Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:58, 31 maj 2024

12.03.2022

Ciągi nieskończone

Definicja C1
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli każdej liczbie [math]\displaystyle{ n }[/math] przypiszemy pewną liczbę rzeczywistą [math]\displaystyle{ a_n }[/math], to powiemy, że liczby [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots }[/math] tworzą ciąg nieskończony.

Uwaga C2
Ciąg nieskończony [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots }[/math] będziemy oznaczać [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]. Często, o ile nie będzie prowadziło to do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywać po prostu ciągiem.

Definicja C3
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będziemy nazywali

ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \geqslant a_n }[/math]
ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \leqslant a_n }[/math]

Ciągi rosnące dzielimy na

ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \gt a_n }[/math]
ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = a_n }[/math]

Ciągi malejące dzielimy na

ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \lt a_n }[/math]
ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = a_n }[/math]

Definicja C4
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ a }[/math] będziemy nazywali granicą ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math] znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] (to znaczy wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością).

Uwaga C5
1) sens definicji jest taki: jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest granicą ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], to dla dowolnie małego [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], poza przedziałem [math]\displaystyle{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math] może się znaleźć co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]

2) słabsze żądanie, aby w przedziale [math]\displaystyle{ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math] znajdowała się nieskończona ilość wyrazów ciągu nie prowadzi do poprawnej definicji granicy. Przykładowo, w przedziale [math]\displaystyle{ (1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon) }[/math] znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ a_n = (-1)^n }[/math], ale ani liczba [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ani liczba [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] nie są granicami tego ciągu. O ciągu [math]\displaystyle{ a_n = (- 1)^n }[/math] mówimy, że nie ma granicy.

3) ze względu na równoważność warunków

[math]\displaystyle{ \quad a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad a - \varepsilon \lt a_n \lt a + \varepsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad - \varepsilon \lt a_n - a \lt \varepsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad | a_n - a | \lt \varepsilon }[/math]

definicja C4 może być wypowiedziana następująco

Definicja C6
Liczbę [math]\displaystyle{ a }[/math] będziemy nazywali granicą ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ |a_n - a| \lt \varepsilon }[/math].

Definicja C7
Ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] mający granicę (w rozumieniu definicji C4 lub C6) będziemy nazywali ciągiem zbieżnym, a fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a }[/math] lub [math]\displaystyle{ a_n \longrightarrow a }[/math]

(od łacińskiego słowa limes oznaczającego granicę).

Zauważmy jeszcze, że wprost z definicji granicy wynika
Twierdzenie C8

1. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \qquad \iff \qquad \lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0 \qquad \iff \qquad \lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \qquad \iff \qquad \lim_{n \to \infty} | a_n | = 0 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \qquad \implies \qquad \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a | }[/math]

Dowód

Twierdzenie C9
Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest zbieżny, to jest ograniczony.

Dowód

Twierdzenie C10 (twierdzenie o trzech ciągach)
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n \gt N_0 }[/math] jest spełniony warunek

[math]\displaystyle{ a_n \leqslant x_n \leqslant b_n }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = g }[/math]

to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = g }[/math].

Dowód

Bez dowodu podamy kilka ważnych twierdzeń.
Twierdzenie C11*
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ n }[/math] i rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \gt n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad a_k \leqslant M }[/math]

to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny.
Inaczej mówiąc: ciąg rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.

Twierdzenie C12*
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ n }[/math] i rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \gt n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad a_k \geqslant M }[/math]

to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny.
Inaczej mówiąc: ciąg malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.

Twierdzenie C13*
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n = b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to

[math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b }[/math]

Jeżeli dodatkowo dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ b_n \neq 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math], to

3. [math]\displaystyle{ \quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} }[/math]

Twierdzenie C14
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math], zaś ciąg [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdej wartości [math]\displaystyle{ n }[/math] prawdziwa jest nierówność [math]\displaystyle{ | x_n | \lt M }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot a_n) = 0 }[/math]

Dowód

Twierdzenie C15
Dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n} }[/math]

Dowód

Twierdzenie C16
Jeżeli [math]\displaystyle{ A \gt 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1 }[/math].

Dowód

Twierdzenie C17
Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ 0 \lt m \lt a_n \lt M }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1 }[/math]

Dowód

Twierdzenie C18
Następujące ciągi są silnie rosnące i zbieżne

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e = 2.718281828 \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} = 0.367879441 \ldots }[/math]

Dowód

Twierdzenie C19
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] prawdziwe są następujące nierówności

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} \lt \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \lt \frac{1}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ - \frac{1}{n - 1} \lt \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \lt - \frac{1}{n} }[/math]

Dowód

Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych

Twierdzenie C20
Każda liczba naturalna [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.

Dowód

Twierdzenie C21 (Euklides, IV w. p.n.e.)
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Dowód

Twierdzenie C22
Jeżeli liczba naturalna [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]^[2], to ma dzielnik postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] będący liczbą pierwszą.

Dowód

Twierdzenie C23
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Dowód

Twierdzenie C24
Jeżeli liczba naturalna [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math], to ma dzielnik postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math] będący liczbą pierwszą.

Dowód

Twierdzenie C25
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math].

Dowód

Twierdzenie C26
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 3 k + 2 }[/math].

Dowód

Uwaga C27
Zauważmy, że liczby postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math] to wszystkie liczby nieparzyste dodatnie. Ponieważ wszystkie liczby pierwsze (poza liczbą [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) są liczbami nieparzystymi, to wśród liczb postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Wszystkie omówione wyżej przypadki ciągów arytmetycznych: [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 3 k + 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math], w których występuje nieskończona ilość liczb pierwszych są szczególnymi przypadkami udowodnionego w 1837 roku twierdzenia

Twierdzenie C28* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Uwaga C29
Dowód twierdzenia Dirichleta jest bardzo trudny. Natomiast bardzo łatwo można pokazać, że dowolny ciąg arytmetyczny [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] zawiera nieskończenie wiele liczb złożonych. Istotnie, jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie są względnie pierwsze, to wszystkie wyrazy ciągu są liczbami złożonymi. Jeżeli [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są względnie pierwsze i [math]\displaystyle{ b \gt 1 , }[/math] to wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ k = b t }[/math]. Jeżeli są względnie pierwsze i [math]\displaystyle{ b = 1 }[/math], to wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ k = a t^2 + 2 t }[/math], wtedy

[math]\displaystyle{ a k + 1 = a^2 t^2 + 2 a t + 1 = (a t + 1)^2 }[/math]

Uwaga C30
Wiemy już, że w przypadku gdy liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Pojawia się pytanie o to, czy możliwe jest oszacowanie najmniejszej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] w takim ciągu. Jakkolwiek przypuszczamy, że prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ p \lt a^2 }[/math], to stan naszej obecnej wiedzy ujmuje twierdzenie Linnika^[3]^[4]^[5]^[6], które podajemy niżej. Trzeba było ponad pół wieku wysiłku wielu matematyków, aby pokazać, że w twierdzeniu Linnika możemy przyjąć [math]\displaystyle{ L = 5 }[/math]^[7]. Bombieri, Friedlander i Iwaniec udowodnili^[8], że dla prawie wszystkich liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ L \leqslant 2 }[/math].

Twierdzenie C31* (Jurij Linnik, 1944)
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ p_{\min} (a, b) }[/math] oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ b \in [1, a - 1] }[/math], to istnieją takie stałe [math]\displaystyle{ L \gt 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a_0 \geqslant 2 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ a \gt a_0 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ p_{\min} (a, b) \lt a^L }[/math]

Zadanie C32
Pokazać, że z twierdzenia Linnika wynika istnienie takich stałych [math]\displaystyle{ c, L \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ p(a) \lt c a^L }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b \lt a}} p_{\min} (a, b) }[/math]

Rozwiązanie

Przykład C33
Pokazaliśmy (zobacz C32), że istnieją takie stałe [math]\displaystyle{ c, L \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ p(a) \lt c a^L }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b \lt a}} p_{\min} (a, b) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p(a) \gt a }[/math], to prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 1 \lt {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \lt {\small\frac{\log c}{\log a}} + L \leqslant \left| {\small\frac{\log c}{\log a}} \right| + L \leqslant {\small\frac{\left| \log c \right|}{\log 2}} + L }[/math]

Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} }[/math] jest ograniczona.

Na zamieszczonym niżej obrazku przedstawiono pierwszych czternaście punktów funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} }[/math]. Ze względu na skokowy charakter zmian tej funkcji najwygodniej będzie przedstawić jej wykres, pokazując jedynie jej maksymalne i minimalne wartości w wybranych podprzedziałach [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_+ }[/math]. Mówiąc precyzyjnie, zamieszczone zostały wykresy funkcji

[math]\displaystyle{ f(t) = \max_{2^t \leqslant a \lt 2^{t + 1}} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \qquad \qquad \qquad \qquad g(t) = \min_{2^t \leqslant a \lt 2^{t + 1}} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \qquad \qquad \qquad \qquad h(a) = 1 + {\small\frac{2 \log \log a}{\log a}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{Z}_+ }[/math].

Pokaż kod i dane do wykresu

W tabeli przedstawiamy dane, na podstawie których sporządziliśmy zamieszczony wyżej wykres. Mamy kolejno

przedział [math]\displaystyle{ U }[/math]
minimalną wartość [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p(a)}{\log a}} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ U }[/math]
liczbę [math]\displaystyle{ a }[/math], która odpowiada minimalnej wartości [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p(a)}{\log a}} }[/math]
wartość [math]\displaystyle{ p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b \lt a}} p_{\min} (a, b) }[/math]
liczbę [math]\displaystyle{ b }[/math] taką, że najmniejsza liczba pierwsza w ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ p ( a ) }[/math]

Następnie podajemy analogiczne wartości dla maksymalnej wartości [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p(a)}{\log a}} }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ U }[/math]. Pominęliśmy dane dla początkowych przedziałów [math]\displaystyle{ [2^{n},2^{n + 1}) }[/math], ponieważ Czytelnik z łatwością policzy je samodzielnie. Prosty kod do obliczeń w PARI/GP zamieściliśmy pod tabelą.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{U} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\min_{a \in U} {\small\frac{\log p(a)}{\log a}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p(a)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{b} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\max_{a \in U} {\small\frac{\log p(a)}{\log a}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p(a)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{b} }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{12},2^{13}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.273691 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6840 }[/math]	[math]\displaystyle{ 76679 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1439 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.574826 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4177 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503771 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2531 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{13},2^{14}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.265227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14490 }[/math]	[math]\displaystyle{ 183949 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10069 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.551307 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8941 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1348387 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7237 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{14},2^{15}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.257880 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20790 }[/math]	[math]\displaystyle{ 269987 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20507 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.519764 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22133 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4012709 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6636 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{15},2^{16}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.247285 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39270 }[/math]	[math]\displaystyle{ 537157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26647 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.500736 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40951 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8352037 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38984 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{16},2^{17}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.244884 }[/math]	[math]\displaystyle{ 106260 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1808207 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1787 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.477806 }[/math]	[math]\displaystyle{ 84229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19005359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53834 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{17},2^{18}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.243658 }[/math]	[math]\displaystyle{ 150150 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2740469 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37769 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.474387 }[/math]	[math]\displaystyle{ 132331 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35588503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 123795 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{18},2^{19}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.233771 }[/math]	[math]\displaystyle{ 510510 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11024723 }[/math]	[math]\displaystyle{ 304013 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.457138 }[/math]	[math]\displaystyle{ 297491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 94537921 }[/math]	[math]\displaystyle{ 233274 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{19},2^{20}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.233150 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1021020 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25706531 }[/math]	[math]\displaystyle{ 181031 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.437418 }[/math]	[math]\displaystyle{ 596081 }[/math]	[math]\displaystyle{ 200230391 }[/math]	[math]\displaystyle{ 543256 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{20},2^{21}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.231259 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2072070 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59859383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1841423 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.419752 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1181311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 418069567 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1066784 }[/math]
[math]\displaystyle{ [2^{21},2^{22}) }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.224444 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3543540 }[/math]	[math]\displaystyle{ 104573173 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1810513 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.405843 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2753747 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1131160207 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2123937 }[/math]

pmin(a, b) = 
\\ zwraca najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu a*k + b, gdzie k >= 1 i gcd(a, b) = 1
{
local(k, p);
k = 1;
p = a*k + b;
while( !isprime(p), p = a*(k++) + b );
return(p);
}

PMAX(a) = 
\\ zwraca największą ze wszystkich najmniejszych liczb pierwszych
\\ w ciągach a*k + b, gdzie k >= 1, 0 < b < a i gcd(a, b) = 1
{
local(b, p, w);
w = [0, 0];
b = 0;
while( b++ < a,
       if( gcd(a, b) > 1, next() );
       p = pmin(a, b);
       if( w[1] < p, w = [p, b] );
     );
return(w);
}

Linnik(n) = 
\\ n >= 1, sprawdzamy przedział U = [ 2^n , 2^(n + 1) ), czyli  2^n <= a < 2^(n+1)
{
local(a, b, p4a, sep, txt, w, y, Ymin, Ymax);
sep = ", "; \\ separator
Ymin = [100, 1, 0, 0]; \\ najmniejsza wartość funkcji log( p(a) ) / log(a) w przedziale U
Ymax = [0, 1, 0, 0]; \\ największa wartość funkcji log( p(a) ) / log(a) w przedziale U
a = 2^n - 1;
while( a++ < 2^(n+1),
       w = PMAX(a);
       p4a = w[1];
       b = w[2];
       y = log(p4a) / log(a);
       if( y < Ymin[1], Ymin = [y, a, p4a, b] );
       if( y > Ymax[1], Ymax = [y, a, p4a, b] );
     );
txt = Str(n, sep, Ymin[1], sep, Ymin[2], sep, Ymin[3], sep, Ymin[4], sep, Ymax[1], sep, Ymax[2], sep, Ymax[3], sep, Ymax[4]);
print(txt);
}

Przypuszczamy, że prawdziwe jest znacznie silniejsze oszacowanie najmniejszej liczby pierwszej w ciągu arytmetycznym^[9]^[10]

[math]\displaystyle{ p(a) \sim a \log^2 \! a }[/math]

W takim przypadku mielibyśmy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \sim 1 + {\small\frac{2 \log \log a}{\log a}} }[/math]

Rzeczywiście, porównanie wykresów funkcji [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] i [math]\displaystyle{ h(a) }[/math] wydaje się potwierdzać to przypuszczenie dla [math]\displaystyle{ a \in [2, 2^{22}] }[/math].

