Linia 512:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C20 (Euklides, IV w. p.n.e.)</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F16 (błąd przybliżonego całkowania metodą Simpsona)</span><br/>
−
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
+
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją klasy <math>C^4 ([a, b])</math>. Jeżeli policzymy przybliżoną wartość całki <math>\int^b_a f (x) d x</math> metodą Simpsona (twierdzenie F13), to błąd takiego przybliżenia jest nie większy niż <math>{\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}}</math>, gdzie <math>M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) |</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Przypuśćmy, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> . Wtedy liczba <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1</math> jest większa od jedności i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia C19 wynika, że posiada dzielnik będący liczbą pierwszą, ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>a</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>p</math> będąca dzielnikiem pierwszym liczby <math>a</math> i&nbsp;różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Maksymalny błąd, jaki możemy popełnić, stosując metodę Simpsona, jest sumą błędów, jakie zostają popełnione, gdy dla wybranej pary przedziałów <math>[x_{2 k - 2}, x_{2 k}]</math> przybliżamy funkcję <math>f(x)</math> parabolą. Zatem całkowity błąd metody Simpsona jest równy
−
&#9633;
+
 
−
{{\Spoiler}}
+
::<math>E_n = \sum_{k = 1}^{n / 2} \left| \int^{x_{2 k}}_{x_{2 k - 2}} f (x) d x - \int^{x_{2 k}}_{x_{2 k - 2}} g_k (x) d x \right|</math>
 +
 
 +
gdzie <math>g_k (x)</math> jest parabolą, jaką funkcja <math>f(x)</math> została przybliżona w <math>k</math>-tej parze przedziałów <math>[x_{2 k - 2}, x_{2 k}]</math>. Z&nbsp;twierdzenia F15 wynika natychmiast, że
 +
 
 +
::<math>E_n = \sum_{k = 1}^{n / 2} \frac{M_k \cdot (x_{2 k} - x_{2 k - 2})^5}{2880}</math>
 +
 
 +
gdzie
 +
 
 +
::<math>M_k \geqslant \max_{x_{2 k - 2} \leqslant x \leqslant x_{2 k}} | f^{(4)} (x) |</math>
 +
 
 +
 
 +
Zatem
  
 +
::<math>E_n = {\small\frac{1}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M_k \cdot (2 h)^5 </math>
  
 +
:::<math>\;\! = {\small\frac{(2 h)^5}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M_k</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C21</span><br/>
+
:::<math>\;\! \leqslant {\small\frac{32 \cdot h^5}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M</math>
−
Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>4 k + 3</math><ref name="LiczbaJestPostaci"/>, to ma dzielnik postaci <math>4 k + 3</math> będący liczbą pierwszą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
:::<math>\;\! = {\small\frac{M (b - a)^5}{90 n^5}} \cdot {\small\frac{n}{2}}</math>
−
Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy zatem sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;założenia <math>n</math> jest liczbą nieparzystą, zatem możliwe są trzy typy iloczynów
 
  
−
::<math>(4 a + 1) (4 b + 1) = 16 a b + 4 a + 4 b + 1 = 4 (4 a b + a + b) + 1</math>
+
:::<math>\;\! = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}}</math>
  
−
::<math>(4 a + 1) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 4 b + 3 = 4 (4 a b + 3 a + b) + 3</math>
+
gdzie oznaczyliśmy
  
−
::<math>(4 a + 3) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 12 b + 9 = 4 (4 a b + 3 a + 3 b + 2) + 1</math>
+
::<math>M = \max (M_1, \ldots, M_{n / 2}) \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) |</math>
  
−
Widzimy, że liczba złożona postaci <math>4 k + 3</math> jest iloczynem liczb postaci <math>4 k + 1</math> i <math>4 k + 3</math>. Wynika stąd natychmiast, że liczba złożona postaci <math>4 k + 3</math> posiada dzielnik postaci <math>4 k + 3</math>. Niech <math>q</math> oznacza najmniejszy dzielnik liczby <math>n</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Pokażemy, że <math>q</math> jest liczbą pierwszą. Istotnie, gdyby <math>q</math> była liczbą złożoną, to miałaby dzielnik <math>d</math> postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;byłoby <math>d < q</math>, wbrew założeniu, że <math>q</math> jest najmniejszym dzielnikiem liczby <math>n</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 405: Linia 551:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C22</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F17</span><br/>
−
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>.
+
Niech będzie dana funkcja <math>f(x)</math> klasy <math>C^4 ([a, b])</math>. Jeżeli obierzemy pewien stały skok <math>h</math> to, stosując metodę Simpsona, możemy policzyć przybliżenie <math>I</math> całki <math>\int^b_a f (x) d x</math>. Wiemy, że błąd, z&nbsp;jakim wyliczymy wartość całki nie przekracza liczby
 +
 
 +
::<math>E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} = {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot (b - a) = {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot L</math>
 +
 
 +
gdzie <math>M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) |</math>, a&nbsp;przez <math>L = b - a</math> oznaczyliśmy długość przedziału <math>[a, b]</math>.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Co się stanie, jeżeli (zachowując stały skok <math>h</math>) podzielimy przedział <math>[a, b]</math> na dowolną liczbę mniejszych przedziałów, każdy o&nbsp;długości <math>l_k</math>, policzymy całki <math>I_k</math> oraz błędy <math>E_k</math> w&nbsp;każdym z&nbsp;tych mniejszych przedziałów, a&nbsp;następnie je zsumujemy?
−
Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>. Niech będą to liczby <math>p_1, \ldots, p_s</math>. Liczba
 
  
−
::<math>M = 4 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 4 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 3</math>
+
'''Całka <math>I</math> będzie oczywiście sumą wyliczonych całek <math>I_k</math>, a&nbsp;całkowity błąd <math>E'</math> będący sumą błędów <math>E_k</math> nie wzrośnie!'''
  
−
jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C21, ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Ale jak łatwo zauważyć, żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
+
Istotnie błąd, jaki popełniamy w&nbsp;<math>k</math>-tym przedziale o&nbsp;długości <math>l_k</math>, wynosi
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>E_k = {\small\frac{M_k h^4}{180}} \cdot l_k</math>
  
 +
gdzie <math>M_k</math> jest ograniczeniem od góry funkcji <math>| f^{(4)} (x) |</math> w&nbsp;<math>k</math>-tym przedziale. Suma tych błędów jest równa
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C23</span><br/>
+
::<math>E' = \sum_k {\small\frac{M_k h^4}{180}} \cdot l_k = {\small\frac{h^4}{180}} \sum_k M_k l_k \leqslant {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \sum_k l_k = {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \cdot L</math>
−
Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>6 k + 5</math>, to ma dzielnik postaci <math>6 k + 5</math> będący liczbą pierwszą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
gdzie <math>M' = \max (M_1, M_2, \ldots, M_k, \ldots)</math> jest ograniczeniem od góry funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. Jeśli tylko dokonywaliśmy wyboru liczb <math>M_k</math> ograniczających od góry funkcję <math>| f^{(4)} (x) |</math> na odcinkach o&nbsp;długości <math>l_k</math> na tyle starannie, że prawdziwa jest nierówność
−
Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;twierdzenia C19 wiemy, że w&nbsp;tym przypadku liczba <math>n</math> będzie iloczynem liczb pierwszych. Zauważmy, że nieparzyste liczby pierwsze mogą być jedynie postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math> (liczba <math>6 k + 3</math> jest liczbą złożoną). Ponieważ iloczyn liczb postaci <math>6 k + 1</math>
 
  
−
::<math>(6 a + 1) (6 b + 1) = 36 a b + 6 a + 6 b + 1 = 6 (6 a b + a + b) + 1</math>
+
::<math>M' = \max (M_1, M_2, \ldots, M_k, \ldots) \leqslant M</math>
  
−
jest liczbą postaci <math>6 k + 1</math>, to w&nbsp;rozkładzie liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze musi pojawić się przynajmniej jeden czynnik postaci <math>6 k + 5</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
(co nie jest trudne, bo wystarczy przyjąć <math>M_1 = M_2 = \ldots = M_k = \ldots = M</math>), to otrzymujemy
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>E' = {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \cdot L \leqslant {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot L = E</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C24</span><br/>
+
'''Powyższe rozważania od razu udzielają odpowiedzi na ważne pytanie:'''<br/>
−
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>.
+
Co należy zrobić, jeżeli funkcja <math>f(x)</math> nie jest klasy <math>C^4</math>, a&nbsp;jedynie jest kawałkami klasy <math>C^4</math>? Oczywiście należy całkę zapisać jako sumę
 +
całek, z&nbsp;których każda jest obliczana w&nbsp;takim przedziale, że funkcja <math>f(x)</math> jest w&nbsp;nim klasy <math>C^4</math>. Stosując metodę Simpsona, obliczyć całki <math>I_k</math> i&nbsp;błędy <math>E_k</math> w&nbsp;tych przedziałach, a&nbsp;następnie zsumować wartości całek i&nbsp;błędów.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>. Niech będą to liczby <math>p_1, \ldots, p_s</math>. Liczba
 
  
−
::<math>M = 6 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 6 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 5</math>
 
  
−
jest postaci <math>6 k + 5</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C23 ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math>. Ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F18</span><br/>
−
&#9633;
+
Podsumowując, metoda parabol prowadzi do natępującego wzoru na przybliżoną wartość całki
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right]</math>
  
 +
Przedział całkowania <math>[a, b]</math> dzielimy na parzystą liczbę <math>n</math> przedziałów <math>[x_{k - 1}, x_k]</math> o&nbsp;jednakowej szerokości <math>h = {\small\frac{b - a}{n}}</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C25</span><br/>
+
Wzór można przedstawić w&nbsp;postaci
−
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>3 k + 2</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>\int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (a) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (a + (2 k - 1) \cdot h) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (a + 2 k \cdot h) + f (b) \right]</math>
−
Jeżeli <math>k = 2 j</math> jest liczbą parzystą, to otrzymujemy ciąg liczb parzystych
 
  
−
::<math>3 k + 2 = 6 j + 2</math>
+
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^4 ([a, b])</math>, to błąd wartości liczbowej całki oznaczonej <math>\int^b_a f (x) d x</math>, jaki popełniamy, stosując metodę Simpsona, nie przekracza
  
−
w którym jedynie liczba <math>2</math> jest liczbą pierwszą (dla <math>j = 0</math>).
+
::<math>{\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}}</math>
  
−
Jeżeli <math>k = 2 j + 1</math> jest liczbą nieparzystą, to otrzymujemy ciąg liczb nieparzystych
+
gdzie <math>M \geqslant \underset{a \leqslant x \leqslant b}{\max} | f^{(4)} (x) |</math>.
  
−
::<math>3 k + 2 = 3 (2 j + 1) + 2 = 6 j + 5</math>
 
  
−
o którym wiemy, że zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (zobacz twierdzenie C24). Zatem w&nbsp;ciągu arytmetycznym postaci <math>3 k + 2</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F19</span><br/>
 +
Wykorzystując przedstawioną metodę parabol, możemy bez trudu napisać w&nbsp;PARI/GP prosty i&nbsp;zaskakująco dokładny program do liczenia całek oznaczonych. Parametr <code>M</code> jest parametrem opcjonalnym. Jeżeli jest obecny, to zostanie wyliczony błąd <math>{\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}}</math>, gdzie <math>\max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | \leqslant M</math>. Jeżeli zostanie pominięty, to zostanie wyliczona jedynie wartość <math>{\small\frac{(b - a)^5}{180 n^4}}</math>, a&nbsp;w&nbsp;wyniku pojawi się czynnik <math>M</math>, który ma przypominać, że liczba musi zostać pomnożona przez <math>M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) |</math>, aby uzyskać wartość błędu.
  
 +
Simpson(a, b, n, M = -1) =
 +
\\ n musi być liczbą parzystą
 +
{
 +
local(err, h, k, S, V);
 +
h = 1.0*(b - a)/n;
 +
S = f(a) + 4 * sum(k = 1, n/2, f(a + (2*k-1)*h)) + 2 * sum(k = 1, n/2 - 1, f(a + 2*k*h)) + f(b);
 +
S = (b - a)/(3*n) * S;
 +
err = 1.0*(b - a)^5/(180*n^4) * if(M<0, 1, M);
 +
V = [ S, if( M < 0, Str( "M * ", err), err ) ];
 +
return(V);
 +
}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C26</span><br/>
 
−
Zauważmy, że liczby postaci <math>2 k + 1</math> to wszystkie liczby nieparzyste dodatnie. Ponieważ wszystkie liczby pierwsze (poza liczbą <math>2</math>) są liczbami nieparzystymi, to wśród liczb postaci <math>2 k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
 
  
−
Wszystkie omówione wyżej przypadki ciągów arytmetycznych: <math>2 k + 1</math>, <math>3 k + 2</math>, <math>4 k + 3</math> i <math>6 k + 5</math>, w&nbsp;których występuje nieskończona ilość liczb pierwszych są szczególnymi przypadkami udowodnionego w 1837 roku twierdzenia<br/>
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F20</span><br/>
 +
Przedstawimy kilka przykładowych wyników obliczeń całek nieoznaczonych przy pomocy programu Simpson(a, b, n, M)
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C27* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)</span><br/>
+
::<math>f(x) = x^2</math>, <math>\qquad \int^3_0 f (x) d x = 9</math>
−
Niech <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
 
  
 +
Simpson(0, 3, 2^10, 0)
 +
[9.0000000000000000000000000000000000000, 0]
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C28</span><br/>
+
::<math>f(x) = \sin (x)</math>, <math>\qquad \int_{0}^{\pi} f (x) d x = 2</math>
−
Dowód twierdzenia Dirichleta jest bardzo trudny. Natomiast bardzo łatwo można pokazać, że dowolny ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math> zawiera nieskończenie wiele liczb złożonych. Istotnie, jeżeli liczby <math>a, b</math> nie są względnie pierwsze, to wszystkie wyrazy ciągu są liczbami złożonymi. Jeżeli <math>a, b</math> są względnie pierwsze i <math>b > 1</math>, to wystarczy przyjąć <math>k = b t</math>. Jeżeli są względnie pierwsze i <math>b = 1</math>, to wystarczy przyjąć <math>k = a t^2 + 2 t</math>, wtedy
 
  
−
::<math>a k + 1 = a^2 t^2 + 2 a t + 1 = (a t + 1)^2</math>
+
Simpson(0, Pi, 2^10, 1)
 +
[2.0000000000009843683496726710086289358, 1.5462404552801947792469203606107819849 E-12]
  
  
 +
::<math>f(x) = {\small\frac{4}{1 + x^2}}</math>, <math>\qquad \int^1_0 f (x) d x = \pi</math>, <math>\qquad \pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C29</span><br/>
+
Simpson(0, 1, 2^15, 96)
−
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi 99, przykładowo 199, 499, 599, 1399, 1499, ...
+
[<span style="color: Red">3.141592653589793238</span>4626433832474475839, 4.6259292692714855850984652837117513021 E-19]
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Po uwzględnieniu wyliczonego błędu kolorem czerwonym zaznaczono tylko te cyfry, których wartość jest pewna. W&nbsp;rzeczywistości jeszcze kolejnych <math>10</math> cyfr jest poprawnych.
−
Wszystkie liczby naturalne zakończone cyframi <math>99</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>a_n = 100 k + 99</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{N}</math>. Ponieważ ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem arytmetycznym, a&nbsp;liczby <math>99</math> i <math>100</math> są względnie pierwsze, to na podstawie twierdzenia Dirichleta stwierdzamy, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi <math>99</math>.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
::<math>f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.1527399692533334654765895125096821824796221626790438771977250903 \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Fx+from+2*Pi+to+10%5E4 WolframAlpha])
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C30</span><br/>
+
Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.13)
−
Niech <math>a \geqslant 2</math> będzie liczbą całkowitą. Wartość funkcji <math>\pi(n; a, b)</math> jest równa ilości liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, które przy dzieleniu przez <math>a</math> dają resztę <math>b</math>.
+
[<span style="color: Red">0.152739969</span>25335764945765416969734658087, 2.3263037652077992736046178707334374747 E-10]
  
  
 +
::<math>f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{\log (x)}}</math>, <math>\qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.63535086286 \ldots \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Flog%28x%29+from+2*Pi+to+10%5E4 WolframAlpha])
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C31</span><br/>
+
Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.46)
−
Zauważmy, że w&nbsp;twierdzeniu Dirichleta na liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> nałożone są minimalne warunki: <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Sytuacja w&nbsp;przypadku funkcji <math>\pi (n ; a, b)</math> jest odmienna – tutaj mamy <math>a \geqslant 2</math> oraz <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jest tak dlatego, że podział liczb pierwszych, który odzwierciedla funkcja <math>\pi (n ; a, b)</math> jest podziałem pierwotnym, a&nbsp;twierdzenie Dirichleta jest tylko jego uzasadnieniem. Podział
+
[<span style="color: Red">0.63535086</span>286330151753047973075030359191, 8.2315363999660589681394170810567787567 E-10]
−
liczb pierwszych musi być też precyzyjnie określony, tak aby zachodził naturalny związek
 
  
−
::<math>\sum_{b = 0}^{a - 1} \pi (n ; a, b) = \pi (n)</math>
 
  
−
Oczywiście nie przeszkadza to w&nbsp;liczeniu liczb pierwszych w&nbsp;dowolnym ciągu arytmetycznym. Niech na przykład
+
::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>
  
−
::<math>u_k = 7 k + 101 = 7 (k + 14) + 3 \qquad</math> gdzie <math>k = 0, 1, \ldots</math>
+
gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład E43)
  
−
Ilość liczb pierwszych w&nbsp;ciagu <math>(u_k)</math> jest równa
+
::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>
  
−
::<math>\pi (n ; 7, 3) - \pi (7 \cdot 13 + 3 ; 7, 3) = \pi (n ; 7, 3) - 5</math>
+
Zauważmy, że funkcja <math>{\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math> nie jest ciągła, ale jest kawałkami klasy <math>C^4</math>. Zapiszmy całkę w&nbsp;postaci sumy całek, z&nbsp;których każda jest określona w&nbsp;przedziale <math>[k, k + 1]</math>
  
 +
::<math>\int_{1}^{10} f (x) d x = \int_{1}^{10} \frac{x - \lfloor x \rfloor - {\small\frac{1}{2}}}{x} d x</math>
 +
:::::<math>\;\;\;\,\, = \int_{1}^{10} \left( 1 - \frac{\lfloor x \rfloor + {\small\frac{1}{2}}}{x} \right) d x</math>
 +
:::::<math>\;\;\;\,\, = 9 - \sum_{k = 1}^{9} \int_{k}^{k + 1} \frac{k + {\small\frac{1}{2}}}{x} d x</math>
 +
:::::<math>\;\;\;\,\, = 9 - \sum_{k = 1}^{9} \left( k + {\small\frac{1}{2}} \right) \int_{k}^{k + 1} {\small\frac{d x}{x}}</math>
  
 +
Mamy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C32</span><br/>
+
f(x) = 1 / x
−
Pokazać, że dla dowolnej liczby całkowitej <math>m \geqslant 1</math>
+
[9, 0] - sum( k = 1, 9, (k + 1/2) * Simpson(k, k + 1, 2^20, 24/k^5) )
 +
[<span style="color: Red">-0.07273090336196438696320</span>0988526802160255, -1.7650768731492669233661475404296456609 E-25]
  
−
* wśród liczb naturalnych zawsze można wskazać <math>m</math> kolejnych liczb, które są złożone
+
Zauważmy, że całka i&nbsp;błąd są mnożone przez czynnik <math>\left( k + {\small\frac{1}{2}} \right)</math> – tak, jak być powinno! Ujemny znak błędu wynika z&nbsp;odejmowania wyliczonego błędu od zera.
−
* w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zawsze można wskazać <math>m</math> kolejnych wyrazów, które są złożone
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
−
'''Punkt 1.'''<br/>
 
−
W przypadku liczb naturalnych, łatwo widzimy, że kolejne liczby
 
  
−
::<math>(m + 1) ! + 2, \quad (m + 1) ! + 3, \quad \ldots, \quad (m + 1) ! + (m + 1)</math>
 
  
−
są liczbami złożonymi. Co oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>m</math> zawsze możemy wskazać taką liczbę <math>n</math>, że <math>p_{n + 1} - p_n > m</math>.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F21</span><br/>
 +
Czytelnik zapewne zwrócił uwagę, że we wszystkich przedstawionych przykładach wybieraliśmy liczbę podziałów tak, aby była potęgą liczby <math>2</math>. Są ku temu dwa dobre powody
  
−
'''Punkt 2.'''<br/>
+
:* ułamek <math>{\small\frac{1}{2^n}}</math> ma skończoną reprezentację binarną, co poprawia precyzję obliczeń
−
W przypadku ciągu arytmetycznego <math>u_k = a k + b</math> rozważmy kolejne wyrazy ciągu począwszy od wskaźnika
+
:* potrzebujemy dwukrotnego wzrostu liczby podziałów, aby zmniejszyć błąd o&nbsp;rząd wielkości (błąd maleje <math>16</math>-krotnie)
  
−
::<math>k_0 = \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b)</math>
 
  
−
Łatwo zauważamy, że dla <math>k = k_0, k_0 + 1, \ldots, k_0 + (m - 1)</math> wyrazy ciągu arytmetycznego <math>u_k = a k + b</math> są liczbami złożonymi. Istotnie, niech <math>t = 0, 1, \ldots, m - 1</math> wtedy
 
  
−
::<math>u_k = a k + b =</math>
 
  
−
:::<math>\! = a (k_0 + t) + b =</math>
 
  
−
:::<math>\! = a k_0 + (a t + b) =</math>
 
  
−
:::<math>\! = a \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b) + (a t + b)</math>
 
  
−
i liczba <math>a t + b</math> dzieli iloczyn <math>\prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b)</math> dla <math>t = 0, \ldots, m - 1</math>. Co należało pokazać.
+
== Całkowanie przybliżone pewnych całek niewłaściwych ==
  
−
Wiemy, że jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech będą to liczby <math>q_1, q_2, \ldots, q_r, \ldots</math>. Uzyskany rezultat oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>m</math> zawsze możemy wskazać taką liczbę <math>n</math>, że <math>q_{n + 1} - q_n \geqslant a (m + 1)</math><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F22</span><br/>
−
&#9633;
+
Jeżeli całka <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> jest zbieżna i&nbsp;istnieje funkcja <math>g(t)</math> spełniająca warunki
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
:* <math>| f (t) | \leqslant g (t)</math> dla <math>t \geqslant b</math>
 +
:* istnieje całka nieoznaczona <math>G(t) = \int g (t) d t + C</math>
 +
:* całka <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna
 +
:* <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>
  
 +
gdzie <math>b > a</math> jest dowolnie wybraną liczbą, to przybliżona wartość całki niewłaściwej <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> jest równa
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C33</span><br/>
+
::<math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right]</math>
−
Rozważmy ciąg arytmetyczny <math>u_k = 3 k + 2</math> i&nbsp;wskaźnik
 
  
−
::<math>k_0 = \prod^{12}_{j = 0} (3 j + 2) = 3091650738176000</math>
+
z błędem nie większym niż
  
−
Trzynaście wyrazów tego szeregu dla <math>k = k_0 + t</math>, gdzie <math>t = 0, 1, \ldots, 12</math> to oczywiście liczby złożone, ale wyrazy dla <math>k = k_0 - 1</math> i <math>k = k_0 + 13</math> są liczbami pierwszymi.
+
::<math>E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b)</math>
  
−
Przeszukując ciąg <math>u_k = 3 k + 2</math> możemy łatwo znaleźć, że pierwsze trzynaście kolejnych wyrazów złożonych pojawia się już dla <math>k = 370, 371, \ldots, 382</math>.
+
Przy czym optymalna liczba podziałów przedziału <math>[a, b]</math> (dla ustalonej wartości <math>b</math>) wynosi
  
 +
::<math>n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}}</math>
  
 +
Odpowiada jej minimalny błąd równy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C34</span><br/>
+
::<math>{\small\frac{(b - a) g (b)}{5}} - G (b)</math>
−
Jeżeli <math>n \geqslant 3</math>, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (n)</math> liczb pierwszych.
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Warunek <math>n \geqslant 3</math> nie wynika z&nbsp;potrzeb dowodu, a&nbsp;jedynie pomija sytuacje nietypowe, których twierdzenie nie obejmuje. Zawsze istnieje jedna liczba naturalna, która jest liczbą pierwszą i&nbsp;łatwo możemy wskazać dwie kolejne liczby naturalne będące liczbami pierwszymi.
+
Zauważmy najpierw, że ponieważ z&nbsp;założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie E28). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.
 +
 
 +
Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd
 +
 
 +
::<math>\left| \int_{a}^{\infty} f (t) d t - \int^b_a f (t) d t \right| = \left| \int_{b}^{\infty} f (t) d t \right|</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\;\;\:\, \leqslant \int_{b}^{\infty} | f (t) | d t</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\;\;\:\, \leqslant \int_{b}^{\infty} g (t) d t</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\;\;\:\, = \lim_{t \to + \infty} G (t) - G (b)</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\;\;\:\, = - G (b)</math>
 +
 
 +
 
 +
Całkę oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math> możemy policzyć metodą parabol
  
−
Niech <math>k \in \mathbb{N}</math>. Wartość funkcji
+
::<math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x \approx \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum^{n / 2 - 1}_{k = 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right]</math>
  
−
::<math>Q(k, n) = \pi (k + n) - \pi (k)</math>
+
popełniając przy tym błąd
  
−
jest równa ilości liczb pierwszych wśród <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych od liczby <math>k + 1</math> do liczby <math>k + n</math>.
+
::<math>E_n = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}}</math>
  
−
Uwzględniając, że wypisane niżej wyrażenia w&nbsp;nawiasach kwadratowych mogą przyjmować jedynie dwie wartości <math>0</math> lub <math>1</math>, dostajemy
+
Zatem całkowity błąd jest nie większy niż
  
−
:* <math>\biggl| Q (k + 1, n) - Q (k, n) \biggr| = \biggl| \bigl[\pi (k + n + 1) - \pi (k + n) \bigr] - \bigl[\pi (k + 1) - \pi (k) \bigr] \biggr| \leqslant 1</math>
+
::<math>E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b)</math>
  
−
Ponadto mamy
 
  
−
:* <math>Q(0, n) = \pi (n) \qquad</math> bo <math>\pi (0) = 0</math>
+
Zauważmy, że równanie
−
:* <math>Q((n + 1) ! + 1, n) = 0 \qquad</math> bo liczby <math>(n + 1) ! + 2, \ldots, (n + 1) ! + (n + 1)</math> są liczbami złożonymi
 
  
−
Ponieważ wartości funkcji <math>Q(k, n)</math> mogą zmieniać się tylko o <math>- 1</math>, <math>0</math> lub <math>1</math>, to <math>Q(k, n)</math> musi przyjmować '''wszystkie''' wartości całkowite od <math>0</math> do <math>\pi (n)</math>. Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>k_r</math>, że <math>Q(k_r, n) = r</math>, gdzie <math>0 \leqslant r \leqslant \pi (n)</math>.
+
::<math>{\small\frac{d}{d b}} \left( {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) \right) = 0</math>
  
 +
czyli
  
−
::[[File: C_Q10.png|none]]
+
::<math>g(b) = {\small\frac{M (b - a)^4}{36 n^4}}</math>
  
−
Fragment wykresu funkcji <math>Q(k, 10)</math>. Widzimy, że dla <math>k = 113</math> po raz pierwszy mamy <math>Q(k, 10) = 0</math>, a&nbsp;funkcja <math>Q(k, 10)</math> przyjmuje wszystkie wartości całkowite od <math>0</math> do <math>5</math>.<br/>
+
jest warunkiem na minimalną wartość błędu. Wynika z&nbsp;niego optymalna wartość liczby podziałów <math>n</math> przedziału <math>[a, b]</math> dla wybranej wartości <math>b</math>
 +
 
 +
::<math>n^4 = {\small\frac{M (b - a)^4}{36 g (b)}}</math>
 +
 
 +
Ostatecznie dostajemy
 +
 
 +
::<math>n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}}</math>
 +
 
 +
Błąd dla optymalnej wartości <math>n</math> wynosi
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) = {\small\frac{M (b - a)^5}{180}} \cdot {\small\frac{36 g (b)}{M (b - a)^4}} - G (b) = {\small\frac{(b - a) g (b)}{5}} - G (b)</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 597: Linia 773:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C35</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F23</span><br/>
−
Czytelnik może łatwo sprawdzić, że ciąg <math>( 1308, \ldots, 1407 )</math> stu kolejnych liczb całkowitych zawiera dokładnie <math>8</math> liczb pierwszych.
+
Na podstawie twierdzenia F22, możemy napisać w&nbsp;PARI/GP program do przybliżonego liczenia całek niewłaściwych. Jeżeli parametrowi <code>num</code> przypiszemy wartość -1 (wartość domyślna), to zostanie wyliczona optymalna liczba podziałów
  
 +
::<math>n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}}</math>
  
 +
(czyli taka, aby błąd był najmniejszy). Jeżeli parametr <code>num</code> przyjmie wartość -2, to optymalna liczba podziałów <math>n</math> zostanie zapisana w&nbsp;postaci potęgi liczby 2 (o wartości najbliższej optymalnej liczbie podziałów). W&nbsp;przypadku, gdy parametr <code>num</code> jest liczbą większą od zera, będzie on użyty do obliczeń jako liczba przedziałów <math>n</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C36</span><br/>
 
−
Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C34, że istnieje <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Program jest prosty, ale wymaga (zgodnie z&nbsp;twierdzeniem F22) nie tylko definicji funkcji podcałkowej, ale znacznie więcej. Przed uruchomieniem programu musimy
−
Zauważmy, że <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych
+
 
 +
:1. zdefiniować funkcję podcałkową <math>f(t)</math>
 +
 
 +
:2. zdefiniować liczbę <math>M</math> będącą oszacowaniem od góry funkcji <math>| f^{(4)} (t) |</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>
 +
 
 +
:3. zdefiniować funkcję <math>g(t)</math> taką, że <math>| f (t) | \leqslant g (t)</math> dla <math>t \geqslant b</math>
 +
 
 +
:4. zdefiniować całkę nieoznaczoną <math>G(t)</math> funkcji <math>g(t)</math>
 +
 
 +
:5. upewnić się, że całka <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna
 +
 
 +
:6. sprawdzić, czy <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>, a&nbsp;gdyby tak nie było, to zmienić definicję funkcji <math>G(t)</math>
 +
 
 +
 
 +
Dopiero po wykonaniu tych czynności możemy uruchomić program Simproper(a, b, num)
 +
 
 +
Simproper(a, b, num = -1) =
 +
{
 +
local(err, h, k, n, S);
 +
n = if( num <= 0, floor(  (b - a) * ( M/36/g(b) )^(1/4)  ), num );
 +
n = 2 * floor( (n+1)/2 );
 +
if( num == -2, n = 2^floor( log(n)/log(2) + 1/2 ) );
 +
h = 1.0*(b - a)/n;
 +
S = f(a) + 4 * sum(k = 1, n/2, f(a + (2*k-1)*h)) + 2 * sum(k = 1, n/2 - 1, f(a + 2*k*h)) + f(b);
 +
S = (b - a)/(3*n) * S;
 +
err = 1.0 * M * (b - a)^5 / (180 * n^4) - G(b);
 +
return( [S, err] );
 +
}
 +
 
 +
Jeżeli funkcja <math>g(t)</math> jest szybko zbieżna, to nie należy prowadzić obliczeń w&nbsp;zbyt szerokim przedziale. Program będzie usiłował zapewnić odpowiednio mały błąd wyliczanej całki i&nbsp;liczba podziałów przedziału <math>[a, b]</math> może osiągnąć ogromne wartości, a&nbsp;obliczenia będą bardzo czasochłonne.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F24</span><br/>
 +
Rozważmy całkę <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t</math>.
 +
 
 +
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t = 0.0032550962148135833916711170162561745391641476739599050514576388 \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Fx%5E3+from+2*Pi+to+infinity WolframAlpha])
 +
 
 +
Tak dokładny rezultat jest możliwy, ponieważ
 +
 
 +
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{1}{2}} \mathop{\textnormal{Si}}(2 \pi) - {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{4 \pi}}</math>
 +
 
 +
gdzie funkcja <math>\mathop{\textnormal{Si}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> (sinus całkowy<ref name="SinusCalkowy1"/><ref name="SinusCalkowy2"/><ref name="SinusCalkowy3"/>) jest funkcją specjalną i&nbsp;wiemy, jak obliczać jej wartości z&nbsp;wysoką dokładnością.
  
−
::<math>1001! + 2, 1001! + 3, \ldots, 1001! + 1001</math>
 
  
−
nie zawiera żadnej liczby pierwszej. Wielokrotnie zmniejszając wszystkie wypisane wyżej liczby o&nbsp;jeden, aż do chwili, gdy pierwsza z&nbsp;wypisanych liczb będzie liczbą pierwszą uzyskamy <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
+
Aby skorzystać z&nbsp;programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować
  
−
Uwaga: dopiero liczba <math>1001! - 1733</math> jest pierwsza.<br/>
+
::<math>f(t) = {\small\frac{\sin (t)}{t^3}}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>g(t) = {\small\frac{1}{t^3}}</math>
  
 +
::<math>G(t) = - {\small\frac{1}{2 t^2}}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C37</span><br/>
+
::<math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>
−
Pokazać, że istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (t) |</math> dla <math>M = 0.004</math>
−
Rozwiązywanie zadania rozpoczniemy od dwóch spostrzeżeń
 
  
−
:* wśród pierwszych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> jest <math>13</math> liczb pierwszych
 
−
:* w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych (zobacz zadanie C32), zatem istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej
 
  
−
Pierwsze spostrzeżenie pokazuje, że rozwiązanie problemu jest potencjalnie możliwe. Rozwiązanie mogłoby nie istnieć, gdybyśmy szukali <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> wśród których jest, powiedzmy, <math>15</math> liczb pierwszych.
+
Dla różnych wartości <math>b</math> otrzymujemy
  
−
Drugie spostrzeżenie mówi nam, że ilość liczb pierwszych wśród kolejnych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> zmienia się od <math>13</math> do <math>0</math>. Analiza przebiegu tych zmian jest kluczem do dowodu twierdzenia.
+
Simproper(2*Pi, 10^5)
 +
[<span style="color: Red">0.003255096</span>2148146005117256508966635416723, 6.9998742421027342073324279855934715203 E-11]
  
 +
Simproper(2*Pi, 3*10^5)
 +
[<span style="color: Red">0.0032550962</span>148136208735774540186061237864, 7.7777312525236569255722454074806518694 E-12]
  
−
Zbadajmy zatem, jak zmienia się ilość liczb pierwszych wśród kolejnych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>. Rozważmy ciąg <math>a_k = 6 k + 1</math>, gdzie <math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>
 
  
−
<math>(a_k) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127}, 133, \mathbf{139}, 145, \mathbf{151}, \mathbf{157}, \mathbf{163}, 169, 175, \mathbf{181}, 187, \mathbf{193}, \mathbf{199}, 205, \mathbf{211}, \ldots)</math>
 
  
−
Liczby pierwsze zostały pogrubione.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F25</span><br/>
 +
Rozważmy całkę oznaczoną
  
 +
::<math>\int_{0}^{\infty} {\small\frac{d t}{e^t + t}} = 0.8063956162073262251 \ldots \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2F%28x%2Bexp%28x%29%29+from+0+to+inf WolframAlpha])
  
−
Niech <math>(B^n)</math> będzie fragmentem ciągu <math>(a_k)</math> rozpoczynającym się od <math>n</math>-tego wyrazu ciągu i&nbsp;złożonym z <math>20</math> kolejnych wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>. Przykładowo mamy
+
Aby skorzystać z&nbsp;programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować
  
−
<math>(B^1) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115 )</math>
+
::<math>f(t) = {\small\frac{1}{e^t + t}}</math>
  
−
<math>(B^2) = ( \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121 )</math>
+
::<math>g(t) = {\small\frac{1}{e^t}}</math>
  
−
<math>(B^3) = ( \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127} )</math>
+
::<math>G(t) = - {\small\frac{1}{e^t}}</math>
  
 +
::<math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>
  
−
Musimy zrozumieć, jak przejście od ciągu <math>(B^n)</math> do ciągu <math>(B^{n + 1})</math>
+
::<math>M \geqslant \underset{t \geqslant 0}{\max} | f^{(4)} (t) |</math> dla <math>M = 261</math>
−
wpływa na ilość liczb pierwszych w&nbsp;tych ciągach.
 
