Szeregi liczbowe - Historia wersji

HenrykDabrowski o 08:54, 19 lip 2026

2026-07-19T08:54:51Z

HenrykDabrowski o 14:49, 11 lip 2026

2026-07-11T14:49:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:49, 11 lip 2026
Linia 100:		Linia 100:
	Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie		Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

	::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>		::<math>S_{2 n} \leqslant S \leqslant S_{2 m - 1}</math>

	~~Zauważmy~~, ~~że ciąg silnie malejący o wyrazach nieujemnych~~ musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to ~~występujące w dowodzie nierówności nieostre możemy zastąpić ostrymi~~, a~~ stąd wynika natychmiast mocniejsze oszacowanie~~. Co należało pokazać.<br/>
			Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym i z założenia ma wyrazy nieujemne, to musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący, a podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> silnie malejący.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest silnie rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy i musi być <math>S_{2 n} < S</math>. Przypuśćmy, dla otrzymania sprzeczności, że dla pewnego <math>n</math> byłoby <math>S_{2 n} \geqslant S</math>. Zatem mielibyśmy

			::<math>S \leqslant S_{2 n} < S_{2 n + 2} < S_{2 n + 4} < \ldots < S_{2 n + 2 k} < \ldots</math>

			Wbrew założeniu, że <math>S</math> jest granicą ciągu <math>(S_{2 n})</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>S < S_{2 m + 1}</math>. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 08:22, 9 lip 2026

2026-07-09T08:22:41Z

← poprzednia wersja		Wersja z 10:22, 9 lip 2026
Linia 87:		Linia 87:
	'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''		'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

	~~Łatwo widzimy~~, że		Zauważmy, że

	::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>		::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

	~~Ponieważ~~ <math>S' = S''</math>, to obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. ~~Jeśli tak, to zgodnie z~~ ~~definicją~~ granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5\|C5]]) ~~możemy powiedzieć~~, że ~~dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>~~		Czyli <math>S' = S''</math>, zatem obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Ponieważ oba podciągi <math>(S_{2 n})</math> i <math>(S_{2 n + 1})</math> wyczerpują wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych <math>(S_n)</math> i zbiegają do tej samej granicy <math>S</math>, to ciąg sum częściowych jest zbieżny do <math>S</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C78\|C78]] i [[Ciągi liczbowe#C79\|C79]]). Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

	~~:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n})</math>~~

	~~:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n + 1})</math>~~

	Zatem w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_n)</math>. Wynika stąd, że ciąg sum częściowych <math>(S_n)</math> jest zbieżny do <math>S</math>. Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

	Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.		Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

HenrykDabrowski o 09:58, 8 lip 2026

2026-07-08T09:58:50Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:58, 8 lip 2026
Linia 40:		Linia 40:
	Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>		Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>
	<span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>		<span id="D5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>
	Niech ~~ciąg~~ <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli		Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} a_k</math> jest zbieżny.<br/>
			Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} a_k</math> będzie sumą częściową tego szeregu, a <math>S</math> niech oznacza sumę tego szeregu. Dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

	::<math>~~\underset~~{n \~~rightarrow~~ \~~infty}~~{~~\lim~~} ~~a_n = 0~~</math>		::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

	to ~~szereg~~ <math>~~\underset~~{~~k = 1}{\overset{\infty~~}{~~\sum}} (~~- ~~1)^{k +~~ 1} ~~\cdot a_k~~</math> ~~jest zbieżny~~.		Jeżeli <math>(a_n)</math> jest ciągiem silnie malejącym, to oszacowanie można wzmocnić: <math>S_{2 m} < S < S_{2 n - 1}</math>.

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	~~Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci~~

	~~::<math>S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m})</math>~~		'''A. Parzyste sumy częściowe tworzą ciąg rosnący'''

	~~Ponieważ ciąg~~ <math>(~~a_n~~)</math> ~~jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w nawiasie jest liczbą nieujemną~~. ~~Z drugiej strony~~		Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach parzystych <math>(S_{2 n})</math>. Mamy

	::<math>S_{2 m} = ~~a_1 -~~ (~~a_2~~ - ~~a_3~~) - (~~a_4~~ - ~~a_5~~) ~~- \ldots - (a_~~{2 ~~m -~~ 2} - a_{2 ~~m -~~ 1}) {- a_{2 m}~~} < a_1~~</math>		::<math>S_{2 n + 2} - S_{2 n} = (- 1)^{2 n + 3} a_{2 n + 2} + (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} = a_{2 n + 1} - a_{2 n + 2} \geqslant 0</math>

