Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia - Historia wersji

HenrykDabrowski o 10:53, 4 wrz 2026

2026-09-04T10:53:31Z

← poprzednia wersja		Wersja z 12:53, 4 wrz 2026
Linia 1069:		Linia 1069:
	::<math>(r_1 \cdot e^{i \varphi} + r_2 \cdot e^{i \theta}) \cdot (r_1 \cdot e^{- i \varphi} + r_2 \cdot e^{- i \theta}) = (r_1 + r_2)^2</math>		::<math>(r_1 \cdot e^{i \varphi} + r_2 \cdot e^{i \theta}) \cdot (r_1 \cdot e^{- i \varphi} + r_2 \cdot e^{- i \theta}) = (r_1 + r_2)^2</math>

	::<math>r^2_1 + r_1 r_2 \cdot e^{i (\varphi - \theta)} + r_1 r_2 \cdot e^{- i (\varphi - \theta)} + r^2 = r_1^2 + 2 r_1 r_2 + r^2_2</math>		::<math>r^2_1 + r_1 r_2 \cdot e^{i (\varphi - \theta)} + r_1 r_2 \cdot e^{- i (\varphi - \theta)} + r^2_2 = r_1^2 + 2 r_1 r_2 + r^2_2</math>

	::<math>e^{i (\varphi - \theta)} + e^{- i (\varphi - \theta)} = 2</math>		::<math>e^{i (\varphi - \theta)} + e^{- i (\varphi - \theta)} = 2</math>

HenrykDabrowski o 15:34, 3 wrz 2026

2026-09-03T15:34:32Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 17:05, 22 sie 2026

2026-08-22T17:05:02Z

← poprzednia wersja		Wersja z 19:05, 22 sie 2026
Linia 2036:		Linia 2036:
	Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako		Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako

	::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (s (t)) \| \in \mathbb{R}</math>		::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (\gamma (t)) \| \in \mathbb{R}</math>

	gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.		gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.

HenrykDabrowski o 10:28, 5 sie 2026

2026-08-05T10:28:16Z

← poprzednia wersja		Wersja z 12:28, 5 sie 2026
Linia 1556:		Linia 1556:

	<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">		<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
	:   ●      <math>\ln \| z \| = \operatorname{Re}(\~~log~~ (z)) = \operatorname{Re}(\~~operatorname{Log}~~ (z))</math>		:   ●      <math>\ln \| z \| = \operatorname{Re} (\operatorname{Log} (z)) = \operatorname{Re} (\log (z))</math>
	</div>		</div>

			<div style="margin-top: 1.4em; margin-bottom: 1.4em;">
			:   ●      <math>\ln \|z\| \leqslant \| \ln \| z \|\| \leqslant \| \operatorname{Log} (z) \| \leqslant \| \log (z) \| \qquad</math> uwaga: ostatnia nierówność jest prawdziwa pod warunkiem, że <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math>
			</div>

			<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
	:   ●      <math>\ln \| 1 + z \| \leqslant \ln (1 + \| z \|) \leqslant \| z \|</math>		:   ●      <math>\ln \| 1 + z \| \leqslant \ln (1 + \| z \|) \leqslant \| z \|</math>
			</div>

	:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - \| z \|}} \qquad\qquad\qquad \,\,</math> dla <math>\| z \| < 1</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{Log} (1 + z) \| \leqslant {\small\frac{\| z \|}{1 - \| z \|}} \qquad\qquad\qquad \,\,</math> dla <math>\| z \| < 1</math>
Linia 1574:		Linia 1580:

	Z definicji logarytmu zespolonego i z definicji wartości głównej logarytmu zespolonego mamy		Z definicji logarytmu zespolonego i z definicji wartości głównej logarytmu zespolonego mamy

			::<math>\operatorname{Log} (z) = \ln \| z \| + i \cdot \operatorname{Arg} (z)</math>

	::<math>\log (z) = \ln \| z \| + i \cdot \arg (z) + 2 k \pi i</math>		::<math>\log (z) = \ln \| z \| + i \cdot \arg (z) + 2 k \pi i</math>

	::<math>\operatorname{Log} (z) = \ln \| z \| + i ~~\cdot~~ \operatorname{Arg} (z)</math>		Zatem <math>\ln \| z \| = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z)) = \operatorname{Re}(\log (z))</math>.


			'''Punkt 2.'''