  
−
* jeżeli najmniejszy wyraz ciągu <math>(B^n)</math> jest liczbą złożoną, to po przejściu do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych w&nbsp;tym ciągu w&nbsp;stosunku do ilości liczb pierwszych w&nbsp;ciągu <math>(B^n)</math> może
 
−
** pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą złożoną)
 
−
** zwiększyć się o&nbsp;jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą pierwszą)
 
  
−
* jeżeli najmniejszy wyraz ciągu <math>(B^n)</math> jest liczbą pierwszą, to po przejściu do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych w&nbsp;tym ciągu w&nbsp;stosunku do ilości liczb pierwszych w&nbsp;ciągu <math>(B^n)</math> może
+
Dla różnych wartości <math>b</math> otrzymujemy
−
** zmniejszyć się o&nbsp;jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą złożoną)
 
−
** pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą pierwszą)
 
  
 +
Simproper(0, 40)
 +
[<span style="color: Red">0.806395616207326</span>22105189277802198625914, 3.8235099324937067671907345290643700420 E-17]
  
−
Wynika stąd, że przechodząc od ciągu <math>(B^n)</math> do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych może się zmienić o <math>- 1</math>, <math>0</math> lub <math>1</math>. Z&nbsp;drugiego ze spostrzeżeń uczynionych na początku dowodu wynika istnienie takiej liczby <math>r</math>, że wśród ciągów
+
Simproper(0, 50)
 +
[<span style="color: Red">0.8063956162073262251</span>7960851949178238112, 2.1216247131181941474567287282139719553 E-21]
  
−
::<math>(B^1), (B^2), \ldots, (B^r)</math>
 
  
−
ilość liczb pierwszych będzie przyjmowała '''wszystkie''' możliwe wartości od liczby <math>13</math> do liczby <math>0</math>. Co zapewnia istnienie takich <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, że wśród nich jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F26</span><br/>
 +
Policzyć wartość całki
  
 +
::<math>\int_{0}^{\infty} {\small\frac{d t}{e^t + t^2}} = 0.818759031812863 \ldots \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2F%28exp%28x%29+%2B+x%5E2%29+from+0+to+infinity WolframAlpha])
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C38</span><br/>
 
−
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a \geqslant 2</math> i <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> są względnie pierwsze, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb postaci <math>a k + b</math>, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (a (n - 1) + b ; a, b)</math> liczb pierwszych.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Twierdzenie można udowodnić uogólniając dowód twierdzenia C34 lub wykorzystując metodę zastosowaną w&nbsp;rozwiązaniu zadania C37.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>
 +
Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia F22. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w&nbsp;stanie w&nbsp;ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z&nbsp;twierdzenia E23. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C39</span><br/>
 
−
Niech <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> występują kwadraty wszystkich liczb pierwszych <math>p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F28</span><br/>
−
Wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste <math>p \geqslant 5</math> mogą być postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math>. Ponieważ
+
Jeżeli funkcja <math>f(t)</math> jest klasy <math>C^n</math>, to
  
−
::<math>(6 k + 1)^2 = 6 (6 k^2 + 2 k) + 1</math>
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
::<math>(6 k + 5)^2 = 6 (6 k^2 + 10 k + 4) + 1</math>
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
zatem kwadraty liczb pierwszych są postaci <math>6 k + 1</math> i&nbsp;nie mogą występować w&nbsp;ciągu postaci <math>6 k + 5</math>.<br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
'''Punkt 1.'''
  
 +
Indukcja matematyczna. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla <math>n = 1</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C40</span><br/>
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f^{(0)} (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t</math>
−
Dany jest ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze. Pokazać, że
 
  
−
* jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a</math>, to żaden wyraz ciągu <math>a k + b</math> nie jest podzielny przez <math>p</math>
+
::::::<math>\;\;\; = - f (t) \cos (t) + \int f' (t) \cos (t) d t</math>
−
* jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> nie dzieli <math>a</math>, to istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a k + b</math>, które są podzielne przez <math>p</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
−
'''Punkt 1.'''<br/>
 
−
Zauważmy, że liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem liczba pierwsza <math>p</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>a</math> i <math>b</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p|a</math>, to wynika stąd, że <math>p</math> nie dzieli <math>b</math>. Jeśli tak, to
 
  
−
::<math>a k + b = (n p) k + b</math>
+
Zauważmy, że
  
−
i <math>p</math> nie dzieli żadnej liczby postaci <math>a k + b</math>.
+
::<math>\frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] = f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right)</math>
  
−
'''Punkt 2.'''<br/>
+
Zatem
−
<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/>
 
−
Niech <math>k_0 \in \mathbb{N}</math>. Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych <math>i, j</math> takich, że <math>1 \leqslant i < j \leqslant p</math> liczby <math>a(k_0 + i) + b</math> oraz <math>a(k_0 + j) + b</math> dają tę samą resztę przy dzieleniu przez liczbę pierwszą <math>p</math>. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez <math>p</math>
 
  
−
::<math>p| [a (k_0 + j) + b] - [a (k_0 + i) + b]</math>
+
::<math>f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) = \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] - f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right)</math>
  
−
czyli
+
::<math>\int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t = f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
::<math>p|a (j - i)</math>
 
  
−
Ponieważ <math>p \nmid a</math> to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70), mamy
+
Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej <math>n</math> i&nbsp;korzystając z&nbsp;pokazanego przed chwilą związku, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>.
  
−
::<math>p| (j - i)</math>
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
co jest niemożliwe, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant p - 1 < p</math>.
+
::::::<math>\;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
Zatem reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> są wszystkie różne, a&nbsp;ponieważ jest ich <math>p</math>, czyli tyle ile jest różnych reszt z&nbsp;dzielenia przez liczbę <math>p</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>p</math>, czyli ze zbiorem <math>S = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że wśród <math>p</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jeden z&nbsp;tych wyrazów jest podzielny przez <math>p</math>. Zatem istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a k + b</math>, które są podzielne przez <math>p</math>.
+
::::::<math>\;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) d t</math>
  
 +
::::::<math>\;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{n \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
<span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/>
+
Co kończy dowód indukcyjny.
−
Problem sprowadza się do wykazania istnienia nieskończenie wielu par liczb naturalnych <math>(k, n)</math>, takich że
 
  
−
::<math>a k + b = n p</math>
 
  
−
Co z&nbsp;kolei sprowadza się do badania rozwiązań całkowitych równania
+
'''Punkt 2.'''
  
−
::<math>n p - a k = b</math>
+
Indukcja matematyczna. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla <math>n = 1</math>.
  
−
Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Na mocy twierdzenia C73 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f^{(0)} (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t</math>
  
−
::<math>n = n_0 + p t</math>
+
::::::<math>\;\;\; = f (t) \sin (t) - \int f' (t) \sin (t) d t</math>
−
::<math>k = k_0 + a t</math>
 
  
−
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą, a&nbsp;para liczb <math>(n_0, k_0)</math> jest dowolnym rozwiązaniem tego równania. Widzimy, że dla dostatecznie dużych liczb <math>t</math> zawsze możemy uzyskać takie <math>n</math> i <math>k</math>, że <math>n, k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazaliśmy w&nbsp;ten sposób, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
 
  
 +
Zauważmy, że
  
−
<span style="border-bottom-style: double;">Trzeci sposób</span><br/><br/>
+
::<math>\frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] = f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right)</math>
−
Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Lemat Bézouta zapewnia istnienie takich liczb całkowitych <math>x</math> i <math>y</math>, że
 
  
−
::<math>a x + p y = 1</math>
+
Zatem
  
−
Niech <math>k_0 = r p - b x</math>, gdzie <math>r</math> jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, ale na tyle dużą, aby <math>k_0</math> była liczbą dodatnią bez względu na znak iloczynu <math>b x</math>. Łatwo sprawdzamy, że liczba <math>a k_0 + b</math> jest podzielna przez <math>p</math>
+
::<math>f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) = - \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] + f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right)</math>
  
−
::<math>a k_0 + b = a (r p - b x) + b =</math>
+
::<math>\int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t = - f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
::::<math>\;\; = a r p - a b x + b =</math>
 
  
−
::::<math>\;\; = a r p + b (1 - a x) =</math>
+
Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej <math>n</math> i&nbsp;korzystając z&nbsp;pokazanego przed chwilą związku, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>.
  
−
::::<math>\;\; = a r p + b p y =</math>
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
::::<math>\;\; = p (a r + b y)</math>
+
::::::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
Zatem w&nbsp;ciągu <math>a k + b</math> istnieje przynajmniej jeden wyraz podzielny przez liczbę pierwszą <math>p</math>. Jeśli tak, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez <math>p</math>, bo dla <math>k = k_0 + s p</math>, gdzie <math>s \in \mathbb{N}</math>, mamy
+
::::::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
::<math>a k + b = a (k_0 + s p) + b = a s p + (a k_0 + b)</math>
+
::::::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{n \pi}{2}} \right) d t</math>
  
−
Czyli <math>p|a k + b</math>.<br/>
+
Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 773: Linia 968:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C41</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F29</span><br/>
−
Łatwo możemy napisać w&nbsp;PARI/GP funkcję, która zwraca najmniejszą liczbę naturalną <math>k_0</math>, dla której wyraz ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jest podzielny przez <math>p</math> (przy założeniu, że liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze).
+
Z twierdzenia F27 wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory
 +
 
 +
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t</math>
  
−
f(a,b,p) = lift( Mod(-b,p)*Mod(a,p)^(-1) )
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) - \int f^{(2)} (t) \sin (t) d t</math>
  
 +
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - \int f^{(3)} (t) \cos (t) d t</math>
  
 +
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t</math>
  
  
  
−
== Ciągi nieskończone i&nbsp;liczby pierwsze ==
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F30</span><br/>
 +
Z twierdzenia F27 wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C42</span><br/>
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t</math>
−
Choć wiele ciągów jest dobrze znanych i&nbsp;równie dobrze zbadanych, to nie wiemy, czy zawierają one nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przykładowo
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - \int f^{(2)} (t) \cos (t) d t</math>
−
|-
+
 
−
| <math>\quad 1. \quad</math>
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - f^{(2)} (t) \sin (t) + \int f^{(3)} (t) \sin (t) d t</math>
−
| <math>a_n = n^2 + 1</math>
+
 
−
| [https://oeis.org/A002496 A002496]
+
::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - f^{(2)} (t) \sin (t) - f^{(3)} (t) \cos (t) + \int f^{(4)} (t) \cos (t) d t</math>
−
|-
+
 
−
| <math>\quad 2. \quad</math>
+
 
−
| <math>b_n = n^2 - n - 1</math>
+
 
−
| [https://oeis.org/A002327 A002327]
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F31</span><br/>
−
|-
+
Rozważmy całkę
−
| <math>\quad 3. \quad</math>
+
 
−
| <math>c_n = n^2 + n + 1</math>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = 0.152644750662268168985541529340002012956131350392536638644752066 \ldots \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Fx+from+2*Pi+to+inf WolframAlpha])
−
| [https://oeis.org/A002383 A002383]
+
 
−
|-
+
Nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając ze wzoru podanego w&nbsp;uwadze F29, otrzymujemy
−
| <math>\quad 4. \quad</math>
+
 
−
| <math>d_n = n^4 + 1</math>
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) - \int f^{(2)} (t) \sin (t) d t</math>
−
| [https://oeis.org/A000068 A000068]
+
 
−
|-
+
Zatem
−
| <math>\quad 5. \quad</math>
+
 
−
| <math>u_n = n! + 1</math>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{t}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t^2}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - 2 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t</math>
−
| [https://oeis.org/A002981 A002981]
+
 
−
|-
+
::::::<math>\, = {\small\frac{1}{2 \pi}} - 2 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t</math>
−
| <math>\quad 6. \quad</math>
+
 
−
| <math>v_n = n! - 1</math>
+
 
−
| [https://oeis.org/A002982 A002982]
+
Całkę <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t</math> umiemy już obliczyć (przykład F24), zatem bez trudu policzymy całkę <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math>. Skoro poszło nam tak dobrze, to spróbujmy wykorzystać wzór
−
|-
+
 
−
| <math>\quad 7. \quad</math>
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t</math>
−
| <math>M_n = 2^n - 1</math> (liczby Mersenne'a)
+
 
−
| [https://oeis.org/A000043 A000043]
+
Otrzymujemy
−
|-
+
 
−
| <math>\quad 8. \quad</math>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{t}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t^2}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 2 {\small\frac{\cos (t)}{t^3}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 6 {\small\frac{\sin (t)}{t^4}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t</math>
−
| <math>F_n = 2^{2^n} + 1</math> (liczby Fermata)
+
 
−
| [https://oeis.org/A019434 A019434]
+
::::::<math>\, = {\small\frac{1}{2 \pi}} - {\small\frac{1}{4 \pi^3}} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t</math>
−
|-
+
 
−
| <math>\quad 9. \quad</math>
+
 
−
| <math>F_n (a) = a^{2^n} + 1</math> (uogólnione liczby Fermata, <math>a</math> parzyste)
+
Aby policzyć numerycznie całkę po prawej stronie, musimy przygotować:
−
| [https://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFermatNumber.html MathWorld]
+
 
−
|}
+
::<math>f(t) = {\small\frac{\sin (t)}{t^5}}</math>
 +
 
 +
::<math>g(t) = {\small\frac{1}{t^5}}</math>
 +
 
 +
::<math>G(t) = - {\small\frac{1}{4 t^4}}</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>
 +
 
 +
::<math>M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (x) |</math> dla <math>M = 6 \cdot 10^{- 5}</math>
 +
 
 +
 
 +
Dla różnych wartości <math>b</math> otrzymujemy
 +
 
 +
Simproper(2*Pi, 10^3)
 +
[<span style="color: Red">6.469546</span>5777027289767180972728663860875 E-5, 4.4874345453688215509527110951904781824 E-13]
  
−
Nie wiemy, czy istnieje wielomian całkowity <math>W(n)</math> stopnia większego niż jeden taki, że <math>W(n)</math> jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu liczb <math>n</math>.
+
Simproper(2*Pi, 10^4)
 +
[<span style="color: Red">6.469546577</span>8029401532128088001319549975 E-5, 4.4987432411781955704707501103003654673 E-17]
  
  
 +
Uzyskaliśmy wynik
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C43</span><br/>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = {\color{Red} 6.469546577}8029 \cdot 10^{- 5}</math>
−
Łatwo sprawdzić, że wartości wielomianu <math>W(n) = n^2 + n + 41</math> są liczbami pierwszymi dla <math>1 \leqslant n \leqslant 39</math>. Oczywiście <math>41 | W(41)</math>.
 
  
 +
Dla porównania
  
 +
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = 6.46954657780293963651366308178572112473974453729045450304230 \cdot 10^{- 5} \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+sin%28x%29%2Fx%5E5+from+2*Pi+to+infinity WolframAlpha])
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C44</span><br/>
 
−
Niech <math>a, n</math> będą liczbami całkowitymi takimi, że <math>a \geqslant 2</math> i <math>n \geqslant 1</math>. Jeżeli liczba <math>a^n + 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a</math> jest liczbą parzystą i <math>n = 2^m</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
I ostatecznie dostajemy
−
Gdyby liczba <math>a</math> była nieparzysta, to <math>a^n + 1 \geqslant 4</math> byłoby parzyste i&nbsp;nie mogłoby być liczbą pierwszą.
 
  
−
Niech teraz wykładnik <math>n = x y</math> będzie liczbą złożoną, zaś <math>x</math> będzie liczbą nieparzystą. Wtedy
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2 \pi}} - {\small\frac{1}{4 \pi^3}} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = {\color{Red} 0.15264475066226}8169</math>
  
−
::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1</math>
+
Korzystając z&nbsp;przykładu F24, uzyskalibyśmy mniej dokładny wynik.
  
−
Oznaczając <math>b = a^y</math> oraz <math>x = 2 k + 1</math> mamy
 
  
−
::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1 =</math>
 
  
−
::::<math>\: = b^x + 1 =</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F32</span><br/>
 +
Pokażemy, że
  
−
::::<math>\: = b^{2 k + 1} + 1 =</math>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = 0.5319715471471 \ldots</math>
  
−
::::<math>\: = (b + 1) \cdot (b^{2 k} - b^{2 k - 1} + \ldots - b^3 + b^2 - b + 1)</math>
+
W tym przypadku również nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając ze wzoru na całkowanie przez części
  
−
Wynika stąd, że w&nbsp;takim przypadku <math>a^n + 1</math> jest liczbą złożoną. Zatem wykładnik <math>n</math> nie może zawierać czynników nieparzystych, czyli musi być <math>n = 2^m</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
dostajemy
  
 +
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{\log (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t \cdot \log^2 (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + {\small\frac{(\log (t) + 2) \cos (t)}{t^2 \cdot \log^3 (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - f^{(3)} (t) \sin (t) \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C45</span><br/>
+
::::::<math>\: = {\small\frac{1}{\log (2 \pi)}} - {\small\frac{\log (2 \pi) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^3 (2 \pi)}} + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t</math>
−
Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 1</math> liczba <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>, bo <math>x - y</math> dzieli <math>x^1 - y^1</math>. Załóżmy, że <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>, czyli <math>x^n - y^n = (x - y) \cdot k</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
 
  
−
::<math>x^{n + 1} - y^{n + 1} = x x^n - y x^n + y x^n - y y^n =</math>
+
Aby skorzystać z&nbsp;programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować
  
−
:::::<math>\quad \, = (x - y) x^n + y (x^n - y^n) =</math>
+
::<math>f(t) = {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}}</math>
  
−
:::::<math>\quad \, = (x - y) x^n + y (x - y) \cdot k =</math>
+
::<math>g(t) = {\small\frac{6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24}{t^4 \cdot \log^5 (t)}}</math>
  
−
:::::<math>\quad \, = (x - y) (x^n + y \cdot k)</math>
+
::<math>G(t) = - {\small\frac{2 \log^2 (t) + 6 \log (t) + 6}{t^3 \cdot \log^4 (t)}}</math>
  
−
Czyli <math>x - y</math> jest dzielnikiem <math>x^{n + 1} - y^{n + 1}</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
::<math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (t) |</math> dla <math>M = 0.011</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C46</span><br/>
+
Dla różnych wartości <math>b</math> otrzymujemy
−
Jeżeli <math>n \geqslant 2</math> oraz <math>a^n - 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a = 2</math> i <math>n</math> jest liczbą pierwszą.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Simproper(2*Pi, 10^4)
−
Z twierdzenia C45 wiemy, że <math>x - y | x^n - y^n</math>. W&nbsp;przypadku gdy <math>a > 2</math> mamy
+
[<span style="color: Red">0.003525160257</span>2557803759192121691047755503, 5.2926827357763320615993244790723469003 E-14]
  
−
::<math>a - 1 | a^n - 1</math>
+
Simproper(2*Pi, 2*10^4)
 +
[<span style="color: Red">0.0035251602572</span>557723629683384320660178268, 5.5938553808328833862080836586551636221 E-15]
  
−
Czyli musi być <math>a = 2</math>. Z&nbsp;tego samego twierdzenia wynika też, że jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną <math>n = r s</math>, to
 
  
−
::<math>2^r - 1 | 2^{r s} - 1</math>
+
Uzyskujemy wynik
  
−
bo <math>a^r - b^r | (a^r)^s - (b^r)^s</math>. Zatem <math>n</math> musi być liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t = {\color{Red} 0.0035251602572}5577</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
I ostatecznie dostajemy
  
 +
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = {\small\frac{1}{\log (2 \pi)}} - {\small\frac{\log (2 \pi) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^3 (2 \pi)}} + \int^{\infty}_{2 \pi} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t = {\color{Red} 0.5319715471471}5371</math>
  
  
  
−
== Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych ==
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F33</span><br/>
 +
Pokazać, że
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C47</span><br/>
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (\log (t))}} d t = 1.56477817589 \ldots</math>
−
Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych<ref name="PAPWiki"/><ref name="PAPMathWorld"/> zbudowane z&nbsp;dwóch liczb pierwszych nie są interesujące, bo dowolne dwie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Dlatego będziemy się zajmowali ciągami arytmetycznymi liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>.
 
  
−
Ponieważ nie da się zbudować ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>, w&nbsp;którym pierwszym wyrazem jest liczba <math>p_0 = 2</math>, to będą nas interesowały ciągi rozpoczynające się od liczby pierwszej <math>p_0 \geqslant 3</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zadanie tylko dla wytrwałych. Bez Maximy lub innego systemu wspomagającego obliczenia symboliczne nie ma sensu tracić czasu. Postępując analogicznie jak w&nbsp;przykładzie F32, otrzymujemy
  
−
Jeżeli do liczby pierwszej nieparzystej dodamy dodatnią liczbę nieparzystą, to otrzymamy liczbę parzystą złożoną, zatem różnica ciągu arytmetycznego <math>d</math> musi być liczbą parzystą, aby zbudowanie jakiegokolwiek ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math> było możliwe.
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (\log (t))}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{\log (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t \cdot \log (t) \cdot \log^2 (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + {\small\frac{(\log (t) \cdot \log (\log (t)) + \log (\log (t)) + 2) \cos (t)}{t^2 \cdot \log^2 (t) \cdot \log^3 (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - f^{(3)} (t) \sin (t) \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} +</math>
  
−
Istnienie nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> pokazano już wiele lat temu<ref name="Corput"/>. Temat ciągów arytmetycznych liczb pierwszych zyskał na popularności<ref name="largestPAP"/> po udowodnieniu przez Bena Greena i&nbsp;Terence'a Tao twierdzenia o&nbsp;istnieniu dowolnie długich (ale skończonych) ciągów arytmetycznych liczb pierwszych<ref name="GeenTao"/>.
 
  
 +
::::::::::<math>+ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C48* (Ben Green i&nbsp;Terence Tao, 2004)</span><br/>
+
:::::::<math>\; = {\small\frac{1}{\log (\log (2 \pi))}} - {\small\frac{\log (2 \pi) \cdot \log (\log (2 \pi)) + \log (\log (2 \pi)) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^2 (2 \pi) \cdot \log^3 (\log (2 \pi))}} +</math>
−
Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele <math>n</math>-wyrazowych ciągów arytmetycznych liczb pierwszych.
 
  
  
 +
::::::::::<math>+ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C49</span><br/>
+
Znajdujemy wartość całki
−
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> i <math>n = 4</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+
::<math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t = {\color{Red} 0.045677031827}2121</math>
−
W przypadku <math>n = 3</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 2 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 
  
−
W przypadku <math>n = 4</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 6 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 
  
−
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
+
Simproper(2*Pi, 10^4)
 +
[<span style="color: Red">0.045677031827</span>212178675227765630555037139, 9.7610450502314738753491941212628080885 E-14]
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 3}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 61</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 24}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 28}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 34}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 36}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 37</math>||<math> 67</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 38}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 40}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 53</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 50}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 54}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 43</math>||<math> 59</math>||<math> 73</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 43</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 64}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 66}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 47</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 68}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 72}</math>||<math> 7</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 67</math>||<math> 79</math>||<math> 107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 78}</math>||<math> 11</math>||<math> 23</math>||<math> 71</math>||<math> 73</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 80}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 84}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 43</math>||<math> 73</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 47</math>||<math> 59</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 94}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 98}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 102}</math>||<math> 7</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 79</math>||<math> 89</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 104}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 108}</math>||<math> 23</math>||<math> 41</math>||<math> 131</math>||<math> 163</math>||<math> 173</math>||<math> 223</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 110}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 114}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 79</math>||<math> 83</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 29</math>||<math> 31</math>||<math> 37</math>||<math> 43</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 124}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 97</math>||<math> 101</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 132}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 134}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 138}</math>||<math> 41</math>||<math> 61</math>||<math> 73</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 173</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 144}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 79</math>||<math> 113</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 47</math>||<math> 73</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 154}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 156}</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>||<math> 67</math>||<math> 71</math>||<math> 107</math>||<math> 127</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 162}</math>||<math> 29</math>||<math> 107</math>||<math> 109</math>||<math> 197</math>||<math> 239</math>||<math> 269</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 164}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 168}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 31</math>||<math> 43</math>||<math> 61</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 174}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 178}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 13</math>||<math> 19</math>||<math> 59</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 186}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 188}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 190}</math>||<math> 3</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 192}</math>||<math> 5</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 139</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 198}</math>||<math> 13</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>||<math> 113</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 4}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 41</math>||<math> 61</math>||<math> 251</math>||<math> 601</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 47</math>||<math> 127</math>||<math> 227</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18}</math>||<math> 5</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 113</math>||<math> 313</math>||<math> 673</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 24}</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 349</math>||<math> 419</math>||<math> 499</math>||<math> 569</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 36}</math>||<math> 31</math>||<math> 241</math>||<math> 281</math>||<math> 311</math>||<math> 751</math>||<math> 911</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 97</math>||<math> 107</math>||<math> 157</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 613</math>||<math> 643</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 54}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 239</math>||<math> 379</math>||<math> 719</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 19</math>||<math> 43</math>||<math> 47</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 66}</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 241</math>||<math> 251</math>||<math> 521</math>||<math> 541</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 72}</math>||<math> 7</math>||<math> 67</math>||<math> 167</math>||<math> 347</math>||<math> 947</math>||<math> 1217</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 78}</math>||<math> 23</math>||<math> 73</math>||<math> 113</math>||<math> 233</math>||<math> 353</math>||<math> 443</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 84}</math>||<math> 5</math>||<math> 29</math>||<math> 149</math>||<math> 179</math>||<math> 379</math>||<math> 439</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 47</math>||<math> 61</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>||<math> 631</math>||<math> 761</math>||<math> 1471</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 102}</math>||<math> 7</math>||<math> 47</math>||<math> 127</math>||<math> 257</math>||<math> 337</math>||<math> 557</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 108}</math>||<math> 23</math>||<math> 163</math>||<math> 223</math>||<math> 293</math>||<math> 353</math>||<math> 643</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 114}</math>||<math> 79</math>||<math> 349</math>||<math> 569</math>||<math> 709</math>||<math> 1259</math>||<math> 2039</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 71</math>||<math> 73</math>||<math> 107</math>||<math> 149</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 101</math>||<math> 131</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 132}</math>||<math> 5</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 257</math>||<math> 277</math>||<math> 487</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 138}</math>||<math> 73</math>||<math> 173</math>||<math> 383</math>||<math> 463</math>||<math> 563</math>||<math> 773</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 144}</math>||<math> 29</math>||<math> 509</math>||<math> 599</math>||<math> 1019</math>||<math> 1579</math>||<math> 2609</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 163</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 156}</math>||<math> 41</math>||<math> 151</math>||<math> 191</math>||<math> 461</math>||<math> 571</math>||<math> 641</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 162}</math>||<math> 107</math>||<math> 197</math>||<math> 337</math>||<math> 967</math>||<math> 1297</math>||<math> 1627</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 168}</math>||<math> 43</math>||<math> 73</math>||<math> 83</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 373</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 174}</math>||<math> 19</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>||<math> 509</math>||<math> 839</math>||<math> 929</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 59</math>||<math> 61</math>||<math> 101</math>||<math> 103</math>||<math> 281</math>||<math> 283</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 186}</math>||<math> 11</math>||<math> 151</math>||<math> 271</math>||<math> 281</math>||<math> 491</math>||<math> 691</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 192}</math>||<math> 37</math>||<math> 157</math>||<math> 307</math>||<math> 647</math>||<math> 1087</math>||<math> 1427</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 198}</math>||<math> 13</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 263</math>||<math> 373</math>||<math> 853</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 204}</math>||<math> 79</math>||<math> 149</math>||<math> 449</math>||<math> 479</math>||<math> 569</math>||<math> 919</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 103</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 216}</math>||<math> 11</math>||<math> 181</math>||<math> 761</math>||<math> 1021</math>||<math> 1061</math>||<math> 1231</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 222}</math>||<math> 17</math>||<math> 157</math>||<math> 197</math>||<math> 547</math>||<math> 617</math>||<math> 787</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 228}</math>||<math> 43</math>||<math> 263</math>||<math> 313</math>||<math> 593</math>||<math> 953</math>||<math> 1093</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 234}</math>||<math> 359</math>||<math> 499</math>||<math> 619</math>||<math> 829</math>||<math> 1549</math>||<math> 2309</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 41</math>||<math> 67</math>||<math> 107</math>||<math> 139</math>||<math> 263</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 246}</math>||<math> 31</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>||<math> 331</math>||<math> 541</math>||<math> 661</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 252}</math>||<math> 5</math>||<math> 17</math>||<math> 97</math>||<math> 127</math>||<math> 197</math>||<math> 257</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 258}</math>||<math> 53</math>||<math> 313</math>||<math> 503</math>||<math> 1103</math>||<math> 1873</math>||<math> 3253</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 264}</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 89</math>||<math> 199</math>||<math> 379</math>||<math> 409</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 229</math>||<math> 491</math>||<math> 557</math>||<math> 613</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 276}</math>||<math> 181</math>||<math> 191</math>||<math> 401</math>||<math> 601</math>||<math> 661</math>||<math> 1171</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 282}</math>||<math> 137</math>||<math> 317</math>||<math> 457</math>||<math> 1297</math>||<math> 1747</math>||<math> 1787</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 288}</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 233</math>||<math> 353</math>||<math> 463</math>||<math> 743</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 294}</math>||<math> 59</math>||<math> 89</math>||<math> 139</math>||<math> 269</math>||<math> 349</math>||<math> 719</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 7</math>||<math> 47</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 306}</math>||<math> 491</math>||<math> 691</math>||<math> 971</math>||<math> 1321</math>||<math> 1471</math>||<math> 2341</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 312}</math>||<math> 127</math>||<math> 257</math>||<math> 347</math>||<math> 547</math>||<math> 607</math>||<math> 757</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 318}</math>||<math> 283</math>||<math> 373</math>||<math> 653</math>||<math> 1063</math>||<math> 1493</math>||<math> 1823</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 324}</math>||<math> 179</math>||<math> 349</math>||<math> 839</math>||<math> 2389</math>||<math> 2699</math>||<math> 2879</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 23</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>||<math> 127</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 336}</math>||<math> 11</math>||<math> 61</math>||<math> 281</math>||<math> 311</math>||<math> 421</math>||<math> 491</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 342}</math>||<math> 7</math>||<math> 67</math>||<math> 137</math>||<math> 257</math>||<math> 467</math>||<math> 887</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 348}</math>||<math> 5</math>||<math> 73</math>||<math> 563</math>||<math> 593</math>||<math> 743</math>||<math> 1373</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 354}</math>||<math> 89</math>||<math> 239</math>||<math> 389</math>||<math> 509</math>||<math> 659</math>||<math> 739</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 101</math>||<math> 107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 366}</math>||<math> 461</math>||<math> 571</math>||<math> 1481</math>||<math> 1511</math>||<math> 1901</math>||<math> 2111</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 372}</math>||<math> 7</math>||<math> 547</math>||<math> 857</math>||<math> 877</math>||<math> 1087</math>||<math> 2887</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 378}</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 163</math>||<math> 313</math>||<math> 503</math>||<math> 563</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 384}</math>||<math> 139</math>||<math> 229</math>||<math> 719</math>||<math> 1229</math>||<math> 1439</math>||<math> 1699</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 31</math>||<math> 43</math>||<math> 59</math>||<math> 131</math>||<math> 157</math>||<math> 197</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 396}</math>||<math> 5</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 431</math>||<math> 691</math>||<math> 701</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 402}</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 167</math>||<math> 727</math>||<math> 997</math>||<math> 1637</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 408}</math>||<math> 13</math>||<math> 223</math>||<math> 643</math>||<math> 683</math>||<math> 1063</math>||<math> 1213</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 414}</math>||<math> 269</math>||<math> 359</math>||<math> 619</math>||<math> 1039</math>||<math> 1879</math>||<math> 2089</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 47</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 426}</math>||<math> 5</math>||<math> 131</math>||<math> 181</math>||<math> 431</math>||<math> 761</math>||<math> 811</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 432}</math>||<math> 227</math>||<math> 617</math>||<math> 857</math>||<math> 997</math>||<math> 1657</math>||<math> 1667</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 438}</math>||<math> 5</math>||<math> 53</math>||<math> 383</math>||<math> 1163</math>||<math> 1303</math>||<math> 1873</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 444}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 1109</math>||<math> 1669</math>||<math> 1889</math>||<math> 2029</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 11</math>||<math> 97</math>||<math> 149</math>||<math> 193</math>||<math> 251</math>||<math> 359</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 456}</math>||<math> 191</math>||<math> 521</math>||<math> 631</math>||<math> 1171</math>||<math> 1291</math>||<math> 2341</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 462}</math>||<math> 47</math>||<math> 107</math>||<math> 137</math>||<math> 277</math>||<math> 307</math>||<math> 367</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 468}</math>||<math> 193</math>||<math> 293</math>||<math> 503</math>||<math> 683</math>||<math> 733</math>||<math> 1013</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 474}</math>||<math> 5</math>||<math> 29</math>||<math> 379</math>||<math> 479</math>||<math> 719</math>||<math> 829</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 127</math>||<math> 347</math>||<math> 439</math>||<math> 449</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 486}</math>||<math> 241</math>||<math> 811</math>||<math> 941</math>||<math> 1361</math>||<math> 1861</math>||<math> 1871</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 492}</math>||<math> 7</math>||<math> 107</math>||<math> 947</math>||<math> 1607</math>||<math> 2897</math>||<math> 3037</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 498}</math>||<math> 73</math>||<math> 883</math>||<math> 953</math>||<math> 983</math>||<math> 1723</math>||<math> 1913</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 504}</math>||<math> 89</math>||<math> 109</math>||<math> 229</math>||<math> 359</math>||<math> 599</math>||<math> 619</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 13</math>||<math> 67</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>||<math> 97</math>||<math> 167</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 516}</math>||<math> 31</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 1181</math>||<math> 1361</math>||<math> 1471</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 522}</math>||<math> 47</math>||<math> 487</math>||<math> 907</math>||<math> 1097</math>||<math> 1237</math>||<math> 1747</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 528}</math>||<math> 13</math>||<math> 73</math>||<math> 443</math>||<math> 503</math>||<math> 653</math>||<math> 1213</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 534}</math>||<math> 839</math>||<math> 919</math>||<math> 1019</math>||<math> 1399</math>||<math> 1579</math>||<math> 1619</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 37</math>||<math> 73</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 546}</math>||<math> 31</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 401</math>||<math> 431</math>||<math> 821</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 552}</math>||<math> 67</math>||<math> 257</math>||<math> 277</math>||<math> 727</math>||<math> 1427</math>||<math> 2267</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 558}</math>||<math> 463</math>||<math> 593</math>||<math> 673</math>||<math> 1013</math>||<math> 1583</math>||<math> 2243</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 564}</math>||<math> 109</math>||<math> 179</math>||<math> 659</math>||<math> 719</math>||<math> 859</math>||<math> 1429</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 23</math>||<math> 31</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 163</math>||<math> 241</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 576}</math>||<math> 151</math>||<math> 401</math>||<math> 541</math>||<math> 991</math>||<math> 1061</math>||<math> 1091</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 582}</math>||<math> 37</math>||<math> 127</math>||<math> 457</math>||<math> 647</math>||<math> 967</math>||<math> 1087</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 588}</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 223</math>||<math> 233</math>||<math> 443</math>||<math> 613</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 594}</math>||<math> 5</math>||<math> 89</math>||<math> 439</math>||<math> 599</math>||<math> 839</math>||<math> 1019</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 31</math>||<math> 101</math>||<math> 173</math>||<math> 227</math>||<math> 229</math>||<math> 239</math>
 
−
|}
 
 
<br/>
 
<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
Linia 1269: Linia 1143:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C50</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>
−
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 5</math> i <math>n = 6</math>.
+
Rozważmy całkę (zobacz przykład E43)
 +
 
 +
::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>
 +
 
 +
Nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając z&nbsp;twierdzenia E23, dostajemy
 +
 
 +
::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>
 +
 
 +
Funkcja <math>P_6 (t)</math> jest klasy <math>C^4 ( \mathbb{R} )</math>, a&nbsp;całka <math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{B_6}{t^6}} d t</math> jest zbieżna. Teraz już możemy zastosować twierdzenie F22.
 +
 
 +
 
 +
Aby skorzystać z&nbsp;programu Simproper(a, b), musimy przygotować
 +
 
 +
::<math>f(t) = {\small\frac{P_6 (t)}{6 t^6}}</math>
 +
 
 +
::<math>g(t) = {\small\frac{B_6}{6 t^6}} = {\small\frac{1}{252 t^6}}</math>
 +
 
 +
::<math>G(t) = - {\small\frac{1}{1260 t^5}}</math>
 +
 
 +
::<math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>
 +
 
 +
::<math>M \geqslant \underset{t \geqslant 1}{\max} | f^{(4)} (t) |</math> dla <math>M = 20</math>
 +
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+
Dla różnych wartości <math>b</math> otrzymujemy
−
W przypadku <math>n = 5</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 6 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 
  
