Wzór Eulera-Maclaurina - Historia wersji

HenrykDabrowski o 09:47, 31 mar 2026

2026-03-31T09:47:13Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:47, 31 mar 2026
Linia 246:		Linia 246:
	:::::::::<math>\:\, = 0</math>		:::::::::<math>\:\, = 0</math>

	dla <math>n \geqslant 0</math>. Przekształcając, skorzystaliśmy z faktu, że suma jest teleskopowa (zobacz [[Szeregi liczbowe#~~D13~~\|~~D13~~]]). Ponieważ <math>\int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0</math>, to <math>\int_0^1 C d t = C = 0</math>.		dla <math>n \geqslant 0</math>. Przekształcając, skorzystaliśmy z faktu, że suma jest teleskopowa (zobacz [[Szeregi liczbowe#D14\|D14]]). Ponieważ <math>\int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0</math>, to <math>\int_0^1 C d t = C = 0</math>.

	'''Punkt 5.'''		'''Punkt 5.'''

HenrykDabrowski o 16:43, 11 gru 2025

2025-12-11T16:43:50Z

← poprzednia wersja		Wersja z 18:43, 11 gru 2025
Linia 246:		Linia 246:
	:::::::::<math>\:\, = 0</math>		:::::::::<math>\:\, = 0</math>

	dla <math>n \geqslant 0</math>. Przekształcając, skorzystaliśmy z faktu, że suma jest teleskopowa (zobacz [[Szeregi liczbowe#~~D12~~\|~~D12~~]]). Ponieważ <math>\int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0</math>, to <math>\int_0^1 C d t = C = 0</math>.		dla <math>n \geqslant 0</math>. Przekształcając, skorzystaliśmy z faktu, że suma jest teleskopowa (zobacz [[Szeregi liczbowe#D13\|D13]]). Ponieważ <math>\int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0</math>, to <math>\int_0^1 C d t = C = 0</math>.

	'''Punkt 5.'''		'''Punkt 5.'''

HenrykDabrowski o 12:02, 18 lis 2025

2025-11-18T12:02:37Z

← poprzednia wersja		Wersja z 14:02, 18 lis 2025
Linia 2557:		Linia 2557:


	Zatem z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz twierdzenia [[Ciągi liczbowe#~~C10~~\|~~C10~~]] i [[Ciągi liczbowe#C8\|C8]]) dostajemy natychmiast		Zatem z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C11\|C11]] i [[Ciągi liczbowe#C9\|C9]]) dostajemy natychmiast

	::<math>\lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left\| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right\| = \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t = 0</math>		::<math>\lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left\| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right\| = \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t = 0</math>

HenrykDabrowski o 17:30, 16 sty 2025

2025-01-16T17:30:06Z

HenrykDabrowski o 17:15, 16 sty 2025

2025-01-16T17:15:14Z

← poprzednia wersja		Wersja z 19:15, 16 sty 2025
Linia 348:		Linia 348:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Jeżeli we wzorze (zobacz [[#E8\|E8]] p.2)		Jeżeli we wzorze (zobacz [[#E8\|E8]] p. 2)

	::<math>B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x)</math>		::<math>B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x)</math>
Linia 378:		Linia 378:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Ze wzoru [[#E8\|E8]] p.2 mamy		Ze wzoru [[#E8\|E8]] p. 2 mamy

	::<math>\int_{0}^{1 / 2} B_n (x) d x = (- 1)^n \int_{0}^{1 / 2} B_n (1 - x) d x</math>		::<math>\int_{0}^{1 / 2} B_n (x) d x = (- 1)^n \int_{0}^{1 / 2} B_n (1 - x) d x</math>
Linia 408:		Linia 408:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Z definicji [[#E1\|E1]] p.2 mamy		Z definicji [[#E1\|E1]] p. 2 mamy

	::<math>B \left( {\small\frac{1}{2}} \right) - B (0) = n \int_{0}^{1 / 2} B_{n - 1} (t) d t</math>		::<math>B \left( {\small\frac{1}{2}} \right) - B (0) = n \int_{0}^{1 / 2} B_{n - 1} (t) d t</math>

	Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p.6 dostajemy		Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 6 dostajemy

