Różnica pomiędzy stronami "CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego" i "Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia"

Z Henryk Dąbrowski
(Różnica między stronami)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
 
 
Linia 1: Linia 1:
−
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div>
+
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.04.2023</div>
  
 
__FORCETOC__
 
__FORCETOC__
Linia 5: Linia 5:
  
  
−
== Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach ==
+
== Element odwrotny modulo <math>m</math> ==  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K1</span><br/>
−
Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla liczby <math>k</math> istnieje taka liczba <math>x</math>, że
  
−
::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math>
+
::<math>x k \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
  
−
jest równoważna układowi kongruencji
+
wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>\gcd (k, m) = 1</math>.
−
 
 
−
::<math>\begin{align}
 
−
u &\equiv a \pmod{m} \\
 
−
u &\equiv a \pmod{n}
 
−
\end{align}</math>
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 23: Linia 18:
 
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
  
−
Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
+
Z założenia istnieje taka liczba <math>x</math>, że
 +
 
 +
::<math>x k \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem dla pewnego <math>r \in \mathbb{Z}</math> jest
 +
 
 +
::<math>x k = 1 + r m</math>
 +
 
 +
Czyli <math>x k - r m = 1</math>. Wynika stąd, że <math>\gcd (k, m)</math> dzieli <math>1</math>, co oznacza, że <math>\gcd (k, m) = 1</math>.
  
 
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
Z kongruencji
+
Z założenia <math>\gcd (k, m) = 1</math>. Z&nbsp;lematu Bézouta (zobacz C73) wynika, że istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
  
−
::<math>u \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>k x + m y = 1</math>
  
−
wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z&nbsp;kongruencji
+
Zatem modulo <math>m</math> dostajemy
  
−
::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>
+
::<math>k x \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
  
−
otrzymujemy <math>n \mid (u - a)</math>, czyli <math>n \mid k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \mid k</math> (zobacz C74) i&nbsp;istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a&nbsp;stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 41: Linia 44:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K2</span><br/>
−
Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i&nbsp;względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji
+
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczbę <math>x</math> taką, że
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>x \cdot k \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
−
c & \equiv a \pmod{m} \\
+
 
−
c & \equiv b \pmod{n}
+
będziemy nazywali elementem odwrotnym liczby <math>k</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;oznaczali jako <math>k^{- 1}</math>.
−
\end{align}</math>
+
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K3</span><br/>
 +
Oznaczenie elementu odwrotnego ma naturalne uzasadnienie. Zauważmy, że jeżeli <math>b \mid a</math> oraz <math>b</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>, to prawdziwa jest kongruencja
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{a}{b}} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Istotnie
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{a}{b}} = {\small\frac{a}{b}} \cdot 1 \equiv {\small\frac{a}{b}} \cdot b b^{- 1} \equiv a b^{- 1}\!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
W PARI/GP odwrotność liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> znajdujemy, wpisując <code>Mod(a, m)^(-1)</code>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K4</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a&nbsp;liczby <math>a, b</math> będą względnie pierwsze z <math>p</math>. Jeżeli liczby <math>a, b</math> są różne modulo <math>p</math>, to ich elementy odwrotne <math>a^{-1}, b^{- 1}</math> też są różne modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>a \not\equiv b \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby było
 +
 
 +
::<math>a^{- 1} \equiv b^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>a^{- 1} a b \equiv b^{- 1} a b \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>b \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Wbrew uczynionemu założeniu. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K5</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zbiór <math>R = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, a&nbsp;zbiór <math>S</math> będzie identyczny ze zbiorem <math>R</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli liczby <math>x_k \in S</math> przebiegają cały zbiór <math>S</math>, to liczby <math>x^{- 1}_k</math> przebiegają zbiór <math>T</math> identyczny ze zbiorem <math>R</math> modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia zbiory <math>R</math> i <math>S</math> są identyczne modulo <math>R</math>. Zatem każdej liczbie <math>k \in R</math> odpowiada dokładnie jedna liczba <math>x_k \in S</math> taka, że
 +
 
 +
::<math>x_k \equiv k \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\gcd (k, p) = 1</math>, to również <math>\gcd (x_k, p) = 1</math>. Zatem liczba <math>x_k</math> ma element odwrotny <math>x^{- 1}_k</math> modulo <math>p</math>. Ponieważ wszystkie liczby <math>x_k</math> są różne modulo <math>p</math>, to elementy odwrotne <math>x^{- 1}_k</math> też są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Ponieważ liczb <math>x^{- 1}_k</math> jest dokładnie <math>p - 1</math>, to tworzą one pewien zbiór <math>T</math> identyczny ze zbiorem <math>R</math> modulo <math>p</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K6</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą.
 +
 
 +
Jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową (odpowiednio niekwadratową) modulo <math>p</math>, to element odwrotny liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> istnieje i&nbsp;jest liczbą kwadratową (odpowiednio niekwadratową) modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Jeżeli <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi (odpowiednio niekwadratowymi) modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że <math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z&nbsp;założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że
+
Z założenia <math>a</math> jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>, zatem <math>\gcd (a, p) = 1</math>, czyli element odwrotny liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> istnieje. Mamy
  
−
::<math>m x + n y = 1</math>
+
::<math>1 = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{a a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy
+
Zatem musi być
  
−
::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math>
+
Co należało pokazać.
  
−
::<math>c \equiv a \pmod{m}</math>
 
  
−
Natomiast modulo <math>n</math> mamy
+
Niech <math>a, b</math> będą liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi). Iloczyn <math>a b^{- 1}</math> jest liczbą kwadratową, bo
  
−
::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{a b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{\pm 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{\pm 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{\pm 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
 +
= 1</math>
  
−
::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math>
+
Zatem istnieje taka liczba <math>r</math>, że
  
−
::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>
+
::<math>a b^{- 1} \equiv r^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z&nbsp;założenia <math>m \mid (d - a)</math> i <math>m \mid (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \mid (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \mid (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \mid (d - c)</math> (zobacz C75), co oznacza, że
+
Czyli
  
−
::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.
+
::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i&nbsp;tak rozumiana jest dokładnie jedna. W&nbsp;szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 80: Linia 147:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach)</span><br/>
 
−
Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja
 
  
−
::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math>
 
  
−
jest równoważna układowi kongruencji
+
== Przykłady sum symboli Legendre'a ==
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K7</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, <math>a, d \in \mathbb{Z}</math> i <math>p \nmid d</math>. Pokazać, że
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
−
u & \equiv a \pmod{m} \\
 
−
u & \equiv b \pmod{n}
 
−
\end{align}</math>
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z&nbsp;twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
'''Punkt 1.'''
−
c & \equiv a \pmod{m} \\
+
 
−
c & \equiv b \pmod{n}
+
Wystarczy zauważyć, że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
−
\end{align}</math>
+
 
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0</math>
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Wystarczy zauważyć, że
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
 +
 
 +
oraz że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1</math>
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''
 +
 
 +
Z założenia liczby <math>p</math> i <math>d</math> są względnie pierwsze. Z&nbsp;twierdzenia C57 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
 +
 
 +
::<math>x_k = a + k d</math>
  
−
Korzystając z&nbsp;tego rezultatu i&nbsp;twierdzenia J1, otrzymujemy
+
przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p. 2). Zatem możemy napisać
  
−
::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
−
\begin{array}{l}
+
= \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
−
  u \equiv c \; \pmod{m} \\
+
= {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0
−
  u \equiv c \; \pmod{n} \\
+
= 0</math>
−
\end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
 
−
\begin{array}{l}
 
−
  u \equiv a \; \pmod{m} \\
 
−
  u \equiv b \:\, \pmod{n} \\
 
−
\end{array} </math>
 
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 118: Linia 197:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K8* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)</span><br/>
−
Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w&nbsp;przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
+
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m, n \in \mathbb{N}_0</math>, to prawdziwe jest oszacowanie
 +
 
 +
::<math>\left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < \sqrt{p} \log p</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K9</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \begin{cases}
 +
\;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\
 +
    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid (a - b)}</math>'''
 +
 
 +
Z założenia <math>b \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
 +
 
 +
Z&nbsp;twierdzenia C57 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
 +
 
 +
::<math>x_k = a + k</math>
 +
 
 +
przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p. 2). Zatem możemy napisać
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
−
u &\equiv 1 \pmod{4} \\
+
  = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
−
  u &\equiv 3 \pmod{8}
+
= p - 1</math>
−
\end{align}</math>
 
  
−
nie może być zapisany w&nbsp;postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i&nbsp;nieparzystych ma postać
+
Co należało pokazać.
  
−
::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math>
+
'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid (a - b)}</math>'''
  
−
i nie może być <math>u \equiv 3 \!\! \pmod{8}</math>.
+
Kładąc <math>j = k + a</math> i&nbsp;sumując od <math>a</math> do <math>p - 1 + a</math>, otrzymujemy
  
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
 +
Wśród <math>p</math> kolejnych liczb <math>a, a + 1, \ldots, p - 1 + a</math> istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez <math>p</math>. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/>
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
−
Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>) taka, że układ kongruencji
+
= \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
−
u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
 
−
  & \cdots \\
 
−
u & \equiv a_k \pmod{m_k}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
można zapisać w&nbsp;sposób równoważny w&nbsp;postaci kongruencji
+
::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math>
+
::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Wiemy też, że gdy liczby <math>j</math> przebiegają zbiór identyczny (modulo <math>p</math>) ze zbiorem <math>R = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to liczby <math>j^{- 1}</math> przebiegają pewien zbiór <math>S</math> identyczny (modulo <math>p</math>) ze zbiorem <math>R</math> (zobacz K5). Zatem od sumowania po <math>j</math> możemy przejść do sumowania po <math>r \in R</math>.
−
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej <math>k \geqslant 2</math>, dla liczby <math>k + 1</math> otrzymujemy układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
−
u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\
+
  = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
−
  u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
gdzie skorzystaliśmy z&nbsp;założenia indukcyjnego. Z&nbsp;twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w&nbsp;sposób równoważny w&nbsp;postaci kongruencji
+
::::::::<math>\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math>
+
::::::::<math>\;\;\, = - 1</math>
  
−
gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i&nbsp;jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
Ostatnia z&nbsp;wypisanych sum jest równa zero, co wynika z&nbsp;trzeciego wzoru twierdzenia K7 i&nbsp;faktu, że <math>p \nmid (b - a)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 165: Linia 268:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K10</span><br/>
−
Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a&nbsp;kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
+
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\
 +
    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid n}</math>
 +
 
 +
Z drugiego wzoru twierdzenia K7 otrzymujemy
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
−
n &\equiv 3 \pmod{5} \\
 
−
n &\equiv 4 \pmod{7}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Z chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w&nbsp;postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z&nbsp;PARI/GP. Wpisując proste polecenie
+
'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid n}</math>
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span>
+
Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
  
−
uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać
+
::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math>
+
(zobacz K6). Zatem
  
−
Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>.
+
::<math>S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
+
:::<math>\;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
−
n &\equiv 1 \pmod{2} \\
 
−
n &\equiv 2 \pmod{3} \\
 
−
n &\equiv 3 \pmod{5} \\
 
−
n &\equiv 4 \pmod{7} \\
 
−
n &\equiv 5 \pmod{11}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
to argumenty należy zapisać w&nbsp;postaci wektora
+
:::<math>\;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span>
+
:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>.
+
Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
  
 +
::<math>S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b)</math>
  
  
 +
Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S(n)</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to możemy napisać
  
 +
::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
  
−
== Wielomiany ==
 
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/>
+
Z drugiej strony
−
Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w&nbsp;postaci
 
  
−
::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a&nbsp;współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe.
+
::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
−
Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Zauważmy, że
 
  
−
::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math>
+
::::<math>\;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
  
−
::::::<math>\quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math>
+
::::<math>\;\;\;\: = - (p - 1)</math>
  
−
Dla <math>k \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór
+
bo z&nbsp;twierdzenia K7 wiemy, że
  
−
::<math>x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math>
+
::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
  
−
::::<math>\;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1})</math>
 
  
−
::::<math>\;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x)</math>
+
Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy
  
−
Gdzie przez <math>U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy <math>k - 1</math>. Zatem możemy napisać
+
::<math>- (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
  
−
::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x)</math>
+
Zatem
  
−
Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem <math>V_{n - 1} (x)</math>. Ponieważ ze wszystkich wielomianów <math>a_k U^{(k)} (x)</math>, wielomian <math>a_n U^{(n)} (x)</math> ma największy stopień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>. Czyli
+
::<math>S(a) + S (b) = - 2</math>
  
−
::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
 
  
−
Niech <math>V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy
+
Z twierdzenia K9 mamy
  
−
::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>
+
::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - 1</math>
  
−
Porównując wyrazy o&nbsp;największym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
bo <math>p \nmid 2</math>. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że <math>a</math> jest liczbą kwadratową, a <math>b</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(a) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(b) = - 1</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(b) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(a) = - 1</math>. Zatem bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, musi być <math>S(n) = - 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 245: Linia 351:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J8</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K11</span><br/>
−
Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>.
+
Pokazać, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>r , s \in \mathbb{Z}</math>, to
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\:\,     - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\
 +
    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
:::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
 +
:::::::<math>\;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
 +
Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>2 k + r</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/>
+
::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
−
Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony.
 
