|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| − | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div> | + | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">11.11.2022</div> |
| | | | |
| | __FORCETOC__ | | __FORCETOC__ |
| Linia 5: |
Linia 5: |
| | | | |
| | | | |
| − | == Chińskie twierdzenie o resztach == | + | == Potęgowanie modulo == |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K1</span><br/> |
| − | Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja
| + | Z twierdzenia Fermata (zobacz J19) wynika, że jeżeli liczby <math>a</math> i <math>m</math> są względnie pierwsze oraz <math>m</math> nie dzieli liczby <math>a^{m - 1} - 1</math>, to <math>m</math> jest liczbą złożoną. Każde twierdzenie pozwalające wykryć złożoność liczby może być wykorzystane do badania pierwszości liczb. Twierdzenia takie nie dają całkowitej pewności, że badana liczba jest pierwsza. Mamy na przykład <math>341 = 11 \cdot 31</math>, ale <math>341 | (2^{340} - 1)</math>, bo |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math> | + | ::<math>2^{340} - 1 = 2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115775</math> |
| | | | |
| − | jest równoważna układowi kongruencji
| + | ::::<math>\;\;\; = 341 \cdot 6568166399348399444449977362370804334667582103327417990909058947107894050381703652143335757394742275</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| + | Widzimy, że nawet dla niewielkiej liczby <math>341</math>, potęga <math>2^{340} - 1</math> jest liczbą ogromną. Jeśli ta metoda ma mieć jakiekolwiek zastosowanie, to musimy znaleźć inny sposób obliczania reszty z dzielenia <math>a^n</math> przez <math>m</math>, czyli potęgowania modulo <math>m</math>. |
| − | u &\equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | u &\equiv a \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | <math>\Longrightarrow</math><br/>
| |
| − | Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
| |
| | | | |
| − | <math>\Longleftarrow</math><br/>
| |
| − | Z kongruencji
| |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv a \pmod{m}</math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K2</span><br/> |
| | + | Wykorzystując wzór rekurencyjny |
| | | | |
| − | wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z kongruencji
| + | ::<math>a^n = \left\{ \begin{array}{cll} |
| | + | a & & \text{gdy } n = 1\\ |
| | + | (a^2)^{{\large\frac{n}{2}}} & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste}\\ |
| | + | a \cdot (a^2)^{{\large\frac{n - 1}{2}}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} |
| | + | \end{array} \right.</math> |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>
| |
| | | | |
| − | otrzymujemy <math>n \, | \, (u - a)</math>, czyli <math>n \, | \, k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \, | \, k</math> (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>
| + | możemy napisać w PARI/GP prosty program do potęgowania modulo: |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">modPower(a, n, m) = |
| | + | \\ a - podstawa, n - wykładnik, m - moduł |
| | + | { |
| | + | '''local'''(w); |
| | + | '''if'''( m == 1, '''return'''(0) ); |
| | + | a = a % m; |
| | + | w = 1; |
| | + | '''while'''( n > 0, |
| | + | '''if'''( n % 2 == 1, w = (w * a) % m; n = n - 1); \\ gdy n jest nieparzyste, wyłączamy a i zmniejszamy n o jeden |
| | + | a = (a*a) % m; \\ wyliczamy nową podstawę modulo m |
| | + | n = n/2; \\ dla nowej podstawy wykładnik jest dwa razy mniejszy |
| | + | ); |
| | + | '''return'''(w); |
| | + | }</span> |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/>
| + | Zauważmy, że w funkcji <code>modPower()</code> nie występują wyrażenia o wartości większej od <math>m^2</math>. |
| − | Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | c & \equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | c & \equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>m x + n y = 1</math>
| |
| − | | |
| − | Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Natomiast modulo <math>n</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z założenia <math>m \, | \, (d - a)</math> i <math>m \, | \, (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \, | \, (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \, | \, (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \, | \, (d - c)</math> (zobacz C73), co oznacza, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.
| |
| − | | |
| − | Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)</span><br/>
| |
| − | Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math>
| |
| − | | |
| − | jest równoważna układowi kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | u & \equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | c & \equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | c & \equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | u \equiv c \; \pmod{m} \\
| |
| − | u \equiv c \; \pmod{n} \\
| |
| − | \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | u \equiv a \; \pmod{m} \\
| |
| − | u \equiv b \:\, \pmod{n} \\
| |
| − | \end{array} </math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/>
| |
| − | Chińskie twierdzenie o resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u &\equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | u &\equiv 3 \pmod{8}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i nieparzystych ma postać
| |
| − | | |
| − | ::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math>
| |
| − | | |
| − | i nie może być <math>u \equiv 3 \!\! \pmod{8}</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/>
| |
| − | Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>) taka, że układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
| |
| − | & \cdots \\
| |
| − | u & \equiv a_k \pmod{m_k}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej <math>k \geqslant 2</math>, dla liczby <math>k + 1</math> otrzymujemy układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\
| |
| − | u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/>
| |
| − | Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | n &\equiv 3 \pmod{5} \\
| |
| − | n &\equiv 4 \pmod{7}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span>
| |
| − | | |
| − | uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać
| |
| − | | |
| − | ::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math>
| |
| − | | |
| − | Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>.
| |
| − | | |
| − | Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | n &\equiv 1 \pmod{2} \\
| |
| − | n &\equiv 2 \pmod{3} \\
| |
| − | n &\equiv 3 \pmod{5} \\
| |
| − | n &\equiv 4 \pmod{7} \\
| |
| − | n &\equiv 5 \pmod{11}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | to argumenty należy zapisać w postaci wektora
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span>
| |
| − | | |
| − | Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Wielomiany ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/>
| |
| − | Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math>
| |
| − | | |
| − | ::::::<math>\quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math>
| |
| − | | |
| − | Dla <math>k \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1})</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | Gdzie przez <math>U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy <math>k - 1</math>. Zatem możemy napisać
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem <math>V_{n - 1} (x)</math>. Ponieważ ze wszystkich wielomianów <math>a_k U^{(k)} (x)</math>, wielomian <math>a_n U^{(n)} (x)</math> ma największy stopień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>. Czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | Niech <math>V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>
| |
| − | | |
| − | Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J8</span><br/>
| |
| − | Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/>
| |
| − | Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J10</span><br/>
| |
| − | Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \!\! \pmod{m}</math>, to
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia <math>m \, | \, (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \, | \, (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\
| |
| − | a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\
| |
| − | a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\
| |
| − | & \cdots \\
| |
| − | a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J11</span><br/>
| |
| − | Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze.
| |
| − | | |
| − | Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{n}
| |
| − | \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math>
| |
| | | | |
| − | Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania.
| |
| | | | |
| − | Załóżmy, że każda z kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech
| |
| | | | |
| − | :* <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
| |
| − | :* <math>x \equiv b \!\! \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n}</math>
| |
| | | | |
| − | Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
| |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| + | == Liczby pseudopierwsze Fermata == |
| − | x &\equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | x &\equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math>
| |
| | | | |
| − | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej
| + | Liczby złożone nieparzyste spełniające równanie Fermata, otrzymały własną nazwę. |
| | | | |
| − | ::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K3</span><br/> |
| | + | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną nieparzystą i dla pewnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> prawdziwa jest kongruencja |
| | | | |
| − | Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z twierdzenia J10 mamy
| + | ::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | to powiemy, że <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math> lub krótko: <math>m</math> jest PSP(<math>a</math>). |
| − | W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\
| |
| − | W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
| |
| | | | |
| − | Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>.
