Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 19:04, 6 sty 2026

22.04.2023

Przykłady sum symboli Legendre'a

Twierdzenie K1
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, [math]\displaystyle{ a, d \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid d }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy zauważyć, że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0 }[/math]

Punkt 2.

Wystarczy zauważyć, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

oraz że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1 }[/math]

Punkt 3.

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math] są względnie pierwsze. Z twierdzenia C59 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k d }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Czyli wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p. 2). Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0 = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K2* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{N}_0 }[/math], to prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < \sqrt{p} \log p }[/math]

Twierdzenie K3
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\ \end{cases} }[/math]

Dowód

1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \mid (a - b)} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ b \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

Z twierdzenia C59 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Czyli wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p. 2). Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = p - 1 }[/math]

Co należało pokazać.

2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \nmid (a - b)} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math] i sumując od [math]\displaystyle{ a }[/math] do [math]\displaystyle{ p - 1 + a }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wśród [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a, a + 1, \ldots, p - 1 + a }[/math] istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Liczby [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, p - 1 }[/math], są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz H21). Niech zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math], które nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Na mocy twierdzenia H26 zbiory [math]\displaystyle{ R = \{ 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math] oraz [math]\displaystyle{ T = \{ s^{- 1}_1, \ldots, s^{- 1}_{p - 1} \} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ s_k \in S }[/math], są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem od sumowania po [math]\displaystyle{ j }[/math] możemy przejść do sumowania po [math]\displaystyle{ r \in R }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - 1 }[/math]

Ostatnia z wypisanych sum jest równa zero, co wynika z trzeciego wzoru twierdzenia K1 i faktu, że [math]\displaystyle{ p \nmid (b - a) }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K4
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\ \end{cases} }[/math]

Dowód

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \mid n} }[/math]

Z drugiego wzoru twierdzenia K1 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1 }[/math]

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \nmid n} }[/math]

Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

(zobacz J35). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C59 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ k r^{- 1} }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b) }[/math]

Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] ma taką samą wartość i jeśli wybierzemy liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a druga liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b)) }[/math]

Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - (p - 1) }[/math]

bo z twierdzenia K1 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy

[math]\displaystyle{ - (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b)) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) + S (b) = - 2 }[/math]

Z twierdzenia K3 mamy

[math]\displaystyle{ S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ p \nmid 2 }[/math]. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową, a [math]\displaystyle{ b }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ S(a) = - 1 }[/math] i natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ S(b) = - 1 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ S(b) = - 1 }[/math] i natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ S(a) = - 1 }[/math]. Zatem bez względu na to, czy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], musi być [math]\displaystyle{ S(n) = - 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie K5
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ r , s \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C59 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 k + r }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia K4 wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.
□

Twierdzenie K6
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math], to dla sumy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

prawdziwe są następujące wzory

(a) [math]\displaystyle{ \;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ \;\; | S (n) | < 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1 }[/math]

Dowód

Punkt (a)

Zauważmy, że zbiory [math]\displaystyle{ R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \} }[/math] są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p.2). Zatem możemy sumowanie po [math]\displaystyle{ k \in R }[/math] zastąpić sumowaniem po [math]\displaystyle{ j \in T . }[/math] Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ j = - r }[/math] i sumując po [math]\displaystyle{ r }[/math] od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ S (n) = - S (n) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ S(n) = 0 }[/math].

Punkt (b)

Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej^[1].

Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

(zobacz J35). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C59 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ k r^{- 1} }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ S (a)^2 = S (b)^2 }[/math]. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ S (n)^2 }[/math] ma taką samą wartość i jeśli wybierzemy liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a druga liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to prawdziwa jest równość

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

Jak łatwo zauważyć [math]\displaystyle{ S(0) = 0 }[/math], zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia K3 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\ \end{cases} }[/math]

Zbadajmy, kiedy [math]\displaystyle{ p \mid (k^2 - j^2) }[/math], czyli kiedy [math]\displaystyle{ p \mid [(k - j) (k + j)] }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ p \mid [(k - j) (k + j)] }[/math] gdy

[math]\displaystyle{ \; j = k }[/math]

[math]\displaystyle{ \; j = p - k }[/math]

Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left\{ \begin{array}{rll} - 1 & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\ p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\ \end{array} \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = 2 p (p - 1) }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math].

Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p }[/math]

Wynika stąd, że bez względu na to, czy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p} }[/math]

Równość [math]\displaystyle{ S (n)^2 = 4 p }[/math] nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje po prawej stronie w potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (n) | < 2 \sqrt{p} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K7
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], to dla sumy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

prawdziwe są następujące wzory

(a) [math]\displaystyle{ \;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2) }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ \;\; | S (a, b) | < 2 \sqrt{p} \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2) }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math]. W ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać

[math]\displaystyle{ \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Mnożąc licznik przez [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] nie zmieniamy wartości sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Podstawiając [math]\displaystyle{ x \equiv a t + r \!\! \pmod{p} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

bo, gdy [math]\displaystyle{ t }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) liczby [math]\displaystyle{ a t + r }[/math] przebiegają taki sam zbiór (zobacz C59). Ponieważ [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] możemy wybrać tak, aby było

[math]\displaystyle{ 3 r \equiv b \!\! \pmod{p} }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Liczbę [math]\displaystyle{ - \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right) }[/math] nazywamy wyróżnikiem wielomianu [math]\displaystyle{ x^3 + a x + b }[/math].

Pokażemy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 3 }[/math] z warunku [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3} }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ 3 \mid a }[/math]. Zakładając, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ b }[/math] przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \mid a }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \nmid a }[/math], to

[math]\displaystyle{ x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o tym, że [math]\displaystyle{ 27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ t = x - x_2 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ x }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) [math]\displaystyle{ t }[/math] przebiega taki sam zbiór (zobacz C59). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], pokażemy, że wartość sumy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

jest ściśle związana z ilością rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ N_p }[/math] oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i niech [math]\displaystyle{ N_+, N_0, N_- }[/math] oznaczają ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], dla których symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] jest równy odpowiednio [math]\displaystyle{ + 1, 0, - 1 }[/math]. Oczywiście

[math]\displaystyle{ N_+ + N_0 + N_- = p }[/math]

[math]\displaystyle{ S(a, b) = N_+ - N_- }[/math]

Zauważmy, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ x }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \mid (x^3 + a x + b) }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math] i mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji

[math]\displaystyle{ 0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

Jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ x }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid (x^3 + a x + b) }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ x^3 + a x + b }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math], a drugie para [math]\displaystyle{ (x, - y) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ N_p = 2 N_+ + N_0 }[/math]

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b) }[/math]

W 1936 roku Helmut Hasse^[2]^[3] udowodnił, że

[math]\displaystyle{ | N_p - p | < 2 \sqrt{p} }[/math]

Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin^[4].

Wynika stąd, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < 2 \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie K8
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 7 }[/math] jest liczbą pierwszą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieją:

dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Rozwiązanie

Dla [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math] łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.

Punkt 1.

Zauważmy, że przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność

[math]\displaystyle{ -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych

[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4, 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9, 10 }[/math]

Punkt 2.

Rozważmy wszystkie możliwe wartości [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math]	[math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{1} \,\, }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{4} \,\, }[/math]	[math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{5} \,\, }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{(…)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{A.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{B.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{C.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{D.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

A. W tym przypadku liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

B. i C. W tym przypadku dokładnie jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 3}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

D. W tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□

Uwaga K9
Wzmocnimy wynik uzyskany w poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.

Twierdzenie K10
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

(zobacz K1 i K3). Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math]

Punkt 2.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wartości sum wyliczyliśmy już w punkcie 1. Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K11
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math], to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math], to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math], to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5 }[/math]

Gdzie przez [math]\displaystyle{ S(- 1) }[/math] oznaczyliśmy sumę

[math]\displaystyle{ S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Dowód

Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy wszystkie trzy liczby [math]\displaystyle{ k - 1, k, k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 8 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1) }[/math]

(zobacz K1, K3 i K6). Oznaczenie [math]\displaystyle{ S(- 1) }[/math] nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w twierdzeniu K6. Wykorzystamy też znalezione w tym twierdzeniu oszacowanie [math]\displaystyle{ | S (- 1) | }[/math].

Zatem

[math]\displaystyle{ 8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7}{8}} }[/math]

Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy wszystkie trzy liczby [math]\displaystyle{ k - 1, k, k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ - 8 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{8}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7}{8}} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Uwaga K12
Korzystając z twierdzenia K11, łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

A. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Przykład K13
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]

Uwaga K14
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP

A(p) = 
{
if( p == 2, return(0) );
if( !isprime(p), return(0) );
forprime(q = 2, p, if( jacobi(q, p) == -1, return(q) ));
}

Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, bo wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).

