Wzór Eulera-Maclaurina

22.07.2022

Funkcje kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]

Uwaga F1
Czytelnik może pominąć ten temat przy pierwszym czytaniu i powrócić do niego, gdy uzna, że potrzebuje bardziej precyzyjnego ujęcia omawianych tu problemów. Z pojęcia funkcji kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math] będziemy korzystali bardzo rzadko i jeśli Czytelnik chciałby jedynie poznać metodę Simpsona przybliżonego obliczania całek, to nie musi tracić czasu na zapoznawanie się z tym tematem.

Definicja F2
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] (lub kawałkami ciągła) w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], jeżeli jest ona zdefiniowana i ciągła wszędzie poza skończoną liczbą punktów [math]\displaystyle{ x_k \in \left[ a, b \right]. }[/math] Przy czym w każdym z punktów [math]\displaystyle{ x_k }[/math] istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^-_k} f (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^+_k} f (x) }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x_k = a }[/math] musi istnieć skończona granica prawostronna, a w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x_k = b }[/math] musi istnieć granica lewostronna.

Zadanie F3
Niech

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{rcc} a & & x = - 5\\ - x & & - 5 \lt x \lt 0\\ b & & x = 0\\ x & & 0 \lt x \lt 5\\ c & & x = 5 \end{array} \right. }[/math]

Zbadać, dla jakich wartości liczb [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math]

• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]

Rozwiązanie

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to - 5^+} f (x) = - 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f (x) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 5^-} f (x) = 5 }[/math]

to tylko dla wartości [math]\displaystyle{ a = - 5 }[/math], [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = 5 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Ale wybór liczb [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \neq - 5 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie (w jednym kawałku) kawałkami ciągła, ale nie będzie funkcją ciągłą. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie (w dwóch kawałkach) kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([a, b]) }[/math]. Nawet gdyby wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] były nieokreślone w punktach [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math], to i tak funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] byłaby kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([a, b]) }[/math].
□

Zadanie F4
Pokazać, że funkcje [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sin \! \left( {\small\frac{1}{x}} \right) }[/math] nie są kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math].

Definicja F5
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], jeżeli jest ona kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a jej pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje i jest kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Oznacza to, że musi istnieć skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] wyznaczających podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] w taki sposób, że

• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest zdefiniowana i ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
• pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje i jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
• istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]

Definicja F6
Niech [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], jeżeli jest ona kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a jej pochodne [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, r }[/math] istnieją i są kawałkami ciągłe w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Oznacza to, że musi istnieć skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] wyznaczających podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] w taki sposób, że

• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest zdefiniowana i ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
• pochodne [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, r }[/math], istnieją i są ciągłe w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
• istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots, r }[/math], na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]

Definicja F7
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], jeśli jest ona kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym ograniczonym przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] \subset \mathbb{R} }[/math].

Przykład F8
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & & - 5 \leqslant x \lt 0\\ 1 & & 0 \lt x \leqslant 5 \end{array} \right. }[/math]

Celowo nie określiliśmy wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to - 5^+} f (x) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f (x) = \lim_{x \to 5^-} f (x) = 1 }[/math]

zatem spełnione są warunki definicji F1 i funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła (kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]). Zauważmy, że funkcja ta jest funkcją skokową Heaviside'a [math]\displaystyle{ H(x) }[/math] obciętą do przedziału [math]\displaystyle{ [- 5, 5] }[/math].

[math]\displaystyle{ H(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & & x \lt 0\\ 1 & & x \geqslant 1 \end{array} \right. }[/math]

Warto zauważyć, że wartość funkcji Heaviside'a w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] nie jest ustalona. Niekiedy podaje się [math]\displaystyle{ H(0) = 0 }[/math], a czasami [math]\displaystyle{ H(0) = {\small\frac{1}{2}} }[/math]. Oczywiście funkcja Heaviside'a jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0(\mathbb{R}) }[/math]. Przyjmując [math]\displaystyle{ H(0) = 1 }[/math], policzmy pochodne jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ H(x) }[/math] w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{H (0 + h) - H (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{0 - 1}{h}} = - \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{h}} = + \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{H (0 + h) - H (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1 - 1}{h}} = 0 }[/math]

Czyli pochodna [math]\displaystyle{ H' (0) }[/math] nie istnieje, ale granice jednostronne pochodnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] istnieją. Istotnie, dla [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ H' (x) = 0 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} H' (x) = \lim_{x \to 0^+} H' (x) = 0 }[/math]

Wynika stąd, że funkcja Heaviside'a jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 (\mathbb{R}) }[/math].

Zadanie F9
Pokazać, że funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) & & 0 \lt | x | \leqslant 5\\ 0 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]

• jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
• jest różniczkowalna w całym przedziale [math]\displaystyle{ [- 5, 5] }[/math]
• nie jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math]
• nie jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math]

Rozwiązanie

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f (x) = 0 }[/math]

to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [- 5, 5] }[/math], czyli jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math].

Zauważmy też, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f' (0) = \lim_{h \to 0} {\small\frac{f (h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cdot \sin \! \left( \frac{1}{h} \right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \cdot \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) = 0 }[/math]

Ostatnia granica wynika z układu nierówności

[math]\displaystyle{ - h \leqslant h \cdot \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) \leqslant h }[/math]

Czyli pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 2 x \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \! \left( \frac{1}{x} \right) & & 0 \lt | x | \leqslant 5\\ 0 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]

i istnieje dla każdego punktu [math]\displaystyle{ x \in [- 5, 5] }[/math].

Ale granice funkcji [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] nie istnieją

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f' (x) = \lim_{h \to 0} f' (0 + h) = \lim_{h \to 0} \left[ 2 h \sin \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) - \cos \! \left( {\small\frac{1}{h}} \right) \right] = - \lim_{h \to 0} \cos \left( {\small\frac{1}{h}} \right) }[/math]

Zatem pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^1 }[/math]. Co więcej, funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet funkcją kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 }[/math], bo granice jednostronne pochodnej [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] nie istnieją w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].
□

Zadanie F10
Pokazać, że funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 \sin \! \left( \frac{1}{x} \right) & & 0 \lt | x | \leqslant 5\\ 1 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]

• nie jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
• jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]
• nie jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math]

Metoda Simpsona (parabol)

Twierdzenie F11
Jeżeli punkty [math]\displaystyle{ (- h, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (h, y_2) }[/math] leżą na pewnej paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^h_{- h} g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]

Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, zilustrujemy problem rysunkiem

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest parabolą, co oznacza, że może być zapisana w postaci

[math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int^h_{- h} g (x) d x = \int^h_{- h} (A x^2 + B x + C) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{A x^3}{3}} + {\small\frac{B x^2}{2}} + C x \biggr\rvert_{- h}^{h} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{2 A h^3}{3}} + 2 C h }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{h}{3}} (2 A h^2 + 6 C) }[/math]

Z drugiej strony parabola [math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math] przechodzi przez punkty [math]\displaystyle{ (- h, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (h, y_2) }[/math]. Wynika stąd, że współczynniki [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] muszą spełniać układ równań

[math]\displaystyle{ y_0 = A h^2 - B h + C }[/math]

[math]\displaystyle{ y_1 = C }[/math]

[math]\displaystyle{ y_2 = A h^2 + B h + C }[/math]

Dodając do siebie pierwsze i trzecie równanie, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ y_0 + y_2 = 2 A h^2 + 2 C }[/math]

Stąd już łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ 2 A h^2 + 6 C = (2 A h^2 + 2 C) + 4 C = y_0 + y_2 + 4 y_1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie F12
Jeżeli punkty [math]\displaystyle{ (a, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (c, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (b, y_2) }[/math] leżą na pewnej paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c = a + h }[/math], [math]\displaystyle{ b = a + 2 h }[/math] i [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) = {\small\frac{b - a}{6}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]

Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, zauważmy, że w rzeczywistości twierdzenie F12 wynika z twierdzenia F11.

Istotnie, przesunięcie paraboli wzdłuż osi [math]\displaystyle{ O X }[/math] nie zmienia pola pod parabolą, zatem udowodnione wyżej twierdzenie możemy natychmiast uogólnić dla dowolnych punktów na osi [math]\displaystyle{ O X }[/math]. Dla dowolnie wybranych [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c = a + h }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b = a + 2 h }[/math]. Jeżeli punkty [math]\displaystyle{ (a, y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ (c, y_1) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (b, y_2) }[/math] leżą na pewnej paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], to musi być

[math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]

W twierdzeniu F11 wybraliśmy na osi [math]\displaystyle{ O X }[/math] punkty [math]\displaystyle{ - h, 0, h }[/math], aby uprościć obliczenia, które w przypadku ogólnym są znacznie bardziej skomplikowane i oczywiście dają ten sam rezultat.

Dla zainteresowanego Czytelnika przedstawimy główne kroki dowodu w przypadku ogólnym. Niech [math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math] będzie poszukiwanym równaniem paraboli. Współczynniki [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] wynikają z układu równań

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} y_0 = A a^2 + B a + C\\ y_1 = A c^2 + B c + C\\ y_2 = A b^2 + B b + C \end{array} \right. }[/math]

Rozwiązując i uwzględniając, że [math]\displaystyle{ c = \tfrac{1}{2} (a + b) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A = {\small\frac{2 (y_0 - 2 y_1 + y_2)}{(b - a)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ B = - {\small\frac{y_0 (a + 3 b) - 4 y_1 (a + b) + y_2 (3 a + b)}{(b - a)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ C = {\small\frac{(b y_0 + a y_2) (a + b) - 4 a b y_1}{(b - a)^2}} }[/math]

Zamiast uciążliwego wyliczania współczynników z układu równań, możemy funkcję [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] zapisać od razu w takiej postaci, aby spełniała warunki [math]\displaystyle{ g(a) = y_0 }[/math], [math]\displaystyle{ g(c) = y_1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ g(b) = y_2 }[/math].

[math]\displaystyle{ g(x) = y_0 \cdot {\small\frac{(x - b) (x - c)}{(a - b) (a - c)}} + y_1 \cdot {\small\frac{(x - a) (x - b)}{(c - a) (c - b)}} + y_2 \cdot {\small\frac{(x - a) (x - c)}{(b - a) (b - c)}} }[/math]

Jeżeli położymy [math]\displaystyle{ c = \tfrac{1}{2} (a + b) }[/math], to otrzymamy równanie identyczne z [math]\displaystyle{ g(x) = A x^2 + B x + C }[/math].

Przechodząc w wypisanym wyżej wzorze do nowej zmiennej [math]\displaystyle{ t = x - c }[/math] oraz zauważając, że [math]\displaystyle{ b - a = 2 h \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b - c = c - a = h }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{2 h^2}} [(y_0 - 2 y_1 + y_2) t^2 + h (y_2 - y_0) t + 2 h^2 y_1] }[/math]

Konsekwentnie w całce również musimy dokonać zamiany zmiennych. Kładąc [math]\displaystyle{ t = x - c }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x = \int^h_{- h} g (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{2 h^2}} \int^h_{- h} [(y_0 - 2 y_1 + y_2) t^2 + h (y_2 - y_0) t + 2 h^2 y_1] d t = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{2 h^2}} \left[ {\small\frac{2 h^3}{3}} (y_0 - 2 y_1 + y_2) + 2 h^2 y_1 \cdot 2 h \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{h}{3}} (y_0 + 4 y_1 + y_2) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie F13 (całkowanie przybliżone metodą Simpsona)
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], to przybliżoną wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x }[/math] możemy obliczyć ze wzoru

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} [f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4 f (x_3) + 2 f (x_4) + \ldots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n)] }[/math]

Wzór ten możemy zapisać w zwartej postaci

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą parzystą, a [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] punktów [math]\displaystyle{ x_k }[/math] zostało wybranych w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] tak, aby

[math]\displaystyle{ a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_{n - 2} \lt x_{n - 1} \lt x_n = b }[/math]

Punkty te tworzą parzystą liczbę przedziałów [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math] o takich samych szerokościach [math]\displaystyle{ h = {\small\frac{b - a}{n}} }[/math].

Dowód

Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Aby znaleźć przybliżoną wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x }[/math], dzielimy przedział [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] na parzystą liczbę przedziałów [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]. Każdy z tych utworzonych przedziałów ma jednakową szerokość [math]\displaystyle{ h = x_{k + 1} - x_k = {\small\frac{b - a}{n}} }[/math].

Liczba przedziałów musi być parzysta, bo będziemy rozpatrywali pary przedziałów [math]\displaystyle{ [x_0, x_2] }[/math], [math]\displaystyle{ [x_2, x_4] }[/math], ... , [math]\displaystyle{ [x_{2 k - 2}, x_{2 k}] }[/math], ... [math]\displaystyle{ [x_{n - 2}, x_{n}] }[/math]. Dla każdej takiej pary przedziałów istnieją trzy punkty charakterystyczne, odpowiadające wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na początku, na końcu i w środku przedziału. Żądanie, aby parabola przechodziła przez te trzy punkty, określa jednoznacznie współczynniki paraboli i jest ona przybliżeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

Na podstawie twierdzenia F12 całka [math]\displaystyle{ I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ g (x) }[/math] jest parabolą przechodzącą przez punkty [math]\displaystyle{ (x_{2 k - 2}, f (x_{2 k - 2})) }[/math], [math]\displaystyle{ (x_{2 k - 1}, f (x_{2 k - 1})) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (x_{2 k}, f (x_{2 k})) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x = {\small\frac{h}{3}} [f (x_{2 k - 2}) + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k})] }[/math]

Sumując całki [math]\displaystyle{ I_{2 k} = \int_{x_{2 k - 2}}^{x_{2 k}} g (x) d x }[/math] dla kolejnych par przedziałów, otrzymujemy przybliżenie całki oznaczonej [math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{h}{3}} [f (x_0) + 4 f (x_1) + f (x_2)] + {\small\frac{h}{3}} [f (x_2) + 4 f (x_3) + f (x_4)] + \ldots + {\small\frac{h}{3}} [f (x_{2 k - 2}) + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k})] + \ldots + {\small\frac{h}{3}} [f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 f (x_1) + 2 f (x_2) + 4 f (x_3) + 2 f (x_4) + \ldots + 4 f (x_{2 k - 1}) + f (x_{2 k}) + \ldots + 2 f (x_{n - 2}) + 4 f (x_{n - 1}) + f (x_n) \right] }[/math]

Współczynnik [math]\displaystyle{ 4 }[/math] występuje przy wszystkich wyrazach [math]\displaystyle{ f(x_{2 k - 1}) }[/math], czyli dla argumentów o indeksie nieparzystym. Współczynnik [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje przy wszystkich wyrazach [math]\displaystyle{ f(x_{2 k}) }[/math], czyli dla argumentów o indeksie parzystym, ale nie dotyczy to indeksów [math]\displaystyle{ 0 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n }[/math]. Dlatego liczba wyrazów ze współczynnikiem [math]\displaystyle{ 4 }[/math] jest o jeden większa od liczby wyrazów ze współczynnikiem [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Używając symboli sumy, możemy powyższy wzór zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie F14
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math], a funkcja [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ W(x) = \left\{ \begin{array}{lll} {\large\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) & & a \leqslant x \leqslant c\\ {\large\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) & & c \lt x \leqslant b \end{array} \right. }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]

Dowód

Dowód oparliśmy na pomyśle Talvili i Wiersmy. Dla wygody wprowadźmy oznaczenia

[math]\displaystyle{ W(x) = \left\{ \begin{array}{lll} U (x) & & a \leqslant x \leqslant c\\ V (x) & & c \lt x \leqslant b \end{array} \right. }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ U(x) = {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) }[/math]

[math]\displaystyle{ V(x) = {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) }[/math]

Wyliczając wartości [math]\displaystyle{ U^{(n)} (a) }[/math], [math]\displaystyle{ U^{(n)} (c) }[/math], [math]\displaystyle{ V^{(n)} (c) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ V^{(n)} (b) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n = 0, 1, \ldots, 4 }[/math] sporządziliśmy tabelę wartości funkcji [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] i jej pochodnych w punktach [math]\displaystyle{ x = a }[/math], [math]\displaystyle{ x = c }[/math] i [math]\displaystyle{ x = b }[/math].

[math]\displaystyle{ \quad n \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ U^{(n)} (a) }[/math]	[math]\displaystyle{ U^{(n)} (c) }[/math]	[math]\displaystyle{ V^{(n)} (c) }[/math]	[math]\displaystyle{ V^{(n)} (b) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 0 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 1 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 3 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - (b - a) }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 (b - a) }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2 (b - a) }[/math]	[math]\displaystyle{ b - a }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]

Zauważmy: trzecia pochodna funkcji [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] jest funkcją nieciągłą w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], zatem funkcja [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^2 ([a, b]) }[/math]. Natomiast czwarte pochodne funkcji [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ V(x) }[/math] są funkcjami stałymi i są sobie równe.

Dowód przeprowadzimy całkując wielokrotnie przez części całkę [math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]. Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n = 0, 1, 2 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ W^{(n)} (x) }[/math] są ciągłe oraz spełniony jest warunek

[math]\displaystyle{ W^{(n)} (a) = W^{(n)} (b) = 0 }[/math]

to otrzymujemy kolejno

[math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = f^{(3)} (x) W (x) \biggr\rvert_{a}^{b} - \int^b_a f^{(3)} (x) W^{(1)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - \int^b_a f^{(3)} (x) W^{(1)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - f^{(2)} (x) W^{(1)} (x) \biggr\rvert_{a}^{b} + \int^b_a f^{(2)} (x) W^{(2)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = \int^b_a f^{(2)} (x) W^{(2)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = f^{(1)} (x) W^{(2)} (x) \biggr\rvert_{a}^{b} - \int^b_a f^{(1)} (x) W^{(3)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - \int^b_a f^{(1)} (x) W^{(3)} (x) d x }[/math]

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ W^{(3)} (x) }[/math] jest nieciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c = {\small\frac{a + b}{2}} }[/math], to musimy całkować osobno dla [math]\displaystyle{ x \in [a, c] }[/math] i dla [math]\displaystyle{ x \in [c, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = - \int^c_a f^{(1)} (x) U^{(3)} (x) d x - \int^b_c f^{(1)} (x) V^{(3)} (x) d x }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ - \int_a^c f^{(1)} (x) U^{(3)} (x) d x = - f (x) U^{(3)} (x) \biggr\rvert_{a}^{c} + \int^c_a f (x) U^{(4)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = - f (c) U^{(3)} (c) + f (a) U^{(3)} (a) + 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = - 2 (b - a) f (c) - (b - a) f (a) + 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = - (b - a) [f (a) + 2 f (c)] + 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ - \int_c^b f^{(1)} (x) V^{(3)} (x) d x = - f (x) V^{(3)} (x) \biggr\rvert_{c}^{b} + \int^b_c f (x) V^{(4)} (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ = - f (b) V^{(3)} (b) + f (c) V^{(3)} (c) + 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ = - (b - a) f (b) - 2 (b - a) f (c) + 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ = - (b - a) [f (b) + 2 f (c)] + 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x = - (b - a) [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + 6 \int^b_a f (x) d x }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie F15
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math] i [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math]. Jeżeli wartość całki [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math] przybliżymy wartością całki [math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest parabolą przechodzącą przez punkty [math]\displaystyle{ P_a = (a, f (a)) }[/math], [math]\displaystyle{ P_c = (c, f (c)) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P_b = (b, f (b)) }[/math], to błąd takiego przybliżenia jest nie większy niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{2880}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math].

Dowód

Zauważmy, że z definicji punkty [math]\displaystyle{ P_a }[/math], [math]\displaystyle{ P_b }[/math] i [math]\displaystyle{ P_c }[/math] są punktami wspólnymi funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i paraboli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math].

