Całkowanie numeryczne. Metoda Simpsona - Historia wersji

HenrykDabrowski o 17:48, 13 kwi 2026

2026-04-13T17:48:24Z

← poprzednia wersja		Wersja z 19:48, 13 kwi 2026
Linia 1978:		Linia 1978:
	<ref name="DifferentiableFun1">Wikipedia, ''Funkcja różniczkowalna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function Wiki-en])</ref>		<ref name="DifferentiableFun1">Wikipedia, ''Funkcja różniczkowalna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_r%C3%B3%C5%BCniczkowalna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function Wiki-en])</ref>

	<ref name="Weierstrass1">Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/~~Twierdzenie_Bolzana-Weierstrassa#Wniosek:_twierdzenie_Weierstrassa~~ Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Wiki-en])</ref>		<ref name="Weierstrass1">Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Weierstrassa_o_kresach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Wiki-en])</ref>

	</references>		</references>

HenrykDabrowski o 17:24, 9 sty 2025

2025-01-09T17:24:56Z

HenrykDabrowski o 18:31, 1 sty 2025

2025-01-01T18:31:26Z

HenrykDabrowski o 12:08, 28 gru 2024

2024-12-28T12:08:53Z

HenrykDabrowski o 12:01, 22 gru 2024

2024-12-22T12:01:51Z

HenrykDabrowski o 18:28, 14 gru 2024

2024-12-14T18:28:31Z

HenrykDabrowski o 18:03, 10 cze 2024

2024-06-10T18:03:33Z

← poprzednia wersja		Wersja z 20:03, 10 cze 2024
Linia 1242:		Linia 1242:

	::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}		::<math>f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
	x^2 \sin \left( {\~~small~~\frac{1}{x}} \right) & & x \neq 0\\		x^2 \sin \left( {\large\frac{1}{x}} \right) & & x \neq 0\\
	0 & & x = 0		0 & & x = 0
	\end{array} \right.</math>		\end{array} \right.</math>

HenrykDabrowski o 17:46, 10 cze 2024

2024-06-10T17:46:58Z

← poprzednia wersja		Wersja z 19:46, 10 cze 2024
Linia 969:		Linia 969:

	<span id="F29" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F29</span><br/>		<span id="F29" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F29</span><br/>
	Z twierdzenia [[#~~F27~~\|~~F27~~]] wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory		Z twierdzenia [[#F28\|F28]] wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory

	::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t</math>		::<math>\int f (t) \sin (t) d t = - f (t) \cos (t) + \int f^{(1)} (t) \cos (t) d t</math>
Linia 982:		Linia 982:

	<span id="F30" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F30</span><br/>		<span id="F30" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F30</span><br/>
	Z twierdzenia [[#~~F27~~\|~~F27~~]] wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory		Z twierdzenia [[#F28\|F28]] wynika natychmiast, że prawdziwe są następujące wzory

	::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t</math>		::<math>\int f (t) \cos (t) d t = f (t) \sin (t) - \int f^{(1)} (t) \sin (t) d t</math>

HenrykDabrowski o 14:33, 10 cze 2024

2024-06-10T14:33:00Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:33, 10 cze 2024
Linia 96:		Linia 96:
	::<math>\lim_{x \to 0^+} f (x) = \lim_{x \to 5^-} f (x) = 1</math>		::<math>\lim_{x \to 0^+} f (x) = \lim_{x \to 5^-} f (x) = 1</math>

	zatem spełnione są warunki definicji [[#F1\|F1]] i funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami ciągła (kawałkami klasy <math>C^0</math>). Zauważmy, że funkcja ta jest funkcją skokową Heaviside'a<ref name="HeavisideStepFun"/> <math>H(x)</math> obciętą do przedziału <math>[- 5, 5]</math>.		zatem spełnione są warunki definicji [[#F2\|F2]] i funkcja <math>f(x)</math> jest kawałkami ciągła (kawałkami klasy <math>C^0</math>). Zauważmy, że funkcja ta jest funkcją skokową Heaviside'a<ref name="HeavisideStepFun"/> <math>H(x)</math> obciętą do przedziału <math>[- 5, 5]</math>.

	::<math>H(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}		::<math>H(x) = \left\{ \begin{array}{ccc}

HenrykDabrowski o 14:27, 10 cze 2024

2024-06-10T14:27:45Z

Podgląd zmian

← poprzednia wersja		Wersja z 19:24, 9 sty 2025
Linia 659:		Linia 659:
	::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>		::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>

	gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E53~~\|~~E53~~]])		gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E61\|E61]])

	::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>		::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>
Linia 719:		Linia 719:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E38~~\|~~E38~~]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.		Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E46\|E46]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

	Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd		Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd
Linia 886:		Linia 886:

	<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>		<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>
	Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E33~~\|~~E33~~]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.		Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E41\|E41]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.


Linia 1144:		Linia 1144:

	<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>		<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>
	Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E53~~\|~~E53~~]])		Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E61\|E61]])

	::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>		::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>

	Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E33~~\|~~E33~~]], dostajemy		Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E41\|E41]], dostajemy

	::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>		::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 20:31, 1 sty 2025
Linia 659:		Linia 659:
	::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>		::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>

	gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E50~~\|~~E50~~]])		gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E53\|E53]])

	::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>		::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>
Linia 719:		Linia 719:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E35~~\|~~E35~~]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.		Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E38\|E38]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

	Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd		Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd
Linia 886:		Linia 886:

	<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>		<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>
	Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E30~~\|~~E30~~]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.		Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E33\|E33]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.


Linia 1144:		Linia 1144:

	<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>		<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>
	Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E50~~\|~~E50~~]])		Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E53\|E53]])

	::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>		::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>

	Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E30~~\|~~E30~~]], dostajemy		Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E33\|E33]], dostajemy

	::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>		::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 14:08, 28 gru 2024
Linia 645:		Linia 645:


	::<math>f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.1527399692533334654765895125096821824796221626790438771977250903 \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Fx+from+2*Pi+to+10%~~5E4~~ WolframAlpha])		::<math>f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.1527399692533334654765895125096821824796221626790438771977250903 \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Fx+from+2*Pi+to+10%5E5 WolframAlpha])

	<span style="font-size: 90%; color:black;">Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.13)</span>		<span style="font-size: 90%; color:black;">Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.13)</span>
Linia 651:		Linia 651:


	::<math>f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{\log (x)}}</math>, <math>\qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.63535086286 \ldots \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Flog%28x%29+from+2*Pi+to+10%~~5E4~~ WolframAlpha])		::<math>f(x) = {\small\frac{\sin (x)}{\log (x)}}</math>, <math>\qquad \int_{2 \pi}^{10^4} f (x) d x = 0.63535086286 \ldots \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+sin%28x%29%2Flog%28x%29+from+2*Pi+to+10%5E5 WolframAlpha])

	<span style="font-size: 90%; color:black;">Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.46)</span>		<span style="font-size: 90%; color:black;">Simpson(2*Pi, 10^4, 2^22, 0.46)</span>
Linia 659:		Linia 659:
	::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>		::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>

	gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E49~~\|~~E49~~]])		gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E50\|E50]])

	::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>		::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>
Linia 719:		Linia 719:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E34~~\|~~E34~~]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.		Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E35\|E35]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

	Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd		Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd
Linia 886:		Linia 886:

	<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>		<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>
	Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E29~~\|~~E29~~]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.		Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E30\|E30]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.


Linia 1144:		Linia 1144:

	<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>		<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>
	Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E49~~\|~~E49~~]])		Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E50\|E50]])

	::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>		::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>

	Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E29~~\|~~E29~~]], dostajemy		Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E30\|E30]], dostajemy

	::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>		::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 14:01, 22 gru 2024
Linia 659:		Linia 659:
	::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>		::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>

	gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E45~~\|~~E45~~]])		gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E49\|E49]])

	::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>		::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>
Linia 719:		Linia 719:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E30~~\|~~E30~~]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.		Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E34\|E34]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

	Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd		Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd
Linia 886:		Linia 886:

	<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>		<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>
	Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E25~~\|~~E25~~]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.		Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E29\|E29]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.


Linia 1144:		Linia 1144:

	<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>		<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>
	Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E45~~\|~~E45~~]])		Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E49\|E49]])

	::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>		::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>

	Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E25~~\|~~E25~~]], dostajemy		Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E29\|E29]], dostajemy

	::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>		::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 20:28, 14 gru 2024
Linia 659:		Linia 659:
	::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>		::<math>f(x) = {\small\frac{P_1 (x)}{x}}</math>, <math>\qquad \int_{1}^{10} f (x) d x = - 0.072730903361964386963200944934753807929314886310179776161039616</math>

	gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E43~~\|~~E43~~]])		gdzie <math>P_1 (x)</math> jest okresową funkcją Bernoulliego. Znamy dokładny wynik, bo można pokazać, że (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E45\|E45]])

	::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>		::<math>\int^n_1 {\small\frac{P_1 (x)}{x}} d x = \log (n!) - n \log n + n - {\small\frac{1}{2}} \log n - 1</math>
Linia 719:		Linia 719:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E28~~\|~~E28~~]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.		Zauważmy najpierw, że ponieważ z założenia <math>\int_{b}^{\infty} g (t) d t</math> jest zbieżna, to granica <math>\lim_{t \to + \infty} G (t)</math> jest skończona (twierdzenie [[Wzór Eulera-Maclaurina#E30\|E30]]). Wybierając odpowiednią wartość stałej całkowania, możemy sprawić, że <math>\lim_{t \to + \infty} G (t) = 0</math>. Wynika stąd, że warunek ten zawsze może być spełniony, ale powinniśmy upewnić się, że tak jest.

	Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd		Zastępując całkę niewłaściwą <math>\int_{a}^{\infty} f (t) d t</math> całką oznaczoną <math>\int^b_a f (t) d t</math>, popełniamy błąd
Linia 886:		Linia 886:

	<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>		<span id="F27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga F27</span><br/>
	Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E23~~\|~~E23~~]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.		Czytelnik zapewne zwrócił uwagę na ograniczony zakres stosowania twierdzenia [[#F22\|F22]]. Nawet prostej całki <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{\sin (t)}{t}} d t</math> nie jesteśmy w stanie w ten sposób policzyć, bo <math>\int_{2 \pi}^{\infty} {\small\frac{d t}{t}}</math> jest rozbieżna. Poniżej pokażemy, jak można zwiększyć zakres stosowania tego twierdzenia. Rozpoczniemy od udowodnienia analogicznych wzorów do wzoru z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E25\|E25]]. Funkcje Bernoulliego zostały zastąpione funkcjami <math>\sin (x)</math> i <math>\cos (x)</math>.


Linia 1144:		Linia 1144:

	<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>		<span id="F34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład F34</span><br/>
	Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E43~~\|~~E43~~]])		Rozważmy całkę (zobacz przykład [[Wzór Eulera-Maclaurina#E45\|E45]])

	::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>		::<math>\int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 = - 0.081061466795327258219670263594382360138602526362216587 \ldots</math>

	Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#~~E23~~\|~~E23~~]], dostajemy		Nie możemy wprost zastosować twierdzenia [[#F22\|F22]], ale korzystając z twierdzenia [[Wzór Eulera-Maclaurina#E25\|E25]], dostajemy

	::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>		::<math>\int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = - {\small\frac{41}{504}} + {\small\frac{1}{6}} \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_6 (t)}{t^6}} d t</math>