https://henryk-dabrowski.pl/index.php?action=history&feed=atom&title=Liczby_zespolone_i_ci%C4%85gi_liczb_zespolonych
Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych - Historia wersji
2026-04-24T19:17:21Z
Historia wersji tej strony wiki
MediaWiki 1.43.6
https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Liczby_zespolone_i_ci%C4%85gi_liczb_zespolonych&diff=878&oldid=prev
HenrykDabrowski o 14:23, 16 kwi 2025
2025-04-16T14:23:27Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Wersja z 16:23, 16 kwi 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l42">Linia 42:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 42:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{cases}</math></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>\end{cases}</math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[0</del>, <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">2 </del>\pi<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">)</del></math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math> <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">i&nbsp;oznaczamy </del><math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(- \pi</ins>, \pi<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">]</ins></math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, co będziemy zapisywali jako </ins><math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Jedyną konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych</ins>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]</div></td></tr>
</table>
HenrykDabrowski
https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Liczby_zespolone_i_ci%C4%85gi_liczb_zespolonych&diff=877&oldid=prev
HenrykDabrowski o 11:42, 6 kwi 2025
2025-04-06T11:42:03Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Wersja z 13:42, 6 kwi 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1427">Linia 1427:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 1427:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W&nbsp;tabeli mamy tylko takie liczby N, dla których nastąpiła zmiana w&nbsp;znalezionych ułamkach.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki <math>{\small\frac{p_N}{q_N}}</math> zmieniają się ze wzrostem liczby <math>N</math>. W&nbsp;tabeli mamy tylko takie liczby <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>N<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math></ins>, dla których nastąpiła zmiana w&nbsp;znalezionych ułamkach.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><div style="width:1250px; overflow-x: scroll; background-color: white; margin-left:3.2em"></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><div style="width:1250px; overflow-x: scroll; background-color: white; margin-left:3.2em"></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1575">Linia 1575:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 1575:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>::<math>0 < g - \{ n m \alpha \} < \varepsilon</math></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>::<math>0 < g - \{ n m \alpha \} < \varepsilon</math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokazaliśmy, że w&nbsp;otoczeniu <math>(g - \varepsilon, g + \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od <math>g</math>. Zatem <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math>. Co należało pokazać.<br/></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Pokazaliśmy, że w&nbsp;otoczeniu <math>(g - \varepsilon, g + \varepsilon)</math> znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu <math>a_n = \{ n \alpha \}</math> różny od <math>g</math>. Zatem <math>g</math> jest punktem skupienia ciągu <math>(\{ n \alpha \})</math> <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(zobacz [[#ZA35|ZA35]])</ins>. Co należało pokazać.<br/></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#9633;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#9633;</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{{\Spoiler}}</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{{\Spoiler}}</div></td></tr>
</table>
HenrykDabrowski
https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Liczby_zespolone_i_ci%C4%85gi_liczb_zespolonych&diff=876&oldid=prev
HenrykDabrowski o 11:31, 6 kwi 2025
2025-04-06T11:31:26Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Wersja z 13:31, 6 kwi 2025</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l44">Linia 44:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 44:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math> i&nbsp;oznaczamy <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math> i&nbsp;oznaczamy <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>::[[File:<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Complex_vector</del>.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>::[[File:<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Complex-vector</ins>.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
</table>
HenrykDabrowski
https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Liczby_zespolone_i_ci%C4%85gi_liczb_zespolonych&diff=875&oldid=prev
HenrykDabrowski: Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">06.04.2025</div> __FORCETOC__ == Liczby zespolone == <span id="ZA1" style="fo…"
2025-04-06T11:29:48Z
<p>Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">06.04.2025</div> __FORCETOC__ == Liczby zespolone == <span id="ZA1" style="fo…"</p>
<a href="https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Liczby_zespolone_i_ci%C4%85gi_liczb_zespolonych&diff=875">Podgląd zmian</a>
HenrykDabrowski