Szeregi liczbowe

07.04.2022

Szeregi nieskończone

Definicja D1
Sumę wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]

nazywamy szeregiem nieskończonym o wyrazach [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

Definicja D2
Ciąg [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math].

Definicja D3
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] będziemy nazywali zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ \left ( S_n \right ) }[/math] jest zbieżny.

Twierdzenie D4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math].

Dowód

Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math] jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.
Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)
Niech ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli

[math]\displaystyle{ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a_n = 0 }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \underset{k = 1}{\overset{\infty}{\sum}} (- 1)^{k + 1} \cdot a_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Twierdzenie D6
Dla [math]\displaystyle{ s \gt 1 }[/math] prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Dowód

Przykład D7
Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta^[1], którą definiuje szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \eta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} }[/math]

lub funkcja dzeta Riemanna^[2], którą definiuje inny szereg

[math]\displaystyle{ \zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Na podstawie twierdzenia D6 funkcje te są związane wzorem

[math]\displaystyle{ \eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ s \in \mathbb{R}_+ }[/math] funkcja eta Dirichleta jest zbieżna. Możemy ją wykorzystać do znajdowania sumy szeregu naprzemiennego [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} }[/math].

[math]\displaystyle{ s = {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{\sqrt{k}}} = 0.604898643421 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 = 0.693147180559 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{12}} = 0.822467033424 \ldots }[/math]	WolframAlpha

Twierdzenie D8
Niech [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W przypadku zbieżności zachodzi związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \left ( a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1} \right ) + \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math]

Dowód

Twierdzenie D9 (kryterium porównawcze)
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \gt N_0 }[/math] jest spełniony warunek

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant a_k \leqslant b_k }[/math]

to

zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] pociąga za sobą zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]
rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] pociąga za sobą rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math]

Dowód

Twierdzenie D10
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k \right | }[/math] jest zbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest również zbieżny.

Dowód

Definicja D11
Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | a_n | }[/math] jest zbieżny.

Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest zbieżny, ale szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | a_n | }[/math] jest rozbieżny.

Twierdzenie D12
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] można zapisać w jednej z postaci

[math]\displaystyle{ \quad a_k = f_k - f_{k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad a_k = f_{k - 1} - f_k }[/math]

to odpowiadający temu ciągowi szereg nazywamy szeregiem teleskopowym. Suma częściowa szeregu teleskopowego jest odpowiednio równa

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_m - f_{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_{m - 1} - f_n }[/math]

Dowód

Twierdzenie D13
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k (k - 1)}} = 1 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{3}{4}} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848 \ldots }[/math]	A013661, WolframAlpha

Dowód

Twierdzenie D14
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 1.860025079221 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} = 0.788530565911 \ldots }[/math]	A085361
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.257746886944 \ldots }[/math]	A131688
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 3} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} = 1.069058310734 \ldots }[/math]	A115563

Dowód

Przykład D15
Na przykładzie szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math] pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.

Ponieważ nie jesteśmy w stanie zsumować nieskończenie wielu wyrazów, zatem najlepiej będzie podzielić szereg na dwie części

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} + \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math]

Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.

Dowodząc twierdzenie D14, w punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \lt {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} \lt {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} }[/math]

Wykorzystamy powyższy wzór do znalezienia potrzebnego nam oszacowania. Sumując strony nierówności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \lt \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} \lt \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right) }[/math]

Ponieważ szeregi po lewej i po prawej stronie są szeregami teleskopowymi, to łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \lt \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} \lt {\small\frac{1}{\log m}} - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} \lt \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} \lt {\small\frac{1}{\log m}} }[/math]

Teraz pozostaje dodać sumę wyrazów szeregu od [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = m }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} \lt \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} \lt {\small\frac{1}{\log m}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math]

Poniżej przedstawiamy wartości oszacowania sumy szeregu znalezione przy pomocy programu PARI/GP dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wystarczy proste polecenie

for(n = 1, 8, s = sum( k = 3, 10^n, 1/k/(log(k))^2 ); print( "n= ", n, "   a= ", s + 1/log(10^n+1), "   b= ", s + 1/log(10^n) ))

[math]\displaystyle{ m = 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.07 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.068 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06904 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06906 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069057 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069058 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690582 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905830 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583105 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583109 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831071 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831074 }[/math]

Dysponując oszacowaniem reszty szeregu, znaleźliśmy wartość sumy szeregu z dokładnością 10 miejsc po przecinku.

Natomiast samo zsumowanie [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] wyrazów szeregu daje wynik

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{10^8} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = 1.014 771 500 510 916 \ldots }[/math]

Zatem mimo zsumowania stu milionów(!) wyrazów szeregu otrzymaliśmy rezultat z dokładnością jednego(!) miejsca po przecinku. Co więcej, nie wiemy, jaka jest dokładność uzyskanego rezultatu. Znając oszacowanie od dołu i od góry, dokładność jednego miejsca po przecinku uzyskaliśmy po zsumowaniu dziesięciu(!) wyrazów szeregu.

Rozpatrywana wyżej sytuacja pokazuje, że w przypadku znajdowania przybliżonej wartości sumy szeregu ważniejsze od sumowania ogromnej ilości wyrazów jest posiadanie oszacowania nieskończonej reszty szeregu. Ponieważ wyznaczenie tego oszacowania na ogół nie jest proste, pokażemy jak ten problem rozwiązać przy pomocy całki oznaczonej.

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Twierdzenie D16
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, n + 1] }[/math], to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f(x) d x }[/math]

Dowód

Przykład D17
Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math].

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math] jest ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math], zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x}} \lt \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \lt 1 + \int_{1}^{n} {\small\frac{d x}{x}} }[/math]

Przy obliczaniu całek oznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) \lt \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \lt 1 + \log n }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) = \log \left( n \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) \right) = \log n + \log \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) \gt \log n + {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

to dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \lt \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n \lt 1 }[/math]

Zauważmy: nie tylko wiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math] jest rozbieżny, ale jeszcze potrafimy określić, jaka funkcja tę rozbieżność opisuje! Mamy zatem podstawy, by przypuszczać, że całki umożliwią opracowanie metody, która pozwoli rozstrzygać o zbieżności szeregów.