−
W przypadku <math>n = 6</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 30 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
+
Simproper(1, 10^2)
 +
[<span style="color: Red">0.00028773955</span>387901889817011277755076495293, 1.5793583624619615295181246127899383386 E-13]
  
−
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
+
Simproper(1, 5*10^2)
 +
[<span style="color: Red">0.000287739553879</span>09098236994835644747087376, 5.0742857958929735807438325674790730659 E-17]
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 5}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 37</math>||<math> 107</math>||<math> 137</math>||<math> 151</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>||<math> 113</math>||<math> 571</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 13</math>||<math> 61</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>||<math> 103</math>||<math> 503</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 29</math>||<math> 107</math>||<math> 239</math>||<math> 281</math>||<math> 359</math>||<math> 379</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 223</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 101</math>||<math> 103</math>||<math> 367</math>||<math> 397</math>||<math> 577</math>||<math> 1013</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 127</math>||<math> 157</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 263</math>||<math> 331</math>||<math> 571</math>||<math> 823</math>||<math> 947</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 252}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 491</math>||<math> 557</math>||<math> 613</math>||<math> 641</math>||<math> 743</math>||<math> 827</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 83</math>||<math> 223</math>||<math> 383</math>||<math> 419</math>||<math> 509</math>||<math> 523</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 79</math>||<math> 113</math>||<math> 127</math>||<math> 317</math>||<math> 457</math>||<math> 491</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 227</math>||<math> 293</math>||<math> 349</math>||<math> 577</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 59</math>||<math> 229</math>||<math> 311</math>||<math> 619</math>||<math> 1097</math>||<math> 1489</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 19</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 67</math>||<math> 193</math>||<math> 199</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 426}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 11</math>||<math> 149</math>||<math> 193</math>||<math> 599</math>||<math> 1033</math>||<math> 1117</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 474}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 11</math>||<math> 347</math>||<math> 491</math>||<math> 1019</math>||<math> 1103</math>||<math> 1723</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 13</math>||<math> 89</math>||<math> 97</math>||<math> 167</math>||<math> 229</math>||<math> 419</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 113</math>||<math> 211</math>||<math> 281</math>||<math> 379</math>||<math> 673</math>||<math> 919</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 31</math>||<math> 157</math>||<math> 241</math>||<math> 269</math>||<math> 647</math>||<math> 839</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 594}</math>||<math> 5</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 283</math>||<math> 311</math>||<math> 353</math>||<math> 509</math>||<math> 1223</math>||<math> 1531</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 6}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 107</math>||<math> 359</math>||<math> 541</math>||<math> 2221</math>||<math> 6673</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 53</math>||<math> 641</math>||<math> 5443</math>||<math> 10091</math>||<math> 12457</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 13</math>||<math> 503</math>||<math> 1973</math>||<math> 2351</math>||<math> 5081</math>||<math> 10709</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 239</math>||<math> 281</math>||<math> 701</math>||<math> 2339</math>||<math> 2437</math>||<math> 10613</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 2467</math>||<math> 4637</math>||<math> 6079</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 397</math>||<math> 1013</math>||<math> 1307</math>||<math> 17029</math>||<math> 20963</math>||<math> 24337</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 47</math>||<math> 179</math>||<math> 199</math>||<math> 257</math>||<math> 389</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 331</math>||<math> 2207</math>||<math> 3677</math>||<math> 5021</math>||<math> 6323</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 557</math>||<math> 1201</math>||<math> 2377</math>||<math> 8467</math>||<math> 9923</math>||<math> 12107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 83</math>||<math> 223</math>||<math> 587</math>||<math> 1511</math>||<math> 4073</math>||<math> 4423</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 127</math>||<math> 491</math>||<math> 2129</math>||<math> 2857</math>||<math> 3137</math>||<math> 5153</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 227</math>||<math> 577</math>||<math> 1669</math>||<math> 9187</math>||<math> 13331</math>||<math> 13933</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 229</math>||<math> 3701</math>||<math> 9007</math>||<math> 9833</math>||<math> 13291</math>||<math> 17911</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 193</math>||<math> 613</math>||<math> 743</math>||<math> 1289</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 149</math>||<math> 1381</math>||<math> 1451</math>||<math> 3607</math>||<math> 5651</math>||<math> 8521</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 11</math>||<math> 5051</math>||<math> 8719</math>||<math> 10567</math>||<math> 11113</math>||<math> 13591</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 97</math>||<math> 419</math>||<math> 811</math>||<math> 3191</math>||<math> 3583</math>||<math> 4283</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 379</math>||<math> 673</math>||<math> 3851</math>||<math> 3907</math>||<math> 7043</math>||<math> 12377</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 269</math>||<math> 1039</math>||<math> 2887</math>||<math> 3853</math>||<math> 10979</math>||<math> 11399</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 8839</math>||<math> 23371</math>||<math> 38183</math>||<math> 44189</math>||<math> 59743</math>||<math> 63467</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 179</math>||<math> 193</math>||<math> 1637</math>||<math> 2267</math>||<math> 2897</math>||<math> 4813</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 660}</math>||<math> 163</math>||<math> 317</math>||<math> 401</math>||<math> 2753</math>||<math> 3229</math>||<math> 5077</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 690}</math>||<math> 277</math>||<math> 1523</math>||<math> 6101</math>||<math> 10427</math>||<math> 15971</math>||<math> 27059</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 720}</math>||<math> 1231</math>||<math> 3793</math>||<math> 4003</math>||<math> 6229</math>||<math> 7573</math>||<math> 10079</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 750}</math>||<math> 1051</math>||<math> 1289</math>||<math> 1583</math>||<math> 2857</math>||<math> 12377</math>||<math> 18523</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 780}</math>||<math> 1151</math>||<math> 3517</math>||<math> 3923</math>||<math> 4637</math>||<math> 5309</math>||<math> 9929</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 810}</math>||<math> 1993</math>||<math> 7817</math>||<math> 11443</math>||<math> 17519</math>||<math> 52631</math>||<math> 109919</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 97</math>||<math> 313</math>||<math> 1061</math>||<math> 1753</math>||<math> 1901</math>||<math> 2593</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 870}</math>||<math> 2039</math>||<math> 2179</math>||<math> 5273</math>||<math> 5987</math>||<math> 9431</math>||<math> 10957</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 900}</math>||<math> 1747</math>||<math> 12541</math>||<math> 14767</math>||<math> 21193</math>||<math> 31511</math>||<math> 40289</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 930}</math>||<math> 7</math>||<math> 293</math>||<math> 9043</math>||<math> 10247</math>||<math> 34327</math>||<math> 38891</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 960}</math>||<math> 4943</math>||<math> 8737</math>||<math> 15373</math>||<math> 28351</math>||<math> 35393</math>||<math> 36919</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 990}</math>||<math> 1249</math>||<math> 1319</math>||<math> 2467</math>||<math> 2957</math>||<math> 4049</math>||<math> 8291</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1020}</math>||<math> 887</math>||<math> 929</math>||<math> 2441</math>||<math> 4639</math>||<math> 15083</math>||<math> 19997</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 53</math>||<math> 257</math>||<math> 443</math>||<math> 839</math>||<math> 1103</math>||<math> 3469</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1080}</math>||<math> 1423</math>||<math> 9011</math>||<math> 10663</math>||<math> 27799</math>||<math> 36493</math>||<math> 51473</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1110}</math>||<math> 3847</math>||<math> 9643</math>||<math> 10357</math>||<math> 11743</math>||<math> 16223</math>||<math> 21977</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1140}</math>||<math> 1063</math>||<math> 1301</math>||<math> 1553</math>||<math> 1777</math>||<math> 5683</math>||<math> 6397</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1170}</math>||<math> 379</math>||<math> 701</math>||<math> 911</math>||<math> 2143</math>||<math> 2297</math>||<math> 2857</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1200}</math>||<math> 367</math>||<math> 2677</math>||<math> 3391</math>||<math> 18749</math>||<math> 34961</math>||<math> 59699</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1230}</math>||<math> 2539</math>||<math> 6053</math>||<math> 6823</math>||<math> 9091</math>||<math> 12101</math>||<math> 14831</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 359</math>||<math> 617</math>||<math> 739</math>||<math> 1051</math>||<math> 1619</math>||<math> 1931</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1290}</math>||<math> 149</math>||<math> 17747</math>||<math> 20981</math>||<math> 24481</math>||<math> 46643</math>||<math> 47917</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1320}</math>||<math> 53</math>||<math> 977</math>||<math> 991</math>||<math> 2237</math>||<math> 9461</math>||<math> 20983</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1350}</math>||<math> 811</math>||<math> 937</math>||<math> 3877</math>||<math> 14923</math>||<math> 16001</math>||<math> 18493</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1380}</math>||<math> 3613</math>||<math> 9227</math>||<math> 15541</math>||<math> 16927</math>||<math> 17417</math>||<math> 18089</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1410}</math>||<math> 367</math>||<math> 2593</math>||<math> 12421</math>||<math> 50599</math>||<math> 60889</math>||<math> 80629</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1440}</math>||<math> 439</math>||<math> 6277</math>||<math> 20753</math>||<math> 21929</math>||<math> 39079</math>||<math> 57727</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 1279</math>||<math> 1877</math>||<math> 2383</math>||<math> 2393</math>||<math> 2749</math>||<math> 2801</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1500}</math>||<math> 7331</math>||<math> 8423</math>||<math> 15493</math>||<math> 28513</math>||<math> 31607</math>||<math> 38453</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1530}</math>||<math> 2741</math>||<math> 3203</math>||<math> 8537</math>||<math> 14389</math>||<math> 20143</math>||<math> 21277</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1560}</math>||<math> 419</math>||<math> 727</math>||<math> 3499</math>||<math> 3919</math>||<math> 6257</math>||<math> 9029</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1590}</math>||<math> 2213</math>||<math> 2339</math>||<math> 4523</math>||<math> 6469</math>||<math> 9241</math>||<math> 9857</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1620}</math>||<math> 7717</math>||<math> 9103</math>||<math> 12379</math>||<math> 37607</math>||<math> 43613</math>||<math> 46567</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1650}</math>||<math> 19</math>||<math> 3001</math>||<math> 3659</math>||<math> 4051</math>||<math> 4289</math>||<math> 11527</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 197</math>||<math> 997</math>||<math> 1289</math>||<math> 1319</math>||<math> 2309</math>||<math> 2683</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1710}</math>||<math> 373</math>||<math> 1549</math>||<math> 1913</math>||<math> 2711</math>||<math> 12539</math>||<math> 15031</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1740}</math>||<math> 1621</math>||<math> 5387</math>||<math> 6269</math>||<math> 15551</math>||<math> 61723</math>||<math> 77543</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1770}</math>||<math> 1483</math>||<math> 13691</math>||<math> 15329</math>||<math> 20873</math>||<math> 23869</math>||<math> 29917</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1800}</math>||<math> 421</math>||<math> 967</math>||<math> 1499</math>||<math> 6217</math>||<math> 30983</math>||<math> 37171</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1830}</math>||<math> 31</math>||<math> 17909</math>||<math> 46567</math>||<math> 89057</math>||<math> 105619</math>||<math> 128341</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1860}</math>||<math> 5087</math>||<math> 6151</math>||<math> 9133</math>||<math> 16567</math>||<math> 23819</math>||<math> 29881</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 23</math>||<math> 727</math>||<math> 1109</math>||<math> 1279</math>||<math> 1409</math>||<math> 1543</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1920}</math>||<math> 79</math>||<math> 1493</math>||<math> 13967</math>||<math> 19973</math>||<math> 41351</math>||<math> 46867</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1950}</math>||<math> 3259</math>||<math> 4813</math>||<math> 8803</math>||<math> 12373</math>||<math> 13577</math>||<math> 13619</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1980}</math>||<math> 1511</math>||<math> 3863</math>||<math> 4969</math>||<math> 5039</math>||<math> 7027</math>||<math> 9337</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2010}</math>||<math> 1303</math>||<math> 3739</math>||<math> 7309</math>||<math> 13763</math>||<math> 22093</math>||<math> 31151</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2040}</math>||<math> 1039</math>||<math> 6779</math>||<math> 7507</math>||<math> 8963</math>||<math> 10069</math>||<math> 12281</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2070}</math>||<math> 1097</math>||<math> 2063</math>||<math> 2917</math>||<math> 4289</math>||<math> 6571</math>||<math> 11149</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 29</math>||<math> 281</math>||<math> 757</math>||<math> 1459</math>||<math> 1847</math>||<math> 2503</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2130}</math>||<math> 3677</math>||<math> 5077</math>||<math> 11699</math>||<math> 17159</math>||<math> 21149</math>||<math> 31159</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2160}</math>||<math> 5849</math>||<math> 6619</math>||<math> 24329</math>||<math> 43019</math>||<math> 114419</math>||<math> 126823</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2190}</math>||<math> 643</math>||<math> 4283</math>||<math> 4339</math>||<math> 23743</math>||<math> 24821</math>||<math> 30211</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2220}</math>||<math> 4229</math>||<math> 11243</math>||<math> 11467</math>||<math> 12503</math>||<math> 13693</math>||<math> 26209</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2250}</math>||<math> 4721</math>||<math> 6359</math>||<math> 17321</math>||<math> 19477</math>||<math> 21661</math>||<math> 23117</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2280}</math>||<math> 719</math>||<math> 2399</math>||<math> 15797</math>||<math> 22391</math>||<math> 23189</math>||<math> 27809</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 37</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>||<math> 547</math>||<math> 661</math>||<math> 859</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2340}</math>||<math> 107</math>||<math> 4363</math>||<math> 5483</math>||<math> 9613</math>||<math> 12413</math>||<math> 14737</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2370}</math>||<math> 1187</math>||<math> 1831</math>||<math> 4211</math>||<math> 7963</math>||<math> 9419</math>||<math> 15607</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2400}</math>||<math> 503</math>||<math> 853</math>||<math> 4787</math>||<math> 15091</math>||<math> 20327</math>||<math> 23603</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2430}</math>||<math> 13217</math>||<math> 31039</math>||<math> 38851</math>||<math> 43261</math>||<math> 46747</math>||<math> 67481</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2460}</math>||<math> 227</math>||<math> 1459</math>||<math> 6779</math>||<math> 6863</math>||<math> 18553</math>||<math> 29207</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2490}</math>||<math> 1237</math>||<math> 7621</math>||<math> 14411</math>||<math> 19801</math>||<math> 46457</math>||<math> 55921</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 113</math>||<math> 709</math>||<math> 1013</math>||<math> 1181</math>||<math> 1303</math>||<math> 1409</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2550}</math>||<math> 1871</math>||<math> 9403</math>||<math> 33203</math>||<math> 36241</math>||<math> 70009</math>||<math> 74587</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2580}</math>||<math> 277</math>||<math> 6101</math>||<math> 29383</math>||<math> 35851</math>||<math> 55871</math>||<math> 61723</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2610}</math>||<math> 5179</math>||<math> 8539</math>||<math> 8861</math>||<math> 10093</math>||<math> 15679</math>||<math> 17989</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2640}</math>||<math> 9283</math>||<math> 10781</math>||<math> 12377</math>||<math> 12433</math>||<math> 13679</math>||<math> 22751</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2670}</math>||<math> 1039</math>||<math> 4133</math>||<math> 12589</math>||<math> 14731</math>||<math> 16411</math>||<math> 23789</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2700}</math>||<math> 8629</math>||<math> 10267</math>||<math> 16217</math>||<math> 17477</math>||<math> 18149</math>||<math> 19843</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 19</math>||<math> 631</math>||<math> 761</math>||<math> 811</math>||<math> 1091</math>||<math> 1423</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2760}</math>||<math> 7</math>||<math> 2473</math>||<math> 2767</math>||<math> 9137</math>||<math> 9403</math>||<math> 9767</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2790}</math>||<math> 6899</math>||<math> 15733</math>||<math> 20353</math>||<math> 20899</math>||<math> 23447</math>||<math> 29201</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2820}</math>||<math> 727</math>||<math> 1259</math>||<math> 3023</math>||<math> 7951</math>||<math> 17989</math>||<math> 20201</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2850}</math>||<math> 379</math>||<math> 463</math>||<math> 2843</math>||<math> 4831</math>||<math> 9661</math>||<math> 10067</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2880}</math>||<math> 1459</math>||<math> 2803</math>||<math> 4973</math>||<math> 7283</math>||<math> 8543</math>||<math> 12281</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2910}</math>||<math> 397</math>||<math> 12409</math>||<math> 19087</math>||<math> 25121</math>||<math> 37441</math>||<math> 41081</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 17</math>||<math> 383</math>||<math> 691</math>||<math> 983</math>||<math> 2393</math>||<math> 2797</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2970}</math>||<math> 1031</math>||<math> 2879</math>||<math> 3593</math>||<math> 5147</math>||<math> 6029</math>||<math> 6673</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3000}</math>||<math> 907</math>||<math> 35543</math>||<math> 45413</math>||<math> 60337</math>||<math> 65713</math>||<math> 89009</math>
 
−
|}
 
−
<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Uzyskaliśmy wynik
 +
 +
::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{6 t^6}} d t = {\color{Red} 0.000287739553879}0909</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C51</span><br/>
+
Skąd wynika natychmiast wartość obliczanej przez nas całki
−
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> i <math>n = 8</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+
::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t = {\color{Red} - 0.081061466795327}2582</math>
−
W przypadku <math>n = 7</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 30 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 
  
−
W przypadku <math>n = 8</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
 
  
−
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
 
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 7}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 47</math>||<math> 179</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 619</math>||<math> 829</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 193</math>||<math> 1619</math>||<math> 2239</math>||<math> 2659</math>||<math> 4259</math>||<math> 5849</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 1637</math>||<math> 2267</math>||<math> 5569</math>||<math> 8369</math>||<math> 11003</math>||<math> 11633</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 1061</math>||<math> 1753</math>||<math> 3623</math>||<math> 4493</math>||<math> 5651</math>||<math> 6043</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 53</math>||<math> 3469</math>||<math> 6653</math>||<math> 8629</math>||<math> 8783</math>||<math> 8837</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 359</math>||<math> 1931</math>||<math> 2063</math>||<math> 3323</math>||<math> 4583</math>||<math> 13933</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 1279</math>||<math> 2393</math>||<math> 2801</math>||<math> 8117</math>||<math> 8191</math>||<math> 9661</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1289</math>||<math> 1319</math>||<math> 2683</math>||<math> 2969</math>||<math> 11261</math>||<math> 12941</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 1279</math>||<math> 1723</math>||<math> 1811</math>||<math> 1879</math>||<math> 2693</math>||<math> 4583</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 1847</math>||<math> 3947</math>||<math> 26497</math>||<math> 34913</math>||<math> 35771</math>||<math> 36187</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 71</math>||<math> 547</math>||<math> 1019</math>||<math> 1063</math>||<math> 1367</math>||<math> 1747</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 113</math>||<math> 1181</math>||<math> 1409</math>||<math> 5413</math>||<math> 7109</math>||<math> 7933</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 631</math>||<math> 811</math>||<math> 1091</math>||<math> 2417</math>||<math> 3643</math>||<math> 3821</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2760}</math>||<math> 7</math>||||||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 17</math>||<math> 6317</math>||<math> 6911</math>||<math> 9433</math>||<math> 11927</math>||<math> 12373</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 8}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 619</math>||<math> 881</math>||<math> 3499</math>||<math> 3709</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 2239</math>||<math> 10243</math>||<math> 18493</math>||<math> 29297</math>||<math> 39199</math>||<math> 40343</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 1637</math>||<math> 11003</math>||<math> 38693</math>||<math> 53161</math>||<math> 56477</math>||<math> 198971</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 6043</math>||<math> 6883</math>||<math> 10861</math>||<math> 11701</math>||<math> 84521</math>||<math> 103837</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 8837</math>||<math> 41507</math>||<math> 246289</math>||<math> 302273</math>||<math> 382727</math>||<math> 499679</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 2063</math>||<math> 3323</math>||<math> 87511</math>||<math> 145949</math>||<math> 208099</math>||<math> 213247</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 8191</math>||<math> 15289</math>||<math> 101027</math>||<math> 102497</math>||<math> 187931</math>||<math> 227399</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1289</math>||<math> 11261</math>||<math> 31333</math>||<math> 33013</math>||<math> 133919</math>||<math> 193283</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 2693</math>||<math> 15493</math>||<math> 15607</math>||<math> 17497</math>||<math> 45767</math>||<math> 47657</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 1847</math>||<math> 34913</math>||<math> 37013</math>||<math> 39113</math>||<math> 83311</math>||<math> 102871</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 1019</math>||<math> 3823</math>||<math> 5557</math>||<math> 6133</math>||<math> 7853</math>||<math> 9941</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 5413</math>||<math> 7109</math>||<math> 19141</math>||<math> 21661</math>||<math> 23509</math>||<math> 24763</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 1091</math>||<math> 4721</math>||<math> 7451</math>||<math> 22079</math>||<math> 49339</math>||<math> 53759</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 9433</math>||<math> 11927</math>||<math> 14867</math>||<math> 50587</math>||<math> 80933</math>||<math> 127207</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 433</math>||<math> 3583</math>||<math> 7877</math>||<math> 24677</math>||<math> 27827</math>||<math> 49031</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 6571</math>||<math> 9041</math>||<math> 39791</math>||<math> 210391</math>||<math> 213751</math>||<math> 217111</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 8971</math>||<math> 10429</math>||<math> 27737</math>||<math> 28387</math>||<math> 37313</math>||<math> 57047</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 45767</math>||<math> 82037</math>||<math> 155569</math>||<math> 473513</math>||<math> 477293</math>||<math> 511873</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 1699</math>||<math> 2909</math>||<math> 5689</math>||<math> 25033</math>||<math> 29873</math>||<math> 40559</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 12547</math>||<math> 16747</math>||<math> 37013</math>||<math> 57139</math>||<math> 89899</math>||<math> 94099</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 20809</math>||<math> 87623</math>||<math> 142271</math>||<math> 262733</math>||<math> 267143</math>||<math> 439009</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 103</math>||<math> 1531</math>||<math> 3083</math>||<math> 3257</math>||<math> 6427</math>||<math> 9461</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 3907</math>||<math> 13313</math>||<math> 30427</math>||<math> 35257</math>||<math> 40087</math>||<math> 72547</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 13477</math>||<math> 14951</math>||<math> 25073</math>||<math> 25931</math>||<math> 30113</math>||<math> 57457</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 3413</math>||<math> 8663</math>||<math> 44179</math>||<math> 49429</math>||<math> 111109</math>||<math> 648107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 1559</math>||<math> 18899</math>||<math> 36389</math>||<math> 43711</math>||<math> 59393</math>||<math> 75541</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 187477</math>||<math> 231109</math>||<math> 402137</math>||<math> 680123</math>||<math> 706463</math>||<math> 712133</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 73</math>||<math> 29959</math>||<math> 152389</math>||<math> 158269</math>||<math> 317021</math>||<math> 2115961</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 12239</math>||<math> 22469</math>||<math> 38543</math>||<math> 50893</math>||<math> 72533</math>||<math> 90863</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 37097</math>||<math> 86869</math>||<math> 92639</math>||<math> 224633</math>||<math> 440269</math>||<math> 641327</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 1063</math>||<math> 20599</math>||<math> 21701</math>||<math> 27109</math>||<math> 41611</math>||<math> 46187</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 3167</math>||<math> 7457</math>||<math> 22669</math>||<math> 62347</math>||<math> 69067</math>||<math> 75787</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 17</math>||<math> 5581</math>||<math> 6947</math>||<math> 7151</math>||<math> 13469</math>||<math> 14081</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 3347</math>||<math> 53309</math>||<math> 281557</math>||<math> 370879</math>||<math> 380447</math>||<math> 466897</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 206047</math>||<math> 348163</math>||<math> 363037</math>||<math> 435661</math>||<math> 576677</math>||<math> 906107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 29387</math>||<math> 36947</math>||<math> 39191</math>||<math> 44267</math>||<math> 342389</math>||<math> 349949</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 6553</math>||<math> 14323</math>||<math> 25169</math>||<math> 28549</math>||<math> 36319</math>||<math> 42061</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 137</math>||<math> 4091</math>||<math> 7237</math>||<math> 8117</math>||<math> 12071</math>||<math> 24029</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 3593</math>||<math> 21017</math>||<math> 35591</math>||<math> 43781</math>||<math> 49727</math>||<math> 59021</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 86599</math>||<math> 173909</math>||<math> 788413</math>||<math> 1251869</math>||<math> 1365019</math>||<math> 1392731</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 541</math>||<math> 1867</math>||<math> 63703</math>||<math> 132283</math>||<math> 140893</math>||<math> 175837</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 9403</math>||<math> 83563</math>||<math> 84421</math>||<math> 93241</math>||<math> 187823</math>||<math> 296983</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 11087</math>||<math> 195203</math>||<math> 219799</math>||<math> 352813</math>||<math> 426973</math>||<math> 487651</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 199</math>||<math> 937</math>||<math> 10177</math>||<math> 21031</math>||<math> 27961</math>||<math> 30271</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 1609</math>||<math> 157181</math>||<math> 182867</math>||<math> 663049</math>||<math> 1028479</math>||<math> 1037929</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 521</math>||<math> 3449</math>||<math> 10181</math>||<math> 50417</math>||<math> 84229</math>||<math> 218363</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 61</math>||<math> 43013</math>||<math> 89923</math>||<math> 220333</math>||<math> 294479</math>||<math> 490493</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 6949</math>||<math> 17029</math>||<math> 54293</math>||<math> 99023</math>||<math> 125353</math>||<math> 125899</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 6143</math>||<math> 16433</math>||<math> 179057</math>||<math> 211777</math>||<math> 681949</math>||<math> 1018357</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 9109</math>||<math> 91153</math>||<math> 218527</math>||<math> 447817</math>||<math> 513167</math>||<math> 1113239</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 9419</math>||<math> 28603</math>||<math> 28871</math>||<math> 37861</math>||<math> 43691</math>||<math> 75041</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 14657</math>||<math> 21491</math>||<math> 52321</math>||<math> 63241</math>||<math> 79997</math>||<math> 80621</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 49681</math>||<math> 70607</math>||<math> 187009</math>||<math> 198139</math>||<math> 209269</math>||<math> 219613</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 24197</math>||<math> 57143</math>||<math> 68483</math>||<math> 158617</math>||<math> 212297</math>||<math> 237257</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 4483</math>||<math> 4673</math>||<math> 9619</math>||<math> 16223</math>||<math> 21169</math>||<math> 66161</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 3511</math>||<math> 241793</math>||<math> 469613</math>||<math> 517949</math>||<math> 548263</math>||<math> 643469</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 6221</math>||<math> 10531</math>||<math> 22501</math>||<math> 40343</math>||<math> 216233</math>||<math> 280187</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 18211</math>||<math> 65437</math>||<math> 126943</math>||<math> 137239</math>||<math> 149939</math>||<math> 361213</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 7477</math>||<math> 24391</math>||<math> 41669</math>||<math> 76913</math>||<math> 95213</math>||<math> 181211</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 26003</math>||<math> 435577</math>||<math> 448177</math>||<math> 558431</math>||<math> 571031</math>||<math> 583631</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 19289</math>||<math> 35437</math>||<math> 40949</math>||<math> 53791</math>||<math> 59357</math>||<math> 94309</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 15913</math>||<math> 55843</math>||<math> 77773</math>||<math> 179519</math>||<math> 418927</math>||<math> 670853</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 5843</math>||<math> 7433</math>||<math> 9391</math>||<math> 31729</math>||<math> 40543</math>||<math> 53773</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 2141</math>||<math> 15581</math>||<math> 270143</math>||<math> 335021</math>||<math> 405269</math>||<math> 448741</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 3343</math>||<math> 12097</math>||<math> 16993</math>||<math> 19259</math>||<math> 63611</math>||<math> 81001</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 6029</math>||<math> 6211</math>||<math> 26171</math>||<math> 27653</math>||<math> 32441</math>||<math> 51839</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 40879</math>||<math> 87793</math>||<math> 87991</math>||<math> 159491</math>||<math> 285497</math>||<math> 485389</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 6947</math>||<math> 15923</math>||<math> 27337</math>||<math> 79481</math>||<math> 111227</math>||<math> 364687</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 41039</math>||<math> 48491</math>||<math> 142049</math>||<math> 144667</math>||<math> 159157</math>||<math> 161263</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 12409</math>||<math> 36583</math>||<math> 51283</math>||<math> 161363</math>||<math> 218989</math>||<math> 578267</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 23957</math>||<math> 74161</math>||<math> 79633</math>||<math> 89071</math>||<math> 109367</math>||<math> 120977</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 33997</math>||<math> 121853</math>||<math> 136973</math>||<math> 203429</math>||<math> 330413</math>||<math> 379369</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 12781</math>||<math> 64613</math>||<math> 505559</math>||<math> 588529</math>||<math> 614071</math>||<math> 873121</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 15053</math>||<math> 33071</math>||<math> 41131</math>||<math> 160781</math>||<math> 176321</math>||<math> 209357</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 7001</math>||<math> 10459</math>||<math> 64579</math>||<math> 80329</math>||<math> 103409</math>||<math> 119159</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 6037</math>||<math> 17807</math>||<math> 21997</math>||<math> 33767</math>||<math> 71917</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 32321</math>||<math> 66179</math>||<math> 82349</math>||<math> 99661</math>||<math> 130343</math>||<math> 219451</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 22859</math>||<math> 28579</math>||<math> 43759</math>||<math> 43913</math>||<math> 60139</math>||<math> 95107</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 6703</math>||<math> 23293</math>||<math> 29009</math>||<math> 45599</math>||<math> 51341</math>||<math> 57917</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 91463</math>||<math> 276037</math>||<math> 524857</math>||<math> 874063</math>||<math> 940319</math>||<math> 957119</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 6571</math>||<math> 70529</math>||<math> 117037</math>||<math> 227147</math>||<math> 797119</math>||<math> 814129</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 120713</math>||<math> 225769</math>||<math> 242989</math>||<math> 343601</math>||<math> 819229</math>||<math> 965711</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 4219</math>||<math> 6101</math>||<math> 15643</math>||<math> 25471</math>||<math> 33073</math>||<math> 42901</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 12917</math>||<math> 34877</math>||<math> 59407</math>||<math> 62047</math>||<math> 85667</math>||<math> 193607</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 9803</math>||<math> 129379</math>||<math> 147229</math>||<math> 238229</math>||<math> 270157</math>||<math> 289253</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 87613</math>||<math> 90583</math>||<math> 117223</math>||<math> 512671</math>||<math> 574297</math>||<math> 623353</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 29567</math>||<math> 47837</math>||<math> 86491</math>||<math> 268189</math>||<math> 424819</math>||<math> 511201</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 1861</math>||<math> 2711</math>||<math> 8093</math>||<math> 10831</math>||<math> 11161</math>||<math> 11909</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 881</math>||<math> 19571</math>||<math> 79531</math>||<math> 529829</math>||<math> 654767</math>||<math> 812353</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 6899</math>||<math> 23201</math>||<math> 52267</math>||<math> 73823</math>||<math> 92723</math>||<math> 462079</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 8941</math>||<math> 30091</math>||<math> 39367</math>||<math> 58603</math>||<math> 63737</math>||<math> 80611</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 6857</math>||<math> 218761</math>||<math> 236699</math>||<math> 237733</math>||<math> 300319</math>||<math> 300499</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 33829</math>||<math> 46183</math>||<math> 50929</math>||<math> 70459</math>||<math> 283859</math>||<math> 361651</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 1117</math>||<math> 2729</math>||<math> 22469</math>||<math> 30757</math>||<math> 50497</math>||<math> 165391</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 13339</math>||<math> 23767</math>||<math> 44549</math>||<math> 47791</math>||<math> 92399</math>||<math> 142699</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 2857</math>||<math> 5821</math>||<math> 147089</math>||<math> 948263</math>||<math> 1044859</math>||<math> 1094123</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 81649</math>||<math> 154073</math>||<math> 164239</math>||<math> 398539</math>||<math> 443881</math>||<math> 556123</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 9689</math>||<math> 30269</math>||<math> 105379</math>||<math> 316501</math>||<math> 337081</math>||<math> 398023</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 12713</math>||<math> 20023</math>||<math> 33503</math>||<math> 40813</math>||<math> 69829</math>||<math> 92251</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 5501</math>||<math> 19471</math>||<math> 26501</math>||<math> 29153</math>||<math> 40471</math>||<math> 56773</math>
 
−
|}
 
−
<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C52</span><br/>
+
== Uzupełnienia ==
−
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 9</math> i <math>n = 10</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+
&nbsp;
−
W przypadku <math>n = 9</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^9</math>.
 
