Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych - Historia wersji

HenrykDabrowski o 08:52, 5 wrz 2026

2026-09-05T08:52:24Z

@@ Linia 46: / Linia 46: @@
 Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.
-Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).
+Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>| \operatorname{Log}(z)| \leqslant | \log (z) |</math> jest prawdziwa dla dowolnego <math>z</math> tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48|ZB48]] p.&hairsp;2).
 ::[[File:Complex-vector.svg.png|thumb|300px|none|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]
@@ Linia 82: / Linia 82: @@
 ::'''14.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\operatorname{Arg} \left( {\small\frac{z_1}{z_2}} \right) = \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) + m \cdot 2 \pi \qquad\qquad z_2 \neq 0 \qquad\qquad</math> gdzie <math>m \in \{ - 1, 0, 1 \}</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
@@ Linia 248: / Linia 250: @@
 ::<math>- 2 \pi < \operatorname{Arg} (z_1) - \operatorname{Arg} (z_2) < 2 \pi</math>
-Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.<br/>
+Dalej dowód biegnie analogicznie. Co należało pokazać.
 &#9633;
 {{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 15:32, 3 wrz 2026

2026-09-03T15:32:24Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:32, 3 wrz 2026
Linia 46:		Linia 46:
	Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.		Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.

	Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>\| \operatorname{Log}(z)\| \leqslant \| \log (z) \|</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;2).		Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>\| \operatorname{Log}(z)\| \leqslant \| \log (z) \|</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;2).

	::[[File:Complex-vector.svg.png\|thumb\|300px\|none\|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]		::[[File:Complex-vector.svg.png\|thumb\|300px\|none\|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]

HenrykDabrowski o 08:33, 26 sie 2026

2026-08-26T08:33:57Z

← poprzednia wersja		Wersja z 10:33, 26 sie 2026
Linia 696:		Linia 696:


	<span id="ZA25" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">~~Twierdzenie~~ ZA25</span><br/>		<span id="ZA25" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie ZA25</span><br/>
	Niech <math>(c_n)</math> i <math>(z_n)</math> będą ciągami liczb zespolonych oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z_n = 0</math>. ~~Jeżeli~~ istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek		Niech <math>(c_n)</math> i <math>(z_n)</math> będą ciągami liczb zespolonych oraz <math>\lim_{n \rightarrow \infty} z_n = 0</math>. Pokazać, że jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek <math>\| c_n \| \leqslant \| z_n \|</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>.

	~~::<math>\| c_n \| \leqslant \| z_n \|</math>~~		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}

	~~to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>.~~

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=~~Dowód~~\|Hide=Ukryj ~~dowód~~}}
	Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = \| c_n \|</math> i <math>t_n = \| z_n \|</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz [[#ZA21\|ZA21]] p.2). Z założenia mamy		Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = \| c_n \|</math> i <math>t_n = \| z_n \|</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz [[#ZA21\|ZA21]] p.2). Z założenia mamy

	::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>		::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>

	Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \| c_n \| = 0</math>. Ponownie korzystając z [[#ZA21\|ZA21]] p.2, otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>~~. Co należało pokazać~~.<br/>		Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \| c_n \| = 0</math>. Ponownie korzystając z [[#ZA21\|ZA21]] p.2, otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 16:31, 25 sie 2026

2026-08-25T16:31:14Z

← poprzednia wersja		Wersja z 18:31, 25 sie 2026
Linia 704:		Linia 704:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = \| c_n \|</math> i <math>t_n = \| z_n \|</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz ZA21 p.2). Z założenia mamy		Rozważmy ciągi liczb rzeczywistych <math>r_n = \| c_n \|</math> i <math>t_n = \| z_n \|</math>, gdzie <math>\lim_{n \rightarrow \infty} t_n = 0</math> (zobacz [[#ZA21\|ZA21]] p.2). Z założenia mamy

	::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>		::<math>0 \leqslant r_n \leqslant t_n</math>

	Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \| c_n \| = 0</math>. Ponownie korzystając z ZA21 p.2 otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>. Co należało pokazać.<br/>		Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} r_n = 0</math>, czyli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \| c_n \| = 0</math>. Ponownie korzystając z [[#ZA21\|ZA21]] p.2, otrzymujemy, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0</math>. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 16:21, 25 sie 2026

2026-08-25T16:21:10Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 09:35, 5 sie 2026

2026-08-05T09:35:14Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:35, 5 sie 2026
Linia 44:		Linia 44:
	nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math>, co będziemy zapisywali jako <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.		nazywamy argumentem liczby zespolonej <math>z</math>, co zapisujemy jako <math>\varphi = \arg(z)</math>. Wynika stąd wzór <math>z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)</math>. Jeżeli <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math>, to powiemy, że <math>\varphi</math> jest argumentem głównym liczby zespolonej <math>z</math>, co będziemy zapisywali jako <math>\varphi = \operatorname{Arg}(z)</math>.

	Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. ~~Jedyną~~ konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.		Zauważmy, że moglibyśmy wybrać dowolny przedział o długości <math>2 \pi</math> i powiedzieć, że jeżeli <math>\varphi</math> należy do tego przedziału, to jest argumentem głównym. Innym często spotykanym wyborem jest <math>\varphi \in [0, 2\pi)</math>. Podstawową konsekwencją różnych wyborów jest miejsce, gdzie argument będzie nieciągły. W przypadku, gdy <math>\varphi \in (- \pi, \pi]</math> skok wartości argumentu następuje na ujemnej części osi liczb rzeczywistych i wydaje się, że jest to bardziej wygodne niż w przypadku wyboru <math>\varphi \in [0, 2 \pi)</math>, kiedy to skok wartości argumentu następuje na dodatniej części osi liczb rzeczywistych.

			Inną zaskakującą konsekwencją jest stwierdzenie, że nierówność <math>\| \operatorname{Log}(z)\| \leqslant \| \log (z) \|</math> jest prawdziwa tylko w przypadku, gdy <math>\operatorname{Arg}(z) \in (- \pi, \pi]</math> (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;2).

	::[[File:Complex-vector.svg.png\|thumb\|300px\|none\|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]		::[[File:Complex-vector.svg.png\|thumb\|300px\|none\|Punkt na płaszczyźnie zespolonej]]

HenrykDabrowski o 09:35, 3 sie 2026

2026-08-03T09:35:17Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:35, 3 sie 2026
Linia 8:		Linia 8:

	<span id="ZA1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA1</span><br/>		<span id="ZA1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA1</span><br/>
	Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\~~bar~~{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.		Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\overline{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.


Linia 22:		Linia 22:
	::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>		::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

	::'''4.'''      <math>\overline{(\~~bar~~{z})} = z</math>		::'''4.'''      <math>\overline{(\overline{z})} = z</math>

	::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>		::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>
Linia 28:		Linia 28:
	::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>		::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>

	::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\~~bar~~{z}}}</math>		::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\overline{z}}}</math>

	::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \~~bar~~{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \~~bar~~{z}}{2 i}}</math>		::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \overline{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \overline{z}}{2 i}}</math>


Linia 53:		Linia 53:
	Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy		Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy

	::'''  1.'''      <math>\| \~~bar~~{z} \| = \| z \|</math>		::'''  1.'''      <math>\| \overline{z} \| = \| z \|</math>

	::'''  2.'''      <math>\| \operatorname{Re}(z) \| \leqslant \| z \| \qquad \qquad \| \operatorname{Im}(z) \| \leqslant \| z \|</math>		::'''  2.'''      <math>\| \operatorname{Re}(z) \| \leqslant \| z \| \qquad \qquad \| \operatorname{Im}(z) \| \leqslant \| z \|</math>

	::'''  3.'''      <math>\| z \|^2 = z \~~bar~~{z}</math>		::'''  3.'''      <math>\| z \|^2 = z \overline{z}</math>

	::'''  4.'''      <math>\| z_1 z_2 \| = \| z_1 \| \cdot \| z_2 \|</math>		::'''  4.'''      <math>\| z_1 z_2 \| = \| z_1 \| \cdot \| z_2 \|</math>

HenrykDabrowski o 13:45, 4 lip 2026

2026-07-04T13:45:02Z

← poprzednia wersja		Wersja z 15:45, 4 lip 2026
Linia 334:		Linia 334:
	Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać		Przyjmujemy, że zapis <math>z^{1 / n}</math> oznacza pierwiastki <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>. Formalnie jest to zbiór liczb i powinniśmy napisać

	::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( \~~tfrac~~{\varphi + 2 k \pi}{n} \right) + i \sin \left( \~~tfrac~~{\varphi + 2 k \pi}{n} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>		::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

	Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną		Przyjmujemy też, że zapis <math>\sqrt[n]{z}</math> oznacza wartość główną pierwiastka <math>n</math>-tego stopnia z liczby <math>z</math>, czyli <math>\sqrt[n]{z}</math> jest dobrze określoną (jednowartościową) funkcją zespoloną

	::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( \~~tfrac~~{\operatorname{Arg} (z)}{n} \right) + i \sin \left( \~~tfrac~~{\operatorname{Arg} (z)}{n} \right) \right]</math>		::<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\| z \|} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{\operatorname{Arg} (z)}{n}} \right) \right]</math>

	Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.		Widzimy, że funkcja <math>\sqrt[n]{z}</math> jest uogólnieniem na liczby zespolone funkcji <math>\sqrt[n]{x}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math>, bo dla dodatnich <math>x</math> mamy <math>\operatorname{Arg} (x) = 0</math>.
Linia 344:		Linia 344:
	Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość		Czytelnik łatwo sprawdzi, że zachodzi tożsamość

	::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( \~~tfrac~~{2 k \pi}{n} \right) + i \sin \left( \~~tfrac~~{2 k \pi}{n} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>		::<math>z^{1 / n} = \left\{ \sqrt[n]{z} \cdot \left[ \cos \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{2 k \pi}{n}} \right) \right] \; : \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 \right\}</math>

HenrykDabrowski o 13:38, 4 lip 2026

2026-07-04T13:38:50Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 16:23, 3 lip 2026

2026-07-03T16:23:28Z

Podgląd zmian