Szeregi liczbowe - Historia wersji

HenrykDabrowski o 15:30, 3 wrz 2026

2026-09-03T15:30:21Z

← poprzednia wersja		Wersja z 17:30, 3 wrz 2026
Linia 5826:		Linia 5826:
	gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.		gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

	W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB31~~\|~~ZB31~~]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB33~~\|~~ZB33~~]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.		W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB32\|ZB32]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB34\|ZB34]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

	Mamy		Mamy
Linia 5838:		Linia 5838:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5844:		Linia 5844:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;6		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;6

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

HenrykDabrowski o 16:18, 22 sie 2026

2026-08-22T16:18:00Z

← poprzednia wersja		Wersja z 18:18, 22 sie 2026
Linia 2072:		Linia 2072:
	\|-		\|-
	\| 6.		\| 6.
	\| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{a}}}</math>		\| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\alpha}}}</math>
	\| <math>{\small\frac{1}{x^{a}}}</math>		\| <math>{\small\frac{1}{x^{\alpha}}}</math>
	\| <math>		\| <math>
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\displaystyle \log x & & \text{gdy } a = 1 \\[2ex]		\displaystyle \log x & & \text{gdy } \alpha = 1 \\[2ex]
	\displaystyle {\small\frac{1}{1 - a}} \cdot {\small\frac{1}{x^{a - 1}}} & & \text{gdy } a \neq 1 \\[2ex]		\displaystyle {\small\frac{1}{1 - \alpha}} \cdot {\small\frac{1}{x^{\alpha - 1}}} & & \text{gdy } \alpha \neq 1 \\[2ex]
	\end{cases}		\end{cases}
	</math>		</math>
	\| <math>		\| <math>
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\displaystyle + \infty & & \text{gdy } a = 1 \\[2ex]		\displaystyle + \infty & & \text{gdy } \alpha = 1 \\[2ex]
	\displaystyle 0 & & \text{gdy } a > 1 \\[2ex]		\displaystyle 0 & & \text{gdy } \alpha > 1 \\[2ex]
	\displaystyle + \infty & & \text{gdy } a < 1 \\[2ex]		\displaystyle + \infty & & \text{gdy } 0 < \alpha < 1 \\[2ex]
	\end{cases}		\end{cases}
	</math>		</math>
Linia 2095:		Linia 2095:
	</math>		</math>
	\|}		\|}

			Oczywiście dla <math>\alpha = 0</math> szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^{\alpha}}}</math> jest rozbieżny, bo sumujemy same jedynki. Dla <math>\alpha < 0</math> szereg <math>\sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^\alpha}}</math> jest rozbieżny, bo nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu (zobacz [[#D4\|D4]]).


	Stosując kryterium całkowe, możemy też łatwo pokazać, że szereg		Stosując kryterium całkowe, możemy też łatwo pokazać, że szereg

	::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^a \! k}}</math>		::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^{\alpha} \! k}}</math>

	jest zbieżny dla <math>a > 1</math> i rozbieżny dla <math>a \leqslant 1</math>.		jest zbieżny dla <math>\alpha > 1</math> i rozbieżny dla <math>\alpha \leqslant 1</math>.

HenrykDabrowski o 11:58, 22 sie 2026

2026-08-22T11:58:40Z

@@ Linia 2070: / Linia 2070: @@
 |-
 | 5. || <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}}</math> || <math>{\small\frac{1}{x \log^2 \! x}}</math> || <math>- {\small\frac{1}{\log x}}</math> || <math>0</math> || szereg zbieżny
 |}
-Stosując kryterium całkowe, można łatwo pokazać, że szeregi
+Stosując kryterium całkowe, możemy też łatwo pokazać, że szereg
-::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^a \! k}}</math>
-::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^s \! k}}</math>
+jest zbieżny dla <math>a > 1</math> i&nbsp;rozbieżny dla <math>a \leqslant 1</math>.

HenrykDabrowski o 11:41, 5 sie 2026

2026-08-05T11:41:06Z

← poprzednia wersja		Wersja z 13:41, 5 sie 2026
Linia 5819:		Linia 5819:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;6

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

HenrykDabrowski o 09:50, 3 sie 2026

2026-08-03T09:50:01Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:50, 3 sie 2026
Linia 5761:		Linia 5761:

	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
	:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\~~bar~~{z})</math>		:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\overline{z})</math>
	</div>		</div>

Linia 5841:		Linia 5841:

	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
	:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\~~bar~~{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\~~bar~~{z}}{n}}</math>		:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>
	</div>		</div>

	:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \~~bar~~{z}}}{\~~bar~~{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\~~bar~~{z} / n}}{1 + \frac{\~~bar~~{z}}{n}}</math>		:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \overline{z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\overline{z} / n}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>

	:::<math>\;\;\; = \Gamma (\~~bar~~{z})</math>		:::<math>\;\;\; = \Gamma (\overline{z})</math>

	gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.		gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.

HenrykDabrowski o 08:54, 19 lip 2026

2026-07-19T08:54:51Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 14:49, 11 lip 2026

2026-07-11T14:49:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:49, 11 lip 2026
Linia 100:		Linia 100:
	Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie		Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

	::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>		::<math>S_{2 n} \leqslant S \leqslant S_{2 m - 1}</math>

	~~Zauważmy~~, ~~że ciąg silnie malejący o wyrazach nieujemnych~~ musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to ~~występujące w dowodzie nierówności nieostre możemy zastąpić ostrymi~~, a~~ stąd wynika natychmiast mocniejsze oszacowanie~~. Co należało pokazać.<br/>
			Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym i z założenia ma wyrazy nieujemne, to musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący, a podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> silnie malejący.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy i musi być <math>S_{2 n} < S</math>. Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że dla pewnego <math>n</math> byłoby <math>S_{2 n} \geqslant S</math>. Zatem mielibyśmy

			::<math>S \leqslant S_{2 n} < S_{2 n + 2} < S_{2 n + 4} < \ldots < S_{2 n + 2 k} < \ldots</math>

			Wbrew założeniu, że <math>S</math> jest granicą ciągu <math>(S_{2 n})</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>S < S_{2 m + 1}</math>. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 08:22, 9 lip 2026

2026-07-09T08:22:41Z

← poprzednia wersja		Wersja z 10:22, 9 lip 2026
Linia 87:		Linia 87:
	'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''		'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

	~~Łatwo widzimy~~, że		Zauważmy, że

	::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>		::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

	~~Ponieważ~~ <math>S' = S''</math>, to obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. ~~Jeśli tak, to zgodnie z~~ ~~definicją~~ granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5\|C5]]) ~~możemy powiedzieć~~, że ~~dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>~~		Czyli <math>S' = S''</math>, zatem obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Ponieważ oba podciągi <math>(S_{2 n})</math> i <math>(S_{2 n + 1})</math> wyczerpują wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych <math>(S_n)</math> i zbiegają do tej samej granicy <math>S</math>, to ciąg sum częściowych jest zbieżny do <math>S</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C78\|C78]] i [[Ciągi liczbowe#C79\|C79]]). Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

	~~:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n})</math>~~

	~~:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n + 1})</math>~~

	Zatem w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_n)</math>. Wynika stąd, że ciąg sum częściowych <math>(S_n)</math> jest zbieżny do <math>S</math>. Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

	Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.		Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

HenrykDabrowski o 09:58, 8 lip 2026

2026-07-08T09:58:50Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:58, 8 lip 2026
Linia 40:		Linia 40:
	Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>		Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>
	<span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>		<span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>
	Niech ~~ciąg~~ <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli		Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_k</math> jest zbieżny.<br/>
			Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} a_k</math> będzie sumą częściową tego szeregu, a <math>S</math> niech oznacza sumę tego szeregu. Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

	::<math>~~\underset~~{n \~~rightarrow~~ \~~infty}~~{~~\lim~~} ~~a_n = 0~~</math>		::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

	to ~~szereg~~ <math>~~\underset~~{~~k = 1}{\overset{\infty~~}{~~\sum}} (~~- ~~1)^{k +~~ 1} ~~\cdot a_k~~</math> ~~jest zbieżny~~.		Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym, to oszacowanie można wzmocnić: <math>S_{2 m} < S < S_{2 n - 1}</math>.

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	~~Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci~~

	~~::<math>S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m})</math>~~		'''A. Parzyste sumy częściowe tworzą ciąg rosnący'''

	~~Ponieważ ciąg~~ <math>(~~a_n~~)</math> ~~jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w nawiasie jest liczbą nieujemną~~. ~~Z drugiej strony~~		Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach parzystych <math>(S_{2 n})</math>. Mamy

	::<math>S_{2 m} = ~~a_1 -~~ (~~a_2~~ - ~~a_3~~) - (~~a_4~~ - ~~a_5~~) ~~- \ldots - (a_~~{2 ~~m -~~ 2} - a_{2 ~~m -~~ 1}) {- a_{2 m}~~} < a_1~~</math>		::<math>S_{2 n + 2} - S_{2 n} = (- 1)^{2 n + 3} a_{2 n + 2} + (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} = a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geqslant 0</math>

	~~Zatem dla każdego <math>m</math>~~ ciąg ~~sum częściowych~~ <math>~~S_{2 m}~~</math> jest ~~rosnący i ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C12\|C12]] jest zbieżny, czyli~~		bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

	~~::<math>\lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g</math>~~		'''B. Nieparzyste sumy częściowe tworzą ciąg malejący'''

	~~Pozostaje zbadać sumy częściowe~~ <math>S_{2 m + 1}</math>~~. Rezultat jest natychmiastowy~~		Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach nieparzystych <math>(S_{2 n + 1})</math>

	::<math>~~\lim_~~{~~m \to \infty~~} S_{2 ~~m +~~ 1} = ~~\lim_{m \to \infty}~~ (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) ~~= \lim_~~{~~m \to \infty~~} S_{2 m} ~~+ \lim_~~{~~m \to \infty~~} a_{2 m + 1} ~~= g +~~ 0 ~~= g~~</math>		::<math>S_{2 n + 1} - S_{2 n - 1} = (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} + (- 1)^{2 n + 1} a_{2 n} = - (a_{2 n} - a_{2 n + 1}) \leqslant 0</math>

	Co ~~kończy dowód~~.<br/>		bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

			'''C. Ciągi parzystych i nieparzystych sum częściowych są zbieżne'''

			Ponieważ

			:: <math>S_{2 n + 1} - S_{2 n} = a_{2 n + 1} \geqslant 0</math>

			to <math>S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1}</math>. Łącząc uzyskane wyżej rezultaty, otrzymujemy następujący ciąg nierówności

			::<math>S_2 \leqslant S_4 \leqslant \ldots \leqslant S_{2 n - 2} \leqslant S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1} \leqslant S_{2 n - 3} \leqslant \ldots \leqslant S_3 \leqslant S_1</math>

			Wynika stąd natychmiast, że

			:*&emsp;ciąg parzystych sum częściowych tworzy ciąg rosnący i ograniczony od góry (np. przez <math>S_1</math>)

			:*&emsp;ciąg nieparzystych sum częściowych tworzy ciąg malejący i ograniczony od dołu (np. przez <math>S_2</math>)

			Na mocy twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (zobacz [[Ciągi liczbowe#C12\|C12]] i [[Ciągi liczbowe#C13\|C13]]), oba ciągi mają granice

			::<math>\lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} = S' \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = S''</math>

			'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

			Łatwo widzimy, że

			::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

			Ponieważ <math>S' = S''</math>, to obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Jeśli tak, to zgodnie z definicją granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5\|C5]]) możemy powiedzieć, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>

			:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n})</math>

			:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n + 1})</math>

			Zatem w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_n)</math>. Wynika stąd, że ciąg sum częściowych <math>(S_n)</math> jest zbieżny do <math>S</math>. Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> jest malejący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie schodzą poniżej granicy, czyli <math>S \leqslant S_{2 n + 1}</math>.

			Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

			::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

			Zauważmy, że ciąg silnie malejący o wyrazach nieujemnych musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to występujące w dowodzie nierówności nieostre możemy zastąpić ostrymi, a stąd wynika natychmiast mocniejsze oszacowanie. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 11:58, 2 lip 2026

2026-07-02T11:58:13Z

← poprzednia wersja		Wersja z 13:58, 2 lip 2026
Linia 5767:		Linia 5767:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5773:		Linia 5773:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;5

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 17:30, 3 wrz 2026
Linia 5826:		Linia 5826:
	gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.		gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

	W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB31~~\|~~ZB31~~]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB33~~\|~~ZB33~~]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.		W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB32\|ZB32]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB34\|ZB34]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

	Mamy		Mamy
Linia 5838:		Linia 5838:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5844:		Linia 5844:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB47~~\|~~ZB47~~]] p.&hairsp;6		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB48\|ZB48]] p.&hairsp;6

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 13:41, 5 sie 2026
Linia 5819:		Linia 5819:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;6

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 13:58, 2 lip 2026
Linia 5767:		Linia 5767:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5773:		Linia 5773:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;5

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>