  
−
W przypadku <math>n = 10</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^{10}</math>.
+
=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Jeszcze o&nbsp;funkcjach kawałkami klasy <math>C^n</math></span> ===
  
−
Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F35</span><br/>
 +
Niekiedy, dla uproszczenia zapisu, będziemy używali następujących oznaczeń dla wartości granic w&nbsp;wybranym punkcie
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
+
::<math>f(a^+) = \lim_{x \to a^+} f (x)</math>
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 9}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 3499</math>||<math> 10859</math>||<math> 564973</math>||<math> 1288607</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 52879</math>||<math> 53299</math>||<math> 56267</math>||<math> 61637</math>||<math> 3212849</math>||<math> 3544939</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 279857</math>||<math> 514949</math>||<math> 939359</math>||<math> 964417</math>||<math> 965047</math>||<math> 1003819</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 6043</math>||<math> 10861</math>||<math> 103837</math>||<math> 201781</math>||<math> 915611</math>||<math> 916451</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 26052251</math>||<math> 33267943</math>||<math> 54730813</math>||<math> 87640921</math>||<math> 112704443</math>||<math> 115677517</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 2063</math>||<math> 1040089</math>||<math> 2166511</math>||<math> 2202547</math>||<math> 4152847</math>||<math> 4400639</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 101027</math>||<math> 363949</math>||<math> 1936289</math>||<math> 2534561</math>||<math> 2536031</math>||<math> 3248197</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 31333</math>||<math> 216947</math>||<math> 258527</math>||<math> 316621</math>||<math> 607109</math>||<math> 4635361</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 15607</math>||<math> 45767</math>||<math> 194113</math>||<math> 534211</math>||<math> 997201</math>||<math> 1442173</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 34913</math>||<math> 37013</math>||<math> 102871</math>||<math> 176087</math>||<math> 581393</math>||<math> 583493</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 3823</math>||<math> 60317</math>||<math> 80761</math>||<math> 563117</math>||<math> 574813</math>||<math> 1215583</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 19141</math>||<math> 23509</math>||<math> 1058597</math>||<math> 1061117</math>||<math> 1465993</math>||<math> 5650097</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 4721</math>||<math> 65881</math>||<math> 122069</math>||<math> 123059</math>||<math> 124799</math>||<math> 125789</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 11927</math>||<math> 145723</math>||<math> 1222279</math>||<math> 12424921</math>||<math> 23527081</math>||<math> 33820273</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 433</math>||<math> 24677</math>||<math> 49031</math>||<math> 348763</math>||<math> 1243393</math>||<math> 1640071</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 210391</math>||<math> 213751</math>||<math> 245173</math>||<math> 1863509</math>||<math> 3831437</math>||<math> 6470249</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 57047</math>||<math> 133271</math>||<math> 150343</math>||<math> 153913</math>||<math> 399433</math>||<math> 920827</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 473513</math>||<math> 1282607</math>||<math> 3536881</math>||<math> 4045763</math>||<math> 4049543</math>||<math> 5655283</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 1699</math>||<math> 99877</math>||<math> 103867</math>||<math> 649217</math>||<math> 1614973</math>||<math> 2732441</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 12547</math>||<math> 89899</math>||<math> 835721</math>||<math> 2544221</math>||<math> 5013919</math>||<math> 11254637</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 262733</math>||<math> 439009</math>||<math> 12940541</math>||<math> 15091459</math>||<math> 27878321</math>||<math> 29196199</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 55697</math>||<math> 64919</math>||<math> 85363</math>||<math> 89983</math>||<math> 217409</math>||<math> 372751</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 30427</math>||<math> 35257</math>||<math> 72547</math>||<math> 351749</math>||<math> 2985809</math>||<math> 6020477</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 25073</math>||<math> 57457</math>||<math> 531359</math>||<math> 1245479</math>||<math> 2491381</math>||<math> 7136659</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 3413</math>||<math> 44179</math>||<math> 2117239</math>||<math> 2122489</math>||<math> 2649067</math>||<math> 4895993</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 144779</math>||<math> 913921</math>||<math> 1280987</math>||<math> 2243491</math>||<math> 2283571</math>||<math> 2289031</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 706463</math>||<math> 915221</math>||<math> 10882211</math>||<math> 21206993</math>||<math> 21212663</math>||<math> 23859467</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 152389</math>||<math> 4896887</math>||<math> 6559873</math>||<math> 9131321</math>||<math> 19210043</math>||<math> 24248461</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 206191</math>||<math> 357661</math>||<math> 517003</math>||<math> 1910927</math>||<math> 5835283</math>||<math> 10292729</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 641327</math>||<math> 1962449</math>||<math> 2797723</math>||<math> 3626881</math>||<math> 4663249</math>||<math> 5601139</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 20599</math>||<math> 155461</math>||<math> 161971</math>||<math> 573437</math>||<math> 4395739</math>||<math> 6457669</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 62347</math>||<math> 69067</math>||<math> 5072869</math>||<math> 9545051</math>||<math> 10379081</math>||<math> 11184743</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 17</math>||<math> 7151</math>||<math> 13469</math>||<math> 36469</math>||<math> 38261</math>||<math> 309167</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 1241197</math>||<math> 1247479</math>||<math> 2614559</math>||<math> 4496813</math>||<math> 4575947</math>||<math> 7799837</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 1445303</math>||<math> 8526533</math>||<math> 12683299</math>||<math> 12690649</math>||<math> 21459209</math>||<math> 21466559</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 29387</math>||<math> 342389</math>||<math> 539839</math>||<math> 2141497</math>||<math> 7573327</math>||<math> 7580887</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 6553</math>||<math> 28549</math>||<math> 36319</math>||<math> 90373</math>||<math> 819317</math>||<math> 827087</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 137</math>||<math> 4091</math>||<math> 24029</math>||<math> 31393</math>||<math> 165313</math>||<math> 182687</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 35591</math>||<math> 59021</math>||<math> 287629</math>||<math> 401627</math>||<math> 410257</math>||<math> 702323</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 6127909</math>||<math> 8133469</math>||<math> 8528483</math>||<math> 8536883</math>||<math> 14448397</math>||<math> 19175929</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 132283</math>||<math> 2164387</math>||<math> 6903121</math>||<math> 10892747</math>||<math> 10901357</math>||<math> 17489623</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 84421</math>||<math> 466451</math>||<math> 3052177</math>||<math> 3905777</math>||<math> 11397371</math>||<math> 53189407</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 2630153</math>||<math> 4927921</math>||<math> 5686141</math>||<math> 6043399</math>||<math> 8411567</math>||<math> 8510357</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 937</math>||<math> 21031</math>||<math> 53681</math>||<math> 62921</math>||<math> 95339</math>||<math> 495791</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 1028479</math>||<math> 1832711</math>||<math> 8104549</math>||<math> 15802459</math>||<math> 43975031</math>||<math> 97126691</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 521</math>||<math> 464413</math>||<math> 707071</math>||<math> 716731</math>||<math> 1197121</math>||<math> 1259053</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 576439</math>||<math> 1115923</math>||<math> 7516427</math>||<math> 9249301</math>||<math> 16561691</math>||<math> 16571561</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 6949</math>||<math> 125353</math>||<math> 156941</math>||<math> 949517</math>||<math> 3363089</math>||<math> 3373169</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 6143</math>||<math> 1535489</math>||<math> 2477177</math>||<math> 4259887</math>||<math> 5294563</math>||<math> 10818191</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 1113239</math>||<math> 1841087</math>||<math> 7005059</math>||<math> 8026327</math>||<math> 13707959</math>||<math> 22837799</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 314299</math>||<math> 439123</math>||<math> 735467</math>||<math> 1784911</math>||<math> 1923049</math>||<math> 2781203</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 52321</math>||<math> 285521</math>||<math> 527909</math>||<math> 538829</math>||<math> 1673941</math>||<math> 2214349</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 187009</math>||<math> 198139</math>||<math> 255803</math>||<math> 547499</math>||<math> 2160253</math>||<math> 11518723</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 57143</math>||<math> 559051</math>||<math> 1091561</math>||<math> 10756139</math>||<math> 13865323</math>||<math> 13876663</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 4673</math>||<math> 9619</math>||<math> 89659</math>||<math> 112643</math>||<math> 155317</math>||<math> 166601</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 3458731</math>||<math> 5759843</math>||<math> 6305939</math>||<math> 6904789</math>||<math> 11527693</math>||<math> 15296227</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 10531</math>||<math> 1911199</math>||<math> 2210573</math>||<math> 2298397</math>||<math> 15519563</math>||<math> 21608347</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 1067597</math>||<math> 1778461</math>||<math> 1784599</math>||<math> 3551221</math>||<math> 7384493</math>||<math> 12485003</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 184291</math>||<math> 651017</math>||<math> 804493</math>||<math> 1536187</math>||<math> 4158103</math>||<math> 4751293</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 435577</math>||<math> 558431</math>||<math> 571031</math>||<math> 727369</math>||<math> 2890117</math>||<math> 3367363</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 116953</math>||<math> 166909</math>||<math> 5627029</math>||<math> 6623117</math>||<math> 10981339</math>||<math> 10994149</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 1691411</math>||<math> 3574871</math>||<math> 22963981</math>||<math> 27098723</math>||<math> 29812603</math>||<math> 31218403</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 40543</math>||<math> 104651</math>||<math> 313219</math>||<math> 4705247</math>||<math> 4718477</math>||<math> 6268289</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 2141</math>||<math> 448741</math>||<math> 815261</math>||<math> 1560997</math>||<math> 1574437</math>||<math> 2070517</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 3343</math>||<math> 96997</math>||<math> 110647</math>||<math> 521047</math>||<math> 1590961</math>||<math> 2276503</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 110437</math>||<math> 124297</math>||<math> 138157</math>||<math> 148891</math>||<math> 152017</math>||<math> 152947</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 2679239</math>||<math> 2886281</math>||<math> 3817111</math>||<math> 6446353</math>||<math> 6460423</math>||<math> 6976289</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 364687</math>||<math> 749773</math>||<math> 1867573</math>||<math> 2146181</math>||<math> 2434997</math>||<math> 4112627</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 144667</math>||<math> 161263</math>||<math> 259603</math>||<math> 286333</math>||<math> 336251</math>||<math> 377809</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 36583</math>||<math> 578267</math>||<math> 8529749</math>||<math> 14365553</math>||<math> 14380253</math>||<math> 14830787</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 74161</math>||<math> 109367</math>||<math> 120977</math>||<math> 1260011</math>||<math> 1372211</math>||<math> 11898287</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 121853</math>||<math> 689459</math>||<math> 822383</math>||<math> 11354437</math>||<math> 37245407</math>||<math> 48384221</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 7713709</math>||<math> 8049187</math>||<math> 11583113</math>||<math> 12934973</math>||<math> 16769749</math>||<math> 30793649</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 160781</math>||<math> 580577</math>||<math> 4095187</math>||<math> 5838409</math>||<math> 9523079</math>||<math> 10473559</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 64579</math>||<math> 103409</math>||<math> 182587</math>||<math> 849869</math>||<math> 865619</math>||<math> 1468729</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 6037</math>||<math> 17807</math>||<math> 137147</math>||<math> 652969</math>||<math> 989977</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 66179</math>||<math> 219451</math>||<math> 511843</math>||<math> 583421</math>||<math> 812431</math>||<math> 848567</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 43759</math>||<math> 339263</math>||<math> 355643</math>||<math> 695047</math>||<math> 2011517</math>||<math> 2893309</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 6703</math>||<math> 29009</math>||<math> 2489183</math>||<math> 4028743</math>||<math> 9340181</math>||<math> 10005263</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 940319</math>||<math> 3772907</math>||<math> 3873007</math>||<math> 9905921</math>||<math> 79622351</math>||<math> 95679271</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 797119</math>||<math> 18296627</math>||<math> 23152907</math>||<math> 38133913</math>||<math> 60796007</math>||<math> 83709047</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 225769</math>||<math> 1452511</math>||<math> 1469731</math>||<math> 1606379</math>||<math> 2415473</math>||<math> 3469069</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 15643</math>||<math> 25471</math>||<math> 42901</math>||<math> 1170599</math>||<math> 3120547</math>||<math> 3983249</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 193607</math>||<math> 211247</math>||<math> 7624613</math>||<math> 10290239</math>||<math> 16104047</math>||<math> 22618907</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 129379</math>||<math> 289253</math>||<math> 1341433</math>||<math> 1728911</math>||<math> 1746761</math>||<math> 2918737</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 1013921</math>||<math> 1038209</math>||<math> 2703941</math>||<math> 3580333</math>||<math> 3914689</math>||<math> 11110339</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 29567</math>||<math> 511201</math>||<math> 1615723</math>||<math> 1890701</math>||<math> 1989811</math>||<math> 2008081</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 2711</math>||<math> 25643</math>||<math> 40853</math>||<math> 149143</math>||<math> 194839</math>||<math> 213319</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 881</math>||<math> 9421469</math>||<math> 10687877</math>||<math> 11455753</math>||<math> 14740463</math>||<math> 21499799</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 73823</math>||<math> 462079</math>||<math> 804113</math>||<math> 823013</math>||<math> 1323799</math>||<math> 1370987</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 63737</math>||<math> 322171</math>||<math> 520193</math>||<math> 999763</math>||<math> 1023487</math>||<math> 1032067</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 682411</math>||<math> 743747</math>||<math> 1343669</math>||<math> 1373233</math>||<math> 1782499</math>||<math> 2574437</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 50929</math>||<math> 738919</math>||<math> 1773689</math>||<math> 1793219</math>||<math> 6121807</math>||<math> 18867007</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 2729</math>||<math> 30757</math>||<math> 360163</math>||<math> 1652591</math>||<math> 18160973</math>||<math> 18862889</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 142699</math>||<math> 162649</math>||<math> 239957</math>||<math> 302287</math>||<math> 322237</math>||<math> 661547</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 3330211</math>||<math> 5620609</math>||<math> 6413401</math>||<math> 15055609</math>||<math> 32094917</math>||<math> 52863893</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 1158881</math>||<math> 1216213</math>||<math> 1236583</math>||<math> 3893899</math>||<math> 7991839</math>||<math> 8012209</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 9689</math>||<math> 316501</math>||<math> 398023</math>||<math> 2047813</math>||<math> 2219557</math>||<math> 2240137</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 12713</math>||<math> 20023</math>||<math> 141079</math>||<math> 159571</math>||<math> 296117</math>||<math> 914813</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 5501</math>||<math> 19471</math>||<math> 65837</math>||<math> 688139</math>||<math> 3980407</math>||<math> 8983031</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 10}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 243051733</math>||<math> 498161423</math>||<math> 2490123989</math>||<math> 5417375591</math>||<math> 8785408259</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 52879</math>||<math> 3544939</math>||<math> 725283077</math>||<math> 1580792347</math>||<math> 1931425157</math>||<math> 8392393693</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 964417</math>||<math> 1021331</math>||<math> 3710699</math>||<math> 174610351</math>||<math> 396598051</math>||<math> 525173641</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 915611</math>||<math> 24748189</math>||<math> 33791509</math>||<math> 314727967</math>||<math> 510756371</math>||<math> 1079797657</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 130006783</math>||<math> 208734751</math>||<math> 400663741</math>||<math> 963551671</math>||<math> 1219200119</math>||<math> 1231110787</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 6722909</math>||<math> 27846803</math>||<math> 63289771</math>||<math> 1000262819</math>||<math> 1476482057</math>||<math> 4565705117</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 2534561</math>||<math> 189999707</math>||<math> 833570987</math>||<math> 1168004581</math>||<math> 2010828277</math>||<math> 3182258251</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1343205113</math>||<math> 3033769813</math>||<math> 4093882757</math>||<math> 4112814241</math>||<math> 4348188919</math>||<math> 4749575333</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 41513261</math>||<math> 95317913</math>||<math> 6232033069</math>||<math> 6361761239</math>||<math> 6709899029</math>||<math> 8521839071</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 34913</math>||<math> 581393</math>||<math> 8397091</math>||<math> 10200607</math>||<math> 31913837</math>||<math> 258411317</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 2564251</math>||<math> 7245143</math>||<math> 15898823</math>||<math> 34834237</math>||<math> 51404371</math>||<math> 60858179</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 1058597</math>||<math> 8226307</math>||<math> 438716653</math>||<math> 799422581</math>||<math> 975166567</math>||<math> 983999677</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 122069</math>||<math> 123059</math>||<math> 158633</math>||<math> 3319219</math>||<math> 3427393</math>||<math> 5082629</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 2546781317</math>||<math> 3736609957</math>||<math> 4895747497</math>||||||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 34071019</math>||<math> 1174379903</math>||<math> 1247572429</math>||<math> 1914733781</math>||<math> 5502174781</math>||<math> 5598860513</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 210391</math>||<math> 762261571</math>||<math> 2289797801</math>||<math> 5842998881</math>||<math> 5973997177</math>||<math> 6486241481</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 150343</math>||<math> 920827</math>||<math> 47896129</math>||<math> 110935963</math>||<math> 124813783</math>||<math> 253908793</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 4045763</math>||<math> 162045979</math>||<math> 3611162221</math>||<math> 3953439013</math>||<math> 5751477079</math>||<math> 6389572141</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 99877</math>||<math> 2732441</math>||<math> 145829681</math>||<math> 1512868211</math>||<math> 1519374557</math>||<math> 1905288811</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 75187297</math>||<math> 436800197</math>||<math> 825073159</math>||<math> 953483507</math>||<math> 1237285949</math>||<math> 1620977257</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 343475219</math>||<math> 718394137</math>||<math> 1714841501</math>||<math> 4312513897</math>||<math> 4433557501</math>||<math> 7302174197</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 85363</math>||<math> 372751</math>||<math> 926879</math>||<math> 10645541</math>||<math> 11022827</math>||<math> 11027447</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 30427</math>||<math> 6020477</math>||<math> 16424981</math>||<math> 151254533</math>||<math> 229780123</math>||<math> 482610239</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 145866041</math>||<math> 226851517</math>||<math> 292104419</math>||<math> 517266257</math>||<math> 986618569</math>||<math> 1785262393</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 2117239</math>||<math> 134051459</math>||<math> 444256783</math>||<math> 635071121</math>||<math> 3239335223</math>||<math> 3689988833</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 2283571</math>||<math> 11988607</math>||<math> 17327831</math>||<math> 18230447</math>||<math> 97175423</math>||<math> 168445523</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 21206993</math>||<math> 42322087</math>||<math> 232282121</math>||<math> 530515507</math>||<math> 2074726021</math>||<math> 2176462667</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 769792447</math>||<math> 1028745119</math>||<math> 2716511507</math>||<math> 2850255403</math>||<math> 4059527753</math>||<math> 4338343433</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 98202331</math>||<math> 218657237</math>||<math> 508050341</math>||<math> 965528153</math>||<math> 1963343323</math>||<math> 2133623147</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 46452799</math>||<math> 161073877</math>||<math> 416581987</math>||<math> 444443777</math>||<math> 799148171</math>||<math> 1536915817</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 155461</math>||<math> 11699279</math>||<math> 59259649</math>||<math> 82736531</math>||<math> 138908647</math>||<math> 156852947</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 62347</math>||<math> 18249241</math>||<math> 402509117</math>||<math> 646946233</math>||<math> 694032349</math>||<math> 748855249</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 1664417</math>||<math> 3306839</math>||<math> 6703841</math>||<math> 10343167</math>||<math> 16988767</math>||<math> 17046329</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 12331793</math>||<math> 21994589</math>||<math> 32695477</math>||<math> 135554233</math>||<math> 355138829</math>||<math> 730901161</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 12683299</math>||<math> 21459209</math>||<math> 38446267</math>||<math> 423264613</math>||<math> 3158377081</math>||<math> 5208862573</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 7573327</math>||<math> 369901513</math>||<math> 2755541693</math>||<math> 2774476609</math>||<math> 3311703233</math>||<math> 5004136327</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 28549</math>||<math> 819317</math>||<math> 3721051</math>||<math> 11941571</math>||<math> 35273473</math>||<math> 46949093</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 1024853</math>||<math> 355670309</math>||<math> 446786191</math>||<math> 547343483</math>||<math> 682871447</math>||<math> 1772834893</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 7328437</math>||<math> 15275849</math>||<math> 17503261</math>||<math> 22737017</math>||<math> 27294053</math>||<math> 45150331</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 8528483</math>||<math> 40313929</math>||<math> 243787771</math>||<math> 385895737</math>||<math> 467671013</math>||<math> 797154607</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 10892747</math>||<math> 17489623</math>||<math> 28416517</math>||<math> 55350017</math>||<math> 200631439</math>||<math> 449962543</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 275550449</math>||<math> 340210649</math>||<math> 375439381</math>||<math> 1299902701</math>||<math> 7189505563</math>||<math> 8000213747</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 31057003</math>||<math> 150282967</math>||<math> 634308509</math>||<math> 643690123</math>||<math> 2295863833</math>||<math> 2515095703</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 53681</math>||<math> 14224981</math>||<math> 14432399</math>||<math> 23559377</math>||<math> 28467293</math>||<math> 42049001</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 334554023</math>||<math> 488051653</math>||<math> 2038389299</math>||<math> 2162899399</math>||<math> 2445407273</math>||<math> 3057392207</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 707071</math>||<math> 125628439</math>||<math> 303544463</math>||<math> 441911263</math>||<math> 449336813</math>||<math> 511484261</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 16561691</math>||<math> 26691349</math>||<math> 373909451</math>||<math> 558247033</math>||<math> 626630117</math>||<math> 1074793063</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 3363089</math>||<math> 35937059</math>||<math> 57814343</math>||<math> 83864653</math>||<math> 264068017</math>||<math> 2293066417</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 459609859</math>||<math> 522069971</math>||<math> 535273337</math>||<math> 720980111</math>||<math> 1617247087</math>||<math> 1769323693</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 38610347</math>||<math> 185388121</math>||<math> 511207351</math>||<math> 512002717</math>||<math> 573447551</math>||<math> 728734969</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 2781203</math>||<math> 10327159</math>||<math> 15741997</math>||<math> 161184019</math>||<math> 290334601</math>||<math> 387848743</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 527909</math>||<math> 8754457</math>||<math> 19711711</math>||<math> 68442943</math>||<math> 70092481</math>||<math> 108555763</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 187009</math>||<math> 74743931</math>||<math> 1717072597</math>||<math> 2241197341</math>||<math> 3885152797</math>||<math> 5442728839</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 13865323</math>||<math> 151172779</math>||<math> 155052347</math>||<math> 169766761</math>||<math> 417004037</math>||<math> 759377761</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 166601</math>||<math> 178151</math>||<math> 189701</math>||<math> 2902951</math>||<math> 2939267</math>||<math> 6906061</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 15296227</math>||<math> 115733179</math>||<math> 793412467</math>||<math> 2045327461</math>||<math> 3317282629</math>||<math> 3405094727</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 70627031</math>||<math> 81131437</math>||<math> 190977547</math>||<math> 295424263</math>||<math> 435613939</math>||<math> 436230467</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 96579871</math>||<math> 196123667</math>||<math> 1414855181</math>||<math> 1594532899</math>||<math> 1852156771</math>||<math> 5477685029</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 355974491</math>||<math> 1228212781</math>||<math> 1597738157</math>||<math> 2356239043</math>||<math> 2537515919</math>||<math> 2664004501</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 558431</math>||<math> 4885897</math>||<math> 62631409</math>||<math> 222308641</math>||<math> 247236973</math>||<math> 597208309</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 10981339</math>||<math> 73391203</math>||<math> 614195423</math>||<math> 722428933</math>||<math> 1804485667</math>||<math> 2011342889</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 37278391</math>||<math> 396360829</math>||<math> 477013687</math>||<math> 1035592279</math>||<math> 1668997513</math>||<math> 1740405707</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 4705247</math>||<math> 43971617</math>||<math> 150462859</math>||<math> 3214143193</math>||<math> 4385611183</math>||<math> 6156888427</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 1560997</math>||<math> 2070517</math>||<math> 319796189</math>||<math> 397320779</math>||<math> 534628103</math>||<math> 1466338729</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 96997</math>||<math> 8628157</math>||<math> 23309989</math>||<math> 84831493</math>||<math> 95865989</math>||<math> 183786877</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 110437</math>||<math> 124297</math>||<math> 138157</math>||<math> 152947</math>||<math> 166807</math>||<math> 180667</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 6446353</math>||<math> 6976289</math>||<math> 9167027</math>||<math> 315420997</math>||<math> 324294169</math>||<math> 850130293</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 8022137</math>||<math> 46017523</math>||<math> 49573471</math>||<math> 84264127</math>||<math> 201286747</math>||<math> 664107853</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 4421849</math>||<math> 7258067</math>||<math> 55181701</math>||<math> 266196461</math>||<math> 400560449</math>||<math> 658093439</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 14365553</math>||<math> 79088123</math>||<math> 578429339</math>||<math> 1590374273</math>||<math> 1620663103</math>||<math> 1692678277</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 1313271217</math>||<math> 1398822683</math>||<math> 3458123993</math>||<math> 5050258823</math>||<math> 8564509277</math>||
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 643929523</math>||<math> 1697175937</math>||<math> 3456724013</math>||<math> 3604668029</math>||<math> 5105194837</math>||<math> 5972188679</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 423644591</math>||<math> 792183047</math>||<math> 1013912467</math>||<math> 1239474463</math>||<math> 1707297247</math>||<math> 1918187839</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 15113711</math>||<math> 49877209</math>||<math> 90195289</math>||<math> 113317157</math>||<math> 542625751</math>||<math> 801528769</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 849869</math>||<math> 281904709</math>||<math> 741349123</math>||<math> 1196157763</math>||<math> 1264569469</math>||<math> 1628362679</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 3178141</math>||<math> 47378869</math>||<math> 105168887</math>||<math> 140273363</math>||<math> 315104063</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 3360767</math>||<math> 7292851</math>||<math> 8511059</math>||<math> 10038841</math>||<math> 26643899</math>||<math> 35098631</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 339263</math>||<math> 2893309</math>||<math> 7118387</math>||<math> 189387287</math>||<math> 209606629</math>||<math> 266620267</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 381816437</math>||<math> 695288453</math>||<math> 1555003309</math>||<math> 2096563163</math>||<math> 2844269837</math>||<math> 4876784057</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 143614397</math>||<math> 681135667</math>||<math> 1337835403</math>||<math> 1547432483</math>||<math> 1809315247</math>||<math> 2850704453</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 83709047</math>||<math> 1041057263</math>||<math> 1265416651</math>||<math> 1665987569</math>||<math> 2529254831</math>||<math> 4576482871</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 1452511</math>||<math> 10612519</math>||<math> 16814099</math>||<math> 216348577</math>||<math> 382728461</math>||<math> 532388587</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 25471</math>||<math> 137293657</math>||<math> 632342783</math>||<math> 960368107</math>||<math> 5503090291</math>||<math> 6704824913</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 193607</math>||<math> 33411011</math>||<math> 511632469</math>||<math> 819466853</math>||<math> 960062011</math>||<math> 1178974859</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 1728911</math>||<math> 4584401</math>||<math> 7627309</math>||<math> 77294621</math>||<math> 99462899</math>||<math> 170832131</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 51826531</math>||<math> 210101329</math>||<math> 235062067</math>||<math> 605501191</math>||<math> 1083324911</math>||<math> 2230437163</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 1989811</math>||<math> 825611753</math>||<math> 2281896011</math>||<math> 2468212757</math>||<math> 2968471043</math>||<math> 4958366753</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 194839</math>||<math> 1044739</math>||<math> 1075237</math>||<math> 2169967</math>||<math> 2467369</math>||<math> 3135841</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 90365419</math>||<math> 551760331</math>||<math> 1165944209</math>||<math> 1887703247</math>||<math> 1932471091</math>||<math> 3396823123</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 804113</math>||<math> 1087721813</math>||<math> 2462595313</math>||<math> 3420103007</math>||<math> 5068097201</math>||<math> 5268928117</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 1023487</math>||<math> 6202067</math>||<math> 6640901</math>||<math> 19304167</math>||<math> 78325591</math>||<math> 152030453</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 13154717</math>||<math> 123351947</math>||<math> 180065461</math>||<math> 191400653</math>||<math> 307980523</math>||<math> 526607503</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 1773689</math>||<math> 128832049</math>||<math> 226504217</math>||<math> 544697521</math>||<math> 880832749</math>||<math> 1511819633</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 216443629</math>||<math> 1460073841</math>||<math> 2172351869</math>||<math> 3696955411</math>||<math> 4020404251</math>||<math> 4234603313</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 142699</math>||<math> 302287</math>||<math> 661547</math>||<math> 64740661</math>||<math> 176566177</math>||<math> 562542581</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 77727823</math>||<math> 585546277</math>||<math> 1013154997</math>||<math> 1309662637</math>||<math> 2007871577</math>||<math> 2231189419</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 1216213</math>||<math> 7991839</math>||<math> 156234857</math>||<math> 1222246309</math>||<math> 2382533789</math>||<math> 2523592993</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 2219557</math>||<math> 508048529</math>||<math> 906000787</math>||<math> 1111806827</math>||<math> 2134225213</math>||<math> 6894499589</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 2397931</math>||<math> 4022297</math>||<math> 4043087</math>||<math> 15314617</math>||<math> 26974879</math>||<math> 35575247</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 49402277</math>||<math> 263368843</math>||<math> 701455591</math>||<math> 2403274567</math>||<math> 3097244987</math>||<math> 5984865767</math>
 
−
|}
 
−
<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>f(a^-) = \lim_{x \to a^-} f (x)</math>
  
 +
Takie oznaczenie ma nawet pewien sens, ponieważ granice możemy zapisywać w&nbsp;różny sposób, natomiast efekt jest jeden i&nbsp;ujmują go powyższe symbole. Przykładowo
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C53</span><br/>
+
::<math>f(a^+) = \lim_{x \to a^+} f (x) = \lim_{h \to 0^+} f (a + h)</math>
−
Niech <math>d, k, k_0, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> z&nbsp;dzielenia <math>n</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
 
  
−
::<math>x_k = a + k d \qquad</math> dla <math>\; k = k_0 + 1, \ldots, k_0 + n</math>
+
Pozwoli to łatwo odróżnić wartości granic od wartości funkcji <math>f(a)</math> i&nbsp;prosto zapisać własności funkcji. Przykładowo funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>a</math>, gdy istnieją skończone granice <math>f(a^-)</math> i <math>f (a^+)</math> oraz <math>f(a^-) = f (a^+) = f (a)</math>.
  
−
przez liczbę <math>n</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \}</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że wśród <math>n</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego <math>(x_k)</math> jeden z&nbsp;tych wyrazów jest podzielny przez <math>n</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
W przypadku pochodnych wprowadzimy oznaczenie pozwalające odróżnić wartość pochodnej prawostronnej od pochodnej lewostronnej.
−
Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych <math>i, j</math> takich, że <math>1 \leqslant i < j \leqslant n</math> liczby <math>a + (k_0 + i) d</math> oraz <math>a + (k_0 + j) d</math> dają tę samą resztę przy dzieleniu przez <math>n</math>. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez <math>n</math>
 
  
−
::<math>n| [a + (k_0 + j) d] - [a + (k_0 + i) d]</math>
+
::<math>\partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}}</math>
  
−
Czyli
+
::<math>\partial_- f (a) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}}</math>
  
−
::<math>n|d (j - i)</math>
+
Podobnie i&nbsp;w&nbsp;tym przypadku różny zapis granic daje ten sam efekt
  
−
Ponieważ liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70), mamy
+
::<math>\partial_+ f (a) = \lim_{x \to a^+} {\small\frac{f (x) - f (a)}{x - a}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}}</math>
  
−
::<math>n| (j - i)</math>
+
Przykładowo pochodna <math>f' (x)</math> istnieje w&nbsp;punkcie <math>a</math>, gdy istnieją skończone granice <math>\partial_+ f (a)</math> i <math>\partial_- f (a)</math> oraz <math>\partial_+ f (a) = \partial_- f (a) = f' (a)</math> i&nbsp;jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>a</math>, gdy istnieją skończone granice <math>f' (a^-)</math> i <math>f' (a^+)</math> oraz <math>f' (a^-) = f' (a^+) = f' (a)</math>.
  
−
Co jest niemożliwe, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant n - 1 < n</math>.
 
  
−
Zatem reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> są wszystkie różne, a&nbsp;ponieważ jest ich <math>n</math>, czyli tyle ile jest różnych reszt z&nbsp;dzielenia przez liczbę <math>n</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>n</math>, czyli ze zbiorem <math>S = \{ 0, 1, 2, \ldots, n - 1 \}</math>.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F36</span><br/>
 +
Podkreślmy, że granica funkcji w&nbsp;punkcie (powiedzmy <math>x = a</math>) nie jest wartością funkcji w&nbsp;tym punkcie. Jest tak tylko wtedy, gdy funkcja jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>x = a</math>. Analogicznie granica pochodnej w&nbsp;punkcie nie jest wartością pochodnej w&nbsp;tym punkcie. Jest tak tylko wtedy, gdy spełnione są pewne warunki. Twierdzenia F37 i&nbsp;F38 określają te warunki i&nbsp;dlatego są bardzo istotne.
  
 +
Traktowanie granicy funkcji <math>f' (x)</math> w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> jako wartości pochodnej w&nbsp;tym punkcie, bez odwołania się do wspomnianych twierdzeń, jest błędem. Dobrym przykładem jest funkcja
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C54</span><br/>
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
−
Niech <math>d \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech będzie dany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
+
  x^2 \sin \left( {\small\frac{1}{x}} \right) &  & x \neq 0\\
 +
  0 & & x = 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+
Funkcja ta ma pochodną w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>, ale granice pochodnej w&nbsp;tym punkcie nie istnieją (zobacz zadanie F9).
  
−
Z żądania, aby dany ciąg arytmetyczny był ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, wynika, że muszą być spełnione następujące warunki
 
  
−
:* <math>p_0 \nmid d</math>
 
−
:* <math>n \leqslant p_0</math>
 
−
:* <math>P(n - 1) |d</math>
 
−
:* jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>
 
  
−
gdzie <math>P(t)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>t</math>.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F37</span><br/>
 +
Niech <math>\varepsilon > 0</math>. Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[a, a + \varepsilon)</math> i&nbsp;różniczkowalna<ref name="DifferentiableFun1"/> w <math>(a, a + \varepsilon)</math> oraz istnieje granica (skończona lub nieskończona) <math>\lim_{x \to a^+} f' (x)</math>, to pochodna prawostronna w&nbsp;punkcie <math>a</math> jest równa tej granicy: <math>\partial_+ f (a) = f' (a^+)</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
'''Punkt 1.'''<br/>
+
Z definicji pochodna prawostronna jest równa
−
Gdyby <math>p_0 |d</math>, to dla <math>k \geqslant 1</math> mielibyśmy <math>p_k = p_0 \left( 1 + k \cdot \frac{d}{p_0} \right)</math> i&nbsp;wszystkie te liczby byłyby złożone.
 
  
−
'''Punkt 2.'''<br/>
+
::<math>\partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}}</math>
−
Ponieważ <math>p_0</math> dzieli <math>p_0 + p_0 d</math>, więc musi być <math>n - 1 < p_0</math>, czyli <math>n \leqslant p_0</math>.
 
  
−
'''Punkt 3.'''<br/>
+
Zauważmy, że dla <math>h < \varepsilon</math> funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[a, a + h]</math>, a <math>f' (x)</math> istnieje i&nbsp;jest różniczkowalna <math>(a, a + h)</math>. Ponieważ spełnione są tym samym założenia twierdzenia Lagrange'a, to istnieje taki punkt <math>c \in (a, a + h)</math>, że
−
Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą mniejszą od <math>n</math>, a&nbsp;liczby <math>r_k</math> będą resztami uzyskanymi z&nbsp;dzielenia liczb <math>p_k = p_0 + k d</math> przez <math>q</math>, dla <math>k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia liczby <math>p_0, \ldots, p_{n - 1}</math> są liczbami pierwszymi większymi od <math>q</math> (zauważmy, że <math>p_0 \geqslant n</math>), to żadna z&nbsp;reszt <math>r_k</math> nie może być równa zeru. Czyli mamy <math>q</math> reszt mogących przyjmować jedynie <math>q - 1</math> różnych wartości. Zatem istnieją różne liczby <math>i, j</math>, takie że <math>0 \leqslant i < j \leqslant q - 1</math>, dla których <math>r_i = r_j</math>. Wynika stąd, że różnica liczb
 
  
−
::<math>p_j - p_i = (p_0 + j d) - (p_0 + i d) = d (j - i)</math>
+
::<math>f(a + h) - f (a) = f' (c) \cdot h</math>
  
−
musi być podzielna przez <math>q</math>. Ponieważ <math>q \nmid (j - i)</math>, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant q - 1 < q</math>, zatem z&nbsp;lematu Euklidesa <math>q|d</math>.
+
Położenie punktu <math>c</math> w&nbsp;ogólności zależy od wyboru wartości <math>h</math>, zatem wprowadźmy oznaczenie
  
−
Z uwagi na fakt, że jest tak dla każdej liczby pierwszej <math>q < n</math>, liczba <math>d</math> musi być podzielna przez
+
::<math>c = a + \delta (h)</math>
  
−
::<math>P(n - 1) = \prod_{q < n} q</math>
+
gdzie <math>\delta (h) > 0</math>. Układ nierówności <math>a < c < a + h</math> możemy teraz zapisać w&nbsp;postaci
  
−
'''Punkt 4.'''<br/>
+
::<math>a < a + \delta (h) < a + h</math>
−
Ponieważ <math>P(n - 1)|d</math>, to wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>n</math> muszą być dzielnikami <math>d</math>. Wynika stąd, że jeśli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to musi być <math>q \geqslant n</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
 
 +
Skąd wynika natychmiast, że
 +
 
 +
::<math>\lim_{h \to 0^+} \delta (h) = 0</math>
 +
 
 +
Zbierając mamy
 +
 
 +
::<math>\partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} f' (c) = \lim_{h \to 0^+} f' (a + \delta (h)) = \lim_{x \to a^+} f' (x) = f' (a^+)</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2324: Linia 1273:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C55</span><br/>
+
Analogiczne twierdzenie można sformułować i&nbsp;udowodnić dla lewostronnego otoczenia punktu <math>a</math>.
−
Czasami, zamiast pisać „ciąg arytmetyczny liczb pierwszych”, będziemy posługiwali się skrótem PAP od angielskiej nazwy „''prime arithmetic progression''”. Konsekwentnie zapis PAP-<math>n</math> będzie oznaczał ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, a&nbsp;zapis PAP<math>(n, d, q)</math> ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, pierwszym wyrazie <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d</math>.
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F38</span><br/>
 +
Niech <math>\varepsilon > 0</math>. Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[a - \varepsilon, a)</math> i&nbsp;różniczkowalna w <math>(a, a + \varepsilon)</math> oraz istnieje granica (skończona lub nieskończona) <math>\lim_{x \to a^-} f' (x)</math>, to pochodna lewostronna w&nbsp;punkcie <math>a</math> jest równa tej granicy: <math>\partial_- f (a) = f' (a^-)</math>.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C56</span><br/>
 
−
Jakkolwiek sądzimy, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych rozpoczynających się od dowolnej liczby pierwszej <math>q</math> i&nbsp;o&nbsp;dowolnej długości <math>3 \leqslant n \leqslant q</math>, to obecnie jest to tylko nieudowodnione przypuszczenie.
 
