Różnica pomiędzy stronami "Całkowanie numeryczne. Metoda Simpsona" i "CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego"
Linia 1: | Linia 1: | ||
− | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22. | + | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div> |
__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
Linia 5: | Linia 5: | ||
− | == | + | == Chińskie twierdzenie o resztach == |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/> |
− | + | Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja | |
+ | ::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math> | ||
+ | jest równoważna układowi kongruencji | ||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
− | + | u &\equiv a \pmod{m} \\ | |
+ | u &\equiv a \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | |||
+ | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | ||
+ | |||
+ | Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji. | ||
+ | |||
+ | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | ||
+ | |||
+ | Z kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>u \equiv a \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>u \equiv a \pmod{n}</math> | ||
+ | |||
+ | otrzymujemy <math>n \mid (u - a)</math>, czyli <math>n \mid k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \mid k</math> (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/> | ||
+ | Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | c & \equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | c & \equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>m x + n y = 1</math> | ||
+ | |||
+ | Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>c \equiv a \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | Natomiast modulo <math>n</math> mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>c \equiv b \pmod{n}</math> | ||
+ | |||
+ | Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z założenia <math>m \mid (d - a)</math> i <math>m \mid (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \mid (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \mid (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \mid (d - c)</math> (zobacz C73), co oznacza, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>. | ||
+ | |||
+ | Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)</span><br/> | ||
+ | Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math> | ||
+ | |||
+ | jest równoważna układowi kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | u & \equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | u & \equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | c & \equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | c & \equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie | + | ::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad |
− | Niech | + | \begin{array}{l} |
+ | u \equiv c \; \pmod{m} \\ | ||
+ | u \equiv c \; \pmod{n} \\ | ||
+ | \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad | ||
+ | \begin{array}{l} | ||
+ | u \equiv a \; \pmod{m} \\ | ||
+ | u \equiv b \:\, \pmod{n} \\ | ||
+ | \end{array} </math> | ||
+ | |||
+ | Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/> | ||
+ | Chińskie twierdzenie o resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | u &\equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | u &\equiv 3 \pmod{8} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i nieparzystych ma postać | ||
+ | |||
+ | ::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math> | ||
+ | |||
+ | i nie może być <math>u \equiv 3 \!\! \pmod{8}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/> | ||
+ | Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>) taka, że układ kongruencji | ||
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
− | + | u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ | |
− | + | & \cdots \\ | |
− | + | u & \equiv a_k \pmod{m_k} | |
− | + | \end{align}</math> | |
− | |||
− | \end{ | ||
− | + | można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji | |
− | : | + | ::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math> |
− | : | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
− | + | Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej <math>k \geqslant 2</math>, dla liczby <math>k + 1</math> otrzymujemy układ kongruencji | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>\begin{align} |
+ | u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\ | ||
+ | u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math> |
− | + | gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/> | |
− | |||
− | |||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 50: | Linia 165: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/> |
− | + | Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji | |
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | n &\equiv 3 \pmod{5} \\ | ||
+ | n &\equiv 4 \pmod{7} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie | ||
− | <span style="font-size: | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span> |
− | |||
− | + | uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać | |
− | : | + | ::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math> |
− | : | ||
− | |||
+ | Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>. | ||
+ | Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo | ||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
− | + | n &\equiv 1 \pmod{2} \\ | |
+ | n &\equiv 2 \pmod{3} \\ | ||
+ | n &\equiv 3 \pmod{5} \\ | ||
+ | n &\equiv 4 \pmod{7} \\ | ||
+ | n &\equiv 5 \pmod{11} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | to argumenty należy zapisać w postaci wektora | |
− | : | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span> |
− | |||
− | |||
+ | Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>. | ||
− | |||
− | |||
− | + | == Wielomiany == | |
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/> |
− | + | Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w postaci | |
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math> | |
− | + | gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe. | |
− | ::<math>\ | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Zauważmy, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math> | ||
+ | |||
+ | ::::::<math>\quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math> | ||
+ | |||
+ | Dla <math>k \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór | ||
− | + | ::<math>x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> | |
− | ::<math> | + | ::::<math>\;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1})</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::::<math>\;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x)</math> | |
− | + | Gdzie przez <math>U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy <math>k - 1</math>. Zatem możemy napisać | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x)</math> |
− | + | Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem <math>V_{n - 1} (x)</math>. Ponieważ ze wszystkich wielomianów <math>a_k U^{(k)} (x)</math>, wielomian <math>a_n U^{(n)} (x)</math> ma największy stopień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>. Czyli | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math> |
− | + | Niech <math>V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy | |
+ | ::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math> | ||
+ | Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | : | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J8</span><br/> |
− | + | Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/> | |
+ | Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony. | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J10</span><br/> | |
+ | Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \!\! \pmod{m}</math>, to | ||
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math> |
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że | ||
− | + | ::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math> | |
− | + | Z założenia <math>m \mid (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \mid (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
+ | a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\ | ||
+ | a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\ | ||
+ | a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\ | ||
+ | & \cdots \\ | ||
+ | a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math> |
− | + | Co należało pokazać.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 165: | Linia 285: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J11</span><br/> |
− | + | Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję | |
− | ::<math> | + | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze. | |
− | |||
− | |||
+ | Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ | ||
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{n} | ||
+ | \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math> | ||
+ | Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania. | ||
+ | Załóżmy, że każda z kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech | ||
− | + | :* <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> | |
+ | :* <math>x \equiv b \!\! \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n}</math> | ||
− | + | Pierwiastki te tworzą układ kongruencji | |
− | |||
− | ::<math>\ | + | ::<math>\begin{align} |
+ | x &\equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | x &\equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math> | ||
+ | |||
+ | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej | ||
+ | |||
+ | ::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math> | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z twierdzenia J10 mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\ | ||
+ | W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math> | ||
+ | |||
+ | Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>. | ||
+ | |||
+ | Podsumujmy: jeżeli kongruencje | ||
+ | |||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ | ||
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | |||
+ | mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Twierdzenie Lagrange'a == | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J12</span><br/> | ||
+ | Kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | |||
− | + | '''A. Istnienie rozwiązania''' | |
+ | Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania. | ||
− | + | Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math> |
− | + | Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | Zatem | |
− | + | ::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math> | |
− | + | '''B. Brak innych rozwiązań''' | |
− | + | Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math> |
− | + | Czyli | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math> |
− | + | ::<math>p \mid a_1 (x_1 - x_2)</math> | |
− | + | Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast <math>p \mid (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/> | |
− | |||
− | Co kończy dowód.<br/> | ||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 230: | Linia 394: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/> |
− | Jeżeli | + | Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> |
+ | |||
+ | ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja | |
+ | |||
+ | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math>. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać | ||
− | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math> | |
− | + | gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące. | |
− | |||
+ | Z założenia <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math> jest jednym z pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy | ||
− | + | ::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math> | |
− | + | Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | + | wynika, że musi być (zobacz C72) | |
− | ::<math> | + | ::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | |||
− | + | Z założenia indukcyjnego kongruencja | |
+ | ::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math> | ||
− | + | ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> |
+ | |||
+ | ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14</span><br/> | |
+ | Jeżeli kongruencja | ||
− | ::<math> | + | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> |
+ | ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i | ||
− | ::<math>\ | + | ::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest | |
− | + | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | + | bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>. | |
− | Co | + | W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/> |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 291: | Linia 464: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J15</span><br/> |
− | + | Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja | |
+ | |||
+ | ::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | + | ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest | |
+ | ::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math> | ||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/> | ||
+ | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i | ||
− | + | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math> | |
− | + | Ponieważ <math>x^5 \equiv x \!\! \pmod{5}</math>, to | |
− | + | ::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math> | |
+ | |||
+ | Co wynika również z faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w postaci | ||
+ | |||
+ | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math> | ||
+ | |||
+ | ale <math>x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | == Twierdzenie Wilsona == | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)</span><br/> | ||
+ | Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy | ||
+ | |||
+ | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math> | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | |||
− | :: | + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
+ | |||
+ | Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \mid p</math>, to prawdziwa jest kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math> | ||
+ | |||
+ | czyli | ||
+ | |||
+ | ::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math> | ||
+ | co jest niemożliwe. | ||
− | + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | |
− | + | Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany | |
− | ::<math> | + | ::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math> |
+ | oraz | ||
− | + | ::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math> | |
− | + | Zauważmy, że | |
− | ::: | + | :* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math> |
+ | :* współczynniki wiodące są równe <math>1</math> | ||
+ | :* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math> | ||
+ | :* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math> | ||
+ | Niech | ||
− | + | ::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math> | |
− | ::<math>\ | + | Zauważmy, że |
+ | |||
+ | :* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji | ||
+ | :* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18</span><br/> | ||
+ | Liczba całkowita nieparzysta <math>p \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy | ||
+ | |||
+ | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | W przypadku, gdy liczba <math>p</math> jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w <math>(p - 1) !</math> są określone modulo <math>p</math>, to odejmując od każdego czynnika większego od <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczbę <math>p</math>, otrzymujemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math> | ||
Co należało pokazać.<br/> | Co należało pokazać.<br/> | ||
Linia 338: | Linia 571: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Twierdzenie Fermata == | |
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J19 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/> | ||
+ | Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą | ||
− | : | + | :* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \!\! \pmod p</math> |
+ | :* i jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p</math> | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | '''Punkt 1.''' | |
+ | |||
+ | Zauważmy, że<br/> | ||
+ | a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/> | ||
+ | b) w przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/> | ||
+ | c) w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo | ||
+ | ::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/> | ||
+ | |||
− | + | Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p|a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math> |
− | ::<math> | + | :::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math> |
+ | :::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math> | ||
− | |||
− | + | Z założenia indukcyjnego <math>p|a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | '''Punkt 2.''' | |
+ | Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | to | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J20</span><br/> |
+ | Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>\gcd (x, y) = 1</math> i liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>x^2 + y^2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>. | ||
− | :: | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Z założenia | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p}</math> | |
− | + | Przypuśćmy, że <math>p|y</math>. Wtedy z powyższej kongruencji mamy natychmiast, że <math>p|x</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Zatem <math>p \nmid y</math> i z twierdzenia Fermata dostajemy | |
− | + | ::<math>1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math> | |
− | + | Wynika stąd, że <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> musi być liczbą parzystą, czyli <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J21</span><br/> | |
+ | Niech <math>x, y, n \geqslant 0</math>. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania | ||
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 + y^2 = 2^n</math> |
− | + | są liczby | |
− | : | + | :* <math>x = 2^{n / 2} \,</math> i <math>\, y = 0 \,</math> lub <math>\, x = 0 \,</math> i <math>\, y = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>2 \mid n</math> |
+ | :* <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math>, gdy <math>2 \nmid n</math> | ||
− | :::: | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
+ | '''A.''' Gdy jedna z liczb <math>x, y</math> jest równa <math>0</math> (powiedzmy <math>y</math>), to mamy <math>x = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>n</math> jest parzyste. Gdy <math>n</math> jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że <math>x, y \geqslant 1</math> | ||
− | + | '''B.''' Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do <math>1</math> modulo <math>4</math>. Gdy obie liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to modulo <math>4</math> mamy | |
− | + | ::<math>2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4}</math> | |
+ | Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla <math>n = 1</math> i w tym przypadku mamy <math>(x, y) = (1, 1)</math>. | ||
+ | '''C.''' W przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać <math>x = 2^a u</math>, <math>y = 2^b w</math>, gdzie liczby <math>u, w</math> są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że <math>1 \leqslant a \leqslant b < {\small\frac{n}{2}}</math>. Dostajemy | ||
− | ::<math> | + | ::<math>u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a}</math> |
− | + | Widzimy, że nie może być <math>a < b</math>, bo suma liczby nieparzystej i parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem <math>a = b</math> i otrzymujemy równanie | |
− | + | ::<math>u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a}</math> | |
− | + | które ma rozwiązanie w liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika <math>n - 2 a = 1</math>. Mamy <math>u = w = 1</math>, zatem <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math> i <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J22</span><br/> | |
+ | Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>x \neq y</math>, to liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>. | ||
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | W przypadku, gdy <math>x = y</math> mamy <math>x^2 + y^2 = 2 y^2</math> i jeśli liczba <math>y</math> nie ma dzielnika pierwszego postaci <math>4 k + 1</math>, to nie ma go również liczba <math>2 y^2</math>. Przykładowo <math>x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r}</math>. Dlatego zakładamy, że <math>x \neq y</math>. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z liczb <math>x, y</math> jest równa zero. Dlatego zakładamy, że <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. | ||
− | + | Niech <math>\gcd (x, y) = d</math>, zatem mamy <math>x = a d</math>, <math>y = b d</math>. Wynika stąd, że <math>x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2)</math>, gdzie <math>\gcd (a, b) = 1 \,</math> i <math>\, a \neq b</math>. Ponieważ <math>\, a \neq b</math>, to liczba <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J21). Z twierdzenia J20 zastosowanego do liczby <math>a^2 + b^2</math> wynika, że <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 442: | Linia 674: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | |
− | Niech <math> | + | |
+ | == Kryterium Eulera == | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J23</span><br/> | ||
+ | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \mid (k^2 - a)</math>. | ||
+ | |||
+ | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J24</span><br/> | ||
+ | Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | Zauważmy, że | + | Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z oczywistej kongruencji |
− | + | ::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math> | |
− | + | Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math> | |
− | + | ::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math> | |
− | + | Ponieważ | |
+ | ::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math> | ||
− | + | to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy | |
− | ::<math> | + | ::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z prostych oszacowań | |
− | + | ::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math> | |
− | + | ::<math>2 < i + j < p - 1</math> | |
− | |||
+ | Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | |
− | + | ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>. | |
− | + | Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | {| | + | |
− | + | ||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J25 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/> | |
− | |- | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy |
− | | <math> | + | |
− | + | ::{| border="0" | |
− | + | |-style=height:2.5em | |
+ | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | |||
+ | '''Punkt 1.''' | ||
+ | |||
+ | Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że | ||
+ | |||
+ | ::{| border=1 style="border-collapse: collapse;" | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''A''' || <math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz J24 | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''B''' || <math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz twierdzenie Lagrange'a J13 | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''C''' || jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || wynika z ciągu implikacji:<br/> <math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> <math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math> <br/> <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math> | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''D''' || <math>Q \subseteq S</math> || z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math> | ||
|} | |} | ||
− | + | ||
− | |- | + | |
− | + | Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy | |
− | + | ||
− | + | ::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> | |
− | |- | + | |
− | | <math> | + | Skąd łatwo widzimy, że |
+ | |||
+ | ::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J26). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie | ||
+ | |||
+ | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;" | ||
+ | |-style=height:2.0em | ||
+ | | liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math> | ||
|} | |} | ||
+ | Co kończy dowód punktu pierwszego. | ||
+ | |||
+ | '''Punkt 2.''' | ||
+ | |||
+ | Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że | ||
− | + | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;" | |
+ | |-style=height:2.0em | ||
+ | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |} | ||
− | + | Z twierdzenia Fermata | |
− | + | ::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | + | wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być | |
− | + | ::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | ::<math> | + | Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie |
+ | |||
+ | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;" | ||
+ | |-style=height:2.0em | ||
+ | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |} | ||
Co należało pokazać.<br/> | Co należało pokazać.<br/> | ||
Linia 512: | Linia 811: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J26</span><br/> |
− | Niech <math> | + | Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli <math>A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B |</math>, to <math>\; A = B</math>. |
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Ponieważ zbiór <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>B</math>, to zbiór <math>B</math> można przedstawić w postaci sumy zbiorów <math>A</math> i <math>C</math> takich, że żaden element zbioru <math>C</math> nie jest elementem zbioru <math>A</math>. Zatem | ||
+ | |||
+ | ::<math>B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing</math> | ||
− | + | Ponieważ z założenia zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są rozłączne, to wiemy, że | |
− | + | ||
+ | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C |</math> | ||
+ | |||
+ | Czyli | ||
+ | |||
+ | ::<math>| B | = | A \cup C | = | A | + | C |</math> | ||
+ | |||
+ | Skąd wynika, że <math>| C | = 0</math>, zatem zbiór <math>C</math> jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast <math>B = A</math>. Co należało pokazać. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="border-bottom-style: double;">Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)</span><br/> | ||
+ | Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie <math>| A \cup C | \leqslant | A | + | C |</math>, bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>, zatem od sumy <math>| A | + | C |</math> musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>. Co daje ogólny wzór<ref name="sumazbiorow"/> | ||
+ | |||
+ | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C |</math><br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Symbol Legendre'a == | |
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J27</span><br/> | ||
+ | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = | |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \mid a | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J28</span><br/> |
+ | Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \mid a</math> | ||
− | + | ::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J29*</span><br/> |
+ | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości | ||
− | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;" | |
− | & | + | |- |
− | {{\ | + | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math> |
+ | |- | ||
+ | | 2. || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 4. || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 9. || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Symbol Jacobiego == | |
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J30</span><br/> | |
+ | Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | + | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \mid (k^2 - a)</math>. | |
− | + | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | + | nie ma rozwiązania. | |
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J31</span><br/> | |
+ | Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>. | ||
− | :: | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">isQR(a, m) = |
+ | \\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m, | ||
+ | \\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1 | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(w); | ||
+ | '''if'''( '''gcd'''(a, m) > 1, '''return'''(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR | ||
+ | w = -1; | ||
+ | '''for'''(k = 1, '''floor'''(m/2), '''if'''( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; '''break'''() )); | ||
+ | '''return'''(w); | ||
+ | }</span> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J32</span><br/> | ||
+ | Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i niekwadratowych modulo <math>m</math>, w której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>. | ||
+ | Przykładowo: | ||
− | + | ::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math> | |
− | |||
− | + | Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>. | |
− | + | Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>. | |
− | + | Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>. | |
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J33</span><br/> |
+ | Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i modulo <math>n</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | |
+ | Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J34</span><br/> |
− | + | Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych. | |
+ | Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J35</span><br/> |
− | + | Zauważmy, że w przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. | |
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J36*</span><br/> | |
− | + | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości | |
+ | |||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 2. || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 4. || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 9. || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/> |
+ | Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami. | ||
− | |||
− | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/> |
+ | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą | ||
− | + | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> | |
− | + | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | |
+ | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math> | ||
+ | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> | ||
− | + | Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>. | |
+ | Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J39</span><br/> | ||
+ | Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program: | ||
− | ::< | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}} |
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) = | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(k, S, V); | ||
+ | S = []; | ||
+ | V = []; | ||
+ | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k)); | ||
+ | S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m | ||
+ | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m)); | ||
+ | V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m | ||
+ | '''print'''("QR: ", V); | ||
+ | '''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V | ||
+ | }</span> | ||
+ | <br/> | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J40</span><br/> |
+ | Pokazać, że | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = | |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | |
+ | Zauważmy, że | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | ::<math>\ | + | ::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | + | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | |||
− | |||
− | + | bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. | |
+ | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
− | + | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | |||
− | : | + | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | |||
+ | ::::<math>\; = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } r = 5 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math> | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math> | ||
+ | Łatwo zauważamy, że | ||
− | == | + | ::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | + | Co należało pokazać.<br/> | |
− | + | □ | |
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::< | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J41</span><br/> |
+ | Pokazać, że | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = | |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | |||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = | |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | :: | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
− | + | '''Punkt 1.''' | |
− | + | Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W tym przypadku mamy | |
− | + | ::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math> | |
− | |||
− | + | i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest | |
− | ::<math> | + | ::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math> |
− | + | ::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math> | |
− | + | ::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math> | |
− | + | ::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math> | |
− | + | Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J36 p.9) | |
+ | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | ::<math>\ | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | '''Punkt 2.''' | |
− | + | Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J36 p.9) | |
− | ::<math> | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | ::<math> | + | :::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | + | :::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | ::<math> | + | :::<math>\:\, \quad = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest | |
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math> |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math> | |
− | ::<math>{\small\frac{ | + | ::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math> |
Co należało pokazać.<br/> | Co należało pokazać.<br/> | ||
Linia 773: | Linia 1212: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/> |
− | + | Wykorzystując podane w twierdzeniu J36 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze. | |
+ | |||
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) = | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(r, w); | ||
+ | '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") ); | ||
+ | a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n) | ||
+ | w = 1; | ||
+ | '''while'''( a <> 0, | ||
+ | '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) ); | ||
+ | \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8) | ||
+ | \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste | ||
+ | r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a | ||
+ | a = n; | ||
+ | n = r; | ||
+ | '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w ); | ||
+ | \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4) | ||
+ | a = a % n; | ||
+ | ); | ||
+ | '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n) | ||
+ | }</span> | ||
+ | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J43</span><br/> | |
+ | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji. | ||
+ | W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej <math>(a \mid m)</math> i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta: | ||
− | + | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Legendre'a | |
+ | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego | ||
+ | :* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> == | |
− | : | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J44</span><br/> |
+ | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja | ||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> | ||
− | + | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ma rozwiązanie. | |
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | ||
− | < | + | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> |
− | + | Ponieważ <math>p^n \mid (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math> |
− | + | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. | |
+ | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | ||
− | + | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> |
− | + | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> |
− | + | Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem | |
− | ::<math> | + | ::<math>u^2_n - a = k p^n</math> |
+ | Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie | ||
− | + | ::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math> | |
− | + | ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem | |
− | |||
− | + | ::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math> | |
− | |||
+ | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math> | ||
+ | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math> | ||
− | + | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math> | |
− | |||
− | + | Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy | |
− | + | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> |
− | + | bo <math>p^{n + 1} \mid p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> |
− | + | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | Dla | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J45</span><br/> |
+ | Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \mid 2^n</math>. | ||
− | + | Kongruencja | |
− | |||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math> | |
− | |||
+ | ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>. | ||
+ | Kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math> | |
− | |||
− | + | ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań. | |
+ | Kongruencja | ||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> | ||
− | + | ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań. | |
− | |||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J46</span><br/> |
− | + | Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> |
− | ::<math> | + | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja |
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> | ||
+ | |||
+ | ma rozwiązanie. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | |
+ | |||
+ | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> | ||
+ | |||
+ | Ponieważ <math>2^n \mid (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \mid (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math> | ||
+ | |||
+ | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. | ||
+ | |||
+ | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | ||
+ | |||
+ | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> | ||
− | + | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math> |
− | + | Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech | |
+ | ::<math>r = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\ | ||
+ | 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
Zauważmy, że | Zauważmy, że | ||
− | ::<math> | + | ::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math> |
− | Zatem | + | ::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math> |
+ | |||
+ | ::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math> | ||
+ | |||
+ | ::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math> | ||
+ | |||
+ | bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math> | ||
+ | |||
+ | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J47</span><br/> |
+ | Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>. | ||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/> |
+ | Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3 i J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji | ||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
+ | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\ | ||
+ | & \,\,\,\cdots \\ | ||
+ | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\ | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | Z definicji J27, twierdzeń J44 i J46, uwagi J45 i wniosku J47 otrzymujemy | |
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/> | ||
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | + | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy | |
− | ::<math>\ | + | ::{| border="0" |
+ | |-style=height:1em | ||
+ | | ● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> | ||
+ | |-style=height:1em | ||
+ | | ● jeżeli <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \mid ( a - 1 )</math> | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \mid ( a - 1 )</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J50</span><br/> | |
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja | ||
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> |
− | + | nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków | |
− | ::<math> | + | ::{| border="0" |
+ | |-style=height:1em | ||
+ | | ● jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | |-style=height:1em | ||
+ | | ● jeżeli <math>8 \mid m</math> i <math>8 \nmid ( a - 1 )</math> | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math> i <math>4 \nmid ( a - 1 )</math> | ||
+ | |} | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | '''Punkt 1.''' | ||
− | + | Z założenia <math>d \mid m</math>. Gdyby kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> |
− | + | miała rozwiązanie, to również kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math> | |
− | + | miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>. | |
− | + | Punkty 2. i 3. wynikają wprost z twierdzenia J49.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 968: | Linia 1478: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J51</span><br/> |
− | + | Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W tabelach zestawiliśmy kongruencje i ich rozwiązania. | |
− | ::<math>\ | + | {| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;" |
+ | |- | ||
+ | ! Kongruencje || Rozwiązania | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math> | ||
+ | |} | ||
+ | {| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! Kongruencje || Rozwiązania | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J52</span><br/> |
+ | Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą | ||
+ | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci | ||
− | + | ::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math> |
− | + | Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy | |
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math> |
+ | ::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math> | ||
+ | ::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math> | ||
− | < | + | Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math> |
− | + | nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | również nie ma rozwiązania.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J53</span><br/> | ||
+ | Rozwiązać kongruencję | ||
− | + | ::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math> | |
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
+ | Rozwiązywanie kongruencji w przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy | ||
− | + | ::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math> |
− | + | Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł. | |
+ | ::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math> | ||
− | + | ::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math> |
− | + | Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>. | |
− | |||
+ | Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że | ||
− | + | ::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo == | |
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J54</span><br/> | |
+ | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego. | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;" |
+ | | '''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> | ||
+ | |} | ||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J55</span><br/> | |
+ | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> | ||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J56</span><br/> |
+ | Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP | ||
− | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) = | |
+ | { | ||
+ | '''if'''( p == 2, '''return'''(0) ); | ||
+ | '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) ); | ||
+ | '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) )); | ||
+ | }</span> | ||
− | + | Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero). | |
− | |||
− | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J57</span><br/> |
+ | Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą. | ||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że | ||
− | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math> |
− | + | Skąd wynika, że | |
− | ::<math> | + | ::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math> |
− | + | Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J58</span><br/> | |
+ | Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest | ||
− | + | :* liczba <math>2</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math> | |
− | + | :* liczba <math>3</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math> | |
+ | :* liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math> | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | |
− | + | Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że | |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = | ||
+ | \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. | |
− | + | Z zadania J41 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z czterech warunków | |
+ | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math> | ||
− | + | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math> |
+ | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math> | ||
+ | Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy | ||
− | + | ::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math> | |
− | |||
− | ::<math>\ | + | ::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math> |
− | + | a z pierwszego i czwartego mamy | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math> |
+ | ::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math> | ||
− | + | Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji | |
+ | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math> | ||
− | + | ::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math> | |
+ | Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać | ||
− | + | chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24) | |
+ | chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24) | ||
+ | Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje | ||
− | + | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math> | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math> |
+ | Postępując jak wyżej, otrzymujemy | ||
− | + | chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24) | |
− | + | chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd | |
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24) | ||
− | <br/> | + | Co należało pokazać.<br/> |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1143: | Linia 1713: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J59</span><br/> |
− | + | Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. | |
− | ::<math>\ | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji | ||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
+ | u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\ | ||
+ | u & \equiv a \pmod{p_n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej | |
− | + | ::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> | |
− | + | Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy | |
− | ::<math> | + | ::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math> |
− | + | wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z tych liczb pierwszych. | |
− | |||
− | + | Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J29), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy | |
− | ::<math> | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | bo <math>8 \mid (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest | ||
− | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/> | |
− | + | □ | |
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J60 (Sarvadaman Chowla)</span><br/> | |
+ | Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika. | ||
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że w ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z nich. | ||
+ | Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> | |
− | + | (zobacz J29 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy | |
+ | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9) | ||
+ | ::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math> | ||
+ | Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie | ||
+ | ::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math> | ||
− | = | + | gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math> |
− | + | ::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> | |
− | + | Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J61</span><br/> |
+ | W twierdzeniu J59 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie | ||
− | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, " ", p); '''break'''() )))</span> | |
− | : | + | W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]). |
− | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | |
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{p}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J62</span><br/> | |
+ | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie | ||
− | ::<math>\ | + | ::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math> |
− | ::<math>\ | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math> | ||
+ | |||
+ | Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math> | ||
+ | |||
+ | Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem | ||
+ | |||
+ | ::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | ||
− | + | Ale z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i łatwo znajdujemy, że | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math> |
− | + | ::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math> | |
− | + | Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci | |
− | |||
− | + | ::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math> | |
− | + | Skąd otrzymujemy | |
− | |||
+ | ::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math> | ||
+ | ::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J63*</span><br/> |
− | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/> | |
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math> | |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J64</span><br/> |
− | + | Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/> | |
− | {{ | + | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J65</span><br/> |
+ | Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. | ||
− | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | |
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J66</span><br/> |
+ | Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych. | ||
− | + | Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą. | |
− | + | Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | Co | + | i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/> |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1284: | Linia 1894: | ||
− | |||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | |
− | + | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;" | |
+ | | '''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J67</span><br/> | ||
+ | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W jednym i drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J68</span><br/> | ||
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania. | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J69</span><br/> |
− | + | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math> | |
+ | |||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J70</span><br/> | ||
+ | Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) = | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(p, res); | ||
+ | p = 1; | ||
+ | '''while'''( p < m, | ||
+ | p = '''nextprime'''(p + 1); | ||
+ | '''if'''( m%p == 0, '''next'''() ); | ||
+ | res = -1; | ||
+ | '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) ); | ||
+ | '''if'''( res == -1, '''return'''(p) ); | ||
+ | ); | ||
+ | }</span> | ||
+ | |||
+ | Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości. | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}} | ||
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) = | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(p, res, t); | ||
+ | t = m%8; | ||
+ | '''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) ); | ||
+ | t = m%12; | ||
+ | '''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) ); | ||
+ | t = m%24; | ||
+ | '''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) ); | ||
+ | '''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) ); | ||
+ | t = m%30; | ||
+ | '''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) ); | ||
+ | p = 1; | ||
+ | '''while'''( p < m, | ||
+ | p = '''nextprime'''(p + 1); | ||
+ | '''if'''( m%p == 0, '''next'''() ); | ||
+ | res = -1; | ||
+ | '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) ); | ||
+ | '''if'''( res == -1, '''return'''(p) ); | ||
+ | ); | ||
+ | }</span> | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J71</span><br/> | ||
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że | |
+ | |||
+ | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math> | ||
− | ::<math> | + | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math> |
− | + | Skąd wynika, że | |
+ | |||
+ | ::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/> | ||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1305: | Linia 2003: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J72</span><br/> |
− | Z | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> |
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Z twierdzenia J36 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J73</span><br/> |
− | Niech | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków |
− | : | + | :* <math>4 \mid m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math> |
− | + | :* <math>m = 12 k \pm 4</math> | |
− | |||
− | |||
− | + | to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> | |
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
− | + | Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \mid m .</math> Rozważmy kongruencję | |
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z twierdzenia J50 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math> | ||
− | + | Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji | |
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | m &\equiv 0 \pmod{4} \\ | ||
+ | m &\equiv 1 \pmod{3} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | oraz | |
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
− | + | m &\equiv 0 \pmod{4} \\ | |
− | + | m &\equiv 2 \pmod{3} | |
− | \end{ | + | \end{align}</math> |
− | + | którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math> |
− | + | Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J74</span><br/> |
− | + | Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | |
+ | Zapiszmy <math>m</math> w postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja | ||
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math> |
− | + | miała rozwiązanie, to również kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math> | |
+ | |||
+ | miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J41), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/> | ||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1360: | Linia 2070: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J75</span><br/> |
− | Niech <math> | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> |
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja | |
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> | ||
+ | |||
+ | Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J36).<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J76</span><br/> | ||
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> | ||
+ | |||
+ | Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J41).<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J77</span><br/> |
+ | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math> | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Z założenia <math>3 \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/> | ||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1378: | Linia 2116: | ||
− | Z | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J78</span><br/> |
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
− | + | Z twierdzenia J107 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja | |
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J79</span><br/> |
− | + | Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math> | |
+ | |||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J75 | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | J76 | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | J77, J78 | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J78 | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J80</span><br/> | |
+ | Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy | ||
− | + | ::<math>\begin{array}{lll} | |
− | + | \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\ | |
− | + | \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2 | |
− | + | \end{array}</math> | |
− | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show= | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
'''Punkt 1.''' | '''Punkt 1.''' | ||
− | + | W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math> | |
+ | |||
+ | '''Punkt 2.''' | ||
+ | |||
+ | Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \mid 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math> | ||
+ | |||
+ | również nie ma rozwiązania (zobacz J50). | ||
+ | |||
+ | Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math> | ||
+ | |||
+ | możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1) | ||
− | < | + | ::<math>\begin{align} |
− | + | x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ | |
+ | x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\ | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>x'_0 = | |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\ | ||
+ | x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\ | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J81</span><br/> |
− | + | Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy | |
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>\begin{array}{lllll} | |
+ | \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\ | ||
+ | \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\ | ||
+ | \end{array}</math> | ||
− | :: | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
− | + | '''Punkt 1.''' | |
− | + | Z twierdzenia J75 wynika, że w przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math> | |
'''Punkt 2.''' | '''Punkt 2.''' | ||
− | Ponieważ | + | Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z twierdzenia J50 wynika, że kongruencja |
− | jest | + | |
+ | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J82</span><br/> | ||
+ | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że | ||
− | ::<math> | + | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math> |
− | + | Ponieważ z założenia <math>p \mid m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math> |
− | Z | + | co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/> |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J83</span><br/> | ||
+ | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i powiązany z dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J82). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z liczb <math>\mathbb{n}_k .</math> | ||
+ | |||
+ | Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math> | ||
− | + | musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J44 wiemy, że wtedy kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math> | |
− | < | + | również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/> |
− | + | □ | |
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J84</span><br/> |
+ | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to | ||
− | ::<math>\ | + | ::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math> |
− | + | gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math> | |
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
− | + | Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia J83, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy | |
− | |||
− | \ | ||
− | + | ::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math> | |
− | + | Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J85</span><br/> | |
+ | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania | ||
− | + | ::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math> | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math> |
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia J83 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to | ||
− | < | + | ::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math> |
− | |||
− | + | Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J62 i J63.<br/> | |
− | + | □ | |
− | + | {{\Spoiler}} | |
− | \ | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J86</span><br/> |
+ | Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/> | ||
− | + | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;" | |
+ | | '''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | |} | ||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J87</span><br/> | |
+ | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. | ||
+ | |||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{c( m )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J88</span><br/> |
+ | Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) = | ||
+ | { | ||
+ | '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) ); | ||
+ | '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); | ||
+ | '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) )); | ||
+ | }</span> | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J89</span><br/> |
+ | Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela. | ||
− | + | Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>). | |
− | + | Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J62. Łatwo zauważamy, że | |
+ | ::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math> | ||
− | + | ::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math> |
− | + | ::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math> | |
− | + | Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>. | |
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J90</span><br/> | |
+ | Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy | ||
− | ::<math> | + | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | |||
− | |||
− | \ | ||
− | + | Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1563: | Linia 2394: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | jest | + | == Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> == |
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J91</span><br/> | ||
+ | Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione. | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{n}</math> | ||
+ | | <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J92</span><br/> | ||
+ | Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{n}</math> | ||
+ | | <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>. | ||
+ | |||
+ | Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J93</span><br/> | ||
+ | Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{n}</math> | ||
+ | | <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math> | ||
+ | | <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J94</span><br/> | ||
+ | Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną. | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>. | ||
+ | |||
+ | Niech | ||
+ | |||
+ | ::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math> | ||
+ | |||
+ | <div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;"> | ||
+ | <math>\boldsymbol{n = 1}</math> | ||
+ | |||
+ | Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są parzyste, a liczby <math>y, b</math> nieparzyste. | ||
+ | |||
+ | <math>\boldsymbol{n = 2}</math> | ||
+ | |||
+ | Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math> | ||
+ | |||
+ | Co jest niemożliwe. | ||
+ | |||
+ | <math>\boldsymbol{n = 3}</math> | ||
+ | |||
+ | Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy | ||
+ | |||
+ | ::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math> | ||
+ | |||
+ | Co jest niemożliwe. | ||
+ | </div> | ||
+ | Mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math> | ||
+ | |||
+ | Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i | ||
+ | |||
+ | ::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math> | ||
+ | |||
+ | Czyli | ||
+ | |||
+ | ::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math> | ||
+ | |||
+ | ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \mid (x + a)</math> i musi być | ||
+ | |||
+ | ::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math> | ||
+ | |||
+ | Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \mid (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być | ||
+ | |||
+ | ::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math> | ||
− | + | W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \mid l</math> lub <math>n \mid r</math>. | |
− | |||
− | + | Łatwo otrzymujemy | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math> | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math> |
− | + | Ostatecznie | |
− | + | ::<math>Q = x^2 + n y^2</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math> | ||
− | + | <div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;"> | |
+ | <math>\boldsymbol{n = 1}</math> | ||
− | ::<math>\ | + | ::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math> |
− | + | <math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math> | |
− | + | W zależności od tego, która z liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać | |
− | ::<math>f( | + | ::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math> |
− | + | </div> | |
− | |||
− | \ | ||
− | + | Co kończy dowód.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1621: | Linia 2551: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J95</span><br/> |
− | + | Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci. | |
+ | ::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math> | ||
+ | ::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math> | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | |
− | Niech <math> | + | |
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J96</span><br/> | ||
+ | Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>. | ||
− | <math>\ | + | Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba <math>2</math> występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>. |
+ | |||
+ | '''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math> | ||
+ | |||
+ | a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math> | ||
+ | |||
+ | b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math> | ||
+ | |||
+ | a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math> | ||
+ | |||
+ | b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math> | ||
− | + | '''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math> | |
− | <math>\ | + | a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math> |
− | + | b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math> | |
− | + | c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Co należało pokazać.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1651: | Linia 2594: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J97</span><br/> |
− | + | Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci | |
+ | |||
+ | :(a) <math>4 k + 1</math> | ||
+ | |||
+ | :(b) <math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math> | ||
+ | |||
+ | :(c) <math>6 k + 1</math> | ||
+ | |||
+ | wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że | ||
+ | |||
+ | :(a) <math>p = x^2 + y^2</math> | ||
+ | |||
+ | :(b) <math>p = x^2 + 2 y^2</math> | ||
+ | |||
+ | :(c) <math>p = x^2 + 3 y^2</math> | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | |||
+ | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | ||
+ | |||
+ | Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem | ||
+ | |||
+ | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | Z twierdzenia J36 i zadania J40 otrzymujemy natychmiast | ||
+ | |||
+ | :(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math> | ||
+ | |||
+ | :(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math> | ||
+ | |||
+ | :(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math> | ||
+ | |||
+ | Co należało pokazać. | ||
+ | |||
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | ||
− | Z założenia | + | '''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math> |
+ | |||
+ | Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci | ||
+ | |||
+ | :(a) <math>4 k + 1</math> | ||
+ | |||
+ | :(b) <math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math> | ||
+ | |||
+ | :(c) <math>6 k + 1</math> | ||
+ | |||
+ | Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | |||
+ | (zobacz J36 i J40) i liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego''' | ||
+ | |||
+ | Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję | ||
+ | |||
+ | ::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z definicji mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Zatem | ||
+ | |||
+ | ::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności. | ||
+ | |||
+ | ::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby | ||
+ | |||
+ | ::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math> | ||
+ | |||
+ | takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i dla których | ||
+ | |||
+ | ::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math> | ||
+ | |||
+ | Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 + n y^2 = m p</math> | ||
+ | |||
+ | ma rozwiązanie dla liczb | ||
+ | |||
+ | ::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math> | ||
+ | |||
+ | Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/> | ||
+ | |||
+ | Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta<ref name="HardyWright1"/>. | ||
+ | |||
+ | Jeżeli w rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 + n y^2 = m p</math> | ||
+ | |||
+ | otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci | ||
+ | |||
+ | ::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math> | ||
+ | |||
+ | takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia. | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w przypadku gdy <math>n = 3</math>. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą''' | ||
+ | |||
+ | Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z twierdzenia J96 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w postaci | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math> | ||
+ | |||
+ | gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci | ||
+ | |||
+ | ::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math> | ||
+ | |||
+ | gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą''' | ||
+ | |||
+ | Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z definicji mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Zatem | ||
+ | |||
+ | ::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności. | ||
+ | |||
+ | ::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Połóżmy | ||
+ | |||
+ | ::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math> | ||
+ | |||
+ | Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \mid (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \mid p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>. | ||
+ | |||
+ | Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i uwzględniając, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | otrzymujemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math> | ||
+ | |||
+ | Mamy też oszacowanie | ||
+ | |||
+ | ::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math> | ||
+ | |||
+ | Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math> | ||
+ | |||
+ | Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math> | ||
+ | |||
+ | ::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math> | ||
+ | |||
+ | (zobacz J95). Zauważmy teraz, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math> | ||
+ | |||
+ | ::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math> | ||
+ | |||
+ | ::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math> | ||
+ | |||
+ | ::::<math>\quad \; = m x_1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math> | ||
+ | |||
+ | ::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math> | ||
+ | |||
+ | ::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math> | ||
− | <math>\ | + | ::::<math>\;\;\, = m y_1</math> |
+ | |||
+ | Gdzie oznaczyliśmy | ||
+ | |||
+ | ::<math>x_1 = p - r x - n s y</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>y_1 = s x - r y</math> | ||
+ | |||
+ | Wynika stąd, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math> | ||
+ | |||
+ | Zatem | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math> | ||
+ | |||
+ | gdzie | ||
+ | |||
+ | ::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math> | ||
− | + | Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>. | |
− | |||
− | + | '''D. Jednoznaczność rozkładu''' | |
− | + | Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia J94. Co kończy dowód.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1674: | Linia 2832: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J98</span><br/> |
− | + | Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni. | |
− | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show= | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}} |
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) = | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1); | ||
+ | '''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") ); | ||
+ | x = 1; | ||
+ | '''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p | ||
+ | x = x - '''round'''(x/p)*p; | ||
+ | y = 1; | ||
+ | m = (x^2 + y^2)/p; | ||
+ | '''while'''( m > 1, | ||
+ | r = '''round'''(x/m); | ||
+ | s = '''round'''(y/m); | ||
+ | x1 = p - r*x - s*y; | ||
+ | y1 = r*y - s*x; | ||
+ | x = x1; | ||
+ | y = y1; | ||
+ | m = (x^2 + y^2)/p; | ||
+ | ); | ||
+ | '''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]); | ||
+ | }</span> | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J99</span><br/> | ||
+ | Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a liczba pierwsza <math>r</math> | ||
+ | będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że | ||
+ | :* liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich | ||
+ | :* liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich | ||
+ | :* liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | |||
+ | '''Punkt 1.''' | ||
+ | |||
+ | Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy | ||
+ | |||
+ | ::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> | ||
+ | |||
+ | Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i modulo <math>4</math> mamy | ||
− | <math>\ | + | ::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math> |
− | + | Przypuśćmy, że | |
− | <math> | + | ::<math>r^2 = x^2 + y^2</math> |
− | + | gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w sposób oczywisty jest niemożliwe. | |
− | + | '''Punkt 2.''' | |
− | + | W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie J97. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy | |
− | + | ::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math> | |
− | + | ::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math> | |
− | + | ::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math> | |
− | |||
− | + | '''Punkt 3.''' | |
− | + | Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w uwadze J95 mamy | |
− | + | ::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math> | |
− | + | :::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math> | |
− | Co | + | Co należało pokazać.<br/> |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1712: | Linia 2909: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show= | + | == Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo == |
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J100</span><br/> | ||
+ | Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math> | ||
+ | |||
+ | :* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math> | ||
+ | :* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja | ||
+ | |||
+ | ::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math> | ||
+ | |||
+ | gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math> | ||
+ | |||
+ | Z twierdzenia J49 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy | ||
− | <math>\ | + | ::<math>s = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | dla <math>2^n = 4</math> i gdy | |
− | <math>\ | + | ::<math>s = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1732: | Linia 2954: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J101</span><br/> |
− | + | Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie J100 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia J102. Z zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe. | |
+ | |||
+ | Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>. | ||
+ | |||
+ | W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>. | ||
+ | |||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{p}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{q}</math> | ||
+ | | style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>. | ||
− | : | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" |
− | : | + | |- |
+ | ! <math>\boldsymbol{p}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{q}</math> | ||
+ | | style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J102</span><br/> | ||
+ | Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Niech | ||
+ | ::<math>s = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\ | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math> | ||
− | + | Czyli | |
− | <math>\ | + | ::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math> |
+ | |||
+ | i otrzymujemy | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | |||
+ | Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. | ||
+ | |||
+ | Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math> | ||
+ | |||
+ | z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math> | ||
+ | |||
+ | Mamy <math>s = - 1</math> i przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby | ||
+ | |||
+ | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math> | ||
+ | |||
+ | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci <math>4 k + 3</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math> | ||
+ | |||
+ | Mamy <math>s = + 1</math> i przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby | ||
+ | |||
+ | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math> | ||
+ | |||
+ | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci <math>4 k + 3</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math> | ||
+ | |||
+ | Mamy <math>s = - 1</math> i przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby | ||
+ | |||
+ | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math> | ||
+ | |||
+ | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math> | ||
+ | |||
+ | Mamy <math>s = + 1</math> i przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby | ||
− | + | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math> | |
− | + | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>. | |
− | |||
− | + | Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | <math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J103</span><br/> |
+ | Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz J97). Ponieważ z założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>. | ||
− | + | Modulo <math>q</math> możemy napisać | |
− | + | ::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math> | |
− | + | Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid x</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math> |
− | + | Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9) | |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | |
− | + | Co kończy dowód.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1777: | Linia 3077: | ||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J104</span><br/> | ||
+ | Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>. | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz J97). | ||
+ | Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy | ||
+ | ::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> | ||
+ | Co jest niemożliwe. Zatem <math>x = 2 k</math>, a liczba <math>y</math> musi być nieparzysta. Otrzymujemy | ||
+ | ::<math>p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math> | ||
+ | Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to jedynie w przypadku gdy <math>k = y = 1</math> możliwa jest sytuacja, że <math>k = y</math>. Mielibyśmy wtedy <math>p = 7</math>, ale z założenia musi być <math>p \geqslant 19</math>. Wynika stąd, że <math>k \neq y</math>, zatem liczba <math>k^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> (zobacz J22). Oczywiście <math>q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p</math>. | ||
− | + | Modulo <math>q</math> możemy napisać | |
− | + | ::<math>k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math> | |
− | < | + | Liczba pierwsza <math>q</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid k</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9 i p.6) | |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} | |
+ | = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | ||
+ | Co kończy dowód.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
+ | Twierdzenia J103 i J104 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/> | ||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J105*</span><br/> | ||
+ | Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>. | ||
− | |||
− | |||
− | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J106</span><br/> |
− | |- | + | W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>. |
− | ! <math> | + | |
− | |- style= | + | :{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;" |
− | | <math> | + | |- |
− | | | + | ! <math>\boldsymbol{m}</math> |
− | | <math> | + | | <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math> |
− | | | + | |- |
− | | <math> | + | ! <math>\boldsymbol{q}</math> |
− | | | + | | style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> |
− | | <math> | + | |} |
− | | | + | |
− | | <math> | + | |
+ | W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>. | ||
+ | |||
+ | :{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{q}</math> | ||
+ | | style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> | ||
|} | |} | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J107</span><br/> | |
+ | Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>. | ||
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i z twierdzenia J36 p.9 dostajemy | ||
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = |
+ | - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = | ||
+ | - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = | ||
+ | - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
− | + | Zatem <math>q</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
+ | Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/> | ||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J108*</span><br/> | ||
+ | '''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>. | ||
− | < | + | '''B.''' Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>. |
− | |||
− | |||
− | + | ||
+ | Zauważmy, że twierdzenie J108 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/> | ||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J109</span><br/> | ||
+ | '''A.''' Jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 10 , 11</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>. | ||
+ | |||
+ | '''B.''' Jeżeli <math>m \geqslant 4</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 6 , 9</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>. | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | |||
− | + | '''Punkt B''' | |
− | + | Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b</math>. | |
− | + | Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J50 i J82). | |
+ | |||
+ | Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J50). | ||
+ | |||
+ | Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J50). | ||
+ | |||
+ | Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>. | ||
− | |||
− | : | + | Zbierając: |
− | : | + | :* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 5</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b</math>, to liczba pierwsza <math>q = 11</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. |
+ | :* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J108 i J82). | ||
− | |||
− | + | Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 11</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 3</math>. | |
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(m = 3, 15, '''forprimestep'''(q = 3, 100, 4, '''if'''( isQR(q,m) == -1, '''print'''(m, " ", q); '''break'''() )))</span> | ||
+ | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{q}</math> | ||
+ | | style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> | ||
+ | |} | ||
− | + | Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 4</math>, o ile <math>m \neq 6 , 9</math>. | |
− | + | '''Punkt A''' | |
− | + | Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>. | |
− | + | Jeżeli jedna z liczb <math>3, 5, 7, 11</math> dzieli <math>m</math>, to <math>17</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo | |
+ | <math>\left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}} | ||
+ | = - 1</math>. | ||
+ | Jeżeli żadna z liczb <math>3, 5, 7, 11</math> nie dzieli <math>m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (5 - 1)</math>, zatem liczba <math>5</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. | ||
− | + | Jeżeli żadna z liczb <math>3, 5, 7, 11</math> nie dzieli <math>m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to nie istnieją liczby pierwsze postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>, bo <math>4 \mid [(4 k + 1) - 1]</math> | |
+ | |||
+ | Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>. | ||
+ | |||
+ | Zbierając: | ||
− | : | + | :* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 13</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>, to liczba pierwsza <math>q = 5</math> lub <math>q = 17</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 1</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. |
+ | :* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J108 i J82). | ||
− | + | Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 17</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 1</math>. | |
− | :: | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(m = 3, 20, '''forprimestep'''(q = 1, 100, 4, '''if'''( isQR(q,m) == -1, '''print'''(m, " ", q); '''break'''() )))</span> |
− | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" | |
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | ||
+ | | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{q}</math> | ||
+ | | style="background-color: red" | <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>13</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 6</math>, o ile <math>m \neq 10 , 11</math>.<br/> | ||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1889: | Linia 3254: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J110</span><br/> |
− | + | Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> | |
− | :: | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Łatwo sprawdzamy, że | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | |
− | + | (zobacz J36 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>. | |
− | + | '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math> | |
− | + | Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z twierdzenia J66 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z twierdzenia J36 p.9 otrzymujemy natychmiast | |
− | ::<math> | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math> | |
− | + | Z twierdzenia J102 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z twierdzenia J36 p.9 otrzymujemy natychmiast | |
− | ::<math> | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | Co kończy dowód.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J111</span><br/> |
− | + | Udowodnić twierdzenie J110 w przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z twierdzenia J102. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Z założenia <math>p = 4 k + 3</math>. Liczba <math>k</math> może być postaci <math>k = 3 j</math>, <math>k = 3 j + 1</math> i <math>k = 3 j + 2</math>. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci <math>p = 12 j + 3</math>, <math>p = 12 j + 7</math> i <math>p = 12 j + 11</math>. | ||
− | + | Ponieważ nie ma liczb pierwszych <math>p \geqslant 19</math> i będących postaci <math>p = 12 j + 3</math>, to pozostaje rozważyć przypadki <math>p = 12 j + 7</math> i <math>p = 12 j + 11</math>. | |
− | + | '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math> | |
− | + | Wiemy, że w tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J41). Mamy | |
+ | |||
+ | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | Czyli wystarczy przyjąć <math>q = 3</math>. | ||
+ | |||
+ | '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math> | ||
− | + | Wiemy, że w tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J36 p.6 oraz J41). Otrzymujemy | |
− | + | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;"> | |
+ | ::<math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1</math> | ||
+ | </div> | ||
− | + | Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W przeciwnym razie z twierdzenia J36 p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Linia 1953: | Linia 3329: | ||
+ | == Przypisy == | ||
+ | <references> | ||
+ | <ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref> | ||
+ | <ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="sumazbiorow">Wikipedia, ''Zasada włączeń i wyłączeń'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle Wiki-en])</ref> | ||
− | = | + | <ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref> |
− | < | ||
− | <ref name=" | + | <ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="Norton1">Karl K. Norton, ''Numbers with Small Prime Factors, and the Least ''k''th Power Non-Residue'', Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="Trevino1">Enrique Treviño, ''The least k-th power non-residue'', Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="Trevino2">Kevin J. McGown and Enrique Treviño, ''The least quadratic non-residue'', Mexican Mathematicians in the World (2021)</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="Erdos1">Paul Erdős, ''Számelméleti megjegyzések I'', Afar. Lapok, v. 12 (1961)</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="Pollack1">Paul Pollack, ''The average least quadratic nonresidue modulo <math>m</math> and other variations on a theme of Erdős'', Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="InfiniteDescent1">Wikipedia, ''Proof by infinite descent'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent Wiki-en])</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="Bussey1">W. H. Bussey, ''Fermat's Method of Infinite Descent'', The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)</ref> |
− | <ref name=" | + | <ref name="HardyWright1">G. H. Hardy and Edward M. Wright, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.</ref> |
− | </ | + | <ref name="Gica1">Alexandru Gica, ''Quadratic Residues of Certain Types'', Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.</ref> |
+ | <ref name="Pollack2">Paul Pollack, ''The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4'', Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414</ref> | ||
+ | </references> | ||
Wersja z 12:12, 19 maj 2023
Chińskie twierdzenie o resztach
Twierdzenie J1
Niech [math]\displaystyle{ a, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m n} }[/math]
jest równoważna układowi kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv a \pmod{m} \\ u &\equiv a \pmod{n} \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ u - a }[/math] jest podzielna przez iloczyn [math]\displaystyle{ m n }[/math], to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Z kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m} }[/math]
wynika, że [math]\displaystyle{ u - a = k m }[/math], zaś z kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{n} }[/math]
otrzymujemy [math]\displaystyle{ n \mid (u - a) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n \mid k m }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ n \mid k }[/math] (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ s }[/math], że [math]\displaystyle{ k = s n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ u - a = s n m }[/math], a stąd [math]\displaystyle{ u \equiv a \!\! \pmod{m n} }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J2
Dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] istnieje dokładnie jedna taka liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]), że prawdziwy jest układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Z założenia liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ m x + n y = 1 }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ c = a n y + b m x }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ c \equiv a n y \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv a (1 - m x) \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv a \pmod{m} }[/math]
Natomiast modulo [math]\displaystyle{ n }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ c \equiv b m x \pmod{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv b (1 - n y) \pmod{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv b \pmod{n} }[/math]
Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby [math]\displaystyle{ c }[/math]. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby [math]\displaystyle{ c }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid (d - a) }[/math] i [math]\displaystyle{ m \mid (c - a) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] dzieli różnicę tych liczb, czyli [math]\displaystyle{ m \mid (d - c) }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ n \mid (d - c) }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to [math]\displaystyle{ m n \mid (d - c) }[/math] (zobacz C73), co oznacza, że
- [math]\displaystyle{ d \equiv c \pmod{m n} }[/math].
Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant c \leqslant m n }[/math].
□
Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz niech [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} }[/math]
jest równoważna układowi kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a \pmod{m} \\ u & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv c \; \pmod{m} \\ u \equiv c \; \pmod{n} \\ \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv a \; \pmod{m} \\ u \equiv b \:\, \pmod{n} \\ \end{array} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Uwaga J4
Chińskie twierdzenie o resztach[1] (CRT[2]) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv 1 \pmod{4} \\ u &\equiv 3 \pmod{8} \end{align} }[/math]
nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest [math]\displaystyle{ u = 4 k + 1 }[/math], które dla liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych ma postać
- [math]\displaystyle{ u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5 }[/math]
i nie może być [math]\displaystyle{ u \equiv 3 \!\! \pmod{8} }[/math].
Zadanie J5
Niech [math]\displaystyle{ u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k }[/math] są parami względnie pierwsze (czyli [math]\displaystyle{ \gcd (m_i, m_j) = 1 }[/math] dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math]), to istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k }[/math]) taka, że układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ & \cdots \\ u & \equiv a_k \pmod{m_k} \end{align} }[/math]
można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} }[/math]
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math], dla liczby [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] otrzymujemy układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\ u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} \end{align} }[/math]
gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}} }[/math]
gdzie liczba [math]\displaystyle{ c' }[/math] jest dokładnie jedna i jest określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1} }[/math]. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]. Co kończy dowód indukcyjny.
□
Przykład J6
Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po [math]\displaystyle{ 5 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 3 }[/math], a kiedy próbujemy ustawić je po [math]\displaystyle{ 7 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \end{align} }[/math]
Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo [math]\displaystyle{ 35 }[/math]. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie
chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )
uzyskujemy wynik Mod(18, 35)
, zatem równoważna kongruencja ma postać
- [math]\displaystyle{ n \equiv 18 \pmod{35} }[/math]
Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi [math]\displaystyle{ 18 }[/math].
Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
- [math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 1 \pmod{2} \\ n &\equiv 2 \pmod{3} \\ n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \\ n &\equiv 5 \pmod{11} \end{align} }[/math]
to argumenty należy zapisać w postaci wektora
chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )
Otrzymujemy Mod(1523, 2310)
.
Wielomiany
Twierdzenie J7
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] będzie dowolnym wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math]. Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] można przedstawić w postaci
- [math]\displaystyle{ W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], a współczynniki wiodące wielomianów [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] są sobie równe.
Z założenia [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math]. Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k }[/math]
- [math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k) }[/math]
Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] prawdziwy jest wzór
- [math]\displaystyle{ x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x) }[/math]
Gdzie przez [math]\displaystyle{ U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math] oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy [math]\displaystyle{ k - 1 }[/math]. Zatem możemy napisać
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x) }[/math]
Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math]. Ponieważ ze wszystkich wielomianów [math]\displaystyle{ a_k U^{(k)} (x) }[/math], wielomian [math]\displaystyle{ a_n U^{(n)} (x) }[/math] ma największy stopień równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Czyli
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]
Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że [math]\displaystyle{ a_n = b_{n - 1} }[/math]. Czyli współczynnik wiodący wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. Co należało pokazać.
□
Definicja J8
Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math], będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math].
Definicja J9
Powiemy, że wielomian całkowity [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a_n }[/math]. Jeżeli każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n }[/math], jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieokreślony.
Twierdzenie J10
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] będzie wielomianem całkowitym i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ x \equiv y \!\! \pmod{m} }[/math], to
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]
Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ x^k - y^k }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ x - y }[/math], co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
- [math]\displaystyle{ x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid (x - y) }[/math], zatem dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ m \mid (x^k - y^k) }[/math]. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
- [math]\displaystyle{ \begin{align} a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\ a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\ a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\ & \cdots \\ a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} \end{align} }[/math]
Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Uwaga J11
Niech [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
- [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1) }[/math]
gdzie liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze.
Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2) }[/math]
Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math]. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] nie ma rozwiązania, to kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n} }[/math] również nie ma rozwiązania.
Załóżmy, że każda z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech
- [math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x \equiv b \!\! \pmod{n} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n} }[/math]
Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x &\equiv a \pmod{m} \\ x &\equiv b \pmod{n} \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3) }[/math]
Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej
- [math]\displaystyle{ x \equiv c \pmod{m n} }[/math]
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Istotnie z twierdzenia J10 mamy
- [math]\displaystyle{ \begin{align} W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\ W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} \end{align} }[/math]
ale liczby [math]\displaystyle{ m, n }[/math] są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
- [math]\displaystyle{ W (c) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]
Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań [math]\displaystyle{ (3) }[/math] odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math].
Podsumujmy: jeżeli kongruencje
- [math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \end{align} }[/math]
mają odpowiednio [math]\displaystyle{ r }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math] jest równa iloczynowi [math]\displaystyle{ r s }[/math] i istnieje [math]\displaystyle{ r s }[/math] różnych rozwiązań kongruencji
- [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]
Twierdzenie Lagrange'a
Twierdzenie J12
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
A. Istnienie rozwiązania
Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 = k p }[/math], to istnienie liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ k }[/math], dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a_1, p) = 1 }[/math], to istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math] (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid r }[/math], bo gdyby tak było, to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieliłaby wyrażenie [math]\displaystyle{ a_1 r + p s }[/math], ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math]. Czyli modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ a_1 r \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ x \equiv - a_0 r \pmod{p} }[/math]
B. Brak innych rozwiązań
Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
- [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Jeśli oznaczymy je przez [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math], to otrzymamy
- [math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p} }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \mid a_1 (x_1 - x_2) }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ p \mid (x_1 - x_2) }[/math]. Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p} }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)
Jeżeli wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], to kongruencja
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań.
Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Niech wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math]. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek [math]\displaystyle{ x \equiv s \!\! \pmod{p} }[/math]. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]
gdzie wielomian [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo wielomiany [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] mają jednakowe współczynniki wiodące.
Z założenia [math]\displaystyle{ x \equiv s \!\! \pmod{p} }[/math] jest jednym z pierwiastków kongruencji [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
wynika, że musi być (zobacz C72)
- [math]\displaystyle{ x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Z założenia indukcyjnego kongruencja
- [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]
ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] rozwiązań, zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J14
Jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań, to wszystkie współczynniki [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, \ldots, n }[/math], muszą być podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \} }[/math] będzie zbiorem takim, że dla każdego [math]\displaystyle{ k \in S }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \nmid a_k }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym. Niech [math]\displaystyle{ j }[/math] oznacza największy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ j = 0 }[/math], to wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ 0 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i
- [math]\displaystyle{ a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Konsekwentnie, dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]
bo dla każdego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math].
W przypadku gdy [math]\displaystyle{ j \neq 0 }[/math], z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ j \leqslant n }[/math] rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.
□
Przykład J15
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma co najwyżej [math]\displaystyle{ p }[/math] rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ x^p \equiv x \pmod{p} }[/math]
Przykład J16
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ n \geqslant p }[/math], możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że [math]\displaystyle{ n \lt p }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ p = 5 }[/math] i
- [math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ x^5 \equiv x \!\! \pmod{5} }[/math], to
- [math]\displaystyle{ W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5} }[/math]
Co wynika również z faktu, że [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] można zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 }[/math]
ale [math]\displaystyle{ x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5} }[/math] na mocy twierdzenia Fermata.
Twierdzenie Wilsona
Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)
Liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
- [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną. Zatem liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] ma dzielnik [math]\displaystyle{ d }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ 2 \leqslant d \leqslant p - 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d \mid p }[/math], to prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]
czyli
- [math]\displaystyle{ 0 \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]
co jest niemożliwe.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Niech teraz [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
- [math]\displaystyle{ W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1)) }[/math]
oraz
- [math]\displaystyle{ V(x) = x^{p - 1} - 1 }[/math]
Zauważmy, że
- stopnie tych wielomianów są równe [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math]
- współczynniki wiodące są równe [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
- wyrazy wolne są równe odpowiednio [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] oraz [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]
- wielomiany mają [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Niech
- [math]\displaystyle{ U(x) = W (x) - V (x) }[/math]
Zauważmy, że
- stopień wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 2 \geqslant 1 }[/math], ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji
- wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] ma [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo dla każdego [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy [math]\displaystyle{ U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] nie może mieć więcej niż [math]\displaystyle{ p - 2 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi dzielić każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math] wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy [math]\displaystyle{ (p - 1) ! + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J18
Liczba całkowita nieparzysta [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
- [math]\displaystyle{ \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]
Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
- [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
W przypadku, gdy liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] są określone modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to odejmując od każdego czynnika większego od [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie Fermata
Twierdzenie J19 (Pierre de Fermat, 1640)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą
- to liczba [math]\displaystyle{ a^p - a }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^p \equiv a \!\! \pmod p }[/math]
- i jeśli dodatkowo [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p }[/math]
Punkt 1.
Zauważmy, że
a) twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math]
b) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ a^p - a = a^2 - a = a (a - 1) }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math], bo jedna z liczb [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą
c) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 1 }[/math], to jest też prawdziwe dla [math]\displaystyle{ - a }[/math], bo
- [math]\displaystyle{ (- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a) }[/math]
Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math] twierdzenie jest prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math].
Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1^p - 1 = 0 }[/math] zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a }[/math], czyli [math]\displaystyle{ p|a^p - a }[/math], otrzymujmy dla [math]\displaystyle{ a + 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k }[/math]
Z założenia indukcyjnego [math]\displaystyle{ p|a^p - a }[/math], zaś [math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math] (ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem [math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) }[/math] jest podzielne przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math].
Punkt 2.
Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^p - a = a (a^{p - 1} - 1) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math].
□
Twierdzenie J20
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math] i liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
Z założenia
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p} }[/math]
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p|y }[/math]. Wtedy z powyższej kongruencji mamy natychmiast, że [math]\displaystyle{ p|x }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i z twierdzenia Fermata dostajemy
- [math]\displaystyle{ 1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]
Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] musi być liczbą parzystą, czyli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie J21
Niech [math]\displaystyle{ x, y, n \geqslant 0 }[/math]. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania
- [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2^n }[/math]
są liczby
- [math]\displaystyle{ x = 2^{n / 2} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y = 0 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \, x = 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y = 2^{n / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ 2 \mid n }[/math]
- [math]\displaystyle{ x = y = 2^{(n - 1) / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ 2 \nmid n }[/math]
A. Gdy jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (powiedzmy [math]\displaystyle{ y }[/math]), to mamy [math]\displaystyle{ x = 2^{n / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest parzyste. Gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że [math]\displaystyle{ x, y \geqslant 1 }[/math]
B. Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Gdy obie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ 2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4} }[/math]
Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] i w tym przypadku mamy [math]\displaystyle{ (x, y) = (1, 1) }[/math].
C. W przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać [math]\displaystyle{ x = 2^a u }[/math], [math]\displaystyle{ y = 2^b w }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ u, w }[/math] są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant a \leqslant b \lt {\small\frac{n}{2}} }[/math]. Dostajemy
- [math]\displaystyle{ u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a} }[/math]
Widzimy, że nie może być [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math], bo suma liczby nieparzystej i parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem [math]\displaystyle{ a = b }[/math] i otrzymujemy równanie
- [math]\displaystyle{ u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a} }[/math]
które ma rozwiązanie w liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika [math]\displaystyle{ n - 2 a = 1 }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ u = w = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ x = y = 2^{(n - 1) / 2} }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] musi być liczbą nieparzystą.
□
Twierdzenie J22
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x = y }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2 y^2 }[/math] i jeśli liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] nie ma dzielnika pierwszego postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], to nie ma go również liczba [math]\displaystyle{ 2 y^2 }[/math]. Przykładowo [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r} }[/math]. Dlatego zakładamy, że [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] jest równa zero. Dlatego zakładamy, że [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = d }[/math], zatem mamy [math]\displaystyle{ x = a d }[/math], [math]\displaystyle{ y = b d }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, a \neq b }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \, a \neq b }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J21). Z twierdzenia J20 zastosowanego do liczby [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
□
Kryterium Eulera
Definicja J23
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ p \mid (k^2 - a) }[/math].
Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
nie ma rozwiązania.
Twierdzenie J24
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], kwadraty liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ p - k }[/math] są takimi samymi liczbami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z oczywistej kongruencji
- [math]\displaystyle{ k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p} }[/math]
Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right) }[/math]
Ponieważ
- [math]\displaystyle{ p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1 }[/math]
to wypisane pary wyczerpują cały zbiór [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Co więcej, liczby [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math] są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], a jednocześnie [math]\displaystyle{ i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p} }[/math]. Gdyby tak było, to mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ (i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z prostych oszacowań
- [math]\displaystyle{ 1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j \lt p - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 \lt i + j \lt p - 1 }[/math]
Ponieważ (z definicji) liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] musi przystawać do pewnego kwadratu modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest tyle samo, co kwadratów [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math]. Czyli jest ich dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Pozostałe liczby w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] to liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i jest ich również [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J25 (kryterium Eulera, 1748)
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy
● liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math] ● liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
Punkt 1.
Niech [math]\displaystyle{ Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Zauważmy, że
A [math]\displaystyle{ | Q | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] zobacz J24 B [math]\displaystyle{ | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] zobacz twierdzenie Lagrange'a J13 C jeżeli [math]\displaystyle{ a \in Q }[/math], to [math]\displaystyle{ a \in S \qquad }[/math] wynika z ciągu implikacji:
[math]\displaystyle{ a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S }[/math]D [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math] z punktu C wynika, że każdy element zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]
Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]
Skąd łatwo widzimy, że
- [math]\displaystyle{ | Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math], a zbiory [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J26). Prostą konsekwencją równości zbiorów [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] jest stwierdzenie
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Co kończy dowód punktu pierwszego.
Punkt 2.
Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika[3], że
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Z twierdzenia Fermata
- [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
wynika natychmiast, że jeżeli [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], to musi być
- [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie J26
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B | }[/math], to [math]\displaystyle{ \; A = B }[/math].
Ponieważ zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ B }[/math] można przedstawić w postaci sumy zbiorów [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] takich, że żaden element zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] nie jest elementem zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing }[/math]
Ponieważ z założenia zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są rozłączne, to wiemy, że
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ | B | = | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]
Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ | C | = 0 }[/math], zatem zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ B = A }[/math]. Co należało pokazać.
Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)
Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie [math]\displaystyle{ | A \cup C | \leqslant | A | + | C | }[/math], bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math], zatem od sumy [math]\displaystyle{ | A | + | C | }[/math] musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math]. Co daje ogólny wzór[4]
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]
□
Symbol Legendre'a
Definicja J27
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Symbolem Legendre'a[5] nazywamy funkcję [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] zdefiniowaną następująco
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\ - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \mid a \end{cases} }[/math]
Uwaga J28
Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math]
Twierdzenie J29*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
1. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) \gt 1 }[/math] 2. [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] 3. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] 4. [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math] 5. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1 }[/math] 6. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math] 7. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 8. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 9. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
Symbol Jacobiego
Definicja J30
Niech liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ m \mid (k^2 - a) }[/math].
Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania.
Uwaga J31
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
isQR(a, m) =
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
{
local(w);
if( gcd(a, m) > 1, return(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
w = -1;
for(k = 1, floor(m/2), if( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; break() ));
return(w);
}
Uwaga J32
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], w której warunek [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math] zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w takim przypadku liczba [math]\displaystyle{ 0 }[/math] nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Przykładowo:
- [math]\displaystyle{ \left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10} }[/math]
Liczby kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math] to [math]\displaystyle{ \left\{ 1, 9 \right\} }[/math], a niekwadratowe to [math]\displaystyle{ \left\{ 3, 7 \right\} }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ \left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\} }[/math] nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math].
Jeśli odrzucimy warunek [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math] będą [math]\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\} }[/math], a niekwadratowymi [math]\displaystyle{ \left\{ 2, 3, 7, 8 \right\} }[/math].
Inny przykład. Niech [math]\displaystyle{ m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 }[/math]. W zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie albo [math]\displaystyle{ 11 }[/math], albo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].
Zadanie J33
Niech liczby [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Pokazać, że liczba [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i modulo [math]\displaystyle{ n }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ W(x) = x^2 - a }[/math]. Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.
□
Definicja J34
Symbol Jacobiego[6] [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] jest uogólnieniem symbolu Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla dodatnich liczb nieparzystych.
Niech [math]\displaystyle{ n = \prod_i p_i^{\alpha_i} }[/math] będzie rozkładem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, wtedy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i} }[/math]
Uwaga J35
Zauważmy, że w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math].
Twierdzenie J36*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
1. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) \gt 1 }[/math] 2. [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] 3. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] 4. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] 5. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1 }[/math] 6. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math] 7. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 8. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 9. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
Uwaga J37
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
Uwaga J38
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą
- jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to nie musi być [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math]
Przykład: jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ a }[/math] może być liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m^2 }[/math].
Modulo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 5, 8 }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23 }[/math].
Uwaga J39
Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
QRandQNR(m) =
{
local(k, S, V);
S = [];
V = [];
for(k = 1, m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); S = concat(S, k));
S = Set(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
for(k = 1, m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); V = concat(V, k^2 % m));
V = Set(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
print("QR: ", V);
print("QNR: ", setminus(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
}
Zadanie J40
Pokazać, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \end{cases} }[/math]
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
bo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą.
Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ - 1 & \text{gdy } r = 5 \end{cases} }[/math]
bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1 }[/math]
Łatwo zauważamy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie J41
Pokazać, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\ - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3 \end{cases} }[/math]
Punkt 1.
Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. W tym przypadku mamy
- [math]\displaystyle{ 3 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
i odpowiednio dla różnych postaci liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J36 p.9)
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
Punkt 2.
Ponieważ [math]\displaystyle{ 5 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to nie ma już znaczenia, czy [math]\displaystyle{ m \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], czy też [math]\displaystyle{ m \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J36 p.9)
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 10 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7, 9 }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \:\, \quad = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9 \end{cases} }[/math]
bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7, 9 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1 }[/math]
Co należało pokazać.
□
Uwaga J42
Wykorzystując podane w twierdzeniu J36 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze.
jacobi(a, n) =
{
local(r, w);
if( n <= 0 || n % 2 == 0, return("Error") );
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
w = 1;
while( a <> 0,
while( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; if( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
\\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
\\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
a = n;
n = r;
if( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
\\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
a = a % n;
);
if( n == 1, return(w), return(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
}
Uwaga J43
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] nie istnieje, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
- jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Legendre'a
- jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Jacobiego
- jeżeli nie wiemy, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Jacobiego
Rozwiązywanie kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]
Twierdzenie J44
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid (r^2 - a) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ p \mid (r^2 - a) }[/math], co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]
ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n} }[/math] i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ u_n }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant u_n \lt p^n }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] może zostać wybrana dowolnie (modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem
- [math]\displaystyle{ u^2_n - a = k p^n }[/math]
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jednoznacznie określona, bo wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] została ustalona. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2 u_n, p) = 1 }[/math], to równanie
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k }[/math]
ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]
Modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
bo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} \mid p^{2 n} }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□
Uwaga J45
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Ponieważ zakładamy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ x }[/math] nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy [math]\displaystyle{ 0 \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid 2^n }[/math].
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2} }[/math]
ma dokładnie jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math].
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{4} }[/math]
ma dwa rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]
ma cztery rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.
Twierdzenie J46
Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]
ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ 2^n \mid (r^2 - a) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ 2^3 \mid (r^2 - a) }[/math]. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^3} }[/math]
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]
ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n} }[/math] i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]
Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że [math]\displaystyle{ u^2_n - a = k \cdot 2^n }[/math]. Niech
- [math]\displaystyle{ r = \begin{cases} 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\ 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} \end{cases} }[/math]
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ (u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}} }[/math]
bo [math]\displaystyle{ k + r }[/math] jest liczbą parzystą, a dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 2 n - 2 \geqslant n + 1 }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1} }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□
Wniosek J47
Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą, to kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] w zależności od tego, czy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math].
Uwaga J48
Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3 i J11) wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\ & \,\,\,\cdots \\ x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\ \end{align} }[/math]
Z definicji J27, twierdzeń J44 i J46, uwagi J45 i wniosku J47 otrzymujemy
Twierdzenie J49
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] ● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \mid ( a - 1 ) }[/math] ● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \mid ( a - 1 ) }[/math]
Twierdzenie J50
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków
● jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika [math]\displaystyle{ d }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] ● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid ( a - 1 ) }[/math] ● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 4 \nmid ( a - 1 ) }[/math]
Punkt 1.
Z założenia [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Gdyby kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
miała rozwiązanie, to również kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{d} }[/math]
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ d }[/math].
Punkty 2. i 3. wynikają wprost z twierdzenia J49.
□
Przykład J51
Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W tabelach zestawiliśmy kongruencje i ich rozwiązania.
Kongruencje | Rozwiązania |
---|---|
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19} }[/math] | [math]\displaystyle{ 25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279 }[/math] |
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19} }[/math] | [math]\displaystyle{ 13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139 }[/math] |
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19} }[/math] | [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math] |
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19} }[/math] | [math]\displaystyle{ 9, 29, 47, 67 }[/math] |
Kongruencje | Rozwiązania |
---|---|
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23} }[/math] | [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math] |
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23} }[/math] | [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math] |
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23} }[/math] | [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math] |
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23} }[/math] | [math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math] |
Zadanie J52
Rozwiązać kongruencję, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą
- [math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2, p) = 1 }[/math], to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ 4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]
Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ b }[/math], że [math]\displaystyle{ b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p} }[/math], zatem otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 x + r \equiv \pm b \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p} }[/math]
Jeśli [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] nie jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to kongruencja
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]
nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
również nie ma rozwiązania.
□
Zadanie J53
Rozwiązać kongruencję
- [math]\displaystyle{ 5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
Rozwiązywanie kongruencji w przypadku konkretnych wartości liczb [math]\displaystyle{ r, s }[/math] jest łatwiejsze niż w przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy [math]\displaystyle{ x }[/math]. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
- [math]\displaystyle{ (x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19} }[/math]
Otrzymujemy: [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{19} }[/math] lub [math]\displaystyle{ x \equiv 13 \!\! \pmod{19} }[/math].
Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
- [math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
□
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo
Uwaga J54
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego.
A. Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] |
Przykład J55
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
Uwaga J56
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
A(p) =
{
if( p == 2, return(0) );
if( !isprime(p), return(0) );
forprime(q = 2, p, if( jacobi(q, p) == -1, return(q) ));
}
Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, bo wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
Twierdzenie J57
Niech [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to jest liczbą pierwszą.
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{p} }[/math]
Skąd wynika, że
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p} }[/math]
Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□
Zadanie J58
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest
- liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math]
- liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 7 }[/math]
- liczba [math]\displaystyle{ \geqslant 5 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 1 }[/math]
Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (i tylko dla takich liczb) liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Z zadania J41 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math]. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j \pm 5 }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z czterech warunków
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]
Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4} }[/math]
a z pierwszego i czwartego mamy
- [math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24} }[/math]
Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 5 \pmod{12} }[/math]
Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24) chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] spełnia kongruencje
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{12} }[/math]
Postępując jak wyżej, otrzymujemy
chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24) chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J59
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q }[/math], że [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ 2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n }[/math] będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę [math]\displaystyle{ u }[/math] tak, aby spełniała układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\ u & \equiv a \pmod{p_n} \end{align} }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ a }[/math] oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_n }[/math]. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math]
Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ c }[/math], bo mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ u \equiv 0 \pmod{p_k} }[/math]
wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1 }[/math] i z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ u }[/math] spełniających kongruencję [math]\displaystyle{ u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]). Oznaczmy przez [math]\displaystyle{ q }[/math] dowolną z tych liczb pierwszych.
Ponieważ [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] (zobacz J29), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ p_k \lt p_n }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]
bo [math]\displaystyle{ 8 \mid (q - 1) }[/math]. Dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]
Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p_n }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J60 (Sarvadaman Chowla)
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika.
Niech [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ P(m) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza dowolną z nich.
Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]
(zobacz J29 p.7). Oczywiście [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ q_i \leqslant m }[/math] z twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]
Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wiemy też, że (zobacz A9)
- [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) \lt 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1} }[/math]
Załóżmy teraz, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] została wybrana tak, że liczba [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math] jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
- [math]\displaystyle{ p = p_{\min} (a, 1) \lt a^L }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika (możemy przyjąć [math]\displaystyle{ L = 5 }[/math]). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 \gt \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} \gt {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math]
Każdemu wyborowi innej liczby [math]\displaystyle{ m' \gt m }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ P(m') \gt P (m) }[/math] odpowiada inna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p' }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p') \gt {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}} }[/math], zatem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math] jest nieskończenie wiele.
□
Uwaga J61
W twierdzeniu J59 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] istnieją takie liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby [math]\displaystyle{ p \in S_\mathbb{n} }[/math] liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie
forprime(n = 2, 50, forprime(p = 2, 10^10, if( A(p) == n, print(n, " ", p); break() )))
W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też A000229).
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 479 }[/math] [math]\displaystyle{ 1559 }[/math] [math]\displaystyle{ 5711 }[/math] [math]\displaystyle{ 10559 }[/math] [math]\displaystyle{ 18191 }[/math] [math]\displaystyle{ 31391 }[/math] [math]\displaystyle{ 422231 }[/math] [math]\displaystyle{ 701399 }[/math] [math]\displaystyle{ 366791 }[/math] [math]\displaystyle{ 3818929 }[/math]
Twierdzenie J62
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \lt \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \nmid p }[/math], to z oszacowania [math]\displaystyle{ x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \leqslant x }[/math] wynika, że
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 \lt \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \lt \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} \lt p + \mathbb{n} }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 }[/math], mamy
- [math]\displaystyle{ 0 \lt \mathbb{n} u - p \lt \mathbb{n} }[/math]
Liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} u - p }[/math] musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem
- [math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
Ale z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant u }[/math] i łatwo znajdujemy, że
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \lt p + \mathbb{n} }[/math]
Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1 }[/math]
Skąd otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} \lt {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J63*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie[7][8][9]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]
Uwaga J64
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa[10]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]
Uwaga J65
Możemy też badać najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
Twierdzenie J66
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] najmniejsza nieparzysta liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą mniejszą od [math]\displaystyle{ p }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich nieparzystych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy też dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.
Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 = 2^2 \lt 5 \leqslant p }[/math] jest parzystą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] jest liczbą pierwszą.
Niech [math]\displaystyle{ 3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2 }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że każda liczba [math]\displaystyle{ a \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą złożoną, czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zauważmy, że żadna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zatem obie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
- [math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mniejszą od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.
□
B. Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] |
Uwaga J67
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math] W jednym i drugim przypadku liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ p }[/math] lub [math]\displaystyle{ m . }[/math] Dlatego będziemy je oznaczali również jako [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) . }[/math]
Definicja J68
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Powiemy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ m }[/math] taką, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania.
Przykład J69
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ 42 }[/math] [math]\displaystyle{ 44 }[/math] [math]\displaystyle{ 46 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
Uwaga J70
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
B(m) =
{
local(p, res);
p = 1;
while( p < m,
p = nextprime(p + 1);
if( m%p == 0, next() );
res = -1;
for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
if( res == -1, return(p) );
);
}
Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby [math]\displaystyle{ m . }[/math] Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
B(m) =
{
local(p, res, t);
t = m%8;
if( t == 3 || t == 5, return(2) );
t = m%12;
if( t == 4 || t == 8, return(3) );
t = m%24;
if( t == 9 || t == 15, return(2) );
if( t == 10 || t == 14, return(3) );
t = m%30;
if( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, return(5) );
p = 1;
while( p < m,
p = nextprime(p + 1);
if( m%p == 0, next() );
res = -1;
for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
if( res == -1, return(p) );
);
}
Twierdzenie J71
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą pierwszą.
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{m} }[/math]
Skąd wynika, że
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m} }[/math]
Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
□
Zadanie J72
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]
Z twierdzenia J36 wiemy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Co należało pokazać.
□
Zadanie J73
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków
- [math]\displaystyle{ 4 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (3, m) = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ m = 12 k \pm 4 }[/math]
to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
Zauważmy, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid m . }[/math] Rozważmy kongruencję
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], co nie wyklucza możliwości, że również [math]\displaystyle{ 8 \mid m . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 4 \nmid (3 - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid (3 - 1) }[/math], to z twierdzenia J50 wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m} }[/math] nie ma rozwiązania. Jeśli tylko [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math] W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ 3 \nmid (12 k \pm 4) . }[/math]
Można też zauważyć, że żądanie, aby [math]\displaystyle{ \gcd (3, m) = 1 }[/math], prowadzi do dwóch układów kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 1 \pmod{3} \end{align} }[/math]
oraz
- [math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 2 \pmod{3} \end{align} }[/math]
którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
- [math]\displaystyle{ m \equiv \pm 4 \pmod{12} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie J74
Niech [math]\displaystyle{ m = 24 k \pm 10 . }[/math] Pokazać, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
Zapiszmy [math]\displaystyle{ m }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ m = 2 m' }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m' = 12 k \pm 5 . }[/math] Gdyby kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'} }[/math]
miała rozwiązanie, to również kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m'} }[/math]
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J41), czyli [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m' . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
□
Twierdzenie J75
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_2 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 2 \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]
Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (zobacz J36).
□
Twierdzenie J76
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą parzystą niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math] (zobacz J41).
□
Twierdzenie J77
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą dodatnią podzielną przez [math]\displaystyle{ 6 }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ 3 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]
□
Twierdzenie J78
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math].
Z twierdzenia J107 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzielą [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie J79
Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) . }[/math]
Postać liczby [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{𝕟(m)} }[/math] Uwagi [math]\displaystyle{ m=24k \pm 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] J75 [math]\displaystyle{ m=120k \pm 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ m=120k \pm 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ m=120k \pm 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] J76 [math]\displaystyle{ m=30k \pm 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] J77, J78 [math]\displaystyle{ m=30k \pm 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ m=210k \pm 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] J78 [math]\displaystyle{ m=210k \pm 60 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ m=210k \pm 90 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
Twierdzenie J80
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy
- [math]\displaystyle{ \begin{array}{lll} \mathbb{n} (2 m) \gt \mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) \gt 2 \end{array} }[/math]
Punkt 1.
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \gt 2 = \mathbb{n} (m) }[/math], bo [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) }[/math] musi być liczbą względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ 2 m . }[/math]
Punkt 2.
Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wiemy, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid 2 m }[/math], to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m} }[/math]
również nie ma rozwiązania (zobacz J50).
Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) . }[/math] Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Kongruencję
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1) }[/math]
możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\ \end{align} }[/math]
Z definicji [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem kongruencja [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez [math]\displaystyle{ x_0 . }[/math] Łatwo zauważamy, że liczba
- [math]\displaystyle{ x'_0 = \begin{cases} \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\ x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\ \end{cases} }[/math]
jest rozwiązaniem układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] i [math]\displaystyle{ (3) }[/math], a tym samym kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązanie dla każdego [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) . }[/math]
□
Twierdzenie J81
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy
- [math]\displaystyle{ \begin{array}{lllll} \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\ \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\ \end{array} }[/math]
Punkt 1.
Z twierdzenia J75 wynika, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \mid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 . }[/math]
Punkt 2.
Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 8 \nmid 4 m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 4 \nmid (3 - 1) }[/math], zatem z twierdzenia J50 wynika, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{4 m} }[/math]
nie ma rozwiązania. Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 3 \nmid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) = 3 . }[/math]
□
Twierdzenie J82
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math], to prawdziwa jest też kongruencja
- [math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
co przeczy założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□
Twierdzenie J83
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to istnieje taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ p_1, \ldots, p_s \} }[/math] i powiązany z dzielnikami pierwszymi [math]\displaystyle{ p_k }[/math] zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \} }[/math], z których każda jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J82). Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] musi być mniejsza od każdej z liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]
Z definicji liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], co oznacza, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s . }[/math] Zatem przynajmniej jedna z kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k} }[/math]
musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J44 wiemy, że wtedy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k} }[/math]
również nie ma rozwiązania. Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_k \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} \lt \mathbb{n}_k }[/math], co przeczy definicji liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]
□
Twierdzenie J84
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) ) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p_k) }[/math] są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p_k . }[/math]
Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia J83, ale musimy jeszcze pokazać, że [math]\displaystyle{ \gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 . }[/math] Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p_k |\mathbb{n} (m) }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant s . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą pierwszą, to musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p_k }[/math], ale wtedy
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p_k) \lt p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k) }[/math]
Otrzymana sprzeczność dowodzi, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant s . }[/math] Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J85
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Prawdziwe są oszacowania
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \lt \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5 }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] takim, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) }[/math] (z twierdzenia J83 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \lt F (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] jest funkcją rosnącą, to
- [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) \lt F (p) \leqslant F (m) }[/math]
Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J62 i J63.
□
Uwaga J86
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] wynosi[11]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots }[/math]
C. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] |
Przykład J87
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{c( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
Uwaga J88
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
C(m) =
{
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(p = 2, m, if( jacobi(p, m) == -1, return(p) ));
}
Uwaga J89
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] oznaczyliśmy jako [math]\displaystyle{ c(m) }[/math]. Zauważmy, że są to liczby inne od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math]. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] i [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] dla [math]\displaystyle{ m = 15, 33, 39 }[/math]. Różnice wynikają z innej definicji liczb [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] – jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] nie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
Ponieważ [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to mamy natychmiast oszacowanie: [math]\displaystyle{ c(m) \geqslant \mathbb{n} (m) }[/math] (poza przypadkami, gdy [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math]).
Dla [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J62. Łatwo zauważamy, że
- [math]\displaystyle{ c = c (15) = 7 \gt \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = c (39) = 7 \gt \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = c (105) = 11 \gt \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = c (231) = 17 \gt \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]
Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m \lt 10^9 }[/math].
Twierdzenie J90
Niech [math]\displaystyle{ c, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ c }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] musi być liczbą pierwszą.
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ c = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt c }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].
□
Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]
Przykład J91
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 85 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb [math]\displaystyle{ x , y }[/math] nie zostały uwzględnione.
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9 }[/math] | [math]\displaystyle{ 10 }[/math] | [math]\displaystyle{ 13 }[/math] | [math]\displaystyle{ 16 }[/math] | [math]\displaystyle{ 17 }[/math] | [math]\displaystyle{ 18 }[/math] | [math]\displaystyle{ 20 }[/math] | [math]\displaystyle{ 25 }[/math] | [math]\displaystyle{ 26 }[/math] | [math]\displaystyle{ 29 }[/math] | [math]\displaystyle{ 32 }[/math] | [math]\displaystyle{ 34 }[/math] | [math]\displaystyle{ 36 }[/math] | [math]\displaystyle{ 37 }[/math] | [math]\displaystyle{ 40 }[/math] | [math]\displaystyle{ 41 }[/math] | [math]\displaystyle{ 45 }[/math] | [math]\displaystyle{ 49 }[/math] | [math]\displaystyle{ 50 }[/math] | [math]\displaystyle{ 52 }[/math] | [math]\displaystyle{ 53 }[/math] | [math]\displaystyle{ 58 }[/math] | [math]\displaystyle{ 61 }[/math] | [math]\displaystyle{ 64 }[/math] | [math]\displaystyle{ 65 }[/math] | [math]\displaystyle{ 68 }[/math] | [math]\displaystyle{ 72 }[/math] | [math]\displaystyle{ 73 }[/math] | [math]\displaystyle{ 74 }[/math] | [math]\displaystyle{ 80 }[/math] | [math]\displaystyle{ 81 }[/math] | [math]\displaystyle{ 82 }[/math] | [math]\displaystyle{ 85 }[/math] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,6 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9,2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,6 }[/math] |
Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 21 }[/math] nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
Przykład J92
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 73 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9 }[/math] | [math]\displaystyle{ 11 }[/math] | [math]\displaystyle{ 12 }[/math] | [math]\displaystyle{ 16 }[/math] | [math]\displaystyle{ 17 }[/math] | [math]\displaystyle{ 18 }[/math] | [math]\displaystyle{ 19 }[/math] | [math]\displaystyle{ 22 }[/math] | [math]\displaystyle{ 24 }[/math] | [math]\displaystyle{ 25 }[/math] | [math]\displaystyle{ 27 }[/math] | [math]\displaystyle{ 32 }[/math] | [math]\displaystyle{ 33 }[/math] | [math]\displaystyle{ 34 }[/math] | [math]\displaystyle{ 36 }[/math] | [math]\displaystyle{ 38 }[/math] | [math]\displaystyle{ 41 }[/math] | [math]\displaystyle{ 43 }[/math] | [math]\displaystyle{ 44 }[/math] | [math]\displaystyle{ 48 }[/math] | [math]\displaystyle{ 49 }[/math] | [math]\displaystyle{ 50 }[/math] | [math]\displaystyle{ 51 }[/math] | [math]\displaystyle{ 54 }[/math] | [math]\displaystyle{ 57 }[/math] | [math]\displaystyle{ 59 }[/math] | [math]\displaystyle{ 64 }[/math] | [math]\displaystyle{ 66 }[/math] | [math]\displaystyle{ 67 }[/math] | [math]\displaystyle{ 68 }[/math] | [math]\displaystyle{ 72 }[/math] | [math]\displaystyle{ 73 }[/math] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,6 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,6 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] |
Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 33 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math].
Zauważmy też, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 35 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 27 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math].
Przykład J93
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 103 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9 }[/math] | [math]\displaystyle{ 12 }[/math] | [math]\displaystyle{ 13 }[/math] | [math]\displaystyle{ 16 }[/math] | [math]\displaystyle{ 19 }[/math] | [math]\displaystyle{ 21 }[/math] | [math]\displaystyle{ 25 }[/math] | [math]\displaystyle{ 27 }[/math] | [math]\displaystyle{ 28 }[/math] | [math]\displaystyle{ 31 }[/math] | [math]\displaystyle{ 36 }[/math] | [math]\displaystyle{ 37 }[/math] | [math]\displaystyle{ 39 }[/math] | [math]\displaystyle{ 43 }[/math] | [math]\displaystyle{ 48 }[/math] | [math]\displaystyle{ 49 }[/math] | [math]\displaystyle{ 52 }[/math] | [math]\displaystyle{ 57 }[/math] | [math]\displaystyle{ 61 }[/math] | [math]\displaystyle{ 63 }[/math] | [math]\displaystyle{ 64 }[/math] | [math]\displaystyle{ 67 }[/math] | [math]\displaystyle{ 73 }[/math] | [math]\displaystyle{ 75 }[/math] | [math]\displaystyle{ 76 }[/math] | [math]\displaystyle{ 79 }[/math] | [math]\displaystyle{ 81 }[/math] | [math]\displaystyle{ 84 }[/math] | [math]\displaystyle{ 91 }[/math] | [math]\displaystyle{ 93 }[/math] | [math]\displaystyle{ 97 }[/math] | [math]\displaystyle{ 100 }[/math] | [math]\displaystyle{ 103 }[/math] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 8,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ 9,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 10,0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 10,1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 0,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ 4,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 5,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] |
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,3 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 2,4 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 1,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] | [math]\displaystyle{ }[/math] |
Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 55 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 91 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math].
Twierdzenie J94
Jeżeli liczba nieparzysta postaci [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math], ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].
Niech
- [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] są parzyste, a liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] nieparzyste.
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] występująca w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2 }[/math] muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ y }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ b }[/math] nieparzysta, wtedy modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ 1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]
Co jest niemożliwe.
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 3} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, a liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] parzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]
Co jest niemożliwe.
Mamy
- [math]\displaystyle{ x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y) }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ f = \gcd (x - a, b - y) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f }[/math] jest liczbą parzystą i
- [math]\displaystyle{ x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1 }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ r(x + a) = n s (y + b) }[/math]
ale liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] są względnie pierwsze, zatem [math]\displaystyle{ s \mid (x + a) }[/math] i musi być
- [math]\displaystyle{ x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r }[/math]
Gdyby [math]\displaystyle{ k }[/math] było liczbą nieparzystą, to liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \gcd (r, s) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ k }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ 2 s \mid (x + a) }[/math], czyli możemy pokazać więcej. Musi być
- [math]\displaystyle{ x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r }[/math]
W przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math], zauważmy, że [math]\displaystyle{ n \mid l }[/math] lub [math]\displaystyle{ n \mid r }[/math].
Łatwo otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) }[/math]
- [math]\displaystyle{ y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) }[/math]
Ostatecznie
- [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2 , 3} }[/math]
W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ l, r }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math], możemy napisać
- [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right) }[/math]
Co kończy dowód.
□
Uwaga J95
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] jest liczbą tej samej postaci.
- [math]\displaystyle{ (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2 }[/math]
Twierdzenie J96
Niech [math]\displaystyle{ x, y, a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math]. Jeżeli liczba parzysta [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R = a^2 + n b^2 }[/math] jest liczbą nieparzystą.
W szczególnym przypadku, gdy [math]\displaystyle{ R = 1 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ R = 1^2 + n \cdot 0^2 }[/math].
Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R }[/math] jest liczbą nieparzystą postaci [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 }[/math].
1. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + y^2} }[/math]
a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]
b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2} }[/math]
a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]
b) jeżeli liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ y }[/math] nieparzysta, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2} }[/math]
a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]
b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4| (x + y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2 }[/math]
c) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4| (x - y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2 }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J97
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci
- (a) [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
- (b) [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]
- (c) [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że
- (a) [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math]
- (b) [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math]
- (c) [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] może być przedstawiona w postaci [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] są liczbami takimi, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant x_0, y_0 \lt p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid y_0 }[/math], a rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p} }[/math]
Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ - n y_0^2 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
Z twierdzenia J36 i zadania J40 otrzymujemy natychmiast
- (a) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
- (b) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math]
- (c) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]
Co należało pokazać.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
A. Istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}} }[/math]
Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci
- (a) [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
- (b) [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]
- (c) [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]
Wynika stąd, że dla (a) [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], (b) [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], (c) [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
(zobacz J36 i J40) i liczba [math]\displaystyle{ - n }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że
- [math]\displaystyle{ k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ x_0 = k }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 = 1 }[/math] są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] możemy jawnie wypisać: [math]\displaystyle{ x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! }[/math]
B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego
Niech liczby [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \nmid y_0 }[/math] spełniają kongruencję
- [math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
Wybierzmy liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb [math]\displaystyle{ {\small\frac{x_0}{p}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y_0}{p}} }[/math]. Z definicji mamy
- [math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} }[/math]
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
- [math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \lt {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \lt {\small\frac{p}{2}} }[/math]
Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] możemy wybrać liczby
- [math]\displaystyle{ x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p }[/math]
takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i dla których
- [math]\displaystyle{ 0 \lt x^2 + n y^2 \lt \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p }[/math]
Ponieważ modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest [math]\displaystyle{ x \equiv x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y \equiv y_0 }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] spełniają kongruencję
- [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie
- [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]
ma rozwiązanie dla liczb
- [math]\displaystyle{ | x | \lt {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | \lt {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m \lt {\small\frac{(n + 1) p}{4}} }[/math]
Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu.
C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata[12][13]
Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta[14].
Jeżeli w rozwiązaniu [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p = x^2 + n y^2 }[/math] i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania
- [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]
otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
- [math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]
takie, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math]. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie [math]\displaystyle{ x_k, y_k, m_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math]. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest konieczny tylko w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].
Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą parzystą
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] jest liczbą parzystą, to z twierdzenia J96 wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] może być zapisana w postaci
- [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}} }[/math], aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
- [math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą i [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].
Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą nieparzystą
Niech liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom [math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{m}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y}{m}} }[/math]. Z definicji mamy
- [math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ | x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} }[/math]
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{m}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
- [math]\displaystyle{ | x - r m | \lt {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \lt {\small\frac{m}{2}} }[/math]
Połóżmy
- [math]\displaystyle{ a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m }[/math]
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może jednocześnie dzielić liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ m^2 \mid (x^2 + n y^2) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] musi być różna od [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
Rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i uwzględniając, że
- [math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ y \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math]
otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]
Mamy też oszacowanie
- [math]\displaystyle{ 0 \lt a^2 + n b^2 \lt \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m }[/math]
Wynika stąd, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] spełniająca warunek [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 = m_1 m }[/math]
Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]
(zobacz J95). Zauważmy teraz, że
- [math]\displaystyle{ a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y }[/math]
- [math]\displaystyle{ \quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y }[/math]
- [math]\displaystyle{ \quad \; = m (p - r x - n s y) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \quad \; = m x_1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\, = x y - r m y - y x + s m x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\, = m (s x - r y) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\, = m y_1 }[/math]
Gdzie oznaczyliśmy
- [math]\displaystyle{ x_1 = p - r x - n s y }[/math]
- [math]\displaystyle{ y_1 = s x - r y }[/math]
Wynika stąd, że
- [math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2 }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p }[/math]
gdzie
- [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math]
Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math].
D. Jednoznaczność rozkładu
Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia J94. Co kończy dowód.
□
Uwaga J98
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
SumOfTwoSquares(p) =
{
local(m, r, s, x, y, x1, y1);
if( p%4 <> 1 || !isprime(p), return("Error") );
x = 1;
for(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
x = x - round(x/p)*p;
y = 1;
m = (x^2 + y^2)/p;
while( m > 1,
r = round(x/m);
s = round(y/m);
x1 = p - r*x - s*y;
y1 = r*y - s*x;
x = x1;
y = y1;
m = (x^2 + y^2)/p;
);
return([ abs(x), abs(y), p ]);
}
Zadanie J99
Niech liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ r }[/math]
będzie postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokazać, że
- liczby [math]\displaystyle{ r, p r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, r^2 }[/math] nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
- liczby [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ 2 p }[/math], [math]\displaystyle{ p^2 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r^2 }[/math] mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
- liczba [math]\displaystyle{ p q }[/math], [math]\displaystyle{ p \neq q }[/math] ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
Punkt 1.
Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r }[/math] są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]
Suma [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]
Przypuśćmy, że
- [math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość, zatem [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], co w sposób oczywisty jest niemożliwe.
Punkt 2.
W przypadku liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] odpowiedzi udziela twierdzenie J97. Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math], mamy
- [math]\displaystyle{ 2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2 }[/math]
Punkt 3.
Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math] i [math]\displaystyle{ q = a^2 + b^2 }[/math]. Ze wzorów podanych w uwadze J95 mamy
- [math]\displaystyle{ p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2 }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo
Zadanie J100
Niech [math]\displaystyle{ s = \pm 1 }[/math]. Zbadać podzielność liczby [math]\displaystyle{ p - s a^2 }[/math]
- przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 4 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3 }[/math]
- przez [math]\displaystyle{ 8 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7 }[/math]
Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
- [math]\displaystyle{ p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n} }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ n = 2, 3 }[/math], ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy
- [math]\displaystyle{ 2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ s a^2 \equiv r \pmod{2^n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^2 \equiv s r \pmod{2^n} }[/math]
Z twierdzenia J49 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być [math]\displaystyle{ 2^n \mid (s r - 1) }[/math], co jest możliwe tylko, gdy
- [math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \end{cases} }[/math]
dla [math]\displaystyle{ 2^n = 4 }[/math] i gdy
- [math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \end{cases} }[/math]
dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math] i [math]\displaystyle{ r = 3, 5 }[/math] rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.
□
Uwaga J101
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy[15]. Zadanie J100 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia J102. Z zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby [math]\displaystyle{ s }[/math] z postacią liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] nie jest przypadkowe.
Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math] wynik [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] nie oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math]
W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
Twierdzenie J102
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 17 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Niech
- [math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]
Dla ustalonych liczb [math]\displaystyle{ n }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] rozważmy liczbę [math]\displaystyle{ u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}} }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ 3 \leqslant u (a) \lt p }[/math]. Jeżeli liczba ta jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C21). Zatem możemy napisać [math]\displaystyle{ u (a) = t q }[/math], co oznacza, że
- [math]\displaystyle{ p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ p \equiv s a^2 \pmod{q} }[/math]
i otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
Zatem liczba [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb [math]\displaystyle{ u(a_1), \ldots, u(a_r) }[/math] takich, że
- [math]\displaystyle{ 3 \leqslant u(a_1) \lt \ldots \lt u(a_r) \lt p }[/math]
z których jedna musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].
Przypadek pierwszy: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}} }[/math]
Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby
- [math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} \lt {\small\frac{p + 9}{4}} \lt p }[/math]
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k + 1, 2 k + 3 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].
Przypadek drugi: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}} }[/math]
Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby
- [math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} \lt {\small\frac{p - 1}{4}} \lt p }[/math]
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 21 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k - 1, 2 k + 1 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].
Przypadek trzeci: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}} }[/math]
Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby
- [math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} \lt {\small\frac{p + 9}{8}} \lt {\small\frac{p + 25}{8}} \lt {\small\frac{p + 49}{8}} \lt p }[/math]
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 23 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].
Przypadek czwarty: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}} }[/math]
Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby
- [math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} \lt {\small\frac{p - 25}{8}} \lt {\small\frac{p - 9}{8}} \lt {\small\frac{p - 1}{8}} \lt p }[/math]
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 73 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k - 6, k - 3, k - 1, k \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 2, r + 1, r + 3, r \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].
Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \lt 73 }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J103
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
W przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieją takie liczby całkowite dodatnie [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] (zobacz J97). Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ q \leqslant x^2 + y^2 \lt x^2 + 2 y^2 = p }[/math].
Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać
- [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid x }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy
- [math]\displaystyle{ p \equiv y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]
Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9)
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J104
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 12 k + 7 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Z założenia [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{6} }[/math], zatem istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math] (zobacz J97). Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i być względnie pierwsze. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]
Co jest niemożliwe. Zatem [math]\displaystyle{ x = 2 k }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] musi być nieparzysta. Otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to jedynie w przypadku gdy [math]\displaystyle{ k = y = 1 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ k = y }[/math]. Mielibyśmy wtedy [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math], ale z założenia musi być [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ k \neq y }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ k^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] (zobacz J22). Oczywiście [math]\displaystyle{ q \leqslant k^2 + y^2 \lt 4 k^2 + 3 y^2 = p }[/math].
Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać
- [math]\displaystyle{ k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid k }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy
- [math]\displaystyle{ p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]
Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9 i p.6)
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
Co kończy dowód.
□
Twierdzenia J103 i J104 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.[15]
Twierdzenie J105*
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 13, 37 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Uwaga J106
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math]
W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
Twierdzenie J107
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] jest liczbą całkowitą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ m - 4 \geqslant 3 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C21). Czyli [math]\displaystyle{ m - 4 = k q }[/math] i z twierdzenia J36 p.9 dostajemy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□
Można też pokazać, że[16]
Twierdzenie J108*
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
B. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Zauważmy, że twierdzenie J108 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.
Twierdzenie J109
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
B. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Punkt B
Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math].
Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J50 i J82).
Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J50).
Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J50).
Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].
Zbierając:
- jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 11 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
- jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J108 i J82).
Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 11 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].
for(m = 3, 15, forprimestep(q = 3, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, " ", q); break() )))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math].
Punkt A
Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math].
Jeżeli jedna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ 17 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].
Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (5 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to nie istnieją liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 \mid [(4 k + 1) - 1] }[/math]
Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].
Zbierając:
- jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 5 }[/math] lub [math]\displaystyle{ q = 17 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
- jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J108 i J82).
Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 17 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
for(m = 3, 20, forprimestep(q = 1, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, " ", q); break() )))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math]
Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math].
□
Twierdzenie J110
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math]
Łatwo sprawdzamy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
(zobacz J36 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math].
A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 1} }[/math]
Niech liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J66 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J36 p.9 otrzymujemy natychmiast
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 3} }[/math]
Z twierdzenia J102 wynika, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J36 p.9 otrzymujemy natychmiast
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
Co kończy dowód.
□
Zadanie J111
Udowodnić twierdzenie J110 w przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], nie korzystając z twierdzenia J102.
Z założenia [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] może być postaci [math]\displaystyle{ k = 3 j }[/math], [math]\displaystyle{ k = 3 j + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 3 j + 2 }[/math]. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].
Ponieważ nie ma liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] i będących postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], to pozostaje rozważyć przypadki [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].
A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 11} }[/math]
Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math] (zobacz J41). Mamy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
Czyli wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ q = 3 }[/math].
B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 7} }[/math]
Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J36 p.6 oraz J41). Otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1 }[/math]
Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ p - 12 \geqslant 7 }[/math] jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 12 }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W przeciwnym razie z twierdzenia J36 p.4 mielibyśmy [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□
Przypisy
- ↑ Wikipedia, Chińskie twierdzenie o resztach, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: Chinese remainder theorem
- ↑ Wikipedia, Logical equivalence, (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Zasada włączeń i wyłączeń, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Symbol Legendre’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Symbol Jacobiego, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
- ↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
- ↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
- ↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
- ↑ Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.
- ↑ Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)
- ↑ W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)
- ↑ G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.
- ↑ 15,0 15,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.
- ↑ Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414