Z twierdzenia F14 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]

Uwzględniając twierdzenie F12, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = \int^b_a g (x) d x + {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x }[/math]

Zatem błąd, jaki popełniamy, przybliżając funkcję [math]\displaystyle{ f (x) }[/math] parabolą [math]\displaystyle{ g (x) }[/math] przechodzącą przez punkty [math]\displaystyle{ P_a }[/math], [math]\displaystyle{ P_b }[/math] i [math]\displaystyle{ P_c }[/math], wynosi

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f (x) d x - \int^b_a g (x) d x \right| = {\small\frac{1}{6}} \left| \int^b_a f^{(4)} (x) W (x) d x \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{1}{6}} \int^b_a | f^{(4)} (x) W (x) | d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{M}{6}} \int^b_a | W (x) | d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math]. Pozostaje policzyć całkę

[math]\displaystyle{ \int^b_a | W (x) | d x = {\small\frac{1}{12}} \int^c_a | (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) | d x + {\small\frac{1}{12}} \int^b_c | (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) | d x }[/math]

Ponieważ prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ a \lt {\small\frac{2 a + b}{3}} \lt {\small\frac{a + b}{2}} \lt {\small\frac{a + 2 b}{3}} \lt b }[/math]

a funkcje podcałkowe są iloczynami liniowych funkcji rosnących to, po znalezieniu miejsc zerowych tych funkcji, otrzymujemy natychmiast informację o znaku funkcji podcałkowych w interesujących nas przedziałach

[math]\displaystyle{ x }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{a + 2 b}{3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ x - a }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ + }[/math]	[math]\displaystyle{ + }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 x - a - 2 b }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2 a + b}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]
[math]\displaystyle{ x - b }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 x - 2 a - b }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ + }[/math]	[math]\displaystyle{ + }[/math]

Widzimy, że funkcje [math]\displaystyle{ (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) }[/math] są ujemne w swoich przedziałach całkowania, zatem (zobacz WolframAlpha1, WolframAlpha2)

[math]\displaystyle{ \int^b_a | W (x) | d x = - {\small\frac{1}{12}} \int^c_a (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) d x - {\small\frac{1}{12}} \int^b_c (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{(b - a)^5}{960}} + {\small\frac{(b - a)^5}{960}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{(b - a)^5}{480}} }[/math]

Podstawiając, otrzymujemy ostatecznie

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f (x) d x - \int^b_a g (x) d x \right| \leqslant {\small\frac{M}{6}} \cdot {\small\frac{(b - a)^5}{480}} = {\small\frac{M (b - a)^5}{2880}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie F16 (błąd przybliżonego całkowania metodą Simpsona)
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math]. Jeżeli policzymy przybliżoną wartość całki [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math] metodą Simpsona (twierdzenie F13), to błąd takiego przybliżenia jest nie większy niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math].

Dowód

Maksymalny błąd, jaki możemy popełnić, stosując metodę Simpsona, jest sumą błędów, jakie zostają popełnione, gdy dla wybranej pary przedziałów [math]\displaystyle{ [x_{2 k - 2}, x_{2 k}] }[/math] przybliżamy funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] parabolą. Zatem całkowity błąd metody Simpsona jest równy

[math]\displaystyle{ E_n = \sum_{k = 1}^{n / 2} \left| \int^{x_{2 k}}_{x_{2 k - 2}} f (x) d x - \int^{x_{2 k}}_{x_{2 k - 2}} g_k (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ g_k (x) }[/math] jest parabolą, jaką funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] została przybliżona w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej parze przedziałów [math]\displaystyle{ [x_{2 k - 2}, x_{2 k}] }[/math]. Z twierdzenia F15 wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ E_n = \sum_{k = 1}^{n / 2} \frac{M_k \cdot (x_{2 k} - x_{2 k - 2})^5}{2880} }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ M_k \geqslant \max_{x_{2 k - 2} \leqslant x \leqslant x_{2 k}} | f^{(4)} (x) | }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ E_n = {\small\frac{1}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M_k \cdot (2 h)^5 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{(2 h)^5}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M_k }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant {\small\frac{32 \cdot h^5}{2880}} \sum_{k = 1}^{n / 2} M }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{M (b - a)^5}{90 n^5}} \cdot {\small\frac{n}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math]

gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ M = \max (M_1, \ldots, M_{n / 2}) \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math]

Co kończy dowód.
□

Uwaga F17
Niech będzie dana funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math]. Jeżeli obierzemy pewien stały skok [math]\displaystyle{ h }[/math] to, stosując metodę Simpsona, możemy policzyć przybliżenie [math]\displaystyle{ I }[/math] całki [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math]. Wiemy, że błąd, z jakim wyliczymy wartość całki nie przekracza liczby

[math]\displaystyle{ E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} = {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot (b - a) = {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math], a przez [math]\displaystyle{ L = b - a }[/math] oznaczyliśmy długość przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Co się stanie, jeżeli (zachowując stały skok [math]\displaystyle{ h }[/math]) podzielimy przedział [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] na dowolną liczbę mniejszych przedziałów, każdy o długości [math]\displaystyle{ l_k }[/math], policzymy całki [math]\displaystyle{ I_k }[/math] oraz błędy [math]\displaystyle{ E_k }[/math] w każdym z tych mniejszych przedziałów, a następnie je zsumujemy?

Całka [math]\displaystyle{ I }[/math] będzie oczywiście sumą wyliczonych całek [math]\displaystyle{ I_k }[/math], a całkowity błąd [math]\displaystyle{ E' }[/math] będący sumą błędów [math]\displaystyle{ E_k }[/math] nie wzrośnie!

Istotnie błąd, jaki popełniamy w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tym przedziale o długości [math]\displaystyle{ l_k }[/math], wynosi

[math]\displaystyle{ E_k = {\small\frac{M_k h^4}{180}} \cdot l_k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M_k }[/math] jest ograniczeniem od góry funkcji [math]\displaystyle{ | f^{(4)} (x) | }[/math] w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tym przedziale. Suma tych błędów jest równa

[math]\displaystyle{ E' = \sum_k {\small\frac{M_k h^4}{180}} \cdot l_k = {\small\frac{h^4}{180}} \sum_k M_k l_k \leqslant {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \sum_k l_k = {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \cdot L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M' = \max (M_1, M_2, \ldots, M_k, \ldots) }[/math] jest ograniczeniem od góry funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Jeśli tylko dokonywaliśmy wyboru liczb [math]\displaystyle{ M_k }[/math] ograniczających od góry funkcję [math]\displaystyle{ | f^{(4)} (x) | }[/math] na odcinkach o długości [math]\displaystyle{ l_k }[/math] na tyle starannie, że prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ M' = \max (M_1, M_2, \ldots, M_k, \ldots) \leqslant M }[/math]

(co nie jest trudne, bo wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M_1 = M_2 = \ldots = M_k = \ldots = M }[/math]), to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ E' = {\small\frac{M' \cdot h^4}{180}} \cdot L \leqslant {\small\frac{M \cdot h^4}{180}} \cdot L = E }[/math]

Powyższe rozważania od razu udzielają odpowiedzi na ważne pytanie:
Co należy zrobić, jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math], a jedynie jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math]? Oczywiście należy całkę zapisać jako sumę całek, z których każda jest obliczana w takim przedziale, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest w nim klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math]. Stosując metodę Simpsona, obliczyć całki [math]\displaystyle{ I_k }[/math] i błędy [math]\displaystyle{ E_k }[/math] w tych przedziałach, a następnie zsumować wartości całek i błędów.

Uwaga F18
Podsumowując, metoda parabol prowadzi do natępującego wzoru na przybliżoną wartość całki

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

Przedział całkowania [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] dzielimy na parzystą liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math] przedziałów [math]\displaystyle{ [x_{k - 1}, x_k] }[/math] o jednakowej szerokości [math]\displaystyle{ h = {\small\frac{b - a}{n}} }[/math].

Wzór można przedstawić w postaci

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (a) + 4 \sum^{n / 2}_{k = 1} f (a + (2 k - 1) \cdot h) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (a + 2 k \cdot h) + f (b) \right] }[/math]

Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 ([a, b]) }[/math], to błąd wartości liczbowej całki oznaczonej [math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x }[/math], jaki popełniamy, stosując metodę Simpsona, nie przekracza

[math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{a \leqslant x \leqslant b}{\max} | f^{(4)} (x) | }[/math].

Uwaga F19
Wykorzystując przedstawioną metodę parabol, możemy bez trudu napisać w PARI/GP prosty i zaskakująco dokładny program do liczenia całek oznaczonych. Parametr M jest parametrem opcjonalnym. Jeżeli jest obecny, to zostanie wyliczony błąd [math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | \leqslant M }[/math]. Jeżeli zostanie pominięty, to zostanie wyliczona jedynie wartość [math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^5}{180 n^4}} }[/math], a w wyniku pojawi się czynnik [math]\displaystyle{ M }[/math], który ma przypominać, że liczba musi zostać pomnożona przez [math]\displaystyle{ M \geqslant \max_{a \leqslant x \leqslant b} | f^{(4)} (x) | }[/math], aby uzyskać wartość błędu.

Simpson(a, b, n, M = -1) =
\\ n musi być liczbą parzystą
{
local(err, h, k, S, V);
h = 1.0*(b - a)/n;
S = f(a) + 4 * sum(k = 1, n/2, f(a + (2*k-1)*h)) + 2 * sum(k = 1, n/2 - 1, f(a + 2*k*h)) + f(b);
S = (b - a)/(3*n) * S;
err = 1.0*(b - a)^5/(180*n^4) * if(M<0, 1, M);
V = [ S, if( M < 0, Str( "M * ", err), err ) ];
return(V);
}

Przykład F20
Przedstawimy kilka przykładowych wyników obliczeń całek nieoznaczonych przy pomocy programu Simpson(a, b, n, M)

[math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int^3_0 f (x) d x = 9 }[/math]

Simpson(0, 3, 2^10, 0)
[9.0000000000000000000000000000000000000, 0]

[math]\displaystyle{ f(x) = \sin (x) }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{0}^{\pi} f (x) d x = 2 }[/math]

Simpson(0, Pi, 2^10, 1)
[2.0000000000009843683496726710086289358, 1.5462404552801947792469203606107819849 E-12]

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{4}{1 + x^2}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int^1_0 f (x) d x = \pi }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 }[/math]

Simpson(0, 1, 2^15, 96)
[3.1415926535897932384626433832474475839, 4.6259292692714855850984652837117513021 E-19]

Po uwzględnieniu wyliczonego błędu kolorem czerwonym zaznaczono tylko te cyfry, których wartość jest pewna. W rzeczywistości jeszcze kolejnych [math]\displaystyle{ 10 }[/math] cyfr jest poprawnych.

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{x}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.1527399692533334654765895125096821824796221626790438771977250903 \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.13)
[0.15273996925335764945765416969734658087, 2.3263037652077992736046178707334374747 E-10]

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{\log (x)}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.63535086286 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.46)
[0.63535086286330151753047973075030359191, 8.2315363999660589681394170810567787567 E-10]

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}} }[/math], [math]\displaystyle{ \qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład E43)

[math]\displaystyle{ \int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1 }[/math]

Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{P_1 (x)}{x}} }[/math] nie jest ciągła, ale jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^4 }[/math]. Zapiszmy całkę w postaci sumy całek, z których każda jest określona w przedziale [math]\displaystyle{ [k, k + 1] }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{10} f (x) d x = \int_{1}^{10} \frac{x - \lfloor x \rfloor - {\small\frac{1}{2}}}{x} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = \int_{1}^{10} \left( 1 - \frac{\lfloor x \rfloor + {\small\frac{1}{2}}}{x} \right) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = 9 - \sum_{k = 1}^{9} \int_{k}^{k + 1} \frac{k + {\small\frac{1}{2}}}{x} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = 9 - \sum_{k = 1}^{9} \left( k + {\small\frac{1}{2}} \right) \int_{k}^{k + 1} {\small\frac{d x}{x}} }[/math]

Mamy

f(x) = 1 / x 
[9, 0] - sum( k = 1, 9, (k + 1/2) * Simpson(k, k + 1, 2^20, 24/k^5) )
[-0.072730903361964386963200988526802160255, -1.7650768731492669233661475404296456609 E-25]

Zauważmy, że całka i błąd są mnożone przez czynnik [math]\displaystyle{ \left( k + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math] – tak, jak być powinno! Ujemny znak błędu wynika z odejmowania wyliczonego błędu od zera.

Uwaga F21
Czytelnik zapewne zwrócił uwagę, że we wszystkich przedstawionych przykładach wybieraliśmy liczbę podziałów tak, aby była potęgą liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Są ku temu dwa dobre powody

• ułamek [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2^n}} }[/math] ma skończoną reprezentację binarną, co poprawia precyzję obliczeń
• potrzebujemy dwukrotnego wzrostu liczby podziałów, aby zmniejszyć błąd o rząd wielkości (błąd maleje [math]\displaystyle{ 16 }[/math]-krotnie)

Całkowanie przybliżone pewnych całek niewłaściwych

Twierdzenie F22
Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] jest zbieżna i istnieje funkcja [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] spełniająca warunki

• [math]\displaystyle{ | f (t) | \leqslant g (t) }[/math] dla [math]\displaystyle{ t \geqslant b }[/math]
• istnieje całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ G(t) = \int g (t) d t + C }[/math]
• całka [math]\displaystyle{ \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math] jest zbieżna
• [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math] jest dowolnie wybraną liczbą, to przybliżona wartość całki niewłaściwej [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum_{k = 1}^{n / 2 - 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

z błędem nie większym niż

[math]\displaystyle{ E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) }[/math]

Przy czym optymalna liczba podziałów przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] (dla ustalonej wartości [math]\displaystyle{ b }[/math]) wynosi

[math]\displaystyle{ n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}} }[/math]

Odpowiada jej minimalny błąd równy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a) g (b)}{5}} - G (b) }[/math]

Dowód

Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math] jest zbieżna, to granica [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) }[/math] jest skończona (twierdzenie E28). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

Zastępując całkę niewłaściwą [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] całką oznaczoną [math]\displaystyle{ \int^b_a f (t) d t }[/math], popełniamy błąd

[math]\displaystyle{ \left| \int_{a}^{\infty} f (t) d t - \int^b_a f (t) d t \right| = \left| \int_{b}^{\infty} f (t) d t \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, \leqslant \int_{b}^{\infty} | f (t) | d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, \leqslant \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \lim_{t \to + \infty} G (t) - G (b) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = - G (b) }[/math]

Całkę oznaczoną [math]\displaystyle{ \int^b_a f (t) d t }[/math] możemy policzyć metodą parabol

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x \approx \int^b_a f (x) d x \approx {\small\frac{(b - a)}{3 n}} \left[ f (x_0) + 4 \sum_{k = 1}^{n / 2} f (x_{2 k - 1}) + 2 \sum^{n / 2 - 1}_{k = 1} f (x_{2 k}) + f (x_n) \right] }[/math]

popełniając przy tym błąd

[math]\displaystyle{ E_n = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} }[/math]

Zatem całkowity błąd jest nie większy niż

[math]\displaystyle{ E = {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) }[/math]

Zauważmy, że równanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d b}} \left( {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) \right) = 0 }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ g(b) = {\small\frac{M (b - a)^4}{36 n^4}} }[/math]

jest warunkiem na minimalną wartość błędu. Wynika z niego optymalna wartość liczby podziałów [math]\displaystyle{ n }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] dla wybranej wartości [math]\displaystyle{ b }[/math]

[math]\displaystyle{ n^4 = {\small\frac{M (b - a)^4}{36 g (b)}} }[/math]

Ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}} }[/math]

Błąd dla optymalnej wartości [math]\displaystyle{ n }[/math] wynosi

[math]\displaystyle{ {\small\frac{M (b - a)^5}{180 n^4}} - G (b) = {\small\frac{M (b - a)^5}{180}} \cdot {\small\frac{36 g (b)}{M (b - a)^4}} - G (b) = {\small\frac{(b - a) g (b)}{5}} - G (b) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga F23
Na podstawie twierdzenia F22, możemy napisać w PARI/GP program do przybliżonego liczenia całek niewłaściwych. Jeżeli parametrowi num przypiszemy wartość -1 (wartość domyślna), to zostanie wyliczona optymalna liczba podziałów

[math]\displaystyle{ n = (b - a) \cdot \sqrt[4]{{\small\frac{M}{36 g (b)}}} }[/math]

(czyli taka, aby błąd był najmniejszy). Jeżeli parametr num przyjmie wartość -2, to optymalna liczba podziałów [math]\displaystyle{ n }[/math] zostanie zapisana w postaci potęgi liczby 2 (o wartości najbliższej optymalnej liczbie podziałów). W przypadku, gdy parametr num jest liczbą większą od zera, będzie on użyty do obliczeń jako liczba przedziałów [math]\displaystyle{ n }[/math].

Program jest prosty, ale wymaga (zgodnie z twierdzeniem F22) nie tylko definicji funkcji podcałkowej, ale znacznie więcej. Przed uruchomieniem programu musimy

1. zdefiniować funkcję podcałkową [math]\displaystyle{ f(t) }[/math]

2. zdefiniować liczbę [math]\displaystyle{ M }[/math] będącą oszacowaniem od góry funkcji [math]\displaystyle{ | f^{(4)} (t) | }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]

3. zdefiniować funkcję [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ | f (t) | \leqslant g (t) }[/math] dla [math]\displaystyle{ t \geqslant b }[/math]

4. zdefiniować całkę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ G(t) }[/math] funkcji [math]\displaystyle{ g(t) }[/math]

5. upewnić się, że całka [math]\displaystyle{ \int_{b}^{\infty} g (t) d t }[/math] jest zbieżna

6. sprawdzić, czy [math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math], a gdyby tak nie było, to zmienić definicję funkcji [math]\displaystyle{ G(t) }[/math]

Dopiero po wykonaniu tych czynności możemy uruchomić program Simproper(a, b, num)

Simproper(a, b, num = -1) =
{
local(err, h, k, n, S);
n = if( num <= 0, floor(  (b - a) * ( M/36/g(b) )^(1/4)  ), num );
n = 2 * floor( (n+1)/2 );
if( num == -2, n = 2^floor( log(n)/log(2) + 1/2 ) );
h = 1.0*(b - a)/n;
S = f(a) + 4 * sum(k = 1, n/2, f(a + (2*k-1)*h)) + 2 * sum(k = 1, n/2 - 1, f(a + 2*k*h)) + f(b);
S = (b - a)/(3*n) * S;
err = 1.0 * M * (b - a)^5 / (180 * n^4) - G(b);
return( [S, err] );
}

Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest szybko zbieżna, to nie należy prowadzić obliczeń w zbyt szerokim przedziale. Program będzie usiłował zapewnić odpowiednio mały błąd wyliczanej całki i liczba podziałów przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] może osiągnąć ogromne wartości, a obliczenia będą bardzo czasochłonne.

Przykład F24
Rozważmy całkę [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math].

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t = 0.0032550962148135833916711170162561745391641476739599050514576388 \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Tak dokładny rezultat jest możliwy, ponieważ

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{1}{2}} \mathop{\textnormal{Si}}(2 \pi) - {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{4 \pi}} }[/math]

gdzie funkcja [math]\displaystyle{ \mathop{\textnormal{Si}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t }[/math] (sinus całkowy) jest funkcją specjalną i wiemy, jak obliczać jej wartości z wysoką dokładnością.