	~~Zatem dla każdego <math>m</math>~~ ciąg ~~sum częściowych~~ <math>~~S_{2 m}~~</math> jest ~~rosnący i ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C12\|C12]] jest zbieżny, czyli~~		bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

	~~::<math>\lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g</math>~~		'''B. Nieparzyste sumy częściowe tworzą ciąg malejący'''

	~~Pozostaje zbadać sumy częściowe~~ <math>S_{2 m + 1}</math>~~. Rezultat jest natychmiastowy~~		Zbadajmy zachowanie ciągu sum częściowych o indeksach nieparzystych <math>(S_{2 n + 1})</math>

	::<math>~~\lim_~~{~~m \to \infty~~} S_{2 ~~m +~~ 1} = ~~\lim_{m \to \infty}~~ (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) ~~= \lim_~~{~~m \to \infty~~} S_{2 m} ~~+ \lim_~~{~~m \to \infty~~} a_{2 m + 1} ~~= g +~~ 0 ~~= g~~</math>		::<math>S_{2 n + 1} - S_{2 n - 1} = (- 1)^{2 n + 2} a_{2 n + 1} + (- 1)^{2 n + 1} a_{2 n} = - (a_{2 n} - a_{2 n + 1}) \leqslant 0</math>

	Co ~~kończy dowód~~.<br/>		bo z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest malejący.

			'''C. Ciągi parzystych i nieparzystych sum częściowych są zbieżne'''

			Ponieważ

			:: <math>S_{2 n + 1} - S_{2 n} = a_{2 n + 1} \geqslant 0</math>

			to <math>S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1}</math>. Łącząc uzyskane wyżej rezultaty, otrzymujemy następujący ciąg nierówności

			::<math>S_2 \leqslant S_4 \leqslant \ldots \leqslant S_{2 n - 2} \leqslant S_{2 n} \leqslant S_{2 n + 1} \leqslant S_{2 n - 3} \leqslant \ldots \leqslant S_3 \leqslant S_1</math>

			Wynika stąd natychmiast, że

			:*&emsp;ciąg parzystych sum częściowych tworzy ciąg rosnący i ograniczony od góry (np. przez <math>S_1</math>)

			:*&emsp;ciąg nieparzystych sum częściowych tworzy ciąg malejący i ograniczony od dołu (np. przez <math>S_2</math>)

			Na mocy twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (zobacz [[Ciągi liczbowe#C12\|C12]] i [[Ciągi liczbowe#C13\|C13]]), oba ciągi mają granice

			::<math>\lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} = S' \qquad\qquad \text{oraz} \qquad\qquad \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = S''</math>

			'''D. Zbieżność i oszacowanie szeregu'''

			Łatwo widzimy, że

			::<math>S' - S'' = \lim_{n \to \infty} S_{2 n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_{2 n} = \lim_{n \to \infty} (S_{2 n + 1} - S_{2 n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 0</math>

			Ponieważ <math>S' = S''</math>, to obie sumy częściowe zbiegają do tej samej granicy <math>S = S' = S''</math>. Jeśli tak, to zgodnie z definicją granicy (zobacz [[Ciągi liczbowe#C5\|C5]]) możemy powiedzieć, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math>

			:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n})</math>

			:*&emsp;w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_{2 n + 1})</math>

			Zatem w przedziale <math>(S - \varepsilon, S + \varepsilon)</math> znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(S_n)</math>. Wynika stąd, że ciąg sum częściowych <math>(S_n)</math> jest zbieżny do <math>S</math>. Co oznacza, że rozpatrywany szereg jest zbieżny.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n})</math> jest rosnący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie przekraczają granicy, czyli <math>S_{2 n} \leqslant S</math>.

			Ponieważ podciąg <math>(S_{2 n + 1})</math> jest malejący i zbieżny do <math>S</math>, to jego wyrazy nigdy nie schodzą poniżej granicy, czyli <math>S \leqslant S_{2 n + 1}</math>.

			Wynika stąd, że dla dowolnych <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie

			::<math>S_{2 m} \leqslant S \leqslant S_{2 n - 1}</math>

			Zauważmy, że ciąg silnie malejący o wyrazach nieujemnych musi mieć wyrazy dodatnie. Jeśli tak, to występujące w dowodzie nierówności nieostre możemy zastąpić ostrymi, a stąd wynika natychmiast mocniejsze oszacowanie. Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}

HenrykDabrowski o 11:58, 2 lip 2026

2026-07-02T11:58:13Z

← poprzednia wersja		Wersja z 13:58, 2 lip 2026
Linia 5767:		Linia 5767:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5773:		Linia 5773:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;5

