Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 12:29, 31 maj 2024

22.04.2023

Przykłady sum symboli Legendre'a

Twierdzenie K1
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, [math]\displaystyle{ a, d \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid d }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy zauważyć, że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0 }[/math]

Punkt 2.

Wystarczy zauważyć, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

oraz że wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1 }[/math]

Punkt 3.

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math] są względnie pierwsze. Z twierdzenia C58 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k d }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Czyli wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p. 2). Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0 = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K2* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{N}_0 }[/math], to prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| \lt \sqrt{p} \log p }[/math]

Twierdzenie K3
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\ \end{cases} }[/math]

Dowód

1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \mid (a - b)} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ b \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

Z twierdzenia C58 wiemy, że reszty [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] z dzielenia [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb postaci

[math]\displaystyle{ x_k = a + k }[/math]

przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] są wszystkie różne i tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Czyli wśród reszt [math]\displaystyle{ r_1, r_2, \ldots, r_p }[/math] jest [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a jedna z tych reszt jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p. 2). Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} = p - 1 }[/math]

Co należało pokazać.

2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \nmid (a - b)} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math] i sumując od [math]\displaystyle{ a }[/math] do [math]\displaystyle{ p - 1 + a }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wśród [math]\displaystyle{ p }[/math] kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a, a + 1, \ldots, p - 1 + a }[/math] istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Liczby [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, p - 1 }[/math], są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz H21). Niech zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb [math]\displaystyle{ j = k + a }[/math], które nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Na mocy twierdzenia H26 zbiory [math]\displaystyle{ R = \{ 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math] oraz [math]\displaystyle{ T = \{ s^{- 1}_1, \ldots, s^{- 1}_{p - 1} \} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ s_k \in S }[/math], są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem od sumowania po [math]\displaystyle{ j }[/math] możemy przejść do sumowania po [math]\displaystyle{ r \in R }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - 1 }[/math]

Ostatnia z wypisanych sum jest równa zero, co wynika z trzeciego wzoru twierdzenia K1 i faktu, że [math]\displaystyle{ p \nmid (b - a) }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K4
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\ \end{cases} }[/math]

Dowód

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \mid n} }[/math]

Z drugiego wzoru twierdzenia K1 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1 }[/math]

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \nmid n} }[/math]

Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

(zobacz J35). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C58 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ k r^{- 1} }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b) }[/math]

Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] ma taką samą wartość i jeśli wybierzemy liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a druga liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b)) }[/math]

Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - (p - 1) }[/math]

bo z twierdzenia K1 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy

[math]\displaystyle{ - (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b)) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) + S (b) = - 2 }[/math]

Z twierdzenia K3 mamy

[math]\displaystyle{ S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ p \nmid 2 }[/math]. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową, a [math]\displaystyle{ b }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ S(a) = - 1 }[/math] i natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ S(b) = - 1 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ S(b) = - 1 }[/math] i natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ S(a) = - 1 }[/math]. Zatem bez względu na to, czy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], musi być [math]\displaystyle{ S(n) = - 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie K5
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ r , s \in \mathbb{Z} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C58 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 k + r }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia K4 wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.
□

Twierdzenie K6
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z} }[/math], to dla sumy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

prawdziwe są następujące wzory

(a) [math]\displaystyle{ \;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ \;\; | S (n) | \lt 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1 }[/math]

Dowód

Punkt (a)

Zauważmy, że zbiory [math]\displaystyle{ R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \} }[/math] są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p.2). Zatem możemy sumowanie po [math]\displaystyle{ k \in R }[/math] zastąpić sumowaniem po [math]\displaystyle{ j \in T . }[/math] Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ j = - r }[/math] i sumując po [math]\displaystyle{ r }[/math] od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ S (n) = - S (n) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ S(n) = 0 }[/math].

Punkt (b)

Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej^[1].

Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

(zobacz J35). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia C58 wiemy, że gdy [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to [math]\displaystyle{ k r^{- 1} }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ T' }[/math] identyczny ze zbiorem [math]\displaystyle{ T }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ S (a)^2 = S (b)^2 }[/math]. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ S (n)^2 }[/math] ma taką samą wartość i jeśli wybierzemy liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a druga liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to prawdziwa jest równość

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

Jak łatwo zauważyć [math]\displaystyle{ S(0) = 0 }[/math], zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Z twierdzenia K3 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\:\, - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\ p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\ \end{cases} }[/math]

Zbadajmy, kiedy [math]\displaystyle{ p \mid (k^2 - j^2) }[/math], czyli kiedy [math]\displaystyle{ p \mid [(k - j) (k + j)] }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ p \mid [(k - j) (k + j)] }[/math] gdy

[math]\displaystyle{ \; j = k }[/math]

[math]\displaystyle{ \; j = p - k }[/math]

Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left\{ \begin{array}{rll} - 1 & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\ p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\ \end{array} \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = p \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\! = 2 p (p - 1) }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math].

Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) }[/math]

to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p }[/math]

Wynika stąd, że bez względu na to, czy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p} }[/math]

Równość [math]\displaystyle{ S (n)^2 = 4 p }[/math] nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje po prawej stronie w potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (n) | \lt 2 \sqrt{p} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K7
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], to dla sumy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

prawdziwe są następujące wzory

(a) [math]\displaystyle{ \;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2) }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ \;\; | S (a, b) | \lt 2 \sqrt{p} \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2) }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math]. W ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać

[math]\displaystyle{ \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Mnożąc licznik przez [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] nie zmieniamy wartości sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Podstawiając [math]\displaystyle{ x \equiv a t + r \!\! \pmod{p} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

bo, gdy [math]\displaystyle{ t }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) liczby [math]\displaystyle{ a t + r }[/math] przebiegają taki sam zbiór (zobacz C58). Ponieważ [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] możemy wybrać tak, aby było

[math]\displaystyle{ 3 r \equiv b \!\! \pmod{p} }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Liczbę [math]\displaystyle{ - \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right) }[/math] nazywamy wyróżnikiem wielomianu [math]\displaystyle{ x^3 + a x + b }[/math].

Pokażemy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 3 }[/math] z warunku [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3} }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ 3 \mid a }[/math]. Zakładając, że reszta z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ b }[/math] przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to

[math]\displaystyle{ x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o tym, że [math]\displaystyle{ 27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ t = x - x_2 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ x }[/math] przebiega zbiór [math]\displaystyle{ \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], to (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) [math]\displaystyle{ t }[/math] przebiega taki sam zbiór (zobacz C58). Zatem

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], pokażemy, że wartość sumy

[math]\displaystyle{ S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

jest ściśle związana z ilością rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ N_p }[/math] oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i niech [math]\displaystyle{ N_+, N_0, N_- }[/math] oznaczają ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \} }[/math], dla których symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] jest równy odpowiednio [math]\displaystyle{ + 1, 0, - 1 }[/math]. Oczywiście

[math]\displaystyle{ N_+ + N_0 + N_- = p }[/math]

[math]\displaystyle{ S(a, b) = N_+ - N_- }[/math]

Zauważmy, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ x }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \mid (x^3 + a x + b) }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0 }[/math] i mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji

[math]\displaystyle{ 0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

Jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ x }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid (x^3 + a x + b) }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ x^3 + a x + b }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p} }[/math]

i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math], a drugie para [math]\displaystyle{ (x, - y) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ N_p = 2 N_+ + N_0 }[/math]

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b) }[/math]

W 1936 roku Helmut Hasse^[2]^[3] udowodnił, że

[math]\displaystyle{ | N_p - p | \lt 2 \sqrt{p} }[/math]

Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin^[4].

Wynika stąd, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| \lt 2 \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie K8
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 7 }[/math] jest liczbą pierwszą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieją:

dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Rozwiązanie

Dla [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math] łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.

Punkt 1.

Zauważmy, że przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność

[math]\displaystyle{ -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ 2, 5, 10 }[/math] jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych

[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4, 5 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9, 10 }[/math]

Punkt 2.

Rozważmy wszystkie możliwe wartości [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math]	[math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{1} \,\, }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{4} \,\, }[/math]	[math]\displaystyle{ \,\, \boldsymbol{5} \,\, }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{(…)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{A.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{B.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{C.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{D.} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

A. W tym przypadku liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

B. i C. W tym przypadku dokładnie jedna z liczb [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Gdyby w pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musielibyśmy [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 3}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych [math]\displaystyle{ p - 5 }[/math] komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] umieszczać w komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

D. W tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby [math]\displaystyle{ 2, 3 }[/math] są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□

Uwaga K9
Wzmocnimy wynik uzyskany w poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.

Twierdzenie K10
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
istnieje [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math] różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

(zobacz K1 i K3). Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor }[/math]

Punkt 2.

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy obie liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 4 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wartości sum wyliczyliśmy już w punkcie 1. Zatem

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ N = \begin{cases} {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\ {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Powyższy wynik można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K11
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math], to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa

[math]\displaystyle{ N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math], to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math], to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5 }[/math]

Gdzie przez [math]\displaystyle{ S(- 1) }[/math] oznaczyliśmy sumę

[math]\displaystyle{ S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Dowód

Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy wszystkie trzy liczby [math]\displaystyle{ k - 1, k, k + 1 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ 8 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1) }[/math]

(zobacz K1, K3 i K6). Oznaczenie [math]\displaystyle{ S(- 1) }[/math] nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w twierdzeniu K6. Wykorzystamy też znalezione w tym twierdzeniu oszacowanie [math]\displaystyle{ | S (- 1) | }[/math].

Zatem

[math]\displaystyle{ 8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7}{8}} }[/math]

Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

Chcemy znaleźć ilość takich liczb [math]\displaystyle{ k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \} }[/math], dla których

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Ilość liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z symbolu Legendre'a

[math]\displaystyle{ N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

Tylko w przypadku, gdy wszystkie trzy liczby [math]\displaystyle{ k - 1, k, k + 1 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], iloczyn wyrażeń w nawiasach kwadratowych jest różny od zera i równy [math]\displaystyle{ - 8 }[/math] (stąd czynnik [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{8}} }[/math] przed sumą).

[math]\displaystyle{ 8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1) }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} \gt {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ N = {\small\frac{p - 7}{8}} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Uwaga K12
Korzystając z twierdzenia K11, łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

A. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Przykład K13
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]

Uwaga K14
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP

A(p) = 
{
if( p == 2, return(0) );
if( !isprime(p), return(0) );
forprime(q = 2, p, if( jacobi(q, p) == -1, return(q) ));
}

Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, bo wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).

Twierdzenie K15
Niech [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□

Zadanie K16
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest

liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math]
liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 7 }[/math]
liczba [math]\displaystyle{ \geqslant 5 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 1 }[/math]

Rozwiązanie

Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J34 p.7) wiemy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\ \end{cases} }[/math]

Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (i tylko dla takich liczb) liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Z zadania J47 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math]. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j \pm 5 }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z czterech warunków

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]

Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4} }[/math]

a z pierwszego i czwartego mamy

[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24} }[/math]

[math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24} }[/math]

Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 5 \pmod{12} }[/math]

Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać

chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)

Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] spełnia kongruencje

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{12} }[/math]

Postępując jak wyżej, otrzymujemy

chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd 
chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K17
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q }[/math], że [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ 2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n }[/math] będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę [math]\displaystyle{ u }[/math] tak, aby spełniała układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\ u & \equiv a \pmod{p_n} \\ \end{align} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a }[/math] oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_n }[/math]. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math]

Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ c }[/math], bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ u \equiv 0 \pmod{p_k} }[/math]

wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1 }[/math] i z twierdzenia Dirichleta (zobacz C28) wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ u }[/math] spełniających kongruencję [math]\displaystyle{ u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n} }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]). Oznaczmy przez [math]\displaystyle{ q }[/math] dowolną z tych liczb pierwszych.

Ponieważ [math]\displaystyle{ q \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] (zobacz J34), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ p_k \lt p_n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ 8 \mid (q - 1) }[/math]. Dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]

Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p_n }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p_n }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ q }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ q }[/math] była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K18 (Sarvadaman Chowla)
Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ P(m) }[/math] jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Z twierdzenia Dirichleta (zobacz C28) wiemy, że w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math] występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza dowolną z nich.

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

(zobacz J34 p.7). Oczywiście [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ q_i \leqslant m }[/math] z twierdzenia J34 p.9 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wiemy też, że (zobacz A9)

[math]\displaystyle{ a = 4 P (m) \lt 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1} }[/math]

Załóżmy teraz, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym [math]\displaystyle{ u_k = a k + 1 }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] została wybrana tak, że liczba [math]\displaystyle{ a = 4 P (m) }[/math] jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C31). Dostajemy natychmiast oszacowanie

[math]\displaystyle{ p = p_{\min} (a, 1) \lt a^L }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika (możemy przyjąć [math]\displaystyle{ L = 5 }[/math]). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 \gt \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} \gt {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math]

Każdemu wyborowi innej liczby [math]\displaystyle{ m' \gt m }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ P(m') \gt P (m) }[/math] odpowiada inna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p' }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p') \gt {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}} }[/math], zatem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math] jest nieskończenie wiele.
□

Uwaga K19
W twierdzeniu K17 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] istnieją takie liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby [math]\displaystyle{ p \in S_\mathbb{n} }[/math] liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S_\mathbb{n} }[/math] ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie

forprime(n = 2, 50, forprime(p = 2, 10^10, if( A(p) == n, print(n, "   ", p); break() )))

W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też A000229).

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 311 }[/math]	[math]\displaystyle{ 479 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1559 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5711 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10559 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18191 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31391 }[/math]	[math]\displaystyle{ 422231 }[/math]	[math]\displaystyle{ 701399 }[/math]	[math]\displaystyle{ 366791 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3818929 }[/math]

Uwaga K20
Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz K2) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dłuższy od [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 \lt \sqrt{p} \log p + 1 }[/math]

Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.

Twierdzenie K21
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \lt \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Dowód

Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \nmid p }[/math], to z oszacowania [math]\displaystyle{ x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \leqslant x }[/math] wynika, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 \lt \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \lt \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} \lt p + \mathbb{n} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 0 \lt \mathbb{n} u - p \lt \mathbb{n} }[/math]

Liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} u - p }[/math] musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Ale z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant u }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 \lt {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \lt p + \mathbb{n} }[/math]

Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} \lt {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K22*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie^[5]^[6]^[7]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]

Uwaga K23
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa^[8]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]

Uwaga K24
Możemy też badać najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze nieparzyste liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]

Twierdzenie K25
Dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] najmniejsza nieparzysta liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą mniejszą od [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich nieparzystych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia J30 wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy też dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.

Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 = 2^2 \lt 5 \leqslant p }[/math] jest parzystą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] jest liczbą pierwszą.

Niech [math]\displaystyle{ 3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2 }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że każda liczba [math]\displaystyle{ a \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą złożoną, czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zauważmy, że żadna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Zatem obie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mniejszą od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] wbrew określeniu liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math]. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_\boldsymbol{1} }[/math] jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.
□

B. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Uwaga K26
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math] W jednym i drugim przypadku liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ p }[/math] lub [math]\displaystyle{ m . }[/math] Dlatego będziemy je oznaczali również jako [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) . }[/math]

Definicja K27
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Powiemy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ m }[/math] taką, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania.

Przykład K28
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]	[math]\displaystyle{ 42 }[/math]	[math]\displaystyle{ 44 }[/math]	[math]\displaystyle{ 46 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]

Uwaga K29
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP

B(m) = 
{
local(p, res);
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}

Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby [math]\displaystyle{ m . }[/math] Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.

