Ciągi liczbowe - Historia wersji

HenrykDabrowski o 16:59, 16 gru 2025

2025-12-16T16:59:35Z

HenrykDabrowski o 11:30, 18 lis 2025

2025-11-18T11:30:09Z

HenrykDabrowski o 09:05, 9 cze 2024

2024-06-09T09:05:47Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:05, 9 cze 2024
Linia 3222:		Linia 3222:
	::<math>a x + b y = c</math>		::<math>a x + b y = c</math>

	gdzie <math>\gcd (a, b) = 1</math>, które omówiliśmy w poprzednim twierdzeniu, najłatwiej znaleźć korzystając w PARI/GP z funkcji <code>gcdext(a, b)</code>. Funkcja ta zwraca wektor liczb <code>[x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, d]</code>, gdzie <math>d = \gcd (a, b)</math>, a liczby <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są rozwiązaniami równania		gdzie <math>\gcd (a, b) = 1</math>, które omówiliśmy w poprzednim twierdzeniu, najłatwiej znaleźć korzystając w PARI/GP z funkcji <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>gcdext(a, b)</code></span>. Funkcja ta zwraca wektor liczb <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>[x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, d]</code></span>, gdzie <math>d = \gcd (a, b)</math>, a liczby <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są rozwiązaniami równania

	::<math>a x_0 + b y_0 = \gcd (a, b)</math>		::<math>a x_0 + b y_0 = \gcd (a, b)</math>
Linia 3240:		Linia 3240:
	::<math>y = c y_0 - a t</math>		::<math>y = c y_0 - a t</math>

	Niech <math>a = 7 \;</math> i <math>\; b = 17</math>. Funkcja <code>gcdext(7,17)</code> zwraca wektor <code>[5, -2, 1]</code>, zatem rozwiązaniami równania <math>7 x + 17 y = 1</math> są liczby		Niech <math>a = 7 \;</math> i <math>\; b = 17</math>. Funkcja <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>gcdext(7,17)</code></span> zwraca wektor <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>[5, -2, 1]</code></span>, zatem rozwiązaniami równania <math>7 x + 17 y = 1</math> są liczby

	::<math>x = 5 + 17 t</math>		::<math>x = 5 + 17 t</math>

HenrykDabrowski o 08:10, 7 cze 2024

2024-06-07T08:10:19Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 09:57, 2 cze 2024

2024-06-02T09:57:46Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:57, 2 cze 2024
Linia 114:		Linia 114:
	::<math>m = \min (a_1, \ldots, a_N, a - \varepsilon)</math>		::<math>m = \min (a_1, \ldots, a_N, a - \varepsilon)</math>

	Co ~~należało pokazać~~.<br/>		Ponieważ <math>- \| m \| \leqslant m \;</math> i <math>\; M \leqslant \| M \|</math>, to

			::<math>- \| m \| \leqslant a_n \leqslant \| M \|</math>

			Jeżeli oznaczymy <math>U = \max (\| m \|, \| M \|)</math>, to możemy napisać

			::<math>- U \leqslant a_n \leqslant U</math>

			Czyli dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest <math>\| a_n \| \leqslant U</math>. Co kończy dowód.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 10:58, 31 maj 2024

2024-05-31T10:58:01Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 18:40, 22 mar 2024

2024-03-22T18:40:28Z

← poprzednia wersja		Wersja z 20:40, 22 mar 2024
Linia 567:		Linia 567:
	W tabeli przedstawiamy dane, na podstawie których sporządziliśmy zamieszczony wyżej wykres. Mamy kolejno		W tabeli przedstawiamy dane, na podstawie których sporządziliśmy zamieszczony wyżej wykres. Mamy kolejno
	:* przedział <math>U</math>		:* przedział <math>U</math>
	:* minimalną wartość <math>\small{\frac{\log p(a)}{\log a}}</math> w przedziale <math>U</math>		:* minimalną wartość <math>{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}</math> w przedziale <math>U</math>
	:* liczbę <math>a</math>, która odpowiada minimalnej wartości <math>\small{\frac{\log p(a)}{\log a}}</math>		:* liczbę <math>a</math>, która odpowiada minimalnej wartości <math>{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}</math>
	:* wartość <math>p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b < a}} p_{\min} (a, b)</math>		:* wartość <math>p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b < a}} p_{\min} (a, b)</math>
	:* liczbę <math>b</math> taką, że najmniejsza liczba pierwsza w ciągu <math>a k + b</math> jest równa <math>p ( a )</math>		:* liczbę <math>b</math> taką, że najmniejsza liczba pierwsza w ciągu <math>a k + b</math> jest równa <math>p ( a )</math>

	Następnie podajemy analogiczne wartości dla maksymalnej wartości <math>\small{\frac{\log p(a)}{\log a}}</math> w przedziale <math>U</math>. Pominęliśmy dane dla początkowych przedziałów <math>[2^{n},2^{n + 1})</math>, ponieważ Czytelnik z łatwością policzy je samodzielnie. Prosty kod do obliczeń w PARI/GP zamieściliśmy pod tabelą.		Następnie podajemy analogiczne wartości dla maksymalnej wartości <math>{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}</math> w przedziale <math>U</math>. Pominęliśmy dane dla początkowych przedziałów <math>[2^{n},2^{n + 1})</math>, ponieważ Czytelnik z łatwością policzy je samodzielnie. Prosty kod do obliczeń w PARI/GP zamieściliśmy pod tabelą.