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K4</span><br/> |
| | + | Zauważmy, że w definicji liczb pseudopierwszych Fermata nie musimy dodatkowo dołączać warunku <math>\gcd (a, m) = 1</math>, bo wynika on z przyjętej definicji. Mamy |
| | | | |
| − | Podsumujmy: jeżeli kongruencje
| + | ::<math>\gcd (a^{m - 1}, m) = \gcd (1, m) = 1</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| + | Zatem <math>\gcd (a, m) = 1</math>. |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji
| + | Możemy też łatwo pokazać, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = d > 1</math>, to liczba <math>m</math> nie może być liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy |
| | | | |
| − | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math> | + | ::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod{m}</math> |
| | | | |
| | + | Ponieważ <math>d|m</math>, to jest również |
| | | | |
| | + | ::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod{d}</math> |
| | | | |
| | + | Ale modulo <math>d</math> otrzymujemy natychmiast |
| | | | |
| | + | ::<math>0 \equiv 1 \pmod{d}</math> |
| | | | |
| − | == Twierdzenie Lagrange'a ==
| + | Co jest niemożliwe, czyli <math>m</math> nie jest PSP(<math>a</math>). |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J12</span><br/>
| |
| − | Kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>.
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K5</span><br/> |
| | + | Dla każdej podstawy <math>a \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych Fermata. |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>a \geqslant 2</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to |
| | | | |
| − | '''A. Istnienie rozwiązania'''
| + | ::<math>a^p - 1 = (a - 1) (a^{p - 1} + a^{p - 2} + \ldots + a^2 + a + 1)</math> |
| − | | |
| − | Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math> | |
| − | | |
| − | Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | '''B. Brak innych rozwiązań'''
| |
| − | | |
| − | Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \, | \, a_1 (x_1 - x_2)</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast <math>p \, | \, (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/>
| |
| − | Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math>. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Z założenia <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math> jest jednym z pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | wynika, że musi być (zobacz C72)
| |
| − | | |
| − | ::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Z założenia indukcyjnego kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14</span><br/>
| |
| − | Jeżeli kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>.
| |
| − | | |
| − | W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J15</span><br/>
| |
| − | Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>x^5 \equiv x \!\! \pmod{5}</math>, to
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math>
| |
| − | | |
| − | Co wynika również z faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math>
| |
| − | | |
| − | ale <math>x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata.
| |
| | | | |
| | + | oraz |
| | | | |
| | + | ::<math>a^p + 1 = (a + 1) (a^{p - 1} - a^{p - 2} + \ldots + a^2 - a + 1)</math> |
| | | | |
| | + | Czyli <math>a - 1 | a^p - 1</math> oraz <math>a + 1 | a^p + 1</math>. |
| | | | |
| | | | |
| − | == Twierdzenie Wilsona ==
| + | Jeżeli przez <math>R_2 (a)</math> oznaczymy resztę z dzielenia liczby <math>a</math> przez <math>2</math> równą <math>0</math> lub <math>1</math>, to prawdziwe są kongruencje |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)</span><br/>
| + | ::<math>a \equiv R_2 (a) \pmod 2</math> |
| − | Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| − | | |
| − | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | <math>\Longleftarrow</math><br/>
| |
| − | Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \, | \, p</math>, to prawdziwa jest kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math>
| |
| − | | |
| − | czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math>
| |
| − | | |
| − | co jest niemożliwe.
| |
| − | | |
| − | <math>\Longrightarrow</math><br/>
| |
| − | Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math>
| |
| | | | |
| | oraz | | oraz |
| | | | |
| − | ::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math> | + | ::<math>a^n \equiv R_2 (a) \pmod 2</math> |
| − | | |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | :* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math>
| |
| − | :* współczynniki wiodące są równe <math>1</math>
| |
| − | :* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math>
| |
| − | :* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>
| |
| − | | |
| − | Niech
| |
| − | | |
| − | ::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | :* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji
| |
| − | :* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18</span><br/>
| |
| − | Liczba całkowita nieparzysta <math>p \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| − | | |
| − | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | W przypadku, gdy liczba <math>p</math> jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w <math>(p - 1) !</math> są określone modulo <math>p</math>, to odejmując od każdego czynnika większego od <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczbę <math>p</math>, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Twierdzenie Fermata ==
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J19 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/>
| |
| − | Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą
| |
| − | | |
| − | :* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \!\! \pmod p</math>
| |
| − | :* i jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | '''Punkt 1.'''
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że<br/>
| |
| − | a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/>
| |
| − | b) w przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/>
| |
| − | c) w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo
| |
| − | ::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>.
| |
| − | | |
| − | Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p|a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math>
| |
| − | | |
| − | :::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math>
| |
| − | | |
| − | :::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Z założenia indukcyjnego <math>p|a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| − | | |
| − | Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J20</span><br/>
| |
| − | Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>\gcd (x, y) = 1</math> i liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>x^2 + y^2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Przypuśćmy, że <math>p|y</math>. Wtedy z powyższej kongruencji mamy natychmiast, że <math>p|x</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Zatem <math>p \nmid y</math> i z twierdzenia Fermata dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> musi być liczbą parzystą, czyli <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J21</span><br/>
| |
| − | Niech <math>x, y, n \geqslant 0</math>. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + y^2 = 2^n</math>
| |
| − | | |
| − | są liczby
| |
| − | | |
| − | :* <math>x = 2^{n / 2} \,</math> i <math>\, y = 0 \,</math> lub <math>\, x = 0 \,</math> i <math>\, y = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>2 \, | \, n</math>
| |
| − | :* <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math>, gdy <math>2 \nmid n</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | '''A.''' Gdy jedna z liczb <math>x, y</math> jest równa <math>0</math> (powiedzmy <math>y</math>), to mamy <math>x = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>n</math> jest parzyste. Gdy <math>n</math> jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że <math>x, y \geqslant 1</math>
| |
| − | | |
| − | '''B.''' Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do <math>1</math> modulo <math>4</math>. Gdy obie liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to modulo <math>4</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla <math>n = 1</math> i w tym przypadku mamy <math>(x, y) = (1, 1)</math>.
| |
| − | | |
| − | '''C.''' W przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać <math>x = 2^a u</math>, <math>y = 2^b w</math>, gdzie liczby <math>u, w</math> są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że <math>1 \leqslant a \leqslant b < {\small\frac{n}{2}}</math>. Dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
| |
| − | | |
| − | Widzimy, że nie może być <math>a < b</math>, bo suma liczby nieparzystej i parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem <math>a = b</math> i otrzymujemy równanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
| |
| − | | |
| − | które ma rozwiązanie w liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika <math>n - 2 a = 1</math>. Mamy <math>u = w = 1</math>, zatem <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math> i <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J22</span><br/>
| |
| − | Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>x \neq y</math>, to liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | W przypadku, gdy <math>x = y</math> mamy <math>x^2 + y^2 = 2 y^2</math> i jeśli liczba <math>y</math> nie ma dzielnika pierwszego postaci <math>4 k + 1</math>, to nie ma go również liczba <math>2 y^2</math>. Przykładowo <math>x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r}</math>. Dlatego zakładamy, że <math>x \neq y</math>. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z liczb <math>x, y</math> jest równa zero. Dlatego zakładamy, że <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>.
| |
| − | | |
| − | Niech <math>\gcd (x, y) = d</math>, zatem mamy <math>x = a d</math>, <math>y = b d</math>. Wynika stąd, że <math>x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2)</math>, gdzie <math>\gcd (a, b) = 1 \,</math> i <math>\, a \neq b</math>. Ponieważ <math>\, a \neq b</math>, to liczba <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J21). Z twierdzenia J20 zastosowanego do liczby <math>a^2 + b^2</math> wynika, że <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Kryterium Eulera ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J23</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \, | \, (k^2 - a)</math>.