Twierdzenie K15
Niech [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 < a, b < \mathbb{n} }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□

Zadanie K16
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest

liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math]
liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 7 }[/math]
liczba [math]\displaystyle{ \geqslant 5 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 1 }[/math]

Rozwiązanie

Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J34 p.7) wiemy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\ \end{cases} }[/math]

Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (i tylko dla takich liczb) liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Z zadania J47 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math]. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j \pm 5 }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z czterech warunków

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]

Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4} }[/math]

a z pierwszego i czwartego mamy

[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24} }[/math]

[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24} }[/math]

Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 5 \pmod{12} }[/math]

Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać

chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)

Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] spełnia kongruencje

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{12} }[/math]

Postępując jak wyżej, otrzymujemy

chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K17
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q }[/math], że [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ 2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n }[/math] będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę [math]\displaystyle{ u }[/math] tak, aby spełniała układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\ u & \equiv a \pmod{p_n} \\ \end{align} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a }[/math] oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_n }[/math]. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math]

Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ c }[/math], bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ u \equiv 0 \pmod{p_k} }[/math]

wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1 }[/math] i z twierdzenia Dirichleta (zobacz C29) wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ u }[/math] spełniających kongruencję [math]\displaystyle{ u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]). Oznaczmy przez [math]\displaystyle{ q }[/math] dowolną z tych liczb pierwszych.

Ponieważ [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] (zobacz J34), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ p_k < p_n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ 8 \mid (q - 1) }[/math]. Dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p_n }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K18 (Sarvadaman Chowla)
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ P(m) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Z twierdzenia Dirichleta (zobacz C29) wiemy, że w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza dowolną z nich.

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

(zobacz J34 p.7). Oczywiście [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ q_i \leqslant m }[/math] z twierdzenia J34 p.9 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wiemy też, że (zobacz A10)

[math]\displaystyle{ a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1} }[/math]

Załóżmy teraz, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] została wybrana tak, że liczba [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math] jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C32). Dostajemy natychmiast oszacowanie

[math]\displaystyle{ p = p_{\min} (a, 1) < a^L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika (możemy przyjąć [math]\displaystyle{ L = 5 }[/math]). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math]

Każdemu wyborowi innej liczby [math]\displaystyle{ m' > m }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ P(m') > P (m) }[/math] odpowiada inna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p' }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}} }[/math], zatem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math] jest nieskończenie wiele.
□

Uwaga K19
W twierdzeniu K17 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] istnieją takie liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby [math]\displaystyle{ p \in S_\mathbb{n} }[/math] liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie

forprime(n = 2, 50, forprime(p = 2, 10^10, if( A(p) == n, print(n, "   ", p); break() )))

W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też A000229).

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 479 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1559 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5711 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10559 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31391 }[/math]	[math]\displaystyle{ 422231 }[/math]	[math]\displaystyle{ 701399 }[/math]	[math]\displaystyle{ 366791 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3818929 }[/math]

Uwaga K20
Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz K2) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dłuższy od [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 < \sqrt{p} \log p + 1 }[/math]

Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.

Twierdzenie K21
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Dowód

Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \nmid p }[/math], to z oszacowania [math]\displaystyle{ x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x }[/math] wynika, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n} }[/math]

Liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} u - p }[/math] musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Ale z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant u }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n} }[/math]

Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K22*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie^[5]^[6]^[7]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]

Uwaga K23
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa^[8]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]

Uwaga K24
Możemy też badać najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]

Twierdzenie K25
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] najmniejsza nieparzysta liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą mniejszą od [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich nieparzystych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J30 wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy też dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.

Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 = 2^2 < 5 \leqslant p }[/math] jest parzystą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] jest liczbą pierwszą.

Niech [math]\displaystyle{ 3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2 }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że każda liczba [math]\displaystyle{ a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą złożoną, czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zauważmy, że żadna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zatem obie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mniejszą od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.
□

B. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Uwaga K26
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math] W jednym i drugim przypadku liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ p }[/math] lub [math]\displaystyle{ m . }[/math] Dlatego będziemy je oznaczali również jako [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) . }[/math]

Definicja K27
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Powiemy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ m }[/math] taką, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania.

Przykład K28
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]	[math]\displaystyle{ 42 }[/math]	[math]\displaystyle{ 44 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]

Uwaga K29
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP

B(m) = 
{
local(p, res);
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}

Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby [math]\displaystyle{ m . }[/math] Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.

Pokaż kod

B(m) = 
{
local(p, res, t);
t = m%8;
if( t == 3 || t == 5, return(2) );
t = m%12;
if( t == 4 || t == 8, return(3) );
t = m%24;
if( t == 9 || t == 15, return(2) );
if( t == 10 || t == 14, return(3) );
t = m%30;
if( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, return(5) );
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}

Twierdzenie K30
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 < a, b < \mathbb{n} . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{m} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
□

Zadanie K31
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Rozwiązanie

Z twierdzenia J42 wiemy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Co należało pokazać.
□

Zadanie K32
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków

[math]\displaystyle{ 4 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (3, m) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 12 k \pm 4 }[/math]

to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid m . }[/math] Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], co nie wyklucza możliwości, że również [math]\displaystyle{ 8 \mid m . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 4 \nmid (3 - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid (3 - 1) }[/math], to z twierdzenia J56 wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m} }[/math] nie ma rozwiązania. Jeśli tylko [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math] W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ 3 \nmid (12 k \pm 4) . }[/math]

Można też zauważyć, że żądanie, aby [math]\displaystyle{ \gcd (3, m) = 1 }[/math], prowadzi do dwóch układów kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 1 \pmod{3} \\ \end{align} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 2 \pmod{3} \\ \end{align} }[/math]

którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne

[math]\displaystyle{ m \equiv \pm 4 \pmod{12} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie K33
Niech [math]\displaystyle{ m = 24 k \pm 10 . }[/math] Pokazać, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zapiszmy [math]\displaystyle{ m }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ m = 2 m' }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m' = 12 k \pm 5 . }[/math] Gdyby kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'} }[/math]

miała rozwiązanie, to również kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m'} }[/math]

miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J47), czyli [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m' . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
□

Twierdzenie K34
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_2 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 2 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (zobacz J42).
□

Twierdzenie K35
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą parzystą niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math] (zobacz J47).
□

Twierdzenie K36
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą dodatnią podzielną przez [math]\displaystyle{ 6 }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ 3 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]
□

Twierdzenie K37
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \,\, p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math].

Dowód

Z twierdzenia K69 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q < p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzielą [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie K38
Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) . }[/math]

Postać liczby [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{𝕟(m)} }[/math]	Uwagi
[math]\displaystyle{ m=24k \pm 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	K34
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 55 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	K35
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	K36, K37
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	K36, K37
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	K37
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 60 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 90 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]

Twierdzenie K39
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lll} \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2 \\ \end{array} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m) }[/math], bo [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) }[/math] musi być liczbą względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ 2 m . }[/math]

Punkt 2.

Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wiemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid 2 m }[/math], to wynika stąd natychmiast, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m} }[/math]

również nie ma rozwiązania (zobacz J56).

Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) . }[/math] Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ 2 < q <\mathbb{n} (m) . }[/math] Kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1) }[/math]

możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\ \end{align} }[/math]

Z definicji [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem kongruencja [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez [math]\displaystyle{ x_0 . }[/math] Łatwo zauważamy, że liczba

[math]\displaystyle{ x'_0 = \begin{cases} \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\ x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\ \end{cases} }[/math]

jest rozwiązaniem układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] i [math]\displaystyle{ (3) }[/math], a tym samym kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązanie dla każdego [math]\displaystyle{ 2 < q <\mathbb{n} (m) . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) . }[/math]
□

Twierdzenie K40
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lllll} \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\ \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\ \end{array} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Z twierdzenia K34 wynika, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \mid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 . }[/math]

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 8 \nmid 4 m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 4 \nmid (3 - 1) }[/math], zatem z twierdzenia J56 wynika, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{4 m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 3 \nmid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) = 3 . }[/math]
□

Twierdzenie K41
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

Dowód

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math], to prawdziwa jest też kongruencja

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

co przeczy założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□

Twierdzenie K42
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to istnieje taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

Dowód

Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ p_1, \ldots, p_s \} }[/math] i powiązany z dzielnikami pierwszymi [math]\displaystyle{ p_k }[/math] zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \} }[/math], z których każda jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K41). Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] musi być mniejsza od każdej z liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]

Z definicji liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], co oznacza, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s . }[/math] Zatem przynajmniej jedna z kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k} }[/math]

musi nie mieć rozwiązania (zobacz J12). Z twierdzenia J50 wiemy, że wtedy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k} }[/math]

również nie ma rozwiązania. Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_k \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k }[/math], co przeczy definicji liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]
□

Twierdzenie K43
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) ) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p_k) }[/math] są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p_k . }[/math]

Dowód

Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia K42, ale musimy jeszcze pokazać, że [math]\displaystyle{ \gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 . }[/math] Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p_k \mid \mathbb{n} (m) }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant s . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą pierwszą, to musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p_k }[/math], ale wtedy

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k) }[/math]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant s . }[/math] Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K44
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5 }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] takim, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) }[/math] (z twierdzenia K42 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) < F (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] jest funkcją rosnącą, to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m) }[/math]

Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń K21 i K22.
□

Uwaga K45
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] wynosi^[9]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots }[/math]

C. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Przykład K46
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{c( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]

Uwaga K47
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP

C(m) = 
{
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(p = 2, m, if( jacobi(p, m) == -1, return(p) ));
}

Uwaga K48
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] oznaczyliśmy jako [math]\displaystyle{ c(m) }[/math]. Zauważmy, że są to liczby inne od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math]. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] i [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] dla [math]\displaystyle{ m = 15, 33, 39 }[/math]. Różnice wynikają z innej definicji liczb [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] – jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] nie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.

