Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych - Historia wersji

HenrykDabrowski o 13:45, 4 lip 2026

2026-07-04T13:45:02Z

← poprzednia wersja		Wersja z 15:45, 4 lip 2026
Linia 334:		Linia 334:
	Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać		Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać

	::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( \~~tfrac~~{\varphi + 2 k \pi}{n} \right) + i \sin \left( \~~tfrac~~{\varphi + 2 k \pi}{n} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>		::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

	Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną		Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną

	::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( \~~tfrac~~{\operatorname{Arg} (z)}{n} \right) + i \sin \left( \~~tfrac~~{\operatorname{Arg} (z)}{n} \right) \right]</math>		::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) \right]</math>

	Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.		Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.
Linia 344:		Linia 344:
	Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość		Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość

	::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( \~~tfrac~~{2 k \pi}{n} \right) + i \sin \left( \~~tfrac~~{2 k \pi}{n} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>		::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

HenrykDabrowski o 13:38, 4 lip 2026

2026-07-04T13:38:50Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 16:23, 3 lip 2026

2026-07-03T16:23:28Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 09:50, 3 lip 2026

2026-07-03T09:50:23Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:50, 3 lip 2026
Linia 277:		Linia 277:

	<span id="ZA6" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA6</span><br/>		<span id="ZA6" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA6</span><br/>
	Niech <math>c, z \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli <math>z^n = c</math>, to powiemy, że <math>z</math> jest pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z~~ ~~liczby zespolonej <math>c</math>. ~~Ten~~ z~~ pierwiastków~~, ~~który ma najmniejszy nieujemny argument~~, będziemy nazywali pierwiastkiem głównym.		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>. Jeżeli <math>z^n = w</math>, to powiemy, że <math>z</math> jest pierwiastkiem <math>n</math>-tego stopnia z liczby zespolonej <math>w</math>. Liczbę <math>z</math>, dla której <math>\operatorname{Arg} (z) = {\small\frac{\operatorname{Arg} (w)}{n}}</math>, będziemy nazywali wartością główną pierwiastka lub pierwiastkiem głównym.

HenrykDabrowski o 12:02, 2 lip 2026

2026-07-02T12:02:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 14:02, 2 lip 2026
Linia 284:		Linia 284:
	Pokazać, że ze wzoru de Moivre'a wynika następujący wzór na pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>		Pokazać, że ze wzoru de Moivre'a wynika następujący wzór na pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>

	::<math>z~~^{1 / n~~} = \| z \|~~^{1 / n~~} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right)</math>		::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\| z \|} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right)</math>

	gdzie <math>\varphi = \arg z</math>. Zauważmy, że dla <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math> otrzymujemy <math>n</math> różnych pierwiastków <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>.		gdzie <math>\varphi = \arg z</math>. Zauważmy, że dla <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math> otrzymujemy <math>n</math> różnych pierwiastków <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>.

HenrykDabrowski o 08:52, 1 lip 2026

2026-07-01T08:52:15Z

← poprzednia wersja		Wersja z 10:52, 1 lip 2026
Linia 225:		Linia 225:
	Zatem możliwe są trzy przypadki		Zatem możliwe są trzy przypadki

	:*&emsp; jeżeli <math>- \pi < \operatorname{Arg} (~~w_1~~) + \operatorname{Arg} (~~w_2~~) \leqslant \pi</math>, to suma argumentów tworzy argument główny liczby <math>~~w_1 w_2~~</math> i nie musimy nic robić		:*&emsp; jeżeli <math>- \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant \pi</math>, to suma argumentów tworzy argument główny liczby <math>z_1 z_2</math> i nie musimy nic robić

	:*&emsp; jeżeli <math>\pi < \operatorname{Arg} (~~w_1~~) + \operatorname{Arg} (~~w_2~~) \leqslant 2 \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>~~w_1 w_2~~</math> i musimy od sumy argumentów odjąć <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału		:*&emsp; jeżeli <math>\pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant 2 \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy od sumy argumentów odjąć <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

	:*&emsp; jeżeli <math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (~~w_1~~) + \operatorname{Arg} (~~w_2~~) \leqslant - \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>~~w_1 w_2~~</math> i musimy do sumy argumentów dodać <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału		:*&emsp; jeżeli <math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) \leqslant - \pi</math>, to suma argumentów nie tworzy argumentu głównego liczby <math>z_1 z_2</math> i musimy do sumy argumentów dodać <math>2 \pi</math>, aby argument trafił do właściwego przedziału

