Różnica pomiędzy stronami "Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Fermata i liczby silnie pseudopierwsze" i "Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW"

Z Henryk Dąbrowski
(Różnica między stronami)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
 
 
Linia 1: Linia 1:
−
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">11.11.2022</div>
+
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">11.01.2023</div>
  
 
__FORCETOC__
 
__FORCETOC__
Linia 5: Linia 5:
  
  
−
== Potęgowanie modulo ==
+
== Ciągi Lucasa ==
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K1</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L1</span><br/>
−
Z twierdzenia Fermata (zobacz J19) wynika, że jeżeli liczby <math>a</math> i <math>m</math> są względnie pierwsze oraz <math>m</math> nie dzieli liczby <math>a^{m - 1} - 1</math>, to <math>m</math> jest liczbą złożoną. Każde twierdzenie pozwalające wykryć złożoność liczby może być wykorzystane do badania pierwszości liczb. Twierdzenia takie nie dają całkowitej pewności, że badana liczba jest pierwsza. Mamy na przykład <math>341 = 11 \cdot 31</math>, ale <math>341 | (2^{340} - 1)</math>, bo
+
Niech <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> oraz <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>. Ciągi Lucasa <math>U_n = U_n (P, Q)</math> i <math>V_n = V_n (P, Q)</math> definiujemy następująco
  
−
::<math>2^{340} - 1 = 2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115775</math>
+
::<math>U_n = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}}</math>
  
−
::::<math>\;\;\; = 341 \cdot 6568166399348399444449977362370804334667582103327417990909058947107894050381703652143335757394742275</math>
+
::<math>V_n = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
Widzimy, że nawet dla niewielkiej liczby <math>341</math>, potęga <math>2^{340} - 1</math> jest liczbą ogromną. Jeśli ta metoda ma mieć jakiekolwiek zastosowanie, to musimy znaleźć inny sposób obliczania reszty z&nbsp;dzielenia <math>a^n</math> przez <math>m</math>, czyli potęgowania modulo <math>m</math>.
+
gdzie liczby
  
 +
::<math>\alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}}</math>
  
 +
::<math>\beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K2</span><br/>
+
są pierwiastkami równania <math>x^2 - P x + Q = 0</math>.
−
Wykorzystując wzór rekurencyjny
 
  
−
::<math>a^n = \left\{ \begin{array}{cll}
 
−
  a &  & \text{gdy } n = 1\\
 
−
  (a^2)^{{\large\frac{n}{2}}} &  & \text{gdy } n \text{ jest parzyste}\\
 
−
  a \cdot (a^2)^{{\large\frac{n - 1}{2}}} &  & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste}
 
−
\end{array} \right.</math>
 
  
  
−
możemy napisać w&nbsp;PARI/GP prosty program do potęgowania modulo:
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L2</span><br/>
 +
Zauważmy, że:
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">modPower(a, n, m) =  
+
::<math>P = \alpha + \beta</math>
−
\\ a - podstawa, n - wykładnik, m - moduł
+
 
−
  {
+
::<math>Q = \alpha \beta</math>
−
  '''local'''(w);
+
 
−
  '''if'''( m == 1, '''return'''(0) );
+
::<math>\sqrt{D} = \alpha - \beta</math>
−
a = a % m;
+
 
−
w = 1;
+
::<math>U_0 = 0</math>, <math>U_1 = 1</math>, <math>V_0 = 2</math> i <math>V_1 = P</math>
−
  '''while'''( n > 0,
+
 
−
        '''if'''( n % 2 == 1, w = (w * a) % m; n = n - 1); \\ gdy n&nbsp;jest nieparzyste, wyłączamy a&nbsp;i&nbsp;zmniejszamy n&nbsp;o&nbsp;jeden
+
 
−
        a = (a*a) % m; \\ wyliczamy nową podstawę modulo m
+
Warunek <math>P^2 - 4 Q \neq 0</math> wyklucza następujące pary <math>(P, Q)</math>
−
        n = n/2; \\ dla nowej podstawy wykładnik jest dwa razy mniejszy
+
 
−
      );
+
::<math>(0, 0), (\pm 2, 1), (\pm 4, 4), (\pm 6, 9), (\pm 8, 16), (\pm 10, 25), (\pm 12, 36), ..., (\pm 2 n, n^2), ...</math>
−
'''return'''(w);
+
 
−
}</span>
+
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L3</span><br/>
 +
Oczywiście liczby <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> są również pierwiastkami równania
 +
 
 +
::<math>x^{n + 2} - P x^{n + 1} + Q x^n = 0</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że ciągi <math>(\alpha^n)</math> i <math>(\beta^n)</math> spełniają równania rekurencyjne
 +
 
 +
::<math>\alpha^{n + 2} = P \alpha^{n + 1} - Q \alpha^n</math>
 +
 
 +
::<math>\beta^{n + 2} = P \beta^{n + 1} - Q \beta^n</math>
 +
 
 +
Ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> spełniają identyczne równania rekurencyjne jak ciągi <math>(\alpha^n)</math> i <math>(\beta^n)</math>. Istotnie, odejmując i&nbsp;dodając stronami wypisane powyżej równania, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>U_{n + 2} = P U_{n + 1} - Q U_n</math>
 +
 
 +
::<math>V_{n + 2} = P V_{n + 1} - Q V_n</math>
 +
 
 +
Dlatego możemy zdefiniować ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> w&nbsp;sposób równoważny
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L4</span><br/>
 +
Niech <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> oraz <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>. Ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> określone są następującymi wzorami rekurencyjnymi
 +
 
 +
::<math>U_0 = 0</math>, <math>U_1 = 1</math>, <math>U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}</math>
 +
 
 +
::<math>V_0 = 2</math>, <math>V_1 = P</math>, <math>V_n = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L5</span><br/>
 +
Początkowe wyrazy ciągów Lucasa
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{U_n (P, Q)}</math> !! <math>\boldsymbol{V_n (P, Q)}</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>0</math>&nbsp;&nbsp; || <math>0</math> || <math>2</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>1</math>&nbsp;&nbsp; || <math>1</math> || <math>P</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>2</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P</math> || <math>P^2 - 2 Q</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>3</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^2 - Q</math> || <math>P^3 - 3 P Q</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>4</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^3 - 2 P Q</math> || <math>P^4 - 4 P^2 Q + 2 Q^2</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>5</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^4 - 3 P^2 Q + Q^2</math> || <math>P^5 - 5 P^3 Q + 5 P Q^2</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>6</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^5 - 4 P^3 Q + 3 P Q^2</math> || <math>P^6 - 6 P^4 Q + 9 P^2 Q^2 - 2 Q^3</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>7</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^6 - 5 P^4 Q + 6 P^2 Q^2 - Q^3</math> || <math>P^7 - 7 P^5 Q + 14 P^3 Q^2 - 7 P Q^3</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>8</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^7 - 6 P^5 Q + 10 P^3 Q^2 - 4 P Q^3</math> || <math>P^8 - 8 P^6 Q + 20 P^4 Q^2 - 16 P^2 Q^3 + 2 Q^4</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>9</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^8 - 7 P^6 Q + 15 P^4 Q^2 - 10 P^2 Q^3 + Q^4</math> || <math>P^9 - 9 P^7 Q + 27 P^5 Q^2 - 30 P^3 Q^3 + 9 P Q^4</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L6</span><br/>
 +
W PARI/GP możemy napisać prosty kod, który pozwoli obliczyć wartości wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasU(n, P, Q) = '''if'''( n == 0, 0, '''if'''( n == 1, 1, P*LucasU(n-1, P, Q) - Q*LucasU(n-2, P, Q) ) )</span>
 +
 
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasV(n, P, Q) = '''if'''( n == 0, 2, '''if'''( n == 1, P, P*LucasV(n-1, P, Q) - Q*LucasV(n-2, P, Q) ) )</span>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L7</span><br/>
 +
Niech <math>D = P^2 - 4 Q</math>. Wyrazy ciągów Lucasa można przedstawić w&nbsp;postaci sumy
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Oznaczmy <math>\delta = \sqrt{D}</math>, zatem <math>2 \alpha = P + \delta</math> i <math>2 \beta = P - \delta</math>. Ze wzoru dwumianowego, mamy
 +
 
 +
::<math>2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j</math>
 +
 
 +
::<math>2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j</math>
 +
 
 +
Obliczając sumę powyższych wzorów, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>2^n (\alpha^n + \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j + (- \delta)^j)</math>
 +
 
 +
:::::<math>\quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} \cdot 2 \delta^{2 k}</math>
 +
 
 +
:::::<math>\quad \: = 2 \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
 +
 
 +
gdzie <math>j = 2 k</math> i&nbsp;sumowanie przebiega od <math>k = 0</math> do <math>k = \lfloor n / 2 \rfloor</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
 +
 
 +
 
 +
Obliczając różnicę tych wzorów, mamy
 +
 
 +
::<math>2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j)</math>
 +
 
 +
:::::<math>\quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} \cdot 2 \delta^{2 k + 1}</math>
 +
 
 +
:::::<math>\quad \: = 2 \delta \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
 +
 
 +
gdzie <math>j = 2 k + 1</math> i&nbsp;sumowanie przebiega od <math>k = 0</math> do <math>k = \lfloor (n - 1) / 2 \rfloor</math>
 +
 
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} = 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L8</span><br/>
 +
Korzystając z&nbsp;twierdzenia L7, możemy napisać proste funkcje do znajdowania postaci kolejnych wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">U(n) = 2^(1 - n)*'''sum'''(k=0, '''floor'''((n-1)/2), '''binomial'''(n, 2*k+1) * P^(n-2*k-1) * (P^2-4*Q)^k)</span>
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">V(n) = 2^(1 - n)*'''sum'''(k=0, '''floor'''(n/2), '''binomial'''(n, 2*k) * P^(n-2*k) * (P^2-4*Q)^k)</span>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Często możemy spotkać założenie <math>P \geqslant 1</math>. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego tak jest.
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L9</span><br/>
 +
Jeżeli <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> są ciągami Lucasa, to
 +
 
 +
::<math>U_n (- P, Q) = (- 1)^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_n (- P, Q) = (- 1)^n V_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech
 +
 
 +
::<math>\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad \;\; \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}</math>
 +
 
 +
::<math>a = \frac{- P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad b = \frac{- P - \sqrt{D}}{2}</math>
 +
 
 +
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
 +
 
 +
::<math>x^2 - P x + Q = 0</math>
 +
 
 +
::<math>x^2 + P x + Q = 0</math>
 +
 
 +
Zatem definiują one ciągi Lucasa
 +
 
 +
::<math>U_n (P, Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \qquad \qquad \;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
 +
 
 +
::<math>U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} \qquad \qquad V_n (- P, Q) = a^n + b^n</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{D}</math>
 +
 
 +
::<math>\frac{a}{\beta} = \frac{b}{\alpha} = - 1</math>
 +
 
 +
Łatwo znajdujemy
 +
 
 +
::<math>U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} = \frac{(- \beta)^n - (- \alpha)^n}{\sqrt{D}} = (- 1)^n \cdot \frac{\beta^n - \alpha^n}{\alpha - \beta} = (- 1)^{n - 1} \cdot U_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_n (- P, Q) = a^n + b^n = (- \beta)^n + (- \alpha)^n = (- 1)^n \cdot (\alpha^n + \beta^n) = (- 1)^n \cdot V_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L10</span><br/>
 +
Pokazać, że jeżeli <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> i <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>, to
 +
 
 +
::<math>U_n (2 P, 4 Q) = 2^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_n (2 P, 4 Q) = 2^n V_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech
 +
 
 +
::<math>\alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} \qquad \qquad \;\; \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}}</math>
 +
 
 +
::<math>a = P + \sqrt{D} \qquad \qquad \;\; b = P - \sqrt{D}</math>
 +
 
 +
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
 +
 
 +
::<math>x^2 - P x + Q = 0</math>
 +
 
 +
::<math>x^2 - 2 P x + 4 Q = 0</math>
 +
 
 +
Zatem definiują one ciągi Lucasa
 +
 
 +
::<math>U_n (P, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \;\;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
 +
 
 +
::<math>U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>\alpha - \beta = \sqrt{D}</math>
 +
 
 +
::<math>a - b = 2 \sqrt{D}</math>
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{b}{\beta}} = 2</math>
 +
 
 +
Łatwo znajdujemy
 +
 
 +
::<math>U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} = {\small\frac{(2 \alpha)^n - (2 \beta)^n}{2 \sqrt{D}}} = 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = 2^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n = (2 \alpha)^n + (2 \beta)^n = 2^n (\alpha^n + \beta^n) = 2^n V_n (P, Q)</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L11</span><br/>
 +
Pokazać, że jeżeli <math>Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> oraz <math>P = 4 Q - 1</math>, to
 +
 
 +
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech
 +
 
 +
::<math>\alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{- P}}{2}}</math>
 +
 
 +
::<math>a = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{2}}</math>
 +
 
 +
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
 +
 
 +
::<math>x^2 - x + {\small\frac{P + 1}{4}} = 0</math>
 +
 
 +
::<math>x^2 - P x + {\small\frac{P (P + 1)}{4}} = 0</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>P = 4 Q - 1</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>x^2 - x + Q = 0</math>
 +
 
 +
::<math>x^2 - P x + P Q = 0</math>
 +
 
 +
Czyli definiują one ciągi Lucasa
 +
 
 +
::<math>U_n (1, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \:\:\: V_n (1, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
 +
 
 +
::<math>U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{- P}</math>
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{a}{\beta}} = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{1 - \sqrt{- P}}} = \sqrt{- P}</math>
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{b}{\alpha}} = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{1 + \sqrt{- P}}} = - \sqrt{- P}</math>
 +
 
 +
 
 +
Łatwo znajdujemy
 +
 
 +
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k}}{\sqrt{- P}} = \frac{(- P)^k (\beta^{2 k} - \alpha^{2 k})}{\alpha - \beta} = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q)</math>
 +
 
 +
 
 +
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = (- P)^k (\beta^{2 k + 1} + \alpha^{2 k + 1}) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q)</math>
 +
 
 +
 
 +
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k} = (- P)^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q)</math>
 +
 
 +
 
 +
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} = (- P)^{k + 1} \cdot \frac{\beta^{2 k + 1} - \alpha^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q)</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L12</span><br/>
 +
Pokazać, że jeżeli <math>Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> oraz <math>P = 4 Q + 1</math>, to
 +
 
 +
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = P^k U_{2 k} (1, - Q)</math>
 +
 
 +
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = P^k V_{2 k} (1, - Q)</math>
 +
 
 +
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech
 +
 
 +
::<math>\alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{P}}{2}}</math>
 +
 
 +
::<math>a = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{2}}</math>
  
 +
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
  
−
Zauważmy, że w&nbsp;funkcji <code>modPower()</code> nie występują wyrażenia o&nbsp;wartości większej od <math>m^2</math>.
+
::<math>x^2 - x - {\small\frac{P - 1}{4}} = 0</math>
  
 +
::<math>x^2 - P x + {\small\frac{P (P - 1)}{4}} = 0</math>
  
 +
Z założenia <math>P = 4 Q + 1</math>, zatem
  
 +
::<math>x^2 - x - Q = 0</math>
  
 +
::<math>x^2 - P x + P Q = 0</math>
  
−
== Liczby pseudopierwsze Fermata ==
+
Czyli definiują one ciągi Lucasa
  
−
Liczby złożone nieparzyste spełniające równanie Fermata, otrzymały własną nazwę.
+
::<math>U_n (1, - Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad V_n (1, - Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K3</span><br/>
+
::<math>U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n</math>
−
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną nieparzystą i&nbsp;dla pewnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> prawdziwa jest kongruencja
 
  
−
::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math>
+
Zauważmy, że
  
−
to powiemy, że <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math> lub krótko: <math>m</math> jest PSP(<math>a</math>).
+
::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{P}</math>
  
 +
::<math>{\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{1 + \sqrt{P}}} = \sqrt{P}</math>
  
 +
::<math>{\small\frac{b}{\beta}} = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{1 - \sqrt{P}}} = - \sqrt{P}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K4</span><br/>
 
−
Zauważmy, że w&nbsp;definicji liczb pseudopierwszych Fermata nie musimy dodatkowo dołączać warunku <math>\gcd (a, m) = 1</math>, bo wynika on z&nbsp;przyjętej definicji. Mamy
 
  
−
::<math>\gcd (a^{m - 1}, m) = \gcd (1, m) = 1</math>
+
Łatwo znajdujemy
  
−
Zatem <math>\gcd (a, m) = 1</math>.
+
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k}}{\sqrt{P}} = \frac{P^k (\alpha^{2 k} - \beta^{2 k})}{\alpha - \beta} = P^k U_{2 k} (1, - Q)</math>
  
−
Możemy też łatwo pokazać, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = d > 1</math>, to liczba <math>m</math> nie może być liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy
 
  
−
::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod{m}</math>
+
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^k (\alpha^{2 k + 1} + \beta^{2 k + 1}) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
  
−
Ponieważ <math>d|m</math>, to jest również
 
  
−
::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod{d}</math>
+
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k} = P^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = P^k V_{2 k} (1, - Q)</math>
  
−
Ale modulo <math>d</math> otrzymujemy natychmiast
 
  
−
::<math>0 \equiv 1 \pmod{d}</math>
+
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} = P^{k + 1} \cdot \frac{\alpha^{2 k + 1} - \beta^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
  
−
Co jest niemożliwe, czyli <math>m</math> nie jest PSP(<math>a</math>).
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K5</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L13</span><br/>
−
Dla każdej podstawy <math>a \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych Fermata.
+
Dla wyrazów ciągów Lucasa prawdziwe są wzory
 +
 
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
 +
|-
 +
| <math>1.</math> || <math>U_{m + n} = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>2.</math> || <math>V_{m + n} = V_m V_n - Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>3.</math> || <math>U_{m + n} = U_m V_n - Q^n U_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>4.</math> || <math>V_{m + n} = D U_m U_n + Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>5.</math> || <math>U_m V_n - V_m U_n = 2 Q^n U_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>6.</math> || <math>U^2_n = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1}</math> ||
 +
|-
 +
| <math>7.</math> || <math>V^2_n = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1}</math> ||
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
 +
|-
 +
| <math>\;\; 8.</math> || <math>2 U_{m + n} = U_m V_n + V_m U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>\;\; 9.</math> || <math>2 V_{m + n} = V_m V_n + D U_m U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>10.</math> || <math>V_m V_n - D U_m U_n = 2 Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>11.</math> || <math>U_{2 n} = U_n V_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>12.</math> || <math>V_{2 n} = V^2_n - 2 Q^n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>13.</math> || <math>V_{2 n} = D U^2_n + 2 Q^n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>14.</math> || <math>V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>15.</math> || <math>D U_n = 2 V_{n + 1} - P V_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>16.</math> || <math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>17.</math> || <math>D U_n = V_{n + 1} - Q V_{n - 1}</math> || <math>n \geqslant 1</math>
 +
|-
 +
| <math>18.</math> || <math>V_n = U_{n + 1} - Q U_{n - 1}</math> || <math>n \geqslant 1</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
 +
|-
 +
| <math>19.</math> || <math>U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n</math>
 +
|-
 +
| <math>20.</math> || <math>U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n</math>
 +
|-
 +
| <math>21.</math> || <math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
 +
|}
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>a \geqslant 2</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
+
'''Wzory 1. - 7. najłatwiej udowodnić korzystając z&nbsp;definicji L1.'''
 +
 
 +
Wzór 1.
 +
 
 +
::<math>U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}}</math>
 +
 
 +
:::<math>\quad \: = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} - \alpha \beta \cdot {\small\frac{\alpha^{m - 1} - \beta^{m - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}</math>
 +
 
 +
:::<math>\quad \: = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n</math>
 +
 
 +
 
 +
Wzór 2.
 +
 
 +
::<math>V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n}</math>
 +
 
 +
:::<math>\quad \;\! = (\alpha^m + \beta^m) (\alpha^n + \beta^n) - \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n})</math>
 +
 
 +
:::<math>\quad \;\! = V_m V_n - Q^n V_{m - n}</math>
 +
 
 +
 
 +
Wzór 3.
 +
 
 +
::<math>U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}}</math>
 +
 
 +
:::<math>\quad \: = {\small\frac{(\alpha^m - \beta^m) (\alpha^n + \beta^n)}{\alpha - \beta}} - {\small\frac{\alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} - \beta^{m - n})}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
::<math>a^p - 1 = (a - 1) (a^{p - 1} + a^{p - 2} + \ldots + a^2 + a + 1)</math>
+
:::<math>\quad \: = U_m V_n - Q^n U_{m - n}</math>
  
−
oraz
 
  
−
::<math>a^p + 1 = (a + 1) (a^{p - 1} - a^{p - 2} + \ldots + a^2 - a + 1)</math>
+
Wzór 4.
  
−
Czyli <math>a - 1 | a^p - 1</math> oraz <math>a + 1 | a^p + 1</math>.
+
::<math>V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n}</math>
  
 +
:::<math>\quad \;\! = (\alpha - \beta)^2 \cdot {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} + \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n})</math>
  
−
Jeżeli przez <math>R_2 (a)</math> oznaczymy resztę z&nbsp;dzielenia liczby <math>a</math> przez <math>2</math> równą <math>0</math> lub <math>1</math>, to prawdziwe są kongruencje
+
:::<math>\quad \;\! = D U_m U_n + Q^n V_{m - n}</math>
  
−
::<math>a \equiv R_2 (a) \pmod 2</math>
 
  
−
oraz
+
Wzór 5.
  
−
::<math>a^n \equiv R_2 (a) \pmod 2</math>
+
::<math>U_m V_n - V_m U_n = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^m + \beta^m) \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej <math>n</math>. Zatem modulo <math>2</math> jest
+
::::::<math>\;\;\: = 2 \cdot \alpha^n \beta^n \cdot {\small\frac{\alpha^{m - n} - \beta^{m - n}}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
::<math>{\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \equiv R_2 (a) \cdot (p - 1) + 1 \equiv 1 \pmod 2</math>
+
::::::<math>\;\;\: = 2 Q^n U_{m - n}</math>
  
−
::<math>{\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod 2</math>
 
  
−
Co oznacza, że
+
Wzór 6.
  
−
::<math>m = {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \cdot {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod 2</math>
+
::<math>U^2_n = \left( {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \right)^2</math>
  
−
Czyli <math>m</math> jest '''złożoną liczbą nieparzystą'''. Pozostaje pokazać, że <math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math>.
+
:::<math>\;\! = {\small\frac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} + \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1}</math>
  
 +
:::<math>\;\! = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1}</math>
  
−
Z twierdzenia Fermata wiemy, że
 
  
−
::<math>a^p - 1 \equiv a - 1 \pmod p</math>
+
Wzór 7.
  
−
Ponieważ <math>(a - 1) | (a^p - 1)</math>, to możemy napisać
+
::<math>V^2_n = (\alpha^n + \beta^n)^2</math>
  
−
::<math>(a - 1) \cdot \left( {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} - 1 \right) \equiv 0 \pmod p</math>
+
:::<math>\;\! = (\alpha^{n - 1} + \beta^{n - 1}) (\alpha^{n + 1} + \beta^{n + 1}) - (\alpha - \beta)^2 \cdot \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1}</math>
  
−
Z założenia <math>p \nmid (a - 1)</math>, zatem liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić <math>{\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} - 1</math> i&nbsp;otrzymujemy
+
:::<math>\;\! = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1}</math>
  
−
::<math>{\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \equiv 1 \pmod p</math>
 
  
−
Postępując analogicznie jak wyżej, dostajemy
+
'''Wzory 8. - 18. można łatwo udowodnić, korzystając ze wzorów 1. - 7.'''
  
−
::<math>a^p + 1 \equiv a + 1 \pmod p</math>
+
Wzór 8. Policzyć sumę wzoru 3. pomnożonego przez <math>2</math> i&nbsp;wzoru 5.
  
−
::<math>(a + 1) \cdot \left( {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} - 1 \right) \equiv 0 \pmod p</math>
+
Wzór 9. Policzyć sumę wzorów 2. i 4.
  
−
::<math>{\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod p</math>
+
Wzór 10. Połączyć wzory 2. i 4.
  
−
Wynika stąd, że <math>m \equiv 1 \pmod p</math>.
+
Wzór 11. We wzorze 3. położyć <math>m = n</math>.
  
−
Zbierając mamy <math>2| (m - 1)</math> i <math>p| (m - 1)</math>, zatem <math>2 p| (m - 1)</math>, czyli
+
Wzór 12. We wzorze 2. położyć <math>m = n</math>.
  