Ponieważ [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to mamy natychmiast oszacowanie: [math]\displaystyle{ c(m) \geqslant \mathbb{n} (m) }[/math] (poza przypadkami, gdy [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math]).

Dla [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu K21. Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]

[math]\displaystyle{ c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]

[math]\displaystyle{ c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]

[math]\displaystyle{ c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]

Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m < 10^9 }[/math].

Twierdzenie K49
Niech [math]\displaystyle{ c, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ c }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] musi być liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ c = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 < a, b < c }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].
□

Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Przykład K50
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 85 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb [math]\displaystyle{ x , y }[/math] nie zostały uwzględnione.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 58 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 64 }[/math]	[math]\displaystyle{ 65 }[/math]	[math]\displaystyle{ 68 }[/math]	[math]\displaystyle{ 72 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 74 }[/math]	[math]\displaystyle{ 80 }[/math]	[math]\displaystyle{ 81 }[/math]	[math]\displaystyle{ 82 }[/math]	[math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,6 }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 21 }[/math] nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Przykład K51
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 73 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 44 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]	[math]\displaystyle{ 54 }[/math]	[math]\displaystyle{ 57 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 64 }[/math]	[math]\displaystyle{ 66 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 68 }[/math]	[math]\displaystyle{ 72 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,6 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 33 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math].

Zauważmy też, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 35 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 27 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math].

Przykład K52
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 103 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52 }[/math]	[math]\displaystyle{ 57 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 63 }[/math]	[math]\displaystyle{ 64 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 75 }[/math]	[math]\displaystyle{ 76 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 81 }[/math]	[math]\displaystyle{ 84 }[/math]	[math]\displaystyle{ 91 }[/math]	[math]\displaystyle{ 93 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 100 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10,1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 55 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 91 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math].

Twierdzenie K53
Jeżeli liczba nieparzysta postaci [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math], ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.

Dowód

W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].

Niech

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] są nieparzyste, a liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] parzyste.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2 }[/math] muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ y }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ b }[/math] nieparzysta, wtedy modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 3} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, a liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] parzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

Z powyższego zestawienia wynika, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] i liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] mają taką samą parzystość. Mamy

[math]\displaystyle{ x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ (x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ f = \gcd (x - a, b - y) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f }[/math] jest liczbą parzystą i

[math]\displaystyle{ x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ r(x + a) = n s (y + b) }[/math]

ale liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] są względnie pierwsze, zatem [math]\displaystyle{ s \mid (x + a) }[/math] i musi być

[math]\displaystyle{ x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r }[/math]

Gdyby [math]\displaystyle{ k }[/math] było liczbą nieparzystą, to liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \gcd (r, s) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ k }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ 2 s \mid (x + a) }[/math], czyli możemy pokazać więcej. Musi być

[math]\displaystyle{ x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r }[/math]

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math], zauważmy, że [math]\displaystyle{ n \mid l }[/math] lub [math]\displaystyle{ n \mid r }[/math].

Łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) }[/math]

[math]\displaystyle{ y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) }[/math]

Ostatecznie

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2 , 3} }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ l, r }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Uwaga K54
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] jest liczbą tej samej postaci.

[math]\displaystyle{ (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2 }[/math]

Twierdzenie K55
Niech [math]\displaystyle{ x, y, a, b \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math]. Jeżeli liczba parzysta [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R = a^2 + n b^2 }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Dowód

W szczególnym przypadku, gdy [math]\displaystyle{ R = 1 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ R = 1^2 + n \cdot 0^2 }[/math].

Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R }[/math] jest liczbą nieparzystą postaci [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 }[/math].

1. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ y }[/math] nieparzysta, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4 \mid (x + y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2 }[/math]

c) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4 \mid (x - y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K56
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a) [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

(a) [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] może być przedstawiona w postaci [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] są liczbami takimi, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant x_0, y_0 < p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid y_0 }[/math], a rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 \, }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ - n y_0^2 \; }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Z twierdzenia J42 i zadania J46 otrzymujemy natychmiast

(a) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]

(b) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math]

(c) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Co należało pokazać.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

A. Istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}} }[/math]

Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a) [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Wynika stąd, że dla (a) [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], (b) [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], (c) [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

(zobacz J42 i J46) i liczba [math]\displaystyle{ - n }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ x_0 = k }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 = 1 }[/math] są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J19), liczbę [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] możemy jawnie wypisać: [math]\displaystyle{ x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! }[/math]

B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego

Niech liczby [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \nmid y_0 }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wybierzmy liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb [math]\displaystyle{ {\small\frac{x_0}{p}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y_0}{p}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] możemy wybrać liczby

[math]\displaystyle{ x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i dla których

[math]\displaystyle{ 0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p }[/math]

Ponieważ modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest [math]\displaystyle{ x \equiv x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y \equiv y_0 }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

ma rozwiązanie dla liczb

[math]\displaystyle{ | x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}} }[/math]

Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu.

C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata^[10]^[11]

Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta^[12].

Jeżeli w rozwiązaniu [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p = x^2 + n y^2 }[/math] i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ m > 1 }[/math] wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 < m }[/math]. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie [math]\displaystyle{ x_k, y_k, m_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math]. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.

Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest konieczny tylko w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 < m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m > 1} }[/math] jest liczbą parzystą

Jeżeli [math]\displaystyle{ m > 1 }[/math] jest liczbą parzystą, to z twierdzenia K55 wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] może być zapisana w postaci

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}} }[/math], aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą i [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 < m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m > 1} }[/math] jest liczbą nieparzystą

Niech liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom [math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{m}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y}{m}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{m}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może jednocześnie dzielić liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ m^2 \mid (x^2 + n y^2) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] musi być różna od [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

Rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ y \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Mamy też oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m }[/math]

Wynika stąd, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] spełniająca warunek [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math], że

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 = m_1 m }[/math]

Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]

(zobacz K54). Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = m (p - r x - n s y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = m x_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = x y - r m y - y x + s m x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = m (s x - r y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = m y_1 }[/math]

Gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ x_1 = p - r x - n s y }[/math]

[math]\displaystyle{ y_1 = s x - r y }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math]

Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math].

D. Jednoznaczność rozkładu

Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia K53. Co kończy dowód.
□

Uwaga K57
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.

Pokaż kod

SumOfTwoSquares(p) = 
{
local(m, r, s, x, y, x1, y1);
if( p%4 <> 1 || !isprime(p), return("Error") );
x = 1;
for(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
x = x - round(x/p)*p;
y = 1;
m = (x^2 + y^2)/p;
while( m > 1,
       r = round(x/m);
       s = round(y/m);
       x1 = p - r*x - s*y;
       y1 = r*y - s*x;
       x = x1;
       y = y1;
       m = (x^2 + y^2)/p;
     );
return([ abs(x), abs(y), p ]);
}

Zadanie K58
Niech liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokazać, że

liczby [math]\displaystyle{ r, p r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, r^2 }[/math] nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
liczby [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ 2 p }[/math], [math]\displaystyle{ p^2 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r^2 }[/math] mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
liczba [math]\displaystyle{ p q }[/math], [math]\displaystyle{ p \neq q }[/math] ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich

Rozwiązanie

Punkt 1.

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r }[/math] są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Suma [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Przypuśćmy, że

[math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość, zatem [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J25 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], co w sposób oczywisty jest niemożliwe.

Punkt 2.

W przypadku liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] odpowiedzi udziela twierdzenie K56. Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2 }[/math]

Punkt 3.

Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; q = a^2 + b^2 }[/math]. Ze wzorów podanych w uwadze K54 mamy

[math]\displaystyle{ p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Zadanie K59
Niech [math]\displaystyle{ s = \pm 1 }[/math]. Zbadać podzielność liczby [math]\displaystyle{ p - s a^2 }[/math]

przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 4 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3 }[/math]
przez [math]\displaystyle{ 8 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7 }[/math]

Rozwiązanie

Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja

[math]\displaystyle{ p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n = 2, 3 }[/math], ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ s a^2 \equiv r \pmod{2^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2 \equiv s r \pmod{2^n} }[/math]

Z twierdzenia J55 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być [math]\displaystyle{ 2^n \mid (s r - 1) }[/math], co jest możliwe tylko, gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 4 }[/math] i gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math] i [math]\displaystyle{ r = 3, 5 }[/math] rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.
□

Uwaga K60
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy^[13]. Zadanie K59 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K61. Z zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby [math]\displaystyle{ s }[/math] z postacią liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] nie jest przypadkowe.

Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych [math]\displaystyle{ m > 0 }[/math] wynik [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] nie oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Kolorem czerwonym zaznaczyliśmy przypadki, gdy [math]\displaystyle{ q > p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]

W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Kolorem czerwonym zaznaczyliśmy przypadki, gdy [math]\displaystyle{ q > p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]

Twierdzenie K61
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 17 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Dla ustalonych liczb [math]\displaystyle{ n }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] rozważmy liczbę [math]\displaystyle{ u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}} }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ 3 \leqslant u (a) < p }[/math]. Jeżeli liczba ta jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C23). Zatem możemy napisać [math]\displaystyle{ u (a) = t q }[/math], co oznacza, że

[math]\displaystyle{ p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ p \equiv s a^2 \pmod{q} }[/math]

i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Zatem liczba [math]\displaystyle{ q < p }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb [math]\displaystyle{ u(a_1), \ldots, u(a_r) }[/math] takich, że

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p }[/math]

z których jedna musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek pierwszy: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k + 1, 2 k + 3 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek drugi: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 21 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k - 1, 2 k + 1 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek trzeci: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 23 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek czwarty: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 73 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k - 6, k - 3, k - 1, k \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 2, r + 1, r + 3, r \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p < 73 }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K62
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

W przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieją takie liczby całkowite dodatnie [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] (zobacz K56). Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J25 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid x }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K63
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 12 k + 7 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{6} }[/math], zatem istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math] (zobacz K56). Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i być względnie pierwsze. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe. Zatem [math]\displaystyle{ x = 2 k }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] musi być nieparzysta. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to jedynie w przypadku gdy [math]\displaystyle{ k = y = 1 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ k = y }[/math]. Mielibyśmy wtedy [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math], ale z założenia musi być [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ k \neq y }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ k^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] (zobacz J25). Oczywiście [math]\displaystyle{ q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid k }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9 i p.6)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenia K62 i K63 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.^[13]
Twierdzenie K64*
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 13, 37 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Uwaga K65
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]

W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]

Twierdzenie K66
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] jest liczbą całkowitą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ m - 4 \geqslant 3 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q < m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C23). Czyli [math]\displaystyle{ m - 4 = k q }[/math] i z twierdzenia J42 p.9 dostajemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□

Można też pokazać, że^[14]
Twierdzenie K67*
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Zauważmy, że twierdzenie K67 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.
Twierdzenie K68
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Punkt B

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J56 i K41).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J56).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J56).

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zbierając:

jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 11 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K67 i K41).

Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 11 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

for(m = 3, 15, forprimestep(q = 3, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math].

Punkt A

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math].

Jeżeli jedna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ 17 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (5 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to nie istnieją liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 \mid [(4 k + 1) - 1] }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zbierając:

jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 5 }[/math] lub [math]\displaystyle{ q = 17 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K67 i K41).

Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 17 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

for(m = 3, 20, forprimestep(q = 1, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math].
□

Twierdzenie K69
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q < p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math]

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

(zobacz J42 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 1} }[/math]

Niech liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia K25 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 3} }[/math]

Z twierdzenia K61 wynika, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q < p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Zadanie K70
Udowodnić twierdzenie K69 w przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], nie korzystając z twierdzenia K61.

Rozwiązanie

Z założenia [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] może być postaci [math]\displaystyle{ k = 3 j }[/math], [math]\displaystyle{ k = 3 j + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 3 j + 2 }[/math]. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

Ponieważ nie ma liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] i będących postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], to pozostaje rozważyć przypadki [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 11} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math] (zobacz J47). Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Czyli wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ q = 3 }[/math].

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 7} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J42 p.6 oraz J47). Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1 }[/math]

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ p - 12 \geqslant 7 }[/math] jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q < p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 12 }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W przeciwnym razie z twierdzenia J42 p.4 mielibyśmy [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□

Przypisy

↑ Dušan Đukić, Quadratic Congruences, International Mathematical Olympiad training materials, (IMOmath.com)
↑ Helmut Hasse, Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.
↑ Wikipedia, Hasse's theorem on elliptic curves, (Wiki-en), (Wiki-ru)
↑ Yu. I. Manin, On cubic congruences to a prime modulus, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678
↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
↑ Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.
↑ Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)
↑ W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)
↑ G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.
↑ ^13,0 ^13,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.
↑ Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414

[Dukic1-1] Dušan Đukić, Quadratic Congruences, International Mathematical Olympiad training materials, (IMOmath.com)

[Hasse1-2] Helmut Hasse, Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.

[Hasse2-3] Wikipedia, Hasse's theorem on elliptic curves, (Wiki-en), (Wiki-ru)

[Manin1-4] Yu. I. Manin, On cubic congruences to a prime modulus, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678

[Norton1-5] Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)

[Trevino1-6] Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)

[Trevino2-7] Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)

[Erdos1-8] Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)

[Pollack1-9] Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.

[InfiniteDescent1-10] Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)

[Bussey1-11] W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)

[HardyWright1-12] G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.

[Gica1-13] 13,0 ^13,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.

[Pollack2-14] Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 19:04, 6 sty 2026

