|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| − | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div> | + | <div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.12.2023</div> |
| | | | |
| | __FORCETOC__ | | __FORCETOC__ |
| Linia 5: |
Linia 5: |
| | | | |
| | | | |
| − | == Chińskie twierdzenie o resztach == | + | == Największy wspólny dzielnik == |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja H1</span><br/> |
| − | Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja | + | Niech będą dane dwie liczby całkowite <math>a</math> i <math>b</math> niebędące jednocześnie zerami. Największym wspólnym dzielnikiem<ref name="GCD1"/> liczb <math>a</math> i <math>b</math> będziemy nazywali liczbę całkowitą <math>D</math> taką, że |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math> | + | :# <math> D \mid a \quad \text{i} \quad D \mid b</math> |
| | + | :# <math>\,\, d \mid a \quad \text{i} \quad \; d \mid b \qquad \Longrightarrow \qquad d \leqslant D</math> |
| | | | |
| − | jest równoważna układowi kongruencji | + | gdzie <math>d</math> jest dowolną liczbą całkowitą. |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u &\equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | u &\equiv a \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| | | | |
| − | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga H2</span><br/> |
| | + | Tak zdefiniowaną liczbę <math>D</math> będziemy oznaczali przez <math>\gcd (a, b)</math>. Ponieważ <math>1 \mid a \;</math> i <math>\; 1 \mid b</math>, to z definicji wynika natychmiast, że <math>\gcd (a, b) \geqslant 1</math>. |
| | | | |
| − | Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
| |
| | | | |
| − | <math>\Large{\Longleftarrow}</math>
| |
| | | | |
| − | Z kongruencji
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H3</span><br/> |
| | + | Pokazać, że |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv a \pmod{m}</math> | + | ::<math>d \mid \gcd (a, b) \qquad \Longleftrightarrow \qquad d \mid a \quad \text{i} \quad d \mid b</math> |
| | | | |
| − | wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z kongruencji
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | | | |
| − | ::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>
| + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> |
| | | | |
| − | otrzymujemy <math>n \, | \, (u - a)</math>, czyli <math>n \, | \, k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \, | \, k</math> (zobacz C72) i istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>
| + | Z założenia <math>d \mid \gcd (a, b)</math>. Z definicji największego wspólnego dzielnika <math>\gcd (a, b) \mid a</math>, zatem <math>d \mid a</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>d \mid b</math>. |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
| | | | |
| | + | Z założenia <math>a = r d</math>, <math>b = s d</math>. Z lematu Bézouta (zobacz C73) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/>
| + | ::<math>\gcd (a, b) = a x + b y = r d x + s d y = d (r x + s y)</math> |
| − | Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | c & \equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | c & \equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>m x + n y = 1</math>
| |
| − | | |
| − | Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Natomiast modulo <math>n</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z założenia <math>m \, | \, (d - a)</math> i <math>m \, | \, (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \, | \, (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \, | \, (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \, | \, (d - c)</math> (zobacz C73), co oznacza, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.
| + | Zatem <math>d \mid \gcd (a, b)</math>.<br/> |
| − | | |
| − | Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 80: |
Linia 45: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H4</span><br/> |
| − | Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja
| + | Jeżeli liczby całkowite <math>a, b</math> nie są jednocześnie równe zero i <math>\gcd (a, b) = a x + b y</math>, to <math>\gcd (x, y) = 1</math>. |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math>
| |
| − | | |
| − | jest równoważna układowi kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | u & \equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji | + | Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że liczby całkowite <math>x, y</math> zawsze istnieją. Niech <math>\gcd (a, b) = d > 0</math>, zatem <math>a = d k</math> i <math>b = d m</math>, czyli |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | ::<math>(d k) x + (d m) y = d</math> |
| − | c & \equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | c & \equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy
| + | Co oznacza, że <math>k x + m y = 1</math>, ale <math>\gcd (x, y)</math> jest dzielnikiem <math>k x + m y</math> (bo jest dzielnikiem <math>x</math> i <math>y</math>), zatem <math>\gcd (x, y) \mid 1</math>, czyli <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | u \equiv c \; \pmod{m} \\
| |
| − | u \equiv c \; \pmod{n} \\
| |
| − | \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | u \equiv a \; \pmod{m} \\
| |
| − | u \equiv b \:\, \pmod{n} \\
| |
| − | \end{array} </math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 118: |
Linia 59: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H5</span><br/> |
| − | Chińskie twierdzenie o resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
| + | Niech <math>a, b, k \in \mathbb{Z}</math>. Prawdziwy jest wzór |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | ::<math>\gcd (a + k b, b) = \gcd (a, b)</math> |
| − | u &\equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | u &\equiv 3 \pmod{8}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i nieparzystych ma postać
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Niech <math>d_1 = \gcd (a + k b, b) \;</math> i <math>\; d_2 = \gcd (a, b)</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math>
| + | Z definicji <math>d_1 \mid (a + k b) \;</math> i <math>\; d_1 \mid b</math>, zatem <math>a + k b = x d_1 \;</math> i <math>\; b = y d_1</math>, czyli <math>a + k x d_1 = x d_1</math>, skąd natychmiast wynika, że <math>d_1 \mid a</math>. Ponieważ <math>d_1 \mid b</math>, to <math>d_1 \mid d_2</math> (zobacz H2). |
| | | | |
| − | i nie może być <math>u \equiv 3 \!\! \pmod{8}</math>. | + | Z definicji <math>d_2 \mid a \;</math> i <math>\; d_2 \mid b</math>, zatem <math>d_2 \mid (a + k b) \;</math> i <math>\; d_2 \mid b</math>, czyli <math>d_2 \mid d_1</math>. |
| | | | |
| − | | + | Ponieważ <math>d_1 \mid d_2 \;</math> i <math>\; d_2 \mid d_1</math>, to <math>| d_1 | = | d_2 |</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/>
| |
| − | Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>) taka, że układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
| |
| − | & \cdots \\
| |
| − | u & \equiv a_k \pmod{m_k}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej <math>k \geqslant 2</math>, dla liczby <math>k + 1</math> otrzymujemy układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\
| |
| − | u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 165: |
Linia 77: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H6</span><br/> |
| − | Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
| + | Niech <math>a, b, m \in \mathbb{Z}</math>. Prawdziwa jest następująca równoważność |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | ::<math>\gcd (a, m) = 1 \quad \text{i} \quad \gcd (b, m) = 1 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a b, m) = 1</math> |
| − | n &\equiv 3 \pmod{5} \\
| |
| − | n &\equiv 4 \pmod{7}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span>
| |
| − | | |
| − | uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać
| |
| − | | |
| − | ::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math>
| |
| − | | |
| − | Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>.
| |
| − | | |
| − | Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | n &\equiv 1 \pmod{2} \\
| |
| − | n &\equiv 2 \pmod{3} \\ | |
| − | n &\equiv 3 \pmod{5} \\
| |
| − | n &\equiv 4 \pmod{7} \\
| |
| − | n &\equiv 5 \pmod{11}
| |
| − | \end{align}</math> | |
| − | | |
| − | to argumenty należy zapisać w postaci wektora
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span>
| |
| − | | |
| − | Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Wielomiany ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/>
| |
| − | Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe.
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Zauważmy, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math>
| + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> |
| | | | |
| − | ::::::<math>\quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math>
| + | Niech <math>\gcd (a b, m) = d</math>. Z definicji <math>d \mid a b</math> i <math>d \mid m</math>. Gdyby było <math>d > 1</math>, to istniałaby liczba pierwsza <math>p</math> taka, że <math>p \mid d</math> i mielibyśmy <math>p \mid a b</math> i <math>p \mid m</math>. Jeżeli <math>p \mid a b</math>, to <math>p \mid a</math> lub <math>p \mid b</math> (zobacz C74). W przypadku, gdy <math>p \mid a</math> dostajemy <math>\gcd (a, m) \geqslant p > 1</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Analogicznie pokazujemy sprzeczność, gdy <math>p \mid b</math>. |
| | | | |
| − | Dla <math>k \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór
| + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
| − | | |
| − | ::<math>x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1})</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | Gdzie przez <math>U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy <math>k - 1</math>. Zatem możemy napisać
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x)</math>
| |
| | | | |
| − | Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem <math>V_{n - 1} (x)</math>. Ponieważ ze wszystkich wielomianów <math>a_k U^{(k)} (x)</math>, wielomian <math>a_n U^{(n)} (x)</math> ma największy stopień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>. Czyli
| + | Niech <math>\gcd (a, m) = d</math>. Z definicji <math>d \mid a</math> i <math>d \mid m</math>, zatem również <math>d \mid a b</math> i <math>d \mid m</math>. Mamy stąd |
| | | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math> | + | ::<math>1 = \gcd (a b, m) \geqslant d \geqslant 1</math> |
| | | | |
| − | Niech <math>V_n (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy
| + | Czyli musi być <math>d = 1</math>. Analogicznie pokazujemy, że <math>\gcd (b, m) = 1</math>.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>
| |
| − | | |
| − | Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 245: |
Linia 100: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J8</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H7</span><br/> |
| − | Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>.
| + | Dla <math>a, b, m \in \mathbb{Z}</math> jest |
| | | | |
| | + | ::<math>\gcd (a b, m) \mid \gcd (a, m) \cdot \gcd (b, m)</math> |
| | | | |
| | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Wprowadźmy oznaczenia |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/>
| + | ::<math>r = \gcd (a b, m)</math> |
| − | Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony.
| |
| | | | |
| | + | ::<math>s = \gcd (a, m)</math> |
| | | | |
| | + | ::<math>t = \gcd (b, m)</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J10</span><br/>
| + | Z lematu Bézouta (zobacz C73) istnieją takie liczby <math>x, y, X, Y</math>, że |
| − | Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \!\! \pmod{m}</math>, to
| |
| | | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math> | + | ::<math>s = a x + m y</math> |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | ::<math>t = b X + m Y</math> |
| − | Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math>
| + | Zatem |
| | | | |
| − | Z założenia <math>m \, | \, (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \, | \, (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
| + | ::<math>s t = (a x + m y) (b X + m Y) = a b x X + a m x Y + m b y X + m^2 y Y</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| + | ale <math>r \mid a b</math> i <math>r \mid m</math>, skąd otrzymujemy, że <math>r \mid s t</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\
| |
| − | a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\
| |
| − | a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\
| |
| − | & \cdots \\
| |
| − | a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 285: |
Linia 130: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J11</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H8</span><br/> |
| − | Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
| + | Jeżeli liczby <math>a, b</math> są względnie pierwsze, to |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze.
| |
| − | | |
| − | Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{n}
| |
| − | \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania.
| |
| − | | |
| − | Załóżmy, że każda z kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech
| |
| − | | |
| − | :* <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
| |
| − | :* <math>x \equiv b \!\! \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n}</math>
| |
| − | | |
| − | Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | x &\equiv a \pmod{m} \\
| |
| − | x &\equiv b \pmod{n}
| |
| − | \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math>
| |
| − | | |
| − | Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej
| |
| − | | |
| − | ::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z twierdzenia J10 mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\
| |
| − | W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>.
| |
| − | | |
| − | Podsumujmy: jeżeli kongruencje
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{m}\\
| |
| − | W (x) &\equiv 0 \pmod{n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
| |
| | | | |
| − | | + | ::<math>\gcd (a b, m) = \gcd (a, m) \cdot \gcd (b, m)</math> |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Twierdzenie Lagrange'a ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J12</span><br/>
| |
| − | Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math> | |
| − | | |
| − | gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>.
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Wprowadźmy oznaczenia |
| | | | |
| − | '''A. Istnienie rozwiązania'''
| + | ::<math>r = \gcd (a b, m)</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C74. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
| + | ::<math>s = \gcd (a, m)</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C71 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy
| + | ::<math>t = \gcd (b, m)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math>
| + | Z założenia <math>\gcd (a, b) = 1</math>. Ponieważ <math>s \mid a</math> oraz <math>t \mid b</math>, to <math>\gcd (s, t) = 1</math>, zatem (zobacz C75) |
| | | | |
| − | Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy
| + | ::<math>s \mid a \qquad \,\, \text{i} \qquad t \mid b \qquad \qquad \;\, \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid a b</math> |
| | | | |
| − | ::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | ::<math>s \mid m \qquad \text{i} \qquad t \mid m \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid m</math> |
| | | | |
| − | Zatem
| + | Wynika stąd, że <math>s t \mid \gcd (a b, m)</math>, czyli <math>s t \mid r</math>. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że <math>r \mid s t</math>, zatem <math>|r| = |s t|</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | '''B. Brak innych rozwiązań'''
| |
| − | | |
| − | Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \, | \, a_1 (x_1 - x_2)</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z lematu Euklidesa (C72) otrzymujemy natychmiast <math>p \, | \, (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 394: |
Linia 156: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H9</span><br/> |
| − | Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja | + | Jeżeli liczby <math>b, m</math> są względnie pierwsze, to |
| | | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | ::<math>\gcd (a b, m) = \gcd (a, m)</math> |
| − | | |
| − | ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań.
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja
| + | Wprowadźmy oznaczenia |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math>. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Z założenia <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math> jest jednym z pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | wynika, że musi być (zobacz C72)
| + | ::<math>r = \gcd (a b, m)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | ::<math>s = \gcd (a, m)</math> |
| | | | |
| | + | Z lematu Bézouta istnieją takie liczby <math>x, y</math>, że |
| | | | |
| − | Z założenia indukcyjnego kongruencja
| + | ::<math>r = a b x + m y</math> |
| | | | |
| − | ::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
| + | Ale <math>s \mid a \;</math> i <math>\; s \mid m</math>, zatem <math>s \mid r</math>. |
| | | | |
| − | ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja
| + | Z założenia <math>\gcd (b, m) = 1</math>, zatem z twierdzenia H7 wynika natychmiast, że <math>r \mid s</math>. Ponieważ <math>s \mid r \;</math> i <math>\; r \mid s</math>, to <math>| r | = | s |</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 440: |
Linia 180: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H10</span><br/> |
| − | Jeżeli kongruencja | + | Jeżeli liczby <math>a, b</math> nie są jednocześnie równe zero i <math>m \neq 0</math>, to |
| − | | |
| − | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>.
| + | ::<math>\gcd (a m, b m) = | m | \cdot \gcd (a, b)</math> |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i
| + | Oznaczmy <math>d = \gcd (a, b) \;</math> i <math>\; D = \gcd (a m, b m)</math>. Pokażemy, że <math>d m \mid D</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math> | + | <div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;"> |
| | + | ::<math> |
| | + | \begin{array}{llll} |
| | + | d = \gcd (a, b) & \qquad \Longrightarrow \qquad & d \mid a \quad \text{i} \quad d \mid b & \text{(zobacz H3)} \\ |
| | + | & & & \\ |
| | + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & d m \mid a m \quad \text{i} \quad d m \mid b m & \\ |
| | + | & & & \\ |
| | + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & d m \mid \gcd (a m, b m) & \text{(zobacz H3)} \\ |
| | + | & & & \\ |
| | + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & d m \mid D & |
| | + | \end{array} |
| | + | </math> |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest
| + | Pokażemy, że <math>D \mid d m</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math> | + | <div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;"> |
| | + | ::<math> |
| | + | \begin{array}{llll} |
| | + | d = \gcd (a, b) & \qquad \Longrightarrow \qquad & d = a x + b y & \text{(lemat Bézouta C73)} \\ |
| | + | & & & \\ |
| | + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & d m = a m x + b m y & \\ |
| | + | & & & \\ |
| | + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & D \mid d m & |
| | + | \end{array} |
| | + | </math> |
| | + | </div> |
| | | | |
| − | bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>.
| + | Ostatnia implikacja korzysta z tego, że <math>D \mid a m \;</math> i <math>\; D \mid b m</math> (zobacz H3). Ponieważ <math>d m \mid D \;</math> i <math>\; D \mid d m</math>, to <math>| D | = | d m |</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 464: |
Linia 222: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J15</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H11</span><br/> |
| − | Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
| + | Pokazać, że <math>a \mid b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a \mid \gcd (a, b)</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | | | |
| − | ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest
| + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math>
| + | Zakładając, że <math>a \mid b</math>, dostajemy |
| | | | |
| − | | + | <div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;"> |
| − | | + | ::<math> |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/> | + | \begin{array}{llll} |
| − | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i
| + | a \mid b & \qquad \Longrightarrow \qquad & b = k a & \\ |
| − | | + | & & & \\ |
| − | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math> | + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & \gcd (a, b) = \gcd (a, k a) = | a | \cdot \gcd (1, k) = | a | & \qquad \text{(zobacz H10)} \\ |
| − | | + | & & & \\ |
| − | Ponieważ <math>x^5 \equiv x \!\! \pmod{5}</math>, to
| + | & \qquad \Longrightarrow \qquad & a \mid \gcd (a, b) & |
| − | | + | \end{array} |
| − | ::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math>
| + | </math> |
| − | | + | </div> |
| − | Co wynika również z faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math>
| |
| − | | |
| − | ale <math>x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | == Twierdzenie Wilsona ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)</span><br/>
| |
| − | Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| − | | |
| − | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| | | | |
| | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
| | | | |
| − | Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \, | \, p</math>, to prawdziwa jest kongruencja
| + | Jeżeli <math>a \mid \gcd (a, b)</math>, to <math>a \mid b</math> (zobacz H3). Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math>
| |
| − | | |
| − | czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math>
| |
| − | | |
| − | co jest niemożliwe.
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longrightarrow}</math>
| |
| − | | |
| − | Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
| |
| − | | |
| − | ::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math>
| |
| − | | |
| − | oraz
| |
| − | | |
| − | ::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | :* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math>
| |
| − | :* współczynniki wiodące są równe <math>1</math>
| |
| − | :* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math>
| |
| − | :* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>
| |
| − | | |
| − | Niech
| |
| − | | |
| − | ::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | :* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji
| |
| − | :* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 547: |
Linia 251: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H12</span><br/> |
| − | Liczba całkowita nieparzysta <math>p \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
| + | Niech <math>\gcd (a, d) = 1</math>. Pokazać, że <math>d \nmid a b</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>d \nmid b</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Korzystając z rezultatu pokazanego w zadaniu H11, dostajemy |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | <div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;"> |
| − | Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy
| + | ::<math> |
| − | | + | \begin{array}{llll} |
| − | ::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math> | + | d \nmid a b & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \nmid \gcd (d, a b) & \\ |
| − | | + | & & & \\ |
| − | W przypadku, gdy liczba <math>p</math> jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w <math>(p - 1) !</math> są określone modulo <math>p</math>, to odejmując od każdego czynnika większego od <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczbę <math>p</math>, otrzymujemy
| + | & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \nmid \gcd (d, b) & \text{(zobacz H9)} \\ |
| − | | + | & & & \\ |
| − | ::<math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
| + | & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \nmid b & |
| − | | + | \end{array} |
| − | ::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
| + | </math> |
| − | | + | </div> |
| − | ::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| | Co należało pokazać.<br/> | | Co należało pokazać.<br/> |
| Linia 571: |
Linia 275: |
| | | | |
| | | | |
| − | | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H13</span><br/> |
| − | | + | Jeżeli dodatnie liczby <math>a, b</math> są względnie pierwsze, to każdy dzielnik <math>d</math> iloczynu <math>a b</math> można przedstawić jednoznacznie w postaci <math>d = d_1 d_2</math>, gdzie <math>d_1 \mid a ,</math> <math>\; d_2 \mid b \;</math> <math>\text{i} \; \gcd (d_1, d_2) = 1</math>. |
| − | == Twierdzenie Fermata ==
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J19 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/> | |
| − | Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą
| |
| − | | |
| − | :* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \!\! \pmod p</math>
| |
| − | :* i jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p</math>
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | Niech <math>d_1 = \gcd (d, a) \;</math> i <math>\; d_2 = \gcd (d, b)</math>. Z twierdzenia H8 mamy |
| − | | |
| − | Zauważmy, że<br/>
| |
| − | a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/>
| |
| − | b) w przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/>
| |
| − | c) w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo
| |
| − | ::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/>
| |
| − | | |
| | | | |
| − | Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>.
| + | ::<math>d_1 d_2 = \gcd (d, a) \cdot \gcd (d, b) = \gcd (d, a b) = d</math> |
| | | | |
| − | Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p|a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math>
| + | Bo z założenia <math>d \mid a b</math>. Z definicji największego wspólnego dzielnika i zadania H3 dostajemy |
| | | | |
| − | ::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math> | + | ::<math>\gcd (d_1, d_2) = e \qquad \Longrightarrow \qquad e \mid d_1 \quad \text{i} \quad e \mid d_2</math> |
| | | | |
| − | :::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math> | + | ::::::::<math>\, \Longrightarrow \qquad e \mid \gcd (d, a) \quad \text{i} \quad e \mid \gcd (d, b)</math> |
| | | | |
| − | :::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math> | + | ::::::::<math>\, \Longrightarrow \qquad e \mid a \quad \text{i} \quad e \mid b</math> |
| | | | |
| | + | ::::::::<math>\, \Longrightarrow \qquad e \mid \gcd (a, b)</math> |
| | | | |
| − | Z założenia indukcyjnego <math>p|a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
| + | ::::::::<math>\, \Longrightarrow \qquad \gcd (a, b) \geqslant e</math> |
| | | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| + | Gdyby było <math>\gcd (d_1, d_2) = e > 1</math>, to mielibyśmy <math>\gcd (a, b) \geqslant e > 1</math>. Wbrew założeniu, że <math>\gcd (a, b) = 1</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| − | | |
| − | Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C72) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 611: |
Linia 301: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J20</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H14</span><br/> |
| − | Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>\gcd (x, y) = 1</math> i liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>x^2 + y^2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>.
| + | Jeżeli <math>a, m, n \in \mathbb{Z}_+</math>, to |
| | + | |
| | + | ::<math>\gcd (a^m - 1, a^n - 1) = a^{\gcd (m, n)} - 1</math> |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Z założenia
| + | Pokażemy najpierw, że jeżeli <math>d</math> jest dzielnikiem lewej strony dowodzonej równości, to jest również dzielnikiem prawej strony i odwrotnie. |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p}</math>
| + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> |
| | | | |
| − | Przypuśćmy, że <math>p|y</math>. Wtedy z powyższej kongruencji mamy natychmiast, że <math>p|x</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Zatem <math>p \nmid y</math> i z twierdzenia Fermata dostajemy
| + | Z założenia <math>d</math> jest dzielnikiem <math>\gcd (a^m - 1, a^n - 1)</math>, czyli <math>d \mid (a^m - 1) \;</math> i <math>\; d \mid (a^n - 1)</math>, co możemy zapisać w postaci |
| | | | |
| − | ::<math>1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math> | + | ::<math>a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| | | | |
| − | Wynika stąd, że <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> musi być liczbą parzystą, czyli <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
| + | Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że istnieją takie liczby <math>x, y</math>, że <math>\gcd (m, n) = m x + n y</math>. Łatwo znajdujemy, że |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | ::<math>a^{\gcd (m, n)} \equiv a^{m x + n y} \equiv (a^m)^x \cdot (a^n)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| | | | |
| | + | Czyli <math>d \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right)</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J21</span><br/>
| + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
| − | Niech <math>x, y, n \geqslant 0</math>. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + y^2 = 2^n</math>
| + | Z założenia <math>d \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right)</math>, czyli |
| | | | |
| − | są liczby
| + | ::<math>a^{\gcd (m, n)} \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| | | | |
| − | :* <math>x = 2^{n / 2} \,</math> i <math>\, y = 0 \,</math> lub <math>\, x = 0 \,</math> i <math>\, y = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>2 \, | \, n</math>
| + | Zatem |
| − | :* <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math>, gdy <math>2 \nmid n</math>
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | ::<math>a^m \equiv \left[ a^{\gcd (m, n)} \right]^{\tfrac{m}{\gcd (m, n)}} \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| − | '''A.''' Gdy jedna z liczb <math>x, y</math> jest równa <math>0</math> (powiedzmy <math>y</math>), to mamy <math>x = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>n</math> jest parzyste. Gdy <math>n</math> jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że <math>x, y \geqslant 1</math>
| |
| − | | |
| − | '''B.''' Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do <math>1</math> modulo <math>4</math>. Gdy obie liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to modulo <math>4</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4}</math>
| |
| | | | |
| − | Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla <math>n = 1</math> i w tym przypadku mamy <math>(x, y) = (1, 1)</math>.
| + | Podobnie otrzymujemy |
| | | | |
| − | '''C.''' W przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać <math>x = 2^a u</math>, <math>y = 2^b w</math>, gdzie liczby <math>u, w</math> są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że <math>1 \leqslant a \leqslant b < {\small\frac{n}{2}}</math>. Dostajemy
| + | ::<math>a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
| + | Zatem <math>d</math> dzieli <math>a^m - 1 \;</math> i <math>\; a^n - 1</math>, czyli |
| | | | |
| − | Widzimy, że nie może być <math>a < b</math>, bo suma liczby nieparzystej i parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem <math>a = b</math> i otrzymujemy równanie
| + | ::<math>d \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1)</math> |
| − | | |
| − | ::<math>u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a}</math> | |
| − | | |
| − | które ma rozwiązanie w liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika <math>n - 2 a = 1</math>. Mamy <math>u = w = 1</math>, zatem <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math> i <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | W szczególności wynika stąd, że |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J22</span><br/>
| + | :* <math>\gcd (a^m - 1, a^n - 1) \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right)</math> |
| − | Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>x \neq y</math>, to liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | :* <math>\left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) \, \biggr\rvert \, \gcd (a^m - 1, a^n - 1)</math> |
| − | W przypadku, gdy <math>x = y</math> mamy <math>x^2 + y^2 = 2 y^2</math> i jeśli liczba <math>y</math> nie ma dzielnika pierwszego postaci <math>4 k + 1</math>, to nie ma go również liczba <math>2 y^2</math>. Przykładowo <math>x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r}</math>. Dlatego zakładamy, że <math>x \neq y</math>. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z liczb <math>x, y</math> jest równa zero. Dlatego zakładamy, że <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>.
| |
| | | | |
| − | Niech <math>\gcd (x, y) = d</math>, zatem mamy <math>x = a d</math>, <math>y = b d</math>. Wynika stąd, że <math>x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2)</math>, gdzie <math>\gcd (a, b) = 1 \,</math> i <math>\, a \neq b</math>. Ponieważ <math>\, a \neq b</math>, to liczba <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J21). Z twierdzenia J20 zastosowanego do liczby <math>a^2 + b^2</math> wynika, że <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.<br/>
| + | Czyli <math>\left| \gcd (a^m - 1, a^n - 1) \right| = \left| a^{\gcd (m, n)} - 1 \right|</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 674: |
Linia 352: |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga H15</span><br/> |
| | + | W dowodzie twierdzenia H14 pominęliśmy milczeniem fakt, że jedna z liczb <math>x, y</math> może być (i często jest) ujemna. Choć rezultat jest prawidłowy, to nie wiemy, co oznacza zapis |
| | | | |
| | + | ::<math>a^{- 1000} \equiv 1^{- 10} \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| | | | |
| − | == Kryterium Eulera ==
| + | Omówimy ten problem w następnej sekcji. Zauważmy, wyprzedzając materiał, że z kongruencji |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J23</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \, | \, (k^2 - a)</math>.
| |
| − | | |
| − | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J24</span><br/>
| |
| − | Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z oczywistej kongruencji | |
| − | | |
| − | ::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math> | + | ::<math>a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ
| + | wynika, że <math>\gcd (a, d) = 1</math> i liczba <math>a</math> ma element odwrotny modulo <math>d</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math>
| |
| | | | |
| − | to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy
| |
| | | | |
| − | ::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z prostych oszacowań
| |
| | | | |
| − | ::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math>
| + | == Element odwrotny modulo <math>m</math> == |
| | | | |
| − | ::<math>2 < i + j < p - 1</math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H16</span><br/> |
| | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> istnieje taka liczba <math>x</math>, że |
| | | | |
| | + | ::<math>a x \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
| + | wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\gcd (a, m) = 1</math>. |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J25 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::{| border="0"
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> |
| − | | |
| − | Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | Zauważmy, że
| + | Z założenia istnieje taka liczba <math>x</math>, że |
| | | | |
| − | ::{| border=1 style="border-collapse: collapse;" | + | ::<math>a x \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''A''' || <math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz J24
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''B''' || <math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || zobacz twierdzenie Lagrange'a J13
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''C''' || jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || wynika z ciągu implikacji:<br/> <math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> <math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math> <br/> <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | '''D''' || <math>Q \subseteq S</math> || z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | Zatem dla pewnego <math>k \in \mathbb{Z}</math> jest |
| | | | |
| − | Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy
| + | ::<math>a x = 1 + k m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
| + | Czyli <math>a x - k m = 1</math>. Wynika stąd, że <math>\gcd (a, m)</math> dzieli <math>1</math>, co oznacza, że <math>\gcd (a, m) = 1</math>. |
| | | | |
| − | Skąd łatwo widzimy, że
| + | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
| + | Z założenia <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z lematu Bézouta (zobacz C73) wynika, że istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz J26). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie
| + | ::<math>a x + m y = 1</math> |
| | | | |
| − | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
| + | Zatem modulo <math>m</math> dostajemy |
| − | |-style=height:2.0em
| |
| − | | liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | Co kończy dowód punktu pierwszego.
| + | ::<math>a x \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| + | Co kończy dowód.<br/> |
| − | | |
| − | Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że
| |
| − | | |
| − | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
| |
| − | |-style=height:2.0em
| |
| − | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia Fermata
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
| |
| − | | |
| − | ::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
| |
| − | |-style=height:2.0em
| |
| − | | liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 811: |
Linia 406: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J26</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja H17</span><br/> |
| − | Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli <math>A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B |</math>, to <math>\; A = B</math>. | + | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczbę <math>x</math> taką, że |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Ponieważ zbiór <math>A</math> jest podzbiorem zbioru <math>B</math>, to zbiór <math>B</math> można przedstawić w postaci sumy zbiorów <math>A</math> i <math>C</math> takich, że żaden element zbioru <math>C</math> nie jest elementem zbioru <math>A</math>. Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ z założenia zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są rozłączne, to wiemy, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C |</math> | + | ::<math>a \cdot x \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Czyli
| + | będziemy nazywali elementem odwrotnym liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> i oznaczali jako <math>a^{- 1}</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>| B | = | A \cup C | = | A | + | C |</math>
| |
| | | | |
| − | Skąd wynika, że <math>| C | = 0</math>, zatem zbiór <math>C</math> jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast <math>B = A</math>. Co należało pokazać.
| |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga H18</span><br/> |
| | + | Oznaczenie elementu odwrotnego ma naturalne uzasadnienie. Zauważmy, że jeżeli <math>b \mid a</math> oraz <math>b</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>, to prawdziwa jest kongruencja |
| | | | |
| − | <span style="border-bottom-style: double;">Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)</span><br/>
| + | ::<math>{\small\frac{a}{b}} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m}</math> |
| − | Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie <math>| A \cup C | \leqslant | A | + | C |</math>, bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>, zatem od sumy <math>| A | + | C |</math> musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>. Co daje ogólny wzór<ref name="sumazbiorow"/>
| |
| | | | |
| − | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C |</math><br/>
| + | Istotnie |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | ::<math>{\small\frac{a}{b}} = {\small\frac{a}{b}} \cdot 1 \equiv {\small\frac{a}{b}} \cdot b b^{- 1} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| | + | W PARI/GP odwrotność liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> znajdujemy, wpisując <code>Mod(a, m)^(-1)</code>. |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | == Symbol Legendre'a == | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H19</span><br/> |
| | + | Niech <math>a, k \in \mathbb{Z}</math>, <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Poniższa tabelka przedstawia elementy odwrotne do elementu <math>a</math> w przypadku niektórych modułów <math>m</math>. W szczególności, jeżeli moduł <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>2^{- 1} \equiv {\small\frac{m + 1}{2}} \!\! \pmod{m}</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J27</span><br/>
| + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } \, p \, | \, a
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J28</span><br/>
| |
| − | Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \, | \, a</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J29*</span><br/>
| |
| − | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;" | |
| − | |-
| |
| − | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 2. || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
| + | ! || postać <br/> modułu <math>\boldsymbol{m}</math> || odwrotność <br/> elementu <math>\boldsymbol{a}</math> || uwagi |
| | |- | | |- |
| − | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> | + | | <math>1.</math> || <math>m = 2</math> || <math>1</math> || rowspan = 3 | liczba <math>a</math> <br/> jest liczbą <br/> nieparzystą |
| | |- | | |- |
| − | | 4. || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math> | + | | <math>2.</math> || <math>m = 4</math> || <math>R_4(a)</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math> | + | | <math>3.</math> || <math>m = 8</math> || <math>R_8(a)</math> |
| | |- | | |- |
| − | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, | + | | <math>4.</math> || <math>m = a k - 1</math> || <math>{\small\frac{m + 1}{a}}</math> || <math></math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, | + | | <math>5.</math> || <math>m = a k + 1</math> || <math>- {\small\frac{m - 1}{a}}</math> || <math></math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, | + | | <math>6.</math> || <math>m = a k - 2</math> || <math>{\small\frac{m + 1}{2}} \cdot {\small\frac{m + 2}{a}}</math> || rowspan = 2 | liczby <math>a , m</math> <br/> są liczbami <br/> nieparzystymi |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | | 9. || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot | + | | <math>7.</math> || <math>m = a k + 2</math> || <math>{\small\frac{m - 1}{2}} \cdot {\small\frac{m - 2}{2}}</math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | | | |
| | + | '''Punkty 1. - 3.''' |
| | | | |
| | + | Ponieważ dla liczb nieparzystych jest |
| | | | |
| | + | ::<math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math> |
| | | | |
| − | == Symbol Jacobiego ==
| + | ::<math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J30</span><br/>
| + | ::<math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math> |
| − | Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| + | to liczba nieparzysta <math>a</math> jest swoją odwrotnością modulo <math>2</math>, <math>4</math> i <math>8</math>. Ponieważ element odwrotny jest definiowany modulo, zatem możemy napisać |
| | | | |
| − | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \, | \, (k^2 - a)</math>.
| + | ::<math>a^{- 1} \equiv R_2 (a) \!\! \pmod{2}</math> |
| | | | |
| − | Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
| + | ::<math>a^{- 1} \equiv R_4 (a) \!\! \pmod{4}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | + | ::<math>a^{- 1} \equiv R_8 (a) \!\! \pmod{8}</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania.
| + | W pierwszym przypadku wynik jest oczywisty, bo <math>R_2 (a) = 1</math>. |
| | | | |
| | + | '''Punkt 4.''' |
| | | | |
| | + | Zauważmy, że |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J31</span><br/>
| + | ::<math>\gcd (a, m) = \gcd (a, a k - 1) = \gcd (a, - 1) = 1</math> |
| − | Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i niekwadratowych modulo <math>m</math>, w której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
| |
| | | | |
| − | Przykładowo:
| + | oraz <math>a \mid (m + 1)</math>. Zatem |
| | | | |
| − | ::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math> | + | ::<math>a \cdot a^{- 1} = a \cdot {\small\frac{m + 1}{a}} = m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
| + | '''Punkt 5.''' |
| | | | |
| − | Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
| + | Zauważmy, że |
| | | | |
| − | Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W zależności od przyjętej definicji najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
| + | ::<math>\gcd (a, m) = \gcd (a, a k + 1) = \gcd (a, 1) = 1</math> |
| | | | |
| | + | oraz <math>a \mid (m - 1)</math>. Zatem |
| | | | |
| | + | ::<math>a \cdot a^{- 1} = a \cdot \left[ - \left( {\small\frac{m - 1}{a}} \right) \right] = - m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J32</span><br/>
| + | '''Punkt 6.''' |
| − | Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i modulo <math>n</math>.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | Ponieważ zakładamy, że <math>2 \mid (m + 1)</math>, to <math>m</math> musi być liczbą nieparzystą, czyli <math>a</math> też musi być liczbą nieparzystą. Zauważmy, że |
| − | Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | ::<math>\gcd (a, m) = \gcd (a, a k - 2) = \gcd (a, - 2) = 1</math> |
| | | | |
| | + | oraz <math>a \mid (m + 2)</math>. Zatem |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J33</span><br/>
| + | ::<math>a \cdot a^{- 1} = a \cdot \left( {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot {\small\frac{m + 2}{a}} \right) = {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot (m + 2) \equiv {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot 2 \equiv m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| − | Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
| |
| − | Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
| |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math>
| + | Podobnie pokazujemy punkt 7. Co kończy dowód.<br/> |
| − | | + | □ |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J34</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że w przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J35*</span><br/>
| |
| − | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
| |
| − | |-
| |
| − | | 1. || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 2. || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 3. || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 4. || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 5. || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 6. || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\,
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 7. || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 8. || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\,
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | 9. || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J36</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J29 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
| |
| − | Zauważmy, że w przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
| |
| − | | |
| − | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
| |
| − | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | :* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
| |
| − | :* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
| |
| − | | |
| − | Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>.
| |
| − | | |
| − | Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/>
| |
| − | Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
| |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =
| |
| − | {
| |
| − | '''local'''(k, S, V);
| |
| − | S = [];
| |
| − | V = [];
| |
| − | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
| |
| − | S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
| |
| − | '''for'''(k = 1, m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
| |
| − | V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
| |
| − | '''print'''("QR: ", V);
| |
| − | '''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
| |
| − | }</span>
| |
| − | <br/>
| |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J39</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H20</span><br/> |
| − | Pokazać, że
| + | Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>, <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i liczba <math>a</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>. Jeżeli liczby <math>u_1, u_2, \ldots, u_r</math> są liczbami różnymi modulo <math>m</math>, to liczby |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = | + | ::1. <math>a u_1, a u_2, \ldots, a u_r</math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | ::2. <math>a u_1 + b, a u_2 + b, \ldots, a u_r + b</math> |
| − | Zauważmy, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| + | są liczbami różnymi modulo <math>m</math>. Jeżeli ponadto liczby <math>u_1, u_2, \ldots, u_r</math> są względnie pierwsze z <math>m</math>, to również liczby |
| | | | |
| − | ::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | ::3. <math>u^{- 1}_1, u^{- 1}_2, \ldots, u^{- 1}_r</math> |
| | | | |
| − | ::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| + | są liczbami różnymi modulo <math>m</math>. |
| | | | |
| − | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | | | |
| − | bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
| + | '''Punkt 1.''' |
| | | | |
| − | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
| + | Przypuśćmy dla uzyskania sprzeczności, że istnieją takie różne wskaźniki <math>i, j</math>, że |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | ::<math>a u_i \equiv a u_j \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| + | Z założenia liczba <math>a</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>, zatem mnożąc obie strony kongruencji przez <math>a^{- 1}</math>, otrzymujemy |
| | | | |
| − | ::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| + | ::<math>u_i \equiv u_j \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | ::::<math>\; =
| + | dla <math>i \neq j</math>, wbrew założeniu, że liczby <math>u_1, u_2, \ldots, u_r</math> są różne modulo <math>m</math>. Dowód punktu 2. jest analogiczny. |
| − | \begin{cases} | |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 5
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | | | |
| − | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
| + | '''Punkt 3.''' |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| + | Przypuśćmy dla uzyskania sprzeczności, że istnieją takie różne wskaźniki <math>i, j</math>, że |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math> | + | ::<math>u^{- 1}_i \equiv u^{- 1}_j \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math> | + | ::<math>u_j u^{- 1}_i \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Łatwo zauważamy, że
| + | ::<math>u_j u^{- 1}_i u_i \equiv u_i \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | ::<math>u_j \equiv u_i \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | + | Ponownie otrzymujemy <math>u_i \equiv u_j \!\! \pmod{m}</math> dla <math>i \neq j</math>, wbrew założeniu, że liczby <math>u_1, u_2, \ldots, u_r</math> są różne modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1099: |
Linia 553: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J40</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H21</span><br/> |
| − | Pokazać, że | + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że dla <math>k \in [0, p - 1]</math> prawdziwa jest kongruencja |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = | + | ::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math> |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Zauważmy, że modulo <math>p</math> mamy |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | ::<math>\binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! \cdot (p - 1 - k) !}}</math> |
| − | | |
| − | Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W tym przypadku mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math> | |
| − | | |
| − | i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
| |
| − | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J35 p.9)
| |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | ::::<math>\;\;\;\; = {\small\frac{(p - 1) (p - 2) \cdot \ldots \cdot (p - k)}{k!}}</math> |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | ::::<math>\;\;\;\; \equiv (p - 1) (p - 2) \cdot \ldots \cdot (p - k) \cdot (k!)^{- 1}</math> |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | ::::<math>\;\;\;\; \equiv (- 1)^k \cdot k! \cdot (k!)^{- 1}</math> |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> | |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | ::::<math>\;\;\;\; \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math> |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J35 p.9)
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | :::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | :::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | :::<math>\:\, \quad = | |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
| |
| − | \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
| |
| | | | |
| | Co należało pokazać.<br/> | | Co należało pokazać.<br/> |
| Linia 1196: |
Linia 577: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J41</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H22</span><br/> |
| − | Wykorzystując podane w twierdzeniu J35 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
| + | Niech <math>A</math> i <math>B</math> będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli <math>A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B |</math>, to <math>\; A = B</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) =
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| − | {
| + | <span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/> |
| − | '''local'''(r, w);
| + | Z definicji zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są warunki |
| − | '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
| |
| − | a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
| |
| − | w = 1;
| |
| − | '''while'''( a <> 0,
| |
| − | '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
| |
| − | \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
| |
| − | \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
| |
| − | r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
| |
| − | a = n;
| |
| − | n = r;
| |
| − | '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
| |
| − | \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
| |
| − | a = a % n;
| |
| − | );
| |
| − | '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
| |
| − | }</span>
| |
| | | | |
| | + | :# <math>x \in A \qquad \Longrightarrow \qquad x \in B</math> |
| | + | :# <math>x \in B \qquad \Longrightarrow \qquad x \in A</math> |
| | | | |
| | + | Z założenia <math>A \subseteq B</math>, zatem warunek 1. jest spełniony. Przypuśćmy, że istnieje taki element <math>x</math>, że <math>x \in B</math>, ale <math>x \notin A</math>. Jeśli tak, to |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/>
| + | ::<math>| B | = | A | + 1</math> |
| − | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
| |
| | | | |
| − | W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej <math>(a \, | \, m)</math> i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
| + | Co jest sprzeczne z założeniem, że <math>| A | = | B |</math>. |
| | | | |
| − | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Legendre'a
| + | '''Uwaga'''<br/> |
| − | :* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Jacobiego
| + | Łatwo zauważyć, że wybierając z trzech warunków <math>A \subseteq B</math>, <math>B \subseteq A</math> i <math>| A | = | B |</math> dowolne dwa, zawsze otrzymamy z nich trzeci. Oczywiście nie dotyczy to zbiorów nieskończonych. Przykładowo liczby parzyste stanowią podzbiór liczb całkowitych, liczb parzystych jest tyle samo, co liczb całkowitych<ref name="cardinality1"/>, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb parzystych. |
| − | :* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \, | \, m)</math> jest symbolem Jacobiego
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/> |
| | + | Ponieważ zbiór <math>A</math> jest z założenia podzbiorem zbioru <math>B</math>, to zbiór <math>B</math> można przedstawić w postaci sumy zbioru <math>A</math> i pewnego zbioru <math>C</math> takiego, że żaden element zbioru <math>C</math> nie jest elementem zbioru <math>A</math>. Zatem |
| | | | |
| | + | ::<math>B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing</math> |
| | | | |
| | + | Ponieważ zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są rozłączne, to wiemy, że |
| | | | |
| − | == Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
| + | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C |</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J43</span><br/>
| + | Czyli |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> | + | ::<math>| B | = | A \cup C | = | A | + | C |</math> |
| | | | |
| − | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
| + | Skąd wynika, że <math>| C | = 0</math>, zatem zbiór <math>C</math> jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast <math>B = A</math>. Co należało pokazać. |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| + | '''Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)'''<br/> |
| | + | Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie <math>| A \cup C | \leqslant | A | + | C |</math>, bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>, zatem od sumy <math>| A | + | C |</math> musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów <math>| A |</math> i <math>| C |</math>. Co daje ogólny wzór<ref name="sumazbiorow"/> |
| | | | |
| − | ma rozwiązanie.
| + | ::<math>| A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C |</math><br/> |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longrightarrow}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math> | |
| − | | |
| − | Ponieważ <math>p^n \, | \, (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \, | \, (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
| |
| − | | |
| − | <math>\Large{\Longleftarrow}</math>
| |
| − | | |
| − | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie (zobacz C74). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
| |
| − | | |
| − | Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | bo <math>p^{n + 1} \, | \, p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1305: |
Linia 621: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J44</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja H23</span><br/> |
| − | Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \, | \, 2^n</math>.
| + | Niech elementy każdego ze zbiorów <math>A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \}</math> oraz <math>B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_r \}</math> będą różne modulo <math>m</math>. Powiemy, że zbiory <math>A, B</math> są równe modulo <math>m</math>, jeżeli dla każdego <math>k = 1, \ldots, r</math> istnieje takie <math>j = 1, \ldots, r</math>, że prawdziwa jest kongruencja <math>a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m}</math>. |
| − | | |
| − | Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
| |
| − | | |
| − | ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
| |
| | | | |
| − | Kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
| |
| | | | |
| − | ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H24</span><br/> |
| − | | + | Niech elementy każdego ze zbiorów <math>A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \}</math> oraz <math>B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_r \}</math> będą różne modulo <math>m</math>. Zbiory <math>A, B</math> są równe modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory <math>A' = \{ R_m (a_1), R_m (a_2), \ldots, R_m (a_r) \}</math> i <math>B' = \{ R_m (b_1), R_m (b_2), \ldots, R_m (b_r) \}</math> są równe. |
| − | Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J45</span><br/>
| |
| − | Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie.
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| Linia 1343: |
Linia 633: |
| | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> |
| | | | |
| − | Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
| + | Ponieważ elementy każdego ze zbiorów <math>A, B</math> są różne modulo <math>m</math>, to elementy zbiorów <math>A'</math> i <math>B'</math> są wszystkie różne. Czyli <math>| A' | = | B' | = r</math>. Ponieważ warunek |
| | | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math> | + | ::<math>a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>2^n \, | \, (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \, | \, (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
| + | oznacza, że reszty z dzielenia liczb <math>a_k</math> i <math>b_j</math> przez <math>m</math> są równe, to z założenia dla każdego <math>k = 1, \ldots, r</math> istnieje takie <math>j = 1, \ldots, r</math>, że |
| | | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math> | + | ::<math>R_m (a_k) = R_m (b_j)</math> |
| | | | |
| − | Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
| + | A to oznacza, że każdy element zbioru <math>A'</math> należy do zbioru <math>B'</math>, czyli <math>A' \subseteq B'</math>. Wynika stąd, że <math>A' = B'</math> (zobacz H22). Co należało pokazać. |
| | | | |
| | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> | | <math>\Large{\Longleftarrow}</math> |
| | | | |
| − | Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
| + | Ponieważ zbiory <math>A', B'</math> są równe, to zbiór <math>A'</math> jest podzbiorem zbioru <math>B'</math>, czyli dla każdego elementu <math>R_m (a_k) \in A'</math> istnieje taki element <math>R_m (b_j) \in B'</math>, że |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
| |
| − | | |
| − | ::<math>r =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą}\\
| |
| − | 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
| |
| | | | |
| − | ::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
| + | ::<math>R_m (a_k) = R_m (b_j)</math> |
| | | | |
| − | ::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
| + | Ponieważ równość reszt oznacza równość modulo, zatem |
| | | | |
| − | ::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
| + | ::<math>a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
| + | Wynika stąd, że dla każdego <math>k = 1, \ldots, r</math> istnieje takie <math>j = 1, \ldots, r</math>, że prawdziwa jest kongruencja |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math> | + | ::<math>a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m}</math> |
| | | | |
| − | Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
| + | czyli zbiory <math>A, B</math> są równe modulo <math>m</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J46</span><br/>
| |
| − | Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
| |
| | | | |
| − | | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H25</span><br/> |
| − | | + | Niech będą dane zbiory <math>A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, <math>B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_{p - 1} \}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą. Jeżeli wszystkie elementy zbioru <math>B</math> są różne modulo <math>p</math> i żadna z liczb <math>b_k \in B</math> nie jest podzielna przez <math>p</math>, to zbiory <math>A, B, C = \{ b^{- 1}_1, b^{- 1}_2, \ldots, b^{- 1}_{p - 1} \}</math> są równe modulo <math>p</math>. |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J47</span><br/> | |
| − | Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3 i J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji | |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
| |
| − | & \,\,\,\cdots \\
| |
| − | x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Z definicji J27, twierdzeń J43 i J45, uwagi J44 i wniosku J46 otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J48</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
| |
| − | | |
| − | ::{| border="0"
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \, | \, m</math>, to <math>8 \, | \, ( a - 1 )</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \, | \, m</math>, to <math>4 \, | \, ( a - 1 )</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków
| |
| − | | |
| − | ::{| border="0"
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | |-style=height:1em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \, | \, m</math> i <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
| |
| − | |-style=height:2.5em
| |
| − | | ● jeżeli <math>8 \nmid m</math>, ale <math>4 \, | \, m</math> i <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Z definicji zbioru <math>A</math> wszystkie elementy tego zbioru są różne modulo <math>p</math>. Łatwo zauważamy, że |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | ::<math>A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} = \{ R_p (1), R_p (2), \ldots, R_p (p - 1) \} = A'</math> |
| | | | |
| − | Z założenia <math>d \, | \, m</math>. Gdyby kongruencja
| + | Ponieważ wszystkie liczby <math>b_k \in B</math>, gdzie <math>k = 1, \ldots, p - 1</math> są różne modulo <math>p</math> i nie są podzielne przez <math>p</math>, to reszty <math>R_p (b_1), R_p (b_2), \ldots, R_p (b_{p - 1})</math> są wszystkie dodatnie i różne, a ponieważ jest ich <math>p - 1</math>, czyli dokładnie tyle, ile jest różnych i dodatnich reszt z dzielenia przez liczbę <math>p</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem dodatnich reszt z dzielenia przez <math>p</math>, czyli ze zbiorem <math>A</math>. Zatem mamy |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | + | ::<math>A = A' = \{ R_p (b_1), R_p (b_2), \ldots, R_p (b_{p - 1}) \} = B'</math> |
| | | | |
| − | miała rozwiązanie, to również kongruencja
| + | Na mocy twierdzenia H24 zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są równe modulo <math>p</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
| + | Z twierdzenia H20 wiemy, że wszystkie liczby <math>b^{- 1}_k \in C</math> są różne modulo <math>p</math>. Zauważmy, że każda z tych liczb jest względnie pierwsza z <math>p</math>, zatem nie może być podzielna przez <math>p</math>. Wynika stąd, że reszty <math>R_p (b^{- 1}_1), R_p (b^{- 1}_2), \ldots, R_p (b^{- 1}_{p - 1})</math> są wszystkie dodatnie i różne, a ponieważ jest ich <math>p - 1</math>, czyli dokładnie tyle, ile jest różnych i dodatnich reszt z dzielenia przez liczbę <math>p</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem dodatnich reszt z dzielenia przez <math>p</math>, czyli ze zbiorem <math>A</math>. Zatem mamy |
| | | | |
| − | miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
| + | ::<math>A = A' = \{ R_p (b^{- 1}_1), R_p (b^{- 1}_2), \ldots, R_p (b^{- 1}_{p - 1}) \} = C'</math> |
| | | | |
| − | Punkty 2. i 3. wynikają wprost z twierdzenia J48.<br/>
| + | Na mocy twierdzenia H24 zbiory <math>A</math> i <math>C</math> są równe modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>A' = B'</math> i <math>A' = C'</math>, to <math>B' = C'</math> i ponownie na mocy twierdzenia H24 zbiory <math>B</math> i <math>C</math> są równe modulo <math>p</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1462: |
Linia 687: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J50</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H26</span><br/> |
| − | Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W tabelach zestawiliśmy kongruencje i ich rozwiązania.
| + | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że suma <math>\sum_{k = 1}^{p - 1} {\small\frac{(p - 1) !}{k}}</math> jest podzielna przez <math>p</math>. |
| − | | |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
| |
| − | |-
| |
| − | ! Kongruencje || Rozwiązania
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math>
| |
| − | |}
| |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
| |
| − | |-
| |
| − | ! Kongruencje || Rozwiązania | |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| | | | |
| | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Zauważmy najpierw, że modulo <math>p</math> następujące sumy są równe |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J51</span><br/>
| + | ::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} k \equiv \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{- 1} \!\! \pmod{p}</math> |
| − | Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
| + | Istotnie, jeśli przyjmiemy w twierdzeniu H25, że zbiór <math>B = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, to zbiór <math>C</math> będzie zbiorem liczb, które są odwrotnościami liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> modulo <math>p</math> i możemy napisać |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | ::<math>\sum_{x \in B} x \equiv \sum_{y \in C} y \!\! \pmod{p}</math> |
| − | Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci
| |
| | | | |
| − | ::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
| + | bo |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | :* gdy <math>x</math> przebiega kolejne wartości <math>b_k</math>, to <math>x</math> przyjmuje kolejno wartości <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math> | + | :* gdy <math>y</math> przebiega kolejne wartości <math>b_k^{- 1}</math>, to <math>y</math> (modulo <math>p</math>) przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru <math>A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, czyli liczba <math>y</math> (modulo <math>p</math>) przyjmuje wszystkie wartości <math>1, 2, \ldots, p - 1</math>, ale w innej kolejności |
| | | | |
| − | Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
| + | Ponieważ kolejność sumowania tych samych składników nie wpływa na wartość sumy, to prawdziwa jest wyżej wypisana równość sum modulo <math>p</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
| + | Zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy |
| | | | |
| − | ::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math> | + | ::<math>\sum_{k = 1}^{p - 1} {\small\frac{(p - 1) !}{k}} \equiv \sum_{k = 1}^{p - 1} (p - 1)! \cdot k^{- 1}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math> | + | :::::<math>\;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{- 1}</math> |
| | | | |
| − | Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
| + | :::::<math>\;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} k</math> |
| | | | |
| − | ::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math> | + | :::::<math>\;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot {\small\frac{(p - 1) p}{2}}</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
| + | :::::<math>\;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot p</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math> | + | :::::<math>\;\;\: \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> |
| | | | |
| − | również nie ma rozwiązania.<br/>
| + | Należy zauważyć, że dla liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> liczba <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> jest liczbą całkowitą.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1528: |
Linia 727: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J52</span><br/>
| |
| − | Rozwiązać kongruencję
| |
| − |
| |
| − | ::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| − |
| |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Rozwiązywanie kongruencji w przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| + | == Funkcje multiplikatywne == |
| | | | |
| − | Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja H27</span><br/> |
| | + | Powiemy, że funkcja <math>f(n)</math> określona w zbiorze liczb całkowitych dodatnich jest funkcją multiplikatywną, jeżeli <math>f(1) = 1</math> i dla względnie pierwszych liczb <math>a, b</math> spełniony jest warunek <math>f(a b) = f (a) f (b)</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
| |
| | | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga H28</span><br/> |
| | + | Założenie <math>f(1) = 1</math> możemy równoważnie zastąpić założeniem, że funkcja <math>f(n)</math> nie jest tożsamościowo równa zero. |
| | + | Gdyby <math>f(n)</math> spełniała jedynie warunek <math>f(a b) = f (a) f (b)</math> dla względnie pierwszych liczb <math>a, b</math>, to mielibyśmy |
| | | | |
| − | ::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math> | + | ::a) <math>f(n)</math> jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f(1) = 0</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math> | + | ::b) <math>f(n)</math> nie jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f(1) = 1</math> |
| | | | |
| − | Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
| + | Ponieważ <math>f(1) = f (1 \cdot 1) = f (1) f (1)</math>, zatem <math>f(1) = 0</math> lub <math>f (1) = 1</math>. |
| | | | |
| | + | Jeżeli <math>f(1) = 0</math>, to dla dowolnego <math>n</math> mamy |
| | | | |
| − | Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
| + | ::<math>f(n) = f (n \cdot 1) = f (n) f (1) = 0</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
| + | Czyli <math>f(n)</math> jest funkcją tożsamościowo równą zero. |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | Jeżeli <math>f(n)</math> nie jest funkcją tożsamościowo równą zero, to istnieje taka liczba <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>, że <math>f(a) \neq 0</math>. Zatem |
| | | | |
| | + | ::<math>f(a) = f (a \cdot 1) = f (a) f (1)</math> |
| | | | |
| | + | I dzieląc obie strony przez <math>f(a) \neq 0</math>, dostajemy <math>f(1) = 1</math>. |
| | | | |
| | | | |
| − | == Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo ==
| |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J53</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład H29</span><br/> |
| − | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo przedstawiamy Czytelnikowi jedynie jako pewną ciekawostkę. Jednocześnie jest to nietrudny temat, który pozwala lepiej poznać i zrozumieć liczby kwadratowe modulo, liczby niekwadratowe modulo, symbol Legendre'a i symbol Jacobiego.
| + | Ponieważ <math>\gcd (1, c) = 1</math>, to <math>\gcd (n, c)</math> rozpatrywana jako funkcja <math>n</math>, gdzie <math>c</math> jest ustaloną liczbą całkowitą, jest funkcją multiplikatywną (zobacz H8). |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H30</span><br/> |
| | + | Jeżeli funkcja <math>f(n)</math> jest funkcją multiplikatywną, to funkcja |
| | | | |
| − | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
| + | ::<math>F(n) = \sum_{d \mid n} f (d)</math> |
| − | | '''A.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J54</span><br/>
| + | gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dzielnikach dodatnich liczby <math>n</math>, jest również funkcją multiplikatywną. |
| − | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J55</span><br/>
| |
| − | Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">A(p) =
| |
| − | {
| |
| − | '''if'''( p == 2, '''return'''(0) );
| |
| − | '''if'''( !'''isprime'''(p), '''return'''(0) );
| |
| − | '''forprime'''(q = 2, p, '''if'''( jacobi(q, p) == -1, '''return'''(q) ));
| |
| − | }</span>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że choć wyliczamy symbol Jacobiego, to jest to w rzeczywistości symbol Legendre'a, '''bo wiemy''', że liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą (w przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą złożoną, funkcja zwraca zero).
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J56</span><br/>
| |
| − | Niech <math>\mathbb{n} \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to jest liczbą pierwszą.
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}</math>. Z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
| + | Ponieważ |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd wynika, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{p}</math> | + | ::<math>F(1) = \sum_{d \mid 1} f (d) = f (1) = 1</math> |
| | | | |
| − | Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.<br/>
| + | to funkcja <math>F(n)</math> spełnia pierwszy warunek definicji H27. |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | Niech <math>a, b</math> będą względnie pierwszymi liczbami dodatnimi. Każdy dzielnik dodatni iloczynu <math>a b</math> można zapisać w postaci <math>d = d_1 d_2</math>, gdzie <math>d_1 \mid a</math>, <math>\; d_2 \mid b \,</math> oraz <math>\, \gcd (d_1, d_2) = 1</math> (zobacz H13). Niech zbiory |
| | | | |
| | + | ::<math>S_a = \{ d \in \mathbb{Z}_+ : d \mid a \}</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J57</span><br/>
| + | ::<math>S_b = \{ d \in \mathbb{Z}_+ : d \mid b \}</math> |
| − | Pokazać, że najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest
| |
| | | | |
| − | :* liczba <math>2</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 8 k \pm 3</math> | + | ::<math>S_{a b} = \{ d \in \mathbb{Z}_+ : d \mid a b \}</math> |
| − | :* liczba <math>3</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 7</math>
| |
| − | :* liczba <math>\geqslant 5</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>p = 24 k \pm 1</math> | |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | będą zbiorami dzielników dodatnich liczb <math>a, b</math> i <math>a b</math>. Dla przykładu |
| − | Z właściwości symbolu Legendre'a (zobacz J29 p.7) wiemy, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = | + | ::<math>S_5 = \{ 1, 5 \}</math> |
| − | \,\,
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| | | | |
| − | Wynika stąd natychmiast, dla liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>8 k \pm 3</math> (i tylko dla takich liczb) liczba <math>2</math> jest liczbą niekwadratową, czyli również najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
| + | ::<math>S_7 = \{ 1, 7 \}</math> |
| | | | |
| − | Z zadania J40 wynika, że liczba <math>3</math> jest liczbą niekwadratową jedynie dla liczb pierwszych postaci <math>12 k \pm 5</math>. Zatem dla liczb pierwszych, które są jednocześnie postaci <math>p = 8 k \pm 1</math> i <math>p = 12 j \pm 5</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z czterech warunków
| + | ::<math>S_{35} = \{ 1, 5, 7, 35 \}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math>
| + | Dla dowolnego <math>d_1 \in S_a \,</math> i <math>\, d_2 \in S_b</math> musi być <math>\gcd (d_1, d_2) = 1</math>, bo gdyby było <math>\gcd (d_1, d_2) = g > 1</math>, to |
| | | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 1 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math> | + | ::<math>g \mid d_1 \quad \; \text{i} \quad \; d_1 \mid a \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \quad g \mid a</math> |
| | | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 5</math> | + | ::<math>g \mid d_2 \quad \; \text{i} \quad \; d_2 \mid b \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \quad g \mid b</math> |
| | | | |
| − | ::<math>p = 8 k + 7 \quad \text{i} \quad p = 12 j + 7</math>
| + | Zatem <math>g \mid \gcd (a, b)</math> i mielibyśmy <math>\gcd (a, b) \geqslant g > 1</math>, wbrew założeniu. |
| | | | |
| − | Drugi i trzeci nie są możliwe, bo modulo <math>4</math> otrzymujemy
| + | Przekształcając, otrzymujemy |
| | | | |
| − | ::<math>p \equiv 1 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 3 \pmod{4}</math> | + | ::<math>F(a b) = \sum_{d \mid a b} f (d)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>p \equiv 3 \pmod{4} \quad \text{i} \quad p \equiv 1 \pmod{4}</math> | + | :::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{d \in S_{a b}} f (d)</math> |
| | | | |
| − | a z pierwszego i czwartego mamy
| + | :::<math>\;\;\;\;\: = \underset{d_2 \in S_{b}}{\sum_{d_1 \in S_{a}}} f (d_1 d_2)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>3 p = 24 k + 3 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 10 \qquad \;\: \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) - 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv - 7 \pmod{24}</math> | + | :::<math>\;\;\;\;\: = \underset{d_2 \in S_{b}}{\sum_{d_1 \in S_{a}}} f (d_1) f (d_2)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>3 p = 24 k + 21 \quad \text{i} \quad 2 p = 24 j + 14 \qquad \Longrightarrow \qquad p = 24 (k - j) + 7 \qquad \Longrightarrow \qquad p \equiv 7 \pmod{24}</math> | + | :::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{d_1 \in S_{a}} f (d_1) \sum_{d_2 \in S_{b}} f (d_2)</math> |
| | | | |
| − | Zauważmy, że problem mogliśmy zapisać w postaci układu kongruencji
| + | :::<math>\;\;\;\;\: = \sum_{d_1 \mid a} f (d_1) \sum_{d_2 \mid b} f (d_2)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math> | + | :::<math>\;\;\;\;\: = F (a) F (b)</math> |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 5 \pmod{12}</math> | |
| − | | |
| − | Gdyby moduły tych kongruencji były względnie pierwsze, to każdemu wyborowi znaków odpowiadałaby pewna kongruencja równoważna (zobacz J3). Widzimy, że w przypadku, gdy moduły nie są względnie pierwsze, kongruencja równoważna może istnieć, ale nie musi. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest skorzystać z programu PARI/GP. Wystarczy wpisać
| |
| − | | |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(5, 12)) = Mod(17, 24)
| |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(-5, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(5, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-5, 12)) = Mod(7, 24)
| |
| − | | |
| − | Ostatni punkt zadania rozwiążemy tą metodą. Liczba większa lub równa <math>5</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i tylko wtedy, gdy liczby <math>2</math> i <math>3</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>, co oznacza, że liczba pierwsza <math>p</math> spełnia kongruencje
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>
| |
| − | | |
| − | Postępując jak wyżej, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(1, 12)) = Mod(1, 24)
| |
| − | chinese(Mod(1, 8), Mod(-1, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(1, 12)) - błąd
| |
| − | chinese(Mod(-1, 8), Mod(-1, 12)) = Mod(23, 24)
| |
| | | | |
| | Co należało pokazać.<br/> | | Co należało pokazać.<br/> |
| Linia 1697: |
Linia 825: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J58</span><br/>
| |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p_n</math> istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych <math>q</math>, że <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>.
| |
| − |
| |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Niech <math>2, p_2, \ldots, p_{n - 1}, p_n</math> będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Wybierzmy liczbę <math>u</math> tak, aby spełniała układ kongruencji
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | u & \equiv 1 \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n - 1}} \\
| |
| − | u & \equiv a \pmod{p_n}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | gdzie <math>a</math> oznacza dowolną liczbą niekwadratową modulo <math>p_n</math>. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) powyższy układ kongruencji może być zapisany w postaci kongruencji równoważnej
| |
| − |
| |
| − | ::<math>u \equiv c \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Zauważmy, że żadna z liczb pierwszych <math>p_k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> nie dzieli liczby <math>c</math>, bo mielibyśmy
| |
| − |
| |
| − | ::<math>u \equiv 0 \pmod{p_k}</math>
| |
| − |
| |
| − | wbrew wypisanemu wyżej układowi kongruencji. Zatem <math>\gcd (c, 8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n) = 1</math> i z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>u</math> spełniających kongruencję <math>u \equiv c \!\! \pmod{8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych (bo wśród tych liczb są liczby postaci <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>). Oznaczmy przez <math>q</math> dowolną z tych liczb pierwszych.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Ponieważ <math>q \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to <math>\left( {\small\frac{2}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> (zobacz J29), a dla wszystkich liczb pierwszych nieparzystych <math>p_k < p_n</math> mamy
| |
| − |
| |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p_k}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_k - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{p_k}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | bo <math>8 \, | \, (q - 1)</math>. Dla liczby pierwszej <math>p_n</math> jest
| |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | == Funkcja Eulera <math>\varphi (n)</math> == |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p_n}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (- 1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p_n - 1}{2}} = \left( {\small\frac{q}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{c}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p_n}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | Zatem wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p_n</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>q</math>, a liczba pierwsza <math>p_n</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>q</math>. Zauważmy, że <math>q</math> była dowolnie wybraną liczbą pierwszą z nieskończenie wielu liczb pierwszych występujących w ciągu arytmetycznym <math>8 p_2 \cdot \ldots \cdot p_n \cdot k + c</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Co kończy dowód.<br/>
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja H31</span><br/> |
| − | □
| + | Funkcja Eulera <math>\varphi (n)</math><ref name="Euler1"/> jest równa ilości liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n</math> i względnie pierwszych z <math>n</math>. |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J59 (Sarvadaman Chowla)</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H32</span><br/> |
| − | Istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika.
| + | Funkcja Eulera <math>\varphi (n)</math> jest multiplikatywna, czyli dla względnie pierwszych liczb <math>m, n</math> jest <math>\varphi (m n) = \varphi (m) \varphi (n)</math>. |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Niech <math>a = 4 P (m)</math>, gdzie <math>P(m)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Z twierdzenia Dirichleta wiemy, że w ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech <math>p</math> oznacza dowolną z nich. | + | Niech <math>m, n</math> będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>, zatem nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>n > 1</math>. Wypiszmy w tabeli wszystkie liczby od <math>1</math> do <math>m n</math>. |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, to
| + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;" |
| − | | + | |- |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math> | + | | <math>1</math> || <math>2</math> || <math>…</math> || <math>k</math> || <math>…</math> || <math>m</math> |
| − | | |
| − | (zobacz J29 p.7). Oczywiście <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, zatem dla dowolnej liczby pierwszej nieparzystej <math>q_i \leqslant m</math> z twierdzenia J29 p.9 otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{q_i}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{p}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a k + 1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{1}{q_i}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>m</math>. Wiemy też, że (zobacz A9)
| |
| − | | |
| − | ::<math>a = 4 P (m) < 4 \cdot 4^m = 4^{m + 1}</math> | |
| − | | |
| − | Załóżmy teraz, że <math>p</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>u_k = a k + 1</math>, a liczba <math>m</math> została wybrana tak, że liczba <math>a = 4 P (m)</math> jest dostatecznie duża i możliwe jest skorzystanie z twierdzenia Linnika (zobacz C30). Dostajemy natychmiast oszacowanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>p = p_{\min} (a, 1) < a^L</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (możemy przyjąć <math>L = 5</math>). Łącząc powyższe oszacowania, łatwo otrzymujemy oszacowanie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>p</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(p) \geqslant m + 1 > \log_4 a = {\small\frac{\log a}{\log 4}} = {\small\frac{\log a^L}{2 L \log 2}} > {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Każdemu wyborowi innej liczby <math>m' > m</math> takiej, że <math>P(m') > P (m)</math> odpowiada inna liczba pierwsza <math>p'</math> taka, że <math>\mathbb{n}(p') > {\small\frac{\log p'}{2 L \log 2}}</math>, zatem liczb pierwszych <math>p</math> dla których najmniejsza liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest większa od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math> jest nieskończenie wiele.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J60</span><br/>
| |
| − | W twierdzeniu J58 pokazaliśmy, że dla każdej liczby pierwszej <math>\mathbb{n}</math> istnieją takie liczby pierwsze <math>p</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Zatem zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> liczb pierwszych takich, że dla każdej liczby <math>p \in S_\mathbb{n}</math> liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> jest zbiorem niepustym. Wynika stąd, że zbiór <math>S_\mathbb{n}</math> ma element najmniejszy i możemy te najmniejsze liczby pierwsze łatwo znaleźć – wystarczy w PARI/GP napisać proste polecenie
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forprime'''(n = 2, 50, '''forprime'''(p = 2, 10^10, '''if'''( A(p) == n, '''print'''(n, " ", p); '''break'''() )))</span>
| |
| − | | |
| − | W tabeli przedstawiamy uzyskane rezultaty (zobacz też [https://oeis.org/A000229 A000229]).
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}}</math>
| + | | <math>m + 1</math> || <math>m + 2</math> || <math>…</math> || <math>m + k</math> || <math>…</math> || <math>2 m</math> |
| − | | <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> | |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{p}</math>
| + | | <math>2 m + 1</math> || <math>2 m + 2</math> || <math>…</math> || <math>2 m + k</math> || <math>…</math> || <math>3 m</math> |
| − | | <math>3</math> || <math>7</math> || <math>23</math> || <math>71</math> || <math>311</math> || <math>479</math> || <math>1559</math> || <math>5711</math> || <math>10559</math> || <math>18191</math> || <math>31391</math> || <math>422231</math> || <math>701399</math> || <math>366791</math> || <math>3818929</math> | |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J61</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Prawdziwe jest oszacowanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} (p) < \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Ponieważ <math>\mathbb{n} \nmid p</math>, to z oszacowania <math>x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x</math> wynika, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>{\small\frac{p}{\mathbb{n}}} - 1 < \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p < \mathbb{n} \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + \mathbb{n} < p + \mathbb{n}</math>
| |
| − | | |
| − | Niech <math>u = \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1</math>, mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>0 < \mathbb{n} u - p < \mathbb{n}</math>
| |
| − | | |
| − | Liczba <math>\mathbb{n} u - p</math> musi być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n} u - p}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
| |
| − | | |
| − | Ale z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{\mathbb{n}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = - 1</math>. Wynika stąd, że musi być <math>\mathbb{n} \leqslant u</math> i łatwo znajdujemy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} \leqslant \left\lfloor {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} \right\rfloor + 1 < {\small\frac{p}{\mathbb{n}}} + 1</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}^2 < p + \mathbb{n}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ wypisane liczby są liczbami całkowitymi, to ostatnią nierówność możemy zapisać w postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}^2 \leqslant p + \mathbb{n} - 1</math>
| |
| − | | |
| − | Skąd otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( \mathbb{n} - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} < {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J62*</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Dla <math>p \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Norton1"/><ref name="Trevino1"/><ref name="Trevino2"/>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J63</span><br/>
| |
| − | Liczby <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (p)</math>, gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa<ref name="Erdos1"/>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{n} (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J64</span><br/>
| |
| − | Możemy też badać najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>. Pokażemy, że są one również liczbami pierwszymi. W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze '''nieparzyste''' liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| + | | <math>…</math> || <math>…</math> || <math>…</math> || <math>…</math> || <math></math> || <math></math> |
| − | | <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
| |
| | |- | | |- |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}_1( p )}</math>
| + | | <math>(n - 1) m + 1</math> || <math>(n - 1) m + 2</math> || <math>…</math> || <math>(n - 1) m + k</math> || <math>…</math> || <math>n m</math> |
| − | | <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | + | '''1.''' Natychmiast widzimy, że w pierwszym wierszu mamy <math>\varphi (m)</math> liczb względnie pierwszych z <math>m</math>. Tak samo jest w każdym kolejnym wierszu, bo (zobacz H5) |
| | | | |
| | + | ::<math>\gcd (r m + k, m) = \gcd (k, m)</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J65</span><br/>
| + | Zatem mamy dokładnie <math>\varphi (m)</math> kolumn liczb względnie pierwszych z <math>m</math>. |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> najmniejsza '''nieparzysta''' liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest liczbą pierwszą mniejszą od <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Niech <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich '''nieparzystych''' liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. Z twierdzenia J24 wiemy, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to w zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>. W zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy też dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb parzystych i tyle samo liczb nieparzystych.
| |
| − | | |
| − | Wszystkie liczby parzyste nie mogą być liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo <math>4 = 2^2 < 5 \leqslant p</math> jest parzystą liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli wśród liczb nieparzystych musi istnieć przynajmniej jedna liczba niekwadratowa modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, zatem ma element najmniejszy. Pokażemy, że najmniejszy element zbioru <math>S</math> jest liczbą pierwszą.
| |
| − | | |
| − | Niech <math>3 \leqslant \mathbb{n}_\boldsymbol{1} \leqslant p - 2</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Wynika stąd, że każda liczba <math>a < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> musi być liczbą parzystą lub liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą złożoną, czyli <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1} = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zauważmy, że żadna z liczb <math>a, b</math> nie może być liczbą parzystą, bo wtedy liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> również byłaby liczbą parzystą wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Zatem obie liczby <math>a, b</math> muszą być nieparzystymi liczbami kwadratowymi, co jest niemożliwe, bo
| |
| − | | |
| − | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{\mathbb{n}_\boldsymbol{1}}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
| |
| − | | |
| − | i jeden z czynników po prawej stronie musi być ujemny. Co oznacza, że jedna z liczb <math>a, b</math> jest nieparzystą liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> mniejszą od <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> wbrew określeniu liczby <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math>. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że liczba <math>\mathbb{n}_\boldsymbol{1}</math> jest liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| | | | |
| | | | |
| − | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
| + | '''2.''' Załóżmy, że liczba <math>k</math> jest jedną z liczb względnie pierwszych z <math>m</math>, czyli <math>\gcd (k, m) = 1</math>. Przy tym założeniu <math>k</math>-ta kolumna (pokazana w tabeli) jest kolumną liczb względnie pierwszych z <math>m</math>. |
| − | | '''B.''' Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J66</span><br/>
| |
| − | Najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> są naturalnym uogólnieniem najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p .</math> W jednym i drugim przypadku liczba <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową w zbiorze wszystkich liczb niekwadratowych dodatnich nie większych od <math>p</math> lub <math>m .</math> Dlatego będziemy je oznaczali również jako <math>\mathbb{n}(m) .</math>
| |
| | | | |
| | + | '''3.''' Zauważmy, że reszty z dzielenia liczb wypisanych w <math>k</math>-tej kolumnie przez <math>n</math> są wszystkie różne. Gdyby tak nie było, to dla pewnych <math>i, j</math>, gdzie <math>0 \leqslant i, j \leqslant n - 1</math>, różnica liczb <math>i m + k</math> oraz <math>j m + k</math> byłaby podzielna przez <math>n</math>. Mielibyśmy |
| | | | |
| | + | ::<math>n \mid ((i m + k) - (j m + k))</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J67</span><br/>
| + | Skąd wynika natychmiast |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Powiemy, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, gdy <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą dodatnią względnie pierwszą z <math>m</math> taką, że kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math> | + | ::<math>n \mid (i - j) m</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania.
| + | Ponieważ założyliśmy, że <math>\gcd (n, m) = 1</math>, to musi być <math>n \mid (i - j)</math> (zobacz C74), ale |
| | | | |
| | + | ::<math>0 \leqslant | i - j | \leqslant n - 1</math> |
| | | | |
| | + | Czyli <math>n</math> może dzielić <math>i - j</math> tylko w przypadku, gdy <math>i = j</math>. Wbrew naszemu przypuszczeniu, że istnieją różne liczby dające takie same reszty przy dzieleniu przez <math>n</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J68</span><br/>
| |
| − | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m .</math>
| |
| | | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| + | '''4.''' Ponieważ w <math>k</math>-tej kolumnie znajduje się dokładnie <math>n</math> liczb i reszty z dzielenia tych liczb przez <math>n</math> są wszystkie różne, to reszty te tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \}</math>. Wynika stąd, że liczby wypisane w <math>k</math>-tej kolumnie mogą być zapisane w postaci |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;" | + | ::<math>a_r = b_r \cdot n + r</math> |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| |
| − | | <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>10</math> || <math>12</math> || <math>14</math> || <math>16</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>26</math> || <math>28</math> || <math>30</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || <math>40</math> || <math>42</math> || <math>44</math> || <math>46</math> || <math>48</math> || <math>50</math> || <math>52</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>3</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | gdzie <math>r = 0, 1, \ldots, n - 1</math> i <math>b_r \in \mathbb{Z}</math>. |
| | | | |
| | + | Zauważmy, że następujące ilości liczb są sobie równe |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J69</span><br/>
| + | :* ilość liczb w <math>k</math>-tej kolumnie względnie pierwszych z <math>n</math> |
| − | Do wyszukiwania liczb <math>\mathbb{n} (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
| |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
| + | :* ilość liczb <math>r</math> względnie pierwszych z <math>n</math>, gdzie <math>r = 0, \ldots, n - 1</math>, bo <math>\gcd (b_r \cdot n + r, n) = \gcd (r, n)</math> |
| − | {
| |
| − | '''local'''(p, res);
| |
| − | p = 1;
| |
| − | '''while'''( p < m,
| |
| − | p = '''nextprime'''(p + 1);
| |
| − | '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
| |
| − | res = -1;
| |
| − | '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
| |
| − | '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
| |
| − | );
| |
| − | }</span>
| |
| − | | |
| − | Obliczenia można wielokrotnie przyspieszyć, modyfikując kod funkcji tak, aby uwzględniał pokazane niżej właściwości oraz parzystość liczby <math>m .</math> Tutaj przedstawiamy tylko przykład, który wykorzystuje część tych możliwości.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
| |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">B(m) =
| |
| − | {
| |
| − | '''local'''(p, res, t);
| |
| − | t = m%8;
| |
| − | '''if'''( t == 3 || t == 5, '''return'''(2) );
| |
| − | t = m%12;
| |
| − | '''if'''( t == 4 || t == 8, '''return'''(3) );
| |
| − | t = m%24;
| |
| − | '''if'''( t == 9 || t == 15, '''return'''(2) );
| |
| − | '''if'''( t == 10 || t == 14, '''return'''(3) );
| |
| − | t = m%30;
| |
| − | '''if'''( t == 6 || t == 12 || t == 18 || t == 24, '''return'''(5) );
| |
| − | p = 1;
| |
| − | '''while'''( p < m,
| |
| − | p = '''nextprime'''(p + 1);
| |
| − | '''if'''( m%p == 0, '''next'''() );
| |
| − | res = -1;
| |
| − | '''for'''( k = 2, '''floor'''(m/2), '''if'''( k^2%m == p, res = 1; '''break'''() ) );
| |
| − | '''if'''( res == -1, '''return'''(p) );
| |
| − | );
| |
| − | }</span>
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | :* ilość liczb <math>r</math> względnie pierwszych z <math>n</math>, gdzie <math>r = 1, \ldots, n</math>, bo <math>\gcd (n, n) = \gcd (0, n) = | n | > 1</math> |
| | | | |
| | + | Ostatnia ilość liczb jest równa <math>\varphi (n)</math>, co wynika wprost z definicji funkcji <math>\varphi (n)</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J70</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z} \,</math> i <math>\, m \geqslant 3 .</math> Jeżeli <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą pierwszą.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | '''5.''' Zbierając: mamy w wypisanej tabeli dokładnie <math>\varphi (m) \varphi (n)</math> liczb <math>u \in [1, m n]</math>, dla których jednocześnie jest |
| − | Przypuśćmy, że <math>\mathbb{n} = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < \mathbb{n} .</math> Z założenia <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, zatem liczby <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi modulo <math>m .</math> Z definicji liczb kwadratowych muszą istnieć takie liczby <math>r, s</math>, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>r^2 \equiv a \pmod{m}</math> | + | ::<math>\gcd (u, m) = 1 \quad \text{i} \quad \gcd (u, n) = 1</math> |
| | | | |
| − | ::<math>s^2 \equiv b \pmod{m}</math>
| + | Z twierdzenia H6 wynika, że w tabeli jest dokładnie <math>\varphi (m) \varphi (n)</math> liczb <math>u \in [1, m n]</math>, dla których jest |
| | | | |
| − | Skąd wynika, że
| + | ::<math>\gcd (u, m n) = 1</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} = a b \equiv (r s)^2 \pmod{m}</math>
| + | Zatem <math>\varphi (m n) = \varphi (m) \varphi (n)</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Wbrew założeniu, że <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math><br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 1987: |
Linia 909: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J71</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H33</span><br/> |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli <math>m = 8 k \pm 3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
| + | Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej <math>n</math> jest |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | ::<math>\varphi (n) = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right)</math> |
| − | Z twierdzenia J35 wiemy, że <math>\left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, gdy <math>m = 8 k \pm 3 .</math> Wynika stąd, że <math>2</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, a jeśli tak, to musi być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | gdzie iloczyn obliczamy po wszystkich liczbach pierwszych <math>p</math>, będących dzielnikami liczby <math>n</math>. |
| | | | |
| | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Ponieważ wszystkie liczby naturalne mniejsze od liczby pierwszej <math>p</math> są jednocześnie pierwsze względem <math>p</math>, to <math>\varphi (p) = p - 1</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J72</span><br/>
| + | Równie łatwo znajdujemy wartość funkcji <math>\varphi (n)</math> w przypadku gdy <math>n</math> jest potęgą liczby pierwszej <math>n = p^k</math>. Wystarczy zauważyć, że w ciągu kolejnych liczb |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \,</math> i <math>\, \mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Pokazać, że jeżeli spełniony jest jeden z warunków
| |
| | | | |
| − | :* <math>4 \, | \, m \;</math> i <math>\; \gcd (3, m) = 1</math> | + | ::<math>1, 2, 3, 4, \ldots, p^k - 1, p^k</math> |
| − | :* <math>m = 12 k \pm 4</math>
| |
| | | | |
| − | to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
| + | jedynymi liczbami, które nie są pierwsze względem <math>p^k</math>, są te, które dzielą się przez <math>p</math> i jest ich <math>p^{k - 1}</math>, co widać natychmiast po ich bezpośrednim wypisaniu |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | ::<math>1 \cdot p, 2 \cdot p, 3 \cdot p, \ldots, (p^{k - 1} - 1) \cdot p, p^{k - 1} \cdot p</math> |
| − | Zauważmy, że <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, bo <math>2 \, | \, m .</math> Rozważmy kongruencję
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math>
| + | Zatem |
| | | | |
| − | Z założenia <math>4 \, | \, m</math>, co nie wyklucza możliwości, że również <math>8 \, | \, m .</math> Ponieważ <math>4 \nmid (3 - 1)</math> i <math>8 \nmid (3 - 1)</math>, to z twierdzenia J49 wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv 3 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązania. Jeśli tylko <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> W pierwszym punkcie jest to założone wprost, w drugim łatwo widzimy, że <math>3 \nmid (12 k \pm 4) .</math>
| + | ::<math>\varphi (p^k) = p^k - p^{k - 1} = p^k \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right)</math> |
| | | | |
| − | Można też zauważyć, że żądanie, aby <math>\gcd (3, m) = 1</math>, prowadzi do dwóch układów kongruencji
| + | Ponieważ <math>\varphi (n)</math> jest funkcją multiplikatywną, to dla <math>n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> otrzymujemy |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | ::<math>\varphi (n) = \prod^s_{k = 1} \varphi (p^{\alpha_k}_k)</math> |
| − | m &\equiv 0 \pmod{4} \\
| |
| − | m &\equiv 1 \pmod{3}
| |
| − | \end{align}</math> | |
| | | | |
| − | oraz
| + | :::<math>\;\;\; = \prod^s_{k = 1} p^{\alpha_k}_k \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{align} | + | :::<math>\;\;\; = \left[ \prod^s_{k = 1} p^{\alpha_k}_k \right] \cdot \left[ \prod^s_{k = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) \right]</math> |
| − | m &\equiv 0 \pmod{4} \\
| |
| − | m &\equiv 2 \pmod{3}
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| | | | |
| − | którym, na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, odpowiadają dwie kongruencje równoważne
| + | :::<math>\;\;\; = n \cdot \prod^s_{k = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>m \equiv \pm 4 \pmod{12}</math> | + | :::<math>\;\;\; = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right)</math> |
| | | | |
| | Co należało pokazać.<br/> | | Co należało pokazać.<br/> |
| Linia 2036: |
Linia 949: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J73</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H34</span><br/> |
| − | Niech <math>m = 24 k \pm 10 .</math> Pokazać, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> | + | Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>q</math> jest liczbą pierwszą, to |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| |
| − | Zapiszmy <math>m</math> w postaci <math>m = 2 m'</math>, gdzie <math>m' = 12 k \pm 5 .</math> Gdyby kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{2 m'}</math>
| |
| − | | |
| − | miała rozwiązanie, to również kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m'}</math>
| |
| − | | |
| − | miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo <math>\left( {\small\frac{3}{m'}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J40), czyli <math>3</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m' .</math> Ponieważ <math>2 \, | \, m</math>, to <math>2</math> nie może być najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math><br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J74</span><br/>
| + | ::<math>\varphi (q n) = \left\{ \begin{array}{rl} |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_2 = \{ 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą podzielną przez <math>p \in S_2</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
| + | (q - 1) \varphi (n) & \quad \text{gdy} \quad q \nmid n\\ |
| | + | q \varphi (n) & \quad \text{gdy} \quad q \mid n |
| | + | \end{array} \right.</math> |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Z założenia <math>p \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
| + | Jeżeli <math>q \nmid m</math>, to <math>\gcd (q, m) = 1</math>, zatem <math>\varphi (q m) = \varphi (q) \varphi (m) = (q - 1) \varphi (m)</math>. Jeżeli <math>q \mid m</math>, to liczby <math>m</math> oraz <math>q m</math> mają taki sam zbiór dzielników pierwszych, zatem |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 2 \pmod{m}</math> | + | ::<math>\varphi (q m) = q m \prod_{p \mid q m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) = q \cdot \left[ m \prod_{p \mid m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) \right] = q \varphi (m)</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ <math>2 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math>
| + | Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Uwaga: zbiór <math>S_2</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>8 k \pm 3</math> (zobacz J35).<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2070: |
Linia 968: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J75</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H35</span><br/> |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; S_3 = \{ 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41, 43, \ldots \}</math> będzie zbiorem liczb pierwszych <math>p</math> takich, że <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Jeżeli <math>m</math> jest liczbą parzystą niepodzielną przez <math>3</math> i podzielną przez <math>p \in S_3</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math> | + | Niech <math>q \in \mathbb{P}</math> i <math>a, b, m, n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | :* <math>\varphi (q^{a + b}) = q^a \varphi (q^b)</math> |
| − | Z założenia <math>p \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{m}</math> | + | :* <math>\varphi (n^m) = n^{m - 1} \varphi (n)</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ <math>2 \, | \, m</math> i <math>3 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 3 .</math>
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | '''Punkt 1.''' |
| | | | |
| − | Uwaga: zbiór <math>S_3</math> tworzą liczby pierwsze postaci <math>12 k \pm 5</math> (zobacz J40).<br/>
| + | ::<math>\varphi (q^{a + b}) = (q - 1) q^{a + b - 1} = q^a \cdot (q - 1) q^{b - 1} = q^a \varphi (q^b)</math> |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | '''Punkt 2.''' |
| | | | |
| | + | Niech <math>n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J76</span><br/>
| + | ::<math>\varphi (n^m) = \varphi (p^{m \alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{m \alpha_s}_s)</math> |
| − | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą dodatnią podzielną przez <math>6</math> i niepodzielną przez <math>5</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math>
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | ::::<math>\, = \varphi (p^{m \alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{m \alpha_s}_s)</math> |
| − | Z założenia <math>3 \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Zatem kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 5 \pmod{m}</math> | + | ::::<math>\, = \varphi (p^{(m - 1) \alpha_1 + \alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{(m - 1) \alpha_s + \alpha_s}_s)</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ <math>2 \, | \, m</math>, <math>3 \, | \, m</math> i <math>5 \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 5 .</math><br/>
| + | ::::<math>\, = p^{(m - 1) \alpha_1}_1 \varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot p^{(m - 1) \alpha_s}_s \varphi (p^{\alpha_s}_s)</math> |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | ::::<math>\, = p^{(m - 1) \alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(m - 1) \alpha_s}_s \cdot \varphi (p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s)</math> |
| | | | |
| | + | ::::<math>\, = n^{m - 1} \varphi (n)</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J77</span><br/>
| + | Co należało pokazać.<br/> |
| − | Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od <math>p</math> dzieli <math>m</math> i <math>p \nmid m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Z twierdzenia J106 wiemy, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Z założenia <math>q \, | \, m</math>, zatem kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv p \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | nie ma rozwiązania (zobacz J49). Ponieważ wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>p</math> dzielą <math>m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = p</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2114: |
Linia 1002: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J78</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H36</span><br/> |
| − | Pokazać, że podanym w pierwszej kolumnie postaciom liczby <math>m</math> odpowiadają wymienione w drugiej kolumnie wartości <math>\mathbb{n} (m) .</math>
| + | Niech <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>m \mid n</math>, to <math>\varphi (m) \mid \varphi (n)</math>. |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: left; margin-right: auto;"
| |
| − | |-
| |
| − | ! Postać liczby <math>\boldsymbol{m}</math> || <math>\boldsymbol{𝕟(m)}</math> || Uwagi
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=24k \pm 9</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J74
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=120k \pm 25</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=120k \pm 55</math> || style="text-align:center;" | <math>2</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=120k \pm 50</math> || style="text-align:center;" | <math>3</math> || style="text-align:center;" | J75
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=30k \pm 6</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math> || rowspan="2" style="text-align:center;" | J76, J77
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=30k \pm 12</math> || style="text-align:center;" | <math>5</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=210k \pm 30</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math> || rowspan="3" style="text-align:center;" | J77
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=210k \pm 60</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
| |
| − | |-
| |
| − | | <math>m=210k \pm 90</math> || style="text-align:center;" | <math>7</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J79</span><br/>
| |
| − | Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{array}{lll}
| |
| − | \mathbb{n} (2 m) >\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) = 2 \\
| |
| − | \mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) & & \text{gdy} \;\; \mathbb{n} (m) > 2
| |
| − | \end{array}</math>
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Niech <math>n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>. Ponieważ założyliśmy, że <math>m \mid n</math>, to <math>m</math> musi być postaci <math>m = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_s}_s</math>, gdzie <math>0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i</math>, dla <math>i = 1, \ldots, s</math>. Łatwo zauważamy, że |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | :* jeżeli <math>\beta_i = 0</math>, to <math>\varphi (p^{\beta_i}_i) = 1</math> i dzieli <math>\varphi (p^{\alpha_i}_i)</math> |
| − | | |
| − | W przypadku, gdy <math>\mathbb{n} (m) = 2</math>, mamy <math>\mathbb{n} (2 m) > 2 = \mathbb{n} (m)</math>, bo <math>\mathbb{n} (2 m)</math> musi być liczbą względnie pierwszą z <math>2 m .</math>
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| − | | |
| − | Z definicji najmniejszej liczby niekwadratowej modulo <math>m</math> wiemy, że kongruencja
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{m}</math> | + | :* jeżeli <math>1 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i</math>, to <math>(p_i - 1) p_i^{\beta_i - 1} \mid (p_i - 1) p_i^{\alpha_i - 1}</math>, zatem <math>\varphi (p^{\beta_i}_i) \mid \varphi (p^{\alpha_i}_i)</math> |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania. Oznacza to, że istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> taka, że <math>p \, | \, m \;</math> i <math>\; \left( {\small\frac{\mathbb{n} (m)}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math> Ponieważ <math>p \, | \, 2 m</math>, to wynika stąd natychmiast, że kongruencja
| + | Skąd natychmiast wynika, że <math>\varphi (p^{\beta_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\beta_s}_s)</math> dzieli <math>\varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\alpha_s}_s)</math>, czyli <math>\varphi (m) \mid \varphi (n)</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} (m) \pmod{2 m}</math>
| + | Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, bo <math>\varphi (7) \mid \varphi (19)</math>, ale <math>7 \nmid 19</math>.<br/> |
| − | | |
| − | również nie ma rozwiązania (zobacz J49).
| |
| − | | |
| − | Zatem <math>\mathbb{n} (2 m) \leqslant \mathbb{n} (m) .</math> Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv q \pmod{2 m} \qquad \qquad (1)</math>
| |
| − | | |
| − | możemy zapisać w postaci układu kongruencji równoważnych (zobacz J1)
| |
| − | | |
| − | ::<math>\begin{align}
| |
| − | x^2 & \equiv q \pmod{m} \qquad \qquad \;\: (2) \\
| |
| − | x^2 & \equiv q \pmod{2} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) \\
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | | |
| − | Z definicji <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, zatem kongruencja <math>(2)</math> ma rozwiązanie – oznaczmy to rozwiązanie przez <math>x_0 .</math> Łatwo zauważamy, że liczba
| |
| − | | |
| − | ::<math>x'_0 =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\;\; x_0 & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 1 \pmod{2} \\
| |
| − | x_0 + m & \text{gdy} \quad x_0 \equiv 0 \pmod{2} \\
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | jest rozwiązaniem układu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, a tym samym kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie dla każdego <math>2 < q <\mathbb{n} (m) .</math> Wynika stąd, że <math>\mathbb{n} (2 m) =\mathbb{n} (m) .</math><br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2193: |
Linia 1020: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J80</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H37</span><br/> |
| − | Niech <math>m</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n} (m)</math> będzie najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Mamy
| + | Dla <math>n \geqslant 3</math> wartości <math>\varphi (n)</math> są liczbami parzystymi. |
| | | | |
| − | ::<math>\begin{array}{lllll}
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| − | \mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 & & \mathbb{n} (m) = 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \, | \, m \\
| + | Jeżeli liczba <math>n \geqslant 3</math> jest podzielna przez liczbę pierwszą nieparzystą <math>p</math>, zaś <math>k</math> jest wykładnikiem, z jakim <math>p</math> wchodzi do rozwinięcia <math>n</math> na czynniki pierwsze, to |
| − | \mathbb{n} (4 m) = 3 & & \mathbb{n} (m) \geqslant 2 & & \text{gdy } \;\; 3 \nmid m \\
| |
| − | \end{array}</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | |
| − | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia J74 wynika, że w przypadku, gdy <math>3 \, | \, m</math>, to <math>\mathbb{n} (m) = 2 .</math> Ponieważ <math>2 \, | \, 4 m</math> i <math>3 \, | \, 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) \geqslant 5 .</math>
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>8 \nmid 4 m</math>, ale <math>4 \, | \, 4 m \;</math> i <math>\; 4 \nmid (3 - 1)</math>, zatem z twierdzenia J49 wynika, że kongruencja
| + | ::<math>\varphi (n) = \varphi \left( p^k \cdot {\small\frac{n}{p^k}} \right) = (p - 1) p^{k - 1} \cdot \varphi \left( {\small\frac{n}{p^k}} \right)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv 3 \pmod{4 m}</math>
| + | zatem <math>\varphi (n)</math> jest liczbą parzystą, ponieważ <math>p - 1</math> jest liczbą parzystą. |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania. Ponieważ <math>2 \, | \, 4 m \;</math> i <math>\; 3 \nmid 4 m</math>, to <math>\mathbb{n} (4 m) = 3 .</math><br/> | + | Jeżeli żadna liczba nieparzysta nie dzieli <math>n</math>, to liczba <math>n</math> jest postaci <math>n = 2^a</math> i <math>\varphi (n) = 2^{a - 1}</math>, ale z założenia <math>n \geqslant 3</math>, zatem <math>a \geqslant 2</math> i <math>\varphi (n)</math> jest liczbą parzystą.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2219: |
Linia 1036: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J81</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H38</span><br/> |
| − | Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p \,</math> i <math>\, p \, | \, m</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math>
| + | Jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną, to <math>\varphi (n) \leqslant n - \sqrt{n}</math>. |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Wiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
| + | <span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/> |
| | + | Niech <math>n = a b</math>, gdzie <math>1 < a \leqslant b < n</math>. Liczby <math>1 \cdot a, 2 \cdot a, 3 \cdot a, \ldots, b \cdot a</math> są nie większe od <math>n</math> i nie są względnie pierwsze z <math>n</math>, zatem |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math> | + | ::<math>\varphi (n) \leqslant n - b</math> |
| | | | |
| − | ma rozwiązanie. Przypuśćmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m .</math> Zatem istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że
| + | Ponieważ <math>b \geqslant a</math>, to <math>b^2 \geqslant a b = n</math> i <math>b \geqslant \sqrt{n}</math>. Wynika stąd, że |
| | | | |
| − | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{m}</math> | + | ::<math>\varphi (n) \leqslant n - b \leqslant n - \sqrt{n}</math> |
| | | | |
| − | Ponieważ z założenia <math>p \, | \, m</math>, to prawdziwa jest też kongruencja
| + | <br/><span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/> |
| | + | Niech <math>q</math> oznacza najmniejszy dzielnik pierwszy liczby złożonej <math>n</math>, zatem <math>q^2 \leqslant n</math>, czyli <math>q \leqslant \sqrt{n}</math>, a stąd <math>{\small\frac{n}{q}} \geqslant \sqrt{n}</math> i |
| | | | |
| − | ::<math>k^2 \equiv a \pmod{p}</math> | + | ::<math>\varphi (n) = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) \leqslant n \left( 1 - {\small\frac{1}{q}} \right) = n - {\small\frac{n}{q}} \leqslant n - \sqrt{n}</math> |
| | | | |
| − | co przeczy założeniu, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math><br/>
| + | Co należało pokazać.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2241: |
Linia 1060: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J82</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H39</span><br/> |
| − | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to istnieje taki dzielnik pierwszy <math>p</math> liczby <math>m</math>, że <math>\mathbb{n}</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>p .</math>
| + | Dla <math>n \geqslant 1</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\varphi (n) > {\small\frac{\sqrt{n}}{2}}</math>. |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Przypuśćmy, że taki dzielnik pierwszy nie istnieje. Zatem mamy zbiór dzielników pierwszych liczby <math>m</math>: <math>\{ p_1, \ldots, p_s \}</math> i powiązany z dzielnikami pierwszymi <math>p_k</math> zbiór najmniejszych liczb niekwadratowych modulo <math>p_k</math>: <math>\{ \mathbb{n}_1, \ldots, \mathbb{n}_s \}</math>, z których każda jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> (zobacz J81). Wynika stąd, że liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> musi być mniejsza od każdej z liczb <math>\mathbb{n}_k .</math>
| + | Dla <math>k \geqslant 3</math> jest |
| | | | |
| − | Z definicji liczba <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, co oznacza, że kongruencja
| + | ::<math>\left( 1 - {\small\frac{1}{k}} \right)^2 > {\small\frac{1}{k}}</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{m}</math>
| + | Wynika stąd, że jeżeli <math>m \geqslant 3</math> jest liczbą nieparzystą, to |
| | | | |
| − | nie ma rozwiązania. Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s .</math> Zatem przynajmniej jedna z kongruencji
| + | ::<math>\varphi (m)^2 = m^2 \prod_{p|m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right)^2 > m^2 \prod_{p|m} {\small\frac{1}{p}} \geqslant m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p^{\alpha_k}_k}</math>
| + | bo |
| | | | |
| − | musi nie mieć rozwiązania (zobacz J11). Z twierdzenia J43 wiemy, że wtedy kongruencja
| + | ::<math>\prod_{p|m} p \leqslant m</math> |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv \mathbb{n} \pmod{p_k}</math>
| + | Czyli dla nieparzystych liczb <math>m \geqslant 3</math> mamy |
| | | | |
| − | również nie ma rozwiązania. Zatem <math>\mathbb{n}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p_k \,</math> i <math>\, \mathbb{n} < \mathbb{n}_k</math>, co przeczy definicji liczby <math>\mathbb{n}_k .</math><br/>
| + | ::<math>\varphi (m) > \sqrt{m} > {\small\frac{\sqrt{m}}{2}}</math> |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | Jeżeli <math>d = 2^a</math>, gdzie <math>a \geqslant 1</math>, to |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J83</span><br/>
| + | ::<math>\varphi (d) = \varphi (2^a) = 2^{a - 1} > {\small\frac{\sqrt{2^a}}{2}} = {\small\frac{\sqrt{d}}{2}}</math> |
| − | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą. Jeżeli <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to
| |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) = \min ( \mathbb{n} (p_1), \ldots, \mathbb{n} (p_s) )</math>
| |
| | | | |
| − | gdzie <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, a <math>\mathbb{n}(p_k)</math> są najmniejszymi liczbami kwadratowymi modulo <math>p_k .</math>
| + | W przypadku ogólnym, gdy <math>n</math> jest iloczynem liczby nieparzystej <math>m \geqslant 3</math> i potęgi liczby <math>2</math>, dostajemy |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | ::<math>\varphi (n) = \varphi (2^a m) = \varphi (2^a) \varphi (m) > {\small\frac{\sqrt{2^a}}{2}} \cdot \sqrt{m} = {\small\frac{\sqrt{2^a m}}{2}} = {\small\frac{\sqrt{n}}{2}}</math> |
| − | Twierdzenie to jest prostym wnioskiem z twierdzenia J82, ale musimy jeszcze pokazać, że <math>\gcd (\mathbb{n} (m), m) = 1 .</math> Przypuśćmy, że <math>p_k |\mathbb{n} (m)</math> dla pewnego <math>1 \leqslant k \leqslant s .</math> Ponieważ <math>\mathbb{n} (m)</math> jest liczbą pierwszą, to musi być <math>\mathbb{n} (m) = p_k</math>, ale wtedy
| |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n} (p_k) < p_k =\mathbb{n} (m) \leqslant \mathbb{n} (p_k)</math>
| + | Oczywiście nierówność <math>\varphi (n) > {\small\frac{\sqrt{n}}{2}}</math> jest również prawdziwa dla <math>n = 1</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Otrzymana sprzeczność dowodzi, że <math>\mathbb{n} (m)</math> jest względnie pierwsza z każdą z liczb pierwszych <math>p_i</math>, gdzie <math>1 \leqslant i \leqslant s .</math> Co kończy dowód.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2283: |
Linia 1096: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J84</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H40</span><br/> |
| − | Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>\mathbb{n}(m)</math> jest najmniejszą liczbą niekwadratową modulo <math>m .</math> Prawdziwe są oszacowania
| + | Pokazać, że dla <math>n \geqslant 7</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\varphi (n) > \sqrt{n}</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) < \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \qquad \;\;\, \text{dla } m \geqslant 3</math> | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Zauważmy, że |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) \leqslant 1.1 \cdot m^{1 / 4} \log m \qquad \qquad \text{dla } m \geqslant 5</math> | + | ::<math>n - 1 > \sqrt{n} \qquad \qquad \;\, \text{dla} \; n \geqslant 3</math> |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | ::<math>n - 1 > \sqrt{2 n} \qquad \qquad \text{dla} \; n \geqslant 4</math> |
| − | Niech <math>p</math> będzie dzielnikiem pierwszym liczby <math>m</math> takim, że <math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p)</math> (z twierdzenia J82 wiemy, że taki dzielnik istnieje). Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{n}(p) < F (p)</math>, gdzie <math>F(x)</math> jest funkcją rosnącą, to
| |
| | | | |
| − | ::<math>\mathbb{n}(m) = \mathbb{n} (p) < F (p) \leqslant F (m)</math>
| |
| | | | |
| − | Podane w twierdzeniu oszacowania wynikają natychmiast z twierdzeń J61 i J62.<br/>
| + | Zatem dla liczby pierwszej <math>p</math> i <math>k \geqslant 1</math> jest |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| | | | |
| | + | ::<math>\varphi (p^k) = (p - 1) p^{k - 1} > \sqrt{p} \cdot p^{k - 1} = p^{k - \tfrac{1}{2}} \geqslant p^{\tfrac{k}{2}} = \sqrt{p^k} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; \text{dla} \;\: p \geqslant 3</math> |
| | | | |
| | + | ::<math>\varphi (p^k) = (p - 1) p^{k - 1} > \sqrt{2 p} \cdot p^{k - 1} = \sqrt{2} \cdot p^{k - \tfrac{1}{2}} \geqslant \sqrt{2} \cdot p^{\tfrac{k}{2}} = \sqrt{2 p^k} \qquad \qquad \text{dla} \;\, p \geqslant 5</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J85</span><br/>
| |
| − | Liczby <math>\mathbb{n} (m)</math> są zaskakująco małe. Średnia wartość <math>\mathbb{n} = \mathbb{n} (m)</math> wynosi<ref name="Pollack1"/>
| |
| | | | |
| − | ::<math>\lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x}} \sum_{m \leqslant x} \mathbb{n} (m) = 2 + \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{p_k - 1}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_{k - 1}}} = 2.920050977 \ldots</math>
| + | '''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n \geqslant 3}</math> jest liczbą nieparzystą''' |
| | | | |
| | + | Liczba <math>n</math> jest iloczynem czynników pierwszych nieparzystych, zatem |
| | | | |
| | + | ::<math>\varphi (n) = \varphi (p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s) = \varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\alpha_s}_s) > \sqrt{p^{\alpha_1}_1} \cdot \ldots \cdot \sqrt{p^{\alpha_s}_s} = \sqrt{n}</math> |
| | | | |
| | | | |
| | + | '''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n = 2^a m} \;</math> i <math>\; \boldsymbol{q \mid m ,} \;</math> gdzie <math>\; \boldsymbol{q \geqslant 5}</math>''' |
| | | | |
| − | {| style="border-spacing: 5px; border: 2px solid black; background: transparent;"
| + | Z założenia <math>n = 2^a m = 2^a q^b r</math>, gdzie <math>r \geqslant 1</math> jest liczbą nieparzystą. Zauważmy, że <math>\varphi (r) \geqslant \sqrt{r}</math>, bo może być <math>r = 1</math>. |
| − | | '''C.''' Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J86</span><br/>
| |
| − | W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, najmniejsze liczby niekwadratowe modulo <math>m</math> i najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>.
| |
| − | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{m}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>9</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>15</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>21</math> || <math>23</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>33</math> || <math>35</math> || <math>37</math> || <math>39</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>45</math> || <math>47</math> || <math>49</math> || <math>51</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( p )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>-</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>-</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{\mathbb{n}( m )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{c( m )}</math>
| |
| − | | <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>-</math> || <math>2</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | ::<math>\varphi (n) = \varphi (2^a q^b r)</math> |
| | | | |
| | + | :::<math>\;\;\,\, = \varphi (2^a) \varphi (q^b) \varphi (r)</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J87</span><br/>
| + | :::<math>\;\;\,\, > 2^{a - 1} \sqrt{2 q^b} \sqrt{r}</math> |
| − | Do wyszukiwania liczb <math>c = c (m)</math> Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP
| |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">C(m) =
| + | :::<math>\;\;\,\, = 2^{a - \tfrac{1}{2}} \sqrt{q^b} \sqrt{r}</math> |
| − | {
| |
| − | '''if'''( m%2 == 0, '''return'''(0) );
| |
| − | '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) );
| |
| − | '''forprime'''(p = 2, m, '''if'''( jacobi(p, m) == -1, '''return'''(p) ));
| |
| − | }</span>
| |
| | | | |
| | + | :::<math>\;\;\,\, \geqslant 2^{\tfrac{a}{2}} \sqrt{q^b r}</math> |
| | | | |
| | + | :::<math>\;\;\,\, = \sqrt{2^a q^b r}</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J88</span><br/>
| + | :::<math>\;\;\,\, = \sqrt{n}</math> |
| − | Najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>a</math> takie, że <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> oznaczyliśmy jako <math>c(m)</math>. Zauważmy, że są to liczby inne od <math>\mathbb{n}(p)</math> i <math>\mathbb{n}(m)</math>. Wystarczy zwrócić uwagę na występujące w tabeli liczby <math>\mathbb{n}(p)</math>, <math>\mathbb{n}(m)</math> i <math>c(m)</math> dla <math>m = 15, 33, 39</math>. Różnice wynikają z innej definicji liczb <math>c(m)</math> – jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> nie musi być równy <math>- 1</math>. I tak czasami bywa, co bardzo dobrze pokazuje powyższa tabela.
| |
| | | | |
| − | Ponieważ <math>c(m)</math> nie zawsze będzie najmniejszą liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to mamy natychmiast oszacowanie: <math>c(m) \geqslant \mathbb{n} (m)</math> (poza przypadkami, gdy <math>m = n^2</math>).
| |
| | | | |
| − | Dla <math>c(m)</math> nie są prawdziwe oszacowania podane w twierdzeniu J61. Łatwo zauważamy, że
| + | '''3. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n = 2^a m} \;</math> i <math>\; \boldsymbol{q \nmid m ,} \;</math> gdzie <math>\; \boldsymbol{q \geqslant 5}</math>''' |
| | | | |
| − | ::<math>c = c (15) = 7 > \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37</math>
| + | Jeżeli żadna liczba pierwsza <math>q \geqslant 5</math> nie dzieli <math>m</math>, to możliwe są tylko dwie sytuacje: <math>n = 2^a \,</math> i <math>\, n = 2^a 3^b</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>c = c (39) = 7 > \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74</math>
| + | '''3a. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n = 2^a}</math>''' |
| | | | |
| − | ::<math>c = c (105) = 11 > \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75</math> | + | ::<math>\varphi (n) = \varphi (2^a) = 2^{a - 1} > \sqrt{2^a} = \sqrt{n} \qquad \qquad \;\, \text{dla} \; a \geqslant 3</math> |
| | | | |
| − | ::<math>c = c (231) = 17 > \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7</math>
| + | Twierdzenie nie jest prawdziwe dla <math>n = 2 \,</math> i <math>\, n = 4 \,\,</math> (gdy <math>a = 1 \,</math> lub <math>\, a = 2</math>). |
| | | | |
| − | Nie ma więcej takich przypadków dla <math>m < 10^9</math>.
| + | '''3b. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{n = 2^a 3^b}</math>''' |
| | | | |
| | + | ::<math>\varphi (n) = \varphi (2^a 3^b) = \varphi (2^a) \varphi (3^b) = 2^{a - 1} \cdot 2 \cdot 3^{b - 1} = 2^a 3^{b - 1} = \sqrt{2^a 3^b} \cdot {\small\frac{\sqrt{2^a 3^b}}{3}} > \sqrt{2^a 3^b}</math> |
| | | | |
| | + | Ostatnia nierówność jest prawdziwa, o ile <math>\sqrt{2^a 3^b} > 3</math>, czyli gdy <math>2^a 3^b > 9</math>, co ma miejsce, gdy <math>a \geqslant 2</math> lub <math>b \geqslant 2</math>. |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J89</span><br/>
| + | Twierdzenie nie jest prawdziwe dla <math>n = 6 \;</math> (gdy <math>a = 1 \,</math> i <math>\, b = 1</math>). |
| − | Niech <math>c, m \in \mathbb{Z}_+</math> i niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą nieparzystą, a <math>c</math> będzie najmniejszą liczbą taką, że <math>\left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. Liczba <math>c</math> musi być liczbą pierwszą.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Przypuśćmy, że <math>c = a b</math> jest liczbą złożoną, gdzie <math>1 < a, b < c</math>. Mamy
| |
| | | | |
| − | ::<math>- 1 = \left( {\small\frac{c}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math><math>\left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> | + | Zbierając uzyskane wyniki, otrzymujemy: oszacowanie <math>\varphi (n) > \sqrt{n}</math> nie jest prawdziwe dla <math>n = 1, 2, 4, 6</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy <math>- 1</math> wbrew definicji liczby <math>c</math>.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2378: |
Linia 1165: |
| | | | |
| | | | |
| | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H41</span><br/> |
| | + | Pokazać, że dla <math>n \geqslant 2</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\varphi (n) > {\small\frac{n}{3 \log n}}</math>. Korzystając z tego wyniku, pokazać, że <math>\varphi (n) > n^{2 / 3}</math> dla <math>n \geqslant 43</math> oraz że <math>\varphi (n) > n^{3 / 4}</math> dla <math>n \geqslant 211</math>. |
| | | | |
| | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Niech <math>n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s</math>, a <math>n' = q_1 \cdot \ldots \cdot q_s</math> oznacza liczbę, będącą iloczynem dokładnie '''tych samych''' czynników pierwszych, jakie występują w liczbie <math>n</math>, natomiast <math>n^{\!\ast} = p_1 \cdot \ldots \cdot p_s</math> oznacza liczbę, będącą iloczynem dokładnie '''tej samej ilości''' czynników pierwszych, przy czym <math>p_i</math> oznacza teraz <math>i</math>-tą liczbę pierwszą. |
| | | | |
| − | == Liczby pierwsze postaci <math>x^2 + n y^2</math> ==
| + | Ponieważ |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J90</span><br/>
| + | ::<math>{\small\frac{\varphi (n)}{n}} = \prod_{p \mid n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right)</math> |
| − | Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>85</math> na sumę postaci <math>x^2 + y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>. Rozkłady różniące się jedynie kolejnością liczb <math>x , y</math> nie zostały uwzględnione.
| |
| | | | |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
| + | to |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{n}</math>
| |
| − | | <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>5</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || <math>20</math> || <math>25</math> || <math>26</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>29</math> || <math>32</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>40</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || <math>45</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>52</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>53</math> || <math>58</math> ||style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>64</math> || <math>65</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>74</math> || <math>80</math> || <math>81</math> || <math>82</math> || <math>85</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math>1,0</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>2,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>3,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>5,2</math> || <math>4,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>6,2</math> || <math>5,4</math> || <math>6,3</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>6,4</math> || <math>7,2</math> || <math>7,3</math> || <math>6,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>8,2</math> || <math>6,6</math> || <math>8,3</math> || <math>7,5</math> || <math>8,4</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>9,2</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,6</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | Zauważmy, że liczba złożona <math>21</math> nie ma rozkładu na sumę kwadratów, a liczba złożona <math>65</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>4 k + 1</math>.
| + | ::<math>{\small\frac{\varphi (n)}{n}} = {\small\frac{\varphi (n')}{n'}} \geqslant {\small\frac{\varphi (n^{\!\ast})}{n^{\!\ast}}} = \prod^s_{i = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_i}} \right) \geqslant \prod^{p_s}_{k = 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{k}} \right) = {\small\frac{1}{p_s}}</math> |
| | | | |
| | + | Ostatnia równość wynika z prostego wzoru |
| | | | |
| | + | ::<math>\prod^m_{k = 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{k}} \right) = {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{3}{4}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{m - 2}{m - 1}} \cdot {\small\frac{m - 1}{m}} = {\small\frac{1}{m}}</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J91</span><br/>
| |
| − | Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>73</math> na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
| |
| | | | |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
| + | Musimy oszacować wartość liczby <math>p_s</math>. Z twierdzenia B31 wynika, że dla <math>m \geqslant 2</math> jest <math>P(m) \geqslant 2^{m / 2}</math>, gdzie funkcja <math>P(m)</math> jest równa iloczynowi wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>m</math>. Zatem dla <math>p_s \geqslant 2</math> jest |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{n}</math>
| |
| − | | <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>2</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>11</math> || <math>12</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>17</math> || <math>18</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>22</math> || <math>24</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>32</math> || <math>33</math> || <math>34</math> || <math>36</math> || <math>38</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>41</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>44</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>50</math> || <math>51</math> || <math>54</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>59</math> || <math>64</math> || <math>66</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || <math>68</math> || <math>72</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>1,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>0,2</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>2,2</math> || <math>4,0</math> || <math>3,2</math> || <math>4,1</math> || <math>1,3</math> || <math>2,3</math> || <math>4,2</math> || <math>5,0</math> || <math>5,1</math> || <math>0,4</math> || <math>5,2</math> || <math>4,3</math> || <math>6,0</math> || <math>6,1</math> || <math>3,4</math> || <math>5,3</math> || <math>6,2</math> || <math>4,4</math> || <math>7,0</math> || <math>0,5</math> || <math>7,1</math> || <math>6,3</math> || <math>7,2</math> || <math>3,5</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>7,3</math> || <math>6,4</math> || <math>8,2</math> || <math>1,6</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math>1,4</math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math>2,5</math> || <math>5,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,6</math> || <math></math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | Zauważmy, że liczba złożona <math>65</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a liczba złożona <math>33</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 1</math>.
| + | ::<math>n^{\!\ast} = p_1 \cdot \ldots \cdot p_s = P (p_s) \geqslant 2^{p_s / 2}</math> |
| | | | |
| − | Zauważmy też, że liczba złożona <math>35</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 2 y^2</math>, a liczba złożona <math>27</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>8 k + 3</math>.
| + | Logarytmując, otrzymujemy |
| | | | |
| | + | ::<math>p_s \leqslant {\small\frac{2 \log n^{\!\ast}}{\log 2}}</math> |
| | | | |
| | + | Ponieważ <math>n \geqslant n' \geqslant n^{\!\ast}</math>, to |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J92</span><br/>
| + | ::<math>{\small\frac{\varphi (n)}{n}} \geqslant {\small\frac{1}{p_s}} \geqslant {\small\frac{\log 2}{2 \log n^{\!\ast}}} \geqslant {\small\frac{\log 2}{2 \log n}} > {\small\frac{1}{3 \log n}}</math> |
| − | Przedstawiamy wszystkie rozkłady liczb naturalnych nie większych od <math>103</math> na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, gdzie <math>x, y \in \mathbb{N}_0</math>.
| |
| | | | |
| − | {| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 70%; text-align: center; margin-right: auto;"
| + | Ostatecznie otrzymujemy |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{n}</math>
| |
| − | | <math>1</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>3</math> || <math>4</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>7</math> || <math>9</math> || <math>12</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>13</math> || <math>16</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>19</math> || <math>21</math> || <math>25</math> || <math>27</math> || <math>28</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>31</math> || <math>36</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>37</math> || <math>39</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>43</math> || <math>48</math> || <math>49</math> || <math>52</math> || <math>57</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>61</math> || <math>63</math> || <math>64</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>67</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>73</math> || <math>75</math> || <math>76</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>79</math> || <math>81</math> || <math>84</math> || <math>91</math> || <math>93</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>97</math> || <math>100</math> || style="background-color: #99cc66" | <math>103</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math>1,0</math> || <math>0,1</math> || <math>2,0</math> || <math>2,1</math> || <math>3,0</math> || <math>3,1</math> || <math>1,2</math> || <math>4,0</math> || <math>4,1</math> || <math>3,2</math> || <math>5,0</math> || <math>0,3</math> || <math>5,1</math> || <math>2,3</math> || <math>6,0</math> || <math>5,2</math> || <math>6,1</math> || <math>4,3</math> || <math>6,2</math> || <math>7,0</math> || <math>7,1</math> || <math>3,4</math> || <math>7,2</math> || <math>6,3</math> || <math>8,0</math> || <math>8,1</math> || <math>5,4</math> || <math>0,5</math> || <math>8,2</math> || <math>2,5</math> || <math>9,0</math> || <math>9,1</math> || <math>8,3</math> || <math>9,2</math> || <math>7,4</math> || <math>10,0</math> || <math>10,1</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math></math> || <math></math> || <math>1,1</math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,2</math> || <math></math> || <math>2,2</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,2</math> || <math></math> || <math>3,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>0,4</math> || <math>1,4</math> || <math>5,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>4,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>7,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math>6,4</math> || <math>4,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>5,5</math> || <math></math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{x,y}</math>
| |
| − | | <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,3</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>2,4</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math>1,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math>3,5</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| − | Zauważmy, że liczba złożona <math>55</math> nie ma rozkładu na sumę postaci <math>x^2 + 3 y^2</math>, a liczba złożona <math>91</math> ma dwa takie rozkłady. Obie liczby są postaci <math>6 k + 1</math>.
| + | ::<math>\varphi (n) > {\small\frac{n}{3 \log n}}</math> |
| | | | |
| | + | Co należało pokazać. |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J93</span><br/>
| + | Rozwiązując drugą część zadania, wystarczy znaleźć, dla jakich <math>n</math> prawdziwa jest nierówność |
| − | Jeżeli liczba nieparzysta postaci <math>Q = x^2 + n y^2</math>, gdzie <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>, ma dwa różne takie przedstawienia w liczbach całkowitych dodatnich, to jest liczbą złożoną.
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | W dowodzie wyróżniliśmy miejsca, które wymagają oddzielnej analizy ze względu na wartość liczby <math>n</math>.
| |
| − | | |
| − | Niech
| |
| − | | |
| − | ::<math>Q = x^2 + n y^2 = a^2 + n b^2</math>
| |
| − | | |
| − | <div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
| |
| − | <math>\boldsymbol{n = 1}</math>
| |
| − | | |
| − | Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach <math>x^2 + y^2 = a^2 + b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że liczby <math>x, a</math> są parzyste, a liczby <math>y, b</math> nieparzyste.
| |
| | | | |
| − | <math>\boldsymbol{n = 2}</math> | + | ::<math>{\small\frac{n}{3 \log n}} > n^{2 / 3}</math> |
| | | | |
| − | Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, a</math> występująca w rozkładach <math>x^2 + 2 y^2 = a^2 + 2 b^2</math> muszą być nieparzyste. Pokażemy, że liczby <math>y, b</math> muszą mieć taką samą parzystość. Przypuśćmy, że <math>y</math> jest parzysta, a <math>b</math> nieparzysta, wtedy modulo <math>4</math> dostajemy
| + | Przebieg funkcji <math>{\small\frac{n}{3 \log n}} \,</math> i <math>\, n^{2 / 3}</math> przedstawiliśmy na wykresie |
| | | | |
| − | ::<math>1 + 2 \cdot 0 \equiv 1 + 2 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math> | + | ::[[File: Euler1.png|1100px|none]] |
| | | | |
| − | Co jest niemożliwe.
| + | Punkt przecięcia tych funkcji znajdujemy, wpisując w PARI/GP polecenie |
| | | | |
| − | <math>\boldsymbol{n = 3}</math> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''solve'''(n = 10, 10^5, n/(3*'''log'''(n)) - n^(2/3))</span> |
| | | | |
| − | Z założenia <math>Q</math> jest liczbą nieparzystą, zatem liczby występujące w rozkładach <math>x^2 + 3 y^2 = a^2 + 3 b^2</math> muszą mieć przeciwną parzystość. Pokażemy, że liczby <math>x, a</math> muszą mieć taką samą parzystość. Gdyby liczba <math>x</math> była nieparzysta, a liczba <math>a</math> parzysta, to modulo <math>4</math> mielibyśmy
| + | Otrzymujemy |
| | | | |
| − | ::<math>1 + 3 \cdot 0 \equiv 0 + 3 \cdot 1 \!\! \pmod{4}</math> | + | ::<math>n = 29409.965</math> |
| | | | |
| − | Co jest niemożliwe.
| + | Zatem <math>{\small\frac{n}{3 \log n}} > n^{2 / 3}</math> dla <math>n > 2.95 \cdot 10^4</math>. |
| − | </div> | |
| − | Mamy
| |
| | | | |
| − | ::<math>x^2 - a^2 = n (b^2 - y^2)</math>
| + | Poleceniem |
| | | | |
| − | ::<math>(x - a) (x + a) = n (b - y) (b + y)</math> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n = 1, 3*10^4, '''if'''( '''eulerphi'''(n) <= n^(2/3), '''print'''(n) ))</span> |
| | | | |
| − | Niech <math>f = \gcd (x - a, b - y)</math>, zatem <math>f</math> jest liczbą parzystą i
| + | sprawdzamy, że oszacowanie <math>\varphi (n) > n^{2 / 3}</math> jest prawdziwe dla <math>n \geqslant 43</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>x - a = f r , \qquad \qquad b - y = f s , \qquad \qquad \gcd (r, s) = 1</math>
| |
| | | | |
| − | Czyli
| + | Postępując analogicznie jak wyżej, znajdujemy, dla jakich <math>n</math> prawdziwa jest nierówność |
| | | | |
| − | ::<math>r(x + a) = n s (y + b)</math> | + | ::<math>{\small\frac{n}{3 \log n}} > n^{3 / 4}</math> |
| | | | |
| − | ale liczby <math>r, s</math> są względnie pierwsze, zatem <math>s \, | \, (x + a)</math> i musi być
| + | Wpisując w PARI/GP polecenie |
| | | | |
| − | ::<math>x + a = k s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = k r</math> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''solve'''(n = 10, 10^7, n/(3*'''log'''(n)) - n^(3/4))</span> |
| | | | |
| − | Gdyby <math>k</math> było liczbą nieparzystą, to liczby <math>r, s</math> musiałyby być parzyste, co jest niemożliwe, bo <math>\gcd (r, s) = 1</math>. Zatem <math>k</math> jest liczbą parzystą i <math>2 s \, | \, (x + a)</math>, czyli możemy pokazać więcej. Musi być
| + | otrzymujemy |
| | | | |
| − | ::<math>x + a = 2 l s \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad n (y + b) = 2 l r</math> | + | ::<math>n = 4447862.680</math> |
| | | | |
| − | W przypadku gdy <math>n = 2</math> lub <math>n = 3</math>, zauważmy, że <math>n \, | \, l</math> lub <math>n \, | \, r</math>.
| + | Zatem <math>{\small\frac{n}{3 \log n}} > n^{3 / 4}</math> dla <math>n > 4.45 \cdot 10^6</math> |
| | | | |
| − | Łatwo otrzymujemy
| + | Poleceniem |
| | | | |
| − | ::<math>x = {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r)</math> | + | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n = 1, 5*10^6, '''if'''( '''eulerphi'''(n) <= n^(3/4), '''print'''(n) ))</span> |
| | | | |
| − | ::<math>y = {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s)</math>
| + | sprawdzamy, że oszacowanie <math>\varphi (n) > n^{3 / 4}</math> jest prawdziwe dla <math>n \geqslant 211</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Ostatecznie
| |
| − | | |
| − | ::<math>Q = x^2 + n y^2</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\;\;\;\: = \left[ {\small\frac{1}{2}} (2 l s + f r) \right]^2 + n \left[ {\small\frac{1}{2 n}} (2 l r - n f s) \right]^2</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s + f r)^2 + (2 l r - n f s)^2]</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [n (2 l s)^2 + n (f r)^2 + (2 l r)^2 + (n f s)^2]</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2)</math>
| |
| − | | |
| − | <div style="border: thin solid black; padding-top: 0em; margin-top: 0.5em; padding-bottom: 0em; margin-bottom: 0.5em;">
| |
| − | <math>\boldsymbol{n = 1}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>Q = {\small\frac{1}{4}} [(2 l)^2 + f^2] (r^2 + s^2) = \left[ l^2 + \left( {\small\frac{f}{2}} \right)^2 \right] (r^2 + s^2)</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\boldsymbol{n = 2 , 3}</math>
| |
| − | | |
| − | W zależności od tego, która z liczb <math>l, r</math> jest podzielna przez <math>n</math>, możemy napisać
| |
| − | | |
| − | ::<math>Q = {\small\frac{1}{4 n}} [(2 l)^2 + n f^2] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4 n}} \right] (r^2 + n s^2) = \left[ {\small\frac{(2 l)^2 + n f^2}{4}} \right] \left( {\small\frac{r^2 + n s^2}{n}} \right)</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Co kończy dowód.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2535: |
Linia 1252: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J94</span><br/>
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H42</span><br/> |
| − | Zauważmy, że iloczyn liczb postaci <math>x^2 + n y^2</math> jest liczbą tej samej postaci.
| + | Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczba <math>n</math> jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\varphi (n) = n - 1</math>. |
| − | | |
| − | ::<math>(a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2) = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
| |
| − | | |
| − | ::::::::<math>\;\;\;\:\, = (a x - n b y)^2 + n (a y + b x)^2</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J95</span><br/> | |
| − | Niech <math>x, y, a, b \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \{ 1, 2, 3 \}</math>. Jeżeli liczba parzysta <math>Q = x^2 + n y^2</math>, to <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R = a^2 + n b^2</math> jest liczbą nieparzystą. | |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | W szczególnym przypadku, gdy <math>R = 1</math>, mamy <math>R = 1^2 + n \cdot 0^2</math>.
| + | Dla liczb złożonych <math>n \geqslant 4</math> nigdy nie będzie <math>\varphi (n) = n - 1</math>, bo |
| | | | |
| − | Dowód sprowadza się do podania wzorów, które pozwalają obniżyć wykładnik, z jakim liczba <math>2</math> występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby <math>Q</math>. Zauważmy, że wynik jest zawsze liczbą, której postać jest taka sama, jak postać liczby <math>Q</math>. Stosując te wzory odpowiednią ilość razy, otrzymujmy rozkład <math>Q = 2^{\alpha} R</math>, gdzie <math>R</math> jest liczbą nieparzystą postaci <math>a^2 + n b^2</math>.
| + | ::<math>\varphi (n) \leqslant n - \sqrt{n} \leqslant n - 2</math> |
| | | | |
| − | '''1.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + y^2}</math>
| + | Dla <math>n = 1, 2, 3</math> sprawdzamy bezpośrednio: <math>\varphi (1) = 1 \neq 1 - 1</math>, <math>\varphi (2) = 1 = 2 - 1</math>, <math>\varphi (3) = 2 = 3 - 1</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| − | | |
| − | a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = \left( {\small\frac{x + y}{2}} \right)^2 + \left( {\small\frac{x - y}{2}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | '''2.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 2 y^2}</math>
| |
| − | | |
| − | a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 2 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | b) jeżeli liczba <math>x</math> jest parzysta, a <math>y</math> nieparzysta, to <math>{\small\frac{Q}{2}} = y^2 + 2 \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | '''3.''' <math>\boldsymbol{Q = x^2 + 3 y^2}</math>
| |
| − | | |
| − | a) jeżeli liczby <math>x, y</math> są parzyste, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x}{2}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{y}{2}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | b) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x + y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x - 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x + y}{4}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | c) jeżeli liczby <math>x, y</math> są nieparzyste i <math>4| (x - y)</math>, to <math>{\small\frac{Q}{4}} = \left( {\small\frac{x + 3 y}{4}} \right)^2 + 3 \left( {\small\frac{x - y}{4}} \right)^2</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2578: |
Linia 1266: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J96</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H43</span><br/> |
| − | Liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
| + | Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej <math>n</math> jest |
| − | | |
| − | :(a) <math>4 k + 1</math>
| |
| − | | |
| − | :(b) <math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math>
| |
| | | | |
| − | :(c) <math>6 k + 1</math> | + | ::<math>n = \sum_{d \mid n} \varphi (d) = \sum_{d \mid n} \varphi \left( \frac{n}{d} \right)</math> |
| | | | |
| − | wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych dodatnich <math>x, y</math>, że
| + | gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dzielnikach dodatnich liczby <math>n</math>. |
| − | | |
| − | :(a) <math>p = x^2 + y^2</math>
| |
| − | | |
| − | :(b) <math>p = x^2 + 2 y^2</math>
| |
| − | | |
| − | :(c) <math>p = x^2 + 3 y^2</math>
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| | + | Ponieważ <math>\varphi (n)</math> jest funkcją multiplikatywną, to funkcja |
| | | | |
| − | <math>\Large{\Longleftarrow}</math>
| + | ::<math>F(n) = \sum_{d \mid n} \varphi (d)</math> |
| − | | |
| − | Niech <math>n = 1, 2, 3</math>. Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> może być przedstawiona w postaci <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math>, gdzie <math>x_0, y_0</math> są liczbami takimi, że <math>1 \leqslant x_0, y_0 < p</math>. Zatem <math>p \nmid x_0</math> i <math>p \nmid y_0</math>, a rozpatrując równanie <math>p = x_0^2 + n y_0^2</math> modulo <math>p</math> dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> | |
| − | | |
| − | Zauważmy, że liczba <math>x_0</math> jest rozwiązaniem kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv - n y_0^2 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| | | | |
| − | Wynika stąd, że liczba <math>- n y_0^2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem
| + | też jest funkcją multiplikatywną (zobacz H30). Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Niech <math>n > 1</math>. Jeżeli <math>n = |
| | + | p^{\alpha}</math> jest potęgą liczby pierwszej, to otrzymujemy |
| | | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| + | ::<math>F (p^{\alpha}) = \sum_{d \mid p^{\alpha}} \varphi (d)</math> |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- n y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{y_0^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> | |
| − | </div>
| |
| | | | |
| − | Z twierdzenia J35 i zadania J39 otrzymujemy natychmiast
| + | ::::<math>= \varphi (1) + \varphi (p) + \varphi (p^2) + \ldots + \varphi (p^{\alpha}) =</math> |
| | | | |
| − | :(a) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>4 k + 1</math> | + | ::::<math>= 1 + (p - 1) + p (p - 1) + \ldots + p^{\alpha - 1} (p - 1) =</math> |
| | | | |
| − | :(b) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math> | + | ::::<math>= 1 + (p - 1) + (p^2 - p) + \ldots + (p^{\alpha} - p^{\alpha - 1})</math> |
| | | | |
| − | :(c) jeżeli <math>\left( {\small\frac{- 3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>6 k + 1</math> | + | ::::<math>= p^{\alpha}</math> |
| | | | |
| − | Co należało pokazać.
| + | Jeżeli <math>n</math> jest postaci <math>n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math>, to |
| | | | |
| | + | ::<math>F(n) = F (p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s) =</math> |
| | | | |
| − | <math>\Large{\Longrightarrow}</math> | + | :::<math>\;\;\;\, = F (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot F (p^{\alpha_s}_s) =</math> |
| | | | |
| − | '''A. Istnienie rozwiązania kongruencji''' <math>\boldsymbol{x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}}</math>
| + | :::<math>\;\;\;\, = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> |
| | | | |
| − | Z założenia liczba pierwsza <math>p \geqslant 3</math> jest postaci
| + | :::<math>\;\;\;\, = n</math> |
| | | | |
| − | :(a) <math>4 k + 1</math>
| + | Niech <math>1 < d_1 < d_2 < \ldots < n</math> będą dzielnikami liczby <math>n</math>. Zauważmy, że kiedy <math>d</math> przebiega zbiór dzielników <math>\{ 1, d_1, d_2, \ldots, n \}</math>, to <math>e = \frac{n}{d}</math> przebiega wszystkie te liczby tylko w odwrotnej kolejności. Zatem |
| | | | |
| − | :(b) <math>8 k + 1 \,</math> lub <math>\: 8 k + 3</math> | + | ::<math>\sum_{d \mid n} \varphi (d) = \sum_{d \mid n} \varphi \left( \frac{n}{d} \right)</math> |
| | | | |
| − | :(c) <math>6 k + 1</math>
| + | Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że dla (a) <math>n = 1</math>, (b) <math>n = 2</math>, (c) <math>n = 3</math> mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{- n}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | (zobacz J35 i J39) i liczba <math>- n</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Zatem kongruencja
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 \equiv - n \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>k^2 + n \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że liczby <math>x_0 = k</math> i <math>y_0 = 1</math> są szczególnymi przypadkami rozwiązania kongruencji
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | W przypadku (a), korzystając z twierdzenia Wilsona (zobacz J18), liczbę <math>x_0</math> możemy jawnie wypisać: <math>x_0 = \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) !</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | '''B. Zmniejszenie rozwiązania początkowego'''
| |
| − | | |
| − | Niech liczby <math>x_0, y_0</math> takie, że <math>p \nmid x_0 \,</math> i <math>\, p \nmid y_0</math> spełniają kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>x_0^2 + n y_0^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Wybierzmy liczby <math>r, s</math> tak, aby były najbliższymi liczbami całkowitymi odpowiednio dla liczb <math>{\small\frac{x_0}{p}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y_0}{p}}</math>. Z definicji mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left| {\small\frac{x_0}{p}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y_0}{p}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>| x_0 - r p | \leqslant {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | \leqslant {\small\frac{p}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{p}{2}}</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
| |
| − | | |
| − | ::<math>| x_0 - r p | < {\small\frac{p}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y_0 - s p | < {\small\frac{p}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że dla dowolnego rozwiązania początkowego <math>x_0, y_0</math> możemy wybrać liczby
| |
| − | | |
| − | ::<math>x = x_0 - r p \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad y = y_0 - s p</math>
| |
| − | | |
| − | takie, że <math>p \nmid x</math> oraz <math>p \nmid y</math> i dla których
| |
| − | | |
| − | ::<math>0 < x^2 + n y^2 < \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 + n \left( {\small\frac{p}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) p}{4}} \cdot p</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ modulo <math>p</math> jest <math>x \equiv x_0 \,</math> i <math>\, y \equiv y_0</math>, to liczby <math>x, y</math> spełniają kongruencję
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + n y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem wynikające z powyższej kongruencji równanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
| |
| − | | |
| − | ma rozwiązanie dla liczb
| |
| − | | |
| − | ::<math>| x | < {\small\frac{p}{2}} , \qquad \qquad | y | < {\small\frac{p}{2}}, \qquad \qquad 1 \leqslant m < {\small\frac{(n + 1) p}{4}}</math>
| |
| − | | |
| − | Pomysł ze zmniejszaniem liczb stanowiących rozwiązanie za chwilę wykorzystamy ponownie i będzie to istotny element dowodu.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | '''C. Metoda nieskończonego schodzenia Fermata'''<ref name="InfiniteDescent1"/><ref name="Bussey1"/>
| |
| − | | |
| − | Pomysł dowodu został zaczerpnięty z książki Hardy'ego i Wrighta<ref name="HardyWright1"/>.
| |
| − | | |
| − | Jeżeli w rozwiązaniu <math>m = 1</math>, to <math>p = x^2 + n y^2</math> i twierdzenie jest udowodnione. W przypadku gdy <math>m > 1</math> wskażemy sposób postępowania, który pozwoli nam z istniejącego rozwiązania równania
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + n y^2 = m p</math>
| |
| − | | |
| − | otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
| |
| − | | |
| − | takie, że <math>1 \leqslant m_1 < m</math>. Powtarzając tę procedurę odpowiednią ilość razy, otrzymamy rozwiązanie <math>x_k, y_k, m_k</math>, gdzie <math>m_k = 1</math>. Istnienie takiej procedury stanowi dowód prawdziwości twierdzenia.
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że podział na parzyste i nieparzyste liczby <math>m</math> jest konieczny tylko w przypadku gdy <math>n = 3</math>. W pozostałych przypadkach nie musimy wzmacniać nierówności, aby prawdziwe było oszacowanie <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
| |
| − | | |
| − | '''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą parzystą'''
| |
| − | | |
| − | Jeżeli <math>m > 1</math> jest liczbą parzystą, to z twierdzenia J95 wiemy, że liczba <math>x^2 + n y^2</math> może być zapisana w postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + n y^2 = 2^{\alpha} (x^2_1 + n y^2_1)</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>x^2_1 + n y^2_1</math> jest liczbą nieparzystą. Wystarczy położyć <math>m_1 = {\small\frac{m}{2^{\alpha}}}</math>, aby z istniejącego rozwiązania otrzymać nowe rozwiązanie tej samej postaci
| |
| − | | |
| − | ::<math>x_1^2 + n y_1^2 = m_1 p</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>m_1</math> jest liczbą nieparzystą i <math>1 \leqslant m_1 < m</math>.
| |
| − | | |
| − | '''Przypadek, gdy''' <math>\boldsymbol{m > 1}</math> '''jest liczbą nieparzystą'''
| |
| − | | |
| − | Niech liczby <math>r, s</math> będą liczbami całkowitymi najbliższymi liczbom <math>{\small\frac{x}{m}} \,</math> i <math>\, {\small\frac{y}{m}}</math>. Z definicji mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left| {\small\frac{x}{m}} - r \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \left| {\small\frac{y}{m}} - s \right| \leqslant {\small\frac{1}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>| x - r m | \leqslant {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | \leqslant {\small\frac{m}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ liczby po lewej stronie nierówności są liczbami całkowitymi, to nigdy nie będą równe liczbie <math>{\small\frac{m}{2}}</math>, gdzie <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Pozwala to wzmocnić wypisane nierówności.
| |
| − | | |
| − | ::<math>| x - r m | < {\small\frac{m}{2}} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad | y - s m | < {\small\frac{m}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Połóżmy
| |
| − | | |
| − | ::<math>a = x - r m \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad b = y - s m</math>
| |
| − | | |
| − | Zauważmy, że liczba <math>m</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>x</math> i <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>m^2 \, | \, (x^2 + n y^2)</math>, czyli <math>m \, | \, p</math>, co jest niemożliwe. Zatem przynajmniej jedna z liczb <math>a, b</math> musi być różna od <math>0</math>.
| |
| − | | |
| − | Rozpatrując równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math> modulo <math>m</math> i uwzględniając, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>y \equiv b \!\! \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^2 + n b^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>
| |
| − | | |
| − | Mamy też oszacowanie
| |
| − | | |
| − | ::<math>0 < a^2 + n b^2 < \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 + n \cdot \left( {\small\frac{m}{2}} \right)^2 = {\small\frac{(n + 1) m^2}{4}} = {\small\frac{(n + 1) m}{4}} \cdot m</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>m_1</math> spełniająca warunek <math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>a^2 + n b^2 = m_1 m</math>
| |
| − | | |
| − | Mnożąc stronami powyższe równanie i równanie <math>x^2 + n y^2 = m p</math>, otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>m_1 m^2 p = (a^2 + n b^2) (x^2 + n y^2)</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\; = (a x + n b y)^2 + n (a y - b x)^2</math>
| |
| − | | |
| − | (zobacz J94). Zauważmy teraz, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>a x + n b y = (x - r m) x + n (y - s m) y</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\quad \; = x^2 - r m x + n y^2 - n s m y</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\quad \; = m (p - r x - n s y)</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\quad \; = m x_1</math>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | ::<math>a y - b x = (x - r m) y - (y - s m) x</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\;\, = x y - r m y - y x + s m x</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\;\, = m (s x - r y)</math>
| |
| − | | |
| − | ::::<math>\;\;\, = m y_1</math>
| |
| − | | |
| − | Gdzie oznaczyliśmy
| |
| − | | |
| − | ::<math>x_1 = p - r x - n s y</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>y_1 = s x - r y</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>m_1 m^2 p = (m x_1)^2 + n (m y_1)^2</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2_1 + n y^2_1 = m_1 p</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie
| |
| − | | |
| − | ::<math>1 \leqslant m_1 < {\small\frac{(n + 1) m}{4}}</math>
| |
| − | | |
| − | Czyli powtarzając odpowiednią ilość razy opisaną powyżej procedurę, otrzymamy <math>m_k = 1</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | '''D. Jednoznaczność rozkładu'''
| |
| − | | |
| − | Z założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą, zatem jednoznaczność rozkładu wynika z twierdzenia J93. Co kończy dowód.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2816: |
Linia 1311: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J97</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H44</span><br/> |
| − | Udowodnione wyżej twierdzenie można wykorzystać do znalezienia rozkładu liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 1</math> na sumę dwóch kwadratów. Dla dużych liczb pierwszych funkcja działa wolno, bo dużo czasu zajmuje obliczanie silni.
| + | Niech <math>n \geqslant 2</math>. Pokazać, że suma liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n</math> i względnie pierwszych z <math>n</math> jest równa <math>{\small\frac{1}{2}} n \varphi (n)</math>. |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
| |
| − | <span style="font-size: 90%; color:black;">SumOfTwoSquares(p) =
| |
| − | {
| |
| − | '''local'''(m, r, s, x, y, x1, y1);
| |
| − | '''if'''( p%4 <> 1 || !'''isprime'''(p), '''return'''("Error") );
| |
| − | x = 1;
| |
| − | '''for'''(k = 2, (p-1)/2, x = (x*k)%p); \\ x = { [(p-1)/2]! } % p
| |
| − | x = x - '''round'''(x/p)*p;
| |
| − | y = 1;
| |
| − | m = (x^2 + y^2)/p;
| |
| − | '''while'''( m > 1,
| |
| − | r = '''round'''(x/m);
| |
| − | s = '''round'''(y/m);
| |
| − | x1 = p - r*x - s*y;
| |
| − | y1 = r*y - s*x;
| |
| − | x = x1;
| |
| − | y = y1;
| |
| − | m = (x^2 + y^2)/p;
| |
| − | );
| |
| − | '''return'''([ '''abs'''(x), '''abs'''(y), p ]);
| |
| − | }</span>
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J98</span><br/>
| |
| − | Niech liczby pierwsze <math>p, q</math> będą postaci <math>4 k + 1</math>, a liczba pierwsza <math>r</math>
| |
| − | będzie postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że
| |
| − | :* liczby <math>r, p r \,</math> i <math>\, r^2</math> nie rozkładają się na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
| |
| − | :* liczby <math>p</math>, <math>2 p</math>, <math>p^2 \,</math> i <math>\, p r^2</math> mają jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
| |
| − | :* liczba <math>p q</math>, <math>p \neq q</math> ma dwa rozkłady na sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych dodatnich
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Łatwo sprawdzamy, że wzór jest prawdziwy dla <math>n = 2</math> i odtąd będziemy przyjmowali, że <math>n \geqslant 3</math>. Zatem wartości <math>\varphi (n)</math> są liczbami parzystymi i niech <math>c = {\small\frac{1}{2}} \varphi (n)</math>. Zauważmy, że jeżeli liczba <math>a</math> jest względnie pierwsza z <math>n</math>, to liczba <math>n - a</math> jest również względnie pierwsza z <math>n</math>, bo <math>\gcd (a, n) = \gcd (n - a, n)</math>. Wypiszmy wszystkie liczby całkowite dodatnie nie większe od <math>n</math> i względnie pierwsze z <math>n</math> w kolejności rosnącej, a pod spodem w kolejności malejącej |
| | | | |
| − | '''Punkt 1.'''
| + | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" |
| − | | + | |- |
| − | Ponieważ liczby <math>r \,</math> i <math>\, p r</math> są postaci <math>4 k + 3</math>, to modulo <math>4</math> mamy
| + | | <math>1</math> || <math>a_2</math> || <math>…</math> || <math>a_c</math> || <math>n - a_c</math> || <math>…</math> || <math>n - a_2</math> || <math>n - 1</math> |
| − | | + | |- |
| − | ::<math>r, p r \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
| + | | <math>n - 1</math> || <math>n - a_2</math> || <math>…</math> || <math>n - a_c</math> || <math>a_c</math> || <math>…</math> || <math>a_2</math> || <math>1</math> |
| | + | |} |
| | | | |
| − | Suma <math>x^2 + y^2</math> musi być liczbą nieparzystą, zatem liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość i modulo <math>4</math> mamy | + | Suma liczb w każdej kolumnie jest równa <math>n</math>. Ponieważ ilość liczb względnie pierwszych z <math>n</math> jest równa <math>\varphi (n)</math>, to podwojona suma liczb całkowitych nie większych od <math>n</math> i pierwszych względem <math>n</math> wynosi <math>n \varphi (n)</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + y^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>
| |
| − | | |
| − | Przypuśćmy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>r^2 = x^2 + y^2</math>
| |
| − | | |
| − | gdzie <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Liczby <math>x, y</math> muszą mieć przeciwną parzystość, zatem <math>x \neq y</math>. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>, co w sposób oczywisty jest niemożliwe.
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 2.'''
| |
| − | | |
| − | W przypadku liczby pierwszej <math>p</math> odpowiedzi udziela twierdzenie J96. Niech <math>p = x^2 + y^2</math>, mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>2 p = (x + y)^2 + (x - y)^2</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2 x y)^2</math>
| |
| − | | |
| − | ::<math>p r^2 = (r x)^2 + (r y)^2</math>
| |
| − | | |
| − | '''Punkt 3.'''
| |
| − | | |
| − | Niech <math>p = x^2 + y^2</math> i <math>q = a^2 + b^2</math>. Ze wzorów podanych w uwadze J94 mamy
| |
| − | | |
| − | ::<math>p q = (a^2 + b^2) (x^2 + y^2) = (a x + b y)^2 + (a y - b x)^2</math>
| |
| − | | |
| − | :::::::::<math>\:\, = (a x - b y)^2 + (a y + b x)^2</math>
| |
| − | | |
| − | Co należało pokazać.<br/> | |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2893: |
Linia 1330: |
| | | | |
| | | | |
| − | | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H45</span><br/> |
| − | | + | Pokazać, że dla liczb naturalnych nieparzystych <math>n \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\varphi (n) > \pi (n)</math>. |
| − | == Twierdzenia o istnieniu liczb pierwszych kwadratowych i niekwadratowych modulo ==
| |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J99</span><br/> | |
| − | Niech <math>s = \pm 1</math>. Zbadać podzielność liczby <math>p - s a^2</math>
| |
| − | | |
| − | :* przez <math>4</math>, gdy <math>p = 4 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3</math>
| |
| − | :* przez <math>8</math>, gdy <math>p = 8 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7</math>
| |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| − | Problem sprowadza się do uzyskania odpowiedzi, kiedy kongruencja
| + | '''1.''' Jeżeli <math>n \geqslant 5</math> jest liczbą pierwszą, to liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>n</math> oraz liczby <math>1, 4</math>. Zatem |
| | | | |
| − | ::<math>p - s a^2 \equiv 0 \pmod{2^n}</math> | + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 2 > \pi (n)</math>. |
| | | | |
| − | gdzie <math>n = 2, 3</math>, ma rozwiązanie. Podstawiając dostajemy
| + | '''2.''' Jeżeli <math>n = p^a</math>, gdzie <math>a \geqslant 2</math>, jest potęgą liczby pierwszej nieparzystej, to <math>n \geqslant 9</math> i liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze nie większe od <math>n</math> (oprócz liczby <math>p</math>) oraz liczby <math>1, 4, 8</math>. Zatem |
| | | | |
| − | ::<math>2^n k + r \equiv s a^2 \pmod{2^n}</math> | + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 3 > \pi (n)</math>. |
| | | | |
| − | ::<math>s a^2 \equiv r \pmod{2^n}</math>
| + | '''3.''' Jeżeli <math>n</math> ma więcej niż jeden dzielnik pierwszy nieparzysty, to <math>n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s</math>, gdzie <math>s \geqslant 2</math>. Zauważmy, że |
| | | | |
| − | ::<math>a^2 \equiv s r \pmod{2^n}</math> | + | ::<math>n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \geqslant q_1 \cdot \ldots \cdot q_s \geqslant 3 \cdot 5^{s - 1} > 2^{2 s - 1}</math> |
| | | | |
| − | Z twierdzenia J48 wiemy, że aby powyższa kongruencja miała rozwiązanie, musi być <math>2^n \, | \, (s r - 1)</math>, co jest możliwe tylko, gdy
| + | Liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze nie większe od <math>n</math> (oprócz liczb <math>q_1, \ldots, q_s</math>) oraz liczby <math>1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2 s - 1}</math>. Zatem |
| | | | |
| − | ::<math>s = | + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - s + 2 s - 1 = \pi (n) + s - 1 > \pi (n)</math> |
| − | \begin{cases} | |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
| |
| − | \end{cases}</math> | |
| | | | |
| − | dla <math>2^n = 4</math> i gdy
| + | Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>s =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | dla <math>2^n = 8</math>. Dla <math>2^n = 8</math> i <math>r = 3, 5</math> rozpatrywana kongruencja nie ma rozwiązania.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 2938: |
Linia 1356: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J100</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H46</span><br/> |
| − | Poniżej udowodnimy twierdzenie dotyczące istnienia liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>, które są liczbami kwadratowymi modulo <math>p</math>. Pomysł dowodu zaczerpnęliśmy z pracy Alexandru Gicy<ref name="Gica1"/>. Zadanie J99 należy traktować jako uzupełnienie do dowodu, które pokazuje, że powiązanie liczby <math>s</math> z postacią liczby pierwszej <math>p</math> nie jest przypadkowe. Zauważmy, że twierdzenie ogranicza się do liczb pierwszych <math>p</math> ponieważ dla liczb złożonych nieparzystych <math>m > 0</math> wynik <math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> nie oznacza, że liczba <math>q</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
| + | Pokazać, że dla liczb naturalnych <math>n \geqslant 91</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\varphi (n) > \pi (n)</math>. |
| | | | |
| − | W tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> kwadratowe modulo <math>p</math>
| + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| | + | Ponieważ <math>p_{2 s} > 1</math> i <math>p_{2 s} \geqslant p_{s + 1}</math>, to z zadania A40 natychmiast wynika nierówność |
| | | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;" | + | ::<math>p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_s > p_{s + 1} p_{2 s}</math> |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{p}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{q}</math>
| |
| − | | style="background-color: red" | <math>7</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || style="background-color: red" | <math>11</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || style="background-color: red" | <math>19</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>23</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>19</math> || <math>3</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math> || <math>11</math> || <math>3</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | która jest prawdziwa dla <math>n \geqslant 4</math>. |
| | | | |
| − | W kolejnej tabeli przedstawiamy najmniejsze liczby pierwsze <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math> kwadratowe modulo <math>p</math>
| + | Pokażemy najpierw, że dla każdej liczby naturalnej mającej nie mniej niż cztery dzielniki pierwsze nierówność <math>\varphi (n) > \pi (n)</math> jest zawsze prawdziwa. |
| | | | |
| − | ::{| class="wikitable plainlinks" style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
| + | Przez <math>p_1, p_2, \ldots, p_k, \ldots</math> oznaczymy kolejne liczby pierwsze. Niech <math>n \geqslant 2</math> będzie liczbą naturalną i <math>n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s</math>, gdzie <math>q_i</math> oznaczają dowolne (nie muszą być kolejne) liczby pierwsze. |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{p}</math>
| |
| − | | <math>3</math> || <math>5</math> || <math>7</math> || <math>11</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>19</math> || <math>23</math> || <math>29</math> || <math>31</math> || <math>37</math> || <math>41</math> || <math>43</math> || <math>47</math> || <math>53</math> || <math>59</math> || <math>61</math> || <math>67</math> || <math>71</math> || <math>73</math> || <math>79</math> || <math>83</math> || <math>89</math> || <math>97</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math>\boldsymbol{q}</math>
| |
| − | | style="background-color: red" | <math>13</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || style="background-color: red" | <math>29</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || style="background-color: red" | <math>41</math> || <math>5</math> || <math>13</math> || <math>17</math> || <math>13</math> || <math>5</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>37</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>5</math> || <math>53</math>
| |
| − | |}
| |
| | | | |
| | + | Wśród kolejnych <math>2 s</math> liczb pierwszych znajduje się przynajmniej <math>s</math> liczb pierwszych '''różnych''' od każdej z liczb <math>q_1, \ldots, q_s</math>. Jeśli oznaczymy te liczby (w rosnącej kolejności) przez <math>r_1, \ldots, r_s</math>, to łatwo zauważymy, że prawdziwe są dla nich następujące oszacowania |
| | | | |
| | + | :* dla najmniejszej liczby <math>r_1 \leqslant p_{s + 1}</math> |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J101</span><br/>
| + | :* dla wszystkich liczb <math>r_j \leqslant p_{2 s}</math> dla <math>j = 1, \ldots, s</math>. |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> i <math>p \neq 17</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| + | Korzystając z wypisanej na początku dowodu nierówności, dla <math>s \geqslant 4</math> mamy |
| − | Niech
| |
| − | ::<math>s =
| |
| − | \begin{cases}
| |
| − | \;\;\: 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 1 \\
| |
| − | - 1 & \text{gdy } \, p \, \text{ jest postaci } \, 4 k + 3 \\
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | | |
| − | Dla ustalonych liczb <math>n</math> i <math>s</math> rozważmy liczbę <math>u(a) = {\small\frac{p - s a^2}{2^n}}</math> taką, że <math>3 \leqslant u (a) < p</math>. Jeżeli liczba ta jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < p</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Zatem możemy napisać <math>u (a) = t q</math>, co oznacza, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>p - s a^2 = 2^n u (a) = 2^n t q</math>
| |
| − | | |
| − | Czyli
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv s a^2 \pmod{q}</math>
| |
| − | | |
| − | i otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =s \cdot \left( {\small\frac{s}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem liczba <math>q < p</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | Pomysł dowodu polega na wskazaniu kilku liczb <math>u(a_1), \ldots, u(a_r)</math> takich, że
| |
| | | | |
| − | ::<math>3 \leqslant u(a_1) < \ldots < u(a_r) < p</math> | + | ::<math>n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \geqslant q_1 \cdot \ldots \cdot q_s \geqslant p_1 \cdot \ldots \cdot p_s > p_{s + 1} p_{2 s} \geqslant r_1 \cdot r_j</math> |
| | | | |
| − | z których jedna musi być postaci <math>4 k + 3</math>.
| + | gdzie <math>j = 1, \ldots, s</math>. |
| | | | |
| − | '''Przypadek pierwszy:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 3 \!\! \pmod{8}}</math>
| + | Wynika stąd, że jeśli <math>s \geqslant 4</math>, to liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze nie większe od <math>n</math> (oprócz liczb pierwszych <math>q_1, \ldots, q_s</math>) oraz liczby <math>1</math> i <math>r_1 r_j</math>, gdzie <math>j = 1, \ldots, s</math>. Zatem |
| | | | |
| − | Mamy <math>s = - 1</math> i przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
| + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - s + s + 1> \pi (n)</math> |
| | | | |
| − | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{4}} < {\small\frac{p + 9}{4}} < p</math>
| + | Co mieliśmy pokazać. |
| | | | |
| − | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 11</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 3</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k + 1, 2 k + 3 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
| |
| | | | |
| − | '''Przypadek drugi:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 5 \!\! \pmod{8}}</math>
| + | Uwzględniając rezultat pokazany w zadaniu H45, pozostaje sprawdzić przypadki gdy <math>n = 2^a</math>, <math>n = 2^a p^b</math>, <math>n = 2^a p^b q^c</math>, gdzie <math>a, b, c \in \mathbb{Z}_+</math>. |
| | | | |
| − | Mamy <math>s = + 1</math> i przyjmujemy <math>n = 2</math>. Rozważmy liczby
| + | '''1.''' Niech <math>n = 2^a</math>. Jeśli <math>n \geqslant 16</math>, to liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze nie większe od <math>n</math> (oprócz liczby <math>2</math>) oraz liczby <math>1, 9, 15</math>. Zatem |
| | | | |
| − | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 9}{4}} < {\small\frac{p - 1}{4}} < p</math> | + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 3 > \pi (n)</math> |
| | | | |
| − | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 21</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 5</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ 2 k - 1, 2 k + 1 \}</math>. Ponieważ są to dwie kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich jest postaci <math>4 k + 3</math>.
| + | '''2.''' Niech <math>n = 2^a p^b</math>, zaś <math>r</math> będzie najmniejszą liczbą pierwszą nieparzystą różną od <math>p</math>. Oczywiście <math>r \in \{ 3, 5 \}</math> i jeśli tylko <math>n > 5^3 = 125</math>, to liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze nie większe od <math>n</math> (oprócz liczb pierwszych <math>2</math> i <math>p</math>) oraz liczby <math>1, r^2, r^3</math>. Zatem |
| | | | |
| − | '''Przypadek trzeci:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 7 \!\! \pmod{8}}</math>
| + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - 2 + 3 > \pi (n)</math> |
| | | | |
| − | Mamy <math>s = - 1</math> i przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
| + | '''3.''' Niech <math>n = 2^a p^b q^c</math>, zaś <math>r</math> będzie najmniejszą liczbą pierwszą nieparzystą różną od <math>p</math> oraz różną od <math>q</math>. Oczywiście <math>r \in \{ 3, 5, 7 \}</math> i jeśli <math>n > 7^4 = 2401</math>, to liczbami pierwszymi względem <math>n</math> są wszystkie liczby pierwsze nie większe od <math>n</math> (oprócz liczb pierwszych <math>2</math>, <math>p</math> i <math>q</math>) oraz liczby <math>1, r^2, r^3, r^4</math>. Zatem |
| | | | |
| − | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p + 1}{8}} < {\small\frac{p + 9}{8}} < {\small\frac{p + 25}{8}} < {\small\frac{p + 49}{8}} < p</math> | + | ::<math>\varphi (n) \geqslant \pi (n) - 3 + 4 > \pi (n)</math> |
| | | | |
| − | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 23</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 7</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k + 1, k + 2, k + 4, k + 7 \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 1, r + 2, r, r + 3 \}</math>. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
| + | Zbierając: pozostaje sprawdzić bezpośrednio przypadki, gdy <math>n</math> jest liczbą parzystą i <math>n \leqslant 2401</math>. W GP/PARI wystarczy napisać polecenie |
| | | | |
| − | '''Przypadek czwarty:''' <math>\boldsymbol{p \equiv 1 \!\! \pmod{8}}</math>
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">for(n = 1, 2500, if( eulerphi(n) <= primepi(n), print(n) ))</span> |
| | | | |
| − | Mamy <math>s = + 1</math> i przyjmujemy <math>n = 3</math>. Rozważmy liczby
| + | Nierówność <math>\varphi (n) > \pi (n)</math> nie jest prawdziwa dla <math>n \in \{ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 42, 60, 90 \}</math>. Co kończy dowód.<br/> |
| − | | |
| − | ::<math>3 \leqslant {\small\frac{p - 49}{8}} < {\small\frac{p - 25}{8}} < {\small\frac{p - 9}{8}} < {\small\frac{p - 1}{8}} < p</math>
| |
| − | | |
| − | Oszacowania są jednocześnie spełnione dla <math>p \geqslant 73</math>. Z założenia <math>p = 8 k + 1</math>, zatem rozpatrywane liczby to <math>\{ k - 6, k - 3, k - 1, k \}</math>. Jeżeli <math>k \equiv r \!\! \pmod{4}</math>, to modulo <math>4</math> mamy zbiór <math>\{ r + 2, r + 1, r + 3, r \}</math>. Zatem jedna z liczb w tym zbiorze jest postaci <math>4 k + 3</math>.
| |
| − | | |
| − | Pozostaje sprawdzić twierdzenie dla liczb pierwszych <math>p < 73</math>. Co kończy dowód.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 3035: |
Linia 1413: |
| | | | |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J102</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie H47</span><br/> |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
| + | Pokazać, że <math>\varphi (n) = 2^a</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>n = 2^b q_1 \cdot \ldots \cdot q_s</math>, gdzie <math>q_1, \ldots, q_s</math> są liczbami pierwszymi Fermata: <math>3, 5, 17, 257, 65537</math>. |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | + | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}} |
| − | W przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p</math> jest postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>, to istnieją takie liczby całkowite dodatnie <math>x, y</math>, że <math>p = x^2 + 2 y^2</math> (zobacz J95). Ponieważ z założenia <math>p \geqslant 11</math>, to musi być <math>x \neq y</math>. Z twierdzenia J22 wynika, że liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 1</math>. Łatwo widzimy, że <math>q \leqslant x^2 + y^2 < x^2 + 2 y^2 = p</math>. | + | W przypadku, gdy <math>2 \mid n</math>, łatwo zauważamy, że liczba <math>2</math> może występować w dowolnej potędze, bo <math>\varphi (2^b) = 2^{b - 1}</math>. |
| − | | |
| − | Modulo <math>q</math> możemy napisać
| |
| − | | |
| − | ::<math>x^2 + y^2 \equiv 0 \!\! \pmod{q}</math>
| |
| − | | |
| − | Liczba pierwsza <math>q < p</math> nie może dzielić <math>y</math>, bo mielibyśmy <math>q \, | \, x</math>, czyli <math>q \, | \, p</math>, co jest niemożliwe. Rozpatrując równość <math>p = x^2 + 2 y^2</math> modulo <math>q</math>, dostajemy
| |
| − | | |
| − | ::<math>p \equiv y^2 \!\! \pmod{q}</math>
| |
| − | | |
| − | Wynika stąd natychmiast (zobacz J35 p.9)
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{y^2}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
| |
| | | | |
| − | Co kończy dowód.<br/> | + | W przypadku, gdy <math>p \mid n</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, mamy <math>\varphi (p^k) = (p - 1) p^{k - 1}</math> i równie łatwo zauważmy, że musi być <math>k = 1</math>, a liczba <math>p - 1</math> musi być potęgą liczby <math>2</math>. Zatem liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>p = 2^t + 1</math>, co jest możliwe tylko wtedy, gdy <math>t</math> jest potęgą liczby <math>2</math> (zobacz H48), czyli <math>p</math> musi być liczbą pierwszą Fermata. Co należało pokazać.<br/> |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 3059: |
Linia 1425: |
| | | | |
| | | | |
| − | Twierdzenie J102 można uogólnić na wszystkie liczby pierwsze <math>p</math> (nie tylko postaci <math>8 k + 1</math> lub <math>8 k + 3</math>)<ref name="Gica1"/><br/>
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J103*</span><br/>
| |
| − | Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> i <math>p \neq 13, 37</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>.
| |
| | | | |
| | | | |
| | + | == Uzupełnienie == |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J104</span><br/> | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie H48</span><br/> |
| − | Dla każdej liczby całkowitej <math>m \geqslant 7</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < m</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>.
| + | Niech <math>a, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>a \geqslant 2</math>. Jeżeli liczba <math>a^n + 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a</math> jest liczbą parzystą i <math>n = 2^m</math>. |
| | | | |
| | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} | | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}} |
| − | Ponieważ liczba <math>m - 4 \geqslant 3</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, to ma dzielnik pierwszy <math>q < m</math> postaci <math>4 k + 3</math> (zobacz C21). Czyli <math>m - 4 = k q</math> i z twierdzenia J35 p.9 dostajemy
| + | Gdyby liczba <math>a</math> była nieparzysta, to liczba <math>a^n + 1 \geqslant 4</math> byłaby parzysta i nie mogłaby być liczbą pierwszą. |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{q}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | - \left( {\small\frac{m}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | - \left( {\small\frac{k q + 4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} =
| |
| − | - \left( {\small\frac{4}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | | |
| − | Zatem <math>q</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | Można też pokazać, że<ref name="Pollack2"/><br/>
| |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J105*</span><br/>
| |
| − | '''A.''' Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 5</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | '''B.''' Dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 13</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 1</math> i jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J106</span><br/>
| |
| − | Niech <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Istnieje liczba pierwsza nieparzysta <math>q < p</math> taka, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 .</math>
| |
| − | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
| |
| − | Łatwo sprawdzamy, że
| |
| − | | |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | | |
| − | (zobacz J35 p.7). Zatem dowód wystarczy przeprowadzić dla <math>p \geqslant 13</math>.
| |
| − | | |
| − | '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 1}</math>
| |
| − | | |
| − | Niech liczba <math>q</math> będzie najmniejszą '''nieparzystą''' liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Z twierdzenia J65 wiemy, że dla <math>p \geqslant 5</math> liczba <math>q</math> jest liczbą pierwszą i jest mniejsza od <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to z twierdzenia J35 p.9 otrzymujemy natychmiast
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{4 k + 3}</math>
| |
| − | | |
| − | Z twierdzenia J101 wynika, że dla każdej liczby pierwszej <math>p \geqslant 11</math> postaci <math>4 k + 3</math> istnieje liczba pierwsza <math>q < p</math> taka, że <math>q</math> jest postaci <math>4 k + 3</math> i jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Ponieważ <math>p \equiv q \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>, to z twierdzenia J35 p.9 otrzymujemy natychmiast
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Co kończy dowód.<br/>
| |
| − | □
| |
| − | {{\Spoiler}}
| |
| − | | |
| | | | |
| | + | Niech wykładnik <math>n = x y</math> będzie liczbą złożoną, a <math>x</math> będzie liczbą nieparzystą. Wtedy |
| | | | |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J107</span><br/>
| + | ::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1</math> |
| − | Udowodnić twierdzenie J106 w przypadku, gdy liczba pierwsza <math>p \geqslant 19</math> jest postaci <math>4 k + 3</math>, nie korzystając z twierdzenia J101.
| |
| | | | |
| − | {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
| + | Oznaczając <math>b = a^y</math> oraz <math>x = 2 k + 1</math>, otrzymujemy |
| − | Z założenia <math>p = 4 k + 3</math>. Liczba <math>k</math> może być postaci <math>k = 3 j</math>, <math>k = 3 j + 1</math> i <math>k = 3 j + 2</math>. Odpowiada to liczbom pierwszym postaci <math>p = 12 j + 3</math>, <math>p = 12 j + 7</math> i <math>p = 12 j + 11</math>.
| |
| | | | |
| − | Ponieważ nie ma liczb pierwszych <math>p \geqslant 19</math> i będących postaci <math>p = 12 j + 3</math>, to pozostaje rozważyć przypadki <math>p = 12 j + 7</math> i <math>p = 12 j + 11</math>.
| + | ::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1 = b^x + 1 = b^{2 k + 1} + 1 = (b + 1) \cdot (1 - b + b^2 - b^3 + \ldots + b^{2 k - 2} - b^{2 k - 1} + b^{2 k})</math> |
| | | | |
| − | '''A. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 11}</math>
| + | Zatem w takim przypadku <math>a^n + 1</math> jest liczbą złożoną. Wynika stąd, że wykładnik <math>n</math> nie może zawierać czynników nieparzystych, czyli musi być <math>n = 2^m</math>. Co należało pokazać.<br/> |
| − | | |
| − | Wiemy, że w tym przypadku <math>\left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math> (zobacz J40). Mamy
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Czyli wystarczy przyjąć <math>q = 3</math>.
| |
| − | | |
| − | '''B. Liczba pierwsza''' <math>\, \boldsymbol{p} \,</math> '''jest postaci''' <math>\, \boldsymbol{12 j + 7}</math>
| |
| − | | |
| − | Wiemy, że w tym przypadku <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math> (zobacz J35 p.6 oraz J40). Otrzymujemy
| |
| − | | |
| − | <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
| |
| − | ::<math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{p - 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{- 12}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ - \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right] \cdot \left( {\small\frac{2^2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = -1</math>
| |
| − | </div>
| |
| − | | |
| − | Ponieważ liczba <math>p - 12 \geqslant 7</math> jest nieparzysta, to musi istnieć nieparzysty dzielnik pierwszy <math>q < p</math> liczby <math>p - 12</math> taki, że <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W przeciwnym razie z twierdzenia J35 p.4 mielibyśmy <math>\left( {\small\frac{p}{p - 12}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
| |
| | □ | | □ |
| | {{\Spoiler}} | | {{\Spoiler}} |
| Linia 3169: |
Linia 1464: |
| | <references> | | <references> |
| | | | |
| − | <ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref> | + | <ref name="GCD1">Wikipedia, ''Największy wspólny dzielnik'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Najwi%C4%99kszy_wsp%C3%B3lny_dzielnik Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor Wiki-en])</ref> |
| − | | |
| − | <ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref>
| |
| | | | |
| − | <ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref> | + | <ref name="cardinality1">Wikipedia, ''Moc zbioru'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality Wiki-en])</ref> |
| | | | |
| | <ref name="sumazbiorow">Wikipedia, ''Zasada włączeń i wyłączeń'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle Wiki-en])</ref> | | <ref name="sumazbiorow">Wikipedia, ''Zasada włączeń i wyłączeń'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_w%C5%82%C4%85cze%C5%84_i_wy%C5%82%C4%85cze%C5%84 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle Wiki-en])</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref> | + | <ref name="Euler1">Wikipedia, ''Funkcja φ'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CF%86 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function Wiki-en])</ref> |
| | | | |
| − | <ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref> | + | </references> |
| − | | |
| − | <ref name="Norton1">Karl K. Norton, ''Numbers with Small Prime Factors, and the Least ''k''th Power Non-Residue'', Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)</ref>
| |
| − | | |
| − | <ref name="Trevino1">Enrique Treviño, ''The least k-th power non-residue'', Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)</ref>
| |
| − | | |
| − | <ref name="Trevino2">Kevin J. McGown and Enrique Treviño, ''The least quadratic non-residue'', Mexican Mathematicians in the World (2021)</ref>
| |
| − | | |
| − | <ref name="Erdos1">Paul Erdős, ''Számelméleti megjegyzések I'', Afar. Lapok, v. 12 (1961)</ref>
| |
| − | | |
| − | <ref name="Pollack1">Paul Pollack, ''The average least quadratic nonresidue modulo <math>m</math> and other variations on a theme of Erdős'', Journal of Number Theory, Vol. 132 (2012), No. 6, pp. 1185-1202.</ref>
| |
| − | | |
| − | <ref name="InfiniteDescent1">Wikipedia, ''Proof by infinite descent'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_infinite_descent Wiki-en])</ref>
| |
| | | | |
| − | <ref name="Bussey1">W. H. Bussey, ''Fermat's Method of Infinite Descent'', The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 8 (1918)</ref>
| |
| | | | |
| − | <ref name="HardyWright1">G. H. Hardy and Edward M. Wright, ''An Introduction to the Theory of Numbers'', New York: Oxford University Press, 5th Edition, zobacz dowód Twierdzenia 366 w sekcji 20.4 na stronie 301.</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Gica1">Alexandru Gica, ''Quadratic Residues of Certain Types'', Rocky Mountain J. Math. 36 (2006), no. 6, 1867-1871.</ref>
| |
| − |
| |
| − | <ref name="Pollack2">Paul Pollack, ''The least prime quadratic nonresidue in a prescribed residue class mod 4'', Journal of Number Theory 187 (2018), 403-414</ref>
| |
| − |
| |
| − | </references>
| |
| | | | |
| | | | |
22.12.2023
Największy wspólny dzielnik
Definicja H1
Niech będą dane dwie liczby całkowite [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] niebędące jednocześnie zerami. Największym wspólnym dzielnikiem[1] liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] będziemy nazywali liczbę całkowitą [math]\displaystyle{ D }[/math] taką, że
- [math]\displaystyle{ D \mid a \quad \text{i} \quad D \mid b }[/math]
- [math]\displaystyle{ \,\, d \mid a \quad \text{i} \quad \; d \mid b \qquad \Longrightarrow \qquad d \leqslant D }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą.
Uwaga H2
Tak zdefiniowaną liczbę [math]\displaystyle{ D }[/math] będziemy oznaczali przez [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ 1 \mid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 1 \mid b }[/math], to z definicji wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) \geqslant 1 }[/math].
Zadanie H3
Pokazać, że
- [math]\displaystyle{ d \mid \gcd (a, b) \qquad \Longleftrightarrow \qquad d \mid a \quad \text{i} \quad d \mid b }[/math]
Rozwiązanie
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ d \mid \gcd (a, b) }[/math]. Z definicji największego wspólnego dzielnika [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) \mid a }[/math], zatem [math]\displaystyle{ d \mid a }[/math]. Analogicznie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ d \mid b }[/math].
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ a = r d }[/math], [math]\displaystyle{ b = s d }[/math]. Z lematu Bézouta (zobacz C73) istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że
- [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = a x + b y = r d x + s d y = d (r x + s y) }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ d \mid \gcd (a, b) }[/math].
□
Twierdzenie H4
Jeżeli liczby całkowite [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie są jednocześnie równe zero i [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = a x + b y }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math].
Dowód
Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math] zawsze istnieją. Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = d \gt 0 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a = d k }[/math] i [math]\displaystyle{ b = d m }[/math], czyli
- [math]\displaystyle{ (d k) x + (d m) y = d }[/math]
Co oznacza, że [math]\displaystyle{ k x + m y = 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ k x + m y }[/math] (bo jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ y }[/math]), zatem [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) \mid 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H5
Niech [math]\displaystyle{ a, b, k \in \mathbb{Z} }[/math]. Prawdziwy jest wzór
- [math]\displaystyle{ \gcd (a + k b, b) = \gcd (a, b) }[/math]
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ d_1 = \gcd (a + k b, b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 = \gcd (a, b) }[/math].
Z definicji [math]\displaystyle{ d_1 \mid (a + k b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_1 \mid b }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a + k b = x d_1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b = y d_1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a + k x d_1 = x d_1 }[/math], skąd natychmiast wynika, że [math]\displaystyle{ d_1 \mid a }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d_1 \mid b }[/math], to [math]\displaystyle{ d_1 \mid d_2 }[/math] (zobacz H2).
Z definicji [math]\displaystyle{ d_2 \mid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid b }[/math], zatem [math]\displaystyle{ d_2 \mid (a + k b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid b }[/math], czyli [math]\displaystyle{ d_2 \mid d_1 }[/math].
Ponieważ [math]\displaystyle{ d_1 \mid d_2 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid d_1 }[/math], to [math]\displaystyle{ | d_1 | = | d_2 | }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie H6
Niech [math]\displaystyle{ a, b, m \in \mathbb{Z} }[/math]. Prawdziwa jest następująca równoważność
- [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 \quad \text{i} \quad \gcd (b, m) = 1 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a b, m) = 1 }[/math]
Dowód
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = d }[/math]. Z definicji [math]\displaystyle{ d \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Gdyby było [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math], to istniałaby liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ p \mid d }[/math] i mielibyśmy [math]\displaystyle{ p \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid a b }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math] lub [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math] (zobacz C74). W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math] dostajemy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \geqslant p \gt 1 }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Analogicznie pokazujemy sprzeczność, gdy [math]\displaystyle{ p \mid b }[/math].
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = d }[/math]. Z definicji [math]\displaystyle{ d \mid a }[/math] i [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math], zatem również [math]\displaystyle{ d \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Mamy stąd
- [math]\displaystyle{ 1 = \gcd (a b, m) \geqslant d \geqslant 1 }[/math]
Czyli musi być [math]\displaystyle{ d = 1 }[/math]. Analogicznie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ \gcd (b, m) = 1 }[/math].
□
Twierdzenie H7
Dla [math]\displaystyle{ a, b, m \in \mathbb{Z} }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) \mid \gcd (a, m) \cdot \gcd (b, m) }[/math]
Dowód
Wprowadźmy oznaczenia
- [math]\displaystyle{ r = \gcd (a b, m) }[/math]
- [math]\displaystyle{ s = \gcd (a, m) }[/math]
- [math]\displaystyle{ t = \gcd (b, m) }[/math]
Z lematu Bézouta (zobacz C73) istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y, X, Y }[/math], że
- [math]\displaystyle{ s = a x + m y }[/math]
- [math]\displaystyle{ t = b X + m Y }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ s t = (a x + m y) (b X + m Y) = a b x X + a m x Y + m b y X + m^2 y Y }[/math]
ale [math]\displaystyle{ r \mid a b }[/math] i [math]\displaystyle{ r \mid m }[/math], skąd otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ r \mid s t }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H8
Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są względnie pierwsze, to
- [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = \gcd (a, m) \cdot \gcd (b, m) }[/math]
Dowód
Wprowadźmy oznaczenia
- [math]\displaystyle{ r = \gcd (a b, m) }[/math]
- [math]\displaystyle{ s = \gcd (a, m) }[/math]
- [math]\displaystyle{ t = \gcd (b, m) }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ s \mid a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ t \mid b }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (s, t) = 1 }[/math], zatem (zobacz C75)
- [math]\displaystyle{ s \mid a \qquad \,\, \text{i} \qquad t \mid b \qquad \qquad \;\, \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid a b }[/math]
- [math]\displaystyle{ s \mid m \qquad \text{i} \qquad t \mid m \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad s t \mid m }[/math]
Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ s t \mid \gcd (a b, m) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ s t \mid r }[/math]. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że [math]\displaystyle{ r \mid s t }[/math], zatem [math]\displaystyle{ |r| = |s t| }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie H9
Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ b, m }[/math] są względnie pierwsze, to
- [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = \gcd (a, m) }[/math]
Dowód
Wprowadźmy oznaczenia
- [math]\displaystyle{ r = \gcd (a b, m) }[/math]
- [math]\displaystyle{ s = \gcd (a, m) }[/math]
Z lematu Bézouta istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że
- [math]\displaystyle{ r = a b x + m y }[/math]
Ale [math]\displaystyle{ s \mid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; s \mid m }[/math], zatem [math]\displaystyle{ s \mid r }[/math].
Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (b, m) = 1 }[/math], zatem z twierdzenia H7 wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ r \mid s }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ s \mid r \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; r \mid s }[/math], to [math]\displaystyle{ | r | = | s | }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H10
Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] nie są jednocześnie równe zero i [math]\displaystyle{ m \neq 0 }[/math], to
- [math]\displaystyle{ \gcd (a m, b m) = | m | \cdot \gcd (a, b) }[/math]
Dowód
Oznaczmy [math]\displaystyle{ d = \gcd (a, b) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; D = \gcd (a m, b m) }[/math]. Pokażemy, że [math]\displaystyle{ d m \mid D }[/math].
- [math]\displaystyle{
\begin{array}{llll}
d = \gcd (a, b) & \qquad \Longrightarrow \qquad & d \mid a \quad \text{i} \quad d \mid b & \text{(zobacz H3)} \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & d m \mid a m \quad \text{i} \quad d m \mid b m & \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & d m \mid \gcd (a m, b m) & \text{(zobacz H3)} \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & d m \mid D &
\end{array}
}[/math]
Pokażemy, że [math]\displaystyle{ D \mid d m }[/math].
- [math]\displaystyle{
\begin{array}{llll}
d = \gcd (a, b) & \qquad \Longrightarrow \qquad & d = a x + b y & \text{(lemat Bézouta C73)} \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & d m = a m x + b m y & \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & D \mid d m &
\end{array}
}[/math]
Ostatnia implikacja korzysta z tego, że [math]\displaystyle{ D \mid a m \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; D \mid b m }[/math] (zobacz H3). Ponieważ [math]\displaystyle{ d m \mid D \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; D \mid d m }[/math], to [math]\displaystyle{ | D | = | d m | }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie H11
Pokazać, że [math]\displaystyle{ a \mid b }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a \mid \gcd (a, b) }[/math].
Rozwiązanie
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Zakładając, że [math]\displaystyle{ a \mid b }[/math], dostajemy
- [math]\displaystyle{
\begin{array}{llll}
a \mid b & \qquad \Longrightarrow \qquad & b = k a & \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & \gcd (a, b) = \gcd (a, k a) = | a | \cdot \gcd (1, k) = | a | & \qquad \text{(zobacz H10)} \\
& & & \\
& \qquad \Longrightarrow \qquad & a \mid \gcd (a, b) &
\end{array}
}[/math]
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Jeżeli [math]\displaystyle{ a \mid \gcd (a, b) }[/math], to [math]\displaystyle{ a \mid b }[/math] (zobacz H3). Co należało pokazać.
□
Zadanie H12
Niech [math]\displaystyle{ \gcd (a, d) = 1 }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ d \nmid a b }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ d \nmid b }[/math].
Rozwiązanie
Korzystając z rezultatu pokazanego w zadaniu H11, dostajemy
- [math]\displaystyle{
\begin{array}{llll}
d \nmid a b & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \nmid \gcd (d, a b) & \\
& & & \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \nmid \gcd (d, b) & \text{(zobacz H9)} \\
& & & \\
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \nmid b &
\end{array}
}[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H13
Jeżeli dodatnie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są względnie pierwsze, to każdy dzielnik [math]\displaystyle{ d }[/math] iloczynu [math]\displaystyle{ a b }[/math] można przedstawić jednoznacznie w postaci [math]\displaystyle{ d = d_1 d_2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ d_1 \mid a , }[/math] [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid b \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \; \gcd (d_1, d_2) = 1 }[/math].
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ d_1 = \gcd (d, a) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d_2 = \gcd (d, b) }[/math]. Z twierdzenia H8 mamy
- [math]\displaystyle{ d_1 d_2 = \gcd (d, a) \cdot \gcd (d, b) = \gcd (d, a b) = d }[/math]
Bo z założenia [math]\displaystyle{ d \mid a b }[/math]. Z definicji największego wspólnego dzielnika i zadania H3 dostajemy
- [math]\displaystyle{ \gcd (d_1, d_2) = e \qquad \Longrightarrow \qquad e \mid d_1 \quad \text{i} \quad e \mid d_2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, \Longrightarrow \qquad e \mid \gcd (d, a) \quad \text{i} \quad e \mid \gcd (d, b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, \Longrightarrow \qquad e \mid a \quad \text{i} \quad e \mid b }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, \Longrightarrow \qquad e \mid \gcd (a, b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, \Longrightarrow \qquad \gcd (a, b) \geqslant e }[/math]
Gdyby było [math]\displaystyle{ \gcd (d_1, d_2) = e \gt 1 }[/math], to mielibyśmy [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) \geqslant e \gt 1 }[/math]. Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie H14
Jeżeli [math]\displaystyle{ a, m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to
- [math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) = a^{\gcd (m, n)} - 1 }[/math]
Dowód
Pokażemy najpierw, że jeżeli [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem lewej strony dowodzonej równości, to jest również dzielnikiem prawej strony i odwrotnie.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ d \mid (a^m - 1) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \mid (a^n - 1) }[/math], co możemy zapisać w postaci
- [math]\displaystyle{ a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = m x + n y }[/math]. Łatwo znajdujemy, że
- [math]\displaystyle{ a^{\gcd (m, n)} \equiv a^{m x + n y} \equiv (a^m)^x \cdot (a^n)^y \equiv 1^x \cdot 1^y \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ d \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) }[/math].
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ d \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) }[/math], czyli
- [math]\displaystyle{ a^{\gcd (m, n)} \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ a^m \equiv \left[ a^{\gcd (m, n)} \right]^{\tfrac{m}{\gcd (m, n)}} \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
Podobnie otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^m - 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a^n - 1 }[/math], czyli
- [math]\displaystyle{ d \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math]
W szczególności wynika stąd, że
- [math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) \, \biggr\rvert \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left( a^{\gcd (m, n)} - 1 \right) \, \biggr\rvert \, \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ \left| \gcd (a^m - 1, a^n - 1) \right| = \left| a^{\gcd (m, n)} - 1 \right| }[/math]. Co kończy dowód.
□
Uwaga H15
W dowodzie twierdzenia H14 pominęliśmy milczeniem fakt, że jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] może być (i często jest) ujemna. Choć rezultat jest prawidłowy, to nie wiemy, co oznacza zapis
- [math]\displaystyle{ a^{- 1000} \equiv 1^{- 10} \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
Omówimy ten problem w następnej sekcji. Zauważmy, wyprzedzając materiał, że z kongruencji
- [math]\displaystyle{ a^m \equiv 1 \!\! \pmod{d} \quad \qquad \text{oraz} \quad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
wynika, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, d) = 1 }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ d }[/math].
Element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
Twierdzenie H16
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ x }[/math], że
- [math]\displaystyle{ a x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math].
Dowód
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ x }[/math], że
- [math]\displaystyle{ a x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
Zatem dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ a x = 1 + k m }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ a x - k m = 1 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 1 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z lematu Bézouta (zobacz C73) wynika, że istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że
- [math]\displaystyle{ a x + m y = 1 }[/math]
Zatem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy
- [math]\displaystyle{ a x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
Co kończy dowód.
□
Definicja H17
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ x }[/math] taką, że
- [math]\displaystyle{ a \cdot x \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
będziemy nazywali elementem odwrotnym liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i oznaczali jako [math]\displaystyle{ a^{- 1} }[/math].
Uwaga H18
Oznaczenie elementu odwrotnego ma naturalne uzasadnienie. Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ b \mid a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{b}} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m} }[/math]
Istotnie
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{b}} = {\small\frac{a}{b}} \cdot 1 \equiv {\small\frac{a}{b}} \cdot b b^{- 1} \equiv a b^{- 1} \!\! \pmod{m} }[/math]
W PARI/GP odwrotność liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] znajdujemy, wpisując Mod(a, m)^(-1).
Twierdzenie H19
Niech [math]\displaystyle{ a, k \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Poniższa tabelka przedstawia elementy odwrotne do elementu [math]\displaystyle{ a }[/math] w przypadku niektórych modułów [math]\displaystyle{ m }[/math]. W szczególności, jeżeli moduł [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ 2^{- 1} \equiv {\small\frac{m + 1}{2}} \!\! \pmod{m} }[/math].
|
postać
modułu [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] |
odwrotność
elementu [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math] |
uwagi
|
| [math]\displaystyle{ 1. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
liczba [math]\displaystyle{ a }[/math]
jest liczbą
nieparzystą
|
| [math]\displaystyle{ 2. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = 4 }[/math] |
[math]\displaystyle{ R_4(a) }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ 3. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = 8 }[/math] |
[math]\displaystyle{ R_8(a) }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ 4. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = a k - 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ {\small\frac{m + 1}{a}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ 5. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = a k + 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ - {\small\frac{m - 1}{a}} }[/math] |
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ 6. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = a k - 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot {\small\frac{m + 2}{a}} }[/math] |
liczby [math]\displaystyle{ a , m }[/math]
są liczbami
nieparzystymi
|
| [math]\displaystyle{ 7. }[/math] |
[math]\displaystyle{ m = a k + 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ {\small\frac{m - 1}{2}} \cdot {\small\frac{m - 2}{2}} }[/math]
|
Dowód
Punkty 1. - 3.
Ponieważ dla liczb nieparzystych jest
- [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math]
to liczba nieparzysta [math]\displaystyle{ a }[/math] jest swoją odwrotnością modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 }[/math]. Ponieważ element odwrotny jest definiowany modulo, zatem możemy napisać
- [math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv R_2 (a) \!\! \pmod{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv R_4 (a) \!\! \pmod{4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{- 1} \equiv R_8 (a) \!\! \pmod{8} }[/math]
W pierwszym przypadku wynik jest oczywisty, bo [math]\displaystyle{ R_2 (a) = 1 }[/math].
Punkt 4.
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, a k - 1) = \gcd (a, - 1) = 1 }[/math]
oraz [math]\displaystyle{ a \mid (m + 1) }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ a \cdot a^{- 1} = a \cdot {\small\frac{m + 1}{a}} = m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
Punkt 5.
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, a k + 1) = \gcd (a, 1) = 1 }[/math]
oraz [math]\displaystyle{ a \mid (m - 1) }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ a \cdot a^{- 1} = a \cdot \left[ - \left( {\small\frac{m - 1}{a}} \right) \right] = - m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
Punkt 6.
Ponieważ zakładamy, że [math]\displaystyle{ 2 \mid (m + 1) }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] musi być liczbą nieparzystą, czyli [math]\displaystyle{ a }[/math] też musi być liczbą nieparzystą. Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, a k - 2) = \gcd (a, - 2) = 1 }[/math]
oraz [math]\displaystyle{ a \mid (m + 2) }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ a \cdot a^{- 1} = a \cdot \left( {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot {\small\frac{m + 2}{a}} \right) = {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot (m + 2) \equiv {\small\frac{m + 1}{2}} \cdot 2 \equiv m + 1 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
Podobnie pokazujemy punkt 7. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie H20
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są liczbami różnymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to liczby
- 1. [math]\displaystyle{ a u_1, a u_2, \ldots, a u_r }[/math]
- 2. [math]\displaystyle{ a u_1 + b, a u_2 + b, \ldots, a u_r + b }[/math]
są liczbami różnymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Jeżeli ponadto liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ m }[/math], to również liczby
- 3. [math]\displaystyle{ u^{- 1}_1, u^{- 1}_2, \ldots, u^{- 1}_r }[/math]
są liczbami różnymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Dowód
Punkt 1.
Przypuśćmy dla uzyskania sprzeczności, że istnieją takie różne wskaźniki [math]\displaystyle{ i, j }[/math], że
- [math]\displaystyle{ a u_i \equiv a u_j \!\! \pmod{m} }[/math]
Z założenia liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ a^{- 1} }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ u_i \equiv u_j \!\! \pmod{m} }[/math]
dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], wbrew założeniu, że liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Dowód punktu 2. jest analogiczny.
Punkt 3.
Przypuśćmy dla uzyskania sprzeczności, że istnieją takie różne wskaźniki [math]\displaystyle{ i, j }[/math], że
- [math]\displaystyle{ u^{- 1}_i \equiv u^{- 1}_j \!\! \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ u_j u^{- 1}_i \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ u_j u^{- 1}_i u_i \equiv u_i \!\! \pmod{m} }[/math]
- [math]\displaystyle{ u_j \equiv u_i \!\! \pmod{m} }[/math]
Ponownie otrzymujemy [math]\displaystyle{ u_i \equiv u_j \!\! \pmod{m} }[/math] dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], wbrew założeniu, że liczby [math]\displaystyle{ u_1, u_2, \ldots, u_r }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie H21
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math] prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]
Rozwiązanie
Zauważmy, że modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! \cdot (p - 1 - k) !}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{(p - 1) (p - 2) \cdot \ldots \cdot (p - k)}{k!}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\; \equiv (p - 1) (p - 2) \cdot \ldots \cdot (p - k) \cdot (k!)^{- 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\; \equiv (- 1)^k \cdot k! \cdot (k!)^{- 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\; \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie H22
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] będą zbiorami skończonymi. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ A \subseteq B \;\; \text{i} \;\; | A | = | B | }[/math], to [math]\displaystyle{ \; A = B }[/math].
Rozwiązanie
Pierwszy sposób
Z definicji zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie spełnione są warunki
- [math]\displaystyle{ x \in A \qquad \Longrightarrow \qquad x \in B }[/math]
- [math]\displaystyle{ x \in B \qquad \Longrightarrow \qquad x \in A }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math], zatem warunek 1. jest spełniony. Przypuśćmy, że istnieje taki element [math]\displaystyle{ x }[/math], że [math]\displaystyle{ x \in B }[/math], ale [math]\displaystyle{ x \notin A }[/math]. Jeśli tak, to
- [math]\displaystyle{ | B | = | A | + 1 }[/math]
Co jest sprzeczne z założeniem, że [math]\displaystyle{ | A | = | B | }[/math].
Uwaga
Łatwo zauważyć, że wybierając z trzech warunków [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math], [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math] i [math]\displaystyle{ | A | = | B | }[/math] dowolne dwa, zawsze otrzymamy z nich trzeci. Oczywiście nie dotyczy to zbiorów nieskończonych. Przykładowo liczby parzyste stanowią podzbiór liczb całkowitych, liczb parzystych jest tyle samo, co liczb całkowitych[2], ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb parzystych.
Drugi sposób
Ponieważ zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest z założenia podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ B }[/math] można przedstawić w postaci sumy zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] i pewnego zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] takiego, że żaden element zbioru [math]\displaystyle{ C }[/math] nie jest elementem zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ B = A \cup C \qquad \text{i} \qquad A \cap C = \varnothing }[/math]
Ponieważ zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są rozłączne, to wiemy, że
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]
Czyli
- [math]\displaystyle{ | B | = | A \cup C | = | A | + | C | }[/math]
Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ | C | = 0 }[/math], zatem zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] jest zbiorem pustym i otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ B = A }[/math]. Co należało pokazać.
Uwaga (przypadek zbiorów skończonych)
Najczęściej prawdziwe jest jedynie oszacowanie [math]\displaystyle{ | A \cup C | \leqslant | A | + | C | }[/math], bo niektóre elementy mogą zostać policzone dwa razy. Elementy liczone dwukrotnie to te, które należą do iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math], zatem od sumy [math]\displaystyle{ | A | + | C | }[/math] musimy odjąć liczbę elementów iloczynu zbiorów [math]\displaystyle{ | A | }[/math] i [math]\displaystyle{ | C | }[/math]. Co daje ogólny wzór[3]
- [math]\displaystyle{ | A \cup C | = | A | + | C | - | A \cap C | }[/math]
□
Definicja H23
Niech elementy każdego ze zbiorów [math]\displaystyle{ A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_r \} }[/math] będą różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Powiemy, że zbiory [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, r }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, r }[/math], że prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math].
Twierdzenie H24
Niech elementy każdego ze zbiorów [math]\displaystyle{ A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_r \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_r \} }[/math] będą różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zbiory [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory [math]\displaystyle{ A' = \{ R_m (a_1), R_m (a_2), \ldots, R_m (a_r) \} }[/math] i [math]\displaystyle{ B' = \{ R_m (b_1), R_m (b_2), \ldots, R_m (b_r) \} }[/math] są równe.
Dowód
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Ponieważ elementy każdego ze zbiorów [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to elementy zbiorów [math]\displaystyle{ A' }[/math] i [math]\displaystyle{ B' }[/math] są wszystkie różne. Czyli [math]\displaystyle{ | A' | = | B' | = r }[/math]. Ponieważ warunek
- [math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math]
oznacza, że reszty z dzielenia liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math] i [math]\displaystyle{ b_j }[/math] przez [math]\displaystyle{ m }[/math] są równe, to z założenia dla każdego [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, r }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, r }[/math], że
- [math]\displaystyle{ R_m (a_k) = R_m (b_j) }[/math]
A to oznacza, że każdy element zbioru [math]\displaystyle{ A' }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ B' }[/math], czyli [math]\displaystyle{ A' \subseteq B' }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ A' = B' }[/math] (zobacz H22). Co należało pokazać.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Ponieważ zbiory [math]\displaystyle{ A', B' }[/math] są równe, to zbiór [math]\displaystyle{ A' }[/math] jest podzbiorem zbioru [math]\displaystyle{ B' }[/math], czyli dla każdego elementu [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \in A' }[/math] istnieje taki element [math]\displaystyle{ R_m (b_j) \in B' }[/math], że
- [math]\displaystyle{ R_m (a_k) = R_m (b_j) }[/math]
Ponieważ równość reszt oznacza równość modulo, zatem
- [math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math]
Wynika stąd, że dla każdego [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, r }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, r }[/math], że prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ a_k \equiv b_j \!\! \pmod{m} }[/math]
czyli zbiory [math]\displaystyle{ A, B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie H25
Niech będą dane zbiory [math]\displaystyle{ A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], [math]\displaystyle{ B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_{p - 1} \} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą. Jeżeli wszystkie elementy zbioru [math]\displaystyle{ B }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i żadna z liczb [math]\displaystyle{ b_k \in B }[/math] nie jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiory [math]\displaystyle{ A, B, C = \{ b^{- 1}_1, b^{- 1}_2, \ldots, b^{- 1}_{p - 1} \} }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Dowód
Z definicji zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] wszystkie elementy tego zbioru są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Łatwo zauważamy, że
- [math]\displaystyle{ A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} = \{ R_p (1), R_p (2), \ldots, R_p (p - 1) \} = A' }[/math]
Ponieważ wszystkie liczby [math]\displaystyle{ b_k \in B }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, p - 1 }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to reszty [math]\displaystyle{ R_p (b_1), R_p (b_2), \ldots, R_p (b_{p - 1}) }[/math] są wszystkie dodatnie i różne, a ponieważ jest ich [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], czyli dokładnie tyle, ile jest różnych i dodatnich reszt z dzielenia przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem dodatnich reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli ze zbiorem [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem mamy
- [math]\displaystyle{ A = A' = \{ R_p (b_1), R_p (b_2), \ldots, R_p (b_{p - 1}) \} = B' }[/math]
Na mocy twierdzenia H24 zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ B }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Z twierdzenia H20 wiemy, że wszystkie liczby [math]\displaystyle{ b^{- 1}_k \in C }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zauważmy, że każda z tych liczb jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem nie może być podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Wynika stąd, że reszty [math]\displaystyle{ R_p (b^{- 1}_1), R_p (b^{- 1}_2), \ldots, R_p (b^{- 1}_{p - 1}) }[/math] są wszystkie dodatnie i różne, a ponieważ jest ich [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], czyli dokładnie tyle, ile jest różnych i dodatnich reszt z dzielenia przez liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem dodatnich reszt z dzielenia przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli ze zbiorem [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zatem mamy
- [math]\displaystyle{ A = A' = \{ R_p (b^{- 1}_1), R_p (b^{- 1}_2), \ldots, R_p (b^{- 1}_{p - 1}) \} = C' }[/math]
Na mocy twierdzenia H24 zbiory [math]\displaystyle{ A }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ A' = B' }[/math] i [math]\displaystyle{ A' = C' }[/math], to [math]\displaystyle{ B' = C' }[/math] i ponownie na mocy twierdzenia H24 zbiory [math]\displaystyle{ B }[/math] i [math]\displaystyle{ C }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie H26
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że suma [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} {\small\frac{(p - 1) !}{k}} }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math].
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] następujące sumy są równe
- [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} k \equiv \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]
Istotnie, jeśli przyjmiemy w twierdzeniu H25, że zbiór [math]\displaystyle{ B = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], to zbiór [math]\displaystyle{ C }[/math] będzie zbiorem liczb, które są odwrotnościami liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i możemy napisać
- [math]\displaystyle{ \sum_{x \in B} x \equiv \sum_{y \in C} y \!\! \pmod{p} }[/math]
bo
- gdy [math]\displaystyle{ x }[/math] przebiega kolejne wartości [math]\displaystyle{ b_k }[/math], to [math]\displaystyle{ x }[/math] przyjmuje kolejno wartości [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math]
- gdy [math]\displaystyle{ y }[/math] przebiega kolejne wartości [math]\displaystyle{ b_k^{- 1} }[/math], to [math]\displaystyle{ y }[/math] (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru [math]\displaystyle{ A = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], czyli liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] (modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) przyjmuje wszystkie wartości [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math], ale w innej kolejności
Ponieważ kolejność sumowania tych samych składników nie wpływa na wartość sumy, to prawdziwa jest wyżej wypisana równość sum modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
Zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{p - 1} {\small\frac{(p - 1) !}{k}} \equiv \sum_{k = 1}^{p - 1} (p - 1)! \cdot k^{- 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} k^{- 1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{p - 1} k }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot {\small\frac{(p - 1) p}{2}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv (p - 1) ! \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot p }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
Należy zauważyć, że dla liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math] liczba [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] jest liczbą całkowitą.
□
Funkcje multiplikatywne
Definicja H27
Powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] określona w zbiorze liczb całkowitych dodatnich jest funkcją multiplikatywną, jeżeli [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math] i dla względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] spełniony jest warunek [math]\displaystyle{ f(a b) = f (a) f (b) }[/math].
Uwaga H28
Założenie [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math] możemy równoważnie zastąpić założeniem, że funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] nie jest tożsamościowo równa zero.
Gdyby [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] spełniała jedynie warunek [math]\displaystyle{ f(a b) = f (a) f (b) }[/math] dla względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math], to mielibyśmy
- a) [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ f(1) = 0 }[/math]
- b) [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] nie jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ f(1) = f (1 \cdot 1) = f (1) f (1) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f(1) = 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ f (1) = 1 }[/math].
Jeżeli [math]\displaystyle{ f(1) = 0 }[/math], to dla dowolnego [math]\displaystyle{ n }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ f(n) = f (n \cdot 1) = f (n) f (1) = 0 }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] jest funkcją tożsamościowo równą zero.
Jeżeli [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] nie jest funkcją tożsamościowo równą zero, to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ f(a) \neq 0 }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ f(a) = f (a \cdot 1) = f (a) f (1) }[/math]
I dzieląc obie strony przez [math]\displaystyle{ f(a) \neq 0 }[/math], dostajemy [math]\displaystyle{ f(1) = 1 }[/math].
Przykład H29
Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (1, c) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (n, c) }[/math] rozpatrywana jako funkcja [math]\displaystyle{ n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c }[/math] jest ustaloną liczbą całkowitą, jest funkcją multiplikatywną (zobacz H8).
Twierdzenie H30
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] jest funkcją multiplikatywną, to funkcja
- [math]\displaystyle{ F(n) = \sum_{d \mid n} f (d) }[/math]
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dzielnikach dodatnich liczby [math]\displaystyle{ n }[/math], jest również funkcją multiplikatywną.
Dowód
Ponieważ
- [math]\displaystyle{ F(1) = \sum_{d \mid 1} f (d) = f (1) = 1 }[/math]
to funkcja [math]\displaystyle{ F(n) }[/math] spełnia pierwszy warunek definicji H27.
Niech [math]\displaystyle{ a, b }[/math] będą względnie pierwszymi liczbami dodatnimi. Każdy dzielnik dodatni iloczynu [math]\displaystyle{ a b }[/math] można zapisać w postaci [math]\displaystyle{ d = d_1 d_2 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ d_1 \mid a }[/math], [math]\displaystyle{ \; d_2 \mid b \, }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \, \gcd (d_1, d_2) = 1 }[/math] (zobacz H13). Niech zbiory
- [math]\displaystyle{ S_a = \{ d \in \mathbb{Z}_+ : d \mid a \} }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_b = \{ d \in \mathbb{Z}_+ : d \mid b \} }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_{a b} = \{ d \in \mathbb{Z}_+ : d \mid a b \} }[/math]
będą zbiorami dzielników dodatnich liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] i [math]\displaystyle{ a b }[/math]. Dla przykładu
- [math]\displaystyle{ S_5 = \{ 1, 5 \} }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_7 = \{ 1, 7 \} }[/math]
- [math]\displaystyle{ S_{35} = \{ 1, 5, 7, 35 \} }[/math]
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ d_1 \in S_a \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, d_2 \in S_b }[/math] musi być [math]\displaystyle{ \gcd (d_1, d_2) = 1 }[/math], bo gdyby było [math]\displaystyle{ \gcd (d_1, d_2) = g \gt 1 }[/math], to
- [math]\displaystyle{ g \mid d_1 \quad \; \text{i} \quad \; d_1 \mid a \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \quad g \mid a }[/math]
- [math]\displaystyle{ g \mid d_2 \quad \; \text{i} \quad \; d_2 \mid b \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \quad g \mid b }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ g \mid \gcd (a, b) }[/math] i mielibyśmy [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) \geqslant g \gt 1 }[/math], wbrew założeniu.
Przekształcając, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ F(a b) = \sum_{d \mid a b} f (d) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = \sum_{d \in S_{a b}} f (d) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = \underset{d_2 \in S_{b}}{\sum_{d_1 \in S_{a}}} f (d_1 d_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = \underset{d_2 \in S_{b}}{\sum_{d_1 \in S_{a}}} f (d_1) f (d_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = \sum_{d_1 \in S_{a}} f (d_1) \sum_{d_2 \in S_{b}} f (d_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = \sum_{d_1 \mid a} f (d_1) \sum_{d_2 \mid b} f (d_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = F (a) F (b) }[/math]
Co należało pokazać.
□
Funkcja Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math]
Definicja H31
Funkcja Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math][4] jest równa ilości liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math] i względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math].
Twierdzenie H32
Funkcja Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest multiplikatywna, czyli dla względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ m, n }[/math] jest [math]\displaystyle{ \varphi (m n) = \varphi (m) \varphi (n) }[/math].
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], zatem nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math]. Wypiszmy w tabeli wszystkie liczby od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ m n }[/math].
| [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ k }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ m }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ m + 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ m + k }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2 m }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ 2 m + 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2 m + 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2 m + k }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ 3 m }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ }[/math] |
[math]\displaystyle{ }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ (n - 1) m + 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ (n - 1) m + 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ (n - 1) m + k }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ n m }[/math]
|
1. Natychmiast widzimy, że w pierwszym wierszu mamy [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Tak samo jest w każdym kolejnym wierszu, bo (zobacz H5)
- [math]\displaystyle{ \gcd (r m + k, m) = \gcd (k, m) }[/math]
Zatem mamy dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] kolumn liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math].
2. Załóżmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jedną z liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (k, m) = 1 }[/math]. Przy tym założeniu [math]\displaystyle{ k }[/math]-ta kolumna (pokazana w tabeli) jest kolumną liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math].
3. Zauważmy, że reszty z dzielenia liczb wypisanych w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie przez [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie różne. Gdyby tak nie było, to dla pewnych [math]\displaystyle{ i, j }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i, j \leqslant n - 1 }[/math], różnica liczb [math]\displaystyle{ i m + k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ j m + k }[/math] byłaby podzielna przez [math]\displaystyle{ n }[/math]. Mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ n \mid ((i m + k) - (j m + k)) }[/math]
Skąd wynika natychmiast
- [math]\displaystyle{ n \mid (i - j) m }[/math]
Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (n, m) = 1 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ n \mid (i - j) }[/math] (zobacz C74), ale
- [math]\displaystyle{ 0 \leqslant | i - j | \leqslant n - 1 }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ n }[/math] może dzielić [math]\displaystyle{ i - j }[/math] tylko w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ i = j }[/math]. Wbrew naszemu przypuszczeniu, że istnieją różne liczby dające takie same reszty przy dzieleniu przez [math]\displaystyle{ n }[/math].
4. Ponieważ w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie znajduje się dokładnie [math]\displaystyle{ n }[/math] liczb i reszty z dzielenia tych liczb przez [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie różne, to reszty te tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \} }[/math]. Wynika stąd, że liczby wypisane w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie mogą być zapisane w postaci
- [math]\displaystyle{ a_r = b_r \cdot n + r }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ r = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_r \in \mathbb{Z} }[/math].
Zauważmy, że następujące ilości liczb są sobie równe
- ilość liczb w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej kolumnie względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math]
- ilość liczb [math]\displaystyle{ r }[/math] względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 0, \ldots, n - 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (b_r \cdot n + r, n) = \gcd (r, n) }[/math]
- ilość liczb [math]\displaystyle{ r }[/math] względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, \ldots, n }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (n, n) = \gcd (0, n) = | n | \gt 1 }[/math]
Ostatnia ilość liczb jest równa [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math], co wynika wprost z definicji funkcji [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math].
5. Zbierając: mamy w wypisanej tabeli dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (m) \varphi (n) }[/math] liczb [math]\displaystyle{ u \in [1, m n] }[/math], dla których jednocześnie jest
- [math]\displaystyle{ \gcd (u, m) = 1 \quad \text{i} \quad \gcd (u, n) = 1 }[/math]
Z twierdzenia H6 wynika, że w tabeli jest dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (m) \varphi (n) }[/math] liczb [math]\displaystyle{ u \in [1, m n] }[/math], dla których jest
- [math]\displaystyle{ \gcd (u, m n) = 1 }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ \varphi (m n) = \varphi (m) \varphi (n) }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H33
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej [math]\displaystyle{ n }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]
gdzie iloczyn obliczamy po wszystkich liczbach pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math], będących dzielnikami liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].
Dowód
Ponieważ wszystkie liczby naturalne mniejsze od liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] są jednocześnie pierwsze względem [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (p) = p - 1 }[/math].
Równie łatwo znajdujemy wartość funkcji [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest potęgą liczby pierwszej [math]\displaystyle{ n = p^k }[/math]. Wystarczy zauważyć, że w ciągu kolejnych liczb
- [math]\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, \ldots, p^k - 1, p^k }[/math]
jedynymi liczbami, które nie są pierwsze względem [math]\displaystyle{ p^k }[/math], są te, które dzielą się przez [math]\displaystyle{ p }[/math] i jest ich [math]\displaystyle{ p^{k - 1} }[/math], co widać natychmiast po ich bezpośrednim wypisaniu
- [math]\displaystyle{ 1 \cdot p, 2 \cdot p, 3 \cdot p, \ldots, (p^{k - 1} - 1) \cdot p, p^{k - 1} \cdot p }[/math]
Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (p^k) = p^k - p^{k - 1} = p^k \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest funkcją multiplikatywną, to dla [math]\displaystyle{ n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math] otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \prod^s_{k = 1} \varphi (p^{\alpha_k}_k) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\; = \prod^s_{k = 1} p^{\alpha_k}_k \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\; = \left[ \prod^s_{k = 1} p^{\alpha_k}_k \right] \cdot \left[ \prod^s_{k = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) \right] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\; = n \cdot \prod^s_{k = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_k}} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\; = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H34
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ q }[/math] jest liczbą pierwszą, to
- [math]\displaystyle{ \varphi (q n) = \left\{ \begin{array}{rl}
(q - 1) \varphi (n) & \quad \text{gdy} \quad q \nmid n\\
q \varphi (n) & \quad \text{gdy} \quad q \mid n
\end{array} \right. }[/math]
Dowód
Jeżeli [math]\displaystyle{ q \nmid m }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (q, m) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \varphi (q m) = \varphi (q) \varphi (m) = (q - 1) \varphi (m) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ q \mid m }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] oraz [math]\displaystyle{ q m }[/math] mają taki sam zbiór dzielników pierwszych, zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (q m) = q m \prod_{p \mid q m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) = q \cdot \left[ m \prod_{p \mid m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) \right] = q \varphi (m) }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie H35
Niech [math]\displaystyle{ q \in \mathbb{P} }[/math] i [math]\displaystyle{ a, b, m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że
- [math]\displaystyle{ \varphi (q^{a + b}) = q^a \varphi (q^b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi (n^m) = n^{m - 1} \varphi (n) }[/math]
Rozwiązanie
Punkt 1.
- [math]\displaystyle{ \varphi (q^{a + b}) = (q - 1) q^{a + b - 1} = q^a \cdot (q - 1) q^{b - 1} = q^a \varphi (q^b) }[/math]
Punkt 2.
Niech [math]\displaystyle{ n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi (n^m) = \varphi (p^{m \alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{m \alpha_s}_s) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, = \varphi (p^{m \alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{m \alpha_s}_s) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, = \varphi (p^{(m - 1) \alpha_1 + \alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{(m - 1) \alpha_s + \alpha_s}_s) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, = p^{(m - 1) \alpha_1}_1 \varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot p^{(m - 1) \alpha_s}_s \varphi (p^{\alpha_s}_s) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, = p^{(m - 1) \alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(m - 1) \alpha_s}_s \cdot \varphi (p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \, = n^{m - 1} \varphi (n) }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H36
Niech [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \mid n }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (m) \mid \varphi (n) }[/math].
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math]. Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ m \mid n }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ m = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_s}_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i }[/math], dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, s }[/math]. Łatwo zauważamy, że
- jeżeli [math]\displaystyle{ \beta_i = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\beta_i}_i) = 1 }[/math] i dzieli [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\alpha_i}_i) }[/math]
- jeżeli [math]\displaystyle{ 1 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i }[/math], to [math]\displaystyle{ (p_i - 1) p_i^{\beta_i - 1} \mid (p_i - 1) p_i^{\alpha_i - 1} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\beta_i}_i) \mid \varphi (p^{\alpha_i}_i) }[/math]
Skąd natychmiast wynika, że [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\beta_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\beta_s}_s) }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ \varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\alpha_s}_s) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \varphi (m) \mid \varphi (n) }[/math].
Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, bo [math]\displaystyle{ \varphi (7) \mid \varphi (19) }[/math], ale [math]\displaystyle{ 7 \nmid 19 }[/math].
□
Zadanie H37
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] wartości [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] są liczbami parzystymi.
Rozwiązanie
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] jest podzielna przez liczbę pierwszą nieparzystą [math]\displaystyle{ p }[/math], zaś [math]\displaystyle{ k }[/math] jest wykładnikiem, z jakim [math]\displaystyle{ p }[/math] wchodzi do rozwinięcia [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, to
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi \left( p^k \cdot {\small\frac{n}{p^k}} \right) = (p - 1) p^{k - 1} \cdot \varphi \left( {\small\frac{n}{p^k}} \right) }[/math]
zatem [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest liczbą parzystą, ponieważ [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] jest liczbą parzystą.
Jeżeli żadna liczba nieparzysta nie dzieli [math]\displaystyle{ n }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ n = 2^a }[/math] i [math]\displaystyle{ \varphi (n) = 2^{a - 1} }[/math], ale z założenia [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest liczbą parzystą.
□
Twierdzenie H38
Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą złożoną, to [math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - \sqrt{n} }[/math].
Dowód
Pierwszy sposób
Niech [math]\displaystyle{ n = a b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a \leqslant b \lt n }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ 1 \cdot a, 2 \cdot a, 3 \cdot a, \ldots, b \cdot a }[/math] są nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] i nie są względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ n }[/math], zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - b }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ b \geqslant a }[/math], to [math]\displaystyle{ b^2 \geqslant a b = n }[/math] i [math]\displaystyle{ b \geqslant \sqrt{n} }[/math]. Wynika stąd, że
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - b \leqslant n - \sqrt{n} }[/math]
Drugi sposób
Niech [math]\displaystyle{ q }[/math] oznacza najmniejszy dzielnik pierwszy liczby złożonej [math]\displaystyle{ n }[/math], zatem [math]\displaystyle{ q^2 \leqslant n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \leqslant \sqrt{n} }[/math], a stąd [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{q}} \geqslant \sqrt{n} }[/math] i
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = n \cdot \prod_{p|n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) \leqslant n \left( 1 - {\small\frac{1}{q}} \right) = n - {\small\frac{n}{q}} \leqslant n - \sqrt{n} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H39
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt {\small\frac{\sqrt{n}}{2}} }[/math].
Dowód
Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{k}} \right)^2 \gt {\small\frac{1}{k}} }[/math]
Wynika stąd, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] jest liczbą nieparzystą, to
- [math]\displaystyle{ \varphi (m)^2 = m^2 \prod_{p|m} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right)^2 \gt m^2 \prod_{p|m} {\small\frac{1}{p}} \geqslant m }[/math]
bo
- [math]\displaystyle{ \prod_{p|m} p \leqslant m }[/math]
Czyli dla nieparzystych liczb [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ \varphi (m) \gt \sqrt{m} \gt {\small\frac{\sqrt{m}}{2}} }[/math]
Jeżeli [math]\displaystyle{ d = 2^a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \geqslant 1 }[/math], to
- [math]\displaystyle{ \varphi (d) = \varphi (2^a) = 2^{a - 1} \gt {\small\frac{\sqrt{2^a}}{2}} = {\small\frac{\sqrt{d}}{2}} }[/math]
W przypadku ogólnym, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest iloczynem liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] i potęgi liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math], dostajemy
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi (2^a m) = \varphi (2^a) \varphi (m) \gt {\small\frac{\sqrt{2^a}}{2}} \cdot \sqrt{m} = {\small\frac{\sqrt{2^a m}}{2}} = {\small\frac{\sqrt{n}}{2}} }[/math]
Oczywiście nierówność [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt {\small\frac{\sqrt{n}}{2}} }[/math] jest również prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie H40
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 7 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \sqrt{n} }[/math].
Rozwiązanie
Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ n - 1 \gt \sqrt{n} \qquad \qquad \;\, \text{dla} \; n \geqslant 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ n - 1 \gt \sqrt{2 n} \qquad \qquad \text{dla} \; n \geqslant 4 }[/math]
Zatem dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ \varphi (p^k) = (p - 1) p^{k - 1} \gt \sqrt{p} \cdot p^{k - 1} = p^{k - \tfrac{1}{2}} \geqslant p^{\tfrac{k}{2}} = \sqrt{p^k} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; \text{dla} \;\: p \geqslant 3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi (p^k) = (p - 1) p^{k - 1} \gt \sqrt{2 p} \cdot p^{k - 1} = \sqrt{2} \cdot p^{k - \tfrac{1}{2}} \geqslant \sqrt{2} \cdot p^{\tfrac{k}{2}} = \sqrt{2 p^k} \qquad \qquad \text{dla} \;\, p \geqslant 5 }[/math]
1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{n \geqslant 3} }[/math] jest liczbą nieparzystą
Liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest iloczynem czynników pierwszych nieparzystych, zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi (p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s) = \varphi (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot \varphi (p^{\alpha_s}_s) \gt \sqrt{p^{\alpha_1}_1} \cdot \ldots \cdot \sqrt{p^{\alpha_s}_s} = \sqrt{n} }[/math]
2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2^a m} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \boldsymbol{q \mid m ,} \; }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \; \boldsymbol{q \geqslant 5} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ n = 2^a m = 2^a q^b r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math] jest liczbą nieparzystą. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \varphi (r) \geqslant \sqrt{r} }[/math], bo może być [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math].
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi (2^a q^b r) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \varphi (2^a) \varphi (q^b) \varphi (r) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, \gt 2^{a - 1} \sqrt{2 q^b} \sqrt{r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 2^{a - \tfrac{1}{2}} \sqrt{q^b} \sqrt{r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, \geqslant 2^{\tfrac{a}{2}} \sqrt{q^b r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sqrt{2^a q^b r} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sqrt{n} }[/math]
3. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2^a m} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \boldsymbol{q \nmid m ,} \; }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \; \boldsymbol{q \geqslant 5} }[/math]
Jeżeli żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 5 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math], to możliwe są tylko dwie sytuacje: [math]\displaystyle{ n = 2^a \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, n = 2^a 3^b }[/math].
3a. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2^a} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi (2^a) = 2^{a - 1} \gt \sqrt{2^a} = \sqrt{n} \qquad \qquad \;\, \text{dla} \; a \geqslant 3 }[/math]
Twierdzenie nie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 2 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, n = 4 \,\, }[/math] (gdy [math]\displaystyle{ a = 1 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \, a = 2 }[/math]).
3b. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{n = 2^a 3^b} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) = \varphi (2^a 3^b) = \varphi (2^a) \varphi (3^b) = 2^{a - 1} \cdot 2 \cdot 3^{b - 1} = 2^a 3^{b - 1} = \sqrt{2^a 3^b} \cdot {\small\frac{\sqrt{2^a 3^b}}{3}} \gt \sqrt{2^a 3^b} }[/math]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, o ile [math]\displaystyle{ \sqrt{2^a 3^b} \gt 3 }[/math], czyli gdy [math]\displaystyle{ 2^a 3^b \gt 9 }[/math], co ma miejsce, gdy [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ b \geqslant 2 }[/math].
Twierdzenie nie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 6 \; }[/math] (gdy [math]\displaystyle{ a = 1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, b = 1 }[/math]).
Zbierając uzyskane wyniki, otrzymujemy: oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \sqrt{n} }[/math] nie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 4, 6 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie H41
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt {\small\frac{n}{3 \log n}} }[/math]. Korzystając z tego wyniku, pokazać, że [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt n^{2 / 3} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 43 }[/math] oraz że [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt n^{3 / 4} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 211 }[/math].
Rozwiązanie
Niech [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math], a [math]\displaystyle{ n' = q_1 \cdot \ldots \cdot q_s }[/math] oznacza liczbę, będącą iloczynem dokładnie tych samych czynników pierwszych, jakie występują w liczbie [math]\displaystyle{ n }[/math], natomiast [math]\displaystyle{ n^{\!\ast} = p_1 \cdot \ldots \cdot p_s }[/math] oznacza liczbę, będącą iloczynem dokładnie tej samej ilości czynników pierwszych, przy czym [math]\displaystyle{ p_i }[/math] oznacza teraz [math]\displaystyle{ i }[/math]-tą liczbę pierwszą.
Ponieważ
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{\varphi (n)}{n}} = \prod_{p \mid n} \left( 1 - {\small\frac{1}{p}} \right) }[/math]
to
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{\varphi (n)}{n}} = {\small\frac{\varphi (n')}{n'}} \geqslant {\small\frac{\varphi (n^{\!\ast})}{n^{\!\ast}}} = \prod^s_{i = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_i}} \right) \geqslant \prod^{p_s}_{k = 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{k}} \right) = {\small\frac{1}{p_s}} }[/math]
Ostatnia równość wynika z prostego wzoru
- [math]\displaystyle{ \prod^m_{k = 2} \left( 1 - {\small\frac{1}{k}} \right) = {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{3}{4}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{m - 2}{m - 1}} \cdot {\small\frac{m - 1}{m}} = {\small\frac{1}{m}} }[/math]
Musimy oszacować wartość liczby [math]\displaystyle{ p_s }[/math]. Z twierdzenia B31 wynika, że dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ P(m) \geqslant 2^{m / 2} }[/math], gdzie funkcja [math]\displaystyle{ P(m) }[/math] jest równa iloczynowi wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ p_s \geqslant 2 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ n^{\!\ast} = p_1 \cdot \ldots \cdot p_s = P (p_s) \geqslant 2^{p_s / 2} }[/math]
Logarytmując, otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ p_s \leqslant {\small\frac{2 \log n^{\!\ast}}{\log 2}} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ n \geqslant n' \geqslant n^{\!\ast} }[/math], to
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{\varphi (n)}{n}} \geqslant {\small\frac{1}{p_s}} \geqslant {\small\frac{\log 2}{2 \log n^{\!\ast}}} \geqslant {\small\frac{\log 2}{2 \log n}} \gt {\small\frac{1}{3 \log n}} }[/math]
Ostatecznie otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt {\small\frac{n}{3 \log n}} }[/math]
Co należało pokazać.
Rozwiązując drugą część zadania, wystarczy znaleźć, dla jakich [math]\displaystyle{ n }[/math] prawdziwa jest nierówność
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{3 \log n}} \gt n^{2 / 3} }[/math]
Przebieg funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{3 \log n}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, n^{2 / 3} }[/math] przedstawiliśmy na wykresie
Punkt przecięcia tych funkcji znajdujemy, wpisując w PARI/GP polecenie
solve(n = 10, 10^5, n/(3*log(n)) - n^(2/3))
Otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ n = 29409.965 }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{3 \log n}} \gt n^{2 / 3} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \gt 2.95 \cdot 10^4 }[/math].
Poleceniem
for(n = 1, 3*10^4, if( eulerphi(n) <= n^(2/3), print(n) ))
sprawdzamy, że oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt n^{2 / 3} }[/math] jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 43 }[/math].
Postępując analogicznie jak wyżej, znajdujemy, dla jakich [math]\displaystyle{ n }[/math] prawdziwa jest nierówność
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{3 \log n}} \gt n^{3 / 4} }[/math]
Wpisując w PARI/GP polecenie
solve(n = 10, 10^7, n/(3*log(n)) - n^(3/4))
otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ n = 4447862.680 }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{3 \log n}} \gt n^{3 / 4} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \gt 4.45 \cdot 10^6 }[/math]
Poleceniem
for(n = 1, 5*10^6, if( eulerphi(n) <= n^(3/4), print(n) ))
sprawdzamy, że oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt n^{3 / 4} }[/math] jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 211 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie H42
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \varphi (n) = n - 1 }[/math].
Dowód
Dla liczb złożonych [math]\displaystyle{ n \geqslant 4 }[/math] nigdy nie będzie [math]\displaystyle{ \varphi (n) = n - 1 }[/math], bo
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \leqslant n - \sqrt{n} \leqslant n - 2 }[/math]
Dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math] sprawdzamy bezpośrednio: [math]\displaystyle{ \varphi (1) = 1 \neq 1 - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi (2) = 1 = 2 - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \varphi (3) = 2 = 3 - 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□
Twierdzenie H43
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej [math]\displaystyle{ n }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ n = \sum_{d \mid n} \varphi (d) = \sum_{d \mid n} \varphi \left( \frac{n}{d} \right) }[/math]
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dzielnikach dodatnich liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].
Dowód
Ponieważ [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] jest funkcją multiplikatywną, to funkcja
- [math]\displaystyle{ F(n) = \sum_{d \mid n} \varphi (d) }[/math]
też jest funkcją multiplikatywną (zobacz H30). Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ n =
p^{\alpha} }[/math] jest potęgą liczby pierwszej, to otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ F (p^{\alpha}) = \sum_{d \mid p^{\alpha}} \varphi (d) }[/math]
- [math]\displaystyle{ = \varphi (1) + \varphi (p) + \varphi (p^2) + \ldots + \varphi (p^{\alpha}) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 1 + (p - 1) + p (p - 1) + \ldots + p^{\alpha - 1} (p - 1) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 1 + (p - 1) + (p^2 - p) + \ldots + (p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ = p^{\alpha} }[/math]
Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ n = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math], to
- [math]\displaystyle{ F(n) = F (p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\, = F (p^{\alpha_1}_1) \cdot \ldots \cdot F (p^{\alpha_s}_s) = }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\, = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\;\, = n }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ 1 \lt d_1 \lt d_2 \lt \ldots \lt n }[/math] będą dzielnikami liczby [math]\displaystyle{ n }[/math]. Zauważmy, że kiedy [math]\displaystyle{ d }[/math] przebiega zbiór dzielników [math]\displaystyle{ \{ 1, d_1, d_2, \ldots, n \} }[/math], to [math]\displaystyle{ e = \frac{n}{d} }[/math] przebiega wszystkie te liczby tylko w odwrotnej kolejności. Zatem
- [math]\displaystyle{ \sum_{d \mid n} \varphi (d) = \sum_{d \mid n} \varphi \left( \frac{n}{d} \right) }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie H44
Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]. Pokazać, że suma liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math] i względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} n \varphi (n) }[/math].
Rozwiązanie
Łatwo sprawdzamy, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] i odtąd będziemy przyjmowali, że [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math]. Zatem wartości [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math] są liczbami parzystymi i niech [math]\displaystyle{ c = {\small\frac{1}{2}} \varphi (n) }[/math]. Zauważmy, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ n }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ n - a }[/math] jest również względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ n }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (a, n) = \gcd (n - a, n) }[/math]. Wypiszmy wszystkie liczby całkowite dodatnie nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] i względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ n }[/math] w kolejności rosnącej, a pod spodem w kolejności malejącej
| [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ a_2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ a_c }[/math] |
[math]\displaystyle{ n - a_c }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ n - a_2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]
|
| [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ n - a_2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ n - a_c }[/math] |
[math]\displaystyle{ a_c }[/math] |
[math]\displaystyle{ … }[/math] |
[math]\displaystyle{ a_2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
|
Suma liczb w każdej kolumnie jest równa [math]\displaystyle{ n }[/math]. Ponieważ ilość liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ n }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ \varphi (n) }[/math], to podwojona suma liczb całkowitych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math] i pierwszych względem [math]\displaystyle{ n }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ n \varphi (n) }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie H45
Pokazać, że dla liczb naturalnych nieparzystych [math]\displaystyle{ n \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math].
Rozwiązanie
1. Jeżeli [math]\displaystyle{ n \geqslant 5 }[/math] jest liczbą pierwszą, to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze mniejsze od [math]\displaystyle{ n }[/math] oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 4 }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 2 \gt \pi (n) }[/math].
2. Jeżeli [math]\displaystyle{ n = p^a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math], jest potęgą liczby pierwszej nieparzystej, to [math]\displaystyle{ n \geqslant 9 }[/math] i liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczby [math]\displaystyle{ p }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 4, 8 }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 3 \gt \pi (n) }[/math].
3. Jeżeli [math]\displaystyle{ n }[/math] ma więcej niż jeden dzielnik pierwszy nieparzysty, to [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ s \geqslant 2 }[/math]. Zauważmy, że
- [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \geqslant q_1 \cdot \ldots \cdot q_s \geqslant 3 \cdot 5^{s - 1} \gt 2^{2 s - 1} }[/math]
Liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2 s - 1} }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - s + 2 s - 1 = \pi (n) + s - 1 \gt \pi (n) }[/math]
Co należało pokazać.
□
Zadanie H46
Pokazać, że dla liczb naturalnych [math]\displaystyle{ n \geqslant 91 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math].
Rozwiązanie
Ponieważ [math]\displaystyle{ p_{2 s} \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p_{2 s} \geqslant p_{s + 1} }[/math], to z zadania A40 natychmiast wynika nierówność
- [math]\displaystyle{ p_1 p_2 \cdot \ldots \cdot p_s \gt p_{s + 1} p_{2 s} }[/math]
która jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 4 }[/math].
Pokażemy najpierw, że dla każdej liczby naturalnej mającej nie mniej niż cztery dzielniki pierwsze nierówność [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math] jest zawsze prawdziwa.
Przez [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_k, \ldots }[/math] oznaczymy kolejne liczby pierwsze. Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] będzie liczbą naturalną i [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q_i }[/math] oznaczają dowolne (nie muszą być kolejne) liczby pierwsze.
Wśród kolejnych [math]\displaystyle{ 2 s }[/math] liczb pierwszych znajduje się przynajmniej [math]\displaystyle{ s }[/math] liczb pierwszych różnych od każdej z liczb [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math]. Jeśli oznaczymy te liczby (w rosnącej kolejności) przez [math]\displaystyle{ r_1, \ldots, r_s }[/math], to łatwo zauważymy, że prawdziwe są dla nich następujące oszacowania
- dla najmniejszej liczby [math]\displaystyle{ r_1 \leqslant p_{s + 1} }[/math]
- dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ r_j \leqslant p_{2 s} }[/math] dla [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s }[/math].
Korzystając z wypisanej na początku dowodu nierówności, dla [math]\displaystyle{ s \geqslant 4 }[/math] mamy
- [math]\displaystyle{ n = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \geqslant q_1 \cdot \ldots \cdot q_s \geqslant p_1 \cdot \ldots \cdot p_s \gt p_{s + 1} p_{2 s} \geqslant r_1 \cdot r_j }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s }[/math].
Wynika stąd, że jeśli [math]\displaystyle{ s \geqslant 4 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb pierwszych [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ r_1 r_j }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - s + s + 1\gt \pi (n) }[/math]
Co mieliśmy pokazać.
Uwzględniając rezultat pokazany w zadaniu H45, pozostaje sprawdzić przypadki gdy [math]\displaystyle{ n = 2^a }[/math], [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b }[/math], [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b q^c }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z}_+ }[/math].
1. Niech [math]\displaystyle{ n = 2^a }[/math]. Jeśli [math]\displaystyle{ n \geqslant 16 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, 9, 15 }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 1 + 3 \gt \pi (n) }[/math]
2. Niech [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b }[/math], zaś [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie najmniejszą liczbą pierwszą nieparzystą różną od [math]\displaystyle{ p }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ r \in \{ 3, 5 \} }[/math] i jeśli tylko [math]\displaystyle{ n \gt 5^3 = 125 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb pierwszych [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, r^2, r^3 }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 2 + 3 \gt \pi (n) }[/math]
3. Niech [math]\displaystyle{ n = 2^a p^b q^c }[/math], zaś [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie najmniejszą liczbą pierwszą nieparzystą różną od [math]\displaystyle{ p }[/math] oraz różną od [math]\displaystyle{ q }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ r \in \{ 3, 5, 7 \} }[/math] i jeśli [math]\displaystyle{ n \gt 7^4 = 2401 }[/math], to liczbami pierwszymi względem [math]\displaystyle{ n }[/math] są wszystkie liczby pierwsze nie większe od [math]\displaystyle{ n }[/math] (oprócz liczb pierwszych [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ q }[/math]) oraz liczby [math]\displaystyle{ 1, r^2, r^3, r^4 }[/math]. Zatem
- [math]\displaystyle{ \varphi (n) \geqslant \pi (n) - 3 + 4 \gt \pi (n) }[/math]
Zbierając: pozostaje sprawdzić bezpośrednio przypadki, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ n \leqslant 2401 }[/math]. W GP/PARI wystarczy napisać polecenie
for(n = 1, 2500, if( eulerphi(n) <= primepi(n), print(n) ))
Nierówność [math]\displaystyle{ \varphi (n) \gt \pi (n) }[/math] nie jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \in \{ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 42, 60, 90 \} }[/math]. Co kończy dowód.
□
Zadanie H47
Pokazać, że [math]\displaystyle{ \varphi (n) = 2^a }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ n = 2^b q_1 \cdot \ldots \cdot q_s }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q_1, \ldots, q_s }[/math] są liczbami pierwszymi Fermata: [math]\displaystyle{ 3, 5, 17, 257, 65537 }[/math].
Rozwiązanie
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ 2 \mid n }[/math], łatwo zauważamy, że liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] może występować w dowolnej potędze, bo [math]\displaystyle{ \varphi (2^b) = 2^{b - 1} }[/math].
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p \mid n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, mamy [math]\displaystyle{ \varphi (p^k) = (p - 1) p^{k - 1} }[/math] i równie łatwo zauważmy, że musi być [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math], a liczba [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] musi być potęgą liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ p = 2^t + 1 }[/math], co jest możliwe tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ t }[/math] jest potęgą liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] (zobacz H48), czyli [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być liczbą pierwszą Fermata. Co należało pokazać.
□
Uzupełnienie
Twierdzenie H48
Niech [math]\displaystyle{ a, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math]. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a^n + 1 }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą i [math]\displaystyle{ n = 2^m }[/math].
Dowód
Gdyby liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] była nieparzysta, to liczba [math]\displaystyle{ a^n + 1 \geqslant 4 }[/math] byłaby parzysta i nie mogłaby być liczbą pierwszą.
Niech wykładnik [math]\displaystyle{ n = x y }[/math] będzie liczbą złożoną, a [math]\displaystyle{ x }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Wtedy
- [math]\displaystyle{ a^n + 1 = (a^y)^x + 1 }[/math]
Oznaczając [math]\displaystyle{ b = a^y }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x = 2 k + 1 }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ a^n + 1 = (a^y)^x + 1 = b^x + 1 = b^{2 k + 1} + 1 = (b + 1) \cdot (1 - b + b^2 - b^3 + \ldots + b^{2 k - 2} - b^{2 k - 1} + b^{2 k}) }[/math]
Zatem w takim przypadku [math]\displaystyle{ a^n + 1 }[/math] jest liczbą złożoną. Wynika stąd, że wykładnik [math]\displaystyle{ n }[/math] nie może zawierać czynników nieparzystych, czyli musi być [math]\displaystyle{ n = 2^m }[/math]. Co należało pokazać.
□
Przypisy
- ↑ Wikipedia, Największy wspólny dzielnik, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Moc zbioru, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Zasada włączeń i wyłączeń, (Wiki-pl), (Wiki-en)
- ↑ Wikipedia, Funkcja φ, (Wiki-pl), (Wiki-en)
