Henryk Dąbrowski - Ostatnie zmiany [pl]

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

HenrykDabrowski — Mon, 03 Aug 2026 17:04:50 GMT

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Mon, 03 Aug 2026 09:50:01 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 11:50, 3 sie 2026
Linia 5761:		Linia 5761:

	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
	:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\~~bar~~{z})</math>		:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\overline{z})</math>
	</div>		</div>

Linia 5841:		Linia 5841:

	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
	:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\~~bar~~{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\~~bar~~{z}}{n}}</math>		:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>
	</div>		</div>

	:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \~~bar~~{z}}}{\~~bar~~{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\~~bar~~{z} / n}}{1 + \frac{\~~bar~~{z}}{n}}</math>		:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \overline{z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\overline{z} / n}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>

	:::<math>\;\;\; = \Gamma (\~~bar~~{z})</math>		:::<math>\;\;\; = \Gamma (\overline{z})</math>

	gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.		gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

HenrykDabrowski — Mon, 03 Aug 2026 09:48:05 GMT

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

HenrykDabrowski — Mon, 03 Aug 2026 09:35:17 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 11:35, 3 sie 2026
Linia 8:		Linia 8:

	<span id="ZA1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA1</span><br/>		<span id="ZA1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA1</span><br/>
	Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\~~bar~~{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.		Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\overline{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.


Linia 22:		Linia 22:
	::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>		::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

	::'''4.'''      <math>\overline{(\~~bar~~{z})} = z</math>		::'''4.'''      <math>\overline{(\overline{z})} = z</math>

	::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>		::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>
Linia 28:		Linia 28:
	::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>		::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>

	::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\~~bar~~{z}}}</math>		::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\overline{z}}}</math>

	::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \~~bar~~{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \~~bar~~{z}}{2 i}}</math>		::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \overline{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \overline{z}}{2 i}}</math>


Linia 53:		Linia 53:
	Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy		Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy

	::'''  1.'''      <math>\| \~~bar~~{z} \| = \| z \|</math>		::'''  1.'''      <math>\| \overline{z} \| = \| z \|</math>

	::'''  2.'''      <math>\| \operatorname{Re}(z) \| \leqslant \| z \| \qquad \qquad \| \operatorname{Im}(z) \| \leqslant \| z \|</math>		::'''  2.'''      <math>\| \operatorname{Re}(z) \| \leqslant \| z \| \qquad \qquad \| \operatorname{Im}(z) \| \leqslant \| z \|</math>

	::'''  3.'''      <math>\| z \|^2 = z \~~bar~~{z}</math>		::'''  3.'''      <math>\| z \|^2 = z \overline{z}</math>

	::'''  4.'''      <math>\| z_1 z_2 \| = \| z_1 \| \cdot \| z_2 \|</math>		::'''  4.'''      <math>\| z_1 z_2 \| = \| z_1 \| \cdot \| z_2 \|</math>

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

HenrykDabrowski — Wed, 22 Jul 2026 10:02:27 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 12:02, 22 lip 2026
Linia 1674:		Linia 1674:

	<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>		<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C~~}</math>, <math>x \in \mathbb{R~~}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^{~~i x~~}) ~~\| = 1~~</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>

	:   ●      <math>a^z \neq 0</math>		:   ●      <math>a^z \neq 0</math>
Linia 1700:		Linia 1700:
	Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy		Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy

	::<math>\operatorname{PV}(a^~~{i x}~~) = e^{~~i x~~ \operatorname{Log} (a)} = e^{~~i x~~ (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{~~i x~~ \ln (a)}</math>		::<math>\operatorname{PV}(a^z) = e^{z \operatorname{Log} (a)} = e^{z (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{z \ln (a)}</math>

	bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. ~~Zatem~~		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>. Otrzymujemy

	::<math>\| \operatorname{PV}(a^{i x}) \| = \| e^{i x \ln (a)} \| = 1</math>		::<math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = \| e^{z \ln (a)} \| = \| e^{(x + i y) \ln (a)} \| = \| e^{x \cdot \ln (a) + i y \cdot \ln (a)} \| = e^{x \cdot \ln (a)} = a^x = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>

	Co należało pokazać.		(zobacz [[#ZB25\|ZB25]] p.1). Co należało pokazać.