W tabeli zestawiliśmy wszystkie wartości funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} }[/math] większe od [math]\displaystyle{ 1.75 }[/math] dla [math]\displaystyle{ a \in [2, 2^{22}] }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\log_2 \! a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p(a)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4.95 }[/math]	[math]\displaystyle{ 577 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.851446 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2.32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.829482 }[/math]
[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3.70 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.806947 }[/math]
[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5.55 }[/math]	[math]\displaystyle{ 967 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.785437 }[/math]
[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4.24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.783794 }[/math]
[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5.93 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1511 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.780771 }[/math]
[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3.46 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.777675 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.58 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.771243 }[/math]

Rozważmy zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] takich liczb [math]\displaystyle{ a }[/math], że prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ p (a) \lt a \log^2 \! a }[/math]. Bez trudu możemy podać przykłady takich liczb, ale nie wiemy, czy jest ich nieskończenie wiele.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a=p_1 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\log_2 \! a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p(a)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{{\small\frac{a \log^2 \! a}{p(a)}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2.584 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.751 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.338290 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4.906 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4.392 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.284679 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 210 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7.714 }[/math]	[math]\displaystyle{ 761 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7.889 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.240789 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2310 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11.173 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20477 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6.766 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.281737 }[/math]
[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30030 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14.874 }[/math]	[math]\displaystyle{ 520547 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6.132 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.276692 }[/math]
[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 510510 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18.961 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11024723 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7.999 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.233770 }[/math]
[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9699690 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23.209 }[/math]	[math]\displaystyle{ 375095881 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6.692 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.227199 }[/math]
[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223092870 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27.733 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11799966613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6.986 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.206432 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6469693230 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32.591 }[/math]	[math]\displaystyle{ 451404994867 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7.314 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.187922 }[/math]
[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 200560490130 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37.545 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19822720510961 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6.852 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.176506 }[/math]
[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7420738134810 }[/math]	[math]\displaystyle{ 42.754 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p(a) \gt a }[/math], to prawdziwy jest układ nierówności

[math]\displaystyle{ 1 \lt {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \lt 1 + {\small\frac{2 \log \log a}{\log a}} }[/math]

Jeżeli zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] jest nieskończony, to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \underset{a \in S}{\lim_{a \rightarrow \infty}} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} = 1 }[/math]

W konsekwencji wykres funkcji

[math]\displaystyle{ g(t) = \underset{2^t \leqslant a \lt 2^{t + 1}}{\min} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} }[/math]

będzie opadał ku prostej [math]\displaystyle{ y = 1 }[/math].

Zadanie C34
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi 99, przykładowo 199, 499, 599, 1399, 1499, ...

Rozwiązanie

Definicja C35
Niech [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] będzie liczbą całkowitą. Wartość funkcji [math]\displaystyle{ \pi(n; a, b) }[/math] jest równa ilości liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math], które przy dzieleniu przez [math]\displaystyle{ a }[/math] dają resztę [math]\displaystyle{ b }[/math].

Uwaga C36
Zauważmy, że w twierdzeniu Dirichleta na liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] nałożone są minimalne warunki: [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{Z} }[/math]. Sytuacja w przypadku funkcji [math]\displaystyle{ \pi (n ; a, b) }[/math] jest odmienna – tutaj mamy [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ 0 \leqslant b \leqslant a - 1 }[/math]. Jest tak dlatego, że podział liczb pierwszych, który odzwierciedla funkcja [math]\displaystyle{ \pi (n ; a, b) }[/math] jest podziałem pierwotnym, a twierdzenie Dirichleta jest tylko jego uzasadnieniem. Podział liczb pierwszych musi być też precyzyjnie określony, tak aby zachodził naturalny związek

[math]\displaystyle{ \sum_{b = 0}^{a - 1} \pi (n ; a, b) = \pi (n) }[/math]

Oczywiście nie przeszkadza to w liczeniu liczb pierwszych w dowolnym ciągu arytmetycznym. Niech na przykład

[math]\displaystyle{ u_k = 7 k + 101 = 7 (k + 14) + 3 \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots }[/math]

Ilość liczb pierwszych w ciagu [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \pi (n ; 7, 3) - \pi (7 \cdot 13 + 3 ; 7, 3) = \pi (n ; 7, 3) - 5 }[/math]

Zadanie C37
Pokazać, że dla dowolnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ m \geqslant 1 }[/math]

wśród liczb naturalnych zawsze można wskazać [math]\displaystyle{ m }[/math] kolejnych liczb, które są złożone
w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, zawsze można wskazać [math]\displaystyle{ m }[/math] kolejnych wyrazów, które są złożone

Rozwiązanie

Przykład C38
Rozważmy ciąg arytmetyczny [math]\displaystyle{ u_k = 3 k + 2 }[/math] i wskaźnik

[math]\displaystyle{ k_0 = \prod^{12}_{j = 0} (3 j + 2) = 3091650738176000 }[/math]

Trzynaście wyrazów tego szeregu dla [math]\displaystyle{ k = k_0 + t }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t = 0, 1, \ldots, 12 }[/math] to oczywiście liczby złożone, ale wyrazy dla [math]\displaystyle{ k = k_0 - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = k_0 + 13 }[/math] są liczbami pierwszymi.

Przeszukując ciąg [math]\displaystyle{ u_k = 3 k + 2 }[/math] możemy łatwo znaleźć, że pierwsze trzynaście kolejnych wyrazów złożonych pojawia się już dla [math]\displaystyle{ k = 370, 371, \ldots, 382 }[/math].

Twierdzenie C39
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], to istnieje [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb naturalnych, wśród których znajduje się dokładnie [math]\displaystyle{ r \leqslant \pi (n) }[/math] liczb pierwszych.

Dowód

Przykład C40
Czytelnik może łatwo sprawdzić, że ciąg [math]\displaystyle{ ( 1308, \ldots, 1407 ) }[/math] stu kolejnych liczb całkowitych zawiera dokładnie [math]\displaystyle{ 8 }[/math] liczb pierwszych.

Zadanie C41
Pokazać, nie korzystając z twierdzenia C39, że istnieje [math]\displaystyle{ 1000 }[/math] kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.

Rozwiązanie

Zadanie C42
Pokazać, że istnieje [math]\displaystyle{ 20 }[/math] kolejnych liczb naturalnych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math], wśród których jest dokładnie [math]\displaystyle{ 5 }[/math] liczb pierwszych.

Rozwiązanie

Twierdzenie C43
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 0 \leqslant b \leqslant a - 1 }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to istnieje [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb postaci [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], wśród których znajduje się dokładnie [math]\displaystyle{ r \leqslant \pi (a (n - 1) + b ; a, b) }[/math] liczb pierwszych.

Dowód

Zadanie C44
Niech [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że w ciągu [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] występują kwadraty wszystkich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Zadanie C45
Dany jest ciąg arytmetyczny [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze. Pokazać, że

jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a }[/math], to żaden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] nie jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math]
jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ a }[/math], to istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ a k + b }[/math], które są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math]

Rozwiązanie

Uwaga C46
Łatwo możemy napisać w PARI/GP funkcję, która zwraca najmniejszą liczbę naturalną [math]\displaystyle{ k_0 }[/math], dla której wyraz ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math] (przy założeniu, że liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] są względnie pierwsze).

f(a,b,p) = lift( Mod(-b,p)*Mod(a,p)^(-1) )

Ciągi nieskończone i liczby pierwsze

Uwaga C47
Choć wiele ciągów jest dobrze znanych i równie dobrze zbadanych, to nie wiemy, czy zawierają one nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przykładowo

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ a_n = n^2 + 1 }[/math]	A002496
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ b_n = n^2 - n - 1 }[/math]	A002327
[math]\displaystyle{ \quad 3. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ c_n = n^2 + n + 1 }[/math]	A002383
[math]\displaystyle{ \quad 4. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ d_n = n^4 + 1 }[/math]	A000068
[math]\displaystyle{ \quad 5. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ u_n = n! + 1 }[/math]	A002981
[math]\displaystyle{ \quad 6. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ v_n = n! - 1 }[/math]	A002982
[math]\displaystyle{ \quad 7. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ M_n = 2^n - 1 }[/math] (liczby Mersenne'a)	A000043
[math]\displaystyle{ \quad 8. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ F_n = 2^{2^n} + 1 }[/math] (liczby Fermata)	A019434
[math]\displaystyle{ \quad 9. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ F_n (a) = a^{2^n} + 1 }[/math] (uogólnione liczby Fermata, [math]\displaystyle{ a }[/math] parzyste)	MathWorld

Nie wiemy, czy istnieje wielomian całkowity [math]\displaystyle{ W(n) }[/math] stopnia większego niż jeden taki, że [math]\displaystyle{ W(n) }[/math] jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu liczb [math]\displaystyle{ n }[/math].

Przykład C48
Łatwo sprawdzić, że wartości wielomianu [math]\displaystyle{ W(n) = n^2 + n + 41 }[/math] są liczbami pierwszymi dla [math]\displaystyle{ 1 \leqslant n \leqslant 39 }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ 41 \mid W(41) }[/math].

Twierdzenie C49
Niech [math]\displaystyle{ a, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math]. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a^n + 1 }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ n = 2^m }[/math].

Dowód

Twierdzenie C50
Dla dowolnej liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ x - y }[/math] jest dzielnikiem wyrażenia [math]\displaystyle{ x^n - y^n }[/math].

Dowód

Twierdzenie C51
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a^n - 1 }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ a = 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą.

Dowód

Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych

Uwaga C52
Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych^[11]^[12] zbudowane z dwóch liczb pierwszych nie są interesujące, bo dowolne dwie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Dlatego będziemy się zajmowali ciągami arytmetycznymi liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math].

Ponieważ nie da się zbudować ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], w którym pierwszym wyrazem jest liczba [math]\displaystyle{ p_0 = 2 }[/math], to będą nas interesowały ciągi rozpoczynające się od liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_0 \geqslant 3 }[/math]

Jeżeli do liczby pierwszej nieparzystej dodamy dodatnią liczbę nieparzystą, to otrzymamy liczbę parzystą złożoną, zatem różnica ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ d }[/math] musi być liczbą parzystą, aby zbudowanie jakiegokolwiek ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] było możliwe.

Istnienie nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] pokazano już wiele lat temu^[13]. Temat ciągów arytmetycznych liczb pierwszych zyskał na popularności^[14] po udowodnieniu przez Bena Greena i Terence'a Tao twierdzenia o istnieniu dowolnie długich (ale skończonych) ciągów arytmetycznych liczb pierwszych^[15].

Twierdzenie C53* (Ben Green i Terence Tao, 2004)
Dla dowolnej liczby naturalnej [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] istnieje nieskończenie wiele [math]\displaystyle{ n }[/math]-wyrazowych ciągów arytmetycznych liczb pierwszych.

Przykład C54
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 4 }[/math].

Pokaż tabele

Przykład C55
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 6 }[/math].

Pokaż tabele

Przykład C56
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 8 }[/math].

Pokaż tabele

Przykład C57
Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 9 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10 }[/math].

Pokaż tabele

Twierdzenie C58
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, d, k, k_0 \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ d }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_n }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ n }[/math] liczb [math]\displaystyle{ x_k }[/math] postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = k_0 + 1, \ldots, k_0 + n }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \} }[/math]. W szczególności wynika stąd, że wśród liczb [math]\displaystyle{ x_k }[/math] jedna jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math].

Dowód

Twierdzenie C59
Niech [math]\displaystyle{ d \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech będzie dany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Z żądania, aby dany ciąg arytmetyczny był ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, wynika, że muszą być spełnione następujące warunki

[math]\displaystyle{ p_0 \nmid d }[/math]
[math]\displaystyle{ n \leqslant p_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ P(n - 1) \mid d }[/math]
jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math], to [math]\displaystyle{ n \leqslant q }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ t }[/math].