| |
| − | | |
| − | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J24</span><br/>
| |
| − | Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z oczywistej kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ
| |
| − | | |
| − | ::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math>
| |
| − | | |
| − | to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy
| |
| − | | |
| − | ::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z prostych oszacowań
| |
| − | | |
| − | ::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>2 < i + j < p - 1</math>
| + | dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej <math>n</math>. Zatem modulo <math>2</math> jest |
| | | | |
| | + | ::<math>{\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \equiv R_2 (a) \cdot (p - 1) + 1 \equiv 1 \pmod 2</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
| + | ::<math>{\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod 2</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| + | Co oznacza, że |
| | | | |
| − | ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>.
| + | ::<math>m = {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \cdot {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod 2</math> |
| | | | |
| − | Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/>
| + | Czyli <math>m</math> jest '''złożoną liczbą nieparzystą'''. Pozostaje pokazać, że <math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math>. |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | Z twierdzenia Fermata wiemy, że |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J25 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/>
| + | ::<math>a^p - 1 \equiv a - 1 \pmod p</math> |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy
| |
| | | | |
| − | ::{| border="0"
| + | Ponieważ <math>(a - 1) | (a^p - 1)</math>, to możemy napisać |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em | |
| − | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | + | ::<math>(a - 1) \cdot \left( {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} - 1 \right) \equiv 0 \pmod p</math> |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | Z założenia <math>p \nmid (a - 1)</math>, zatem liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić <math>{\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} - 1</math> i otrzymujemy |
| | | | |
| − | Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
| + | ::<math>{\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \equiv 1 \pmod p</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
| + | Postępując analogicznie jak wyżej, dostajemy |
| | | | |
| − | Zauważmy, że
| + | ::<math>a^p + 1 \equiv a + 1 \pmod p</math> |
| | | | |
| − | ::{| border=1 style="border-collapse: collapse;" | + | ::<math>(a + 1) \cdot \left( {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} - 1 \right) \equiv 0 \pmod p</math> |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''A''' || <math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz J24
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''B''' || <math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz twierdzenie Lagrange'a J13
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''C''' || jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || wynika z ciągu implikacji:<br/> <math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> <math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math> <br/> <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''D''' || <math>Q \subseteq S</math> || z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | ::<math>{\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod p</math> |
| | | | |
| − | Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy
| + | Wynika stąd, że <math>m \equiv 1 \pmod p</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
| + | Zbierając mamy <math>2| (m - 1)</math> i <math>p| (m - 1)</math>, zatem <math>2 p| (m - 1)</math>, czyli |
| | | | |
| − | Skąd łatwo widzimy, że
| + | ::<math>m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}} \equiv 1 \pmod{2 p}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
| + | Oznacza to, że <math>m = 1 + 2 k p</math> dla pewnej liczby całkowitej <math>k > 0</math>. |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J26). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie
| |
| | | | |
| − | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
| + | Zauważmy teraz, że z definicji liczby <math>m</math> mamy <math>(a^2 - 1) m = a^{2 p} - 1</math>. Rozpatrując to równanie modulo <math>m</math>, otrzymujemy |
| − | |-style=height:2.0em
| |
| − | | liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | Co kończy dowód punktu pierwszego.
| + | ::<math>a^{2 p} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| + | Zatem modulo <math>m</math> jest |
| | | | |
| − | Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że
| + | ::<math>a^{m - 1} = a^{2 k p} = (a^{2 p})^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
| + | Ponieważ dowolna liczba pierwsza <math>p > a^2 - 1</math> nie dzieli <math>a^2 - 1</math>, to dla każdego <math>a \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele liczb, które są PSP(<math>a</math>). Co należało pokazać.<br/> |
| − | |-style=height:2.0em
| |
| − | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia Fermata
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
| |
| − | | |
| − | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
| |
| − | |-style=height:2.0em
| |
| − | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 805: |
Linia 167: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J26</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K6</span><br/> |
| − | Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli <math>A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B |</math>, to <math>\; A = B</math>.
| + | Z dowodu twierdzenia K5 wynika, że jeżeli liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid (a^2 - 1)</math>, to liczba <math>m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}}</math> jest PSP(<math>a</math>). Poniżej przedstawiamy przykłady takich liczb, dla kolejnych liczb pierwszych nieparzystych <math>p</math> takich, że <math>p \nmid (a^2 - 1)</math>. |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 5, s=1; d=a^2-1; '''forprime'''(p=3, 50, '''if'''( d%p == 0, '''next'''() ); m=(a^(2*p)-1)/d; '''print'''("a= ", a, " m= ", m); s++; '''if'''( s>6, '''break'''() ) )) </span> |
| − | Ponieważ zbiór <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>B</math>, to zbiór <math>B</math> można przedstawić w postaci sumy zbiorów <math>A</math> i <math>C</math> takich, że żaden element zbioru <math>C</math> nie jest elementem zbioru <math>A</math>. Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ z założenia zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są rozłączne, to wiemy, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C |</math> | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;" |
| − | | + | ! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> |
| − | Czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>| B | = | A \cup C | = | A | + | C |</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika, że <math>| C | = 0</math>, zatem zbiór <math>C</math> jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast <math>B = A</math>. Co należało pokazać.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="border-bottom-style: double;">Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)</span><br/>
| |
| − | Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie <math>| A \cup C | \leqslant | A | + | C |</math>, bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>, zatem od sumy <math>| A | + | C |</math> musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>. Co daje ogólny wzór<ref name="sumazbiorow"/>
| |
| − | | |
| − | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C |</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Symbol Legendre'a ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J27</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \, | \, a
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J28</span><br/>
| |
| − | Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \, | \, a</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J29*</span><br/>
| |
| − | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
| |
| − | |-
| |
| − | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 2. || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | + | | || <math>341</math> || <math>91</math> || <math>17895697</math> || <math>406901</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 4. || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math> | + | | || <math>5461</math> || <math>7381</math> || <math>1172812402961</math> || <math>254313151</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math> | + | | || <math>1398101</math> || <math>597871</math> || <math>300239975158033</math> || <math>99341074625651</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, | + | | || <math>22369621</math> || <math>3922632451</math> || <math>19676527011956855057</math> || <math>62088171641031901</math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | + | | || <math>5726623061</math> || <math>317733228541</math> || <math>5037190915060954894609</math> || <math>24253192047278086344401</math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, | + | | || <math>91625968981</math> || <math>2084647712458321</math> || <math>330117343809434739973099793</math> || <math>15158245029548803965250651</math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |- | |
| − | | 9. || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K7</span><br/> |
| | + | Wykorzystując funkcję potęgowania modulo, możemy napisać prosty program do testowania pierwszości liczb w oparciu o twierdzenie Fermata. |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">PSP</span>(m, a) = |
| | + | { |
| | + | '''if'''( modPower(a, m-1, m) == 1, '''return'''(1), '''return'''(0) ); |
| | + | }</span> |
| | | | |
| − | == Symbol Jacobiego ==
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J30</span><br/>
| |
| − | Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
| |
| − |
| |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − |
| |
| − | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \, | \, (k^2 - a)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
| |
| − |
| |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − |
| |
| − | nie ma rozwiązania.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J31</span><br/>
| |
| − | Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i niekwadratowych modulo <math>m</math>, w której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
| |
| − |
| |
| − | Przykładowo:
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math>
| |
| − |
| |
| − | Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
| |
| − |
| |
| − | Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
| |
| − |
| |
| − | Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J32</span><br/>
| |
| − | Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i modulo <math>n</math>.