Spis treści

Przykłady sum symboli Legendre'a

Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Przypisy

Menu nawigacyjne

@@ Linia 7: / Linia 7: @@
 == Przykłady sum symboli Legendre'a ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K1</span><br/>
+<span id="K1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K1</span><br/>
 Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, <math>a, d \in \mathbb{Z}</math> i <math>p \nmid d</math>. Pokazać, że
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
 ::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Punkt 1. i 2.'''
+'''Punkt 1.'''
-Aby udowodnić dwa pierwsze wzory, wystarczy zauważyć, że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+Wystarczy zauważyć, że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
 ::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0</math>
+'''Punkt 2.'''
+Wystarczy zauważyć, że
+::<math>\left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
+oraz że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1</math>
 '''Punkt 3.'''
-Z założenia liczby <math>p</math> i <math>d</math> są względnie pierwsze. Z&nbsp;twierdzenia C55 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego
+Z założenia liczby <math>p</math> i <math>d</math> są względnie pierwsze. Z&nbsp;twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C59|C59]] wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
 ::<math>x_k = a + k d</math>
-przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>.
+przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p. 2). Zatem możemy napisać
-Zatem wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p .</math> Czyli
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0 = 0</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0
+ = 0</math>
 Co należało pokazać.<br/>
@@ Linia 42: / Linia 53: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K2</span><br/>
+<span id="K2" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K2* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)</span><br/>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli <math>k \in S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to dla każdego <math>k</math> istnieją liczby <math>x_k</math> i <math>y_k</math> takie, że
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m, n \in \mathbb{N}_0</math>, to prawdziwe jest oszacowanie
-::'''A.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>x_k \cdot k + y_k \cdot p = 1</math>
+::<math>\left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < \sqrt{p} \log p</math>
-::'''B.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>p \nmid x_k</math>
-::'''C.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>x_k \cdot k \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
-::'''D.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>k \neq j</math>, to <math>x_k \not\equiv x_j \!\! \pmod{p}</math>
+<span id="K3" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K3</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to
-::'''E.'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;gdy <math>k</math> przebiega cały zbiór <math>S</math>, to <math>x_k</math> przebiega zbiór <math>S'</math> identyczny ze zbiorem <math>S</math> modulo <math>p</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \begin{cases}
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\
+\end{cases}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''A.''' Dla każdego <math>k \in S</math> mamy <math>\gcd (k, p) = 1</math>, zatem punkt A. wynika z&nbsp;lematu Bézouta (zobacz C71).
-'''B.''' Gdyby <math>p \mid x_k</math>, to mielibyśmy <math>p \mid 1</math>, co jest niemożliwe.
+'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid (a - b)}</math>'''
-'''C.''' Kongruencję otrzymujemy, rozpatrując punkt A. modulo <math>p</math>.
+Z założenia <math>b \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
-'''D.''' Gdyby dla <math>k \neq j</math> było
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
-::<math>x_k \equiv x_j \!\! \pmod{p}</math>
+Z&nbsp;twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C59|C59]] wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
-to z&nbsp;różnicy kongruencji (zobacz punkt C.)
+::<math>x_k = a + k</math>
-::<math>x_k \cdot k - x_j \cdot j \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p. 2). Zatem możemy napisać
-mielibyśmy
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
+ = p - 1</math>
-::<math>x_k (k - j) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+Co należało pokazać.
-Co jest niemożliwe, bo <math>p \nmid x_k</math> (punkt B.) oraz <math>p \nmid (k - j)</math>, bo dla <math>k \neq j</math> mamy <math>1 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2</math>.
+'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid (a - b)}</math>'''
-'''E.''' Z&nbsp;założenia <math>k</math> przebiega zbiór wszystkich reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>p</math> poza liczbą zero. Z&nbsp;punktu B. wiemy, że dla każdej liczby <math>x_k</math> jest <math>x_k \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Z&nbsp;punktu D. wiemy, że różnym liczbom <math>k, j \in S</math> odpowiadają różne (modulo <math>p</math>) liczby <math>x_k, x_j</math>. Zatem modulo <math>p</math> zbiór <math>S'</math> musi być identyczny ze zbiorem <math>S</math>.<br/>
+Kładąc <math>j = k + a</math> i&nbsp;sumując od <math>a</math> do <math>p - 1 + a</math>, otrzymujemy
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Wśród <math>p</math> kolejnych liczb <math>a, a + 1, \ldots, p - 1 + a</math> istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez <math>p</math>. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K3</span><br/>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że
+ = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Do rozwiązania problemu wykorzystamy liczby <math>x_k</math>, które zostały zdefiniowane i&nbsp;omówione w&nbsp;zadaniu poprzednim.
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k + x_k \cdot k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Liczby <math>j = k + a</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, p - 1</math>, są wszystkie różne modulo <math>p</math> (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H21|H21]]). Niech zbiór <math>S</math> będzie zbiorem wszystkich liczb <math>j = k + a</math>, które nie są podzielne przez <math>p</math>. Na mocy twierdzenia [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H26|H26]] zbiory <math>R = \{ 1, \ldots, p - 1 \}</math>, <math>S</math> oraz <math>T = \{ s^{- 1}_1, \ldots, s^{- 1}_{p - 1} \}</math>, gdzie <math>s_k \in S</math>, są równe modulo <math>p</math>. Zatem od sumowania po <math>j</math> możemy przejść do sumowania po <math>r \in R</math>.
-::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + x_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + x_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::::::<math>\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>x_k</math> przebiega pewien zbiór <math>S'</math>. Wiemy, że zbiory <math>S</math> i <math>S'</math> są identyczne modulo <math>p</math>.
+::::::::<math>\;\;\, = - 1</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{a = 1} \left( {\small\frac{1 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Ostatnia z&nbsp;wypisanych sum jest równa zero, co wynika z&nbsp;trzeciego wzoru twierdzenia [[#K1|K1]] i&nbsp;faktu, że <math>p \nmid (b - a)</math>. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{b = 2}^{p} \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::<math>\;\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{b = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::<math>\;\;\;\, = - 1</math>
+<span id="K4" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K4</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to
-(zobacz K1). Co należało pokazać.<br/>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
-&#9633;
+\begin{cases}
-{{\Spoiler}}
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\
+\end{cases}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid n}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K4</span><br/>
+Z drugiego wzoru twierdzenia [[#K1|K1]] otrzymujemy
-Pokazać, że jeżeli <math>p \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieją:
-:* dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
-:* dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid n}</math>
-Dla <math>p = 7</math> łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.
-'''Punkt 1.'''
+Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
-Zauważmy, że przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność
+::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
+(zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J35|J35]]). Zatem
-::<math> -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math>
+::<math>S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych
+:::<math>\;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-|-
-| <math>2</math> || <math>1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9</math>
-|-
-| <math>5</math> || <math>4, 5</math>
-|-
-| <math>10</math> || <math>9, 10</math>
-|}
-'''Punkt 2.'''
+:::<math>\;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Rozważmy wszystkie możliwe wartości <math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4</math> i <math>p \geqslant 11</math>. Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>.
+:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+Z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C59|C59]] wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
-|-
-! <math>\boldsymbol{k}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{1} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{2}</math> || <math>\boldsymbol{3}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{4} \,\,</math> || <math>\,\, \boldsymbol{5} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{6}</math> || <math>\boldsymbol{(…)}</math> || <math>\boldsymbol{p-1}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{A.}</math>
-| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{B.}</math>
-| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{C.}</math>
-| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{D.}</math>
-| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
-|}
-'''A.''' W&nbsp;tym przypadku liczby <math>2, 3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
+::<math>S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b)</math>
-'''B. i C.''' W&nbsp;tym przypadku dokładnie jedna z&nbsp;liczb <math>2, 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 3}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
-'''D.''' W&nbsp;tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby <math>2, 3</math> są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>.<br/>
+Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S(n)</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to możemy napisać
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K5</span><br/>
+Z drugiej strony
-Wzmocnimy wynik uzyskany w&nbsp;poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.
+::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K6</span><br/>
+::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
-:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math>
+::::<math>\;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
-:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::::<math>\;\;\;\: = - (p - 1)</math>
-'''Punkt 1.'''
+bo z&nbsp;twierdzenia [[#K1|K1]] wiemy, że
-Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
-::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
-Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::<math>- (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
-Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
+Zatem
-::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>S(a) + S (b) = - 2</math>
-:::<math>\; = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-Po kolei wyliczymy sumy po lewej stronie
-<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
+Z twierdzenia [[#K3|K3]] mamy
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = 2}^{p - 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+= \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-</div>
+= - 1</math>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+bo <math>p \nmid 2</math>. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że <math>a</math> jest liczbą kwadratową, a <math>b</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(a) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(b) = - 1</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(b) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(a) = - 1</math>. Zatem bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, musi być <math>S(n) = - 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k + 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+&#9633;
-</div>
+{{\Spoiler}}
-(zobacz K1 i&nbsp;K3). Zatem
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Czyli
+<span id="K5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K5</span><br/>
+Pokazać, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>r , s \in \mathbb{Z}</math>, to
-::<math>N =
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
 \begin{cases}
-  {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 1 \, \pmod{4} \\
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\
-  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 3 \, \pmod{4} \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\
 \end{cases}</math>
-Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math>
+:::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-'''Punkt 2.'''
+:::::::<math>\;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+Z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C59|C59]] wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>2 k + r</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
-::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+Z twierdzenia [[#K4|K4]] wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
-::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+<span id="K6" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K6</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-:::<math>\; = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-Wartości sum wyliczyliśmy już w&nbsp;punkcie 1. Zatem
+prawdziwe są następujące wzory
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::(a) <math>\;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3</math>
-Czyli
+::(b) <math>\;\; | S (n) | < 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1</math>
-::<math>N =
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-\begin{cases}
-  {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 1 \, \pmod{4} \\
-  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p \equiv 3 \, \pmod{4} \\
-\end{cases}</math>
-Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+'''Punkt (a)'''
-::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math>
+Zauważmy, że zbiory <math>R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> oraz <math>T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \}</math> są identyczne modulo <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p.2). Zatem możemy sumowanie po <math>k \in R</math> zastąpić sumowaniem po <math>j \in T .</math> Otrzymujemy
-Co należało pokazać.<br/>
+::<math>S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Kładąc <math>j = - r</math> i&nbsp;sumując po <math>r</math> od <math>0</math> do <math>p - 1</math>, dostajemy
+::<math>S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n)</math>
+Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to <math>S (n) = - S (n)</math>, czyli <math>S(n) = 0</math>.
+'''Punkt (b)'''
-== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
+Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z&nbsp;materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej<ref name="Dukic1"/>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K7</span><br/>
+Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
-Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i&nbsp;zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego.
+::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
+(zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J35|J35]]). Zatem
+::<math>S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+::::::<math>\;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
-|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K8</span><br/>
+::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
+::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
+Z twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C59|C59]] wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
-|-
+::<math>S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b)</math>
-!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