Dowód

Uwaga C60
Czasami, zamiast pisać „ciąg arytmetyczny liczb pierwszych”, będziemy posługiwali się skrótem PAP od angielskiej nazwy „prime arithmetic progression”. Konsekwentnie zapis PAP-[math]\displaystyle{ n }[/math] będzie oznaczał ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math], a zapis PAP[math]\displaystyle{ (n, d, q) }[/math] ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math], pierwszym wyrazie [math]\displaystyle{ q }[/math] i różnicy [math]\displaystyle{ d }[/math].

Uwaga C61
Jakkolwiek sądzimy, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych rozpoczynających się od dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q }[/math] i o dowolnej długości [math]\displaystyle{ 3 \leqslant n \leqslant q }[/math], to obecnie jest to tylko nieudowodnione przypuszczenie.

Dlatego nawet dla najmniejszej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ q \nmid d }[/math] nierówność [math]\displaystyle{ n \leqslant q }[/math], pokazana w twierdzeniu C59, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W szczególności nie możemy z góry przyjmować, że dla liczby [math]\displaystyle{ n = q }[/math] znajdziemy taką liczbę [math]\displaystyle{ d }[/math] będącą wielokrotnością liczby [math]\displaystyle{ P(q - 1) }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ q }[/math], że będzie istniał PAP[math]\displaystyle{ (q, d, q) }[/math].

Przykład C62
Rozważmy dwie różnice [math]\displaystyle{ d_1 = 6 = 2 \cdot 3 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ d_2 = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 }[/math]. Zauważmy, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ 5 }[/math] nie dzieli ani [math]\displaystyle{ d_1 }[/math], ani [math]\displaystyle{ d_2 }[/math]. Co więcej, liczba pierwsza [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli rozpatrywanych różnic, zatem nierówność [math]\displaystyle{ n \leqslant 5 }[/math] zapewnia najmocniejsze oszacowanie długości ciągu [math]\displaystyle{ n }[/math]. Łatwo sprawdzamy w zamieszczonych tabelach, że dla [math]\displaystyle{ d = 6 }[/math] oraz dla [math]\displaystyle{ d = 42 }[/math] są ciągi o długości [math]\displaystyle{ 3, 4, 5 }[/math], ale nie ma ciągów o długości [math]\displaystyle{ 6, 7, \ldots }[/math]

W szczególności z twierdzenia C59 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o określonej długości [math]\displaystyle{ n }[/math], należy szukać ich tylko dla różnic [math]\displaystyle{ d }[/math] będących wielokrotnością liczby [math]\displaystyle{ P(n - 1) }[/math].

Zadanie C63
Wiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p \gt 3 }[/math] można przedstawić w jednej z postaci [math]\displaystyle{ 6 k - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p_0 = 3 }[/math], to dwa następne wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych są różnych postaci.

Rozwiązanie

Zadanie C64
Wiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p \gt 3 }[/math] można przedstawić w jednej z postaci [math]\displaystyle{ 6 k - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]. Pokazać, że wszystkie wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p_0 \geqslant 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] muszą być jednakowej postaci.

Rozwiązanie

Zadanie C65
Niech [math]\displaystyle{ d \gt 0 }[/math] będzie różnicą ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Pokazać, nie korzystając z twierdzenia C59, że jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math], to [math]\displaystyle{ n \leqslant q }[/math].

Rozwiązanie

Twierdzenie C66
Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą, a liczby pierwsze

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, q - 1 }[/math]

tworzą ciąg arytmetyczny o długości [math]\displaystyle{ q }[/math] i różnicy [math]\displaystyle{ d \gt 0 }[/math].

Równość [math]\displaystyle{ p_0 = q }[/math] zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ q \nmid d }[/math].

Dowód

Uwaga C67
Niech ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ p_k = p_0 + k d \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]

Z udowodnionych wyżej twierdzeń C59 i C66 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n }[/math] można podzielić na dwie grupy

jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ n \nmid d }[/math], to [math]\displaystyle{ P(n - 1) \mid d }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p_0 = n }[/math] (dla ustalonego [math]\displaystyle{ d }[/math] może istnieć tylko jeden ciąg)
jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną lub [math]\displaystyle{ n \mid d }[/math], to [math]\displaystyle{ P(n) \mid d }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p_0 \gt n }[/math]

Funkcja [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ t }[/math].

Przykład C68
Niech różnica ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi [math]\displaystyle{ d = 10^t }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t \geqslant 1 }[/math]. Zauważmy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ t }[/math] liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z oszacowania [math]\displaystyle{ n \leqslant 3 }[/math] wynika, że musi być [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math].

Jeżeli długość ciągu [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \nmid d }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ p_0 = n = 3 }[/math] i może istnieć tylko jeden PAP dla każdego [math]\displaystyle{ d }[/math]. W przypadku [math]\displaystyle{ t \leqslant 10000 }[/math] jedynie dla [math]\displaystyle{ t = 1, 5, 6, 17 }[/math] wszystkie liczby ciągu arytmetycznego [math]\displaystyle{ (3, 3 + 10^t, 3 + 2 \cdot 10^t) }[/math] są pierwsze.

Zadanie C69
Znaleźć wszystkie PAP[math]\displaystyle{ (n, d, p) }[/math] dla [math]\displaystyle{ d = 2, 4, 8, 10, 14, 16 }[/math].

Rozwiązanie

Zadanie C70
Znaleźć wszystkie PAP[math]\displaystyle{ (n, d, p) }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 3, 5, 7, 11 }[/math] i [math]\displaystyle{ d = P (n - 1) }[/math].

Rozwiązanie

Przykład C71
Przedstawiamy przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych, takie że [math]\displaystyle{ n = p_0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 3, 5, 7, 11, 13 }[/math]. Zauważmy, że wypisane w tabeli wartości [math]\displaystyle{ d }[/math] są wielokrotnościami liczby [math]\displaystyle{ P(n - 1) }[/math].

Pokaż tabelę

Przykład C72
Liczby [math]\displaystyle{ 3, 5, 7 }[/math] są najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego kolejnych liczb pierwszych. Zauważmy, że tylko w przypadku [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ n = p_0 = 3 }[/math]. Istotnie, łatwo stwierdzamy, że

ponieważ [math]\displaystyle{ p_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p_1 }[/math] są kolejnymi liczbami pierwszymi, to [math]\displaystyle{ p_1 - p_0 \lt p_0 }[/math] (zobacz zadanie B22)
dla dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ q \geqslant 5 }[/math] jest [math]\displaystyle{ q \lt P (q - 1) }[/math] (zobacz zadanie B26)

Przypuśćmy teraz, że istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych, taki że [math]\displaystyle{ n = p_0 \geqslant 5 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ d = p_1 - p_0 \lt p_0 \lt P (p_0 - 1) = P (n - 1) }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ P(n - 1) \nmid d }[/math], co jest niemożliwe.

Wynika stąd, że poza przypadkiem [math]\displaystyle{ n = p_0 = 3 }[/math] ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek [math]\displaystyle{ P(n) \mid d }[/math], czyli [math]\displaystyle{ P(n) \mid (p_1 - p_0) }[/math].

Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o długościach [math]\displaystyle{ n = 3, 4, 5, 6 }[/math] dla rosnących wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math]. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] dla [math]\displaystyle{ p_0 \lt 10^{13} }[/math]. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla [math]\displaystyle{ p_0 \sim 10^{20} }[/math].

Znane są ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o długościach [math]\displaystyle{ n \leqslant 10 }[/math]^[16].

Pokaż tabele

Zadanie C73
Uzasadnij przypuszczenie, że ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych o długości [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] możemy oczekiwać dopiero dla [math]\displaystyle{ p_0 \sim 10^{20} }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że ilość liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ x }[/math] w dobrym przybliżeniu jest określona funkcją [math]\displaystyle{ \frac{x}{\log x} }[/math]. Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ \log x }[/math] zmienia się bardzo wolno, to odcinki liczb naturalnych o tej samej długości położone w niewielkiej odległości od siebie będą zawierały podobne ilości liczb pierwszych. Przykładowo, dla dużych wartości [math]\displaystyle{ x }[/math], ilość liczb pierwszych w przedziale [math]\displaystyle{ (x, 2 x) }[/math] jest tego samego rzędu, co ilość liczb pierwszych w przedziale [math]\displaystyle{ (1, x) }[/math]^[17].

Zatem liczbę [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log x} }[/math] możemy traktować jako prawdopodobieństwo trafienia na liczbę pierwszą wśród liczb znajdujących się w pobliżu liczby [math]\displaystyle{ x }[/math]. Zakładając, że liczby pierwsze są rozłożone przypadkowo, możemy wyliczyć prawdopodobieństwo tego, że [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb pierwszych, położonych w pobliżu liczby [math]\displaystyle{ x }[/math], utworzy ciąg arytmetyczny

[math]\displaystyle{ \text{prob}_{\text{cpap}} (n, x) = \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ d = P (n) }[/math]. Jest tak, ponieważ w ciągu kolejnych liczb całkowitych musimy trafić na liczbę pierwszą, następnie na [math]\displaystyle{ d - 1 }[/math] liczb złożonych, taka sytuacja musi się powtórzyć dokładnie [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] razy, a na koniec znowu musimy trafić na liczbę pierwszą. Czyli potrzebujemy [math]\displaystyle{ n }[/math] liczb pierwszych, na które trafiamy z prawdopodobieństwem [math]\displaystyle{ \frac{1}{\log x} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (n - 1) (d - 1) }[/math] liczb złożonych, na które trafiamy z prawdopodobieństwem [math]\displaystyle{ 1 - \frac{1}{\log x} }[/math], a liczby te muszą pojawiać się w ściśle określonej kolejności.

Ilość ciągów arytmetycznych utworzonych przez [math]\displaystyle{ n }[/math] kolejnych liczb pierwszych należących do przedziału [math]\displaystyle{ (x, 2 x) }[/math] możemy zatem oszacować na równą około

[math]\displaystyle{ Q_{\text{cpap}}(n, x) = x \cdot \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)} }[/math]

Porównując powyższe oszacowanie z rzeczywistą ilością [math]\displaystyle{ \# \text{CPAP}(n, x) }[/math] ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych w przedziale [math]\displaystyle{ (x, 2x) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \frac{\# \text{CPAP}(n, x)}{Q_{\text{cpap}} (n, x)} = f (n, x) }[/math]

gdzie w możliwym do zbadania zakresie, czyli dla [math]\displaystyle{ x \lt 2^{42} \approx 4.4 \cdot 10^{12} }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ f(n, x) \approx a_n \cdot \log x + b_n }[/math]

Stałe [math]\displaystyle{ a_n }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n }[/math] wyznaczamy metodą regresji liniowej. Musimy pamiętać, że uzyskanych w ten sposób wyników nie możemy ekstrapolować dla dowolnie dużych [math]\displaystyle{ x }[/math].

W przypadku [math]\displaystyle{ n = 5 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n = 6 }[/math] dysponowaliśmy zbyt małą liczbą danych, aby wyznaczyć stałe [math]\displaystyle{ a_n }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n }[/math] z wystarczającą dokładnością. Dlatego w tych przypadkach ograniczyliśmy się do podania oszacowania funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math].

Uzyskany wyżej rezultaty są istotne, bo z wyliczonych postaci funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] wynika, że są to funkcje bardzo wolno zmienne, a ich ekstrapolacja jest w pełni uprawniona.