| |
| − |
| |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K8</span><br/> |
| | + | Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J33</span><br/> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=1; '''forstep'''(m=1, 2000, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">PSP</span>(m, a) && !'''isprime'''(m), '''print'''("a=", a, " m=", m); s++ ); '''if'''( s>5, '''break'''() ) ))</span> |
| − | Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
| |
| − | Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
| |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math> | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;" |
| − | | + | ! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math> |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J34</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że w przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J35*</span><br/> | |
| − | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
| |
| | |- | | |- |
| − | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math> | + | | || <math>341</math> || <math>91</math> || <math>15</math> || <math>217</math> || <math>35</math> || <math>25</math> || <math>9</math> || <math>91</math> || <math>9</math> || <math>15</math> || <math>65</math> || <math>21</math> || <math>15</math> || <math>341</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 2. || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | | || <math>561</math> || <math>121</math> || <math>85</math> || <math>561</math> || <math>185</math> || <math>325</math> || <math>21</math> || <math>121</math> || <math>33</math> || <math>133</math> || <math>91</math> || <math>85</math> || <math>39</math> || <math>1477</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | | || <math>645</math> || <math>671</math> || <math>91</math> || <math>781</math> || <math>217</math> || <math>561</math> || <math>45</math> || <math>205</math> || <math>91</math> || <math>259</math> || <math>133</math> || <math>105</math> || <math>65</math> || <math>1541</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 4. || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | | || <math>1105</math> || <math>703</math> || <math>341</math> || <math>1541</math> || <math>301</math> || <math>703</math> || <math>63</math> || <math>511</math> || <math>99</math> || <math>305</math> || <math>143</math> || <math>231</math> || <math>195</math> || <math>1687</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math> | + | | || <math>1387</math> || <math>949</math> || <math>435</math> || <math>1729</math> || <math>481</math> || <math>817</math> || <math>65</math> || <math>671</math> || <math>259</math> || <math>481</math> || <math>145</math> || <math>357</math> || <math>481</math> || <math>1729</math> |
| − | |- | |
| − | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |- | |
| − | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |- | |
| − | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |- | |
| − | | 9. || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J36</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K9</span><br/> |
| − | Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
| + | Tabela pokazuje ilość liczb pseudopierwszych Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
| |
| − | | |
| − | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
| |
| − | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
| |
| − | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
| |
| − | | |
| − | Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>. | |
| − | | |
| − | Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/>
| |
| − | Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
| |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =
| |
| − | {
| |
| − | '''local'''(k, S, V);
| |
| − | S = [];
| |
| − | V = [];
| |
| − | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
| |
| − | S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
| |
| − | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
| |
| − | V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
| |
| − | '''print'''("QR: ", V);
| |
| − | '''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
| |
| − | }</span>
| |
| − | <br/>
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J39</span><br/>
| |
| − | Pokazać, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
| |
| − | | |
| − | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\; =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 5
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math>
| |
| − | | |
| − | Łatwo zauważamy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J40</span><br/>
| |
| − | Pokazać, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| |
| − | | |
| − | Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W tym przypadku mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math>
| |
| | | | |
| − | i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=0; '''forstep'''(k=1, 10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">PSP</span>(k, a) && !'''isprime'''(k), s++ )); '''print'''("a= ", a, " ", s))</span> |
| | | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math> | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;" |
| − | | + | ! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math> |
| − | ::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J35 p.9)
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J35 p.9)
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | :::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | :::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | :::<math>\:\, \quad =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J41</span><br/>
| |
| − | Wykorzystując podane w twierdzeniu J35 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) = | |
| − | {
| |
| − | '''local'''(r, w);
| |
| − | '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
| |
| − | a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
| |
| − | w = 1;
| |
| − | '''while'''( a <> 0,
| |
| − | '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
| |
| − | \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
| |
| − | \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
| |
| − | r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
| |
| − | a = n;
| |
| − | n = r;
| |
| − | '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
| |
| − | \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
| |
| − | a = a % n;
| |
| − | );
| |
| − | '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
| |
| − | }</span>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/>
| |
| − | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
| |
| − | | |
| − | W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej <math>(a \, | \, m)</math> i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
| |
| − | | |
| − | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Legendre'a
| |
| − | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Jacobiego
| |
| − | :* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Jacobiego | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J43</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longrightarrow}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p^n \, | \, (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \, | \, (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | |
| − | | |
| − | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
| |
| − | | |
| − | Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | bo <math>p^{n + 1} \, | \, p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J44</span><br/>
| |
| − | Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \, | \, 2^n</math>.
| |
| − | | |
| − | Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
| |
| − | | |
| − | ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
| |
| − | | |
| − | Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
| |
| − | | |
| − | Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J45</span><br/>
| |
| − | Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longrightarrow}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>2^n \, | \, (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \, | \, (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longleftarrow}</math>
| |
| − | | |
| − | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
| |
| − | | |
| − | ::<math>r =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\
| |
| − | 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J46</span><br/>
| |
| − | Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J47</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3 i J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
| |
| − | & \,\,\,\cdots \\
| |
| − | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Z definicji J27, twierdzeń J43 i J45, uwagi J44 i wniosku J46 otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J48</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| − | | |
| − | ::{| border="0"
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \, | \, m</math>, to <math>8 \, | \, ( a - 1 )</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \, | \, m</math>, to <math>4 \, | \, ( a - 1 )</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków
| |
| − | | |
| − | ::{| border="0"
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \, | \, m</math> i <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \, | \, m</math> i <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| |
| − | | |
| − | Z założenia <math>d \, | \, m</math>. Gdyby kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | miała rozwiązanie, to również kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
| |
| − | | |
| − | miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
| |
| − | | |
| − | Punkty 2. i 3. wynikają wprost z twierdzenia J48.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J50</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W tabelach zestawiliśmy kongruencje i ich rozwiązania.