Twierdzenie D18 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)
Załóżmy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego, czy funkcja pierwotna [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] ma dla [math]\displaystyle{ x \rightarrow \infty }[/math] granicę skończoną, czy nie.

Dowód

Przykład D19
Przykłady zebraliśmy w tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

	szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} a_k }[/math]	funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]	całka [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math]	granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math]	wynik
1.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
2.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{x}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \sqrt{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
3.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny
4.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x \log x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
5.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x \log^2 \! x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny

Stosując kryterium całkowe, można łatwo pokazać, że szeregi

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^s \! k}} }[/math]

są zbieżne dla [math]\displaystyle{ s \gt 1 }[/math] i rozbieżne dla [math]\displaystyle{ s \leqslant 1 }[/math].

Twierdzenie D20
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math] oraz

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a \lt m }[/math], to prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R(m) }[/math]

Dowód

Przykład D21
Twierdzenie D20 umożliwia określenie, z jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = 2 \text{arctg} \left( \sqrt{x} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = \pi - 2 \text{arctg} \left( \sqrt{m} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f (m) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} \leqslant S (m) + R (m) }[/math]

Dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.84 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.87 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.85 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86000 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86004 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860024 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002506 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002509 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025078 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507920 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507923 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079220 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079221 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792211 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792212 }[/math]

W programie PARI/GP wystarczy napisać:

f(k) = 1.0 / (k+1) / sqrt(k)
S(m) = sum( k = 1, m, f(k) )
R(m) = Pi - 2*atan( sqrt(m) )
for(j = 1, 9, m = 10^j; suma = S(m); reszta = R(m); print( "j= ", j, "   a= ", suma + reszta - f(m), "   b= ", suma + reszta ))

Prostym wnioskiem z twierdzenia D16 jest następujące
Twierdzenie D22
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ a \lt m }[/math]) zastąpimy sumę [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] całką [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math], to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy [math]\displaystyle{ f(m) }[/math].

Dowód

Twierdzenie D23
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny, to dla każdego [math]\displaystyle{ n \geqslant m }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B }[/math] oraz [math]\displaystyle{ C }[/math] są dowolnymi stałymi spełniającymi nierówności

[math]\displaystyle{ B \geqslant 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ C \geqslant f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

Dowód

Uwaga D24
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math]. Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math]. Zauważmy, że:

korzystając z całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny
jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie D23), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math]

Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math], możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math]. Zauważmy, że wybór większego [math]\displaystyle{ B }[/math] ułatwia dowód indukcyjny. Stałą [math]\displaystyle{ C }[/math] najlepiej zaokrąglić w górę do wygodnej dla nas wartości.

Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a do tego wystarczy indukcja matematyczna.

Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w tym celu twierdzenie D23.

Zadanie D25
Korzystając z twierdzenia D23, znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math]

Rozwiązanie

Zadanie D26
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Zadanie D27
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} \lt 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Twierdzenie D28
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{p_k}} = 0.269605966 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2}} = 0.452247420041 \ldots }[/math]	A085548
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} = 1.375064994748 \ldots }[/math]	A086242
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p (p - 1)}} = 0.773156669049 \ldots }[/math]	A136141

Dowód

Twierdzenie D29
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = 1.636616323351 \ldots }[/math]	A137245
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2 \log p}} = 0.507782187859 \ldots }[/math]	A221711
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = 0.755366610831 \ldots }[/math]	A138312
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^2}} = 0.493091109368 \ldots }[/math]	A136271

Dowód

Twierdzenie D30
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] jest rozbieżny.

Dowód

Uwaga D31
Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] podobnie, jak to uczyniliśmy w przypadku twierdzenia B37, ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.

Twierdzenie D32
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Prawdziwe są następujące nierówności

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! \gt n^n e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! \lt n^{n + 1} e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 7 }[/math]

Dowód

Twierdzenie D33
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{p}} - 1 \lt W_p (n!) \lt {\small\frac{n}{p - 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \leqslant W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}} }[/math]

Dowód

Twierdzenie D34
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n \gt - 1 }[/math]

Dowód

Twierdzenie D35 (pierwsze twierdzenie Mertensa^[5]^[6], 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n \gt - 1.755367 }[/math]

Dowód

Twierdzenie D36 (pierwsze twierdzenie Mertensa^[5]^[6], 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n \lt 0.386295 }[/math]

Dowód

Twierdzenie D37
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n \lt 1.141661 }[/math]

Dowód

Uwaga D38

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = \log n - E + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ E = 1.332582275733 \ldots }[/math] Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 319 }[/math] mamy też^[7] [math]\displaystyle{ \left\| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \right\| \lt {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Uwaga D39

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} = \log n - \gamma + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.5772156649 \ldots }[/math] jest stałą Eulera. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie^[8] [math]\displaystyle{ \left\| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right\| \lt {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Uwaga D40
Dla [math]\displaystyle{ n \leqslant 10^{10} }[/math] wartości wyrażeń

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma }[/math]

są liczbami dodatnimi.

Twierdzenie D41
Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right) = E - \gamma }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ \quad \gamma = 0.577215664901532 \ldots }[/math] jest stałą Eulera^[9]
[math]\displaystyle{ \quad E = 1.332582275733220 \ldots }[/math]^[10]
[math]\displaystyle{ \quad E - \gamma = 0.755366610831688 \ldots }[/math]^[11]

Dowód

Twierdzenie D42
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right| \lt {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Dowód

Zadanie D43
Niech [math]\displaystyle{ r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944 }[/math]. Pokazać, że z nierówności prawdziwej dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} \lt \log x - r }[/math]

wynika twierdzenie Czebyszewa.

Rozwiązanie

Definicja D44
Powiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli [math]\displaystyle{ \left | p - q \right | = 2 }[/math]

Twierdzenie D45* (Viggo Brun, 1919)
Suma odwrotności par liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math], takich że liczba [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] jest również pierwsza, jest skończona

[math]\displaystyle{ \underset{p + 2 \in \mathbb{P}}{\sum_{p \geqslant 2}} \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p + 2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} \right) + \ldots = B_2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B_2 = 1.90216058 \ldots }[/math] jest stałą Bruna^[13]^[14].

