Różnica pomiędzy stronami "Plik:Liczba wykrytych zakazen zestawienie.png" i "Wzór Eulera-Maclaurina"

Wersja z 13:14, 24 wrz 2022

29.05.2022

Wielomiany, liczby i funkcje okresowe Bernoulliego

Definicja E1
Wielomiany [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] spełniające warunki

● [math]\displaystyle{ B_0(x) = 1 }[/math]

● [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}}B_n(x) = n B_{n - 1}(x) }[/math]

● [math]\displaystyle{ \int_0^1 B_n(t) d t = 0 \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]

będziemy nazywali wielomianami Bernoulliego^[1]^[2]^[3]^[4].

Twierdzenie E2*
Wielomiany Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] określone są następującym wzorem ogólnym

[math]\displaystyle{ B_n(x) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j \binom{k}{j} (x + j)^n }[/math]

Przykład E3
W tabeli wypisaliśmy początkowe wielomiany Bernoulliego.

[math]\displaystyle{ \quad \;\: n \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 0 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 1 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x - {\small\frac{1}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 2 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^2 - x + {\small\frac{1}{6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 3 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^3 - {\small\frac{3}{2}} x^2 + {\small\frac{1}{2}} x }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 4 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^4 - 2 x^3 + x^2 - \small\frac{1}{30} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 5 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^5 - {\small\frac{5}{2}} x^4 + \small\frac{5}{3} x^3 - \small\frac{1}{6} x }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 6 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^6 - 3 x^5 + \small\frac{5}{2} x^4 - \small\frac{1}{2} x^2 + \small\frac{1}{42} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 7 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^7 - {\small\frac{7}{2}} x^6 + {\small\frac{7}{2}} x^5 - {\small\frac{7}{6}} x^3 + {\small\frac{1}{6}} x }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 8 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^8 - 4 x^7 + \small\frac{14}{3} x^6 - \small\frac{7}{3} x^4 + \small\frac{2}{3} x^2 - \small\frac{1}{30} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 9 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^9 - \small\frac{9}{2} x^8 + 6 x^7 - \small\frac{21}{5} x^5 + 2 x^3 - \small\frac{3}{10} x }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 10 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^{10} - 5 x^9 + \small\frac{15}{2} x^8 - 7 x^6 + 5 x^4 - \small\frac{3}{2} x^2 + \small\frac{5}{66} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 11 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^{11} - \small\frac{11}{2} x^{10} + \small\frac{55}{6} x^9 - 11 x^7 + 11 x^5 - \small\frac{11}{2} x^3 + \small\frac{5}{6} x }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 12 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^{12} - 6 x^{11} + 11 x^{10} - {\small\frac{33}{2}} x^8 + 22 x^6 - {\small\frac{33}{2}} x^4 + 5 x^2 - {\small\frac{691}{2730}} }[/math]

Przykład E4
Przedstawiamy wykresy wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]

Wykresy

□

Definicja E5
Liczbami Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] będziemy nazywali wartości wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ B_n = B_n (0) }[/math].

Uwaga E6
Ze wzoru podanego w twierdzeniu E2 wynika natychmiast wzór ogólny dla liczb Bernoulliego.

[math]\displaystyle{ B_n = B_n (0) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j \binom{k}{j} j^n }[/math]

Twierdzenie E7
Niech [math]\displaystyle{ B_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oznaczają odpowiednio wielomiany i liczby Bernoulliego. Prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n (1) = B_n (0) }[/math]	[math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x) }[/math]	[math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 3. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = B_{2 k + 1} (0) = B_{2 k + 1} \left( \tfrac{1}{2} \right) = 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n \left( a x \right) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( x + \small\frac{k}{a} \right) }[/math]	[math]\displaystyle{ n \geqslant 0 \quad \text{i} \quad a \in \mathbb{Z}_+ }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 5. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( \small\frac{k}{a} \right) = (a^{1 - n} - 1) B_n }[/math]	[math]\displaystyle{ n \geqslant 0 \quad \text{i} \quad a \in \mathbb{Z}_+ }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 6. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n \left( \tfrac{1}{2} \right) = (2^{1 - n} - 1) B_n }[/math]	[math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 7. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{2 k} \left( \tfrac{1}{3} \right) = \tfrac{1}{2} (3^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k} }[/math]	[math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 8. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{2 k} \left( \tfrac{1}{4} \right) = 2^{- 2 k} (2^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k} }[/math]	[math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 9. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{2 k} \left( \tfrac{1}{6} \right) = \tfrac{1}{2} (2^{1 - 2 k} - 1) (3^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k} }[/math]	[math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ B_n (1) - B_n (0) = \int_0^1 B'_n (t) d t = n \int_0^1 B_{n - 1} (t) d t = 0 }[/math]

Punkt 2.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy, że jest prawdziwy dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Z założenia mamy

[math]\displaystyle{ B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x) }[/math]

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{d}{d x}} B_{n + 1} (1 - x) = (- 1)^n {\small\frac{d}{d x}} B_{n + 1} (x) }[/math]

Całkując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_{n + 1} (1 - x) = (- 1)^{n + 1} B_{n + 1} (x) + C }[/math]

Wystarczy pokazać, że stała [math]\displaystyle{ C }[/math] jest równa zero, istotnie

[math]\displaystyle{ \int_0^1 B_{n + 1} (1 - t) d t = (- 1)^{n + 1} \int_0^1 B_{n + 1} (t) d t + C \int_0^1 d t }[/math]

[math]\displaystyle{ - \int_1^0 B_{n + 1}(u) d u = C }[/math]

Punkt 3.

Kładąc we wzorze 2. [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n = 2 k + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = - B_{2 k + 1} (0) }[/math]

ale ze wzoru 1. mamy [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = B_{2 k + 1} (0) }[/math], dodając równania stronami, dostajemy [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = 0 }[/math].

Kładąc we wzorze 2. [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n = 2 k + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

czyli [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = 0 }[/math].

Punkt 4.

Indukcja matematyczna. Dla ułatwienia rachunków połóżmy [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{y}{a}} }[/math], zatem będziemy dowodzili, że

[math]\displaystyle{ B_n (y) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) }[/math]

Bez trudu możemy sprawdzić prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{a - 1} B_1 \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) = \sum_{k = 0}^{a - 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} - {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{y}{a}} \cdot a - {\small\frac{1}{2}} \cdot a + \sum_{k = 0}^{a - 1} {\small\frac{k}{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = y - {\small\frac{a}{2}} + {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{a (a - 1)}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = y - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = B_1 (y) }[/math]

Załóżmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Korzystając z definicji wielomianów Bernoulliego, możemy napisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 1} (y) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} {\small\frac{a}{n + 1}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) }[/math]

Całkując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_{n + 1} (y) = a^n \sum_{k = 0}^{a - 1} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) + C }[/math]

Wystarczy pokazać, że stała [math]\displaystyle{ C }[/math] jest równa zero. Mamy

[math]\displaystyle{ \int_0^1 \sum_{k = 0}^{a - 1} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) d y = \sum_{k = 0}^{a - 1} \int_0^1 \left[ {\small\frac{a}{n + 2}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 2} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) \right] d y }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{a - 1} \left[ B_{n + 2} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) \biggr\rvert_{0}^{1} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{a - 1} \left[ B_{n + 2} \left( {\small\frac{k + 1}{a}} \right) - B_{n + 2} \left( {\small\frac{k}{a}} \right) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} [B_{n + 2} (1) - B_{n + 2} (0)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = 0 }[/math]

dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]. Przekształcając skorzystaliśmy z faktu, że suma jest teleskopowa. Ponieważ [math]\displaystyle{ \int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \int_0^1 C d t = C = 0 }[/math].

Punkt 5.

Połóżmy [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] we wzorze udowodnionym w punkcie 4. Mamy

[math]\displaystyle{ B_n (0) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) = a^{n - 1} \sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) + a^{n - 1} B_n (0) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) = \left( {\small\frac{1}{a^{n - 1}}} - 1 \right) B_n }[/math]

Punkt 6.

Kładąc [math]\displaystyle{ a = 2 }[/math] we wzorze 5, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{2^{n - 1}}} - 1 \right) B_n }[/math]

Co należało udowodnić.

Punkt 7.

Wzór podany w punkcie 5. dla [math]\displaystyle{ n = 2 m }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 3 }[/math] przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^2 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{2}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Korzystając z punktu 2, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Punkt 8.

Wzór podany w punkcie 5. dla [math]\displaystyle{ n = 2 m }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 4 }[/math] przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^3 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{4}} \right) = (4^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{3}{4}} \right) = (2^{2 - 4 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Korzystając z punktów 6. i 2., dostajemy

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) + (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} + (- 1)^{2 m} B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = (2^{2 - 4 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = B_{2 m} (2^{2 - 4 m} - 2^{1 - 2 m}) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = 2^{- 2 m} (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Punkt 9.

Wzór podany w punkcie 5. dla [math]\displaystyle{ n = 2 m }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 6 }[/math] przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^5 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{6}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{2}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{5}{6}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Korzystając z udowodnionych wyżej wzorów, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) + 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} - (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} = 6^{1 - 2 m} B_{2 m} - 2^{1 - 2 m} B_{2 m} = 2^{1 - 2 m} (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) = 2^{1 - 2 m} (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} - (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} = (2^{1 - 2 m} - 1) (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) = \tfrac{1}{2} (2^{1 - 2 m} - 1) (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

□

Przykład E8
W tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oraz minimalne [math]\displaystyle{ m_n }[/math] i maksymalne [math]\displaystyle{ M_n }[/math] wartości wielomianów [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad n \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n }[/math]	[math]\displaystyle{ m_n }[/math]	[math]\displaystyle{ M_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 0 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 1 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x - {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^2 - x + {\small\frac{1}{6}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{6}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{12}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 3 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^3 - {\small\frac{3}{2}} x^2 + {\small\frac{1}{2}} x }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^4 - 2 x^3 + x^2 - {\small\frac{1}{30}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{240}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 5 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^5 - {\small\frac{5}{2}} x^4 + {\small\frac{5}{3}} x^3 - {\small\frac{1}{6}} x }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{6}} \sqrt{{\small\frac{1}{60}} + {\small\frac{\sqrt{30}}{1125}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{6}} \sqrt{{\small\frac{1}{60}} + {\small\frac{\sqrt{30}}{1125}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 6 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ x^6 - 3 x^5 + {\small\frac{5}{2}} x^4 - {\small\frac{1}{2}} x^2 + {\small\frac{1}{42}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{42}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{31}{1344}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{42}} }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ M_3 = {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \lt {\small\frac{3}{62}} }[/math], [math]\displaystyle{ \quad M_5 \lt {\small\frac{1}{40}} }[/math], [math]\displaystyle{ \quad M_7 \lt {\small\frac{1}{38}} \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad M_9 \lt {\small\frac{1}{21}} }[/math]

Przykład E9
Minima [math]\displaystyle{ m_n }[/math] i maksima [math]\displaystyle{ M_n }[/math] wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] są równe^[5]

[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ m_n }[/math]	[math]\displaystyle{ M_n }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{uwagi} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \bigl\| B_{2 k + 1} (x_{2 k}) \bigr\| }[/math]	[math]\displaystyle{ \bigl\| B_{2 k + 1} (x_{2 k}) \bigr\| }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{2 k} (x_{2 k}) = 0 \;\;\; \text{dla} \;\; x \in \left( 0, \tfrac{1}{2} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 k }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{4 k} (0) }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{4 k} \left( \tfrac{1}{2} \right) }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; k \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 k + 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{4 k + 2} \left( \tfrac{1}{2} \right) }[/math]	[math]\displaystyle{ B_{4 k + 2} (0) }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

W zamieszczonej niżej tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oraz minimalne i maksymalne wartości wielomianów [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] w zapisie dziesiętnym.

Tabela

Pogrubiliśmy czcionkę w rzędzie, w którym wartości bezwzględne liczb [math]\displaystyle{ B_n, m_n, M_n }[/math] przyjmują najmniejszą wartość.

[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ B_n }[/math]	[math]\displaystyle{ m_n }[/math]	[math]\displaystyle{ M_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \tfrac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.5 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{1}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.083333333333 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.166666666666 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.048112522432 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.048112522432 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \tfrac{1}{30} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.033333333333 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.029166666666 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.024458190869 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.024458190869 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{\tfrac{1}{42}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{- 0.023065476190} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{0.023809523809} }[/math]
[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.026065114257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.026065114257 }[/math]
[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ - \tfrac{1}{30} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.033333333333 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.033072916666 }[/math]
[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.047550561639 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.047550561639 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{5}{66} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.075609611742 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.075757575757 }[/math]
[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.132496658444 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.132496658444 }[/math]
[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{691}{2730} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.253113553113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.252989962511 }[/math]
[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.523566395739 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.523566395739 }[/math]
[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{7}{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 1.166524251302 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.166666666666 }[/math]
[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2.785040736728 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2.785040736728 }[/math]
[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{3617}{510} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 7.092156862745 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7.091940427293 }[/math]
[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 19.18848758233 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19.18848758233 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{43867}{798} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 54.97075854805 }[/math]	[math]\displaystyle{ 54.97117794486 }[/math]
[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 166.2291245655 }[/math]	[math]\displaystyle{ 166.2291245655 }[/math]
[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ \tfrac{174611}{330} }[/math]	[math]\displaystyle{ - 529.1242424242 }[/math]	[math]\displaystyle{ 529.1232331998 }[/math]

□

Definicja E10
Funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ P_n(x) = B_n(x - \lfloor x \rfloor) }[/math]

Uwaga E11
Inaczej mówiąc funkcja okresowa Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math], przyjmuje te same wartości, co wielomian Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math]. Wartości te powtarzają się dla kolejnych odcinków [math]\displaystyle{ [k, k + 1] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math].

Uwaga E12
Wprost z definicji funkcji okresowych Bernoulliego wynika, że dla [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ P_n (k) = B_n (k - \lfloor k \rfloor) = B_n (0) = B_n }[/math]

Twierdzenie E13
Własności funkcji okresowych Bernoulliego

●	funkcja [math]\displaystyle{ P_0 (x) }[/math] jest ciągła i różniczkowalna
●	funkcja [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] nie jest ciągła w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]
●	funkcja [math]\displaystyle{ P_2 (x) }[/math] jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]
●	dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są ciągłe i różniczkowalne
●	[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x) \qquad }[/math] o ile [math]\displaystyle{ n \neq 1, 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 1, 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math]
●	[math]\displaystyle{ \int^x_0 P_n (t) d t = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} }[/math]

Dowód

Ciągłość funkcji okresowych Bernoulliego

Policzymy granice prawostronne i granice lewostronne funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] w punktach [math]\displaystyle{ x = k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} P_n (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} P_n (k + \varepsilon) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k + \varepsilon - \lfloor k + \varepsilon \rfloor) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k + \varepsilon - k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (\varepsilon) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = B_n (0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^-} P_n (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} P_n (k - \varepsilon) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - \lfloor k - \varepsilon \rfloor) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - (k - 1)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - k + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (1 - \varepsilon) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = B_n (1) }[/math]

Z punktu 1. twierdzenia E7 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ B_n (0) = B_n (1) }[/math]. Oprócz tego dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ B_0 (0) = B_0 (1) = 1 }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ B_1 (0) = - {\small\frac{1}{2}} \neq {\small\frac{1}{2}} = B_1 (1) }[/math]

Wynika stąd, że wszystkie funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są ciągłe poza funkcją [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math].

Różniczkowalność funkcji okresowych Bernoulliego

Pochodne funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są równe

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = {\small\frac{d}{d x}} B_n (x - \lfloor x \rfloor) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = n B_{n - 1} (x - \lfloor x \rfloor) \cdot \left( 1 - {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = n P_{n - 1} (x) \cdot \left( 1 - {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor \right) }[/math]

Zauważmy, że pochodna [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math], ale funkcja [math]\displaystyle{ \lfloor x \rfloor }[/math] nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]. Wiemy, że pochodna funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne w tym punkcie istnieją i są równe. Zatem musimy zbadać, czy pochodne prawostronne i lewostronne funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są równe w punktach [math]\displaystyle{ x = k }[/math]. Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x) }[/math]

a jednocześnie dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ P_{n - 1} (x) }[/math] są ciągłe, to

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} n P_{n - 1} (x) = \lim_{x \to k^-} n P_{n - 1} (x) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = \lim_{x \to k^-} {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) }[/math]

Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] pochodne prawostronne i lewostronne funkcji [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są równe w punktach [math]\displaystyle{ x = k }[/math]. Zatem funkcje [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są różniczkowalne w tych punktach.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ P_0 (x) = B_0 (x - \lfloor x \rfloor) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ P_0 (x) }[/math] jest ciągła i różniczkowalna.

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] wiemy już, że funkcja [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] nie jest ciągła w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math], zatem nie jest w nich różniczkowalna.

Dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} 2 P_1 (x) = 2 B_1 (0) = - 1 \neq 1 = 2 B_1 (1) = \lim_{x \to k^-} 2 P_1 (x) }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} {\small\frac{d}{d x}} P_2 (x) \neq \lim_{x \to k^-} {\small\frac{d}{d x}} P_2 (x) }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ P_2 (x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math].

Przeprowadzane wyżej rozważania dotyczące ciągłości i różniczkowalności funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] stanowią dowody pierwszych pięciu punktów twierdzenia.

Punkt 6.

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math] jest funkcją okresową o okresie równym [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] i całce na odcinku [math]\displaystyle{ [0, x - \lfloor x \rfloor] }[/math].

[math]\displaystyle{ \int^x_0 P_n (t) d t = \int_{0}^{\lfloor x \rfloor} P_n (t) d t + \int^x_{\lfloor x \rfloor} P_n (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \lfloor x \rfloor \int^1_0 P_n (t) d t + \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} P_n (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} B_n (t - \lfloor t \rfloor) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} B_n (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} \left [ {\small\frac{d}{d t}} B_{n + 1} (t) \right ] d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot B_{n + 1} (t) \biggr\rvert_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} [B_{n + 1} (x - \lfloor x \rfloor) - B_{n + 1} (0)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} }[/math]

□

Przykład E14
Przedstawiamy przykładowe wykresy funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math]. Stanowią one bardzo dobrą ilustrację do twierdzenia E13.

Wykresy

□

Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina

Uwaga E15
Często w twierdzeniu musimy założyć, że rozważana funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest określona w pewnym zbiorze liczb rzeczywistych i jest funkcją ciągłą oraz wszystkie jej pochodne od [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] do [math]\displaystyle{ f^{(n)} (x) }[/math] istnieją i są ciągłe w tym zbiorze. Przekazanie tego prostego założenia wymaga użycia wielu słów, a samo twierdzenie staje się mało czytelne. Ze względów czysto praktycznych wprowadzamy pojęcie klasy funkcji.

Definicja E16
Funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określoną i ciągłą w zbiorze [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{R} }[/math] i mającą kolejno [math]\displaystyle{ n }[/math] ciągłych pochodnych w tym zbiorze będziemy nazywali funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ A }[/math], to powiemy, że jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math] dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} }[/math]. W przypadku, gdy chcemy jednocześnie zaznaczyć dziedzinę funkcji, to stosujemy zapis [math]\displaystyle{ C^0 (A) }[/math], [math]\displaystyle{ C^n (A) }[/math] i [math]\displaystyle{ C^{\infty} (A) }[/math].

Przykład E17
Tylko dla potrzeb tego przykładu funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określoną następująco

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} g (x) & & x \lt 0\\ h (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

będziemy zapisywali jako [math]\displaystyle{ f(x) = \left \{ g (x) \big\rvert h (x) \right \} }[/math].

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^0 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ - x \big\rvert x \right \} \;\; \text{czyli} \;\; | x | , \quad \left \{ 0 \big\rvert x \right \} , \quad \left \{ 1 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 + x \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^1 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^2 \right \} , \quad \left \{ 1 + x \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 \sqrt{x^2} , \quad \left \{ 0 \big\rvert x^3 \right \} , \quad \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ x \big\rvert \sin (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^3 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^4 \right \} , \quad \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{6} x^3 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 - \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^n (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ P_{n + 2} (x) , \quad x^n \sqrt{x^2} , \quad \left \{ 0 \big\rvert x^{n + 1} \right \} , \quad \left\{ \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^k}{k!} \biggr\rvert e^x \right\} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ x^k \;\; \text{dla} \;\; k \in \mathbb{N}_0 , \quad e^x , \quad \sin (x) , \quad \cos (x) }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} (\mathbb{R}_+) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math], [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math], [math]\displaystyle{ \log x }[/math]

Twierdzenie E18
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją rzeczywistą klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [k, k + 1] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli zastąpimy na jednostkowym odcinku pole prostokąta całką, to błąd jaki popełnimy jest równy

[math]\displaystyle{ f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]

Dowód

Całkując przez części, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_k^{k + 1} f(t) d t = f(t) \cdot t \biggr\rvert_{k}^{k+1} - \int_k^{k + 1} f'(t) \cdot t d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \, = (k + 1) \cdot f(k + 1) - k \cdot f(k) - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \, = k \cdot f(k + 1) + f(k + 1) - k \cdot f(k) - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \, = f(k + 1) + \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]

Zatem poszukiwaną różnicę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = f(k) - f(k + 1) - \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t + \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ = - \int_k^{k + 1} f'(t) d t - \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t + \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ = \int_k^{k + 1} (t - k - 1) f'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ = \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie E19
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ (x - \lfloor x \rfloor)^n }[/math] jest funkcją okresową o okresie równym [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] i całce na odcinku [math]\displaystyle{ [0, x - \lfloor x \rfloor] }[/math].

[math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = \int_{0}^{\lfloor x \rfloor} (t - \lfloor t \rfloor)^n d t + \int^x_{\lfloor x \rfloor} (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot \int^1_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t + \int^{x - \lfloor x \rfloor}_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot \int^1_0 t^n d t + \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} t^n d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{t^{n + 1}}{n + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} + {\small\frac{t^{n + 1}}{n + 1}} \biggr\rvert_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{(x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie E20
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją rzeczywistą klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [a, b] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math]. Możemy zastąpić sumowanie całkowaniem, stosując wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t }[/math]

Powyższy wzór można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b P_1(t) f'(t) d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P_1(t) }[/math] jest funkcją okresową Bernoulliego.

Dowód

Sumując uzyskany w twierdzeniu E18 związek od [math]\displaystyle{ k = a }[/math] do [math]\displaystyle{ k = b - 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b - 1} f(k) - \int^b_a f(t) d t = \int_a^b (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]

Dodając do obydwu stron [math]\displaystyle{ f(b) }[/math] i przekształcając prawą stronę, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = f(b) + \int^b_a f(t) d t + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t - {\small\frac{1}{2}} f(b) + {\small\frac{1}{2}} f(a) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \int^b_a f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t }[/math]

□

Uwaga E21
Czytelnik zapewne już domyśla się, w jakim kierunku zmierzamy. Całkując przez części i korzystając z własności funkcji okresowych Bernoulliego, przekształcimy całkę [math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t }[/math] do postaci [math]\displaystyle{ \int_a^b P_2 (t) f'' (t) d t }[/math], a następnie do postaci [math]\displaystyle{ \int_a^b P_3 (t) f^{(3)} (t) d t }[/math] itd.

Twierdzenie E22
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_n(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Rozważmy całkę [math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t }[/math] na odcinku [math]\displaystyle{ [k, k + 1] \subset [a, b] }[/math]. Całkując przez części, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_k^{k + 1} P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(t) g(t) \biggr\rvert_{k}^{k + 1} - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(k + 1) g(k + 1) - {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(k) g(k) - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} \cdot g (k + 1) - {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} \cdot g (k) - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \cdot [g (k + 1) - g (k)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

Przekształcając, skorzystaliśmy z faktu, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ P_{n + 1} (k + 1) = P_{n + 1} (k) = B_{n + 1} }[/math]

Sumując po [math]\displaystyle{ k }[/math] od [math]\displaystyle{ k = a }[/math] do [math]\displaystyle{ k = b - 1 }[/math], natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

Co należało udowodnić.
□

Twierdzenie E23
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^k ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]

Dowód

Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \frac{B_{n + 1}}{n + 1} [g (b) - g (a)] - \frac{1}{n + 1} \int_a^b P_{n + 1} (t) g^{(1)} (t) d t }[/math]

Czyli wzór udowodniony w twierdzeniu E22. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zauważmy, że z tego samego twierdzenia natychmiast wynika, że

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t = \frac{B_{n + k + 1}}{n + k + 1} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] - \frac{1}{n + k + 1} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t }[/math]

Korzystając z powyższego wyniku, przy założeniu, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \left[ \frac{B_{n + k + 1}}{n + k + 1} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] - \frac{1}{n + k + 1} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 2} n! \cdot B_{n + k + 1}}{(n + k + 1) !} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 1} n!}{(n + k + 1) !} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{j = 1}^{k + 1} \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 1} n!}{(n + k + 1) !} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t }[/math]

Tym samym pokazaliśmy prawdziwość dowodzonego wzoru dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]. Na mocy zasady indukcji matematycznej dowodzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math].
□

Twierdzenie E24 (wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina, [math]\displaystyle{ \sim }[/math]1735)
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Dowód

Lewą stronę wzoru udowodnionego w twierdzeniu E23

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]

chcemy przekształcić do postaci, która występuje po prawej stronie wzoru z twierdzenia E20. Jeżeli położymy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ g(t) = f' (t) = f^{(1)} (t) }[/math], to dostaniemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} \cdot B_{j + 1}}{(j + 1) !} [f^{(j)} (b) - f^{(j)} (a)] + \frac{(- 1)^k}{(k + 1) !} \int_a^b P_{k + 1} (t) f^{(k + 1)} (t) d t }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ k = r - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{j = 1}^{r - 1} \frac{(- 1)^{j + 1} \cdot B_{j + 1}}{(j + 1) !} [f^{(j)} (b) - f^{(j)} (a)] + \frac{(- 1)^{r - 1}}{r!} \int_a^b P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Ponieważ litera [math]\displaystyle{ k }[/math] już nie występuje we wzorze, to wykorzystamy ją jako nowy wskaźnik sumowania. Od sumowania po [math]\displaystyle{ j }[/math] przejdźmy do sumowania po [math]\displaystyle{ k = j + 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ k }[/math] zmienia się teraz od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ r }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{k = 2}^r \frac{(- 1)^k \cdot B_k}{k!} [f^{(k - 1)} (b) - f^{(k - 1)} (a)] - \frac{(- 1)^r}{r!} \int_a^b P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Podstawiając powyższy wzór do twierdzenia E20, otrzymujemy, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r ( [a, b] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{(- 1)^k B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 1)^k B_k = B_k }[/math], bo dla nieparzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ (- 1)^k B_k = 0 = B_k }[/math], a dla parzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ (- 1)^k B_k = B_k }[/math]. Czynnik [math]\displaystyle{ (- 1)^k }[/math] został dodany tylko dla potrzeb dowodu indukcyjnego twierdzenia E23. Zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga E25
Uwzględniając, że dla nieparzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ B_k = 0 }[/math], możemy dla parzystego [math]\displaystyle{ r = 2 s }[/math] napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 2 s + 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ B_{2 s + 1} = 0 }[/math], zatem nie pojawi się nowy składnik sumy, ale ostatni wyraz ulegnie zmianie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] + {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1}(t) f^{(2 s + 1)}(t) d t }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t = {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1} (t) f^{(2 s + 1)} (t) d t }[/math]

(zobacz twierdzenie E22).

Uwaga E26
Poniżej wypisaliśmy gotowe wzory Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1, \ldots, 9 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + Q_r }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ \quad \;\: r \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ Q_r }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1(t) f'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{2}} \int_a^b P_2(t) f''(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 3. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] + {\small\frac{1}{6}} \int_a^b P_3(t) f^{(3)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 4. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] - {\small\frac{1}{24}} \int_a^b P_4(t) f^{(4)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 5. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{120}} \int_a^b P_5(t) f^{(5)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 6. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] - {\small\frac{1}{720}} \int_a^b P_6(t) f^{(6)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 7. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] + {\small\frac{1}{5040}} \int_a^b P_7(t) f^{(7)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 8. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] - {\small\frac{1}{1209600}} [f^{(7)}(b) - f^{(7)}(a)] - {\small\frac{1}{40320}} \int_a^b P_8(t) f^{(8)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: 9. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] - {\small\frac{1}{1209600}} [f^{(7)}(b) - f^{(7)}(a)] + {\small\frac{1}{362880}} \int_a^b P_9(t) f^{(9)}(t) d t }[/math]

Nim przejdziemy do przykładów, przypomnimy kilka podstawowych definicji i twierdzeń dotyczących całek niewłaściwych.

Całki niewłaściwe – zbieżność i kryteria zbieżności

Definicja E27
Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie określona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] i całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] tego przedziału. Granicę

[math]\displaystyle{ \lim_{b \to + \infty} \int^b_a f(x) d x }[/math]

będziemy nazywali całką niewłaściwą funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w granicach od [math]\displaystyle{ a }[/math] do [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] i zapisywali symbolicznie jako

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Jeżeli powyższa granica jest skończona, to powiemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to powiemy, że całka jest rozbieżna.

Twierdzenie E28 (kryterium porównawcze)
Jeżeli dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) }[/math]

to

● ze zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] wynika zbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]

● z rozbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] wynika rozbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będzie wybrane dowolnie, ale tak, aby [math]\displaystyle{ m \gt a }[/math]. Ponieważ z założenia funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] są całkowalne w dowolnym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math], to całki

[math]\displaystyle{ \int^m_a f(x) d x \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \int^m_a g(x) d x }[/math]

istnieją, a ich wartość nie wpływa na zbieżność / rozbieżność odpowiednich całek niewłaściwych. Zatem możemy ograniczyć się do badania zbieżności całek

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \int_{m}^{\infty} g(x) d x }[/math]

Niech dla [math]\displaystyle{ k \geqslant m }[/math] ciąg [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math] będzie rosnącym ciągiem kolejnych całek oznaczonych

[math]\displaystyle{ U_k = \int_m^k f(x) d x }[/math]

Ponieważ z założenia dla [math]\displaystyle{ x \geqslant m \gt a }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) }[/math]

to ciąg [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math] jest ograniczony od góry

[math]\displaystyle{ U_k = \int^k_m f(x) d x \leqslant \int^k_m g(x) d x \leqslant \int_{m}^{\infty} g(x) d x }[/math]

bo założyliśmy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} g(x) d x }[/math] jest zbieżna. Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Wynika stąd, kolejno, istnienie granic

1. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{k \to \infty} U_k = g }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{k \to \infty} \int_{k}^{k + 1} f(x) d x = \lim_{k \to \infty} U_{k + 1} - \lim_{k \to \infty} U_k = g - g = 0 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{b \to \infty} \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) = 0 }[/math]

4. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{b \to \infty} \int^b_m f(x) d x = \lim_{b \to \infty} \left[ \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) + U_{\lfloor b \rfloor} \right] = \lim_{b \to \infty} \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) + \lim_{k \to \infty} U_{\lfloor b \rfloor} = 0 + g = g }[/math]

Trzecia granica wymaga krótkiego omówienia. Prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} = \int^b_m f(x) d x - \int_{m}^{\lfloor b \rfloor} f(x) d x = \int^b_{\lfloor b \rfloor} f(x) d x \leqslant \int^{\lfloor b \rfloor + 1}_{\lfloor b \rfloor} f(x) d x }[/math]

Wystarczy zauważyć, że w granicy dla [math]\displaystyle{ b \rightarrow \infty }[/math] ostatni wyraz po prawej stronie dąży do zera (granica nr 2).

Zatem całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna. Co kończy dowód punktu 1.

Punkt 2.

Z założenia całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest rozbieżna. Przypuśćmy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] jest zbieżna. Jeśli tak, to na podstawie udowodnionego już punktu 1. całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] musiałaby być zbieżna, wbrew założeniu, że jest rozbieżna. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie o zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] jest fałszywe. Co kończy dowód punktu 2.
□

Twierdzenie E29
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] i całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] jest zbieżna, to zbieżna jest też całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]. O całce [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] powiemy wtedy, że jest bezwzględnie zbieżna.

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) + | f(x) | \leqslant 2 | f(x) | }[/math]

to z kryterium porównawczego wynika, że całka

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} (f(x) + | f(x) |) d x }[/math]

jest zbieżna. Zatem całka

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x = \int_{a}^{\infty} (f(x) + | f(x) |) d x - \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math]

jest różnicą całek zbieżnych i również musi być zbieżna.
□

Twierdzenie E30
Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] jest zbieżna, a funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, to zbieżna jest też całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x }[/math].

Dowód

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] jest [math]\displaystyle{ | g(x) | \leqslant M }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] prawdziwy jest układ nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{M}} | f(x) g(x) | \leqslant | f(x) | }[/math]

Zatem na podstawie kryterium porównawczego ze zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] wynika zbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x }[/math].
□

Twierdzenie E31
Niech [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] oznacza funkcję pierwotną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math] jest skończona.

Dowód

Z definicji całki niewłaściwej mamy

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(t) d t = \lim_{b \to \infty} \int^b_a f(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \lim_{b \to \infty} \biggl[ F(t) \biggr\rvert_{a}^{b} \biggr] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \lim_{b \to \infty} [F (b) - F (a)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = - F (a) + \lim_{b \to \infty} F (b) }[/math]

Zauważmy, że aby możliwe było rozważanie, czy całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] jest zbieżna, muszą być spełnione warunki dodatkowe, których już jawnie nie wypisaliśmy

● funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] musi być określona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math]

● funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] musi być całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \int^b_a f(t) d t = F(b) - F(a) }[/math], to wartość [math]\displaystyle{ F(a) }[/math] musi być skończona. Zatem granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math] jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granica [math]\displaystyle{ \lim_{b \to \infty} \int^b_a f (t) d t }[/math] jest skończona. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie E32
Jeżeli

● funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją ciągłą i ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]

● całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] jest zbieżna

● funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math], czyli dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] jest

1. [math]\displaystyle{ \qquad m \leqslant g (x) \leqslant M }[/math]

lub

2. [math]\displaystyle{ \qquad | g (x) | \leqslant L }[/math]

● całka [math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x }[/math] istnieje dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]

to całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] są zbieżne i prawdziwe są następujące oszacowania

1. [math]\displaystyle{ \qquad s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math]

lub

2. [math]\displaystyle{ \qquad \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math].

Dowód

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f (t) }[/math] ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math], zatem mamy

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t = s \int_{a}^{\infty} [s \cdot f (t)] d t = s \int_{a}^{\infty} | f (t) | d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]. Czyli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] jest bezwzględnie zbieżna. Ponieważ z założenia funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, to z twierdzenia E30 wynika, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (t) g (t) | d t }[/math] jest zbieżna, zatem jest też zbieżna całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) g (t) d t }[/math] (twierdzenie E29).

Przypadek 1.

Funkcja [math]\displaystyle{ s \cdot f (t) }[/math] jest dodatnia, gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]. Stąd i z założonej postaci ograniczenia funkcji [math]\displaystyle{ g (t) }[/math] wynika, że prawdziwy jest następujący układ nierówności

[math]\displaystyle{ s \:\! m f (x) \leqslant s f (x) g (x) \leqslant s M f (x) }[/math]

Wynika stąd odpowiedni układ nierówności dla całek oznaczonych właściwych

[math]\displaystyle{ s \:\! m \int^b_a f (x) d x \leqslant s \int^b_a f (x) g (x) d x \leqslant s M \int^b_a f (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]. Ponieważ całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] są zbieżne, to uprawnione jest przejście do granicy i w granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math]

Przypadek 2.

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ | f (t) | }[/math] jest dodatnia, to prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | g (x) | \cdot | f (x) | \leqslant L | f (x) | }[/math]

Wynika stąd oszacowanie dla całek oznaczonych właściwych

[math]\displaystyle{ \int^b_a | f (x) g (x) | d x \leqslant L \int^b_a | f (x) | d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = s L \int^b_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = L \left| \int^b_a f (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]. Ponieważ całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] i [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x }[/math] są zbieżne, to możemy przejść do granicy i w granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right| }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie E33
Niech [math]\displaystyle{ P_n(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math], jest zbieżna.

Dowód

Funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{t^{\alpha}}} }[/math] spełnia warunki

● jest ciągła i nie zmienia znaku w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]

● całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{d t}{t^{\alpha}}} = {\small\frac{1}{\alpha - 1}} }[/math] jest zbieżna

Funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math] są zdefiniowane wzorem

[math]\displaystyle{ P_r(t) = B_r(t - \lfloor t \rfloor) }[/math]

a wielomiany Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_r(t) }[/math] są ograniczone w przedziale [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math]^[6] (zobacz przykład E9), wynika stąd, że [math]\displaystyle{ P_r(t) }[/math] są funkcjami ograniczonymi. Zatem z twierdzenia E32 otrzymujemy natychmiast, że całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math] jest zbieżna.
□

Twierdzenie E34
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], jest zbieżna.

Dowód

W przypadku funkcji [math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{t^{\varepsilon}}} }[/math] z twierdzenia E22 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_1^b {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \left[ {\small\frac{1}{b^{\varepsilon}}} - 1 \right] + {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 + \varepsilon}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} + {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 + \varepsilon}}} d t }[/math]

Ponieważ na mocy twierdzenia E33 całka po prawej stronie jest zbieżna, to jest też zbieżna całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{t^{\varepsilon}}} d t }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie E35
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} P_n (t) t^{\varepsilon} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math], jest rozbieżna.

Rozwiązanie

W przypadku funkcji [math]\displaystyle{ g(t) = t^{\varepsilon} }[/math] z twierdzenia E22 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_1^b P_n(t) t^{\varepsilon} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [b^{\varepsilon} - 1] - {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 - \varepsilon}}} d t }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 - \varepsilon}}} d t }[/math] jest zbieżna, ale pierwszy wyraz po prawej stronie jest rozbieżny, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, zatem cała prawa strona jest rozbieżna.
□

Zadanie E36
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t }[/math]

jest zbieżna.

Rozwiązanie

W przypadku funkcji [math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{\log t}} }[/math] z twierdzenia E22 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_2^b {\small\frac{P_n(t)}{\log t}} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \left[ {\small\frac{1}{\log b}} - {\small\frac{1}{\log 2}} \right] + {\small\frac{1}{n + 1}} \int_2^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t \cdot \log^2 t}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t = - {\small\frac{B_{n + 1}}{(n + 1) \log 2}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \int_2^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1} (t)}{t \cdot \log^2 t}} d t }[/math]

Ponieważ na mocy twierdzenia E34 całka po prawej stronie jest zbieżna, to jest też zbieżna całka [math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t }[/math].
□

Zadanie E37
Niech [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego oraz prawdziwe będzie następujące oszacowanie funkcji [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math]

[math]\displaystyle{ m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r }[/math]

Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] jest

[math]\displaystyle{ {\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że

funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{t^{\alpha}}} }[/math] jest funkcją ciągłą i zachowuje stały (dodatni) znak w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]
całka [math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{d t}{t^{\alpha}}} = {\small\frac{1}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math] jest zbieżna
funkcja [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math] jest ograniczona i z założenia prawdziwy jest układ nierówności [math]\displaystyle{ m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r }[/math]
całka [math]\displaystyle{ \int^b_n P_r (t) d t }[/math] istnieje dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt n }[/math]

Zatem spełnione są założenia twierdzenia E32 i natychmiast otrzymujemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math] jest zbieżna i prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Podamy teraz kryterium Dirichleta, dzięki któremu moglibyśmy natychmiast uzyskać dowody twierdzeń E33 i E34 oraz rozwiązanie zadania E36. Celowo nie stosowaliśmy tego kryterium, aby Czytelnik mógł zapoznać się z ciekawym zastosowaniem twierdzenia E22.

Twierdzenie E38* (kryterium Dirichleta)
Jeżeli funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] są całkowalne w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] oraz spełniają warunki

● całka z funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ograniczona, czyli istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f(x) d x \right| \leqslant M }[/math]

● funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest funkcją monotoniczną (czyli malejącą lub rosnącą)

● [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} g (x) = 0 }[/math]

to całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] jest zbieżna.

Zadanie E39
Korzystając z kryterium Dirichleta, pokazać, że całki

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x = {\small\frac{1}{2}} \pi }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} {\small\frac{P_1 (x)}{\log x}} d x = - 0.117923474371 \ldots }[/math]

są zbieżne.

Rozwiązanie

Punkt 1.

Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{\sin x}{x}} }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Mamy też [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} {\small\frac{\sin x}{x}} = 1 }[/math]. Oszacowanie całki jest natychmiastowe

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_0 \sin t d t \right| = \biggl| - \cos t \big\rvert_{0}^{b} \biggr| = | - \cos b + 1 | \leqslant 2 }[/math]

Zatem z kryterium Dirichleta wynika, że całka [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x }[/math] jest zbieżna.

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] jest funkcją okresową o okresie równym [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] i całce na odcinku [math]\displaystyle{ [0, x - \lfloor x \rfloor] }[/math]. Pamiętając o tym, że

[math]\displaystyle{ \int^1_0 P_1 (t) d t = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int B_n (x) = {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} (x) }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int^b_2 P_1 (t) d t = (\lfloor b \rfloor - 2) \cdot \int^1_0 P_1 (t) d t + \int_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} P_1 (t) d t = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \int_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} B_1 (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{1}{2}} B_2 (t) \biggr\rvert_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{1}{2}} (B_2 (b - \lfloor b \rfloor) - B_2 (0)) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_2 P_1 (t) d t \right| = {\small\frac{1}{2}} | B_2 (b - \lfloor b \rfloor) - B_2 | \leqslant {\small\frac{1}{2}} (| B_2 (b - \lfloor b \rfloor) | + | B_2 |) \leqslant B_2 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ | B_{2 k}(x) | \leqslant | B_{2 k} | }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]^[7]^[8].

Z kryterium Dirichleta wynika natychmiast, że całka [math]\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} P_1 (t) d t }[/math] jest zbieżna.
□

Przykłady

Przykład E40
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n k^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ f(t) = t^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ f'(t) = 2 t }[/math], [math]\displaystyle{ f''(t) = 2 }[/math], a dla [math]\displaystyle{ i \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ f^{(i)}(t) = 0 }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ r = 3 }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{6}} \int_1^n P_3(t) f^{(3)}(t) d t }[/math] jest równy zero i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1) }[/math]

Przykład E41
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Wiemy, że przypadku szeregu nieskończonego jest

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848226436472415166646 \ldots }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{12} ( 9 - \pi^2 ) }[/math].

Jeżeli tak, to możemy sumę zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\:\, = {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ P_1(t) = t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} \leqslant P_1(t) \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math], to korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 n^2}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t \leqslant {\small\frac{1}{4 n^2}} }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \geqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} }[/math]

Jeśli we wzorze Eulera-Maclaurina uwzględnimy więcej wyrazów, to otrzymamy dokładniejsze oszacowania.

Przykład E42
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane^[9]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2k \cdot n^{2 k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} - {\small\frac{1}{132 n^{10}}} + \cdots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.57721566490153286060651209 \ldots }[/math] jest stałą Eulera.

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{2 n}} - \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n \right) = {\small\frac{1}{2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t }[/math]

Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} - \gamma }[/math].

Zastosujemy teraz wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 3 }[/math] i znajdziemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^n {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{12}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t = \gamma }[/math]

Dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Ponieważ prawdziwe są oszacowania (zobacz przykłady E8 i E9)

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \leqslant P_3 (t) \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} }[/math]

to korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \leqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \geqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ n = 10^6 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 0.5772156649015328605 \leqslant \gamma \leqslant 0.5772156649015328607 }[/math]

Przykład E43
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k }[/math]

Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane^[10]

[math]\displaystyle{ \log n! = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2 k (2 k - 1) \cdot n^{2 k - 1}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{1260 n^5}} - {\small\frac{1}{1680 n^7}} + {\small\frac{1}{1188 n^9}} - \cdots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) = 0.91893853320467274178 \ldots }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1(t)}{t}} d t }[/math]

Z twierdzenia E34 wiemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t }[/math] jest zbieżna, a z rozwinięcia asymptotycznego wiemy, że granica po lewej stronie jest równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) }[/math], zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = \tfrac{1}{2} \log (2 \pi) - 1 }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i jest równa stałej – w tym przypadku [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) }[/math]. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} d t - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Z przykładów E8 i E9 wiemy, że prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}} }[/math]

Zatem korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{90 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{720 n^3}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{7}{2880 n^3}} \leqslant - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{360 n^3}} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k \leqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k \geqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{192 n^3}} }[/math]

Oczywiście, podobnie jak w poprzednim przykładzie, powyższe nierówności mogą służyć do wyznaczenia wartości stałej.

Przykład E44
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} - \left( {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i jest równa pewnej stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

Z przykładów E8 i E9 wiemy, że prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}} }[/math]

Zatem korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{75}} n^{- 5 / 2} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{600}} n^{- 5 / 2} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{7}{15360}} n^{- 5 / 2} \leqslant - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} }[/math]

I otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \leqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \geqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1024}} n^{- 5 / 2} }[/math]

Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ n = 10^6 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - 0.207886224977354567 \leqslant C \leqslant - 0.207886224977354565 }[/math]

Przykład E45
Pokażemy, dlaczego lepiej wybrać wartość [math]\displaystyle{ r }[/math] za dużą niż za małą i dlaczego należy sprawdzać zbieżność całki

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

korzystając z kryterium Dirichleta (twierdzenie E38) lub z twierdzenia E34. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^n \sqrt{t} \cdot P_1 (t) d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} \right) \right] = {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^{\infty} \sqrt{t} \cdot P_1(t) d t }[/math]

Jeszcze nie wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione – lewa strona jest rozbieżna. Podobnie rozbieżna jest całka po prawej stronie – rozbieżność tej całki informuje nas, że wybraliśmy za małą wartość [math]\displaystyle{ r }[/math].

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^n {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t }[/math]

Całka po prawej stronie jest zbieżna, co wynika z kryterium Dirichleta. Zatem i lewa strona jest zbieżna, czyli wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione. Możemy to łatwo sprawdzić, obierając większą wartość [math]\displaystyle{ r }[/math].

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{49}{1920}} + {\small\frac{1}{1920}} n^{- 3 / 2} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{5 / 2}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{49}{1920}} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^{5 / 2}}} d t }[/math]

Uwaga E46
Rozwiązując przykłady znaleźliśmy wartości następujących całek oznaczonych

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} - \gamma }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{9 - \pi^2}{12}} }[/math]

Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] ma ciągłą pochodną w [math]\displaystyle{ [a, b] \subset \mathbb{R} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f (t) = 0 }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_{n + 1} (t) f'(t) d t = - B_{n + 1} f(a) - (n + 1) \int_a^{\infty} P_n(t) f(t) d t }[/math]

(Jest to prosty wniosek z twierdzenia E22).

Powyższy rezultat możemy wykorzystać do wyliczenia kolejnych całek zawierających funkcje okresowe Bernoulliego. Przykładowo mamy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^2}} d t = \log (2 \pi) - {\small\frac{11}{6}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{7}{12}} - \gamma }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^4}} d t = {\small\frac{10 - \pi^2}{18}} }[/math]

Metody wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina

Uwaga E47
W przedstawionych wyżej przykładach wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina (przykład E42 i E44) oraz pokazaliśmy, że wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest związana z wartością stałej (przykład E41, E42 i E43). Obecnie dokładnie omówimy ten problem.

Twierdzenie E48
Jeżeli założymy, że

●	całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math] nie zawiera wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ x }[/math] (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f(t) d t = F(b) - F(a) }[/math] i nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
●	dla pewnego [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest zbieżna

to wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Dowód

Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest zbieżna, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = F(b) - F(a) + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \left[ - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t \right] + \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga E49
We wzorze

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

składnik [math]\displaystyle{ C(a) }[/math] jest wartością stałej [math]\displaystyle{ C }[/math] we wzorze Eulera-Maclaurina, a [math]\displaystyle{ E(b) }[/math] zwraca kolejne wyrazy rozwinięcia. Pokażemy, że wartość tej stałej możemy wyliczyć bezpośrednio ze wzoru

[math]\displaystyle{ C = C (a) }[/math]

lub metodą pośrednią, wykorzystując związek

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - E (b) }[/math]

W obydwu przypadkach obliczenia wykonamy dla znanej już Czytelnikowi sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math] (przykład E38).

Przykład E50
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} }[/math]

to wzór na wartość stałej z twierdzenia E47

[math]\displaystyle{ C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ C(1) = - \log (1) + {\small\frac{1}{2}} - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{k - 1} (k - 1) !}{x^k}} - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) \cdot {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ C(1) = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{r + 1}}} d t }[/math]

Oznaczmy

[math]\displaystyle{ C_r = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ I_r = - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{r + 1}}} d t }[/math]

Wartość [math]\displaystyle{ I_r }[/math] obliczymy numerycznie w programie PARI/GP poleceniem

Int(r) = - intnum(t=1,+oo, P(r,t)/t^(r+1), 12 )

gdzie

P(r, t) = B(r, t - floor(t))

jest funkcją okresową Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math].

Ponieważ wyliczenie wartości [math]\displaystyle{ C_r }[/math] jest bardzo łatwe, to w tabeli przedstawiamy jedynie wartość całki [math]\displaystyle{ I_r }[/math] oraz wielkość błędu, z jakim wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina. Przy precyzji obliczeń w PARI/GP równej [math]\displaystyle{ 77 }[/math] cyfr znaczących (wyświetlanych jest tylko [math]\displaystyle{ 60 }[/math]) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \quad r \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ I_r }[/math]	[math]\displaystyle{ C_r + I_r - \gamma }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.00611766843643217216316093584671186131649649607150165105785840 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 4.7 \cdot 10^{- 12} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.00221566490153286060651266099862945942063253146614696094725279 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5.8 \cdot 10^{- 25} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 6 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.00175258906672110764745616388586252127113304104807585093607060 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 1.1 \cdot 10^{- 32} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 8 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.00241407759994555901921050278081512945505072420777227470125753 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2.0 \cdot 10^{- 40} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 10 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.00516167997581201673836525479494244630271800893829613819256332 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 8.8 \cdot 10^{- 49} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 12 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.0159311161169840760577275412978536464933747871553748142613412 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4.4 \cdot 10^{- 57} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 14 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - 0.0674022172163492572756057920354796868399585461779585190763506 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2.7 \cdot 10^{- 65} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 16 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.375857586705219370175374600121383058258080669508315990727571 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2.1 \cdot 10^{- 73} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 18 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2.67809674356490037362857973014873668554587366076180375307638 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 1.8 \cdot 10^{- 77} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 20 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 23.7781153776472208384926323910633845265753384604503174590448 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2.6 \cdot 10^{- 76} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 22 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - 257.682029549889011045565338623429369096613067336651131816317 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3.6 \cdot 10^{- 74} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 24 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 3349.82851684815738700083270777461702894978497906139526623008 }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2.5 \cdot 10^{- 73} }[/math]

Zwróćmy uwagę, jak bardzo [math]\displaystyle{ C_r \approx \gamma - I_r }[/math] odbiega od wartości stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] dla dużych wartości [math]\displaystyle{ r }[/math] – dopiero suma [math]\displaystyle{ C_r + I_r }[/math] daje prawidłowy rezultat. Tylko po to, aby uwidocznić ten fakt, przedstawiliśmy dane dla tak wielu wartości [math]\displaystyle{ r }[/math].

Uwaga E51
W przykładzie E50 uzyskaliśmy zaskakująco dokładny wynik, ale wiemy o tym tylko dlatego, że znaliśmy wynik prawidłowy. Gdybyśmy nie znali wartości stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], to nie bylibyśmy w stanie określić, ile cyfr sumy [math]\displaystyle{ C_r + I_r }[/math] jest prawidłowych.

Nim przejdziemy do przedstawienia drugiego sposobu wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina, udowodnimy twierdzenie, które pozwoli nam działać bardziej efektywnie.

Twierdzenie E52
Jeżeli założymy, że

●	całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] nie zawiera wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ x }[/math] (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a) }[/math] i nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
●	funkcja [math]\displaystyle{ f^{(2 s)} (t) }[/math] jest funkcją ciągłą i ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [b, \infty) }[/math]
●	[math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)} (t) = 0 }[/math]

to dla stałej [math]\displaystyle{ C(a) }[/math] we wzorze Eulera-Maclaurina prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ W = W (s, a, b) = \sum_{k = a}^b f(k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} f^{(2 k - 1)}(b) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta = \Delta (s, b) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) | }[/math]

Czyli błąd, jakim obarczony jest wynik [math]\displaystyle{ W }[/math], jest nie większy od wartości bezwzględnej ostatniego składnika sumy.

Dowód

Z twierdzenia E47 wiemy, że przy poczynionych założeniach wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ E(b) = F(b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f(k) - E(b) }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 2 s }[/math] jest liczbą parzystą, możemy położyć [math]\displaystyle{ k = 2 j }[/math] i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ E(b) = F(b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)}(b) + {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ f^{(2 s - 1)} (t) }[/math] jest funkcją pierwotną funkcji [math]\displaystyle{ f^{(2 s)}(t) }[/math], a z założenia jest [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)}(t) = 0 }[/math], to na podstawie twierdzenia E31 całka [math]\displaystyle{ \int_b^{\infty} f^{(2 s)}(t) d t }[/math] jest zbieżna.

Dla funkcji okresowych Bernoulliego o indeksie parzystym prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ | P_{2 s}(x) | \leqslant | B_{2 s} | }[/math]^[7] (zobacz przykład E9 i wzór 6. twierdzenia E7). Zatem z twierdzenia E32 i założenia, że [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)}(t) = 0 }[/math] dostajemy oszacowanie całki

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)}(t) d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} | P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) | d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot \left| \int_b^{\infty} f^{(2 s)}(t) d t \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot \biggl| f^{(2 s - 1)}(t) \big\rvert_{b}^{\infty} \biggr| }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot | - f^{(2 s - 1)}(b) | }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)}(b) | }[/math]

Łącząc powyższe rezultaty, otrzymujemy oszacowanie stałej [math]\displaystyle{ C(a) }[/math]

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\:\: \leqslant \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] + \Delta }[/math]

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\:\: \geqslant \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - \Delta }[/math]

gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) | }[/math]

Jeśli dodatkowo oznaczymy

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] }[/math]

to dostaniemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład E53
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} }[/math]

to z twierdzenia E51 dostajemy

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{2 k \cdot n^{2 k}}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{2 s \cdot n^{2 s}}} }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ s = 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10^8 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67} }[/math]

Uznając, że dokładność rzędu [math]\displaystyle{ 10^{- 65} }[/math] nas zadowala, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ s = 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} \right] }[/math]

Wyliczając wartość prawej strony dla [math]\displaystyle{ n = 10^8 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ W = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467 \ldots }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67} }[/math], to ostatecznie możemy napisać

[math]\displaystyle{ \gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488 \ldots }[/math]

Wyznaczyliśmy stałą [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] z dokładnością [math]\displaystyle{ 65 }[/math] cyfr po przecinku. W rzeczywistości błąd jest mniejszy od [math]\displaystyle{ 10^{- 81} }[/math].

Uwaga E54
Zauważmy, że wyliczając wartość [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], znamy wartość błędu jeszcze przed wykonaniem całości obliczeń. Dobierając odpowiednie wartości liczb [math]\displaystyle{ s }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] możemy sprawić, że błąd będzie odpowiednio mały. Unikamy numerycznego całkowania, które w przypadku bardziej skomplikowanych funkcji może być długie i obarczone znacznym i nieznanym błędem.

Przykład E55
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) }[/math]

W PARI/GP funkcję specjalną [math]\displaystyle{ \mathop{\text{li}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{d t}{\log t}} }[/math] (logarytm całkowy^[11]^[12]) możemy uzyskać następująco

li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )

W powyższym wzorze wykorzystaliśmy zaimplementowaną pod nazwą [math]\displaystyle{ \text{eint1} (x) }[/math] inną funkcję specjalną [math]\displaystyle{ E_1 (x) = \int_{x}^{\infty} {\small\frac{e^{- t}}{t}} d t }[/math]^[13]^[14].

Mamy:

[math]\displaystyle{ f(x) = \mathop{\text{li}}(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ F(x) = \int \mathop{\text{li}}(x) d x = x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(1)} (x) = {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{k - 1} \sum_{j = 1}^{k - 1} {\small\frac{A^{k - 1}_j}{x^{k - 1} \log^{j + 1} x}} = \mathop{\text{DLog}}(k - 1, x) }[/math]

Oznaczenie [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej pochodnej funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] jako [math]\displaystyle{ \mathop{\text{DLog}}(k, x) }[/math] znacząco ułatwi nam zapisywanie wzorów. Liczby naturalne [math]\displaystyle{ A^k_j }[/math] spełniają następujące równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ A^k_1 = (k - 1) A^{k - 1}_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A_j^k = j A^{k - 1}_{j - 1} + (k - 1) A^{k - 1}_j \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad j = 2, \ldots, k - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A^k_k = k A^{k - 1}_{k - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math] (zobacz twierdzenia E58 i E59).

Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] są funkcjami ciągłymi i mają stały znak dla [math]\displaystyle{ x \gt 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f^{(k - 1)} (x) = 0 }[/math]. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] spełnione są założenia twierdzenia E52. W przypadku rozpatrywanej przez nas sumy z twierdzenia E52 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \Delta = \Delta (s, n) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | \mathop{\text{DLog}}(2 s - 2, n) | }[/math]

[math]\displaystyle{ W = W (s, 2, n) = \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) - \left[ n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{B_2}{2 \log n}} + \sum_{k = 2}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \mathop{\text{DLog}}(2 k - 2, n) \right] }[/math]

Obliczenia przeprowadziliśmy w programie PARI/GP. Wymagają one zwiększenia precyzji obliczeń do [math]\displaystyle{ 80 }[/math] miejsc znaczących i wcześniejszego przygotowania kilku funkcji omówionych szerzej w uwadze E60. Mamy

B(n, x) = sum(k=0, n, 1/(k+1)*sum(j=0, k, (-1)^j*binomial(k,j)*(x+j)^n))

A(n, k) = if( k==1 || k==n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )

DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k=1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))

li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )

delta(s, n) = B(2*s, 0)/(2*s)! * DLog(2*s-2, n)

W(s, n) = sum(k=2, n, li(k)) - n*li(n) + li(n^2) - 1/2*li(n) - B(2,0)/2! * 1/log(n) - sum(k=2, s, B(2*k,0)/(2*k)! * DLog(2*k-2, n))

Dla [math]\displaystyle{ s = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10^7 }[/math] otrzymujemy (porównaj WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{B_{10}}{10!}} \cdot | \mathop{\text{DLog}}(8, 10^7) | = 5.632 \cdot 10^{- 63} }[/math]

[math]\displaystyle{ W = 1.28191595049146577908068521816208913078488987854947239276268700691879666704021184913771562 }[/math]

Po uwzględnieniu możliwego błędu znajdujemy wartość stałej z dokładnością [math]\displaystyle{ 61 }[/math] miejsc po przecinku.

[math]\displaystyle{ C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots }[/math]

Przykład E56
Rozważmy jeszcze raz sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) }[/math]

Wypiszmy dla tej sumy wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) = \int_2^n \mathop{\text{li}}(t) d t + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = (x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2)) \biggr\rvert_{2}^{n} + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) - 2 \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t \right] + n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest stałą wstępującą we wzorze Eulera-Maclaurina, zatem

[math]\displaystyle{ C = - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = C + {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) - \mathop{\text{li}}(4) }[/math]

W poprzednim przykładzie wyliczyliśmy wartość stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]

[math]\displaystyle{ C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots }[/math]

Wynika stąd natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = -0.117923474371345921663180326620119770994144590988603907635106 \ldots }[/math]

Właśnie w taki sposób została obliczona wartość całki niewłaściwej, która występuje w zadaniu E39.

Przykład E57
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ F(x) = \int e^x d x = e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} e^x = e^x }[/math]

Zatem ze wzoru Eulera-Maclaurina otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = e^n - 1 + {\small\frac{1}{2}} (e^n + 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) + {\small\frac{1}{2}} (e^n - 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ | x | \lt 2 \pi }[/math] prawdziwy jest wzór^[15]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{e^x - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k \cdot x^k}{k!}} }[/math]

to dla [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{e - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k}{k!}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ s }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} \left[ 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) \right] = 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + {\small\frac{1}{e - 1}} - {\small\frac{1}{2}} \right) = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{e - 1}} \right) = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}} }[/math]

W obliczeniu granicy całki dla [math]\displaystyle{ s }[/math] dążącego do nieskończoności pomocne będzie oszacowanie^[7]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} \lt {\small\frac{| B_{2 k} |}{(2 k) !}} \lt {\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} \left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 2 k}}} \right) \leqslant {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 k}}} }[/math]

prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math].

Teraz już łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n | P_{2 s} (t) | e^t d t \leqslant {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} \int_0^n e^t d t = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} (e^n - 1) \lt {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) }[/math]

Dla dowolnego, ale ustalonego [math]\displaystyle{ n }[/math], jest

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) = 0 }[/math]

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz twierdzenia C9 i C8) dostajemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| = \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t = 0 }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}} }[/math]

Znalezienie wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego nie jest odkrywcze, ale z pewnością było pouczające.

Uzupełnienie

Twierdzenie E58
Ogólny wzór na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą pochodną funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

Liczby naturalne [math]\displaystyle{ A^n_k }[/math] spełniają następujące równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math].

Dowód

Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{x^n \log^{k + 1} x}} \right)' = \frac{- (k + 1)}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{- n}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} }[/math]

to zakładając, że wzór

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} \right)' = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{- (k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{- n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) }[/math]

Mnożąc obie strony przez [math]\displaystyle{ (- 1)^{n + 1} }[/math] ułatwimy sobie przekształcanie prawej strony

[math]\displaystyle{ (- 1)^{n + 1} {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \! = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \! = \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} + {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} }[/math]

Zmieniając w pierwszej sumie wskaźnik sumowania na [math]\displaystyle{ j = k + 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ (- 1)^{n + 1} {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} + \sum_{j = 2}^{n} \frac{j A^n_{j - 1}}{x^{n + 1} \log^{j + 1} x} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} + {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \! = {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} + \sum_{k = 2}^{n} \left( \frac{k A^n_{k - 1} + n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) + \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} }[/math]

Oznaczając

[math]\displaystyle{ A^{n + 1}_1 = n A^n_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A_k^{n + 1} = k A^n_{k - 1} + n A^n_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n }[/math]

[math]\displaystyle{ A^{n + 1}_{n + 1} = (n + 1) A^n_n }[/math]

Otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^{n+1}}{d x^{n+1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{A^{n + 1}_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Aby uzyskać podane w twierdzeniu równania rekurencyjne, wystarczy we wprowadzonych oznaczeniach zamienić [math]\displaystyle{ n }[/math] na [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math].
□

Twierdzenie E59
Z równań rekurencyjnych

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math], wynikają następujące wzory ogólne

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) ! }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_n = n! }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ A^n_{n - 1} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n! }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n! }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_{n - 3} = {\small\frac{1}{48}} n (n - 1) (n - 3) \cdot n! }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_{n - 4} = {\small\frac{1}{5760}} (n - 4) (15 n^3 - 30 n^2 + 5 n + 2) \cdot n! }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Dowód

Rozwiązania pierwszego i trzeciego równania rekurencyjnego łatwo sprawdzamy. Drugie równanie jest znacznie trudniejsze. Rozważmy je dla [math]\displaystyle{ k = n - 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ A^{n - 1}_{n - 1} = (n - 1) ! }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) (n - 1) ! }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ A_1^2 = U^2_1 = 1 }[/math]. Podstawiając, mamy

[math]\displaystyle{ (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} = (n - 1) \cdot (n - 2) ! \cdot U^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) (n - 1) ! }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} = U^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} - U^{n - 1}_{n - 2} = n - 1 }[/math]

Łatwo znajdujemy ogólną postać [math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} = U^2_1 + \sum_{k = 3}^{n} (U^k_{k - 1} - U^{k - 1}_{k - 2}) = 1 + \sum_{k = 3}^{n} (k - 1) = 1 + {\small\frac{1}{2}} (n - 2) (n + 1) = {\small\frac{1}{2}} n (n - 1) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} = (n - 1) ! \cdot {\small\frac{1}{2}} n (n - 1) = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n! }[/math]

Zbadajmy drugie równanie rekurencyjne dla [math]\displaystyle{ k = n - 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) A^{n - 1}_{n - 3} + (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ A^{n - 1}_{n - 2} = {\small\frac{1}{2}} (n - 2) \cdot (n - 1)! }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) A^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1) (n - 2) \cdot (n - 1) ! }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ A_1^3 = U^3_1 = 2 }[/math]. Podstawiając, mamy

[math]\displaystyle{ (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} = (n - 2) \cdot (n - 3) ! \cdot U^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1) (n - 2) \cdot (n - 1) ! }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} = U^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1)^2 (n - 2) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} - U^{n - 1}_{n - 3} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1)^2 (n - 2) }[/math]

Łatwo znajdujemy ogólną postać [math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} = U^3_1 + \sum_{k = 4}^{n} (U^k_{k - 2} - U^{k - 1}_{k - 3}) = 2 + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 4}^{n} (k - 1)^2 (k - 2) = {\small\frac{1}{24}} n (n - 1) (n - 2) (3 n - 1) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n! }[/math]

Podobnie znajdujemy rozwiązania [math]\displaystyle{ k = n - 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = n - 4 }[/math]. Przypadek [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] jest podobny do poprzednich, ale w tym przypadku wyliczona suma nie może być przedstawiona w zwartej formie. Dlatego omówimy go dodatkowo.

[math]\displaystyle{ A_2^n = 2 A^{n - 1}_1 + (n - 1) A^{n - 1}_2 }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ A^{n - 1}_1 = (n - 2) ! }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ A_2^n = 2 (n - 2) ! + (n - 1) A^{n - 1}_2 }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ A_2^n = (n - 1) ! \cdot U^n_2 }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ A_2^2 = U^2_2 = 2 }[/math]. Podstawiając, mamy

[math]\displaystyle{ (n - 1) ! \cdot U^n_2 = (n - 1) \cdot (n - 2) ! \cdot U^{n - 1}_2 + 2 (n - 2)! }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ U^n_2 = U^{n - 1}_2 + {\small\frac{2}{n - 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ U^n_2 - U^{n - 1}_2 = {\small\frac{2}{n - 1}} }[/math]

Łatwo znajdujemy ogólną postać [math]\displaystyle{ U^n_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ U^n_2 = U^2_2 + \sum_{k = 3}^{n} (U^k_2 - U^{k - 1}_2) = 2 + 2 \sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} = 2 \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A_2^n = (n - 1) ! \cdot U^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

□

Uwaga E60
Z twierdzeń E58 i E59 wynika, że ogólną postać [math]\displaystyle{ n }[/math]-tej pochodnej funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] możemy łatwo wypisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

ale nie istnieje wzór ogólny, który pozwoliłby łatwo wyliczać wartości współczynników [math]\displaystyle{ A_k^n }[/math]. W tej sytuacji jedynym wyjściem jest wykorzystanie równania rekurencyjnego

[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]

oraz wzorów

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) ! }[/math]

[math]\displaystyle{ A^n_n = n! }[/math]

Programy odwołujące się do wzorów rekurencyjnych są zazwyczaj niezwykle proste, ale należy ich unikać, bo działają wolno i zużywają duże ilości pamięci. Niżej podajemy przykłady prostych funkcji rekurencyjnych wyliczających silnię i liczby Fibonacciego napisanych w PARI/GP

silnia(n) = if( n==0, 1, n*silnia(n-1) )

Fibonacci(n) = if( n<=1, n, Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2) )

W naszym przypadku rekurencji ominąć nie można, ale rozwiązaniem problemu jest równie prosta funkcja

A(n,k) = if( k==1 || k==n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )

Dysponując funkcją wyliczającą wartości współczynników, możemy łatwo zapisać wzór na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą pochodną funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]

DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k=1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))

Powyższy wzór jest bardzo przydatny przy wyliczaniu wartości [math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] dla większych wartości [math]\displaystyle{ n }[/math]. Jednak [math]\displaystyle{ n }[/math] nie może być zbyt duże – ceną, jaką musimy zapłacić za użycie funkcji rekurencyjnych, jest wydłużenie czasu obliczeń. Przykładowo obliczenie

DLog(26, 10^8) = 7.1305293508389973644228947613613744962 10^(-186)

trwało ponad pół minuty. Zobacz też WolframAlpha

Przypisy

↑ Wikipedia, Bernoulli polynomials, (Wiki-en)
↑ WolframAlpha, Bernoulli Polynomial, (WolframAlpha)
↑ Wolfram MathWorld, Bernoulli Polynomial, (Wolfram)
↑ NIST Digital Library of Mathematical Functions, Bernoulli and Euler Polynomials, (LINK)
↑ D. H. Lehmer, On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials, The American Mathematical Monthly, Vol. 47, No. 8 (Oct., 1940), pp. 533-538
↑ Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona. (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 10th printing, Washington, 1972, (LINK)
↑ Wikipedia, Abramowitz and Stegun, (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Euler–Maclaurin formula, (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Wzór Stirlinga, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Logarytm całkowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wolfram MathWorld, Logarithmic Integral, (Wolfram)
↑ Wikipedia, Funkcja całkowo-wykładnicza, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wolfram MathWorld, Exponential Integral, (Wolfram)
↑ Wikipedia, Liczby Bernoulliego, (Wiki-pl)

Historia pliku

Kliknij na datę/czas, aby zobaczyć, jak plik wyglądał w tym czasie.

	Data i czas	Miniatura	Wymiary	Użytkownik	Opis
aktualny	20:25, 19 wrz 2022		1137 × 500 (159 KB)	HenrykDabrowski (dyskusja \| edycje)

Nie możesz nadpisać tego pliku.

Lokalne wykorzystanie pliku

Poniższa strona korzysta z tego pliku:

Dynamika rozprzestrzeniania się koronawirusa SARS-CoV-2 w Polsce

Metadane

Niniejszy plik zawiera dodatkowe informacje, prawdopodobnie dodane przez aparat cyfrowy lub skaner użyte do wygenerowania tego pliku.

Jeśli plik był modyfikowany, dane mogą być częściowo niezgodne z parametrami zmodyfikowanego pliku.

Rozdzielczość w poziomie	37,8 punktów na centymetr
Rozdzielczość w pionie	37,8 punktów na centymetr

[BernoulliPoly1-1] Wikipedia, Bernoulli polynomials, (Wiki-en)

[BernoulliPoly2-2] WolframAlpha, Bernoulli Polynomial, (WolframAlpha)

[BernoulliPoly3-3] Wolfram MathWorld, Bernoulli Polynomial, (Wolfram)

[BernoulliPoly4-4] NIST Digital Library of Mathematical Functions, Bernoulli and Euler Polynomials, (LINK)

[Lehmer1-5] D. H. Lehmer, On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials, The American Mathematical Monthly, Vol. 47, No. 8 (Oct., 1940), pp. 533-538

[Weierstrass1-6] Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona. (Wiki-pl), (Wiki-en)

[Abramowitz1-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 10th printing, Washington, 1972, (LINK)

[Abramowitz2-8] Wikipedia, Abramowitz and Stegun, (Wiki-en)

[EulerMaclaurin1-9] Wikipedia, Euler–Maclaurin formula, (Wiki-en)

[WzorStirlinga1-10] Wikipedia, Wzór Stirlinga, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[LogIntegral1-11] Wikipedia, Logarytm całkowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[LogIntegral2-12] Wolfram MathWorld, Logarithmic Integral, (Wolfram)

[ExpIntegral1-13] Wikipedia, Funkcja całkowo-wykładnicza, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[ExpIntegral2-14] Wolfram MathWorld, Exponential Integral, (Wolfram)

[Bernoulli1-15] Wikipedia, Liczby Bernoulliego, (Wiki-pl)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Różnica pomiędzy stronami "Plik:Liczba wykrytych zakazen zestawienie.png" i "Wzór Eulera-Maclaurina"

Wersja z 13:14, 24 wrz 2022

Spis treści

Wielomiany, liczby i funkcje okresowe Bernoulliego

Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina

Całki niewłaściwe – zbieżność i kryteria zbieżności

Przykłady

Metody wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina

Uzupełnienie

Przypisy

Historia pliku

Lokalne wykorzystanie pliku

Metadane

Menu nawigacyjne

Szukaj

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
+<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">29.05.2022</div>
+__FORCETOC__
+== Wielomiany, liczby i&nbsp;funkcje okresowe Bernoulliego ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja E1</span><br/>
+Wielomiany <math>B_n(x)</math> spełniające warunki
+::{| border="0"
+|-style=height:3em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>B_0(x) = 1</math>
+|-style=height:3em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>{\small\frac{d}{d x}}B_n(x) = n B_{n - 1}(x)</math>
+|-style=height:3em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\int_0^1 B_n(t) d t = 0 \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 1</math>
+|}
+będziemy nazywali wielomianami Bernoulliego<ref name="BernoulliPoly1"/><ref name="BernoulliPoly2"/><ref name="BernoulliPoly3"/><ref name="BernoulliPoly4"/>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E2*</span><br/>
+Wielomiany Bernoulliego <math>B_n(x)</math> określone są następującym wzorem ogólnym
+::<math>B_n(x) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j \binom{k}{j} (x + j)^n</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E3</span><br/>
+W tabeli wypisaliśmy początkowe wielomiany Bernoulliego.
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|- style=height:3em
+! <math>\quad \;\: n \quad</math> || <math>B_n(x)</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 0 \quad</math> || <math>1</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 1 \quad</math> || <math>x - {\small\frac{1}{2}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 2 \quad</math> || <math>x^2 - x + {\small\frac{1}{6}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 3 \quad</math> || <math>x^3 - {\small\frac{3}{2}} x^2 + {\small\frac{1}{2}} x</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 4 \quad</math> || <math>x^4 - 2 x^3 + x^2 - \small\frac{1}{30}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 5 \quad</math> || <math>x^5 - {\small\frac{5}{2}} x^4 + \small\frac{5}{3} x^3 - \small\frac{1}{6} x</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 6 \quad</math> || <math>x^6 - 3 x^5 + \small\frac{5}{2} x^4 - \small\frac{1}{2} x^2 + \small\frac{1}{42}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 7 \quad</math> || <math>x^7 - {\small\frac{7}{2}} x^6 + {\small\frac{7}{2}} x^5 - {\small\frac{7}{6}} x^3 + {\small\frac{1}{6}} x</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 8 \quad</math> || <math>x^8 - 4 x^7 + \small\frac{14}{3} x^6 - \small\frac{7}{3} x^4 + \small\frac{2}{3} x^2 - \small\frac{1}{30}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 9 \quad</math> || <math>x^9 - \small\frac{9}{2} x^8 + 6 x^7 - \small\frac{21}{5} x^5 + 2 x^3 - \small\frac{3}{10} x</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 10 \quad</math> || <math>x^{10} - 5 x^9 + \small\frac{15}{2} x^8 - 7 x^6 + 5 x^4 - \small\frac{3}{2} x^2 + \small\frac{5}{66}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 11 \quad</math> || <math>x^{11} - \small\frac{11}{2} x^{10} + \small\frac{55}{6} x^9 - 11 x^7 + 11 x^5 - \small\frac{11}{2} x^3 + \small\frac{5}{6} x</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 12 \quad</math> || <math>x^{12} - 6 x^{11} + 11 x^{10} - {\small\frac{33}{2}} x^8 + 22 x^6 - {\small\frac{33}{2}} x^4 + 5 x^2 - {\small\frac{691}{2730}}</math>
+|}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E4</span><br/>
+Przedstawiamy wykresy wielomianów Bernoulliego <math>B_n(x)</math> dla <math>x \in [0, 1]</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
+::[[File: E_B123.png|none]]
+::[[File: E_B345.png|none]]
+::[[File: E_B567.png|none]]
+::[[File: E_B789.png|none]]
+<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja E5</span><br/>
+Liczbami Bernoulliego <math>B_n</math> będziemy nazywali wartości wielomianów Bernoulliego <math>B_n(x)</math> dla <math>x = 0</math>, czyli <math>B_n = B_n (0)</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E6</span><br/>
+Ze wzoru podanego w&nbsp;twierdzeniu E2 wynika natychmiast wzór ogólny dla liczb Bernoulliego.
+::<math>B_n = B_n (0) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j \binom{k}{j} j^n</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E7</span><br/>
+Niech <math>B_n (x)</math> i <math>B_n</math> oznaczają odpowiednio wielomiany i&nbsp;liczby Bernoulliego. Prawdziwe są następujące wzory
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>B_n (1) = B_n (0)</math> || <math>n \geqslant 2</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x)</math> || <math>n \geqslant 0</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 3. \quad</math> || <math>B_{2 k + 1} (1) = B_{2 k + 1} (0) = B_{2 k + 1} \left( \tfrac{1}{2} \right) = 0</math> || <math>k \geqslant 1</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 4. \quad</math> || <math>B_n \left( a x \right) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( x + \small\frac{k}{a} \right)</math> || <math>n \geqslant 0 \quad \text{i} \quad a \in \mathbb{Z}_+</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 5. \quad</math> || <math>\sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( \small\frac{k}{a} \right) = (a^{1 - n} - 1) B_n</math> || <math>n \geqslant 0 \quad \text{i} \quad a \in \mathbb{Z}_+</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 6. \quad</math> || <math>B_n \left( \tfrac{1}{2} \right) = (2^{1 - n} - 1) B_n</math> || <math>n \geqslant 0</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 7. \quad</math> || <math>B_{2 k} \left( \tfrac{1}{3} \right) = \tfrac{1}{2} (3^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k}</math> || <math>k \geqslant 0</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 8. \quad</math> || <math>B_{2 k} \left( \tfrac{1}{4} \right) = 2^{- 2 k} (2^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k}</math> || <math>k \geqslant 0</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 9. \quad</math> || <math>B_{2 k} \left( \tfrac{1}{6} \right) = \tfrac{1}{2} (2^{1 - 2 k} - 1) (3^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k}</math> || <math>k \geqslant 0</math>
+|}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''
+Dla <math>n \geqslant 2</math> mamy
+::<math>B_n (1) - B_n (0) = \int_0^1 B'_n (t) d t = n \int_0^1 B_{n - 1} (t) d t = 0</math>
+'''Punkt 2.'''
+Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że jest prawdziwy dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n</math>. Z&nbsp;założenia mamy
+::<math>B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x)</math>
+::<math>- {\small\frac{d}{d x}} B_{n + 1} (1 - x) = (- 1)^n {\small\frac{d}{d x}} B_{n + 1} (x)</math>
+Całkując, otrzymujemy
+::<math>B_{n + 1} (1 - x) = (- 1)^{n + 1} B_{n + 1} (x) + C</math>
+Wystarczy pokazać, że stała <math>C</math> jest równa zero, istotnie
+::<math>\int_0^1 B_{n + 1} (1 - t) d t = (- 1)^{n + 1} \int_0^1 B_{n + 1} (t) d t + C \int_0^1 d t</math>
+::<math>- \int_1^0 B_{n + 1}(u) d u = C</math>
+'''Punkt 3.'''
+Kładąc we wzorze 2. <math>x = 0</math> oraz <math>n = 2 k + 1</math>, gdzie <math>k \geqslant 1</math>, otrzymujemy
+::<math>B_{2 k + 1} (1) = - B_{2 k + 1} (0)</math>
+ale ze wzoru 1. mamy <math>B_{2 k + 1} (1) = B_{2 k + 1} (0)</math>, dodając równania stronami, dostajemy <math>B_{2 k + 1} (1) = 0</math>.
+Kładąc we wzorze 2. <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math> oraz <math>n = 2 k + 1</math>, gdzie <math>k \geqslant 1</math>, mamy
+::<math>B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+czyli <math>B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = 0</math>.
+'''Punkt 4.'''
+Indukcja matematyczna. Dla ułatwienia rachunków połóżmy <math>x = {\small\frac{y}{a}}</math>, zatem będziemy dowodzili, że
+::<math>B_n (y) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right)</math>
+Bez trudu możemy sprawdzić prawdziwość wzoru dla <math>n = 1</math>.
+::<math>\sum_{k = 0}^{a - 1} B_1 \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) = \sum_{k = 0}^{a - 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} - {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+::::::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{y}{a}} \cdot a - {\small\frac{1}{2}} \cdot a + \sum_{k = 0}^{a - 1} {\small\frac{k}{a}}</math>
+::::::<math>\;\;\;\: = y - {\small\frac{a}{2}} + {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{a (a - 1)}{2}}</math>
+::::::<math>\;\;\;\: = y - {\small\frac{1}{2}}</math>
+::::::<math>\;\;\;\: = B_1 (y)</math>
+Załóżmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od <math>n</math>. Korzystając z&nbsp;definicji wielomianów Bernoulliego, możemy napisać
+::<math>{\small\frac{1}{n + 1}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 1} (y) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} {\small\frac{a}{n + 1}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right)</math>
+Całkując, otrzymujemy
+::<math>B_{n + 1} (y) = a^n \sum_{k = 0}^{a - 1} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) + C</math>
+Wystarczy pokazać, że stała <math>C</math> jest równa zero. Mamy
+::<math>\int_0^1 \sum_{k = 0}^{a - 1} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) d y = \sum_{k = 0}^{a - 1} \int_0^1 \left[ {\small\frac{a}{n + 2}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 2} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) \right] d y</math>
+:::::::::<math>\:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{a - 1} \left[ B_{n + 2} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) \biggr\rvert_{0}^{1} \right]</math>
+:::::::::<math>\:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{a - 1} \left[ B_{n + 2} \left( {\small\frac{k + 1}{a}} \right) - B_{n + 2} \left( {\small\frac{k}{a}} \right) \right]</math>
+:::::::::<math>\:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} [B_{n + 2} (1) - B_{n + 2} (0)]</math>
+:::::::::<math>\:\, = 0</math>
+dla <math>n \geqslant 0</math>. Przekształcając skorzystaliśmy z&nbsp;faktu, że suma jest teleskopowa. Ponieważ <math>\int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0</math>, to <math>\int_0^1 C d t = C = 0</math>.
+'''Punkt 5.'''
+Połóżmy <math>x = 0</math> we wzorze udowodnionym w&nbsp;punkcie 4. Mamy
+::<math>B_n (0) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) = a^{n - 1} \sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) + a^{n - 1} B_n (0)</math>
+Skąd natychmiast otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) = \left( {\small\frac{1}{a^{n - 1}}} - 1 \right) B_n</math>
+'''Punkt 6.'''
+Kładąc <math>a = 2</math> we wzorze 5, otrzymujemy
+::<math>B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{2^{n - 1}}} - 1 \right) B_n</math>
+Co należało udowodnić.
+'''Punkt 7.'''
+Wzór podany w&nbsp;punkcie 5. dla <math>n = 2 m</math> i <math>a = 3</math> przyjmuje postać
+::<math>\sum_{k = 1}^2 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Czyli
+::<math>B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{2}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Korzystając z&nbsp;punktu 2, dostajemy
+::<math>2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+'''Punkt 8.'''
+Wzór podany w&nbsp;punkcie 5. dla <math>n = 2 m</math> i <math>a = 4</math> przyjmuje postać
+::<math>\sum_{k = 1}^3 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{4}} \right) = (4^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Czyli
+::<math>B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{3}{4}} \right) = (2^{2 - 4 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Korzystając z&nbsp;punktów 6. i 2., dostajemy
+::<math>B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) + (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} + (- 1)^{2 m} B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = (2^{2 - 4 m} - 1) B_{2 m}</math>
+::<math>2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = B_{2 m} (2^{2 - 4 m} - 2^{1 - 2 m})</math>
+Zatem
+::<math>B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = 2^{- 2 m} (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+'''Punkt 9.'''
+Wzór podany w&nbsp;punkcie 5. dla <math>n = 2 m</math> i <math>a = 6</math> przyjmuje postać
+::<math>\sum_{k = 1}^5 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{6}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Czyli
+::<math>B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{2}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{5}{6}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Korzystając z&nbsp;udowodnionych wyżej wzorów, dostajemy
+::<math>2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) + 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} - (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} = 6^{1 - 2 m} B_{2 m} - 2^{1 - 2 m} B_{2 m} = 2^{1 - 2 m} (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+::<math>2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) = 2^{1 - 2 m} (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} - (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} = (2^{1 - 2 m} - 1) (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+Zatem
+::<math>B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) = \tfrac{1}{2} (2^{1 - 2 m} - 1) (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m}</math>
+<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E8</span><br/>
+W tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego <math>B_n</math> oraz minimalne <math>m_n</math> i&nbsp;maksymalne <math>M_n</math> wartości wielomianów <math>B_n(x)</math> dla <math>x \in [0, 1]</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|- style=height:3em
+! <math>\quad n \quad</math> || <math>B_n(x)</math> || <math>B_n</math> || <math>m_n</math> || <math>M_n</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 0 \quad</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 1 \quad</math> || <math>x - {\small\frac{1}{2}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{2}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{2}}</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 2 \quad</math> || <math>x^2 - x + {\small\frac{1}{6}}</math> || <math>{\small\frac{1}{6}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{12}}</math> || <math>{\small\frac{1}{6}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 3 \quad</math> || <math>x^3 - {\small\frac{3}{2}} x^2 + {\small\frac{1}{2}} x</math> || <math>0</math> || <math>- {\small\frac{\sqrt{3}}{36}}</math> || <math>{\small\frac{\sqrt{3}}{36}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 4 \quad</math> || <math>x^4 - 2 x^3 + x^2 - {\small\frac{1}{30}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{30}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{30}}</math> || <math>{\small\frac{7}{240}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 5 \quad</math> || <math>x^5 - {\small\frac{5}{2}} x^4 + {\small\frac{5}{3}} x^3 - {\small\frac{1}{6}} x</math> || <math>0</math> || <math>- {\small\frac{1}{6}} \sqrt{{\small\frac{1}{60}} + {\small\frac{\sqrt{30}}{1125}}}</math> || <math>{\small\frac{1}{6}} \sqrt{{\small\frac{1}{60}} + {\small\frac{\sqrt{30}}{1125}}}</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad 6 \quad</math> || <math>x^6 - 3 x^5 + {\small\frac{5}{2}} x^4 - {\small\frac{1}{2}} x^2 + {\small\frac{1}{42}}</math> || <math>{\small\frac{1}{42}}</math> || <math>- {\small\frac{31}{1344}}</math> || <math>{\small\frac{1}{42}}</math>
+|}
+Zauważmy, że <math>M_3 = {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} < {\small\frac{3}{62}}</math>, <math>\quad M_5 < {\small\frac{1}{40}}</math>, <math>\quad M_7 < {\small\frac{1}{38}} \quad</math> oraz <math>\quad M_9 < {\small\frac{1}{21}}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E9</span><br/>
+Minima <math>m_n</math> i&nbsp;maksima <math>M_n</math> wielomianów Bernoulliego <math>B_n(x)</math> dla <math>x \in [0, 1]</math> są równe<ref name="Lehmer1"/>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>n</math> || <math>m_n</math> || <math>M_n</math> || <math>\text{uwagi}</math>
+|-
+| <math>2 k + 1</math> || <math>- \bigl| B_{2 k + 1} (x_{2 k}) \bigr|</math> || <math>\bigl| B_{2 k + 1} (x_{2 k}) \bigr|</math> || <math>B_{2 k} (x_{2 k}) = 0 \;\;\; \text{dla} \;\; x \in \left( 0, \tfrac{1}{2} \right)</math>
+|-
+| <math>4 k</math> || <math>B_{4 k} (0)</math> || <math>B_{4 k} \left( \tfrac{1}{2} \right)</math> || <math>\text{dla} \;\; k \geqslant 1</math>
+|-
+| <math>4 k + 2</math> || <math>B_{4 k + 2} \left( \tfrac{1}{2} \right)</math> || <math>B_{4 k + 2} (0)</math> || <math></math>
+|}
+W zamieszczonej niżej tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego <math>B_n</math> oraz minimalne i&nbsp;maksymalne wartości wielomianów <math>B_n(x)</math> dla <math>x \in [0, 1]</math> w&nbsp;zapisie dziesiętnym.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Tabela|Hide=Ukryj tabelę}}
+Pogrubiliśmy czcionkę w&nbsp;rzędzie, w&nbsp;którym wartości bezwzględne liczb <math>B_n, m_n, M_n</math> przyjmują najmniejszą wartość.
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>n</math> || <math>B_n</math> || <math>m_n</math> || <math>M_n</math>
+|-
+| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math>
+|-
+| <math>1</math> || <math>- \tfrac{1}{2}</math> || <math>- 0.5</math> || <math>0.5</math>
+|-
+| <math>2</math> || <math>\tfrac{1}{6}</math> || <math>- 0.083333333333</math> || <math>0.166666666666</math>
+|-
+| <math>3</math> || <math>0</math> || <math>- 0.048112522432</math> || <math>0.048112522432</math>
+|-
+| <math>4</math> || <math>- \tfrac{1}{30}</math> || <math>- 0.033333333333</math> || <math>0.029166666666</math>
+|-
+| <math>5</math> || <math>0</math> || <math>- 0.024458190869</math> || <math>0.024458190869</math>
+|-
+| <math>\mathbf{6}</math> || <math>\mathbf{\tfrac{1}{42}}</math> || <math>\mathbf{- 0.023065476190}</math> || <math>\mathbf{0.023809523809}</math>
+|-
+| <math>7</math> || <math>0</math> || <math>- 0.026065114257</math> || <math>0.026065114257</math>
+|-
+| <math>8</math> || <math>- \tfrac{1}{30}</math> || <math>- 0.033333333333</math> || <math>0.033072916666</math>
+|-
+| <math>9</math> || <math>0</math> || <math>- 0.047550561639</math> || <math>0.047550561639</math>
+|-
+| <math>10</math> || <math>\tfrac{5}{66}</math> || <math>- 0.075609611742</math> || <math>0.075757575757</math>
+|-
+| <math>11</math> || <math>0</math> || <math>- 0.132496658444</math> || <math>0.132496658444</math>
+|-
+| <math>12</math> || <math>\tfrac{691}{2730}</math> || <math>- 0.253113553113</math> || <math>0.252989962511</math>
+|-
+| <math>13</math> || <math>0</math> || <math>- 0.523566395739</math> || <math>0.523566395739</math>
+|-
+| <math>14</math> || <math>\tfrac{7}{6}</math> || <math>- 1.166524251302</math> || <math>1.166666666666</math>
+|-
+| <math>15</math> || <math>0</math> || <math>- 2.785040736728</math> || <math>2.785040736728</math>
+|-
+| <math>16</math> || <math>\tfrac{3617}{510}</math> || <math>- 7.092156862745</math> || <math>7.091940427293</math>
+|-
+| <math>17</math> || <math>0</math> || <math>- 19.18848758233</math> || <math>19.18848758233</math>
+|-
+| <math>18</math> || <math>\tfrac{43867}{798}</math> || <math>- 54.97075854805</math> || <math>54.97117794486</math>
+|-
+| <math>19</math> || <math>0</math> || <math>- 166.2291245655</math> || <math>166.2291245655</math>
+|-
+| <math>20</math> || <math>\tfrac{174611}{330}</math> || <math>- 529.1242424242</math> || <math>529.1232331998</math>
+|}
+<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja E10</span><br/>
+Funkcje okresowe Bernoulliego <math>P_n(x)</math> definiujemy następująco
+::<math>P_n(x) = B_n(x - \lfloor x \rfloor)</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E11</span><br/>
+Inaczej mówiąc funkcja okresowa Bernoulliego <math>P_n(x)</math> na odcinku <math>[0, 1]</math>, przyjmuje te same wartości, co wielomian Bernoulliego <math>B_n(x)</math>. Wartości te powtarzają się dla kolejnych odcinków <math>[k, k + 1]</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E12</span><br/>
+Wprost z&nbsp;definicji funkcji okresowych Bernoulliego wynika, że dla <math>k \in \mathbb{Z}</math> jest
+::<math>P_n (k) = B_n (k - \lfloor k \rfloor) = B_n (0) = B_n</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E13</span><br/>
+Własności funkcji okresowych Bernoulliego
+::{| border="0"
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || funkcja <math>P_0 (x)</math> jest ciągła i&nbsp;różniczkowalna
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || funkcja <math>P_1 (x)</math> nie jest ciągła w&nbsp;punktach <math>x \in \mathbb{Z}</math>
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || funkcja <math>P_2 (x)</math> jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w&nbsp;punktach <math>x \in \mathbb{Z}</math>
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || dla <math>n \geqslant 3</math> funkcje <math>P_n (x)</math> są ciągłe i&nbsp;różniczkowalne
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>{\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x) \qquad</math> o&nbsp;ile <math>n \neq 1, 2</math> lub <math>n = 1, 2</math> oraz <math>x \notin \mathbb{Z}</math>
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>\int^x_0 P_n (t) d t = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>
+|}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<span style="border-bottom-style: double;">Ciągłość funkcji okresowych Bernoulliego</span><br/><br/>
+Policzymy granice prawostronne i&nbsp;granice lewostronne funkcji okresowych Bernoulliego <math>P_n (x)</math> w&nbsp;punktach <math>x = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Mamy
+::<math>\lim_{x \to k^+} P_n (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} P_n (k + \varepsilon)</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k + \varepsilon - \lfloor k + \varepsilon \rfloor)</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k + \varepsilon - k)</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (\varepsilon)</math>
+:::::<math>\;\,\, = B_n (0)</math>
+::<math>\lim_{x \to k^-} P_n (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} P_n (k - \varepsilon)</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - \lfloor k - \varepsilon \rfloor)</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - (k - 1))</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - k + 1)</math>
+:::::<math>\;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (1 - \varepsilon)</math>
+:::::<math>\;\,\, = B_n (1)</math>
+Z punktu 1. twierdzenia E7 wiemy, że dla <math>n \geqslant 2</math> jest <math>B_n (0) = B_n (1)</math>. Oprócz tego dla <math>n = 0</math> i <math>n = 1</math> mamy
+::<math>B_0 (0) = B_0 (1) = 1</math>
+oraz
+::<math>B_1 (0) = - {\small\frac{1}{2}} \neq {\small\frac{1}{2}} = B_1 (1)</math>
+Wynika stąd, że wszystkie funkcje okresowe Bernoulliego <math>P_n (x)</math> są ciągłe poza funkcją <math>P_1 (x)</math>.
+<span style="border-bottom-style: double;">Różniczkowalność funkcji okresowych Bernoulliego</span><br/><br/>
+Pochodne funkcji okresowych Bernoulliego <math>P_n (x)</math> są równe
+::<math>{\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = {\small\frac{d}{d x}} B_n (x - \lfloor x \rfloor)</math>
+::::<math>\;\;\;\;\, = n B_{n - 1} (x - \lfloor x \rfloor) \cdot \left( 1 - {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor \right)</math>
+::::<math>\;\;\;\;\, = n P_{n - 1} (x) \cdot \left( 1 - {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor \right)</math>
+Zauważmy, że pochodna <math>{\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor = 0</math> dla <math>x \notin \mathbb{Z}</math>, ale funkcja <math>\lfloor x \rfloor</math> nie jest różniczkowalna w&nbsp;punktach <math>x \in \mathbb{Z}</math>. Wiemy, że pochodna funkcji w&nbsp;punkcie istnieje wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne w&nbsp;tym punkcie istnieją i&nbsp;są równe. Zatem musimy zbadać, czy pochodne prawostronne i&nbsp;lewostronne funkcji okresowych Bernoulliego <math>P_n (x)</math> są równe w&nbsp;punktach <math>x = k</math>. Ponieważ dla <math>x \notin \mathbb{Z}</math> mamy
+::<math>{\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x)</math>
+a jednocześnie dla <math>n \geqslant 3</math> funkcje <math>P_{n - 1} (x)</math> są ciągłe, to
+::<math>\lim_{x \to k^+} n P_{n - 1} (x) = \lim_{x \to k^-} n P_{n - 1} (x)</math>
+Czyli
+::<math>\lim_{x \to k^+} {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = \lim_{x \to k^-} {\small\frac{d}{d x}} P_n (x)</math>
+Wynika stąd, że dla <math>n \geqslant 3</math> pochodne prawostronne i&nbsp;lewostronne funkcji <math>P_n (x)</math> są równe w&nbsp;punktach <math>x = k</math>. Zatem funkcje <math>P_n (x)</math> są różniczkowalne w&nbsp;tych punktach.
+Dla <math>n = 0</math> jest <math>P_0 (x) = B_0 (x - \lfloor x \rfloor) = 1</math>, zatem <math>P_0 (x)</math> jest ciągła i&nbsp;różniczkowalna.
+Dla <math>n = 1</math> wiemy już, że funkcja <math>P_1 (x)</math> nie jest ciągła w&nbsp;punktach <math>x \in \mathbb{Z}</math>, zatem nie jest w&nbsp;nich różniczkowalna.
+Dla <math>n = 2</math> mamy
+::<math>\lim_{x \to k^+} 2 P_1 (x) = 2 B_1 (0) = - 1 \neq 1 = 2 B_1 (1) = \lim_{x \to k^-} 2 P_1 (x)</math>
+Skąd wynika natychmiast, że
+::<math>\lim_{x \to k^+} {\small\frac{d}{d x}} P_2 (x) \neq \lim_{x \to k^-} {\small\frac{d}{d x}} P_2 (x)</math>
+Zatem funkcja <math>P_2 (x)</math> nie jest różniczkowalna w&nbsp;punktach <math>x \in \mathbb{Z}</math>.
+Przeprowadzane wyżej rozważania dotyczące ciągłości i&nbsp;różniczkowalności funkcji okresowych Bernoulliego <math>P_n (x)</math> stanowią dowody pierwszych pięciu punktów twierdzenia.
+'''Punkt 6.'''
+Ponieważ funkcja <math>P_n (t)</math> jest funkcją okresową o&nbsp;okresie równym <math>1</math>, to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku <math>[0, 1]</math> i&nbsp;całce na odcinku <math>[0, x - \lfloor x \rfloor]</math>.
+::<math>\int^x_0 P_n (t) d t = \int_{0}^{\lfloor x \rfloor} P_n (t) d t + \int^x_{\lfloor x \rfloor} P_n (t) d t</math>
+:::::<math>\;\;\; = \lfloor x \rfloor \int^1_0 P_n (t) d t + \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} P_n (t) d t</math>
+:::::<math>\;\;\; = \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} B_n (t - \lfloor t \rfloor) d t</math>
+:::::<math>\;\;\; = \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} B_n (t) d t</math>
+:::::<math>\;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} \left [ {\small\frac{d}{d t}} B_{n + 1} (t) \right ] d t</math>
+:::::<math>\;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot B_{n + 1} (t) \biggr\rvert_{0}^{x - \lfloor x \rfloor}</math>
+:::::<math>\;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} [B_{n + 1} (x - \lfloor x \rfloor) - B_{n + 1} (0)]</math>
+:::::<math>\;\;\; = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>
+<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E14</span><br/>
+Przedstawiamy przykładowe wykresy funkcji okresowych Bernoulliego <math>P_n (x)</math>. Stanowią one bardzo dobrą ilustrację do twierdzenia E13.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
+::[[File: E_P1.png|none]]
+::[[File: E_P2.png|none]]
+::[[File: E_P3.png|none]]
+::[[File: E_P4.png|none]]
+::[[File: E_P5.png|none]]
+::[[File: E_P6.png|none]]
+::[[File: E_P7.png|none]]
+::[[File: E_P8.png|none]]
+<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+== Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E15</span><br/>
+Często w twierdzeniu musimy założyć, że rozważana funkcja <math>f(x)</math> jest określona w pewnym zbiorze liczb rzeczywistych i jest funkcją ciągłą oraz wszystkie jej pochodne od <math>f' (x)</math> do <math>f^{(n)} (x)</math> istnieją i są ciągłe w tym zbiorze. Przekazanie tego prostego założenia wymaga użycia wielu słów, a samo twierdzenie staje się mało czytelne. Ze względów czysto praktycznych wprowadzamy pojęcie klasy funkcji.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja E16</span><br/>
+Funkcję <math>f(x)</math> określoną i ciągłą w zbiorze <math>A \subset \mathbb{R}</math> i mającą kolejno <math>n</math> ciągłych pochodnych w tym zbiorze będziemy nazywali funkcją klasy <math>C^n</math>. Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w <math>A</math>, to powiemy, że jest klasy <math>C^0</math>. Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^n</math> dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>, to powiemy, że funkcja <math>f(x)</math> jest klasy <math>C^{\infty}</math>. W
+przypadku, gdy chcemy jednocześnie zaznaczyć dziedzinę funkcji, to stosujemy zapis <math>C^0 (A)</math>, <math>C^n (A)</math> i <math>C^{\infty} (A)</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E17</span><br/>
+Tylko dla potrzeb tego przykładu funkcję <math>f(x)</math> określoną następująco
+::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
+  g (x) &  & x < 0\\
+  h (x) &  & x \geqslant 0
+\end{array} \right.</math>
+będziemy zapisywali jako <math>f(x) = \left \{ g (x) \big\rvert h (x) \right \}</math>.
+Przykłady funkcji klasy <math>C^0 (\mathbb{R})</math>
+::<math>\left \{ - x \big\rvert x \right \} \;\; \text{czyli} \;\; | x | , \quad \left \{ 0 \big\rvert x \right \} , \quad \left \{ 1 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 + x \big\rvert \cos (x) \right \}</math>
+Przykłady funkcji klasy <math>C^1 (\mathbb{R})</math>
+::<math>\left \{ 0 \big\rvert x^2 \right \} , \quad \left \{ 1 + x \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 \big\rvert \cos (x) \right \}</math>
+Przykłady funkcji klasy <math>C^2 (\mathbb{R})</math>
+::<math>x^2 \sqrt{x^2} , \quad \left \{ 0 \big\rvert x^3 \right \} , \quad \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ x \big\rvert \sin (x) \right \}</math>
+Przykłady funkcji klasy <math>C^3 (\mathbb{R})</math>
+::<math>\left \{ 0 \big\rvert x^4 \right \} , \quad \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{6} x^3 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 - \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert \cos (x) \right \}</math>
+Przykłady funkcji klasy <math>C^n (\mathbb{R})</math>
+::<math>P_{n + 2} (x) , \quad x^n \sqrt{x^2} , \quad \left \{ 0 \big\rvert x^{n + 1} \right \} , \quad \left\{ \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^k}{k!} \biggr\rvert e^x \right\}</math>
+Przykłady funkcji klasy <math>C^{\infty} (\mathbb{R})</math>
+::<math>x^k \;\; \text{dla} \;\; k \in \mathbb{N}_0 , \quad e^x , \quad \sin (x) , \quad \cos (x)</math>
+Przykłady funkcji klasy <math>C^{\infty} (\mathbb{R}_+)</math>
+::<math>\frac{1}{x}</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\sqrt{x}</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\log x</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E18</span><br/>
+Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją rzeczywistą klasy <math>C^1 ( [k, k + 1] )</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli zastąpimy na jednostkowym odcinku pole prostokąta całką, to błąd jaki popełnimy jest równy
+::<math>f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Całkując przez części, dostajemy
+::<math>\int_k^{k + 1} f(t) d t = f(t) \cdot t \biggr\rvert_{k}^{k+1} - \int_k^{k + 1} f'(t) \cdot t d t</math>
+:::::<math>\quad \, = (k + 1) \cdot f(k + 1) - k \cdot f(k) - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t</math>
+:::::<math>\quad \, = k \cdot f(k + 1) + f(k + 1) - k \cdot f(k) - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t</math>
+:::::<math>\quad \, = f(k + 1) + \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t</math>
+Zatem poszukiwaną różnicę możemy zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = f(k) - f(k + 1) - \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t + \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t</math>
+::::::::<math>= - \int_k^{k + 1} f'(t) d t - \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t + \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t</math>
+::::::::<math>= \int_k^{k + 1} (t - k - 1) f'(t) d t</math>
+::::::::<math>= \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie E19</span><br/>
+Pokazać, że dla <math>x > 0</math> całka <math>\int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t</math> jest równa
+::<math>\int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Ponieważ funkcja <math>(x - \lfloor x \rfloor)^n</math> jest funkcją okresową o&nbsp;okresie równym <math>1</math>, to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku <math>[0, 1]</math> i&nbsp;całce na odcinku <math>[0, x - \lfloor x \rfloor]</math>.
+::<math>\int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = \int_{0}^{\lfloor x \rfloor} (t - \lfloor t \rfloor)^n d t + \int^x_{\lfloor x \rfloor} (t - \lfloor t \rfloor)^n d t</math>
+::::::<math>\;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot \int^1_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t + \int^{x - \lfloor x \rfloor}_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t</math>
+::::::<math>\;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot \int^1_0 t^n d t + \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} t^n d t</math>
+::::::<math>\;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{t^{n + 1}}{n + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} + {\small\frac{t^{n + 1}}{n + 1}} \biggr\rvert_{0}^{x - \lfloor x \rfloor}</math>
+::::::<math>\;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{(x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}}</math>
+::::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E20</span><br/>
+Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją rzeczywistą klasy <math>C^1 ( [a, b] )</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>. Możemy zastąpić sumowanie całkowaniem, stosując wzór
+::<math>\sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t</math>
+Powyższy wzór można zapisać w&nbsp;postaci
+::{| class="wikitable"
+|
+<math>\sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b P_1(t) f'(t) d t</math>
+|}
+gdzie <math>P_1(t)</math> jest funkcją okresową Bernoulliego.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Sumując uzyskany w&nbsp;twierdzeniu E18 związek od <math>k = a</math> do <math>k = b - 1</math>, dostajemy
+::<math>\sum_{k = a}^{b - 1} f(k) - \int^b_a f(t) d t = \int_a^b (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t</math>
+Dodając do obydwu stron <math>f(b)</math> i&nbsp;przekształcając prawą stronę, mamy
+::<math>\sum_{k = a}^{b} f(k) = f(b) + \int^b_a f(t) d t + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t - {\small\frac{1}{2}} f(b) + {\small\frac{1}{2}} f(a)</math>
+::::<math>\;\;\:\, = \int^b_a f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E21</span><br/>
+Czytelnik zapewne już domyśla się, w&nbsp;jakim kierunku zmierzamy. Całkując przez części i&nbsp;korzystając z&nbsp;własności funkcji okresowych Bernoulliego, przekształcimy całkę <math>\int_a^b P_1 (t) f' (t) d t</math> do postaci <math>\int_a^b P_2 (t) f'' (t) d t</math>, a&nbsp;następnie do postaci <math>\int_a^b P_3 (t) f^{(3)} (t) d t</math> itd.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E22</span><br/>
+Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, a&nbsp;funkcje <math>P_n(t)</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista <math>g(t)</math> jest klasy <math>C^1 ( [a, b] )</math>, to
+::<math>\int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Rozważmy całkę <math>\int_a^b P_n(t) g(t) d t</math> na odcinku <math>[k, k + 1] \subset [a, b]</math>. Całkując przez części, dostajemy
+::<math>\int_k^{k + 1} P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(t) g(t) \biggr\rvert_{k}^{k + 1} - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t</math>
+:::::::<math>\;\: = {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(k + 1) g(k + 1) - {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(k) g(k) - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t</math>
+:::::::<math>\;\: = {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} \cdot g (k + 1) - {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} \cdot g (k) - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t</math>
+:::::::<math>\;\: = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \cdot [g (k + 1) - g (k)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t</math>
+Przekształcając, skorzystaliśmy z&nbsp;faktu, że dla <math>n \geqslant 1</math> jest
+::<math>P_{n + 1} (k + 1) = P_{n + 1} (k) = B_{n + 1}</math>
+Sumując po <math>k</math> od <math>k = a</math> do <math>k = b - 1</math>, natychmiast otrzymujemy
+::<math>\int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t</math>
+Co należało udowodnić.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E23</span><br/>
+Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, a funkcje <math>P_n (t)</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista <math>g(t)</math> jest klasy <math>C^k ( [a, b] )</math>, to
+::<math>\int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Indukcja matematyczna. Dla <math>k = 1</math> dostajemy
+::<math>\int_a^b P_n (t) g (t) d t = \frac{B_{n + 1}}{n + 1} [g (b) - g (a)] - \frac{1}{n + 1} \int_a^b P_{n + 1} (t) g^{(1)} (t) d t</math>
+Czyli wzór udowodniony w twierdzeniu E22. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k = 1</math>. Zauważmy, że z tego samego twierdzenia natychmiast wynika, że
+::<math>\int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t = \frac{B_{n + k + 1}}{n + k + 1} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] - \frac{1}{n + k + 1} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t</math>
+Korzystając z powyższego wyniku, przy założeniu, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, otrzymujemy
+::<math>\int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t</math>
+::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \left[ \frac{B_{n + k + 1}}{n + k + 1} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] - \frac{1}{n + k + 1} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t \right]</math>
+::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 2} n! \cdot B_{n + k + 1}}{(n + k + 1) !} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 1} n!}{(n + k + 1) !} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t</math>
+::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{j = 1}^{k + 1} \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 1} n!}{(n + k + 1) !} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t</math>
+Tym samym pokazaliśmy prawdziwość dowodzonego wzoru dla <math>k + 1</math>. Na mocy zasady indukcji matematycznej dowodzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E24 (wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina, <math>\sim</math>1735)</span><br/>
+Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, a funkcje <math>P_r (t)</math>, gdzie <math>r \geqslant 1</math>, będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista <math>f(t)</math> jest klasy <math>C^r ( [a, b] )</math>, to
+::{| class="wikitable"
+|
+<math>\sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+|}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Lewą stronę wzoru udowodnionego w twierdzeniu E23
+::<math>\int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t</math>
+chcemy przekształcić do postaci, która występuje po prawej stronie wzoru z twierdzenia E20. Jeżeli położymy <math>n = 1</math> oraz <math>g(t) = f' (t) = f^{(1)} (t)</math>, to dostaniemy
+::<math>\int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} \cdot B_{j + 1}}{(j + 1) !} [f^{(j)} (b) - f^{(j)} (a)] + \frac{(- 1)^k}{(k + 1) !} \int_a^b P_{k + 1} (t) f^{(k + 1)} (t) d t</math>
+Niech <math>k = r - 1</math>
+::<math>\int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{j = 1}^{r - 1} \frac{(- 1)^{j + 1} \cdot B_{j + 1}}{(j + 1) !} [f^{(j)} (b) - f^{(j)} (a)] + \frac{(- 1)^{r - 1}}{r!} \int_a^b P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math>
+Ponieważ litera <math>k</math> już nie występuje we wzorze, to wykorzystamy ją jako nowy wskaźnik sumowania. Od sumowania po <math>j</math> przejdźmy do sumowania po <math>k = j + 1</math>, czyli <math>k</math> zmienia się teraz od <math>2</math> do <math>r</math>
+::<math>\int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{k = 2}^r \frac{(- 1)^k \cdot B_k}{k!} [f^{(k - 1)} (b) - f^{(k - 1)} (a)] - \frac{(- 1)^r}{r!} \int_a^b P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math>
+Podstawiając powyższy wzór do twierdzenia E20, otrzymujemy, że jeżeli funkcja <math>f(t)</math> jest klasy <math>C^r ( [a, b] )</math>, gdzie <math>r \geqslant 1</math>, to
+::<math>\sum_{k = a}^{b} f (k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{(- 1)^k B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+Zauważmy, że <math>(- 1)^k B_k = B_k</math>, bo dla nieparzystych liczb <math>k \geqslant 2</math> mamy <math>(- 1)^k B_k = 0 = B_k</math>, a&nbsp;dla parzystych liczb <math>k \geqslant 2</math> jest <math>(- 1)^k B_k = B_k</math>. Czynnik <math>(- 1)^k</math> został dodany tylko dla potrzeb dowodu indukcyjnego twierdzenia E23. Zatem otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E25</span><br/>
+Uwzględniając, że dla nieparzystych liczb <math>k \geqslant 2</math> jest <math>B_k = 0</math>, możemy dla parzystego <math>r = 2 s</math> napisać
+::{| class="wikitable"
+|
+<math>\sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t</math>
+|}
+W przypadku, gdy <math>r = 2 s + 1</math> mamy <math>B_{2 s + 1} = 0</math>, zatem nie pojawi się nowy składnik sumy, ale ostatni wyraz ulegnie zmianie
+::{| class="wikitable"
+|
+<math>\sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] + {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1}(t) f^{(2 s + 1)}(t) d t</math>
+|}
+Oczywiście
+::<math>- {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t = {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1} (t) f^{(2 s + 1)} (t) d t</math>
+(zobacz twierdzenie E22).
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E26</span><br/>
+Poniżej wypisaliśmy gotowe wzory Eulera-Maclaurina dla <math>r = 1, \ldots, 9</math>
+::<math>\sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + Q_r</math>
+gdzie
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|- style=height:3em
+! <math>\quad \;\: r \quad</math> || <math>Q_r</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 1. \quad</math> || <math>\int_a^b P_1(t) f'(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 2. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{2}} \int_a^b P_2(t) f''(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 3. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] + {\small\frac{1}{6}} \int_a^b P_3(t) f^{(3)}(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 4. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] - {\small\frac{1}{24}} \int_a^b P_4(t) f^{(4)}(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 5. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{120}} \int_a^b P_5(t) f^{(5)}(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 6. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] - {\small\frac{1}{720}} \int_a^b P_6(t) f^{(6)}(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 7. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] + {\small\frac{1}{5040}} \int_a^b P_7(t) f^{(7)}(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 8. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] - {\small\frac{1}{1209600}} [f^{(7)}(b) - f^{(7)}(a)] - {\small\frac{1}{40320}} \int_a^b P_8(t) f^{(8)}(t) d t</math>
+|- style=height:3em
+| <math>\quad \;\: 9. \quad</math> || <math>{\small\frac{1}{12}} [f'(b) - f'(a)] - {\small\frac{1}{720}} [f^{(3)}(b) - f^{(3)}(a)] + {\small\frac{1}{30240}} [f^{(5)}(b) - f^{(5)}(a)] - {\small\frac{1}{1209600}}  [f^{(7)}(b) - f^{(7)}(a)] + {\small\frac{1}{362880}} \int_a^b P_9(t) f^{(9)}(t) d t</math>
+|}
+Nim przejdziemy do przykładów, przypomnimy kilka podstawowych definicji i&nbsp;twierdzeń dotyczących całek niewłaściwych.
+== Całki niewłaściwe – zbieżność i&nbsp;kryteria zbieżności ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja E27</span><br/>
+Niech funkcja <math>f(x)</math> będzie określona w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math> i&nbsp;całkowalna w&nbsp;każdym podprzedziale <math>[a, b]</math> tego przedziału. Granicę
+::<math>\lim_{b \to + \infty} \int^b_a f(x) d x</math>
+będziemy nazywali całką niewłaściwą funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;granicach od <math>a</math> do <math>+ \infty</math> i&nbsp;zapisywali symbolicznie jako
+::<math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math>
+Jeżeli powyższa granica jest skończona, to powiemy, że całka <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math> jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to powiemy, że całka jest rozbieżna.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E28 (kryterium porównawcze)</span><br/>
+Jeżeli dla <math>x \geqslant a</math> funkcje <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> spełniają nierówności
+::<math>0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)</math>
+to
+::{| border="0"
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ze zbieżności całki <math>\int_{a}^{\infty} g(x) d x</math> wynika zbieżność całki <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math>
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; z&nbsp;rozbieżności całki <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math> wynika rozbieżność całki <math>\int_{a}^{\infty} g(x) d x</math>
+|}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będzie wybrane dowolnie, ale tak, aby <math>m > a</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia funkcje <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> są całkowalne w&nbsp;dowolnym podprzedziale <math>[a, b]</math> przedziału <math>[a, \infty)</math>, to całki
+::<math>\int^m_a f(x) d x \qquad</math> oraz <math>\qquad \int^m_a g(x) d x</math>
+istnieją, a&nbsp;ich wartość nie wpływa na zbieżność / rozbieżność odpowiednich całek niewłaściwych. Zatem możemy ograniczyć się do badania zbieżności całek
+::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \qquad</math> oraz <math>\qquad \int_{m}^{\infty} g(x) d x</math>
+Niech dla <math>k \geqslant m</math> ciąg <math>(U_k)</math> będzie rosnącym ciągiem kolejnych całek oznaczonych
+::<math>U_k = \int_m^k f(x) d x</math>
+Ponieważ z&nbsp;założenia dla <math>x \geqslant m > a</math> funkcje <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> spełniają nierówności
+::<math>0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)</math>
+to ciąg <math>(U_k)</math> jest ograniczony od góry
+::<math>U_k = \int^k_m f(x) d x \leqslant \int^k_m g(x) d x \leqslant \int_{m}^{\infty} g(x) d x</math>
+bo założyliśmy, że całka <math>\int_{m}^{\infty} g(x) d x</math> jest zbieżna. Ponieważ ciąg <math>(U_k)</math> jest rosnący i&nbsp;ograniczony od góry, to jest zbieżny. Wynika stąd, kolejno, istnienie granic
+::1. <math>\qquad \lim_{k \to \infty} U_k = g</math>
+::2. <math>\qquad \lim_{k \to \infty} \int_{k}^{k + 1} f(x) d x = \lim_{k \to \infty} U_{k + 1} - \lim_{k \to \infty} U_k = g - g = 0</math>
+::3. <math>\qquad \lim_{b \to \infty} \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) = 0</math>
+::4. <math>\qquad \lim_{b \to \infty} \int^b_m f(x) d x = \lim_{b \to \infty} \left[ \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) + U_{\lfloor b \rfloor} \right] = \lim_{b \to \infty} \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) + \lim_{k \to \infty} U_{\lfloor b \rfloor} = 0 + g = g</math>
+Trzecia granica wymaga krótkiego omówienia. Prawdziwy jest następujący ciąg nierówności
+::<math>0 \leqslant \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} = \int^b_m f(x) d x - \int_{m}^{\lfloor b \rfloor} f(x) d x = \int^b_{\lfloor b \rfloor} f(x) d x \leqslant \int^{\lfloor b \rfloor + 1}_{\lfloor b \rfloor} f(x) d x</math>
+Wystarczy zauważyć, że w&nbsp;granicy dla <math>b \rightarrow \infty</math> ostatni wyraz po prawej stronie dąży do zera (granica nr 2).
+Zatem całka <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> jest zbieżna. Co kończy dowód punktu 1.
+'''Punkt 2.'''
+Z założenia całka <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math> jest rozbieżna. Przypuśćmy, że całka <math>\int_{a}^{\infty} g(x) d x</math> jest zbieżna. Jeśli tak, to na podstawie udowodnionego już punktu 1. całka <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math> musiałaby być zbieżna, wbrew założeniu, że jest rozbieżna. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie o&nbsp;zbieżności całki <math>\int_{a}^{\infty} g(x) d x</math> jest fałszywe. Co kończy dowód punktu 2.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E29</span><br/>
+Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest całkowalna w&nbsp;każdym podprzedziale <math>[a, b]</math> przedziału <math>[a, + \infty)</math> i&nbsp;całka <math>\int_{a}^{\infty} | f(x) | d x</math> jest zbieżna, to zbieżna jest też całka <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math>. O&nbsp;całce <math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x</math> powiemy wtedy, że jest bezwzględnie zbieżna.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ponieważ
+::<math>0 \leqslant f(x) + | f(x) | \leqslant 2 | f(x) |</math>
+to z&nbsp;kryterium porównawczego wynika, że całka
+::<math>\int_{a}^{\infty} (f(x) + | f(x) |) d x</math>
+jest zbieżna. Zatem całka
+::<math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x = \int_{a}^{\infty} (f(x) + | f(x) |) d x - \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x</math>
+jest różnicą całek zbieżnych i&nbsp;również musi być zbieżna.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E30</span><br/>
+Jeżeli całka <math>\int_{a}^{\infty} | f(x) | d x</math> jest zbieżna, a&nbsp;funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona, to zbieżna jest też całka <math>\int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona, zatem istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że dla każdego <math>x \geqslant a</math> jest <math>| g(x) | \leqslant M</math>. Zauważmy, że dla <math>x \geqslant a</math> prawdziwy jest układ nierówności
+::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{M}} | f(x) g(x) | \leqslant | f(x) |</math>
+Zatem na podstawie kryterium porównawczego ze zbieżności całki <math>\int_{a}^{\infty} | f(x) | d x</math> wynika zbieżność całki <math>\int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E31</span><br/>
+Niech <math>F(x)</math> oznacza funkcję pierwotną funkcji <math>f(x)</math>. Całka <math>\int_{a}^{\infty} f(x) d x</math> jest zbieżna wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy granica <math>\lim_{x \to \infty} F(x)</math> jest skończona.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z definicji całki niewłaściwej mamy
+::<math>\int_{a}^{\infty} f(t) d t = \lim_{b \to \infty} \int^b_a f(t) d t</math>
+:::::<math>\;\; = \lim_{b \to \infty} \biggl[ F(t) \biggr\rvert_{a}^{b} \biggr]</math>
+:::::<math>\;\; = \lim_{b \to \infty}  [F (b) - F (a)]</math>
+:::::<math>\;\; = - F (a) + \lim_{b \to \infty} F (b)</math>
+Zauważmy, że aby możliwe było rozważanie, czy całka <math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x</math> jest zbieżna, muszą być spełnione warunki dodatkowe, których już jawnie nie wypisaliśmy
+::{| border="0"
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; funkcja <math>f(x)</math> musi być określona w&nbsp;przedziale <math>[a, \infty)</math>
+|-
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; funkcja <math>f(x)</math> musi być całkowalna w&nbsp;każdym podprzedziale <math>[a, b]</math> przedziału <math>[a, \infty)</math>
+|}
+Ponieważ <math>\int^b_a f(t) d t = F(b) - F(a)</math>, to wartość <math>F(a)</math> musi być skończona. Zatem granica <math>\lim_{x \to \infty} F(x)</math> jest skończona wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy granica <math>\lim_{b \to \infty} \int^b_a f (t) d t</math> jest skończona. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E32</span><br/>
+Jeżeli
+::{| border="0"
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; funkcja <math>f(x)</math> jest funkcją ciągłą i&nbsp;ma stały znak w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math>
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; całka <math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x</math> jest zbieżna
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math>, czyli dla <math>x \geqslant a</math> jest<br/><br/>
+::'''1.''' <math>\qquad m \leqslant g (x) \leqslant M</math><br/>
+&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;lub<br/>
+::'''2.''' <math>\qquad | g (x) | \leqslant L</math>
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; całka <math>\int^b_a g (x) d x</math> istnieje dla każdego <math>b > a</math>
+|}
+to całki <math>\int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x</math> oraz <math>\int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x</math> są zbieżne i&nbsp;prawdziwe są następujące oszacowania
+::::'''1.''' <math>\qquad s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x</math>
+lub
+::::'''2.''' <math>\qquad \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right|</math>
+gdzie <math>s</math> jest znakiem funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia funkcja <math>f (t)</math> ma stały znak w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math>, zatem mamy
+::<math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t = s \int_{a}^{\infty} [s \cdot f (t)] d t = s \int_{a}^{\infty} | f (t) | d t</math>
+gdzie <math>s</math> jest znakiem funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math>. Czyli całka <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> jest bezwzględnie zbieżna. Ponieważ z&nbsp;założenia funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona, to z&nbsp;twierdzenia E30 wynika, że całka <math>\int_{a}^{\infty} | f (t) g (t) | d t</math> jest zbieżna, zatem jest też zbieżna całka <math>\int_{a}^{\infty} f (t) g (t) d t</math> (twierdzenie E29).
+'''Przypadek 1.'''
+Funkcja <math>s \cdot f (t)</math> jest dodatnia, gdzie <math>s</math> jest znakiem funkcji <math>f(x)</math> w&nbsp;przedziale <math>[a, + \infty)</math>. Stąd i&nbsp;z&nbsp;założonej postaci ograniczenia funkcji <math>g (t)</math> wynika, że prawdziwy jest następujący układ nierówności
+::<math>s \:\! m f (x) \leqslant s f (x) g (x) \leqslant s M f (x)</math>
+Wynika stąd odpowiedni układ nierówności dla całek oznaczonych właściwych
+::<math>s \:\! m \int^b_a f (x) d x \leqslant s \int^b_a f (x) g (x) d x \leqslant s M \int^b_a f (x) d x</math>
+gdzie <math>b > a</math>. Ponieważ całki <math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x</math> oraz <math>\int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x</math> są zbieżne, to uprawnione jest przejście do granicy i&nbsp;w&nbsp;granicy, gdy <math>b</math> dąży do nieskończoności, otrzymujemy
+::<math>s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x</math>
+'''Przypadek 2.'''
+Ponieważ funkcja <math>| f (t) |</math> jest dodatnia, to prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>| g (x) | \cdot | f (x) | \leqslant L | f (x) |</math>
+Wynika stąd oszacowanie dla całek oznaczonych właściwych
+::<math>\int^b_a | f (x) g (x) | d x \leqslant L \int^b_a | f (x) | d x</math>
+:::::::<math>\, = s L \int^b_a f (x) d x</math>
+:::::::<math>\, = L \left| \int^b_a f (x) d x \right|</math>
+gdzie <math>b > a</math>. Ponieważ całki <math>\int_{a}^{\infty} f (x) d x</math> i <math>\int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x</math> są zbieżne, to możemy przejść do granicy i&nbsp;w&nbsp;granicy, gdy <math>b</math> dąży do nieskończoności, otrzymujemy
+::<math>\int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right|</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E33</span><br/>
+Niech <math>P_n(t)</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\alpha}}} d t</math>
+gdzie <math>\alpha > 1</math>, jest zbieżna.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Funkcja <math>{\small\frac{1}{t^{\alpha}}}</math> spełnia warunki
+::{| border="0"
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jest ciągła i&nbsp;nie zmienia znaku w&nbsp;przedziale <math>(0, + \infty)</math>
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; całka <math>\int_1^{\infty} {\small\frac{d t}{t^{\alpha}}} = {\small\frac{1}{\alpha - 1}}</math> jest zbieżna
+|}
+Funkcje okresowe Bernoulliego <math>P_r (t)</math> są zdefiniowane wzorem
+::<math>P_r(t) = B_r(t - \lfloor t \rfloor)</math>
+a wielomiany Bernoulliego <math>B_r(t)</math> są ograniczone w&nbsp;przedziale <math>[0, 1]</math><ref name="Weierstrass1"/> (zobacz przykład E9), wynika stąd, że <math>P_r(t)</math> są funkcjami ograniczonymi. Zatem z&nbsp;twierdzenia E32 otrzymujemy natychmiast, że całka <math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t</math> jest zbieżna.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E34</span><br/>
+Niech <math>P_n (t)</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t</math>
+gdzie <math>\varepsilon > 0</math>, jest zbieżna.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+W przypadku funkcji <math>g(t) = {\small\frac{1}{t^{\varepsilon}}}</math> z&nbsp;twierdzenia E22 otrzymujemy
+::<math>\int_1^b {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \left[ {\small\frac{1}{b^{\varepsilon}}} - 1 \right] + {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 + \varepsilon}}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>b</math> dąży do nieskończoności, mamy
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} + {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 + \varepsilon}}} d t</math>
+Ponieważ na mocy twierdzenia E33 całka po prawej stronie jest zbieżna, to jest też zbieżna całka <math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{t^{\varepsilon}}} d t</math>. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie E35</span><br/>
+Niech <math>P_n (t)</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka
+::<math>\int_1^{\infty} P_n (t) t^{\varepsilon} d t</math>
+gdzie <math>0 < \varepsilon < 1</math>, jest rozbieżna.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+W przypadku funkcji <math>g(t) = t^{\varepsilon}</math> z&nbsp;twierdzenia E22 otrzymujemy
+::<math>\int_1^b P_n(t) t^{\varepsilon} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [b^{\varepsilon} - 1] - {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 - \varepsilon}}} d t</math>
+Dla <math>0 < \varepsilon < 1</math> całka <math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 - \varepsilon}}} d t</math> jest zbieżna, ale pierwszy wyraz po prawej stronie jest rozbieżny, gdy <math>b</math> dąży do nieskończoności, zatem cała prawa strona jest rozbieżna.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie E36</span><br/>
+Niech <math>P_n (t)</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka
+::<math>\int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t</math>
+jest zbieżna.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+W przypadku funkcji <math>g(t) = {\small\frac{1}{\log t}}</math> z&nbsp;twierdzenia E22 otrzymujemy
+::<math>\int_2^b {\small\frac{P_n(t)}{\log t}} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \left[ {\small\frac{1}{\log b}} - {\small\frac{1}{\log 2}} \right] + {\small\frac{1}{n + 1}} \int_2^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t \cdot \log^2 t}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>b</math> dąży do nieskończoności, mamy
+::<math>\int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t = - {\small\frac{B_{n + 1}}{(n + 1) \log 2}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \int_2^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1} (t)}{t \cdot \log^2 t}} d t</math>
+Ponieważ na mocy twierdzenia E34 całka po prawej stronie jest zbieżna, to jest też zbieżna całka <math>\int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie E37</span><br/>
+Niech <math>P_r (t)</math>, gdzie <math>r \geqslant 1</math>, będzie funkcją okresową Bernoulliego oraz prawdziwe będzie następujące oszacowanie funkcji <math>P_r (t)</math>
+::<math>m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r</math>
+Pokazać, że dla <math>\alpha > 1</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> jest
+::<math>{\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Zauważmy, że
+:* funkcja <math>{\small\frac{1}{t^{\alpha}}}</math> jest funkcją ciągłą i&nbsp;zachowuje stały (dodatni) znak w&nbsp;przedziale <math>(0, + \infty)</math>
+:* całka <math>\int_{n}^{\infty} {\small\frac{d t}{t^{\alpha}}} = {\small\frac{1}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}}</math> jest zbieżna
+:* funkcja <math>P_r (t)</math> jest ograniczona i&nbsp;z&nbsp;założenia prawdziwy jest układ nierówności <math>m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r</math>
+:* całka <math>\int^b_n P_r (t) d t</math> istnieje dla każdego <math>b > n</math>
+Zatem spełnione są założenia twierdzenia E32 i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że całka <math>\int_{n}^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{\alpha}}} d t</math> jest zbieżna i&nbsp;prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>{\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+Podamy teraz kryterium Dirichleta, dzięki któremu moglibyśmy natychmiast uzyskać dowody twierdzeń E33 i&nbsp;E34 oraz rozwiązanie zadania E36.
+Celowo nie stosowaliśmy tego kryterium, aby Czytelnik mógł zapoznać się z&nbsp;ciekawym zastosowaniem twierdzenia E22.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E38* (kryterium Dirichleta)</span><br/>
+Jeżeli funkcje <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> są całkowalne w&nbsp;każdym podprzedziale <math>[a, b]</math> przedziału <math>[a, + \infty)</math> oraz spełniają warunki
+::{| border="0"
+|-style=height:2em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; całka z&nbsp;funkcji <math>f(x)</math> jest ograniczona, czyli istnieje taka stała <math>M > 0</math>, że dla każdego <math>b > a</math> jest <math>\left| \int^b_a f(x) d x \right| \leqslant M</math>
+|-style=height:2em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; funkcja <math>g(x)</math> jest funkcją monotoniczną (czyli malejącą lub rosnącą)
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\lim_{x \to \infty} g (x) = 0</math>
+|}
+to całka <math>\int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x</math> jest zbieżna.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie E39</span><br/>
+Korzystając z&nbsp;kryterium Dirichleta, pokazać, że całki
+::<math>\int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x = {\small\frac{1}{2}} \pi</math>
+::<math>\int_{2}^{\infty} {\small\frac{P_1 (x)}{\log x}} d x = - 0.117923474371 \ldots</math>
+są zbieżne.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+'''Punkt 1.'''
+Zauważmy, że funkcja <math>{\small\frac{\sin x}{x}}</math> jest ciągła w&nbsp;punkcie <math>x = 0</math>. Mamy też <math>\lim_{x \to 0} {\small\frac{\sin x}{x}} = 1</math>. Oszacowanie całki jest natychmiastowe
+::<math>\left| \int^b_0 \sin t d t \right| = \biggl| - \cos t \big\rvert_{0}^{b} \biggr| = | - \cos b + 1 | \leqslant 2</math>
+Zatem z&nbsp;kryterium Dirichleta wynika, że całka <math>\int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x</math> jest zbieżna.
+'''Punkt 2.'''
+Ponieważ <math>P_1 (x)</math> jest funkcją okresową o&nbsp;okresie równym <math>1</math>, to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku <math>[0, 1]</math> i&nbsp;całce na odcinku <math>[0, x - \lfloor x \rfloor]</math>. Pamiętając o&nbsp;tym, że
+::<math>\int^1_0 P_1 (t) d t = 0</math>
+::<math>\int B_n (x) = {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} (x)</math>
+otrzymujemy
+::<math>\int^b_2 P_1 (t) d t = (\lfloor b \rfloor - 2) \cdot \int^1_0 P_1 (t) d t + \int_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} P_1 (t) d t =</math>
+:::::<math>\;\;\, = \int_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} B_1 (t) d t</math>
+:::::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} B_2 (t) \biggr\rvert_{0}^{b - \lfloor b \rfloor}</math>
+:::::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} (B_2 (b - \lfloor b \rfloor) - B_2 (0))</math>
+Zatem
+::<math>\left| \int^b_2 P_1 (t) d t \right| = {\small\frac{1}{2}} | B_2 (b - \lfloor b \rfloor) - B_2 | \leqslant {\small\frac{1}{2}} (| B_2 (b - \lfloor b \rfloor) | + | B_2 |) \leqslant B_2</math>
+bo <math>| B_{2 k}(x) | \leqslant | B_{2 k} |</math> dla <math>x \in [0, 1]</math><ref name="Abramowitz1"/><ref name="Abramowitz2"/>.
+Z kryterium Dirichleta wynika natychmiast, że całka <math>\int_{2}^{\infty} P_1 (t) d t</math> jest zbieżna.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+== Przykłady ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E40</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^n k^2</math>
+Ponieważ <math>f(t) = t^2</math>, to <math>f'(t) = 2 t</math>, <math>f''(t) = 2</math>, a&nbsp;dla <math>i \geqslant 3</math> mamy <math>f^{(i)}(t) = 0</math>.
+Zatem dla <math>r = 3</math> wyraz <math>{\small\frac{1}{6}} \int_1^n P_3(t) f^{(3)}(t) d t</math> jest równy zero i&nbsp;otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = 1}^n k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1)</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E41</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}}</math>
+Wiemy, że przypadku szeregu nieskończonego jest
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>
+gdzie <math>{\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848226436472415166646 \ldots</math>
+Dla <math>r = 1</math> mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t</math>
+Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t</math>
+Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i&nbsp;równa <math>\tfrac{1}{12} ( 9 - \pi^2 )</math>.
+Jeżeli tak, to możemy sumę zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t</math>
+::::<math>\:\:\, = {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t</math>
+Ponieważ dla <math>P_1(t) = t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}}</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>- {\small\frac{1}{2}} \leqslant P_1(t) \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>, to korzystając z&nbsp;pokazanego w&nbsp;zadaniu E37 wzoru, dostajemy
+::<math>- {\small\frac{1}{4 n^2}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t \leqslant {\small\frac{1}{4 n^2}}</math>
+Teraz już łatwo otrzymujemy oszacowania
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{n^2}}</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \geqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}}</math>
+Jeśli we wzorze Eulera-Maclaurina uwzględnimy więcej wyrazów, to otrzymamy dokładniejsze oszacowania.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E42</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}}</math>
+Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane<ref name="EulerMaclaurin1"/>
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2k \cdot n^{2 k}}}</math>
+::::<math>= \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} - {\small\frac{1}{132 n^{10}}} + \cdots</math>
+gdzie <math>\gamma = 0.57721566490153286060651209 \ldots</math> jest stałą Eulera.
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 1</math>, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{2 n}} - \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, dostajemy
+::<math>\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n \right) = {\small\frac{1}{2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t</math>
+Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i&nbsp;równa <math>\tfrac{1}{2} - \gamma</math>.
+Zastosujemy teraz wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 3</math> i&nbsp;znajdziemy oszacowanie
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^n {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t</math>
+::::<math>\: = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t</math>
+Oczywiście
+::<math>{\small\frac{7}{12}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t = \gamma</math>
+Dostajemy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t</math>
+Ponieważ prawdziwe są oszacowania (zobacz przykłady E8 i&nbsp;E9)
+::<math>- {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \leqslant P_3 (t) \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{36}}</math>
+to korzystając z&nbsp;pokazanego w&nbsp;zadaniu E37 wzoru, dostajemy
+::<math>- {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}}</math>
+Zatem
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \leqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}}</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \geqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}}</math>
+Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej <math>\gamma</math>. Przykładowo dla <math>n = 10^6</math>, otrzymujemy
+::<math>0.5772156649015328605 \leqslant \gamma \leqslant 0.5772156649015328607</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E43</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k</math>
+Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane<ref name="WzorStirlinga1"/>
+::<math>\log n! = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2 k (2 k - 1) \cdot n^{2 k - 1}}}</math>
+:::<math>\quad \; = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{1260 n^5}} - {\small\frac{1}{1680 n^7}} + {\small\frac{1}{1188 n^9}} - \cdots</math>
+gdzie <math>\tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) = 0.91893853320467274178 \ldots</math>
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 1</math>, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, dostajemy
+::<math>\lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1(t)}{t}} d t</math>
+Z twierdzenia E34 wiemy, że całka <math>\int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t</math> jest zbieżna, a&nbsp;z&nbsp;rozwinięcia asymptotycznego wiemy, że granica po lewej stronie jest równa <math>\tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right)</math>, zatem otrzymujemy
+::<math>\int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = \tfrac{1}{2} \log (2 \pi) - 1</math>
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 4</math>, otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, dostajemy
+::<math>\lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t</math>
+Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i&nbsp;jest równa stałej – w&nbsp;tym przypadku <math>\tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right)</math>. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} d t - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t</math>
+Czyli
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t</math>
+Z przykładów E8 i&nbsp;E9 wiemy, że prawdziwe są oszacowania
+::<math>- {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}}</math>
+Zatem korzystając z&nbsp;pokazanego w&nbsp;zadaniu E37 wzoru, dostajemy
+::<math>- {\small\frac{1}{90 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{720 n^3}}</math>
+Czyli
+::<math>- {\small\frac{7}{2880 n^3}} \leqslant - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{360 n^3}}</math>
+Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowania
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k \leqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}}</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \log k \geqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{192 n^3}}</math>
+Oczywiście, podobnie jak w&nbsp;poprzednim przykładzie, powyższe nierówności mogą służyć do wyznaczenia wartości stałej.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E44</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k}</math>
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 4</math>, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, dostajemy
+::<math>\lim_{n \to \infty}  \left[ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} - \left( {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t</math>
+Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i&nbsp;jest równa pewnej stałej <math>C</math>. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t</math>
+Zatem
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t</math>
+Z przykładów E8 i&nbsp;E9 wiemy, że prawdziwe są oszacowania
+::<math>- {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}}</math>
+Zatem korzystając z&nbsp;pokazanego w&nbsp;zadaniu E37 wzoru, dostajemy
+::<math>- {\small\frac{1}{75}} n^{- 5 / 2} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{600}} n^{- 5 / 2}</math>
+Czyli
+::<math>- {\small\frac{7}{15360}} n^{- 5 / 2} \leqslant - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2}</math>
+I otrzymujemy oszacowania
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \leqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2}</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \geqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1024}} n^{- 5 / 2}</math>
+Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej <math>C</math>. Przykładowo dla <math>n = 10^6</math>, otrzymujemy
+::<math>- 0.207886224977354567 \leqslant C \leqslant - 0.207886224977354565</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E45</span><br/>
+Pokażemy, dlaczego lepiej wybrać wartość <math>r</math> za dużą niż za małą i&nbsp;dlaczego należy sprawdzać zbieżność całki
+::<math>\int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+korzystając z&nbsp;kryterium Dirichleta (twierdzenie E38) lub z&nbsp;twierdzenia E34. Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2}</math>
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 1</math>, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^n \sqrt{t} \cdot P_1 (t) d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, dostajemy
+::<math>\lim_{n \to \infty}  \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} \right) \right] = {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^{\infty} \sqrt{t} \cdot P_1(t) d t</math>
+Jeszcze nie wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione – lewa strona jest rozbieżna. Podobnie rozbieżna jest całka po prawej stronie – rozbieżność tej całki informuje nas, że wybraliśmy za małą wartość <math>r</math>.
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 2</math>, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^n {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, otrzymujemy
+::<math>\lim_{n \to \infty}  \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t</math>
+Całka po prawej stronie jest zbieżna, co wynika z&nbsp;kryterium Dirichleta. Zatem i&nbsp;lewa strona jest zbieżna, czyli wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione. Możemy to łatwo sprawdzić, obierając większą wartość <math>r</math>.
+Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 4</math>, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{49}{1920}} + {\small\frac{1}{1920}} n^{- 3 / 2} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{5 / 2}}} d t</math>
+W granicy, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, dostajemy
+::<math>\lim_{n \to \infty}  \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{49}{1920}} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^{5 / 2}}} d t</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E46</span><br/>
+Rozwiązując przykłady znaleźliśmy wartości następujących całek oznaczonych
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1</math>
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} - \gamma</math>
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{9 - \pi^2}{12}}</math>
+Jeżeli funkcja rzeczywista <math>f(t)</math> ma ciągłą pochodną w <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> oraz <math>\lim_{t \to \infty} f (t) = 0</math>, to dla <math>n \geqslant 1</math> mamy
+::<math>\int_a^{\infty} P_{n + 1} (t) f'(t) d t = - B_{n + 1} f(a) - (n + 1) \int_a^{\infty} P_n(t) f(t) d t</math>
+(Jest to prosty wniosek z&nbsp;twierdzenia E22).
+Powyższy rezultat możemy wykorzystać do wyliczenia kolejnych całek zawierających funkcje okresowe Bernoulliego. Przykładowo mamy
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^2}} d t = \log (2 \pi) - {\small\frac{11}{6}}</math>
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{7}{12}} - \gamma</math>
+::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^4}} d t = {\small\frac{10 - \pi^2}{18}}</math>
+== Metody wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E47</span><br/>
+W przedstawionych wyżej przykładach wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina (przykład E42 i&nbsp;E44) oraz pokazaliśmy, że wartość całki <math>\int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math> jest związana z&nbsp;wartością stałej (przykład E41, E42 i&nbsp;E43). Obecnie dokładnie omówimy ten problem.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E48</span><br/>
+Jeżeli założymy, że
+::{| border="0"
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || całka nieoznaczona <math>F(x) = \int f(x) d x</math> nie zawiera wyrazów, które nie zależą od <math>x</math> (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki <math>\int_a^b f(t) d t = F(b) - F(a)</math> i&nbsp;nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || dla pewnego <math>r \geqslant 1</math> całka <math>\int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math> jest zbieżna
+|}
+to wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w&nbsp;postaci
+::<math>\sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b)</math>
+gdzie
+::<math>C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math>
+::<math>E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Jeżeli całka <math>\int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math> jest zbieżna, to możemy napisać
+::<math>\sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+::::<math>\;\;\,\, = F(b) - F(a) + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+::::<math>\;\;\,\, = \left[ - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t \right] + \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t \right]</math>
+::::<math>\;\;\,\, = C (a) + E (b)</math>
+gdzie
+::<math>C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)}(t) d t</math>
+::<math>E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E49</span><br/>
+We wzorze
+::<math>\sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b)</math>
+składnik <math>C(a)</math> jest wartością stałej <math>C</math> we wzorze Eulera-Maclaurina, a <math>E(b)</math> zwraca kolejne wyrazy rozwinięcia. Pokażemy, że wartość tej stałej możemy wyliczyć bezpośrednio ze wzoru
+::<math>C = C (a)</math>
+lub metodą pośrednią, wykorzystując związek
+::<math>C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - E (b)</math>
+W obydwu przypadkach obliczenia wykonamy dla znanej już Czytelnikowi sumy <math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}}</math> (przykład E38).
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E50</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}}</math>
+Ponieważ
+::<math>f(x) = {\small\frac{1}{x}}</math>
+::<math>F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x</math>
+::<math>f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}}</math>
+to wzór na wartość stałej z&nbsp;twierdzenia E47
+::<math>C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+przyjmuje postać
+::<math>C(1) = - \log (1) + {\small\frac{1}{2}} - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{k - 1} (k - 1) !}{x^k}} - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) \cdot {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} d t</math>
+::<math>C(1) = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{r + 1}}} d t</math>
+Oznaczmy
+::<math>C_r = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}}</math>
+::<math>I_r = - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{r + 1}}} d t</math>
+Wartość <math>I_r</math> obliczymy numerycznie w&nbsp;programie PARI/GP poleceniem
+ Int(r) = - intnum(t=1,+oo, P(r,t)/t^(r+1), 12 )
+gdzie
+ P(r, t) = B(r, t - floor(t))
+jest funkcją okresową Bernoulliego <math>P_r (t)</math>.
+Ponieważ wyliczenie wartości <math>C_r</math> jest bardzo łatwe, to w&nbsp;tabeli przedstawiamy jedynie wartość całki <math>I_r</math> oraz wielkość błędu, z&nbsp;jakim wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina. Przy precyzji obliczeń w&nbsp;PARI/GP równej <math>77</math> cyfr znaczących (wyświetlanych jest tylko <math>60</math>) otrzymujemy
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
+|- style=height:2em
+! <math>\quad r \quad</math> || <math>I_r</math> || <math>C_r + I_r - \gamma</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 2 \quad</math> || <math>- 0.00611766843643217216316093584671186131649649607150165105785840</math> || <math>- 4.7 \cdot 10^{- 12}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 4 \quad</math> || <math>0.00221566490153286060651266099862945942063253146614696094725279</math> || <math>5.8 \cdot 10^{- 25}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 6 \quad</math> || <math>- 0.00175258906672110764745616388586252127113304104807585093607060</math> || <math>- 1.1 \cdot 10^{- 32}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 8 \quad</math> || <math>0.00241407759994555901921050278081512945505072420777227470125753</math> || <math>2.0 \cdot 10^{- 40}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 10 \quad</math> || <math>- 0.00516167997581201673836525479494244630271800893829613819256332</math> || <math>- 8.8 \cdot 10^{- 49}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 12 \quad</math> || <math>0.0159311161169840760577275412978536464933747871553748142613412</math> || <math>4.4 \cdot 10^{- 57}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 14 \quad</math> || <math>- 0.0674022172163492572756057920354796868399585461779585190763506</math> || <math>- 2.7 \cdot 10^{- 65}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 16 \quad</math> || <math>0.375857586705219370175374600121383058258080669508315990727571</math> || <math>2.1 \cdot 10^{- 73}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 18 \quad</math> || <math>- 2.67809674356490037362857973014873668554587366076180375307638</math> || <math>- 1.8 \cdot 10^{- 77}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 20 \quad</math> || <math>23.7781153776472208384926323910633845265753384604503174590448</math> || <math>- 2.6 \cdot 10^{- 76}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 22 \quad</math> || <math>- 257.682029549889011045565338623429369096613067336651131816317</math> || <math>3.6 \cdot 10^{- 74}</math>
+|- style=height:2em
+| <math>\quad 24 \quad</math> || <math>3349.82851684815738700083270777461702894978497906139526623008</math> || <math>- 2.5 \cdot 10^{- 73}</math>
+|}
+Zwróćmy uwagę, jak bardzo <math>C_r \approx \gamma - I_r</math> odbiega od wartości stałej <math>\gamma</math> dla dużych wartości <math>r</math> – dopiero suma <math>C_r + I_r</math> daje prawidłowy rezultat. Tylko po to, aby uwidocznić ten fakt, przedstawiliśmy dane dla tak wielu wartości <math>r</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E51</span><br/>
+W przykładzie E50 uzyskaliśmy zaskakująco dokładny wynik, ale wiemy o&nbsp;tym tylko dlatego, że znaliśmy wynik prawidłowy. Gdybyśmy nie znali wartości stałej <math>\gamma</math>, to nie bylibyśmy w&nbsp;stanie określić, ile cyfr sumy <math>C_r + I_r</math> jest prawidłowych.
+Nim przejdziemy do przedstawienia drugiego sposobu wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina, udowodnimy twierdzenie, które pozwoli nam działać bardziej efektywnie.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E52</span><br/>
+Jeżeli założymy, że
+::{| border="0"
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || całka nieoznaczona <math>F(x) = \int f (x) d x</math> nie zawiera wyrazów, które nie zależą od <math>x</math> (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki <math>\int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a)</math> i&nbsp;nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || funkcja <math>f^{(2 s)} (t)</math> jest funkcją ciągłą i&nbsp;ma stały znak w&nbsp;przedziale <math>[b, \infty)</math>
+|-style=height:4em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>\lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)} (t) = 0</math>
+|}
+to dla stałej <math>C(a)</math> we wzorze Eulera-Maclaurina prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta</math>
+gdzie
+::<math>W = W (s, a, b) = \sum_{k = a}^b f(k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} f^{(2 k - 1)}(b) \right]</math>
+::<math>\Delta = \Delta (s, b) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) |</math>
+Czyli błąd, jakim obarczony jest wynik <math>W</math>, jest nie większy od wartości bezwzględnej ostatniego składnika sumy.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z twierdzenia E47 wiemy, że przy poczynionych założeniach wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w&nbsp;postaci
+::<math>\sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b)</math>
+gdzie
+::<math>C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+::<math>E(b) = F(b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t</math>
+Zatem
+::<math>C(a) = \sum_{k = a}^b f(k) - E(b)</math>
+W przypadku, gdy <math>r = 2 s</math> jest liczbą parzystą, możemy położyć <math>k = 2 j</math> i&nbsp;otrzymujemy
+::<math>E(b) = F(b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)}(b) + {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t</math>
+Ponieważ <math>f^{(2 s - 1)} (t)</math> jest funkcją pierwotną funkcji <math>f^{(2 s)}(t)</math>, a&nbsp;z&nbsp;założenia jest <math>\lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)}(t) = 0</math>, to na podstawie twierdzenia E31 całka <math>\int_b^{\infty} f^{(2 s)}(t) d t</math> jest zbieżna.
+Dla funkcji okresowych Bernoulliego o&nbsp;indeksie parzystym prawdziwe jest oszacowanie <math>| P_{2 s}(x) | \leqslant | B_{2 s} |</math><ref name="Abramowitz1"/> (zobacz przykład E9 i&nbsp;wzór 6. twierdzenia E7). Zatem z&nbsp;twierdzenia E32 i&nbsp;założenia, że <math>\lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)}(t) = 0</math> dostajemy oszacowanie całki
+::<math>{\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)}(t) d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} | P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) | d t</math>
+::::::::::<math>\,\, \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot \left| \int_b^{\infty} f^{(2 s)}(t) d t \right|</math>
+::::::::::<math>\,\, = {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot \biggl| f^{(2 s - 1)}(t) \big\rvert_{b}^{\infty} \biggr|</math>
+::::::::::<math>\,\, = {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot | - f^{(2 s - 1)}(b) |</math>
+::::::::::<math>\,\, = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)}(b) |</math>
+Łącząc powyższe rezultaty, otrzymujemy oszacowanie stałej <math>C(a)</math>
+::<math>C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t</math>
+:::<math>\;\:\:\: \leqslant \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] + \Delta</math>
+::<math>C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t</math>
+:::<math>\;\:\:\: \geqslant \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - \Delta</math>
+gdzie oznaczyliśmy
+::<math>\Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) |</math>
+Jeśli dodatkowo oznaczymy
+::<math>W = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right]</math>
+to dostaniemy oszacowanie
+::<math>W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E53</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}}</math>
+Ponieważ
+::<math>f(x) = {\small\frac{1}{x}}</math>
+::<math>F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x</math>
+::<math>f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}}</math>
+to z&nbsp;twierdzenia E51 dostajemy
+::<math>W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{2 k \cdot n^{2 k}}} \right]</math>
+::<math>\Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{2 s \cdot n^{2 s}}}</math>
+Dla <math>s = 4</math> i <math>n = 10^8</math> mamy
+::<math>\Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67}</math>
+Uznając, że dokładność rzędu <math>10^{- 65}</math> nas zadowala, otrzymujemy dla <math>s = 4</math>
+::<math>W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} \right]</math>
+Wyliczając wartość prawej strony dla <math>n = 10^8</math>, dostajemy
+::<math>W = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467 \ldots</math>
+Ponieważ <math>\Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67}</math>, to ostatecznie możemy napisać
+::<math>\gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488 \ldots</math>
+Wyznaczyliśmy stałą <math>\gamma</math> z&nbsp;dokładnością <math>65</math> cyfr po przecinku. W&nbsp;rzeczywistości błąd jest mniejszy od <math>10^{- 81}</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E54</span><br/>
+Zauważmy, że wyliczając wartość <math>\Delta</math>, znamy wartość błędu jeszcze przed wykonaniem całości obliczeń. Dobierając odpowiednie wartości liczb <math>s</math> i <math>n</math> możemy sprawić, że błąd będzie odpowiednio mały. Unikamy numerycznego całkowania, które w&nbsp;przypadku bardziej skomplikowanych funkcji może być długie i&nbsp;obarczone znacznym i&nbsp;nieznanym błędem.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E55</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k)</math>
+W PARI/GP funkcję specjalną <math>\mathop{\text{li}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{d t}{\log t}}</math> (logarytm całkowy<ref name="LogIntegral1"/><ref name="LogIntegral2"/>) możemy uzyskać następująco
+ li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )
+W powyższym wzorze wykorzystaliśmy zaimplementowaną pod nazwą <math>\text{eint1} (x)</math> inną funkcję specjalną <math>E_1 (x) = \int_{x}^{\infty} {\small\frac{e^{- t}}{t}} d t</math><ref name="ExpIntegral1"/><ref name="ExpIntegral2"/>.
+Mamy:
+::<math>f(x) = \mathop{\text{li}}(x)</math>
+::<math>F(x) = \int \mathop{\text{li}}(x) d x = x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2)</math>
+::<math>f^{(1)} (x) = {\small\frac{1}{\log x}}</math>
+dla <math>k \geqslant 2</math> jest
+::<math>f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{k - 1} \sum_{j = 1}^{k - 1} {\small\frac{A^{k - 1}_j}{x^{k - 1} \log^{j + 1} x}} = \mathop{\text{DLog}}(k - 1, x)</math>
+Oznaczenie <math>k</math>-tej pochodnej funkcji <math>{\small\frac{1}{\log x}}</math> jako <math>\mathop{\text{DLog}}(k, x)</math> znacząco ułatwi nam zapisywanie wzorów. Liczby naturalne <math>A^k_j</math> spełniają następujące równania rekurencyjne
+::<math>A^k_1 = (k - 1) A^{k - 1}_1</math>
+::<math>A_j^k = j A^{k - 1}_{j - 1} + (k - 1) A^{k - 1}_j \qquad</math> dla <math>\quad j = 2, \ldots, k - 1</math>
+::<math>A^k_k = k A^{k - 1}_{k - 1}</math>
+gdzie <math>A^1_1 = 1</math> (zobacz twierdzenia E58 i&nbsp;E59).
+Zauważmy, że dla <math>k \geqslant 2</math> funkcje <math>f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}}</math> są funkcjami ciągłymi i&nbsp;mają stały znak dla <math>x > 1</math> oraz <math>\lim_{x \to \infty} f^{(k - 1)} (x) = 0</math>. Zatem dla dowolnego <math>k \geqslant 2</math> spełnione są założenia twierdzenia E52. W&nbsp;przypadku rozpatrywanej przez nas sumy z&nbsp;twierdzenia E52 otrzymujemy
+::<math>\Delta = \Delta (s, n) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | \mathop{\text{DLog}}(2 s - 2, n) |</math>
+::<math>W = W (s, 2, n) = \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) - \left[ n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{B_2}{2 \log n}} + \sum_{k = 2}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \mathop{\text{DLog}}(2 k - 2, n) \right]</math>
+Obliczenia przeprowadziliśmy w&nbsp;programie PARI/GP. Wymagają one zwiększenia precyzji obliczeń do <math>80</math> miejsc znaczących i&nbsp;wcześniejszego przygotowania kilku funkcji omówionych szerzej w&nbsp;uwadze E60. Mamy
+ B(n, x) = sum(k=0, n, 1/(k+1)*sum(j=0, k, (-1)^j*binomial(k,j)*(x+j)^n))
+ A(n, k) = if( k==1 || k==n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )
+ DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k=1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))
+ li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )
+ delta(s, n) = B(2*s, 0)/(2*s)! * DLog(2*s-2, n)
+ W(s, n) = sum(k=2, n, li(k)) - n*li(n) + li(n^2) - 1/2*li(n) - B(2,0)/2! * 1/log(n) - sum(k=2, s, B(2*k,0)/(2*k)! * DLog(2*k-2, n))
+Dla <math>s = 5</math> i <math>n = 10^7</math> otrzymujemy (porównaj [https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%5B%28BernoulliB%2810%29%2F10%21%29+*+D%5B1%2Flog%28x%29%2C%7Bx%2C8%7D%5D++%2C++x+-%3E+1.0*10%5E7%5D WolframAlpha])
+<math>\Delta = {\small\frac{B_{10}}{10!}} \cdot | \mathop{\text{DLog}}(8, 10^7) | = 5.632 \cdot 10^{- 63}</math>
+<math>W = 1.28191595049146577908068521816208913078488987854947239276268700691879666704021184913771562</math>
+Po uwzględnieniu możliwego błędu znajdujemy wartość stałej z&nbsp;dokładnością <math>61</math> miejsc po przecinku.
+<math>C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E56</span><br/>
+Rozważmy jeszcze raz sumę
+::<math>\sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k)</math>
+Wypiszmy dla tej sumy wzór Eulera-Maclaurina dla <math>r = 1</math>.
+::<math>\sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) = \int_2^n \mathop{\text{li}}(t) d t + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t</math>
+::::<math>\;\;\;\: = (x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2)) \biggr\rvert_{2}^{n} + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t</math>
+::::<math>\;\;\;\: = n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) - 2 \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t</math>
+::::<math>\;\;\;\: = \left[ - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t \right] + n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t</math>
+Wyrażenie w&nbsp;nawiasie kwadratowym jest stałą wstępującą we wzorze Eulera-Maclaurina, zatem
+::<math>C = - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t</math>
+::<math>\int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = C + {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) - \mathop{\text{li}}(4)</math>
+W poprzednim przykładzie wyliczyliśmy wartość stałej <math>C</math>
+::<math>C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots</math>
+Wynika stąd natychmiast, że
+::<math>\int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = -0.117923474371345921663180326620119770994144590988603907635106 \ldots</math>
+Właśnie w&nbsp;taki sposób została obliczona wartość całki niewłaściwej, która występuje w&nbsp;zadaniu E39.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład E57</span><br/>
+Rozważmy sumę
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} e^k</math>
+Mamy
+::<math>f(x) = e^x</math>
+::<math>F(x) = \int e^x d x = e^x</math>
+::<math>f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} e^x = e^x</math>
+Zatem ze wzoru Eulera-Maclaurina otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} e^k = e^n - 1 + {\small\frac{1}{2}} (e^n + 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) + {\small\frac{1}{2}} (e^n - 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t</math>
+Ponieważ dla <math>| x | < 2 \pi</math> prawdziwy jest wzór<ref name="Bernoulli1"/>
+::<math>{\small\frac{x}{e^x - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k \cdot x^k}{k!}}</math>
+to dla <math>x = 1</math> dostajemy
+::<math>{\small\frac{1}{e - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k}{k!}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}}</math>
+W granicy, gdy <math>s</math> dąży do nieskończoności, mamy
+::<math>\lim_{s \to \infty} \left[ 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) \right] = 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + {\small\frac{1}{e - 1}} - {\small\frac{1}{2}} \right) = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{e - 1}} \right) = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}}</math>
+W obliczeniu granicy całki dla <math>s</math> dążącego do nieskończoności pomocne będzie oszacowanie<ref name="Abramowitz1"/>
+::<math>{\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} < {\small\frac{| B_{2 k} |}{(2 k) !}} < {\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} \left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 2 k}}} \right) \leqslant {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 k}}}</math>
+prawdziwe dla <math>k \geqslant 1</math>.
+Teraz już łatwo znajdujemy
+::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n | P_{2 s} (t) | e^t d t \leqslant {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} \int_0^n e^t d t = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} (e^n - 1) < {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1)</math>
+Dla dowolnego, ale ustalonego <math>n</math>, jest
+::<math>\lim_{s \to \infty} {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) = 0</math>
+Zatem z&nbsp;twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach (zobacz twierdzenia C9 i&nbsp;C8) dostajemy natychmiast
+::<math>\lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| = \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t = 0</math>
+Ostatecznie otrzymujemy wzór
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} e^k = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}}</math>
+Znalezienie wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego nie jest odkrywcze, ale z&nbsp;pewnością było pouczające.
+== Uzupełnienie ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E58</span><br/>
+Ogólny wzór na <math>n</math>-tą pochodną funkcji <math>{\small\frac{1}{\log x}}</math> ma postać
+::<math>{\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}}</math>
+Liczby naturalne <math>A^n_k</math> spełniają następujące równania rekurencyjne
+::<math>A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1</math>
+::<math>A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad</math> dla <math>\quad k = 2, \ldots, n - 1</math>
+::<math>A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1}</math>
+gdzie <math>A^1_1 = 1</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>n = 1</math>. Ponieważ
+::<math>\left( {\small\frac{1}{x^n \log^{k + 1} x}} \right)' = \frac{- (k + 1)}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{- n}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x}</math>
+to zakładając, że wzór
+::<math>{\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}}</math>
+jest prawdziwy dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
+::<math>{\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} \right)' =</math>
+:::::<math>\;\,\, = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{- (k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{- n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right)</math>
+Mnożąc obie strony przez <math>(- 1)^{n + 1}</math> ułatwimy sobie przekształcanie prawej strony
+::<math>(- 1)^{n + 1} {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) =</math>
+::::::::<math>\! = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} =</math>
+::::::::<math>\! = \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} + {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}}</math>
+Zmieniając w&nbsp;pierwszej sumie wskaźnik sumowania na <math>j = k + 1</math>, dostajemy
+::<math>(- 1)^{n + 1} {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} + \sum_{j = 2}^{n} \frac{j A^n_{j - 1}}{x^{n + 1} \log^{j + 1} x} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} + {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} =</math>
+::::::::<math>\! = {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} + \sum_{k = 2}^{n} \left( \frac{k A^n_{k - 1} + n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) + \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x}</math>
+Oznaczając
+::<math>A^{n + 1}_1 = n A^n_1</math>
+::<math>A_k^{n + 1} = k A^n_{k - 1} + n A^n_k \qquad</math> dla <math>\quad k = 2, \ldots, n</math>
+::<math>A^{n + 1}_{n + 1} = (n + 1) A^n_n</math>
+Otrzymujemy wzór
+::<math>{\small\frac{d^{n+1}}{d x^{n+1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{A^{n + 1}_k}{x^n \log^{k + 1} x}}</math>
+Co kończy dowód indukcyjny. Aby uzyskać podane w&nbsp;twierdzeniu równania rekurencyjne, wystarczy we wprowadzonych oznaczeniach zamienić <math>n</math> na <math>n - 1</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E59</span><br/>
+Z równań rekurencyjnych
+::<math>A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1</math>
+::<math>A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad</math> dla <math>\quad k = 2, \ldots, n - 1</math>
+::<math>A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1}</math>
+gdzie <math>A^1_1 = 1</math>, wynikają następujące wzory ogólne
+::<math>A^n_1 = (n - 1) !</math>
+::<math>A^n_n = n!</math>
+oraz
+::<math>A^n_{n - 1} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n!</math>
+::<math>A^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n!</math>
+::<math>A^n_{n - 3} = {\small\frac{1}{48}} n (n - 1) (n - 3) \cdot n!</math>
+::<math>A^n_{n - 4} = {\small\frac{1}{5760}} (n - 4) (15 n^3 - 30 n^2 + 5 n + 2) \cdot n!</math>
+::<math>A^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Rozwiązania pierwszego i&nbsp;trzeciego równania rekurencyjnego łatwo sprawdzamy. Drugie równanie jest znacznie trudniejsze. Rozważmy je dla <math>k = n - 1</math>, mamy
+::<math>A_{n - 1}^n = (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) A^{n - 1}_{n - 1}</math>
+Uwzględniając, że <math>A^{n - 1}_{n - 1} = (n - 1) !</math>, dostajemy
+::<math>A_{n - 1}^n = (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) (n - 1) !</math>
+Połóżmy
+::<math>A_{n - 1}^n = (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1}</math>
+Zauważmy, że <math>A_1^2 = U^2_1 = 1</math>. Podstawiając, mamy
+::<math>(n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} = (n - 1) \cdot (n - 2) ! \cdot U^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) (n - 1) !</math>
+Zatem
+::<math>U^n_{n - 1} = U^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1)</math>
+Czyli
+::<math>U^n_{n - 1} - U^{n - 1}_{n - 2} = n - 1</math>
+Łatwo znajdujemy ogólną postać <math>U^n_{n - 1}</math>
+::<math>U^n_{n - 1} = U^2_1 + \sum_{k = 3}^{n} (U^k_{k - 1} - U^{k - 1}_{k - 2}) = 1 + \sum_{k = 3}^{n} (k - 1) = 1 + {\small\frac{1}{2}} (n - 2) (n + 1) = {\small\frac{1}{2}} n (n - 1)</math>
+Skąd natychmiast otrzymujemy
+::<math>A_{n - 1}^n = (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} = (n - 1) ! \cdot {\small\frac{1}{2}} n (n - 1) = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n!</math>
+Zbadajmy drugie równanie rekurencyjne dla <math>k = n - 2</math>, mamy
+::<math>A_{n - 2}^n = (n - 2) A^{n - 1}_{n - 3} + (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2}</math>
+Uwzględniając, że <math>A^{n - 1}_{n - 2} = {\small\frac{1}{2}} (n - 2) \cdot (n - 1)!</math>, dostajemy
+::<math>A_{n - 2}^n = (n - 2) A^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1) (n - 2) \cdot (n - 1) !</math>
+Połóżmy
+::<math>A_{n - 2}^n = (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2}</math>
+Zauważmy, że <math>A_1^3 = U^3_1 = 2</math>. Podstawiając, mamy
+::<math>(n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} = (n - 2) \cdot (n - 3) ! \cdot U^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1) (n - 2) \cdot (n - 1) !</math>
+Zatem
+::<math>U^n_{n - 2} = U^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1)^2 (n - 2)</math>
+Czyli
+::<math>U^n_{n - 2} - U^{n - 1}_{n - 3} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1)^2 (n - 2)</math>
+Łatwo znajdujemy ogólną postać <math>U^n_{n - 2}</math>
+::<math>U^n_{n - 2} = U^3_1 + \sum_{k = 4}^{n} (U^k_{k - 2} - U^{k - 1}_{k - 3}) = 2 + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 4}^{n} (k - 1)^2 (k - 2) = {\small\frac{1}{24}} n (n - 1) (n - 2) (3 n - 1)</math>
+Skąd natychmiast otrzymujemy
+::<math>A_{n - 2}^n = (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n!</math>
+Podobnie znajdujemy rozwiązania <math>k = n - 3</math> i <math>k = n - 4</math>. Przypadek <math>k = 2</math> jest podobny do poprzednich, ale w&nbsp;tym przypadku wyliczona suma nie może być przedstawiona w&nbsp;zwartej formie. Dlatego omówimy go dodatkowo.
+::<math>A_2^n = 2 A^{n - 1}_1 + (n - 1) A^{n - 1}_2</math>
+Uwzględniając, że <math>A^{n - 1}_1 = (n - 2) !</math>, dostajemy
+::<math>A_2^n = 2 (n - 2) ! + (n - 1) A^{n - 1}_2</math>
+Połóżmy
+::<math>A_2^n = (n - 1) ! \cdot U^n_2</math>
+Zauważmy, że <math>A_2^2 = U^2_2 = 2</math>. Podstawiając, mamy
+::<math>(n - 1) ! \cdot U^n_2 = (n - 1) \cdot (n - 2) ! \cdot U^{n - 1}_2 + 2 (n - 2)!</math>
+Zatem
+::<math>U^n_2 = U^{n - 1}_2 + {\small\frac{2}{n - 1}}</math>
+Czyli
+::<math>U^n_2 - U^{n - 1}_2 = {\small\frac{2}{n - 1}}</math>
+Łatwo znajdujemy ogólną postać <math>U^n_2</math>
+::<math>U^n_2 = U^2_2 + \sum_{k = 3}^{n} (U^k_2 - U^{k - 1}_2) = 2 + 2 \sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} = 2 \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}}</math>
+Skąd natychmiast otrzymujemy
+::<math>A_2^n = (n - 1) ! \cdot U^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} =  2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}}</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga E60</span><br/>
+Z twierdzeń E58 i&nbsp;E59 wynika, że ogólną postać <math>n</math>-tej pochodnej funkcji <math>{\small\frac{1}{\log x}}</math> możemy łatwo wypisać
+::<math>{\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}}</math>
+ale nie istnieje wzór ogólny, który pozwoliłby łatwo wyliczać wartości współczynników <math>A_k^n</math>. W&nbsp;tej sytuacji jedynym wyjściem jest wykorzystanie równania rekurencyjnego
+::<math>A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad</math> dla <math>\quad k = 2, \ldots, n - 1</math>
+oraz wzorów
+::<math>A^n_1 = (n - 1) !</math>
+::<math>A^n_n = n!</math>
+Programy odwołujące się do wzorów rekurencyjnych są zazwyczaj niezwykle proste, ale należy ich unikać, bo działają wolno i&nbsp;zużywają duże ilości pamięci. Niżej podajemy przykłady prostych funkcji rekurencyjnych wyliczających silnię i&nbsp;liczby Fibonacciego napisanych w&nbsp;PARI/GP
+ silnia(n) = if( n==0, 1, n*silnia(n-1) )
+ Fibonacci(n) = if( n<=1, n, Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2) )
+W naszym przypadku rekurencji ominąć nie można, ale rozwiązaniem problemu jest równie prosta funkcja
+ A(n,k) = if( k==1 || k==n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )
+Dysponując funkcją wyliczającą wartości współczynników, możemy łatwo zapisać wzór na <math>n</math>-tą pochodną funkcji <math>{\small\frac{1}{\log x}}</math>
+ DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k=1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))
+Powyższy wzór jest bardzo przydatny przy wyliczaniu wartości <math>{\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}}</math> dla większych wartości <math>n</math>. Jednak <math>n</math> nie może być zbyt duże – ceną, jaką musimy zapłacić za użycie funkcji rekurencyjnych, jest wydłużenie czasu obliczeń. Przykładowo obliczenie
+ DLog(26, 10^8) = 7.1305293508389973644228947613613744962 10^(-186)
+trwało ponad pół minuty. Zobacz też [https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%5Bd%5E29%2Fdx%5E29+1%2Flog%28x%29+%2C++x+-%3E+1.0+*+10%5E8%5D WolframAlpha]
+== Przypisy ==
+<references>
+<ref name="BernoulliPoly1">Wikipedia, ''Bernoulli polynomials'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials Wiki-en])</ref>
+<ref name="BernoulliPoly2">WolframAlpha, ''Bernoulli Polynomial'', ([https://www.wolframalpha.com/input?i=Bernoulli+Polynomial WolframAlpha])</ref>
+<ref name="BernoulliPoly3">Wolfram MathWorld, ''Bernoulli Polynomial'', ([https://mathworld.wolfram.com/BernoulliPolynomial.html Wolfram])</ref>
+<ref name="BernoulliPoly4">NIST Digital Library of Mathematical Functions, ''Bernoulli and Euler Polynomials'', ([https://dlmf.nist.gov/24 LINK])</ref>
+<ref name="Lehmer1">D. H. Lehmer, ''On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials'', The American Mathematical Monthly, Vol. 47, No. 8 (Oct., 1940), pp. 533-538</ref>
+<ref name="Weierstrass1">Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> określona w&nbsp;przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w&nbsp;nim ograniczona. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Bolzana-Weierstrassa#Wniosek:_twierdzenie_Weierstrassa Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Wiki-en])</ref>
+<ref name="EulerMaclaurin1">Wikipedia, ''Euler–Maclaurin formula'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula#Examples Wiki-en])</ref>
+<ref name="WzorStirlinga1">Wikipedia, ''Wzór Stirlinga'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga#Szybko%C5%9B%C4%87_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_i_oszacowanie_b%C5%82%C4%99du Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation#Speed_of_convergence_and_error_estimates Wiki-en])</ref>
+<ref name="Abramowitz1">M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds), ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 10th printing, Washington, 1972, ([http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=805 LINK])</ref>
+<ref name="Abramowitz2">Wikipedia, ''Abramowitz and Stegun'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Abramowitz_and_Stegun Wiki-en])</ref>
+<ref name="LogIntegral1">Wikipedia, ''Logarytm całkowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Logarytm_ca%C5%82kowy Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_integral_function Wiki-en])</ref>
+<ref name="LogIntegral2">Wolfram MathWorld, ''Logarithmic Integral'', ([https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html Wolfram])</ref>
+<ref name="ExpIntegral1">Wikipedia, ''Funkcja całkowo-wykładnicza'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ca%C5%82kowo-wyk%C5%82adnicza Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral Wiki-en])</ref>
+<ref name="ExpIntegral2">Wolfram MathWorld, ''Exponential Integral'', ([https://mathworld.wolfram.com/ExponentialIntegral.html Wolfram])</ref>
+<ref name="Bernoulli1">Wikipedia, ''Liczby Bernoulliego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Bernoulliego#Liczby_Bernoulliego_%E2%80%93_definicja_1 Wiki-pl])</ref>
+</references>
+&nbsp;