W zamieszczonej niżej tabeli mamy kolejno

[math]\displaystyle{ n }[/math], czyli długość CPAP
wartość iloczynu [math]\displaystyle{ n \cdot P (n) }[/math]
znalezioną postać funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] lub oszacowanie wartości tej funkcji [math]\displaystyle{ C_n }[/math] na podstawie uzyskanych danych; w przypadku [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math] jest to oszacowanie wynikające z obserwacji, że wartości funkcji [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] są rzędu [math]\displaystyle{ n \cdot P (n) }[/math]
wyliczoną wartość [math]\displaystyle{ \frac{\# \text{CPAP}(n, 2^{40})}{Q_{\text{cpap}}(n, 2^{40})} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f(n, 2^{40}) }[/math]
wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(n, 2^{70}) }[/math] wynikające z ekstrapolacji wzoru [math]\displaystyle{ f(n, x) = a_n \cdot \log x + b_n \qquad }[/math] (dla [math]\displaystyle{ n = 3, 4 }[/math])
wartość [math]\displaystyle{ x }[/math] wynikającą z rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ \qquad (a_n \cdot \log x + b_n) \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad }[/math] (dla [math]\displaystyle{ n = 3, 4 }[/math])

[math]\displaystyle{ \qquad C_n \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad }[/math] (dla [math]\displaystyle{ n = 5, 6, 7 }[/math])

dla porównania w kolejnych kolumnach zostały podane dwie najmniejsze wartości [math]\displaystyle{ p_0 }[/math] dla CPAP-n

[math]\displaystyle{ n }[/math]	[math]\displaystyle{ n \cdot P(n) }[/math]	[math]\displaystyle{ f (n, x) \quad \text{lub} \quad C_n }[/math]	[math]\displaystyle{ f (n, 2^{40}) }[/math]	[math]\displaystyle{ f (n, 2^{70}) }[/math]	[math]\displaystyle{ \sim p_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 3 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.52 \cdot \log x + 6.3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20.94 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 130 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 151 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 4 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0.53 \cdot \log x + 11.6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26.61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.5 \cdot 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 251 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1741 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 5 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 150 }[/math]	[math]\displaystyle{ 120 }[/math]	[math]\displaystyle{ 121.45 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 \cdot 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9843019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37772429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 6 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 180 }[/math]	[math]\displaystyle{ 235 }[/math]	[math]\displaystyle{ 228.27 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 540 \cdot 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 121174811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1128318991 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 7 \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ 1470 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2500 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \cdot 10^{20} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważając, że funkcje [math]\displaystyle{ f(n, x) }[/math] są rzędu [math]\displaystyle{ n \cdot P (n) }[/math] i przyjmując, że podobnie będzie dla [math]\displaystyle{ f(7, x) }[/math], możemy wyliczyć wartość [math]\displaystyle{ x }[/math], dla której może pojawić się pierwszy CPAP-7. Wartość ta jest równa w przybliżeniu [math]\displaystyle{ 2 \cdot 10^{20} }[/math] i wynika z rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ f(7, x) \cdot Q_{\text{cpap}}(7, x) = 1 }[/math]

Możemy ją łatwo wyliczyć w PARI/GP. Oczywiście funkcję [math]\displaystyle{ f(7, x) }[/math] zastąpiliśmy jej oszacowaniem [math]\displaystyle{ C_7 = 2500 }[/math]

P(n) = prod(k = 2, n, if( isprime(k), k, 1 ))

Q(x) = 2500 * x * ( 1/log(x) )^7 * ( 1 - 1/log(x) )^( (7 - 1)*(P(7) - 1) )

solve(x = 10^10, 10^23, Q(x) - 1 )

□

Uzupełnienie

Twierdzenie C74 (lemat Bézouta)
Jeżeli liczby całkowite [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] nie są jednocześnie równe zeru, a największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy [math]\displaystyle{ D }[/math], to istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

[math]\displaystyle{ a x + b y = D }[/math]

Dowód

Twierdzenie C75 (lemat Euklidesa)
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą oraz [math]\displaystyle{ a, b, d \in \mathbb{Z} }[/math].

jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid a b }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ d }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ a }[/math], to [math]\displaystyle{ d \mid b }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid a b }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math] lub [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math]

Dowód

Twierdzenie C76
Niech [math]\displaystyle{ a, b, m \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ a \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b \mid m }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a b \mid m }[/math].

Dowód

Twierdzenie C77
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z} }[/math]. Równanie [math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] jest dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].

Dowód

Uwaga C78
Z twierdzenia C77 wynika, że szukając rozwiązań równania [math]\displaystyle{ A x + B y = C }[/math] w liczbach całkowitych, powinniśmy

obliczyć największy wspólny dzielnik [math]\displaystyle{ D }[/math] liczb [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math]
jeżeli [math]\displaystyle{ D \gt 1 }[/math], należy sprawdzić, czy [math]\displaystyle{ D \mid C }[/math]
jeżeli [math]\displaystyle{ D \nmid C }[/math], to równanie [math]\displaystyle{ A x + B y = C }[/math] nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych
jeżeli [math]\displaystyle{ D \mid C }[/math], należy podzielić obie strony równania [math]\displaystyle{ A x + B y = C }[/math] przez [math]\displaystyle{ D }[/math] i przejść do rozwiązywania równania równoważnego [math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a = \frac{A}{D} }[/math], [math]\displaystyle{ b = \frac{B}{D} }[/math], [math]\displaystyle{ c = \frac{C}{D} }[/math], zaś największy wspólny dzielnik liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Twierdzenie C79
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] są względnie pierwsze, to równanie

[math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math]

ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych.

Jeżeli para liczb całkowitych [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] jest jednym z tych rozwiązań, to wszystkie pozostałe rozwiązania całkowite można otrzymać ze wzorów

[math]\displaystyle{ x = x_0 + b t }[/math]

[math]\displaystyle{ y = y_0 - a t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ t }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą.

Dowód

Przykład C80
Rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math], które omówiliśmy w poprzednim twierdzeniu, najłatwiej znaleźć korzystając w PARI/GP z funkcji gcdext(a, b). Funkcja ta zwraca wektor liczb [x₀, y₀, d], gdzie [math]\displaystyle{ d = \gcd (a, b) }[/math], a liczby [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] są rozwiązaniami równania

[math]\displaystyle{ a x_0 + b y_0 = \gcd (a, b) }[/math]

Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math], to łatwo zauważmy, że

[math]\displaystyle{ a(c x_0) + b (c y_0) = c }[/math]

Zatem para liczb całkowitych [math]\displaystyle{ (c x_0, c y_0) }[/math] jest jednym z rozwiązań równania

[math]\displaystyle{ a x + b y = c }[/math]

i wszystkie pozostałe rozwiązania uzyskujemy ze wzorów

[math]\displaystyle{ x = c x_0 + b t }[/math]

[math]\displaystyle{ y = c y_0 - a t }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ a = 7 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b = 17 }[/math]. Funkcja gcdext(7,17) zwraca wektor [5, -2, 1], zatem rozwiązaniami równania [math]\displaystyle{ 7 x + 17 y = 1 }[/math] są liczby

[math]\displaystyle{ x = 5 + 17 t }[/math]

[math]\displaystyle{ y = - 2 - 7 t }[/math]

A rozwiązaniami równania [math]\displaystyle{ 7 x + 17 y = 10 }[/math] są liczby

[math]\displaystyle{ x = 50 + 17 t }[/math]

[math]\displaystyle{ y = - 20 - 7 t }[/math]

Przypisy

↑ Korzystamy w tym momencie z zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb naturalnych, która stwierdza, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Określenie, że „liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ a k + b }[/math]”, jest jedynie bardziej czytelnym (obrazowym) zapisem stwierdzenia, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] przez [math]\displaystyle{ a }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ b }[/math]. Zapis „liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ a k - 1 }[/math]” oznacza, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] przez [math]\displaystyle{ a }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math].
↑ Wikipedia, Linnik's theorem, (Wiki-en)
↑ MathWorld, Linnik's Theorem. (MathWorld)
↑ Yuri Linnik, On the least prime in an arithmetic progression. I. The basic theorem, Mat. Sb. (N.S.) 15 (1944) 139–178.
↑ Yuri Linnik, On the least prime in an arithmetic progression. II. The Deuring-Heilbronn phenomenon, Mat. Sb. (N.S.) 15 (1944) 347–368.
↑ Triantafyllos Xylouris, Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression, Bonner Mathematische Schriften, vol. 404, Univ. Bonn, 2011, Diss.
↑ Enrico Bombieri, John B. Friedlander and Henryk Iwaniec, Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III, Journal of the American Mathematical Society 2 (1989) 215-224
↑ Paul Turán, Über die Primzahlen der arithmetischen Progression, Acta Sci. Szeged 8 (1937), 226-235
↑ Samuel S. Wagstaff, Jr., Greatest of the Least Primes in Arithmetic Progressions Having a Given Modulus, Mathematics of Computation Vol. 33, No. 147 (1979), 1073-1080
↑ Wikipedia, Primes in arithmetic progression, (Wiki-en)
↑ MathWorld, Prime Arithmetic Progression, (LINK)
↑ J. G. van der Corput, Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten, Mathematische Annalen, 116 (1939) 1-50, (LINK)
↑ Wikipedia, Largest known primes in AP, (Wiki-en)
↑ Ben Green and Terence Tao, The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions., Ann. of Math. (2) 167 (2008), 481-547, (LINK1), Preprint. 8 Apr 2004, (LINK2)
↑ Wikipedia, Primes in arithmetic progression - Largest known consecutive primes in AP, (Wiki-en)
↑ Henryk Dąbrowski, Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n - Uwagi do twierdzenia, (LINK)

[WellOrdering-1] Korzystamy w tym momencie z zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb naturalnych, która stwierdza, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. (Wiki-pl), (Wiki-en)

[LiczbaJestPostaci-2] Określenie, że „liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ a k + b }[/math]”, jest jedynie bardziej czytelnym (obrazowym) zapisem stwierdzenia, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] przez [math]\displaystyle{ a }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ b }[/math]. Zapis „liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ a k - 1 }[/math]” oznacza, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] przez [math]\displaystyle{ a }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math].

[Linnik1-3] Wikipedia, Linnik's theorem, (Wiki-en)

[Linnik2-4] MathWorld, Linnik's Theorem. (MathWorld)

[Linnik3-5] Yuri Linnik, On the least prime in an arithmetic progression. I. The basic theorem, Mat. Sb. (N.S.) 15 (1944) 139–178.

[Linnik4-6] Yuri Linnik, On the least prime in an arithmetic progression. II. The Deuring-Heilbronn phenomenon, Mat. Sb. (N.S.) 15 (1944) 347–368.

[Xylouris1-7] Triantafyllos Xylouris, Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression, Bonner Mathematische Schriften, vol. 404, Univ. Bonn, 2011, Diss.

[Bombieri1-8] Enrico Bombieri, John B. Friedlander and Henryk Iwaniec, Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III, Journal of the American Mathematical Society 2 (1989) 215-224

[Turan1-9] Paul Turán, Über die Primzahlen der arithmetischen Progression, Acta Sci. Szeged 8 (1937), 226-235

[Wagstaff1-10] Samuel S. Wagstaff, Jr., Greatest of the Least Primes in Arithmetic Progressions Having a Given Modulus, Mathematics of Computation Vol. 33, No. 147 (1979), 1073-1080

[PAPWiki-11] Wikipedia, Primes in arithmetic progression, (Wiki-en)

[PAPMathWorld-12] MathWorld, Prime Arithmetic Progression, (LINK)

[Corput-13] J. G. van der Corput, Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten, Mathematische Annalen, 116 (1939) 1-50, (LINK)

[largestPAP-14] Wikipedia, Largest known primes in AP, (Wiki-en)

[GeenTao-15] Ben Green and Terence Tao, The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions., Ann. of Math. (2) 167 (2008), 481-547, (LINK1), Preprint. 8 Apr 2004, (LINK2)

[CPAP1-16] Wikipedia, Primes in arithmetic progression - Largest known consecutive primes in AP, (Wiki-en)

[PrimesInInterval-17] Henryk Dąbrowski, Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n - Uwagi do twierdzenia, (LINK)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 4} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 8} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 10} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 14} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 20} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 24} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 28} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 34} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 36} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 38} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 40} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 42} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 48} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 50} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 54} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 64} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 66} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 68} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 72} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 78} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 80} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 84} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 94} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 96} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 98} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 102} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 104} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 108} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 131 }[/math]	[math]\displaystyle{ 163 }[/math]	[math]\displaystyle{ 173 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 110} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 114} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 124} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 126} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 132} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 134} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 138} }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 173 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 144} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 154} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 156} }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 162} }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 197 }[/math]	[math]\displaystyle{ 239 }[/math]	[math]\displaystyle{ 269 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 164} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 168} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 174} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 178} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 186} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 188} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 190} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 192} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 198} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 4} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 251 }[/math]	[math]\displaystyle{ 601 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 227 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 18} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 313 }[/math]	[math]\displaystyle{ 673 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 24} }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 349 }[/math]	[math]\displaystyle{ 419 }[/math]	[math]\displaystyle{ 499 }[/math]	[math]\displaystyle{ 569 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 36} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 241 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 751 }[/math]	[math]\displaystyle{ 911 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 42} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 48} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 643 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 54} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 239 }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 719 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 66} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 241 }[/math]	[math]\displaystyle{ 251 }[/math]	[math]\displaystyle{ 521 }[/math]	[math]\displaystyle{ 541 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 72} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 167 }[/math]	[math]\displaystyle{ 347 }[/math]	[math]\displaystyle{ 947 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1217 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 78} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 233 }[/math]	[math]\displaystyle{ 353 }[/math]	[math]\displaystyle{ 443 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 84} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 439 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 96} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 631 }[/math]	[math]\displaystyle{ 761 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1471 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 102} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 337 }[/math]	[math]\displaystyle{ 557 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 108} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 163 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 293 }[/math]	[math]\displaystyle{ 353 }[/math]	[math]\displaystyle{ 643 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 114} }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 349 }[/math]	[math]\displaystyle{ 569 }[/math]	[math]\displaystyle{ 709 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1259 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2039 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 126} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 131 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 132} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 277 }[/math]	[math]\displaystyle{ 487 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 138} }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 173 }[/math]	[math]\displaystyle{ 383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 463 }[/math]	[math]\displaystyle{ 563 }[/math]	[math]\displaystyle{ 773 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 144} }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 509 }[/math]	[math]\displaystyle{ 599 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1579 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2609 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 163 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 156} }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 151 }[/math]	[math]\displaystyle{ 191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 461 }[/math]	[math]\displaystyle{ 571 }[/math]	[math]\displaystyle{ 641 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 162} }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 197 }[/math]	[math]\displaystyle{ 337 }[/math]	[math]\displaystyle{ 967 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1297 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1627 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 168} }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 373 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 174} }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]	[math]\displaystyle{ 509 }[/math]	[math]\displaystyle{ 839 }[/math]	[math]\displaystyle{ 929 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 283 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 186} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 151 }[/math]	[math]\displaystyle{ 271 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 691 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 192} }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 307 }[/math]	[math]\displaystyle{ 647 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1087 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1427 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 198} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 263 }[/math]	[math]\displaystyle{ 373 }[/math]	[math]\displaystyle{ 853 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 204} }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 449 }[/math]	[math]\displaystyle{ 479 }[/math]	[math]\displaystyle{ 569 }[/math]	[math]\displaystyle{ 919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 216} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 181 }[/math]	[math]\displaystyle{ 761 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1021 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1061 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1231 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 222} }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 197 }[/math]	[math]\displaystyle{ 547 }[/math]	[math]\displaystyle{ 617 }[/math]	[math]\displaystyle{ 787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 228} }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 263 }[/math]	[math]\displaystyle{ 313 }[/math]	[math]\displaystyle{ 593 }[/math]	[math]\displaystyle{ 953 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1093 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 234} }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 499 }[/math]	[math]\displaystyle{ 619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 829 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1549 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2309 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 240} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]	[math]\displaystyle{ 263 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 246} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 331 }[/math]	[math]\displaystyle{ 541 }[/math]	[math]\displaystyle{ 661 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 252} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 197 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 258} }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 313 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1873 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3253 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 264} }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 199 }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 409 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 270} }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 557 }[/math]	[math]\displaystyle{ 613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 276} }[/math]	[math]\displaystyle{ 181 }[/math]	[math]\displaystyle{ 191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 401 }[/math]	[math]\displaystyle{ 601 }[/math]	[math]\displaystyle{ 661 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1171 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 282} }[/math]	[math]\displaystyle{ 137 }[/math]	[math]\displaystyle{ 317 }[/math]	[math]\displaystyle{ 457 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1297 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1747 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1787 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 288} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 233 }[/math]	[math]\displaystyle{ 353 }[/math]	[math]\displaystyle{ 463 }[/math]	[math]\displaystyle{ 743 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 294} }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]	[math]\displaystyle{ 269 }[/math]	[math]\displaystyle{ 349 }[/math]	[math]\displaystyle{ 719 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 300} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 306} }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 691 }[/math]	[math]\displaystyle{ 971 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1321 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1471 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 312} }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 347 }[/math]	[math]\displaystyle{ 547 }[/math]	[math]\displaystyle{ 607 }[/math]	[math]\displaystyle{ 757 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 318} }[/math]	[math]\displaystyle{ 283 }[/math]	[math]\displaystyle{ 373 }[/math]	[math]\displaystyle{ 653 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1063 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1493 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1823 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 324} }[/math]	[math]\displaystyle{ 179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 349 }[/math]	[math]\displaystyle{ 839 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2389 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2699 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2879 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 330} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 336} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 421 }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 342} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 137 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 467 }[/math]	[math]\displaystyle{ 887 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 348} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 563 }[/math]	[math]\displaystyle{ 593 }[/math]	[math]\displaystyle{ 743 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1373 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 354} }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 239 }[/math]	[math]\displaystyle{ 389 }[/math]	[math]\displaystyle{ 509 }[/math]	[math]\displaystyle{ 659 }[/math]	[math]\displaystyle{ 739 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 360} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 366} }[/math]	[math]\displaystyle{ 461 }[/math]	[math]\displaystyle{ 571 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1481 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1511 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1901 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2111 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 372} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 547 }[/math]	[math]\displaystyle{ 857 }[/math]	[math]\displaystyle{ 877 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1087 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2887 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 378} }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 163 }[/math]	[math]\displaystyle{ 313 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 563 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 384} }[/math]	[math]\displaystyle{ 139 }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 719 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1439 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1699 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 390} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 131 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 197 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 396} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 431 }[/math]	[math]\displaystyle{ 691 }[/math]	[math]\displaystyle{ 701 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 402} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 167 }[/math]	[math]\displaystyle{ 727 }[/math]	[math]\displaystyle{ 997 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1637 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 408} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 643 }[/math]	[math]\displaystyle{ 683 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1063 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1213 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 414} }[/math]	[math]\displaystyle{ 269 }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1879 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2089 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 426} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 131 }[/math]	[math]\displaystyle{ 181 }[/math]	[math]\displaystyle{ 431 }[/math]	[math]\displaystyle{ 761 }[/math]	[math]\displaystyle{ 811 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 432} }[/math]	[math]\displaystyle{ 227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 617 }[/math]	[math]\displaystyle{ 857 }[/math]	[math]\displaystyle{ 997 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1657 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1667 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 438} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1163 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1303 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1873 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 444} }[/math]	[math]\displaystyle{ 199 }[/math]	[math]\displaystyle{ 409 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1669 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1889 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2029 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 450} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 251 }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 456} }[/math]	[math]\displaystyle{ 191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 521 }[/math]	[math]\displaystyle{ 631 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1171 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1291 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 462} }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 137 }[/math]	[math]\displaystyle{ 277 }[/math]	[math]\displaystyle{ 307 }[/math]	[math]\displaystyle{ 367 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 468} }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 293 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 683 }[/math]	[math]\displaystyle{ 733 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1013 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 474} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 479 }[/math]	[math]\displaystyle{ 719 }[/math]	[math]\displaystyle{ 829 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 480} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 347 }[/math]	[math]\displaystyle{ 439 }[/math]	[math]\displaystyle{ 449 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 486} }[/math]	[math]\displaystyle{ 241 }[/math]	[math]\displaystyle{ 811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 941 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1361 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1861 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1871 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 492} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 947 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1607 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2897 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3037 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 498} }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 883 }[/math]	[math]\displaystyle{ 953 }[/math]	[math]\displaystyle{ 983 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1723 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1913 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 504} }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 599 }[/math]	[math]\displaystyle{ 619 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 510} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 167 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 516} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1181 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1361 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1471 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 522} }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 487 }[/math]	[math]\displaystyle{ 907 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1097 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1237 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1747 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 528} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 443 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 653 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1213 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 534} }[/math]	[math]\displaystyle{ 839 }[/math]	[math]\displaystyle{ 919 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1399 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1579 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1619 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 540} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 546} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 401 }[/math]	[math]\displaystyle{ 431 }[/math]	[math]\displaystyle{ 821 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 552} }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 277 }[/math]	[math]\displaystyle{ 727 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1427 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2267 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 558} }[/math]	[math]\displaystyle{ 463 }[/math]	[math]\displaystyle{ 593 }[/math]	[math]\displaystyle{ 673 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1013 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1583 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2243 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 564} }[/math]	[math]\displaystyle{ 109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 659 }[/math]	[math]\displaystyle{ 719 }[/math]	[math]\displaystyle{ 859 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 570} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 163 }[/math]	[math]\displaystyle{ 241 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 576} }[/math]	[math]\displaystyle{ 151 }[/math]	[math]\displaystyle{ 401 }[/math]	[math]\displaystyle{ 541 }[/math]	[math]\displaystyle{ 991 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1061 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1091 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 582} }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 457 }[/math]	[math]\displaystyle{ 647 }[/math]	[math]\displaystyle{ 967 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1087 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 588} }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 233 }[/math]	[math]\displaystyle{ 443 }[/math]	[math]\displaystyle{ 613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 594} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 439 }[/math]	[math]\displaystyle{ 599 }[/math]	[math]\displaystyle{ 839 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1019 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 600} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 173 }[/math]	[math]\displaystyle{ 227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 239 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 5} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 6} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 12} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 137 }[/math]	[math]\displaystyle{ 151 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 42} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 48} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 571 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 96} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 239 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 126} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math]	[math]\displaystyle{ 101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 367 }[/math]	[math]\displaystyle{ 397 }[/math]	[math]\displaystyle{ 577 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1013 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 240} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 263 }[/math]	[math]\displaystyle{ 331 }[/math]	[math]\displaystyle{ 571 }[/math]	[math]\displaystyle{ 823 }[/math]	[math]\displaystyle{ 947 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 252} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 270} }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 557 }[/math]	[math]\displaystyle{ 613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 641 }[/math]	[math]\displaystyle{ 743 }[/math]	[math]\displaystyle{ 827 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 300} }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 419 }[/math]	[math]\displaystyle{ 509 }[/math]	[math]\displaystyle{ 523 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 330} }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 317 }[/math]	[math]\displaystyle{ 457 }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 360} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 293 }[/math]	[math]\displaystyle{ 349 }[/math]	[math]\displaystyle{ 577 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 390} }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1097 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1489 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 199 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 426} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 450} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 599 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1033 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1117 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 474} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 480} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 347 }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1723 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 510} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 167 }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 419 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 540} }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 211 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 673 }[/math]	[math]\displaystyle{ 919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 570} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 241 }[/math]	[math]\displaystyle{ 269 }[/math]	[math]\displaystyle{ 647 }[/math]	[math]\displaystyle{ 839 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 594} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 600} }[/math]	[math]\displaystyle{ 283 }[/math]	[math]\displaystyle{ 311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 353 }[/math]	[math]\displaystyle{ 509 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1531 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 6} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 30} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 541 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2221 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6673 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 60} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 641 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5443 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10091 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12457 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 90} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1973 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2351 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5081 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10709 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 120} }[/math]	[math]\displaystyle{ 239 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 701 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2339 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2437 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10613 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 157 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2467 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4637 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6079 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 180} }[/math]	[math]\displaystyle{ 397 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1013 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1307 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17029 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20963 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24337 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 199 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 389 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 240} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 331 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2207 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3677 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5021 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6323 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 270} }[/math]	[math]\displaystyle{ 557 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1201 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2377 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8467 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9923 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12107 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 300} }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 587 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1511 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4073 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4423 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 330} }[/math]	[math]\displaystyle{ 127 }[/math]	[math]\displaystyle{ 491 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2129 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2857 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3137 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5153 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 360} }[/math]	[math]\displaystyle{ 227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 577 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1669 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9187 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13331 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13933 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 390} }[/math]	[math]\displaystyle{ 229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3701 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9007 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9833 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13291 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17911 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 743 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1289 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 450} }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1381 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1451 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3607 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5651 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8521 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 480} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5051 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8719 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10567 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13591 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 510} }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 419 }[/math]	[math]\displaystyle{ 811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3583 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4283 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 540} }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 673 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3851 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3907 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7043 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12377 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 570} }[/math]	[math]\displaystyle{ 269 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2887 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3853 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10979 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11399 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 600} }[/math]	[math]\displaystyle{ 8839 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23371 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38183 }[/math]	[math]\displaystyle{ 44189 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59743 }[/math]	[math]\displaystyle{ 63467 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math]	[math]\displaystyle{ 179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1637 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2267 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2897 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4813 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 660} }[/math]	[math]\displaystyle{ 163 }[/math]	[math]\displaystyle{ 317 }[/math]	[math]\displaystyle{ 401 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2753 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5077 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 690} }[/math]	[math]\displaystyle{ 277 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1523 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10427 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15971 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27059 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 720} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1231 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3793 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4003 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7573 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10079 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 750} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1051 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1289 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1583 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2857 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12377 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18523 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 780} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1151 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3517 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3923 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4637 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5309 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9929 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 810} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1993 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7817 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11443 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17519 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52631 }[/math]	[math]\displaystyle{ 109919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 313 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1061 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1753 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1901 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2593 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 870} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5273 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5987 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9431 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10957 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 900} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1747 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12541 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14767 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31511 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40289 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 930} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 293 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9043 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10247 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34327 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38891 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 960} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4943 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8737 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15373 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28351 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35393 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36919 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 990} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1249 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1319 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2467 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2957 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4049 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8291 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1020} }[/math]	[math]\displaystyle{ 887 }[/math]	[math]\displaystyle{ 929 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2441 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4639 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15083 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19997 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 443 }[/math]	[math]\displaystyle{ 839 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3469 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1080} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1423 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9011 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10663 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27799 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36493 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51473 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1110} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3847 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9643 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10357 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11743 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16223 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21977 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1140} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1063 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1301 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1553 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1777 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5683 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6397 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1170} }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 701 }[/math]	[math]\displaystyle{ 911 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2143 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2297 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2857 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1200} }[/math]	[math]\displaystyle{ 367 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2677 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3391 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18749 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34961 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59699 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1230} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2539 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6053 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6823 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9091 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14831 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 617 }[/math]	[math]\displaystyle{ 739 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1051 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1931 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1290} }[/math]	[math]\displaystyle{ 149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17747 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20981 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24481 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46643 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47917 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1320} }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 977 }[/math]	[math]\displaystyle{ 991 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2237 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9461 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20983 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1350} }[/math]	[math]\displaystyle{ 811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 937 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3877 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14923 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16001 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18493 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1380} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15541 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16927 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17417 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18089 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1410} }[/math]	[math]\displaystyle{ 367 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2593 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12421 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50599 }[/math]	[math]\displaystyle{ 60889 }[/math]	[math]\displaystyle{ 80629 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1440} }[/math]	[math]\displaystyle{ 439 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6277 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20753 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21929 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39079 }[/math]	[math]\displaystyle{ 57727 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1279 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1877 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2393 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2749 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2801 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1500} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7331 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8423 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15493 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28513 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31607 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38453 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1530} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2741 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3203 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8537 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14389 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20143 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21277 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1560} }[/math]	[math]\displaystyle{ 419 }[/math]	[math]\displaystyle{ 727 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3499 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3919 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6257 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9029 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1590} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2213 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2339 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4523 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6469 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9241 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9857 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1620} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7717 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9103 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37607 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46567 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1650} }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3001 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3659 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4051 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4289 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11527 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math]	[math]\displaystyle{ 197 }[/math]	[math]\displaystyle{ 997 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1289 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1319 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2309 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2683 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1710} }[/math]	[math]\displaystyle{ 373 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1549 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1913 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2711 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12539 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15031 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1740} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1621 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5387 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6269 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15551 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61723 }[/math]	[math]\displaystyle{ 77543 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1770} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1483 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13691 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15329 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20873 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23869 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29917 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1800} }[/math]	[math]\displaystyle{ 421 }[/math]	[math]\displaystyle{ 967 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1499 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6217 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30983 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37171 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1830} }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17909 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46567 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89057 }[/math]	[math]\displaystyle{ 105619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 128341 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1860} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5087 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6151 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9133 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16567 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23819 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29881 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 727 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1279 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1409 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1543 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1920} }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1493 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13967 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19973 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41351 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46867 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1950} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3259 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4813 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8803 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12373 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13577 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13619 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1980} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1511 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3863 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4969 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7027 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9337 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2010} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1303 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3739 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7309 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13763 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22093 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31151 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2040} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6779 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7507 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8963 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10069 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12281 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2070} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1097 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2063 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2917 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4289 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6571 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11149 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 281 }[/math]	[math]\displaystyle{ 757 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1459 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1847 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2503 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2130} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3677 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5077 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11699 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17159 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31159 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2160} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5849 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24329 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 114419 }[/math]	[math]\displaystyle{ 126823 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2190} }[/math]	[math]\displaystyle{ 643 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4283 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4339 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23743 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24821 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30211 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2220} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4229 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11243 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11467 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13693 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26209 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2250} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4721 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17321 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19477 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21661 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23117 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2280} }[/math]	[math]\displaystyle{ 719 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2399 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15797 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22391 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23189 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27809 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 547 }[/math]	[math]\displaystyle{ 661 }[/math]	[math]\displaystyle{ 859 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2340} }[/math]	[math]\displaystyle{ 107 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4363 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5483 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9613 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12413 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14737 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2370} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1187 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1831 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4211 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7963 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9419 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15607 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2400} }[/math]	[math]\displaystyle{ 503 }[/math]	[math]\displaystyle{ 853 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4787 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15091 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20327 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23603 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2430} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13217 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38851 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43261 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46747 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67481 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2460} }[/math]	[math]\displaystyle{ 227 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1459 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6779 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6863 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18553 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29207 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2490} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1237 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7621 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14411 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19801 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46457 }[/math]	[math]\displaystyle{ 55921 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 709 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1013 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1181 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1303 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1409 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2550} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1871 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9403 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33203 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36241 }[/math]	[math]\displaystyle{ 70009 }[/math]	[math]\displaystyle{ 74587 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2580} }[/math]	[math]\displaystyle{ 277 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6101 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35851 }[/math]	[math]\displaystyle{ 55871 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61723 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2610} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8539 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8861 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10093 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15679 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17989 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2640} }[/math]	[math]\displaystyle{ 9283 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10781 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12377 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12433 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13679 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22751 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2670} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1039 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4133 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12589 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14731 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16411 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23789 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2700} }[/math]	[math]\displaystyle{ 8629 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10267 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16217 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17477 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18149 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19843 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 631 }[/math]	[math]\displaystyle{ 761 }[/math]	[math]\displaystyle{ 811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1091 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1423 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2760} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2473 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2767 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9137 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9403 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9767 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2790} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6899 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15733 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20353 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20899 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23447 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29201 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2820} }[/math]	[math]\displaystyle{ 727 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1259 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3023 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7951 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17989 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20201 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2850} }[/math]	[math]\displaystyle{ 379 }[/math]	[math]\displaystyle{ 463 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2843 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4831 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9661 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10067 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2880} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1459 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2803 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4973 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7283 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8543 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12281 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2910} }[/math]	[math]\displaystyle{ 397 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12409 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19087 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25121 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37441 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41081 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 383 }[/math]	[math]\displaystyle{ 691 }[/math]	[math]\displaystyle{ 983 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2393 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2797 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2970} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1031 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2879 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3593 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5147 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6029 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6673 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 3000} }[/math]	[math]\displaystyle{ 907 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35543 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45413 }[/math]	[math]\displaystyle{ 60337 }[/math]	[math]\displaystyle{ 65713 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89009 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 7} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 150} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 210} }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 179 }[/math]	[math]\displaystyle{ 199 }[/math]	[math]\displaystyle{ 409 }[/math]	[math]\displaystyle{ 619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 829 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 420} }[/math]	[math]\displaystyle{ 193 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1619 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2239 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2659 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4259 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5849 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 630} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1637 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2267 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5569 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8369 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11003 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11633 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 840} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1061 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1753 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3623 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4493 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5651 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6043 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1050} }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3469 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6653 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8629 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8783 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8837 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1260} }[/math]	[math]\displaystyle{ 359 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1931 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2063 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3323 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4583 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13933 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1470} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1279 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2393 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2801 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8117 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9661 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1680} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1289 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1319 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2683 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2969 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11261 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12941 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 1890} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1279 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1723 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1879 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2693 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4583 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2100} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1847 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3947 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26497 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34913 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35771 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36187 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2310} }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 547 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1019 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1063 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1367 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1747 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2520} }[/math]	[math]\displaystyle{ 113 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1181 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1409 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5413 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7109 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7933 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2730} }[/math]	[math]\displaystyle{ 631 }[/math]	[math]\displaystyle{ 811 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1091 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2417 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3643 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3821 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2760} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{ 2940} }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6317 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6911 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9433 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11927 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12373 }[/math]

Ciągi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 12:58, 31 maj 2024

Spis treści

Ciągi nieskończone

Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych

Ciągi nieskończone i liczby pierwsze

Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych

Uzupełnienie

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj

@@ Linia 96: / Linia 96: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C9 (twierdzenie o&nbsp;trzech ciągach)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C9</span><br/>
+Jeżeli ciąg <math>(a_n)</math> jest zbieżny, to jest ograniczony.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia ciąg <math>(a_n)</math> jest zbieżny, zatem możemy napisać, że <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a</math>. Z definicji granicy (zobacz C4, C6) dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>| a_n - a | < \varepsilon</math>. Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy poczynając od pewnego <math>N = N (\varepsilon)</math>. Zatem dla <math>n > N</math> jest
+::<math>a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon</math>
+Wynika stąd, że dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest
+::<math>m \leqslant a_n \leqslant M</math>
+gdzie
+::<math>M = \max (a_1, \ldots, a_N, a + \varepsilon)</math>
+::<math>m = \min (a_1, \ldots, a_N, a - \varepsilon)</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C10 (twierdzenie o&nbsp;trzech ciągach)</span><br/>
 Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek
@@ Linia 131: / Linia 155: @@
 Bez dowodu podamy kilka ważnych twierdzeń.<br>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C10*</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C11*</span><br/>
 Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
@@ Linia 141: / Linia 165: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C11*</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C12*</span><br/>
 Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
@@ Linia 151: / Linia 175: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C12*</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C13*</span><br/>
 Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty} b_n = b</math>, gdzie <math>a, b</math> są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to
@@ Linia 163: / Linia 187: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C13</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C14</span><br/>
 Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(x_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że dla każdej wartości <math>n</math> prawdziwa jest nierówność <math>| x_n | < M</math>, to
@@ Linia 187: / Linia 211: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C14</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C15</span><br/>
 Dla <math>a \geqslant 0</math> i <math>n \geqslant 1</math> prawdziwa jest nierówność
@@ Linia 206: / Linia 230: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C15</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C16</span><br/>
 Jeżeli <math>A > 0</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Dla <math>A > 1</math> możemy napisać <math>A = 1 + a</math>, gdzie <math>a > 0</math>, wtedy z&nbsp;twierdzenia C14 otrzymujemy
+Dla <math>A > 1</math> możemy napisać <math>A = 1 + a</math>, gdzie <math>a > 0</math>, wtedy z&nbsp;twierdzenia C15 otrzymujemy
 ::<math>1 < \sqrt[n]{A} = (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
@@ Linia 228: / Linia 252: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C16</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C17</span><br/>
 Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>0 < m < a_n < M</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math>
@@ Linia 240: / Linia 264: @@
 ::<math>\sqrt[n]{m} \leqslant \sqrt[n]{a_n} \leqslant \sqrt[n]{M}</math>
-Z twierdzenia C15 wiemy, że <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1</math>, zatem na podstawie twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math><br/>
+Z twierdzenia C16 wiemy, że <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1</math>, zatem na podstawie twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 246: / Linia 270: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C17</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C18</span><br/>
 Następujące ciągi są silnie rosnące i&nbsp;zbieżne
@@ Linia 262: / Linia 286: @@
 ::<math>a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
-jest silnie rosnący i&nbsp;ograniczony od góry. Zatem z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że jest zbieżny. Liczbę będącą granicą tego ciągu oznaczamy literą <math>e</math>, jest ona podstawą logarytmu naturalnego.
+jest silnie rosnący i&nbsp;ograniczony od góry. Zatem z&nbsp;twierdzenia C11 wynika, że jest zbieżny. Liczbę będącą granicą tego ciągu oznaczamy literą <math>e</math>, jest ona podstawą logarytmu naturalnego.
 '''Punkt 2'''<br/>
@@ Linia 285: / Linia 309: @@
 ::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \left( \frac{1}{n^2} \right)^k > \sum_{k = 0}^{1} \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^{2k}} = 1 + \frac{1}{n}</math>
-Ponieważ dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \leqslant 1</math> (bo iloczyn liczb mniejszych od <math>1</math> nie może być liczbą większą do jedności), to z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że ciąg ten jest zbieżny. Zatem możemy napisać
+Ponieważ dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \leqslant 1</math> (bo iloczyn liczb mniejszych od <math>1</math> nie może być liczbą większą do jedności), to z&nbsp;twierdzenia C11 wynika, że ciąg ten jest zbieżny. Zatem możemy napisać
 ::<math>\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = g</math>
@@ Linia 297: / Linia 321: @@
 ::<math>0 < \left( \frac{3}{4} \right)^4 \leqslant \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \leqslant 1</math>
-Z twierdzenia C16 dostajemy
+Z twierdzenia C17 dostajemy
 ::<math>\lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
-Z twierdzenia C12 p. 2 wynika natychmiast, że
+Z twierdzenia C13 p. 2 wynika natychmiast, że
 ::<math>e \cdot g = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \right] = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
@@ Linia 311: / Linia 335: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C18</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C19</span><br/>
 Dla <math>n \geqslant 2</math> prawdziwe są następujące nierówności
@@ Linia 360: / Linia 384: @@
 == Liczby pierwsze w&nbsp;ciągach arytmetycznych ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C19</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C20</span><br/>
 Każda liczba naturalna <math>n \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.
@@ Linia 385: / Linia 409: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C20 (Euklides, IV w. p.n.e.)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C21 (Euklides, IV w. p.n.e.)</span><br/>
 Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Przypuśćmy, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> . Wtedy liczba <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1</math> jest większa od jedności i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia C19 wynika, że posiada dzielnik będący liczbą pierwszą, ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>a</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>p</math> będąca dzielnikiem pierwszym liczby <math>a</math> i&nbsp;różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>. Co kończy dowód.<br/>
+Przypuśćmy, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> . Wtedy liczba <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1</math> jest większa od jedności i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia C20 wynika, że posiada dzielnik będący liczbą pierwszą, ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>a</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>p</math> będąca dzielnikiem pierwszym liczby <math>a</math> i&nbsp;różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 395: / Linia 419: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C21</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C22</span><br/>
 Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>4 k + 3</math><ref name="LiczbaJestPostaci"/>, to ma dzielnik postaci <math>4 k + 3</math> będący liczbą pierwszą.
@@ Linia 413: / Linia 437: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C22</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C23</span><br/>
 Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>.
@@ Linia 421: / Linia 445: @@
 ::<math>M = 4 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 4 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 3</math>
-jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C21, ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Ale jak łatwo zauważyć, żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
+jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C22, ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Ale jak łatwo zauważyć, żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 427: / Linia 451: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C23</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C24</span><br/>
 Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>6 k + 5</math>, to ma dzielnik postaci <math>6 k + 5</math> będący liczbą pierwszą.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;twierdzenia C19 wiemy, że w&nbsp;tym przypadku liczba <math>n</math> będzie iloczynem liczb pierwszych. Zauważmy, że nieparzyste liczby pierwsze mogą być jedynie postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math> (liczba <math>6 k + 3</math> jest liczbą złożoną). Ponieważ iloczyn liczb postaci <math>6 k + 1</math>
+Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;twierdzenia C20 wiemy, że w&nbsp;tym przypadku liczba <math>n</math> będzie iloczynem liczb pierwszych. Zauważmy, że nieparzyste liczby pierwsze mogą być jedynie postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math> (liczba <math>6 k + 3</math> jest liczbą złożoną). Ponieważ iloczyn liczb postaci <math>6 k + 1</math>
 ::<math>(6 a + 1) (6 b + 1) = 36 a b + 6 a + 6 b + 1 = 6 (6 a b + a + b) + 1</math>
@@ Linia 441: / Linia 465: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C24</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C25</span><br/>
 Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>.
@@ Linia 449: / Linia 473: @@
 ::<math>M = 6 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 6 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 5</math>
-jest postaci <math>6 k + 5</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C23 ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math>. Ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
+jest postaci <math>6 k + 5</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C24 ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math>. Ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 455: / Linia 479: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C25</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C26</span><br/>
 Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>3 k + 2</math>.
@@ Linia 469: / Linia 493: @@
 ::<math>3 k + 2 = 3 (2 j + 1) + 2 = 6 j + 5</math>
-o którym wiemy, że zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (zobacz twierdzenie C24). Zatem w&nbsp;ciągu arytmetycznym postaci <math>3 k + 2</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.<br/>
+o którym wiemy, że zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (zobacz twierdzenie C25). Zatem w&nbsp;ciągu arytmetycznym postaci <math>3 k + 2</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 475: / Linia 499: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C26</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C27</span><br/>
 Zauważmy, że liczby postaci <math>2 k + 1</math> to wszystkie liczby nieparzyste dodatnie. Ponieważ wszystkie liczby pierwsze (poza liczbą <math>2</math>) są liczbami nieparzystymi, to wśród liczb postaci <math>2 k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
@@ Linia 482: / Linia 506: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C27* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C28* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)</span><br/>
 Niech <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C28</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C29</span><br/>
 Dowód twierdzenia Dirichleta jest bardzo trudny. Natomiast bardzo łatwo można pokazać, że dowolny ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math> zawiera nieskończenie wiele liczb złożonych. Istotnie, jeżeli liczby <math>a, b</math> nie są względnie pierwsze, to wszystkie wyrazy ciągu są liczbami złożonymi. Jeżeli <math>a, b</math> są względnie pierwsze i <math>b > 1 ,</math> to wystarczy przyjąć <math>k = b t</math>. Jeżeli są względnie pierwsze i <math>b = 1</math>, to wystarczy przyjąć <math>k = a t^2 + 2 t</math>, wtedy
@@ Linia 494: / Linia 518: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C29</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C30</span><br/>
 Wiemy już, że w przypadku gdy liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Pojawia się pytanie o to, czy możliwe jest oszacowanie najmniejszej liczby pierwszej <math>p</math> w takim ciągu. Jakkolwiek przypuszczamy, że prawdziwe jest oszacowanie <math>p < a^2</math>, to stan naszej obecnej wiedzy ujmuje twierdzenie Linnika<ref name="Linnik1"/><ref name="Linnik2"/><ref name="Linnik3"/><ref name="Linnik4"/>, które podajemy niżej. Trzeba było ponad pół wieku wysiłku wielu matematyków, aby pokazać, że w twierdzeniu Linnika możemy przyjąć <math>L = 5</math><ref name="Xylouris1"/>. Bombieri, Friedlander i Iwaniec udowodnili<ref name="Bombieri1"/>, że dla prawie wszystkich liczb <math>a</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>L \leqslant 2</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C30* (Jurij Linnik, 1944)</span><br/> Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p_{\min} (a, b)</math> oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>\gcd (a, b) = 1</math> i <math>b \in [1, a - 1]</math>, to istnieją takie stałe <math>L > 0</math> i <math>a_0 \geqslant 2</math>, że dla wszystkich <math>a > a_0</math> prawdziwe jest oszacowanie
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C31* (Jurij Linnik, 1944)</span><br/> Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p_{\min} (a, b)</math> oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>\gcd (a, b) = 1</math> i <math>b \in [1, a - 1]</math>, to istnieją takie stałe <math>L > 0</math> i <math>a_0 \geqslant 2</math>, że dla wszystkich <math>a > a_0</math> prawdziwe jest oszacowanie
 ::<math>p_{\min} (a, b) < a^L</math>
@@ Linia 505: / Linia 529: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C31</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C32</span><br/>
 Pokazać, że z twierdzenia Linnika wynika istnienie takich stałych <math>c, L > 0</math>, że dla każdego <math>a \geqslant 2</math> prawdziwe jest oszacowanie
@@ Linia 537: / Linia 561: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C32</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C33</span><br/>
-Pokazaliśmy (zobacz C31), że istnieją takie stałe <math>c, L > 0</math>, że dla każdego <math>a \geqslant 2</math> prawdziwe jest oszacowanie
+Pokazaliśmy (zobacz C32), że istnieją takie stałe <math>c, L > 0</math>, że dla każdego <math>a \geqslant 2</math> prawdziwe jest oszacowanie
 ::<math>p(a) < c a^L</math>
@@ Linia 728: / Linia 752: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C33</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C34</span><br/>
 Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi 99, przykładowo 199, 499, 599, 1399, 1499, ...
@@ Linia 738: / Linia 762: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C34</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C35</span><br/>
 Niech <math>a \geqslant 2</math> będzie liczbą całkowitą. Wartość funkcji <math>\pi(n; a, b)</math> jest równa ilości liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, które przy dzieleniu przez <math>a</math> dają resztę <math>b</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C35</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C36</span><br/>
 Zauważmy, że w&nbsp;twierdzeniu Dirichleta na liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> nałożone są minimalne warunki: <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Sytuacja w&nbsp;przypadku funkcji <math>\pi (n ; a, b)</math> jest odmienna – tutaj mamy <math>a \geqslant 2</math> oraz <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jest tak dlatego, że podział liczb pierwszych, który odzwierciedla funkcja <math>\pi (n ; a, b)</math> jest podziałem pierwotnym, a&nbsp;twierdzenie Dirichleta jest tylko jego uzasadnieniem. Podział
 liczb pierwszych musi być też precyzyjnie określony, tak aby zachodził naturalny związek
@@ Linia 759: / Linia 783: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C36</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C37</span><br/>
 Pokazać, że dla dowolnej liczby całkowitej <math>m \geqslant 1</math>
@@ Linia 796: / Linia 820: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C37</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C38</span><br/>
 Rozważmy ciąg arytmetyczny <math>u_k = 3 k + 2</math> i&nbsp;wskaźnik
@@ Linia 807: / Linia 831: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C38</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C39</span><br/>
 Jeżeli <math>n \geqslant 3</math>, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (n)</math> liczb pierwszych.
@@ Linia 839: / Linia 863: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C39</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C40</span><br/>
 Czytelnik może łatwo sprawdzić, że ciąg <math>( 1308, \ldots, 1407 )</math> stu kolejnych liczb całkowitych zawiera dokładnie <math>8</math> liczb pierwszych.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C40</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C41</span><br/>
-Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C38, że istnieje <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
+Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C39, że istnieje <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
@@ Linia 860: / Linia 884: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C41</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C42</span><br/>
 Pokazać, że istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.
@@ Linia 867: / Linia 891: @@
 :* wśród pierwszych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> jest <math>13</math> liczb pierwszych
-:* w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych (zobacz zadanie C36), zatem istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej
+:* w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych (zobacz zadanie C37), zatem istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej
 Pierwsze spostrzeżenie pokazuje, że rozwiązanie problemu jest potencjalnie możliwe. Rozwiązanie mogłoby nie istnieć, gdybyśmy szukali <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> wśród których jest, powiedzmy, <math>15</math> liczb pierwszych.
@@ Linia 912: / Linia 936: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C42</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C43</span><br/>
 Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a \geqslant 2</math> i <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> są względnie pierwsze, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb postaci <math>a k + b</math>, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (a (n - 1) + b ; a, b)</math> liczb pierwszych.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Twierdzenie można udowodnić uogólniając dowód twierdzenia C38 lub wykorzystując metodę zastosowaną w&nbsp;rozwiązaniu zadania C41.<br/>
+Twierdzenie można udowodnić uogólniając dowód twierdzenia C39 lub wykorzystując metodę zastosowaną w&nbsp;rozwiązaniu zadania C42.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 922: / Linia 946: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C43</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C44</span><br/>
 Niech <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> występują kwadraty wszystkich liczb pierwszych <math>p</math>.
@@ Linia 938: / Linia 962: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C44</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C45</span><br/>
 Dany jest ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze. Pokazać, że
@@ Linia 962: / Linia 986: @@
 ::<math>p \mid a (j - i)</math>
-Ponieważ <math>p \nmid a</math> to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74), mamy
+Ponieważ <math>p \nmid a</math> to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C75), mamy
 ::<math>p \mid (j - i)</math>
@@ Linia 980: / Linia 1004: @@
 ::<math>n p - a k = b</math>
-Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Na mocy twierdzenia C78 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
+Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Na mocy twierdzenia C79 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
 ::<math>n = n_0 + p t</math>
@@ Linia 1015: / Linia 1039: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C45</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C46</span><br/>
 Łatwo możemy napisać w&nbsp;PARI/GP funkcję, która zwraca najmniejszą liczbę naturalną <math>k_0</math>, dla której wyraz ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jest podzielny przez <math>p</math> (przy założeniu, że liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze).
@@ Linia 1026: / Linia 1050: @@
 == Ciągi nieskończone i&nbsp;liczby pierwsze ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C46</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C47</span><br/>
 Choć wiele ciągów jest dobrze znanych i&nbsp;równie dobrze zbadanych, to nie wiemy, czy zawierają one nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przykładowo
@@ Linia 1072: / Linia 1096: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C47</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C48</span><br/>
 Łatwo sprawdzić, że wartości wielomianu <math>W(n) = n^2 + n + 41</math> są liczbami pierwszymi dla <math>1 \leqslant n \leqslant 39</math>. Oczywiście <math>41 \mid W(41)</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C48</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C49</span><br/>
 Niech <math>a, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>a \geqslant 2</math>. Jeżeli liczba <math>a^n + 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a</math> jest liczbą parzystą i <math>n = 2^m</math>.
@@ Linia 1103: / Linia 1127: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C49</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C50</span><br/>
 Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 1</math> liczba <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>.
@@ Linia 1123: / Linia 1147: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C50</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C51</span><br/>
 Jeżeli <math>n \geqslant 2</math> oraz <math>a^n - 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a = 2</math> i <math>n</math> jest liczbą pierwszą.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z twierdzenia C49 wiemy, że <math>x - y \mid x^n - y^n</math>. W&nbsp;przypadku gdy <math>a > 2</math> mamy
+Z twierdzenia C50 wiemy, że <math>x - y \mid x^n - y^n</math>. W&nbsp;przypadku gdy <math>a > 2</math> mamy
 ::<math>a - 1 \mid a^n - 1</math>
@@ Linia 1146: / Linia 1170: @@
 == Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C51</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C52</span><br/>
 Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych<ref name="PAPWiki"/><ref name="PAPMathWorld"/> zbudowane z&nbsp;dwóch liczb pierwszych nie są interesujące, bo dowolne dwie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Dlatego będziemy się zajmowali ciągami arytmetycznymi liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>.
@@ Linia 1157: / Linia 1181: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C52* (Ben Green i&nbsp;Terence Tao, 2004)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C53* (Ben Green i&nbsp;Terence Tao, 2004)</span><br/>
 Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele <math>n</math>-wyrazowych ciągów arytmetycznych liczb pierwszych.
@@ Linia 1163: / Linia 1187: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C53</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C54</span><br/>
 Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> i <math>n = 4</math>.
@@ Linia 1511: / Linia 1535: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C54</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C55</span><br/>
 Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 5</math> i <math>n = 6</math>.
@@ Linia 1803: / Linia 1827: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C55</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C56</span><br/>
 Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> i <math>n = 8</math>.
@@ Linia 2067: / Linia 2091: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C56</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C57</span><br/>
 Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 9</math> i <math>n = 10</math>.
@@ Linia 2499: / Linia 2523: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C57</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C58</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>a, d, k, k_0 \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> z&nbsp;dzielenia <math>n</math> liczb <math>x_k</math> postaci
@@ Linia 2515: / Linia 2539: @@
 ::<math>n \mid d (j - i)</math>
-Ponieważ liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74), mamy
+Ponieważ liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C75), mamy
 ::<math>n \mid (j - i)</math>
@@ Linia 2527: / Linia 2551: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C58</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C59</span><br/>
 Niech <math>d \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech będzie dany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
@@ Linia 2566: / Linia 2590: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C59</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C60</span><br/>
 Czasami, zamiast pisać „ciąg arytmetyczny liczb pierwszych”, będziemy posługiwali się skrótem PAP od angielskiej nazwy „''prime arithmetic progression''”. Konsekwentnie zapis PAP-<math>n</math> będzie oznaczał ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, a&nbsp;zapis PAP<math>(n, d, q)</math> ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, pierwszym wyrazie <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C60</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C61</span><br/>
 Jakkolwiek sądzimy, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych rozpoczynających się od dowolnej liczby pierwszej <math>q</math> i&nbsp;o&nbsp;dowolnej długości <math>3 \leqslant n \leqslant q</math>, to obecnie jest to tylko nieudowodnione przypuszczenie.
-Dlatego '''nawet dla najmniejszej''' liczby pierwszej <math>q</math> takiej, że <math>q \nmid d</math> nierówność <math>n \leqslant q</math>, pokazana w&nbsp;twierdzeniu C58, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W&nbsp;szczególności nie możemy z&nbsp;góry przyjmować, że dla liczby <math>n = q</math> znajdziemy taką liczbę <math>d</math> będącą wielokrotnością liczby <math>P(q - 1)</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>q</math>, że będzie istniał PAP<math>(q, d, q)</math>.
+Dlatego '''nawet dla najmniejszej''' liczby pierwszej <math>q</math> takiej, że <math>q \nmid d</math> nierówność <math>n \leqslant q</math>, pokazana w&nbsp;twierdzeniu C59, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W&nbsp;szczególności nie możemy z&nbsp;góry przyjmować, że dla liczby <math>n = q</math> znajdziemy taką liczbę <math>d</math> będącą wielokrotnością liczby <math>P(q - 1)</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>q</math>, że będzie istniał PAP<math>(q, d, q)</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C61</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C62</span><br/>
 Rozważmy dwie różnice <math>d_1 = 6 = 2 \cdot 3</math> oraz <math>d_2 = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7</math>. Zauważmy, że liczba pierwsza <math>5</math> nie dzieli ani <math>d_1</math>, ani <math>d_2</math>. Co więcej, liczba pierwsza <math>5</math> jest '''najmniejszą''' liczbą pierwszą, która nie dzieli rozpatrywanych różnic, zatem nierówność <math>n \leqslant 5</math> zapewnia najmocniejsze oszacowanie długości ciągu <math>n</math>. Łatwo sprawdzamy w&nbsp;zamieszczonych tabelach, że dla <math>d = 6</math> oraz dla <math>d = 42</math> są ciągi o&nbsp;długości <math>3, 4, 5</math>, ale nie ma ciągów o&nbsp;długości <math>6, 7, \ldots</math>
-W szczególności z&nbsp;twierdzenia C58 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;określonej długości <math>n</math>, należy szukać ich tylko dla różnic <math>d</math> będących wielokrotnością liczby <math>P(n - 1)</math>.
+W szczególności z&nbsp;twierdzenia C59 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;określonej długości <math>n</math>, należy szukać ich tylko dla różnic <math>d</math> będących wielokrotnością liczby <math>P(n - 1)</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C62</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C63</span><br/>
 Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że jeżeli <math>p_0 = 3</math>, to dwa następne wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych są różnych postaci.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Ponieważ <math>p_0 = 3</math>, a&nbsp;rozpatrywany PAP jest rosnący, to kolejne wyrazy ciągu są większe od liczby <math>3</math> i&nbsp;mogą być przedstawione w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia C58 wiemy, że musi być <math>n \leqslant p_0 = 3</math>, czyli długość rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi dokładnie <math>3</math> i&nbsp;istnieją tylko dwa następne wyrazy.
+Ponieważ <math>p_0 = 3</math>, a&nbsp;rozpatrywany PAP jest rosnący, to kolejne wyrazy ciągu są większe od liczby <math>3</math> i&nbsp;mogą być przedstawione w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia C59 wiemy, że musi być <math>n \leqslant p_0 = 3</math>, czyli długość rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi dokładnie <math>3</math> i&nbsp;istnieją tylko dwa następne wyrazy.
 Rozważmy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych składający się z&nbsp;trzech wyrazów <math>p, q, r</math> takich, że <math>p = 3</math>. Mamy
@@ Linia 2605: / Linia 2629: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C63</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C64</span><br/>
 Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że wszystkie wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math>, gdzie <math>p_0 \geqslant 5</math> i <math>n \geqslant 3</math> muszą być jednakowej postaci.
@@ Linia 2627: / Linia 2651: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C64</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C65</span><br/>
 Niech <math>d > 0</math> będzie różnicą ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
 ::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
-Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C58, że jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>.
+Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C59, że jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
@@ Linia 2639: / Linia 2663: @@
 ::<math>q < p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
-Ponieważ <math>q \nmid d</math>, to na mocy twierdzenia C57 wśród <math>q</math> kolejnych wyrazów <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math> (zauważmy, że <math>q - 1 < n - 1</math>) jedna liczba pierwsza <math>p_k</math> musi być podzielna przez <math>q</math>, zatem musi być równa <math>q</math>. Jednak jest to niemożliwe, bo <math>q < p_k</math> dla wszystkich <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Zatem nie może być <math>n > q</math>.<br/>
+Ponieważ <math>q \nmid d</math>, to na mocy twierdzenia C58 wśród <math>q</math> kolejnych wyrazów <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math> (zauważmy, że <math>q - 1 < n - 1</math>) jedna liczba pierwsza <math>p_k</math> musi być podzielna przez <math>q</math>, zatem musi być równa <math>q</math>. Jednak jest to niemożliwe, bo <math>q < p_k</math> dla wszystkich <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Zatem nie może być <math>n > q</math>.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2645: / Linia 2669: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C65</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C66</span><br/>
 Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą, a&nbsp;liczby pierwsze
@@ Linia 2667: / Linia 2691: @@
 <math>\Longleftarrow</math><br/>
-Ponieważ <math>q</math> jest długością rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych, to z&nbsp;twierdzenia C58 wynika, że musi być <math>q \leqslant p_0</math>.
+Ponieważ <math>q</math> jest długością rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych, to z&nbsp;twierdzenia C59 wynika, że musi być <math>q \leqslant p_0</math>.
-Z założenia liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia C57 wiemy, że <math>q</math> musi dzielić jedną z&nbsp;liczb <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math>.
+Z założenia liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia C58 wiemy, że <math>q</math> musi dzielić jedną z&nbsp;liczb <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math>.
 Jeżeli <math>q \mid p_k</math>, to <math>p_k = q</math>. Ponieważ <math>q \leqslant p_0</math>, to możliwe jest jedynie <math>q \mid p_0</math> i&nbsp;musi być <math>p_0 = q</math>.<br/>
@@ Linia 2677: / Linia 2701: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C66</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C67</span><br/>
 Niech ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> ma postać
 ::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
-Z udowodnionych wyżej twierdzeń C58 i&nbsp;C65 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> można podzielić na dwie grupy
+Z udowodnionych wyżej twierdzeń C59 i&nbsp;C66 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> można podzielić na dwie grupy
 :* jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>, to <math>P(n - 1) \mid d</math> oraz <math>p_0 = n</math> (dla ustalonego <math>d</math> może istnieć tylko jeden ciąg)
@@ Linia 2691: / Linia 2715: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C67</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C68</span><br/>
 Niech różnica ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi <math>d = 10^t</math>, gdzie <math>t \geqslant 1</math>. Zauważmy, że dla dowolnego <math>t</math> liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
@@ Linia 2698: / Linia 2722: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C68</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C69</span><br/>
 Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14, 16</math>.
@@ Linia 2714: / Linia 2738: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C69</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C70</span><br/>
 Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11</math> i <math>d = P (n - 1)</math>.
@@ Linia 2732: / Linia 2756: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C70</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C71</span><br/>
 Przedstawiamy przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych, takie że <math>n = p_0</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11, 13</math>. Zauważmy, że wypisane w&nbsp;tabeli wartości <math>d</math> są wielokrotnościami liczby <math>P(n - 1)</math>.
@@ Linia 2760: / Linia 2784: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C71</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C72</span><br/>
 Liczby <math>3, 5, 7</math> są najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego '''kolejnych''' liczb pierwszych. Zauważmy, że tylko w&nbsp;przypadku <math>n = 3</math> możliwa jest sytuacja, że <math>n = p_0 = 3</math>. Istotnie, łatwo stwierdzamy, że
@@ Linia 2912: / Linia 2936: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C72</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C73</span><br/>
 Uzasadnij przypuszczenie, że ciągów arytmetycznych '''kolejnych''' liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> możemy oczekiwać dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
@@ Linia 2993: / Linia 3017: @@
 == Uzupełnienie ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C73 (lemat Bézouta)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C74 (lemat Bézouta)</span><br/>
 Jeżeli liczby całkowite <math>a</math> i <math>b</math> nie są jednocześnie równe zeru, a&nbsp;największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>D</math>, to istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
@@ Linia 3020: / Linia 3044: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C74 (lemat Euklidesa)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C75 (lemat Euklidesa)</span><br/>
 Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą oraz <math>a, b, d \in \mathbb{Z}</math>.
@@ Linia 3031: / Linia 3055: @@
 '''Punkt 1.'''
-Z założenia liczby <math>d</math> i <math>a</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (twierdzenie C73) istnieją takie liczby całkowite <math>x</math> i <math>y</math>, że
+Z założenia liczby <math>d</math> i <math>a</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (twierdzenie C74) istnieją takie liczby całkowite <math>x</math> i <math>y</math>, że
 ::<math>d x + a y = 1</math>
@@ Linia 3053: / Linia 3077: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C75</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C76</span><br/>
 Niech <math>a, b, m \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>a \mid m \;</math> i <math>\; b \mid m</math> oraz <math>\gcd (a, b) = 1</math>, to <math>a b \mid m</math>.
@@ Linia 3062: / Linia 3086: @@
 ::<math>a x + b y = 1</math>
-(zobacz C73). Zatem
+(zobacz C74). Zatem
 ::<math>m = m (a x + b y)</math>
@@ Linia 3078: / Linia 3102: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C76</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C77</span><br/>
 Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Równanie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest dzielnikiem liczby <math>c</math>.
@@ Linia 3098: / Linia 3122: @@
 ::<math>a x + b y = k D</math>
-Lemat Bézouta (twierdzenie C73) zapewnia istnienie liczb całkowitych <math>x_0</math> i <math>y_0</math> takich, że
+Lemat Bézouta (twierdzenie C74) zapewnia istnienie liczb całkowitych <math>x_0</math> i <math>y_0</math> takich, że
 ::<math>a x_0 + b y_0 = D</math>
@@ Linia 3116: / Linia 3140: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C77</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C78</span><br/>
-Z twierdzenia C76 wynika, że szukając rozwiązań równania <math>A x + B y = C</math> w&nbsp;liczbach całkowitych, powinniśmy
+Z twierdzenia C77 wynika, że szukając rozwiązań równania <math>A x + B y = C</math> w&nbsp;liczbach całkowitych, powinniśmy
 :* obliczyć największy wspólny dzielnik <math>D</math> liczb <math>A</math> i <math>B</math>
@@ Linia 3126: / Linia 3150: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C78</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C79</span><br/>
 Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to równanie
@@ Linia 3141: / Linia 3165: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z założenia liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>1</math> i&nbsp;dzieli liczbę <math>c</math>. Na mocy twierdzenia C76 równanie
+Z założenia liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>1</math> i&nbsp;dzieli liczbę <math>c</math>. Na mocy twierdzenia C77 równanie
 ::<math>a x + b y = c</math>
@@ Linia 3171: / Linia 3195: @@
 ::<math>a (x - x_0) = b (y_0 - y)</math>
-Ponieważ liczby <math>a \,</math> i <math>\, b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b \mid (x - x_0)</math>. Skąd mamy
+Ponieważ liczby <math>a \,</math> i <math>\, b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C75) <math>b \mid (x - x_0)</math>. Skąd mamy
 ::<math>x - x_0 = b t</math>
@@ Linia 3185: / Linia 3209: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C79</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C80</span><br/>
 Rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = p_0} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{5} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 42 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 96 }[/math]	[math]\displaystyle{ 126 }[/math]	[math]\displaystyle{ 252 }[/math]	[math]\displaystyle{ 426 }[/math]	[math]\displaystyle{ 474 }[/math]	[math]\displaystyle{ 594 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{7} }[/math]	[math]\displaystyle{ 150 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2760 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3450 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9150 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14190 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20040 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21240 }[/math]	[math]\displaystyle{ 63600 }[/math]	[math]\displaystyle{ 76710 }[/math]	[math]\displaystyle{ 117420 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1536160080 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4911773580 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25104552900 }[/math]	[math]\displaystyle{ 77375139660 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83516678490 }[/math]	[math]\displaystyle{ 100070721660 }[/math]	[math]\displaystyle{ 150365447400 }[/math]	[math]\displaystyle{ 300035001630 }[/math]	[math]\displaystyle{ 318652145070 }[/math]	[math]\displaystyle{ 369822103350 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{13} }[/math]	[math]\displaystyle{ 9918821194590 }[/math]	[math]\displaystyle{ 104340979077720 }[/math]	[math]\displaystyle{ 187635245859600 }[/math]	[math]\displaystyle{ 232320390245790 }[/math]	[math]\displaystyle{ 391467874710990 }[/math]	[math]\displaystyle{ 859201916576850 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1024574038282410 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1074380369464710 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1077624363457950 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1185763337651970 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{n = 3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{p_0 \leqslant 10^{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{47} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{151} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{167} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{199} }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{251} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{257} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{367} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{557} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{587} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{601} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{647} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{727} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{941} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{971} }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]