| |
| − | | |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
| |
| − | |-
| |
| − | ! Kongruencje || Rozwiązania
| |
| | |- | | |- |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math> | + | | #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^6</math> || <math>245</math> || <math>243</math> || <math>464</math> || <math>238</math> || <math>301</math> || <math>229</math> || <math>678</math> || <math>362</math> || <math>271</math> || <math>236</math> || <math>378</math> || <math>257</math> || <math>283</math> || <math>203</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math> | + | | #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^7</math> || <math>750</math> || <math>749</math> || <math>1347</math> || <math>726</math> || <math>895</math> || <math>651</math> || <math>1993</math> || <math>1150</math> || <math>766</math> || <math>672</math> || <math>1091</math> || <math>719</math> || <math>817</math> || <math>614</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math> | + | | #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^8</math> || <math>2057</math> || <math>2131</math> || <math>3805</math> || <math>1910</math> || <math>2314</math> || <math>1782</math> || <math>5407</math> || <math>3214</math> || <math>2091</math> || <math>1891</math> || <math>2933</math> || <math>1929</math> || <math>2155</math> || <math>1718</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math> | + | | #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^9</math> || <math>5597</math> || <math>5767</math> || <math>10173</math> || <math>5146</math> || <math>6204</math> || <math>4923</math> || <math>14629</math> || <math>8670</math> || <math>5599</math> || <math>5020</math> || <math>7781</math> || <math>5082</math> || <math>5848</math> || <math>4665</math> |
| − | |} | |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
| |
| − | |- | |
| − | ! Kongruencje || Rozwiązania
| |
| − | |- | |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | |
| − | |- | |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | |
| − | |- | |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | |
| − | |- | |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math> | |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J51</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K10</span><br/> |
| − | Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
| + | Można pokazać, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą złożoną i istnieje przynajmniej jedna liczba <math>a</math> względnie pierwsza z <math>m</math>, taka że |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | ::<math>a^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | to dla co najmniej połowy liczb <math>b \in [1, m - 1]</math> względnie pierwszych z <math>m</math> jest |
| − | Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci
| |
| | | | |
| − | ::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | ::<math>b^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
| + | Zatem przeprowadzając test Fermata, możemy z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż <math>\tfrac{1}{2}</math> twierdzić, że liczba, która przeszła test, jest liczbą pierwszą. Wykonując test <math>k</math> razy dla <math>k</math> różnych podstaw z przedziału <math>[1, m - 1]</math> możemy z prawdopodobieństwem większym niż <math>1 - \left( \tfrac{1}{2} \right)^k</math> twierdzić, że badana liczba <math>m</math> jest pierwsza. |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
| + | Niestety, istnieją liczby złożone <math>m</math> takie, że |
| | | | |
| − | Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
| + | ::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
| + | dla każdego <math>a</math> względnie pierwszego z <math>m</math>. Liczby te nazywamy liczbami Carmichaela i jest ich nieskończenie wiele. Pokazano, że dla dostatecznie dużych <math>x</math> ilość liczb Carmichaela mniejszych od <math>x</math> przekracza <math>x^{1/3}</math><ref name="Carmichael1"/><ref name="Carmichael2"/><ref name="Carmichael3"/>. Test Fermata jest zatem zbyt zawodny, aby można było go stosować. |
| | | | |
| − | ::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K11</span><br/> |
| | + | Oto wszystkie liczby Carmichaela mniejsze od <math>100 000</math> |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
| + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;" |
| − | | + | | <math>561=3⋅11⋅17</math> || <math>1105=5⋅13⋅17</math> || <math>1729=7⋅13⋅19</math> || <math>2465=5⋅17⋅29</math> |
| − | nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
| + | |- |
| − | | + | | <math>2821=7⋅13⋅31</math> || <math>6601=7⋅23⋅41</math> || <math>8911=7⋅19⋅67</math> || <math>10585=5⋅29⋅73</math> |
| − | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
| + | |- |
| − | | + | | <math>15841=7⋅31⋅73</math> || <math>29341=13⋅37⋅61</math> || <math>41041=7⋅11⋅13⋅41</math> || <math>46657=13⋅37⋅97</math> |
| − | również nie ma rozwiązania.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J52</span><br/>
| |
| − | Rozwiązać kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Rozwiązywanie kongruencji w przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
| |
| − | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math>
| |
| − | | |
| − | Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J53</span><br/>
| |
| − | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
| |
| − | | '''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J54</span><br/>
| |
| − | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
| + | | <math>52633=7⋅73⋅103</math> || <math>62745=3⋅5⋅47⋅89</math> || <math>63973=7⋅13⋅19⋅37</math> || <math>75361=11⋅13⋅17⋅31</math> |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J55</span><br/>
| |
| − | Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
| |
| − | {
| |
| − | '''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
| |
| − | '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
| |
| − | '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
| |
| − | }</span>
| |
| | | | |
| − | Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
| |
| | | | |
| | + | == Test Millera-Rabina == |
| | | | |
| | + | Rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J56</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K12</span><br/> |
| − | Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
| + | Jeśli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>x^2 \equiv 1 \pmod m</math>, to albo <math>x \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>x \equiv 1 \pmod m</math>. |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
| + | Z założenia |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math> | + | ::<math>x^2 \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
| + | Zatem <math>m | (x^2 - 1)</math>, czyli <math>m | (x - 1) (x + 1)</math>. Ponieważ z założenia <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to <math>m</math> dzieli dokładnie jedną z liczb <math>x - 1</math> i <math>x + 1</math>. Istotnie, gdyby <math>m | (x - 1)</math> <math>\text{i} \;\, m | (x + 1)</math>, to <math>m</math> dzieliłaby również ich różnicę równą <math>2</math>, co jest niemożliwe w przypadku gdy <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1618: |
Linia 294: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J57</span><br/> | + | Prace Gary'ego Millera<ref name="Miller1"/> i Michaela Rabina<ref name="Rabin1"/> pozwoliły sformułować znacznie silniejszy test. Podstawą tego testu jest następujące twierdzenie |
| − | Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
| |
| − | | |
| − | :* liczba <math>2</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math>
| |
| − | :* liczba <math>3</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
| |
| − | :* liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, =
| |
| − | \,\,
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | Z zadania J40 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z czterech warunków
| |
| − | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
| |
| − | | |
| − | Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | a z pierwszego i czwartego mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math>
| |
| − | | |
| − | Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
| |
| − | | |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
| |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
| |
| − | | |
| − | Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
| |
| − | | |
| − | Postępując jak wyżej, otrzymujemy
| |
| | | | |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K13</span><br/> |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
| + | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m - 1 = 2^r d</math>, gdzie <math>d</math> jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnego <math>a \in [1, m - 1]</math> jest albo |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
| |
| | | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| + | ::<math>a^d \equiv 1 \pmod m</math> |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | albo |
| | | | |
| | + | ::<math>a^{2^k d} \equiv - 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J58</span><br/> | + | dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>. |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
| + | Rozważmy ciąg <math>r + 1</math> liczb zdefiniowanych następująco |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | ::<math>\begin{array}{l} |
| − | u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
| + | u_0 = a^d\\ |
| − | u & \equiv a \pmod{p_n}
| + | u_1 = a^{2 d} = (a^d)^2\\ |
| − | \end{align}</math> | + | u_2 = a^{2^2 d} = (a^{2 d})^2\\ |
| | + | \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ |
| | + | u_{r - 1} = a^{2^{r - 1} d} = (a^{2^{r - 2}})^2\\ |
| | + | u_r = a^{2^r d} = (a^{2^{r - 1} d})^2 = a^{m - 1} |
| | + | \end{array}</math> |
| | | | |
| − | gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej
| + | Wyrazy ciągu <math>(u_i)</math> są dane wzorem ogólnym |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> | + | ::<math>u_i = a^{2^i d}</math> |
| | | | |
| | + | gdzie <math>i = 0, 1, \ldots, r</math> |
| | | | |
| − | Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy | + | Zauważmy, że mogą zdarzyć się następujące sytuacje |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math> | + | :a) żaden z wyrazów ciągu <math>(u_i)</math> nie przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math> |
| | | | |
| − | wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z tych liczb pierwszych.
| + | :b) wszystkie wyrazy ciągu <math>(u_i)</math> przystają do <math>1</math> modulo <math>m</math> |
| | | | |
| | + | :c) <math>u_k</math> jest pierwszym wyrazem ciągu <math>(u_i)</math>, który przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J29), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
| |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | Co możemy zapisać jako |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | bo <math>8 \, | \, (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
| + | :a) <math>u_i \not\equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, r]</math> |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | :b) <math>u_i \equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, r]</math> |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
| |
| − | </div> | |
| | | | |
| − | Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
| + | :c) <math>u_k \equiv 1 \pmod m \quad</math> dla pewnego <math>k \in [0, r]</math> |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | Z definicji każdy wyraz ciągu <math>(u_i)</math> jest kwadratem poprzedniego. W szczególności oznacza to, że jeżeli dla pewnego <math>k \in [0, r]</math> jest <math>u_k \equiv 1 \pmod m</math>, to <math>u_i \equiv 1 \pmod m</math> dla wszystkich <math>i \geqslant k</math>. Ten fakt pozwala doprecyzować zapis poszczególnych przypadków. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J59 (Sarvadaman Chowla)</span><br/>
| + | :a) <math>u_i \not\equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, r]</math> |
| − | Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | :b) <math>u_0 \equiv 1 \pmod m</math> |
| − | Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że w ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z nich.
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | (zobacz J29 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
| |
| | | | |
| − | ::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math> | + | :c) <math>u_0 \not\equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, k - 1] \quad</math> oraz <math>\quad u_k \equiv 1 \pmod m \quad </math> dla każdego <math>i \in [k, r] , \quad</math> gdzie <math>k \geqslant 1</math> |
| | | | |
| − | Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
| |
| | | | |
| − | ::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
| + | W przypadku a) mamy <math>u_r = a^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m</math>, zatem liczba <math>m</math> byłaby liczbą złożoną, wbrew założeniu, że jest liczbą pierwszą.<br/> |
| | | | |
| − | gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
| + | Przypadek b) jest możliwy (np. dla <math>m = 41</math> i <math>a = 10</math>), ale nie pozwala powiedzieć nic więcej ani o liczbie <math>m</math>, ani o wyrazach ciągu <math>(u_i)</math>, które wszystkie przystają do <math>1</math> modulo <math>m</math>.<br/> |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
| + | W przypadku c) mamy <math>u_k \equiv 1 \pmod m</math>, czyli <math>(u_{k - 1})^2 \equiv 1 \pmod m</math>. Z twierdzenia K12 wiemy, że musi być albo <math>u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>u_{k - 1} \equiv 1 \pmod m</math>. Ale drugi przypadek nie może zachodzić, bo założyliśmy, że <math>u_k</math> jest pierwszym wyrazem ciągu <math>(u_i)</math>, który przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math>. Zatem musi być <math>u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m</math>.<br/> |
| | | | |
| − | Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
| + | Co kończy dowód twierdzenia.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1766: |
Linia 364: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J60</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K14</span><br/> |
| − | W twierdzeniu J58 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie
| + | Złożoną liczbę nieparzystą <math>m</math>, która spełnia twierdzenie K13 dla pewnej liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math>, będziemy nazywali liczbą silnie pseudopierwszą przy podstawie <math>a</math> (w skrócie: SPSP(<math>a</math>)). |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, " ", p); '''break'''() )))</span>
| |
| | | | |
| − | W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
| |
| | | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K15</span><br/> |
| − | |-
| + | Niech <math>a</math> będzie liczbą całkowitą względnie pierwszą z <math>m</math> i <math>a \in [1, m - 1]</math>. Można pokazać, że jeżeli <math>m \neq 9</math> jest liczbą nieparzystą złożoną, to co najwyżej <math>\tfrac{1}{4}</math> liczb <math>a</math> stanowią liczby silnie pseudopierwsze. Zatem w przypadku liczb silnie pseudopierwszych nie istnieje odpowiednik liczb Carmichaela. Czyli nie istnieją liczby złożone nieparzyste <math>m</math>, dla których twierdzenie K13 byłoby prawdziwe dla wszystkich podstaw <math>a</math>. |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{p}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | Wynika stąd, że jeżeli dla <math>k</math> różnych liczb <math>a</math> prawdziwe jest twierdzenie K13, to prawdopodobieństwo uznania liczby złożonej <math>m</math> za pierwszą wynosi <math>\left( \tfrac{1}{4} \right)^k</math>. |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J61</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
| |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K16</span><br/> |
| | + | Wykorzystując twierdzenie K13, możemy napisać w PARI/GP prosty program do testowania pierwszości liczb. |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, a) = |
| − | Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
| + | { |
| | + | '''local'''(d, k, r, x); |
| | + | '''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) ); |
| | + | r = '''valuation'''(m - 1, 2); \\ wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby m - 1 |
| | + | d = (m - 1) / 2^r; |
| | + | x = modPower(a, d, m); |
| | + | '''if'''( x == 1 || x == m - 1, '''return'''(1) ); \\ x = m - 1 to przypadek k == 0 |
| | + | k = 0; |
| | + | '''while'''( k++ < r, |
| | + | x = x^2 % m; |
| | + | '''if'''( x == m - 1, '''return'''(1) ); |
| | + | ); |
| | + | '''return'''(0); |
| | + | }</span> |
| | | | |
| − | ::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
| |
| | | | |
| − | Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K17</span><br/> |
| | + | Pokazać, że jeżeli liczba <math>m</math> jest SPSP(<math>a</math>), to jest PSP(<math>a</math>). |
| | | | |
| − | ::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Z założenia <math>m</math> jest SPSP(<math>a</math>), zatem spełniony jest dokładnie jeden z warunków |
| | | | |
| − | Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
| + | :* <math>a^d \equiv 1 \pmod m</math> |
| | + | :* <math>a^{2^k \cdot d} \equiv - 1 \pmod m</math>, dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math> |
| | | | |
| − | ::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
| + | gdzie <math>m - 1 = 2^r \cdot d</math>, przy czym <math>d</math> jest liczbą nieparzystą. |
| | | | |
| − | Ale z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i łatwo znajdujemy, że
| + | Jeżeli spełniony jest pierwszy warunek, to |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math> | + | ::<math>(a^d)^{2^r} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math> | + | ::<math>a^{2^r \cdot d} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci
| + | Czyli <math>m</math> jest PSP(<math>a</math>). |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
| + | Jeżeli spełniony jest drugi warunek, to |
| | | | |
| − | Skąd otrzymujemy
| + | ::<math>(a^{2^k \cdot d})^{2^{r - k}} \equiv (- 1)^{2^{r - k}} \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math> | + | ::<math>a^{2^r \cdot d} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
| + | Czyli <math>m</math> jest PSP(<math>a</math>).<br/> |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1826: |
Linia 428: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J62*</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K18</span><br/> |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
| + | Pokażemy, że jeżeli <math>m</math> jest PSP(<math>2</math>), to <math>2^m - 1</math> jest SPSP(<math>2</math>). |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
| + | Z założenia <math>m</math> jest złożoną liczbą nieparzystą, zatem <math>N = 2^m - 1</math> jest złożoną liczbą nieparzystą. Ponieważ <math>m</math> jest FPSP(<math>2</math>), to |
| | | | |
| | + | ::<math>2^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math> |
| | | | |
| | + | Wynika stąd natychmiast, że <math>2^{m - 1} - 1 = k m</math>, gdzie <math>k</math> jest liczbą nieparzystą. Zatem |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J63</span><br/>
| + | ::<math>N - 1 = 2^m - 2 = 2 (2^{m - 1} - 1) = 2 k m</math> |
| − | Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
| |
| | | | |
| − | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
| + | Widzimy, że liczba <math>2</math> występuje w pierwszej potędze w rozwinięciu liczby <math>N - 1</math> na czynniki pierwsze i łatwo otrzymujemy, że |
| | | | |
| | + | ::<math>2^{(N - 1) / 2} = 2^{k m} = (2^m)^k = (2^m - 1 + 1)^k = (N + 1)^k \equiv 1 \pmod N</math> |
| | | | |
| | + | Czyli <math>N = 2^m - 1</math> jest SPSP(<math>2</math>). |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J64</span><br/>
| |
| − | Na zakończenie tego tematu podamy jeszcze klika twierdzeń dotyczących liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K19</span><br/> |
| | + | Tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J65</span><br/> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=1; '''forstep'''(m=3, 20000, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, a) && !'''isprime'''(m), '''print'''("a=", a, " m=", m); s++ ); '''if'''( s>5, '''break'''() ) ))</span> |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" |
| − | Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.
| + | ! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math> |
| − | | + | |- |
| − | Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
| + | | || <math>2047</math> || <math>121</math> || <math>341</math> || <math>781</math> || <math>217</math> || <math>25</math> || <math>9</math> || <math>91</math> || <math>9</math> || <math>133</math> || <math>91</math> || <math>85</math> || <math>15</math> || <math>1687</math> |
| − | | + | |- |
| − | Niech <math>3 \leqslant q \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < q</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>q</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>q = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < q</math>. Zauważmy, że żadna z liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>q</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>q</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
| + | | || <math>3277</math> || <math>703</math> || <math>1387</math> || <math>1541</math> || <math>481</math> || <math>325</math> || <math>65</math> || <math>121</math> || <math>91</math> || <math>793</math> || <math>133</math> || <math>1099</math> || <math>841</math> || <math>3277</math> |
| − | | + | |- |
| − | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| + | | || <math>4033</math> || <math>1891</math> || <math>2047</math> || <math>5461</math> || <math>1111</math> || <math>703</math> || <math>481</math> || <math>671</math> || <math>1729</math> || <math>2047</math> || <math>145</math> || <math>5149</math> || <math>2743</math> || <math>6541</math> |
| − | | + | |- |
| − | i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>q</math> wbrew określeniu liczby <math>q</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
| + | | || <math>4681</math> || <math>3281</math> || <math>3277</math> || <math>5611</math> || <math>1261</math> || <math>2101</math> || <math>511</math> || <math>703</math> || <math>4187</math> || <math>4577</math> || <math>247</math> || <math>7107</math> || <math>3277</math> || <math>14041</math> |
| − | □
| + | |- |
| − | {{\Spoiler}}
| + | | || <math>8321</math> || <math>8401</math> || <math>4033</math> || <math>7813</math> || <math>2701</math> || <math>2353</math> || <math>1417</math> || <math>1541</math> || <math>6533</math> || <math>5041</math> || <math>1649</math> || <math>8911</math> || <math>5713</math> || <math>14701</math> |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
| |
| − | | '''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> | |
| | |} | | |} |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J66</span><br/>
| |
| − | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W jednym i drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J67</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
| |
| − |
| |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
| |
| − |
| |
| − | nie ma rozwiązania.
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K20</span><br/> |
| | + | Tabela pokazuje ilość liczb silnie pseudopierwszych dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J68</span><br/> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=0; '''forstep'''(k=3, 10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(k, a) && !'''isprime'''(k), s++ )); '''print'''("a= ", a, " ", s))</span> |
| − | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
| |
| | | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | + | ! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math> |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
| + | | #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^6</math> || <math>46</math> || <math>73</math> || <math>97</math> || <math>64</math> || <math>73</math> || <math>66</math> || <math>127</math> || <math>161</math> || <math>62</math> || <math>58</math> || <math>90</math> || <math>71</math> || <math>74</math> || <math>45</math> |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
| + | | #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^7</math> || <math>162</math> || <math>207</math> || <math>305</math> || <math>199</math> || <math>203</math> || <math>177</math> || <math>377</math> || <math>459</math> || <math>158</math> || <math>157</math> || <math>251</math> || <math>193</math> || <math>190</math> || <math>148</math> |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| + | | #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^8</math> || <math>488</math> || <math>582</math> || <math>833</math> || <math>475</math> || <math>486</math> || <math>446</math> || <math>1023</math> || <math>1241</math> || <math>437</math> || <math>430</math> || <math>666</math> || <math>472</math> || <math>440</math> || <math>398</math> |
| − | | <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math> | |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
| + | | #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^9</math> || <math>1282</math> || <math>1514</math> || <math>2162</math> || <math>1268</math> || <math>1232</math> || <math>1163</math> || <math>2599</math> || <math>3210</math> || <math>1113</math> || <math>1125</math> || <math>1655</math> || <math>1142</math> || <math>1151</math> || <math>1041</math> |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | + | Widzimy, że liczb silnie pseudopierwszych jest znacznie mniej niż liczb pseudopierwszych Fermata. |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J69</span><br/>
| |
| − | Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
| |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K21</span><br/> |
| − | {
| + | Interesujące i pożyteczne będzie zbadanie najmniejszych liczb silnie pseudopierwszych dla wielu podstaw. Niech badanymi podstawami będą kolejne liczby pierwsze. Najmniejszą liczbę SPSP(<math>2</math>) już znamy: <math>2047</math>. Najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie SPSP(<math>2</math>) i SPSP(<math>3</math>) musimy poszukać. Prostym poleceniem |
| − | '''local'''(p, res);
| |
| − | p = 1;
| |
| − | '''while'''( p < m,
| |
| − | p = '''nextprime'''(p + 1);
| |
| − | '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
| |
| − | res = -1;
| |
| − | '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
| |
| − | '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
| |
| − | );
| |
| − | }</span>
| |
| | | | |
| − | Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 2*10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2) && isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3) && !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span> |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
| + | znajdujemy, że <math>m = 1373653</math>. Więcej czasu będzie wymagało znalezienie liczby jednocześnie silnie pseudopierwszej względem podstaw <math>2, 3, 5</math>. Poleceniem |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
| |
| − | {
| |
| − | '''local'''(p, res, t);
| |
| − | t = m%8;
| |
| − | '''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
| |
| − | t = m%12;
| |
| − | '''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
| |
| − | t = m%24;
| |
| − | '''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
| |
| − | '''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
| |
| − | t = m%30;
| |
| − | '''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
| |
| − | p = 1;
| |
| − | '''while'''( p < m,
| |
| − | p = '''nextprime'''(p + 1);
| |
| − | '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
| |
| − | res = -1;
| |
| − | '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
| |
| − | '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
| |
| − | );
| |
| − | }</span>
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J70</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J71</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Z twierdzenia J35 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J72</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków
| |
| − | | |
| − | :* <math>4 \, | \, m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math>
| |
| − | :* <math>m = 12 k \pm 4</math>
| |
| − | | |
| − | to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \, | \, m .</math> Rozważmy kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia <math>4 \, | \, m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \, | \, m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z twierdzenia J49 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
| |
| − | | |
| − | Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | m &\equiv 0 \pmod{4} \\
| |
| − | m &\equiv 1 \pmod{3}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | oraz
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | m &\equiv 0 \pmod{4} \\
| |
| − | m &\equiv 2 \pmod{3}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
| |
| − | | |
| − | ::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J73</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Zapiszmy <math>m</math> w postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
| |
| − | | |
| − | miała rozwiązanie, to również kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
| |
| − | | |
| − | miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J40), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \, | \, m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J74</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia <math>p \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
| |
| − | | |
| − | Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J35).<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J75</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia <math>p \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ <math>2 \, | \, m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
| |
| − | | |
| − | Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J40).<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J76</span><br/>
| |
| − | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia <math>3 \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 26*10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2) && isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3) && isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 5) && !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ <math>2 \, | \, m</math>, <math>3 \, | \, m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
| + | znajdujemy, że szukana liczba to <math>m = 25326001</math>. |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | Stosując bardziej wyrafinowane metody<ref name="SPSPtoNbases"/><ref name="Jaeschke1"/> znaleziono wartości liczb silnie pseudopierwszych względem wielu podstaw, które są kolejnymi liczbami pierwszymi, dla większej ilości liczb pierwszych<ref name="A014233"/>. Dla przykładu |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J77</span><br/>
| + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;" |
| − | Uogólnienie twierdzenia J76 będzie wymagało udowodnienia twierdzenia pomocniczego J78.
| + | ! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{m}</math> |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J78</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Łatwo sprawdzamy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | | |
| − | (zobacz J35 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
| |
| − | | |
| − | '''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{4}}</math>
| |
| − | | |
| − | Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z twierdzenia J65 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z twierdzenia J35 p.9 otrzymujemy natychmiast
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | '''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{4}}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia <math>p \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, zatem <math>p = 4 k + 3</math>. Liczba <math>k</math> może być postaci <math>k = 3 j</math>, <math>\, k = 3 j + 1 \,</math> i <math>\, k = 3 j + 2</math>, co odpowiada liczbom pierwszym postaci <math>p = 12 j + 3</math>, <math>\, p = 12 j + 7 \,</math> i <math>\, p = 12 j + 11</math>.
| |
| − | | |
| − | Ponieważ nie ma liczb pierwszych <math>p \geqslant 13</math> i będących postaci <math>p = 12 j + 3</math>, to pozostaje rozważyć przypadki <math>p = 12 j + 7 \,</math> i <math>\, p = 12 j + 11 .</math>
| |
| − | | |
| − | '''A. Liczby pierwsze postaci ''' <math>\boldsymbol{p = 12 j + 11}</math>
| |
| − | | |
| − | Wiemy, że w tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J40). Mamy
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Czyli wystarczy przyjąć <math>q = 3</math>.
| |
| − | | |
| − | '''B. Liczby pierwsze postaci ''' <math>\boldsymbol{p = 12 j + 7}</math>
| |
| − | | |
| − | Wiemy, że w tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J35 p.6 oraz J40). Otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ liczba <math>p - 12</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W przeciwnym razie z twierdzenia J35 p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J79</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z twierdzenia J78 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z założenia <math>q \, | \, m</math>, zatem kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J80</span><br/>
| |
| − | Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;" | |
| − | |-
| |
| − | ! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi | |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J74 | + | | <math>1</math> || <math>2047</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> | + | | <math>2</math> || <math>1373653</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> | + | | <math>3</math> || <math>25326001</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | J75 | + | | <math>4</math> || <math>3215031751</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | J76, J79 | + | | <math>5</math> || <math>2152302898747</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> | + | | <math>6</math> || <math>3474749660383</math> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J79 | + | | <math>7</math> || <math>341550071728321</math> |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
| |
| − | |- | |
| − | | <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> | |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | + | Podane w prawej kolumnie liczby <math>m</math> są najmniejszymi liczbami jednocześnie silnie pseudopierwszymi względem podstaw <math>p_1, \ldots, p_n</math>. Zauważmy, że wyniki te mają bardzo praktyczne zastosowanie. Przykładowo, jeśli <math>m</math> przechodzi test Millera-Rabina dla siedmiu podstaw <math>a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17</math> i jest liczbą mniejszą od <math>3.41 \cdot 10^{14}</math>, to jest z pewnością liczbą pierwszą. |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J81</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
| |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{array}{lll}
| |
| − | \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
| |
| − | \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
| |
| − | \end{array}</math>
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | == Uzupełnienie == |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K22</span><br/> |
| | + | W funkcji <code>isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowane w PARI/GP funkcje: |
| | | | |
| − | W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
| + | * <code>gcd(a, b)</code> – znajduje największy wspólny dzielnik liczb a i b |
| | + | * <code>valuation(a, b)</code> – znajduje największą wartość liczby <math>r</math> taką, że <math>b^r | a</math> |
| | | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| + | Wprowadzenie tych funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy sami je napisać: |
| | | | |
| − | Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">gcd2(a, b) = |
| | + | { |
| | + | '''while'''( b <> 0, a = b; b = a % b ); |
| | + | '''return'''(a); |
| | + | }</span> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math>
| |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \, | \, 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">valuation2(a, b) = |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
| |
| − | | |
| − | również nie ma rozwiązania (zobacz J49).
| |
| − | | |
| − | Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
| |
| − | | |
| − | możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\ | |
| − | x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
| |
| − | | |
| − | ::<math>x'_0 =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
| |
| − | x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J82</span><br/> | |
| − | Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{array}{lllll}
| |
| − | \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \, | \, m \\
| |
| − | \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
| |
| − | \end{array}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia J74 wynika, że w przypadku, gdy <math>3 \, | \, m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \, | \, 4 m</math> i <math>3 \, | \, 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \, | \, 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z twierdzenia J49 wynika, że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \, | \, 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J83</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \, | \, m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ z założenia <math>p \, | \, m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J84</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i powiązany z dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J83). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
| |
| − | | |
| − | Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
| |
| − | | |
| − | musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J43 wiemy, że wtedy kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
| |
| − | | |
| − | również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J85</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia J84, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
| |
| − | | |
| − | Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J86</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia J84 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
| |
| − | | |
| − | Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J61 i J62.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J87</span><br/>
| |
| − | Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
| |
| − | | '''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J88</span><br/>
| |
| − | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J89</span><br/>
| |
| − | Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =
| |
| | { | | { |
| − | '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) ); | + | '''local'''(s); |
| − | '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); | + | s = 0; |
| − | '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) )); | + | '''while'''(a % b == 0, s++; a = a / b); |
| | + | '''return'''(s); |
| | }</span> | | }</span> |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J90</span><br/>
| |
| − | Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
| |
| − |
| |
| − | Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
| |
| − |
| |
| − | Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J61. Łatwo zauważamy, że
| |
| − |
| |
| − | ::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
| |
| − |
| |
| − | Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J91</span><br/>
| |
| − | Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
| |
| − |
| |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
| |
| − |
| |
| − | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − |
| |
| − | Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| Linia 2432: |
Linia 569: |
| | <references> | | <references> |
| | | | |
| − | <ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref> | + | <ref name="Carmichael1">W. R. Alford, Andrew Granville and Carl Pomerance, ''There are Infinitely Many Carmichael Numbers'', Annals of Mathematics, '''140''', (1994), 703-722</ref> |
| − | | |
| − | <ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref>
| |
| | | | |
| − | <ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref> | + | <ref name="Carmichael2">Glyn Harman, ''On the Number of Carmichael Numbers up to x'', Bull. London Math. Soc. 37 (2005) 641–650</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="sumazbiorow">Wikipedia, ''Zasada włączeń i wyłączeń'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle Wiki-en])</ref> | + | <ref name="Carmichael3">Glyn Harman, ''Watt’s Mean Value Theorem and Carmichael Numbers'', International Journal of Number Theory, Vol. 4, No. 2 (2008) 241–248</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref> | + | <ref name="Miller1">Gary L. Miller, ''Riemann's Hypothesis and Tests for Primality'', Journal of Computer and System Sciences '''13''', 300-317 (1976)</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref> | + | <ref name="Rabin1">Michael O. Rabin, ''Probabilistic Algorithm for Testing Primality'', Journal of Number Theory '''12''', 128-138 (1980)</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="Norton1">Karl K. Norton, ''Numbers with Small Prime Factors, and the Least ''k''th Power Non-Residue'', Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)</ref> | + | <ref name="SPSPtoNbases">Carl Pomerance, J. L. Selfridge and Samuel S. Wagstaff, Jr., ''The Pseudoprimes to 25*10^9'', Mathematics of Computation, Vol. 35, No. 151 (1980), 1003-1026</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="Trevino1">Enrique Treviño, ''The least k-th power non-residue'', Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)</ref> | + | <ref name="Jaeschke1">Gerhard Jaeschke, ''On Strong Pseudoprimes to Several Bases'', Mathematics of Computation, Vol. 61, No. 204 (Oct., 1993), 915-926</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="Trevino2">Kevin J. McGown and Enrique Treviño, ''The least quadratic non-residue'', Mexican Mathematicians in the World (2021)</ref> | + | <ref name="A014233">On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''Smallest odd number for which Miller-Rabin primality test on bases <= n-th prime does not reveal compositeness'', ([https://oeis.org/A014233 A014233])</ref> |
| − | | |
| − | <ref name="Erdos1">Paul Erdős, ''Számelméleti megjegyzések I'', Afar. Lapok, v. 12 (1961)</ref> | |
| − | | |
| − | <ref name="Pollack1">Paul Pollack, ''The average least quadratic nonresidue modulo <math>m</math> and other variations on a theme of Erdős'', Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.</ref>
| |
| | | | |
| | </references> | | </references> |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| | | | |
| | | | |