Pokaż kod

B(m) = 
{
local(p, res, t);
t = m%8;
if( t == 3 || t == 5, return(2) );
t = m%12;
if( t == 4 || t == 8, return(3) );
t = m%24;
if( t == 9 || t == 15, return(2) );
if( t == 10 || t == 14, return(3) );
t = m%30;
if( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, return(5) );
p = 1;
while( p < m,
       p = nextprime(p + 1);
       if( m%p == 0, next() );
       res = -1;
       for( k = 2, floor(m/2), if( k^2%m == p, res = 1; break() ) );
       if( res == -1, return(p) );
     );
}

Twierdzenie K30
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, m \geqslant 3 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt \mathbb{n} . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{m} }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]
□

Zadanie K31
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Rozwiązanie

Z twierdzenia J42 wiemy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m = 8 k \pm 3 . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Co należało pokazać.
□

Zadanie K32
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków

[math]\displaystyle{ 4 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (3, m) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 12 k \pm 4 }[/math]

to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid m . }[/math] Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], co nie wyklucza możliwości, że również [math]\displaystyle{ 8 \mid m . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 4 \nmid (3 - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid (3 - 1) }[/math], to z twierdzenia J56 wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m} }[/math] nie ma rozwiązania. Jeśli tylko [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math] W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ 3 \nmid (12 k \pm 4) . }[/math]

Można też zauważyć, że żądanie, aby [math]\displaystyle{ \gcd (3, m) = 1 }[/math], prowadzi do dwóch układów kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 1 \pmod{3} \\ \end{align} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \begin{align} m &\equiv 0 \pmod{4} \\ m &\equiv 2 \pmod{3} \\ \end{align} }[/math]

którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne

[math]\displaystyle{ m \equiv \pm 4 \pmod{12} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie K33
Niech [math]\displaystyle{ m = 24 k \pm 10 . }[/math] Pokazać, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Rozwiązanie

Zapiszmy [math]\displaystyle{ m }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ m = 2 m' }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m' = 12 k \pm 5 . }[/math] Gdyby kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'} }[/math]

miała rozwiązanie, to również kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m'} }[/math]

miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J47), czyli [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m' . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]
□

Twierdzenie K34
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_2 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 2 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (zobacz J42).
□

Twierdzenie K35
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \} }[/math] będzie zbiorem liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą parzystą niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i podzielną przez [math]\displaystyle{ p \in S_3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 3 . }[/math]

Uwaga: zbiór [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] tworzą liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math] (zobacz J47).
□

Twierdzenie K36
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą dodatnią podzielną przez [math]\displaystyle{ 6 }[/math] i niepodzielną przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ 3 \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid m }[/math], [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 5 . }[/math]
□

Twierdzenie K37
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math].

Dowód

Z twierdzenia K69 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Z założenia [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv p \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ p }[/math] dzielą [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie K38
Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) . }[/math]

Postać liczby [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{𝕟(m)} }[/math]	Uwagi
[math]\displaystyle{ m=24k \pm 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	K34
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 55 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=120k \pm 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	K35
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	K36, K37
[math]\displaystyle{ m=30k \pm 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	K36, K37
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	K37
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 60 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ m=210k \pm 90 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]

Twierdzenie K39
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lll} \mathbb{n} (2 m) \gt \mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) \gt 2 \\ \end{array} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \gt 2 = \mathbb{n} (m) }[/math], bo [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) }[/math] musi być liczbą względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ 2 m . }[/math]

Punkt 2.

Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wiemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid 2 m }[/math], to wynika stąd natychmiast, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m} }[/math]

również nie ma rozwiązania (zobacz J56).

Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) . }[/math] Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1) }[/math]

możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\ \end{align} }[/math]

Z definicji [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem kongruencja [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez [math]\displaystyle{ x_0 . }[/math] Łatwo zauważamy, że liczba

[math]\displaystyle{ x'_0 = \begin{cases} \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\ x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\ \end{cases} }[/math]

jest rozwiązaniem układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] i [math]\displaystyle{ (3) }[/math], a tym samym kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązanie dla każdego [math]\displaystyle{ 2 \lt q \lt \mathbb{n} (m) . }[/math] Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) . }[/math]
□

Twierdzenie K40
Niech [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{lllll} \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\ \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\ \end{array} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Z twierdzenia K34 wynika, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = 2 . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 \mid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 . }[/math]

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 8 \nmid 4 m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 4 \nmid (3 - 1) }[/math], zatem z twierdzenia J56 wynika, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 3 \pmod{4 m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Ponieważ [math]\displaystyle{ 2 \mid 4 m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 3 \nmid 4 m }[/math], to [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (4 m) = 3 . }[/math]
□

Twierdzenie K41
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math]

Dowód

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math], to prawdziwa jest też kongruencja

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

co przeczy założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]
□

Twierdzenie K42
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to istnieje taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p . }[/math]

Dowód

Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ p_1, \ldots, p_s \} }[/math] i powiązany z dzielnikami pierwszymi [math]\displaystyle{ p_k }[/math] zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \} }[/math], z których każda jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K41). Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] musi być mniejsza od każdej z liczb [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]

Z definicji liczba [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], co oznacza, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s . }[/math] Zatem przynajmniej jedna z kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k} }[/math]

musi nie mieć rozwiązania (zobacz J12). Z twierdzenia J50 wiemy, że wtedy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k} }[/math]

również nie ma rozwiązania. Zatem [math]\displaystyle{ \mathbb{n} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_k \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, \mathbb{n} \lt \mathbb{n}_k }[/math], co przeczy definicji liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}_k . }[/math]
□

Twierdzenie K43
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) ) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p_k) }[/math] są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p_k . }[/math]

Dowód

Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia K42, ale musimy jeszcze pokazać, że [math]\displaystyle{ \gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 . }[/math] Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p_k \mid \mathbb{n} (m) }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant s . }[/math] Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest liczbą pierwszą, to musi być [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) = p_k }[/math], ale wtedy

[math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p_k) \lt p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k) }[/math]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant s . }[/math] Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K44
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m . }[/math] Prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \lt \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5 }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] takim, że [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) }[/math] (z twierdzenia K42 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) \lt F (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] jest funkcją rosnącą, to

[math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) \lt F (p) \leqslant F (m) }[/math]

Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń K21 i K22.
□

Uwaga K45
Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ \mathbb{n} = \mathbb{n} (m) }[/math] wynosi^[9]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots }[/math]

C. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Przykład K46
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( p )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n}( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{c( m )} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]

Uwaga K47
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP

C(m) = 
{
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(p = 2, m, if( jacobi(p, m) == -1, return(p) ));
}

Uwaga K48
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] oznaczyliśmy jako [math]\displaystyle{ c(m) }[/math]. Zauważmy, że są to liczby inne od [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math] i [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math]. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(p) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{n}(m) }[/math] i [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] dla [math]\displaystyle{ m = 15, 33, 39 }[/math]. Różnice wynikają z innej definicji liczb [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] – jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] nie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.

Ponieważ [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to mamy natychmiast oszacowanie: [math]\displaystyle{ c(m) \geqslant \mathbb{n} (m) }[/math] (poza przypadkami, gdy [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math]).

Dla [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu K21. Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ c = c (15) = 7 \gt \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]

[math]\displaystyle{ c = c (39) = 7 \gt \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]

[math]\displaystyle{ c = c (105) = 11 \gt \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]

[math]\displaystyle{ c = c (231) = 17 \gt \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]

Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m \lt 10^9 }[/math].

Twierdzenie K49
Niech [math]\displaystyle{ c, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ c }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] musi być liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ c = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt c }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].
□

Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Przykład K50
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 85 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb [math]\displaystyle{ x , y }[/math] nie zostały uwzględnione.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 45 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 58 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 64 }[/math]	[math]\displaystyle{ 65 }[/math]	[math]\displaystyle{ 68 }[/math]	[math]\displaystyle{ 72 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 74 }[/math]	[math]\displaystyle{ 80 }[/math]	[math]\displaystyle{ 81 }[/math]	[math]\displaystyle{ 82 }[/math]	[math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,6 }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 21 }[/math] nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Przykład K51
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 73 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 44 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 50 }[/math]	[math]\displaystyle{ 51 }[/math]	[math]\displaystyle{ 54 }[/math]	[math]\displaystyle{ 57 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 64 }[/math]	[math]\displaystyle{ 66 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 68 }[/math]	[math]\displaystyle{ 72 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,6 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,6 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 65 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 33 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math].

Zauważmy też, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 35 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 27 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math].

Przykład K52
Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ 103 }[/math] na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{N}_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 48 }[/math]	[math]\displaystyle{ 49 }[/math]	[math]\displaystyle{ 52 }[/math]	[math]\displaystyle{ 57 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 63 }[/math]	[math]\displaystyle{ 64 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 75 }[/math]	[math]\displaystyle{ 76 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 81 }[/math]	[math]\displaystyle{ 84 }[/math]	[math]\displaystyle{ 91 }[/math]	[math]\displaystyle{ 93 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]	[math]\displaystyle{ 100 }[/math]	[math]\displaystyle{ 103 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10,0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10,1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 0,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 7,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 6,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 5,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{x,y} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 2,4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 1,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ 3,5 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

Zauważmy, że liczba złożona [math]\displaystyle{ 55 }[/math] nie ma rozkładu na sumę postaci [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 }[/math], a liczba złożona [math]\displaystyle{ 91 }[/math] ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math].

Twierdzenie K53
Jeżeli liczba nieparzysta postaci [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math], ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.

Dowód

W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].

Niech

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = a^2 + b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] są nieparzyste, a liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] parzyste.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] występująca w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2 }[/math] muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ y }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ b }[/math] nieparzysta, wtedy modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 3} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach [math]\displaystyle{ x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2 }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, a liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] parzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe.

Z powyższego zestawienia wynika, że liczby [math]\displaystyle{ x, a }[/math] i liczby [math]\displaystyle{ y, b }[/math] mają taką samą parzystość. Mamy

[math]\displaystyle{ x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ (x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ f = \gcd (x - a, b - y) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f }[/math] jest liczbą parzystą i

[math]\displaystyle{ x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ r(x + a) = n s (y + b) }[/math]

ale liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] są względnie pierwsze, zatem [math]\displaystyle{ s \mid (x + a) }[/math] i musi być

[math]\displaystyle{ x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r }[/math]

Gdyby [math]\displaystyle{ k }[/math] było liczbą nieparzystą, to liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \gcd (r, s) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ k }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ 2 s \mid (x + a) }[/math], czyli możemy pokazać więcej. Musi być

[math]\displaystyle{ x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r }[/math]

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math], zauważmy, że [math]\displaystyle{ n \mid l }[/math] lub [math]\displaystyle{ n \mid r }[/math].

Łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) }[/math]

[math]\displaystyle{ y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) }[/math]

Ostatecznie

[math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2 , 3} }[/math]

W zależności od tego, która z liczb [math]\displaystyle{ l, r }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Uwaga K54
Zauważmy, że iloczyn liczb postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] jest liczbą tej samej postaci.

[math]\displaystyle{ (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2 }[/math]

Twierdzenie K55
Niech [math]\displaystyle{ x, y, a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \{ 1, 2, 3 \} }[/math]. Jeżeli liczba parzysta [math]\displaystyle{ Q = x^2 + n y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R = a^2 + n b^2 }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Dowód

W szczególnym przypadku, gdy [math]\displaystyle{ R = 1 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ R = 1^2 + n \cdot 0^2 }[/math].

Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład [math]\displaystyle{ Q = 2^{\alpha} R }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R }[/math] jest liczbą nieparzystą postaci [math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 }[/math].

1. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] jest parzysta, a [math]\displaystyle{ y }[/math] nieparzysta, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2} }[/math]

a) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są parzyste, to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2 }[/math]

b) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4 \mid (x + y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2 }[/math]

c) jeżeli liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ 4 \mid (x - y) }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie K56
Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a) [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

(a) [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] może być przedstawiona w postaci [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] są liczbami takimi, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant x_0, y_0 \lt p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid y_0 }[/math], a rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ p = x_0^2 + n y_0^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ - n y_0^2 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Z twierdzenia J42 i zadania J46 otrzymujemy natychmiast

(a) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]

(b) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math]

(c) jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Co należało pokazać.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

A. Istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}} }[/math]

Z założenia liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest postaci

(a) [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]

(b) [math]\displaystyle{ 8 k + 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \: 8 k + 3 }[/math]

(c) [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math]

Wynika stąd, że dla (a) [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], (b) [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], (c) [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

(zobacz J42 i J46) i liczba [math]\displaystyle{ - n }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że

[math]\displaystyle{ k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ x_0 = k }[/math] i [math]\displaystyle{ y_0 = 1 }[/math] są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J19), liczbę [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] możemy jawnie wypisać: [math]\displaystyle{ x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! }[/math]

B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego

Niech liczby [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p \nmid y_0 }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wybierzmy liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb [math]\displaystyle{ {\small\frac{x_0}{p}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y_0}{p}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x_0 - r p | \lt {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \lt {\small\frac{p}{2}} }[/math]

Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego [math]\displaystyle{ x_0, y_0 }[/math] możemy wybrać liczby

[math]\displaystyle{ x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i dla których

[math]\displaystyle{ 0 \lt x^2 + n y^2 \lt \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p }[/math]

Ponieważ modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest [math]\displaystyle{ x \equiv x_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y \equiv y_0 }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] spełniają kongruencję

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

ma rozwiązanie dla liczb

[math]\displaystyle{ | x | \lt {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | \lt {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m \lt {\small\frac{(n + 1) p}{4}} }[/math]

Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu.

C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata^[10]^[11]

Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta^[12].

Jeżeli w rozwiązaniu [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p = x^2 + n y^2 }[/math] i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math]

otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

takie, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math]. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie [math]\displaystyle{ x_k, y_k, m_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math]. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.

Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest konieczny tylko w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą parzystą

Jeżeli [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] jest liczbą parzystą, to z twierdzenia K55 wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math] może być zapisana w postaci

[math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}} }[/math], aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci

[math]\displaystyle{ x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] jest liczbą nieparzystą i [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt m }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m \gt 1} }[/math] jest liczbą nieparzystą

Niech liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math] będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom [math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{m}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, {\small\frac{y}{m}} }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ | x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie [math]\displaystyle{ {\small\frac{m}{2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.

[math]\displaystyle{ | x - r m | \lt {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \lt {\small\frac{m}{2}} }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może jednocześnie dzielić liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ m^2 \mid (x^2 + n y^2) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] musi być różna od [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

Rozpatrując równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i uwzględniając, że

[math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ y \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Mamy też oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 \lt a^2 + n b^2 \lt \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m }[/math]

Wynika stąd, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] spełniająca warunek [math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math], że

[math]\displaystyle{ a^2 + n b^2 = m_1 m }[/math]

Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 = m p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2 }[/math]

(zobacz K54). Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = m (p - r x - n s y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = m x_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = x y - r m y - y x + s m x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = m (s x - r y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = m y_1 }[/math]

Gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ x_1 = p - r x - n s y }[/math]

[math]\displaystyle{ y_1 = s x - r y }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ 1 \leqslant m_1 \lt {\small\frac{(n + 1) m}{4}} }[/math]

Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy [math]\displaystyle{ m_k = 1 }[/math].

D. Jednoznaczność rozkładu

Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia K53. Co kończy dowód.
□

Uwaga K57
Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.

Pokaż kod

SumOfTwoSquares(p) = 
{
local(m, r, s, x, y, x1, y1);
if( p%4 <> 1 || !isprime(p), return("Error") );
x = 1;
for(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
x = x - round(x/p)*p;
y = 1;
m = (x^2 + y^2)/p;
while( m > 1,
       r = round(x/m);
       s = round(y/m);
       x1 = p - r*x - s*y;
       y1 = r*y - s*x;
       x = x1;
       y = y1;
       m = (x^2 + y^2)/p;
     );
return([ abs(x), abs(y), p ]);
}

Zadanie K58
Niech liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], a liczba pierwsza [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokazać, że

liczby [math]\displaystyle{ r, p r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, r^2 }[/math] nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
liczby [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ 2 p }[/math], [math]\displaystyle{ p^2 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r^2 }[/math] mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
liczba [math]\displaystyle{ p q }[/math], [math]\displaystyle{ p \neq q }[/math] ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich

Rozwiązanie

Punkt 1.

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ r \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p r }[/math] są postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Suma [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

Przypuśćmy, że

[math]\displaystyle{ r^2 = x^2 + y^2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość, zatem [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J25 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], co w sposób oczywisty jest niemożliwe.

Punkt 2.

W przypadku liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] odpowiedzi udziela twierdzenie K56. Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ 2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2 }[/math]

Punkt 3.

Niech [math]\displaystyle{ p = x^2 + y^2 }[/math] i [math]\displaystyle{ q = a^2 + b^2 }[/math]. Ze wzorów podanych w uwadze K54 mamy

[math]\displaystyle{ p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Zadanie K59
Niech [math]\displaystyle{ s = \pm 1 }[/math]. Zbadać podzielność liczby [math]\displaystyle{ p - s a^2 }[/math]

przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 4 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3 }[/math]
przez [math]\displaystyle{ 8 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7 }[/math]

Rozwiązanie

Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja

[math]\displaystyle{ p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n = 2, 3 }[/math], ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ s a^2 \equiv r \pmod{2^n} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2 \equiv s r \pmod{2^n} }[/math]

Z twierdzenia J55 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być [math]\displaystyle{ 2^n \mid (s r - 1) }[/math], co jest możliwe tylko, gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 4 }[/math] i gdy

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \end{cases} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ 2^n = 8 }[/math] i [math]\displaystyle{ r = 3, 5 }[/math] rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.
□

Uwaga K60
Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy^[13]. Zadanie K59 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K61. Z zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby [math]\displaystyle{ s }[/math] z postacią liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] nie jest przypadkowe.

Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math] wynik [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] nie oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]

W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 41 }[/math]	[math]\displaystyle{ 43 }[/math]	[math]\displaystyle{ 47 }[/math]	[math]\displaystyle{ 53 }[/math]	[math]\displaystyle{ 59 }[/math]	[math]\displaystyle{ 61 }[/math]	[math]\displaystyle{ 67 }[/math]	[math]\displaystyle{ 71 }[/math]	[math]\displaystyle{ 73 }[/math]	[math]\displaystyle{ 79 }[/math]	[math]\displaystyle{ 83 }[/math]	[math]\displaystyle{ 89 }[/math]	[math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]

Twierdzenie K61
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 17 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ s = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\ \end{cases} }[/math]

Dla ustalonych liczb [math]\displaystyle{ n }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] rozważmy liczbę [math]\displaystyle{ u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}} }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ 3 \leqslant u (a) \lt p }[/math]. Jeżeli liczba ta jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C22). Zatem możemy napisać [math]\displaystyle{ u (a) = t q }[/math], co oznacza, że

[math]\displaystyle{ p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ p \equiv s a^2 \pmod{q} }[/math]

i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Zatem liczba [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb [math]\displaystyle{ u(a_1), \ldots, u(a_r) }[/math] takich, że

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant u(a_1) \lt \ldots \lt u(a_r) \lt p }[/math]

z których jedna musi być postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek pierwszy: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} \lt {\small\frac{p + 9}{4}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 3 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k + 1, 2 k + 3 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek drugi: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} \lt {\small\frac{p - 1}{4}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 21 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 5 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ 2 k - 1, 2 k + 1 \} }[/math]. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek trzeci: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = - 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} \lt {\small\frac{p + 9}{8}} \lt {\small\frac{p + 25}{8}} \lt {\small\frac{p + 49}{8}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 23 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Przypadek czwarty: [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}} }[/math]

Mamy [math]\displaystyle{ s = + 1 }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Rozważmy liczby

[math]\displaystyle{ 3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} \lt {\small\frac{p - 25}{8}} \lt {\small\frac{p - 9}{8}} \lt {\small\frac{p - 1}{8}} \lt p }[/math]

Oszacowania są jednocześnie spełnione dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 73 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 }[/math], zatem rozpatrywane liczby to [math]\displaystyle{ \{ k - 6, k - 3, k - 1, k \} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ k \equiv r \!\! \pmod{4} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy zbiór [math]\displaystyle{ \{ r + 2, r + 1, r + 3, r \} }[/math]. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \lt 73 }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K62
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

W przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 3 }[/math], to istnieją takie liczby całkowite dodatnie [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] (zobacz K56). Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Z twierdzenia J25 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ q \leqslant x^2 + y^2 \lt x^2 + 2 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid x }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = x^2 + 2 y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie K63
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 12 k + 7 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{6} }[/math], zatem istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ p = x^2 + 3 y^2 }[/math] (zobacz K56). Liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] muszą mieć przeciwną parzystość i być względnie pierwsze. Gdyby liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] była nieparzysta, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ 1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co jest niemożliwe. Zatem [math]\displaystyle{ x = 2 k }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] musi być nieparzysta. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to jedynie w przypadku gdy [math]\displaystyle{ k = y = 1 }[/math] możliwa jest sytuacja, że [math]\displaystyle{ k = y }[/math]. Mielibyśmy wtedy [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math], ale z założenia musi być [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ k \neq y }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ k^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] (zobacz J25). Oczywiście [math]\displaystyle{ q \leqslant k^2 + y^2 \lt 4 k^2 + 3 y^2 = p }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ q }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] nie może dzielić [math]\displaystyle{ y }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ q \mid k }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid p }[/math], co jest niemożliwe. Rozpatrując równość [math]\displaystyle{ p = 4 (k^2 + y^2) - y^2 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ q }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q} }[/math]

Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9 i p.6)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenia K62 i K63 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.^[13]
Twierdzenie K64*
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] jest liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \neq 13, 37 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Uwaga K65
W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]

W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ q }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]	[math]\displaystyle{ 21 }[/math]	[math]\displaystyle{ 22 }[/math]	[math]\displaystyle{ 23 }[/math]	[math]\displaystyle{ 24 }[/math]	[math]\displaystyle{ 25 }[/math]	[math]\displaystyle{ 26 }[/math]	[math]\displaystyle{ 27 }[/math]	[math]\displaystyle{ 28 }[/math]	[math]\displaystyle{ 29 }[/math]	[math]\displaystyle{ 30 }[/math]	[math]\displaystyle{ 31 }[/math]	[math]\displaystyle{ 32 }[/math]	[math]\displaystyle{ 33 }[/math]	[math]\displaystyle{ 34 }[/math]	[math]\displaystyle{ 35 }[/math]	[math]\displaystyle{ 36 }[/math]	[math]\displaystyle{ 37 }[/math]	[math]\displaystyle{ 38 }[/math]	[math]\displaystyle{ 39 }[/math]	[math]\displaystyle{ 40 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]

Twierdzenie K66
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] jest liczbą całkowitą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ m - 4 \geqslant 3 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], to ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] (zobacz C22). Czyli [math]\displaystyle{ m - 4 = k q }[/math] i z twierdzenia J42 p.9 dostajemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□

Można też pokazać, że^[14]
Twierdzenie K67*
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Zauważmy, że twierdzenie K67 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.
Twierdzenie K68
A. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

B. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math] jest liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Punkt B

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J56 i K41).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J56).

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \nmid (11 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 11 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J56).

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zbierając:

jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 11 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 12 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K67 i K41).

Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 11 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math].

for(m = 3, 15, forprimestep(q = 3, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 4 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 6 , 9 }[/math].

Punkt A

Rozważmy liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math].

Jeżeli jedna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ 17 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{7}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{17}{11}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \nmid (5 - 1) }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Jeżeli żadna z liczb [math]\displaystyle{ 3, 5, 7, 11 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to nie istnieją liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo [math]\displaystyle{ 4 \mid [(4 k + 1) - 1] }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zbierając:

jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] nie ma dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], czyli jest postaci [math]\displaystyle{ m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q = 5 }[/math] lub [math]\displaystyle{ q = 17 }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ m }[/math], jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
jeśli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 18 }[/math] ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math], to istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p \leqslant m }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] i jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz K67 i K41).

Pozostaje wypisać dla liczb [math]\displaystyle{ 3 \leqslant m \leqslant 17 }[/math] najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

for(m = 3, 20, forprimestep(q = 1, 100, 4, if( isQR(q,m) == -1, print(m, "  ", q); break() )))

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 10 }[/math]	[math]\displaystyle{ 11 }[/math]	[math]\displaystyle{ 12 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 14 }[/math]	[math]\displaystyle{ 15 }[/math]	[math]\displaystyle{ 16 }[/math]	[math]\displaystyle{ 17 }[/math]	[math]\displaystyle{ 18 }[/math]	[math]\displaystyle{ 19 }[/math]	[math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ - }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]	[math]\displaystyle{ 13 }[/math]

Widzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math], o ile [math]\displaystyle{ m \neq 10 , 11 }[/math].
□

Twierdzenie K69
Jeżeli [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 . }[/math]

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

(zobacz J42 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 1} }[/math]

Niech liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] będzie najmniejszą nieparzystą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia K25 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{4 k + 3} }[/math]

Z twierdzenia K61 wynika, że dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p \geqslant 11 }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math] i jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math], to z twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Co kończy dowód.
□

Zadanie K70
Udowodnić twierdzenie K69 w przypadku, gdy liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math], nie korzystając z twierdzenia K61.

Rozwiązanie

Z założenia [math]\displaystyle{ p = 4 k + 3 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] może być postaci [math]\displaystyle{ k = 3 j }[/math], [math]\displaystyle{ k = 3 j + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 3 j + 2 }[/math]. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

Ponieważ nie ma liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \geqslant 19 }[/math] i będących postaci [math]\displaystyle{ p = 12 j + 3 }[/math], to pozostaje rozważyć przypadki [math]\displaystyle{ p = 12 j + 7 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j + 11 }[/math].

A. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 11} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math] (zobacz J47). Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Czyli wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ q = 3 }[/math].

B. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{p} \, }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ \, \boldsymbol{12 j + 7} }[/math]

Wiemy, że w tym przypadku [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] (zobacz J42 p.6 oraz J47). Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1 }[/math]

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ p - 12 \geqslant 7 }[/math] jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q \lt p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 12 }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W przeciwnym razie z twierdzenia J42 p.4 mielibyśmy [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□

Przypisy

↑ Dušan Đukić, Quadratic Congruences, International Mathematical Olympiad training materials, (IMOmath.com)
↑ Helmut Hasse, Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.
↑ Wikipedia, Hasse's theorem on elliptic curves, (Wiki-en), (Wiki-ru)
↑ Yu. I. Manin, On cubic congruences to a prime modulus, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678
↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
↑ Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.
↑ Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)
↑ W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)
↑ G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.
↑ ^13,0 ^13,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.
↑ Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414

[Dukic1-1] Dušan Đukić, Quadratic Congruences, International Mathematical Olympiad training materials, (IMOmath.com)

[Hasse1-2] Helmut Hasse, Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I. Die Struktur der Gruppe der Divisisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 175 (1936) 55–62, 69–88, 193–207.

[Hasse2-3] Wikipedia, Hasse's theorem on elliptic curves, (Wiki-en), (Wiki-ru)

[Manin1-4] Yu. I. Manin, On cubic congruences to a prime modulus, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1956, Volume 20, Issue 5, 673–678

[Norton1-5] Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)

[Trevino1-6] Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)

[Trevino2-7] Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)

[Erdos1-8] Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)

[Pollack1-9] Paul Pollack, The average least quadratic nonresidue modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] and other variations on a theme of Erdős, Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.

[InfiniteDescent1-10] Wikipedia, Proof by infinite descent, (Wiki-en)

[Bussey1-11] W. H. Bussey, Fermat's Method of Infinite Descent, The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)

[HardyWright1-12] G. H. Hardy and Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.

[Gica1-13] 13,0 ^13,1 Alexandru Gica, Quadratic Residues of Certain Types, Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.

[Pollack2-14] Paul Pollack, The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4, Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 12:29, 31 maj 2024

Spis treści

Przykłady sum symboli Legendre'a

Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo

Liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ x^2 + n y^2 }[/math]

Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj

@@ Linia 5: / Linia 5: @@
-== Element odwrotny modulo <math>m</math> ==
+== Przykłady sum symboli Legendre'a ==
 <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K1</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla liczby <math>k</math> istnieje taka liczba <math>x</math>, że
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, <math>a, d \in \mathbb{Z}</math> i <math>p \nmid d</math>. Pokazać, że
-::<math>x k \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
-wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>\gcd (k, m) = 1</math>.
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+'''Punkt 1.'''
+Wystarczy zauważyć, że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0</math>
-Z założenia istnieje taka liczba <math>x</math>, że
+'''Punkt 2.'''
-::<math>x k \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
+Wystarczy zauważyć, że
-Zatem dla pewnego <math>r \in \mathbb{Z}</math> jest
+::<math>\left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
-::<math>x k = 1 + r m</math>
+oraz że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
-Czyli <math>x k - r m = 1</math>. Wynika stąd, że <math>\gcd (k, m)</math> dzieli <math>1</math>, co oznacza, że <math>\gcd (k, m) = 1</math>.
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1</math>
-<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+'''Punkt 3.'''
-Z założenia <math>\gcd (k, m) = 1</math>. Z&nbsp;lematu Bézouta (zobacz C73) wynika, że istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
+Z założenia liczby <math>p</math> i <math>d</math> są względnie pierwsze. Z&nbsp;twierdzenia C58 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
-::<math>k x + m y = 1</math>
+::<math>x_k = a + k d</math>
-Zatem modulo <math>m</math> dostajemy
+przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p. 2). Zatem możemy napisać
-::<math>k x \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0
+ = 0</math>
-Co kończy dowód.<br/>
+Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 44: / Linia 53: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K2</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K2* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczbę <math>x</math> taką, że
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m, n \in \mathbb{N}_0</math>, to prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>x \cdot k \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
+::<math>\left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < \sqrt{p} \log p</math>
-będziemy nazywali elementem odwrotnym liczby <math>k</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;oznaczali jako <math>k^{- 1}</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K3</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K3</span><br/>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-Oznaczenie elementu odwrotnego ma naturalne uzasadnienie. Zauważmy, że jeżeli <math>b \mid a</math> oraz <math>b</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>, to prawdziwa jest kongruencja
+ = \begin{cases}
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\
-::<math>{\small\frac{a}{b}} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m}</math>
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\
+\end{cases}</math>
-Istotnie
-::<math>{\small\frac{a}{b}} = {\small\frac{a}{b}} \cdot 1 \equiv {\small\frac{a}{b}} \cdot b b^{- 1} \equiv a b^{- 1}\!\! \pmod{m}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-W PARI/GP odwrotność liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> znajdujemy, wpisując <code>Mod(a, m)^(-1)</code>.
+'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid (a - b)}</math>'''
+Z założenia <math>b \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K4</span><br/>
+Z&nbsp;twierdzenia C58 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a&nbsp;liczby <math>a, b</math> będą względnie pierwsze z <math>p</math>. Jeżeli liczby <math>a, b</math> są różne modulo <math>p</math>, to ich elementy odwrotne <math>a^{-1}, b^{- 1}</math> też są różne modulo <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>x_k = a + k</math>
-Z założenia <math>a \not\equiv b \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby było
-::<math>a^{- 1} \equiv b^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p. 2). Zatem możemy napisać
-to mielibyśmy
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
+ = p - 1</math>
-::<math>a^{- 1} a b \equiv b^{- 1} a b \!\! \pmod{p}</math>
+Co należało pokazać.
-Czyli
+'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid (a - b)}</math>'''
-::<math>b \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
+Kładąc <math>j = k + a</math> i&nbsp;sumując od <math>a</math> do <math>p - 1 + a</math>, otrzymujemy
-Wbrew uczynionemu założeniu. Co kończy dowód.<br/>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-&#9633;
+ = \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{{\Spoiler}}
+Wśród <math>p</math> kolejnych liczb <math>a, a + 1, \ldots, p - 1 + a</math> istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez <math>p</math>. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K5</span><br/>
+::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zbiór <math>R = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, a&nbsp;zbiór <math>S</math> będzie identyczny ze zbiorem <math>R</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli liczby <math>x_k \in S</math> przebiegają cały zbiór <math>S</math>, to liczby <math>x^{- 1}_k</math> przebiegają zbiór <math>T</math> identyczny ze zbiorem <math>R</math> modulo <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z założenia zbiory <math>R</math> i <math>S</math> są identyczne modulo <math>R</math>. Zatem każdej liczbie <math>k \in R</math> odpowiada dokładnie jedna liczba <math>x_k \in S</math> taka, że
-::<math>x_k \equiv k \!\! \pmod{p}</math>
+Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Liczby <math>j = k + a</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, p - 1</math>, są wszystkie różne modulo <math>p</math> (zobacz H21). Niech zbiór <math>S</math> będzie zbiorem wszystkich liczb <math>j = k + a</math>, które nie są podzielne przez <math>p</math>. Na mocy twierdzenia H26 zbiory <math>R = \{ 1, \ldots, p - 1 \}</math>, <math>S</math> oraz <math>T = \{ s^{- 1}_1, \ldots, s^{- 1}_{p - 1} \}</math>, gdzie <math>s_k \in S</math>, są równe modulo <math>p</math>. Zatem od sumowania po <math>j</math> możemy przejść do sumowania po <math>r \in R</math>.
-Ponieważ <math>\gcd (k, p) = 1</math>, to również <math>\gcd (x_k, p) = 1</math>. Zatem liczba <math>x_k</math> ma element odwrotny <math>x^{- 1}_k</math> modulo <math>p</math>. Ponieważ wszystkie liczby <math>x_k</math> są różne modulo <math>p</math>, to elementy odwrotne <math>x^{- 1}_k</math> też są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Ponieważ liczb <math>x^{- 1}_k</math> jest dokładnie <math>p - 1</math>, to tworzą one pewien zbiór <math>T</math> identyczny ze zbiorem <math>R</math> modulo <math>p</math>. Co kończy dowód.<br/>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-&#9633;
+ = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{{\Spoiler}}
+::::::::<math>\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::::::<math>\;\;\, = - 1</math>
+Ostatnia z&nbsp;wypisanych sum jest równa zero, co wynika z&nbsp;trzeciego wzoru twierdzenia K1 i&nbsp;faktu, że <math>p \nmid (b - a)</math>. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-== Przykłady sum symboli Legendre'a ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K6</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K4</span><br/>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, <math>a, d \in \mathbb{Z}</math> i <math>p \nmid d</math>. Pokazać, że
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
+\begin{cases}
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\
+\end{cases}</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
+'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid n}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z drugiego wzoru twierdzenia K1 otrzymujemy
-'''Punkt 1.'''
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
-Wystarczy zauważyć, że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid n}</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) = 0</math>
+Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
-'''Punkt 2.'''
+::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
-Wystarczy zauważyć, że
+(zobacz J35). Zatem
-::<math>\left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
+::<math>S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-oraz że wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+:::<math>\;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1^2 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1)^2 = p - 1</math>
+:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-'''Punkt 3.'''
+:::<math>\;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z założenia liczby <math>p</math> i <math>d</math> są względnie pierwsze. Z&nbsp;twierdzenia C57 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
+:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>x_k = a + k d</math>
+Z twierdzenia C58 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
-przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p. 2). Zatem możemy napisać
+::<math>S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b)</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a + k d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = \sum_{j = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot 1 + {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot (- 1) + 0
- = 0</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S(n)</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to możemy napisać
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K7* (George Pólya, Iwan Winogradow, 1918)</span><br/>
+Z drugiej strony
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m, n \in \mathbb{N}_0</math>, to prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>\left| \sum_{t = m}^{m + n} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < \sqrt{p} \log p</math>
+::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K8</span><br/>
+::::<math>\;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+::::<math>\;\;\;\: = - (p - 1)</math>
- = \begin{cases}
- \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (a - b) \\
-    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (a - b) \\
-\end{cases}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+bo z&nbsp;twierdzenia K1 wiemy, że
-'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid (a - b)}</math>'''
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
-Z założenia <math>b \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy
- = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
-Z&nbsp;twierdzenia C57 wiemy, że reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> z&nbsp;dzielenia <math>p</math> kolejnych liczb postaci
+::<math>- (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
-::<math>x_k = a + k</math>
+Zatem
-przez liczbę <math>p</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>. Czyli wśród reszt <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> jest <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, a&nbsp;jedna z&nbsp;tych reszt jest podzielna przez <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p. 2). Zatem możemy napisać
+::<math>S(a) + S (b) = - 2</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
- = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r_k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}
- = p - 1</math>
-Co należało pokazać.
+Z twierdzenia K3 mamy
-'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid (a - b)}</math>'''
+::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - 1</math>
-Kładąc <math>j = k + a</math> i&nbsp;sumując od <math>a</math> do <math>p - 1 + a</math>, otrzymujemy
+bo <math>p \nmid 2</math>. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że <math>a</math> jest liczbą kwadratową, a <math>b</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(a) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(b) = - 1</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(b) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(a) = - 1</math>. Zatem bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, musi być <math>S(n) = - 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+{{\Spoiler}}
- = \sum_{j = a}^{p - 1 + a} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Wśród <math>p</math> kolejnych liczb <math>a, a + 1, \ldots, p - 1 + a</math> istnieje dokładnie jedna liczba podzielna przez <math>p</math>. Możemy ją pominąć, bo nie wnosi ona wkładu do wyliczanej sumy.
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + b - a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j + (b - a) j j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K5</span><br/>
+Pokazać, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>r , s \in \mathbb{Z}</math>, to
-::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{j^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
+\begin{cases}
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\
+\end{cases}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-::::::::<math>\;\;\, = \underset{p \nmid j}{\sum_{j = a}^{p - 1 + a}} \left( {\small\frac{1 + (b - a) j^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik. Wiemy też, że gdy liczby <math>j</math> przebiegają zbiór identyczny (modulo <math>p</math>) ze zbiorem <math>R = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to liczby <math>j^{- 1}</math> przebiegają pewien zbiór <math>S</math> identyczny (modulo <math>p</math>) ze zbiorem <math>R</math> (zobacz K5). Zatem od sumowania po <math>j</math> możemy przejść do sumowania po <math>r \in R</math>.
+:::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+:::::::<math>\;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
- = \sum_{r = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::::<math>\;\;\, = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{1 + (b - a) r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Z twierdzenia C58 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>2 k + r</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
-::::::::<math>\;\;\, = - 1</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Ostatnia z&nbsp;wypisanych sum jest równa zero, co wynika z&nbsp;trzeciego wzoru twierdzenia K6 i&nbsp;faktu, że <math>p \nmid (b - a)</math>. Co należało pokazać.<br/>
+Z twierdzenia K4 wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 224: / Linia 234: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K9</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K6</span><br/>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
+::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-\begin{cases}
- \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid n \\
-    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid n \\
-\end{cases}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+prawdziwe są następujące wzory
-'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \mid n}</math>
+::(a) <math>\;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3</math>
-Z drugiego wzoru twierdzenia K6 otrzymujemy
+::(b) <math>\;\; | S (n) | < 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = p - 1</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{p \nmid n}</math>
+'''Punkt (a)'''
-Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
+Zauważmy, że zbiory <math>R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> oraz <math>T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \}</math> są identyczne modulo <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J34 p.2). Zatem możemy sumowanie po <math>k \in R</math> zastąpić sumowaniem po <math>j \in T .</math> Otrzymujemy
-::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-(zobacz J32). Zatem
+Kładąc <math>j = - r</math> i&nbsp;sumując po <math>r</math> od <math>0</math> do <math>p - 1</math>, dostajemy
-::<math>S(a) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n)</math>
-:::<math>\;\;\; = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k^2 + b r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to <math>S (n) = - S (n)</math>, czyli <math>S(n) = 0</math>.
-:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^2 \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+'''Punkt (b)'''
-:::<math>\;\;\; = \left( {\small\frac{r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej<ref name="Dukic1"/>.
-:::<math>\;\;\; = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1})^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
-Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
+::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>S(a) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (b)</math>
+(zobacz J35). Zatem
+::<math>S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S(n)</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to możemy napisać
+::::::<math>\;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
+::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z drugiej strony
+Z twierdzenia C58 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
-::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n) = \sum_{n = 1}^{p - 1} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b)</math>
-::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \sum_{n = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Czyli <math>S (a)^2 = S (b)^2</math>. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S (n)^2</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to prawdziwa jest równość
-::::<math>\;\;\;\: = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left[ - \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
-::::<math>\;\;\;\: = - \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2}</math>
+Jak łatwo zauważyć <math>S(0) = 0</math>, zatem możemy napisać
-::::<math>\;\;\;\: = - (p - 1)</math>
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
-bo z&nbsp;twierdzenia K6 wiemy, że
+Z drugiej strony
-::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{n + k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math>
+::<math>S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Łącząc uzyskane rezultaty, dostajemy
+:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>- (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a) + S (b))</math>
 Zatem
-::<math>S(a) + S (b) = - 2</math>
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+:::::<math>\;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z twierdzenia K8 mamy
-::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+Z twierdzenia K3 wiemy, że
-= \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - 1</math>
-bo <math>p \nmid 2</math>. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że <math>a</math> jest liczbą kwadratową, a <math>b</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(a) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(b) = - 1</math>. Jeżeli <math>- 1</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to <math>S(b) = - 1</math> i&nbsp;natychmiast otrzymujemy, że <math>S(a) = - 1</math>. Zatem bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, musi być <math>S(n) = - 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
-&#9633;
+\begin{cases}
-{{\Spoiler}}
+ \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\
+    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\
+\end{cases}</math>
+Zbadajmy, kiedy <math>p \mid (k^2 - j^2)</math>, czyli kiedy <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math>. Mamy
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K10</span><br/>
+::* <math>\; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2</math>
-Pokazać, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>r , s \in \mathbb{Z}</math>, to
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
+::* <math>\; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2</math>
-\begin{cases}
- \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (r^2 - 4 s) \\
-    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (r^2 - 4 s) \\
-\end{cases}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Zatem <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math> gdy
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::* <math>\; j = k</math>
-:::::::<math>\;\;\;\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{4 k^2 + 4 r k + 4 s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::* <math>\; j = p - k</math>
-:::::::<math>\;\;\;\, = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{(2 k + r)^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>2 k + r</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
+Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w&nbsp;postaci
-::<math>\sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2 + r k + s}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^2 + 4 s - r^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
+\left\{ \begin{array}{rll}
+  - 1   & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\
+  p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\
+\end{array} \right\}</math>
-Z twierdzenia K9 wynika natychmiast teza dowodzonego twierdzenia.<br/>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-&#9633;
+:::::<math>\:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{{\Spoiler}}
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K11</span><br/>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
+:::::<math>\:\! = p \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
-::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+</div>
-prawdziwe są następujące wzory
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::::<math>\:\! = p \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+</div>
-::(a) <math>\;\; S(n) = 0 \qquad \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 3</math>
+:::::<math>\:\! = 2 p (p - 1)</math>
-::(b) <math>\;\; | S (n) | < 2 \sqrt{p} \qquad \text{gdy } \; p = 4 k + 1</math>
+Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>, bo <math>p = 4 k + 1</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Punkt (a)'''
+Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że
-Zauważmy, że zbiory <math>R = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> oraz <math>T = \{ - p + 1, - p + 2, \ldots, - p + (p - 1), 0 \}</math> są identyczne modulo <math>p</math>. Z&nbsp;własności symbolu Legendre'a wiemy, że licznik wpływa na wartość symbolu jedynie modulo mianownik (zobacz J31 p.2). Zatem możemy sumowanie po <math>k \in R</math> zastąpić sumowaniem po <math>j \in T .</math> Otrzymujemy
+::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
-::<math>S(n) = \sum_{j = - p + 1}^{0} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+to otrzymujemy
-Kładąc <math>j = - r</math> i&nbsp;sumując po <math>r</math> od <math>0</math> do <math>p - 1</math>, dostajemy
+::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1)</math>
-::<math>S(n) = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{(- r)^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+Czyli
- = \sum_{r = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{r^2 + n}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (n)</math>
-Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to <math>S (n) = - S (n)</math>, czyli <math>S(n) = 0</math>.
+::<math>S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p</math>
-'''Punkt (b)'''
+Wynika stąd, że bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, prawdziwe jest oszacowanie
-Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z materiałów szkoleniowych Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej<ref name="Dukic1"/>.
+::<math>| S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p}</math>
-Jeżeli liczby <math>a, b</math> są obie liczbami kwadratowymi lub obie liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że
+Równość <math>S (n)^2 = 4 p</math> nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy <math>p</math> występuje po prawej stronie w&nbsp;potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie
-::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>| S (n) | < 2 \sqrt{p}</math>
-(zobacz J32). Zatem
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>S(a) = S (b r^2) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + b r^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::<math>\;\:\, = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{r^3 (k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K7</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
-::::::<math>\;\:\, = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(k r^{- 1}) \left[ (k r^{- 1})^2 + b \right] }{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z twierdzenia C57 wiemy, że gdy <math>k</math> przebiega zbiór <math>T = \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to <math>k r^{- 1}</math> przebiega zbiór <math>T'</math> identyczny ze zbiorem <math>T</math> modulo <math>p</math>. Zatem
+prawdziwe są następujące wzory
-::<math>S(a) = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x (x^2 + b)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{r}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} S (b)</math>
+:: (a) <math>\;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
-Czyli <math>S (a)^2 = S (b)^2</math>. Wynika stąd, że dla wszystkich liczb kwadratowych (odpowiednio niekwadratowych) modulo <math>p</math> wyrażenie <math>S (n)^2</math> ma taką samą wartość i&nbsp;jeśli wybierzemy liczby <math>a, b</math> tak, aby jedna była liczbą kwadratową, a&nbsp;druga liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to prawdziwa jest równość
+:: (b) <math>\;\; | S (a, b) | < 2 \sqrt{p}  \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
-::<math>\sum_{n = 1}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>p \geqslant 5</math>. W&nbsp;ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać
-Jak łatwo zauważyć <math>S(0) = 0</math>, zatem możemy napisać
+::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
+gdzie <math>p \nmid a</math>. Mnożąc licznik przez <math>a^2</math> nie zmieniamy wartości sumy
-Z drugiej strony
+::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Podstawiając <math>x \equiv a t + r \!\! \pmod{p}</math>, dostajemy
-:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{j (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-:::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+bo, gdy <math>t</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) liczby <math>a t + r</math> przebiegają taki sam zbiór (zobacz C58). Ponieważ <math>p \geqslant 5</math>, to liczbę <math>r</math> możemy wybrać tak, aby było
-Zatem
+::<math>3 r \equiv b \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{n = 0}^{p - 1} \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j (k^2 + n) (j^2 + n)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Ostatecznie otrzymujemy
-:::::<math>\;\! = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Z twierdzenia K8 wiemy, że
+Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci
-::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{(n + k^2) (n + j^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-\begin{cases}
- \;\;\:\,      - 1 & \text{gdy } \, p \nmid (k^2 - j^2) \\
-    p - 1 & \text{gdy } \, p \mid (k^2 - j^2) \\
-\end{cases}</math>
+Liczbę <math>- \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right)</math> nazywamy wyróżnikiem wielomianu <math>x^3 + a x + b</math>.
-Zbadajmy, kiedy <math>p \mid (k^2 - j^2)</math>, czyli kiedy <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math>. Mamy
+Pokażemy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> i <math>p \geqslant 3</math> prawdziwy jest wzór
-::* <math>\; 0 \leqslant | k - j | \leqslant p - 2</math>
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::* <math>\; 2 \leqslant k + j \leqslant 2 p - 2</math>
-Zatem <math>p \mid [(k - j) (k + j)]</math> gdy
+W przypadku, gdy <math>p = 3</math> z&nbsp;warunku <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3}</math> wynika, że <math>3 \mid a</math>. Zakładając, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>b</math> przez <math>3</math> wynosi <math>r</math>, otrzymujemy
-::* <math>\; j = k</math>
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= 0</math>
-::* <math>\; j = p - k</math>
+Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> i <math>p \mid a</math>, to <math>p \mid b</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
-Pozwala to zapisać rozpatrywaną sumę w&nbsp;postaci
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= 0</math>
-::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
-\left\{ \begin{array}{rll}
-  - 1   & \text{gdy } \; j \neq k \;\;\;\; \text{ i } \;\;\;\; j \neq p - k \\
-  p - 1 & \text{gdy } \; j = k \;\; \text{ lub } \;\; j = p - k \\
-\end{array} \right\}</math>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> i <math>p \nmid a</math>, to