Aby skorzystać z programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{t^3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{2 t^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 0.004 }[/math]

Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy

Simproper(2*Pi, 10^5)
[0.0032550962148146005117256508966635416723, 6.9998742421027342073324279855934715203 E-11]

Simproper(2*Pi, 3*10^5)
[0.0032550962148136208735774540186061237864, 7.7777312525236569255722454074806518694 E-12]

Przykład F25
Rozważmy całkę oznaczoną

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{d t}{e^t + t}} = 0.8063956162073262251 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Aby skorzystać z programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{1}{e^t + t}} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{e^t}} }[/math]

[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{e^t}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 0}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 261 }[/math]

Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy

Simproper(0, 40)
[0.80639561620732622105189277802198625914, 3.8235099324937067671907345290643700420 E-17]

Simproper(0, 50)
[0.80639561620732622517960851949178238112, 2.1216247131181941474567287282139719553 E-21]

Zadanie F26
Policzyć wartość całki

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{d t}{e^t + t^2}} = 0.818759031812863 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Uwaga F27
Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia F22. Nawet prostej całki [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t }[/math] nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}} }[/math] jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia E23. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami [math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math].

Twierdzenie F28
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Indukcja matematyczna. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f^{(0)} (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (t) \cos (t) + \int f' (t) \cos (t) d t }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] = f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) = \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] - f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t = f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n }[/math] i korzystając z pokazanego przed chwilą związku, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{n \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny.

Punkt 2.

Indukcja matematyczna. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f^{(0)} (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = f (t) \sin (t) - \int f' (t) \sin (t) d t }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] = f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) = - \frac{d}{d t} \left [ f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) \right ] + f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t = - f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) + \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n }[/math] i korzystając z pokazanego przed chwilą związku, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \cos \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) + f^{(n)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{(n - 1) \pi}{2}} + {\small\frac{\pi}{2}} \right) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{k \pi}{2}} \right) - \int f^{(n + 1)} (t) \sin \! \left( t + {\small\frac{n \pi}{2}} \right) d t }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny.
□

Uwaga F29
Z twierdzenia F27 wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) - \int f^{(2)} (t) \sin (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - \int f^{(3)} (t) \cos (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t }[/math]

Uwaga F30
Z twierdzenia F27 wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - \int f^{(2)} (t) \cos (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - f^{(2)} (t) \sin (t) + \int f^{(3)} (t) \sin (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) + f^{(1)} (t) \cos (t) - f^{(2)} (t) \sin (t) - f^{(3)} (t) \cos (t) + \int f^{(4)} (t) \cos (t) d t }[/math]

Przykład F31
Rozważmy całkę

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = 0.152644750662268168985541529340002012956131350392536638644752066 \ldots \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając ze wzoru podanego w uwadze F29, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) - \int f^{(2)} (t) \sin (t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{t}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t^2}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - 2 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = {\small\frac{1}{2 \pi}} - 2 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math]

Całkę [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^3}} d t }[/math] umiemy już obliczyć (przykład F24), zatem bez trudu policzymy całkę [math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t }[/math]. Skoro poszło nam tak dobrze, to spróbujmy wykorzystać wzór

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t }[/math]

Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{t}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t^2}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 2 {\small\frac{\cos (t)}{t^3}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 6 {\small\frac{\sin (t)}{t^4}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = {\small\frac{1}{2 \pi}} - {\small\frac{1}{4 \pi^3}} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t }[/math]

Aby policzyć numerycznie całkę po prawej stronie, musimy przygotować:

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{t^5}} }[/math]

[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{4 t^4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (x) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 6 \cdot 10^{- 5} }[/math]

Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy

Simproper(2*Pi, 10^3)
[6.4695465777027289767180972728663860875 E-5, 4.4874345453688215509527110951904781824 E-13]

Simproper(2*Pi, 10^4)
[6.4695465778029401532128088001319549975 E-5, 4.4987432411781955704707501103003654673 E-17]

Uzyskaliśmy wynik

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = {\color{Red} 6.469546577}8029 \cdot 10^{- 5} }[/math]

Dla porównania

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = 6.46954657780293963651366308178572112473974453729045450304230 \cdot 10^{- 5} \qquad }[/math] (WolframAlpha)

I ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2 \pi}} - {\small\frac{1}{4 \pi^3}} + 24 \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t^5}} d t = {\color{Red} 0.15264475066226}8169 }[/math]

Korzystając z przykładu F24, uzyskalibyśmy mniej dokładny wynik.

Przykład F32
Pokażemy, że

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = 0.5319715471471 \ldots }[/math]

W tym przypadku również nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając ze wzoru na całkowanie przez części

[math]\displaystyle{ \int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + f^{(1)} (t) \sin (t) + f^{(2)} (t) \cos (t) - f^{(3)} (t) \sin (t) + \int f^{(4)} (t) \sin (t) d t }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{\log (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t \cdot \log^2 (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + {\small\frac{(\log (t) + 2) \cos (t)}{t^2 \cdot \log^3 (t)}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - f^{(3)} (t) \sin (t) \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{\log (2 \pi)}} - {\small\frac{\log (2 \pi) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^3 (2 \pi)}} + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t }[/math]

Aby skorzystać z programu Simproper(a, b, num), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{2 \log^2 (t) + 6 \log (t) + 6}{t^3 \cdot \log^4 (t)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 2 \pi}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 0.011 }[/math]

Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy

Simproper(2*Pi, 10^4)
[0.0035251602572557803759192121691047755503, 5.2926827357763320615993244790723469003 E-14]

Simproper(2*Pi, 2*10^4)
[0.0035251602572557723629683384320660178268, 5.5938553808328833862080836586551636221 E-15]

Uzyskujemy wynik

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \cdot \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t = {\color{Red} 0.0035251602572}5577 }[/math]

I ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (t)}} d t = {\small\frac{1}{\log (2 \pi)}} - {\small\frac{\log (2 \pi) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^3 (2 \pi)}} + \int^{\infty}_{2 \pi} {\small\frac{(6 \log^3 (t) + 22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 24) \sin (t)}{t^4 \cdot \log^5 (t)}} d t = {\color{Red} 0.5319715471471}5371 }[/math]

Zadanie F33
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (\log (t))}} d t = 1.56477817589 \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Zadanie tylko dla wytrwałych. Bez Maximy lub innego systemu wspomagającego obliczenia symboliczne nie ma sensu tracić czasu. Postępując analogicznie jak w przykładzie F32, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{\log (\log (t))}} d t = - {\small\frac{\cos (t)}{\log (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - {\small\frac{\sin (t)}{t \cdot \log (t) \cdot \log^2 (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + {\small\frac{(\log (t) \cdot \log (\log (t)) + \log (\log (t)) + 2) \cos (t)}{t^2 \cdot \log^2 (t) \cdot \log^3 (\log (t))}} \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} - f^{(3)} (t) \sin (t) \biggr\rvert_{2 \pi}^{\infty} + }[/math]

[math]\displaystyle{ + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{1}{\log (\log (2 \pi))}} - {\small\frac{\log (2 \pi) \cdot \log (\log (2 \pi)) + \log (\log (2 \pi)) + 2}{(2 \pi)^2 \cdot \log^2 (2 \pi) \cdot \log^3 (\log (2 \pi))}} + }[/math]

[math]\displaystyle{ + \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t }[/math]

Znajdujemy wartość całki

[math]\displaystyle{ \int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\log^3 (\log (t)) \cdot (6 \log^3 (t) + 11 \log^2 (t) + 12 \log (t) + 6) + \log^2 (\log (t)) \cdot (22 \log^2 (t) + 36 \log (t) + 22) + 36 \log (\log (t)) \cdot (\log (t) + 1) + 24}{t^4 \cdot \log^4 (t) \cdot \log^5 (\log (t))}} \cdot \sin (t) d t = {\color{Red} 0.045677031827}2121 }[/math]

Simproper(2*Pi, 10^4)
[0.045677031827212178675227765630555037139, 9.7610450502314738753491941212628080885 E-14]

□

Przykład F34
Rozważmy całkę (zobacz przykład E43)

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots }[/math]

Nie możemy wprost zastosować twierdzenia F22, ale korzystając z twierdzenia E23, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ P_6 (t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^4 ( \mathbb{R} ) }[/math], a całka [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{B_6}{t^6}} d t }[/math] jest zbieżna. Teraz już możemy zastosować twierdzenie F22.

Aby skorzystać z programu Simproper(a, b), musimy przygotować

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{P_6 (t)}{6 t^6}} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{B_6}{6 t^6}} = {\small\frac{1}{252 t^6}} }[/math]

[math]\displaystyle{ G(t) = - {\small\frac{1}{1260 t^5}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{t \to + \infty} G (t) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M \geqslant \underset{t \geqslant 1}{\max} | f^{(4)} (t) | }[/math] dla [math]\displaystyle{ M = 20 }[/math]

Dla różnych wartości [math]\displaystyle{ b }[/math] otrzymujemy

Simproper(1, 10^2)
[0.00028773955387901889817011277755076495293, 1.5793583624619615295181246127899383386 E-13]

Simproper(1, 5*10^2)
[0.00028773955387909098236994835644747087376, 5.0742857958929735807438325674790730659 E-17]

Uzyskaliśmy wynik

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{6 t^6}} d t = {\color{Red} 0.000287739553879}0909 }[/math]

Skąd wynika natychmiast wartość obliczanej przez nas całki

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t = {\color{Red} - 0.081061466795327}2582 }[/math]

Uzupełnienia

 

Jeszcze o funkcjach kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]

Uwaga F35
Niekiedy, dla uproszczenia zapisu, będziemy używali następujących oznaczeń dla wartości granic w wybranym punkcie

[math]\displaystyle{ f(a^+) = \lim_{x \to a^+} f (x) }[/math]

[math]\displaystyle{ f(a^-) = \lim_{x \to a^-} f (x) }[/math]

Takie oznaczenie ma nawet pewien sens, ponieważ granice możemy zapisywać w różny sposób, natomiast efekt jest jeden i ujmują go powyższe symbole. Przykładowo

[math]\displaystyle{ f(a^+) = \lim_{x \to a^+} f (x) = \lim_{h \to 0^+} f (a + h) }[/math]

Pozwoli to łatwo odróżnić wartości granic od wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(a) }[/math] i prosto zapisać własności funkcji. Przykładowo funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math], gdy

• istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f(a^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f (a^+) }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(a^-) = f (a^+) = f (a) }[/math]

W przypadku pochodnych wprowadzimy oznaczenie pozwalające odróżnić wartość pochodnej prawostronnej od pochodnej lewostronnej.

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_- f (a) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

Podobnie i w tym przypadku różny zapis granic daje ten sam efekt

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{x \to a^+} {\small\frac{f (x) - f (a)}{x - a}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

Przykładowo pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math], gdy

• istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) }[/math] i [math]\displaystyle{ \partial_- f (a) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \partial_- f (a) = f' (a) }[/math]

Pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math], gdy

• istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f' (a^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math]
• [math]\displaystyle{ f' (a^-) = f' (a^+) = f' (a) }[/math]

Uwaga F36
Podkreślmy, że granica funkcji w punkcie (powiedzmy [math]\displaystyle{ x = a }[/math]) nie jest wartością funkcji w tym punkcie. Jest tak tylko wtedy, gdy funkcja jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = a }[/math]. Analogicznie granica pochodnej w punkcie nie jest wartością pochodnej w tym punkcie. Jest tak tylko wtedy, gdy spełnione są pewne warunki. Twierdzenia F37 i F38 określają te warunki i dlatego są bardzo istotne.

Traktowanie granicy funkcji [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] jako wartości pochodnej w tym punkcie, bez odwołania się do wspomnianych twierdzeń, jest błędem. Dobrym przykładem jest funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} x^2 \sin \left( {\small\frac{1}{x}} \right) & & x \neq 0\\ 0 & & x = 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja ta ma pochodną w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], ale granice pochodnej w tym punkcie nie istnieją (zobacz zadanie F9).

Twierdzenie F37
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, a + \varepsilon) }[/math] i różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, a + \varepsilon) }[/math] oraz istnieje granica (skończona lub nieskończona) [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^+} f' (x) }[/math], to pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy: [math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = f' (a^+) }[/math].

Dowód

Z definicji pochodna prawostronna jest równa

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} }[/math]

Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ h \lt \varepsilon }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, a + h] }[/math], a [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] istnieje i jest różniczkowalna [math]\displaystyle{ (a, a + h) }[/math]. Ponieważ spełnione są tym samym założenia twierdzenia Lagrange'a, to istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ c \in (a, a + h) }[/math], że

[math]\displaystyle{ f(a + h) - f (a) = f' (c) \cdot h }[/math]

Położenie punktu [math]\displaystyle{ c }[/math] w ogólności zależy od wyboru wartości [math]\displaystyle{ h }[/math], zatem wprowadźmy oznaczenie

[math]\displaystyle{ c = a + \delta (h) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \delta (h) \gt 0 }[/math]. Układ nierówności [math]\displaystyle{ a \lt c \lt a + h }[/math] możemy teraz zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ a \lt a + \delta (h) \lt a + h }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0^+} \delta (h) = 0 }[/math]

Zbierając mamy

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (a + h) - f (a)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} f' (c) = \lim_{h \to 0^+} f' (a + \delta (h)) = \lim_{x \to a^+} f' (x) = f' (a^+) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Analogiczne twierdzenie można sformułować i udowodnić dla lewostronnego otoczenia punktu [math]\displaystyle{ a }[/math].

Twierdzenie F38
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a - \varepsilon, a) }[/math] i różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, a + \varepsilon) }[/math] oraz istnieje granica (skończona lub nieskończona) [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a^-} f' (x) }[/math], to pochodna lewostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy: [math]\displaystyle{ \partial_- f (a) = f' (a^-) }[/math].

Twierdzenie F39
Funkcja ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] przyjmuje w tym przedziale jedynie wartości skończone.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] oznacza funkcję ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Przypuśćmy, że istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ c \in (a, b) }[/math], że wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(c) }[/math], nie jest skończona. Zatem dla [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon = \min \left( {\small\frac{c - a}{2}}, {\small\frac{b - c}{2}} \right) }[/math]

funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] byłaby ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [c - \varepsilon, c + \varepsilon] }[/math], ale nie byłaby w tym przedziale ograniczona, co przeczyłoby twierdzeniu Weierstrassa.
□

Wniosek F40
Z twierdzenia F39 wynika natychmiast, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma ciągłą pochodną w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest w tym przedziale różniczkowalna.

Zadanie F41
Niech

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{rrr} - (- x)^{1 / 3} & & x \lt 0\\ x^{1 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Korzystając z twierdzeń F37 i F38 znaleźć wartości pochodnej [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].

Rozwiązanie

Spójrzmy na wykres funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]

Od razu dostrzegamy, że [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma styczną pionową w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Obliczając pochodną, dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{rrr} \frac{1}{3} (- x)^{- 2 / 3} & & x \lt 0\\ \frac{1}{3} x^{- 2 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [0, \varepsilon) }[/math] i ma ciągłą pochodną w przedziale [math]\displaystyle{ (0, \varepsilon) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f' (0^+) = + \infty }[/math], zatem w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = + \infty }[/math] (twierdzenie F37). Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = + \infty }[/math]. Obliczając pochodne jednostronne z definicji, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{h^{1 / 3} - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1}{h^{2 / 3}}} = + \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - f (0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{- (- h)^{1 / 3} - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{(- h)^{2 / 3}}} = + \infty }[/math]

Możemy powiedzieć, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma pochodną niewłaściwą w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] równą [math]\displaystyle{ + \infty }[/math]. Ale nie powiemy, że [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma pochodną (w zwykłym sensie) lub że jest różniczkowalna w tym punkcie. Zauważmy, że z istnienia nieskończonej pochodnej nie wynika ciągłość funkcji. Rozważmy

[math]\displaystyle{ \mathop{\textnormal{sgn}}(x) = \left\{ \begin{array}{rrr} - 1 & & x \lt 0\\ 0 & & x = 0\\ 1 & & x \gt 0 \end{array} \right. }[/math]

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \partial_+ \mathop{\textnormal{sgn}}(0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{\mathop{\textnormal{sgn}}(0 + h) - \mathop{\textnormal{sgn}}(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1 - 0}{h}} = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{1}{h}} = + \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_- \mathop{\textnormal{sgn}}(0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{\mathop{\textnormal{sgn}}(0 + h) - \mathop{\textnormal{sgn}}(0)}{h}} = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{- 1 - 0}{h}} = - \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{1}{h}} = + \infty }[/math]

Gdybyśmy uznali, że [math]\displaystyle{ \mathop{\textnormal{sgn}}(x) }[/math] jest różniczkowalna w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], to mielibyśmy funkcję różniczkowalną i nieciągłą w [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].
□

Twierdzenie F42
Niech [math]\displaystyle{ c \in (a, b) }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] i ma ciągłą pochodną w każdym z przedziałów [math]\displaystyle{ (a, c) }[/math] i [math]\displaystyle{ (c, b) }[/math] oraz istnieją skończone i równe sobie granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math], to pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], czyli jest ciągła w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

Pochodna prawostronna z definicji jest równa

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (c + h) - f (c)}{h}} }[/math]

O ile tylko [math]\displaystyle{ h \lt b - c }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [c, c + h) }[/math] i różniczkowalna w przedziale [math]\displaystyle{ (c, c + h) }[/math], czyli spełnione są założenia twierdzenia F37, zatem pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math]

Ponieważ założyliśmy, że granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] jest skończona, to [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest prawostronnie ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest lewostronnie ciągła w [math]\displaystyle{ c }[/math]. Z założenia granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] są równe, zatem [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math]. Co należało pokazać.
□

Z twierdzenia F42 wynika natychmiast

Twierdzenie F43
Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i w każdym punkcie [math]\displaystyle{ x_k }[/math] (wyznaczającym podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]) granice lewostronna i granica prawostronna pochodnej [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] są sobie równe.

Zadanie F44
Niech

• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([a, b]) }[/math]
• [math]\displaystyle{ c \in (a, b) }[/math]
• pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziałach [math]\displaystyle{ [a, c) }[/math] i [math]\displaystyle{ (c, b] }[/math]

Pokazać, że

1. jeżeli co najmniej jedna z granic [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] jest nieskończona, to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] i oczywiście nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
2. jeżeli istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] i nie są sobie równe, to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
3. jeżeli istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] i są sobie równe, to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]
4. jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] oraz funkcja [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest nieciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], to co najmniej jedna z granic [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] nie istnieje; w efekcie funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Dla ustalenia uwagi załóżmy, że [math]\displaystyle{ f' (c^+) = + \infty }[/math]. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ (c, b] }[/math] oraz istnieje (nieskończona) granica [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math], to z twierdzenia F37 wiemy, że pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy, czyli [math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = f' (c^+) = + \infty }[/math] . Wynika stąd, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math]. Oczywiście funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math], już ze względu na uczynione założenie, że co najmniej jedna z granic [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math] nie jest skończona.

Przykład
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^{2 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]. Wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] policzymy z definicji

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^{2 / 3} - 0}{h}} = {\small\frac{1}{h^{1 / 3}}} = + \infty }[/math]

Obliczając pochodną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ {\small\frac{2}{3}} x^{- 1 / 3} & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Odpowiednie granice są równe

[math]\displaystyle{ f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = + \infty }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math].

Punkt 2.

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ (c, b] }[/math] oraz istnieje skończona granica [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math], to z twierdzenia F37 wynika, że pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest prawostronnie ciągła w [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ f' (c^+) = \partial_+ f (c) }[/math]

Analogiczna analiza w przedziale [math]\displaystyle{ [a, c) }[/math] prowadzi do wniosku, że

[math]\displaystyle{ f' (c^-) = \partial_- f (c) }[/math]

Z założenia

[math]\displaystyle{ \partial_- f (c) = f' (c^-) \neq f' (c^+) = \partial_+ f (c) }[/math]

zatem [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest funkcją nieciągłą. Ponieważ istnieją granice [math]\displaystyle{ f' (c^-) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (c^+) }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math].

Przykład
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^2 + x & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]. Wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] policzymy z definicji

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^2 + h - 0}{h}} = 1 }[/math]

Obliczając pochodną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ 2 x + 1 & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Odpowiednie granice są równe

[math]\displaystyle{ f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = 1 }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math].

Punkt 3.

Analizując tak samo, jak w punkcie 2. otrzymujemy ciąg równości

[math]\displaystyle{ \partial_- f (c) = f' (c^-) = f' (c^+) = \partial_+ f (c) }[/math]

Zatem pochodna istnieje w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] i jest ciągła w tym punkcie. Wynika stąd natychmiast, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math].

Przykład
Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^2 & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 ([- 5, 5]) }[/math]. Wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] policzymy z definicji

[math]\displaystyle{ \partial_- f (0) = \lim_{h \to 0^-} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{0 - 0}{h}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (0) = \lim_{h \to 0^+} {\small\frac{f (0 + h) - 0}{h}} = {\small\frac{h^2 - 0}{h}} = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (0) = 0 }[/math]. Obliczając pochodną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ 2 x & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Odpowiednie granice są równe

[math]\displaystyle{ f' (0^-) = \lim_{x \to 0^-} f (x) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ f' (0^+) = \lim_{x \to 0^+} f (x) = 0 }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([- 5, 5]) }[/math].

Punkt 4.

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli istnieją skończone granice

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \lim_{x \to c^+} {\small\frac{f (x) - f (c)}{x - c}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \partial_- f (c) = \lim_{x \to c^-} {\small\frac{f (x) - f (c)}{x - c}} }[/math]

i są sobie równe: [math]\displaystyle{ \partial_+ f (c) = \partial_- f (c) = f' (c) }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ c }[/math] jest również punktem nieciągłości pochodnej, to

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) \neq f' (c) }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) \neq f' (c) }[/math]

Przypuśćmy, że istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math], zatem z twierdzeń F37 i F38 wynika, że pochodna jest prawostronnie i lewostronnie ciągła w [math]\displaystyle{ c }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) = \partial_+ f (c) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) = \partial_- f (c) }[/math]

Co oznacza, że

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) = \partial_+ f (c) = f' (c) = \partial_- f (c) = \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math]

Zatem pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math] wbrew założeniu o nieciągłości. Czyli nasze przypuszczenie, że istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^+} f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to c^-} f' (x) }[/math] jest błędne. Przypadek, gdy jedna z tych granic jest nieskończona, również nie jest możliwy, bo wtedy (wbrew założeniu) funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie byłaby różniczkowalna w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] (zobacz punkt 1). Zatem przynajmniej jedna z tych granic nie może istnieć. Co oznacza, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest nawet klasy [math]\displaystyle{ C^1 ([a, b]) }[/math].

Przykładową funkcję

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & & x \lt 0\\ x^2 \cdot \sin \left( {\small\frac{1}{x}} \right) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Czytelnik bez trudu sam przeanalizuje, korzystając z rozwiązania zadania F9.
□

Zadanie F45
Zbadać dla jakich wartości parametrów [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] funkcja

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} a x^2 + b x + c & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

jest klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math].

Rozwiązanie

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 (\mathbb{R}) }[/math], gdy [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math]. Mamy zatem

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} a x^2 + b x + 1 & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest teraz ciągła, funkcje [math]\displaystyle{ a x^2 + b x + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math] są różniczkowalne w przedziałach [math]\displaystyle{ (- \varepsilon, 0) }[/math] i [math]\displaystyle{ (0, \varepsilon) }[/math]. Granice pochodnych wynoszą

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} f' (x) = \lim_{x \to 0^-} 2 a x + b = b }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f' (x) = \lim_{x \to 0^+} (- \sin (x)) = 0 }[/math]

Z twierdzenia F42 wiemy, że jeżeli granice te są skończone i sobie równe, to pochodna jest ciągła, zatem musi być [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} a x^2 + 1 & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ f' (x) = \left\{ \begin{array}{lll} 2 a x & & x \lt 0\\ - \sin (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Teraz funkcja [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest funkcją ciągłą, a funkcje [math]\displaystyle{ 2 a x }[/math] i [math]\displaystyle{ - \sin (x) }[/math] są różniczkowalne w przedziałach [math]\displaystyle{ (- \varepsilon, 0) }[/math] i [math]\displaystyle{ (0, \varepsilon) }[/math]. Granice następnej pochodnej wynoszą

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} f'' (x) = \lim_{x \to 0^-} 2 a = 2 a }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f'' (x) = \lim_{x \to 0^+} (- \cos (x)) = - 1 }[/math]

Z twierdzenia F42 zastosowanego do funkcji [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ f'' (x) }[/math] wynika, że istnienie i równość wypisanych granic zapewni nam ciągłość drugiej pochodnej, zatem musi być [math]\displaystyle{ a = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]. Ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} - {\large\frac{x^2}{2}} + 1 & & x \lt 0\\ \cos (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math].
□

Uwaga F46
Nim przejdziemy do dalszych twierdzeń, zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], to zmiana wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w pewnym punkcie [math]\displaystyle{ c \in [a, b] }[/math] nie wpływa na wartość lewo- i prawostronnych granic funkcji w tym punkcie. Liczba [math]\displaystyle{ f(c) }[/math] to zdefiniowana wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ c }[/math]. Granice (lewa i prawa) funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] nie zależą od wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(c) }[/math], a jedynie informują nas, jaka powinna być wartość funkcji w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], aby funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] była lewostronnie ciągła lub prawostronnie ciągła, lub ciągła (gdy granice te są równe) w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math]. Ujmując dokładniej: wartość granicy funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] wynika z przebiegu funkcji w sąsiedztwie punktu [math]\displaystyle{ c }[/math].

Twierdzenie F47
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Niech funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] będzie przedłużeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ \tilde{f} (a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ \tilde{f} (b^-) }[/math]. Ale funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] różni się od funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] co najwyżej wartością w punktach [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math], co oznacza, że istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f(a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ f(b^-) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia istnieją skończone granice [math]\displaystyle{ f(a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ f(b^-) }[/math]. Zatem funkcja

[math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) = \left\{ \begin{array}{lll} f (a^+) & & x = a\\ f (x) & & a \lt x \lt b\\ f (b^-) & & x = b \end{array} \right. }[/math]

jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i jest poszukiwanym przedłużeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].
□

Twierdzenie F48
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a jej pochodna będzie ciągła w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnej [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (b^-) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia pochodna funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], zatem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] (zobacz F40). Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \lt b - a }[/math]. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [a, a + \varepsilon) }[/math] i różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, a + \varepsilon) }[/math] oraz istnieje granica skończona [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math], to z twierdzenia F37 wiemy, że pochodna prawostronna w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równa tej granicy

[math]\displaystyle{ \partial_+ f (a) = f' (a^+) }[/math]

Ponieważ z założenia granica [math]\displaystyle{ f' (a^+) }[/math] jest skończona, to pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest prawostronnie ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math]. Podobnie dowodzimy, że pochodna [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jest lewostronnie ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ a }[/math].

Pokazaliśmy tym samym, że w przypadku, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnej na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to pochodne jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] istnieją, a sama pochodna jest na krańcach przedziału jednostronnie ciągła.
□

Twierdzenie F49
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math]) w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice jednostronne pochodnych [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem funkcje [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], są ciągłe w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Wynika stąd natychmiast, że istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Indukcja matematyczna. Z twierdzenia F48 wiemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math]. Pokażemy, że z założenia prawdziwości twierdzenia dla [math]\displaystyle{ r - 1 }[/math] wynika prawdziwość twierdzenia dla [math]\displaystyle{ r }[/math].

Wypiszmy jawnie założenie indukcyjne i tezę indukcyjną, co ułatwi nam uchwycenie problemu.

Założenie indukcyjne:

Jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^{r - 1} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne pochodnych [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r - 1 }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{r - 1} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Teza indukcyjna:

Jeżeli [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne pochodnych [math]\displaystyle{ g^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Dowód indukcyjny:

Z założeń uczynionych w tezie indukcyjnej wynika, że funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełnia wszystkie warunki założenia indukcyjnego. Zatem na mocy założenia indukcyjnego funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{r - 1} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Jeśli tak, to [math]\displaystyle{ g^{(r - 1)} (x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Jednocześnie z tezy indukcyjnej wiemy, że [math]\displaystyle{ g^{(r)} (x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ g^{(r)} (a^+) }[/math] i [math]\displaystyle{ g^{(r)} (b^-) }[/math].

Zatem z twierdzenia F48 zastosowanego do funkcji [math]\displaystyle{ g^{(r - 1)} (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g^{(r)} (x) }[/math] wynika, że funkcja [math]\displaystyle{ g^{(r)} (x) }[/math] jest funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Co oznacza, że funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Co kończy dowód indukcyjny.
□

Twierdzenie F50
Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że

• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji ciągłej w [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami ciągła w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz istnieją skończone granice na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Z twierdzenia F47 wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji ciągłej w każdym przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz istnieje przedłużenie funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] do funkcji ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Z twierdzenia F47 wynika natychmiast, że istnieją skończone granice funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] na krańcach każdego przedziału [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math].
□

Twierdzenie F51
Niech [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że

• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]
• funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być przedłużona do funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math].

Dowód

Przypadek [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] już udowodniliśmy (zobacz twierdzenie F50). Zatem będziemy dowodzili to twierdzenie dla [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], zatem istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] wyznaczających podział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] w taki sposób, że funkcje [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], są ciągłe w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Oznacza to, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Ponadto istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], na krańcach każdego z przedziałów [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] będzie dowolnie wybranym przedziałem. Z twierdzenia F47 wynika natychmiast, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], z założenia ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math], może być przedłużona do funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] ciągłej w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Konsekwentnie będą istniały kolejne pochodne funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math], czyli funkcje [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math]. Spełniony jest przy tym oczywisty związek

[math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) = f^{(i)} (x) }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \in (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math].