			Pierwsza nierówność jest oczywista, bo dla każdej liczby rzeczywistej mamy <math>x \leqslant \| x \|</math>. Druga wynika z punktu pierwszego, bo

			::<math>\| \ln \| z \|\| = \| \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z)) \| \leqslant \bigl\rvert \| \operatorname{Log} (z) \| \bigr\rvert = \| \operatorname{Log} (z) \|</math>

			Ostatnia nierówność jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg} (z) \in (- \pi, \pi]</math>. Aby to pokazać, rozważmy przypadek ogólny: <math>\operatorname{Arg} (z) \in (d, d + 2
			\pi)</math>. Możemy napisać <math>\operatorname{Arg} (z) = d + \alpha</math>, gdzie <math>\alpha \in (0, 2 \pi)</math>. Chcemy, aby <math>\| \operatorname{Log} (z) \| \leqslant \| \log (z) \|</math>, czyli

			::<math>\| \ln \| z \| + i \operatorname{Arg} (z) \| \leqslant \| \ln \| z \| + i \arg (z) \|</math>

			::<math>(\ln \| z \|)^2 + (d + \alpha)^2 \leqslant (\ln \| z \|)^2 + (d + \alpha + 2 k \pi)^2</math>

			::<math>(d + \alpha)^2 \leqslant (d + \alpha)^2 + 4 (d + \alpha) k \pi + 4 k^2 \pi^2</math>

			::<math>- k^2 \pi \leqslant (d + \alpha) k</math>

			Dla <math>k > 0</math>, mamy <math>d + \alpha \geqslant - k \pi</math>. Dla <math>k < 0</math>, otrzymujemy <math>d + \alpha \leqslant - k \pi</math>.

			Dla <math>k = 1</math> i <math>\alpha \longrightarrow 0</math>, dostajemy oszacowanie <math>d \geqslant - \pi</math>, a dla <math>k = - 1</math> i <math>\alpha \longrightarrow 2 \pi</math> mamy <math>d \leqslant - \pi</math>.

	~~Zatem~~ <math>~~\ln \| z \|~~ = \~~operatorname{Re}(\log (z)) = \operatorname{Re}(\operatorname{Log} (z))~~</math>.		Pokazaliśmy, że jedynym możliwym wyborem jest <math>d = - \pi</math>.


	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 3.'''

	Zauważmy, że logarytmy są tutaj zwykłymi logarytmami liczb rzeczywistych. Pierwsza nierówność wynika natychmiast z oszacowania		Zauważmy, że logarytmy są tutaj zwykłymi logarytmami liczb rzeczywistych. Pierwsza nierówność wynika natychmiast z oszacowania
Linia 1603:		Linia 1633:


	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 4.'''

	Korzystamy z rozwinięcia funkcji <math>\operatorname{Log} (1 + z)</math> w szereg, które jest zbieżne dla <math>\| z \| < 1</math>		Korzystamy z rozwinięcia funkcji <math>\operatorname{Log} (1 + z)</math> w szereg, które jest zbieżne dla <math>\| z \| < 1</math>
Linia 1620:		Linia 1650:


	'''Punkt 4.'''		'''Punkt 5.'''

	Oszacowanie wynika wprost z punktu 3. W tym punkcie zakładamy dodatkowo, że <math>z</math> znajduje się wewnątrz domkniętego koła o promieniu <math>r</math>, czyli, że <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>. Z tego założenia wynika, że		Oszacowanie wynika wprost z punktu 3. W tym punkcie zakładamy dodatkowo, że <math>z</math> znajduje się wewnątrz domkniętego koła o promieniu <math>r</math>, czyli, że <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>. Z tego założenia wynika, że
Linia 1635:		Linia 1665:


	'''Punkt 5.'''		'''Punkt 6.'''

	Niech <math>z</math> leży wewnątrz zamkniętego koła o promieniu <math>r < 1</math>, czyli <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>. Korzystamy z rozwinięcia funkcji <math>\operatorname{Log} (1 + z)</math> w szereg, które jest zbieżne dla <math>\| z \| < 1</math>		Niech <math>z</math> leży wewnątrz zamkniętego koła o promieniu <math>r < 1</math>, czyli <math>\| z \| \leqslant r < 1</math>. Korzystamy z rozwinięcia funkcji <math>\operatorname{Log} (1 + z)</math> w szereg, które jest zbieżne dla <math>\| z \| < 1</math>

HenrykDabrowski o 17:04, 3 sie 2026

2026-08-03T17:04:50Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 09:48, 3 sie 2026

2026-08-03T09:48:05Z

HenrykDabrowski o 10:02, 22 lip 2026

2026-07-22T10:02:27Z

← poprzednia wersja		Wersja z 12:02, 22 lip 2026
Linia 1674:		Linia 1674:

	<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>		<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie ZB48 (potęga zespolona)</span><br/>
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C~~}</math>, <math>x \in \mathbb{R~~}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\bar{z}})</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^{~~i x~~}) ~~\| = 1~~</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>

	:   ●      <math>a^z \neq 0</math>		:   ●      <math>a^z \neq 0</math>
Linia 1700:		Linia 1700:
	Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy		Z definicji wartości głównej potęgi zespolonej mamy

	::<math>\operatorname{PV}(a^~~{i x}~~) = e^{~~i x~~ \operatorname{Log} (a)} = e^{~~i x~~ (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{~~i x~~ \ln (a)}</math>		::<math>\operatorname{PV}(a^z) = e^{z \operatorname{Log} (a)} = e^{z (\ln \| a \| + i \operatorname{Arg} (a))} = e^{z \ln (a)}</math>

	bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. ~~Zatem~~		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Niech <math>z = x + i y</math>. Otrzymujemy

	::<math>\| \operatorname{PV}(a^{i x}) \| = \| e^{i x \ln (a)} \| = 1</math>		::<math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = \| e^{z \ln (a)} \| = \| e^{(x + i y) \ln (a)} \| = \| e^{x \cdot \ln (a) + i y \cdot \ln (a)} \| = e^{x \cdot \ln (a)} = a^x = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>

	Co należało pokazać.		(zobacz [[#ZB25\|ZB25]] p.1). Co należało pokazać.

	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

HenrykDabrowski o 15:29, 9 lip 2026

2026-07-09T15:29:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:29, 9 lip 2026
Linia 1373:		Linia 1373:
	Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że dla <math>z \neq 0</math> funkcje		Niech <math>z \in \mathbb{C}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że dla <math>z \neq 0</math> funkcje

	:*&emsp; <math>\sqrt[n]{z}</math> ~~(funkcja określona wzorem de Moivre'a~~ - ~~zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]])~~		:*&emsp;<math>z^{1 / n} = \sqrt[n]{\| z \|} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \qquad\qquad</math> gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>

	:*&emsp; <math>z^{1 / n}</math> ~~(funkcja zdefiniowana jako potęga zespolona)~~		:*&emsp;<math>z^{1 / n} = e^{\log (z) / n}</math>

	mają dokładnie takie same zbiory wartości.		mają dokładnie takie same zbiory wartości.
Linia 1382:		Linia 1382:
	Przedstawmy <math>z</math> w postaci wykładniczej: <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>, gdzie <math>r = \|z\| > 0</math> oraz <math>\varphi = \arg (z)</math>. Podany w zadaniu [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]] wzór możemy zapisać w postaci (zobacz [[#ZB18\|ZB18]])		Przedstawmy <math>z</math> w postaci wykładniczej: <math>z = r \cdot e^{i \varphi}</math>, gdzie <math>r = \|z\| > 0</math> oraz <math>\varphi = \arg (z)</math>. Podany w zadaniu [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA7\|ZA7]] wzór możemy zapisać w postaci (zobacz [[#ZB18\|ZB18]])

	::<math>~~\sqrt[~~n~~]{z~~} = r^{1 / n} \cdot e^{i \tfrac{\varphi + 2 k \pi}{n}}</math>		::<math>z^{1 / n} = r^{1 / n} \cdot e^{i \tfrac{\varphi + 2 k \pi}{n}}</math>

	gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>.		gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>.


	Z definicji logarytmu zespolonego mamy		Z definicji logarytmu zespolonego mamy

HenrykDabrowski o 09:46, 5 lip 2026

2026-07-05T09:46:51Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:46, 5 lip 2026
Linia 1152:		Linia 1152:

	::<math>e^{\operatorname{Log} (z)} = e^{\ln \| z \| + i \operatorname{Arg} (z)} = e^{\ln \| z \|} e^{i \operatorname{Arg} (z)} = \| z \| \cdot e^{i \operatorname{Arg} (z)} = z</math>		::<math>e^{\operatorname{Log} (z)} = e^{\ln \| z \| + i \operatorname{Arg} (z)} = e^{\ln \| z \|} e^{i \operatorname{Arg} (z)} = \| z \| \cdot e^{i \operatorname{Arg} (z)} = z</math>