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

HenrykDabrowski o 07:35, 20 cze 2026

2026-06-20T07:35:42Z

← poprzednia wersja		Wersja z 09:35, 20 cze 2026
Linia 1101:		Linia 1101:


	Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz [[#D5\|D5]]), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz [[#~~D75~~\|~~D75~~]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać		Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz [[#D5\|D5]]), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz [[#D85\|D85]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać

	::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots</math>		::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots</math>

HenrykDabrowski o 14:49, 18 cze 2026

2026-06-18T14:49:56Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:49, 18 cze 2026
Linia 5712:		Linia 5712:
	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
	:*   <math>\Gamma (z) \neq 0</math>		:*   <math>\Gamma (z) \neq 0</math>
			</div>

			<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
			:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\bar{z})</math>
	</div>		</div>

Linia 5785:		Linia 5789:

	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

			Z definicji iloczynowej Weierstrassa otrzymujemy natychmiast

			::<math>\overline{\Gamma (z)} = \overline{\left( \frac{e^{- \gamma z}}{z} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{z / n}}{1 + \frac{z}{n}} \right)}</math>

			<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
			:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\bar{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\bar{z}}{n}}</math>
			</div>

			:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \bar{z}}}{\bar{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\bar{z} / n}}{1 + \frac{\bar{z}}{n}}</math>

			:::<math>\;\;\; = \Gamma (\bar{z})</math>

			gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.


			'''Punkt 4.'''

	Z definicji Gaussa funkcji <math>\Gamma (z)</math> otrzymujemy		Z definicji Gaussa funkcji <math>\Gamma (z)</math> otrzymujemy
Linia 5805:		Linia 5826:


	'''Punkt 4.'''		'''Punkt 5.'''

	Z definicji iloczynowej Eulera mamy		Z definicji iloczynowej Eulera mamy
Linia 5828:		Linia 5849:


	'''Punkt 5.'''		'''Punkt 6.'''

	Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy		Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy
Linia 5932:		Linia 5953:
	'''Punkt 1.'''		'''Punkt 1.'''

	Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 4. twierdzenia [[#D142\|D142]]		Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 5. twierdzenia [[#D142\|D142]]

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''
Linia 5944:		Linia 5965:
	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

	Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 4. twierdzenia [[#D142\|D142]]		Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 5. twierdzenia [[#D142\|D142]]

	'''Punkt 4.'''		'''Punkt 4.'''
Linia 6002:		Linia 6023:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D142\|D142]] p.&hairsp;4)		Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D142\|D142]] p.&hairsp;5)

	::<math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math>		::<math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math>
Linia 6038:		Linia 6059:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Z twierdzenia [[#D142\|D142]] p.&hairsp;3 wynika, że		Z twierdzenia [[#D142\|D142]] p.&hairsp;4 wynika, że

	::<math>\Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)</math>		::<math>\Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)</math>

HenrykDabrowski o 16:08, 17 cze 2026

2026-06-17T16:08:58Z

← poprzednia wersja		Wersja z 18:08, 17 cze 2026
Linia 5767:		Linia 5767:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\| ~~\leqslant~~</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;5

HenrykDabrowski o 16:01, 17 cze 2026

2026-06-17T16:01:50Z

HenrykDabrowski o 15:07, 16 cze 2026

2026-06-16T15:07:48Z

Podgląd zmian

← poprzednia wersja		Wersja z 13:58, 2 lip 2026
Linia 5767:		Linia 5767:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5773:		Linia 5773:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB46~~\|~~ZB46~~]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB47\|ZB47]] p.&hairsp;5

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 18:01, 17 cze 2026
Linia 5737:		Linia 5737:
	::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} \qquad\qquad \text{dla} \quad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>		::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} \qquad\qquad \text{dla} \quad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

	Zauważmy, że funkcja wykładnicza <math>e^z</math> jest zawsze różna od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB28~~\|~~ZB28~~]] p.&hairsp;1). Mianowniki iloczynu <math>\left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)</math> dla ustalonego <math>z</math> są ograniczone, bo		Zauważmy, że funkcja wykładnicza <math>e^z</math> jest zawsze różna od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29\|ZB29]] p.&hairsp;1). Mianowniki iloczynu <math>\left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)</math> dla ustalonego <math>z</math> są ograniczone, bo

	::<math>\left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \| z \|</math>		::<math>\left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \| z \|</math>
Linia 5751:		Linia 5751:
	gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.		gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

	W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB30~~\|~~ZB30~~]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB32~~\|~~ZB32~~]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.		W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31\|ZB31]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB33\|ZB33]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

	Mamy		Mamy
Linia 5763:		Linia 5763:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB45~~\|~~ZB45~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5769:		Linia 5769:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB45~~\|~~ZB45~~]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;5

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>