	::{\| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 85%; text-align: right; margin-right: auto;"		::{\| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 85%; text-align: right; margin-right: auto;"
	\|-		\|-
	! <math>\boldsymbol{U}</math> \|\| <math>\boldsymbol{\min_{a \in U} \small{\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math> \|\| <math>\boldsymbol{a}</math> \|\| <math>\boldsymbol{p(a)}</math> \|\| <math>\boldsymbol{b}</math> \|\| <math>\boldsymbol{\max_{a \in U} \small{\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math> \|\| <math>\boldsymbol{a}</math> \|\| <math>\boldsymbol{p(a)}</math> \|\| <math>\boldsymbol{b}</math>		! <math>\boldsymbol{U}</math> \|\| <math>\boldsymbol{\min_{a \in U} {\small\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math> \|\| <math>\boldsymbol{a}</math> \|\| <math>\boldsymbol{p(a)}</math> \|\| <math>\boldsymbol{b}</math> \|\| <math>\boldsymbol{\max_{a \in U} {\small\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math> \|\| <math>\boldsymbol{a}</math> \|\| <math>\boldsymbol{p(a)}</math> \|\| <math>\boldsymbol{b}</math>
	\|-		\|-
	\| <math>[2^{12},2^{13})</math> \|\| <math>1.273691</math> \|\| <math>6840</math> \|\| <math>76679</math> \|\| <math>1439</math> \|\| <math>1.574826</math> \|\| <math>4177</math> \|\| <math>503771</math> \|\| <math>2531</math>		\| <math>[2^{12},2^{13})</math> \|\| <math>1.273691</math> \|\| <math>6840</math> \|\| <math>76679</math> \|\| <math>1439</math> \|\| <math>1.574826</math> \|\| <math>4177</math> \|\| <math>503771</math> \|\| <math>2531</math>

HenrykDabrowski o 17:42, 21 mar 2024

2024-03-21T17:42:41Z

← poprzednia wersja		Wersja z 19:42, 21 mar 2024
Linia 3039:		Linia 3039:
	::<math>d b x + a b y = b</math>		::<math>d b x + a b y = b</math>

	Obydwa wyrazy po ~~prawej~~ stronie są podzielne przez <math>d</math>, bo z założenia <math>d \mid a b</math>. Zatem prawa strona również jest podzielna przez <math>d</math>, czyli <math>d \mid b</math>. Co kończy dowód punktu pierwszego.		Obydwa wyrazy po lewej stronie są podzielne przez <math>d</math>, bo z założenia <math>d \mid a b</math>. Zatem prawa strona również jest podzielna przez <math>d</math>, czyli <math>d \mid b</math>. Co kończy dowód punktu pierwszego.

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''
Linia 3054:		Linia 3054:

	<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C75</span><br/>		<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C75</span><br/>
	Niech <math>a, b, m \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>a \mid m</math> i <math>b \mid m</math> oraz <math>\gcd (a, b) = 1</math>, to <math>a b \mid m</math>.		Niech <math>a, b, m \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>a \mid m \;</math> i <math>\; b \mid m</math> oraz <math>\gcd (a, b) = 1</math>, to <math>a b \mid m</math>.

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 3171:		Linia 3171:
	::<math>a (x - x_0) = b (y_0 - y)</math>		::<math>a (x - x_0) = b (y_0 - y)</math>

	Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b \mid (x - x_0)</math>. Skąd mamy		Ponieważ liczby <math>a \,</math> i <math>\, b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b \mid (x - x_0)</math>. Skąd mamy

	::<math>x - x_0 = b t</math>		::<math>x - x_0 = b t</math>
Linia 3208:		Linia 3208:
	::<math>y = c y_0 - a t</math>		::<math>y = c y_0 - a t</math>

	Niech <math>a = 7</math> i <math>b = 17</math>. Funkcja <code>gcdext(7,17)</code> zwraca wektor <code>[5, -2, 1]</code>, zatem rozwiązaniami równania <math>7 x + 17 y = 1</math> są liczby		Niech <math>a = 7 \;</math> i <math>\; b = 17</math>. Funkcja <code>gcdext(7,17)</code> zwraca wektor <code>[5, -2, 1]</code>, zatem rozwiązaniami równania <math>7 x + 17 y = 1</math> są liczby

