Henryk Dąbrowski - Ostatnie zmiany [pl]

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

2026-08-03T17:04:50Z

Szeregi liczbowe

2026-08-03T09:50:01Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:50, 3 sie 2026
Linia 5761:		Linia 5761:

	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
	:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\~~bar~~{z})</math>		:*   <math>\overline{\Gamma (z)} = \Gamma (\overline{z})</math>
	</div>		</div>

Linia 5841:		Linia 5841:

	<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">		<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
	:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\~~bar~~{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\~~bar~~{z}}{n}}</math>		:::<math>\;\;\; = \frac{\overline{e^{- \gamma z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{\overline{e^{z / n}}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>
	</div>		</div>

	:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \~~bar~~{z}}}{\~~bar~~{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\~~bar~~{z} / n}}{1 + \frac{\~~bar~~{z}}{n}}</math>		:::<math>\;\;\; = \frac{e^{- \gamma \overline{z}}}{\overline{z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \frac{e^{\overline{z} / n}}{1 + \frac{\overline{z}}{n}}</math>

	:::<math>\;\;\; = \Gamma (\~~bar~~{z})</math>		:::<math>\;\;\; = \Gamma (\overline{z})</math>

	gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.		gdzie skorzystaliśmy z rezultatu pokazanego w [[Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia#ZB17\|ZB17]] p.&hairsp;1.

Funkcje zespolone. Wybrane zagadnienia

2026-08-03T09:48:05Z

Liczby zespolone i ciągi liczb zespolonych

2026-08-03T09:35:17Z

← poprzednia wersja		Wersja z 11:35, 3 sie 2026
Linia 8:		Linia 8:

	<span id="ZA1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA1</span><br/>		<span id="ZA1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja ZA1</span><br/>
	Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\~~bar~~{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.		Liczbą zespoloną nazywamy liczbę <math>z = a + i b</math>, gdzie <math>a, b \in \mathbb{R}</math> oraz <math>i^2 = - 1</math>. Liczbę <math>a</math> (odpowiednio <math>b</math>) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej <math>z</math>. Fakt ten zapisujemy następująco: <math>\operatorname{Re}(z) = a</math> oraz <math>\operatorname{Im}(z) = b</math>. Liczbę <math>\overline{z} = a - i b</math> nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą <math>z</math>. Przez <math>\mathbb{C}</math> oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli <math>\mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \}</math>.


Linia 22:		Linia 22:
	::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>		::'''3.'''      <math>{\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0</math>

	::'''4.'''      <math>\overline{(\~~bar~~{z})} = z</math>		::'''4.'''      <math>\overline{(\overline{z})} = z</math>

	::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>		::'''5.'''      <math>\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}</math>
Linia 28:		Linia 28:
	::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>		::'''6.'''      <math>\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}</math>

	::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\~~bar~~{z}}}</math>		::'''7.'''      <math>\overline{\left( {\small\frac{1}{z}} \right)} = {\small\frac{1}{\overline{z}}}</math>

	::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \~~bar~~{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \~~bar~~{z}}{2 i}}</math>		::'''8.'''      <math>\operatorname{Re}(z) = {\small\frac{z + \overline{z}}{2}} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z) = {\small\frac{z - \overline{z}}{2 i}}</math>


Linia 53:		Linia 53:
	Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy		Niech <math>z, z_1, z_2 \in \mathbb{C} \;</math> i <math>\; z = a + i b</math>, <math>\; z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) \;</math> oraz <math>\; z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)</math>, gdzie <math>r_1, r_2, \varphi_1, \varphi_2 \in \mathbb{R}</math>. Mamy

	::'''  1.'''      <math>\| \~~bar~~{z} \| = \| z \|</math>		::'''  1.'''      <math>\| \overline{z} \| = \| z \|</math>