  
 +
Z twierdzenia K10 wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J10</span><br/>
 
−
Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \!\! \pmod{m}</math>, to
 
  
−
::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K12</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
 +
 
 +
::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
prawdziwe są następujące wzory
 +
 
 +
::(a) <math>\;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3</math>
 +
 
 +
::(b) <math>\;\; | S (n) | < 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
 
  
−
::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math>
+
'''Punkt (a)'''
 +
 
 +
Zauważmy, że zbiory <math>R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> oraz <math>T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \}</math> są identyczne modulo <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p.2). Zatem możemy sumowanie po <math>k \in R</math> zastąpić sumowaniem po <math>j \in T .</math> Otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Z założenia <math>m \mid (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \mid (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
+
Kładąc <math>j = - r</math> i&nbsp;sumując po <math>r</math> od <math>0</math> do <math>p - 1</math>, dostajemy
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
−
  a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\
+
= \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} 
−
  a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\
+
= \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n)</math>
−
  a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\
 
−
  & \cdots \\
 
−
  a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
+
Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to <math>S (n) = - S (n)</math>, czyli <math>S(n) = 0</math>.
  
−
::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
+
'''Punkt (b)'''
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej<ref name="Dukic1"/>.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
  
 +
::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J11</span><br/>
+
(zobacz K6). Zatem
−
Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
 
  
−
::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math>
+
::<math>S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze.
+
::::::<math>\;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
+
::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\
 
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{n}
 
−
\end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math>
 
  
−
Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z&nbsp;kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania.
+
Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
  
−
Załóżmy, że każda z&nbsp;kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i&nbsp;niech
+
::<math>S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b)</math>
  
−
:* <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
+
Czyli <math>S (a)^2 = S (b)^2</math>. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S (n)^2</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to prawdziwa jest równość
−
:* <math>x \equiv b \!\! \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n}</math>
 
  
−
Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
+
::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
Jak łatwo zauważyć <math>S(0) = 0</math>, zatem możemy napisać
−
x &\equiv a \pmod{m} \\
 
−
x &\equiv b \pmod{n}
 
−
\end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math>
 
  
−
Z chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w&nbsp;postaci równoważnej
+
::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
  
−
::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math>
+
Z drugiej strony
  
−
Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z&nbsp;twierdzenia J10 mamy
+
::<math>S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
−
  W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\
 
−
  W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
+
:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
+
Zatem
  
−
Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>.
+
::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Podsumujmy: jeżeli kongruencje
+
:::::<math>\;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>\begin{align}
 
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\
 
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{n}
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i&nbsp;istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji
+
Z twierdzenia K9 wiemy, że
  
−
::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
+
::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\
 +
    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\
 +
\end{cases}</math>
  
  
 +
Zbadajmy, kiedy <math>p \mid (k^2 - j^2)</math>, czyli kiedy <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math>. Mamy
  
 +
::* <math>\; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2</math>
  
 +
::* <math>\; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2</math>
  
−
== Twierdzenie Lagrange'a ==
+
Zatem <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math> gdy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J12</span><br/>
+
::* <math>\; j = k</math>
−
Kongruencja
 
  
−
::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::* <math>\; j = p - k</math>
  
−
gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w&nbsp;postaci
  
−
'''A. Istnienie rozwiązania'''
+
::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
 +
\left\{ \begin{array}{rll}
 +
  - 1  & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\
 +
  p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\
 +
\end{array} \right\}</math>
  
−
Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z&nbsp;twierdzenia C76. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::::<math>\:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C73 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::::<math>\:\! = (p - 1) \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::::<math>\:\! = (p - 1) \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::::<math>\:\! = (p - 1) \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] + (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::::<math>\:\! = (p - 1) \cdot 2 (p - 1) + (p - 1) + (p - 1)</math>
 +
</div>
  
−
Zatem
+
:::::<math>\:\! = 2 p (p - 1)</math>
  
−
::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math>
+
Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>, bo <math>p = 4 k + 1</math>.
  
−
'''B. Brak innych rozwiązań'''
 
  
−
Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
+
Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że
  
−
::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
  
−
Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy
+
to otrzymujemy
  
−
::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math>
+
::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1)</math>
  
 
Czyli
 
Czyli
  
−
::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math>
+
::<math>S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, prawdziwe jest oszacowanie
 +
 
 +
::<math>| S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p}</math>
  
−
::<math>p \mid a_1 (x_1 - x_2)</math>
+
Równość <math>S (n)^2 = 4 p</math> nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy <math>p</math> występuje po prawej stronie w&nbsp;potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie
  
−
Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z&nbsp;lematu Euklidesa (C74) otrzymujemy natychmiast <math>p \mid (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>
+
::<math>| S (n) | < 2 \sqrt{p}</math>
 +
 
 +
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 394: Linia 531:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K13</span><br/>
−
Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja
+
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań.
+
prawdziwe są następujące wzory
 +
 
 +
:: (a) <math>\;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
 +
 
 +
:: (b) <math>\;\; | S (a, b) | < 2 \sqrt{p}  \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja
+
Niech <math>p \geqslant 5</math>. W&nbsp;ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać
 +
 
 +
::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>p \nmid a</math>. Mnożąc licznik przez <math>a^2</math> nie zmieniamy wartości sumy
 +
 
 +
::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
Podstawiając <math>x \equiv a t + r \!\! \pmod{p}</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
bo, gdy <math>t</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) liczby <math>a t + r</math> przebiegają taki sam zbiór (zobacz C57). Ponieważ <math>p \geqslant 5</math>, to liczbę <math>r</math> możemy wybrać tak, aby było
 +
 
 +
::<math>3 r \equiv b \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ostatecznie otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
 
 +
Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
Liczbę <math>- \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right)</math> nazywamy wyróżnikiem wielomianu <math>x^3 + a x + b</math>.
 +
 
 +
Pokażemy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> i <math>p \geqslant 3</math> prawdziwy jest wzór
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
 
 +
W przypadku, gdy <math>p = 3</math> z&nbsp;warunku <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3}</math> wynika, że <math>3 \mid a</math>. Zakładając, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>b</math> przez <math>3</math> wynosi <math>r</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= 0</math>
 +
 
 +
 
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> i <math>p \mid a</math>, to <math>p \mid b</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= 0</math>
 +
 
 +
 
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> i <math>p \nmid a</math>, to
 +
 
 +
::<math>x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
gdzie
 +
 
 +
::<math>x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o&nbsp;tym, że <math>27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>. Mamy
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
Niech <math>t = x - x_2</math>. Jeżeli <math>x</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) <math>t</math> przebiega taki sam zbiór (zobacz C57). Zatem
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
Uwzględniając, że
 +
 
 +
::<math>x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
 
 +
W przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, pokażemy, że wartość sumy
 +
 
 +
::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
jest ściśle związana z&nbsp;ilością rozwiązań kongruencji
 +
 
 +
::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
 
 +
Niech <math>N_p</math> oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i&nbsp;niech <math>N_+, N_0, N_-</math> oznaczają ilości liczb <math>k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, dla których symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> jest równy odpowiednio <math>+ 1, 0, - 1</math>. Oczywiście
 +
 
 +
::<math>N_+ + N_0 + N_- = p</math>
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>S(a, b) = N_+ - N_-</math>
  
−
nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia J7, możemy napisać
+
Zauważmy, że jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>p \mid (x^3 + a x + b)</math>, to <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math> i&nbsp;mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji
  
−
::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
  
−
gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące.
+
Jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>, to <math>p \nmid (x^3 + a x + b)</math>, a&nbsp;liczba <math>x^3 + a x + b</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli istnieje taka liczba <math>y \in \mathbb{Z}</math>, że
  
 +
::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
  
−
Z założenia <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math> jest jednym z&nbsp;pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy
+
i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para <math>(x, y)</math>, a&nbsp;drugie para <math>(x, - y)</math>. Zatem
  
−
::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
+
::<math>N_p = 2 N_+ + N_0</math>
  
−
Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z&nbsp;rozpatrywanej kongruencji
+
Łatwo zauważamy, że
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b)</math>
  
−
wynika, że musi być (zobacz C74)
 
  
−
::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
W 1936 roku Helmut Hasse<ref name="Hasse1"/><ref name="Hasse2"/> udowodnił, że
  
 +
::<math>| N_p - p | < 2 \sqrt{p}</math>
  
−
Z założenia indukcyjnego kongruencja
+
Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin<ref name="Manin1"/>.
  
−
::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
 
  
−
ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja
+
Wynika stąd, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> prawdziwe jest oszacowanie
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>| S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < 2 \sqrt{p}</math>
  
−
ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 440: Linia 675:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K14</span><br/>
−
Jeżeli kongruencja
+
Pokazać, że jeżeli <math>p \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieją:
 +
 
 +
:* dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>
 +
:* dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Dla <math>p = 7</math> łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.
 +
 
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Zauważmy, że przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność
 +
 
 +
::<math> -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math>
  
−
::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych
  
−
ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>.
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
| <math>2</math> || <math>1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9</math>
 +
|-
 +
| <math>5</math> || <math>4, 5</math>
 +
|-
 +
| <math>10</math> || <math>9, 10</math>
 +
|}
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
'''Punkt 2.'''
−
Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i
 
  
−
::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Rozważmy wszystkie możliwe wartości <math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4</math> i <math>p \geqslant 11</math>. Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>.
  
−
Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{k}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{1} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{2}</math> || <math>\boldsymbol{3}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{4} \,\,</math> || <math>\,\, \boldsymbol{5} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{6}</math> || <math>\boldsymbol{(…)}</math> || <math>\boldsymbol{p-1}</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{A.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{B.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{C.}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{D.}</math>  
 +
| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
 +
|}
  
−
::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
+
'''A.''' W&nbsp;tym przypadku liczby <math>2, 3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
  
−
bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>.
+
'''B. i&nbsp;C.''' W&nbsp;tym przypadku dokładnie jedna z&nbsp;liczb <math>2, 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 3}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
  
−
W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z&nbsp;twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/>
+
'''D.''' W&nbsp;tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby <math>2, 3</math> są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 464: Linia 732:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J15</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K15</span><br/>
−
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
+
Wzmocnimy wynik uzyskany w&nbsp;poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.
  
−
::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
 
  
−
ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W&nbsp;rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z&nbsp;twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest
 
  
−
::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K16</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
  
 +
:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math>
 +
:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/>
+
'''Punkt 1.'''
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i
 
  
−
::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math>
+
Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
  
−
Ponieważ <math>x^5 \equiv x \!\! \pmod{5}</math>, to
+
::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
  
−
::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math>
+
Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
  
−
Co wynika również z&nbsp;faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w&nbsp;postaci
+
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math>
+
Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
  
−
ale <math>x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata.
+
::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::<math>\: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
 +
Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
  
 +
<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - 1</math>
 +
</div>
  
−
== Twierdzenie Wilsona ==
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
= - 1</math>
 +
</div>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)</span><br/>
+
(zobacz K7 i&nbsp;K9). Zatem
−
Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 
  
−
::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
+
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Czyli
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
::<math>N =
 +
\begin{cases}
 +
  {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
 +
  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
 +
\end{cases}</math>
  
−
Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \mid p</math>, to prawdziwa jest kongruencja
+
Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
  
−
::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math>
+
::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math>
  
−
czyli
+
'''Punkt 2.'''
  