	::<math>B \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = (2^{1 - n} - 1) B_n (0)</math>		::<math>B \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = (2^{1 - n} - 1) B_n (0)</math>
Linia 446:		Linia 446:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p.3 wiemy, że dla <math>k \geqslant 1</math> jest		Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 3 wiemy, że dla <math>k \geqslant 1</math> jest

	::<math>B_{2 k + 1} (0) = B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = B_{2 k + 1} (1) = 0</math>		::<math>B_{2 k + 1} (0) = B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = B_{2 k + 1} (1) = 0</math>
Linia 456:		Linia 456:
	Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>B_{2 k + 1} (x)</math> jest wielomianem Bernoulliego o najmniejszym stopniu nieparzystym <math>2 k + 1</math> mającym pierwiastek <math>r \in [0, 1]</math> różny od <math>0, {\small\frac{1}{2}}, 1</math>.		Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>B_{2 k + 1} (x)</math> jest wielomianem Bernoulliego o najmniejszym stopniu nieparzystym <math>2 k + 1</math> mającym pierwiastek <math>r \in [0, 1]</math> różny od <math>0, {\small\frac{1}{2}}, 1</math>.

	Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p.2 wiemy, że dla <math>n \geqslant 0</math> jest		Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 2 wiemy, że dla <math>n \geqslant 0</math> jest

	::<math>B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x)</math>		::<math>B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x)</math>
Linia 476:		Linia 476:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Łatwo sprawdzamy, że <math>B_0 = 1</math>, <math>B_2 = {\small\frac{1}{6}}</math>, <math>B_4 = - {\small\frac{1}{30}}</math>, <math>B_6 = {\small\frac{1}{42}}</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla pewnego <math>k > 3</math> jest <math>B_{2 k} = B_{2 k} (0) = 0</math>. Zatem z twierdzenia [[#E8\|E8]] p.6 mamy		Łatwo sprawdzamy, że <math>B_0 = 1</math>, <math>B_2 = {\small\frac{1}{6}}</math>, <math>B_4 = - {\small\frac{1}{30}}</math>, <math>B_6 = {\small\frac{1}{42}}</math>. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla pewnego <math>k > 3</math> jest <math>B_{2 k} = B_{2 k} (0) = 0</math>. Zatem z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 6 mamy

	::<math>B_{2 k} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = (2^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k} = 0</math>		::<math>B_{2 k} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = (2^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k} = 0</math>
Linia 487:		Linia 487:

	<span id="E15" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E15</span><br/>		<span id="E15" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie E15</span><br/>
	~~Niech <math>k \in \mathbb{N}_0</math>.~~ Dla wielomianów Bernoulliego <math>B_{2 k} (x) ~~\,</math> i <math>\, x \in [0, 1]~~</math> prawdziwe ~~jest~~ następujące ~~oszacowanie~~		Dla wielomianów Bernoulliego <math>B_{2 k} (x)</math> prawdziwe są następujące oszacowania

	::<math>\| B_{2 k} (x) \| \leqslant \| B_{2 k} \|</math>		:   ●      <math>\| B_{2 k} (x) \| \leqslant \| B_{2 k} \| \qquad</math> gdy <math>x \in [0, 1] \;\;</math> i <math>\;\; k \geqslant 0</math>

			:   ●      <math>\| B_{2 k} (x) \| < \| B_{2 k} \| \qquad</math> gdy <math>x \in (0, 1) \;\;</math> i <math>\;\; k \geqslant 1</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 496:		Linia 498:
	:*   <math>B'_{2 k} (x) = 2 k B_{2 k - 1} (x)</math>		:*   <math>B'_{2 k} (x) = 2 k B_{2 k - 1} (x)</math>

	:*   wielomian <math>B_{2 k - 1} (x)</math> ma dokładnie trzy pierwiastki w przedziale <math>[0, 1]~~</math>~~: ~~<math>~~x = 0</math>, <math>x = {\small\frac{1}{2}} \,</math> oraz <math>\, x = 1</math> (zobacz [[#E13\|E13]])		:*   wielomian <math>B_{2 k - 1} (x)</math> ma dokładnie trzy pierwiastki w przedziale <math>[0, 1] \text{: } \; x = 0</math>, <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math> oraz <math>x = 1 \qquad</math> (zobacz [[#E13\|E13]])