	::'''  2.'''      <math>\| \operatorname{Re}(z) \| \leqslant \| z \| \qquad \qquad \| \operatorname{Im}(z) \| \leqslant \| z \|</math>		::'''  2.'''      <math>\| \operatorname{Re}(z) \| \leqslant \| z \| \qquad \qquad \| \operatorname{Im}(z) \| \leqslant \| z \|</math>

	::'''  3.'''      <math>\| z \|^2 = z \~~bar~~{z}</math>		::'''  3.'''      <math>\| z \|^2 = z \overline{z}</math>

	::'''  4.'''      <math>\| z_1 z_2 \| = \| z_1 \| \cdot \| z_2 \|</math>		::'''  4.'''      <math>\| z_1 z_2 \| = \| z_1 \| \cdot \| z_2 \|</math>

← poprzednia wersja		Wersja z 11:48, 3 sie 2026
Linia 257:		Linia 257:
	Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że		Niech <math>z \in \mathbb{C}</math>. Pokazać, że

	:   ●      <math>\overline{\exp (z)} = \exp (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\exp (z)} = \exp (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\sin (z)} = \sin (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\sin (z)} = \sin (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\cos (z)} = \cos (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\cos (z)} = \cos (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\sinh (z)} = \sinh (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\sinh (z)} = \sinh (\overline{z})</math>

	:   ●      <math>\overline{\cosh (z)} = \cosh (\~~bar~~{z})</math>		:   ●      <math>\overline{\cosh (z)} = \cosh (\overline{z})</math>

	{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}		{{Spoiler\|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;\|Show=Rozwiązanie\|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
	Ponieważ funkcje <math>\exp (z)</math>, <math>\sin (z)</math>, <math>\cos (z)</math>, <math>\sinh (z)</math>, <math>\cosh (z)</math> są definiowane przez szeregi potęgowe o współczynnikach rzeczywistych, to łatwo widzimy, że		Ponieważ funkcje <math>\exp (z)</math>, <math>\sin (z)</math>, <math>\cos (z)</math>, <math>\sinh (z)</math>, <math>\cosh (z)</math> są definiowane przez szeregi potęgowe o współczynnikach rzeczywistych, to łatwo widzimy, że

	::<math>\overline{\exp (z)} = \overline{\left( \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{z^n}{n!}} \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{(z^n)}}{\overline{(n!)}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\~~bar~~{z}^n}{n!}} = \exp (\~~bar~~{z})</math>		::<math>\overline{\exp (z)} = \overline{\left( \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{z^n}{n!}} \right)} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{(z^n)}}{\overline{(n!)}}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{\overline{z}^n}{n!}} = \exp (\overline{z})</math>

	Analogicznie pokazujemy dla pozostałych funkcji.<br/>		Analogicznie pokazujemy dla pozostałych funkcji.<br/>
Linia 1676:		Linia 1676:
	Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>		Niech <math>w, z \in \mathbb{C}</math>, <math>a \in \mathbb{R}_+</math>

	:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\~~bar~~{z}})</math>		:   ●      <math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \operatorname{PV}(a^{\overline{z}})</math>

	:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>		:   ●      <math>\| \operatorname{PV}(a^z) \| = a^{\operatorname{Re}(z)}</math>
Linia 1694:		Linia 1694:
	bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy		bo <math>\| a \| = a</math> i <math>\operatorname{Arg} (a) = 0</math>. Zatem <math>\operatorname{Log} (a)</math> jest liczbą rzeczywistą. Łatwo otrzymujemy

	::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\~~bar~~{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\~~bar~~{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\~~bar~~{z}})</math>		::<math>\overline{\operatorname{PV}(a^z)} = \overline{e^{z \cdot \operatorname{Log} (a)}} = e^{\overline{z} \cdot \overline{\operatorname{Log} (a)}} = e^{\overline{z} \cdot \operatorname{Log} (a)} = \operatorname{PV}(a^{\overline{z}})</math>

	'''Punkt 2.'''		'''Punkt 2.'''