+Czyli <math>S (a)^2 = S (b)^2</math>. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S (n)^2</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to prawdziwa jest równość
-|}
+::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
+Jak łatwo zauważyć <math>S(0) = 0</math>, zatem możemy napisać
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K9</span><br/>
-Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
-  <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
+Z drugiej strony
-  {
-  '''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
+::<math>S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-  '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
-  '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
+:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-  }</span>
+:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
+Zatem
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K10</span><br/>
-Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
+:::::<math>\;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
+Z twierdzenia [[#K3|K3]] wiemy, że
-::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
+\begin{cases}
-::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\
-Skąd wynika, że
+\end{cases}</math>
-::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
+Zbadajmy, kiedy <math>p \mid (k^2 - j^2)</math>, czyli kiedy <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math>. Mamy
-Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
-&#9633;
+::* <math>\; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2</math>
-{{\Spoiler}}
+::* <math>\; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2</math>
+Zatem <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math> gdy
+::* <math>\; j = k</math>
+::* <math>\; j = p - k</math>
+Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w&nbsp;postaci
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
+\left\{ \begin{array}{rll}
+  - 1   & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\
+  p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\
+\end{array} \right\}</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+</div>
+:::::<math>\:\! = 2 p (p - 1)</math>
+Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>, bo <math>p = 4 k + 1</math>.
+Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
+to otrzymujemy
+::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1)</math>
+Czyli
+::<math>S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p</math>
+Wynika stąd, że bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>| S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p}</math>
+Równość <math>S (n)^2 = 4 p</math> nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy <math>p</math> występuje po prawej stronie w&nbsp;potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie
+::<math>| S (n) | < 2 \sqrt{p}</math>
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="K7" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K7</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+prawdziwe są następujące wzory
+:: (a) <math>\;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
+:: (b) <math>\;\; | S (a, b) | < 2 \sqrt{p}  \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>p \geqslant 5</math>. W&nbsp;ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać
+::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+gdzie <math>p \nmid a</math>. Mnożąc licznik przez <math>a^2</math> nie zmieniamy wartości sumy
+::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Podstawiając <math>x \equiv a t + r \!\! \pmod{p}</math>, dostajemy
+::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+bo, gdy <math>t</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) liczby <math>a t + r</math> przebiegają taki sam zbiór (zobacz [[Ciągi liczbowe#C59|C59]]). Ponieważ <math>p \geqslant 5</math>, to liczbę <math>r</math> możemy wybrać tak, aby było
+::<math>3 r \equiv b \!\! \pmod{p}</math>
+Ostatecznie otrzymujemy
+::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Liczbę <math>- \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right)</math> nazywamy wyróżnikiem wielomianu <math>x^3 + a x + b</math>.
+Pokażemy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> i <math>p \geqslant 3</math> prawdziwy jest wzór
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+W przypadku, gdy <math>p = 3</math> z&nbsp;warunku <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3}</math> wynika, że <math>3 \mid a</math>. Zakładając, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>b</math> przez <math>3</math> wynosi <math>r</math>, otrzymujemy
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= 0</math>
+Jeżeli <math>p \geqslant 5 \;</math> i <math>\; p \mid a</math>, to <math>p \mid b</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= 0</math>
+Jeżeli <math>p \geqslant 5 \;</math> i <math>\; p \nmid a</math>, to
+::<math>x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p}</math>
+gdzie
+::<math>x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o&nbsp;tym, że <math>27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>. Mamy
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Niech <math>t = x - x_2</math>. Jeżeli <math>x</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) <math>t</math> przebiega taki sam zbiór (zobacz [[Ciągi liczbowe#C59|C59]]). Zatem
+::<math>S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Uwzględniając, że
+::<math>x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+otrzymujemy
+::<math>S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+W przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, pokażemy, że wartość sumy
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+jest ściśle związana z&nbsp;ilością rozwiązań kongruencji
+::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
+Niech <math>N_p</math> oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i&nbsp;niech <math>N_+, N_0, N_-</math> oznaczają ilości liczb <math>k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, dla których symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> jest równy odpowiednio <math>+ 1, 0, - 1</math>. Oczywiście
+::<math>N_+ + N_0 + N_- = p</math>
+::<math>S(a, b) = N_+ - N_-</math>
+Zauważmy, że jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>p \mid (x^3 + a x + b)</math>, to <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math> i&nbsp;mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji
+::<math>0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
+Jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>, to <math>p \nmid (x^3 + a x + b)</math>, a&nbsp;liczba <math>x^3 + a x + b</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli istnieje taka liczba <math>y \in \mathbb{Z}</math>, że
+::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
+i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para <math>(x, y)</math>, a&nbsp;drugie para <math>(x, - y)</math>. Zatem
+::<math>N_p = 2 N_+ + N_0</math>
+Łatwo zauważamy, że
+::<math>N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b)</math>
+W 1936 roku Helmut Hasse<ref name="Hasse1"/><ref name="Hasse2"/> udowodnił, że
+::<math>| N_p - p | < 2 \sqrt{p}</math>
+Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin<ref name="Manin1"/>.
+Wynika stąd, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>| S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < 2 \sqrt{p}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="K8" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K8</span><br/>
+Pokazać, że jeżeli <math>p \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieją:
+:* dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>
+:* dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Dla <math>p = 7</math> łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.
+'''Punkt 1.'''
+Zauważmy, że przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność
+::<math> -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math>
+W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+| <math>2</math> || <math>1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9</math>
+|-
+| <math>5</math> || <math>4, 5</math>
+|-
+| <math>10</math> || <math>9, 10</math>
+|}
+'''Punkt 2.'''
+Rozważmy wszystkie możliwe wartości <math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4</math> i <math>p \geqslant 11</math>. Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>.
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{k}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{1} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{2}</math> || <math>\boldsymbol{3}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{4} \,\,</math> || <math>\,\, \boldsymbol{5} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{6}</math> || <math>\boldsymbol{(…)}</math> || <math>\boldsymbol{p-1}</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{A.}</math>
+| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{B.}</math>
+| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{C.}</math>
+| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{D.}</math>
+| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
+|}
+'''A.''' W&nbsp;tym przypadku liczby <math>2, 3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math>
+'''B. i&nbsp;C.''' W&nbsp;tym przypadku dokładnie jedna z&nbsp;liczb <math>2, 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 3}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math>
+'''D.''' W&nbsp;tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby <math>2, 3</math> są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo <math>p .</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="K9" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K9</span><br/>
+Wzmocnimy wynik uzyskany w&nbsp;poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.
+<span id="K10" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K10</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
+:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math>
+:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
+::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::<math>\: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
+<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - 1</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - 1</math>
+</div>
+(zobacz [[#K1|K1]] i&nbsp;[[#K3|K3]]). Zatem
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Czyli
+::<math>N =
+\begin{cases}
+  {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
+  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
+\end{cases}</math>
+Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math>
+'''Punkt 2.'''
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
+::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::<math>\: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+Wartości sum wyliczyliśmy już w&nbsp;punkcie 1. Zatem
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Czyli
+::<math>N =
+\begin{cases}
+  {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
+  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
+\end{cases}</math>
+Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="K11" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K11</span><br/>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo <math>p</math>.
+Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa
+::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor</math>
+Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa
+::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa
+::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5</math>
+Gdzie przez <math>S(- 1)</math> oznaczyliśmy sumę
+::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+::<math>N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>8</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
+::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+\right]</math>
+:::<math>\: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1)</math>
+(zobacz [[#K1|K1]], [[#K3|K3]] i [[#K6|K6]]). Oznaczenie <math>S(- 1)</math> nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w&nbsp;twierdzeniu [[#K6|K6]]. Wykorzystamy też znalezione w&nbsp;tym twierdzeniu oszacowanie <math>| S (- 1) |</math>.
+Zatem
+::<math>8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1)</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
+'''Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+::<math>N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>- 8</math> (stąd czynnik <math>- {\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
+::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
+- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+\right]</math>
+:::<math>\: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+::<math>8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1)</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="K12" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K12</span><br/>
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#K11|K11]], łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
+== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
+&nbsp;<br/>
+{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
+|}
+<span id="K13" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K13</span><br/>
+W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
+|-
+!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
+|}
+<span id="K14" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K14</span><br/>
+Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
+  <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
+  {
+  '''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
+  '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
+  '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
+  }</span>
+Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
+<span id="K15" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K15</span><br/>
+Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
+Skąd wynika, że
+::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
+Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K11</span><br/>
+<span id="K16" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K16</span><br/>
 Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
@@ Linia 341: / Linia 923: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że
+Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p.7) wiemy, że
 ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
@@ Linia 347: / Linia 929: @@
    \begin{cases}
   \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
-       - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
+       - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\
    \end{cases}</math>
 Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
-Z zadania J41 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
+Z zadania [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J47|J47]] wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
 ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
@@ Linia 380: / Linia 962: @@
 ::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
-Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
+Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J3|J3]]). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
   chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
@@ Linia 406: / Linia 988: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K12</span><br/>
+<span id="K17" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K17</span><br/>
 Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
@@ Linia 414: / Linia 996: @@
 ::<math>\begin{align}
   u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
-  u & \equiv a \pmod{p_n}
+  u & \equiv a \pmod{p_n} \\
 \end{align}</math>
-gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
+gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J3|J3]]) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
 ::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
@@ Linia 426: / Linia 1008: @@
 ::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
-wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
+wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C29|C29]]) wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
-Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J29), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
+Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]]), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 447: / Linia 1029: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K13 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
+<span id="K18" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K18 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
 Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
+Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C29|C29]]) wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
 Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
@@ Linia 457: / Linia 1039: @@
 ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