−
::<math>m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}} \equiv 1 \pmod{2 p}</math>
+
Wzór 13. We wzorze 4. położyć <math>m = n</math>.
  
−
Oznacza to, że <math>m = 1 + 2 k p</math> dla pewnej liczby całkowitej <math>k > 0</math>.
+
Wzór 14. We wzorze 10. położyć <math>m = n</math> lub połączyć wzory 12. i 13.
  
 +
Wzór 15. We wzorze 9. położyć <math>m = 1</math>.
  
−
Zauważmy teraz, że z&nbsp;definicji liczby <math>m</math> mamy <math>(a^2 - 1) m = a^{2 p} - 1</math>. Rozpatrując to równanie modulo <math>m</math>, otrzymujemy
+
Wzór 16. We wzorze 8. położyć <math>m = 1</math>.
  
−
::<math>a^{2 p} \equiv 1 \pmod m</math>
+
Wzór 17. We wzorze 15. położyć <math>V_{n + 1} = P V_n - Q V_{n - 1}</math>.
  
−
Zatem modulo <math>m</math> jest
+
Wzór 18. We wzorze 16. położyć <math>U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1}</math>.
  
−
::<math>a^{m - 1} = a^{2 k p} = (a^{2 p})^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod m</math>
 
  
−
Ponieważ dowolna liczba pierwsza <math>p > a^2 - 1</math> nie dzieli <math>a^2 - 1</math>, to dla każdego <math>a \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele liczb, które są PSP(<math>a</math>). Co należało pokazać.<br/>
+
'''Wzory 19. - 21. to wzory, które wykorzystamy w&nbsp;przyszłości do szybkiego obliczania wartości wyrazów <math>U_n</math> i <math>V_n</math> modulo.'''
 +
 
 +
Wzór 19. Wystarczy połączyć wzory 11. oraz 16.
 +
 
 +
Wzór 20. Wystarczy we wzorze 1. położyć <math>m = n + 1</math>.
 +
 
 +
Wzór 21. Kładąc we wzorze 19. <math>n \rightarrow n + 1</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - P U^2_{n + 1} \qquad (*)</math>
 +
 
 +
Kładąc we wzorze 1. <math>m = n + 2</math>, mamy
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 2} = U_{n + 2} U_{n + 1} - Q U_{n + 1} U_n</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>2 U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
 +
 
 +
Odejmując od powyższego wzoru wzór <math>(*)</math>, dostajemy wzór 21.
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 167: Linia 561:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K6</span><br/>
 
−
Z dowodu twierdzenia K5 wynika, że jeżeli liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid (a^2 - 1)</math>, to liczba <math>m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}}</math> jest PSP(<math>a</math>). Poniżej przedstawiamy przykłady takich liczb, dla kolejnych liczb pierwszych nieparzystych <math>p</math> takich, że <math>p \nmid (a^2 - 1)</math>.
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 5, s=1; d=a^2-1; '''forprime'''(p=3, 50, '''if'''( d%p == 0, '''next'''() ); m=(a^(2*p)-1)/d; '''print'''("a= ", a, "  m= ", m); s++; '''if'''( s>6, '''break'''() ) )) </span>
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
+
== Obliczanie wyrazów ciągu Lucasa modulo <math>m</math> ==
−
! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math>
+
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L14</span><br/>
 +
Pokażemy, jak wykorzystać podane w&nbsp;twierdzeniu L13 wzory 19, 20, 21 i 16
 +
 
 +
::<math>U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n</math>
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n</math>
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
 +
 
 +
::<math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math>
 +
 
 +
do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
 
 +
Niech <math>P = 3</math>, <math>Q = 1</math>, <math>D = P^2 - 4 Q = 5</math>, <math>n = 22 = (10110)_2 = \sum_{j = 0}^{4} a_j \cdot 2^j</math>.
 +
 
 +
W tabeli przedstawione są kolejne kroki, jakie musimy wykonać, aby policzyć <math>U_n = U_{22}</math> modulo <math>m = 23</math>.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 
|-
 
|-
−
|  || <math>341</math> || <math>91</math> || <math>17895697</math> || <math>406901</math>
+
! <math>\boldsymbol{j}</math> !! <math>\boldsymbol{a_j}</math> !! <math>\boldsymbol{k_j}</math> !! <math>\boldsymbol{U_{k_j}}</math> !! <math>\boldsymbol{U_{k_j + 1}}</math>
 
|-
 
|-
−
|   || <math>5461</math> || <math>7381</math> || <math>1172812402961</math> || <math>254313151</math>
+
| <math>4</math> || <math>1</math> || <math>(1)_2 = 1</math> || <math>U_1 = 1</math> || <math>U_2 = P = 3</math>
 
|-
 
|-
−
|   || <math>1398101</math> || <math>597871</math> || <math>300239975158033</math> || <math>99341074625651</math>
+
| <math>3</math> || <math>0</math> || <math>(10)_2 = 2</math> || <math>U_2 = 2 U_1 U_2 - 3 U^2_1 = 6 - 3 = 3</math> || <math>U_3 = U^2_2 - 1 = 8</math>
 
|-
 
|-
−
|   || <math>22369621</math> || <math>3922632451</math> || <math>19676527011956855057</math> || <math>62088171641031901</math>
+
| <math>2</math> || <math>1</math> || <math>(101)_2 = 5</math> || <math>U_5 = U^2_3 - U^2_2 = 64 - 9 = 55 \equiv 9</math> || <math>U_6 = 3 U_3^2 - 2 U_2 U_3 = 192 - 48 = 144 \equiv 6</math>
 
|-
 
|-
−
|   || <math>5726623061</math> || <math>317733228541</math> || <math>5037190915060954894609</math> || <math>24253192047278086344401</math>
+
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>(1011)_2 = 11</math> || <math>U_{11} = U^2_6 - U^2_5 \equiv 36 - 81 \equiv - 45 \equiv 1</math> || <math>U_{12} = 3 U_6^2 - 2 U_5 U_6 \equiv 108 - 108 \equiv 0</math>
 
|-
 
|-
−
|   || <math>91625968981</math> || <math>2084647712458321</math> || <math>330117343809434739973099793</math> || <math>15158245029548803965250651</math>
+
| <math>0</math> || <math>0</math> || <math>(10110)_2 = 22</math> || <math>U_{22} = 2 U_{11} U_{12} - 3 U^2_{11} \equiv 0 - 3 \equiv 20</math> || <math>U_{23} = U^2_{12} - U^2_{11} \equiv 0 - 1 \equiv 22</math>
 
|}
 
|}
 +
 +
W kolumnie <math>a_j</math> wypisujemy kolejne cyfry liczby <math>n = 22 = (10110)_2</math> zapisanej w&nbsp;układzie dwójkowym. Liczby w&nbsp;kolumnie <math>k_j</math> tworzymy, biorąc kolejne (od prawej do lewej) cyfry liczby <math>n</math> w&nbsp;zapisie dwójkowym. Postępując w&nbsp;ten sposób, w&nbsp;ostatnim wierszu mamy <math>k_j = n</math> i&nbsp;wyliczamy liczby <math>U_n</math> i <math>U_{n + 1}</math> modulo <math>m</math>.
 +
 +
Dla uproszczenia zapisu i&nbsp;ułatwienia zrozumienia liczbę <math>k_j</math> oznaczymy jako <math>r</math>, a <math>k_{j + 1}</math> jako <math>s</math>. Zauważmy, że
 +
 +
:* tabela jest zbudowana tak, że musimy znaleźć wyrazy ciągu Lucasa o&nbsp;indeksie <math>r = k_j</math> oraz o&nbsp;indeksie o&nbsp;jeden większym: <math>r + 1 = k_j + 1</math>
 +
:* przejście do następnego wiersza (w dół) oznacza, że musimy znaleźć wyrazy o&nbsp;indeksie <math>s = k_{j + 1}</math> oraz o&nbsp;indeksie o&nbsp;jeden większym: <math>s + 1</math>
 +
:* przechodząc do następnego wiersza, dotychczasowa liczba <math>r = k_j</math> powiększa się o&nbsp;kolejną cyfrę ( <math>0</math> lub <math>1</math> ), którą dopisujemy z&nbsp;prawej strony
 +
:* dodanie na końcu liczby <math>r = k_j</math> zera podwaja liczbę <math>r</math>, czyli <math>s = k_{j + 1} = 2 r</math> oraz <math>s + 1 = 2 r + 1</math>
 +
:* dodanie na końcu liczby <math>r = k_j</math> jedynki podwaja liczbę <math>r</math> i&nbsp;zwiększą ją o&nbsp;jeden, czyli <math>s = k_{j + 1} = 2 r + 1</math> oraz <math>s + 1 = 2 r + 2</math>
 +
 +
 +
Dlatego, jeżeli kolejną dodaną cyfrą jest zero, to korzystamy ze wzorów
 +
 +
::<math>U_s = U_{2 r} = 2 U_r U_{r + 1} - P U^2_r</math>
 +
 +
::<math>U_{s + 1} = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r</math>
 +
 +
Gdy kolejną dodaną cyfrą jest jeden, to stosujemy wzory
 +
 +
::<math>U_s = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r</math>
 +
 +
::<math>U_{s + 1} = U_{2 r + 2} = P U^2_{r + 1} - 2 Q U_r U_{r + 1}</math>
 +
 +
 +
Korzystając ze wzoru <math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math>, mamy
 +
 +
::<math>V_{22} = 2 U_{23} - 3 U_{22} \equiv 44 - 60 \equiv - 16 \equiv 7 \pmod{23}</math>
 +
 +
Ostatecznie otrzymujemy
 +
 +
::<math>U_{22} \equiv 20 \pmod{23} \quad</math> oraz <math>\quad V_{22} \equiv 7 \pmod{23}</math>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K7</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L15</span><br/>
−
Wykorzystując funkcję potęgowania modulo, możemy napisać prosty program do testowania pierwszości liczb w&nbsp;oparciu o&nbsp;twierdzenie Fermata.
+
Uogólniając postępowanie przedstawione w&nbsp;przykładzie L14, możemy napisać program w&nbsp;PARI/GP do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math> modulo <math>m</math>.
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">PSP</span>(m, a) =  
+
  <span style="font-size: 90%; color:black;">modLucas(n, P, Q, m) =
 
  {
 
  {
−
  '''if'''( modPower(a, m-1, m) == 1, '''return'''(1), '''return'''(0) );
+
'''local'''(A, i, s, U, U2, V, W, W2);
 +
  '''if'''( m == 1, '''return'''([0, 0]) );
 +
'''if'''( n == 0, '''return'''([0, 2 % m]) );
 +
A = '''digits'''(n, 2); \\ otrzymujemy wektor cyfr liczby n w układzie dwójkowym
 +
s = '''length'''(A); \\ długość wektora A
 +
U = 1;
 +
W = P;
 +
i = 1;
 +
'''while'''( i++ <= s,
 +
        '''if'''( A[i] == 0, U2 = 2*U*W - P*U^2;  W2 = W^2 - Q*U^2 );
 +
        '''if'''( A[i] == 1,  U2 = W^2 - Q*U^2;  W2 = P*W^2 - 2*Q*U*W );
 +
        U = U2 % m;
 +
        W = W2 % m;
 +
      );
 +
V = (2*W - P*U) % m;
 +
'''return'''([U, V]);
 
  }</span>
 
  }</span>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K8</span><br/>
 
−
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math>
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=1; '''forstep'''(m=1, 2000, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">PSP</span>(m, a)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("a=", a, "  m=", m); s++ ); '''if'''( s>5, '''break'''() ) ))</span>
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+
== Podzielność wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> przez liczbę pierwszą nieparzystą ==
−
! &nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{a}</math>&nbsp;&nbsp; !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math>
+
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L16</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. W&nbsp;przypadku, gdy <math>p \nmid P Q</math> nie możemy nic powiedzieć o&nbsp;podzielności wyrazów <math>U_n</math> przez <math>p</math>. Przykładowo, jeżeli <math>P \equiv 1 \pmod{p} \;</math> <math>\text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p}</math>, to modulo <math>p</math>, mamy
 +
 
 +
::<math>(U_n) \equiv (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, \ldots)</math>
 +
 
 +
W przypadku, gdy <math>P \equiv 2 \pmod{p} \;</math> <math>\text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p}</math>, to modulo <math>p</math> mamy
 +
 
 +
::<math>(U_n) \equiv (0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, \ldots)</math>
 +
 
 +
Sytuacja wygląda inaczej, gdy <math>p \, | \, P Q</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L17</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą.
 +
 
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \, | \, P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \, | \, Q , \;</math> to <math>\; p \, | \, U_n \;</math> dla <math>n \geqslant 2</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \, | \, P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \nmid Q , \;</math> to <math>\; p \, | \, U_{2 n} \;</math> i <math>\; p \nmid U_{2 n + 1}</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \nmid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \, | \, Q , \;</math> to <math>\; p \nmid U_n \;</math> dla <math>n \geqslant 1</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \, | \, Q , \;</math> to <math>\; p \, | \, U_n</math>, gdzie <math>n \geqslant 2</math>, wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>\; p \, | \, P</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \nmid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \, | \, D , \;</math> to <math>\; p \, | \, U_n \;</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p \, | \, n</math>
 +
|}
 +
 
 +
Założenie, że <math>p \nmid P</math> w&nbsp;ostatnim punkcie jest istotne. Gdy <math>\; p \, | \, P \;</math> i <math>\; p \, | \, D , \;</math> to <math>\; p \, | \, Q \;</math> i&nbsp;otrzymujemy punkt pierwszy.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Ponieważ <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \, | \, U_2</math>. Dla <math>n \geqslant 3</math> wyrażenie <math>U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}</math> jest podzielne przez <math>p</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Indeksy parzyste. Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_0 = 0</math> i <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \, | \, U_0</math> i <math>p \, | \, U_2</math>. Zakładając, że <math>p \, | \, U_{2 n}</math>, z definicji ciągu <math>(U_k)</math>, otrzymujemy dla <math>U_{2 n + 2}</math>
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 2} = P U_{2 n - 1} - Q U_{2 n}</math>
 +
 
 +
Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \, | \, U_{2 n + 2}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich <math>n \geqslant 0</math>.
 +
 
 +
Indeksy nieparzyste. Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_1 = 1</math> i <math>U_3 = P^2 - Q</math>, zatem <math>p \nmid U_1</math> i <math>p \nmid U_3</math>. Zakładając, że <math>p \nmid U_{2 n - 1}</math>, z definicji ciągu <math>(U_k)</math>, otrzymujemy dla <math>U_{2 n + 1}</math>
 +
 
 +
::<math>U_{2 n + 1} = P U_{2 n} - Q U_{2 n - 1}</math>
 +
 
 +
Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \nmid U_{2 n + 1}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich <math>n \geqslant 1</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''
 +
 
 +
Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_1 = 1</math> i <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \nmid U_1</math> i <math>p \nmid U_2</math>. Zakładając, że <math>p \nmid U_n</math> zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n</math>, z&nbsp;definicji ciągu <math>(U_n)</math>
 +
otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
 +
 
 +
::<math>U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1}</math>
 +
 
 +
Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \nmid U_{n + 1}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb <math>n \geqslant 1</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 4.'''
 +
 
 +
Wynika z&nbsp;punktów pierwszego i&nbsp;trzeciego.
 +
 
 +
'''Punkt 5.'''
 +
 
 +
Z twierdzenia L7 wiemy, że
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\; = n P^{n - 1} + \binom{n}{3} P^{n - 3} D + \binom{n}{5} P^{n - 5} D^2 + \ldots +
 +
\begin{cases}
 +
n P D^{(n - 2) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest parzyste} \\
 +
D^{(n - 1) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest nieparzyste}
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>p \, | \, D</math>, zatem modulo <math>p</math> dostajemy
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} U_n \equiv n P^{n - 1} \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>p \nmid P</math>, zatem <math>p \, | \, U_n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p \, | \, n</math>.
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L18</span><br/>
 +
Jeżeli <math>d</math> jest nieparzystym dzielnikiem <math>Q</math>, to dla <math>n \geqslant 2</math> jest
 +
 
 +
::<math>U_n \equiv P^{n - 1} \pmod{d}</math>
 +
 
 +
W szczególności, gdy liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> jest dzielnikiem <math>Q</math> i <math>p \nmid P</math>, to
 +
 
 +
::<math>U_p \equiv 1 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Oznaczmy <math>\delta = \sqrt{D}</math>, zatem <math>2 \alpha = P + \delta</math> i <math>2 \beta = P - \delta</math>. Ze wzoru dwumianowego, mamy
 +
 
 +
::<math>2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j</math>
 +
 
 +
::<math>2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j</math>
 +
 
 +
 
 +
Obliczając różnicę wyjściowych wzorów, mamy
 +
 
 +
::<math>2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) =</math>
 +
 
 +
:::::<math>\quad \: = \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot 2 \delta^j</math>
 +
 
 +
:::::<math>\quad \: = 2 \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot \delta \cdot D^{(j - 1) / 2}</math>
 +
 
 +
Rozpatrując powyższą równość modulo <math>Q</math> dostajemy (zobacz L43)
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\delta}} = 2^{n - 1} U_n \equiv \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot P^{j - 1}</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\;\:\: \equiv P^{n - 1} \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j}</math>
 +
 
 +
:::::::::<math>\;\:\: \equiv 2^{n - 1} P^{n - 1}</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>U_n - P^{n - 1}</math> (zobacz C72).
 +
 
 +
W przypadku szczególnym, gdy <math>d = p</math>, gdzie <math>p</math> jest nieparzystą liczbą pierwszą i <math>p \nmid P</math>, z&nbsp;twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast
 +
 
 +
::<math>U_p \equiv P^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L19</span><br/>
 +
Niech <math>D = P^2 - 4 Q</math>, a <math>(D \, | \, p)</math> oznacza symbol Legendre'a, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid Q</math>. Mamy
 +
 
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>U_p \equiv (D \, | \, p) \pmod{p}</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>(D \, | \, p) = - 1 , \;</math> to <math>\; p \, | \, U_{p + 1}</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>(D \, | \, p) = 1 , \;</math> to <math>\; p \, | \, U_{p - 1}</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Zauważmy, że przypadek gdy <math>p \, | \, Q</math>, omówiliśmy w&nbsp;twierdzeniu poprzednim. Z&nbsp;założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z&nbsp;twierdzenia L7, w&nbsp;przypadku nieparzystego <math>n = p</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>2^{p - 1} U_p = p P^{p - 1} + \binom{p}{3} P^{p - 3} D + \binom{p}{5} P^{p - 5} D^2 + \ldots + \binom{p}{p-2} P^2 D^{(p - 3) / 2} + D^{(p - 1) / 2}</math>
 +
 
 +
Ponieważ dla każdego <math>k \in [1, p - 1]</math> (zobacz L43)
 +
 
 +
::<math>\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to modulo <math>p</math> dostajemy (zobacz J28)
 +
 
 +
::<math>2^{p - 1} U_p \equiv U_p \equiv D^{(p - 1) / 2} \equiv (D \, | \, p) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Zauważmy, że warunek <math>(D \, | \, p) = - 1</math> nie może być spełniony, gdy <math>p \, | \, Q</math>. Istotnie, gdy <math>p \, | \, Q</math>, to <math>D = P^2 - 4 Q \equiv P^2 \pmod{p}</math>, czyli
 +
 
 +
::<math>(D \, | \, p) = (P^2 \, | \, p) = (P \, | \, p)^2 = 0 , \;</math> gdy <math>p \, | \, P</math>
 +
 
 +
lub
 +
 
 +
::<math>(D \, | \, p) = (P^2 \, | \, p) = (P \, | \, p)^2 = 1 , \;</math> gdy <math>p \nmid P</math>
 +
 
 +
i nie może być <math>(D \, | \, p) = - 1</math>.
 +
 
 +
Dla parzystego <math>n = p + 1</math> otrzymujemy z&nbsp;twierdzenia L7
 +
 
 +
::<math>2^p U_{p + 1} = (p + 1) P^p + \binom{p + 1}{3} P^{p - 2} D + \binom{p + 1}{5} P^{p - 4} D^2 + \ldots + \binom{p + 1}{p - 2} P^3 D^{(p - 3) / 2} + (p + 1) P D^{(p - 1) / 2}</math>
 +
 
 +
Ponieważ dla <math>k \in [2, p - 1]</math> (zobacz L44)
 +
 
 +
::<math>\binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to modulo <math>p</math> dostajemy
 +
 
 +
::<math>2 U_{p + 1} \equiv P + P D^{(p - 1) / 2} \pmod{p}</math>
 +
 
 +
 
 +
Z założenia <math>D</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem <math>D^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> (zobacz J25). Skąd wynika natychmiast, że
 +
 
 +
::<math>2 U_{p + 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Czyli <math>p \, | \, U_{p + 1}</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''
 +
 
 +
Dla parzystego <math>n = p - 1</math> otrzymujemy z&nbsp;twierdzenia L7
 +
 
 +
::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} = (p - 1) P^{p - 2} + \binom{p - 1}{3} P^{p - 4} D + \binom{p - 1}{5} P^{p - 6} D^2 + \ldots + \binom{p - 1}{p - 4} P^3 D^{(p - 5) / 2} + (p - 1) P D^{(p - 3) / 2}</math>
 +
 
 +
Ponieważ dla <math>k \in [0, p - 1]</math> (zobacz L45)
 +
 
 +
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to modulo <math>p</math> mamy
 +
 
 +
::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - (P^{p - 2} + P^{p - 4} D + P^{p - 6} D^2 + \ldots + P D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::::<math>\quad \,\, \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} D + P^{p - 7} D^2 + \ldots + D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
 
 +
Z założenia <math>D</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> (zobacz J23), zatem istnieje taka liczba <math>R</math>, że
 +
 
 +
::<math>D \equiv R^2 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ
 +
 
 +
:* <math>(D \, | \, p) = 1</math>, to <math>p \nmid D</math>, zatem <math>p \nmid R</math>
 +
:* z&nbsp;założenia <math>p \nmid Q</math>, to <math>P^2 - R^2 \equiv P^2 - D \equiv 4 Q \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
 
 +
Uwzględniając, że <math>P^2 - R^2 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, możemy napisać
 +
 
 +
::<math>2^{p - 2} (P^2 - R^2) U_{p - 1} \equiv - P (P^2 - R^2) (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::::::::<math>\equiv - P (P^{p - 1} - R^{p - 1}) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::::::::<math>\equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że wynik nie zależy od tego, czy <math>p \, | \, P</math>, czy <math>p \nmid P</math>. Skąd wynika
 +
 
 +
::<math>U_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Aby zapisać punkty 2. i 3. twierdzenia L19 (i tylko te punkty) w&nbsp;zwartej formie, musimy założyć, że <math>\gcd (p, D) = 1</math>. Otrzymujemy<br/>
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L20</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>\gcd (p, Q D) = 1</math>, to
 +
 
 +
::<math>U_{p - (D \, | \, p)} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Liczby pseudopierwsze Lucasa ==
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L21</span><br/>
 +
Z twierdzenia L20 wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste <math>p</math> takie, że <math>p \nmid Q D</math> są dzielnikami wyrazów ciągu Lucasa <math>U_{p - (D \, | \, p)}</math>, gdzie <math>(D \, | \, p)</math> oznacza symbol Legendre'a. Jeśli zastąpimy symbol Legendre'a symbolem Jacobiego, to będziemy mogli badać prawdziwość tego twierdzenia dla liczb złożonych i&nbsp;łatwo przekonamy się, że dla pewnych liczb złożonych <math>m</math> kongruencja
 +
 
 +
::<math>U_{m - (D \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
również jest prawdziwa. Prowadzi to definicji liczb pseudopierwszych Lucasa.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L22</span><br/>
 +
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math> (symbolicznie: LPSP( <math>P, Q</math> )), jeżeli <math>\gcd (m, Q D) = 1</math> i
 +
 
 +
::<math>U_{m - (D \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>(D \, | \, m)</math> oznacza symbol Jacobiego.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L23</span><br/>
 +
Jeżeli liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P = a + 1</math> i <math>Q = a</math>, gdzie <math>a \geqslant 2</math>, to jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Połóżmy we wzorze definiującym ciąg Lucasa
 +
 
 +
::<math>U_m = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}}</math>
 +
 
 +
<math>\alpha = a</math> i <math>\beta = 1</math>. Odpowiada to parametrom <math>P = \alpha + \beta = a + 1</math>, <math>Q = \alpha \beta = a</math>, <math>D = (\alpha - \beta)^2 = (a - 1)^2</math>.
 +
 
 +
Ponieważ musi być <math>\gcd (m, Q D) = 1</math>, to mamy <math>\gcd (m, (a - 1) a) = 1</math> i&nbsp;wynika stąd, że <math>(D \, | \, m) = 1</math>. Z&nbsp;założenia <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P = a + 1</math> i <math>Q = a</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>U_{m - 1} (a + 1, a) \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>m \biggr\rvert {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}}</math>, to tym bardziej <math>m \big\rvert (a^{m - 1} - 1)</math> i&nbsp;możemy napisać
 +
 
 +
::<math>a^{m - 1} - 1 \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L24</span><br/>
 +
Wykorzystując funkcje <code>jacobi(a, n)</code> i <code>modLucas(n, P, Q, m)</code> (zobacz J41, L15) możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy dla liczby nieparzystej <math>m</math> prawdziwe jest twierdzenie L20.
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q) =
 +
{
 +
'''local'''(D, js);
 +
D = P^2 - 4*Q;
 +
'''if'''( gcd(m, 2*Q*D) > 1, '''return'''(0) );
 +
js = jacobi(D, m);
 +
'''if'''( modLucas(m - js, P, Q, m)[1] == 0, '''return'''(1), '''return'''(0) );
 +
}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L25</span><br/>
 +
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>  
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>253</math> || <math>121</math> || <math>57</math> || <math>217</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>69</math> || <math>121</math> || <math>253</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>91</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>57</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| <math>217</math> || <math>91</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>9</math> || <math>85</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>25</math> || <math>33</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>341</math> || <math>91</math> || <math>15</math> || <math>217</math> || <math>35</math> || <math>25</math> || <math>9</math> || <math>91</math> || <math>9</math> || <math>15</math> || <math>65</math> || <math>21</math> || <math>15</math> || <math>341</math>
+
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>25</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>21</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || style="background-color: yellow" | <math>115</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
 
|-
 
|-
−
|  || <math>561</math> || <math>121</math> || <math>85</math> || <math>561</math> || <math>185</math> || <math>325</math> || <math>21</math> || <math>121</math> || <math>33</math> || <math>133</math> || <math>91</math> || <math>85</math> || <math>39</math> || <math>1477</math>
+
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| <math>1541</math> || <math>9</math> || <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>21</math> || <math>85</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>645</math> || <math>671</math> || <math>91</math> || <math>781</math> || <math>217</math> || <math>561</math> || <math>45</math> || <math>205</math> || <math>91</math> || <math>259</math> || <math>133</math> || <math>105</math> || <math>65</math> || <math>1541</math>
+
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>629</math> || style="background-color: yellow" | <math>559</math> || <math>25</math> || <math>91</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>55</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>1105</math> || <math>703</math> || <math>341</math> || <math>1541</math> || <math>301</math> || <math>703</math> || <math>63</math> || <math>511</math> || <math>99</math> || <math>305</math> || <math>143</math> || <math>231</math> || <math>195</math> || <math>1687</math>
+
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>85</math> || <math>21</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>115</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>1387</math> || <math>949</math> || <math>435</math> || <math>1729</math> || <math>481</math> || <math>817</math> || <math>65</math> || <math>671</math> || <math>259</math> || <math>481</math> || <math>145</math> || <math>357</math> || <math>481</math> || <math>1729</math>
+
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>217</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>  
 
|}
 
|}
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">FirstLPSP(Stop) =
 +
\\ najmniejsze LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0,
 +
                  '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------");
 +
                  '''next'''();
 +
                );
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m),
 +
                          '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  m= ", m, "  (D|m)= ", jacobi(D, m));
 +
                          '''break'''();
 +
                        );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
 +
Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których <math>(D \, | \, m) = - 1</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K9</span><br/>
 
−
Tabela pokazuje ilość liczb pseudopierwszych Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math>
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=0; '''forstep'''(k=1, 10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">PSP</span>(k, a)  &&  !'''isprime'''(k), s++ )); '''print'''("a= ", a, "  ", s))</span>
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L26</span><br/>
−
! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math>
+
Ilość liczb LPSP(<math>P, Q</math>) mniejszych od <math>10^9</math>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>  
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>4266</math> || <math>4935</math> || <math>4278</math> || <math>4981</math> || <math>6363</math> || <math>6028</math> || <math>5202</math> || <math>4426</math> || <math>5832</math> || <math>6027</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>4599</math> || <math>4152</math> || <math>9272</math> || <math>5886</math> || <math>6958</math> || <math>4563</math> || <math>5600</math> || <math>9509</math> || <math>7007</math> || <math>4142</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| <math>4265</math> || <math>5767</math> || <math>4241</math> || <math>5114</math> || <math>5859</math> || <math>7669</math> || <math>6083</math> || <math>6120</math> || <math>4420</math> || <math>5096</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>5361</math> || <math>4389</math> || <math>5063</math> || <math>5632</math> || <math>5364</math> || <math>5228</math> || <math>5859</math> || <math>10487</math> || <math>5370</math> || <math>9798</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| <math>4152</math> || <math>5886</math> || <math>4563</math> || <math>9509</math> || <math>4142</math> || <math>6273</math> || <math>5773</math> || <math>4497</math> || <math>5166</math> || <math>5305</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>282485800</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>6567</math> || <math>7669</math> || <math>7131</math> || <math>10882</math> || <math>8626</math> || <math>8974</math> || <math>8509</math> || <math>8752</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| <math>7803</math> || <math>449152466</math> || <math>5597</math> || <math>5886</math> || <math>6509</math> || <math>5761</math> || <math>8115</math> || <math>6945</math> || <math>8380</math> || <math>7095</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| <math>5974</math> || <math>8768</math> || <math>282485800</math> || <math>5767</math> || <math>5651</math> || <math>5632</math> || <math>6640</math> || <math>5725</math> || <math>6058</math> || <math>7050</math>  
 
|-
 
|-
−
| #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^6</math> || <math>245</math> || <math>243</math> || <math>464</math> || <math>238</math> || <math>301</math> || <math>229</math> || <math>678</math> || <math>362</math> || <math>271</math> || <math>236</math> || <math>378</math> || <math>257</math> || <math>283</math> || <math>203</math>
+
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| <math>10749</math> || <math>282485800</math> || <math>14425</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>9735</math> || <math>6567</math> || <math>8164</math> || <math>7669</math> || <math>7608</math> || <math>7131</math>  
 
|-
 
|-
−
| #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^7</math> || <math>750</math> || <math>749</math> || <math>1347</math> || <math>726</math> || <math>895</math> || <math>651</math> || <math>1993</math> || <math>1150</math> || <math>766</math> || <math>672</math> || <math>1091</math> || <math>719</math> || <math>817</math> || <math>614</math>
+
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>5047</math> || <math>15127</math> || <math>6155</math> || <math>15127</math> || <math>4152</math> || <math>5146</math> || <math>4423</math> || <math>5526</math> || <math>6289</math> || <math>9509</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">NumOfLPSP(Stop) =
 +
\\ ilość liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0, '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------"); '''next'''() );
 +
              s = 0;
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m), s++ );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
              '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  s= ", s);
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L27</span><br/>
 +
Dla <math>(P, Q) = (1, 1)</math> ciąg Lucasa <math>(U_n)</math> ma postać
 +
 
 +
::<math>(U_n) = (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, \ldots)</math>
 +
 
 +
Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy, że <math>U_{3 k} = 0</math>. Łatwo sprawdzamy, że dla <math>k = 0</math> i <math>k = 1</math> wzór jest prawdziwy. Zakładając prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od <math>k</math>, otrzymujemy dla <math>k + 1</math> (zobacz L13 p.3)
 +
 
 +
::<math>U_{3 (k + 1)} = U_{3 k + 3} = U_{3 k} V_3 - U_{3 (k - 1)} = 0</math>
 +
 
 +
Co kończy dowód. Zbadajmy liczby pseudopierwsze Lucasa dla <math>(P, Q) = (1, 1)</math>.
 +
 
 +
Mamy <math>D = P^2 - 4 Q = - 3</math>. Wynika stąd, że nie może być <math>3 \, | \, m</math>, bo mielibyśmy <math>\gcd (m, Q D) = 3 > 1</math>.
 +
 
 +
Z zadania J39 wiemy, że
 +
 
 +
::<math>(- 3 \, | \, m) =
 +
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>3 \nmid m</math>, to wystarczy zbadać przypadki <math>m = 6 k + 1</math> i <math>m = 6 k + 5</math>. W&nbsp;pierwszym przypadku jest
 +
 
 +
::<math>U_{m - (- 3 \, | \, m)} = U_{6 k + 1 - 1} = U_{6 k} = 0</math>
 +
 
 +
W drugim przypadku, gdy <math>m = 6 k + 5</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>U_{m - (- 3 \, | \, m)} = U_{6 k + 5 + 1} = U_{6 (k + 1)} = 0</math>
 +
 
 +
Zatem dla dowolnej liczby nieparzystej <math>m</math> niepodzielnej przez <math>3</math> jest
 +
 
 +
::<math>U_{m - (- 3 \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Czyli liczbami pseudopierwszymi Lucasa dla parametrów <math>(P, Q) = (1, 1)</math> będą liczby nieparzyste <math>m</math>, które nie są podzielne przez <math>3</math> i&nbsp;nie są liczbami pierwszymi. Ilość takich liczb nie większych od <math>10^k</math> możemy łatwo znaleźć poleceniem
 +
 
 +
'''for'''(k = 1, 9, s = 0; '''forstep'''(m = 3, 10^k, 2, '''if'''( m%6 <> 3, s = s + !'''isprime'''(m) )); '''print'''(s))
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L28</span><br/>
 +
Pokazać, że ilość liczb pseudopierwszych Lucasa dla parametrów <math>(P, Q) = (2, 2)</math> nie większych od <math>10^k</math> możemy znaleźć poleceniem
 +
 
 +
'''for'''(k = 1, 9, s = 0; '''forstep'''(m = 3, 10^k, 2, s = s + !'''isprime'''(m)); '''print'''(s))
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Metoda Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math> ==
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L29</span><br/>
 +
Twierdzenie L20 możemy wykorzystać do testowania pierwszości liczb. Ponieważ musi być spełniony warunek <math>\gcd (m, Q D) = 1</math>, to nie każda para liczb <math>P, Q</math> (np. wybrana losowo) nadaje się do przeprowadzenia testu. Zawsze będziemy zmuszeni określić zasadę postępowania, która doprowadzi do wyboru właściwej pary <math>P, Q</math>.
 +
 
 +
Robert Baillie i&nbsp;Samuel Wagstaff przedstawili<ref name="BaillieWagstaff1"/> dwie metody wyboru parametrów dla testu Lucasa. Ograniczymy się do omówienia tylko pierwszej z&nbsp;nich (metodę zaproponował John Selfridge).
 +
 
 +
Rozważmy ciąg <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math>, gdzie <math>k \geqslant 2</math>, czyli <math>a_k = (5, - 7, 9, - 11, 13, - 15, \ldots)</math>. Niech <math>D</math> będzie pierwszym wyrazem ciągu <math>(a_k)</math>, dla którego jest <math>(a_k \, | \, m) = - 1</math>. Dla tak ustalonego <math>D</math> przyjmujemy <math>P = 1</math> i <math>Q = (1 - D) / 4</math>.
 +
 
 +
Tabela przedstawia początkowe wartości <math>Q</math>, jakie otrzymamy, stosując tę metodę.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{k}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
 
|-
 
|-
−
| #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^8</math> || <math>2057</math> || <math>2131</math> || <math>3805</math> || <math>1910</math> || <math>2314</math> || <math>1782</math> || <math>5407</math> || <math>3214</math> || <math>2091</math> || <math>1891</math> || <math>2933</math> || <math>1929</math> || <math>2155</math> || <math>1718</math>
+
!  <math>\boldsymbol{a_k}</math>
 +
| <math>5</math> || <math>-7</math> || <math>9</math> || <math>-11</math> || <math>13</math> || <math>-15</math> || <math>17</math> || <math>-19</math> || <math>21</math> || <math>-23</math> || <math>25</math> || <math>-27</math> || <math>29</math> || <math>-31</math> || <math>33</math> || <math>-35</math> || <math>37</math> || <math>-39</math> || <math>41</math>
 
|-
 
|-
−
| #PSP(<math>a</math>) <math> < 10^9</math> || <math>5597</math> || <math>5767</math> || <math>10173</math> || <math>5146</math> || <math>6204</math> || <math>4923</math> || <math>14629</math> || <math>8670</math> || <math>5599</math> || <math>5020</math> || <math>7781</math> || <math>5082</math> || <math>5848</math> || <math>4665</math>
+
!  <math>\boldsymbol{Q}</math>
 +
| <math>-1</math> || <math>2</math> || style="background-color: red" | <math>-2</math> || <math>3</math> || <math>-3</math> || <math>4</math> || <math>-4</math> || <math>5</math> || <math>-5</math> || <math>6</math> || style="background-color: red" | <math>-6</math> || <math>7</math> || <math>-7</math> || <math>8</math> || <math>-8</math> || <math>9</math> || <math>-9</math> || <math>10</math> || <math>-10</math>
 
|}
 
|}
  
  
 +
Zauważmy, że
 +
:* jeżeli liczba nieparzysta <math>m</math> jest liczbą kwadratową, to wybór <math>D</math> nie będzie możliwy
 +
:* w&nbsp;przypadku zastosowania tej metody znajdziemy tylko liczby pierwsze lub pseudopierwsze Lucasa, które spełniają kongruencję <math>U_{m + 1} \equiv 0 \pmod{m}</math>, czyli tylko część liczb pseudopierwszych Lucasa określonych w&nbsp;definicji L22
 +
 +
 +
Ponieważ Baillie i&nbsp;Wagstaff określili metodę zaproponowaną przez Selfridge'a jako metodę A, to pozostaniemy przy tej nazwie. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego
 +
 +
::<math> a_{k+1} =
 +
  \begin{cases}
 +
  \qquad \qquad 5 & \text{gdy } k = 1\\
 +
      - a_k - 2 * \mathop{\textnormal{sign}}( a_k ) & \text{gdy } k \geqslant 2
 +
  \end{cases}</math>
 +
 +
możemy łatwo napisać odpowiednią funkcję znajdującą liczby <math>P, Q</math> według tej metody.
 +
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">MethodA(m) =
 +
{
 +
'''local'''(a, js);
 +
a = 5;
 +
'''while'''( 1,
 +
        js = jacobi(a, m);
 +
        '''if'''( js == 0  &&  a % m <> 0, '''return'''([0, 0]) );
 +
        '''if'''( js == -1, '''return'''([1, (1 - a)/4]) );
 +
        a = -a - 2*'''sign'''(a);
 +
      );
 +
}</span>
 +
 +
Wyjaśnienia wymaga druga linia kodu w&nbsp;pętli <code>while</code>. Wiemy, że (zobacz J35)
 +
 +
::<math>(a \, | \, m) = 0 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a, m) > 1</math>
 +
 +
Jednak z&nbsp;faktu, że <math>\gcd (a, m) > 1</math> nie wynika natychmiast, że liczba <math>m</math> jest liczbą złożoną. Rozważmy dwa przypadki: gdy <math>m \, | \, a</math> i <math>m \nmid a</math>.
 +
 +
Gdy <math>\gcd (a, m) > 1</math> i <math>m \, | \, a</math>, to <math>\gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m, m) = m > 1</math> i&nbsp;nie jesteśmy w&nbsp;stanie rozstrzygnąć, czy liczba <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Widać to dobrze na prostych przykładach
 +
 +
::<math>\gcd (7, 7) = \gcd (14, 7) = 7 > 1</math>
 +
 +
::<math>\gcd (15, 15) = \gcd (30, 15) = 15 > 1</math>
 +
 +
Gdy <math>\gcd (a, m) > 1</math> i <math>m \nmid a</math>, to <math>m</math> jest liczbą złożoną. Ponieważ <math>m \nmid a</math>, to <math>a = k \cdot m + r</math>, gdzie <math>r \in [1, m - 1]</math>. Mamy
 +
 +
::<math>\gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m + r, m) = \gcd (r, m) = d</math>
 +
 +
Musi być <math>d > 1</math>, bo założyliśmy, że <math>\gcd (a, m) > 1</math> i&nbsp;musi być <math>d < m</math>, bo <math>d \leqslant r \leqslant m - 1</math>. Zatem <math>d</math> jest dzielnikiem nietrywialnym liczby <math>m</math> i <math>m</math> jest liczbą złożoną.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K10</span><br/>
+
Omawiana linia kodu zapewnia wysłanie informacji o&nbsp;tym, że liczba <math>m</math> jest liczbą złożoną (zwrot wektora [0, 0]). W&nbsp;przypadku, gdy nie mamy takiej pewności, kontynuujemy szukanie liczby <math>a</math>, takiej że <math>(a \, | \, m) = - 1</math>, pozostawiając zbadanie pierwszości liczby <math>m</math> na kolejnym etapie testowania.
−
Można pokazać, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą złożoną i&nbsp;istnieje przynajmniej jedna liczba <math>a</math> względnie pierwsza z <math>m</math>, taka że
 
  
−
::<math>a^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m</math>
 
  
−
to dla co najmniej połowy liczb <math>b \in [1, m - 1]</math> względnie pierwszych z <math>m</math> jest
+
Uważny Czytelnik dostrzeże, że nie zbadaliśmy, czy spełniony jest warunek <math>\gcd (m, Q) = 1</math>. Nie musimy tego robić, bo zwracana przez funkcję <code>MethodA()</code> liczba <math>Q</math> jest względnie pierwsza z <math>m</math>. Omówimy ten problem dokładnie w&nbsp;zadaniu L30. Poniżej pokażemy, że nawet gdyby było <math>\gcd (m, Q) > 1</math>, to złożona liczba <math>m</math> nie zostanie uznana za liczbę pseudopierwszą Lucasa.
  
−
::<math>b^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m</math>
+
Zauważmy, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną i&nbsp;ma dzielnik pierwszy <math>p < m</math>, który dzieli <math>Q</math>, to <math>p \, | \, Q</math> i <math>p \nmid P</math> (bo <math>P = 1</math>), zatem <math>p \nmid U_k</math> dla <math>k \geqslant 1</math> (zobacz L17), czyli nie może być
  
−
Zatem przeprowadzając test Fermata, możemy z&nbsp;prawdopodobieństwem nie mniejszym niż <math>\tfrac{1}{2}</math> twierdzić, że liczba, która przeszła test, jest liczbą pierwszą. Wykonując test <math>k</math> razy dla <math>k</math> różnych podstaw z&nbsp;przedziału <math>[1, m - 1]</math> możemy z&nbsp;prawdopodobieństwem większym niż <math>1 - \left( \tfrac{1}{2} \right)^k</math> twierdzić, że badana liczba <math>m</math> jest pierwsza.
+
::<math>U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
Niestety, istnieją liczby złożone <math>m</math> takie, że
+
bo mielibyśmy
  
−
::<math>a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math>
+
::<math>U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
dla każdego <math>a</math> względnie pierwszego z <math>m</math>. Liczby te nazywamy liczbami Carmichaela i&nbsp;jest ich nieskończenie wiele. Pokazano, że dla dostatecznie dużych <math>x</math> ilość liczb Carmichaela mniejszych od <math>x</math> przekracza <math>x^{1/3}</math><ref name="Carmichael1"/><ref name="Carmichael2"/><ref name="Carmichael3"/>. Test Fermata jest zatem zbyt zawodny, aby można było go stosować.
+
a to jest niemożliwe. Zatem program wykorzystujący twierdzenie L20 wykryje złożoność liczby <math>m</math>.
  
 +
Łatwo pokażemy, że nie jest możliwe, aby liczba <math>m</math> była liczbą pierwszą i&nbsp;była dzielnikiem <math>Q</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie <math>\tfrac{m - 1}{2}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>\tfrac{m - 1}{2}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, zatem rozpoczynając od wyrazu <math>a_2</math> możemy dojść co najwyżej do wyrazu o&nbsp;indeksie <math>k = \tfrac{m - 1}{2} + 2</math>, czyli
  
 +
::<math>| a_k | \leqslant m + 4</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K11</span><br/>
+
Skąd wynika, że
−
Oto wszystkie liczby Carmichaela mniejsze od <math>100 000</math>
 
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_k}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{m + 5}{4}} < m</math>
−
| <math>561=3⋅11⋅17</math> || <math>1105=5⋅13⋅17</math> || <math>1729=7⋅13⋅19</math> || <math>2465=5⋅17⋅29</math>
+
 
 +
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla <math>m > {\small\frac{5}{3}}</math>, czyli dla wszystkich liczb pierwszych. Ponieważ <math>| Q | < m</math>, w&nbsp;przypadku gdy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to <math>m</math> nie może być dzielnikiem liczby <math>Q</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L30</span><br/>
 +
Pokazać, że w&nbsp;przypadku, gdy dla kolejnych liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> sprawdzamy, czy konsekwencją <math>(a_k \, | \, m) = 0</math> jest złożoność liczby <math>m</math>, to dla każdej liczby <math>Q</math> wyznaczonej metodą Selfridge'a jest <math>\gcd (Q, m) = 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech <math>m = 21</math>. Rozpoczniemy od przykładu liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> dla <math>k = 0, 1, \ldots, m - 1</math>.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{k}</math> !! <math>\boldsymbol{0}</math> !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! <math>\boldsymbol{(m-1)/2}</math> !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! <math>\boldsymbol{m-1}</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>2821=7⋅13⋅31</math> || <math>6601=7⋅23⋅41</math> || <math>8911=7⋅19⋅67</math> || <math>10585=5⋅29⋅73</math>
+
! <math>\boldsymbol{k}</math>
 +
| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>15841=7⋅31⋅73</math> || <math>29341=13⋅37⋅61</math> || <math>41041=7⋅11⋅13⋅41</math> || <math>46657=13⋅37⋅97</math>
+
! <math>\boldsymbol{a_k}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>-3</math> || <math>5</math> || <math>-7</math> || <math>9</math> || <math>-11</math> || <math>13</math> || <math>-15</math> || <math>17</math> || <math>-19</math> || <math>21</math> || <math>-23</math> || <math>25</math> || <math>-27</math> || <math>29</math> || <math>-31</math> || <math>33</math> || <math>-35</math> || <math>37</math> || <math>-39</math> || <math>41</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>52633=7⋅73⋅103</math> || <math>62745=3⋅5⋅47⋅89</math> || <math>63973=7⋅13⋅19⋅37</math> || <math>75361=11⋅13⋅17⋅31</math>
+
! <math>\boldsymbol{R_m(a_k)}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>18</math> || <math>5</math> || <math>14</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>13</math> || <math>6</math> || <math>17</math> || <math>2</math> || <math>0</math> || <math>19</math> || <math>4</math> || <math>15</math> || <math>8</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>7</math> || <math>16</math> || <math>3</math> || <math>20</math>
 +
|}
 +
 
 +
Zauważmy, że modulo <math>21</math> ciąg <math>(a_k) = (1, - 3, 5, - 7, \ldots, 37, - 39, 41)</math> jest identyczny z&nbsp;ciągiem <math>(0, 1, 2, \ldots, 19, 20)</math>, a&nbsp;ciąg <math>(| a_k |)</math> to kolejne liczby nieparzyste od <math>1</math> do <math>2 m - 1</math>.
 +
 
 +
 
 +
Poniżej pokażemy, dlaczego musi być <math>\gcd (Q, m) = 1</math>, gdzie <math>Q</math> jest liczbą wyznaczoną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby <math>m</math> przy testowaniu kolejnych liczb <math>a_k</math>). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby <math>m</math>. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość <math>Q</math> na podstawie innego wyrazu ciągu <math>a_k</math> (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).
 +
 
 +
::<math>m = 3 , \;\; (5 \, | \, 3) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
 +
 
 +
::<math>m = 5 , \;\; (5 \, | \, 5) = 0 , \;\; (- 7 \, | \, 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(5 \, | \, 5) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
 +
 
 +
::<math>m = 7 , \;\; (5 \, | \, 7) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
 +
 
 +
::<math>m = 9 , \;\; </math> (liczba kwadratowa)
 +
 
 +
::<math>m = 11 , \;\; (- 11 \, | \, 11) = 0 , \;\; (13 \, | \, 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(- 11 \, | \, 11) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
 +
 
 +
::<math>m = 13 , \;\; (5 \, | \, 13) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
 +
 
 +
::<math>m = 15 , \;\; \boldsymbol{(5 \, | \, 15) = 0} , \;\; (13 \, | \, 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
 +
 
 +
::<math>m = 17 , \;\; (5 \, | \, 17) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
 +
 
 +
::<math>m = 19 , \;\; (- 7 \, | \, 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
 +
 
 +
::<math>m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \, | \, 21) = 0} , \;\; (- 11 \, | \, 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
 +
 
 +
 
 +
Niech <math>m \geqslant 23</math>. Wiemy, że w&nbsp;ciągu <math>(5, - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1)</math> wystąpią liczby <math>a_k</math> takie, że <math>(a_k \, | \, m) = - 1</math>. Warunek <math>(a_k \, | \, m) = 0</math> oznacza, że <math>(2 k + 1 \, | \, m) = 0</math>, bo
 +
 
 +
::<math>(a_k \, | \, m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \, | \, m) = ((- 1)^k \, | \, m) \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = (- 1 \, | \, m)^k \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = \pm (2 k + 1 \, | \, m)</math>
 +
 
 +
Jeżeli będą spełnione warunki <math>(a_k \, | \, m) = 0</math> i <math>R_m (a_k) \neq 0</math>, to liczba <math>m</math> będzie liczbą złożoną.
 +
 
 +
Wypiszmy kolejne próby dla <math>m \geqslant 23</math>. Liczba <math>r</math> jest numerem próby.
 +
 
 +
::<math>r = 1 , \;\; a_{r + 1} = 5</math>
 +
 
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \, | \, m) = 1</math> || <math>5 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \, | \, m) = 0</math> || <math>5 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \, | \, m) = - 1 \quad</math> || <math>5 \nmid m</math> || <math>D = 5 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 
|}
 
|}
  
 +
::<math>r = 2 , \;\; a_{r + 1} = - 7</math>
  
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \, | \, m) = 1</math> || <math>7 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \, | \, m) = 0</math> || <math>7 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \, | \, m) = - 1 \quad</math> || <math>7 \nmid m</math> || <math>D = -7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
 +
::<math>r = 3</math>, <math>a_{r + 1} = 9</math>
  
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \, | \, m) = 1</math> || <math>3 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \, | \, m) = 0</math> || <math>3 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \, | \, m) \neq - 1 \quad</math> || - - - - || bo <math>9</math> jest liczbą kwadratową
 +
|}
 +
 +
 +
Po wykonaniu trzech prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności <math>m</math> lub ustaleniem wartości liczb <math>D</math> i <math>Q</math>) wiemy, że <math>m</math> nie jest podzielna przez żadną z&nbsp;liczb pierwszych <math>p = 3, 5, 7</math>.
 +
 +
::<math>r</math>-ta próba, gdzie <math>r \geqslant 4 , \;\;</math> wyraz <math>a_{r + 1}</math>
 +
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \, | \, m) = 1</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \, | \, m) = 0</math> || A. jeżeli <math>m \, | \, a_{r + 1}</math><sup>( * )</sup><br/>B. jeżeli <math>m \nmid a_{r + 1}</math> || A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math> <br/> B. <math>a_{r + 1} \, | \, m</math><sup>( ** )</sup>, '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \, | \, m) = - 1 \quad</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || <math>D = a_{r + 1}</math>, <math>Q = {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}}</math>, '''koniec'''
 +
|}
  
−
== Test Millera-Rabina ==
+
<sup>( * )</sup> jest to możliwe tylko dla <math>a_{r + 1} = a_{(m - 1) / 2} = m</math>
  
−
Rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia
+
<sup>( ** )</sup> zauważmy, że jeżeli <math>m \nmid a_{r + 1}</math>, to <math>\gcd (a_{r + 1}, m) = | a_{r + 1} |</math>, bo gdyby liczba <math>| a_{r + 1} |</math> była liczbą złożoną, to żaden z&nbsp;jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby <math>m</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K12</span><br/>
 
−
Jeśli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>x^2 \equiv 1 \pmod m</math>, to albo <math>x \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>x \equiv 1 \pmod m</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby <math>m</math>, to żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m</math>. Zatem <math>\gcd (Q, m) > 1</math> może być tylko w&nbsp;przypadku, gdy pewna liczba pierwsza <math>q \geqslant 2 r + 5</math> będzie wspólnym dzielnikiem liczb <math>Q</math> i <math>m</math>, ale jest to niemożliwe, bo
−
Z założenia
 
  
−
::<math>x^2 \equiv 1 \pmod m</math>
+
::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 1} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 4}{4}} < 2 r + 5 \leqslant q</math>
  
−
Zatem <math>m | (x^2 - 1)</math>, czyli <math>m | (x - 1) (x + 1)</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to <math>m</math> dzieli dokładnie jedną z&nbsp;liczb <math>x - 1</math> i <math>x + 1</math>. Istotnie, gdyby <math>m | (x - 1)</math> <math>\text{i} \;\, m | (x + 1)</math>, to <math>m</math> dzieliłaby również ich różnicę równą <math>2</math>, co jest niemożliwe w&nbsp;przypadku gdy <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą.<br/>
+
Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich <math>r</math> naturalnych.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 294: Linia 1371:
  
  
−
Prace Gary'ego Millera<ref name="Miller1"/> i&nbsp;Michaela Rabina<ref name="Rabin1"/> pozwoliły sformułować znacznie silniejszy test. Podstawą tego testu jest następujące twierdzenie
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L31</span><br/>
 +
Zmodyfikujmy metodę Selfridge'a w&nbsp;taki sposób, że będziemy rozpoczynali próby nie od wyrazu <math>a_2 = 5</math>, ale od wyrazu <math>a_3 = - 7</math>. Pokazać, że w&nbsp;przypadku, gdy dla kolejnych liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> sprawdzamy, czy konsekwencją <math>(a_k \, | \, m) = 0</math> jest złożoność liczby <math>m</math>, to dla każdej liczby <math>Q</math> wyznaczonej tak zmodyfikowaną metodą Selfridge'a jest <math>\gcd (Q, m) = 1</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie K13</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m - 1 = 2^r d</math>, gdzie <math>d</math> jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnego <math>a \in [1, m - 1]</math> jest albo
+
Poniżej pokażemy, dlaczego musi być <math>\gcd (Q, m) = 1</math>, gdzie <math>Q</math> jest liczbą wyznaczoną zmodyfikowaną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby <math>m</math> przy testowaniu kolejnych liczb <math>a_k</math>). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby <math>m</math>. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość <math>Q</math> na podstawie innego wyrazu ciągu <math>a_k</math> (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).
  
−
::<math>a^d \equiv 1 \pmod m</math>
+
::<math>m = 3 , \;\; (- 7 \, | \, 3) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
albo
+
::<math>m = 5 , \;\; (- 7 \, | \, 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
::<math>a^{2^k d} \equiv - 1 \pmod m</math>
+
::<math>m = 7 , \;\; (- 7 \, | \, 7) = 0 , \;\; (- 11 \, | \, 7) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math> (zauważmy, że <math>(- 7 \, | \, 7) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
  
−
dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>.
+
::<math>m = 9 , \;\; </math> (liczba kwadratowa)
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>m = 11 , \;\; (- 11 \, | \, 11) = 0 , \;\; (13 \, | \, 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(- 11 \, | \, 11) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
−
Rozważmy ciąg <math>r + 1</math> liczb zdefiniowanych następująco
 
  
−
::<math>\begin{array}{l}
+
::<math>m = 13 , \;\; (- 7 \, | \, 13) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
−
  u_0 = a^d\\
 
−
  u_1 = a^{2 d} = (a^d)^2\\
 
−
  u_2 = a^{2^2 d} = (a^{2 d})^2\\
 
−
  \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\
 
−
  u_{r - 1} = a^{2^{r - 1} d} = (a^{2^{r - 2}})^2\\
 
−
  u_r = a^{2^r d} = (a^{2^{r - 1} d})^2 = a^{m - 1}
 
−
\end{array}</math>
 
  
−
Wyrazy ciągu <math>(u_i)</math> są dane wzorem ogólnym
+
::<math>m = 15 , \;\; \boldsymbol{(9 \, | \, 15) = 0} , \;\; (13 \, | \, 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
  
−
::<math>u_i = a^{2^i d}</math>
+
::<math>m = 17 , \;\; (- 7 \, | \, 17) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
gdzie <math>i = 0, 1, \ldots, r</math>
+
::<math>m = 19 , \;\; (- 7 \, | \, 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
Zauważmy, że mogą zdarzyć się następujące sytuacje
+
::<math>m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \, | \, 21) = 0} , \;\; (- 11 \, | \, 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
  
−
:a) żaden z&nbsp;wyrazów ciągu <math>(u_i)</math> nie przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math>
 
  
−
:b) wszystkie wyrazy ciągu <math>(u_i)</math> przystają do <math>1</math> modulo <math>m</math>
+
Niech <math>m \geqslant 23</math>. Wiemy, że w&nbsp;ciągu <math>( - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1)</math> wystąpią liczby <math>a_k</math> takie, że <math>(a_k \, | \, m) = - 1</math>. Warunek <math>(a_k \, | \, m) = 0</math> oznacza, że <math>(2 k + 1 \, | \, m) = 0</math>, bo
  
−
:c) <math>u_k</math> jest pierwszym wyrazem ciągu <math>(u_i)</math>, który przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math>
+
::<math>(a_k \, | \, m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \, | \, m) = ((- 1)^k \, | \, m) \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = (- 1 \, | \, m)^k \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = \pm (2 k + 1 \, | \, m)</math>
  
 +
Jeżeli będą spełnione warunki <math>(a_k \, | \, m) = 0</math> i <math>R_m (a_k) \neq 0</math>, to liczba <math>m</math> będzie liczbą złożoną.
  
−
Co możemy zapisać jako
+
Wypiszmy kolejne próby dla <math>m \geqslant 23</math>. Liczba <math>r</math> jest numerem próby.
  
−
:a) <math>u_i \not\equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, r]</math>
+
::<math>r = 1 , \;\; a_{r + 2} = - 7</math>
  
−
:b) <math>u_i \equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, r]</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \, | \, m) = 1</math> || <math>7 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \, | \, m) = 0</math> || <math>7 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \, | \, m) = - 1 \quad</math> || <math>7 \nmid m</math> || <math>D = - 7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
−
:c) <math>u_k \equiv 1 \pmod m \quad</math> dla pewnego <math>k \in [0, r]</math>
+
::<math>r = 2 , \;\; a_{r + 2} = 9</math>
  
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \, | \, m) = 1</math> || <math>3 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \, | \, m) = 0</math> || <math>3 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \, | \, m) \neq - 1 \quad</math> || - - - - || bo <math>9</math> jest liczbą kwadratową
 +
|}
  
−
Z definicji każdy wyraz ciągu <math>(u_i)</math> jest kwadratem poprzedniego. W&nbsp;szczególności oznacza to, że jeżeli dla pewnego <math>k \in [0, r]</math> jest <math>u_k \equiv 1 \pmod m</math>, to <math>u_i \equiv 1 \pmod m</math> dla wszystkich <math>i \geqslant k</math>. Ten fakt pozwala doprecyzować zapis poszczególnych przypadków.
+
::<math>r = 3 , \;\; a_{r + 2} = - 11</math>
  
−
:a) <math>u_i \not\equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, r]</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \, | \, m) = 1</math> || <math>11 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \, | \, m) = 0</math> || <math>11 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \, | \, m) = - 1 \quad</math> || <math>11 \nmid m</math> || <math>D = - 11 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec''' (bo liczby złożone <math>m = 3 k</math> zostały usunięte w&nbsp;poprzedniej próbie, <math>r = 2</math>)
 +
|}
  
−
:b) <math>u_0 \equiv 1 \pmod m</math>
+
::<math>r = 4 , \;\; a_{r + 2} = 13</math>
  
−
:c) <math>u_0 \not\equiv 1 \pmod m \quad</math> dla każdego <math>i \in [0, k - 1] \quad</math> oraz <math>\quad u_k \equiv 1 \pmod m \quad </math> dla każdego <math>i \in [k, r] , \quad</math> gdzie <math>k \geqslant 1</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \, | \, m) = 1</math> || <math>13 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \, | \, m) = 0</math> || <math>13 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \, | \, m) = - 1 \quad</math> || <math>13 \nmid m</math> || <math>D = 13 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec''' (bo liczby złożone <math>m = 3 k</math> zostały usunięte w&nbsp;próbie o&nbsp;numerze <math>r = 2</math>)
 +
|}
  
 +
::<math>r = 5 , \;\; a_{r + 2} = - 15</math>
  
−
W przypadku a) mamy <math>u_r = a^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m</math>, zatem liczba <math>m</math> byłaby liczbą złożoną, wbrew założeniu, że jest liczbą pierwszą.<br/>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \, | \, m) = 1</math> || <math>5 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \, | \, m) = 0</math> || <math>5 \, | \, m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \, | \, m) = - 1 \quad</math> || <math>5 \nmid m</math> || <math>D = - 15 , \;\; Q = 4 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
−
Przypadek b) jest możliwy (np. dla <math>m = 41</math> i <math>a = 10</math>), ale nie pozwala powiedzieć nic więcej ani o&nbsp;liczbie <math>m</math>, ani o&nbsp;wyrazach ciągu <math>(u_i)</math>, które wszystkie przystają do <math>1</math> modulo <math>m</math>.<br/>
 
  
−
W przypadku c) mamy <math>u_k \equiv 1 \pmod m</math>, czyli <math>(u_{k - 1})^2 \equiv 1 \pmod m</math>. Z&nbsp;twierdzenia K12 wiemy, że musi być albo <math>u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>u_{k - 1} \equiv 1 \pmod m</math>. Ale drugi przypadek nie może zachodzić, bo założyliśmy, że <math>u_k</math> jest pierwszym wyrazem ciągu <math>(u_i)</math>, który przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math>. Zatem musi być <math>u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m</math>.<br/>
+
Po wykonaniu pięciu prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności <math>m</math> lub ustaleniem wartości liczb <math>D</math> i <math>Q</math>) wiemy, że <math>m</math> nie jest podzielna przez żadną z&nbsp;liczb pierwszych <math>p = 3, 5, 7, 11, 13</math>.
  
−
Co kończy dowód twierdzenia.<br/>
+
::<math>r</math>-ta próba, gdzie <math>r \geqslant 6 , \;\;</math> wyraz <math>a_{r + 2}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \, | \, m) = 1</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \, | \, m) = 0</math> || A. jeżeli <math>m \, | \, a_{r + 2}</math><sup>( * )</sup><br/>B. jeżeli <math>m \nmid a_{r + 2}</math> || A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math> <br/> B. <math>a_{r + 1} \, | \, m</math><sup>( ** )</sup>, '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \, | \, m) = - 1 \quad</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || <math>D = a_{r + 2}</math>, <math>Q = {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}}</math>, '''koniec'''
 +
|}
  
 +
<sup>( * )</sup> jest to możliwe tylko dla <math>a_{r + 2} = a_{(m - 1) / 2} = m</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja K14</span><br/>
+
<sup>( ** )</sup> zauważmy, że jeżeli <math>m \nmid a_{r + 2}</math>, to <math>\gcd (a_{r + 2}, m) = | a_{r + 2} |</math>, bo gdyby liczba <math>| a_{r + 2} |</math> była liczbą złożoną, to żaden z&nbsp;jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby <math>m</math>
−
Złożoną liczbę nieparzystą <math>m</math>, która spełnia twierdzenie K13 dla pewnej liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math>, będziemy nazywali liczbą silnie pseudopierwszą przy podstawie <math>a</math> (w skrócie: SPSP(<math>a</math>)).
 
  
  
 +
Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby <math>m</math>, to żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m</math>. Zatem <math>\gcd (Q, m) > 1</math> może być tylko w&nbsp;przypadku, gdy pewna liczba pierwsza <math>q \geqslant 2 r + 7</math> będzie wspólnym dzielnikiem liczb <math>Q</math> i <math>m</math>, ale jest to niemożliwe, bo
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K15</span><br/>
+
::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 2} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 6}{4}} < 2 r + 7 \leqslant q</math>
−
Niech <math>a</math> będzie liczbą całkowitą względnie pierwszą z <math>m</math> i <math>a \in [1, m - 1]</math>. Można pokazać, że jeżeli <math>m \neq 9</math> jest liczbą nieparzystą złożoną, to co najwyżej <math>\tfrac{1}{4}</math> liczb <math>a</math> stanowią liczby silnie pseudopierwsze. Zatem w&nbsp;przypadku liczb silnie pseudopierwszych nie istnieje odpowiednik liczb Carmichaela. Czyli nie istnieją liczby złożone nieparzyste <math>m</math>, dla których twierdzenie K13 byłoby prawdziwe dla wszystkich podstaw <math>a</math>.
 
  
−
Wynika stąd, że jeżeli dla <math>k</math> różnych liczb <math>a</math> prawdziwe jest twierdzenie K13, to prawdopodobieństwo uznania liczby złożonej <math>m</math> za pierwszą wynosi <math>\left( \tfrac{1}{4} \right)^k</math>.
+
Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich <math>r</math> naturalnych.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K16</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L32</span><br/>
−
Wykorzystując twierdzenie K13, możemy napisać w&nbsp;PARI/GP prosty program do testowania pierwszości liczb.
+
Przyjmując metodę Selfridge'a wyboru parametrów <math>P, Q</math> dla testu Lucasa, możemy łatwo napisać odpowiedni program w&nbsp;PARI/GP testujący pierwszość liczb
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, a) =
+
  <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasTest(m) =  
 
  {
 
  {
−
  '''local'''(d, k, r, x);
+
  '''local'''(P, Q, X);
 
  '''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) );
 
  '''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) );
−
  r = '''valuation'''(m - 1, 2); \\ wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby m - 1
+
  '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); \\ sprawdzamy, czy m nie jest liczbą kwadratową
−
  d = (m - 1) / 2^r;
+
  X = MethodA(m);
−
  x = modPower(a, d, m);
+
P = X[1];
−
  '''if'''( x == 1 || x == m - 1, '''return'''(1) ); \\ x = m - 1 to przypadek k == 0
+
  Q = X[2];
−
k = 0;
+
  '''if'''( P == 0, '''return'''(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
−
  '''while'''( k++ < r,
+
  '''if'''( modLucas(m + 1, P, Q, m)[1] == 0, '''return'''(1), '''return'''(0) );
−
        x = x^2 % m;
 
−
        '''if'''( x == m - 1, '''return'''(1) );
 
−
      );
 
−
'''return'''(0);
 
 
  }</span>
 
  }</span>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie K17</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L33</span><br/>
−
Pokazać, że jeżeli liczba <math>m</math> jest SPSP(<math>a</math>), to jest PSP(<math>a</math>).
+
Najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, które pojawiają się przy zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, to
 +
 
 +
::<math>323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877, 11419, 11663, 13919, 14839, 16109, 16211, 18407, 18971, 19043, 22499, \ldots</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(k=1, 3*10^4, 2, '''if'''( LucasTest(k) && !'''isprime'''(k), '''print'''(k)) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od <math>10^n</math>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math>
 +
|-
 +
| #LPSP <math>< 10^n</math> (metoda Selfridge'a) || <math>2</math> || <math>9</math> || <math>57</math> || <math>219</math> || <math>659</math> || <math>1911</math> || <math>5485</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n=3, 9, s=0; '''forstep'''(k = 1, 10^n, 2, '''if'''( LucasTest(k) && !'''isprime'''(k), s++ ) ); '''print'''("n= ", n, "  ", s) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
== Liczby silnie pseudopierwsze Lucasa ==
−
Z założenia <math>m</math> jest SPSP(<math>a</math>), zatem spełniony jest dokładnie jeden z&nbsp;warunków
+
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L34</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że <math>\gcd (p, Q D) = 1</math> oraz <math>p - (D \, | \, p) = 2^r w</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą, to spełniony jest dokładnie jeden z&nbsp;warunków
 +
 
 +
::<math>U_w \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
lub
 +
 
 +
::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad</math> dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Wiemy (zobacz L20), że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że <math>\gcd (p, Q D) = 1</math>, to <math>p \, | \, U_{p - (D \, | \, p)}</math>. Z&nbsp;założenia jest <math>p - (D \, | \, p) = 2^r w</math>, zatem <math>p \, | \, U_{2^r w}</math>. Ponieważ założyliśmy, że <math>p \nmid Q</math> i <math>p \nmid D</math>, to ze wzoru <math>V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n</math> (zobacz L13 p.14) wynika natychmiast, że <math>p</math> nie może dzielić jednocześnie liczb <math>U_n</math> i <math>V_n</math>.
 +
 
 +
Korzystając ze wzoru <math>U_{2 n} = U_n V_n</math> (zobacz L13 p.11), otrzymujemy
 +
 
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \, | \, U_{2^r w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2^{r - 1} w} \cdot V_{2^{r - 1} w} \quad</math> || Jeżeli <math>p \, | \, V_{2^{r - 1} w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2^{r - 1} w}</math>, to <math>p \, | \, U_{2^{r - 1} w}</math>.
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \, | \, U_{2^{r - 1} w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2^{r - 2} w} \cdot V_{2^{r - 2} w} \quad</math> || Jeżeli <math>p \, | \, V_{2^{r - 2} w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2^{r - 2} w}</math>, to <math>p \, | \, U_{2^{r - 2} w}</math>.
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>.................</math> ||
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \, | \, U_{4 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2 w} \cdot V_{2 w}</math> || Jeżeli <math>p \, | \, V_{2 w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2 w}</math>, to <math>p \, | \, U_{2 w}</math>.
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \, | \, U_{2 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_w \cdot V_w</math> || Jeżeli <math>p \, | \, V_w</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_w</math>, to <math>p \, | \, U_w</math>.
 +
|}
  
−
:* <math>a^d \equiv 1 \pmod m</math>
+
Z powyższego wynika, że musi być spełniony jeden z wypisanych w twierdzeniu warunków.
−
:* <math>a^{2^k \cdot d} \equiv - 1 \pmod m</math>, dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
 
  
−
gdzie <math>m - 1 = 2^r \cdot d</math>, przy czym <math>d</math> jest liczbą nieparzystą.
 
  
−
Jeżeli spełniony jest pierwszy warunek, to
+
Zauważmy teraz, że jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>V_w</math>, to <math>p \nmid U_w</math>, bo <math>p</math> nie może jednocześnie być dzielnikiem liczb <math>U_w</math> i <math>V_w</math>.
  
−
::<math>(a^d)^{2^r} \equiv 1 \pmod m</math>
+
Zauważmy też, że jeżeli dla pewnego <math>k \in [1, r - 1]</math> liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>V_{2^k w}</math>, to <math>p</math> nie dzieli żadnej liczby <math>V_{2^j w}</math> dla <math>j \in [0, k - 1] \;\; \text{i} \;\; p \nmid U_w</math>. Istotnie:
  
−
::<math>a^{2^r \cdot d} \equiv 1 \pmod m</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \, | \, V_{2^k w}</math>, to <math>p \nmid U_{2^k w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^k w} = U_{2^{k - 1} w} V_{2^{k - 1} w}</math>, zatem <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 1} w}</math>
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^{k - 1} w} = U_{2^{k - 2} w} V_{2^{k - 2} w}</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2^{k - 2} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 2} w}</math>
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>.................</math> ||
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{4 w} \;\; \text{i} \;\; U_{4 w} = U_{2 w} V_{2 w}</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; V_{2 w}</math>
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; U_{2 w} = U_w V_w</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_w \;\; \text{i} \;\; V_w</math>
 +
|}
  
−
Czyli <math>m</math> jest PSP(<math>a</math>).
 