Wynika stąd, że funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math] i klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz istnieją skończone granice jednostronne funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], na krańcach przedziału [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]. Z twierdzenia F49 otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Zatem funkcja [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] jest poszukiwanym przedłużeniem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia istnieje skończona liczba punktów [math]\displaystyle{ a = x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n = b }[/math] takich, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math], zatem

●   funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest zdefiniowana i ciągła w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]

●   pochodne [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x) }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots r }[/math], istnieją i są ciągłe w każdym przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] będzie dowolnie wybranym przedziałem. Z założenia istnieje przedłużenie funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (x_k, x_{k + 1}) }[/math] do funkcji [math]\displaystyle{ \tilde{f} (x) }[/math] klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [x_k, x_{k + 1}] }[/math]. Wynika stąd, że istnieją skończone granice jednostronne [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x^+_k) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x^-_{k + 1}) }[/math]. Ponieważ spełniony jest przy tym oczywisty związek

[math]\displaystyle{ \tilde{f}^{(i)} (x) = f^{(i)} (x) }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \in (x_k, x_{k + 1}) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots r }[/math], to granice te są identyczne z granicami [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^+_k) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^-_{k + 1}) }[/math]. Zatem

●   granice [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^+_k) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f^{(i)} (x^-_{k + 1}) }[/math] istnieją i są skończone

Z zaznaczonych punktów wynika natychmiast, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest kawałkami klasy [math]\displaystyle{ C^r }[/math] w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Co należało pokazać.
□

Jeszcze o błędzie metody Simpsona

 

Uwaga F52
Chcemy wyjaśnić, dlaczego dowodząc twierdzenie F14, wybraliśmy funkcję postaci

[math]\displaystyle{ W(x) = \left\{ \begin{array}{lll} {\large\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) & & a \leqslant x \leqslant c\\ {\large\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) & & c \leqslant x \leqslant b \end{array} \right. }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math].

Znając postać funkcji, mogliśmy pozwolić sobie na wykonanie kolejnych kroków przez różniczkowanie. Pozwoliło to skrócić i uprościć cały dowód. Chcąc zrozumieć metodę i zbadać, czy istnieje możliwość uogólnienia, będziemy tym razem postępowali odwrotnie i kolejno wyliczali całki.

Uwaga F53
Dla uproszczenia zapisu parę funkcji: [math]\displaystyle{ g_1 (x) }[/math] określoną w przedziale [math]\displaystyle{ [a, c] }[/math] oraz [math]\displaystyle{ g_2 (x) }[/math] określoną w przedziale [math]\displaystyle{ [c, b] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math], będziemy oznaczali jako [math]\displaystyle{ f(x) = \{ g_1 (x) |g_2 (x) \} }[/math]. Czytelnika nie powinien niepokoić fakt, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest określona w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math], bo zawsze możemy przyjąć [math]\displaystyle{ f(c) = {\small\frac{1}{2}} (g_1 (c) + g_2 (c)) }[/math]. Lepiej traktować [math]\displaystyle{ \{ g_1 (x) |g_2 (x) \} }[/math] jako parę funkcji, której ciągłość w punkcie [math]\displaystyle{ x = c }[/math] ma dla nas istotne znaczenie, a jedynie dla wygody zapisu oznaczamy ją jako [math]\displaystyle{ f(x) = \{ g_1 (x) |g_2 (x) \} }[/math].

Twierdzenie F54
Niżej wypisany ciąg funkcji

[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ W_n (x) = \{ U_n (x) \big\rvert V_n (x) \} }[/math]	[math]\displaystyle{ U_n (a) }[/math]	[math]\displaystyle{ U_n (c) }[/math]	[math]\displaystyle{ V_n (c) }[/math]	[math]\displaystyle{ V_n (b) }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{ 6 x - 5 a - b \big\rvert 6 x - a - 5 b \} }[/math]	[math]\displaystyle{ - (b - a) }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 (b - a) }[/math]	[math]\displaystyle{ - 2 (b - a) }[/math]	[math]\displaystyle{ b - a }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{ (x - a) (3 x - 2 a - b) \big\rvert (x - b) (3 x - a - 2 b) \} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^2}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left\{ {\small\frac{1}{2}} (x - a)^2 (2 x - a - b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{2}} (x - b)^2 (2 x - a - b) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left\{ {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^4}{192}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left\{ {\small\frac{1}{120}} (x - a)^4 (6 x - a - 5 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{120}} (x - b)^4 (6 x - 5 a - b) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{(b - a)^5}{960}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{(b - a)^5}{960}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]

uzyskaliśmy, stosując następujące zasady:

1) każda kolejna funkcja jest całką poprzedniej, czyli dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_{n} (x) = \int U_{n-1} (x) d x + K }[/math]

[math]\displaystyle{ V_{n} (x) = \int V_{n-1} (x) d x + L }[/math]

2) stałe całkowania [math]\displaystyle{ K, L }[/math] zostały wybrane tak, aby dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] spełniony był warunek

[math]\displaystyle{ U_{n} (a) = V_{n} (b) = 0 }[/math]

Twierdzenie F55
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1([a, b]) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math].

Dowód

Ponieważ funkcja

[math]\displaystyle{ W_1 (x) = \{ 6 x - 5 a - b| 6 x - a - 5 b \} }[/math]

jest nieciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c = {\small\frac{1}{2}} (a + b) }[/math], to musimy całkować osobno dla [math]\displaystyle{ x \in [a, c] }[/math] i dla [math]\displaystyle{ x \in [c, b] }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x = \int^c_a f' (x) U_1 (x) d x + \int^b_c f' (x) V_1 (x) d x }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \int^c_a f' (x) U_1 (x) d x = f (x) \cdot U_1 (x) \biggr\rvert_{a}^{c} - \int^c_a f (x) U_1' (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = f (c) \cdot U_1 (c) - f (a) U_1 (a) - 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = 2 (b - a) f (c) + (b - a) f (a) - 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = (b - a) [2 f (c) + f (a)] - 6 \int^c_a f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int^b_c f' (x) V_1 (x) d x = f (x) \cdot V_1 (x) \biggr\rvert_{c}^{b} - \int^b_c f (x) V_1' (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = f (b) \cdot V_1 (b) - f (c) V_1 (c) - 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = (b - a) f (b) + 2 (b - a) f (c) - 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = (b - a) [f (b) + 2 f (c)] - 6 \int^b_c f (x) d x }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x = (b - a) [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - 6 \int^b_a f (x) d x }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \int^b_a f (x) d x = {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] - {\small\frac{1}{6}} \int^b_a f' (x) W_1 (x) d x }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga F56
Postać funkcji [math]\displaystyle{ W_1 (x) = \{ 6 x - 5 a - b| 6 x - a - 5 b \} }[/math] wynika z nałożenia na postać ogólną

[math]\displaystyle{ W_1 (x) = \{ U_1 (x) |V_1 (x) \} = \{ r x + s|t x + u \} }[/math]

następujących warunków:

• funkcja [math]\displaystyle{ W_2 (x) = \int W_1 (x) d x + C }[/math] ma być równa zero w punktach [math]\displaystyle{ x = a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x = b }[/math], skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ W_2 (x) = \left\{ {\small\frac{1}{2}} (x - a) (r x + a r + 2 s) \biggr\rvert {\small\frac{1}{2}} (x - b)(t x + b t + 2 u) \right\} }[/math]

• funkcja [math]\displaystyle{ W_2 (x) }[/math] musi być ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = c = {\small\frac{a + b}{2}} }[/math], skąd dostajemy równanie [math]\displaystyle{ U_2 (c) = V_2 (c) }[/math], z którego, po podstawieniu [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{a + b}{2}} }[/math] i łatwym uproszczeniu, mamy

[math]\displaystyle{ 3 r a + 3 t b + r b + t a + 4 s + 4 u = 0 }[/math]

• w twierdzeniu F55 musi pojawić się wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{b - a}{6}} \cdot [f (a) + 4 f (c) + f (b)] }[/math], skąd otrzymujemy równania

[math]\displaystyle{ U_1 (a) = - (b - a) }[/math]

[math]\displaystyle{ V_1 (b) = b - a }[/math]

[math]\displaystyle{ U_1 (c) - V_1 (c) = 4 (b - a) }[/math]

Zbierając: liczby [math]\displaystyle{ r, s, t, u }[/math] muszą spełniać układ równań

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} r a + s = - (b - a)\\ t b + u = b - a\\ r c + s - (t c + u) = 4 (b - a)\\ 3 r a + 3 t b + r b + t a + 4 s + 4 u = 0 \end{array} \right. }[/math]

Mnożąc pierwsze i drugie równanie przez [math]\displaystyle{ (- 4) }[/math], dodając je do siebie, a następnie dodając sumę do równania czwartego, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (- 4 r a - 4 s - 4 t b - 4 u) + (3 r a + 3 t b + b r + a t + 4 s + 4 u) = 0 }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ (b - a) (r - t) = 0 }[/math]

Z założenia jest [math]\displaystyle{ b \neq a }[/math], zatem musi być [math]\displaystyle{ r = t }[/math].

Odejmując od drugiego równania pierwsze i dodając różnicę do trzeciego, mamy

[math]\displaystyle{ (r b + u - r a - s) + (s - u) = 6 (b - a) }[/math]

Skąd otrzymujemy [math]\displaystyle{ r = t = 6 }[/math]. Teraz już łatwo znajdujemy [math]\displaystyle{ s = - 5 a - b }[/math] oraz [math]\displaystyle{ u = - a - 5 b }[/math].

Widzimy, że przez odpowiedni dobór wartości liczb [math]\displaystyle{ r, s, t, u }[/math] mogliśmy zapewnić ciągłość funkcji [math]\displaystyle{ W_2 (x) }[/math]. Fakt, że ciągłe są również funkcje [math]\displaystyle{ W_3 (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ W_4 (x) }[/math] jest szczęśliwym przypadkiem. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ W_5 (x) }[/math] nie jest ciągła, to nie mogliśmy jej wykorzystać w twierdzeniu F14. Wybór funkcji

[math]\displaystyle{ W_4 (x) = \left\{ {\small\frac{1}{12}} (x - a)^3 (3 x - a - 2 b) \biggr\rvert {\small\frac{1}{12}} (x - b)^3 (3 x - 2 a - b) \right\} }[/math]

zapewnił uzyskanie najdokładniejszego oszacowania błędu.