  
−
Dlatego '''nawet dla najmniejszej''' liczby pierwszej <math>q</math> takiej, że <math>q \nmid d</math> nierówność <math>n \leqslant q</math>, pokazana w&nbsp;twierdzeniu C54, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W&nbsp;szczególności nie możemy z&nbsp;góry przyjmować, że dla liczby <math>n = q</math> znajdziemy taką liczbę <math>d</math> będącą wielokrotnością liczby <math>P(q - 1)</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>q</math>, że będzie istniał PAP<math>(q, d, q)</math>.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F39</span><br/>
 +
Funkcja ciągła w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math> przyjmuje w&nbsp;tym przedziale jedynie wartości skończone.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>f(x)</math> oznacza funkcję ciągłą w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math>. Przypuśćmy, że istnieje taki punkt <math>c \in (a, b)</math>, że wartość funkcji <math>f(c)</math>, nie jest skończona. Zatem dla <math>\varepsilon >0</math>
  
 +
::<math>\varepsilon = \min \left( {\small\frac{c - a}{2}}, {\small\frac{b - c}{2}} \right)</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C57</span><br/>
+
funkcja <math>f(x)</math> byłaby ciągła w&nbsp;przedziale <math>[c - \varepsilon, c + \varepsilon]</math>, ale nie byłaby w&nbsp;tym przedziale ograniczona, co przeczyłoby twierdzeniu Weierstrassa<ref name="Weierstrass1"/>.<br/>
−
Rozważmy dwie różnice <math>d_1 = 6 = 2 \cdot 3</math> oraz <math>d_2 = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7</math>. Zauważmy, że liczba pierwsza <math>5</math> nie dzieli ani <math>d_1</math>, ani <math>d_2</math>. Co więcej, liczba pierwsza <math>5</math> jest '''najmniejszą''' liczbą pierwszą, która nie dzieli rozpatrywanych różnic, zatem nierówność <math>n \leqslant 5</math> zapewnia najmocniejsze oszacowanie długości ciągu <math>n</math>. Łatwo sprawdzamy w&nbsp;zamieszczonych tabelach, że dla <math>d = 6</math> oraz dla <math>d = 42</math> są ciągi o&nbsp;długości <math>3, 4, 5</math>, ale nie ma ciągów o&nbsp;długości <math>6, 7, \ldots</math>
+
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
W szczególności z&nbsp;twierdzenia C54 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;określonej długości <math>n</math>, należy szukać ich tylko dla różnic <math>d</math> będących wielokrotnością liczby <math>P(n - 1)</math>.
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek F40</span><br/>
 +
Z twierdzenia F39 wynika natychmiast, że jeżeli funkcja <math>f(x)</math> ma ciągłą pochodną w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math>, to funkcja <math>f(x)</math> jest w&nbsp;tym przedziale różniczkowalna.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C58</span><br/>
+
 
−
Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że jeżeli <math>p_0 = 3</math>, to dwa następne wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych są różnych postaci.
+
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F41</span><br/>
 +
Niech
 +
 
 +
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{rrr}
 +
  - (- x)^{1 / 3} &  & x < 0\\
 +
  x^{1 / 3} &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
Korzystając z&nbsp;twierdzeń F37 i&nbsp;F38 znaleźć wartości pochodnej <math>f(x)</math> w <math>x = 0</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Ponieważ <math>p_0 = 3</math>, a&nbsp;rozpatrywany PAP jest rosnący, to kolejne wyrazy ciągu są większe od liczby <math>3</math> i&nbsp;mogą być przedstawione w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia C54 wiemy, że musi być <math>n \leqslant p_0 = 3</math>, czyli długość rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi dokładnie <math>3</math> i&nbsp;istnieją tylko dwa następne wyrazy.
+
Spójrzmy na wykres funkcji <math>f(x)</math>
  
−
Rozważmy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych składający się z&nbsp;trzech wyrazów <math>p, q, r</math> takich, że <math>p = 3</math>. Mamy
+
::[[File: F_Styczna_pionowa.png|none]]
  
−
::<math>r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p</math>
 
  
−
Zatem
+
Od razu dostrzegamy, że <math>f(x)</math> ma styczną pionową w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>. Obliczając pochodną, dostajemy
 +
 
 +
::<math>f' (x) = \left\{ \begin{array}{rrr}
 +
  \frac{1}{3} (- x)^{- 2 / 3} &  & x < 0\\
 +
  \frac{1}{3} x^{- 2 / 3} &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
Funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[0, \varepsilon)</math> i&nbsp;ma ciągłą pochodną w&nbsp;przedziale <math>(0, \varepsilon)</math> oraz <math>f' (0^+) = + \infty</math>, zatem w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> mamy <math>\partial_+ f (0) = + \infty</math> (twierdzenie F37). Podobnie pokazujemy, że <math>\partial_- f (0) = + \infty</math>. Obliczając pochodne jednostronne z&nbsp;definicji, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>\partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{h^{1 / 3} - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1}{h^{2 / 3}}} = + \infty</math>
 +
 
 +
::<math>\partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{- (- h)^{1 / 3} - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{(- h)^{2 / 3}}} = + \infty</math>
 +
 
 +
 
 +
Możemy powiedzieć, że funkcja <math>f(x)</math> ma pochodną niewłaściwą w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> równą <math>+ \infty</math>. Ale nie powiemy, że <math>f(x)</math> ma pochodną (w zwykłym sensie) lub że jest różniczkowalna w&nbsp;tym punkcie. Zauważmy, że z&nbsp;istnienia nieskończonej pochodnej nie wynika ciągłość funkcji. Rozważmy
 +
 
 +
::<math>\mathop{\textnormal{sgn}}(x) = \left\{ \begin{array}{rrr}
 +
  - 1 &  & x < 0\\
 +
  0 &  & x = 0\\
 +
  1 &  & x > 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
Łatwo znajdujemy, że
 +
 
 +
::<math>\partial_+ \mathop{\textnormal{sgn}}(0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{\mathop{\textnormal{sgn}}(0 + h) - \mathop{\textnormal{sgn}}(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1 - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1}{h}} = + \infty</math>
  
−
::<math>r + q = 3 q - 3</math>
+
::<math>\partial_- \mathop{\textnormal{sgn}}(0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{\mathop{\textnormal{sgn}}(0 + h) - \mathop{\textnormal{sgn}}(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{- 1 - 0}{h}} = - \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{h}} = + \infty</math>
  
−
Widzimy, że prawa strona powyższej równości jest podzielna przez <math>3</math>. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być różnych postaci, bo tylko w&nbsp;takim przypadku lewa strona równości będzie również podzielna przez <math>3</math>.<br/>
+
Gdybyśmy uznali, że <math>\mathop{\textnormal{sgn}}(x)</math> jest różniczkowalna w <math>x = 0</math>, to mielibyśmy funkcję różniczkowalną i&nbsp;nieciągłą w <math>x = 0</math>.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2363: Linia 1349:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C59</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F42</span><br/>
−
Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że wszystkie wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math>, gdzie <math>p_0 \geqslant 5</math> i <math>n \geqslant 3</math> muszą być jednakowej postaci.
+
Niech <math>c \in (a, b)</math>. Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math> i&nbsp;ma ciągłą pochodną w&nbsp;każdym z&nbsp;przedziałów <math>(a, c)</math> i <math>(c, b)</math> oraz istnieją skończone i&nbsp;równe sobie granice <math>\lim_{x \to c^-} f' (x)</math> i <math>\lim_{x \to c^+} f' (x)</math>, to pochodna <math>f' (x)</math> jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>, czyli jest ciągła w <math>(a, b)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Pochodna prawostronna z&nbsp;definicji jest równa
 +
 
 +
::<math>\partial_+ f (c) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (c + h) - f (c)}{h}}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
O ile tylko <math>h < b - c</math>, to funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[c, c + h)</math> i&nbsp;różniczkowalna w&nbsp;przedziale <math>(c, c + h)</math>, czyli spełnione są założenia twierdzenia F37, zatem pochodna prawostronna w&nbsp;punkcie <math>c</math> jest równa
−
Niech liczby <math>p, q, r</math> będą trzema kolejnymi (dowolnie wybranymi) wyrazami rozpatrywanego ciągu. Łatwo zauważmy, że
 
  
−
::<math>r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p</math>
+
::<math>\partial_+ f (c) = \lim_{x \to c^+} f' (x)</math>
 +
 
 +
Ponieważ założyliśmy, że granica <math>\lim_{x \to c^+} f' (x)</math> jest skończona, to <math>f' (x)</math> jest prawostronnie ciągła w&nbsp;punkcie <math>c</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>f' (x)</math> jest lewostronnie ciągła w <math>c</math>. Z&nbsp;założenia granice <math>\lim_{x \to c^-} f' (x)</math> i <math>\lim_{x \to c^+} f' (x)</math> są równe, zatem <math>f' (x)</math> jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>c</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Zatem
 
  
−
::<math>p + q = 3 q - r</math>
 
  
−
::<math>q + r = 3 q - p</math>
+
Z twierdzenia F42 wynika natychmiast
  
−
::<math>p + r = 2 q</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F43</span><br/>
 +
Niech funkcja <math>f(x)</math> będzie kawałkami klasy <math>C^1 ([a, b])</math>. Funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^1 ([a, b])</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> i&nbsp;w&nbsp;każdym punkcie <math>x_k</math> (wyznaczającym podział przedziału <math>[a, b]</math>) granice lewostronna i&nbsp;granica prawostronna pochodnej <math>f' (x)</math> są sobie równe.
  
−
Zauważmy, że prawa strona wypisanych wyżej równości nie jest podzielna przez <math>3</math>, bo liczby <math>p, q, r</math> są liczbami pierwszymi większymi od liczby <math>3</math>. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być tej samej postaci, bo gdyby było inaczej, to lewa strona tych równości byłaby podzielna przez <math>3</math>, a&nbsp;prawa nie. Czyli każda para liczb z&nbsp;trójki <math>p, q, r</math> musi być tej samej postaci i&nbsp;wynika stąd, że wszystkie trzy liczby muszą być tej samej postaci. Ponieważ trzy kolejne wyrazy ciągu <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math> były wybrane dowolnie, to wszystkie wyrazy tego ciągu muszą być tej samej postaci.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F44</span><br/>
 +
Niech
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C60</span><br/>
+
:* funkcja <math>f(x)</math> będzie klasy <math>C^0 ([a, b])</math>
−
Niech <math>d > 0</math> będzie różnicą ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
+
:* <math>c \in (a, b)</math>
 +
:* pochodna funkcji <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą w&nbsp;przedziałach <math>[a, c)</math> i <math>(c, b]</math>
  
−
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+
Pokazać, że
  
−
Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C54, że jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>.
+
# jeżeli co najmniej jedna z&nbsp;granic <math>f' (c^-)</math> i <math>f' (c^+)</math> jest nieskończona, to funkcja <math>f(x)</math> nie jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> i&nbsp;oczywiście nie jest nawet kawałkami klasy <math>C^1 ([a, b])</math>
 +
# jeżeli istnieją skończone granice <math>f' (c^-)</math> i <math>f' (c^+)</math> i&nbsp;nie są sobie równe, to <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^1 ([a, b])</math>
 +
# jeżeli istnieją skończone granice <math>f' (c^-)</math> i <math>f' (c^+)</math> i&nbsp;są sobie równe, to funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^1 ([a, b])</math>
 +
# jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> oraz funkcja <math>f' (x)</math> jest nieciągła w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>, to co najmniej jedna z&nbsp;granic <math>f' (c^-)</math> i <math>f' (c^+)</math> nie istnieje; w&nbsp;efekcie funkcja <math>f(x)</math> nie jest nawet kawałkami klasy <math>C^1 ([a, b])</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Przypuśćmy, że <math>n > q</math> tak, że <math>q < n \leqslant p_0</math>, zatem
 
  
−
::<math>q < p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+
'''Punkt 1.'''
  
−
Ponieważ <math>q \nmid d</math>, to na mocy twierdzenia C53 wśród <math>q</math> kolejnych wyrazów <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math> (zauważmy, że <math>q - 1 < n - 1</math>) jedna liczba pierwsza <math>p_k</math> musi być podzielna przez <math>q</math>, zatem musi być równa <math>q</math>. Jednak jest to niemożliwe, bo <math>q < p_k</math> dla wszystkich <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Zatem nie może być <math>n > q</math>.<br/>
+
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że <math>f' (c^+) = + \infty</math>. Ponieważ funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[a, b]</math>, pochodna funkcji <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>(c, b]</math> oraz istnieje (nieskończona) granica <math>f' (c^+)</math>, to z&nbsp;twierdzenia F37 wiemy, że pochodna prawostronna w&nbsp;punkcie <math>a</math> jest równa tej granicy, czyli <math>\partial_+ f (c) = f' (c^+) = + \infty</math> . Wynika stąd, że funkcja <math>f(x)</math> nie jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>. Oczywiście funkcja <math>f(x)</math> nie nie jest nawet kawałkami klasy <math>C^1 ([a, b])</math>, już ze względu na uczynione założenie, że co najmniej jedna z&nbsp;granic <math>f' (c^-)</math> i <math>f' (c^+)</math> nie jest skończona.
−
&#9633;
+
 
−
{{\Spoiler}}
+
<span style="border-bottom-style: double;">Przykład</span><br/>
 +
Rozważmy funkcję
 +
 
 +
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  0 &  & x < 0\\
 +
  x^{2 / 3} &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
Funkcja jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>. Wartość pochodnej lewostronnej i&nbsp;prawostronnej w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> policzymy z&nbsp;definicji
 +
 
 +
::<math>\partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0</math>
 +
 
 +
::<math>\partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^{2 / 3} - 0}{h}} = {\small\frac{1}{h^{1 / 3}}} = + \infty</math>
 +
 
 +
Obliczając pochodną funkcji <math>f(x)</math> dostajemy
 +
 
 +
::<math>f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  0 & & x < 0\\
 +
  {\small\frac{2}{3}} x^{- 1 / 3} &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
 +
Odpowiednie granice są równe
  
 +
::<math>f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C61</span><br/>
+
::<math>f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = + \infty</math>
−
Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą, a&nbsp;liczby pierwsze
 
  
−
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> gdzie <math>\; k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>
+
Zatem funkcja <math>f(x)</math> nie jest nawet kawałkami klasy <math>C^1 ([- 5, 5])</math>.
  
−
tworzą ciąg arytmetyczny o&nbsp;długości <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d > 0</math>.
+
'''Punkt 2.'''
  
−
Równość <math>p_0 = q</math> zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>q \nmid d</math>.
+
Ponieważ funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[a, b]</math>, pochodna funkcji <math>f(x)</math>
 +
jest ciągła w <math>(c, b]</math> oraz istnieje skończona granica <math>f' (c^+)</math>, to z&nbsp;twierdzenia F37 wynika, że pochodna <math>f' (x)</math> jest prawostronnie ciągła w <math>c</math>, czyli
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>f' (c^+) = \partial_+ f (c)</math>
−
<math>\Longrightarrow</math><br/>
 
−
Jeżeli <math>p_0 = q</math>, to <math>q</math>-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma postać
 
  
−
::<math>p_k = q + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>
+
Analogiczna analiza w&nbsp;przedziale <math>[a, c)</math> prowadzi do wniosku, że
  
−
Gdyby <math>q|d</math>, to mielibyśmy
+
::<math>f' (c^-) = \partial_- f (c)</math>
  
−
::<math>p_k = q \left( 1 + k \cdot \frac{d}{q} \right)</math>
+
Z założenia
  
−
i wszystkie liczby <math>p_k</math> dla <math>k \geqslant 1</math> byłyby złożone, wbrew założeniu, że <math>p_k</math> tworzą <math>q</math>-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych.
+
::<math>\partial_- f (c) = f' (c^-) \neq f' (c^+) = \partial_+ f (c)</math>
  
−
<math>\Longleftarrow</math><br/>
+
zatem <math>f(x)</math> nie jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>c</math>, czyli <math>f' (x)</math> jest funkcją nieciągłą. Ponieważ istnieją granice <math>f' (c^-)</math> i <math>f' (c^+)</math>, to <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^1 ([a, b])</math>.
−
Ponieważ <math>q</math> jest długością rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych, to z&nbsp;twierdzenia C54 wynika, że musi być <math>q \leqslant p_0</math>.
 
  
−
Z założenia liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia C53 wiemy, że <math>q</math> musi dzielić jedną z&nbsp;liczb <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math>.
+
<span style="border-bottom-style: double;">Przykład</span><br/>
 +
Rozważmy funkcję
  
−
Jeżeli <math>q|p_k</math>, to <math>p_k = q</math>. Ponieważ <math>q \leqslant p_0</math>, to możliwe jest jedynie <math>q|p_0</math> i&nbsp;musi być <math>p_0 = q</math>.<br/>
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
−
&#9633;
+
  0 &  & x < 0\\
−
{{\Spoiler}}
+
  x^2 + x &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
 +
Funkcja jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>. Wartość pochodnej lewostronnej i&nbsp;prawostronnej w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> policzymy z&nbsp;definicji
  
 +
::<math>\partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C62</span><br/>
+
::<math>\partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^2 + h - 0}{h}} = 1</math>
−
Niech ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> ma postać
 
  
−
::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+
Obliczając pochodną funkcji <math>f(x)</math> dostajemy
  
−
Z udowodnionych wyżej twierdzeń C54 i&nbsp;C61 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> można podzielić na dwie grupy
+
::<math>f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  0 & & x < 0\\
 +
  2 x + 1 &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
:* jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>, to <math>P(n - 1) |d</math> oraz <math>p_0 = n</math> (dla ustalonego <math>d</math> może istnieć tylko jeden ciąg)
+
Odpowiednie granice są równe
−
:* jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną lub <math>n|d</math>, to <math>P(n) |d</math> oraz <math>p_0 > n</math>
 
  
−
Funkcja <math>P(t)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>t</math>.
+
::<math>f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0</math>
  
 +
::<math>f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = 1</math>
  
 +
Zatem funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^1 ([- 5, 5])</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C63</span><br/>
+
'''Punkt 3.'''
−
Niech różnica ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi <math>d = 10^t</math>, gdzie <math>t \geqslant 1</math>. Zauważmy, że dla dowolnego <math>t</math> liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
 
  
−
Jeżeli długość ciągu <math>n = 3</math> i <math>n \nmid d</math>, to musi być <math>p_0 = n = 3</math> i&nbsp;może istnieć tylko jeden PAP dla każdego <math>d</math>. W&nbsp;przypadku <math>t \leqslant 10000</math> jedynie dla <math>t = 1, 5, 6, 17</math> wszystkie liczby ciągu arytmetycznego <math>(3, 3 + 10^t, 3 + 2 \cdot 10^t)</math> są pierwsze.
+
Analizując tak samo, jak w&nbsp;punkcie 2. otrzymujemy ciąg równości
  
 +
::<math>\partial_- f (c) = f' (c^-) = f' (c^+) = \partial_+ f (c)</math>
  
 +
Zatem pochodna istnieje w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> i&nbsp;jest ciągła w&nbsp;tym punkcie. Wynika stąd natychmiast, że funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^1 ([a, b])</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C64</span><br/>
+
<span style="border-bottom-style: double;">Przykład</span><br/>
−
Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14, 16</math>.
+
Rozważmy funkcję
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
−
Zauważmy, że dla każdej z&nbsp;podanych różnic <math>d</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
+
  0 &  & x < 0\\
 +
  x^2 &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Ponieważ <math>n = 3</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;dla wypisanych <math>d</math> liczba <math>n \nmid d</math>, to w&nbsp;każdym przypadku może istnieć tylko jeden ciąg, którego pierwszym wyrazem jest liczba pierwsza <math>p_0 = n = 3</math>. Dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14</math> łatwo znajdujemy odpowiednie ciągi
+
Funkcja jest klasy <math>C^0 ([- 5, 5])</math>. Wartość pochodnej lewostronnej i&nbsp;prawostronnej w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> policzymy z&nbsp;definicji
  
−
::<math>(3, 5, 7)</math>, <math>\qquad (3, 7, 11)</math>, <math>\qquad (3, 11, 19)</math>, <math>\qquad (3, 13, 23)</math>, <math>\qquad (3, 17, 31)</math>
+
::<math>\partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0</math>
  
−
Dla <math>d = 16</math> szukany ciąg nie istnieje, bo <math>35 = 5 \cdot 7</math>.<br/>
+
::<math>\partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^2 - 0}{h}} = 0</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Czyli <math>f(x)</math> jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math> i <math>f' (0) = 0</math>. Obliczając pochodną funkcji <math>f(x)</math> dostajemy
  
 +
::<math>f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  0 &  & x < 0\\
 +
  2 x &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C65</span><br/>
+
Odpowiednie granice są równe
−
Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11</math> i <math>d = P (n - 1)</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0</math>
−
Z założenia PAP ma długość <math>n</math>, liczba <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>. Zatem może istnieć tylko jeden PAP taki, że <math>p_0 = n</math>. Dla <math>n = 3, 5</math> i&nbsp;odpowiednio <math>d = 2, 6</math> otrzymujemy ciągi arytmetyczne liczb pierwszych
 
  
−
::<math>(3, 5, 7)</math>, <math>\qquad (5, 11, 17, 23, 29)</math>
+
::<math>f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = 0</math>
  
−
Ale dla <math>n = 7, 11</math> i&nbsp;odpowiednio <math>d = 30, 210</math> szukane ciągi nie istnieją, bo
+
Zatem funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^1 ([- 5, 5])</math>.
  
−
::<math>(7, 37, 67, 97, 127, 157, {\color{Red} 187 = 11 \cdot 17})</math>
+
'''Punkt 4.'''
  
−
::<math>(11, {\color{Red} 221 = 13 \cdot 17}, 431, 641, {\color{Red} 851 = 23 \cdot 37}, 1061, {\color{Red} 1271 = 31 \cdot 41}, 1481, {\color{Red} 1691 = 19 \cdot 89}, 1901, 2111)</math><br/>
+
Z założenia funkcja <math>f(x)</math> jest różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>c</math>, czyli istnieją skończone granice
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\partial_+ f (c) = \lim_{x \to c^+} {\small\frac{f (x) - f (c)}{x - c}}</math>
  
 +
::<math>\partial_- f (c) = \lim_{x \to c^-} {\small\frac{f (x) - f (c)}{x - c}}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C66</span><br/>
+
i są sobie równe: <math>\partial_+ f (c) = \partial_- f (c) = f' (c)</math>.
−
Przedstawiamy przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych, takie że <math>n = p_0</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11, 13</math>. Zauważmy, że wypisane w&nbsp;tabeli wartości <math>d</math> są wielokrotnościami liczby <math>P(n - 1)</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabelę|Hide=Ukryj tabelę}}
+
Ponieważ <math>c</math> jest również punktem nieciągłości pochodnej, to
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| style="background:#98fb98;"|<math>\mathbf{n = p_0}</math>
 
−
| colspan=10 style="background:#ffd890;"| <math>\mathbf{d}</math>
 
−
|-
 
−
|-
 
−
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{3}</math>||<math>2</math>||<math>4</math>||<math>8</math>||<math>10</math>||<math>14</math>||<math>20</math>||<math>28</math>||<math>34</math>||<math>38</math>||<math>40</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{5}</math>||<math>6</math>||<math>12</math>||<math>42</math>||<math>48</math>||<math>96</math>||<math>126</math>||<math>252</math>||<math>426</math>||<math>474</math>||<math>594</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{7}</math>||<math>150</math>||<math>2760</math>||<math>3450</math>||<math>9150</math>||<math>14190</math>||<math>20040</math>||<math>21240</math>||<math>63600</math>||<math>76710</math>||<math>117420</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{11}</math>||<math>1536160080</math>||<math>4911773580</math>||<math>25104552900</math>||<math>77375139660</math>||<math>83516678490</math>||<math>100070721660</math>||<math>150365447400</math>||<math>300035001630</math>||<math>318652145070</math>||<math>369822103350</math>
 
−
|-
 
−
| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{13}</math>||<math>9918821194590</math>||<math>104340979077720</math>||<math>187635245859600</math>||<math>232320390245790</math>||<math>391467874710990</math>||<math>859201916576850</math>||<math>1024574038282410</math>||<math>1074380369464710</math>||<math>1077624363457950</math>||<math>1185763337651970</math>
 
−
|}
 
  
 +
::<math>\lim_{x \to c^+} f' (x) \neq f' (c)</math>
  
−
Przykłady takich ciągów dla jeszcze większych liczb pierwszych Czytelnik znajdzie na stronie [http://oeis.org/A088430 A088430].<br/>
+
lub
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\lim_{x \to c^-} f' (x) \neq f' (c)</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C67</span><br/>
+
Przypuśćmy, że istnieją skończone granice <math>\lim_{x \to c^+} f' (x)</math> i <math>\lim_{x \to c^-} f' (x)</math>, zatem z&nbsp;twierdzeń F37 i&nbsp;F38 wynika, że pochodna jest prawostronnie i&nbsp;lewostronnie ciągła w <math>c</math>. Mamy
−
Liczby <math>3, 5, 7</math> są najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego '''kolejnych''' liczb pierwszych. Zauważmy, że tylko w&nbsp;przypadku <math>n = 3</math> możliwa jest sytuacja, że <math>n = p_0 = 3</math>. Istotnie, łatwo stwierdzamy, że
 
  
−
:* ponieważ <math>p_0</math> i <math>p_1</math> są '''kolejnymi''' liczbami pierwszymi, to <math>p_1 - p_0 < p_0</math> (zobacz zadanie B22)
+
::<math>\lim_{x \to c^+} f' (x) = \partial_+ f (c)</math>
−
:* dla dowolnej liczby pierwszej <math>q \geqslant 5</math> jest <math>q < P (q - 1)</math> (zobacz zadanie B26)
 
  
−
Przypuśćmy teraz, że istnieje ciąg arytmetyczny '''kolejnych''' liczb pierwszych, taki że <math>n = p_0 \geqslant 5</math>. Mamy
+
oraz
  
−
::<math>d = p_1 - p_0 < p_0 < P (p_0 - 1) = P (n - 1)</math>
+
::<math>\lim_{x \to c^-} f' (x) = \partial_- f (c)</math>
  
−
Zatem <math>P(n - 1) \nmid d</math>, co jest niemożliwe.
+
Co oznacza, że
  
−
Wynika stąd, że poza przypadkiem <math>n = p_0 = 3</math> ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek <math>P(n)|d</math>, czyli <math>P(n)|(p_1 - p_0)</math>.
+
::<math>\lim_{x \to c^+} f' (x) = \partial_+ f (c) = f' (c) = \partial_- f (c) = \lim_{x \to c^-} f' (x)</math>
  
−
Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długościach <math>n = 3, 4, 5, 6</math> dla rosnących wartości <math>p_0</math>. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> dla <math>p_0 < 10^{13}</math>. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
+
Zatem pochodna <math>f' (x)</math> jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>c</math> wbrew założeniu o&nbsp;nieciągłości. Czyli nasze przypuszczenie, że istnieją skończone granice <math>\lim_{x \to c^+} f' (x)</math> i <math>\lim_{x \to c^-} f' (x)</math> jest błędne. Przypadek, gdy jedna z&nbsp;tych granic jest nieskończona, również nie jest możliwy, bo wtedy (wbrew założeniu) funkcja <math>f(x)</math> nie byłaby różniczkowalna w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> (zobacz punkt 1). Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;tych granic nie może istnieć. Co oznacza, że funkcja <math>f(x)</math> nie jest nawet klasy <math>C^1 ([a, b])</math>.
  
−
Znane są ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długościach <math>n \leqslant 10</math><ref name="CPAP1"/>.
+
Przykładową funkcję
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  0 &  & x < 0\\
 +
  x^2 \cdot \sin \left( {\small\frac{1}{x}} \right) &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
+
Czytelnik bez trudu sam przeanalizuje, korzystając z&nbsp;rozwiązania zadania F9.<br/>
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 3}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{3}}</math>
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{3}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>2</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{47}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{151}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{167}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{199}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>12</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{251}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{257}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{367}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{557}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{587}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{601}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{647}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{727}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{941}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{971}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 4}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{4}}</math>
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{251}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{1741}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{3301}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{5101}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{5381}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{6311}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{6361}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 5}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{8}}</math>
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{9843019}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{37772429}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{53868649}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{71427757}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{78364549}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{79080577}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{98150021}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{99591433}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|}
 
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
 
−
|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
 
−
| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 6}</math>
 
−
|- style="text-align: center;"
 
−
| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{10}}</math>
 
−
| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{121174811}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{1128318991}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{2201579179}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{2715239543}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{2840465567}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{3510848161}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{3688067693}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{3893783651}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{5089850089}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{5825680093}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{6649068043}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{6778294049}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{7064865859}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{7912975891}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{8099786711}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{9010802341}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{9327115723}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{9491161423}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\mathbf{9544001791}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
 
−
|}
 
−
<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2670: Linia 1552:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C68</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie F45</span><br/>
−
Uzasadnij przypuszczenie, że ciągów arytmetycznych '''kolejnych''' liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> możemy oczekiwać dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
+
Zbadać dla jakich wartości parametrów <math>a, b, c</math> funkcja
 +
 
 +
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  a x^2 + b x + c &  & x < 0\\
 +
  \cos (x) &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
jest klasy <math>C^2 (\mathbb{R})</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Zauważmy, że ilość liczb pierwszych nie większych od <math>x</math> w&nbsp;dobrym przybliżeniu jest określona funkcją <math>\frac{x}{\log x}</math>. Ponieważ funkcja <math>\log x</math> zmienia się bardzo wolno, to odcinki liczb naturalnych o&nbsp;tej samej długości położone w&nbsp;niewielkiej odległości od siebie będą zawierały podobne ilości liczb pierwszych. Przykładowo, dla dużych wartości <math>x</math>, ilość liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(x, 2 x)</math> jest tego samego rzędu, co ilość liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(1, x)</math><ref name="PrimesInInterval"/>.
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^0 (\mathbb{R})</math>, gdy <math>c = 1</math>. Mamy zatem
  
 +
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  a x^2 + b x + 1 &  & x < 0\\
 +
  \cos (x) &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Zatem liczbę <math>\frac{1}{\log x}</math> możemy traktować jako prawdopodobieństwo trafienia na liczbę pierwszą wśród liczb znajdujących się w&nbsp;pobliżu liczby <math>x</math>. Zakładając, że liczby pierwsze są rozłożone przypadkowo, możemy wyliczyć prawdopodobieństwo tego, że <math>n</math> kolejnych liczb pierwszych, położonych w&nbsp;pobliżu liczby <math>x</math>, utworzy ciąg arytmetyczny
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest teraz ciągła, funkcje <math>a x^2 + b x + 1</math> i <math>\cos (x)</math> są różniczkowalne w&nbsp;przedziałach <math>(- \varepsilon, 0)</math> i <math>(0, \varepsilon)</math>. Granice pochodnych wynoszą
  
−
::<math>\text{prob}_{\text{cpap}} (n, x) = \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)}</math>
+
::<math>\lim_{x \to 0^-} f' (x) = \lim_{x \to 0^-} 2 a x + b = b</math>
  
−
gdzie <math>d = P (n)</math>. Jest tak, ponieważ w&nbsp;ciągu kolejnych liczb całkowitych musimy trafić na liczbę pierwszą, następnie na <math>d - 1</math> liczb złożonych, taka sytuacja musi się powtórzyć dokładnie <math>n - 1</math> razy, a&nbsp;na koniec znowu musimy trafić na liczbę pierwszą. Czyli potrzebujemy <math>n</math> liczb pierwszych, na które trafiamy z&nbsp;prawdopodobieństwem <math>\frac{1}{\log x}</math> oraz <math>(n - 1) (d - 1)</math> liczb złożonych, na które trafiamy z&nbsp;prawdopodobieństwem <math>1 - \frac{1}{\log x}</math>, a&nbsp;liczby te muszą pojawiać się w&nbsp;ściśle określonej kolejności.
+
::<math>\lim_{x \to 0^+} f' (x) = \lim_{x \to 0^+} (- \sin (x)) = 0</math>
  
 +
Z twierdzenia F42 wiemy, że jeżeli granice te są skończone i&nbsp;sobie równe, to pochodna jest ciągła, zatem musi być <math>b = 0</math>. Otrzymujemy
  
−
Ilość ciągów arytmetycznych utworzonych przez <math>n</math> kolejnych liczb pierwszych należących do przedziału <math>(x, 2 x)</math> możemy zatem oszacować na równą około
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  a x^2 + 1 &  & x < 0\\
 +
  \cos (x) &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
::<math>Q_{\text{cpap}}(n, x) = x \cdot \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)}</math>
+
oraz
  
 +
::<math>f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  2 a x &  & x < 0\\
 +
  - \sin (x) &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Porównując powyższe oszacowanie z&nbsp;rzeczywistą ilością <math>\# \text{CPAP}(n, x)</math> ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(x, 2x)</math> dostajemy
 
  
−
::<math>\frac{\# \text{CPAP}(n, x)}{Q_{\text{cpap}} (n, x)} = f (n, x)</math>
+
Teraz funkcja <math>f' (x)</math> jest funkcją ciągłą, a&nbsp;funkcje <math>2 a x</math> i <math>- \sin (x)</math> są różniczkowalne w&nbsp;przedziałach <math>(- \varepsilon, 0)</math> i <math>(0, \varepsilon)</math>. Granice następnej pochodnej wynoszą
  
−
gdzie w&nbsp;możliwym do zbadania zakresie, czyli dla <math>x < 2^{42} \approx 4.4 \cdot 10^{12}</math> mamy
+
::<math>\lim_{x \to 0^-} f'' (x) = \lim_{x \to 0^-} 2 a = 2 a</math>
  
−
::<math>f(n, x) \approx a_n \cdot \log x + b_n</math>
+
::<math>\lim_{x \to 0^+} f'' (x) = \lim_{x \to 0^+} (- \cos (x)) = - 1</math>
  
−
Stałe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> wyznaczamy metodą regresji liniowej. Musimy pamiętać, że uzyskanych w&nbsp;ten sposób wyników nie możemy ekstrapolować dla dowolnie dużych <math>x</math>.
+
Z twierdzenia F42 zastosowanego do funkcji <math>f' (x)</math> i <math>f'' (x)</math> wynika, że istnienie i&nbsp;równość wypisanych granic zapewni nam ciągłość drugiej pochodnej, zatem musi być <math>a = - {\small\frac{1}{2}}</math>. Ostatecznie dostajemy
  
−
W przypadku <math>n = 5</math> oraz <math>n = 6</math> dysponowaliśmy zbyt małą liczbą danych, aby wyznaczyć stałe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> z&nbsp;wystarczającą dokładnością. Dlatego w&nbsp;tych przypadkach ograniczyliśmy się do podania oszacowania funkcji <math>f(n, x)</math>.
+
::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  - {\large\frac{x^2}{2}} + 1 & & x < 0\\
 +
  \cos (x) &  & x \geqslant 0
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
Uzyskany wyżej rezultaty są istotne, bo z&nbsp;wyliczonych postaci funkcji <math>f(n, x)</math> wynika, że są to funkcje bardzo wolno zmienne, a&nbsp;ich ekstrapolacja jest w&nbsp;pełni uprawniona.
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^2 (\mathbb{R})</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
−
W zamieszczonej niżej tabeli mamy kolejno
 
  
−
:* <math>n</math>, czyli długość CPAP
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F46</span><br/>
−
:* wartość iloczynu <math>n \cdot P (n)</math>
+
Nim przejdziemy do dalszych twierdzeń, zauważmy, że jeżeli <math>f(x)</math> jest funkcją ciągłą w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, to zmiana wartości funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;pewnym punkcie <math>c \in [a, b]</math> nie wpływa na wartość lewo- i&nbsp;prawostronnych granic funkcji w&nbsp;tym punkcie. Liczba <math>f(c)</math> to zdefiniowana wartość funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;punkcie <math>c</math>. Granice (lewa i&nbsp;prawa) funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> nie zależą od wartości funkcji <math>f(c)</math>, a&nbsp;jedynie informują nas, jaka powinna być wartość funkcji w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>, aby funkcja <math>f(x)</math> była lewostronnie ciągła lub prawostronnie ciągła, lub ciągła (gdy granice te są równe) w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>. Ujmując dokładniej: wartość granicy funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> wynika z&nbsp;przebiegu funkcji w&nbsp;sąsiedztwie punktu <math>c</math>.
−
:* znalezioną postać funkcji <math>f(n, x)</math> lub oszacowanie wartości tej funkcji <math>C_n</math> na podstawie uzyskanych danych; w&nbsp;przypadku <math>n = 7</math> jest to oszacowanie wynikające z&nbsp;obserwacji, że wartości funkcji <math>f(n, x)</math> są rzędu <math>n \cdot P (n)</math>
 
−
:* wyliczoną wartość <math>\frac{\# \text{CPAP}(n, 2^{40})}{Q_{\text{cpap}}(n, 2^{40})}</math>, czyli <math>f(n, 2^{40})</math>
 
−
:* wartość funkcji <math>f(n, 2^{70})</math> wynikające z&nbsp;ekstrapolacji wzoru <math>f(n, x) = a_n \cdot \log x + b_n \qquad</math> (dla <math>n = 3, 4</math>)
 
−
:* wartość <math>x</math> wynikającą z&nbsp;rozwiązania równania
 
−
::: <math>\qquad (a_n \cdot \log x + b_n) \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad</math> (dla <math>n = 3, 4</math>)
 
−
::: <math>\qquad C_n \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad</math> (dla <math>n = 5, 6, 7</math>)
 
−
:* dla porównania w&nbsp;kolejnych kolumnach zostały podane dwie najmniejsze wartości <math>p_0</math> dla CPAP-n
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
 
−
|-
 
−
! <math>n</math> !! <math>n \cdot P(n)</math> !! <math>f (n, x) \quad \text{lub} \quad C_n</math> !! <math>f (n, 2^{40})</math> !! <math>f (n, 2^{70})</math> !! <math>\sim p_0</math> !! <math></math> !! <math></math>
 
−
|-
 
−
| <math>\quad 3 \quad</math> || <math>18</math> || <math>0.52 \cdot \log x + 6.3</math> || <math>20.94</math> || <math>30</math> || <math>130</math> || <math>47</math> || <math>151</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\quad 4 \quad</math> || <math>24</math> || <math>0.53 \cdot \log x + 11.6</math> || <math>26.61</math> || <math>36</math> || <math>1.5 \cdot 10^3</math> || <math>251</math> || <math>1741</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\quad 5 \quad</math> || <math>150</math> || <math>120</math> || <math>121.45</math> || <math></math> || <math>15 \cdot 10^6</math> || <math>9843019</math> || <math>37772429</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\quad 6 \quad</math> || <math>180</math> || <math>235</math> || <math>228.27</math> || <math></math> || <math>540 \cdot 10^6</math> || <math>121174811</math> || <math>1128318991</math>
 
−
|-
 
−
| <math>\quad 7 \quad</math> || <math>1470</math> || <math>2500</math> || <math>0</math> || <math></math> || <math>2 \cdot 10^{20}</math> || <math></math> || <math></math>
 
−
|}
 
  
−
Zauważając, że funkcje <math>f(n, x)</math> są rzędu <math>n \cdot P (n)</math> i&nbsp;przyjmując, że podobnie będzie dla <math>f(7, x)</math>, możemy wyliczyć wartość <math>x</math>, dla której może pojawić się pierwszy CPAP-7. Wartość ta jest równa w&nbsp;przybliżeniu <math>2 \cdot 10^{20}</math> i&nbsp;wynika z&nbsp;rozwiązania równania
 
  
−
::<math>f(7, x) \cdot Q_{\text{cpap}}(7, x) = 1</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F47</span><br/>
 +
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math>. Funkcja <math>f(x)</math> może być przedłużona do funkcji ciągłej w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice funkcji <math>f(x)</math> na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Niech funkcja <math>\tilde{f} (x)</math> będzie przedłużeniem funkcji <math>f(x)</math> do funkcji ciągłej w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, zatem istnieją skończone granice <math>\tilde{f} (a^+)</math> i <math>\tilde{f} (b^-)</math>. Ale funkcja <math>\tilde{f} (x)</math> różni się od funkcji <math>f(x)</math> co najwyżej wartością w&nbsp;punktach <math>a</math> i <math>b</math>, co oznacza, że istnieją skończone granice <math>f(a^+)</math> i <math>f(b^-)</math>.
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Z założenia istnieją skończone granice <math>f(a^+)</math> i <math>f(b^-)</math>. Zatem funkcja
  
−
Możemy ją łatwo wyliczyć w&nbsp;PARI/GP. Oczywiście funkcję <math>f(7, x)</math> zastąpiliśmy jej oszacowaniem <math>C_7 = 2500</math>
+
::<math>\tilde{f} (x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  f (a^+) &  & x = a\\
 +
  f (x) &  & a < x < b\\
 +
  f (b^-) &  & x = b
 +
\end{array} \right.</math>
  
−
P(n) = prod(k=2, n, if( isprime(k), k, 1 ))
+
jest ciągła w <math>[a, b]</math> i&nbsp;jest poszukiwanym przedłużeniem funkcji <math>f(x)</math> do funkcji ciągłej w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>.<br/>
−
Q(x) = 2500 * x * ( 1/log(x) )^7 * ( 1 - 1/log(x) )^( (7-1)*(P(7)-1) )
 
−
solve(x=10^10, 10^23, Q(x) - 1 )
 
−
<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2746: Linia 1640:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F48</span><br/>
 +
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, a&nbsp;jej pochodna będzie ciągła w <math>(a, b)</math>. Pochodna funkcji <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnej <math>f(x)</math> na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
 +
Z założenia pochodna funkcji <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, zatem istnieją skończone granice jednostronne <math>f' (a^+)</math> i <math>f' (b^-)</math>.
  