  
−
Jeżeli spełniony jest drugi warunek, to
+
Co dowodzi, że spełniony jest dokładnie jeden z <math>r + 1</math> warunków:
  
−
::<math>(a^{2^k \cdot d})^{2^{r - k}} \equiv (- 1)^{2^{r - k}} \pmod m</math>
+
::<math>U_w \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>a^{2^r \cdot d} \equiv 1 \pmod m</math>
+
::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad</math> gdzie <math>k \in [0, r - 1]</math>
  
−
Czyli <math>m</math> jest PSP(<math>a</math>).<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 428: Linia 1598:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K18</span><br/>
+
Konsekwentnie definiujemy liczby pseudopierwsze<br/>
−
Pokażemy, że jeżeli <math>m</math> jest PSP(<math>2</math>), to <math>2^m - 1</math> jest SPSP(<math>2</math>).
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L35</span><br/>
 +
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą silnie pseudopierwszą Lucasa (SLPSP) dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, jeżeli <math>\gcd (m, Q D) = 1</math> oraz <math>m - (D \, | \, m) = 2^r w</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą i&nbsp;spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
  
−
Z założenia <math>m</math> jest złożoną liczbą nieparzystą, zatem <math>N = 2^m - 1</math> jest złożoną liczbą nieparzystą. Ponieważ <math>m</math> jest FPSP(<math>2</math>), to
+
::<math>U_w \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
::<math>2^{m - 1} \equiv 1 \pmod m</math>
+
lub
  
−
Wynika stąd natychmiast, że <math>2^{m - 1} - 1 = k m</math>, gdzie <math>k</math> jest liczbą nieparzystą. Zatem
+
::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{m} \;</math> dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
  
−
::<math>N - 1 = 2^m - 2 = 2 (2^{m - 1} - 1) = 2 k m</math>
 
  
−
Widzimy, że liczba <math>2</math> występuje w&nbsp;pierwszej potędze w&nbsp;rozwinięciu liczby <math>N - 1</math> na czynniki pierwsze i&nbsp;łatwo otrzymujemy, że
 
  
−
::<math>2^{(N - 1) / 2} = 2^{k m} = (2^m)^k = (2^m - 1 + 1)^k = (N + 1)^k \equiv 1 \pmod N</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L36</span><br/>
 +
Każda liczba SLPSP(<math>P, Q</math>) jest LPSP(<math>P, Q</math>). Korzystając ze zdefiniowanych wcześniej funkcji: <code>modPower(a, n, m)</code>, <code>jacobi(a, n)</code> i <code>modLucas(n, P, Q, m)</code> (zobacz K2, J41, L15), możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy liczba <math>m</math> spełnia jeden z&nbsp;warunków podanych w&nbsp;twierdzeniu L34.
  
−
Czyli <math>N = 2^m - 1</math> jest SPSP(<math>2</math>).
+
<span style="font-size: 90%; color: black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q) =
 +
{
 +
'''local'''(a, b, c, D, js, k, r, w, X);
 +
D = P^2 - 4*Q;
 +
'''if'''( gcd(m, 2*Q*D) > 1, '''return'''(0) );
 +
js = jacobi(D, m);
 +
r = '''valuation'''(m - js, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m - js
 +
w = (m - js) / 2^r;
 +
X =  modLucas(w, P, Q, m);
 +
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
 +
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
 +
'''if'''( a == 0 || b == 0, '''return'''(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
 +
'''if'''( r == 1, '''return'''(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
 +
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
 +
k = 0;
 +
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) % m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*t) = (V_t)^2 - 2*Q^t
 +
'''while'''( k++ < r,
 +
        b = (b^2 - 2*c) % m;
 +
        '''if'''( b == 0, '''return'''(1) );
 +
        c = c^2 % m;
 +
      );
 +
'''return'''(0);
 +
}</span>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K19</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L37</span><br/>
−
Tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math>
+
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=1; '''forstep'''(m=3, 20000, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, a)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("a=", a, "  m=", m); s++ ); '''if'''( s>5, '''break'''() ) ))</span>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
−
 
+
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>  
−
! &nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{a}</math>&nbsp;&nbsp; !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math>
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>253</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>781</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>299</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>407</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>9</math> || <math>4181</math> || <math>341</math> || <math>169</math> || <math>33</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>57</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>799</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>25</math> || <math>85</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>55</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>169</math> || <math>529</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>2047</math> || style="background-color: yellow" | <math>989</math> || <math>161</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>9</math> || <math>265</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| <math>4181</math> || <math>169</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>629</math> || <math>25</math> || <math>33</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>51</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>2047</math> || <math>121</math> || <math>341</math> || <math>781</math> || <math>217</math> || <math>25</math> || <math>9</math> || <math>91</math> || <math>9</math> || <math>133</math> || <math>91</math> || <math>85</math> || <math>15</math> || <math>1687</math>
+
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>25</math> || style="background-color: red" | <math></math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>559</math> || <math>9</math> || <math>49</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>3277</math> || <math>703</math> || <math>1387</math> || <math>1541</math> || <math>481</math> || <math>325</math> || <math>65</math> || <math>121</math> || <math>91</math> || <math>793</math> || <math>133</math> || <math>1099</math> || <math>841</math> || <math>3277</math>
+
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>5459</math> || <math>9</math> || <math>2047</math> || <math>169</math> || <math>21</math> || <math>253</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || <math>9</math> || <math>49</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>4033</math> || <math>1891</math> || <math>2047</math> || <math>5461</math> || <math>1111</math> || <math>703</math> || <math>481</math> || <math>671</math> || <math>1729</math> || <math>2047</math> || <math>145</math> || <math>5149</math> || <math>2743</math> || <math>6541</math>
+
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>899</math> || style="background-color: yellow" | <math>5983</math> || <math>25</math> || <math>121</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>55</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>4681</math> || <math>3281</math> || <math>3277</math> || <math>5611</math> || <math>1261</math> || <math>2101</math> || <math>511</math> || <math>703</math> || <math>4187</math> || <math>4577</math> || <math>247</math> || <math>7107</math> || <math>3277</math> || <math>14041</math>
+
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>899</math> || <math>25</math> || <math>1541</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>377</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math>  
 
|-
 
|-
−
|  || <math>8321</math> || <math>8401</math> || <math>4033</math> || <math>7813</math> || <math>2701</math> || <math>2353</math> || <math>1417</math> || <math>1541</math> || <math>6533</math> || <math>5041</math> || <math>1649</math> || <math>8911</math> || <math>5713</math> || <math>14701</math>
+
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>4181</math> || <math>781</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>  
 
|}
 
|}
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">FirstSLPSP(Stop) =
 +
\\ najmniejsze SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0,
 +
                  '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------");
 +
                  '''next'''();
 +
                );
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m),
 +
                          '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  m= ", m, "  (D|m)= ", jacobi(D, m));
 +
                          '''break'''();
 +
                        );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których <math>(D \, | \, m) = - 1</math>.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład K20</span><br/>
 
−
Tabela pokazuje ilość liczb silnie pseudopierwszych dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math>
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 15, s=0; '''forstep'''(k=3, 10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(k, a)  &&  !'''isprime'''(k), s++ )); '''print'''("a= ", a, "  ", s))</span>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L38</span><br/>
 +
Ilość liczb SLPSP(<math>P, Q</math>) mniejszych od <math>10^9</math>
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
−
! <math>\boldsymbol{a}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math> !! <math>\boldsymbol{11}</math> !! <math>\boldsymbol{12}</math> !! <math>\boldsymbol{13}</math> !! <math>\boldsymbol{14}</math> !! <math>\boldsymbol{15}</math>
+
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>  
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>1056</math> || <math>1231</math> || <math>1184</math> || <math>1264</math> || <math>2278</math> || <math>1284</math> || <math>1181</math> || <math>1174</math> || <math>1281</math> || <math>1429</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>1043</math> || <math>1165</math> || <math>2139</math> || <math>1316</math> || <math>1151</math> || <math>1079</math> || <math>1112</math> || <math>2377</math> || <math>1197</math> || <math>989</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| <math>952</math> || <math>1514</math> || <math>1055</math> || <math>1153</math> || <math>1135</math> || <math>2057</math> || <math>998</math> || <math>1202</math> || <math>1077</math> || <math>1112</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>1282</math> || <math>1092</math> || <math>1212</math> || <math>1510</math> || <math>1155</math> || <math>1179</math> || <math>1173</math> || <math>2240</math> || <math>1089</math> || <math>2109</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| <math>1165</math> || <math>1316</math> || <math>1079</math> || <math>2377</math> || <math>989</math> || <math>1196</math> || <math>1129</math> || <math>1050</math> || <math>1055</math> || <math>1147</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>282485800</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>2278</math> || <math>2057</math> || <math>2113</math> || <math>2266</math> || <math>4053</math> || <math>2508</math> || <math>2285</math> || <math>3083</math>  
 
|-
 
|-
−
| #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^6</math> || <math>46</math> || <math>73</math> || <math>97</math> || <math>64</math> || <math>73</math> || <math>66</math> || <math>127</math> || <math>161</math> || <math>62</math> || <math>58</math> || <math>90</math> || <math>71</math> || <math>74</math> || <math>45</math>
+
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| <math>1776</math> || <math>449152466</math> || <math>1282</math> || <math>1316</math> || <math>1645</math> || <math>1413</math> || <math>1564</math> || <math>1595</math> || <math>1683</math> || <math>1435</math>  
 
|-
 
|-
−
| #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^7</math> || <math>162</math> || <math>207</math> || <math>305</math> || <math>199</math> || <math>203</math> || <math>177</math> || <math>377</math> || <math>459</math> || <math>158</math> || <math>157</math> || <math>251</math> || <math>193</math> || <math>190</math> || <math>148</math>
+
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| <math>1621</math> || <math>1553</math> || <math>282485800</math> || <math>1514</math> || <math>1530</math> || <math>1510</math> || <math>1588</math> || <math>1549</math> || <math>1468</math> || <math>1692</math>  
 
|-
 
|-
−
| #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^8</math> || <math>488</math> || <math>582</math> || <math>833</math> || <math>475</math> || <math>486</math> || <math>446</math> || <math>1023</math> || <math>1241</math> || <math>437</math> || <math>430</math> || <math>666</math> || <math>472</math> || <math>440</math> || <math>398</math>
+
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| <math>2760</math> || <math>282485800</math> || <math>2978</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>2137</math> || <math>2278</math> || <math>1995</math> || <math>2057</math> || <math>2260</math> || <math>2113</math>  
 
|-
 
|-
−
| #SPSP(<math>a</math>) <math> < 10^9</math> || <math>1282</math> || <math>1514</math> || <math>2162</math> || <math>1268</math> || <math>1232</math> || <math>1163</math> || <math>2599</math> || <math>3210</math> || <math>1113</math> || <math>1125</math> || <math>1655</math> || <math>1142</math> || <math>1151</math> || <math>1041</math>
+
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>1314</math> || <math>2392</math> || <math>1497</math> || <math>2392</math> || <math>1165</math> || <math>1268</math> || <math>1227</math> || <math>1411</math> || <math>1253</math> || <math>2377</math>  
 
|}
 
|}
  
−
Widzimy, że liczb silnie pseudopierwszych jest znacznie mniej niż liczb pseudopierwszych Fermata.
+
 
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">NumOfSLPSP(Stop) =
 +
\\ ilość liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0, '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------"); '''next'''() );
 +
              s = 0;
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m), s++ );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
              '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  s= ", s);
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K21</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L39</span><br/>
−
Interesujące i&nbsp;pożyteczne będzie zbadanie najmniejszych liczb silnie pseudopierwszych dla wielu podstaw. Niech badanymi podstawami będą kolejne liczby pierwsze. Najmniejszą liczbę SPSP(<math>2</math>) już znamy: <math>2047</math>. Najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie SPSP(<math>2</math>) i&nbsp;SPSP(<math>3</math>) musimy poszukać. Prostym poleceniem
+
Można pokazać<ref name="Arnault1"/>, że dla liczby złożonej nieparzystej <math>m \neq 9</math> i&nbsp;ustalonego <math>D</math> ilość par <math>P, Q</math> takich, że
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 2*10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2)  &&  isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span>
+
:* <math>0 \leqslant P, Q < m</math>
 +
:* <math>\gcd (Q, m) = 1</math>
 +
:* <math>P^2 - 4 Q \equiv D \pmod{m}</math>
 +
:* <math>m</math> jest SLPSP(<math>P, Q</math>)
  
−
znajdujemy, że <math>m = 1373653</math>. Więcej czasu będzie wymagało znalezienie liczby jednocześnie silnie pseudopierwszej względem podstaw <math>2, 3, 5</math>. Poleceniem
+
nie przekracza <math>\tfrac{4}{15} n</math>.
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 26*10^6, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2) &&  isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3) &&  isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 5)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span>
+
Nie dotyczy to przypadku, gdy <math>m = p (p + 2)</math> jest iloczynem liczb pierwszych bliźniaczych takich, że <math>(D \, | \, p) = - (D \, | \, p + 2) = - 1</math>, wtedy mamy słabsze oszacowanie: <math>\# (P, Q) \leqslant \tfrac{1}{2} n</math>. Zauważmy, że taką sytuację łatwo wykryć, bo w&nbsp;tym przypadku <math>m + 1 = (p + 1)^2</math> jest liczbą kwadratową.
  
−
znajdujemy, że szukana liczba to <math>m = 25326001</math>.
 
  
  
−
Stosując bardziej wyrafinowane metody<ref name="SPSPtoNbases"/><ref name="Jaeschke1"/> znaleziono wartości liczb silnie pseudopierwszych względem wielu podstaw, które są kolejnymi liczbami pierwszymi, dla większej ilości liczb pierwszych<ref name="A014233"/>. Dla przykładu
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L40</span><br/>
 +
Podobnie jak w&nbsp;przypadku liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(<math>P, Q</math>) tak i&nbsp;w&nbsp;przypadku liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(<math>P, Q</math>) możemy testować pierwszość liczby <math>m</math>, wybierając liczby <math>P, Q</math> losowo lub zastosować wybraną metodę postępowania. Przedstawiony poniżej program, to zmodyfikowany kod z uwagi L36. Teraz parametry <math>P, Q</math> są wybierane metodą Selfridge'a, a symbol Jacobiego <math>(D \, | \, m)</math> jest równy <math>- 1</math>.
  
−
::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">StrongLucasTest(m) =
−
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{m}</math>
+
{
−
|-
+
'''local'''(a, b, c, k, P, Q, r, w, X);
−
|  <math>1</math> || <math>2047</math>
+
'''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); \\ sprawdzamy, czy liczba m nie jest kwadratowa
−
|-
+
X = MethodA(m);
−
| <math>2</math> || <math>1373653</math>
+
P = X[1];
−
|-
+
Q = X[2];
−
|  <math>3</math> || <math>25326001</math>
+
'''if'''( P == 0 || '''gcd'''(m, 2*Q) > 1, '''return'''(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
−
|-
+
r = '''valuation'''(m + 1, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m + 1
−
|  <math>4</math> || <math>3215031751</math>
+
w = (m + 1) / 2^r;
−
|-
+
X =  modLucas(w, P, Q, m);
−
|  <math>5</math> || <math>2152302898747</math>
+
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
−
|-
+
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
−
|  <math>6</math> || <math>3474749660383</math>
+
'''if'''( a == 0 || b == 0, '''return'''(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
 +
'''if'''( r == 1, '''return'''(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
 +
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
 +
k = 0;
 +
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) %m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*w) = (V_w)^2 - 2*Q^w
 +
'''while'''( k++ < r,
 +
        b = (b^2 - 2*c) % m;
 +
        '''if'''( b == 0, '''return'''(1) );
 +
        c = c^2 % m;
 +
      );
 +
'''return'''(0);
 +
  }</span>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L41</span><br/>
 +
Najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa, które otrzymujemy po zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, to
 +
 
 +
::<math>5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519, 75077, 97439, \ldots</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(k=1, 10^5, 2, '''if'''( StrongLucasTest(k) && !'''isprime'''(k), '''print'''(k)) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od <math>10^n</math>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>7</math> || <math>341550071728321</math>
+
| #SLPSP <math>< 10^n</math> (metoda Selfridge'a) || <math>0</math> || <math>2</math> || <math>12</math> || <math>58</math> || <math>178</math> || <math>505</math> || <math>1415</math>
 
|}
 
|}
  
−
Podane w&nbsp;prawej kolumnie liczby <math>m</math> są najmniejszymi liczbami jednocześnie silnie pseudopierwszymi względem podstaw <math>p_1, \ldots, p_n</math>. Zauważmy, że wyniki te mają bardzo praktyczne zastosowanie. Przykładowo, jeśli <math>m</math> przechodzi test Millera-Rabina dla siedmiu podstaw <math>a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17</math> i&nbsp;jest liczbą mniejszą od <math>3.41 \cdot 10^{14}</math>, to jest z&nbsp;pewnością liczbą pierwszą.
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n=3, 9, s=0; '''forstep'''(k = 1, 10^n, 2, '''if'''( StrongLucasTest(k) && !'''isprime'''(k), s++ ) ); '''print'''("n=", n, "  ", s) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
 +
== Test BPSW ==
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L42</span><br/>
 +
Jest <math>488</math> liczb SPSP(<math>2</math>) mniejszych od <math>10^8</math> i są 582 liczby SPSP(<math>3</math>) mniejsze od <math>10^8</math> (zobacz K20). Ale jest aż <math>21</math> liczb mniejszych od <math>10^8</math> silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw <math>2</math> i <math>3</math>:
  
−
== Uzupełnienie ==
+
<math>1373653, 1530787, 1987021, 2284453, 3116107, 5173601, 6787327, 11541307, 13694761, 15978007, 16070429,</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga K22</span><br/>
+
<math>16879501, 25326001, 27509653, 27664033, 28527049, 54029741, 61832377, 66096253, 74927161, 80375707</math>
−
W funkcji <code>isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowane w&nbsp;PARI/GP funkcje:
 
  
−
* <code>gcd(a, b)</code> – znajduje największy wspólny dzielnik liczb a i b
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
−
* <code>valuation(a, b)</code> – znajduje największą wartość liczby <math>r</math> taką, że <math>b^r | a</math>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 10^8, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2) &&  isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Wprowadzenie tych funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy sami je napisać:
+
Widzimy, że prawdopodobieństwo błędnego rozpoznania pierwszości w&nbsp;przypadku liczb mniejszych od <math>10^8</math> dla podstaw <math>2</math> i <math>3</math> jest rzędu kilku milionowych. Gdyby prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania pierwszości w&nbsp;przypadku podstaw <math>2</math> i <math>3</math> były niezależne, to spodziewalibyśmy się, że nie będzie wcale liczb mniejszych od <math>10^8</math> silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw <math>2</math> i <math>3</math>, bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia byłoby równe kilkudziesięciu bilonowym. Ale tak nie jest.
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">gcd2(a, b) =
+
Jest to mocny argument za tym, że zastosowanie różnych (niezależnych) testów może być znacznie silniejszym narzędziem do testowania pierwszości liczb, niż wielokrotne stosowanie tego samego testu, gdzie poszczególne próby są tylko pozornie niezależne.
 +
 
 +
Połączenie znanych nam już testów prowadzi do prostego programu
 +
 
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">BPSWtest(m) =
 
  {
 
  {
−
  '''while'''( b <> 0, a = b; b = a % b );
+
  '''forprime'''(p = 2, 1000, '''if'''( m % p > 0, '''next'''() ); '''if'''( m == p, '''return'''(1), '''return'''(0) ));
−
  '''return'''(a);
+
'''if'''( !isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2), '''return'''(0) );
 +
  '''if'''( !StrongLucasTest(m), '''return'''(0), '''return'''(1) );
 
  }</span>
 
  }</span>
  
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">valuation2(a, b) =
+
 
 +
Funkcja <code>BPSWtest(m)</code> kolejno sprawdza:
 +
 
 +
:* czy liczba <math>m</math> jest podzielna przez niewielkie liczby pierwsze (w naszym przypadku mniejsze od <math>1000</math>); jeśli tak, to sprawdza, czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną i&nbsp;zwraca odpowiednio <math>1</math> lub <math>0</math>
 +
:* czy liczba <math>m</math> przechodzi test Millera-Rabina dla podstawy <math>2</math>; jeśli nie, to zwraca <math>0</math>
 +
:* czy liczba <math>m</math> przechodzi silny test Lucasa dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, które wybieramy metodą Selfridge'a; jeśli nie, to zwraca <math>0</math>, w&nbsp;przeciwnym wypadku zwraca <math>1</math>
 +
 
 +
 
 +
Test w&nbsp;dokładnie takiej postaci zaproponowali Robert Baillie i&nbsp;Samuel Wagstaff<ref name="BaillieWagstaff1"/>. Nazwa testu to akronim, utworzony od pierwszych liter nazwisk Roberta Bailliego, Carla Pomerance'a, Johna Selfridge'a i&nbsp;Samuela Wagstaffa.
 +
 
 +
Nie jest znany żaden przykład liczby złożonej <math>m</math>, którą test BPSW<ref name="BPSW1"/><ref name="BPSW2"/> identyfikowałby jako pierwszą i&nbsp;z&nbsp;pewnością nie ma takich liczb dla <math>m < 2^{64} \approx 1.844 \cdot 10^{19}</math>. Warto przypomnieć: potrzebowaliśmy siedmiu testów Millera-Rabina (dla podstaw <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17</math>), aby mieć pewność, że dowolna liczba <math>m < 3.41 \cdot 10^{14}</math> jest pierwsza (zobacz K21).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Uzupełnienia ==
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Pewne własności współczynników dwumianowych</span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L43</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to
 +
 
 +
::<math>\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
dla każdego <math>k \in [1, p - 1]</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Łatwo zauważamy, że dla <math>k \in [1, p - 1]</math> liczba pierwsza <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynnika dwumianowego
 +
 
 +
::<math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k)!}}</math>
 +
 
 +
zatem <math>p \biggr\rvert \binom{p}{k}</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L44</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
 +
 
 +
::<math>\binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
dla każdego <math>k \in [2, p - 1]</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Jeżeli <math>k \in [2, p - 1]</math>, to modulo <math>p</math> dostajemy
 +
 
 +
::<math>\binom{p + 1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k - 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Bo liczba pierwsza <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynników dwumianowych po prawej stronie. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L45</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to
 +
 
 +
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
 +
 
 +
dla każdego <math>k \in [0, p - 1]</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby pierwszej parzystej <math>p = 2</math>. Załóżmy, że <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Równie łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k = 0</math> i <math>k = 1</math>. Zauważmy, że dla <math>k \in [1, p - 1]</math> jest
 +
 
 +
::<math>\binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! (p - 1 - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot {\small\frac{(p - 1) !}{(k - 1) ! (p - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} = {\small\frac{p}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} - \binom{p - 1}{k - 1}</math>
 +
 
 +
Ponieważ współczynniki dwumianowe są liczbami całkowitymi, a&nbsp;liczba <math>k \in [2, p - 1]</math> nie dzieli liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math>, to <math>k</math> musi dzielić liczbę <math>\binom{p - 1}{k - 1}</math>. Zatem dla <math>k \in [2, p - 1]</math> modulo <math>p</math> mamy
 +
 
 +
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv - \binom{p - 1}{k - 1}\pmod{p}</math>
 +
 
 +
Skąd otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^1 \binom{p - 1}{k - 1} \equiv (- 1)^2 \binom{p - 1}{k - 2} \equiv \ldots \equiv (- 1)^{k - 2} \binom{p - 1}{2} \equiv (- 1)^{k - 1} \binom{p - 1}{1} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L46</span><br/>
 +
Dla współczynników dwumianowych prawdziwe są następujące wzory
 +
 
 +
::<math>\underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
 +
 
 +
::<math>\underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Ze wzoru dwumianowego
 +
 
 +
::<math>(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n - k} b^k</math>
 +
 
 +
z łatwością otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>(1 + 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n</math>
 +
 
 +
::<math>(1 - 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \binom{n}{k} = 0</math>
 +
 
 +
Obliczając sumę i&nbsp;różnicę powyższych wzorów mamy
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 + (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum^n_{k = 0}} \binom{n}{k} = 2^n</math>
 +
 
 +
::<math>\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 - (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^n</math>
 +
 
 +
Skąd natychmiast wynika
 +
 
 +
::<math>\underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
 +
 
 +
::<math>\underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Funkcje <span style="font-size: 95%; background-color: #f8f9fa"><tt>digits(m, b)</tt></span> oraz <span style="font-size: 95%; background-color: #f8f9fa"><tt>issquare(m)</tt></span></span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L47</span><br/>
 +
W funkcji <code>modLucas()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowaną w&nbsp;PARI/GP funkcję
 +
 
 +
<code>digits(m, b)</code> – zwraca wektor cyfr liczby <math>| m |</math> w&nbsp;systemie liczbowym o&nbsp;podstawie <math>b</math>
 +
 
 +
W naszym przypadku potrzebowaliśmy uzyskać wektor cyfr liczby <math>m</math> w&nbsp;układzie dwójkowym, czyli funkcję <code>digits(m, 2)</code> . Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Zauważmy, że do zapisania liczby <math>m \geqslant 1</math> potrzebujemy <math>\log_2 m + 1</math> cyfr. Zastępując funkcję <math>\log_2 m</math> funkcją <math>\left \lfloor \tfrac{\log m}{\log 2} \right \rfloor</math> musimy liczyć się z&nbsp;możliwym błędem zaokrąglenia – dlatego w&nbsp;programie deklarujemy wektor <code>V</code> o&nbsp;długości <code>floor( log(m)/log(2) ) + 2</code>. Zwracany wektor <code>W</code> ma już prawidłową długość.
 +
 