Zadanie D46
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nietworzących par liczb bliźniaczych.

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ q = p + 4 }[/math] będą liczbami pierwszymi i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ p q }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] są względnie pierwsze, to z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ a_n = p q n + (p + 2) }[/math] jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, a jednocześnie żadna z liczb [math]\displaystyle{ a_n }[/math] nie tworzy pary liczb bliźniaczych, bo

[math]\displaystyle{ a_n - 2 = p q n + p = p (q n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n + 2 = p q n + (p + 4) = q (p n + 1) }[/math]

są liczbami złożonymi. Najprostsze przykłady to [math]\displaystyle{ a_n = 21 n + 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n = 77 n + 9 }[/math]

Najłatwiej wszystkie przypadki takich ciągów wyszukać w programie PARI/GP. Polecenie

for(a=1,50, for(b=3,floor(a/2), g=gcd(a,b); g1=gcd(a,b-2); g2=gcd(a,b+2); if( g==1 && g1>1 && g2>1, print("a= ", a, "   b= ",b) )))

wyszukuje wszystkie liczby dodatnie [math]\displaystyle{ a, b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ b \leqslant \left\lfloor {\small\frac{a}{2}} \right\rfloor }[/math], które tworzą ciągi [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] o poszukiwanych właściwościach. Oczywiście ciągi [math]\displaystyle{ a k + (a - b) }[/math] również są odpowiednie. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 50 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 15 k + 7, \quad 21 k + 5, \quad 30 k + 7, \quad 33 k + 13, \quad 35 k + 12, \quad 39 k + 11, \quad 42 k + 5, \quad 45 k + 7, \quad 45 k + 8, \quad 45 k + 22 }[/math]

□

Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math]

Twierdzenie D47
Suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.

Dowód

Sumowanie przez części

Uwaga D48
Omawianie metody sumowania przez części^[16] rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia, które dobrze ilustruje tę metodę i ułatwi zrozumienie uogólnienia. Potrzebna nam będzie następująca funkcja

[math]\displaystyle{ D(k) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } k \, \text{ jest liczbą pierwszą} \\ 0 & \text{gdy } k \, \text{ nie jest liczbą pierwszą} \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy związek funkcji [math]\displaystyle{ D(k) }[/math] z funkcją [math]\displaystyle{ \pi (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi (k) - \pi (k - 1) = \sum_{p \leqslant k} 1 - \sum_{p \leqslant k - 1} 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 1}^{k} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = D (k) + \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = D (k) }[/math]

Twierdzenie D49
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} }[/math] oznacza sumę odwrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Dowód

Zadanie D50
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} \gt {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) }[/math].

Rozwiązanie

Zadanie D51
Pokazać, że oszacowanie [math]\displaystyle{ \pi (n) \lt n^{1 - \varepsilon} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon \in (0, 1) }[/math], nie może być prawdziwe dla prawie wszystkich liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Twierdzenie D52 (sumowanie przez części)
Niech [math]\displaystyle{ a_j }[/math], [math]\displaystyle{ b_j }[/math] będą ciągami określonymi przynajmniej dla [math]\displaystyle{ s \leqslant j \leqslant n }[/math]. Prawdziwy jest następujący wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j }[/math]. Wzór ten nazywamy wzorem na sumowanie przez części.

Dowód

Zadanie D53
Niech [math]\displaystyle{ r \neq 1 }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k r^k = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2} }[/math].

Rozwiązanie

Twierdzenie D54 (kryterium Dirichleta)
Niech [math]\displaystyle{ (a_k) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_k) }[/math] będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest monotoniczny

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math]

istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M }[/math], że [math]\displaystyle{ \left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant M }[/math] dla dowolnej liczby [math]\displaystyle{ k }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Zadanie D55
Udowodnić następujące wzory

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{j = 1}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cos \left( {\normalsize\frac{k}{2}} + 1 \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad }[/math]

Rozwiązanie

Zadanie D56
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Zadanie D57
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math] jest zbieżny, a suma tego szeregu jest w przybliżeniu równa [math]\displaystyle{ 0.6839137864 \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Zadanie D58
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Rozwiązanie

Twierdzenie D59
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ {\small\frac{A \cdot n}{\log n}} \lt \pi (n) \lt {\small\frac{B \cdot n}{\log n}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ A, B \in \mathbb{R}_+ }[/math], to istnieje granica

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1 }[/math]

Dowód

Uwaga D60
Funkcja [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math] jest ściśle związana z dobrze nam znaną funkcją [math]\displaystyle{ P (n) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ P(n) = \prod_{p \leqslant n} p }[/math], to

[math]\displaystyle{ \log P (n) = \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n) }[/math].

Z twierdzenia D59 wynika, że jeżeli istnieje granica [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{n}} }[/math], to będzie istniała granica dla [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}} }[/math]. Jeżeli istnieje granica [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}} }[/math], to będzie istniała granica dla [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{n}} }[/math] (zobacz C12 p.3).

Wiemy, że dla funkcji [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], prawdziwe jest oszacowanie^[18]

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{\theta (n)}{n}} - 1 \right| \leqslant {\small\frac{151.3}{\log^4 n}} }[/math]

Zadanie D61
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

Rozwiązanie

Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Twierdzenie D62 (kryterium d'Alemberta)
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem liczb rzeczywistych i istnieje granica

[math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| }[/math]

Jeżeli

[math]\displaystyle{ g \lt 1 }[/math], to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny

[math]\displaystyle{ g \gt 1 }[/math], to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest rozbieżny

Dowód

Uwaga C62
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = 1 }[/math] kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności lub rozbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math]. Czytelnikowi zostawiamy zastosowanie tego kryterium do szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]

Przykład D64
Niech [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math]. Zbadamy zbieżność szeregu

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{x^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{x^n}} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{| x |}{n + 1}} = 0 }[/math]

to z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Zadanie D65
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{n^n}{n!}} }[/math] jest rozbieżny.

Rozwiązanie

Uwaga D66
W twierdzeniu A37, korzystając z następującej definicji funkcji [math]\displaystyle{ e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

pominęliśmy dowód własności [math]\displaystyle{ e^x e^{- x} = 1 }[/math]. Spróbujemy teraz pokazać, że [math]\displaystyle{ e^x e^y = e^{x + y} }[/math].

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \left( \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i}{i!}} \right) \left( \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{y^j}{j!}} \right) = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} }[/math]

Oznaczmy [math]\displaystyle{ a_i = {\small\frac{x^i}{i!}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b_j = {\small\frac{y^j}{j!}} }[/math] i przyjrzyjmy się sumowaniu po [math]\displaystyle{ i, j }[/math]. W podwójnej sumie po prawej stronie [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{i = 0} \sum_{j = 0}^{\infty} a_i b_j }[/math] sumujemy po kolejnych liniach poziomych tak, jak to zostało pokazane na rysunku

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \; \cdots \; }[/math]

Zastępując sumowanie po kolejnych liniach poziomych sumowaniem po kolejnych przekątnych, otrzymamy taki rysunek

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_6 }[/math]

Co odpowiada sumie [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {a_k} b_{n - k} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n }[/math] numeruje kolejne przekątne. Taka zmiana sposobu sumowania powoduje następujące przekształcenie wzoru

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k! \cdot (n - k) !}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} }[/math]

to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} (x + y)^n = e^{x + y} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym, że z definicji

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

wynika podstawowa własność funkcji wykładniczej [math]\displaystyle{ e^x e^y = e^{x + y} }[/math].

Mamy świadomość, że dokonana przez nas zmiana sposobu sumowania była nieformalna i w związku z tym nie wiemy, czy była poprawna. Zatem musimy precyzyjnie zdefiniować takie sumowanie i zbadać, kiedy jest dopuszczalne. Dopiero wtedy będziemy mogli być pewni, że policzony rezultat jest poprawny.

Definicja D67
Iloczynem Cauchy'ego szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j }[/math] nazywamy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 }[/math]

W przypadku szeregów, których wyrazy są numerowane od liczby [math]\displaystyle{ 1 }[/math], iloczynem Cauchy'ego szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_j }[/math] nazywamy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k b_{n - k + 1} = a_1 b_n + a_2 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_2 + a_n b_1 }[/math]

Zadanie D68
Niech [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]. Pokazać, że

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (1, 0, 0, 0, 0, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] jest dowolnym ciągiem, to [math]\displaystyle{ c_n = b_n }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (1, 1, 1, 1, 1, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] jest dowolnym ciągiem, to [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} b_k = B_n }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = b_n = {\small\frac{r^n}{n!}} }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}} }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (a, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \; (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ (a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \; (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \neq r }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

Przykład D69
Ostatni punkt zadania D68 pozwala stworzyć wiele przykładowych szeregów i ich iloczynów Cauchy'ego. Przypomnijmy, że

[math]\displaystyle{ (a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \quad (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \, q \neq r }[/math]

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Przykłady zebraliśmy w tabeli.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{b} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{r} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{(c_n)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} a_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} b_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} c_n} }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (-6,0,0,0,0,0,…) }[/math]	zbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-6,0,0,0,0,0,…) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{r - 2q}{r - q}} }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{r}{r - q}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{r ( r - 2q )}{(r - q)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right) }[/math]	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( -8,{\small\frac{1}{3}}, {\small\frac{1}{3^2}}, {\small\frac{1}{3^3}}, {\small\frac{1}{3^4}}, {\small\frac{1}{3^5}}, \ldots \right) }[/math]	zbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( - {\small\frac{7}{9}}, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-3,3,3^2,3^3,3^4,3^5,…) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{4}}, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-2, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-3, 1, 1, 1, 1, 1,\ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (-2,0,0,0,0,0,…) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (0, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{r - 2}{r - 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{r}{r - 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{r ( r - 2 )}{(r - 1)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (0, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( - 3, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny

Przykład D70
Podamy przykład szeregów zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny. Rozważmy zbieżny szereg (zobacz D5)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} = 0.604898643 \ldots \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Mnożąc powyższy szereg przez siebie według reguły Cauchy'ego, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{\sqrt{n - k + 1}}} = (- 1)^n \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} }[/math]

Ale [math]\displaystyle{ k \leqslant n \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; n - k \leqslant n }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} \geqslant {\small\frac{1}{\sqrt{(n + 1) (n + 1)}}} = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ | c_n | \geqslant \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n + 1}} = 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n \neq 0 }[/math], to iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny (zobacz D4).

Zadanie D71
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = b_n = r^n \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; c_n = (n + 1) r^n }[/math] (zobacz D68 p.3), to szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Sprawdzić, że w przypadku, gdy szeregi te są zbieżne, prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) }[/math]

Rozwiązanie

Uwaga D72
Przykłady D69 i D70 pokazują, że w ogólności nie jest prawdziwy wzór

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) }[/math]

Skoro iloczyn sum szeregów nie zawsze jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów, to musimy ustalić, jakie warunki muszą być spełnione, aby tak było.

Uwaga D73
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Mertensa, zauważmy, że od sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

możemy łatwo przejść do sumowania po liniach poziomych lub po liniach pionowych. Rysunek przedstawia sytuację, gdy [math]\displaystyle{ m = 5 }[/math].

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_6 }[/math]

Przejście do sumowania po liniach poziomych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach poziomych, a druga po kolejnych elementach w [math]\displaystyle{ i }[/math]-tej linii poziomej.

Przejście do sumowania po liniach pionowych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_j b_i }[/math]

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach pionowych, a druga po kolejnych elementach w [math]\displaystyle{ i }[/math]-tej linii pionowej.

Twierdzenie D74 (Franciszek Mertens)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A }[/math] jest zbieżny bezwzględnie, szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B }[/math] jest zbieżny, to ich iloczyn Cauchy'ego [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math], jest zbieżny i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B }[/math].

Dowód

Zadanie D75
Pokazać, że iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwiązanie

Zadanie D76
Podać przykład szeregów zbieżnych, z których tylko jeden jest bezwzględnie zbieżny i których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

Rozwiązanie

Zadanie D77
Podać przykład szeregów warunkowo zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

Rozwiązanie

Uwaga D78
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Abela, musimy udowodnić trzy twierdzenia dotyczące pewnych granic. Warto zauważyć, że twierdzenie D80 pozwala przypisać wartość sumy do szeregów, których suma w zwykłym sensie nie istnieje. Uogólnienie to nazywamy sumowalnością w sensie Cesàro^[20]. Nie będziemy zajmowali się tym tematem, ale podamy ciekawy przykład.