	:*   <math>B''_{2 k} (x) = 2 k (2 k - 1) B_{2 k - 2} (x)</math>		:*   <math>B''_{2 k} (x) = 2 k (2 k - 1) B_{2 k - 2} (x)</math>

	:*   <math>B_{2 k - 2} (0) \neq 0</math>, <math>B_{2 k - 2} (1) \neq 0 \,</math> i <math>\, B_{2 k - 2} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \neq 0</math> (zobacz [[#E14\|E14]], [[#E8\|E8]] p.1 i [[#E8\|E8]] p.6)		:*   <math>B_{2 k - 2} (0) \neq 0</math>, <math>B_{2 k - 2} (1) \neq 0 \,</math> i <math>\, B_{2 k - 2} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \neq 0 \qquad</math> (zobacz [[#E14\|E14]], [[#E8\|E8]] p. 1 i [[#E8\|E8]] p. 6)

			Wynika stąd, że wielomian <math>B_{2 k} (x)</math> ma ekstrema w punktach <math>x = 0, {\small\frac{1}{2}}, 1</math>.

			Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 1 i [[#E8\|E8]] p. 6 otrzymujemy

			::<math>\| B_{2 k} (0) \| = \| B_{2 k} (1) \| = \| B_{2 k} \|</math>

			::<math>\left\| B_{2 k} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \right\| = \| 1 - 2^{1 - 2 k} \| \cdot \| B_{2 k} \| < \| B_{2 k} \|</math>

			Co kończy dowód twierdzenia dla <math>k \geqslant 2</math>. Prawdziwość twierdzenia dla wielomianu <math>B_0 (x) = 1</math> jest oczywista. Wielomian <math>B_2 (x) = x^2 - x + {\small\frac{1}{6}}</math> w punkcie <math>x = {\small\frac{1}{2}}</math> ma minimum równe <math>- {\small\frac{1}{12}}</math>. W punktach <math>x = 0 \,</math> i <math>\, x = 1</math> mamy

			::<math>B_2 (0) = B_2 (1) = B_2 = {\small\frac{1}{6}}</math>

	~~Zatem wielomian <math>B_{2 k} (x)</math> ma ekstrema w punktach <math>x = 0, {\small\frac{1}{2}}, 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>B_{2 k} (0) = B_{2 k} (1) = B_{2 k} \,</math>~~ i ~~<math>\, B_{2 k} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = (2^{1 - 2 k} - 1) B_{2 k}</math>. Wynika stąd, że~~ wartości funkcji <math>\| ~~B_{2 k}~~ (x) \|</math> nie przekraczają liczby <math>\| B_{2 k} \|</math>. Prawdziwość twierdzenia dla wielomianu <math>B_0 (x) = 1</math> jest oczywista, a dla wielomianu <math>B_2 (x) = x^2 - x + {\small\frac{1}{6}}</math> łatwo sprawdzamy ją bezpośrednio, znajdując minimum funkcji <math>B_2 (x)</math> i wartości <math>B_2 (x)</math> w ~~punktach~~ <math>~~x =~~ 0 ~~\,</math> i <math>\~~, ~~x =~~ 1</math> (zobacz [https://www.wolframalpha.com/input?i=B_2%28x%29 WolframAlphaB2]). Co ~~kończy dowód~~.<br/>		i są to największe wartości funkcji <math>\| B_2 (x) \|</math> w przedziale <math>[0, 1]</math> (zobacz [https://www.wolframalpha.com/input?i=B_2%28x%29 WolframAlphaB2]). Co należało pokazać.<br/>
	□		□
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}
Linia 647:		Linia 661:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p.3 wiemy, że dla nieparzystych <math>n \geqslant 3</math> jest <math>B_n (0) = B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = 0</math>.		Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 3 wiemy, że dla nieparzystych <math>n \geqslant 3</math> jest <math>B_n (0) = B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = 0</math>.

	Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p.6 wiemy, że <math>B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - (1 - 2^{1 - n}) B_n (0)</math>. Zatem dla parzystych <math>n \geqslant 2</math> liczby <math>B_n (0) \,</math> i <math>\, B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right)</math> mają różne znaki (zobacz [[#E14\|E14]]).		Z twierdzenia [[#E8\|E8]] p. 6 wiemy, że <math>B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - (1 - 2^{1 - n}) B_n (0)</math>. Zatem dla parzystych <math>n \geqslant 2</math> liczby <math>B_n (0) \,</math> i <math>\, B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right)</math> mają różne znaki (zobacz [[#E14\|E14]]).

	W zadaniu [[#E2\|E2]] pokazaliśmy, że		W zadaniu [[#E2\|E2]] pokazaliśmy, że

HenrykDabrowski o 17:12, 9 sty 2025

2025-01-09T17:12:04Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 18:29, 1 sty 2025

2025-01-01T18:29:44Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 11:54, 28 gru 2024

2024-12-28T11:54:37Z

Podgląd zmian

HenrykDabrowski o 10:32, 28 gru 2024

2024-12-28T10:32:49Z

← poprzednia wersja		Wersja z 12:32, 28 gru 2024
Linia 2396:		Linia 2396:
	<span style="font-size: 90%; color:black;">DLog(26, 10^8) = 7.1305293508389973644228947613613744962 10^(-186)</span>		<span style="font-size: 90%; color:black;">DLog(26, 10^8) = 7.1305293508389973644228947613613744962 10^(-186)</span>

	trwało ponad pół minuty. Zobacz też [https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%5Bd%~~5E29~~%2Fdx%~~5E35~~+1%2Flog%28x%29+%2C++x+-%3E+1.0+*+10%5E8%5D WolframAlpha]		trwało ponad pół minuty. Zobacz też [https://www.wolframalpha.com/input?i=Limit+%5Bd%5E26%2Fdx%5E26+1%2Flog%28x%29+%2C++x+-%3E+1.0+*+10%5E8%5D WolframAlpha]

HenrykDabrowski o 09:28, 23 gru 2024

2024-12-23T09:28:24Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:28, 23 gru 2024
Linia 458:		Linia 458:
	\| <math>11</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 0.132496658444</math> \|\| <math>0.132496658444</math>		\| <math>11</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 0.132496658444</math> \|\| <math>0.132496658444</math>
	\|-		\|-
	\| <math>12</math> \|\| <math>\tfrac{691}{2730}</math> \|\| <math>- 0.253113553113</math> \|\| <math>0.252989962511</math>		\| <math>12</math> \|\| <math>- \tfrac{691}{2730}</math> \|\| <math>- 0.253113553113</math> \|\| <math>0.252989962511</math>
	\|-		\|-
	\| <math>13</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 0.523566395739</math> \|\| <math>0.523566395739</math>		\| <math>13</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 0.523566395739</math> \|\| <math>0.523566395739</math>
Linia 466:		Linia 466:
	\| <math>15</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 2.785040736728</math> \|\| <math>2.785040736728</math>		\| <math>15</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 2.785040736728</math> \|\| <math>2.785040736728</math>
	\|-		\|-
	\| <math>16</math> \|\| <math>\tfrac{3617}{510}</math> \|\| <math>- 7.092156862745</math> \|\| <math>7.091940427293</math>		\| <math>16</math> \|\| <math>- \tfrac{3617}{510}</math> \|\| <math>- 7.092156862745</math> \|\| <math>7.091940427293</math>
	\|-		\|-
	\| <math>17</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 19.18848758233</math> \|\| <math>19.18848758233</math>		\| <math>17</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 19.18848758233</math> \|\| <math>19.18848758233</math>
Linia 474:		Linia 474:
	\| <math>19</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 166.2291245655</math> \|\| <math>166.2291245655</math>		\| <math>19</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>- 166.2291245655</math> \|\| <math>166.2291245655</math>
	\|-		\|-
	\| <math>20</math> \|\| <math>\tfrac{174611}{330}</math> \|\| <math>- 529.1242424242</math> \|\| <math>529.1232331998</math>		\| <math>20</math> \|\| <math>- \tfrac{174611}{330}</math> \|\| <math>- 529.1242424242</math> \|\| <math>529.1232331998</math>
	\|}		\|}
	<br/>		<br/>

