Henryk Dąbrowski - Ostatnie zmiany [pl]

Szeregi liczbowe

2026-06-20T07:35:42Z

← poprzednia wersja		Wersja z 09:35, 20 cze 2026
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 1101:		Linia 1101:


	Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz [[#D5\|D5]]), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz [[#~~D75~~\|~~D75~~]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać		Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz [[#D5\|D5]]), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz [[#D85\|D85]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać

	::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots</math>		::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots</math>
Linia 5712:		Linia 5712:
	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
	:*   <math>\Gamma (z) \neq 0</math>		:*   <math>\Gamma (z) \neq 0</math>
			</div>

			<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
			:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\bar{z})</math>
	</div>		</div>

Linia 5785:		Linia 5789:

	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

			Z definicji iloczynowej Weierstrassa otrzymujemy natychmiast

			::<math>\overline{\Gamma (z)} = \overline{\left( \frac{e^{- \gamma z}}{z} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{z / n}}{1 + \frac{z}{n}} \right)}</math>

			<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
			:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\bar{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\bar{z}}{n}}</math>
			</div>

			:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \bar{z}}}{\bar{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\bar{z} / n}}{1 + \frac{\bar{z}}{n}}</math>

			:::<math>\;\;\; = \Gamma (\bar{z})</math>

			gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.


			'''Punkt 4.'''

	Z definicji Gaussa funkcji <math>\Gamma (z)</math> otrzymujemy		Z definicji Gaussa funkcji <math>\Gamma (z)</math> otrzymujemy
Linia 5805:		Linia 5826:


	'''Punkt 4.'''		'''Punkt 5.'''

	Z definicji iloczynowej Eulera mamy		Z definicji iloczynowej Eulera mamy
Linia 5828:		Linia 5849:


	'''Punkt 5.'''		'''Punkt 6.'''

	Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy		Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy
Linia 5932:		Linia 5953:
	'''Punkt 1.'''		'''Punkt 1.'''

	Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 4. twierdzenia [[#D142\|D142]]		Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 5. twierdzenia [[#D142\|D142]]

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''
Linia 5944:		Linia 5965:
	'''Punkt 3.'''		'''Punkt 3.'''

	Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 4. twierdzenia [[#D142\|D142]]		Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 5. twierdzenia [[#D142\|D142]]

	'''Punkt 4.'''		'''Punkt 4.'''
Linia 6002:		Linia 6023:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D142\|D142]] p.&hairsp;4)		Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D142\|D142]] p.&hairsp;5)

	::<math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math>		::<math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math>
Linia 6038:		Linia 6059:

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Dowód\|Hide=Ukryj dowód}}
	Z twierdzenia [[#D142\|D142]] p.&hairsp;3 wynika, że		Z twierdzenia [[#D142\|D142]] p.&hairsp;4 wynika, że

	::<math>\Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)</math>		::<math>\Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)</math>

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

2026-06-18T14:14:32Z

← poprzednia wersja		Wersja z 16:14, 18 cze 2026
Linia 1642:		Linia 1642:
	{{\Spoiler}}		{{\Spoiler}}



			<span id="ZB48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga ZB48</span><br/>
			Jak pokazaliśmy wyżej, w analizie zespolonej operacje takie jak potęgowanie (<math>w^z</math>) czy logarytmowanie (<math>\log z</math>) są z natury wielowartościowe. Warto jednak wiedzieć, że w większości książek i artykułów naukowych obowiązuje niepisana umowa mająca na celu zapewnienie jednoznaczności. Warto o niej pamiętać, gdyż autorzy rzadko formułują ją wprost:

			'''<u>Wartość główna potęgi zespolonej dla podstaw dodatnich</u>'''

			Ilekroć w definicjach funkcji (takich jak funkcja zeta Riemanna <math>\textstyle \sum k^{- z}</math> czy funkcja gamma <math>\textstyle \int t^{z - 1} e^{- t} dt</math>) podstawa potęgi jest liczbą rzeczywistą dodatnią (<math>k, t > 0</math>), to zapis <math>k^z</math>, <math>t^z</math> zawsze oznacza wartość główną potęgi. Definiuje się ją jako <math>t^z = e^{z \ln t}</math>, gdzie <math>\ln t</math> to klasyczny, rzeczywisty logarytm naturalny (<math>\ln : \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}</math>).

			'''<u>Rożne oznaczenia logarytmu</u>'''

			W literaturze mamy dwoistość oznaczeń. Część autorów rygorystycznie odróżnia wartość główną logarytmu, pisząc ją wielką literą (<math>\operatorname{Log} z</math>), od operacji wielowartościowej (<math>\log z</math>). Bardzo często jednak – dla uproszczenia zapisu – autorzy używają wyłącznie małej litery (<math>\log z</math> lub <math>\ln z</math>), domyślnie przyjmując wartość główną logarytmu (dla argumentu z przedziału <math>(- \pi, \pi]</math>).<br/>

			Świadomość tej powszechnej praktyki pozwala uniknąć pozornych sprzeczności: dzięki niej wielowartościowe obiekty analizy zespolonej stają się jednoznacznymi funkcjami, które można bez przeszkód różniczkować i całkować.

Szeregi liczbowe

2026-06-17T16:08:58Z

← poprzednia wersja		Wersja z 18:08, 17 cze 2026
Linia 5767:		Linia 5767:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\| ~~\leqslant~~</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\|</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;5

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

2026-06-17T16:04:12Z

Podgląd zmian

Szeregi liczbowe

2026-06-17T16:01:50Z

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

2026-06-17T13:18:05Z

← poprzednia wersja		Wersja z 15:18, 17 cze 2026
Linia 33:		Linia 33:
	Zauważmy, że funkcja typu <math>f(t) = u (t) + i v (t)</math> to dobrze znana parametryzacja krzywej		Zauważmy, że funkcja typu <math>f(t) = u (t) + i v (t)</math> to dobrze znana parametryzacja krzywej

	<math>\begin{cases}		::<math>\begin{cases}
	x = u (t) \\		x = u (t) \\
	y = v (t) \\		y = v (t) \\

Szeregi liczbowe

2026-06-16T15:07:48Z

Podgląd zmian

Plik:ZB-sqrt.png

2026-06-16T09:40:44Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-sqrt.png

Nowa strona

Plik:ZB-quadratic-function.png

2026-06-16T09:40:33Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-quadratic-function.png

Nowa strona

Plik:ZB-logarytm.png

2026-06-16T09:40:23Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-logarytm.png

Nowa strona

Plik:ZB-exp.png

2026-06-16T09:40:12Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-exp.png

Nowa strona

Plik:ZB-spirala-Archimedesa.png

2026-06-16T09:39:56Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-spirala-Archimedesa.png

Nowa strona

Plik:ZB-parabola.png

2026-06-16T09:39:46Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-parabola.png

Nowa strona

Plik:ZB-okrag.png

2026-06-16T09:39:34Z

HenrykDabrowski przesłał Plik:ZB-okrag.png

Nowa strona

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

2026-06-16T09:38:24Z

Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">16.06.2026</div> __FORCETOC__ == Podstawowe pojęcia i definicje == <span id="ZB1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZB1 (ogólna definicja funkcji zespolonej)</span><br/> Niech <math>D \subset \mathbb{C}</math>. Funkcją zespoloną <math>f</math> określoną na zbiorze <math>D</math> nazywamy odwzorowanie <math>f : D \to \mathbb{C}</math>. Zbiór <m…"

Podgląd zmian

Henryk Dąbrowski

2026-06-16T09:32:27Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:32, 16 cze 2026
Linia 191:		Linia 191:
	*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy\|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]		*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy\|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]
	*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych\|ZA. Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]		*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych\|ZA. Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]
			*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia\|ZB. Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]
	*[[Liczby losowe – metoda odwracania dystrybuanty]]		*[[Liczby losowe – metoda odwracania dystrybuanty]]
	*[[Nadciśnienie tętnicze – leki]]		*[[Nadciśnienie tętnicze – leki]]
Linia 201:		Linia 202:

	{{Spoiler\|Style=font-size:1.5em; color:#000\|Show=Najnowsze artykuły\|Hide=Najnowsze artykuły}}		{{Spoiler\|Style=font-size:1.5em; color:#000\|Show=Najnowsze artykuły\|Hide=Najnowsze artykuły}}
			*[[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia]]
	*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]		*[[Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych]]
	*[[Szeregi liczbowe]]		*[[Szeregi liczbowe]]

← poprzednia wersja		Wersja z 18:01, 17 cze 2026
Linia 5737:		Linia 5737:
	::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} \qquad\qquad \text{dla} \quad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>		::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{z / n}}{1 + {\normalsize\frac{z}{n}}} \qquad\qquad \text{dla} \quad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>

	Zauważmy, że funkcja wykładnicza <math>e^z</math> jest zawsze różna od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB28~~\|~~ZB28~~]] p.&hairsp;1). Mianowniki iloczynu <math>\left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)</math> dla ustalonego <math>z</math> są ograniczone, bo		Zauważmy, że funkcja wykładnicza <math>e^z</math> jest zawsze różna od zera (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB29\|ZB29]] p.&hairsp;1). Mianowniki iloczynu <math>\left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)</math> dla ustalonego <math>z</math> są ograniczone, bo

	::<math>\left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \| z \|</math>		::<math>\left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant 1 + \| z \|</math>
Linia 5751:		Linia 5751:
	gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.		gdzie <math>N_0</math> zostało dobrane w ten sposób, aby dla wszystkich <math>n \geqslant N_0</math> było prawdziwe oszacowanie <math>\left\| {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>. Pierwszy czynnik w nawiasie kwadratowym to iloczyn skończonej liczby skończonych liczb, zatem jest to pewna skończona liczba zespolona. Musimy zbadać drugi czynnik.

	W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB30~~\|~~ZB30~~]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB32~~\|~~ZB32~~]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.		W związku z tym, że będziemy badali funkcję zmiennej zespolonej, zmieniamy używane oznaczenia (zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB31\|ZB31]], [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB33\|ZB33]]). Symbol <math>\ln (x)</math> oznacza tutaj logarytm rzeczywisty zmiennej rzeczywistej dodatniej (oznaczany dotychczas jako <math>\log (x)</math>), a <math>\operatorname{Log} (z)</math> oznacza wartość główną logarytmu zespolonego <math>\log (z)</math>.

	Mamy		Mamy
Linia 5763:		Linia 5763:
	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \ln \left\| 1 + {\small\frac{z}{n}} \right\| + \ln \left( e^{- \operatorname{Re}(z / n)} \right) \right]</math>

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB45~~\|~~ZB45~~]] p.&hairsp;1		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \left[ \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \right) - \operatorname{Re}\left( {\small\frac{z}{n}} \right) \right] \qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;1

	::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>		::::::::::<math>= \sum_{n = N_0}^{\infty} \operatorname{Re}\left( \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right)</math>
Linia 5769:		Linia 5769:
	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant</math>		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} \left\| \operatorname{Log} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) - {\small\frac{z}{n}} \right\| \leqslant</math>

	::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#~~ZB45~~\|~~ZB45~~]] p.&hairsp;5		::::::::::<math>\leqslant \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{\| z \|^2}{n^2}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad</math> zobacz [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB46\|ZB46]] p.&hairsp;5

	::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>		::::::::::<math>= \| z \|^2 \sum_{n = N_0}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>