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i }[/math]. Sumy częściowe tego szeregu wynoszą [math]\displaystyle{ S_k = {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}} }[/math] i tworzą ciąg rozbieżny, ale ciąg kolejnych średnich arytmetycznych dla ciągu [math]\displaystyle{ (S_k) }[/math] jest równy

[math]\displaystyle{ x_n = {\small\frac{S_0 + \ldots + S_n}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}} = {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1 + (- 1)^n}{4 (n + 1)}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad }[/math] (WolframAlfa)

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i }[/math] jest sumowalny w sensie Cesàro i jego suma jest równa [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Twierdzenie D79
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0 }[/math].

Dowód

Twierdzenie D80
Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, to ciąg kolejnych średnich arytmetycznych [math]\displaystyle{ x_n = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}} }[/math] jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód

Twierdzenie D81
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] będą zbieżnymi ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b }[/math].

Dowód

Twierdzenie D82 (Niels Henrik Abel)
Jeżeli szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B }[/math] są zbieżne i ich iloczyn Cauchy'ego [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math], jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B }[/math].

Dowód

Liczby Catalana

Definicja D83
Liczby Catalana [math]\displaystyle{ C_n }[/math] definiujemy wzorem

[math]\displaystyle{ C_n = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].

Twierdzenie D84
Liczby Catalana [math]\displaystyle{ C_n }[/math] mają następujące własności

[math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami całkowitymi dodatnimi

[math]\displaystyle{ C_n = {\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}} C_n }[/math]

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math]

Dowód

Zadanie D85
Niech [math]\displaystyle{ C_n }[/math] oznacza [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą liczbę Catalana i niech [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] oznacza szereg, który otrzymujemy, mnożąc szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] przez siebie według reguły Cauchy'ego. Pokazać, że

jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = C_n }[/math], to [math]\displaystyle{ x_n = C_{n + 1} }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ a_0 = \alpha \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a_n = r^{n - 1} C_{n - 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ x_0 = \alpha^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \; x_1 = 2 \alpha C_0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; x_n = (1 + 2 \alpha r) r^{n - 2} C_{n - 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]

Dla jakich wartości [math]\displaystyle{ \alpha, r }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] jest zbieżny?

Rozwiązanie

Sumy współczynników dwumianowych

Twierdzenie D86
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; r \in \mathbb{R} }[/math] prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2} }[/math]

Dowód

Twierdzenie D87
Dla [math]\displaystyle{ n, m \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + m + 1}{n}} }[/math]

Dowód

Suma nieoznaczona

Uwaga D88
Sumą nieoznaczoną^[21] (lub antyróżnicą) funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], będziemy nazywali dowolną funkcję [math]\displaystyle{ F(k) }[/math] taką, że

[math]\displaystyle{ F(k + 1) - F (k) = f (k) }[/math]

Łatwo zauważamy, że istnieje cała rodzina funkcji [math]\displaystyle{ F(k) }[/math], bo jeżeli [math]\displaystyle{ F (k) }[/math] jest sumą nieoznaczoną, to [math]\displaystyle{ F (k) + C }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C }[/math] jest stałą, również jest sumą nieoznaczoną. W szczególności

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = \sum_{k = a}^{b} (F (k + 1) - F (k)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - \sum_{k = a}^{b} (F (k) - F (k + 1)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - ( F (a) - F (b + 1) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = F (b + 1) - F (a) }[/math]

Co przez analogię do całki nieoznaczonej możemy zapisać jako

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = F (k) \biggr\rvert_{a}^{b + 1} \qquad \qquad \qquad ( 1 ) }[/math]

Należy podkreślić różnicę między sumą oznaczoną [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] a sumą nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(k) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ f(k) = k^2 }[/math]. Oczywiście

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ F(k) = {\small\frac{1}{6}} (k - 1) k (2 k - 1) }[/math]

Ponieważ dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] prawdziwy jest związek [math]\displaystyle{ S(n + 1) - S (n) = f (n + 1) }[/math], to otrzymujemy [math]\displaystyle{ F(k) = S (k - 1) }[/math]. Weźmy kolejny przykład, niech [math]\displaystyle{ f(k) = r^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r }[/math] jest stałą. Mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} r^k = {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

ale

[math]\displaystyle{ F(k) = {\small\frac{r^k}{r - 1}} }[/math]

i nie jest prawdą, że [math]\displaystyle{ F(k) = S (k - 1) }[/math], bo pominięty został wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{- 1}{r - 1}} }[/math], który jest stałą, ale jest to zrozumiałe.

Niech teraz [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]. Wiemy, że (zobacz D87)

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

Tym razem otrzymujemy zupełnie inne wyniki: suma [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] nie zależy od dwóch zmiennych, bo jest to niemożliwe, a suma nieoznaczona nadal zależy od [math]\displaystyle{ k }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] musi być prawdziwy wzór [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

Uwaga D89
Powiedzmy, że dysponujemy wzorem [math]\displaystyle{ S(b) = \sum_{k = a}^{b} f (k) }[/math] i chcemy udowodnić jego poprawność. W prostych przypadkach możemy wykorzystać indukcję matematyczną: wystarczy pokazać, że

[math]\displaystyle{ S(k + 1) = S (k) + f (k + 1) }[/math]

Jeżeli już udało nam się pokazać związek [math]\displaystyle{ f(k) = S (k) - S (k - 1) }[/math], to równie dobrze możemy zamienić sumę na sumę teleskopową (zobacz D12), aby otrzymać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) = \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k) - S (k - 1) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k - 1) - S (k) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - ( S (a) - S (b) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = S (b) - S (a) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ S(b) = \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) + S (a) = \sum_{k = a}^{b} f (k) }[/math]

bo [math]\displaystyle{ S(a) = f (a) }[/math].