← poprzednia wersja		Wersja z 19:30, 16 sty 2025
Linia 525:		Linia 525:
	Załóżmy, że funkcja rzeczywista <math>f(x)</math> jest ciągła w przedziale <math>[a, b]</math> i różniczkowalna w przedziale <math>(a, b)</math>. Jeżeli		Załóżmy, że funkcja rzeczywista <math>f(x)</math> jest ciągła w przedziale <math>[a, b]</math> i różniczkowalna w przedziale <math>(a, b)</math>. Jeżeli

	:*   <math>f' (x) > 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie rosnąca w przedziale <math>[a, b]</math>		:   ●      <math>f' (x) > 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie rosnąca w przedziale <math>[a, b]</math>

	:*   <math>f' (x) < 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie malejąca w przedziale <math>[a, b]</math>		:   ●      <math>f' (x) < 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie malejąca w przedziale <math>[a, b]</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 563:		Linia 563:
	Załóżmy, że funkcja rzeczywista <math>f(x)</math> jest ciągła i różniczkowalna w przedziale <math>(a, b)</math>. Jeżeli		Załóżmy, że funkcja rzeczywista <math>f(x)</math> jest ciągła i różniczkowalna w przedziale <math>(a, b)</math>. Jeżeli

	:*   <math>f' (x) > 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie rosnąca w przedziale <math>(a, b)</math>		:   ●      <math>f' (x) > 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie rosnąca w przedziale <math>(a, b)</math>

	:*   <math>f' (x) < 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie malejąca w przedziale <math>(a, b)</math>		:   ●      <math>f' (x) < 0 \,</math> dla <math>\, x \in (a, b)</math>, to <math>f(x)</math> jest silnie malejąca w przedziale <math>(a, b)</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
Linia 605:		Linia 605:
	Załóżmy, że funkcja rzeczywista <math>f(t)</math> jest ciągła w przedziale <math>[a, b]</math> i dwukrotnie różniczkowalna w przedziale <math>(a, b)</math>. Jeżeli		Załóżmy, że funkcja rzeczywista <math>f(t)</math> jest ciągła w przedziale <math>[a, b]</math> i dwukrotnie różniczkowalna w przedziale <math>(a, b)</math>. Jeżeli

	:*   <math>f'' (t) > 0</math>  (odpowiednio: <math>f'' (t) < 0</math>)  dla <math>t \in (a, b)</math>		:   ●      <math>f'' (t) > 0</math>  (odpowiednio: <math>f'' (t) < 0</math>)  dla <math>t \in (a, b)</math>

	:*   <math>A = (a, f (a)) \qquad \text{i} \qquad B = (b, f (b))</math>		:   ●      <math>A = (a, f (a)) \qquad \text{i} \qquad B = (b, f (b))</math>

	to dowolny punkt wykresu funkcji <math>f(t)</math>, gdzie <math>t \in (a, b)</math>, leży poniżej  (odpowiednio: powyżej)  odcinka (cięciwy) <math>A B</math>.		to dowolny punkt wykresu funkcji <math>f(t)</math>, gdzie <math>t \in (a, b)</math>, leży poniżej  (odpowiednio: powyżej)  odcinka (cięciwy) <math>A B</math>.
Linia 782:		Linia 782:
	Niech <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że prawdziwe są następujące właściwości liczb Bernoulliego		Niech <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że prawdziwe są następujące właściwości liczb Bernoulliego

	:*   <math>B_{4 k} < 0</math>		:   ●      <math>B_{4 k} < 0</math>

	:*   <math>B_{4 k + 2} > 0 \qquad </math> dla <math>\; k \geqslant 0</math>		:   ●      <math>B_{4 k + 2} > 0 \qquad </math> dla <math>\; k \geqslant 0</math>

	:*   <math>{\small\frac{B_{2 k + 2}}{B_{2 k}}} < 0</math>		:   ●      <math>{\small\frac{B_{2 k + 2}}{B_{2 k}}} < 0</math>

	:*   <math>\| B_{2 k} \| = (- 1)^{k + 1} B_{2 k}</math>		:   ●      <math>\| B_{2 k} \| = (- 1)^{k + 1} B_{2 k}</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}