−
::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math>
+
Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
  
−
co jest niemożliwe.
+
::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
  
−
Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
+
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math>
+
Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
  
−
oraz
+
::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
  
−
::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
:::<math>\: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
</div>
  
−
Zauważmy, że
+
Wartości sum wyliczyliśmy już w&nbsp;punkcie 1. Zatem
  
−
:* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math>
+
::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
−
:* współczynniki wiodące są równe <math>1</math>
 
−
:* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math>
 
−
:* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>
 
  
−
Niech
+
Czyli
  
−
::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math>
+
::<math>N =  
 +
\begin{cases}
 +
  {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
 +
  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
 +
\end{cases}</math>
  
−
Zauważmy, że
+
Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
  
−
:* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o&nbsp;najwyższym stopniu uległy redukcji
+
::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math>
−
:* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 
  
−
Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z&nbsp;twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i&nbsp;w&nbsp;szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 547: Linia 839:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K17</span><br/>
−
Liczba całkowita nieparzysta <math>p \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa
  
−
::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5</math>
 +
 
 +
Gdzie przez <math>S(- 1)</math> oznaczyliśmy sumę
 +
 
 +
::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 
  
−
::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
+
'''Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
 
 +
Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>
 +
 
 +
Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
 +
 
 +
Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>8</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
 +
 
 +
::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1  
 +
+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
\right]</math>
 +
 
 +
:::<math>\: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
W przypadku, gdy liczba <math>p</math> jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w <math>(p - 1) !</math> są określone modulo <math>p</math>, to odejmując od każdego czynnika większego od <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczbę <math>p</math>, otrzymujemy
 
  
−
::<math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
  
−
::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1)</math>
 +
 
 +
 
 +
(zobacz K7, K9 i K12). Oznaczenie <math>S(- 1)</math> nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w&nbsp;twierdzeniu K12. Wykorzystamy też znalezione w&nbsp;tym twierdzeniu oszacowanie <math>| S (- 1) |</math>.
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1)</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
 +
 
 +
 
 +
'''Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
 
 +
Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
 +
 
 +
Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
 +
 
 +
::<math>N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
 +
 
 +
Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>- 8</math> (stąd czynnik <math>- {\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
 +
 
 +
::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
 +
- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
- \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
- \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
\right]</math>
 +
 
 +
:::<math>\: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 +
- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 +
 
 +
 
 +
Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1)</math>
 +
 
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
 +
 
 +
::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
 +
 
 +
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 571: Linia 993:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K18</span><br/>
 +
Korzystając z&nbsp;twierdzenia K17, łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
 +
 +
&nbsp;<br/>
 +
 +
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
 +
| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
 +
|}
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K19</span><br/>
 +
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
 +
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 +
|}
  
−
== Twierdzenie Fermata ==
 
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J19 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/>
 
−
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą
 
  
−
:* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \!\! \pmod p</math>
 
−
:* i&nbsp;jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K20</span><br/>
−
'''Punkt 1.'''
+
Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
  
−
Zauważmy, że<br/>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =  
−
a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/>
+
{
−
b) w&nbsp;przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z&nbsp;liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/>
+
'''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
−
c) w&nbsp;przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i&nbsp;twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo
+
'''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
−
::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/>
+
'''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
 +
}</span>
  
 +
Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
  
−
Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>.
 
  
−
Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p \mid a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math>
 
  
−
::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K21</span><br/>
 +
Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
  
−
:::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
  
−
:::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math>
+
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
  
 +
::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
  
−
Z założenia indukcyjnego <math>p \mid a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
+
Skąd wynika, że
  
−
'''Punkt 2.'''
+
::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
  
−
Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z&nbsp;lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C74) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>
+
Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 611: Linia 1055:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J20</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K22</span><br/>
−
Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>\gcd (x, y) = 1</math> i&nbsp;liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>x^2 + y^2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>.
+
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
 +
 
 +
:* &nbsp;liczba <math>2</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math>
 +
:* &nbsp;liczba <math>3</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
 +
:* &nbsp;liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J31 p.7) wiemy, że
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
 +
\,\,
 +
  \begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 +
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
 +
  \end{cases}</math>
 +
 
 +
Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Z zadania J43 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
 +
 
 +
::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
 +
 
 +
::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
 +
 
 +
::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
 +
 
 +
::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
 +
 
 +
Drugi i&nbsp;trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math>
 +
 
 +
::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math>
 +
 
 +
a z&nbsp;pierwszego i&nbsp;czwartego mamy
 +
 
 +
::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math>
 +
 
 +
::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji
 +
 
 +
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
 +
 
 +
::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
 +
 
 +
Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
−
Z założenia
+
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
 +
 
 +
Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
 +
 
 +
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
  
−
Przypuśćmy, że <math>p \mid y</math>. Wtedy z&nbsp;powyższej kongruencji mamy natychmiast, że <math>p \mid x</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Zatem <math>p \nmid y</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Fermata dostajemy
+
Postępując jak wyżej, otrzymujemy
  
−
::<math>1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+
chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
 +
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
 +
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
  
−
Wynika stąd, że <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> musi być liczbą parzystą, czyli <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 629: Linia 1128:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J21</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K23</span><br/>
−
Niech <math>x, y, n \geqslant 0</math>. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania
+
Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
  
−
::<math>x^2 + y^2 = 2^n</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
 +
 
 +
::<math>\begin{align}
 +
u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
 +
u & \equiv a \pmod{p_n}
 +
\end{align}</math>
  
−
są liczby
+
gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
  
−
:* <math>x = 2^{n / 2} \,</math> i <math>\, y = 0 \,</math> lub <math>\, x = 0 \,</math> i <math>\, y = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>2 \mid n</math>
+
::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
−
:* <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math>, gdy <math>2 \nmid n</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
−
'''A.''' Gdy jedna z&nbsp;liczb <math>x, y</math> jest równa <math>0</math> (powiedzmy <math>y</math>), to mamy <math>x = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>n</math> jest parzyste. Gdy <math>n</math> jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że <math>x, y \geqslant 1</math>
 
  
−
'''B.''' Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do <math>1</math> modulo <math>4</math>. Gdy obie liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to modulo <math>4</math> mamy
+
Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
  
−
::<math>2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4}</math>
+
wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz C27) wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
  
−
Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla <math>n = 1</math> i&nbsp;w&nbsp;tym przypadku mamy <math>(x, y) = (1, 1)</math>.
 
  
−
'''C.''' W&nbsp;przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać <math>x = 2^a u</math>, <math>y = 2^b w</math>, gdzie liczby <math>u, w</math> są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że <math>1 \leqslant a \leqslant b < {\small\frac{n}{2}}</math>. Dostajemy
+
Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J31), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
  
−
::<math>u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 +
</div>
  
−
Widzimy, że nie może być <math>a < b</math>, bo suma liczby nieparzystej i&nbsp;parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem <math>a = b</math> i&nbsp;otrzymujemy równanie
+
bo <math>8 \mid (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
  
−
::<math>u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
 +
</div>
  
−
które ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika <math>n - 2 a = 1</math>. Mamy <math>u = w = 1</math>, zatem <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math> i <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą.<br/>
+
Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z&nbsp;nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 662: Linia 1169:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J22</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K24 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
−
Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>x \neq y</math>, to liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.
+
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
W&nbsp;przypadku, gdy <math>x = y</math> mamy <math>x^2 + y^2 = 2 y^2</math> i&nbsp;jeśli liczba <math>y</math> nie ma dzielnika pierwszego postaci <math>4 k + 1</math>, to nie ma go również liczba <math>2 y^2</math>. Przykładowo <math>x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r}</math>. Dlatego zakładamy, że <math>x \neq y</math>. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z&nbsp;liczb <math>x, y</math> jest równa zero. Dlatego zakładamy, że <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>.
+
Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz C27) wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
 +
 
 +
Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 +
 
 +
(zobacz J31 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia J31 p.9 otrzymujemy
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 +
</div>
 +
 
 +
Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
 +
 
 +
::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math>
 +
 
 +
Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
 +
 
 +
::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
 +
 
 +
gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
  
−
Niech <math>\gcd (x, y) = d</math>, zatem mamy <math>x = a d</math>, <math>y = b d</math>. Wynika stąd, że <math>x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2)</math>, gdzie <math>\gcd (a, b) = 1 \,</math> i <math>\, a \neq b</math>. Ponieważ <math>\, a \neq b</math>, to liczba <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J21). Z&nbsp;twierdzenia J20 zastosowanego do liczby <math>a^2 + b^2</math> wynika, że <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.<br/>
+
Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 674: Linia 1203:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K25</span><br/>
 +
W twierdzeniu K23 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
  
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, "  ", p); '''break'''() )))</span>
  
−
== Kryterium Eulera ==
+
W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J23</span><br/>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>  
 +
| <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math>
 +
|}
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
 
  
−
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \mid (k^2 - a)</math>.
 
  
−
Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K26</span><br/>
 +
Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz K8) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> nie może być dłuższy od <math>\left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor</math>, to
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 < \sqrt{p} \log p + 1</math>
 +
 
 +
Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.
  
−
nie ma rozwiązania.
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K27</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J24</span><br/>
+
::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math>
−
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Zauważmy, że w&nbsp;rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z&nbsp;oczywistej kongruencji
+
Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z&nbsp;oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
  
−
::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math>
+
::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
  
−
Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math>
+
::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
  
−
::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math>
+
Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
  
−
Ponieważ
+
::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math>
  
−
::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math>
+
Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
  
−
to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a&nbsp;jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy
+
::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
  
−
::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Ale z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
  
−
Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z&nbsp;czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z&nbsp;prostych oszacowań
+
::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math>
  
−
::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math>
+
::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math>
  
−
::<math>2 < i + j < p - 1</math>
+
Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w&nbsp;postaci
  
 +
::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
  
−
Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
+
Skąd otrzymujemy
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math>
  
−
ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>.
+
::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
  
−
Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 732: Linia 1272:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J25 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K28*</span><br/>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K29</span><br/>
 +
Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K30</span><br/>
 +
Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
  
−
::{| border="0"  
+
::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
|-style=height:2.5em
+
|-
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
−
|-style=height:2.5em
+
| <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math>  
 +
| <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 
|}
 
|}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K31</span><br/>
 +
Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J27 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
 +
 +
Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
 +
 +
Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
 +
 +
::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 +
 +
i jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
'''Punkt 1.'''
 
  
−
Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
 
  
−
::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
 
  
−
Zauważmy, że
 
  
−
::{| border=1 style="border-collapse: collapse;"
+
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
−
|-style=height:2.5em
+
| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''A'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;zobacz J24
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''B'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;zobacz twierdzenie Lagrange'a J13
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''C'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;wynika z&nbsp;ciągu implikacji:<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''D'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>Q \subseteq S</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math>
 
 
|}
 
|}
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K32</span><br/>
 +
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W&nbsp;jednym i&nbsp;drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w&nbsp;zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K33</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
 +
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
  
−
Łącząc rezultaty z&nbsp;tabeli, otrzymujemy
+
nie ma rozwiązania.
  
−
::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
 
  
−
Skąd łatwo widzimy, że
 
  
−
::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K34</span><br/>
 +
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
  
−
Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a&nbsp;zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J26). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
 +
|}
  
−
::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
|-style=height:2.0em
+
|-
−
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
 
|}
 
|}
  
−
Co kończy dowód punktu pierwszego.
 
  
−
'''Punkt 2.'''
 
  
−
Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K35</span><br/>
 +
Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
 +
{
 +
'''local'''(p, res);
 +
p = 1;
 +
'''while'''( p < m,
 +
        p = '''nextprime'''(p + 1);
 +
        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
 +
        res = -1;
 +
        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
 +
        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
 +
      );
 +
}</span>
 +
 
 +
Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
 +
{
 +
'''local'''(p, res, t);
 +
t = m%8;
 +
'''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
 +
t = m%12;
 +
'''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
 +
t = m%24;
 +
'''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
 +
'''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
 +
t = m%30;
 +
'''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
 +
p = 1;
 +
'''while'''( p < m,
 +
        p = '''nextprime'''(p + 1);
 +
        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
 +
        res = -1;
 +
        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
 +
        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
 +
      );
 +
}</span>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K36</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
 +
 
 +
::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Skąd wynika, że
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K37</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z twierdzenia J38 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K38</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;<math>4 \mid m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;<math>m = 12 k \pm 4</math>
 +
 
 +
to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \mid m .</math> Rozważmy kongruencję
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
  
−
::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+
Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia J52 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
−
|-style=height:2.0em
 
−
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 
−
|}
 
  
−
Z twierdzenia Fermata
+
Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
  
−
::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>\begin{align}
 +
m &\equiv 0 \pmod{4} \\
 +
m &\equiv 1 \pmod{3}
 +
\end{align}</math>
  
−
wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być
+
oraz
  
−
::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>\begin{align}
 +
m &\equiv 0 \pmod{4} \\
 +
m &\equiv 2 \pmod{3}
 +
\end{align}</math>
  
−
Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
+
którym, na mocy chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
  
−
::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+
::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math>
−
|-style=height:2.0em
 
−
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 
−
|}
 
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 811: Linia 1476:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J26</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K39</span><br/>
−
Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli <math>A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B |</math>, to <math>\; A = B</math>.
+
Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Ponieważ zbiór <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>B</math>, to zbiór <math>B</math> można przedstawić w&nbsp;postaci sumy zbiorów <math>A</math> i <math>C</math> takich, że żaden element zbioru <math>C</math> nie jest elementem zbioru <math>A</math>. Zatem
+
Zapiszmy <math>m</math> w&nbsp;postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
 +
 
 +
miała rozwiązanie, to również kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
 +
 
 +
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J43), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K40</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
  
−
::<math>B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing</math>
+
::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
  
−
Ponieważ z&nbsp;założenia zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są rozłączne, to wiemy, że
+
nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
  
−
::<math>| A \cup C | = | A | + | C |</math>
+
Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J38).<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Czyli
 
  
−
::<math>| B | = | A \cup C | = | A | + | C |</math>
 
  
−
Skąd wynika, że <math>| C | = 0</math>, zatem zbiór <math>C</math> jest zbiorem pustym i&nbsp;otrzymujemy natychmiast <math>B = A</math>. Co należało pokazać.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K41</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i&nbsp;podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
  
−
<span style="border-bottom-style: double;">Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)</span><br/>
+
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
−
Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie <math>| A \cup C | \leqslant | A | + | C |</math>, bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>, zatem od sumy <math>| A | + | C |</math> musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>. Co daje ogólny wzór<ref name="sumazbiorow"/>
 
  
−
::<math>| A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C |</math><br/>
+
nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
 +
 
 +
Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J43).<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 839: Linia 1526:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K42</span><br/>
 +
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>3 \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
  
−
== Symbol Legendre'a ==
+
::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J27</span><br/>
+
nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco
+
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
 
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \,  \text{ oraz } \, p \nmid a \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \mid a
 
−
\end{cases}</math>
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K43</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J28</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w&nbsp;zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \mid a</math>
+
Z twierdzenia K75 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
  
−
::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
+
::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
 +
 
 +
nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J29*</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K44</span><br/>
−
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
+
Pokazać, że podanym w&nbsp;pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w&nbsp;drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math>
+
! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+
| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K40
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot  \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+
| <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
+
| <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math>
+
| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | K41
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\,  
+
| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | K42, K43
−
  \begin{cases}
+
|-
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\
+
| <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4}
+
|-
−
  \end{cases}</math>
+
| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K43
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
+
| <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>  
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\,  
+
| <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K45</span><br/>
 +
Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
 +
 
 +
::<math>\begin{array}{lll}
 +
  \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
 +
  \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math>
 +
 
 +
nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \mid 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
 +
 
 +
również nie ma rozwiązania (zobacz J52).
 +
 
 +
Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
 +
 
 +
możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
 +
 
 +
::<math>\begin{align}
 +
x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\
 +
x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
 +
\end{align}</math>
 +
 
 +
Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
 +
 
 +
::<math>x'_0 =
 
   \begin{cases}
 
   \begin{cases}
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
+
  \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8}  
+
  x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
 
   \end{cases}</math>
 
   \end{cases}</math>
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
 
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|}
 
  
 +
jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a&nbsp;tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K46</span><br/>
 +
Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
 +
 +
::<math>\begin{array}{lllll}
 +
  \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2        & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\
 +
  \mathbb{n} (4 m) = 3        & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
 +
\end{array}</math>
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 +
Z twierdzenia K40 wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
 +
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 +
Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia J52 wynika, że kongruencja
 +
 +
::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
  
 +
nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
== Symbol Jacobiego ==
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K47</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J30</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
+
Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
  
 
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
 
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
  
−
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \mid (k^2 - a)</math>.
+
ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
 +
 
 +
::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \mid m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
 +
 
 +
::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math>
 +
 
 +
co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K48</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K47). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
 +
 
 +
Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
 +
 
 +
nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
 +
 
 +
musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z&nbsp;twierdzenia J46 wiemy, że wtedy kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
 +
 
 +
również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K49</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
 +
 
 +
gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia K48, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
 +
 
 +
Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z&nbsp;każdą z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K50</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math>
 +
 
 +
::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math>
  
−
Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia K48 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
 +
 
 +
Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń K27 i&nbsp;K28.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K51</span><br/>
 +
Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
 +
| &nbsp;'''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>&nbsp;
 +
|}
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K52</span><br/>
 +
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i&nbsp;najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
  
−
nie ma rozwiązania.
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
 +
|}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J31</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K53</span><br/>
−
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
+
Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">isQR(a, m) =  
+
  <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =  
−
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
 
−
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
 
 
  {
 
  {
−
  '''local'''(w);
+
  '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) );
−
  '''if'''( '''gcd'''(a, m) > 1, '''return'''(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
+
  '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) );
−
w = -1;
+
  '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) ));
−
  '''for'''(k = 1, '''floor'''(m/2), '''if'''( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; '''break'''() ));
 
−
'''return'''(w);
 
 
  }</span>
 
  }</span>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J32</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K54</span><br/>
−
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo <math>m</math>, w&nbsp;której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w&nbsp;takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
+
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w&nbsp;tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z&nbsp;innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I&nbsp;tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
 +
 
 +
Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
 +
 
 +
Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu K27. Łatwo zauważamy, że
 +
 
 +
::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
 +
 
 +
::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
  
−
Przykładowo:
+
::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math>
  
−
::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math>
+
::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
  
−
Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
+
Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
  
−
Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
 
  
−
Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W&nbsp;zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K55</span><br/>
 +
Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J33</span><br/>
+
::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
−
Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i&nbsp;modulo <math>n</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Zatem jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
−
Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w&nbsp;uwadze J11.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 964: Linia 1818:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J34</span><br/>
 
−
Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
 
−
Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math>
 
  
 +
== Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K56</span><br/>
 +
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
  
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 +
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math>
 +
|}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J35</span><br/>
+
Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a&nbsp;liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>.
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J36*</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K57</span><br/>
−
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
+
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math>
+
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 +
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
 +
| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
−
|-
+
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math>
−
| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
|}
 +
 
 +
Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>.
 +
 
 +
Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K58</span><br/>
 +
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
 +
 
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math>
+
! <math>\boldsymbol{n}</math>
 +
| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\,  
+
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
−
  \begin{cases}
+
| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math>
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4}
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
+
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
−
  \begin{cases}
+
| <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math>
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8}
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\,  
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8}
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot
+
! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
−
\begin{cases}
+
| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4}
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|}
 
|}
  
 +
Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>.
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K59</span><br/>
 +
Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w&nbsp;liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>.
 +
 +
Niech
 +
 +
::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math>
 +
 +
<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
 +
 +
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są nieparzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> parzyste.
 +
 +
<math>\boldsymbol{n = 2}</math>
 +
 +
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
 +
 +
::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
 +
 +
Co jest niemożliwe.
 +
 +
<math>\boldsymbol{n = 3}</math>
 +
 +
Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a&nbsp;liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
 +
 +
::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
 +
 +
Co jest niemożliwe.
 +
</div>
 +
Z powyższego zestawienia wynika, że liczby <math>x, a</math> i liczby <math>y, b</math> mają taką samą parzystość. Mamy
 +
 +
::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
 +
 +
::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math>
 +
 +
Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i
 +
 +
::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math>
 +
 +
Czyli
 +
 +
::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math>
 +
 +
ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \mid (x + a)</math> i&nbsp;musi być
 +
 +
::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math>
 +
 +
Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \mid (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być
 +
 +
::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math>
 +
 +
W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \mid l</math> lub <math>n \mid r</math>.
 +
 +
Łatwo otrzymujemy
 +
 +
::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math>
 +
 +
::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math>
  
 +
Ostatecznie
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
+
::<math>Q = x^2 + n y^2</math>
−
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z&nbsp;powyższego twierdzenia i&nbsp;tabela z&nbsp;twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
 
  
 +
::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math>
  
 +
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/>
+
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math>
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
 
  
−
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
+
::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math>
−
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
 
−
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
 
  
−
Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>.
+
<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
  
−
Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
+
::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math>
  
 +
<math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math>
  
 +
W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J39</span><br/>
+
::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math>
−
Wszystkie liczby kwadratowe i&nbsp;niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
+
</div>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+
Co kończy dowód.<br/>
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =
+
&#9633;
−
{
 
−
'''local'''(k, S, V);
 
−
S = [];
 
−
V = [];
 
−
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
 
−
S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
 
−
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
 
−
V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
 
−
'''print'''("QR: ", V);
 
−
'''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
 
−
}</span>
 
−
<br/>
 
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J40</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K60</span><br/>
−
Pokazać, że
+
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math>
−
Zauważmy, że
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
  
−
::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
  
−
::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K61</span><br/>
 +
Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>.
  
−
bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
+
Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z&nbsp;jakim liczba <math>2</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>.
  
−
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
+
'''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math>
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
'''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math>
−
 
 
−
::::<math>\; =
 
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 5
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
+
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
+
'''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math>
+
a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
  
−
Łatwo zauważamy, że
+
b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4 \mid (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4 \mid (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math>
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 1115: Linia 2018:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J41</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K62</span><br/>
−
Pokazać, że
+
Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
 +
 
 +
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5
 
−
\end{cases}</math>
 
  
 +
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + y^2</math>
  
−
'''Punkt 1.'''
+
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 2 y^2</math>
  
−
Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i&nbsp;Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W&nbsp;tym przypadku mamy
+
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 3 y^2</math>
  
−
::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
  
−
i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
+
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
  
−
::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math>
+
Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
  
−
::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
+
::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji
  
−
::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J36 p.9)
+
Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
  
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 
</div>
 
</div>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
Z twierdzenia J38 i&nbsp;zadania J42 otrzymujemy natychmiast
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+
 
−
</div>
+
:(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math>
 +
 
 +
:(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>
 +
 
 +
:(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.
 +
 
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
'''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math>
 +
 
 +
Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
 +
 
 +
:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
 +
 
 +
:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
 +
 
 +
:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
 
 +
(zobacz J38 i&nbsp;J42) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że
 +
 
 +
::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
 +
 
 +
 
 +
'''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego'''
 +
 
 +
Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję
 +
 
 +
::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
 +
 
 +
::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math>
 +
 
 +
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
 +
 
 +
::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby
 +
 
 +
::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math>
 +
 
 +
takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i&nbsp;dla których
 +
 
 +
::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math>
 +
 
 +
Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję
 +
 
 +
::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem wynikające z&nbsp;powyższej kongruencji równanie
 +
 
 +
::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie dla liczb
 +
 
 +
::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math>
 +
 
 +
Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i&nbsp;będzie to istotny element dowodu.
 +
 
 +
 
 +
'''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/>
 +
 
 +
Pomysł dowodu został zaczerpnięty z&nbsp;książki Hardy'ego i&nbsp;Wrighta<ref name="HardyWright1"/>.
 +
 
 +
Jeżeli w&nbsp;rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i&nbsp;twierdzenie jest udowodnione. W&nbsp;przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z&nbsp;istniejącego rozwiązania równania
 +
 
 +
::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
 +
 
 +
otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
 +
 
 +
::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
 +
 
 +
takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
 +
 
 +
Zauważmy, że podział na parzyste i&nbsp;nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 3</math>. W&nbsp;pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
 +
 
 +
'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
 +
 
 +
Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia K61 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
 +
 
 +
::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
 +
 
 +
gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z&nbsp;istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
 +
 
 +
::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
 +
 
 +
gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
 +
 
 +
'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą'''
 +
 
 +
Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
 +
 
 +
::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math>
 +
 
 +
Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
 +
 
 +
::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math>
 +
 
 +
Połóżmy
 +
 
 +
::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \mid (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \mid p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>.
 +
 
 +
Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;uwzględniając, że
 +
 
 +
::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Mamy też oszacowanie
 +
 
 +
::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że
 +
 
 +
::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math>
 +
 
 +
Mnożąc stronami powyższe równanie i&nbsp;równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
 +
 
 +
(zobacz K60). Zauważmy teraz, że
 +
 
 +
::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
 +
 
 +
::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math>
 +
 
 +
::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math>
 +
 
 +
::::<math>\quad \; = m x_1</math>
 +
 
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
'''Punkt 2.'''
+
::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math>
  
−
Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J36 p.9)
+
::::<math>\;\;\, = m y_1</math>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
Gdzie oznaczyliśmy
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
−
</div>
 
  
−
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
+
::<math>x_1 = p - r x - n s y</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>y_1 = s x - r y</math>
  
−
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Wynika stąd, że
  
−
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math>
  
−
:::<math>\:\, \quad =
+
Zatem
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
+
::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
gdzie
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
+
::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
+
Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
+
'''D. Jednoznaczność rozkładu'''
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia K59. Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1212: Linia 2256:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K63</span><br/>
−
Wykorzystując podane w&nbsp;twierdzeniu J36 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w&nbsp;PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
+
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) =  
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) =  
 
  {
 
  {
−
  '''local'''(r, w);
+
  '''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1);
−
  '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
+
  '''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") );
−
  a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a &equiv; b (mod n)
+
  x = 1;
−
  w = 1;
+
'''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
−
  '''while'''( a <> 0,
+
x = x - '''round'''(x/p)*p;
−
         '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
+
  y = 1;
−
         \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n &equiv; 3,5 (mod 8)
+
m = (x^2 + y^2)/p;
−
        \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
+
  '''while'''( m > 1,
−
         r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
+
         r = '''round'''(x/m);
−
        a = n;
+
        s = '''round'''(y/m);
−
         n = r;
+
         x1 = p - r*x - s*y;
−
         '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
+
         y1 = r*y - s*x;
−
         \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a &equiv; n &equiv; 3 (mod 4)
+
         x = x1;
−
        a = a % n;
+
         y = y1;
 +
         m = (x^2 + y^2)/p;
 
       );
 
       );
−
  '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
+
  '''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]);
 
  }</span>
 
  }</span>
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J43</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K64</span><br/>
−
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a&nbsp;symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
+
Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>r</math>
 +
będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
 +
:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 +
:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
 +
:*&nbsp;&nbsp;liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
  
−
W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w&nbsp;formie uproszczonej <math>(a \mid m)</math> i&nbsp;nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
  
−
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Legendre'a
+
'''Punkt 1.'''
−
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
 
−
:* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
 
  
 +
Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy
  
 +
::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
  
 +
Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;modulo <math>4</math> mamy
  
 +
::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>
  
−
== Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
+
Przypuśćmy, że
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J44</span><br/>
+
::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
+
'''Punkt 2.'''
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie K62. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
  
−
ma rozwiązanie.
+
::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math>
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math>
  
−
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
+
'''Punkt 3.'''
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze K60 mamy
  
−
Ponieważ <math>p^n \mid (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
+
::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
:::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math>
  
−
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 
  
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
 
  
−
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i&nbsp;pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
== Twierdzenia o&nbsp;istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo ==
  
−
Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i&nbsp;czytelność dowodu. Zatem
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K65</span><br/>
 +
Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
  
−
::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
+
:* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math>
 +
:* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math>
  
−
Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
  
−
::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
+
::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math>
  
−
ma rozwiązanie (zobacz C76). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
+
gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
+
::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math>
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
+
::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math>
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
+
::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math>
  
−
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
+
Z twierdzenia J51 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
  
−
Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
+
::<math>s =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 +
\end{cases}</math>
  
−
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
dla <math>2^n = 4</math> i&nbsp;gdy
  
−
::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
::<math>s =
−
 
+
\begin{cases}
−
bo <math>p^{n + 1} \mid p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
+
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
−
 
+
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
\end{cases}</math>
  
−
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1321: Linia 2378:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J45</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K66</span><br/>
−
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \mid 2^n</math>.
+
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie K65 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K67. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
  
−
Kongruencja
+
Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
+
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
  
−
ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{q}</math>  
 +
| style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math>
 +
|}
  
−
Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
+
W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
  
−
ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>  
 +
| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{q}</math>  
 +
| style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math>
 +
|}
  
−
Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
 
  
−
ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K67</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech
 +
::<math>s =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\
 +
\end{cases}</math>
  
 +
Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J46</span><br/>
+
::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
−
Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
Czyli
−
 
 
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
+
::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math>
  
−
ma rozwiązanie.
+
i otrzymujemy
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
  
−
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
+
Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math>
  
−
Ponieważ <math>2^n \mid (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \mid (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
+
z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>.
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math>
+
'''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math>
  
−
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
+
Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math>
  
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
+
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
'''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math>
  
−
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i&nbsp;pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
+
Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
+
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math>
  
−
Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
+
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
  
−
::<math>r =
+
'''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math>
−
  \begin{cases}
 
−
  0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\
 
−
  1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą}
 
−
  \end{cases}</math>
 
  
−
Zauważmy, że
+
Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
  
−
::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math>
  
−
::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
  
−
::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
'''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math>
  
−
::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
+
Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
  
−
bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a&nbsp;dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
+
::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
+
Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
  
−
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J47</span><br/>
 
−
Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w&nbsp;zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K68</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz K62). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/>
+
Modulo <math>q</math> możemy napisać
−
Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z&nbsp;chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3 i&nbsp;J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z&nbsp;kongruencji
 
−
 
 
−
::<math>\begin{align}
 
−
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
 
−
    & \,\,\,\cdots \\
 
−
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Z definicji J27, twierdzeń J44 i&nbsp;J46, uwagi J45 i&nbsp;wniosku J47 otrzymujemy
+
::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
  
 +
Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid x</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
  
 +
::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/>
+
Wynika stąd natychmiast (zobacz J38 p.9)
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
+
Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::{| border="0"
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest&nbsp; <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>8 \mid ( a - 1 )</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>4 \mid ( a - 1 )</math>
 
−
|}
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K69</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J50</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
+
Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz K62).
 +
Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
  
−
nie ma rozwiązania wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z&nbsp;warunków
+
Co jest niemożliwe. Zatem <math>x = 2 k</math>, a&nbsp;liczba <math>y</math> musi być nieparzysta. Otrzymujemy
  
−
::{| border="0"
+
::<math>p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math>
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
 
−
|}
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to jedynie w&nbsp;przypadku gdy <math>k = y = 1</math> możliwa jest sytuacja, że <math>k = y</math>. Mielibyśmy wtedy <math>p = 7</math>, ale z&nbsp;założenia musi być <math>p \geqslant 19</math>. Wynika stąd, że <math>k \neq y</math>, zatem liczba <math>k^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> (zobacz J22). Oczywiście <math>q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p</math>.
  
−
'''Punkt 1.'''
+
Modulo <math>q</math> możemy napisać
  
−
Z założenia <math>d \mid m</math>. Gdyby kongruencja
+
::<math>k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
Liczba pierwsza <math>q</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid k</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
  
−
miała rozwiązanie, to również kongruencja
+
::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
+
Wynika stąd natychmiast (zobacz J38 p.9 i&nbsp;p.6)
  
−
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
+
::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}  
 +
= \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
  
−
Punkty 2. i 3. wynikają wprost z&nbsp;twierdzenia J49.<br/>
+
Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1478: Linia 2538:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J51</span><br/>
+
Twierdzenia K68 i&nbsp;K69 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
−
Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;tabelach zestawiliśmy kongruencje i&nbsp;ich rozwiązania.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K70*</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K71</span><br/>
 +
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
+
:{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
! Kongruencje || Rozwiązania
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math>
+
! <math>\boldsymbol{q}</math>  
−
|-
+
| style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math>
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math>
+
|}
 +
 
 +
 
 +
W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
:{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math>
+
! <math>\boldsymbol{q}</math>
 +
| style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math>
 
|}
 
|}
−
{| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
+
 
−
|-
+
 
−
! Kongruencje || Rozwiązania
+
 
−
|-
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K72</span><br/>
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
−
|-
+
 
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia J38 p.9 dostajemy
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
 +
- \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
 +
- \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
 +
- \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
 
 +
Zatem <math>q</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K73*</span><br/>
 +
'''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
'''B.''' Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Zauważmy, że twierdzenie K73 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K74</span><br/>
 +
'''A.''' Jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 10 , 11</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
'''B.''' Jeżeli <math>m \geqslant 4</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 6 , 9</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''Punkt B'''
 +
 
 +
Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b</math>.
 +
 
 +
Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J52 i&nbsp;K47).
 +
 
 +
Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J52).
 +
 
 +
Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J52).
 +
 
 +
Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>.
 +
 
 +
 
 +
Zbierając:
 +
 
 +
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 5</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b</math>, to liczba pierwsza <math>q = 11</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
 +
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K73 i&nbsp;K47).
 +
 
 +
 
 +
Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 11</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 3</math>.
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(m = 3, 15, '''forprimestep'''(q = 3, 100, 4, '''if'''( isQR(q,m) == -1, '''print'''(m, "  ", q); '''break'''() )))</span>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
! <math>\boldsymbol{q}</math>
 +
| style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math>
 
|}
 
|}
  
 +
Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 4</math>, o ile <math>m \neq 6 , 9</math>.
 +
 +
'''Punkt A'''
 +
 +
Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>.
 +
 +
Jeżeli jedna z&nbsp;liczb <math>3, 5, 7, 11</math> dzieli <math>m</math>, to <math>17</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo
 +
<math>\left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}}
 +
= - 1</math>.
  
 +
Jeżeli żadna z&nbsp;liczb <math>3, 5, 7, 11</math> nie dzieli <math>m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (5 - 1)</math>, zatem liczba <math>5</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J52</span><br/>
+
Jeżeli żadna z&nbsp;liczb <math>3, 5, 7, 11</math> nie dzieli <math>m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to nie istnieją liczby pierwsze postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>, bo <math>4 \mid [(4 k + 1) - 1]</math>
−
Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
 
  
−
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Zbierając:
−
Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w&nbsp;postaci
+
 
 +
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 13</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>, to liczba pierwsza <math>q = 5</math> lub <math>q = 17</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
 +
:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K73 i&nbsp;K47).
 +
 
 +
Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 17</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 1</math>.
  
−
::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(m = 3, 20, '''forprimestep'''(q = 1, 100, 4, '''if'''( isQR(q,m) == -1, '''print'''(m, "  ", q); '''break'''() )))</span>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{q}</math>  
 +
| style="background-color: red" | <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>13</math>
 +
|}
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
+
Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 6</math>, o ile <math>m \neq 10 , 11</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
 
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
 
  
−
::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K75</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
  
−
::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Łatwo sprawdzamy, że
  
−
Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
+
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
+
(zobacz J38&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
  
−
nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
+
'''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math>
  
−
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia K31 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J38&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
  
−
również nie ma rozwiązania.<br/>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
&#9633;
+
::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
−
{{\Spoiler}}
+
</div>
  
 +
'''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math>
  
 +
Z twierdzenia K67 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J38 p.9 otrzymujemy natychmiast
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J53</span><br/>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
−
Rozwiązać kongruencję
+
::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
</div>
  
−
::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
−
Rozwiązywanie kongruencji w&nbsp;przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w&nbsp;przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
 
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
 
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K76</span><br/>
 +
Udowodnić twierdzenie K75 w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia K67.
  
−
Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z założenia <math>p = 4 k + 3</math>. Liczba <math>k</math> może być postaci <math>k = 3 j</math>, <math>k = 3 j + 1</math> i <math>k = 3 j + 2</math>. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci <math>p = 12 j + 3</math>, <math>p = 12 j + 7</math> i <math>p = 12 j + 11</math>.
  
−
::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
Ponieważ nie ma liczb pierwszych <math>p \geqslant 19</math> i&nbsp;będących postaci <math>p = 12 j + 3</math>, to pozostaje rozważyć przypadki <math>p = 12 j + 7</math> i <math>p = 12 j + 11</math>.
  
−
::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
'''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math>
  
−
::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math>
+
Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J43). Mamy
  
−
::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math>
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
</div>
  
−
::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math>
+
Czyli wystarczy przyjąć <math>q = 3</math>.
  
−
Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
+
'''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math>
  
 +
Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J38&nbsp;p.6 oraz J43). Otrzymujemy
  
−
Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W&nbsp;naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
+
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1</math>
 +
</div>
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
+
Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia J38&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1594: Linia 2757:
 
<references>
 
<references>
  
−
<ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref>
+
<ref name="Dukic1">Dušan Đukić, ''Quadratic Congruences'', International Mathematical Olympiad training materials, ([https://imomath.com/index.cgi?page=quadraticCongruencesSumsLegendreSymbols IMOmath.com])</ref>
 +
 
 +
<ref name="Hasse1">Helmut Hasse, ''Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung'', Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.</ref>
 +
 
 +
<ref name="Hasse2">Wikipedia, ''Hasse's theorem on elliptic curves'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hasse%27s_theorem_on_elliptic_curves Wiki-en]), ([https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5 Wiki-ru])</ref>
 +
 
 +
<ref name="Manin1">Yu. I. Manin, ''On cubic congruences to a prime modulus'', Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678</ref>
 +
 
 +
<ref name="Norton1">Karl K. Norton, ''Numbers with Small Prime Factors, and the Least ''k''th Power Non-Residue'', Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)</ref>
 +
 
 +
<ref name="Trevino1">Enrique Treviño, ''The least k-th power non-residue'', Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)</ref>
  
−
<ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref>
+
<ref name="Trevino2">Kevin J. McGown and Enrique Treviño, ''The least quadratic non-residue'', Mexican Mathematicians in the World (2021)</ref>
  
−
<ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref>
+
<ref name="Erdos1">Paul Erdős, ''Számelméleti megjegyzések I'', Afar. Lapok, v. 12 (1961)</ref>
  
−
<ref name="sumazbiorow">Wikipedia, ''Zasada włączeń i&nbsp;wyłączeń'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle Wiki-en])</ref>
+
<ref name="Pollack1">Paul Pollack, ''The average least quadratic nonresidue modulo <math>m</math> and other variations on a&nbsp;theme of Erdős'', Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.</ref>
  
−
<ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref>
+
<ref name="InfiniteDescent1">Wikipedia, ''Proof by infinite descent'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref>
+
<ref name="Bussey1">W. H. Bussey, ''Fermat's Method of Infinite Descent'', The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)</ref>
 +
 
 +
<ref name="HardyWright1">G. H. Hardy and Edward M. Wright, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w&nbsp;sekcji 20.4 na stronie 301.</ref>
 +
 
 +
<ref name="Gica1">Alexandru Gica, ''Quadratic Residues of Certain Types'', Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.</ref>
 +
 
 +
<ref name="Pollack2">Paul Pollack, ''The least prime quadratic nonresidue in a&nbsp;prescribed residue class mod 4'', Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414</ref>
  
 
</references>
 
</references>
 +
  
  

Wersja z 18:44, 8 lis 2023

22.04.2023



Element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Twierdzenie K1
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ x }[/math], że

[math]\displaystyle{ x k \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \gcd (k, m) = 1 }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ x }[/math], że

[math]\displaystyle{ x k \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem dla pewnego [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ x k = 1 + r m }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ x k - r m = 1 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \gcd (k, m) }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 1 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ \gcd (k, m) = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (k, m) = 1 }[/math]. Z lematu Bézouta (zobacz C73) wynika, że istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

[math]\displaystyle{ k x + m y = 1 }[/math]

Zatem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ k x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Co kończy dowód.
□


Definicja K2
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ x }[/math] taką, że

[math]\displaystyle{ x \cdot k \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

będziemy nazywali elementem odwrotnym liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i oznaczali jako [math]\displaystyle{ k^{- 1} }[/math].


Uwaga K3
Oznaczenie elementu odwrotnego ma naturalne uzasadnienie. Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ b \mid a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{b}} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m} }[/math]

Istotnie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{b}} = {\small\frac{a}{b}} \cdot 1 \equiv {\small\frac{a}{b}} \cdot b b^{- 1} \equiv a b^{- 1}\!\! \pmod{m} }[/math]

W PARI/GP odwrotność liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] znajdujemy, wpisując Mod(a, m)^(-1).


Twierdzenie K4
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] będą względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to ich elementy odwrotne [math]\displaystyle{ a^{-1}, b^{- 1} }[/math] też są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ a \not\equiv b \!\! \pmod{p} }[/math]. Gdyby było

[math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv b^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

to mielibyśmy

[math]\displaystyle{ a^{- 1} a b \equiv b^{- 1} a b \!\! \pmod{p} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ b \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

Wbrew uczynionemu założeniu. Co kończy dowód.
□



Twierdzenie K5
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zbiór [math]\displaystyle{ R = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], a zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] będzie identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ R }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x_k \in S }[/math] przebiegają cały zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ x^{- 1}_k }[/math] przebiegają zbiór [math]\displaystyle{ T }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ R }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia zbiory [math]\displaystyle{ R }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] są identyczne modulo [math]\displaystyle{ R }[/math]. Zatem każdej liczbie [math]\displaystyle{ k \in R }[/math] odpowiada dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ x_k \in S }[/math] taka, że

[math]\displaystyle{ x_k \equiv k \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (k, p) = 1 }[/math], to również [math]\displaystyle{ \gcd (x_k, p) = 1 }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ x_k }[/math] ma element odwrotny [math]\displaystyle{ x^{- 1}_k }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ wszystkie liczby [math]\displaystyle{ x_k }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to elementy odwrotne [math]\displaystyle{ x^{- 1}_k }[/math] też są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ liczb [math]\displaystyle{ x^{- 1}_k }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], to tworzą one pewien zbiór [math]\displaystyle{ T }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ R }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie K6
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą.

Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową (odpowiednio niekwadratową) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to element odwrotny liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] istnieje i jest liczbą kwadratową (odpowiednio niekwadratową) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi (odpowiednio niekwadratowymi) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że [math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math], czyli element odwrotny liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] istnieje. Mamy

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Zatem musi być

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Co należało pokazać.


Niech [math]\displaystyle{ a, b }[/math] będą liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi). Iloczyn [math]\displaystyle{ a b^{- 1} }[/math] jest liczbą kwadratową, bo

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\pm 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{\pm 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\pm 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = 1 }[/math]

Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a b^{- 1} \equiv r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Przykłady sum symboli Legendre'a

Twierdzenie K7
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, [math]\displaystyle{ a, d \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid d }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Wystarczy zauważyć, że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0 }[/math]

Punkt 2.

Wystarczy zauważyć, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

oraz że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1 }[/math]

Punkt 3.

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math] są względnie pierwsze. Z twierdzenia C57 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k d }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Czyli wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p. 2). Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0 = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie K8* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{N}_0 }[/math], to prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| \lt \sqrt{p} \log p }[/math]


Twierdzenie K9
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\ \end{cases} }[/math]
Dowód

1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \mid (a - b)} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ b \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

Z twierdzenia C57 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Czyli wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p. 2). Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = p - 1 }[/math]

Co należało pokazać.

2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \nmid (a - b)} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math] i sumując od [math]\displaystyle{ a }[/math] do [math]\displaystyle{ p - 1 + a }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wśród [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a, a + 1, \ldots, p - 1 + a }[/math] istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Wiemy też, że gdy liczby [math]\displaystyle{ j }[/math] przebiegają zbiór identyczny (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) ze zbiorem [math]\displaystyle{ R = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ j^{- 1} }[/math] przebiegają pewien zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] identyczny (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) ze zbiorem [math]\displaystyle{ R }[/math] (zobacz K5). Zatem od sumowania po [math]\displaystyle{ j }[/math] możemy przejść do sumowania po [math]\displaystyle{ r \in R }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = - 1 }[/math]

Ostatnia z wypisanych sum jest równa zero, co wynika z trzeciego wzoru twierdzenia K7 i faktu, że [math]\displaystyle{ p \nmid (b - a) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie K10
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\ \end{cases} }[/math]
Dowód

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \mid n} }[/math]

Z drugiego wzoru twierdzenia K7 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1 }[/math]

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \nmid n} }[/math]

Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

(zobacz K6). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ k r^{- 1} }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b) }[/math]


Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] ma taką samą wartość i jeśli wybierzemy liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a druga liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b)) }[/math]


Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - (p - 1) }[/math]

bo z twierdzenia K7 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]


Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy

[math]\displaystyle{ - (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b)) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) + S (b) = - 2 }[/math]


Z twierdzenia K9 mamy

[math]\displaystyle{ S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ p \nmid 2 }[/math]. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową, a [math]\displaystyle{ b }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ S(a) = - 1 }[/math] i natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ S(b) = - 1 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ S(b) = - 1 }[/math] i natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ S(a) = - 1 }[/math]. Zatem bez względu na to, czy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], musi być [math]\displaystyle{ S(n) = - 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie K11
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ r , s \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\ \end{cases} }[/math]
Rozwiązanie
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 k + r }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia K10 wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.
□


Twierdzenie K12
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math], to dla sumy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

prawdziwe są następujące wzory

(a) [math]\displaystyle{ \;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3 }[/math]
(b) [math]\displaystyle{ \;\; | S (n) | \lt 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1 }[/math]
Dowód

Punkt (a)

Zauważmy, że zbiory [math]\displaystyle{ R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \} }[/math] są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p.2). Zatem możemy sumowanie po [math]\displaystyle{ k \in R }[/math] zastąpić sumowaniem po [math]\displaystyle{ j \in T . }[/math] Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ j = - r }[/math] i sumując po [math]\displaystyle{ r }[/math] od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ S (n) = - S (n) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ S(n) = 0 }[/math].

Punkt (b)

Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej[1].

Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

(zobacz K6). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ k r^{- 1} }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ S (a)^2 = S (b)^2 }[/math]. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ S (n)^2 }[/math] ma taką samą wartość i jeśli wybierzemy liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a druga liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to prawdziwa jest równość

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

Jak łatwo zauważyć [math]\displaystyle{ S(0) = 0 }[/math], zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


Z twierdzenia K9 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\ \end{cases} }[/math]


Zbadajmy, kiedy [math]\displaystyle{ p \mid (k^2 - j^2) }[/math], czyli kiedy [math]\displaystyle{ p \mid [(k - j) (k + j)] }[/math]. Mamy

  • [math]\displaystyle{ \; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ p \mid [(k - j) (k + j)] }[/math] gdy

  • [math]\displaystyle{ \; j = k }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \; j = p - k }[/math]


Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left\{ \begin{array}{rll} - 1 & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\ p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\ \end{array} \right\} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] + (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \cdot 2 (p - 1) + (p - 1) + (p - 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\! = 2 p (p - 1) }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math].


Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p }[/math]

Wynika stąd, że bez względu na to, czy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p} }[/math]

Równość [math]\displaystyle{ S (n)^2 = 4 p }[/math] nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje po prawej stronie w potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (n) | \lt 2 \sqrt{p} }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenie K13
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], to dla sumy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

prawdziwe są następujące wzory

(a) [math]\displaystyle{ \;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2) }[/math]
(b) [math]\displaystyle{ \;\; | S (a, b) | \lt 2 \sqrt{p} \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2) }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math]. W ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać

[math]\displaystyle{ \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Mnożąc licznik przez [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] nie zmieniamy wartości sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Podstawiając [math]\displaystyle{ x \equiv a t + r \!\! \pmod{p} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

bo, gdy [math]\displaystyle{ t }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) liczby [math]\displaystyle{ a t + r }[/math] przebiegają taki sam zbiór (zobacz C57). Ponieważ [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] możemy wybrać tak, aby było

[math]\displaystyle{ 3 r \equiv b \!\! \pmod{p} }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Liczbę [math]\displaystyle{ - \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right) }[/math] nazywamy wyróżnikiem wielomianu [math]\displaystyle{ x^3 + a x + b }[/math].

Pokażemy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 3 }[/math] z warunku [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3} }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ 3 \mid a }[/math]. Zakładając, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ b }[/math] przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]


Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]


Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to

[math]\displaystyle{ x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o tym, że [math]\displaystyle{ 27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ t = x - x_2 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ x }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) [math]\displaystyle{ t }[/math] przebiega taki sam zbiór (zobacz C57). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], pokażemy, że wartość sumy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

jest ściśle związana z ilością rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]


Niech [math]\displaystyle{ N_p }[/math] oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i niech [math]\displaystyle{ N_+, N_0, N_- }[/math] oznaczają ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], dla których symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] jest równy odpowiednio [math]\displaystyle{ + 1, 0, - 1 }[/math]. Oczywiście

[math]\displaystyle{ N_+ + N_0 + N_- = p }[/math]
[math]\displaystyle{ S(a, b) = N_+ - N_- }[/math]

Zauważmy, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ x }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \mid (x^3 + a x + b) }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math] i mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji

[math]\displaystyle{ 0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

Jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ x }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid (x^3 + a x + b) }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ x^3 + a x + b }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math], a drugie para [math]\displaystyle{ (x, - y) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ N_p = 2 N_+ + N_0 }[/math]

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b) }[/math]


W 1936 roku Helmut Hasse[2][3] udowodnił, że

[math]\displaystyle{ | N_p - p | \lt 2 \sqrt{p} }[/math]

Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin[4].


Wynika stąd, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| \lt 2 \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie K14
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 7 }[/math] jest liczbą pierwszą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieją:

  • dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
  • dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Rozwiązanie

Dla [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math] łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.

Punkt 1.

Zauważmy, że przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność

[math]\displaystyle{ -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych

[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 4, 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 9, 10 }[/math]

Punkt 2.

Rozważmy wszystkie możliwe wartości [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{1} \,\, }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{4} \,\, }[/math] [math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{5} \,\, }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{(…)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{A.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{B.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{C.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{D.} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

A. W tym przypadku liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

B. i C. W tym przypadku dokładnie jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 3}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

D. W tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Uwaga K15
Wzmocnimy wynik uzyskany w poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.


Twierdzenie K16
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

  • istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
  • istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

(zobacz K7 i K9). Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math]

Punkt 2.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wartości sum wyliczyliśmy już w punkcie 1. Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie K17
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math], to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math], to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math], to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5 }[/math]

Gdzie przez [math]\displaystyle{ S(- 1) }[/math] oznaczyliśmy sumę

[math]\displaystyle{ S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
Dowód

Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy wszystkie trzy liczby [math]\displaystyle{ k - 1, k, k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 8 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1) }[/math]


(zobacz K7, K9 i K12). Oznaczenie [math]\displaystyle{ S(- 1) }[/math] nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w twierdzeniu K12. Wykorzystamy też znalezione w tym twierdzeniu oszacowanie [math]\displaystyle{ | S (- 1) | }[/math].

Zatem

[math]\displaystyle{ 8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7}{8}} }[/math]


Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy wszystkie trzy liczby [math]\displaystyle{ k - 1, k, k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ - 8 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{8}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]


Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1) }[/math]


Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7}{8}} }[/math]

Co kończy dowód.
□


Uwaga K18
Korzystając z twierdzenia K17, łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].



Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

 

 A. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] 

Przykład K19
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]


Uwaga K20
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

A(p) = 
{
if( p == 2, return(0) );
if( !isprime(p), return(0) );
forprime(q = 2, p, if( jacobi(q, p) == -1, return(q) ));
}

Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, bo wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).


Twierdzenie K21
Niech [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Zadanie K22
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest

  •  liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math]
  •  liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 7 }[/math]
  •  liczba [math]\displaystyle{ \geqslant 5 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 1 }[/math]
Rozwiązanie

Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J31 p.7) wiemy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]

Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (i tylko dla takich liczb) liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Z zadania J43 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math]. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j \pm 5 }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z czterech warunków

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]

Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4} }[/math]

a z pierwszego i czwartego mamy

[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24} }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24} }[/math]

Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 5 \pmod{12} }[/math]

Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać 

chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)

Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] spełnia kongruencje

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{12} }[/math]

Postępując jak wyżej, otrzymujemy 

chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie K23
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q }[/math], że [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ 2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n }[/math] będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę [math]\displaystyle{ u }[/math] tak, aby spełniała układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\ u & \equiv a \pmod{p_n} \end{align} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a }[/math] oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_n }[/math]. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math]


Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ c }[/math], bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ u \equiv 0 \pmod{p_k} }[/math]

wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1 }[/math] i z twierdzenia Dirichleta (zobacz C27) wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ u }[/math] spełniających kongruencję [math]\displaystyle{ u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]). Oznaczmy przez [math]\displaystyle{ q }[/math] dowolną z tych liczb pierwszych.


Ponieważ [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] (zobacz J31), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ p_k \lt p_n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ 8 \mid (q - 1) }[/math]. Dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p_n }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie K24 (Sarvadaman Chowla)
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ P(m) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Z twierdzenia Dirichleta (zobacz C27) wiemy, że w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza dowolną z nich.

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

(zobacz J31 p.7). Oczywiście [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ q_i \leqslant m }[/math] z twierdzenia J31 p.9 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wiemy też, że (zobacz A9)

[math]\displaystyle{ a = 4 P (m) \lt 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1} }[/math]

Załóżmy teraz, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] została wybrana tak, że liczba [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math] jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie

[math]\displaystyle{ p = p_{\min} (a, 1) \lt a^L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika (możemy przyjąć [math]\displaystyle{ L = 5 }[/math]). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 \gt \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} \gt {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math]

Każdemu wyborowi innej liczby [math]\displaystyle{ m' \gt m }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ P(m') \gt P (m) }[/math] odpowiada inna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p' }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p') \gt {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}} }[/math], zatem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math] jest nieskończenie wiele.
□


Uwaga K25
W twierdzeniu K23 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] istnieją takie liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby [math]\displaystyle{ p \in S_\mathbb{n} }[/math] liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie 

forprime(n = 2, 50, forprime(p = 2, 10^10, if( A(p) == n, print(n, "   ", p); break() )))

W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też A000229).

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 479 }[/math] [math]\displaystyle{ 1559 }[/math] [math]\displaystyle{ 5711 }[/math] [math]\displaystyle{ 10559 }[/math] [math]\displaystyle{ 18191 }[/math] [math]\displaystyle{ 31391 }[/math] [math]\displaystyle{ 422231 }[/math] [math]\displaystyle{ 701399 }[/math] [math]\displaystyle{ 366791 }[/math] [math]\displaystyle{ 3818929 }[/math]


Uwaga K26
Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz K8) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dłuższy od [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 \lt \sqrt{p} \log p + 1 }[/math]

Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.


Twierdzenie K27
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \lt \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Dowód

Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \nmid p }[/math], to z oszacowania [math]\displaystyle{ x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \leqslant x }[/math] wynika, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 \lt \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ p \lt \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} \lt p + \mathbb{n} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 0 \lt \mathbb{n} u - p \lt \mathbb{n} }[/math]

Liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} u - p }[/math] musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Ale z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant u }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \lt p + \mathbb{n} }[/math]

Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} \lt {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie K28*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie[5][6][7]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]


Uwaga K29
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa[8]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]


Uwaga K30
Możemy też badać najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]


Twierdzenie K31
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] najmniejsza nieparzysta liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą mniejszą od [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich nieparzystych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J27 wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy też dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.

Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 = 2^2 \lt 5 \leqslant p }[/math] jest parzystą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] jest liczbą pierwszą.

Niech [math]\displaystyle{ 3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2 }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że każda liczba [math]\displaystyle{ a \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą złożoną, czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zauważmy, że żadna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zatem obie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mniejszą od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.
□



 B. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Uwaga K32
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math] W jednym i drugim przypadku liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ p }[/math] lub [math]\displaystyle{ m . }[/math] Dlatego będziemy je oznaczali również jako [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) . }[/math]


Definicja K33
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Powiemy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ m }[/math] taką, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania.


Przykład K34
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ 42 }[/math] [math]\displaystyle{ 44 }[/math] [math]\displaystyle{ 46 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Uwaga K35
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

B(m) = 
{
local(p, res);
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}

Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby [math]\displaystyle{ m . }[/math] Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.

Pokaż kod
B(m) = 
{
local(p, res, t);
t = m%8;
if( t == 3 || t == 5, return(2) );
t = m%12;
if( t == 4 || t == 8, return(3) );
t = m%24;
if( t == 9 || t == 15, return(2) );
if( t == 10 || t == 14, return(3) );
t = m%30;
if( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, return(5) );
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}


Twierdzenie K36
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{m} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
□


Zadanie K37
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Rozwiązanie

Z twierdzenia J38 wiemy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Co należało pokazać.
□


Zadanie K38
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków

  •   [math]\displaystyle{ 4 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (3, m) = 1 }[/math]
  •   [math]\displaystyle{ m = 12 k \pm 4 }[/math]

to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid m . }[/math] Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], co nie wyklucza możliwości, że również [math]\displaystyle{ 8 \mid m . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 4 \nmid (3 - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid (3 - 1) }[/math], to z twierdzenia J52 wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m} }[/math] nie ma rozwiązania. Jeśli tylko [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math] W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ 3 \nmid (12 k \pm 4) . }[/math]

Można też zauważyć, że żądanie, aby [math]\displaystyle{ \gcd (3, m) = 1 }[/math], prowadzi do dwóch układów kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 1 \pmod{3} \end{align} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 2 \pmod{3} \end{align} }[/math]

którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne

[math]\displaystyle{ m \equiv \pm 4 \pmod{12} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie K39
Niech [math]\displaystyle{ m = 24 k \pm 10 . }[/math] Pokazać, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zapiszmy [math]\displaystyle{ m }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ m = 2 m' }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m' = 12 k \pm 5 . }[/math] Gdyby kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'} }[/math]

miała rozwiązanie, to również kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m'} }[/math]

miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J43), czyli [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m' . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
□


Twierdzenie K40
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_2 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 2 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (zobacz J38).
□


Twierdzenie K41
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą parzystą niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math] (zobacz J43).
□


Twierdzenie K42
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą dodatnią podzielną przez [math]\displaystyle{ 6 }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ 3 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]
□


Twierdzenie K43
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math].

Dowód

Z twierdzenia K75 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J52). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzielą [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie K44
Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) . }[/math]

Postać liczby [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{𝕟(m)} }[/math] Uwagi
[math]\displaystyle{ m=24k \pm 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] K40
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] K41
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] K42, K43
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] K43
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 60 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 90 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]


Twierdzenie K45
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lll} \mathbb{n} (2 m) \gt \mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) \gt 2 \end{array} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \gt 2 = \mathbb{n} (m) }[/math], bo [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) }[/math] musi być liczbą względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ 2 m . }[/math]

Punkt 2.

Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wiemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid 2 m }[/math], to wynika stąd natychmiast, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m} }[/math]

również nie ma rozwiązania (zobacz J52).

Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) . }[/math] Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1) }[/math]

możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\ \end{align} }[/math]

Z definicji [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem kongruencja [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez [math]\displaystyle{ x_0 . }[/math] Łatwo zauważamy, że liczba

[math]\displaystyle{ x'_0 = \begin{cases} \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\ x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\ \end{cases} }[/math]

jest rozwiązaniem układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] i [math]\displaystyle{ (3) }[/math], a tym samym kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązanie dla każdego [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) . }[/math]
□


Twierdzenie K46
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lllll} \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\ \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\ \end{array} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Z twierdzenia K40 wynika, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \mid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 . }[/math]

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 8 \nmid 4 m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 4 \nmid (3 - 1) }[/math], zatem z twierdzenia J52 wynika, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{4 m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 3 \nmid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) = 3 . }[/math]
□


Twierdzenie K47
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

Dowód

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math], to prawdziwa jest też kongruencja

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

co przeczy założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□


Twierdzenie K48
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to istnieje taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

Dowód

Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ p_1, \ldots, p_s \} }[/math] i powiązany z dzielnikami pierwszymi [math]\displaystyle{ p_k }[/math] zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \} }[/math], z których każda jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K47). Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] musi być mniejsza od każdej z liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]

Z definicji liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], co oznacza, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s . }[/math] Zatem przynajmniej jedna z kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k} }[/math]

musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J46 wiemy, że wtedy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k} }[/math]

również nie ma rozwiązania. Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_k \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} \lt \mathbb{n}_k }[/math], co przeczy definicji liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]
□


Twierdzenie K49
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) ) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p_k) }[/math] są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p_k . }[/math]

Dowód

Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia K48, ale musimy jeszcze pokazać, że [math]\displaystyle{ \gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 . }[/math] Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p_k |\mathbb{n} (m) }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant s . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą pierwszą, to musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p_k }[/math], ale wtedy

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p_k) \lt p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k) }[/math]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant s . }[/math] Co kończy dowód.
□


Twierdzenie K50
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \lt \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5 }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] takim, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) }[/math] (z twierdzenia K48 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \lt F (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] jest funkcją rosnącą, to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) \lt F (p) \leqslant F (m) }[/math]

Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń K27 i K28.
□


Uwaga K51
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] wynosi[9]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots }[/math]



 C. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] 

Przykład K52
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{c( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]


Uwaga K53
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

C(m) = 
{
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(p = 2, m, if( jacobi(p, m) == -1, return(p) ));
}


Uwaga K54
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] oznaczyliśmy jako [math]\displaystyle{ c(m) }[/math]. Zauważmy, że są to liczby inne od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math]. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] i [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] dla [math]\displaystyle{ m = 15, 33, 39 }[/math]. Różnice wynikają z innej definicji liczb [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] – jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] nie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.

Ponieważ [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to mamy natychmiast oszacowanie: [math]\displaystyle{ c(m) \geqslant \mathbb{n} (m) }[/math] (poza przypadkami, gdy [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math]).

Dla [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu K27. Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ c = c (15) = 7 \gt \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]
[math]\displaystyle{ c = c (39) = 7 \gt \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]
[math]\displaystyle{ c = c (105) = 11 \gt \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]
[math]\displaystyle{ c = c (231) = 17 \gt \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]

Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m \lt 10^9 }[/math].


Twierdzenie K55
Niech [math]\displaystyle{ c, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ c }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] musi być liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ c = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt c }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].
□



Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Przykład K56
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 85 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb [math]\displaystyle{ x , y }[/math] nie zostały uwzględnione.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 68 }[/math] [math]\displaystyle{ 72 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 74 }[/math] [math]\displaystyle{ 80 }[/math] [math]\displaystyle{ 81 }[/math] [math]\displaystyle{ 82 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 5,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 7,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 7,6 }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 21 }[/math] nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].


Przykład K57
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 73 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 44 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ 54 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 66 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 68 }[/math] [math]\displaystyle{ 72 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,6 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 33 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math].

Zauważmy też, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 35 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 27 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math].


Przykład K58
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 103 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 52 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 63 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 75 }[/math] [math]\displaystyle{ 76 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 81 }[/math] [math]\displaystyle{ 84 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 93 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 100 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 0,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,1 }[/math] [math]\displaystyle{ 8,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 9,2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 10,0 }[/math] [math]\displaystyle{ 10,1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,2 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 3,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 0,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 4,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 7,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 6,4 }[/math] [math]\displaystyle{ 4,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 5,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,3 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2,4 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 55 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 91 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math].


Twierdzenie K59
Jeżeli liczba nieparzysta postaci [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math], ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.

Dowód

W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].

Niech

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] są nieparzyste, a liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] parzyste.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] występująca w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2 }[/math] muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ y }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ b }[/math] nieparzysta, wtedy modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 3} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, a liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] parzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

Z powyższego zestawienia wynika, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] i liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] mają taką samą parzystość. Mamy

[math]\displaystyle{ x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ (x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ f = \gcd (x - a, b - y) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f }[/math] jest liczbą parzystą i

[math]\displaystyle{ x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ r(x + a) = n s (y + b) }[/math]

ale liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] są względnie pierwsze, zatem [math]\displaystyle{ s \mid (x + a) }[/math] i musi być

[math]\displaystyle{ x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r }[/math]

Gdyby [math]\displaystyle{ k }[/math] było liczbą nieparzystą, to liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \gcd (r, s) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ k }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ 2 s \mid (x + a) }[/math], czyli możemy pokazać więcej. Musi być

[math]\displaystyle{ x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r }[/math]

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math], zauważmy, że [math]\displaystyle{ n \mid l }[/math] lub [math]\displaystyle{ n \mid r }[/math].

Łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) }[/math]
[math]\displaystyle{ y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) }[/math]

Ostatecznie

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2 , 3} }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ l, r }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right) }[/math]

Co kończy dowód.
□


Uwaga K60
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] jest liczbą tej samej postaci.

[math]\displaystyle{ (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2 }[/math]


Twierdzenie K61
Niech [math]\displaystyle{ x, y, a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math]. Jeżeli liczba parzysta [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R = a^2 + n b^2 }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Dowód

W szczególnym przypadku, gdy [math]\displaystyle{ R = 1 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ R = 1^2 + n \cdot 0^2 }[/math].

Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R }[/math] jest liczbą nieparzystą postaci [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 }[/math].

1. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ y }[/math] nieparzysta, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4 \mid (x + y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2 }[/math]

c) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4 \mid (x - y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie K62
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a)  [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
(b)  [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]
(c)  [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

(a)  [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math]
(b)  [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math]
(c)  [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math]
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] może być przedstawiona w postaci [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] są liczbami takimi, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant x_0, y_0 \lt p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid y_0 }[/math], a rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ - n y_0^2 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Z twierdzenia J38 i zadania J42 otrzymujemy natychmiast

(a) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
(b) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math]
(c) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Co należało pokazać.


[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

A. Istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}} }[/math]

Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a)  [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]
(b)  [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]
(c)  [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Wynika stąd, że dla (a) [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], (b) [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], (c) [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

(zobacz J38 i J42) i liczba [math]\displaystyle{ - n }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ x_0 = k }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 = 1 }[/math] są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] możemy jawnie wypisać: [math]\displaystyle{ x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! }[/math]


B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego

Niech liczby [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \nmid y_0 }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wybierzmy liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb [math]\displaystyle{ {\small\frac{x_0}{p}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y_0}{p}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \lt {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \lt {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] możemy wybrać liczby

[math]\displaystyle{ x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i dla których

[math]\displaystyle{ 0 \lt x^2 + n y^2 \lt \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p }[/math]

Ponieważ modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest [math]\displaystyle{ x \equiv x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y \equiv y_0 }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

ma rozwiązanie dla liczb

[math]\displaystyle{ | x | \lt {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | \lt {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m \lt {\small\frac{(n + 1) p}{4}} }[/math]

Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu.


C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata[10][11]

Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta[12].

Jeżeli w rozwiązaniu [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p = x^2 + n y^2 }[/math] i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math]. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie [math]\displaystyle{ x_k, y_k, m_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math]. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.

Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest konieczny tylko w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą parzystą

Jeżeli [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] jest liczbą parzystą, to z twierdzenia K61 wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] może być zapisana w postaci

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}} }[/math], aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą i [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą nieparzystą

Niech liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom [math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{m}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y}{m}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{m}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x - r m | \lt {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \lt {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może jednocześnie dzielić liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ m^2 \mid (x^2 + n y^2) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] musi być różna od [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

Rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ y \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Mamy też oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 \lt a^2 + n b^2 \lt \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m }[/math]

Wynika stąd, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] spełniająca warunek [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math], że

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 = m_1 m }[/math]

Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]

(zobacz K60). Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = m (p - r x - n s y) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = m x_1 }[/math]


[math]\displaystyle{ a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = x y - r m y - y x + s m x }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = m (s x - r y) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = m y_1 }[/math]

Gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ x_1 = p - r x - n s y }[/math]
[math]\displaystyle{ y_1 = s x - r y }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math]

Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math].


D. Jednoznaczność rozkładu

Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia K59. Co kończy dowód.
□


Uwaga K63
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.

Pokaż kod
SumOfTwoSquares(p) = 
{
local(m, r, s, x, y, x1, y1);
if( p%4 <> 1 || !isprime(p), return("Error") );
x = 1;
for(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
x = x - round(x/p)*p;
y = 1;
m = (x^2 + y^2)/p;
while( m > 1,
       r = round(x/m);
       s = round(y/m);
       x1 = p - r*x - s*y;
       y1 = r*y - s*x;
       x = x1;
       y = y1;
       m = (x^2 + y^2)/p;
     );
return([ abs(x), abs(y), p ]);
}


Zadanie K64
Niech liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokazać, że

  •   liczby [math]\displaystyle{ r, p r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, r^2 }[/math] nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
  •   liczby [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ 2 p }[/math], [math]\displaystyle{ p^2 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r^2 }[/math] mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
  •   liczba [math]\displaystyle{ p q }[/math], [math]\displaystyle{ p \neq q }[/math] ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
Rozwiązanie

Punkt 1.

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r }[/math] są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Suma [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Przypuśćmy, że

[math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość, zatem [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], co w sposób oczywisty jest niemożliwe.

Punkt 2.

W przypadku liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] odpowiedzi udziela twierdzenie K62. Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2 }[/math]

Punkt 3.

Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math] i [math]\displaystyle{ q = a^2 + b^2 }[/math]. Ze wzorów podanych w uwadze K60 mamy

[math]\displaystyle{ p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□



Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Zadanie K65
Niech [math]\displaystyle{ s = \pm 1 }[/math]. Zbadać podzielność liczby [math]\displaystyle{ p - s a^2 }[/math]

  • przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 4 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3 }[/math]
  • przez [math]\displaystyle{ 8 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7 }[/math]
Rozwiązanie

Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja

[math]\displaystyle{ p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n = 2, 3 }[/math], ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n} }[/math]
[math]\displaystyle{ s a^2 \equiv r \pmod{2^n} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^2 \equiv s r \pmod{2^n} }[/math]

Z twierdzenia J51 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być [math]\displaystyle{ 2^n \mid (s r - 1) }[/math], co jest możliwe tylko, gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 4 }[/math] i gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math] i [math]\displaystyle{ r = 3, 5 }[/math] rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.
□


Uwaga K66
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy[13]. Zadanie K65 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K67. Z zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby [math]\displaystyle{ s }[/math] z postacią liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] nie jest przypadkowe.

Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math] wynik [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] nie oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math]


W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Twierdzenie K67
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 17 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Dla ustalonych liczb [math]\displaystyle{ n }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] rozważmy liczbę [math]\displaystyle{ u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}} }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ 3 \leqslant u (a) \lt p }[/math]. Jeżeli liczba ta jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C21). Zatem możemy napisać [math]\displaystyle{ u (a) = t q }[/math], co oznacza, że

[math]\displaystyle{ p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ p \equiv s a^2 \pmod{q} }[/math]

i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Zatem liczba [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb [math]\displaystyle{ u(a_1), \ldots, u(a_r) }[/math] takich, że

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant u(a_1) \lt \ldots \lt u(a_r) \lt p }[/math]

z których jedna musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek pierwszy: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} \lt {\small\frac{p + 9}{4}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k + 1, 2 k + 3 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek drugi: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} \lt {\small\frac{p - 1}{4}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 21 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k - 1, 2 k + 1 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek trzeci: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} \lt {\small\frac{p + 9}{8}} \lt {\small\frac{p + 25}{8}} \lt {\small\frac{p + 49}{8}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 23 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek czwarty: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} \lt {\small\frac{p - 25}{8}} \lt {\small\frac{p - 9}{8}} \lt {\small\frac{p - 1}{8}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 73 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k - 6, k - 3, k - 1, k \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 2, r + 1, r + 3, r \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \lt 73 }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie K68
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

W przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieją takie liczby całkowite dodatnie [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] (zobacz K62). Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ q \leqslant x^2 + y^2 \lt x^2 + 2 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid x }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J38 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenie K69
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 12 k + 7 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{6} }[/math], zatem istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math] (zobacz K62). Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i być względnie pierwsze. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe. Zatem [math]\displaystyle{ x = 2 k }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] musi być nieparzysta. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to jedynie w przypadku gdy [math]\displaystyle{ k = y = 1 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ k = y }[/math]. Mielibyśmy wtedy [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math], ale z założenia musi być [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ k \neq y }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ k^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] (zobacz J22). Oczywiście [math]\displaystyle{ q \leqslant k^2 + y^2 \lt 4 k^2 + 3 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid k }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J38 p.9 i p.6)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Twierdzenia K68 i K69 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.[13]
Twierdzenie K70*
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 13, 37 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].


Uwaga K71
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math]


W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Twierdzenie K72
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] jest liczbą całkowitą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ m - 4 \geqslant 3 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C21). Czyli [math]\displaystyle{ m - 4 = k q }[/math] i z twierdzenia J38 p.9 dostajemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□


Można też pokazać, że[14]
Twierdzenie K73*
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].


Zauważmy, że twierdzenie K73 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.
Twierdzenie K74
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Punkt B

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J52 i K47).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J52).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J52).

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].


Zbierając:

  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 11 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K73 i K47).


Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 11 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. 

for(m = 3, 15, forprimestep(q = 3, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math].

Punkt A

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math].

Jeżeli jedna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ 17 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (5 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to nie istnieją liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 \mid [(4 k + 1) - 1] }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zbierając:

  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 5 }[/math] lub [math]\displaystyle{ q = 17 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
  • jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K73 i K47).

Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 17 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. 

for(m = 3, 20, forprimestep(q = 1, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math].
□


Twierdzenie K75
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math]

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

(zobacz J38 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 1} }[/math]

Niech liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia K31 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J38 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 3} }[/math]

Z twierdzenia K67 wynika, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J38 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□


Zadanie K76
Udowodnić twierdzenie K75 w przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], nie korzystając z twierdzenia K67.

Rozwiązanie

Z założenia [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] może być postaci [math]\displaystyle{ k = 3 j }[/math], [math]\displaystyle{ k = 3 j + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 3 j + 2 }[/math]. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

Ponieważ nie ma liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] i będących postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], to pozostaje rozważyć przypadki [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 11} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math] (zobacz J43). Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Czyli wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ q = 3 }[/math].

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 7} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J38 p.6 oraz J43). Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1 }[/math]

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ p - 12 \geqslant 7 }[/math] jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 12 }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W przeciwnym razie z twierdzenia J38 p.4 mielibyśmy [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□








Przypisy

  1. ↑ Dušan Đukić, Quadratic Congruences, International Mathematical Olympiad training materials, (IMOmath.com)
  2. ↑ Helmut Hasse, Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.
  3. ↑ Wikipedia, Hasse's theorem on elliptic curves, (Wiki-en), (Wiki-ru)
  4. ↑ Yu. I. Manin, On cubic congruences to a prime modulus, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678
  5. ↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
  6. ↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
  7. ↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
  8. ↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
  9. ↑ Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.
  10. ↑ Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)
  11. ↑ W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)
  12. ↑ G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.
  13. ↑ 13,0 13,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.
  14. ↑ Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414







 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=CRT,_twierdzenia_Lagrange%27a,_Wilsona_i_Fermata,_kryterium_Eulera,_symbole_Legendre%27a_i_Jacobiego&oldid=592”