 +
  <span style="font-size: 90%; color:black;">Dec2Bin(m) =  
 +
\\ zwraca wektor cyfr liczby m w układzie dwójkowym
 
  {
 
  {
−
  '''local'''(s);
+
  '''local'''(i, k, V, W);
−
  s = 0;
+
'''if'''( m == 0, '''return'''([0]) );
−
  '''while'''(a % b == 0, s++; a = a / b);
+
V = '''vector'''( '''floor'''( '''log'''(m)/'''log'''(2) ) + 2 ); \\ potrzeba floor( log(m)/log(2) ) + 1, ale błąd zaokrąglenia może zepsuć wynik
−
  '''return'''(s);
+
  k = 0;
 +
  '''while'''( m > 0,
 +
        V[k++] = m % 2;
 +
        m = '''floor'''(m / 2);
 +
      );
 +
W = '''vector'''(k);
 +
'''for'''(i = 1, k, W[i] = V[k + 1 - i]);
 +
'''return'''(W);
 +
}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L48</span><br/>
 +
W funkcjach <code>LucasTest()</code> i <code>StrongLucasTest()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowaną w&nbsp;PARI/GP funkcję
 +
 
 +
<code>issquare(m)</code> – sprawdza, czy liczba <math>m</math> jest liczbą kwadratową
 +
 
 +
Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Potrzebna nam będzie funkcja, która znajduje całość z&nbsp;pierwiastka z&nbsp;liczby <math>m</math>, czyli <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math>. Wykorzystamy tutaj ciąg
 +
 
 +
::<math>a_{k + 1} =
 +
  \begin{cases}
 +
  \qquad \;\; 1 & \text{gdy } k = 0 \\
 +
      \tfrac{1}{2} \left( a_k + \tfrac{x}{a_k} \right) & \text{gdy } k > 0
 +
  \end{cases}</math>
 +
 
 +
którego granicą jest <math>\sqrt{x}</math> <ref name="pierwiastek1"/>.
 +
 
 +
Modyfikując powyższą definicję tak, aby operacje były zawsze wykonywane na liczbach całkowitych<ref name="IntegerSquareRoot1"/>
 +
 
 +
::<math>a_{k + 1} =
 +
  \begin{cases}
 +
  \qquad \quad \; 1 & \text{gdy } k = 0 \\
 +
      \left\lfloor \tfrac{1}{2} \left( a_k + \left\lfloor \tfrac{m}{a_k} \right\rfloor \right) \right\rfloor & \text{gdy } k > 0
 +
  \end{cases}</math>
 +
 
 +
otrzymujemy ciąg, którego wszystkie wyrazy, począwszy od pewnego skończonego <math>n_0</math>, są równe <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math>. Nie dotyczy to przypadku, gdy <math>m + 1</math> jest liczbą kwadratową, wtedy, począwszy od pewnego skończonego <math>n_0</math>, wyrazy ciągu przyjmują na zmianę wartości <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math> oraz <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor + 1</math>.
 +
 
 +
Na tej podstawie możemy w&nbsp;PARI/GP napisać funkcję
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">intSqrt(m) =
 +
{
 +
'''local'''(a, b);
 +
'''if'''( m == 0, '''return'''(0) );
 +
a = 2^( '''floor'''( '''log'''(m)/'''log'''(2)/2 ) + 2 ); \\ musi być a > sqrt(m)
 +
b = '''floor'''(( a + '''floor'''( m/a ) )/2);
 +
'''while'''( b < a,
 +
        a = b;
 +
        b = '''floor'''( ( a + '''floor'''(m/a) )/2 );
 +
      );
 +
  '''return'''(a);
 
  }</span>
 
  }</span>
  
 +
Oczywiście liczba <math>m</math> jest liczbą kwadratową, wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>m = \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor^2</math>, zatem wystarczy sprawdzić, czy <code>m == intSqrt(m)^2</code>.
  
  
Linia 569: Linia 2090:
 
<references>
 
<references>
  
−
<ref name="Carmichael1">W. R. Alford, Andrew Granville and Carl Pomerance, ''There are Infinitely Many Carmichael Numbers'', Annals of Mathematics, '''140''', (1994),  703-722</ref>
+
<ref name="BaillieWagstaff1">Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., ''Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), ([http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf LINK])</ref>
  
−
<ref name="Carmichael2">Glyn Harman, ''On the Number of Carmichael Numbers up to x'', Bull. London Math. Soc. 37 (2005) 641–650</ref>
+
<ref name="Arnault1">François Arnault, ''The Rabin-Monier Theorem for Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 66, No. 218 (1997)</ref>
  
−
<ref name="Carmichael3">Glyn Harman, ''Watt’s Mean Value Theorem and Carmichael Numbers'', International Journal of Number Theory, Vol. 4, No. 2 (2008) 241–248</ref>
+
<ref name="pierwiastek1">Wikipedia, ''Pierwiastek kwadratowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_obliczania_pierwiastka_kwadratowego#Metoda_babilo%C5%84ska Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method Wiki-en])</ref>
 +
 
 +
<ref name="IntegerSquareRoot1">Wikipedia, ''Integer square root'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_square_root#Using_only_integer_division Wiki-en])</ref>
 +
 
 +
<ref name="BPSW1">Wikipedia, ''Baillie–PSW primality test'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Baillie%E2%80%93PSW_primality_test Wiki-en])</ref>
 +
 
 +
<ref name="BPSW2">MathWorld, ''Baillie-PSW Primality Test'', ([https://mathworld.wolfram.com/Baillie-PSWPrimalityTest.html LINK])</ref>
 +
 
 +
</references>
  
−
<ref name="Miller1">Gary L. Miller, ''Riemann's Hypothesis and Tests for Primality'', Journal of Computer and System Sciences '''13''', 300-317 (1976)</ref>
 
  
−
<ref name="Rabin1">Michael O. Rabin, ''Probabilistic Algorithm for Testing Primality'', Journal of Number Theory '''12''', 128-138 (1980)</ref>
 
  
−
<ref name="SPSPtoNbases">Carl Pomerance, J. L. Selfridge and Samuel S. Wagstaff, Jr., ''The Pseudoprimes to 25*10^9'', Mathematics of Computation, Vol. 35, No. 151 (1980), 1003-1026</ref>
 
  
−
<ref name="Jaeschke1">Gerhard Jaeschke, ''On Strong Pseudoprimes to Several Bases'', Mathematics of Computation, Vol. 61, No. 204 (Oct., 1993), 915-926</ref>
 
  
−
<ref name="A014233">On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''Smallest odd number for which Miller-Rabin primality test on bases <= n-th prime does not reveal compositeness'', ([https://oeis.org/A014233 A014233])</ref>
 
  
−
</references>
 
  
  

Wersja z 10:35, 26 kwi 2023

11.01.2023



Ciągi Lucasa

Definicja L1
Niech [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math]. Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ U_n = U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n = V_n (P, Q) }[/math] definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ U_n = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n = \alpha^n + \beta^n }[/math]

gdzie liczby

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}} }[/math]

są pierwiastkami równania [math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math].


Uwaga L2
Zauważmy, że:

[math]\displaystyle{ P = \alpha + \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ Q = \alpha \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{D} = \alpha - \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ V_0 = 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ V_1 = P }[/math]


Warunek [math]\displaystyle{ P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math] wyklucza następujące pary [math]\displaystyle{ (P, Q) }[/math]

[math]\displaystyle{ (0, 0), (\pm 2, 1), (\pm 4, 4), (\pm 6, 9), (\pm 8, 16), (\pm 10, 25), (\pm 12, 36), ..., (\pm 2 n, n^2), ... }[/math]


Uwaga L3
Oczywiście liczby [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta }[/math] są również pierwiastkami równania

[math]\displaystyle{ x^{n + 2} - P x^{n + 1} + Q x^n = 0 }[/math]

Wynika stąd, że ciągi [math]\displaystyle{ (\alpha^n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta^n) }[/math] spełniają równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \alpha^{n + 2} = P \alpha^{n + 1} - Q \alpha^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta^{n + 2} = P \beta^{n + 1} - Q \beta^n }[/math]

Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] spełniają identyczne równania rekurencyjne jak ciągi [math]\displaystyle{ (\alpha^n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta^n) }[/math]. Istotnie, odejmując i dodając stronami wypisane powyżej równania, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{n + 2} = P U_{n + 1} - Q U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{n + 2} = P V_{n + 1} - Q V_n }[/math]

Dlatego możemy zdefiniować ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] w sposób równoważny


Definicja L4
Niech [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math]. Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] określone są następującymi wzorami rekurencyjnymi

[math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_0 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ V_1 = P }[/math], [math]\displaystyle{ V_n = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2} }[/math]


Przykład L5
Początkowe wyrazy ciągów Lucasa

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_n (P, Q)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{V_n (P, Q)} }[/math]
  [math]\displaystyle{ 0 }[/math]   [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 1 }[/math]   [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ P }[/math]
  [math]\displaystyle{ 2 }[/math]   [math]\displaystyle{ P }[/math] [math]\displaystyle{ P^2 - 2 Q }[/math]
  [math]\displaystyle{ 3 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^2 - Q }[/math] [math]\displaystyle{ P^3 - 3 P Q }[/math]
  [math]\displaystyle{ 4 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^3 - 2 P Q }[/math] [math]\displaystyle{ P^4 - 4 P^2 Q + 2 Q^2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 5 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^4 - 3 P^2 Q + Q^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P^5 - 5 P^3 Q + 5 P Q^2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 6 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^5 - 4 P^3 Q + 3 P Q^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P^6 - 6 P^4 Q + 9 P^2 Q^2 - 2 Q^3 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 7 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^6 - 5 P^4 Q + 6 P^2 Q^2 - Q^3 }[/math] [math]\displaystyle{ P^7 - 7 P^5 Q + 14 P^3 Q^2 - 7 P Q^3 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 8 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^7 - 6 P^5 Q + 10 P^3 Q^2 - 4 P Q^3 }[/math] [math]\displaystyle{ P^8 - 8 P^6 Q + 20 P^4 Q^2 - 16 P^2 Q^3 + 2 Q^4 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 9 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^8 - 7 P^6 Q + 15 P^4 Q^2 - 10 P^2 Q^3 + Q^4 }[/math] [math]\displaystyle{ P^9 - 9 P^7 Q + 27 P^5 Q^2 - 30 P^3 Q^3 + 9 P Q^4 }[/math]


Uwaga L6
W PARI/GP możemy napisać prosty kod, który pozwoli obliczyć wartości wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] 

LucasU(n, P, Q) = if( n == 0, 0, if( n == 1, 1, P*LucasU(n-1, P, Q) - Q*LucasU(n-2, P, Q) ) )

LucasV(n, P, Q) = if( n == 0, 2, if( n == 1, P, P*LucasV(n-1, P, Q) - Q*LucasV(n-2, P, Q) ) )


Twierdzenie L7
Niech [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q }[/math]. Wyrazy ciągów Lucasa można przedstawić w postaci sumy

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]
Dowód

Oznaczmy [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{D} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 \alpha = P + \delta }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 \beta = P - \delta }[/math]. Ze wzoru dwumianowego, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j }[/math]

Obliczając sumę powyższych wzorów, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n + \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j + (- \delta)^j) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} \cdot 2 \delta^{2 k} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 2 k }[/math] i sumowanie przebiega od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = \lfloor n / 2 \rfloor }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]


Obliczając różnicę tych wzorów, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} \cdot 2 \delta^{2 k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \delta \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 2 k + 1 }[/math] i sumowanie przebiega od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = \lfloor (n - 1) / 2 \rfloor }[/math]


Zatem

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} = 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga L8
Korzystając z twierdzenia L7, możemy napisać proste funkcje do znajdowania postaci kolejnych wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] 

U(n) = 2^(1 - n)*sum(k=0, floor((n-1)/2), binomial(n, 2*k+1) * P^(n-2*k-1) * (P^2-4*Q)^k)

V(n) = 2^(1 - n)*sum(k=0, floor(n/2), binomial(n, 2*k) * P^(n-2*k) * (P^2-4*Q)^k)


Często możemy spotkać założenie [math]\displaystyle{ P \geqslant 1 }[/math]. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego tak jest.

Twierdzenie L9
Jeżeli [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] są ciągami Lucasa, to

[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = (- 1)^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (- P, Q) = (- 1)^n V_n (P, Q) }[/math]
Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad \;\; \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = \frac{- P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad b = \frac{- P - \sqrt{D}}{2} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + P x + Q = 0 }[/math]

Zatem definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (P, Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \qquad \qquad \;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} \qquad \qquad V_n (- P, Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{\beta} = \frac{b}{\alpha} = - 1 }[/math]

Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} = \frac{(- \beta)^n - (- \alpha)^n}{\sqrt{D}} = (- 1)^n \cdot \frac{\beta^n - \alpha^n}{\alpha - \beta} = (- 1)^{n - 1} \cdot U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (- P, Q) = a^n + b^n = (- \beta)^n + (- \alpha)^n = (- 1)^n \cdot (\alpha^n + \beta^n) = (- 1)^n \cdot V_n (P, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L10
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] i [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = 2^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (2 P, 4 Q) = 2^n V_n (P, Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} \qquad \qquad \;\; \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = P + \sqrt{D} \qquad \qquad \;\; b = P - \sqrt{D} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 2 P x + 4 Q = 0 }[/math]

Zatem definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (P, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \;\;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ a - b = 2 \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{b}{\beta}} = 2 }[/math]

Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} = {\small\frac{(2 \alpha)^n - (2 \beta)^n}{2 \sqrt{D}}} = 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = 2^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n = (2 \alpha)^n + (2 \beta)^n = 2^n (\alpha^n + \beta^n) = 2^n V_n (P, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L11
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P = 4 Q - 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{- P}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{2}} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - x + {\small\frac{P + 1}{4}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + {\small\frac{P (P + 1)}{4}} = 0 }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ P = 4 Q - 1 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ x^2 - x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + P Q = 0 }[/math]

Czyli definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (1, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \:\:\: V_n (1, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{- P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\beta}} = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{1 - \sqrt{- P}}} = \sqrt{- P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{b}{\alpha}} = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{1 + \sqrt{- P}}} = - \sqrt{- P} }[/math]


Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k}}{\sqrt{- P}} = \frac{(- P)^k (\beta^{2 k} - \alpha^{2 k})}{\alpha - \beta} = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = (- P)^k (\beta^{2 k + 1} + \alpha^{2 k + 1}) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k} = (- P)^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} = (- P)^{k + 1} \cdot \frac{\beta^{2 k + 1} - \alpha^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L12
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P = 4 Q + 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = P^k U_{2 k} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = P^k V_{2 k} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{P}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{2}} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - x - {\small\frac{P - 1}{4}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + {\small\frac{P (P - 1)}{4}} = 0 }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ P = 4 Q + 1 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ x^2 - x - Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + P Q = 0 }[/math]

Czyli definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (1, - Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad V_n (1, - Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{1 + \sqrt{P}}} = \sqrt{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{b}{\beta}} = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{1 - \sqrt{P}}} = - \sqrt{P} }[/math]


Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k}}{\sqrt{P}} = \frac{P^k (\alpha^{2 k} - \beta^{2 k})}{\alpha - \beta} = P^k U_{2 k} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^k (\alpha^{2 k + 1} + \beta^{2 k + 1}) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k} = P^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = P^k V_{2 k} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} = P^{k + 1} \cdot \frac{\alpha^{2 k + 1} - \beta^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L13
Dla wyrazów ciągów Lucasa prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ 1. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{m + n} = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 2. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{m + n} = V_m V_n - Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{m + n} = U_m V_n - Q^n U_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 4. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{m + n} = D U_m U_n + Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 5. }[/math] [math]\displaystyle{ U_m V_n - V_m U_n = 2 Q^n U_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 6. }[/math] [math]\displaystyle{ U^2_n = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ 7. }[/math] [math]\displaystyle{ V^2_n = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; 8. }[/math] [math]\displaystyle{ 2 U_{m + n} = U_m V_n + V_m U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; 9. }[/math] [math]\displaystyle{ 2 V_{m + n} = V_m V_n + D U_m U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 10. }[/math] [math]\displaystyle{ V_m V_n - D U_m U_n = 2 Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 11. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n} = U_n V_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 12. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{2 n} = V^2_n - 2 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 13. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{2 n} = D U^2_n + 2 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 14. }[/math] [math]\displaystyle{ V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 15. }[/math] [math]\displaystyle{ D U_n = 2 V_{n + 1} - P V_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 16. }[/math] [math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 17. }[/math] [math]\displaystyle{ D U_n = V_{n + 1} - Q V_{n - 1} }[/math] [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18. }[/math] [math]\displaystyle{ V_n = U_{n + 1} - Q U_{n - 1} }[/math] [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 19. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 20. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 21. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]
Dowód

Wzory 1. - 7. najłatwiej udowodnić korzystając z definicji L1.

Wzór 1.

[math]\displaystyle{ U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} - \alpha \beta \cdot {\small\frac{\alpha^{m - 1} - \beta^{m - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n }[/math]


Wzór 2.

[math]\displaystyle{ V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = (\alpha^m + \beta^m) (\alpha^n + \beta^n) - \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = V_m V_n - Q^n V_{m - n} }[/math]


Wzór 3.

[math]\displaystyle{ U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = {\small\frac{(\alpha^m - \beta^m) (\alpha^n + \beta^n)}{\alpha - \beta}} - {\small\frac{\alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} - \beta^{m - n})}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = U_m V_n - Q^n U_{m - n} }[/math]


Wzór 4.

[math]\displaystyle{ V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = (\alpha - \beta)^2 \cdot {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} + \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = D U_m U_n + Q^n V_{m - n} }[/math]


Wzór 5.

[math]\displaystyle{ U_m V_n - V_m U_n = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^m + \beta^m) \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: = 2 \cdot \alpha^n \beta^n \cdot {\small\frac{\alpha^{m - n} - \beta^{m - n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: = 2 Q^n U_{m - n} }[/math]


Wzór 6.

[math]\displaystyle{ U^2_n = \left( {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \right)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} + \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1} }[/math]


Wzór 7.

[math]\displaystyle{ V^2_n = (\alpha^n + \beta^n)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = (\alpha^{n - 1} + \beta^{n - 1}) (\alpha^{n + 1} + \beta^{n + 1}) - (\alpha - \beta)^2 \cdot \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1} }[/math]


Wzory 8. - 18. można łatwo udowodnić, korzystając ze wzorów 1. - 7.

Wzór 8. Policzyć sumę wzoru 3. pomnożonego przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i wzoru 5.

Wzór 9. Policzyć sumę wzorów 2. i 4.

Wzór 10. Połączyć wzory 2. i 4.

Wzór 11. We wzorze 3. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 12. We wzorze 2. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 13. We wzorze 4. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 14. We wzorze 10. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math] lub połączyć wzory 12. i 13.

Wzór 15. We wzorze 9. położyć [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math].

Wzór 16. We wzorze 8. położyć [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math].

Wzór 17. We wzorze 15. położyć [math]\displaystyle{ V_{n + 1} = P V_n - Q V_{n - 1} }[/math].

Wzór 18. We wzorze 16. położyć [math]\displaystyle{ U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1} }[/math].


Wzory 19. - 21. to wzory, które wykorzystamy w przyszłości do szybkiego obliczania wartości wyrazów [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n }[/math] modulo.

Wzór 19. Wystarczy połączyć wzory 11. oraz 16.

Wzór 20. Wystarczy we wzorze 1. położyć [math]\displaystyle{ m = n + 1 }[/math].

Wzór 21. Kładąc we wzorze 19. [math]\displaystyle{ n \rightarrow n + 1 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - P U^2_{n + 1} \qquad (*) }[/math]

Kładąc we wzorze 1. [math]\displaystyle{ m = n + 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = U_{n + 2} U_{n + 1} - Q U_{n + 1} U_n }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2 U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]

Odejmując od powyższego wzoru wzór [math]\displaystyle{ (*) }[/math], dostajemy wzór 21.

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Obliczanie wyrazów ciągu Lucasa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Przykład L14
Pokażemy, jak wykorzystać podane w twierdzeniu L13 wzory 19, 20, 21 i 16

[math]\displaystyle{ U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math]

do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].


Niech [math]\displaystyle{ P = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ Q = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q = 5 }[/math], [math]\displaystyle{ n = 22 = (10110)_2 = \sum_{j = 0}^{4} a_j \cdot 2^j }[/math].

W tabeli przedstawione są kolejne kroki, jakie musimy wykonać, aby policzyć [math]\displaystyle{ U_n = U_{22} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m = 23 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k_j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_{k_j}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_{k_j + 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (1)_2 = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_2 = P = 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (10)_2 = 2 }[/math] [math]\displaystyle{ U_2 = 2 U_1 U_2 - 3 U^2_1 = 6 - 3 = 3 }[/math] [math]\displaystyle{ U_3 = U^2_2 - 1 = 8 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (101)_2 = 5 }[/math] [math]\displaystyle{ U_5 = U^2_3 - U^2_2 = 64 - 9 = 55 \equiv 9 }[/math] [math]\displaystyle{ U_6 = 3 U_3^2 - 2 U_2 U_3 = 192 - 48 = 144 \equiv 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (1011)_2 = 11 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{11} = U^2_6 - U^2_5 \equiv 36 - 81 \equiv - 45 \equiv 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{12} = 3 U_6^2 - 2 U_5 U_6 \equiv 108 - 108 \equiv 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (10110)_2 = 22 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{22} = 2 U_{11} U_{12} - 3 U^2_{11} \equiv 0 - 3 \equiv 20 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{23} = U^2_{12} - U^2_{11} \equiv 0 - 1 \equiv 22 }[/math]

W kolumnie [math]\displaystyle{ a_j }[/math] wypisujemy kolejne cyfry liczby [math]\displaystyle{ n = 22 = (10110)_2 }[/math] zapisanej w układzie dwójkowym. Liczby w kolumnie [math]\displaystyle{ k_j }[/math] tworzymy, biorąc kolejne (od prawej do lewej) cyfry liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] w zapisie dwójkowym. Postępując w ten sposób, w ostatnim wierszu mamy [math]\displaystyle{ k_j = n }[/math] i wyliczamy liczby [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ U_{n + 1} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dla uproszczenia zapisu i ułatwienia zrozumienia liczbę [math]\displaystyle{ k_j }[/math] oznaczymy jako [math]\displaystyle{ r }[/math], a [math]\displaystyle{ k_{j + 1} }[/math] jako [math]\displaystyle{ s }[/math]. Zauważmy, że

  • tabela jest zbudowana tak, że musimy znaleźć wyrazy ciągu Lucasa o indeksie [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] oraz o indeksie o jeden większym: [math]\displaystyle{ r + 1 = k_j + 1 }[/math]
  • przejście do następnego wiersza (w dół) oznacza, że musimy znaleźć wyrazy o indeksie [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} }[/math] oraz o indeksie o jeden większym: [math]\displaystyle{ s + 1 }[/math]
  • przechodząc do następnego wiersza, dotychczasowa liczba [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] powiększa się o kolejną cyfrę ( [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ), którą dopisujemy z prawej strony
  • dodanie na końcu liczby [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] zera podwaja liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math], czyli [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} = 2 r }[/math] oraz [math]\displaystyle{ s + 1 = 2 r + 1 }[/math]
  • dodanie na końcu liczby [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] jedynki podwaja liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] i zwiększą ją o jeden, czyli [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} = 2 r + 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ s + 1 = 2 r + 2 }[/math]


Dlatego, jeżeli kolejną dodaną cyfrą jest zero, to korzystamy ze wzorów

[math]\displaystyle{ U_s = U_{2 r} = 2 U_r U_{r + 1} - P U^2_r }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{s + 1} = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r }[/math]

Gdy kolejną dodaną cyfrą jest jeden, to stosujemy wzory

[math]\displaystyle{ U_s = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{s + 1} = U_{2 r + 2} = P U^2_{r + 1} - 2 Q U_r U_{r + 1} }[/math]


Korzystając ze wzoru [math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ V_{22} = 2 U_{23} - 3 U_{22} \equiv 44 - 60 \equiv - 16 \equiv 7 \pmod{23} }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{22} \equiv 20 \pmod{23} \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad V_{22} \equiv 7 \pmod{23} }[/math]


Uwaga L15
Uogólniając postępowanie przedstawione w przykładzie L14, możemy napisać program w PARI/GP do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. 

modLucas(n, P, Q, m) =
{
local(A, i, s, U, U2, V, W, W2);
if( m == 1, return([0, 0]) );
if( n == 0, return([0, 2 % m]) );
A = digits(n, 2); \\ otrzymujemy wektor cyfr liczby n w układzie dwójkowym
s = length(A); \\ długość wektora A
U = 1;
W = P;
i = 1;
while( i++ <= s,
       if( A[i] == 0,  U2 = 2*U*W - P*U^2;  W2 = W^2 - Q*U^2 );
       if( A[i] == 1,  U2 = W^2 - Q*U^2;  W2 = P*W^2 - 2*Q*U*W );
       U = U2 % m;
       W = W2 % m;
     );
V = (2*W - P*U) % m;
return([U, V]);
}



Podzielność wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] przez liczbę pierwszą nieparzystą

Uwaga L16
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p \nmid P Q }[/math] nie możemy nic powiedzieć o podzielności wyrazów [math]\displaystyle{ U_n }[/math] przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przykładowo, jeżeli [math]\displaystyle{ P \equiv 1 \pmod{p} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ (U_n) \equiv (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, \ldots) }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ P \equiv 2 \pmod{p} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ (U_n) \equiv (0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, \ldots) }[/math]

Sytuacja wygląda inaczej, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, P Q }[/math].


Twierdzenie L17
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą.

●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \, | \, Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_n \; }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \nmid Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_{2 n} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \nmid U_{2 n + 1} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \nmid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \, | \, Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \nmid U_n \; }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \, | \, Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \nmid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \, | \, D , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_n \; }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, n }[/math]

Założenie, że [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math] w ostatnim punkcie jest istotne. Gdy [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \, | \, D , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, Q \; }[/math] i otrzymujemy punkt pierwszy.

Dowód

Punkt 1.

Ponieważ [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_2 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2} }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].

Punkt 2.

Indeksy parzyste. Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \, | \, U_2 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 n} }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U_{2 n - 1} - Q U_{2 n} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 n + 2} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].

Indeksy nieparzyste. Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_3 = P^2 - Q }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid U_3 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 n - 1} }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = P U_{2 n} - Q U_{2 n - 1} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 n + 1} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Punkt 3.

Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid U_2 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_n }[/math] zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{n + 1} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Punkt 4.

Wynika z punktów pierwszego i trzeciego.

Punkt 5.

Z twierdzenia L7 wiemy, że

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = n P^{n - 1} + \binom{n}{3} P^{n - 3} D + \binom{n}{5} P^{n - 5} D^2 + \ldots + \begin{cases} n P D^{(n - 2) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest parzyste} \\ D^{(n - 1) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest nieparzyste} \end{cases} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ p \, | \, D }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n \equiv n P^{n - 1} \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, n }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L18
Jeżeli [math]\displaystyle{ d }[/math] jest nieparzystym dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_n \equiv P^{n - 1} \pmod{d} }[/math]

W szczególności, gdy liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_p \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Dowód

Oznaczmy [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{D} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 \alpha = P + \delta }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 \beta = P - \delta }[/math]. Ze wzoru dwumianowego, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j }[/math]


Obliczając różnicę wyjściowych wzorów, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot 2 \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot \delta \cdot D^{(j - 1) / 2} }[/math]

Rozpatrując powyższą równość modulo [math]\displaystyle{ Q }[/math] dostajemy (zobacz L43)

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\delta}} = 2^{n - 1} U_n \equiv \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot P^{j - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: \equiv P^{n - 1} \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: \equiv 2^{n - 1} P^{n - 1} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ Q }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (d, 2^{n - 1}) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ U_n - P^{n - 1} }[/math] (zobacz C72).

W przypadku szczególnym, gdy [math]\displaystyle{ d = p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieparzystą liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], z twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ U_p \equiv P^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L19
Niech [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q }[/math], a [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) }[/math] oznacza symbol Legendre'a, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math]. Mamy

●    [math]\displaystyle{ U_p \equiv (D \, | \, p) \pmod{p} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - 1 , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_{p + 1} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = 1 , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_{p - 1} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Zauważmy, że przypadek gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math], omówiliśmy w twierdzeniu poprzednim. Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z twierdzenia L7, w przypadku nieparzystego [math]\displaystyle{ n = p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 1} U_p = p P^{p - 1} + \binom{p}{3} P^{p - 3} D + \binom{p}{5} P^{p - 5} D^2 + \ldots + \binom{p}{p-2} P^2 D^{(p - 3) / 2} + D^{(p - 1) / 2} }[/math]

Ponieważ dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] (zobacz L43)

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy (zobacz J28)

[math]\displaystyle{ 2^{p - 1} U_p \equiv U_p \equiv D^{(p - 1) / 2} \equiv (D \, | \, p) \pmod{p} }[/math]

Punkt 2.

Zauważmy, że warunek [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - 1 }[/math] nie może być spełniony, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math]. Istotnie, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math], to [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \equiv P^2 \pmod{p} }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = (P^2 \, | \, p) = (P \, | \, p)^2 = 0 , \; }[/math] gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, P }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = (P^2 \, | \, p) = (P \, | \, p)^2 = 1 , \; }[/math] gdy [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math]

i nie może być [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - 1 }[/math].

Dla parzystego [math]\displaystyle{ n = p + 1 }[/math] otrzymujemy z twierdzenia L7

[math]\displaystyle{ 2^p U_{p + 1} = (p + 1) P^p + \binom{p + 1}{3} P^{p - 2} D + \binom{p + 1}{5} P^{p - 4} D^2 + \ldots + \binom{p + 1}{p - 2} P^3 D^{(p - 3) / 2} + (p + 1) P D^{(p - 1) / 2} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] (zobacz L44)

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 U_{p + 1} \equiv P + P D^{(p - 1) / 2} \pmod{p} }[/math]


Z założenia [math]\displaystyle{ D }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ D^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math] (zobacz J25). Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ 2 U_{p + 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{p + 1} }[/math].

Punkt 3.

Dla parzystego [math]\displaystyle{ n = p - 1 }[/math] otrzymujemy z twierdzenia L7

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} = (p - 1) P^{p - 2} + \binom{p - 1}{3} P^{p - 4} D + \binom{p - 1}{5} P^{p - 6} D^2 + \ldots + \binom{p - 1}{p - 4} P^3 D^{(p - 5) / 2} + (p - 1) P D^{(p - 3) / 2} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math] (zobacz L45)

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - (P^{p - 2} + P^{p - 4} D + P^{p - 6} D^2 + \ldots + P D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} D + P^{p - 7} D^2 + \ldots + D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p} }[/math]


Z założenia [math]\displaystyle{ D }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz J23), zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ R }[/math], że

[math]\displaystyle{ D \equiv R^2 \pmod{p} }[/math]

Ponieważ

  • [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid D }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid R }[/math]
  • z założenia [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math], to [math]\displaystyle{ P^2 - R^2 \equiv P^2 - D \equiv 4 Q \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]


Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p} }[/math]


Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ P^2 - R^2 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} (P^2 - R^2) U_{p - 1} \equiv - P (P^2 - R^2) (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \equiv - P (P^{p - 1} - R^{p - 1}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że wynik nie zależy od tego, czy [math]\displaystyle{ p \, | \, P }[/math], czy [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math]. Skąd wynika

[math]\displaystyle{ U_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Aby zapisać punkty 2. i 3. twierdzenia L19 (i tylko te punkty) w zwartej formie, musimy założyć, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, D) = 1 }[/math]. Otrzymujemy
Twierdzenie L20
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{p - (D \, | \, p)} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]



Liczby pseudopierwsze Lucasa

Uwaga L21
Z twierdzenia L20 wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste [math]\displaystyle{ p }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid Q D }[/math] są dzielnikami wyrazów ciągu Lucasa [math]\displaystyle{ U_{p - (D \, | \, p)} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) }[/math] oznacza symbol Legendre'a. Jeśli zastąpimy symbol Legendre'a symbolem Jacobiego, to będziemy mogli badać prawdziwość tego twierdzenia dla liczb złożonych i łatwo przekonamy się, że dla pewnych liczb złożonych [math]\displaystyle{ m }[/math] kongruencja

[math]\displaystyle{ U_{m - (D \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

również jest prawdziwa. Prowadzi to definicji liczb pseudopierwszych Lucasa.


Definicja L22
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math] (symbolicznie: LPSP( [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] )), jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math] i

[math]\displaystyle{ U_{m - (D \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) }[/math] oznacza symbol Jacobiego.


Twierdzenie L23
Jeżeli liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P = a + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math], to jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math].

Dowód

Połóżmy we wzorze definiującym ciąg Lucasa

[math]\displaystyle{ U_m = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha = a }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta = 1 }[/math]. Odpowiada to parametrom [math]\displaystyle{ P = \alpha + \beta = a + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ Q = \alpha \beta = a }[/math], [math]\displaystyle{ D = (\alpha - \beta)^2 = (a - 1)^2 }[/math].

Ponieważ musi być [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math], to mamy [math]\displaystyle{ \gcd (m, (a - 1) a) = 1 }[/math] i wynika stąd, że [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) = 1 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P = a + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = a }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ U_{m - 1} (a + 1, a) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m \biggr\rvert {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ m \big\rvert (a^{m - 1} - 1) }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ a^{m - 1} - 1 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math]. Co należało pokazać.
□


Uwaga L24
Wykorzystując funkcje jacobi(a, n) i modLucas(n, P, Q, m) (zobacz J41, L15) możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy dla liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math] prawdziwe jest twierdzenie L20. 

isPrimeOrLPSP(m, P, Q) = 
{
local(D, js);
D = P^2 - 4*Q;
if( gcd(m, 2*Q*D) > 1, return(0) );
js = jacobi(D, m);
if( modLucas(m - js, P, Q, m)[1] == 0, return(1), return(0) );
}


Przykład L25
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 69 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 115 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 629 }[/math] [math]\displaystyle{ 559 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 115 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
Pokaż kod
FirstLPSP(Stop) = 
\\ najmniejsze LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, 
                  print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
                  next();
                );
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m),
                         print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
                         break();
                       );
                     m = m + 2;
                   );
            );
     );
}


Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) = - 1 }[/math].


Przykład L26
Ilość liczb LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 4266 }[/math] [math]\displaystyle{ 4935 }[/math] [math]\displaystyle{ 4278 }[/math] [math]\displaystyle{ 4981 }[/math] [math]\displaystyle{ 6363 }[/math] [math]\displaystyle{ 6028 }[/math] [math]\displaystyle{ 5202 }[/math] [math]\displaystyle{ 4426 }[/math] [math]\displaystyle{ 5832 }[/math] [math]\displaystyle{ 6027 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 4599 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 9272 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 6958 }[/math] [math]\displaystyle{ 4563 }[/math] [math]\displaystyle{ 5600 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math] [math]\displaystyle{ 7007 }[/math] [math]\displaystyle{ 4142 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 4265 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 4241 }[/math] [math]\displaystyle{ 5114 }[/math] [math]\displaystyle{ 5859 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 6083 }[/math] [math]\displaystyle{ 6120 }[/math] [math]\displaystyle{ 4420 }[/math] [math]\displaystyle{ 5096 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 5361 }[/math] [math]\displaystyle{ 4389 }[/math] [math]\displaystyle{ 5063 }[/math] [math]\displaystyle{ 5632 }[/math] [math]\displaystyle{ 5364 }[/math] [math]\displaystyle{ 5228 }[/math] [math]\displaystyle{ 5859 }[/math] [math]\displaystyle{ 10487 }[/math] [math]\displaystyle{ 5370 }[/math] [math]\displaystyle{ 9798 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 4563 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math] [math]\displaystyle{ 4142 }[/math] [math]\displaystyle{ 6273 }[/math] [math]\displaystyle{ 5773 }[/math] [math]\displaystyle{ 4497 }[/math] [math]\displaystyle{ 5166 }[/math] [math]\displaystyle{ 5305 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 6567 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 7131 }[/math] [math]\displaystyle{ 10882 }[/math] [math]\displaystyle{ 8626 }[/math] [math]\displaystyle{ 8974 }[/math] [math]\displaystyle{ 8509 }[/math] [math]\displaystyle{ 8752 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 7803 }[/math] [math]\displaystyle{ 449152466 }[/math] [math]\displaystyle{ 5597 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 6509 }[/math] [math]\displaystyle{ 5761 }[/math] [math]\displaystyle{ 8115 }[/math] [math]\displaystyle{ 6945 }[/math] [math]\displaystyle{ 8380 }[/math] [math]\displaystyle{ 7095 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 5974 }[/math] [math]\displaystyle{ 8768 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 5651 }[/math] [math]\displaystyle{ 5632 }[/math] [math]\displaystyle{ 6640 }[/math] [math]\displaystyle{ 5725 }[/math] [math]\displaystyle{ 6058 }[/math] [math]\displaystyle{ 7050 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 10749 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 14425 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 9735 }[/math] [math]\displaystyle{ 6567 }[/math] [math]\displaystyle{ 8164 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 7608 }[/math] [math]\displaystyle{ 7131 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 5047 }[/math] [math]\displaystyle{ 15127 }[/math] [math]\displaystyle{ 6155 }[/math] [math]\displaystyle{ 15127 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 5146 }[/math] [math]\displaystyle{ 4423 }[/math] [math]\displaystyle{ 5526 }[/math] [math]\displaystyle{ 6289 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math]
Pokaż kod
NumOfLPSP(Stop) = 
\\ ilość liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); next() );
              s = 0;
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), s++ );
                     m = m + 2;
                   );
              print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
            );
     );
}



Uwaga L27
Dla [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math] ciąg Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ (U_n) = (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, \ldots) }[/math]

Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy, że [math]\displaystyle{ U_{3 k} = 0 }[/math]. Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] wzór jest prawdziwy. Zakładając prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] (zobacz L13 p.3)

[math]\displaystyle{ U_{3 (k + 1)} = U_{3 k + 3} = U_{3 k} V_3 - U_{3 (k - 1)} = 0 }[/math]

Co kończy dowód. Zbadajmy liczby pseudopierwsze Lucasa dla [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math].

Mamy [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q = - 3 }[/math]. Wynika stąd, że nie może być [math]\displaystyle{ 3 \, | \, m }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 3 \gt 1 }[/math].

Z zadania J39 wiemy, że

[math]\displaystyle{ (- 3 \, | \, m) = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \end{cases} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to wystarczy zbadać przypadki [math]\displaystyle{ m = 6 k + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m = 6 k + 5 }[/math]. W pierwszym przypadku jest

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \, | \, m)} = U_{6 k + 1 - 1} = U_{6 k} = 0 }[/math]

W drugim przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = 6 k + 5 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \, | \, m)} = U_{6 k + 5 + 1} = U_{6 (k + 1)} = 0 }[/math]

Zatem dla dowolnej liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math] niepodzielnej przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Czyli liczbami pseudopierwszymi Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math] będą liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math], które nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i nie są liczbami pierwszymi. Ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^k }[/math] możemy łatwo znaleźć poleceniem 

for(k = 1, 9, s = 0; forstep(m = 3, 10^k, 2, if( m%6 <> 3, s = s + !isprime(m) )); print(s))


Zadanie L28
Pokazać, że ilość liczb pseudopierwszych Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ (P, Q) = (2, 2) }[/math] nie większych od [math]\displaystyle{ 10^k }[/math] możemy znaleźć poleceniem 

for(k = 1, 9, s = 0; forstep(m = 3, 10^k, 2, s = s + !isprime(m)); print(s))



Metoda Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

Uwaga L29
Twierdzenie L20 możemy wykorzystać do testowania pierwszości liczb. Ponieważ musi być spełniony warunek [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math], to nie każda para liczb [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] (np. wybrana losowo) nadaje się do przeprowadzenia testu. Zawsze będziemy zmuszeni określić zasadę postępowania, która doprowadzi do wyboru właściwej pary [math]\displaystyle{ P, Q }[/math].

Robert Baillie i Samuel Wagstaff przedstawili[1] dwie metody wyboru parametrów dla testu Lucasa. Ograniczymy się do omówienia tylko pierwszej z nich (metodę zaproponował John Selfridge).

Rozważmy ciąg [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a_k = (5, - 7, 9, - 11, 13, - 15, \ldots) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ D }[/math] będzie pierwszym wyrazem ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], dla którego jest [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = - 1 }[/math]. Dla tak ustalonego [math]\displaystyle{ D }[/math] przyjmujemy [math]\displaystyle{ P = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = (1 - D) / 4 }[/math].

Tabela przedstawia początkowe wartości [math]\displaystyle{ Q }[/math], jakie otrzymamy, stosując tę metodę.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_k} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ -15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ -19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ -23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ -27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ -31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ -35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ -39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ -2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ -4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ -6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ -8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ -10 }[/math]


Zauważmy, że

  • jeżeli liczba nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową, to wybór [math]\displaystyle{ D }[/math] nie będzie możliwy
  • w przypadku zastosowania tej metody znajdziemy tylko liczby pierwsze lub pseudopierwsze Lucasa, które spełniają kongruencję [math]\displaystyle{ U_{m + 1} \equiv 0 \pmod{m} }[/math], czyli tylko część liczb pseudopierwszych Lucasa określonych w definicji L22


Ponieważ Baillie i Wagstaff określili metodę zaproponowaną przez Selfridge'a jako metodę A, to pozostaniemy przy tej nazwie. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego

[math]\displaystyle{ a_{k+1} = \begin{cases} \qquad \qquad 5 & \text{gdy } k = 1\\ - a_k - 2 * \mathop{\textnormal{sign}}( a_k ) & \text{gdy } k \geqslant 2 \end{cases} }[/math]

możemy łatwo napisać odpowiednią funkcję znajdującą liczby [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] według tej metody. 

MethodA(m) = 
{
local(a, js);
a = 5;
while( 1,
       js = jacobi(a, m);
       if( js == 0  &&  a % m <> 0, return([0, 0]) );
       if( js == -1, return([1, (1 - a)/4]) );
       a = -a - 2*sign(a);
     );
}

Wyjaśnienia wymaga druga linia kodu w pętli while. Wiemy, że (zobacz J35)

[math]\displaystyle{ (a \, | \, m) = 0 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a, m) \gt 1 }[/math]

Jednak z faktu, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] nie wynika natychmiast, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Rozważmy dwa przypadki: gdy [math]\displaystyle{ m \, | \, a }[/math] i [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math].

Gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \, | \, a }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m, m) = m \gt 1 }[/math] i nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Widać to dobrze na prostych przykładach

[math]\displaystyle{ \gcd (7, 7) = \gcd (14, 7) = 7 \gt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \gcd (15, 15) = \gcd (30, 15) = 15 \gt 1 }[/math]

Gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Ponieważ [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math], to [math]\displaystyle{ a = k \cdot m + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \in [1, m - 1] }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m + r, m) = \gcd (r, m) = d }[/math]

Musi być [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math], bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ d \lt m }[/math], bo [math]\displaystyle{ d \leqslant r \leqslant m - 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem nietrywialnym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną.

Omawiana linia kodu zapewnia wysłanie informacji o tym, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną (zwrot wektora [0, 0]). W przypadku, gdy nie mamy takiej pewności, kontynuujemy szukanie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math], takiej że [math]\displaystyle{ (a \, | \, m) = - 1 }[/math], pozostawiając zbadanie pierwszości liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] na kolejnym etapie testowania.


Uważny Czytelnik dostrzeże, że nie zbadaliśmy, czy spełniony jest warunek [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q) = 1 }[/math]. Nie musimy tego robić, bo zwracana przez funkcję MethodA() liczba [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Omówimy ten problem dokładnie w zadaniu L30. Poniżej pokażemy, że nawet gdyby było [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q) \gt 1 }[/math], to złożona liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie zostanie uznana za liczbę pseudopierwszą Lucasa.

Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną i ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \lt m }[/math], który dzieli [math]\displaystyle{ Q }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math] (bo [math]\displaystyle{ P = 1 }[/math]), zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_k }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] (zobacz L17), czyli nie może być

[math]\displaystyle{ U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

a to jest niemożliwe. Zatem program wykorzystujący twierdzenie L20 wykryje złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math].

Łatwo pokażemy, że nie jest możliwe, aby liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] była liczbą pierwszą i była dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ \tfrac{m - 1}{2} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ \tfrac{m - 1}{2} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem rozpoczynając od wyrazu [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] możemy dojść co najwyżej do wyrazu o indeksie [math]\displaystyle{ k = \tfrac{m - 1}{2} + 2 }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ | a_k | \leqslant m + 4 }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_k}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{m + 5}{4}} \lt m }[/math]

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ m \gt {\small\frac{5}{3}} }[/math], czyli dla wszystkich liczb pierwszych. Ponieważ [math]\displaystyle{ | Q | \lt m }[/math], w przypadku gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może być dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math].


Zadanie L30
Pokazać, że w przypadku, gdy dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] sprawdzamy, czy konsekwencją [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla każdej liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math] wyznaczonej metodą Selfridge'a jest [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ m = 21 }[/math]. Rozpoczniemy od przykładu liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, m - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{(m-1)/2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_k} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ -15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ -19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ -23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ -27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ -31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ -35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ -39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{R_m(a_k)} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]

Zauważmy, że modulo [math]\displaystyle{ 21 }[/math] ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) = (1, - 3, 5, - 7, \ldots, 37, - 39, 41) }[/math] jest identyczny z ciągiem [math]\displaystyle{ (0, 1, 2, \ldots, 19, 20) }[/math], a ciąg [math]\displaystyle{ (| a_k |) }[/math] to kolejne liczby nieparzyste od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ 2 m - 1 }[/math].


Poniżej pokażemy, dlaczego musi być [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą wyznaczoną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] przy testowaniu kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math]). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość [math]\displaystyle{ Q }[/math] na podstawie innego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ a_k }[/math] (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).

[math]\displaystyle{ m = 3 , \;\; (5 \, | \, 3) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 5 , \;\; (5 \, | \, 5) = 0 , \;\; (- 7 \, | \, 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (5 \, | \, 5) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 7 , \;\; (5 \, | \, 7) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 9 , \;\; }[/math] (liczba kwadratowa)
[math]\displaystyle{ m = 11 , \;\; (- 11 \, | \, 11) = 0 , \;\; (13 \, | \, 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, 11) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 13 , \;\; (5 \, | \, 13) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 15 , \;\; \boldsymbol{(5 \, | \, 15) = 0} , \;\; (13 \, | \, 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 17 , \;\; (5 \, | \, 17) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 19 , \;\; (- 7 \, | \, 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \, | \, 21) = 0} , \;\; (- 11 \, | \, 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)


Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Wiemy, że w ciągu [math]\displaystyle{ (5, - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1) }[/math] wystąpią liczby [math]\displaystyle{ a_k }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = - 1 }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] oznacza, że [math]\displaystyle{ (2 k + 1 \, | \, m) = 0 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \, | \, m) = ((- 1)^k \, | \, m) \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = (- 1 \, | \, m)^k \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = \pm (2 k + 1 \, | \, m) }[/math]

Jeżeli będą spełnione warunki [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \neq 0 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą złożoną.

Wypiszmy kolejne próby dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] jest numerem próby.

[math]\displaystyle{ r = 1 , \;\; a_{r + 1} = 5 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (5 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (5 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (5 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = 5 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 2 , \;\; a_{r + 1} = - 7 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = -7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{r + 1} = 9 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) \neq - 1 \quad }[/math] - - - - bo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] jest liczbą kwadratową


Po wykonaniu trzech prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności [math]\displaystyle{ m }[/math] lub ustaleniem wartości liczb [math]\displaystyle{ D }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]) wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p = 3, 5, 7 }[/math].

[math]\displaystyle{ r }[/math]-ta próba, gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 4 , \;\; }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ a_{r + 1} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \, | \, m) = 1 }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \, | \, m) = 0 }[/math] A. jeżeli [math]\displaystyle{ m \, | \, a_{r + 1} }[/math]( * )
B. jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 1} }[/math]		 A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
B. [math]\displaystyle{ a_{r + 1} \, | \, m }[/math]( ** ), koniec
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     [math]\displaystyle{ D = a_{r + 1} }[/math], [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} }[/math], koniec

( * ) jest to możliwe tylko dla [math]\displaystyle{ a_{r + 1} = a_{(m - 1) / 2} = m }[/math]

( ** ) zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 1} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a_{r + 1}, m) = | a_{r + 1} | }[/math], bo gdyby liczba [math]\displaystyle{ | a_{r + 1} | }[/math] była liczbą złożoną, to żaden z jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]


Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) \gt 1 }[/math] może być tylko w przypadku, gdy pewna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 2 r + 5 }[/math] będzie wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math], ale jest to niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 1} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 4}{4}} \lt 2 r + 5 \leqslant q }[/math]

Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ r }[/math] naturalnych.
□


Zadanie L31
Zmodyfikujmy metodę Selfridge'a w taki sposób, że będziemy rozpoczynali próby nie od wyrazu [math]\displaystyle{ a_2 = 5 }[/math], ale od wyrazu [math]\displaystyle{ a_3 = - 7 }[/math]. Pokazać, że w przypadku, gdy dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] sprawdzamy, czy konsekwencją [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla każdej liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math] wyznaczonej tak zmodyfikowaną metodą Selfridge'a jest [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math].

Rozwiązanie

Poniżej pokażemy, dlaczego musi być [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą wyznaczoną zmodyfikowaną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] przy testowaniu kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math]). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość [math]\displaystyle{ Q }[/math] na podstawie innego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ a_k }[/math] (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).

[math]\displaystyle{ m = 3 , \;\; (- 7 \, | \, 3) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 5 , \;\; (- 7 \, | \, 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 7 , \;\; (- 7 \, | \, 7) = 0 , \;\; (- 11 \, | \, 7) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, 7) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 9 , \;\; }[/math] (liczba kwadratowa)
[math]\displaystyle{ m = 11 , \;\; (- 11 \, | \, 11) = 0 , \;\; (13 \, | \, 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, 11) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 13 , \;\; (- 7 \, | \, 13) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 15 , \;\; \boldsymbol{(9 \, | \, 15) = 0} , \;\; (13 \, | \, 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 17 , \;\; (- 7 \, | \, 17) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 19 , \;\; (- 7 \, | \, 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \, | \, 21) = 0} , \;\; (- 11 \, | \, 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)


Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Wiemy, że w ciągu [math]\displaystyle{ ( - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1) }[/math] wystąpią liczby [math]\displaystyle{ a_k }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = - 1 }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] oznacza, że [math]\displaystyle{ (2 k + 1 \, | \, m) = 0 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \, | \, m) = ((- 1)^k \, | \, m) \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = (- 1 \, | \, m)^k \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = \pm (2 k + 1 \, | \, m) }[/math]

Jeżeli będą spełnione warunki [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \neq 0 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą złożoną.

Wypiszmy kolejne próby dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] jest numerem próby.

[math]\displaystyle{ r = 1 , \;\; a_{r + 2} = - 7 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 2 , \;\; a_{r + 2} = 9 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) \neq - 1 \quad }[/math] - - - - bo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] jest liczbą kwadratową
[math]\displaystyle{ r = 3 , \;\; a_{r + 2} = - 11 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 11 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec (bo liczby złożone [math]\displaystyle{ m = 3 k }[/math] zostały usunięte w poprzedniej próbie, [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math])
[math]\displaystyle{ r = 4 , \;\; a_{r + 2} = 13 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (13 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (13 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (13 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = 13 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec (bo liczby złożone [math]\displaystyle{ m = 3 k }[/math] zostały usunięte w próbie o numerze [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math])
[math]\displaystyle{ r = 5 , \;\; a_{r + 2} = - 15 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 15 , \;\; Q = 4 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec


Po wykonaniu pięciu prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności [math]\displaystyle{ m }[/math] lub ustaleniem wartości liczb [math]\displaystyle{ D }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]) wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p = 3, 5, 7, 11, 13 }[/math].

[math]\displaystyle{ r }[/math]-ta próba, gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 6 , \;\; }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ a_{r + 2} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \, | \, m) = 1 }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \, | \, m) = 0 }[/math] A. jeżeli [math]\displaystyle{ m \, | \, a_{r + 2} }[/math]( * )
B. jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 2} }[/math]		 A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
B. [math]\displaystyle{ a_{r + 1} \, | \, m }[/math]( ** ), koniec
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     [math]\displaystyle{ D = a_{r + 2} }[/math], [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} }[/math], koniec

( * ) jest to możliwe tylko dla [math]\displaystyle{ a_{r + 2} = a_{(m - 1) / 2} = m }[/math]

( ** ) zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 2} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a_{r + 2}, m) = | a_{r + 2} | }[/math], bo gdyby liczba [math]\displaystyle{ | a_{r + 2} | }[/math] była liczbą złożoną, to żaden z jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]


Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) \gt 1 }[/math] może być tylko w przypadku, gdy pewna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 2 r + 7 }[/math] będzie wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math], ale jest to niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 2} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 6}{4}} \lt 2 r + 7 \leqslant q }[/math]

Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ r }[/math] naturalnych.
□


Uwaga L32
Przyjmując metodę Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] dla testu Lucasa, możemy łatwo napisać odpowiedni program w PARI/GP testujący pierwszość liczb 

LucasTest(m) = 
{
local(P, Q, X);
if( m % 2 == 0, return(m == 2) );
if( issquare(m), return(0) ); \\ sprawdzamy, czy m nie jest liczbą kwadratową
X = MethodA(m);
P = X[1];
Q = X[2];
if( P == 0, return(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
if( modLucas(m + 1, P, Q, m)[1] == 0, return(1), return(0) );
}


Uwaga L33
Najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, które pojawiają się przy zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], to

[math]\displaystyle{ 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877, 11419, 11663, 13919, 14839, 16109, 16211, 18407, 18971, 19043, 22499, \ldots }[/math]
Pokaż kod
forstep(k=1, 3*10^4, 2, if( LucasTest(k) && !isprime(k), print(k)) )



Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math]
#LPSP [math]\displaystyle{ \lt 10^n }[/math] (metoda Selfridge'a) [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 219 }[/math] [math]\displaystyle{ 659 }[/math] [math]\displaystyle{ 1911 }[/math] [math]\displaystyle{ 5485 }[/math]
Pokaż kod
for(n=3, 9, s=0; forstep(k = 1, 10^n, 2, if( LucasTest(k) && !isprime(k), s++ ) ); print("n= ", n, "   ", s) )




Liczby silnie pseudopierwsze Lucasa

Twierdzenie L34
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p - (D \, | \, p) = 2^r w }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą, to spełniony jest dokładnie jeden z warunków

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]
Dowód

Wiemy (zobacz L20), że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{p - (D \, | \, p)} }[/math]. Z założenia jest [math]\displaystyle{ p - (D \, | \, p) = 2^r w }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^r w} }[/math]. Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid D }[/math], to ze wzoru [math]\displaystyle{ V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n }[/math] (zobacz L13 p.14) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może dzielić jednocześnie liczb [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n }[/math].

Korzystając ze wzoru [math]\displaystyle{ U_{2 n} = U_n V_n }[/math] (zobacz L13 p.11), otrzymujemy

●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^r w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2^{r - 1} w} \cdot V_{2^{r - 1} w} \quad }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2^{r - 1} w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2^{r - 1} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^{r - 1} w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^{r - 1} w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2^{r - 2} w} \cdot V_{2^{r - 2} w} \quad }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2^{r - 2} w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2^{r - 2} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^{r - 2} w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ ................. }[/math]
●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{4 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2 w} \cdot V_{2 w} }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2 w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2 w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_w \cdot V_w }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_w }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_w }[/math].

Z powyższego wynika, że musi być spełniony jeden z wypisanych w twierdzeniu warunków.


Zauważmy teraz, że jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid U_w }[/math], bo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może jednocześnie być dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ U_w }[/math] i [math]\displaystyle{ V_w }[/math].

Zauważmy też, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [1, r - 1] }[/math] liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ V_{2^k w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli żadnej liczby [math]\displaystyle{ V_{2^j w} }[/math] dla [math]\displaystyle{ j \in [0, k - 1] \;\; \text{i} \;\; p \nmid U_w }[/math]. Istotnie:

●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2^k w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2^k w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^k w} = U_{2^{k - 1} w} V_{2^{k - 1} w} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 1} w} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^{k - 1} w} = U_{2^{k - 2} w} V_{2^{k - 2} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2^{k - 2} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 2} w} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ ................. }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{4 w} \;\; \text{i} \;\; U_{4 w} = U_{2 w} V_{2 w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; V_{2 w} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; U_{2 w} = U_w V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_w \;\; \text{i} \;\; V_w }[/math]


Co dowodzi, że spełniony jest dokładnie jeden z [math]\displaystyle{ r + 1 }[/math] warunków:

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]

Co należało pokazać.
□


Konsekwentnie definiujemy liczby pseudopierwsze
Definicja L35
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą silnie pseudopierwszą Lucasa (SLPSP) dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m - (D \, | \, m) = 2^r w }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą i spełniony jest jeden z warunków

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{m} \; }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]


Uwaga L36
Każda liczba SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) jest LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]). Korzystając ze zdefiniowanych wcześniej funkcji: modPower(a, n, m), jacobi(a, n) i modLucas(n, P, Q, m) (zobacz K2, J41, L15), możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] spełnia jeden z warunków podanych w twierdzeniu L34. 

isPrimeOrSLPSP(m, P, Q) = 
{
local(a, b, c, D, js, k, r, w, X);
D = P^2 - 4*Q;
if( gcd(m, 2*Q*D) > 1, return(0) );
js = jacobi(D, m);
r = valuation(m - js, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m - js
w = (m - js) / 2^r;
X =  modLucas(w, P, Q, m);
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
if( a == 0 || b == 0, return(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
if( r == 1, return(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
k = 0;
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) % m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*t) = (V_t)^2 - 2*Q^t
while( k++ < r,
       b = (b^2 - 2*c) % m;
       if( b == 0, return(1) );
       c = c^2 % m;
     );
return(0);
}


Przykład L37
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 299 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 407 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 799 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 529 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math] [math]\displaystyle{ 161 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 265 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 629 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 559 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 5459 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 899 }[/math] [math]\displaystyle{ 5983 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 899 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 377 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
Pokaż kod
FirstSLPSP(Stop) = 
\\ najmniejsze SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, 
                  print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
                  next();
                );
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrSLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), 
                         print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
                         break();
                       );
                     m = m + 2;
                   );
           );
     );
}


Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) = - 1 }[/math].


Przykład L38
Ilość liczb SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1056 }[/math] [math]\displaystyle{ 1231 }[/math] [math]\displaystyle{ 1184 }[/math] [math]\displaystyle{ 1264 }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 1284 }[/math] [math]\displaystyle{ 1181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1174 }[/math] [math]\displaystyle{ 1281 }[/math] [math]\displaystyle{ 1429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 1043 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 2139 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1151 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079 }[/math] [math]\displaystyle{ 1112 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 1197 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 952 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 1055 }[/math] [math]\displaystyle{ 1153 }[/math] [math]\displaystyle{ 1135 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 998 }[/math] [math]\displaystyle{ 1202 }[/math] [math]\displaystyle{ 1077 }[/math] [math]\displaystyle{ 1112 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1092 }[/math] [math]\displaystyle{ 1212 }[/math] [math]\displaystyle{ 1510 }[/math] [math]\displaystyle{ 1155 }[/math] [math]\displaystyle{ 1179 }[/math] [math]\displaystyle{ 1173 }[/math] [math]\displaystyle{ 2240 }[/math] [math]\displaystyle{ 1089 }[/math] [math]\displaystyle{ 2109 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math] [math]\displaystyle{ 1196 }[/math] [math]\displaystyle{ 1129 }[/math] [math]\displaystyle{ 1050 }[/math] [math]\displaystyle{ 1055 }[/math] [math]\displaystyle{ 1147 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2113 }[/math] [math]\displaystyle{ 2266 }[/math] [math]\displaystyle{ 4053 }[/math] [math]\displaystyle{ 2508 }[/math] [math]\displaystyle{ 2285 }[/math] [math]\displaystyle{ 3083 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1776 }[/math] [math]\displaystyle{ 449152466 }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1645 }[/math] [math]\displaystyle{ 1413 }[/math] [math]\displaystyle{ 1564 }[/math] [math]\displaystyle{ 1595 }[/math] [math]\displaystyle{ 1683 }[/math] [math]\displaystyle{ 1435 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 1621 }[/math] [math]\displaystyle{ 1553 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 1530 }[/math] [math]\displaystyle{ 1510 }[/math] [math]\displaystyle{ 1588 }[/math] [math]\displaystyle{ 1549 }[/math] [math]\displaystyle{ 1468 }[/math] [math]\displaystyle{ 1692 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 2760 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 2978 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2137 }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 1995 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2260 }[/math] [math]\displaystyle{ 2113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1314 }[/math] [math]\displaystyle{ 2392 }[/math] [math]\displaystyle{ 1497 }[/math] [math]\displaystyle{ 2392 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 1268 }[/math] [math]\displaystyle{ 1227 }[/math] [math]\displaystyle{ 1411 }[/math] [math]\displaystyle{ 1253 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math]


Pokaż kod
NumOfSLPSP(Stop) = 
\\ ilość liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); next() );
              s = 0;
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrSLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), s++ );
                     m = m + 2;
                   );
              print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
            );
     );
}



Uwaga L39
Można pokazać[2], że dla liczby złożonej nieparzystej [math]\displaystyle{ m \neq 9 }[/math] i ustalonego [math]\displaystyle{ D }[/math] ilość par [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] takich, że

  • [math]\displaystyle{ 0 \leqslant P, Q \lt m }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ P^2 - 4 Q \equiv D \pmod{m} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ m }[/math] jest SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math])

nie przekracza [math]\displaystyle{ \tfrac{4}{15} n }[/math].

Nie dotyczy to przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = p (p + 2) }[/math] jest iloczynem liczb pierwszych bliźniaczych takich, że [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - (D \, | \, p + 2) = - 1 }[/math], wtedy mamy słabsze oszacowanie: [math]\displaystyle{ \# (P, Q) \leqslant \tfrac{1}{2} n }[/math]. Zauważmy, że taką sytuację łatwo wykryć, bo w tym przypadku [math]\displaystyle{ m + 1 = (p + 1)^2 }[/math] jest liczbą kwadratową.


Uwaga L40
Podobnie jak w przypadku liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) tak i w przypadku liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) możemy testować pierwszość liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], wybierając liczby [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] losowo lub zastosować wybraną metodę postępowania. Przedstawiony poniżej program, to zmodyfikowany kod z uwagi L36. Teraz parametry [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] są wybierane metodą Selfridge'a, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. 

StrongLucasTest(m) =
{
local(a, b, c, k, P, Q, r, w, X);
if( issquare(m), return(0) ); \\ sprawdzamy, czy liczba m nie jest kwadratowa
X = MethodA(m);
P = X[1];
Q = X[2];
if( P == 0 || gcd(m, 2*Q) > 1, return(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
r = valuation(m + 1, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m + 1
w = (m + 1) / 2^r;
X =  modLucas(w, P, Q, m);
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
if( a == 0 || b == 0, return(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
if( r == 1, return(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
k = 0;
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) %m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*w) = (V_w)^2 - 2*Q^w
while( k++ < r,
       b = (b^2 - 2*c) % m;
       if( b == 0, return(1) );
       c = c^2 % m;
     );
return(0);
}


Uwaga L41
Najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa, które otrzymujemy po zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], to

[math]\displaystyle{ 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519, 75077, 97439, \ldots }[/math]
Pokaż kod
forstep(k=1, 10^5, 2, if( StrongLucasTest(k) && !isprime(k), print(k)) )



Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math]
#SLPSP [math]\displaystyle{ \lt 10^n }[/math] (metoda Selfridge'a) [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 178 }[/math] [math]\displaystyle{ 505 }[/math] [math]\displaystyle{ 1415 }[/math]
Pokaż kod
for(n=3, 9, s=0; forstep(k = 1, 10^n, 2, if( StrongLucasTest(k) && !isprime(k), s++ ) ); print("n=", n, "   ", s) )




Test BPSW

Uwaga L42
Jest [math]\displaystyle{ 488 }[/math] liczb SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] i są 582 liczby SPSP([math]\displaystyle{ 3 }[/math]) mniejsze od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] (zobacz K20). Ale jest aż [math]\displaystyle{ 21 }[/math] liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ 1373653, 1530787, 1987021, 2284453, 3116107, 5173601, 6787327, 11541307, 13694761, 15978007, 16070429, }[/math]

[math]\displaystyle{ 16879501, 25326001, 27509653, 27664033, 28527049, 54029741, 61832377, 66096253, 74927161, 80375707 }[/math]

Pokaż kod
forstep(m=3, 10^8, 2, if( isPrimeOrSPSP(m, 2)  &&  isPrimeOrSPSP(m, 3)  &&  !isprime(m), print("m=", m) ) )


Widzimy, że prawdopodobieństwo błędnego rozpoznania pierwszości w przypadku liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] dla podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest rzędu kilku milionowych. Gdyby prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania pierwszości w przypadku podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] były niezależne, to spodziewalibyśmy się, że nie będzie wcale liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math], bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia byłoby równe kilkudziesięciu bilonowym. Ale tak nie jest.

Jest to mocny argument za tym, że zastosowanie różnych (niezależnych) testów może być znacznie silniejszym narzędziem do testowania pierwszości liczb, niż wielokrotne stosowanie tego samego testu, gdzie poszczególne próby są tylko pozornie niezależne.

Połączenie znanych nam już testów prowadzi do prostego programu 

BPSWtest(m) =
{
forprime(p = 2, 1000, if( m % p > 0, next() ); if( m == p, return(1), return(0) ));
if( !isPrimeOrSPSP(m, 2), return(0) );
if( !StrongLucasTest(m), return(0), return(1) );
}


Funkcja BPSWtest(m) kolejno sprawdza:

  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest podzielna przez niewielkie liczby pierwsze (w naszym przypadku mniejsze od [math]\displaystyle{ 1000 }[/math]); jeśli tak, to sprawdza, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną i zwraca odpowiednio [math]\displaystyle{ 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi test Millera-Rabina dla podstawy [math]\displaystyle{ 2 }[/math]; jeśli nie, to zwraca [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi silny test Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], które wybieramy metodą Selfridge'a; jeśli nie, to zwraca [math]\displaystyle{ 0 }[/math], w przeciwnym wypadku zwraca [math]\displaystyle{ 1 }[/math]


Test w dokładnie takiej postaci zaproponowali Robert Baillie i Samuel Wagstaff[1]. Nazwa testu to akronim, utworzony od pierwszych liter nazwisk Roberta Bailliego, Carla Pomerance'a, Johna Selfridge'a i Samuela Wagstaffa.

Nie jest znany żaden przykład liczby złożonej [math]\displaystyle{ m }[/math], którą test BPSW[3][4] identyfikowałby jako pierwszą i z pewnością nie ma takich liczb dla [math]\displaystyle{ m \lt 2^{64} \approx 1.844 \cdot 10^{19} }[/math]. Warto przypomnieć: potrzebowaliśmy siedmiu testów Millera-Rabina (dla podstaw [math]\displaystyle{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }[/math]), aby mieć pewność, że dowolna liczba [math]\displaystyle{ m \lt 3.41 \cdot 10^{14} }[/math] jest pierwsza (zobacz K21).



Uzupełnienia

 

Pewne własności współczynników dwumianowych

 

Twierdzenie L43
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math].

Dowód

Łatwo zauważamy, że dla [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynnika dwumianowego

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k)!}} }[/math]

zatem [math]\displaystyle{ p \biggr\rvert \binom{p}{k} }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L44
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math].

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k - 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Bo liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynników dwumianowych po prawej stronie. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L45
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math].

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby pierwszej parzystej [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Załóżmy, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Równie łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! (p - 1 - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot {\small\frac{(p - 1) !}{(k - 1) ! (p - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} = {\small\frac{p}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} - \binom{p - 1}{k - 1} }[/math]

Ponieważ współczynniki dwumianowe są liczbami całkowitymi, a liczba [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] nie dzieli liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ k }[/math] musi dzielić liczbę [math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k - 1} }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv - \binom{p - 1}{k - 1}\pmod{p} }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^1 \binom{p - 1}{k - 1} \equiv (- 1)^2 \binom{p - 1}{k - 2} \equiv \ldots \equiv (- 1)^{k - 2} \binom{p - 1}{2} \equiv (- 1)^{k - 1} \binom{p - 1}{1} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L46
Dla współczynników dwumianowych prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
Dowód

Ze wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n - k} b^k }[/math]

z łatwością otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (1 + 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]
[math]\displaystyle{ (1 - 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \binom{n}{k} = 0 }[/math]

Obliczając sumę i różnicę powyższych wzorów mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 + (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum^n_{k = 0}} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 - (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]

Skąd natychmiast wynika

[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Funkcje digits(m, b) oraz issquare(m)

 

Uwaga L47
W funkcji modLucas() wykorzystaliśmy zaimplementowaną w PARI/GP funkcję

digits(m, b) – zwraca wektor cyfr liczby [math]\displaystyle{ | m | }[/math] w systemie liczbowym o podstawie [math]\displaystyle{ b }[/math]

W naszym przypadku potrzebowaliśmy uzyskać wektor cyfr liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] w układzie dwójkowym, czyli funkcję digits(m, 2) . Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Zauważmy, że do zapisania liczby [math]\displaystyle{ m \geqslant 1 }[/math] potrzebujemy [math]\displaystyle{ \log_2 m + 1 }[/math] cyfr. Zastępując funkcję [math]\displaystyle{ \log_2 m }[/math] funkcją [math]\displaystyle{ \left \lfloor \tfrac{\log m}{\log 2} \right \rfloor }[/math] musimy liczyć się z możliwym błędem zaokrąglenia – dlatego w programie deklarujemy wektor V o długości floor( log(m)/log(2) ) + 2. Zwracany wektor W ma już prawidłową długość. 

Dec2Bin(m) = 
\\ zwraca wektor cyfr liczby m w układzie dwójkowym
{
local(i, k, V, W);
if( m == 0, return([0]) );
V = vector( floor( log(m)/log(2) ) + 2 ); \\ potrzeba floor( log(m)/log(2) ) + 1, ale błąd zaokrąglenia może zepsuć wynik
k = 0;
while( m > 0,
       V[k++] = m % 2;
       m = floor(m / 2);
     );
W = vector(k);
for(i = 1, k, W[i] = V[k + 1 - i]);
return(W);
}


Uwaga L48
W funkcjach LucasTest() i StrongLucasTest() wykorzystaliśmy zaimplementowaną w PARI/GP funkcję

issquare(m) – sprawdza, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową

Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Potrzebna nam będzie funkcja, która znajduje całość z pierwiastka z liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math]. Wykorzystamy tutaj ciąg

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} = \begin{cases} \qquad \;\; 1 & \text{gdy } k = 0 \\ \tfrac{1}{2} \left( a_k + \tfrac{x}{a_k} \right) & \text{gdy } k \gt 0 \end{cases} }[/math]

którego granicą jest [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] [5].

Modyfikując powyższą definicję tak, aby operacje były zawsze wykonywane na liczbach całkowitych[6]

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} = \begin{cases} \qquad \quad \; 1 & \text{gdy } k = 0 \\ \left\lfloor \tfrac{1}{2} \left( a_k + \left\lfloor \tfrac{m}{a_k} \right\rfloor \right) \right\rfloor & \text{gdy } k \gt 0 \end{cases} }[/math]

otrzymujemy ciąg, którego wszystkie wyrazy, począwszy od pewnego skończonego [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], są równe [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math]. Nie dotyczy to przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] jest liczbą kwadratową, wtedy, począwszy od pewnego skończonego [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], wyrazy ciągu przyjmują na zmianę wartości [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor + 1 }[/math].

Na tej podstawie możemy w PARI/GP napisać funkcję 

intSqrt(m) = 
{
local(a, b);
if( m == 0, return(0) );
a = 2^( floor( log(m)/log(2)/2 ) + 2 ); \\ musi być a > sqrt(m)
b = floor(( a + floor( m/a ) )/2);
while( b < a,
       a = b;
       b = floor( ( a + floor(m/a) )/2 );
     );
return(a);
}

Oczywiście liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową, wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ m = \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor^2 }[/math], zatem wystarczy sprawdzić, czy m == intSqrt(m)^2.








Przypisy

  1. ↑ 1,0 1,1 Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), (LINK)
  2. ↑ François Arnault, The Rabin-Monier Theorem for Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 66, No. 218 (1997)
  3. ↑ Wikipedia, Baillie–PSW primality test, (Wiki-en)
  4. ↑ MathWorld, Baillie-PSW Primality Test, (LINK)
  5. ↑ Wikipedia, Pierwiastek kwadratowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  6. ↑ Wikipedia, Integer square root, (Wiki-en)






 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Testy_pierwszości._Liczby_pseudopierwsze_Fermata_i_liczby_silnie_pseudopierwsze&oldid=529”