	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Sun, 19 Jul 2026 08:54:51 GMT

Podgląd zmian

Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)

HenrykDabrowski — Sat, 18 Jul 2026 16:04:39 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 18:04, 18 lip 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 1144:		Linia 1144:

	::7.    <math>\log x < {\small\frac{1}{\varepsilon}} \cdot x^{\varepsilon} \qquad \qquad \:\,</math> dla każdego <math>x , \varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>		::7.    <math>\log x < {\small\frac{1}{\varepsilon}} \cdot x^{\varepsilon} \qquad \qquad \:\,</math> dla każdego <math>x , \varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>

			::8.    <math>{\small\frac{\log^n \! x}{x^a}} \leqslant \left( {\small\frac{n}{e a}} \right)^n \qquad \quad \;\,\,</math> dla każdego <math>a, x \in \mathbb{R}_+</math> i <math>x \geqslant 1</math> oraz dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 1187:		Linia 1189:

	W rozpatrywanej nierówności połóżmy zmienną pomocniczą <math>x = e^t</math>. Dostajemy <math>t < {\small\frac{1}{\varepsilon}} \cdot (e^t)^{\varepsilon}</math>, czyli <math>e^{\varepsilon t} > \varepsilon t</math>. Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnego <math>\varepsilon t \in \mathbb{R}</math> na mocy punktu 1. tego twierdzenia.		W rozpatrywanej nierówności połóżmy zmienną pomocniczą <math>x = e^t</math>. Dostajemy <math>t < {\small\frac{1}{\varepsilon}} \cdot (e^t)^{\varepsilon}</math>, czyli <math>e^{\varepsilon t} > \varepsilon t</math>. Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnego <math>\varepsilon t \in \mathbb{R}</math> na mocy punktu 1. tego twierdzenia.

			'''Punkt 8'''

			Jest to najdokładniejsze oszacowanie funkcji <math>f(x) = {\small\frac{\log^n x}{x^a}}</math>. Oszacowanie jest oczywiście prawdziwe dla <math>x = 1</math>, zatem możemy założyć, że <math>x > 1</math>. Zauważmy, że

			::<math>f' (x) = {\small\frac{\log^{n - 1} x \cdot (n - a \log x)}{x^{a + 1}}}</math>

			Mamy <math>f' (x) = 0</math> dla <math>x = e^{n / a}</math>. Pochodna jest dodatnia w przedziale <math>(1, e^{n / a})</math> i ujemna w przedziale <math>(e^{n / a}, + \infty)</math>. Ponieważ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny przy przejściu przez punkt <math>x = e^{n / a}</math>, to funkcja <math>f(x)</math> ma w tym punkcie maksimum, którego wartość wynosi <math>f(e^{n / a}) = \left( {\small\frac{n}{e a}} \right)^n</math>. Co należało pokazać.

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Sat, 11 Jul 2026 14:49:32 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 16:49, 11 lip 2026
Linia 100:		Linia 100:
	Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie		Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

	::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>		::<math>S_{2 n} \leqslant S \leqslant S_{2 m - 1}</math>

	~~Zauważmy~~, ~~że ciąg silnie malejący o wyrazach nieujemnych~~ musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to ~~występujące w dowodzie nierówności nieostre możemy zastąpić ostrymi~~, a~~ stąd wynika natychmiast mocniejsze oszacowanie~~. Co należało pokazać.<br/>
			Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym i z założenia ma wyrazy nieujemne, to musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący, a podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> silnie malejący.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy i musi być <math>S_{2 n} < S</math>. Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że dla pewnego <math>n</math> byłoby <math>S_{2 n} \geqslant S</math>. Zatem mielibyśmy

			::<math>S \leqslant S_{2 n} < S_{2 n + 2} < S_{2 n + 4} < \ldots < S_{2 n + 2 k} < \ldots</math>

			Wbrew założeniu, że <math>S</math> jest granicą ciągu <math>(S_{2 n})</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>S < S_{2 m + 1}</math>. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 15:29:32 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 17:29, 9 lip 2026
Linia 1373:		Linia 1373:
	Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że dla <math>z \neq 0</math> funkcje		Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że dla <math>z \neq 0</math> funkcje

	:*&emsp; <math>\sqrt[n]{z}</math> ~~(funkcja określona wzorem de Moivre'a~~ - ~~zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]])~~		:*&emsp;<math>z^{1 / n} = \sqrt[n]{\| z \|} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \qquad\qquad</math> gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>

	:*&emsp; <math>z^{1 / n}</math> ~~(funkcja zdefiniowana jako potęga zespolona)~~		:*&emsp;<math>z^{1 / n} = e^{\log (z) / n}</math>

	mają dokładnie takie same zbiory wartości.		mają dokładnie takie same zbiory wartości.
Linia 1382:		Linia 1382:
	Przedstawmy <math>z</math> w postaci wykładniczej: <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>, gdzie <math>r = \|z\| > 0</math> oraz <math>\varphi = \arg (z)</math>. Podany w zadaniu [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]] wzór możemy zapisać w postaci (zobacz [[#ZB18\|ZB18]])		Przedstawmy <math>z</math> w postaci wykładniczej: <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>, gdzie <math>r = \|z\| > 0</math> oraz <math>\varphi = \arg (z)</math>. Podany w zadaniu [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]] wzór możemy zapisać w postaci (zobacz [[#ZB18\|ZB18]])

	::<math>~~\sqrt[~~n~~]{z~~} = r^{1 / n} \cdot e^{i \tfrac{\varphi + 2 k \pi}{n}}</math>		::<math>z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{i \tfrac{\varphi + 2 k \pi}{n}}</math>

	gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>.		gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>.