W przypadkach bardziej skomplikowanych nie możemy tak postąpić. W poprzedniej uwadze rozważaliśmy sumę

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

ale

[math]\displaystyle{ S(n) - S (n - 1) = {\small\frac{3 n + 1}{2 (n + 1)}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

I nie da się pokazać związku [math]\displaystyle{ S(k) - S (k - 1) = f (n, k) }[/math], bo różnica [math]\displaystyle{ S(k) - S (k - 1) }[/math] nie zależy od [math]\displaystyle{ n }[/math].

Tutaj z pomocą przychodzi nam suma nieoznaczona. W programie Maxima możemy ją policzyć, wpisując polecenia

load ("zeilberger");
AntiDifference(binomial(n+k, n), k);

Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

i

[math]\displaystyle{ S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

Podsumujmy. Jakkolwiek znalezienie ogólnego wzoru na sumę [math]\displaystyle{ S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) }[/math] może być bardzo trudne, to udowodnienie poprawności tego wzoru może być znacznie łatwiejsze (metodą indukcji matematycznej lub obliczając sumę teleskopową). Podobnie jest w bardziej skomplikowanym przypadku, gdy szukamy ogólnego wzoru na sumę [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Tutaj wymienionych przed chwilą metod zastosować nie można, a znalezienie wzoru na sumę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] może być jeszcze trudniejsze, ale gdy już taki wzór mamy, to sprawdzenie jego poprawności, czyli związku [math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k) }[/math], może być bardzo łatwe, a wtedy otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

Zadanie D90
Korzystając z programu Maxima znaleźć sumę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] dla funkcji

[math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

i pokazać, że prawdziwy jest wzór [math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami Catalana.

Rozwiązanie

Wpisując w programie Maxima polecenia

load ("zeilberger");
AntiDifference( 1/(k+1) * 1/(n-k+1) * binomial(2*k, k) * binomial(2*n-2*k, n-k), k);

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ F(n, k) = - {\small\frac{(n - 2 k + 1) (2 n - 2 k + 1)}{(n + 1) (n + 2) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k)}{n - k}} }[/math]

Czytelnik bez trudu pokaże, że

[math]\displaystyle{ F(n, k + 1) = - {\small\frac{(2 k + 1) (n - 2 k - 1)}{(n + 1) (n + 2) (k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

oraz łatwo sprawdzi związek [math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k) }[/math] i wyliczy sumę oznaczoną.

Chcemy zwrócić uwagę na występującą tutaj trudność. Oczywiście

[math]\displaystyle{ S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

ale funkcja [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] nie jest określona dla [math]\displaystyle{ k = n + 1 }[/math]. Żeby ominąć ten problem, możemy przekształcić funkcję [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] tak, aby możliwe było obliczenie jej wartości dla [math]\displaystyle{ k = n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ F(n, k) = - {\small\frac{n - 2 k + 1}{2 (n + 1) (n + 2)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k + 1)}{n - k + 1}} }[/math]

lub zapisać sumę w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n - 1} f (n, k) + f (n, n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n} + f (n, n) }[/math]

□

Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S(n)} }[/math]

Uwaga D91
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

W twierdzeniach D107 i D108 wyliczyliśmy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math], znajdując najpierw równanie rekurencyjne dla sumy. Możemy przypuszczać, że równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] wynika z istnienia odpowiedniego równania rekurencyjnego dla składników sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math]. Zagadnieniem tym zajmowała się siostra Mary Celine Fasenmyer, która podała algorytm postępowania^[22]^[23]. Prace Zeilbergera oraz Wilfa i Zeilbergera uogólniły ten algorytm^[24]^[25]. My przedstawimy jedynie kilka prostych przypadków, które zilustrujemy przykładami. Szersze omówienie tematu Czytelnik znajdzie w książce Petkovšeka, Wilfa i Zeilbergera^[26].

Twierdzenie D92
Niech [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Jeżeli składniki sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] spełniają równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0 }[/math]

gdzie współczynniki [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] są funkcjami tylko [math]\displaystyle{ n }[/math], to suma [math]\displaystyle{ S (n) }[/math] spełnia równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0 }[/math]

Dowód

Uwaga D93
Nie ma sensu stosowanie opisanej powyżej metody do prostych sum postaci [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (k) }[/math], bo równanie rekurencyjne otrzymujemy w takim przypadku natychmiast: [math]\displaystyle{ S(n + 1) - S (n) = f (n + 1) }[/math].

Zadanie D94
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D87)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

Rozwiązanie

W tym przypadku nie otrzymamy równania rekurencyjnego, ale od razu wzór ogólny na sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math].

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D92)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{(n + k + 1) (n + k + 2)}{(k + 1) (n + 1)}} + b \cdot {\small\frac{n + k + 1}{n + 1}} + c \cdot {\small\frac{n + k + 1}{k + 1}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (a + b) k^2 + ((2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d) k + (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 0 \\ (2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d = 0 \\ (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = - a }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a }[/math], [math]\displaystyle{ d = 0 }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D92)

[math]\displaystyle{ - a S (n) = a - a {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - a \left( 1 - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - a \left[ {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - a {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

I otrzymaliśmy dowodzony wzór.

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum1() := 
(
f(n, k):= binomial(n+k, n),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2 ),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
solve( S4 = 0, S[n] )
/*     S[n] = (2*n+1)! / (n! * (n+1)!)     */
)$

□

Zadanie D95
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D86 p.1)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = r^k {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D92)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{(n + 1) r}{k + 1}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{(n - k) r}{k + 1}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (c r - d) k^2 + (- ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b) k + ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} c r - d = 0 \\ - ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b = 0 \\ ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a }[/math], [math]\displaystyle{ d = - a \cdot r }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D92)

[math]\displaystyle{ S(n + 1) = (r + 1) S (n) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = (r + 1)^n }[/math].

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum2() := 
(
f(n, k):= r^k * binomial(n, k),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
/*     S[n+1] = (r+1)*S[n]     */
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0, S[n] )        /*   S[n] = C*(r+1)^n   */
)$

□

Zadanie D96
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D86 p.2)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D92)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{n + 1}{k + 2}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{n - k}{k + 2}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (c - d) k^2 + ((- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d) k + (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} c - d = 0 \\ (- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d = 0 \\ (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}} }[/math], [math]\displaystyle{ d = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}} }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D92)

[math]\displaystyle{ (n + 2) S (n + 1) = 2 (n + 1) S (n) + 1 }[/math]

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math].