−
== Uzupełnienie ==
+
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C69 (lemat Bézouta)</span><br/>
+
Z założenia pochodna funkcji <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math>, zatem funkcja <math>f(x)</math> jest różniczkowalna w <math>(a, b)</math> (zobacz F40). Niech <math>\varepsilon < b - a</math>. Ponieważ funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>[a, a + \varepsilon)</math> i&nbsp;różniczkowalna w <math>(a, a + \varepsilon)</math> oraz istnieje granica skończona <math>f' (a^+)</math>, to z&nbsp;twierdzenia F37 wiemy, że pochodna prawostronna w&nbsp;punkcie <math>a</math> jest równa tej granicy
−
Jeżeli liczby całkowite <math>a</math> i <math>b</math> nie są jednocześnie równe zeru, a&nbsp;największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>D</math>, to istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
 
  
−
::<math>a x + b y = D</math>
+
::<math>\partial_+ f (a) = f' (a^+)</math>
 +
 
 +
Ponieważ z&nbsp;założenia granica <math>f' (a^+)</math> jest skończona, to pochodna <math>f' (x)</math> jest prawostronnie ciągła w&nbsp;punkcie <math>a</math>. Podobnie dowodzimy, że pochodna <math>f' (x)</math> jest lewostronnie ciągła w&nbsp;punkcie <math>a</math>.
 +
 
 +
Pokazaliśmy tym samym, że w&nbsp;przypadku, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnej na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>, to pochodne jednostronne funkcji <math>f(x)</math> na krańcach przedziału <math>(a, b)</math> istnieją, a&nbsp;sama pochodna jest na krańcach przedziału jednostronnie ciągła.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F49</span><br/>
 +
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją klasy <math>C^0</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> i&nbsp;klasy <math>C^r</math> (gdzie <math>r \geqslant 1</math>) w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math>. Funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnych <math>f^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 1, \ldots r</math>, na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>S</math> będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich postaci <math>a n + b m</math>, gdzie <math>n, m</math> są dowolnymi liczbami całkowitymi. Zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, bo przykładowo liczba <math>a^2 + b^2 \in S</math>. Z&nbsp;zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych wynika, że zbiór <math>S</math> ma element najmniejszy, oznaczmy go literą <math>d</math>.
 
  
−
Pokażemy, że <math>d|a</math> i <math>d|b</math>. Z&nbsp;twierdzenia o&nbsp;dzieleniu z&nbsp;resztą możemy napisać <math>a = k d + r</math>, gdzie <math>0 \leqslant r < d</math>.
+
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
−
Przypuśćmy, że <math>d \nmid a</math>, czyli że <math>r > 0</math>. Ponieważ <math>d \in S</math>, to mamy <math>d = a u + b v</math> dla pewnych liczb całkowitych <math>u</math> i <math>v</math>. Zatem
+
Z założenia funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>, zatem funkcje <math>f^{(i)} (x)</math>, gdzie <math>i = 0, 1, \ldots r</math>, są ciągłe w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. Wynika stąd natychmiast, że istnieją skończone granice jednostronne funkcji <math>f^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 1, \ldots r</math>, na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>.
  
−
::<math>r = a - k d =</math>
+
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
::<math>\;\;\, = a - k (a u + b v) =</math>
+
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;twierdzenia F48 wiemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>r = 1</math>. Pokażemy, że z&nbsp;założenia prawdziwości twierdzenia dla <math>r - 1</math> wynika prawdziwość twierdzenia dla <math>r</math>.
  
−
::<math>\;\;\, = a \cdot (1 - k u) + b \cdot (- k v)</math>
+
Wypiszmy jawnie założenie indukcyjne i&nbsp;tezę indukcyjną, co ułatwi nam uchwycenie problemu.
  
−
Wynika stąd, że dodatnia liczba <math>r</math> należy do zbioru <math>S</math> oraz <math>r < d</math>, wbrew określeniu liczby <math>d</math>, czyli musi być <math>r = 0</math> i <math>d|a</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>d|b</math>.
+
Założenie indukcyjne:
  
−
Jeżeli <math>d'</math> jest innym dzielnikiem liczb <math>a</math> i <math>b</math>, to <math>d' |d</math>, bo <math>d' | (a u + b v)</math>. Zatem <math>d' \leqslant d</math>, skąd wynika natychmiast, że liczba <math>d</math> jest największym z&nbsp;dzielników, które jednocześnie dzielą liczby <math>a</math> oraz <math>b</math>.
+
Jeżeli <math>f(x)</math> jest funkcją klasy <math>C^{r - 1}</math> w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math> i&nbsp;klasy <math>C^0</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> oraz istnieją skończone granice jednostronne pochodnych <math>f^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 1, \ldots r - 1</math>, na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>, to funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^{r - 1}</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>.
−
Czyli <math>d = D</math>.<br/>
+
 
 +
Teza indukcyjna:
 +
 
 +
Jeżeli <math>g(x)</math> jest funkcją klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math> i&nbsp;klasy <math>C^0</math>
 +
w przedziale <math>[a, b]</math> oraz istnieją skończone granice jednostronne pochodnych <math>g^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 1, \ldots r</math>, na krańcach przedziału <math>(a, b)</math>, to funkcja <math>g(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>.
 +
 
 +
Dowód indukcyjny:
 +
 
 +
Z założeń uczynionych w&nbsp;tezie indukcyjnej wynika, że funkcja <math>g(x)</math> spełnia wszystkie warunki założenia indukcyjnego. Zatem na mocy założenia indukcyjnego funkcja <math>g(x)</math> jest klasy <math>C^{r - 1}</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>.
 +
 
 +
Jeśli tak, to <math>g^{(r - 1)} (x)</math> jest funkcją ciągłą w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. Jednocześnie z&nbsp;tezy indukcyjnej wiemy, że <math>g^{(r)} (x)</math> jest funkcją ciągłą w&nbsp;przedziale <math>(a, b)</math> oraz istnieją skończone granice jednostronne <math>g^{(r)} (a^+)</math> i <math>g^{(r)} (b^-)</math>.
 +
 
 +
Zatem z&nbsp;twierdzenia F48 zastosowanego do funkcji <math>g^{(r - 1)} (x)</math> i <math>g^{(r)} (x)</math> wynika, że funkcja <math>g^{(r)} (x)</math> jest funkcją ciągłą w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>. Co oznacza, że funkcja <math>g(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math>.
 +
 
 +
Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2777: Linia 1701:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C70 (lemat Euklidesa)</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F50</span><br/>
−
Niech <math>a, b, d \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>d|a b</math> i&nbsp;liczba <math>d</math> jest względnie pierwsza z <math>a</math>, to <math>d|b</math>.
+
Funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami ciągła w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> takich, że
 +
 
 +
:* funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
 +
:* funkcja <math>f(x)</math> może być przedłużona do funkcji ciągłej w <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z założenia liczby <math>d</math> i <math>a</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (twierdzenie C69) istnieją takie liczby całkowite <math>x</math> i <math>y</math>, że
 
  
−
::<math>d x + a y = 1</math>
+
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
−
Mnożąc obie strony równania przez <math>b</math>, dostajemy
+
Z założenia funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami ciągła w <math>[a, b]</math>, zatem istnieje skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> takich, że funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math> oraz istnieją skończone granice na krańcach każdego z&nbsp;przedziałów <math>(x_k, x_{k + 1})</math>. Z&nbsp;twierdzenia F47 wynika natychmiast, że <math>f(x)</math> może być przedłużona do funkcji ciągłej w&nbsp;każdym przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>.
  
−
::<math>d b x + a b y = b</math>
+
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
Obydwa wyrazy po lewej stronie są podzielne przez <math>d</math>, bo z&nbsp;założenia <math>d|a b</math>. Zatem prawa strona również jest podzielna przez <math>d</math>, czyli <math>d|b</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Z założenia istnieje skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> takich, że funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math> oraz istnieje przedłużenie funkcji <math>f(x)</math> do funkcji ciągłej w&nbsp;przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>. Z&nbsp;twierdzenia F47 wynika natychmiast, że istnieją skończone granice funkcji <math>f(x)</math> na krańcach każdego przedziału <math>(x_k, x_{k + 1})</math>.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2795: Linia 1721:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C71</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F51</span><br/>
−
Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Równanie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest dzielnikiem liczby <math>c</math>.
+
Niech <math>r \in \mathbb{N}_0</math>. Funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, b]</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> takich, że
 +
 
 +
:* funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
 +
:* funkcja <math>f(x)</math> może być przedłużona do funkcji klasy <math>C^r</math> w&nbsp;każdym przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>D</math> oznacza największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math>.
 
  
−
<math>\Longrightarrow</math>
+
Przypadek <math>r = 0</math> już udowodniliśmy (zobacz twierdzenie F50). Zatem będziemy dowodzili to twierdzenie dla <math>r \geqslant 1</math>.
  
−
Jeżeli liczby całkowite <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są rozwiązaniem rozpatrywanego równania, to
+
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
−
::<math>a x_0 + b y_0 = c</math>
+
Z założenia funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^r</math> w <math>[a, b]</math>, zatem istnieje skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> wyznaczających podział przedziału <math>[a, b]</math> w&nbsp;taki sposób, że funkcje <math>f^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 0, 1, \ldots r</math>, są ciągłe w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>. Oznacza to, że funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>. Ponadto istnieją skończone granice jednostronne funkcji <math>f^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 0, 1, \ldots r</math>, na krańcach każdego z&nbsp;przedziałów <math>(x_k, x_{k + 1})</math>.
  
−
Ponieważ <math>D</math> dzieli lewą stronę równania, to musi również dzielić prawą, zatem musi być <math>D|c</math>.
+
Niech <math>(x_k, x_{k + 1})</math> będzie dowolnie wybranym przedziałem. Z&nbsp;twierdzenia F47 wynika natychmiast, że funkcja <math>f(x)</math>, z&nbsp;założenia ciągła w&nbsp;przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>, może być przedłużona do funkcji <math>\tilde{f}
 +
(x)</math> ciągłej w&nbsp;przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>. Konsekwentnie będą istniały kolejne pochodne funkcji <math>\tilde{f} (x)</math>, czyli funkcje <math>\tilde{f}^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 1, \ldots r</math>. Spełniony jest przy tym oczywisty związek
  
−
<math>\Longleftarrow</math>
+
::<math>\tilde{f}^{(i)} (x) = f^{(i)} (x)</math>
  
−
Jeżeli <math>D|c</math>, to możemy napisać <math>c = k D</math> i&nbsp;równanie przyjmuje postać
+
dla <math>x \in (x_k, x_{k + 1})</math> oraz <math>i = 0, 1, \ldots r</math>.
  
−
::<math>a x + b y = k D</math>
+
Wynika stąd, że funkcja <math>\tilde{f} (x)</math> jest klasy <math>C^0</math> w&nbsp;przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math> i&nbsp;klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math> oraz istnieją skończone granice jednostronne funkcji <math>\tilde{f}^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 0, 1, \ldots r</math>, na krańcach przedziału <math>(x_k, x_{k + 1})</math>. Z&nbsp;twierdzenia F49 otrzymujemy, że <math>\tilde{f} (x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>. Zatem funkcja <math>\tilde{f} (x)</math> jest poszukiwanym przedłużeniem funkcji <math>f(x)</math>.
  
−
Lemat Bézouta (twierdzenie C69) zapewnia istnienie liczb całkowitych <math>x_0</math> i <math>y_0</math> takich, że
+
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
::<math>a x_0 + b y_0 = D</math>
+
Z założenia istnieje skończona liczba punktów <math>a = x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b</math> takich, że funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^r</math> w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>, zatem
  
−
Czyli z&nbsp;lematu Bézouta wynika, że równanie <math>a x + b y = D</math> ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach całkowitych. Przekształcając, dostajemy
+
&#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp;funkcja <math>f(x)</math> jest zdefiniowana i&nbsp;ciągła w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
  
−
::<math>a(k x_0) + b (k y_0) = k D</math>
+
&#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp;pochodne <math>f^{(i)} (x)</math>, dla <math>i = 1, \ldots r</math>, istnieją i&nbsp;są ciągłe w&nbsp;każdym przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math>
  
−
Zatem liczby <math>k x_0</math> i <math>k y_0</math> są rozwiązaniem równania
+
Niech <math>(x_k, x_{k + 1})</math> będzie dowolnie wybranym przedziałem. Z&nbsp;założenia istnieje przedłużenie funkcji <math>f(x)</math> klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>(x_k, x_{k + 1})</math> do funkcji <math>\tilde{f} (x)</math> klasy <math>C^r</math> w&nbsp;przedziale <math>[x_k, x_{k + 1}]</math>. Wynika stąd, że istnieją skończone granice jednostronne <math>\tilde{f}^{(i)} (x^+_k)</math> oraz <math>\tilde{f}^{(i)} (x^-_{k + 1})</math>. Ponieważ spełniony jest przy tym oczywisty związek
  
−
::<math>a x + b y = k D</math>
+
::<math>\tilde{f}^{(i)} (x) = f^{(i)} (x)</math>
  
−
Co oznacza, że równianie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie.<br/>
+
dla <math>x \in (x_k, x_{k + 1})</math> oraz <math>i = 0, 1, \ldots r</math>, to granice te są identyczne z&nbsp;granicami <math>f^{(i)} (x^+_k)</math> oraz <math>f^{(i)} (x^-_{k + 1})</math>. Zatem
 +
 
 +
&#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp;granice <math>f^{(i)} (x^+_k)</math> oraz <math>f^{(i)} (x^-_{k + 1})</math> istnieją i&nbsp;są skończone
 +
 
 +
Z zaznaczonych punktów wynika natychmiast, że funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami klasy <math>C^r</math> w <math>[a, b]</math>. Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 2833: Linia 1766:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C72</span><br/>
 
−
Z twierdzenia C71 wynika, że szukając rozwiązań równania <math>A x + B y = C</math> w&nbsp;liczbach całkowitych, powinniśmy
 
  
−
:* obliczyć największy wspólny dzielnik <math>D</math> liczb <math>A</math> i <math>B</math>
 
−
:* jeżeli <math>D > 1</math>, należy sprawdzić, czy <math>D|C</math>
 
−
:* jeżeli <math>D \nmid C</math>, to równanie <math>A x + B y = C</math> nie ma rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
 
−
:* jeżeli <math>D|C</math>, należy podzielić obie strony równania <math>A x + B y = C</math> przez <math>D</math> i&nbsp;przejść do rozwiązywania równania równoważnego <math>a x + b y = c</math>, gdzie <math>a = \frac{A}{D}</math>, <math>b = \frac{B}{D}</math>, <math>c = \frac{C}{D}</math>, zaś największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest równy <math>1</math>.
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C73</span><br/>
 
−
Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to równanie
 
  
−
::<math>a x + b y = c</math>
+
=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Jeszcze o&nbsp;błędzie metody Simpsona</span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F52</span><br/>
 +
Chcemy wyjaśnić, dlaczego dowodząc twierdzenie F14, wybraliśmy funkcję postaci
 +
 
 +
::<math>W(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
 +
  {\large\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) &  & a \leqslant x \leqslant c\\
 +
  {\large\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) &  & c \leqslant x \leqslant b
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 
 +
gdzie <math>c = {\small\frac{1}{2}} (a + b)</math>.
 +
 
 +
Znając postać funkcji, mogliśmy pozwolić sobie na wykonanie kolejnych kroków przez różniczkowanie. Pozwoliło to skrócić i&nbsp;uprościć cały dowód. Chcąc zrozumieć metodę i&nbsp;zbadać, czy istnieje możliwość uogólnienia, będziemy tym razem postępowali odwrotnie i&nbsp;kolejno wyliczali całki.
 +
 
 +
 
  
−
ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F53</span><br/>
 +
Dla uproszczenia zapisu parę funkcji: <math>g_1 (x)</math> określoną w&nbsp;przedziale <math>[a, c]</math> oraz <math>g_2 (x)</math> określoną w&nbsp;przedziale <math>[c, b]</math>, gdzie <math>c = {\small\frac{1}{2}} (a + b)</math>, będziemy oznaczali jako <math>f(x) = \{ g_1 (x) |g_2 (x) \}</math>. Czytelnika nie powinien niepokoić fakt, że funkcja <math>f(x)</math> nie jest określona w&nbsp;punkcie <math>x = c</math>, bo zawsze możemy przyjąć <math>f(c) = {\small\frac{1}{2}} (g_1 (c) + g_2 (c))</math>. Lepiej traktować <math>\{ g_1 (x) |g_2 (x) \}</math> jako parę funkcji, której ciągłość w&nbsp;punkcie <math>x = c</math> ma dla nas istotne znaczenie, a&nbsp;jedynie dla wygody zapisu oznaczamy ją jako <math>f(x) = \{ g_1 (x) |g_2 (x) \}</math>.
  
−
Jeżeli para liczb całkowitych <math>(x_0, y_0)</math> jest jednym z&nbsp;tych rozwiązań, to wszystkie pozostałe rozwiązania całkowite można otrzymać ze wzorów
 
  
−
::<math>x = x_0 + b t</math>
 
−
::<math>y = y_0 - a t</math>
 
  
−
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F54</span><br/>
 +
Niżej wypisany ciąg funkcji
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|- style=height:3em
 +
! <math>n</math> || <math>W_n (x) = \{ U_n (x) \big\rvert V_n (x) \}</math> || <math>U_n (a)</math> || <math>U_n (c)</math> || <math>V_n (c)</math> || <math>V_n (b)</math>
 +
|- style=height:3em
 +
| <math>1</math> || <math>\{ 6 x - 5 a - b \big\rvert 6 x - a - 5 b \}</math> || <math>- (b - a)</math> || <math>2 (b - a)</math> || <math>- 2 (b - a)</math> || <math>b - a</math>
 +
|- style=height:3em
 +
| <math>2</math> || <math>\{ (x - a) (3 x - 2 a - b) \big\rvert (x - b) (3 x - a - 2 b) \}</math> || <math>0</math> || <math>{\small\frac{(b - a)^2}{4}}</math> || <math>{\small\frac{(b - a)^2}{4}}</math> || <math>0</math>
 +
|- style=height:3em
 +
| <math>3</math> || <math>\left\{ {\small\frac{1}{2}} (x - a)^2 (2 x - a - b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{2}} (x - b)^2 (2 x  - a - b) \right\}</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>0</math> || <math>0</math>
 +
|- style=height:3em
 +
| <math>4</math> || <math>\left\{ {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) \right\}</math> || <math>0</math> || <math>- {\small\frac{(b - a)^4}{192}}</math> || <math>- {\small\frac{(b - a)^4}{192}}</math> || <math>0</math>
 +
|- style=height:3em
 +
| <math>5</math> || <math>\left\{ {\small\frac{1}{120}} (x - a)^4 (6 x - a - 5 b)  \biggr\rvert {\small\frac{1}{120}} (x - b)^4 (6 x - 5 a - b) \right\}</math> || <math>0</math> || <math>- {\small\frac{(b - a)^5}{960}}</math> || <math>{\small\frac{(b - a)^5}{960}}</math> || <math>0</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
uzyskaliśmy, stosując następujące zasady:
 +
 
 +
1) każda kolejna funkcja jest całką poprzedniej, czyli dla <math>n \geqslant 2</math> jest
 +
 
 +
::<math>U_{n} (x) = \int U_{n-1} (x) d x + K</math>
 +
 
 +
::<math>V_{n} (x) = \int V_{n-1} (x) d x + L</math>
 +
 
 +
2) stałe całkowania <math>K, L</math> zostały wybrane tak, aby dla <math>n \geqslant 2</math> spełniony był warunek
 +
 
 +
::<math>U_{n} (a) = V_{n} (b) = 0</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie F55</span><br/>
 +
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^1([a, b])</math>, to
 +
 
 +
::<math>\int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x</math>
 +
 
 +
gdzie <math>c = {\small\frac{1}{2}} (a + b)</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z założenia liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>1</math> i&nbsp;dzieli liczbę <math>c</math>. Na mocy twierdzenia C71 równanie
+
Ponieważ funkcja
 +
 
 +
::<math>W_1 (x) = \{ 6 x - 5 a - b| 6 x - a - 5 b \}</math>
 +
 
 +
jest nieciągła w&nbsp;punkcie <math>x = c = {\small\frac{1}{2}} (a + b)</math>, to musimy całkować osobno dla <math>x \in [a, c]</math> i&nbsp;dla <math>x \in [c, b]</math>
  
−
::<math>a x + b y = c</math>
+
::<math>\int^b_a f' (x) W_1 (x) d x = \int^c_a f' (x) U_1 (x) d x + \int^b_c f' (x) V_1 (x) d x</math>
  
−
ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach całkowitych.
+
Mamy
  
−
Zauważmy, że jeżeli para liczb całkowitych <math>(x_0, y_0)</math> jest rozwiązaniem równania <math>a x + b y = c</math>, to para liczb <math>(x_0 + b t, y_0 - a t)</math> również
+
::<math>\int^c_a f' (x) U_1 (x) d x = f (x) \cdot U_1 (x) \biggr\rvert_{a}^{c} - \int^c_a f (x) U_1' (x) d x</math>
−
jest rozwiązaniem. Istotnie
 
  
−
::<math>a(x_0 + b t) + b (y_0 - a t) = a x_0 + a b t + b y_0 - b a t =</math>
+
:::::::<math>\;\; = f (c) \cdot U_1 (c) - f (a) U_1 (a) - 6 \int^c_a f (x) d x</math>
  
−
:::::::::<math>\, = a x_0 + b y_0 =</math>
+
:::::::<math>\;\; = 2 (b - a) f (c) + (b - a) f (a) - 6 \int^c_a f (x) d x</math>
  
−
:::::::::<math>\, = c</math>
+
:::::::<math>\;\; = (b - a) [2 f (c) + f (a)] - 6 \int^c_a f (x) d x</math>
  
−
Pokażmy teraz, że nie istnieją inne rozwiązania niż określone wzorami
 
  
−
::<math>x = x_0 + b t</math>
 
−
::<math>y = y_0 - a t</math>
 
  
−
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą.
+
::<math>\int^b_c f' (x) V_1 (x) d x = f (x) \cdot V_1 (x) \biggr\rvert_{c}^{b} - \int^b_c f (x) V_1' (x) d x</math>
  
−
Przypuśćmy, że pary liczb całkowitych <math>(x, y)</math> oraz <math>(x_0, y_0)</math> są rozwiązaniami rozpatrywanego równania, zatem
+
:::::::<math>\;\: = f (b) \cdot V_1 (b) - f (c) V_1 (c) - 6 \int^b_c f (x) d x</math>
  
−
::<math>a x + b y = c = a x_0 + b y_0</math>
+
:::::::<math>\;\: = (b - a) f (b) + 2 (b - a) f (c) - 6 \int^b_c f (x) d x</math>
  
−
Wynika stąd, że musi być spełniony warunek
+
:::::::<math>\;\: = (b - a) [f (b) + 2 f (c)] - 6 \int^b_c f (x) d x</math>
  
−
::<math>a(x - x_0) = b (y_0 - y)</math>
 
  
−
Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C70) <math>b|(x - x_0)</math>. Skąd mamy
+
Zatem
  
−
::<math>x - x_0 = b t</math>
+
::<math>\int^b_a f' (x) W_1 (x) d x = (b - a) [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - 6 \int^b_a f (x) d x</math>
  
−
gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą. Po podstawieniu dostajemy natychmiast
+
Skąd otrzymujemy natychmiast
  
−
::<math>y - y_0 = - a t</math>
+
::<math>\int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x</math>
  
−
Co kończy dowód.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F56</span><br/>
 +
Postać funkcji <math>W_1 (x) = \{ 6 x - 5 a - b| 6 x - a - 5 b \}</math> wynika z&nbsp;nałożenia na postać ogólną
 +
 +
::<math>W_1 (x) = \{ U_1 (x) |V_1 (x) \} = \{ r x + s|t x + u \}</math>
 +
 +
następujących warunków:
 +
 +
* funkcja <math>W_2 (x) = \int W_1 (x) d x + C</math> ma być równa zero w&nbsp;punktach <math>x = a</math> oraz <math>x = b</math>, skąd otrzymujemy
 +
 +
::<math>W_2 (x) = \left\{ {\small\frac{1}{2}} (x - a) (r x + a r + 2 s) \biggr\rvert {\small\frac{1}{2}} (x - b)(t x + b t + 2 u) \right\}</math>
 +
 +
* funkcja <math>W_2 (x)</math> musi być ciągła w&nbsp;punkcie <math>x = c = {\small\frac{a + b}{2}}</math>, skąd dostajemy równanie <math>U_2 (c) = V_2 (c)</math>, z&nbsp;którego, po podstawieniu <math>c = {\small\frac{a + b}{2}}</math> i&nbsp;łatwym uproszczeniu, mamy
 +
 +
::<math>3 r a + 3 t b + r b + t a + 4 s + 4 u = 0</math>
 +
 +
* w&nbsp;twierdzeniu F55 musi pojawić się wyraz <math>{\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)]</math>, skąd otrzymujemy równania
 +
 +
::<math>U_1 (a) = - (b - a)</math>
 +
 +
::<math>V_1 (b) = b - a</math>
 +
 +
::<math>U_1 (c) - V_1 (c) = 4 (b - a)</math>
 +
 +
 +
Zbierając: liczby <math>r, s, t, u</math> muszą spełniać układ równań
 +
 +
::<math>\left\{ \begin{array}{l}
 +
  r a + s = - (b - a)\\
 +
  t b + u = b - a\\
 +
  r c + s - (t c + u) = 4 (b - a)\\
 +
  3 r a + 3 t b + r b + t a + 4 s + 4 u = 0
 +
\end{array} \right.</math>
 +
 +
 +
Mnożąc pierwsze i&nbsp;drugie równanie przez <math>(- 4)</math>, dodając je do siebie, a&nbsp;następnie dodając sumę do równania czwartego, otrzymujemy
 +
 +
::<math>(- 4 r a - 4 s - 4 t b - 4 u) + (3 r a + 3 t b + b r + a t + 4 s + 4 u) = 0</math>
 +
 +
czyli
 +
 +
::<math>(b - a) (r - t) = 0</math>
 +
 +
Z założenia jest <math>b \neq a</math>, zatem musi być <math>r = t</math>.
 +
 +
Odejmując od drugiego równania pierwsze i&nbsp;dodając różnicę do trzeciego, mamy
 +
 +
::<math>(r b + u - r a - s) + (s - u) = 6 (b - a)</math>
 +
 +
Skąd otrzymujemy <math>r = t = 6</math>. Teraz już łatwo znajdujemy <math>s = - 5 a - b</math> oraz <math>u = - a - 5 b</math>.
 +
 +
 +
Widzimy, że przez odpowiedni dobór wartości liczb <math>r, s, t, u</math> mogliśmy zapewnić ciągłość funkcji <math>W_2 (x)</math>. Fakt, że ciągłe są również funkcje <math>W_3 (x)</math> i <math>W_4 (x)</math> jest szczęśliwym przypadkiem. Ponieważ funkcja <math>W_5 (x)</math> nie jest ciągła, to nie mogliśmy jej wykorzystać w&nbsp;twierdzeniu F14. Wybór funkcji
 +
 +
::<math>W_4 (x) = \left\{ {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) \right\}</math>
 +
 +
zapewnił uzyskanie najdokładniejszego oszacowania błędu.
  
  
Linia 2918: Linia 1951:
 
<references>
 
<references>
  
−
<ref name="WellOrdering">Korzystamy w&nbsp;tym momencie z&nbsp;zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb naturalnych, która stwierdza, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_dobrego_uporz%C4%85dkowania Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle Wiki-en])</ref>
+
<ref name="PiecewiseContFun">ang. ''piecewise continuous function''</ref>
  
−
<ref name="LiczbaJestPostaci">Określenie, że „liczba <math>n</math> jest postaci <math>a k + b</math>”, jest jedynie bardziej czytelnym (obrazowym) zapisem stwierdzenia, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>n</math> przez <math>a</math> wynosi <math>b</math>. Zapis „liczba <math>n</math> jest postaci <math>a k - 1</math>” oznacza, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>n</math> przez <math>a</math> wynosi <math>a - 1</math>.</ref>
+
<ref name="PiecewiseSmoothFun">ang. ''piecewise <math>C^1</math> function'' lub ''piecewise smooth function''</ref>
  
−
<ref name="PAPWiki">Wikipedia, ''Primes in arithmetic progression'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression Wiki-en])</ref>
+
<ref name="HeavisideStepFun">Wikipedia, ''Funkcja skokowa Heaviside’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_skokowa_Heaviside%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="PAPMathWorld">MathWorld, ''Prime Arithmetic Progression'', ([https://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html LINK])</ref>
+
<ref name="TalvilaWiersma">E. Talvila and M. Wiersma, ''Simple Derivation of Basic Quadrature Formulas'', Atlantic Electronic Journal of Mathematics, Volume 5, Number 1, Winter 2012, ([https://arxiv.org/abs/1202.0249 LINK])</ref>
  
−
<ref name="Corput">J. G. van der Corput, ''Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten'', Mathematische Annalen, 116 (1939) 1-50, ([https://ur.booksc.eu/book/6643172/bf77bf LINK])</ref>
+
<ref name="SinusCalkowy1">Wikipedia, ''Sinus i&nbsp;cosinus całkowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sinus_i_cosinus_ca%C5%82kowy Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="largestPAP">Wikipedia, ''Largest known primes in AP'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression#Largest_known_primes_in_AP Wiki-en])</ref>
+
<ref name="SinusCalkowy2">MathWorld, ''Sine Integral'', ([https://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html, MathWorld])</ref>
  
−
<ref name="GeenTao">Ben Green and Terence Tao, ''The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions.'', Ann. of Math. (2) 167 (2008), 481-547, ([https://annals.math.princeton.edu/2008/167-2/p03 LINK1]), Preprint. 8 Apr 2004, ([http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188 LINK2])</ref>
+
<ref name="SinusCalkowy3">WolframAlpha, ''Sine integral function'', ([https://www.wolframalpha.com/input?i=Sine+integral+function WolframAlpha])</ref>
  
−
<ref name="CPAP1">Wikipedia, ''Primes in arithmetic progression - Largest known consecutive primes in AP'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression#Largest_known_consecutive_primes_in_AP Wiki-en])</ref>
+
<ref name="DifferentiableFun1">Wikipedia, ''Funkcja różniczkowalna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="PrimesInInterval">Henryk Dąbrowski, ''Twierdzenie Czebyszewa o&nbsp;liczbie pierwszej między n i 2n - Uwagi do twierdzenia'', ([https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Twierdzenie_Czebyszewa_o_liczbie_pierwszej_mi%C4%99dzy_n_i_2n#Uwagi_do_twierdzenia LINK])</ref>
+
<ref name="Weierstrass1">Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> określona w&nbsp;przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w&nbsp;nim ograniczona. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Bolzana-Weierstrassa#Wniosek:_twierdzenie_Weierstrassa Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Wiki-en])</ref>
  
 
</references>
 
</references>
−
 
−
 
−
 
  
  

Wersja z 17:21, 22 lip 2022

22.07.2022



Funkcje kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]

Uwaga F1
Czytelnik może pominąć ten temat przy pierwszym czytaniu i powrócić do niego, gdy uzna, że potrzebuje bardziej precyzyjnego ujęcia omawianych tu problemów. Z pojęcia funkcji kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math] będziemy korzystali bardzo rzadko i jeśli Czytelnik chciałby jedynie poznać metodę Simpsona przybliżonego obliczania całek, to nie musi tracić czasu na zapoznawanie się z tym tematem.


Definicja F2
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] (lub kawałkami ciągła[1]) w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], jeżeli jest ona zdefiniowana i ciągła wszędzie poza skończoną liczbą punktów [math]\displaystyle{ x_k \in \left[ a, b \right]. }[/math] Przy czym w każdym z punktów [math]\displaystyle{ x_k }[/math] istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^-_k} f (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^+_k} f (x) }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x_k = a }[/math] musi istnieć skończona granica prawostronna, a w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x_k = b }[/math] musi istnieć granica lewostronna.