	Z definicji logarytmu zespolonego mamy		Z definicji logarytmu zespolonego mamy

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 08:22:41 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 10:22, 9 lip 2026
Linia 87:		Linia 87:
	'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''		'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

	~~Łatwo widzimy~~, że		Zauważmy, że

	::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>		::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

	~~Ponieważ~~ <math>S' = S''</math>, to obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. ~~Jeśli tak, to zgodnie z~~ ~~definicją~~ granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5\|C5]]) ~~możemy powiedzieć~~, że ~~dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>~~		Czyli <math>S' = S''</math>, zatem obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Ponieważ oba podciągi <math>(S_{2 n})</math> i <math>(S_{2 n + 1})</math> wyczerpują wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych <math>(S_n)</math> i zbiegają do tej samej granicy <math>S</math>, to ciąg sum częściowych jest zbieżny do <math>S</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C78\|C78]] i [[Ciągi liczbowe#C79\|C79]]). Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

	~~:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n})</math>~~

	~~:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n + 1})</math>~~

	Zatem w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_n)</math>. Wynika stąd, że ciąg sum częściowych <math>(S_n)</math> jest zbieżny do <math>S</math>. Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

	Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.		Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:45:02 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 09:45, 9 lip 2026
Linia 288:		Linia 288:
	:# Wybierzmy liczbę <math>e</math> tak, aby spełniała warunki <math>\gcd (e, \Phi) = 1</math> i <math>2 < e < \Phi</math>		:# Wybierzmy liczbę <math>e</math> tak, aby spełniała warunki <math>\gcd (e, \Phi) = 1</math> i <math>2 < e < \Phi</math>
	:#* zaleca się, aby <math>e \geqslant 65537</math>		:#* zaleca się, aby <math>e \geqslant 65537</math>
	:# Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) istnieją takie liczby całkowite <math>d</math> i <math>k</math>, że <math>d e + k \Phi = 1</math>. Liczbę <math>d</math> wyliczamy ze wzoru <math>d = d_0 + \Phi t</math>, gdzie <math>d_0</math> (oraz <math>k_0</math>) otrzymujemy, wykorzystując w PARI/GP funkcję <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>gcdext(e, Φ)</code></span> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C84~~\|~~C84~~]])		:# Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) istnieją takie liczby całkowite <math>d</math> i <math>k</math>, że <math>d e + k \Phi = 1</math>. Liczbę <math>d</math> wyliczamy ze wzoru <math>d = d_0 + \Phi t</math>, gdzie <math>d_0</math> (oraz <math>k_0</math>) otrzymujemy, wykorzystując w PARI/GP funkcję <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>gcdext(e, Φ)</code></span> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C86\|C86]])
	:#* <math>d</math> wybieramy tak, aby była liczbą dodatnią, wtedy <math>k</math> musi być liczbą ujemną		:#* <math>d</math> wybieramy tak, aby była liczbą dodatnią, wtedy <math>k</math> musi być liczbą ujemną
	:#* <math>d</math> nie może być zbyt małą liczbą; pokazano<ref name="BonehDurfee1"/>, że powinno być <math>d > m^{0.292}</math>		:#* <math>d</math> nie może być zbyt małą liczbą; pokazano<ref name="BonehDurfee1"/>, że powinno być <math>d > m^{0.292}</math>

Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:44:08 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 09:44, 9 lip 2026
Linia 111:		Linia 111:
	::<math>2^{n - 1} (V_n - P^n) \equiv 0 \pmod{Q}</math>		::<math>2^{n - 1} (V_n - P^n) \equiv 0 \pmod{Q}</math>

	Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (V_n - P^n)</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (V_n - P^n)</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>V_n - P^n</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]). Co należało pokazać.		Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (V_n - P^n)</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (V_n - P^n)</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>V_n - P^n</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]). Co należało pokazać.


Linia 958:		Linia 958:
	::<math>5^{(m - \epsilon) / 2} U_{m - \epsilon} (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>		::<math>5^{(m - \epsilon) / 2} U_{m - \epsilon} (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>

	Ponieważ <math>\gcd (m, 5) = 1</math>, to z powyższej kongruencji wynika natychmiast, że (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]])		Ponieważ <math>\gcd (m, 5) = 1</math>, to z powyższej kongruencji wynika natychmiast, że (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]])

	::<math>U_{m - \epsilon} (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>		::<math>U_{m - \epsilon} (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>
Linia 1021:		Linia 1021:
	::<math>5^{2^{j - 1} w} V_{2^j w} (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>		::<math>5^{2^{j - 1} w} V_{2^j w} (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>

	Ponieważ <math>\gcd (m, 5) = 1</math>, to z powyższych wzorów wynika natychmiast, że zachodzi dokładnie jedna z kongruencji (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]])		Ponieważ <math>\gcd (m, 5) = 1</math>, to z powyższych wzorów wynika natychmiast, że zachodzi dokładnie jedna z kongruencji (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]])

	::<math>V_w (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>		::<math>V_w (1, - 1) \equiv 0 \pmod{m}</math>

Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:43:07 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 09:43, 9 lip 2026
Linia 784:		Linia 784:
	::<math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q}</math>		::<math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q}</math>

	Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>U_n - P^{n - 1}</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]).		Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>U_n - P^{n - 1}</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]).

	W przypadku szczególnym, gdy <math>d = p</math>, gdzie <math>p</math> jest nieparzystą liczbą pierwszą i <math>p \nmid P</math>, z twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast		W przypadku szczególnym, gdy <math>d = p</math>, gdzie <math>p</math> jest nieparzystą liczbą pierwszą i <math>p \nmid P</math>, z twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast

Rząd liczby modulo i generatory modulo. Kongruencje wielomianowe. Lemat Hensela

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:41:21 GMT

CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:38:31 GMT

Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:37:08 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 09:37, 9 lip 2026
Linia 35:		Linia 35:
	<math>\Large{\Longleftarrow}</math>		<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

	Z założenia <math>a = r d</math>, <math>b = s d</math>. Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że		Z założenia <math>a = r d</math>, <math>b = s d</math>. Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że

	::<math>\gcd (a, b) = a x + b y = r d x + s d y = d (r x + s y)</math>		::<math>\gcd (a, b) = a x + b y = r d x + s d y = d (r x + s y)</math>
Linia 49:		Linia 49:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) wiemy, że liczby całkowite <math>x, y</math> zawsze istnieją. Niech <math>\gcd (a, b) = d > 0</math>, zatem <math>a = d k</math> i <math>b = d m</math>, czyli		Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) wiemy, że liczby całkowite <math>x, y</math> zawsze istnieją. Niech <math>\gcd (a, b) = d > 0</math>, zatem <math>a = d k</math> i <math>b = d m</math>, czyli

	::<math>(d k) x + (d m) y = d</math>		::<math>(d k) x + (d m) y = d</math>
Linia 86:		Linia 86:
	<math>\Large{\Longrightarrow}</math>		<math>\Large{\Longrightarrow}</math>

	Niech <math>\gcd (a b, m) = d</math>. Z definicji <math>d \mid a b</math> i <math>d \mid m</math>. Gdyby było <math>d > 1</math>, to istniałaby liczba pierwsza <math>p</math> taka, że <math>p \mid d</math> i mielibyśmy <math>p \mid a b</math> i <math>p \mid m</math>. Jeżeli <math>p \mid a b</math>, to <math>p \mid a</math> lub <math>p \mid b</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]). W przypadku, gdy <math>p \mid a</math> dostajemy <math>\gcd (a, m) \geqslant p > 1</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Analogicznie pokazujemy sprzeczność, gdy <math>p \mid b</math>.		Niech <math>\gcd (a b, m) = d</math>. Z definicji <math>d \mid a b</math> i <math>d \mid m</math>. Gdyby było <math>d > 1</math>, to istniałaby liczba pierwsza <math>p</math> taka, że <math>p \mid d</math> i mielibyśmy <math>p \mid a b</math> i <math>p \mid m</math>. Jeżeli <math>p \mid a b</math>, to <math>p \mid a</math> lub <math>p \mid b</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]). W przypadku, gdy <math>p \mid a</math> dostajemy <math>\gcd (a, m) \geqslant p > 1</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Analogicznie pokazujemy sprzeczność, gdy <math>p \mid b</math>.

	<math>\Large{\Longleftarrow}</math>		<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
Linia 114:		Linia 114:
	::<math>t = \gcd (b, m)</math>		::<math>t = \gcd (b, m)</math>

	Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) istnieją takie liczby <math>x, y, X, Y</math>, że		Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) istnieją takie liczby <math>x, y, X, Y</math>, że

	::<math>s = a x + m y</math>		::<math>s = a x + m y</math>
Linia 144:		Linia 144:
	::<math>t = \gcd (b, m)</math>		::<math>t = \gcd (b, m)</math>

	Z założenia <math>\gcd (a, b) = 1</math>. Ponieważ <math>s \mid a</math> oraz <math>t \mid b</math>, to <math>\gcd (s, t) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C80~~\|~~C80~~]])		Z założenia <math>\gcd (a, b) = 1</math>. Ponieważ <math>s \mid a</math> oraz <math>t \mid b</math>, to <math>\gcd (s, t) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C82\|C82]])

	::<math>s \mid a \qquad \,\, \text{i} \qquad t \mid b \qquad \qquad \;\, \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid a b</math>		::<math>s \mid a \qquad \,\, \text{i} \qquad t \mid b \qquad \qquad \;\, \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid a b</math>
Linia 207:		Linia 207:
	::<math>		::<math>
	\begin{array}{llll}		\begin{array}{llll}
	d = \gcd (a, b) & \qquad \Longrightarrow \qquad & d = a x + b y & \text{(lemat Bézouta ~~C78~~)} \\		d = \gcd (a, b) & \qquad \Longrightarrow \qquad & d = a x + b y & \text{(lemat Bézouta C80)} \\
	& & & \\		& & & \\
	& \qquad \Longrightarrow \qquad & d m = a m x + b m y & \\		& \qquad \Longrightarrow \qquad & d m = a m x + b m y & \\
Linia 337:		Linia 337:
	::<math>a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math>		::<math>a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math>

	Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) wiemy, że istnieją takie liczby <math>x, y</math>, że <math>\gcd (m, n) = m x + n y</math>. Łatwo znajdujemy, że		Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) wiemy, że istnieją takie liczby <math>x, y</math>, że <math>\gcd (m, n) = m x + n y</math>. Łatwo znajdujemy, że

	::<math>a^{\gcd (m, n)} \equiv a^{m x + n y} \equiv (a^m)^x \cdot (a^n)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math>		::<math>a^{\gcd (m, n)} \equiv a^{m x + n y} \equiv (a^m)^x \cdot (a^n)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math>
Linia 414:		Linia 414:
	<math>\Large{\Longleftarrow}</math>		<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

	Z założenia <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) wynika, że istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że		Z założenia <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) wynika, że istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że

	::<math>a x + m y = 1</math>		::<math>a x + m y = 1</math>
Linia 893:		Linia 893:
	::<math>n \mid (i - j) m</math>		::<math>n \mid (i - j) m</math>

	Ponieważ założyliśmy, że <math>\gcd (n, m) = 1</math>, to musi być <math>n \mid (i - j)</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]), ale		Ponieważ założyliśmy, że <math>\gcd (n, m) = 1</math>, to musi być <math>n \mid (i - j)</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]), ale

	::<math>0 \leqslant \| i - j \| \leqslant n - 1</math>		::<math>0 \leqslant \| i - j \| \leqslant n - 1</math>

Ciągi liczbowe

HenrykDabrowski — Thu, 09 Jul 2026 07:35:10 GMT

Podgląd zmian

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Wed, 08 Jul 2026 09:58:50 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 11:58, 8 lip 2026
Linia 40:		Linia 40:
	Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>		Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>
	<span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>		<span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>
	Niech ~~ciąg~~ <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli		Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_k</math> jest zbieżny.<br/>
			Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} a_k</math> będzie sumą częściową tego szeregu, a <math>S</math> niech oznacza sumę tego szeregu. Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

	::<math>~~\underset~~{n \~~rightarrow~~ \~~infty}~~{~~\lim~~} ~~a_n = 0~~</math>		::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

	to ~~szereg~~ <math>~~\underset~~{~~k = 1}{\overset{\infty~~}{~~\sum}} (~~- ~~1)^{k +~~ 1} ~~\cdot a_k~~</math> ~~jest zbieżny~~.		Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym, to oszacowanie można wzmocnić: <math>S_{2 m} < S < S_{2 n - 1}</math>.

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	~~Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci~~

	~~::<math>S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m})</math>~~		'''A. Parzyste sumy częściowe tworzą ciąg rosnący'''

	~~Ponieważ ciąg~~ <math>(~~a_n~~)</math> ~~jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w nawiasie jest liczbą nieujemną~~. ~~Z drugiej strony~~		Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach parzystych <math>(S_{2 n})</math>. Mamy

	::<math>S_{2 m} = ~~a_1 -~~ (~~a_2~~ - ~~a_3~~) - (~~a_4~~ - ~~a_5~~) ~~- \ldots - (a_~~{2 ~~m -~~ 2} - a_{2 ~~m -~~ 1}) {- a_{2 m}~~} < a_1~~</math>		::<math>S_{2 n + 2} - S_{2 n} = (- 1)^{2 n + 3} a_{2 n + 2} + (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} = a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geqslant 0</math>

	~~Zatem dla każdego <math>m</math>~~ ciąg ~~sum częściowych~~ <math>~~S_{2 m}~~</math> jest ~~rosnący i ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C12\|C12]] jest zbieżny, czyli~~		bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

	~~::<math>\lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g</math>~~		'''B. Nieparzyste sumy częściowe tworzą ciąg malejący'''

	~~Pozostaje zbadać sumy częściowe~~ <math>S_{2 m + 1}</math>~~. Rezultat jest natychmiastowy~~		Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach nieparzystych <math>(S_{2 n + 1})</math>

	::<math>~~\lim_~~{~~m \to \infty~~} S_{2 ~~m +~~ 1} = ~~\lim_{m \to \infty}~~ (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) ~~= \lim_~~{~~m \to \infty~~} S_{2 m} ~~+ \lim_~~{~~m \to \infty~~} a_{2 m + 1} ~~= g +~~ 0 ~~= g~~</math>		::<math>S_{2 n + 1} - S_{2 n - 1} = (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} + (- 1)^{2 n + 1} a_{2 n} = - (a_{2 n} - a_{2 n + 1}) \leqslant 0</math>

	Co ~~kończy dowód~~.<br/>		bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

			'''C. Ciągi parzystych i nieparzystych sum częściowych są zbieżne'''

			Ponieważ

			:: <math>S_{2 n + 1} - S_{2 n} = a_{2 n + 1} \geqslant 0</math>

			to <math>S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1}</math>. Łącząc uzyskane wyżej rezultaty, otrzymujemy następujący ciąg nierówności

			::<math>S_2 \leqslant S_4 \leqslant \ldots \leqslant S_{2 n - 2} \leqslant S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1} \leqslant S_{2 n - 3} \leqslant \ldots \leqslant S_3 \leqslant S_1</math>

			Wynika stąd natychmiast, że

			:*&emsp;ciąg parzystych sum częściowych tworzy ciąg rosnący i ograniczony od góry (np. przez <math>S_1</math>)

			:*&emsp;ciąg nieparzystych sum częściowych tworzy ciąg malejący i ograniczony od dołu (np. przez <math>S_2</math>)

			Na mocy twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (zobacz [[Ciągi liczbowe#C12\|C12]] i [[Ciągi liczbowe#C13\|C13]]), oba ciągi mają granice

			::<math>\lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} = S' \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = S''</math>

			'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

			Łatwo widzimy, że

			::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

			Ponieważ <math>S' = S''</math>, to obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Jeśli tak, to zgodnie z definicją granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5\|C5]]) możemy powiedzieć, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>

			:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n})</math>

			:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n + 1})</math>

			Zatem w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_n)</math>. Wynika stąd, że ciąg sum częściowych <math>(S_n)</math> jest zbieżny do <math>S</math>. Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> jest malejący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie schodzą poniżej granicy, czyli <math>S \leqslant S_{2 n + 1}</math>.

			Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

			::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

			Zauważmy, że ciąg silnie malejący o wyrazach nieujemnych musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to występujące w dowodzie nierówności nieostre możemy zastąpić ostrymi, a stąd wynika natychmiast mocniejsze oszacowanie. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

← poprzednia wersja		Wersja z 11:48, 3 sie 2026
Linia 257:		Linia 257:
	Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że		Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że

	:   ●      <math>\overline{\exp (z)} = \exp (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\exp (z)} = \exp (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\sin (z)} = \sin (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\sin (z)} = \sin (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\cos (z)} = \cos (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\cos (z)} = \cos (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\sinh (z)} = \sinh (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\sinh (z)} = \sinh (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\cosh (z)} = \cosh (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\cosh (z)} = \cosh (\overline{z})</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Ponieważ funkcje <math>\exp (z)</math>, <math>\sin (z)</math>, <math>\cos (z)</math>, <math>\sinh (z)</math>, <math>\cosh (z)</math> są definiowane przez szeregi potęgowe o współczynnikach rzeczywistych, to łatwo widzimy, że		Ponieważ funkcje <math>\exp (z)</math>, <math>\sin (z)</math>, <math>\cos (z)</math>, <math>\sinh (z)</math>, <math>\cosh (z)</math> są definiowane przez szeregi potęgowe o współczynnikach rzeczywistych, to łatwo widzimy, że

	::<math>\overline{\exp (z)} = \overline{\left( \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{z^n}{n!}} \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{(z^n)}}{\overline{(n!)}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\~~bar~~{z}^n}{n!}} = \exp (\~~bar~~{z})</math>		::<math>\overline{\exp (z)} = \overline{\left( \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{z^n}{n!}} \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{(z^n)}}{\overline{(n!)}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{z}^n}{n!}} = \exp (\overline{z})</math>

	Analogicznie pokazujemy dla pozostałych funkcji.<br/>		Analogicznie pokazujemy dla pozostałych funkcji.<br/>
Linia 1676:		Linia 1676:
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\~~bar~~{z}})</math>		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\overline{z}})</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>
Linia 1694:		Linia 1694:
	bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy

	::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\~~bar~~{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\~~bar~~{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\~~bar~~{z}})</math>		::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\overline{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\overline{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\overline{z}})</math>

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''

← poprzednia wersja		Wersja z 09:41, 9 lip 2026
Linia 47:		Linia 47:
	::<math>a^j (a^{i - j} - 1) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>		::<math>a^j (a^{i - j} - 1) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>

	Ponieważ <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>m</math> musi dzielić wyrażenie <math>a^{i - j} - 1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]). Zatem		Ponieważ <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>m</math> musi dzielić wyrażenie <math>a^{i - j} - 1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]). Zatem

	::<math>a^{i - j} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>		::<math>a^{i - j} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
Linia 288:		Linia 288:
	Podobnie pokazujemy, że <math>h \mid r</math>.		Podobnie pokazujemy, że <math>h \mid r</math>.