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum3() := 
(
f(n, k):= 1/(k+1) * binomial(n, k),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i)=0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
/*       (n+2)*S[n+1] = 2*(n+1)*S[n] + 1     */
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0, S[n] )        /*   S[n] = ( (C+1) * 2^n - 1 )/(n + 1)   */
)$

□

Zadanie D97
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; k \in \mathbb{Z} }[/math]. Uzasadnić, dlaczego przyjmujemy, że [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ k \lt 0 \; }[/math] lub [math]\displaystyle{ \; k \gt n }[/math].

Rozwiązanie

Twierdzenie D98
Niech [math]\displaystyle{ n, I, J \in \mathbb{N}_0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; k \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] \, }[/math] i składniki sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] spełniają równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0 }[/math]

gdzie współczynniki [math]\displaystyle{ a_{i j} }[/math] są funkcjami tylko [math]\displaystyle{ n }[/math], to suma

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

spełnia następujące równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Dowód

Uwaga D99
Z zadania D97 wynika, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] zawiera czynnik [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math], to może spełniać warunek [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math]. Oczywiście nie jest to warunek wystarczający, bo funkcja [math]\displaystyle{ f (n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math] jest różna od zera dla [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math].

Zadanie D100
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D86 p.3)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = k {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Do rozwiązania problemu wykorzystamy oprogramowanie Maxima i procedurę

sum5(I, J) := 
(
read("podaj definicję f(n, k)"),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n, k) ),
F1: sum( sum( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( F1 ) ) ) ) ),
deg: hipow(F2, k),
LE:  [subst(0, k, F2) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F2, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: create_list(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J),   /* lista zmiennych */
sol: solve( LE, LV ),   /* lista rozwiązań */
S1: sum( S[n+i] * sum(a[i,j], j, 0, J), i, 0, I),
S2: subst( sol[1], S1 ),   /* pierwszy element listy sol */
S3: num( factor( expand( S2 ) ) ),
print("rekurencja: ", S3 = 0),
load("solve_rec"),
solve_rec( S3 = 0,  S[n] )
)$

Wywołujemy procedurę sum5(1, 2) i wpisujemy funkcję

f(n, k):= k * binomial(n, k)

W wyniku otrzymujemy równanie rekurencyjne

n * S[n+1] = 2 * (n+1) * S[n]

którego rozwiązanie jest postaci

S[n] = C * n * 2^(n-1)

Łatwo sprawdzamy, że C = 1. Co należało pokazać.
□

Zadanie D101
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}} = n^2 (n + 3) 2^{n - 3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}}^2 = n^2 {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n^2 (n + 1) {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Uwaga D102
Niech [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Wiemy (zobacz D98), że jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ n }[/math] wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] jest określona dla wszystkich [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math], to sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] możemy zapisać w równoważnej postaci [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) }[/math]

Rozważmy teraz funkcję [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math], która powyższego warunku nie spełnia, bo jest różna od zera dla [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]. Jeżeli zapiszemy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n!}{(k + 1) ! (n - k) !}} }[/math]

to natychmiast widzimy, że

[math]\displaystyle{ f(n, - 1) = {\small\frac{n!}{0! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Zatem w przypadku tej funkcji mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) + f (n, - 1) = S (n) + {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Zakładając, że spełnione jest równanie

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0 }[/math]

otrzymujemy następujące równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n + i, k + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{l \in \mathbb{Z}} f (n + i, l) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Jeżeli mamy skończoną liczbę punktów [math]\displaystyle{ k_r \notin [0, n] }[/math], w których funkcja [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] jest określona i różna od zera, to możemy zdefiniować funkcję

[math]\displaystyle{ T(n) = f (n, k_1) + f (n, k_2) + f (n, k_3) + \ldots = \sum_r f (n, k_r) }[/math]

W takim przypadku otrzymamy następujące równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} [S (n + i) + T (n + i)] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Wystarczy drobna modyfikacja procedury sum5(), aby obejmowała ona również takie przypadki

sum6(I, J):= 
(
read("podaj definicję f(n, k)"),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n, k) ),
read("podaj definicję T(n)"),   /* suma skończonych wartości funkcji f(n, k), gdzie k<0 lub k>n */
print("T(n) = ", T(n) ),
F1: sum( sum( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( F1 ) ) ) ) ),
deg: hipow(F2, k),
LE:  [subst(0, k, F2) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F2, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: create_list(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J),   /* lista zmiennych */
sol: solve( LE, LV ),   /* lista rozwiązań */
S1: sum( ( S[n+i] + T(n+i) ) * sum( a[i,j], j, 0, J ), i, 0, I ),
S2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( S1 ) ) ) ) ),
S3: subst( sol[1], S2 ),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0,  S[n] )
)$

Korzystając z powyższej procedury, Czytelnik może łatwo policzyć wypisane poniżej sumy.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,k)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,-1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,-2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{k = 0}^n f(n,k)} }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]	LINK1
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k + 2}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n 2^{n + 1} + 1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	LINK2
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(k + 1) (k + 2)}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{n + 2} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	LINK3

Zadanie D103
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n }[/math]

Rozwiązanie

Zadanie D104
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Uzupełnienie

Dowód własności liczb Catalana [math]\displaystyle{ {\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}} }[/math]

Uwaga D105
Przedstawiony poniżej dowód czwartego punktu twierdzenia D84 został oparty na pracy Jovana Mikicia^[27].

Twierdzenie D106
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] nie zależy od [math]\displaystyle{ n }[/math] i dane są sumy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math]

Dowód

Twierdzenie D107
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n }[/math]

Dowód

Twierdzenie D108
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Dowód

Twierdzenie D109
Jeżeli [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami Catalana, to

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math]

Dowód

Funkcja gamma

Definicja D110
Funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math]^[28] jest zdefiniowana równoważnymi wzorami

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t \qquad \operatorname{Re}(z) \gt 0 \qquad \qquad }[/math] (definicja całkowa Eulera)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja Gaussa)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja iloczynowa Eulera)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja iloczynowa Weierstrassa)

Trzy ostatnie wzory możemy wykorzystać do zdefiniowania funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} }[/math], która jest określona dla dowolnych [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}{n^z n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z e^{\gamma z} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) e^{- \tfrac{z}{n}} }[/math]

Pokaż wykres

Pokaż równoważność definicji

Twierdzenie D111
Dla funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \Gamma (1) = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ z \Gamma (z) = \Gamma (z + 1) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad z \notin \mathbb{Z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (wzór Legendre'a o podwajaniu)

Dowód

Ze wzorów podanych w twierdzeniu D111 otrzymujemy
Twierdzenie D112
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; n \in \mathbb{N}_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \sqrt{\pi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (n + 1) = n! }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{\pi}{\cos (\pi z)}} \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \cdot (- 1)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Dowód

Twierdzenie D113
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}} }[/math]

Dowód

Twierdzenie D114
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}} }[/math]

Dowód

Zadanie D115
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \; g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]. Pokazać, że

rozszerzając funkcję [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} g (x) = 0 }[/math]

Rozwiązanie

Zadanie D116
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \; g(n) = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]. Pokazać, że

rozszerzając funkcję [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Rozwiązanie

Przypisy

↑ Wikipedia, Funkcja η, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Funkcja dzeta Riemanna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.
↑ W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.
↑ ^5,0 ^5,1 Wikipedia, Twierdzenia Mertensa, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ ^6,0 ^6,1 Wikipedia, Franciszek Mertens, (Wiki-pl)
↑ J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, (LINK)
↑ Zobacz twierdzenie D42.
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A001620 - Decimal expansion of Euler's constant, (A001620)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant, (A083343)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant, (A138312)
↑ Pierre Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., 2010, (LINK)
↑ Wikipedia, Stałe Bruna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B, (A065421)
↑ Paul Erdős, Über die Reihe [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math], Mathematica, Zutphen B 7, 1938, 1-2.
↑ sumowanie przez części (ang. summation by parts)
↑ ciąg wypukły (ang. convex sequence)
↑ Pierre Dusart, Explicit estimates of some functions over primes, The Ramanujan Journal, vol. 45(1), 2018, 227-251.
↑ ^19,0 ^19,1 Wikipedia, Szereg geometryczny, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Sumowalność metodą Cesàro, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Indefinite sum, (Wiki-en)
↑ Sister Mary Celine Fasenmyer, Some Generalized Hypergeometric Polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 806-812
↑ Sister Mary Celine Fasenmyer, A Note on Pure Recurrence Relations, Amer. Math. Monthly 56 (1949), 14-17
↑ Doron Zeilberger, Sister Celine's technique and its generalizations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 85 (1982), 114-145
↑ Herbert Wilf and Doron Zeilberger, Rational Functions Certify Combinatorial Identities, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 147-158
↑ Marko Petkovšek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, A = B, AK Peters, Ltd., 1996
↑ Jovan Mikić, A Proof of a Famous Identity Concerning the Convolution of the Central Binomial Coefficients, Journal of Integer Sequences, Vol. 19, No. 6 (2016), pp. 1 - 10, (LINK)
↑ Wikipedia, Funkcja Γ, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[DirichletEta-1] Wikipedia, Funkcja η, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[RiemannZeta-2] Wikipedia, Funkcja dzeta Riemanna, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[calkowalnosc1-3] Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.

[calkowalnosc2-4] W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.

[Mertens1-5] 5,0 ^5,1 Wikipedia, Twierdzenia Mertensa, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[Mertens2-6] 6,0 ^6,1 Wikipedia, Franciszek Mertens, (Wiki-pl)

[Rosser1-7] J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, (LINK)

[twierdzenie-8] Zobacz twierdzenie D42.

[A001620-9] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A001620 - Decimal expansion of Euler's constant, (A001620)

[A083343-10] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant, (A083343)

[A138312-11] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant, (A138312)

[Dusart10-12] Pierre Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., 2010, (LINK)

[Wiki1-13] Wikipedia, Stałe Bruna, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[A065421-14] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B, (A065421)

[Erdos1-15] Paul Erdős, Über die Reihe [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math], Mathematica, Zutphen B 7, 1938, 1-2.

[sumowanie1-16] sumowanie przez części (ang. summation by parts)

[convexseq1-17] ąg wypukły (ang. convex sequence)

[Dusart18-18] Pierre Dusart, Explicit estimates of some functions over primes, The Ramanujan Journal, vol. 45(1), 2018, 227-251.

[GeometricSeries1-19] 19,0 ^19,1 Wikipedia, Szereg geometryczny, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[CesaroSum1-20] Wikipedia, Sumowalność metodą Cesàro, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[IndefiniteSum1-21] Wikipedia, Indefinite sum, (Wiki-en)

[Fasenmyer1-22] Sister Mary Celine Fasenmyer, Some Generalized Hypergeometric Polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 806-812

[Fasenmyer2-23] Sister Mary Celine Fasenmyer, A Note on Pure Recurrence Relations, Amer. Math. Monthly 56 (1949), 14-17

[Zeilberger1-24] Doron Zeilberger, Sister Celine's technique and its generalizations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 85 (1982), 114-145

[WilfZeilberger1-25] Herbert Wilf and Doron Zeilberger, Rational Functions Certify Combinatorial Identities, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 147-158

[PetkovsekWilfZeilberger1-26] Marko Petkovšek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, A = B, AK Peters, Ltd., 1996

[JovanMikic1-27] Jovan Mikić, A Proof of a Famous Identity Concerning the Convolution of the Central Binomial Coefficients, Journal of Integer Sequences, Vol. 19, No. 6 (2016), pp. 1 - 10, (LINK)

[gamma1-28] Wikipedia, Funkcja Γ, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

Szeregi liczbowe

Spis treści

Szeregi nieskończone

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math]

Sumowanie przez części

Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Liczby Catalana

Sumy współczynników dwumianowych

Suma nieoznaczona

Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S(n)} }[/math]

Uzupełnienie

Dowód własności liczb Catalana [math]\displaystyle{ {\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}} }[/math]

Funkcja gamma

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj