Henryk Dąbrowski - Ostatnie zmiany [pl]

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Fri, 18 Sep 2026 16:08:40 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 18:08, 18 wrz 2026
Linia 1584:		Linia 1584:
	::<math>\left\| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right\| = 1</math>		::<math>\left\| \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right\| = 1</math>

	bo <math>\| \pi^{i t} \| = \| e^{i t \cdot \~~log~~ \pi} \| = 1</math> oraz <math>\| \overline{z} \| = \| z \|</math>.<br/>		bo <math>\| \pi^{i t} \| = \| e^{i t \cdot \ln \pi} \| = 1</math> oraz <math>\| \overline{z} \| = \| z \|</math>.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}
Linia 1597:		Linia 1597:
	gdzie		gdzie

	::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\~~log~~ \pi}{2}} \cdot t</math>		::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

	jest rzeczywista.		jest rzeczywista.
Linia 1642:		Linia 1642:
	= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>		= \pi^{i t} \cdot {\normalsize\frac{\overline{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}{\Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right)}}</math>

	Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \~~log~~ \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy		Korzystając z własności <math>\arg (\pi^{i t}) = t \ln \pi</math> oraz <math>\arg (\overline{w} / w) = - 2 \arg (w)</math>, dostajemy

	::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \~~log~~ \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>		::<math>\varphi (t) = \arg \left[ \chi \left( {\small\frac{1}{2}} + i t \right) \right] = t \ln \pi - 2 \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right]</math>

	Zatem		Zatem

	::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\~~log~~ \pi}{2}} \cdot t</math>		::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

	Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.		Argument funkcji <math>\Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right)</math> jest wybierany narastająco w taki sposób, aby uzyskać funkcję ciągłą i <math>\theta (0) = 0</math>.
Linia 1659:		Linia 1659:
	Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór		Jeżeli skorzystamy z własności <math>\arg (z) = \operatorname{Im} (\log z)</math>, to wzór

	::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\~~log~~ \pi}{2}} \cdot t</math>		::<math>\theta (t) = - {\small\frac{1}{2}} \varphi (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

	możemy zapisać w postaci		możemy zapisać w postaci

	::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\~~log~~ \pi}{2}} \cdot t</math>		::<math>\theta (t) = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

	::[[File:log-gamma.png\|700px\|none]]		::[[File:log-gamma.png\|700px\|none]]
Linia 1680:		Linia 1680:
	i		i

	::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\~~log~~ \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\~~log~~ \pi}{2}} \cdot t</math>		::<math>\theta (t) = \arg \left[ \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right] - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t = \operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{i t}{2}} \right) \right) - {\small\frac{\ln \pi}{2}} \cdot t</math>

	nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R42\|R42]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \~~log~~ t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\~~log~~ \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać		nazywamy funkcjami Riemanna-Siegla<ref name="RiemannSiegelZfunction1"/><ref name="RiemannSiegelThetaFunction1"/><ref name="RiemannSiegelFunctions1"/>. W zadaniu [[#R42\|R42]] pokazaliśmy, że funkcja <math>Z(t)</math> ma wartości rzeczywiste. Ponieważ funkcja <math>\operatorname{Im} \left( \log \Gamma \! \left( \tfrac{1}{4} + \tfrac{i t}{2} \right) \right)</math> rośnie w tempie <math>t \cdot \ln t</math>, to dla dużych <math>t</math> przeważa nad malejącą funkcją <math>- \tfrac{\ln \pi}{2} \cdot t</math>. Rozwinięcie asymptotyczne funkcji <math>\theta (t)</math> ma postać

	::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>		::<math>\theta (t) \sim {\small\frac{t}{2}} \cdot \ln \left( {\small\frac{t}{2 \pi}} \right) - {\small\frac{t}{2}} - {\small\frac{\pi}{8}} + {\small\frac{1}{48 t}} + {\small\frac{7}{5760 t^3}} + {\small\frac{31}{80640 t^5}} + \ldots</math>

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

HenrykDabrowski — Fri, 18 Sep 2026 10:29:30 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 12:29, 18 wrz 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 378:		Linia 378:

	::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>		::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>