	Ponieważ <math>h</math> i <math>f</math> są względnie pierwsze, to <math>h f \mid r</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C80~~\|~~C80~~]]), zatem <math>h f \leqslant r</math>. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.<br/>		Ponieważ <math>h</math> i <math>f</math> są względnie pierwsze, to <math>h f \mid r</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C82\|C82]]), zatem <math>h f \leqslant r</math>. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}
Linia 2668:		Linia 2668:
	<math>\Large{\Longleftarrow}</math>		<math>\Large{\Longleftarrow}</math>

	Z założenia kongruencja <math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie, powiedzmy <math>x \equiv u \!\! \pmod{p}</math>. Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) wiemy, że istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>n r + (p - 1) s = d</math>. Zatem		Z założenia kongruencja <math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie, powiedzmy <math>x \equiv u \!\! \pmod{p}</math>. Z lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) wiemy, że istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>n r + (p - 1) s = d</math>. Zatem

	::<math>a \equiv u^d \equiv u^{n r + (p - 1) s} \equiv (u^r)^n \cdot (u^{p - 1})^s \equiv (u^r)^n \!\! \pmod{p}</math>		::<math>a \equiv u^d \equiv u^{n r + (p - 1) s} \equiv (u^r)^n \cdot (u^{p - 1})^s \equiv (u^r)^n \!\! \pmod{p}</math>
Linia 3016:		Linia 3016:
	::<math>2 y \equiv 7 \!\! \pmod{12}</math>		::<math>2 y \equiv 7 \!\! \pmod{12}</math>

	Powyższa kongruencja nie ma rozwiązań, bo w ogólności kongruencja <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\gcd (a, m) \mid b</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C81~~\|~~C81~~]]). Jeżeli <math>\gcd (a, m) \mid b</math>, to istnieje <math>\gcd (a, m)</math> różnych rozwiązań modulo <math>m</math>.		Powyższa kongruencja nie ma rozwiązań, bo w ogólności kongruencja <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\gcd (a, m) \mid b</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C83\|C83]]). Jeżeli <math>\gcd (a, m) \mid b</math>, to istnieje <math>\gcd (a, m)</math> różnych rozwiązań modulo <math>m</math>.

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''
Linia 3206:		Linia 3206:
	::<math>r u^{r - 1}_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>		::<math>r u^{r - 1}_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>

	ma rozwiązanie (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C81~~\|~~C81~~]]). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem		ma rozwiązanie (zobacz [[Ciągi liczbowe#C83\|C83]]). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem

	::<math>k + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 = l_0 \cdot p</math>		::<math>k + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 = l_0 \cdot p</math>
Linia 3481:		Linia 3481:
	Zapiszmy <math>d</math> w postaci <math>d = a^t r</math>, gdzie <math>\gcd (a, r) = 1</math>. Łatwo zauważamy, że		Zapiszmy <math>d</math> w postaci <math>d = a^t r</math>, gdzie <math>\gcd (a, r) = 1</math>. Łatwo zauważamy, że

	:*   ponieważ <math>a^t \mid d</math> i <math>d \mid a^{n} b</math>, to <math>a^t \mid a^{n} b</math>, ale <math>\gcd (a, b) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]) <math>a^t \mid a^{n}</math>, skąd wynika, że <math>t \leqslant n</math>		:*   ponieważ <math>a^t \mid d</math> i <math>d \mid a^{n} b</math>, to <math>a^t \mid a^{n} b</math>, ale <math>\gcd (a, b) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]) <math>a^t \mid a^{n}</math>, skąd wynika, że <math>t \leqslant n</math>

	:*   ponieważ <math>r \mid d</math> i <math>d \mid a^{n} b</math>, to <math>r \mid a^{n} b</math>, ale <math>\gcd (a, r) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]) <math>r \mid b</math>, skąd wynika, że <math>b = r k</math>, gdzie <math>\gcd (a, k) = 1</math>		:*   ponieważ <math>r \mid d</math> i <math>d \mid a^{n} b</math>, to <math>r \mid a^{n} b</math>, ale <math>\gcd (a, r) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]) <math>r \mid b</math>, skąd wynika, że <math>b = r k</math>, gdzie <math>\gcd (a, k) = 1</math>