-(zobacz J29 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy
+(zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p.9 otrzymujemy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 463: / Linia 1045: @@
 </div>
-Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
+Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A10|A10]])
 ::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math>
-Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
+Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz [[Ciągi liczbowe#C32|C32]]). Dostajemy natychmiast oszacowanie
 ::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
@@ Linia 481: / Linia 1063: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K14</span><br/>
+<span id="K19" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K19</span><br/>
-W twierdzeniu K12 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
+W twierdzeniu [[#K17|K17]] pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
   <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, "   ", p); '''break'''() )))</span>
@@ Linia 499: / Linia 1081: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K15</span><br/>
+<span id="K20" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K20</span><br/>
+Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz [[#K2|K2]]) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> nie może być dłuższy od <math>\left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor</math>, to
+::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 < \sqrt{p} \log p + 1</math>
+Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.
+<span id="K21" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K21</span><br/>
 Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
@@ Linia 541: / Linia 1132: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K16*</span><br/>
+<span id="K22" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K22*</span><br/>
 Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
@@ Linia 548: / Linia 1139: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K17</span><br/>
+<span id="K23" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K23</span><br/>
 Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
@@ Linia 555: / Linia 1146: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K18</span><br/>
+<span id="K24" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K24</span><br/>
-Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
+Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W&nbsp;tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
 ::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
@@ Linia 569: / Linia 1160: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K19</span><br/>
+<span id="K25" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K25</span><br/>
 Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
+Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J30|J30]] wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
 Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
@@ Linia 590: / Linia 1181: @@
 {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
-| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
+| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
 |}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K20</span><br/>
+<span id="K26" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K26</span><br/>
 Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W&nbsp;jednym i&nbsp;drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w&nbsp;zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K21</span><br/>
+<span id="K27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K27</span><br/>
 Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
@@ Linia 607: / Linia 1198: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K22</span><br/>
+<span id="K28" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K28</span><br/>
 W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
@@ Linia 632: / Linia 1223: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K23</span><br/>
+<span id="K29" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K29</span><br/>
 Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
@@ Linia 676: / Linia 1267: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K24</span><br/>
+<span id="K30" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K30</span><br/>
 Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
@@ Linia 696: / Linia 1287: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K25</span><br/>
+<span id="K31" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K31</span><br/>
 Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Z twierdzenia J36 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
+Z twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 706: / Linia 1297: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K26</span><br/>
+<span id="K32" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K32</span><br/>
 Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
@@ Linia 719: / Linia 1310: @@
 ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
-Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia J50 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
+Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]] wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
 Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
@@ Linia 725: / Linia 1316: @@
 ::<math>\begin{align}
   m &\equiv 0 \pmod{4} \\
-  m &\equiv 1 \pmod{3}
+  m &\equiv 1 \pmod{3} \\
 \end{align}</math>
@@ Linia 732: / Linia 1323: @@
 ::<math>\begin{align}
   m &\equiv 0 \pmod{4} \\
-  m &\equiv 2 \pmod{3}
+  m &\equiv 2 \pmod{3} \\
 \end{align}</math>
@@ Linia 745: / Linia 1336: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K27</span><br/>
+<span id="K33" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K33</span><br/>
 Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
@@ Linia 757: / Linia 1348: @@
 ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
-miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J41), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
+miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J47|J47]]), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 763: / Linia 1354: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K28</span><br/>
+<span id="K34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K34</span><br/>
 Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
@@ Linia 771: / Linia 1362: @@
 ::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
-nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
+nie ma rozwiązania (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
-Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J36).<br/>
+Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]]).<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 779: / Linia 1370: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K29</span><br/>
+<span id="K35" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K35</span><br/>
 Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i&nbsp;podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
@@ Linia 787: / Linia 1378: @@
 ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
-nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
+nie ma rozwiązania (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
-Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J41).<br/>
+Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J47|J47]]).<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 795: / Linia 1386: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K30</span><br/>
+<span id="K36" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K36</span><br/>
 Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
@@ Linia 803: / Linia 1394: @@
 ::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math>
-nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
+nie ma rozwiązania (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 809: / Linia 1400: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K31</span><br/>
+<span id="K37" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K37</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\,\, p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z twierdzenia K63 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
+Z twierdzenia [[#K69|K69]] wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
 ::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
-nie ma rozwiązania (zobacz J50). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
+nie ma rozwiązania (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 823: / Linia 1414: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K32</span><br/>
+<span id="K38" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K38</span><br/>
 Pokazać, że podanym w&nbsp;pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w&nbsp;drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
@@ Linia 830: / Linia 1421: @@
 ! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
 |-
-| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K28
+| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K34
 |-
 | <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
@@ Linia 836: / Linia 1427: @@
 | <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
 |-
-| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | K29
+| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | K35
 |-
-| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | K30, K31
+| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | K36,&#32;K37
 |-
 | <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
 |-
-| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K31
+| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K37
 |-
 | <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
@@ Linia 851: / Linia 1442: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K33</span><br/>
+<span id="K39" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K39</span><br/>
 Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
 ::<math>\begin{array}{lll}
    \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
-   \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
+   \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2 \\
 \end{array}</math>
@@ Linia 875: / Linia 1466: @@
 ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
-również nie ma rozwiązania (zobacz J50).
+również nie ma rozwiązania (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]).
 Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
@@ Linia 881: / Linia 1472: @@
 ::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
-możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
+możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J1|J1]])
 ::<math>\begin{align}
@@ Linia 902: / Linia 1493: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K34</span><br/>
+<span id="K40" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K40</span><br/>
 Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
@@ Linia 914: / Linia 1505: @@
 '''Punkt 1.'''
-Z twierdzenia K28 wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
+Z twierdzenia [[#K34|K34]] wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
 '''Punkt 2.'''
-Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia J50 wynika, że kongruencja
+Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]] wynika, że kongruencja
 ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
@@ Linia 928: / Linia 1519: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K35</span><br/>
+<span id="K41" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K41</span><br/>
 Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
@@ Linia 950: / Linia 1541: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K36</span><br/>
+<span id="K42" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K42</span><br/>
 Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K35). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
+Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz [[#K41|K41]]). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
 Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
@@ Linia 964: / Linia 1555: @@
 ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
-musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z&nbsp;twierdzenia J44 wiemy, że wtedy kongruencja
+musi nie mieć rozwiązania (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J12|J12]]). Z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J50|J50]] wiemy, że wtedy kongruencja
 ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
@@ Linia 974: / Linia 1565: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K37</span><br/>
+<span id="K43" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K43</span><br/>
 Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
@@ Linia 982: / Linia 1573: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia K36, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
+Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia [[#K42|K42]], ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k \mid \mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
 ::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
@@ Linia 992: / Linia 1583: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K38</span><br/>
+<span id="K44" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K44</span><br/>
 Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
@@ Linia 1000: / Linia 1591: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia K36 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
+Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia [[#K42|K42]] wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
 ::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
-Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń K15 i&nbsp;K16.<br/>
+Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń [[#K21|K21]] i&nbsp;[[#K22|K22]].<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1010: / Linia 1601: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K39</span><br/>
+<span id="K45" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K45</span><br/>
 Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
@@ Linia 1023: / Linia 1614: @@
 |}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K40</span><br/>
+<span id="K46" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K46</span><br/>
 W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i&nbsp;najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
@@ Linia 1042: / Linia 1633: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K41</span><br/>
+<span id="K47" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K47</span><br/>
 Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
@@ Linia 1054: / Linia 1645: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K42</span><br/>
+<span id="K48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K48</span><br/>
 Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w&nbsp;tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z&nbsp;innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I&nbsp;tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
 Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
-Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu K15. Łatwo zauważamy, że
+Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu [[#K21|K21]]. Łatwo zauważamy, że
 ::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
@@ Linia 1073: / Linia 1664: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K43</span><br/>
+<span id="K49" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K49</span><br/>
 Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
@@ Linia 1091: / Linia 1682: @@
 == Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K44</span><br/>
+<span id="K50" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K50</span><br/>
 Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
@@ Linia 1110: / Linia 1701: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K45</span><br/>
+<span id="K51" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K51</span><br/>
 Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
@@ Linia 1131: / Linia 1722: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K46</span><br/>
+<span id="K52" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K52</span><br/>
 Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
@@ Linia 1153: / Linia 1744: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K47</span><br/>
+<span id="K53" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K53</span><br/>
 Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w&nbsp;liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
@@ Linia 1166: / Linia 1757: @@
 <math>\boldsymbol{n = 1}</math>
-Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są parzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> nieparzyste.
+Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są nieparzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> parzyste.
 <math>\boldsymbol{n = 2}</math>
-Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
+Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
 ::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
@@ Linia 1184: / Linia 1775: @@
 Co jest niemożliwe.
 </div>
-Mamy
+Z powyższego zestawienia wynika, że liczby <math>x, a</math> i&nbsp;liczby <math>y, b</math> mają taką samą parzystość. Mamy
 ::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
@@ Linia 1244: / Linia 1835: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K48</span><br/>
+<span id="K54" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K54</span><br/>
 Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
@@ Linia 1253: / Linia 1844: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K49</span><br/>
+<span id="K55" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K55</span><br/>
-Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
+Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
@@ Linia 1287: / Linia 1878: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K50</span><br/>
+<span id="K56" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K56</span><br/>
 Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
@@ Linia 1308: / Linia 1899: @@
 <math>\Large{\Longleftarrow}</math>
-Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
+Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2 \,</math> modulo <math>p</math> dostajemy
 ::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
@@ Linia 1316: / Linia 1907: @@
 ::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
-Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
+Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2 \;</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 1322: / Linia 1913: @@
 </div>
-Z twierdzenia J36 i&nbsp;zadania J40 otrzymujemy natychmiast
+Z twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] i&nbsp;zadania [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J46|J46]] otrzymujemy natychmiast
 :(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math>
@@ Linia 1349: / Linia 1940: @@
 ::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-(zobacz J36 i&nbsp;J40) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
+(zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] i&nbsp;[[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J46|J46]]) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
 ::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
@@ Linia 1361: / Linia 1952: @@
 ::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
+W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J19|J19]]), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
@@ Linia 1423: / Linia 2014: @@
 '''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
-Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia K49 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
+Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia [[#K55|K55]] wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
 ::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
@@ Linia 1477: / Linia 2068: @@
 ::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
-(zobacz K48). Zauważmy teraz, że
+(zobacz [[#K54|K54]]). Zauważmy teraz, że
 ::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
@@ Linia 1519: / Linia 2110: @@
 '''D. Jednoznaczność rozkładu'''
-Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia K47. Co kończy dowód.<br/>
+Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia [[#K53|K53]]. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1525: / Linia 2116: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K51</span><br/>
+<span id="K57" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K57</span><br/>
 Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
@@ Linia 1553: / Linia 2144: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K52</span><br/>
+<span id="K58" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K58</span><br/>
 Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>r</math>
 będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
@@ Linia 1576: / Linia 2167: @@
 ::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
-gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
+gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J25|J25]] wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
 '''Punkt 2.'''
-W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie K50. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
+W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie [[#K56|K56]]. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
 ::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
@@ Linia 1590: / Linia 2181: @@
 '''Punkt 3.'''
-Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze K48 mamy
+Niech <math>p = x^2 + y^2 \;</math> i <math>\; q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze [[#K54|K54]] mamy
 ::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
@@ Linia 1606: / Linia 2197: @@
 == Twierdzenia o&nbsp;istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K53</span><br/>
+<span id="K59" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K59</span><br/>
 Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
@@ Linia 1625: / Linia 2216: @@
 ::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math>
-Z twierdzenia J49 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
+Z twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J55|J55]] wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
 ::<math>s =
@@ Linia 1647: / Linia 2238: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K54</span><br/>
+<span id="K60" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K60</span><br/>
-Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie K53 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K55. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
+Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie [[#K59|K59]] należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia [[#K61|K61]]. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
 Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
-W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
+W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>. Kolorem czerwonym zaznaczyliśmy przypadki, gdy <math>q > p</math>.
 ::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
@@ Linia 1664: / Linia 2255: @@
-W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
+W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>. Kolorem czerwonym zaznaczyliśmy przypadki, gdy <math>q > p</math>.
 ::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
@@ Linia 1677: / Linia 2268: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K55</span><br/>
+<span id="K61" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K61</span><br/>
 Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
@@ Linia 1688: / Linia 2279: @@
 \end{cases}</math>
-Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
+Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C23|C23]]). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
 ::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
@@ Linia 1746: / Linia 2337: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K56</span><br/>
+<span id="K62" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K62</span><br/>
 Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz K50). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
+W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz [[#K56|K56]]). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J25|J25]] wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
 Modulo <math>q</math> możemy napisać
@@ Linia 1760: / Linia 2351: @@
 ::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
-Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9)
+Wynika stąd natychmiast (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] p.9)
 ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
@@ Linia 1770: / Linia 2361: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K57</span><br/>
+<span id="K63" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K63</span><br/>
 Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz K50).
+Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz [[#K56|K56]]).
 Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
@@ Linia 1783: / Linia 2374: @@
 ::<math>p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math>
-Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to jedynie w&nbsp;przypadku gdy <math>k = y = 1</math> możliwa jest sytuacja, że <math>k = y</math>. Mielibyśmy wtedy <math>p = 7</math>, ale z&nbsp;założenia musi być <math>p \geqslant 19</math>. Wynika stąd, że <math>k \neq y</math>, zatem liczba <math>k^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> (zobacz J22). Oczywiście <math>q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p</math>.
+Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to jedynie w&nbsp;przypadku gdy <math>k = y = 1</math> możliwa jest sytuacja, że <math>k = y</math>. Mielibyśmy wtedy <math>p = 7</math>, ale z&nbsp;założenia musi być <math>p \geqslant 19</math>. Wynika stąd, że <math>k \neq y</math>, zatem liczba <math>k^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J25|J25]]). Oczywiście <math>q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p</math>.
 Modulo <math>q</math> możemy napisać
@@ Linia 1793: / Linia 2384: @@
 ::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math>
-Wynika stąd natychmiast (zobacz J36 p.9 i&nbsp;p.6)
+Wynika stąd natychmiast (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] p.9 i&nbsp;p.6)
 ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}
@@ Linia 1807: / Linia 2398: @@
-Twierdzenia K56 i&nbsp;K57 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
+Twierdzenia [[#K62|K62]] i&nbsp;[[#K63|K63]] można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K58*</span><br/>
+<span id="K64" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K64*</span><br/>
 Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K59</span><br/>
+<span id="K65" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K65</span><br/>
 W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
@@ Linia 1839: / Linia 2430: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K60</span><br/>
+<span id="K66" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K66</span><br/>
 Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia J36 p.9 dostajemy
+Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C23|C23]]). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] p.9 dostajemy
 ::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
@@ Linia 1857: / Linia 2448: @@
 Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K61*</span><br/>
+<span id="K67" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K67*</span><br/>
 '''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
@@ Linia 1864: / Linia 2455: @@
-Zauważmy, że twierdzenie K61 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
+Zauważmy, że twierdzenie [[#K67|K67]] można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K62</span><br/>
+<span id="K68" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K68</span><br/>
 '''A.''' Jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 10 , 11</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
@@ Linia 1876: / Linia 2467: @@
 Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b</math>.
-Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J50 i&nbsp;K35).
+Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]] i&nbsp;[[#K41|K41]]).
-Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J50).
+Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]).
-Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J50).
+Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J56|J56]]).
 Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>.
@@ Linia 1888: / Linia 2479: @@
 :* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 5</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b</math>, to liczba pierwsza <math>q = 11</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
-:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K61 i&nbsp;K35).
+:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz [[#K67|K67]] i&nbsp;[[#K41|K41]]).
@@ Linia 1904: / Linia 2495: @@
 |}
-Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 4</math>, o ile <math>m \neq 6 , 9</math>.
+Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 4</math>, o&nbsp;ile <math>m \neq 6 , 9</math>.
 '''Punkt A'''
@@ Linia 1926: / Linia 2517: @@
 :* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 13</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>, to liczba pierwsza <math>q = 5</math> lub <math>q = 17</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
-:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K61 i&nbsp;K35).
+:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz [[#K67|K67]] i&nbsp;[[#K41|K41]]).
 Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 17</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 1</math>.
@@ Linia 1941: / Linia 2532: @@
 |}
-Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 6</math>, o ile <math>m \neq 10 , 11</math>.<br/>
+Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m \geqslant 6</math>, o&nbsp;ile <math>m \neq 10 , 11</math>.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1947: / Linia 2538: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K63</span><br/>
+<span id="K69" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K69</span><br/>
 Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
@@ Linia 1955: / Linia 2546: @@
 ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
-(zobacz J36&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
+(zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]]&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
 '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math>
-Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia K19 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J36&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
+Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[#K25|K25]] wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]]&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 1967: / Linia 2558: @@
 '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math>
-Z twierdzenia K55 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J36 p.9 otrzymujemy natychmiast
+Z twierdzenia [[#K61|K61]] wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] p.9 otrzymujemy natychmiast
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 1979: / Linia 2570: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K64</span><br/>
+<span id="K70" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K70</span><br/>
-Udowodnić twierdzenie K63 w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia K55.
+Udowodnić twierdzenie [[#K69|K69]] w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#K61|K61]].
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
@@ Linia 1989: / Linia 2580: @@
 '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math>
-Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J41). Mamy
+Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J47|J47]]). Mamy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 1999: / Linia 2590: @@
 '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math>
-Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J36&nbsp;p.6 oraz J41). Otrzymujemy
+Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]]&nbsp;p.6 oraz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J47|J47]]). Otrzymujemy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 2005: / Linia 2596: @@
 </div>
-Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia J36&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
+Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]]&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2025: / Linia 2616: @@
 <references>
+<ref name="Dukic1">Dušan Đukić, ''Quadratic Congruences'', International Mathematical Olympiad training materials, ([https://imomath.com/index.cgi?page=quadraticCongruencesSumsLegendreSymbols IMOmath.com])</ref>
+<ref name="Hasse1">Helmut Hasse, ''Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung'', Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.</ref>
+<ref name="Hasse2">Wikipedia, ''Hasse's theorem on elliptic curves'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hasse%27s_theorem_on_elliptic_curves Wiki-en]), ([https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5 Wiki-ru])</ref>
+<ref name="Manin1">Yu. I. Manin, ''On cubic congruences to a&nbsp;prime modulus'', Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678</ref>
 <ref name="Norton1">Karl K. Norton, ''Numbers with Small Prime Factors, and the Least ''k''th Power Non-Residue'', Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)</ref>

Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 19:04, 6 sty 2026

Przykłady sum symboli Legendre'a

Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj