Henryk Dąbrowski - Wkład użytkownika [pl]

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

2026-09-18T16:08:40Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

__FORCETOC__

== Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa ==

Definicja R1 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco

::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math>

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

W przypadku funkcji <math>\theta (x)</math> suma przebiega po wszystkich liczbach pierwszych, a w przypadku funkcji <math>\psi (x)</math> po wszystkich liczbach pierwszych i ich potęgach.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:funkcja-theta-Czebyszewa.png|700px|none]]
[[File:funkcja-psi-Czebyszewa.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R2 
Wprost z definicji wynikają wzory

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) \geqslant \theta (x)</math> dla <math>x > 0</math>

::<math>\psi (x) > \theta (x)</math> dla <math>x \geqslant 4</math>

Przykład R3 

::<math>\theta (10) = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 \approx 5.347107530</math>

::<math>\psi (10) = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 \approx 7.832014180</math>

Zadanie R4 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n}) = \sum_{n = 1}^{\lfloor \log_2 (x) \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>k, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Zauważmy, że zapisany bardzo ogólnie wzór <math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math> możemy interpretować na trzy sposoby.

'''A.''' Bierzemy kolejne liczby <math>n \leqslant x</math> i sprawdzamy, czy <math>n</math> jest potęgą pewnej liczby pierwszej <math>p</math>. Jeśli tak, to dodajemy do sumy <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania jest najbliższy zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

Tak też robiliśmy w przykładzie [[#R3|R3]].

'''B.''' Bierzemy kolejne liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> i znajdujemy wszystkie wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \underset{p^k \leqslant x}{\sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor}} \log p</math>.

'''C.''' (Modyfikacja punktu B) Zauważmy, że największy wykładnik <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> taki, że <math>p^k \leqslant x</math> znajdujemy z warunku <math>k \leqslant {\small\frac{\log x}{\log p}}</math>. Pozwala to zmodyfikować wzór na funkcję <math>\psi (x)</math> do postaci

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log x}{\log p}} \right\rfloor</math>

'''D.''' Bierzemy kolejne wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> i znajdujemy wszystkie liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p^k \leqslant x} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / k})</math>

Należy zauważyć, że wypisana suma tylko pozornie jest nieskończona. Dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>x^{1 / k} < 2</math> i <math>\theta (x^{1 / k}) = 0</math>. Zatem sumowanie przebiega tylko po <math>k \leqslant \log_2 x</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R5 
Zauważmy, że funkcja <math>\theta (x)</math> w przedziale <math>(0, n]</math> ma dokładnie <math>\pi (n)</math> zmian wartości (skoków na wykresie). Ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

wynika, że funkcja <math>\psi (x)</math> ma zmian wartości więcej, a liczba skoków wartości jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \pi (n^{1 / k}) = \pi (n) + \pi (n^{1 / 2}) + \pi (n^{1 / 3}) + \pi (n^{1 / 4}) + \ldots</math>

Zadanie R6 
Pokazać, że dla <math>x > 0</math> prawdziwe są oszacowania

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) - \theta (x) < 6 \sqrt{x}</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 1.4 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 2 x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że

::<math>\exp (\theta (x)) = \exp (\theta (\lfloor x \rfloor)) = \exp \left( \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \right) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \exp (\log p) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} p = P (\lfloor x \rfloor) < 4^{\lfloor x \rfloor} \leqslant 4^x</math>

gdzie <math>P(n)</math> jest iloczynem liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, a oszacowanie <math>P(n) < 4^n</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, pokazaliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Zatem dla <math>x \geqslant 1</math> mamy

::<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

Ponieważ <math>\theta (x) = 0</math> dla <math>x \in (0, 2)</math>, to oszacowanie <math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math> jest prawdziwe dla <math>x > 0</math>.

'''Punkt 2.'''

To oszacowanie jest słabsze niż podane w poprzednim punkcie, ale chcemy pokazać, że możemy uzyskać je jeszcze łatwiej

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \leqslant \pi (\lfloor x \rfloor) \cdot \log \lfloor x \rfloor < {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} \cdot \log \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania <math>\pi (n) < {\small\frac{2 n}{\log n}}</math> prawdziwego dla <math>n \geqslant 2</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]]).

'''Punkt 3.'''

Korzystając ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n})</math>

otrzymujemy

::<math>\psi (x) - \theta (x) = \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

:::::<math>\;\;\;\; = \theta (x^{1 / 2}) + \sum_{n = 3}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + (\lfloor \log_2 x \rfloor - 2) \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + \log_2 x \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; < 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + {\small\frac{\log x}{\log 2}} \cdot 2 \log 2 \cdot x^{1 / 3}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + 2 \cdot x^{1 / 2} \cdot {\small\frac{\log x}{x^{1 / 6}}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \left( 2 \log 2 + {\small\frac{12}{e}} \right) x^{1 / 2} \qquad\qquad</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.8)

:::::<math>\;\;\;\; < 6 \sqrt{x}</math>

'''Punkt 4.'''

Z punktów 1. i 3. mamy

::<math>\psi (x) < \theta (x) + 6 \sqrt{x} < 2 \log 2 \cdot x + 6 \sqrt{x} = 2 \log 2 \cdot x \left( 1 + {\small\frac{6}{2 \log 2 \cdot \sqrt{x}}} \right) < 1.4 x</math>

Łatwo sprawdzamy, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla

::<math>x > {\small\frac{36}{(1.4 - 2 \log 2)^2}} > 1.917 \cdot 10^5</math>

Prawdziwość oszacowania <math>\psi (x) < 1.4 x</math> dla <math>x < 2 \cdot 10^5</math> łatwo sprawdzamy w PARI/GP (zobacz zadanie [[#R11|R11]]).

'''Punkt 5.'''

Skorzystamy ze wzoru pokazanego w punkcie C rozwiązania zadania [[#R4|R4]]. Mamy

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} \right\rfloor \leqslant \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log \lfloor x \rfloor = \log \lfloor x \rfloor \cdot \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} 1 = \log \lfloor x \rfloor \cdot \pi (\lfloor x \rfloor) < \log \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R7 
Pokazać, że jeżeli jedna z granic <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}}</math> lub <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math> istnieje i jest skończona, to istnieje również druga i granice te są równe.

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówka: skorzystaj z punktu 3. zadania [[#R6|R6]]. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R8* 
Prawdziwe są następujące oszacowania<ref name="Dusart10"/><ref name="Dusart18"/>

::<math>| \theta (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad\:</math> gdzie <math>c_1 = 1.2323</math>, <math>c_2 = 3.965</math>, <math>c_3 = 20.83</math>, <math>c_4 = 151.3</math>

::<math>| \psi (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad</math> gdzie <math>c_1 = 0.85</math>, <math>c_2 = 1.66</math>, <math>c_3 = 8.16</math>, <math>c_4 = 59.18</math>

::<math>0.9999 \sqrt{x} \underset{x \geqslant 121}{<} \psi (x) - \theta (x) \underset{x > 0}{<} 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x}</math>

Uwaga R9 
Pokażemy kilka prostszych oszacowań od podanych przez Dusarta. Dowód przeprowadzimy, łącząc rezultaty podane przez Dusarta i testując poprawność postulowanych oszacowań w skończonych przedziałach liczbowych. Nim jednak przejdziemy do tego tematu, musimy omówić istotne różnice, które pojawiają się, gdy przechodzimy od sprawdzania oszacowań w punktach, czyli dla liczb naturalnych, do sprawdzania oszacowań dla liczb rzeczywistych.

Uwaga R10 
Niech <math>f(x)</math> będzie rosnącą funkcją schodkową o wartościach stałych w przedziałach <math>[x_{s - 1}, x_s)</math>. Niech <math>g(x)</math> i <math>h(x)</math> będą ciągłymi, rosnącymi funkcjami rzeczywistymi. Oszacowanie <math>h(x) < f (x) < g (x)</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu skoku <math>x_s</math> spełnione są następujące warunki

:   ●      <math>g(x_s) > f (x_s) \qquad\qquad\;\;\;\,</math> (oszacowanie od góry musimy weryfikować w punktach skoku wartości funkcji)

:   ●      <math>h(x_s) < f (x_{s - 1}) \qquad\qquad</math> (oszacowanie od dołu musimy weryfikować z wartością funkcji z poprzedniego skoku)

Ostatni punkt <math>x_s</math>, dla którego nie zachodzi pierwszy lub drugi warunek, oznaczymy przez <math>x_{\max}</math>. Różne oszacowania nie wymagają różnych oznaczeń, bo sam punkt <math>x_{\max}</math> będzie przywoływany w kontekście niebudzącym wątpliwości.

'''W przypadku oszacowania od góry''' w punkcie <math>x_{\max}</math>
po raz ostatni mieliśmy <math>g (x_{\max}) \leqslant f (x_{\max})</math>. Zatem oszacowanie <math>f(x) < g (x)</math> staje się na pewno prawdziwe dla <math>x \geqslant x_{\max + 1}</math>. W rzeczywistości, ze względu na ciągły wzrost funkcji <math>g(x)</math> na płaskim stopniu <math>[x_{\max}, x_{\max + 1})</math>, oszacowanie to może zacząć zachodzić już znacznie wcześniej – w punkcie przecięcia się funkcji <math>g(x)</math> z poziomą linią <math>y = f (x_{\max})</math>. Ujmując precyzyjnie: jeżeli <math>x_0</math> jest rozwiązaniem równania <math>g(x) = f (x_{\max})</math>, to <math>f(x) < g (x)</math> dla <math>x > x_0</math>.

'''W przypadku oszacowania od dołu''' w punkcie <math>x_{\max}</math> po raz ostatni mieliśmy <math>h (x_{\max}) \geqslant f (x_{\max - 1})</math>. Punkt <math>x_{\max}</math> jest jednocześnie punktem, od którego (włącznie z tym punktem) prawdziwe jest oszacowanie od dołu, czyli mamy: <math>h(x) < f (x)</math> dla <math>x \geqslant x_{\max}</math>. Jest tak dlatego, że w <math>x_{\max}</math> funkcja <math>f(x)</math> wykonuje skok, po którym już nigdy nie będzie mniejsza lub równa <math>h(x)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
::[[File:ilustracja-szacowania-funkcji.png|1100px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R11 
Pokazać, że prawdziwe są oszacowania
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.05 \underset{x \geqslant 1427}{<} {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \underset{1 \leqslant x \leqslant 10^{17}}{<} 0</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.02 \underset{x \geqslant 1423}{<} {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \underset{x \geqslant 467.6}{<} 0.02</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \underset{121 \leqslant x \leqslant 10^9}{<} {\small\frac{\psi (x) - \theta (x)}{\sqrt{x}}} - 1 \underset{x \geqslant 80489.8}{<} 0.2</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. - lewa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.1 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_3}{\log^3 x}} = {\small\frac{20.83}{\log^3 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{20.83}{\log^3 (10^4)}} \approx 0.02666 \ldots</math> Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowanie <math>\theta (x) > 0.95 x</math> jest prawdziwe.

'''Punkt 1. - prawa nierówność'''

Platt i Trudgian pokazali<ref name="PlattTrudgian1"/>, że oszacowanie <math>\theta (x) < x</math> nie jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 1</math>. Autorzy sprawdzili, że <math>\theta (x) < x</math> dla <math>x < 1.39 \cdot 10^{17}</math>

'''Punkt 2. - lewa i prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.2 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_2}{\log^2 x}} = {\small\frac{1.66}{\log^2 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{1.66}{\log^2 (10^4)}} \approx 0.019568 \ldots</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowania <math>\psi (x) > 0.98 x</math> oraz <math>\psi (x) < 1.02 x</math> są prawdziwe.

'''Punkt 3. - lewa nierówność'''

Tutaj nierówność <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> sprawdziliśmy dla wszystkich <math>x \leqslant 10^9</math>. Wiemy (zobacz [[#R8|R8]] p.3), że <math>\psi (x) - \theta (x) > 0.9999 \sqrt{x}</math> dla <math>x \geqslant 121</math>. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 121</math>.

'''Punkt 3. - prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.3 wiemy, że dla <math>x > 0</math> możemy napisać

::<math>\psi (x) - \theta (x) < 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x} = 1.2 \sqrt{x} \left( {\small\frac{1.00007}{1.2}} + {\small\frac{1.78}{1.2 \cdot x^{1 / 6}}} \right)</math>

Wyrażenie w nawiasie maleje dla rosnących <math>x</math> i dla <math>x = 5 \cdot 10^5</math> osiąga wartość <math>0.9998902 \ldots < 1</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 5 \cdot 10^5</math> oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) < 1.2 \sqrt{x}</math> jest prawdziwe.

Do testowania poprawności oszacowań wykorzystaliśmy prosty kod w PARI/GP. Podajemy tylko przykład dla funkcji <math>\psi (x)</math>, pozostałe Czytelnik bez trudu napisze samodzielnie. Aby skrócić czas obliczeń, program narastająco oblicza wartość <math>\psi (x)</math> i sprawdza oszacowania.

psiTest(n) =
{
'''local'''(k, kmax, linia, p, sum1, sum2, sum2max, spacje, x0);
linia = '''strjoin'''('''vector'''(50, k, "="));
spacje = '''strjoin'''('''vector'''(35, k, " "));
k = kmax = p = sum1 = sum2 = sum2max = 0;
'''while'''( k++ <= n,
'''if'''( '''isprimepower'''(k, &p), sum1 = sum2; sum2 = sum2 + '''log'''(p), '''next'''); \\ sum1 przechowuje poprzednią wartość psi
'''if'''( sum2 >= 1.02*k, kmax = k; sum2max = sum2; '''print'''(spacje, k, " ", sum2/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od góry (powinno być 1.02*k > sum2)
'''if'''( sum1 <= 0.98*k, '''print'''(k, " ", sum1/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od dołu (powinno być 0.98*k < sum1)
);
\\ oszacowanie od góry - szukamy następnego skoku po kmax
k = kmax + 1;
sum2 = sum2max;
'''while'''( !( '''isprimepower'''(k, &p) ), k++);
'''print'''(linia);
'''print'''(spacje, k, " ", (sum2 + '''log'''(p))/k );
\\ znajdujemy punkt przecięcia
x0 = '''solve'''( x = kmax, k-0.001, 1.02*x - sum2max );
'''print'''(spacje, "x0 = ", x0);
}
 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi liczb zespolonych ==

Uwaga R12 (przyjęte oznaczenia logarytmów) 
W dalszej części tekstu, w celu zachowania jednoznaczności i uniknięcia nieporozumień notacyjnych, konsekwentnie stosujemy następujące oznaczenia

<math>\ln (x) \;\;\,</math> – zwykły logarytm naturalny; stosowany wyłącznie wtedy, gdy zmienna <math>x</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą; wynik tej funkcji jest zawsze liczbą rzeczywistą

<math>\log (z) \:\,</math> – logarytm zespolony (wielowartościowy); funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych <math>z \neq 0</math>, która zwraca zbiór wartości różniących się o wielokrotność <math>2 \pi i</math>

<math>\operatorname{Log} (z)</math> – wartość główna logarytmu zespolonego; funkcja jednowartościowa (główna gałąź logarytmu), zdefiniowana jednoznacznie jako <math>\operatorname{Log} (z) = \ln | z | + i \operatorname{Arg} (z)</math>, gdzie <math>\operatorname{Arg} (z)</math> oznacza główny argument liczby zespolonej należący do przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>

Twierdzenie R13 
Niech <math>(z_k)</math> będzie ciągiem o wyrazach zespolonych. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} z_k</math> też jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>z_k = x_k + i y_k</math>. Ponieważ

::<math>0 \leqslant | x_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

::<math>0 \leqslant | y_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

to na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | x_k |</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | y_k |</math> są zbieżne. Wynika stąd, że zbieżne są też szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} x_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} y_k</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D12|D12]]). Zatem ciąg sum częściowych

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} z_k = \sum_{k = 1}^{n} x_k + i \sum_{k = 1}^{n} y_k</math>

również jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R14 
Niech <math>(z_{k_j})</math> będzie dowolnym podciągiem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]) ciągu liczb zespolonych <math>(z_k)</math>. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} z_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to szereg <math>\sum_{j = 1}^{\infty} z_{k_j}</math> też jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k | = c</math>

Zatem

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} | z_{k_j} | \leqslant c</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>S_N = \sum_{j = 1}^{N} | z_{k_j} |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R15 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że dla reszty szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Porównaj wynik z oszacowaniem w przypadku, gdy <math>z</math> jest liczbą rzeczywistą (zobacz [[Szeregi liczbowe#D5|D5]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy najpierw skończoną sumę częściową reszty szeregu od indeksu <math>k = N + 1</math> do pewnej dużej liczby naturalnej <math>M > N + 1</math>

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Z twierdzenia o sumowaniu przez części (zobacz [[Szeregi liczbowe#D83|D83]]) możemy napisać

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{1}{k^z}} \cdot (- 1)^{k + 1}</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M) - \sum_{k = N + 1}^{M - 1} \left[ {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right] \cdot B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = N + 1}^k (- 1)^{j + 1}</math>

Zauważmy, że

::<math>B(k) = \underbrace{(- 1)^{N + 2} + (- 1)^{N + 3}}_0 + \underbrace{(- 1)^{N + 4} + (- 1)^{N + 5}}_0 + \ldots + (- 1)^{k + 1} =
\begin{cases}
0 & \text{dla parzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\pm 1 & \text{dla nieparzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\end{cases}
</math>

Zatem <math>|B (k) | \leqslant 1</math>.

Przechodząc z <math>M</math> do nieskończoności, otrzymujemy nieskończoną resztę szeregu <math>R_N (z)</math>. Ponieważ <math>|B (k) | \leqslant 1</math> oraz <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, to składnik <math>{\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M)</math> dąży do zera. Mamy

::<math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k)</math>

Teraz łatwo znajdujemy oszacowanie modułu reszty

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right| \cdot | B (k) |</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right|</math>
</div>

Niech <math>z = x + i y</math>. Aby znaleźć oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right|</math>

zdefiniujemy funkcję pomocniczą <math>f(t) = t^{- z}</math> zmiennej rzeczywistej <math>t</math>. Zauważmy, że

::<math>f' (t) = - z t^{- z - 1}</math>

oraz

::<math>| f' (t) | = | - z | \cdot | t^{- z - 1} | = | z | \cdot | t^{- x - i y - 1} | = | z | \cdot t^{- x - 1}</math>

Zapisując różnicę <math>f(k + 1) - f (k)</math> jako całkę z pochodnej funkcji <math>f(t)</math>, uzyskamy wzór, który łatwo możemy szacować i sumować

::<math>\left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| = | f (k + 1) - f (k) |</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \left| \int_{k}^{k + 1} f' (t) d t \right|</math>

::::::<math>\;\;\:\, \leqslant \int_{k}^{k + 1} | f' (t) | d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \int_{k}^{k + 1} | z | \cdot t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = | z | \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

Stąd już łatwo znajdujemy oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant | z | \sum_{k = N + 1}^{\infty} \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \int_{N + 1}^{\infty} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ - {\small\frac{t^{- x}}{x}} \right] \biggr\rvert_{N + 1}^{\infty}</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ 0 + {\small\frac{(N + 1)^{- x}}{x}} \right]</math>

::::::::<math>\;\;\, = {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R16 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zakładamy, że potęga zespolona <math>k^z</math> jest potęgą w sensie wartości głównej <math>k^z = e^{z \cdot \operatorname{Log} (k)} = e^{z \cdot \ln (k)}</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^{x + i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x k^{i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x | \cdot | k^{i y} |}} = \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^x \cdot | e^{i y \ln k} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>

Szereg po prawej stronie jest zbieżny, gdy <math>x > 1</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D50|D50]] p.6). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R17 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych <math>(S_N)</math> jest zbieżny. Niech <math>S</math> oznacza granicę ciągu <math>(S_N)</math>. Reszty <math>R_N</math> szeregu definiujemy jako <math>R_N = S - S_N</math>. Zatem szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg <math>(R_N)</math> reszt tego szeregu jest zbieżny do zera.

Z zadania [[#R15|R15]] wiemy, że dla reszt <math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
::<math>0 \leqslant | R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Dla ustalonego <math>z</math> takiego, że <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy, że

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} | R_N (z) | = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R18 
Pokazać, że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Założenie <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> gwarantuje nam bezwzględną zbieżność obydwu szeregów (zobacz [[#R16|R16]]). Bezwzględna zbieżność pozwala nam zapisać rozpatrywane szeregi w postaci sumy szeregów dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zauważmy, że szeregi po prawej stronie też są bezwzględnie zbieżne (zobacz [[#R14|R14]]). Odejmując stronami, dostajemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = 2 \cdot {\small\frac{1}{2^z}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta i <math>\zeta (z)</math> Riemanna ==

Uwaga R19 
Zauważmy, że szeregi

::<math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

definiują pewne funkcje różniczkowalne w obszarze <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Co więcej, w obszarze tym zachodzi tożsamość

::<math>\eta (z) = (1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>

(zobacz [[#R18|R18]]). Szereg określający funkcję <math>\eta (z)</math> jest zbieżny i definiuje funkcję różniczkowalną dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, czyli w większym obszarze. Stanowi on zatem przedłużenie analityczne funkcji zdefiniowanej pierwotnie dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> przez wyrażenie <math>(1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>.

Z zasady przedłużenia analitycznego wynika, że relacja ta musi zostać zachowana w całym nowym obszarze. W konsekwencji, dla całej półpłaszczyzny <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (z wyłączeniem punktów, gdzie <math>1 - 2^{1 - z} = 0</math>), funkcja <math>\zeta (z)</math> może być jednoznacznie zdefiniowana jako

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Zauważmy, że mianownik <math>1 - 2^{1 - z}</math> jest elementem jednowartościowej funkcji <math>\zeta (z)</math>, zatem potęga <math>2^{1 - z}</math> nie może być wieloznaczną funkcją i zawsze w takich przypadkach bierzemy wartość główną potęgi. Mamy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB30|ZB30]] p.1)

::<math>1 - 2^{1 - z} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{(1 - z) \ln 2} = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (1 - z) \ln 2 = 2 k \pi i \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1 - z = {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>

W punktach <math>z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math>, w których mianownik się zeruje, następuje jednoczesne wyzerowanie się szeregu <math>\eta (z)</math>. Otrzymana osobliwość typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math> jest usuwalna, a funkcja <math>\zeta (z)</math> przyjmuje tam skończone wartości w sensie granicy. Jedyna osobliwość, jaka pozostaje, to punkt <math>z = 1</math>.

Zadanie R20 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>, czyli, że <math>\eta (z)</math> jest funkcją ciągłą.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Przypomnijmy definicję ciągłości funkcji. Mówimy, że funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>z_0</math>, jeżeli

:*&emsp;funkcja <math>f(z)</math> jest określona w punkcie <math>z_0</math> – czyli wartość <math>f(z_0)</math> istnieje i jest skończona

:*&emsp;granica funkcji <math>f(z)</math> w punkcie <math>z_0</math> istnieje, jest skończona i jest równa <math>f(z_0)</math> – czyli <math>\lim_{z \to z_0} f (z) = f (z_0)</math>

Przyglądając się definicji ciągłości, zauważymy, że pozwala ona na „wejście” z granicą pod znak funkcji. Staje się to bardziej widoczne, gdy zapiszemy tę zależność dla funkcji złożonej <math>f (g (z))</math>. Wówczas ciągłość funkcji <math>f</math> w punkcie <math>c</math>, będącym skończoną granicą funkcji wewnętrznej <math>c = \lim_{z \to z_0} g (z)</math>, pozwala nam zamienić kolejność wykonywania operacji

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z))</math>

W naszym przypadku funkcja <math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest określona i przyjmuje skończone wartości dla każdego <math>z</math> spełniającego <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, ponieważ w tym obszarze ten szereg naprzemienny jest zbieżny (zobacz [[#R17|R17]]). Zatem pokazując, że dla dowolnego punktu <math>z_0</math> ( takiego, że <math>\operatorname{Re}(z_0) > 0</math>) zachodzi <math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>, udowodnimy tym samym, że funkcja <math>\eta (z)</math> jest ciągła w swojej dziedzinie. W tym kontekście ciągłość oznacza, że możemy zamienić kolejność obliczania granicy i sumowania (czyli „wejść” z granicą pod znak sumy)

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 2em;">
::<math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right] = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} = \eta (z_0)</math>
</div>

Czytelnik może łatwo sprawdzić, że taka zamiana nie zawsze jest dozwolona. Wystarczy zbadać prostą funkcję <math>g(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (x^k - x^{k + 1})</math> określoną w przedziale <math>[0, 1)</math> i obliczyć jej granicę lewostronną przy <math>x \to 1^-</math>.

Tyle uwag o ciągłości – przejdźmy do naszego problemu. Musimy pokazać, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right] = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}}</math>
</div>

Co możemy zapisać w postaci

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right] = 0</math>
</div>

Rozważmy

::<math>| \eta (z) - \eta (z_0) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 2em;">
::::::<math>\,\, = \left| \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) + \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 2em; margin-bottom: 1.5em;">
::::::<math>\,\, \leqslant \left| \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) \right| + \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| + \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::::<math>\,\, \leqslant \sum_{k = 1}^{N} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| + {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}} + {\small\frac{| z_0 |}{\operatorname{Re}(z_0)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z_0)}}}</math>
</div>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania reszty szeregu naprzemiennego (zobacz [[#R15|R15]]).

Niech <math>\mathbb{H}_R = \{ z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(z) > 0 \}</math> oznacza prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zespolonej <math>\mathbb{C}</math>, a <math>z_0</math>
będzie dowolnym, ale ustalonym punktem <math>\mathbb{H}_R</math>. Ponieważ badamy granicę przy <math>z \to z_0</math>, możemy bez zmniejszania ogólności ograniczyć się do dowolnie małego otoczenia punktu <math>z_0</math>. W szczególności możemy wybrać otoczenie <math>U(z_0, r)</math>, gdzie <math>r = {\small\frac{1}{2}} \operatorname{Re}(z_0)</math>.
Wartość promienia nie została wybrana przypadkowo: taki wybór gwarantuje nam, że <math>U(z_0, r) \subset \mathbb{H}_R</math>. Jeśli <math>z \in U (z_0, r)</math>, to mamy

::<math>| z | = | z - z_0 + z_0 | \leqslant | z - z_0 | + | z_0 | < | z_0 | + r</math>

::<math>\operatorname{Re}(z) > \operatorname{Re}(z_0) - r = r</math>

bo

::<math>\operatorname{Re}(z_0) - \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z_0 - z) \leqslant | z_0 - z | = | z - z_0 | < r</math>

Ponieważ

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}} < {\small\frac{|z_0 | + r}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{|z_0 |}{\operatorname{Re}(z_0)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z_0)}}} = {\small\frac{|z_0 |}{2 r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{2 r}}} < {\small\frac{|z_0 |}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}} < {\small\frac{|z_0 | + r}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>
</div>

to możemy zapisać oszacowanie w postaci

::<math>| \eta (z) - \eta (z_0) | < \sum_{k = 1}^{N} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| + {\small\frac{2 (| z_0 | + r)}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>

Zauważmy, że ze względu na ciągłość modułu oraz ciągłość funkcji <math>f(z) = {\small\frac{1}{k^z}}</math>, dla każdego ustalonego <math>k</math> przy <math>z \rightarrow z_0</math> dostajemy

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| = \left| \lim_{z \rightarrow z_0} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) \right| = 0</math>

Korzystając z faktu, że granica skończonej sumy jest sumą granic, przechodzimy do granicy przy <math>z \to z_0</math> w całej nierówności. Ponieważ drugi człon nie zależy od <math>z</math>, otrzymujemy

::<math>0 \leqslant \lim_{z \rightarrow z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) | \leqslant {\small\frac{2 (| z_0 | + r)}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>

Powyższa nierówność zachodzi dla dowolnie wybranego <math>N \in \mathbb{N}</math>, podczas gdy wartość <math>\lim_{z \to z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) |</math> jest stałą liczbą niezależną od <math>N</math>. Ponieważ <math>r > 0</math>, ułamek <math>{\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math> możemy uczynić dowolnie małym poprzez wybór odpowiednio dużego <math>N</math>. Ze względu na tę dowolność, lewa strona nierówności musi być równa zeru

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) | = 0</math>

Co oznacza, że <math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R21 
Niech <math>z = x + i y</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to prawdziwe są następujące oszacowania dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 0.5em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.2em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>x > 1</math> jest liczbą rzeczywistą, sumujemy wyrazy dodatnie, bo <math>{\small\frac{1}{k^x}} = e^{- x \cdot \ln (k)} > 0</math>. Niech <math>f (t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math>, gdzie <math>x > 1</math>. Mamy

::<math>f' (t) = - {\small\frac{x}{t^{x + 1}}}</math>

Czyli <math>f' (t) < 0</math> dla <math>t > 0</math> i <math>x > 1</math>, zatem <math>f(t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math> jest dla <math>x > 1</math> ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>[1, \infty)</math>. Z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]] otrzymujemy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} < 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t = 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 2.'''

Kolejną nierówność dowodzimy, korzystając ponownie z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]. Mamy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
= 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
> 1 + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t
= 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{2}^{\infty}
= 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

'''Punkt 3.'''

Z definicji <math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> dla <math>\operatorname{Re} (z) > 1</math>. Zauważmy, że

::<math>| \zeta (z) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = \zeta (x)</math>

Zatem z punktu 1. wynika natychmiast, że

::<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 4.'''

Pierwszą nierówność

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

udowodnimy w zadaniu [[#R46|R46]]. Kolejne oszacowania otrzymujemy z punktów 2. i 1.

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > \left( 1 + {\small\frac{1}{x - 1}} \right)^{- 1} = 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R22 
Pokazać, że <math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ rozważamy granicę, gdy <math>\operatorname{Re}(z)</math> dąży do plus nieskończoności, to nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Łatwo znajdujemy oszacowanie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \leqslant | \zeta (z) - 1 | = \left| \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 2}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}}} = \zeta (\operatorname{Re}(z)) - 1 < {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z) - 1}}</math>
</div>

Ostatnia nierówność wynika z [[#R21|R21]] p.1. Ponieważ dla <math>\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty</math> prawa strona dąży do zera, to musi być <math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} | \zeta (z) - 1 | = 0</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R23 
Pokazać, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą. Zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podstawiając bezpośrednio punkt <math>z = 1</math> do wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad (\ast)</math>

zauważamy, że licznik przyjmuje wartość <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), natomiast mianownik jest równy zero. Otrzymujemy zatem wyrażenie typu <math>{\small\frac{\ln 2}{0}}</math>, co oznacza, że całość ucieka do nieskończoności. Widzimy więc, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą.

Aby dokładniej zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w tym punkcie, przyjmijmy, że zbliżamy się do punktu <math>z = 1</math> z dowolnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej, zapisując <math>z = 1 + \Delta z</math>, gdzie <math>\Delta z \to 0</math>. Mianownik wzoru <math>(\ast)</math> przyjmuje wówczas postać

::<math>1 - 2^{1 - z} = 1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2}</math>

Wiemy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB14|ZB14]]), że dla małych wartości <math>| z |</math> prawdziwe jest przybliżenie <math>e^z \approx 1 + z</math>, zatem możemy mianownik zapisać jako

::<math>1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2} = 1 - (1 - \Delta z \cdot \ln 2) = \Delta z \cdot \ln 2</math>

Ponieważ dla <math>z \to 1</math> licznik dąży do wartości <math>\ln 2</math>, zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math> opisuje uproszczona zależność

::<math>\zeta (1 + \Delta z) \approx {\small\frac{\ln 2}{\Delta z \cdot \ln 2}} = {\small\frac{1}{\Delta z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Zatem w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> zachowuje się asymptotycznie jak <math>{\small\frac{1}{z - 1}}</math>.

::[[File:dzeta-biegun-funkcji.png|1200px|none]]

Na rysunku widzimy mapy warstwowe (poziomicowe) składowych funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math>.

Lewy wykres przedstawia poziomy części rzeczywistej <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> mamy <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Podobnie prawy wykres przedstawia poziomy części urojonej <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> mamy <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi.

Zauważmy, że wszystkie poziomice są okręgami stycznymi w punkcie <math>z = 1</math>. Warto zastanowić się, dlaczego tak jest. Pokazaliśmy wyżej, że w pobliżu punktu <math>z = 1</math> mamy[a]

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{z - 1}} = {\small\frac{1}{x + i y - 1}} = {\small\frac{1}{(x + i y - 1)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1 + i y) (x - 1 - i y)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

Zatem

::<math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\operatorname{Im}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{- y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\left| {\small\frac{1}{z - 1}} \right| = {\small\frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}}</math>

W przypadku wykresu po lewej stronie interesują nas punkty, dla których <math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right)</math> przyjmuje pewną stałą wartość <math>C</math> (gdzie <math>C \neq 0</math> ). Wynika stąd równanie

::<math>{\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}} = C</math>

::<math>(x - 1)^2 + y^2 = {\small\frac{1}{C}} (x - 1)</math>

::<math>(x - 1)^2 - {\small\frac{1}{C}} (x - 1) + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - 1 - {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2 - {\small\frac{1}{4 C^2}} + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - \left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}} \right) \right)^2 + y^2 = \left( {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2</math>

Otrzymaliśmy równanie okręgu <math>(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>. Środek tego okręgu leży w punkcie <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math>, a promień jest równy <math>R = \left| {\small\frac{1}{2 C}} \right|</math>. Zauważmy, że dla punktu <math>x = 1</math>, <math>y = 0</math> powyższe równanie jest spełnione bez względu na wartość stałej <math>C</math>. Oznacza to, że bez względu na wybór stałej <math>C</math> punkt <math>z = 1</math> zawsze leży na każdym z tych okręgów.

Widzimy też, że im większa jest stała <math>| C |</math>, tym promień okręgu <math>R = {\small\frac{1}{| 2 C |}}</math> staje się coraz mniejszy, a środek okręgu <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math> przesuwa się coraz bliżej punktu <math>z = 1</math>.

Wykresy trójwymiarowe funkcji <math>\operatorname{Re}(\zeta (z))</math>, <math>\operatorname{Im}(\zeta (z))</math>, <math>| \zeta (z) |</math> w pobliżu punktu <math>z = 1</math> Czytelnik może obejrzeć tutaj: [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(x-1)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=60;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=3.444100869426259,-7.5971635126247445,5.515548546034267,1;focus=0,0,0,1;up=-0.2070614921567268,0.6030196673762389,0.7703848513718841,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.55;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Re], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(-y)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=4.586717166130226,-6.016752754731321,6.539167525484936,1;focus=0,0,0,1;up=-0.5129496914638173,0.4216278857530943,0.7477382830794143,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.5;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Im], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=1/(sqrt((x-1)%5E2+y%5E2));funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=5.342751327864454,6.243169489324923,5.69893349462556,1;focus=0,0,0,1;up=-0.3350417095775116,-0.5673621911342946,0.752228154827157,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.6500000000000001;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-abs].

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Dokładne rozwinięcie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> ma postać

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \gamma - \gamma_1 (z - 1) + {\small\frac{\gamma_2}{2!}} (z - 1)^2 - {\small\frac{\gamma_3}{3!}} (z - 1)^3 + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> to stała Eulera, a <math>\gamma_k</math> to stałe Stieltjesa. Przykładowo

::<math>\gamma_1 \approx - 0.0728158455</math>, <math>\gamma_2 \approx - 0.0096903632</math>, <math>\gamma_3 \approx 0.0020538344</math>, <math>\gamma_4 \approx 0.0023253701</math>, <math>\gamma_5
\approx 0.0007933238</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R24 
Pokazać, że funkcja <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z)</math>. Pokazać, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podobnie jak w przypadku funkcji <math>\eta (z)</math> i <math>\zeta (z)</math> wychodzimy od obszaru <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, gdzie funkcja <math>\zeta (z)</math> jest dobrze określona przez zbieżny bezwzględnie szereg

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zapiszmy każdy składnik sumy w postaci

::<math>{\small\frac{1}{k^z}} = \int_k^{k + 1} t^{- z} dt + \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>k = 1</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\zeta (z) = \int_1^{\infty} t^{- z} dt + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Obliczając pierwszą całkę, dostajemy

::<math>\int_1^{\infty} t^{- z} dt = {\small\frac{t^{- z + 1}}{1 - z}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 0 - {\small\frac{1}{1 - z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Granica w nieskończoności wynika natychmiast z prostego spostrzeżenia

:: <math>| t^{1 - z} | = t^{1 - \operatorname{Re}(z)} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>

a jeśli tak, to również <math>t^{1 - z} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>.

Zatem

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

Pokażemy teraz, że szereg <math>g(z)</math> jest zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Zapiszmy <math>g(z)</math> w postaci

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

i oszacujmy wyrazy sumy po prawej stronie

::<math>a_k = \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

Rozważmy funkcję <math>f(x) = x^{- z}</math>. Z twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/> istnieje taka liczba <math>a \in [k, t]</math>, że

::<math>| f (k) - f (t) | = | k^{- z} - t^{- z} | = | f' (a) \cdot (t - k) | = | - z \cdot a^{- z - 1} (t - k) | = | z | \cdot | a^{- z - 1} | \cdot (t - k) = | z | \cdot a^{- \operatorname{Re}(z) - 1} (t - k) \leqslant | z | \cdot k^{- \operatorname{Re} (z) - 1} (t - k)</math>

bo dla <math>\operatorname{Re}(z) > - 1</math> wyrażenie <math>a^{- \operatorname{Re}(z) - 1}</math> jest funkcją malejącą zmiennej <math>a.</math>

Mamy

::<math>| a_k | = \left| \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t \right|</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} | k^{- z} - t^{- z} | d t</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_k^{k + 1} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_0^1 v d v</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{2 k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ostatecznie otrzymaliśmy proste oszacowanie

::<math>0 \leqslant | a_k | \leqslant {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ponieważ szereg

::<math>{\small\frac{|z|}{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} = {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (zobacz [[#R16|R16]]), to z kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math> jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0.</math>

Zgodnie z fundamentalnym w analizie zespolonej twierdzeniem o jednoznaczności, jeśli dwie funkcje różniczkowalne pokrywają się w jakimś obszarze (w tym przypadku dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>), to istnieje tylko jedno możliwe przedłużenie tej funkcji na większy obszar (<math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>). Ponieważ wzór <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math> jest różniczkowalny w tym większym obszarze, to jest on przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z).</math> Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R25 
Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wiemy (zobacz [[#R24|R24]]), że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma analityczne przedłużenie prawdziwe dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> postaci

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

Szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1) \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right)</math>

(zobacz [[#R24|R24]] i [[#R21|R21]]).

Rozważmy otoczenie <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> punktu <math>z = 1</math> o promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Takie otoczenie to zbiór punktów <math>\mathbb{C}</math> określonych nierównością <math>| z - 1 | < {\small\frac{1}{2}}</math>. Łatwo zauważamy, że w tym otoczeniu prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| z | = | (z - 1) + 1 | \leqslant | z - 1 | + | 1 | < {\small\frac{1}{2}} + 1 = {\small\frac{3}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż rysunek|Hide=Ukryj rysunek}}
[[File:okregi-i-kolo-na-C.png|400px|none]]
{{\Spoiler}}

Warunek <math>|z - 1| < {\small\frac{1}{2}}</math> spełniają punkty należące do wnętrza koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie <math>(1, 0)</math> i promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Ponieważ
część rzeczywista <math>\operatorname{Re}(z)</math> to współrzędna <math>x</math> na płaszczyźnie zespolonej, to musi być <math>\operatorname{Re}(z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} < 2</math>

Zbierając, otrzymujemy, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60|ZB60]] wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = \lim_{z \rightarrow 1} \left[ (z - 1) \left( {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z) \right) \right] = \lim_{z \rightarrow 1} [1 + (z - 1) g (z)] = 1 + \lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R26 
Pokazać, że <math>g(1) = \gamma</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x^z}} dx \right)</math>

a <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R24|R24]] pokazaliśmy, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny w półpłaszczyźnie <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Ponieważ punkt <math>z = 1</math> leży wewnątrz tego obszaru, możemy bezpośrednio podstawić <math>z = 1</math> i obliczyć sumę szeregu <math>g(1) .</math> Rozważmy sumy częściowe

::<math>g_N (1) = \sum_{k = 1}^N \left( {\small\frac{1}{k}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^N \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \int_1^{N + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (x) \Bigr\rvert_{1}^{N + 1}</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N + 1)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) - \ln \left( {\small\frac{N + 1}{N}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] - \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right)</math>

Przechodząc z <math>N</math> do nieskończoności, otrzymujemy<ref name="Euler1"/>.

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] = \gamma</math>

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right) = 0</math>

Zatem <math>g(1) = \lim_{N \rightarrow \infty} g_N (1) = \gamma</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R27 
Niech <math>z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Funkcję dzeta Riemanna definiujemy następująco

::<math>\zeta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) > 1 & \text{pierwotna definicja funkcji dzeta Riemanna} \\[2ex]

\infty & \text{gdy } z = 1 & \text{jedyny punkt rozbieżności (szereg harmoniczny)} \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \tfrac{1}{2} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1 \qquad z \neq 1 & \text{przedłużenie analityczne przez funkcję } \eta \text{ Dirichleta} \\[2ex]

\displaystyle 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} \qquad z \neq 0 & \text{równanie funkcyjne Riemanna} \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Wiersze drugi i piąty w powyższej definicji nie tyle definiują, co informują Czytelnika o zachowaniu funkcji <math>\zeta (z)</math> w punktach <math>z = 1</math> i <math>z = 0</math> (punkt <math>z = 1</math> nawet nie należy do dziedziny funkcji dzeta). Zdecydowaliśmy się je zamieścić, bo są to punkty, o które natychmiast pytamy, patrząc na wzory. Dodatkowo punkty te wiąże równanie funkcyjne Riemanna.

Zauważmy, że funkcja <math>\zeta (z)</math> nie jest funkcją wielowartościową – dlatego w definicji bierzemy wartości główne potęg zespolonych <math>k^z, 2^z, \pi^{z - 1}</math>. Aby określić wartości <math>\zeta (z)</math> dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> moglibyśmy użyć dowolnego przedłużenia analitycznego funkcji <math>\zeta (z)</math>.

Zadanie R28 
Pokazać na podstawie definicji funkcji <math>\zeta (z)</math>, że funkcja <math>\eta (z)</math> może być określona dla wszystkich <math>z \in \mathbb{C}</math> następująco

::<math>\eta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) \geqslant \tfrac{1}{2} & \text{szereg zbieżny dla } \operatorname{Re}(z) > 0 \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} & \text{równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji } \eta (z) \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Uwaga R29 
Równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R28|R28]])

::<math>- {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

łączy wartości funkcji <math>\eta (z)</math> z przedziału <math>{\small\frac{1}{2}} < \operatorname{Re}(z) < 1</math> z wartościami funkcji <math>\eta (z)</math> w przedziale <math>0 < \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math>. Jest to związek zaskakujący – zupełnie nie widać powodu, dla którego sumy szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 4}}} \approx 0.554487386</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{3 / 4}}} \approx 0.651115680</math>

miałyby być ze sobą powiązane. A jednak wiąże je współczynnik, którego wartość możemy łatwo policzyć

::<math>- {\small\frac{2^{1 / 4} - 2}{2^{1 / 4} - 1}} \cdot \pi^{- 3 / 4} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi}{8}} \right) \Gamma \left( {\small\frac{3}{4}} \right) \approx 0.851595812</math>

Zadanie R30 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Pokazać, że <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>, gdzie <math>B_n</math> są liczbami Bernoulliego (zobacz [[Wzór Eulera-Maclaurina#E6|E6]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (0)}</math>

Pierwszy sposób 

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right] = 2^0 \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} \cdot \lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)]</math>

Pierwszą granicę po prawej stronie policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{1} = {\small\frac{\pi}{2}}</math>

Drugą granicę już znamy (zobacz [[#R25|R25]])

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} [- z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} \{ [(1 - z) - 1] \cdot \zeta (1 - z) \} = - \lim_{w \rightarrow 1} [ (w - 1) \cdot \zeta (w) ] = - 1</math>

Zatem <math>\zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>.

Drugi sposób 

Korzystając z odpowiednika równania funkcyjnego Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R28|R28]])

::<math>\eta (z) = - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) \right] = - (- 1) \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \eta (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1}</math>

Wiemy, że <math>\eta (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Ostatni czynnik po prawej stronie to wyrażenie nieoznaczone typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math>. Jego wartość policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right) \cdot \tfrac{\pi}{2}}{2^z \cdot \ln 2} = {\small\frac{\pi}{2 \ln 2}}</math>

Łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy <math>\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Ze wzoru <math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>, który stanowi przedłużenie funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>0 < \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math>, otrzymujemy w granicy, gdy <math>z</math> dąży do zera, że

::<math>\zeta (0) = - \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać.

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k + 1)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

i pamiętając o tym, że<ref name="Baselproblem1"/>

::<math>\zeta (2 k) = \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

dostajemy (zobacz [[#R27|R27]], [[Szeregi liczbowe#D143|D143]] p.2)

::<math>\zeta (- 2 k + 1) = 2^{- 2 k + 1} \pi^{- 2 k} \sin \left( - {\small\frac{\pi (2 k - 1)}{2}} \right) \Gamma (2 k) \zeta (2 k)</math>

:::::<math>\;\;\; = \frac{2 (- 1)^k}{2^{2 k} \pi^{2 k}} \cdot (2 k - 1) ! \cdot \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math>

:::::<math>\;\;\; = - {\small\frac{B_{2 k}}{2 k}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta (- 2 k) = 2^{- 2 k} \pi^{- 2 k - 1} \sin \left( - {\small\frac{2 k \pi}{2}} \right) \Gamma (2 k + 1) \zeta (2 k + 1) = 0</math>

bo <math>\sin (k \pi) = 0</math>.

Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R31 
Na wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant 0</math> możemy patrzeć jedynie jako na funkcję zdefiniowaną równaniem funkcyjnym Riemanna. Ale możemy spojrzeć też tak, jakby była ona sposobem przypisywania konkretnych liczb szeregom ewidentnie rozbieżnym. Przykładowo

::<math>\zeta (- n) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^n = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>

Najciekawsze jest to, że przypisania te są zgodne z wcześniejszymi próbami matematyków w tej kwestii (zobacz [[Szeregi liczbowe#D109|D109]]). W poniższym zadaniu pokazujemy kilka dalszych przykładów.

Zadanie R32 
Uzasadnić, dlaczego mamy: <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 2) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \eta (z)</math>

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}}</math>

Rozważmy szereg geometryczny zbieżny dla <math>| t | < 1</math>

::<math>{\small\frac{1}{1 + t}} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast)</math>

Widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{2}} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \eta (0)</math>

Zatem

::<math>\zeta (0) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 0}}} \cdot \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 1) = {\small\frac{1}{4}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}}</math>

Różniczkując obie strony wzoru <math>(\ast)</math>, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{(1 + t)^2}} = 1 - 2 t + 3 t^2 - 4 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Ponownie widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, mamy

::<math>{\small\frac{1}{4}} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = \eta (- 1)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 1) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 1)}}} \cdot \eta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 2) = 0}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2) = 0}</math>

Mnożąc obie strony równania <math>(\ast \ast)</math> przez <math>t</math> i różniczkując, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1 - t}{(1 + t)^3}} = 1 - 4 t + 9 t^2 - 16 t^3 + 25 t^4 - 36 t^5 + \ldots</math>

W granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>0 = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - 36 + \ldots = \eta (- 2)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 2) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 2)}}} \cdot \eta (- 2) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R33 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla każdego <math>x > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{1}{2}} < \eta (x) < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji <math>\eta (x)</math> mamy

::<math>\eta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n^x}} = 1 - {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} - {\small\frac{1}{4^x}} + \ldots</math>

Zauważmy, że ciąg <math>a_n = {\small\frac{1}{n^x}}</math> jest silnie malejący, bo funkcja <math>f(t) = t^x</math> jest silnie rosnąca dla <math>t, x \in \mathbb{R}_+</math>. Zatem <math>\eta (x)</math> spełnia kryterium Leibniza i z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D5|D5]] wynika, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math> oraz dostajemy oszacowanie <math>1 - {\small\frac{1}{2^x}} < \eta (x) < 1</math>. Skąd natychmiast wynika, że <math>0 < \eta (x) < 1</math>. Dokładniejsze oszacowanie od dołu będzie dłuższe, ale przekształcenia są zaskakująco proste.

Ponieważ szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math>, to możemy grupować wyrazy. Grupując je po dwa, możemy napisać

::<math>\eta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dla <math>0 < x \leqslant 1</math> nie możemy rozbić prawej strony na sumę osobnych szeregów, ponieważ składowe szeregi są rozbieżne i otrzymalibyśmy symbol nieoznaczony <math>[\infty - \infty]</math>. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{j = 1}^{N - 1} {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{j = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

W granicy, gdy <math>N</math> dąży do nieskończoności, wracamy do szeregu <math>\eta (x)</math>
z wydzielonym składnikiem <math>{\small\frac{1}{2}}</math> i teraz będziemy mogli uzyskać postulowane oszacowanie

::<math>\eta (x) = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N</math>

:::<math>\;\;\, = \lim_{N \rightarrow \infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \right\}</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} - 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} \left[ {\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} \right] - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right\}</math>

:::<math>\;\;\, \geqslant {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} \cdot {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad \text{bo } \; {\small\frac{1}{2}} (a + b) \geqslant \sqrt{a b} \;\;</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A38|A38]])

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2 - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, > {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}}</math>

Na zakończenie warto zobaczyć, jak <math>\eta (x)</math> wygląda na wykresie.

::[[File:eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png|540px|none]]

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R34 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\zeta (x)</math> ma wartości rzeczywiste. Omówić zachowanie funkcji <math>\zeta (x)</math> w punkcie <math>x = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant x \leqslant 1</math> mamy <math>\zeta (x) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - x}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>x < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\zeta (x) = 2^x \pi^{x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 - x) \zeta (1 - x)</math>. Ponieważ <math>1 - x > {\small\frac{1}{2}}</math>, to funkcja <math>\zeta (1 - x)</math> jest rzeczywista, podobnie jak pozostałe czynniki. Zatem i w tym przedziale <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Zauważmy, że ponieważ dla <math>x > 0</math> funkcja <math>\eta (x)</math> jest zawsze dodatnia (zobacz [[#R33|R33]]), to o znaku funkcji dzeta Riemanna <math>\zeta (x)</math> w tym obszarze decyduje wyłącznie znak czynnika łączącego obie funkcje

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{\eta (x)}{1 - 2^{1 - x}}}</math>

Co bardzo dobrze widzimy na wykresie

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-1.png|550px|none]]

Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> (zobacz [[#R27|R27]]) dla <math>x \geqslant 1</math> możemy napisać

::<math>\zeta (- x) = - 2^{- x} \pi^{- x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)</math>

Wiemy, że dla <math>x = 2</math> mamy <math>\zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} \approx 1.644934</math><ref name="Problembazylejski1"/>. Widzimy, że o zachowaniu funkcji <math>\zeta (x)</math> w przedziale <math>(- \infty, - 1]</math> decydują pozostałe czynniki, bo <math>\zeta (1 + x)</math> jest niewielką liczbą z przedziału <math>(1, 1.65)</math>.

::<math>\zeta (- x) = - {\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right)</math>

Ponieważ <math>\Gamma (1 + x) \sim \sqrt{2 \pi x} \cdot x^x e^{- x}</math> dla dużych <math>x</math>, to dla dużych <math>x</math> mamy <math>{\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \sim \sqrt{{\small\frac{2 x}{\pi}}} \cdot \left( {\small\frac{x}{2 \pi e}} \right)^x</math>. Co oznacza stały wzrost amplitudy oscylacji dla dużych ujemnych liczb rzeczywistych.

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-2.png|600px|none]]

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

Gdy <math>x > 1</math> funkcję dzeta definiujemy następująco

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

Wiemy, że dla <math>x > 1</math> jest

::<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

(zobacz [[#R21|R21]]). Zatem w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \rightarrow 1^+} \left[ 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}} \right] = + \infty</math>

Skąd wynika, że

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) = + \infty</math>

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica lewostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^-}</math>

Dla <math>x < 1</math> korzystamy ze wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>

Dla <math>x</math> rzeczywistych mamy

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{2^x}{2^x - 2}} \cdot \eta (x)</math>

Z zadania [[#R20|R20]] otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \eta (x) = \eta (1)</math>. Wiemy też, że <math>\eta (1) = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Łatwo widzimy, że w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^-</math>, mianownik ułamka <math>{\small\frac{2^x}{2^x - 2}}</math> dąży do zera przez wartości mniejsze od zera, zatem

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R35 
Wszystkie wzory pozwalające wyjść poza obszar <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> zawdzięczamy przełomowej pracy<ref name="Riemann1"/> Bernharda Riemanna z 1859 roku. Była to jego jedyna publikacja z zakresu teorii liczb. W swojej pracy Riemann

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Potraktował zmienną <math>z</math> jako liczbę zespoloną, co otworzyło drogę do zastosowania narzędzi analizy zespolonej.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Udowodnił, że funkcję zdefiniowaną pierwotnie tylko dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> można przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną (z jedynym punktem rozbieżności w <math>z = 1</math>).

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował i udowodnił fundamentalne równanie funkcyjne, ukazujące wewnętrzną symetrię funkcji dzeta względem tzw. prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Pokazał, że rozkład liczb pierwszych jest bezpośrednio związany z miejscami zerowymi funkcji <math>\zeta (z)</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował słynną hipotezę Riemanna, która stwierdza, że wszystkie nietrywialne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą dokładnie na prostej krytycznej, czyli <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Sprawdzono<ref name="PlattTrudgian2"/>, że wszystkie zera postaci <math>z = x + i y</math> dla <math>0 < y \leqslant 3 \cdot 10^{12}</math> mają <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
Poniżej mamy wykres funkcji <math>{\small\frac{1}{| \zeta (z) |}}</math>. Ostre piki odpowiadają pierwszym pięciu nietrywialnym zerom funkcji zeta <math>z_k = {\small\frac{1}{2}} + i y_k</math>, gdzie <math>y_1 \approx 14.13</math>, <math>y_2 \approx 21.02</math>, <math>y_3 \approx 25.01</math>, <math>y_4 \approx 30.42</math>, <math>y_5 \approx 32.94</math>.
::[[File:dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png|800px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R36 
Podstawowe własności funkcji <math>\zeta (z)</math>.

'''1. Miejsca zerowe'''

:*&emsp; trywialne: <math>\zeta (- 2 k) = 0 \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>

:*&emsp; nietrywialne: <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \pm i y_k \right) = 0 \qquad</math> gdzie <math>y_1 \approx 14.1347</math>, <math>y_2 \approx 21.0220</math>, <math>y_3 \approx 25.0108</math>, <math>y_4 \approx 30.4248</math>, <math>y_5 \approx 32.9350</math>, <math>y_6 \approx 37.5861</math>, <math>\ldots</math>

'''2. Wartości dla nieujemnych liczb parzystych'''

::<math>\zeta (2 k) = {\small\frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}} \qquad</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (2) = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, <math>\zeta (4) = {\small\frac{\pi^4}{90}}</math>, <math>\zeta (6) = {\small\frac{\pi^6}{945}}</math>, <math>\zeta (8) = {\small\frac{\pi^8}{9450}}</math>, <math>\zeta (10) = {\small\frac{\pi^{10}}{93555}}</math>

'''3. Wartości dla ujemnych liczb całkowitych'''

::<math>\zeta (- k) = - {\small\frac{B_{k + 1}}{k + 1}} \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 3) = {\small\frac{1}{120}}</math>, <math>\zeta (- 5) = - {\small\frac{1}{252}}</math>, <math>\zeta (- 7) = {\small\frac{1}{240}}</math>

'''4. Inne szczególne wartości i punkty'''

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \approx - 1.4603</math>, <math>\zeta (1) = \infty</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{3}{2}} \right) \approx 2.6123</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{5}{2}} \right) \approx 1.3414</math>, <math>\zeta (3) \approx 1.2020</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{7}{2}} \right) \approx 1.1267</math>

'''5. Ważne granice'''

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow - \infty} | \zeta (z) | = + \infty \qquad\quad\,</math> (granica dla <math>\zeta (z)</math> nie istnieje, ponieważ funkcja wpada w nieograniczone oscylacje)

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty \qquad\qquad\quad\:\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) = + \infty \qquad\qquad\quad\;\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} \zeta (z) = \infty \qquad\qquad\qquad\;\;\;</math> (ogólna granica zespolona)

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} \left( \zeta (z) - {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = \gamma \qquad</math> gdzie <math>\gamma \approx 0.5772</math> jest stałą Eulera

Uwaga R37 
Mówimy o miejscach zerowych '''trywialnych''', ponieważ ich istnienie wynika bezpośrednio z samej struktury równania funkcyjnego

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Dla każdej ujemnej liczby parzystej człon <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math> zeruje się, podczas gdy pozostałe elementy wzoru przyjmują skończone wartości (zobacz też zadanie [[#R30|R30]]).

Wszystkie pozostałe ('''nietrywialne''') miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą wewnątrz tzw. pasa krytycznego <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math>. Słynna hipoteza Riemanna zakłada, że leżą one dokładnie na jego środku – czyli na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Udowodnienie tego faktu jest jednym z najtrudniejszych wyzwań w historii matematyki.

Zadanie R38 
Pokazać, że <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\bar{z})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.1).

Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:

Dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\overline{(k^z)}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right)} = \frac{1}{1 - 2^{1 - \bar{z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Zauważmy, że dla <math>\operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\operatorname{Re}(1 - z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right)} = \overline{(2^z)} \cdot \overline{\pi^{z - 1}} \cdot \overline{\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)} \cdot \overline{\Gamma (1 - z)} \cdot \overline{\zeta (1 - z)} = 2^{\bar{z}} \pi^{\bar{z} - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi \bar{z}}{2}} \right) \Gamma (1 - \bar{z}) \zeta (1 - \bar{z}) = \zeta (\bar{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.2 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3 oraz udowodnionych wyżej przypadków. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Wykres funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej ==

Uwaga R39 
Wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> zależą tylko od jednej zmiennej <math>t</math>. Oczywiście <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math> są wartościami zespolonymi, a ich obrazem na płaszczyźnie zespolonej będzie pewna krzywa. Wiemy, że

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 / 2 - i t}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 2 + i t}}}</math>

ale z tego wzoru możemy policzyć co najwyżej kilka punktów. Do sporządzenia wykresów takich, jak te niżej, korzystamy z zaimplementowanej w systemach obliczeniowych funkcji <math>\zeta (z)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-0-do-43.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-0-do-17.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż więcej wykresów|Hide=Ukryj więcej wykresów}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-17-do-22.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-22-do-27.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-27-do-32.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-32-do-37.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-37-do-40.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-40-do-43.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>Z(t)</math> Riemanna-Siegla ==

Zadanie R40 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że funkcję

::<math>\chi (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

określoną dla <math>z \neq 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, można równoważnie zapisać w postaci

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Funkcja <math>\Gamma (z)</math> nie jest określona dla <math>z = - n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Zatem funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> nie jest określona dla <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ale wyrażenie <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z)</math> dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ma dobrze określoną granicę skończoną. Istotnie, korzystając ze wzoru [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5 i stosując regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \right]
= \lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)} \cdot {\normalsize\frac{\pi}{\Gamma (z)}}} \right]
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)}}
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi \cdot \cos (\pi z)}}
= (- 1)^k \cdot {\small\frac{\pi}{2 (2 k - 1) !}}</math>
</div>

Podobnie funkcja <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math> nie jest określona dla <math>z = 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i w tych punktach drugi wzór ucieka do nieskończoności. W efekcie obie funkcje mają identyczną dziedzinę: <math>\mathbb{C} \setminus \{2 n + 1 : n \in \mathbb{N}_0 \}</math>.

Korzystając ze wzoru Legendre'a na podwajanie

::<math>\Gamma \! \left( 2 z \right) = 2^{2 z - 1} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad\qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

mamy

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) = \Gamma \! \left( 2 \cdot {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) \qquad\qquad (\ast)</math>

Podstawiając <math>z \mapsto {\small\frac{z}{2}}</math> we wzorze na dopełnienie funkcji gamma (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5)

::<math>\Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad\qquad z \notin \mathbb{Z}</math>

dostajemy

::<math>\Gamma \! \left( {\small\frac{z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) = {\normalsize\frac{\pi}{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}} \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Dzieląc stronami równania <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math>

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} = {\normalsize\frac{2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}
= 2^z \pi^{1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= 2^z \pi^{- 1 / 2} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

Skąd wynika, że

::<math>\pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}
= 2^z \pi^{z - 1} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= \chi (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R41 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> moduł funkcji <math>\chi (z)</math> jest równy <math>1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ (zobacz [[#R40|R40]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> mamy (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Zatem

::<math>\left| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right| = 1</math>

bo <math>| \pi^{i t} | = | e^{i t \cdot \ln \pi} | = 1</math> oraz <math>| \overline{z} | = | z |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R42 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> funkcja

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

jest rzeczywista.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R41|R41]] pokazaliśmy, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> jest <math>| \chi (z) | = 1</math>. Niech <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>. Mamy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)}</math>

gdzie <math>\varphi (t)</math> jest pewnym kątem.

Ponieważ

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right) = \zeta \left( \overline{ {\small\frac{1}{2}} + i t } \right) = \overline{ \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) }</math>

to z równania funkcyjnego dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

::<math>\zeta (z) = \chi (z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right)</math>

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t) / 2} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \overline{e^{- i \varphi (t) / 2}} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

Zatem funkcja

::<math>Z(t) = e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \theta (t)} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie <math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} i \varphi (t)</math>, jest rzeczywista.

Ponieważ (zobacz [[#R40|R40]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>, otrzymujemy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \ln \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \ln \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

Zatem

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.

Niżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math>. Użyliśmy specyficznego wykresu biegunowego z odległością wyskalowaną logarytmicznie i początkiem w punkcie <math>r = 10^{- 6}</math>.

::[[File:gamma-skala-logarytmiczna.png|700px|none]]

Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

możemy zapisać w postaci

::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

::[[File:log-gamma.png|700px|none]]

Analizując gładki przebieg wykresu na rysunku, należy zauważyć, że część urojona płynnie rośnie i nie ogranicza się do przedziału od <math>- \pi</math> do <math>\pi</math>, czego moglibyśmy się spodziewać. Jednak nie realizujemy w tym przypadku prostego obliczania logarytmu funkcji gamma, co dla przykładu zapisalibyśmy w PARI/GP jako <code>log(gamma(1/4 + I*t/2))</code>, lecz używamy specjalnej funkcji do wyliczenia tego logarytmu (w środowisku PARI/GP byłaby to funkcja <code>lngamma(1/4 + I*t/2)</code>). Algorytm tej funkcji został napisany tak, aby dla każdego punktu <math>t</math> wyliczany był prawdziwy, narastający argument, odpowiadający narastającemu argumentowi funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math>. Narastanie argumentu funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math> było bardzo dobrze widoczne na poprzednim wykresie, ale w przypadku logarytmu już tak nie jest i dlatego kwestia ta wymagała wyjaśnienia. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R43 
Funkcje

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

i

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R42|R42]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \ln t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\ln \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

A przebieg funkcji <math>\theta (t)</math> widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-theta-function.png|700px|none]]

Ponieważ <math>e^{i \theta (t)} \neq 0</math>, to funkcja rzeczywista <math>Z(t)</math> i zespolona <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math> zerują się dokładnie w tych samych miejscach. Oczywiście szukanie miejsc zerowych funkcji rzeczywistej jest znacznie łatwiejsze niż szukanie miejsc zerowych funkcji zespolonej i dokładnie dlatego funkcja <math>Z(t)</math> została skonstruowana. Konsekwentnie mamy <math>| Z (t) | = \left| \zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right) \right|</math>, co najlepiej widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-Z-function.png|1000px|none]]

gdzie dodatnia część rzeczywistej funkcji <math>Z(t)</math> pokrywa się z modułem zespolonej funkcji <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math>.

== Przedstawienie funkcji <math>\zeta (z)</math> w postaci iloczynu nieskończonego ==

Twierdzenie R44 (Leonhard Euler, 1737) 
Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - {\small\frac{1}{p^z}}}</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy (zobacz [[#R16|R16]]), że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny. Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> możemy napisać

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j)^z}} + \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}}</math>

Z zadania [[#R14|R14]] wynika, że oba szeregi po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne. Łatwo widzimy, że

::<math>{\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = {\small\frac{1}{2^z}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zatem

::<math>\zeta (z) - {\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 3)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

Widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>2</math>.

Ponownie łatwo zauważamy, że

::<math>{\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{3^z}} \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 j + 3)^z}}</math>

Zatem

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) - {\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>3</math>.

Postępując mniej formalnie możemy napisać

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + \ldots</math>

Jednocześnie

::<math>{\small\frac{1}{5^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + {\small\frac{1}{55^z}} + {\small\frac{1}{65^z}} + {\small\frac{1}{85^z}} + {\small\frac{1}{95^z}} + {\small\frac{1}{115^z}} + {\small\frac{1}{125^z}} + \ldots</math>

Zatem obliczając różnicę, dostajemy

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + \ldots</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>5</math>.

Jeśli będziemy powtarzali tę operację dla kolejnych liczb pierwszych, to po prawej stronie zostaną usunięte wszystkie ułamki (ponieważ każda liczba naturalna większa od 1 dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą) i zostanie nam tylko liczba 1

::<math>\ldots \left( 1 - {\small\frac{1}{7^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1</math>

Co możemy zapisać w postaci

::<math>\left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right] \cdot \zeta (z) = 1</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych. Czyli

::<math>\zeta (z) = \left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right]^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right)^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - \tfrac{1}{p^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R45 
Pokazać, że układ równań

::<math>\begin{cases}
\; | 1 - p^z | = 1 + | p^z | \\
\; | 1 - q^z | = 1 + | q^z | \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>p, q</math> są różnymi liczbami pierwszymi, nie ma rozwiązania.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy pierwsze równanie – wnioski dla drugiego będą analogiczne. Dla liczb zespolonych <math>w_1, w_2</math> prawdziwa jest nierówność trójkąta (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.6)

::<math>| w_1 + w_2 | \leqslant | w_1 | + | w_2 |</math>

Równość <math>| w_1 + w_2 | = | w_1 | + | w_2 |</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby <math>w_1, w_2</math> leżą na tej samej półprostej o początku w punkcie <math>w = 0</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]]). Jeśli przyjmiemy <math>w_1 = 1</math>, to liczba <math>w_2 = - p^z</math> musi być rzeczywista i nieujemna. Zatem musi być <math>p^z \leqslant 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>, możemy teraz warunek <math>p^z \leqslant 0</math> zapisać w postaci

::<math>p^z = e^{(x + i y) \cdot \ln (p)} = e^{x \cdot \ln (p)} \cdot e^{i y \cdot \ln (p)} = p^x \cdot (\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p)) \leqslant 0</math>

Ponieważ <math>p^x > 0</math>, to otrzymujemy

::<math>\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p) \leqslant 0</math>

Liczba <math>p^z</math> musi być liczbą rzeczywistą, zatem <math>\sin (y \cdot \ln p) = 0</math>, czyli <math>\cos (y \cdot \ln p) = \pm 1</math> i, aby była spełniona wypisana nierówność, musi być <math>\cos (y \cdot \ln p) = - 1</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>y \cdot \ln p = (2 m_p + 1) \pi</math>

gdzie <math>m_p \in \mathbb{Z}</math>. Zatem z rozważanego równania wynika ograniczenie na możliwe wartości <math>y</math>

::<math>y = {\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}}</math>

Z drugiego równania dostajemy analogiczne ograniczenie

::<math>y = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, to

::<math>{\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}} = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

::<math>(2 m_p + 1) \cdot \ln q = (2 m_q + 1) \cdot \ln p</math>

::<math>\ln (q^{(2 m_p + 1)}) = \ln (p^{(2 m_q + 1)})</math>

::<math>q^{(2 m_p + 1)} = p^{(2 m_q + 1)}</math>

Powyższa równość zachodzi tylko w przypadku, gdy <math>2 m_p + 1 = 2 m_q + 1 = 0</math>, ale jest to niemożliwe, bo obie liczby są liczbami nieparzystymi. Zatem nie istnieje wspólna wartość <math>y</math>, a to oznacza, że układ równań nie posiada rozwiązania <math>z \in \mathbb{C}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R46 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> i <math>z = x + i y</math>. Korzystając ze wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

pokazać, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 1em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. – oszacowanie od góry'''

Zauważmy, że dla <math>x > 1</math> i <math>p \geqslant 2</math> mamy <math>p^{- x} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{p}} \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>| 1 - p^{- z} | \geqslant | | 1 | - | p^{- z} | | = | 1 - p^{- x} | = 1 - p^{- x}</math>

Korzystając z powyższej nierówności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} \leqslant \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} = \zeta (x)</math>

'''Punkt 1. – oszacowanie od dołu'''

Zauważmy, że

::<math>| 1 - p^{- z} | \leqslant | 1 | + | p^{- z} | = 1 + p^{- x} = {\small\frac{(1 + p^{- x}) (1 - p^{- x})}{1 - p^{- x}}} = {\small\frac{1 - p^{- 2 x}}{1 - p^{- x}}}</math>

Z zadania [[#R45|R45]] wynika, że równość <math>| 1 - p^{- z} | = | 1 | + | p^{- z} |</math> może zachodzić dla co najwyżej jednej liczby pierwszej <math>p</math>, co oznacza, że dla pozostałych liczb pierwszych powyższa nierówność musi być ostra. Zatem dostajemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} > \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1 - p^{- x}}{1 - p^{- 2 x}}} = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- 2 x}}} \cdot \prod_{p \geqslant 2} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = \zeta (2 x) \cdot \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \operatorname{Log} \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z})</math>

Ponieważ

::<math>| p^{- z} | = p^{- \operatorname{Re}(z)} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{2}}</math>

to możemy wykorzystać fakt, że dla <math>| w | < 1</math> funkcję <math>\operatorname{Log} (1 - w)</math> można rozwinąć w zbieżny szereg postaci

::<math>\operatorname{Log} (1 - w) = - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{w^k}{k}} = - w - {\small\frac{w^2}{2}} - {\small\frac{w^3}{3}} - {\small\frac{w^4}{4}} - {\small\frac{w^5}{5}} - \ldots</math>

Otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z}) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 3.'''

Z punktu 2. wiemy, że

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{p^{- k z}}{k}} = {\small\frac{p^{- k (x + i y)}}{k}} = {\small\frac{p^{- k x - i k y}}{k}} = {\small\frac{p^{- i k y}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{e^{- i k y \cdot \ln (p)}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

to możemy napisać

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Korzystając ze wzoru <math>\ln | z | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.1), otrzymujemy

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>

:::::<math>\;\;\;\;\,\, = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Zera funkcji <math>\zeta (z)</math> ==

Twierdzenie R47 
Funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera dla wszystkich <math>z</math> spełniających warunek <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) > 1}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R46|R46]] p.1)

::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R21|R21]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

Skoro <math>| \zeta (x + i y) | \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
[[File:dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png|850px|none]] 
[[File:dzeta-odwrotnosc.png|850px|none]]
□
{{\Spoiler}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) = 1}</math>

Fakt, że funkcja dzeta Riemanna nie posiada miejsc zerowych na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math>, udowodnili w 1896 roku niezależnie od siebie dwaj matematycy: Jacques Hadamard<ref name="Hadamard1"/> i Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref name="Poussin1"/>. Pomysł wykorzystania do dowodu nierówności <math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math> jest późniejszy i pochodzi od Franciszka Mertensa<ref name="Mertens1"/>.

Zauważmy, że

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math>

bo

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) = 3 + 4 \cos (\theta) + 2 \cos^2 (\theta) - 1 = 2 (1 + \cos (\theta))^2 \geqslant 0</math>

Korzystając ze wzoru

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

łatwo wyliczamy, że

::<math>3 \ln | \zeta (x) | + 4 \ln | \zeta (x + i y) | + \ln | \zeta (x + 2 i y) | = \sum_p \sum_{m = 1}^{\infty} {\small\frac{3 + 4 \cos (m y \cdot \ln (p)) + \cos (2 m y \cdot \ln (p))}{m \cdot p^{m x}}}</math>

Ponieważ prawa strona jest sumą liczb nieujemnych, to

::<math>\ln (| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) |) \geqslant 0</math>

Czyli

::<math>| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) | \geqslant 1</math>

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma zero na linii <math>x = 1</math> w punkcie <math>1 + i y_0</math> (gdzie <math>y_0 \neq 0</math>) i rozważmy funkcję

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

określoną dla <math>x > 1</math>. Zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem dla <math>x > 1</math> jest <math>f(x) \geqslant 1</math>. Zatem granica <math>\lim_{x \to 1^+} f (x)</math> – o ile istnieje – musi być większa lub równa 1.

Z drugiej strony wiemy, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math> (zobacz [[#R25|R25]]). Wiemy też, że <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Zatem istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{\zeta (z) - \zeta (z_0)}{z - z_0}} = \zeta'(z_0)</math>

Przekształćmy funkcję <math>f(x)</math> tak, abyśmy mogli łatwo policzyć granicę, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>. Mamy

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

:::<math>\;\;\, = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \qquad\qquad</math> (możemy tak napisać, bo założyliśmy, że <math>\zeta (1 + i y_0) = 0</math>)

:::<math>\;\;\, = | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

Ponieważ <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w otoczeniu punktów <math>1 + i y_0</math> oraz <math>1 + 2 i y_0</math> (bo <math>y_0 \neq 0</math>), granice poszczególnych czynników są skończone. Zatem[a]

::<math>\lim_{x \to 1^+} f (x) = \lim_{x \to 1^+} \left\{ | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \right\}</math>

:::::<math>= \{ \lim_{x \to 1^+} | (x - 1) \zeta (x) |^3 \} \cdot \left\{ \lim_{x \to 1^+} \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} | \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= \{ | \lim_{x \to 1^+} [(x - 1) \zeta (x)] |^3 \} \cdot \left\{ \left| \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ | \lim_{x \to 1^+} \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= 1^3 \cdot | \zeta' (1 + iy_0) |^4 \cdot 0 \cdot | \zeta (1 + 2 iy_0) | = 0</math>

Uzyskany wynik stoi w sprzeczności z warunkiem <math>\lim_{x \to 1^+} f (x) \geqslant 1</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Korzystamy z twierdzenia o granicy funkcji złożonej

Jeżeli istnieje skończona granica <math>\lim_{z \to z_0} g (z) = c</math> i funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>c</math>, to

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z)) = f (c)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R48 
Pokazać, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, to punkt <math>z = 0</math> możemy wykluczyć z naszych rozważań. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje takie <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, że <math>\zeta (z_0) = 0</math>.

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Oczywiście <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, nie jest elementem zbioru <math>\{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Jeśli tak, to możemy napisać

::<math>\zeta (1 - z_0) = \zeta (1 - i y_0) = 0</math>

Wbrew twierdzeniu [[#R47|R47]], w którym pokazaliśmy, że na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie było fałszywe. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R49 
Jedyne miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> poza pasem <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math> to <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy już, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math> i dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math> (zobacz [[#R47|R47]] i [[#R48|R48]]). Do zbadania, jak zachowuje się funkcja <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, wykorzystamy równanie funkcyjne Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R47|R47]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R50 
Niech <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Jeżeli <math>z_0</math> jest miejscem zerowym funkcji <math>\zeta (z)</math>, to funkcja <math>\zeta (z)</math> zeruje się też w punktach <math>\overline{z_0}</math> i <math>1 - z_0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ponieważ <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\overline{z})</math> (zobacz [[#R38|R38]]) i z założenia <math>\zeta (z_0) = 0</math>, to

::<math>0 = \zeta (z_0) \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad 0 = \overline{\zeta (z_0)} = \zeta (\overline{z_0})</math>

Zatem <math>\overline{z_0}</math> jest miejscem zerowym funkcji dzeta.

'''Punkt 2.'''

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Ponieważ z założenia <math>\operatorname{Re}(z_0) \in (0, 1)</math>, to <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \neq 0</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R51 
Niech <math>\zeta (z_0) = 0</math>, gdzie <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Z twierdzenia [[#R50|R50]] wynika, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z_0) \neq {\small\frac{1}{2}}</math>, to istnieją trzy dodatkowe miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math>. Wypisując wszystkie cztery, mamy: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>, <math>1 - z_0</math>, <math>1 - \overline{z_0}</math>. W przypadku, gdy <math>\operatorname{Re}(z_0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, istnieje jedno dodatkowe miejsce zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> i tym razem mamy tylko: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>.

== Uzupełnienie ==

Twierdzenie R52* (o jednoznaczności różniczkowalnych funkcji zespolonych) 
Jeżeli funkcje zespolone <math>f</math> i <math>g</math> są różniczkowalne w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i są sobie równe w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z) = g (z)</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Twierdzenie R53* 
Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f(z) = 0</math> w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f (z) = 0</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Zadanie R54 
Udowodnić równoważność twierdzeń [[#R52|R52]] i [[#R53|R53]].

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''R52''' <math>\; \Large{\Longrightarrow} \;</math> '''R53''' 
Niech <math>f : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różniczkowalna w obszarze <math>D</math> oraz niech <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>.

Niech <math>g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie funkcją stałą taką, że <math>g(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>g(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcje <math>f, g</math> spełniają założenia twierdzenia [[#R52|R52]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>f(z) = g (z) \qquad \text{i} \qquad g(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = 0</math>

Co należało pokazać.

'''R52''' <math>\; \Large{\Longleftarrow} \;</math> '''R53''' 
Niech funkcje <math>f, g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będą różniczkowalne w <math>D</math> i równe w <math>E</math>.

Niech <math>h : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różnicą funkcji <math>f</math> i <math>g</math>: <math>h(z) = f (z) - g (z)</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>h(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>h(z) = f (z) - g (z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcja <math>h</math> spełnia założenia twierdzenia [[#R53|R53]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>h(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) - g (z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = g (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R55 
Twierdzenia [[#R52|R52]] i [[#R53|R53]] rodzą niezwykłe konsekwencje, które nie mają żadnych odpowiedników dla różniczkowalnych funkcji rzeczywistych. Niżej podamy kilka z nich.

Zadanie R56 
Pokazać, że jeżeli funkcja zespolona <math>f</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f</math> jest funkcją stałą w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z)</math> jest funkcją stałą dla wszystkich <math>z \in D</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>f(z) = c</math> dla każdego <math>z \in E</math>, gdzie <math>c</math> jest pewną liczbą zespoloną. Funkcja stała <math>g(z) = c</math> jest określona i różniczkowalna na całej płaszczyźnie <math>\mathbb{C}</math>, zatem <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>. Na mocy twierdzenia [[#R52|R52]] <math>f(z) = g (z) = c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Zauważmy, że z twierdzenia [[#R52|R52]] wynika znacznie więcej: jeżeli <math>f(z)</math> jest funkcją stałą na dowolnym, nawet bardzo małym odcinku, to jest stała w całym obszarze <math>D</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R57 
Niech <math>f(z)</math> będzie funkcją różniczkowalną w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math> i w pewnym punkcie <math>z_0 \in D</math> mamy <math>f(z_0) = c</math>, to istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że nie istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> musi istnieć taki punkt <math>z_{\varepsilon} \in \mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>, że <math>f (z_{\varepsilon}) = c</math> .

Weźmy ciąg <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math> dla <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.

Stwierdzamy, że

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_1 = 1</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, 1)</math> istnieje taki punkt <math>z_1</math>, że <math>f(z_1) = c</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{1}{2}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{2}})</math> istnieje taki punkt <math>z_2</math>, że <math>f(z_2) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{n}})</math> istnieje taki punkt <math>z_n</math>, że <math>f(z_n) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

Widzimy, że dla ciągu punktów <math>(z_n)</math> prawdziwy jest układ nierówności

::<math>0 < |z_n - z_0 | < {\small\frac{1}{n}}</math>

Z twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA24|ZA24]] i [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA21|ZA21]] p.2 otrzymujemy, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} |z_n - z_0 | = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z_0</math>

Ponieważ <math>f(z_n) = c</math>, gdzie <math>(z_n)</math> jest ciągiem zbieżnym do punktu <math>z_0 \in D</math>, to na mocy twierdzenia o jednoznaczności funkcja <math>f(z)</math> musi być funkcją stałą równą <math>c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Wbrew założeniu, że funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład R58 
Sformułowanie twierdzenia [[#R53|R53]] jest prostsze i dzięki temu natychmiast staje się widoczna przepaść między różniczkowalnością funkcji rzeczywistych a różniczkowalnością funkcji zespolonych. Przykładowo, funkcja

::<math>f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x \leqslant 0 \\
e^{- 1 / x} & \text{gdy } x > 0 \\
\end{cases}</math>

jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale z faktu, że jest równa zero dla <math>x</math> ujemnych, nic nie wynika. Zupełnie inaczej jest dla funkcji zespolonych – żądanie, aby funkcja była różniczkowalna, ''usztywnia'' funkcję w całej dziedzinie.

Zadanie R59 
Pokazać, że <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy funkcję <math>f(z) = \sin^2 \! z + \cos^2 \! z - 1</math> określoną i różniczkowalną na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech <math>E = (0, 1)</math> będzie otwartym odcinkiem na osi rzeczywistej. Wiemy, że dla każdego <math>z = x \in E</math> (czyli dla liczb rzeczywistych) jest

::<math>f(x) = \sin^2 \! x + \cos^2 \! x - 1 = 0</math>

Ponieważ funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna na <math>D</math> i zeruje się na <math>E</math>, to z twierdzenia [[#R53|R53]] <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>. Przenosząc jedynkę na prawą stronę, otrzymujemy dowodzoną tożsamość <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R60 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli istnieje funkcja <math>g : V \to \mathbb{C}</math> taka, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g</math> jest różniczkowalna w całym obszarze <math>V</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>

to powiemy, że funkcja <math>g</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>.

Zadanie R61 
Znaleźć przedłużenie analityczne funkcji <math>f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math> jest szeregiem geometrycznym zbieżnym w kole <math>| z | < 1</math>. Niech <math>U = \{ z : | z | < 1 \}</math>. Zatem funkcja <math>f</math> jest określona i różniczkowalna w <math>U</math>.

Rozważmy teraz funkcję <math>g(z) = {\small\frac{1}{1 - z}}</math>. Funkcja <math>g</math> jest określona w <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math> i różniczkowalna w <math>V</math>.

Wiemy, że <math>f(z) = g (z)</math> w obszarze <math>U</math>.

Wynika stąd, że funkcja <math>g(z)</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f(z)</math> do obszaru <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R62 (o jednoznaczności przedłużenia analitycznego) 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, to <math>g(z) = h (z)</math> dla każdego <math>z \in V</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, zatem z definicji są różniczkowalne w <math>V</math> oraz <math>g(z) = f (z)</math> i <math>h(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>, skąd wynika, że <math>g(z) = h (z)</math> w obszarze <math>U</math>. Z twierdzenia [[#R52|R52]] o jednoznaczności funkcji zespolonych otrzymujemy, że funkcje <math>g(z)</math> i <math>h(z)</math> są równe w całym obszarze <math>V</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of some functions over primes without R.H.'', (2010), ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', Ramanujan Journal, 45 (1) (January 2018), pp. 225-234.</ref>

<ref name="PlattTrudgian1">David Platt and Tim Trudgian, ''On the first sign change of ''<math>\theta ( x ) - x</math>, Mathematics of Computation, Vol. 85 (299) (2016), pp. 1539-1547</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

<ref name="Baselproblem1">Wikipedia, ''Basel problem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Generalizations_of_Euler's_method_using_elementary_symmetric_polynomials Wiki-en])</ref>

<ref name="Problembazylejski1">Wikipedia, ''Problem bazylejski'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680, ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf Link1‑de]), ([https://www.emis.de/classics/Riemann/Zeta.pdf Link2‑de]), ([https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf Link3‑en])</ref>

<ref name="PlattTrudgian2">David Platt and Tim Trudgian, ''The Riemann hypothesis is true up to'' <math>3 \cdot 10^{12}</math>, Bull. London Math. Soc., 53, (2021), pp. 792-797. ([https://arxiv.org/abs/2004.09765 LINK])</ref>

<ref name="RiemannSiegelZfunction1">Wikipedia, ''Z function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Z_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelThetaFunction1">Wikipedia, ''Riemann–Siegel theta function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelFunctions1">Wolfram MathWorld, ''Riemann-Siegel Functions'', ([https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html Wolfram])</ref>

<ref name="Hadamard1">Jacques Hadamard, ''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24 (1896), pp. 199-220, ([https://www.numdam.org/item/BSMF_1896__24__199_1 LINK])</ref>

<ref name="Poussin1">Charles-Jean de La Vallée Poussin, ''Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers'', Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Vol. 20 (1896), pp. 183–256, ([https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up LINK])</ref>

<ref name="Mertens1">Franz Mertens, ''Über eine Eigenschaft der Riemann'schen <math>\zeta</math>-Function'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Vol. 107 (1898), pp. 1429–1434, ([https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb11857678?q=%281898++Sitzungsberichte+der+Mathematisch-Naturwissenschaftlichen+Classe+der+Kaiserlichen+Akademie+der+Wissenschaften%29&page=1486,1487 LINK])</ref>

</references>

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

2026-09-18T10:29:30Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">06.04.2025</div>

__FORCETOC__

== Liczby zespolone ==

Definicja ZA1 
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\overline{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.

Uwaga ZA2 

Niech <math>z_1 = a + i b</math>, <math>z_2 = c + i d</math>. Czytelnik łatwo pokaże, że

::'''1.'''      <math>z_1 + z_2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)</math>

::'''2.'''      <math>z_1 \cdot z_2 = (a + i b) \cdot (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c)</math>

::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

::'''4.'''      <math>\overline{(\overline{z})} = z</math>

::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>

::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>

::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\overline{z}}}</math>

::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \overline{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \overline{z}}{2 i}}</math>

Definicja ZA3 
Niech <math>z = x + i y</math>. Liczbę <math>r = \sqrt{x^2 + y^2} = | z |</math> nazywamy modułem liczby zespolonej <math>z</math>. Jeżeli <math>z \neq 0</math>, to liczbę <math>\varphi</math> spełniającą układ równań

::<math>\begin{cases}
x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi \\
\end{cases}</math>

nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math>, co będziemy zapisywali jako <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.

Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.

Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa dla dowolnego <math>z</math> tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).

::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]

Twierdzenie ZA4 
Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy

::'''  1.'''      <math>| \overline{z} | = | z |</math>

::'''  2.'''      <math>| \operatorname{Re}(z) | \leqslant | z | \qquad \qquad | \operatorname{Im}(z) | \leqslant | z |</math>

::'''  3.'''      <math>| z |^2 = z \overline{z}</math>

::'''  4.'''      <math>| z_1 z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 |</math>

::'''  5.'''      <math>\left| {\small\frac{1}{z}} \right| = {\small\frac{1}{| z |}}</math>

::'''  6.'''      <math>| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \,\,</math> (równość zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]])

::'''  7.'''      <math>\left| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} | z_k |</math>

::'''  8.'''      <math>| | z_1 | - | z_2 | | \leqslant | z_1 - z_2 |</math>

::'''  9.'''      <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

::'''10.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad\qquad \;\;\; z_2 \neq 0</math>

::'''11.'''      <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)

::'''12.'''      <math>\arg \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \arg (z_1) - \arg (z_2) \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)

::'''13.'''      <math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

::'''14.'''      <math>\operatorname{Arg} \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

::'''15.'''      <math>\operatorname{Arg} (z_1) = \operatorname{Arg} (z_2) \qquad\qquad \Longleftrightarrow \qquad\qquad \arg (z_1) = \arg (z_2) + 2 k \pi</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 2.'''

::<math>| z | = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant \sqrt{a^2} = | a | = | \operatorname{Re}(z) |</math>

'''Punkt 4.'''

::<math>| z_1 z_2 | = | (a_1 + i b_1) (a_2 + i b_2) |</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = | a_1 a_2 - b_1 b_2 + i (a_1 b_2 + a_2 b_1) |</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1 a_2 - b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 (a_2)^2 - 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + (b_1)^2 (b_2)^2 + (a_1)^2 (b_2)^2 + 2 a_1 b_2 a_2 b_1 + (b_1)^2 (a_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 (a_2)^2 + (b_1)^2 (b_2)^2 + (a_1)^2 (b_2)^2 + (b_1)^2 (a_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{[(a_1)^2 + (b_1)^2] \cdot [(a_2)^2 + (b_2)^2]}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 + (b_1)^2} \cdot \sqrt{(a_2)^2 + (b_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = | z_1 | \cdot | z_2 |</math>

'''Punkt 6.'''

Wzór jest prawdziwy w przypadku, gdy <math>z_1 = z_2 = 0</math>. Możemy zatem założyć, że przynajmniej jedna z liczb <math>z_1, z_2</math> jest różna od zera.

::<math>| z_1 + z_2 |^2 = (z_1 + z_2) \overline{(z_1 + z_2)}</math>

::::<math>\;\;\;\;\,\, = (z_1 + z_2) (\overline{z_1} + \overline{z_2})</math>

::::<math>\;\;\;\;\,\, = z_1 \overline{z_1} + z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}</math>

Zauważmy, że

::<math>z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} = z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1 \overline{z_2}} = 2 \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2})</math>

Zatem

::<math>| z_1 + z_2 |^2 = | z_1 |^2 + 2 \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2}) + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant | z_1 |^2 + 2 | z_1 \overline{z_2} | + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant | z_1 |^2 + 2 | z_1 | | z_2 | + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant (| z_1 | + | z_2 |)^2</math>

Wynika stąd, że

::<math>[| z_1 + z_2 | - (| z_1 | + | z_2 |)] \cdot [| z_1 + z_2 | + (| z_1 | + | z_2 |)] \leqslant 0</math>

Czyli

::<math>| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 7.'''

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 1, 2</math>. Zakładając prawdziwość wzoru dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\left| \sum_{k = 1}^{n + 1} z_k \right| = \left| \left( \sum_{k = 1}^{n} z_k \right) + z_{n + 1} \right|</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \left| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right| + | z_{n + 1} |</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \sum_{k = 1}^{n} | z_k | + | z_{n + 1} |</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \sum_{k = 1}^{n + 1} | z_k |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 8.'''

Z punktu 6. otrzymujemy

::<math>| z_1 | = | z_1 - z_2 + z_2 | \leqslant | z_1 - z_2 | + | z_2 |</math>

::<math>| z_2 | = | z_2 - z_1 + z_1 | \leqslant | z_2 - z_1 | + | z_1 | = | z_1 - z_2 | + | z_1 |</math>

Zatem

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | z_1 | - | z_2 |</math>

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | z_2 | - | z_1 | = - (| z_1 | - | z_2 |)</math>

Zbierając

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant \pm (| z_1 | - | z_2 |)</math>

Czyli

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | | z_1 | - | z_2 | |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 9.'''

::<math>z_1 z_2 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \cdot r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>

:::<math>\;\:\, = r_1 r_2 (\cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2 + i (\sin \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 + \cos \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2))</math>

:::<math>\;\:\, = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

'''Punkt 10.'''

::<math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)}{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot {\small\frac{(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) (\cos \varphi_2 - i \sin \varphi_2)}{(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_2 - i \sin \varphi_2)}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot {\small\frac{\cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2 + i (\sin \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 - \cos \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2)}{\cos^2 \varphi_2 + \sin^2 \varphi_2}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2))</math>

'''Punkty 11. i 12.'''

Wzory wynikają natychmiast z punktów 9. i 10. Ponieważ <math>\arg (z)</math> jest określony z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>, to równanie

::<math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>

nie może być określone dokładniej. Zauważmy, że z tego wzoru wynikają stwierdzenia

Jeżeli <math>\arg (z_1)</math> jest argumentem <math>z_1</math> i <math>\arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_2</math>, to <math>\arg (z_1) + \arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>.

Jeżeli <math>\arg (z_1 z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie <math>\arg (z_1)</math> i <math>\arg (z_2)</math>, że <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>.

Analogicznie dla ilorazu liczb zespolonych i różnicy ich argumentów.

'''Punkt 13. i 14.'''

Z definicji argumentu głównego mamy

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) \leqslant \pi \qquad\qquad\qquad\qquad (\ast)</math>

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi \qquad\qquad\qquad\quad \;\;\: (\ast \ast)</math>

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1 z_2) \leqslant \pi</math>

Z p.11 wiemy, że suma <math>\operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2)</math> jest argumentem iloczynu <math>z_1 z_2</math>, ale nie musi być to argument główny. Ze wzorów <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math> widzimy, że

::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>

Zatem możliwe są trzy przypadki

:*&emsp; jeżeli <math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi</math>, to suma argumentów tworzy argument główny liczby <math>z_1 z_2</math> i nie musimy nic robić

:*&emsp; jeżeli <math>\pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy od sumy argumentów odjąć <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

:*&emsp; jeżeli <math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant - \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy do sumy argumentów dodać <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

Zbierając, możemy napisać

::<math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi</math>, gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

Dla dowodu p.14 wystarczy zauważyć, że ze wzorów

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) \leqslant \pi</math>

::<math>- \pi \leqslant - \operatorname{Arg} (z_2) < \pi</math>

Dostajemy oszacowanie

::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) < 2 \pi</math>

Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.

'''Punkt 15.'''

<math>\Large{\Longrightarrow}</math>

Z definicji argumentu ogólnego możemy zapisać:

::<math>\arg (z_1) = \operatorname{Arg} (z_1) + 2 m \pi</math>

::<math>\arg (z_2) = \operatorname{Arg} (z_2) + 2 n \pi</math>

gdzie <math>m, n \in \mathbb{Z}</math>. Zatem

::<math>\arg (z_1) - \arg (z_2) = 2 (m - n) \pi</math>

Czyli różnica <math>\arg (z_1) - \arg (z_2)</math> jest wielokrotnością <math>2 \pi</math>.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że <math>\operatorname{Arg} (z_1) \neq \operatorname{Arg} (z_2)</math>. Mamy

::<math>| \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) | = | \arg (z_1) - 2 m \pi - (\arg (z_2) - 2 n \pi) |</math>

::::::::<math>\, = | (\arg (z_1) - \arg (z_2) - 2 k \pi) + (2 k \pi - 2 m \pi + 2 n \pi) |</math>

::::::::<math>\, = 2 | k - m + n | \pi > 0</math>

Ponieważ <math>k - m + n</math> jest liczbą całkowitą, to musi być <math>2 | k - m + n | \pi \geqslant 2 \pi</math>. Co jest niemożliwe, bo <math>| \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg}
(z_2) | < 2 \pi</math>. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że nasze przypuszczenie było fałszywe. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA5 (Abraham de Moivre, 1707) 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>\varphi = \arg z</math>. Mamy

::<math>z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wzór de Moivre'a jest uogólnieniem wzoru na iloczyn liczb zespolonych (zobacz [[#ZA4|ZA4]] p. 9)

::<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

Indukcja matematyczna. Wzór de Moivre'a jest prawdziwy dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość wzoru dla <math>n \geqslant 1</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>z^{n + 1} = z^n z</math>

:::<math>\;\;\, = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) \cdot | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

:::<math>\;\;\, = | z |^{n + 1} (\cos (n + 1) \varphi + i \sin (n + 1) \varphi)</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA6 
Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli <math>z^n = w</math>, to powiemy, że <math>z</math> jest pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>w</math>. Liczbę <math>z</math>, dla której <math>\operatorname{Arg} (z) = {\small\frac{\operatorname{Arg} (w)}{n}}</math>, będziemy nazywali wartością główną pierwiastka lub pierwiastkiem głównym.

Zadanie ZA7 
Pokazać, że ze wzoru de Moivre'a wynika następujący wzór na pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>

::<math>z^{1/n} = \sqrt[n]{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right)</math>

gdzie <math>\varphi = \arg z</math>. Zauważmy, że dla <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math> otrzymujemy <math>n</math> różnych pierwiastków <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>w</math> będzie pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>z</math>. Z definicji <math>w^n = z</math>. Jeżeli zapiszemy liczby <math>z</math> i <math>w</math> jako

::<math>z = R (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

::<math>w = r (\cos \theta + i \sin \theta)</math>

to równanie <math>w^n = z</math> możemy zapisać w postaci

::<math>r^n (\cos n \theta + i \sin n \theta) = R (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

Porównując część rzeczywistą i część urojoną, dostajemy

::<math>r^n \cos n \theta = R \cos \varphi</math>

::<math>r^n \sin n \theta = R \sin \varphi</math>

Mnożąc strony przez siebie, mamy

::<math>r^n R \sin n \theta \cos \varphi = r^n R \cos n \theta \sin \varphi</math>

Skąd dostajemy

::<math>\sin n \theta \cos \varphi - \cos n \theta \sin \varphi = \sin (n \theta - \varphi) = 0</math>

Zatem

::<math>n \theta = \varphi + 2 k \pi</math>

i oczywiście

::<math>r = \sqrt[n]{R}</math>

Wszystkie wartości <math>\theta</math> wynikają z równania

::<math>\theta = {\small\frac{\varphi}{n}} + {\small\frac{2 k \pi}{n}}</math>

gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Pozostałym wartościom <math>k</math> odpowiadają kąty <math>\theta</math>, które różnią się o <math>2 \pi</math> od pewnego wypisanego wyżej kąta <math>\theta</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga ZA8 
Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać

::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{| z |} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) \right]</math>

Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.

Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość

::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

Dla przykładu możemy napisać

::<math>z^{1 / 2} = \left\{ \sqrt{z}, \, - \sqrt{z} \right\} \qquad z^{1 / 3} = \left\{ \sqrt[3]{z}, \, \varepsilon \cdot \sqrt[3]{z}, \, \varepsilon^2 \cdot \sqrt[3]{z} \right\} \qquad z^{1 / 4} = \left\{ \sqrt[4]{z}, \, i \cdot \sqrt[4]{z}, \, - \sqrt[4]{z}, \, - i \cdot \sqrt[4]{z} \right\}</math>

gdzie <math>\sqrt{z}, \, \sqrt[3]{z}, \, \sqrt[4]{z}</math> są wartościami głównymi pierwiastka drugiego, trzeciego i czwartego stopnia, a <math>\varepsilon = - {\small\frac{1}{2}} + i \cdot {\small\frac{\sqrt{3}}{2}}</math>.

Czytelnik zechce sprawdzić, że wprost z definicji wartości głównej pierwiastka drugiego stopnia wynika następujący warunek równoważny tej definicji

::<math>\operatorname{Re}\left( \sqrt{z} \right) > 0 \qquad \text{ lub } \qquad \left( \, \operatorname{Re}\left( \, \sqrt{z} \right) = 0 \quad \text{i} \quad \operatorname{Im}\left( \sqrt{z} \right) > 0 \, \right)</math>

Widzimy natychmiast, że <math>\sqrt{z}</math> jest naturalnym rozszerzeniem rzeczywistego pierwiastka (dla liczb dodatnich daje zwykłe, dodatnie wyniki). Powyższy warunek często zapisywany jest w niepełnej wersji: <math>\operatorname{Re}\left( \sqrt{z} \right) > 0</math>. Taki zapis może też oznaczać, że chcemy rozważać funkcję <math>\sqrt{z}</math> na zbiorze otwartym.

Zadanie ZA9 
Załączone wykresy przedstawiają pierwiastki drugiego, trzeciego i czwartego stopnia z liczb <math>1, - 1, i, - i</math>. Obejrzyj wykresy i wskaż wartości główne odpowiednich pierwiastków. Zauważmy, że liczba <math>- 1</math> '''nie jest''' wartością główną pierwiastka trzeciego stopnia z <math>- 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:Roots-of-plus-1.png|600px|none]]
[[File:Roots-of-minus-1.png|600px|none]]
</div> 
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:Roots-of-plus-i.png|600px|none]]
[[File:Roots-of-minus-i.png|600px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA10 
Obliczyć

::<math>\text{a)} \;\; (1 - i)^{100} \qquad \qquad \text{b)} \;\; z^{1/2} \qquad \qquad \text{c)} \;\; 2^{1/6} \qquad \qquad \text{d)} \;\; (1+i)^{1/4}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
a) Liczbę <math>1 - i</math> możemy zapisać w postaci

::<math>1 - i = \sqrt{2} \left( \cos \left( - {\small\frac{\pi}{4}} \right) + i \sin \left( - {\small\frac{\pi}{4}} \right) \right)</math>

Zatem ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy

::<math>(1 - i)^{100} = \left( \sqrt{2} \right)^{100} (\cos (- 25 \pi) + i \sin (- 25 \pi)) = - 2^{50}</math>

b) Z zadania [[#ZA7|ZA7]] wynika natychmiast, że wszystkie pierwiastki drugiego stopnia z liczby <math>z</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>z^{1/2} = \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{2}} \right)</math>

gdzie <math>\varphi = \arg (z)</math> i <math>k = 0, 1</math>. Zatem są to liczby

::<math>w_1 = \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right)</math>

::<math>w_2 = \sqrt{| z |} \left( \cos \left( {\small\frac{\varphi}{2}} + \pi \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi}{2}} + \pi \right) \right) = \sqrt{| z |} \left( - \cos {\small\frac{\varphi}{2}} - i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right) = - \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right) = - w_1</math>

I takiego wyniku należało oczekiwać.

c) Wszystkie pierwiastki <math>6</math>-tego stopnia z liczby <math>2</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>\sqrt[6]{2} \left( \cos {\small\frac{k \pi}{3}} + i \sin {\small\frac{k \pi}{3}} \right)</math>

gdzie <math>k = 0, 1, 2, 3, 4, 5</math>. Łatwo znajdujemy, że poszukiwanymi pierwiastkami są liczby

::<math>\sqrt[6]{2} \qquad \sqrt[6]{2} \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad \sqrt[6]{2} \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad - \sqrt[6]{2} \qquad \sqrt[6]{2} \left( - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad \sqrt[6]{2} \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right)</math>

d) Ponieważ <math>\operatorname{Arg}(1 + i) = {\small\frac{\pi}{4}}</math>, to liczbę <math>1 + i</math> możemy zapisać w postaci

::<math>1 + i = \sqrt{2} \left( \cos {\small\frac{\pi}{4}} + i \sin {\small\frac{\pi}{4}} \right)</math>

Wszystkie pierwiastki <math>4</math>-tego stopnia z liczby <math>1 + i</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>\sqrt[8]{2} \left( \cos \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) \right)</math>

gdzie <math>k = 0, 1, 2, 3</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład ZA11 
W przypadku liczb zespolonych łatwo jest napisać nierówności, które mają być spełnione, ale trudniej wyobrazić sobie ich rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Ogromnym ułatwieniem jest oprogramowanie WolframAlpha dostępne online. Podamy kilka przykładów.

:*    <math>1 < | z |^2 < 4</math>, czyli <math>\; 1 < x^2 + y^2 < 4</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+1%3C+%7Cx%7C%5E2%2B%7Cy%7C%5E2%3C4 WolframAlpha])

:*    <math>| z |^2 < 1 \;</math> i <math>\; \operatorname{Im}(z) > 0</math>, czyli <math>\; x^2 + y^2 < 1 \;</math> i <math>\; y > 0</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3C1+and+y%3E0 WolframAlpha])

:*    <math>| z |^2 < 1 \;</math> i <math>\; \operatorname{Im}(z) > \operatorname{Re}(z)</math>, czyli <math>\; x^2 + y^2 < 1 \;</math> i <math>\; y > x</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3C1+and+y%3Ex WolframAlpha])

:*    <math>| z | = \arg (z)</math>, czyli <math>\; r = \varphi</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=polar+plot+r%3Dphi WolframAlpha])

:*    <math>| z | = 1 + \cos (\operatorname{Arg}(z))</math>, czyli <math>\; r = 1 + \cos \varphi</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=polar+plot+r%3D1%2Bcos+phi WolframAlpha])

== Ciągi nieskończone liczb zespolonych ==

Definicja ZA12 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Jeżeli każdej liczbie <math>n</math> przypiszemy pewną liczbę zespoloną <math>c_n</math>, to powiemy, że liczby <math>c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots</math> tworzą ciąg nieskończony o wyrazach zespolonych.

Definicja ZA13 
Ciąg nieskończony <math>c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots</math> będziemy oznaczać symbolem <math>(c_n)</math>. Często, o ile nie będzie to prowadziło do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywali po prostu ciągiem.

Definicja ZA14 
Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>, to powiemy, że <math>c</math> jest granicą ciągu <math>(c_n)</math> i w takim przypadku będziemy pisali <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c</math>. Ciąg mający skończoną granicę będziemy nazywali zbieżnym.

Uwaga ZA15 
Porównajmy. W przypadku nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_n)</math> mieliśmy taki obrazek granicy

::[[File: Real-limit-of-a-sequence.png|600px|none]]

Pomimo formalnego podobieństwa definicji, w przypadku liczb zespolonych obrazek wygląda tak

::[[File: Complex-limit-of-a-sequence.png|400px|none]]

Definicja ZA16 
Niech <math>a_n, b_n \in \mathbb{R}\; </math> i <math>\; c_n \in \mathbb{C}</math>. Ciągi <math>(a_n)</math>, <math>(b_n)</math>, <math>(c_n)</math> mają granice niewłaściwe, jeżeli dla dowolnego <math>M > 0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::●      <math>a_n > M \qquad \;\;\,</math> (ciąg <math>(a_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>+ \infty</math>)

::●      <math>b_n < - M \qquad</math> (ciąg <math>(b_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>- \infty</math>)

::●      <math>| c_n | > M \qquad \:</math> (ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>\infty</math>)

Powiemy wtedy, że

::●      ciąg <math>(a_n)</math> jest rozbieżny do plus nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = + \infty</math>

::●      ciąg <math>(b_n)</math> jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = - \infty</math>

::●      ciąg <math>(c_n)</math> jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \infty</math>

Przykład ZA17 
Ciąg <math>a_n = 1 + {\small\frac{1}{n}}</math> jest zbieżny do liczby <math>1</math>. Istotnie, dla dowolnego <math>\varepsilon > 0 \;</math> i <math>\; N_0 = \left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1</math> dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| a_n - 1 | < \varepsilon</math>. Co łatwo sprawdzamy

::<math>| a_n - 1 | = \left| {\small\frac{1}{n}} \right| = {\small\frac{1}{n}} < {\small\frac{1}{N_0}} = \frac{1}{\left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1} < \frac{1}{{\small\frac{1}{\varepsilon}}} = \varepsilon</math>

Ciąg <math>a_n = n^2</math> jest rozbieżny do plus nieskończoności. Istotnie, dla dowolnego <math>M > 0 \;</math> i <math>\; N_0 = \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1</math> dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>a_n > M</math>. Co łatwo sprawdzamy

::<math>a_n = n^2 > N^2_0 = \left( \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1 \right)^2 > \left( \sqrt{M} \right)^2 = M</math>

Twierdzenie ZA18 
Niech <math>c_n = a_n + i b_n</math> oraz <math>c = a + i b</math>. Ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę <math>c</math> wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> mają granice <math>a</math> i <math>b</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę równą <math>c</math>, zatem z definicji granicy ciągu dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Korzystając z definicji modułu, otrzymujemy kolejno nierówności prawdziwe dla <math>n > N_0</math>

::<math>\sqrt{(a_n - a)^2 + (b_n - b)^2} < \varepsilon</math>

Tym bardziej

::<math>\sqrt{(a_n - a)^2} < \varepsilon \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \sqrt{(b_n - b)^2} < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>| a_n - a | < \varepsilon \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad | b_n - b | < \varepsilon</math>

Z definicji granicy otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 
Z założenia <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>. Z definicji granicy ciągów <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math>
dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math> oraz <math>| b_n - b | <
\frac{\varepsilon}{2}</math>. Zatem dostajemy dla <math>n > N_0</math>

::<math>| c_n - c | = | (a_n - a) + i (b_n - b) |</math>

::::<math>\;\; \leqslant | a_n - a | + | i (b_n - b) |</math>

::::<math>\;\; \leqslant | a_n - a | + | b_n - b |</math>

::::<math>\;\; < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

::::<math>\;\; = \varepsilon</math>

Z definicji granicy otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA19 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Ciąg <math>(a_n)</math> liczb rzeczywistych będziemy nazywali
::*     ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \geqslant a_n</math>
::*     ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \leqslant a_n</math>

Ciągi rosnące dzielimy na
:::*     ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} > a_n</math>
:::*     ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>

Ciągi malejące dzielimy na
:::*     ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} < a_n</math>
:::*     ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>

Zadanie ZA20 
Jeżeli <math>(a_k)</math> jest malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>, to <math>a_k \geqslant g</math> dla wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>.

Jeżeli <math>(a_k)</math> jest silnie malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>, to <math>a_k > g</math> dla wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz <math>a_m</math>, że <math>a_m < g</math>. Wybierzmy liczby <math>r \;</math> i <math>\; \varepsilon</math> tak, aby <math>a_m < r < g \;</math> i <math>\; \varepsilon = g - r > 0</math>. Zatem istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::<math>| a_n - g | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>- \varepsilon < a_n - g < \varepsilon</math>

::<math>g - \varepsilon < a_n < \varepsilon + g</math>

Z lewej nierówności wynika, że

::<math>a_n > g - \varepsilon = r > a_m</math>

Ponieważ wskaźnik <math>m</math> był liczbą ustaloną, a <math>n > N_0</math> może być dowolnie duże, to istnieje takie <math>n > m</math>, że <math>a_n > a_m</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem malejącym.

'''Punkt 2.'''

Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz <math>a_m</math>, że <math>a_m \leqslant g</math>. Jeżeli <math>a_m < g</math>, to postępujemy tak jak wyżej i otrzymujemy, że istnieje takie <math>n > m</math>, że <math>a_n > a_m</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem silnie malejącym.

Rozważmy przypadek, gdy <math>a_m = g</math>. Ponieważ ciąg <math>(a_k)</math> jest z założenia ciągiem silnie malejącym, to <math>a_{m + 1} < a_m = g</math>. Powtarzając rozumowanie z punktu 1. dla wyrazu <math>a_{m + 1}</math>, otrzymujemy, że istnieje takie <math>n > m +
1</math>, że <math>a_n > a_{m + 1}</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem silnie malejącym. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA21 
Niech <math>c_n \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} (c_n - c) = 0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n - c | = 0</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \qquad \qquad \: \Longrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c |</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Z definicji granicy ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny do <math>c</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Warunek ten możemy w sposób równoważny zapisać w postaci <math>| (c_n - c) - 0 | < \varepsilon \;</math> lub <math>\; | | c_n - c | - 0 | < \varepsilon</math>. Skąd natychmiast wynika wypisany ciąg równoważności.

'''Punkt 2.'''

Jest to jedynie szczególny przypadek punktu 1. dla <math>c = 0</math>.

'''Punkt 3.'''

Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny do <math>c</math>, czyli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>.

Wiemy, że dla dowolnych liczb zespolonych <math>z_1 \,</math> i <math>\, z_2</math> prawdziwa jest nierówność (zobacz [[#ZA4|ZA4]] p. 8)

::<math>| | z_1 | - | z_2 | | \leqslant | z_1 - z_2 |</math>

Zatem dla <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| | c_n | - | c | | < \varepsilon</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA22 
Powiemy, że ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista <math>M</math>, że <math>| c_n | \leqslant M</math> dla wszystkich <math>n \geqslant 0 </math>.

Twierdzenie ZA23 
Jeżeli ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest zbieżny, to jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny. Z definicji granicy dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| | c_n | - | c | | \leqslant | c_n - c | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>- \varepsilon < | c_n | - | c | < \varepsilon</math>

::<math>| c_n | < | c | + \varepsilon</math>

Wynika stąd, że dla <math>n \geqslant 1</math> jest

::<math>| c_n | < M</math>

gdzie <math>M = \max (| c_1 |, \ldots, | c_{N_0} |, | c | + \varepsilon)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA24 (twierdzenie o trzech ciągach) 
Niech <math>(x_n)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek

::<math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>

oraz

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g</math>

to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji zbieżności ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> wynika, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieją takie liczby <math>N_a \,</math> i <math>\, N_b</math>, że

::<math>| a_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a</math>

::<math>| b_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b</math>

Czyli

::<math>g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a</math>

::<math>g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b</math>

Z założenia nierówność <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math> jest spełniona dla <math>n > N_0</math>. Niech <math>N_1 = \max (N_0, N_a, N_b)</math>. Zatem dla <math>n > N_1</math>
spełnione są jednocześnie nierówności

:*    <math>g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon</math>

:*    <math>g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon</math>

:*    <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>

Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności

::<math>g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon</math>

Co oznacza, że dla <math>n > N_1</math> zachodzi

::<math>g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon</math>

Czyli <math>| x_n - g | < \varepsilon</math>, co oznacza, że ciąg <math>(x_n)</math> jest zbieżny i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA25 
Niech <math>(c_n)</math> i <math>(z_n)</math> będą ciągami liczb zespolonych oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z_n = 0</math>. Pokazać, że jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek <math>| c_n | \leqslant | z_n |</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = | c_n |</math> i <math>t_n = | z_n |</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz [[#ZA21|ZA21]] p.2). Z założenia mamy

::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>. Ponownie korzystając z [[#ZA21|ZA21]] p.2, otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA26 
Niech <math>c \in \mathbb{C}</math> będzie pewną stałą zespoloną. Jeżeli ciągi <math>(w_n) \,</math> i <math>\, (z_n)</math> liczb zespolonych są zbieżne oraz <math>\lim_{n \rightarrow +
\infty} w_n = w \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z</math>, to

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (c w_n) = c w</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \pm z_n) = w \pm z</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z</math>

Jeżeli dodatkowo <math>z_n \neq 0</math> dla wszystkich <math>n \geqslant 1 \;</math> i <math>\; z \neq 0</math>, to

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{w_n}{z_n}} = {\small\frac{w}{z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Jeżeli <math>c = 0</math>, to ciąg <math>(c w_n)</math> składa się z samych zer i ma granicę równą zero – twierdzenie jest prawdziwe. Możemy zatem założyć, że <math>c \neq 0</math>. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(w_n)</math> wynika, że istnieje liczba <math>N_0</math> taka, że dla <math>n > N_0</math>

::<math>| w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{| c |}}</math>

Zatem dla <math>n > N_0</math> mamy

::<math>| (c w_n) - (c w) | = | c | | w_n - w | < \varepsilon</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granic ciągów <math>(w_n) \,</math> i <math>\, (z_n)</math> wynika, że istnieją liczby <math>N_1 \,</math> i <math>\, N_2</math> takie, że

::<math>| w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1</math>

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| (w_n + z_n) - (w + z) | = | (w_n - w) + (z_n - z) | \leqslant | w_n - w | + | z_n - z | = {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Wynika stąd, że ciąg <math>(w_n + z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>w + z</math>. Z punktu 1. wynika natychmiast, że ciąg <math>(- z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>- z</math>. Zatem ciąg <math>(w_n - z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>w - z</math>.

'''Punkt 3.'''

Rozpoczniemy od dowodu prostszego przypadku i pokażemy, że iloczyn ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> zbieżnych do zera jest zbieżny do zera. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granic ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> wynika, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieją liczby <math>N_1 \,</math> i <math>\, N_2</math> takie, że

::<math>| a_n | < \sqrt{\varepsilon} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1</math>

::<math>| b_n | < \sqrt{\varepsilon} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| a_n b_n | = | a_n | \cdot | b_n | < \varepsilon</math>

Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z \;</math> w przypadku, gdy obydwa ciągi są zbieżne do zera.

Dowodząc przypadek ogólny, wykorzystamy fakt, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n - w) = 0 \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n - z) = 0</math>. Zatem

::<math>0 = \lim_{n \rightarrow \infty} ((w_n - w) (z_n - z))</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n - w_n z - w z_n + w z)</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z) - \lim_{n \rightarrow \infty} (w z_n) + \lim_{n \rightarrow \infty} (w z)</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - z \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n) - w \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n) + w z</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - w z</math>

Co kończy dowód.

'''Punkt 4.'''

Dla dowodu wystarczy pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{z_n}} = {\small\frac{1}{z}}</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(z_n)</math> wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>, zatem w szczególności dla <math>\varepsilon = {\small\frac{1}{2}} | z |</math>, istnieje takie <math>N_1</math>, że dla każdego <math>n > N_1</math> jest

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

Ponieważ <math>| z_n - z | \geqslant | | z_n | - | z | |</math>, to

::<math>| | z_n | - | z | | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

Czyli

::<math>- {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | - | z | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

::<math>\;\;\: {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | < {\small\frac{3}{2}} | z |</math>

Z lewej nierówności wynika, że dla każdego <math>n > N_1</math> mamy

::<math>{\small\frac{1}{| z_n |}} < {\small\frac{2}{| z |}}</math>

Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(z_n)</math> wynika, że istnieje liczba <math>N_2</math> taka, że dla każdego <math>n > N_2</math> jest

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>\left| {\small\frac{1}{z_n}} - {\small\frac{1}{z}} \right| = \left| {\small\frac{z - z_n}{z_n z}} \right| = {\small\frac{| z_n - z |}{| z_n | | z |}} < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon \cdot {\small\frac{2}{| z |}} \cdot {\small\frac{1}{| z |}} = \varepsilon</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA27 
Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(z_n)</math> jest ograniczony, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (z_n \cdot c_n) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wystarczy pokazać, że (zobacz [[#ZA21|ZA21]] p. 2)

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | z_n \cdot c_n | = 0</math>

Z założenia ciąg <math>(z_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że <math>| z_n | \leqslant M</math>. Zatem prawdziwe jest oszacowanie

::<math>0 \leqslant | z_n \cdot c_n | \leqslant | c_n | \cdot M</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | z_n \cdot c_n | = 0</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA28 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| x | < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} 0^n = 0 \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} 1^n = 1</math>. Mamy <math>(- 1)^{2 k} = + 1 \;</math> i <math>\; (- 1)^{2 k + 1} = - 1</math>, zatem granica <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (- 1)^n</math> nie istnieje.

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{x > 1}</math>'''

::<math>x^n = [1 + (x - 1)]^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (x - 1)^k > n (x - 1)</math>

Ponieważ <math>x^n > n (x - 1)</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = + \infty</math>.

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{0 < x < 1}</math>'''

Ponieważ <math>{\small\frac{1}{x}} > 1</math>, to możemy ponownie zastosować wzór z punktu 1.

::<math>\left( {\small\frac{1}{x}} \right)^n = {\small\frac{1}{x^n}} > n \left( {\small\frac{1}{x}} - 1 \right)</math>

Czyli

::<math>0 < x^n < {\small\frac{1}{n}} \cdot {\small\frac{x}{1 - x}}</math>

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math>.

'''3. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{- 1 < x < 0}</math>'''

Mamy

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = \lim_{n \rightarrow \infty} (- | x |)^n = \lim_{n \rightarrow \infty} ((- 1)^n | x |^n) = 0</math>

Bo <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = 0</math>, a ciąg <math>(- 1)^n</math> jest ciągiem ograniczonym (zobacz [[#ZA27|ZA27]]).

'''4. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{x < - 1}</math>'''

Ponieważ <math>x = - | x | \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = + \infty</math>, to ciąg <math>(x^n)</math> jest w tym przypadku rozbieżny. Dla parzystych <math>n</math> dąży do plus nieskończoności, a dla nieparzystych <math>n</math> dąży do minus nieskończoności. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA29 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Granica <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z^n = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z | < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>. Mamy <math>z = | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>, zatem

::<math>z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math>

Ponieważ <math>\cos n \varphi</math> oraz <math>\sin n \varphi</math> nie mogą być jednocześnie równe zero (bo mielibyśmy wtedy <math>\cos^2 \! n \varphi + \sin^2 \! n \varphi = 0</math>), to <math>| z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math> dąży do zera wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z |^n</math> dąży do zera, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z | < 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA30 
Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{a > 1}</math>'''

Niech <math>a^{1 / n} = 1 + d_n</math>. Ze wzoru dwumianowego dostajemy

::<math>a = (1 + d_n)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (d_n)^k > n d_n</math>

Zatem

::<math>0 < d_n < {\small\frac{a}{n}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>.

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{0 < a < 1}</math>'''

Ponieważ <math>{\small\frac{1}{a}} > 1</math>, to na podstawie punktu 1. dostajemy

::<math>1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( {\small\frac{1}{a}} \right)^{1 / n} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{a^{1 / n}}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a^{1 / n}}</math>

Czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA31 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{z} = 1</math>, gdzie <math>\sqrt[n]{z}</math> jest wartością główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math> (zobacz [[#ZA8|ZA8]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla uproszczenia zapisu oznaczmy <math>\varphi = \operatorname{Arg} (z)</math>. Z definicji wartości głównej pierwiastka mamy

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right)</math>

Zatem

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{z} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \sqrt[n]{| z |} \cdot \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) \right] = \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{| z |} \right) \cdot \left[ \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \cos {\small\frac{\varphi}{n}} \right) + i \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) \right] = 1</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA32 
Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>n^{1 / n} = 1 + d_n</math>. Ze wzoru dwumianowego dostajemy

::<math>n = (1 + d_n)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (d_n)^k > {\small\frac{n (n - 1)}{2}} \cdot (d_n)^2</math>

Zatem

::<math>0 < d_n < \sqrt{{\small\frac{2}{n - 1}}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0</math>, skąd wynika, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA33 
Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (n!)^{1 / n} = + \infty</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że

::<math>(n!)^2 = [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots (n - 1) \cdot n] \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots (n - 1) \cdot n]</math>

:::<math>\;\;\:\, = [1 \cdot n] \cdot [2 \cdot (n - 1)] \cdot [3 \cdot (n - 2)] \cdot \ldots \cdot [(n - 1) \cdot 2] \cdot [n \cdot 1]</math>

:::<math>\;\;\:\, = \prod^n_{k = 1} k \cdot (n - k + 1)</math>

Łatwo widzimy, że dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, n - 1, n</math> prawdziwa jest nierówność <math>k \cdot (n - k + 1) \geqslant n</math>, bo w równoważnej nierówności <math>(k - 1) (n - k) \geqslant 0</math> obydwa czynniki są nieujemne. Zatem <math>(n!)^2 \geqslant n^n</math>, czyli <math>n! \geqslant \sqrt{n^n} \;</math> i <math>\; (n!)^{1 / n} \geqslant \sqrt{n}</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = + \infty</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Podciągi, punkty skupienia, granica dolna i górna ==

Definicja ZA34 
Jeżeli <math>(c_k)</math> jest ciągiem nieskończonym liczb zespolonych i <math>\left( {k_j} \right)</math> jest silnie rosnącym ciągiem nieskończonym liczb naturalnych, to powiemy, że ciąg <math>(c_{k_j})</math> jest nieskończonym podciągiem ciągu <math>(c_k)</math>.

Przykład ZA35 
Ciąg <math>(c_{2 k})</math>, czyli ciąg postaci <math>c_2, c_4, c_6 \ldots</math> i ciąg <math>(c_{2^k})</math>, czyli ciąg postaci <math>c_2, c_4, c_8 \ldots</math> są podciągami ciągu <math>(c_k)</math>. Ciąg <math>c_2, c_8, c_4, c_{32}, c_{16}, \ldots</math> nie jest podciągiem, bo kolejne wskaźniki nie tworzą ciągu silnie rosnącego.

Pociągami ciągu <math>c_n = (- 1)^n</math> są ciągi <math>(1, 1, 1, \ldots) \;</math> i <math>\; (- 1, - 1, - 1, \ldots)</math>. Widzimy, że ciąg, który nie jest zbieżny, ma zbieżne podciągi. Oczywiście każdy podciąg ciągu zbieżnego jest ciągiem zbieżnym.

Definicja ZA36 
Powiemy, że liczba <math>c</math> jest punktem skupienia ciągu liczb zespolonych <math>(c_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(c_k)</math> zbieżny do <math>c</math>. 
Powiemy, że <math>+ \infty</math> jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(a_k)</math> rozbieżny do <math>+ \infty</math>. 
Powiemy, że <math>- \infty</math> jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(a_k)</math> rozbieżny do <math>- \infty</math>.

Przykład ZA37 
Punktami skupienia ciągu <math>a_k = (- 1)^k</math> są liczby <math>- 1</math> i <math>1</math>. Punktami skupienia ciągu <math>c_k = i^k</math> są liczby <math>1, - 1, i, - i</math>. Punktami skupienia ciągu <math>a_k = k \cdot (- 1)^k</math> są <math>- \infty</math> i <math>+ \infty</math>.

W ogólności: jeżeli ciąg <math>(c_k)</math> zawiera nieskończenie wiele jednakowych wyrazów <math>c</math>, to oczywiście liczba <math>c</math> jest punktem skupienia tego ciągu, bo łatwo możemy wybrać podciąg ciągu <math>(c_k)</math> zbieżny do <math>c</math>.

Twierdzenie ZA38 
Niech <math>c \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>, to punkt <math>c</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(c_k)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>. Zauważmy, że w rzeczywistości otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> musi zawierać nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math>. Istotnie, gdyby w rozpatrywanym otoczeniu była tylko skończona liczba wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math>, to moglibyśmy wyznaczyć taką liczbę <math>\varepsilon' > 0</math>, że w otoczeniu <math>| z - c | < \varepsilon'</math> nie byłoby ani jednego wyrazu ciągu <math>(c_k)</math> różnego od <math>c</math> wbrew założeniu, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>.

Niech <math>j \in \mathbb{Z}_+</math>. Z nieskończenie wielu wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math> zawartych w otoczeniu <math>| z - c | < {\small\frac{1}{j}}</math> wybieramy dowolny wyraz następujący po już wybranych wyrazach <math>c_{k_1}, c_{k_2}, \ldots, c_{k_{j - 1}}</math>. Oznaczmy ten wyraz przez <math>c_{k_j}</math>. Postępując tak dla kolejnych liczb <math>j</math>, otrzymujemy podciąg <math>(c_{k_j})</math> zbieżny do <math>c</math>. Pokażemy zbieżność podciągu <math>(c_{k_j})</math>. Dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> obierzmy <math>N_0</math> tak, aby <math>{\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon</math>. Z konstrukcji ciągu <math>(c_{k_j})</math> widzimy, że dla każdego <math>j > N_0</math> jest <math>| c_{k_j} - c | < {\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon</math>. Co kończy dowód.

Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Punkt <math>1</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = (- 1)^n</math>, ale nieprawdą jest, że dowolne otoczenie punktu <math>1</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(a_k)</math> różny od <math>1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA39 (granica dolna i górna) 
Granicą górną ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, nazywamy największy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem <math>\limsup_{k \rightarrow \infty} a_k</math>. 
Granicą dolną ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, nazywamy najmniejszy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem <math>\liminf_{k \rightarrow \infty} a_k</math>.

Twierdzenie ZA40 
Ciąg liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy granice górna i dolna są skończone i jednakowe.

Przykład ZA41 
Granice dolna i górna ciągu <math>a_k = (- 1)^k</math> są odpowiednio równe <math>- 1</math> i <math>1</math>.

== Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w <math>\mathbb{R}</math> ==

Dwa ważne twierdzenia podamy bez dowodu<ref name="monotoniczny1"/><ref name="AksjomatCiaglosci"/>. 
Twierdzenie ZA42* 
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest

::<math>a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \leqslant M</math>

to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. 
'''Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.'''

Twierdzenie ZA43* 
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest

::<math>a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \geqslant M</math>

to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. 
'''Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.'''

Twierdzenie ZA44 (o przedziałach zstępujących) 
Niech będzie dany nieskończony ciąg przedziałów domkniętych <math>I_n = [a_n, b_n] \subset \mathbb{R}</math> takich, że <math>I_{n + 1} \subset I_n</math>. Jeżeli długości przedziałów <math>I_n</math> dążą do zera, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, czyli

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | I_n | = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = 0</math>

to

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zauważmy, że

::*     ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem ograniczonym od góry, bo <math>a_n < b_1</math>

::*     ciąg <math>(b_n)</math> jest ciągiem ograniczonym od dołu, bo <math>b_n > a_1</math>

::*     ponieważ <math>[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]</math>, to ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem rosnącym (zobacz [[#ZA19|ZA19]])

::*     ponieważ <math>[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]</math>, to ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem malejącym (zobacz [[#ZA19|ZA19]])

Z twierdzeń [[#ZA42|ZA42]] i [[#ZA43|ZA43]] wynika natychmiast, że ciągi <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math> są zbieżne. Niech

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>

Ponieważ ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są zbieżne, to

::<math>0 = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n - \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = b - a</math>

Zatem <math>b = a</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA45 (Bernard Bolzano, 1817; Karl Weierstrass) 
Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych ma podciąg zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(u_k)</math> będzie rozpatrywanym ciągiem. Z założenia ciąg <math>(u_k)</math> jest ograniczony, zatem istnieją takie liczby rzeczywiste <math>a_0</math> i <math>b_0</math>, że <math>a_0 \leqslant u_k \leqslant b_0</math>. Zbudujemy ciąg przedziałów zstępujących <math>I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots</math> i związany z nimi podciąg zbieżny ciągu <math>(u_k)</math> powtarzając następującą procedurę

:1. przedział <math>I_n = [a_n, b_n]</math> dzielimy na połowy tworząc dwa podprzedziały <math>\left[ a_n, {\small\frac{a_n + b_n}{2}} \right]</math> oraz <math>\left[ {\small\frac{a_n + b_n}{2}}, b_n \right]</math>

:2. z utworzonych podprzedziałów wybieramy ten, w którym jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(u_k)</math>[a]; wybór definiuje przedział <math>I_{n + 1} = [a_{n + 1}, b_{n + 1}]</math>

:3. ze sposobu konstrukcji przedziału <math>I_{n + 1}</math> wynika natychmiast, że <math>| I_{n + 1} | = {\small\frac{| I_n |}{2}}</math>

:4. dowolny wyraz ciągu <math>(u_k)</math> w przedziale <math>I_{n + 1}</math> (ale następujący po wcześniej wybranych wyrazach <math>u_{k_1}, u_{k_2}, \ldots, u_{k_n}</math>) będzie <math>n + 1</math> wyrazem budowanego podciągu i oznaczymy go jako <math>u_{k_{n + 1}}</math>

Zauważmy, że

:*    ciąg przedziałów <math>I_0, I_1, I_2, \ldots</math> jest ciągiem przedziałów zstępujących, bo z definicji <math>I_{n + 1} \subset I_n</math> oraz <math>| I_n | = {\small\frac{b_0 - a_0}{2^n}}</math>, czyli długość przedziałów <math>I_n</math> dąży do zera

:*    ciągi <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> są zbieżne do wspólnej granicy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g \;</math> (zobacz [[#ZA44|ZA44]])

:*    ponieważ <math>a_n \leqslant u_{k_n} \leqslant b_n</math>, to z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[#ZA24|ZA24]]) wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} u_{k_n} = g</math>

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Gdyby w każdym z podprzedziałów było nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(u_k)</math>, to wybieramy dowolny z nich. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA46 (ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych) 
Powiemy, że ciąg <math>(a_n)</math> liczb rzeczywistych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że <math>| a_n - a_m | < \varepsilon</math> dla dowolnych liczb <math>m, n</math> spełniających warunek <math>n > N_0</math> i <math>m > N_0</math>.

Twierdzenie ZA47 
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego liczb rzeczywistych. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0 = N_0 ( \varepsilon )</math>, że dla wszystkich liczb <math>m, n > N_0</math> jest

::<math>| a_n - a_m | < \varepsilon</math>

Jeżeli położymy <math>m = N_0 + 1 > N_0</math>, to dla <math>n > N_0</math> otrzymujemy oszacowanie

::<math>| a_n - a_{N_0 + 1} | < \varepsilon</math>

::<math>- \varepsilon < a_n - a_{N_0 + 1} < \varepsilon</math>

::<math>a_{N_0 + 1} - \varepsilon < a_n < a_{N_0 + 1} + \varepsilon</math>

Wynika stąd, że dla każdego <math>n \geqslant 0</math> jest

::<math>m \leqslant a_n \leqslant M</math>

gdzie

::<math>M = \max (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}, a_{N_0 + 1} + \varepsilon)</math>

::<math>m = \min (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}, a_{N_0 + 1} - \varepsilon)</math>

Ponieważ <math>- | m | \leqslant m \;</math> i <math>\; M \leqslant | M |</math>, to

::<math>- | m | \leqslant a_n \leqslant | M |</math>

Jeżeli oznaczymy <math>U = \max (| m |, | M |)</math>, to możemy napisać

::<math>- U \leqslant a_n \leqslant U</math>

Czyli dla każdego <math>n \geqslant 0</math> jest <math>| a_n | \leqslant U</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA48 
Ciąg <math>(a_k)</math> liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. Niech <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \;</math> i <math>\; \varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich liczb <math>m, n > N_0</math> jest

::<math>| a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

::<math>| a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Zatem

::<math>| a_n - a_m | = | (a_n - a) - (a_m - a) | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Czyli <math>(a_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Wiemy, że istnieje taka liczba <math>N_1</math>, ża dla wszystch liczb <math>m, n > N_1</math> jest

::<math>| a_n - a_m | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Ponieważ każdy ciąg Cauchy'ego jest ograniczony (zobacz [[#ZA47|ZA47]]), to na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa można z ciągu <math>(a_k)</math> wybrać podciąg zbieżny <math>(a_{k_j})</math>. Niech <math>\lim_{j \rightarrow \infty} a_{k_j} = \alpha</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>N_2</math>, że dla wszystkich <math>k_j > N_2</math> jest

::<math>| a_{k_j} - \alpha | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n, k_j > N_0</math> mamy

::<math>| a_n - \alpha | = | (a_n - a_{k_j}) + (a_{k_j} - \alpha) | \leqslant | a_n - a_{k_j} | + | a_{k_j} - \alpha | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Wynika stąd, że ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = \alpha</math>. Ponieważ ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę, to oczywiście <math>\alpha = a</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w <math>\mathbb{C}</math> ==

Twierdzenie ZA49 (Bolzana-Weierstrassa dla liczb zespolonych) 
Każdy ograniczony ciąg liczb zespolonych ma podciąg zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(c_k)</math> będzie rozpatrywanym ciągiem i niech <math>c_k = a_k + i b_k</math>. Z założenia <math>(c_k)</math> jest ograniczony, zatem ograniczone są ciągi <math>(a_k) \;</math> i <math>\; (b_k)</math>, bo <math>| a_k | \leqslant | c_k | \;</math> i <math>\; | b_k | \leqslant | c_k |</math>. Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa dla liczb rzeczywistych wynika natychmiast, że z każdego z ciągów <math>(a_k) \;</math> i <math>\; (b_k)</math> można wybrać podciąg zbieżny. Oznaczmy te podciągi odpowiednio jako <math>(a_{k_j}) \;</math> i <math>\; (b_{k_j})</math>. Zatem ciąg <math>c_{k_j} = a_{k_j} + i b_{k_j}</math> jest zbieżny i jest podciągiem ciągu <math>(c_k)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA50 
Powiemy, że ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math> dla dowolnych liczb <math>m, n</math> spełniających warunek <math>n > N_0 \;</math> i <math>\; m > N_0</math>.

Twierdzenie ZA51 
Jeżeli ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego i <math>\, c_n = a_n + i b_n</math>, to ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> też są ciągami Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z założenia dla dowolnego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla dowolnych <math>m, n > N_0</math> jest <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math>. Ponieważ

::<math>| c_n - c_m | = | (a_n + i b_n) - (a_m + i b_m) | = | (a_n - a_m) + i (b_n - b_m) | = \sqrt{(a_n - a_m)^2 + (b_n - b_m)^2} < \varepsilon</math>

to tym bardziej <math>| a_n - a_m | < \varepsilon \;</math> i <math>\; | b_n - b_m | < \varepsilon</math>. Zatem ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> też są ciągami Cauchy'ego. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA52 
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(c_n)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego liczb zespolonych i <math>c_n = a_n + i b_n</math>. Ponieważ ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych, to są ograniczone (zobacz [[#ZA47|ZA47]]). Zatem istnieją takie liczby rzeczywiste <math>M_a \;</math> i <math>\; M_b</math>, że dla wszystkich <math>n \in \mathbb{N}_0</math> jest <math>| a_n | \leqslant M_a \;</math> i <math>\; | b_n | \leqslant M_b</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>| c_n | = \sqrt{a^2_n + b^2_n} = \sqrt{| a_n |^2 + | b_n |^2} \leqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b}</math>

Czyli istnieje taka liczba rzeczywista <math>M_c</math>, że dla wszystkich <math>n \in \mathbb{N}_0</math> jest <math>| c_n | \leqslant M_c</math> (wystarczy przyjąć <math>M_c \geqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b}</math>). Co oznacza, że ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych <math>(c_n)</math> jest ograniczony. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA53 
Ciąg <math>(c_k)</math> liczb zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_k)</math> jest zbieżny. Niech <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \,</math> i niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji zbieżności wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich <math>n > N_0</math> jest

::<math>| c_n - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Oczywiście jest tak również dla wszystkich <math>m > N_0</math>, czyli

::<math>| c_m - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Wynika stąd, że

::<math>| c_n - c_m | = | (c_n - c) - (c_m - c) | \leqslant | (c_n - c) | + | (c_m - c) | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich <math>m, n > N_0</math> jest <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math>, czyli ciąg <math>(c_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Niech <math>c_k = a_k + i b_k</math>. Wiemy, że ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych (zobacz [[#ZA51|ZA51]]). Zatem ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są zbieżne (zobacz [[#ZA48|ZA48]]). Wynika stąd zbieżność ciągu <math>(c_k)</math> (zobacz [[#ZA18|ZA18]]). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA54 
Niech ciąg <math>(c_n)</math> będzie ograniczonym ciągiem liczb zespolonych, który ma dokładnie dwa punkty skupienia <math>z_1</math> i <math>z_2</math>. Pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają jeden z warunków

::<math>| c_n - z_1 | < \varepsilon \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad | c_n - z_2 | < \varepsilon</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest ograniczony, zatem dla <math>M > 0</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>| c_n | \leqslant M</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że stwierdzenie, które mamy pokazać, nie jest prawdziwe. Zatem prawdziwe jest jego zaprzeczenie, które brzmi: istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że dla każdego <math>N_0</math> istnieją takie <math>n > N_0</math>, że wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> nie spełniają żadnego z warunków

::<math>| c_n - z_1 | < \varepsilon \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad | c_n - z_2 | < \varepsilon</math>

Wynika stąd, że wyrazów, które nie spełniają powyższych warunków, jest nieskończenie wiele i tworzą one nieskończony i ograniczony podciąg ciągu <math>(c_n)</math>. Na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa z tego podciągu możemy wybrać podciąg zbieżny. Co oznacza, wbrew założeniu, że ciąg <math>(c_n)</math> ma co najmniej trzy punkty skupienia. 
□
{{\Spoiler}}

== Uzupełnienie ==

Zadanie ZA55 
Dla dowolnych <math>x, y \in \mathbb{R}</math> prawdziwe są nierówności

::<math>| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |</math>

::<math>| \cos x - \cos y | \leqslant | x - y |</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

W przypadku, gdy <math>x = y</math> nierówność jest prawdziwa. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>y > x</math>. Zauważmy, że funkcja <math>\sin x</math> jest ciągła w przedziale <math>[x, y]</math> i różniczkowalna w przedziale <math>(x, y)</math>. Oznacza to, że spełnione są założenia twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/>. Zatem istnieje taki punkt <math>a \in (x, y)</math>, że

::<math>{\small\frac{\sin y - \sin x}{y - x}} = \sin' (a) = \cos (a)</math>

Otrzymujemy

::<math>\sin y - \sin x = (y - x) \cdot \cos (a)</math>

::<math>| \sin y - \sin x | = | y - x | \cdot | \cos (a) |</math>

::<math>| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |</math>

Co należało pokazać. Analogicznie dowodzimy punkt 2. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA56 
Niech <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, <math>\, k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; n \in N_0</math>. Część ułamkową liczby rzeczywistej <math>x</math> definiujemy następująco: <math>\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor</math>. Prawdziwe są następujące właściwości funkcji <math>\{ x \}</math>.

::'''1.'''      <math>\{ k + x \} = \{ x \}</math>

::'''2.'''      <math>\{ \{ x \} \} = \{ x \}</math>

::'''3.'''      <math>\{ x \} + \{ - x \} =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } \, x \in \mathbb{Z} \\
1 & \text{gdy } \, x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>

::'''4.'''      <math>\{ k \{ x \} \} = \{ k x \}</math>

::'''5.'''      <math>n \{ x \} < 1 \qquad \qquad \, \Longrightarrow \qquad n \{ x \} = \{ n x \}</math>

::'''6.'''      <math>\{ x \} \geqslant \{ y \} \qquad \quad \;\;\, \Longrightarrow \qquad \{ x \} - \{ y \} = \{ x - y \}</math>

::'''7.'''      <math>\{ x \} + \{ y \} < 1 \qquad \Longrightarrow \qquad \{ x \} + \{ y \} = \{ x + y \}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Wynika z analogicznej własności funkcji <math>\lfloor x \rfloor</math>: <math>\lfloor k + x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor</math>, którą łatwo dowodzimy, zapisując <math>x</math> w postaci <math>x = j + \varepsilon</math>, gdzie <math>j \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 < \varepsilon < 1</math>.

'''Punkt 2.'''

::<math>\{ \{ x \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor \} = \{ x \}</math>

'''Punkt 3.'''

W przypadku, gdy <math>x \in \mathbb{Z}</math> wynik jest natychmiastowy, bo <math>\{ x \} + \{ - x \} = 0 + 0</math>. Załóżmy, że <math>x \notin \mathbb{Z}</math>, zatem możemy napisać <math>x = k + \varepsilon</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 < \varepsilon < 1</math>. Łatwo zauważamy, że <math>0 < 1 - \varepsilon < 1 \,</math> i otrzymujemy

::<math>\{ x \} + \{ - x \} = \{ k + \varepsilon \} + \{ - k - \varepsilon \} = \varepsilon + \{ - k - 1 + 1 - \varepsilon \} = \varepsilon + \{ 1 - \varepsilon \} = \varepsilon + 1 - \varepsilon = 1</math>

'''Punkt 4.'''

::<math>\{ k \{ x \} \} = \{ k (x - \lfloor x \rfloor) \} = \{ k x - k \lfloor x \rfloor \} = \{ k x \}</math>

'''Punkt 5.'''

Z założenia <math>0 \leqslant n \{ x \} < 1</math>. Zatem

::<math>n \{ x \} = \{ n \{ x \} \} = \{ n x \}</math>

Gdzie skorzystaliśmy z punktu 4.

'''Punkt 6.'''

Z założenia <math>0 \leqslant \{ x \} - \{ y \} < 1</math>. Zatem

::<math>\{ x \} - \{ y \} = \{ \{ x \} - \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor - y + \lfloor y \rfloor \} = \{ (x - y) + (\lfloor y \rfloor - \lfloor x \rfloor) \} = \{ x - y \}</math>

'''Punkt 7.'''

Z założenia <math>0 \leqslant \{ x \} + \{ y \} < 1</math>. Zatem

::<math>\{ x \} + \{ y \} = \{ \{ x \} + \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor \} = \{ (x + y) - (\lfloor y \rfloor + \lfloor x \rfloor) \} = \{ x + y \}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA57 (zasada szufladkowa) 
Jeżeli więcej niż <math>n</math> przedmiotów (przynajmniej <math>n + 1</math>) zostało rozmieszczonych w <math>n</math> szufladach, to jedna z szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pierwszy sposób 
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że żadna z szuflad nie zawiera więcej niż jednego przedmiotu. Zatem każda z szuflad zawiera jeden lub mniej przedmiotów, czyli ogólna liczba przedmiotów w szufladach nie może być większa niż <math>n \cdot 1 = n</math>, wbrew założeniu, że w szufladach rozmieszczono więcej niż <math>n</math> przedmiotów.

Drugi sposób 
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość twierdzenia dla <math>n</math>, przeprowadzimy dla liczby <math>n + 1</math>
następujące rozumowanie.

Rozmieśćmy więcej niż <math>n + 1</math> przedmiotów w <math>n + 1</math> szufladach. Zaglądając do jednej z szuflad, możemy stwierdzić, że

::'''a)'''      zawiera ona więcej niż jeden przedmiot – co kończy dowód

::'''b)'''      nie zawiera ona żadnego przedmiotu, wynika stąd, że więcej niż <math>n + 1</math> przedmiotów (czyli więcej niż <math>n</math> przedmiotów) zostało rozmieszczonych w pozostałych <math>n</math> szufladach, zatem z założenia indukcyjnego jedna z nich zawiera więcej niż jeden przedmiot

::'''c)'''      zawiera ona dokładnie jeden przedmiot, zatem pozostałe więcej niż <math>n</math> przedmiotów zostało rozmieszczone w pozostałych <math>n</math> szufladach i ponownie z założenia indukcyjnego wynika, że jedna z pozostałych szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA58 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>\{ n \alpha \}</math> oznacza część ułamkową liczby <math>n \alpha</math>. Nie istnieją takie różne liczby całkowite <math>j, k</math>, że <math>\{ k \alpha \} = \{ j \alpha \}</math>. W szczególności dla dowolnej liczby całkowitej <math>k \neq 0</math> mamy <math>\{ k \alpha \} \neq {\small\frac{p}{q}}</math>, gdzie <math>p, q \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; q \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Część ułamkową liczby <math>x</math> definiujemy następująco: <math>\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że takie liczby <math>j, k</math> istnieją. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>k > j</math>. Otrzymujemy

::<math>\{ k \alpha \} = \{ j \alpha \}</math>

::<math>k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = j \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor</math>

::<math>(k - j) \alpha = \lfloor k \alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor</math>

::<math>\alpha = {\small\frac{\lfloor k \alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor}{k - j}}</math>

Zatem <math>\alpha</math> byłaby liczbą wymierną wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Gdyby było <math>\{ k \alpha \} = {\small\frac{p}{q}}</math>, to mielibyśmy

::<math>k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = {\small\frac{p}{q}}</math>

::<math>k \alpha = {\small\frac{p}{q}} + \lfloor k \alpha \rfloor</math>

::<math>\alpha = {\small\frac{p}{k q}} + {\small\frac{\lfloor k \alpha \rfloor}{k}}</math>

Co jest niemożliwe, bo <math>\alpha</math> jest liczbą niewymierną. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA59 (twierdzenie Dirichleta o aproksymacji) 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>. Istnieją takie liczby całkowite <math>p \;</math> i <math>\; q</math>, gdzie <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>, że

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}}</math>

oraz

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q^2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Podzielmy przedział <math>[0, 1)</math> na <math>N</math> podprzedziałów, każdy o długości <math>{\small\frac{1}{N}}</math>.

::<math>[0, 1) = \left[ 0, {\small\frac{1}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{1}{N}}, {\small\frac{2}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{2}{N}}, {\small\frac{3}{N}} \right) \cup \ldots \cup \left[ {\small\frac{N - 1}{N}}, 1 \right)</math>

Dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1</math> wypiszmy części ułamkowe liczb <math>k \alpha</math>, czyli <math>\{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor</math>. Dostajemy ciąg liczb

::<math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \}</math>

z których każda należy do przedziału <math>(0, 1)</math>.

Mamy <math>N + 1</math> różnych liczb <math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \,</math> i <math>\, N</math> przedziałów, zatem z zasady szufladkowej w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby <math>\{ i \alpha \}</math> oraz <math>\{ j \alpha \}</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>j > i</math>. Mamy

::<math>| \{ j \alpha \} - \{ i \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| j \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor - i \alpha + \lfloor i \alpha \rfloor | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| (j - i) \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor + \lfloor i \alpha \rfloor | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| (j - i) \alpha - (\lfloor j \alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor) | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Jeżeli położymy <math>p = \lfloor j \alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor</math> oraz <math>q = j - i</math>, to <math>q \geqslant 1 \;</math> (bo <math>j \neq i</math>)   i <math>\; q \leqslant (N + 1) - 1 = N</math>. Zatem otrzymujemy

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}}</math>

gdzie <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>. Stąd łatwo wynika, że

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{q^2}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga ZA60 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>, gdzie <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>, będzie ułamkiem, którego istnienie wynika z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji. Zauważmy, że ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> dla różnych liczb <math>N</math> nie muszą być różne. Przykładowo dla <math>\alpha = \pi \;</math> i <math>\; N = 8, \ldots, 105</math> znajdujemy jeden ułamek <math>{\small\frac{p_N}{q_N}} = {\small\frac{22}{7}}</math>. Jednak wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> jest nieskończenie wiele różnych ułamków.

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>, jest jedynie skończona ilość różnych ułamków. Gdyby tak było, to dla pewnego <math>\varepsilon > 0</math> nie byłoby żadnego ułamka <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> takiego, że

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p_N}{q_N}} \right| < \varepsilon</math>

Ale wystarczy przyjąć <math>k > {\small\frac{1}{\varepsilon}}</math>, aby pokazać, że taki ułamek istnieje

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p_k}{q_k}} \right| < {\small\frac{1}{q_k \cdot k}} \leqslant {\small\frac{1}{k}} < \varepsilon</math>

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> jest nieskończenie wiele różnych ułamków.

Przykład ZA61 
Z twierdzenia o aproksymacji Dirichleta wiemy, że <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>. Dla ustalonego <math>q</math> mamy

::<math>q \alpha - {\small\frac{1}{N}} 

Łatwo sprawdzamy, że jedynymi możliwymi wartościami <math>p</math> są liczby <math>p = \lfloor q \alpha \rfloor \;</math> i <math>\; p = \lfloor q \alpha \rfloor + 1</math>.

Dla zadanej liczby niewymiernej <math>a</math> i liczby całkowitej dodatniej <math>N</math> wystarczy prosta instrukcja w PARI/GP, aby znaleźć odpowiadające im ułamki <math>{\small\frac{p}{q}}</math>.

'''for'''(q = 1, N, m = '''floor'''(q*a); '''for'''(p = m, m + 1, '''if'''( '''abs'''(q*a - p) < 1/N, '''print'''(p, " ", q, " ", p/q, " ", 1.0*p/q) )))

Okazuje się, że takich ułamków nie ma zbyt wiele. Przykłady ułamków (w postaci nieskracalnej) zebraliśmy w tabeli.

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! <math>\boldsymbol{N}</math>
| <math>10</math> || <math>10^2</math> || <math>10^3</math> || <math>10^4</math> || <math>10^5</math> || <math>10^6</math> || <math>10^7</math>
|-
! <math>\boldsymbol{\pi}</math>
| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math>, <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math> || <math>{\small\frac{1146408}{364913}}</math> || <math>{\small\frac{5419351}{1725033}}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{e}</math>
| <math>{\small\frac{19}{7}}</math> || <math>{\small\frac{193}{71}}</math> || <math>{\small\frac{1457}{536}}</math> || <math>{\small\frac{23225}{8544}}</math>, <math>{\small\frac{25946}{9545}}</math> || <math>{\small\frac{49171}{18089}}</math> || <math>{\small\frac{1084483}{398959}}</math> || <math>{\small\frac{13580623}{4996032}}</math>, <math>{\small\frac{14665106}{5394991}}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{\sqrt{2}}</math>
| <math>{\small\frac{7}{5}}</math> || <math>{\small\frac{99}{70}}</math>, <math>{\small\frac{140}{99}}</math> || <math>{\small\frac{577}{408}}</math>, <math>{\small\frac{1393}{985}}</math> || <math>{\small\frac{8119}{5741}}</math>, <math>{\small\frac{11482}{8119}}</math> || <math>{\small\frac{114243}{80782}}</math> || <math>{\small\frac{665857}{470832}}</math> || <math>{\small\frac{9369319}{6625109}}</math>, <math>{\small\frac{13250218}{9369319}}</math>
|}

Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.

<div style="overflow-x: auto; overflow-y: hidden; max-width: 80%; width: fit-content; margin-left: 60px;">
{| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin: 0; background-color: white; white-space: nowrap;"

|- style="vertical-align: middle;"
! <math>\boldsymbol{N}</math>
| <math>1</math> || <math>2</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>106</math> || <math>113</math> || <math>114</math> || <math>33102</math> || <math>33174</math> || <math>33215</math> || <math>52276</math> || <math>66317</math> || <math>90786</math> || <math>99532</math>
|- style="vertical-align: middle;"
! <math>\boldsymbol{\pi}</math>

| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> || <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> || <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> || <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> || <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> || <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math>
|}
</div>

Liczbę <math>\pi</math> możemy zapisać w postaci ułamka łańcuchowego<ref name="ulamek1"/>. Mamy

::<math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, \ldots]</math>

Kolejne redukty tego ułamka łańcuchowego tworzą następujący ciąg liczb

::<math>{\small\frac{3}{1}}</math>, <math>{\small\frac{22}{7}}</math>, <math>{\small\frac{333}{106}}</math>, <math>{\small\frac{355}{113}}</math>, <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math>, <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math>, <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math>, <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math>, <math>{\small\frac{833719}{265381}}</math>, <math>{\small\frac{1146408}{364913}}</math>, <math>{\small\frac{4272943}{1360120}}</math>, <math>{\small\frac{5419351}{1725033}}</math>, <math>{\small\frac{80143857}{25510582}}</math>, <math>{\small\frac{245850922}{78256779}}</math>, ...

Zauważmy, że każdy redukt ułamka łańcuchowego reprezentującego liczbę <math>\pi</math> występuje wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>.

Twierdzenie ZA62 
Między dowolnymi różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się liczba wymierna.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Rozważmy dwie liczby rzeczywiste <math>x, y</math>. Niech <math>y > x</math>, <math>a = {\small\frac{x + y}{2}} \;</math> i <math>\; d = y - a = a - x</math>. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą wymierną, to twierdzenie jest udowodnione. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niewymierną, to niech <math>N > {\small\frac{1}{d}}</math>.

Pierwszy sposób 

Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji mamy

::<math>\left| a - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{N}} < d</math>

Zatem liczba wymierna <math>{\small\frac{p}{q}}</math> leży między liczbami rzeczywistymi <math>x \,</math> i <math>\, y</math>.

Drugi sposób 

Łatwo zauważamy, że

::<math>a - {\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} = {\small\frac{a \cdot N - \lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} < {\small\frac{1}{N}} < d</math>

Zatem liczba wymierna <math>{\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}}</math> leży między liczbami rzeczywistymi <math>x \,</math> i <math>\, y</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA63 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>m</math>, że <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Liczbę naturalną <math>N</math> wybieramy tak, aby <math>{\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>. Podzielmy przedział <math>[0, 1)</math> na <math>N</math> podprzedziałów, każdy o długości <math>{\small\frac{1}{N}}</math>.

::<math>[0, 1) = \left[ 0, {\small\frac{1}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{1}{N}}, {\small\frac{2}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{2}{N}}, {\small\frac{3}{N}} \right) \cup \ldots \cup \left[ {\small\frac{N - 1}{N}}, 1 \right)</math>

Dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1</math> wypiszmy części ułamkowe liczb <math>k \alpha</math>, czyli <math>\{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor</math>. Dostajemy ciąg liczb

::<math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \}</math>

z których każda należy do przedziału <math>(0, 1)</math>.

Mamy <math>N + 1</math> różnych liczb <math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \;</math> i <math>\; N</math> przedziałów, zatem z zasady szufladkowej wynika, że w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby <math>\{ i \alpha \}</math> oraz <math>\{ j \alpha \}</math>. Dostajemy

::<math>| \{ j \alpha \} - \{ i \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>\{ j \alpha \} > \{ i \alpha \}</math>. Zatem (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 6)

::<math>| \{ (j - i) \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Połóżmy teraz <math>m = j - i</math>. Mamy

::<math>0 < \{ m \alpha \} < {\small\frac{1}{N}}</math>

Czyli

::<math>0 < \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

W przypadku, gdy <math>m > 0</math> dowód jest zakończony.

Rozważmy przypadek, gdy <math>m < 0</math>. Wybierzmy liczbę całkowitą dodatnią <math>b</math> tak, aby spełniony był układ nierówności

::<math>b < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} 

Z lewej nierówności wynika, że <math>b \{ m \alpha \} < 1</math>, zatem <math>b \{ m \alpha \} = \{ b m \alpha \}</math> (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 5). Przekształcając, otrzymujemy

::<math>0 < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} - b < 1</math>

::<math>0 < 1 - b \{ m \alpha \} < \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

::<math>0 < 1 - \{ b m \alpha \} < \varepsilon</math>

Ze wzoru <math>1 - \{ x \} = \{ - x \}</math> (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 3) dostajemy

::<math>0 < \{ - b m \alpha \} < \varepsilon</math>

Gdzie <math>- b m \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA64 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że zbiór liczb całkowitych dodatnich <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math> nie jest zbiorem pustym. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje jedynie skończona ilość liczb <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>. Niech <math>n</math> oznacza największą z nich.

Zauważmy, że liczba <math>\beta = n \alpha</math> jest liczbą niewymierną i dla dowolnego <math>\varepsilon' > 0</math> istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>\{ k \beta \} < \varepsilon'</math>.

Niech <math>\varepsilon' < \min (\varepsilon, \{ \beta \})</math>. Przy takim wyborze liczby <math>\varepsilon'</math> nie może być <math>k = 1</math>, bo mielibyśmy <math>\varepsilon' < \{ \beta \} < \varepsilon'</math>. Zatem <math>k > 1 \;</math> i <math>\; \{ k \beta \} < \varepsilon'</math>, czyli <math>\{ k n \alpha \} < \varepsilon' < \varepsilon</math>. Wynika stąd, że <math>m_j = k n</math> jest kolejną i większą od <math>n</math> liczbą całkowitą dodatnią taką, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA65 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Jeżeli <math>g \in [0, 1]</math>, to <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{g = 0}</math>'''

Dla ustalonego <math>\varepsilon > 0</math> w otoczeniu <math>(- \varepsilon, \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od zera. Fakt ten wynika natychmiast z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]]. Zatem punkt <math>g = 0</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA38|ZA38]]).

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{g \in (0, 1]}</math>'''

Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>m</math>, że <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy <math>\varepsilon</math> wybrać tak, aby spełniony był warunek <math>\varepsilon < g</math>. Mamy wtedy <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon < g</math>, czyli <math>{\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} > 1</math>.

Liczbę <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> wybieramy tak, aby

::<math>n < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} \leqslant n + 1</math>

Zatem

::<math>0 < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} - n \leqslant 1</math>

::<math>0 < g - n \{ m \alpha \} \leqslant \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

Z lewej nierówności otrzymujemy <math>n \{ m \alpha \} < g \leqslant 1</math>. Z twierdzenia [[#ZA56|ZA56]] p. 5 mamy <math>n \{ m \alpha \} = \{ n m \alpha \}</math> i ostatecznie dostajemy

::<math>0 < g - \{ n m \alpha \} < \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że w otoczeniu <math>(g - \varepsilon, g + \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od <math>g</math>. Zatem <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA38|ZA38]]). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA66 
Pokazać, że <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>\alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}}</math>. Ponieważ <math>{\small\frac{1}{4}} \in [0, 1]</math>, to <math>{\small\frac{1}{4}}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> (zobacz [[#ZA65|ZA65]]). Zatem istnieje podciąg ciągu <math>(a_n)</math> zbieżny do <math>{\small\frac{1}{4}}</math>, co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych <math>k_j</math>, że <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{1}{4}}</math>, czyli <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{1}{4}}</math>. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k_j > N_0</math> jest

::<math>\left| \{ k_j \alpha \} - {\small\frac{1}{4}} \right| < \varepsilon</math>

Niech <math>k_j > N_0</math>, mamy

::<math>| \sin (k_j) - 1 | = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, \leqslant \left| 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{\pi}{2}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, = 2 \pi \left| \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{1}{4}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, < 2 \pi \varepsilon</math>

Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu [[#ZA55|ZA55]]. Zatem <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = 1</math>, czyli <math>1</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\sin n)</math>. Ponieważ <math>\sin x \leqslant 1</math>, to <math>1</math> największym puntem skupienia, zatem <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA67 
Jeżeli <math>g \in [- 1, 1]</math>, to <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>s_n = \sin n</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}}</math> i niech liczba rzeczywista <math>t \in [0, 2 \pi]</math> będzie wybrana tak, aby <math>\sin t = g</math>. Ponieważ <math>{\small\frac{t}{2 \pi}} \in [0, 1]</math>, to <math>{\small\frac{t}{2 \pi}}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math>. Zatem istnieje podciąg ciągu <math>(a_n)</math> zbieżny do <math>{\small\frac{t}{2 \pi}}</math>, co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych <math>k_j</math>, że <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{t}{2 \pi}}</math>, czyli <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{t}{2 \pi}}</math>. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k_j > N_0</math> jest

::<math>\left| \{ k_j \alpha \} - {\small\frac{t}{2 \pi}} \right| < \varepsilon</math>

Niech <math>k_j > N_0</math>, mamy

::<math>| \sin (k_j) - g | = | \sin (k_j) - \sin (t) |</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + 2 \pi \cdot \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, \leqslant \left| 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - t \right|</math>

:::::<math>\quad \, = 2 \pi \left| \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{t}{2 \pi}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, < 2 \pi \varepsilon</math>

Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu [[#ZA55|ZA55]]. Zatem <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = g</math>, czyli <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>s_n = \sin n</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA68 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R} \,</math> i dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka para liczb <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\; k \in \mathbb{Z} , \,</math> że <math>\; | m \alpha + k - x | < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

Pierwszy sposób 

Ponieważ <math>\{ x \} \in [0, 1)</math>, to <math>\{ x \}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA65|ZA65]]). Zatem istnieje podciąg <math>(\{ n_j \alpha \})</math> ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> zbieżny do <math>\{ x \}</math>.

Zauważmy, że dodając <math>\lfloor x \rfloor</math> do wyrazów podciągu <math>(\{ n_j \alpha \})</math>, otrzymujemy ciąg zbieżny do <math>x</math>. Wyrazy tak zmodyfikowanego podciągu możemy zapisać w postaci

::<math>\lfloor x \rfloor + \{ n_j \alpha \} = \lfloor x \rfloor + n_j \alpha - \lfloor n_j \alpha \rfloor = n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor</math>

Z definicji zbieżności tego podciągu wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n_j > N_0</math> jest

::<math>| n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor - x | < \varepsilon</math>

Liczby <math>m = n_j > N_0 \;</math> i <math>\; k = \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor</math> tworzą parę liczb <math>(m, k)</math> taką, że <math>\; | m \alpha + k - x | < \varepsilon</math>.

Drugi sposób 

Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>\{ r \alpha \} < \varepsilon</math>. Wybierzmy <math>j \in \mathbb{Z}</math> tak, aby <math>x + j > \{ r \alpha \}</math> i wybierzmy <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> tak, aby

::<math>n < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} \leqslant n + 1</math>

::<math>0 < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} - n \leqslant 1</math>

::<math>0 < x + j - n \{ r \alpha \} \leqslant \{ r \alpha \} < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>0 < | n \{ r \alpha \} - j - x | < \varepsilon</math>

Ponieważ <math>n \{ r \alpha \} = n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor</math>, to

::<math>0 < | n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor - j - x | < \varepsilon</math>

Co pokazuje, że poszukiwana para liczb istnieje i jest równa <math>(m, k) = (n r, - n \lfloor r \alpha \rfloor - j)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA69 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R} \,</math> i dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka para liczb całkowitych <math>m, n</math>, że <math>| m \alpha + n - x | < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>N \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>. Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji ([[#ZA59|ZA59]]) wiemy, że dla dowolnej liczby <math>N</math> istnieje taka para liczb <math>p, q</math>, że

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>

Liczbę całkowitą <math>j</math> wybieramy tak, aby <math>x + j > | q \alpha - p |</math>, a liczbę <math>k \in \mathbb{Z}_+</math> wybieramy tak, aby

::<math>k < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \leqslant k + 1</math>

Otrzymujemy

::<math>0 < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} - k \leqslant 1</math>

::<math>0 < x + j - k | q \alpha - p | \leqslant | q \alpha - p | < \varepsilon</math>

::<math>0 < x + j - k | q \alpha - p | < \varepsilon</math>

Niech <math>s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p)</math>, oczywiście <math>s = \pm 1</math>. Mamy <math>| q \alpha - p | = s (q \alpha - p)</math>, zatem

::<math>0 < x + j - s k q \alpha + s k p < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>0 < | s k q \alpha - s k p - j - x | < \varepsilon</math>

Wystarczy położyć: <math>m = s k q \;</math> i <math>\; n = - s k p - j</math>, gdzie <math>k = \left\lceil {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \right\rceil - 1 \;</math> i <math>\; s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="monotoniczny1">Wikipedia, ''Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_ci%C4%85gu_monotonicznego Wiki-pl])</ref>

<ref name="AksjomatCiaglosci">Wikipedia, ''Aksjomat ciągłości'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers Wiki-en])</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="ulamek1">Wikipedia, ''Ułamek łańcuchowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_continued_fraction Wiki-en])</ref>

</references>

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

2026-09-18T10:07:26Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">06.04.2025</div>

__FORCETOC__

== Liczby zespolone ==

Definicja ZA1 
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\overline{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.

Uwaga ZA2 

Niech <math>z_1 = a + i b</math>, <math>z_2 = c + i d</math>. Czytelnik łatwo pokaże, że

::'''1.'''      <math>z_1 + z_2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)</math>

::'''2.'''      <math>z_1 \cdot z_2 = (a + i b) \cdot (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c)</math>

::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

::'''4.'''      <math>\overline{(\overline{z})} = z</math>

::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>

::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>

::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\overline{z}}}</math>

::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \overline{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \overline{z}}{2 i}}</math>

Definicja ZA3 
Niech <math>z = x + i y</math>. Liczbę <math>r = \sqrt{x^2 + y^2} = | z |</math> nazywamy modułem liczby zespolonej <math>z</math>. Jeżeli <math>z \neq 0</math>, to liczbę <math>\varphi</math> spełniającą układ równań

::<math>\begin{cases}
x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi \\
\end{cases}</math>

nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math>, co będziemy zapisywali jako <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.

Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.

Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa dla dowolnego <math>z</math> tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).

::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]

Twierdzenie ZA4 
Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy

::'''  1.'''      <math>| \overline{z} | = | z |</math>

::'''  2.'''      <math>| \operatorname{Re}(z) | \leqslant | z | \qquad \qquad | \operatorname{Im}(z) | \leqslant | z |</math>

::'''  3.'''      <math>| z |^2 = z \overline{z}</math>

::'''  4.'''      <math>| z_1 z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 |</math>

::'''  5.'''      <math>\left| {\small\frac{1}{z}} \right| = {\small\frac{1}{| z |}}</math>

::'''  6.'''      <math>| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \,\,</math> (równość zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]])

::'''  7.'''      <math>\left| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} | z_k |</math>

::'''  8.'''      <math>| | z_1 | - | z_2 | | \leqslant | z_1 - z_2 |</math>

::'''  9.'''      <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

::'''10.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad\qquad \;\;\; z_2 \neq 0</math>

::'''11.'''      <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)

::'''12.'''      <math>\arg \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \arg (z_1) - \arg (z_2) \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)

::'''13.'''      <math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

::'''14.'''      <math>\operatorname{Arg} \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

::'''15.'''      <math>\operatorname{Arg} (z_1) = \operatorname{Arg} (z_2) \qquad\qquad \Longleftrightarrow \qquad\qquad \arg (z_1) = \arg (z_2) + 2 k \pi</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 2.'''

::<math>| z | = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant \sqrt{a^2} = | a | = | \operatorname{Re}(z) |</math>

'''Punkt 4.'''

::<math>| z_1 z_2 | = | (a_1 + i b_1) (a_2 + i b_2) |</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = | a_1 a_2 - b_1 b_2 + i (a_1 b_2 + a_2 b_1) |</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1 a_2 - b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 (a_2)^2 - 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + (b_1)^2 (b_2)^2 + (a_1)^2 (b_2)^2 + 2 a_1 b_2 a_2 b_1 + (b_1)^2 (a_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 (a_2)^2 + (b_1)^2 (b_2)^2 + (a_1)^2 (b_2)^2 + (b_1)^2 (a_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{[(a_1)^2 + (b_1)^2] \cdot [(a_2)^2 + (b_2)^2]}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 + (b_1)^2} \cdot \sqrt{(a_2)^2 + (b_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = | z_1 | \cdot | z_2 |</math>

'''Punkt 6.'''

Wzór jest prawdziwy w przypadku, gdy <math>z_1 = z_2 = 0</math>. Możemy zatem założyć, że przynajmniej jedna z liczb <math>z_1, z_2</math> jest różna od zera.

::<math>| z_1 + z_2 |^2 = (z_1 + z_2) \overline{(z_1 + z_2)}</math>

::::<math>\;\;\;\;\,\, = (z_1 + z_2) (\overline{z_1} + \overline{z_2})</math>

::::<math>\;\;\;\;\,\, = z_1 \overline{z_1} + z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}</math>

Zauważmy, że

::<math>z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} = z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1 \overline{z_2}} = 2 \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2})</math>

Zatem

::<math>| z_1 + z_2 |^2 = | z_1 |^2 + 2 \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2}) + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant | z_1 |^2 + 2 | z_1 \overline{z_2} | + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant | z_1 |^2 + 2 | z_1 | | z_2 | + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant (| z_1 | + | z_2 |)^2</math>

Wynika stąd, że

::<math>[| z_1 + z_2 | - (| z_1 | + | z_2 |)] \cdot [| z_1 + z_2 | + (| z_1 | + | z_2 |)] \leqslant 0</math>

Czyli

::<math>| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 7.'''

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 1, 2</math>. Zakładając prawdziwość wzoru dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\left| \sum_{k = 1}^{n + 1} z_k \right| = \left| \left( \sum_{k = 1}^{n} z_k \right) + z_{n + 1} \right|</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \left| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right| + | z_{n + 1} |</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \sum_{k = 1}^{n} | z_k | + | z_{n + 1} |</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \sum_{k = 1}^{n + 1} | z_k |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 8.'''

Z punktu 6. otrzymujemy

::<math>| z_1 | = | z_1 - z_2 + z_2 | \leqslant | z_1 - z_2 | + | z_2 |</math>

::<math>| z_2 | = | z_2 - z_1 + z_1 | \leqslant | z_2 - z_1 | + | z_1 | = | z_1 - z_2 | + | z_1 |</math>

Zatem

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | z_1 | - | z_2 |</math>

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | z_2 | - | z_1 | = - (| z_1 | - | z_2 |)</math>

Zbierając

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant \pm (| z_1 | - | z_2 |)</math>

Czyli

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | | z_1 | - | z_2 | |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 9.'''

::<math>z_1 z_2 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \cdot r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>

:::<math>\;\:\, = r_1 r_2 (\cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2 + i (\sin \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 + \cos \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2))</math>

:::<math>\;\:\, = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

'''Punkt 10.'''

::<math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)}{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot {\small\frac{(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) (\cos \varphi_2 - i \sin \varphi_2)}{(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_2 - i \sin \varphi_2)}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot {\small\frac{\cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2 + i (\sin \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 - \cos \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2)}{\cos^2 \varphi_2 + \sin^2 \varphi_2}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2))</math>

'''Punkty 11. i 12.'''

Wzory wynikają natychmiast z punktów 9. i 10. Ponieważ <math>\arg (z)</math> jest określony z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>, to równanie

::<math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>

nie może być określone dokładniej. Zauważmy, że z tego wzoru wynikają stwierdzenia

Jeżeli <math>\arg (z_1)</math> jest argumentem <math>z_1</math> i <math>\arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_2</math>, to <math>\arg (z_1) + \arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>.

Jeżeli <math>\arg (z_1 z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie <math>\arg (z_1)</math> i <math>\arg (z_2)</math>, że <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>.

Analogicznie dla ilorazu liczb zespolonych i różnicy ich argumentów.

'''Punkt 13. i 14.'''

Z definicji argumentu głównego mamy

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) \leqslant \pi \qquad\qquad\qquad\qquad (\ast)</math>

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi \qquad\qquad\qquad\quad \;\;\: (\ast \ast)</math>

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1 z_2) \leqslant \pi</math>

Z p.11 wiemy, że suma <math>\operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2)</math> jest argumentem iloczynu <math>z_1 z_2</math>, ale nie musi być to argument główny. Ze wzorów <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math> widzimy, że

::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>

Zatem możliwe są trzy przypadki

:*&emsp; jeżeli <math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi</math>, to suma argumentów tworzy argument główny liczby <math>z_1 z_2</math> i nie musimy nic robić

:*&emsp; jeżeli <math>\pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy od sumy argumentów odjąć <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

:*&emsp; jeżeli <math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant - \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy do sumy argumentów dodać <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

Zbierając, możemy napisać

::<math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi</math>, gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

Dla dowodu p.14 wystarczy zauważyć, że ze wzorów

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) \leqslant \pi</math>

::<math>- \pi \leqslant - \operatorname{Arg} (z_2) < \pi</math>

Dostajemy oszacowanie

::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) < 2 \pi</math>

Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.

'''Punkt 15.'''

<math>\Large{\Longrightarrow}</math>

Z definicji argumentu ogólnego możemy zapisać:

::<math>\arg (z_1) = \operatorname{Arg} (z_1) + 2 m \pi</math>

::<math>\arg (z_2) = \operatorname{Arg} (z_2) + 2 n \pi</math>

gdzie <math>m, n \in \mathbb{Z}</math>. Zatem

::<math>\arg (z_1) - \arg (z_2) = 2 (m - n) \pi</math>

Czyli różnica <math>\arg (z_1) - \arg (z_2)</math> jest wielokrotnością <math>2 \pi</math>.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że <math>\operatorname{Arg} (z_1) \neq \operatorname{Arg} (z_2)</math>. Mamy

::<math>| \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) | = | \arg (z_1) - 2 m \pi - (\arg (z_2) - 2 n \pi) |</math>

::::::::<math>\, = | (\arg (z_1) - \arg (z_2) - 2 k \pi) + (2 k \pi - 2 m \pi + 2 n \pi) |</math>

::::::::<math>\, = 2 | k - m + n | \pi > 0</math>

Ponieważ <math>k - m + n</math> jest liczbą całkowitą, to musi być <math>2 | k - m + n | \pi \geqslant 2 \pi</math>. Co jest niemożliwe, bo <math>| \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg}
(z_2) | < 2 \pi</math>. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że nasze przypuszczenie było fałszywe. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA5 (Abraham de Moivre, 1707) 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>\varphi = \arg z</math>. Mamy

::<math>z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wzór de Moivre'a jest uogólnieniem wzoru na iloczyn liczb zespolonych (zobacz [[#ZA4|ZA4]] p. 9)

::<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

Indukcja matematyczna. Wzór de Moivre'a jest prawdziwy dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość wzoru dla <math>n \geqslant 1</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>z^{n + 1} = z^n z</math>

:::<math>\;\;\, = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) \cdot | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

:::<math>\;\;\, = | z |^{n + 1} (\cos (n + 1) \varphi + i \sin (n + 1) \varphi)</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA6 
Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli <math>z^n = w</math>, to powiemy, że <math>z</math> jest pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>w</math>. Liczbę <math>z</math>, dla której <math>\operatorname{Arg} (z) = {\small\frac{\operatorname{Arg} (w)}{n}}</math>, będziemy nazywali wartością główną pierwiastka lub pierwiastkiem głównym.

Zadanie ZA7 
Pokazać, że ze wzoru de Moivre'a wynika następujący wzór na pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>

::<math>z^{1/n} = \sqrt[n]{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right)</math>

gdzie <math>\varphi = \arg z</math>. Zauważmy, że dla <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math> otrzymujemy <math>n</math> różnych pierwiastków <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>w</math> będzie pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>z</math>. Z definicji <math>w^n = z</math>. Jeżeli zapiszemy liczby <math>z</math> i <math>w</math> jako

::<math>z = R (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

::<math>w = r (\cos \theta + i \sin \theta)</math>

to równanie <math>w^n = z</math> możemy zapisać w postaci

::<math>r^n (\cos n \theta + i \sin n \theta) = R (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

Porównując część rzeczywistą i część urojoną, dostajemy

::<math>r^n \cos n \theta = R \cos \varphi</math>

::<math>r^n \sin n \theta = R \sin \varphi</math>

Mnożąc strony przez siebie, mamy

::<math>r^n R \sin n \theta \cos \varphi = r^n R \cos n \theta \sin \varphi</math>

Skąd dostajemy

::<math>\sin n \theta \cos \varphi - \cos n \theta \sin \varphi = \sin (n \theta - \varphi) = 0</math>

Zatem

::<math>n \theta = \varphi + 2 k \pi</math>

i oczywiście

::<math>r = \sqrt[n]{R}</math>

Wszystkie wartości <math>\theta</math> wynikają z równania

::<math>\theta = {\small\frac{\varphi}{n}} + {\small\frac{2 k \pi}{n}}</math>

gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Pozostałym wartościom <math>k</math> odpowiadają kąty <math>\theta</math>, które różnią się o <math>2 \pi</math> od pewnego wypisanego wyżej kąta <math>\theta</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga ZA8 
Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać

::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{| z |} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) \right]</math>

Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.

Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość

::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

Dla przykładu możemy napisać

::<math>z^{1 / 2} = \left\{ \sqrt{z}, \, - \sqrt{z} \right\} \qquad z^{1 / 3} = \left\{ \sqrt[3]{z}, \, \varepsilon \cdot \sqrt[3]{z}, \, \varepsilon^2 \cdot \sqrt[3]{z} \right\} \qquad z^{1 / 4} = \left\{ \sqrt[4]{z}, \, i \cdot \sqrt[4]{z}, \, - \sqrt[4]{z}, \, - i \cdot \sqrt[4]{z} \right\}</math>

gdzie <math>\sqrt{z}, \, \sqrt[3]{z}, \, \sqrt[4]{z}</math> są wartościami głównymi pierwiastka drugiego, trzeciego i czwartego stopnia, a <math>\varepsilon = - {\small\frac{1}{2}} + i \cdot {\small\frac{\sqrt{3}}{2}}</math>.

Czytelnik zechce sprawdzić, że wprost z definicji wartości głównej pierwiastka drugiego stopnia wynika następujący warunek równoważny tej definicji

::<math>\operatorname{Re}\left( \sqrt{z} \right) > 0 \qquad \text{ lub } \qquad \left( \, \operatorname{Re}\left( \, \sqrt{z} \right) = 0 \quad \text{i} \quad \operatorname{Im}\left( \sqrt{z} \right) > 0 \, \right)</math>

Warunek ten często zapisywany jest w niepełnej wersji: <math>\operatorname{Re}\left( \sqrt{z} \right) > 0</math>. Niekiedy taki zapis oznacza po prostu, że chcemy rozważać funkcję <math>\sqrt{z}</math> na zbiorze otwartym.

Zadanie ZA9 
Załączone wykresy przedstawiają pierwiastki drugiego, trzeciego i czwartego stopnia z liczb <math>1, - 1, i, - i</math>. Obejrzyj wykresy i wskaż wartości główne odpowiednich pierwiastków. Zauważmy, że liczba <math>- 1</math> '''nie jest''' wartością główną pierwiastka trzeciego stopnia z <math>- 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:Roots-of-plus-1.png|600px|none]]
[[File:Roots-of-minus-1.png|600px|none]]
</div> 
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:Roots-of-plus-i.png|600px|none]]
[[File:Roots-of-minus-i.png|600px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA10 
Obliczyć

::<math>\text{a)} \;\; (1 - i)^{100} \qquad \qquad \text{b)} \;\; z^{1/2} \qquad \qquad \text{c)} \;\; 2^{1/6} \qquad \qquad \text{d)} \;\; (1+i)^{1/4}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
a) Liczbę <math>1 - i</math> możemy zapisać w postaci

::<math>1 - i = \sqrt{2} \left( \cos \left( - {\small\frac{\pi}{4}} \right) + i \sin \left( - {\small\frac{\pi}{4}} \right) \right)</math>

Zatem ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy

::<math>(1 - i)^{100} = \left( \sqrt{2} \right)^{100} (\cos (- 25 \pi) + i \sin (- 25 \pi)) = - 2^{50}</math>

b) Z zadania [[#ZA7|ZA7]] wynika natychmiast, że wszystkie pierwiastki drugiego stopnia z liczby <math>z</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>z^{1/2} = \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{2}} \right)</math>

gdzie <math>\varphi = \arg (z)</math> i <math>k = 0, 1</math>. Zatem są to liczby

::<math>w_1 = \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right)</math>

::<math>w_2 = \sqrt{| z |} \left( \cos \left( {\small\frac{\varphi}{2}} + \pi \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi}{2}} + \pi \right) \right) = \sqrt{| z |} \left( - \cos {\small\frac{\varphi}{2}} - i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right) = - \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right) = - w_1</math>

I takiego wyniku należało oczekiwać.

c) Wszystkie pierwiastki <math>6</math>-tego stopnia z liczby <math>2</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>\sqrt[6]{2} \left( \cos {\small\frac{k \pi}{3}} + i \sin {\small\frac{k \pi}{3}} \right)</math>

gdzie <math>k = 0, 1, 2, 3, 4, 5</math>. Łatwo znajdujemy, że poszukiwanymi pierwiastkami są liczby

::<math>\sqrt[6]{2} \qquad \sqrt[6]{2} \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad \sqrt[6]{2} \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad - \sqrt[6]{2} \qquad \sqrt[6]{2} \left( - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad \sqrt[6]{2} \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right)</math>

d) Ponieważ <math>\operatorname{Arg}(1 + i) = {\small\frac{\pi}{4}}</math>, to liczbę <math>1 + i</math> możemy zapisać w postaci

::<math>1 + i = \sqrt{2} \left( \cos {\small\frac{\pi}{4}} + i \sin {\small\frac{\pi}{4}} \right)</math>

Wszystkie pierwiastki <math>4</math>-tego stopnia z liczby <math>1 + i</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>\sqrt[8]{2} \left( \cos \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) \right)</math>

gdzie <math>k = 0, 1, 2, 3</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład ZA11 
W przypadku liczb zespolonych łatwo jest napisać nierówności, które mają być spełnione, ale trudniej wyobrazić sobie ich rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Ogromnym ułatwieniem jest oprogramowanie WolframAlpha dostępne online. Podamy kilka przykładów.

:*    <math>1 < | z |^2 < 4</math>, czyli <math>\; 1 < x^2 + y^2 < 4</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+1%3C+%7Cx%7C%5E2%2B%7Cy%7C%5E2%3C4 WolframAlpha])

:*    <math>| z |^2 < 1 \;</math> i <math>\; \operatorname{Im}(z) > 0</math>, czyli <math>\; x^2 + y^2 < 1 \;</math> i <math>\; y > 0</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3C1+and+y%3E0 WolframAlpha])

:*    <math>| z |^2 < 1 \;</math> i <math>\; \operatorname{Im}(z) > \operatorname{Re}(z)</math>, czyli <math>\; x^2 + y^2 < 1 \;</math> i <math>\; y > x</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3C1+and+y%3Ex WolframAlpha])

:*    <math>| z | = \arg (z)</math>, czyli <math>\; r = \varphi</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=polar+plot+r%3Dphi WolframAlpha])

:*    <math>| z | = 1 + \cos (\operatorname{Arg}(z))</math>, czyli <math>\; r = 1 + \cos \varphi</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=polar+plot+r%3D1%2Bcos+phi WolframAlpha])

== Ciągi nieskończone liczb zespolonych ==

Definicja ZA12 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Jeżeli każdej liczbie <math>n</math> przypiszemy pewną liczbę zespoloną <math>c_n</math>, to powiemy, że liczby <math>c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots</math> tworzą ciąg nieskończony o wyrazach zespolonych.

Definicja ZA13 
Ciąg nieskończony <math>c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots</math> będziemy oznaczać symbolem <math>(c_n)</math>. Często, o ile nie będzie to prowadziło do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywali po prostu ciągiem.

Definicja ZA14 
Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>, to powiemy, że <math>c</math> jest granicą ciągu <math>(c_n)</math> i w takim przypadku będziemy pisali <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c</math>. Ciąg mający skończoną granicę będziemy nazywali zbieżnym.

Uwaga ZA15 
Porównajmy. W przypadku nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_n)</math> mieliśmy taki obrazek granicy

::[[File: Real-limit-of-a-sequence.png|600px|none]]

Pomimo formalnego podobieństwa definicji, w przypadku liczb zespolonych obrazek wygląda tak

::[[File: Complex-limit-of-a-sequence.png|400px|none]]

Definicja ZA16 
Niech <math>a_n, b_n \in \mathbb{R}\; </math> i <math>\; c_n \in \mathbb{C}</math>. Ciągi <math>(a_n)</math>, <math>(b_n)</math>, <math>(c_n)</math> mają granice niewłaściwe, jeżeli dla dowolnego <math>M > 0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::●      <math>a_n > M \qquad \;\;\,</math> (ciąg <math>(a_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>+ \infty</math>)

::●      <math>b_n < - M \qquad</math> (ciąg <math>(b_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>- \infty</math>)

::●      <math>| c_n | > M \qquad \:</math> (ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>\infty</math>)

Powiemy wtedy, że

::●      ciąg <math>(a_n)</math> jest rozbieżny do plus nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = + \infty</math>

::●      ciąg <math>(b_n)</math> jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = - \infty</math>

::●      ciąg <math>(c_n)</math> jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \infty</math>

Przykład ZA17 
Ciąg <math>a_n = 1 + {\small\frac{1}{n}}</math> jest zbieżny do liczby <math>1</math>. Istotnie, dla dowolnego <math>\varepsilon > 0 \;</math> i <math>\; N_0 = \left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1</math> dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| a_n - 1 | < \varepsilon</math>. Co łatwo sprawdzamy

::<math>| a_n - 1 | = \left| {\small\frac{1}{n}} \right| = {\small\frac{1}{n}} < {\small\frac{1}{N_0}} = \frac{1}{\left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1} < \frac{1}{{\small\frac{1}{\varepsilon}}} = \varepsilon</math>

Ciąg <math>a_n = n^2</math> jest rozbieżny do plus nieskończoności. Istotnie, dla dowolnego <math>M > 0 \;</math> i <math>\; N_0 = \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1</math> dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>a_n > M</math>. Co łatwo sprawdzamy

::<math>a_n = n^2 > N^2_0 = \left( \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1 \right)^2 > \left( \sqrt{M} \right)^2 = M</math>

Twierdzenie ZA18 
Niech <math>c_n = a_n + i b_n</math> oraz <math>c = a + i b</math>. Ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę <math>c</math> wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> mają granice <math>a</math> i <math>b</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę równą <math>c</math>, zatem z definicji granicy ciągu dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Korzystając z definicji modułu, otrzymujemy kolejno nierówności prawdziwe dla <math>n > N_0</math>

::<math>\sqrt{(a_n - a)^2 + (b_n - b)^2} < \varepsilon</math>

Tym bardziej

::<math>\sqrt{(a_n - a)^2} < \varepsilon \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \sqrt{(b_n - b)^2} < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>| a_n - a | < \varepsilon \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad | b_n - b | < \varepsilon</math>

Z definicji granicy otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 
Z założenia <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>. Z definicji granicy ciągów <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math>
dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math> oraz <math>| b_n - b | <
\frac{\varepsilon}{2}</math>. Zatem dostajemy dla <math>n > N_0</math>

::<math>| c_n - c | = | (a_n - a) + i (b_n - b) |</math>

::::<math>\;\; \leqslant | a_n - a | + | i (b_n - b) |</math>

::::<math>\;\; \leqslant | a_n - a | + | b_n - b |</math>

::::<math>\;\; < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

::::<math>\;\; = \varepsilon</math>

Z definicji granicy otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA19 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Ciąg <math>(a_n)</math> liczb rzeczywistych będziemy nazywali
::*     ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \geqslant a_n</math>
::*     ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \leqslant a_n</math>

Ciągi rosnące dzielimy na
:::*     ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} > a_n</math>
:::*     ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>

Ciągi malejące dzielimy na
:::*     ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} < a_n</math>
:::*     ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>

Zadanie ZA20 
Jeżeli <math>(a_k)</math> jest malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>, to <math>a_k \geqslant g</math> dla wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>.

Jeżeli <math>(a_k)</math> jest silnie malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>, to <math>a_k > g</math> dla wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz <math>a_m</math>, że <math>a_m < g</math>. Wybierzmy liczby <math>r \;</math> i <math>\; \varepsilon</math> tak, aby <math>a_m < r < g \;</math> i <math>\; \varepsilon = g - r > 0</math>. Zatem istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::<math>| a_n - g | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>- \varepsilon < a_n - g < \varepsilon</math>

::<math>g - \varepsilon < a_n < \varepsilon + g</math>

Z lewej nierówności wynika, że

::<math>a_n > g - \varepsilon = r > a_m</math>

Ponieważ wskaźnik <math>m</math> był liczbą ustaloną, a <math>n > N_0</math> może być dowolnie duże, to istnieje takie <math>n > m</math>, że <math>a_n > a_m</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem malejącym.

'''Punkt 2.'''

Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz <math>a_m</math>, że <math>a_m \leqslant g</math>. Jeżeli <math>a_m < g</math>, to postępujemy tak jak wyżej i otrzymujemy, że istnieje takie <math>n > m</math>, że <math>a_n > a_m</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem silnie malejącym.

Rozważmy przypadek, gdy <math>a_m = g</math>. Ponieważ ciąg <math>(a_k)</math> jest z założenia ciągiem silnie malejącym, to <math>a_{m + 1} < a_m = g</math>. Powtarzając rozumowanie z punktu 1. dla wyrazu <math>a_{m + 1}</math>, otrzymujemy, że istnieje takie <math>n > m +
1</math>, że <math>a_n > a_{m + 1}</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem silnie malejącym. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA21 
Niech <math>c_n \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} (c_n - c) = 0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n - c | = 0</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \qquad \qquad \: \Longrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c |</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Z definicji granicy ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny do <math>c</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Warunek ten możemy w sposób równoważny zapisać w postaci <math>| (c_n - c) - 0 | < \varepsilon \;</math> lub <math>\; | | c_n - c | - 0 | < \varepsilon</math>. Skąd natychmiast wynika wypisany ciąg równoważności.

'''Punkt 2.'''

Jest to jedynie szczególny przypadek punktu 1. dla <math>c = 0</math>.

'''Punkt 3.'''

Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny do <math>c</math>, czyli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>.

Wiemy, że dla dowolnych liczb zespolonych <math>z_1 \,</math> i <math>\, z_2</math> prawdziwa jest nierówność (zobacz [[#ZA4|ZA4]] p. 8)

::<math>| | z_1 | - | z_2 | | \leqslant | z_1 - z_2 |</math>

Zatem dla <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| | c_n | - | c | | < \varepsilon</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA22 
Powiemy, że ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista <math>M</math>, że <math>| c_n | \leqslant M</math> dla wszystkich <math>n \geqslant 0 </math>.

Twierdzenie ZA23 
Jeżeli ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest zbieżny, to jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny. Z definicji granicy dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| | c_n | - | c | | \leqslant | c_n - c | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>- \varepsilon < | c_n | - | c | < \varepsilon</math>

::<math>| c_n | < | c | + \varepsilon</math>

Wynika stąd, że dla <math>n \geqslant 1</math> jest

::<math>| c_n | < M</math>

gdzie <math>M = \max (| c_1 |, \ldots, | c_{N_0} |, | c | + \varepsilon)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA24 (twierdzenie o trzech ciągach) 
Niech <math>(x_n)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek

::<math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>

oraz

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g</math>

to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji zbieżności ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> wynika, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieją takie liczby <math>N_a \,</math> i <math>\, N_b</math>, że

::<math>| a_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a</math>

::<math>| b_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b</math>

Czyli

::<math>g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a</math>

::<math>g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b</math>

Z założenia nierówność <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math> jest spełniona dla <math>n > N_0</math>. Niech <math>N_1 = \max (N_0, N_a, N_b)</math>. Zatem dla <math>n > N_1</math>
spełnione są jednocześnie nierówności

:*    <math>g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon</math>

:*    <math>g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon</math>

:*    <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>

Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności

::<math>g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon</math>

Co oznacza, że dla <math>n > N_1</math> zachodzi

::<math>g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon</math>

Czyli <math>| x_n - g | < \varepsilon</math>, co oznacza, że ciąg <math>(x_n)</math> jest zbieżny i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA25 
Niech <math>(c_n)</math> i <math>(z_n)</math> będą ciągami liczb zespolonych oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z_n = 0</math>. Pokazać, że jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek <math>| c_n | \leqslant | z_n |</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = | c_n |</math> i <math>t_n = | z_n |</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz [[#ZA21|ZA21]] p.2). Z założenia mamy

::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>. Ponownie korzystając z [[#ZA21|ZA21]] p.2, otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA26 
Niech <math>c \in \mathbb{C}</math> będzie pewną stałą zespoloną. Jeżeli ciągi <math>(w_n) \,</math> i <math>\, (z_n)</math> liczb zespolonych są zbieżne oraz <math>\lim_{n \rightarrow +
\infty} w_n = w \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z</math>, to

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (c w_n) = c w</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \pm z_n) = w \pm z</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z</math>

Jeżeli dodatkowo <math>z_n \neq 0</math> dla wszystkich <math>n \geqslant 1 \;</math> i <math>\; z \neq 0</math>, to

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{w_n}{z_n}} = {\small\frac{w}{z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Jeżeli <math>c = 0</math>, to ciąg <math>(c w_n)</math> składa się z samych zer i ma granicę równą zero – twierdzenie jest prawdziwe. Możemy zatem założyć, że <math>c \neq 0</math>. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(w_n)</math> wynika, że istnieje liczba <math>N_0</math> taka, że dla <math>n > N_0</math>

::<math>| w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{| c |}}</math>

Zatem dla <math>n > N_0</math> mamy

::<math>| (c w_n) - (c w) | = | c | | w_n - w | < \varepsilon</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granic ciągów <math>(w_n) \,</math> i <math>\, (z_n)</math> wynika, że istnieją liczby <math>N_1 \,</math> i <math>\, N_2</math> takie, że

::<math>| w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1</math>

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| (w_n + z_n) - (w + z) | = | (w_n - w) + (z_n - z) | \leqslant | w_n - w | + | z_n - z | = {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Wynika stąd, że ciąg <math>(w_n + z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>w + z</math>. Z punktu 1. wynika natychmiast, że ciąg <math>(- z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>- z</math>. Zatem ciąg <math>(w_n - z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>w - z</math>.

'''Punkt 3.'''

Rozpoczniemy od dowodu prostszego przypadku i pokażemy, że iloczyn ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> zbieżnych do zera jest zbieżny do zera. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granic ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> wynika, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieją liczby <math>N_1 \,</math> i <math>\, N_2</math> takie, że

::<math>| a_n | < \sqrt{\varepsilon} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1</math>

::<math>| b_n | < \sqrt{\varepsilon} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| a_n b_n | = | a_n | \cdot | b_n | < \varepsilon</math>

Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z \;</math> w przypadku, gdy obydwa ciągi są zbieżne do zera.

Dowodząc przypadek ogólny, wykorzystamy fakt, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n - w) = 0 \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n - z) = 0</math>. Zatem

::<math>0 = \lim_{n \rightarrow \infty} ((w_n - w) (z_n - z))</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n - w_n z - w z_n + w z)</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z) - \lim_{n \rightarrow \infty} (w z_n) + \lim_{n \rightarrow \infty} (w z)</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - z \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n) - w \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n) + w z</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - w z</math>

Co kończy dowód.

'''Punkt 4.'''

Dla dowodu wystarczy pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{z_n}} = {\small\frac{1}{z}}</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(z_n)</math> wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>, zatem w szczególności dla <math>\varepsilon = {\small\frac{1}{2}} | z |</math>, istnieje takie <math>N_1</math>, że dla każdego <math>n > N_1</math> jest

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

Ponieważ <math>| z_n - z | \geqslant | | z_n | - | z | |</math>, to

::<math>| | z_n | - | z | | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

Czyli

::<math>- {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | - | z | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

::<math>\;\;\: {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | < {\small\frac{3}{2}} | z |</math>

Z lewej nierówności wynika, że dla każdego <math>n > N_1</math> mamy

::<math>{\small\frac{1}{| z_n |}} < {\small\frac{2}{| z |}}</math>

Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(z_n)</math> wynika, że istnieje liczba <math>N_2</math> taka, że dla każdego <math>n > N_2</math> jest

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>\left| {\small\frac{1}{z_n}} - {\small\frac{1}{z}} \right| = \left| {\small\frac{z - z_n}{z_n z}} \right| = {\small\frac{| z_n - z |}{| z_n | | z |}} < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon \cdot {\small\frac{2}{| z |}} \cdot {\small\frac{1}{| z |}} = \varepsilon</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA27 
Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(z_n)</math> jest ograniczony, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (z_n \cdot c_n) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wystarczy pokazać, że (zobacz [[#ZA21|ZA21]] p. 2)

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | z_n \cdot c_n | = 0</math>

Z założenia ciąg <math>(z_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że <math>| z_n | \leqslant M</math>. Zatem prawdziwe jest oszacowanie

::<math>0 \leqslant | z_n \cdot c_n | \leqslant | c_n | \cdot M</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | z_n \cdot c_n | = 0</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA28 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| x | < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} 0^n = 0 \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} 1^n = 1</math>. Mamy <math>(- 1)^{2 k} = + 1 \;</math> i <math>\; (- 1)^{2 k + 1} = - 1</math>, zatem granica <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (- 1)^n</math> nie istnieje.

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{x > 1}</math>'''

::<math>x^n = [1 + (x - 1)]^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (x - 1)^k > n (x - 1)</math>

Ponieważ <math>x^n > n (x - 1)</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = + \infty</math>.

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{0 < x < 1}</math>'''

Ponieważ <math>{\small\frac{1}{x}} > 1</math>, to możemy ponownie zastosować wzór z punktu 1.

::<math>\left( {\small\frac{1}{x}} \right)^n = {\small\frac{1}{x^n}} > n \left( {\small\frac{1}{x}} - 1 \right)</math>

Czyli

::<math>0 < x^n < {\small\frac{1}{n}} \cdot {\small\frac{x}{1 - x}}</math>

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math>.

'''3. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{- 1 < x < 0}</math>'''

Mamy

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = \lim_{n \rightarrow \infty} (- | x |)^n = \lim_{n \rightarrow \infty} ((- 1)^n | x |^n) = 0</math>

Bo <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = 0</math>, a ciąg <math>(- 1)^n</math> jest ciągiem ograniczonym (zobacz [[#ZA27|ZA27]]).

'''4. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{x < - 1}</math>'''

Ponieważ <math>x = - | x | \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = + \infty</math>, to ciąg <math>(x^n)</math> jest w tym przypadku rozbieżny. Dla parzystych <math>n</math> dąży do plus nieskończoności, a dla nieparzystych <math>n</math> dąży do minus nieskończoności. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA29 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Granica <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z^n = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z | < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>. Mamy <math>z = | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>, zatem

::<math>z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math>

Ponieważ <math>\cos n \varphi</math> oraz <math>\sin n \varphi</math> nie mogą być jednocześnie równe zero (bo mielibyśmy wtedy <math>\cos^2 \! n \varphi + \sin^2 \! n \varphi = 0</math>), to <math>| z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math> dąży do zera wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z |^n</math> dąży do zera, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z | < 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA30 
Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{a > 1}</math>'''

Niech <math>a^{1 / n} = 1 + d_n</math>. Ze wzoru dwumianowego dostajemy

::<math>a = (1 + d_n)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (d_n)^k > n d_n</math>

Zatem

::<math>0 < d_n < {\small\frac{a}{n}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>.

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{0 < a < 1}</math>'''

Ponieważ <math>{\small\frac{1}{a}} > 1</math>, to na podstawie punktu 1. dostajemy

::<math>1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( {\small\frac{1}{a}} \right)^{1 / n} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{a^{1 / n}}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a^{1 / n}}</math>

Czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA31 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{z} = 1</math>, gdzie <math>\sqrt[n]{z}</math> jest wartością główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math> (zobacz [[#ZA8|ZA8]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla uproszczenia zapisu oznaczmy <math>\varphi = \operatorname{Arg} (z)</math>. Z definicji wartości głównej pierwiastka mamy

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right)</math>

Zatem

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{z} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \sqrt[n]{| z |} \cdot \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) \right] = \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{| z |} \right) \cdot \left[ \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \cos {\small\frac{\varphi}{n}} \right) + i \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) \right] = 1</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA32 
Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>n^{1 / n} = 1 + d_n</math>. Ze wzoru dwumianowego dostajemy

::<math>n = (1 + d_n)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (d_n)^k > {\small\frac{n (n - 1)}{2}} \cdot (d_n)^2</math>

Zatem

::<math>0 < d_n < \sqrt{{\small\frac{2}{n - 1}}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0</math>, skąd wynika, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA33 
Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (n!)^{1 / n} = + \infty</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że

::<math>(n!)^2 = [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots (n - 1) \cdot n] \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots (n - 1) \cdot n]</math>

:::<math>\;\;\:\, = [1 \cdot n] \cdot [2 \cdot (n - 1)] \cdot [3 \cdot (n - 2)] \cdot \ldots \cdot [(n - 1) \cdot 2] \cdot [n \cdot 1]</math>

:::<math>\;\;\:\, = \prod^n_{k = 1} k \cdot (n - k + 1)</math>

Łatwo widzimy, że dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, n - 1, n</math> prawdziwa jest nierówność <math>k \cdot (n - k + 1) \geqslant n</math>, bo w równoważnej nierówności <math>(k - 1) (n - k) \geqslant 0</math> obydwa czynniki są nieujemne. Zatem <math>(n!)^2 \geqslant n^n</math>, czyli <math>n! \geqslant \sqrt{n^n} \;</math> i <math>\; (n!)^{1 / n} \geqslant \sqrt{n}</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = + \infty</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Podciągi, punkty skupienia, granica dolna i górna ==

Definicja ZA34 
Jeżeli <math>(c_k)</math> jest ciągiem nieskończonym liczb zespolonych i <math>\left( {k_j} \right)</math> jest silnie rosnącym ciągiem nieskończonym liczb naturalnych, to powiemy, że ciąg <math>(c_{k_j})</math> jest nieskończonym podciągiem ciągu <math>(c_k)</math>.

Przykład ZA35 
Ciąg <math>(c_{2 k})</math>, czyli ciąg postaci <math>c_2, c_4, c_6 \ldots</math> i ciąg <math>(c_{2^k})</math>, czyli ciąg postaci <math>c_2, c_4, c_8 \ldots</math> są podciągami ciągu <math>(c_k)</math>. Ciąg <math>c_2, c_8, c_4, c_{32}, c_{16}, \ldots</math> nie jest podciągiem, bo kolejne wskaźniki nie tworzą ciągu silnie rosnącego.

Pociągami ciągu <math>c_n = (- 1)^n</math> są ciągi <math>(1, 1, 1, \ldots) \;</math> i <math>\; (- 1, - 1, - 1, \ldots)</math>. Widzimy, że ciąg, który nie jest zbieżny, ma zbieżne podciągi. Oczywiście każdy podciąg ciągu zbieżnego jest ciągiem zbieżnym.

Definicja ZA36 
Powiemy, że liczba <math>c</math> jest punktem skupienia ciągu liczb zespolonych <math>(c_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(c_k)</math> zbieżny do <math>c</math>. 
Powiemy, że <math>+ \infty</math> jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(a_k)</math> rozbieżny do <math>+ \infty</math>. 
Powiemy, że <math>- \infty</math> jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(a_k)</math> rozbieżny do <math>- \infty</math>.

Przykład ZA37 
Punktami skupienia ciągu <math>a_k = (- 1)^k</math> są liczby <math>- 1</math> i <math>1</math>. Punktami skupienia ciągu <math>c_k = i^k</math> są liczby <math>1, - 1, i, - i</math>. Punktami skupienia ciągu <math>a_k = k \cdot (- 1)^k</math> są <math>- \infty</math> i <math>+ \infty</math>.

W ogólności: jeżeli ciąg <math>(c_k)</math> zawiera nieskończenie wiele jednakowych wyrazów <math>c</math>, to oczywiście liczba <math>c</math> jest punktem skupienia tego ciągu, bo łatwo możemy wybrać podciąg ciągu <math>(c_k)</math> zbieżny do <math>c</math>.

Twierdzenie ZA38 
Niech <math>c \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>, to punkt <math>c</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(c_k)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>. Zauważmy, że w rzeczywistości otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> musi zawierać nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math>. Istotnie, gdyby w rozpatrywanym otoczeniu była tylko skończona liczba wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math>, to moglibyśmy wyznaczyć taką liczbę <math>\varepsilon' > 0</math>, że w otoczeniu <math>| z - c | < \varepsilon'</math> nie byłoby ani jednego wyrazu ciągu <math>(c_k)</math> różnego od <math>c</math> wbrew założeniu, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>.

Niech <math>j \in \mathbb{Z}_+</math>. Z nieskończenie wielu wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math> zawartych w otoczeniu <math>| z - c | < {\small\frac{1}{j}}</math> wybieramy dowolny wyraz następujący po już wybranych wyrazach <math>c_{k_1}, c_{k_2}, \ldots, c_{k_{j - 1}}</math>. Oznaczmy ten wyraz przez <math>c_{k_j}</math>. Postępując tak dla kolejnych liczb <math>j</math>, otrzymujemy podciąg <math>(c_{k_j})</math> zbieżny do <math>c</math>. Pokażemy zbieżność podciągu <math>(c_{k_j})</math>. Dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> obierzmy <math>N_0</math> tak, aby <math>{\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon</math>. Z konstrukcji ciągu <math>(c_{k_j})</math> widzimy, że dla każdego <math>j > N_0</math> jest <math>| c_{k_j} - c | < {\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon</math>. Co kończy dowód.

Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Punkt <math>1</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = (- 1)^n</math>, ale nieprawdą jest, że dowolne otoczenie punktu <math>1</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(a_k)</math> różny od <math>1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA39 (granica dolna i górna) 
Granicą górną ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, nazywamy największy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem <math>\limsup_{k \rightarrow \infty} a_k</math>. 
Granicą dolną ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, nazywamy najmniejszy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem <math>\liminf_{k \rightarrow \infty} a_k</math>.

Twierdzenie ZA40 
Ciąg liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy granice górna i dolna są skończone i jednakowe.

Przykład ZA41 
Granice dolna i górna ciągu <math>a_k = (- 1)^k</math> są odpowiednio równe <math>- 1</math> i <math>1</math>.

== Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w <math>\mathbb{R}</math> ==

Dwa ważne twierdzenia podamy bez dowodu<ref name="monotoniczny1"/><ref name="AksjomatCiaglosci"/>. 
Twierdzenie ZA42* 
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest

::<math>a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \leqslant M</math>

to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. 
'''Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.'''

Twierdzenie ZA43* 
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest

::<math>a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \geqslant M</math>

to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. 
'''Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.'''

Twierdzenie ZA44 (o przedziałach zstępujących) 
Niech będzie dany nieskończony ciąg przedziałów domkniętych <math>I_n = [a_n, b_n] \subset \mathbb{R}</math> takich, że <math>I_{n + 1} \subset I_n</math>. Jeżeli długości przedziałów <math>I_n</math> dążą do zera, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, czyli

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | I_n | = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = 0</math>

to

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zauważmy, że

::*     ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem ograniczonym od góry, bo <math>a_n < b_1</math>

::*     ciąg <math>(b_n)</math> jest ciągiem ograniczonym od dołu, bo <math>b_n > a_1</math>

::*     ponieważ <math>[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]</math>, to ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem rosnącym (zobacz [[#ZA19|ZA19]])

::*     ponieważ <math>[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]</math>, to ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem malejącym (zobacz [[#ZA19|ZA19]])

Z twierdzeń [[#ZA42|ZA42]] i [[#ZA43|ZA43]] wynika natychmiast, że ciągi <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math> są zbieżne. Niech

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>

Ponieważ ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są zbieżne, to

::<math>0 = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n - \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = b - a</math>

Zatem <math>b = a</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA45 (Bernard Bolzano, 1817; Karl Weierstrass) 
Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych ma podciąg zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(u_k)</math> będzie rozpatrywanym ciągiem. Z założenia ciąg <math>(u_k)</math> jest ograniczony, zatem istnieją takie liczby rzeczywiste <math>a_0</math> i <math>b_0</math>, że <math>a_0 \leqslant u_k \leqslant b_0</math>. Zbudujemy ciąg przedziałów zstępujących <math>I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots</math> i związany z nimi podciąg zbieżny ciągu <math>(u_k)</math> powtarzając następującą procedurę

:1. przedział <math>I_n = [a_n, b_n]</math> dzielimy na połowy tworząc dwa podprzedziały <math>\left[ a_n, {\small\frac{a_n + b_n}{2}} \right]</math> oraz <math>\left[ {\small\frac{a_n + b_n}{2}}, b_n \right]</math>

:2. z utworzonych podprzedziałów wybieramy ten, w którym jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(u_k)</math>[a]; wybór definiuje przedział <math>I_{n + 1} = [a_{n + 1}, b_{n + 1}]</math>

:3. ze sposobu konstrukcji przedziału <math>I_{n + 1}</math> wynika natychmiast, że <math>| I_{n + 1} | = {\small\frac{| I_n |}{2}}</math>

:4. dowolny wyraz ciągu <math>(u_k)</math> w przedziale <math>I_{n + 1}</math> (ale następujący po wcześniej wybranych wyrazach <math>u_{k_1}, u_{k_2}, \ldots, u_{k_n}</math>) będzie <math>n + 1</math> wyrazem budowanego podciągu i oznaczymy go jako <math>u_{k_{n + 1}}</math>

Zauważmy, że

:*    ciąg przedziałów <math>I_0, I_1, I_2, \ldots</math> jest ciągiem przedziałów zstępujących, bo z definicji <math>I_{n + 1} \subset I_n</math> oraz <math>| I_n | = {\small\frac{b_0 - a_0}{2^n}}</math>, czyli długość przedziałów <math>I_n</math> dąży do zera

:*    ciągi <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> są zbieżne do wspólnej granicy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g \;</math> (zobacz [[#ZA44|ZA44]])

:*    ponieważ <math>a_n \leqslant u_{k_n} \leqslant b_n</math>, to z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[#ZA24|ZA24]]) wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} u_{k_n} = g</math>

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Gdyby w każdym z podprzedziałów było nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(u_k)</math>, to wybieramy dowolny z nich. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA46 (ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych) 
Powiemy, że ciąg <math>(a_n)</math> liczb rzeczywistych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że <math>| a_n - a_m | < \varepsilon</math> dla dowolnych liczb <math>m, n</math> spełniających warunek <math>n > N_0</math> i <math>m > N_0</math>.

Twierdzenie ZA47 
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego liczb rzeczywistych. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0 = N_0 ( \varepsilon )</math>, że dla wszystkich liczb <math>m, n > N_0</math> jest

::<math>| a_n - a_m | < \varepsilon</math>

Jeżeli położymy <math>m = N_0 + 1 > N_0</math>, to dla <math>n > N_0</math> otrzymujemy oszacowanie

::<math>| a_n - a_{N_0 + 1} | < \varepsilon</math>

::<math>- \varepsilon < a_n - a_{N_0 + 1} < \varepsilon</math>

::<math>a_{N_0 + 1} - \varepsilon < a_n < a_{N_0 + 1} + \varepsilon</math>

Wynika stąd, że dla każdego <math>n \geqslant 0</math> jest

::<math>m \leqslant a_n \leqslant M</math>

gdzie

::<math>M = \max (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}, a_{N_0 + 1} + \varepsilon)</math>

::<math>m = \min (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}, a_{N_0 + 1} - \varepsilon)</math>

Ponieważ <math>- | m | \leqslant m \;</math> i <math>\; M \leqslant | M |</math>, to

::<math>- | m | \leqslant a_n \leqslant | M |</math>

Jeżeli oznaczymy <math>U = \max (| m |, | M |)</math>, to możemy napisać

::<math>- U \leqslant a_n \leqslant U</math>

Czyli dla każdego <math>n \geqslant 0</math> jest <math>| a_n | \leqslant U</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA48 
Ciąg <math>(a_k)</math> liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. Niech <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \;</math> i <math>\; \varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich liczb <math>m, n > N_0</math> jest

::<math>| a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

::<math>| a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Zatem

::<math>| a_n - a_m | = | (a_n - a) - (a_m - a) | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Czyli <math>(a_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Wiemy, że istnieje taka liczba <math>N_1</math>, ża dla wszystch liczb <math>m, n > N_1</math> jest

::<math>| a_n - a_m | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Ponieważ każdy ciąg Cauchy'ego jest ograniczony (zobacz [[#ZA47|ZA47]]), to na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa można z ciągu <math>(a_k)</math> wybrać podciąg zbieżny <math>(a_{k_j})</math>. Niech <math>\lim_{j \rightarrow \infty} a_{k_j} = \alpha</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>N_2</math>, że dla wszystkich <math>k_j > N_2</math> jest

::<math>| a_{k_j} - \alpha | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n, k_j > N_0</math> mamy

::<math>| a_n - \alpha | = | (a_n - a_{k_j}) + (a_{k_j} - \alpha) | \leqslant | a_n - a_{k_j} | + | a_{k_j} - \alpha | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Wynika stąd, że ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = \alpha</math>. Ponieważ ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę, to oczywiście <math>\alpha = a</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w <math>\mathbb{C}</math> ==

Twierdzenie ZA49 (Bolzana-Weierstrassa dla liczb zespolonych) 
Każdy ograniczony ciąg liczb zespolonych ma podciąg zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(c_k)</math> będzie rozpatrywanym ciągiem i niech <math>c_k = a_k + i b_k</math>. Z założenia <math>(c_k)</math> jest ograniczony, zatem ograniczone są ciągi <math>(a_k) \;</math> i <math>\; (b_k)</math>, bo <math>| a_k | \leqslant | c_k | \;</math> i <math>\; | b_k | \leqslant | c_k |</math>. Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa dla liczb rzeczywistych wynika natychmiast, że z każdego z ciągów <math>(a_k) \;</math> i <math>\; (b_k)</math> można wybrać podciąg zbieżny. Oznaczmy te podciągi odpowiednio jako <math>(a_{k_j}) \;</math> i <math>\; (b_{k_j})</math>. Zatem ciąg <math>c_{k_j} = a_{k_j} + i b_{k_j}</math> jest zbieżny i jest podciągiem ciągu <math>(c_k)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA50 
Powiemy, że ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math> dla dowolnych liczb <math>m, n</math> spełniających warunek <math>n > N_0 \;</math> i <math>\; m > N_0</math>.

Twierdzenie ZA51 
Jeżeli ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego i <math>\, c_n = a_n + i b_n</math>, to ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> też są ciągami Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z założenia dla dowolnego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla dowolnych <math>m, n > N_0</math> jest <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math>. Ponieważ

::<math>| c_n - c_m | = | (a_n + i b_n) - (a_m + i b_m) | = | (a_n - a_m) + i (b_n - b_m) | = \sqrt{(a_n - a_m)^2 + (b_n - b_m)^2} < \varepsilon</math>

to tym bardziej <math>| a_n - a_m | < \varepsilon \;</math> i <math>\; | b_n - b_m | < \varepsilon</math>. Zatem ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> też są ciągami Cauchy'ego. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA52 
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(c_n)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego liczb zespolonych i <math>c_n = a_n + i b_n</math>. Ponieważ ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych, to są ograniczone (zobacz [[#ZA47|ZA47]]). Zatem istnieją takie liczby rzeczywiste <math>M_a \;</math> i <math>\; M_b</math>, że dla wszystkich <math>n \in \mathbb{N}_0</math> jest <math>| a_n | \leqslant M_a \;</math> i <math>\; | b_n | \leqslant M_b</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>| c_n | = \sqrt{a^2_n + b^2_n} = \sqrt{| a_n |^2 + | b_n |^2} \leqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b}</math>

Czyli istnieje taka liczba rzeczywista <math>M_c</math>, że dla wszystkich <math>n \in \mathbb{N}_0</math> jest <math>| c_n | \leqslant M_c</math> (wystarczy przyjąć <math>M_c \geqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b}</math>). Co oznacza, że ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych <math>(c_n)</math> jest ograniczony. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA53 
Ciąg <math>(c_k)</math> liczb zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_k)</math> jest zbieżny. Niech <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \,</math> i niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji zbieżności wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich <math>n > N_0</math> jest

::<math>| c_n - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Oczywiście jest tak również dla wszystkich <math>m > N_0</math>, czyli

::<math>| c_m - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Wynika stąd, że

::<math>| c_n - c_m | = | (c_n - c) - (c_m - c) | \leqslant | (c_n - c) | + | (c_m - c) | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich <math>m, n > N_0</math> jest <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math>, czyli ciąg <math>(c_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Niech <math>c_k = a_k + i b_k</math>. Wiemy, że ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych (zobacz [[#ZA51|ZA51]]). Zatem ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są zbieżne (zobacz [[#ZA48|ZA48]]). Wynika stąd zbieżność ciągu <math>(c_k)</math> (zobacz [[#ZA18|ZA18]]). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA54 
Niech ciąg <math>(c_n)</math> będzie ograniczonym ciągiem liczb zespolonych, który ma dokładnie dwa punkty skupienia <math>z_1</math> i <math>z_2</math>. Pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają jeden z warunków

::<math>| c_n - z_1 | < \varepsilon \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad | c_n - z_2 | < \varepsilon</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest ograniczony, zatem dla <math>M > 0</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>| c_n | \leqslant M</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że stwierdzenie, które mamy pokazać, nie jest prawdziwe. Zatem prawdziwe jest jego zaprzeczenie, które brzmi: istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że dla każdego <math>N_0</math> istnieją takie <math>n > N_0</math>, że wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> nie spełniają żadnego z warunków

::<math>| c_n - z_1 | < \varepsilon \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad | c_n - z_2 | < \varepsilon</math>

Wynika stąd, że wyrazów, które nie spełniają powyższych warunków, jest nieskończenie wiele i tworzą one nieskończony i ograniczony podciąg ciągu <math>(c_n)</math>. Na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa z tego podciągu możemy wybrać podciąg zbieżny. Co oznacza, wbrew założeniu, że ciąg <math>(c_n)</math> ma co najmniej trzy punkty skupienia. 
□
{{\Spoiler}}

== Uzupełnienie ==

Zadanie ZA55 
Dla dowolnych <math>x, y \in \mathbb{R}</math> prawdziwe są nierówności

::<math>| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |</math>

::<math>| \cos x - \cos y | \leqslant | x - y |</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

W przypadku, gdy <math>x = y</math> nierówność jest prawdziwa. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>y > x</math>. Zauważmy, że funkcja <math>\sin x</math> jest ciągła w przedziale <math>[x, y]</math> i różniczkowalna w przedziale <math>(x, y)</math>. Oznacza to, że spełnione są założenia twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/>. Zatem istnieje taki punkt <math>a \in (x, y)</math>, że

::<math>{\small\frac{\sin y - \sin x}{y - x}} = \sin' (a) = \cos (a)</math>

Otrzymujemy

::<math>\sin y - \sin x = (y - x) \cdot \cos (a)</math>

::<math>| \sin y - \sin x | = | y - x | \cdot | \cos (a) |</math>

::<math>| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |</math>

Co należało pokazać. Analogicznie dowodzimy punkt 2. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA56 
Niech <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, <math>\, k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; n \in N_0</math>. Część ułamkową liczby rzeczywistej <math>x</math> definiujemy następująco: <math>\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor</math>. Prawdziwe są następujące właściwości funkcji <math>\{ x \}</math>.

::'''1.'''      <math>\{ k + x \} = \{ x \}</math>

::'''2.'''      <math>\{ \{ x \} \} = \{ x \}</math>

::'''3.'''      <math>\{ x \} + \{ - x \} =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } \, x \in \mathbb{Z} \\
1 & \text{gdy } \, x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>

::'''4.'''      <math>\{ k \{ x \} \} = \{ k x \}</math>

::'''5.'''      <math>n \{ x \} < 1 \qquad \qquad \, \Longrightarrow \qquad n \{ x \} = \{ n x \}</math>

::'''6.'''      <math>\{ x \} \geqslant \{ y \} \qquad \quad \;\;\, \Longrightarrow \qquad \{ x \} - \{ y \} = \{ x - y \}</math>

::'''7.'''      <math>\{ x \} + \{ y \} < 1 \qquad \Longrightarrow \qquad \{ x \} + \{ y \} = \{ x + y \}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Wynika z analogicznej własności funkcji <math>\lfloor x \rfloor</math>: <math>\lfloor k + x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor</math>, którą łatwo dowodzimy, zapisując <math>x</math> w postaci <math>x = j + \varepsilon</math>, gdzie <math>j \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 < \varepsilon < 1</math>.

'''Punkt 2.'''

::<math>\{ \{ x \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor \} = \{ x \}</math>

'''Punkt 3.'''

W przypadku, gdy <math>x \in \mathbb{Z}</math> wynik jest natychmiastowy, bo <math>\{ x \} + \{ - x \} = 0 + 0</math>. Załóżmy, że <math>x \notin \mathbb{Z}</math>, zatem możemy napisać <math>x = k + \varepsilon</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 < \varepsilon < 1</math>. Łatwo zauważamy, że <math>0 < 1 - \varepsilon < 1 \,</math> i otrzymujemy

::<math>\{ x \} + \{ - x \} = \{ k + \varepsilon \} + \{ - k - \varepsilon \} = \varepsilon + \{ - k - 1 + 1 - \varepsilon \} = \varepsilon + \{ 1 - \varepsilon \} = \varepsilon + 1 - \varepsilon = 1</math>

'''Punkt 4.'''

::<math>\{ k \{ x \} \} = \{ k (x - \lfloor x \rfloor) \} = \{ k x - k \lfloor x \rfloor \} = \{ k x \}</math>

'''Punkt 5.'''

Z założenia <math>0 \leqslant n \{ x \} < 1</math>. Zatem

::<math>n \{ x \} = \{ n \{ x \} \} = \{ n x \}</math>

Gdzie skorzystaliśmy z punktu 4.

'''Punkt 6.'''

Z założenia <math>0 \leqslant \{ x \} - \{ y \} < 1</math>. Zatem

::<math>\{ x \} - \{ y \} = \{ \{ x \} - \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor - y + \lfloor y \rfloor \} = \{ (x - y) + (\lfloor y \rfloor - \lfloor x \rfloor) \} = \{ x - y \}</math>

'''Punkt 7.'''

Z założenia <math>0 \leqslant \{ x \} + \{ y \} < 1</math>. Zatem

::<math>\{ x \} + \{ y \} = \{ \{ x \} + \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor \} = \{ (x + y) - (\lfloor y \rfloor + \lfloor x \rfloor) \} = \{ x + y \}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA57 (zasada szufladkowa) 
Jeżeli więcej niż <math>n</math> przedmiotów (przynajmniej <math>n + 1</math>) zostało rozmieszczonych w <math>n</math> szufladach, to jedna z szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pierwszy sposób 
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że żadna z szuflad nie zawiera więcej niż jednego przedmiotu. Zatem każda z szuflad zawiera jeden lub mniej przedmiotów, czyli ogólna liczba przedmiotów w szufladach nie może być większa niż <math>n \cdot 1 = n</math>, wbrew założeniu, że w szufladach rozmieszczono więcej niż <math>n</math> przedmiotów.

Drugi sposób 
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość twierdzenia dla <math>n</math>, przeprowadzimy dla liczby <math>n + 1</math>
następujące rozumowanie.

Rozmieśćmy więcej niż <math>n + 1</math> przedmiotów w <math>n + 1</math> szufladach. Zaglądając do jednej z szuflad, możemy stwierdzić, że

::'''a)'''      zawiera ona więcej niż jeden przedmiot – co kończy dowód

::'''b)'''      nie zawiera ona żadnego przedmiotu, wynika stąd, że więcej niż <math>n + 1</math> przedmiotów (czyli więcej niż <math>n</math> przedmiotów) zostało rozmieszczonych w pozostałych <math>n</math> szufladach, zatem z założenia indukcyjnego jedna z nich zawiera więcej niż jeden przedmiot

::'''c)'''      zawiera ona dokładnie jeden przedmiot, zatem pozostałe więcej niż <math>n</math> przedmiotów zostało rozmieszczone w pozostałych <math>n</math> szufladach i ponownie z założenia indukcyjnego wynika, że jedna z pozostałych szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA58 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>\{ n \alpha \}</math> oznacza część ułamkową liczby <math>n \alpha</math>. Nie istnieją takie różne liczby całkowite <math>j, k</math>, że <math>\{ k \alpha \} = \{ j \alpha \}</math>. W szczególności dla dowolnej liczby całkowitej <math>k \neq 0</math> mamy <math>\{ k \alpha \} \neq {\small\frac{p}{q}}</math>, gdzie <math>p, q \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; q \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Część ułamkową liczby <math>x</math> definiujemy następująco: <math>\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że takie liczby <math>j, k</math> istnieją. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>k > j</math>. Otrzymujemy

::<math>\{ k \alpha \} = \{ j \alpha \}</math>

::<math>k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = j \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor</math>

::<math>(k - j) \alpha = \lfloor k \alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor</math>

::<math>\alpha = {\small\frac{\lfloor k \alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor}{k - j}}</math>

Zatem <math>\alpha</math> byłaby liczbą wymierną wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Gdyby było <math>\{ k \alpha \} = {\small\frac{p}{q}}</math>, to mielibyśmy

::<math>k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = {\small\frac{p}{q}}</math>

::<math>k \alpha = {\small\frac{p}{q}} + \lfloor k \alpha \rfloor</math>

::<math>\alpha = {\small\frac{p}{k q}} + {\small\frac{\lfloor k \alpha \rfloor}{k}}</math>

Co jest niemożliwe, bo <math>\alpha</math> jest liczbą niewymierną. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA59 (twierdzenie Dirichleta o aproksymacji) 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>. Istnieją takie liczby całkowite <math>p \;</math> i <math>\; q</math>, gdzie <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>, że

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}}</math>

oraz

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q^2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Podzielmy przedział <math>[0, 1)</math> na <math>N</math> podprzedziałów, każdy o długości <math>{\small\frac{1}{N}}</math>.

::<math>[0, 1) = \left[ 0, {\small\frac{1}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{1}{N}}, {\small\frac{2}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{2}{N}}, {\small\frac{3}{N}} \right) \cup \ldots \cup \left[ {\small\frac{N - 1}{N}}, 1 \right)</math>

Dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1</math> wypiszmy części ułamkowe liczb <math>k \alpha</math>, czyli <math>\{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor</math>. Dostajemy ciąg liczb

::<math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \}</math>

z których każda należy do przedziału <math>(0, 1)</math>.

Mamy <math>N + 1</math> różnych liczb <math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \,</math> i <math>\, N</math> przedziałów, zatem z zasady szufladkowej w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby <math>\{ i \alpha \}</math> oraz <math>\{ j \alpha \}</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>j > i</math>. Mamy

::<math>| \{ j \alpha \} - \{ i \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| j \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor - i \alpha + \lfloor i \alpha \rfloor | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| (j - i) \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor + \lfloor i \alpha \rfloor | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| (j - i) \alpha - (\lfloor j \alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor) | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Jeżeli położymy <math>p = \lfloor j \alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor</math> oraz <math>q = j - i</math>, to <math>q \geqslant 1 \;</math> (bo <math>j \neq i</math>)   i <math>\; q \leqslant (N + 1) - 1 = N</math>. Zatem otrzymujemy

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}}</math>

gdzie <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>. Stąd łatwo wynika, że

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{q^2}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga ZA60 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>, gdzie <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>, będzie ułamkiem, którego istnienie wynika z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji. Zauważmy, że ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> dla różnych liczb <math>N</math> nie muszą być różne. Przykładowo dla <math>\alpha = \pi \;</math> i <math>\; N = 8, \ldots, 105</math> znajdujemy jeden ułamek <math>{\small\frac{p_N}{q_N}} = {\small\frac{22}{7}}</math>. Jednak wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> jest nieskończenie wiele różnych ułamków.

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>, jest jedynie skończona ilość różnych ułamków. Gdyby tak było, to dla pewnego <math>\varepsilon > 0</math> nie byłoby żadnego ułamka <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> takiego, że

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p_N}{q_N}} \right| < \varepsilon</math>

Ale wystarczy przyjąć <math>k > {\small\frac{1}{\varepsilon}}</math>, aby pokazać, że taki ułamek istnieje

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p_k}{q_k}} \right| < {\small\frac{1}{q_k \cdot k}} \leqslant {\small\frac{1}{k}} < \varepsilon</math>

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> jest nieskończenie wiele różnych ułamków.

Przykład ZA61 
Z twierdzenia o aproksymacji Dirichleta wiemy, że <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>. Dla ustalonego <math>q</math> mamy

::<math>q \alpha - {\small\frac{1}{N}} 

Łatwo sprawdzamy, że jedynymi możliwymi wartościami <math>p</math> są liczby <math>p = \lfloor q \alpha \rfloor \;</math> i <math>\; p = \lfloor q \alpha \rfloor + 1</math>.

Dla zadanej liczby niewymiernej <math>a</math> i liczby całkowitej dodatniej <math>N</math> wystarczy prosta instrukcja w PARI/GP, aby znaleźć odpowiadające im ułamki <math>{\small\frac{p}{q}}</math>.

'''for'''(q = 1, N, m = '''floor'''(q*a); '''for'''(p = m, m + 1, '''if'''( '''abs'''(q*a - p) < 1/N, '''print'''(p, " ", q, " ", p/q, " ", 1.0*p/q) )))

Okazuje się, że takich ułamków nie ma zbyt wiele. Przykłady ułamków (w postaci nieskracalnej) zebraliśmy w tabeli.

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! <math>\boldsymbol{N}</math>
| <math>10</math> || <math>10^2</math> || <math>10^3</math> || <math>10^4</math> || <math>10^5</math> || <math>10^6</math> || <math>10^7</math>
|-
! <math>\boldsymbol{\pi}</math>
| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math>, <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math> || <math>{\small\frac{1146408}{364913}}</math> || <math>{\small\frac{5419351}{1725033}}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{e}</math>
| <math>{\small\frac{19}{7}}</math> || <math>{\small\frac{193}{71}}</math> || <math>{\small\frac{1457}{536}}</math> || <math>{\small\frac{23225}{8544}}</math>, <math>{\small\frac{25946}{9545}}</math> || <math>{\small\frac{49171}{18089}}</math> || <math>{\small\frac{1084483}{398959}}</math> || <math>{\small\frac{13580623}{4996032}}</math>, <math>{\small\frac{14665106}{5394991}}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{\sqrt{2}}</math>
| <math>{\small\frac{7}{5}}</math> || <math>{\small\frac{99}{70}}</math>, <math>{\small\frac{140}{99}}</math> || <math>{\small\frac{577}{408}}</math>, <math>{\small\frac{1393}{985}}</math> || <math>{\small\frac{8119}{5741}}</math>, <math>{\small\frac{11482}{8119}}</math> || <math>{\small\frac{114243}{80782}}</math> || <math>{\small\frac{665857}{470832}}</math> || <math>{\small\frac{9369319}{6625109}}</math>, <math>{\small\frac{13250218}{9369319}}</math>
|}

Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.

<div style="overflow-x: auto; overflow-y: hidden; max-width: 80%; width: fit-content; margin-left: 60px;">
{| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin: 0; background-color: white; white-space: nowrap;"

|- style="vertical-align: middle;"
! <math>\boldsymbol{N}</math>
| <math>1</math> || <math>2</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>106</math> || <math>113</math> || <math>114</math> || <math>33102</math> || <math>33174</math> || <math>33215</math> || <math>52276</math> || <math>66317</math> || <math>90786</math> || <math>99532</math>
|- style="vertical-align: middle;"
! <math>\boldsymbol{\pi}</math>

| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> || <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> || <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> || <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> || <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> || <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math>
|}
</div>

Liczbę <math>\pi</math> możemy zapisać w postaci ułamka łańcuchowego<ref name="ulamek1"/>. Mamy

::<math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, \ldots]</math>

Kolejne redukty tego ułamka łańcuchowego tworzą następujący ciąg liczb

::<math>{\small\frac{3}{1}}</math>, <math>{\small\frac{22}{7}}</math>, <math>{\small\frac{333}{106}}</math>, <math>{\small\frac{355}{113}}</math>, <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math>, <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math>, <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math>, <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math>, <math>{\small\frac{833719}{265381}}</math>, <math>{\small\frac{1146408}{364913}}</math>, <math>{\small\frac{4272943}{1360120}}</math>, <math>{\small\frac{5419351}{1725033}}</math>, <math>{\small\frac{80143857}{25510582}}</math>, <math>{\small\frac{245850922}{78256779}}</math>, ...

Zauważmy, że każdy redukt ułamka łańcuchowego reprezentującego liczbę <math>\pi</math> występuje wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>.

Twierdzenie ZA62 
Między dowolnymi różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się liczba wymierna.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Rozważmy dwie liczby rzeczywiste <math>x, y</math>. Niech <math>y > x</math>, <math>a = {\small\frac{x + y}{2}} \;</math> i <math>\; d = y - a = a - x</math>. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą wymierną, to twierdzenie jest udowodnione. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niewymierną, to niech <math>N > {\small\frac{1}{d}}</math>.

Pierwszy sposób 

Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji mamy

::<math>\left| a - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{N}} < d</math>

Zatem liczba wymierna <math>{\small\frac{p}{q}}</math> leży między liczbami rzeczywistymi <math>x \,</math> i <math>\, y</math>.

Drugi sposób 

Łatwo zauważamy, że

::<math>a - {\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} = {\small\frac{a \cdot N - \lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} < {\small\frac{1}{N}} < d</math>

Zatem liczba wymierna <math>{\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}}</math> leży między liczbami rzeczywistymi <math>x \,</math> i <math>\, y</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA63 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>m</math>, że <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Liczbę naturalną <math>N</math> wybieramy tak, aby <math>{\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>. Podzielmy przedział <math>[0, 1)</math> na <math>N</math> podprzedziałów, każdy o długości <math>{\small\frac{1}{N}}</math>.

::<math>[0, 1) = \left[ 0, {\small\frac{1}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{1}{N}}, {\small\frac{2}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{2}{N}}, {\small\frac{3}{N}} \right) \cup \ldots \cup \left[ {\small\frac{N - 1}{N}}, 1 \right)</math>

Dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1</math> wypiszmy części ułamkowe liczb <math>k \alpha</math>, czyli <math>\{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor</math>. Dostajemy ciąg liczb

::<math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \}</math>

z których każda należy do przedziału <math>(0, 1)</math>.

Mamy <math>N + 1</math> różnych liczb <math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \;</math> i <math>\; N</math> przedziałów, zatem z zasady szufladkowej wynika, że w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby <math>\{ i \alpha \}</math> oraz <math>\{ j \alpha \}</math>. Dostajemy

::<math>| \{ j \alpha \} - \{ i \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>\{ j \alpha \} > \{ i \alpha \}</math>. Zatem (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 6)

::<math>| \{ (j - i) \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Połóżmy teraz <math>m = j - i</math>. Mamy

::<math>0 < \{ m \alpha \} < {\small\frac{1}{N}}</math>

Czyli

::<math>0 < \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

W przypadku, gdy <math>m > 0</math> dowód jest zakończony.

Rozważmy przypadek, gdy <math>m < 0</math>. Wybierzmy liczbę całkowitą dodatnią <math>b</math> tak, aby spełniony był układ nierówności

::<math>b < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} 

Z lewej nierówności wynika, że <math>b \{ m \alpha \} < 1</math>, zatem <math>b \{ m \alpha \} = \{ b m \alpha \}</math> (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 5). Przekształcając, otrzymujemy

::<math>0 < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} - b < 1</math>

::<math>0 < 1 - b \{ m \alpha \} < \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

::<math>0 < 1 - \{ b m \alpha \} < \varepsilon</math>

Ze wzoru <math>1 - \{ x \} = \{ - x \}</math> (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 3) dostajemy

::<math>0 < \{ - b m \alpha \} < \varepsilon</math>

Gdzie <math>- b m \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA64 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że zbiór liczb całkowitych dodatnich <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math> nie jest zbiorem pustym. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje jedynie skończona ilość liczb <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>. Niech <math>n</math> oznacza największą z nich.

Zauważmy, że liczba <math>\beta = n \alpha</math> jest liczbą niewymierną i dla dowolnego <math>\varepsilon' > 0</math> istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>\{ k \beta \} < \varepsilon'</math>.

Niech <math>\varepsilon' < \min (\varepsilon, \{ \beta \})</math>. Przy takim wyborze liczby <math>\varepsilon'</math> nie może być <math>k = 1</math>, bo mielibyśmy <math>\varepsilon' < \{ \beta \} < \varepsilon'</math>. Zatem <math>k > 1 \;</math> i <math>\; \{ k \beta \} < \varepsilon'</math>, czyli <math>\{ k n \alpha \} < \varepsilon' < \varepsilon</math>. Wynika stąd, że <math>m_j = k n</math> jest kolejną i większą od <math>n</math> liczbą całkowitą dodatnią taką, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA65 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Jeżeli <math>g \in [0, 1]</math>, to <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{g = 0}</math>'''

Dla ustalonego <math>\varepsilon > 0</math> w otoczeniu <math>(- \varepsilon, \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od zera. Fakt ten wynika natychmiast z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]]. Zatem punkt <math>g = 0</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA38|ZA38]]).

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{g \in (0, 1]}</math>'''

Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>m</math>, że <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy <math>\varepsilon</math> wybrać tak, aby spełniony był warunek <math>\varepsilon < g</math>. Mamy wtedy <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon < g</math>, czyli <math>{\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} > 1</math>.

Liczbę <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> wybieramy tak, aby

::<math>n < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} \leqslant n + 1</math>

Zatem

::<math>0 < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} - n \leqslant 1</math>

::<math>0 < g - n \{ m \alpha \} \leqslant \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

Z lewej nierówności otrzymujemy <math>n \{ m \alpha \} < g \leqslant 1</math>. Z twierdzenia [[#ZA56|ZA56]] p. 5 mamy <math>n \{ m \alpha \} = \{ n m \alpha \}</math> i ostatecznie dostajemy

::<math>0 < g - \{ n m \alpha \} < \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że w otoczeniu <math>(g - \varepsilon, g + \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od <math>g</math>. Zatem <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA38|ZA38]]). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA66 
Pokazać, że <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>\alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}}</math>. Ponieważ <math>{\small\frac{1}{4}} \in [0, 1]</math>, to <math>{\small\frac{1}{4}}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> (zobacz [[#ZA65|ZA65]]). Zatem istnieje podciąg ciągu <math>(a_n)</math> zbieżny do <math>{\small\frac{1}{4}}</math>, co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych <math>k_j</math>, że <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{1}{4}}</math>, czyli <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{1}{4}}</math>. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k_j > N_0</math> jest

::<math>\left| \{ k_j \alpha \} - {\small\frac{1}{4}} \right| < \varepsilon</math>

Niech <math>k_j > N_0</math>, mamy

::<math>| \sin (k_j) - 1 | = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, \leqslant \left| 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{\pi}{2}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, = 2 \pi \left| \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{1}{4}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, < 2 \pi \varepsilon</math>

Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu [[#ZA55|ZA55]]. Zatem <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = 1</math>, czyli <math>1</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\sin n)</math>. Ponieważ <math>\sin x \leqslant 1</math>, to <math>1</math> największym puntem skupienia, zatem <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA67 
Jeżeli <math>g \in [- 1, 1]</math>, to <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>s_n = \sin n</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}}</math> i niech liczba rzeczywista <math>t \in [0, 2 \pi]</math> będzie wybrana tak, aby <math>\sin t = g</math>. Ponieważ <math>{\small\frac{t}{2 \pi}} \in [0, 1]</math>, to <math>{\small\frac{t}{2 \pi}}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math>. Zatem istnieje podciąg ciągu <math>(a_n)</math> zbieżny do <math>{\small\frac{t}{2 \pi}}</math>, co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych <math>k_j</math>, że <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{t}{2 \pi}}</math>, czyli <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{t}{2 \pi}}</math>. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k_j > N_0</math> jest

::<math>\left| \{ k_j \alpha \} - {\small\frac{t}{2 \pi}} \right| < \varepsilon</math>

Niech <math>k_j > N_0</math>, mamy

::<math>| \sin (k_j) - g | = | \sin (k_j) - \sin (t) |</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + 2 \pi \cdot \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, \leqslant \left| 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - t \right|</math>

:::::<math>\quad \, = 2 \pi \left| \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{t}{2 \pi}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, < 2 \pi \varepsilon</math>

Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu [[#ZA55|ZA55]]. Zatem <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = g</math>, czyli <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>s_n = \sin n</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA68 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R} \,</math> i dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka para liczb <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\; k \in \mathbb{Z} , \,</math> że <math>\; | m \alpha + k - x | < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

Pierwszy sposób 

Ponieważ <math>\{ x \} \in [0, 1)</math>, to <math>\{ x \}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA65|ZA65]]). Zatem istnieje podciąg <math>(\{ n_j \alpha \})</math> ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> zbieżny do <math>\{ x \}</math>.

Zauważmy, że dodając <math>\lfloor x \rfloor</math> do wyrazów podciągu <math>(\{ n_j \alpha \})</math>, otrzymujemy ciąg zbieżny do <math>x</math>. Wyrazy tak zmodyfikowanego podciągu możemy zapisać w postaci

::<math>\lfloor x \rfloor + \{ n_j \alpha \} = \lfloor x \rfloor + n_j \alpha - \lfloor n_j \alpha \rfloor = n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor</math>

Z definicji zbieżności tego podciągu wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n_j > N_0</math> jest

::<math>| n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor - x | < \varepsilon</math>

Liczby <math>m = n_j > N_0 \;</math> i <math>\; k = \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor</math> tworzą parę liczb <math>(m, k)</math> taką, że <math>\; | m \alpha + k - x | < \varepsilon</math>.

Drugi sposób 

Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>\{ r \alpha \} < \varepsilon</math>. Wybierzmy <math>j \in \mathbb{Z}</math> tak, aby <math>x + j > \{ r \alpha \}</math> i wybierzmy <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> tak, aby

::<math>n < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} \leqslant n + 1</math>

::<math>0 < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} - n \leqslant 1</math>

::<math>0 < x + j - n \{ r \alpha \} \leqslant \{ r \alpha \} < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>0 < | n \{ r \alpha \} - j - x | < \varepsilon</math>

Ponieważ <math>n \{ r \alpha \} = n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor</math>, to

::<math>0 < | n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor - j - x | < \varepsilon</math>

Co pokazuje, że poszukiwana para liczb istnieje i jest równa <math>(m, k) = (n r, - n \lfloor r \alpha \rfloor - j)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA69 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R} \,</math> i dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka para liczb całkowitych <math>m, n</math>, że <math>| m \alpha + n - x | < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>N \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>. Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji ([[#ZA59|ZA59]]) wiemy, że dla dowolnej liczby <math>N</math> istnieje taka para liczb <math>p, q</math>, że

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>

Liczbę całkowitą <math>j</math> wybieramy tak, aby <math>x + j > | q \alpha - p |</math>, a liczbę <math>k \in \mathbb{Z}_+</math> wybieramy tak, aby

::<math>k < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \leqslant k + 1</math>

Otrzymujemy

::<math>0 < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} - k \leqslant 1</math>

::<math>0 < x + j - k | q \alpha - p | \leqslant | q \alpha - p | < \varepsilon</math>

::<math>0 < x + j - k | q \alpha - p | < \varepsilon</math>

Niech <math>s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p)</math>, oczywiście <math>s = \pm 1</math>. Mamy <math>| q \alpha - p | = s (q \alpha - p)</math>, zatem

::<math>0 < x + j - s k q \alpha + s k p < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>0 < | s k q \alpha - s k p - j - x | < \varepsilon</math>

Wystarczy położyć: <math>m = s k q \;</math> i <math>\; n = - s k p - j</math>, gdzie <math>k = \left\lceil {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \right\rceil - 1 \;</math> i <math>\; s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="monotoniczny1">Wikipedia, ''Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_ci%C4%85gu_monotonicznego Wiki-pl])</ref>

<ref name="AksjomatCiaglosci">Wikipedia, ''Aksjomat ciągłości'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers Wiki-en])</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="ulamek1">Wikipedia, ''Ułamek łańcuchowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_continued_fraction Wiki-en])</ref>

</references>

Kara śmierci – cytaty/en

2026-09-16T12:02:34Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">11.09.2017</div>

<div style="font-size: 250%; font-weight: bold;">Capital  Punishment  Quotes</div>

''Whoever sheds man’s blood, his blood will be shed by man, for God made man in his own image.'' 
Gen 9:6 WEB<ref name="p1"/>

''You shall not murder.'' 
Exod 20:13 (The Fifth Commandment) WEB<ref name="p1"/>

''If a man schemes and comes presumptuously on his neighbor to kill him, you shall take him from my altar, that he may die.'' 
Exod 21:14 WEB<ref name="p1"/>

''Therefore if a man be dangerous and infectious to the community, on account of some sin, it is praiseworthy and advantageous that he be killed in order to safeguard the common good.'' 
Saint Thomas Aquinas<ref name="p2a"/>

''As stated above, it is lawful to kill an evildoer in so far as it is directed to the welfare of the whole community, so that it belongs to him alone who has charge of the community's welfare. Thus it belongs to a physician to cut off a decayed limb, when he has been entrusted with the care of the health of the whole body. Now the care of the common good is entrusted to persons of rank having public authority: wherefore they alone, and not private individuals, can lawfully put evildoers to death.'' 
Saint Thomas Aquinas<ref name="p2b"/>

''We know that the law is not meant for a righteous person, but for the lawless.'' 
1Tm 1:9 HCSB<ref name="p3"/>

''Laws are made for the sake of the wise, not to prevent them from inflicting wrong but to secure them from suffering it.'' 
Epicurus

''We need a long-breathed struggle against permanent and prolific evils; not, indeed, to quell them, but merely to prevent their overpowering us.'' 
Seneca<ref name="p3a"/><ref name="p3b"/>

''That reason for punishment exists when the dignity and the prestige of the one who is sinned against must be maintained, lest the omission of punishment bring him into contempt and diminish the esteem in which he is held.'' 
Aulus Gellius<ref name="p4"/>

''Justice is the constant and perpetual will to render to every man his due.'' 
Ulpian<ref name="p4a"/>

''Every man, in the state of nature, has a power to kill a murderer, both to deter others from doing the like injury, which no reparation can compensate, by the example of the punishment that attends it from every body, and also to secure men from the attempts of a criminal.'' 
John Locke<ref name="p5"/>

''But whoever has committed Murder, must die. There is, in this case, no juridical substitute or surrogate, that can be given or taken for the satisfaction of Justice. There is no Likeness or proportion between Life, however painful, and Death; and therefore there is no Equality between the crime of Murder and the retaliation of it but what is judicially accomplished by the execution of the Criminal.'' 
Immanuel Kant<ref name="p6"/>

''The criminal is honoured as reasonable, because the punishment is regarded as containing his own right. The honour would not be shared by him, if the conception and measure of his punishment were not deduced from his very act. Just as little is he honoured when he is regarded as a hurtful animal, which must be made harmless, or as one who must be terrified or reformed. (…) In this view of punishment it is much the same as when one raises a cane against a dog; a man is not treated in accordance with his dignity and honour, but as a dog.'' 
Georg Wilhelm Friedrich Hegel<ref name="p6a"/>

''Although in requital we cannot venture upon equality of details, the case is different with murder, to which death is necessarily due. Life is the total context of one’s existence, and cannot be measured by value. Its punishment, therefore, cannot be measured by value, but must consist in the taking of another life.'' 
Georg Wilhelm Friedrich Hegel<ref name="p6b"/>

''Everyone is justified in demanding as a pledge the life of another, as a guarantee for the security of his own, but not for the security of his property, for which the freedom and so forth of another is sufficient pledge. For safeguarding the lives of the citizens, capital punishment is therefore absolutely necessary. Those who would like to abolish it should be given the answer: "First remove murder from the world, and then capital punishment ought to follow." It should be inflicted even for the definite attempt at murder, just as for murder itself; for the law's desire is to punish the deed, not to avenge the result.'' 
Arthur Schopenhauer<ref name="p7"/>

''Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing.'' 
John Stuart Mill<ref name="p8"/><ref name="p9"/>

''Much has been said of the sanctity of human life, and the absurdity of supposing that we can teach respect for life by ourselves destroying it. But I am surprised at the employment of this argument, for it is one which might be brought against any punishment whatever. It is not human life only, not human life as such, that ought to be sacred to us, but human feelings. The human capacity of suffering is what we should cause to be respected, not the mere capacity of existing. And we may imagine somebody asking how we can teach people not to inflict suffering by ourselves inflicting it? But to this I should answer—all of us would answer—that to deter by suffering from inflicting suffering is not only possible, but the very purpose of penal justice. Does fining a criminal show want of respect for property, or imprisoning him, for personal freedom? Just as unreasonable is it to think that to take the life of a man who has taken that of another is to show want of regard for human life. We show, on the contrary, most emphatically our regard for it, by the adoption of a rule that he who violates that right in another forfeits it for himself.'' 
John Stuart Mill<ref name="p10"/>

''When we protect guilty lives, we give up innocent lives in exchange.'' 
Edward Irving Koch<ref name="p20"/>

''I personally have always voted for the death penalty because I believe that people who go out prepared to take the lives of other people forfeit their own right to live. I believe that that death penalty should be used only very rarely, but I believe that no-one should go out certain that no matter how cruel, how vicious, how hideous their murder, they themselves will not suffer the death penalty.'' 
Margaret Thatcher<ref name="p21"/>

''Even when it is a question of the execution of a man condemned to death, the State does not dispose of the individual's right to live. It is reserved rather to the public authority to deprive the criminal of the benefit of life when already, by his crime, he has deprived himself of the right to live.'' 
Pope Pius XII<ref name="p22"/>

''Nothing shows the moral bankruptcy of a people or of a generation more than disregard for the sanctity of human life. And it is this same atrophy of moral fibre that appears in the plea for the abolition of the death penalty. It is the sanctity of life that validates the death penalty for the crime of murder. It is the sense of this sanctity that constrains the demand for the infliction of this penalty. The deeper our regard for life the firmer will be our hold upon the penal sanction which the violation of that sanctity merits.'' 
John Murray<ref name="p23"/>

''Ebony Simpson got the death sentence, the Simpson family got a life sentence and Garforth's got bed and breakfast.'' 
Peter Simpson<ref name="p24"/>

''The legal regime whose package of crime-control instruments happens not to include capital punishment does indeed embody an explicit government policy: a policy that inevitably and predictably opts for more murders over fewer. That the victims of those murders cannot be personally identified in advance does not seem to be a morally impressive basis for favoring the regime that makes their murders inevitable.'' 
Cass R. Sunstein & Adrian Vermeule<ref name="p25"/>

''Mind you, not once in the history of the American Republic has this Court ever suggested the death penalty is categorically impermissible. The reason is obvious: It is impossible to hold unconstitutional that which the Constitution explicitly'' contemplates. ''The Fifth Amendment provides that “no person shall be held to answer for a capital . . . crime, unless on a presentment or indictment of a Grand Jury,” and that no person shall be “deprived of life . . . without due process of law.”'' 
Justice Antonin Scalia<ref name="Scalia1"/>

''I pause here to emphasize the point that in my view the choice for the judge who believes the death penalty to be immoral is resignation, rather than simply ignoring duly enacted, constitutional laws and sabotaging death penalty cases. He has, after all, taken an oath to apply the laws and has been given no power to supplant them with rules of his own. Of course if he feels strongly enough he can go beyond mere resignation and lead a political campaign to abolish the death penalty—and if that fails, lead a revolution. But rewrite the laws he cannot do. This dilemma, of course, need not be confronted by a proponent of the “living Constitution,” who believes that it means what it ought to mean.'' 
Justice Antonin Scalia<ref name="Scalia2"/>

''The absence of the death penalty in the penal code shows our contempt for the victims.'' 
Henryk Dabrowski

''A society that consents to removing the death penalty from the penal code shows contempt for the victims, placing the murderer's life above the life of the innocent. In doing so, it sends a clear message to criminals:'' you can kill, your life is safe, and we are powerless. ''By abolishing the death penalty, society strips itself of its own dignity, for this is also a message to all citizens:'' from now on, we no longer divide people into the good and the bad, but only into the living and the dead. 
Henryk Dabrowski

== Przypisy ==
<references>

<ref name="p1">Scripture quotations marked WEB are taken from the World English Bible®. The World English Bible® is in the Public Domain. ([http://ebible.org/web/copyright.htm LINK1]), ([http://ebible.org/web/index.htm LINK2])</ref>

<ref name="p2a">Saint Thomas Aquinas, ''Summa Theologica'', Treatise on justice, Question 64 – Murder, Article 2 – Whether it is lawful to kill sinners? ([http://www.newadvent.org/summa/3064.htm#article2 LINK1]), ([http://www.ccel.org/ccel/aquinas/summa/SS/SS064.html#SSQ64A2THEP1 LINK2])</ref>

<ref name="p2b">Saint Thomas Aquinas, ''Summa Theologica'', Treatise on justice, Question 64 – Murder, Article 3 – Whether it is lawful for a private individual to kill a man who has sinned? ([http://www.newadvent.org/summa/3064.htm#article3 LINK1]), ([http://www.ccel.org/ccel/aquinas/summa/SS/SS064.html#SSQ64A3THEP1 LINK2])</ref>

<ref name="p3">Scripture quotations marked HCSB are taken from the Holman Christian Standard Bible®, Copyright © 1999, 2000, 2002, 2003, 2009 by Holman Bible Publishers. Used by permission. Holman Christian Standard Bible®, Holman CSB®, and HCSB® are federally registered trademarks of Holman Bible Publishers. ([https://www.biblegateway.com/versions/Holman-Christian-Standard-Bible-HCSB/#copy LINK1]), ([https://www.biblegateway.com/versions/Holman-Christian-Standard-Bible-HCSB/#booklist LINK2])</ref>

<ref name="p3a">Seneca the Younger, ''On Anger'', (Book II, Chapter X, Verse 8), ([https://en.wikisource.org/wiki/Of_Anger/Book_II#X. LINK1]), ([https://books.google.pl/books?id=-P_XCgAAQBAJ&lpg=PA112&dq=%22We%20need%20a%20long-breathed%20struggle%20against%20permanent%20and%20prolific%20evils%3B%20not%2C%20indeed%2C%20to%20quell%20them%2C%20but%20merely%20to%20prevent%20their%20overpowering%20us.%22&hl=pl&pg=PA112#v=onepage&q=%22We%20need%20a%20long-breathed%20struggle%20against%20permanent%20and%20prolific%20evils;%20not,%20indeed,%20to%20quell%20them,%20but%20merely%20to%20prevent%20their%20overpowering%20us.%22&f=false LINK2])</ref>

<ref name="p3b">'''''Lento adiutorio opus est contra mala continua et fecunda, non ut desinant, sed ne vincant.''''' 
L. Annaei Senecae philosophi Opera omnia, ([https://books.google.pl/books?id=13EVAAAAYAAJ&dq=%22Lento%20adiutorio%20opus%20est%20contra%20mala%20continua%20et%20fecunda%2C%20non%20ut%20desinant%2C%20sed%20ne%20vincant.%22&hl=pl&pg=PA30#v=onepage&q=%22Lento%20adiutorio%20opus%20est%20contra%20mala%20continua%20et%20fecunda,%20non%20ut%20desinant,%20sed%20ne%20vincant.%22&f=false LINK1]) 
L. Annaei Senecae opera quae supersunt, ([https://books.google.pl/books?id=FXBux8_ULHwC&lpg=PT45&dq=%22Lento%20adiutorio%20opus%20est%20contra%20mala%20continua%20et%20fecunda%2C%20non%20ut%20desinant%2C%20sed%20ne%20vincant.%22&hl=pl&pg=PT45#v=onepage&q=%22Lento%20adiutorio%20opus%20est%20contra%20mala%20continua%20et%20fecunda,%20non%20ut%20desinant,%20sed%20ne%20vincant.%22&f=false LINK2]) </ref>

<ref name="p4">Aulus Gellius, ''Attic Nights'', (Book 7, Chapter 14, Verse 3), ([http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Gellius/7*.html LINK])</ref>

<ref name="p4a">'''''Iustitia est constans et perpetua voluntas ius suum cuique tribuendi.''''' 
'''''1. Iuris praecepta sunt haec: honeste vivere, alterum non laedere, suum cuique tribuere.''''' 
'''''2. Iuris prudentia est divinarum atque humanarum rerum notitia, iusti atque iniusti scientia.''''' 
Corpus iuris civilis. Digesta Iustiniani. ([https://archive.org/details/corpusiuriscivi02mommgoog/page/n128/mode/2up LINK]) </ref>

<ref name="p5">John Locke, ''Two Treatises of Government'', The Second Treatise of Government, Chap. II. Of the State of Nature. Sec. 11, ([https://en.wikisource.org/wiki/Two_Treatises_of_Government/Book_II LINK])</ref>

<ref name="p6">Immanuel Kant, ''The Metaphysics of Morals'' (''Metaphysik der Sitten''), Part I – The Doctrine of Right (or The Science of Right), ([http://oll.libertyfund.org/titles/kant-the-philosophy-of-law LINK])</ref>

<ref name="p6a">Georg Wilhelm Friedrich Hegel, ''Philosophy of Right'', translated by S. W. Dyde, London 1896, §100 and Addition to §99, ([http://socserv2.socsci.mcmaster.ca/econ/ugcm/3ll3/hegel/right.pdf LINK])</ref>

<ref name="p6b">Georg Wilhelm Friedrich Hegel, ''Philosophy of Right'', translated by S. W. Dyde, London 1896, Addition to §101, ([http://socserv2.socsci.mcmaster.ca/econ/ugcm/3ll3/hegel/right.pdf LINK])</ref>

<ref name="p7">Arthur Schopenhauer, ''The World As Will and Representation'', Supplements to the Fourth Book, Chapter XLVII. On Ethics</ref>

<ref name="p8">John Stuart Mill, ''Inaugural Address Delivered to the University of St. Andrews, Feb. 1St 1867'', p. 36, ([https://en.wikisource.org/wiki/Inaugural_address_delivered_to_the_University_of_St._Andrews,_Feb._1st_1867 LINK1]), ([http://books.google.com/books?id=DFNAAAAAcAAJ&pg=PA36&dq=%22Bad+men+need+nothing+more+to+compass+their+ends,+than+that+good+men+should+look+on+and+do+nothing%22&hl=en&sa=X&ei=RUh5U6qWBLSysQT0vYGAAw&ved=0CEEQ6AEwBA#v=onepage&q=%22Bad%20men%20need%20nothing%20more%20to%20compass%20their%20ends%2C%20than%20that%20good%20men%20should%20look%20on%20and%20do%20nothing%22&f=false LINK2])</ref>

<ref name="p9">The second sentence of this quote (in a slightly modified form) is, most likely erroneously, attributed to Edmund Burke. See: ([https://en.wikiquote.org/wiki/Edmund_Burke#Disputed LINK1]), ([https://tartarus.org/martin/essays/burkequote.html LINK2]), ([https://tartarus.org/martin/essays/burkequote2.html LINK3]), ([https://quoteinvestigator.com/2010/12/04/good-men-do/ LINK4])</ref>

<ref name="p10">John Stuart Mill, ''Speech In Favor of Capital Punishment'', 21 April 1868, House of Commons, Westminster, United Kingdom, ([https://books.google.pl/books?id=K96br3jOtEUC&lpg=PP1&hl=pl&pg=PA69#v=onepage&q&f=false LINK1]), ([https://en.wikisource.org/wiki/Speech_In_Favor_of_Capital_Punishment LINK2]), ([https://oll.libertyfund.org/titles/mill-the-collected-works-of-john-stuart-mill-volume-xxviii-public-and-parliamentary-speeches-part-i#lf0223-28_label_1257 LINK3])</ref>

<ref name="p20">Edward I. Koch, ''Death and Justice'', ([http://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=%C5%9Amier%C4%87_i_Sprawiedliwo%C5%9B%C4%87_(Edward_I._Koch)/en LINK])</ref>

<ref name="p21">Margaret Thatcher, ''TV Interview for Channel 4 A plus 4 (Brighton Bomb)'', ([http://www.margaretthatcher.org/document/105764 LINK])</ref>

<ref name="p22">Pope Pius XII, ''Acta Apostolicae Sedis 44 (1952)'' s. 787, ([http://www.vatican.va/archive/aas/documents/AAS-44-1952-ocr.pdf LINK1]), ([https://books.google.pl/books?id=BeMvDwAAQBAJ&lpg=PP1&hl=pl&pg=PT47#v=onepage&q&f=false LINK2])</ref>

<ref name="p23">John Murray, ''Principles of Conduct: Aspects of Biblical Ethics'', (Chapter 5, p. 122), ([https://books.google.pl/books?id=phoqAAaGMpUC&lpg=PP1&hl=pl&pg=PA122#v=onepage&q&f=false LINK])</ref>

<ref name="p24">A statement by Peter Simpson, Ebony's father († 9), to the media outside the court after the conviction of the rapist and murderer Andrew Garforth (July 9, 1993), ([https://www.9news.com.au/world/2015/07/13/19/40/mother-outraged-that-child-abductor-who-raped-and-murdered-her-daughter-is-being-given LINK1]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Murder_of_Ebony_Simpson Wiki]), ([https://www.youtube.com/watch?v=T0Pjq4M31j8#t=8m17s YT]), ([https://www.dailymotion.com/video/x5f9bl2 DM]), ([https://trove.nla.gov.au/newspaper/article/127238390 LINK2])</ref>

<ref name="p25">Cass R. Sunstein and Adrian Vermeule, ''Is Capital Punishment Morally Required? - Acts, Omissions and Life-Life Tradeoffs'', (2005–06) 58 Stanford Law Review 703, ([https://www.stanfordlawreview.org/print/article/is-capital-punishment-morally-required-acts-omissions-and-life-life-tradeoffs/ LINK1]), ([https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=691447 LINK2]), p. 723</ref>

<ref name="Scalia1">Justice Antonin Scalia – Concurring, ''Glossip v. Gross'', 576 U.S. 863 (2015) ([https://supreme.justia.com/cases/federal/us/576/863/ LINK1]), ([https://en.wikiquote.org/wiki/Antonin_Scalia LINK2])</ref>

<ref name="Scalia2">Antonin Scalia, ''God’s Justice and Ours'', First Things, 1 May 2002 ([https://firstthings.com/gods-justice-and-ours/ LINK1]), ([https://web.archive.org/web/20130320164623/http://www.firstthings.com/article/2007/01/gods-justice-and-ours-32 LINK2])</ref>

</references>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

2026-09-15T09:21:47Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

__FORCETOC__

== Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa ==

Definicja R1 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco

::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math>

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

W przypadku funkcji <math>\theta (x)</math> suma przebiega po wszystkich liczbach pierwszych, a w przypadku funkcji <math>\psi (x)</math> po wszystkich liczbach pierwszych i ich potęgach.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:funkcja-theta-Czebyszewa.png|700px|none]]
[[File:funkcja-psi-Czebyszewa.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R2 
Wprost z definicji wynikają wzory

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) \geqslant \theta (x)</math> dla <math>x > 0</math>

::<math>\psi (x) > \theta (x)</math> dla <math>x \geqslant 4</math>

Przykład R3 

::<math>\theta (10) = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 \approx 5.347107530</math>

::<math>\psi (10) = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 \approx 7.832014180</math>

Zadanie R4 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n}) = \sum_{n = 1}^{\lfloor \log_2 (x) \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>k, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Zauważmy, że zapisany bardzo ogólnie wzór <math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math> możemy interpretować na trzy sposoby.

'''A.''' Bierzemy kolejne liczby <math>n \leqslant x</math> i sprawdzamy, czy <math>n</math> jest potęgą pewnej liczby pierwszej <math>p</math>. Jeśli tak, to dodajemy do sumy <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania jest najbliższy zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

Tak też robiliśmy w przykładzie [[#R3|R3]].

'''B.''' Bierzemy kolejne liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> i znajdujemy wszystkie wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \underset{p^k \leqslant x}{\sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor}} \log p</math>.

'''C.''' (Modyfikacja punktu B) Zauważmy, że największy wykładnik <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> taki, że <math>p^k \leqslant x</math> znajdujemy z warunku <math>k \leqslant {\small\frac{\log x}{\log p}}</math>. Pozwala to zmodyfikować wzór na funkcję <math>\psi (x)</math> do postaci

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log x}{\log p}} \right\rfloor</math>

'''D.''' Bierzemy kolejne wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> i znajdujemy wszystkie liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p^k \leqslant x} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / k})</math>

Należy zauważyć, że wypisana suma tylko pozornie jest nieskończona. Dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>x^{1 / k} < 2</math> i <math>\theta (x^{1 / k}) = 0</math>. Zatem sumowanie przebiega tylko po <math>k \leqslant \log_2 x</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R5 
Zauważmy, że funkcja <math>\theta (x)</math> w przedziale <math>(0, n]</math> ma dokładnie <math>\pi (n)</math> zmian wartości (skoków na wykresie). Ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

wynika, że funkcja <math>\psi (x)</math> ma zmian wartości więcej, a liczba skoków wartości jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \pi (n^{1 / k}) = \pi (n) + \pi (n^{1 / 2}) + \pi (n^{1 / 3}) + \pi (n^{1 / 4}) + \ldots</math>

Zadanie R6 
Pokazać, że dla <math>x > 0</math> prawdziwe są oszacowania

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) - \theta (x) < 6 \sqrt{x}</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 1.4 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 2 x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że

::<math>\exp (\theta (x)) = \exp (\theta (\lfloor x \rfloor)) = \exp \left( \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \right) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \exp (\log p) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} p = P (\lfloor x \rfloor) < 4^{\lfloor x \rfloor} \leqslant 4^x</math>

gdzie <math>P(n)</math> jest iloczynem liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, a oszacowanie <math>P(n) < 4^n</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, pokazaliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Zatem dla <math>x \geqslant 1</math> mamy

::<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

Ponieważ <math>\theta (x) = 0</math> dla <math>x \in (0, 2)</math>, to oszacowanie <math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math> jest prawdziwe dla <math>x > 0</math>.

'''Punkt 2.'''

To oszacowanie jest słabsze niż podane w poprzednim punkcie, ale chcemy pokazać, że możemy uzyskać je jeszcze łatwiej

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \leqslant \pi (\lfloor x \rfloor) \cdot \log \lfloor x \rfloor < {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} \cdot \log \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania <math>\pi (n) < {\small\frac{2 n}{\log n}}</math> prawdziwego dla <math>n \geqslant 2</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]]).

'''Punkt 3.'''

Korzystając ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n})</math>

otrzymujemy

::<math>\psi (x) - \theta (x) = \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

:::::<math>\;\;\;\; = \theta (x^{1 / 2}) + \sum_{n = 3}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + (\lfloor \log_2 x \rfloor - 2) \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + \log_2 x \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; < 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + {\small\frac{\log x}{\log 2}} \cdot 2 \log 2 \cdot x^{1 / 3}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + 2 \cdot x^{1 / 2} \cdot {\small\frac{\log x}{x^{1 / 6}}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \left( 2 \log 2 + {\small\frac{12}{e}} \right) x^{1 / 2} \qquad\qquad</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.8)

:::::<math>\;\;\;\; < 6 \sqrt{x}</math>

'''Punkt 4.'''

Z punktów 1. i 3. mamy

::<math>\psi (x) < \theta (x) + 6 \sqrt{x} < 2 \log 2 \cdot x + 6 \sqrt{x} = 2 \log 2 \cdot x \left( 1 + {\small\frac{6}{2 \log 2 \cdot \sqrt{x}}} \right) < 1.4 x</math>

Łatwo sprawdzamy, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla

::<math>x > {\small\frac{36}{(1.4 - 2 \log 2)^2}} > 1.917 \cdot 10^5</math>

Prawdziwość oszacowania <math>\psi (x) < 1.4 x</math> dla <math>x < 2 \cdot 10^5</math> łatwo sprawdzamy w PARI/GP (zobacz zadanie [[#R11|R11]]).

'''Punkt 5.'''

Skorzystamy ze wzoru pokazanego w punkcie C rozwiązania zadania [[#R4|R4]]. Mamy

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} \right\rfloor \leqslant \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log \lfloor x \rfloor = \log \lfloor x \rfloor \cdot \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} 1 = \log \lfloor x \rfloor \cdot \pi (\lfloor x \rfloor) < \log \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R7 
Pokazać, że jeżeli jedna z granic <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}}</math> lub <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math> istnieje i jest skończona, to istnieje również druga i granice te są równe.

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówka: skorzystaj z punktu 3. zadania [[#R6|R6]]. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R8* 
Prawdziwe są następujące oszacowania<ref name="Dusart10"/><ref name="Dusart18"/>

::<math>| \theta (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad\:</math> gdzie <math>c_1 = 1.2323</math>, <math>c_2 = 3.965</math>, <math>c_3 = 20.83</math>, <math>c_4 = 151.3</math>

::<math>| \psi (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad</math> gdzie <math>c_1 = 0.85</math>, <math>c_2 = 1.66</math>, <math>c_3 = 8.16</math>, <math>c_4 = 59.18</math>

::<math>0.9999 \sqrt{x} \underset{x \geqslant 121}{<} \psi (x) - \theta (x) \underset{x > 0}{<} 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x}</math>

Uwaga R9 
Pokażemy kilka prostszych oszacowań od podanych przez Dusarta. Dowód przeprowadzimy, łącząc rezultaty podane przez Dusarta i testując poprawność postulowanych oszacowań w skończonych przedziałach liczbowych. Nim jednak przejdziemy do tego tematu, musimy omówić istotne różnice, które pojawiają się, gdy przechodzimy od sprawdzania oszacowań w punktach, czyli dla liczb naturalnych, do sprawdzania oszacowań dla liczb rzeczywistych.

Uwaga R10 
Niech <math>f(x)</math> będzie rosnącą funkcją schodkową o wartościach stałych w przedziałach <math>[x_{s - 1}, x_s)</math>. Niech <math>g(x)</math> i <math>h(x)</math> będą ciągłymi, rosnącymi funkcjami rzeczywistymi. Oszacowanie <math>h(x) < f (x) < g (x)</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu skoku <math>x_s</math> spełnione są następujące warunki

:   ●      <math>g(x_s) > f (x_s) \qquad\qquad\;\;\;\,</math> (oszacowanie od góry musimy weryfikować w punktach skoku wartości funkcji)

:   ●      <math>h(x_s) < f (x_{s - 1}) \qquad\qquad</math> (oszacowanie od dołu musimy weryfikować z wartością funkcji z poprzedniego skoku)

Ostatni punkt <math>x_s</math>, dla którego nie zachodzi pierwszy lub drugi warunek, oznaczymy przez <math>x_{\max}</math>. Różne oszacowania nie wymagają różnych oznaczeń, bo sam punkt <math>x_{\max}</math> będzie przywoływany w kontekście niebudzącym wątpliwości.

'''W przypadku oszacowania od góry''' w punkcie <math>x_{\max}</math>
po raz ostatni mieliśmy <math>g (x_{\max}) \leqslant f (x_{\max})</math>. Zatem oszacowanie <math>f(x) < g (x)</math> staje się na pewno prawdziwe dla <math>x \geqslant x_{\max + 1}</math>. W rzeczywistości, ze względu na ciągły wzrost funkcji <math>g(x)</math> na płaskim stopniu <math>[x_{\max}, x_{\max + 1})</math>, oszacowanie to może zacząć zachodzić już znacznie wcześniej – w punkcie przecięcia się funkcji <math>g(x)</math> z poziomą linią <math>y = f (x_{\max})</math>. Ujmując precyzyjnie: jeżeli <math>x_0</math> jest rozwiązaniem równania <math>g(x) = f (x_{\max})</math>, to <math>f(x) < g (x)</math> dla <math>x > x_0</math>.

'''W przypadku oszacowania od dołu''' w punkcie <math>x_{\max}</math> po raz ostatni mieliśmy <math>h (x_{\max}) \geqslant f (x_{\max - 1})</math>. Punkt <math>x_{\max}</math> jest jednocześnie punktem, od którego (włącznie z tym punktem) prawdziwe jest oszacowanie od dołu, czyli mamy: <math>h(x) < f (x)</math> dla <math>x \geqslant x_{\max}</math>. Jest tak dlatego, że w <math>x_{\max}</math> funkcja <math>f(x)</math> wykonuje skok, po którym już nigdy nie będzie mniejsza lub równa <math>h(x)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
::[[File:ilustracja-szacowania-funkcji.png|1100px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R11 
Pokazać, że prawdziwe są oszacowania
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.05 \underset{x \geqslant 1427}{<} {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \underset{1 \leqslant x \leqslant 10^{17}}{<} 0</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.02 \underset{x \geqslant 1423}{<} {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \underset{x \geqslant 467.6}{<} 0.02</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \underset{121 \leqslant x \leqslant 10^9}{<} {\small\frac{\psi (x) - \theta (x)}{\sqrt{x}}} - 1 \underset{x \geqslant 80489.8}{<} 0.2</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. - lewa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.1 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_3}{\log^3 x}} = {\small\frac{20.83}{\log^3 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{20.83}{\log^3 (10^4)}} \approx 0.02666 \ldots</math> Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowanie <math>\theta (x) > 0.95 x</math> jest prawdziwe.

'''Punkt 1. - prawa nierówność'''

Platt i Trudgian pokazali<ref name="PlattTrudgian1"/>, że oszacowanie <math>\theta (x) < x</math> nie jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 1</math>. Autorzy sprawdzili, że <math>\theta (x) < x</math> dla <math>x < 1.39 \cdot 10^{17}</math>

'''Punkt 2. - lewa i prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.2 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_2}{\log^2 x}} = {\small\frac{1.66}{\log^2 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{1.66}{\log^2 (10^4)}} \approx 0.019568 \ldots</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowania <math>\psi (x) > 0.98 x</math> oraz <math>\psi (x) < 1.02 x</math> są prawdziwe.

'''Punkt 3. - lewa nierówność'''

Tutaj nierówność <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> sprawdziliśmy dla wszystkich <math>x \leqslant 10^9</math>. Wiemy (zobacz [[#R8|R8]] p.3), że <math>\psi (x) - \theta (x) > 0.9999 \sqrt{x}</math> dla <math>x \geqslant 121</math>. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 121</math>.

'''Punkt 3. - prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.3 wiemy, że dla <math>x > 0</math> możemy napisać

::<math>\psi (x) - \theta (x) < 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x} = 1.2 \sqrt{x} \left( {\small\frac{1.00007}{1.2}} + {\small\frac{1.78}{1.2 \cdot x^{1 / 6}}} \right)</math>

Wyrażenie w nawiasie maleje dla rosnących <math>x</math> i dla <math>x = 5 \cdot 10^5</math> osiąga wartość <math>0.9998902 \ldots < 1</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 5 \cdot 10^5</math> oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) < 1.2 \sqrt{x}</math> jest prawdziwe.

Do testowania poprawności oszacowań wykorzystaliśmy prosty kod w PARI/GP. Podajemy tylko przykład dla funkcji <math>\psi (x)</math>, pozostałe Czytelnik bez trudu napisze samodzielnie. Aby skrócić czas obliczeń, program narastająco oblicza wartość <math>\psi (x)</math> i sprawdza oszacowania.

psiTest(n) =
{
'''local'''(k, kmax, linia, p, sum1, sum2, sum2max, spacje, x0);
linia = '''strjoin'''('''vector'''(50, k, "="));
spacje = '''strjoin'''('''vector'''(35, k, " "));
k = kmax = p = sum1 = sum2 = sum2max = 0;
'''while'''( k++ <= n,
'''if'''( '''isprimepower'''(k, &p), sum1 = sum2; sum2 = sum2 + '''log'''(p), '''next'''); \\ sum1 przechowuje poprzednią wartość psi
'''if'''( sum2 >= 1.02*k, kmax = k; sum2max = sum2; '''print'''(spacje, k, " ", sum2/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od góry (powinno być 1.02*k > sum2)
'''if'''( sum1 <= 0.98*k, '''print'''(k, " ", sum1/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od dołu (powinno być 0.98*k < sum1)
);
\\ oszacowanie od góry - szukamy następnego skoku po kmax
k = kmax + 1;
sum2 = sum2max;
'''while'''( !( '''isprimepower'''(k, &p) ), k++);
'''print'''(linia);
'''print'''(spacje, k, " ", (sum2 + '''log'''(p))/k );
\\ znajdujemy punkt przecięcia
x0 = '''solve'''( x = kmax, k-0.001, 1.02*x - sum2max );
'''print'''(spacje, "x0 = ", x0);
}
 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi liczb zespolonych ==

Uwaga R12 (przyjęte oznaczenia logarytmów) 
W dalszej części tekstu, w celu zachowania jednoznaczności i uniknięcia nieporozumień notacyjnych, konsekwentnie stosujemy następujące oznaczenia

<math>\ln (x) \;\;\,</math> – zwykły logarytm naturalny; stosowany wyłącznie wtedy, gdy zmienna <math>x</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą; wynik tej funkcji jest zawsze liczbą rzeczywistą

<math>\log (z) \:\,</math> – logarytm zespolony (wielowartościowy); funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych <math>z \neq 0</math>, która zwraca zbiór wartości różniących się o wielokrotność <math>2 \pi i</math>

<math>\operatorname{Log} (z)</math> – wartość główna logarytmu zespolonego; funkcja jednowartościowa (główna gałąź logarytmu), zdefiniowana jednoznacznie jako <math>\operatorname{Log} (z) = \ln | z | + i \operatorname{Arg} (z)</math>, gdzie <math>\operatorname{Arg} (z)</math> oznacza główny argument liczby zespolonej należący do przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>

Twierdzenie R13 
Niech <math>(z_k)</math> będzie ciągiem o wyrazach zespolonych. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} z_k</math> też jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>z_k = x_k + i y_k</math>. Ponieważ

::<math>0 \leqslant | x_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

::<math>0 \leqslant | y_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

to na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | x_k |</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | y_k |</math> są zbieżne. Wynika stąd, że zbieżne są też szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} x_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} y_k</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D12|D12]]). Zatem ciąg sum częściowych

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} z_k = \sum_{k = 1}^{n} x_k + i \sum_{k = 1}^{n} y_k</math>

również jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R14 
Niech <math>(z_{k_j})</math> będzie dowolnym podciągiem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]) ciągu liczb zespolonych <math>(z_k)</math>. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} z_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to szereg <math>\sum_{j = 1}^{\infty} z_{k_j}</math> też jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k | = c</math>

Zatem

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} | z_{k_j} | \leqslant c</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>S_N = \sum_{j = 1}^{N} | z_{k_j} |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R15 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że dla reszty szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Porównaj wynik z oszacowaniem w przypadku, gdy <math>z</math> jest liczbą rzeczywistą (zobacz [[Szeregi liczbowe#D5|D5]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy najpierw skończoną sumę częściową reszty szeregu od indeksu <math>k = N + 1</math> do pewnej dużej liczby naturalnej <math>M > N + 1</math>

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Z twierdzenia o sumowaniu przez części (zobacz [[Szeregi liczbowe#D83|D83]]) możemy napisać

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{1}{k^z}} \cdot (- 1)^{k + 1}</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M) - \sum_{k = N + 1}^{M - 1} \left[ {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right] \cdot B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = N + 1}^k (- 1)^{j + 1}</math>

Zauważmy, że

::<math>B(k) = \underbrace{(- 1)^{N + 2} + (- 1)^{N + 3}}_0 + \underbrace{(- 1)^{N + 4} + (- 1)^{N + 5}}_0 + \ldots + (- 1)^{k + 1} =
\begin{cases}
0 & \text{dla parzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\pm 1 & \text{dla nieparzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\end{cases}
</math>

Zatem <math>|B (k) | \leqslant 1</math>.

Przechodząc z <math>M</math> do nieskończoności, otrzymujemy nieskończoną resztę szeregu <math>R_N (z)</math>. Ponieważ <math>|B (k) | \leqslant 1</math> oraz <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, to składnik <math>{\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M)</math> dąży do zera. Mamy

::<math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k)</math>

Teraz łatwo znajdujemy oszacowanie modułu reszty

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right| \cdot | B (k) |</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right|</math>
</div>

Niech <math>z = x + i y</math>. Aby znaleźć oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right|</math>

zdefiniujemy funkcję pomocniczą <math>f(t) = t^{- z}</math> zmiennej rzeczywistej <math>t</math>. Zauważmy, że

::<math>f' (t) = - z t^{- z - 1}</math>

oraz

::<math>| f' (t) | = | - z | \cdot | t^{- z - 1} | = | z | \cdot | t^{- x - i y - 1} | = | z | \cdot t^{- x - 1}</math>

Zapisując różnicę <math>f(k + 1) - f (k)</math> jako całkę z pochodnej funkcji <math>f(t)</math>, uzyskamy wzór, który łatwo możemy szacować i sumować

::<math>\left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| = | f (k + 1) - f (k) |</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \left| \int_{k}^{k + 1} f' (t) d t \right|</math>

::::::<math>\;\;\:\, \leqslant \int_{k}^{k + 1} | f' (t) | d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \int_{k}^{k + 1} | z | \cdot t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = | z | \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

Stąd już łatwo znajdujemy oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant | z | \sum_{k = N + 1}^{\infty} \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \int_{N + 1}^{\infty} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ - {\small\frac{t^{- x}}{x}} \right] \biggr\rvert_{N + 1}^{\infty}</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ 0 + {\small\frac{(N + 1)^{- x}}{x}} \right]</math>

::::::::<math>\;\;\, = {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R16 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zakładamy, że potęga zespolona <math>k^z</math> jest potęgą w sensie wartości głównej <math>k^z = e^{z \cdot \operatorname{Log} (k)} = e^{z \cdot \ln (k)}</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^{x + i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x k^{i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x | \cdot | k^{i y} |}} = \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^x \cdot | e^{i y \ln k} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>

Szereg po prawej stronie jest zbieżny, gdy <math>x > 1</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D50|D50]] p.6). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R17 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych <math>(S_N)</math> jest zbieżny. Niech <math>S</math> oznacza granicę ciągu <math>(S_N)</math>. Reszty <math>R_N</math> szeregu definiujemy jako <math>R_N = S - S_N</math>. Zatem szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg <math>(R_N)</math> reszt tego szeregu jest zbieżny do zera.

Z zadania [[#R15|R15]] wiemy, że dla reszt <math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
::<math>0 \leqslant | R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Dla ustalonego <math>z</math> takiego, że <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy, że

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} | R_N (z) | = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R18 
Pokazać, że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Założenie <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> gwarantuje nam bezwzględną zbieżność obydwu szeregów (zobacz [[#R16|R16]]). Bezwzględna zbieżność pozwala nam zapisać rozpatrywane szeregi w postaci sumy szeregów dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zauważmy, że szeregi po prawej stronie też są bezwzględnie zbieżne (zobacz [[#R14|R14]]). Odejmując stronami, dostajemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = 2 \cdot {\small\frac{1}{2^z}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta i <math>\zeta (z)</math> Riemanna ==

Uwaga R19 
Zauważmy, że szeregi

::<math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

definiują pewne funkcje różniczkowalne w obszarze <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Co więcej, w obszarze tym zachodzi tożsamość

::<math>\eta (z) = (1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>

(zobacz [[#R18|R18]]). Szereg określający funkcję <math>\eta (z)</math> jest zbieżny i definiuje funkcję różniczkowalną dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, czyli w większym obszarze. Stanowi on zatem przedłużenie analityczne funkcji zdefiniowanej pierwotnie dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> przez wyrażenie <math>(1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>.

Z zasady przedłużenia analitycznego wynika, że relacja ta musi zostać zachowana w całym nowym obszarze. W konsekwencji, dla całej półpłaszczyzny <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (z wyłączeniem punktów, gdzie <math>1 - 2^{1 - z} = 0</math>), funkcja <math>\zeta (z)</math> może być jednoznacznie zdefiniowana jako

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Zauważmy, że mianownik <math>1 - 2^{1 - z}</math> jest elementem jednowartościowej funkcji <math>\zeta (z)</math>, zatem potęga <math>2^{1 - z}</math> nie może być wieloznaczną funkcją i zawsze w takich przypadkach bierzemy wartość główną potęgi. Mamy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB30|ZB30]] p.1)

::<math>1 - 2^{1 - z} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{(1 - z) \ln 2} = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (1 - z) \ln 2 = 2 k \pi i \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1 - z = {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>

W punktach <math>z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math>, w których mianownik się zeruje, następuje jednoczesne wyzerowanie się szeregu <math>\eta (z)</math>. Otrzymana osobliwość typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math> jest usuwalna, a funkcja <math>\zeta (z)</math> przyjmuje tam skończone wartości w sensie granicy. Jedyna osobliwość, jaka pozostaje, to punkt <math>z = 1</math>.

Zadanie R20 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>, czyli, że <math>\eta (z)</math> jest funkcją ciągłą.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Przypomnijmy definicję ciągłości funkcji. Mówimy, że funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>z_0</math>, jeżeli

:*&emsp;funkcja <math>f(z)</math> jest określona w punkcie <math>z_0</math> – czyli wartość <math>f(z_0)</math> istnieje i jest skończona

:*&emsp;granica funkcji <math>f(z)</math> w punkcie <math>z_0</math> istnieje, jest skończona i jest równa <math>f(z_0)</math> – czyli <math>\lim_{z \to z_0} f (z) = f (z_0)</math>

Przyglądając się definicji ciągłości, zauważymy, że pozwala ona na „wejście” z granicą pod znak funkcji. Staje się to bardziej widoczne, gdy zapiszemy tę zależność dla funkcji złożonej <math>f (g (z))</math>. Wówczas ciągłość funkcji <math>f</math> w punkcie <math>c</math>, będącym skończoną granicą funkcji wewnętrznej <math>c = \lim_{z \to z_0} g (z)</math>, pozwala nam zamienić kolejność wykonywania operacji

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z))</math>

W naszym przypadku funkcja <math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest określona i przyjmuje skończone wartości dla każdego <math>z</math> spełniającego <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, ponieważ w tym obszarze ten szereg naprzemienny jest zbieżny (zobacz [[#R17|R17]]). Zatem pokazując, że dla dowolnego punktu <math>z_0</math> ( takiego, że <math>\operatorname{Re}(z_0) > 0</math>) zachodzi <math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>, udowodnimy tym samym, że funkcja <math>\eta (z)</math> jest ciągła w swojej dziedzinie. W tym kontekście ciągłość oznacza, że możemy zamienić kolejność obliczania granicy i sumowania (czyli „wejść” z granicą pod znak sumy)

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 2em;">
::<math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right] = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} = \eta (z_0)</math>
</div>

Czytelnik może łatwo sprawdzić, że taka zamiana nie zawsze jest dozwolona. Wystarczy zbadać prostą funkcję <math>g(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (x^k - x^{k + 1})</math> określoną w przedziale <math>[0, 1)</math> i obliczyć jej granicę lewostronną przy <math>x \to 1^-</math>.

Tyle uwag o ciągłości – przejdźmy do naszego problemu. Musimy pokazać, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right] = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}}</math>
</div>

Co możemy zapisać w postaci

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right] = 0</math>
</div>

Rozważmy

::<math>| \eta (z) - \eta (z_0) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 2em;">
::::::<math>\,\, = \left| \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) + \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 2em; margin-bottom: 1.5em;">
::::::<math>\,\, \leqslant \left| \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) \right| + \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| + \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::::<math>\,\, \leqslant \sum_{k = 1}^{N} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| + {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}} + {\small\frac{| z_0 |}{\operatorname{Re}(z_0)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z_0)}}}</math>
</div>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania reszty szeregu naprzemiennego (zobacz [[#R15|R15]]).

Niech <math>\mathbb{H}_R = \{ z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(z) > 0 \}</math> oznacza prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zespolonej <math>\mathbb{C}</math>, a <math>z_0</math>
będzie dowolnym, ale ustalonym punktem <math>\mathbb{H}_R</math>. Ponieważ badamy granicę przy <math>z \to z_0</math>, możemy bez zmniejszania ogólności ograniczyć się do dowolnie małego otoczenia punktu <math>z_0</math>. W szczególności możemy wybrać otoczenie <math>U(z_0, r)</math>, gdzie <math>r = {\small\frac{1}{2}} \operatorname{Re}(z_0)</math>.
Wartość promienia nie została wybrana przypadkowo: taki wybór gwarantuje nam, że <math>U(z_0, r) \subset \mathbb{H}_R</math>. Jeśli <math>z \in U (z_0, r)</math>, to mamy

::<math>| z | = | z - z_0 + z_0 | \leqslant | z - z_0 | + | z_0 | < | z_0 | + r</math>

::<math>\operatorname{Re}(z) > \operatorname{Re}(z_0) - r = r</math>

bo

::<math>\operatorname{Re}(z_0) - \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z_0 - z) \leqslant | z_0 - z | = | z - z_0 | < r</math>

Ponieważ

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}} < {\small\frac{|z_0 | + r}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{|z_0 |}{\operatorname{Re}(z_0)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z_0)}}} = {\small\frac{|z_0 |}{2 r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{2 r}}} < {\small\frac{|z_0 |}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}} < {\small\frac{|z_0 | + r}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>
</div>

to możemy zapisać oszacowanie w postaci

::<math>| \eta (z) - \eta (z_0) | < \sum_{k = 1}^{N} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| + {\small\frac{2 (| z_0 | + r)}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>

Zauważmy, że ze względu na ciągłość modułu oraz ciągłość funkcji <math>f(z) = {\small\frac{1}{k^z}}</math>, dla każdego ustalonego <math>k</math> przy <math>z \rightarrow z_0</math> dostajemy

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| = \left| \lim_{z \rightarrow z_0} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) \right| = 0</math>

Korzystając z faktu, że granica skończonej sumy jest sumą granic, przechodzimy do granicy przy <math>z \to z_0</math> w całej nierówności. Ponieważ drugi człon nie zależy od <math>z</math>, otrzymujemy

::<math>0 \leqslant \lim_{z \rightarrow z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) | \leqslant {\small\frac{2 (| z_0 | + r)}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>

Powyższa nierówność zachodzi dla dowolnie wybranego <math>N \in \mathbb{N}</math>, podczas gdy wartość <math>\lim_{z \to z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) |</math> jest stałą liczbą niezależną od <math>N</math>. Ponieważ <math>r > 0</math>, ułamek <math>{\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math> możemy uczynić dowolnie małym poprzez wybór odpowiednio dużego <math>N</math>. Ze względu na tę dowolność, lewa strona nierówności musi być równa zeru

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) | = 0</math>

Co oznacza, że <math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R21 
Niech <math>z = x + i y</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to prawdziwe są następujące oszacowania dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 0.5em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.2em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>x > 1</math> jest liczbą rzeczywistą, sumujemy wyrazy dodatnie, bo <math>{\small\frac{1}{k^x}} = e^{- x \cdot \ln (k)} > 0</math>. Niech <math>f (t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math>, gdzie <math>x > 1</math>. Mamy

::<math>f' (t) = - {\small\frac{x}{t^{x + 1}}}</math>

Czyli <math>f' (t) < 0</math> dla <math>t > 0</math> i <math>x > 1</math>, zatem <math>f(t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math> jest dla <math>x > 1</math> ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>[1, \infty)</math>. Z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]] otrzymujemy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} < 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t = 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 2.'''

Kolejną nierówność dowodzimy, korzystając ponownie z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]. Mamy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
= 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
> 1 + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t
= 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{2}^{\infty}
= 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

'''Punkt 3.'''

Z definicji <math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> dla <math>\operatorname{Re} (z) > 1</math>. Zauważmy, że

::<math>| \zeta (z) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = \zeta (x)</math>

Zatem z punktu 1. wynika natychmiast, że

::<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 4.'''

Pierwszą nierówność

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

udowodnimy w zadaniu [[#R46|R46]]. Kolejne oszacowania otrzymujemy z punktów 2. i 1.

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > \left( 1 + {\small\frac{1}{x - 1}} \right)^{- 1} = 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R22 
Pokazać, że <math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ rozważamy granicę, gdy <math>\operatorname{Re}(z)</math> dąży do plus nieskończoności, to nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Łatwo znajdujemy oszacowanie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \leqslant | \zeta (z) - 1 | = \left| \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 2}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}}} = \zeta (\operatorname{Re}(z)) - 1 < {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z) - 1}}</math>
</div>

Ostatnia nierówność wynika z [[#R21|R21]] p.1. Ponieważ dla <math>\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty</math> prawa strona dąży do zera, to musi być <math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} | \zeta (z) - 1 | = 0</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R23 
Pokazać, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą. Zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podstawiając bezpośrednio punkt <math>z = 1</math> do wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad (\ast)</math>

zauważamy, że licznik przyjmuje wartość <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), natomiast mianownik jest równy zero. Otrzymujemy zatem wyrażenie typu <math>{\small\frac{\ln 2}{0}}</math>, co oznacza, że całość ucieka do nieskończoności. Widzimy więc, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą.

Aby dokładniej zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w tym punkcie, przyjmijmy, że zbliżamy się do punktu <math>z = 1</math> z dowolnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej, zapisując <math>z = 1 + \Delta z</math>, gdzie <math>\Delta z \to 0</math>. Mianownik wzoru <math>(\ast)</math> przyjmuje wówczas postać

::<math>1 - 2^{1 - z} = 1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2}</math>

Wiemy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB14|ZB14]]), że dla małych wartości <math>| z |</math> prawdziwe jest przybliżenie <math>e^z \approx 1 + z</math>, zatem możemy mianownik zapisać jako

::<math>1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2} = 1 - (1 - \Delta z \cdot \ln 2) = \Delta z \cdot \ln 2</math>

Ponieważ dla <math>z \to 1</math> licznik dąży do wartości <math>\ln 2</math>, zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math> opisuje uproszczona zależność

::<math>\zeta (1 + \Delta z) \approx {\small\frac{\ln 2}{\Delta z \cdot \ln 2}} = {\small\frac{1}{\Delta z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Zatem w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> zachowuje się asymptotycznie jak <math>{\small\frac{1}{z - 1}}</math>.

::[[File:dzeta-biegun-funkcji.png|1200px|none]]

Na rysunku widzimy mapy warstwowe (poziomicowe) składowych funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math>.

Lewy wykres przedstawia poziomy części rzeczywistej <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> mamy <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Podobnie prawy wykres przedstawia poziomy części urojonej <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> mamy <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi.

Zauważmy, że wszystkie poziomice są okręgami stycznymi w punkcie <math>z = 1</math>. Warto zastanowić się, dlaczego tak jest. Pokazaliśmy wyżej, że w pobliżu punktu <math>z = 1</math> mamy[a]

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{z - 1}} = {\small\frac{1}{x + i y - 1}} = {\small\frac{1}{(x + i y - 1)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1 + i y) (x - 1 - i y)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

Zatem

::<math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\operatorname{Im}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{- y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\left| {\small\frac{1}{z - 1}} \right| = {\small\frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}}</math>

W przypadku wykresu po lewej stronie interesują nas punkty, dla których <math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right)</math> przyjmuje pewną stałą wartość <math>C</math> (gdzie <math>C \neq 0</math> ). Wynika stąd równanie

::<math>{\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}} = C</math>

::<math>(x - 1)^2 + y^2 = {\small\frac{1}{C}} (x - 1)</math>

::<math>(x - 1)^2 - {\small\frac{1}{C}} (x - 1) + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - 1 - {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2 - {\small\frac{1}{4 C^2}} + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - \left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}} \right) \right)^2 + y^2 = \left( {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2</math>

Otrzymaliśmy równanie okręgu <math>(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>. Środek tego okręgu leży w punkcie <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math>, a promień jest równy <math>R = \left| {\small\frac{1}{2 C}} \right|</math>. Zauważmy, że dla punktu <math>x = 1</math>, <math>y = 0</math> powyższe równanie jest spełnione bez względu na wartość stałej <math>C</math>. Oznacza to, że bez względu na wybór stałej <math>C</math> punkt <math>z = 1</math> zawsze leży na każdym z tych okręgów.

Widzimy też, że im większa jest stała <math>| C |</math>, tym promień okręgu <math>R = {\small\frac{1}{| 2 C |}}</math> staje się coraz mniejszy, a środek okręgu <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math> przesuwa się coraz bliżej punktu <math>z = 1</math>.

Wykresy trójwymiarowe funkcji <math>\operatorname{Re}(\zeta (z))</math>, <math>\operatorname{Im}(\zeta (z))</math>, <math>| \zeta (z) |</math> w pobliżu punktu <math>z = 1</math> Czytelnik może obejrzeć tutaj: [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(x-1)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=60;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=3.444100869426259,-7.5971635126247445,5.515548546034267,1;focus=0,0,0,1;up=-0.2070614921567268,0.6030196673762389,0.7703848513718841,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.55;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Re], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(-y)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=4.586717166130226,-6.016752754731321,6.539167525484936,1;focus=0,0,0,1;up=-0.5129496914638173,0.4216278857530943,0.7477382830794143,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.5;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Im], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=1/(sqrt((x-1)%5E2+y%5E2));funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=5.342751327864454,6.243169489324923,5.69893349462556,1;focus=0,0,0,1;up=-0.3350417095775116,-0.5673621911342946,0.752228154827157,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.6500000000000001;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-abs].

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Dokładne rozwinięcie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> ma postać

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \gamma - \gamma_1 (z - 1) + {\small\frac{\gamma_2}{2!}} (z - 1)^2 - {\small\frac{\gamma_3}{3!}} (z - 1)^3 + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> to stała Eulera, a <math>\gamma_k</math> to stałe Stieltjesa. Przykładowo

::<math>\gamma_1 \approx - 0.0728158455</math>, <math>\gamma_2 \approx - 0.0096903632</math>, <math>\gamma_3 \approx 0.0020538344</math>, <math>\gamma_4 \approx 0.0023253701</math>, <math>\gamma_5
\approx 0.0007933238</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R24 
Pokazać, że funkcja <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z)</math>. Pokazać, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podobnie jak w przypadku funkcji <math>\eta (z)</math> i <math>\zeta (z)</math> wychodzimy od obszaru <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, gdzie funkcja <math>\zeta (z)</math> jest dobrze określona przez zbieżny bezwzględnie szereg

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zapiszmy każdy składnik sumy w postaci

::<math>{\small\frac{1}{k^z}} = \int_k^{k + 1} t^{- z} dt + \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>k = 1</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\zeta (z) = \int_1^{\infty} t^{- z} dt + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Obliczając pierwszą całkę, dostajemy

::<math>\int_1^{\infty} t^{- z} dt = {\small\frac{t^{- z + 1}}{1 - z}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 0 - {\small\frac{1}{1 - z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Granica w nieskończoności wynika natychmiast z prostego spostrzeżenia

:: <math>| t^{1 - z} | = t^{1 - \operatorname{Re}(z)} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>

a jeśli tak, to również <math>t^{1 - z} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>.

Zatem

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

Pokażemy teraz, że szereg <math>g(z)</math> jest zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Zapiszmy <math>g(z)</math> w postaci

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

i oszacujmy wyrazy sumy po prawej stronie

::<math>a_k = \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

Rozważmy funkcję <math>f(x) = x^{- z}</math>. Z twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/> istnieje taka liczba <math>a \in [k, t]</math>, że

::<math>| f (k) - f (t) | = | k^{- z} - t^{- z} | = | f' (a) \cdot (t - k) | = | - z \cdot a^{- z - 1} (t - k) | = | z | \cdot | a^{- z - 1} | \cdot (t - k) = | z | \cdot a^{- \operatorname{Re}(z) - 1} (t - k) \leqslant | z | \cdot k^{- \operatorname{Re} (z) - 1} (t - k)</math>

bo dla <math>\operatorname{Re}(z) > - 1</math> wyrażenie <math>a^{- \operatorname{Re}(z) - 1}</math> jest funkcją malejącą zmiennej <math>a.</math>

Mamy

::<math>| a_k | = \left| \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t \right|</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} | k^{- z} - t^{- z} | d t</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_k^{k + 1} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_0^1 v d v</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{2 k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ostatecznie otrzymaliśmy proste oszacowanie

::<math>0 \leqslant | a_k | \leqslant {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ponieważ szereg

::<math>{\small\frac{|z|}{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} = {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (zobacz [[#R16|R16]]), to z kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math> jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0.</math>

Zgodnie z fundamentalnym w analizie zespolonej twierdzeniem o jednoznaczności, jeśli dwie funkcje różniczkowalne pokrywają się w jakimś obszarze (w tym przypadku dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>), to istnieje tylko jedno możliwe przedłużenie tej funkcji na większy obszar (<math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>). Ponieważ wzór <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math> jest różniczkowalny w tym większym obszarze, to jest on przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z).</math> Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R25 
Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wiemy (zobacz [[#R24|R24]]), że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma analityczne przedłużenie prawdziwe dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> postaci

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

Szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1) \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right)</math>

(zobacz [[#R24|R24]] i [[#R21|R21]]).

Rozważmy otoczenie <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> punktu <math>z = 1</math> o promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Takie otoczenie to zbiór punktów <math>\mathbb{C}</math> określonych nierównością <math>| z - 1 | < {\small\frac{1}{2}}</math>. Łatwo zauważamy, że w tym otoczeniu prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| z | = | (z - 1) + 1 | \leqslant | z - 1 | + | 1 | < {\small\frac{1}{2}} + 1 = {\small\frac{3}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż rysunek|Hide=Ukryj rysunek}}
[[File:okregi-i-kolo-na-C.png|400px|none]]
{{\Spoiler}}

Warunek <math>|z - 1| < {\small\frac{1}{2}}</math> spełniają punkty należące do wnętrza koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie <math>(1, 0)</math> i promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Ponieważ
część rzeczywista <math>\operatorname{Re}(z)</math> to współrzędna <math>x</math> na płaszczyźnie zespolonej, to musi być <math>\operatorname{Re}(z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} < 2</math>

Zbierając, otrzymujemy, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60|ZB60]] wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = \lim_{z \rightarrow 1} \left[ (z - 1) \left( {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z) \right) \right] = \lim_{z \rightarrow 1} [1 + (z - 1) g (z)] = 1 + \lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R26 
Pokazać, że <math>g(1) = \gamma</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x^z}} dx \right)</math>

a <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R24|R24]] pokazaliśmy, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny w półpłaszczyźnie <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Ponieważ punkt <math>z = 1</math> leży wewnątrz tego obszaru, możemy bezpośrednio podstawić <math>z = 1</math> i obliczyć sumę szeregu <math>g(1) .</math> Rozważmy sumy częściowe

::<math>g_N (1) = \sum_{k = 1}^N \left( {\small\frac{1}{k}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^N \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \int_1^{N + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (x) \Bigr\rvert_{1}^{N + 1}</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N + 1)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) - \ln \left( {\small\frac{N + 1}{N}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] - \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right)</math>

Przechodząc z <math>N</math> do nieskończoności, otrzymujemy<ref name="Euler1"/>.

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] = \gamma</math>

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right) = 0</math>

Zatem <math>g(1) = \lim_{N \rightarrow \infty} g_N (1) = \gamma</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R27 
Niech <math>z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Funkcję dzeta Riemanna definiujemy następująco

::<math>\zeta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) > 1 & \text{pierwotna definicja funkcji dzeta Riemanna} \\[2ex]

\infty & \text{gdy } z = 1 & \text{jedyny punkt rozbieżności (szereg harmoniczny)} \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \tfrac{1}{2} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1 \qquad z \neq 1 & \text{przedłużenie analityczne przez funkcję } \eta \text{ Dirichleta} \\[2ex]

\displaystyle 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} \qquad z \neq 0 & \text{równanie funkcyjne Riemanna} \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Wiersze drugi i piąty w powyższej definicji nie tyle definiują, co informują Czytelnika o zachowaniu funkcji <math>\zeta (z)</math> w punktach <math>z = 1</math> i <math>z = 0</math> (punkt <math>z = 1</math> nawet nie należy do dziedziny funkcji dzeta). Zdecydowaliśmy się je zamieścić, bo są to punkty, o które natychmiast pytamy, patrząc na wzory. Dodatkowo punkty te wiąże równanie funkcyjne Riemanna.

Zauważmy, że funkcja <math>\zeta (z)</math> nie jest funkcją wielowartościową – dlatego w definicji bierzemy wartości główne potęg zespolonych <math>k^z, 2^z, \pi^{z - 1}</math>. Aby określić wartości <math>\zeta (z)</math> dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> moglibyśmy użyć dowolnego przedłużenia analitycznego funkcji <math>\zeta (z)</math>.

Zadanie R28 
Pokazać na podstawie definicji funkcji <math>\zeta (z)</math>, że funkcja <math>\eta (z)</math> może być określona dla wszystkich <math>z \in \mathbb{C}</math> następująco

::<math>\eta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) \geqslant \tfrac{1}{2} & \text{szereg zbieżny dla } \operatorname{Re}(z) > 0 \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} & \text{równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji } \eta (z) \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Uwaga R29 
Równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R28|R28]])

::<math>- {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

łączy wartości funkcji <math>\eta (z)</math> z przedziału <math>{\small\frac{1}{2}} < \operatorname{Re}(z) < 1</math> z wartościami funkcji <math>\eta (z)</math> w przedziale <math>0 < \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math>. Jest to związek zaskakujący – zupełnie nie widać powodu, dla którego sumy szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 4}}} \approx 0.554487386</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{3 / 4}}} \approx 0.651115680</math>

miałyby być ze sobą powiązane. A jednak wiąże je współczynnik, którego wartość możemy łatwo policzyć

::<math>- {\small\frac{2^{1 / 4} - 2}{2^{1 / 4} - 1}} \cdot \pi^{- 3 / 4} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi}{8}} \right) \Gamma \left( {\small\frac{3}{4}} \right) \approx 0.851595812</math>

Zadanie R30 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Pokazać, że <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>, gdzie <math>B_n</math> są liczbami Bernoulliego (zobacz [[Wzór Eulera-Maclaurina#E6|E6]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (0)}</math>

Pierwszy sposób 

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right] = 2^0 \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} \cdot \lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)]</math>

Pierwszą granicę po prawej stronie policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{1} = {\small\frac{\pi}{2}}</math>

Drugą granicę już znamy (zobacz [[#R25|R25]])

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} [- z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} \{ [(1 - z) - 1] \cdot \zeta (1 - z) \} = - \lim_{w \rightarrow 1} [ (w - 1) \cdot \zeta (w) ] = - 1</math>

Zatem <math>\zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>.

Drugi sposób 

Korzystając z odpowiednika równania funkcyjnego Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R28|R28]])

::<math>\eta (z) = - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) \right] = - (- 1) \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \eta (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1}</math>

Wiemy, że <math>\eta (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Ostatni czynnik po prawej stronie to wyrażenie nieoznaczone typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math>. Jego wartość policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right) \cdot \tfrac{\pi}{2}}{2^z \cdot \ln 2} = {\small\frac{\pi}{2 \ln 2}}</math>

Łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy <math>\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Ze wzoru <math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>, który stanowi przedłużenie funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>0 < \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math>, otrzymujemy w granicy, gdy <math>z</math> dąży do zera, że

::<math>\zeta (0) = - \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać.

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k + 1)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

i pamiętając o tym, że<ref name="Baselproblem1"/>

::<math>\zeta (2 k) = \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

dostajemy (zobacz [[#R27|R27]], [[Szeregi liczbowe#D143|D143]] p.2)

::<math>\zeta (- 2 k + 1) = 2^{- 2 k + 1} \pi^{- 2 k} \sin \left( - {\small\frac{\pi (2 k - 1)}{2}} \right) \Gamma (2 k) \zeta (2 k)</math>

:::::<math>\;\;\; = \frac{2 (- 1)^k}{2^{2 k} \pi^{2 k}} \cdot (2 k - 1) ! \cdot \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math>

:::::<math>\;\;\; = - {\small\frac{B_{2 k}}{2 k}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta (- 2 k) = 2^{- 2 k} \pi^{- 2 k - 1} \sin \left( - {\small\frac{2 k \pi}{2}} \right) \Gamma (2 k + 1) \zeta (2 k + 1) = 0</math>

bo <math>\sin (k \pi) = 0</math>.

Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R31 
Na wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant 0</math> możemy patrzeć jedynie jako na funkcję zdefiniowaną równaniem funkcyjnym Riemanna. Ale możemy spojrzeć też tak, jakby była ona sposobem przypisywania konkretnych liczb szeregom ewidentnie rozbieżnym. Przykładowo

::<math>\zeta (- n) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^n = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>

Najciekawsze jest to, że przypisania te są zgodne z wcześniejszymi próbami matematyków w tej kwestii (zobacz [[Szeregi liczbowe#D109|D109]]). W poniższym zadaniu pokazujemy kilka dalszych przykładów.

Zadanie R32 
Uzasadnić, dlaczego mamy: <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 2) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \eta (z)</math>

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}}</math>

Rozważmy szereg geometryczny zbieżny dla <math>| t | < 1</math>

::<math>{\small\frac{1}{1 + t}} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast)</math>

Widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{2}} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \eta (0)</math>

Zatem

::<math>\zeta (0) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 0}}} \cdot \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 1) = {\small\frac{1}{4}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}}</math>

Różniczkując obie strony wzoru <math>(\ast)</math>, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{(1 + t)^2}} = 1 - 2 t + 3 t^2 - 4 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Ponownie widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, mamy

::<math>{\small\frac{1}{4}} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = \eta (- 1)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 1) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 1)}}} \cdot \eta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 2) = 0}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2) = 0}</math>

Mnożąc obie strony równania <math>(\ast \ast)</math> przez <math>t</math> i różniczkując, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1 - t}{(1 + t)^3}} = 1 - 4 t + 9 t^2 - 16 t^3 + 25 t^4 - 36 t^5 + \ldots</math>

W granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>0 = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - 36 + \ldots = \eta (- 2)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 2) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 2)}}} \cdot \eta (- 2) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R33 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla każdego <math>x > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{1}{2}} < \eta (x) < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji <math>\eta (x)</math> mamy

::<math>\eta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n^x}} = 1 - {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} - {\small\frac{1}{4^x}} + \ldots</math>

Zauważmy, że ciąg <math>a_n = {\small\frac{1}{n^x}}</math> jest silnie malejący, bo funkcja <math>f(t) = t^x</math> jest silnie rosnąca dla <math>t, x \in \mathbb{R}_+</math>. Zatem <math>\eta (x)</math> spełnia kryterium Leibniza i z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D5|D5]] wynika, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math> oraz dostajemy oszacowanie <math>1 - {\small\frac{1}{2^x}} < \eta (x) < 1</math>. Skąd natychmiast wynika, że <math>0 < \eta (x) < 1</math>. Dokładniejsze oszacowanie od dołu będzie dłuższe, ale przekształcenia są zaskakująco proste.

Ponieważ szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math>, to możemy grupować wyrazy. Grupując je po dwa, możemy napisać

::<math>\eta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dla <math>0 < x \leqslant 1</math> nie możemy rozbić prawej strony na sumę osobnych szeregów, ponieważ składowe szeregi są rozbieżne i otrzymalibyśmy symbol nieoznaczony <math>[\infty - \infty]</math>. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{j = 1}^{N - 1} {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{j = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

W granicy, gdy <math>N</math> dąży do nieskończoności, wracamy do szeregu <math>\eta (x)</math>
z wydzielonym składnikiem <math>{\small\frac{1}{2}}</math> i teraz będziemy mogli uzyskać postulowane oszacowanie

::<math>\eta (x) = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N</math>

:::<math>\;\;\, = \lim_{N \rightarrow \infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \right\}</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} - 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} \left[ {\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} \right] - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right\}</math>

:::<math>\;\;\, \geqslant {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} \cdot {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad \text{bo } \; {\small\frac{1}{2}} (a + b) \geqslant \sqrt{a b} \;\;</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A38|A38]])

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2 - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, > {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}}</math>

Na zakończenie warto zobaczyć, jak <math>\eta (x)</math> wygląda na wykresie.

::[[File:eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png|540px|none]]

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R34 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\zeta (x)</math> ma wartości rzeczywiste. Omówić zachowanie funkcji <math>\zeta (x)</math> w punkcie <math>x = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant x \leqslant 1</math> mamy <math>\zeta (x) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - x}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>x < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\zeta (x) = 2^x \pi^{x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 - x) \zeta (1 - x)</math>. Ponieważ <math>1 - x > {\small\frac{1}{2}}</math>, to funkcja <math>\zeta (1 - x)</math> jest rzeczywista, podobnie jak pozostałe czynniki. Zatem i w tym przedziale <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Zauważmy, że ponieważ dla <math>x > 0</math> funkcja <math>\eta (x)</math> jest zawsze dodatnia (zobacz [[#R33|R33]]), to o znaku funkcji dzeta Riemanna <math>\zeta (x)</math> w tym obszarze decyduje wyłącznie znak czynnika łączącego obie funkcje

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{\eta (x)}{1 - 2^{1 - x}}}</math>

Co bardzo dobrze widzimy na wykresie

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-1.png|550px|none]]

Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> (zobacz [[#R27|R27]]) dla <math>x \geqslant 1</math> możemy napisać

::<math>\zeta (- x) = - 2^{- x} \pi^{- x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)</math>

Wiemy, że dla <math>x = 2</math> mamy <math>\zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} \approx 1.644934</math><ref name="Problembazylejski1"/>. Widzimy, że o zachowaniu funkcji <math>\zeta (x)</math> w przedziale <math>(- \infty, - 1]</math> decydują pozostałe czynniki, bo <math>\zeta (1 + x)</math> jest niewielką liczbą z przedziału <math>(1, 1.65)</math>.

::<math>\zeta (- x) = - {\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right)</math>

Ponieważ <math>\Gamma (1 + x) \sim \sqrt{2 \pi x} \cdot x^x e^{- x}</math> dla dużych <math>x</math>, to dla dużych <math>x</math> mamy <math>{\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \sim \sqrt{{\small\frac{2 x}{\pi}}} \cdot \left( {\small\frac{x}{2 \pi e}} \right)^x</math>. Co oznacza stały wzrost amplitudy oscylacji dla dużych ujemnych liczb rzeczywistych.

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-2.png|600px|none]]

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

Gdy <math>x > 1</math> funkcję dzeta definiujemy następująco

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

Wiemy, że dla <math>x > 1</math> jest

::<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

(zobacz [[#R21|R21]]). Zatem w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \rightarrow 1^+} \left[ 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}} \right] = + \infty</math>

Skąd wynika, że

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) = + \infty</math>

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica lewostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^-}</math>

Dla <math>x < 1</math> korzystamy ze wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>

Dla <math>x</math> rzeczywistych mamy

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{2^x}{2^x - 2}} \cdot \eta (x)</math>

Z zadania [[#R20|R20]] otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \eta (x) = \eta (1)</math>. Wiemy też, że <math>\eta (1) = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Łatwo widzimy, że w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^-</math>, mianownik ułamka <math>{\small\frac{2^x}{2^x - 2}}</math> dąży do zera przez wartości mniejsze od zera, zatem

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R35 
Wszystkie wzory pozwalające wyjść poza obszar <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> zawdzięczamy przełomowej pracy<ref name="Riemann1"/> Bernharda Riemanna z 1859 roku. Była to jego jedyna publikacja z zakresu teorii liczb. W swojej pracy Riemann

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Potraktował zmienną <math>z</math> jako liczbę zespoloną, co otworzyło drogę do zastosowania narzędzi analizy zespolonej.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Udowodnił, że funkcję zdefiniowaną pierwotnie tylko dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> można przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną (z jedynym punktem rozbieżności w <math>z = 1</math>).

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował i udowodnił fundamentalne równanie funkcyjne, ukazujące wewnętrzną symetrię funkcji dzeta względem tzw. prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Pokazał, że rozkład liczb pierwszych jest bezpośrednio związany z miejscami zerowymi funkcji <math>\zeta (z)</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował słynną hipotezę Riemanna, która stwierdza, że wszystkie nietrywialne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą dokładnie na prostej krytycznej, czyli <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Sprawdzono<ref name="PlattTrudgian2"/>, że wszystkie zera postaci <math>z = x + i y</math> dla <math>0 < y \leqslant 3 \cdot 10^{12}</math> mają <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
Poniżej mamy wykres funkcji <math>{\small\frac{1}{| \zeta (z) |}}</math>. Ostre piki odpowiadają pierwszym pięciu nietrywialnym zerom funkcji zeta <math>z_k = {\small\frac{1}{2}} + i y_k</math>, gdzie <math>y_1 \approx 14.13</math>, <math>y_2 \approx 21.02</math>, <math>y_3 \approx 25.01</math>, <math>y_4 \approx 30.42</math>, <math>y_5 \approx 32.94</math>.
::[[File:dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png|800px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R36 
Podstawowe własności funkcji <math>\zeta (z)</math>.

'''1. Miejsca zerowe'''

:*&emsp; trywialne: <math>\zeta (- 2 k) = 0 \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>

:*&emsp; nietrywialne: <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \pm i y_k \right) = 0 \qquad</math> gdzie <math>y_1 \approx 14.1347</math>, <math>y_2 \approx 21.0220</math>, <math>y_3 \approx 25.0108</math>, <math>y_4 \approx 30.4248</math>, <math>y_5 \approx 32.9350</math>, <math>y_6 \approx 37.5861</math>, <math>\ldots</math>

'''2. Wartości dla nieujemnych liczb parzystych'''

::<math>\zeta (2 k) = {\small\frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}} \qquad</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (2) = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, <math>\zeta (4) = {\small\frac{\pi^4}{90}}</math>, <math>\zeta (6) = {\small\frac{\pi^6}{945}}</math>, <math>\zeta (8) = {\small\frac{\pi^8}{9450}}</math>, <math>\zeta (10) = {\small\frac{\pi^{10}}{93555}}</math>

'''3. Wartości dla ujemnych liczb całkowitych'''

::<math>\zeta (- k) = - {\small\frac{B_{k + 1}}{k + 1}} \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 3) = {\small\frac{1}{120}}</math>, <math>\zeta (- 5) = - {\small\frac{1}{252}}</math>, <math>\zeta (- 7) = {\small\frac{1}{240}}</math>

'''4. Inne szczególne wartości i punkty'''

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \approx - 1.4603</math>, <math>\zeta (1) = \infty</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{3}{2}} \right) \approx 2.6123</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{5}{2}} \right) \approx 1.3414</math>, <math>\zeta (3) \approx 1.2020</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{7}{2}} \right) \approx 1.1267</math>

'''5. Ważne granice'''

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow - \infty} | \zeta (z) | = + \infty \qquad\quad\,</math> (granica dla <math>\zeta (z)</math> nie istnieje, ponieważ funkcja wpada w nieograniczone oscylacje)

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty \qquad\qquad\quad\:\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) = + \infty \qquad\qquad\quad\;\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} \zeta (z) = \infty \qquad\qquad\qquad\;\;\;</math> (ogólna granica zespolona)

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} \left( \zeta (z) - {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = \gamma \qquad</math> gdzie <math>\gamma \approx 0.5772</math> jest stałą Eulera

Uwaga R37 
Mówimy o miejscach zerowych '''trywialnych''', ponieważ ich istnienie wynika bezpośrednio z samej struktury równania funkcyjnego

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Dla każdej ujemnej liczby parzystej człon <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math> zeruje się, podczas gdy pozostałe elementy wzoru przyjmują skończone wartości (zobacz też zadanie [[#R30|R30]]).

Wszystkie pozostałe ('''nietrywialne''') miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą wewnątrz tzw. pasa krytycznego <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math>. Słynna hipoteza Riemanna zakłada, że leżą one dokładnie na jego środku – czyli na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Udowodnienie tego faktu jest jednym z najtrudniejszych wyzwań w historii matematyki.

Zadanie R38 
Pokazać, że <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\bar{z})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.1).

Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:

Dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\overline{(k^z)}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right)} = \frac{1}{1 - 2^{1 - \bar{z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Zauważmy, że dla <math>\operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\operatorname{Re}(1 - z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right)} = \overline{(2^z)} \cdot \overline{\pi^{z - 1}} \cdot \overline{\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)} \cdot \overline{\Gamma (1 - z)} \cdot \overline{\zeta (1 - z)} = 2^{\bar{z}} \pi^{\bar{z} - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi \bar{z}}{2}} \right) \Gamma (1 - \bar{z}) \zeta (1 - \bar{z}) = \zeta (\bar{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.2 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3 oraz udowodnionych wyżej przypadków. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Wykres funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej ==

Uwaga R39 
Wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> zależą tylko od jednej zmiennej <math>t</math>. Oczywiście <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math> są wartościami zespolonymi, a ich obrazem na płaszczyźnie zespolonej będzie pewna krzywa. Wiemy, że

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 / 2 - i t}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 2 + i t}}}</math>

ale z tego wzoru możemy policzyć co najwyżej kilka punktów. Do sporządzenia wykresów takich, jak te niżej, korzystamy z zaimplementowanej w systemach obliczeniowych funkcji <math>\zeta (z)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-0-do-43.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-0-do-17.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż więcej wykresów|Hide=Ukryj więcej wykresów}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-17-do-22.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-22-do-27.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-27-do-32.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-32-do-37.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-37-do-40.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-40-do-43.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>Z(t)</math> Riemanna-Siegla ==

Zadanie R40 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że funkcję

::<math>\chi (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

określoną dla <math>z \neq 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, można równoważnie zapisać w postaci

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Funkcja <math>\Gamma (z)</math> nie jest określona dla <math>z = - n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Zatem funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> nie jest określona dla <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ale wyrażenie <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z)</math> dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ma dobrze określoną granicę skończoną. Istotnie, korzystając ze wzoru [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5 i stosując regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \right]
= \lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)} \cdot {\normalsize\frac{\pi}{\Gamma (z)}}} \right]
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)}}
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi \cdot \cos (\pi z)}}
= (- 1)^k \cdot {\small\frac{\pi}{2 (2 k - 1) !}}</math>
</div>

Podobnie funkcja <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math> nie jest określona dla <math>z = 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i w tych punktach drugi wzór ucieka do nieskończoności. W efekcie obie funkcje mają identyczną dziedzinę: <math>\mathbb{C} \setminus \{2 n + 1 : n \in \mathbb{N}_0 \}</math>.

Korzystając ze wzoru Legendre'a na podwajanie

::<math>\Gamma \! \left( 2 z \right) = 2^{2 z - 1} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad\qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

mamy

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) = \Gamma \! \left( 2 \cdot {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) \qquad\qquad (\ast)</math>

Podstawiając <math>z \mapsto {\small\frac{z}{2}}</math> we wzorze na dopełnienie funkcji gamma (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5)

::<math>\Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad\qquad z \notin \mathbb{Z}</math>

dostajemy

::<math>\Gamma \! \left( {\small\frac{z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) = {\normalsize\frac{\pi}{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}} \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Dzieląc stronami równania <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math>

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} = {\normalsize\frac{2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}
= 2^z \pi^{1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= 2^z \pi^{- 1 / 2} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

Skąd wynika, że

::<math>\pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}
= 2^z \pi^{z - 1} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= \chi (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R41 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> moduł funkcji <math>\chi (z)</math> jest równy <math>1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ (zobacz [[#R40|R40]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> mamy (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Zatem

::<math>\left| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right| = 1</math>

bo <math>| \pi^{i t} | = | e^{i t \cdot \log \pi} | = 1</math> oraz <math>| \overline{z} | = | z |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R42 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> funkcja

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

jest rzeczywista.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R41|R41]] pokazaliśmy, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> jest <math>| \chi (z) | = 1</math>. Niech <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>. Mamy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)}</math>

gdzie <math>\varphi (t)</math> jest pewnym kątem.

Ponieważ

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right) = \zeta \left( \overline{ {\small\frac{1}{2}} + i t } \right) = \overline{ \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) }</math>

to z równania funkcyjnego dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

::<math>\zeta (z) = \chi (z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right)</math>

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t) / 2} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \overline{e^{- i \varphi (t) / 2}} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

Zatem funkcja

::<math>Z(t) = e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \theta (t)} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie <math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} i \varphi (t)</math>, jest rzeczywista.

Ponieważ (zobacz [[#R40|R40]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>, otrzymujemy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \log \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \log \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

Zatem

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.

Niżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math>. Użyliśmy specyficznego wykresu biegunowego z odległością wyskalowaną logarytmicznie i początkiem w punkcie <math>r = 10^{- 6}</math>.

::[[File:gamma-skala-logarytmiczna.png|700px|none]]

Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

możemy zapisać w postaci

::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

::[[File:log-gamma.png|700px|none]]

Analizując gładki przebieg wykresu na rysunku, należy zauważyć, że część urojona płynnie rośnie i nie ogranicza się do przedziału od <math>- \pi</math> do <math>\pi</math>, czego moglibyśmy się spodziewać. Jednak nie realizujemy w tym przypadku prostego obliczania logarytmu funkcji gamma, co dla przykładu zapisalibyśmy w PARI/GP jako <code>log(gamma(1/4 + I*t/2))</code>, lecz używamy specjalnej funkcji do wyliczenia tego logarytmu (w środowisku PARI/GP byłaby to funkcja <code>lngamma(1/4 + I*t/2)</code>). Algorytm tej funkcji został napisany tak, aby dla każdego punktu <math>t</math> wyliczany był prawdziwy, narastający argument, odpowiadający narastającemu argumentowi funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math>. Narastanie argumentu funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math> było bardzo dobrze widoczne na poprzednim wykresie, ale w przypadku logarytmu już tak nie jest i dlatego kwestia ta wymagała wyjaśnienia. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R43 
Funkcje

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

i

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R42|R42]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \log t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\log \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

A przebieg funkcji <math>\theta (t)</math> widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-theta-function.png|700px|none]]

Ponieważ <math>e^{i \theta (t)} \neq 0</math>, to funkcja rzeczywista <math>Z(t)</math> i zespolona <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math> zerują się dokładnie w tych samych miejscach. Oczywiście szukanie miejsc zerowych funkcji rzeczywistej jest znacznie łatwiejsze niż szukanie miejsc zerowych funkcji zespolonej i dokładnie dlatego funkcja <math>Z(t)</math> została skonstruowana. Konsekwentnie mamy <math>| Z (t) | = \left| \zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right) \right|</math>, co najlepiej widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-Z-function.png|1000px|none]]

gdzie dodatnia część rzeczywistej funkcji <math>Z(t)</math> pokrywa się z modułem zespolonej funkcji <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math>.

== Przedstawienie funkcji <math>\zeta (z)</math> w postaci iloczynu nieskończonego ==

Twierdzenie R44 (Leonhard Euler, 1737) 
Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - {\small\frac{1}{p^z}}}</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy (zobacz [[#R16|R16]]), że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny. Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> możemy napisać

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j)^z}} + \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}}</math>

Z zadania [[#R14|R14]] wynika, że oba szeregi po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne. Łatwo widzimy, że

::<math>{\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = {\small\frac{1}{2^z}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zatem

::<math>\zeta (z) - {\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 3)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

Widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>2</math>.

Ponownie łatwo zauważamy, że

::<math>{\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{3^z}} \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 j + 3)^z}}</math>

Zatem

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) - {\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>3</math>.

Postępując mniej formalnie możemy napisać

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + \ldots</math>

Jednocześnie

::<math>{\small\frac{1}{5^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + {\small\frac{1}{55^z}} + {\small\frac{1}{65^z}} + {\small\frac{1}{85^z}} + {\small\frac{1}{95^z}} + {\small\frac{1}{115^z}} + {\small\frac{1}{125^z}} + \ldots</math>

Zatem obliczając różnicę, dostajemy

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + \ldots</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>5</math>.

Jeśli będziemy powtarzali tę operację dla kolejnych liczb pierwszych, to po prawej stronie zostaną usunięte wszystkie ułamki (ponieważ każda liczba naturalna większa od 1 dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą) i zostanie nam tylko liczba 1

::<math>\ldots \left( 1 - {\small\frac{1}{7^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1</math>

Co możemy zapisać w postaci

::<math>\left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right] \cdot \zeta (z) = 1</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych. Czyli

::<math>\zeta (z) = \left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right]^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right)^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - \tfrac{1}{p^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R45 
Pokazać, że układ równań

::<math>\begin{cases}
\; | 1 - p^z | = 1 + | p^z | \\
\; | 1 - q^z | = 1 + | q^z | \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>p, q</math> są różnymi liczbami pierwszymi, nie ma rozwiązania.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy pierwsze równanie – wnioski dla drugiego będą analogiczne. Dla liczb zespolonych <math>w_1, w_2</math> prawdziwa jest nierówność trójkąta (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.6)

::<math>| w_1 + w_2 | \leqslant | w_1 | + | w_2 |</math>

Równość <math>| w_1 + w_2 | = | w_1 | + | w_2 |</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby <math>w_1, w_2</math> leżą na tej samej półprostej o początku w punkcie <math>w = 0</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]]). Jeśli przyjmiemy <math>w_1 = 1</math>, to liczba <math>w_2 = - p^z</math> musi być rzeczywista i nieujemna. Zatem musi być <math>p^z \leqslant 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>, możemy teraz warunek <math>p^z \leqslant 0</math> zapisać w postaci

::<math>p^z = e^{(x + i y) \cdot \ln (p)} = e^{x \cdot \ln (p)} \cdot e^{i y \cdot \ln (p)} = p^x \cdot (\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p)) \leqslant 0</math>

Ponieważ <math>p^x > 0</math>, to otrzymujemy

::<math>\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p) \leqslant 0</math>

Liczba <math>p^z</math> musi być liczbą rzeczywistą, zatem <math>\sin (y \cdot \ln p) = 0</math>, czyli <math>\cos (y \cdot \ln p) = \pm 1</math> i, aby była spełniona wypisana nierówność, musi być <math>\cos (y \cdot \ln p) = - 1</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>y \cdot \ln p = (2 m_p + 1) \pi</math>

gdzie <math>m_p \in \mathbb{Z}</math>. Zatem z rozważanego równania wynika ograniczenie na możliwe wartości <math>y</math>

::<math>y = {\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}}</math>

Z drugiego równania dostajemy analogiczne ograniczenie

::<math>y = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, to

::<math>{\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}} = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

::<math>(2 m_p + 1) \cdot \ln q = (2 m_q + 1) \cdot \ln p</math>

::<math>\ln (q^{(2 m_p + 1)}) = \ln (p^{(2 m_q + 1)})</math>

::<math>q^{(2 m_p + 1)} = p^{(2 m_q + 1)}</math>

Powyższa równość zachodzi tylko w przypadku, gdy <math>2 m_p + 1 = 2 m_q + 1 = 0</math>, ale jest to niemożliwe, bo obie liczby są liczbami nieparzystymi. Zatem nie istnieje wspólna wartość <math>y</math>, a to oznacza, że układ równań nie posiada rozwiązania <math>z \in \mathbb{C}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R46 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> i <math>z = x + i y</math>. Korzystając ze wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

pokazać, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 1em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. – oszacowanie od góry'''

Zauważmy, że dla <math>x > 1</math> i <math>p \geqslant 2</math> mamy <math>p^{- x} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{p}} \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>| 1 - p^{- z} | \geqslant | | 1 | - | p^{- z} | | = | 1 - p^{- x} | = 1 - p^{- x}</math>

Korzystając z powyższej nierówności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} \leqslant \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} = \zeta (x)</math>

'''Punkt 1. – oszacowanie od dołu'''

Zauważmy, że

::<math>| 1 - p^{- z} | \leqslant | 1 | + | p^{- z} | = 1 + p^{- x} = {\small\frac{(1 + p^{- x}) (1 - p^{- x})}{1 - p^{- x}}} = {\small\frac{1 - p^{- 2 x}}{1 - p^{- x}}}</math>

Z zadania [[#R45|R45]] wynika, że równość <math>| 1 - p^{- z} | = | 1 | + | p^{- z} |</math> może zachodzić dla co najwyżej jednej liczby pierwszej <math>p</math>, co oznacza, że dla pozostałych liczb pierwszych powyższa nierówność musi być ostra. Zatem dostajemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} > \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1 - p^{- x}}{1 - p^{- 2 x}}} = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- 2 x}}} \cdot \prod_{p \geqslant 2} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = \zeta (2 x) \cdot \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \operatorname{Log} \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z})</math>

Ponieważ

::<math>| p^{- z} | = p^{- \operatorname{Re}(z)} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{2}}</math>

to możemy wykorzystać fakt, że dla <math>| w | < 1</math> funkcję <math>\operatorname{Log} (1 - w)</math> można rozwinąć w zbieżny szereg postaci

::<math>\operatorname{Log} (1 - w) = - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{w^k}{k}} = - w - {\small\frac{w^2}{2}} - {\small\frac{w^3}{3}} - {\small\frac{w^4}{4}} - {\small\frac{w^5}{5}} - \ldots</math>

Otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z}) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 3.'''

Z punktu 2. wiemy, że

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{p^{- k z}}{k}} = {\small\frac{p^{- k (x + i y)}}{k}} = {\small\frac{p^{- k x - i k y}}{k}} = {\small\frac{p^{- i k y}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{e^{- i k y \cdot \ln (p)}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

to możemy napisać

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Korzystając ze wzoru <math>\ln | z | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.1), otrzymujemy

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>

:::::<math>\;\;\;\;\,\, = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Zera funkcji <math>\zeta (z)</math> ==

Twierdzenie R47 
Funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera dla wszystkich <math>z</math> spełniających warunek <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) > 1}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R46|R46]] p.1)

::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R21|R21]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

Skoro <math>| \zeta (x + i y) | \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
[[File:dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png|850px|none]] 
[[File:dzeta-odwrotnosc.png|850px|none]]
□
{{\Spoiler}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) = 1}</math>

Fakt, że funkcja dzeta Riemanna nie posiada miejsc zerowych na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math>, udowodnili w 1896 roku niezależnie od siebie dwaj matematycy: Jacques Hadamard<ref name="Hadamard1"/> i Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref name="Poussin1"/>. Pomysł wykorzystania do dowodu nierówności <math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math> jest późniejszy i pochodzi od Franciszka Mertensa<ref name="Mertens1"/>.

Zauważmy, że

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math>

bo

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) = 3 + 4 \cos (\theta) + 2 \cos^2 (\theta) - 1 = 2 (1 + \cos (\theta))^2 \geqslant 0</math>

Korzystając ze wzoru

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

łatwo wyliczamy, że

::<math>3 \ln | \zeta (x) | + 4 \ln | \zeta (x + i y) | + \ln | \zeta (x + 2 i y) | = \sum_p \sum_{m = 1}^{\infty} {\small\frac{3 + 4 \cos (m y \cdot \ln (p)) + \cos (2 m y \cdot \ln (p))}{m \cdot p^{m x}}}</math>

Ponieważ prawa strona jest sumą liczb nieujemnych, to

::<math>\ln (| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) |) \geqslant 0</math>

Czyli

::<math>| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) | \geqslant 1</math>

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma zero na linii <math>x = 1</math> w punkcie <math>1 + i y_0</math> (gdzie <math>y_0 \neq 0</math>) i rozważmy funkcję

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

określoną dla <math>x > 1</math>. Zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem dla <math>x > 1</math> jest <math>f(x) \geqslant 1</math>. Zatem granica <math>\lim_{x \to 1^+} f (x)</math> – o ile istnieje – musi być większa lub równa 1.

Z drugiej strony wiemy, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math> (zobacz [[#R25|R25]]). Wiemy też, że <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Zatem istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{\zeta (z) - \zeta (z_0)}{z - z_0}} = \zeta'(z_0)</math>

Przekształćmy funkcję <math>f(x)</math> tak, abyśmy mogli łatwo policzyć granicę, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>. Mamy

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

:::<math>\;\;\, = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \qquad\qquad</math> (możemy tak napisać, bo założyliśmy, że <math>\zeta (1 + i y_0) = 0</math>)

:::<math>\;\;\, = | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

Ponieważ <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w otoczeniu punktów <math>1 + i y_0</math> oraz <math>1 + 2 i y_0</math> (bo <math>y_0 \neq 0</math>), granice poszczególnych czynników są skończone. Zatem[a]

::<math>\lim_{x \to 1^+} f (x) = \lim_{x \to 1^+} \left\{ | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \right\}</math>

:::::<math>= \{ \lim_{x \to 1^+} | (x - 1) \zeta (x) |^3 \} \cdot \left\{ \lim_{x \to 1^+} \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} | \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= \{ | \lim_{x \to 1^+} [(x - 1) \zeta (x)] |^3 \} \cdot \left\{ \left| \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ | \lim_{x \to 1^+} \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= 1^3 \cdot | \zeta' (1 + iy_0) |^4 \cdot 0 \cdot | \zeta (1 + 2 iy_0) | = 0</math>

Uzyskany wynik stoi w sprzeczności z warunkiem <math>\lim_{x \to 1^+} f (x) \geqslant 1</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Korzystamy z twierdzenia o granicy funkcji złożonej

Jeżeli istnieje skończona granica <math>\lim_{z \to z_0} g (z) = c</math> i funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>c</math>, to

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z)) = f (c)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R48 
Pokazać, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, to punkt <math>z = 0</math> możemy wykluczyć z naszych rozważań. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje takie <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, że <math>\zeta (z_0) = 0</math>.

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Oczywiście <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, nie jest elementem zbioru <math>\{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Jeśli tak, to możemy napisać

::<math>\zeta (1 - z_0) = \zeta (1 - i y_0) = 0</math>

Wbrew twierdzeniu [[#R47|R47]], w którym pokazaliśmy, że na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie było fałszywe. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R49 
Jedyne miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> poza pasem <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math> to <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy już, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math> i dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math> (zobacz [[#R47|R47]] i [[#R48|R48]]). Do zbadania, jak zachowuje się funkcja <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, wykorzystamy równanie funkcyjne Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R47|R47]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R50 
Niech <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Jeżeli <math>z_0</math> jest miejscem zerowym funkcji <math>\zeta (z)</math>, to funkcja <math>\zeta (z)</math> zeruje się też w punktach <math>\overline{z_0}</math> i <math>1 - z_0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ponieważ <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\overline{z})</math> (zobacz [[#R38|R38]]) i z założenia <math>\zeta (z_0) = 0</math>, to

::<math>0 = \zeta (z_0) \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad 0 = \overline{\zeta (z_0)} = \zeta (\overline{z_0})</math>

Zatem <math>\overline{z_0}</math> jest miejscem zerowym funkcji dzeta.

'''Punkt 2.'''

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Ponieważ z założenia <math>\operatorname{Re}(z_0) \in (0, 1)</math>, to <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \neq 0</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R51 
Niech <math>\zeta (z_0) = 0</math>, gdzie <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Z twierdzenia [[#R50|R50]] wynika, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z_0) \neq {\small\frac{1}{2}}</math>, to istnieją trzy dodatkowe miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math>. Wypisując wszystkie cztery, mamy: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>, <math>1 - z_0</math>, <math>1 - \overline{z_0}</math>. W przypadku, gdy <math>\operatorname{Re}(z_0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, istnieje jedno dodatkowe miejsce zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> i tym razem mamy tylko: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>.

== Uzupełnienie ==

Twierdzenie R52* (o jednoznaczności różniczkowalnych funkcji zespolonych) 
Jeżeli funkcje zespolone <math>f</math> i <math>g</math> są różniczkowalne w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i są sobie równe w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z) = g (z)</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Twierdzenie R53* 
Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f(z) = 0</math> w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f (z) = 0</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Zadanie R54 
Udowodnić równoważność twierdzeń [[#R52|R52]] i [[#R53|R53]].

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''R52''' <math>\; \Large{\Longrightarrow} \;</math> '''R53''' 
Niech <math>f : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różniczkowalna w obszarze <math>D</math> oraz niech <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>.

Niech <math>g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie funkcją stałą taką, że <math>g(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>g(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcje <math>f, g</math> spełniają założenia twierdzenia [[#R52|R52]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>f(z) = g (z) \qquad \text{i} \qquad g(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = 0</math>

Co należało pokazać.

'''R52''' <math>\; \Large{\Longleftarrow} \;</math> '''R53''' 
Niech funkcje <math>f, g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będą różniczkowalne w <math>D</math> i równe w <math>E</math>.

Niech <math>h : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różnicą funkcji <math>f</math> i <math>g</math>: <math>h(z) = f (z) - g (z)</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>h(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>h(z) = f (z) - g (z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcja <math>h</math> spełnia założenia twierdzenia [[#R53|R53]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>h(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) - g (z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = g (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R55 
Twierdzenia [[#R52|R52]] i [[#R53|R53]] rodzą niezwykłe konsekwencje, które nie mają żadnych odpowiedników dla różniczkowalnych funkcji rzeczywistych. Niżej podamy kilka z nich.

Zadanie R56 
Pokazać, że jeżeli funkcja zespolona <math>f</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f</math> jest funkcją stałą w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z)</math> jest funkcją stałą dla wszystkich <math>z \in D</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>f(z) = c</math> dla każdego <math>z \in E</math>, gdzie <math>c</math> jest pewną liczbą zespoloną. Funkcja stała <math>g(z) = c</math> jest określona i różniczkowalna na całej płaszczyźnie <math>\mathbb{C}</math>, zatem <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>. Na mocy twierdzenia [[#R52|R52]] <math>f(z) = g (z) = c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Zauważmy, że z twierdzenia [[#R52|R52]] wynika znacznie więcej: jeżeli <math>f(z)</math> jest funkcją stałą na dowolnym, nawet bardzo małym odcinku, to jest stała w całym obszarze <math>D</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R57 
Niech <math>f(z)</math> będzie funkcją różniczkowalną w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math> i w pewnym punkcie <math>z_0 \in D</math> mamy <math>f(z_0) = c</math>, to istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że nie istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> musi istnieć taki punkt <math>z_{\varepsilon} \in \mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>, że <math>f (z_{\varepsilon}) = c</math> .

Weźmy ciąg <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math> dla <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.

Stwierdzamy, że

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_1 = 1</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, 1)</math> istnieje taki punkt <math>z_1</math>, że <math>f(z_1) = c</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{1}{2}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{2}})</math> istnieje taki punkt <math>z_2</math>, że <math>f(z_2) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{n}})</math> istnieje taki punkt <math>z_n</math>, że <math>f(z_n) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

Widzimy, że dla ciągu punktów <math>(z_n)</math> prawdziwy jest układ nierówności

::<math>0 < |z_n - z_0 | < {\small\frac{1}{n}}</math>

Z twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA24|ZA24]] i [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA21|ZA21]] p.2 otrzymujemy, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} |z_n - z_0 | = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z_0</math>

Ponieważ <math>f(z_n) = c</math>, gdzie <math>(z_n)</math> jest ciągiem zbieżnym do punktu <math>z_0 \in D</math>, to na mocy twierdzenia o jednoznaczności funkcja <math>f(z)</math> musi być funkcją stałą równą <math>c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Wbrew założeniu, że funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład R58 
Sformułowanie twierdzenia [[#R53|R53]] jest prostsze i dzięki temu natychmiast staje się widoczna przepaść między różniczkowalnością funkcji rzeczywistych a różniczkowalnością funkcji zespolonych. Przykładowo, funkcja

::<math>f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x \leqslant 0 \\
e^{- 1 / x} & \text{gdy } x > 0 \\
\end{cases}</math>

jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale z faktu, że jest równa zero dla <math>x</math> ujemnych, nic nie wynika. Zupełnie inaczej jest dla funkcji zespolonych – żądanie, aby funkcja była różniczkowalna, ''usztywnia'' funkcję w całej dziedzinie.

Zadanie R59 
Pokazać, że <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy funkcję <math>f(z) = \sin^2 \! z + \cos^2 \! z - 1</math> określoną i różniczkowalną na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech <math>E = (0, 1)</math> będzie otwartym odcinkiem na osi rzeczywistej. Wiemy, że dla każdego <math>z = x \in E</math> (czyli dla liczb rzeczywistych) jest

::<math>f(x) = \sin^2 \! x + \cos^2 \! x - 1 = 0</math>

Ponieważ funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna na <math>D</math> i zeruje się na <math>E</math>, to z twierdzenia [[#R53|R53]] <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>. Przenosząc jedynkę na prawą stronę, otrzymujemy dowodzoną tożsamość <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R60 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli istnieje funkcja <math>g : V \to \mathbb{C}</math> taka, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g</math> jest różniczkowalna w całym obszarze <math>V</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>

to powiemy, że funkcja <math>g</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>.

Zadanie R61 
Znaleźć przedłużenie analityczne funkcji <math>f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math> jest szeregiem geometrycznym zbieżnym w kole <math>| z | < 1</math>. Niech <math>U = \{ z : | z | < 1 \}</math>. Zatem funkcja <math>f</math> jest określona i różniczkowalna w <math>U</math>.

Rozważmy teraz funkcję <math>g(z) = {\small\frac{1}{1 - z}}</math>. Funkcja <math>g</math> jest określona w <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math> i różniczkowalna w <math>V</math>.

Wiemy, że <math>f(z) = g (z)</math> w obszarze <math>U</math>.

Wynika stąd, że funkcja <math>g(z)</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f(z)</math> do obszaru <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R62 (o jednoznaczności przedłużenia analitycznego) 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, to <math>g(z) = h (z)</math> dla każdego <math>z \in V</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, zatem z definicji są różniczkowalne w <math>V</math> oraz <math>g(z) = f (z)</math> i <math>h(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>, skąd wynika, że <math>g(z) = h (z)</math> w obszarze <math>U</math>. Z twierdzenia [[#R52|R52]] o jednoznaczności funkcji zespolonych otrzymujemy, że funkcje <math>g(z)</math> i <math>h(z)</math> są równe w całym obszarze <math>V</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of some functions over primes without R.H.'', (2010), ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', Ramanujan Journal, 45 (1) (January 2018), pp. 225-234.</ref>

<ref name="PlattTrudgian1">David Platt and Tim Trudgian, ''On the first sign change of ''<math>\theta ( x ) - x</math>, Mathematics of Computation, Vol. 85 (299) (2016), pp. 1539-1547</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

<ref name="Baselproblem1">Wikipedia, ''Basel problem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Generalizations_of_Euler's_method_using_elementary_symmetric_polynomials Wiki-en])</ref>

<ref name="Problembazylejski1">Wikipedia, ''Problem bazylejski'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680, ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf Link1‑de]), ([https://www.emis.de/classics/Riemann/Zeta.pdf Link2‑de]), ([https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf Link3‑en])</ref>

<ref name="PlattTrudgian2">David Platt and Tim Trudgian, ''The Riemann hypothesis is true up to'' <math>3 \cdot 10^{12}</math>, Bull. London Math. Soc., 53, (2021), pp. 792-797. ([https://arxiv.org/abs/2004.09765 LINK])</ref>

<ref name="RiemannSiegelZfunction1">Wikipedia, ''Z function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Z_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelThetaFunction1">Wikipedia, ''Riemann–Siegel theta function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelFunctions1">Wolfram MathWorld, ''Riemann-Siegel Functions'', ([https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html Wolfram])</ref>

<ref name="Hadamard1">Jacques Hadamard, ''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24 (1896), pp. 199-220, ([https://www.numdam.org/item/BSMF_1896__24__199_1 LINK])</ref>

<ref name="Poussin1">Charles-Jean de La Vallée Poussin, ''Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers'', Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Vol. 20 (1896), pp. 183–256, ([https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up LINK])</ref>

<ref name="Mertens1">Franz Mertens, ''Über eine Eigenschaft der Riemann'schen <math>\zeta</math>-Function'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Vol. 107 (1898), pp. 1429–1434, ([https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb11857678?q=%281898++Sitzungsberichte+der+Mathematisch-Naturwissenschaftlichen+Classe+der+Kaiserlichen+Akademie+der+Wissenschaften%29&page=1486,1487 LINK])</ref>

</references>

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

2026-09-14T14:05:53Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">06.04.2025</div>

__FORCETOC__

== Liczby zespolone ==

Definicja ZA1 
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\overline{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.

Uwaga ZA2 

Niech <math>z_1 = a + i b</math>, <math>z_2 = c + i d</math>. Czytelnik łatwo pokaże, że

::'''1.'''      <math>z_1 + z_2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)</math>

::'''2.'''      <math>z_1 \cdot z_2 = (a + i b) \cdot (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c)</math>

::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

::'''4.'''      <math>\overline{(\overline{z})} = z</math>

::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>

::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>

::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\overline{z}}}</math>

::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \overline{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \overline{z}}{2 i}}</math>

Definicja ZA3 
Niech <math>z = x + i y</math>. Liczbę <math>r = \sqrt{x^2 + y^2} = | z |</math> nazywamy modułem liczby zespolonej <math>z</math>. Jeżeli <math>z \neq 0</math>, to liczbę <math>\varphi</math> spełniającą układ równań

::<math>\begin{cases}
x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi \\
\end{cases}</math>

nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math>, co będziemy zapisywali jako <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.

Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.

Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa dla dowolnego <math>z</math> tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).

::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]

Twierdzenie ZA4 
Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy

::'''  1.'''      <math>| \overline{z} | = | z |</math>

::'''  2.'''      <math>| \operatorname{Re}(z) | \leqslant | z | \qquad \qquad | \operatorname{Im}(z) | \leqslant | z |</math>

::'''  3.'''      <math>| z |^2 = z \overline{z}</math>

::'''  4.'''      <math>| z_1 z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 |</math>

::'''  5.'''      <math>\left| {\small\frac{1}{z}} \right| = {\small\frac{1}{| z |}}</math>

::'''  6.'''      <math>| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \,\,</math> (równość zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]])

::'''  7.'''      <math>\left| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} | z_k |</math>

::'''  8.'''      <math>| | z_1 | - | z_2 | | \leqslant | z_1 - z_2 |</math>

::'''  9.'''      <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

::'''10.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad\qquad \;\;\; z_2 \neq 0</math>

::'''11.'''      <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)

::'''12.'''      <math>\arg \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \arg (z_1) - \arg (z_2) \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)

::'''13.'''      <math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

::'''14.'''      <math>\operatorname{Arg} \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

::'''15.'''      <math>\operatorname{Arg} (z_1) = \operatorname{Arg} (z_2) \qquad\qquad \Longleftrightarrow \qquad\qquad \arg (z_1) = \arg (z_2) + 2 k \pi</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 2.'''

::<math>| z | = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant \sqrt{a^2} = | a | = | \operatorname{Re}(z) |</math>

'''Punkt 4.'''

::<math>| z_1 z_2 | = | (a_1 + i b_1) (a_2 + i b_2) |</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = | a_1 a_2 - b_1 b_2 + i (a_1 b_2 + a_2 b_1) |</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1 a_2 - b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 (a_2)^2 - 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + (b_1)^2 (b_2)^2 + (a_1)^2 (b_2)^2 + 2 a_1 b_2 a_2 b_1 + (b_1)^2 (a_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 (a_2)^2 + (b_1)^2 (b_2)^2 + (a_1)^2 (b_2)^2 + (b_1)^2 (a_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{[(a_1)^2 + (b_1)^2] \cdot [(a_2)^2 + (b_2)^2]}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = \sqrt{(a_1)^2 + (b_1)^2} \cdot \sqrt{(a_2)^2 + (b_2)^2}</math>

:::<math>\;\;\;\:\, = | z_1 | \cdot | z_2 |</math>

'''Punkt 6.'''

Wzór jest prawdziwy w przypadku, gdy <math>z_1 = z_2 = 0</math>. Możemy zatem założyć, że przynajmniej jedna z liczb <math>z_1, z_2</math> jest różna od zera.

::<math>| z_1 + z_2 |^2 = (z_1 + z_2) \overline{(z_1 + z_2)}</math>

::::<math>\;\;\;\;\,\, = (z_1 + z_2) (\overline{z_1} + \overline{z_2})</math>

::::<math>\;\;\;\;\,\, = z_1 \overline{z_1} + z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}</math>

Zauważmy, że

::<math>z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} = z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1 \overline{z_2}} = 2 \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2})</math>

Zatem

::<math>| z_1 + z_2 |^2 = | z_1 |^2 + 2 \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2}) + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant | z_1 |^2 + 2 | z_1 \overline{z_2} | + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant | z_1 |^2 + 2 | z_1 | | z_2 | + | z_2 |^2</math>

:::::<math>\leqslant (| z_1 | + | z_2 |)^2</math>

Wynika stąd, że

::<math>[| z_1 + z_2 | - (| z_1 | + | z_2 |)] \cdot [| z_1 + z_2 | + (| z_1 | + | z_2 |)] \leqslant 0</math>

Czyli

::<math>| z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 7.'''

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 1, 2</math>. Zakładając prawdziwość wzoru dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\left| \sum_{k = 1}^{n + 1} z_k \right| = \left| \left( \sum_{k = 1}^{n} z_k \right) + z_{n + 1} \right|</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \left| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right| + | z_{n + 1} |</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \sum_{k = 1}^{n} | z_k | + | z_{n + 1} |</math>

::::<math>\;\:\, \leqslant \sum_{k = 1}^{n + 1} | z_k |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 8.'''

Z punktu 6. otrzymujemy

::<math>| z_1 | = | z_1 - z_2 + z_2 | \leqslant | z_1 - z_2 | + | z_2 |</math>

::<math>| z_2 | = | z_2 - z_1 + z_1 | \leqslant | z_2 - z_1 | + | z_1 | = | z_1 - z_2 | + | z_1 |</math>

Zatem

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | z_1 | - | z_2 |</math>

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | z_2 | - | z_1 | = - (| z_1 | - | z_2 |)</math>

Zbierając

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant \pm (| z_1 | - | z_2 |)</math>

Czyli

::<math>| z_1 - z_2 | \geqslant | | z_1 | - | z_2 | |</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 9.'''

::<math>z_1 z_2 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \cdot r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>

:::<math>\;\:\, = r_1 r_2 (\cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2 + i (\sin \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 + \cos \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2))</math>

:::<math>\;\:\, = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

'''Punkt 10.'''

::<math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)}{r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot {\small\frac{(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) (\cos \varphi_2 - i \sin \varphi_2)}{(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) (\cos \varphi_2 - i \sin \varphi_2)}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot {\small\frac{\cos \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 + \sin \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2 + i (\sin \varphi_1 \cdot \cos \varphi_2 - \cos \varphi_1 \cdot \sin \varphi_2)}{\cos^2 \varphi_2 + \sin^2 \varphi_2}}</math>

:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2))</math>

'''Punkty 11. i 12.'''

Wzory wynikają natychmiast z punktów 9. i 10. Ponieważ <math>\arg (z)</math> jest określony z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>, to równanie

::<math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>

nie może być określone dokładniej. Zauważmy, że z tego wzoru wynikają stwierdzenia

Jeżeli <math>\arg (z_1)</math> jest argumentem <math>z_1</math> i <math>\arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_2</math>, to <math>\arg (z_1) + \arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>.

Jeżeli <math>\arg (z_1 z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie <math>\arg (z_1)</math> i <math>\arg (z_2)</math>, że <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>.

Analogicznie dla ilorazu liczb zespolonych i różnicy ich argumentów.

'''Punkt 13. i 14.'''

Z definicji argumentu głównego mamy

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) \leqslant \pi \qquad\qquad\qquad\qquad (\ast)</math>

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi \qquad\qquad\qquad\quad \;\;\: (\ast \ast)</math>

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1 z_2) \leqslant \pi</math>

Z p.11 wiemy, że suma <math>\operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2)</math> jest argumentem iloczynu <math>z_1 z_2</math>, ale nie musi być to argument główny. Ze wzorów <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math> widzimy, że

::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>

Zatem możliwe są trzy przypadki

:*&emsp; jeżeli <math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi</math>, to suma argumentów tworzy argument główny liczby <math>z_1 z_2</math> i nie musimy nic robić

:*&emsp; jeżeli <math>\pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy od sumy argumentów odjąć <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

:*&emsp; jeżeli <math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant - \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy do sumy argumentów dodać <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

Zbierając, możemy napisać

::<math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi</math>, gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

Dla dowodu p.14 wystarczy zauważyć, że ze wzorów

::<math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) \leqslant \pi</math>

::<math>- \pi \leqslant - \operatorname{Arg} (z_2) < \pi</math>

Dostajemy oszacowanie

::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) < 2 \pi</math>

Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.

'''Punkt 15.'''

<math>\Large{\Longrightarrow}</math>

Z definicji argumentu ogólnego możemy zapisać:

::<math>\arg (z_1) = \operatorname{Arg} (z_1) + 2 m \pi</math>

::<math>\arg (z_2) = \operatorname{Arg} (z_2) + 2 n \pi</math>

gdzie <math>m, n \in \mathbb{Z}</math>. Zatem

::<math>\arg (z_1) - \arg (z_2) = 2 (m - n) \pi</math>

Czyli różnica <math>\arg (z_1) - \arg (z_2)</math> jest wielokrotnością <math>2 \pi</math>.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że <math>\operatorname{Arg} (z_1) \neq \operatorname{Arg} (z_2)</math>. Mamy

::<math>| \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) | = | \arg (z_1) - 2 m \pi - (\arg (z_2) - 2 n \pi) |</math>

::::::::<math>\, = | (\arg (z_1) - \arg (z_2) - 2 k \pi) + (2 k \pi - 2 m \pi + 2 n \pi) |</math>

::::::::<math>\, = 2 | k - m + n | \pi > 0</math>

Ponieważ <math>k - m + n</math> jest liczbą całkowitą, to musi być <math>2 | k - m + n | \pi \geqslant 2 \pi</math>. Co jest niemożliwe, bo <math>| \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg}
(z_2) | < 2 \pi</math>. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że nasze przypuszczenie było fałszywe. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA5 (Abraham de Moivre, 1707) 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>\varphi = \arg z</math>. Mamy

::<math>z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wzór de Moivre'a jest uogólnieniem wzoru na iloczyn liczb zespolonych (zobacz [[#ZA4|ZA4]] p. 9)

::<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>

Indukcja matematyczna. Wzór de Moivre'a jest prawdziwy dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość wzoru dla <math>n \geqslant 1</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>z^{n + 1} = z^n z</math>

:::<math>\;\;\, = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) \cdot | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

:::<math>\;\;\, = | z |^{n + 1} (\cos (n + 1) \varphi + i \sin (n + 1) \varphi)</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA6 
Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli <math>z^n = w</math>, to powiemy, że <math>z</math> jest pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>w</math>. Liczbę <math>z</math>, dla której <math>\operatorname{Arg} (z) = {\small\frac{\operatorname{Arg} (w)}{n}}</math>, będziemy nazywali wartością główną pierwiastka lub pierwiastkiem głównym.

Zadanie ZA7 
Pokazać, że ze wzoru de Moivre'a wynika następujący wzór na pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>

::<math>z^{1/n} = \sqrt[n]{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right)</math>

gdzie <math>\varphi = \arg z</math>. Zauważmy, że dla <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math> otrzymujemy <math>n</math> różnych pierwiastków <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>w</math> będzie pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>z</math>. Z definicji <math>w^n = z</math>. Jeżeli zapiszemy liczby <math>z</math> i <math>w</math> jako

::<math>z = R (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

::<math>w = r (\cos \theta + i \sin \theta)</math>

to równanie <math>w^n = z</math> możemy zapisać w postaci

::<math>r^n (\cos n \theta + i \sin n \theta) = R (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>

Porównując część rzeczywistą i część urojoną, dostajemy

::<math>r^n \cos n \theta = R \cos \varphi</math>

::<math>r^n \sin n \theta = R \sin \varphi</math>

Mnożąc strony przez siebie, mamy

::<math>r^n R \sin n \theta \cos \varphi = r^n R \cos n \theta \sin \varphi</math>

Skąd dostajemy

::<math>\sin n \theta \cos \varphi - \cos n \theta \sin \varphi = \sin (n \theta - \varphi) = 0</math>

Zatem

::<math>n \theta = \varphi + 2 k \pi</math>

i oczywiście

::<math>r = \sqrt[n]{R}</math>

Wszystkie wartości <math>\theta</math> wynikają z równania

::<math>\theta = {\small\frac{\varphi}{n}} + {\small\frac{2 k \pi}{n}}</math>

gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Pozostałym wartościom <math>k</math> odpowiadają kąty <math>\theta</math>, które różnią się o <math>2 \pi</math> od pewnego wypisanego wyżej kąta <math>\theta</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga ZA8 
Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać

::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{| z |} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) \right]</math>

Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.

Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość

::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

Zadanie ZA9 
Załączone wykresy przedstawiają pierwiastki drugiego, trzeciego i czwartego stopnia z liczb <math>1, - 1, i, - i</math>. Obejrzyj wykresy i wskaż wartości główne odpowiednich pierwiastków. Zauważmy, że liczba <math>- 1</math> '''nie jest''' wartością główną pierwiastka trzeciego stopnia z <math>- 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:Roots-of-plus-1.png|600px|none]]
[[File:Roots-of-minus-1.png|600px|none]]
</div> 
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:Roots-of-plus-i.png|600px|none]]
[[File:Roots-of-minus-i.png|600px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA10 
Obliczyć

::<math>\text{a)} \;\; (1 - i)^{100} \qquad \qquad \text{b)} \;\; z^{1/2} \qquad \qquad \text{c)} \;\; 2^{1/6} \qquad \qquad \text{d)} \;\; (1+i)^{1/4}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
a) Liczbę <math>1 - i</math> możemy zapisać w postaci

::<math>1 - i = \sqrt{2} \left( \cos \left( - {\small\frac{\pi}{4}} \right) + i \sin \left( - {\small\frac{\pi}{4}} \right) \right)</math>

Zatem ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy

::<math>(1 - i)^{100} = \left( \sqrt{2} \right)^{100} (\cos (- 25 \pi) + i \sin (- 25 \pi)) = - 2^{50}</math>

b) Z zadania [[#ZA7|ZA7]] wynika natychmiast, że wszystkie pierwiastki drugiego stopnia z liczby <math>z</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>z^{1/2} = \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{2}} \right)</math>

gdzie <math>\varphi = \arg (z)</math> i <math>k = 0, 1</math>. Zatem są to liczby

::<math>w_1 = \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right)</math>

::<math>w_2 = \sqrt{| z |} \left( \cos \left( {\small\frac{\varphi}{2}} + \pi \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi}{2}} + \pi \right) \right) = \sqrt{| z |} \left( - \cos {\small\frac{\varphi}{2}} - i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right) = - \sqrt{| z |} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{2}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{2}} \right) = - w_1</math>

I takiego wyniku należało oczekiwać.

c) Wszystkie pierwiastki <math>6</math>-tego stopnia z liczby <math>2</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>\sqrt[6]{2} \left( \cos {\small\frac{k \pi}{3}} + i \sin {\small\frac{k \pi}{3}} \right)</math>

gdzie <math>k = 0, 1, 2, 3, 4, 5</math>. Łatwo znajdujemy, że poszukiwanymi pierwiastkami są liczby

::<math>\sqrt[6]{2} \qquad \sqrt[6]{2} \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad \sqrt[6]{2} \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad - \sqrt[6]{2} \qquad \sqrt[6]{2} \left( - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right) \qquad \sqrt[6]{2} \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{i \sqrt{3}}{2}} \right)</math>

d) Ponieważ <math>\operatorname{Arg}(1 + i) = {\small\frac{\pi}{4}}</math>, to liczbę <math>1 + i</math> możemy zapisać w postaci

::<math>1 + i = \sqrt{2} \left( \cos {\small\frac{\pi}{4}} + i \sin {\small\frac{\pi}{4}} \right)</math>

Wszystkie pierwiastki <math>4</math>-tego stopnia z liczby <math>1 + i</math> otrzymujemy ze wzoru

::<math>\sqrt[8]{2} \left( \cos \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) \right)</math>

gdzie <math>k = 0, 1, 2, 3</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład ZA11 
W przypadku liczb zespolonych łatwo jest napisać nierówności, które mają być spełnione, ale trudniej wyobrazić sobie ich rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Ogromnym ułatwieniem jest oprogramowanie WolframAlpha dostępne online. Podamy kilka przykładów.

:*    <math>1 < | z |^2 < 4</math>, czyli <math>\; 1 < x^2 + y^2 < 4</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+1%3C+%7Cx%7C%5E2%2B%7Cy%7C%5E2%3C4 WolframAlpha])

:*    <math>| z |^2 < 1 \;</math> i <math>\; \operatorname{Im}(z) > 0</math>, czyli <math>\; x^2 + y^2 < 1 \;</math> i <math>\; y > 0</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3C1+and+y%3E0 WolframAlpha])

:*    <math>| z |^2 < 1 \;</math> i <math>\; \operatorname{Im}(z) > \operatorname{Re}(z)</math>, czyli <math>\; x^2 + y^2 < 1 \;</math> i <math>\; y > x</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+x%5E2%2By%5E2%3C1+and+y%3Ex WolframAlpha])

:*    <math>| z | = \arg (z)</math>, czyli <math>\; r = \varphi</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=polar+plot+r%3Dphi WolframAlpha])

:*    <math>| z | = 1 + \cos (\operatorname{Arg}(z))</math>, czyli <math>\; r = 1 + \cos \varphi</math>     ([https://www.wolframalpha.com/input?i=polar+plot+r%3D1%2Bcos+phi WolframAlpha])

== Ciągi nieskończone liczb zespolonych ==

Definicja ZA12 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Jeżeli każdej liczbie <math>n</math> przypiszemy pewną liczbę zespoloną <math>c_n</math>, to powiemy, że liczby <math>c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots</math> tworzą ciąg nieskończony o wyrazach zespolonych.

Definicja ZA13 
Ciąg nieskończony <math>c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots</math> będziemy oznaczać symbolem <math>(c_n)</math>. Często, o ile nie będzie to prowadziło do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywali po prostu ciągiem.

Definicja ZA14 
Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>, to powiemy, że <math>c</math> jest granicą ciągu <math>(c_n)</math> i w takim przypadku będziemy pisali <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c</math>. Ciąg mający skończoną granicę będziemy nazywali zbieżnym.

Uwaga ZA15 
Porównajmy. W przypadku nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_n)</math> mieliśmy taki obrazek granicy

::[[File: Real-limit-of-a-sequence.png|600px|none]]

Pomimo formalnego podobieństwa definicji, w przypadku liczb zespolonych obrazek wygląda tak

::[[File: Complex-limit-of-a-sequence.png|400px|none]]

Definicja ZA16 
Niech <math>a_n, b_n \in \mathbb{R}\; </math> i <math>\; c_n \in \mathbb{C}</math>. Ciągi <math>(a_n)</math>, <math>(b_n)</math>, <math>(c_n)</math> mają granice niewłaściwe, jeżeli dla dowolnego <math>M > 0</math> istnieje taka liczba naturalna <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::●      <math>a_n > M \qquad \;\;\,</math> (ciąg <math>(a_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>+ \infty</math>)

::●      <math>b_n < - M \qquad</math> (ciąg <math>(b_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>- \infty</math>)

::●      <math>| c_n | > M \qquad \:</math> (ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę niewłaściwą równą <math>\infty</math>)

Powiemy wtedy, że

::●      ciąg <math>(a_n)</math> jest rozbieżny do plus nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = + \infty</math>

::●      ciąg <math>(b_n)</math> jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = - \infty</math>

::●      ciąg <math>(c_n)</math> jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy jako <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \infty</math>

Przykład ZA17 
Ciąg <math>a_n = 1 + {\small\frac{1}{n}}</math> jest zbieżny do liczby <math>1</math>. Istotnie, dla dowolnego <math>\varepsilon > 0 \;</math> i <math>\; N_0 = \left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1</math> dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| a_n - 1 | < \varepsilon</math>. Co łatwo sprawdzamy

::<math>| a_n - 1 | = \left| {\small\frac{1}{n}} \right| = {\small\frac{1}{n}} < {\small\frac{1}{N_0}} = \frac{1}{\left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1} < \frac{1}{{\small\frac{1}{\varepsilon}}} = \varepsilon</math>

Ciąg <math>a_n = n^2</math> jest rozbieżny do plus nieskończoności. Istotnie, dla dowolnego <math>M > 0 \;</math> i <math>\; N_0 = \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1</math> dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>a_n > M</math>. Co łatwo sprawdzamy

::<math>a_n = n^2 > N^2_0 = \left( \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1 \right)^2 > \left( \sqrt{M} \right)^2 = M</math>

Twierdzenie ZA18 
Niech <math>c_n = a_n + i b_n</math> oraz <math>c = a + i b</math>. Ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę <math>c</math> wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> mają granice <math>a</math> i <math>b</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> ma granicę równą <math>c</math>, zatem z definicji granicy ciągu dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Korzystając z definicji modułu, otrzymujemy kolejno nierówności prawdziwe dla <math>n > N_0</math>

::<math>\sqrt{(a_n - a)^2 + (b_n - b)^2} < \varepsilon</math>

Tym bardziej

::<math>\sqrt{(a_n - a)^2} < \varepsilon \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \sqrt{(b_n - b)^2} < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>| a_n - a | < \varepsilon \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad | b_n - b | < \varepsilon</math>

Z definicji granicy otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 
Z założenia <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>. Z definicji granicy ciągów <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math>
dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest <math>| a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math> oraz <math>| b_n - b | <
\frac{\varepsilon}{2}</math>. Zatem dostajemy dla <math>n > N_0</math>

::<math>| c_n - c | = | (a_n - a) + i (b_n - b) |</math>

::::<math>\;\; \leqslant | a_n - a | + | i (b_n - b) |</math>

::::<math>\;\; \leqslant | a_n - a | + | b_n - b |</math>

::::<math>\;\; < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

::::<math>\;\; = \varepsilon</math>

Z definicji granicy otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA19 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Ciąg <math>(a_n)</math> liczb rzeczywistych będziemy nazywali
::*     ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \geqslant a_n</math>
::*     ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \leqslant a_n</math>

Ciągi rosnące dzielimy na
:::*     ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} > a_n</math>
:::*     ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>

Ciągi malejące dzielimy na
:::*     ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} < a_n</math>
:::*     ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>

Zadanie ZA20 
Jeżeli <math>(a_k)</math> jest malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>, to <math>a_k \geqslant g</math> dla wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>.

Jeżeli <math>(a_k)</math> jest silnie malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>, to <math>a_k > g</math> dla wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz <math>a_m</math>, że <math>a_m < g</math>. Wybierzmy liczby <math>r \;</math> i <math>\; \varepsilon</math> tak, aby <math>a_m < r < g \;</math> i <math>\; \varepsilon = g - r > 0</math>. Zatem istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::<math>| a_n - g | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>- \varepsilon < a_n - g < \varepsilon</math>

::<math>g - \varepsilon < a_n < \varepsilon + g</math>

Z lewej nierówności wynika, że

::<math>a_n > g - \varepsilon = r > a_m</math>

Ponieważ wskaźnik <math>m</math> był liczbą ustaloną, a <math>n > N_0</math> może być dowolnie duże, to istnieje takie <math>n > m</math>, że <math>a_n > a_m</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem malejącym.

'''Punkt 2.'''

Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz <math>a_m</math>, że <math>a_m \leqslant g</math>. Jeżeli <math>a_m < g</math>, to postępujemy tak jak wyżej i otrzymujemy, że istnieje takie <math>n > m</math>, że <math>a_n > a_m</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem silnie malejącym.

Rozważmy przypadek, gdy <math>a_m = g</math>. Ponieważ ciąg <math>(a_k)</math> jest z założenia ciągiem silnie malejącym, to <math>a_{m + 1} < a_m = g</math>. Powtarzając rozumowanie z punktu 1. dla wyrazu <math>a_{m + 1}</math>, otrzymujemy, że istnieje takie <math>n > m +
1</math>, że <math>a_n > a_{m + 1}</math>, wbrew założeniu, że ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem silnie malejącym. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA21 
Niech <math>c_n \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} (c_n - c) = 0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n - c | = 0</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \qquad \qquad \: \Longrightarrow \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c |</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Z definicji granicy ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny do <math>c</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Warunek ten możemy w sposób równoważny zapisać w postaci <math>| (c_n - c) - 0 | < \varepsilon \;</math> lub <math>\; | | c_n - c | - 0 | < \varepsilon</math>. Skąd natychmiast wynika wypisany ciąg równoważności.

'''Punkt 2.'''

Jest to jedynie szczególny przypadek punktu 1. dla <math>c = 0</math>.

'''Punkt 3.'''

Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny do <math>c</math>, czyli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>.

Wiemy, że dla dowolnych liczb zespolonych <math>z_1 \,</math> i <math>\, z_2</math> prawdziwa jest nierówność (zobacz [[#ZA4|ZA4]] p. 8)

::<math>| | z_1 | - | z_2 | | \leqslant | z_1 - z_2 |</math>

Zatem dla <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| | c_n | - | c | | < \varepsilon</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA22 
Powiemy, że ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista <math>M</math>, że <math>| c_n | \leqslant M</math> dla wszystkich <math>n \geqslant 0 </math>.

Twierdzenie ZA23 
Jeżeli ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest zbieżny, to jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest zbieżny. Z definicji granicy dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają warunek <math>| c_n - c | < \varepsilon</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| | c_n | - | c | | \leqslant | c_n - c | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>- \varepsilon < | c_n | - | c | < \varepsilon</math>

::<math>| c_n | < | c | + \varepsilon</math>

Wynika stąd, że dla <math>n \geqslant 1</math> jest

::<math>| c_n | < M</math>

gdzie <math>M = \max (| c_1 |, \ldots, | c_{N_0} |, | c | + \varepsilon)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA24 (twierdzenie o trzech ciągach) 
Niech <math>(x_n)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek

::<math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>

oraz

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g</math>

to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji zbieżności ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> wynika, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieją takie liczby <math>N_a \,</math> i <math>\, N_b</math>, że

::<math>| a_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a</math>

::<math>| b_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b</math>

Czyli

::<math>g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a</math>

::<math>g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b</math>

Z założenia nierówność <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math> jest spełniona dla <math>n > N_0</math>. Niech <math>N_1 = \max (N_0, N_a, N_b)</math>. Zatem dla <math>n > N_1</math>
spełnione są jednocześnie nierówności

:*    <math>g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon</math>

:*    <math>g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon</math>

:*    <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>

Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności

::<math>g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon</math>

Co oznacza, że dla <math>n > N_1</math> zachodzi

::<math>g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon</math>

Czyli <math>| x_n - g | < \varepsilon</math>, co oznacza, że ciąg <math>(x_n)</math> jest zbieżny i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA25 
Niech <math>(c_n)</math> i <math>(z_n)</math> będą ciągami liczb zespolonych oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z_n = 0</math>. Pokazać, że jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek <math>| c_n | \leqslant | z_n |</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = | c_n |</math> i <math>t_n = | z_n |</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz [[#ZA21|ZA21]] p.2). Z założenia mamy

::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>. Ponownie korzystając z [[#ZA21|ZA21]] p.2, otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA26 
Niech <math>c \in \mathbb{C}</math> będzie pewną stałą zespoloną. Jeżeli ciągi <math>(w_n) \,</math> i <math>\, (z_n)</math> liczb zespolonych są zbieżne oraz <math>\lim_{n \rightarrow +
\infty} w_n = w \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z</math>, to

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (c w_n) = c w</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \pm z_n) = w \pm z</math>

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z</math>

Jeżeli dodatkowo <math>z_n \neq 0</math> dla wszystkich <math>n \geqslant 1 \;</math> i <math>\; z \neq 0</math>, to

::●      <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{w_n}{z_n}} = {\small\frac{w}{z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Jeżeli <math>c = 0</math>, to ciąg <math>(c w_n)</math> składa się z samych zer i ma granicę równą zero – twierdzenie jest prawdziwe. Możemy zatem założyć, że <math>c \neq 0</math>. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(w_n)</math> wynika, że istnieje liczba <math>N_0</math> taka, że dla <math>n > N_0</math>

::<math>| w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{| c |}}</math>

Zatem dla <math>n > N_0</math> mamy

::<math>| (c w_n) - (c w) | = | c | | w_n - w | < \varepsilon</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granic ciągów <math>(w_n) \,</math> i <math>\, (z_n)</math> wynika, że istnieją liczby <math>N_1 \,</math> i <math>\, N_2</math> takie, że

::<math>| w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1</math>

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| (w_n + z_n) - (w + z) | = | (w_n - w) + (z_n - z) | \leqslant | w_n - w | + | z_n - z | = {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Wynika stąd, że ciąg <math>(w_n + z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>w + z</math>. Z punktu 1. wynika natychmiast, że ciąg <math>(- z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>- z</math>. Zatem ciąg <math>(w_n - z_n)</math> jest zbieżny do granicy <math>w - z</math>.

'''Punkt 3.'''

Rozpoczniemy od dowodu prostszego przypadku i pokażemy, że iloczyn ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> zbieżnych do zera jest zbieżny do zera. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granic ciągów <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> wynika, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieją liczby <math>N_1 \,</math> i <math>\, N_2</math> takie, że

::<math>| a_n | < \sqrt{\varepsilon} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1</math>

::<math>| b_n | < \sqrt{\varepsilon} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>| a_n b_n | = | a_n | \cdot | b_n | < \varepsilon</math>

Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z \;</math> w przypadku, gdy obydwa ciągi są zbieżne do zera.

Dowodząc przypadek ogólny, wykorzystamy fakt, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (w_n - w) = 0 \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n - z) = 0</math>. Zatem

::<math>0 = \lim_{n \rightarrow \infty} ((w_n - w) (z_n - z))</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n - w_n z - w z_n + w z)</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z) - \lim_{n \rightarrow \infty} (w z_n) + \lim_{n \rightarrow \infty} (w z)</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - z \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n) - w \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n) + w z</math>

::<math>\;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - w z</math>

Co kończy dowód.

'''Punkt 4.'''

Dla dowodu wystarczy pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{z_n}} = {\small\frac{1}{z}}</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(z_n)</math> wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>, zatem w szczególności dla <math>\varepsilon = {\small\frac{1}{2}} | z |</math>, istnieje takie <math>N_1</math>, że dla każdego <math>n > N_1</math> jest

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

Ponieważ <math>| z_n - z | \geqslant | | z_n | - | z | |</math>, to

::<math>| | z_n | - | z | | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

Czyli

::<math>- {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | - | z | < {\small\frac{1}{2}} | z |</math>

::<math>\;\;\: {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | < {\small\frac{3}{2}} | z |</math>

Z lewej nierówności wynika, że dla każdego <math>n > N_1</math> mamy

::<math>{\small\frac{1}{| z_n |}} < {\small\frac{2}{| z |}}</math>

Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji granicy ciągu <math>(z_n)</math> wynika, że istnieje liczba <math>N_2</math> taka, że dla każdego <math>n > N_2</math> jest

::<math>| z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n > N_0</math> jest

::<math>\left| {\small\frac{1}{z_n}} - {\small\frac{1}{z}} \right| = \left| {\small\frac{z - z_n}{z_n z}} \right| = {\small\frac{| z_n - z |}{| z_n | | z |}} < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon \cdot {\small\frac{2}{| z |}} \cdot {\small\frac{1}{| z |}} = \varepsilon</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA27 
Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(z_n)</math> jest ograniczony, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (z_n \cdot c_n) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wystarczy pokazać, że (zobacz [[#ZA21|ZA21]] p. 2)

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | z_n \cdot c_n | = 0</math>

Z założenia ciąg <math>(z_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że <math>| z_n | \leqslant M</math>. Zatem prawdziwe jest oszacowanie

::<math>0 \leqslant | z_n \cdot c_n | \leqslant | c_n | \cdot M</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | z_n \cdot c_n | = 0</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA28 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| x | < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} 0^n = 0 \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} 1^n = 1</math>. Mamy <math>(- 1)^{2 k} = + 1 \;</math> i <math>\; (- 1)^{2 k + 1} = - 1</math>, zatem granica <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (- 1)^n</math> nie istnieje.

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{x > 1}</math>'''

::<math>x^n = [1 + (x - 1)]^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (x - 1)^k > n (x - 1)</math>

Ponieważ <math>x^n > n (x - 1)</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = + \infty</math>.

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{0 < x < 1}</math>'''

Ponieważ <math>{\small\frac{1}{x}} > 1</math>, to możemy ponownie zastosować wzór z punktu 1.

::<math>\left( {\small\frac{1}{x}} \right)^n = {\small\frac{1}{x^n}} > n \left( {\small\frac{1}{x}} - 1 \right)</math>

Czyli

::<math>0 < x^n < {\small\frac{1}{n}} \cdot {\small\frac{x}{1 - x}}</math>

Zatem z twierdzenia o trzech ciągach <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0</math>.

'''3. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{- 1 < x < 0}</math>'''

Mamy

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = \lim_{n \rightarrow \infty} (- | x |)^n = \lim_{n \rightarrow \infty} ((- 1)^n | x |^n) = 0</math>

Bo <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = 0</math>, a ciąg <math>(- 1)^n</math> jest ciągiem ograniczonym (zobacz [[#ZA27|ZA27]]).

'''4. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{x < - 1}</math>'''

Ponieważ <math>x = - | x | \;</math> i <math>\; \lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = + \infty</math>, to ciąg <math>(x^n)</math> jest w tym przypadku rozbieżny. Dla parzystych <math>n</math> dąży do plus nieskończoności, a dla nieparzystych <math>n</math> dąży do minus nieskończoności. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA29 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Granica <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z^n = 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z | < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>. Mamy <math>z = | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>, zatem

::<math>z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math>

Ponieważ <math>\cos n \varphi</math> oraz <math>\sin n \varphi</math> nie mogą być jednocześnie równe zero (bo mielibyśmy wtedy <math>\cos^2 \! n \varphi + \sin^2 \! n \varphi = 0</math>), to <math>| z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi)</math> dąży do zera wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z |^n</math> dąży do zera, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy <math>| z | < 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA30 
Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{a > 1}</math>'''

Niech <math>a^{1 / n} = 1 + d_n</math>. Ze wzoru dwumianowego dostajemy

::<math>a = (1 + d_n)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (d_n)^k > n d_n</math>

Zatem

::<math>0 < d_n < {\small\frac{a}{n}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>.

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{0 < a < 1}</math>'''

Ponieważ <math>{\small\frac{1}{a}} > 1</math>, to na podstawie punktu 1. dostajemy

::<math>1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( {\small\frac{1}{a}} \right)^{1 / n} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{a^{1 / n}}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a^{1 / n}}</math>

Czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA31 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{z} = 1</math>, gdzie <math>\sqrt[n]{z}</math> jest wartością główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math> (zobacz [[#ZA8|ZA8]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla uproszczenia zapisu oznaczmy <math>\varphi = \operatorname{Arg} (z)</math>. Z definicji wartości głównej pierwiastka mamy

::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right)</math>

Zatem

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{z} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \sqrt[n]{| z |} \cdot \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) \right] = \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{| z |} \right) \cdot \left[ \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \cos {\small\frac{\varphi}{n}} \right) + i \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) \right] = 1</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA32 
Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>n^{1 / n} = 1 + d_n</math>. Ze wzoru dwumianowego dostajemy

::<math>n = (1 + d_n)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} (d_n)^k > {\small\frac{n (n - 1)}{2}} \cdot (d_n)^2</math>

Zatem

::<math>0 < d_n < \sqrt{{\small\frac{2}{n - 1}}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0</math>, skąd wynika, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA33 
Pokazać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (n!)^{1 / n} = + \infty</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że

::<math>(n!)^2 = [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots (n - 1) \cdot n] \cdot [1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots (n - 1) \cdot n]</math>

:::<math>\;\;\:\, = [1 \cdot n] \cdot [2 \cdot (n - 1)] \cdot [3 \cdot (n - 2)] \cdot \ldots \cdot [(n - 1) \cdot 2] \cdot [n \cdot 1]</math>

:::<math>\;\;\:\, = \prod^n_{k = 1} k \cdot (n - k + 1)</math>

Łatwo widzimy, że dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, n - 1, n</math> prawdziwa jest nierówność <math>k \cdot (n - k + 1) \geqslant n</math>, bo w równoważnej nierówności <math>(k - 1) (n - k) \geqslant 0</math> obydwa czynniki są nieujemne. Zatem <math>(n!)^2 \geqslant n^n</math>, czyli <math>n! \geqslant \sqrt{n^n} \;</math> i <math>\; (n!)^{1 / n} \geqslant \sqrt{n}</math>. Wynika stąd, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = + \infty</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Podciągi, punkty skupienia, granica dolna i górna ==

Definicja ZA34 
Jeżeli <math>(c_k)</math> jest ciągiem nieskończonym liczb zespolonych i <math>\left( {k_j} \right)</math> jest silnie rosnącym ciągiem nieskończonym liczb naturalnych, to powiemy, że ciąg <math>(c_{k_j})</math> jest nieskończonym podciągiem ciągu <math>(c_k)</math>.

Przykład ZA35 
Ciąg <math>(c_{2 k})</math>, czyli ciąg postaci <math>c_2, c_4, c_6 \ldots</math> i ciąg <math>(c_{2^k})</math>, czyli ciąg postaci <math>c_2, c_4, c_8 \ldots</math> są podciągami ciągu <math>(c_k)</math>. Ciąg <math>c_2, c_8, c_4, c_{32}, c_{16}, \ldots</math> nie jest podciągiem, bo kolejne wskaźniki nie tworzą ciągu silnie rosnącego.

Pociągami ciągu <math>c_n = (- 1)^n</math> są ciągi <math>(1, 1, 1, \ldots) \;</math> i <math>\; (- 1, - 1, - 1, \ldots)</math>. Widzimy, że ciąg, który nie jest zbieżny, ma zbieżne podciągi. Oczywiście każdy podciąg ciągu zbieżnego jest ciągiem zbieżnym.

Definicja ZA36 
Powiemy, że liczba <math>c</math> jest punktem skupienia ciągu liczb zespolonych <math>(c_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(c_k)</math> zbieżny do <math>c</math>. 
Powiemy, że <math>+ \infty</math> jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(a_k)</math> rozbieżny do <math>+ \infty</math>. 
Powiemy, że <math>- \infty</math> jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, gdy istnieje podciąg ciągu <math>(a_k)</math> rozbieżny do <math>- \infty</math>.

Przykład ZA37 
Punktami skupienia ciągu <math>a_k = (- 1)^k</math> są liczby <math>- 1</math> i <math>1</math>. Punktami skupienia ciągu <math>c_k = i^k</math> są liczby <math>1, - 1, i, - i</math>. Punktami skupienia ciągu <math>a_k = k \cdot (- 1)^k</math> są <math>- \infty</math> i <math>+ \infty</math>.

W ogólności: jeżeli ciąg <math>(c_k)</math> zawiera nieskończenie wiele jednakowych wyrazów <math>c</math>, to oczywiście liczba <math>c</math> jest punktem skupienia tego ciągu, bo łatwo możemy wybrać podciąg ciągu <math>(c_k)</math> zbieżny do <math>c</math>.

Twierdzenie ZA38 
Niech <math>c \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>, to punkt <math>c</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(c_k)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>. Zauważmy, że w rzeczywistości otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> musi zawierać nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math>. Istotnie, gdyby w rozpatrywanym otoczeniu była tylko skończona liczba wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math>, to moglibyśmy wyznaczyć taką liczbę <math>\varepsilon' > 0</math>, że w otoczeniu <math>| z - c | < \varepsilon'</math> nie byłoby ani jednego wyrazu ciągu <math>(c_k)</math> różnego od <math>c</math> wbrew założeniu, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> otoczenie <math>| z - c | < \varepsilon</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(c_k)</math> różny od <math>c</math>.

Niech <math>j \in \mathbb{Z}_+</math>. Z nieskończenie wielu wyrazów ciągu <math>(c_k)</math> różnych od <math>c</math> zawartych w otoczeniu <math>| z - c | < {\small\frac{1}{j}}</math> wybieramy dowolny wyraz następujący po już wybranych wyrazach <math>c_{k_1}, c_{k_2}, \ldots, c_{k_{j - 1}}</math>. Oznaczmy ten wyraz przez <math>c_{k_j}</math>. Postępując tak dla kolejnych liczb <math>j</math>, otrzymujemy podciąg <math>(c_{k_j})</math> zbieżny do <math>c</math>. Pokażemy zbieżność podciągu <math>(c_{k_j})</math>. Dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> obierzmy <math>N_0</math> tak, aby <math>{\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon</math>. Z konstrukcji ciągu <math>(c_{k_j})</math> widzimy, że dla każdego <math>j > N_0</math> jest <math>| c_{k_j} - c | < {\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon</math>. Co kończy dowód.

Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Punkt <math>1</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = (- 1)^n</math>, ale nieprawdą jest, że dowolne otoczenie punktu <math>1</math> zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>(a_k)</math> różny od <math>1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA39 (granica dolna i górna) 
Granicą górną ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, nazywamy największy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem <math>\limsup_{k \rightarrow \infty} a_k</math>. 
Granicą dolną ciągu liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math>, nazywamy najmniejszy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem <math>\liminf_{k \rightarrow \infty} a_k</math>.

Twierdzenie ZA40 
Ciąg liczb rzeczywistych <math>(a_k)</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy granice górna i dolna są skończone i jednakowe.

Przykład ZA41 
Granice dolna i górna ciągu <math>a_k = (- 1)^k</math> są odpowiednio równe <math>- 1</math> i <math>1</math>.

== Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w <math>\mathbb{R}</math> ==

Dwa ważne twierdzenia podamy bez dowodu<ref name="monotoniczny1"/><ref name="AksjomatCiaglosci"/>. 
Twierdzenie ZA42* 
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest

::<math>a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \leqslant M</math>

to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. 
'''Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.'''

Twierdzenie ZA43* 
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest

::<math>a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \geqslant M</math>

to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. 
'''Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.'''

Twierdzenie ZA44 (o przedziałach zstępujących) 
Niech będzie dany nieskończony ciąg przedziałów domkniętych <math>I_n = [a_n, b_n] \subset \mathbb{R}</math> takich, że <math>I_{n + 1} \subset I_n</math>. Jeżeli długości przedziałów <math>I_n</math> dążą do zera, gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, czyli

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | I_n | = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = 0</math>

to

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zauważmy, że

::*     ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem ograniczonym od góry, bo <math>a_n < b_1</math>

::*     ciąg <math>(b_n)</math> jest ciągiem ograniczonym od dołu, bo <math>b_n > a_1</math>

::*     ponieważ <math>[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]</math>, to ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem rosnącym (zobacz [[#ZA19|ZA19]])

::*     ponieważ <math>[a_{n + 1}, b_{n + 1}] \subset [a_n, b_n]</math>, to ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem malejącym (zobacz [[#ZA19|ZA19]])

Z twierdzeń [[#ZA42|ZA42]] i [[#ZA43|ZA43]] wynika natychmiast, że ciągi <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math> są zbieżne. Niech

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>

Ponieważ ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są zbieżne, to

::<math>0 = \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n - \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = b - a</math>

Zatem <math>b = a</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA45 (Bernard Bolzano, 1817; Karl Weierstrass) 
Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych ma podciąg zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(u_k)</math> będzie rozpatrywanym ciągiem. Z założenia ciąg <math>(u_k)</math> jest ograniczony, zatem istnieją takie liczby rzeczywiste <math>a_0</math> i <math>b_0</math>, że <math>a_0 \leqslant u_k \leqslant b_0</math>. Zbudujemy ciąg przedziałów zstępujących <math>I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots</math> i związany z nimi podciąg zbieżny ciągu <math>(u_k)</math> powtarzając następującą procedurę

:1. przedział <math>I_n = [a_n, b_n]</math> dzielimy na połowy tworząc dwa podprzedziały <math>\left[ a_n, {\small\frac{a_n + b_n}{2}} \right]</math> oraz <math>\left[ {\small\frac{a_n + b_n}{2}}, b_n \right]</math>

:2. z utworzonych podprzedziałów wybieramy ten, w którym jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(u_k)</math>[a]; wybór definiuje przedział <math>I_{n + 1} = [a_{n + 1}, b_{n + 1}]</math>

:3. ze sposobu konstrukcji przedziału <math>I_{n + 1}</math> wynika natychmiast, że <math>| I_{n + 1} | = {\small\frac{| I_n |}{2}}</math>

:4. dowolny wyraz ciągu <math>(u_k)</math> w przedziale <math>I_{n + 1}</math> (ale następujący po wcześniej wybranych wyrazach <math>u_{k_1}, u_{k_2}, \ldots, u_{k_n}</math>) będzie <math>n + 1</math> wyrazem budowanego podciągu i oznaczymy go jako <math>u_{k_{n + 1}}</math>

Zauważmy, że

:*    ciąg przedziałów <math>I_0, I_1, I_2, \ldots</math> jest ciągiem przedziałów zstępujących, bo z definicji <math>I_{n + 1} \subset I_n</math> oraz <math>| I_n | = {\small\frac{b_0 - a_0}{2^n}}</math>, czyli długość przedziałów <math>I_n</math> dąży do zera

:*    ciągi <math>(a_n) \,</math> i <math>\, (b_n)</math> są zbieżne do wspólnej granicy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g \;</math> (zobacz [[#ZA44|ZA44]])

:*    ponieważ <math>a_n \leqslant u_{k_n} \leqslant b_n</math>, to z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[#ZA24|ZA24]]) wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} u_{k_n} = g</math>

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Gdyby w każdym z podprzedziałów było nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>(u_k)</math>, to wybieramy dowolny z nich. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA46 (ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych) 
Powiemy, że ciąg <math>(a_n)</math> liczb rzeczywistych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że <math>| a_n - a_m | < \varepsilon</math> dla dowolnych liczb <math>m, n</math> spełniających warunek <math>n > N_0</math> i <math>m > N_0</math>.

Twierdzenie ZA47 
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(a_k)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego liczb rzeczywistych. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>N_0 = N_0 ( \varepsilon )</math>, że dla wszystkich liczb <math>m, n > N_0</math> jest

::<math>| a_n - a_m | < \varepsilon</math>

Jeżeli położymy <math>m = N_0 + 1 > N_0</math>, to dla <math>n > N_0</math> otrzymujemy oszacowanie

::<math>| a_n - a_{N_0 + 1} | < \varepsilon</math>

::<math>- \varepsilon < a_n - a_{N_0 + 1} < \varepsilon</math>

::<math>a_{N_0 + 1} - \varepsilon < a_n < a_{N_0 + 1} + \varepsilon</math>

Wynika stąd, że dla każdego <math>n \geqslant 0</math> jest

::<math>m \leqslant a_n \leqslant M</math>

gdzie

::<math>M = \max (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}, a_{N_0 + 1} + \varepsilon)</math>

::<math>m = \min (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}, a_{N_0 + 1} - \varepsilon)</math>

Ponieważ <math>- | m | \leqslant m \;</math> i <math>\; M \leqslant | M |</math>, to

::<math>- | m | \leqslant a_n \leqslant | M |</math>

Jeżeli oznaczymy <math>U = \max (| m |, | M |)</math>, to możemy napisać

::<math>- U \leqslant a_n \leqslant U</math>

Czyli dla każdego <math>n \geqslant 0</math> jest <math>| a_n | \leqslant U</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA48 
Ciąg <math>(a_k)</math> liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny. Niech <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \;</math> i <math>\; \varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich liczb <math>m, n > N_0</math> jest

::<math>| a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

::<math>| a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Zatem

::<math>| a_n - a_m | = | (a_n - a) - (a_m - a) | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Czyli <math>(a_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Wiemy, że istnieje taka liczba <math>N_1</math>, ża dla wszystch liczb <math>m, n > N_1</math> jest

::<math>| a_n - a_m | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Ponieważ każdy ciąg Cauchy'ego jest ograniczony (zobacz [[#ZA47|ZA47]]), to na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa można z ciągu <math>(a_k)</math> wybrać podciąg zbieżny <math>(a_{k_j})</math>. Niech <math>\lim_{j \rightarrow \infty} a_{k_j} = \alpha</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>N_2</math>, że dla wszystkich <math>k_j > N_2</math> jest

::<math>| a_{k_j} - \alpha | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Niech <math>N_0 = \max (N_1, N_2)</math>. Zatem dla <math>n, k_j > N_0</math> mamy

::<math>| a_n - \alpha | = | (a_n - a_{k_j}) + (a_{k_j} - \alpha) | \leqslant | a_n - a_{k_j} | + | a_{k_j} - \alpha | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Wynika stąd, że ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny i <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = \alpha</math>. Ponieważ ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę, to oczywiście <math>\alpha = a</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w <math>\mathbb{C}</math> ==

Twierdzenie ZA49 (Bolzana-Weierstrassa dla liczb zespolonych) 
Każdy ograniczony ciąg liczb zespolonych ma podciąg zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(c_k)</math> będzie rozpatrywanym ciągiem i niech <math>c_k = a_k + i b_k</math>. Z założenia <math>(c_k)</math> jest ograniczony, zatem ograniczone są ciągi <math>(a_k) \;</math> i <math>\; (b_k)</math>, bo <math>| a_k | \leqslant | c_k | \;</math> i <math>\; | b_k | \leqslant | c_k |</math>. Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa dla liczb rzeczywistych wynika natychmiast, że z każdego z ciągów <math>(a_k) \;</math> i <math>\; (b_k)</math> można wybrać podciąg zbieżny. Oznaczmy te podciągi odpowiednio jako <math>(a_{k_j}) \;</math> i <math>\; (b_{k_j})</math>. Zatem ciąg <math>c_{k_j} = a_{k_j} + i b_{k_j}</math> jest zbieżny i jest podciągiem ciągu <math>(c_k)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja ZA50 
Powiemy, że ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math> dla dowolnych liczb <math>m, n</math> spełniających warunek <math>n > N_0 \;</math> i <math>\; m > N_0</math>.

Twierdzenie ZA51 
Jeżeli ciąg <math>(c_n)</math> liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego i <math>\, c_n = a_n + i b_n</math>, to ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> też są ciągami Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z założenia dla dowolnego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla dowolnych <math>m, n > N_0</math> jest <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math>. Ponieważ

::<math>| c_n - c_m | = | (a_n + i b_n) - (a_m + i b_m) | = | (a_n - a_m) + i (b_n - b_m) | = \sqrt{(a_n - a_m)^2 + (b_n - b_m)^2} < \varepsilon</math>

to tym bardziej <math>| a_n - a_m | < \varepsilon \;</math> i <math>\; | b_n - b_m | < \varepsilon</math>. Zatem ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> też są ciągami Cauchy'ego. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA52 
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych jest ograniczony.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>(c_n)</math> będzie ciągiem Cauchy'ego liczb zespolonych i <math>c_n = a_n + i b_n</math>. Ponieważ ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych, to są ograniczone (zobacz [[#ZA47|ZA47]]). Zatem istnieją takie liczby rzeczywiste <math>M_a \;</math> i <math>\; M_b</math>, że dla wszystkich <math>n \in \mathbb{N}_0</math> jest <math>| a_n | \leqslant M_a \;</math> i <math>\; | b_n | \leqslant M_b</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>| c_n | = \sqrt{a^2_n + b^2_n} = \sqrt{| a_n |^2 + | b_n |^2} \leqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b}</math>

Czyli istnieje taka liczba rzeczywista <math>M_c</math>, że dla wszystkich <math>n \in \mathbb{N}_0</math> jest <math>| c_n | \leqslant M_c</math> (wystarczy przyjąć <math>M_c \geqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b}</math>). Co oznacza, że ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych <math>(c_n)</math> jest ograniczony. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA53 
Ciąg <math>(c_k)</math> liczb zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
<math>\Large{\Longrightarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_k)</math> jest zbieżny. Niech <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \,</math> i niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Z definicji zbieżności wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich <math>n > N_0</math> jest

::<math>| c_n - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Oczywiście jest tak również dla wszystkich <math>m > N_0</math>, czyli

::<math>| c_m - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}}</math>

Wynika stąd, że

::<math>| c_n - c_m | = | (c_n - c) - (c_m - c) | \leqslant | (c_n - c) | + | (c_m - c) | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że dla ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>N_0</math>, że dla wszystkich <math>m, n > N_0</math> jest <math>| c_n - c_m | < \varepsilon</math>, czyli ciąg <math>(c_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math> 
Z założenia ciąg <math>(c_k)</math> jest ciągiem Cauchy'ego. Niech <math>c_k = a_k + i b_k</math>. Wiemy, że ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych (zobacz [[#ZA51|ZA51]]). Zatem ciągi <math>(a_n) \;</math> i <math>\; (b_n)</math> są zbieżne (zobacz [[#ZA48|ZA48]]). Wynika stąd zbieżność ciągu <math>(c_k)</math> (zobacz [[#ZA18|ZA18]]). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA54 
Niech ciąg <math>(c_n)</math> będzie ograniczonym ciągiem liczb zespolonych, który ma dokładnie dwa punkty skupienia <math>z_1</math> i <math>z_2</math>. Pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> spełniają jeden z warunków

::<math>| c_n - z_1 | < \varepsilon \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad | c_n - z_2 | < \varepsilon</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia ciąg <math>(c_n)</math> jest ograniczony, zatem dla <math>M > 0</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>| c_n | \leqslant M</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że stwierdzenie, które mamy pokazać, nie jest prawdziwe. Zatem prawdziwe jest jego zaprzeczenie, które brzmi: istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że dla każdego <math>N_0</math> istnieją takie <math>n > N_0</math>, że wyrazy ciągu <math>(c_n)</math> nie spełniają żadnego z warunków

::<math>| c_n - z_1 | < \varepsilon \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad | c_n - z_2 | < \varepsilon</math>

Wynika stąd, że wyrazów, które nie spełniają powyższych warunków, jest nieskończenie wiele i tworzą one nieskończony i ograniczony podciąg ciągu <math>(c_n)</math>. Na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa z tego podciągu możemy wybrać podciąg zbieżny. Co oznacza, wbrew założeniu, że ciąg <math>(c_n)</math> ma co najmniej trzy punkty skupienia. 
□
{{\Spoiler}}

== Uzupełnienie ==

Zadanie ZA55 
Dla dowolnych <math>x, y \in \mathbb{R}</math> prawdziwe są nierówności

::<math>| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |</math>

::<math>| \cos x - \cos y | \leqslant | x - y |</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

W przypadku, gdy <math>x = y</math> nierówność jest prawdziwa. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>y > x</math>. Zauważmy, że funkcja <math>\sin x</math> jest ciągła w przedziale <math>[x, y]</math> i różniczkowalna w przedziale <math>(x, y)</math>. Oznacza to, że spełnione są założenia twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/>. Zatem istnieje taki punkt <math>a \in (x, y)</math>, że

::<math>{\small\frac{\sin y - \sin x}{y - x}} = \sin' (a) = \cos (a)</math>

Otrzymujemy

::<math>\sin y - \sin x = (y - x) \cdot \cos (a)</math>

::<math>| \sin y - \sin x | = | y - x | \cdot | \cos (a) |</math>

::<math>| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |</math>

Co należało pokazać. Analogicznie dowodzimy punkt 2. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA56 
Niech <math>x, y \in \mathbb{R}</math>, <math>\, k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; n \in N_0</math>. Część ułamkową liczby rzeczywistej <math>x</math> definiujemy następująco: <math>\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor</math>. Prawdziwe są następujące właściwości funkcji <math>\{ x \}</math>.

::'''1.'''      <math>\{ k + x \} = \{ x \}</math>

::'''2.'''      <math>\{ \{ x \} \} = \{ x \}</math>

::'''3.'''      <math>\{ x \} + \{ - x \} =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } \, x \in \mathbb{Z} \\
1 & \text{gdy } \, x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>

::'''4.'''      <math>\{ k \{ x \} \} = \{ k x \}</math>

::'''5.'''      <math>n \{ x \} < 1 \qquad \qquad \, \Longrightarrow \qquad n \{ x \} = \{ n x \}</math>

::'''6.'''      <math>\{ x \} \geqslant \{ y \} \qquad \quad \;\;\, \Longrightarrow \qquad \{ x \} - \{ y \} = \{ x - y \}</math>

::'''7.'''      <math>\{ x \} + \{ y \} < 1 \qquad \Longrightarrow \qquad \{ x \} + \{ y \} = \{ x + y \}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Wynika z analogicznej własności funkcji <math>\lfloor x \rfloor</math>: <math>\lfloor k + x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor</math>, którą łatwo dowodzimy, zapisując <math>x</math> w postaci <math>x = j + \varepsilon</math>, gdzie <math>j \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 < \varepsilon < 1</math>.

'''Punkt 2.'''

::<math>\{ \{ x \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor \} = \{ x \}</math>

'''Punkt 3.'''

W przypadku, gdy <math>x \in \mathbb{Z}</math> wynik jest natychmiastowy, bo <math>\{ x \} + \{ - x \} = 0 + 0</math>. Załóżmy, że <math>x \notin \mathbb{Z}</math>, zatem możemy napisać <math>x = k + \varepsilon</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 < \varepsilon < 1</math>. Łatwo zauważamy, że <math>0 < 1 - \varepsilon < 1 \,</math> i otrzymujemy

::<math>\{ x \} + \{ - x \} = \{ k + \varepsilon \} + \{ - k - \varepsilon \} = \varepsilon + \{ - k - 1 + 1 - \varepsilon \} = \varepsilon + \{ 1 - \varepsilon \} = \varepsilon + 1 - \varepsilon = 1</math>

'''Punkt 4.'''

::<math>\{ k \{ x \} \} = \{ k (x - \lfloor x \rfloor) \} = \{ k x - k \lfloor x \rfloor \} = \{ k x \}</math>

'''Punkt 5.'''

Z założenia <math>0 \leqslant n \{ x \} < 1</math>. Zatem

::<math>n \{ x \} = \{ n \{ x \} \} = \{ n x \}</math>

Gdzie skorzystaliśmy z punktu 4.

'''Punkt 6.'''

Z założenia <math>0 \leqslant \{ x \} - \{ y \} < 1</math>. Zatem

::<math>\{ x \} - \{ y \} = \{ \{ x \} - \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor - y + \lfloor y \rfloor \} = \{ (x - y) + (\lfloor y \rfloor - \lfloor x \rfloor) \} = \{ x - y \}</math>

'''Punkt 7.'''

Z założenia <math>0 \leqslant \{ x \} + \{ y \} < 1</math>. Zatem

::<math>\{ x \} + \{ y \} = \{ \{ x \} + \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor \} = \{ (x + y) - (\lfloor y \rfloor + \lfloor x \rfloor) \} = \{ x + y \}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA57 (zasada szufladkowa) 
Jeżeli więcej niż <math>n</math> przedmiotów (przynajmniej <math>n + 1</math>) zostało rozmieszczonych w <math>n</math> szufladach, to jedna z szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pierwszy sposób 
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że żadna z szuflad nie zawiera więcej niż jednego przedmiotu. Zatem każda z szuflad zawiera jeden lub mniej przedmiotów, czyli ogólna liczba przedmiotów w szufladach nie może być większa niż <math>n \cdot 1 = n</math>, wbrew założeniu, że w szufladach rozmieszczono więcej niż <math>n</math> przedmiotów.

Drugi sposób 
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość twierdzenia dla <math>n</math>, przeprowadzimy dla liczby <math>n + 1</math>
następujące rozumowanie.

Rozmieśćmy więcej niż <math>n + 1</math> przedmiotów w <math>n + 1</math> szufladach. Zaglądając do jednej z szuflad, możemy stwierdzić, że

::'''a)'''      zawiera ona więcej niż jeden przedmiot – co kończy dowód

::'''b)'''      nie zawiera ona żadnego przedmiotu, wynika stąd, że więcej niż <math>n + 1</math> przedmiotów (czyli więcej niż <math>n</math> przedmiotów) zostało rozmieszczonych w pozostałych <math>n</math> szufladach, zatem z założenia indukcyjnego jedna z nich zawiera więcej niż jeden przedmiot

::'''c)'''      zawiera ona dokładnie jeden przedmiot, zatem pozostałe więcej niż <math>n</math> przedmiotów zostało rozmieszczone w pozostałych <math>n</math> szufladach i ponownie z założenia indukcyjnego wynika, że jedna z pozostałych szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA58 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>\{ n \alpha \}</math> oznacza część ułamkową liczby <math>n \alpha</math>. Nie istnieją takie różne liczby całkowite <math>j, k</math>, że <math>\{ k \alpha \} = \{ j \alpha \}</math>. W szczególności dla dowolnej liczby całkowitej <math>k \neq 0</math> mamy <math>\{ k \alpha \} \neq {\small\frac{p}{q}}</math>, gdzie <math>p, q \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; q \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Część ułamkową liczby <math>x</math> definiujemy następująco: <math>\{ x \} = x - \lfloor x \rfloor</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że takie liczby <math>j, k</math> istnieją. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>k > j</math>. Otrzymujemy

::<math>\{ k \alpha \} = \{ j \alpha \}</math>

::<math>k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = j \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor</math>

::<math>(k - j) \alpha = \lfloor k \alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor</math>

::<math>\alpha = {\small\frac{\lfloor k \alpha \rfloor - \lfloor j \alpha \rfloor}{k - j}}</math>

Zatem <math>\alpha</math> byłaby liczbą wymierną wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Gdyby było <math>\{ k \alpha \} = {\small\frac{p}{q}}</math>, to mielibyśmy

::<math>k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = {\small\frac{p}{q}}</math>

::<math>k \alpha = {\small\frac{p}{q}} + \lfloor k \alpha \rfloor</math>

::<math>\alpha = {\small\frac{p}{k q}} + {\small\frac{\lfloor k \alpha \rfloor}{k}}</math>

Co jest niemożliwe, bo <math>\alpha</math> jest liczbą niewymierną. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA59 (twierdzenie Dirichleta o aproksymacji) 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>. Istnieją takie liczby całkowite <math>p \;</math> i <math>\; q</math>, gdzie <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>, że

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}}</math>

oraz

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q^2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Podzielmy przedział <math>[0, 1)</math> na <math>N</math> podprzedziałów, każdy o długości <math>{\small\frac{1}{N}}</math>.

::<math>[0, 1) = \left[ 0, {\small\frac{1}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{1}{N}}, {\small\frac{2}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{2}{N}}, {\small\frac{3}{N}} \right) \cup \ldots \cup \left[ {\small\frac{N - 1}{N}}, 1 \right)</math>

Dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1</math> wypiszmy części ułamkowe liczb <math>k \alpha</math>, czyli <math>\{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor</math>. Dostajemy ciąg liczb

::<math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \}</math>

z których każda należy do przedziału <math>(0, 1)</math>.

Mamy <math>N + 1</math> różnych liczb <math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \,</math> i <math>\, N</math> przedziałów, zatem z zasady szufladkowej w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby <math>\{ i \alpha \}</math> oraz <math>\{ j \alpha \}</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>j > i</math>. Mamy

::<math>| \{ j \alpha \} - \{ i \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| j \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor - i \alpha + \lfloor i \alpha \rfloor | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| (j - i) \alpha - \lfloor j \alpha \rfloor + \lfloor i \alpha \rfloor | < {\small\frac{1}{N}}</math>

::<math>| (j - i) \alpha - (\lfloor j \alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor) | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Jeżeli położymy <math>p = \lfloor j \alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor</math> oraz <math>q = j - i</math>, to <math>q \geqslant 1 \;</math> (bo <math>j \neq i</math>)   i <math>\; q \leqslant (N + 1) - 1 = N</math>. Zatem otrzymujemy

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}}</math>

gdzie <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>. Stąd łatwo wynika, że

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{q^2}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga ZA60 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>, gdzie <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>, będzie ułamkiem, którego istnienie wynika z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji. Zauważmy, że ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> dla różnych liczb <math>N</math> nie muszą być różne. Przykładowo dla <math>\alpha = \pi \;</math> i <math>\; N = 8, \ldots, 105</math> znajdujemy jeden ułamek <math>{\small\frac{p_N}{q_N}} = {\small\frac{22}{7}}</math>. Jednak wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> jest nieskończenie wiele różnych ułamków.

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>, jest jedynie skończona ilość różnych ułamków. Gdyby tak było, to dla pewnego <math>\varepsilon > 0</math> nie byłoby żadnego ułamka <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> takiego, że

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p_N}{q_N}} \right| < \varepsilon</math>

Ale wystarczy przyjąć <math>k > {\small\frac{1}{\varepsilon}}</math>, aby pokazać, że taki ułamek istnieje

::<math>\left| \alpha - {\small\frac{p_k}{q_k}} \right| < {\small\frac{1}{q_k \cdot k}} \leqslant {\small\frac{1}{k}} < \varepsilon</math>

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> jest nieskończenie wiele różnych ułamków.

Przykład ZA61 
Z twierdzenia o aproksymacji Dirichleta wiemy, że <math>1 \leqslant q \leqslant N</math>. Dla ustalonego <math>q</math> mamy

::<math>q \alpha - {\small\frac{1}{N}} 

Łatwo sprawdzamy, że jedynymi możliwymi wartościami <math>p</math> są liczby <math>p = \lfloor q \alpha \rfloor \;</math> i <math>\; p = \lfloor q \alpha \rfloor + 1</math>.

Dla zadanej liczby niewymiernej <math>a</math> i liczby całkowitej dodatniej <math>N</math> wystarczy prosta instrukcja w PARI/GP, aby znaleźć odpowiadające im ułamki <math>{\small\frac{p}{q}}</math>.

'''for'''(q = 1, N, m = '''floor'''(q*a); '''for'''(p = m, m + 1, '''if'''( '''abs'''(q*a - p) < 1/N, '''print'''(p, " ", q, " ", p/q, " ", 1.0*p/q) )))

Okazuje się, że takich ułamków nie ma zbyt wiele. Przykłady ułamków (w postaci nieskracalnej) zebraliśmy w tabeli.

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! <math>\boldsymbol{N}</math>
| <math>10</math> || <math>10^2</math> || <math>10^3</math> || <math>10^4</math> || <math>10^5</math> || <math>10^6</math> || <math>10^7</math>
|-
! <math>\boldsymbol{\pi}</math>
| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math>, <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math> || <math>{\small\frac{1146408}{364913}}</math> || <math>{\small\frac{5419351}{1725033}}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{e}</math>
| <math>{\small\frac{19}{7}}</math> || <math>{\small\frac{193}{71}}</math> || <math>{\small\frac{1457}{536}}</math> || <math>{\small\frac{23225}{8544}}</math>, <math>{\small\frac{25946}{9545}}</math> || <math>{\small\frac{49171}{18089}}</math> || <math>{\small\frac{1084483}{398959}}</math> || <math>{\small\frac{13580623}{4996032}}</math>, <math>{\small\frac{14665106}{5394991}}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{\sqrt{2}}</math>
| <math>{\small\frac{7}{5}}</math> || <math>{\small\frac{99}{70}}</math>, <math>{\small\frac{140}{99}}</math> || <math>{\small\frac{577}{408}}</math>, <math>{\small\frac{1393}{985}}</math> || <math>{\small\frac{8119}{5741}}</math>, <math>{\small\frac{11482}{8119}}</math> || <math>{\small\frac{114243}{80782}}</math> || <math>{\small\frac{665857}{470832}}</math> || <math>{\small\frac{9369319}{6625109}}</math>, <math>{\small\frac{13250218}{9369319}}</math>
|}

Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.

<div style="overflow-x: auto; overflow-y: hidden; max-width: 80%; width: fit-content; margin-left: 60px;">
{| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin: 0; background-color: white; white-space: nowrap;"

|- style="vertical-align: middle;"
! <math>\boldsymbol{N}</math>
| <math>1</math> || <math>2</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>106</math> || <math>113</math> || <math>114</math> || <math>33102</math> || <math>33174</math> || <math>33215</math> || <math>52276</math> || <math>66317</math> || <math>90786</math> || <math>99532</math>
|- style="vertical-align: middle;"
! <math>\boldsymbol{\pi}</math>

| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> || <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}}</math> || <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> || <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}}</math> || <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> || <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> || <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> || <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> || <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> || <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math>
|}
</div>

Liczbę <math>\pi</math> możemy zapisać w postaci ułamka łańcuchowego<ref name="ulamek1"/>. Mamy

::<math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, \ldots]</math>

Kolejne redukty tego ułamka łańcuchowego tworzą następujący ciąg liczb

::<math>{\small\frac{3}{1}}</math>, <math>{\small\frac{22}{7}}</math>, <math>{\small\frac{333}{106}}</math>, <math>{\small\frac{355}{113}}</math>, <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math>, <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math>, <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math>, <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math>, <math>{\small\frac{833719}{265381}}</math>, <math>{\small\frac{1146408}{364913}}</math>, <math>{\small\frac{4272943}{1360120}}</math>, <math>{\small\frac{5419351}{1725033}}</math>, <math>{\small\frac{80143857}{25510582}}</math>, <math>{\small\frac{245850922}{78256779}}</math>, ...

Zauważmy, że każdy redukt ułamka łańcuchowego reprezentującego liczbę <math>\pi</math> występuje wśród ułamków <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math>.

Twierdzenie ZA62 
Między dowolnymi różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się liczba wymierna.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Rozważmy dwie liczby rzeczywiste <math>x, y</math>. Niech <math>y > x</math>, <math>a = {\small\frac{x + y}{2}} \;</math> i <math>\; d = y - a = a - x</math>. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą wymierną, to twierdzenie jest udowodnione. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niewymierną, to niech <math>N > {\small\frac{1}{d}}</math>.

Pierwszy sposób 

Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji mamy

::<math>\left| a - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{N}} < d</math>

Zatem liczba wymierna <math>{\small\frac{p}{q}}</math> leży między liczbami rzeczywistymi <math>x \,</math> i <math>\, y</math>.

Drugi sposób 

Łatwo zauważamy, że

::<math>a - {\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} = {\small\frac{a \cdot N - \lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} < {\small\frac{1}{N}} < d</math>

Zatem liczba wymierna <math>{\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}}</math> leży między liczbami rzeczywistymi <math>x \,</math> i <math>\, y</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA63 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną i niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>m</math>, że <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Liczbę naturalną <math>N</math> wybieramy tak, aby <math>{\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>. Podzielmy przedział <math>[0, 1)</math> na <math>N</math> podprzedziałów, każdy o długości <math>{\small\frac{1}{N}}</math>.

::<math>[0, 1) = \left[ 0, {\small\frac{1}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{1}{N}}, {\small\frac{2}{N}} \right) \cup \left[ {\small\frac{2}{N}}, {\small\frac{3}{N}} \right) \cup \ldots \cup \left[ {\small\frac{N - 1}{N}}, 1 \right)</math>

Dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1</math> wypiszmy części ułamkowe liczb <math>k \alpha</math>, czyli <math>\{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor</math>. Dostajemy ciąg liczb

::<math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \}</math>

z których każda należy do przedziału <math>(0, 1)</math>.

Mamy <math>N + 1</math> różnych liczb <math>\{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \;</math> i <math>\; N</math> przedziałów, zatem z zasady szufladkowej wynika, że w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby <math>\{ i \alpha \}</math> oraz <math>\{ j \alpha \}</math>. Dostajemy

::<math>| \{ j \alpha \} - \{ i \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>\{ j \alpha \} > \{ i \alpha \}</math>. Zatem (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 6)

::<math>| \{ (j - i) \alpha \} | < {\small\frac{1}{N}}</math>

Połóżmy teraz <math>m = j - i</math>. Mamy

::<math>0 < \{ m \alpha \} < {\small\frac{1}{N}}</math>

Czyli

::<math>0 < \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

W przypadku, gdy <math>m > 0</math> dowód jest zakończony.

Rozważmy przypadek, gdy <math>m < 0</math>. Wybierzmy liczbę całkowitą dodatnią <math>b</math> tak, aby spełniony był układ nierówności

::<math>b < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} 

Z lewej nierówności wynika, że <math>b \{ m \alpha \} < 1</math>, zatem <math>b \{ m \alpha \} = \{ b m \alpha \}</math> (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 5). Przekształcając, otrzymujemy

::<math>0 < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} - b < 1</math>

::<math>0 < 1 - b \{ m \alpha \} < \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

::<math>0 < 1 - \{ b m \alpha \} < \varepsilon</math>

Ze wzoru <math>1 - \{ x \} = \{ - x \}</math> (zobacz [[#ZA56|ZA56]] p. 3) dostajemy

::<math>0 < \{ - b m \alpha \} < \varepsilon</math>

Gdzie <math>- b m \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA64 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że zbiór liczb całkowitych dodatnich <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math> nie jest zbiorem pustym. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje jedynie skończona ilość liczb <math>m_j</math> takich, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>. Niech <math>n</math> oznacza największą z nich.

Zauważmy, że liczba <math>\beta = n \alpha</math> jest liczbą niewymierną i dla dowolnego <math>\varepsilon' > 0</math> istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>\{ k \beta \} < \varepsilon'</math>.

Niech <math>\varepsilon' < \min (\varepsilon, \{ \beta \})</math>. Przy takim wyborze liczby <math>\varepsilon'</math> nie może być <math>k = 1</math>, bo mielibyśmy <math>\varepsilon' < \{ \beta \} < \varepsilon'</math>. Zatem <math>k > 1 \;</math> i <math>\; \{ k \beta \} < \varepsilon'</math>, czyli <math>\{ k n \alpha \} < \varepsilon' < \varepsilon</math>. Wynika stąd, że <math>m_j = k n</math> jest kolejną i większą od <math>n</math> liczbą całkowitą dodatnią taką, że <math>\{ m_j \alpha \} < \varepsilon</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA65 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Jeżeli <math>g \in [0, 1]</math>, to <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{g = 0}</math>'''

Dla ustalonego <math>\varepsilon > 0</math> w otoczeniu <math>(- \varepsilon, \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od zera. Fakt ten wynika natychmiast z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]]. Zatem punkt <math>g = 0</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA38|ZA38]]).

'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{g \in (0, 1]}</math>'''

Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>m</math>, że <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy <math>\varepsilon</math> wybrać tak, aby spełniony był warunek <math>\varepsilon < g</math>. Mamy wtedy <math>\{ m \alpha \} < \varepsilon < g</math>, czyli <math>{\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} > 1</math>.

Liczbę <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> wybieramy tak, aby

::<math>n < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} \leqslant n + 1</math>

Zatem

::<math>0 < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} - n \leqslant 1</math>

::<math>0 < g - n \{ m \alpha \} \leqslant \{ m \alpha \} < \varepsilon</math>

Z lewej nierówności otrzymujemy <math>n \{ m \alpha \} < g \leqslant 1</math>. Z twierdzenia [[#ZA56|ZA56]] p. 5 mamy <math>n \{ m \alpha \} = \{ n m \alpha \}</math> i ostatecznie dostajemy

::<math>0 < g - \{ n m \alpha \} < \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że w otoczeniu <math>(g - \varepsilon, g + \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od <math>g</math>. Zatem <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA38|ZA38]]). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA66 
Pokazać, że <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>\alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}}</math>. Ponieważ <math>{\small\frac{1}{4}} \in [0, 1]</math>, to <math>{\small\frac{1}{4}}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> (zobacz [[#ZA65|ZA65]]). Zatem istnieje podciąg ciągu <math>(a_n)</math> zbieżny do <math>{\small\frac{1}{4}}</math>, co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych <math>k_j</math>, że <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{1}{4}}</math>, czyli <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{1}{4}}</math>. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k_j > N_0</math> jest

::<math>\left| \{ k_j \alpha \} - {\small\frac{1}{4}} \right| < \varepsilon</math>

Niech <math>k_j > N_0</math>, mamy

::<math>| \sin (k_j) - 1 | = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin \left( {\small\frac{\pi}{2}} \right) \right|</math>

:::::<math>\quad \, \leqslant \left| 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{\pi}{2}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, = 2 \pi \left| \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{1}{4}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, < 2 \pi \varepsilon</math>

Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu [[#ZA55|ZA55]]. Zatem <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = 1</math>, czyli <math>1</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\sin n)</math>. Ponieważ <math>\sin x \leqslant 1</math>, to <math>1</math> największym puntem skupienia, zatem <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA67 
Jeżeli <math>g \in [- 1, 1]</math>, to <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>s_n = \sin n</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>\alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}}</math> i niech liczba rzeczywista <math>t \in [0, 2 \pi]</math> będzie wybrana tak, aby <math>\sin t = g</math>. Ponieważ <math>{\small\frac{t}{2 \pi}} \in [0, 1]</math>, to <math>{\small\frac{t}{2 \pi}}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math>. Zatem istnieje podciąg ciągu <math>(a_n)</math> zbieżny do <math>{\small\frac{t}{2 \pi}}</math>, co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych <math>k_j</math>, że <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{t}{2 \pi}}</math>, czyli <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{t}{2 \pi}}</math>. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k_j > N_0</math> jest

::<math>\left| \{ k_j \alpha \} - {\small\frac{t}{2 \pi}} \right| < \varepsilon</math>

Niech <math>k_j > N_0</math>, mamy

::<math>| \sin (k_j) - g | = | \sin (k_j) - \sin (t) |</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \cdot \left\lfloor {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\rfloor + 2 \pi \cdot \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, = \left| \sin \left( 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} \right) - \sin (t) \right|</math>

:::::<math>\quad \, \leqslant \left| 2 \pi \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - t \right|</math>

:::::<math>\quad \, = 2 \pi \left| \left\{ {\small\frac{k_j}{2 \pi}} \right\} - {\small\frac{t}{2 \pi}} \right|</math>

:::::<math>\quad \, < 2 \pi \varepsilon</math>

Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu [[#ZA55|ZA55]]. Zatem <math>\lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = g</math>, czyli <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>s_n = \sin n</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie ZA68 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R} \,</math> i dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka para liczb <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\; k \in \mathbb{Z} , \,</math> że <math>\; | m \alpha + k - x | < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

Pierwszy sposób 

Ponieważ <math>\{ x \} \in [0, 1)</math>, to <math>\{ x \}</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> (zobacz [[#ZA65|ZA65]]). Zatem istnieje podciąg <math>(\{ n_j \alpha \})</math> ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> zbieżny do <math>\{ x \}</math>.

Zauważmy, że dodając <math>\lfloor x \rfloor</math> do wyrazów podciągu <math>(\{ n_j \alpha \})</math>, otrzymujemy ciąg zbieżny do <math>x</math>. Wyrazy tak zmodyfikowanego podciągu możemy zapisać w postaci

::<math>\lfloor x \rfloor + \{ n_j \alpha \} = \lfloor x \rfloor + n_j \alpha - \lfloor n_j \alpha \rfloor = n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor</math>

Z definicji zbieżności tego podciągu wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n_j > N_0</math> jest

::<math>| n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor - x | < \varepsilon</math>

Liczby <math>m = n_j > N_0 \;</math> i <math>\; k = \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor</math> tworzą parę liczb <math>(m, k)</math> taką, że <math>\; | m \alpha + k - x | < \varepsilon</math>.

Drugi sposób 

Z twierdzenia [[#ZA63|ZA63]] wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>\{ r \alpha \} < \varepsilon</math>. Wybierzmy <math>j \in \mathbb{Z}</math> tak, aby <math>x + j > \{ r \alpha \}</math> i wybierzmy <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> tak, aby

::<math>n < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} \leqslant n + 1</math>

::<math>0 < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} - n \leqslant 1</math>

::<math>0 < x + j - n \{ r \alpha \} \leqslant \{ r \alpha \} < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>0 < | n \{ r \alpha \} - j - x | < \varepsilon</math>

Ponieważ <math>n \{ r \alpha \} = n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor</math>, to

::<math>0 < | n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor - j - x | < \varepsilon</math>

Co pokazuje, że poszukiwana para liczb istnieje i jest równa <math>(m, k) = (n r, - n \lfloor r \alpha \rfloor - j)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie ZA69 
Niech <math>\alpha</math> będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego <math>x \in \mathbb{R} \,</math> i dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka para liczb całkowitych <math>m, n</math>, że <math>| m \alpha + n - x | < \varepsilon</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>N \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>. Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji ([[#ZA59|ZA59]]) wiemy, że dla dowolnej liczby <math>N</math> istnieje taka para liczb <math>p, q</math>, że

::<math>| q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon</math>

Liczbę całkowitą <math>j</math> wybieramy tak, aby <math>x + j > | q \alpha - p |</math>, a liczbę <math>k \in \mathbb{Z}_+</math> wybieramy tak, aby

::<math>k < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \leqslant k + 1</math>

Otrzymujemy

::<math>0 < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} - k \leqslant 1</math>

::<math>0 < x + j - k | q \alpha - p | \leqslant | q \alpha - p | < \varepsilon</math>

::<math>0 < x + j - k | q \alpha - p | < \varepsilon</math>

Niech <math>s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p)</math>, oczywiście <math>s = \pm 1</math>. Mamy <math>| q \alpha - p | = s (q \alpha - p)</math>, zatem

::<math>0 < x + j - s k q \alpha + s k p < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>0 < | s k q \alpha - s k p - j - x | < \varepsilon</math>

Wystarczy położyć: <math>m = s k q \;</math> i <math>\; n = - s k p - j</math>, gdzie <math>k = \left\lceil {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \right\rceil - 1 \;</math> i <math>\; s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="monotoniczny1">Wikipedia, ''Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_ci%C4%85gu_monotonicznego Wiki-pl])</ref>

<ref name="AksjomatCiaglosci">Wikipedia, ''Aksjomat ciągłości'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers Wiki-en])</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="ulamek1">Wikipedia, ''Ułamek łańcuchowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_continued_fraction Wiki-en])</ref>

</references>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

2026-09-13T13:02:30Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

__FORCETOC__

== Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa ==

Definicja R1 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco

::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math>

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

W przypadku funkcji <math>\theta (x)</math> suma przebiega po wszystkich liczbach pierwszych, a w przypadku funkcji <math>\psi (x)</math> po wszystkich liczbach pierwszych i ich potęgach.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:funkcja-theta-Czebyszewa.png|700px|none]]
[[File:funkcja-psi-Czebyszewa.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R2 
Wprost z definicji wynikają wzory

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) \geqslant \theta (x)</math> dla <math>x > 0</math>

::<math>\psi (x) > \theta (x)</math> dla <math>x \geqslant 4</math>

Przykład R3 

::<math>\theta (10) = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 \approx 5.347107530</math>

::<math>\psi (10) = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 \approx 7.832014180</math>

Zadanie R4 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n}) = \sum_{n = 1}^{\lfloor \log_2 (x) \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>k, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Zauważmy, że zapisany bardzo ogólnie wzór <math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math> możemy interpretować na trzy sposoby.

'''A.''' Bierzemy kolejne liczby <math>n \leqslant x</math> i sprawdzamy, czy <math>n</math> jest potęgą pewnej liczby pierwszej <math>p</math>. Jeśli tak, to dodajemy do sumy <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania jest najbliższy zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

Tak też robiliśmy w przykładzie [[#R3|R3]].

'''B.''' Bierzemy kolejne liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> i znajdujemy wszystkie wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \underset{p^k \leqslant x}{\sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor}} \log p</math>.

'''C.''' (Modyfikacja punktu B) Zauważmy, że największy wykładnik <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> taki, że <math>p^k \leqslant x</math> znajdujemy z warunku <math>k \leqslant {\small\frac{\log x}{\log p}}</math>. Pozwala to zmodyfikować wzór na funkcję <math>\psi (x)</math> do postaci

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log x}{\log p}} \right\rfloor</math>

'''D.''' Bierzemy kolejne wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> i znajdujemy wszystkie liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p^k \leqslant x} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / k})</math>

Należy zauważyć, że wypisana suma tylko pozornie jest nieskończona. Dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>x^{1 / k} < 2</math> i <math>\theta (x^{1 / k}) = 0</math>. Zatem sumowanie przebiega tylko po <math>k \leqslant \log_2 x</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R5 
Zauważmy, że funkcja <math>\theta (x)</math> w przedziale <math>(0, n]</math> ma dokładnie <math>\pi (n)</math> zmian wartości (skoków na wykresie). Ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

wynika, że funkcja <math>\psi (x)</math> ma zmian wartości więcej, a liczba skoków wartości jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \pi (n^{1 / k}) = \pi (n) + \pi (n^{1 / 2}) + \pi (n^{1 / 3}) + \pi (n^{1 / 4}) + \ldots</math>

Zadanie R6 
Pokazać, że dla <math>x > 0</math> prawdziwe są oszacowania

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) - \theta (x) < 6 \sqrt{x}</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 1.4 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 2 x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że

::<math>\exp (\theta (x)) = \exp (\theta (\lfloor x \rfloor)) = \exp \left( \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \right) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \exp (\log p) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} p = P (\lfloor x \rfloor) < 4^{\lfloor x \rfloor} \leqslant 4^x</math>

gdzie <math>P(n)</math> jest iloczynem liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, a oszacowanie <math>P(n) < 4^n</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, pokazaliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Zatem dla <math>x \geqslant 1</math> mamy

::<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

Ponieważ <math>\theta (x) = 0</math> dla <math>x \in (0, 2)</math>, to oszacowanie <math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math> jest prawdziwe dla <math>x > 0</math>.

'''Punkt 2.'''

To oszacowanie jest słabsze niż podane w poprzednim punkcie, ale chcemy pokazać, że możemy uzyskać je jeszcze łatwiej

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \leqslant \pi (\lfloor x \rfloor) \cdot \log \lfloor x \rfloor < {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} \cdot \log \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania <math>\pi (n) < {\small\frac{2 n}{\log n}}</math> prawdziwego dla <math>n \geqslant 2</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]]).

'''Punkt 3.'''

Korzystając ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n})</math>

otrzymujemy

::<math>\psi (x) - \theta (x) = \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

:::::<math>\;\;\;\; = \theta (x^{1 / 2}) + \sum_{n = 3}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + (\lfloor \log_2 x \rfloor - 2) \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + \log_2 x \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; < 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + {\small\frac{\log x}{\log 2}} \cdot 2 \log 2 \cdot x^{1 / 3}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + 2 \cdot x^{1 / 2} \cdot {\small\frac{\log x}{x^{1 / 6}}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \left( 2 \log 2 + {\small\frac{12}{e}} \right) x^{1 / 2} \qquad\qquad</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.8)

:::::<math>\;\;\;\; < 6 \sqrt{x}</math>

'''Punkt 4.'''

Z punktów 1. i 3. mamy

::<math>\psi (x) < \theta (x) + 6 \sqrt{x} < 2 \log 2 \cdot x + 6 \sqrt{x} = 2 \log 2 \cdot x \left( 1 + {\small\frac{6}{2 \log 2 \cdot \sqrt{x}}} \right) < 1.4 x</math>

Łatwo sprawdzamy, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla

::<math>x > {\small\frac{36}{(1.4 - 2 \log 2)^2}} > 1.917 \cdot 10^5</math>

Prawdziwość oszacowania <math>\psi (x) < 1.4 x</math> dla <math>x < 2 \cdot 10^5</math> łatwo sprawdzamy w PARI/GP (zobacz zadanie [[#R11|R11]]).

'''Punkt 5.'''

Skorzystamy ze wzoru pokazanego w punkcie C rozwiązania zadania [[#R4|R4]]. Mamy

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} \right\rfloor \leqslant \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log \lfloor x \rfloor = \log \lfloor x \rfloor \cdot \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} 1 = \log \lfloor x \rfloor \cdot \pi (\lfloor x \rfloor) < \log \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R7 
Pokazać, że jeżeli jedna z granic <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}}</math> lub <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math> istnieje i jest skończona, to istnieje również druga i granice te są równe.

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówka: skorzystaj z punktu 3. zadania [[#R6|R6]]. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R8* 
Prawdziwe są następujące oszacowania<ref name="Dusart10"/><ref name="Dusart18"/>

::<math>| \theta (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad\:</math> gdzie <math>c_1 = 1.2323</math>, <math>c_2 = 3.965</math>, <math>c_3 = 20.83</math>, <math>c_4 = 151.3</math>

::<math>| \psi (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad</math> gdzie <math>c_1 = 0.85</math>, <math>c_2 = 1.66</math>, <math>c_3 = 8.16</math>, <math>c_4 = 59.18</math>

::<math>0.9999 \sqrt{x} \underset{x \geqslant 121}{<} \psi (x) - \theta (x) \underset{x > 0}{<} 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x}</math>

Uwaga R9 
Pokażemy kilka prostszych oszacowań od podanych przez Dusarta. Dowód przeprowadzimy, łącząc rezultaty podane przez Dusarta i testując poprawność postulowanych oszacowań w skończonych przedziałach liczbowych. Nim jednak przejdziemy do tego tematu, musimy omówić istotne różnice, które pojawiają się, gdy przechodzimy od sprawdzania oszacowań w punktach, czyli dla liczb naturalnych, do sprawdzania oszacowań dla liczb rzeczywistych.

Uwaga R10 
Niech <math>f(x)</math> będzie rosnącą funkcją schodkową o wartościach stałych w przedziałach <math>[x_{s - 1}, x_s)</math>. Niech <math>g(x)</math> i <math>h(x)</math> będą ciągłymi, rosnącymi funkcjami rzeczywistymi. Oszacowanie <math>h(x) < f (x) < g (x)</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu skoku <math>x_s</math> spełnione są następujące warunki

:   ●      <math>g(x_s) > f (x_s) \qquad\qquad\;\;\;\,</math> (oszacowanie od góry musimy weryfikować w punktach skoku wartości funkcji)

:   ●      <math>h(x_s) < f (x_{s - 1}) \qquad\qquad</math> (oszacowanie od dołu musimy weryfikować z wartością funkcji z poprzedniego skoku)

Ostatni punkt <math>x_s</math>, dla którego nie zachodzi pierwszy lub drugi warunek, oznaczymy przez <math>x_{\max}</math>. Różne oszacowania nie wymagają różnych oznaczeń, bo sam punkt <math>x_{\max}</math> będzie przywoływany w kontekście niebudzącym wątpliwości.

'''W przypadku oszacowania od góry''' w punkcie <math>x_{\max}</math>
po raz ostatni mieliśmy <math>g (x_{\max}) \leqslant f (x_{\max})</math>. Zatem oszacowanie <math>f(x) < g (x)</math> staje się na pewno prawdziwe dla <math>x \geqslant x_{\max + 1}</math>. W rzeczywistości, ze względu na ciągły wzrost funkcji <math>g(x)</math> na płaskim stopniu <math>[x_{\max}, x_{\max + 1})</math>, oszacowanie to może zacząć zachodzić już znacznie wcześniej – w punkcie przecięcia się funkcji <math>g(x)</math> z poziomą linią <math>y = f (x_{\max})</math>. Ujmując precyzyjnie: jeżeli <math>x_0</math> jest rozwiązaniem równania <math>g(x) = f (x_{\max})</math>, to <math>f(x) < g (x)</math> dla <math>x > x_0</math>.

'''W przypadku oszacowania od dołu''' w punkcie <math>x_{\max}</math> po raz ostatni mieliśmy <math>h (x_{\max}) \geqslant f (x_{\max - 1})</math>. Punkt <math>x_{\max}</math> jest jednocześnie punktem, od którego (włącznie z tym punktem) prawdziwe jest oszacowanie od dołu, czyli mamy: <math>h(x) < f (x)</math> dla <math>x \geqslant x_{\max}</math>. Jest tak dlatego, że w <math>x_{\max}</math> funkcja <math>f(x)</math> wykonuje skok, po którym już nigdy nie będzie mniejsza lub równa <math>h(x)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
::[[File:ilustracja-szacowania-funkcji.png|1100px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R11 
Pokazać, że prawdziwe są oszacowania
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.05 \underset{x \geqslant 1427}{<} {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \underset{1 \leqslant x \leqslant 10^{17}}{<} 0</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.02 \underset{x \geqslant 1423}{<} {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \underset{x \geqslant 467.6}{<} 0.02</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \underset{121 \leqslant x \leqslant 10^9}{<} {\small\frac{\psi (x) - \theta (x)}{\sqrt{x}}} - 1 \underset{x \geqslant 80489.8}{<} 0.2</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. - lewa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.1 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_3}{\log^3 x}} = {\small\frac{20.83}{\log^3 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{20.83}{\log^3 (10^4)}} \approx 0.02666 \ldots</math> Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowanie <math>\theta (x) > 0.95 x</math> jest prawdziwe.

'''Punkt 1. - prawa nierówność'''

Platt i Trudgian pokazali<ref name="PlattTrudgian1"/>, że oszacowanie <math>\theta (x) < x</math> nie jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 1</math>. Autorzy sprawdzili, że <math>\theta (x) < x</math> dla <math>x < 1.39 \cdot 10^{17}</math>

'''Punkt 2. - lewa i prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.2 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_2}{\log^2 x}} = {\small\frac{1.66}{\log^2 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{1.66}{\log^2 (10^4)}} \approx 0.019568 \ldots</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowania <math>\psi (x) > 0.98 x</math> oraz <math>\psi (x) < 1.02 x</math> są prawdziwe.

'''Punkt 3. - lewa nierówność'''

Tutaj nierówność <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> sprawdziliśmy dla wszystkich <math>x \leqslant 10^9</math>. Wiemy (zobacz [[#R8|R8]] p.3), że <math>\psi (x) - \theta (x) > 0.9999 \sqrt{x}</math> dla <math>x \geqslant 121</math>. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 121</math>.

'''Punkt 3. - prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.3 wiemy, że dla <math>x > 0</math> możemy napisać

::<math>\psi (x) - \theta (x) < 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x} = 1.2 \sqrt{x} \left( {\small\frac{1.00007}{1.2}} + {\small\frac{1.78}{1.2 \cdot x^{1 / 6}}} \right)</math>

Wyrażenie w nawiasie maleje dla rosnących <math>x</math> i dla <math>x = 5 \cdot 10^5</math> osiąga wartość <math>0.9998902 \ldots < 1</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 5 \cdot 10^5</math> oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) < 1.2 \sqrt{x}</math> jest prawdziwe.

Do testowania poprawności oszacowań wykorzystaliśmy prosty kod w PARI/GP. Podajemy tylko przykład dla funkcji <math>\psi (x)</math>, pozostałe Czytelnik bez trudu napisze samodzielnie. Aby skrócić czas obliczeń, program narastająco oblicza wartość <math>\psi (x)</math> i sprawdza oszacowania.

psiTest(n) =
{
'''local'''(k, kmax, linia, p, sum1, sum2, sum2max, spacje, x0);
linia = '''strjoin'''('''vector'''(50, k, "="));
spacje = '''strjoin'''('''vector'''(35, k, " "));
k = kmax = p = sum1 = sum2 = sum2max = 0;
'''while'''( k++ <= n,
'''if'''( '''isprimepower'''(k, &p), sum1 = sum2; sum2 = sum2 + '''log'''(p), '''next'''); \\ sum1 przechowuje poprzednią wartość psi
'''if'''( sum2 >= 1.02*k, kmax = k; sum2max = sum2; '''print'''(spacje, k, " ", sum2/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od góry (powinno być 1.02*k > sum2)
'''if'''( sum1 <= 0.98*k, '''print'''(k, " ", sum1/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od dołu (powinno być 0.98*k < sum1)
);
\\ oszacowanie od góry - szukamy następnego skoku po kmax
k = kmax + 1;
sum2 = sum2max;
'''while'''( !( '''isprimepower'''(k, &p) ), k++);
'''print'''(linia);
'''print'''(spacje, k, " ", (sum2 + '''log'''(p))/k );
\\ znajdujemy punkt przecięcia
x0 = '''solve'''( x = kmax, k-0.001, 1.02*x - sum2max );
'''print'''(spacje, "x0 = ", x0);
}
 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi liczb zespolonych ==

Uwaga R12 (przyjęte oznaczenia logarytmów) 
W dalszej części tekstu, w celu zachowania jednoznaczności i uniknięcia nieporozumień notacyjnych, konsekwentnie stosujemy następujące oznaczenia

<math>\ln (x) \;\;\,</math> – zwykły logarytm naturalny; stosowany wyłącznie wtedy, gdy zmienna <math>x</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą; wynik tej funkcji jest zawsze liczbą rzeczywistą

<math>\log (z) \:\,</math> – logarytm zespolony (wielowartościowy); funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych <math>z \neq 0</math>, która zwraca zbiór wartości różniących się o wielokrotność <math>2 \pi i</math>

<math>\operatorname{Log} (z)</math> – wartość główna logarytmu zespolonego; funkcja jednowartościowa (główna gałąź logarytmu), zdefiniowana jednoznacznie jako <math>\operatorname{Log} (z) = \ln | z | + i \operatorname{Arg} (z)</math>, gdzie <math>\operatorname{Arg} (z)</math> oznacza główny argument liczby zespolonej należący do przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>

Twierdzenie R13 
Niech <math>(z_k)</math> będzie ciągiem o wyrazach zespolonych. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} z_k</math> też jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>z_k = x_k + i y_k</math>. Ponieważ

::<math>0 \leqslant | x_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

::<math>0 \leqslant | y_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

to na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | x_k |</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | y_k |</math> są zbieżne. Wynika stąd, że zbieżne są też szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} x_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} y_k</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D12|D12]]). Zatem ciąg sum częściowych

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} z_k = \sum_{k = 1}^{n} x_k + i \sum_{k = 1}^{n} y_k</math>

również jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R14 
Niech <math>(z_{k_j})</math> będzie dowolnym podciągiem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]) ciągu liczb zespolonych <math>(z_k)</math>. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} z_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to szereg <math>\sum_{j = 1}^{\infty} z_{k_j}</math> też jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k | = c</math>

Zatem

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} | z_{k_j} | \leqslant c</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>S_N = \sum_{j = 1}^{N} | z_{k_j} |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R15 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że dla reszty szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Porównaj wynik z oszacowaniem w przypadku, gdy <math>z</math> jest liczbą rzeczywistą (zobacz [[Szeregi liczbowe#D5|D5]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy najpierw skończoną sumę częściową reszty szeregu od indeksu <math>k = N + 1</math> do pewnej dużej liczby naturalnej <math>M > N + 1</math>

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Z twierdzenia o sumowaniu przez części (zobacz [[Szeregi liczbowe#D83|D83]]) możemy napisać

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{1}{k^z}} \cdot (- 1)^{k + 1}</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M) - \sum_{k = N + 1}^{M - 1} \left[ {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right] \cdot B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = N + 1}^k (- 1)^{j + 1}</math>

Zauważmy, że

::<math>B(k) = \underbrace{(- 1)^{N + 2} + (- 1)^{N + 3}}_0 + \underbrace{(- 1)^{N + 4} + (- 1)^{N + 5}}_0 + \ldots + (- 1)^{k + 1} =
\begin{cases}
0 & \text{dla parzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\pm 1 & \text{dla nieparzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\end{cases}
</math>

Zatem <math>|B (k) | \leqslant 1</math>.

Przechodząc z <math>M</math> do nieskończoności, otrzymujemy nieskończoną resztę szeregu <math>R_N (z)</math>. Ponieważ <math>|B (k) | \leqslant 1</math> oraz <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, to składnik <math>{\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M)</math> dąży do zera. Mamy

::<math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k)</math>

Teraz łatwo znajdujemy oszacowanie modułu reszty

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right| \cdot | B (k) |</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right|</math>
</div>

Niech <math>z = x + i y</math>. Aby znaleźć oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right|</math>

zdefiniujemy funkcję pomocniczą <math>f(t) = t^{- z}</math> zmiennej rzeczywistej <math>t</math>. Zauważmy, że

::<math>f' (t) = - z t^{- z - 1}</math>

oraz

::<math>| f' (t) | = | - z | \cdot | t^{- z - 1} | = | z | \cdot | t^{- x - i y - 1} | = | z | \cdot t^{- x - 1}</math>

Zapisując różnicę <math>f(k + 1) - f (k)</math> jako całkę z pochodnej funkcji <math>f(t)</math>, uzyskamy wzór, który łatwo możemy szacować i sumować

::<math>\left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| = | f (k + 1) - f (k) |</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \left| \int_{k}^{k + 1} f' (t) d t \right|</math>

::::::<math>\;\;\:\, \leqslant \int_{k}^{k + 1} | f' (t) | d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \int_{k}^{k + 1} | z | \cdot t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = | z | \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

Stąd już łatwo znajdujemy oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant | z | \sum_{k = N + 1}^{\infty} \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \int_{N + 1}^{\infty} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ - {\small\frac{t^{- x}}{x}} \right] \biggr\rvert_{N + 1}^{\infty}</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ 0 + {\small\frac{(N + 1)^{- x}}{x}} \right]</math>

::::::::<math>\;\;\, = {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R16 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zakładamy, że potęga zespolona <math>k^z</math> jest potęgą w sensie wartości głównej <math>k^z = e^{z \cdot \operatorname{Log} (k)} = e^{z \cdot \ln (k)}</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^{x + i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x k^{i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x | \cdot | k^{i y} |}} = \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^x \cdot | e^{i y \ln k} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>

Szereg po prawej stronie jest zbieżny, gdy <math>x > 1</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D50|D50]] p.6). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R17 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych <math>(S_N)</math> jest zbieżny. Niech <math>S</math> oznacza granicę ciągu <math>(S_N)</math>. Reszty <math>R_N</math> szeregu definiujemy jako <math>R_N = S - S_N</math>. Zatem szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg <math>(R_N)</math> reszt tego szeregu jest zbieżny do zera.

Z zadania [[#R15|R15]] wiemy, że dla reszt <math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
::<math>0 \leqslant | R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Dla ustalonego <math>z</math> takiego, że <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy, że

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} | R_N (z) | = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R18 
Pokazać, że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Założenie <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> gwarantuje nam bezwzględną zbieżność obydwu szeregów (zobacz [[#R16|R16]]). Bezwzględna zbieżność pozwala nam zapisać rozpatrywane szeregi w postaci sumy szeregów dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zauważmy, że szeregi po prawej stronie też są bezwzględnie zbieżne (zobacz [[#R14|R14]]). Odejmując stronami, dostajemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = 2 \cdot {\small\frac{1}{2^z}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta i <math>\zeta (z)</math> Riemanna ==

Uwaga R19 
Zauważmy, że szeregi

::<math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

definiują pewne funkcje różniczkowalne w obszarze <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Co więcej, w obszarze tym zachodzi tożsamość

::<math>\eta (z) = (1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>

(zobacz [[#R18|R18]]). Szereg określający funkcję <math>\eta (z)</math> jest zbieżny i definiuje funkcję różniczkowalną dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, czyli w większym obszarze. Stanowi on zatem przedłużenie analityczne funkcji zdefiniowanej pierwotnie dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> przez wyrażenie <math>(1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>.

Z zasady przedłużenia analitycznego wynika, że relacja ta musi zostać zachowana w całym nowym obszarze. W konsekwencji, dla całej półpłaszczyzny <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (z wyłączeniem punktów, gdzie <math>1 - 2^{1 - z} = 0</math>), funkcja <math>\zeta (z)</math> może być jednoznacznie zdefiniowana jako

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Zauważmy, że mianownik <math>1 - 2^{1 - z}</math> jest elementem jednowartościowej funkcji <math>\zeta (z)</math>, zatem potęga <math>2^{1 - z}</math> nie może być wieloznaczną funkcją i zawsze w takich przypadkach bierzemy wartość główną potęgi. Mamy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB30|ZB30]] p.1)

::<math>1 - 2^{1 - z} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{(1 - z) \ln 2} = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (1 - z) \ln 2 = 2 k \pi i \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1 - z = {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>

W punktach <math>z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math>, w których mianownik się zeruje, następuje jednoczesne wyzerowanie się szeregu <math>\eta (z)</math>. Otrzymana osobliwość typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math> jest usuwalna, a funkcja <math>\zeta (z)</math> przyjmuje tam skończone wartości w sensie granicy. Jedyna osobliwość, jaka pozostaje, to punkt <math>z = 1</math>.

Zadanie R20 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>, czyli, że <math>\eta (z)</math> jest funkcją ciągłą.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Przypomnijmy definicję ciągłości funkcji. Mówimy, że funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>z_0</math>, jeżeli

:*&emsp;funkcja <math>f(z)</math> jest określona w punkcie <math>z_0</math> – czyli wartość <math>f(z_0)</math> istnieje i jest skończona

:*&emsp;granica funkcji <math>f(z)</math> w punkcie <math>z_0</math> istnieje, jest skończona i jest równa <math>f(z_0)</math> – czyli <math>\lim_{z \to z_0} f (z) = f (z_0)</math>

Przyglądając się definicji ciągłości, zauważymy, że pozwala ona na „wejście” z granicą pod znak funkcji. Staje się to bardziej widoczne, gdy zapiszemy tę zależność dla funkcji złożonej <math>f (g (z))</math>. Wówczas ciągłość funkcji <math>f</math> w punkcie <math>c</math>, będącym skończoną granicą funkcji wewnętrznej <math>c = \lim_{z \to z_0} g (z)</math>, pozwala nam zamienić kolejność wykonywania operacji

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z))</math>

W naszym przypadku funkcja <math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest określona i przyjmuje skończone wartości dla każdego <math>z</math> spełniającego <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, ponieważ w tym obszarze ten szereg naprzemienny jest zbieżny (zobacz [[#R17|R17]]). Zatem pokazując, że dla dowolnego punktu <math>z_0</math> ( takiego, że <math>\operatorname{Re}(z_0) > 0</math>) zachodzi <math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>, udowodnimy tym samym, że funkcja <math>\eta (z)</math> jest ciągła w swojej dziedzinie. W tym kontekście ciągłość oznacza, że możemy zamienić kolejność obliczania granicy i sumowania (czyli „wejść” z granicą pod znak sumy)

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 2em;">
::<math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right] = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} = \eta (z_0)</math>
</div>

Czytelnik może łatwo sprawdzić, że taka zamiana nie zawsze jest dozwolona. Wystarczy zbadać prostą funkcję <math>g(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (x^k - x^{k + 1})</math> określoną w przedziale <math>[0, 1)</math> i obliczyć jej granicę lewostronną przy <math>x \to 1^-</math>.

Tyle uwag o ciągłości – przejdźmy do naszego problemu. Musimy pokazać, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right] = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}}</math>
</div>

Co możemy zapisać w postaci

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left[ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right] = 0</math>
</div>

Rozważmy

::<math>| \eta (z) - \eta (z_0) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 2em;">
::::::<math>\,\, = \left| \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) + \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} - \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 2em; margin-bottom: 1.5em;">
::::::<math>\,\, \leqslant \left| \sum_{k = 1}^{N} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) \right| + \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| + \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{z_0}}} \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::::<math>\,\, \leqslant \sum_{k = 1}^{N} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| + {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}} + {\small\frac{| z_0 |}{\operatorname{Re}(z_0)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z_0)}}}</math>
</div>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania reszty szeregu naprzemiennego (zobacz [[#R15|R15]]).

Niech <math>\mathbb{H}_R = \{ z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re}(z) > 0 \}</math> oznacza prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zespolonej <math>\mathbb{C}</math>, a <math>z_0</math>
będzie dowolnym, ale ustalonym punktem <math>\mathbb{H}_R</math>. Ponieważ badamy granicę przy <math>z \to z_0</math>, możemy bez zmniejszania ogólności ograniczyć się do dowolnie małego otoczenia punktu <math>z_0</math>. W szczególności możemy wybrać otoczenie <math>U(z_0, r)</math>, gdzie <math>r = {\small\frac{1}{2}} \operatorname{Re}(z_0)</math>.
Wartość promienia nie została wybrana przypadkowo: taki wybór gwarantuje nam, że <math>U(z_0, r) \subset \mathbb{H}_R</math>. Jeśli <math>z \in U (z_0, r)</math>, to mamy

::<math>| z | = | z - z_0 + z_0 | \leqslant | z - z_0 | + | z_0 | < | z_0 | + r</math>

::<math>\operatorname{Re}(z) > \operatorname{Re}(z_0) - r = r</math>

bo

::<math>\operatorname{Re}(z_0) - \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z_0 - z) \leqslant | z_0 - z | = | z - z_0 | < r</math>

Ponieważ

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}} < {\small\frac{|z_0 | + r}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{|z_0 |}{\operatorname{Re}(z_0)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z_0)}}} = {\small\frac{|z_0 |}{2 r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{2 r}}} < {\small\frac{|z_0 |}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}} < {\small\frac{|z_0 | + r}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>
</div>

to możemy zapisać oszacowanie w postaci

::<math>| \eta (z) - \eta (z_0) | < \sum_{k = 1}^{N} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| + {\small\frac{2 (| z_0 | + r)}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>

Zauważmy, że ze względu na ciągłość modułu oraz ciągłość funkcji <math>f(z) = {\small\frac{1}{k^z}}</math>, dla każdego ustalonego <math>k</math> przy <math>z \rightarrow z_0</math> dostajemy

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right| = \left| \lim_{z \rightarrow z_0} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{k^{z_0}}} \right) \right| = 0</math>

Korzystając z faktu, że granica skończonej sumy jest sumą granic, przechodzimy do granicy przy <math>z \to z_0</math> w całej nierówności. Ponieważ drugi człon nie zależy od <math>z</math>, otrzymujemy

::<math>0 \leqslant \lim_{z \rightarrow z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) | \leqslant {\small\frac{2 (| z_0 | + r)}{r}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math>

Powyższa nierówność zachodzi dla dowolnie wybranego <math>N \in \mathbb{N}</math>, podczas gdy wartość <math>\lim_{z \to z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) |</math> jest stałą liczbą niezależną od <math>N</math>. Ponieważ <math>r > 0</math>, ułamek <math>{\small\frac{1}{(N + 1)^r}}</math> możemy uczynić dowolnie małym poprzez wybór odpowiednio dużego <math>N</math>. Ze względu na tę dowolność, lewa strona nierówności musi być równa zeru

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} | \eta (z) - \eta (z_0) | = 0</math>

Co oznacza, że <math>\lim_{z \to z_0} \eta (z) = \eta (z_0)</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R21 
Niech <math>z = x + i y</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to prawdziwe są następujące oszacowania dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 0.5em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.2em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>x > 1</math> jest liczbą rzeczywistą, sumujemy wyrazy dodatnie, bo <math>{\small\frac{1}{k^x}} = e^{- x \cdot \ln (k)} > 0</math>. Niech <math>f (t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math>, gdzie <math>x > 1</math>. Mamy

::<math>f' (t) = - {\small\frac{x}{t^{x + 1}}}</math>

Czyli <math>f' (t) < 0</math> dla <math>t > 0</math> i <math>x > 1</math>, zatem <math>f(t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math> jest dla <math>x > 1</math> ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>[1, \infty)</math>. Z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]] otrzymujemy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} < 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t = 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 2.'''

Kolejną nierówność dowodzimy, korzystając ponownie z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]. Mamy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
= 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
> 1 + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t
= 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{2}^{\infty}
= 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

'''Punkt 3.'''

Z definicji <math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> dla <math>\operatorname{Re} (z) > 1</math>. Zauważmy, że

::<math>| \zeta (z) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = \zeta (x)</math>

Zatem z punktu 1. wynika natychmiast, że

::<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 4.'''

Pierwszą nierówność

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

udowodnimy w zadaniu [[#R45|R45]]. Kolejne oszacowania otrzymujemy z punktów 2. i 1.

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > \left( 1 + {\small\frac{1}{x - 1}} \right)^{- 1} = 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R22 
Pokazać, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą. Zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podstawiając bezpośrednio punkt <math>z = 1</math> do wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad (\ast)</math>

zauważamy, że licznik przyjmuje wartość <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), natomiast mianownik jest równy zero. Otrzymujemy zatem wyrażenie typu <math>{\small\frac{\ln 2}{0}}</math>, co oznacza, że całość ucieka do nieskończoności. Widzimy więc, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą.

Aby dokładniej zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w tym punkcie, przyjmijmy, że zbliżamy się do punktu <math>z = 1</math> z dowolnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej, zapisując <math>z = 1 + \Delta z</math>, gdzie <math>\Delta z \to 0</math>. Mianownik wzoru <math>(\ast)</math> przyjmuje wówczas postać

::<math>1 - 2^{1 - z} = 1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2}</math>

Wiemy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB14|ZB14]]), że dla małych wartości <math>| z |</math> prawdziwe jest przybliżenie <math>e^z \approx 1 + z</math>, zatem możemy mianownik zapisać jako

::<math>1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2} = 1 - (1 - \Delta z \cdot \ln 2) = \Delta z \cdot \ln 2</math>

Ponieważ dla <math>z \to 1</math> licznik dąży do wartości <math>\ln 2</math>, zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math> opisuje uproszczona zależność

::<math>\zeta (1 + \Delta z) \approx {\small\frac{\ln 2}{\Delta z \cdot \ln 2}} = {\small\frac{1}{\Delta z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Zatem w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> zachowuje się asymptotycznie jak <math>{\small\frac{1}{z - 1}}</math>.

::[[File:dzeta-biegun-funkcji.png|1200px|none]]

Na rysunku widzimy mapy warstwowe (poziomicowe) składowych funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math>.

Lewy wykres przedstawia poziomy części rzeczywistej <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> mamy <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Podobnie prawy wykres przedstawia poziomy części urojonej <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> mamy <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi.

Zauważmy, że wszystkie poziomice są okręgami stycznymi w punkcie <math>z = 1</math>. Warto zastanowić się, dlaczego tak jest. Pokazaliśmy wyżej, że w pobliżu punktu <math>z = 1</math> mamy[a]

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{z - 1}} = {\small\frac{1}{x + i y - 1}} = {\small\frac{1}{(x + i y - 1)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1 + i y) (x - 1 - i y)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

Zatem

::<math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\operatorname{Im}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{- y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\left| {\small\frac{1}{z - 1}} \right| = {\small\frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}}</math>

W przypadku wykresu po lewej stronie interesują nas punkty, dla których <math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right)</math> przyjmuje pewną stałą wartość <math>C</math> (gdzie <math>C \neq 0</math> ). Wynika stąd równanie

::<math>{\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}} = C</math>

::<math>(x - 1)^2 + y^2 = {\small\frac{1}{C}} (x - 1)</math>

::<math>(x - 1)^2 - {\small\frac{1}{C}} (x - 1) + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - 1 - {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2 - {\small\frac{1}{4 C^2}} + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - \left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}} \right) \right)^2 + y^2 = \left( {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2</math>

Otrzymaliśmy równanie okręgu <math>(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>. Środek tego okręgu leży w punkcie <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math>, a promień jest równy <math>R = \left| {\small\frac{1}{2 C}} \right|</math>. Zauważmy, że dla punktu <math>x = 1</math>, <math>y = 0</math> powyższe równanie jest spełnione bez względu na wartość stałej <math>C</math>. Oznacza to, że bez względu na wybór stałej <math>C</math> punkt <math>z = 1</math> zawsze leży na każdym z tych okręgów.

Widzimy też, że im większa jest stała <math>| C |</math>, tym promień okręgu <math>R = {\small\frac{1}{| 2 C |}}</math> staje się coraz mniejszy, a środek okręgu <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math> przesuwa się coraz bliżej punktu <math>z = 1</math>.

Wykresy trójwymiarowe funkcji <math>\operatorname{Re}(\zeta (z))</math>, <math>\operatorname{Im}(\zeta (z))</math>, <math>| \zeta (z) |</math> w pobliżu punktu <math>z = 1</math> Czytelnik może obejrzeć tutaj: [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(x-1)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=60;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=3.444100869426259,-7.5971635126247445,5.515548546034267,1;focus=0,0,0,1;up=-0.2070614921567268,0.6030196673762389,0.7703848513718841,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.55;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Re], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(-y)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=4.586717166130226,-6.016752754731321,6.539167525484936,1;focus=0,0,0,1;up=-0.5129496914638173,0.4216278857530943,0.7477382830794143,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.5;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Im], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=1/(sqrt((x-1)%5E2+y%5E2));funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=5.342751327864454,6.243169489324923,5.69893349462556,1;focus=0,0,0,1;up=-0.3350417095775116,-0.5673621911342946,0.752228154827157,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.6500000000000001;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-abs].

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Dokładne rozwinięcie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> ma postać

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \gamma - \gamma_1 (z - 1) + {\small\frac{\gamma_2}{2!}} (z - 1)^2 - {\small\frac{\gamma_3}{3!}} (z - 1)^3 + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> to stała Eulera, a <math>\gamma_k</math> to stałe Stieltjesa. Przykładowo

::<math>\gamma_1 \approx - 0.0728158455</math>, <math>\gamma_2 \approx - 0.0096903632</math>, <math>\gamma_3 \approx 0.0020538344</math>, <math>\gamma_4 \approx 0.0023253701</math>, <math>\gamma_5
\approx 0.0007933238</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R23 
Pokazać, że funkcja <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z)</math>. Pokazać, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podobnie jak w przypadku funkcji <math>\eta (z)</math> i <math>\zeta (z)</math> wychodzimy od obszaru <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, gdzie funkcja <math>\zeta (z)</math> jest dobrze określona przez zbieżny bezwzględnie szereg

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zapiszmy każdy składnik sumy w postaci

::<math>{\small\frac{1}{k^z}} = \int_k^{k + 1} t^{- z} dt + \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>k = 1</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\zeta (z) = \int_1^{\infty} t^{- z} dt + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Obliczając pierwszą całkę, dostajemy

::<math>\int_1^{\infty} t^{- z} dt = {\small\frac{t^{- z + 1}}{1 - z}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 0 - {\small\frac{1}{1 - z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Granica w nieskończoności wynika natychmiast z prostego spostrzeżenia

:: <math>| t^{1 - z} | = t^{1 - \operatorname{Re}(z)} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>

a jeśli tak, to również <math>t^{1 - z} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>.

Zatem

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

Pokażemy teraz, że szereg <math>g(z)</math> jest zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Zapiszmy <math>g(z)</math> w postaci

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

i oszacujmy wyrazy sumy po prawej stronie

::<math>a_k = \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

Rozważmy funkcję <math>f(x) = x^{- z}</math>. Z twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/> istnieje taka liczba <math>a \in [k, t]</math>, że

::<math>| f (k) - f (t) | = | k^{- z} - t^{- z} | = | f' (a) \cdot (t - k) | = | - z \cdot a^{- z - 1} (t - k) | = | z | \cdot | a^{- z - 1} | \cdot (t - k) = | z | \cdot a^{- \operatorname{Re}(z) - 1} (t - k) \leqslant | z | \cdot k^{- \operatorname{Re} (z) - 1} (t - k)</math>

bo dla <math>\operatorname{Re}(z) > - 1</math> wyrażenie <math>a^{- \operatorname{Re}(z) - 1}</math> jest funkcją malejącą zmiennej <math>a.</math>

Mamy

::<math>| a_k | = \left| \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t \right|</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} | k^{- z} - t^{- z} | d t</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_k^{k + 1} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_0^1 v d v</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{2 k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ostatecznie otrzymaliśmy proste oszacowanie

::<math>0 \leqslant | a_k | \leqslant {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ponieważ szereg

::<math>{\small\frac{|z|}{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} = {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (zobacz [[#R16|R16]]), to z kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math> jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0.</math>

Zgodnie z fundamentalnym w analizie zespolonej twierdzeniem o jednoznaczności, jeśli dwie funkcje różniczkowalne pokrywają się w jakimś obszarze (w tym przypadku dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>), to istnieje tylko jedno możliwe przedłużenie tej funkcji na większy obszar (<math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>). Ponieważ wzór <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math> jest różniczkowalny w tym większym obszarze, to jest on przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z).</math> Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R24 
Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wiemy (zobacz [[#R23|R23]]), że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma analityczne przedłużenie prawdziwe dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> postaci

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

Szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1) \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right)</math>

(zobacz [[#R23|R23]] i [[#R21|R21]]).

Rozważmy otoczenie <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> punktu <math>z = 1</math> o promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Takie otoczenie to zbiór punktów <math>\mathbb{C}</math> określonych nierównością <math>| z - 1 | < {\small\frac{1}{2}}</math>. Łatwo zauważamy, że w tym otoczeniu prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| z | = | (z - 1) + 1 | \leqslant | z - 1 | + | 1 | < {\small\frac{1}{2}} + 1 = {\small\frac{3}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż rysunek|Hide=Ukryj rysunek}}
[[File:okregi-i-kolo-na-C.png|400px|none]]
{{\Spoiler}}

Warunek <math>|z - 1| < {\small\frac{1}{2}}</math> spełniają punkty należące do wnętrza koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie <math>(1, 0)</math> i promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Ponieważ
część rzeczywista <math>\operatorname{Re}(z)</math> to współrzędna <math>x</math> na płaszczyźnie zespolonej, to musi być <math>\operatorname{Re}(z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} < 2</math>

Zbierając, otrzymujemy, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60|ZB60]] wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = \lim_{z \rightarrow 1} \left[ (z - 1) \left( {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z) \right) \right] = \lim_{z \rightarrow 1} [1 + (z - 1) g (z)] = 1 + \lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R25 
Pokazać, że <math>g(1) = \gamma</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x^z}} dx \right)</math>

a <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R23|R23]] pokazaliśmy, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny w półpłaszczyźnie <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Ponieważ punkt <math>z = 1</math> leży wewnątrz tego obszaru, możemy bezpośrednio podstawić <math>z = 1</math> i obliczyć sumę szeregu <math>g(1) .</math> Rozważmy sumy częściowe

::<math>g_N (1) = \sum_{k = 1}^N \left( {\small\frac{1}{k}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^N \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \int_1^{N + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \Bigr[ \ln (x) \bigr\rvert_{1}^{N + 1} \Bigr]</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N + 1)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) - \ln \left( {\small\frac{N + 1}{N}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] - \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right)</math>

Przechodząc z <math>N</math> do nieskończoności, otrzymujemy<ref name="Euler1"/>.

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] = \gamma</math>

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right) = 0</math>

Zatem <math>g(1) = \lim_{N \rightarrow \infty} g_N (1) = \gamma</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R26 
Niech <math>z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Funkcję dzeta Riemanna definiujemy następująco

::<math>\zeta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) > 1 & \text{pierwotna definicja funkcji dzeta Riemanna} \\[2ex]

\infty & \text{gdy } z = 1 & \text{jedyny punkt rozbieżności (szereg harmoniczny)} \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \tfrac{1}{2} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1 \qquad z \neq 1 & \text{przedłużenie analityczne przez funkcję } \eta \text{ Dirichleta} \\[2ex]

\displaystyle 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} \qquad z \neq 0 & \text{równanie funkcyjne Riemanna} \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Wiersze drugi i piąty w powyższej definicji nie tyle definiują, co informują Czytelnika o zachowaniu funkcji <math>\zeta (z)</math> w punktach <math>z = 1</math> i <math>z = 0</math> (punkt <math>z = 1</math> nawet nie należy do dziedziny funkcji dzeta). Zdecydowaliśmy się je zamieścić, bo są to punkty, o które natychmiast pytamy, patrząc na wzory. Dodatkowo punkty te wiąże równanie funkcyjne Riemanna.

Zauważmy, że funkcja <math>\zeta (z)</math> nie jest funkcją wielowartościową – dlatego w definicji bierzemy wartości główne potęg zespolonych <math>k^z, 2^z, \pi^{z - 1}</math>. Aby określić wartości <math>\zeta (z)</math> dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> moglibyśmy użyć dowolnego przedłużenia analitycznego funkcji <math>\zeta (z)</math>.

Zadanie R27 
Pokazać na podstawie definicji funkcji <math>\zeta (z)</math>, że funkcja <math>\eta (z)</math> może być określona dla wszystkich <math>z \in \mathbb{C}</math> następująco

::<math>\eta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) \geqslant \tfrac{1}{2} & \text{szereg zbieżny dla } \operatorname{Re}(z) > 0 \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} & \text{równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji } \eta (z) \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Uwaga R28 
Równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R27|R27]])

::<math>- {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

łączy wartości funkcji <math>\eta (z)</math> z przedziału <math>{\small\frac{1}{2}} < \operatorname{Re}(z) < 1</math> z wartościami funkcji <math>\eta (z)</math> w przedziale <math>0 < \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math>. Jest to związek zaskakujący – zupełnie nie widać powodu, dla którego sumy szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 4}}} \approx 0.554487386</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{3 / 4}}} \approx 0.651115680</math>

miałyby być ze sobą powiązane. A jednak wiąże je współczynnik, którego wartość możemy łatwo policzyć

::<math>- {\small\frac{2^{1 / 4} - 2}{2^{1 / 4} - 1}} \cdot \pi^{- 3 / 4} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi}{8}} \right) \Gamma \left( {\small\frac{3}{4}} \right) \approx 0.851595812</math>

Zadanie R29 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Pokazać, że <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>, gdzie <math>B_n</math> są liczbami Bernoulliego (zobacz [[Wzór Eulera-Maclaurina#E6|E6]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (0)}</math>

Pierwszy sposób 

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right] = 2^0 \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} \cdot \lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)]</math>

Pierwszą granicę po prawej stronie policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{1} = {\small\frac{\pi}{2}}</math>

Drugą granicę już znamy (zobacz [[#R24|R24]])

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} [- z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} \{ [(1 - z) - 1] \cdot \zeta (1 - z) \} = - \lim_{w \rightarrow 1} [ (w - 1) \cdot \zeta (w) ] = - 1</math>

Zatem <math>\zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>.

Drugi sposób 

Korzystając z odpowiednika równania funkcyjnego Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R27|R27]])

::<math>\eta (z) = - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) \right] = - (- 1) \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \eta (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1}</math>

Wiemy, że <math>\eta (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Ostatni czynnik po prawej stronie to wyrażenie nieoznaczone typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math>. Jego wartość policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right) \cdot \tfrac{\pi}{2}}{2^z \cdot \ln 2} = {\small\frac{\pi}{2 \ln 2}}</math>

Łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy <math>\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Ze wzoru <math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>, który stanowi przedłużenie funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>0 < \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math>, otrzymujemy w granicy, gdy <math>z</math> dąży do zera, że

::<math>\zeta (0) = - \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać.

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k + 1)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

i pamiętając o tym, że<ref name="Baselproblem1"/>

::<math>\zeta (2 k) = \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

dostajemy (zobacz [[#R26|R26]], [[Szeregi liczbowe#D143|D143]] p.2)

::<math>\zeta (- 2 k + 1) = 2^{- 2 k + 1} \pi^{- 2 k} \sin \left( - {\small\frac{\pi (2 k - 1)}{2}} \right) \Gamma (2 k) \zeta (2 k)</math>

:::::<math>\;\;\; = \frac{2 (- 1)^k}{2^{2 k} \pi^{2 k}} \cdot (2 k - 1) ! \cdot \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math>

:::::<math>\;\;\; = - {\small\frac{B_{2 k}}{2 k}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta (- 2 k) = 2^{- 2 k} \pi^{- 2 k - 1} \sin \left( - {\small\frac{2 k \pi}{2}} \right) \Gamma (2 k + 1) \zeta (2 k + 1) = 0</math>

bo <math>\sin (k \pi) = 0</math>.

Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R30 
Na wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant 0</math> możemy patrzeć jedynie jako na funkcję zdefiniowaną równaniem funkcyjnym Riemanna. Ale możemy spojrzeć też tak, jakby była ona sposobem przypisywania konkretnych liczb szeregom ewidentnie rozbieżnym. Przykładowo

::<math>\zeta (- n) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^n = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>

Najciekawsze jest to, że przypisania te są zgodne z wcześniejszymi próbami matematyków w tej kwestii (zobacz [[Szeregi liczbowe#D109|D109]]). W poniższym zadaniu pokazujemy kilka dalszych przykładów.

Zadanie R31 
Uzasadnić, dlaczego mamy: <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 2) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \eta (z)</math>

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}}</math>

Rozważmy szereg geometryczny zbieżny dla <math>| t | < 1</math>

::<math>{\small\frac{1}{1 + t}} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast)</math>

Widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{2}} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \eta (0)</math>

Zatem

::<math>\zeta (0) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 0}}} \cdot \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 1) = {\small\frac{1}{4}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}}</math>

Różniczkując obie strony wzoru <math>(\ast)</math>, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{(1 + t)^2}} = 1 - 2 t + 3 t^2 - 4 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Ponownie widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, mamy

::<math>{\small\frac{1}{4}} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = \eta (- 1)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 1) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 1)}}} \cdot \eta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 2) = 0}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2) = 0}</math>

Mnożąc obie strony równania <math>(\ast \ast)</math> przez <math>t</math> i różniczkując, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1 - t}{(1 + t)^3}} = 1 - 4 t + 9 t^2 - 16 t^3 + 25 t^4 - 36 t^5 + \ldots</math>

W granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>0 = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - 36 + \ldots = \eta (- 2)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 2) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 2)}}} \cdot \eta (- 2) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R32 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla każdego <math>x > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{1}{2}} < \eta (x) < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji <math>\eta (x)</math> mamy

::<math>\eta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n^x}} = 1 - {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} - {\small\frac{1}{4^x}} + \ldots</math>

Zauważmy, że ciąg <math>a_n = {\small\frac{1}{n^x}}</math> jest silnie malejący, bo funkcja <math>f(t) = t^x</math> jest silnie rosnąca dla <math>t, x \in \mathbb{R}_+</math>. Zatem <math>\eta (x)</math> spełnia kryterium Leibniza i z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D5|D5]] wynika, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math> oraz dostajemy oszacowanie <math>1 - {\small\frac{1}{2^x}} < \eta (x) < 1</math>. Skąd natychmiast wynika, że <math>0 < \eta (x) < 1</math>. Dokładniejsze oszacowanie od dołu będzie dłuższe, ale przekształcenia są zaskakująco proste.

Ponieważ szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math>, to możemy grupować wyrazy. Grupując je po dwa, możemy napisać

::<math>\eta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dla <math>0 < x \leqslant 1</math> nie możemy rozbić prawej strony na sumę osobnych szeregów, ponieważ składowe szeregi są rozbieżne i otrzymalibyśmy symbol nieoznaczony <math>[\infty - \infty]</math>. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{j = 1}^{N - 1} {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{j = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

W granicy, gdy <math>N</math> dąży do nieskończoności, wracamy do szeregu <math>\eta (x)</math>
z wydzielonym składnikiem <math>{\small\frac{1}{2}}</math> i teraz będziemy mogli uzyskać postulowane oszacowanie

::<math>\eta (x) = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N</math>

:::<math>\;\;\, = \lim_{N \rightarrow \infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \right\}</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} - 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} \left[ {\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} \right] - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right\}</math>

:::<math>\;\;\, \geqslant {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} \cdot {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad \text{bo } \; {\small\frac{1}{2}} (a + b) \geqslant \sqrt{a b} \;\;</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A38|A38]])

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2 - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, > {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}}</math>

Na zakończenie warto zobaczyć, jak <math>\eta (x)</math> wygląda na wykresie.

::[[File:eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png|540px|none]]

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R33 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\zeta (x)</math> ma wartości rzeczywiste. Omówić zachowanie funkcji <math>\zeta (x)</math> w punkcie <math>x = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant x \leqslant 1</math> mamy <math>\zeta (x) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - x}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>x < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\zeta (x) = 2^x \pi^{x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 - x) \zeta (1 - x)</math>. Ponieważ <math>1 - x > {\small\frac{1}{2}}</math>, to funkcja <math>\zeta (1 - x)</math> jest rzeczywista, podobnie jak pozostałe czynniki. Zatem i w tym przedziale <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Zauważmy, że ponieważ dla <math>x > 0</math> funkcja <math>\eta (x)</math> jest zawsze dodatnia (zobacz [[#R32|R32]]), to o znaku funkcji dzeta Riemanna <math>\zeta (x)</math> w tym obszarze decyduje wyłącznie znak czynnika łączącego obie funkcje

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{\eta (x)}{1 - 2^{1 - x}}}</math>

Co bardzo dobrze widzimy na wykresie

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-1.png|550px|none]]

Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]]) dla <math>x \geqslant 1</math> możemy napisać

::<math>\zeta (- x) = - 2^{- x} \pi^{- x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)</math>

Wiemy, że dla <math>x = 2</math> mamy <math>\zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} \approx 1.644934</math><ref name="Problembazylejski1"/>. Widzimy, że o zachowaniu funkcji <math>\zeta (x)</math> w przedziale <math>(- \infty, - 1]</math> decydują pozostałe czynniki, bo <math>\zeta (1 + x)</math> jest niewielką liczbą z przedziału <math>(1, 1.65)</math>.

::<math>\zeta (- x) = - {\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right)</math>

Ponieważ <math>\Gamma (1 + x) \sim \sqrt{2 \pi x} \cdot x^x e^{- x}</math> dla dużych <math>x</math>, to dla dużych <math>x</math> mamy <math>{\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \sim \sqrt{{\small\frac{2 x}{\pi}}} \cdot \left( {\small\frac{x}{2 \pi e}} \right)^x</math>. Co oznacza stały wzrost amplitudy oscylacji dla dużych ujemnych liczb rzeczywistych.

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-2.png|600px|none]]

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

Gdy <math>x > 1</math> funkcję dzeta definiujemy następująco

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

Wiemy, że dla <math>x > 1</math> jest

::<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

(zobacz [[#R21|R21]]). Zatem w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \rightarrow 1^+} \left[ 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}} \right] = + \infty</math>

Skąd wynika, że

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) = + \infty</math>

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica lewostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^-}</math>

Dla <math>x < 1</math> korzystamy ze wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>

Dla <math>x</math> rzeczywistych mamy

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{2^x}{2^x - 2}} \cdot \eta (x)</math>

Z zadania [[#R20|R20]] otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \eta (x) = \eta (1)</math>. Wiemy też, że <math>\eta (1) = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Łatwo widzimy, że w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^-</math>, mianownik ułamka <math>{\small\frac{2^x}{2^x - 2}}</math> dąży do zera przez wartości mniejsze od zera, zatem

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R34 
Wszystkie wzory pozwalające wyjść poza obszar <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> zawdzięczamy przełomowej pracy<ref name="Riemann1"/> Bernharda Riemanna z 1859 roku. Była to jego jedyna publikacja z zakresu teorii liczb. W swojej pracy Riemann

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Potraktował zmienną <math>z</math> jako liczbę zespoloną, co otworzyło drogę do zastosowania narzędzi analizy zespolonej.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Udowodnił, że funkcję zdefiniowaną pierwotnie tylko dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> można przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną (z jedynym punktem rozbieżności w <math>z = 1</math>).

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował i udowodnił fundamentalne równanie funkcyjne, ukazujące wewnętrzną symetrię funkcji dzeta względem tzw. prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Pokazał, że rozkład liczb pierwszych jest bezpośrednio związany z miejscami zerowymi funkcji <math>\zeta (z)</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował słynną hipotezę Riemanna, która stwierdza, że wszystkie nietrywialne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą dokładnie na prostej krytycznej, czyli <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Sprawdzono<ref name="PlattTrudgian2"/>, że wszystkie zera postaci <math>z = x + i y</math> dla <math>0 < y \leqslant 3 \cdot 10^{12}</math> mają <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
Poniżej mamy wykres funkcji <math>{\small\frac{1}{| \zeta (z) |}}</math>. Ostre piki odpowiadają pierwszym pięciu nietrywialnym zerom funkcji zeta <math>z_k = {\small\frac{1}{2}} + i y_k</math>, gdzie <math>y_1 \approx 14.13</math>, <math>y_2 \approx 21.02</math>, <math>y_3 \approx 25.01</math>, <math>y_4 \approx 30.42</math>, <math>y_5 \approx 32.94</math>.
::[[File:dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png|800px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R35 
Podstawowe własności funkcji <math>\zeta (z)</math>.

'''1. Miejsca zerowe'''

:*&emsp; trywialne: <math>\zeta (- 2 k) = 0 \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>

:*&emsp; nietrywialne: <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \pm i y_k \right) = 0 \qquad</math> gdzie <math>y_1 \approx 14.1347</math>, <math>y_2 \approx 21.0220</math>, <math>y_3 \approx 25.0108</math>, <math>y_4 \approx 30.4248</math>, <math>y_5 \approx 32.9350</math>, <math>y_6 \approx 37.5861</math>, <math>\ldots</math>

'''2. Wartości dla nieujemnych liczb parzystych'''

::<math>\zeta (2 k) = {\small\frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}} \qquad</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (2) = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, <math>\zeta (4) = {\small\frac{\pi^4}{90}}</math>, <math>\zeta (6) = {\small\frac{\pi^6}{945}}</math>, <math>\zeta (8) = {\small\frac{\pi^8}{9450}}</math>, <math>\zeta (10) = {\small\frac{\pi^{10}}{93555}}</math>

'''3. Wartości dla ujemnych liczb całkowitych'''

::<math>\zeta (- k) = - {\small\frac{B_{k + 1}}{k + 1}} \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 3) = {\small\frac{1}{120}}</math>, <math>\zeta (- 5) = - {\small\frac{1}{252}}</math>, <math>\zeta (- 7) = {\small\frac{1}{240}}</math>

'''4. Inne szczególne wartości i punkty'''

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \approx - 1.4603</math>, <math>\zeta (1) = \infty</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{3}{2}} \right) \approx 2.6123</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{5}{2}} \right) \approx 1.3414</math>, <math>\zeta (3) \approx 1.2020</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{7}{2}} \right) \approx 1.1267</math>

'''5. Ważne granice'''

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow - \infty} | \zeta (z) | = + \infty \qquad\quad\,</math> (granica dla <math>\zeta (z)</math> nie istnieje, ponieważ funkcja wpada w nieograniczone oscylacje)

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty \qquad\qquad\quad\:\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) = + \infty \qquad\qquad\quad\;\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} \zeta (z) = \infty \qquad\qquad\qquad\;\;\;</math> (ogólna granica zespolona)

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} \left( \zeta (z) - {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = \gamma \qquad</math> gdzie <math>\gamma \approx 0.5772</math> jest stałą Eulera

Uwaga R36 
Mówimy o miejscach zerowych '''trywialnych''', ponieważ ich istnienie wynika bezpośrednio z samej struktury równania funkcyjnego

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Dla każdej ujemnej liczby parzystej człon <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math> zeruje się, podczas gdy pozostałe elementy wzoru przyjmują skończone wartości (zobacz też zadanie [[#R29|R29]]).

Wszystkie pozostałe ('''nietrywialne''') miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą wewnątrz tzw. pasa krytycznego <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math>. Słynna hipoteza Riemanna zakłada, że leżą one dokładnie na jego środku – czyli na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Udowodnienie tego faktu jest jednym z najtrudniejszych wyzwań w historii matematyki.

Zadanie R37 
Pokazać, że <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\bar{z})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.1).

Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:

Dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\overline{(k^z)}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right)} = \frac{1}{1 - 2^{1 - \bar{z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Zauważmy, że dla <math>\operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\operatorname{Re}(1 - z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right)} = \overline{(2^z)} \cdot \overline{\pi^{z - 1}} \cdot \overline{\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)} \cdot \overline{\Gamma (1 - z)} \cdot \overline{\zeta (1 - z)} = 2^{\bar{z}} \pi^{\bar{z} - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi \bar{z}}{2}} \right) \Gamma (1 - \bar{z}) \zeta (1 - \bar{z}) = \zeta (\bar{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.2 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3 oraz udowodnionych wyżej przypadków. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Wykres funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej ==

Uwaga R38 
Wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> zależą tylko od jednej zmiennej <math>t</math>. Oczywiście <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math> są wartościami zespolonymi, a ich obrazem na płaszczyźnie zespolonej będzie pewna krzywa. Wiemy, że

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 / 2 - i t}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 2 + i t}}}</math>

ale z tego wzoru możemy policzyć co najwyżej kilka punktów. Do sporządzenia wykresów takich, jak te niżej, korzystamy z zaimplementowanej w systemach obliczeniowych funkcji <math>\zeta (z)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-0-do-43.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-0-do-17.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż więcej wykresów|Hide=Ukryj więcej wykresów}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-17-do-22.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-22-do-27.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-27-do-32.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-32-do-37.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-37-do-40.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-40-do-43.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>Z(t)</math> Riemanna-Siegla ==

Zadanie R39 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że funkcję

::<math>\chi (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

określoną dla <math>z \neq 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, można równoważnie zapisać w postaci

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Funkcja <math>\Gamma (z)</math> nie jest określona dla <math>z = - n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Zatem funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> nie jest określona dla <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ale wyrażenie <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z)</math> dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ma dobrze określoną granicę skończoną. Istotnie, korzystając ze wzoru [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5 i stosując regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \right]
= \lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)} \cdot {\normalsize\frac{\pi}{\Gamma (z)}}} \right]
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)}}
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi \cdot \cos (\pi z)}}
= (- 1)^k \cdot {\small\frac{\pi}{2 (2 k - 1) !}}</math>
</div>

Podobnie funkcja <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math> nie jest określona dla <math>z = 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i w tych punktach drugi wzór ucieka do nieskończoności. W efekcie obie funkcje mają identyczną dziedzinę: <math>\mathbb{C} \setminus \{2 n + 1 : n \in \mathbb{N}_0 \}</math>.

Korzystając ze wzoru Legendre'a na podwajanie

::<math>\Gamma \! \left( 2 z \right) = 2^{2 z - 1} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad\qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

mamy

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) = \Gamma \! \left( 2 \cdot {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) \qquad\qquad (\ast)</math>

Podstawiając <math>z \mapsto {\small\frac{z}{2}}</math> we wzorze na dopełnienie funkcji gamma (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5)

::<math>\Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad\qquad z \notin \mathbb{Z}</math>

dostajemy

::<math>\Gamma \! \left( {\small\frac{z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) = {\normalsize\frac{\pi}{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}} \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Dzieląc stronami równania <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math>

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} = {\normalsize\frac{2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}
= 2^z \pi^{1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= 2^z \pi^{- 1 / 2} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

Skąd wynika, że

::<math>\pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}
= 2^z \pi^{z - 1} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= \chi (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R40 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> moduł funkcji <math>\chi (z)</math> jest równy <math>1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ (zobacz [[#R39|R39]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> mamy (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Zatem

::<math>\left| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right| = 1</math>

bo <math>| \pi^{i t} | = | e^{i t \cdot \log \pi} | = 1</math> oraz <math>| \overline{z} | = | z |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R41 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> funkcja

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

jest rzeczywista.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R40|R40]] pokazaliśmy, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> jest <math>| \chi (z) | = 1</math>. Niech <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>. Mamy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)}</math>

gdzie <math>\varphi (t)</math> jest pewnym kątem.

Ponieważ

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right) = \zeta \left( \overline{ {\small\frac{1}{2}} + i t } \right) = \overline{ \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) }</math>

to z równania funkcyjnego dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

::<math>\zeta (z) = \chi (z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right)</math>

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t) / 2} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \overline{e^{- i \varphi (t) / 2}} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

Zatem funkcja

::<math>Z(t) = e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \theta (t)} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie <math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} i \varphi (t)</math>, jest rzeczywista.

Ponieważ (zobacz [[#R39|R39]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>, otrzymujemy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \log \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \log \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

Zatem

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.

Niżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math>. Użyliśmy specyficznego wykresu biegunowego z odległością wyskalowaną logarytmicznie i początkiem w punkcie <math>r = 10^{- 6}</math>.

::[[File:gamma-skala-logarytmiczna.png|700px|none]]

Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

możemy zapisać w postaci

::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

::[[File:log-gamma.png|700px|none]]

Analizując gładki przebieg wykresu na rysunku, należy zauważyć, że część urojona płynnie rośnie i nie ogranicza się do przedziału od <math>- \pi</math> do <math>\pi</math>, czego moglibyśmy się spodziewać. Jednak nie realizujemy w tym przypadku prostego obliczania logarytmu funkcji gamma, co dla przykładu zapisalibyśmy w PARI/GP jako <code>log(gamma(1/4 + I*t/2))</code>, lecz używamy specjalnej funkcji do wyliczenia tego logarytmu (w środowisku PARI/GP byłaby to funkcja <code>lngamma(1/4 + I*t/2)</code>). Algorytm tej funkcji został napisany tak, aby dla każdego punktu <math>t</math> wyliczany był prawdziwy, narastający argument, odpowiadający narastającemu argumentowi funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math>. Narastanie argumentu funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math> było bardzo dobrze widoczne na poprzednim wykresie, ale w przypadku logarytmu już tak nie jest i dlatego kwestia ta wymagała wyjaśnienia. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R42 
Funkcje

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

i

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R41|R41]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \log t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\log \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

A przebieg funkcji <math>\theta (t)</math> widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-theta-function.png|700px|none]]

Ponieważ <math>e^{i \theta (t)} \neq 0</math>, to funkcja rzeczywista <math>Z(t)</math> i zespolona <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math> zerują się dokładnie w tych samych miejscach. Oczywiście szukanie miejsc zerowych funkcji rzeczywistej jest znacznie łatwiejsze niż szukanie miejsc zerowych funkcji zespolonej i dokładnie dlatego funkcja <math>Z(t)</math> została skonstruowana. Konsekwentnie mamy <math>| Z (t) | = \left| \zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right) \right|</math>, co najlepiej widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-Z-function.png|1000px|none]]

gdzie dodatnia część rzeczywistej funkcji <math>Z(t)</math> pokrywa się z modułem zespolonej funkcji <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math>.

== Przedstawienie funkcji <math>\zeta (z)</math> w postaci iloczynu nieskończonego ==

Twierdzenie R43 (Leonhard Euler, 1737) 
Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - {\small\frac{1}{p^z}}}</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy (zobacz [[#R16|R16]]), że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny. Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> możemy napisać

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j)^z}} + \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}}</math>

Z zadania [[#R14|R14]] wynika, że oba szeregi po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne. Łatwo widzimy, że

::<math>{\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = {\small\frac{1}{2^z}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zatem

::<math>\zeta (z) - {\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 3)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

Widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>2</math>.

Ponownie łatwo zauważamy, że

::<math>{\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{3^z}} \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 j + 3)^z}}</math>

Zatem

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) - {\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>3</math>.

Postępując mniej formalnie możemy napisać

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + \ldots</math>

Jednocześnie

::<math>{\small\frac{1}{5^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + {\small\frac{1}{55^z}} + {\small\frac{1}{65^z}} + {\small\frac{1}{85^z}} + {\small\frac{1}{95^z}} + {\small\frac{1}{115^z}} + {\small\frac{1}{125^z}} + \ldots</math>

Zatem obliczając różnicę, dostajemy

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + \ldots</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>5</math>.

Jeśli będziemy powtarzali tę operację dla kolejnych liczb pierwszych, to po prawej stronie zostaną usunięte wszystkie ułamki (ponieważ każda liczba naturalna większa od 1 dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą) i zostanie nam tylko liczba 1

::<math>\ldots \left( 1 - {\small\frac{1}{7^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1</math>

Co możemy zapisać w postaci

::<math>\left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right] \cdot \zeta (z) = 1</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych. Czyli

::<math>\zeta (z) = \left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right]^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right)^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - \tfrac{1}{p^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R44 
Pokazać, że układ równań

::<math>\begin{cases}
\; | 1 - p^z | = 1 + | p^z | \\
\; | 1 - q^z | = 1 + | q^z | \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>p, q</math> są różnymi liczbami pierwszymi, nie ma rozwiązania.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy pierwsze równanie – wnioski dla drugiego będą analogiczne. Dla liczb zespolonych <math>w_1, w_2</math> prawdziwa jest nierówność trójkąta (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.6)

::<math>| w_1 + w_2 | \leqslant | w_1 | + | w_2 |</math>

Równość <math>| w_1 + w_2 | = | w_1 | + | w_2 |</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby <math>w_1, w_2</math> leżą na tej samej półprostej o początku w punkcie <math>w = 0</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]]). Jeśli przyjmiemy <math>w_1 = 1</math>, to liczba <math>w_2 = - p^z</math> musi być rzeczywista i nieujemna. Zatem musi być <math>p^z \leqslant 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>, możemy teraz warunek <math>p^z \leqslant 0</math> zapisać w postaci

::<math>p^z = e^{(x + i y) \cdot \ln (p)} = e^{x \cdot \ln (p)} \cdot e^{i y \cdot \ln (p)} = p^x \cdot (\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p)) \leqslant 0</math>

Ponieważ <math>p^x > 0</math>, to otrzymujemy

::<math>\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p) \leqslant 0</math>

Liczba <math>p^z</math> musi być liczbą rzeczywistą, zatem <math>\sin (y \cdot \ln p) = 0</math>, czyli <math>\cos (y \cdot \ln p) = \pm 1</math> i, aby była spełniona wypisana nierówność, musi być <math>\cos (y \cdot \ln p) = - 1</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>y \cdot \ln p = (2 m_p + 1) \pi</math>

gdzie <math>m_p \in \mathbb{Z}</math>. Zatem z rozważanego równania wynika ograniczenie na możliwe wartości <math>y</math>

::<math>y = {\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}}</math>

Z drugiego równania dostajemy analogiczne ograniczenie

::<math>y = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, to

::<math>{\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}} = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

::<math>(2 m_p + 1) \cdot \ln q = (2 m_q + 1) \cdot \ln p</math>

::<math>\ln (q^{(2 m_p + 1)}) = \ln (p^{(2 m_q + 1)})</math>

::<math>q^{(2 m_p + 1)} = p^{(2 m_q + 1)}</math>

Powyższa równość zachodzi tylko w przypadku, gdy <math>2 m_p + 1 = 2 m_q + 1 = 0</math>, ale jest to niemożliwe, bo obie liczby są liczbami nieparzystymi. Zatem nie istnieje wspólna wartość <math>y</math>, a to oznacza, że układ równań nie posiada rozwiązania <math>z \in \mathbb{C}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R45 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> i <math>z = x + i y</math>. Korzystając ze wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

pokazać, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 1em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. – oszacowanie od góry'''

Zauważmy, że dla <math>x > 1</math> i <math>p \geqslant 2</math> mamy <math>p^{- x} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{p}} \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>| 1 - p^{- z} | \geqslant | | 1 | - | p^{- z} | | = | 1 - p^{- x} | = 1 - p^{- x}</math>

Korzystając z powyższej nierówności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} \leqslant \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} = \zeta (x)</math>

'''Punkt 1. – oszacowanie od dołu'''

Zauważmy, że

::<math>| 1 - p^{- z} | \leqslant | 1 | + | p^{- z} | = 1 + p^{- x} = {\small\frac{(1 + p^{- x}) (1 - p^{- x})}{1 - p^{- x}}} = {\small\frac{1 - p^{- 2 x}}{1 - p^{- x}}}</math>

Z zadania [[#R44|R44]] wynika, że równość <math>| 1 - p^{- z} | = | 1 | + | p^{- z} |</math> może zachodzić dla co najwyżej jednej liczby pierwszej <math>p</math>, co oznacza, że dla pozostałych liczb pierwszych powyższa nierówność musi być ostra. Zatem dostajemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} > \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1 - p^{- x}}{1 - p^{- 2 x}}} = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- 2 x}}} \cdot \prod_{p \geqslant 2} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = \zeta (2 x) \cdot \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \operatorname{Log} \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z})</math>

Ponieważ

::<math>| p^{- z} | = p^{- \operatorname{Re}(z)} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{2}}</math>

to możemy wykorzystać fakt, że dla <math>| w | < 1</math> funkcję <math>\operatorname{Log} (1 - w)</math> można rozwinąć w zbieżny szereg postaci

::<math>\operatorname{Log} (1 - w) = - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{w^k}{k}} = - w - {\small\frac{w^2}{2}} - {\small\frac{w^3}{3}} - {\small\frac{w^4}{4}} - {\small\frac{w^5}{5}} - \ldots</math>

Otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z}) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 3.'''

Z punktu 2. wiemy, że

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{p^{- k z}}{k}} = {\small\frac{p^{- k (x + i y)}}{k}} = {\small\frac{p^{- k x - i k y}}{k}} = {\small\frac{p^{- i k y}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{e^{- i k y \cdot \ln (p)}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

to możemy napisać

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Korzystając ze wzoru <math>\ln | z | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.1), otrzymujemy

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>

:::::<math>\;\;\;\;\,\, = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Zera funkcji <math>\zeta (z)</math> ==

Twierdzenie R46 
Funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera dla wszystkich <math>z</math> spełniających warunek <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) > 1}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R45|R45]] p.1)

::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R21|R21]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

Skoro <math>| \zeta (x + i y) | \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
[[File:dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png|850px|none]] 
[[File:dzeta-odwrotnosc.png|850px|none]]
□
{{\Spoiler}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) = 1}</math>

Fakt, że funkcja dzeta Riemanna nie posiada miejsc zerowych na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math>, udowodnili w 1896 roku niezależnie od siebie dwaj matematycy: Jacques Hadamard<ref name="Hadamard1"/> i Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref name="Poussin1"/>. Pomysł wykorzystania do dowodu nierówności <math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math> jest późniejszy i pochodzi od Franciszka Mertensa<ref name="Mertens1"/>.

Zauważmy, że

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math>

bo

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) = 3 + 4 \cos (\theta) + 2 \cos^2 (\theta) - 1 = 2 (1 + \cos (\theta))^2 \geqslant 0</math>

Korzystając ze wzoru

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

łatwo wyliczamy, że

::<math>3 \ln | \zeta (x) | + 4 \ln | \zeta (x + i y) | + \ln | \zeta (x + 2 i y) | = \sum_p \sum_{m = 1}^{\infty} {\small\frac{3 + 4 \cos (m y \cdot \ln (p)) + \cos (2 m y \cdot \ln (p))}{m \cdot p^{m x}}}</math>

Ponieważ prawa strona jest sumą liczb nieujemnych, to

::<math>\ln (| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) |) \geqslant 0</math>

Czyli

::<math>| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) | \geqslant 1</math>

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma zero na linii <math>x = 1</math> w punkcie <math>1 + i y_0</math> (gdzie <math>y_0 \neq 0</math>) i rozważmy funkcję

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

określoną dla <math>x > 1</math>. Zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem dla <math>x > 1</math> jest <math>f(x) \geqslant 1</math>. Zatem granica <math>\lim_{x \to 1^+} f (x)</math> – o ile istnieje – musi być większa lub równa 1.

Z drugiej strony wiemy, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math> (zobacz [[#R24|R24]]). Wiemy też, że <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Zatem istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{\zeta (z) - \zeta (z_0)}{z - z_0}} = \zeta'(z_0)</math>

Przekształćmy funkcję <math>f(x)</math> tak, abyśmy mogli łatwo policzyć granicę, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>. Mamy

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

:::<math>\;\;\, = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \qquad\qquad</math> (możemy tak napisać, bo założyliśmy, że <math>\zeta (1 + i y_0) = 0</math>)

:::<math>\;\;\, = | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

Ponieważ <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w otoczeniu punktów <math>1 + i y_0</math> oraz <math>1 + 2 i y_0</math> (bo <math>y_0 \neq 0</math>), granice poszczególnych czynników są skończone. Zatem[a]

::<math>\lim_{x \to 1^+} f (x) = \lim_{x \to 1^+} \left\{ | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \right\}</math>

:::::<math>= \{ \lim_{x \to 1^+} | (x - 1) \zeta (x) |^3 \} \cdot \left\{ \lim_{x \to 1^+} \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} | \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= \{ | \lim_{x \to 1^+} [(x - 1) \zeta (x)] |^3 \} \cdot \left\{ \left| \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ | \lim_{x \to 1^+} \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= 1^3 \cdot | \zeta' (1 + iy_0) |^4 \cdot 0 \cdot | \zeta (1 + 2 iy_0) | = 0</math>

Uzyskany wynik stoi w sprzeczności z warunkiem <math>\lim_{x \to 1^+} f (x) \geqslant 1</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Korzystamy z twierdzenia o granicy funkcji złożonej

Jeżeli istnieje skończona granica <math>\lim_{z \to z_0} g (z) = c</math> i funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>c</math>, to

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z)) = f (c)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R47 
Pokazać, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, to punkt <math>z = 0</math> możemy wykluczyć z naszych rozważań. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje takie <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, że <math>\zeta (z_0) = 0</math>.

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Oczywiście <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, nie jest elementem zbioru <math>\{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Jeśli tak, to możemy napisać

::<math>\zeta (1 - z_0) = \zeta (1 - i y_0) = 0</math>

Wbrew twierdzeniu [[#R46|R46]], w którym pokazaliśmy, że na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie było fałszywe. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R48 
Jedyne miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> poza pasem <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math> to <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy już, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math> i dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math> (zobacz [[#R46|R46]] i [[#R47|R47]]). Do zbadania, jak zachowuje się funkcja <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, wykorzystamy równanie funkcyjne Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R46|R46]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R49 
Niech <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Jeżeli <math>z_0</math> jest miejscem zerowym funkcji <math>\zeta (z)</math>, to funkcja <math>\zeta (z)</math> zeruje się też w punktach <math>\overline{z_0}</math> i <math>1 - z_0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ponieważ <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\overline{z})</math> (zobacz [[#R37|R37]]) i z założenia <math>\zeta (z_0) = 0</math>, to

::<math>0 = \zeta (z_0) \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad 0 = \overline{\zeta (z_0)} = \zeta (\overline{z_0})</math>

Zatem <math>\overline{z_0}</math> jest miejscem zerowym funkcji dzeta.

'''Punkt 2.'''

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Ponieważ z założenia <math>\operatorname{Re}(z_0) \in (0, 1)</math>, to <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \neq 0</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R50 
Niech <math>\zeta (z_0) = 0</math>, gdzie <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Z twierdzenia [[#R49|R49]] wynika, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z_0) \neq {\small\frac{1}{2}}</math>, to istnieją trzy dodatkowe miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math>. Wypisując wszystkie cztery, mamy: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>, <math>1 - z_0</math>, <math>1 - \overline{z_0}</math>. W przypadku, gdy <math>\operatorname{Re}(z_0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, istnieje jedno dodatkowe miejsce zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> i tym razem mamy tylko: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>.

== Uzupełnienie ==

Twierdzenie R51* (o jednoznaczności różniczkowalnych funkcji zespolonych) 
Jeżeli funkcje zespolone <math>f</math> i <math>g</math> są różniczkowalne w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i są sobie równe w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z) = g (z)</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Twierdzenie R52* 
Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f(z) = 0</math> w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f (z) = 0</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Zadanie R53 
Udowodnić równoważność twierdzeń [[#R51|R51]] i [[#R52|R52]].

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''R51''' <math>\; \Large{\Longrightarrow} \;</math> '''R52''' 
Niech <math>f : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różniczkowalna w obszarze <math>D</math> oraz niech <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>.

Niech <math>g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie funkcją stałą taką, że <math>g(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>g(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcje <math>f, g</math> spełniają założenia twierdzenia [[#R51|R51]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>f(z) = g (z) \qquad \text{i} \qquad g(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = 0</math>

Co należało pokazać.

'''R51''' <math>\; \Large{\Longleftarrow} \;</math> '''R52''' 
Niech funkcje <math>f, g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będą różniczkowalne w <math>D</math> i równe w <math>E</math>.

Niech <math>h : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różnicą funkcji <math>f</math> i <math>g</math>: <math>h(z) = f (z) - g (z)</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>h(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>h(z) = f (z) - g (z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcja <math>h</math> spełnia założenia twierdzenia [[#R52|R52]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>h(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) - g (z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = g (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R54 
Twierdzenia [[#R51|R51]] i [[#R52|R52]] rodzą niezwykłe konsekwencje, które nie mają żadnych odpowiedników dla różniczkowalnych funkcji rzeczywistych. Niżej podamy kilka z nich.

Zadanie R55 
Pokazać, że jeżeli funkcja zespolona <math>f</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f</math> jest funkcją stałą w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z)</math> jest funkcją stałą dla wszystkich <math>z \in D</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>f(z) = c</math> dla każdego <math>z \in E</math>, gdzie <math>c</math> jest pewną liczbą zespoloną. Funkcja stała <math>g(z) = c</math> jest określona i różniczkowalna na całej płaszczyźnie <math>\mathbb{C}</math>, zatem <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>. Na mocy twierdzenia [[#R51|R51]] <math>f(z) = g (z) = c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Zauważmy, że z twierdzenia [[#R51|R51]] wynika znacznie więcej: jeżeli <math>f(z)</math> jest funkcją stałą na dowolnym, nawet bardzo małym odcinku, to jest stała w całym obszarze <math>D</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R56 
Niech <math>f(z)</math> będzie funkcją różniczkowalną w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math> i w pewnym punkcie <math>z_0 \in D</math> mamy <math>f(z_0) = c</math>, to istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że nie istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> musi istnieć taki punkt <math>z_{\varepsilon} \in \mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>, że <math>f (z_{\varepsilon}) = c</math> .

Weźmy ciąg <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math> dla <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.

Stwierdzamy, że

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_1 = 1</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, 1)</math> istnieje taki punkt <math>z_1</math>, że <math>f(z_1) = c</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{1}{2}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{2}})</math> istnieje taki punkt <math>z_2</math>, że <math>f(z_2) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{n}})</math> istnieje taki punkt <math>z_n</math>, że <math>f(z_n) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

Widzimy, że dla ciągu punktów <math>(z_n)</math> prawdziwy jest układ nierówności

::<math>0 < |z_n - z_0 | < {\small\frac{1}{n}}</math>

Z twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA24|ZA24]] i [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA21|ZA21]] p.2 otrzymujemy, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} |z_n - z_0 | = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z_0</math>

Ponieważ <math>f(z_n) = c</math>, gdzie <math>(z_n)</math> jest ciągiem zbieżnym do punktu <math>z_0 \in D</math>, to na mocy twierdzenia o jednoznaczności funkcja <math>f(z)</math> musi być funkcją stałą równą <math>c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Wbrew założeniu, że funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład R57 
Sformułowanie twierdzenia [[#R52|R52]] jest prostsze i dzięki temu natychmiast staje się widoczna przepaść między różniczkowalnością funkcji rzeczywistych a różniczkowalnością funkcji zespolonych. Przykładowo, funkcja

::<math>f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x \leqslant 0 \\
e^{- 1 / x} & \text{gdy } x > 0 \\
\end{cases}</math>

jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale z faktu, że jest równa zero dla <math>x</math> ujemnych, nic nie wynika. Zupełnie inaczej jest dla funkcji zespolonych – żądanie, aby funkcja była różniczkowalna, ''usztywnia'' funkcję w całej dziedzinie.

Zadanie R58 
Pokazać, że <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy funkcję <math>f(z) = \sin^2 \! z + \cos^2 \! z - 1</math> określoną i różniczkowalną na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech <math>E = (0, 1)</math> będzie otwartym odcinkiem na osi rzeczywistej. Wiemy, że dla każdego <math>z = x \in E</math> (czyli dla liczb rzeczywistych) jest

::<math>f(x) = \sin^2 \! x + \cos^2 \! x - 1 = 0</math>

Ponieważ funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna na <math>D</math> i zeruje się na <math>E</math>, to z twierdzenia [[#R52|R52]] <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>. Przenosząc jedynkę na prawą stronę, otrzymujemy dowodzoną tożsamość <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R59 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli istnieje funkcja <math>g : V \to \mathbb{C}</math> taka, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g</math> jest różniczkowalna w całym obszarze <math>V</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>

to powiemy, że funkcja <math>g</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>.

Zadanie R60 
Znaleźć przedłużenie analityczne funkcji <math>f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math> jest szeregiem geometrycznym zbieżnym w kole <math>| z | < 1</math>. Niech <math>U = \{ z : | z | < 1 \}</math>. Zatem funkcja <math>f</math> jest określona i różniczkowalna w <math>U</math>.

Rozważmy teraz funkcję <math>g(z) = {\small\frac{1}{1 - z}}</math>. Funkcja <math>g</math> jest określona w <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math> i różniczkowalna w <math>V</math>.

Wiemy, że <math>f(z) = g (z)</math> w obszarze <math>U</math>.

Wynika stąd, że funkcja <math>g(z)</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f(z)</math> do obszaru <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R61 (o jednoznaczności przedłużenia analitycznego) 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, to <math>g(z) = h (z)</math> dla każdego <math>z \in V</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, zatem z definicji są różniczkowalne w <math>V</math> oraz <math>g(z) = f (z)</math> i <math>h(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>, skąd wynika, że <math>g(z) = h (z)</math> w obszarze <math>U</math>. Z twierdzenia [[#R51|R51]] o jednoznaczności funkcji zespolonych otrzymujemy, że funkcje <math>g(z)</math> i <math>h(z)</math> są równe w całym obszarze <math>V</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of some functions over primes without R.H.'', (2010), ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', Ramanujan Journal, 45 (1) (January 2018), pp. 225-234.</ref>

<ref name="PlattTrudgian1">David Platt and Tim Trudgian, ''On the first sign change of ''<math>\theta ( x ) - x</math>, Mathematics of Computation, Vol. 85 (299) (2016), pp. 1539-1547</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

<ref name="Baselproblem1">Wikipedia, ''Basel problem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Generalizations_of_Euler's_method_using_elementary_symmetric_polynomials Wiki-en])</ref>

<ref name="Problembazylejski1">Wikipedia, ''Problem bazylejski'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680, ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf Link1‑de]), ([https://www.emis.de/classics/Riemann/Zeta.pdf Link2‑de]), ([https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf Link3‑en])</ref>

<ref name="PlattTrudgian2">David Platt and Tim Trudgian, ''The Riemann hypothesis is true up to'' <math>3 \cdot 10^{12}</math>, Bull. London Math. Soc., 53, (2021), pp. 792-797. ([https://arxiv.org/abs/2004.09765 LINK])</ref>

<ref name="RiemannSiegelZfunction1">Wikipedia, ''Z function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Z_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelThetaFunction1">Wikipedia, ''Riemann–Siegel theta function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelFunctions1">Wolfram MathWorld, ''Riemann-Siegel Functions'', ([https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html Wolfram])</ref>

<ref name="Hadamard1">Jacques Hadamard, ''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24 (1896), pp. 199-220, ([https://www.numdam.org/item/BSMF_1896__24__199_1 LINK])</ref>

<ref name="Poussin1">Charles-Jean de La Vallée Poussin, ''Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers'', Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Vol. 20 (1896), pp. 183–256, ([https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up LINK])</ref>

<ref name="Mertens1">Franz Mertens, ''Über eine Eigenschaft der Riemann'schen <math>\zeta</math>-Function'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Vol. 107 (1898), pp. 1429–1434, ([https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb11857678?q=%281898++Sitzungsberichte+der+Mathematisch-Naturwissenschaftlichen+Classe+der+Kaiserlichen+Akademie+der+Wissenschaften%29&page=1486,1487 LINK])</ref>

</references>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

2026-09-12T14:51:14Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

__FORCETOC__

== Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa ==

Definicja R1 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco

::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math>

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

W przypadku funkcji <math>\theta (x)</math> suma przebiega po wszystkich liczbach pierwszych, a w przypadku funkcji <math>\psi (x)</math> po wszystkich liczbach pierwszych i ich potęgach.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:funkcja-theta-Czebyszewa.png|700px|none]]
[[File:funkcja-psi-Czebyszewa.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R2 
Wprost z definicji wynikają wzory

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) \geqslant \theta (x)</math> dla <math>x > 0</math>

::<math>\psi (x) > \theta (x)</math> dla <math>x \geqslant 4</math>

Przykład R3 

::<math>\theta (10) = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 \approx 5.347107530</math>

::<math>\psi (10) = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 \approx 7.832014180</math>

Zadanie R4 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n}) = \sum_{n = 1}^{\lfloor \log_2 (x) \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>k, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Zauważmy, że zapisany bardzo ogólnie wzór <math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math> możemy interpretować na trzy sposoby.

'''A.''' Bierzemy kolejne liczby <math>n \leqslant x</math> i sprawdzamy, czy <math>n</math> jest potęgą pewnej liczby pierwszej <math>p</math>. Jeśli tak, to dodajemy do sumy <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania jest najbliższy zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

Tak też robiliśmy w przykładzie [[#R3|R3]].

'''B.''' Bierzemy kolejne liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> i znajdujemy wszystkie wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \underset{p^k \leqslant x}{\sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor}} \log p</math>.

'''C.''' (Modyfikacja punktu B) Zauważmy, że największy wykładnik <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> taki, że <math>p^k \leqslant x</math> znajdujemy z warunku <math>k \leqslant {\small\frac{\log x}{\log p}}</math>. Pozwala to zmodyfikować wzór na funkcję <math>\psi (x)</math> do postaci

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log x}{\log p}} \right\rfloor</math>

'''D.''' Bierzemy kolejne wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> i znajdujemy wszystkie liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p^k \leqslant x} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / k})</math>

Należy zauważyć, że wypisana suma tylko pozornie jest nieskończona. Dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>x^{1 / k} < 2</math> i <math>\theta (x^{1 / k}) = 0</math>. Zatem sumowanie przebiega tylko po <math>k \leqslant \log_2 x</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R5 
Zauważmy, że funkcja <math>\theta (x)</math> w przedziale <math>(0, n]</math> ma dokładnie <math>\pi (n)</math> zmian wartości (skoków na wykresie). Ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

wynika, że funkcja <math>\psi (x)</math> ma zmian wartości więcej, a liczba skoków wartości jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \pi (n^{1 / k}) = \pi (n) + \pi (n^{1 / 2}) + \pi (n^{1 / 3}) + \pi (n^{1 / 4}) + \ldots</math>

Zadanie R6 
Pokazać, że dla <math>x > 0</math> prawdziwe są oszacowania

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) - \theta (x) < 6 \sqrt{x}</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 1.4 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 2 x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że

::<math>\exp (\theta (x)) = \exp (\theta (\lfloor x \rfloor)) = \exp \left( \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \right) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \exp (\log p) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} p = P (\lfloor x \rfloor) < 4^{\lfloor x \rfloor} \leqslant 4^x</math>

gdzie <math>P(n)</math> jest iloczynem liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, a oszacowanie <math>P(n) < 4^n</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, pokazaliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Zatem dla <math>x \geqslant 1</math> mamy

::<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

Ponieważ <math>\theta (x) = 0</math> dla <math>x \in (0, 2)</math>, to oszacowanie <math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math> jest prawdziwe dla <math>x > 0</math>.

'''Punkt 2.'''

To oszacowanie jest słabsze niż podane w poprzednim punkcie, ale chcemy pokazać, że możemy uzyskać je jeszcze łatwiej

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \leqslant \pi (\lfloor x \rfloor) \cdot \log \lfloor x \rfloor < {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} \cdot \log \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania <math>\pi (n) < {\small\frac{2 n}{\log n}}</math> prawdziwego dla <math>n \geqslant 2</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]]).

'''Punkt 3.'''

Korzystając ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n})</math>

otrzymujemy

::<math>\psi (x) - \theta (x) = \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

:::::<math>\;\;\;\; = \theta (x^{1 / 2}) + \sum_{n = 3}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + (\lfloor \log_2 x \rfloor - 2) \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + \log_2 x \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; < 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + {\small\frac{\log x}{\log 2}} \cdot 2 \log 2 \cdot x^{1 / 3}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + 2 \cdot x^{1 / 2} \cdot {\small\frac{\log x}{x^{1 / 6}}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \left( 2 \log 2 + {\small\frac{12}{e}} \right) x^{1 / 2} \qquad\qquad</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.8)

:::::<math>\;\;\;\; < 6 \sqrt{x}</math>

'''Punkt 4.'''

Z punktów 1. i 3. mamy

::<math>\psi (x) < \theta (x) + 6 \sqrt{x} < 2 \log 2 \cdot x + 6 \sqrt{x} = 2 \log 2 \cdot x \left( 1 + {\small\frac{6}{2 \log 2 \cdot \sqrt{x}}} \right) < 1.4 x</math>

Łatwo sprawdzamy, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla

::<math>x > {\small\frac{36}{(1.4 - 2 \log 2)^2}} > 1.917 \cdot 10^5</math>

Prawdziwość oszacowania <math>\psi (x) < 1.4 x</math> dla <math>x < 2 \cdot 10^5</math> łatwo sprawdzamy w PARI/GP (zobacz zadanie [[#R11|R11]]).

'''Punkt 5.'''

Skorzystamy ze wzoru pokazanego w punkcie C rozwiązania zadania [[#R4|R4]]. Mamy

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} \right\rfloor \leqslant \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log \lfloor x \rfloor = \log \lfloor x \rfloor \cdot \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} 1 = \log \lfloor x \rfloor \cdot \pi (\lfloor x \rfloor) < \log \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R7 
Pokazać, że jeżeli jedna z granic <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}}</math> lub <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math> istnieje i jest skończona, to istnieje również druga i granice te są równe.

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówka: skorzystaj z punktu 3. zadania [[#R6|R6]]. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R8* 
Prawdziwe są następujące oszacowania<ref name="Dusart10"/><ref name="Dusart18"/>

::<math>| \theta (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad\:</math> gdzie <math>c_1 = 1.2323</math>, <math>c_2 = 3.965</math>, <math>c_3 = 20.83</math>, <math>c_4 = 151.3</math>

::<math>| \psi (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad</math> gdzie <math>c_1 = 0.85</math>, <math>c_2 = 1.66</math>, <math>c_3 = 8.16</math>, <math>c_4 = 59.18</math>

::<math>0.9999 \sqrt{x} \underset{x \geqslant 121}{<} \psi (x) - \theta (x) \underset{x > 0}{<} 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x}</math>

Uwaga R9 
Pokażemy kilka prostszych oszacowań od podanych przez Dusarta. Dowód przeprowadzimy, łącząc rezultaty podane przez Dusarta i testując poprawność postulowanych oszacowań w skończonych przedziałach liczbowych. Nim jednak przejdziemy do tego tematu, musimy omówić istotne różnice, które pojawiają się, gdy przechodzimy od sprawdzania oszacowań w punktach, czyli dla liczb naturalnych, do sprawdzania oszacowań dla liczb rzeczywistych.

Uwaga R10 
Niech <math>f(x)</math> będzie rosnącą funkcją schodkową o wartościach stałych w przedziałach <math>[x_{s - 1}, x_s)</math>. Niech <math>g(x)</math> i <math>h(x)</math> będą ciągłymi, rosnącymi funkcjami rzeczywistymi. Oszacowanie <math>h(x) < f (x) < g (x)</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu skoku <math>x_s</math> spełnione są następujące warunki

:   ●      <math>g(x_s) > f (x_s) \qquad\qquad\;\;\;\,</math> (oszacowanie od góry musimy weryfikować w punktach skoku wartości funkcji)

:   ●      <math>h(x_s) < f (x_{s - 1}) \qquad\qquad</math> (oszacowanie od dołu musimy weryfikować z wartością funkcji z poprzedniego skoku)

Ostatni punkt <math>x_s</math>, dla którego nie zachodzi pierwszy lub drugi warunek, oznaczymy przez <math>x_{\max}</math>. Różne oszacowania nie wymagają różnych oznaczeń, bo sam punkt <math>x_{\max}</math> będzie przywoływany w kontekście niebudzącym wątpliwości.

'''W przypadku oszacowania od góry''' w punkcie <math>x_{\max}</math>
po raz ostatni mieliśmy <math>g (x_{\max}) \leqslant f (x_{\max})</math>. Zatem oszacowanie <math>f(x) < g (x)</math> staje się na pewno prawdziwe dla <math>x \geqslant x_{\max + 1}</math>. W rzeczywistości, ze względu na ciągły wzrost funkcji <math>g(x)</math> na płaskim stopniu <math>[x_{\max}, x_{\max + 1})</math>, oszacowanie to może zacząć zachodzić już znacznie wcześniej – w punkcie przecięcia się funkcji <math>g(x)</math> z poziomą linią <math>y = f (x_{\max})</math>. Ujmując precyzyjnie: jeżeli <math>x_0</math> jest rozwiązaniem równania <math>g(x) = f (x_{\max})</math>, to <math>f(x) < g (x)</math> dla <math>x > x_0</math>.

'''W przypadku oszacowania od dołu''' w punkcie <math>x_{\max}</math> po raz ostatni mieliśmy <math>h (x_{\max}) \geqslant f (x_{\max - 1})</math>. Punkt <math>x_{\max}</math> jest jednocześnie punktem, od którego (włącznie z tym punktem) prawdziwe jest oszacowanie od dołu, czyli mamy: <math>h(x) < f (x)</math> dla <math>x \geqslant x_{\max}</math>. Jest tak dlatego, że w <math>x_{\max}</math> funkcja <math>f(x)</math> wykonuje skok, po którym już nigdy nie będzie mniejsza lub równa <math>h(x)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
::[[File:ilustracja-szacowania-funkcji.png|1100px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R11 
Pokazać, że prawdziwe są oszacowania
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.05 \underset{x \geqslant 1427}{<} {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \underset{1 \leqslant x \leqslant 10^{17}}{<} 0</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.02 \underset{x \geqslant 1423}{<} {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \underset{x \geqslant 467.6}{<} 0.02</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \underset{121 \leqslant x \leqslant 10^9}{<} {\small\frac{\psi (x) - \theta (x)}{\sqrt{x}}} - 1 \underset{x \geqslant 80489.8}{<} 0.2</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. - lewa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.1 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_3}{\log^3 x}} = {\small\frac{20.83}{\log^3 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{20.83}{\log^3 (10^4)}} \approx 0.02666 \ldots</math> Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowanie <math>\theta (x) > 0.95 x</math> jest prawdziwe.

'''Punkt 1. - prawa nierówność'''

Platt i Trudgian pokazali<ref name="PlattTrudgian1"/>, że oszacowanie <math>\theta (x) < x</math> nie jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 1</math>. Autorzy sprawdzili, że <math>\theta (x) < x</math> dla <math>x < 1.39 \cdot 10^{17}</math>

'''Punkt 2. - lewa i prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.2 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_2}{\log^2 x}} = {\small\frac{1.66}{\log^2 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{1.66}{\log^2 (10^4)}} \approx 0.019568 \ldots</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowania <math>\psi (x) > 0.98 x</math> oraz <math>\psi (x) < 1.02 x</math> są prawdziwe.

'''Punkt 3. - lewa nierówność'''

Tutaj nierówność <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> sprawdziliśmy dla wszystkich <math>x \leqslant 10^9</math>. Wiemy (zobacz [[#R8|R8]] p.3), że <math>\psi (x) - \theta (x) > 0.9999 \sqrt{x}</math> dla <math>x \geqslant 121</math>. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 121</math>.

'''Punkt 3. - prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.3 wiemy, że dla <math>x > 0</math> możemy napisać

::<math>\psi (x) - \theta (x) < 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x} = 1.2 \sqrt{x} \left( {\small\frac{1.00007}{1.2}} + {\small\frac{1.78}{1.2 \cdot x^{1 / 6}}} \right)</math>

Wyrażenie w nawiasie maleje dla rosnących <math>x</math> i dla <math>x = 5 \cdot 10^5</math> osiąga wartość <math>0.9998902 \ldots < 1</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 5 \cdot 10^5</math> oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) < 1.2 \sqrt{x}</math> jest prawdziwe.

Do testowania poprawności oszacowań wykorzystaliśmy prosty kod w PARI/GP. Podajemy tylko przykład dla funkcji <math>\psi (x)</math>, pozostałe Czytelnik bez trudu napisze samodzielnie. Aby skrócić czas obliczeń, program narastająco oblicza wartość <math>\psi (x)</math> i sprawdza oszacowania.

psiTest(n) =
{
'''local'''(k, kmax, linia, p, sum1, sum2, sum2max, spacje, x0);
linia = '''strjoin'''('''vector'''(50, k, "="));
spacje = '''strjoin'''('''vector'''(35, k, " "));
k = kmax = p = sum1 = sum2 = sum2max = 0;
'''while'''( k++ <= n,
'''if'''( '''isprimepower'''(k, &p), sum1 = sum2; sum2 = sum2 + '''log'''(p), '''next'''); \\ sum1 przechowuje poprzednią wartość psi
'''if'''( sum2 >= 1.02*k, kmax = k; sum2max = sum2; '''print'''(spacje, k, " ", sum2/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od góry (powinno być 1.02*k > sum2)
'''if'''( sum1 <= 0.98*k, '''print'''(k, " ", sum1/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od dołu (powinno być 0.98*k < sum1)
);
\\ oszacowanie od góry - szukamy następnego skoku po kmax
k = kmax + 1;
sum2 = sum2max;
'''while'''( !( '''isprimepower'''(k, &p) ), k++);
'''print'''(linia);
'''print'''(spacje, k, " ", (sum2 + '''log'''(p))/k );
\\ znajdujemy punkt przecięcia
x0 = '''solve'''( x = kmax, k-0.001, 1.02*x - sum2max );
'''print'''(spacje, "x0 = ", x0);
}
 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi liczb zespolonych ==

Uwaga R12 (przyjęte oznaczenia logarytmów) 
W dalszej części tekstu, w celu zachowania jednoznaczności i uniknięcia nieporozumień notacyjnych, konsekwentnie stosujemy następujące oznaczenia

<math>\ln (x) \;\;\,</math> – zwykły logarytm naturalny; stosowany wyłącznie wtedy, gdy zmienna <math>x</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą; wynik tej funkcji jest zawsze liczbą rzeczywistą

<math>\log (z) \:\,</math> – logarytm zespolony (wielowartościowy); funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych <math>z \neq 0</math>, która zwraca zbiór wartości różniących się o wielokrotność <math>2 \pi i</math>

<math>\operatorname{Log} (z)</math> – wartość główna logarytmu zespolonego; funkcja jednowartościowa (główna gałąź logarytmu), zdefiniowana jednoznacznie jako <math>\operatorname{Log} (z) = \ln | z | + i \operatorname{Arg} (z)</math>, gdzie <math>\operatorname{Arg} (z)</math> oznacza główny argument liczby zespolonej należący do przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>

Twierdzenie R13 
Niech <math>(z_k)</math> będzie ciągiem o wyrazach zespolonych. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} z_k</math> też jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>z_k = x_k + i y_k</math>. Ponieważ

::<math>0 \leqslant | x_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

::<math>0 \leqslant | y_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

to na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | x_k |</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | y_k |</math> są zbieżne. Wynika stąd, że zbieżne są też szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} x_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} y_k</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D12|D12]]). Zatem ciąg sum częściowych

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} z_k = \sum_{k = 1}^{n} x_k + i \sum_{k = 1}^{n} y_k</math>

również jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R14 
Niech <math>(z_{k_j})</math> będzie dowolnym podciągiem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]) ciągu liczb zespolonych <math>(z_k)</math>. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} z_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to szereg <math>\sum_{j = 1}^{\infty} z_{k_j}</math> też jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k | = c</math>

Zatem

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} | z_{k_j} | \leqslant c</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>S_N = \sum_{j = 1}^{N} | z_{k_j} |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R15 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że dla reszty szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Porównaj wynik z oszacowaniem w przypadku, gdy <math>z</math> jest liczbą rzeczywistą (zobacz [[Szeregi liczbowe#D5|D5]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy najpierw skończoną sumę częściową reszty szeregu od indeksu <math>k = N + 1</math> do pewnej dużej liczby naturalnej <math>M > N + 1</math>

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Z twierdzenia o sumowaniu przez części (zobacz [[Szeregi liczbowe#D83|D83]]) możemy napisać

::<math>R_{N, M} (z) = \sum_{k = N + 1}^M {\small\frac{1}{k^z}} \cdot (- 1)^{k + 1}</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M) - \sum_{k = N + 1}^{M - 1} \left[ {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right] \cdot B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = N + 1}^k (- 1)^{j + 1}</math>

Zauważmy, że

::<math>B(k) = \underbrace{(- 1)^{N + 2} + (- 1)^{N + 3}}_0 + \underbrace{(- 1)^{N + 4} + (- 1)^{N + 5}}_0 + \ldots + (- 1)^{k + 1} =
\begin{cases}
0 & \text{dla parzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\pm 1 & \text{dla nieparzystej liczby wyrazów} \\[1.2ex]
\end{cases}
</math>

Zatem <math>|B (k) | \leqslant 1</math>.

Przechodząc z <math>M</math> do nieskończoności, otrzymujemy nieskończoną resztę szeregu <math>R_N (z)</math>. Ponieważ <math>|B (k) | \leqslant 1</math> oraz <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, to składnik <math>{\small\frac{1}{M^z}} \cdot B (M)</math> dąży do zera. Mamy

::<math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k)</math>

Teraz łatwo znajdujemy oszacowanie modułu reszty

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>| R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| \left[ {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right] \cdot B (k) \right|</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, = \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right| \cdot | B (k) |</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\, \leqslant \sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} - {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} \right|</math>
</div>

Niech <math>z = x + i y</math>. Aby znaleźć oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right|</math>

zdefiniujemy funkcję pomocniczą <math>f(t) = t^{- z}</math> zmiennej rzeczywistej <math>t</math>. Zauważmy, że

::<math>f' (t) = - z t^{- z - 1}</math>

oraz

::<math>| f' (t) | = | - z | \cdot | t^{- z - 1} | = | z | \cdot | t^{- x - i y - 1} | = | z | \cdot t^{- x - 1}</math>

Zapisując różnicę <math>f(k + 1) - f (k)</math> jako całkę z pochodnej funkcji <math>f(t)</math>, uzyskamy wzór, który łatwo możemy szacować i sumować

::<math>\left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| = | f (k + 1) - f (k) |</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \left| \int_{k}^{k + 1} f' (t) d t \right|</math>

::::::<math>\;\;\:\, \leqslant \int_{k}^{k + 1} | f' (t) | d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \int_{k}^{k + 1} | z | \cdot t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\:\, = | z | \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

Stąd już łatwo znajdujemy oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{(k + 1)^z}} - {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant | z | \sum_{k = N + 1}^{\infty} \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \int_{N + 1}^{\infty} t^{- x - 1} d t</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ - {\small\frac{t^{- x}}{x}} \right] \biggr\rvert_{N + 1}^{\infty}</math>

::::::::<math>\;\;\, = | z | \cdot \left[ 0 + {\small\frac{(N + 1)^{- x}}{x}} \right]</math>

::::::::<math>\;\;\, = {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R16 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zakładamy, że potęga zespolona <math>k^z</math> jest potęgą w sensie wartości głównej <math>k^z = e^{z \cdot \operatorname{Log} (k)} = e^{z \cdot \ln (k)}</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^{x + i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x k^{i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x | \cdot | k^{i y} |}} = \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^x \cdot | e^{i y \ln k} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>

Szereg po prawej stronie jest zbieżny, gdy <math>x > 1</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D50|D50]] p.6). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R17 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych <math>(S_N)</math> jest zbieżny. Niech <math>S</math> oznacza granicę ciągu <math>(S_N)</math>. Reszty <math>R_N</math> szeregu definiujemy jako <math>R_N = S - S_N</math>. Zatem szereg nieskończony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg <math>(R_N)</math> reszt tego szeregu jest zbieżny do zera.

Z zadania [[#R15|R15]] wiemy, że dla reszt <math>R_N (z) = \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> prawdziwe jest oszacowanie

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
::<math>0 \leqslant | R_N (z) | = \left| \sum_{k = N + 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right| \leqslant {\small\frac{|z|}{\operatorname{Re}(z)}} \cdot {\small\frac{1}{(N + 1)^{\operatorname{Re}(z)}}}</math>
</div>

Dla ustalonego <math>z</math> takiego, że <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy, że

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} | R_N (z) | = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R18 
Pokazać, że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Założenie <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> gwarantuje nam bezwzględną zbieżność obydwu szeregów (zobacz [[#R16|R16]]). Bezwzględna zbieżność pozwala nam zapisać rozpatrywane szeregi w postaci sumy szeregów dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zauważmy, że szeregi po prawej stronie też są bezwzględnie zbieżne (zobacz [[#R14|R14]]). Odejmując stronami, dostajemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = 2 \cdot {\small\frac{1}{2^z}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta i <math>\zeta (z)</math> Riemanna ==

Uwaga R19 
Zauważmy, że szeregi

::<math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

definiują pewne funkcje różniczkowalne w obszarze <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Co więcej, w obszarze tym zachodzi tożsamość

::<math>\eta (z) = (1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>

(zobacz [[#R18|R18]]). Szereg określający funkcję <math>\eta (z)</math> jest zbieżny i definiuje funkcję różniczkowalną dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, czyli w większym obszarze. Stanowi on zatem przedłużenie analityczne funkcji zdefiniowanej pierwotnie dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> przez wyrażenie <math>(1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>.

Z zasady przedłużenia analitycznego wynika, że relacja ta musi zostać zachowana w całym nowym obszarze. W konsekwencji, dla całej półpłaszczyzny <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (z wyłączeniem punktów, gdzie <math>1 - 2^{1 - z} = 0</math>), funkcja <math>\zeta (z)</math> może być jednoznacznie zdefiniowana jako

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Zauważmy, że mianownik <math>1 - 2^{1 - z}</math> jest elementem jednowartościowej funkcji <math>\zeta (z)</math>, zatem potęga <math>2^{1 - z}</math> nie może być wieloznaczną funkcją i zawsze w takich przypadkach bierzemy wartość główną potęgi. Mamy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB30|ZB30]] p.1)

::<math>1 - 2^{1 - z} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{(1 - z) \ln 2} = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (1 - z) \ln 2 = 2 k \pi i \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1 - z = {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>

W punktach <math>z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math>, w których mianownik się zeruje, następuje jednoczesne wyzerowanie się szeregu <math>\eta (z)</math>. Otrzymana osobliwość typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math> jest usuwalna, a funkcja <math>\zeta (z)</math> przyjmuje tam skończone wartości w sensie granicy. Jedyna osobliwość, jaka pozostaje, to punkt <math>z = 1</math>.

Zadanie R20 
Niech <math>z = x + i y</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to prawdziwe są następujące oszacowania dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 0.5em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.2em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>x > 1</math> jest liczbą rzeczywistą, sumujemy wyrazy dodatnie, bo <math>{\small\frac{1}{k^x}} = e^{- x \cdot \ln (k)} > 0</math>. Niech <math>f (t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math>, gdzie <math>x > 1</math>. Mamy

::<math>f' (t) = - {\small\frac{x}{t^{x + 1}}}</math>

Czyli <math>f' (t) < 0</math> dla <math>t > 0</math> i <math>x > 1</math>, zatem <math>f(t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math> jest dla <math>x > 1</math> ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>[1, \infty)</math>. Z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]] otrzymujemy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} < 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t = 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 2.'''

Kolejną nierówność dowodzimy, korzystając ponownie z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]. Mamy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
= 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
> 1 + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t
= 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{2}^{\infty}
= 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

'''Punkt 3.'''

Z definicji <math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> dla <math>\operatorname{Re} (z) > 1</math>. Zauważmy, że

::<math>| \zeta (z) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = \zeta (x)</math>

Zatem z punktu 1. wynika natychmiast, że

::<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 4.'''

Pierwszą nierówność

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

udowodnimy w zadaniu [[#R44|R44]]. Kolejne oszacowania otrzymujemy z punktów 2. i 1.

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > \left( 1 + {\small\frac{1}{x - 1}} \right)^{- 1} = 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R21 
Pokazać, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą. Zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podstawiając bezpośrednio punkt <math>z = 1</math> do wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad (\ast)</math>

zauważamy, że licznik przyjmuje wartość <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), natomiast mianownik jest równy zero. Otrzymujemy zatem wyrażenie typu <math>{\small\frac{\ln 2}{0}}</math>, co oznacza, że całość ucieka do nieskończoności. Widzimy więc, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą.

Aby dokładniej zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w tym punkcie, przyjmijmy, że zbliżamy się do punktu <math>z = 1</math> z dowolnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej, zapisując <math>z = 1 + \Delta z</math>, gdzie <math>\Delta z \to 0</math>. Mianownik wzoru <math>(\ast)</math> przyjmuje wówczas postać

::<math>1 - 2^{1 - z} = 1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2}</math>

Wiemy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB14|ZB14]]), że dla małych wartości <math>| z |</math> prawdziwe jest przybliżenie <math>e^z \approx 1 + z</math>, zatem możemy mianownik zapisać jako

::<math>1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2} = 1 - (1 - \Delta z \cdot \ln 2) = \Delta z \cdot \ln 2</math>

Ponieważ dla <math>z \to 1</math> licznik dąży do wartości <math>\ln 2</math>, zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math> opisuje uproszczona zależność

::<math>\zeta (1 + \Delta z) \approx {\small\frac{\ln 2}{\Delta z \cdot \ln 2}} = {\small\frac{1}{\Delta z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Zatem w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> zachowuje się asymptotycznie jak <math>{\small\frac{1}{z - 1}}</math>.

::[[File:dzeta-biegun-funkcji.png|1200px|none]]

Na rysunku widzimy mapy warstwowe (poziomicowe) składowych funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math>.

Lewy wykres przedstawia poziomy części rzeczywistej <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> mamy <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Podobnie prawy wykres przedstawia poziomy części urojonej <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> mamy <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi.

Zauważmy, że wszystkie poziomice są okręgami stycznymi w punkcie <math>z = 1</math>. Warto zastanowić się, dlaczego tak jest. Pokazaliśmy wyżej, że w pobliżu punktu <math>z = 1</math> mamy[a]

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{z - 1}} = {\small\frac{1}{x + i y - 1}} = {\small\frac{1}{(x + i y - 1)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1 + i y) (x - 1 - i y)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

Zatem

::<math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\operatorname{Im}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{- y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\left| {\small\frac{1}{z - 1}} \right| = {\small\frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}}</math>

W przypadku wykresu po lewej stronie interesują nas punkty, dla których <math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right)</math> przyjmuje pewną stałą wartość <math>C</math> (gdzie <math>C \neq 0</math> ). Wynika stąd równanie

::<math>{\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}} = C</math>

::<math>(x - 1)^2 + y^2 = {\small\frac{1}{C}} (x - 1)</math>

::<math>(x - 1)^2 - {\small\frac{1}{C}} (x - 1) + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - 1 - {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2 - {\small\frac{1}{4 C^2}} + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - \left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}} \right) \right)^2 + y^2 = \left( {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2</math>

Otrzymaliśmy równanie okręgu <math>(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>. Środek tego okręgu leży w punkcie <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math>, a promień jest równy <math>R = \left| {\small\frac{1}{2 C}} \right|</math>. Zauważmy, że dla punktu <math>x = 1</math>, <math>y = 0</math> powyższe równanie jest spełnione bez względu na wartość stałej <math>C</math>. Oznacza to, że bez względu na wybór stałej <math>C</math> punkt <math>z = 1</math> zawsze leży na każdym z tych okręgów.

Widzimy też, że im większa jest stała <math>| C |</math>, tym promień okręgu <math>R = {\small\frac{1}{| 2 C |}}</math> staje się coraz mniejszy, a środek okręgu <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math> przesuwa się coraz bliżej punktu <math>z = 1</math>.

Wykresy trójwymiarowe funkcji <math>\operatorname{Re}(\zeta (z))</math>, <math>\operatorname{Im}(\zeta (z))</math>, <math>| \zeta (z) |</math> w pobliżu punktu <math>z = 1</math> Czytelnik może obejrzeć tutaj: [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(x-1)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=60;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=3.444100869426259,-7.5971635126247445,5.515548546034267,1;focus=0,0,0,1;up=-0.2070614921567268,0.6030196673762389,0.7703848513718841,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.55;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Re], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(-y)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=4.586717166130226,-6.016752754731321,6.539167525484936,1;focus=0,0,0,1;up=-0.5129496914638173,0.4216278857530943,0.7477382830794143,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.5;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Im], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=1/(sqrt((x-1)%5E2+y%5E2));funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=5.342751327864454,6.243169489324923,5.69893349462556,1;focus=0,0,0,1;up=-0.3350417095775116,-0.5673621911342946,0.752228154827157,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.6500000000000001;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-abs].

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Dokładne rozwinięcie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> ma postać

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \gamma - \gamma_1 (z - 1) + {\small\frac{\gamma_2}{2!}} (z - 1)^2 - {\small\frac{\gamma_3}{3!}} (z - 1)^3 + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> to stała Eulera, a <math>\gamma_k</math> to stałe Stieltjesa. Przykładowo

::<math>\gamma_1 \approx - 0.0728158455</math>, <math>\gamma_2 \approx - 0.0096903632</math>, <math>\gamma_3 \approx 0.0020538344</math>, <math>\gamma_4 \approx 0.0023253701</math>, <math>\gamma_5
\approx 0.0007933238</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R22 
Pokazać, że funkcja <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z)</math>. Pokazać, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podobnie jak w przypadku funkcji <math>\eta (z)</math> i <math>\zeta (z)</math> wychodzimy od obszaru <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, gdzie funkcja <math>\zeta (z)</math> jest dobrze określona przez zbieżny bezwzględnie szereg

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zapiszmy każdy składnik sumy w postaci

::<math>{\small\frac{1}{k^z}} = \int_k^{k + 1} t^{- z} dt + \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>k = 1</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\zeta (z) = \int_1^{\infty} t^{- z} dt + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Obliczając pierwszą całkę, dostajemy

::<math>\int_1^{\infty} t^{- z} dt = {\small\frac{t^{- z + 1}}{1 - z}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 0 - {\small\frac{1}{1 - z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Granica w nieskończoności wynika natychmiast z prostego spostrzeżenia

:: <math>| t^{1 - z} | = t^{1 - \operatorname{Re}(z)} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>

a jeśli tak, to również <math>t^{1 - z} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>.

Zatem

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

Pokażemy teraz, że szereg <math>g(z)</math> jest zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Zapiszmy <math>g(z)</math> w postaci

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

i oszacujmy wyrazy sumy po prawej stronie

::<math>a_k = \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

Rozważmy funkcję <math>f(x) = x^{- z}</math>. Z twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/> istnieje taka liczba <math>a \in [k, t]</math>, że

::<math>| f (k) - f (t) | = | k^{- z} - t^{- z} | = | f' (a) \cdot (t - k) | = | - z \cdot a^{- z - 1} (t - k) | = | z | \cdot | a^{- z - 1} | \cdot (t - k) = | z | \cdot a^{- \operatorname{Re}(z) - 1} (t - k) \leqslant | z | \cdot k^{- \operatorname{Re} (z) - 1} (t - k)</math>

bo dla <math>\operatorname{Re}(z) > - 1</math> wyrażenie <math>a^{- \operatorname{Re}(z) - 1}</math> jest funkcją malejącą zmiennej <math>a.</math>

Mamy

::<math>| a_k | = \left| \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t \right|</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} | k^{- z} - t^{- z} | d t</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_k^{k + 1} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_0^1 v d v</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{2 k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ostatecznie otrzymaliśmy proste oszacowanie

::<math>0 \leqslant | a_k | \leqslant {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ponieważ szereg

::<math>{\small\frac{|z|}{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} = {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (zobacz [[#R16|R16]]), to z kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math> jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0.</math>

Zgodnie z fundamentalnym w analizie zespolonej twierdzeniem o jednoznaczności, jeśli dwie funkcje różniczkowalne pokrywają się w jakimś obszarze (w tym przypadku dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>), to istnieje tylko jedno możliwe przedłużenie tej funkcji na większy obszar (<math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>). Ponieważ wzór <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math> jest różniczkowalny w tym większym obszarze, to jest on przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z).</math> Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R23 
Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wiemy (zobacz [[#R22|R22]]), że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma analityczne przedłużenie prawdziwe dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> postaci

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

Szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1) \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right)</math>

(zobacz [[#R22|R22]] i [[#R20|R20]]).

Rozważmy otoczenie <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> punktu <math>z = 1</math> o promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Takie otoczenie to zbiór punktów <math>\mathbb{C}</math> określonych nierównością <math>| z - 1 | < {\small\frac{1}{2}}</math>. Łatwo zauważamy, że w tym otoczeniu prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| z | = | (z - 1) + 1 | \leqslant | z - 1 | + | 1 | < {\small\frac{1}{2}} + 1 = {\small\frac{3}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż rysunek|Hide=Ukryj rysunek}}
[[File:okregi-i-kolo-na-C.png|400px|none]]
{{\Spoiler}}

Warunek <math>|z - 1| < {\small\frac{1}{2}}</math> spełniają punkty należące do wnętrza koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie <math>(1, 0)</math> i promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Ponieważ
część rzeczywista <math>\operatorname{Re}(z)</math> to współrzędna <math>x</math> na płaszczyźnie zespolonej, to musi być <math>\operatorname{Re}(z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} < 2</math>

Zbierając, otrzymujemy, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60|ZB60]] wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = \lim_{z \rightarrow 1} \left[ (z - 1) \left( {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z) \right) \right] = \lim_{z \rightarrow 1} [1 + (z - 1) g (z)] = 1 + \lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R24 
Pokazać, że <math>g(1) = \gamma</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x^z}} dx \right)</math>

a <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R22|R22]] pokazaliśmy, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny w półpłaszczyźnie <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Ponieważ punkt <math>z = 1</math> leży wewnątrz tego obszaru, możemy bezpośrednio podstawić <math>z = 1</math> i obliczyć sumę szeregu <math>g(1) .</math> Rozważmy sumy częściowe

::<math>g_N (1) = \sum_{k = 1}^N \left( {\small\frac{1}{k}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^N \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \int_1^{N + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \Bigr[ \ln (x) \bigr\rvert_{1}^{N + 1} \Bigr]</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N + 1)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) - \ln \left( {\small\frac{N + 1}{N}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] - \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right)</math>

Przechodząc z <math>N</math> do nieskończoności, otrzymujemy<ref name="Euler1"/>.

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] = \gamma</math>

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right) = 0</math>

Zatem <math>g(1) = \lim_{N \rightarrow \infty} g_N (1) = \gamma</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R25 
Niech <math>z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Funkcję dzeta Riemanna definiujemy następująco

::<math>\zeta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) > 1 & \text{pierwotna definicja funkcji dzeta Riemanna} \\[2ex]

\infty & \text{gdy } z = 1 & \text{jedyny punkt rozbieżności (szereg harmoniczny)} \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \tfrac{1}{2} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1 \qquad z \neq 1 & \text{przedłużenie analityczne przez funkcję } \eta \text{ Dirichleta} \\[2ex]

\displaystyle 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} \qquad z \neq 0 & \text{równanie funkcyjne Riemanna} \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Wiersze drugi i piąty w powyższej definicji nie tyle definiują, co informują Czytelnika o zachowaniu funkcji <math>\zeta (z)</math> w punktach <math>z = 1</math> i <math>z = 0</math> (punkt <math>z = 1</math> nawet nie należy do dziedziny funkcji dzeta). Zdecydowaliśmy się je zamieścić, bo są to punkty, o które natychmiast pytamy, patrząc na wzory. Dodatkowo punkty te wiąże równanie funkcyjne Riemanna.

Zauważmy, że funkcja <math>\zeta (z)</math> nie jest funkcją wielowartościową – dlatego w definicji bierzemy wartości główne potęg zespolonych <math>k^z, 2^z, \pi^{z - 1}</math>. Aby określić wartości <math>\zeta (z)</math> dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> moglibyśmy użyć dowolnego przedłużenia analitycznego funkcji <math>\zeta (z)</math>.

Zadanie R26 
Pokazać na podstawie definicji funkcji <math>\zeta (z)</math>, że funkcja <math>\eta (z)</math> może być określona dla wszystkich <math>z \in \mathbb{C}</math> następująco

::<math>\eta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) \geqslant \tfrac{1}{2} & \text{szereg zbieżny dla } \operatorname{Re}(z) > 0 \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} & \text{równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji } \eta (z) \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Uwaga R27 
Równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]])

::<math>- {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

łączy wartości funkcji <math>\eta (z)</math> z przedziału <math>{\small\frac{1}{2}} < \operatorname{Re}(z) < 1</math> z wartościami funkcji <math>\eta (z)</math> w przedziale <math>0 < \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math>. Jest to związek zaskakujący – zupełnie nie widać powodu, dla którego sumy szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 4}}} \approx 0.554487386</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{3 / 4}}} \approx 0.651115680</math>

miałyby być ze sobą powiązane. A jednak wiąże je współczynnik, którego wartość możemy łatwo policzyć

::<math>- {\small\frac{2^{1 / 4} - 2}{2^{1 / 4} - 1}} \cdot \pi^{- 3 / 4} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi}{8}} \right) \Gamma \left( {\small\frac{3}{4}} \right) \approx 0.851595812</math>

Zadanie R28 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Pokazać, że <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>, gdzie <math>B_n</math> są liczbami Bernoulliego (zobacz [[Wzór Eulera-Maclaurina#E6|E6]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (0)}</math>

Pierwszy sposób 

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right] = 2^0 \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} \cdot \lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)]</math>

Pierwszą granicę po prawej stronie policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{1} = {\small\frac{\pi}{2}}</math>

Drugą granicę już znamy (zobacz [[#R23|R23]])

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} [- z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} \{ [(1 - z) - 1] \cdot \zeta (1 - z) \} = - \lim_{w \rightarrow 1} [ (w - 1) \cdot \zeta (w) ] = - 1</math>

Zatem <math>\zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>.

Drugi sposób 

Korzystając z odpowiednika równania funkcyjnego Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]])

::<math>\eta (z) = - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) \right] = - (- 1) \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \eta (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1}</math>

Wiemy, że <math>\eta (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Ostatni czynnik po prawej stronie to wyrażenie nieoznaczone typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math>. Jego wartość policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right) \cdot \tfrac{\pi}{2}}{2^z \cdot \ln 2} = {\small\frac{\pi}{2 \ln 2}}</math>

Łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy <math>\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Ze wzoru <math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>, który stanowi przedłużenie funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>0 < \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math>, otrzymujemy w granicy, gdy <math>z</math> dąży do zera, że

::<math>\zeta (0) = - \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać.

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k + 1)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

i pamiętając o tym, że<ref name="Baselproblem1"/>

::<math>\zeta (2 k) = \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

dostajemy (zobacz [[#R25|R25]], [[Szeregi liczbowe#D143|D143]] p.2)

::<math>\zeta (- 2 k + 1) = 2^{- 2 k + 1} \pi^{- 2 k} \sin \left( - {\small\frac{\pi (2 k - 1)}{2}} \right) \Gamma (2 k) \zeta (2 k)</math>

:::::<math>\;\;\; = \frac{2 (- 1)^k}{2^{2 k} \pi^{2 k}} \cdot (2 k - 1) ! \cdot \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math>

:::::<math>\;\;\; = - {\small\frac{B_{2 k}}{2 k}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta (- 2 k) = 2^{- 2 k} \pi^{- 2 k - 1} \sin \left( - {\small\frac{2 k \pi}{2}} \right) \Gamma (2 k + 1) \zeta (2 k + 1) = 0</math>

bo <math>\sin (k \pi) = 0</math>.

Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R29 
Na wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant 0</math> możemy patrzeć jedynie jako na funkcję zdefiniowaną równaniem funkcyjnym Riemanna. Ale możemy spojrzeć też tak, jakby była ona sposobem przypisywania konkretnych liczb szeregom ewidentnie rozbieżnym. Przykładowo

::<math>\zeta (- n) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^n = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>

Najciekawsze jest to, że przypisania te są zgodne z wcześniejszymi próbami matematyków w tej kwestii (zobacz [[Szeregi liczbowe#D109|D109]]). W poniższym zadaniu pokazujemy kilka dalszych przykładów.

Zadanie R30 
Uzasadnić, dlaczego mamy: <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 2) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \eta (z)</math>

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}}</math>

Rozważmy szereg geometryczny zbieżny dla <math>| t | < 1</math>

::<math>{\small\frac{1}{1 + t}} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast)</math>

Widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{2}} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \eta (0)</math>

Zatem

::<math>\zeta (0) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 0}}} \cdot \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 1) = {\small\frac{1}{4}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}}</math>

Różniczkując obie strony wzoru <math>(\ast)</math>, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{(1 + t)^2}} = 1 - 2 t + 3 t^2 - 4 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Ponownie widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, mamy

::<math>{\small\frac{1}{4}} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = \eta (- 1)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 1) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 1)}}} \cdot \eta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 2) = 0}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2) = 0}</math>

Mnożąc obie strony równania <math>(\ast \ast)</math> przez <math>t</math> i różniczkując, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1 - t}{(1 + t)^3}} = 1 - 4 t + 9 t^2 - 16 t^3 + 25 t^4 - 36 t^5 + \ldots</math>

W granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>0 = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - 36 + \ldots = \eta (- 2)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 2) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 2)}}} \cdot \eta (- 2) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R31 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla każdego <math>x > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{1}{2}} < \eta (x) < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji <math>\eta (x)</math> mamy

::<math>\eta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n^x}} = 1 - {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} - {\small\frac{1}{4^x}} + \ldots</math>

Zauważmy, że ciąg <math>a_n = {\small\frac{1}{n^x}}</math> jest silnie malejący, bo funkcja <math>f(t) = t^x</math> jest silnie rosnąca dla <math>t, x \in \mathbb{R}_+</math>. Zatem <math>\eta (x)</math> spełnia kryterium Leibniza i z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D5|D5]] wynika, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math> oraz dostajemy oszacowanie <math>1 - {\small\frac{1}{2^x}} < \eta (x) < 1</math>. Skąd natychmiast wynika, że <math>0 < \eta (x) < 1</math>. Dokładniejsze oszacowanie od dołu będzie dłuższe, ale przekształcenia są zaskakująco proste.

Ponieważ szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math>, to możemy grupować wyrazy. Grupując je po dwa, możemy napisać

::<math>\eta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dla <math>0 < x \leqslant 1</math> nie możemy rozbić prawej strony na sumę osobnych szeregów, ponieważ składowe szeregi są rozbieżne i otrzymalibyśmy symbol nieoznaczony <math>[\infty - \infty]</math>. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{j = 1}^{N - 1} {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{j = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

W granicy, gdy <math>N</math> dąży do nieskończoności, wracamy do szeregu <math>\eta (x)</math>
z wydzielonym składnikiem <math>{\small\frac{1}{2}}</math> i teraz będziemy mogli uzyskać postulowane oszacowanie

::<math>\eta (x) = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N</math>

:::<math>\;\;\, = \lim_{N \rightarrow \infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \right\}</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} - 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} \left[ {\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} \right] - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right\}</math>

:::<math>\;\;\, \geqslant {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} \cdot {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad \text{bo } \; {\small\frac{1}{2}} (a + b) \geqslant \sqrt{a b} \;\;</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A38|A38]])

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2 - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, > {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}}</math>

Na zakończenie warto zobaczyć, jak <math>\eta (x)</math> wygląda na wykresie.

::[[File:eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png|540px|none]]

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R32 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\zeta (x)</math> ma wartości rzeczywiste. Omówić zachowanie funkcji <math>\zeta (x)</math> w punkcie <math>x = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant x \leqslant 1</math> mamy <math>\zeta (x) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - x}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>x < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\zeta (x) = 2^x \pi^{x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 - x) \zeta (1 - x)</math>. Ponieważ <math>1 - x > {\small\frac{1}{2}}</math>, to funkcja <math>\zeta (1 - x)</math> jest rzeczywista, podobnie jak pozostałe czynniki. Zatem i w tym przedziale <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Zauważmy, że ponieważ dla <math>x > 0</math> funkcja <math>\eta (x)</math> jest zawsze dodatnia (zobacz [[#R31|R31]]), to o znaku funkcji dzeta Riemanna <math>\zeta (x)</math> w tym obszarze decyduje wyłącznie znak czynnika łączącego obie funkcje

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{\eta (x)}{1 - 2^{1 - x}}}</math>

Co bardzo dobrze widzimy na wykresie

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-1.png|550px|none]]

Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> (zobacz [[#R25|R25]]) dla <math>x \geqslant 1</math> możemy napisać

::<math>\zeta (- x) = - 2^{- x} \pi^{- x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)</math>

Wiemy, że dla <math>x = 2</math> mamy <math>\zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} \approx 1.644934</math><ref name="Problembazylejski1"/>. Widzimy, że o zachowaniu funkcji <math>\zeta (x)</math> w przedziale <math>(- \infty, - 1]</math> decydują pozostałe czynniki, bo <math>\zeta (1 + x)</math> jest niewielką liczbą z przedziału <math>(1, 1.65)</math>.

::<math>\zeta (- x) = - {\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right)</math>

Ponieważ <math>\Gamma (1 + x) \sim \sqrt{2 \pi x} \cdot x^x e^{- x}</math> dla dużych <math>x</math>, to dla dużych <math>x</math> mamy <math>{\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \sim \sqrt{{\small\frac{2 x}{\pi}}} \cdot \left( {\small\frac{x}{2 \pi e}} \right)^x</math>. Co oznacza stały wzrost amplitudy oscylacji dla dużych ujemnych liczb rzeczywistych.

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-2.png|600px|none]]

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

Gdy <math>x > 1</math> funkcję dzeta definiujemy następująco

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

Wiemy, że dla <math>x > 1</math> jest

::<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

(zobacz [[#R20|R20]]). Zatem w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \rightarrow 1^+} \left[ 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}} \right] = + \infty</math>

Skąd wynika, że

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) = + \infty</math>

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica lewostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^-}</math>

Dla <math>x < 1</math> korzystamy ze wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Dla <math>x</math> rzeczywistych mamy

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{2^x}{2^x - 2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

Gdy <math>x \rightarrow 1^-</math> szereg naprzemienny jest zbieżny do <math>\ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), ale mianownik ułamka <math>{\small\frac{2^x}{2^x - 2}}</math> dąży do zera przez wartości mniejsze od zera, zatem

::<math>\lim_{x \to 1^-} \zeta (x) = - \infty</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R33 
Wszystkie wzory pozwalające wyjść poza obszar <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> zawdzięczamy przełomowej pracy<ref name="Riemann1"/> Bernharda Riemanna z 1859 roku. Była to jego jedyna publikacja z zakresu teorii liczb. W swojej pracy Riemann

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Potraktował zmienną <math>z</math> jako liczbę zespoloną, co otworzyło drogę do zastosowania narzędzi analizy zespolonej.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Udowodnił, że funkcję zdefiniowaną pierwotnie tylko dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> można przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną (z jedynym punktem rozbieżności w <math>z = 1</math>).

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował i udowodnił fundamentalne równanie funkcyjne, ukazujące wewnętrzną symetrię funkcji dzeta względem tzw. prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Pokazał, że rozkład liczb pierwszych jest bezpośrednio związany z miejscami zerowymi funkcji <math>\zeta (z)</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował słynną hipotezę Riemanna, która stwierdza, że wszystkie nietrywialne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą dokładnie na prostej krytycznej, czyli <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Sprawdzono<ref name="PlattTrudgian2"/>, że wszystkie zera postaci <math>z = x + i y</math> dla <math>0 < y \leqslant 3 \cdot 10^{12}</math> mają <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
Poniżej mamy wykres funkcji <math>{\small\frac{1}{| \zeta (z) |}}</math>. Ostre piki odpowiadają pierwszym pięciu nietrywialnym zerom funkcji zeta <math>z_k = {\small\frac{1}{2}} + i y_k</math>, gdzie <math>y_1 \approx 14.13</math>, <math>y_2 \approx 21.02</math>, <math>y_3 \approx 25.01</math>, <math>y_4 \approx 30.42</math>, <math>y_5 \approx 32.94</math>.
::[[File:dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png|800px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R34 
Podstawowe własności funkcji <math>\zeta (z)</math>.

'''1. Miejsca zerowe'''

:*&emsp; trywialne: <math>\zeta (- 2 k) = 0 \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>

:*&emsp; nietrywialne: <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \pm i y_k \right) = 0 \qquad</math> gdzie <math>y_1 \approx 14.1347</math>, <math>y_2 \approx 21.0220</math>, <math>y_3 \approx 25.0108</math>, <math>y_4 \approx 30.4248</math>, <math>y_5 \approx 32.9350</math>, <math>y_6 \approx 37.5861</math>, <math>\ldots</math>

'''2. Wartości dla nieujemnych liczb parzystych'''

::<math>\zeta (2 k) = {\small\frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}} \qquad</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (2) = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, <math>\zeta (4) = {\small\frac{\pi^4}{90}}</math>, <math>\zeta (6) = {\small\frac{\pi^6}{945}}</math>, <math>\zeta (8) = {\small\frac{\pi^8}{9450}}</math>, <math>\zeta (10) = {\small\frac{\pi^{10}}{93555}}</math>

'''3. Wartości dla ujemnych liczb całkowitych'''

::<math>\zeta (- k) = - {\small\frac{B_{k + 1}}{k + 1}} \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 3) = {\small\frac{1}{120}}</math>, <math>\zeta (- 5) = - {\small\frac{1}{252}}</math>, <math>\zeta (- 7) = {\small\frac{1}{240}}</math>

'''4. Inne szczególne wartości i punkty'''

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \approx - 1.4603</math>, <math>\zeta (1) = \infty</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{3}{2}} \right) \approx 2.6123</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{5}{2}} \right) \approx 1.3414</math>, <math>\zeta (3) \approx 1.2020</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{7}{2}} \right) \approx 1.1267</math>

'''5. Ważne granice'''

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow - \infty} | \zeta (z) | = + \infty \qquad\quad\,</math> (granica dla <math>\zeta (z)</math> nie istnieje, ponieważ funkcja wpada w nieograniczone oscylacje)

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty \qquad\qquad\quad\:\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) = + \infty \qquad\qquad\quad\;\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} \zeta (z) = \infty \qquad\qquad\qquad\;\;\;</math> (ogólna granica zespolona)

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} \left( \zeta (z) - {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = \gamma \qquad</math> gdzie <math>\gamma \approx 0.5772</math> jest stałą Eulera

Uwaga R35 
Mówimy o miejscach zerowych '''trywialnych''', ponieważ ich istnienie wynika bezpośrednio z samej struktury równania funkcyjnego

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Dla każdej ujemnej liczby parzystej człon <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math> zeruje się, podczas gdy pozostałe elementy wzoru przyjmują skończone wartości (zobacz też zadanie [[#R28|R28]]).

Wszystkie pozostałe ('''nietrywialne''') miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą wewnątrz tzw. pasa krytycznego <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math>. Słynna hipoteza Riemanna zakłada, że leżą one dokładnie na jego środku – czyli na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Udowodnienie tego faktu jest jednym z najtrudniejszych wyzwań w historii matematyki.

Zadanie R36 
Pokazać, że <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\bar{z})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.1).

Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:

Dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\overline{(k^z)}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right)} = \frac{1}{1 - 2^{1 - \bar{z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Zauważmy, że dla <math>\operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\operatorname{Re}(1 - z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right)} = \overline{(2^z)} \cdot \overline{\pi^{z - 1}} \cdot \overline{\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)} \cdot \overline{\Gamma (1 - z)} \cdot \overline{\zeta (1 - z)} = 2^{\bar{z}} \pi^{\bar{z} - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi \bar{z}}{2}} \right) \Gamma (1 - \bar{z}) \zeta (1 - \bar{z}) = \zeta (\bar{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.2 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3 oraz udowodnionych wyżej przypadków. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Wykres funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej ==

Uwaga R37 
Wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> zależą tylko od jednej zmiennej <math>t</math>. Oczywiście <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math> są wartościami zespolonymi, a ich obrazem na płaszczyźnie zespolonej będzie pewna krzywa. Wiemy, że

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 / 2 - i t}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 2 + i t}}}</math>

ale z tego wzoru możemy policzyć co najwyżej kilka punktów. Do sporządzenia wykresów takich, jak te niżej, korzystamy z zaimplementowanej w systemach obliczeniowych funkcji <math>\zeta (z)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-0-do-43.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-0-do-17.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż więcej wykresów|Hide=Ukryj więcej wykresów}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-17-do-22.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-22-do-27.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-27-do-32.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-32-do-37.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-37-do-40.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-40-do-43.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>Z(t)</math> Riemanna-Siegla ==

Zadanie R38 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że funkcję

::<math>\chi (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

określoną dla <math>z \neq 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, można równoważnie zapisać w postaci

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Funkcja <math>\Gamma (z)</math> nie jest określona dla <math>z = - n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Zatem funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> nie jest określona dla <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ale wyrażenie <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z)</math> dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ma dobrze określoną granicę skończoną. Istotnie, korzystając ze wzoru [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5 i stosując regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \right]
= \lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)} \cdot {\normalsize\frac{\pi}{\Gamma (z)}}} \right]
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)}}
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi \cdot \cos (\pi z)}}
= (- 1)^k \cdot {\small\frac{\pi}{2 (2 k - 1) !}}</math>
</div>

Podobnie funkcja <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math> nie jest określona dla <math>z = 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i w tych punktach drugi wzór ucieka do nieskończoności. W efekcie obie funkcje mają identyczną dziedzinę: <math>\mathbb{C} \setminus \{2 n + 1 : n \in \mathbb{N}_0 \}</math>.

Korzystając ze wzoru Legendre'a na podwajanie

::<math>\Gamma \! \left( 2 z \right) = 2^{2 z - 1} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad\qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

mamy

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) = \Gamma \! \left( 2 \cdot {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) \qquad\qquad (\ast)</math>

Podstawiając <math>z \mapsto {\small\frac{z}{2}}</math> we wzorze na dopełnienie funkcji gamma (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5)

::<math>\Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad\qquad z \notin \mathbb{Z}</math>

dostajemy

::<math>\Gamma \! \left( {\small\frac{z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) = {\normalsize\frac{\pi}{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}} \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Dzieląc stronami równania <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math>

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} = {\normalsize\frac{2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}
= 2^z \pi^{1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= 2^z \pi^{- 1 / 2} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

Skąd wynika, że

::<math>\pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}
= 2^z \pi^{z - 1} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= \chi (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R39 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> moduł funkcji <math>\chi (z)</math> jest równy <math>1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ (zobacz [[#R38|R38]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> mamy (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Zatem

::<math>\left| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right| = 1</math>

bo <math>| \pi^{i t} | = | e^{i t \cdot \log \pi} | = 1</math> oraz <math>| \overline{z} | = | z |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R40 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> funkcja

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

jest rzeczywista.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R39|R39]] pokazaliśmy, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> jest <math>| \chi (z) | = 1</math>. Niech <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>. Mamy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)}</math>

gdzie <math>\varphi (t)</math> jest pewnym kątem.

Ponieważ

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right) = \zeta \left( \overline{ {\small\frac{1}{2}} + i t } \right) = \overline{ \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) }</math>

to z równania funkcyjnego dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

::<math>\zeta (z) = \chi (z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right)</math>

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t) / 2} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \overline{e^{- i \varphi (t) / 2}} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

Zatem funkcja

::<math>Z(t) = e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \theta (t)} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie <math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} i \varphi (t)</math>, jest rzeczywista.

Ponieważ (zobacz [[#R38|R38]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>, otrzymujemy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \log \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \log \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

Zatem

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.

Niżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math>. Użyliśmy specyficznego wykresu biegunowego z odległością wyskalowaną logarytmicznie i początkiem w punkcie <math>r = 10^{- 6}</math>.

::[[File:gamma-skala-logarytmiczna.png|700px|none]]

Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

możemy zapisać w postaci

::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

::[[File:log-gamma.png|700px|none]]

Analizując gładki przebieg wykresu na rysunku, należy zauważyć, że część urojona płynnie rośnie i nie ogranicza się do przedziału od <math>- \pi</math> do <math>\pi</math>, czego moglibyśmy się spodziewać. Jednak nie realizujemy w tym przypadku prostego obliczania logarytmu funkcji gamma, co dla przykładu zapisalibyśmy w PARI/GP jako <code>log(gamma(1/4 + I*t/2))</code>, lecz używamy specjalnej funkcji do wyliczenia tego logarytmu (w środowisku PARI/GP byłaby to funkcja <code>lngamma(1/4 + I*t/2)</code>). Algorytm tej funkcji został napisany tak, aby dla każdego punktu <math>t</math> wyliczany był prawdziwy, narastający argument, odpowiadający narastającemu argumentowi funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math>. Narastanie argumentu funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math> było bardzo dobrze widoczne na poprzednim wykresie, ale w przypadku logarytmu już tak nie jest i dlatego kwestia ta wymagała wyjaśnienia. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R41 
Funkcje

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

i

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R40|R40]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \log t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\log \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

A przebieg funkcji <math>\theta (t)</math> widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-theta-function.png|700px|none]]

Ponieważ <math>e^{i \theta (t)} \neq 0</math>, to funkcja rzeczywista <math>Z(t)</math> i zespolona <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math> zerują się dokładnie w tych samych miejscach. Oczywiście szukanie miejsc zerowych funkcji rzeczywistej jest znacznie łatwiejsze niż szukanie miejsc zerowych funkcji zespolonej i dokładnie dlatego funkcja <math>Z(t)</math> została skonstruowana. Konsekwentnie mamy <math>| Z (t) | = \left| \zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right) \right|</math>, co najlepiej widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-Z-function.png|1000px|none]]

gdzie dodatnia część rzeczywistej funkcji <math>Z(t)</math> pokrywa się z modułem zespolonej funkcji <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math>.

== Przedstawienie funkcji <math>\zeta (z)</math> w postaci iloczynu nieskończonego ==

Twierdzenie R42 (Leonhard Euler, 1737) 
Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - {\small\frac{1}{p^z}}}</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy (zobacz [[#R16|R16]]), że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny. Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> możemy napisać

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j)^z}} + \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}}</math>

Z zadania [[#R14|R14]] wynika, że oba szeregi po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne. Łatwo widzimy, że

::<math>{\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = {\small\frac{1}{2^z}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zatem

::<math>\zeta (z) - {\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 3)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

Widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>2</math>.

Ponownie łatwo zauważamy, że

::<math>{\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{3^z}} \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 j + 3)^z}}</math>

Zatem

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) - {\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>3</math>.

Postępując mniej formalnie możemy napisać

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + \ldots</math>

Jednocześnie

::<math>{\small\frac{1}{5^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + {\small\frac{1}{55^z}} + {\small\frac{1}{65^z}} + {\small\frac{1}{85^z}} + {\small\frac{1}{95^z}} + {\small\frac{1}{115^z}} + {\small\frac{1}{125^z}} + \ldots</math>

Zatem obliczając różnicę, dostajemy

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + \ldots</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>5</math>.

Jeśli będziemy powtarzali tę operację dla kolejnych liczb pierwszych, to po prawej stronie zostaną usunięte wszystkie ułamki (ponieważ każda liczba naturalna większa od 1 dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą) i zostanie nam tylko liczba 1

::<math>\ldots \left( 1 - {\small\frac{1}{7^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1</math>

Co możemy zapisać w postaci

::<math>\left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right] \cdot \zeta (z) = 1</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych. Czyli

::<math>\zeta (z) = \left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right]^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right)^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - \tfrac{1}{p^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R43 
Pokazać, że układ równań

::<math>\begin{cases}
\; | 1 - p^z | = 1 + | p^z | \\
\; | 1 - q^z | = 1 + | q^z | \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>p, q</math> są różnymi liczbami pierwszymi, nie ma rozwiązania.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy pierwsze równanie – wnioski dla drugiego będą analogiczne. Dla liczb zespolonych <math>w_1, w_2</math> prawdziwa jest nierówność trójkąta (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.6)

::<math>| w_1 + w_2 | \leqslant | w_1 | + | w_2 |</math>

Równość <math>| w_1 + w_2 | = | w_1 | + | w_2 |</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby <math>w_1, w_2</math> leżą na tej samej półprostej o początku w punkcie <math>w = 0</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]]). Jeśli przyjmiemy <math>w_1 = 1</math>, to liczba <math>w_2 = - p^z</math> musi być rzeczywista i nieujemna. Zatem musi być <math>p^z \leqslant 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>, możemy teraz warunek <math>p^z \leqslant 0</math> zapisać w postaci

::<math>p^z = e^{(x + i y) \cdot \ln (p)} = e^{x \cdot \ln (p)} \cdot e^{i y \cdot \ln (p)} = p^x \cdot (\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p)) \leqslant 0</math>

Ponieważ <math>p^x > 0</math>, to otrzymujemy

::<math>\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p) \leqslant 0</math>

Liczba <math>p^z</math> musi być liczbą rzeczywistą, zatem <math>\sin (y \cdot \ln p) = 0</math>, czyli <math>\cos (y \cdot \ln p) = \pm 1</math> i, aby była spełniona wypisana nierówność, musi być <math>\cos (y \cdot \ln p) = - 1</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>y \cdot \ln p = (2 m_p + 1) \pi</math>

gdzie <math>m_p \in \mathbb{Z}</math>. Zatem z rozważanego równania wynika ograniczenie na możliwe wartości <math>y</math>

::<math>y = {\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}}</math>

Z drugiego równania dostajemy analogiczne ograniczenie

::<math>y = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, to

::<math>{\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}} = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

::<math>(2 m_p + 1) \cdot \ln q = (2 m_q + 1) \cdot \ln p</math>

::<math>\ln (q^{(2 m_p + 1)}) = \ln (p^{(2 m_q + 1)})</math>

::<math>q^{(2 m_p + 1)} = p^{(2 m_q + 1)}</math>

Powyższa równość zachodzi tylko w przypadku, gdy <math>2 m_p + 1 = 2 m_q + 1 = 0</math>, ale jest to niemożliwe, bo obie liczby są liczbami nieparzystymi. Zatem nie istnieje wspólna wartość <math>y</math>, a to oznacza, że układ równań nie posiada rozwiązania <math>z \in \mathbb{C}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R44 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> i <math>z = x + i y</math>. Korzystając ze wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

pokazać, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 1em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. – oszacowanie od góry'''

Zauważmy, że dla <math>x > 1</math> i <math>p \geqslant 2</math> mamy <math>p^{- x} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{p}} \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>| 1 - p^{- z} | \geqslant | | 1 | - | p^{- z} | | = | 1 - p^{- x} | = 1 - p^{- x}</math>

Korzystając z powyższej nierówności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} \leqslant \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} = \zeta (x)</math>

'''Punkt 1. – oszacowanie od dołu'''

Zauważmy, że

::<math>| 1 - p^{- z} | \leqslant | 1 | + | p^{- z} | = 1 + p^{- x} = {\small\frac{(1 + p^{- x}) (1 - p^{- x})}{1 - p^{- x}}} = {\small\frac{1 - p^{- 2 x}}{1 - p^{- x}}}</math>

Z zadania [[#R43|R43]] wynika, że równość <math>| 1 - p^{- z} | = | 1 | + | p^{- z} |</math> może zachodzić dla co najwyżej jednej liczby pierwszej <math>p</math>, co oznacza, że dla pozostałych liczb pierwszych powyższa nierówność musi być ostra. Zatem dostajemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} > \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1 - p^{- x}}{1 - p^{- 2 x}}} = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- 2 x}}} \cdot \prod_{p \geqslant 2} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = \zeta (2 x) \cdot \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \operatorname{Log} \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z})</math>

Ponieważ

::<math>| p^{- z} | = p^{- \operatorname{Re}(z)} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{2}}</math>

to możemy wykorzystać fakt, że dla <math>| w | < 1</math> funkcję <math>\operatorname{Log} (1 - w)</math> można rozwinąć w zbieżny szereg postaci

::<math>\operatorname{Log} (1 - w) = - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{w^k}{k}} = - w - {\small\frac{w^2}{2}} - {\small\frac{w^3}{3}} - {\small\frac{w^4}{4}} - {\small\frac{w^5}{5}} - \ldots</math>

Otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z}) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 3.'''

Z punktu 2. wiemy, że

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{p^{- k z}}{k}} = {\small\frac{p^{- k (x + i y)}}{k}} = {\small\frac{p^{- k x - i k y}}{k}} = {\small\frac{p^{- i k y}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{e^{- i k y \cdot \ln (p)}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

to możemy napisać

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Korzystając ze wzoru <math>\ln | z | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.1), otrzymujemy

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>

:::::<math>\;\;\;\;\,\, = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Zera funkcji <math>\zeta (z)</math> ==

Twierdzenie R45 
Funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera dla wszystkich <math>z</math> spełniających warunek <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) > 1}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R44|R44]] p.1)

::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R20|R20]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

Skoro <math>| \zeta (x + i y) | \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
[[File:dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png|850px|none]] 
[[File:dzeta-odwrotnosc.png|850px|none]]
□
{{\Spoiler}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) = 1}</math>

Fakt, że funkcja dzeta Riemanna nie posiada miejsc zerowych na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math>, udowodnili w 1896 roku niezależnie od siebie dwaj matematycy: Jacques Hadamard<ref name="Hadamard1"/> i Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref name="Poussin1"/>. Pomysł wykorzystania do dowodu nierówności <math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math> jest późniejszy i pochodzi od Franciszka Mertensa<ref name="Mertens1"/>.

Zauważmy, że

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math>

bo

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) = 3 + 4 \cos (\theta) + 2 \cos^2 (\theta) - 1 = 2 (1 + \cos (\theta))^2 \geqslant 0</math>

Korzystając ze wzoru

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

łatwo wyliczamy, że

::<math>3 \ln | \zeta (x) | + 4 \ln | \zeta (x + i y) | + \ln | \zeta (x + 2 i y) | = \sum_p \sum_{m = 1}^{\infty} {\small\frac{3 + 4 \cos (m y \cdot \ln (p)) + \cos (2 m y \cdot \ln (p))}{m \cdot p^{m x}}}</math>

Ponieważ prawa strona jest sumą liczb nieujemnych, to

::<math>\ln (| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) |) \geqslant 0</math>

Czyli

::<math>| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) | \geqslant 1</math>

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma zero na linii <math>x = 1</math> w punkcie <math>1 + i y_0</math> (gdzie <math>y_0 \neq 0</math>) i rozważmy funkcję

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

określoną dla <math>x > 1</math>. Zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem dla <math>x > 1</math> jest <math>f(x) \geqslant 1</math>. Zatem granica <math>\lim_{x \to 1^+} f (x)</math> – o ile istnieje – musi być większa lub równa 1.

Z drugiej strony wiemy, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math> (zobacz [[#R23|R23]]). Wiemy też, że <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Zatem istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{\zeta (z) - \zeta (z_0)}{z - z_0}} = \zeta'(z_0)</math>

Przekształćmy funkcję <math>f(x)</math> tak, abyśmy mogli łatwo policzyć granicę, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>. Mamy

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

:::<math>\;\;\, = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \qquad\qquad</math> (możemy tak napisać, bo założyliśmy, że <math>\zeta (1 + i y_0) = 0</math>)

:::<math>\;\;\, = | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

Ponieważ <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w otoczeniu punktów <math>1 + i y_0</math> oraz <math>1 + 2 i y_0</math> (bo <math>y_0 \neq 0</math>), granice poszczególnych czynników są skończone. Zatem[a]

::<math>\lim_{x \to 1^+} f (x) = \lim_{x \to 1^+} \left\{ | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \right\}</math>

:::::<math>= \{ \lim_{x \to 1^+} | (x - 1) \zeta (x) |^3 \} \cdot \left\{ \lim_{x \to 1^+} \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} | \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= \{ | \lim_{x \to 1^+} [(x - 1) \zeta (x)] |^3 \} \cdot \left\{ \left| \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ | \lim_{x \to 1^+} \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= 1^3 \cdot | \zeta' (1 + iy_0) |^4 \cdot 0 \cdot | \zeta (1 + 2 iy_0) | = 0</math>

Uzyskany wynik stoi w sprzeczności z warunkiem <math>\lim_{x \to 1^+} f (x) \geqslant 1</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Korzystamy z twierdzenia o granicy funkcji złożonej

Jeżeli istnieje skończona granica <math>\lim_{z \to z_0} g (z) = c</math> i funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>c</math>, to

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z)) = f (c)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R46 
Pokazać, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, to punkt <math>z = 0</math> możemy wykluczyć z naszych rozważań. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje takie <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, że <math>\zeta (z_0) = 0</math>.

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Oczywiście <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, nie jest elementem zbioru <math>\{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Jeśli tak, to możemy napisać

::<math>\zeta (1 - z_0) = \zeta (1 - i y_0) = 0</math>

Wbrew twierdzeniu [[#R45|R45]], w którym pokazaliśmy, że na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie było fałszywe. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R47 
Jedyne miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> poza pasem <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math> to <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy już, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math> i dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math> (zobacz [[#R45|R45]] i [[#R46|R46]]). Do zbadania, jak zachowuje się funkcja <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, wykorzystamy równanie funkcyjne Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R45|R45]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R48 
Niech <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Jeżeli <math>z_0</math> jest miejscem zerowym funkcji <math>\zeta (z)</math>, to funkcja <math>\zeta (z)</math> zeruje się też w punktach <math>\overline{z_0}</math> i <math>1 - z_0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ponieważ <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\overline{z})</math> (zobacz [[#R36|R36]]) i z założenia <math>\zeta (z_0) = 0</math>, to

::<math>0 = \zeta (z_0) \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad 0 = \overline{\zeta (z_0)} = \zeta (\overline{z_0})</math>

Zatem <math>\overline{z_0}</math> jest miejscem zerowym funkcji dzeta.

'''Punkt 2.'''

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Ponieważ z założenia <math>\operatorname{Re}(z_0) \in (0, 1)</math>, to <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \neq 0</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R49 
Niech <math>\zeta (z_0) = 0</math>, gdzie <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Z twierdzenia [[#R48|R48]] wynika, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z_0) \neq {\small\frac{1}{2}}</math>, to istnieją trzy dodatkowe miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math>. Wypisując wszystkie cztery, mamy: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>, <math>1 - z_0</math>, <math>1 - \overline{z_0}</math>. W przypadku, gdy <math>\operatorname{Re}(z_0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, istnieje jedno dodatkowe miejsce zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> i tym razem mamy tylko: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>.

== Uzupełnienie ==

Twierdzenie R50* (o jednoznaczności różniczkowalnych funkcji zespolonych) 
Jeżeli funkcje zespolone <math>f</math> i <math>g</math> są różniczkowalne w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i są sobie równe w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z) = g (z)</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Twierdzenie R51* 
Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f(z) = 0</math> w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f (z) = 0</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Zadanie R52 
Udowodnić równoważność twierdzeń [[#R50|R50]] i [[#R51|R51]].

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''R50''' <math>\; \Large{\Longrightarrow} \;</math> '''R51''' 
Niech <math>f : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różniczkowalna w obszarze <math>D</math> oraz niech <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>.

Niech <math>g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie funkcją stałą taką, że <math>g(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>g(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcje <math>f, g</math> spełniają założenia twierdzenia [[#R50|R50]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>f(z) = g (z) \qquad \text{i} \qquad g(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = 0</math>

Co należało pokazać.

'''R50''' <math>\; \Large{\Longleftarrow} \;</math> '''R51''' 
Niech funkcje <math>f, g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będą różniczkowalne w <math>D</math> i równe w <math>E</math>.

Niech <math>h : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różnicą funkcji <math>f</math> i <math>g</math>: <math>h(z) = f (z) - g (z)</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>h(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>h(z) = f (z) - g (z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcja <math>h</math> spełnia założenia twierdzenia [[#R51|R51]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>h(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) - g (z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = g (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R53 
Twierdzenia [[#R50|R50]] i [[#R51|R51]] rodzą niezwykłe konsekwencje, które nie mają żadnych odpowiedników dla różniczkowalnych funkcji rzeczywistych. Niżej podamy kilka z nich.

Zadanie R54 
Pokazać, że jeżeli funkcja zespolona <math>f</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f</math> jest funkcją stałą w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z)</math> jest funkcją stałą dla wszystkich <math>z \in D</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>f(z) = c</math> dla każdego <math>z \in E</math>, gdzie <math>c</math> jest pewną liczbą zespoloną. Funkcja stała <math>g(z) = c</math> jest określona i różniczkowalna na całej płaszczyźnie <math>\mathbb{C}</math>, zatem <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>. Na mocy twierdzenia [[#R50|R50]] <math>f(z) = g (z) = c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Zauważmy, że z twierdzenia [[#R50|R50]] wynika znacznie więcej: jeżeli <math>f(z)</math> jest funkcją stałą na dowolnym, nawet bardzo małym odcinku, to jest stała w całym obszarze <math>D</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R55 
Niech <math>f(z)</math> będzie funkcją różniczkowalną w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math> i w pewnym punkcie <math>z_0 \in D</math> mamy <math>f(z_0) = c</math>, to istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że nie istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> musi istnieć taki punkt <math>z_{\varepsilon} \in \mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>, że <math>f (z_{\varepsilon}) = c</math> .

Weźmy ciąg <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math> dla <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.

Stwierdzamy, że

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_1 = 1</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, 1)</math> istnieje taki punkt <math>z_1</math>, że <math>f(z_1) = c</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{1}{2}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{2}})</math> istnieje taki punkt <math>z_2</math>, że <math>f(z_2) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{n}})</math> istnieje taki punkt <math>z_n</math>, że <math>f(z_n) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

Widzimy, że dla ciągu punktów <math>(z_n)</math> prawdziwy jest układ nierówności

::<math>0 < |z_n - z_0 | < {\small\frac{1}{n}}</math>

Z twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA24|ZA24]] i [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA21|ZA21]] p.2 otrzymujemy, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} |z_n - z_0 | = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z_0</math>

Ponieważ <math>f(z_n) = c</math>, gdzie <math>(z_n)</math> jest ciągiem zbieżnym do punktu <math>z_0 \in D</math>, to na mocy twierdzenia o jednoznaczności funkcja <math>f(z)</math> musi być funkcją stałą równą <math>c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Wbrew założeniu, że funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład R56 
Sformułowanie twierdzenia [[#R51|R51]] jest prostsze i dzięki temu natychmiast staje się widoczna przepaść między różniczkowalnością funkcji rzeczywistych a różniczkowalnością funkcji zespolonych. Przykładowo, funkcja

::<math>f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x \leqslant 0 \\
e^{- 1 / x} & \text{gdy } x > 0 \\
\end{cases}</math>

jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale z faktu, że jest równa zero dla <math>x</math> ujemnych, nic nie wynika. Zupełnie inaczej jest dla funkcji zespolonych – żądanie, aby funkcja była różniczkowalna, ''usztywnia'' funkcję w całej dziedzinie.

Zadanie R57 
Pokazać, że <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy funkcję <math>f(z) = \sin^2 \! z + \cos^2 \! z - 1</math> określoną i różniczkowalną na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech <math>E = (0, 1)</math> będzie otwartym odcinkiem na osi rzeczywistej. Wiemy, że dla każdego <math>z = x \in E</math> (czyli dla liczb rzeczywistych) jest

::<math>f(x) = \sin^2 \! x + \cos^2 \! x - 1 = 0</math>

Ponieważ funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna na <math>D</math> i zeruje się na <math>E</math>, to z twierdzenia [[#R51|R51]] <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>. Przenosząc jedynkę na prawą stronę, otrzymujemy dowodzoną tożsamość <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R58 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli istnieje funkcja <math>g : V \to \mathbb{C}</math> taka, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g</math> jest różniczkowalna w całym obszarze <math>V</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>

to powiemy, że funkcja <math>g</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>.

Zadanie R59 
Znaleźć przedłużenie analityczne funkcji <math>f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math> jest szeregiem geometrycznym zbieżnym w kole <math>| z | < 1</math>. Niech <math>U = \{ z : | z | < 1 \}</math>. Zatem funkcja <math>f</math> jest określona i różniczkowalna w <math>U</math>.

Rozważmy teraz funkcję <math>g(z) = {\small\frac{1}{1 - z}}</math>. Funkcja <math>g</math> jest określona w <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math> i różniczkowalna w <math>V</math>.

Wiemy, że <math>f(z) = g (z)</math> w obszarze <math>U</math>.

Wynika stąd, że funkcja <math>g(z)</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f(z)</math> do obszaru <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R60 (o jednoznaczności przedłużenia analitycznego) 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, to <math>g(z) = h (z)</math> dla każdego <math>z \in V</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, zatem z definicji są różniczkowalne w <math>V</math> oraz <math>g(z) = f (z)</math> i <math>h(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>, skąd wynika, że <math>g(z) = h (z)</math> w obszarze <math>U</math>. Z twierdzenia [[#R50|R50]] o jednoznaczności funkcji zespolonych otrzymujemy, że funkcje <math>g(z)</math> i <math>h(z)</math> są równe w całym obszarze <math>V</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of some functions over primes without R.H.'', (2010), ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', Ramanujan Journal, 45 (1) (January 2018), pp. 225-234.</ref>

<ref name="PlattTrudgian1">David Platt and Tim Trudgian, ''On the first sign change of ''<math>\theta ( x ) - x</math>, Mathematics of Computation, Vol. 85 (299) (2016), pp. 1539-1547</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

<ref name="Baselproblem1">Wikipedia, ''Basel problem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Generalizations_of_Euler's_method_using_elementary_symmetric_polynomials Wiki-en])</ref>

<ref name="Problembazylejski1">Wikipedia, ''Problem bazylejski'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680, ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf Link1‑de]), ([https://www.emis.de/classics/Riemann/Zeta.pdf Link2‑de]), ([https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf Link3‑en])</ref>

<ref name="PlattTrudgian2">David Platt and Tim Trudgian, ''The Riemann hypothesis is true up to'' <math>3 \cdot 10^{12}</math>, Bull. London Math. Soc., 53, (2021), pp. 792-797. ([https://arxiv.org/abs/2004.09765 LINK])</ref>

<ref name="RiemannSiegelZfunction1">Wikipedia, ''Z function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Z_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelThetaFunction1">Wikipedia, ''Riemann–Siegel theta function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelFunctions1">Wolfram MathWorld, ''Riemann-Siegel Functions'', ([https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html Wolfram])</ref>

<ref name="Hadamard1">Jacques Hadamard, ''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24 (1896), pp. 199-220, ([https://www.numdam.org/item/BSMF_1896__24__199_1 LINK])</ref>

<ref name="Poussin1">Charles-Jean de La Vallée Poussin, ''Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers'', Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Vol. 20 (1896), pp. 183–256, ([https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up LINK])</ref>

<ref name="Mertens1">Franz Mertens, ''Über eine Eigenschaft der Riemann'schen <math>\zeta</math>-Function'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Vol. 107 (1898), pp. 1429–1434, ([https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb11857678?q=%281898++Sitzungsberichte+der+Mathematisch-Naturwissenschaftlichen+Classe+der+Kaiserlichen+Akademie+der+Wissenschaften%29&page=1486,1487 LINK])</ref>

</references>

Szeregi liczbowe

2026-09-08T13:50:43Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">07.04.2022</div>

__FORCETOC__

== Szeregi nieskończone ==

Definicja D1 
Sumę wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego <math>(a_n)</math>

::<math>a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>

nazywamy szeregiem nieskończonym o wyrazach <math>a_n</math>.

Definicja D2 
Ciąg <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k</math> nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>.

Definicja D3 
Szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> będziemy nazywali zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych <math>\left ( S_n \right )</math> jest zbieżny.

Twierdzenie D4 (warunek konieczny zbieżności szeregu) 
Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest zbieżny, to <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k</math> będzie ciągiem sum częściowych, wtedy <math>a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n</math>. Z założenia ciąg <math>(S_n)</math> jest zbieżny, zatem

::<math>\lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \left ( S_{n+1} - S_{n} \right ) = \lim_{n \to \infty} S_{n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_n = 0</math> 
□
{{\Spoiler}}

Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi. 
Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza) 
Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_k</math> jest zbieżny. 
Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} a_k</math> będzie sumą częściową tego szeregu, a <math>S</math> niech oznacza sumę tego szeregu. Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe są oszacowania

::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

::<math>| S - S_n | \leqslant a_{n + 1} </math>

Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym, to nierówności nieostre można zastąpić ostrymi.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''A. Parzyste sumy częściowe tworzą ciąg rosnący'''

Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach parzystych <math>(S_{2 n})</math>. Mamy

::<math>S_{2 n + 2} - S_{2 n} = (- 1)^{2 n + 3} a_{2 n + 2} + (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} = a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geqslant 0</math>

bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

'''B. Nieparzyste sumy częściowe tworzą ciąg malejący'''

Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach nieparzystych <math>(S_{2 n + 1})</math>

::<math>S_{2 n + 1} - S_{2 n - 1} = (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} + (- 1)^{2 n + 1} a_{2 n} = - (a_{2 n} - a_{2 n + 1}) \leqslant 0</math>

bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

'''C. Ciągi parzystych i nieparzystych sum częściowych są zbieżne'''

Ponieważ

:: <math>S_{2 n + 1} - S_{2 n} = a_{2 n + 1} \geqslant 0</math>

to <math>S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1}</math>. Łącząc uzyskane wyżej rezultaty, otrzymujemy następujący ciąg nierówności

::<math>S_2 \leqslant S_4 \leqslant \ldots \leqslant S_{2 n - 2} \leqslant S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1} \leqslant S_{2 n - 3} \leqslant \ldots \leqslant S_3 \leqslant S_1</math>

Wynika stąd natychmiast, że

:*&emsp;ciąg parzystych sum częściowych tworzy ciąg rosnący i ograniczony od góry (np. przez <math>S_1</math>)

:*&emsp;ciąg nieparzystych sum częściowych tworzy ciąg malejący i ograniczony od dołu (np. przez <math>S_2</math>)

Na mocy twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (zobacz [[Ciągi liczbowe#C12|C12]] i [[Ciągi liczbowe#C13|C13]]), oba ciągi mają granice

::<math>\lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} = S' \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = S''</math>

'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

Zauważmy, że

::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

Czyli <math>S' = S''</math>, zatem obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Ponieważ oba podciągi <math>(S_{2 n})</math> i <math>(S_{2 n + 1})</math> wyczerpują wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych <math>(S_n)</math> i zbiegają do tej samej granicy <math>S</math>, to ciąg sum częściowych jest zbieżny do <math>S</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C78|C78]] i [[Ciągi liczbowe#C79|C79]]). Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> jest malejący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie schodzą poniżej granicy, czyli <math>S \leqslant S_{2 n + 1}</math>.

Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>S_{2 n} \leqslant S \leqslant S_{2 m - 1}</math>

Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym i z założenia ma wyrazy nieujemne, to musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący, a podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> silnie malejący.

Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy i musi być <math>S_{2 n} < S</math>. Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że dla pewnego <math>n</math> byłoby <math>S_{2 n} \geqslant S</math>. Zatem mielibyśmy

::<math>S \leqslant S_{2 n} < S_{2 n + 2} < S_{2 n + 4} < \ldots < S_{2 n + 2 k} < \ldots</math>

Wbrew założeniu, że <math>S</math> jest granicą ciągu <math>(S_{2 n})</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>S < S_{2 m + 1}</math>.

'''E. Oszacowanie reszty szeregu'''

Chcemy pokazać, że

::<math>| S - S_n | \leqslant a_{n+1} </math>

'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n}</math> jest parzyste: <math>\boldsymbol{n = 2 j}</math>'''

Wiemy, że dla dowolnych <math>m, n</math> jest <math>S_{2 n} \leqslant S \leqslant S_{2 m - 1}</math>, zatem

::<math>S_{2 j} \leqslant S \leqslant S_{2 j + 1}</math>

Odejmując <math>S_{2 j}</math>, otrzymujemy

::<math>0 \leqslant S - S_{2 j} \leqslant S_{2 j + 1} - S_{2 j}</math>

Ponieważ wyrażenia po prawej stronie są nieujemne, to możemy napisać

::<math>0 \leqslant | S - S_{2 j} | \leqslant | S_{2 j + 1} - S_{2 j} | = | (- 1)^{2 j + 2} a_{2 j + 1} | = a_{2 j + 1}</math>

'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n}</math> jest nieparzyste: <math>\boldsymbol{n = 2 j + 1}</math>'''

Postępując analogicznie, jak w poprzednim przypadku, możemy napisać

::<math>S_{2 j + 2} \leqslant S \leqslant S_{2 j + 1}</math>

Odejmując <math>S_{2 j + 1}</math>, dostajemy

::<math>S_{2 j + 2} - S_{2 j + 1} \leqslant S - S_{2 j + 1} \leqslant 0</math>

::<math>0 \leqslant S_{2 j + 1} - S \leqslant S_{2 j + 1} - S_{2 j + 2}</math>

::<math>0 \leqslant | S_{2 j + 1} - S | \leqslant | S_{2 j + 1} - S_{2 j + 2} |</math>

::<math>0 \leqslant | S - S_{2 j + 1} | \leqslant | S_{2 j + 2} - S_{2 j + 1} | = | (- 1)^{2 j + 3} a_{2 j + 2} | = a_{2 j + 2}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D6 
Pokazać, że dla <math>a, b \in \mathbb{R}_+</math> jest

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Przypomnijmy wzór na sumę częściową szeregu geometrycznego<ref name="GeometricSeries1"/>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} q^k = {\small\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} \qquad \qquad \text{dla} \quad q \neq 1</math>

Kładąc <math>q = - x^{a}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math> i <math>a > 0</math>, mamy <math>q \leqslant 0</math> i <math>q \neq 1</math>. Zatem otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k = \frac{1 - (- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k + \frac{(- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} + \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}</math>
</div>

Całkując obie strony równania w granicach od <math>0</math> do <math>1</math>, dostajemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \qquad \qquad \qquad (\ast)</math>
</div>

Łatwo znajdujemy pierwszą całkę po prawej stronie

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x = \sum^n_{k = 0} (- 1)^k \int^1_0 x^{a k} d x = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \left[ {\small\frac{x^{a k + 1}}{a k + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} \right] = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}}</math>
</div>

Dla drugiej całki po prawej stronie wzoru <math>(\ast)</math> wystarczy znaleźć odpowiednie oszacowanie. Ponieważ dla <math>x \in [0, 1]</math> i <math>a > 0</math>, to <math>| x | = x</math> i <math>| 1 + x^{a} | = 1 + x^{a} \geqslant 1</math>. Zatem

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \leqslant \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| \leqslant \int^1_0 \left| {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} \right| d x = \int^1_0 {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} d x \leqslant \int^1_0 x^{a (n + 1)} d x = {\small\frac{x^{a (n + 1) + 1}}{a (n + 1) + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{1}{a (n + 1) + 1}}</math>
</div>

Z twierdzenia o trzech ciągach ([[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) wynika natychmiast, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| = 0</math>
</div>

Czyli (zobacz [[Ciągi liczbowe#C9|C9]] p.&hairsp;2)

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} dx = 0</math>
</div>

Możemy teraz wzór <math>(\ast)</math> zapisać w postaci

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x</math>
</div>

i przechodząc do granicy, dla <math>n</math> dążącego do nieskończoności, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x</math>
</div>

'''Punkt 2.'''

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^k}{{\small\frac{a}{b}} \cdot k + 1} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D7 
Korzystając z rezultatu uzyskanego w zadaniu [[#D6|D6]], znajdziemy sumy niektórych szeregów.

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x}} d x = \log (1 + x) \biggr\rvert_{0}^{1} = \log 2 \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate++1%2F%281+%2B+x%29+dx+++from+x%3D0+to+1 WolframAlpha])          (szereg harmoniczny naprzemienny)

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{2 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{7}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^2}} d x = \operatorname{arctg}(x) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate++1%2F%281+%2B+x%5E2%29+dx+++from+x%3D0+to+1 WolframAlpha])          (wzór Leibniza na <math>\pi</math>)

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{3 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^3}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{3}}{9}} + {\small\frac{\log 2}{3}} = 0.8356488482647 \ldots \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate++1%2F%281+%2B+x%5E3%29+dx+++from+x%3D0+to+1 WolframAlpha])

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{4 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{17}} - {\small\frac{1}{21}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^4}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{2}}{8}} + \frac{\sqrt{2} \cdot \log \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{4} = 0.8669729873399 \ldots</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{6 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{25}} - {\small\frac{1}{31}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^6}} d x = {\small\frac{\pi}{6}} + \frac{\sqrt{3} \cdot \log \left( 2 + \sqrt{3} \right)}{6} = 0.90377177374877 \ldots</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\pi k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{\pi}}} d x = {\small\frac{1}{2 \pi}} \left[ \Psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \Psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} \right) \right] = 0.840943255440756 \ldots</math>

Gdzie <math>\Psi (x)</math> oznacza funkcję digamma (zobacz [[#D148|D148]]) oraz skorzystaliśmy ze wzoru z zadania [[#D153|D153]].

Twierdzenie D8 
Dla <math>s > 1</math> prawdziwy jest następujący związek

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zauważmy, że założenie <math>s > 1</math> zapewnia zbieżność szeregu po prawej stronie. Zapiszmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math> w postaci sumy dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} = 1 + {\small\frac{1}{2^s}} + {\small\frac{1}{3^s}} + {\small\frac{1}{4^s}} + {\small\frac{1}{5^s}} + \ldots</math>

::::<math>\: = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^s}}</math>

::::<math>\: = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} + {\small\frac{1}{2^s}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>

Otrzymujemy wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>

Podobnie rozpiszmy szereg naprzemienny

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = 1 - {\small\frac{1}{2^s}} + {\small\frac{1}{3^s}} - {\small\frac{1}{4^s}} + {\small\frac{1}{5^s}} - \ldots</math>

:::::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^s}}</math>

:::::<math>\;\;\,\, = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} - {\small\frac{1}{2^s}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>

:::::<math>\;\;\,\, = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>

gdzie skorzystaliśmy ze znalezionego wyżej wzoru dla sumy szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D9 
Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta<ref name="DirichletEta"/>, którą definiuje szereg naprzemienny

::<math>\eta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}}</math>

lub funkcja dzeta Riemanna<ref name="RiemannZeta"/>, którą definiuje inny szereg

::<math>\zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>

Na podstawie twierdzenia [[#D8|D8]] funkcje te są związane wzorem

::<math>\eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s)</math>

Dla <math>s \in \mathbb{R}_+</math> funkcja eta Dirichleta jest zbieżna. Możemy ją wykorzystać do znajdowania sumy szeregu naprzemiennego <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}}</math>.

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
|-
| <math>s = {\small\frac{1}{2}}</math>
| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{\sqrt{k}}} = 0.604898643421 \ldots</math>
| [https://www.wolframalpha.com/input/?i=DirichletEta%5B1%2F2%5D WolframAlpha]
|-
| <math>s = 1</math>
| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 = 0.693147180559 \ldots</math>
| [https://www.wolframalpha.com/input/?i=DirichletEta%5B1%5D WolframAlpha]
|-
| <math>s = 2</math>
| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{12}} = 0.822467033424 \ldots</math>
| [https://www.wolframalpha.com/input/?i=DirichletEta%5B2%5D WolframAlpha]
|}

Twierdzenie D10 
Niech <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>. Szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = N}^{\infty} a_k</math> są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W przypadku zbieżności zachodzi związek

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \left ( a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1} \right ) + \sum_{k = N}^{\infty} a_k</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>S(n) =\sum_{k = 1}^{n} a_k</math> (gdzie <math>n \geqslant 1</math>) oznacza sumę częściową pierwszego szeregu, a <math>T(n) = \sum_{k = N}^{\infty} a_k</math> (gdzie <math>n \geqslant N</math>) oznacza sumę częściową drugiego szeregu. Dla <math>n \geqslant N</math> mamy

::<math>S(n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1}) + T (n)</math>

Widzimy, że dla <math>n</math> dążącego do nieskończoności zbieżność (rozbieżność) jednego ciągu implikuje zbieżność (rozbieżność) drugiego. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D11 (kryterium porównawcze) 
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k > N_0</math> jest spełniony warunek

::<math>0 \leqslant a_k \leqslant b_k</math>

to

#   zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> pociąga za sobą zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>
#   rozbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> pociąga za sobą rozbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Dowód przeprowadzimy dla szeregów <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k</math>, które są (odpowiednio) jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne z szeregami <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math>.

'''Punkt 1.''' 
Z założenia szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k</math> jest zbieżny. Niech <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k = b</math>, zatem z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

::<math>0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k \leqslant b</math>

Zauważmy, że ciąg sum częściowych <math>A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k</math> jest ciągiem rosnącym (bo <math>a_k \geqslant 0</math>) i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg <math>\left ( A_n \right )</math> jest zbieżny, zatem szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> jest zbieżny.

'''Punkt 2.''' 
Z założenia szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> jest rozbieżny, a z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

::<math>0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k</math>

Rosnący ciąg sum częściowych <math>A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k</math> nie może być ograniczony od góry, bo przeczyłoby to założeniu, że szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> jest rozbieżny. Wynika stąd i z wypisanych wyżej nierówności, że również ciąg sum częściowych <math>B_n = \sum_{k = N_0}^{n} b_k</math> nie może być ograniczony od góry, zatem szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k</math> jest rozbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D12 
Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k \right |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest również zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>b_k = a_k + | a_k |</math>. Z definicji prawdziwe jest następujące kryterium porównawcze

::<math>0 \leqslant b_k \leqslant 2 | a_k |</math>

Zatem z punktu 1. twierdzenia [[#D11|D11]] wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> jest zbieżny. Z definicji wyrazów ciągu <math>\left ( b_k \right )</math> mamy <math>a_k = b_k - | a_k |</math> i możemy napisać

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \sum_{k = 1}^{\infty} b_k - \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math>

Ponieważ szeregi po prawej stronie są zbieżne, to zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>. Zauważmy, że jedynie w przypadku, gdyby obydwa szeregi po prawej stronie były rozbieżne, nie moglibyśmy wnioskować o zbieżności / rozbieżności szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>, bo suma szeregów rozbieżnych może być zbieżna. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja D13 
Powiemy, że szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> jest '''bezwzględnie zbieżny''', jeżeli szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | a_n |</math> jest zbieżny.

Powiemy, że szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> jest '''warunkowo zbieżny''', jeżeli szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny, ale szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | a_n |</math> jest rozbieżny.

Twierdzenie D14 
Suma szeregów zbieżnych jest zbieżna, a suma szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżna.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1.'''

Pokażemy, że suma szeregów zbieżnych jest zbieżna.
Załóżmy, że szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> i <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> są zbieżne. Niech <math>A_n = \sum_{k = 1}^n a_k</math> oraz <math>B_n = \sum_{k = 1}^n b_k</math> będą ciągami sum częściowych tych szeregów. Ponieważ założyliśmy zbieżność szeregów, to ciągi <math>(A_n)</math> i <math>(B_n)</math> mają skończone granice.

::<math>\lim_{n \to \infty} A_n = S_A \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \to \infty} B_n = S_B</math>

Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} c_k</math>, gdzie <math>c_k = a_k + b_k</math>. Ciąg sum częściowych tego szeregu oznaczymy jako <math>C_n = \sum_{k = 1}^n c_k</math>. Ponieważ w przypadku sum skończonych możemy dowolnie zmieniać kolejność składników, to

::<math>C_n = \sum_{k = 1}^n c_k = \sum_{k = 1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k = 1}^n a_k + \sum_{k = 1}^n b_k = A_n + B_n</math>

Aby zbadać zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} c_k</math>, musimy obliczyć granicę ciągu sum częściowych <math>(C_n)</math> przy <math>n \to \infty</math>. Korzystając z twierdzenia o granicy sumy ciągów (zobacz [[Ciągi liczbowe#C14|C14]]), otrzymujemy

::<math>\lim_{n \to \infty} C_n = \lim_{n \to \infty} (A_n + B_n) = \lim_{n \to \infty} A_n + \lim_{n \to \infty} B_n = S_A + S_B</math>

Skoro granica ciągu sum częściowych <math>C_n</math> istnieje i jest skończona, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} c_k</math> jest zbieżny.

'''Punkt 2.'''

Pokażemy, że suma szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżna.
Z założenia szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> i <math>\sum_{k = 1}^{\infty}b_k</math> są bezwzględnie zbieżne, zatem szeregi zbudowane z modułów ich wyrazów są zbieżne do pewnych skończonych wartości

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} |a_k | = M_A \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} |b_k | = M_B</math>

Chcemy pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} |a_k + b_k |</math> jest zbieżny. Zdefiniujmy sumę częściową tego szeregu

::<math>V_n = \sum_{k = 1}^n |a_k + b_k |</math>

Łatwo widzimy, że

::<math>0 \leqslant V_n = \sum_{k = 1}^n |a_k + b_k | \leqslant \sum_{k = 1}^n (| a_k | + | b_k |) = \sum_{k = 1}^n | a_k | + \sum_{k = 1}^n | b_k | \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | + \sum_{k = 1}^{\infty} | b_k | = M_A + M_B</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>(V_n)</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D15 
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> można zapisać w jednej z postaci

# <math>\quad a_k = f_k - f_{k + 1}</math>
# <math>\quad a_k = f_{k - 1} - f_k</math>

to odpowiadający temu ciągowi szereg nazywamy szeregiem teleskopowym. Suma częściowa szeregu teleskopowego jest odpowiednio równa

# <math>\quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_m - f_{n + 1}</math>
# <math>\quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_{m - 1} - f_n</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
::<math>\sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_k - f_{k + 1}) =</math>

::::<math>= (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + (f_{m + 2} - f_{m + 3}) + \ldots + (f_{n - 1} - f_n) + (f_n - f_{n + 1})</math>

::::<math>= f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + f_{m + 2} - f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1} - f_n + f_n - f_{n + 1}</math>

::::<math>= f_m + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + f_{m + 2}) + (- f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1}) + (- f_n + f_n) - f_{n + 1}</math>

::::<math>= f_m - f_{n + 1}</math>

::<math>\sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_{k - 1} - f_k) =</math>

::::<math>= (f_{m - 1} - f_m) + (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + \ldots + (f_{n - 2} - f_{n - 1}) + (f_{n - 1} - f_n)</math>

::::<math>= f_{m - 1} - f_m + f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2} - f_{n - 1} + f_{n - 1} - f_n</math>

::::<math>= f_{m - 1} + (- f_m + f_m) + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2}) + (- f_{n - 1} + f_{n - 1}) - f_n</math>

::::<math>= f_{m - 1} - f_n</math> 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D16 
Następujące szeregi są zbieżne

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
|-
| 1. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1</math>
|
|-
| 2. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k (k - 1)}} = 1</math>
|
|-
| 3. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{3}{4}}</math>
|
|-
| 4. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A013661 A013661], [https://www.wolframalpha.com/input/?i=Zeta%282%29 WolframAlpha]
|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1.''' 
Dla dowodu wykorzystamy fakt, że rozpatrywany szereg jest szeregiem teleskopowym

::<math>{\small\frac{1}{k (k + 1)}} = {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}}</math>

Zatem

::<math>\sum^n_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = \sum^n_{k = 1} \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) = 1 - {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy

::<math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1</math>

'''Punkt 2.''' 
Szereg jest identyczny z szeregiem z punktu 1., co łatwo zauważyć zmieniając zmienną sumowania <math>k = s + 1</math> i odpowiednio granice sumowania.

'''Punkt 3.''' 
Należy skorzystać z tożsamości

::<math>{\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{1}{2}} \left[ \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) + \left( {\small\frac{1}{k - 1}} - {\small\frac{1}{k}} \right) \right]</math>

'''Punkt 4.''' 
Ponieważ dla <math>k \geqslant 2</math> prawdziwa jest nierówność

::<math>0 < {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{1}{k^2 - 1}}</math>

to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie [[#D11|D11]]) ze zbieżności szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}}</math> wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D17 
Następujące szeregi są zbieżne

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
|-
| 1. <math>\quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 1.860025079221 \ldots</math>
|
|-
| 2. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} = 0.788530565911 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A085361 A085361]
|-
| 3. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.257746886944 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A131688 A131688]
|-
| 4. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 3} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} = 1.069058310734 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A115563 A115563]
|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1.''' 

Wystarczy zauważyć, że

::<math>{\small\frac{1}{\sqrt{k}}} - {\small\frac{1}{\sqrt{k + 1}}} = {\small\frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1}}}</math>

::::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot \left( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} \right)}}</math>

::::::<math>\:\, > {\small\frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot 2 \sqrt{k + 1}}}</math>

::::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}}</math>

::::::<math>\:\, < 2 \sum_{k = 1}^n \left( {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} - {\small\frac{1}{\sqrt{k + 1}}} \right)</math>

::::::<math>\:\, = 2 \left( 1 - {\small\frac{1}{\sqrt{n + 1}}} \right)</math>

::::::<math>\:\, < 2</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

'''Punkt 2.''' 
Korzystając z twierdzenia [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.&hairsp;4, możemy napisać oszacowanie

::<math>0 < {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} < {\small\frac{\sqrt{k}}{k (k + 1)}} = {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math>

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math> wynika zbieżność szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}}</math>

'''Punkt 3.''' 
Zauważmy, że

::<math>{\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} = {\small\frac{k \log (k - 1) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{k \log \left( k \left( 1 - {\normalsize\frac{1}{k}} \right) \right) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{k \log (k) + k \log \left( 1 - {\normalsize\frac{1}{k}} \right) - k \log (k) + \log (k)}{k (k - 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, > {\small\frac{\log (k) - k \cdot {\normalsize\frac{1}{k - 1}}}{k (k - 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} - {\small\frac{1}{(k - 1)^2}}</math>

Czyli prawdziwe jest oszacowanie

::<math>{\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} < \left[ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} \right] + {\small\frac{1}{(k - 1)^2}}</math>

Zatem możemy napisać

::<math>\sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} < \sum_{k = 2}^{n} \left[ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} \right] + \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{(k - 1)^2}}</math>

:::::<math>\;\;\;\, < - {\small\frac{\log (n)}{n}} + \sum_{j = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{j^2}}</math>

:::::<math>\;\;\;\, < \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{j^2}}</math>

:::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

'''Punkt 4.''' 
Zauważmy, że

::<math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} = {\small\frac{\log (k + 1) - \log (k)}{\log (k) \log (k + 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log (k) \log (k + 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, < {\small\frac{1}{k \cdot \log (k) \log (k + 1)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}}</math>

Z drugiej strony mamy

::<math>{\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} = {\small\frac{\log (k) - \log (k - 1)}{\log (k - 1) \log (k)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k - 1}} \right)}{\log (k - 1) \log (k)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, > {\small\frac{1}{k \cdot \log (k - 1) \log (k)}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\, > {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}}</math>

Wynika stąd następujący ciąg nierówności

::<math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}}</math>

Rezultat ten wykorzystamy w pełni w przykładzie [[#D18|D18]], a do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy

::<math>\sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < \sum_{k = 3}^{n} \left[ {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right]</math>

:::::<math>\;\;\;\, = {\small\frac{1}{\log 2}} - {\small\frac{1}{\log (n)}}</math>

:::::<math>\;\;\;\, < {\small\frac{1}{\log 2}}</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D18 
Na przykładzie szeregu <math>\sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}}</math> pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.

Ponieważ nie jesteśmy w stanie zsumować nieskończenie wielu wyrazów, zatem najlepiej będzie podzielić szereg na dwie części

::<math>\sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} + \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}}</math>

Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.

Dowodząc twierdzenie [[#D17|D17]], w punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności

::<math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}}</math>

Wykorzystamy powyższy wzór do znalezienia potrzebnego nam oszacowania. Sumując strony nierówności, dostajemy

::<math>\sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) < \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right)</math>

Ponieważ szeregi po lewej i po prawej stronie są szeregami teleskopowymi, to łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{\log (m + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} < \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} - {\small\frac{1}{\log n}}</math>

Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>{\small\frac{1}{\log (m + 1)}} < \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}}</math>

Teraz pozostaje dodać sumę wyrazów szeregu od <math>k = 3</math> do <math>k = m</math>

::<math>{\small\frac{1}{\log (m + 1)}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}}</math>

Poniżej przedstawiamy wartości oszacowania sumy szeregu znalezione przy pomocy programu PARI/GP dla kolejnych wartości <math>m</math>. Wystarczy proste polecenie

'''for'''(n = 1, 8, s = '''sum'''( k = 3, 10^n, 1/k/('''log'''(k))^2 ); '''print'''( "n= ", n, " a= ", s + 1/'''log'''(10^n+1), " b= ", s + 1/'''log'''(10^n) ))

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
| <math>m = 10^1</math> || <math>1.06</math> || <math>1.07</math>
|-
| <math>m = 10^2</math> || <math>1.068</math> || <math>1.069</math>
|-
| <math>m = 10^3</math> || <math>1.06904</math> || <math>1.06906</math>
|-
| <math>m = 10^4</math> || <math>1.069057</math> || <math>1.069058</math>
|-
| <math>m = 10^5</math> || <math>1.0690582</math> || <math>1.0690583</math>
|-
| <math>m = 10^6</math> || <math>1.06905830</math> || <math>1.06905831</math>
|-
| <math>m = 10^7</math> || <math>1.0690583105</math> || <math>1.0690583109</math>
|-
| <math>m = 10^8</math> || <math>1.06905831071</math> || <math>1.06905831074</math>
|}

Dysponując oszacowaniem reszty szeregu, znaleźliśmy wartość sumy szeregu z dokładnością 10 miejsc po przecinku.

Natomiast samo zsumowanie <math>10^8</math> wyrazów szeregu daje wynik

::<math>\sum_{k = 3}^{10^8} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = 1.014 771 500 510 916 \ldots</math>

Zatem mimo zsumowania stu milionów(!) wyrazów szeregu otrzymaliśmy rezultat z dokładnością jednego(!) miejsca po przecinku. Co więcej, nie wiemy, jaka jest dokładność uzyskanego rezultatu. Znając oszacowanie od dołu i od góry, dokładność jednego miejsca po przecinku uzyskaliśmy po zsumowaniu dziesięciu(!) wyrazów szeregu.

Rozpatrywana wyżej sytuacja pokazuje, że w przypadku znajdowania przybliżonej wartości sumy szeregu ważniejsze od sumowania ogromnej ilości wyrazów jest posiadanie oszacowania nieskończonej reszty szeregu. Ponieważ wyznaczenie tego oszacowania na ogół nie jest proste, pokażemy jak ten problem rozwiązać przy pomocy całki oznaczonej.

== Grupowanie i przestawianie wyrazów szeregu ==

 

=== Funkcje ===

 

Definicja D19 
Niech będą dane dwa zbiory <math>X</math> i <math>Y</math>. Funkcją nazywamy takie odwzorowanie, które każdemu elementowi zbioru <math>X</math> przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru <math>Y</math>.

Powiemy, że funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych elementów <math>x_1, x_2 \in X</math> prawdziwa jest implikacja
::<math>x_1 \neq x_2 \Longrightarrow f (x_1) \neq f (x_2)</math>
lub implikacja równoważna
::<math>f(x_1) = f (x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2</math>

Powiemy, że funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją "na", jeżeli dla każdego elementu <math>y \in Y</math> istnieje taki element <math>x \in X</math>, że <math>y = f (x)</math>

Funkcję różnowartościową nazywamy też '''iniekcją''', a funkcję na "na" '''suriekcją'''.

Funkcję różnowartościową i "na" nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (lub '''bijekcją''').

Niech <math>f : X \rightarrow Y</math>. Powiemy, że <math>f</math> jest funkcją odwracalną, jeżeli istnieje taka funkcja <math>g : Y \rightarrow X</math>, że
::●    <math>g (f (x)) = x</math> dla każdego <math>x \in X</math>
::●    <math>f (g (y)) = y</math> dla każdego <math>y \in Y</math>
Funkcję <math>g</math> spełniającą powyższe warunki będziemy nazywali funkcją odwrotną do <math>f</math> i oznaczali symbolem <math>f^{- 1}</math>.

Twierdzenie D20 
Jeżeli funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (czyli jest bijekcją), to ma dokładnie jedną funkcję odwrotną.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Załóżmy, że <math>f : X \rightarrow Y</math> jest bijekcją. Zauważmy, że
* z założenia <math>f</math> jest funkcją "na" (suriekcją), zatem każdemu elementowi <math>y \in Y</math> musi odpowiadać przynajmniej jeden element <math>x \in X</math> taki, że <math>f(x) = y</math>

* przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że pewnemu elementowi <math>y \in Y</math> odpowiadają dwa '''różne''' elementy <math>x_1, x_2 \in X</math> takie, że <math>f(x_1) = y</math> i <math>f(x_2) = y</math>; ale z założenia <math>f</math> jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i wiemy, że jeżeli <math>f(x_1) = f (x_2)</math>, to <math>x_1 = x_2</math>; z otrzymanej sprzeczności wynika natychmiast, że element <math>x \in X</math> odpowiadający elementowi <math>y \in Y</math> jest '''jedyny'''.

Widzimy, że funkcja <math>f</math>, która jest różnowartościowa i "na" (bijekcja) przypisuje każdemu elementowi <math>x \in X</math> dokładnie jeden element <math>y \in Y</math> (to akurat wynika z definicji funkcji) i '''jednocześnie każdemu''' elementowi <math>y \in Y</math> odpowiada '''dokładnie jeden''' element <math>x \in X</math>.

::[[File: Funkcja-odwrotna.png|160px|none]]

Zatem możemy zdefiniować funkcję odwrotną <math>f^{- 1} : Y \rightarrow X</math> w następujący sposób: dla każdego <math>y \in Y</math> niech <math>f^{- 1} (y)</math> będzie tym '''jedynym''' elementem <math>x \in X</math> spełniającym <math>f(x) = y</math>.

Z powyższej definicji wynika, że
* dla dowolnego <math>x \in X</math> mamy <math>f^{- 1} (f (x)) = f^{- 1} (y) = x</math>
* dla dowolnego <math>y \in Y</math> jest <math>f (f^{- 1} (y)) = f (x) = y</math>

Pokażemy jeszcze, że funkcja odwrotna <math>f</math> jest wyznaczona jednoznacznie.

Niech <math>g : Y \rightarrow X</math> oraz <math>h : Y \rightarrow X</math> będą dwiema funkcjami odwrotnymi do <math>f</math>. Niech <math>y</math> będzie dowolnym elementem zbioru <math>Y</math>. Z
definicji funkcji odwrotnej mamy <math>f (g (y)) = y</math> i <math>f (h (y)) = y</math>. Ponieważ
<math>f</math> jest funkcją różnowartościową i <math>f (g (y)) = f (h (y))</math>, to musi być <math>g(y) = h (y)</math>. Ponieważ <math>y</math> był dowolnym elementem zbioru <math>Y</math>, to wypisana równość zachodzi dla każdego <math>y \in Y</math>, skąd natychmiast wynika, że funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są identyczne. Czyli istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna do funkcji <math>f</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D21 
Jeżeli funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> ma funkcję odwrotną, to jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> ma funkcję odwrotną <math>f^{- 1} : Y \rightarrow X</math>.

'''1.''' funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją "na" (jest suriekcją)

Załóżmy, że <math>y \in Y</math> i niech <math>x = f^{- 1} (y)</math>, mamy

::<math>f(x) = f (f^{- 1} (y)) = y</math>

Zatem <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją "na".

'''2.''' funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją różnowartościową (jest iniekcją)

Załóżmy, że <math>x_1, x_2 \in X</math> i <math>f(x_1) = f (x_2)</math>, mamy

::<math>x_1 = f^{- 1} (f (x_1)) = f^{- 1} (f (x_2)) = x_2</math>

Zatem <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją różnowartościową. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D22 
Pokazać, że <math>A \subset \mathbb{N}</math> jest zbiorem skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem ograniczonym.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

<math>\Large{\Longrightarrow}</math>

Z założenia <math>A \subset \mathbb{N}</math> jest zbiorem skończonym, zatem <math>A = \{ k_1, \ldots, k_n \}</math>, gdzie <math>k_i \in \mathbb{N}</math>, a <math>n</math> jest iloscią elementów zbioru <math>A</math>. Wystarczy przyjąć <math>M = \max (k_1, \ldots, k_n)</math>, aby dla każdego <math>k_i \in A</math> było <math>k_i \leqslant M</math>. Czyli zbiór <math>A</math> jest zbiorem ograniczonym.

<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

Z założenia <math>A \subset \mathbb{N}</math> jest zbiorem ograniczonym, zatem istnieje taka liczba <math>M</math>, że dla każdego <math>k_i \in A</math> jest <math>k_i \leqslant M</math>. Ponieważ <math>\mathbb{N}</math> jest zbiorem dyskretnym, to zbiór ma nie więcej niż <math>M</math> elementów, zatem jest zbiorem skończonym. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D23 
Niech <math>A</math> będzie dowolnym zbiorem skończonym, a <math>f</math> dowolną funkcją określoną na <math>A</math>. Pokazać, że obraz <math>f(A)</math> zbioru <math>A</math> jest zbiorem skończonym.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji wiemy, że każdemu elementowi <math>k \in A</math> odpowiada dokładnie jeden element zbioru <math>A</math>, zatem obraz <math>f(A)</math> zbioru <math>A</math> nie może zawierać więcej elementów niż zbiór <math>A</math>, zatem musi być zbiorem skończonym. Oczywiście <math>f(A)</math> może zawierać mniej elementów niż zbiór <math>A</math>, np. w przypadku funkcji <math>f(k) = k^2</math> i zbioru <math>A = \{ - 5, - 4, \ldots, 4, 5 \}</math> lub funkcji stałej <math>f(k) = C</math> i dowolnego skończonego zbioru <math>A</math>. 
□
{{\Spoiler}}

=== Grupowanie wyrazów szeregu ===

 

Uwaga D24 
Problem, który pojawia się w przypadku grupowania wyrazów szeregu, zilustrujemy przykładem. Rozważmy szereg

::<math>1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + {\small\frac{1}{8^2}} + {\small\frac{1}{9^2}} + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots \qquad (*)</math>

Jest to szereg zbieżny (zobacz [[#D16|D16]] p.&hairsp;4) i oczywiście jest bezwzględnie zbieżny. Możemy łatwo popsuć zbieżność tego szeregu, dodając nowe wyrazy. Zauważmy, że szereg

::<math>1 - 1 + 1 + 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} + 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} + 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} + 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} + 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} + \ldots \qquad (**)</math>

jest rozbieżny. Czytelnik łatwo sprawdzi, że suma częściowa tego szeregu wyraża się wzorem

::<math>S_n = \sum_{j = 1}^{\lfloor n / 3 \rfloor} {\small\frac{1}{j^2}} +
\begin{cases}
0 & & \text{gdy } n = 3 k \\
\lfloor n / 3 \rfloor + 1 & & \text{gdy } n = 3 k + 1 \\
0 & & \text{gdy } n = 3 k + 2 \\
\end{cases}</math>

Mamy zatem: <math>S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \infty</math>, gdy <math>n = 3 k + 1</math> i <math>S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, gdy <math>n = 3 k</math> lub <math>n = 3 k + 2</math>. Skąd wynika natychmiast rozbieżność szeregu <math>(**)</math>. Zauważmy, że możemy łatwo temu szeregowi przywrócić zbieżność grupując wyrazy po trzy

::<math>(1 - 1 + 1) + \left( 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} \right) + \left( 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} \right) + \left( 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} \right) + \left( 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} \right) + \left( 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} \right) + \ldots</math>

W wyniku otrzymujemy zbieżny szereg <math>(*)</math>. Możemy też zastosować grupowanie: dwa wyrazy, jeden wyraz. Dostajemy

::<math>(1 - 1) + (1) + (2 - 2) + \left( {\small\frac{1}{2^2}} \right) + (3 - 3) + \left( {\small\frac{1}{3^2}} \right) + (4 - 4) + \left( {\small\frac{1}{4^2}} \right) + (5 - 5) + \left( {\small\frac{1}{5^2}} \right) + (6 - 6) + \left( {\small\frac{1}{6^2}} \right) + \ldots</math>

Czyli szereg postaci

::<math>0 + 1 + 0 + {\small\frac{1}{2^2}} + 0 + {\small\frac{1}{3^2}} + 0 + {\small\frac{1}{4^2}} + 0 + {\small\frac{1}{5^2}} + 0 + {\small\frac{1}{6^2}} + 0 + {\small\frac{1}{7^2}} + 0 + {\small\frac{1}{8^2}} + 0 + {\small\frac{1}{9^2}} + 0 + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots</math>

Suma tego szeregu wynosi oczywiście <math>{\small\frac{\pi^2}{6}}</math>.

Widzimy, że szereg rozbieżny można uczynić zbieżnym, dobierając odpowiednie grupowanie wyrazów szeregu. Podane niżej twierdzenie odpowiada na pytanie: czy szereg zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo) możemy uczynić rozbieżnym, dobierając odpowiednie grupowanie wyrazów szeregu.

Zadanie D25 
Zbadać, czy suma wypisanych niżej szeregów zależy od sposobu grupowania wyrazów tych szeregów.

::<math>1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots</math>

::<math>1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + \ldots</math>

::<math>1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} + \ldots</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pierwszy i drugi szereg nie są zbieżne, bo nie spełniają warunku koniecznego zbieżności szeregu: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>. W przypadku pierwszego szeregu mamy

::<math>S_n =
\begin{cases}
0 & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\
1 & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\
\end{cases}</math>

Widzimy, że nie istnieje granica <math>S_n</math> dla <math>n</math> dążącego do nieskończoności, czyli szereg jest rozbieżny, ale grupując wyrazy po dwa, dostajemy

::<math>(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0 + 0 + 0 + \ldots = 0</math>

::<math>1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \ldots = 1 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 1</math>

Dla drugiego szeregu jest podobnie

::<math>S_n =
\begin{cases}
- {\large\frac{n}{2}} & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\
{\large\frac{n + 1}{2}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\
\end{cases}</math>

Nie istnieje granica <math>S_n</math> dla <math>n</math> dążącego do nieskończoności, zatem szereg jest rozbieżny. Grupując wyrazy po dwa, mamy

::<math>(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + (7 - 8) + (9 - 10) + (11 - 12) + \ldots = - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - \ldots = - \infty</math>

::<math>1 + (- 2 + 3) + (- 4 + 5) + (- 6 + 7) + (- 8 + 9) + (- 10 + 11) + (- 12 + 13) + \ldots = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots = + \infty</math>

Trzeci szereg spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu, ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]). Mamy

::<math>S_n =
\begin{cases}
\;\;\; 0 & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\
{\large\frac{2}{n + 1}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\
\end{cases}</math>

Ponieważ <math>S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 0</math>, to trzeci szereg jest warunkowo zbieżny. Zauważmy, że

::<math>(1 - 1) + \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 0</math>

::<math>1 + \left( - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{20}} - \ldots = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 0 \qquad \quad</math> (zobacz [[#D16|D16]] p.&hairsp;1)

::<math>\left( 1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + \ldots \longrightarrow 0</math>

Widzimy, że zmiana sposobu grupowania nie zmieniła sumy tego szeregu. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D26 
Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo), to jego suma nie zależy od pogrupowania wyrazów pod warunkiem, że każda z grup obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Uwaga: warunek, aby grupy obejmowały jedynie skończoną ilość wyrazów, stosujemy do ustalonej grupy, co nie wyklucza sytuacji, że rozmiar grupy rośnie dla kolejnych grup, np. <math>n</math>-ta grupa zawiera <math>n</math> wyrazów szeregu.
Zauważmy, że podciąg <math>k_j = {\small\frac{1}{2}} (j^2 - j + 2)</math> jest równie dobrym podciągiem, jak każdy inny, a w tym przypadku <math>n</math>-ta grupa obejmuje dokładnie <math>n</math> wyrazów szeregu.

Rozważmy szereg

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + \ldots</math>

oraz dowolne grupowanie wyrazów tego szeregu, na przykład

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = (a_1) + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + (a_7 + a_8) + (a_9 + a_{10} + a_{11}) + (a_{12} + a_{13} + a_{14}) + \ldots</math>

Każda grupa (zgodnie z założeniem) obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów. Takie grupowanie w rzeczywistości tworzy nowy szereg

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} b_{k_j} = b_{k_1} + b_{k_2} + b_{k_3} + b_{k_4} + b_{k_5} + b_{k_6} + \ldots</math>

gdzie <math>(k_j)</math> jest pewnym podciągiem ciągu liczb naturalnych określonych przez wskaźnik pierwszego wyrazu po nawiasie otwierającym grupę, a samą grupę możemy zapisać jako

::<math>b_{k_j} = (a_{k_j} + a_{k_j + 1} + \ldots + a_{k_{j + 1} - 1})</math>

W naszym przykładzie mamy: <math>k_1 = 1</math>, <math>k_2 = 2</math>, <math>k_3 = 4</math>, <math>k_4 = 7</math>, <math>k_5 = 9</math>, <math>k_6 = 12, \; \ldots</math>

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny, zatem ciąg sum częściowych <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k</math> ma granicę. Ciąg sum częściowych szeregu <math>\sum_{j = 1}^{\infty} b_{k_j}</math> możemy zapisać w postaci

::<math>T_m = \sum_{j = 1}^{m} b_{k_j} = b_{k_1} + b_{k_2} + \ldots + b_{k_m} = \sum_{j = 1}^{m} (a_{k_j} + a_{k_j + 1} + \ldots + a_{k_{j + 1} - 1})</math>

Łatwo widzimy, że <math>T_m</math> jest sumą wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_k)</math> o wskaźnikach mniejszych od <math>k_{m + 1}</math>, czyli

::<math>T_m = S_{k_{m + 1} - 1}</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>(T_m)</math> jest podciągiem ciągu zbieżnego <math>(S_n)</math>, to też jest zbieżny do tej samej granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C77|C77]]). Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

=== Przestawianie wyrazów szeregu ===

 

Definicja D27 
Powiemy, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)}</math> powstał w wyniku przestawiania wyrazów szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>, jeżeli <math>b_k = a_{f (k)}</math>, gdzie funkcja <math>f(k)</math> jest funkcją wzajemnie jednoznaczną i <math>f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>.

Uwaga D28 
Zauważmy, że funkcja <math>f(k)</math> musi
:* odwzorowywać zbiór <math>\mathbb{N}</math> "na" <math>\mathbb{N}</math>, bo każdy wyraz ciągu <math>(a_k)</math> musi wystąpić w ciągu <math>(b_k)</math>
:* być funkcją różnowartościową

Różnowartościowość funkcji <math>f(k)</math> wyklucza sytuację, gdy dwóm wyrazom ciągu <math>(b_k)</math> o różnych indeksach odpowiada taki sam wyraz z ciągu <math>(a_k)</math>. Weźmy dla przykładu szeregi

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + \ldots</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} = 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + \ldots</math>

Mamy: <math>b_5 = a_{f (5)} = b_6 = a_{f (6)} = a_5</math>, czyli <math>f(5) = f (6) = 5</math>. Otrzymaliśmy w ten sposób szereg złożony z innych wyrazów: pierwszy ma wszystkie wyrazy różne, a drugi ma dwa takie same.

Uwaga D29 
Niech <math>f(k)</math> będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z przestawionymi wyrazami definiujemy następująco

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)}</math>

Funkcji <math>f</math> opisującej przestawianie wyrazów zazwyczaj nie daje się zapisać prostym wzorem. Powiedzmy, że dokonujemy tylko jednego przestawienia: wyraz <math>a_5</math> będzie teraz dziesiątym wyrazem w nowym szeregu. Takie przestawienie opisuje funkcja

::<math>f(k) =
\begin{cases}
k & & \text{gdy } k < 5 \\[0.3em]
k + 1 & & \text{gdy } 5 \leq k < 10 \\[0.3em]
5 & & \text{gdy } k = 10 \\[0.3em]
k & & \text{gdy } k > 10 \\
\end{cases}</math>

Co dobrze pokazuje tabela

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! suma || colspan=12 | wyrazy sumy
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }</math>
| <math>b_1</math> || <math>b_2</math> || <math>b_3</math> || <math>b_4</math> || <math>b_5</math> || <math>b_6</math> || <math>b_7</math> || <math>b_8</math> || <math>b_9</math> || <math>b_{10}</math> || <math>b_{11}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }</math>
| <math>a_{f(1)}</math> || <math>a_{f(2)}</math> || <math>a_{f(3)}</math> || <math>a_{f(4)}</math> || <math>a_{f(5)}</math> || <math>a_{f(6)}</math> || <math>a_{f(7)}</math> || <math>a_{f(8)}</math> || <math>a_{f(9)}</math> || <math>a_{f(10)}</math> || <math>a_{f(11)}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{}</math>
| <math>a_1</math> || <math>a_2</math> || <math>a_3</math> || <math>a_4</math> || <math>a_6</math> || <math>a_7</math> || <math>a_8</math> || <math>a_9</math> || <math>a_{10}</math> || <math>a_5</math> || <math>a_{11}</math> || <math>\ldots</math>
|}

Niżej przedstawiamy jeszcze dwa przykłady.

Przykład D30 
Niech <math>f(k)</math> będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Funkcja

::<math>f(k) =
\begin{cases}
k + 1 & & \text{gdy } k \text{ jest nieparzyste} \\[0.3em]
k - 1 & & \text{gdy } k \text{ jest parzyste} \\
\end{cases}</math>

tworzy nowy szereg, w którym wyrazy o indeksach parzystych mają w nowym szeregu indeksy nieparzyste, a wyrazy o indeksach nieparzystych mają w nowym szeregu indeksy parzyste.

Co ilustruje tabela

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! suma || colspan=8 | wyrazy sumy
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }</math>
| <math>b_1</math> || <math>b_2</math> || <math>b_3</math> || <math>b_4</math> || <math>\ldots</math> || <math>b_{2 j - 1}</math> || <math>b_{2 j}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }</math>
| <math>a_{f(1)}</math> || <math>a_{f(2)}</math> || <math>a_{f(3)}</math> || <math>a_{f(4)}</math> || <math>\ldots</math> || <math>a_{f(2 j - 1)}</math> || <math>a_{f(2 j)}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{}</math>
| <math>a_2</math> || <math>a_1</math> || <math>a_4</math> || <math>a_3</math> || <math>\ldots</math> || <math>a_{2 j}</math> || <math>a_{2 j - 1}</math> || <math>\ldots</math>
|}

Przykład D31 
Niech <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> będzie szeregiem harmonicznym naprzemiennym <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>, a funkcja opisująca przestawianie wyrazów szeregu ma postać

::<math>f(k) =
\begin{cases}
\large{\frac{2 k + 1}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j + 1 \\
\large{\frac{4 k - 2}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j + 2 \\
\large{\frac{4 k}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j \\
\end{cases}</math>

Rezultaty przestawiania wyrazów szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> zbierzemy w tabeli

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! suma || colspan=13 | wyrazy sumy
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }</math>
| <math>b_1</math> || <math>b_2</math> || <math>b_3</math> || <math>b_4</math> || <math>b_5</math> || <math>b_6</math> || <math>b_7</math> || <math>b_8</math> || <math>\ldots</math> || <math>b_{3 j + 1}</math> || <math>b_{3 j + 2}</math> || <math>b_{3 j + 3}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }</math>
| <math>a_{f(1)}</math> || <math>a_{f(2)}</math> || <math>a_{f(3)}</math> || <math>a_{f(4)}</math> || <math>a_{f(5)}</math> || <math>a_{f(6)}</math> || <math>a_{f(7)}</math> || <math>a_{f(8)}</math> || <math>\ldots</math> || <math>a_{f(3 j + 1)}</math> || <math>a_{f(3 j + 2)}</math> || <math>a_{f(3 j + 3)}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{}</math>
| <math>a_1</math> || <math>a_2</math> || <math>a_4</math> || <math>a_3</math> || <math>a_6</math> || <math>a_8</math> || <math>a_5</math> || <math>a_{10}</math> || <math>\ldots</math> || <math>a_{2 j + 1}</math> || <math>a_{4 j + 2}</math> || <math>a_{4 j + 4}</math> || <math>\ldots</math>
|-
! <math>\boldsymbol{}</math>
| <math>1</math> || <math>- {\small\frac{1}{2}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{4}}</math> || <math>{\small\frac{1}{3}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{6}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{8}}</math> || <math>{\small\frac{1}{5}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{10}}</math> || <math>\ldots</math> || <math>{\small\frac{1}{2 j + 1}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{4 j + 2}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{4 j + 4}}</math> || <math>\ldots</math>
|}

Dokładnie z takim przestawieniem wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego spotkamy się w zadaniu [[#D32|D32]] p.&hairsp;2.

Zadanie D32 
Niech <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math> i niech <math>[n, \ldots, n']</math> będzie dowolnym przedziałem liczb naturalnych o długości nie większej od <math>M</math>. Pokazać, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zgodnie z definicją granicy chcemy pokazać, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest

::<math>\left| \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right| < \varepsilon</math>

Z założenia <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>, a z definicji tej granicy wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon' > 0</math> istnieje takie <math>N'_0</math>, że dla każdego <math>k > N'_0</math> jest <math>| a_k | < \varepsilon'</math>.

Ponieważ <math>\varepsilon'</math> możemy obrać dowolnie, to dla wybranego przez nas <math>\varepsilon</math> niech

::<math>\varepsilon' = {\small\frac{\varepsilon}{M}}</math>

Teraz już łatwo widzimy, że dla <math>n > N'_0</math> jest

::<math>\left| \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right| \leqslant \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} | a_k | < M \cdot \varepsilon' = M \cdot {\small\frac{\varepsilon}{M}} = \varepsilon</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D33 
Rozważmy sytuację, gdy wszystkie wyrazy szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> podzieliliśmy na bloki wyrazów – tak jak przykładowo poniżej

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = [a_1 + a_2 + a_3] + [a_4] + [a_5 + a_6 + a_7] + [a_8] + [a_9 + a_{10}] + [a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}] + [a_{15}] + [a_{16} + a_{17} + a_{18}] + [a_{19} + a_{20}] + \ldots</math>

Zauważmy, że każdy wyraz należy do pewnego bloku <math>B_k</math>, a związany z blokiem wyrazów <math>B_k</math> zbiór indeksów tych wyrazów tworzy pewien przedział <math>I_k \subset \mathbb{N}</math>. W naszym przypadku mielibyśmy

::<math>[1, 2, 3], [4], [5, 6, 7], [8], [9, 10], [11, 12, 13, 14], [15], [16, 17, 18], [19, 20], \ldots</math>

Definicja D34 
Podziałem zbioru liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> na skończone przedziały nazywamy zbiór przedziałów <math>\{ I_k \}</math> takich, że

::*   <math>I_k \neq \varnothing</math> dla każdego <math>k \geq 1</math>
::*   <math>I_j \cap I_k = \varnothing</math> dla <math>j \neq k</math>
::*   <math>| \, I_k \, | < \infty</math> dla każdego <math>k \geq 1</math>
::*   <math>\bigcup_{k \geq 1} I_k =\mathbb{N}</math>
::*   przedziały są uporządkowane rosnąco w naturalnym porządku, tzn. dla <math>j < k</math> zachodzi <math>\max (I_j) < \min (I_k)</math>

Twierdzenie D35 
Niech <math>I_1, I_2, \ldots</math> będzie podziałem <math>\mathbb{N}</math> na przedziały o długości nie większej od <math>M</math>. Jeżeli <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest szeregiem, którego wyrazy spełniają konieczny warunek zbieżności <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>, to

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{m \rightarrow \infty} \left( \sum_{j = 1}^m \sum_{k \:\! \in \:\! I_j} a_k \right)</math>

Czyli suma częściowa szeregu <math>S_n = \sum_{k = 1}^n a_k</math> i suma wyrazów szeregu liczona po pełnych przedziałach <math>I_j</math> mają taką samą granicę.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Rozważmy sumę częściową <math>S_n = \sum_{k = 1}^n a_k</math>. Z definicji podziału <math>\mathbb{N}</math> na przedziały istnieje taki wskaźnik <math>r = r (n)</math> i taki odpowiadający mu przedział <math>I_r</math>, że <math>n \in I_r</math>. Zatem możemy napisać

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^n a_k = \underset{\text{przedziałach}}{\underset{\text{suma po pełnych}}{\sum_{j = 1}^{r - 1} \sum_{k \:\! \in \:\! I_j} a_k}} \quad + \quad \underset{\text{przedziału końcowego } I_r}{\underset{\text{suma po części}}{\sum_{k \:\! \in \:\! I_r, \;\! k < n} a_k}}</math>

Zauważmy, że druga suma po prawej stronie albo nie wystąpi (możemy powiedzieć, że jest równa zero), gdy <math>n = \max (I_r)</math>, albo przebiega po pewnym przedziale <math>[\min (I_r), \ldots, n]</math>. Przedział ten ma długość nie większą od <math>M</math>, bo jest podprzedziałem przedziału <math>I_r</math>, a z założenia <math>| I_r | < M</math>.

Gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, to również <math>r = r (n)</math> dąży do nieskończoności i tak samo liczba <math>\min (I_{r (n)})</math> dąży do nieskończoności, a przedział <math>[\min (I_r), \ldots, n] \subset I_r</math> obejmuje coraz większe liczby naturalne. Z zadania [[#D32|D32]] otrzymujemy natychmiast

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [\min (I_r), \ldots, n]} a_k \right) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D36 
Rozważmy szereg harmoniczny naprzemienny

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots</math>

Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz [[#D85|D85]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots</math>

Z twierdzenia [[#D35|D35]] wynika, że sumę szeregu możemy liczyć po pełnych blokach, zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{2 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math>

Ponieważ szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>.

Zadanie D37 
Pokazać, że szereg

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots</math>

jest zbieżny, a jego suma jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 = 1.13197175 \ldots</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że dokonując podziału szeregu

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots</math>

na bloki, możemy napisać

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \left[ 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} \right] + \ldots</math>

Z twierdzenia [[#D35|D35]] wynika, że sumę szeregu możemy liczyć, sumując po pełnych blokach. Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{32 n^2 - 24 n + 3}{4 n (2 n - 1) (4 n - 1) (4 n - 3)}} < \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

Ponieważ szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math> jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}}</math>.

Sumę szeregu trudniej policzyć. Zauważmy, że wyrazy szeregu

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots</math>

możemy pogrupować

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) - \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} \right) - \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} \right) - \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} \right) - \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{16}} \right) + \ldots</math>

Pozwala to zapisać rozpatrywany szereg w postaci sumy utworzonych wyżej grup

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2 k}} \right)</math>

Należy podkreślić, że takie pogrupowanie nie zmienia sumy szeregu (zobacz [[#D26|D26]]). Możemy zatem napisać

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>

Będziemy rozważali całki

::<math>I_n = \int^1_0 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} d t</math>

gdzie <math>n \geqslant 0</math>. Przykładowo

::<math>I_0 = \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}} dt = \operatorname{arctg}(t) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.785398 \ldots</math>

::<math>I_1 = \int_0^1 {\small\frac{t}{1 + t^2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{2 t}{1 + t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{du}{1 + u}} = {\small\frac{1}{2}} \biggr[ \log (1 + u) \biggr\rvert_{0}^{1} \biggr] = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 \approx 0.34657 \ldots</math>

::<math>I_2 = \int_0^1 {\small\frac{t^2}{1 + t^2}} dt = \int_0^1 {\small\frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2}} dt = \int_0^1 dt - \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}} dt = 1 - {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.21460 \ldots</math>

Udowodnimy kolejno, że

::  1. <math>\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0</math>

::  2. <math>\qquad I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} \qquad \qquad \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 2</math>

::3a. <math>\qquad I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0</math>

::3b. <math>\qquad I_{2 n} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0</math>

::4a. <math>\qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2</math>

::4b. <math>\qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} = {\small\frac{\pi}{4}}</math>

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przedziale <math>[0, 1]</math> mamy <math>1 \leqslant 1 + t^2 \leqslant 2</math>, czyli <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant {\small\frac{1}{1 + t^2}} \leqslant 1</math>. Wynikają stąd oszacowania

::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \leqslant \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

oraz

::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \geqslant \int_0^1 {\small\frac{t^n}{2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{2 n + 2}}</math>

Zatem dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest ciąg nierówności

::<math>{\small\frac{1}{2 n + 2}} \leqslant I_n \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0</math>

'''Punkt 2.'''

Mamy

::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot t^2}{1 + t^2}} dt</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot [(1 + t^2) - 1]}{1 + t^2}} dt</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\;\;\;\:\, = \int_0^1 t^{n - 2} dt- \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2}}{1 + t^2}} dt</math>
</div>

::<math>\;\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2}</math>

Otrzymaliśmy wzór rekurencyjny prawdziwy dla <math>n \geqslant 2</math>

::<math>I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2}</math>

{| style="width:100%;"
|-
| colspan=2 | '''Punkt 3a. / 3b.'''
|-
| colspan=2 | Korzystając ze znalezionego wzoru rekurencyjnego oraz indukcji matematycznej udowodnimy, że prawdziwe są następujące wzory (odpowiednio dla całek <math>I_m</math> o indeksie nieparzystym i dla całek <math>I_m</math> o indeksie parzystym)
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_{2 n} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right)</math>
</div>
|-
| colspan=2 | Sprawdzamy poprawność wzoru dla <math>n = 1</math>. Z dowodzonego wzoru otrzymujemy
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_3 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 = {\small\frac{1}{2}} - I_1</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_2 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 = 1 - I_0</math>
</div>
|-
| colspan=2 | A ze wzoru rekurencyjnego dostajemy identyczny wzór
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_3 = {\small\frac{1}{2}} - I_1</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_2 = 1 - I_0</math>
</div>
|-
| colspan=2 | Załóżmy (złożenie indukcyjne), że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>n</math>, dla <math>n + 1</math> mamy
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_{2 n + 3} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\; = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 2}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{2 n + 2}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{(2 n + 3) - 1}} - I_{2 n + 1}</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I_{2 n + 2} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\; = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 1}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{2 n + 1}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{(2 n + 2) - 1}} - I_{2 n}</math>
</div>
|-
| colspan=2 | Ostatnia równość wynika z założenia indukcyjnego. Pokazaliśmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>n + 1</math>, co kończy dowód indukcyjny.
|-
| colspan=2 |  
|-
| colspan=2 | '''Punkt 4a. / 4b.'''
|-
| colspan=2 | Z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C9|C9]] granicę policzoną w punkcie 1. możemy zapisać równoważnie w postaci <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | I_{n} | = 0</math>. Zatem z punktów 3a i 3b mamy odpowiednio
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right| = 0</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right| = 0</math>
</div>
|-
| colspan=2 | Czyli
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) = 0</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) = 0</math>
</div>
|-
| colspan=2 | Skąd natychmiast dostajemy, że
|-
| style="width:350px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = I_1 = {\small\frac{\log 2}{2}}</math>
</div>
| style="width:650px; vertical-align:top;" |
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} = I_0 = {\small\frac{\pi}{4}}</math>
</div>
|}

Zauważmy, że mnożąc obie strony ostatniego wzoru w lewej kolumnie przez <math>2</math>, otrzymujemy wzór na sumę szeregu harmonicznego naprzemiennego

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2</math>
</div>

Teraz już łatwo widzimy, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2</math>
</div>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D38 
Pokazać, że
::1.   <math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{14}} \right) + \ldots = \log 2</math>

::2.   <math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{18}} - {\small\frac{1}{20}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2</math>

::3.   <math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{18}} - {\small\frac{1}{20}} - {\small\frac{1}{22}} - {\small\frac{1}{24}} \right) + \ldots = 0</math>

::4.   <math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} + {\small\frac{1}{25}} + {\small\frac{1}{27}} + {\small\frac{1}{29}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \ldots = + \infty</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''Uwagi ogólne''' 
Nawiasy nie oznaczają tutaj jakiegoś szczególnego grupowania wyrazów szeregu. Zostały umieszczone jedynie po to, aby pokazać, jak poszczególne szeregi zostały zdefiniowane. 

Każdy z zamieszczonych niżej dowodów (poza punktem 6.) wykorzystuje przybliżony wzór na sumę <math>n</math> początkowych wyrazów szeregu harmonicznego

::<math>H_n = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - \ldots</math>

gdzie <math>\gamma \approx 0.57721 \ldots</math> jest stałą Eulera (zobacz uwagę po twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]], więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w przykładzie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E60|E60]]). Powyższy wzór możemy zapisać w postaci

::<math>H_n = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + h_n</math>

gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} h_n = 0</math>.

Wynikają stąd wzory

::<math>\underset{k \text{ parzyste}}{\sum_{k = 2}^{2 n}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k}} = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = {\small\frac{1}{2}} H_n</math>

::<math>\underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n + 1}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n + 1} {\small\frac{1}{k}} - \underset{k \text{ parzyste}}{\sum^{2 n}_{k = 2}} {\small\frac{1}{k}} = H_{2 n + 1} - {\small\frac{1}{2}} H_n</math>

::<math>\underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n - 1} {\small\frac{1}{k}} - \underset{k \text{ parzyste}}{\sum^{2 n - 2}_{k = 2}} {\small\frac{1}{k}} = H_{2 n - 1} - {\small\frac{1}{2}} H_{n - 1} = \left( H_{2 n} - {\small\frac{1}{2 n}} \right) - {\small\frac{1}{2}} \left( H_n - {\small\frac{1}{n}} \right) = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n</math>

'''Punkt 1.'''

Wzór został udowodniony w twierdzeniu [[#D6|D6]], ale zastosujemy tutaj inny sposób. Zauważmy, że sumujemy bloki

::<math>\sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum^n_{k = 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k}}</math>

:::::::<math>\;\;\;\:\, = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 n}} \right)</math>

:::::::<math>\;\;\;\:\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{n}} \right)</math>

:::::::<math>\;\;\;\:\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_n</math>

:::::::<math>\;\;\;\:\, = H_{2 n} - H_n</math>

:::::::<math>\;\;\;\:\, = (\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - (\log n + \gamma + h_n)</math>

:::::::<math>\;\;\;\:\, = \left[ \log \left( {\small\frac{2 n}{n}} \right) + h_{2 n} - h_n \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \log 2</math>

'''Punkt 2.'''

Pierwszy sposób 
Z określenia szeregu wynika, że sumujemy bloki złożone z trzech wyrazów

::<math>0 < \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{4 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}}</math>

Z kryterium porównawczego ([[#D11|D11]]) wynika, że powyższy szereg jest zbieżny, zatem możemy grupować wyrazy (zobacz [[#D26|D26]])

::<math>1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) - {\small\frac{1}{4}} + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} \right) - {\small\frac{1}{8}} + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} \right) - {\small\frac{1}{12}} + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} \right) - {\small\frac{1}{16}} + \ldots</math>

:::::::::::::::::::::<math>\: = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots</math>

:::::::::::::::::::::<math>\: = {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + \ldots \right)</math>

:::::::::::::::::::::<math>\: = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2</math>

Drugi sposób 

Szereg jest sumą bloków

::<math>\sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{4 k - 2}} + {\small\frac{1}{4 k}} \right)</math>

::::::::::<math>\;\;\,\, = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{4 n - 2}} + {\small\frac{1}{4 n}} \right)</math>

::::::::::<math>\;\;\,\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 n - 1}} + {\small\frac{1}{2 n}} \right)</math>

::::::::::<math>\;\;\,\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_{2 n}</math>

::::::::::<math>\;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n</math>

::::::::::<math>\;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} [(\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - (\log n + \gamma + h_n)]</math>

::::::::::<math>\;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \log \left( {\small\frac{2 n}{n}} \right) + h_{2 n} - h_n \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2</math>

'''Punkt 3.'''

Zauważmy, że sumujemy bloki

::<math>\sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{8 k - 6}} - {\small\frac{1}{8 k - 4}} - {\small\frac{1}{8 k - 2}} - {\small\frac{1}{8 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{8 k - 6}} + {\small\frac{1}{8 k - 4}} + {\small\frac{1}{8 k - 2}} + {\small\frac{1}{8 k}} \right)</math>

::::::::::::::::<math>\: = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{8 n - 6}} + {\small\frac{1}{8 n - 4}} + {\small\frac{1}{8 n - 2}} + {\small\frac{1}{8 n}} \right)</math>

::::::::::::::::<math>\: = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} + {\small\frac{1}{4 n - 1}} + {\small\frac{1}{4 n}} \right)</math>

::::::::::::::::<math>\: = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_{4 n}</math>

::::::::::::::::<math>\: = (\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log n + \gamma + h_n) - {\small\frac{1}{2}} (\log (4 n) + \gamma + h_{4 n})</math>

::::::::::::::::<math>\: = {\small\frac{1}{2}} [\log (4 n^2) + 2 \gamma + 2 h_{2 n} - \log n - \gamma - h_n - \log (4 n) - \gamma - h_{4 n}]</math>

::::::::::::::::<math>\: = {\small\frac{1}{2}} \left[ \log \left( {\small\frac{4 n^2}{n \cdot 4 n}} \right) + 2 h_{2 n} - h_n - h_{4 n} \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 0</math>

'''Punkt 4.'''

Rozpatrujemy szereg

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} + {\small\frac{1}{25}} + {\small\frac{1}{27}} + {\small\frac{1}{29}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{31}} + \ldots + {\small\frac{1}{61}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \ldots</math>

Zauważmy, że

::●    '''z definicji''' każda <math>k</math>-ta grupa obejmuje <math>2^{k - 1}</math> wyrazów z mianownikiem nieparzystym i jeden wyraz z mianownikiem parzystym (największy z jeszcze niewykorzystanych wyrazów o mianowniku parzystym)

::●    pierwszy wyraz z mianownikiem nieparzystym w <math>k</math>-tej grupie jest równy <math>{\small\frac{1}{2^k - 1}}</math>, a ostatni to <math>{\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}}</math>

::●    znajdujemy oszacowanie sumy wyrazów z mianownikiem nieparzystym w <math>k</math>-tej grupie

::::<math>S_{(k)} = {\small\frac{1}{2^k - 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} \geqslant 2^{k - 1} \cdot {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} > {\small\frac{2^{k - 1}}{2^{k + 1}}} = {\small\frac{1}{4}}</math>

::●    łatwo sprawdzamy, że suma wyrazów w każdej z pierwszych trzech grup jest większa od <math>{\small\frac{1}{8}}</math>

::●    począwszy od czwartej grupy, od sumy wyrazów z nieparzystym mianownikiem odejmujemy <math>{\small\frac{1}{8}}</math> lub mniej niż <math>{\small\frac{1}{8}}</math> (dokładnie <math>{\small\frac{1}{8}}</math>, <math>{\small\frac{1}{10}}</math>, <math>{\small\frac{1}{12}}</math>, <math>{\small\frac{1}{14}}</math>, itd.), zatem suma wszystkich wyrazów w każdej z tych grup jest większa od <math>{\small\frac{1}{8}}</math>

::●    pokazaliśmy, że suma wyrazów w każdej grupie jest większa od <math>{\small\frac{1}{8}}</math>, a ponieważ jest nieskończenie wiele grup, to szereg jest rozbieżny do nieskończoności
 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D39 
Rozważmy sumę

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left(
\underbrace{{\small\frac{1}{2 b k - 2 b + 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 b k - 1}}}_{b \text{ wyrazów nieparzystych}} -
\underbrace{{\small\frac{1}{2 a k - 2 a + 2}} - \ldots - {\small\frac{1}{2 a k}}}_{a \text{ wyrazów parzystych}}
\right)</math>

Zauważmy, że sumujemy bloki zbudowane z wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>. Każdy blok składa się z <math>b</math> wyrazów nieparzystych (dodatnich) i <math>a</math> wyrazów parzystych (ujemnych). Pokazać, że

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 b k - 2 b + 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 b k - 1}} \text{} - {\small\frac{1}{2 a k - 2 a + 2}} - \ldots - {\small\frac{1}{2 a k}} \right) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Uwzględniając twierdzenie [[#D35|D35]], będziemy sumowali po pełnych blokach. Zauważmy, że po zsumowaniu <math>n</math> bloków mamy sumę <math>b n</math> wyrazów nieparzystych (dodatnich) i <math>a n</math> wyrazów parzystych (ujemnych). Zatem tak określona suma częściowa jest równa

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}}</math>

Podobnie jak w zadaniu poprzednim ([[#D38|D38]]) wykorzystamy przybliżony wzór na sumę <math>m</math> początkowych wyrazów szeregu harmonicznego

::<math>H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log m + \gamma + {\small\frac{1}{2 m}} - {\small\frac{1}{12 m^2}} + {\small\frac{1}{120 m^4}} - \ldots</math>

gdzie <math>\gamma \approx 0.57721 \ldots</math> jest stałą Eulera (zobacz uwagę po twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]], więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w przykładzie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E60|E60]]).

Powyższy wzór możemy zapisać w postaci

::<math>H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = \log m + \gamma + h_m</math>

gdzie <math>\lim_{m \rightarrow \infty} h_m = 0</math>.

Łatwo widzimy, że

::<math>\sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k}} = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{k}} = {\small\frac{1}{2}} H_m</math>

oraz

::<math>\sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k - 1}} = \sum_{k = 1}^{2 m} {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k}} = H_{2 m} - {\small\frac{1}{2}} H_m</math>

Podstawiając do wzoru na sumę częściową, otrzymujemy

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}} = \left( H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} \right) - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} = H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{a n}</math>

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu harmonicznego, dostajemy

::<math>S_n = H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{a n}</math>

:::<math>= (\log (2 b n) + \gamma + h_{2 b n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log (b n) + \gamma + h_{b n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log (a n) + \gamma + h_{a n})</math>

:::<math>= \left[ \log (2 b n) - {\small\frac{1}{2}} \cdot \log (b n) - {\small\frac{1}{2}} \cdot \log (a n) \right] + \left[ \gamma - {\small\frac{1}{2}} \cdot \gamma - {\small\frac{1}{2}} \cdot \gamma \right] + \left[ h_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} \cdot h_{b n} - {\small\frac{1}{2}} \cdot h_{a n} \right]</math>

:::<math>= {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{4 b^2 n^2}{b n \cdot a n}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right)</math>

:::<math>= {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{4 b}{a}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right)</math>

:::<math>= \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D40 
Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to po dowolnym przestawieniu wyrazów suma tego szeregu nie ulegnie zmianie.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>f(k)</math> będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z przestawionymi wyrazami definiujemy następująco

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)}</math>

Widzimy, że

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! suma || colspan=7 | wyrazy sumy || style="background-color: #eeffee;" colspan=4 | w szczególności
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }</math>
| <math>b_1</math> || <math>b_2</math> || <math>b_3</math> || <math>b_4</math> || <math>…</math> || <math>b_n</math> || <math>…</math> || <math>b_{f^{-1}(1)}</math> || <math>b_{f^{-1}(2)}</math> || <math>…</math> || <math>b_{f^{-1}(n)}</math>
|-
! <math>\boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }</math>
| <math>a_{f(1)}</math> || <math>a_{f(2)}</math> || <math>a_{f(3)}</math> || <math>a_{f(4)}</math> || <math>…</math> || <math>a_{f(n)}</math> || <math>…</math> || <math>a_1</math> || <math>a_2</math> || <math>…</math> || <math>a_n</math>
|}

Zatem, po przestawieniu, na <math>n</math>-tej pozycji w szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> znajdzie się wyraz <math>a_{f (n)}</math>.

Funkcja <math>f(k)</math> jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, co oznacza, że ma funkcję odwrotną. Zauważmy, że <math>f (f^{- 1} (n)) = n</math>, zatem <math>f^{- 1} (n)</math> zwraca wartość indeksu, z jakim wyraz <math>a_n</math> z szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> występuje w szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math>.

Niech <math>N_0</math> będzie dowolną ustaloną liczbą naturalną. Jeżeli przyjmiemy, że

::<math>M_0 = \max \{ f^{- 1} (1), f^{- 1} (2), \ldots, f^{- 1} (N_0) \}</math>

to zapewnimy sobie, że każdy z wyrazów <math>a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}</math> wystąpi w ciągu <math>(a_{f (1)}, a_{f (2)}, \ldots, a_{f (M_0)})</math>, czyli

::<math>\{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} \subseteq \{ a_{f (1)}, a_{f (2)}, \ldots, a_{f (M_0)} \}</math>[a]

Oczywiście musi być <math>M_0 \geqslant N_0</math>.

Niech

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^n a_k \qquad \qquad S = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \qquad \qquad S^{\ast}_n = \sum_{k = 1}^n | a_k | \qquad \qquad S^{\ast} = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math>

Z założenia szereg jest bezwzględnie zbieżny, zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje takie <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> mamy

::<math>| S^{\ast} - S^{\ast}_n | < \varepsilon</math>

Czyli

::<math>\sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} | a_k | < \varepsilon</math>

Niech

::<math>T_m = \sum_{k = 1}^m a_{f (k)}</math>

będzie sumą częściową szeregu z przestawionymi wyrazami. Dla dowolnego <math>m > M_0</math> mamy

::<math>S - T_m = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k - \sum_{k = 1}^m a_{f (k)}</math>

::::<math>\;\,\, = \left( \sum_{k = 1}^{N_0} a_k + \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k \right) - \left( \sum_{k = 1}^{N_0} a_k + \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} \right)</math>

::::<math>\;\,\, = \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k - \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)}</math>

Rozważmy różnicę sum w ostatnim wierszu. Druga z tych sum <math>\underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)}</math> jest sumą skończoną i zawiera <math>m - N_0</math> wyrazów sumy <math>\sum_{k = 1}^m a_{f (k)}</math>, które pozostały po wydzieleniu wyrazów <math>a_1, a_2, \ldots, a_{N_0}</math>. Zauważmy, że każdy wyraz tej sumy występuje w pierwszej sumie <math>\sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k</math>. Zatem zapisana w ostatnim wierszu różnica sum, jest sumą <math>\sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k</math>, w której część wyrazów (skończona liczba) nie występuje, co zaznaczymy, używając znaku prim <math>(')</math> przy symbolu sumy. Mamy

::<math>S - T_m = {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} a_k</math>

Teraz już łatwo otrzymujemy

::<math>| S - T_m | = \left| \,\, {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} a_k \right|</math>

::::<math>\;\;\;\,\, \leqslant \,\, {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} | a_k |</math>

::::<math>\;\;\;\,\, \leqslant \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} | a_k |</math>

::::<math>\;\;\;\,\, < \varepsilon</math>

Pokazaliśmy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>M_0</math>, że dla wszystkich <math>m > M_0</math> jest <math>| S - T_m | < \varepsilon</math>. Zatem ciąg <math>(T_m)</math> ma granicę i wartość tej granicy jest równa <math>S</math>. Co kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Możemy też argumentować inaczej. Z definicji przestawiania wyrazów szeregu wynika, że każdy wyraz <math>a_k</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> musi wystąpić w szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math>. Zatem musi istnieć taki wyraz <math>b_{g (k)}</math>, że <math>b_{g (k)} = a_k</math>. Jeżeli dla kolejnych <math>N_0</math> wyrazów szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>, czyli dla wyrazów <math>\{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \}</math> zdefiniujemy liczbę <math>M_0 = \max \{ b_{g (1)}, b_{g (2)}, \ldots, b_{g (N_0)} \}</math>, to w zbiorze <math>\{ b_1, b_2, \ldots, b_{M_0} \}</math> musi wystąpić każdy z wyrazów <math>a_k</math>, gdzie <math>k \leqslant N_0</math>. Zbierając: istnieje taka liczba <math>M_0</math>, że <math>\{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} \subseteq \{ b_1, b_2, \ldots, b_{M_0} \}</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D41 
Pokazać, że każdą liczbę <math>x \in \mathbb{R}</math> można przedstawić jednoznacznie w postaci różnicy liczb nieujemnych <math>p, g</math> tak, aby jednocześnie były spełnione równania <math>x = p - g</math> oraz <math>| x | = p + g</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań

::<math>\begin{cases}
p - g = x \\[0.3em]
p + g = | x | \\
\end{cases}</math>

Skąd natychmiast otrzymujemy

::<math>p = {\small\frac{| x | + x}{2}} \qquad g = {\small\frac{| x | - x}{2}}</math>

Ponieważ <math>| x | \geqslant - x</math> i <math>| x | \geqslant x</math>, to obie liczby <math>p, g</math> są nieujemne. Zauważmy, że rozkład liczby <math>x</math> możemy zapisać w równoważny sposób

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>p = {\small\frac{| x | + x}{2}} = \max (0, x) =
\begin{cases}
x & & \text{gdy } x \geqslant 0 \\[0.3em]
0 & & \text{gdy } x < 0 \\
\end{cases}</math>
</div>

::<math>g = {\small\frac{| x | - x}{2}} = \max (0, - x) =
\begin{cases}
0 & & \text{gdy } x \geqslant 0 \\[0.3em]
- x & & \text{gdy } x < 0 \\
\end{cases}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D42 
Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem nieskończonym, a <math>(a_{n_j})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast <math>(a_{n_k})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z wyrazów ujemnych tego ciągu. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest warunkowo zbieżny, to

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} a_{n_j} = + \infty \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_k} = - \infty</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Każdy wyraz <math>a_n</math> szeregu <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> przedstawimy w postaci różnicy dwóch liczb nieujemnych <math>a^+_n</math> i <math>a^-_n</math> (zobacz [[#D34|D34]]), gdzie

::<math>a^+_n = \max (0, a_n)</math>

::<math>a^-_n = \max (0, - a_n)</math>

Zauważmy, że

::●    ciąg <math>(a^+_n)</math> powstaje z ciągu <math>(a_n)</math> przez zastąpienie wyrazów mniejszych od zera zerami
::●    ciąg <math>(a^-_n)</math> powstaje z ciągu <math>(a_n)</math> przez zastąpienie wyrazów większych od zera zerami, a wyrazów mniejszych od zera ich wartościami bezwzględnymi

Oczywiście <math>a_n = a^+_n - a^-_n</math> i <math>| a_n | = a^+_n + a^-_n</math> i możemy napisać

::<math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum^{\infty}_{k = 1} a^-_n</math>

::<math>\sum_{n = 1}^{\infty} | a_n | = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n + \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n</math>

Rozważmy możliwe przypadki

'''Punkt 1.'''

Jeżeli szeregi <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n</math> i <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n</math> są zbieżne, to szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} | a_n | = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n + \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n</math> jest zbieżny. Zatem szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest bezwzględnie zbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

'''Punkt 2.'''

Jeżeli szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n</math> jest zbieżny, a szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n</math> jest rozbieżny, to szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n</math> jest rozbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

'''Punkt 3.'''

Jeżeli szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n</math> jest rozbieżny, a szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n</math> jest rozbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Wynika stąd, że możliwy jest tylko przypadek, gdy obydwa szeregi <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n</math> i <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n</math> są rozbieżne. Zauważmy teraz, że pary ciągów <math>(a_{n_j})</math> i <math>(a^+_n)</math> oraz <math>(a_{n_k})</math> i <math>(- a^-_n)</math> różnią się jedynie nieskończoną ilością wyrazów równych zero, zatem odpowiednie szeregi również są rozbieżne

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} a_{n_j} = \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n = + \infty</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_k} = - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n = - \infty</math>

Skąd wynika natychmiast, że obydwa podciągi <math>(a_{n_j})</math> i <math>(a_{n_k})</math> mają nieskończoną liczbę wyrazów różnych od zera. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D43 (Bernhard Riemann<ref name="Riemann1"/>, 1854) 
Jeżeli szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest warunkowo zbieżny i <math>R \in \mathbb{R}</math>, to istnieje takie przestawienie wyrazów tego szeregu <math>f(k)</math>, że <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zauważmy od razu (i zapamiętajmy), że ponieważ z założenia szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest zbieżny, to musi być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \;</math> (zobacz [[#D4|D4]]).

Niech <math>(a_{n_j})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast <math>(a_{n_k})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z wyrazów ujemnych tego ciągu. Ponieważ podciągi <math>(a_{n_j})</math> i <math>(a_{n_k})</math> tworzą szeregi rozbieżne (zobacz [[#D35|D35]]) odpowiednio do <math>+ \infty</math> i do <math>- \infty</math>, to skończona suma kolejnych wyrazów tych podciągów może osiągać dowolne wartości skończone odpowiednio dodatnie lub ujemne.

Dla ułatwienia zapisu oznaczmy: <math>(p_i) \equiv (a_{n_j})</math> i <math>(q_i) \equiv (a_{n_k})</math>, a dla ustalenia uwagi załóżmy, że <math>R > 0</math>.

Wybierzmy najmniejsze <math>n_1</math> takie, że suma wyrazów <math>p_k</math> (dodatnich) będzie większa od <math>R</math> (liczby dodatniej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

::<math>\sum_{k = 1}^{n_1 - 1} p_k \leqslant R < \sum_{k = 1}^{n_1} p_k</math>

::<math>- p_{n_1} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k < 0</math>

Wybierzmy najmniejsze <math>m_1</math> takie, że suma wyrazów <math>q_k</math> (ujemnych) będzie mniejsza od <math>R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k</math> (liczby ujemnej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

::<math>\sum_{k = 1}^{m_1} q_k < R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k \leqslant \sum^{m_1 - 1}_{k = 1} q_k</math>

::<math>0 < R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k \leqslant - q_{m_1}</math>

Wybierzmy najmniejsze <math>n_2 > n_1</math> takie, że suma wyrazów <math>p_k</math> (dodatnich) będzie większa od <math>R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k</math> (liczby dodatniej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

::<math>\sum_{k = n_1 + 1}^{n_2 - 1} p_k \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < \sum_{k = n_1 + 1}^{n_2} p_k</math>

::<math>- p_{n_2} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < 0</math>

Wybierzmy najmniejsze <math>m_2 > m_1</math> takie, że suma wyrazów <math>q_k</math> (ujemnych) będzie mniejsza od <math>R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k</math> (liczby ujemnej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

::<math>\sum_{k = m_1 + 1}^{m_2} q_k < R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum^{m_1}_{k = 1} q_k \leqslant \sum_{k = m_1 + 1}^{m_2 - 1} q_k</math>

::<math>0 < R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_2} q_k \leqslant - q_{m_2}</math>

Kontynuując, zgodnie z zasadami przedstawionymi wyżej, naprzemienne dodawanie bloków liczb nieujemnych i ujemnych, osiągamy to, że kolejne sumy oscylują wokół wartości <math>R</math> z coraz mniejszą amplitudą.

W <math>j</math>-tym kroku dla bloku wyrazów nieujemnych <math>p_k</math> i <math>n_j > n_{j - 1}</math> otrzymujemy

::<math>- p_{n_j} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_j} p_k - \sum^{m_{j - 1}}_{k = 1} q_k < 0</math>

a dla bloku wyrazów ujemnych <math>q_k</math> i <math>m_j > m_{j - 1}</math> dostajemy

::<math>0 < R - \sum_{k = 1}^{n_j} p_k - \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \leqslant - q_{m_j}</math>

Niech

::<math>S(n_j, m_j) = \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k</math>

oznacza sumę częściową nowego szeregu (z przestawionymi wyrazami), którego konstrukcję przedstawiliśmy wyżej. Ponieważ <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, to z wypisanych nierówności i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) wynika natychmiast, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_j) = \lim_{j \rightarrow \infty} S(n_j, m_{j - 1}) = R</math>
</div>

Zauważmy teraz, że prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1}}_{k = 1} q_k \right) >
\left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1} + 1}_{k = 1} q_k \right) >
\left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1} + 2}_{k = 1} q_k \right) > \ldots >
\left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j - 1} q_k \right) >
\left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right)</math>
</div>

Jest tak, ponieważ każde kolejne wyrażenie w nawiasie ma coraz więcej wyrazów ujemnych. Podobnie mamy też

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant
\left( \sum_{k = 1}^{n_j + 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant
\left( \sum_{k = 1}^{n_j + 2} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \ldots \leqslant
\left( \sum^{n_{j + 1} - 1}_{k = 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant
\left( \sum^{n_{j + 1}}_{k = 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right)</math>
</div>

bo każde kolejne wyrażenie w nawiasie ma coraz więcej wyrazów nieujemnych. Co oznacza, że dla sum częściowych mamy odpowiednio

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 0em;">
::<math>S(n_j, m_{j - 1}) > S (n_j, m_{j - 1} + 1) > S (n_j, m_{j - 1} + 2) > \ldots > S (n_j, m_j - 1) > S (n_j, m_j)</math>
</div>

oraz

<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
::<math>S(n_j, m_j) \leqslant S (n_j + 1, m_j) \leqslant S (n_j + 2, m_j) \leqslant \ldots \leqslant S (n_{j + 1} - 1, m_j) \leqslant S (n_{j + 1}, m_j)</math>
</div>

Ponieważ <math>\lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_j) = \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_{j - 1}) = R ,</math> to z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że cały ciąg sum częściowych (liczony do dowolnego wyrazu nowego szeregu) jest zbieżny do <math>R</math>. Możemy zatem napisać

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R</math>
</div>

gdzie funkcja <math>f(n)</math> opisuje przestawianie wyrazów szeregu <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> zgodnie z przedstawioną wyżej metodą. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D44 
W dowodzie twierdzenia [[#D43|D43]] Riemann podaje jawnie metodę budowania szeregów zbieżnych do określonej granicy <math>R \in \mathbb{R}</math>. Korzystając z tej metody, w przypadku szeregu warunkowo zbieżnego, jakim jest szereg harmoniczny naprzemienny, sprawdziliśmy jakie szeregi generuje ta metoda dla różnych granic. Metodę zapisaliśmy w postaci procedury możliwej do wykonania w PARI/GP. Poniżej podajemy kod, który znakomicie ułatwia obliczenia.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
Riemann(R, n) =
\\ R – suma, którą chcemy uzyskać, przestawiając wyrazy szeregu harmonicznego naprzemiennego
\\ n – liczba podwójnych kroków do wykonania
{
'''local'''(i, j, k, M, S, txt);
M = '''matrix'''(3, n);
i = 0; \\ liczy pobrane nieparzyste (dodatnie)
j = 0; \\ liczy pobrane parzyste (ujemne)
k = 0; \\ liczy podwójne kroki
S = R; \\ początkowa wartość sumy S
txt = "R"; \\ wizualny zapis wykonanych obliczeń
'''while'''( k++ <= n,
M[1, k] = k;
'''while'''( S >= 0,
S = S - 1/( 2*(i++) - 1 );
txt = '''Str'''( txt, " - ", 1/(2*i - 1) );
M[2, k] = M[2, k] + 1;
);
'''while'''( S < 0,
S = S + 1/( 2*(j++) ); \\ odejmujemy ujemne – dlatego mamy znak "+"
txt = '''Str'''( txt, " + ", 1/(2*j) );
M[3, k] = M[3, k] + 1;
);
);
'''printp'''(M);
'''print'''(1.0 * S);
'''print'''(txt);
}
 
{{\Spoiler}}

Uwaga D45 
Naszą uwagę zwróciły dwa szeregi

::<math>\left( 1 + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2</math>

oraz

::<math>\left( 1 + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2</math>

Równość sum tych szeregów wynika wprost z wyniku uzyskanego w zadaniu [[#D39|D39]]. Łatwo widzimy, że wyrazy tych szeregów zostały poprzestawianie, a jednak suma tych szeregów nie uległa zmianie. Prowadzi to do ogólnego pytania: kiedy przestawianie wyrazów szeregu nie zmienia jego sumy? Częściowej odpowiedzi na to pytanie udziela zamieszczone niżej twierdzenie.

Twierdzenie D46 
Niech <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> będzie szeregiem zbieżnym. Jeżeli wyrazy szeregu podzielimy na dowolne bloki <math>B_1, B_2, \ldots</math>, zawierające nie więcej niż <math>M</math> wyrazów szeregu, to przestawienie wyrazów szeregu wewnątrz bloków nie zmienia sumy szeregu.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Podziałowi wyrazów szeregu na bloki odpowiada pewien podział zbioru <math>\mathbb{N}</math> na przedziały takie, że indeksy bloku

::<math>B_k = [a_{n_k}, a_{n_k + 1}, a_{n_k + 2}, \ldots, a_{n_{k + 1} - 1}]</math>

odpowiadają pewnemu przedziałowi <math>I_k \subset \mathbb{N}</math>

::<math>I_k = [n_k, n_k + 1, n_k + 2, \ldots, n_{k + 1} - 1]</math>

Ponieważ bloki <math>B_k</math> zawierają nie więcej niż <math>M</math> wyrazów szeregu, to przedziały <math>I_k</math> mają długość nie większą od <math>M</math>.

Z założenia szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest szeregiem zbieżnym, zatem musi być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu

::<math>\lim_{k \rightarrow + \infty} a_k = 0</math>

Zatem na mocy twierdzenia [[#D35|D35]] obliczając sumę szeregu, możemy sumować po pełnych blokach.

Ponieważ przestawianie wyrazów wewnątrz bloku nie wpływa na sumę tych wyrazów, to natychmiast widzimy, że przestawiane wyrazów wewnątrz skończonych bloków nie wpływa na sumę szeregu. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi nieskończone i całka oznaczona ==

Twierdzenie D47 
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale <math>[m, n + 1]</math>, to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

::<math>0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f(x) d x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Ponieważ funkcja <math>f(x)</math> jest z założenia ciągła, dodatnia i malejąca, to zamieszczony niżej rysunek dobrze prezentuje problem.

::[[File: D_Szereg-i-calka-1.png|none]]

Przedstawiona na rysunku krzywa odpowiada funkcji <math>f(x)</math>. Dla współrzędnej <math>x = k</math> zaznaczyliśmy wartość funkcji <math>f(k)</math>, a po lewej i prawej stronie tych punktów zaznaczyliśmy pasy o jednostkowej szerokości. Łatwo zauważamy, że

* po lewej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem zielonym) jest większe od pola prostokąta o wysokości <math>f(k)</math> i jednostkowej szerokości
* po prawej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem niebieskim) jest mniejsze od pola prostokąta o wysokości <math>f(k)</math> i jednostkowej szerokości

Korzystając z własności całki oznaczonej, otrzymujemy ciąg nierówności

::<math>\int_{k}^{k + 1} f(x) d x \leqslant f(k) \leqslant \int_{k - 1}^{k} f(x) d x</math>

W powyższym wzorze występują nierówności nieostre, bo rysunek przedstawia funkcję silnie malejącą, ale zgodnie z uczynionym założeniem funkcja <math>f(x)</math> może być funkcją słabo malejącą.

Sumując lewą nierówność od <math>k = m</math> do <math>k = n</math>, a prawą od <math>k = m + 1</math> do <math>k = n</math>, dostajemy

::<math>\int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k)</math>

::<math>\sum_{k = m + 1}^{n} f (k) \leqslant \int_{m}^{n} f (x) d x</math>

Dodając <math>f(m)</math> do obydwu stron drugiej z powyższych nierówności i łącząc je ze sobą, otrzymujemy kolejny i docelowy ciąg nierówności

::<math>0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x</math> 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D48 
Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}}</math>.

Funkcja <math>f(x) = {\small\frac{1}{x}}</math> jest ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>(0, + \infty)</math>, zatem dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>\int_{1}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \int_{1}^{n} {\small\frac{d x}{x}}</math>

Przy obliczaniu całek oznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2Fx+from+1+to+n WolframAlpha].

::<math>\log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n</math>

Ponieważ

::<math>\log (n + 1) = \log \left( n \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) \right) = \log n + \log \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) > \log n + {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

to dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{n + 1}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n < 1</math>

Zauważmy: nie tylko wiemy, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}}</math> jest rozbieżny, ale jeszcze potrafimy określić, jaka funkcja tę rozbieżność opisuje! Mamy zatem podstawy, by przypuszczać, że całki umożliwią opracowanie metody, która pozwoli rozstrzygać o zbieżności szeregów.

Twierdzenie D49 (kryterium całkowe zbieżności szeregów) 
Załóżmy, że funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego, czy funkcja pierwotna <math>F(x) = \int f (x) d x</math> ma dla <math>x \rightarrow \infty</math> granicę skończoną, czy nie.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Nim przejdziemy do dowodu, wyjaśnimy uczynione założenia. Założenie, że funkcja <math>f(x)</math> jest malejąca, będzie wykorzystane w czasie dowodu twierdzenia, ale rozważanie przypadku, gdy <math>f(x)</math> jest rosnąca, nie ma sensu, bo wtedy nie mógłby być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> (zobacz twierdzenie [[#D4|D4]]).

Moglibyśmy założyć bardziej ogólnie, że funkcja jest nieujemna, ale wtedy twierdzenie obejmowałoby przypadki funkcji takich, że dla pewnego <math>x_0</math> byłoby <math>f(x_0) = 0</math>. Ponieważ z założenia funkcja <math>f(x)</math> jest malejąca, zatem mielibyśmy <math>f(x) = 0</math> dla <math>x \geqslant x_0</math>. Odpowiadający tej funkcji szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> miałby dla <math>k \geqslant x_0</math> tylko wyrazy zerowe i byłby w sposób oczywisty zbieżny.

Założenie ciągłości funkcji <math>f(x)</math> ma zapewnić całkowalność funkcji <math>f(x)</math><ref name="calkowalnosc1"/>. Założenie to można osłabić<ref name="calkowalnosc2"/>, tutaj ograniczymy się tylko do podania przykładów. Niech <math>a, b \in \mathbb{R}</math>, mamy

::<math>\int_a^b \text{sgn}(x) d x = | b | - | a |</math> <math>\qquad \qquad \int_0^a \lfloor x \rfloor d x = {\small\frac{1}{2}} \lfloor a \rfloor (2 a - \lfloor a \rfloor - 1)</math> <math>\qquad \qquad \int_{-a}^a \lfloor x \rfloor d x = - a</math>

Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu [[#D47|D47]] i przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy

::<math>0 \leqslant \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>

'''Z drugiej nierówności wynika''', że jeżeli całka <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> jest rozbieżna, to rosnący ciąg kolejnych całek oznaczonych <math>C_j = \int_{m}^{j} f (x) d x</math> nie może być ograniczony od góry (w przeciwnym wypadku całka <math>\int_{m}^{\infty} f (x) d x</math> byłby zbieżna), zatem również rosnący ciąg sum częściowych <math>F_j = \sum_{k = m}^{j} f(k)</math> nie może być ograniczony od góry, co oznacza, że szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest rozbieżny.

'''Z trzeciej nierówności wynika''', że jeżeli całka <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> jest zbieżna, to ciąg sum częściowych <math>F_j = \sum_{k = m}^{j} f (k)</math> jest ciągiem rosnącym i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg <math>F_j</math> jest zbieżny, zatem szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest zbieżny.

Ponieważ zbieżność (rozbieżność) całki <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> nie zależy od wyboru dolnej granicy całkowania, to wystarczy badać granicę <math>\lim_{x \to \infty} F (x)</math>, gdzie <math>F(x) = \int f (x) d x</math> jest dowolną funkcją pierwotną. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D50 
Przykłady zebraliśmy w tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2Fsqrt%28x%29 WolframAlpha].

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
!
! szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} a_k</math>
! funkcja <math>f(x)</math>
! całka <math>F(x) = \int f(x) d x</math>
! granica <math>\lim_{x \to \infty} F(x)</math>
! wynik
|-
| 1. || <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}}</math> || <math>{\small\frac{1}{x}}</math> || <math>\log x</math> || <math>\infty</math> || szereg rozbieżny
|-
| 2. || <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\sqrt{k}}}</math> || <math>{\small\frac{1}{\sqrt{x}}}</math> || <math>2 \sqrt{x}</math> || <math>\infty</math> || szereg rozbieżny
|-
| 3. || <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> || <math>{\small\frac{1}{x^2}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{x}}</math> || <math>0</math> || szereg zbieżny
|-
| 4. || <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log k}}</math> || <math>{\small\frac{1}{x \log x}}</math> || <math>\log \log x</math> || <math>\infty</math> || szereg rozbieżny
|-
| 5. || <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}}</math> || <math>{\small\frac{1}{x \log^2 \! x}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{\log x}}</math> || <math>0</math> || szereg zbieżny
|-
| 6.
| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\alpha}}}</math>
| <math>{\small\frac{1}{x^{\alpha}}}</math>
| <math>
\begin{cases}
\displaystyle \log x & & \text{gdy } \alpha = 1 \\[2ex]
\displaystyle {\small\frac{1}{1 - \alpha}} \cdot {\small\frac{1}{x^{\alpha - 1}}} & & \text{gdy } \alpha \neq 1 \\[2ex]
\end{cases}
</math>
| <math>
\begin{cases}
\displaystyle + \infty & & \text{gdy } \alpha = 1 \\[2ex]
\displaystyle 0 & & \text{gdy } \alpha > 1 \\[2ex]
\displaystyle + \infty & & \text{gdy } 0 < \alpha < 1 \\[2ex]
\end{cases}
</math>
| <math>
\begin{cases}
\displaystyle \text{szereg rozbieżny} \\[2ex]
\displaystyle \text{szereg zbieżny} \\[2ex]
\displaystyle \text{szereg rozbieżny} \\[2ex]
\end{cases}
</math>
|}

Oczywiście dla <math>\alpha = 0</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\alpha}}}</math> jest rozbieżny, bo sumujemy same jedynki. Dla <math>\alpha < 0</math> szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^\alpha}}</math> jest rozbieżny, bo nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu (zobacz [[#D4|D4]]).

Stosując kryterium całkowe, możemy też łatwo pokazać, że szereg

::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^{\alpha} \! k}}</math>

jest zbieżny dla <math>\alpha > 1</math> i rozbieżny dla <math>\alpha \leqslant 1</math>.

Twierdzenie D51 
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale <math>[m, \infty)</math> oraz

::<math>R(m) = \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>

::<math>S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k)</math>

gdzie <math>a < m</math>, to prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy szeregu nieskończonego <math>\sum_{k = a}^{\infty} f (k)</math>

::<math>S(m) + R(m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R(m)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu [[#D47|D47]] i przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy

::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>

Czyli

::<math>R(m) \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + R (m)</math>

Odejmując od każdej ze stron nierówności liczbę <math>f(m)</math> i dodając do każdej ze stron nierówności sumę skończoną <math>S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k)</math>, otrzymujemy

::<math>S(m) + R (m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R (m)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D52 
Twierdzenie [[#D51|D51]] umożliwia określenie, z jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math>. Mamy

::<math>S(m) = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math>

::<math>\int {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = 2 \text{arctg} \left( \sqrt{x} \right)</math>

::<math>R(m) = \int_{m}^{\infty} {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = \pi - 2 \text{arctg} \left( \sqrt{m} \right)</math>

Zatem

::<math>S(m) + R (m) - f (m) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} \leqslant S (m) + R (m)</math>

Dla kolejnych wartości <math>m</math> otrzymujemy

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
! <math>m</math>
! <math>S(m) + R(m) - f(m)</math>
! <math>S(m) + R(m)</math>
|-
| <math>10^1</math> || <math>1.84</math> || <math>1.87</math>
|-
| <math>10^2</math> || <math>1.85</math> || <math>1.86</math>
|-
| <math>10^3</math> || <math>1.86000</math> || <math>1.86004</math>
|-
| <math>10^4</math> || <math>1.860024</math> || <math>1.860025</math>
|-
| <math>10^5</math> || <math>1.86002506</math> || <math>1.86002509</math>
|-
| <math>10^6</math> || <math>1.860025078</math> || <math>1.860025079</math>
|-
| <math>10^7</math> || <math>1.86002507920</math> || <math>1.86002507923</math>
|-
| <math>10^8</math> || <math>1.860025079220</math> || <math>1.860025079221</math>
|-
| <math>10^9</math> || <math>1.8600250792211</math> || <math>1.8600250792212</math>
|-
|}

W programie PARI/GP wystarczy napisać:

f(k) = 1.0 / (k+1) / '''sqrt'''(k)
S(m) = '''sum'''( k = 1, m, f(k) )
R(m) = '''Pi''' - 2*'''atan'''( '''sqrt'''(m) )
'''for'''(j = 1, 9, m = 10^j; suma = S(m); reszta = R(m); '''print'''( "j= ", j, " a= ", suma + reszta - f(m), " b= ", suma + reszta ))

Prostym wnioskiem z twierdzenia [[#D47|D47]] jest następujące 
Twierdzenie D53 
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego <math>\sum_{k = a}^{\infty} f (k)</math> (gdzie <math>a < m</math>) zastąpimy sumę <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> całką <math>\int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>, to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy <math>f(m)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Korzystając ze wzoru z twierdzenia [[#D47|D47]] i przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>

Dodając do każdej ze stron nierówności wyrażenie <math>- f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k)</math>, dostajemy

::<math>- f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>

Skąd wynika natychmiast

::<math>- f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \leqslant 0 < f(m)</math>

Czyli

::<math>\left| \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \right| \leqslant f(m)</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D54 
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> jest zbieżny, to dla każdego <math>n \geqslant m</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n)</math>

::<math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x</math>

gdzie <math>B</math> oraz <math>C</math> są dowolnymi stałymi spełniającymi nierówności

::<math>B \geqslant 1</math>

::<math>C \geqslant f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z twierdzenia [[#D47|D47]] mamy

::<math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x</math>

:::::::<math>\;\! \leqslant f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x</math>

:::::::<math>\;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int_{m}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>

:::::::<math>\;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int^n_m f (x) d x - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>

:::::::<math>\;\! = f (m) - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>

:::::::<math>\;\! = \left[ f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x \right] - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x</math>

:::::::<math>\;\! \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x</math> 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D55 
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale <math>[m, \infty)</math>. Rozważmy szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math>. Zauważmy, że:

* korzystając z całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> jest zbieżny
* jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie [[#D54|D54]]), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>

Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>, możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math>. Zauważmy, że wybór większego <math>B</math> ułatwia dowód indukcyjny. Stałą <math>C</math> najlepiej zaokrąglić w górę do wygodnej dla nas wartości.

Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a do tego wystarczy indukcja matematyczna.

Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w tym celu twierdzenie [[#D54|D54]].

Zadanie D56 
Korzystając z twierdzenia [[#D54|D54]], znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} \qquad</math> oraz <math>\qquad \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math>. Funkcja <math>f(x) = {\small\frac{1}{x^2}}</math> jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale <math>(0, + \infty)</math>. Dla <math>n > 0</math> jest

::<math>\int_{n}^{\infty} {\small\frac{d x}{x^2}} = {\small\frac{1}{n}} \qquad</math> (zobacz: [https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2Fx%5E2%2C+x%3Dn%2C+infinity WolframAlpha])

::<math>C \geqslant 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{d x}{x^2}} = 2</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}}</math>

Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}}</math>. Funkcja <math>f(x) = {\small\frac{1}{x (\log x)^2}}</math> jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale <math>(1, + \infty)</math>. Dla <math>n > 1</math> jest

::<math>\int_{n}^{\infty} {\small\frac{d x}{x (\log x)^2}} = {\small\frac{1}{\log n}} \qquad</math> (zobacz: [https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28x*%28log%28x%29%29%5E2%29%2C+x%3Dn%2C+infinity WolframAlpha])

::<math>C \geqslant {\small\frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2}} + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{d x}{x (\log x)^2}} = {\small\frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2}} + {\small\frac{1}{\log 2}} = 2.483379 \ldots</math>

Przyjmijmy <math>C = 2.5</math>, zatem

::<math>\sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D57 
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania <math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}}</math> i udowodnić, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Indukcja matematyczna. Łatwo zauważamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{k^2}} = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}}</math>

::::<math>\: \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}}</math>

::::<math>\: \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} + \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} \right)</math>

::::<math>\: = 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n (n + 1)^2}}</math>

::::<math>\: < 2 - {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla <math>n \geqslant 1</math> mamy

::<math>S(n) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} < 2</math>

Czyli ciąg sum częściowych <math>S(n) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}}</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D58 
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania <math>\sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}}</math> i udowodnić, że szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n = 2</math>

::<math>\sum_{k = 2}^{2} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} \approx 1.040684 < 2.5 - {\small\frac{1}{\log 2}} \approx 1.05730</math>

Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\sum_{k = m}^{n + 1} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} = \sum_{k = m}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}}</math>

:::::<math>\quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}}</math>

:::::<math>\quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + \left( {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} - {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} \right)</math>

:::::<math>\quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - {\small\frac{\log (n + 1)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right)</math>

:::::<math>\quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - {\small\frac{\log \left( n \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right) \right)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right)</math>

:::::<math>\quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - 1 - {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right)</math>

:::::<math>\quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( - {\small\frac{1}{(n + 1) \log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right)</math>

:::::<math>\quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}}</math>

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla <math>n \geqslant 2</math> mamy

::<math>S(n) = \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} < 2.5</math>

Czyli ciąg sum częściowych <math>S(n)</math> szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}}</math> jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi nieskończone i liczby pierwsze ==

Twierdzenie D59 
Następujące szeregi są zbieżne

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
|-
| 1. <math>\quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{p_k}} = 0.269605966 \ldots</math>
|
|-
| 2. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2}} = 0.452247420041 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A085548 A085548]
|-
| 3. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} = 1.375064994748 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A086242 A086242]
|-
| 4. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p (p - 1)}} = 0.773156669049 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A136141 A136141]
|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1.''' 
Szereg jest szeregiem naprzemiennym i jego zbieżność wynika z twierdzenia [[#D5|D5]].

'''Punkt 2.''' 
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p^2}} < \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>

'''Punkt 3.''' 
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} < \sum_{j = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{(j - 1)^2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>

'''Punkt 4.''' 
Zbieżność wzoru wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego <math>p \geqslant 2</math> jest

::<math>0 < {\small\frac{1}{p (p - 1)}} < {\small\frac{1}{(p - 1)^2}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D60 
Następujące szeregi są zbieżne

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
|-
| 1. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = 1.636616323351 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A137245 A137245]
|-
| 2. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2 \log p}} = 0.507782187859 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A221711 A221711]
|-
| 3. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = 0.755366610831 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A138312 A138312]
|-
| 4. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^2}} = 0.493091109368 \ldots</math>
| [https://oeis.org/A136271 A136271]
|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1.''' 
Zbieżność tego szeregu udowodniliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B39|B39]], ale obecnie potrafimy uzyskać rezultat znacznie łatwiej. Zauważmy, że rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} = {\small\frac{1}{2 \log 2}} + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}}</math>

Wyrażenie w mianowniku ułamka możemy łatwo oszacować. Z twierdzenia [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]] mamy (<math>a = 0.72</math>)

::<math>p_k \log p_k > a \cdot k \log k \cdot \log (a \cdot k \log k) =</math>

::::<math>\;\;\:\, = a \cdot k \log k \cdot (\log a + \log k + \log \log k) =</math>

::::<math>\;\;\:\, = a \cdot k \cdot (\log k)^2 \cdot \left( 1 + {\small\frac{\log a + \log \log k}{\log k}} \right)</math>

Ponieważ dla <math>k > \exp \left( \tfrac{1}{a} \right) = 4.01039 \ldots</math> jest

::<math>\log a + \log \log k > 0</math>

to dla <math>k \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>p_k \log p_k > a \cdot k \cdot (\log k)^2</math>

Wynika stąd, że dla <math>k \geqslant 5</math> prawdziwy jest ciąg nierówności

::<math>0 < {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} < {\small\frac{1}{a \cdot k \cdot (\log k)^2}}</math>

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot (\log k)^2}}</math> (zobacz twierdzenie [[#D17|D17]] p. 4 lub przykład [[#D50|D50]] p. 5) wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}}</math>

'''Punkt 2.''' 
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego (twierdzenie [[#D11|D11]]), bo

::<math>0 < {\small\frac{1}{p^2 \log p}} < {\small\frac{1}{p \log p}}</math>

'''Punkt 3.''' 
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} < \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.2577 \ldots</math>

'''Punkt 4.''' 
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego <math>p \geqslant 2</math> jest

::<math>0 < {\small\frac{\log p}{p^2}} < {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D61 
Szereg <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}}</math> jest rozbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Dla potrzeb dowodu zapiszmy szereg w innej postaci

::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}}</math>

Zauważmy, że dla <math>k \geqslant 3</math> wyrazy szeregów <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}}</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}}</math> spełniają nierówności

::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{p_k}} \leqslant {\small\frac{\log p_k}{p_k}}</math>

Ponieważ szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}}</math> jest rozbieżny (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]]), to na mocy kryterium porównawczego rozbieżny jest również szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D62 
Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}}</math> podobnie, jak to uczyniliśmy w przypadku twierdzenia [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]], ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.

Twierdzenie D63 
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Prawdziwe są następujące nierówności

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|- style=height:3em
| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>n! > n^n e^{- n}</math> || <math>\text{dla} \;\; n \geqslant 1</math>
|- style=height:3em
| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>n! < n^{n + 1} e^{- n}</math> || <math>\text{dla} \;\; n \geqslant 7</math>
|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1. (indukcja matematyczna)''' 
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>(n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) ></math>

::::<math>\;\;\; > n^n \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{n^n}{(n + 1)^n}} \cdot e^{- n} =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{\left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n} \cdot e^{- n} ></math>

::::<math>\;\;\; > (n + 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{1}{e}} \cdot e^{- n} =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 1} e^{- (n + 1)}</math>

Ponieważ <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n < e</math>, zatem <math>{\small\frac{1}{\left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right)^n}} > {\small\frac{1}{e}}</math>. Co kończy dowód punktu 1.

'''Punkt 2. (indukcja matematyczna)''' 
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla <math>n = 7</math>. Zakładając prawdziwość dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>(n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) <</math>

::::<math>\;\;\; < n^{n + 1} \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot {\small\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}}} \cdot e^{- n} =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( {\small\frac{n}{n + 1}} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} <</math>

::::<math>\;\;\; < (n + 1)^{n + 2} \cdot {\small\frac{1}{e}} \cdot e^{- n} =</math>

::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot e^{- (n + 1)}</math>

Ostatnia nierówność wynika z faktu, że <math>\left( 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} \right)^{n + 1} < {\small\frac{1}{e}}</math>. Co kończy dowód punktu 2. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D64 
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla wykładnika, z jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
|- style=height:3em
| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>{\small\frac{n}{p}} - 1 < W_p (n!) < {\small\frac{n}{p - 1}}</math>
|- style=height:3em
| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>{\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \leqslant W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}}</math>
|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
'''Punkt 1. (prawa nierówność)'''

Zauważmy, że

::<math>W_p (n!) = \left\lfloor {\small\frac{n}{p}} \right\rfloor + \left\lfloor {\small\frac{n}{p^2}} \right\rfloor + \left\lfloor {\small\frac{n}{p^3}} \right\rfloor + \ldots</math>

::::<math>\;\, < {\small\frac{n}{p}} + {\small\frac{n}{p^2}} + {\small\frac{n}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{n}{p^k}} + \ldots</math>

::::<math>\;\, = {\small\frac{n}{p}} \cdot {\small\frac{1}{1 - {\normalsize\frac{1}{p}}}}</math>

::::<math>\;\, = {\small\frac{n}{p - 1}}</math>

'''Punkt 1. (lewa nierówność)'''

Łatwo znajdujemy, że

::<math>W_p (n!) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left\lfloor {\small\frac{n}{p^k}} \right\rfloor \geqslant \left\lfloor {\small\frac{n}{p}} \right\rfloor > {\small\frac{n}{p}} - 1</math>

'''Punkt 2. (prawa nierówność)'''

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że <math>(p - 1) W_p (n!) < n</math>. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

::<math>(p - 1) W_p (n!) \leqslant n - 1</math>

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą <math>W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}}</math>.

'''Punkt 2. (lewa nierówność)'''

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że <math>n - p . Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

::<math>n - p \leqslant p \cdot W_p (n!) - 1</math>

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą <math>W_p (n!) \geqslant {\small\frac{n + 1}{p}} - 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D65 
Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - 1</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla <math>n \geqslant 2</math> mamy

::<math>n! < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)}</math>

Ponieważ dla <math>n \geqslant 1</math> jest <math>n! > n^n e^{- n}</math> (zobacz punkt 1. twierdzenia [[#D63|D63]]), to

::<math>n^n e^{- n} < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)}</math>

Logarytmując, otrzymujemy

::<math>n \log n - n < \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{n \log p}{p - 1}} = n \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}}</math>

Dzieląc strony przez <math>n</math>, dostajemy szukaną nierówność. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D66 (pierwsze twierdzenie Mertensa<ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/>, 1874) 
Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n > - 1.755367</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Ponieważ

::<math>{\small\frac{1}{p - 1}} = {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p (p - 1)}}</math>

to z twierdzenia [[#D65|D65]] dostajemy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n > - 1</math>

Czyli

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n > - 1 - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math>

::::::<math>\quad \;\: > - 1 - \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math>

::::::<math>\quad \;\: = - 1 - 0.755366610831 \ldots</math>

::::::<math>\quad \;\: > - 1.755367</math>

Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math> (twierdzenie [[#D60|D60]] p. 3). 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D67 (pierwsze twierdzenie Mertensa<ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/>, 1874) 
Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n < 0.386295</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla <math>n \geqslant 1</math> mamy

::<math>n! \geqslant \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1}</math>

Ponieważ dla <math>n \geqslant 7</math> jest <math>n! < n^{n + 1} e^{- n}</math>, to

::<math>\prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} < n^{n + 1} e^{- n}</math>

Logarytmując, otrzymujemy

::<math>\sum_{p \leqslant n} \left( {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \right) \cdot \log p < (n + 1) \cdot \log n - n</math>

::<math>(n + 1) \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \sum_{p \leqslant n} \log p < (n + 1) \cdot \log n - n</math>

Skąd natychmiast wynika, że

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n < - {\small\frac{n}{n + 1}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right)</math>

::::::<math>\quad \;\: = - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \log (P (n))</math>

::::::<math>\quad \;\: < - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{n \cdot \log 4}{n + 1}}</math>

::::::<math>\quad \;\: = - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + \log 4 - {\small\frac{\log 4}{n + 1}}</math>

::::::<math>\quad \;\: = \log 4 - 1 + {\small\frac{1 - \log 4}{n + 1}}</math>

::::::<math>\quad \;\: = \log 4 - 1 - {\small\frac{0.386294 \ldots}{n + 1}}</math>

::::::<math>\quad \;\: < \log 4 - 1</math>

::::::<math>\quad \;\: = 0.386294361 \ldots</math>

Druga nierówność wynika z twierdzenia [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Bezpośrednio sprawdzamy, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla <math>n < 7</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D68 
Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < 1.141661</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Ponieważ

::<math>{\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}}</math>

to z twierdzenia [[#D67|D67]] dostajemy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n < \log 4 - 1</math>

Czyli

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < \log 4 - 1 + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math>

:::::::<math>\,\, < \log 4 - 1 + \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math>

:::::::<math>\,\, = \log 4 - 1 + 0.755366610831 \ldots</math>

:::::::<math>\,\, < 1.141661</math> 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D69 
{| class="wikitable"
|
Dokładniejsze oszacowanie sumy <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}}</math> jest dane wzorem

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = \log n - E + \ldots</math>

gdzie <math>E = 1.332582275733 \ldots</math>

Dla <math>n \geqslant 319</math> mamy też<ref name="Rosser1"/>

::<math>\left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}}</math>

|}

Uwaga D70 
{| class="wikitable"
|
Dokładniejsze oszacowanie sumy <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}}</math> jest dane wzorem

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} = \log n - \gamma + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma = 0.5772156649 \ldots</math> jest stałą Eulera.

Dla <math>n \geqslant 318</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="twierdzenie"/>

::<math>\left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}}</math>

|}

Uwaga D71 
Dla <math>n \leqslant 10^{10}</math> wartości wyrażeń

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E</math>

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma</math>

są liczbami dodatnimi.

Twierdzenie D72 
Prawdziwy jest następujący związek

::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right) = E - \gamma</math>

gdzie

* <math>\quad \gamma = 0.577215664901532 \ldots</math> jest stałą Eulera<ref name="A001620"/>
* <math>\quad E = 1.332582275733220 \ldots</math><ref name="A083343"/>
* <math>\quad E - \gamma = 0.755366610831688 \ldots</math><ref name="A138312"/>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Ponieważ

::<math>{\small\frac{1}{p (p - 1)}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p}}</math>

zatem

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = (\log n - \gamma + \ldots) - (\log n - E + \ldots)</math>

Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = E - \gamma</math>

Zauważmy teraz, że

::<math>{\small\frac{1}{p - 1}} = {\small\frac{1}{p}} \cdot {\small\frac{1}{1 - {\normalsize\frac{1}{p}}}}</math>

:::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{p}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots \right)</math>

:::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots</math>

Zatem

::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} \cdot \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots \right) = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D73 
Dla <math>n \geqslant 318</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>\left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Należy zauważyć, że tak dokładnego oszacowania nie można udowodnić metodami elementarnymi, dlatego punktem wyjścia jest oszacowanie podane w pracy Pierre'a Dusarta<ref name="Dusart10"/>

::<math>- \left( {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} \right) \; \underset{n \geqslant 2}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}}</math>

Ponieważ dla <math>x > e^2 \approx 7.389</math> jest <math>1 + {\small\frac{1}{\log x}} < 1.5</math>, to dla <math>n \geqslant 8</math> mamy

::<math>{\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} = {\small\frac{0.2}{\log n}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\log n}} \right) < {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

Zatem wyjściowy układ nierówności możemy zapisać w postaci

::<math>- {\small\frac{0.3}{\log n}} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

Z tożsamości

::<math>{\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}}</math>

wynika natychmiast, że

::<math>- {\small\frac{0.3}{\log n}} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

'''Prawa nierówność'''

Rozważmy prawą nierówność prawdziwą dla <math>n \geqslant 2974</math>

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E < {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

Z twierdzenia [[#D72|D72]] wiemy, że

::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E = - \gamma</math>

Zatem

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E + {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

:::::::<math>\,\, < \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E + {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

:::::::<math>\,\, = - \gamma + {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

:::::::<math>\,\, < - \gamma + {\small\frac{0.5}{\log n}}</math>

Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < - \gamma + {\small\frac{0.5}{\log n}}</math>

jest prawdziwa dla wszystkich liczb <math>318 \leqslant n \leqslant 3000</math>

'''Lewa nierówność'''

Rozważmy teraz lewą nierówność prawdziwą dla <math>n \geqslant 8</math>

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E > - {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

Mamy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E - {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

:::::::<math>\,\, = \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \sum_{p > n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E - {\small\frac{0.3}{\log n}}</math>

:::::::<math>\,\, = - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{p > n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math>

:::::::<math>\,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}}</math>

:::::::<math>\,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} {\small\frac{\log k}{(k - 1)^2}}</math>

Korzystając kolejno z twierdzeń [[#D47|D47]] i [[Ciągi liczbowe#C19|C19]], dostajemy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \int_{n}^{\infty} {\small\frac{\log x}{(x - 1)^2}} d x</math>

:::::::<math>\,\, = - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - {\small\frac{\log n}{n - 1}} + \log \left( 1 - {\small\frac{1}{n}} \right)</math>

:::::::<math>\,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - {\small\frac{\log n}{n - 1}} - {\small\frac{1}{n - 1}}</math>

:::::::<math>\,\, = - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} + \left( {\small\frac{0.2}{\log n}} - {\small\frac{\log n + 1}{n - 1}} \right)</math>

:::::::<math>\,\, > - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}}</math>

Do znalezienia całki oznaczonej Czytelnik może wykorzystać stronę [https://www.wolframalpha.com/input?i=int+log%28x%29%2F%28x-1%29%5E2+from+n+to+inf WolframAlpha]. Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla <math>n \geqslant 153</math>. Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}}</math>

jest prawdziwa dla wszystkich <math>2 \leqslant n \leqslant 200</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D74 
Niech <math>r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944</math>. Pokazać, że z nierówności prawdziwej dla <math>x \geqslant 32</math>

::<math>\sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log x - r</math>

wynika twierdzenie Czebyszewa.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z twierdzenia [[#D73|D73]] wiemy, że dla <math>x \geqslant 318</math> jest

::<math>\sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log x < - \gamma + {\small\frac{1}{2\log x}} \leqslant - \gamma + {\small\frac{1}{2 \log (318)}} = - 0.490441 \ldots < - 0.306852 \ldots = - r</math>

Zatem postulowane oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n \geqslant 318</math>. Sprawdzając bezpośrednio dla <math>2 \leqslant x \leqslant 317</math>, łatwo potwierdzamy prawdziwość nierówności

::<math>\sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log x - r</math>

dla <math>x \geqslant 32</math>.

Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>a \geqslant 32</math>. Korzystając z twierdzenia [[#D64|D64]], łatwo znajdujemy oszacowanie

::<math>a! = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n</math>

::<math>\quad \leqslant p^{(a - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(a - 1) / (p_n - 1)}_n</math>

::<math>\quad = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{a - 1}</math>

gdzie <math>p_n \leqslant a < p_{n + 1}</math>. Oznaczając wyrażenie w nawiasie przez <math>U</math>, mamy

::<math>\log U = {\small\frac{\log p_1}{p_1 - 1}} + \ldots + {\small\frac{\log p_n}{p_n - 1}} = \sum_{p \leqslant a} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log a - r</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania wskazanego w treści zadania. Zatem <math>U < a \cdot e^{- r}</math>.

Przypuśćmy, że mnożymy liczbę <math>a!</math> przez kolejne liczby naturalne <math>a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b</math>. Możemy postawić pytanie: kiedy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby <math>b!</math> musi pojawić się nowy czynnik pierwszy? Jeżeli takiego nowego czynnika pierwszego nie ma, to

::<math>a! \cdot (a + 1) \cdot \ldots \cdot b = b!</math>

:::::::<math>\;\;\; = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n</math>

:::::::<math>\;\;\; \leqslant p^{(b - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(b - 1) / (p_n - 1)}_n</math>

:::::::<math>\;\;\; = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{b - 1}</math>

:::::::<math>\;\;\; = U^{b - 1}</math>

:::::::<math>\;\;\; < (a \cdot e^{- r})^{b - 1}</math>

Jednocześnie z twierdzenia [[#D63|D63]] wiemy, że prawdziwa jest nierówność <math>b! > b^b e^{- b}</math>, zatem

::<math>b^b e^{- b} < b! < {\normalsize\frac{(a \cdot e^{- r})^b}{a \cdot e^{-r}}}</math>

::<math>b e^{- 1} < \frac{a \cdot e^{- r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}}</math>

::<math>b < \frac{a \cdot e^{1 - r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}}</math>

Ponieważ <math>e^{1 - r} = e^{\log (2)} = 2</math>, to

::<math>b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < 2 a</math>

Z oszacowania <math>b < 2 a</math> wynika, że <math>(a \cdot e^{- r})^{1 / b} > (a \cdot e^{-r})^{1 / 2 a}</math>. Możemy teraz zapisać uzyskane wyżej oszacowanie w postaci, w której prawa strona nierówności nie zależy od <math>b</math>

::<math>b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}}</math>

Ponieważ <math>e^{- r} = 0.735758 \ldots</math>, to <math>(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a} > (a / 2)^{1 / 2 a}</math>, co pozwala uprościć uzyskane oszacowanie

::<math>b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} < {\normalsize\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}}</math>

Pokażemy, że dla <math>a > 303.05</math>

::<math>{\normalsize\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} < 2 a - 5</math>

Istotnie

::<math>{\normalsize\frac{1}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} < 1 - {\small\frac{5}{2 a}}</math>

::<math>{\small\frac{a}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{2 a} > 1</math>

::<math>{\small\frac{a}{2}} \cdot \left[ \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{\tfrac{2 a}{5}} \right]^5 > 1</math>

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest funkcją rosnącą i ograniczoną (zobacz twierdzenie [[Ciągi liczbowe#C18|C18]]) i dla <math>a \geqslant 32</math> przyjmuje wartości z przedziału <math>[0.353 \ldots, e^{- 1})</math>. Zatem dla odpowiednio dużego <math>a</math> powyższa nierówność z pewnością jest prawdziwa. Łatwo sprawdzamy, że dla <math>a = 304</math> jest

::<math>{\small\frac{a}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{2 a} = 1.003213 \ldots</math>

Wynika stąd, że wszystkie kolejne liczby naturalne <math>a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b</math> mogą być liczbami złożonymi co najwyżej do chwili, gdy <math>b < 2 a -
5</math>, czyli <math>b \leqslant 2 a - 6</math>. Zatem w przedziale <math>(a, 2 a)</math> musi znajdować się przynajmniej jedna liczba pierwsza. Dla <math>a \leqslant 303</math> prawdziwość twierdzenia sprawdzamy bezpośrednio. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja D75 
Powiemy, że liczby pierwsze <math>p, q</math> są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli <math>\left | p - q \right | = 2</math>

Twierdzenie D76* (Viggo Brun, 1919) 
Suma odwrotności par liczb pierwszych <math>p</math> i <math>p + 2</math>, takich że liczba <math>p + 2</math> jest również pierwsza, jest skończona

::<math>\underset{p + 2 \in \mathbb{P}}{\sum_{p \geqslant 2}} \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p + 2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}}
\right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} \right) + \ldots = B_2</math>

gdzie <math>B_2 = 1.90216058 \ldots</math> jest stałą Bruna<ref name="Wiki1"/><ref name="A065421"/>.

Zadanie D77 
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nietworzących par liczb bliźniaczych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>p</math> i <math>q = p + 4</math> będą liczbami pierwszymi i <math>n \geqslant 1</math>. Ponieważ liczby <math>p q</math> i <math>p + 2</math> są względnie pierwsze, to z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>a_n = p q n + (p + 2)</math> jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, a jednocześnie żadna z liczb <math>a_n</math> nie tworzy pary liczb bliźniaczych, bo

::<math>a_n - 2 = p q n + p = p (q n + 1)</math>

::<math>a_n + 2 = p q n + (p + 4) = q (p n + 1)</math>

są liczbami złożonymi. Najprostsze przykłady to <math>a_n = 21 n + 5</math> i <math>b_n = 77 n + 9</math>

Najłatwiej wszystkie przypadki takich ciągów wyszukać w programie PARI/GP. Polecenie

for(a=1,50, for(b=3,floor(a/2), g=gcd(a,b); g1=gcd(a,b-2); g2=gcd(a,b+2); if( g==1 && g1>1 && g2>1, print("a= ", a, " b= ",b) )))

wyszukuje wszystkie liczby dodatnie <math>a, b</math>, gdzie <math>b \leqslant \left\lfloor {\small\frac{a}{2}} \right\rfloor</math>, które tworzą ciągi <math>a k + b</math> o poszukiwanych właściwościach. Oczywiście ciągi <math>a k + (a - b)</math> również są odpowiednie. Przykładowo dla <math>a \leqslant 50</math> mamy

::<math>15 k + 7, \quad 21 k + 5, \quad 30 k + 7, \quad 33 k + 13, \quad 35 k + 12, \quad 39 k + 11, \quad 42 k + 5, \quad 45 k + 7, \quad 45 k + 8, \quad 45 k + 22</math> 
□
{{\Spoiler}}

== Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy <math>\textstyle \sum {\small\frac{1}{p}}</math> ==

Twierdzenie D78 
Suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Poniższy dowód został przedstawiony przez Erdősa w pracy<ref name="Erdos1"/> z 1938 roku. Jest to bardzo elegancki i chyba najprostszy dowód tego twierdzenia.

Załóżmy, dla otrzymania sprzeczności, że rozważana suma jest zbieżna, czyli <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} = C</math>, gdzie <math>C</math> jest pewną stałą. Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich oznacza, że różnica między sumą tego szeregu i sumami częściowymi, które uwzględniają coraz więcej wyrazów ciągu, musi być coraz mniejsza. Wynika stąd istnienie najmniejszej liczby <math>r</math> takiej, że <math>\sum_{k = r + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} < {\small\frac{1}{2}}</math>.

Oznacza to, że zbiór liczb pierwszych rozpada się na dwa rozłączne podzbiory <math>P = \{ p_1, p_2, \ldots, p_r \}</math> i <math>Q = \{ p_{r + 1}, p_{r + 2,} \ldots \}</math>.

Konsekwentnie zbiór liczb całkowitych dodatnich możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory: zbiór <math>\mathbb{Z}_Q</math> liczb podzielnych przez dowolną liczbę pierwszą ze zbioru <math>Q</math> i zbiór <math>\mathbb{Z}_P</math> liczb, które nie są podzielne przez żadną liczbę pierwszą ze zbioru <math>Q</math>. Czyli liczby ze zbioru <math>\mathbb{Z}_P</math> muszą być iloczynami potęg liczb pierwszych ze zbioru <math>P</math>.

Niech <math>M</math> będzie dostatecznie dużą liczbą całkowitą.

Oszacowanie od góry ilości liczb <math>k \in \mathbb{Z}_Q</math> takich, że <math>k \leqslant M</math> 

Zauważmy, że liczb nie większych od <math>M</math> i podzielnych przez liczbę pierwszą <math>p</math> jest dokładnie <math>\left\lfloor {\small\frac{M}{p}} \right\rfloor</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A20|A20]]). Łatwo otrzymujemy oszacowanie[a]

::<math>\sum_{p \in Q} \left\lfloor {\small\frac{M}{p}} \right\rfloor < M \cdot \sum_{p \in Q} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{1}{2}} M</math>

bo z założenia <math>\sum_{p \in Q} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem liczb takich, że <math>k \in \mathbb{Z}_Q</math> i <math>k \leqslant M</math> jest mniej niż <math>{\small\frac{M}{2}}</math>.

Oszacowanie od góry ilości liczb <math>k \in \mathbb{Z}_P</math> takich, że <math>k \leqslant M</math> 

Każdą liczbę ze zbioru <math>\mathbb{Z}_P</math> możemy zapisać w postaci <math>k = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_r}_r</math>. Niech <math>\alpha_i = 2 \beta_i + \delta_i</math>, gdzie <math>\delta_i</math> jest resztą z dzielenia liczby <math>\alpha_i</math> przez <math>2</math>. Zatem

::<math>k = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_r}_r = (p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_r}_r)^2 \cdot (p^{\delta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\delta_r}_r)</math>

Ponieważ <math>\delta_i</math> może przybierać tylko dwie wartości: zero lub jeden, to liczb postaci <math>p^{\delta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\delta_r}_r</math> jest dokładnie <math>2^r</math>, a kwadratów liczb całkowitych nie większych od <math>M</math> jest dokładnie <math>\left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor \leqslant \sqrt{M}</math>. Zatem liczb <math>k \in \mathbb{Z}_P</math> takich, że <math>k \leqslant M</math> jest nie więcej niż <math>2^r \sqrt{M} \,</math>[b].

Ponieważ <math>\mathbb{Z}_P \cup \mathbb{Z}_Q =\mathbb{Z}_+</math> i liczb <math>k \in \mathbb{Z}_+</math> takich, że <math>k \leqslant M</math> jest po prostu <math>M</math>, to musi być prawdziwe oszacowanie

::<math>M < 2^r \sqrt{M} + {\small\frac{M}{2}}</math>

Czyli

::<math>2^{r + 1} > \sqrt{M}</math>

Co jest niemożliwe, bo <math>r</math> jest ustalone, a <math>M</math> może być dowolnie duże. Wystarczy przyjąć <math>M \geqslant 2^{2 r + 2}</math>.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Zauważmy, że suma po lewej stronie może być większa od rzeczywistej ilości liczb <math>k</math>. Dla przykładu: gdy <math>M > p_{r + 1} p_{r + 2}</math>, to liczba <math>p_{r + 1} p_{r + 2}</math> zostanie policzona dwukrotnie: raz jako podzielna przez <math>p_{r + 1}</math> i drugi raz jako podzielna przez <math>p_{r + 2}</math>. Co oczywiście nie wpływa na poprawność przedstawionego oszacowania.

[b] Zauważmy, że dla <math>M > 8</math> liczba <math>a^2</math> taka, że <math>a^2 \leqslant M < (a + 1)^2</math> wystąpi dokładnie jeden raz (jako <math>a^2 \cdot 1</math>), ale my oszacujemy, że pojawiła się <math>2^r</math> razy. Można pokazać, że dla dowolnych <math>r \geqslant 1</math> i <math>M \geqslant 1</math>, liczb <math>k \in \mathbb{Z}_P</math> takich, że <math>k \leqslant M</math>, jest mniej niż <math>2^r \sqrt{M}</math>. Jest ich nawet mniej niż <math>2^r \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor</math>, poza przypadkami <math>r = 1</math> i <math>M = 2, 3, 8</math>, kiedy to ilość takich liczb jest równa <math>2^r \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor < 2^r \sqrt{M}</math>. 
□
{{\Spoiler}}

== Sumowanie przez części ==

Uwaga D79 
Omawianie metody sumowania przez części<ref name="sumowanie1"/> rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia, które dobrze ilustruje tę metodę i ułatwi zrozumienie uogólnienia. Potrzebna nam będzie następująca funkcja

::<math>D(k) =
\begin{cases}
1 & \text{gdy } k \, \text{ jest liczbą pierwszą} \\
0 & \text{gdy } k \, \text{ nie jest liczbą pierwszą} \\
\end{cases}</math>

Łatwo znajdujemy związek funkcji <math>D(k)</math> z funkcją <math>\pi (k)</math>

::<math>\pi (k) - \pi (k - 1) = \sum_{p \leqslant k} 1 - \sum_{p \leqslant k - 1} 1</math>

:::::::<math>\; = \sum_{i = 1}^{k} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i)</math>

:::::::<math>\; = D (k) + \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i)</math>

:::::::<math>\; = D (k)</math>

Twierdzenie D80 
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}}</math> oznacza sumę odwrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>. Prawdziwy jest następujący związek

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{D (k)}{k}}</math>

:::<math>\quad \; = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k) - \pi (k - 1)}{k}}</math>

:::<math>\quad \; = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k - 1)}{k}}</math>

W drugiej sumie zmieniamy zmienną sumowania. Niech <math>j = k - 1</math>. Sumowanie po <math>k</math> przebiegało od <math>2</math> do <math>n</math>, zatem sumowanie po <math>j</math> będzie przebiegało od <math>1</math> do <math>n - 1</math>. Otrzymujemy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{j = 1}^{n - 1} {\small\frac{\pi (j)}{j + 1}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{j = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (j)}{j + 1}}</math>

Ponieważ <math>\pi (1) = 0</math>. Zmieniając jedynie oznaczenie zmiennej sumowania, mamy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k + 1}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^n \pi (k) \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right)</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D81 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 1</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z twierdzenia [[#D80|D80]] wiemy, że dla <math>n \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>

Z twierdzenia [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]] wiemy, że dla <math>n \geqslant 3</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\pi (n) > {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{n}{\log n}}</math>. Zatem dla <math>n \geqslant 4</math> jest

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + {\small\frac{1}{3}} + \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>

:::<math>\quad \; > {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{k}{\log k \cdot k (k + 1)}}</math>

:::<math>\quad \; > {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{1}{(k + 1) \log k}}</math>

:::<math>\quad \; > {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{1}{(k + 1) \log (k + 1)}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{j = 5}^n {\small\frac{1}{j \log j}}</math>

Korzystając z twierdzenia [[#D47|D47]], otrzymujemy

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} \geqslant {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \int_{5}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x \log x}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log x \biggr\rvert_{5}^{n + 1} + {\small\frac{1}{3}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) - {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log 5 + {\small\frac{1}{3}}</math>

:::<math>\quad \; > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1)</math>

Zauważmy, że znacznie mniejszym nakładem pracy otrzymaliśmy lepsze oszacowanie sumy <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}}</math> (porównaj [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]]). 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D82 
Pokazać, że oszacowanie <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>, gdzie <math>\varepsilon \in (0, 1)</math>, nie może być prawdziwe dla prawie wszystkich liczb naturalnych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Przypuśćmy, że dla prawie wszystkich liczb naturalnych jest <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>n_0</math>, że dla wszystkich <math>n \geqslant n_0</math> jest <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>. Korzystając ze wzoru (zobacz [[#D80|D80]])

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>

dla liczby <math>n > n_0</math> otrzymujemy oszacowanie

::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{n^{1 - \varepsilon}}{n}} + \sum_{k = 2}^{n_0 - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} + \sum_{k = n_0}^{n - 1} {\small\frac{k^{1 - \varepsilon}}{k (k + 1)}}</math>

:::<math>\quad \; = {\small\frac{1}{n^{\varepsilon}}} + C_1 + \sum_{k = n_0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k^{\varepsilon} (k + 1)}}</math>

:::<math>\quad \; < {\small\frac{1}{(n_0)^{\varepsilon}}} + C_1 + \sum_{k = n_0}^{n} {\small\frac{1}{k^{1 + \varepsilon}}}</math>

:::<math>\quad \; \leqslant {\small\frac{1}{(n_0)^{\varepsilon}}} + C_1 + {\small\frac{1}{(n_0)^{1 + \varepsilon}}} + \int^n_{n_0} {\small\frac{d x}{x^{1 + \varepsilon}}}</math>

:::<math>\quad \; = C_2 + \left[ - {\small\frac{1}{\varepsilon \cdot x^{\varepsilon}}} \biggr\rvert_{n_0}^{n} \right]</math>

:::<math>\quad \; = C_2 - {\small\frac{1}{\varepsilon n^{\varepsilon}}} + {\small\frac{1}{\varepsilon (n_0)^{\varepsilon}}}</math>

:::<math>\quad \; < C_2 + {\small\frac{1}{\varepsilon (n_0)^{\varepsilon}}}</math>

:::<math>\quad \; = C_3</math>

Co jest niemożliwe, bo lewa strona rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem <math>n</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]], [[#D78|D78]], [[#D81|D81]]). 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D83 (sumowanie przez części) 
Niech <math>a_j</math>, <math>b_j</math> będą ciągami określonymi przynajmniej dla <math>s \leqslant j \leqslant n</math>. Prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k)</math>

gdzie <math>B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j</math>. Wzór ten nazywamy wzorem na sumowanie przez części.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Jeżeli potrafimy wyliczyć lub oszacować sumę liczoną dla jednego z czynników (powiedzmy, że dla <math>b_j</math>), to do wyliczenia lub oszacowania sumy <math>\sum_{j = s}^{n} a_j b_j</math> może być pomocny dowodzony wzór

::<math>\sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k)</math>

gdzie <math>B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j</math>. Nim przejdziemy do dowodu, zauważmy, że wprost z definicji funkcji <math>B(k)</math> otrzymujemy

::<math>B(s) = \sum_{j = s}^{s} b_j = b_s</math>

oraz

::<math>B(k) - B (k - 1) = \sum_{j = s}^{k} b_j - \sum^{k - 1}_{j = s} b_j = b_k + \sum_{j = s}^{k - 1} b_j - \sum_{j = s}^{k - 1} b_j = b_k</math>

Przekształcając prawą stronę dowodzonego wzoru, pokażemy, że obie strony są równe.

::<math>\sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k)</math>

::::<math>\;\;\,\, = a_n B (n) - \sum^{n - 1}_{k = s} a_{k + 1} B (k) + \sum_{k = s}^{n - 1} a_k B (k)</math>

W pierwszej sumie po prawej stronie zmieniamy wskaźnik sumowania na <math>j = k + 1</math>, a w drugiej sumie zmieniamy tylko nazwę wskaźnika

::<math>\sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n B (n) - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s}^{n - 1} a_j B (j)</math>

::::<math>\;\;\,\, = - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s}^{n} a_j B (j)</math>

::::<math>\;\;\,\, = - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j) + a_s B (s)</math>

::::<math>\;\;\,\, = \sum_{j = s + 1}^{n} a_j [B (j) - B (j - 1)] + a_s b_s</math>

::::<math>\;\;\,\, = \sum_{j = s + 1}^{n} a_j b_j + a_s b_s</math>

::::<math>\;\;\,\, = \sum_{j = s}^{n} a_j b_j</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D84 
Niech <math>r \neq 1</math>. Pokazać, że <math>\sum_{k = 1}^{n} k r^k = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, połóżmy <math>s = 0</math>, <math>a_k = k</math> i <math>b_k = r^k</math>. Zauważmy, że sumowanie od <math>k = 0</math> nic nie zmienia, a nieco upraszcza przekształcenia, bo możemy korzystać wprost ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego. Otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k r^k = n \cdot B (n) - \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1 - k) B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = 0}^{k} r^j = {\small\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k r^k = n \cdot {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}} - \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}}</math>

::::<math>\;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - n - \sum_{k = 0}^{n - 1} r^{k + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 \right)</math>

::::<math>\;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - n - r \sum_{k = 0}^{n - 1} r^k + n \right)</math>

::::<math>\;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - r \cdot {\small\frac{r^n - 1}{r - 1}} \right)</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\, = {\small\frac{1}{(r - 1)^2}} (n r^{n + 2} - n r^{n + 1} - r^{n + 1} + r)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\, = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2}</math>
</div>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D85 (kryterium Dirichleta) 
Niech <math>(a_k)</math> i <math>(b_k)</math> będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

:*   ciąg <math>(a_k)</math> jest monotoniczny 

:*   <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>

:*   istnieje taka stała <math>M</math>, że <math>\left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant M</math> dla dowolnej liczby <math>k</math>

to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, możemy napisać

::<math>\sum_{k = 1}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k)</math>

::::<math>\;\;\,\, = a_n \cdot B (n) + \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) B (k)</math>

gdzie <math>B(k) = \sum_{j = 1}^{k} b_j</math>. Z założenia ciąg <math>B(n)</math> jest ograniczony i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C14|C14]])

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \cdot B (n) = 0</math>

Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest monotoniczny. Jeżeli jest malejący, to

::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_k - a_{k + 1})</math>

::::::::<math>\;\;\; = M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1})</math>

::::::::<math>\;\;\; = M (a_1 - a_n)</math>

(zobacz [[#D15|D15]]). Jeżeli ciąg <math>(a_k)</math> jest rosnący, to

::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_{k + 1} - a_k)</math>

::::::::<math>\;\;\; = - M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1})</math>

::::::::<math>\;\;\; = - M (a_1 - a_n)</math>

Łącząc uzyskane rezultaty oraz uwzględniając fakt, że ciąg <math>(a_n)</math> jest ograniczony, bo jest zbieżny (zobacz [[Ciągi liczbowe#C10|C10]]), możemy napisać

::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant M | a_1 - a_n | \leqslant M (| a_1 | + | a_n |) \leqslant 2 M U</math>

Ponieważ sumy częściowe szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) |</math> tworzą ciąg rosnący i ograniczony od góry, to szereg ten jest zbieżny (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]). Wynika stąd zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B (k)</math> (zobacz [[#D12|D12]]). Zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> musi być zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D86 
Udowodnić następujące wzory

::{| class="wikitable"
|

<math>\quad \sum_{j = 1}^{k} \sin j =
{\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} =
{\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad</math>

|}

::{| class="wikitable"
|

<math>\quad \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) =
{\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} =
{\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cos \left( {\normalsize\frac{k}{2}} + 1 \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad</math>

|}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Stosując metodę indukcji matematycznej, udowodnimy, że prawdziwy jest wzór

::<math>2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \sin j = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

Ponieważ

::<math>2 \sin x \cdot \sin y = \cos (x - y) - \cos (x + y)</math>

to wzór jest prawdziwy dla <math>k = 1</math>. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla <math>k</math>, otrzymujemy dla <math>k + 1</math>

::<math>2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k + 1} \sin j = 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \sin j + 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \sin (k + 1)</math>

:::::::<math>\;\;\;\; = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) + \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right)</math>

:::::::<math>\;\;\;\; = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right)</math>

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej.

'''Punkt 2.'''

Stosując metodę indukcji matematycznej, udowodnimy, że prawdziwy jest wzór

::<math>2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = \sin (k + 1) - \sin (1)</math>

Ponieważ

::<math>2 \sin x \cos y = \sin (x - y) + \sin (x + y)</math>

to wzór jest prawdziwy dla <math>k = 1</math>. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla <math>k</math>, otrzymujemy dla <math>k + 1</math>

::<math>2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k + 1} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) + 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right)</math>

:::::::::<math>\quad \,\, = \sin (k + 1) - \sin (1) - \sin (k + 1) + \sin (k + 2)</math>

:::::::::<math>\quad \,\, = \sin (k + 2) - \sin (1)</math>

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D87 
Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#D86|D86]] p.&hairsp;1 pokazaliśmy, że prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{j = 1}^{k} \sin j =
{\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} =
{\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}}</math>

Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowanie[a]

::<math>\left| \sum_{j = 1}^{k} \sin j \right| =
\left| {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \right| \leqslant
{\small\frac{1}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}}</math> 

Ponieważ spełnione są założenia kryterium Dirichleta, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}}</math> jest zbieżny. Wiemy, że <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} = \tfrac{1}{2} (\pi - 1) = 1.070796 \ldots</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+sin%28k%29%2Fk%2C+k%3D1+to+infinity WolframAlpha]).

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Zauważmy, że bez trudu możemy otrzymać dokładniejsze oszacowanie

::<math>- 0.127671 < {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - 1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \leqslant \sum_{j = 1}^{k} \sin j \leqslant {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) + 1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} < 1.958159</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D88 
Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}}</math> jest zbieżny, a suma tego szeregu jest w przybliżeniu równa <math>0.6839137864 \ldots</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta, co pokazujemy tak samo jak w zadaniu poprzednim. Oszacowanie sumy szeregu jest znacznie trudniejsze, bo ciąg sum częściowych <math>S_n = \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\sin k}{\log k}}</math> silnie oscyluje i dopiero dla bardzo dużych <math>n</math> wynik sumowania mógłby być znaczący. Przykładowo:

::<math>S_{10^6} = 0.609189 \qquad S_{10^7} = 0.748477 \qquad S_{10^8} = 0.727256 \qquad S_{10^9} = 0.660078</math>

Okazuje się, że tutaj też będzie pomocne sumowanie przez części. We wzorze na sumowanie przez części połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log k}}</math> i <math>b_k = \sin k</math>. Korzystając ze wzoru pokazanego w zadaniu [[#D86|D86]] p.&hairsp;1, otrzymujemy

::<math>B(k) = \sum_{j = 2}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \sin (1) = C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

gdzie

::<math>C_1 = \tfrac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( \tfrac{1}{2} \right) - \sin (1) \qquad \qquad \qquad C_2 = - {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}}</math>

Sumując przez części, dostajemy

::<math>\sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right) B (k)</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + \sum^{n - 1}_{k = 2} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \left( C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) \right)</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + C_1 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) + C_2 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + C_1 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} \right) + C_2 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, mamy

::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

Zauważmy, że szereg po prawej stronie jest zbieżny nawet bez uzbieżniającego czynnika <math>\cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>, bo bez tego czynnika mielibyśmy szereg teleskopowy (zobacz [[#D15|D15]]). Pozwala to oczekiwać, że sumy częściowe szeregu po prawej stronie będą znacznie szybciej zbiegały do sumy szeregu. Rzeczywiście, tym razem dla sum

::<math>S_n = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

otrzymujemy

::<math>S_{10^6} = 0.683913783004 \qquad S_{10^7} = 0.683913786642 \qquad S_{10^8} = 0.683913786411 \qquad S_{10^9} = 0.683913786415</math>

Jest to przybliżona wartość sumy szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}}</math>. 

Oszacowanie błędu z jakim wyznaczona została wartość sumy 

Kolejne sumowanie przez części pozwoli określić błąd z jakim wyznaczona została wartość sumy <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}}</math>. Rozważmy sumę

::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>

We wzorze na sumowanie przez części połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}}</math> i <math>b_k = \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>. Korzystając ze wzoru pokazanego w zadaniu [[#D86|D86]] p.&hairsp;2, otrzymujemy

::<math>B(k) = \sum_{j = 2}^{k} b_j = \sum_{j = 2}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) = C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1)</math>

gdzie

::<math>C_3 = - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) - {\small\frac{\sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \qquad \qquad \qquad C_4 = {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}}</math>

Wzór na sumowanie przez części ma teraz postać

::<math>\sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) = \left( {\small\frac{1}{\log (n)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) B (k)</math>

:::::::::::::<math>\;\;\, = \left( {\small\frac{1}{\log (n)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) B (n) + \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) (C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1))</math>

Zauważmy, że

::<math>C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) = C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) - C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right)</math>

::::::::::::::::::<math>\:\, = C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} \right) - C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (3)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right)</math>

bo szeregi po prawej stronie są szeregami teleskopowymi.

Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{C_3}{\log (2)}} - {\small\frac{C_3}{\log (3)}} + C_4 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1)</math>

Zbierając, otrzymaliśmy wzór

::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log (2)}} + C_2 C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (3)}} \right) + C_2 C_4 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1)</math>

gdzie

::<math>C_1 = \tfrac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( \tfrac{1}{2} \right) - \sin (1) \qquad \qquad \qquad \quad \: C_2 = - {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}}</math>

::<math>C_3 = - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) - {\small\frac{\sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \qquad \qquad \qquad C_4 = {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}}</math>

Dla sum

::<math>S_n = {\small\frac{C_1}{\log (2)}} + C_2 C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (3)}} \right) + C_2 C_4 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1)</math>

dostajemy

::<math>S_{10^7} = 0.68391378641827479894 \qquad S_{10^8} = 0.68391378641827482233 \qquad S_{10^9} = 0.68391378641827482268</math>

Łatwo oszacujemy błąd z jakim wyliczyliśmy wartość sumy szeregu <math>S</math>

::<math>| S - S_n | = \left| C_2 C_4 \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) \right|</math>

::::<math>\;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \left| \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) \right|</math>

::::<math>\;\;\;\, \leqslant | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right| | \sin (k + 1) |</math>

::::<math>\;\;\;\, \leqslant | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right|</math>                (zobacz przypis [a])

::::<math>\;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left[ \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) - \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \right]</math>

::::<math>\;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \left( {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 2)}} \right)</math>

Dla <math>n = 10^9</math> otrzymujemy

::<math>| S - S_n | < 2.533 \cdot 10^{- 12}</math>

Zatem <math>S = 0.6839137864 \ldots</math>, gdzie wszystkie wypisane cyfry są prawidłowe.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Z łatwego do sprawdzenia wzoru

::<math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log (k) \log (k + 1)}}</math>

wynika, że wyrażenie <math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}}</math> maleje ze wzrostem <math>k</math>, czyli ciąg <math>a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}}</math> jest ciągiem malejącym, zatem

::<math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} > {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}}</math>

Ciągi <math>(a_k)_{k = 1}^n</math> liczb rzeczywistych takie, że <math>2 a_k \leqslant a_{k - 1} + a_{k + 1}</math> dla <math>k = 2, \ldots, n - 1</math> nazywamy ciągami wypukłymi<ref name="convexseq1"/>. Wprost z definicji funkcji wypukłej wynika, że jeżeli <math>f(x)</math> jest funkcją wypukłą i <math>a_k = f (k)</math>, to ciąg <math>(a_k)</math> jest ciągiem wypukłym. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D89 
Niech <math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p</math>. Pokazać, że

::<math>\theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = \log k</math> i <math>b_k = D (k)</math>. Otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 2}^{n} \log k \cdot D (k) = \log n \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} (\log (k + 1) - \log k) B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = 2}^{k} D (k) = \pi (k)</math>

::<math>\sum_{k = 2}^{n} \log k \cdot D (k) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n)</math>

Zatem

::<math>\theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D90 
Niech <math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p</math>. Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}}</math>, gdzie <math>A, B \in \mathbb{R}_+</math>, to istnieje granica

::<math>\lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z definicji funkcji <math>\theta (n)</math> łatwo otrzymujemy

::<math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p < \sum_{p \leqslant n} \log n = \log n \cdot \pi (n)</math>

Skąd wynika, że

::<math>{\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} < 1</math>

Oszacowanie wyrażenia <math>{\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}}</math> od dołu będzie wymagało więcej pracy. Ze wzoru

::<math>\theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k)</math>

(zobacz [[#D89|D89]]) otrzymujemy

::<math>{\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} = 1 - {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k)</math>

Z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C19|C19]] i założonego oszacowania funkcji <math>\pi (n)</math>

::<math>{\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}}</math>

dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) < {\small\frac{\log n}{\log n \cdot A \cdot n}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} \cdot {\small\frac{B \cdot k}{\log k}}</math>

:::::::::::<math>\quad \; < {\small\frac{B}{A \cdot n}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}}</math>

Nie możemy oszacować sumy całką, bo całka <math>\int {\small\frac{d x}{\log x}}</math> jest funkcją nieelementarną. Nie możemy też pozwolić sobie na zbyt niedokładne oszacowanie sumy i nie możemy napisać

::<math>\sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} < {\small\frac{n - 2}{\log 2}} < {\small\frac{n}{\log 2}}</math>

Wyjściem z tej sytuacji jest odpowiedni podział przedziału sumowania i szacowanie w każdym przedziale osobno. Niech punkt podziału <math>M</math> spełnia warunek <math>\sqrt{n} \leqslant M < \sqrt{n} + 1</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} = \sum_{k = 2}^{M - 1} {\small\frac{1}{\log k}} + \sum^{n - 1}_{k = M} {\small\frac{1}{\log k}}</math>

::::<math>\;\;\;\; < {\small\frac{M - 2}{\log 2}} + {\small\frac{n - M}{\log M}}</math>

::::<math>\;\;\;\; < {\small\frac{M}{\log 2}} + {\small\frac{n}{\log M}}</math>

::::<math>\;\;\;\; < {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{n}{\log \sqrt{n}}}</math>

::::<math>\;\;\;\; < {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{2 n}{\log n}}</math>

Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) < {\small\frac{B}{A \cdot n}} \cdot \left( {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{2 n}{\log n}} \right)</math>

:::::::::::<math>\quad \; < {\small\frac{B}{A}} \cdot \left( {\small\frac{1}{\sqrt{n} \cdot \log 2}} + {\small\frac{2}{\log n}} \right)</math>

Łącząc otrzymane rezultaty, otrzymujemy

::<math>1 - {\small\frac{B}{A}} \cdot \left( {\small\frac{1}{\sqrt{n} \cdot \log 2}} + {\small\frac{2}{\log n}} \right) < {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} < 1</math>

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C10|C10]]) mamy

::<math>\lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D91 
Funkcja <math>\theta (n)</math> jest ściśle związana z dobrze nam znaną funkcją <math>P (n)</math>. Ponieważ <math>P(n) = \prod_{p \leqslant n} p</math>, to

::<math>\log P (n) = \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n)</math>.

Z twierdzenia [[#D90|D90]] wynika, że jeżeli istnieje granica <math>{\small\frac{\theta (n)}{n}}</math>, to będzie istniała granica dla <math>{\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}}</math>. Jeżeli istnieje granica <math>{\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}}</math>, to będzie istniała granica dla <math>{\small\frac{\theta (n)}{n}}</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C13|C13]] p.&hairsp;3).

Wiemy, że dla funkcji <math>\theta (n)</math>, gdzie <math>n \geqslant 2</math>, prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Dusart18"/>

::<math>\left| {\small\frac{\theta (n)}{n}} - 1 \right| \leqslant {\small\frac{151.3}{\log^4 n}}</math>

Zadanie D92 
Niech <math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p</math>. Pokazać, że

::<math>\pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Kładąc we wzorze na sumowanie przez części (zobacz [[#D83|D83]]) <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log k}}</math> i <math>b_k = D (k) \cdot \log k</math>. Otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 2}^{n} D (k) = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) B (k)</math>

gdzie

::<math>B(k) = \sum_{j = 2}^{k} D (k) \cdot \log k = \sum_{p \leqslant k} \log p = \theta (k)</math>

::<math>\sum_{k = 2}^{n} D (k) = \sum_{p \leqslant n} 1 = \pi (n)</math>

Zatem

::<math>\pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) \theta (k)</math>

:::<math>\;\;\; = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log k - \log (k + 1)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k)</math>

:::<math>\;\;\; = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Iloczyn Cauchy'ego szeregów ==

Twierdzenie D93 (kryterium d'Alemberta) 
Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych i istnieje granica

::<math>g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right|</math>

Jeżeli
:*   <math>g < 1</math>, to szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> jest bezwzględnie zbieżny

:*   <math>g > 1</math>, to szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> jest rozbieżny

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Rozważmy najpierw przypadek, gdy <math>g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| < 1</math>. Niech <math>r</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą taką, że <math>g < r < 1</math> i przyjmijmy <math>\varepsilon = r - g</math>. Z definicji granicy ciągu wiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>\left( \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| \right)</math> spełniają warunek

::<math>- \varepsilon < \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| - g < \varepsilon</math>

Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od <math>N</math>. Z prawej nierówności otrzymujemy, że dla <math>n \geqslant N</math> jest

::<math>\left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| < r</math>

::<math>| a_{n + 1} | < r | a_n |</math>

::<math>| a_{n + k} | < r^k | a_n |</math>

Ostatnią nierówność można łatwo udowodnić metodą indukcji matematycznej względem <math>k</math>. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego<ref name="GeometricSeries1"/>, otrzymujemy

::<math>\sum_{k = N + 1}^{\infty} | a_k | = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_{N + k} | < \sum_{k = 1}^{\infty} r^k | a_n | = r | a_n | \sum_{k = 1}^{\infty} r^{k - 1} = | a_n | \cdot {\small\frac{r}{1 - r}}</math>

Zatem szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i</math> jest bezwzględnie zbieżny.

W przypadku, gdy <math>g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| > 1</math> wybieramy liczbę <math>r</math> tak, aby spełniała warunek <math>1 < r < g</math> i przyjmujemy <math>\varepsilon = g - r</math>. Z definicji granicy ciągu wiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>\left( \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| \right)</math> spełniają warunek

::<math>- \varepsilon < \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| - g < \varepsilon</math>

Przyjmując, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od <math>N</math>, z lewej nierówności otrzymujemy dla <math>n \geqslant N</math>

::<math>\left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| > r > 1</math>

Czyli <math>| a_{n + 1} | > | a_n |</math>, zatem dla wszystkich <math>k > N</math> jest <math>| a_k | > | a_N | > 0</math> i nie może być spełniony podstawowy warunek zbieżności szeregu (zobacz [[#D4|D4]]). Zatem szereg jest rozbieżny. Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D94 
W przypadku, gdy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = 1</math> kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności lub rozbieżności szeregu <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math>. Czytelnikowi zostawiamy zastosowanie tego kryterium do szeregów

::<math>\sum_{n = 1}^{\infty} 1 \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

Przykład D95 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Zbadamy zbieżność szeregu

::<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots</math>

Ponieważ

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{x^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{x^n}} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{| x |}{n + 1}} = 0</math>

to z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Zadanie D96 
Pokazać, że szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{n^n}{n!}}</math> jest rozbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Łatwo znajdujemy, że

::<math>\left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = {\small\frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{n^n}} = {\small\frac{(n + 1) (n + 1)^n}{(n + 1) n!}} \cdot {\small\frac{n!}{n^n}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} e > 1</math>

Z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest rozbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D97 
W twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]], korzystając z następującej definicji funkcji <math>e^x</math>

::<math>e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots</math>

pominęliśmy dowód własności <math>e^x e^{- x} = 1</math>. Spróbujemy teraz pokazać, że <math>e^x e^y = e^{x + y}</math>.

::<math>e^x e^y = \left( \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i}{i!}} \right) \left( \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{y^j}{j!}} \right) = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}}</math>

Oznaczmy <math>a_i = {\small\frac{x^i}{i!}}</math> oraz <math>b_j = {\small\frac{y^j}{j!}}</math> i przyjrzyjmy się sumowaniu po <math>i, j</math>. W podwójnej sumie po prawej stronie <math>\sum^{\infty}_{i = 0} \sum_{j = 0}^{\infty} a_i b_j</math> sumujemy po kolejnych liniach poziomych tak, jak to zostało pokazane na rysunku

::{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- style="background-color: LightGray"
| <math>a_6 b_0</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>\cdots</math>
|- style="background-color: Violet"
| <math>a_5 b_0</math> || <math>a_5 b_1</math> || <math>a_5 b_2</math> || <math>a_5 b_3</math> || <math>a_5 b_4</math> || <math>a_5 b_5</math> || <math>\cdots</math>
|- style="background-color: Cyan"
| <math>a_4 b_0</math> || <math>a_4 b_1</math> || <math>a_4 b_2</math> || <math>a_4 b_3</math> || <math>a_4 b_4</math> || <math>a_4 b_5</math> || <math>\cdots</math>
|- style="background-color: Green"
| <math>a_3 b_0</math> || <math>a_3 b_1</math> || <math>a_3 b_2</math> || <math>a_3 b_3</math> || <math>a_3 b_4</math> || <math>a_3 b_5</math> || <math>\cdots</math>
|- style="background-color: Yellow"
| <math>a_2 b_0</math> || <math>a_2 b_1</math> || <math>a_2 b_2</math> || <math>a_2 b_3</math> || <math>a_2 b_4</math> || <math>a_2 b_5</math> || <math>\cdots</math>
|- style="background-color: Orange"
| <math>a_1 b_0</math> || <math>a_1 b_1</math> || <math>a_1 b_2</math> || <math>a_1 b_3</math> || <math>a_1 b_4</math> || <math>a_1 b_5</math> || <math>\cdots</math>
|- style="background-color: Red"
| <math>a_0 b_0</math> || <math>a_0 b_1</math> || <math>a_0 b_2</math> || <math>a_0 b_3</math> || <math>a_0 b_4</math> || <math>a_0 b_5</math> || <math>\; \cdots \;</math>
|}

Zastępując sumowanie po kolejnych liniach poziomych sumowaniem po kolejnych przekątnych, otrzymamy taki rysunek

::{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
| bgcolor="LightGray" | <math>a_6 b_0</math> || <math></math> || || || || ||
|-
| bgcolor="Violet" | <math>a_5 b_0</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || || || || ||
|-
| bgcolor="Cyan" | <math>a_4 b_0</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_4 b_1</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || || || ||
|-
| bgcolor="Green" | <math>a_3 b_0</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_3 b_1</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_3 b_2</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || || ||
|-
| bgcolor="Yellow" | <math>a_2 b_0</math> || bgcolor="Green" | <math>a_2 b_1</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_2 b_2</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_2 b_3</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || ||
|-
| bgcolor="Orange" | <math>a_1 b_0</math> || bgcolor="Yellow" | <math>a_1 b_1</math> || bgcolor="Green" | <math>a_1 b_2</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_1 b_3</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_1 b_4</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> ||
|-
| bgcolor="Red" | <math>a_0 b_0</math> || bgcolor="Orange" | <math>a_0 b_1</math> || bgcolor="Yellow" | <math>a_0 b_2</math> || bgcolor="Green" | <math>a_0 b_3</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_0 b_4</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_0 b_5</math> || bgcolor="LightGray" | <math>a_0 b_6</math>
|}

Co odpowiada sumie <math>\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {a_k} b_{n - k}</math>, gdzie <math>n</math> numeruje kolejne przekątne. Taka zmiana sposobu sumowania powoduje następujące przekształcenie wzoru

::<math>e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{1}{k! \cdot (n - k) !}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}}</math>

to otrzymujemy

::<math>e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}}
= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}}
= \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k}
= \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k}
= \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} (x + y)^n = e^{x + y}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że z definicji

::<math>e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots</math>

wynika podstawowa własność funkcji wykładniczej <math>e^x e^y = e^{x + y}</math>.

Mamy świadomość, że dokonana przez nas zmiana sposobu sumowania była nieformalna i w związku z tym nie wiemy, czy była poprawna. Zatem musimy precyzyjnie zdefiniować takie sumowanie i zbadać, kiedy jest dopuszczalne. Dopiero wtedy będziemy mogli być pewni, że policzony rezultat jest poprawny.

Definicja D98 
Iloczynem Cauchy'ego szeregów <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i</math> oraz <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j</math> nazywamy szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0</math>

W przypadku szeregów, których wyrazy są numerowane od liczby <math>1</math>, iloczynem Cauchy'ego szeregów <math>\sum_{i = 1}^{\infty} a_i</math> oraz <math>\sum_{j = 1}^{\infty} b_j</math> nazywamy szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} c_n</math>, gdzie

::<math>c_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k b_{n - k + 1} = a_1 b_n + a_2 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_2 + a_n b_1</math>

Zadanie D99 
Niech <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>. Pokazać, że

:*   jeżeli <math>(a_n) = (1, 0, 0, 0, 0, \ldots)</math>, <math>(b_n)</math> jest dowolnym ciągiem, to <math>c_n = b_n</math>

:*   jeżeli <math>(a_n) = (1, 1, 1, 1, 1, \ldots)</math>, <math>(b_n)</math> jest dowolnym ciągiem, to <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} b_k = B_n</math>

:*   jeżeli <math>a_n = b_n = {\small\frac{r^n}{n!}}</math>, to <math>c_n = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}}</math>

:*   jeżeli <math>(a_n) = (a, r, r^2, r^3, \ldots)</math>, <math>(b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots)</math>, to <math>c_n =
\begin{cases}
\qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\
(a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\
\end{cases}</math>

:*   jeżeli <math>(a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots)</math>, <math>(b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots)</math>, gdzie <math>q \neq r</math>, to <math>c_n =
\begin{cases}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\
q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\
\end{cases}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n = b_n</math>

'''Punkt 2.'''

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} b_{n - k} = \sum^n_{j = 0} b_j = B_n</math>

'''Punkt 3.'''

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^k r^{n - k}}{k!(n - k) !}} = {\small\frac{r^n}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{r^n}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}}</math>

'''Punkt 4.'''

Dla <math>n = 0</math> mamy <math>c_0 = a_0 b_0 = a b</math>

Dla <math>n = 1</math> mamy <math>c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = a \cdot r + r \cdot b = (a + b) r</math>

Dla <math>n \geqslant 2</math> jest

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = a_0 b_n + a_n b_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k b_{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = a \cdot r^n + r^n \cdot b + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^k r^{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = (a + b) r^n + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^n</math>

::<math>\;\;\;\:\, = (a + b + n - 1) r^n</math>

Zbierając, otrzymujemy

::<math>c_n =
\begin{cases}
\qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\
(a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\
\end{cases}</math>

'''Punkt 5.'''

Dla <math>n = 0</math> mamy <math>c_0 = a_0 b_0 = a b</math>

Dla <math>n = 1</math> mamy <math>c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = a r + b q</math>

Dla <math>n \geqslant 2</math> jest

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = a_0 b_n + a_n b_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k b_{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = a r^n + b q^n + \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k}</math>

Jeżeli <math>r = 0</math>, to <math>\sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} = 0</math>. Jeżeli <math>r \neq 0</math>, to

::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} = r^n \sum_{k = 1}^{n - 1} \left( {\small\frac{q}{r}} \right)^k = r^n \cdot {\small\frac{\left( {\normalsize\frac{q}{r}} \right)^n - {\normalsize\frac{q}{r}}}{{\normalsize\frac{q}{r}} - 1}} = {\small\frac{r q^n - q r^n}{q - r}}</math>

Zauważmy, że znaleziony wzór obejmuje również przypadek <math>r = 0</math>. Zatem

::<math>c_n = a r^n + b q^n + {\small\frac{r q^n - q r^n}{q - r}}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = q^n \left( b + {\small\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\small\frac{q}{q - r}} \right)</math>

Zbierając, otrzymujemy

::<math>c_n =
\begin{cases}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\
q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\
\end{cases}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Przykład D100 
Ostatni punkt zadania [[#D99|D99]] pozwala stworzyć wiele przykładowych szeregów i ich iloczynów Cauchy'ego. Przypomnijmy, że

::<math>(a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots)</math>, <math>\quad (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots)</math>,  gdzie <math>q \neq r</math>

::<math>c_n =
\begin{cases}
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\
q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\
\end{cases}</math>

Przykłady zebraliśmy w tabeli.

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! <math>\boldsymbol{a}</math> || <math>\boldsymbol{q}</math> || <math>\boldsymbol{b}</math> || <math>\boldsymbol{r}</math> || <math>\boldsymbol{(c_n)}</math> || <math>\boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} a_n}</math> || <math>\boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} b_n}</math> || <math>\boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} c_n}</math>
|-
|<math>3</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>-2</math>|| <math>{\small\frac{1}{3}}</math> || <math>(-6,0,0,0,0,0,…)</math> || zbieżny || zbieżny || zbieżny
|-
|<math>-2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>(-6,0,0,0,0,0,…)</math> || rozbieżny || rozbieżny || zbieżny
|-
| <math>{\small\frac{r - 2q}{r - q}}</math> || <math>q</math> || <math>{\small\frac{r}{r - q}}</math> || <math>r</math> || <math>\left( {\small\frac{r ( r - 2q )}{(r - q)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right)</math> || zbieżny / rozbieżny || zbieżny / rozbieżny || zbieżny / rozbieżny
|-
| <math>4</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>-2</math> || <math>{\small\frac{1}{3}}</math> || <math>\left( -8,{\small\frac{1}{3}}, {\small\frac{1}{3^2}}, {\small\frac{1}{3^3}}, {\small\frac{1}{3^4}}, {\small\frac{1}{3^5}}, \ldots \right)</math> || zbieżny || zbieżny || zbieżny
|-
| <math>{\small\frac{7}{3}}</math> || <math>2</math> || <math>- {\small\frac{1}{3}}</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>\left( - {\small\frac{7}{9}}, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right)</math> || rozbieżny || zbieżny || zbieżny
|-
| <math>-1</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>(-3,3,3^2,3^3,3^4,3^5,…)</math> || rozbieżny || rozbieżny || rozbieżny
|-
| <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>1</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>-1</math> || <math>\left( {\small\frac{1}{4}}, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots \right)</math> || rozbieżny || rozbieżny || zbieżny
|-
| <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>(-2, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots )</math> || rozbieżny || rozbieżny || zbieżny
|-
| <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>(-3, 1, 1, 1, 1, 1,\ldots )</math> || rozbieżny || rozbieżny || rozbieżny
|-
| <math>2</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>(-2,0,0,0,0,0,…)</math> || rozbieżny || zbieżny || zbieżny
|-
| <math>2</math> || <math>1</math> || <math>0</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>(0, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots )</math> || rozbieżny || zbieżny || rozbieżny
|-
| <math>{\small\frac{r - 2}{r - 1}}</math> || <math>1</math> || <math>{\small\frac{r}{r - 1}}</math> || <math>r</math> || <math>\left( {\small\frac{r ( r - 2 )}{(r - 1)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right)</math> || rozbieżny || zbieżny / rozbieżny || zbieżny / rozbieżny
|-
| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>(0, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, \ldots )</math> || rozbieżny || rozbieżny || rozbieżny
|-
| <math>3</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>{\small\frac{1}{2}}</math> || <math>\left( - 3, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right)</math> || rozbieżny || zbieżny || zbieżny
|}

Przykład D101 
Podamy przykład szeregów zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny. Rozważmy zbieżny szereg (zobacz [[#D5|D5]])

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} = 0.604898643 \ldots \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B+%28-1%29%5Ek%2Fsqrt%28k%2B1%29%2C+%7Bk%2C+0%2C+infinity%7D+%5D WolframAlpha])

Mnożąc powyższy szereg przez siebie według reguły Cauchy'ego, otrzymujemy

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{\sqrt{n - k + 1}}}
= (- 1)^n \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}}</math>

Ale <math>k \leqslant n</math> i <math>n - k \leqslant n</math>, zatem

::<math>{\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} \geqslant {\small\frac{1}{\sqrt{(n + 1) (n + 1)}}} = {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

Czyli

::<math>| c_n | \geqslant \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n + 1}} = 1</math>

Ponieważ <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n \neq 0</math>, to iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny (zobacz [[#D4|D4]]).

Zadanie D102 
Pokazać, że jeżeli <math>a_n = b_n = r^n</math> i <math>c_n = (n + 1) r^n</math> (zobacz [[#D99|D99]] p.&hairsp;3), to szeregi <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> oraz <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math> są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Sprawdzić, że w przypadku, gdy szeregi te są zbieżne, prawdziwy jest wzór

::<math>\left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zbieżność szeregu <math>\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n</math> łatwo zbadamy, stosując kryterium d'Alemberta.

::<math>\left| {\small\frac{c_{n + 1}}{c_n}} \right| = \left| {\small\frac{(n + 2) r^{n + 1}}{(n + 1) r^n}} \right| = {\small\frac{n + 2}{n + 1}} \cdot | r | \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} | r |</math>

Zatem szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n</math> jest zbieżny, gdy <math>| r | < 1</math> i rozbieżny, gdy <math>| r | > 1</math>, tak samo, jak szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} r^n</math>. W przypadku, gdy <math>r = \pm 1</math> szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} r^n</math> jest rozbieżny, a odpowiednie sumy częściowe szeregu <math>\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n</math> są równe

:*    gdy <math>r = 1</math>, <math>c_n = n + 1</math>, <math>\quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) = {\small\frac{(L + 1) (L + 2)}{2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \infty \qquad \qquad</math> (zobacz [a], [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B+n%2B1%2C+%7Bn%2C+0%2C+L%7D+%5D WolframAlpha])

:*    gdy <math>r = - 1</math>, <math>c_n = (n + 1) (- 1)^n</math>, <math>\quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) (- 1)^n = (- 1)^L \cdot {\small\frac{2 L + 3}{4}} + {\small\frac{1}{4}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \pm \infty \qquad \qquad</math> (zobacz [[#D84|D84]], [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B+%28n%2B1%29*%28-1%29%5En%2C+%7Bn%2C+0%2C+L%7D+%5D WolframAlpha])

W przypadku, gdy <math>| r | < 1</math> wiemy<ref name="GeometricSeries1"/>, że <math>\sum_{n = 0}^{\infty} r^n = {\small\frac{1}{1 - r}}</math>. Korzystając z zadania [[#D84|D84]], otrzymujemy

::<math>\sum_{n = 0}^{L} (n + 1) r^n = \sum_{n = 0}^{L} n r^n + \sum_{n = 0}^{L} r^n = {\small\frac{L r^{L + 2} - (L + 1) r^{L + 1} + r}{(r - 1)^2}} + {\small\frac{r^{L + 1} - 1}{r - 1}} = {\small\frac{(L + 1) r^{L + 2} - (L + 2) r^{L + 1} + 1}{(r - 1)^2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{(r - 1)^2}}</math>

Ponieważ szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n</math> jest zbieżny, gdy <math>| r | < 1</math>, to musi być <math>\lim_{n \rightarrow \infty} (n + 1) r^n = 0</math> (zobacz [[#D4|D4]]). Pokazaliśmy, że w rozważanym przypadku iloczyn sum szeregów jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Zauważmy, że

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k = {\small\frac{1}{2}} \left( \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} k \right) = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{j = 0}^{n} (n - j) \right] = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} (n - k) \right] = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 0}^{n} (k + n - k) = {\small\frac{n}{2}} \sum_{k = 0}^{n} 1 = {\small\frac{n (n + 1)}{2}}</math> 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D103 
Przykłady [[#D100|D100]] i [[#D101|D101]] pokazują, że w ogólności nie jest prawdziwy wzór

::<math>\left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right)</math>

Skoro iloczyn sum szeregów nie zawsze jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów, to musimy ustalić, jakie warunki muszą być spełnione, aby tak było.

Uwaga D104 
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Mertensa, zauważmy, że od sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych

::<math>\sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>

możemy łatwo przejść do sumowania po liniach poziomych lub po liniach pionowych. Rysunek przedstawia sytuację, gdy <math>m = 5</math>.

::{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
| bgcolor="LightGray" | <math>a_6 b_0</math> || <math></math> || || || || ||
|-
| bgcolor="Violet" | <math>a_5 b_0</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || || || || ||
|-
| bgcolor="Cyan" | <math>a_4 b_0</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_4 b_1</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || || || ||
|-
| bgcolor="Green" | <math>a_3 b_0</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_3 b_1</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_3 b_2</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || || ||
|-
| bgcolor="Yellow" | <math>a_2 b_0</math> || bgcolor="Green" | <math>a_2 b_1</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_2 b_2</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_2 b_3</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> || ||
|-
| bgcolor="Orange" | <math>a_1 b_0</math> || bgcolor="Yellow" | <math>a_1 b_1</math> || bgcolor="Green" | <math>a_1 b_2</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_1 b_3</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_1 b_4</math> || bgcolor="LightGray" | <math></math> ||
|-
| bgcolor="Red" | <math>a_0 b_0</math> || bgcolor="Orange" | <math>a_0 b_1</math> || bgcolor="Yellow" | <math>a_0 b_2</math> || bgcolor="Green" | <math>a_0 b_3</math> || bgcolor="Cyan" | <math>a_0 b_4</math> || bgcolor="Violet" | <math>a_0 b_5</math> || bgcolor="LightGray" | <math>a_0 b_6</math>
|}

Przejście do sumowania po liniach poziomych

::<math>\sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j</math>

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach poziomych, a druga po kolejnych elementach w <math>i</math>-tej linii poziomej.

Przejście do sumowania po liniach pionowych

::<math>\sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_j b_i</math>

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach pionowych, a druga po kolejnych elementach w <math>i</math>-tej linii pionowej.

Twierdzenie D105 (Franciszek Mertens) 
Jeżeli szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A</math> jest zbieżny bezwzględnie, szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B</math> jest zbieżny, to ich iloczyn Cauchy'ego <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>, jest zbieżny i <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i</math> jest zbieżny bezwzględnie, oznaczmy <math>\sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A'</math>. Niech

::<math>A_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i \qquad \qquad B_n = \sum_{j = 0}^{n} b_j \qquad \qquad C_n = \sum_{k = 0}^{n} c_k \qquad \qquad \beta_n = B_n - B</math>

Przekształcając sumę <math>C_m</math>, otrzymujemy

::<math>C_m = \sum_{n = 0}^{m} c_n</math>

:::<math>\; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>

Przechodzimy od sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych do sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D104|D104]]).

::<math>C_m = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j</math>

:::<math>\; = \sum_{i = 0}^{m} a_i \sum_{j = 0}^{m - i} b_j</math>

:::<math>\; = \sum_{i = 0}^{m} a_i B_{m - i}</math>

:::<math>\; = \sum_{i = 0}^{m} a_i \left( {B + \beta_{m - i}} \right)</math>

:::<math>\; = \sum_{i = 0}^{m} a_i B + \sum_{i = 0}^{m} a_i \beta_{m - i}</math>

:::<math>\; = B \sum_{i = 0}^{m} a_i + \sum_{i = 0}^{m} a_i \beta_{m - i}</math>

:::<math>\; = A_m B + \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k}</math>

Zatem

::<math>C_m - A_m B = \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k}</math>

Niech

::<math>\delta_m = \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k}</math>

Oczywiście chcemy pokazać, że <math>C_m \longrightarrow A B</math>. Ponieważ <math>A_m B \longrightarrow A B</math>, to wystarczy pokazać, że <math>\delta_m \longrightarrow 0</math>.

Z założenia <math>B_m \longrightarrow B</math>, zatem <math>\beta_m \longrightarrow 0</math>. Ze zbieżności ciągu <math>(\beta_k)</math> wynika, że

:*   ciąg <math>(\beta_k)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>U > 0</math>, że dla każdego <math>k \geqslant 0</math> jest <math>| \beta_k | \leqslant U</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C10|C10]])

:*   dla dowolnego <math>\varepsilon_1 > 0</math> prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(\beta_k)</math> spełniają warunek <math>| \beta_k | < \varepsilon_1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5|C5]], [[Ciągi liczbowe#C7|C7]])

Możemy przyjąć, że warunek <math>| \beta_k | < \varepsilon_1</math> spełniają wszystkie wyrazy, poczynając od <math>M = M (\varepsilon_1)</math>. Zatem dla <math>m > M</math> dostajemy

::<math>| \delta_m | \leqslant \sum_{k = 0}^{M} | \beta_k | | a_{m - k} | + \sum_{k = M + 1}^{m} | \beta_k | | a_{m - k} |</math>

:::<math>\;\; 

:::<math>\;\; 

Z założenia szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i</math> jest zbieżny, zatem musi być <math>\lim_{m \rightarrow \infty} a_m = 0</math> (zobacz [[#D4|D4]]). Czyli dla dowolnego <math>\varepsilon_2 > 0</math> prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_k)</math> spełniają warunek <math>| a_k | < \varepsilon_2</math>. Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od <math>N = N (\varepsilon_2)</math>. Zatem dla <math>m > M + N</math> otrzymujemy

::<math>| \delta_m | 

:::<math>\;\; < \varepsilon_2 (M + 1) U + \varepsilon_1 A'</math>

Prawa strona nierówności jest dowolnie mała. Przykładowo dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> wystarczy wybrać <math>\varepsilon_1 = {\small\frac{\varepsilon / 2}{A'}}</math> i <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{\varepsilon / 2}{(M + 1) U}}</math>, aby otrzymać <math>| \delta_m | < \varepsilon</math> dla wszystkich <math>m > M + N</math>. Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>\delta_m</math> spełniają warunek <math>| \delta_m | < \varepsilon</math>, to <math>\lim_{m \rightarrow \infty} \delta_m = 0</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D106 
Pokazać, że iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia szeregi <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i</math> oraz <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j</math> są bezwzględnie zbieżne, zatem możemy napisać

::<math>\sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A' \qquad \qquad \sum^{\infty}_{j = 0} | b_j | = B'</math>

Zauważmy, że suma <math>\sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} |</math> obejmuje <math>m + 1</math> przekątnych. Łatwo możemy przejść od sumowania po kolejnych przekątnych do sumowana po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D104|D104]]).

::<math>C'_m = \sum_{n = 0}^{m} | c_n |</math>

:::<math>\; = \sum_{n = 0}^{m} \left| \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right|</math>

:::<math>\; \leqslant \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k b_{n - k} |</math>

:::<math>\; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} |</math>

:::<math>\; = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} | a_i | | b_j | \qquad \qquad</math> (zmieniliśmy sposób sumowania)

:::<math>\; = \sum_{i = 0}^{m} | a_i | \sum_{j = 0}^{m - i} | b_j |</math>

:::<math>\; \leqslant A' B'</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>C'_m</math> jest rosnący (bo sumujemy wartości nieujemne) i ograniczony od góry, to jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D107 
Podać przykład szeregów zbieżnych, z których tylko jeden jest bezwzględnie zbieżny i których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^i}{2^i}} = {\small\frac{2}{3}}</math> jest bezwzględnie zbieżny, bo <math>\sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2^i}} = 2</math> jest zbieżny. Szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2</math> jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]), ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz [[#D48|D48]], [[#D50|D50]] p.&hairsp;1, [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]).

Zatem na podstawie twierdzenia Mertensa iloczyn Cauchy'ego tych szeregów <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{2^k}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = (- 1)^n \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}}</math>

jest zbieżny. Łatwo widzimy, że

::<math>| c_n | = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}}</math>

:::<math>\; = {\small\frac{1}{n + 1}} + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}}</math>

:::<math>\; \geqslant {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

Ponieważ szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}}</math> jest rozbieżny i

::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant | c_n |</math>

to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | c_n |</math> jest rozbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D108 
Podać przykład szeregów warunkowo zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2</math> jest warunkowo zbieżny (zobacz [[#D5|D5]], [[#D48|D48]], [[#D50|D50]] p.&hairsp;1, [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]). Iloczyn Cauchy'ego dwóch takich szeregów jest równy <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie

::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = (- 1)^n \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(n - k + 1) + (k + 1)}{(k + 1) (n - k + 1)}}</math>

::<math>\;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} + {\small\frac{1}{n - k + 1}} \right)</math>

::<math>\;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \left( \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} + \sum_{j = 0}^{n} {\small\frac{1}{j + 1}} \right)</math>

::<math>\;\;\;\:\, = {\small\frac{2 (- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}}</math>

Ponieważ (zobacz [[#D48|D48]])

::<math>\log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n</math>

to

::<math>{\small\frac{2}{n + 2}} \cdot \log (n + 2) < | c_n | < {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot (1 + \log (n + 1))</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0</math>. Pokażemy teraz, że ciąg <math>(| c_n |)</math> jest ciągiem malejącym.

::<math>| c_n | - | c_{n - 1} | = {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} + \left( {\small\frac{2}{n + 2}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \right) \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} - {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant 0</math>

Bo <math>\sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} \geqslant 1</math>. Ponieważ ciąg <math>(| c_n |)</math> jest malejący i zbieżny do zera, to z kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^n | c_n |</math> jest zbieżny. Zauważmy jeszcze, że dla <math>n \geqslant 1</math> mamy

::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant {\small\frac{2 \log (n + 2)}{n + 2}} < | c_n |</math>

Zatem na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | c_n |</math> jest rozbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D109 
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Abela, musimy udowodnić trzy twierdzenia dotyczące pewnych granic. Warto zauważyć, że twierdzenie [[#D111|D111]] pozwala przypisać wartość sumy do szeregów, których suma w zwykłym sensie nie istnieje. Uogólnienie to nazywamy sumowalnością w sensie Cesàro<ref name="CesaroSum1"/>. Nie będziemy zajmowali się tym tematem, ale podamy ciekawy przykład.

Rozważmy szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i</math>. Sumy częściowe tego szeregu wynoszą <math>S_k = {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}}</math> i tworzą ciąg rozbieżny, ale ciąg kolejnych średnich arytmetycznych dla ciągu <math>(S_k)</math> jest równy

::<math>x_n = {\small\frac{S_0 + \ldots + S_n}{n + 1}}
= {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}}
= {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1 + (- 1)^n}{4 (n + 1)}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F%28n%2B1%29+*+Sum%5B+%281+%2B+%28-1%29%5Ek+%29%2F2%2C+%7Bk%2C+0%2C+n%7D+%5D WolframAlfa])

Zatem szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i</math> jest sumowalny w sensie Cesàro i jego suma jest równa <math>{\small\frac{1}{2}}</math>.

Twierdzenie D110 
Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>. Ze zbieżności ciągu <math>(a_k)</math> wynika, że

:*   ciąg <math>(a_k)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>U > 0</math>, że dla każdego <math>k \geqslant 0</math> jest <math>| a_k | \leqslant U</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C10|C10]])

:*   dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_k)</math> spełniają warunek <math>| a_k | < \varepsilon</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5|C5]], [[Ciągi liczbowe#C7|C7]])

Możemy przyjąć, że warunek <math>| a_k | < \varepsilon</math> spełniają wszystkie wyrazy, poczynając od <math>N = N (\varepsilon)</math>. Zatem dla <math>n > N</math> możemy napisać

::<math>{\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = {\small\frac{| a_0 | + \ldots + | a_N | + |a_{N + 1} | + \ldots + | a_n |}{n + 1}}</math>

::::::<math>\,\, < {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} + {\small\frac{\varepsilon (n - N)}{n + 1}}</math>

::::::<math>\,\, < {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} + \varepsilon</math>

Ponieważ liczba <math>n</math> może być dowolnie duża, to wyrażenie <math>{\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}}</math> może być dowolnie małe. W szczególności warunek

::<math>{\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} < \varepsilon</math>

jest spełniony dla <math>n > {\small\frac{U (N + 1)}{\varepsilon}} - 1</math> i otrzymujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | < 2 \varepsilon</math>

dla wszystkich <math>n > \max \left( N, {\small\frac{U (N + 1)}{\varepsilon}} - 1 \right)</math>. Zatem <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D111 
Jeżeli ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny, to ciąg kolejnych średnich arytmetycznych <math>x_n = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}}</math> jest zbieżny do tej samej granicy.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny, zatem możemy napisać

::<math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g</math>

Z definicji ciągu <math>(x_n)</math> dostajemy

::<math>x_n - g = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}} - g
= {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n - (n + 1) g}{n + 1}}
= {\small\frac{(a_0 - g) + \ldots + (a_n - g)}{n + 1}}
= {\small\frac{a_0 - g}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{a_n - g}{n + 1}}</math>

Wynika stąd, że

::<math>0 \leqslant | x_n - g | \leqslant {\small\frac{| a_0 - g |}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{| a_n - g |}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k - g |</math>

W granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, z twierdzenia [[#D110|D110]] i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | x_n - g | = 0</math>

Czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C9|C9]] p.&hairsp;2). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D112 
Niech <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math> będą zbieżnymi ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a</math> i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''1. Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0}</math>

Ponieważ ciąg <math>(b_n)</math> jest zbieżny, to jest ograniczony (zobacz [[Ciągi liczbowe#C10|C10]]), czyli istnieje taka liczba <math>U > 0</math>, że dla każdego <math>k \geqslant 0</math> jest <math>| b_k | \leqslant U</math>. Zatem

::<math>0 \leqslant \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | \leqslant {\small\frac{U}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k |</math>

W granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, z twierdzenia [[#D110|D110]] i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| = 0</math>

Czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) = 0</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C9|C9]] p.&hairsp;2).

'''2. Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0}</math>

Niech <math>x_n = a_n - a</math>. Oczywiście <math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0</math>. Podstawiając, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum^n_{k = 0} (a + x_k) b_{n - k}</math>

:::::::<math>\, = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a b_{n - k} + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k}</math>

:::::::<math>\, = a \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{j = 0}^{n} b_j + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k}</math>

W granicy, gdy <math>n \longrightarrow \infty</math>, z twierdzenia [[#D111|D111]] i udowodnionego wyżej przypadku, gdy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, dostajemy

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D113 (Niels Henrik Abel) 
Jeżeli szeregi <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A</math> oraz <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B</math> są zbieżne i ich iloczyn Cauchy'ego <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>, jest zbieżny, to <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Będziemy stosowali następujące oznaczenia

::<math>A_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i \qquad \qquad \;\, B_n = \sum_{i = 0}^{n} b_i \qquad \qquad \;\; C_n = \sum_{i = 0}^{n} c_i</math>

Z założenia szeregi są zbieżne, zatem możemy napisać

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = A \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} B_n = B \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} C_n = C</math>

Rozważmy sumę

::<math>\sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} c_n</math>

::::<math>\;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>

Od sumowania wyrazów <math>a_k b_{n - k}</math> po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D104|D104]]).

::<math>\sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j</math>

::::<math>\;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} a_i \sum^{m - i}_{j = 0} b_j</math>

::::<math>\;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} a_i B_{m - i}</math>

::::<math>\;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{k = 0}^{m} a_k B_{m - k}</math>

Od sumowania wyrazów <math>a_k B_{m - k}</math> po <math>L + 1</math> kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po <math>L + 1</math> kolejnych liniach pionowych (zobacz [[#D104|D104]]).

::<math>\sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{i = 0}^{L} \sum_{j = 0}^{L - i} a_j B_i</math>

::::<math>\;\; = \sum_{i = 0}^{L} B_i \sum_{j = 0}^{L - i} a_j</math>

::::<math>\;\; = \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i}</math>

Zatem

::<math>{\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{m = 0}^{L} C_m = {\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i}</math>

W granicy, gdy <math>L \longrightarrow \infty</math>, z twierdzeń [[#D111|D111]] i [[#D112|D112]] otrzymujemy <math>C = A B</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Liczby Catalana ==

Definicja D114 
Liczby Catalana <math>C_n</math> definiujemy wzorem

::<math>C_n = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}}</math>

gdzie <math>n \geqslant 0</math>.

Twierdzenie D115 
Liczby Catalana <math>C_n</math> mają następujące własności

:*   <math>C_n</math> są liczbami całkowitymi dodatnimi

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>C_n = {\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>C_{n + 1} = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}} C_n</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Twierdzenie jest prawdziwe dla początkowych wartości <math>n \geqslant 0</math>, bo <math>(C_n) = (1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, \ldots)</math>. W ogólności wystarczy zauważyć, że dla <math>n \geqslant 0</math> mamy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\binom{2 n}{n + 1}} = {\small\frac{(2 n) !}{(n + 1) ! (n - 1) !}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{n}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} < {\small\binom{2 n}{n}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\binom{2 n}{n}} - {\small\binom{2 n}{n + 1}} = {\small\binom{2 n}{n}} - {\small\frac{n}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n</math>
</div>

Zatem <math>C_n</math> jest liczbą całkowitą większą od zera.

'''Punkt 2.'''

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{2 n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) !}{n! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{2 n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}} = {\small\frac{1}{n}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{(n - 1) ! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n</math>
</div>

'''Punkt 3.'''

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{C_{n + 1}}{C_n}} = {\small\frac{1}{n + 2}} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) ! (n + 1) !}} \cdot (n + 1) \cdot {\small\frac{n!n!}{(2 n) !}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{n + 2}} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) (2 n + 1)}{(n + 1)^2}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} \cdot (n + 1) \cdot {\small\frac{n!n!}{(2 n) !}} =</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}}</math>
</div>

'''Punkt 4.'''

Dowód tego punktu został umieszczony w Uzupełnieniu (zobacz [[#D140|D140]]). 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D116 
Niech <math>C_n</math> oznacza <math>n</math>-tą liczbę Catalana i niech <math>\sum_{n = 0}^{\infty} x_n</math> oznacza szereg, który otrzymujemy, mnożąc szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> przez siebie według reguły Cauchy'ego. Pokazać, że

:*   jeżeli <math>a_n = C_n</math>,  to  <math>x_n = C_{n + 1}</math>

:*   jeżeli <math>a_0 = \alpha</math> i <math>a_n = r^{n - 1} C_{n - 1}</math> dla <math>n \geqslant 1</math>,  to  <math>x_0 = \alpha^2</math>, <math>x_1 = 2 \alpha C_0</math> i <math>x_n = (1 + 2 \alpha r) r^{n - 2} C_{n - 1}</math> dla <math>n \geqslant 2</math>

Dla jakich wartości <math>\alpha, r</math> szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} x_n</math> jest zbieżny?

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 2.'''

Dla <math>n = 0</math> mamy <math>x_0 = a_0 a_0 = \alpha^2</math>

Dla <math>n = 1</math> mamy <math>x_1 = a_0 a_1 + a_1 a_0 = 2 a_0 a_1 = 2 \alpha C_0</math>

Dla <math>n \geqslant 2</math> jest

::<math>x_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k a_{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\;\: = a_0 a_n + a_n a_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k a_{n - k}</math>

::<math>\;\;\;\;\: = 2 a_0 a_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^{k - 1} C_{k - 1} \cdot r^{n - k - 1} C_{n - k - 1}</math>

::<math>\;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} \sum_{k = 1}^{n - 1} C_{k - 1} C_{n - k - 1}</math>

::<math>\;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} \sum_{j = 0}^{n - 2} C_j C_{n - 2 - j}</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} C_{n - 1}</math>
</div>

<div style="margin-top: 2em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\;\;\;\;\: = r^{n - 2} C_{n - 1} (1 + 2 \alpha r)</math>
</div>

Zauważmy, że

::<math>{\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} = \frac{{\normalsize\frac{1}{n + 1}} {\normalsize\binom{2 n}{n}}}{{\normalsize\frac{1}{n}} {\normalsize\binom{2 n - 2}{n - 1}}}
= {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n (2 n - 1) (2 n - 2) !}{n^2 [(n - 1) !]^2}} \cdot {\small\frac{[(n - 1) !]^2}{(2 n - 2) !}}
= {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n (2 n - 1)}{n^2}}
= {\small\frac{2 (2 n - 1)}{n + 1}}</math>

Z kryterium d'Alemberta dla szeregu <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> i szeregu <math>\sum_{n = 0}^{\infty} x_n</math> otrzymujemy

::<math>\left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = \left| {\small\frac{r^n C_n}{r^{n - 1} C_{n - 1}}} \right| = | r | \cdot {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} = | r | \cdot {\small\frac{2 (2 n - 1)}{n + 1}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 4 | r |</math>

::<math>\left| {\small\frac{x_{n + 1}}{x_n}} \right| = \left| {\small\frac{r^{n - 1} C_n (1 + 2 \alpha r)}{r^{n - 2} C_{n - 1} (1 + 2 \alpha r)}} \right| = | r | \cdot {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 4 | r |</math>

Zatem szeregi te są bezwzględnie zbieżne w przypadku, gdy <math>| r | < {\small\frac{1}{4}}</math>. W szczególności dla <math>\alpha = - {\small\frac{1}{2 r}}</math> szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} x_n</math> zawsze będzie zbieżny, bo od trzeciego wyrazu będzie się składał z samych zer. Wiemy, że w przypadku, gdy <math>r = {\small\frac{1}{4}}</math> szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{C_n}{4^n}} = 2</math> jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

== Sumy współczynników dwumianowych ==

Twierdzenie D117 
Dla <math>n \geqslant 0</math> i <math>r \in \mathbb{R}</math> prawdziwe są wzory

::<math>\sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ze wzoru dwumianowego natychmiast otrzymujemy

::<math>(1 + r)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} r^k</math>

'''Punkt 2.'''

Całkując obie strony wzoru dwumianowego

::<math>(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k</math>

otrzymujemy

::<math>\int^r_0 (1 + x)^n d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \int^r_0 x^k d x</math>

::<math>{\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math>

'''Punkt 3.'''

Obliczając pochodną każdej ze stron wzoru dwumianowego

::<math>(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k</math>

otrzymujemy

::<math>n (1 + x)^{n - 1} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k x^{k - 1}</math>

Kładąc <math>x = 1</math>, dostajemy dowodzony wzór.

'''Punkt 4.'''

Obliczając drugą pochodną każdej ze stron wzoru dwumianowego

::<math>(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k</math>

otrzymujemy

::<math>n(n - 1) (1 + x)^{n - 2} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k (k - 1) x^{k - 1}</math>

Kładąc <math>x = 1</math>, dostajemy

::<math>n(n - 1) 2^{n - 2} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k (k - 1) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} - \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} - n 2^{n - 1}</math>

Skąd natychmiast wynika dowodzony wzór. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D118 
Dla <math>n, m \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + m + 1}{n}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Ze wzoru Pascala

::<math>{\small\binom{a}{k}} = {\small\binom{a - 1}{k}} + {\small\binom{a - 1}{k - 1}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\small\binom{a - 1}{k}} = {\small\binom{a}{k}} - {\small\binom{a - 1}{k - 1}}</math>

Kładąc <math>a = n + k + 1</math>, mamy

::<math>{\small\binom{n + k}{k}} = {\small\binom{n + k + 1}{k}} - {\small\binom{n + k}{k - 1}}</math>

Czyli

::<math>{\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}}</math>

Wykorzystując powyższy wzór, łatwo pokazujemy, że (zobacz [[#D15|D15]])

::<math>\sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = 1 + \sum_{k = 1}^{m} {\small\binom{n + k}{n}}</math>

:::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{m} \left[ {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}} \right]</math>

:::::<math>\;\;\,\, = 1 - \sum_{k = 1}^{m} \left[ {\small\binom{n + k}{n + 1}} - {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} \right]</math>

:::::<math>\;\;\,\, = 1 - \left[ 1 - {\small\binom{n + m + 1}{n + 1}} \right]</math>

:::::<math>\;\;\,\, = {\small\binom{n + m + 1}{n}}</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

=== Suma nieoznaczona ===

Uwaga D119 
Sumą nieoznaczoną<ref name="IndefiniteSum1"/> (lub antyróżnicą) funkcji <math>f(k)</math>, będziemy nazywali dowolną funkcję <math>F(k)</math> taką, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>F(k + 1) - F (k) = f (k)</math>
</div>

Łatwo zauważamy, że istnieje cała rodzina funkcji <math>F(k)</math>, bo jeżeli <math>F (k)</math> jest sumą nieoznaczoną, to <math>F (k) + C</math>, gdzie <math>C</math> jest stałą, również jest sumą nieoznaczoną. W szczególności

::<math>\sum_{k = a}^{b} f (k) = \sum_{k = a}^{b} (F (k + 1) - F (k))</math>

::::<math>\;\;\;\: = - \sum_{k = a}^{b} (F (k) - F (k + 1))</math>

<div style="margin-top: 1.1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\;\: = - ( F (a) - F (b + 1) )</math>
</div>

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\;\;\;\: = F (b + 1) - F (a)</math>
</div>

Co przez analogię do całki nieoznaczonej możemy zapisać jako

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\sum_{k = a}^{b} f (k) = F (k) \biggr\rvert_{a}^{b + 1} \qquad \qquad \qquad ( 1 )</math>
</div>

Należy podkreślić różnicę między sumą oznaczoną <math>S(n)</math> a sumą nieoznaczoną <math>F(k)</math>. Niech <math>f(k) = k^2</math>. Oczywiście

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1)</math>

::<math>F(k) = {\small\frac{1}{6}} (k - 1) k (2 k - 1)</math>

Ponieważ dla sumy <math>S(n)</math> prawdziwy jest związek <math>S(n + 1) - S (n) = f (n + 1)</math>, to otrzymujemy <math>F(k) = S (k - 1)</math>. Weźmy kolejny przykład, niech <math>f(k) = r^k</math>, gdzie <math>r</math> jest stałą. Mamy

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} r^k = {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}}</math>

ale

::<math>F(k) = {\small\frac{r^k}{r - 1}}</math>

i nie jest prawdą, że <math>F(k) = S (k - 1)</math>, bo pominięty został wyraz <math>{\small\frac{- 1}{r - 1}}</math>, który jest stałą, ale jest to zrozumiałe.

Niech teraz <math>f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>. Wiemy, że (zobacz [[#D118|D118]])

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>

::<math>F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}}</math>

Tym razem otrzymujemy zupełnie inne wyniki: suma <math>S(n)</math> nie zależy od dwóch zmiennych, bo jest to niemożliwe, a suma nieoznaczona nadal zależy od <math>k</math>, bo dla <math>F(n, k)</math> musi być prawdziwy wzór <math>(1)</math>. Łatwo widzimy, że

::<math>S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1}</math>

Uwaga D120 
Powiedzmy, że dysponujemy wzorem <math>S(b) = \sum_{k = a}^{b} f (k)</math> i chcemy udowodnić jego poprawność. W prostych przypadkach możemy wykorzystać indukcję matematyczną: wystarczy pokazać, że

::<math>S(k + 1) = S (k) + f (k + 1)</math>

Jeżeli już udało nam się pokazać związek <math>f(k) = S (k) - S (k - 1)</math>, to równie dobrze możemy zamienić sumę na sumę teleskopową (zobacz [[#D15|D15]]), aby otrzymać, że

::<math>\sum_{k = a + 1}^{b} f (k) = \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k) - S (k - 1) )</math>

:::::<math>\;\, = - \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k - 1) - S (k) )</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::::<math>\;\, = - ( S (a) - S (b) )</math>
</div>

<div style="margin-top: 2em; margin-bottom: 1em;">
:::::<math>\;\, = S (b) - S (a)</math>
</div>

Czyli

::<math>S(b) = \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) + S (a) = \sum_{k = a}^{b} f (k)</math>

bo <math>S(a) = f (a)</math>.

W przypadkach bardziej skomplikowanych nie możemy tak postąpić. W poprzedniej uwadze rozważaliśmy sumę

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>

ale

::<math>S(n) - S (n - 1) = {\small\frac{3 n + 1}{2 (n + 1)}} {\small\binom{2 n}{n}}</math>

I nie da się pokazać związku <math>S(k) - S (k - 1) = f (n, k)</math>, bo różnica <math>S(k) - S (k - 1)</math> nie zależy od <math>n</math>.

Tutaj z pomocą przychodzi nam suma nieoznaczona. W programie Maxima możemy ją policzyć, wpisując polecenia

'''load''' ("zeilberger");
'''AntiDifference'''('''binomial'''(n+k, n), k);

Otrzymujemy

::<math>F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}}</math>

Oczywiście

::<math>F(n, k + 1) - F (n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>

i

::<math>S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} = {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>

Podsumujmy. Jakkolwiek znalezienie ogólnego wzoru na sumę <math>S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k)</math> może być bardzo trudne, to udowodnienie poprawności tego wzoru może być znacznie łatwiejsze (metodą indukcji matematycznej lub obliczając sumę teleskopową). Podobnie jest w bardziej skomplikowanym przypadku, gdy szukamy ogólnego wzoru na sumę <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>. Tutaj wymienionych przed chwilą metod zastosować nie można, a znalezienie wzoru na sumę nieoznaczoną <math>F(n, k)</math> może być jeszcze trudniejsze, ale gdy już taki wzór mamy, to sprawdzenie jego poprawności, czyli związku <math>F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k)</math>, może być bardzo łatwe, a wtedy otrzymujemy natychmiast

::<math>S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1}</math>

Zadanie D121 
Korzystając z programu Maxima znaleźć sumę nieoznaczoną <math>F(n, k)</math> dla funkcji

::<math>f(n, k) = {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

i pokazać, że prawdziwy jest wzór <math>C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}</math>, gdzie <math>C_n</math> są liczbami Catalana.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wpisując w programie Maxima polecenia

'''load''' ("zeilberger");
'''AntiDifference'''( 1/(k+1) * 1/(n-k+1) * '''binomial'''(2*k, k) * '''binomial'''(2*n-2*k, n-k), k);

otrzymujemy

::<math>F(n, k) = - {\small\frac{(n - 2 k + 1) (2 n - 2 k + 1)}{(n + 1) (n + 2) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k)}{n - k}}</math>

Czytelnik bez trudu pokaże, że

::<math>F(n, k + 1) = - {\small\frac{(2 k + 1) (n - 2 k - 1)}{(n + 1) (n + 2) (k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

oraz łatwo sprawdzi związek <math>F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k)</math> i wyliczy sumę oznaczoną.

Chcemy zwrócić uwagę na występującą tutaj trudność. Oczywiście

::<math>S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1}</math>

ale funkcja <math>F(n, k)</math> nie jest określona dla <math>k = n + 1</math>. Żeby ominąć ten problem, możemy przekształcić funkcję <math>F(n, k)</math> tak, aby możliwe było obliczenie jej wartości dla <math>k = n + 1</math>

::<math>F(n, k) = - {\small\frac{n - 2 k + 1}{2 (n + 1) (n + 2)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k + 1)}{n - k + 1}}</math>

lub zapisać sumę w postaci

::<math>\sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n - 1} f (n, k) + f (n, n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n} + f (n, n)</math> 
□
{{\Spoiler}}

=== Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy <math>\boldsymbol{S(n)}</math> ===

Uwaga D122 
Rozważmy sumę

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>

W twierdzeniach [[#D138|D138]] i [[#D139|D139]] wyliczyliśmy <math>S(n)</math>, znajdując najpierw równanie rekurencyjne dla sumy. Możemy przypuszczać, że równanie rekurencyjne dla sumy <math>S(n)</math> wynika z istnienia odpowiedniego równania rekurencyjnego dla składników sumy <math>f(n, k)</math>. Zagadnieniem tym zajmowała się siostra Mary Celine Fasenmyer, która podała algorytm postępowania<ref name="Fasenmyer1"/><ref name="Fasenmyer2"/>. Prace Zeilbergera oraz Wilfa i Zeilbergera uogólniły ten algorytm<ref name="Zeilberger1"/><ref name="WilfZeilberger1"/>. My przedstawimy jedynie kilka prostych przypadków, które zilustrujemy przykładami. Szersze omówienie tematu Czytelnik znajdzie w książce Petkovšeka, Wilfa i Zeilbergera<ref name="PetkovsekWilfZeilberger1"/>.

Twierdzenie D123 
Niech <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>. Jeżeli składniki sumy <math>f(n, k)</math> spełniają równanie rekurencyjne

::<math>a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0</math>

gdzie współczynniki <math>a, b, c, d</math> są funkcjami tylko <math>n</math>, to suma <math>S (n)</math> spełnia równanie rekurencyjne

::<math>(a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Łatwo zauważamy, że

::<math>\sum_{k = 0}^{n} f (n + 1, k + 1) = \sum_{j = 1}^{n + 1} f (n + 1, j)</math>

:::::::<math>\;\;\;\,\, = - f (n + 1, 0) + \sum^{n + 1}_{j = 0} f (n + 1, j)</math>

:::::::<math>\;\;\;\,\, = - f (n + 1, 0) + S (n + 1)</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} f (n + 1, k) = - f (n + 1, n + 1) + \sum_{k = 0}^{n + 1} f (n + 1, k) =</math>

::::::<math>\;\;\; = - f (n + 1, n + 1) + S (n + 1)</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} f (n, k + 1) = \sum_{j = 1}^{n + 1} f (n, j)</math>

::::::<math>\;\;\; = - f (n, 0) + f (n, n + 1) + \sum_{j = 0}^{n} f (n, j)</math>

::::::<math>\;\;\; = - f (n, 0) + f (n, n + 1) + S (n)</math>

Zatem sumując założone równanie rekurencyjne

::<math>a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0</math>

po <math>k</math> od <math>k = 0</math> do <math>k = n</math>, otrzymujemy

::<math>a \cdot [- f (n + 1, 0) + S (n + 1)] + b \cdot [- f (n + 1, n + 1) + S (n + 1)] + c \cdot [- f (n, 0) + f (n, n + 1) + S (n)] + d \cdot S (n) = 0</math>

Czyli

::<math>(a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D124 
Nie ma sensu stosowanie opisanej powyżej metody do prostych sum postaci <math>\sum_{k = 0}^{n} f (k)</math>, bo równanie rekurencyjne otrzymujemy w takim przypadku natychmiast: <math>S(n + 1) - S (n) = f (n + 1)</math>.

Zadanie D125 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D118|D118]])

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W tym przypadku nie otrzymamy równania rekurencyjnego, ale od razu wzór ogólny na sumę <math>S(n)</math>.

Oczywiście <math>f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D123|D123]])

::<math>a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0</math>

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

::<math>a \cdot {\small\frac{(n + k + 1) (n + k + 2)}{(k + 1) (n + 1)}} + b \cdot {\small\frac{n + k + 1}{n + 1}} + c \cdot {\small\frac{n + k + 1}{k + 1}} + d = 0</math>

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

::<math>(a + b) k^2 + ((2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d) k + (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0</math>

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego <math>k</math>, to współczynniki przy potęgach <math>k</math> muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

::<math>
\begin{cases}
a + b = 0 \\
(2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d = 0 \\
(a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 \\
\end{cases}
</math>

Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = - a</math>, <math>c = - a</math>, <math>d = 0</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D123|D123]])

::<math>- a S (n) = a - a {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - a \left( 1 - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right)</math>

::::<math>\;\;\: = - a \left[ {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right]</math>

::::<math>\;\;\: = - a {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>

I otrzymaliśmy dowodzony wzór.

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum1() :=
(
f(n, k):= '''binomial'''(n+k, n), /* składnik sumy */
'''print'''("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d, /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ), /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/* przekształcamy F1, S1 */
F2: '''minfactorial'''( '''makefact'''(F1) ), /* zamień na silnie i uprość silnie */
'''print'''("równanie: ", F2),
F3: '''num'''( '''factor'''(F2) ), /* faktoryzuj i weź licznik */
'''print'''("licznik = ", '''rat'''(F3, k)),
deg: '''hipow'''(F3, k),
'''print'''("stopień = ", deg),
/* stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań */
LE: ['''subst'''(0, k, F3) = 0],
'''for''' i: 1 '''thru''' deg '''do''' '''push'''('''coeff'''(F3, k^i) = 0, LE), /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
'''print'''("lista równań: ", LE),
sol: '''solve'''( LE, [a, b, c, d] ), /* lista rozwiązań */
'''print'''("rozwiązanie: ", sol),
S2: '''minfactorial'''( '''makefact'''(S1) ), /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: '''subst'''( sol[1], S2 ), /* pierwszy element listy sol */
S4: '''num'''( '''factor'''( '''expand'''( S3 ) ) ),
'''print'''("rekurencja: ", S4 = 0),
'''solve'''( S4 = 0, S[n] )
/* S[n] = (2*n+1)! / (n! * (n+1)!) */
)$
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D126 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D117|D117]] p.&hairsp;1)

::<math>\sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Oczywiście <math>f(n, k) = r^k {\small\binom{n}{k}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D123|D123]])

::<math>a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0</math>

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

::<math>a \cdot {\small\frac{(n + 1) r}{k + 1}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{(n - k) r}{k + 1}} + d = 0</math>

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

::<math>(c r - d) k^2 + (- ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b) k + ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0</math>

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego <math>k</math>, to współczynniki przy potęgach <math>k</math> muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

::<math>
\begin{cases}
c r - d = 0 \\
- ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b = 0 \\
((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 \\
\end{cases}
</math>

Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = 0</math>, <math>c = - a</math>, <math>d = - a \cdot r</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D123|D123]])

::<math>S(n + 1) = (r + 1) S (n)</math>

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że <math>S(n) = (r + 1)^n</math>.

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum2() :=
(
f(n, k):= r^k * '''binomial'''(n, k), /* składnik sumy */
'''print'''("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d, /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ), /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/* przekształcamy F1, S1 */
F2: '''minfactorial'''( '''makefact'''(F1) ), /* zamień na silnie i uprość silnie */
'''print'''("równanie: ", F2),
F3: '''num'''( '''factor'''(F2) ), /* faktoryzuj i weź licznik */
'''print'''("licznik = ", '''rat'''(F3, k)),
deg: '''hipow'''(F3, k),
'''print'''("stopień = ", deg),
/* stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań */
LE: ['''subst'''(0, k, F3) = 0],
'''for''' i: 1 '''thru''' deg '''do''' '''push'''('''coeff'''(F3, k^i) = 0, LE), /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
'''print'''("lista równań: ", LE),
sol: '''solve'''( LE, [a, b, c, d] ), /* lista rozwiązań */
'''print'''("rozwiązanie: ", sol),
S2: '''minfactorial'''( '''makefact'''(S1) ), /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: '''subst'''( sol[1], S2), /* pierwszy element listy sol */
S4: '''num'''( '''factor'''( '''expand'''( S3 ) ) ),
'''print'''("rekurencja: ", S4 = 0),
/* S[n+1] = (r+1)*S[n] */
'''load'''("solve_rec"),
'''solve_rec'''( S4 = 0, S[n] ) /* S[n] = C*(r+1)^n */
)$
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D127 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D117|D117]] p.&hairsp;2)

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Oczywiście <math>f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D123|D123]])

::<math>a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0</math>

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

::<math>a \cdot {\small\frac{n + 1}{k + 2}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{n - k}{k + 2}} + d = 0</math>

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

::<math>(c - d) k^2 + ((- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d) k + (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0</math>

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego <math>k</math>, to współczynniki przy potęgach <math>k</math> muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

::<math>
\begin{cases}
c - d = 0 \\
(- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d = 0 \\
(a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 \\
\end{cases}
</math>

Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = 0</math>, <math>c = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}}</math>, <math>d = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}}</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D123|D123]])

::<math>(n + 2) S (n + 1) = 2 (n + 1) S (n) + 1</math>

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że <math>S(n) = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}}</math>.

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum3() :=
(
f(n, k):= 1/(k+1) * '''binomial'''(n, k), /* składnik sumy */
'''print'''("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d, /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ), /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/* przekształcamy F1, S1 */
F2: '''minfactorial'''( '''makefact'''(F1) ), /* zamień na silnie i uprość silnie */
'''print'''("równanie: ", F2),
F3: '''num'''( '''factor'''(F2) ), /* faktoryzuj i weź licznik */
'''print'''("licznik = ", '''rat'''(F3, k)),
deg: '''hipow'''(F3, k),
'''print'''("stopień = ", deg),
/* stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań */
LE: ['''subst'''(0, k, F3) = 0],
'''for''' i: 1 '''thru''' deg '''do''' '''push'''('''coeff'''(F3, k^i)=0, LE), /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
'''print'''("lista równań: ", LE),
sol: '''solve'''( LE, [a, b, c, d] ), /* lista rozwiązań */
'''print'''("rozwiązanie: ", sol),
S2: '''minfactorial'''( '''makefact'''(S1) ), /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: '''subst'''( sol[1], S2), /* pierwszy element listy sol */
S4: '''num'''( '''factor'''( '''expand'''( S3 ) ) ),
'''print'''("rekurencja: ", S4 = 0),
/* (n+2)*S[n+1] = 2*(n+1)*S[n] + 1 */
'''load'''("solve_rec"),
'''solve_rec'''( S4 = 0, S[n] ) /* S[n] = ( (C+1) * 2^n - 1 )/(n + 1) */
)$
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D128 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Uzasadnić, dlaczego przyjmujemy, że <math>{\small\binom{n}{k}} = 0</math>, gdy <math>k < 0</math> lub <math>k > n</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Jeżeli zapiszmy <math>{\small\binom{n}{k}}</math> w postaci

::<math>{\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{k!}}</math>

to natychmiast widzimy, że prawa strona musi być równa zero dla <math>k > n</math>.

Jeżeli we wzorze Pascala

::<math>{\small\binom{n}{k}} = {\small\binom{n - 1}{k}} + {\small\binom{n - 1}{k - 1}}</math>

położymy <math>n = m + 1</math> i <math>k = 0</math>, to otrzymamy

::<math>1 = 1 + {\small\binom{m}{- 1}}</math>

czyli <math>{\small\binom{m}{- 1}} = 0</math>

I tak samo dla wszystkich <math>k < 0</math>.

Znacznie mocniejszego uzasadnienia dostarczy nam funkcja gamma (zobacz [[#D141|D141]]), która jest uogólnieniem silni na liczby rzeczywiste. Rozważmy funkcję

::<math>g(n, x) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}}</math>

Jeżeli <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>0 \leqslant k \leqslant n</math>, to funkcja <math>g(n, k)</math> jest równa współczynnikowi dwumianowemu <math>{\small\binom{n}{k}}</math>.

::<math>g(n, k) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (k + 1) \Gamma (n - k + 1)}} = {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\binom{n}{k}}</math>

W przypadku, gdy <math>k < 0</math>, mamy

::<math>\lim_{x \rightarrow k} g (n, x) = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} \cdot \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (n - x + 1)}} = 0 \cdot {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (n - k + 1)}} = 0</math>

W przypadku, gdy <math>k > n</math>, dostajemy

::<math>\lim_{x \rightarrow k} g (n, x) = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1)}} \cdot \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{1}{\Gamma (n - x + 1)}} = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (k + 1)}} \cdot 0 = 0</math>

Co najlepiej wyjaśnia, dlaczego przyjmujemy, że <math>{\small\binom{n}{k}} = 0</math>, gdy <math>k < 0</math> lub <math>k > n</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D129 
Niech <math>n, I, J \in \mathbb{N}_0</math> i <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>f(n, k) = 0</math>
dla <math>k \notin [0, n]</math> i składniki sumy <math>f(n, k)</math> spełniają równanie rekurencyjne

::<math>\sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0</math>

gdzie współczynniki <math>a_{i j}</math> są funkcjami tylko <math>n</math>, to suma

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>

spełnia następujące równanie rekurencyjne

::<math>\sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z założenia <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>, zatem sumę <math>S(n)</math> możemy zapisać w postaci

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n, k)</math>

Niech <math>0 \leqslant i \leqslant I</math> oraz <math>0 \leqslant j \leqslant J</math>. Rozważmy sumę

::<math>\sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j)</math>

Zauważmy, że <math>f(n + i, k + j) = 0</math> dla <math>k \notin [- J, n + I]</math>, bo

:*   dla <math>k < - J</math> mamy <math>k + j < - J + j \leqslant 0</math>
:*   dla <math>k > n + I</math> mamy <math>k + j > n + I + j \geqslant n + I \geqslant n + i</math>

Wynika stąd, że rozszerzając rozpatrywaną sumę na cały zbiór liczb całkowitych, nie zmienimy wartości sumy. Czyli, że

::<math>\sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n + i, k + j)</math>

Teraz już łatwo otrzymujemy równanie rekurencyjne dla sumy <math>S(n)</math>

::<math>0 = \sum_{k = - J}^{n + I} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) \,</math>[a]

::::::::::::<math>\;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n + i, k + j)</math>

::::::::::::<math>\;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum^{+ \infty}_{l = - \infty} f (n + i, l)</math>

::::::::::::<math>\;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot S (n + i)</math>

::::::::::::<math>\;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right]</math>

Co należało pokazać.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] W przypadku wielokrotnych sum skończonych możemy dowolnie zmieniać ich kolejność ze względu na łączność dodawania. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D130 
Z zadania [[#D128|D128]] wynika, że jeżeli funkcja <math>f(n, k)</math> zawiera czynnik <math>{\small\binom{n}{k}}</math>, to może spełniać warunek <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>. Oczywiście nie jest to warunek wystarczający, bo funkcja <math>f (n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math> jest różna od zera dla <math>k = - 1</math>.

Zadanie D131 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D117|D117]] p.&hairsp;3)

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Oczywiście <math>f(n, k) = k {\small\binom{n}{k}}</math>. Do rozwiązania problemu wykorzystamy oprogramowanie Maxima i procedurę

sum5(I, J) :=
(
'''read'''("podaj definicję f(n, k)"), /* składnik sumy */
'''print'''("f(n, k) = ", f(n, k) ),
F1: '''sum'''( '''sum'''( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: '''num'''( '''factor'''( '''minfactorial'''( '''makefact'''( '''expand'''( F1 ) ) ) ) ),
deg: '''hipow'''(F2, k),
LE: ['''subst'''(0, k, F2) = 0],
'''for''' i: 1 '''thru''' deg '''do''' '''push'''('''coeff'''(F2, k^i) = 0, LE), /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: '''create_list'''(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J), /* lista zmiennych */
sol: '''solve'''( LE, LV ), /* lista rozwiązań */
S1: '''sum'''( S[n+i] * '''sum'''(a[i,j], j, 0, J), i, 0, I),
S2: '''subst'''( sol[1], S1 ), /* pierwszy element listy sol */
S3: '''num'''( '''factor'''( '''expand'''( S2 ) ) ),
'''print'''("rekurencja: ", S3 = 0),
'''load'''("solve_rec"),
'''solve_rec'''( S3 = 0, S[n] )
)$

Wywołujemy procedurę <code>sum5(1, 2)</code> i wpisujemy funkcję

f(n, k):= k * '''binomial'''(n, k)

W wyniku otrzymujemy równanie rekurencyjne

n * S[n+1] = 2 * (n+1) * S[n]

którego rozwiązanie jest postaci

S[n] = C * n * 2^(n-1)

Łatwo sprawdzamy, że <code>C = 1</code>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D132 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwe są wzory

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}} = n^2 (n + 3) 2^{n - 3}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\binom{2 n}{n}}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n {\small\binom{2 n}{n}}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}}^2 = n^2 {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}}</math>

::<math>\sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n^2 (n + 1) {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówki:

Korzystamy z procedury <code>sum5()</code>, której kod został podany w zadaniu [[#D131|D131]].

Zawsze próbujemy znaleźć rozwiązanie dla najmniejszych wartości parametrów <code>I, J</code>.

::<math>\Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot n! \cdot {\small\binom{2 n}{n}}</math>

'''Punkt 1.''' <code>sum5(1, 2)</code>, zobacz też <code>sum5(2, 1)</code>

'''Punkt 2.''' <code>sum5(1, 3)</code>, zobacz też <code>sum5(2, 2)</code>

'''Punkt 3.''' <code>sum5(2, 2)</code>

'''Punkt 4.''' <code>sum5(2, 2)</code>

'''Punkt 5.''' <code>sum5(2, 2)</code>

'''Punkt 6.''' <code>sum5(2, 3)</code>, zobacz też <code>sum5(3, 2)</code> 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga D133 
Niech <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>. Wiemy (zobacz [[#D129|D129]]), że jeżeli dla dowolnego <math>n</math> wartość funkcji <math>f(n, k)</math> jest określona dla wszystkich <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>, to sumę <math>S(n)</math> możemy zapisać w równoważnej postaci
<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k)</math>

Rozważmy teraz funkcję <math>f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math>, która powyższego warunku nie spełnia, bo jest różna od zera dla <math>k = - 1</math>. Jeżeli zapiszemy <math>f(n, k)</math> w postaci

::<math>f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n!}{(k + 1) ! (n - k) !}}</math>

to natychmiast widzimy, że

::<math>f(n, - 1) = {\small\frac{n!}{0! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

Zatem w przypadku tej funkcji mamy

::<math>\sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) + f (n, - 1) = S (n) + {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

'''Zakładając''', że spełnione jest równanie

::<math>\sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0</math>

otrzymujemy następujące równanie rekurencyjne dla sumy <math>S(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k)</math>

::<math>\sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n + i, k + j)</math>

:::::::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{l \in \mathbb{Z}} f (n + i, l)</math>

:::::::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right]</math>

:::::::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0</math>

Jeżeli mamy skończoną liczbę punktów <math>k_r \notin [0, n]</math>, w których funkcja <math>f(n, k)</math> jest określona i różna od zera, to możemy zdefiniować funkcję

::<math>T(n) = f (n, k_1) + f (n, k_2) + f (n, k_3) + \ldots = \sum_r f (n, k_r)</math>

W takim przypadku otrzymamy następujące równanie rekurencyjne dla sumy <math>S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>

::<math>\sum_{i = 0}^{I} [S (n + i) + T (n + i)] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0</math>

Wystarczy drobna modyfikacja procedury <code>sum5()</code>, aby obejmowała ona również takie przypadki

sum6(I, J):=
(
'''read'''("podaj definicję f(n, k)"), /* składnik sumy */
'''print'''("f(n, k) = ", f(n, k) ),
'''read'''("podaj definicję T(n)"), /* suma skończonych wartości funkcji f(n, k), gdzie k<0 lub k>n */
'''print'''("T(n) = ", T(n) ),
F1: '''sum'''( '''sum'''( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: '''num'''( '''factor'''( '''minfactorial'''( '''makefact'''( '''expand'''( F1 ) ) ) ) ),
deg: '''hipow'''(F2, k),
LE: ['''subst'''(0, k, F2) = 0],
'''for''' i: 1 '''thru''' deg '''do''' '''push'''('''coeff'''(F2, k^i) = 0, LE), /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: '''create_list'''(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J), /* lista zmiennych */
sol: '''solve'''( LE, LV ), /* lista rozwiązań */
S1: '''sum'''( ( S[n+i] + T(n+i) ) * '''sum'''( a[i,j], j, 0, J ), i, 0, I ),
S2: '''num'''( '''factor'''( '''minfactorial'''( '''makefact'''( '''expand'''( S1 ) ) ) ) ),
S3: '''subst'''( sol[1], S2 ), /* pierwszy element listy sol */
S4: '''num'''( '''factor'''( '''expand'''( S3 ) ) ),
'''print'''("rekurencja: ", S4 = 0),
'''load'''("solve_rec"),
'''solve_rec'''( S4 = 0, S[n] )
)$

Korzystając z powyższej procedury, Czytelnik może łatwo policzyć wypisane poniżej sumy.

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! <math>\boldsymbol{f(n,k)}</math> || <math>\boldsymbol{f(n,-1)}</math> || <math>\boldsymbol{f(n,-2)}</math> || <math>\boldsymbol{\sum_{k = 0}^n f(n,k)}</math> || WolframAlpha
|-
| <math>{\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math> || <math>{\small\frac{1}{n + 1}}</math> || <math>0</math> || <math>{\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}}</math> || [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B1%2F%28k%2B1%29+*+binomial%28n%2Ck%29%2C+%7Bk%2C+0%2C+n%7D%5D LINK1]
|-
| <math>{\small\frac{1}{k + 2}} {\small\binom{n}{k}}</math> || <math>0</math> || <math>- {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}}</math> || <math>{\small\frac{n 2^{n + 1} + 1}{(n + 1) (n + 2)}}</math> || [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B1%2F%28k%2B2%29+*+binomial%28n%2C+k%29%2C+%7Bk%2C+0%2C+n%7D%5D LINK2]
|-
| <math>{\small\frac{1}{(k + 1) (k + 2)}} {\small\binom{n}{k}}</math> || <math>{\small\frac{1}{n + 1}}</math> || <math>{\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}}</math> || <math>{\small\frac{2^{n + 2} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)}}</math> || [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B1%2F%28k%2B1%29+*+1%2F%28k%2B2%29+*+binomial%28n%2C+k%29%2C+%7Bk%2C+0%2C+n%7D%5D LINK3]
|}

Zadanie D134 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla <math>k \notin [0, n]</math> (zobacz zadanie [[#D146|D146]]). Zatem korzystając z procedury <code>sum6(2, 1)</code>, otrzymujemy równanie rekurencyjne

::<math>(n + 2) S (n + 2) - 4 (2 n + 3) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) = 0</math>

i rozwiązanie

::<math>S(n) = C \cdot 4^n</math>

Łatwo sprawdzamy, że <math>C = 1</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D135 
Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla <math>k \notin [0, n]</math> (zobacz [[#D146|D146]]) poza punktem <math>k = - 1</math>. Wiemy, że (zobacz [[#D147|D147]])

::<math>\lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Zatem

::<math>\lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = - {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

Czyli

::<math>f(n, - 1) = - {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

Korzystając z procedury <code>sum6(2, 1)</code>, otrzymujemy równanie rekurencyjne

::<math>(n^2 + 5 n + 6) S (n + 2) - 8 (n^2 + 4 n + 4) S (n + 1) + 16 (n^2 + 3 n + 2) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{[(n + 1) !]^2}} = 0</math>

::<math>(n + 2) (n + 3) S (n + 2) - 8 (n + 2)^2 S (n + 1) + 16 (n + 1) (n + 2) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{[(n + 1) !]^2}} = 0</math>

::<math>(n + 3) S (n + 2) - 8 (n + 2) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) ! (n + 2) !}} = 0</math>

Maxima nie potrafi rozwiązać tego równania rekurencyjnego, ale można sprawdzić, że <math>S(n) = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math> jest jego rozwiązaniem. 
□
{{\Spoiler}}

== Uzupełnienie ==

 

=== Dowód własności liczb Catalana <math>{\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}}</math> ===

Uwaga D136 
Przedstawiony poniżej dowód czwartego punktu twierdzenia [[#D115|D115]] został oparty na pracy Jovana Mikicia<ref name="JovanMikic1"/>.

Twierdzenie D137 
Jeżeli funkcja <math>f(k)</math> nie zależy od <math>n</math> i dane są sumy

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

::<math>T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

to

::<math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z definicji sumy <math>T(n)</math> ostatni wyraz tej sumy jest równy zero, zatem dla <math>n \geqslant 1</math> mamy

::<math>T(n) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} (n - k) f (k) \cdot {\small\frac{(2 n - 2 k) (2 n - 2 k - 1)}{(n - k)^2}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} 2 (2 n - 2 k - 1) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} [4 (n - 1 - k) + 2] f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}}</math>

Czyli

::<math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D138 
Dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

::<math>T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

Zauważmy, że

::<math>T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} \right]</math>

:::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{j = 0}^{n} j {\small\binom{2 n - 2 j}{n - j}} {\small\binom{2 j}{j}} \right]</math>

:::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} {\small\binom{2 k}{k}} \right]</math>

:::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 0}^{n} (n - k + k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{n}{2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{n S (n)}{2}}</math>

Ponieważ <math>T(n) = {\small\frac{n S (n)}{2}}</math> i <math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math> (zobacz [[#D137|D137]]), to otrzymujemy

::<math>{\small\frac{n S (n)}{2}} = 4 \cdot {\small\frac{(n - 1) S (n - 1)}{2}} + 2 S (n - 1)</math>

Czyli

::<math>n S (n) = 4 n S (n - 1) - 4 S (n - 1) + 4 S (n - 1)</math>

::<math>S(n) = 4 S (n - 1)</math>

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że <math>S(n) = 4^n</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D139 
Dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Oznaczmy

::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

::<math>T(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n - k}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

Zauważmy, że

::<math>T(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n - k}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n + 1 - (k + 1)}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::<math>\;\;\:\, = (n + 1) \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} - \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\:\, = (n + 1) S (n) - 4^n</math>
</div>

Ponieważ <math>T(n) = (n + 1) S (n) - 4^n</math> i <math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math> (zobacz [[#D137|D137]]), to otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>(n + 1) S (n) - 4^n = 4 \cdot (n S (n - 1) - 4^{n - 1}) + 2 S (n - 1)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>(n + 1) S (n) - 4^n = 4 n S (n - 1) - 4^n + 2 S (n - 1)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>S(n) = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 1}} S (n - 1)</math>
</div>

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że <math>S(n) = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>. Dla <math>n = 0</math> mamy <math>S(0) = 1</math> i <math>{\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2}{1}} = 1</math>. Zatem wzór jest prawdziwy dla <math>n = 0</math>. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla <math>n - 1</math>, otrzymujemy dla <math>n</math>

::<math>{\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 1}} S (n - 1) = {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\binom{2 n}{n}}</math>

:::::::<math>\;\;\; = {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(n + 1)^2}{(2 n + 1) (2 n + 2)}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) (2 n + 2)}{(n + 1)^2}} \cdot {\small\binom{2 n}{n}}</math>

:::::::<math>\;\;\; = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

:::::::<math>\;\;\; = S (n)</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D140 
Jeżeli <math>C_n</math> są liczbami Catalana, to

::<math>C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zauważmy, że

::<math>\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} + {\small\frac{1}{n - k + 1}} \right) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n - k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} \right]</math>

:::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{j = 0}^{n} {\small\frac{1}{j + 1}} {\small\binom{2 n - 2 j}{n - j}} {\small\binom{2 j}{j}} \right]</math>

:::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}}</math>

:::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

:::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}}</math>

:::::<math>\;\;\:\, = C_{n + 1}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

=== Funkcja gamma <math>{\small \Gamma (z)}</math> ===

 

Definicja D141 
Funkcja <math>\Gamma (z)</math><ref name="gamma1"/> jest zdefiniowana równoważnymi wzorami

::<math>\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t \qquad \operatorname{Re}(z) > 0 \qquad \qquad</math> (definicja całkowa Eulera)

::<math>\Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad</math> (definicja Gaussa)

::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad</math> (definicja iloczynowa Eulera)

::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad</math> (definicja iloczynowa Weierstrassa)

Trzy ostatnie wzory możemy wykorzystać do zdefiniowania funkcji <math>{\small\frac{1}{\Gamma (z)}}</math>, która jest określona dla dowolnych <math>z \in \mathbb{C}</math>

::<math>{\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}{n^z n!}}</math>

::<math>{\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)</math>

::<math>{\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z e^{\gamma z} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) e^{- \tfrac{z}{n}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}

Poniżej przedstawiamy wykresy funkcji <math>\Gamma (x)</math> (kolor niebieski) i <math>{\small\frac{1}{\Gamma (x)}}</math> (kolor czerwony).

::[[File: gamma1.png|700px|none]]
□
{{\Spoiler}}
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż równoważność definicji|Hide=Ukryj równoważność definicji}}

'''Równoważność definicji Gaussa i definicji całkowej Eulera'''

Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Rozważmy całki

::<math>I_k = \int^n_0 t^{z - 1 + k} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} d t</math>

gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>. Całkując przez części

::<math>d u = t^{z - 1 + k} \, d t \qquad \qquad \qquad v = \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k}</math>

::<math>u = {\small\frac{t^{z + k}}{z + k}} \qquad \qquad \qquad \quad \; d v = - {\small\frac{n - k}{n}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k - 1} d t</math>

otrzymujemy

::<math>I_k = {\small\frac{t^{z + k}}{z + k}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} \, \biggr\rvert_{0}^{n} \; + \; {\small\frac{n - k}{n (z + k)}} \int^n_0 t^{z + k} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k - 1} d t</math>

::<math>\;\;\;\,\, = {\small\frac{n - k}{n (z + k)}} \cdot I_{k + 1}</math>

Zatem całkując <math>n</math>-krotnie przez części, mamy

::<math>I_0 = {\small\frac{n}{n z}} \cdot I_1</math>

::<math>\;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot I_2</math>

::<math>\;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot I_3</math>

::<math>\;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{1}{n (z + n - 1)}} \cdot I_n</math>

Ponieważ

::<math>I_n = \int^n_0 t^{z + n - 1} \, d t = {\small\frac{n^{z + n}}{z + n}}</math>

to

::<math>I_0 = \int^n_0 t^{z - 1} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^n d t = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{1}{n (z + n - 1)}} \cdot {\small\frac{n^{z + n}}{z + n}}</math>

:::::::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int^n_0 t^{z - 1} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^n d t = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t</math>
</div>

Co należało pokazać.

'''Równoważność definicji iloczynowej Eulera i definicji Gaussa'''

::<math>{\small\frac{1}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{k}} \right)^{- 1}</math>

::::::::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{\left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right)^z}{1 + {\small\frac{z}{k}}}</math>

::::::::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} {\small\frac{k (k + 1)^z}{(k + z) k^z}}</math>

::::::::::<math>\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \left( {\small\frac{(n + 1) !}{n!}} \right)^z</math>

::::::::::<math>\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(n + 1)^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

::::::::::<math>\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z</math>

::::::::::<math>\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Równoważność definicji iloczynowej Weierstrassa i definicji Gaussa'''

Stała <math>\gamma</math> jest równa

::<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( - \log n + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \right)</math>

Zatem

::<math>{\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} = z^{- 1} \cdot e^{- \gamma z} \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{e^{\tfrac{z}{k}}}{1 + \tfrac{z}{k}} \right)</math>

:::::::::<math>\, = z^{- 1} \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\left( \log n - 1 - \tfrac{1}{2} - \ldots - \tfrac{1}{n} \right) z} \right) \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{k e^{\tfrac{z}{k}}}{z + k} \right)</math>

:::::::::<math>\, = \left( \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\left( \log n - 1 - \tfrac{1}{2} - \ldots - \tfrac{1}{n} \right) z} \right) \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot e^{\left( 1 + \tfrac{1}{2} + \ldots + \tfrac{1}{n} \right) z} \right)</math>

:::::::::<math>\, = \lim_{n \rightarrow \infty} e^{z \log n} \cdot {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

:::::::::<math>\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D142 
Dla funkcji <math>\Gamma (z)</math> prawdziwe są następujące wzory

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma (1) = 1</math>
</div>

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma (z) \neq 0</math>
</div>

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\overline{z})</math>
</div>

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>z \Gamma (z) = \Gamma (z + 1) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad z \notin \mathbb{Z}</math>
</div>

:*   <math>\Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad</math> (wzór Legendre'a o podwajaniu)

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

::<math>\Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} t^{1 - 1} e^{- t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = - e^{- t} \biggr\rvert_{0}^{\infty} = 0 - (- 1) = 1</math>

'''Punkt 2.'''

Rozważmy definicję iloczynową Weierstrassa funkcji <math>\Gamma (z)</math>

::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} \qquad\qquad \text{dla} \quad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

Zauważmy, że funkcja wykładnicza <math>e^z</math> jest zawsze różna od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.&hairsp;1). Mianowniki iloczynu <math>\left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)</math> dla ustalonego <math>z</math> są ograniczone, bo

::<math>\left| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right| \leqslant 1 + \left| {\small\frac{z}{n}} \right| \leqslant 1 + | z |</math>

Pozostaje jeszcze pokazać, że występujący w mianowniku iloczyn

::<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} = \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\left( 1 + {\normalsize\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n}} = \frac{1}{\prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\normalsize\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n}}</math>

(jako całość) jest dla dowolnego (ale ustalonego) <math>z</math> ograniczony. Zaczniemy od rozbicia tego iloczynu na dwie części

::<math>\prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n} = \left[ \prod_{n = 1}^{N_0 - 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n} \right] \cdot \left[ \prod_{n = N_0}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n} \right]</math>

gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left| {\small\frac{z}{n}} \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB32|ZB32]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB34|ZB34]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

Mamy

::<math>\ln \left| \prod_{n = N_0}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n} \right| = \ln \left( \prod_{n = N_0}^{\infty} \left| \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n} \right| \right)</math>

::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \ln \left| \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \cdot e^{- z / n} \right|</math>

::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \ln \left( \left| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right| \cdot | e^{- z / n} | \right)</math>

::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;1

::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>

::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right|</math>

::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{| z |^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;6

::::::::::<math>= | z |^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

::::::::::<math>\leqslant | z |^2 \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

::::::::::<math>= {\small\frac{1}{6}} \pi^2 | z |^2</math>

Wynika stąd, że dla dowolnego (ale ustalonego) <math>z</math> liczba

::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} \qquad\qquad \text{dla} \quad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

jest liczbą skończoną różną od zera.

'''Punkt 3.'''

Z definicji iloczynowej Weierstrassa otrzymujemy natychmiast

::<math>\overline{\Gamma (z)} = \overline{\left( \frac{e^{- \gamma z}}{z} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{z / n}}{1 + \frac{z}{n}} \right)}</math>

<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>
</div>

:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \overline{z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\overline{z} / n}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>

:::<math>\;\;\; = \Gamma (\overline{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.&hairsp;1.

'''Punkt 4.'''

Z definicji Gaussa funkcji <math>\Gamma (z)</math> otrzymujemy

::<math>\Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

::<math>\Gamma (z + 1) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) (z + 2) \cdot \ldots \cdot (z + n + 1)}}</math>

Zatem

::<math>z \Gamma (z) = z \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}}</math>

:::<math>\;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot {\small\frac{n}{z + n + 1}} \cdot {\small\frac{z + n + 1}{n}}</math>

:::<math>\;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n) (z + n + 1)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{z + 1}{n}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n) (z + n + 1)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {\small\frac{z + 1}{n}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\, = \Gamma (z + 1)</math>

'''Punkt 5.'''

Z definicji iloczynowej Eulera mamy

::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1}</math>

Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\Gamma (z) \Gamma (- z + 1)}} = {\small\frac{1}{- z \Gamma (z) \Gamma (- z)}}</math>

::::::<math>\; = {\small\frac{z \cdot (- z)}{- z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>

::::::<math>\; = z \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 - {\small\frac{z^2}{n^2}} \right)</math>

::::::<math>\; = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi}}</math>

gdzie wykorzystaliśmy wzór Eulera

::<math>\prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 - {\small\frac{z^2}{n^2}} \right) = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi z}}</math>

Dowód wzoru Eulera jest trudny. Elegancki dowód, ale tylko dla liczb rzeczywistych, Czytelnik znajdzie na stronie [https://proofwiki.org/wiki/Euler_Formula_for_Sine_Function/Real_Numbers#Proof_1 ProofWiki].

'''Punkt 6.'''

Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy

::<math>\Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{2 z} n!}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + n)}}</math>

Jeżeli w powyższym równaniu położymy <math>2 n</math> zamiast <math>n</math>, to dostaniemy

::<math>\Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}}</math>

Zauważmy teraz, że

::<math>2^{2 n + 2} [z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)] \cdot \left[ \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right) \right] = [2 z (2 z + 2) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)] \cdot [(2 z + 1) (2 z + 3) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n + 1)]</math>

::::::::::::::::::::::<math>\;\;\;\,\, = 2 z (2 z + 1) (2 z + 2) (2 z + 3) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n) (2 z + 2 n + 1)</math>

Czyli

::<math>\Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}}</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n) (2 z + 2 n + 1)}} \cdot (2 z + 2 n + 1)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2^{2 n + 2} [z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)] \cdot \left[ \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right) \right]}} \cdot 2 n \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot {\small\frac{n^{z + (1 / 2)} n!}{\left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right)}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:::<math>\;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{\small\frac{n^{z + (1 / 2)} n!}{\left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right)</math>
</div>

:::<math>\;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \Gamma (z) \cdot \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot C \cdot 1</math>

Ponieważ wyrażenie

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}}</math>

nie zależy od <math>z</math>, a wartości funkcji <math>\Gamma (2 z)</math>, <math>\Gamma (z)</math> i <math>\Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math> są określone dla <math>2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>, to powyższa granica musi być pewną stałą. Jeżeli po lewej stronie położymy <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math>, to otrzymamy

::<math>\Gamma (1) = 2 \cdot \Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma (1) \cdot C</math>

Czyli

::<math>C = {\small\frac{1}{2 \sqrt{\pi}}}</math>

I ostatecznie dostajemy

::<math>\Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

Przy okazji pokazaliśmy asymptotykę: <math>{\small\binom{2 n}{n}} \sim {\small\frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi \, n}}}</math>

Zauważmy jeszcze, że gdy położymy <math>2 n + 1</math> zamiast <math>n</math>, to otrzymamy taki sam rezultat, bo

::<math>\Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n + 1)^{2 z} (2 n + 1) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n + 1)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{2 n}} \right)^{\! 2 z} \cdot \left( {\small\frac{1}{1 + {\normalsize\frac{2 z}{2 n + 1}}}} \right)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Ze wzorów podanych w twierdzeniu [[#D142|D142]] otrzymujemy 
Twierdzenie D143 
Niech <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \mathbb{N}_0</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \sqrt{\pi}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Gamma (n + 1) = n!</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{\pi}{\cos (\pi z)}} \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \cdot (- 1)^n</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}}</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 5. twierdzenia [[#D142|D142]]

'''Punkt 2.'''

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 0</math>. Zakładając, że jest prawdziwy dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\Gamma (n + 2) = (n + 1) \Gamma (n + 1) = (n + 1) n! = (n + 1) !</math>

Zauważmy, że funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych / zespolonych.

'''Punkt 3.'''

Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 5. twierdzenia [[#D142|D142]]

'''Punkt 4.'''

Wystarczy położyć <math>z = n</math> we wzorze 3. tego twierdzenia

'''Punkt 5.'''

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 0</math>. Zakładając, że jest prawdziwy dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\Gamma \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}}</math>

::::::<math>\;\;\:\, = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot {\small\frac{4 (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}} \cdot 2^{- 2 n - 2} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) !}}</math>

::::::<math>\;\;\:\, = 2^{- 2 n - 2} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) !}}</math>

bo

::<math>\left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot {\small\frac{4 (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}} = 1</math>

'''Punkt 6.'''

Ze wzoru 3. i 4. tego twierdzenia dostajemy

::<math>\Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi \cdot (- 1)^n}{\Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right)} = \frac{\pi \cdot (- 1)^n \cdot n!}{2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot (2 n) !} = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}}</math>

'''Punkt 7.'''

Ze wzoru Legendre'a o podwajaniu otrzymujemy

::<math>{\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

gdzie <math>z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

Dla <math>z = - n</math> po lewej stronie mamy symbol nieoznaczony <math>{\small\frac{\infty}{\infty}}</math>, ale w punktach <math>z = - n</math> istnieje granica funkcji <math>{\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}}</math>

::<math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{2^{- 2 n - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{2^{- 2 n - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji <math>{\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} \cdot 10^{| x |}</math>. Uwaga: wykres funkcji <math>{\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}}</math> został celowo zniekształcony przez dodanie czynnika <math>10^{| x |}</math>, aby dało się zauważyć, że wartości granic <math>\lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}}</math> są różne od zera dla <math>n \in \mathbb{N}_0</math>.

::[[File: gamma2.png|700px|none]]
□
{{\Spoiler}} 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D144 
Jeżeli <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>, to

::<math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D142|D142]] p.&hairsp;5)

::<math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math>

Zatem

::<math>\Gamma (a z) \Gamma (- a z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi a z)}}</math>

Dzieląc powyższe równania przez siebie, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{\Gamma (a z) \Gamma (- a z + 1)}{\Gamma (z) \Gamma (- z + 1)}} = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi a z)}} \cdot {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi}} = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}}</math>

Skąd dostajemy

::<math>{\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{\Gamma (- z + 1)}{\Gamma (- a z + 1)}} \cdot {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}}</math>

Niech <math>k</math> oznacza dowolną liczbę całkowitą. W granicy, gdy <math>z \rightarrow k</math>, mamy

::<math>\lim_{z \rightarrow k} {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} = {\small\frac{\pi \cdot \cos (\pi k)}{a \pi \cdot \cos (\pi a k)}} = {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{(- 1)^k}{(- 1)^{a k}}} = {\small\frac{1}{a}} \cdot (- 1)^{(a - 1) k}</math>

gdzie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Wynika stąd, że

::<math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (a n + 1)}} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot (- 1)^{(a - 1) n} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D145 
Jeżeli <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>, to

::<math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z twierdzenia [[#D142|D142]] p.&hairsp;4 wynika, że

::<math>\Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)</math>

::<math>\Gamma (b z + b n + 1) = \Gamma (b z + 1) \cdot \prod^{b n}_{j = 1} (b z + j)</math>

Dzieląc równania przez siebie, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = {\small\frac{\Gamma (a z + a n + 1)}{\Gamma (b z + b n + 1)}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n}_{j = 1} (b z + j)}{\displaystyle\prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)} = {\small\frac{\Gamma (a z + a n + 1)}{\Gamma (z + n + 1)}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (b z + j)}{\displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (a z + j)} \cdot {\small\frac{b}{a}}</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} =
{\small\frac{b}{a}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (- b n + j)}{\displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (- a n + j)} \cdot {\small\frac{\Gamma (1)}{\Gamma (1)}} =
{\small\frac{b}{a}} \cdot \frac{(- 1)^{b n - 1} \cdot \displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (b n - j)}{(- 1)^{a n - 1} \cdot \displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (a n - j)} =
{\small\frac{b}{a}} \cdot (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n - 1) !}{(a n - 1) !}} =
(- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D146 
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>g(n) = {\small\binom{2 n}{n}}</math>. Pokazać, że

:*   rozszerzając funkcję <math>g(n)</math> na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy <math>g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}}</math>

:*   <math>\lim_{x \rightarrow - n} g (x) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zapiszmy funkcję <math>g(n) = {\small\binom{2 n}{n}}</math> w postaci

::<math>g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} = {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} = {\small\frac{\Gamma (2 n + 1)}{\Gamma (n + 1)^2}}</math>

Możemy teraz przejść do zmiennej rzeczywistej

::<math>g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}}</math>

bo funkcja <math>\Gamma (x)</math> jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych.

Korzystając z twierdzenia [[#D145|D145]], otrzymujemy

::<math>\lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}}</math>

Ale wiemy, że (zobacz [[#D141|D141]])

::<math>\lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} = 0</math>

Co należało pokazać i co jest dobrze widoczne na wykresie funkcji <math>{\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}}</math>

::[[File: gamma3.png|600px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D147 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>g(n) = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}}</math>. Pokazać, że

:*   rozszerzając funkcję <math>g(n)</math> na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy <math>g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}}</math>

:*   <math>\lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Oczywiście funkcja <math>g(k)</math> nie jest określona w punkcie <math>k = - 1</math>

::<math>g(k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(2 k) !}{(k!)^2}} = {\small\frac{(2 k) !}{(k + 1) !k!}} = {\small\frac{\Gamma (2 k + 1)}{\Gamma (k + 2) \Gamma (k + 1)}}</math>

Jeżeli przejdziemy do zmiennej rzeczywistej

::<math>g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}}</math>

to łatwo pokażemy, że granica funkcji <math>g(x)</math> w punkcje <math>x = - 1</math> istnieje i jest równa <math>- {\small\frac{1}{2}}</math>.

Z twierdzenia [[#D145|D145]] dostajemy

::<math>\lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1) \cdot {\small\frac{1}{2}} = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Czyli

::<math>\lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = \lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} = - {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{1}{\Gamma (1)}} = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co dobrze widać na wykresie funkcji <math>g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}}</math>

::[[File: gamma4.png|600px|none]]
□
{{\Spoiler}}

=== Funkcja digamma <math>{\small \Psi (z)}</math> ===

 

Definicja D148 
Funkcję digamma <math>\Psi (z)</math> (inne oznaczenia: <math>\psi (z)</math>, <math>\psi_0 (z)</math>, <math>\psi^{(0)} (z)</math> ) definiujemy jako pochodną logarytmiczną (czyli pochodną logarytmu) funkcji <math>\Gamma (z)</math>. Mamy zatem

::<math>\Psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z)) = {\small\frac{\Gamma' (z)}{\Gamma (z)}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Psi (x)</math>

::[[File: digamma1.png|700px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D149 
Funkcję digamma <math>\Psi (z)</math> możemy zapisać w postaci

::<math>\Psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad</math> (wzór szeregowy Weierstrassa)

gdzie <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Skorzystamy z definicji iloczynowej Weierstrassa funkcji <math>\Gamma (z)</math> (zobacz [[#D140|D140]])

::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{z / n} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

Mamy

::<math>\log \Gamma (z) = - \gamma z - \log z + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ - \log \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) + {\small\frac{z}{n}} \right]</math>

Różniczkując, otrzymujemy

::<math>\Psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z))</math>

:::<math>\;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( - \frac{{\small\frac{1}{n}}}{1 + {\small\frac{z}{n}}} + {\small\frac{1}{n}} \right)</math>

:::<math>\;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} - \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}}</math>

:::<math>\;\;\: = - \gamma - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}}</math>

:::<math>\;\;\: = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D150 
Dla funkcji digamma <math>\Psi (z)</math> prawdziwe są następujące wzory

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Psi (1) = - \gamma</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Psi (z + 1) = \Psi (z) + {\small\frac{1}{z}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
:*   <math>\Psi (- z + 1) - \Psi (z) = \pi \operatorname{ctg}(\pi z) \qquad z \notin \mathbb{Z}</math>
</div>

:*   <math>\Psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \Psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}}\right) + \log 2 \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad</math> (wzór na podwajanie)

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Wzór wynika natychmiast z twierdzenia [[#D149|D149]]

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru <math>\Gamma (z + 1) = z \Gamma (z)</math> (zobacz [[#D141|D141]] p.&hairsp;2), otrzymujemy

::<math>\log \Gamma (z + 1) = \log z + \log \Gamma (z)</math>

Różniczkując obie strony równania po zmiennej <math>z</math>, mamy

::<math>\Psi (z + 1) = {\small\frac{1}{z}} + \Psi (z)</math>

'''Punkt 3.'''

Logarytmując obie strony wzoru <math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math> (zobacz [[#D141|D141]] p.&hairsp;3), otrzymujemy

::<math>\log \Gamma (z) + \log \Gamma (- z + 1) = \log \pi - \log (\sin (\pi z))</math>

Różniczkując obie strony równania po zmiennej <math>z</math>, mamy

::<math>\Psi (z) - \Psi (- z + 1) = - {\small\frac{1}{\sin (\pi z)}} \cdot \cos (\pi z) \cdot \pi = - \pi \operatorname{ctg}(\pi z)</math>

'''Punkt 4.'''

Korzystamy ze wzoru Legendre'a o podwajaniu (zobacz [[#D141|D141]] p.&hairsp;4)

::<math>\Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

Logarytmując obie strony powyższego wzoru, dostajemy

::<math>\log \Gamma (2 z) = (2 z - 1) \log 2 - \log \sqrt{\pi} + \log \Gamma (z) + \log \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

Różniczkując obie strony równania po zmiennej <math>z</math>, otrzymujemy

::<math>2 \Psi (2 z) = 2 \log 2 + \Psi (z) + \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

Czyli

::<math>\Psi (2 z) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \Psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Ze wzorów podanych w twierdzeniu [[#D150|D150]] otrzymujemy 
Twierdzenie D151 
Niech <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \mathbb{N}_0</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) - \Psi \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \operatorname{tg}(\pi z) \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \Psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\Psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\lim_{z \to - n} [2 \Psi (2 z) - \Psi (z)] = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
:*   <math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Psi (2 z)}{\Psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}}</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Kładąc we wzorze na podwajanie

::<math>\Psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \Psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2</math>

<math>z = {\small\frac{1}{2}}</math>, otrzymujemy

::<math>\Psi (1) = {\small\frac{1}{2}} \Psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \Psi (1) + \log 2</math>

Skąd mamy natychmiast

::<math>\Psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \Psi (1) - 2 \log 2 = - \gamma - 2 \log 2</math>

'''Punkt 2.'''

We wzorze

::<math>\Psi (z + 1) = \Psi (z) + {\small\frac{1}{z}}</math>

połóżmy <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Mamy

::<math>- {\small\frac{1}{k}} = \Psi (k) - \Psi (k + 1)</math>

Sumując obie strony od <math>k = 1</math> do <math>k = n</math>, otrzymujemy

::<math>- \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} [\Psi (k) - \Psi (k + 1)] = \Psi (1) - \Psi (n + 1)</math>

bo suma po prawej stronie jest sumą teleskopową (zobacz [[#D13|D13]]). Zatem

::<math>\Psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n</math>

gdzie <math>H_n</math> jest <math>n</math>-tą liczbą harmoniczną.

'''Punkt 3.'''

Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 3. twierdzenia [[#D150|D150]].

'''Punkt 4.'''

Kładąc we wzorze z punktu 3. <math>z = n</math> i uwzględniając, że <math>\operatorname{tg}(\pi n) = 0</math>, dostajemy

::<math>\Psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \Psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

'''Punkt 5.'''

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 0</math>. Zakładając, że jest prawdziwy dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>

::<math>\Psi \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \Psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2}}}</math>

::::::<math>\;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{2}{2 n + 1}}</math>

::::::<math>\;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>

gdzie skorzystaliśmy z twierdzenia [[#D150|D150]] p.&hairsp;2 i założenia indukcyjnego.

'''Punkt 6.'''

Korzystając ze wzoru na podwajanie ([[#D150|D150]] p.&hairsp;4), mamy

::<math>2 \Psi (2 z) = \Psi (z) + \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + 2 \log 2</math>

::<math>2 \Psi (2 z) - \Psi (z) = 2 \log 2 + \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

W granicy, gdy <math>z \longrightarrow - n</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{z \to - n} [2 \Psi (2 z) - \Psi (z)] = 2 \log 2 + \Psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) =</math>

::::::::<math>\:\, = 2 \log 2 - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>

::::::::<math>\:\, = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>

'''Punkt 7.'''

Korzystając ze wzoru na podwajanie

::<math>\Psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \Psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2</math>

dostajemy

::<math>{\small\frac{\Psi (2 z)}{\Psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} + \frac{{\small\frac{1}{2}} \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2}{\Psi (z)}</math>

W granicy, gdy <math>z \longrightarrow - n</math> wartość funkcji <math>\Psi (z)</math> dąży do <math>\pm \infty</math>. Ponieważ licznik po prawej stronie dąży do wartości skończonej

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>{\small\frac{1}{2}} \Psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 \;\; \xrightarrow{\; z \rightarrow -n \;} \;\; {\small\frac{1}{2}} \Psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma - \log 2 + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
</div>

to

::<math>\lim_{z \to - n} \frac{{\small\frac{1}{2}} \Psi (z + {\small\frac{1}{2}}) + \log 2}{\Psi (z)} = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \to - n} {\small\frac{\Psi (2 z)}{\Psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D152 
Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że prawdziwy jest wzór

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \Psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \Psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right]</math>

gdzie <math>\Psi (x)</math> jest funkcją digamma.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z twierdzenia [[#D149|D149]] wiemy, że funkcję digamma <math>\Psi (z)</math> możemy zapisać w postaci

::<math>\Psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right)</math>

Zatem

::<math>\Psi (z_1) - \Psi (z_2) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + z_2}} - {\small\frac{1}{n + z_1}} \right)</math>

Rozkładając sumę <math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}}</math> na dwie sumy (po <math>k</math> parzystych i <math>k</math> nieparzystych), otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n) + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n + 1) + 1}}</math>

:::::<math>\:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}}</math>

:::::<math>\:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}} \right)</math>

:::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2 a}}} - \frac{1}{n + {\small\frac{a + 1}{2 a}}} \right)</math>

:::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \Psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \Psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right]</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D153 
Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^a}} d x = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \Psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \Psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right]</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wzór wynika natychmiast z połączenia rezultatu z zadania poprzedniego ([[#D152|D152]]) i zadania [[#D6|D6]]. 
□
{{\Spoiler}}

=== Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Wzór Frullaniego ===

 

Uwaga D154 
Podamy niżej uogólnione twierdzenie o wartości średniej (dla całek) i dowód tego twierdzenia (zobacz [[#D160|D160]]). Samo twierdzenie i jego dowód są dobrze znane, ale najczęściej postuluje się istnienie odpowiedniego punktu <math>\xi</math> w przedziale domkniętym <math>[a, b]</math>. Bardzo rzadko można spotkać mocniejsze sformułowanie, w którym postuluje się istnienie odpowiedniego punktu <math>\xi</math> w przedziale otwartym <math>(a, b)</math>. A jeśli już spotkamy to dokładniejsze sformułowanie, to pozostanie ono bez dowodu. Nie jest to dziwne, bo dowód (stosunkowo prosty) jest długi i lepiej po prostu pozostawić go czytelnikowi. Postanowiliśmy uzupełnić tę lukę.

Uwaga D155 
W tekście będziemy używać pojęć: „zbiór miary zero” i „prawie wszędzie”. Chcemy te sformułowania nieco przybliżyć Czytelnikowi.

Pojęcie '''zbiór miary zero''' w przypadku całki Riemanna oznacza: zbiór tak mały, że nie ma on wpływu na wartość całki.

Pojęcie '''prawie wszędzie''' w przypadku całki Riemanna oznacza: wszędzie poza zbiorem tak małym, że nie ma on wpływu na wartość całki lub wszędzie poza '''zbiorem miary zero'''.

Całka Riemanna „widzi” tylko to, co dzieje się na odcinkach o dodatniej długości, a ignoruje pojedyncze punkty, bo na najmniejszym nawet odcinku (choćby tylko maleńkim otoczeniu punktu) da się zbudować prostokąt, a na punkcie prostokąta nie utworzymy.

Nie przez przypadek będziemy mówili o „przedziałach” i „podprzedziałach”, bo to one (i tylko one) dają wkład do całki Riemanna. Wartość całki Riemanna jest całkowicie niewrażliwa na zmiany funkcji w pojedynczych punktach. Punkty nie dają żadnego wkładu do ostatecznego wyniku, ponieważ nie mają one „szerokości”. W przypadku nieskończonej liczby punktów są dwie możliwości: dopóki punkty te są rozproszone na tyle „rzadko”, że funkcja pozostaje całkowalna, ich łączny wkład do całki nadal wynosi zero. Jeśli jednak punktów tych jest nieskończenie wiele i są one rozłożone zbyt „gęsto”, to definicja całki Riemanna się załamuje – sumy dolne i górne nie mogą się spotkać, przez co całka Riemanna przestaje istnieć.

Zauważmy, że zmiana wartości funkcji w skończonej lub przeliczalnej liczbie punktów nie wpływa na wartość całki. Konsekwentnie: jeżeli dwie funkcje są równe '''prawie wszędzie''', to mają takie same całki Riemanna. Przykłady funkcji, których całki w dowolnym przedziale są takie same

::<math>f(x) = 0 \qquad\qquad g(x) =
\begin{cases}
1 & \text{gdy } x = 0 \\
0 & \text{gdy } x \neq 0 \\
\end{cases}
\qquad\qquad
h(x) =
\begin{cases}
x & \text{gdy } x \in \mathbb{Z} \\
0 & \text{gdy } x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases}</math>

Przykład funkcji, której całka Riemanna nie istnieje

::<math>f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{gdy } x \in \mathbb{Q} \\
0 & \text{gdy } x \notin \mathbb{Q} \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>\mathbb{Q}</math> oznacza zbiór liczb wymiernych. Powyższą funkcję nazywamy funkcją Dirichleta. Zauważmy, że różni się ona od funkcji <math>f(x) = 0</math> jedynie w przeliczalnej liczbie punktów (zbiór <math>\mathbb{Q}</math> jest zbiorem przeliczalnym), ale tym razem liczba punktów jest tak wielka i są tak „gęsto” rozmieszczone w <math>\mathbb{R}</math>, że całka nie istnieje. Poniżej podajemy twierdzenie (bez dowodu), które pozwala rozstrzygnąć, kiedy funkcja jest całkowalna.

Twierdzenie D156* 
Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> spełnia jeden z podanych warunków
:* <math>f(x)</math> jest ciągła w przedziale <math>[a, b]</math>
:* <math>f(x)</math> jest ograniczona w przedziale <math>[a, b]</math> i ma w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości
:* <math>f(x)</math> jest ograniczona i monotoniczna w przedziale <math>[a, b]</math>
to jest w tym przedziale całkowalna.

Zadanie D157 
Sformułować definicję granicy funkcji w punkcie <math>x_0</math> oraz definicję ciągłości funkcji w punkcie <math>x_0</math>. Omówić różnice.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''Definicja granicy (skończonej)''' 
Niech <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>. Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>\delta > 0</math>, że dla każdego <math>x</math> należącego do dziedziny funkcji <math>f</math> spełniony jest warunek

::<math>0 < |x - x_0 | < \delta \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad |f (x) - g| < \varepsilon</math>

to powiemy, że funkcja <math>f</math> ma granicę skończoną <math>g</math> w punkcie <math>x_0</math>.

'''Definicja ciągłości''' 
Niech <math>f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>. Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>\delta > 0</math>, że dla każdego <math>x</math> należącego do dziedziny funkcji <math>f</math> spełniony jest warunek

::<math>|x - x_0 | < \delta \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad |f (x) - f (x_0) | < \varepsilon</math>

to powiemy, że funkcja <math>f</math> jest ciągła w punkcie <math>x_0</math>.

Definicje zapisane przy użyciu kwantyfikatorów

'''Definicja granicy''': <math>\qquad\qquad \;\,\, \forall_{\varepsilon > 0} \quad \exists_{\delta > 0} \quad \forall_{x \in D} \quad 0 < |x - x_0 | < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f (x) - g| < \varepsilon</math>

'''Definicja ciągłości''': <math>\qquad\qquad \forall_{\varepsilon > 0} \quad \exists_{\delta > 0} \quad \forall_{x \in D} \qquad \;\;\; |x - x_0 | < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f (x) - f (x_0) | < \varepsilon</math>

Podstawowe różnice

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
|-
!width=540| Granica (skończona)
!width=540| Ciągłość
|-
| Funkcja <math>f</math> nie musi być określona w punkcie <math>x_0</math>.
| Funkcja <math>f</math> musi być określona w punkcie <math>x_0</math>, a <math>f(x_0)</math> musi mieć wartość skończoną.
|-
| Liczba <math>g</math> może mieć dowolną wartość skończoną (bo mówimy tutaj o granicy skończonej).
| Rolę liczby <math>g</math> pełni konkretna wartość: wartość, jaką funkcja <math>f</math> przyjmuje w punkcie <math>x_0</math>.
|-
| Warunek <math>0 < | x - x_0 | < \delta</math> oznacza, że badamy zachowanie funkcji wokół punktu <math>x_0</math>. To czy funkcja jest określona w <math>x_0</math>, czy nie jest i jaką wartość ma w <math>x_0</math>, nie ma znaczenia.
| Warunek <math>|x - x_0 | < \delta</math> oznacza, że badamy zachowanie funkcji wokół punktu <math>x_0</math>, wraz z punktem <math>x_0</math>. Zauważmy, że warunek ten dopuszcza sytuację <math>x = x_0</math>.
|}

'''Podsumowanie'''

Ciągłość stawia dodatkowe wymagania, co najlepiej widzimy w następującym twierdzeniu:

Funkcja <math>f</math> jest ciągła w punkcie <math>x_0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy
:*    istnieje granica skończona <math>\lim_{x \to x_0} f (x) = g</math>.
:*    funkcja jest określona w <math>x_0</math> (istnieje <math>f(x_0)</math>).
<div style="margin-top: 0.5em; margin-bottom: 0em;">
:*    <math>g = f (x_0)</math>.
</div> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D158 
Pokazać, że jeżeli funkcja <math>f</math> jest ciągła w punkcie <math>x_0</math> oraz <math>f (x_0) > 0</math>, to istnieje takie otoczenie <math>U = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</math>, że dla każdego <math>x \in U</math> zachodzi <math>f(x) > 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Do dowodu wykorzystamy definicję Cauchy'ego ciągłości funkcji (zobacz [[#D157|D157]]). Funkcja <math>f</math> jest ciągła w punkcie <math>x_0</math>, jeżeli dla dowolnej liczby <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>\delta > 0</math>, że spełniony jest warunek

::<math>|x - x_0 | < \delta \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad |f (x) - f (x_0) | < \varepsilon</math>

Zapiszmy nierówność dla wartości funkcji w postaci

::<math>f(x_0) - \varepsilon < f (x) < f (x_0) + \varepsilon</math>

Powyższa definicja musi być spełniona dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>. Z założenia <math>f(x_0) > 0</math> i jeżeli wybierzemy <math>0 < \varepsilon < f (x_0)</math>, to możemy napisać

::<math>0 < f (x_0) - \varepsilon < f (x) < f (x_0) + \varepsilon \qquad\qquad (\ast)</math>

Ze wspomnianej na początku rozwiązania definicji ciągłości wynika, że dla tak ustalonego <math>\varepsilon</math> istnieje taka liczba <math>\delta > 0</math>, że dla każdego <math>x</math> należącego do przedziału <math>(x_0 - \delta, x_0 + \delta)</math>
prawdziwy jest ciąg nierówności <math>(\ast)</math>.

Zatem <math>f(x) > 0</math> w przedziale <math>(x_0 - \delta, x_0 + \delta)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D159 
Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale <math>[a, b]</math>, a <math>g(x)</math> funkcją całkowalną i dodatnią w <math>[a, b]</math>. Pokazać, że jeżeli

::<math>\int_a^b f (x) g(x)\,dx = 0</math>

to <math>f(x) = 0</math> dla każdego <math>x \in [a, b]</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje taki punkt <math>x_0 \in [a, b]</math>, dla którego <math>f(x_0) > 0</math>. Z ciągłości funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> wynika, że istnieje otoczenie <math>U</math> punktu <math>x_0</math> takie, że dla każdego <math>x \in U</math> zachodzi <math>f(x) > 0</math> (zobacz [[#D158|D158]]). Oczywiście w przypadku punktu <math>x_0 = a</math> będzie to otoczenie prawostronne, a w przypadku punktu <math>x_0 = b</math> lewostronne. Dostajemy natychmiast

::<math>\int_a^b f (x) g(x)\,dx = \int_{[a, b] \setminus U} f (x) g (x)\,dx + \int_U f (x) g (x)\,dx > 0</math>

Jest tak, ponieważ pierwsza całka po prawej stronie jest nieujemna (całkujemy funkcję nieujemną), a druga całka jest dodatnia (całkujemy funkcję dodatnią). Widzimy, że nasze przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności z założeniem, że

::<math>\int_a^b f (x) g(x)\,dx = 0</math>

W konsekwencji <math>f(x) = 0</math> dla każdego <math>x \in [a, b]</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D160 (uogólnione twierdzenie o wartości średniej) 
Niech <math>f</math> będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym <math>[a, b]</math>, a <math>g</math> funkcją całkowalną i niezmieniającą znaku, tzn. <math>g(x) \geqslant 0</math> lub <math>g(x) \leqslant 0</math> dla każdego <math>x \in [a, b]</math>. Wówczas istnieje taki punkt <math>\xi \in (a, b)</math>, że

::<math>\int_a^b f (x) g (x)\,dx = f (\xi) \int_a^b g (x)\,dx</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>g(x) \geqslant 0</math>, bo w przypadku, gdy <math>g(x) \leqslant 0</math>, wystarczy pomnożyć obie strony równania przez <math>- 1</math> i dowodzić twierdzenie dla funkcji <math>\hat{g} (x) = - g (x)</math>.

'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{ f(x) }</math> jest funkcją stałą'''

W przypadku, gdy funkcja <math>f(x)</math> jest funkcją stałą, mamy <math>f(x) = C</math> w przedziale <math>[a, b]</math> i oczywiście

::<math>\int_a^b f (x) g (x)\,dx = C \int_a^b g (x)\,dx</math>

Zatem możemy wybrać dowolny punkt <math>\xi \in (a, b)</math>.

Od tej chwili będziemy zakładali, że funkcja <math>f(x)</math> nie jest funkcją stałą w przedziale <math>[a, b]</math>.

'''Ciąg nierówności dla całek'''

Ponieważ funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła w przedziale domkniętym <math>[a, b]</math>, to na mocy twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów<ref name="Weierstrass1"/>, funkcja ta przyjmuje w tym przedziale swoją wartość najmniejszą <math>m</math> oraz wartość największą <math>M</math>. Zatem dla każdego <math>x \in [a, b]</math> zachodzi nierówność

::<math>m \leqslant f (x) \leqslant M</math>

Pomnóżmy powyższą nierówność stronami przez <math>g(x)</math>. Ponieważ <math>g (x) \geqslant 0</math>, zwroty nierówności zostają zachowane

::<math>m \cdot g (x) \leqslant f (x) g (x) \leqslant M \cdot g (x)</math>

Całkując strony nierówności w przedziale <math>[a, b]</math> względem zmiennej <math>x</math>, dostajemy

::<math>m \int_a^b g(x)\,dx \leqslant \int_a^b f (x) g (x)\,dx \leqslant M \int_a^b g (x)\,dx \qquad\qquad (\ast)</math>

'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{ \int_a^b g(x)\,dx = 0 }</math>'''

W tym przypadku z ciągu nierówności <math>(\ast)</math> wynika natychmiast, że

::<math>\int_a^b f (x) g(x)\,dx = 0</math>

Zatem dowodzona równość jest prawdziwa, bo równanie <math>0 = f (\xi) \cdot 0</math> jest prawdziwe dla dowolnego <math>\xi \in (a, b)</math>.

'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{ \int_a^b g(x)\,dx > 0 }</math>'''

W tym przypadku możemy ciąg nierówności <math>(\ast)</math> podzielić przez całkę <math>\int_a^b g(x)\,dx</math>. Mamy

::<math>m \leqslant {\normalsize\frac{\int_a^b f (x) g (x)\,dx}{\int_a^b g (x)\,dx}} \leqslant M</math>

Zdefiniujmy liczbę <math>w</math>

::<math>w = {\normalsize\frac{\int_a^b f (x) g (x)\,dx}{\int_a^b g (x)\,dx}}</math>

Widzimy, że prawdziwy dla niej ciąg nierówności

::<math>m \leqslant w \leqslant M</math>

jest taki sam, jaki zachodzi dla funkcji <math>f(x)</math>.

'''Podprzypadek, gdy <math>\boldsymbol{ m < w < M }</math>'''

Rozważmy dwa punkty w przedziale <math>[a, b]</math>, w których funkcja <math>f</math> osiąga swoje kresy
:*    niech <math>x_m</math> będzie punktem, w którym <math>f(x_m) = m</math>
:*    niech <math>x_M</math> będzie punktem, w którym <math>f(x_M) = M</math>

Ponieważ <math>m < M</math>, to <math>x_m \neq x_M</math> i punkty te wyznaczają pewien przedział. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>x_m < x_M</math>. Mamy zatem <math>[x_m, x_M] \subset [a, b]</math>. Z twierdzenia Darboux o wartościach pośrednich<ref name="Darboux1"/> wynika, że wewnątrz przedziału <math>[x_m, x_M]</math> istnieje taki punkt <math>\xi</math>, że <math>f (\xi) = w</math>. Ponieważ przedział <math>[x_m, x_M]</math> leży w <math>[a, b]</math>, to jego wnętrze <math>(x_m, x_M)</math> leży w <math>(a, b)</math>. Zatem <math>\xi \in (a, b)</math> i z definicji liczby <math>w</math> wynika dowodzony wzór

::<math>\int_a^b f (x) g (x)\,dx = w \int_a^b g (x)\,dx = f (\xi) \int_a^b g (x)\,dx</math>

'''Podprzypadek, gdy <math>w = m</math> (analogicznie postępujemy, gdy <math>w = M</math>)'''

Z definicji liczby <math>w</math> otrzymujemy

::<math>\int_a^b (f (x) - m) g (x)\,dx = 0 \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Niech <math>U = \{ [a, b] \ni x \, : \, g (x) > 0\}</math> będzie zbiorem tych puntów <math>x</math>, dla których <math>g(x) > 0</math>. Pamiętamy, że całka z funkcji <math>g(x)</math> jest dodatnia

::<math>\int_a^b g (x)\,dx = \int_{[a, b] \backslash U} g (x)\,dx + \int_U g (x)\,dx = \int_U g (x)\,dx > 0</math>

Wynika stąd, że zbiór <math>U</math> nie może być zbiorem miary zero, czyli musi zawierać przynajmniej jeden podprzedział przedziału <math>[a, b]</math>. Dla ustalenia uwagi niech będzie to podprzedział <math>[r, s]</math> i rozważmy całkę <math>(\ast \ast)</math>. Ponieważ iloczyn <math>(f (x) - m) g (x)</math> jest funkcją nieujemną, to dostajemy

::<math>0 = \int_a^b (f (x) - m) g (x)\,dx = \int_{[a, b] \backslash U} (f (x) - m) g (x)\,dx + \int_{U \backslash [r, s]} (f (x) - m) g (x)\,dx + \int_{[r, s]} (f (x) - m) g (x)\,dx</math>

:::::::::<math>\;\;\;\;\:\, \geqslant \int_{[r, s]} (f (x) - m) g (x)\,dx \geqslant 0</math>

Skąd wynika, że musi być

::<math>\int^s_r (f (x) - m) g (x)\,dx = 0</math>

Jeśli połączymy powyższy warunek z oczywistymi faktami, że
:*    funkcja <math>f(x) - m</math> jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale <math>[r, s]</math>
:*    funkcja <math>g(x)</math> funkcją całkowalną i dodatnią w <math>[r, s]</math>

to na podstawie zadania [[#D159|D159]][a] natychmiast widzimy, że musi być <math>f(x) = m</math> dla każdego <math>x \in [r, s]</math>. Ponieważ <math>[r, s] \subset U \subset [a, b]</math> i <math>f(x) = m</math> dla każdego <math>x \in [r, s]</math>, to możemy wybrać punkt <math>\xi \in [r, s]</math> taki, że <math>\xi \neq a</math>, <math>\xi \neq b</math> i <math>f (\xi) = m</math>. Wtedy z definicji liczby <math>w</math>, dostajemy

::<math>\int_a^b f (x) g (x)\,dx = w \int_a^b g (x)\,dx = m \int_a^b g (x)\,dx = f (\xi) \int_a^b g (x)\,dx</math>

gdzie <math>\xi \in (a, b)</math>. Co należało pokazać.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Zauważmy, że nie musimy korzystać z rezultatu pokazanego w zadaniu [[#D159|D159]]. Z warunku

::<math>\int^s_r (f (x) - m) g (x)\,dx = 0</math>

wynika, że <math>(f (x) - m) g (x) = 0</math> prawie wszędzie w <math>[r, s]</math>. Ponieważ <math>g(x) > 0</math> dla każdego <math>x \in [r, s]</math>, to <math>f(x) = m</math> prawie wszędzie w <math>[r, s]</math>. Co całkowicie wystarcza, aby wybrać odpowiedni punkt <math>\xi \in [r, s]</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D161* 
Twierdzenie obejmuje różne rodzaje granic: <math>x \rightarrow x_0, x^+_0, x^-_0, \infty, - \infty</math>. Dowolny z tych punktów granicznych oznaczyliśmy ogólnie jako <math>x^{\ast}</math>. Typy granic i odpowiadające im sąsiedztwa zostały zestawione w tabeli

::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
|-
! Typ granicy <math>\boldsymbol{ ( x \rightarrow x^{\ast} ) }</math>
| <math>x \rightarrow x_0</math> || <math>x \rightarrow x^+_0</math> || <math>x \rightarrow x^-_0</math> || <math>x \rightarrow \infty</math> || <math>x \rightarrow - \infty</math>
|-
! Sąsiedztwo <math>\boldsymbol{ S }</math>
| <math>(x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)</math> || <math>(x_0, x_0 + \delta)</math> || <math>(x_0 - \delta, x_0)</math> || <math>(M, \infty)</math> || <math>(- \infty, - M)</math>
|}

gdzie <math>\delta, M \in \mathbb{R}_+</math>. Wystarczy, że postulowane nierówności są spełnione dla dostatecznie małego <math>\delta</math> i dostatecznie dużego <math>M</math>.

Twierdzenie o trzech funkcjach (dowodzimy, że funkcja <math>g</math> dąży do granicy właściwej <math>L \in \mathbb{R}</math>)

<div style="margin-top: 0.5em; margin-bottom: 1em;">
Jeżeli dla każdego <math>x \in S</math> zachodzi <math>f(x) \leqslant g (x) \leqslant h (x)</math> oraz <math>\lim_{x \to x^{\ast}} f (x) = \lim_{x \to x^{\ast}} h (x) = L</math>, to <math>\lim_{x \to x^{\ast}} g (x) = L</math>. 
</div>

Twierdzenie o dwóch funkcjach (dowodzimy, że funkcja <math>g</math> dąży do granicy niewłaściwej <math>L = \infty</math>)

<div style="margin-top: 0.5em; margin-bottom: 1em;">
Jeżeli dla każdego <math>x \in S</math> zachodzi <math>g(x) \geqslant f (x)</math> i <math>\lim_{x \to x^{\ast}} f (x) = \infty</math>, to <math>\lim_{x \to x^{\ast}} g (x) = \infty</math>
</div>

Twierdzenie o dwóch funkcjach (dowodzimy, że funkcja <math>g</math> dąży do granicy niewłaściwej <math>L = - \infty</math>)

<div style="margin-top: 0.5em; margin-bottom: 1em;">
Jeżeli dla każdego <math>x \in S</math> zachodzi <math>g(x) \leqslant f (x)</math> i <math>\lim_{x \to x^{\ast}} f (x) = - \infty</math>, to <math>\lim_{x \to x^{\ast}} g (x) = - \infty</math>
</div>

Zadanie D162 
Pokazać, że jeżeli <math>\lim_{x \to x_0} f (x) = 0</math>, a funkcja <math>g(x)</math> jest ograniczona w pewnym otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (x_0, r) = (x_0 - r, x_0 + r) \backslash \{ x_0 \}</math> punktu <math>x_0</math>, to <math>\lim_{x \to x_0} f (x) g (x) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>g(x)</math> jest ograniczona, to istnieje taka stała <math>M > 0</math>, że dla wszystkich <math>x \in \mathring{U} (x_0, r)</math> zachodzi

::<math>|g (x) | \leqslant M</math>

Wynika stąd, że dla każdego <math>x \in \mathring{U} (x_0, r)</math> prawdziwy jest ciąg nierówności

::<math>0 \leqslant |g (x) f (x) | = | g (x) | | f (x) | \leqslant M | f (x) |</math>

Z założenia <math>\lim_{x \to x_0} f (x) = 0</math>, zatem z twierdzenia [[#D161|D161]] p.&hairsp;1 otrzymujemy natychmiast, że

::<math>\lim_{x \to x_0} f (x) g (x) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D163 (wzór Frullaniego) 
Niech <math>a, b \in \mathbb{R}_+</math>. Jeżeli funkcja <math>f</math> jest ciągła w przedziale <math>[0, \infty)</math> oraz istnieje skończona granica <math>f (\infty) = \lim_{x \to \infty} f (x)</math>, to prawdziwy jest wzór

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 0em;">
::<math>\int_0^{\infty} {\small\frac{f (ax) - f (bx)}{x}}\,dx = (f (0) - f (\infty)) \cdot \log {\small\frac{b}{a}}</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>b > a</math>. Rozważmy całkę w skończonym przedziale <math>[\varepsilon, R]</math>, gdzie <math>0 < \varepsilon < R < \infty</math> i dodatkowo niech <math>b \varepsilon < a R</math> (spełnienie tego warunku zawsze możemy uzyskać, obierając <math>\varepsilon</math> odpowiednio małe i <math>R</math> odpowiednio duże).

Mamy zatem <math>a \varepsilon . Rozpatrywaną całkę oznaczymy jako <math>I (\varepsilon, R)</math>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I (\varepsilon, R) = \int_{\varepsilon}^R {\small\frac{f (ax) - f (bx)}{x}}\,dx = \int_{\varepsilon}^R {\small\frac{f (ax)}{x}}\,dx - \int_{\varepsilon}^R {\small\frac{f (bx)}{x}}\,dx</math>
</div>

W pierwszej całce po prawej stronie stosujemy podstawienie <math>u = ax</math>, co daje <math>du = a\,dx</math>, zaś granice zmieniają się na <math>[a \varepsilon, aR]</math>. W drugiej całce podstawiamy <math>u = bx</math>, co daje <math>du = b\,dx</math> i nowe granice całkowania <math>[b \varepsilon, bR]</math>. Otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I (\varepsilon, R) = \int_{a \varepsilon}^{aR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du - \int_{b \varepsilon}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\:\, = \left( \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du + \int_{b \varepsilon}^{aR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du \right) - \left( \int_{b \varepsilon}^{aR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du + \int_{aR}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du \right)</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::::<math>\:\, = \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du - \int_{aR}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du</math>
</div>

bo całki w przedziale <math>[b \varepsilon, aR]</math> redukują się. Na mocy uogólnionego twierdzenia o wartości średniej (zobacz [[#D160|D160]]) dla pierwszej całki istnieje punkt <math>\xi_1 \in (a \varepsilon, b \varepsilon)</math>, a dla drugiej całki punkt <math>\xi_2 \in (aR, bR)</math> taki, że

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du = f (\xi_1) \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{1}{u}}\,du = f (\xi_1) \cdot \log {\small\frac{b \varepsilon}{a \varepsilon}} = f (\xi_1) \cdot \log {\small\frac{b}{a}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\int_{aR}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du = f (\xi_2) \int_{aR}^{bR} {\small\frac{1}{u}}\,du = f (\xi_2) \cdot \log {\small\frac{bR}{aR}} = f (\xi_2) \cdot \log {\small\frac{b}{a}}</math>
</div>

Podstawiając te wyniki do wyrażenia na <math>I (\varepsilon, R)</math>, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>I (\varepsilon, R) = (f (\xi_1) - f (\xi_2)) \cdot \log {\small\frac{b}{a}}</math>
</div>

Zauważmy, że (zobacz [[#D161|D161]])

:*    ponieważ <math>a \varepsilon < \xi_1 , to w granicy, gdy <math>\varepsilon \to 0^+</math>, mamy <math>\xi_1 \to 0</math>, a zatem <math>f (\xi_1) \to f (0)</math>

:*    ponieważ <math>\xi_2 > a R</math>, to w granicy, gdy <math>R \to \infty</math>, mamy <math>\xi_2 \to \infty</math>, więc <math>f (\xi_2) \to f (\infty)</math>

Ostatecznie otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\underset{R \rightarrow \infty}{\lim_{\; \varepsilon \rightarrow 0^+}} I (\varepsilon, R) = (f (0) - f (\infty)) \cdot \log {\small\frac{b}{a}}</math>
</div>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie D164 
Pokazać, że prawdziwe są następujące przedstawienia całkowe logarytmu

::<math>\log n = \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- n t}}{t}\,dt</math>

::<math>\log n = \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{n - 1}}{- \log t}}\,dt</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Niech <math>f(t) = e^{- t}</math>, <math>a = 1</math> oraz <math>b = n</math>. Mamy <math>f(0) = 1</math> i <math>f (\infty) = 0</math>. Korzystając ze wzoru Frullaniego (zobacz [[#D163|D163]])

::<math>\int_0^{\infty} {\small\frac{f (at) - f (bt)}{t}}\,dt = (f (0) - f (\infty)) \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right)</math>

otrzymujemy

::<math>\int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- n t}}{t}\,dt = \log n</math>

'''Punkt 2.'''

Wykorzystujemy znalezioną w punkcie 1. reprezentację całkową

::<math>\log n = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} - e^{- nx}}{x}\,dx</math>

Przejście do nowej zmiennej <math>t = e^{- x}</math> prowadzi do następujących zależności

::<math>x = - \log t \qquad\qquad dx = - {\small\frac{1}{t}}\,dt</math>

::<math>e^{- x} = t \qquad\qquad\quad\:\: e^{- nx} = (e^{- x})^n = t^n</math>

i nowych granic całkowania
:*    gdy <math>x \to 0</math>, to <math>t \to 1</math>
:*    gdy <math>x \to \infty</math>, to <math>t \to 0</math>

Podstawiając do całki, otrzymujemy

::<math>\log n = \int_1^0 {\small\frac{t - t^n}{- \log t}} \cdot \left( - {\small\frac{1}{t}} \right)\,dt = \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{n - 1}}{- \log t}}\,dt</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

=== Całkowe przedstawienia stałej Eulera i funkcji digamma ===

 

Definicja D165 
Niech <math>g \in \mathbb{R}</math>. Jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba rzeczywista <math>R</math>, że dla każdego <math>x > R</math> jest <math>|f (x) - g| < \varepsilon</math>, to powiemy, że funkcja <math>f</math> ma granicę <math>g</math> w plus nieskończoności. Symbolicznie fakt ten zapisujemy następująco <math>\lim_{x \to \infty} f (x) = g</math>.

Twierdzenie D166 
Jeżeli funkcja <math>f : [a, \infty) \to \mathbb{R}</math> jest ciągła w przedziale <math>[a, \infty)</math> oraz posiada skończoną granicę <math>\lim_{x \to \infty} f (x) = g</math>, to funkcja <math>f</math> jest ograniczona w tym przedziale.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Z definicji granicy funkcji w nieskończoności wiemy, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba <math>R</math>, że dla wszystkich <math>x > R</math> zachodzi

::<math>|f (x) - g| < \varepsilon</math>

Ponieważ <math>\varepsilon</math> jest dowolną liczbą, to możemy przyjąć konkretną wartość, np. <math>\varepsilon = 1</math>. Wówczas istnieje takie <math>R</math>, że dla każdego <math>x \in (R, \infty)</math> mamy

::<math>g - 1 < f (x) < g + 1</math>

Gdyby było <math>R = a</math>, to dowód byłby zakończony. Rozważmy zatem przypadek, gdy <math>R > a</math>. Na mocy twierdzenia Weierstrassa o kresach<ref name="Weierstrass1"/> funkcja ciągła <math>f</math> w przedziale domkniętym <math>[a, R]</math> osiąga swoje kresy. Czyli istnieją takie liczby <math>m</math> i <math>M</math>, że dla każdego <math>x \in [a, R]</math> prawdziwy jest ciąg nierówności

::<math>m \leqslant f (x) \leqslant M</math>

Jeżeli zdefiniujemy liczby <math>k = \min (m, g - 1)</math> i <math>K = \max (M, g + 1)</math>, to łącząc przedstawione wyżej rezultaty, możemy napisać oszacowanie

::<math>k \leqslant f (x) \leqslant K</math>

prawdziwe dla każdego <math>x \in [a, \infty)</math>. Co kończy dowód ograniczoności funkcji <math>f</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D167 
Dla stałej Eulera prawdziwe są następujące reprezentacje całkowe

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\gamma = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^t - 1}} - {\small\frac{1}{t e^t}} \right)\,dt</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\gamma = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Stałą Eulera <math>\gamma</math> definiujemy jako granicę różnicy między sumą częściową szeregu harmonicznego a logarytmem naturalnym<ref name="Euler1"/>

::<math>\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \log n \right)</math>

Dla uproszczenia zdefiniujmy ciąg <math>(\gamma_n)</math>

::<math>\gamma_n = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \log n</math>

Oczywiście <math>\lim_{n \to \infty} \gamma_n = \gamma</math>. Wykonywanie przekształceń dla <math>\gamma_n</math> (zamiast dla <math>\gamma</math>) znakomicie je ułatwia i (co najważniejsze) pozwala doprowadzić wynik do takiej postaci, dla której przejście do granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, nie będzie już rodziło problemów. Pamiętamy, że w ogólnym przypadku nie możemy przenosić granicy pod znak całki.

Aby móc połączyć sumę i logarytm, musimy zapisać oba wyrażenia jako całki w tych samych granicach od <math>0</math> do <math>\infty</math>. Dla sumy wykorzystujemy tożsamość prawdziwą dla <math>k > 0</math> (dla <math>k \leqslant 0</math> całka jest rozbieżna)

::<math>{\small\frac{1}{k}} = \int_0^{\infty} e^{- kx}\,dx</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>1</math> do <math>n</math>, otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^n \int_0^{\infty} e^{- kx}\,dx = \int_0^{\infty} \sum_{k = 1}^n (e^{- x})^k\,dx</math>

Zauważmy, że dokonaliśmy zamiany kolejności sumowania i całkowania. Jest to dopuszczalne, bo suma jest skończona. Pod całką mamy teraz sumę ciągu geometrycznego, gdzie pierwszy wyraz to <math>a_1 = e^{- x}</math>, a iloraz to <math>q = e^{- x}</math>. Korzystając ze wzoru na sumę <math>n</math> wyrazów takiego ciągu, mamy

::<math>\sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} (1 - e^{- nx})}{1 - e^{- x}}\,dx</math>

Reprezentację całkową logarytmu znajdujemy, korzystając ze wzoru Frullaniego (zobacz [[#D163|D163]], [[#D164|D164]])

::<math>\log n = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} - e^{- nx}}{x}\,dx</math>

Zatem

::<math>\gamma_n = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \log n = \int_0^{\infty} \left[ \frac{e^{- x} (1 - e^{- nx})}{1 - e^{- x}} - \frac{e^{- x} - e^{- nx}}{x} \right]\,dx</math>

Wydzielenie wyrazów, które nie zależą od <math>n</math>, pozwala nam zapisać <math>\gamma_n</math> jako sumę docelowej całki <math>I</math> oraz reszty <math>R_n</math>

::<math>\gamma_n = \underbrace{ \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} - {\small\frac{e^{- x}}{x}} \right)\,dx }_I + \underbrace{ \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- nx}}{x}} - {\small\frac{e^{- (n + 1) x}}{1 - e^{- x}}} \right)\,dx }_{R_n}</math>

Aby udowodnić, że <math>\gamma = I</math>, musimy pokazać, że <math>\lim_{n \to \infty} R_n = 0</math>. Mamy

::<math>R_n = \int_0^{\infty} e^{- nx} \left( {\small\frac{1}{x}} - {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} \right)\,dx</math>

Zbadajmy funkcję pomocniczą

::<math>f(x) = {\small\frac{1}{x}} - {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} = {\small\frac{e^x - x - 1}{x (e^x - 1)}}</math>

Widzimy, że

::<math>\lim_{x \rightarrow 0} f (x) = \lim_{x \rightarrow 0} {\small\frac{e^x - x - 1}{x (e^x - 1)}} = \lim_{x \rightarrow 0} {\small\frac{e^x - 1}{e^x (x + 1) - 1}} = \lim_{x \rightarrow 0} {\small\frac{e^x}{e^x (x + 2)}} = {\small\frac{1}{2}}</math>

Gdzie dwukrotnie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Dodefiniowując <math>f(0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, otrzymujemy funkcję ciągłą w <math>\mathbb{R}</math>. Bez trudu znajdujemy granicę funkcji <math>f</math> w nieskończoności

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} f (x) = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{e^x - x - 1}{x (e^x - 1)}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{{\normalsize\frac{1}{x}} - e^{- x} - {\normalsize\frac{1}{x}} \cdot e^{- x}}{1 - e^{- x}} = 0</math>

Ponieważ <math>f</math> jest ciągła w <math>[0, \infty)</math> i ma skończoną granicę w nieskończoności, to jest funkcją ograniczoną w tym przedziale (zobacz [[#D166|D166]]). Niech <math>| f (x) | \leqslant M</math>. Łatwo otrzymujemy oszacowanie

::<math>0 \leqslant | R_n | \leqslant \int_0^{\infty} e^{- nx} | f (x) |\,dx \leqslant M \int_0^{\infty} e^{- nx}\,dx = {\small\frac{M}{n}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach, natychmiast otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | R_n | = 0</math>. Zatem

::<math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} \gamma_n = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} - {\small\frac{e^{- x}}{x}} \right)\,dx</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

W otrzymanym w punkcie 1. wzorze

::<math>\gamma = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^x - 1}} - {\small\frac{1}{xe^x}} \right)\,dx</math>

stosujemy podstawienie <math>t = e^{- x}</math>, co daje następujące zależności

::<math>x = - \log t \qquad\qquad dx = - {\small\frac{dt}{t}}</math>

i nowe granice całkowania
:*    gdy <math>x \to 0</math>, to <math>t \to 1</math>
:*    gdy <math>x \to \infty</math>, to <math>t \to 0</math>

Podstawiając do całki, otrzymujemy

::<math>\gamma = \int_1^0 \left( \frac{1}{{\normalsize\frac{1}{t}} - 1} + \frac{1}{{\normalsize\frac{1}{t}} \log t} \right) \left( - {\small\frac{d t}{t}} \right) = \int_0^1 \left( {\small\frac{t}{1 - t}} + {\small\frac{t}{\log t}} \right) {\small\frac{d t}{t}} = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D168 
Niech <math>f(t)</math> będzie funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej <math>t</math> całkowalną w przedziale <math>[a, b]</math>. Prawdziwa jest następująca nierówność

::<math>\left| \int_a^b f(t)\,dt \right| \leqslant \int_a^b |f (t) |\,dt</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wartość całki z funkcji <math>f(t)</math> jest pewną liczbą zespoloną, którą oznaczymy jako <math>I</math>

::<math>I = \int_a^b f(t)\,dt</math>

Jeśli <math>I = 0</math>, nierówność jest oczywista. Załóżmy więc, że <math>I \neq 0</math> i zapiszmy tę liczbę (w ogólności zespoloną) w postaci wykładniczej <math>I = |I| e^{i \theta}</math>, gdzie <math>|I|</math> jest modułem, a <math>\theta</math> jest argumentem liczby <math>I</math>. Mamy

::<math>|I| = e^{- i \theta} I = e^{- i \theta} \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b e^{- i \theta} f (t)\,dt</math>

Zauważmy, że

::<math>|I| = \int_a^b [\operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t)) + i \cdot \operatorname{Im}(e^{- i \theta} f (t))]\,dt = \int_a^b \operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t))\,dt + i \int_a^b \operatorname{Im}(e^{- i \theta} f (t))\,dt</math>

Ponieważ po lewej stronie mamy liczbę rzeczywistą, to musi być

::<math>\int_a^b \operatorname{Im}(e^{- i \theta} f (t))\,dt = 0</math>

Zatem

::<math>|I| = \int_a^b \operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t))\,dt</math>

Korzystając z prostej nierówności <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant |z|</math> prawdziwej dla dowolnego <math>z \in \mathbb{C}</math>, dostajemy

::<math>|I| = \int_a^b \operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t))\,dt \leqslant \int_a^b |e^{- i \theta} f (t) |\,dt = \int_a^b |f (t) |\,dt</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D169 
Funkcja digamma ma następującą reprezentację całkową

::<math>\Psi (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{- \log t}} - {\small\frac{t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re}(z) > 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy (zobacz [[#D149|D149]]), że funkcja digamma ma postać

::<math>\Psi (z) = - \gamma + \sum_{k = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{1}{k + z}} \right) \qquad\qquad\qquad \text{dla } z \neq 0, - 1, - 2, - 3, \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> oznacza stałą Eulera.

W ogólności nie wolno zamieniać sumy nieskończonej z całką. Aby uniknąć tego problemu, będziemy rozpatrywali sumy częściowe, a odpowiadające im funkcje oznaczymy przez <math>\Psi_n (z)</math>

::<math>\Psi_n (z) = - \gamma + \sum_{k = 0}^n \left( {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{1}{k + z}} \right) \qquad\qquad\qquad \text{dla } z \neq 0, - 1, - 2, \ldots, - n</math>

Oczywiście <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \Psi_n (z) = \Psi (z)</math>.

Każdy składnik sumy zastępujemy całką z funkcji potęgowej. Zauważmy, że dla <math>k > 0</math> mamy (dla <math>k \leqslant 0</math> całka jest rozbieżna)

::<math>{\small\frac{1}{k}} = \int^1_0 t^{k - 1}\,dt</math>

W naszym przypadku, gdzie w mianownikach mamy odpowiednio <math>k + 1</math> oraz <math>k + z</math>, otrzymujemy natychmiast warunek <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>[a] oraz wzór

::<math>\Psi_n (z) = - \gamma + \sum_{k = 0}^n \int_0^1 (t^k - t^{k + z - 1})\,dt</math>

Dla skończonej liczby składników sumy możemy zamienić kolejność sumowania i całkowania. Wyłączając wspólny czynnik przed sumę, dostajemy

::<math>\Psi_n (z) = - \gamma + \int_0^1 (1 - t^{z - 1}) \left( \sum_{k = 0}^n t^k \right)\,dt</math>

Stosując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego o ilorazie <math>t</math>, otrzymujemy

::<math>\Psi_n (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} (1 - t^{n + 1})\,dt = \underset{\Psi (z)}{\underbrace{- \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt}} - \underset{R_n (z)}{\underbrace{\int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt}}</math>

Musimy wykazać, że całka

::<math>R_n (z) = \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt</math>

dąży do zera, gdy <math>n</math> rośnie do nieskończoności. W tym celu dzielimy przedział całkowania na dwa obszary, wykorzystując punkt pomocniczy <math>\delta</math> z przedziału <math>(0, 1)</math>.

::<math>R_n (z) = \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt + \int_{\delta}^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \qquad\qquad (\ast)</math>

Szacujemy pierwszą całkę określoną w przedziale <math>[0, \delta]</math>

::<math>\left| \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right| \leqslant \int_0^{\delta} \left| {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1} \right|\,dt \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\,</math> (z twierdzenia [[#D168|D168]])

::::::::<math>\leqslant \int_0^{\delta} {\small\frac{| 1 - t^{z - 1} |}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt</math>

::::::::<math>\leqslant \int_0^{\delta} {\small\frac{1 + | t^{z - 1} |}{1 - \delta}} t^{n + 1}\,dt</math>

::::::::<math>\leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \int_0^{\delta} (1 + t^{\operatorname{Re}(z) - 1}) t^{n + 1}\,dt \qquad\qquad\qquad</math> (bo <math>1 - \delta</math> to najmniejsza wartość mianownika dla <math>t \in [0, \delta]</math>)

::::::::<math>\leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \int_0^{\delta} (t^{n + 1} + t^{n + \operatorname{Re}(z)})\,dt \qquad\qquad\qquad\;\,</math> (bo <math>| t^{z - 1} | = | t^{a + i b - 1} | = | t^{a - 1} \cdot t^{i b} | = | t^{a - 1} | \cdot | e^{i \cdot b \log t} | = t^{a - 1}</math>)

::::::::<math>\leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \left( {\small\frac{\delta^{n + 2}}{n + 2}} + \frac{\delta^{n + \operatorname{Re}(z) + 1}}{n + \operatorname{Re}(z) + 1} \right)</math>

Ponieważ <math>\delta</math> jest mniejsza od <math>1</math>, to oba składniki dążą do zera wraz ze wzrostem liczby <math>n</math>.

Szacujemy drugą całkę określoną w przedziale <math>[\delta, 1]</math>. Rozważmy występującą pod całką funkcję

::<math>f(t) = {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}</math>

Jeśli dodefiniujemy <math>f(1) = z - 1</math>, to funkcja będzie funkcją ciągłą w przedziale <math>[\delta, 1]</math>, bo

::<math>\lim_{t \rightarrow 1} f (t) = \lim_{t \rightarrow 1} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} = \lim_{t \rightarrow 1} {\small\frac{- (z - 1) t^{z - 2}}{- 1}} = z - 1</math>

gdzie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Łatwo otrzymujemy

::<math>\left| \int_{\delta}^1 f (t) t^{n + 1}\,dt \right| \leqslant \int_{\delta}^1 | f (t) t^{n + 1} |\,dt</math>

::::::<math>\;\;\;\:\, \leqslant \int_{\delta}^1 | f (t) | t^{n + 1}\,dt</math>

::::::<math>\;\;\;\:\, \leqslant M \int_{\delta}^1 t^{n + 1}\,dt</math>

::::::<math>\;\;\;\:\, = M \cdot {\small\frac{1 - \delta^{n + 2}}{n + 2}}</math>

Pierwsza nierówność wynika z twierdzenia [[#D168|D168]]. Trzecią (i ostatnią) nierówność otrzymujemy z twierdzenia Weierstrassa<ref name="Weierstrass1"/> zastosowanego do funkcji rzeczywistej <math>| f (t) |</math> określonej w przedziale domkniętym <math>[\delta, 1]</math>. Na mocy tego twierdzenia <math>| f (t) |</math> jest funkcją ograniczoną w przedziale <math>[\delta, 1]</math>, czyli istnieje takie <math>M > 0</math>, że <math>| f (t) | \leqslant M</math> dla każdego <math>t \in [\delta, 1]</math>.

Możemy teraz oszacować resztę <math>R_n (z)</math> daną wzorem <math>(\ast)</math>

::<math>0 \leqslant | R_n (z) | = \left| \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt + \int_{\delta}^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right|</math>

:::::<math>\;\;\:\, \leqslant \left| \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right| + \left| \int_{\delta}^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right|</math>

:::::<math>\;\;\:\, \leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \left( {\small\frac{\delta^{n + 2}}{n + 2}} + \frac{\delta^{n + \operatorname{Re}(z) + 1}}{n + \operatorname{Re}(z) + 1} \right) + M \cdot {\small\frac{1 - \delta^{n + 2}}{n + 2}}</math>

:::::<math>\;\;\:\, < {\small\frac{\delta^{n + 1}}{1 - \delta}} \left( {\small\frac{\delta}{n + 2}} + \frac{\delta^{\operatorname{Re}(z)}}{n + \operatorname{Re}(z) + 1} \right) + {\small\frac{M}{n + 2}}</math>

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} | R_n (z) | = 0</math>. Pokazaliśmy tym samym, że

::<math>\Psi (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Psi_n (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re} (z) > 0</math>

Aby udowodnić drugi wzór

::<math>\Psi (z) = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{- \log t}} - {\small\frac{t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re} (z) > 0</math>

skorzystamy z twierdzenia [[#D167|D167]]. Mamy

::<math>\gamma = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt</math>

Podstawiając wyrażenie na <math>\gamma</math> do wzoru na <math>\Psi (z)</math>, otrzymujemy

::<math>\Psi (z) = - \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt</math>

:::<math>\;\;\: = \int_0^1 \left( - {\small\frac{1}{\log t}} - {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt</math>

:::<math>\;\;\: = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{- \log t}} - {\small\frac{t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt</math>

Co kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Całka <math>\int_0^1 t^{z - 1}\,dt</math> jest niewłaściwa w punkcie <math>t = 0</math>, bo łatwo wskazać wartości <math>z</math>, dla których wyrażenie <math>t^{z - 1}</math> dąży do nieskończoności, gdy <math>t \rightarrow 0^+</math>. W szczególności zauważmy, że całka jest rozbieżna, gdy <math>z = 0</math>. Dlatego zapiszemy ją jako granicę

::<math>\int_0^1 t^{z - 1}\,dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 t^{z - 1}\,dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( {\small\frac{t^z}{z}} \biggr\rvert_{\varepsilon}^{1} \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( {\small\frac{1^z}{z}} - {\small\frac{\varepsilon^z}{z}} \right) = {\small\frac{1}{z}} - {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon^z</math>

Zapisując <math>\varepsilon^z</math> w postaci wykładniczej, gdzie <math>z = x + iy</math>, otrzymujemy

::<math>\varepsilon^z = \varepsilon^{x + iy} = \varepsilon^x \cdot \varepsilon^{iy} = e^{x \log \varepsilon} \cdot e^{i y \log \varepsilon}</math>

Widzimy, że

::<math>0 \leqslant | \varepsilon^z | = e^{\operatorname{Re}(z) \cdot \log \varepsilon}</math>

Zatem z twierdzenia o trzech funkcjach (zobacz [[#D161|D161]] p.&hairsp;1) otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon^z = 0</math>, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie D170 
Funkcja digamma ma następującą reprezentację całkową

::<math>\Psi (z) = - \gamma + \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- zt}}{1 - e^{- t}}\,dt = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- t}}{t}} - {\small\frac{e^{- zt}}{1 - e^{- t}}} \right)\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re}(z) > 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
W twierdzeniu [[#D169|D169]] pokazaliśmy, że

::<math>\Psi (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re}(z) > 0</math>

W całce stosujemy podstawienie <math>t = e^{- x}</math>. Otrzymujemy następujące zależności

::<math>dt = - e^{- x}\,dx</math>

::<math>t^{z - 1} = (e^{- x})^{z - 1} = e^{- xz + x}</math>

oraz nowe granice całkowania
:*    gdy <math>t \to 0</math>, to <math>x \to \infty</math>
:*    gdy <math>t \to 1</math>, to <math>x \to 0</math>

Podstawiając do całki, mamy

::<math>\int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt = \int_{\infty}^0 {\small\frac{1 - e^{- xz + x}}{1 - e^{- x}}} (- e^{- x})\,dx = \int_0^{\infty} {\small\frac{1 - e^{- xz + x}}{1 - e^{- x}}} e^{- x}\,dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} - e^{- zx}}{1 - e^{- x}}\,dx</math>

Skąd natychmiast wynika pierwszy dowodzony wzór (z wydzieloną stałą <math>\gamma</math>).

Korzystamy teraz z reprezentacji całkowej stałej <math>\gamma</math> (zobacz [[#D167|D167]])

::<math>\gamma = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^t - 1}} - {\small\frac{1}{t e^t}} \right)\,dt</math>

Łącząc obydwie znalezione całki, dostajemy

::<math>\Psi (z) = - \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^t - 1}} - {\small\frac{1}{t e^t}} \right)\,dt + \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- zt}}{1 - e^{- t}}\,dt</math>

:::<math>\;\;\: = \int_0^{\infty} \left( - {\small\frac{e^{- t}}{1 - e^{- t}}} + {\small\frac{e^{- t}}{t}} \right)\,dt + \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- zt}}{1 - e^{- t}}\,dt</math>

:::<math>\;\;\: = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- t}}{t}} - {\small\frac{e^{- zt}}{1 - e^{- t}}} \right)\,dt</math>

Co kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="DirichletEta">Wikipedia, ''Funkcja η'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%B7 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_eta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannZeta">Wikipedia, ''Funkcja dzeta Riemanna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_dzeta_Riemanna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe'', [rozprawa habilitacyjna z 1854, w:] Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen vol. 13, 1868, pp. 87 - 1</ref>

<ref name="calkowalnosc1">Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.</ref>

<ref name="calkowalnosc2">W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.</ref>

<ref name="Mertens1">Wikipedia, ''Twierdzenia Mertensa'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenia_Mertensa Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems Wiki-en])</ref>

<ref name="Mertens2">Wikipedia, ''Franciszek Mertens'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Franciszek_Mertens Wiki-pl])</ref>

<ref name="Rosser1">J. B. Rosser and L. Schoenfeld, ''Approximate formulas for some functions of prime numbers'', Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, ([https://projecteuclid.org/journals/illinois-journal-of-mathematics/volume-6/issue-1/Approximate-formulas-for-some-functions-of-prime-numbers/10.1215/ijm/1255631807.full LINK])</ref>

<ref name="twierdzenie">Zobacz twierdzenie [[#D73|D73]].</ref>

<ref name="A001620">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A001620 - Decimal expansion of Euler's constant'', ([https://oeis.org/A001620 A001620])</ref>

<ref name="A083343">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant'', ([https://oeis.org/A083343 A083343])</ref>

<ref name="A138312">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant'', ([https://oeis.org/A138312 A138312])</ref>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.'', 2010, ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Wiki1">Wikipedia, ''Stałe Bruna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82e_Bruna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="A065421">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B'', ([https://oeis.org/A065421 A065421])</ref>

<ref name="Erdos1">Paul Erdős, ''Über die Reihe'' <math>\textstyle \sum {\small\frac{1}{p}}</math>, Mathematica, Zutphen B 7, 1938, 1-2.</ref>

<ref name="sumowanie1">sumowanie przez części (ang. ''summation by parts'')</ref>

<ref name="convexseq1">ciąg wypukły (ang. ''convex sequence'')</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', The Ramanujan Journal, vol. 45(1), 2018, 227-251.</ref>

<ref name="GeometricSeries1">Wikipedia, ''Szereg geometryczny'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_geometryczny Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series Wiki-en])</ref>

<ref name="CesaroSum1">Wikipedia, ''Sumowalność metodą Cesàro'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sumowalno%C5%9B%C4%87_metod%C4%85_Ces%C3%A0ro Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation Wiki-en])</ref>

<ref name="IndefiniteSum1">Wikipedia, ''Indefinite sum'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Indefinite_sum Wiki-en])</ref>

<ref name="Fasenmyer1">Sister Mary Celine Fasenmyer, ''Some Generalized Hypergeometric Polynomials'', Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 806-812</ref>

<ref name="Fasenmyer2">Sister Mary Celine Fasenmyer, ''A Note on Pure Recurrence Relations'', Amer. Math. Monthly 56 (1949), 14-17</ref>

<ref name="Zeilberger1">Doron Zeilberger, ''Sister Celine's technique and its generalizations'', Journal of Mathematical Analysis and Applications, 85 (1982), 114-145</ref>

<ref name="WilfZeilberger1">Herbert Wilf and Doron Zeilberger, ''Rational Functions Certify Combinatorial Identities'', J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 147-158</ref>

<ref name="PetkovsekWilfZeilberger1">Marko Petkovšek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, ''A = B'', AK Peters, Ltd., 1996</ref>

<ref name="JovanMikic1">Jovan Mikić, ''A Proof of a Famous Identity Concerning the Convolution of the Central Binomial Coefficients'', Journal of Integer Sequences, Vol. 19, No. 6 (2016), pp. 1 - 10, ([https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Mikic2/mikic15.html LINK])</ref>

<ref name="gamma1">Wikipedia, ''Funkcja Γ'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%93 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function Wiki-en])</ref>

<ref name="Weierstrass1">Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona i osiąga swoje kresy. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Weierstrassa_o_kresach Wiki‑pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Wiki‑en])</ref>

<ref name="Darboux1">Wikipedia, ''Twierdzenie Darboux'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Darboux Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

</references>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

2026-09-06T16:08:44Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

__FORCETOC__

== Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa ==

Definicja R1 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco

::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math>

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

W przypadku funkcji <math>\theta (x)</math> suma przebiega po wszystkich liczbach pierwszych, a w przypadku funkcji <math>\psi (x)</math> po wszystkich liczbach pierwszych i ich potęgach.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:funkcja-theta-Czebyszewa.png|700px|none]]
[[File:funkcja-psi-Czebyszewa.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R2 
Wprost z definicji wynikają wzory

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) \geqslant \theta (x)</math> dla <math>x > 0</math>

::<math>\psi (x) > \theta (x)</math> dla <math>x \geqslant 4</math>

Przykład R3 

::<math>\theta (10) = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 \approx 5.347107530</math>

::<math>\psi (10) = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 \approx 7.832014180</math>

Zadanie R4 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n}) = \sum_{n = 1}^{\lfloor \log_2 (x) \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>k, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Zauważmy, że zapisany bardzo ogólnie wzór <math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math> możemy interpretować na trzy sposoby.

'''A.''' Bierzemy kolejne liczby <math>n \leqslant x</math> i sprawdzamy, czy <math>n</math> jest potęgą pewnej liczby pierwszej <math>p</math>. Jeśli tak, to dodajemy do sumy <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania jest najbliższy zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

Tak też robiliśmy w przykładzie [[#R3|R3]].

'''B.''' Bierzemy kolejne liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> i znajdujemy wszystkie wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \underset{p^k \leqslant x}{\sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor}} \log p</math>.

'''C.''' (Modyfikacja punktu B) Zauważmy, że największy wykładnik <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> taki, że <math>p^k \leqslant x</math> znajdujemy z warunku <math>k \leqslant {\small\frac{\log x}{\log p}}</math>. Pozwala to zmodyfikować wzór na funkcję <math>\psi (x)</math> do postaci

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log x}{\log p}} \right\rfloor</math>

'''D.''' Bierzemy kolejne wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> i znajdujemy wszystkie liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p^k \leqslant x} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / k})</math>

Należy zauważyć, że wypisana suma tylko pozornie jest nieskończona. Dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>x^{1 / k} < 2</math> i <math>\theta (x^{1 / k}) = 0</math>. Zatem sumowanie przebiega tylko po <math>k \leqslant \log_2 x</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R5 
Zauważmy, że funkcja <math>\theta (x)</math> w przedziale <math>(0, n]</math> ma dokładnie <math>\pi (n)</math> zmian wartości (skoków na wykresie). Ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

wynika, że funkcja <math>\psi (x)</math> ma zmian wartości więcej, a liczba skoków wartości jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \pi (n^{1 / k}) = \pi (n) + \pi (n^{1 / 2}) + \pi (n^{1 / 3}) + \pi (n^{1 / 4}) + \ldots</math>

Zadanie R6 
Pokazać, że dla <math>x > 0</math> prawdziwe są oszacowania

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) - \theta (x) < 6 \sqrt{x}</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 1.4 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 2 x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że

::<math>\exp (\theta (x)) = \exp (\theta (\lfloor x \rfloor)) = \exp \left( \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \right) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \exp (\log p) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} p = P (\lfloor x \rfloor) < 4^{\lfloor x \rfloor} \leqslant 4^x</math>

gdzie <math>P(n)</math> jest iloczynem liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, a oszacowanie <math>P(n) < 4^n</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, pokazaliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Zatem dla <math>x \geqslant 1</math> mamy

::<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

Ponieważ <math>\theta (x) = 0</math> dla <math>x \in (0, 2)</math>, to oszacowanie <math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math> jest prawdziwe dla <math>x > 0</math>.

'''Punkt 2.'''

To oszacowanie jest słabsze niż podane w poprzednim punkcie, ale chcemy pokazać, że możemy uzyskać je jeszcze łatwiej

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \leqslant \pi (\lfloor x \rfloor) \cdot \log \lfloor x \rfloor < {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} \cdot \log \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania <math>\pi (n) < {\small\frac{2 n}{\log n}}</math> prawdziwego dla <math>n \geqslant 2</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]]).

'''Punkt 3.'''

Korzystając ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n})</math>

otrzymujemy

::<math>\psi (x) - \theta (x) = \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

:::::<math>\;\;\;\; = \theta (x^{1 / 2}) + \sum_{n = 3}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + (\lfloor \log_2 x \rfloor - 2) \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + \log_2 x \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; < 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + {\small\frac{\log x}{\log 2}} \cdot 2 \log 2 \cdot x^{1 / 3}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + 2 \cdot x^{1 / 2} \cdot {\small\frac{\log x}{x^{1 / 6}}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \left( 2 \log 2 + {\small\frac{12}{e}} \right) x^{1 / 2} \qquad\qquad</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.8)

:::::<math>\;\;\;\; < 6 \sqrt{x}</math>

'''Punkt 4.'''

Z punktów 1. i 3. mamy

::<math>\psi (x) < \theta (x) + 6 \sqrt{x} < 2 \log 2 \cdot x + 6 \sqrt{x} = 2 \log 2 \cdot x \left( 1 + {\small\frac{6}{2 \log 2 \cdot \sqrt{x}}} \right) < 1.4 x</math>

Łatwo sprawdzamy, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla

::<math>x > {\small\frac{36}{(1.4 - 2 \log 2)^2}} > 1.917 \cdot 10^5</math>

Prawdziwość oszacowania <math>\psi (x) < 1.4 x</math> dla <math>x < 2 \cdot 10^5</math> łatwo sprawdzamy w PARI/GP (zobacz zadanie [[#R11|R11]]).

'''Punkt 5.'''

Skorzystamy ze wzoru pokazanego w punkcie C rozwiązania zadania [[#R4|R4]]. Mamy

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} \right\rfloor \leqslant \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log \lfloor x \rfloor = \log \lfloor x \rfloor \cdot \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} 1 = \log \lfloor x \rfloor \cdot \pi (\lfloor x \rfloor) < \log \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R7 
Pokazać, że jeżeli jedna z granic <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}}</math> lub <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math> istnieje i jest skończona, to istnieje również druga i granice te są równe.

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówka: skorzystaj z punktu 3. zadania [[#R6|R6]]. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R8* 
Prawdziwe są następujące oszacowania<ref name="Dusart10"/><ref name="Dusart18"/>

::<math>| \theta (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad\:</math> gdzie <math>c_1 = 1.2323</math>, <math>c_2 = 3.965</math>, <math>c_3 = 20.83</math>, <math>c_4 = 151.3</math>

::<math>| \psi (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad</math> gdzie <math>c_1 = 0.85</math>, <math>c_2 = 1.66</math>, <math>c_3 = 8.16</math>, <math>c_4 = 59.18</math>

::<math>0.9999 \sqrt{x} \underset{x \geqslant 121}{<} \psi (x) - \theta (x) \underset{x > 0}{<} 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x}</math>

Uwaga R9 
Pokażemy kilka prostszych oszacowań od podanych przez Dusarta. Dowód przeprowadzimy, łącząc rezultaty podane przez Dusarta i testując poprawność postulowanych oszacowań w skończonych przedziałach liczbowych. Nim jednak przejdziemy do tego tematu, musimy omówić istotne różnice, które pojawiają się, gdy przechodzimy od sprawdzania oszacowań w punktach, czyli dla liczb naturalnych, do sprawdzania oszacowań dla liczb rzeczywistych.

Uwaga R10 
Niech <math>f(x)</math> będzie rosnącą funkcją schodkową o wartościach stałych w przedziałach <math>[x_{s - 1}, x_s)</math>. Niech <math>g(x)</math> i <math>h(x)</math> będą ciągłymi, rosnącymi funkcjami rzeczywistymi. Oszacowanie <math>h(x) < f (x) < g (x)</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu skoku <math>x_s</math> spełnione są następujące warunki

:   ●      <math>g(x_s) > f (x_s) \qquad\qquad\;\;\;\,</math> (oszacowanie od góry musimy weryfikować w punktach skoku wartości funkcji)

:   ●      <math>h(x_s) < f (x_{s - 1}) \qquad\qquad</math> (oszacowanie od dołu musimy weryfikować z wartością funkcji z poprzedniego skoku)

Ostatni punkt <math>x_s</math>, dla którego nie zachodzi pierwszy lub drugi warunek, oznaczymy przez <math>x_{\max}</math>. Różne oszacowania nie wymagają różnych oznaczeń, bo sam punkt <math>x_{\max}</math> będzie przywoływany w kontekście niebudzącym wątpliwości.

'''W przypadku oszacowania od góry''' w punkcie <math>x_{\max}</math>
po raz ostatni mieliśmy <math>g (x_{\max}) \leqslant f (x_{\max})</math>. Zatem oszacowanie <math>f(x) < g (x)</math> staje się na pewno prawdziwe dla <math>x \geqslant x_{\max + 1}</math>. W rzeczywistości, ze względu na ciągły wzrost funkcji <math>g(x)</math> na płaskim stopniu <math>[x_{\max}, x_{\max + 1})</math>, oszacowanie to może zacząć zachodzić już znacznie wcześniej – w punkcie przecięcia się funkcji <math>g(x)</math> z poziomą linią <math>y = f (x_{\max})</math>. Ujmując precyzyjnie: jeżeli <math>x_0</math> jest rozwiązaniem równania <math>g(x) = f (x_{\max})</math>, to <math>f(x) < g (x)</math> dla <math>x > x_0</math>.

'''W przypadku oszacowania od dołu''' w punkcie <math>x_{\max}</math> po raz ostatni mieliśmy <math>h (x_{\max}) \geqslant f (x_{\max - 1})</math>. Punkt <math>x_{\max}</math> jest jednocześnie punktem, od którego (włącznie z tym punktem) prawdziwe jest oszacowanie od dołu, czyli mamy: <math>h(x) < f (x)</math> dla <math>x \geqslant x_{\max}</math>. Jest tak dlatego, że w <math>x_{\max}</math> funkcja <math>f(x)</math> wykonuje skok, po którym już nigdy nie będzie mniejsza lub równa <math>h(x)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
::[[File:ilustracja-szacowania-funkcji.png|1100px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R11 
Pokazać, że prawdziwe są oszacowania
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.05 \underset{x \geqslant 1427}{<} {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \underset{1 \leqslant x \leqslant 10^{17}}{<} 0</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.02 \underset{x \geqslant 1423}{<} {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \underset{x \geqslant 467.6}{<} 0.02</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \underset{121 \leqslant x \leqslant 10^9}{<} {\small\frac{\psi (x) - \theta (x)}{\sqrt{x}}} - 1 \underset{x \geqslant 80489.8}{<} 0.2</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. - lewa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.1 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_3}{\log^3 x}} = {\small\frac{20.83}{\log^3 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{20.83}{\log^3 (10^4)}} \approx 0.02666 \ldots</math> Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowanie <math>\theta (x) > 0.95 x</math> jest prawdziwe.

'''Punkt 1. - prawa nierówność'''

Platt i Trudgian pokazali<ref name="PlattTrudgian1"/>, że oszacowanie <math>\theta (x) < x</math> nie jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 1</math>. Autorzy sprawdzili, że <math>\theta (x) < x</math> dla <math>x < 1.39 \cdot 10^{17}</math>

'''Punkt 2. - lewa i prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.2 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_2}{\log^2 x}} = {\small\frac{1.66}{\log^2 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{1.66}{\log^2 (10^4)}} \approx 0.019568 \ldots</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowania <math>\psi (x) > 0.98 x</math> oraz <math>\psi (x) < 1.02 x</math> są prawdziwe.

'''Punkt 3. - lewa nierówność'''

Tutaj nierówność <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> sprawdziliśmy dla wszystkich <math>x \leqslant 10^9</math>. Wiemy (zobacz [[#R8|R8]] p.3), że <math>\psi (x) - \theta (x) > 0.9999 \sqrt{x}</math> dla <math>x \geqslant 121</math>. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 121</math>.

'''Punkt 3. - prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.3 wiemy, że dla <math>x > 0</math> możemy napisać

::<math>\psi (x) - \theta (x) < 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x} = 1.2 \sqrt{x} \left( {\small\frac{1.00007}{1.2}} + {\small\frac{1.78}{1.2 \cdot x^{1 / 6}}} \right)</math>

Wyrażenie w nawiasie maleje dla rosnących <math>x</math> i dla <math>x = 5 \cdot 10^5</math> osiąga wartość <math>0.9998902 \ldots < 1</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 5 \cdot 10^5</math> oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) < 1.2 \sqrt{x}</math> jest prawdziwe.

Do testowania poprawności oszacowań wykorzystaliśmy prosty kod w PARI/GP. Podajemy tylko przykład dla funkcji <math>\psi (x)</math>, pozostałe Czytelnik bez trudu napisze samodzielnie. Aby skrócić czas obliczeń, program narastająco oblicza wartość <math>\psi (x)</math> i sprawdza oszacowania.

psiTest(n) =
{
'''local'''(k, kmax, linia, p, sum1, sum2, sum2max, spacje, x0);
linia = '''strjoin'''('''vector'''(50, k, "="));
spacje = '''strjoin'''('''vector'''(35, k, " "));
k = kmax = p = sum1 = sum2 = sum2max = 0;
'''while'''( k++ <= n,
'''if'''( '''isprimepower'''(k, &p), sum1 = sum2; sum2 = sum2 + '''log'''(p), '''next'''); \\ sum1 przechowuje poprzednią wartość psi
'''if'''( sum2 >= 1.02*k, kmax = k; sum2max = sum2; '''print'''(spacje, k, " ", sum2/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od góry (powinno być 1.02*k > sum2)
'''if'''( sum1 <= 0.98*k, '''print'''(k, " ", sum1/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od dołu (powinno być 0.98*k < sum1)
);
\\ oszacowanie od góry - szukamy następnego skoku po kmax
k = kmax + 1;
sum2 = sum2max;
'''while'''( !( '''isprimepower'''(k, &p) ), k++);
'''print'''(linia);
'''print'''(spacje, k, " ", (sum2 + '''log'''(p))/k );
\\ znajdujemy punkt przecięcia
x0 = '''solve'''( x = kmax, k-0.001, 1.02*x - sum2max );
'''print'''(spacje, "x0 = ", x0);
}
 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi liczb zespolonych ==

Uwaga R12 (przyjęte oznaczenia logarytmów) 
W dalszej części tekstu, w celu zachowania jednoznaczności i uniknięcia nieporozumień notacyjnych, konsekwentnie stosujemy następujące oznaczenia

<math>\ln (x) \;\;\,</math> – zwykły logarytm naturalny; stosowany wyłącznie wtedy, gdy zmienna <math>x</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą; wynik tej funkcji jest zawsze liczbą rzeczywistą

<math>\log (z) \:\,</math> – logarytm zespolony (wielowartościowy); funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych <math>z \neq 0</math>, która zwraca zbiór wartości różniących się o wielokrotność <math>2 \pi i</math>

<math>\operatorname{Log} (z)</math> – wartość główna logarytmu zespolonego; funkcja jednowartościowa (główna gałąź logarytmu), zdefiniowana jednoznacznie jako <math>\operatorname{Log} (z) = \ln | z | + i \operatorname{Arg} (z)</math>, gdzie <math>\operatorname{Arg} (z)</math> oznacza główny argument liczby zespolonej należący do przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>

Twierdzenie R13 
Niech <math>(z_k)</math> będzie ciągiem o wyrazach zespolonych. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} z_k</math> też jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>z_k = x_k + i y_k</math>. Ponieważ

::<math>0 \leqslant | x_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

::<math>0 \leqslant | y_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

to na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | x_k |</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | y_k |</math> są zbieżne. Wynika stąd, że zbieżne są też szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} x_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} y_k</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D12|D12]]). Zatem ciąg sum częściowych

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} z_k = \sum_{k = 1}^{n} x_k + i \sum_{k = 1}^{n} y_k</math>

również jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R14 
Niech <math>(z_{k_j})</math> będzie dowolnym podciągiem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]) ciągu liczb zespolonych <math>(z_k)</math>. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} z_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to szereg <math>\sum_{j = 1}^{\infty} z_{k_j}</math> też jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k | = c</math>

Zatem

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} | z_{k_j} | \leqslant c</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>S_N = \sum_{j = 1}^{N} | z_{k_j} |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R15 (kryterium Dirichleta) 
Niech <math>(a_k)</math> i <math>(b_k)</math> będą ciągami liczb zespolonych. Jeżeli
<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:   ●      <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>
</div>
:   ●      szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math> jest zbieżny

:   ●      istnieje taka stała <math>M > 0</math>, że <math>\left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant M</math> dla dowolnej liczby <math>k</math>

to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zdefiniujmy sumy częściowe

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k b_k</math>

::<math>B_n = \sum_{k = 1}^{n} b_k</math>

Dla drugiej sumy częściowej przyjmujemy dodatkowo, że <math>B_0 = 0</math>, co pozwala napisać

::<math>b_k = B_k - B_{k - 1}</math>

dla każdego <math>k \geqslant 1</math>. Możemy teraz przekształcić sumę <math>S_n</math>

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k (B_k - B_{k - 1})</math>

:::<math>= \sum_{k = 1}^{n} a_k B_k - \sum_{k = 1}^{n} a_k B_{k - 1}</math>

:::<math>= \sum_{k = 1}^{n} a_k B_k - \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j + 1} B_j</math>

:::<math>= \sum_{k = 1}^{n} a_k B_k - a_1 B_0 - \sum_{j = 1}^{n - 1} a_{j + 1} B_j</math>

:::<math>= a_n B_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k B_k - \sum_{k = 1}^{n - 1} a_{k + 1} B_k</math>

:::<math>= a_n B_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) B_k</math>

Ponieważ

::<math>0 \leqslant | a_n B_n | = | a_n | \cdot | B_n | \leqslant | a_n | \cdot M</math>

to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n B_n = 0</math>.

Zauważmy, że

::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B_k | = \sum_{k = 1}^{n - 1} | a_k - a_{k + 1} | \cdot | B_k |</math>

:::::::<math>\quad\;\, \leqslant M \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} | a_k - a_{k + 1} |</math>

:::::::<math>\quad\;\, \leqslant M \cdot U</math>

gdzie <math>U</math> jest sumą zbieżnego z założenia szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math>.

Widzimy, że sumy częściowe <math>T_{n - 1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B_k |</math> tworzą ciąg rosnący i ograniczony od góry, zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B_k |</math> jest zbieżny (zobacz [[Ciągi liczbowe#C12|C12]]). Z bezwzględnej zbieżności tego szeregu wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B_k</math> (zobacz [[#R13|R13]]). Zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R16 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zakładamy, że potęga zespolona <math>k^z</math> jest potęgą w sensie wartości głównej <math>k^z = e^{z \cdot \operatorname{Log} (k)} = e^{z \cdot \ln (k)}</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^{x + i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x k^{i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x | \cdot | k^{i y} |}} = \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^x \cdot | e^{i y \ln k} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>

Szereg po prawej stronie jest zbieżny, gdy <math>x > 1</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D50|D50]] p.6). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R17 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>z = x + i y</math>, gdzie <math>x > 0</math>. Rozważmy ciągi <math>a_k = k^{- z}</math> i <math>b_k = (- 1)^{k + 1}</math>. Natychmiast widzimy, że dla dowolnej liczby <math>k</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>\left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant 1</math>

Zauważmy, że

::<math>| a_k | = | k^{- z} | = |k^{- (x + iy)} | = |k^{- x} \cdot k^{- iy} | = k^{- x} \cdot |e^{- iy \ln (k)} | = k^{- x}</math>

Z założenia <math>x > 0</math>, zatem

::<math>\lim_{k \rightarrow \infty} | a_k | = \lim_{k \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 0</math>

Co oznacza, że również <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>.

Musimy jeszcze pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math> jest zbieżny. Aby znaleźć oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k | = \sum_{k = 1}^{\infty} | (k + 1)^{- z} - k^{- z} |</math>

zdefiniujemy funkcję pomocniczą <math>f(t) = t^{- z}</math> zmiennej rzeczywistej <math>t</math>. Zauważmy, że

::<math>f' (t) = - z t^{- z - 1}</math>

oraz

::<math>| f' (t) | = | - z | \cdot | t^{- z - 1} | = | z | \cdot | t^{- x - i y - 1}| = | z | \cdot t^{- x - 1}</math>

Zapisując różnicę <math>f(k + 1) - f (k)</math> jako całkę z pochodnej funkcji <math>f(t)</math>, uzyskamy wzór, który łatwo możemy szacować i sumować

::<math>| a_{k + 1} - a_k | = | f (k + 1) - f (k) |</math>

:::::<math>\;\:\, = \left| \int_{k}^{k + 1} f' (t) d t \right|</math>

:::::<math>\;\:\, \leqslant \int_{k}^{k + 1} \left| f' (t) \right| d t </math>

:::::<math>\;\:\, = \int_{k}^{k + 1} | z | t^{- x - 1} d t</math>

:::::<math>\;\:\, = | z | \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

Stąd już łatwo otrzymujemy oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k | \leqslant | z | \sum^{\infty}_{k = 1} \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\,\, = | z | \int_{1}^{\infty} t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\,\, = | z | \left[ - {\small\frac{t^{- x}}{x}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} \right]</math>

::::::<math>\;\;\,\, = | z | \left[ 0 + {\small\frac{1}{x}} \right]</math>

::::::<math>\;\;\,\, = {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}}</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.

Zatem na mocy kryterium Dirichleta (zobacz [[#R15|R15]]) rozpatrywany szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R18 
Pokazać, że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Założenie <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> gwarantuje nam bezwzględną zbieżność obydwu szeregów (zobacz [[#R16|R16]]). Bezwzględna zbieżność pozwala nam zapisać rozpatrywane szeregi w postaci sumy szeregów dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zauważmy, że szeregi po prawej stronie też są bezwzględnie zbieżne (zobacz [[#R14|R14]]). Odejmując stronami, dostajemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = 2 \cdot {\small\frac{1}{2^z}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta i <math>\zeta (z)</math> Riemanna ==

Uwaga R19 
Zauważmy, że szeregi

::<math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

definiują pewne funkcje różniczkowalne w obszarze <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Co więcej, w obszarze tym zachodzi tożsamość

::<math>\eta (z) = (1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>

(zobacz [[#R18|R18]]). Szereg określający funkcję <math>\eta (z)</math> jest zbieżny i definiuje funkcję różniczkowalną dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, czyli w większym obszarze. Stanowi on zatem przedłużenie analityczne funkcji zdefiniowanej pierwotnie dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> przez wyrażenie <math>(1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>.

Z zasady przedłużenia analitycznego wynika, że relacja ta musi zostać zachowana w całym nowym obszarze. W konsekwencji, dla całej półpłaszczyzny <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (z wyłączeniem punktów, gdzie <math>1 - 2^{1 - z} = 0</math>), funkcja <math>\zeta (z)</math> może być jednoznacznie zdefiniowana jako

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Zauważmy, że mianownik <math>1 - 2^{1 - z}</math> jest elementem jednowartościowej funkcji <math>\zeta (z)</math>, zatem potęga <math>2^{1 - z}</math> nie może być wieloznaczną funkcją i zawsze w takich przypadkach bierzemy wartość główną potęgi. Mamy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB30|ZB30]] p.1)

::<math>1 - 2^{1 - z} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{(1 - z) \ln 2} = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (1 - z) \ln 2 = 2 k \pi i \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1 - z = {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>

W punktach <math>z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math>, w których mianownik się zeruje, następuje jednoczesne wyzerowanie się szeregu <math>\eta (z)</math>. Otrzymana osobliwość typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math> jest usuwalna, a funkcja <math>\zeta (z)</math> przyjmuje tam skończone wartości w sensie granicy. Jedyna osobliwość, jaka pozostaje, to punkt <math>z = 1</math>.

Zadanie R20 
Niech <math>z = x + i y</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to prawdziwe są następujące oszacowania dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 0.5em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.2em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>x > 1</math> jest liczbą rzeczywistą, sumujemy wyrazy dodatnie, bo <math>{\small\frac{1}{k^x}} = e^{- x \cdot \ln (k)} > 0</math>. Niech <math>f (t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math>, gdzie <math>x > 1</math>. Mamy

::<math>f' (t) = - {\small\frac{x}{t^{x + 1}}}</math>

Czyli <math>f' (t) < 0</math> dla <math>t > 0</math> i <math>x > 1</math>, zatem <math>f(t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math> jest dla <math>x > 1</math> ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>[1, \infty)</math>. Z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]] otrzymujemy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} < 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t = 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 2.'''

Kolejną nierówność dowodzimy, korzystając ponownie z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]. Mamy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
= 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
> 1 + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t
= 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{2}^{\infty}
= 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

'''Punkt 3.'''

Z definicji <math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> dla <math>\operatorname{Re} (z) > 1</math>. Zauważmy, że

::<math>| \zeta (z) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = \zeta (x)</math>

Zatem z punktu 1. wynika natychmiast, że

::<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 4.'''

Pierwszą nierówność

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

udowodnimy w zadaniu [[#R44|R44]]. Kolejne oszacowania otrzymujemy z punktów 2. i 1.

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > \left( 1 + {\small\frac{1}{x - 1}} \right)^{- 1} = 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R21 
Pokazać, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą. Zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podstawiając bezpośrednio punkt <math>z = 1</math> do wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad (\ast)</math>

zauważamy, że licznik przyjmuje wartość <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), natomiast mianownik jest równy zero. Otrzymujemy zatem wyrażenie typu <math>{\small\frac{\ln 2}{0}}</math>, co oznacza, że całość ucieka do nieskończoności. Widzimy więc, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą.

Aby dokładniej zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w tym punkcie, przyjmijmy, że zbliżamy się do punktu <math>z = 1</math> z dowolnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej, zapisując <math>z = 1 + \Delta z</math>, gdzie <math>\Delta z \to 0</math>. Mianownik wzoru <math>(\ast)</math> przyjmuje wówczas postać

::<math>1 - 2^{1 - z} = 1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2}</math>

Wiemy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB14|ZB14]]), że dla małych wartości <math>| z |</math> prawdziwe jest przybliżenie <math>e^z \approx 1 + z</math>, zatem możemy mianownik zapisać jako

::<math>1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2} = 1 - (1 - \Delta z \cdot \ln 2) = \Delta z \cdot \ln 2</math>

Ponieważ dla <math>z \to 1</math> licznik dąży do wartości <math>\ln 2</math>, zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math> opisuje uproszczona zależność

::<math>\zeta (1 + \Delta z) \approx {\small\frac{\ln 2}{\Delta z \cdot \ln 2}} = {\small\frac{1}{\Delta z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Zatem w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> zachowuje się asymptotycznie jak <math>{\small\frac{1}{z - 1}}</math>.

::[[File:dzeta-biegun-funkcji.png|1200px|none]]

Na rysunku widzimy mapy warstwowe (poziomicowe) składowych funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math>.

Lewy wykres przedstawia poziomy części rzeczywistej <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> mamy <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Podobnie prawy wykres przedstawia poziomy części urojonej <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> mamy <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi.

Zauważmy, że wszystkie poziomice są okręgami stycznymi w punkcie <math>z = 1</math>. Warto zastanowić się, dlaczego tak jest. Pokazaliśmy wyżej, że w pobliżu punktu <math>z = 1</math> mamy[a]

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{z - 1}} = {\small\frac{1}{x + i y - 1}} = {\small\frac{1}{(x + i y - 1)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1 + i y) (x - 1 - i y)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

Zatem

::<math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\operatorname{Im}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{- y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\left| {\small\frac{1}{z - 1}} \right| = {\small\frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}}</math>

W przypadku wykresu po lewej stronie interesują nas punkty, dla których <math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right)</math> przyjmuje pewną stałą wartość <math>C</math> (gdzie <math>C \neq 0</math> ). Wynika stąd równanie

::<math>{\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}} = C</math>

::<math>(x - 1)^2 + y^2 = {\small\frac{1}{C}} (x - 1)</math>

::<math>(x - 1)^2 - {\small\frac{1}{C}} (x - 1) + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - 1 - {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2 - {\small\frac{1}{4 C^2}} + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - \left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}} \right) \right)^2 + y^2 = \left( {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2</math>

Otrzymaliśmy równanie okręgu <math>(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>. Środek tego okręgu leży w punkcie <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math>, a promień jest równy <math>R = \left| {\small\frac{1}{2 C}} \right|</math>. Zauważmy, że dla punktu <math>x = 1</math>, <math>y = 0</math> powyższe równanie jest spełnione bez względu na wartość stałej <math>C</math>. Oznacza to, że bez względu na wybór stałej <math>C</math> punkt <math>z = 1</math> zawsze leży na każdym z tych okręgów.

Widzimy też, że im większa jest stała <math>| C |</math>, tym promień okręgu <math>R = {\small\frac{1}{| 2 C |}}</math> staje się coraz mniejszy, a środek okręgu <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math> przesuwa się coraz bliżej punktu <math>z = 1</math>.

Wykresy trójwymiarowe funkcji <math>\operatorname{Re}(\zeta (z))</math>, <math>\operatorname{Im}(\zeta (z))</math>, <math>| \zeta (z) |</math> w pobliżu punktu <math>z = 1</math> Czytelnik może obejrzeć tutaj: [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(x-1)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=60;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=3.444100869426259,-7.5971635126247445,5.515548546034267,1;focus=0,0,0,1;up=-0.2070614921567268,0.6030196673762389,0.7703848513718841,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.55;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Re], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(-y)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=4.586717166130226,-6.016752754731321,6.539167525484936,1;focus=0,0,0,1;up=-0.5129496914638173,0.4216278857530943,0.7477382830794143,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.5;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Im], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=1/(sqrt((x-1)%5E2+y%5E2));funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=5.342751327864454,6.243169489324923,5.69893349462556,1;focus=0,0,0,1;up=-0.3350417095775116,-0.5673621911342946,0.752228154827157,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.6500000000000001;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-abs].

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Dokładne rozwinięcie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> ma postać

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \gamma - \gamma_1 (z - 1) + {\small\frac{\gamma_2}{2!}} (z - 1)^2 - {\small\frac{\gamma_3}{3!}} (z - 1)^3 + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> to stała Eulera, a <math>\gamma_k</math> to stałe Stieltjesa. Przykładowo

::<math>\gamma_1 \approx - 0.0728158455</math>, <math>\gamma_2 \approx - 0.0096903632</math>, <math>\gamma_3 \approx 0.0020538344</math>, <math>\gamma_4 \approx 0.0023253701</math>, <math>\gamma_5
\approx 0.0007933238</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R22 
Pokazać, że funkcja <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z)</math>. Pokazać, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podobnie jak w przypadku funkcji <math>\eta (z)</math> i <math>\zeta (z)</math> wychodzimy od obszaru <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, gdzie funkcja <math>\zeta (z)</math> jest dobrze określona przez zbieżny bezwzględnie szereg

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zapiszmy każdy składnik sumy w postaci

::<math>{\small\frac{1}{k^z}} = \int_k^{k + 1} t^{- z} dt + \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>k = 1</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\zeta (z) = \int_1^{\infty} t^{- z} dt + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Obliczając pierwszą całkę, dostajemy

::<math>\int_1^{\infty} t^{- z} dt = {\small\frac{t^{- z + 1}}{1 - z}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 0 - {\small\frac{1}{1 - z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Granica w nieskończoności wynika natychmiast z prostego spostrzeżenia

:: <math>| t^{1 - z} | = t^{1 - \operatorname{Re}(z)} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>

a jeśli tak, to również <math>t^{1 - z} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>.

Zatem

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

Pokażemy teraz, że szereg <math>g(z)</math> jest zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Zapiszmy <math>g(z)</math> w postaci

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

i oszacujmy wyrazy sumy po prawej stronie

::<math>a_k = \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

Rozważmy funkcję <math>f(x) = x^{- z}</math>. Z twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/> istnieje taka liczba <math>a \in [k, t]</math>, że

::<math>| f (k) - f (t) | = | k^{- z} - t^{- z} | = | f' (a) \cdot (t - k) | = | - z \cdot a^{- z - 1} (t - k) | = | z | \cdot | a^{- z - 1} | \cdot (t - k) = | z | \cdot a^{- \operatorname{Re}(z) - 1} (t - k) \leqslant | z | \cdot k^{- \operatorname{Re} (z) - 1} (t - k)</math>

bo dla <math>\operatorname{Re}(z) > - 1</math> wyrażenie <math>a^{- \operatorname{Re}(z) - 1}</math> jest funkcją malejącą zmiennej <math>a.</math>

Mamy

::<math>| a_k | = \left| \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t \right|</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} | k^{- z} - t^{- z} | d t</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_k^{k + 1} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_0^1 v d v</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{2 k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ostatecznie otrzymaliśmy proste oszacowanie

::<math>0 \leqslant | a_k | \leqslant {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ponieważ szereg

::<math>{\small\frac{|z|}{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} = {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (zobacz [[#R16|R16]]), to z kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math> jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0.</math>

Zgodnie z fundamentalnym w analizie zespolonej twierdzeniem o jednoznaczności, jeśli dwie funkcje różniczkowalne pokrywają się w jakimś obszarze (w tym przypadku dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>), to istnieje tylko jedno możliwe przedłużenie tej funkcji na większy obszar (<math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>). Ponieważ wzór <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math> jest różniczkowalny w tym większym obszarze, to jest on przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z).</math> Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R23 
Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wiemy (zobacz [[#R22|R22]]), że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma analityczne przedłużenie prawdziwe dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> postaci

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

Szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1) \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right)</math>

(zobacz [[#R22|R22]] i [[#R20|R20]]).

Rozważmy otoczenie <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> punktu <math>z = 1</math> o promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Takie otoczenie to zbiór punktów <math>\mathbb{C}</math> określonych nierównością <math>| z - 1 | < {\small\frac{1}{2}}</math>. Łatwo zauważamy, że w tym otoczeniu prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| z | = | (z - 1) + 1 | \leqslant | z - 1 | + | 1 | < {\small\frac{1}{2}} + 1 = {\small\frac{3}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż rysunek|Hide=Ukryj rysunek}}
[[File:okregi-i-kolo-na-C.png|400px|none]]
{{\Spoiler}}

Warunek <math>|z - 1| < {\small\frac{1}{2}}</math> spełniają punkty należące do wnętrza koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie <math>(1, 0)</math> i promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Ponieważ
część rzeczywista <math>\operatorname{Re}(z)</math> to współrzędna <math>x</math> na płaszczyźnie zespolonej, to musi być <math>\operatorname{Re}(z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} < 2</math>

Zbierając, otrzymujemy, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60|ZB60]] wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = \lim_{z \rightarrow 1} \left[ (z - 1) \left( {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z) \right) \right] = \lim_{z \rightarrow 1} [1 + (z - 1) g (z)] = 1 + \lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R24 
Pokazać, że <math>g(1) = \gamma</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x^z}} dx \right)</math>

a <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R22|R22]] pokazaliśmy, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny w półpłaszczyźnie <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Ponieważ punkt <math>z = 1</math> leży wewnątrz tego obszaru, możemy bezpośrednio podstawić <math>z = 1</math> i obliczyć sumę szeregu <math>g(1) .</math> Rozważmy sumy częściowe

::<math>g_N (1) = \sum_{k = 1}^N \left( {\small\frac{1}{k}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^N \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \int_1^{N + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \Bigr[ \ln (x) \bigr\rvert_{1}^{N + 1} \Bigr]</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N + 1)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) - \ln \left( {\small\frac{N + 1}{N}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] - \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right)</math>

Przechodząc z <math>N</math> do nieskończoności, otrzymujemy<ref name="Euler1"/>.

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] = \gamma</math>

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right) = 0</math>

Zatem <math>g(1) = \lim_{N \rightarrow \infty} g_N (1) = \gamma</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R25 
Niech <math>z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Funkcję dzeta Riemanna definiujemy następująco

::<math>\zeta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) > 1 & \text{pierwotna definicja funkcji dzeta Riemanna} \\[2ex]

\infty & \text{gdy } z = 1 & \text{jedyny punkt rozbieżności (szereg harmoniczny)} \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \tfrac{1}{2} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1 \qquad z \neq 1 & \text{przedłużenie analityczne przez funkcję } \eta \text{ Dirichleta} \\[2ex]

\displaystyle 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} \qquad z \neq 0 & \text{równanie funkcyjne Riemanna} \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Wiersze drugi i piąty w powyższej definicji nie tyle definiują, co informują Czytelnika o zachowaniu funkcji <math>\zeta (z)</math> w punktach <math>z = 1</math> i <math>z = 0</math> (punkt <math>z = 1</math> nawet nie należy do dziedziny funkcji dzeta). Zdecydowaliśmy się je zamieścić, bo są to punkty, o które natychmiast pytamy, patrząc na wzory. Dodatkowo punkty te wiąże równanie funkcyjne Riemanna.

Zauważmy, że funkcja <math>\zeta (z)</math> nie jest funkcją wielowartościową – dlatego w definicji bierzemy wartości główne potęg zespolonych <math>k^z, 2^z, \pi^{z - 1}</math>. Aby określić wartości <math>\zeta (z)</math> dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> moglibyśmy użyć dowolnego przedłużenia analitycznego funkcji <math>\zeta (z)</math>.

Zadanie R26 
Pokazać na podstawie definicji funkcji <math>\zeta (z)</math>, że funkcja <math>\eta (z)</math> może być określona dla wszystkich <math>z \in \mathbb{C}</math> następująco

::<math>\eta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) \geqslant \tfrac{1}{2} & \text{szereg zbieżny dla } \operatorname{Re}(z) > 0 \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} & \text{równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji } \eta (z) \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Uwaga R27 
Równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]])

::<math>- {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

łączy wartości funkcji <math>\eta (z)</math> z przedziału <math>{\small\frac{1}{2}} < \operatorname{Re}(z) < 1</math> z wartościami funkcji <math>\eta (z)</math> w przedziale <math>0 < \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math>. Jest to związek zaskakujący – zupełnie nie widać powodu, dla którego sumy szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 4}}} \approx 0.554487386</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{3 / 4}}} \approx 0.651115680</math>

miałyby być ze sobą powiązane. A jednak wiąże je współczynnik, którego wartość możemy łatwo policzyć

::<math>- {\small\frac{2^{1 / 4} - 2}{2^{1 / 4} - 1}} \cdot \pi^{- 3 / 4} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi}{8}} \right) \Gamma \left( {\small\frac{3}{4}} \right) \approx 0.851595812</math>

Zadanie R28 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Pokazać, że <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>, gdzie <math>B_n</math> są liczbami Bernoulliego (zobacz [[Wzór Eulera-Maclaurina#E6|E6]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (0)}</math>

Pierwszy sposób 

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right] = 2^0 \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} \cdot \lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)]</math>

Pierwszą granicę po prawej stronie policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{1} = {\small\frac{\pi}{2}}</math>

Drugą granicę już znamy (zobacz [[#R23|R23]])

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} [- z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} \{ [(1 - z) - 1] \cdot \zeta (1 - z) \} = - \lim_{w \rightarrow 1} [ (w - 1) \cdot \zeta (w) ] = - 1</math>

Zatem <math>\zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>.

Drugi sposób 

Korzystając z odpowiednika równania funkcyjnego Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]])

::<math>\eta (z) = - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) \right] = - (- 1) \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \eta (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1}</math>

Wiemy, że <math>\eta (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Ostatni czynnik po prawej stronie to wyrażenie nieoznaczone typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math>. Jego wartość policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right) \cdot \tfrac{\pi}{2}}{2^z \cdot \ln 2} = {\small\frac{\pi}{2 \ln 2}}</math>

Łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy <math>\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Ze wzoru <math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>, który stanowi przedłużenie funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>0 < \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math>, otrzymujemy w granicy, gdy <math>z</math> dąży do zera, że

::<math>\zeta (0) = - \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać.

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k + 1)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

i pamiętając o tym, że<ref name="Baselproblem1"/>

::<math>\zeta (2 k) = \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

dostajemy (zobacz [[#R25|R25]], [[Szeregi liczbowe#D143|D143]] p.2)

::<math>\zeta (- 2 k + 1) = 2^{- 2 k + 1} \pi^{- 2 k} \sin \left( - {\small\frac{\pi (2 k - 1)}{2}} \right) \Gamma (2 k) \zeta (2 k)</math>

:::::<math>\;\;\; = \frac{2 (- 1)^k}{2^{2 k} \pi^{2 k}} \cdot (2 k - 1) ! \cdot \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math>

:::::<math>\;\;\; = - {\small\frac{B_{2 k}}{2 k}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta (- 2 k) = 2^{- 2 k} \pi^{- 2 k - 1} \sin \left( - {\small\frac{2 k \pi}{2}} \right) \Gamma (2 k + 1) \zeta (2 k + 1) = 0</math>

bo <math>\sin (k \pi) = 0</math>.

Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R29 
Na wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant 0</math> możemy patrzeć jedynie jako na funkcję zdefiniowaną równaniem funkcyjnym Riemanna. Ale możemy spojrzeć też tak, jakby była ona sposobem przypisywania konkretnych liczb szeregom ewidentnie rozbieżnym. Przykładowo

::<math>\zeta (- n) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^n = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>

Najciekawsze jest to, że przypisania te są zgodne z wcześniejszymi próbami matematyków w tej kwestii (zobacz [[Szeregi liczbowe#D109|D109]]). W poniższym zadaniu pokazujemy kilka dalszych przykładów.

Zadanie R30 
Uzasadnić, dlaczego mamy: <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 2) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \eta (z)</math>

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}}</math>

Rozważmy szereg geometryczny zbieżny dla <math>| t | < 1</math>

::<math>{\small\frac{1}{1 + t}} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast)</math>

Widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{2}} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \eta (0)</math>

Zatem

::<math>\zeta (0) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 0}}} \cdot \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 1) = {\small\frac{1}{4}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}}</math>

Różniczkując obie strony wzoru <math>(\ast)</math>, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{(1 + t)^2}} = 1 - 2 t + 3 t^2 - 4 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Ponownie widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, mamy

::<math>{\small\frac{1}{4}} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = \eta (- 1)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 1) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 1)}}} \cdot \eta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 2) = 0}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2) = 0}</math>

Mnożąc obie strony równania <math>(\ast \ast)</math> przez <math>t</math> i różniczkując, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1 - t}{(1 + t)^3}} = 1 - 4 t + 9 t^2 - 16 t^3 + 25 t^4 - 36 t^5 + \ldots</math>

W granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>0 = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - 36 + \ldots = \eta (- 2)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 2) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 2)}}} \cdot \eta (- 2) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R31 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla każdego <math>x > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{1}{2}} < \eta (x) < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji <math>\eta (x)</math> mamy

::<math>\eta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n^x}} = 1 - {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} - {\small\frac{1}{4^x}} + \ldots</math>

Zauważmy, że ciąg <math>a_n = {\small\frac{1}{n^x}}</math> jest silnie malejący, bo funkcja <math>f(t) = t^x</math> jest silnie rosnąca dla <math>t, x \in \mathbb{R}_+</math>. Zatem <math>\eta (x)</math> spełnia kryterium Leibniza i z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D5|D5]] wynika, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math> oraz dostajemy oszacowanie <math>1 - {\small\frac{1}{2^x}} < \eta (x) < 1</math>. Skąd natychmiast wynika, że <math>0 < \eta (x) < 1</math>. Dokładniejsze oszacowanie od dołu będzie dłuższe, ale przekształcenia są zaskakująco proste.

Ponieważ szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math>, to możemy grupować wyrazy. Grupując je po dwa, możemy napisać

::<math>\eta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dla <math>0 < x \leqslant 1</math> nie możemy rozbić prawej strony na sumę osobnych szeregów, ponieważ składowe szeregi są rozbieżne i otrzymalibyśmy symbol nieoznaczony <math>[\infty - \infty]</math>. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{j = 1}^{N - 1} {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{j = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

W granicy, gdy <math>N</math> dąży do nieskończoności, wracamy do szeregu <math>\eta (x)</math>
z wydzielonym składnikiem <math>{\small\frac{1}{2}}</math> i teraz będziemy mogli uzyskać postulowane oszacowanie

::<math>\eta (x) = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N</math>

:::<math>\;\;\, = \lim_{N \rightarrow \infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \right\}</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} - 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} \left[ {\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} \right] - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right\}</math>

:::<math>\;\;\, \geqslant {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} \cdot {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad \text{bo } \; {\small\frac{1}{2}} (a + b) \geqslant \sqrt{a b} \;\;</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A38|A38]])

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2 - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, > {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}}</math>

Na zakończenie warto zobaczyć, jak <math>\eta (x)</math> wygląda na wykresie.

::[[File:eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png|540px|none]]

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R32 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\zeta (x)</math> ma wartości rzeczywiste. Omówić zachowanie funkcji <math>\zeta (x)</math> w punkcie <math>x = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant x \leqslant 1</math> mamy <math>\zeta (x) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - x}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>x < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\zeta (x) = 2^x \pi^{x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 - x) \zeta (1 - x)</math>. Ponieważ <math>1 - x > {\small\frac{1}{2}}</math>, to funkcja <math>\zeta (1 - x)</math> jest rzeczywista, podobnie jak pozostałe czynniki. Zatem i w tym przedziale <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Zauważmy, że ponieważ dla <math>x > 0</math> funkcja <math>\eta (x)</math> jest zawsze dodatnia (zobacz [[#R31|R31]]), to o znaku funkcji dzeta Riemanna <math>\zeta (x)</math> w tym obszarze decyduje wyłącznie znak czynnika łączącego obie funkcje

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{\eta (x)}{1 - 2^{1 - x}}}</math>

Co bardzo dobrze widzimy na wykresie

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-1.png|550px|none]]

Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> (zobacz [[#R25|R25]]) dla <math>x \geqslant 1</math> możemy napisać

::<math>\zeta (- x) = - 2^{- x} \pi^{- x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)</math>

Wiemy, że dla <math>x = 2</math> mamy <math>\zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} \approx 1.644934</math><ref name="Problembazylejski1"/>. Widzimy, że o zachowaniu funkcji <math>\zeta (x)</math> w przedziale <math>(- \infty, - 1]</math> decydują pozostałe czynniki, bo <math>\zeta (1 + x)</math> jest niewielką liczbą z przedziału <math>(1, 1.65)</math>.

::<math>\zeta (- x) = - {\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right)</math>

Ponieważ <math>\Gamma (1 + x) \sim \sqrt{2 \pi x} \cdot x^x e^{- x}</math> dla dużych <math>x</math>, to dla dużych <math>x</math> mamy <math>{\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \sim \sqrt{{\small\frac{2 x}{\pi}}} \cdot \left( {\small\frac{x}{2 \pi e}} \right)^x</math>. Co oznacza stały wzrost amplitudy oscylacji dla dużych ujemnych liczb rzeczywistych.

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-2.png|600px|none]]

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

Gdy <math>x > 1</math> funkcję dzeta definiujemy następująco

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

Wiemy, że dla <math>x > 1</math> jest

::<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

(zobacz [[#R20|R20]]). Zatem w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \rightarrow 1^+} \left[ 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}} \right] = + \infty</math>

Skąd wynika, że

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) = + \infty</math>

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica lewostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^-}</math>

Dla <math>x < 1</math> korzystamy ze wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Dla <math>x</math> rzeczywistych mamy

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{2^x}{2^x - 2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

Gdy <math>x \rightarrow 1^-</math> szereg naprzemienny jest zbieżny do <math>\ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), ale mianownik ułamka <math>{\small\frac{2^x}{2^x - 2}}</math> dąży do zera przez wartości mniejsze od zera, zatem

::<math>\lim_{x \to 1^-} \zeta (x) = - \infty</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R33 
Wszystkie wzory pozwalające wyjść poza obszar <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> zawdzięczamy przełomowej pracy<ref name="Riemann1"/> Bernharda Riemanna z 1859 roku. Była to jego jedyna publikacja z zakresu teorii liczb. W swojej pracy Riemann

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Potraktował zmienną <math>z</math> jako liczbę zespoloną, co otworzyło drogę do zastosowania narzędzi analizy zespolonej.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Udowodnił, że funkcję zdefiniowaną pierwotnie tylko dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> można przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną (z jedynym punktem rozbieżności w <math>z = 1</math>).