-:::::<math>\:\! = (p - 1) \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum^{p - 1}_{k = 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \underset{j \neq k \; \text{ i } \; j \neq p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p}</math>
-:::::<math>\:\! = (p - 1) \left[ \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \underset{j = k \; \text{ lub } \; j = p - k}{\sum_{k = 1}^{p - 1} \sum_{j = 1}^{p - 1}} \left( {\small\frac{k j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+gdzie
-:::::<math>\:\! = (p - 1) \left[ (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] - \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum^{p - 1}_{j = 1} \left( {\small\frac{j}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (p - k)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
-:::::<math>\:\! = (p - 1) \left[ (p - 1) + \left( {\small\frac{-1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] + (p - 1) + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{- k^2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
-:::::<math>\:\! = (p - 1) \cdot 2 (p - 1) + (p - 1) + (p - 1)</math>
-</div>
-:::::<math>\:\! = 2 p (p - 1)</math>
+Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o&nbsp;tym, że <math>27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>. Mamy
-Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>, bo <math>p = 4 k + 1</math>.
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Niech <math>t = x - x_2</math>. Jeżeli <math>x</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) <math>t</math> przebiega taki sam zbiór (zobacz C58). Zatem
-Ponieważ wcześniej pokazaliśmy, że
+::<math>S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{n = 0}^{p - 1} S (n)^2 = {\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2)</math>
+Uwzględniając, że
-to otrzymujemy
+::<math>x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} (S (a)^2 + S (b)^2) = 2 p (p - 1)</math>
+otrzymujemy
-Czyli
+::<math>S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+= - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>S (a)^2 + S (b)^2 = 4 p</math>
-Wynika stąd, że bez względu na to, czy <math>n</math> jest liczbą kwadratową, czy liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, prawdziwe jest oszacowanie
+W przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, pokażemy, że wartość sumy
-::<math>| S (n) | \leqslant 2 \sqrt{p}</math>
+::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Równość <math>S (n)^2 = 4 p</math> nie jest możliwa, bo dzielnik pierwszy <math>p</math> występuje po prawej stronie w&nbsp;potędze nieparzystej. Zatem mamy nieco silniejsze oszacowanie
+jest ściśle związana z&nbsp;ilością rozwiązań kongruencji
-::<math>| S (n) | < 2 \sqrt{p}</math>
+::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
-Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Niech <math>N_p</math> oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i&nbsp;niech <math>N_+, N_0, N_-</math> oznaczają ilości liczb <math>k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, dla których symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> jest równy odpowiednio <math>+ 1, 0, - 1</math>. Oczywiście
+::<math>N_+ + N_0 + N_- = p</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K12</span><br/>
+::<math>S(a, b) = N_+ - N_-</math>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, to dla sumy
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Zauważmy, że jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>p \mid (x^3 + a x + b)</math>, to <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math> i&nbsp;mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji
-prawdziwe są następujące wzory
+::<math>0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
-:: (a) <math>\;\; S(a, b) = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \qquad \qquad \, \text{gdy } \; p \mid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
+Jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>, to <math>p \nmid (x^3 + a x + b)</math>, a&nbsp;liczba <math>x^3 + a x + b</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli istnieje taka liczba <math>y \in \mathbb{Z}</math>, że
-:: (b) <math>\;\; | S (a, b) | < 2 \sqrt{p}  \qquad \qquad \;\;\;\; \text{gdy } \; p \nmid (4 a^3 + 27 b^2)</math>
+::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para <math>(x, y)</math>, a&nbsp;drugie para <math>(x, - y)</math>. Zatem
-Niech <math>p \geqslant 5</math>. W&nbsp;ogólnym przypadku interesująca nas suma ma postać
-::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>N_p = 2 N_+ + N_0</math>
-gdzie <math>p \nmid a</math>. Mnożąc licznik przez <math>a^2</math> nie zmieniamy wartości sumy
+Łatwo zauważamy, że
-::<math>\sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{a^3 t^3 + a^2 b t^2 + a^2 c t + a^2 d}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b)</math>
-Podstawiając <math>x \equiv a t + r \!\! \pmod{p}</math>, dostajemy
-::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x^2 (b - 3 r) + x [a c - r (2 b - 3 r)] + [a^2 d - a c r + r^2 (b - r)]}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+W 1936 roku Helmut Hasse<ref name="Hasse1"/><ref name="Hasse2"/> udowodnił, że
-bo, gdy <math>t</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) liczby <math>a t + r</math> przebiegają taki sam zbiór (zobacz C57). Ponieważ <math>p \geqslant 5</math>, to liczbę <math>r</math> możemy wybrać tak, aby było
+::<math>| N_p - p | < 2 \sqrt{p}</math>
-::<math>3 r \equiv b \!\! \pmod{p}</math>
+Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin<ref name="Manin1"/>.
-Ostatecznie otrzymujemy
-::<math>\sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + x (a c - 3 r^2) + (a^2 d - a c r + 2 r^3)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Wynika stąd, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>| S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < 2 \sqrt{p}</math>
-Widzimy, że bez zmniejszania ogólności, możemy ograniczyć się do badania sumy postaci
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Liczbę <math>- \left( 4 a^3 + 27 b^2 \right)</math> nazywamy wyróżnikiem wielomianu <math>x^3 + a x + b</math>.
-Pokażemy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> i <math>p \geqslant 3</math> prawdziwy jest wzór
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K8</span><br/>
+Pokazać, że jeżeli <math>p \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieją:
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+:* dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>
+:* dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Dla <math>p = 7</math> łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.
-W przypadku, gdy <math>p = 3</math> z&nbsp;warunku <math>4 a^3 + 27 b^2 \equiv 0 \pmod{3}</math> wynika, że <math>3 \mid a</math>. Zakładając, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>b</math> przez <math>3</math> wynosi <math>r</math>, otrzymujemy
+'''Punkt 1.'''
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{2} \left( {\small\frac{x^3 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
+Zauważmy, że przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność
-= \left( {\small\frac{b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{8 + b}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{r + 2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= \left( {\small\frac{0}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= 0</math>
+::<math> -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math>
-Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> i <math>p \mid a</math>, to <math>p \mid b</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
+W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
-= \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+|-
-= 0</math>
+| <math>2</math> || <math>1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9</math>
+|-
+| <math>5</math> || <math>4, 5</math>
+|-
+| <math>10</math> || <math>9, 10</math>
+|}
+'''Punkt 2.'''
-Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> i <math>p \nmid a</math>, to
+Rozważmy wszystkie możliwe wartości <math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4</math> i <math>p \geqslant 11</math>. Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>.
-::<math>x^3 + a x + b \equiv (x - x_1) (x - x_2)^2 \!\! \pmod{p}</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{k}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{1} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{2}</math> || <math>\boldsymbol{3}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{4} \,\,</math> || <math>\,\, \boldsymbol{5} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{6}</math> || <math>\boldsymbol{(…)}</math> || <math>\boldsymbol{p-1}</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{A.}</math>
+| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{B.}</math>
+| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{C.}</math>
+| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{D.}</math>
+| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
+|}
-gdzie
+'''A.''' W&nbsp;tym przypadku liczby <math>2, 3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math>
-::<math>x_1 \equiv 3 b a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+'''B. i&nbsp;C.''' W&nbsp;tym przypadku dokładnie jedna z&nbsp;liczb <math>2, 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 3}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math>
-::<math>x_2 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+'''D.''' W&nbsp;tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby <math>2, 3</math> są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo <math>p .</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Co Czytelnik może łatwo sprawdzić, pamiętając o&nbsp;tym, że <math>27 b^2 \cdot 2^{- 2} a^{- 3} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>. Mamy
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x - x_2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{x - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Niech <math>t = x - x_2</math>. Jeżeli <math>x</math> przebiega zbiór <math>\{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, to (modulo <math>p</math>) <math>t</math> przebiega taki sam zbiór (zobacz C57). Zatem
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K9</span><br/>
+Wzmocnimy wynik uzyskany w&nbsp;poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.
-::<math>S(a, b) = \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\! 2} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= \sum_{t = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{t = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{t + x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Uwzględniając, że
-::<math>x_2 - x_1 \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 3 b a^{- 1} \equiv - 3 b 2^{- 1} a^{- 1} - 6 b 2^{- 1} a^{- 1} \equiv - 9 b 2^{- 1} a^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K10</span><br/>
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
-otrzymujemy
+:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math>
+:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>
-::<math>S(a, b) = - \left( {\small\frac{x_2 - x_1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-= - \left( {\small\frac{- 9 b 2^{- 1} a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - \left( {\small\frac{- 2 a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - \left( {\small\frac{- 8 a^3 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - \left( {\small\frac{- 2 b \cdot (- 27 b^2)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-= - \left( {\small\frac{6 b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+'''Punkt 1.'''
-W przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, pokażemy, że wartość sumy
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
-::<math>S(a, b) = \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
-jest ściśle związana z&nbsp;ilością rozwiązań kongruencji
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
-::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
-Niech <math>N_p</math> oznacza ilość rozwiązań powyższej kongruencji i&nbsp;niech <math>N_+, N_0, N_-</math> oznaczają ilości liczb <math>k \in \{ 0, 1, \ldots, p - 1 \}</math>, dla których symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> jest równy odpowiednio <math>+ 1, 0, - 1</math>. Oczywiście
+::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-::<math>N_+ + N_0 + N_- = p</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::<math>\: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
-::<math>S(a, b) = N_+ - N_-</math>
+Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
-Zauważmy, że jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>p \mid (x^3 + a x + b)</math>, to <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 0</math> i&nbsp;mamy dokładnie jedno rozwiązanie rozważanej kongruencji
+<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
-::<math>0^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - 1</math>
+</div>
-Jeżeli dla pewnego <math>x</math> jest <math>\left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>, to <math>p \nmid (x^3 + a x + b)</math>, a&nbsp;liczba <math>x^3 + a x + b</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli istnieje taka liczba <math>y \in \mathbb{Z}</math>, że
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-::<math>y^2 \equiv x^3 + a x + b \!\! \pmod{p}</math>
+ = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = - 1</math>
+</div>
-i mamy dwa rozwiązania rozpatrywanej kongruencji: jedno stanowi para <math>(x, y)</math>, a&nbsp;drugie para <math>(x, - y)</math>. Zatem
+(zobacz K1 i&nbsp;K3). Zatem
-::<math>N_p = 2 N_+ + N_0</math>
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Łatwo zauważamy, że
+Czyli
-::<math>N_p - p = (2 N_+ + N_0) - (N_+ + N_0 + N_-) = N_+ - N_- = S (a, b)</math>
+::<math>N =
+\begin{cases}
+  {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
+  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
+\end{cases}</math>
+Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
-W 1936 roku Helmut Hasse<ref name="Hasse1"/><ref name="Hasse2"/> udowodnił, że
+::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math>
-::<math>| N_p - p | < 2 \sqrt{p}</math>
+'''Punkt 2.'''
-Elementarny dowód tego twierdzenia podał Jurij Manin<ref name="Manin1"/>.
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
-Wynika stąd, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>4 a^3 + 27 b^2 \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> prawdziwe jest oszacowanie
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
-::<math>| S (a, b) | = \left| \sum_{x = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{x^3 + a x + b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right| < 2 \sqrt{p}</math>
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:::<math>\: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+</div>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K13</span><br/>
+Wartości sum wyliczyliśmy już w&nbsp;punkcie 1. Zatem
-Pokazać, że jeżeli <math>p \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieją:
-:* dwie kolejne liczby będące liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>
+::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-:* dwie kolejne liczby będące liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Czyli
-Dla <math>p = 7</math> łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe.
-'''Punkt 1.'''
+::<math>N =
+\begin{cases}
+  {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
+  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
+\end{cases}</math>
+Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math>
-Zauważmy, że przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową. Zakładając, że tak nie jest, otrzymujemy natychmiast sprzeczność
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math> -1 = \left( {\small\frac{10}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{5}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math>
-W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>2, 5, 10</math> jest liczbą kwadratową, mamy następujące pary kolejnych liczb kwadratowych
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K11</span><br/>
-|-
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo <math>p</math>.
-| <math>2</math> || <math>1, 2 \; \text{ oraz } \; 8, 9</math>
-|-
-| <math>5</math> || <math>4, 5</math>
-|-
-| <math>10</math> || <math>9, 10</math>
-|}
-'''Punkt 2.'''
+Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa
-Rozważmy wszystkie możliwe wartości <math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla <math>k = 1, 2, 3, 4</math> i <math>p \geqslant 11</math>. Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>.
+::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa
-|-
-! <math>\boldsymbol{k}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{1} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{2}</math> || <math>\boldsymbol{3}</math> || <math>\,\, \boldsymbol{4} \,\,</math> || <math>\,\, \boldsymbol{5} \,\,</math> || <math>\boldsymbol{6}</math> || <math>\boldsymbol{(…)}</math> || <math>\boldsymbol{p-1}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{A.}</math>
-| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{B.}</math>
-| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{C.}</math>
-| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>-1</math> || <math></math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{D.}</math>
-| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>-1</math> || <math>1</math> || <math></math> || <math>1</math> || <math></math> || <math></math>
-|}
-'''A.''' W&nbsp;tym przypadku liczby <math>2, 3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „nieparzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostaną nam dwie liczby, które będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórkach „parzystych”. Co oznacza, że muszą pojawić się dwie pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
+::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
-'''B. i&nbsp;C.''' W&nbsp;tym przypadku dokładnie jedna z&nbsp;liczb <math>2, 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Gdyby w&nbsp;pozostałych komórkach miało nie być ani jednej pary kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, to musielibyśmy <math>{\small\frac{p - 3}{2}}</math> liczb niekwadratowych umieścić wśród pozostałych <math>p - 5</math> komórek tak, aby między nimi zawsze była liczba kwadratowa modulo <math>p</math>. Wartość <math>\left( {\small\frac{6}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> wymusza, aby liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> umieszczać w&nbsp;komórkach „parzystych”. Po wypełnieniu tych komórek pozostanie nam jedna liczba, którą będziemy zmuszeni umieścić w&nbsp;komórce „nieparzystej”. Co oznacza, że musi pojawić się jedna para kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
+Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa
-'''D.''' W&nbsp;tym przypadku nie musimy niczego dowodzić, bo liczby <math>2, 3</math> są kolejnymi liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>.<br/>
+::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5</math>
+Gdzie przez <math>S(- 1)</math> oznaczyliśmy sumę
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K14</span><br/>
+::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Wzmocnimy wynik uzyskany w&nbsp;poprzednim zadaniu. Zauważmy, jak użycie symbolu Legendre'a pozwala sformalizować problem.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K15</span><br/>
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
-:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math>
+::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>
-:* istnieje <math>\left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math> różnych par kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
-'''Punkt 1.'''
+::<math>N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>8</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
-::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+\right]</math>
-Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+:::<math>\: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
+Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
-::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-:::<math>\: = p - 2 + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-<div style="margin-top: 0em; margin-bottom: 1em;">
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = - \left( {\small\frac{p - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = - \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = - 1</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
- = - 1</math>
-</div>
-(zobacz K6 i&nbsp;K8). Zatem
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 4 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Czyli
+::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1)</math>
-::<math>N =
-\begin{cases}
-  {\large\frac{p - 5}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
-  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
-\end{cases}</math>
-Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+(zobacz K1, K3 i K6). Oznaczenie <math>S(- 1)</math> nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w&nbsp;twierdzeniu K6. Wykorzystamy też znalezione w&nbsp;tym twierdzeniu oszacowanie <math>| S (- 1) |</math>.
-::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{4}} \right\rfloor</math>
+Zatem
-'''Punkt 2.'''
+::<math>8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1)</math>
-Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
-::<math>\left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
-Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
-Tylko w&nbsp;przypadku, gdy obie liczby <math>k</math> i <math>k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>4</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{4}}</math> przed sumą).
+Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
-::<math>4 N = \sum_{k = 1}^{p - 2} \left[ 1 - \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
-:::<math>\: = p - 2 - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \sum_{k = 1}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-</div>
-Wartości sum wyliczyliśmy już w&nbsp;punkcie 1. Zatem
+::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
-::<math>N = {\small\frac{1}{4}} \left[ p - 2 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Czyli
+'''Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
-::<math>N =
+Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
-\begin{cases}
-  {\large\frac{p - 1}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 1 \\
-  {\large\frac{p - 3}{4}} & \text{ gdy } \; p = 4 k + 3 \\
-\end{cases}</math>
-Powyższy wynik można zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
-::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 1}{4}} \right\rfloor</math>
+Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
-Co należało pokazać.<br/>
+::<math>N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>- 8</math> (stąd czynnik <math>- {\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
+::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
+- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+\right]</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K16</span><br/>
+:::<math>\: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Słowo „trójka” oznacza tutaj trzy kolejne liczby kwadratowe (niekwadratowe) modulo <math>p</math>.
+- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
++ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
-Jeżeli <math>p = 4 k + 3</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych (niekwadratowych) jest równa
+::<math>8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1)</math>
-::<math>N = \left\lfloor {\small\frac{p - 3}{8}} \right\rfloor</math>
-Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb niekwadratowych jest równa
+Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
 ::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
-Jeżeli <math>p = 4 k + 1</math>, to liczba różnych trójek liczb kwadratowych jest równa
+Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \text{ gdy } \; p = 8 k + 1</math>
+::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}} \qquad \quad \;\;\; \text{ gdy } \; p = 8 k + 5</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
-Gdzie przez <math>S(- 1)</math> oznaczyliśmy sumę
+::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
-::<math>S(- 1) = \sum_{k = 0}^{p - 1} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
-'''Przypadek pierwszy: trójki liczb kwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
-::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = + 1</math>
-Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K12</span><br/>
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia K11, łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
-::<math>N = {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
-Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>8</math> (stąd czynnik <math>{\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
-::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
-+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-\right]</math>
-:::<math>\: = p - 3 + \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
-Po kolei wyliczamy sumy po prawej stronie
+&nbsp;<br/>
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
+|}
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K13</span><br/>
+W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
+|-
+!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
+|}
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K14</span><br/>
+Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
+ {
+ '''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
+ '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
+ '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
+ }</span>
+Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
-::<math>\sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \sum^{p - 1}_{k = 0} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = S (- 1)</math>
-(zobacz K6, K8 i K11). Oznaczenie <math>S(- 1)</math> nawiązuje do oznaczenia wprowadzonego w&nbsp;twierdzeniu K11. Wykorzystamy też znalezione w&nbsp;tym twierdzeniu oszacowanie <math>| S (- 1) |</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K15</span><br/>
+Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
-Zatem
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
-::<math>8 N = p - 8 - 3 \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - 3 \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + S (- 1)</math>
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
-Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
+::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 15 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 15 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Skąd wynika, że
-Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
+::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
+Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 7 + S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 7 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
-Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K16</span><br/>
+Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
-::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
+:* &nbsp;liczba <math>2</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math>
+:* &nbsp;liczba <math>3</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
+:* &nbsp;liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J34 p.7) wiemy, że
-'''Przypadek drugi: trójki liczb niekwadratowych modulo''' <math>\boldsymbol{p}</math>
+::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
+ \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
+      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\
+  \end{cases}</math>
-Chcemy znaleźć ilość takich liczb <math>k \in \{ 2, 3, \ldots, p - 2 \}</math>, dla których
+Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
-::<math>\left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
+Z zadania J47 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
-Ilość liczb <math>k</math> spełniających powyższy warunek łatwo zapisać korzystając z&nbsp;symbolu Legendre'a
+::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
-::<math>N = - {\small\frac{1}{8}} \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right] \left[ - 1 + \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \right]</math>
+::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
-Tylko w&nbsp;przypadku, gdy wszystkie trzy liczby <math>k - 1, k, k + 1</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, iloczyn wyrażeń w&nbsp;nawiasach kwadratowych jest różny od zera i&nbsp;równy <math>- 8</math> (stąd czynnik <math>- {\small\frac{1}{8}}</math> przed sumą).
+::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
-::<math>8 N = \sum_{k = 2}^{p - 2} \left[ 1
+::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
-- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-- \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-- \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-- \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-\right]</math>
-:::<math>\: = p - 3 - \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+Drugi i&nbsp;trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
-- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k - 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-+ \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \left( {\small\frac{k + 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
-- \sum_{k = 2}^{p - 2} \left( {\small\frac{k (k^2 - 1)}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math>
-Wartości sum już policzyliśmy, rozpatrując przypadek liczb kwadratowych modulo <math>p</math>. Zatem
+::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math>
-::<math>8 N = p - 4 + \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} + \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} - S (- 1)</math>
+a z&nbsp;pierwszego i&nbsp;czwartego mamy
+::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math>
-Jeżeli <math>p = 8 k + 1</math>
+::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji
-Jeżeli <math>p = 8 k + 3</math>
+::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 3}{8}}</math>
+::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
+Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
+ chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
+ chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
+ chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
+ chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
+Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
-Jeżeli <math>p = 8 k + 5</math>
+::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
-::<math>N = {\small\frac{p - 3 - S (- 1)}{8}} > {\small\frac{p - 3 - 2 \sqrt{p}}{8}}</math>
+::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
-Jeżeli <math>p = 8 k + 7</math>
+Postępując jak wyżej, otrzymujemy
-::<math>N = {\small\frac{p - 7}{8}}</math>
+ chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
+ chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
+ chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
+ chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
-Co kończy dowód.<br/>
+Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 949: / Linia 988: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K17</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K17</span><br/>
-Korzystając z&nbsp;twierdzenia K16, łatwo można pokazać, że każda liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> ma co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;co najmniej dwie różne trójki kolejnych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
+Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
+::<math>\begin{align}
+ u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
+ u & \equiv a \pmod{p_n} \\
+\end{align}</math>
+gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
+::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
-== Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
-&nbsp;<br/>
+Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy
-{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
-| &nbsp;'''A.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>&nbsp;
-|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K18</span><br/>
+wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz C28) wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
-W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
-|-
-!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
-|}
+Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J34), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+</div>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K19</span><br/>
+bo <math>8 \mid (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
-Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
- <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
- {
+::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
- '''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
+</div>
- '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
- '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
- }</span>
-Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w&nbsp;rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
+Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z&nbsp;nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K20</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K18 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
-Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
+Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
+Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz C28) wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
-::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
-::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
+::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
-Skąd wynika, że
+(zobacz J34 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia J34 p.9 otrzymujemy
-::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+</div>
-Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
+Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math>
+Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz C31). Dostajemy natychmiast oszacowanie
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K21</span><br/>
+::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
-Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
-:* &nbsp;liczba <math>2</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math>
+gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
-:* &nbsp;liczba <math>3</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
-:* &nbsp;liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
-Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J31 p.7) wiemy, że
-::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
+Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
- \,\,
+&#9633;
-  \begin{cases}
+{{\Spoiler}}
- \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
-      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
-  \end{cases}</math>
-Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
-Z zadania J44 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;czterech warunków
-::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K19</span><br/>
+W twierdzeniu K17 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
-::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, "   ", p); '''break'''() )))</span>
-::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
+W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
-::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>
+| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{p}</math>
+| <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math>
+|}
-Drugi i&nbsp;trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
-::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math>
-::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K20</span><br/>
+Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz K2) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> nie może być dłuższy od <math>\left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor</math>, to
-a z&nbsp;pierwszego i&nbsp;czwartego mamy
+::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 < \sqrt{p} \log p + 1</math>
-::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math>
+Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.
-::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math>
-Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji
-::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K21</span><br/>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
+::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math>
-Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z&nbsp;programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z&nbsp;oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
- chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
+::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
- chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
- chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
- chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
-Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
+::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
-::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
+Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
-::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
+::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math>
-Postępując jak wyżej, otrzymujemy
+Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
- chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
+::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
- chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
- chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
- chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
-Co należało pokazać.<br/>
+Ale z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math>
+::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K22</span><br/>
+Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w&nbsp;postaci
-Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
-Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
-::<math>\begin{align}
+Skąd otrzymujemy
- u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
- u & \equiv a \pmod{p_n}
-\end{align}</math>
-gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w&nbsp;postaci kongruencji równoważnej
+::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math>
-::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
+::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy
-::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
-wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz C27) wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z&nbsp;tych liczb pierwszych.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K22*</span><br/>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
+::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
-Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J31), a&nbsp;dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
-</div>
-bo <math>8 \mid (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K23</span><br/>
+Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
-::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
-</div>
-Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z&nbsp;nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K24</span><br/>
+Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K23 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
+|-
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
+| <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math>
+| <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
+|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z&nbsp;twierdzenia Dirichleta (zobacz C27) wiemy, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z&nbsp;nich.
-Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
-::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K25</span><br/>
+Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
-(zobacz J31 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z&nbsp;twierdzenia J31 p.9 otrzymujemy
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J30 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
-::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
-</div>
+Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
-Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
+::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math>
+i jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a&nbsp;liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i&nbsp;możliwe jest skorzystanie z&nbsp;twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
-::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
-gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
-::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
-Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
+{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
-&#9633;
+| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
-{{\Spoiler}}
+|}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K26</span><br/>
+Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W&nbsp;jednym i&nbsp;drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w&nbsp;zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K24</span><br/>
-W twierdzeniu K22 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i&nbsp;możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w&nbsp;PARI/GP napisać proste polecenie
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, "   ", p); '''break'''() )))</span>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K27</span><br/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
-W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
+::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+nie ma rozwiązania.
-|-
-! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>
-| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{p}</math>
-| <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math>
-|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K25</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K28</span><br/>
-Z nierówności Pólyi-Winogradowa (zobacz K7) wynika natychmiast oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>. Ponieważ najdłuższy ciąg kolejnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> nie może być dłuższy od <math>\left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor</math>, to
+W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
-::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant \left\lfloor \sqrt{p} \log p \right\rfloor + 1 < \sqrt{p} \log p + 1</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
+|}
-Pokażemy, że powyższe oszacowanie można łatwo wzmocnić.
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
+| <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
+|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K26</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K29</span><br/>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
+Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
-::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
+ {
+ '''local'''(p, res);
+ p = 1;
+ '''while'''( p < m,
+        p = '''nextprime'''(p + 1);
+        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
+        res = -1;
+        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
+        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
+      );
+ }</span>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
-Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z&nbsp;oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
-::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
-::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
+ {
+ '''local'''(p, res, t);
-Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
+ t = m%8;
+ '''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
-::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math>
+ t = m%12;
+ '''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
-Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
+ t = m%24;
+ '''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
+ '''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
+ t = m%30;
+ '''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
+ p = 1;
+ '''while'''( p < m,
+        p = '''nextprime'''(p + 1);
+        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
+        res = -1;
+        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
+        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
+      );
+ }</span>
+{{\Spoiler}}
-::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-Ale z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy, że
-::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K30</span><br/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
-::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
-Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
+::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
-Skąd otrzymujemy
+Skąd wynika, że
-::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math>
+::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
-::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
+Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
-Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1228: / Linia 1287: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K27*</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K31</span><br/>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
-::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Z twierdzenia J42 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K28</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K32</span><br/>
-Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
-::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
+:*&nbsp;&nbsp;<math>4 \mid m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math>
+:*&nbsp;&nbsp;<math>m = 12 k \pm 4</math>
+to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \mid m .</math> Rozważmy kongruencję
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K29</span><br/>
+::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
-Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia J56 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math>
-| <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
-|}
+Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
+::<math>\begin{align}
+ m &\equiv 0 \pmod{4} \\
+ m &\equiv 1 \pmod{3} \\
+\end{align}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K30</span><br/>
+oraz
-Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>\begin{align}
-Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia J27 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i&nbsp;tyle samo liczb nieparzystych.
+ m &\equiv 0 \pmod{4} \\
+ m &\equiv 2 \pmod{3} \\
+\end{align}</math>
-Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
+którym, na mocy chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
-Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
+::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math>
-::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
-i jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1274: / Linia 1336: @@
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K33</span><br/>
+Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Zapiszmy <math>m</math> w&nbsp;postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
-{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
-| &nbsp;'''B.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
-|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K31</span><br/>
+miała rozwiązanie, to również kongruencja
-Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W&nbsp;jednym i&nbsp;drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w&nbsp;zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
+::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
+miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J47), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K32</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
-::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
-nie ma rozwiązania.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K34</span><br/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
+::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
+nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
+Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J42).<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K33</span><br/>
-W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
-|}
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K35</span><br/>
-|-
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i&nbsp;podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
-|}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
+::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K34</span><br/>
+nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
-Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
- <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
+Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J47).<br/>
- {
+&#9633;
- '''local'''(p, res);
+{{\Spoiler}}
- p = 1;
- '''while'''( p < m,
-        p = '''nextprime'''(p + 1);
-        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
-        res = -1;
-        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
-        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
-      );
- }</span>
-Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
- <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
- {
- '''local'''(p, res, t);
- t = m%8;
- '''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
- t = m%12;
- '''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
- t = m%24;
- '''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
- '''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
- t = m%30;
- '''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
- p = 1;
- '''while'''( p < m,
-        p = '''nextprime'''(p + 1);
-        '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
-        res = -1;
-        '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
-        '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
-      );
- }</span>
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K36</span><br/>
+Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia <math>3 \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K35</span><br/>
+::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
-Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z&nbsp;założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z&nbsp;definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
-Skąd wynika, że
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K37</span><br/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
-::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z twierdzenia K69 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
-Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
+::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K36</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+nie ma rozwiązania (zobacz J56). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
-Z twierdzenia J39 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a&nbsp;jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1393: / Linia 1414: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K37</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K38</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
+Pokazać, że podanym w&nbsp;pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w&nbsp;drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|-
+! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
+|-
+| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K34
+|-
+| <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
+|-
+| <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
+|-
+| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | K35
+|-
+| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | K36,&#32;K37
+|-
+| <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
+|-
+| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K37
+|-
+| <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
+|-
+| <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
+|}
-:*&nbsp;&nbsp;<math>4 \mid m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math>
-:*&nbsp;&nbsp;<math>m = 12 k \pm 4</math>
-to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \mid m .</math> Rozważmy kongruencję
-::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K39</span><br/>
+Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
-Z założenia <math>4 \mid m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \mid m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z&nbsp;twierdzenia J53 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W&nbsp;pierwszym punkcie jest to założone wprost, w&nbsp;drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
+::<math>\begin{array}{lll}
+  \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
+  \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2 \\
+\end{array}</math>
-Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-::<math>\begin{align}
+'''Punkt 1.'''
- m &\equiv 0 \pmod{4} \\
- m &\equiv 1 \pmod{3}
-\end{align}</math>
-oraz
+W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
-::<math>\begin{align}
+'''Punkt 2.'''
- m &\equiv 0 \pmod{4} \\
- m &\equiv 2 \pmod{3}
-\end{align}</math>
-którym, na mocy chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
+Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
-::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math>
+::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \mid 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
+również nie ma rozwiązania (zobacz J56).
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K38</span><br/>
+Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
-Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
-Zapiszmy <math>m</math> w&nbsp;postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
-::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
+możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
-miała rozwiązanie, to również kongruencja
+::<math>\begin{align}
+ x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\
+ x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
+\end{align}</math>
-::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
+Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
-miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J44), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \mid m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>x'_0 =
+  \begin{cases}
+  \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
+  x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
+  \end{cases}</math>
+jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a&nbsp;tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K39</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
-::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K40</span><br/>
+Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
-nie ma rozwiązania (zobacz J53). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
+::<math>\begin{array}{lllll}
+  \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2         & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\
+  \mathbb{n} (4 m) = 3         & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
+\end{array}</math>
-Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J39).<br/>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+'''Punkt 1.'''
+Z twierdzenia K34 wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K40</span><br/>
+'''Punkt 2.'''
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i&nbsp;podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z założenia <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
-::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
+Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia J56 wynika, że kongruencja
-nie ma rozwiązania (zobacz J53). Ponieważ <math>2 \mid m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
+::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
-Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J44).<br/>
+nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1483: / Linia 1520: @@
 <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K41</span><br/>
-Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z założenia <math>3 \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
+Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
-::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
+::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \mid m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
+::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math>
-nie ma rozwiązania (zobacz J53). Ponieważ <math>2 \mid m</math>, <math>3 \mid m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
+co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1497: / Linia 1542: @@
 <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K42</span><br/>
-Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
+Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z twierdzenia K74 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z&nbsp;założenia <math>q \mid m</math>, zatem kongruencja
+Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K41). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
+Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
+::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
-::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
+nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;kongruencji
+::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
+musi nie mieć rozwiązania (zobacz J12). Z&nbsp;twierdzenia J50 wiemy, że wtedy kongruencja
+::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
-nie ma rozwiązania (zobacz J53). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
+również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1510: / Linia 1565: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K43</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K43</span><br/>
-Pokazać, że podanym w&nbsp;pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w&nbsp;drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
+Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
+::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;"
+gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
-|-
-! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-|-
+Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia K42, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k \mid \mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
-| <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K39
-|-
+::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
-| <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
-|-
+Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z&nbsp;każdą z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
-| <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
+&#9633;
-|-
+{{\Spoiler}}
-| <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | K40
-|-
-| <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | K41, K42
-|-
-| <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
-|-
-| <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | K42
-|-
-| <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
-|-
-| <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
-|}
 <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K44</span><br/>
-Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
+Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
+::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math>
-::<math>\begin{array}{lll}
+::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math>
-  \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
-  \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) &  & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
-\end{array}</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia K42 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
-'''Punkt 1.'''
+::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
-W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
+Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń K21 i&nbsp;K22.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-'''Punkt 2.'''
-Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
-::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K45</span><br/>
+Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
-nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \mid m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \mid 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
+::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
-::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
-również nie ma rozwiązania (zobacz J53).
-Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
-::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
-możemy zapisać w&nbsp;postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
+{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+| &nbsp;'''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>&nbsp;
+|}
-::<math>\begin{align}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K46</span><br/>
- x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\
+W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i&nbsp;najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
- x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
-\end{align}</math>
-Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
-::<math>x'_0 =
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
-  \begin{cases}
+|-
-  \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
+!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
-  x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
-  \end{cases}</math>
+|-
+!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
+|-
+!  <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
+| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
+|}
-jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a&nbsp;tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K47</span><br/>
+Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K45</span><br/>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =
-Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
+ {
+ '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) );
+ '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) );
+ '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) ));
+ }</span>
-::<math>\begin{array}{lllll}
-  \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2         & & \text{gdy } \;\; 3 \mid m \\
-  \mathbb{n} (4 m) = 3         & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
-\end{array}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Punkt 1.'''
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K48</span><br/>
+Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w&nbsp;tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z&nbsp;innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I&nbsp;tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
-Z twierdzenia K39 wynika, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>3 \mid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \mid 4 m</math> i <math>3 \mid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
+Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
-'''Punkt 2.'''
+Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu K21. Łatwo zauważamy, że
-Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia J53 wynika, że kongruencja
+::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
-::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
+::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
-nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \mid 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/>
+::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
+Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K46</span><br/>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \mid m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
-::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K49</span><br/>
+Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
-ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
-::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \mid m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
+Zatem jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
-::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math>
-co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1637: / Linia 1678: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K47</span><br/>
-Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i&nbsp;powiązany z&nbsp;dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z&nbsp;których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K46). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z&nbsp;liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
-Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
+== Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
-::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K50</span><br/>
+Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
-nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;kongruencji
+{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
-::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
+! <math>\boldsymbol{n}</math>
+| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math>
+|}
-musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z&nbsp;twierdzenia J47 wiemy, że wtedy kongruencja
+Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a&nbsp;liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>.
-::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
-również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K51</span><br/>
+Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
+{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{n}</math>
+| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math>
+|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K48</span><br/>
+Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>.
-Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
-::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
+Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>.
-gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia K47, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
-::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K52</span><br/>
+Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
-Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z&nbsp;każdą z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{n}</math>
+| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
+| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
+|}
+Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K49</span><br/>
-Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
-::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math>
-::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K53</span><br/>
+Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w&nbsp;liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia K47 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
+W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>.
-::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
+Niech
-Podane w&nbsp;twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z&nbsp;twierdzeń K26 i&nbsp;K27.<br/>
+::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
+<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
+Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są nieparzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> parzyste.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K50</span><br/>
+<math>\boldsymbol{n = 2}</math>
-Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
-::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
+Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
+::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
+Co jest niemożliwe.
+<math>\boldsymbol{n = 3}</math>
+Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a&nbsp;liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
-{| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
+::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
-| &nbsp;'''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>&nbsp;
-|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K51</span><br/>
+Co jest niemożliwe.
-W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i&nbsp;najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
+</div>
+Z powyższego zestawienia wynika, że liczby <math>x, a</math> i liczby <math>y, b</math> mają taką samą parzystość. Mamy
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
-|-
-!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
-|-
-!  <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
-|-
-!  <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
-| <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
-|}
+::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math>
+Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K52</span><br/>
+::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math>
-Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w&nbsp;PARI/GP
- <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =
+Czyli
- {
- '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) );
- '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) );
- '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) ));
- }</span>
+::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math>
+ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \mid (x + a)</math> i&nbsp;musi być
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K53</span><br/>
+::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math>
-Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w&nbsp;tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z&nbsp;innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I&nbsp;tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
-Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
+Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \mid (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być
-Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w&nbsp;twierdzeniu K26. Łatwo zauważamy, że
+::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math>
-::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
+W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \mid l</math> lub <math>n \mid r</math>.
-::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
+Łatwo otrzymujemy
-::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math>
+::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math>
-::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
+::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math>
-Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
+Ostatecznie
+::<math>Q = x^2 + n y^2</math>
+::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K54</span><br/>
+::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math>
-Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math>
-Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
-::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math>
-Zatem jeden z&nbsp;czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
+<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
-&#9633;
+<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
-{{\Spoiler}}
+::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math>
+<math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math>
+W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać
+::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math>
+</div>
-== Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K55</span><br/>
-Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
-{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
-|-
-! <math>\boldsymbol{n}</math>
-| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math>
-|}
-Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a&nbsp;liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K54</span><br/>
+Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
+::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
+::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K56</span><br/>
-Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
-{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
-|-
-! <math>\boldsymbol{n}</math>
-| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math>
-|}
-Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K55</span><br/>
+Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>.
+Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z&nbsp;jakim liczba <math>2</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>.
+'''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math>
-Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>.
+a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math>
+'''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K57</span><br/>
+a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
-Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
-{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
+b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{n}</math>
-| <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
-| <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
-|}
-Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a&nbsp;liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>.
+'''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math>
+a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4 \mid (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K58</span><br/>
+c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4 \mid (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math>
-Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w&nbsp;liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Co należało pokazać.<br/>
-W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>.
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Niech
-::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math>
-<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K56</span><br/>
-<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
+Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
-Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są nieparzyste, a&nbsp;liczby <math>y, b</math> parzyste.
+:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
-<math>\boldsymbol{n = 2}</math>
+:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
-Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
+:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
-::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
+wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że
-Co jest niemożliwe.
+:(a)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + y^2</math>
-<math>\boldsymbol{n = 3}</math>
+:(b)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 2 y^2</math>
-Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w&nbsp;rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a&nbsp;liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
+:(c)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 3 y^2</math>
-::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Co jest niemożliwe.
+<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
-</div>
-Z powyższego zestawienia wynika, że liczby <math>x, a</math> i liczby <math>y, b</math> mają taką samą parzystość. Mamy
-::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
+Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
-::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math>
+::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i
+Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji
-::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math>
+::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
-Czyli
+Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
-::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+</div>
-ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \mid (x + a)</math> i&nbsp;musi być
+Z twierdzenia J42 i&nbsp;zadania J46 otrzymujemy natychmiast
-::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math>
+:(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math>
-Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \mid (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być
+:(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>
-::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math>
+:(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math>
+Co należało pokazać.
-W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \mid l</math> lub <math>n \mid r</math>.
-Łatwo otrzymujemy
+<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
-::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math>
+'''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math>
-::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math>
+Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
-Ostatecznie
+:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
-::<math>Q = x^2 + n y^2</math>
+:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
-::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math>
+:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
-::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math>
+Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy
-::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math>
+::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math>
+(zobacz J42 i&nbsp;J46) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
-<div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
+::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
-<math>\boldsymbol{n = 1}</math>
-::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math>
+ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że
-<math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math>
+::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-W zależności od tego, która z&nbsp;liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać
+Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
-::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math>
+::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-</div>
-Co kończy dowód.<br/>
+W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz J19), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+'''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego'''
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K59</span><br/>
+Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję
-Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
-::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
+::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math>
+Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
+::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
+Zatem
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K60</span><br/>
+::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math>
-Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
-W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>.
-Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z&nbsp;jakim liczba <math>2</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>.
+::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math>
-'''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math>
+Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby
-a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math>
-b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math>
+takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i&nbsp;dla których
-'''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math>
+::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math>
-a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję
-b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math>
+::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-'''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math>
+Zatem wynikające z&nbsp;powyższej kongruencji równanie
-a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
+::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
-b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4 \mid (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math>
+ma rozwiązanie dla liczb
-c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4 \mid (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math>
+::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i&nbsp;będzie to istotny element dowodu.
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+'''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K61</span><br/>
+Pomysł dowodu został zaczerpnięty z&nbsp;książki Hardy'ego i&nbsp;Wrighta<ref name="HardyWright1"/>.
-Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
-:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
+Jeżeli w&nbsp;rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i&nbsp;twierdzenie jest udowodnione. W&nbsp;przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z&nbsp;istniejącego rozwiązania równania
-:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
+::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
-:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
+otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
-wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że
+::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
-:(a)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + y^2</math>
+takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
-:(b)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 2 y^2</math>
+Zauważmy, że podział na parzyste i&nbsp;nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 3</math>. W&nbsp;pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
-:(c)&nbsp;&nbsp;<math>p = x^2 + 3 y^2</math>
+'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia K55 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
-<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
-Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z&nbsp;założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w&nbsp;postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a&nbsp;rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
+gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z&nbsp;istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
-::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
-Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji
+gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
-::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
+'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą'''
-Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
+Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
-::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-</div>
-Z twierdzenia J39 i&nbsp;zadania J43 otrzymujemy natychmiast
+Zatem
-:(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math>
+::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math>
-:(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>
+Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
-:(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math>
+::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math>
-Co należało pokazać.
+Połóżmy
+::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math>
-<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \mid (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \mid p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>.
-'''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math>
+Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;uwzględniając, że
-Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
+::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
-:(a)&nbsp;&nbsp;<math>4 k + 1</math>
+::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math>
-:(b)&nbsp;&nbsp;<math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
+otrzymujemy
-:(c)&nbsp;&nbsp;<math>6 k + 1</math>
+::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>
-Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy
+Mamy też oszacowanie
-::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math>
-(zobacz J39 i&nbsp;J43) i&nbsp;liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
+Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że
-::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math>
-ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że
+Mnożąc stronami powyższe równanie i&nbsp;równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy
-::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math>
-Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
+::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
-::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+(zobacz K54). Zauważmy teraz, że
-W przypadku (a), korzystając z&nbsp;twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
+::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
+::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math>
-'''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego'''
+::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math>
-Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję
+::::<math>\quad \; = m x_1</math>
-::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
-Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
+::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math>
-::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
+::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math>
-Zatem
+::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math>
-::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math>
+::::<math>\;\;\, = m y_1</math>
-Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
+Gdzie oznaczyliśmy
-::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math>
+::<math>x_1 = p - r x - n s y</math>
-Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby
+::<math>y_1 = s x - r y</math>
-::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math>
+Wynika stąd, że
-takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i&nbsp;dla których
+::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math>
-::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math>
+Zatem
-Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję
+::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math>
-::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+gdzie
-Zatem wynikające z&nbsp;powyższej kongruencji równanie
