Różnica pomiędzy stronami "Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW" i "CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego"
Linia 1: | Linia 1: | ||
− | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;"> | + | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div> |
__FORCETOC__ | __FORCETOC__ | ||
Linia 5: | Linia 5: | ||
− | == | + | == Chińskie twierdzenie o resztach == |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/> |
− | Niech <math> | + | Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja |
− | ::<math> | + | ::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math> |
− | + | jest równoważna układowi kongruencji | |
− | + | ::<math>\begin{align} | |
+ | u &\equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | u &\equiv a \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | ::<math>\ | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | <math>\Longrightarrow</math><br/> | ||
+ | Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji. | ||
− | + | <math>\Longleftarrow</math><br/> | |
+ | Z kongruencji | ||
− | + | ::<math>u \equiv a \pmod{m}</math> | |
+ | wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z kongruencji | ||
+ | ::<math>u \equiv a \pmod{n}</math> | ||
− | < | + | otrzymujemy <math>n \, | \, (u - a)</math>, czyli <math>n \, | \, k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \, | \, k</math> (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a stąd <math>u \equiv a \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/> |
− | + | □ | |
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/> |
+ | Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji | ||
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | c & \equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | c & \equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że | ||
− | + | ::<math>m x + n y = 1</math> | |
− | + | Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy | |
+ | ::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math> | ||
+ | ::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math> | ||
− | + | ::<math>c \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | |||
− | + | Natomiast modulo <math>n</math> mamy | |
− | + | ::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math> | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math> |
− | ::<math>\ | + | ::<math>c \equiv b \pmod{n}</math> |
− | + | Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z założenia <math>m \, | \, (d - a)</math> i <math>m \, | \, (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \, | \, (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \, | \, (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \, | \, (d - c)</math> (zobacz C73), co oznacza, że | |
− | ::<math> | + | ::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>. |
− | + | Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)</span><br/> | ||
+ | Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja | ||
− | + | ::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math> | |
− | |||
− | + | jest równoważna układowi kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | u & \equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | u & \equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji | ||
+ | ::<math>\begin{align} | ||
+ | c & \equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | c & \equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy | |
− | |||
− | :: | + | ::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad |
− | + | \begin{array}{l} | |
− | + | u \equiv c \; \pmod{m} \\ | |
− | + | u \equiv c \; \pmod{n} \\ | |
− | + | \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad | |
− | + | \begin{array}{l} | |
− | + | u \equiv a \; \pmod{m} \\ | |
− | + | u \equiv b \:\, \pmod{n} \\ | |
− | + | \end{array} </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/> | |
+ | Chińskie twierdzenie o resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji | ||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
+ | u &\equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | u &\equiv 3 \pmod{8} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i nieparzystych ma postać | ||
+ | ::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math> | ||
− | + | i nie może być <math>u \equiv 3 \pmod{8}</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/> | |
− | + | Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>), że układ kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ | ||
+ | & \cdots \\ | ||
+ | u & \equiv a_k \pmod{m_k} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji | |
− | + | ::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math> | |
− | ::<math>2 | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
+ | Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J2). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału <math>[2, k]</math> otrzymujemy dla <math>k + 1</math> układ | ||
− | + | ::<math>\begin{align} | |
+ | u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\ | ||
+ | u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J2 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji | |
− | + | ::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math> | |
− | Zatem | + | gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/> |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/> | |
+ | Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji | ||
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | n &\equiv 3 \pmod{5} \\ | ||
+ | n &\equiv 4 \pmod{7} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie | |
− | :: | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span> |
− | + | uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać | |
+ | ::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math> | ||
− | + | Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>. | |
− | + | Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo | |
− | + | ::<math>\begin{align} | |
− | & | + | n &\equiv 1 \pmod{2} \\ |
− | {{\ | + | n &\equiv 2 \pmod{3} \\ |
+ | n &\equiv 3 \pmod{5} \\ | ||
+ | n &\equiv 4 \pmod{7} \\ | ||
+ | n &\equiv 5 \pmod{11} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | to argumenty należy zapisać w postaci wektora | ||
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span> | ||
− | < | + | Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Wielomiany == | |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/> |
− | + | Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w postaci | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math> |
− | + | gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe. | |
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Zauważmy, że | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math> | |
− | ::<math>x^ | + | ::::::<math>\quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math> |
− | + | Dla <math>k \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór | |
− | + | ::<math>x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> | |
− | ::<math> | + | ::::<math>\;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1})</math> |
− | ::<math> | + | ::::<math>\;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x)</math> |
− | + | Gdzie przez <math>U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy <math>k - 1</math>. Zatem możemy napisać | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x)</math> |
− | + | Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem <math>V_{n - 1} (x)</math>. Ponieważ ze wszystkich wielomianów <math>a_k U^{(k)} (x)</math>, wielomian <math>a_n U^{(n)} (x)</math> ma największy stopień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>. Czyli | |
− | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math> | |
− | + | Niech <math>V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy | |
− | ::<math> | + | ::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} + s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math> |
− | Co należało pokazać.<br/> | + | Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/> |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 216: | Linia 242: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J8</span><br/> |
− | + | Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>. | |
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/> | |
− | + | Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony. | |
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J10</span><br/> | |
+ | Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \pmod{m}</math>, to | ||
− | ::<math>x | + | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math> |
− | ::<math>x^ | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że | ||
− | + | ::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math> | |
− | + | Z założenia <math>m \, | \, (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \, | \, (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje | |
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\ | ||
+ | a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\ | ||
+ | a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\ | ||
+ | & \cdots \\ | ||
+ | a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy | |
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
Co należało pokazać.<br/> | Co należało pokazać.<br/> | ||
Linia 262: | Linia 282: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J11</span><br/> |
− | + | Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję | |
− | ::<math> | + | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math> |
− | + | gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze. | |
− | + | Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ | ||
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{n} | ||
+ | \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math> | ||
− | + | Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania. | |
− | |||
− | + | Załóżmy, że każda z kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech | |
− | : | + | :* <math>x \equiv a \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \pmod{m}</math> |
+ | :* <math>x \equiv b \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \pmod{n}</math> | ||
− | + | Pierwiastki te tworzą układ kongruencji | |
− | ::<math>x | + | ::<math>\begin{align} |
+ | x &\equiv a \pmod{m} \\ | ||
+ | x &\equiv b \pmod{n} | ||
+ | \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math> | ||
− | + | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej | |
− | + | ::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math> | |
− | + | Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z twierdzenia J10 mamy | |
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\ | ||
+ | W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że | |
− | ::<math> | + | ::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math> |
− | + | Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>. | |
− | + | Podsumujmy: jeżeli kongruencje | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>\begin{align} |
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ | ||
+ | W (x) &\equiv 0 \pmod{n} | ||
+ | \end{align}</math> | ||
− | + | mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math> |
− | |||
− | |||
− | + | == Twierdzenie Lagrange'a == | |
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J12</span><br/> | ||
+ | Kongruencja | ||
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> |
+ | gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
− | + | '''A. Istnienie rozwiązania''' | |
− | |||
− | |||
+ | Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania. | ||
+ | Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy | ||
− | + | ::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | Zatem | |
− | ::<math> | + | ::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math> |
− | + | '''B. Brak innych rozwiązań''' | |
− | |||
− | + | Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy | |
− | ::<math> | + | ::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math> |
− | + | Czyli | |
− | + | ::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>p \, | \, a_1 (x_1 - x_2)</math> |
− | + | Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast <math>p \, | \, (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/> |
+ | Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja | ||
− | + | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | + | ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań. | |
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja | ||
− | ::<math> | + | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> |
+ | nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \pmod{p}</math>. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać | ||
− | + | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math> | |
− | + | gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące. | |
− | + | Z założenia <math>x \equiv s \pmod{p}</math> jest jednym z pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy | |
+ | ::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math> | ||
− | + | Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji | |
+ | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | + | wynika, że musi być (zobacz C72) | |
− | + | ::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | {{\ | ||
+ | Z założenia indukcyjnego kongruencja | ||
− | + | ::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14</span><br/> |
+ | Jeżeli kongruencja | ||
+ | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | + | ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>. | |
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i | ||
− | + | ::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | + | Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest | |
+ | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | + | bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>. | |
− | + | W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J15</span><br/> | ||
+ | Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | + | ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest | |
− | + | ::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/> | |
+ | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i | ||
− | ::<math> | + | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math> |
− | + | Ponieważ <math>x^5 \equiv x \pmod{5}</math>, to | |
− | + | ::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math> | |
+ | Co wynika również z faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w postaci | ||
− | + | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math> | |
− | + | ale <math>x^5 - x \equiv 0 \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | == Twierdzenie Wilsona == | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)</span><br/> | |
+ | Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy | ||
− | + | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math> | |
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | <math>\Longleftarrow</math><br/> | ||
+ | Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \, | \, p</math>, to prawdziwa jest kongruencja | ||
− | + | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math> | |
− | + | czyli | |
− | + | ::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math> | |
− | + | co jest niemożliwe. | |
− | + | <math>\Longrightarrow</math><br/> | |
+ | Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany | ||
− | + | ::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math> | |
− | + | oraz | |
− | + | ::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math> | |
+ | Zauważmy, że | ||
− | + | :* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math> | |
+ | :* współczynniki wiodące są równe <math>1</math> | ||
+ | :* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math> | ||
+ | :* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math> | ||
− | + | Niech | |
− | + | ::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math> | |
− | + | Zauważmy, że | |
− | ::<math> | + | :* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji |
+ | :* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | + | Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | == Twierdzenie Fermata == |
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/> | ||
+ | Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą | ||
− | + | :* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \pmod p</math> | |
− | & | + | :* i jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p</math> |
− | {{\ | ||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
+ | '''Punkt 1.''' | ||
+ | Zauważmy, że<br/> | ||
+ | a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/> | ||
+ | b) w przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/> | ||
+ | c) w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo | ||
+ | ::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/> | ||
+ | Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>. | ||
− | == | + | Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p|a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math> |
− | < | + | ::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math> |
− | |||
− | ::<math> | + | :::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math> |
− | ::<math> | + | :::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math> |
− | |||
− | + | Z założenia indukcyjnego <math>p|a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>. | |
− | + | '''Punkt 2.''' | |
+ | Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Kryterium Eulera == | |
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J19</span><br/> | |
− | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja | |
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | ||
− | + | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \, | \, (k^2 - a)</math>. | |
− | + | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> |
− | + | nie ma rozwiązania. | |
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J20</span><br/> | ||
+ | Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z oczywistej kongruencji | ||
− | ::<math> | + | ::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math> |
− | + | Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math> |
+ | Ponieważ | ||
+ | ::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math> | ||
− | < | + | to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy |
− | |||
− | + | ::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z prostych oszacowań | ||
+ | ::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math> | ||
+ | ::<math>2 < i + j < p - 1</math> | ||
− | + | Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>. | |
− | + | Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J21 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/> | |
− | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy | |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | ||
− | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. | ||
::{| border="0" | ::{| border="0" | ||
− | |-style=height: | + | |-style=height:2.5em |
− | | ● | + | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math> |
− | + | |-style=height:2.5em | |
− | + | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> | |
− | |-style=height: | ||
− | | ● | ||
− | | | ||
− | | | ||
− | |||
− | |||
|} | |} | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
− | |||
'''Punkt 1.''' | '''Punkt 1.''' | ||
− | + | Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji | |
− | + | ::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math> | |
− | + | Zauważmy, że | |
− | ::<math> | + | ::{| border=1 style="border-collapse: collapse;" |
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''A''' || <math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz J20 | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''B''' || <math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz twierdzenie Lagrange'a J13 | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''C''' || jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || wynika z ciągu implikacji:<br/> <math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> <math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math> <br/> <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math> | ||
+ | |-style=height:2.5em | ||
+ | | '''D''' || <math>Q \subseteq S</math> || z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | + | Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy | |
− | ::<math> | + | ::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> |
− | + | Skąd łatwo widzimy, że | |
− | + | ::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> | |
− | + | Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J22). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;" |
+ | |-style=height:2.0em | ||
+ | | liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Co kończy dowód punktu pierwszego. | ||
− | + | '''Punkt 2.''' | |
− | + | Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że | |
− | + | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;" | |
+ | |-style=height:2.0em | ||
+ | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |} | ||
− | + | Z twierdzenia Fermata | |
− | + | ::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | + | wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być | |
− | + | ::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | \ | ||
− | + | Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie | |
− | ::<math> | + | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;" |
+ | |-style=height:2.0em | ||
+ | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
Co należało pokazać.<br/> | Co należało pokazać.<br/> | ||
□ | □ | ||
Linia 747: | Linia 722: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J22</span><br/> |
− | + | Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli <math>A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B |</math>, to <math>\; A = B</math>. | |
− | ::<math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
+ | Ponieważ zbiór <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>B</math>, to zbiór <math>B</math> można przedstawić w postaci sumy zbiorów <math>A</math> i <math>C</math> takich, że żaden element zbioru <math>C</math> nie jest elementem zbioru <math>A</math>. Zatem | ||
− | + | ::<math>B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing</math> | |
− | + | Ponieważ z założenia zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są rozłączne, to wiemy, że | |
− | + | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C |</math> | |
− | |||
− | + | Czyli | |
− | ::<math> | + | ::<math>| B | = | A \cup C | = | A | + | C |</math> |
+ | Skąd wynika, że <math>| C | = 0</math>, zatem zbiór <math>C</math> jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast <math>B = A</math>. Co należało pokazać. | ||
− | |||
− | : | + | <span style="border-bottom-style: double;">Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)</span><br/> |
+ | Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie <math>| A \cup C | \leqslant | A | + | C |</math>, bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>, zatem od sumy <math>| A | + | C |</math> musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>. Co daje ogólny wzór<ref name="sumazbiorow"/> | ||
− | + | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C |</math><br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Symbol Legendre'a == | |
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J23</span><br/> | |
− | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco | |
− | { | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \, | \, a | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J24</span><br/> | |
− | + | Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \, | \, a</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J25*</span><br/> | |
+ | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości | ||
− | ::<math>\ | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;" |
+ | |- | ||
+ | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 2. || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 4. || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 9. || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Symbol Jacobiego == | |
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J26</span><br/> | |
+ | Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja | ||
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> |
− | + | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \, | \, (k^2 - a)</math>. | |
− | + | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | + | nie ma rozwiązania. | |
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J27</span><br/> |
+ | Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i modulo <math>n</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | |
+ | Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J28</span><br/> |
+ | Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych. | ||
+ | Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math> | |
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J29</span><br/> |
+ | Zauważmy, że w przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. | ||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J30*</span><br/> | |
+ | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości | ||
− | ::<math> | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;" |
+ | |- | ||
+ | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 2. || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 4. || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 9. || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J31</span><br/> | ||
+ | Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J25 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami. | ||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J32</span><br/> | ||
+ | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą | ||
− | + | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> | |
+ | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math> | ||
+ | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> | ||
− | : | + | Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>. |
− | : | + | Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>. |
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J33</span><br/> |
+ | Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program: | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}} | |
− | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) = | |
+ | { | ||
+ | '''local'''(k, S, V); | ||
+ | S = []; | ||
+ | V = []; | ||
+ | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k)); | ||
+ | S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m | ||
+ | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m)); | ||
+ | V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m | ||
+ | '''print'''("QR: ", V); | ||
+ | '''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V | ||
+ | }</span> | ||
+ | <br/> | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J34</span><br/> | |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | Pokazać, że |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Zauważmy, że | ||
+ | |||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | ::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | ::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. | ||
− | = | + | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | + | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | |
+ | ::::<math>\; = | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } r = 5 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest | ||
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math> |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math> | |
+ | Łatwo zauważamy, że | ||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | ||
+ | |||
+ | Co należało pokazać.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::< | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J35</span><br/> |
+ | Pokazać, że | ||
− | <math>\ | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ | ||
+ | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{- 4}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = |
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 4 k + 1 \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } m = 4 k + 3 | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | |
− | ::<math>{\small\frac{ | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k}{2}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{6 k} = 1</math> |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 4}{2}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 2)} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | |
− | ::<math> | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 6}{2}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 3)} = - 1</math> |
− | + | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 10}{2}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 5)} = (- 1) \cdot (- 1) = 1</math> | |
+ | <br/> | ||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 962: | Linia 1035: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J36</span><br/> |
− | Wykorzystując | + | Wykorzystując podane w twierdzeniu J30 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze. |
− | <span style="font-size: 90%; color:black;"> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) = |
{ | { | ||
− | '''local'''( | + | '''local'''(r, w); |
− | + | '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") ); | |
− | ''' | + | a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n) |
− | + | w = 1; | |
− | + | '''while'''( a <> 0, | |
− | } | + | '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) ); |
+ | \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8) | ||
+ | \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste | ||
+ | r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a | ||
+ | a = n; | ||
+ | n = r; | ||
+ | '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w ); | ||
+ | \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4) | ||
+ | a = a % n; | ||
+ | ); | ||
+ | '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n) | ||
+ | }</span> | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/> |
− | + | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji. | |
− | + | W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej <math>(a \, | \, m)</math> i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Legendre'a | |
− | + | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Jacobiego | |
− | + | :* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Jacobiego | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | < | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> == | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J38</span><br/> | |
− | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | < | ||
− | |||
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> | ||
+ | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | ma rozwiązanie. | |
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
− | + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | |
− | + | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że | |
− | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> | |
− | + | Ponieważ <math>p^n \, | \, (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \, | \, (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. | |
− | + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | |
− | + | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> |
− | + | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \pmod{p^n}</math> i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> |
− | + | Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem | |
− | + | ::<math>u^2_n - a = k p^n</math> | |
+ | Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie | ||
+ | ::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math> | ||
− | + | ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem | |
− | |||
− | + | ::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math> | |
+ | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math> | ||
+ | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math> | ||
+ | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math> | ||
+ | Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy | ||
− | + | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> | |
− | + | ::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> | |
− | |||
− | + | bo <math>p^{n + 1} \, | \, p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math> | |
− | + | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J39</span><br/> | |
− | + | Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \pmod{2}</math>, bo <math>2 \, | \, 2^n</math>. | |
− | |||
+ | Kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math> | |
− | + | ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \pmod{2}</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \pmod{4}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań. | |
− | + | Kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> | |
− | + | ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \pmod{8}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań. | |
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J40</span><br/> | |
+ | Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja | ||
− | ::<math>\ | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> |
− | + | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> | |
+ | ma rozwiązanie. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
− | + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | |
− | + | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że | |
− | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> | |
− | + | Ponieważ <math>2^n \, | \, (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \, | \, (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja | |
− | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math> | |
− | + | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. | |
− | + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | |
− | + | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> |
− | + | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \pmod{2^n}</math> i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja | |
+ | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math> | ||
+ | Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech | ||
− | + | ::<math>r = | |
− | + | \begin{cases} | |
+ | 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\ | ||
+ | 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
− | + | Zauważmy, że | |
− | |||
− | :: | + | ::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math> | |
+ | ::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math> | ||
− | + | ::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math> | |
− | + | bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math> |
− | + | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/> | |
− | + | □ | |
− | + | {{\Spoiler}} | |
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J41</span><br/> |
+ | Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>. | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>m = | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/> |
+ | Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J2 i J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji | ||
− | ::<math> | + | ::<math>\begin{align} |
+ | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\ | ||
+ | & \,\,\,\cdots \\ | ||
+ | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\ | ||
+ | \end{align}</math> | ||
+ | Z definicji J23, twierdzeń J38 i J40, uwagi J39 i wniosku J41 otrzymujemy | ||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J43</span><br/> | |
+ | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja | ||
− | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | + | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy | |
::{| border="0" | ::{| border="0" | ||
− | |-style=height: | + | |-style=height:1em |
− | | ● | + | | ● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> |
− | |-style=height: | + | |-style=height:1em |
− | | ● | + | | ● jeżeli <math>8 \, | \, m</math>, to <math>8 \, | \, ( a - 1 )</math> |
− | |-style=height: | + | |-style=height:2.5em |
− | | ● | + | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \, | \, m</math>, to <math>4 \, | \, ( a - 1 )</math> |
|} | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J44</span><br/> |
+ | Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą | ||
+ | |||
+ | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
+ | |||
+ | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
+ | Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci | ||
+ | |||
+ | ::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math> | ||
− | :: | + | ::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math> | ||
− | + | Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy | |
− | ::<math>r | + | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math> |
− | :: | + | ::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math> | |
− | + | Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja | |
+ | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math> | ||
− | + | nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math> |
− | + | również nie ma rozwiązania.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1371: | Linia 1301: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J45</span><br/> |
− | + | Rozwiązać kongruencję | |
+ | |||
+ | ::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math> | ||
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | ||
− | + | Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy | |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 + 5 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>4 x^2 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot 13 \equiv 0 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + 5)^2 - 25 + 52 \equiv 0 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + 5)^2 - 6 + 14 \equiv 0 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + 5)^2 \equiv - 8 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>(2 x + 5)^2 \equiv 7^2 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>2 x + 5 \equiv \pm 7 \pmod{19}</math> |
− | ::<math> | + | ::<math>2 x \equiv - 5 \pm 7 \pmod{19}</math> |
− | + | Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>10</math>, otrzymujemy: <math>x \equiv 13 \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 1 \pmod{19}</math>. | |
+ | Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że | ||
− | + | ::<math>x^2 + 5 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \pmod{19}</math><br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | == Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo == | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::< | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J46</span><br/> |
+ | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;" | |
− | + | | '''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | | | ||
− | |||
|} | |} | ||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J47</span><br/> |
+ | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> | ||
− | ::{| | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" |
− | + | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | |
− | + | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | |
− | |- | + | |- |
− | | | + | ! <math>\boldsymbol{g( p )}</math> |
− | |- | + | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> |
− | | | ||
|} | |} | ||
− | |||
− | :: | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/> |
+ | Do wyszukiwania liczb <math>g = g (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP | ||
− | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) = | |
− | + | { | |
− | + | '''if'''( p == 2, '''return'''(0) ); | |
− | + | '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) ); | |
− | + | '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) )); | |
− | + | }</span> | |
− | |||
− | |||
− | < | + | Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero). |
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/> | |
+ | Niech <math>g \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>g</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą. | ||
− | :: | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Przypuśćmy, że <math>g = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < g</math>. Z założenia <math>g</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że | ||
− | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | |||
+ | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math> | ||
+ | Skąd wynika, że | ||
− | + | ::<math>g = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math> | |
− | |||
− | + | Wbrew założeniu, że <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/> | |
− | + | □ | |
− | + | {{\Spoiler}} | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J50</span><br/> |
− | + | Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest | |
− | ::<math> | + | :* liczba <math>2</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math> |
+ | :* liczba <math>3</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math> | ||
+ | :* liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math> | ||
− | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show= | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
− | + | Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J25 p.7) wiemy, że | |
− | |||
− | |||
+ | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = | ||
+ | \,\, | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ | ||
+ | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. | ||
− | + | Z zadania J35 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z czterech warunków | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math> | ||
+ | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math> | ||
+ | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math> | ||
− | == | + | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math> |
− | + | Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math> |
− | + | ::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math> | |
− | + | a z pierwszego i czwartego mamy | |
− | + | ::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math> | |
− | |||
− | + | ::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math> | |
− | + | Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math> | |
+ | ::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math> | ||
− | + | Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J2). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać | |
− | + | chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24) | |
+ | chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24) | ||
− | + | Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math> | ||
− | + | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math> | |
− | + | Postępując jak wyżej, otrzymujemy | |
− | + | chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24) | |
+ | chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd | ||
+ | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24) | ||
Co należało pokazać.<br/> | Co należało pokazać.<br/> | ||
Linia 1598: | Linia 1471: | ||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J51</span><br/> | |
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>g</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>g (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math> |
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Ponieważ <math>g \nmid p</math>, to z oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że | ||
− | ::<math> | + | ::<math>{\small\frac{p}{g}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{g}}</math> |
+ | ::<math>p < g \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor + g < p + g</math> | ||
+ | Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor + 1</math>, mamy | ||
− | + | ::<math>0 < g u - p < g</math> | |
− | |||
− | + | Liczba <math>g u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | ::<math>1 = \left( {\small\frac{g u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | ||
+ | Ale z założenia <math>g</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>g \leqslant u</math> i łatwo znajdujemy, że | ||
− | + | ::<math>g \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{g}} + 1</math> | |
− | |||
− | :: | + | ::<math>g^2 < p + g</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ::<math>g^2 \leqslant p + g - 1</math> | |
+ | Skąd otrzymujemy | ||
+ | ::<math>\left( g - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math> | ||
− | + | ::<math>g \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math> | |
− | |||
− | + | Co należało pokazać.<br/> | |
− | + | □ | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J52*</span><br/> |
− | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>g</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/> | |
− | : | + | ::<math>g (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J53</span><br/> | ||
+ | Liczby <math>g = g (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>g = g (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/> | ||
+ | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} g (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;" | |
− | Najmniejsze liczby | + | | '''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą |
+ | |} | ||
− | ::<math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J54</span><br/> |
+ | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W jednym i drugim przypadku liczba <math>g</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m</math>. Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>g(m)</math>. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J55</span><br/> | |
+ | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>. | ||
− | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" |
− | ! <math>\boldsymbol{ | + | ! <math>\boldsymbol{m}</math> |
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{g( p )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | ! <math>\boldsymbol{g( m )}</math> |
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math> | ||
|} | |} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J56</span><br/> | ||
+ | Do wyszukiwania liczb <math>g = g (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP | ||
+ | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) = | ||
+ | { | ||
+ | '''local'''(w); | ||
+ | '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) ); | ||
+ | '''forprime'''(p = 2, m, w = -1; '''for'''(k = 2, (m - 1)/2, '''if'''( k^2%m == p, w = 1; '''break'''() )); '''if'''( w == -1, '''return'''(p) )); | ||
+ | }</span> | ||
− | |||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;"> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J57</span><br/> |
− | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>g</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>g</math> jest liczbą pierwszą. | |
− | <math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Przypuśćmy, że <math>g = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < g</math>. Z założenia <math>g</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m</math>. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że | ||
− | <math> | + | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math> |
− | + | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Skąd wynika, że | |
− | + | ::<math>g = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math> | |
− | + | Wbrew założeniu, że <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J58</span><br/> | ||
+ | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> i <math>p \, | \, m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
+ | Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja | ||
− | : | + | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> |
− | : | ||
− | |||
+ | ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że | ||
− | + | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math> | |
− | + | Ponieważ z założenia <math>p \, | \, m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja | |
+ | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math> | ||
+ | co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/> | ||
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | == | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J59</span><br/> |
+ | Jeżeli liczba <math>g = g (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>g</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. | ||
− | | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
+ | Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i powiązany z dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ g_1, \ldots, g_s \}</math>, z których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J58). Wynika stąd, że liczba <math>g = g (m)</math> musi być mniejsza od każdej z liczb <math>g_k</math>. | ||
− | = | + | Z definicji liczba <math>g = g (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja |
− | + | ::<math>x^2 \equiv g \pmod{m}</math> | |
− | + | nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>. Zatem przynajmniej jedna z kongruencji | |
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>x^2 \equiv g \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math> |
− | + | musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J38 wiemy, że wtedy kongruencja | |
− | + | ::<math>x^2 \equiv g \pmod{p_k}</math> | |
− | |||
− | + | również nie ma rozwiązania. Zatem <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k</math> i <math>g < g_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>g_k</math>.<br/> | |
− | |||
− | |||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1920: | Linia 1632: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J60</span><br/> |
− | Jeżeli <math>p</math> | + | Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to |
− | ::<math>\ | + | ::<math>g(m) = \min ( g (p_1), \ldots, g (p_s) )</math> |
− | + | gdzie <math>g(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>g(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k</math>. | |
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | Twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia J59.<br/> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1938: | Linia 1646: | ||
− | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J61</span><br/> |
− | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>g(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. Prawdziwe są oszacowania | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>g(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \;\;\: \text{dla } m \geqslant 3</math> |
− | + | ::<math>g(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math> | |
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | ||
− | + | Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>g(m) = g (p)</math> (z twierdzenia J59 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>g(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math> | + | ::<math>g(m) = g (p) < F (p) \leqslant F (m)</math> |
− | + | Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J51 i J52.<br/> | |
□ | □ | ||
{{\Spoiler}} | {{\Spoiler}} | ||
Linia 1964: | Linia 1664: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;" |
+ | | '''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J62</span><br/> | ||
+ | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. | ||
− | { | + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" |
− | + | ! <math>\boldsymbol{m}</math> | |
+ | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{g( p )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{g( m )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math> | ||
+ | |- | ||
+ | ! <math>\boldsymbol{c( m )}</math> | ||
+ | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> | ||
+ | |} | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>( | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J63</span><br/> |
+ | Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP | ||
− | :: | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) = |
+ | { | ||
+ | '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) ); | ||
+ | '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); | ||
+ | '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) )); | ||
+ | }</span> | ||
− | |||
− | |||
− | ::<math>\ | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J64</span><br/> |
+ | Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>g(p)</math> i <math>g(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby <math>g(p)</math>, <math>g(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela. | ||
− | + | Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant g (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>). | |
− | + | Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J51. Łatwo zauważamy, że | |
− | ::<math>\ | + | ::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math> |
− | + | ::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math> | |
− | |||
− | {{\ | ||
+ | ::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math> | ||
+ | ::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math> | ||
+ | Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>. | ||
− | |||
− | | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J65</span><br/> |
+ | Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą. | ||
− | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
− | + | Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy | |
− | < | + | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> |
− | + | Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/> | |
+ | □ | ||
+ | {{\Spoiler}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J66</span><br/> | ||
+ | Liczby <math>c = c (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>c = c (m)</math>, gdzie <math>m</math> są liczbami nieparzystymi (przyjmujemy <math>c(m) = 0</math>, gdy <math>m</math> jest liczbą kwadratową) wynosi<ref name="BaillieWagstaff1"/> | ||
− | + | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x / 2}} \underset{m \; \text{nieparzyste}}{\sum_{m \leqslant x}} c (m) = \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{p_k + 1}{2^{k - 1}}} \prod^{k - 1}_{j = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_j}} \right) = 3.147755149 \ldots</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | == Przypisy == | ||
+ | <references> | ||
+ | <ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref> | ||
+ | <ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="sumazbiorow">Wikipedia, ''Zasada włączeń i wyłączeń'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref> | ||
+ | <ref name="Norton1">Karl K. Norton, ''Numbers with Small Prime Factors, and the Least ''k''th Power Non-Residue'', Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)</ref> | ||
+ | <ref name="Trevino1">Enrique Treviño, ''The least k-th power non-residue'', Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)</ref> | ||
− | = | + | <ref name="Trevino2">Kevin J. McGown and Enrique Treviño, ''The least quadratic non-residue'', Mexican Mathematicians in the World (2021)</ref> |
− | < | + | <ref name="Erdos1">Paul Erdős, ''Számelméleti megjegyzések I'', Afar. Lapok, v. 12 (1961)</ref> |
<ref name="BaillieWagstaff1">Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., ''Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), ([http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf LINK])</ref> | <ref name="BaillieWagstaff1">Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., ''Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), ([http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf LINK])</ref> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
</references> | </references> |
Wersja z 13:59, 27 mar 2023
Chińskie twierdzenie o resztach
Twierdzenie J1
Niech [math]\displaystyle{ a, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m n} }[/math]
jest równoważna układowi kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv a \pmod{m} \\ u &\equiv a \pmod{n} \end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Longrightarrow }[/math]
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ u - a }[/math] jest podzielna przez iloczyn [math]\displaystyle{ m n }[/math], to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
[math]\displaystyle{ \Longleftarrow }[/math]
Z kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m} }[/math]
wynika, że [math]\displaystyle{ u - a = k m }[/math], zaś z kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{n} }[/math]
otrzymujemy [math]\displaystyle{ n \, | \, (u - a) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n \, | \, k m }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ n \, | \, k }[/math] (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ s }[/math], że [math]\displaystyle{ k = s n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ u - a = s n m }[/math], a stąd [math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m n} }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J2
Dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] istnieje dokładnie jedna taka liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]), że prawdziwy jest układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Z założenia liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ m x + n y = 1 }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ c = a n y + b m x }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ c \equiv a n y \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv a (1 - m x) \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv a \pmod{m} }[/math]
Natomiast modulo [math]\displaystyle{ n }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ c \equiv b m x \pmod{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv b (1 - n y) \pmod{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c \equiv b \pmod{n} }[/math]
Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby [math]\displaystyle{ c }[/math]. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby [math]\displaystyle{ c }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m \, | \, (d - a) }[/math] i [math]\displaystyle{ m \, | \, (c - a) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] dzieli różnicę tych liczb, czyli [math]\displaystyle{ m \, | \, (d - c) }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ n \, | \, (d - c) }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to [math]\displaystyle{ m n \, | \, (d - c) }[/math] (zobacz C73), co oznacza, że
- [math]\displaystyle{ d \equiv c \pmod{m n} }[/math].
Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant c \leqslant m n }[/math].
□
Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz niech [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} }[/math]
jest równoważna układowi kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a \pmod{m} \\ u & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \end{align} }[/math]
Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv c \; \pmod{m} \\ u \equiv c \; \pmod{n} \\ \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv a \; \pmod{m} \\ u \equiv b \:\, \pmod{n} \\ \end{array} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Uwaga J4
Chińskie twierdzenie o resztach[1] (CRT[2]) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv 1 \pmod{4} \\ u &\equiv 3 \pmod{8} \end{align} }[/math]
nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest [math]\displaystyle{ u = 4 k + 1 }[/math], które dla liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych ma postać
- [math]\displaystyle{ u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5 }[/math]
i nie może być [math]\displaystyle{ u \equiv 3 \pmod{8} }[/math].
Zadanie J5
Niech [math]\displaystyle{ u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k }[/math] są parami względnie pierwsze (czyli [math]\displaystyle{ \gcd (m_i, m_j) = 1 }[/math] dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math]), to istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k }[/math]), że układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ & \cdots \\ u & \equiv a_k \pmod{m_k} \end{align} }[/math]
można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} }[/math]
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] (zobacz J2). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału [math]\displaystyle{ [2, k] }[/math] otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] układ
- [math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\ u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} \end{align} }[/math]
gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J2 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
- [math]\displaystyle{ u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}} }[/math]
gdzie liczba [math]\displaystyle{ c' }[/math] jest dokładnie jedna i jest określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1} }[/math]. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]. Co kończy dowód indukcyjny.
□
Przykład J6
Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po [math]\displaystyle{ 5 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 3 }[/math], a kiedy próbujemy ustawić je po [math]\displaystyle{ 7 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \end{align} }[/math]
Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo [math]\displaystyle{ 35 }[/math]. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie
chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )
uzyskujemy wynik Mod(18, 35)
, zatem równoważna kongruencja ma postać
- [math]\displaystyle{ n \equiv 18 \pmod{35} }[/math]
Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi [math]\displaystyle{ 18 }[/math].
Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
- [math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 1 \pmod{2} \\ n &\equiv 2 \pmod{3} \\ n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \\ n &\equiv 5 \pmod{11} \end{align} }[/math]
to argumenty należy zapisać w postaci wektora
chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )
Otrzymujemy Mod(1523, 2310)
.
Wielomiany
Twierdzenie J7
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] będzie dowolnym wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math]. Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] można przedstawić w postaci
- [math]\displaystyle{ W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], a współczynniki wiodące wielomianów [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] są sobie równe.
Z założenia [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math]. Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k }[/math]
- [math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k) }[/math]
Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] prawdziwy jest wzór
- [math]\displaystyle{ x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x) }[/math]
Gdzie przez [math]\displaystyle{ U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math] oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy [math]\displaystyle{ k - 1 }[/math]. Zatem możemy napisać
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x) }[/math]
Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math]. Ponieważ ze wszystkich wielomianów [math]\displaystyle{ a_k U^{(k)} (x) }[/math], wielomian [math]\displaystyle{ a_n U^{(n)} (x) }[/math] ma największy stopień równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Czyli
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} + s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]
Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że [math]\displaystyle{ a_n = b_{n - 1} }[/math]. Czyli współczynnik wiodący wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. Co należało pokazać.
□
Definicja J8
Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math], będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math].
Definicja J9
Powiemy, że wielomian całkowity [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a_n }[/math]. Jeżeli każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n }[/math], jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieokreślony.
Twierdzenie J10
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] będzie wielomianem całkowitym i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ x \equiv y \pmod{m} }[/math], to
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]
Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ x^k - y^k }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ x - y }[/math], co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
- [math]\displaystyle{ x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ m \, | \, (x - y) }[/math], zatem dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ m \, | \, (x^k - y^k) }[/math]. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
- [math]\displaystyle{ \begin{align} a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\ a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\ a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\ & \cdots \\ a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} \end{align} }[/math]
Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Uwaga J11
Niech [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
- [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1) }[/math]
gdzie liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze.
Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2) }[/math]
Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math]. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] nie ma rozwiązania, to kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math] również nie ma rozwiązania.
Załóżmy, że każda z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech
- [math]\displaystyle{ x \equiv a \pmod{m} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x \equiv b \pmod{n} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \pmod{n} }[/math]
Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x &\equiv a \pmod{m} \\ x &\equiv b \pmod{n} \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3) }[/math]
Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej
- [math]\displaystyle{ x \equiv c \pmod{m n} }[/math]
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Istotnie z twierdzenia J10 mamy
- [math]\displaystyle{ \begin{align} W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\ W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} \end{align} }[/math]
ale liczby [math]\displaystyle{ m, n }[/math] są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
- [math]\displaystyle{ W (c) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]
Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań [math]\displaystyle{ (3) }[/math] odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math].
Podsumujmy: jeżeli kongruencje
- [math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \end{align} }[/math]
mają odpowiednio [math]\displaystyle{ r }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math] jest równa iloczynowi [math]\displaystyle{ r s }[/math] i istnieje [math]\displaystyle{ r s }[/math] różnych rozwiązań kongruencji
- [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]
Twierdzenie Lagrange'a
Twierdzenie J12
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
A. Istnienie rozwiązania
Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 = k p }[/math], to istnienie liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ k }[/math], dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a_1, p) = 1 }[/math], to istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math] (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid r }[/math], bo gdyby tak było, to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieliłaby wyrażenie [math]\displaystyle{ a_1 r + p s }[/math], ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math]. Czyli modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ a_1 r \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ x \equiv - a_0 r \pmod{p} }[/math]
B. Brak innych rozwiązań
Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
- [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Jeśli oznaczymy je przez [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math], to otrzymamy
- [math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p} }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \, | \, a_1 (x_1 - x_2) }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ p \, | \, (x_1 - x_2) }[/math]. Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ x_1 \equiv x_2 \pmod{p} }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)
Jeżeli wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], to kongruencja
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań.
Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Niech wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math]. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek [math]\displaystyle{ x \equiv s \pmod{p} }[/math]. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać
- [math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]
gdzie wielomian [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo wielomiany [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] mają jednakowe współczynniki wiodące.
Z założenia [math]\displaystyle{ x \equiv s \pmod{p} }[/math] jest jednym z pierwiastków kongruencji [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
wynika, że musi być (zobacz C72)
- [math]\displaystyle{ x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Z założenia indukcyjnego kongruencja
- [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]
ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] rozwiązań, zatem kongruencja
- [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J14
Jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań, to wszystkie współczynniki [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, \ldots, n }[/math], muszą być podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \} }[/math] będzie zbiorem takim, że dla każdego [math]\displaystyle{ k \in S }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \nmid a_k }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym. Niech [math]\displaystyle{ j }[/math] oznacza największy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ j = 0 }[/math], to wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ 0 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i
- [math]\displaystyle{ a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Konsekwentnie, dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]
bo dla każdego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k \equiv 0 \pmod{p} }[/math]. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math].
W przypadku gdy [math]\displaystyle{ j \neq 0 }[/math], z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ j \leqslant n }[/math] rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.
□
Przykład J15
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
ma co najwyżej [math]\displaystyle{ p }[/math] rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ x^p \equiv x \pmod{p} }[/math]
Przykład J16
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ n \geqslant p }[/math], możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że [math]\displaystyle{ n \lt p }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ p = 5 }[/math] i
- [math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ x^5 \equiv x \pmod{5} }[/math], to
- [math]\displaystyle{ W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5} }[/math]
Co wynika również z faktu, że [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] można zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 }[/math]
ale [math]\displaystyle{ x^5 - x \equiv 0 \pmod{5} }[/math] na mocy twierdzenia Fermata.
Twierdzenie Wilsona
Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)
Liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
- [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Longleftarrow }[/math]
Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną. Zatem liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] ma dzielnik [math]\displaystyle{ d }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ 2 \leqslant d \leqslant p - 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d \, | \, p }[/math], to prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]
czyli
- [math]\displaystyle{ 0 \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]
co jest niemożliwe.
[math]\displaystyle{ \Longrightarrow }[/math]
Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Niech teraz [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
- [math]\displaystyle{ W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1)) }[/math]
oraz
- [math]\displaystyle{ V(x) = x^{p - 1} - 1 }[/math]
Zauważmy, że
- stopnie tych wielomianów są równe [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math]
- współczynniki wiodące są równe [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
- wyrazy wolne są równe odpowiednio [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] oraz [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]
- wielomiany mają [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
Niech
- [math]\displaystyle{ U(x) = W (x) - V (x) }[/math]
Zauważmy, że
- stopień wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 2 \geqslant 1 }[/math], ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji
- wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] ma [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo dla każdego [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy [math]\displaystyle{ U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] nie może mieć więcej niż [math]\displaystyle{ p - 2 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi dzielić każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math] wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy [math]\displaystyle{ (p - 1) ! + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie Fermata
Twierdzenie J18 (Pierre de Fermat, 1640)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą
- to liczba [math]\displaystyle{ a^p - a }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^p \equiv a \pmod p }[/math]
- i jeśli dodatkowo [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} \equiv 1 \pmod p }[/math]
Punkt 1.
Zauważmy, że
a) twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math]
b) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ a^p - a = a^2 - a = a (a - 1) }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math], bo jedna z liczb [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą
c) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 1 }[/math], to jest też prawdziwe dla [math]\displaystyle{ - a }[/math], bo
- [math]\displaystyle{ (- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a) }[/math]
Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math] twierdzenie jest prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math].
Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1^p - 1 = 0 }[/math] zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a }[/math], czyli [math]\displaystyle{ p|a^p - a }[/math], otrzymujmy dla [math]\displaystyle{ a + 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k }[/math]
Z założenia indukcyjnego [math]\displaystyle{ p|a^p - a }[/math], zaś [math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math] (ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem [math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) }[/math] jest podzielne przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math].
Punkt 2.
Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^p - a = a (a^{p - 1} - 1) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math].
□
Kryterium Eulera
Definicja J19
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ p \, | \, (k^2 - a) }[/math].
Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
nie ma rozwiązania.
Twierdzenie J20
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], kwadraty liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ p - k }[/math] są takimi samymi liczbami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z oczywistej kongruencji
- [math]\displaystyle{ k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p} }[/math]
Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right) }[/math]
Ponieważ
- [math]\displaystyle{ p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1 }[/math]
to wypisane pary wyczerpują cały zbiór [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Co więcej, liczby [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math] są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], a jednocześnie [math]\displaystyle{ i^2 \equiv j^2 \pmod{p} }[/math]. Gdyby tak było, to mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ (i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z prostych oszacowań
- [math]\displaystyle{ 1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j \lt p - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 \lt i + j \lt p - 1 }[/math]
Ponieważ (z definicji) liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] musi przystawać do pewnego kwadratu modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest tyle samo, co kwadratów [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math]. Czyli jest ich dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Pozostałe liczby w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] to liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i jest ich również [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J21 (kryterium Eulera, 1748)
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy
● liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math] ● liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
Punkt 1.
Niech [math]\displaystyle{ Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Zauważmy, że
A [math]\displaystyle{ | Q | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] zobacz J20 B [math]\displaystyle{ | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] zobacz twierdzenie Lagrange'a J13 C jeżeli [math]\displaystyle{ a \in Q }[/math], to [math]\displaystyle{ a \in S \qquad }[/math] wynika z ciągu implikacji:
[math]\displaystyle{ a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S }[/math]D [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math] z punktu C wynika, że każdy element zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]
Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]
Skąd łatwo widzimy, że
- [math]\displaystyle{ | Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math], a zbiory [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J22). Prostą konsekwencją równości zbiorów [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] jest stwierdzenie
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Co kończy dowód punktu pierwszego.
Punkt 2.
Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika[3], że
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Z twierdzenia Fermata
- [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
wynika natychmiast, że jeżeli [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], to musi być
- [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie J22
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B | }[/math], to [math]\displaystyle{ \; A = B }[/math].
Ponieważ zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ B }[/math] można przedstawić w postaci sumy zbiorów [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] takich, że żaden element zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] nie jest elementem zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing }[/math]
Ponieważ z założenia zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są rozłączne, to wiemy, że
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ | B | = | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]
Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ | C | = 0 }[/math], zatem zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ B = A }[/math]. Co należało pokazać.
Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)
Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie [math]\displaystyle{ | A \cup C | \leqslant | A | + | C | }[/math], bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math], zatem od sumy [math]\displaystyle{ | A | + | C | }[/math] musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math]. Co daje ogólny wzór[4]
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]
□
Symbol Legendre'a
Definicja J23
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Symbolem Legendre'a[5] nazywamy funkcję [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] zdefiniowaną następująco
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\ - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \, | \, a \end{cases} }[/math]
Uwaga J24
Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, a }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math]
Twierdzenie J25*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
1. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) \gt 1 }[/math] 2. [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] 3. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] 4. [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math] 5. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1 }[/math] 6. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math] 7. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 8. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 9. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
Symbol Jacobiego
Definicja J26
Niech liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ m \, | \, (k^2 - a) }[/math].
Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania.
Zadanie J27
Niech liczby [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Pokazać, że liczba [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i modulo [math]\displaystyle{ n }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ W(x) = x^2 - a }[/math]. Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.
□
Definicja J28
Symbol Jacobiego[6] [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] jest uogólnieniem symbolu Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla dodatnich liczb nieparzystych.
Niech [math]\displaystyle{ n = \prod_i p_i^{\alpha_i} }[/math] będzie rozkładem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, wtedy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i} }[/math]
Uwaga J29
Zauważmy, że w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math].
Twierdzenie J30*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
1. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) \gt 1 }[/math] 2. [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] 3. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] 4. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] 5. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1 }[/math] 6. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math] 7. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 8. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math] 9. [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
Uwaga J31
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J25 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
Uwaga J32
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą
- jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to nie musi być [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math]
Przykład: jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ a }[/math] może być liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m^2 }[/math].
Modulo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 5, 8 }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23 }[/math].
Uwaga J33
Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
QRandQNR(m) =
{
local(k, S, V);
S = [];
V = [];
for(k = 1, m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); S = concat(S, k));
S = Set(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
for(k = 1, m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); V = concat(V, k^2 % m));
V = Set(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
print("QR: ", V);
print("QNR: ", setminus(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
}
Zadanie J34
Pokazać, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \end{cases} }[/math]
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
bo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą.
Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \; = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ - 1 & \text{gdy } r = 5 \end{cases} }[/math]
bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1 }[/math]
Łatwo zauważamy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie J35
Pokazać, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 4}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } m = 4 k + 3 \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k}{2}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{6 k} = 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 4}{2}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 2)} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 6}{2}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 3)} = - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 10}{2}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 5)} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 }[/math]
□
Uwaga J36
Wykorzystując podane w twierdzeniu J30 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze.
jacobi(a, n) =
{
local(r, w);
if( n <= 0 || n % 2 == 0, return("Error") );
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
w = 1;
while( a <> 0,
while( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; if( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
\\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
\\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
a = n;
n = r;
if( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
\\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
a = a % n;
);
if( n == 1, return(w), return(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
}
Uwaga J37
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] nie istnieje, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej [math]\displaystyle{ (a \, | \, m) }[/math] i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
- jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol [math]\displaystyle{ (a \, | \, m) }[/math] jest symbolem Legendre'a
- jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \, | \, m) }[/math] jest symbolem Jacobiego
- jeżeli nie wiemy, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \, | \, m) }[/math] jest symbolem Jacobiego
Rozwiązywanie kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
Twierdzenie J38
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \, | \, (r^2 - a) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ p \, | \, (r^2 - a) }[/math], co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]
ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \pmod{p^n} }[/math] i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ u_n }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant u_n \lt p^n }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] może zostać wybrana dowolnie (modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem
- [math]\displaystyle{ u^2_n - a = k p^n }[/math]
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jednoznacznie określona, bo wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] została ustalona. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2 u_n, p) = 1 }[/math], to równanie
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k }[/math]
ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]
Modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
bo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} \, | \, p^{2 n} }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□
Uwaga J39
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Ponieważ zakładamy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ x }[/math] nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy [math]\displaystyle{ 0 \equiv 1 \pmod{2} }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \, | \, 2^n }[/math].
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2} }[/math]
ma dokładnie jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{2} }[/math].
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{4} }[/math]
ma dwa rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \pmod{4} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3 \pmod{4} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3 \pmod{4} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.
Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]
ma cztery rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \pmod{8} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3, 5, 7 \pmod{8} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3, 5, 7 \pmod{8} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.
Twierdzenie J40
Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]
ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ 2^n \, | \, (r^2 - a) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ 2^3 \, | \, (r^2 - a) }[/math]. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^3} }[/math]
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]
ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \pmod{2^n} }[/math] i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]
Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że [math]\displaystyle{ u^2_n - a = k \cdot 2^n }[/math]. Niech
- [math]\displaystyle{ r = \begin{cases} 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\ 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} \end{cases} }[/math]
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ (u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}} }[/math]
bo [math]\displaystyle{ k + r }[/math] jest liczbą parzystą, a dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 2 n - 2 \geqslant n + 1 }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1} }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□
Wniosek J41
Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą, to kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] w zależności od tego, czy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math].
Uwaga J42
Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J2 i J11) wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\ & \,\,\,\cdots \\ x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\ \end{align} }[/math]
Z definicji J23, twierdzeń J38 i J40, uwagi J39 i wniosku J41 otrzymujemy
Twierdzenie J43
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math] ● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \, | \, m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \, | \, ( a - 1 ) }[/math] ● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \, | \, m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \, | \, ( a - 1 ) }[/math]
Zadanie J44
Rozwiązać kongruencję, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą
- [math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2, p) = 1 }[/math], to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ 4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]
Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ b }[/math], że [math]\displaystyle{ b^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math], zatem otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 x + r \equiv \pm b \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p} }[/math]
Jeśli [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] nie jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to kongruencja
- [math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]
nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
również nie ma rozwiązania.
□
Zadanie J45
Rozwiązać kongruencję
- [math]\displaystyle{ 5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
Mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 + 5 x + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 4 x^2 + 4 \cdot 5 x + 4 \cdot 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + 5)^2 - 25 + 52 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + 5)^2 - 6 + 14 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + 5)^2 \equiv - 8 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (2 x + 5)^2 \equiv 7^2 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 x + 5 \equiv \pm 7 \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 2 x \equiv - 5 \pm 7 \pmod{19} }[/math]
Mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ 10 }[/math], otrzymujemy: [math]\displaystyle{ x \equiv 13 \pmod{19} }[/math] lub [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod{19} }[/math].
Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
- [math]\displaystyle{ x^2 + 5 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \pmod{19} }[/math]
- [math]\displaystyle{ x^2 + 5 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \pmod{19} }[/math]
□
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo
Uwaga J46
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego.
A. Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] |
Przykład J47
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
Uwaga J48
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ g = g (p) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
A(p) =
{
if( p == 2, return(0) );
if( !isprime(p), return(0) );
forprime(q = 2, p, if( jacobi(q, p) == -1, return(q) ));
}
Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, bo wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
Twierdzenie J49
Niech [math]\displaystyle{ g \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to jest liczbą pierwszą.
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ g = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt g }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
- [math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{p} }[/math]
Skąd wynika, że
- [math]\displaystyle{ g = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p} }[/math]
Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□
Zadanie J50
Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest
- liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math]
- liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 7 }[/math]
- liczba [math]\displaystyle{ \geqslant 5 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p = 24 k \pm 1 }[/math]
Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J25 p.7) wiemy, że
- [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 8 k \pm 3 }[/math] (i tylko dla takich liczb) liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Z zadania J35 wynika, że liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 12 k \pm 5 }[/math]. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p = 12 j \pm 5 }[/math], liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z czterech warunków
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5 }[/math]
- [math]\displaystyle{ p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7 }[/math]
Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4} }[/math]
a z pierwszego i czwartego mamy
- [math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24} }[/math]
Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 5 \pmod{12} }[/math]
Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J2). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24) chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co oznacza, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] spełnia kongruencje
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{8} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \equiv \pm 1 \pmod{12} }[/math]
Postępując jak wyżej, otrzymujemy
chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24) chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J51
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie
- [math]\displaystyle{ g (p) \lt \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ g \nmid p }[/math], to z oszacowania [math]\displaystyle{ x - 1 \lt \lfloor x \rfloor \leqslant x }[/math] wynika, że
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{g}} - 1 \lt \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor \lt {\small\frac{p}{g}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ p \lt g \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor + g \lt p + g }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ u = \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor + 1 }[/math], mamy
- [math]\displaystyle{ 0 \lt g u - p \lt g }[/math]
Liczba [math]\displaystyle{ g u - p }[/math] musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem
- [math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{g u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
Ale z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ g \leqslant u }[/math] i łatwo znajdujemy, że
- [math]\displaystyle{ g \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{g}} \right\rfloor + 1 \lt {\small\frac{p}{g}} + 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g^2 \lt p + g }[/math]
Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ g^2 \leqslant p + g - 1 }[/math]
Skąd otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \left( g - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ g \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} \lt {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie J52*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie[7][8][9]
- [math]\displaystyle{ g (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]
Uwaga J53
Liczby [math]\displaystyle{ g = g (p) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ g = g (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa[10]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} g (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]
B. Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą |
Uwaga J54
Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W jednym i drugim przypadku liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ p }[/math] lub [math]\displaystyle{ m }[/math]. Dlatego będziemy je oznaczali również jako [math]\displaystyle{ g(m) }[/math].
Przykład J55
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
Uwaga J56
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
B(m) =
{
local(w);
if( m%2 == 0, return(0) );
forprime(p = 2, m, w = -1; for(k = 2, (m - 1)/2, if( k^2%m == p, w = 1; break() )); if( w == -1, return(p) ));
}
Twierdzenie J57
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą pierwszą.
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ g = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt g }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ s^2 \equiv b \pmod{m} }[/math]
Skąd wynika, że
- [math]\displaystyle{ g = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m} }[/math]
Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
□
Twierdzenie J58
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ p \, | \, m }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że
- [math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]
Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \, | \, m }[/math], to prawdziwa jest też kongruencja
- [math]\displaystyle{ k^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]
co przeczy założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□
Twierdzenie J59
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to istnieje taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ p_1, \ldots, p_s \} }[/math] i powiązany z dzielnikami pierwszymi [math]\displaystyle{ p_k }[/math] zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math]: [math]\displaystyle{ \{ g_1, \ldots, g_s \} }[/math], z których każda jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz J58). Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] musi być mniejsza od każdej z liczb [math]\displaystyle{ g_k }[/math].
Z definicji liczba [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], co oznacza, że kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv g \pmod{m} }[/math]
nie ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math]. Zatem przynajmniej jedna z kongruencji
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv g \pmod{p^{\alpha_k}_k} }[/math]
musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J38 wiemy, że wtedy kongruencja
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv g \pmod{p_k} }[/math]
również nie ma rozwiązania. Zatem [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math] i [math]\displaystyle{ g \lt g_k }[/math], co przeczy definicji liczby [math]\displaystyle{ g_k }[/math].
□
Twierdzenie J60
Jeżeli [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to
- [math]\displaystyle{ g(m) = \min ( g (p_1), \ldots, g (p_s) ) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ g(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], a [math]\displaystyle{ g(p_k) }[/math] są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p_k }[/math].
Twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia J59.
□
Twierdzenie J61
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ g(m) }[/math] jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Prawdziwe są oszacowania
- [math]\displaystyle{ g(m) \lt \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \;\;\: \text{dla } m \geqslant 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5 }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie dzielnikiem pierwszym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] takim, że [math]\displaystyle{ g(m) = g (p) }[/math] (z twierdzenia J59 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ g(p) \lt F (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] jest funkcją rosnącą, to
- [math]\displaystyle{ g(m) = g (p) \lt F (p) \leqslant F (m) }[/math]
Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J51 i J52.
□
C. Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] |
Przykład J62
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], najmniejsze liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g( p )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{c( m )} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
Uwaga J63
Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
C(m) =
{
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(p = 2, m, if( jacobi(p, m) == -1, return(p) ));
}
Uwaga J64
Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ a }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] oznaczyliśmy jako [math]\displaystyle{ c(m) }[/math]. Zauważmy, że są to liczby inne od [math]\displaystyle{ g(p) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(m) }[/math]. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby [math]\displaystyle{ g(p) }[/math], [math]\displaystyle{ g(m) }[/math] i [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] dla [math]\displaystyle{ m = 15, 33, 39 }[/math]. Różnice wynikają z innej definicji liczb [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] – jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] nie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
Ponieważ [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to mamy natychmiast oszacowanie: [math]\displaystyle{ c(m) \geqslant g (m) }[/math] (poza przypadkami, gdy [math]\displaystyle{ m = n^2 }[/math]).
Dla [math]\displaystyle{ c(m) }[/math] nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J51. Łatwo zauważamy, że
- [math]\displaystyle{ c = c (15) = 7 \gt \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = c (39) = 7 \gt \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = c (105) = 11 \gt \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c = c (231) = 17 \gt \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]
Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m \lt 10^9 }[/math].
Twierdzenie J65
Niech [math]\displaystyle{ c, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ c }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] musi być liczbą pierwszą.
Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ c = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt c }[/math]. Mamy
- [math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ c }[/math].
□
Uwaga J66
Liczby [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ c = c (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] są liczbami nieparzystymi (przyjmujemy [math]\displaystyle{ c(m) = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową) wynosi[11]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x / 2}} \underset{m \; \text{nieparzyste}}{\sum_{m \leqslant x}} c (m) = \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{p_k + 1}{2^{k - 1}}} \prod^{k - 1}_{j = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_j}} \right) = 3.147755149 \ldots }[/math]
Przypisy
- ↑ Wikipedia, Chińskie twierdzenie o resztach, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: Chinese remainder theorem
- ↑ Wikipedia, Logical equivalence, (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Zasada włączeń i wyłączeń, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Symbol Legendre’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Symbol Jacobiego, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
- ↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
- ↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
- ↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
- ↑ Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), (LINK)