Zadanie F3
Niech

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{rcc} a & & x = - 5\\ - x & & - 5 \lt x \lt 0\\ b & & x = 0\\ x & & 0 \lt x \lt 5\\ c & & x = 5 \end{array} \right. }[/math]

Zbadać, dla jakich wartości liczb [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math]

  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
Rozwiązanie

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to - 5^+} f (x) = - 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f (x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 5^-} f (x) = 5 }[/math]

to tylko dla wartości [math]\displaystyle{ a = - 5 }[/math], [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = 5 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Ale wybór liczb [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \neq - 5 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie (w jednym kawałku) kawałkami ciągła, ale nie będzie funkcją ciągłą. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie (w dwóch kawałkach) kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([a, b]) }[/math]. Nawet gdyby wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] były nieokreślone w punktach [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math], to i tak funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] byłaby kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([a, b]) }[/math].
□


Zadanie F4
Pokazać, że funkcje [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sin \! \left( {\small\frac{1}{x}} \right) }[/math] nie są kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math].


Definicja F5
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 }[/math][2] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], jeżeli jest ona kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a jej pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje i jest kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Oznacza to, że musi istnieć skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] wyznaczających podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] w taki sposób, że

  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest zdefiniowana i ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
  • pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje i jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
  • istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]


Definicja F6
Niech [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], jeżeli jest ona kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a jej pochodne [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, r }[/math] istnieją i są kawałkami ciągłe w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Oznacza to, że musi istnieć skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] wyznaczających podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] w taki sposób, że

  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest zdefiniowana i ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
  • pochodne [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, r }[/math], istnieją i są ciągłe w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
  • istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots, r }[/math], na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]


Definicja F7
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], jeśli jest ona kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym ograniczonym przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] \subset \mathbb{R} }[/math].


Przykład F8
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & & - 5 \leqslant x \lt 0\\ 1 & & 0 \lt x \leqslant 5 \end{array} \right. }[/math]

Celowo nie określiliśmy wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to - 5^+} f (x) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f (x) = \lim_{x \to 5^-} f (x) = 1 }[/math]

zatem spełnione są warunki definicji F1 i funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła (kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]). Zauważmy, że funkcja ta jest funkcją skokową Heaviside'a[3] [math]\displaystyle{ H(x) }[/math] obciętą do przedziału [math]\displaystyle{ [- 5, 5] }[/math].

[math]\displaystyle{ H(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & & x \lt 0\\ 1 & & x \geqslant 1 \end{array} \right. }[/math]

Warto zauważyć, że wartość funkcji Heaviside'a w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] nie jest ustalona. Niekiedy podaje się [math]\displaystyle{ H(0) = 0 }[/math], a czasami [math]\displaystyle{ H(0) = {\small\frac{1}{2}} }[/math]. Oczywiście funkcja Heaviside'a jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0(\mathbb{R}) }[/math]. Przyjmując [math]\displaystyle{ H(0) = 1 }[/math], policzmy pochodne jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ H(x) }[/math] w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{H (0 + h) - H (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{0 - 1}{h}} = - \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{h}} = + \infty }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{H (0 + h) - H (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1 - 1}{h}} = 0 }[/math]

Czyli pochodna [math]\displaystyle{ H' (0) }[/math] nie istnieje, ale granice jednostronne pochodnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] istnieją. Istotnie, dla [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ H' (x) = 0 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} H' (x) = \lim_{x \to 0^+} H' (x) = 0 }[/math]

Wynika stąd, że funkcja Heaviside'a jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 (\mathbb{R}) }[/math].


Zadanie F9
Pokazać, że funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) & & 0 \lt | x | \leqslant 5\\ 0 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]
  • jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
  • jest różniczkowalna w całym przedziale [math]\displaystyle{ [- 5, 5] }[/math]
  • nie jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math]
  • nie jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math]
Rozwiązanie

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f (x) = 0 }[/math]

to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [- 5, 5] }[/math], czyli jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math].

Zauważmy też, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f' (0) = \lim_{h \to 0} {\small\frac{f (h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cdot \sin \! \left( \frac{1}{h} \right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \cdot \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) = 0 }[/math]

Ostatnia granica wynika z układu nierówności

[math]\displaystyle{ - h \leqslant h \cdot \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) \leqslant h }[/math]


Czyli pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 2 x \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \! \left( \frac{1}{x} \right) & & 0 \lt | x | \leqslant 5\\ 0 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]

i istnieje dla każdego punktu [math]\displaystyle{ x \in [- 5, 5] }[/math].

Ale granice funkcji [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] nie istnieją

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f' (x) = \lim_{h \to 0} f' (0 + h) = \lim_{h \to 0} \left[ 2 h \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) - \cos \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) \right] = - \lim_{h \to 0} \cos \left( {\small\frac{1}{h}} \right) }[/math]

Zatem pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^1 }[/math]. Co więcej, funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet funkcją kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 }[/math], bo granice jednostronne pochodnej [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] nie istnieją w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].
□


Zadanie F10
Pokazać, że funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) & & 0 \lt | x | \leqslant 5\\ 1 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]
  • nie jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
  • jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
  • nie jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math]



Metoda Simpsona (parabol)

Twierdzenie F11
Jeżeli punkty [math]\displaystyle{ (- h, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (h, y_2) }[/math] leżą na pewnej paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^h_{- h} g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]
Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, zilustrujemy problem rysunkiem

F Parabola.png


Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest parabolą, co oznacza, że może być zapisana w postaci

[math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int^h_{- h} g (x) d x = \int^h_{- h} (A x^2 + B x + C) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{A x^3}{3}} + {\small\frac{B x^2}{2}} + C x \biggr\rvert_{- h}^{h} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{2 A h^3}{3}} + 2 C h }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{h}{3}} (2 A h^2 + 6 C) }[/math]

Z drugiej strony parabola [math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math] przechodzi przez punkty [math]\displaystyle{ (- h, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (h, y_2) }[/math]. Wynika stąd, że współczynniki [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] muszą spełniać układ równań

[math]\displaystyle{ y_0 = A h^2 - B h + C }[/math]
[math]\displaystyle{ y_1 = C }[/math]
[math]\displaystyle{ y_2 = A h^2 + B h + C }[/math]

Dodając do siebie pierwsze i trzecie równanie, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ y_0 + y_2 = 2 A h^2 + 2 C }[/math]

Stąd już łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ 2 A h^2 + 6 C = (2 A h^2 + 2 C) + 4 C = y_0 + y_2 + 4 y_1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenie F12
Jeżeli punkty [math]\displaystyle{ (a, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (c, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (b, y_2) }[/math] leżą na pewnej paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c = a + h }[/math], [math]\displaystyle{ b = a + 2 h }[/math] i [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) = {\small\frac{b - a}{6}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]
Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, zauważmy, że w rzeczywistości twierdzenie F12 wynika z twierdzenia F11.

Istotnie, przesunięcie paraboli wzdłuż osi [math]\displaystyle{ O X }[/math] nie zmienia pola pod parabolą, zatem udowodnione wyżej twierdzenie możemy natychmiast uogólnić dla dowolnych punktów na osi [math]\displaystyle{ O X }[/math]. Dla dowolnie wybranych [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c = a + h }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b = a + 2 h }[/math]. Jeżeli punkty [math]\displaystyle{ (a, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (c, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (b, y_2) }[/math] leżą na pewnej paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], to musi być

[math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]

W twierdzeniu F11 wybraliśmy na osi [math]\displaystyle{ O X }[/math] punkty [math]\displaystyle{ - h, 0, h }[/math], aby uprościć obliczenia, które w przypadku ogólnym są znacznie bardziej skomplikowane i oczywiście dają ten sam rezultat.


Dla zainteresowanego Czytelnika przedstawimy główne kroki dowodu w przypadku ogólnym. Niech [math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math] będzie poszukiwanym równaniem paraboli. Współczynniki [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] wynikają z układu równań

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} y_0 = A a^2 + B a + C\\ y_1 = A c^2 + B c + C\\ y_2 = A b^2 + B b + C \end{array} \right. }[/math]


Rozwiązując i uwzględniając, że [math]\displaystyle{ c = \tfrac{1}{2} (a + b) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A = {\small\frac{2 (y_0 - 2 y_1 + y_2)}{(b - a)^2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ B = - {\small\frac{y_0 (a + 3 b) - 4 y_1 (a + b) + y_2 (3 a + b)}{(b - a)^2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ C = {\small\frac{(b y_0 + a y_2) (a + b) - 4 a b y_1}{(b - a)^2}} }[/math]


Zamiast uciążliwego wyliczania współczynników z układu równań, możemy funkcję [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] zapisać od razu w takiej postaci, aby spełniała warunki [math]\displaystyle{ g(a) = y_0 }[/math], [math]\displaystyle{ g(c) = y_1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ g(b) = y_2 }[/math].

[math]\displaystyle{ g(x) = y_0 \cdot {\small\frac{(x - b) (x - c)}{(a - b) (a - c)}} + y_1 \cdot {\small\frac{(x - a) (x - b)}{(c - a) (c - b)}} + y_2 \cdot {\small\frac{(x - a) (x - c)}{(b - a) (b - c)}} }[/math]

Jeżeli położymy [math]\displaystyle{ c = \tfrac{1}{2} (a + b) }[/math], to otrzymamy równanie identyczne z [math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math].


Przechodząc w wypisanym wyżej wzorze do nowej zmiennej [math]\displaystyle{ t = x - c }[/math] oraz zauważając, że [math]\displaystyle{ b - a = 2 h \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b - c = c - a = h }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{2 h^2}} [(y_0 - 2 y_1 + y_2) t^2 + h (y_2 - y_0) t + 2 h^2 y_1] }[/math]


Konsekwentnie w całce również musimy dokonać zamiany zmiennych. Kładąc [math]\displaystyle{ t = x - c }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x = \int^h_{- h} g (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{2 h^2}} \int^h_{- h} [(y_0 - 2 y_1 + y_2) t^2 + h (y_2 - y_0) t + 2 h^2 y_1] d t = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{2 h^2}} \left[ {\small\frac{2 h^3}{3}} (y_0 - 2 y_1 + y_2) + 2 h^2 y_1 \cdot 2 h \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenie F13 (całkowanie przybliżone metodą Simpsona)
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], to przybliżoną wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x }[/math] możemy obliczyć ze wzoru

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} [f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4 f (x_3) + 2 f (x_4) + \ldots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n)] }[/math]


Wzór ten możemy zapisać w zwartej postaci

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]


gdzie [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą parzystą, a [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] punktów [math]\displaystyle{ x_k }[/math] zostało wybranych w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] tak, aby

[math]\displaystyle{ a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_{n - 2} \lt x_{n - 1} \lt x_n = b }[/math]

Punkty te tworzą parzystą liczbę przedziałów [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math] o takich samych szerokościach [math]\displaystyle{ h = {\small\frac{b - a}{n}} }[/math].

Dowód

Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Aby znaleźć przybliżoną wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x }[/math], dzielimy przedział [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] na parzystą liczbę przedziałów [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]. Każdy z tych utworzonych przedziałów ma jednakową szerokość [math]\displaystyle{ h = x_{k + 1} - x_k = {\small\frac{b - a}{n}} }[/math].

F Simpson.png


Liczba przedziałów musi być parzysta, bo będziemy rozpatrywali pary przedziałów [math]\displaystyle{ [x_0, x_2] }[/math], [math]\displaystyle{ [x_2, x_4] }[/math], ... , [math]\displaystyle{ [x_{2 k - 2}, x_{2 k}] }[/math], ... [math]\displaystyle{ [x_{n - 2}, x_{n}] }[/math]. Dla każdej takiej pary przedziałów istnieją trzy punkty charakterystyczne, odpowiadające wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na początku, na końcu i w środku przedziału. Żądanie, aby parabola przechodziła przez te trzy punkty, określa jednoznacznie współczynniki paraboli i jest ona przybliżeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

Na podstawie twierdzenia F12 całka [math]\displaystyle{ I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ g (x) }[/math] jest parabolą przechodzącą przez punkty [math]\displaystyle{ (x_{2 k - 2}, f (x_{2 k - 2})) }[/math], [math]\displaystyle{ (x_{2 k - 1}, f (x_{2 k - 1})) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (x_{2 k}, f (x_{2 k})) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} [f (x_{2 k - 2}) + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k})] }[/math]


Sumując całki [math]\displaystyle{ I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x }[/math] dla kolejnych par przedziałów, otrzymujemy przybliżenie całki oznaczonej [math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{h}{3}} [f (x_0) + 4 f (x_1) + f (x_2)] + {\small\frac{h}{3}} [f (x_2) + 4 f (x_3) + f (x_4)] + \ldots + {\small\frac{h}{3}} [f (x_{2 k - 2}) + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k})] + \ldots + {\small\frac{h}{3}} [f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4 f (x_3) + 2 f (x_4) + \ldots + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k}) + \ldots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n) \right] }[/math]


Współczynnik [math]\displaystyle{ 4 }[/math] występuje przy wszystkich wyrazach [math]\displaystyle{ f(x_{2 k - 1}) }[/math], czyli dla argumentów o indeksie nieparzystym. Współczynnik [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje przy wszystkich wyrazach [math]\displaystyle{ f(x_{2 k}) }[/math], czyli dla argumentów o indeksie parzystym, ale nie dotyczy to indeksów [math]\displaystyle{ 0 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n }[/math]. Dlatego liczba wyrazów ze współczynnikiem [math]\displaystyle{ 4 }[/math] jest o jeden większa od liczby wyrazów ze współczynnikiem [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Używając symboli sumy, możemy powyższy wzór zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie F14
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math], a funkcja [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ W(x) = \left\{ \begin{array}{lll} {\large\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) & & a \leqslant x \leqslant c\\ {\large\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) & & c \lt x \leqslant b \end{array} \right. }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]
Dowód

Dowód oparliśmy na pomyśle Talvili i Wiersmy[4]. Dla wygody wprowadźmy oznaczenia

[math]\displaystyle{ W(x) = \left\{ \begin{array}{lll} U (x) & & a \leqslant x \leqslant c\\ V (x) & & c \lt x \leqslant b \end{array} \right. }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ U(x) = {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) }[/math]
[math]\displaystyle{ V(x) = {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) }[/math]


Wyliczając wartości [math]\displaystyle{ U^{(n)} (a) }[/math], [math]\displaystyle{ U^{(n)} (c) }[/math], [math]\displaystyle{ V^{(n)} (c) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ V^{(n)} (b) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n = 0, 1, \ldots, 4 }[/math] sporządziliśmy tabelę wartości funkcji [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] i jej pochodnych w punktach [math]\displaystyle{ x = a }[/math], [math]\displaystyle{ x = c }[/math] i [math]\displaystyle{ x = b }[/math].

[math]\displaystyle{ \quad n \quad }[/math] [math]\displaystyle{ U^{(n)} (a) }[/math] [math]\displaystyle{ U^{(n)} (c) }[/math] [math]\displaystyle{ V^{(n)} (c) }[/math] [math]\displaystyle{ V^{(n)} (b) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 0 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math] [math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 3 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ - (b - a) }[/math] [math]\displaystyle{ 2 (b - a) }[/math] [math]\displaystyle{ - 2 (b - a) }[/math] [math]\displaystyle{ b - a }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]

Zauważmy: trzecia pochodna funkcji [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] jest funkcją nieciągłą w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], zatem funkcja [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^2 ([a, b]) }[/math]. Natomiast czwarte pochodne funkcji [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ V(x) }[/math] są funkcjami stałymi i są sobie równe.


Dowód przeprowadzimy całkując wielokrotnie przez części całkę [math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]. Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n = 0, 1, 2 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ W^{(n)} (x) }[/math] są ciągłe oraz spełniony jest warunek

[math]\displaystyle{ W^{(n)} (a) = W^{(n)} (b) = 0 }[/math]

to otrzymujemy kolejno

[math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = f^{(3)} (x) W (x) \biggr\rvert_{a}^{b} - \int^b_a f^{(3)} (x) W^{(1)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - \int^b_a f^{(3)} (x) W^{(1)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - f^{(2)} (x) W^{(1)} (x) \biggr\rvert_{a}^{b} + \int^b_a f^{(2)} (x) W^{(2)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = \int^b_a f^{(2)} (x) W^{(2)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = f^{(1)} (x) W^{(2)} (x) \biggr\rvert_{a}^{b} - \int^b_a f^{(1)} (x) W^{(3)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - \int^b_a f^{(1)} (x) W^{(3)} (x) d x }[/math]


Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ W^{(3)} (x) }[/math] jest nieciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c = {\small\frac{a + b}{2}} }[/math], to musimy całkować osobno dla [math]\displaystyle{ x \in [a, c] }[/math] i dla [math]\displaystyle{ x \in [c, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = - \int^c_a f^{(1)} (x) U^{(3)} (x) d x - \int^b_c f^{(1)} (x) V^{(3)} (x) d x }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ - \int_a^c f^{(1)} (x) U^{(3)} (x) d x = - f (x) U^{(3)} (x) \biggr\rvert_{a}^{c} + \int^c_a f (x) U^{(4)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = - f (c) U^{(3)} (c) + f (a) U^{(3)} (a) + 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = - 2 (b - a) f (c) - (b - a) f (a) + 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = - (b - a) [f (a) + 2 f (c)] + 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]


[math]\displaystyle{ - \int_c^b f^{(1)} (x) V^{(3)} (x) d x = - f (x) V^{(3)} (x) \biggr\rvert_{c}^{b} + \int^b_c f (x) V^{(4)} (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ = - f (b) V^{(3)} (b) + f (c) V^{(3)} (c) + 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ = - (b - a) f (b) - 2 (b - a) f (c) + 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ = - (b - a) [f (b) + 2 f (c)] + 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = - (b - a) [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + 6 \int^b_a f (x) d x }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenie F15
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math] i [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math]. Jeżeli wartość całki [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math] przybliżymy wartością całki [math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest parabolą przechodzącą przez punkty [math]\displaystyle{ P_a = (a, f (a)) }[/math], [math]\displaystyle{ P_c = (c, f (c)) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P_b = (b, f (b)) }[/math], to błąd takiego przybliżenia jest nie większy niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{2880}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math].

Dowód

Zauważmy, że z definicji punkty [math]\displaystyle{ P_a }[/math], [math]\displaystyle{ P_b }[/math] i [math]\displaystyle{ P_c }[/math] są punktami wspólnymi funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math].

Z twierdzenia F14 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]

Uwzględniając twierdzenie F12, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = \int^b_a g (x) d x + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]


Zatem błąd, jaki popełniamy, przybliżając funkcję [math]\displaystyle{ f (x) }[/math] parabolą [math]\displaystyle{ g (x) }[/math] przechodzącą przez punkty [math]\displaystyle{ P_a }[/math], [math]\displaystyle{ P_b }[/math] i [math]\displaystyle{ P_c }[/math], wynosi

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f (x) d x - \int^b_a g (x) d x \right| = {\small\frac{1}{6}} \left| \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x \right| }[/math]
[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{1}{6}} \int^b_a | f^{(4)} (x) W (x) | d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{M}{6}} \int^b_a | W (x) | d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math]. Pozostaje policzyć całkę

[math]\displaystyle{ \int^b_a | W (x) | d x = {\small\frac{1}{12}} \int^c_a | (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) | d x + {\small\frac{1}{12}} \int^b_c | (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) | d x }[/math]


Ponieważ prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ a \lt {\small\frac{2 a + b}{3}} \lt {\small\frac{a + b}{2}} \lt {\small\frac{a + 2 b}{3}} \lt b }[/math]

a funkcje podcałkowe są iloczynami liniowych funkcji rosnących to, po znalezieniu miejsc zerowych tych funkcji, otrzymujemy natychmiast informację o znaku funkcji podcałkowych w interesujących nas przedziałach

[math]\displaystyle{ x }[/math] [math]\displaystyle{ a }[/math] [math]\displaystyle{ c }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{a + 2 b}{3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x - a }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ + }[/math] [math]\displaystyle{ + }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 x - a - 2 b }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{2 a + b}{3}} }[/math] [math]\displaystyle{ c }[/math] [math]\displaystyle{ b }[/math]
[math]\displaystyle{ x - b }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 x - 2 a - b }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ + }[/math] [math]\displaystyle{ + }[/math]


Widzimy, że funkcje [math]\displaystyle{ (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) }[/math] są ujemne w swoich przedziałach całkowania, zatem (zobacz WolframAlpha1, WolframAlpha2)

[math]\displaystyle{ \int^b_a | W (x) | d x = - {\small\frac{1}{12}} \int^c_a (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) d x - {\small\frac{1}{12}} \int^b_c (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{(b - a)^5}{960}} + {\small\frac{(b - a)^5}{960}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{(b - a)^5}{480}} }[/math]

Podstawiając, otrzymujemy ostatecznie

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f (x) d x - \int^b_a g (x) d x \right| \leqslant {\small\frac{M}{6}} \cdot {\small\frac{(b - a)^5}{480}} = {\small\frac{M (b - a)^5}{2880}} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie F16 (błąd przybliżonego całkowania metodą Simpsona)
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math]. Jeżeli policzymy przybliżoną wartość całki [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math] metodą Simpsona (twierdzenie F13), to błąd takiego przybliżenia jest nie większy niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math].

Dowód

Maksymalny błąd, jaki możemy popełnić, stosując metodę Simpsona, jest sumą błędów, jakie zostają popełnione, gdy dla wybranej pary przedziałów [math]\displaystyle{ [x_{2 k - 2}, x_{2 k}] }[/math] przybliżamy funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] parabolą. Zatem całkowity błąd metody Simpsona jest równy

[math]\displaystyle{ E_n = \sum_{k = 1}^{n / 2} \left| \int^{x_{2 k}}_{x_{2 k - 2}} f (x) d x - \int^{x_{2 k}}_{x_{2 k - 2}} g_k (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ g_k (x) }[/math] jest parabolą, jaką funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] została przybliżona w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej parze przedziałów [math]\displaystyle{ [x_{2 k - 2}, x_{2 k}] }[/math]. Z twierdzenia F15 wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ E_n = \sum_{k = 1}^{n / 2} \frac{M_k \cdot (x_{2 k} - x_{2 k - 2})^5}{2880} }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ M_k \geqslant \max_{x_{2 k - 2} \leqslant x \leqslant x_{2 k}} | f^{(4)} (x) | }[/math]


Zatem

[math]\displaystyle{ E_n = {\small\frac{1}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M_k \cdot (2 h)^5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{(2 h)^5}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M_k }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant {\small\frac{32 \cdot h^5}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{M (b - a)^5}{90 n^5}} \cdot {\small\frac{n}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math]

gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ M = \max (M_1, \ldots, M_{n / 2}) \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math]

Co kończy dowód.
□


Uwaga F17
Niech będzie dana funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math]. Jeżeli obierzemy pewien stały skok [math]\displaystyle{ h }[/math] to, stosując metodę Simpsona, możemy policzyć przybliżenie [math]\displaystyle{ I }[/math] całki [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math]. Wiemy, że błąd, z jakim wyliczymy wartość całki nie przekracza liczby

[math]\displaystyle{ E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} = {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot (b - a) = {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math], a przez [math]\displaystyle{ L = b - a }[/math] oznaczyliśmy długość przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Co się stanie, jeżeli (zachowując stały skok [math]\displaystyle{ h }[/math]) podzielimy przedział [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] na dowolną liczbę mniejszych przedziałów, każdy o długości [math]\displaystyle{ l_k }[/math], policzymy całki [math]\displaystyle{ I_k }[/math] oraz błędy [math]\displaystyle{ E_k }[/math] w każdym z tych mniejszych przedziałów, a następnie je zsumujemy?

Całka [math]\displaystyle{ I }[/math] będzie oczywiście sumą wyliczonych całek [math]\displaystyle{ I_k }[/math], a całkowity błąd [math]\displaystyle{ E' }[/math] będący sumą błędów [math]\displaystyle{ E_k }[/math] nie wzrośnie!

Istotnie błąd, jaki popełniamy w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tym przedziale o długości [math]\displaystyle{ l_k }[/math], wynosi

[math]\displaystyle{ E_k = {\small\frac{M_k h^4}{180}} \cdot l_k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M_k }[/math] jest ograniczeniem od góry funkcji [math]\displaystyle{ | f^{(4)} (x) | }[/math] w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tym przedziale. Suma tych błędów jest równa

[math]\displaystyle{ E' = \sum_k {\small\frac{M_k h^4}{180}} \cdot l_k = {\small\frac{h^4}{180}} \sum_k M_k l_k \leqslant {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \sum_k l_k = {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \cdot L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M' = \max (M_1, M_2, \ldots, M_k, \ldots) }[/math] jest ograniczeniem od góry funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Jeśli tylko dokonywaliśmy wyboru liczb [math]\displaystyle{ M_k }[/math] ograniczających od góry funkcję [math]\displaystyle{ | f^{(4)} (x) | }[/math] na odcinkach o długości [math]\displaystyle{ l_k }[/math] na tyle starannie, że prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ M' = \max (M_1, M_2, \ldots, M_k, \ldots) \leqslant M }[/math]

(co nie jest trudne, bo wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M_1 = M_2 = \ldots = M_k = \ldots = M }[/math]), to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ E' = {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \cdot L \leqslant {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot L = E }[/math]


Powyższe rozważania od razu udzielają odpowiedzi na ważne pytanie:
Co należy zrobić, jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math], a jedynie jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math]? Oczywiście należy całkę zapisać jako sumę całek, z których każda jest obliczana w takim przedziale, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest w nim klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math]. Stosując metodę Simpsona, obliczyć całki [math]\displaystyle{ I_k }[/math] i błędy [math]\displaystyle{ E_k }[/math] w tych przedziałach, a następnie zsumować wartości całek i błędów.


Uwaga F18
Podsumowując, metoda parabol prowadzi do natępującego wzoru na przybliżoną wartość całki

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

Przedział całkowania [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] dzielimy na parzystą liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math] przedziałów [math]\displaystyle{ [x_{k - 1}, x_k] }[/math] o jednakowej szerokości [math]\displaystyle{ h = {\small\frac{b - a}{n}} }[/math].

Wzór można przedstawić w postaci

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (a) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (a + (2 k - 1) \cdot h) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (a + 2 k \cdot h) + f (b) \right] }[/math]

Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math], to błąd wartości liczbowej całki oznaczonej [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math], jaki popełniamy, stosując metodę Simpsona, nie przekracza

[math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{a \leqslant x \leqslant b}{\max} | f^{(4)} (x) | }[/math].


Uwaga F19
Wykorzystując przedstawioną metodę parabol, możemy bez trudu napisać w PARI/GP prosty i zaskakująco dokładny program do liczenia całek oznaczonych. Parametr M jest parametrem opcjonalnym. Jeżeli jest obecny, to zostanie wyliczony błąd [math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | \leqslant M }[/math]. Jeżeli zostanie pominięty, to zostanie wyliczona jedynie wartość [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^5}{180 n^4}} }[/math], a w wyniku pojawi się czynnik [math]\displaystyle{ M }[/math], który ma przypominać, że liczba musi zostać pomnożona przez [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math], aby uzyskać wartość błędu. 

Simpson(a, b, n, M = -1) =
\\ n musi być liczbą parzystą
{
local(err, h, k, S, V);
h = 1.0*(b - a)/n;
S = f(a) + 4 * sum(k = 1, n/2, f(a + (2*k-1)*h)) + 2 * sum(k = 1, n/2 - 1, f(a + 2*k*h)) + f(b);
S = (b - a)/(3*n) * S;
err = 1.0*(b - a)^5/(180*n^4) * if(M<0, 1, M);
V = [ S, if( M < 0, Str( "M * ", err), err ) ];
return(V);
}


Przykład F20
Przedstawimy kilka przykładowych wyników obliczeń całek nieoznaczonych przy pomocy programu Simpson(a, b, n, M)


[math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int^3_0 f (x) d x = 9 }[/math]
Simpson(0, 3, 2^10, 0)
[9.0000000000000000000000000000000000000, 0]


[math]\displaystyle{ f(x) = \sin (x) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{0}^{\pi} f (x) d x = 2 }[/math]
Simpson(0, Pi, 2^10, 1)
[2.0000000000009843683496726710086289358, 1.5462404552801947792469203606107819849 E-12]


[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{4}{1 + x^2}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int^1_0 f (x) d x = \pi }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 }[/math]
Simpson(0, 1, 2^15, 96)
[3.1415926535897932384626433832474475839, 4.6259292692714855850984652837117513021 E-19]

Po uwzględnieniu wyliczonego błędu kolorem czerwonym zaznaczono tylko te cyfry, których wartość jest pewna. W rzeczywistości jeszcze kolejnych [math]\displaystyle{ 10 }[/math] cyfr jest poprawnych.


[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{x}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.1527399692533334654765895125096821824796221626790438771977250903 \qquad }[/math] (WolframAlpha)
Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.13)
[0.15273996925335764945765416969734658087, 2.3263037652077992736046178707334374747 E-10]


[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{\log (x)}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.63535086286 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)
Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.46)
[0.63535086286330151753047973075030359191, 8.2315363999660589681394170810567787567 E-10]


[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład E43)

[math]\displaystyle{ \int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1 }[/math]

Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{P_1 (x)}{x}} }[/math] nie jest ciągła, ale jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math]. Zapiszmy całkę w postaci sumy całek, z których każda jest określona w przedziale [math]\displaystyle{ [k, k + 1] }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{10} f (x) d x = \int_{1}^{10} \frac{x - \lfloor x \rfloor - {\small\frac{1}{2}}}{x} d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = \int_{1}^{10} \left( 1 - \frac{\lfloor x \rfloor + {\small\frac{1}{2}}}{x} \right) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = 9 - \sum_{k = 1}^{9} \int_{k}^{k + 1} \frac{k + {\small\frac{1}{2}}}{x} d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = 9 - \sum_{k = 1}^{9} \left( k + {\small\frac{1}{2}} \right) \int_{k}^{k + 1} {\small\frac{d x}{x}} }[/math]

Mamy 

f(x) = 1 / x 
[9, 0] - sum( k = 1, 9, (k + 1/2) * Simpson(k, k + 1, 2^20, 24/k^5) )
[-0.072730903361964386963200988526802160255, -1.7650768731492669233661475404296456609 E-25]

Zauważmy, że całka i błąd są mnożone przez czynnik [math]\displaystyle{ \left( k + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math] – tak, jak być powinno! Ujemny znak błędu wynika z odejmowania wyliczonego błędu od zera.


Uwaga F21
Czytelnik zapewne zwrócił uwagę, że we wszystkich przedstawionych przykładach wybieraliśmy liczbę podziałów tak, aby była potęgą liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Są ku temu dwa dobre powody

  • ułamek [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2^n}} }[/math] ma skończoną reprezentację binarną, co poprawia precyzję obliczeń
  • potrzebujemy dwukrotnego wzrostu liczby podziałów, aby zmniejszyć błąd o rząd wielkości (błąd maleje [math]\displaystyle{ 16 }[/math]-krotnie)




Całkowanie przybliżone pewnych całek niewłaściwych

Twierdzenie F22
Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] jest zbieżna i istnieje funkcja [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] spełniająca warunki

  • [math]\displaystyle{ | f (t) | \leqslant g (t) }[/math] dla [math]\displaystyle{ t \geqslant b }[/math]
  • istnieje całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ G(t) = \int g (t) d t + C }[/math]
  • całka [math]\displaystyle{ \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math] jest zbieżna
  • [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math] jest dowolnie wybraną liczbą, to przybliżona wartość całki niewłaściwej [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

z błędem nie większym niż

[math]\displaystyle{ E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) }[/math]

Przy czym optymalna liczba podziałów przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] (dla ustalonej wartości [math]\displaystyle{ b }[/math]) wynosi

[math]\displaystyle{ n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}} }[/math]

Odpowiada jej minimalny błąd równy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a) g (b)}{5}} - G (b) }[/math]
Dowód

Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math] jest zbieżna, to granica [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) }[/math] jest skończona (twierdzenie E28). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

Zastępując całkę niewłaściwą [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] całką oznaczoną [math]\displaystyle{ \int^b_a f (t) d t }[/math], popełniamy błąd

[math]\displaystyle{ \left| \int_{a}^{\infty} f (t) d t - \int^b_a f (t) d t \right| = \left| \int_{b}^{\infty} f (t) d t \right| }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, \leqslant \int_{b}^{\infty} | f (t) | d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, \leqslant \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \lim_{t \to + \infty} G (t) - G (b) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = - G (b) }[/math]


Całkę oznaczoną [math]\displaystyle{ \int^b_a f (t) d t }[/math] możemy policzyć metodą parabol

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x \approx \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum^{n / 2 - 1}_{k = 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

popełniając przy tym błąd

[math]\displaystyle{ E_n = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math]

Zatem całkowity błąd jest nie większy niż

[math]\displaystyle{ E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) }[/math]


Zauważmy, że równanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d b}} \left( {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) \right) = 0 }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ g(b) = {\small\frac{M (b - a)^4}{36 n^4}} }[/math]

jest warunkiem na minimalną wartość błędu. Wynika z niego optymalna wartość liczby podziałów [math]\displaystyle{ n }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] dla wybranej wartości [math]\displaystyle{ b }[/math]

[math]\displaystyle{ n^4 = {\small\frac{M (b - a)^4}{36 g (b)}} }[/math]

Ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}} }[/math]

Błąd dla optymalnej wartości [math]\displaystyle{ n }[/math] wynosi

[math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) = {\small\frac{M (b - a)^5}{180}} \cdot {\small\frac{36 g (b)}{M (b - a)^4}} - G (b) = {\small\frac{(b - a) g (b)}{5}} - G (b) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga F23
Na podstawie twierdzenia F22, możemy napisać w PARI/GP program do przybliżonego liczenia całek niewłaściwych. Jeżeli parametrowi num przypiszemy wartość -1 (wartość domyślna), to zostanie wyliczona optymalna liczba podziałów

[math]\displaystyle{ n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}} }[/math]

(czyli taka, aby błąd był najmniejszy). Jeżeli parametr num przyjmie wartość -2, to optymalna liczba podziałów [math]\displaystyle{ n }[/math] zostanie zapisana w postaci potęgi liczby 2 (o wartości najbliższej optymalnej liczbie podziałów). W przypadku, gdy parametr num jest liczbą większą od zera, będzie on użyty do obliczeń jako liczba przedziałów [math]\displaystyle{ n }[/math].


Program jest prosty, ale wymaga (zgodnie z twierdzeniem F22) nie tylko definicji funkcji podcałkowej, ale znacznie więcej. Przed uruchomieniem programu musimy

1. zdefiniować funkcję podcałkową [math]\displaystyle{ f(t) }[/math]
2. zdefiniować liczbę [math]\displaystyle{ M }[/math] będącą oszacowaniem od góry funkcji [math]\displaystyle{ | f^{(4)} (t) | }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]
3. zdefiniować funkcję [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ | f (t) | \leqslant g (t) }[/math] dla [math]\displaystyle{ t \geqslant b }[/math]
4. zdefiniować całkę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ G(t) }[/math] funkcji [math]\displaystyle{ g(t) }[/math]
5. upewnić się, że całka [math]\displaystyle{ \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math] jest zbieżna
6. sprawdzić, czy [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math], a gdyby tak nie było, to zmienić definicję funkcji [math]\displaystyle{ G(t) }[/math]


Dopiero po wykonaniu tych czynności możemy uruchomić program Simproper(a, b, num) 

Simproper(a, b, num = -1) =
{
local(err, h, k, n, S);
n = if( num <= 0, floor(  (b - a) * ( M/36/g(b) )^(1/4)  ), num );
n = 2 * floor( (n+1)/2 );
if( num == -2, n = 2^floor( log(n)/log(2) + 1/2 ) );
h = 1.0*(b - a)/n;
S = f(a) + 4 * sum(k = 1, n/2, f(a + (2*k-1)*h)) + 2 * sum(k = 1, n/2 - 1, f(a + 2*k*h)) + f(b);
S = (b - a)/(3*n) * S;
err = 1.0 * M * (b - a)^5 / (180 * n^4) - G(b);
return( [S, err] );
}

Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest szybko zbieżna, to nie należy prowadzić obliczeń w zbyt szerokim przedziale. Program będzie usiłował zapewnić odpowiednio mały błąd wyliczanej całki i liczba podziałów przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] może osiągnąć ogromne wartości, a obliczenia będą bardzo czasochłonne.


Przykład F24
Rozważmy całkę [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math].

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t = 0.0032550962148135833916711170162561745391641476739599050514576388 \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Tak dokładny rezultat jest możliwy, ponieważ

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{1}{2}} \mathop{\textnormal{Si}}(2 \pi) - {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{4 \pi}} }[/math]

gdzie funkcja [math]\displaystyle{ \mathop{\textnormal{Si}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t }[/math] (sinus całkowy[5][6][7]) jest funkcją specjalną i wiemy, jak obliczać jej wartości z wysoką dokładnością.


