Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia - Historia wersji

HenrykDabrowski o 10:02, 22 lip 2026

2026-07-22T10:02:27Z

← poprzednia wersja		Wersja z 12:02, 22 lip 2026
Linia 1674:		Linia 1674:

	<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>		<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C~~}</math>, <math>x \in \mathbb{R~~}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^{~~i x~~}) ~~\| = 1~~</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>

	:   ●      <math>a^z \neq 0</math>		:   ●      <math>a^z \neq 0</math>
Linia 1700:		Linia 1700:
	Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy		Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy

	::<math>\operatorname{PV}(a^~~{i x}~~) = e^{~~i x~~ \operatorname{Log} (a)} = e^{~~i x~~ (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{~~i x~~ \ln (a)}</math>		::<math>\operatorname{PV}(a^z) = e^{z \operatorname{Log} (a)} = e^{z (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{z \ln (a)}</math>

	bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. ~~Zatem~~		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>. Otrzymujemy

	::<math>\| \operatorname{PV}(a^{i x}) \| = \| e^{i x \ln (a)} \| = 1</math>		::<math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = \| e^{z \ln (a)} \| = \| e^{(x + i y) \ln (a)} \| = \| e^{x \cdot \ln (a) + i y \cdot \ln (a)} \| = e^{x \cdot \ln (a)} = a^x = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>

	Co należało pokazać.		(zobacz [[#ZB25\|ZB25]] p.1). Co należało pokazać.

	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

HenrykDabrowski o 15:29, 9 lip 2026

2026-07-09T15:29:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:29, 9 lip 2026
Linia 1373:		Linia 1373:
	Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że dla <math>z \neq 0</math> funkcje		Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że dla <math>z \neq 0</math> funkcje

	:*&emsp; <math>\sqrt[n]{z}</math> ~~(funkcja określona wzorem de Moivre'a~~ - ~~zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]])~~		:*&emsp;<math>z^{1 / n} = \sqrt[n]{\| z \|} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \qquad\qquad</math> gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>

	:*&emsp; <math>z^{1 / n}</math> ~~(funkcja zdefiniowana jako potęga zespolona)~~		:*&emsp;<math>z^{1 / n} = e^{\log (z) / n}</math>

	mają dokładnie takie same zbiory wartości.		mają dokładnie takie same zbiory wartości.
Linia 1382:		Linia 1382:
	Przedstawmy <math>z</math> w postaci wykładniczej: <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>, gdzie <math>r = \|z\| > 0</math> oraz <math>\varphi = \arg (z)</math>. Podany w zadaniu [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]] wzór możemy zapisać w postaci (zobacz [[#ZB18\|ZB18]])		Przedstawmy <math>z</math> w postaci wykładniczej: <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>, gdzie <math>r = \|z\| > 0</math> oraz <math>\varphi = \arg (z)</math>. Podany w zadaniu [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]] wzór możemy zapisać w postaci (zobacz [[#ZB18\|ZB18]])

	::<math>~~\sqrt[~~n~~]{z~~} = r^{1 / n} \cdot e^{i \tfrac{\varphi + 2 k \pi}{n}}</math>		::<math>z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{i \tfrac{\varphi + 2 k \pi}{n}}</math>

	gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>.		gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>.


	Z definicji logarytmu zespolonego mamy		Z definicji logarytmu zespolonego mamy

HenrykDabrowski o 09:46, 5 lip 2026

2026-07-05T09:46:51Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:46, 5 lip 2026
Linia 1152:		Linia 1152:

	::<math>e^{\operatorname{Log} (z)} = e^{\ln \| z \| + i \operatorname{Arg} (z)} = e^{\ln \| z \|} e^{i \operatorname{Arg} (z)} = \| z \| \cdot e^{i \operatorname{Arg} (z)} = z</math>		::<math>e^{\operatorname{Log} (z)} = e^{\ln \| z \| + i \operatorname{Arg} (z)} = e^{\ln \| z \|} e^{i \operatorname{Arg} (z)} = \| z \| \cdot e^{i \operatorname{Arg} (z)} = z</math>