			Z definicji logarytmu

			::<math>\log (z_1 z_2) = \ln \| z_1 z_2 \| + i \arg (z_1 z_2) + 2 k \pi i</math>

			:::::<math>\, = \ln \| z_1 \| + \ln \| z_2 \| + i [\arg (z_1) + \arg (z_2) + 2 m \pi] + 2 k \pi i \qquad\qquad</math> (zobacz [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4\|ZA4]] p.11)

			:::::<math>\, = \ln \| z_1 \| + \ln \| z_2 \| + i \arg (z_1) + i \arg (z_2) + 2 m \pi i + 2 k \pi i + (2 k_1 \pi i + 2 k_2 \pi i - 2 k_1 \pi i - 2 k_2 \pi i)</math>

			:::::<math>\, = [\ln \| z_1 \| + i \arg (z_1) + 2 k_1 \pi i] + [\ln \| z_2 \| + i \arg (z_2) + 2 k_2 \pi i] + 2 m \pi i + 2 k \pi i - 2 k_1 \pi i - 2 k_2 \pi i</math>

			:::::<math>\, = \log (z_1) + \log (z_2) + 2 \pi i (m + k - k_1 - k_2)</math>

			Zatem wzór

			::<math>\log (z_1 z_2) = \log (z_1) + \log (z_2)</math>

			jest prawdziwy z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi i</math>.

			Pokazaliśmy tym samym, że wzory

			::<math>\log (z_1 z_2) = \log (z_1) + \log (z_2)</math>

			::<math>\log \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \log (z_1) - \log (z_2) \qquad\qquad</math> gdzie <math>z_2 \neq 0</math>

			w ogólności nie zachodzą, bo niezależny lub przypadkowy wybór poszczególnych wartości (gałęzi) logarytmu po obu stronach równania nie zapewnia prawdziwości tych wzorów.

			Tylko właściwa interpretacja wypisanych wzorów – jako związku wielowartościowych odwzorowań – pozwala na ich stosowanie (zobacz też dowód p.11 i p.12 twierdzenia [[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych#ZA4\|ZA4]]). Mamy

			:*&emsp;jeżeli <math>\log (z_1)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_1</math>, a <math>\log (z_2)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_2</math>, to suma <math>\log (z_1) + \log (z_2)</math> jest jedną z wartości logarytmu iloczynu <math>z_1 z_2</math>

			:*&emsp;jeżeli <math>\log (z_1 z_2)</math> jest ustaloną wartością logarytmu iloczynu <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie wartości <math>\log (z_1)</math> i <math>\log (z_2)</math>, że <math>\log (z_1 z_2) = \log (z_1) + \log (z_2)</math>

			:*&emsp;jeżeli <math>\log (z_1 z_2)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_1 z_2</math>, a <math>\log (z_1)</math> jest ustaloną wartością logarytmu <math>z_1</math>, to różnica <math>\log (z_1 z_2) - \log (z_1)</math> jest jedną z wartości logarytmu <math>z_2</math>

			Analogicznie dla logarytmu ilorazu liczb zespolonych i różnicy logarytmów tych liczb.

HenrykDabrowski o 15:12, 4 lip 2026

2026-07-04T15:12:42Z

@@ Linia 1156: / Linia 1156: @@
 <span id="ZB37" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie ZB37</span><br/>
-Podaj przykłady, że wzór <math>\operatorname{Log} (w z) = \operatorname{Log} (w) + \operatorname{Log} (z)</math> nie jest prawdziwy.
+Pokazać, że
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-::<math>\operatorname{Log} (- 1 + i) = \ln | - 1 + i | + \operatorname{Arg} (- 1 + i) = \ln \left( \sqrt{2} \right) + {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi = {\small\frac{1}{2}} \ln (2) + {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi</math>
+'''Punkt 1.'''
-Zatem dla prawej strony mamy
+::<math>\operatorname{Log} \left( \sqrt[n]{z} \right) = \ln \left| \sqrt[n]{| z |} \right| + i {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}}</math>
-::<math>\operatorname{Log} (w) + \operatorname{Log} (z) = \left( {\small\frac{1}{2}} \cdot i \pi \right) + \left( {\small\frac{1}{2}} \ln (2) + {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi \right) = {\small\frac{1}{2}} \ln (2) + {\small\frac{5}{4}} \cdot i \pi</math>
+:::::<math>\:\! = {\small\frac{1}{n}} \cdot \ln | z | + i {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}}</math>
-A dla lewej strony otrzymujemy
+:::::<math>\:\! = {\small\frac{1}{n}} \cdot (\ln | z | + i \operatorname{Arg} (z))</math>
-::<math>\operatorname{Log} (w z) = \operatorname{Log} (i (- 1 + i)) = \operatorname{Log} (- 1 - i) = \ln \left( \sqrt{2} \right) - {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi = {\small\frac{1}{2}} \ln (2) - {\small\frac{3}{4}} \cdot i \pi</math>
+:::::<math>\:\! = {\small\frac{1}{n}} \cdot \operatorname{Log} (z)</math>
-Jeszcze prostszym przykładem jest wybór <math>w = z = - 1</math>. Sprawdzenie pozostawiamy Czytelnikowi.<br/>
+Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}