	Zbierając, możemy napisać		Zbierając, możemy napisać

	::<math>\operatorname{Arg} (~~w_1 w_2~~) = \operatorname{Arg} (~~w_1~~) + \operatorname{Arg} (~~w_2~~) + m \cdot 2 \pi</math>, gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>		::<math>\operatorname{Arg} (z_1 z_2) = \operatorname{Arg} (z_1) + \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi</math>, gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>

HenrykDabrowski o 08:40, 1 lip 2026

2026-07-01T08:40:37Z

@@ Linia 71: / Linia 71: @@
 ::'''&nbsp;&nbsp;9.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 + \varphi_2))</math>
-::'''10.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>
+::'''10.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad\qquad \;\;\; z_2 \neq 0</math>
-::'''11.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>
+::'''11.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \;\;\,</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)
-::'''12.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\arg \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \arg (z_1) - \arg (z_2)</math>
+::'''12.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\arg \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \arg (z_1) - \arg (z_2) \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> (z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>)
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
@@ Linia 193: / Linia 197: @@
 '''Punkty 11. i 12.'''
-Wzory wynikają natychmiast z punktów 9. i 10. Zauważmy, że odwzorowania <math>\arg (z)</math> nie można zastąpić funkcją <math>\operatorname{Arg} (z)</math>. Ponieważ <math>\arg (z)</math> jest odwzorowaniem wielowartościowym, to, aby ująć precyzyjnie problem, powinniśmy powiedzieć
+Wzory wynikają natychmiast z punktów 9. i 10. Ponieważ <math>\arg (z)</math> jest określony z dokładnością do wielokrotności <math>2 \pi</math>, to równanie
-Jeżeli <math>\arg (z_1)</math> jest argumentem <math>z_1</math>, a <math>\arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_2</math>, to <math>\arg (z_1) + \arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>.
+Jeżeli <math>\arg (z_1)</math> jest argumentem <math>z_1</math> i <math>\arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_2</math>, to <math>\arg (z_1) + \arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>.
 Jeżeli <math>\arg (z_1 z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie <math>\arg (z_1)</math> i <math>\arg (z_2)</math>, że <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>.
-Analogicznie dla ilorazu liczb zespolonych i różnicy ich argumentów. Co należało pokazać.<br/>
+Analogicznie dla ilorazu liczb zespolonych i różnicy ich argumentów.
 &#9633;
 {{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 15:05, 28 cze 2026

2026-06-28T15:05:04Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:05, 28 cze 2026
Linia 72:		Linia 72:

	::'''10.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>		::'''10.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{r_1}{r_2}} (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2)) \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

			::'''11.'''      <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>

			::'''12.'''      <math>\arg \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \arg (z_1) - \arg (z_2)</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 187:		Linia 191:
	:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2))</math>		:::<math>\: = {\small\frac{r_1}{r_2}} \cdot (\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin (\varphi_1 - \varphi_2))</math>

	Co należało pokazać.<br/>		'''Punkty 11. i 12.'''

			Wzory wynikają natychmiast z punktów 9. i 10. Zauważmy, że odwzorowania <math>\arg (z)</math> nie można zastąpić funkcją <math>\operatorname{Arg} (z)</math>. Ponieważ <math>\arg (z)</math> jest odwzorowaniem wielowartościowym, to, aby ująć precyzyjnie problem, powinniśmy powiedzieć

			Jeżeli <math>\arg (z_1)</math> jest argumentem <math>z_1</math>, a <math>\arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_2</math>, to <math>\arg (z_1) + \arg (z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>.

			Jeżeli <math>\arg (z_1 z_2)</math> jest argumentem <math>z_1 z_2</math>, to istnieją takie <math>\arg (z_1)</math> i <math>\arg (z_2)</math>, że <math>\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)</math>.

			Analogicznie dla ilorazu liczb zespolonych i różnicy ich argumentów. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 15:39, 23 maj 2026

2026-05-23T15:39:20Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:39, 23 maj 2026
Linia 1431:		Linia 1431:
	Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.		Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.