Aby skorzystać z programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{t^3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{2 t^2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 0.004 }[/math]


Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy 

Simproper(2*Pi, 10^5)
[0.0032550962148146005117256508966635416723, 6.9998742421027342073324279855934715203 E-11]

Simproper(2*Pi, 3*10^5)
[0.0032550962148136208735774540186061237864, 7.7777312525236569255722454074806518694 E-12]


Przykład F25
Rozważmy całkę oznaczoną

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{d t}{e^t + t}} = 0.8063956162073262251 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Aby skorzystać z programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{1}{e^t + t}} }[/math]
[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{e^t}} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{e^t}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 0}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 261 }[/math]


Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy 

Simproper(0, 40)
[0.80639561620732622105189277802198625914, 3.8235099324937067671907345290643700420 E-17]

Simproper(0, 50)
[0.80639561620732622517960851949178238112, 2.1216247131181941474567287282139719553 E-21]


Zadanie F26
Policzyć wartość całki

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{d t}{e^t + t^2}} = 0.818759031812863 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)


Uwaga F27
Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia F22. Nawet prostej całki [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t }[/math] nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}} }[/math] jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia E23. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami [math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math].


Twierdzenie F28
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Indukcja matematyczna. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f^{(0)} (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (t) \cos (t) + \int f' (t) \cos (t) d t }[/math]


Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] = f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) = \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] - f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t = f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]


Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n }[/math] i korzystając z pokazanego przed chwilą związku, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{n \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny.


Punkt 2.

Indukcja matematyczna. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f^{(0)} (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = f (t) \sin (t) - \int f' (t) \sin (t) d t }[/math]


Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] = f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) = - \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] + f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t = - f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]


Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n }[/math] i korzystając z pokazanego przed chwilą związku, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{n \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny.
□


Uwaga F29
Z twierdzenia F27 wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) - \int f^{(2)} (t) \sin (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - \int f^{(3)} (t) \cos (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t }[/math]


Uwaga F30
Z twierdzenia F27 wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - \int f^{(2)} (t) \cos (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - f^{(2)} (t) \sin (t) + \int f^{(3)} (t) \sin (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - f^{(2)} (t) \sin (t) - f^{(3)} (t) \cos (t) + \int f^{(4)} (t) \cos (t) d t }[/math]


Przykład F31
Rozważmy całkę

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = 0.152644750662268168985541529340002012956131350392536638644752066 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając ze wzoru podanego w uwadze F29, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) - \int f^{(2)} (t) \sin (t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{t}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t^2}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - 2 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \, = {\small\frac{1}{2 \pi}} - 2 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math]


Całkę [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math] umiemy już obliczyć (przykład F24), zatem bez trudu policzymy całkę [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t }[/math]. Skoro poszło nam tak dobrze, to spróbujmy wykorzystać wzór

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t }[/math]

Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{t}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t^2}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 2 {\small\frac{\cos (t)}{t^3}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 6 {\small\frac{\sin (t)}{t^4}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \, = {\small\frac{1}{2 \pi}} - {\small\frac{1}{4 \pi^3}} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t }[/math]


Aby policzyć numerycznie całkę po prawej stronie, musimy przygotować:

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} }[/math]
[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{t^5}} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{4 t^4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (x) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 6 \cdot 10^{- 5} }[/math]


Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy 

Simproper(2*Pi, 10^3)
[6.4695465777027289767180972728663860875 E-5, 4.4874345453688215509527110951904781824 E-13]

Simproper(2*Pi, 10^4)
[6.4695465778029401532128088001319549975 E-5, 4.4987432411781955704707501103003654673 E-17]


Uzyskaliśmy wynik

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = {\color{Red} 6.469546577}8029 \cdot 10^{- 5} }[/math]

Dla porównania

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = 6.46954657780293963651366308178572112473974453729045450304230 \cdot 10^{- 5} \qquad }[/math] (WolframAlpha)


I ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2 \pi}} - {\small\frac{1}{4 \pi^3}} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = {\color{Red} 0.15264475066226}8169 }[/math]

Korzystając z przykładu F24, uzyskalibyśmy mniej dokładny wynik.


Przykład F32
Pokażemy, że

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = 0.5319715471471 \ldots }[/math]

W tym przypadku również nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając ze wzoru na całkowanie przez części

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{\log (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t \cdot \log^2 (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + {\small\frac{(\log (t) + 2) \cos (t)}{t^2 \cdot \log^3 (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - f^{(3)} (t) \sin (t) \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{\log (2 \pi)}} - {\small\frac{\log (2 \pi) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^3 (2 \pi)}} + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t }[/math]


Aby skorzystać z programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{2 \log^2 (t) + 6 \log (t) + 6}{t^3 \cdot \log^4 (t)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 0.011 }[/math]


Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy 

Simproper(2*Pi, 10^4)
[0.0035251602572557803759192121691047755503, 5.2926827357763320615993244790723469003 E-14]

Simproper(2*Pi, 2*10^4)
[0.0035251602572557723629683384320660178268, 5.5938553808328833862080836586551636221 E-15]


Uzyskujemy wynik

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t = {\color{Red} 0.0035251602572}5577 }[/math]


I ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = {\small\frac{1}{\log (2 \pi)}} - {\small\frac{\log (2 \pi) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^3 (2 \pi)}} + \int^{\infty}_{2 \pi} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t = {\color{Red} 0.5319715471471}5371 }[/math]


Zadanie F33
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (\log (t))}} d t = 1.56477817589 \ldots }[/math]
Rozwiązanie

Zadanie tylko dla wytrwałych. Bez Maximy lub innego systemu wspomagającego obliczenia symboliczne nie ma sensu tracić czasu. Postępując analogicznie jak w przykładzie F32, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (\log (t))}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{\log (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t \cdot \log (t) \cdot \log^2 (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + {\small\frac{(\log (t) \cdot \log (\log (t)) + \log (\log (t)) + 2) \cos (t)}{t^2 \cdot \log^2 (t) \cdot \log^3 (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - f^{(3)} (t) \sin (t) \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + }[/math]


[math]\displaystyle{ + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t }[/math]


[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{1}{\log (\log (2 \pi))}} - {\small\frac{\log (2 \pi) \cdot \log (\log (2 \pi)) + \log (\log (2 \pi)) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^2 (2 \pi) \cdot \log^3 (\log (2 \pi))}} + }[/math]


[math]\displaystyle{ + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t }[/math]


Znajdujemy wartość całki

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t = {\color{Red} 0.045677031827}2121 }[/math]


Simproper(2*Pi, 10^4)
[0.045677031827212178675227765630555037139, 9.7610450502314738753491941212628080885 E-14]


□


Przykład F34
Rozważmy całkę (zobacz przykład E43)

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots }[/math]

Nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając z twierdzenia E23, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ P_6 (t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 ( \mathbb{R} ) }[/math], a całka [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{B_6}{t^6}} d t }[/math] jest zbieżna. Teraz już możemy zastosować twierdzenie F22.


Aby skorzystać z programu Simproper(a, b), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{P_6 (t)}{6 t^6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{B_6}{6 t^6}} = {\small\frac{1}{252 t^6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{1260 t^5}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 1}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 20 }[/math]


Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy 

Simproper(1, 10^2)
[0.00028773955387901889817011277755076495293, 1.5793583624619615295181246127899383386 E-13]

Simproper(1, 5*10^2)
[0.00028773955387909098236994835644747087376, 5.0742857958929735807438325674790730659 E-17]


Uzyskaliśmy wynik

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{6 t^6}} d t = {\color{Red} 0.000287739553879}0909 }[/math]


Skąd wynika natychmiast wartość obliczanej przez nas całki

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t = {\color{Red} - 0.081061466795327}2582 }[/math]




Uzupełnienia

 

Jeszcze o funkcjach kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]

Uwaga F35
Niekiedy, dla uproszczenia zapisu, będziemy używali następujących oznaczeń dla wartości granic w wybranym punkcie

[math]\displaystyle{ f(a^+) = \lim_{x \to a^+} f (x) }[/math]
[math]\displaystyle{ f(a^-) = \lim_{x \to a^-} f (x) }[/math]

Takie oznaczenie ma nawet pewien sens, ponieważ granice możemy zapisywać w różny sposób, natomiast efekt jest jeden i ujmują go powyższe symbole. Przykładowo

[math]\displaystyle{ f(a^+) = \lim_{x \to a^+} f (x) = \lim_{h \to 0^+} f (a + h) }[/math]

Pozwoli to łatwo odróżnić wartości granic od wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] i prosto zapisać własności funkcji. Przykładowo funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math], gdy istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f(a^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f (a^+) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f(a^-) = f (a^+) = f (a) }[/math].


W przypadku pochodnych wprowadzimy oznaczenie pozwalające odróżnić wartość pochodnej prawostronnej od pochodnej lewostronnej.

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_- f (a) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

Podobnie i w tym przypadku różny zapis granic daje ten sam efekt

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{x \to a^+} {\small\frac{f (x) - f (a)}{x - a}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

Przykładowo pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math], gdy istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) }[/math] i [math]\displaystyle{ \partial_- f (a) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \partial_- f (a) = f' (a) }[/math] i jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math], gdy istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f' (a^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f' (a^-) = f' (a^+) = f' (a) }[/math].


Uwaga F36
Podkreślmy, że granica funkcji w punkcie (powiedzmy [math]\displaystyle{ x = a }[/math]) nie jest wartością funkcji w tym punkcie. Jest tak tylko wtedy, gdy funkcja jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = a }[/math]. Analogicznie granica pochodnej w punkcie nie jest wartością pochodnej w tym punkcie. Jest tak tylko wtedy, gdy spełnione są pewne warunki. Twierdzenia F37 i F38 określają te warunki i dlatego są bardzo istotne.

Traktowanie granicy funkcji [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] jako wartości pochodnej w tym punkcie, bez odwołania się do wspomnianych twierdzeń, jest błędem. Dobrym przykładem jest funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} x^2 \sin \left( {\small\frac{1}{x}} \right) & & x \neq 0\\ 0 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja ta ma pochodną w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], ale granice pochodnej w tym punkcie nie istnieją (zobacz zadanie F9).


Twierdzenie F37
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, a + \varepsilon) }[/math] i różniczkowalna[8] w [math]\displaystyle{ (a, a + \varepsilon) }[/math] oraz istnieje granica (skończona lub nieskończona) [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^+} f' (x) }[/math], to pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy: [math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = f' (a^+) }[/math].

Dowód

Z definicji pochodna prawostronna jest równa

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ h \lt \varepsilon }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, a + h] }[/math], a [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje i jest różniczkowalna [math]\displaystyle{ (a, a + h) }[/math]. Ponieważ spełnione są tym samym założenia twierdzenia Lagrange'a, to istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ c \in (a, a + h) }[/math], że

[math]\displaystyle{ f(a + h) - f (a) = f' (c) \cdot h }[/math]

Położenie punktu [math]\displaystyle{ c }[/math] w ogólności zależy od wyboru wartości [math]\displaystyle{ h }[/math], zatem wprowadźmy oznaczenie

[math]\displaystyle{ c = a + \delta (h) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \delta (h) \gt 0 }[/math]. Układ nierówności [math]\displaystyle{ a \lt c \lt a + h }[/math] możemy teraz zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ a \lt a + \delta (h) \lt a + h }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0^+} \delta (h) = 0 }[/math]

Zbierając mamy

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} f' (c) = \lim_{h \to 0^+} f' (a + \delta (h)) = \lim_{x \to a^+} f' (x) = f' (a^+) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Analogiczne twierdzenie można sformułować i udowodnić dla lewostronnego otoczenia punktu [math]\displaystyle{ a }[/math].

Twierdzenie F38
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a - \varepsilon, a) }[/math] i różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, a + \varepsilon) }[/math] oraz istnieje granica (skończona lub nieskończona) [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^-} f' (x) }[/math], to pochodna lewostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy: [math]\displaystyle{ \partial_- f (a) = f' (a^-) }[/math].


Twierdzenie F39
Funkcja ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] przyjmuje w tym przedziale jedynie wartości skończone.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] oznacza funkcję ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Przypuśćmy, że istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ c \in (a, b) }[/math], że wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(c) }[/math], nie jest skończona. Zatem dla [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon = \min \left( {\small\frac{c - a}{2}}, {\small\frac{b - c}{2}} \right) }[/math]

funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] byłaby ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [c - \varepsilon, c + \varepsilon] }[/math], ale nie byłaby w tym przedziale ograniczona, co przeczyłoby twierdzeniu Weierstrassa[9].
□


Wniosek F40
Z twierdzenia F39 wynika natychmiast, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma ciągłą pochodną w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest w tym przedziale różniczkowalna.


Zadanie F41
Niech

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{rrr} - (- x)^{1 / 3} & & x \lt 0\\ x^{1 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Korzystając z twierdzeń F37 i F38 znaleźć wartości pochodnej [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].

Rozwiązanie

Spójrzmy na wykres funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]

F Styczna pionowa.png


Od razu dostrzegamy, że [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma styczną pionową w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Obliczając pochodną, dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{rrr} \frac{1}{3} (- x)^{- 2 / 3} & & x \lt 0\\ \frac{1}{3} x^{- 2 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [0, \varepsilon) }[/math] i ma ciągłą pochodną w przedziale [math]\displaystyle{ (0, \varepsilon) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f' (0^+) = + \infty }[/math], zatem w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = + \infty }[/math] (twierdzenie F37). Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = + \infty }[/math]. Obliczając pochodne jednostronne z definicji, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{h^{1 / 3} - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1}{h^{2 / 3}}} = + \infty }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{- (- h)^{1 / 3} - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{(- h)^{2 / 3}}} = + \infty }[/math]


Możemy powiedzieć, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma pochodną niewłaściwą w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] równą [math]\displaystyle{ + \infty }[/math]. Ale nie powiemy, że [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma pochodną (w zwykłym sensie) lub że jest różniczkowalna w tym punkcie. Zauważmy, że z istnienia nieskończonej pochodnej nie wynika ciągłość funkcji. Rozważmy

[math]\displaystyle{ \mathop{\textnormal{sgn}}(x) = \left\{ \begin{array}{rrr} - 1 & & x \lt 0\\ 0 & & x = 0\\ 1 & & x \gt 0 \end{array} \right. }[/math]

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \partial_+ \mathop{\textnormal{sgn}}(0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{\mathop{\textnormal{sgn}}(0 + h) - \mathop{\textnormal{sgn}}(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1 - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1}{h}} = + \infty }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_- \mathop{\textnormal{sgn}}(0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{\mathop{\textnormal{sgn}}(0 + h) - \mathop{\textnormal{sgn}}(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{- 1 - 0}{h}} = - \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{h}} = + \infty }[/math]

Gdybyśmy uznali, że [math]\displaystyle{ \mathop{\textnormal{sgn}}(x) }[/math] jest różniczkowalna w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], to mielibyśmy funkcję różniczkowalną i nieciągłą w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].
□


Twierdzenie F42
Niech [math]\displaystyle{ c \in (a, b) }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] i ma ciągłą pochodną w każdym z przedziałów [math]\displaystyle{ (a, c) }[/math] i [math]\displaystyle{ (c, b) }[/math] oraz istnieją skończone i równe sobie granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math], to pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], czyli jest ciągła w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

Pochodna prawostronna z definicji jest równa

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (c + h) - f (c)}{h}} }[/math]

O ile tylko [math]\displaystyle{ h \lt b - c }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [c, c + h) }[/math] i różniczkowalna w przedziale [math]\displaystyle{ (c, c + h) }[/math], czyli spełnione są założenia twierdzenia F37, zatem pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math]

Ponieważ założyliśmy, że granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] jest skończona, to [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest prawostronnie ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest lewostronnie ciągła w [math]\displaystyle{ c }[/math]. Z założenia granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] są równe, zatem [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math]. Co należało pokazać.
□


Z twierdzenia F42 wynika natychmiast

Twierdzenie F43
Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i w każdym punkcie [math]\displaystyle{ x_k }[/math] (wyznaczającym podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]) granice lewostronna i granica prawostronna pochodnej [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] są sobie równe.


Zadanie F44
Niech

  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([a, b]) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ c \in (a, b) }[/math]
  • pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziałach [math]\displaystyle{ [a, c) }[/math] i [math]\displaystyle{ (c, b] }[/math]

Pokazać, że

  1. jeżeli co najmniej jedna z granic [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] jest nieskończona, to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] i oczywiście nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
  2. jeżeli istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] i nie są sobie równe, to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
  3. jeżeli istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] i są sobie równe, to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
  4. jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] oraz funkcja [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest nieciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], to co najmniej jedna z granic [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] nie istnieje; w efekcie funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
Rozwiązanie

Punkt 1.

Dla ustalenia uwagi załóżmy, że [math]\displaystyle{ f' (c^+) = + \infty }[/math]. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ (c, b] }[/math] oraz istnieje (nieskończona) granica [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math], to z twierdzenia F37 wiemy, że pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy, czyli [math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = f' (c^+) = + \infty }[/math] . Wynika stąd, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math]. Oczywiście funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math], już ze względu na uczynione założenie, że co najmniej jedna z granic [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] nie jest skończona.

Przykład
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^{2 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]. Wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] policzymy z definicji

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^{2 / 3} - 0}{h}} = {\small\frac{1}{h^{1 / 3}}} = + \infty }[/math]

Obliczając pochodną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ {\small\frac{2}{3}} x^{- 1 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Odpowiednie granice są równe

[math]\displaystyle{ f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = + \infty }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math].

Punkt 2.

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ (c, b] }[/math] oraz istnieje skończona granica [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math], to z twierdzenia F37 wynika, że pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest prawostronnie ciągła w [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ f' (c^+) = \partial_+ f (c) }[/math]

Analogiczna analiza w przedziale [math]\displaystyle{ [a, c) }[/math] prowadzi do wniosku, że

[math]\displaystyle{ f' (c^-) = \partial_- f (c) }[/math]

Z założenia

[math]\displaystyle{ \partial_- f (c) = f' (c^-) \neq f' (c^+) = \partial_+ f (c) }[/math]

zatem [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest funkcją nieciągłą. Ponieważ istnieją granice [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math].

Przykład
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^2 + x & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]. Wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] policzymy z definicji

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^2 + h - 0}{h}} = 1 }[/math]

Obliczając pochodną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ 2 x + 1 & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Odpowiednie granice są równe

[math]\displaystyle{ f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = 1 }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math].

Punkt 3.

Analizując tak samo, jak w punkcie 2. otrzymujemy ciąg równości

[math]\displaystyle{ \partial_- f (c) = f' (c^-) = f' (c^+) = \partial_+ f (c) }[/math]

Zatem pochodna istnieje w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] i jest ciągła w tym punkcie. Wynika stąd natychmiast, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math].

Przykład
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^2 & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]. Wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] policzymy z definicji

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^2 - 0}{h}} = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (0) = 0 }[/math]. Obliczając pochodną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ 2 x & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Odpowiednie granice są równe

[math]\displaystyle{ f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = 0 }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math].

Punkt 4.

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli istnieją skończone granice

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \lim_{x \to c^+} {\small\frac{f (x) - f (c)}{x - c}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \partial_- f (c) = \lim_{x \to c^-} {\small\frac{f (x) - f (c)}{x - c}} }[/math]

i są sobie równe: [math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \partial_- f (c) = f' (c) }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ c }[/math] jest również punktem nieciągłości pochodnej, to

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) \neq f' (c) }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) \neq f' (c) }[/math]


Przypuśćmy, że istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math], zatem z twierdzeń F37 i F38 wynika, że pochodna jest prawostronnie i lewostronnie ciągła w [math]\displaystyle{ c }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) = \partial_+ f (c) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) = \partial_- f (c) }[/math]

Co oznacza, że

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) = \partial_+ f (c) = f' (c) = \partial_- f (c) = \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math]

Zatem pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math] wbrew założeniu o nieciągłości. Czyli nasze przypuszczenie, że istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math] jest błędne. Przypadek, gdy jedna z tych granic jest nieskończona, również nie jest możliwy, bo wtedy (wbrew założeniu) funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie byłaby różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] (zobacz punkt 1). Zatem przynajmniej jedna z tych granic nie może istnieć. Co oznacza, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math].

Przykładową funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^2 \cdot \sin \left( {\small\frac{1}{x}} \right) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Czytelnik bez trudu sam przeanalizuje, korzystając z rozwiązania zadania F9.
□


Zadanie F45
Zbadać dla jakich wartości parametrów [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} a x^2 + b x + c & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

jest klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math].

Rozwiązanie

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 (\mathbb{R}) }[/math], gdy [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math]. Mamy zatem

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} a x^2 + b x + 1 & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest teraz ciągła, funkcje [math]\displaystyle{ a x^2 + b x + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math] są różniczkowalne w przedziałach [math]\displaystyle{ (- \varepsilon, 0) }[/math] i [math]\displaystyle{ (0, \varepsilon) }[/math]. Granice pochodnych wynoszą

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} f' (x) = \lim_{x \to 0^-} 2 a x + b = b }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f' (x) = \lim_{x \to 0^+} (- \sin (x)) = 0 }[/math]

Z twierdzenia F42 wiemy, że jeżeli granice te są skończone i sobie równe, to pochodna jest ciągła, zatem musi być [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} a x^2 + 1 & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 2 a x & & x \lt 0\\ - \sin (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]


Teraz funkcja [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest funkcją ciągłą, a funkcje [math]\displaystyle{ 2 a x }[/math] i [math]\displaystyle{ - \sin (x) }[/math] są różniczkowalne w przedziałach [math]\displaystyle{ (- \varepsilon, 0) }[/math] i [math]\displaystyle{ (0, \varepsilon) }[/math]. Granice następnej pochodnej wynoszą

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} f'' (x) = \lim_{x \to 0^-} 2 a = 2 a }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f'' (x) = \lim_{x \to 0^+} (- \cos (x)) = - 1 }[/math]

Z twierdzenia F42 zastosowanego do funkcji [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ f'' (x) }[/math] wynika, że istnienie i równość wypisanych granic zapewni nam ciągłość drugiej pochodnej, zatem musi być [math]\displaystyle{ a = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]. Ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} - {\large\frac{x^2}{2}} + 1 & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math].
□


Uwaga F46
Nim przejdziemy do dalszych twierdzeń, zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], to zmiana wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w pewnym punkcie [math]\displaystyle{ c \in [a, b] }[/math] nie wpływa na wartość lewo- i prawostronnych granic funkcji w tym punkcie. Liczba [math]\displaystyle{ f(c) }[/math] to zdefiniowana wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math]. Granice (lewa i prawa) funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] nie zależą od wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(c) }[/math], a jedynie informują nas, jaka powinna być wartość funkcji w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], aby funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] była lewostronnie ciągła lub prawostronnie ciągła, lub ciągła (gdy granice te są równe) w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math]. Ujmując dokładniej: wartość granicy funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] wynika z przebiegu funkcji w sąsiedztwie punktu [math]\displaystyle{ c }[/math].


Twierdzenie F47
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Niech funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] będzie przedłużeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \tilde{f} (a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ \tilde{f} (b^-) }[/math]. Ale funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] różni się od funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] co najwyżej wartością w punktach [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math], co oznacza, że istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f(a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ f(b^-) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f(a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ f(b^-) }[/math]. Zatem funkcja

[math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) = \left\{ \begin{array}{lll} f (a^+) & & x = a\\ f (x) & & a \lt x \lt b\\ f (b^-) & & x = b \end{array} \right. }[/math]

jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i jest poszukiwanym przedłużeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].
□


Twierdzenie F48
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a jej pochodna będzie ciągła w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnej [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (b^-) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] (zobacz F40). Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \lt b - a }[/math]. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, a + \varepsilon) }[/math] i różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, a + \varepsilon) }[/math] oraz istnieje granica skończona [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math], to z twierdzenia F37 wiemy, że pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = f' (a^+) }[/math]

Ponieważ z założenia granica [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math] jest skończona, to pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest prawostronnie ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math]. Podobnie dowodzimy, że pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest lewostronnie ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math].

Pokazaliśmy tym samym, że w przypadku, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnej na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to pochodne jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] istnieją, a sama pochodna jest na krańcach przedziału jednostronnie ciągła.
□


Twierdzenie F49
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math]) w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnych [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem funkcje [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], są ciągłe w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Wynika stąd natychmiast, że istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Indukcja matematyczna. Z twierdzenia F48 wiemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]. Pokażemy, że z założenia prawdziwości twierdzenia dla [math]\displaystyle{ r - 1 }[/math] wynika prawdziwość twierdzenia dla [math]\displaystyle{ r }[/math].

Wypiszmy jawnie założenie indukcyjne i tezę indukcyjną, co ułatwi nam uchwycenie problemu.

Założenie indukcyjne:

Jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^{r - 1} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne pochodnych [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r - 1 }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{r - 1} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Teza indukcyjna:

Jeżeli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne pochodnych [math]\displaystyle{ g^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Dowód indukcyjny:

Z założeń uczynionych w tezie indukcyjnej wynika, że funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełnia wszystkie warunki założenia indukcyjnego. Zatem na mocy założenia indukcyjnego funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{r - 1} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Jeśli tak, to [math]\displaystyle{ g^{(r - 1)} (x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Jednocześnie z tezy indukcyjnej wiemy, że [math]\displaystyle{ g^{(r)} (x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ g^{(r)} (a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ g^{(r)} (b^-) }[/math].

Zatem z twierdzenia F48 zastosowanego do funkcji [math]\displaystyle{ g^{(r - 1)} (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g^{(r)} (x) }[/math] wynika, że funkcja [math]\displaystyle{ g^{(r)} (x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Co oznacza, że funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Co kończy dowód indukcyjny.
□


Twierdzenie F50
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że

  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji ciągłej w [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math].
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz istnieją skończone granice na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Z twierdzenia F47 wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji ciągłej w każdym przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz istnieje przedłużenie funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Z twierdzenia F47 wynika natychmiast, że istnieją skończone granice funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach każdego przedziału [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math].
□


Twierdzenie F51
Niech [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że

  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
  • funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math].
Dowód

Przypadek [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] już udowodniliśmy (zobacz twierdzenie F50). Zatem będziemy dowodzili to twierdzenie dla [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] wyznaczających podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] w taki sposób, że funkcje [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], są ciągłe w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Oznacza to, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Ponadto istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] będzie dowolnie wybranym przedziałem. Z twierdzenia F47 wynika natychmiast, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], z założenia ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math], może być przedłużona do funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Konsekwentnie będą istniały kolejne pochodne funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math], czyli funkcje [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math]. Spełniony jest przy tym oczywisty związek

[math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) = f^{(i)} (x) }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \in (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math].

Wynika stąd, że funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Z twierdzenia F49 otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Zatem funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] jest poszukiwanym przedłużeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math], zatem

●   funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest zdefiniowana i ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]

●   pochodne [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], istnieją i są ciągłe w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] będzie dowolnie wybranym przedziałem. Z założenia istnieje przedłużenie funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] do funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Wynika stąd, że istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x^+_k) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x^-_{k + 1}) }[/math]. Ponieważ spełniony jest przy tym oczywisty związek

[math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) = f^{(i)} (x) }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \in (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], to granice te są identyczne z granicami [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^+_k) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^-_{k + 1}) }[/math]. Zatem

●   granice [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^+_k) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^-_{k + 1}) }[/math] istnieją i są skończone

Z zaznaczonych punktów wynika natychmiast, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Co należało pokazać.
□





Jeszcze o błędzie metody Simpsona

 

Uwaga F52
Chcemy wyjaśnić, dlaczego dowodząc twierdzenie F14, wybraliśmy funkcję postaci

[math]\displaystyle{ W(x) = \left\{ \begin{array}{lll} {\large\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) & & a \leqslant x \leqslant c\\ {\large\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) & & c \leqslant x \leqslant b \end{array} \right. }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math].

Znając postać funkcji, mogliśmy pozwolić sobie na wykonanie kolejnych kroków przez różniczkowanie. Pozwoliło to skrócić i uprościć cały dowód. Chcąc zrozumieć metodę i zbadać, czy istnieje możliwość uogólnienia, będziemy tym razem postępowali odwrotnie i kolejno wyliczali całki.


Uwaga F53
Dla uproszczenia zapisu parę funkcji: [math]\displaystyle{ g_1 (x) }[/math] określoną w przedziale [math]\displaystyle{ [a, c] }[/math] oraz [math]\displaystyle{ g_2 (x) }[/math] określoną w przedziale [math]\displaystyle{ [c, b] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math], będziemy oznaczali jako [math]\displaystyle{ f(x) = \{ g_1 (x) |g_2 (x) \} }[/math]. Czytelnika nie powinien niepokoić fakt, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest określona w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], bo zawsze możemy przyjąć [math]\displaystyle{ f(c) = {\small\frac{1}{2}} (g_1 (c) + g_2 (c)) }[/math]. Lepiej traktować [math]\displaystyle{ \{ g_1 (x) |g_2 (x) \} }[/math] jako parę funkcji, której ciągłość w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] ma dla nas istotne znaczenie, a jedynie dla wygody zapisu oznaczamy ją jako [math]\displaystyle{ f(x) = \{ g_1 (x) |g_2 (x) \} }[/math].


Twierdzenie F54
Niżej wypisany ciąg funkcji

[math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ W_n (x) = \{ U_n (x) \big\rvert V_n (x) \} }[/math] [math]\displaystyle{ U_n (a) }[/math] [math]\displaystyle{ U_n (c) }[/math] [math]\displaystyle{ V_n (c) }[/math] [math]\displaystyle{ V_n (b) }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ \{ 6 x - 5 a - b \big\rvert 6 x - a - 5 b \} }[/math] [math]\displaystyle{ - (b - a) }[/math] [math]\displaystyle{ 2 (b - a) }[/math] [math]\displaystyle{ - 2 (b - a) }[/math] [math]\displaystyle{ b - a }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ \{ (x - a) (3 x - 2 a - b) \big\rvert (x - b) (3 x - a - 2 b) \} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{ {\small\frac{1}{2}} (x - a)^2 (2 x - a - b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{2}} (x - b)^2 (2 x - a - b) \right\} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{ {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) \right\} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math] [math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{ {\small\frac{1}{120}} (x - a)^4 (6 x - a - 5 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{120}} (x - b)^4 (6 x - 5 a - b) \right\} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^5}{960}} }[/math] [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^5}{960}} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math]


uzyskaliśmy, stosując następujące zasady:

1) każda kolejna funkcja jest całką poprzedniej, czyli dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_{n} (x) = \int U_{n-1} (x) d x + K }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{n} (x) = \int V_{n-1} (x) d x + L }[/math]

2) stałe całkowania [math]\displaystyle{ K, L }[/math] zostały wybrane tak, aby dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] spełniony był warunek

[math]\displaystyle{ U_{n} (a) = V_{n} (b) = 0 }[/math]


Twierdzenie F55
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1([a, b]) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math].

Dowód

Ponieważ funkcja

[math]\displaystyle{ W_1 (x) = \{ 6 x - 5 a - b| 6 x - a - 5 b \} }[/math]

jest nieciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math], to musimy całkować osobno dla [math]\displaystyle{ x \in [a, c] }[/math] i dla [math]\displaystyle{ x \in [c, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x = \int^c_a f' (x) U_1 (x) d x + \int^b_c f' (x) V_1 (x) d x }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \int^c_a f' (x) U_1 (x) d x = f (x) \cdot U_1 (x) \biggr\rvert_{a}^{c} - \int^c_a f (x) U_1' (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = f (c) \cdot U_1 (c) - f (a) U_1 (a) - 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = 2 (b - a) f (c) + (b - a) f (a) - 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = (b - a) [2 f (c) + f (a)] - 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]


[math]\displaystyle{ \int^b_c f' (x) V_1 (x) d x = f (x) \cdot V_1 (x) \biggr\rvert_{c}^{b} - \int^b_c f (x) V_1' (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = f (b) \cdot V_1 (b) - f (c) V_1 (c) - 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = (b - a) f (b) + 2 (b - a) f (c) - 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = (b - a) [f (b) + 2 f (c)] - 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]


Zatem

[math]\displaystyle{ \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x = (b - a) [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - 6 \int^b_a f (x) d x }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga F56
Postać funkcji [math]\displaystyle{ W_1 (x) = \{ 6 x - 5 a - b| 6 x - a - 5 b \} }[/math] wynika z nałożenia na postać ogólną

[math]\displaystyle{ W_1 (x) = \{ U_1 (x) |V_1 (x) \} = \{ r x + s|t x + u \} }[/math]

następujących warunków:

  • funkcja [math]\displaystyle{ W_2 (x) = \int W_1 (x) d x + C }[/math] ma być równa zero w punktach [math]\displaystyle{ x = a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x = b }[/math], skąd otrzymujemy
[math]\displaystyle{ W_2 (x) = \left\{ {\small\frac{1}{2}} (x - a) (r x + a r + 2 s) \biggr\rvert {\small\frac{1}{2}} (x - b)(t x + b t + 2 u) \right\} }[/math]
  • funkcja [math]\displaystyle{ W_2 (x) }[/math] musi być ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c = {\small\frac{a + b}{2}} }[/math], skąd dostajemy równanie [math]\displaystyle{ U_2 (c) = V_2 (c) }[/math], z którego, po podstawieniu [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{a + b}{2}} }[/math] i łatwym uproszczeniu, mamy
[math]\displaystyle{ 3 r a + 3 t b + r b + t a + 4 s + 4 u = 0 }[/math]
  • w twierdzeniu F55 musi pojawić się wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] }[/math], skąd otrzymujemy równania
[math]\displaystyle{ U_1 (a) = - (b - a) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_1 (b) = b - a }[/math]
[math]\displaystyle{ U_1 (c) - V_1 (c) = 4 (b - a) }[/math]


Zbierając: liczby [math]\displaystyle{ r, s, t, u }[/math] muszą spełniać układ równań

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} r a + s = - (b - a)\\ t b + u = b - a\\ r c + s - (t c + u) = 4 (b - a)\\ 3 r a + 3 t b + r b + t a + 4 s + 4 u = 0 \end{array} \right. }[/math]


Mnożąc pierwsze i drugie równanie przez [math]\displaystyle{ (- 4) }[/math], dodając je do siebie, a następnie dodając sumę do równania czwartego, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (- 4 r a - 4 s - 4 t b - 4 u) + (3 r a + 3 t b + b r + a t + 4 s + 4 u) = 0 }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ (b - a) (r - t) = 0 }[/math]

Z założenia jest [math]\displaystyle{ b \neq a }[/math], zatem musi być [math]\displaystyle{ r = t }[/math].

Odejmując od drugiego równania pierwsze i dodając różnicę do trzeciego, mamy

[math]\displaystyle{ (r b + u - r a - s) + (s - u) = 6 (b - a) }[/math]

Skąd otrzymujemy [math]\displaystyle{ r = t = 6 }[/math]. Teraz już łatwo znajdujemy [math]\displaystyle{ s = - 5 a - b }[/math] oraz [math]\displaystyle{ u = - a - 5 b }[/math].


Widzimy, że przez odpowiedni dobór wartości liczb [math]\displaystyle{ r, s, t, u }[/math] mogliśmy zapewnić ciągłość funkcji [math]\displaystyle{ W_2 (x) }[/math]. Fakt, że ciągłe są również funkcje [math]\displaystyle{ W_3 (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ W_4 (x) }[/math] jest szczęśliwym przypadkiem. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ W_5 (x) }[/math] nie jest ciągła, to nie mogliśmy jej wykorzystać w twierdzeniu F14. Wybór funkcji

[math]\displaystyle{ W_4 (x) = \left\{ {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) \right\} }[/math]

zapewnił uzyskanie najdokładniejszego oszacowania błędu.








Przypisy

  1. ↑ ang. piecewise continuous function
  2. ↑ ang. piecewise [math]\displaystyle{ C^1 }[/math] function lub piecewise smooth function
  3. ↑ Wikipedia, Funkcja skokowa Heaviside’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  4. ↑ E. Talvila and M. Wiersma, Simple Derivation of Basic Quadrature Formulas, Atlantic Electronic Journal of Mathematics, Volume 5, Number 1, Winter 2012, (LINK)
  5. ↑ Wikipedia, Sinus i cosinus całkowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  6. ↑ MathWorld, Sine Integral, (MathWorld)
  7. ↑ WolframAlpha, Sine integral function, (WolframAlpha)
  8. ↑ Wikipedia, Funkcja różniczkowalna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  9. ↑ Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona. (Wiki-pl), (Wiki-en)







 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Ciągi_liczbowe&oldid=300”