Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera

22.12.2023

Największy wspólny dzielnik

Definicja H1
Niech będą dane dwie liczby całkowite [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] niebędące jednocześnie zerami. Największym wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] będziemy nazywali liczbę całkowitą [math]\displaystyle{ D }[/math] taką, że

1.   [math]\displaystyle{ D \mid a \quad \text{i} \quad D \mid b }[/math]
2.   [math]\displaystyle{ \,\, d \mid a \quad \text{i} \quad \; d \mid b \qquad \Longrightarrow \qquad d \leqslant D }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą.

Uwaga H2
Tak zdefiniowaną liczbę [math]\displaystyle{ D }[/math] będziemy oznaczali przez [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ 1 \mid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 1 \mid b }[/math] to, z definicji wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) \geqslant 1 }[/math]. Zauważmy też, że jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \mid b }[/math], to [math]\displaystyle{ d \mid \gcd (a, b) }[/math]. Co natychmiast wynika z lematu Bézouta (zobacz C73).

Twierdzenie H3
Jeżeli liczby całkowite [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie są jednocześnie równe zero i [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = a x + b y }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math].

Dowód

Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math] zawsze istnieją. Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = d \gt 0 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a = d k }[/math] i [math]\displaystyle{ b = d m }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ (d k) x + (d m) y = d }[/math]

Co oznacza, że [math]\displaystyle{ k x + m y = 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ k x + m y }[/math] (bo jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math]), zatem [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) \mid 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H4
Niech [math]\displaystyle{ a, b, k \in \mathbb{Z} }[/math]. Prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \gcd (a + k b, b) = \gcd (a, b) }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ d_1 = \gcd (a + k b, b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 = \gcd (a, b) }[/math].

Z definicji [math]\displaystyle{ d_1 \mid (a + k b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_1 \mid b }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a + k b = x d_1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b = y d_1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a + k x d_1 = x d_1 }[/math], skąd natychmiast wynika, że [math]\displaystyle{ d_1 \mid a }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d_1 \mid b }[/math], to [math]\displaystyle{ d_1 \mid d_2 }[/math] (zobacz H2).

Z definicji [math]\displaystyle{ d_2 \mid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid b }[/math], zatem [math]\displaystyle{ d_2 \mid (a + k b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid b }[/math], czyli [math]\displaystyle{ d_2 \mid d_1 }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ d_1 \mid d_2 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid d_1 }[/math], to [math]\displaystyle{ | d_1 | = | d_2 | }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie H5
Niech [math]\displaystyle{ a, b, m \in \mathbb{Z} }[/math]. Prawdziwa jest następująca równoważność

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 \quad \text{i} \quad \gcd (b, m) = 1 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a b, m) = 1 }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = d }[/math]. Z definicji [math]\displaystyle{ d \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Gdyby było [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math], to istniałaby liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid d }[/math] i mielibyśmy [math]\displaystyle{ p \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid a b }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math] lub [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math] (zobacz C74). W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math] dostajemy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \geqslant p \gt 1 }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Analogicznie pokazujemy sprzeczność, gdy [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = d }[/math]. Z definicji [math]\displaystyle{ d \mid a }[/math] i [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math], zatem również [math]\displaystyle{ d \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Mamy stąd

[math]\displaystyle{ 1 = \gcd (a b, m) \geqslant d \geqslant 1 }[/math]

Czyli musi być [math]\displaystyle{ d = 1 }[/math]. Analogicznie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ \gcd (b, m) = 1 }[/math].
□

Twierdzenie H6
Dla [math]\displaystyle{ a, b, m \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) \mid \gcd (a, m) \cdot \gcd (b, m) }[/math]

Dowód

Wprowadźmy oznaczenia

[math]\displaystyle{ r = \gcd (a b, m) }[/math]

[math]\displaystyle{ s = \gcd (a, m) }[/math]

[math]\displaystyle{ t = \gcd (b, m) }[/math]

Z lematu Bézouta (zobacz C73) istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y, X, Y }[/math], że

[math]\displaystyle{ s = a x + m y }[/math]

[math]\displaystyle{ t = b X + m Y }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ s t = (a x + m y) (b X + m Y) = a b x X + a m x Y + m b y X + m^2 y Y }[/math]

ale [math]\displaystyle{ r \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ r \mid m }[/math], skąd otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ r \mid s t }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H7
Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są względnie pierwsze, to

[math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = \gcd (a, m) \cdot \gcd (b, m) }[/math]

Dowód

Wprowadźmy oznaczenia

[math]\displaystyle{ r = \gcd (a b, m) }[/math]

[math]\displaystyle{ s = \gcd (a, m) }[/math]

[math]\displaystyle{ t = \gcd (b, m) }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ s \mid a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ t \mid b }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (s, t) = 1 }[/math], zatem (zobacz C75)

[math]\displaystyle{ s \mid a \qquad \,\, \text{i} \qquad t \mid b \qquad \qquad \;\, \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid a b }[/math]

[math]\displaystyle{ s \mid m \qquad \text{i} \qquad t \mid m \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid m }[/math]

Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ s t \mid \gcd (a b, m) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ s t \mid r }[/math]. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że [math]\displaystyle{ r \mid s t }[/math], zatem [math]\displaystyle{ |r| = |s t| }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie H8
Jeżeli [math]\displaystyle{ a, m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) = a^{\gcd (m, n)} - 1 }[/math]

Dowód

Pokażemy najpierw, że jeżeli [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem lewej strony dowodzonej równości, to jest również dzielnikiem prawej strony i odwrotnie.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ d \mid (a^m - 1) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \mid (a^n - 1) }[/math], co możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = m x + n y }[/math]. Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ a^{\gcd (m, n)} \equiv a^{m x + n y} \equiv (a^m)^x \cdot (a^n)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ d \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ d \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ a^{\gcd (m, n)} \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ a^m \equiv \left[ a^{\gcd (m, n)} \right]^{\tfrac{m}{\gcd (m, n)}} \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

Podobnie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^m - 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a^n - 1 }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ d \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math]

W szczególności wynika stąd, że

•    [math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) \, \biggr\rvert \, \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ \left| \gcd (a^m - 1, a^n - 1) \right| = \left| a^{\gcd (m, n)} - 1 \right| }[/math]. Co kończy dowód.
□

Uwaga H9
W dowodzie twierdzenia H8 pominęliśmy milczeniem fakt, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] może być (i często jest) ujemna. Choć rezultat jest prawidłowy, to nie wiemy, co oznacza zapis

[math]\displaystyle{ a^{- 1000} \equiv 1^{- 10} \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

Omówimy ten problem w następnej sekcji. Zauważmy, wyprzedzając materiał, że z kongruencji

[math]\displaystyle{ a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]

wynika, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, d) = 1 }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ d }[/math].

Element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Twierdzenie H10
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ x }[/math], że

[math]\displaystyle{ a x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ x }[/math], że

[math]\displaystyle{ a x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a x = 1 + k m }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ a x - k m = 1 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 1 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z lematu Bézouta (zobacz C73) wynika, że istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

[math]\displaystyle{ a x + m y = 1 }[/math]

Zatem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ a x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Definicja H11
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ x }[/math] taką, że

[math]\displaystyle{ a \cdot x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

będziemy nazywali elementem odwrotnym liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i oznaczali jako [math]\displaystyle{ a^{- 1} }[/math].

Uwaga H12
Oznaczenie elementu odwrotnego ma naturalne uzasadnienie. Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ b \mid a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{b}} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m} }[/math]

Istotnie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{b}} = {\small\frac{a}{b}} \cdot 1 \equiv {\small\frac{a}{b}} \cdot b b^{- 1} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m} }[/math]

W PARI/GP odwrotność liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] znajdujemy, wpisując Mod(a, m)^(-1).

Twierdzenie H13
Niech [math]\displaystyle{ a, k \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Poniższa tabelka przedstawia elementy odwrotne do elementu [math]\displaystyle{ a }[/math] w przypadku niektórych modułów [math]\displaystyle{ m }[/math]. W szczególności, jeżeli moduł [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 2^{- 1} \equiv {\small\frac{m + 1}{2}} \!\! \pmod{m} }[/math].

	postać modułu [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]	odwrotność elementu [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	uwagi
[math]\displaystyle{ 1. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą
[math]\displaystyle{ 2. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ R_4(a) }[/math]
[math]\displaystyle{ 3. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = 8 }[/math]	[math]\displaystyle{ R_8(a) }[/math]
[math]\displaystyle{ 4. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = a k - 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{m + 1}{a}} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ 5. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = a k + 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{m - 1}{a}} }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ 6. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = a k - 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot {\small\frac{m + 2}{a}} }[/math]	liczby [math]\displaystyle{ a , m }[/math] są liczbami nieparzystymi
[math]\displaystyle{ 7. }[/math]	[math]\displaystyle{ m = a k + 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{m - 1}{2}} \cdot {\small\frac{m - 2}{2}} }[/math]

Dowód

Punkty 1. - 3.

Ponieważ dla liczb nieparzystych jest

[math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math]

to liczba nieparzysta [math]\displaystyle{ a }[/math] jest swoją odwrotnością modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 }[/math]. Ponieważ element odwrotny jest definiowany modulo, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv R_2 (a) \!\! \pmod{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv R_4 (a) \!\! \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv R_8 (a) \!\! \pmod{8} }[/math]

W pierwszym przypadku wynik jest oczywisty, bo [math]\displaystyle{ R_2 (a) = 1 }[/math].

Punkt 4.

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, a k - 1) = \gcd (a, - 1) = 1 }[/math]

oraz [math]\displaystyle{ a \mid (m + 1) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a \cdot a^{- 1} = a \cdot {\small\frac{m + 1}{a}} = m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Punkt 5.

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, a k + 1) = \gcd (a, 1) = 1 }[/math]

oraz [math]\displaystyle{ a \mid (m - 1) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a \cdot a^{- 1} = a \cdot \left[ - \left( {\small\frac{m - 1}{a}} \right) \right] = - m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Punkt 6.

Ponieważ zakładamy, że [math]\displaystyle{ 2 \mid (m + 1) }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] musi być liczbą nieparzystą, czyli [math]\displaystyle{ a }[/math] też musi być liczbą nieparzystą. Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, a k - 2) = \gcd (a, - 2) = 1 }[/math]

oraz [math]\displaystyle{ a \mid (m + 2) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a \cdot a^{- 1} = a \cdot \left( {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot {\small\frac{m + 2}{a}} \right) = {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot (m + 2) \equiv {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot 2 \equiv m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Podobnie pokazujemy punkt 7. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie H14
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są liczbami różnymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to liczby

1.   [math]\displaystyle{ a u_1, a u_2, \ldots, a u_r }[/math]

2.   [math]\displaystyle{ a u_1 + b, a u_2 + b, \ldots, a u_r + b }[/math]

są liczbami różnymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Jeżeli ponadto liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ m }[/math], to również liczby

3.   [math]\displaystyle{ u^{- 1}_1, u^{- 1}_2, \ldots, u^{- 1}_r }[/math]

są liczbami różnymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Punkt 1.

Przypuśćmy dla uzyskania sprzeczności, że istnieją takie różne wskaźniki [math]\displaystyle{ i, j }[/math], że

[math]\displaystyle{ a u_i \equiv a u_j \!\! \pmod{m} }[/math]

Z założenia liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ a^{- 1} }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ u_i \equiv u_j \!\! \pmod{m} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], wbrew założeniu, że liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Dowód punktu 2. jest analogiczny.

Punkt 3.

Przypuśćmy dla uzyskania sprzeczności, że istnieją takie różne wskaźniki [math]\displaystyle{ i, j }[/math], że

[math]\displaystyle{ u^{- 1}_i \equiv u^{- 1}_j \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ u_j u^{- 1}_i \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ u_j u^{- 1}_i u_i \equiv u_i \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ u_j \equiv u_i \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponownie otrzymujemy [math]\displaystyle{ u_i \equiv u_j \!\! \pmod{m} }[/math] dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], wbrew założeniu, że liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie H15
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math] prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! \cdot (p - 1 - k) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{(p - 1) (p - 2) \cdot \ldots \cdot (p - k)}{k!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; \equiv (p - 1) (p - 2) \cdot \ldots \cdot (p - k) \cdot (k!)^{- 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; \equiv (- 1)^k \cdot k! \cdot (k!)^{- 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H16
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B | }[/math], to [math]\displaystyle{ \; A = B }[/math].

Dowód

Pierwszy sposób

Z definicji zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są warunki

1.   [math]\displaystyle{ x \in A \qquad \Longrightarrow \qquad x \in B }[/math]
2.   [math]\displaystyle{ x \in B \qquad \Longrightarrow \qquad x \in A }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math], zatem warunek 1. jest spełniony. Przypuśćmy, że istnieje taki element [math]\displaystyle{ x }[/math], że [math]\displaystyle{ x \in B }[/math], ale [math]\displaystyle{ x \notin A }[/math]. Jeśli tak, to

[math]\displaystyle{ | B | = | A | + 1 }[/math]

Co jest sprzeczne z założeniem, że [math]\displaystyle{ | A | = | B | }[/math].

Uwaga
Łatwo zauważyć, że wybierając z trzech warunków [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math], [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math] i [math]\displaystyle{ | A | = | B | }[/math] dowolne dwa, zawsze otrzymamy z nich trzeci. Oczywiście nie dotyczy to zbiorów nieskończonych. Przykładowo liczby parzyste stanowią podzbiór liczb całkowitych, liczb parzystych jest tyle samo, co liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb parzystych.

Drugi sposób

Ponieważ zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest z założenia podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ B }[/math] można przedstawić w postaci sumy zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] i pewnego zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] takiego, że żaden element zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] nie jest elementem zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing }[/math]

Ponieważ zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są rozłączne, to wiemy, że

[math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ | B | = | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]

Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ | C | = 0 }[/math], zatem zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ B = A }[/math]. Co należało pokazać.

Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)
Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie [math]\displaystyle{ | A \cup C | \leqslant | A | + | C | }[/math], bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math], zatem od sumy [math]\displaystyle{ | A | + | C | }[/math] musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math]. Co daje ogólny wzór

[math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]

□

Definicja H17
Niech elementy każdego ze zbiorów [math]\displaystyle{ A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_r \} }[/math] będą różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Powiemy, że zbiory [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, r }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, r }[/math], że prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math].

Twierdzenie H18
Niech elementy każdego ze zbiorów [math]\displaystyle{ A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_r \} }[/math] będą różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zbiory [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory [math]\displaystyle{ A' = \{ R_m (a_1), R_m (a_2), \ldots, R_m (a_r) \} }[/math] i [math]\displaystyle{ B' = \{ R_m (b_1), R_m (b_2), \ldots, R_m (b_r) \} }[/math] są równe.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Ponieważ elementy każdego ze zbiorów [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to elementy zbiorów [math]\displaystyle{ A' }[/math] i [math]\displaystyle{ B' }[/math] są wszystkie różne. Czyli [math]\displaystyle{ | A' | = | B' | = r }[/math]. Ponieważ warunek

[math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math]

oznacza, że reszty z dzielenia liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math] i [math]\displaystyle{ b_j }[/math] przez [math]\displaystyle{ m }[/math] są równe, to z założenia dla każdego [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, r }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, r }[/math], że

[math]\displaystyle{ R_m (a_k) = R_m (b_j) }[/math]

A to oznacza, że każdy element zbioru [math]\displaystyle{ A' }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ B' }[/math], czyli [math]\displaystyle{ A' \subseteq B' }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ A' = B' }[/math] (zobacz H16). Co należało pokazać.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Ponieważ zbiory [math]\displaystyle{ A', B' }[/math] są równe, to zbiór [math]\displaystyle{ A' }[/math] jest podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B' }[/math], czyli dla każdego elementu [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \in A' }[/math] istnieje taki element [math]\displaystyle{ R_m (b_j) \in B' }[/math], że

[math]\displaystyle{ R_m (a_k) = R_m (b_j) }[/math]

Ponieważ równość reszt oznacza równość modulo, zatem

[math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math]

Wynika stąd, że dla każdego [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, r }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, r }[/math], że prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math]

czyli zbiory [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie H19
Niech będą dane zbiory [math]\displaystyle{ A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_{p - 1} \} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą. Jeżeli wszystkie elementy zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i żadna z liczb [math]\displaystyle{ b_k \in B }[/math] nie jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiory [math]\displaystyle{ A, B, C = \{ b^{- 1}_1, b^{- 1}_2, \ldots, b^{- 1}_{p - 1} \} }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z definicji zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] wszystkie elementy tego zbioru są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} = \{ R_p (1), R_p (2), \ldots, R_p (p - 1) \} = A' }[/math]

Ponieważ wszystkie liczby [math]\displaystyle{ b_k \in B }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, p - 1 }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to reszty [math]\displaystyle{ R_p (b_1), R_p (b_2), \ldots, R_p (b_{p - 1}) }[/math] są wszystkie dodatnie i różne, a ponieważ jest ich [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], czyli dokładnie tyle, ile jest różnych i dodatnich reszt z dzielenia przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem dodatnich reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli ze zbiorem [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem mamy

[math]\displaystyle{ A = A' = \{ R_p (b_1), R_p (b_2), \ldots, R_p (b_{p - 1}) \} = B' }[/math]

Na mocy twierdzenia H18 zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Z twierdzenia H14 wiemy, że wszystkie liczby [math]\displaystyle{ b^{- 1}_k \in C }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zauważmy, że każda z tych liczb jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem nie może być podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że reszty [math]\displaystyle{ R_p (b^{- 1}_1), R_p (b^{- 1}_2), \ldots, R_p (b^{- 1}_{p - 1}) }[/math] są wszystkie dodatnie i różne, a ponieważ jest ich [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], czyli dokładnie tyle, ile jest różnych i dodatnich reszt z dzielenia przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem dodatnich reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli ze zbiorem [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem mamy

[math]\displaystyle{ A = A' = \{ R_p (b^{- 1}_1), R_p (b^{- 1}_2), \ldots, R_p (b^{- 1}_{p - 1}) \} = C' }[/math]

Na mocy twierdzenia H18 zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ A' = B' }[/math] i [math]\displaystyle{ A' = C' }[/math], to [math]\displaystyle{ B' = C' }[/math] i ponownie na mocy twierdzenia H18 zbiory [math]\displaystyle{ B }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie H20
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że suma [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} {\small\frac{(p - 1) !}{k}} }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] następujące sumy są równe

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} k \equiv \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

Istotnie, jeśli przyjmiemy w twierdzeniu H19, że zbiór [math]\displaystyle{ B = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] będzie zbiorem liczb, które są odwrotnościami liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{x \in B} x \equiv \sum_{y \in C} y \!\! \pmod{p} }[/math]

bo

• gdy [math]\displaystyle{ x }[/math] przebiega kolejne wartości [math]\displaystyle{ b_k }[/math], to [math]\displaystyle{ x }[/math] przyjmuje kolejno wartości [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math]

• gdy [math]\displaystyle{ y }[/math] przebiega kolejne wartości [math]\displaystyle{ b_k^{- 1} }[/math], to [math]\displaystyle{ y }[/math] (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru [math]\displaystyle{ A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], czyli liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) przyjmuje wszystkie wartości [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math], ale w innej kolejności

Ponieważ kolejność sumowania tych samych składników nie wpływa na wartość sumy, to prawdziwa jest wyżej wypisana równość sum modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} {\small\frac{(p - 1) !}{k}} \equiv \sum_{k = 1}^{p - 1} (p - 1)! \cdot k^{- 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{- 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} k }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot {\small\frac{(p - 1) p}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot p }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Należy zauważyć, że dla liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math] liczba [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] jest liczbą całkowitą.
□

Funkcje multiplikatywne

Definicja H21
Powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] określona w zbiorze liczb całkowitych dodatnich jest funkcją multiplikatywną, jeżeli [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math] i dla względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] spełniony jest warunek [math]\displaystyle{ f(a b) = f (a) f (b) }[/math].

Uwaga H22
Założenie [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math] możemy równoważnie zastąpić założeniem, że funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] nie jest tożsamościowo równa zero. Gdyby [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] spełniała jedynie warunek [math]\displaystyle{ f(a b) = f (a) f (b) }[/math] dla względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math], to mielibyśmy

a)   [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ f(1) = 0 }[/math]

b)   [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] nie jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ f(1) = f (1 \cdot 1) = f (1) f (1) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f(1) = 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ f (1) = 1 }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ f(1) = 0 }[/math], to dla dowolnego [math]\displaystyle{ n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ f(n) = f (n \cdot 1) = f (n) f (1) = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] jest funkcją tożsamościowo równą zero.

Jeżeli [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] nie jest funkcją tożsamościowo równą zero, to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ f(a) \neq 0 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ f(a) = f (a \cdot 1) = f (a) f (1) }[/math]

I dzieląc obie strony przez [math]\displaystyle{ f(a) \neq 0 }[/math], dostajemy [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math].

Przykład H23
Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (1, c) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (n, c) }[/math] rozpatrywana jako funkcja [math]\displaystyle{ n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c }[/math] jest ustaloną liczbą całkowitą, jest funkcją multiplikatywną (zobacz H7).

Funkcja Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math]

Definicja H24
Funkcja Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest równa ilości liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math] i względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math].

Twierdzenie H25
Funkcja Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest multiplikatywna, czyli dla względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ m, n }[/math] jest [math]\displaystyle{ \varphi (m n) = \varphi (m) \varphi (n) }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], zatem nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math]. Wypiszmy w tabeli wszystkie liczby od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ m n }[/math].

[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ k }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ m }[/math]
[math]\displaystyle{ m + 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ m + 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ m + k }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 m }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 m + 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 m + 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 m + k }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 m }[/math]
[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ (n - 1) m + 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ (n - 1) m + 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ (n - 1) m + k }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ n m }[/math]

1. Natychmiast widzimy, że w pierwszym wierszu mamy [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Tak samo jest w każdym kolejnym wierszu, bo (zobacz H4)

[math]\displaystyle{ \gcd (r m + k, m) = \gcd (k, m) }[/math]

Zatem mamy dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] kolumn liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math].

2. Załóżmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jedną z liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (k, m) = 1 }[/math]. Przy tym założeniu [math]\displaystyle{ k }[/math]-ta kolumna (pokazana w tabeli) jest kolumną liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math].

3. Zauważmy, że reszty z dzielenia liczb wypisanych w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie przez [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie różne. Gdyby tak nie było, to dla pewnych [math]\displaystyle{ i, j }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i, j \leqslant n - 1 }[/math], różnica liczb [math]\displaystyle{ i m + k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ j m + k }[/math] byłaby podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math]. Mielibyśmy

[math]\displaystyle{ n \mid ((i m + k) - (j m + k)) }[/math]

Skąd wynika natychmiast

[math]\displaystyle{ n \mid (i - j) m }[/math]

Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (n, m) = 1 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ n \mid (i - j) }[/math] (zobacz C74), ale

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant | i - j | \leqslant n - 1 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ n }[/math] może dzielić [math]\displaystyle{ i - j }[/math] tylko w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ i = j }[/math]. Wbrew naszemu przypuszczeniu, że istnieją różne liczby dające takie same reszty przy dzieleniu przez [math]\displaystyle{ n }[/math].

4. Ponieważ w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie znajduje się dokładnie [math]\displaystyle{ n }[/math] liczb i reszty z dzielenia tych liczb przez [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie różne, to reszty te tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \} }[/math]. Wynika stąd, że liczby wypisane w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie mogą być zapisane w postaci

[math]\displaystyle{ a_r = b_r \cdot n + r }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ r = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_r \in \mathbb{Z} }[/math].

Zauważmy, że następujące ilości liczb są sobie równe

•    ilość liczb w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math]

•    ilość liczb [math]\displaystyle{ r }[/math] względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 0, \ldots, n - 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (b_r \cdot n + r, n) = \gcd (r, n) }[/math]

•    ilość liczb [math]\displaystyle{ r }[/math] względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, \ldots, n }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (n, n) = \gcd (0, n) = | n | \gt 1 }[/math]

Ostatnia ilość liczb jest równa [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math], co wynika wprost z definicji funkcji [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math].

5. Zbierając: mamy w wypisanej tabeli dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (m) \varphi (n) }[/math] liczb [math]\displaystyle{ u \in [1, m n] }[/math], dla których jednocześnie jest

[math]\displaystyle{ \gcd (u, m) = 1 \quad \text{i} \quad \gcd (u, n) = 1 }[/math]

Z twierdzenia H5 wynika, że w tabeli jest dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (m) \varphi (n) }[/math] liczb [math]\displaystyle{ u \in [1, m n] }[/math], dla których jest

[math]\displaystyle{ \gcd (u, m n) = 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \varphi (m n) = \varphi (m) \varphi (n) }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H26
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej [math]\displaystyle{ n }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \varphi (n) = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]

gdzie iloczyn obliczamy po wszystkich liczbach pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], będących dzielnikami liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].

Dowód

Ponieważ wszystkie liczby naturalne mniejsze od liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] są jednocześnie pierwsze względem [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (p) = p - 1 }[/math].

Równie łatwo znajdujemy wartość funkcji [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest potęgą liczby pierwszej [math]\displaystyle{ n = p^k }[/math]. Wystarczy zauważyć, że w ciągu kolejnych liczb

[math]\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, \ldots, p^k - 1, p^k }[/math]

jedynymi liczbami, które nie są pierwsze względem [math]\displaystyle{ p^k }[/math], są te, które dzielą się przez [math]\displaystyle{ p }[/math] i jest ich [math]\displaystyle{ p^{k - 1} }[/math], co widać natychmiast po ich bezpośrednim wypisaniu

[math]\displaystyle{ 1 \cdot p, 2 \cdot p, 3 \cdot p, \ldots, (p^{k - 1} - 1) \cdot p, p^{k - 1} \cdot p }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (p^k) = p^k - p^{k - 1} = p^k \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest funkcją multiplikatywną, to dla [math]\displaystyle{ n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \varphi (n) = \prod^s_{k = 1} \varphi (p^{\alpha_k}_k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \prod^s_{k = 1} p^{\alpha_k}_k \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = \left[ \prod^s_{k = 1} p^{\alpha_k}_k \right] \cdot \left[ \prod^s_{k = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = n \cdot \prod^s_{k = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H27
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \varphi (q n) = \left\{ \begin{array}{rl} (q - 1) \varphi (n) & \quad \text{gdy} \quad q \nmid n\\ q \varphi (n) & \quad \text{gdy} \quad q \mid n \end{array} \right. }[/math]

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ q \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (q, m) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \varphi (q m) = \varphi (q) \varphi (m) = (q - 1) \varphi (m) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] oraz [math]\displaystyle{ q m }[/math] mają taki sam zbiór dzielników pierwszych, zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (q m) = q m \prod_{p \mid q m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) = q \cdot \left[ m \prod_{p \mid m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) \right] = q \varphi (m) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H28
Niech [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \mid n }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (m) \mid \varphi (n) }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math]. Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ m \mid n }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ m = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_s}_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, s }[/math]. Łatwo zauważamy, że

•    jeżeli [math]\displaystyle{ \beta_i = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\beta_i}_i) = 1 }[/math] i dzieli [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\alpha_i}_i) }[/math]

•    jeżeli [math]\displaystyle{ 1 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i }[/math], to [math]\displaystyle{ (p_i - 1) p_i^{\beta_i - 1} \mid (p_i - 1) p_i^{\alpha_i - 1} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\beta_i}_i) \mid \varphi (p^{\alpha_i}_i) }[/math]

Skąd natychmiast wynika, że [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\beta_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\beta_s}_s) }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\alpha_s}_s) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \varphi (m) \mid \varphi (n) }[/math].

Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, bo [math]\displaystyle{ \varphi (7) \mid \varphi (19) }[/math], ale [math]\displaystyle{ 7 \nmid 19 }[/math].
□

Zadanie H29
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] wartości [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] są liczbami parzystymi.

Rozwiązanie

Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] jest podzielna przez liczbę pierwszą nieparzystą [math]\displaystyle{ p }[/math], zaś [math]\displaystyle{ k }[/math] jest wykładnikiem, z jakim [math]\displaystyle{ p }[/math] wchodzi do rozwinięcia [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, to

[math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi \left( p^k \cdot {\small\frac{n}{p^k}} \right) = (p - 1) p^{k - 1} \cdot \varphi \left( {\small\frac{n}{p^k}} \right) }[/math]

zatem [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest liczbą parzystą, ponieważ [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] jest liczbą parzystą.

Jeżeli żadna liczba nieparzysta nie dzieli [math]\displaystyle{ n }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ n = 2^a }[/math] i [math]\displaystyle{ \varphi (n) = 2^{a - 1} }[/math], ale z założenia [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest liczbą parzystą.
□

Twierdzenie H30
Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną, to [math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - \sqrt{n} }[/math].

Dowód

Pierwszy sposób
Niech [math]\displaystyle{ n = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a \leqslant b \lt n }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ 1 \cdot a, 2 \cdot a, 3 \cdot a, \ldots, b \cdot a }[/math] są nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] i nie są względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ n }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - b }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ b \geqslant a }[/math], to [math]\displaystyle{ b^2 \geqslant a b = n }[/math] i [math]\displaystyle{ b \geqslant \sqrt{n} }[/math]. Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - b \leqslant n - \sqrt{n} }[/math]

Drugi sposób
Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] oznacza najmniejszy dzielnik pierwszy liczby złożonej [math]\displaystyle{ n }[/math], zatem [math]\displaystyle{ q^2 \leqslant n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \leqslant \sqrt{n} }[/math], a stąd [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{q}} \geqslant \sqrt{n} }[/math] i

[math]\displaystyle{ \varphi (n) = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) \leqslant n \left( 1 - {\small\frac{1}{q}} \right) = n - {\small\frac{n}{q}} \leqslant n - \sqrt{n} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie H31
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \varphi (n) = n - 1 }[/math].

Dowód

Dla liczb złożonych [math]\displaystyle{ n \geqslant 4 }[/math] nigdy nie będzie [math]\displaystyle{ \varphi (n) = n - 1 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - \sqrt{n} \leqslant n - 2 }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math] sprawdzamy bezpośrednio: [math]\displaystyle{ \varphi (1) = 1 \neq 1 - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi (2) = 1 = 2 - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi (3) = 2 = 3 - 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□

Zadanie H32
Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]. Pokazać, że suma liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math] i względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} n \varphi (n) }[/math].

Rozwiązanie

Łatwo sprawdzamy, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] i odtąd będziemy przyjmowali, że [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math]. Zatem wartości [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] są liczbami parzystymi i niech [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} \varphi (n) }[/math]. Zauważmy, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ n }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ n - a }[/math] jest również względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ n }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (a, n) = \gcd (n - a, n) }[/math]. Wypiszmy wszystkie liczby całkowite dodatnie nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] i względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ n }[/math] w kolejności rosnącej, a pod spodem w kolejności malejącej

[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_c }[/math]	[math]\displaystyle{ n - a_c }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ n - a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ n - a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ n - a_c }[/math]	[math]\displaystyle{ a_c }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]

Suma liczb w każdej kolumnie jest równa [math]\displaystyle{ n }[/math]. Ponieważ ilość liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math], to podwojona suma liczb całkowitych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math] i pierwszych względem [math]\displaystyle{ n }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ n \varphi (n) }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie H33
Dla liczb naturalnych nieparzystych [math]\displaystyle{ n \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math].

Rozwiązanie

1. Jeżeli [math]\displaystyle{ n \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ n }[/math] oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 4 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 2 \gt \pi (n) }[/math].

2. Jeżeli [math]\displaystyle{ n = p^a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math], jest potęgą liczby pierwszej nieparzystej, to [math]\displaystyle{ n \geqslant 9 }[/math] i liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczby [math]\displaystyle{ p }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 4, 8 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 3 \gt \pi (n) }[/math].

3. Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] ma więcej niż jeden dzielnik pierwszy nieparzysty, to [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ s \geqslant 2 }[/math]. Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \geqslant q_1 \cdot \ldots \cdot q_s \geqslant 3 \cdot 5^{s - 1} \gt 2^{2 s - 1} }[/math]

Liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2 s - 1} }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - s + 2 s - 1 = \pi (n) + s - 1 \gt \pi (n) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie H34
Dla liczb naturalnych [math]\displaystyle{ n \geqslant 91 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math].

Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ p_{2 s} \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p_{2 s} \geqslant p_{s + 1} }[/math], to z zadania A40 natychmiast wynika nierówność

[math]\displaystyle{ p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_s \gt p_{s + 1} p_{2 s} }[/math]

która jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 4 }[/math].

Pokażemy najpierw, że dla każdej liczby naturalnej mającej nie mniej niż cztery dzielniki pierwsze nierówność [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math] jest zawsze prawdziwa.

Przez [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_k, \ldots }[/math] oznaczymy kolejne liczby pierwsze. Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] będzie liczbą naturalną i [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q_i }[/math] oznaczają dowolne (nie muszą być kolejne) liczby pierwsze.

Wśród kolejnych [math]\displaystyle{ 2 s }[/math] liczb pierwszych znajduje się przynajmniej [math]\displaystyle{ s }[/math] liczb pierwszych różnych od każdej z liczb [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math]. Jeśli oznaczymy te liczby (w rosnącej kolejności) przez [math]\displaystyle{ r_1, \ldots, r_s }[/math], to łatwo zauważymy, że prawdziwe są dla nich następujące oszacowania

•    dla najmniejszej liczby [math]\displaystyle{ r_1 \leqslant p_{s + 1} }[/math]

•    dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ r_j \leqslant p_{2 s} }[/math] dla [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s }[/math].

Korzystając z wypisanej na początku dowodu nierówności, dla [math]\displaystyle{ s \geqslant 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \geqslant q_1 \cdot \ldots \cdot q_s \geqslant p_1 \cdot \ldots \cdot p_s \gt p_{s + 1} p_{2 s} \geqslant r_1 \cdot r_j }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s }[/math].

Wynika stąd, że jeśli [math]\displaystyle{ s \geqslant 4 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ r_1 r_j }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - s + s + 1\gt \pi (n) }[/math]

Co mieliśmy pokazać.

Uwzględniając rezultat pokazany w zadaniu H33, pozostaje sprawdzić przypadki gdy [math]\displaystyle{ n = 2^a }[/math], [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b }[/math], [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b q^c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z}_+ }[/math].

1. Niech [math]\displaystyle{ n = 2^a }[/math]. Jeśli [math]\displaystyle{ n \geqslant 16 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 9, 15 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 3 \gt \pi (n) }[/math]

2. Niech [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b }[/math], zaś [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie najmniejszą liczbą pierwszą nieparzystą różną od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ r \in \{ 3, 5 \} }[/math] i jeśli tylko [math]\displaystyle{ n \gt 5^3 = 125 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb pierwszych [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, r^2, r^3 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 2 + 3 \gt \pi (n) }[/math]

3. Niech [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b q^c }[/math], zaś [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie najmniejszą liczbą pierwszą nieparzystą różną od [math]\displaystyle{ p }[/math] oraz różną od [math]\displaystyle{ q }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ r \in \{ 3, 5, 7 \} }[/math] i jeśli [math]\displaystyle{ n \gt 7^4 = 2401 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb pierwszych [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ q }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, r^2, r^3, r^4 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 3 + 4 \gt \pi (n) }[/math]

Zbierając: pozostaje sprawdzić bezpośrednio przypadki, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ n \leqslant 2401 }[/math]. W GP/PARI wystarczy napisać polecenie

for(n = 1, 2500, if( eulerphi(n) <= primepi(n), print(n) ))

Nierówność [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math] nie jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \in \{ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 42, 60, 90 \} }[/math]. Co kończy dowód.
□