	::<math>x = 5 + 17 t</math>		::<math>x = 5 + 17 t</math>

HenrykDabrowski o 15:54, 8 mar 2024

2024-03-08T15:54:30Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:54, 8 mar 2024
Linia 3169:		Linia 3169:
	Wynika stąd, że musi być spełniony warunek		Wynika stąd, że musi być spełniony warunek

	::<math>a(x - x_0) = b (y_0 - y)</math>		::<math>a (x - x_0) = b (y_0 - y)</math>

	Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b(x - x_0)</math>. Skąd mamy		Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b \mid (x - x_0)</math>. Skąd mamy

	::<math>x - x_0 = b t</math>		::<math>x - x_0 = b t</math>

HenrykDabrowski o 15:46, 8 mar 2024

2024-03-08T15:46:39Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:46, 8 mar 2024
Linia 2772:		Linia 2772:
	Zatem <math>P(n - 1) \nmid d</math>, co jest niemożliwe.		Zatem <math>P(n - 1) \nmid d</math>, co jest niemożliwe.

	Wynika stąd, że poza przypadkiem <math>n = p_0 = 3</math> ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek <math>P(n)\|d</math>, czyli <math>P(n)\|(p_1 - p_0)</math>.		Wynika stąd, że poza przypadkiem <math>n = p_0 = 3</math> ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek <math>P(n) \mid d</math>, czyli <math>P(n) \mid (p_1 - p_0)</math>.

	Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o długościach <math>n = 3, 4, 5, 6</math> dla rosnących wartości <math>p_0</math>. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o długości <math>n = 7</math> dla <math>p_0 < 10^{13}</math>. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.		Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o długościach <math>n = 3, 4, 5, 6</math> dla rosnących wartości <math>p_0</math>. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o długości <math>n = 7</math> dla <math>p_0 < 10^{13}</math>. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
Linia 3090:		Linia 3090:
	::<math>a x_0 + b y_0 = c</math>		::<math>a x_0 + b y_0 = c</math>

	Ponieważ <math>D</math> dzieli lewą stronę równania, to musi również dzielić prawą, zatem musi być <math>D\|c</math>.		Ponieważ <math>D</math> dzieli lewą stronę równania, to musi również dzielić prawą, zatem musi być <math>D \mid c</math>.

	<math>\Longleftarrow</math>		<math>\Longleftarrow</math>

	Jeżeli <math>D\|c</math>, to możemy napisać <math>c = k D</math> i równanie przyjmuje postać		Jeżeli <math>D \mid c</math>, to możemy napisać <math>c = k D</math> i równanie przyjmuje postać

	::<math>a x + b y = k D</math>		::<math>a x + b y = k D</math>
Linia 3120:		Linia 3120:

	:* obliczyć największy wspólny dzielnik <math>D</math> liczb <math>A</math> i <math>B</math>		:* obliczyć największy wspólny dzielnik <math>D</math> liczb <math>A</math> i <math>B</math>
	:* jeżeli <math>D > 1</math>, należy sprawdzić, czy <math>D\|C</math>		:* jeżeli <math>D > 1</math>, należy sprawdzić, czy <math>D \mid C</math>
	:* jeżeli <math>D \nmid C</math>, to równanie <math>A x + B y = C</math> nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych		:* jeżeli <math>D \nmid C</math>, to równanie <math>A x + B y = C</math> nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych
	:* jeżeli <math>D\|C</math>, należy podzielić obie strony równania <math>A x + B y = C</math> przez <math>D</math> i przejść do rozwiązywania równania równoważnego <math>a x + b y = c</math>, gdzie <math>a = \frac{A}{D}</math>, <math>b = \frac{B}{D}</math>, <math>c = \frac{C}{D}</math>, zaś największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest równy <math>1</math>.		:* jeżeli <math>D \mid C</math>, należy podzielić obie strony równania <math>A x + B y = C</math> przez <math>D</math> i przejść do rozwiązywania równania równoważnego <math>a x + b y = c</math>, gdzie <math>a = \frac{A}{D}</math>, <math>b = \frac{B}{D}</math>, <math>c = \frac{C}{D}</math>, zaś największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest równy <math>1</math>.


Linia 3171:		Linia 3171:
	::<math>a(x - x_0) = b (y_0 - y)</math>		::<math>a(x - x_0) = b (y_0 - y)</math>

	Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b\|(x - x_0)</math>. Skąd mamy		Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b(x - x_0)</math>. Skąd mamy

	::<math>x - x_0 = b t</math>		::<math>x - x_0 = b t</math>