	<div style="overflow-x: auto; overflow-y: hidden; max-width: ~~100~~%; width: fit-content; margin-left: 60px;">		<div style="overflow-x: auto; overflow-y: hidden; max-width: 80%; width: fit-content; margin-left: 60px;">
	{\| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin: 0; background-color: white;"		{\| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin: 0; background-color: white; white-space: nowrap;"
	\|-
			\|- style="vertical-align: middle;"
	! <math>\boldsymbol{N}</math>		! <math>\boldsymbol{N}</math>
	\| <math>1</math> \|\| <math>2</math> \|\| <math>6</math> \|\| <math>7</math> \|\| <math>8</math> \|\| <math>106</math> \|\| <math>113</math> \|\| <math>114</math> \|\| <math>33102</math> \|\| <math>33174</math> \|\| <math>33215</math> \|\| <math>52276</math> \|\| <math>66317</math> \|\| <math>90786</math> \|\| <math>99532</math>		\| <math>1</math> \|\| <math>2</math> \|\| <math>6</math> \|\| <math>7</math> \|\| <math>8</math> \|\| <math>106</math> \|\| <math>113</math> \|\| <math>114</math> \|\| <math>33102</math> \|\| <math>33174</math> \|\| <math>33215</math> \|\| <math>52276</math> \|\| <math>66317</math> \|\| <math>90786</math> \|\| <math>99532</math>
	\|- style="vertical-align: middle;"		\|- style="vertical-align: middle;"
	! <math>\boldsymbol{\pi}</math>		! <math>\boldsymbol{\pi}</math>

	\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> \|\| <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math>		\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> \|\| <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math>
	\|}		\|}

HenrykDabrowski o 15:21, 23 maj 2026

2026-05-23T15:21:06Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:21, 23 maj 2026
Linia 1431:		Linia 1431:
	Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.		Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W tabeli mamy tylko takie liczby <math>N</math>, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.

	<div style="~~width~~:~~1250px~~; overflow-x: ~~scroll~~; ~~background~~-~~color~~: ~~white~~; margin-left:~~3.2em~~">		<div style="overflow-x: auto; overflow-y: hidden; max-width: 100%; width: fit-content; margin-left: 60px;">
	{\| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin~~-right~~: ~~auto~~; ~~margin~~-~~top~~: ~~0px~~; ~~margin-bottom: 1px~~"		{\| class="wikitable" style="font-size: 90%; text-align: center; margin: 0; background-color: white;"
	\|-		\|-
	! <math>\boldsymbol{N}</math>		! <math>\boldsymbol{N}</math>
	\| <math>1</math> \|\| <math>2</math> \|\| <math>6</math> \|\| <math>7</math> \|\| <math>8</math> \|\| <math>106</math> \|\| <math>113</math> \|\| <math>114</math> \|\| <math>33102</math> \|\| <math>33174</math> \|\| <math>33215</math> \|\| <math>52276</math> \|\| <math>66317</math> \|\| <math>90786</math> \|\| <math>99532~~</math> \|\| <math>123239</math> \|\| <math>165849</math> \|\| <math>191806</math> \|\| <math>265381</math> \|\| <math>344745</math> \|\| <math>364913~~</math>		\| <math>1</math> \|\| <math>2</math> \|\| <math>6</math> \|\| <math>7</math> \|\| <math>8</math> \|\| <math>106</math> \|\| <math>113</math> \|\| <math>114</math> \|\| <math>33102</math> \|\| <math>33174</math> \|\| <math>33215</math> \|\| <math>52276</math> \|\| <math>66317</math> \|\| <math>90786</math> \|\| <math>99532</math>
	\|-		\|- style="vertical-align: middle;"
	! <math>\boldsymbol{\pi}</math>		! <math>\boldsymbol{\pi}</math>
	\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> \|\| <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math> \|\| <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math> \|\| <math>{\small\frac{312689}{99532}} , {\small\frac{521030}{165849}}</math> \|\| <math>{\small\frac{312689}{99532}}</math> \|\| <math>{\small\frac{312689}{99532}} , {\small\frac{833719}{265381}}</math> \|\| <math>{\small\frac{833719}{265381}}</math> \|\| <math>{\small\frac{833719}{265381}} , {\small\frac{1146408}{364913}}</math>		\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{4}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{9}{16}}</math> \|\| <math>{\small\frac{3}{1}} , {\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}}</math> \|\| <math>{\small\frac{22}{7}} , {\small\frac{333}{106}}</math> \|\| <math>{\small\frac{333}{106}} , {\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}}</math> \|\| <math>{\small\frac{355}{113}} , {\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}}</math> \|\| <math>{\small\frac{103993}{33102}} , {\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}}</math> \|\| <math>{\small\frac{104348}{33215}} , {\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}}</math> \|\| <math>{\small\frac{208341}{66317}} , {\small\frac{312689}{99532}}</math>
	\|}		\|}
	</div>		</div>