			Z definicji logarytmu

			::<math>\log (z_1 z_2) = \ln \| z_1 z_2 \| + i \arg (z_1 z_2) + 2 k \pi i</math>

			:::::<math>\, = \ln \| z_1 \| + \ln \| z_2 \| + i [\arg (z_1) + \arg (z_2) + 2 m \pi] + 2 k \pi i \qquad\qquad</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4\|ZA4]] p.11)

			:::::<math>\, = \ln \| z_1 \| + \ln \| z_2 \| + i \arg (z_1) + i \arg (z_2) + 2 m \pi i + 2 k \pi i + (2 k_1 \pi i + 2 k_2 \pi i - 2 k_1 \pi i - 2 k_2 \pi i)</math>

			:::::<math>\, = [\ln \| z_1 \| + i \arg (z_1) + 2 k_1 \pi i] + [\ln \| z_2 \| + i \arg (z_2) + 2 k_2 \pi i] + 2 m \pi i + 2 k \pi i - 2 k_1 \pi i - 2 k_2 \pi i</math>

			:::::<math>\, = \log (z_1) + \log (z_2) + 2 \pi i (m + k - k_1 - k_2)</math>

			Zatem wzór

			::<math>\log (z_1 z_2) = \log (z_1) + \log (z_2)</math>

			jest prawdziwy z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi i</math>.

			Pokazaliśmy tym samym, że wzory

			::<math>\log (z_1 z_2) = \log (z_1) + \log (z_2)</math>

			::<math>\log \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \log (z_1) - \log (z_2) \qquad\qquad</math> gdzie <math>z_2 \neq 0</math>

			w ogólności nie zachodzą, bo niezależny lub przypadkowy wybór poszczególnych wartości (gałęzi) logarytmu po obu stronach równania nie zapewnia prawdziwości tych wzorów.

			Tylko właściwa interpretacja wypisanych wzorów – jako związku wielowartościowych odwzorowań – pozwala na ich stosowanie (zobacz też dowód p.11 i p.12 twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4\|ZA4]]). Mamy

			:*&emsp;jeżeli <math>\log (z_1)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_1</math>, a <math>\log (z_2)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_2</math>, to suma <math>\log (z_1) + \log (z_2)</math> jest jedną z wartości logarytmu iloczynu <math>z_1 z_2</math>

			:*&emsp;jeżeli <math>\log (z_1 z_2)</math> jest ustaloną wartością logarytmu iloczynu <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie wartości <math>\log (z_1)</math> i <math>\log (z_2)</math>, że <math>\log (z_1 z_2) = \log (z_1) + \log (z_2)</math>

			:*&emsp;jeżeli <math>\log (z_1 z_2)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_1 z_2</math>, a <math>\log (z_1)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_1</math>, to różnica <math>\log (z_1 z_2) - \log (z_1)</math> jest jedną z wartości logarytmu <math>z_2</math>

			Analogicznie dla logarytmu ilorazu liczb zespolonych i różnicy logarytmów tych liczb.

HenrykDabrowski o 15:12, 4 lip 2026

2026-07-04T15:12:42Z

@@ Linia 1156: / Linia 1156: @@
 <span id="ZB37" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie ZB37</span><br/>
-Podaj przykłady, że wzór <math>\operatorname{Log} (w z) = \operatorname{Log} (w) + \operatorname{Log} (z)</math> nie jest prawdziwy.
+Pokazać, że
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-::<math>\operatorname{Log} (- 1 + i) = \ln | - 1 + i | + \operatorname{Arg} (- 1 + i) = \ln \left( \sqrt{2} \right) + {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi = {\small\frac{1}{2}} \ln (2) + {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi</math>
+'''Punkt 1.'''
-Zatem dla prawej strony mamy
+::<math>\operatorname{Log} \left( \sqrt[n]{z} \right) = \ln \left| \sqrt[n]{| z |} \right| + i {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}}</math>
-::<math>\operatorname{Log} (w) + \operatorname{Log} (z) = \left( {\small\frac{1}{2}} \cdot i \pi \right) + \left( {\small\frac{1}{2}} \ln (2) + {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi \right) = {\small\frac{1}{2}} \ln (2) + {\small\frac{5}{4}} \cdot i \pi</math>
+:::::<math>\:\! = {\small\frac{1}{n}} \cdot \ln | z | + i {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}}</math>
-A dla lewej strony otrzymujemy
+:::::<math>\:\! = {\small\frac{1}{n}} \cdot (\ln | z | + i \operatorname{Arg} (z))</math>
-::<math>\operatorname{Log} (w z) = \operatorname{Log} (i (- 1 + i)) = \operatorname{Log} (- 1 - i) = \ln \left( \sqrt{2} \right) - {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi = {\small\frac{1}{2}} \ln (2) - {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi</math>
+:::::<math>\:\! = {\small\frac{1}{n}} \cdot \operatorname{Log} (z)</math>
-Jeszcze prostszym przykładem jest wybór <math>w = z = - 1</math>. Sprawdzenie pozostawiamy Czytelnikowi.<br/>
+Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 13:43, 2 lip 2026

2026-07-02T13:43:49Z

HenrykDabrowski o 13:20, 2 lip 2026

2026-07-02T13:20:49Z

← poprzednia wersja		Wersja z 15:20, 2 lip 2026
Linia 1474:		Linia 1474:
	:   ●      <math>\ln \| 1 + z \| \leqslant \ln (1 + \| z \|) \leqslant \| z \|</math>		:   ●      <math>\ln \| 1 + z \| \leqslant \ln (1 + \| z \|) \leqslant \| z \|</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - \| z \|}} \qquad\qquad\qquad \:\,</math> dla <math>\| z \| < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - \| z \|}} \qquad\qquad\qquad \,\,</math> dla <math>\| z \| < 1</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - r}} \qquad\qquad\qquad\~~quad~~ </math> dla <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - r}} \qquad\qquad\qquad \;\;\: </math> dla <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) - z \| \leqslant {\small\frac{\|z\|^2}{2 (1 - r)}} \qquad\qquad </math> dla <math>\|z\| \leqslant r < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) - z \| \leqslant {\small\frac{\|z\|^2}{2 (1 - r)}} \qquad\qquad </math> dla <math>\|z\| \leqslant r < 1</math>

HenrykDabrowski o 11:55, 2 lip 2026

2026-07-02T11:55:40Z

@@ Linia 1284: / Linia 1284: @@
-<span id="ZB44" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB44</span><br/>
+<span id="ZB44" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie ZB44</span><br/>
 Niech <math>w, w_1, w_2, z, z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> i liczby <math>w, w_1, w_2</math> będą różne od zera. Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>, <math>b \in \mathbb{R}</math> i <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli obliczając potęgi zespolone bierzemy ich wartości główne, to prawdziwe są wzory
@@ Linia 1388: / Linia 1442: @@
-<span id="ZB45" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga ZB45</span><br/>
+<span id="ZB46" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga ZB46</span><br/>
 Możemy traktować zapis <math>e^z</math> (zgodnie z&nbsp;definicją [[#ZB14|ZB14]]) jako szereg
@@ Linia 1411: / Linia 1465: @@
-<span id="ZB46" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB46 (funkcja logarytmiczna)</span><br/>
+<span id="ZB47" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB47 (funkcja logarytmiczna)</span><br/>
 Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>, <math>r \in \mathbb{R}</math>
@@ Linia 1532: / Linia 1586: @@
-<span id="ZB47" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB47 (potęga zespolona)</span><br/>
+<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>
 Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>
@@ Linia 1639: / Linia 1693: @@
-<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga ZB48</span><br/>
+<span id="ZB49" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga ZB49</span><br/>
 Jak pokazaliśmy wyżej, w&nbsp;analizie zespolonej operacje takie jak potęgowanie (<math>w^z</math>) czy logarytmowanie (<math>\log z</math>) są z&nbsp;natury wielowartościowe. Warto jednak wiedzieć, że w&nbsp;większości książek i&nbsp;artykułów naukowych obowiązuje niepisana umowa mająca na celu zapewnienie jednoznaczności. Warto o&nbsp;niej pamiętać, gdyż autorzy rzadko formułują ją wprost:

HenrykDabrowski o 14:41, 1 lip 2026

2026-07-01T14:41:56Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:41, 1 lip 2026
Linia 1535:		Linia 1535:
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\| a^{i x} \| = 1 ~~\qquad~~</math> ~~(tylko dla wartości głównej potęgi)~~		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>

			:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^{i x}) \| = 1</math>

	:   ●      <math>a^z \neq 0</math>		:   ●      <math>a^z \neq 0</math>
Linia 1545:		Linia 1547:
	'''Punkt 1.'''		'''Punkt 1.'''

	~~Dla wartości głównej potęgi zespolonej mamy~~		Zauważmy, że

	::<math>a^{~~i x~~} = ~~e^{~~i ~~x \cdot~~ \operatorname{~~Log~~} (a)}</math>		::<math>\operatorname{Log} (a) = \ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a) = \ln (a)</math>

	~~gdzie~~ <math>\operatorname{~~Log~~} (a)</math> ~~oznacza wartość główną logarytmu~~. ~~Dla liczby rzeczywistej dodatniej~~ <math>a</math> ~~dostajemy~~		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy

	::<math>\| a^{~~i x~~} \| = \| e^{~~i x~~ \cdot \operatorname{Log} (a)} \| = \| e^{~~i x~~ \cdot \ln (a)} \| = 1</math>		::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\bar{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\bar{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>

	~~Podkreślmy, że taki rezultat otrzymujemy jedynie w przypadku wartości głównej potęgi zespolonej <math>a^{i x}</math>. Przypadek ogólny pozostawiamy Czytelnikowi~~.		'''Punkt 2.'''

			Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy

	'''Punkt 2.'''		::<math>\operatorname{PV}(a^{i x}) = e^{i x \operatorname{Log} (a)} = e^{i x (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{i x \ln (a)}</math>

			bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem

			::<math>\| \operatorname{PV}(a^{i x}) \| = \| e^{i x \ln (a)} \| = 1</math>

			Co należało pokazać.

			'''Punkt 3.'''

	Własność ta wynika bezpośrednio z definicji potęgi zespolonej i – co warto podkreślić – nie zależy od wyboru gałęzi logarytmu. W ogólności, dla <math>k</math>-tej gałęzi logarytmu liczby dodatniej <math>a</math>, mamy		Własność ta wynika bezpośrednio z definicji potęgi zespolonej i – co warto podkreślić – nie zależy od wyboru gałęzi logarytmu. W ogólności, dla <math>k</math>-tej gałęzi logarytmu liczby dodatniej <math>a</math>, mamy
Linia 1569:		Linia 1580:


	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 4.'''

	'''A. Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{w \neq 0}</math>		'''A. Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{w \neq 0}</math>
Linia 1581:		Linia 1592:
	::<math>w^z = e^{z \hspace{0.03em} \cdot \hspace{0.015em} \log (w ; k)}</math>		::<math>w^z = e^{z \hspace{0.03em} \cdot \hspace{0.015em} \log (w ; k)}</math>

	Ponieważ iloczyn liczb zespolonych <math>z \cdot \log (w ; k)</math> jest też pewną liczbą zespoloną, to na mocy własności funkcji wykładniczej (zobacz [[#ZB29\|ZB29]] p.&hairsp;1) musi być <math>w^z \neq 0</math>. Widzimy, że wybór gałęzi logarytmu nie ma żadnego wpływu na ten wynik. Jest to ogólna własność ~~funkcji wykładniczej~~ <math>w^z</math>, gdy <math>w \neq 0</math>.		Ponieważ iloczyn liczb zespolonych <math>z \cdot \log (w ; k)</math> jest też pewną liczbą zespoloną, to na mocy własności funkcji wykładniczej (zobacz [[#ZB29\|ZB29]] p.&hairsp;1) musi być <math>w^z \neq 0</math>. Widzimy, że wybór gałęzi logarytmu nie ma żadnego wpływu na ten wynik. Jest to ogólna własność potęgi zespolonej <math>w^z</math>, gdy <math>w \neq 0</math>.

HenrykDabrowski o 09:08, 1 lip 2026

2026-07-01T09:08:52Z

@@ Linia 1315: / Linia 1315: @@
 ::::::<math>\,\, = e^{k \cdot (\ln | w_1 | + \ln | w_2 | + i \operatorname{Arg} (w_1 w_2))}</math>
-Oczywiście argument iloczynu liczb zespolonych jest sumą argumentów tych liczb, ale możemy napisać tylko tak
+Wiemy, że (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4|ZA4]] p.13)
 ::<math>\operatorname{Arg} (w_1 w_2) = \operatorname{Arg} (w_1) + \operatorname{Arg} (w_2) + m \cdot 2 \pi \;,\qquad</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

HenrykDabrowski o 14:14, 18 cze 2026

2026-06-18T14:14:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:14, 18 cze 2026
Linia 1642:		Linia 1642:
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}



			<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga ZB48</span><br/>
			Jak pokazaliśmy wyżej, w analizie zespolonej operacje takie jak potęgowanie (<math>w^z</math>) czy logarytmowanie (<math>\log z</math>) są z natury wielowartościowe. Warto jednak wiedzieć, że w większości książek i artykułów naukowych obowiązuje niepisana umowa mająca na celu zapewnienie jednoznaczności. Warto o niej pamiętać, gdyż autorzy rzadko formułują ją wprost:

			'''<u>Wartość główna potęgi zespolonej dla podstaw dodatnich</u>'''

			Ilekroć w definicjach funkcji (takich jak funkcja zeta Riemanna <math>\textstyle \sum k^{- z}</math> czy funkcja gamma <math>\textstyle \int t^{z - 1} e^{- t} dt</math>) podstawa potęgi jest liczbą rzeczywistą dodatnią (<math>k, t > 0</math>), to zapis <math>k^z</math>, <math>t^z</math> zawsze oznacza wartość główną potęgi. Definiuje się ją jako <math>t^z = e^{z \ln t}</math>, gdzie <math>\ln t</math> to klasyczny, rzeczywisty logarytm naturalny (<math>\ln : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}</math>).

			'''<u>Rożne oznaczenia logarytmu</u>'''

			W literaturze mamy dwoistość oznaczeń. Część autorów rygorystycznie odróżnia wartość główną logarytmu, pisząc ją wielką literą (<math>\operatorname{Log} z</math>), od operacji wielowartościowej (<math>\log z</math>). Bardzo często jednak – dla uproszczenia zapisu – autorzy używają wyłącznie małej litery (<math>\log z</math> lub <math>\ln z</math>), domyślnie przyjmując wartość główną logarytmu (dla argumentu z przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>).<br/>

			Świadomość tej powszechnej praktyki pozwala uniknąć pozornych sprzeczności: dzięki niej wielowartościowe obiekty analizy zespolonej stają się jednoznacznymi funkcjami, które można bez przeszkód różniczkować i całkować.

← poprzednia wersja		Wersja z 15:20, 2 lip 2026
Linia 1474:		Linia 1474:
	:   ●      <math>\ln \| 1 + z \| \leqslant \ln (1 + \| z \|) \leqslant \| z \|</math>		:   ●      <math>\ln \| 1 + z \| \leqslant \ln (1 + \| z \|) \leqslant \| z \|</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - \| z \|}} \qquad\qquad\qquad \:\,</math> dla <math>\| z \| < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - \| z \|}} \qquad\qquad\qquad \,\,</math> dla <math>\| z \| < 1</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - r}} \qquad\qquad\qquad\~~quad~~ </math> dla <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - r}} \qquad\qquad\qquad \;\;\: </math> dla <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) - z \| \leqslant {\small\frac{\|z\|^2}{2 (1 - r)}} \qquad\qquad </math> dla <math>\|z\| \leqslant r < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) - z \| \leqslant {\small\frac{\|z\|^2}{2 (1 - r)}} \qquad\qquad </math> dla <math>\|z\| \leqslant r < 1</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 15:43, 2 lip 2026
Linia 448:		Linia 448:
	Rozważmy prawą stronę, mamy		Rozważmy prawą stronę, mamy