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował i udowodnił fundamentalne równanie funkcyjne, ukazujące wewnętrzną symetrię funkcji dzeta względem tzw. prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Pokazał, że rozkład liczb pierwszych jest bezpośrednio związany z miejscami zerowymi funkcji <math>\zeta (z)</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował słynną hipotezę Riemanna, która stwierdza, że wszystkie nietrywialne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą dokładnie na prostej krytycznej, czyli <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Sprawdzono<ref name="PlattTrudgian2"/>, że wszystkie zera postaci <math>z = x + i y</math> dla <math>0 < y \leqslant 3 \cdot 10^{12}</math> mają <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
Poniżej mamy wykres funkcji <math>{\small\frac{1}{| \zeta (z) |}}</math>. Ostre piki odpowiadają pierwszym pięciu nietrywialnym zerom funkcji zeta <math>z_k = {\small\frac{1}{2}} + i y_k</math>, gdzie <math>y_1 \approx 14.13</math>, <math>y_2 \approx 21.02</math>, <math>y_3 \approx 25.01</math>, <math>y_4 \approx 30.42</math>, <math>y_5 \approx 32.94</math>.
::[[File:dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png|800px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R34 
Podstawowe własności funkcji <math>\zeta (z)</math>.

'''1. Miejsca zerowe'''

:*&emsp; trywialne: <math>\zeta (- 2 k) = 0 \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>

:*&emsp; nietrywialne: <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \pm i y_k \right) = 0 \qquad</math> gdzie <math>y_1 \approx 14.1347</math>, <math>y_2 \approx 21.0220</math>, <math>y_3 \approx 25.0108</math>, <math>y_4 \approx 30.4248</math>, <math>y_5 \approx 32.9350</math>, <math>y_6 \approx 37.5861</math>, <math>\ldots</math>

'''2. Wartości dla nieujemnych liczb parzystych'''

::<math>\zeta (2 k) = {\small\frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}} \qquad</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (2) = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, <math>\zeta (4) = {\small\frac{\pi^4}{90}}</math>, <math>\zeta (6) = {\small\frac{\pi^6}{945}}</math>, <math>\zeta (8) = {\small\frac{\pi^8}{9450}}</math>, <math>\zeta (10) = {\small\frac{\pi^{10}}{93555}}</math>

'''3. Wartości dla ujemnych liczb całkowitych'''

::<math>\zeta (- k) = - {\small\frac{B_{k + 1}}{k + 1}} \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 3) = {\small\frac{1}{120}}</math>, <math>\zeta (- 5) = - {\small\frac{1}{252}}</math>, <math>\zeta (- 7) = {\small\frac{1}{240}}</math>

'''4. Inne szczególne wartości i punkty'''

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \approx - 1.4603</math>, <math>\zeta (1) = \infty</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{3}{2}} \right) \approx 2.6123</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{5}{2}} \right) \approx 1.3414</math>, <math>\zeta (3) \approx 1.2020</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{7}{2}} \right) \approx 1.1267</math>

'''5. Ważne granice'''

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow - \infty} | \zeta (z) | = + \infty \qquad\quad\,</math> (granica dla <math>\zeta (z)</math> nie istnieje, ponieważ funkcja wpada w nieograniczone oscylacje)

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty \qquad\qquad\quad\:\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) = + \infty \qquad\qquad\quad\;\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} \zeta (z) = \infty \qquad\qquad\qquad\;\;\;</math> (ogólna granica zespolona)

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} \left( \zeta (z) - {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = \gamma \qquad</math> gdzie <math>\gamma \approx 0.5772</math> jest stałą Eulera

Uwaga R35 
Mówimy o miejscach zerowych '''trywialnych''', ponieważ ich istnienie wynika bezpośrednio z samej struktury równania funkcyjnego

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Dla każdej ujemnej liczby parzystej człon <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math> zeruje się, podczas gdy pozostałe elementy wzoru przyjmują skończone wartości (zobacz też zadanie [[#R28|R28]]).

Wszystkie pozostałe ('''nietrywialne''') miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą wewnątrz tzw. pasa krytycznego <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math>. Słynna hipoteza Riemanna zakłada, że leżą one dokładnie na jego środku – czyli na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Udowodnienie tego faktu jest jednym z najtrudniejszych wyzwań w historii matematyki.

Zadanie R36 
Pokazać, że <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\bar{z})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.1).

Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:

Dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\overline{(k^z)}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right)} = \frac{1}{1 - 2^{1 - \bar{z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Zauważmy, że dla <math>\operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\operatorname{Re}(1 - z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right)} = \overline{(2^z)} \cdot \overline{\pi^{z - 1}} \cdot \overline{\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)} \cdot \overline{\Gamma (1 - z)} \cdot \overline{\zeta (1 - z)} = 2^{\bar{z}} \pi^{\bar{z} - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi \bar{z}}{2}} \right) \Gamma (1 - \bar{z}) \zeta (1 - \bar{z}) = \zeta (\bar{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.2 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3 oraz udowodnionych wyżej przypadków. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Wykres funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej ==

Uwaga R37 
Wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> zależą tylko od jednej zmiennej <math>t</math>. Oczywiście <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math> są wartościami zespolonymi, a ich obrazem na płaszczyźnie zespolonej będzie pewna krzywa. Wiemy, że

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 / 2 - i t}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 2 + i t}}}</math>

ale z tego wzoru możemy policzyć co najwyżej kilka punktów. Do sporządzenia wykresów takich, jak te niżej, korzystamy z zaimplementowanej w systemach obliczeniowych funkcji <math>\zeta (z)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-0-do-43.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-0-do-17.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż więcej wykresów|Hide=Ukryj więcej wykresów}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-17-do-22.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-22-do-27.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-27-do-32.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-32-do-37.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-37-do-40.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-40-do-43.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>Z(t)</math> Riemanna-Siegla ==

Zadanie R38 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że funkcję

::<math>\chi (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

określoną dla <math>z \neq 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, można równoważnie zapisać w postaci

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Funkcja <math>\Gamma (z)</math> nie jest określona dla <math>z = - n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Zatem funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> nie jest określona dla <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ale wyrażenie <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z)</math> dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ma dobrze określoną granicę skończoną. Istotnie, korzystając ze wzoru [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5 i stosując regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \right]
= \lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)} \cdot {\normalsize\frac{\pi}{\Gamma (z)}}} \right]
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)}}
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi \cdot \cos (\pi z)}}
= (- 1)^k \cdot {\small\frac{\pi}{2 (2 k - 1) !}}</math>
</div>

Podobnie funkcja <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math> nie jest określona dla <math>z = 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i w tych punktach drugi wzór ucieka do nieskończoności. W efekcie obie funkcje mają identyczną dziedzinę: <math>\mathbb{C} \setminus \{2 n + 1 : n \in \mathbb{N}_0 \}</math>.

Korzystając ze wzoru Legendre'a na podwajanie

::<math>\Gamma \! \left( 2 z \right) = 2^{2 z - 1} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad\qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

mamy

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) = \Gamma \! \left( 2 \cdot {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) \qquad\qquad (\ast)</math>

Podstawiając <math>z \mapsto {\small\frac{z}{2}}</math> we wzorze na dopełnienie funkcji gamma (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5)

::<math>\Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad\qquad z \notin \mathbb{Z}</math>

dostajemy

::<math>\Gamma \! \left( {\small\frac{z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) = {\normalsize\frac{\pi}{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}} \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Dzieląc stronami równania <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math>

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} = {\normalsize\frac{2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}
= 2^z \pi^{1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= 2^z \pi^{- 1 / 2} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

Skąd wynika, że

::<math>\pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}
= 2^z \pi^{z - 1} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= \chi (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R39 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> moduł funkcji <math>\chi (z)</math> jest równy <math>1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ (zobacz [[#R38|R38]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> mamy (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Zatem

::<math>\left| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right| = 1</math>

bo <math>| \pi^{i t} | = | e^{i t \cdot \log \pi} | = 1</math> oraz <math>| \overline{z} | = | z |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R40 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> funkcja

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

jest rzeczywista.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R39|R39]] pokazaliśmy, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> jest <math>| \chi (z) | = 1</math>. Niech <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>. Mamy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)}</math>

gdzie <math>\varphi (t)</math> jest pewnym kątem.

Ponieważ

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right) = \zeta \left( \overline{ {\small\frac{1}{2}} + i t } \right) = \overline{ \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) }</math>

to z równania funkcyjnego dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

::<math>\zeta (z) = \chi (z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right)</math>

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t) / 2} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \overline{e^{- i \varphi (t) / 2}} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

Zatem funkcja

::<math>Z(t) = e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \theta (t)} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie <math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} i \varphi (t)</math>, jest rzeczywista.

Ponieważ (zobacz [[#R38|R38]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>, otrzymujemy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \log \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \log \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

Zatem

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.

Niżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math>. Użyliśmy specyficznego wykresu biegunowego z odległością wyskalowaną logarytmicznie i początkiem w punkcie <math>r = 10^{- 6}</math>.

::[[File:gamma-skala-logarytmiczna.png|700px|none]]

Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

możemy zapisać w postaci

::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

::[[File:log-gamma.png|700px|none]]

Analizując gładki przebieg wykresu na rysunku, należy zauważyć, że część urojona płynnie rośnie i nie ogranicza się do przedziału od <math>- \pi</math> do <math>\pi</math>, czego moglibyśmy się spodziewać. Jednak nie realizujemy w tym przypadku prostego obliczania logarytmu funkcji gamma, co dla przykładu zapisalibyśmy w PARI/GP jako <code>log(gamma(1/4 + I*t/2))</code>, lecz używamy specjalnej funkcji do wyliczenia tego logarytmu (w środowisku PARI/GP byłaby to funkcja <code>lngamma(1/4 + I*t/2)</code>). Algorytm tej funkcji został napisany tak, aby dla każdego punktu <math>t</math> wyliczany był prawdziwy, narastający argument, odpowiadający narastającemu argumentowi funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math>. Narastanie argumentu funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math> było bardzo dobrze widoczne na poprzednim wykresie, ale w przypadku logarytmu już tak nie jest i dlatego kwestia ta wymagała wyjaśnienia. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R41 
Funkcje

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

i

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R40|R40]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \log t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\log \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

A przebieg funkcji <math>\theta (t)</math> widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-theta-function.png|700px|none]]

Ponieważ <math>e^{i \theta (t)} \neq 0</math>, to funkcja rzeczywista <math>Z(t)</math> i zespolona <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math> zerują się dokładnie w tych samych miejscach. Oczywiście szukanie miejsc zerowych funkcji rzeczywistej jest znacznie łatwiejsze niż szukanie miejsc zerowych funkcji zespolonej i dokładnie dlatego funkcja <math>Z(t)</math> została skonstruowana. Konsekwentnie mamy <math>| Z (t) | = \left| \zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right) \right|</math>, co najlepiej widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-Z-function.png|1000px|none]]

gdzie dodatnia część rzeczywistej funkcji <math>Z(t)</math> pokrywa się z modułem zespolonej funkcji <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math>.

== Przedstawienie funkcji <math>\zeta (z)</math> w postaci iloczynu nieskończonego ==

Twierdzenie R42 (Leonhard Euler, 1737) 
Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - {\small\frac{1}{p^z}}}</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy (zobacz [[#R16|R16]]), że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny. Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> możemy napisać

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j)^z}} + \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}}</math>

Z zadania [[#R14|R14]] wynika, że oba szeregi po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne. Łatwo widzimy, że

::<math>{\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = {\small\frac{1}{2^z}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zatem

::<math>\zeta (z) - {\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 3)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

Widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>2</math>.

Ponownie łatwo zauważamy, że

::<math>{\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{3^z}} \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 j + 3)^z}}</math>

Zatem

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) - {\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>3</math>.

Postępując mniej formalnie możemy napisać

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + \ldots</math>

Jednocześnie

::<math>{\small\frac{1}{5^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + {\small\frac{1}{55^z}} + {\small\frac{1}{65^z}} + {\small\frac{1}{85^z}} + {\small\frac{1}{95^z}} + {\small\frac{1}{115^z}} + {\small\frac{1}{125^z}} + \ldots</math>

Zatem obliczając różnicę, dostajemy

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + \ldots</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>5</math>.

Jeśli będziemy powtarzali tę operację dla kolejnych liczb pierwszych, to po prawej stronie zostaną usunięte wszystkie ułamki (ponieważ każda liczba naturalna większa od 1 dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą) i zostanie nam tylko liczba 1

::<math>\ldots \left( 1 - {\small\frac{1}{7^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1</math>

Co możemy zapisać w postaci

::<math>\left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right] \cdot \zeta (z) = 1</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych. Czyli

::<math>\zeta (z) = \left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right]^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right)^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - \tfrac{1}{p^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R43 
Pokazać, że układ równań

::<math>\begin{cases}
\; | 1 - p^z | = 1 + | p^z | \\
\; | 1 - q^z | = 1 + | q^z | \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>p, q</math> są różnymi liczbami pierwszymi, nie ma rozwiązania.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy pierwsze równanie – wnioski dla drugiego będą analogiczne. Dla liczb zespolonych <math>w_1, w_2</math> prawdziwa jest nierówność trójkąta (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.6)

::<math>| w_1 + w_2 | \leqslant | w_1 | + | w_2 |</math>

Równość <math>| w_1 + w_2 | = | w_1 | + | w_2 |</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby <math>w_1, w_2</math> leżą na tej samej półprostej o początku w punkcie <math>w = 0</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]]). Jeśli przyjmiemy <math>w_1 = 1</math>, to liczba <math>w_2 = - p^z</math> musi być rzeczywista i nieujemna. Zatem musi być <math>p^z \leqslant 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>, możemy teraz warunek <math>p^z \leqslant 0</math> zapisać w postaci

::<math>p^z = e^{(x + i y) \cdot \ln (p)} = e^{x \cdot \ln (p)} \cdot e^{i y \cdot \ln (p)} = p^x \cdot (\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p)) \leqslant 0</math>

Ponieważ <math>p^x > 0</math>, to otrzymujemy

::<math>\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p) \leqslant 0</math>

Liczba <math>p^z</math> musi być liczbą rzeczywistą, zatem <math>\sin (y \cdot \ln p) = 0</math>, czyli <math>\cos (y \cdot \ln p) = \pm 1</math> i, aby była spełniona wypisana nierówność, musi być <math>\cos (y \cdot \ln p) = - 1</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>y \cdot \ln p = (2 m_p + 1) \pi</math>

gdzie <math>m_p \in \mathbb{Z}</math>. Zatem z rozważanego równania wynika ograniczenie na możliwe wartości <math>y</math>

::<math>y = {\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}}</math>

Z drugiego równania dostajemy analogiczne ograniczenie

::<math>y = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, to

::<math>{\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}} = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

::<math>(2 m_p + 1) \cdot \ln q = (2 m_q + 1) \cdot \ln p</math>

::<math>\ln (q^{(2 m_p + 1)}) = \ln (p^{(2 m_q + 1)})</math>

::<math>q^{(2 m_p + 1)} = p^{(2 m_q + 1)}</math>

Powyższa równość zachodzi tylko w przypadku, gdy <math>2 m_p + 1 = 2 m_q + 1 = 0</math>, ale jest to niemożliwe, bo obie liczby są liczbami nieparzystymi. Zatem nie istnieje wspólna wartość <math>y</math>, a to oznacza, że układ równań nie posiada rozwiązania <math>z \in \mathbb{C}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R44 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> i <math>z = x + i y</math>. Korzystając ze wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

pokazać, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 1em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. – oszacowanie od góry'''

Zauważmy, że dla <math>x > 1</math> i <math>p \geqslant 2</math> mamy <math>p^{- x} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{p}} \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>| 1 - p^{- z} | \geqslant | | 1 | - | p^{- z} | | = | 1 - p^{- x} | = 1 - p^{- x}</math>

Korzystając z powyższej nierówności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} \leqslant \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} = \zeta (x)</math>

'''Punkt 1. – oszacowanie od dołu'''

Zauważmy, że

::<math>| 1 - p^{- z} | \leqslant | 1 | + | p^{- z} | = 1 + p^{- x} = {\small\frac{(1 + p^{- x}) (1 - p^{- x})}{1 - p^{- x}}} = {\small\frac{1 - p^{- 2 x}}{1 - p^{- x}}}</math>

Z zadania [[#R43|R43]] wynika, że równość <math>| 1 - p^{- z} | = | 1 | + | p^{- z} |</math> może zachodzić dla co najwyżej jednej liczby pierwszej <math>p</math>, co oznacza, że dla pozostałych liczb pierwszych powyższa nierówność musi być ostra. Zatem dostajemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} > \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1 - p^{- x}}{1 - p^{- 2 x}}} = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- 2 x}}} \cdot \prod_{p \geqslant 2} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = \zeta (2 x) \cdot \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \operatorname{Log} \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z})</math>

Ponieważ

::<math>| p^{- z} | = p^{- \operatorname{Re}(z)} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{2}}</math>

to możemy wykorzystać fakt, że dla <math>| w | < 1</math> funkcję <math>\operatorname{Log} (1 - w)</math> można rozwinąć w zbieżny szereg postaci

::<math>\operatorname{Log} (1 - w) = - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{w^k}{k}} = - w - {\small\frac{w^2}{2}} - {\small\frac{w^3}{3}} - {\small\frac{w^4}{4}} - {\small\frac{w^5}{5}} - \ldots</math>

Otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z}) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 3.'''

Z punktu 2. wiemy, że

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{p^{- k z}}{k}} = {\small\frac{p^{- k (x + i y)}}{k}} = {\small\frac{p^{- k x - i k y}}{k}} = {\small\frac{p^{- i k y}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{e^{- i k y \cdot \ln (p)}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

to możemy napisać

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Korzystając ze wzoru <math>\ln | z | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.1), otrzymujemy

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>

:::::<math>\;\;\;\;\,\, = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Zera funkcji <math>\zeta (z)</math> ==

Twierdzenie R45 
Funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera dla wszystkich <math>z</math> spełniających warunek <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) > 1}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R44|R44]] p.1)

::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R20|R20]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

Skoro <math>| \zeta (x + i y) | \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
[[File:dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png|850px|none]] 
[[File:dzeta-odwrotnosc.png|850px|none]]
□
{{\Spoiler}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) = 1}</math>

Fakt, że funkcja dzeta Riemanna nie posiada miejsc zerowych na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math>, udowodnili w 1896 roku niezależnie od siebie dwaj matematycy: Jacques Hadamard<ref name="Hadamard1"/> i Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref name="Poussin1"/>. Pomysł wykorzystania do dowodu nierówności <math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math> jest późniejszy i pochodzi od Franciszka Mertensa<ref name="Mertens1"/>.

Zauważmy, że

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math>

bo

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) = 3 + 4 \cos (\theta) + 2 \cos^2 (\theta) - 1 = 2 (1 + \cos (\theta))^2 \geqslant 0</math>

Korzystając ze wzoru

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

łatwo wyliczamy, że

::<math>3 \ln | \zeta (x) | + 4 \ln | \zeta (x + i y) | + \ln | \zeta (x + 2 i y) | = \sum_p \sum_{m = 1}^{\infty} {\small\frac{3 + 4 \cos (m y \cdot \ln (p)) + \cos (2 m y \cdot \ln (p))}{m \cdot p^{m x}}}</math>

Ponieważ prawa strona jest sumą liczb nieujemnych, to

::<math>\ln (| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) |) \geqslant 0</math>

Czyli

::<math>| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) | \geqslant 1</math>

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma zero na linii <math>x = 1</math> w punkcie <math>1 + i y_0</math> (gdzie <math>y_0 \neq 0</math>) i rozważmy funkcję

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

określoną dla <math>x > 1</math>. Zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem dla <math>x > 1</math> jest <math>f(x) \geqslant 1</math>. Zatem granica <math>\lim_{x \to 1^+} f (x)</math> – o ile istnieje – musi być większa lub równa 1.

Z drugiej strony wiemy, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math> (zobacz [[#R23|R23]]). Wiemy też, że <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Zatem istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{\zeta (z) - \zeta (z_0)}{z - z_0}} = \zeta'(z_0)</math>

Przekształćmy funkcję <math>f(x)</math> tak, abyśmy mogli łatwo policzyć granicę, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>. Mamy

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

:::<math>\;\;\, = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \qquad\qquad</math> (możemy tak napisać, bo założyliśmy, że <math>\zeta (1 + i y_0) = 0</math>)

:::<math>\;\;\, = | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

Ponieważ <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w otoczeniu punktów <math>1 + i y_0</math> oraz <math>1 + 2 i y_0</math> (bo <math>y_0 \neq 0</math>), granice poszczególnych czynników są skończone. Zatem[a]

::<math>\lim_{x \to 1^+} f (x) = \lim_{x \to 1^+} \left\{ | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \right\}</math>

:::::<math>= \{ \lim_{x \to 1^+} | (x - 1) \zeta (x) |^3 \} \cdot \left\{ \lim_{x \to 1^+} \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} | \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= \{ | \lim_{x \to 1^+} [(x - 1) \zeta (x)] |^3 \} \cdot \left\{ \left| \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ | \lim_{x \to 1^+} \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= 1^3 \cdot | \zeta' (1 + iy_0) |^4 \cdot 0 \cdot | \zeta (1 + 2 iy_0) | = 0</math>

Uzyskany wynik stoi w sprzeczności z warunkiem <math>\lim_{x \to 1^+} f (x) \geqslant 1</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Korzystamy z twierdzenia o granicy funkcji złożonej

Jeżeli istnieje skończona granica <math>\lim_{z \to z_0} g (z) = c</math> i funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>c</math>, to

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z)) = f (c)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R46 
Pokazać, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, to punkt <math>z = 0</math> możemy wykluczyć z naszych rozważań. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje takie <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, że <math>\zeta (z_0) = 0</math>.

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Oczywiście <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, nie jest elementem zbioru <math>\{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Jeśli tak, to możemy napisać

::<math>\zeta (1 - z_0) = \zeta (1 - i y_0) = 0</math>

Wbrew twierdzeniu [[#R45|R45]], w którym pokazaliśmy, że na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie było fałszywe. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R47 
Jedyne miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> poza pasem <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math> to <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy już, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math> i dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math> (zobacz [[#R45|R45]] i [[#R46|R46]]). Do zbadania, jak zachowuje się funkcja <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, wykorzystamy równanie funkcyjne Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R45|R45]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R48 
Niech <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Jeżeli <math>z_0</math> jest miejscem zerowym funkcji <math>\zeta (z)</math>, to funkcja <math>\zeta (z)</math> zeruje się też w punktach <math>\overline{z_0}</math> i <math>1 - z_0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ponieważ <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\overline{z})</math> (zobacz [[#R36|R36]]) i z założenia <math>\zeta (z_0) = 0</math>, to

::<math>0 = \zeta (z_0) \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad 0 = \overline{\zeta (z_0)} = \zeta (\overline{z_0})</math>

Zatem <math>\overline{z_0}</math> jest miejscem zerowym funkcji dzeta.

'''Punkt 2.'''

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Ponieważ z założenia <math>\operatorname{Re}(z_0) \in (0, 1)</math>, to <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \neq 0</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R49 
Niech <math>\zeta (z_0) = 0</math>, gdzie <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Z twierdzenia [[#R48|R48]] wynika, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z_0) \neq {\small\frac{1}{2}}</math>, to istnieją trzy dodatkowe miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math>. Wypisując wszystkie cztery, mamy: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>, <math>1 - z_0</math>, <math>1 - \overline{z_0}</math>. W przypadku, gdy <math>\operatorname{Re}(z_0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, istnieje jedno dodatkowe miejsce zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> i tym razem mamy tylko: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>.

== Uzupełnienie ==

Twierdzenie R50* (o jednoznaczności różniczkowalnych funkcji zespolonych) 
Jeżeli funkcje zespolone <math>f</math> i <math>g</math> są różniczkowalne w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i są sobie równe w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z) = g (z)</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Twierdzenie R51* 
Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f(z) = 0</math> w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f (z) = 0</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Zadanie R52 
Udowodnić równoważność twierdzeń [[#R50|R50]] i [[#R51|R51]].

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''R50''' <math>\; \Large{\Longrightarrow} \;</math> '''R51''' 
Niech <math>f : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różniczkowalna w obszarze <math>D</math> oraz niech <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>.

Niech <math>g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie funkcją stałą taką, że <math>g(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>g(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcje <math>f, g</math> spełniają założenia twierdzenia [[#R50|R50]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>f(z) = g (z) \qquad \text{i} \qquad g(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = 0</math>

Co należało pokazać.

'''R50''' <math>\; \Large{\Longleftarrow} \;</math> '''R51''' 
Niech funkcje <math>f, g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będą różniczkowalne w <math>D</math> i równe w <math>E</math>.

Niech <math>h : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różnicą funkcji <math>f</math> i <math>g</math>: <math>h(z) = f (z) - g (z)</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>h(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>h(z) = f (z) - g (z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcja <math>h</math> spełnia założenia twierdzenia [[#R51|R51]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>h(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) - g (z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = g (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R53 
Twierdzenia [[#R50|R50]] i [[#R51|R51]] rodzą niezwykłe konsekwencje, które nie mają żadnych odpowiedników dla różniczkowalnych funkcji rzeczywistych. Niżej podamy kilka z nich.

Zadanie R54 
Pokazać, że jeżeli funkcja zespolona <math>f</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f</math> jest funkcją stałą w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z)</math> jest funkcją stałą dla wszystkich <math>z \in D</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>f(z) = c</math> dla każdego <math>z \in E</math>, gdzie <math>c</math> jest pewną liczbą zespoloną. Funkcja stała <math>g(z) = c</math> jest określona i różniczkowalna na całej płaszczyźnie <math>\mathbb{C}</math>, zatem <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>. Na mocy twierdzenia [[#R50|R50]] <math>f(z) = g (z) = c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Zauważmy, że z twierdzenia [[#R50|R50]] wynika znacznie więcej: jeżeli <math>f(z)</math> jest funkcją stałą na dowolnym, nawet bardzo małym odcinku, to jest stała w całym obszarze <math>D</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R55 
Niech <math>f(z)</math> będzie funkcją różniczkowalną w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math> i w pewnym punkcie <math>z_0 \in D</math> mamy <math>f(z_0) = c</math>, to istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że nie istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> musi istnieć taki punkt <math>z_{\varepsilon} \in \mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>, że <math>f (z_{\varepsilon}) = c</math> .

Weźmy ciąg <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math> dla <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.

Stwierdzamy, że

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_1 = 1</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, 1)</math> istnieje taki punkt <math>z_1</math>, że <math>f(z_1) = c</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{1}{2}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{2}})</math> istnieje taki punkt <math>z_2</math>, że <math>f(z_2) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{n}})</math> istnieje taki punkt <math>z_n</math>, że <math>f(z_n) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

Widzimy, że dla ciągu punktów <math>(z_n)</math> prawdziwy jest układ nierówności

::<math>0 < |z_n - z_0 | < {\small\frac{1}{n}}</math>

Z twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA24|ZA24]] i [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA21|ZA21]] p.2 otrzymujemy, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} |z_n - z_0 | = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z_0</math>

Ponieważ <math>f(z_n) = c</math>, gdzie <math>(z_n)</math> jest ciągiem zbieżnym do punktu <math>z_0 \in D</math>, to na mocy twierdzenia o jednoznaczności funkcja <math>f(z)</math> musi być funkcją stałą równą <math>c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Wbrew założeniu, że funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład R56 
Sformułowanie twierdzenia [[#R51|R51]] jest prostsze i dzięki temu natychmiast staje się widoczna przepaść między różniczkowalnością funkcji rzeczywistych a różniczkowalnością funkcji zespolonych. Przykładowo, funkcja

::<math>f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x \leqslant 0 \\
e^{- 1 / x} & \text{gdy } x > 0 \\
\end{cases}</math>

jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale z faktu, że jest równa zero dla <math>x</math> ujemnych, nic nie wynika. Zupełnie inaczej jest dla funkcji zespolonych – żądanie, aby funkcja była różniczkowalna, ''usztywnia'' funkcję w całej dziedzinie.

Zadanie R57 
Pokazać, że <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy funkcję <math>f(z) = \sin^2 \! z + \cos^2 \! z - 1</math> określoną i różniczkowalną na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech <math>E = (0, 1)</math> będzie otwartym odcinkiem na osi rzeczywistej. Wiemy, że dla każdego <math>z = x \in E</math> (czyli dla liczb rzeczywistych) jest

::<math>f(x) = \sin^2 \! x + \cos^2 \! x - 1 = 0</math>

Ponieważ funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna na <math>D</math> i zeruje się na <math>E</math>, to z twierdzenia [[#R51|R51]] <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>. Przenosząc jedynkę na prawą stronę, otrzymujemy dowodzoną tożsamość <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R58 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli istnieje funkcja <math>g : V \to \mathbb{C}</math> taka, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g</math> jest różniczkowalna w całym obszarze <math>V</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>

to powiemy, że funkcja <math>g</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>.

Zadanie R59 
Znaleźć przedłużenie analityczne funkcji <math>f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math> jest szeregiem geometrycznym zbieżnym w kole <math>| z | < 1</math>. Niech <math>U = \{ z : | z | < 1 \}</math>. Zatem funkcja <math>f</math> jest określona i różniczkowalna w <math>U</math>.

Rozważmy teraz funkcję <math>g(z) = {\small\frac{1}{1 - z}}</math>. Funkcja <math>g</math> jest określona w <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math> i różniczkowalna w <math>V</math>.

Wiemy, że <math>f(z) = g (z)</math> w obszarze <math>U</math>.

Wynika stąd, że funkcja <math>g(z)</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f(z)</math> do obszaru <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R60 (o jednoznaczności przedłużenia analitycznego) 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, to <math>g(z) = h (z)</math> dla każdego <math>z \in V</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, zatem z definicji są różniczkowalne w <math>V</math> oraz <math>g(z) = f (z)</math> i <math>h(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>, skąd wynika, że <math>g(z) = h (z)</math> w obszarze <math>U</math>. Z twierdzenia [[#R50|R50]] o jednoznaczności funkcji zespolonych otrzymujemy, że funkcje <math>g(z)</math> i <math>h(z)</math> są równe w całym obszarze <math>V</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of some functions over primes without R.H.'', (2010), ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', Ramanujan Journal, 45 (1) (January 2018), pp. 225-234.</ref>

<ref name="PlattTrudgian1">David Platt and Tim Trudgian, ''On the first sign change of ''<math>\theta ( x ) - x</math>, Mathematics of Computation, Vol. 85 (299) (2016), pp. 1539-1547</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

<ref name="Baselproblem1">Wikipedia, ''Basel problem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Generalizations_of_Euler's_method_using_elementary_symmetric_polynomials Wiki-en])</ref>

<ref name="Problembazylejski1">Wikipedia, ''Problem bazylejski'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680, ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf Link1‑de]), ([https://www.emis.de/classics/Riemann/Zeta.pdf Link2‑de]), ([https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf Link3‑en])</ref>

<ref name="PlattTrudgian2">David Platt and Tim Trudgian, ''The Riemann hypothesis is true up to'' <math>3 \cdot 10^{12}</math>, Bull. London Math. Soc., 53, (2021), pp. 792-797. ([https://arxiv.org/abs/2004.09765 LINK])</ref>

<ref name="RiemannSiegelZfunction1">Wikipedia, ''Z function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Z_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelThetaFunction1">Wikipedia, ''Riemann–Siegel theta function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelFunctions1">Wolfram MathWorld, ''Riemann-Siegel Functions'', ([https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html Wolfram])</ref>

<ref name="Hadamard1">Jacques Hadamard, ''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24 (1896), pp. 199-220, ([https://www.numdam.org/item/BSMF_1896__24__199_1 LINK])</ref>

<ref name="Poussin1">Charles-Jean de La Vallée Poussin, ''Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers'', Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Vol. 20 (1896), pp. 183–256, ([https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up LINK])</ref>

<ref name="Mertens1">Franz Mertens, ''Über eine Eigenschaft der Riemann'schen <math>\zeta</math>-Function'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Vol. 107 (1898), pp. 1429–1434, ([https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb11857678?q=%281898++Sitzungsberichte+der+Mathematisch-Naturwissenschaftlichen+Classe+der+Kaiserlichen+Akademie+der+Wissenschaften%29&page=1486,1487 LINK])</ref>

</references>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

2026-09-05T15:57:59Z

HenrykDabrowski:

<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

__FORCETOC__

== Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa ==

Definicja R1 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco

::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math>

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

W przypadku funkcji <math>\theta (x)</math> suma przebiega po wszystkich liczbach pierwszych, a w przypadku funkcji <math>\psi (x)</math> po wszystkich liczbach pierwszych i ich potęgach.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:funkcja-theta-Czebyszewa.png|700px|none]]
[[File:funkcja-psi-Czebyszewa.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R2 
Wprost z definicji wynikają wzory

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor)</math>

::<math>\psi (x) \geqslant \theta (x)</math> dla <math>x > 0</math>

::<math>\psi (x) > \theta (x)</math> dla <math>x \geqslant 4</math>

Przykład R3 

::<math>\theta (10) = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 \approx 5.347107530</math>

::<math>\psi (10) = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 \approx 7.832014180</math>

Zadanie R4 
Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n}) = \sum_{n = 1}^{\lfloor \log_2 (x) \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>k, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Zauważmy, że zapisany bardzo ogólnie wzór <math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math> możemy interpretować na trzy sposoby.

'''A.''' Bierzemy kolejne liczby <math>n \leqslant x</math> i sprawdzamy, czy <math>n</math> jest potęgą pewnej liczby pierwszej <math>p</math>. Jeśli tak, to dodajemy do sumy <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania jest najbliższy zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

Tak też robiliśmy w przykładzie [[#R3|R3]].

'''B.''' Bierzemy kolejne liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> i znajdujemy wszystkie wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \underset{p^k \leqslant x}{\sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor}} \log p</math>.

'''C.''' (Modyfikacja punktu B) Zauważmy, że największy wykładnik <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> taki, że <math>p^k \leqslant x</math> znajdujemy z warunku <math>k \leqslant {\small\frac{\log x}{\log p}}</math>. Pozwala to zmodyfikować wzór na funkcję <math>\psi (x)</math> do postaci

::<math>\psi (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log x}{\log p}} \right\rfloor</math>

'''D.''' Bierzemy kolejne wykładniki <math>k \leqslant \log_2 (x)</math> i znajdujemy wszystkie liczby pierwsze <math>p \leqslant x</math> takie, że <math>p^k \leqslant x</math>. Każdy znaleziony wykładnik zwiększa obliczaną sumę o <math>\log p</math>. Ten sposób postępowania odpowiada zapisowi

::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy

::<math>\psi (x) = \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p^k \leqslant x} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p \right)</math>

:::<math>\;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / k})</math>

Należy zauważyć, że wypisana suma tylko pozornie jest nieskończona. Dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>x^{1 / k} < 2</math> i <math>\theta (x^{1 / k}) = 0</math>. Zatem sumowanie przebiega tylko po <math>k \leqslant \log_2 x</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R5 
Zauważmy, że funkcja <math>\theta (x)</math> w przedziale <math>(0, n]</math> ma dokładnie <math>\pi (n)</math> zmian wartości (skoków na wykresie). Ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

wynika, że funkcja <math>\psi (x)</math> ma zmian wartości więcej, a liczba skoków wartości jest równa

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \pi (n^{1 / k}) = \pi (n) + \pi (n^{1 / 2}) + \pi (n^{1 / 3}) + \pi (n^{1 / 4}) + \ldots</math>

Zadanie R6 
Pokazać, że dla <math>x > 0</math> prawdziwe są oszacowania

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

:*&emsp;<math>\theta (x) < 2 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) - \theta (x) < 6 \sqrt{x}</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 1.4 x</math>

:*&emsp;<math>\psi (x) < 2 x</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że

::<math>\exp (\theta (x)) = \exp (\theta (\lfloor x \rfloor)) = \exp \left( \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \right) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \exp (\log p) = \prod_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} p = P (\lfloor x \rfloor) < 4^{\lfloor x \rfloor} \leqslant 4^x</math>

gdzie <math>P(n)</math> jest iloczynem liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, a oszacowanie <math>P(n) < 4^n</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, pokazaliśmy w twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]]. Zatem dla <math>x \geqslant 1</math> mamy

::<math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math>

Ponieważ <math>\theta (x) = 0</math> dla <math>x \in (0, 2)</math>, to oszacowanie <math>\theta (x) < 2 \log 2 \cdot x</math> jest prawdziwe dla <math>x > 0</math>.

'''Punkt 2.'''

To oszacowanie jest słabsze niż podane w poprzednim punkcie, ale chcemy pokazać, że możemy uzyskać je jeszcze łatwiej

::<math>\theta (x) = \theta (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \leqslant \pi (\lfloor x \rfloor) \cdot \log \lfloor x \rfloor < {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} \cdot \log \lfloor x \rfloor = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania <math>\pi (n) < {\small\frac{2 n}{\log n}}</math> prawdziwego dla <math>n \geqslant 2</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A1|A1]]).

'''Punkt 3.'''

Korzystając ze wzoru

::<math>\psi (x) = \theta (x) + \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty} \theta (x^{1 / n})</math>

otrzymujemy

::<math>\psi (x) - \theta (x) = \theta (x^{1 / 2}) + \theta (x^{1 / 3}) + \theta (x^{1 / 4}) + \ldots</math>

:::::<math>\;\;\;\; = \theta (x^{1 / 2}) + \sum_{n = 3}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \theta (x^{1 / n})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + (\lfloor \log_2 x \rfloor - 2) \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \theta (x^{1 / 2}) + \log_2 x \cdot \theta (x^{1 / 3})</math>

:::::<math>\;\;\;\; < 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + {\small\frac{\log x}{\log 2}} \cdot 2 \log 2 \cdot x^{1 / 3}</math>

:::::<math>\;\;\;\; = 2 \log 2 \cdot x^{1 / 2} + 2 \cdot x^{1 / 2} \cdot {\small\frac{\log x}{x^{1 / 6}}}</math>

:::::<math>\;\;\;\; \leqslant \left( 2 \log 2 + {\small\frac{12}{e}} \right) x^{1 / 2} \qquad\qquad</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]] p.8)

:::::<math>\;\;\;\; < 6 \sqrt{x}</math>

'''Punkt 4.'''

Z punktów 1. i 3. mamy

::<math>\psi (x) < \theta (x) + 6 \sqrt{x} < 2 \log 2 \cdot x + 6 \sqrt{x} = 2 \log 2 \cdot x \left( 1 + {\small\frac{6}{2 \log 2 \cdot \sqrt{x}}} \right) < 1.4 x</math>

Łatwo sprawdzamy, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla

::<math>x > {\small\frac{36}{(1.4 - 2 \log 2)^2}} > 1.917 \cdot 10^5</math>

Prawdziwość oszacowania <math>\psi (x) < 1.4 x</math> dla <math>x < 2 \cdot 10^5</math> łatwo sprawdzamy w PARI/GP (zobacz zadanie [[#R11|R11]]).

'''Punkt 5.'''

Skorzystamy ze wzoru pokazanego w punkcie C rozwiązania zadania [[#R4|R4]]. Mamy

::<math>\psi (x) = \psi (\lfloor x \rfloor) = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot \left\lfloor {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} \right\rfloor \leqslant \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log p \cdot {\small\frac{\log \lfloor x \rfloor}{\log p}} = \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} \log \lfloor x \rfloor = \log \lfloor x \rfloor \cdot \sum_{p \leqslant \lfloor x \rfloor} 1 = \log \lfloor x \rfloor \cdot \pi (\lfloor x \rfloor) < \log \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{2 \lfloor x \rfloor}{\log \lfloor x \rfloor}} = 2 \lfloor x \rfloor \leqslant 2 x</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R7 
Pokazać, że jeżeli jedna z granic <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}}</math> lub <math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math> istnieje i jest skończona, to istnieje również druga i granice te są równe.

::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\theta (x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{\psi (x)}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wskazówka: skorzystaj z punktu 3. zadania [[#R6|R6]]. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R8* 
Prawdziwe są następujące oszacowania<ref name="Dusart10"/><ref name="Dusart18"/>

::<math>| \theta (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad\:</math> gdzie <math>c_1 = 1.2323</math>, <math>c_2 = 3.965</math>, <math>c_3 = 20.83</math>, <math>c_4 = 151.3</math>

::<math>| \psi (x) - x | \underset{x \geqslant 2}{<} c_k \cdot {\small\frac{x}{\log^k x}} \qquad\qquad\qquad</math> gdzie <math>c_1 = 0.85</math>, <math>c_2 = 1.66</math>, <math>c_3 = 8.16</math>, <math>c_4 = 59.18</math>

::<math>0.9999 \sqrt{x} \underset{x \geqslant 121}{<} \psi (x) - \theta (x) \underset{x > 0}{<} 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x}</math>

Uwaga R9 
Pokażemy kilka prostszych oszacowań od podanych przez Dusarta. Dowód przeprowadzimy, łącząc rezultaty podane przez Dusarta i testując poprawność postulowanych oszacowań w skończonych przedziałach liczbowych. Nim jednak przejdziemy do tego tematu, musimy omówić istotne różnice, które pojawiają się, gdy przechodzimy od sprawdzania oszacowań w punktach, czyli dla liczb naturalnych, do sprawdzania oszacowań dla liczb rzeczywistych.

Uwaga R10 
Niech <math>f(x)</math> będzie rosnącą funkcją schodkową o wartościach stałych w przedziałach <math>[x_{s - 1}, x_s)</math>. Niech <math>g(x)</math> i <math>h(x)</math> będą ciągłymi, rosnącymi funkcjami rzeczywistymi. Oszacowanie <math>h(x) < f (x) < g (x)</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu skoku <math>x_s</math> spełnione są następujące warunki

:   ●      <math>g(x_s) > f (x_s) \qquad\qquad\;\;\;\,</math> (oszacowanie od góry musimy weryfikować w punktach skoku wartości funkcji)

:   ●      <math>h(x_s) < f (x_{s - 1}) \qquad\qquad</math> (oszacowanie od dołu musimy weryfikować z wartością funkcji z poprzedniego skoku)

Ostatni punkt <math>x_s</math>, dla którego nie zachodzi pierwszy lub drugi warunek, oznaczymy przez <math>x_{\max}</math>. Różne oszacowania nie wymagają różnych oznaczeń, bo sam punkt <math>x_{\max}</math> będzie przywoływany w kontekście niebudzącym wątpliwości.

'''W przypadku oszacowania od góry''' w punkcie <math>x_{\max}</math>
po raz ostatni mieliśmy <math>g (x_{\max}) \leqslant f (x_{\max})</math>. Zatem oszacowanie <math>f(x) < g (x)</math> staje się na pewno prawdziwe dla <math>x \geqslant x_{\max + 1}</math>. W rzeczywistości, ze względu na ciągły wzrost funkcji <math>g(x)</math> na płaskim stopniu <math>[x_{\max}, x_{\max + 1})</math>, oszacowanie to może zacząć zachodzić już znacznie wcześniej – w punkcie przecięcia się funkcji <math>g(x)</math> z poziomą linią <math>y = f (x_{\max})</math>. Ujmując precyzyjnie: jeżeli <math>x_0</math> jest rozwiązaniem równania <math>g(x) = f (x_{\max})</math>, to <math>f(x) < g (x)</math> dla <math>x > x_0</math>.

'''W przypadku oszacowania od dołu''' w punkcie <math>x_{\max}</math> po raz ostatni mieliśmy <math>h (x_{\max}) \geqslant f (x_{\max - 1})</math>. Punkt <math>x_{\max}</math> jest jednocześnie punktem, od którego (włącznie z tym punktem) prawdziwe jest oszacowanie od dołu, czyli mamy: <math>h(x) < f (x)</math> dla <math>x \geqslant x_{\max}</math>. Jest tak dlatego, że w <math>x_{\max}</math> funkcja <math>f(x)</math> wykonuje skok, po którym już nigdy nie będzie mniejsza lub równa <math>h(x)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
::[[File:ilustracja-szacowania-funkcji.png|1100px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R11 
Pokazać, że prawdziwe są oszacowania
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.05 \underset{x \geqslant 1427}{<} {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \underset{1 \leqslant x \leqslant 10^{17}}{<} 0</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>- 0.02 \underset{x \geqslant 1423}{<} {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \underset{x \geqslant 467.6}{<} 0.02</math>
</div>
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>0 \underset{121 \leqslant x \leqslant 10^9}{<} {\small\frac{\psi (x) - \theta (x)}{\sqrt{x}}} - 1 \underset{x \geqslant 80489.8}{<} 0.2</math>
</div>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. - lewa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.1 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\theta (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_3}{\log^3 x}} = {\small\frac{20.83}{\log^3 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{20.83}{\log^3 (10^4)}} \approx 0.02666 \ldots</math> Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowanie <math>\theta (x) > 0.95 x</math> jest prawdziwe.

'''Punkt 1. - prawa nierówność'''

Platt i Trudgian pokazali<ref name="PlattTrudgian1"/>, że oszacowanie <math>\theta (x) < x</math> nie jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 1</math>. Autorzy sprawdzili, że <math>\theta (x) < x</math> dla <math>x < 1.39 \cdot 10^{17}</math>

'''Punkt 2. - lewa i prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.2 wiemy, że dla <math>x \geqslant 2</math> możemy napisać

::<math>\left| {\small\frac{\psi (x)}{x}} - 1 \right| < {\small\frac{c_2}{\log^2 x}} = {\small\frac{1.66}{\log^2 x}}</math>

Dla <math>x = 10^4</math> mamy <math>{\small\frac{1.66}{\log^2 (10^4)}} \approx 0.019568 \ldots</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 10^4</math> oszacowania <math>\psi (x) > 0.98 x</math> oraz <math>\psi (x) < 1.02 x</math> są prawdziwe.

'''Punkt 3. - lewa nierówność'''

Tutaj nierówność <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> sprawdziliśmy dla wszystkich <math>x \leqslant 10^9</math>. Wiemy (zobacz [[#R8|R8]] p.3), że <math>\psi (x) - \theta (x) > 0.9999 \sqrt{x}</math> dla <math>x \geqslant 121</math>. Jeżeli hipoteza Riemanna jest prawdziwa, to oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) > \sqrt{x}</math> jest prawdziwe dla wszystkich <math>x \geqslant 121</math>.

'''Punkt 3. - prawa nierówność'''

Z twierdzenia [[#R8|R8]] p.3 wiemy, że dla <math>x > 0</math> możemy napisać

::<math>\psi (x) - \theta (x) < 1.00007 \sqrt{x} + 1.78 \sqrt[3]{x} = 1.2 \sqrt{x} \left( {\small\frac{1.00007}{1.2}} + {\small\frac{1.78}{1.2 \cdot x^{1 / 6}}} \right)</math>

Wyrażenie w nawiasie maleje dla rosnących <math>x</math> i dla <math>x = 5 \cdot 10^5</math> osiąga wartość <math>0.9998902 \ldots < 1</math>. Zatem wystarczy sprawdzić, dla jakich <math>x < 5 \cdot 10^5</math> oszacowanie <math>\psi (x) - \theta (x) < 1.2 \sqrt{x}</math> jest prawdziwe.

Do testowania poprawności oszacowań wykorzystaliśmy prosty kod w PARI/GP. Podajemy tylko przykład dla funkcji <math>\psi (x)</math>, pozostałe Czytelnik bez trudu napisze samodzielnie. Aby skrócić czas obliczeń, program narastająco oblicza wartość <math>\psi (x)</math> i sprawdza oszacowania.

psiTest(n) =
{
'''local'''(k, kmax, linia, p, sum1, sum2, sum2max, spacje, x0);
linia = '''strjoin'''('''vector'''(50, k, "="));
spacje = '''strjoin'''('''vector'''(35, k, " "));
k = kmax = p = sum1 = sum2 = sum2max = 0;
'''while'''( k++ <= n,
'''if'''( '''isprimepower'''(k, &p), sum1 = sum2; sum2 = sum2 + '''log'''(p), '''next'''); \\ sum1 przechowuje poprzednią wartość psi
'''if'''( sum2 >= 1.02*k, kmax = k; sum2max = sum2; '''print'''(spacje, k, " ", sum2/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od góry (powinno być 1.02*k > sum2)
'''if'''( sum1 <= 0.98*k, '''print'''(k, " ", sum1/k) ); \\ sprawdzamy szacowanie od dołu (powinno być 0.98*k < sum1)
);
\\ oszacowanie od góry - szukamy następnego skoku po kmax
k = kmax + 1;
sum2 = sum2max;
'''while'''( !( '''isprimepower'''(k, &p) ), k++);
'''print'''(linia);
'''print'''(spacje, k, " ", (sum2 + '''log'''(p))/k );
\\ znajdujemy punkt przecięcia
x0 = '''solve'''( x = kmax, k-0.001, 1.02*x - sum2max );
'''print'''(spacje, "x0 = ", x0);
}
 
□
{{\Spoiler}}

== Szeregi liczb zespolonych ==

Uwaga R12 (przyjęte oznaczenia logarytmów) 
W dalszej części tekstu, w celu zachowania jednoznaczności i uniknięcia nieporozumień notacyjnych, konsekwentnie stosujemy następujące oznaczenia

<math>\ln (x) \;\;\,</math> – zwykły logarytm naturalny; stosowany wyłącznie wtedy, gdy zmienna <math>x</math> jest dodatnią liczbą rzeczywistą; wynik tej funkcji jest zawsze liczbą rzeczywistą

<math>\log (z) \:\,</math> – logarytm zespolony (wielowartościowy); funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych <math>z \neq 0</math>, która zwraca zbiór wartości różniących się o wielokrotność <math>2 \pi i</math>

<math>\operatorname{Log} (z)</math> – wartość główna logarytmu zespolonego; funkcja jednowartościowa (główna gałąź logarytmu), zdefiniowana jednoznacznie jako <math>\operatorname{Log} (z) = \ln | z | + i \operatorname{Arg} (z)</math>, gdzie <math>\operatorname{Arg} (z)</math> oznacza główny argument liczby zespolonej należący do przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>

Twierdzenie R13 
Niech <math>(z_k)</math> będzie ciągiem o wyrazach zespolonych. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} z_k</math> też jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Niech <math>z_k = x_k + i y_k</math>. Ponieważ

::<math>0 \leqslant | x_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

::<math>0 \leqslant | y_k | \leqslant \sqrt{x^2_k + y^2_k} = | z_k |</math>

to na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | x_k |</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | y_k |</math> są zbieżne. Wynika stąd, że zbieżne są też szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} x_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} y_k</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D12|D12]]). Zatem ciąg sum częściowych

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} z_k = \sum_{k = 1}^{n} x_k + i \sum_{k = 1}^{n} y_k</math>

również jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R14 
Niech <math>(z_{k_j})</math> będzie dowolnym podciągiem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]) ciągu liczb zespolonych <math>(z_k)</math>. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} z_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to szereg <math>\sum_{j = 1}^{\infty} z_{k_j}</math> też jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z założenia

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | z_k | = c</math>

Zatem

::<math>\sum_{j = 1}^{\infty} | z_{k_j} | \leqslant c</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych <math>S_N = \sum_{j = 1}^{N} | z_{k_j} |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R15 (kryterium Dirichleta) 
Niech <math>(a_k)</math> i <math>(b_k)</math> będą ciągami liczb zespolonych. Jeżeli
<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
:   ●      <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>
</div>
:   ●      szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math> jest zbieżny

:   ●      istnieje taka stała <math>M > 0</math>, że <math>\left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant M</math> dla dowolnej liczby <math>k</math>

to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Zdefiniujmy sumy częściowe

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k b_k</math>

::<math>B_n = \sum_{k = 1}^{n} b_k</math>

Dla drugiej sumy częściowej przyjmujemy dodatkowo, że <math>B_0 = 0</math>, co pozwala napisać

::<math>b_k = B_k - B_{k - 1}</math>

dla każdego <math>k \geqslant 1</math>. Możemy teraz przekształcić sumę <math>S_n</math>

::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k (B_k - B_{k - 1})</math>

:::<math>= \sum_{k = 1}^{n} a_k B_k - \sum_{k = 1}^{n} a_k B_{k - 1}</math>

:::<math>= \sum_{k = 1}^{n} a_k B_k - \sum_{j = 0}^{n - 1} a_{j + 1} B_j</math>

:::<math>= \sum_{k = 1}^{n} a_k B_k - a_1 B_0 - \sum_{j = 1}^{n - 1} a_{j + 1} B_j</math>

:::<math>= a_n B_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k B_k - \sum_{k = 1}^{n - 1} a_{k + 1} B_k</math>

:::<math>= a_n B_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) B_k</math>

Ponieważ

::<math>0 \leqslant | a_n B_n | = | a_n | \cdot | B_n | \leqslant | a_n | \cdot M</math>

to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n B_n = 0</math>.

Zauważmy, że

::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B_k | = \sum_{k = 1}^{n - 1} | a_k - a_{k + 1} | \cdot | B_k |</math>

:::::::<math>\quad\;\, \leqslant M \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} | a_k - a_{k + 1} |</math>

:::::::<math>\quad\;\, \leqslant M \cdot U</math>

gdzie <math>U</math> jest sumą zbieżnego z założenia szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math>.

Widzimy, że sumy częściowe <math>T_{n - 1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B_k |</math> tworzą ciąg rosnący i ograniczony od góry, zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B_k |</math> jest zbieżny (zobacz [[Ciągi liczbowe#C12|C12]]). Z bezwzględnej zbieżności tego szeregu wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B_k</math> (zobacz [[#R13|R13]]). Zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> jest zbieżny. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R16 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Zakładamy, że potęga zespolona <math>k^z</math> jest potęgą w sensie wartości głównej <math>k^z = e^{z \cdot \operatorname{Log} (k)} = e^{z \cdot \ln (k)}</math>. Mamy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^{x + i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x k^{i y} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{| k^x | \cdot | k^{i y} |}} = \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^x \cdot | e^{i y \ln k} |}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>

Szereg po prawej stronie jest zbieżny, gdy <math>x > 1</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D50|D50]] p.6). Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R17 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>z = x + i y</math>, gdzie <math>x > 0</math>. Rozważmy ciągi <math>a_k = k^{- z}</math> i <math>b_k = (- 1)^{k + 1}</math>. Natychmiast widzimy, że dla dowolnej liczby <math>k</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>\left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant 1</math>

Zauważmy, że

::<math>| a_k | = | k^{- z} | = |k^{- (x + iy)} | = |k^{- x} \cdot k^{- iy} | = k^{- x} \cdot |e^{- iy \ln (k)} | = k^{- x}</math>

Z założenia <math>x > 0</math>, zatem

::<math>\lim_{k \rightarrow \infty} | a_k | = \lim_{k \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 0</math>

Co oznacza, że również <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>.

Musimy jeszcze pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math> jest zbieżny. Aby znaleźć oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k | = \sum_{k = 1}^{\infty} | (k + 1)^{- z} - k^{- z} |</math>

zdefiniujemy funkcję pomocniczą <math>f(t) = t^{- z}</math> zmiennej rzeczywistej <math>t</math>. Zauważmy, że

::<math>f' (t) = - z t^{- z - 1}</math>

oraz

::<math>| f' (t) | = | - z | \cdot | t^{- z - 1} | = | z | \cdot | t^{- x - i y - 1}| = | z | \cdot t^{- x - 1}</math>

Zapisując różnicę <math>f(k + 1) - f (k)</math> jako całkę z pochodnej funkcji <math>f(t)</math>, uzyskamy wzór, który łatwo możemy szacować i sumować

::<math>| a_{k + 1} - a_k | = | f (k + 1) - f (k) |</math>

:::::<math>\;\:\, = \left| \int_{k}^{k + 1} f' (t) d t \right|</math>

:::::<math>\;\:\, \leqslant \int_{k}^{k + 1} \left| f' (t) \right| d t </math>

:::::<math>\;\:\, = \int_{k}^{k + 1} | z | t^{- x - 1} d t</math>

:::::<math>\;\:\, = | z | \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

Stąd już łatwo otrzymujemy oszacowanie sumy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k | \leqslant | z | \sum^{\infty}_{k = 1} \int_{k}^{k + 1} t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\,\, = | z | \int_{1}^{\infty} t^{- x - 1} d t</math>

::::::<math>\;\;\,\, = | z | \left[ - {\small\frac{t^{- x}}{x}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} \right]</math>

::::::<math>\;\;\,\, = | z | \left[ 0 + {\small\frac{1}{x}} \right]</math>

::::::<math>\;\;\,\, = {\small\frac{| z |}{\operatorname{Re}(z)}}</math>

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{k + 1} - a_k |</math> jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.

Zatem na mocy kryterium Dirichleta (zobacz [[#R15|R15]]) rozpatrywany szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math> jest zbieżny. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R18 
Pokazać, że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> prawdziwy jest następujący wzór

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Założenie <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> gwarantuje nam bezwzględną zbieżność obydwu szeregów (zobacz [[#R16|R16]]). Bezwzględna zbieżność pozwala nam zapisać rozpatrywane szeregi w postaci sumy szeregów dla <math>k</math> parzystych i nieparzystych

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zauważmy, że szeregi po prawej stronie też są bezwzględnie zbieżne (zobacz [[#R14|R14]]). Odejmując stronami, dostajemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = 2 \cdot {\small\frac{1}{2^z}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zatem

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} = (1 - 2^{1 - z}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta i <math>\zeta (z)</math> Riemanna ==

Uwaga R19 
Zauważmy, że szeregi

::<math>\eta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

definiują pewne funkcje różniczkowalne w obszarze <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>. Co więcej, w obszarze tym zachodzi tożsamość

::<math>\eta (z) = (1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>

(zobacz [[#R18|R18]]). Szereg określający funkcję <math>\eta (z)</math> jest zbieżny i definiuje funkcję różniczkowalną dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>, czyli w większym obszarze. Stanowi on zatem przedłużenie analityczne funkcji zdefiniowanej pierwotnie dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> przez wyrażenie <math>(1 - 2^{1 - z}) \zeta (z)</math>.

Z zasady przedłużenia analitycznego wynika, że relacja ta musi zostać zachowana w całym nowym obszarze. W konsekwencji, dla całej półpłaszczyzny <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (z wyłączeniem punktów, gdzie <math>1 - 2^{1 - z} = 0</math>), funkcja <math>\zeta (z)</math> może być jednoznacznie zdefiniowana jako

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Zauważmy, że mianownik <math>1 - 2^{1 - z}</math> jest elementem jednowartościowej funkcji <math>\zeta (z)</math>, zatem potęga <math>2^{1 - z}</math> nie może być wieloznaczną funkcją i zawsze w takich przypadkach bierzemy wartość główną potęgi. Mamy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB30|ZB30]] p.1)

::<math>1 - 2^{1 - z} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad e^{(1 - z) \ln 2} = 1 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (1 - z) \ln 2 = 2 k \pi i \qquad \Longleftrightarrow \qquad 1 - z = {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}} \qquad \Longleftrightarrow \qquad z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>

W punktach <math>z = 1 - {\small\frac{2 k \pi i}{\ln 2}}</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math>, w których mianownik się zeruje, następuje jednoczesne wyzerowanie się szeregu <math>\eta (z)</math>. Otrzymana osobliwość typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math> jest usuwalna, a funkcja <math>\zeta (z)</math> przyjmuje tam skończone wartości w sensie granicy. Jedyna osobliwość, jaka pozostaje, to punkt <math>z = 1</math>.

Zadanie R20 
Niech <math>z = x + i y</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to prawdziwe są następujące oszacowania dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 0.5em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>
</div>

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.2em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1.'''

Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>x > 1</math> jest liczbą rzeczywistą, sumujemy wyrazy dodatnie, bo <math>{\small\frac{1}{k^x}} = e^{- x \cdot \ln (k)} > 0</math>. Niech <math>f (t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math>, gdzie <math>x > 1</math>. Mamy

::<math>f' (t) = - {\small\frac{x}{t^{x + 1}}}</math>

Czyli <math>f' (t) < 0</math> dla <math>t > 0</math> i <math>x > 1</math>, zatem <math>f(t) = {\small\frac{1}{t^x}}</math> jest dla <math>x > 1</math> ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale <math>[1, \infty)</math>. Z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]] otrzymujemy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} < 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t = 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 2.'''

Kolejną nierówność dowodzimy, korzystając ponownie z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]. Mamy

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
= 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}
> 1 + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{1}{t^x}} d t
= 1 + \left[ - {\small\frac{1}{x - 1}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{2}^{\infty}
= 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

'''Punkt 3.'''

Z definicji <math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> dla <math>\operatorname{Re} (z) > 1</math>. Zauważmy, że

::<math>| \zeta (z) | = \left| \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} \right| \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{k^z}} \right| = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z)}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = \zeta (x)</math>

Zatem z punktu 1. wynika natychmiast, że

::<math>| \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x) < 1 + {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

'''Punkt 4.'''

Pierwszą nierówność

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

udowodnimy w zadaniu [[#R44|R44]]. Kolejne oszacowania otrzymujemy z punktów 2. i 1.

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > \left( 1 + {\small\frac{1}{x - 1}} \right)^{- 1} = 1 - {\small\frac{1}{x}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R21 
Pokazać, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą. Zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podstawiając bezpośrednio punkt <math>z = 1</math> do wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \qquad\qquad (\ast)</math>

zauważamy, że licznik przyjmuje wartość <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), natomiast mianownik jest równy zero. Otrzymujemy zatem wyrażenie typu <math>{\small\frac{\ln 2}{0}}</math>, co oznacza, że całość ucieka do nieskończoności. Widzimy więc, że w punkcie <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> ma granicę niewłaściwą.

Aby dokładniej zbadać zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w tym punkcie, przyjmijmy, że zbliżamy się do punktu <math>z = 1</math> z dowolnego kierunku na płaszczyźnie zespolonej, zapisując <math>z = 1 + \Delta z</math>, gdzie <math>\Delta z \to 0</math>. Mianownik wzoru <math>(\ast)</math> przyjmuje wówczas postać

::<math>1 - 2^{1 - z} = 1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2}</math>

Wiemy (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB14|ZB14]]), że dla małych wartości <math>| z |</math> prawdziwe jest przybliżenie <math>e^z \approx 1 + z</math>, zatem możemy mianownik zapisać jako

::<math>1 - e^{- \Delta z \cdot \ln 2} = 1 - (1 - \Delta z \cdot \ln 2) = \Delta z \cdot \ln 2</math>

Ponieważ dla <math>z \to 1</math> licznik dąży do wartości <math>\ln 2</math>, zachowanie funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math> opisuje uproszczona zależność

::<math>\zeta (1 + \Delta z) \approx {\small\frac{\ln 2}{\Delta z \cdot \ln 2}} = {\small\frac{1}{\Delta z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Zatem w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> zachowuje się asymptotycznie jak <math>{\small\frac{1}{z - 1}}</math>.

::[[File:dzeta-biegun-funkcji.png|1200px|none]]

Na rysunku widzimy mapy warstwowe (poziomicowe) składowych funkcji <math>\zeta (z)</math> w bezpośrednim sąsiedztwie punktu <math>z = 1</math>.

Lewy wykres przedstawia poziomy części rzeczywistej <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> mamy <math>\operatorname{Re}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Podobnie prawy wykres przedstawia poziomy części urojonej <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) .</math> Na linii <math>\operatorname{Im}(z) = 0</math> mamy <math>\operatorname{Im}(\zeta (z)) = 0</math> i linia ta stanowi granicę podziału między wartościami ujemnymi i dodatnimi.

Zauważmy, że wszystkie poziomice są okręgami stycznymi w punkcie <math>z = 1</math>. Warto zastanowić się, dlaczego tak jest. Pokazaliśmy wyżej, że w pobliżu punktu <math>z = 1</math> mamy[a]

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Łatwo znajdujemy, że

::<math>{\small\frac{1}{z - 1}} = {\small\frac{1}{x + i y - 1}} = {\small\frac{1}{(x + i y - 1)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1 + i y) (x - 1 - i y)}} = {\small\frac{x - 1 - i y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

Zatem

::<math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\operatorname{Im}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = {\small\frac{- y}{(x - 1)^2 + y^2}}</math>

::<math>\left| {\small\frac{1}{z - 1}} \right| = {\small\frac{1}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}}</math>

W przypadku wykresu po lewej stronie interesują nas punkty, dla których <math>\operatorname{Re}\left( {\small\frac{1}{z - 1}} \right)</math> przyjmuje pewną stałą wartość <math>C</math> (gdzie <math>C \neq 0</math> ). Wynika stąd równanie

::<math>{\small\frac{x - 1}{(x - 1)^2 + y^2}} = C</math>

::<math>(x - 1)^2 + y^2 = {\small\frac{1}{C}} (x - 1)</math>

::<math>(x - 1)^2 - {\small\frac{1}{C}} (x - 1) + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - 1 - {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2 - {\small\frac{1}{4 C^2}} + y^2 = 0</math>

::<math>\left( x - \left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}} \right) \right)^2 + y^2 = \left( {\small\frac{1}{2 C}} \right)^2</math>

Otrzymaliśmy równanie okręgu <math>(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2</math>. Środek tego okręgu leży w punkcie <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math>, a promień jest równy <math>R = \left| {\small\frac{1}{2 C}} \right|</math>. Zauważmy, że dla punktu <math>x = 1</math>, <math>y = 0</math> powyższe równanie jest spełnione bez względu na wartość stałej <math>C</math>. Oznacza to, że bez względu na wybór stałej <math>C</math> punkt <math>z = 1</math> zawsze leży na każdym z tych okręgów.

Widzimy też, że im większa jest stała <math>| C |</math>, tym promień okręgu <math>R = {\small\frac{1}{| 2 C |}}</math> staje się coraz mniejszy, a środek okręgu <math>\left( 1 + {\small\frac{1}{2 C}}, 0 \right)</math> przesuwa się coraz bliżej punktu <math>z = 1</math>.

Wykresy trójwymiarowe funkcji <math>\operatorname{Re}(\zeta (z))</math>, <math>\operatorname{Im}(\zeta (z))</math>, <math>| \zeta (z) |</math> w pobliżu punktu <math>z = 1</math> Czytelnik może obejrzeć tutaj: [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(x-1)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=60;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=3.444100869426259,-7.5971635126247445,5.515548546034267,1;focus=0,0,0,1;up=-0.2070614921567268,0.6030196673762389,0.7703848513718841,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.55;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Re], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=(-y)/((x-1)%5E2+y%5E2);funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=4.586717166130226,-6.016752754731321,6.539167525484936,1;focus=0,0,0,1;up=-0.5129496914638173,0.4216278857530943,0.7477382830794143,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.5;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-Im], [https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/dynamicFigure/index.html?type=z;z=1/(sqrt((x-1)%5E2+y%5E2));funname=f;visible=true;umin=-2;umax=2;vmin=-2;vmax=2;grid=80;format=normal;alpha=-1;revorient=false;shownormals=false;showvf=false;numnormals=10;normalscale=0.5;normalwidth=1;hidemyedges=false;constcol=rgb(255,0,0);view=0;contourcolor=red;fixdomain=false;activetrace=false;contourplot=true;showcontourplot=false;firstvalue=-1;stepsize=0.2;numlevels=11;list=;uselist=false;xnum=46;ynum=46;show2d=false;hidesurface=false;hidelabels=true;showprojections=false;surfacecontours=true;projectioncolor=rgba(255,0,0,1);showxygrid=false;showxygridonbox=false;showconstraint=false&type=window;showfunnot=false;hsrmode=0;nomidpts=true;anaglyph=-1;center=5.342751327864454,6.243169489324923,5.69893349462556,1;focus=0,0,0,1;up=-0.3350417095775116,-0.5673621911342946,0.752228154827157,1;transparent=false;alpha=140;twoviews=false;unlinkviews=false;axisextension=0.7;shownormals=false;shownormalsatpts=false;xaxislabel=x;yaxislabel=y;zaxislabel=z;edgeson=true;faceson=true;showbox=true;showaxes=true;showticks=true;perspective=true;centerxpercent=0.5;centerypercent=0.6500000000000001;rotationsteps=30;autospin=true;xygrid=false;yzgrid=false;xzgrid=false;gridsonbox=true;gridplanes=false;gridcolor=rgb(128,128,128);lastaddedsurfaceactive=true;disabletrace=false;activefun=-1;xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;zmin=-2;zmax=2;xscale=1;yscale=1;zscale=1;zcmin=-4;zcmax=4;xscalefactor=1;yscalefactor=1;zscalefactor=1;tracemode=0;keep2d=false;zoom=1.354667 CalcPlot3D-abs].

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Dokładne rozwinięcie funkcji <math>\zeta (z)</math> w otoczeniu punktu <math>z = 1</math> ma postać

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \gamma - \gamma_1 (z - 1) + {\small\frac{\gamma_2}{2!}} (z - 1)^2 - {\small\frac{\gamma_3}{3!}} (z - 1)^3 + \ldots</math>

gdzie <math>\gamma</math> to stała Eulera, a <math>\gamma_k</math> to stałe Stieltjesa. Przykładowo

::<math>\gamma_1 \approx - 0.0728158455</math>, <math>\gamma_2 \approx - 0.0096903632</math>, <math>\gamma_3 \approx 0.0020538344</math>, <math>\gamma_4 \approx 0.0023253701</math>, <math>\gamma_5
\approx 0.0007933238</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R22 
Pokazać, że funkcja <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z)</math>. Pokazać, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Podobnie jak w przypadku funkcji <math>\eta (z)</math> i <math>\zeta (z)</math> wychodzimy od obszaru <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, gdzie funkcja <math>\zeta (z)</math> jest dobrze określona przez zbieżny bezwzględnie szereg

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math>

Zapiszmy każdy składnik sumy w postaci

::<math>{\small\frac{1}{k^z}} = \int_k^{k + 1} t^{- z} dt + \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Sumując po <math>k</math> od <math>k = 1</math> do nieskończoności, otrzymujemy

::<math>\zeta (z) = \int_1^{\infty} t^{- z} dt + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right)</math>

Obliczając pierwszą całkę, dostajemy

::<math>\int_1^{\infty} t^{- z} dt = {\small\frac{t^{- z + 1}}{1 - z}} \biggr\rvert_{1}^{\infty} = 0 - {\small\frac{1}{1 - z}} = {\small\frac{1}{z - 1}}</math>

Granica w nieskończoności wynika natychmiast z prostego spostrzeżenia

:: <math>| t^{1 - z} | = t^{1 - \operatorname{Re}(z)} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>

a jeśli tak, to również <math>t^{1 - z} \xrightarrow{\; t \rightarrow \infty \;} 0</math>.

Zatem

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} dt \right) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

Pokażemy teraz, że szereg <math>g(z)</math> jest zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Zapiszmy <math>g(z)</math> w postaci

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

i oszacujmy wyrazy sumy po prawej stronie

::<math>a_k = \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t</math>

Rozważmy funkcję <math>f(x) = x^{- z}</math>. Z twierdzenia Lagrange'a<ref name="Lagrange1"/> istnieje taka liczba <math>a \in [k, t]</math>, że

::<math>| f (k) - f (t) | = | k^{- z} - t^{- z} | = | f' (a) \cdot (t - k) | = | - z \cdot a^{- z - 1} (t - k) | = | z | \cdot | a^{- z - 1} | \cdot (t - k) = | z | \cdot a^{- \operatorname{Re}(z) - 1} (t - k) \leqslant | z | \cdot k^{- \operatorname{Re} (z) - 1} (t - k)</math>

bo dla <math>\operatorname{Re}(z) > - 1</math> wyrażenie <math>a^{- \operatorname{Re}(z) - 1}</math> jest funkcją malejącą zmiennej <math>a.</math>

Mamy

::<math>| a_k | = \left| \int_k^{k + 1} (k^{- z} - t^{- z}) d t \right|</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} | k^{- z} - t^{- z} | d t</math>

:::<math>\:\, \leqslant \int_k^{k + 1} \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_k^{k + 1} (t - k) d t</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} \int_0^1 v d v</math>

:::<math>\:\, = \frac{|z|}{2 k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ostatecznie otrzymaliśmy proste oszacowanie

::<math>0 \leqslant | a_k | \leqslant {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}}</math>

Ponieważ szereg

::<math>{\small\frac{|z|}{2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\operatorname{Re}(z) + 1}} = {\small\frac{|z|}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1)</math>

jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> (zobacz [[#R16|R16]]), to z kryterium porównawczego (zobacz [[Szeregi liczbowe#D11|D11]]) wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math> jest zbieżny, gdy <math>\operatorname{Re}(z) > 0.</math>

Zgodnie z fundamentalnym w analizie zespolonej twierdzeniem o jednoznaczności, jeśli dwie funkcje różniczkowalne pokrywają się w jakimś obszarze (w tym przypadku dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>), to istnieje tylko jedno możliwe przedłużenie tej funkcji na większy obszar (<math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>). Ponieważ wzór <math>{\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math> jest różniczkowalny w tym większym obszarze, to jest on przedłużeniem analitycznym funkcji <math>\zeta (z).</math> Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R23 
Pokazać, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Wiemy (zobacz [[#R22|R22]]), że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma analityczne przedłużenie prawdziwe dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> postaci

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z)</math>

gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} t^{- z} d t \right)</math>

Szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny dla <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \cdot \zeta (\operatorname{Re}(z) + 1) \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right)</math>

(zobacz [[#R22|R22]] i [[#R20|R20]]).

Rozważmy otoczenie <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> punktu <math>z = 1</math> o promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Takie otoczenie to zbiór punktów <math>\mathbb{C}</math> określonych nierównością <math>| z - 1 | < {\small\frac{1}{2}}</math>. Łatwo zauważamy, że w tym otoczeniu prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| z | = | (z - 1) + 1 | \leqslant | z - 1 | + | 1 | < {\small\frac{1}{2}} + 1 = {\small\frac{3}{2}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż rysunek|Hide=Ukryj rysunek}}
[[File:okregi-i-kolo-na-C.png|400px|none]]
{{\Spoiler}}

Warunek <math>|z - 1| < {\small\frac{1}{2}}</math> spełniają punkty należące do wnętrza koła na płaszczyźnie zespolonej o środku w punkcie <math>(1, 0)</math> i promieniu <math>{\small\frac{1}{2}}</math>. Ponieważ
część rzeczywista <math>\operatorname{Re}(z)</math> to współrzędna <math>x</math> na płaszczyźnie zespolonej, to musi być <math>\operatorname{Re}(z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>{\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} < 2</math>

Zbierając, otrzymujemy, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> prawdziwe jest oszacowanie

::<math>| g (z) | \leqslant {\small\frac{| z |}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60|ZB60]] wynika natychmiast, że

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>

Zatem

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = \lim_{z \rightarrow 1} \left[ (z - 1) \left( {\small\frac{1}{z - 1}} + g (z) \right) \right] = \lim_{z \rightarrow 1} [1 + (z - 1) g (z)] = 1 + \lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 1</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R24 
Pokazać, że <math>g(1) = \gamma</math>, gdzie

::<math>g(z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k^z}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x^z}} dx \right)</math>

a <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R22|R22]] pokazaliśmy, że szereg <math>g(z)</math> jest bezwzględnie zbieżny w półpłaszczyźnie <math>\operatorname{Re}(z) > 0</math>. Ponieważ punkt <math>z = 1</math> leży wewnątrz tego obszaru, możemy bezpośrednio podstawić <math>z = 1</math> i obliczyć sumę szeregu <math>g(1) .</math> Rozważmy sumy częściowe

::<math>g_N (1) = \sum_{k = 1}^N \left( {\small\frac{1}{k}} - \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^N \int_k^{k + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \int_1^{N + 1} {\small\frac{1}{x}} dx</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \Bigr[ \ln (x) \bigr\rvert_{1}^{N + 1} \Bigr]</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N + 1)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) - \ln \left( {\small\frac{N + 1}{N}} \right)</math>

:::<math>\;\;\;\;\: = \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] - \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right)</math>

Przechodząc z <math>N</math> do nieskończoności, otrzymujemy<ref name="Euler1"/>.

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \left[ \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{k}} - \ln (N) \right] = \gamma</math>

::<math>\lim_{N \rightarrow \infty} \ln \left( 1 + {\small\frac{1}{N}} \right) = 0</math>

Zatem <math>g(1) = \lim_{N \rightarrow \infty} g_N (1) = \gamma</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R25 
Niech <math>z \in \mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Funkcję dzeta Riemanna definiujemy następująco

::<math>\zeta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) > 1 & \text{pierwotna definicja funkcji dzeta Riemanna} \\[2ex]

\infty & \text{gdy } z = 1 & \text{jedyny punkt rozbieżności (szereg harmoniczny)} \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \tfrac{1}{2} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1 \qquad z \neq 1 & \text{przedłużenie analityczne przez funkcję } \eta \text{ Dirichleta} \\[2ex]

\displaystyle 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} \qquad z \neq 0 & \text{równanie funkcyjne Riemanna} \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Wiersze drugi i piąty w powyższej definicji nie tyle definiują, co informują Czytelnika o zachowaniu funkcji <math>\zeta (z)</math> w punktach <math>z = 1</math> i <math>z = 0</math> (punkt <math>z = 1</math> nawet nie należy do dziedziny funkcji dzeta). Zdecydowaliśmy się je zamieścić, bo są to punkty, o które natychmiast pytamy, patrząc na wzory. Dodatkowo punkty te wiąże równanie funkcyjne Riemanna.

Zauważmy, że funkcja <math>\zeta (z)</math> nie jest funkcją wielowartościową – dlatego w definicji bierzemy wartości główne potęg zespolonych <math>k^z, 2^z, \pi^{z - 1}</math>. Aby określić wartości <math>\zeta (z)</math> dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> moglibyśmy użyć dowolnego przedłużenia analitycznego funkcji <math>\zeta (z)</math>.

Zadanie R26 
Pokazać na podstawie definicji funkcji <math>\zeta (z)</math>, że funkcja <math>\eta (z)</math> może być określona dla wszystkich <math>z \in \mathbb{C}</math> następująco

::<math>\eta (z) =
\begin{cases}
\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) \geqslant \tfrac{1}{2} & \text{szereg zbieżny dla } \operatorname{Re}(z) > 0 \\[2ex]

\displaystyle - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) & \text{gdy } \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}} & \text{równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji } \eta (z) \\[2ex]

\displaystyle {\small\frac{1}{2}} & \text{gdy } z = 0 & \text{wartość granicy w zerze} \\[2ex]
\end{cases}
</math>

Uwaga R27 
Równanie funkcyjne Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]])

::<math>- {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

łączy wartości funkcji <math>\eta (z)</math> z przedziału <math>{\small\frac{1}{2}} < \operatorname{Re}(z) < 1</math> z wartościami funkcji <math>\eta (z)</math> w przedziale <math>0 < \operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math>. Jest to związek zaskakujący – zupełnie nie widać powodu, dla którego sumy szeregów

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 4}}} \approx 0.554487386</math>

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{3 / 4}}} \approx 0.651115680</math>

miałyby być ze sobą powiązane. A jednak wiąże je współczynnik, którego wartość możemy łatwo policzyć

::<math>- {\small\frac{2^{1 / 4} - 2}{2^{1 / 4} - 1}} \cdot \pi^{- 3 / 4} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi}{8}} \right) \Gamma \left( {\small\frac{3}{4}} \right) \approx 0.851595812</math>

Zadanie R28 
Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Pokazać, że <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>, gdzie <math>B_n</math> są liczbami Bernoulliego (zobacz [[Wzór Eulera-Maclaurina#E6|E6]]).

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (0)}</math>

Pierwszy sposób 

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right] = 2^0 \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} \cdot \lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)]</math>

Pierwszą granicę po prawej stronie policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{z} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{1} = {\small\frac{\pi}{2}}</math>

Drugą granicę już znamy (zobacz [[#R23|R23]])

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} [z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} [- z \cdot \zeta (1 - z)] = - \lim_{z \rightarrow 0} \{ [(1 - z) - 1] \cdot \zeta (1 - z) \} = - \lim_{w \rightarrow 1} [ (w - 1) \cdot \zeta (w) ] = - 1</math>

Zatem <math>\zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>.

Drugi sposób 

Korzystając z odpowiednika równania funkcyjnego Riemanna dla funkcji <math>\eta (z)</math> (zobacz [[#R26|R26]])

::<math>\eta (z) = - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z)</math>

policzymy granicę prawej strony, gdy <math>z</math> dąży do zera.

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \left[ - {\small\frac{2^z - 2}{2^z - 1}} \cdot \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \eta (1 - z) \right] = - (- 1) \cdot \pi^{- 1} \cdot \Gamma (1) \cdot \eta (1) \cdot \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1}</math>

Wiemy, że <math>\eta (1) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]). Ostatni czynnik po prawej stronie to wyrażenie nieoznaczone typu <math>{\small\frac{0}{0}}</math>. Jego wartość policzymy, stosując regułę de l'Hospitala

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{2^z - 1} = \lim_{z \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right) \cdot \tfrac{\pi}{2}}{2^z \cdot \ln 2} = {\small\frac{\pi}{2 \ln 2}}</math>

Łącząc powyższe wyniki, otrzymujemy <math>\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Ze wzoru <math>\zeta (z) = {\small\frac{\eta (z)}{1 - 2^{1 - z}}}</math>, który stanowi przedłużenie funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>0 < \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math>, otrzymujemy w granicy, gdy <math>z</math> dąży do zera, że

::<math>\zeta (0) = - \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

Co należało pokazać.

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k + 1)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

i pamiętając o tym, że<ref name="Baselproblem1"/>

::<math>\zeta (2 k) = \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

dostajemy (zobacz [[#R25|R25]], [[Szeregi liczbowe#D143|D143]] p.2)

::<math>\zeta (- 2 k + 1) = 2^{- 2 k + 1} \pi^{- 2 k} \sin \left( - {\small\frac{\pi (2 k - 1)}{2}} \right) \Gamma (2 k) \zeta (2 k)</math>

:::::<math>\;\;\; = \frac{2 (- 1)^k}{2^{2 k} \pi^{2 k}} \cdot (2 k - 1) ! \cdot \frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}</math>

:::::<math>\;\;\; = - {\small\frac{B_{2 k}}{2 k}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2 k)}</math>''', gdzie''' <math>\boldsymbol{k = 1, 2, 3, \ldots}</math>

Korzystając z równania funkcyjnego Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta (- 2 k) = 2^{- 2 k} \pi^{- 2 k - 1} \sin \left( - {\small\frac{2 k \pi}{2}} \right) \Gamma (2 k + 1) \zeta (2 k + 1) = 0</math>

bo <math>\sin (k \pi) = 0</math>.

Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy <math>\zeta (- n) = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R29 
Na wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \leqslant 0</math> możemy patrzeć jedynie jako na funkcję zdefiniowaną równaniem funkcyjnym Riemanna. Ale możemy spojrzeć też tak, jakby była ona sposobem przypisywania konkretnych liczb szeregom ewidentnie rozbieżnym. Przykładowo

::<math>\zeta (- n) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^n = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}}</math>

Najciekawsze jest to, że przypisania te są zgodne z wcześniejszymi próbami matematyków w tej kwestii (zobacz [[Szeregi liczbowe#D109|D109]]). W poniższym zadaniu pokazujemy kilka dalszych przykładów.

Zadanie R30 
Uzasadnić, dlaczego mamy: <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 2) = 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \eta (z)</math>

'''1. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (0) = {\small\frac{1}{2}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}}</math>

Rozważmy szereg geometryczny zbieżny dla <math>| t | < 1</math>

::<math>{\small\frac{1}{1 + t}} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast)</math>

Widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>{\small\frac{1}{2}} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = \eta (0)</math>

Zatem

::<math>\zeta (0) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 0}}} \cdot \eta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

'''2. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 1) = {\small\frac{1}{4}}}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}}</math>

Różniczkując obie strony wzoru <math>(\ast)</math>, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1}{(1 + t)^2}} = 1 - 2 t + 3 t^2 - 4 t^3 + 5 t^4 - 6 t^5 + \ldots \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Ponownie widzimy, że w granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, mamy

::<math>{\small\frac{1}{4}} = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots = \eta (- 1)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 1) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 1)}}} \cdot \eta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>

'''3. Przypadek''' <math>\boldsymbol{\eta (- 2) = 0}</math>''',''' <math>\boldsymbol{\zeta (- 2) = 0}</math>

Mnożąc obie strony równania <math>(\ast \ast)</math> przez <math>t</math> i różniczkując, otrzymujemy

::<math>{\small\frac{1 - t}{(1 + t)^3}} = 1 - 4 t + 9 t^2 - 16 t^3 + 25 t^4 - 36 t^5 + \ldots</math>

W granicy, gdy <math>t \rightarrow 1</math>, dostajemy

::<math>0 = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - 36 + \ldots = \eta (- 2)</math>

Zatem

::<math>\zeta (- 2) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - (- 2)}}} \cdot \eta (- 2) = 0</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R31 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla każdego <math>x > 0</math> oraz prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{1}{2}} < \eta (x) < 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Z definicji funkcji <math>\eta (x)</math> mamy

::<math>\eta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n^x}} = 1 - {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} - {\small\frac{1}{4^x}} + \ldots</math>

Zauważmy, że ciąg <math>a_n = {\small\frac{1}{n^x}}</math> jest silnie malejący, bo funkcja <math>f(t) = t^x</math> jest silnie rosnąca dla <math>t, x \in \mathbb{R}_+</math>. Zatem <math>\eta (x)</math> spełnia kryterium Leibniza i z twierdzenia [[Szeregi liczbowe#D5|D5]] wynika, że szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math> oraz dostajemy oszacowanie <math>1 - {\small\frac{1}{2^x}} < \eta (x) < 1</math>. Skąd natychmiast wynika, że <math>0 < \eta (x) < 1</math>. Dokładniejsze oszacowanie od dołu będzie dłuższe, ale przekształcenia są zaskakująco proste.

Ponieważ szereg <math>\eta (x)</math> jest zbieżny dla <math>x > 0</math>, to możemy grupować wyrazy. Grupując je po dwa, możemy napisać

::<math>\eta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = \sum_{k = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^N {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{j = 1}^{N - 1} {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{j = 1}^N {\small\frac{1}{2 (2 j + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\, = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

W granicy, gdy <math>N</math> dąży do nieskończoności, wracamy do szeregu <math>\eta (x)</math>
z wydzielonym składnikiem <math>{\small\frac{1}{2}}</math> i teraz będziemy mogli uzyskać postulowane oszacowanie

::<math>\eta (x) = \lim_{N \rightarrow \infty} S_N</math>

:::<math>\;\;\, = \lim_{N \rightarrow \infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2 (2 N + 1)^x}} + \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \right\}</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} - 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ {\small\frac{1}{2}} \left[ {\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} + {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}} \right] - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right\}</math>

:::<math>\;\;\, \geqslant {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(2 k + 1)^x}} \cdot {\small\frac{1}{(2 k - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad \text{bo } \; {\small\frac{1}{2}} (a + b) \geqslant \sqrt{a b} \;\;</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A38|A38]])

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2 - 1)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, > {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ \sqrt{{\small\frac{1}{(4 k^2)^x}}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>

:::<math>\;\;\, = {\small\frac{1}{2}}</math>

Na zakończenie warto zobaczyć, jak <math>\eta (x)</math> wygląda na wykresie.

::[[File:eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png|540px|none]]

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R32 
Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Pokazać, że <math>\zeta (x)</math> ma wartości rzeczywiste. Omówić zachowanie funkcji <math>\zeta (x)</math> w punkcie <math>x = 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant x \leqslant 1</math> mamy <math>\zeta (x) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - x}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>, zatem <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Dla <math>x < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\zeta (x) = 2^x \pi^{x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 - x) \zeta (1 - x)</math>. Ponieważ <math>1 - x > {\small\frac{1}{2}}</math>, to funkcja <math>\zeta (1 - x)</math> jest rzeczywista, podobnie jak pozostałe czynniki. Zatem i w tym przedziale <math>\zeta (x)</math> jest rzeczywista.

Zauważmy, że ponieważ dla <math>x > 0</math> funkcja <math>\eta (x)</math> jest zawsze dodatnia (zobacz [[#R31|R31]]), to o znaku funkcji dzeta Riemanna <math>\zeta (x)</math> w tym obszarze decyduje wyłącznie znak czynnika łączącego obie funkcje

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{\eta (x)}{1 - 2^{1 - x}}}</math>

Co bardzo dobrze widzimy na wykresie

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-1.png|550px|none]]

Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> (zobacz [[#R25|R25]]) dla <math>x \geqslant 1</math> możemy napisać

::<math>\zeta (- x) = - 2^{- x} \pi^{- x - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right) \Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)</math>

Wiemy, że dla <math>x = 2</math> mamy <math>\zeta (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} \approx 1.644934</math><ref name="Problembazylejski1"/>. Widzimy, że o zachowaniu funkcji <math>\zeta (x)</math> w przedziale <math>(- \infty, - 1]</math> decydują pozostałe czynniki, bo <math>\zeta (1 + x)</math> jest niewielką liczbą z przedziału <math>(1, 1.65)</math>.

::<math>\zeta (- x) = - {\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi x}{2}} \right)</math>

Ponieważ <math>\Gamma (1 + x) \sim \sqrt{2 \pi x} \cdot x^x e^{- x}</math> dla dużych <math>x</math>, to dla dużych <math>x</math> mamy <math>{\small\frac{\Gamma (1 + x) \zeta (1 + x)}{2^x \pi^{x + 1}}} \sim \sqrt{{\small\frac{2 x}{\pi}}} \cdot \left( {\small\frac{x}{2 \pi e}} \right)^x</math>. Co oznacza stały wzrost amplitudy oscylacji dla dużych ujemnych liczb rzeczywistych.

::[[File:dzeta-dla-rzeczywistych-2.png|600px|none]]

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

Gdy <math>x > 1</math> funkcja dzeta jest zdefiniowana klasycznym szeregiem

::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

Stosując oszacowanie przy pomocy całki (zobacz [[Szeregi liczbowe#D47|D47]]) otrzymujemy

::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} > \int_1^{\infty} {\small\frac{d t}{t^x}} = \left[ {\small\frac{1}{1 - x}} \cdot {\small\frac{1}{t^{x - 1}}} \right] \biggr\rvert_{1}^{\infty} = {\small\frac{1}{x - 1}}</math>

Zatem <math>\zeta (x) > {\small\frac{1}{x - 1}}</math>, co oznacza, że w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{1}{x - 1}} = + \infty</math>

Skąd wynika, że

::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) = + \infty</math>

'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica lewostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^-}</math>

Dla <math>x < 1</math> korzystamy ze wzoru

::<math>\zeta (z) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}}</math>

Dla <math>x</math> rzeczywistych mamy

::<math>\zeta (x) = {\small\frac{2^x}{2^x - 2}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^x}}</math>

Gdy <math>x \rightarrow 1^-</math> szereg naprzemienny jest zbieżny do <math>\ln 2</math> (zobacz [[Szeregi liczbowe#D7|D7]]), ale mianownik ułamka <math>{\small\frac{2^x}{2^x - 2}}</math> dąży do zera przez wartości mniejsze od zera, zatem

::<math>\lim_{x \to 1^-} \zeta (x) = - \infty</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R33 
Wszystkie wzory pozwalające wyjść poza obszar <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> zawdzięczamy przełomowej pracy<ref name="Riemann1"/> Bernharda Riemanna z 1859 roku. Była to jego jedyna publikacja z zakresu teorii liczb. W swojej pracy Riemann

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Potraktował zmienną <math>z</math> jako liczbę zespoloną, co otworzyło drogę do zastosowania narzędzi analizy zespolonej.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Udowodnił, że funkcję zdefiniowaną pierwotnie tylko dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> można przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną (z jedynym punktem rozbieżności w <math>z = 1</math>).

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował i udowodnił fundamentalne równanie funkcyjne, ukazujące wewnętrzną symetrię funkcji dzeta względem tzw. prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Pokazał, że rozkład liczb pierwszych jest bezpośrednio związany z miejscami zerowymi funkcji <math>\zeta (z)</math>.

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;Sformułował słynną hipotezę Riemanna, która stwierdza, że wszystkie nietrywialne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą dokładnie na prostej krytycznej, czyli <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Sprawdzono<ref name="PlattTrudgian2"/>, że wszystkie zera postaci <math>z = x + i y</math> dla <math>0 < y \leqslant 3 \cdot 10^{12}</math> mają <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
Poniżej mamy wykres funkcji <math>{\small\frac{1}{| \zeta (z) |}}</math>. Ostre piki odpowiadają pierwszym pięciu nietrywialnym zerom funkcji zeta <math>z_k = {\small\frac{1}{2}} + i y_k</math>, gdzie <math>y_1 \approx 14.13</math>, <math>y_2 \approx 21.02</math>, <math>y_3 \approx 25.01</math>, <math>y_4 \approx 30.42</math>, <math>y_5 \approx 32.94</math>.
::[[File:dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png|800px|none]]
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R34 
Podstawowe własności funkcji <math>\zeta (z)</math>.

'''1. Miejsca zerowe'''

:*&emsp; trywialne: <math>\zeta (- 2 k) = 0 \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>

:*&emsp; nietrywialne: <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \pm i y_k \right) = 0 \qquad</math> gdzie <math>y_1 \approx 14.1347</math>, <math>y_2 \approx 21.0220</math>, <math>y_3 \approx 25.0108</math>, <math>y_4 \approx 30.4248</math>, <math>y_5 \approx 32.9350</math>, <math>y_6 \approx 37.5861</math>, <math>\ldots</math>

'''2. Wartości dla nieujemnych liczb parzystych'''

::<math>\zeta (2 k) = {\small\frac{(- 1)^{k + 1} (2 \pi)^{2 k} B_{2 k}}{2 \cdot (2 k) !}} \qquad</math> dla <math>k = 0, 1, 2, 3, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, <math>\zeta (2) = {\small\frac{\pi^2}{6}}</math>, <math>\zeta (4) = {\small\frac{\pi^4}{90}}</math>, <math>\zeta (6) = {\small\frac{\pi^6}{945}}</math>, <math>\zeta (8) = {\small\frac{\pi^8}{9450}}</math>, <math>\zeta (10) = {\small\frac{\pi^{10}}{93555}}</math>

'''3. Wartości dla ujemnych liczb całkowitych'''

::<math>\zeta (- k) = - {\small\frac{B_{k + 1}}{k + 1}} \qquad</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4, \ldots</math>

Przykładowo mamy

::<math>\zeta (- 1) = - {\small\frac{1}{12}}</math>, <math>\zeta (- 3) = {\small\frac{1}{120}}</math>, <math>\zeta (- 5) = - {\small\frac{1}{252}}</math>, <math>\zeta (- 7) = {\small\frac{1}{240}}</math>

'''4. Inne szczególne wartości i punkty'''

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \approx - 1.4603</math>, <math>\zeta (1) = \infty</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{3}{2}} \right) \approx 2.6123</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{5}{2}} \right) \approx 1.3414</math>, <math>\zeta (3) \approx 1.2020</math>, <math>\zeta \left( {\small\frac{7}{2}} \right) \approx 1.1267</math>

'''5. Ważne granice'''

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow - \infty} | \zeta (z) | = + \infty \qquad\quad\,</math> (granica dla <math>\zeta (z)</math> nie istnieje, ponieważ funkcja wpada w nieograniczone oscylacje)

::<math>\lim_{z \rightarrow 0} \zeta (z) = - {\small\frac{1}{2}}</math>

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^-} \zeta (x) = - \infty \qquad\qquad\quad\:\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) = + \infty \qquad\qquad\quad\;\,</math> (zachowanie na osi rzeczywistej)

::<math>\lim_{z \rightarrow 1} \zeta (z) = \infty \qquad\qquad\qquad\;\;\;</math> (ogólna granica zespolona)

::<math>\lim_{\operatorname{Re}(z) \rightarrow + \infty} \zeta (z) = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math>

::<math>\lim_{z \to 1} \left( \zeta (z) - {\small\frac{1}{z - 1}} \right) = \gamma \qquad</math> gdzie <math>\gamma \approx 0.5772</math> jest stałą Eulera

Uwaga R35 
Mówimy o miejscach zerowych '''trywialnych''', ponieważ ich istnienie wynika bezpośrednio z samej struktury równania funkcyjnego

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Dla każdej ujemnej liczby parzystej człon <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math> zeruje się, podczas gdy pozostałe elementy wzoru przyjmują skończone wartości (zobacz też zadanie [[#R28|R28]]).

Wszystkie pozostałe ('''nietrywialne''') miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> leżą wewnątrz tzw. pasa krytycznego <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math>. Słynna hipoteza Riemanna zakłada, że leżą one dokładnie na jego środku – czyli na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math>. Udowodnienie tego faktu jest jednym z najtrudniejszych wyzwań w historii matematyki.

Zadanie R36 
Pokazać, że <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\bar{z})</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.1).

Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:

Dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\overline{(k^z)}}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Dla <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant 1</math> mamy

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^z}} \right)} = \frac{1}{1 - 2^{1 - \bar{z}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{\bar{z}}} = \zeta (\bar{z})</math>

Zauważmy, że dla <math>\operatorname{Re}(z) < {\small\frac{1}{2}}</math> mamy <math>\operatorname{Re}(1 - z) > {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>\overline{\zeta (z)} = \overline{\left( 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z) \right)} = \overline{(2^z)} \cdot \overline{\pi^{z - 1}} \cdot \overline{\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)} \cdot \overline{\Gamma (1 - z)} \cdot \overline{\zeta (1 - z)} = 2^{\bar{z}} \pi^{\bar{z} - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi \bar{z}}{2}} \right) \Gamma (1 - \bar{z}) \zeta (1 - \bar{z}) = \zeta (\bar{z})</math>

gdzie skorzystaliśmy z [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17|ZB17]] p.2 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3 oraz udowodnionych wyżej przypadków. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Wykres funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej ==

Uwaga R37 
Wartości funkcji <math>\zeta (z)</math> na prostej krytycznej <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> zależą tylko od jednej zmiennej <math>t</math>. Oczywiście <math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math> są wartościami zespolonymi, a ich obrazem na płaszczyźnie zespolonej będzie pewna krzywa. Wiemy, że

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = {\small\frac{1}{1 - 2^{1 / 2 - i t}}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^{1 / 2 + i t}}}</math>

ale z tego wzoru możemy policzyć co najwyżej kilka punktów. Do sporządzenia wykresów takich, jak te niżej, korzystamy z zaimplementowanej w systemach obliczeniowych funkcji <math>\zeta (z)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-0-do-43.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-0-do-17.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż więcej wykresów|Hide=Ukryj więcej wykresów}}
<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-17-do-22.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-22-do-27.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-27-do-32.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-32-do-37.png|700px|none]]
</div>

<div style="display: flex; gap: 30px; margin-left: 3.2em;">
[[File:dzeta-od-37-do-40.png|700px|none]]
[[File:dzeta-od-40-do-43.png|700px|none]]
</div>
□
{{\Spoiler}}

== Funkcja <math>Z(t)</math> Riemanna-Siegla ==

Zadanie R38 
Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że funkcję

::<math>\chi (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

określoną dla <math>z \neq 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, można równoważnie zapisać w postaci

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Funkcja <math>\Gamma (z)</math> nie jest określona dla <math>z = - n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Zatem funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> nie jest określona dla <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ale wyrażenie <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z)</math> dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>, ma dobrze określoną granicę skończoną. Istotnie, korzystając ze wzoru [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5 i stosując regułę de l'Hospitala, otrzymujemy

<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
::<math>\lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \right]
= \lim_{z \rightarrow 2 k} \left[ {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)} \cdot {\normalsize\frac{\pi}{\Gamma (z)}}} \right]
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\sin (\pi z)}}
= {\small\frac{\pi}{\Gamma (2 k)}} \cdot \lim_{z \rightarrow 2 k} {\normalsize\frac{ \tfrac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi \cdot \cos (\pi z)}}
= (- 1)^k \cdot {\small\frac{\pi}{2 (2 k - 1) !}}</math>
</div>

Podobnie funkcja <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math> nie jest określona dla <math>z = 2 n + 1</math>, gdzie <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i w tych punktach drugi wzór ucieka do nieskończoności. W efekcie obie funkcje mają identyczną dziedzinę: <math>\mathbb{C} \setminus \{2 n + 1 : n \in \mathbb{N}_0 \}</math>.

Korzystając ze wzoru Legendre'a na podwajanie

::<math>\Gamma \! \left( 2 z \right) = 2^{2 z - 1} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad\qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

mamy

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) = \Gamma \! \left( 2 \cdot {\small\frac{1 - z}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>

::::<math>\;\;\;\, = 2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( {\small\frac{1 - z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) \qquad\qquad (\ast)</math>

Podstawiając <math>z \mapsto {\small\frac{z}{2}}</math> we wzorze na dopełnienie funkcji gamma (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.5)

::<math>\Gamma \! \left( z \right) \Gamma \! \left( 1 - z \right) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad\qquad z \notin \mathbb{Z}</math>

dostajemy

::<math>\Gamma \! \left( {\small\frac{z}{2}} \right) \Gamma \! \left( 1 - {\small\frac{z}{2}} \right) = {\normalsize\frac{\pi}{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}} \qquad\qquad (\ast \ast)</math>

Dzieląc stronami równania <math>(\ast)</math> i <math>(\ast \ast)</math>

::<math>\Gamma \! \left( 1 - z \right) \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} = {\normalsize\frac{2^{- z} \cdot \pi^{- 1 / 2} \cdot \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) \Gamma \! \left( 1 - \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

otrzymujemy

::<math>{\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}
= 2^z \pi^{1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\sin \left( \tfrac{\pi z}{2} \right)}{\pi}} \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= 2^z \pi^{- 1 / 2} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)</math>

Skąd wynika, że

::<math>\pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{ \Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right) }{ \Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right) }}
= 2^z \pi^{z - 1} \cdot \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \cdot \Gamma \! \left( 1 - z \right)
= \chi (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R39 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> moduł funkcji <math>\chi (z)</math> jest równy <math>1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ (zobacz [[#R38|R38]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math> mamy (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Zatem

::<math>\left| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right| = 1</math>

bo <math>| \pi^{i t} | = | e^{i t \cdot \log \pi} | = 1</math> oraz <math>| \overline{z} | = | z |</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R40 
Pokazać, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> funkcja

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

jest rzeczywista.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
W zadaniu [[#R39|R39]] pokazaliśmy, że na prostej krytycznej <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{1}{2}}</math> jest <math>| \chi (z) | = 1</math>. Niech <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>. Mamy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)}</math>

gdzie <math>\varphi (t)</math> jest pewnym kątem.

Ponieważ

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right) = \zeta \left( \overline{ {\small\frac{1}{2}} + i t } \right) = \overline{ \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) }</math>

to z równania funkcyjnego dla funkcji <math>\zeta (z)</math>

::<math>\zeta (z) = \chi (z) \zeta (1 - z)</math>

otrzymujemy

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} - i t \right)</math>

::<math>\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t)} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \varphi (t) / 2} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

::<math>e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = \overline{e^{- i \varphi (t) / 2}} \cdot \overline{\zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)}</math>

Zatem funkcja

::<math>Z(t) = e^{- i \varphi (t) / 2} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) = e^{i \theta (t)} \cdot \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

gdzie <math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} i \varphi (t)</math>, jest rzeczywista.

Ponieważ (zobacz [[#R38|R38]])

::<math>\chi (z) = \pi^{z - 1 / 2} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1 - z}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{z}{2} \right)}}</math>

to dla <math>z = {\small\frac{1}{2}} + i t</math>, otrzymujemy

::<math>\chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} - \tfrac{i t}{2} \right)}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}
= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \log \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \log \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

Zatem

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.

Niżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math>. Użyliśmy specyficznego wykresu biegunowego z odległością wyskalowaną logarytmicznie i początkiem w punkcie <math>r = 10^{- 6}</math>.

::[[File:gamma-skala-logarytmiczna.png|700px|none]]

Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

możemy zapisać w postaci

::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

::[[File:log-gamma.png|700px|none]]

Analizując gładki przebieg wykresu na rysunku, należy zauważyć, że część urojona płynnie rośnie i nie ogranicza się do przedziału od <math>- \pi</math> do <math>\pi</math>, czego moglibyśmy się spodziewać. Jednak nie realizujemy w tym przypadku prostego obliczania logarytmu funkcji gamma, co dla przykładu zapisalibyśmy w PARI/GP jako <code>log(gamma(1/4 + I*t/2))</code>, lecz używamy specjalnej funkcji do wyliczenia tego logarytmu (w środowisku PARI/GP byłaby to funkcja <code>lngamma(1/4 + I*t/2)</code>). Algorytm tej funkcji został napisany tak, aby dla każdego punktu <math>t</math> wyliczany był prawdziwy, narastający argument, odpowiadający narastającemu argumentowi funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math>. Narastanie argumentu funkcji <math>\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)</math> było bardzo dobrze widoczne na poprzednim wykresie, ale w przypadku logarytmu już tak nie jest i dlatego kwestia ta wymagała wyjaśnienia. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R41 
Funkcje

::<math>Z(t) = e^{i \theta (t)} \zeta \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right)</math>

i

::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\log \pi}{2}} \cdot t</math>

nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R40|R40]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \log t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\log \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

A przebieg funkcji <math>\theta (t)</math> widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-theta-function.png|700px|none]]

Ponieważ <math>e^{i \theta (t)} \neq 0</math>, to funkcja rzeczywista <math>Z(t)</math> i zespolona <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math> zerują się dokładnie w tych samych miejscach. Oczywiście szukanie miejsc zerowych funkcji rzeczywistej jest znacznie łatwiejsze niż szukanie miejsc zerowych funkcji zespolonej i dokładnie dlatego funkcja <math>Z(t)</math> została skonstruowana. Konsekwentnie mamy <math>| Z (t) | = \left| \zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right) \right|</math>, co najlepiej widzimy na wykresie

::[[File:Riemann-Siegel-Z-function.png|1000px|none]]

gdzie dodatnia część rzeczywistej funkcji <math>Z(t)</math> pokrywa się z modułem zespolonej funkcji <math>\zeta \left( \tfrac{1}{2} + i t \right)</math>.

== Przedstawienie funkcji <math>\zeta (z)</math> w postaci iloczynu nieskończonego ==

Twierdzenie R42 (Leonhard Euler, 1737) 
Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math>, to

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - {\small\frac{1}{p^z}}}</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Wiemy (zobacz [[#R16|R16]]), że dla <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}}</math> jest bezwzględnie zbieżny. Z definicji funkcji <math>\zeta (z)</math> możemy napisać

::<math>\zeta (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j)^z}} + \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}}</math>

Z zadania [[#R14|R14]] wynika, że oba szeregi po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne. Łatwo widzimy, że

::<math>{\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = {\small\frac{1}{2^z}} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^z}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^z}}</math>

Zatem

::<math>\zeta (z) - {\small\frac{1}{2^z}} \zeta (z) = \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 3)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

Widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>2</math>.

Ponownie łatwo zauważamy, że

::<math>{\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{3^z}} \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 j + 1)^z}} = \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 j + 3)^z}}</math>

Zatem

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) - {\small\frac{1}{3^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z)
= \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 1)^z}} + \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{(6 k + 5)^z}}</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>3</math>.

Postępując mniej formalnie możemy napisać

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + \ldots</math>

Jednocześnie

::<math>{\small\frac{1}{5^z}} \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = {\small\frac{1}{5^z}} + {\small\frac{1}{25^z}} + {\small\frac{1}{35^z}} + {\small\frac{1}{55^z}} + {\small\frac{1}{65^z}} + {\small\frac{1}{85^z}} + {\small\frac{1}{95^z}} + {\small\frac{1}{115^z}} + {\small\frac{1}{125^z}} + \ldots</math>

Zatem obliczając różnicę, dostajemy

::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1 + {\small\frac{1}{7^z}} + {\small\frac{1}{11^z}} + {\small\frac{1}{13^z}} + {\small\frac{1}{17^z}} + {\small\frac{1}{19^z}} + {\small\frac{1}{23^z}} + {\small\frac{1}{29^z}} + {\small\frac{1}{31^z}} + \ldots</math>

I widzimy, że po prawej stronie zostały usunięte wszystkie wyrazy, których mianowniki były podzielne przez <math>5</math>.

Jeśli będziemy powtarzali tę operację dla kolejnych liczb pierwszych, to po prawej stronie zostaną usunięte wszystkie ułamki (ponieważ każda liczba naturalna większa od 1 dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą) i zostanie nam tylko liczba 1

::<math>\ldots \left( 1 - {\small\frac{1}{7^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{5^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{3^z}} \right) \left( 1 - {\small\frac{1}{2^z}} \right) \zeta (z) = 1</math>

Co możemy zapisać w postaci

::<math>\left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right] \cdot \zeta (z) = 1</math>

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych. Czyli

::<math>\zeta (z) = \left[ \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right) \right]^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{p^z}} \right)^{- 1}
= \prod_{p \geqslant 2} \frac{1}{1 - \tfrac{1}{p^z}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R43 
Pokazać, że układ równań

::<math>\begin{cases}
\; | 1 - p^z | = 1 + | p^z | \\
\; | 1 - q^z | = 1 + | q^z | \\
\end{cases}</math>

gdzie <math>p, q</math> są różnymi liczbami pierwszymi, nie ma rozwiązania.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy pierwsze równanie – wnioski dla drugiego będą analogiczne. Dla liczb zespolonych <math>w_1, w_2</math> prawdziwa jest nierówność trójkąta (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.6)

::<math>| w_1 + w_2 | \leqslant | w_1 | + | w_2 |</math>

Równość <math>| w_1 + w_2 | = | w_1 | + | w_2 |</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby <math>w_1, w_2</math> leżą na tej samej półprostej o początku w punkcie <math>w = 0</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31|ZB31]]). Jeśli przyjmiemy <math>w_1 = 1</math>, to liczba <math>w_2 = - p^z</math> musi być rzeczywista i nieujemna. Zatem musi być <math>p^z \leqslant 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>, możemy teraz warunek <math>p^z \leqslant 0</math> zapisać w postaci

::<math>p^z = e^{(x + i y) \cdot \ln (p)} = e^{x \cdot \ln (p)} \cdot e^{i y \cdot \ln (p)} = p^x \cdot (\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p)) \leqslant 0</math>

Ponieważ <math>p^x > 0</math>, to otrzymujemy

::<math>\cos (y \cdot \ln p) + i \sin (y \cdot \ln p) \leqslant 0</math>

Liczba <math>p^z</math> musi być liczbą rzeczywistą, zatem <math>\sin (y \cdot \ln p) = 0</math>, czyli <math>\cos (y \cdot \ln p) = \pm 1</math> i, aby była spełniona wypisana nierówność, musi być <math>\cos (y \cdot \ln p) = - 1</math>. Wynika stąd natychmiast, że

::<math>y \cdot \ln p = (2 m_p + 1) \pi</math>

gdzie <math>m_p \in \mathbb{Z}</math>. Zatem z rozważanego równania wynika ograniczenie na możliwe wartości <math>y</math>

::<math>y = {\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}}</math>

Z drugiego równania dostajemy analogiczne ograniczenie

::<math>y = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

Ponieważ obydwa warunki muszą być spełnione jednocześnie, to

::<math>{\small\frac{(2 m_p + 1) \pi}{\ln p}} = {\small\frac{(2 m_q + 1) \pi}{\ln q}}</math>

::<math>(2 m_p + 1) \cdot \ln q = (2 m_q + 1) \cdot \ln p</math>

::<math>\ln (q^{(2 m_p + 1)}) = \ln (p^{(2 m_q + 1)})</math>

::<math>q^{(2 m_p + 1)} = p^{(2 m_q + 1)}</math>

Powyższa równość zachodzi tylko w przypadku, gdy <math>2 m_p + 1 = 2 m_q + 1 = 0</math>, ale jest to niemożliwe, bo obie liczby są liczbami nieparzystymi. Zatem nie istnieje wspólna wartość <math>y</math>, a to oznacza, że układ równań nie posiada rozwiązania <math>z \in \mathbb{C}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R44 
Niech <math>\operatorname{Re}(z) > 1</math> i <math>z = x + i y</math>. Korzystając ze wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

pokazać, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

<div style="margin-top: 1.2em; margin-bottom: 1em;">
:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>
</div>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

'''Punkt 1. – oszacowanie od góry'''

Zauważmy, że dla <math>x > 1</math> i <math>p \geqslant 2</math> mamy <math>p^{- x} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{p}} \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Zatem

::<math>| 1 - p^{- z} | \geqslant | | 1 | - | p^{- z} | | = | 1 - p^{- x} | = 1 - p^{- x}</math>

Korzystając z powyższej nierówności, otrzymujemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} \leqslant \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} = \zeta (x)</math>

'''Punkt 1. – oszacowanie od dołu'''

Zauważmy, że

::<math>| 1 - p^{- z} | \leqslant | 1 | + | p^{- z} | = 1 + p^{- x} = {\small\frac{(1 + p^{- x}) (1 - p^{- x})}{1 - p^{- x}}} = {\small\frac{1 - p^{- 2 x}}{1 - p^{- x}}}</math>

Z zadania [[#R43|R43]] wynika, że równość <math>| 1 - p^{- z} | = | 1 | + | p^{- z} |</math> może zachodzić dla co najwyżej jednej liczby pierwszej <math>p</math>, co oznacza, że dla pozostałych liczb pierwszych powyższa nierówność musi być ostra. Zatem dostajemy oszacowanie

::<math>| \zeta (z) | = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{| 1 - p^{- z} |}} > \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1 - p^{- x}}{1 - p^{- 2 x}}} = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- 2 x}}} \cdot \prod_{p \geqslant 2} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = \zeta (2 x) \cdot \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- x}}} \right)^{\! - 1} = {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 2.'''

Logarytmując obie strony wzoru iloczynowego Eulera

::<math>\zeta (z) = \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}}</math>

otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \operatorname{Log} \left( \prod_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} \left( {\small\frac{1}{1 - p^{- z}}} \right) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z})</math>

Ponieważ

::<math>| p^{- z} | = p^{- \operatorname{Re}(z)} = {\small\frac{1}{p^x}} < {\small\frac{1}{2}}</math>

to możemy wykorzystać fakt, że dla <math>| w | < 1</math> funkcję <math>\operatorname{Log} (1 - w)</math> można rozwinąć w zbieżny szereg postaci

::<math>\operatorname{Log} (1 - w) = - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{w^k}{k}} = - w - {\small\frac{w^2}{2}} - {\small\frac{w^3}{3}} - {\small\frac{w^4}{4}} - {\small\frac{w^5}{5}} - \ldots</math>

Otrzymujemy

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = - \sum_{p \geqslant 2} \operatorname{Log} (1 - p^{- z}) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Co należało pokazać.

'''Punkt 3.'''

Z punktu 2. wiemy, że

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (z)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p^{- k z}}{k}}</math>

Ponieważ

::<math>{\small\frac{p^{- k z}}{k}} = {\small\frac{p^{- k (x + i y)}}{k}} = {\small\frac{p^{- k x - i k y}}{k}} = {\small\frac{p^{- i k y}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{e^{- i k y \cdot \ln (p)}}{k p^{k x}}} = {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

to możemy napisać

::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Korzystając ze wzoru <math>\ln | z | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.1), otrzymujemy

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>

:::::<math>\;\;\;\;\,\, = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Zera funkcji <math>\zeta (z)</math> ==

Twierdzenie R45 
Funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera dla wszystkich <math>z</math> spełniających warunek <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) > 1}</math>

Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R44|R44]] p.1)

::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < | \zeta (x + i y) | \leqslant \zeta (x)</math>

Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R20|R20]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

::<math>| \zeta (x + i y) | > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

Skoro <math>| \zeta (x + i y) | \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykresy|Hide=Ukryj wykresy}}
[[File:dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png|850px|none]] 
[[File:dzeta-odwrotnosc.png|850px|none]]
□
{{\Spoiler}}

'''Przypadek''' <math>\boldsymbol{\operatorname{Re}(z) = 1}</math>

Fakt, że funkcja dzeta Riemanna nie posiada miejsc zerowych na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math>, udowodnili w 1896 roku niezależnie od siebie dwaj matematycy: Jacques Hadamard<ref name="Hadamard1"/> i Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref name="Poussin1"/>. Pomysł wykorzystania do dowodu nierówności <math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math> jest późniejszy i pochodzi od Franciszka Mertensa<ref name="Mertens1"/>.

Zauważmy, że

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) \geqslant 0</math>

bo

::<math>3 + 4 \cos (\theta) + \cos (2 \theta) = 3 + 4 \cos (\theta) + 2 \cos^2 (\theta) - 1 = 2 (1 + \cos (\theta))^2 \geqslant 0</math>

Korzystając ze wzoru

::<math>\ln | \zeta (x + i y) | = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

łatwo wyliczamy, że

::<math>3 \ln | \zeta (x) | + 4 \ln | \zeta (x + i y) | + \ln | \zeta (x + 2 i y) | = \sum_p \sum_{m = 1}^{\infty} {\small\frac{3 + 4 \cos (m y \cdot \ln (p)) + \cos (2 m y \cdot \ln (p))}{m \cdot p^{m x}}}</math>

Ponieważ prawa strona jest sumą liczb nieujemnych, to

::<math>\ln (| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) |) \geqslant 0</math>

Czyli

::<math>| \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y) | \geqslant 1</math>

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że funkcja <math>\zeta (z)</math> ma zero na linii <math>x = 1</math> w punkcie <math>1 + i y_0</math> (gdzie <math>y_0 \neq 0</math>) i rozważmy funkcję

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

określoną dla <math>x > 1</math>. Zgodnie z wyżej udowodnionym wzorem dla <math>x > 1</math> jest <math>f(x) \geqslant 1</math>. Zatem granica <math>\lim_{x \to 1^+} f (x)</math> – o ile istnieje – musi być większa lub równa 1.

Z drugiej strony wiemy, że <math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \zeta (z)] = 1</math> (zobacz [[#R23|R23]]). Wiemy też, że <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w <math>\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Zatem istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

::<math>\lim_{z \rightarrow z_0} {\small\frac{\zeta (z) - \zeta (z_0)}{z - z_0}} = \zeta'(z_0)</math>

Przekształćmy funkcję <math>f(x)</math> tak, abyśmy mogli łatwo policzyć granicę, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>. Mamy

::<math>f(x) = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

:::<math>\;\;\, = | \zeta (x) |^3 \cdot | \zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0) |^4 \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \qquad\qquad</math> (możemy tak napisać, bo założyliśmy, że <math>\zeta (1 + i y_0) = 0</math>)

:::<math>\;\;\, = | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) |</math>

Ponieważ <math>\zeta (z)</math> jest różniczkowalna w otoczeniu punktów <math>1 + i y_0</math> oraz <math>1 + 2 i y_0</math> (bo <math>y_0 \neq 0</math>), granice poszczególnych czynników są skończone. Zatem[a]

::<math>\lim_{x \to 1^+} f (x) = \lim_{x \to 1^+} \left\{ | (x - 1) \zeta (x) |^3 \cdot \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \cdot (x - 1) \cdot | \zeta (x + 2 i y_0) | \right\}</math>

:::::<math>= \{ \lim_{x \to 1^+} | (x - 1) \zeta (x) |^3 \} \cdot \left\{ \lim_{x \to 1^+} \left| {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} | \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= \{ | \lim_{x \to 1^+} [(x - 1) \zeta (x)] |^3 \} \cdot \left\{ \left| \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{\zeta (x + i y_0) - \zeta (1 + i y_0)}{x - 1}} \right|^4 \right\} \cdot \{ \lim_{x \to 1^+} (x - 1) \} \cdot \{ | \lim_{x \to 1^+} \zeta (x + 2 i y_0) | \}</math>

:::::<math>= 1^3 \cdot | \zeta' (1 + iy_0) |^4 \cdot 0 \cdot | \zeta (1 + 2 iy_0) | = 0</math>

Uzyskany wynik stoi w sprzeczności z warunkiem <math>\lim_{x \to 1^+} f (x) \geqslant 1</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

<hr style="width: 25%; height: 2px; " />
[a] Korzystamy z twierdzenia o granicy funkcji złożonej

Jeżeli istnieje skończona granica <math>\lim_{z \to z_0} g (z) = c</math> i funkcja <math>f(z)</math> jest ciągła w punkcie <math>c</math>, to

::<math>\lim_{z \to z_0} f (g (z)) = f (\lim_{z \to z_0} g (z)) = f (c)</math> 
□
{{\Spoiler}}

Zadanie R46 
Pokazać, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math>

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Ponieważ <math>\zeta (0) = - {\small\frac{1}{2}}</math>, to punkt <math>z = 0</math> możemy wykluczyć z naszych rozważań. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje takie <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, że <math>\zeta (z_0) = 0</math>.

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Oczywiście <math>z_0 = i y_0</math>, gdzie <math>y_0 \neq 0</math>, nie jest elementem zbioru <math>\{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Jeśli tak, to możemy napisać

::<math>\zeta (1 - z_0) = \zeta (1 - i y_0) = 0</math>

Wbrew twierdzeniu [[#R45|R45]], w którym pokazaliśmy, że na prostej <math>\operatorname{Re}(z) = 1</math> funkcja <math>\zeta (z)</math> jest różna od zera. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie było fałszywe. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R47 
Jedyne miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> poza pasem <math>0 < \operatorname{Re}(z) < 1</math> to <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Pokazaliśmy już, że <math>\zeta (z) \neq 0</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) \geqslant 1</math> i dla <math>\operatorname{Re}(z) = 0</math> (zobacz [[#R45|R45]] i [[#R46|R46]]). Do zbadania, jak zachowuje się funkcja <math>\zeta (z)</math> dla <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, wykorzystamy równanie funkcyjne Riemanna

::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R45|R45]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R48 
Niech <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Jeżeli <math>z_0</math> jest miejscem zerowym funkcji <math>\zeta (z)</math>, to funkcja <math>\zeta (z)</math> zeruje się też w punktach <math>\overline{z_0}</math> i <math>1 - z_0</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}

'''Punkt 1.'''

Ponieważ <math>\overline{\zeta (z)} = \zeta (\overline{z})</math> (zobacz [[#R36|R36]]) i z założenia <math>\zeta (z_0) = 0</math>, to

::<math>0 = \zeta (z_0) \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad 0 = \overline{\zeta (z_0)} = \zeta (\overline{z_0})</math>

Zatem <math>\overline{z_0}</math> jest miejscem zerowym funkcji dzeta.

'''Punkt 2.'''

Napiszmy równanie funkcyjne Riemanna dla <math>z = z_0</math>

::<math>0 = \zeta (z_0) = 2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0) \zeta (1 - z_0)</math>

Zauważmy, że

:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49|ZB49]] p.3)

:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142|D142]] p.3)

:*    funkcja <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>{\small\frac{\pi z_0}{2}} = k \pi</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29|ZB29]] p.2), czyli dla <math>z_0 \in \{ 0, \pm 2, \pm 4, \ldots \}</math>

Ponieważ z założenia <math>\operatorname{Re}(z_0) \in (0, 1)</math>, to <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \neq 0</math>.

Zbierając: iloczyn <math>2^{z_0} \pi^{z_0 - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z_0}{2}} \right) \Gamma (1 - z_0)</math> jest różny od zera. Zatem funkcja <math>\zeta (1 - z_0)</math> musi być równa zero, aby równanie funkcyjne Riemanna było spełnione. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R49 
Niech <math>\zeta (z_0) = 0</math>, gdzie <math>0 < \operatorname{Re}(z_0) < 1</math>. Z twierdzenia [[#R48|R48]] wynika, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z_0) \neq {\small\frac{1}{2}}</math>, to istnieją trzy dodatkowe miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math>. Wypisując wszystkie cztery, mamy: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>, <math>1 - z_0</math>, <math>1 - \overline{z_0}</math>. W przypadku, gdy <math>\operatorname{Re}(z_0) = {\small\frac{1}{2}}</math>, istnieje jedno dodatkowe miejsce zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> i tym razem mamy tylko: <math>z_0</math>, <math>\overline{z_0}</math>.

== Uzupełnienie ==

Twierdzenie R50* (o jednoznaczności różniczkowalnych funkcji zespolonych) 
Jeżeli funkcje zespolone <math>f</math> i <math>g</math> są różniczkowalne w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i są sobie równe w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z) = g (z)</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Twierdzenie R51* 
Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f(z) = 0</math> w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f (z) = 0</math> dla wszystkich <math>z \in D</math>.

Uwaga: zbiór <math>E</math> nie musi być obszarem. Wystarczy, aby zbiór <math>E</math> posiadał przynajmniej jeden punkt skupienia w <math>D</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA36|ZA36]]), czyli <math>E</math> może być odcinkiem otwartym lub ciągiem zbieżnym <math>(z_k)</math>.

Zadanie R52 
Udowodnić równoważność twierdzeń [[#R50|R50]] i [[#R51|R51]].

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
'''R50''' <math>\; \Large{\Longrightarrow} \;</math> '''R51''' 
Niech <math>f : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różniczkowalna w obszarze <math>D</math> oraz niech <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>.

Niech <math>g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie funkcją stałą taką, że <math>g(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>g(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcje <math>f, g</math> spełniają założenia twierdzenia [[#R50|R50]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>f(z) = g (z) \qquad \text{i} \qquad g(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = 0</math>

Co należało pokazać.

'''R50''' <math>\; \Large{\Longleftarrow} \;</math> '''R51''' 
Niech funkcje <math>f, g : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będą różniczkowalne w <math>D</math> i równe w <math>E</math>.

Niech <math>h : D \rightarrow \mathbb{C}</math> będzie różnicą funkcji <math>f</math> i <math>g</math>: <math>h(z) = f (z) - g (z)</math> dla każdego <math>z \in D</math>. Z definicji funkcja <math>h(z)</math> jest różniczkowalna w <math>D</math>.

Ponieważ <math>h(z) = f (z) - g (z) = 0</math> dla każdego <math>z \in E</math>, to funkcja <math>h</math> spełnia założenia twierdzenia [[#R51|R51]], z którego natychmiast otrzymujemy, że dla każdego <math>z \in D</math>:

::<math>h(z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) - g (z) = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad f(z) = g (z)</math>

Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Uwaga R53 
Twierdzenia [[#R50|R50]] i [[#R51|R51]] rodzą niezwykłe konsekwencje, które nie mają żadnych odpowiedników dla różniczkowalnych funkcji rzeczywistych. Niżej podamy kilka z nich.

Zadanie R54 
Pokazać, że jeżeli funkcja zespolona <math>f</math> jest różniczkowalna w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math> i <math>f</math> jest funkcją stałą w pewnym obszarze <math>E \subset D</math>, to <math>f(z)</math> jest funkcją stałą dla wszystkich <math>z \in D</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Niech <math>f(z) = c</math> dla każdego <math>z \in E</math>, gdzie <math>c</math> jest pewną liczbą zespoloną. Funkcja stała <math>g(z) = c</math> jest określona i różniczkowalna na całej płaszczyźnie <math>\mathbb{C}</math>, zatem <math>f(z) = g (z)</math> dla każdego <math>z \in E</math>. Na mocy twierdzenia [[#R50|R50]] <math>f(z) = g (z) = c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Zauważmy, że z twierdzenia [[#R50|R50]] wynika znacznie więcej: jeżeli <math>f(z)</math> jest funkcją stałą na dowolnym, nawet bardzo małym odcinku, to jest stała w całym obszarze <math>D</math>. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R55 
Niech <math>f(z)</math> będzie funkcją różniczkowalną w obszarze <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Jeżeli funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math> i w pewnym punkcie <math>z_0 \in D</math> mamy <math>f(z_0) = c</math>, to istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że nie istnieje takie <math>\varepsilon > 0</math>, że <math>f(z) \neq c</math> w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>. Zatem dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> musi istnieć taki punkt <math>z_{\varepsilon} \in \mathring{U} (z_0, \varepsilon)</math>, że <math>f (z_{\varepsilon}) = c</math> .

Weźmy ciąg <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math> dla <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.

Stwierdzamy, że

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_1 = 1</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, 1)</math> istnieje taki punkt <math>z_1</math>, że <math>f(z_1) = c</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_2 = {\small\frac{1}{2}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{2}})</math> istnieje taki punkt <math>z_2</math>, że <math>f(z_2) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

:*&emsp; dla <math>\varepsilon_n = {\small\frac{1}{n}}</math>, w otoczeniu nakłutym <math>\mathring{U} (z_0, {\small\frac{1}{n}})</math> istnieje taki punkt <math>z_n</math>, że <math>f(z_n) = c</math>

::&emsp; <math>\vdots</math>

Widzimy, że dla ciągu punktów <math>(z_n)</math> prawdziwy jest układ nierówności

::<math>0 < |z_n - z_0 | < {\small\frac{1}{n}}</math>

Z twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA24|ZA24]] i [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA21|ZA21]] p.2 otrzymujemy, że

::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} |z_n - z_0 | = 0 \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z_0</math>

Ponieważ <math>f(z_n) = c</math>, gdzie <math>(z_n)</math> jest ciągiem zbieżnym do punktu <math>z_0 \in D</math>, to na mocy twierdzenia o jednoznaczności funkcja <math>f(z)</math> musi być funkcją stałą równą <math>c</math> w całym obszarze <math>D</math>.

Wbrew założeniu, że funkcja <math>f(z)</math> nie jest funkcją stałą w całym obszarze <math>D</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. 
□
{{\Spoiler}}

Przykład R56 
Sformułowanie twierdzenia [[#R51|R51]] jest prostsze i dzięki temu natychmiast staje się widoczna przepaść między różniczkowalnością funkcji rzeczywistych a różniczkowalnością funkcji zespolonych. Przykładowo, funkcja

::<math>f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } x \leqslant 0 \\
e^{- 1 / x} & \text{gdy } x > 0 \\
\end{cases}</math>

jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale z faktu, że jest równa zero dla <math>x</math> ujemnych, nic nie wynika. Zupełnie inaczej jest dla funkcji zespolonych – żądanie, aby funkcja była różniczkowalna, ''usztywnia'' funkcję w całej dziedzinie.

Zadanie R57 
Pokazać, że <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Rozważmy funkcję <math>f(z) = \sin^2 \! z + \cos^2 \! z - 1</math> określoną i różniczkowalną na całej płaszczyźnie zespolonej. Niech <math>E = (0, 1)</math> będzie otwartym odcinkiem na osi rzeczywistej. Wiemy, że dla każdego <math>z = x \in E</math> (czyli dla liczb rzeczywistych) jest

::<math>f(x) = \sin^2 \! x + \cos^2 \! x - 1 = 0</math>

Ponieważ funkcja <math>f(z)</math> jest różniczkowalna na <math>D</math> i zeruje się na <math>E</math>, to z twierdzenia [[#R51|R51]] <math>f(z) = 0</math> dla każdego <math>z \in \mathbb{C}</math>. Przenosząc jedynkę na prawą stronę, otrzymujemy dowodzoną tożsamość <math>\sin^2 \! z + \cos^2 \! z = 1</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Definicja R58 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli istnieje funkcja <math>g : V \to \mathbb{C}</math> taka, że

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g</math> jest różniczkowalna w całym obszarze <math>V</math>

:&emsp;●&ensp;&ensp;&ensp;<math>g(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>

to powiemy, że funkcja <math>g</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>.

Zadanie R59 
Znaleźć przedłużenie analityczne funkcji <math>f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Szereg <math>\sum_{k = 0}^{\infty} z^k</math> jest szeregiem geometrycznym zbieżnym w kole <math>| z | < 1</math>. Niech <math>U = \{ z : | z | < 1 \}</math>. Zatem funkcja <math>f</math> jest określona i różniczkowalna w <math>U</math>.

Rozważmy teraz funkcję <math>g(z) = {\small\frac{1}{1 - z}}</math>. Funkcja <math>g</math> jest określona w <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math> i różniczkowalna w <math>V</math>.

Wiemy, że <math>f(z) = g (z)</math> w obszarze <math>U</math>.

Wynika stąd, że funkcja <math>g(z)</math> jest przedłużeniem analitycznym funkcji <math>f(z)</math> do obszaru <math>V =\mathbb{C} \backslash \{ 1 \}</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

Twierdzenie R60 (o jednoznaczności przedłużenia analitycznego) 
Niech <math>U \subset V</math> będą obszarami na płaszczyźnie zespolonej <math>\mathbb{C}</math> i niech będzie dana funkcja <math>f : U \to \mathbb{C}</math> różniczkowalna w <math>U</math>. Jeżeli funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, to <math>g(z) = h (z)</math> dla każdego <math>z \in V</math>.

{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
Funkcje <math>g</math> i <math>h</math> są przedłużeniami analitycznymi funkcji <math>f</math> do obszaru <math>V</math>, zatem z definicji są różniczkowalne w <math>V</math> oraz <math>g(z) = f (z)</math> i <math>h(z) = f (z)</math> dla każdego <math>z \in U</math>, skąd wynika, że <math>g(z) = h (z)</math> w obszarze <math>U</math>. Z twierdzenia [[#R50|R50]] o jednoznaczności funkcji zespolonych otrzymujemy, że funkcje <math>g(z)</math> i <math>h(z)</math> są równe w całym obszarze <math>V</math>. Co należało pokazać. 
□
{{\Spoiler}}

== Przypisy ==
<references>

<ref name="Dusart10">Pierre Dusart, ''Estimates of some functions over primes without R.H.'', (2010), ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>

<ref name="Dusart18">Pierre Dusart, ''Explicit estimates of some functions over primes'', Ramanujan Journal, 45 (1) (January 2018), pp. 225-234.</ref>

<ref name="PlattTrudgian1">David Platt and Tim Trudgian, ''On the first sign change of ''<math>\theta ( x ) - x</math>, Mathematics of Computation, Vol. 85 (299) (2016), pp. 1539-1547</ref>

<ref name="Lagrange1">Wikipedia, ''Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(rachunek_r%C3%B3%C5%BCniczkowy) Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem Wiki-en])</ref>

<ref name="Euler1">Wikipedia, ''Stała Eulera'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_constant Wiki-en])</ref>

<ref name="Baselproblem1">Wikipedia, ''Basel problem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Generalizations_of_Euler's_method_using_elementary_symmetric_polynomials Wiki-en])</ref>

<ref name="Problembazylejski1">Wikipedia, ''Problem bazylejski'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_bazylejski Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem Wiki-en])</ref>

<ref name="Riemann1">Bernhard Riemann, ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'', Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671-680, ([https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6sse.pdf Link1‑de]), ([https://www.emis.de/classics/Riemann/Zeta.pdf Link2‑de]), ([https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2023/04/Wilkins-translation.pdf Link3‑en])</ref>

<ref name="PlattTrudgian2">David Platt and Tim Trudgian, ''The Riemann hypothesis is true up to'' <math>3 \cdot 10^{12}</math>, Bull. London Math. Soc., 53, (2021), pp. 792-797. ([https://arxiv.org/abs/2004.09765 LINK])</ref>

<ref name="RiemannSiegelZfunction1">Wikipedia, ''Z function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Z_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelThetaFunction1">Wikipedia, ''Riemann–Siegel theta function'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function Wiki-en])</ref>

<ref name="RiemannSiegelFunctions1">Wolfram MathWorld, ''Riemann-Siegel Functions'', ([https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFunctions.html Wolfram])</ref>

<ref name="Hadamard1">Jacques Hadamard, ''Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24 (1896), pp. 199-220, ([https://www.numdam.org/item/BSMF_1896__24__199_1 LINK])</ref>

<ref name="Poussin1">Charles-Jean de La Vallée Poussin, ''Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers'', Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Vol. 20 (1896), pp. 183–256, ([https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up LINK])</ref>

<ref name="Mertens1">Franz Mertens, ''Über eine Eigenschaft der Riemann'schen <math>\zeta</math>-Function'', Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Vol. 107 (1898), pp. 1429–1434, ([https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb11857678?q=%281898++Sitzungsberichte+der+Mathematisch-Naturwissenschaftlichen+Classe+der+Kaiserlichen+Akademie+der+Wissenschaften%29&page=1486,1487 LINK])</ref>

</references>