	:*   ponieważ <math>d \nmid a^{n - 1} b</math>, to <math>a^t r \nmid a^{n - 1} r k</math>, czyli <math>a^t \nmid a^{n - 1} k</math>, ale <math>a \nmid k</math>, bo <math>\gcd (a, k) = 1</math>, zatem musi być <math>t > n - 1</math>		:*   ponieważ <math>d \nmid a^{n - 1} b</math>, to <math>a^t r \nmid a^{n - 1} r k</math>, czyli <math>a^t \nmid a^{n - 1} k</math>, ale <math>a \nmid k</math>, bo <math>\gcd (a, k) = 1</math>, zatem musi być <math>t > n - 1</math>
Linia 3508:		Linia 3508:
	Zauważmy, że liczby <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> i <math>{\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math> są liczbami całkowitymi i są względnie pierwsze (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H11\|H11]]).		Zauważmy, że liczby <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> i <math>{\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math> są liczbami całkowitymi i są względnie pierwsze (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H11\|H11]]).

	Ponieważ liczba <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> musi dzielić prawą stronę i jest względnie pierwsza z <math>{\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math>, zatem <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> dzieli <math>k</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]), czyli		Ponieważ liczba <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> musi dzielić prawą stronę i jest względnie pierwsza z <math>{\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math>, zatem <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> dzieli <math>k</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]), czyli

	::<math>k = {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \cdot s</math>		::<math>k = {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \cdot s</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 09:38, 9 lip 2026
Linia 35:		Linia 35:
	::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>		::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>

	otrzymujemy <math>n \mid (u - a)</math>, czyli <math>n \mid k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \mid k</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]) i istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>		otrzymujemy <math>n \mid (u - a)</math>, czyli <math>n \mid k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \mid k</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]) i istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}
Linia 50:		Linia 50:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Z założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta ([[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że		Z założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta ([[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że

	::<math>m x + n y = 1</math>		::<math>m x + n y = 1</math>
Linia 70:		Linia 70:
	::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>		::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>

	Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c \;</math> i <math>\; d</math>. Z założenia <math>m \mid (d - a) \;</math> i <math>\; m \mid (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \mid (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \mid (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m \;</math> i <math>\; n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \mid (d - c)</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C80~~\|~~C80~~]]), co oznacza, że		Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c \;</math> i <math>\; d</math>. Z założenia <math>m \mid (d - a) \;</math> i <math>\; m \mid (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \mid (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \mid (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m \;</math> i <math>\; n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \mid (d - c)</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C82\|C82]]), co oznacza, że

	::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.		::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.
Linia 388:		Linia 388:
	'''A. Istnienie rozwiązania'''		'''A. Istnienie rozwiązania'''

	Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#~~C81~~\|~~C81~~]]. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.		Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C83\|C83]]. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.

	Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]] - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy		Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]] - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy

	::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math>		::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math>
Linia 418:		Linia 418:
	::<math>p \mid a_1 (x_1 - x_2)</math>		::<math>p \mid a_1 (x_1 - x_2)</math>

	Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z lematu Euklidesa ([[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]) otrzymujemy natychmiast <math>p \mid (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>		Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z lematu Euklidesa ([[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]) otrzymujemy natychmiast <math>p \mid (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}
Linia 451:		Linia 451:
	::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>		::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>

	wynika, że musi być (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]])		wynika, że musi być (zobacz [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]])

	::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>		::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
Linia 680:		Linia 680:
	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''

	Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie [[Ciągi liczbowe#~~C79~~\|~~C79~~]]) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>		Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie [[Ciągi liczbowe#C81\|C81]]) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}
Linia 755:		Linia 755:
	Ponieważ liczby parzyste nie mogą dzielić liczby nieparzystej <math>2^m - 1</math>, to możemy założyć, że <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Zatem <math>\gcd (m, 2) = 1</math> i liczba <math>2</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>.		Ponieważ liczby parzyste nie mogą dzielić liczby nieparzystej <math>2^m - 1</math>, to możemy założyć, że <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Zatem <math>\gcd (m, 2) = 1</math> i liczba <math>2</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>.

	Niech <math>p</math> będzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby nieparzystej <math>m</math>, wtedy <math>\gcd (m, p - 1) = 1</math> i z lematu Bezout'a (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C78~~\|~~C78~~]]) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że		Niech <math>p</math> będzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby nieparzystej <math>m</math>, wtedy <math>\gcd (m, p - 1) = 1</math> i z lematu Bezout'a (zobacz [[Ciągi liczbowe#C80\|C80]]) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że

	::<math>m x + (p - 1) y = 1</math>		::<math>m x + (p - 1) y = 1</math>
Linia 1492:		Linia 1492:
	::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>		::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>

	ma rozwiązanie (zobacz [[Ciągi liczbowe#~~C81~~\|~~C81~~]]). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem		ma rozwiązanie (zobacz [[Ciągi liczbowe#C83\|C83]]). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem

	::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>		::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>