← poprzednia wersja		Wersja z 19:05, 22 sie 2026
Linia 2036:		Linia 2036:
	Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako		Wiemy, że granica w sensie zespolonym oznacza możliwość zdążania punktu <math>z</math> do punktu <math>z_0</math> wzdłuż nieskończonej liczby dróg. Nie zmniejszając ogólności, a jedynie dla ustalenia uwagi, wyobraźmy sobie pewną drogę i oznaczmy ją grecką literą <math>\gamma = \gamma (t)</math>, gdzie zapis <math>\gamma (t)</math> oznacza dowolną parametryzację rozważanej krzywej <math>\gamma .</math> Jeśli tak, to funkcje <math>\| f \|</math> i <math>\| g \|</math> możemy traktować jako funkcje zmiennej rzeczywistej <math>t</math>, które poszczególnym punktom obranej drogi <math>\gamma = \gamma (t)</math> przypisują wartości rzeczywiste, co w skrócie zapisujemy jako

	::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (s (t)) \| \in \mathbb{R}</math>		::<math>\| f \| : [a, b] \ni t \mapsto \| f (\gamma (t)) \| \in \mathbb{R}</math>

	gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.		gdzie <math>[a, b] \subset \mathbb{R}</math> jest przedziałem zmienności parametru <math>t</math> i podobnie dla funkcji <math>\| g \|</math>.

← poprzednia wersja		Wersja z 11:48, 3 sie 2026
Linia 257:		Linia 257:
	Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że		Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że

	:   ●      <math>\overline{\exp (z)} = \exp (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\exp (z)} = \exp (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\sin (z)} = \sin (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\sin (z)} = \sin (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\cos (z)} = \cos (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\cos (z)} = \cos (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\sinh (z)} = \sinh (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\sinh (z)} = \sinh (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\cosh (z)} = \cosh (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\cosh (z)} = \cosh (\overline{z})</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Ponieważ funkcje <math>\exp (z)</math>, <math>\sin (z)</math>, <math>\cos (z)</math>, <math>\sinh (z)</math>, <math>\cosh (z)</math> są definiowane przez szeregi potęgowe o współczynnikach rzeczywistych, to łatwo widzimy, że		Ponieważ funkcje <math>\exp (z)</math>, <math>\sin (z)</math>, <math>\cos (z)</math>, <math>\sinh (z)</math>, <math>\cosh (z)</math> są definiowane przez szeregi potęgowe o współczynnikach rzeczywistych, to łatwo widzimy, że

	::<math>\overline{\exp (z)} = \overline{\left( \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{z^n}{n!}} \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{(z^n)}}{\overline{(n!)}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\~~bar~~{z}^n}{n!}} = \exp (\~~bar~~{z})</math>		::<math>\overline{\exp (z)} = \overline{\left( \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{z^n}{n!}} \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{(z^n)}}{\overline{(n!)}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{z}^n}{n!}} = \exp (\overline{z})</math>

	Analogicznie pokazujemy dla pozostałych funkcji.<br/>		Analogicznie pokazujemy dla pozostałych funkcji.<br/>
Linia 1676:		Linia 1676:
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\~~bar~~{z}})</math>		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\overline{z}})</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>
Linia 1694:		Linia 1694:
	bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy

	::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\~~bar~~{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\~~bar~~{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\~~bar~~{z}})</math>		::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\overline{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\overline{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\overline{z}})</math>

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''