			Dla przykładu możemy napisać

			::<math>z^{1 / 2} = \left\{ \sqrt{z}, \, - \sqrt{z} \right\} \qquad z^{1 / 3} = \left\{ \sqrt[3]{z}, \, \varepsilon \cdot \sqrt[3]{z}, \, \varepsilon^2 \cdot \sqrt[3]{z} \right\} \qquad z^{1 / 4} = \left\{ \sqrt[4]{z}, \, i \cdot \sqrt[4]{z}, \, - \sqrt[4]{z}, \, - i \cdot \sqrt[4]{z} \right\}</math>

			gdzie <math>\sqrt{z}, \, \sqrt[3]{z}, \, \sqrt[4]{z}</math> są wartościami głównymi pierwiastka drugiego, trzeciego i czwartego stopnia, a <math>\varepsilon = - {\small\frac{1}{2}} + i \cdot {\small\frac{\sqrt{3}}{2}}</math>.

			Czytelnik zechce sprawdzić, że wprost z definicji wartości głównej pierwiastka drugiego stopnia wynika następujący warunek równoważny tej definicji

			::<math>\operatorname{Re}\left( \sqrt{z} \right) > 0 \qquad \text{ lub } \qquad \left( \, \operatorname{Re}\left( \, \sqrt{z} \right) = 0 \quad \text{i} \quad \operatorname{Im}\left( \sqrt{z} \right) > 0 \, \right)</math>

			Widzimy natychmiast, że <math>\sqrt{z}</math> jest naturalnym rozszerzeniem rzeczywistego pierwiastka (dla liczb dodatnich daje zwykłe, dodatnie wyniki). Powyższy warunek często zapisywany jest w niepełnej wersji: <math>\operatorname{Re}\left( \sqrt{z} \right) > 0</math>. Taki zapis może też oznaczać, że chcemy rozważać funkcję <math>\sqrt{z}</math> na zbiorze otwartym.

Kara śmierci – cytaty/en

HenrykDabrowski — Wed, 16 Sep 2026 12:02:34 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 14:02, 16 wrz 2026
Linia 163:		Linia 163:


	''The absence of the death penalty in the penal code is contempt for the victims.''<br/>		''The absence of the death penalty in the penal code shows our contempt for the victims.''<br/>
			Henryk Dabrowski




			''A society that consents to removing the death penalty from the penal code shows contempt for the victims, placing the murderer's life above the life of the innocent. In doing so, it sends a clear message to criminals:'' you can kill, your life is safe, and we are powerless. ''By abolishing the death penalty, society strips itself of its own dignity, for this is also a message to all citizens:'' from now on, we no longer divide people into the good and the bad, but only into the living and the dead.<br/>
	Henryk Dabrowski		Henryk Dabrowski

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Tue, 15 Sep 2026 09:21:47 GMT

Podgląd zmian

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

HenrykDabrowski — Mon, 14 Sep 2026 14:05:53 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 16:05, 14 wrz 2026
Linia 65:		Linia 65:
	::'''  5.'''      <math>\left\| {\small\frac{1}{z}} \right\| = {\small\frac{1}{\| z \|}}</math>		::'''  5.'''      <math>\left\| {\small\frac{1}{z}} \right\| = {\small\frac{1}{\| z \|}}</math>

	::'''  6.'''      <math>\| z_1 + z_2 \| \leqslant \| z_1 \| + \| z_2 \|</math>		::'''  6.'''      <math>\| z_1 + z_2 \| \leqslant \| z_1 \| + \| z_2 \| \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \,\,</math> (równość zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31\|ZB31]])

	::'''  7.'''      <math>\left\| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right\| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} \| z_k \|</math>		::'''  7.'''      <math>\left\| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right\| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} \| z_k \|</math>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Sun, 13 Sep 2026 13:02:30 GMT

Podgląd zmian

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Tue, 08 Sep 2026 13:50:43 GMT

@@ Linia 41: / Linia 41: @@
 <span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>
 Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o&nbsp;wyrazach nieujemnych. Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_k</math> jest zbieżny.<br/>
-Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} a_k</math> będzie sumą częściową tego szeregu, a <math>S</math> niech oznacza sumę tego szeregu. Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie
+Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} a_k</math> będzie sumą częściową tego szeregu, a <math>S</math> niech oznacza sumę tego szeregu. Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe są oszacowania
 ::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>
-Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym, to oszacowanie można wzmocnić: <math>S_{2 m} < S < S_{2 n - 1}</math>.
+::<math>| S - S_n | \leqslant a_{n + 1} </math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
@@ Linia 109: / Linia 111: @@
 ::<math>S \leqslant S_{2 n} < S_{2 n + 2} < S_{2 n + 4} < \ldots < S_{2 n + 2 k} < \ldots</math>
-Wbrew założeniu, że <math>S</math> jest granicą ciągu <math>(S_{2 n})</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>S < S_{2 m + 1}</math>. Co należało pokazać.<br/>
+Wbrew założeniu, że <math>S</math> jest granicą ciągu <math>(S_{2 n})</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>S < S_{2 m + 1}</math>.
 &#9633;
 {{\Spoiler}}

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Sun, 06 Sep 2026 16:08:44 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 18:08, 6 wrz 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 1103:		Linia 1103:
	:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>		:::<math>\;\;\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right] \qquad\qquad (\ast)</math>

	Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.		Wydzielenie składnika <math>{\small\frac{1}{2}}</math> wymaga zapisania nieskończonej sumy <math>(\ast)</math> w postaci dwóch sum, ale taka operacja na sumach nieskończonych byłaby możliwa tylko w przypadku szeregów bezwzględnie zbieżnych. Dla <math>0 < x \leqslant 1</math> nie możemy rozbić prawej strony na sumę osobnych szeregów, ponieważ składowe szeregi są rozbieżne i otrzymalibyśmy symbol nieoznaczony <math>[\infty - \infty]</math>. Dlatego musimy przejść na chwilę do sumy częściowej (skończonej). Tylko tak można tę operację przeprowadzić poprawnie – w wielu podręcznikach autorzy pomijają ten problem, zakładając, że czytelnik wie, o co chodzi i może sam sprawdzić poprawność dokonanego niezbyt formalnie przekształcenia. Dla przykładu pokazujemy, jak być powinno.

	::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>		::<math>S_N = \sum_{k = 1}^N \left[ {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} + {\small\frac{1}{2 (2 k - 1)^x}} - {\small\frac{1}{(2 k)^x}} \right]</math>
Linia 1182:		Linia 1182:
	'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>		'''Omówienie granicy w''' <math>\boldsymbol{x = 1}</math>'''. Granica prawostronna''' <math>\boldsymbol{x \to 1^+}</math>

	Gdy <math>x > 1</math> ~~funkcja~~ dzeta ~~jest zdefiniowana klasycznym szeregiem~~		Gdy <math>x > 1</math> funkcję dzeta definiujemy następująco

	::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>		::<math>\zeta (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^x}} = 1 + {\small\frac{1}{2^x}} + {\small\frac{1}{3^x}} + \ldots</math>

	~~Stosując oszacowanie przy pomocy całki (zobacz [[Szeregi liczbowe#D47\|D47]]) otrzymujemy~~		Wiemy, że dla <math>x > 1</math> jest

	::<math>\~~sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^~~x}} > ~~\int_1^{\infty} {\small\frac{d t}{t^x}} = \left[ {\small\frac{~~1~~}{1 - x}} \cdot~~ {\small\frac{1}{~~t^{~~x - 1~~}}}~~ \~~biggr\rvert_{1}~~^~~{\infty} \right] = {\small\frac{1}~~{x - 1}}</math>		::<math>\zeta (x) > 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}}</math>

	~~Zatem <math>\zeta~~ (x) ~~> {\small\frac{1}{x - 1}}</math>, co oznacza, że~~ w~~ ~~granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy		(zobacz [[#R20\|R20]]). Zatem w granicy, gdy <math>x \rightarrow 1^+</math>, otrzymujemy

	::<math>\lim_{x \to 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \to 1^+} {\small\frac{1}{x - 1}} = + \infty</math>		::<math>\lim_{x \rightarrow 1^+} \zeta (x) \geqslant \lim_{x \rightarrow 1^+} \left[ 1 + {\small\frac{1}{(x - 1) \cdot 2^{x - 1}}} \right] = + \infty</math>

	Skąd wynika, że		Skąd wynika, że
Linia 1809:		Linia 1809:
	Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R44\|R44]] p.1)		Niech <math>z = x + i y</math>. Skorzystamy z oszacowania (zobacz [[#R44\|R44]] p.1)

	::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} ~~\leqslant~~ \| \zeta (x + i y) \| \leqslant \zeta (x)</math>		::<math>{\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} < \| \zeta (x + i y) \| \leqslant \zeta (x)</math>

	Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy: <math>\zeta (x) > 1 \,</math> i <math>\, {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> ~~(zobacz [[#R20\|R20]]), to~~ otrzymujemy		Ponieważ dla <math>x > 1</math> mamy <math>\zeta (x) > 1</math> (zobacz [[#R20\|R20]]), to <math>{\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math> i otrzymujemy

	::<math>\| \zeta (x + i y) \| ~~\geqslant~~ {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>		::<math>\| \zeta (x + i y) \| > {\small\frac{\zeta (2 x)}{\zeta (x)}} > {\small\frac{1}{\zeta (x)}} > 0</math>

	Skoro <math>\| \zeta (x + i y) \| \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.		Skoro <math>\| \zeta (x + i y) \| \neq 0</math> dla <math>x > 1</math>, to również <math>\zeta (x + i y) \neq 0</math>.

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

HenrykDabrowski — Sat, 05 Sep 2026 08:52:24 GMT

@@ Linia 46: / Linia 46: @@
 Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.
-Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).
+Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa dla dowolnego <math>z</math> tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).
 ::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]
@@ Linia 82: / Linia 82: @@
 ::'''14.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\operatorname{Arg} \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
@@ Linia 248: / Linia 250: @@
 ::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) < 2 \pi</math>
-Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.<br/>
+Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.
 &#9633;
 {{\Spoiler}}

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Fri, 04 Sep 2026 16:36:00 GMT

Podgląd zmian

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

HenrykDabrowski — Fri, 04 Sep 2026 10:53:31 GMT

Podgląd zmian

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

HenrykDabrowski — Thu, 03 Sep 2026 15:32:24 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 17:32, 3 wrz 2026
Linia 46:		Linia 46:
	Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.		Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.

	Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>\| \operatorname{Log}(z)\| \leqslant \| \log (z) \|</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;2).		Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>\| \operatorname{Log}(z)\| \leqslant \| \log (z) \|</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;2).

	::[[File:Complex-vector.svg.png\|thumb\|300px\|none\|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]		::[[File:Complex-vector.svg.png\|thumb\|300px\|none\|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Thu, 03 Sep 2026 15:31:20 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 17:31, 3 wrz 2026
Linia 1:		Linia 1:
	<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">01.09.2026</div>		<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">31.08.2026</div>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
Linia 74:		Linia 74:
	::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>		::<math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_2 x \rfloor} \sum_{p^k \leqslant x} \log p = \sum_{k \leqslant \log_2 x} \sum_{p \leqslant x^{1 / k}} \log p</math>

			Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

	Ponieważ wszystkie sumy obejmują skończoną liczbę składników, to możemy dowolnie zmieniać kolejność sumowania. Zauważmy, że możemy bezkarnie napisać sumę nieskończoną, np. <math>\psi (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{p^k \leqslant x} \log p</math>, bo dla odpowiednio dużego <math>k</math> będziemy mieli <math>p^k \geqslant 2^k > x</math> i będziemy sumowali same zera.

	Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy		Korzystając z zapisu podanego w punkcie D, otrzymujemy
Linia 804:		Linia 804:
	::<math>\| g (z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>		::<math>\| g (z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\operatorname{Re}(z)}} \right) < {\small\frac{3}{4}} \cdot 3 = {\small\frac{9}{4}}</math>

	Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB59~~\|~~ZB59~~]] wynika natychmiast, że		Pokazaliśmy tym samym, że w otoczeniu <math>U \left( 1, {\small\frac{1}{2}} \right)</math> funkcja <math>g(z)</math> jest ograniczona. Z twierdzenia [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB60\|ZB60]] wynika natychmiast, że

	::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>		::<math>\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) g (z)] = 0</math>
Linia 1291:		Linia 1291:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB48~~\|~~ZB48~~]] p.1).		Pamiętamy, że dla <math>a \in \mathbb{R}_+</math> jest <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49\|ZB49]] p.1).

	Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:		Łatwo sprawdzamy kolejne przypadki:
Linia 1714:		Linia 1714:
	::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>		::<math>\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)) = \sum_{p \geqslant 2} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\cos (k y \cdot \ln (p)) - i \sin (k y \cdot \ln (p))}{k p^{k x}}}</math>

	Korzystając ze wzoru <math>\ln \| z \| = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.1), otrzymujemy		Korzystając ze wzoru <math>\ln \| z \| = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.1), otrzymujemy

	::<math>\ln \| \zeta (x + i y) \| = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>		::<math>\ln \| \zeta (x + i y) \| = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (\zeta (x + i y)))</math>
Linia 1841:		Linia 1841:
	Zauważmy, że		Zauważmy, że

	:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB48~~\|~~ZB48~~]] p.3)		:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49\|ZB49]] p.3)

	:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142\|D142]] p.2)		:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142\|D142]] p.2)
Linia 1867:		Linia 1867:
	::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>		::<math>\zeta (z) = 2^z \pi^{z - 1} \sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) \Gamma (1 - z) \zeta (1 - z)</math>

	Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB48~~\|~~ZB48~~]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142\|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R44\|R44]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.		Funkcje wykładnicze <math>2^z</math> i <math>\pi^{z - 1}</math> oraz funkcja <math>\Gamma (1 - z)</math> są zawsze różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49\|ZB49]] p.3 i [[Szeregi liczbowe#D142\|D142]] p.2). Jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to <math>\operatorname{Re}(1 - z) > 1</math>. A jak pokazaliśmy w twierdzeniu [[#R44\|R44]] funkcja <math>\zeta (w)</math> dla argumentów <math>w</math> takich, że <math>\operatorname{Re}(w) \geqslant 1</math> nigdy nie jest równa zero.

	Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29\|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać.<br/>		Wynika stąd, że jeżeli <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math>, to jedyne zera funkcji <math>\zeta (z)</math> są identyczne z zerami funkcji <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right)</math>. Wiemy, że <math>\sin \left( {\small\frac{\pi z}{2}} \right) = 0</math> tylko dla <math>z = 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29\|ZB29]] p.2). Uwzględniając, że <math>\operatorname{Re} (z) < 0</math>, otrzymujemy, że wszystkie miejsca zerowe funkcji <math>\zeta (z)</math> w półpłaszczyźnie otwartej <math>\operatorname{Re}(z) < 0</math> są równe <math>z = - 2 k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Są to tak zwane zera trywialne funkcji <math>\zeta (z)</math>. Co należało pokazać.<br/>
Linia 1896:		Linia 1896:
	Zauważmy, że		Zauważmy, że

	:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB48~~\|~~ZB48~~]] p.3)		:*    funkcje <math>2^z</math> i <math>\pi^z</math> są różne od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB49\|ZB49]] p.3)

	:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142\|D142]] p.3)		:*    funkcja <math>\Gamma (z)</math> jest różna od zera (zobacz [[Szeregi liczbowe#D142\|D142]] p.3)
Linia 2125:		Linia 2125:

	</references>		</references>

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Thu, 03 Sep 2026 15:30:21 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 17:30, 3 wrz 2026
Linia 5826:		Linia 5826:
	gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.		gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

	W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB31~~\|~~ZB31~~]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB33~~\|~~ZB33~~]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.		W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB32\|ZB32]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB34\|ZB34]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

	Mamy		Mamy
Linia 5838:		Linia 5838:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5844:		Linia 5844:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;6		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;6

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:32:25 GMT

Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">01.09.2026</div> __FORCETOC__ == Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> Czebyszewa == <span id="R1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja R1</span><br/> Niech <math>x \in \mathbb{R}_+</math>. Funkcje <math>\theta (x)</math> i <math>\psi (x)</math> definiujemy następująco ::<math>\theta (x) = \sum_{p \leqslant x} \log p</math> ::<math>\psi…"

Podgląd zmian

Henryk Dąbrowski

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:07:43 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 12:07, 31 sie 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 190:		Linia 190:
	*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju\|P. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju]]		*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju\|P. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju]]
	*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy\|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]		*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy\|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]
			*[[Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna\|R. Funkcje <math>\theta (x), \: \psi (x)</math> Czebyszewa, funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta, funkcja <math>\zeta (z)</math> Riemanna]]
	*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych\|ZA. Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]		*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych\|ZA. Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]
	*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia\|ZB. Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]		*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia\|ZB. Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]
Linia 202:		Linia 203:

	{{Spoiler\|Style=font-size:1.5em; color:#000\|Show=Najnowsze artykuły\|Hide=Najnowsze artykuły}}		{{Spoiler\|Style=font-size:1.5em; color:#000\|Show=Najnowsze artykuły\|Hide=Najnowsze artykuły}}
			*[[Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna\|Funkcje <math>\theta (x), \: \psi (x)</math> Czebyszewa, funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta, funkcja <math>\zeta (z)</math> Riemanna]]
	*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]		*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]
	*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]		*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]

Plik:Riemann-Siegel-Z-function.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:03:43 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Riemann-Siegel-Z-function.png

Nowa strona

Plik:Riemann-Siegel-theta-function.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:03:32 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Riemann-Siegel-theta-function.png

Nowa strona

Plik:Okregi-i-kolo-na-C.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:03:16 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Okregi-i-kolo-na-C.png

Nowa strona

Plik:Log-gamma.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:02:57 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Log-gamma.png

Nowa strona

Plik:Ilustracja-szacowania-funkcji.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:02:32 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Ilustracja-szacowania-funkcji.png

Nowa strona

Plik:Gamma-skala-logarytmiczna.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:01:58 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Gamma-skala-logarytmiczna.png

Nowa strona

Plik:Funkcja-theta-Czebyszewa.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:01:44 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Funkcja-theta-Czebyszewa.png

Nowa strona

Plik:Funkcja-psi-Czebyszewa.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:01:28 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Funkcja-psi-Czebyszewa.png

Nowa strona

Plik:Eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 10:01:13 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Eta-Dirichleta-od-minus-8-do-plus-8.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-odwrotnosc.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:58:46 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-odwrotnosc.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:58:06 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-odwrotnosc-modul-3D.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-40-do-43.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:57:50 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-40-do-43.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-37-do-40.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:57:25 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-37-do-40.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-32-do-37.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:57:12 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-32-do-37.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-27-do-32.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:56:52 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-27-do-32.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-22-do-27.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:56:37 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-22-do-27.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-17-do-22.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:56:13 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-17-do-22.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:55:59 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-2x-przez-dzeta-od-x.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-0-do-43.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:55:44 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-0-do-43.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-od-0-do-17.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:55:29 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-od-0-do-17.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-dla-rzeczywistych-2.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:54:59 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-dla-rzeczywistych-2.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-dla-rzeczywistych-1.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:54:48 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-dla-rzeczywistych-1.png

Nowa strona

Plik:Dzeta-biegun-funkcji.png

HenrykDabrowski — Mon, 31 Aug 2026 09:54:29 GMT

HenrykDabrowski przesłał Plik:Dzeta-biegun-funkcji.png

Nowa strona

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

HenrykDabrowski — Wed, 26 Aug 2026 08:33:57 GMT

Podgląd zmian

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

HenrykDabrowski — Sat, 22 Aug 2026 17:05:02 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 19:05, 22 sie 2026
Linia 2036:		Linia 2036:
	Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako		Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako

	::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (s (t)) \| \in \mathbb{R}</math>		::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (\gamma (t)) \| \in \mathbb{R}</math>

	gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.		gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.

Szeregi liczbowe

HenrykDabrowski — Sat, 22 Aug 2026 16:18:00 GMT

← poprzednia wersja		Wersja z 18:18, 22 sie 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 2070:		Linia 2070:
	\|-		\|-
	\| 5. \|\| <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}}</math> \|\| <math>{\small\frac{1}{x \log^2 \! x}}</math> \|\| <math>- {\small\frac{1}{\log x}}</math> \|\| <math>0</math> \|\| szereg zbieżny		\| 5. \|\| <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}}</math> \|\| <math>{\small\frac{1}{x \log^2 \! x}}</math> \|\| <math>- {\small\frac{1}{\log x}}</math> \|\| <math>0</math> \|\| szereg zbieżny
			\|-
			\| 6.
			\| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\alpha}}}</math>
			\| <math>{\small\frac{1}{x^{\alpha}}}</math>
			\| <math>
			\begin{cases}
			\displaystyle \log x & & \text{gdy } \alpha = 1 \\[2ex]
			\displaystyle {\small\frac{1}{1 - \alpha}} \cdot {\small\frac{1}{x^{\alpha - 1}}} & & \text{gdy } \alpha \neq 1 \\[2ex]
			\end{cases}
			</math>
			\| <math>
			\begin{cases}
			\displaystyle + \infty & & \text{gdy } \alpha = 1 \\[2ex]
			\displaystyle 0 & & \text{gdy } \alpha > 1 \\[2ex]
			\displaystyle + \infty & & \text{gdy } 0 < \alpha < 1 \\[2ex]
			\end{cases}
			</math>
			\| <math>
			\begin{cases}
			\displaystyle \text{szereg rozbieżny} \\[2ex]
			\displaystyle \text{szereg zbieżny} \\[2ex]
			\displaystyle \text{szereg rozbieżny} \\[2ex]
			\end{cases}
			</math>
	\|}		\|}

	~~Stosując kryterium całkowe~~, ~~można łatwo pokazać~~, ~~że szeregi~~		Oczywiście dla <math>\alpha = 0</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\alpha}}}</math> jest rozbieżny, bo sumujemy same jedynki. Dla <math>\alpha < 0</math> szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^\alpha}}</math> jest rozbieżny, bo nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu (zobacz [[#D4\|D4]]).

	~~::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>~~

	~~::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^s \! k}}</math>~~		Stosując kryterium całkowe, możemy też łatwo pokazać, że szereg

	~~są zbieżne~~ dla <math>s > 1</math> i ~~rozbieżne~~ dla <math>s \leqslant 1</math>.		::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^{\alpha} \! k}}</math>

			jest zbieżny dla <math>\alpha > 1</math> i rozbieżny dla <math>\alpha \leqslant 1</math>.

← poprzednia wersja		Wersja z 16:05, 14 wrz 2026
Linia 65:		Linia 65:
	::'''  5.'''      <math>\left\| {\small\frac{1}{z}} \right\| = {\small\frac{1}{\| z \|}}</math>		::'''  5.'''      <math>\left\| {\small\frac{1}{z}} \right\| = {\small\frac{1}{\| z \|}}</math>

	::'''  6.'''      <math>\| z_1 + z_2 \| \leqslant \| z_1 \| + \| z_2 \|</math>		::'''  6.'''      <math>\| z_1 + z_2 \| \leqslant \| z_1 \| + \| z_2 \| \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \,\,</math> (równość zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31\|ZB31]])

	::'''  7.'''      <math>\left\| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right\| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} \| z_k \|</math>		::'''  7.'''      <math>\left\| \sum_{k = 1}^{n} z_k \right\| \leqslant \sum_{k = 1}^{n} \| z_k \|</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 17:30, 3 wrz 2026
Linia 5826:		Linia 5826:
	gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.		gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

	W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB31~~\|~~ZB31~~]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB33~~\|~~ZB33~~]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.		W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB32\|ZB32]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB34\|ZB34]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

	Mamy		Mamy
Linia 5838:		Linia 5838:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5844:		Linia 5844:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;6		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;6

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 12:07, 31 sie 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 190:		Linia 190:
	*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju\|P. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju]]		*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju\|P. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju]]
	*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy\|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]		*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy\|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]
			*[[Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna\|R. Funkcje <math>\theta (x), \: \psi (x)</math> Czebyszewa, funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta, funkcja <math>\zeta (z)</math> Riemanna]]
	*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych\|ZA. Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]		*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych\|ZA. Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]
	*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia\|ZB. Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]		*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia\|ZB. Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]
Linia 202:		Linia 203:

	{{Spoiler\|Style=font-size:1.5em; color:#000\|Show=Najnowsze artykuły\|Hide=Najnowsze artykuły}}		{{Spoiler\|Style=font-size:1.5em; color:#000\|Show=Najnowsze artykuły\|Hide=Najnowsze artykuły}}
			*[[Funkcje θ(x), ψ(x) Czebyszewa, funkcja η(z) Dirichleta, funkcja ζ(z) Riemanna\|Funkcje <math>\theta (x), \: \psi (x)</math> Czebyszewa, funkcja <math>\eta (z)</math> Dirichleta, funkcja <math>\zeta (z)</math> Riemanna]]
	*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]		*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]
	*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]		*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]

← poprzednia wersja		Wersja z 19:05, 22 sie 2026
Linia 2036:		Linia 2036:
	Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako		Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako

	::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (s (t)) \| \in \mathbb{R}</math>		::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (\gamma (t)) \| \in \mathbb{R}</math>

	gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.		gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.