	::<math>2 \sin \left( {\small\frac{z_1 - z_2}{2}} \right) \cos \left( {\small\frac{z_1 + z_2}{2}} \right) = 2 \cdot {\small\frac{1}{2 i}} \left[ e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (z_1 - z_2)} - e^{- {\~~small~~\frac{i}{2}} (z_1 - z_2)} \right] \cdot {\small\frac{1}{2}} \left[ e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (z_1 + z_2)} + e^{- {\~~small~~\frac{i}{2}} (z_1 + z_2)} \right]</math>		::<math>2 \sin \left( {\small\frac{z_1 - z_2}{2}} \right) \cos \left( {\small\frac{z_1 + z_2}{2}} \right) = 2 \cdot {\small\frac{1}{2 i}} \left[ e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (z_1 - z_2)} - e^{- {\normalsize\frac{i}{2}} (z_1 - z_2)} \right] \cdot {\small\frac{1}{2}} \left[ e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (z_1 + z_2)} + e^{- {\normalsize\frac{i}{2}} (z_1 + z_2)} \right]</math>

	::::::::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2 i}} \left[ e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (z_1 - z_2)} - e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (- z_1 + z_2)} \right] \cdot \left[ e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (z_1 + z_2)} + e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (- z_1 - z_2)} \right]</math>		::::::::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2 i}} \left[ e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (z_1 - z_2)} - e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (- z_1 + z_2)} \right] \cdot \left[ e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (z_1 + z_2)} + e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (- z_1 - z_2)} \right]</math>

	::::::::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2 i}} \left( e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (2 z_1)} + e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (- 2 z_2)} - e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (2 z_2)} - e^{{\~~small~~\frac{i}{2}} (- 2 z_1)} \right)</math>		::::::::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2 i}} \left( e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (2 z_1)} + e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (- 2 z_2)} - e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (2 z_2)} - e^{{\normalsize\frac{i}{2}} (- 2 z_1)} \right)</math>

	::::::::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2 i}} (e^{i z_1} + e^{- i z_2} - e^{i z_2} - e^{- i z_1})</math>		::::::::::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{1}{2 i}} (e^{i z_1} + e^{- i z_2} - e^{i z_2} - e^{- i z_1})</math>
Linia 715:		Linia 715:
	:   ●      <math>1 = e^{2 k \pi i}</math>		:   ●      <math>1 = e^{2 k \pi i}</math>

	:   ●      <math>i = e^{\left( {\~~small~~\frac{\pi}{2}} + 2 k \pi \right) i}</math>		:   ●      <math>i = e^{\left( {\normalsize\frac{\pi}{2}} + 2 k \pi \right) i}</math>

	:   ●      <math>- 1 = e^{(\pi + 2 k \pi) i}</math>		:   ●      <math>- 1 = e^{(\pi + 2 k \pi) i}</math>

	:   ●      <math>- i = e^{\left( {\~~small~~\frac{3 \pi}{2}} + 2 k \pi \right) i}</math>		:   ●      <math>- i = e^{\left( {\normalsize\frac{3 \pi}{2}} + 2 k \pi \right) i}</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
Linia 764:		Linia 764:
	Z drugiego równania mamy <math>x = {\small\frac{\pi}{2}} + 2 k \pi</math>. Liczby te stanowią również rozwiązania drugiego równania. Zatem		Z drugiego równania mamy <math>x = {\small\frac{\pi}{2}} + 2 k \pi</math>. Liczby te stanowią również rozwiązania drugiego równania. Zatem

	::<math>e^{\left( {\~~small~~\frac{\pi}{2}} + 2 k \pi \right) i} = i</math>		::<math>e^{\left( {\normalsize\frac{\pi}{2}} + 2 k \pi \right) i} = i</math>