+::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>
-::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
+Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>.
-ma rozwiązanie dla liczb
-::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math>
+'''D. Jednoznaczność rozkładu'''
-Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i&nbsp;będzie to istotny element dowodu.
+Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia K53. Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-'''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/>
-Pomysł dowodu został zaczerpnięty z&nbsp;książki Hardy'ego i&nbsp;Wrighta<ref name="HardyWright1"/>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K57</span><br/>
+Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
-Jeżeli w&nbsp;rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i&nbsp;twierdzenie jest udowodnione. W&nbsp;przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z&nbsp;istniejącego rozwiązania równania
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) =
-::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
+ {
+ '''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1);
-otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
+ '''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") );
+ x = 1;
+ '''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
+ x = x - '''round'''(x/p)*p;
+ y = 1;
+ m = (x^2 + y^2)/p;
+ '''while'''( m > 1,
+        r = '''round'''(x/m);
+        s = '''round'''(y/m);
+        x1 = p - r*x - s*y;
+        y1 = r*y - s*x;
+        x = x1;
+        y = y1;
+        m = (x^2 + y^2)/p;
+      );
+ '''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]);
+ }</span>
+{{\Spoiler}}
-::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
-takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
-Zauważmy, że podział na parzyste i&nbsp;nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 3</math>. W&nbsp;pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K58</span><br/>
+Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>r</math>
+będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
+:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
+:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
+:*&nbsp;&nbsp;liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
-'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z&nbsp;twierdzenia K60 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w&nbsp;postaci
+'''Punkt 1.'''
-::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
+Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy
-gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z&nbsp;istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
+::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
-::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
+Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;modulo <math>4</math> mamy
-gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
+::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>
-'''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą'''
+Przypuśćmy, że
-Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z&nbsp;definicji mamy
+::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
-::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
+gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J25 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
-Zatem
+'''Punkt 2.'''
-::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math>
+W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie K56. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
-Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
+::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
-::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math>
+::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math>
-Połóżmy
+::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math>
-::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math>
+'''Punkt 3.'''
-Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \mid (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \mid p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>.
+Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze K54 mamy
-Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i&nbsp;uwzględniając, że
+::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
-::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
+:::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math>
-::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-otrzymujemy
-::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>
-Mamy też oszacowanie
-::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math>
-Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że
+== Twierdzenia o&nbsp;istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo ==
-::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K59</span><br/>
+Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
-Mnożąc stronami powyższe równanie i&nbsp;równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy
+:* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math>
+:* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math>
-::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
-::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
+::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math>
-(zobacz K59). Zauważmy teraz, że
+gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy
-::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
+::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math>
-::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math>
+::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math>
-::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math>
+::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math>
-::::<math>\quad \; = m x_1</math>
+Z twierdzenia J55 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
+::<math>s =
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
+\end{cases}</math>
-::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math>
+dla <math>2^n = 4</math> i&nbsp;gdy
-::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math>
+::<math>s =
+\begin{cases}
-::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math>
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
+\end{cases}</math>
-::::<math>\;\;\, = m y_1</math>
+dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Gdzie oznaczyliśmy
-::<math>x_1 = p - r x - n s y</math>
-::<math>y_1 = s x - r y</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K60</span><br/>
+Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie K59 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K61. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
-Wynika stąd, że
+Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
-::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math>
+W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
-Zatem
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
+! <math>\boldsymbol{p}</math>
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{q}</math>
+| style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math>
+|}
-::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math>
-gdzie
+W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
-::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+|-
-Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>.
+! <math>\boldsymbol{p}</math>
+| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
+|-
+! <math>\boldsymbol{q}</math>
+| style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math>
+|}
-'''D. Jednoznaczność rozkładu'''
-Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z&nbsp;twierdzenia K58. Co kończy dowód.<br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K61</span><br/>
-&#9633;
+Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-{{\Spoiler}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech
+::<math>s =
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\
+      - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\
+\end{cases}</math>
+Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C22). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
+::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
+Czyli
+::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math>
+i otrzymujemy
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K62</span><br/>
+::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
- <span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) =
- {
- '''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1);
- '''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") );
- x = 1;
- '''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
- x = x - '''round'''(x/p)*p;
- y = 1;
- m = (x^2 + y^2)/p;
- '''while'''( m > 1,
-        r = '''round'''(x/m);
-        s = '''round'''(y/m);
-        x1 = p - r*x - s*y;
-        y1 = r*y - s*x;
-        x = x1;
-        y = y1;
-        m = (x^2 + y^2)/p;
-      );
- '''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]);
- }</span>
-{{\Spoiler}}
+Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że
+::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K63</span><br/>
+z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>.
-Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a&nbsp;liczba pierwsza <math>r</math>
-będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
-:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
-:*&nbsp;&nbsp;liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
-:*&nbsp;&nbsp;liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+'''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math>
-'''Punkt 1.'''
+Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
-Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy
+::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math>
-::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
+Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;modulo <math>4</math> mamy
+'''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math>
-::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>
+Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
-Przypuśćmy, że
+::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math>
-::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
+Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w&nbsp;sposób oczywisty jest niemożliwe.
+'''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math>
-'''Punkt 2.'''
+Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
-W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie K61. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
+::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math>
-::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
+Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math>
+'''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math>
-::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math>
+Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
-'''Punkt 3.'''
+::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math>
-Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w&nbsp;uwadze K59 mamy
+Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
+Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/>
-:::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math>
-Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2289: / Linia 2337: @@
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K62</span><br/>
+Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz K56). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J25 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
-== Twierdzenia o&nbsp;istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo ==
+Modulo <math>q</math> możemy napisać
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K64</span><br/>
+::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
-Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
-:* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math>
+Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid x</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
-:* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
-Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
-::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math>
+Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9)
-gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając, dostajemy
+::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math>
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math>
-::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math>
-Z twierdzenia J52 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \mid (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K63</span><br/>
+Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-::<math>s =
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-\begin{cases}
+Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz K56).
- \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
-      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
-\end{cases}</math>
+::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
-dla <math>2^n = 4</math> i&nbsp;gdy
+Co jest niemożliwe. Zatem <math>x = 2 k</math>, a&nbsp;liczba <math>y</math> musi być nieparzysta. Otrzymujemy
-::<math>s =
+::<math>p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math>
-\begin{cases}
- \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
-      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
-\end{cases}</math>
-dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/>
+Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to jedynie w&nbsp;przypadku gdy <math>k = y = 1</math> możliwa jest sytuacja, że <math>k = y</math>. Mielibyśmy wtedy <math>p = 7</math>, ale z&nbsp;założenia musi być <math>p \geqslant 19</math>. Wynika stąd, że <math>k \neq y</math>, zatem liczba <math>k^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> (zobacz J25). Oczywiście <math>q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p</math>.
+Modulo <math>q</math> możemy napisać
+::<math>k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
+Liczba pierwsza <math>q</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid k</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
+::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math>
+Wynika stąd natychmiast (zobacz J42 p.9 i&nbsp;p.6)
+::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}
+= \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
+= \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
+= \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
+= \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2334: / Linia 2398: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K65</span><br/>
+Twierdzenia K62 i&nbsp;K63 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
-Poniżej udowodnimy trzy twierdzenia dotyczące istnienia liczb pierwszych, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł ujęcia problemu zaczerpnęliśmy z&nbsp;pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie K64 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu twierdzenia K66. Z&nbsp;zadania łatwo widzimy, że powiązanie liczby <math>s</math> z&nbsp;postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K64*</span><br/>
+Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-Zauważmy, że twierdzenia ograniczają się do liczb pierwszych <math>p</math>, ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba pierwsza <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
-W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K65</span><br/>
+W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+:{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
 |-
-! <math>\boldsymbol{p}</math>
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
+| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math>
 |-
 ! <math>\boldsymbol{q}</math>
-| style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math>
+| style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math>
 |}
-W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>.
+W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+:{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
 |-
-! <math>\boldsymbol{p}</math>
+! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
+| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math>
 |-
 ! <math>\boldsymbol{q}</math>
-| style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math>
+| style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math>
 |}
@@ Linia 2365: / Linia 2431: @@
 <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K66</span><br/>
-Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 17</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
+Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech
+Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C22). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia J42 p.9 dostajemy
-::<math>s =
-\begin{cases}
- \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\
-      - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\
-\end{cases}</math>
-Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
+::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+ - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+ - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+ - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
-::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
+Zatem <math>q</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Czyli
-::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math>
-i otrzymujemy
+Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K67*</span><br/>
+'''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
-::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+'''B.''' Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
-Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
-Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że
-::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math>
+Zauważmy, że twierdzenie K67 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K68</span><br/>
-z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>.
-'''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math>
-Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
-::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math>
-Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-'''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math>
-Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
-::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math>
-Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z&nbsp;nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-'''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math>
-Mamy <math>s = - 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
-::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math>
-Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-'''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math>
-Mamy <math>s = + 1</math> i&nbsp;przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
-::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math>
-Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z&nbsp;założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z&nbsp;liczb w&nbsp;tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
-Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K67</span><br/>
-Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz K61). Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z&nbsp;twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>.
-Modulo <math>q</math> możemy napisać
-::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
-Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid x</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
-::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
-Wynika stąd natychmiast (zobacz J39 p.9)
-::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K68</span><br/>
-Jeżeli <math>p \geqslant 19</math> jest liczbą pierwszą postaci <math>12 k + 7</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z założenia <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{6}</math>, zatem istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>p = x^2 + 3 y^2</math> (zobacz K61).
-Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i&nbsp;być względnie pierwsze. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
-::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
-Co jest niemożliwe. Zatem <math>x = 2 k</math>, a&nbsp;liczba <math>y</math> musi być nieparzysta. Otrzymujemy
-::<math>p = 4 k^2 + 3 y^2 = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math>
-Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to jedynie w&nbsp;przypadku gdy <math>k = y = 1</math> możliwa jest sytuacja, że <math>k = y</math>. Mielibyśmy wtedy <math>p = 7</math>, ale z&nbsp;założenia musi być <math>p \geqslant 19</math>. Wynika stąd, że <math>k \neq y</math>, zatem liczba <math>k^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> (zobacz J22). Oczywiście <math>q \leqslant k^2 + y^2 < 4 k^2 + 3 y^2 = p</math>.
-Modulo <math>q</math> możemy napisać
-::<math>k^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
-Liczba pierwsza <math>q</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \mid k</math>, czyli <math>q \mid p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = 4 (k^2 + y^2) - y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
-::<math>p \equiv - y^2 \!\! \pmod{q}</math>
-Wynika stąd natychmiast (zobacz J39 p.9 i&nbsp;p.6)
-::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}
-= \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
-= \left( {\small\frac{- y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
-= \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}}
-= \left( {\small\frac{- 1}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-Twierdzenia K67 i&nbsp;K68 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze.<ref name="Gica1"/><br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K69*</span><br/>
-Jeżeli <math>p \geqslant 11</math> jest liczbą pierwszą i <math>p \neq 13, 37</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowa modulo <math>p</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K70</span><br/>
-W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
-:{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
-|-
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{q}</math>
-| style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math>
-|}
-W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowe modulo <math>m</math>.
-:{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
-|-
-! <math>\boldsymbol{m}</math>
-| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math> || <math>21</math> || <math>22</math> || <math>23</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || <math>29</math> || <math>30</math> || <math>31</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>35</math> || <math>36</math> || <math>37</math> || <math>38</math> || <math>39</math> || <math>40</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{q}</math>
-| style="background-color: red" | <math>-</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math>
-|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K71</span><br/>
-Jeżeli <math>m \geqslant 7</math> jest liczbą całkowitą postaci <math>4 k + 3</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia J39 p.9 dostajemy
-::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
- - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
- - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
- - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
-Zatem <math>q</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K72*</span><br/>
-'''A.''' Jeżeli <math>p \geqslant 13</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
-'''B.''' Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> niekwadratowa modulo <math>p</math>.
-Zauważmy, że twierdzenie K72 można łatwo uogólnić na liczby całkowite dodatnie.<br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K73</span><br/>
 '''A.''' Jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą całkowitą i <math>m \neq 10 , 11</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 1</math> niekwadratowa modulo <math>m</math>.
@@ Linia 2563: / Linia 2467: @@
 Rozważmy liczby <math>m</math> postaci <math>m = 2^a 3^b</math>.
-Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J53 i&nbsp;K46).
+Jeżeli <math>3 \mid m</math>, to <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>\left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J56 i&nbsp;K41).
-Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J53).
+Jeżeli <math>3 \nmid m</math>, ale <math>8 \mid m</math>, to <math>8 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J56).
-Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J53).
+Jeżeli <math>3 \nmid m</math> i <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \mid m</math>, to <math>4 \nmid (11 - 1)</math>, zatem liczba <math>11</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J56).
 Jeżeli <math>m = 2</math>, to łatwo zauważamy, że nie istnieją liczby niekwadratowe modulo <math>2</math>.
@@ Linia 2575: / Linia 2479: @@
 :* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 5</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b</math>, to liczba pierwsza <math>q = 11</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
-:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K72 i&nbsp;K46).
+:* jeśli liczba <math>m \geqslant 12</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 5</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K67 i&nbsp;K41).
@@ Linia 2613: / Linia 2517: @@
 :* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> nie ma dzielnika pierwszego <math>p \geqslant 13</math>, czyli jest postaci <math>m = 2^a 3^b 5^c 7^d 11^e</math>, to liczba pierwsza <math>q = 5</math> lub <math>q = 17</math> jest mniejsza od <math>m</math>, jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
-:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K72 i&nbsp;K46).
+:* jeśli liczba <math>m \geqslant 18</math> ma dzielnik pierwszy <math>p \geqslant 13</math>, to istnieje liczba pierwsza <math>q < p \leqslant m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i&nbsp;jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz K67 i&nbsp;K41).
 Pozostaje wypisać dla liczb <math>3 \leqslant m \leqslant 17</math> najmniejsze liczby niekwadratowe, które są liczbami pierwszymi postaci <math>4 k + 1</math>.
@@ Linia 2634: / Linia 2538: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K74</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K69</span><br/>
 Jeżeli <math>p \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
@@ Linia 2642: / Linia 2546: @@
 ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
-(zobacz J39&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
+(zobacz J42&nbsp;p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
 '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math>
-Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia K30 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J39&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
+Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia K25 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J42&nbsp;p.9 otrzymujemy natychmiast
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 2654: / Linia 2558: @@
 '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math>
-Z twierdzenia K66 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J39 p.9 otrzymujemy natychmiast
+Z twierdzenia K61 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z&nbsp;twierdzenia J42 p.9 otrzymujemy natychmiast
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 2666: / Linia 2570: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K75</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K70</span><br/>
-Udowodnić twierdzenie K74 w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia K66.
+Udowodnić twierdzenie K69 w&nbsp;przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia K61.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
@@ Linia 2676: / Linia 2580: @@
 '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math>
-Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J44). Mamy
+Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J47). Mamy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 2686: / Linia 2590: @@
 '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math>
-Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J39&nbsp;p.6 oraz J44). Otrzymujemy
+Wiemy, że w&nbsp;tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J42&nbsp;p.6 oraz J47). Otrzymujemy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 2692: / Linia 2596: @@
 </div>
-Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia J39&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
+Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;przeciwnym razie z&nbsp;twierdzenia J42&nbsp;p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}