Różnica pomiędzy stronami "Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW" i "Szeregi liczbowe"

Aktualna wersja na dzień 17:38, 23 lut 2024

07.04.2022

Szeregi nieskończone

Definicja D1
Sumę wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]

nazywamy szeregiem nieskończonym o wyrazach [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

Definicja D2
Ciąg [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math].

Definicja D3
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] będziemy nazywali zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ \left ( S_n \right ) }[/math] jest zbieżny.

Twierdzenie D4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] będzie ciągiem sum częściowych, wtedy [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n }[/math]. Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math] jest zbieżny, zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \left ( S_{n+1} - S_{n} \right ) = \lim_{n \to \infty} S_{n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_n = 0 }[/math]

□

Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math] jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.
Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)
Niech ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli

[math]\displaystyle{ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a_n = 0 }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \underset{k = 1}{\overset{\infty}{\sum}} (- 1)^{k + 1} \cdot a_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci

[math]\displaystyle{ S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m}) }[/math]

Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w nawiasie jest liczbą nieujemną. Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ S_{2 m} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2 m - 2} - a_{2 m - 1}) {- a_{2 m}} \lt a_1 }[/math]

Zatem dla każdego [math]\displaystyle{ m }[/math] ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_{2 m} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia C10 jest zbieżny, czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g }[/math]

Pozostaje zbadać sumy częściowe [math]\displaystyle{ S_{2 m + 1} }[/math]. Rezultat jest natychmiastowy

[math]\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} S_{2 m + 1} = \lim_{m \to \infty} (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) = \lim_{m \to \infty} S_{2 m} + \lim_{m \to \infty} a_{2 m + 1} = g + 0 = g }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D6
Dla [math]\displaystyle{ s \gt 1 }[/math] prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s} = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math]

Dowód

Zauważmy, że założenie [math]\displaystyle{ s \gt 1 }[/math] zapewnia zbieżność szeregu po prawej stronie. Zapiszmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math] w postaci sumy dla [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \ldots = }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k)^s} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} + \frac{1}{2^s} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math]

Otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math]

Podobnie rozpiszmy szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - \ldots = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k)^s} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} - \frac{1}{2^s} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy ze znalezionego wyżej wzoru dla sumy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} }[/math]
□

Przykład D7
Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta^[1], którą definiuje szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \eta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s} }[/math]

lub funkcja dzeta Riemanna^[2], którą definiuje inny szereg

[math]\displaystyle{ \zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math]

Na podstawie twierdzenia D6 funkcje te są związane wzorem

[math]\displaystyle{ \eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ s \in \mathbb{R}_+ }[/math] funkcja eta Dirichleta jest zbieżna. Możemy ją wykorzystać do znajdowania sumy szeregu naprzemiennego [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s} }[/math].

[math]\displaystyle{ s = \frac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{\sqrt{k}} = 0.604898643421 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} = \log 2 = 0.693147180559 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12} = 0.822467033424 \ldots }[/math]	WolframAlpha

Twierdzenie D8
Niech [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W przypadku zbieżności zachodzi związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \left ( a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1} \right ) + \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S(n) =\sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]) oznacza sumę częściową pierwszego szeregu, a [math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math]) oznacza sumę częściową drugiego szeregu. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1}) + T (n) }[/math]

Widzimy, że dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności zbieżność (rozbieżność) jednego ciągu implikuje zbieżność (rozbieżność) drugiego.
□

Twierdzenie D9 (kryterium porównawcze)
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \gt N_0 }[/math] jest spełniony warunek

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant a_k \leqslant b_k }[/math]

to

zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] pociąga za sobą zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]
rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] pociąga za sobą rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math]

Dowód

Dowód przeprowadzimy dla szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math], które są (odpowiednio) jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne z szeregami [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math].

Punkt 1.
Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math] jest zbieżny. Niech [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k = b }[/math], zatem z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k \leqslant b }[/math]

Zauważmy, że ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k }[/math] jest ciągiem rosnącym (bo [math]\displaystyle{ a_k \geqslant 0 }[/math]) i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ \left ( A_n \right ) }[/math] jest zbieżny, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny.

Punkt 2.
Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest rozbieżny, a z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k }[/math]

Rosnący ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k }[/math] nie może być ograniczony od góry, bo przeczyłoby to założeniu, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest rozbieżny. Wynika stąd i z wypisanych wyżej nierówności, że również ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ B_n = \sum_{k = N_0}^{n} b_k }[/math] nie może być ograniczony od góry, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math] jest rozbieżny.
□

Twierdzenie D10
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k \right | }[/math] jest zbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest również zbieżny.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ b_k = a_k + | a_k | }[/math]. Z definicji prawdziwe jest następujące kryterium porównawcze

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant b_k \leqslant 2 | a_k | }[/math]

Zatem z punktu 1. twierdzenia D9 wynika, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] jest zbieżny. Z definicji wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ \left ( b_k \right ) }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k = b_k - | a_k | }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \sum_{k = 1}^{\infty} b_k - \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

Ponieważ szeregi po prawej stronie są zbieżne, to zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]. Zauważmy, że jedynie w przypadku, gdyby obydwa szeregi po prawej stronie były rozbieżne, nie moglibyśmy wnioskować o zbieżności / rozbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], bo suma szeregów rozbieżnych może być zbieżna.
□

Twierdzenie D11
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] można zapisać w jednej z postaci

[math]\displaystyle{ \quad a_k = f_k - f_{k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad a_k = f_{k - 1} - f_k }[/math]

to odpowiadający temu ciągowi szereg nazywamy szeregiem teleskopowym. Suma częściowa szeregu teleskopowego jest odpowiednio równa

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_m - f_{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_{m - 1} - f_n }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_k - f_{k + 1}) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + (f_{m + 2} - f_{m + 3}) + \ldots + (f_{n - 1} - f_n) + (f_n - f_{n + 1}) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + f_{m + 2} - f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1} - f_n + f_n - f_{n + 1} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + f_{m + 2}) + (- f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1}) + (- f_n + f_n) - f_{n + 1} = }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_{k - 1} - f_k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (f_{m - 1} - f_m) + (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + \ldots + (f_{n - 2} - f_{n - 1}) + (f_{n - 1} - f_n) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} - f_m + f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2} - f_{n - 1} + f_{n - 1} - f_n = }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} + (- f_m + f_m) + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2}) + (- f_{n - 1} + f_{n - 1}) - f_n = }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} - f_n }[/math]

□

Twierdzenie D12
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{1}{k (k + 1)} = 1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{1}{k (k - 1)} = 1 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{1}{k^2 - 1} = \frac{3}{4} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} = 1.644934066848 \ldots }[/math]	A013661, WolframAlpha

Dowód

Punkt 1.
Dla dowodu wykorzystamy fakt, że rozpatrywany szereg jest szeregiem teleskopowym

[math]\displaystyle{ \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum^n_{k = 1} \frac{1}{k (k + 1)} = \sum^n_{k = 1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) = 1 - \frac{1}{n + 1} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{1}{k (k + 1)} = 1 }[/math]

Punkt 2.
Szereg jest identyczny z szeregiem z punktu 1., co łatwo zauważyć zmieniając zmienną sumowania [math]\displaystyle{ k = s + 1 }[/math] i odpowiednio granice sumowania.

Punkt 3.
Należy skorzystać z tożsamości

[math]\displaystyle{ \frac{1}{k^2 - 1} = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) + \left( \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} \right) \right] }[/math]

Punkt 4.
Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{1}{k^2} \lt \frac{1}{k^2 - 1} }[/math]

to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie D9) ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{1}{k^2 - 1} }[/math] wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} }[/math]
□

Twierdzenie D13
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} = 1.860025079221 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{\log k}{k (k + 1)} = 0.788530565911 \ldots }[/math]	A085361
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{\log k}{k (k - 1)} = 1.257746886944 \ldots }[/math]	A131688
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 3} \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} = 1.069058310734 \ldots }[/math]	A115563

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy zauważyć, że

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}} = \frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad\: = \frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot \left( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} \right)} \gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad\: \gt \frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot 2 \sqrt{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad\: = \frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} = 2 \sum_{k = 1}^n \frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: \lt 2 \sum_{k = 1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = 2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right) \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: \lt 2 }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Punkt 2.
Korzystając z twierdzenia A37, możemy napisać oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{\log k}{k (k + 1)} \lt \frac{2 \sqrt{k}}{k (k + 1)} \lt \frac{2}{(k + 1) \sqrt{k}} }[/math]

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} }[/math] wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{\log k}{k (k + 1)} }[/math]

Punkt 3.
Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \frac{\log (k - 1)}{k - 1} - \frac{\log (k)}{k} = \frac{k \log (k - 1) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \frac{k \log \left( k \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \right) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \frac{k \log (k) + k \log \left( 1 - \frac{1}{k} \right) - k \log (k) + \log (k)}{k (k - 1)} \gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt \frac{\log (k) - k \cdot \frac{1}{k - 1}}{k (k - 1)} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \frac{\log (k)}{k (k - 1)} - \frac{1}{(k - 1)^2} }[/math]

Czyli prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \frac{\log (k)}{k (k - 1)} \lt \left[ \frac{\log (k - 1)}{k - 1} - \frac{\log (k)}{k} \right] + \frac{1}{(k - 1)^2} }[/math]

Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \frac{\log (k)}{k (k - 1)} \lt \sum_{k = 2}^{n} \left[ \frac{\log (k - 1)}{k - 1} - \frac{\log (k)}{k} \right] + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{(k - 1)^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: \lt - \frac{\log (n)}{n} + \sum_{j = 1}^{n - 1} \frac{1}{j^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: \lt \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{j^2} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \frac{\pi^2}{6} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Punkt 4.
Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} = \frac{\log (k + 1) - \log (k)}{\log (k) \log (k + 1)} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \frac{\log \left( 1 + \frac{1}{k} \right)}{\log (k) \log (k + 1)} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \lt \frac{1}{k \cdot \log (k) \log (k + 1)} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \lt \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} }[/math]

Z drugiej strony mamy

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} = \frac{\log (k) - \log (k - 1)}{\log (k - 1) \log (k)} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \frac{\log \left( 1 + \frac{1}{k - 1} \right)}{\log (k - 1) \log (k)} \gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt \frac{1}{k \cdot \log (k - 1) \log (k)} \gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} }[/math]

Wynika stąd następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} \lt \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} \lt \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} }[/math]

Rezultat ten wykorzystamy w pełni w przykładzie D14, a do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} \lt \sum_{k = 3}^{n} \left[ \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} \right] = }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \frac{1}{\log 2} - \frac{1}{\log (n)} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \lt \frac{1}{\log 2} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.
□

Przykład D14
Na przykładzie szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} }[/math] pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.

Ponieważ nie jesteśmy w stanie zsumować nieskończenie wielu wyrazów, zatem najlepiej będzie podzielić szereg na dwie części

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} = \sum_{k = 3}^{m} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} + \sum_{k = m + 1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} }[/math]

Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.

Dowodząc twierdzenie D13, w punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} \lt \frac{1}{k \cdot \log^2 k} \lt \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} }[/math]

Wykorzystamy powyższy wzór do znalezienia potrzebnego nam oszacowania. Sumując strony nierówności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} \left( \frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} \right) \lt \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} \lt \sum_{k = m + 1}^{n} \left( \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} \right) }[/math]

Ponieważ szeregi po lewej i po prawej stronie są szeregami teleskopowymi, to łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (m + 1)} - \frac{1}{\log (n + 1)} \lt \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} \lt \frac{1}{\log m} - \frac{1}{\log n} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (m + 1)} \lt \sum_{k = m + 1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} \lt \frac{1}{\log m} }[/math]

Teraz pozostaje dodać sumę wyrazów szeregu od [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = m }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\log (m + 1)} + \sum_{k = 3}^{m} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} \lt \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} \lt \frac{1}{\log m} + \sum_{k = 3}^{m} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} }[/math]

Poniżej przedstawiamy wartości oszacowania sumy szeregu znalezione przy pomocy programu PARI/GP dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wystarczy proste polecenie

for(n=1, 8, s = sum( k = 3, 10^n, 1/k/(log(k))^2 ); print("n= ", n, "   a= ", s+1/log(10^n+1), "   b= ", s+1/log(10^n) ))

[math]\displaystyle{ m = 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.07 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.068 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06904 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06906 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069057 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069058 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690582 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905830 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583105 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583109 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831071 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831074 }[/math]

Dysponując oszacowaniem reszty szeregu, znaleźliśmy wartość sumy szeregu z dokładnością 10 miejsc po przecinku.

Natomiast samo zsumowanie [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] wyrazów szeregu daje wynik

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{10^8} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} = 1.014 771 500 510 916 \ldots }[/math]

Zatem mimo zsumowania stu milionów(!) wyrazów szeregu otrzymaliśmy rezultat z dokładnością jednego(!) miejsca po przecinku. Co więcej, nie wiemy, jaka jest dokładność uzyskanego rezultatu. Znając oszacowanie od dołu i od góry, dokładność jednego miejsca po przecinku uzyskaliśmy po zsumowaniu dziesięciu(!) wyrazów szeregu.

Rozpatrywana wyżej sytuacja pokazuje, że w przypadku znajdowania przybliżonej wartości sumy szeregu ważniejsze od sumowania ogromnej ilości wyrazów jest posiadanie oszacowania nieskończonej reszty szeregu. Ponieważ wyznaczenie tego oszacowania na ogół nie jest proste, pokażemy jak ten problem rozwiązać przy pomocy całki oznaczonej.

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Twierdzenie D15
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, n + 1] }[/math], to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f(x) d x }[/math]

Dowód

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest z założenia ciągła, dodatnia i malejąca, to zamieszczony niżej rysunek dobrze prezentuje problem.

Przedstawiona na rysunku krzywa odpowiada funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Dla współrzędnej [math]\displaystyle{ x = k }[/math] zaznaczyliśmy wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], a po lewej i prawej stronie tych punktów zaznaczyliśmy pasy o jednostkowej szerokości. Łatwo zauważamy, że

po lewej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem zielonym) jest większe od pola prostokąta o wysokości [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] i jednostkowej szerokości
po prawej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem niebieskim) jest mniejsze od pola prostokąta o wysokości [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] i jednostkowej szerokości

Korzystając z własności całki oznaczonej, otrzymujemy ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \int_{k}^{k + 1} f(x) d x \leqslant f(k) \leqslant \int_{k - 1}^{k} f(x) d x }[/math]

W powyższym wzorze występują nierówności nieostre, bo rysunek przedstawia funkcję silnie malejącą, ale zgodnie z uczynionym założeniem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być funkcją słabo malejącą.

Sumując lewą nierówność od [math]\displaystyle{ k = m }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], a prawą od [math]\displaystyle{ k = m + 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} f (k) \leqslant \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

Dodając [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] do obydwu stron drugiej z powyższych nierówności i łącząc je ze sobą, otrzymujemy kolejny i docelowy ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

□

Przykład D16
Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} }[/math].

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} }[/math] jest ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math], zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{n + 1} \frac{d x}{x} \lt \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \lt 1 + \int_{1}^{n} \frac{d x}{x} }[/math]

Przy obliczaniu całek oznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) \lt \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \lt 1 + \log n }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) = \log \left( n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right) = \log n + \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \gt \log n + \frac{1}{n + 1} }[/math]

to dostajemy

[math]\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} \lt \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \log n \lt 1 }[/math]

Zauważmy: nie tylko wiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} }[/math] jest rozbieżny, ale jeszcze potrafimy określić, jaka funkcja tę rozbieżność opisuje! Mamy zatem podstawy, by przypuszczać, że całki umożliwią opracowanie metody, która pozwoli rozstrzygać o zbieżności szeregów.

Twierdzenie D17 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)
Załóżmy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego, czy funkcja pierwotna [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] ma dla [math]\displaystyle{ x \rightarrow \infty }[/math] granicę skończoną, czy nie.

Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, wyjaśnimy uczynione założenia. Założenie, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest malejąca, będzie wykorzystane w czasie dowodu twierdzenia, ale rozważanie przypadku, gdy [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest rosnąca, nie ma sensu, bo wtedy nie mógłby być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] (zobacz twierdzenie D4).

Moglibyśmy założyć bardziej ogólnie, że funkcja jest nieujemna, ale wtedy twierdzenie obejmowałoby przypadki funkcji takich, że dla pewnego [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] byłoby [math]\displaystyle{ f(x_0) = 0 }[/math]. Ponieważ z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest malejąca, zatem mielibyśmy [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \geqslant x_0 }[/math]. Odpowiadający tej funkcji szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] miałby dla [math]\displaystyle{ k \geqslant x_0 }[/math] tylko wyrazy zerowe i byłby w sposób oczywisty zbieżny.

Założenie ciągłości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma zapewnić całkowalność funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]^[3]. Założenie to można osłabić^[4], tutaj ograniczymy się tylko do podania przykładów. Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R} }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \int_a^b \text{sgn}(x) d x = | b | - | a | }[/math] [math]\displaystyle{ \qquad \qquad \int_0^a \lfloor x \rfloor d x = \frac{1}{2} \lfloor a \rfloor (2 a - \lfloor a \rfloor - 1) }[/math] [math]\displaystyle{ \qquad \qquad \int_{-a}^a \lfloor x \rfloor d x = - a }[/math]

Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu D15 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Z drugiej nierówności wynika, że jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest rozbieżna, to rosnący ciąg kolejnych całek oznaczonych [math]\displaystyle{ C_j = \int_{m}^{j} f (x) d x }[/math] nie może być ograniczony od góry (w przeciwnym wypadku całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math] byłby zbieżna), zatem również rosnący ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ F_j = \sum_{k = m}^{j} f(k) }[/math] nie może być ograniczony od góry, co oznacza, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest rozbieżny.

Z trzeciej nierówności wynika, że jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna, to ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ F_j = \sum_{k = m}^{j} f (k) }[/math] jest ciągiem rosnącym i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ F_j }[/math] jest zbieżny, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny.

Ponieważ zbieżność (rozbieżność) całki [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] nie zależy od wyboru dolnej granicy całkowania, to wystarczy badać granicę [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] jest dowolną funkcją pierwotną.
□

Przykład D18
Przykłady zebraliśmy w tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

	szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} a_k }[/math]	funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]	całka [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math]	granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math]	wynik
1.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
2.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \sqrt{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
3.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ - \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny
4.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \log k} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{x \log x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
5.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \log^2 \! k} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{x \log^2 \! x} }[/math]	[math]\displaystyle{ - \frac{1}{\log x} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny

Stosując kryterium całkowe można łatwo pokazać, że szeregi

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \log^s \! k} }[/math]

są zbieżne dla [math]\displaystyle{ s \gt 1 }[/math] i rozbieżne dla [math]\displaystyle{ s \leqslant 1 }[/math].

Twierdzenie D19
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math] oraz

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a \lt m }[/math], to prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R(m) }[/math]

Dowód

Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu D15 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ R(m) \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + R (m) }[/math]

Odejmując od każdej ze stron nierówności liczbę [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] i dodając do każdej ze stron nierówności sumę skończoną [math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R (m) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D20
Twierdzenie D19 umożliwia określenie, z jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}} = 2 \text{arctg} \left( \sqrt{x} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} \frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}} = \pi - 2 \text{arctg} \left( \sqrt{m} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f (m) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} \leqslant S (m) + R (m) }[/math]

Dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.84 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.87 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.85 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86000 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86004 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860024 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002506 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002509 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025078 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507920 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507923 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079220 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079221 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792211 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792212 }[/math]

W programie PARI/GP wystarczy napisać:

f(k) = 1.0/(k+1)/sqrt(k)
S(m) = sum( k = 1, m, f(k) )
R(m) = Pi - 2*atan( sqrt(m) )
for(j=1, 9, m=10^j; suma=S(m); reszta=R(m); print( "j= ", j, "   a= ", suma + reszta - f(m), "   b= ", suma + reszta ))

Prostym wnioskiem z twierdzenia D15 jest następujące
Twierdzenie D21
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ a \lt m }[/math]) zastąpimy sumę [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] całką [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math], to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy [math]\displaystyle{ f(m) }[/math].

Dowód

Korzystając ze wzoru z twierdzenia D15 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Dodając do każdej ze stron nierówności wyrażenie [math]\displaystyle{ - f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ - f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Skąd wynika natychmiast

[math]\displaystyle{ - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \leqslant 0 \lt f(m) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \right| \leqslant f(m) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D22
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny, to dla każdego [math]\displaystyle{ n \geqslant m }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B }[/math] oraz [math]\displaystyle{ C }[/math] są dowolnymi stałymi spełniającymi nierówności

[math]\displaystyle{ B \geqslant 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ C \geqslant f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

Dowód

Z twierdzenia D15 mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x \leqslant }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int_{m}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int^n_m f (x) d x - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \left[ f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x \right] - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x \leqslant }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

□

Uwaga D23
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math]. Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math]. Zauważmy, że:

korzystając z całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny
jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie D22), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math]

Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math], możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math]. Zauważmy, że wybór większego [math]\displaystyle{ B }[/math] ułatwia dowód indukcyjny. Stałą [math]\displaystyle{ C }[/math] najlepiej zaokrąglić w górę do wygodnej dla nas wartości.

Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a do tego wystarczy indukcja matematyczna.

Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w tym celu twierdzenie D22.

Zadanie D24
Korzystając z twierdzenia D22, znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2} }[/math]

Rozwiązanie

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x^2} }[/math] jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n \gt 0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} \frac{1}{x^2} d x = \frac{1}{n} \qquad }[/math] (zobacz: WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ C \geqslant 1 + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} d x = 2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} \leqslant 2 - \frac{1}{n} }[/math]

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2} }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x (\log x)^2} }[/math] jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ (1, + \infty) }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} d x = \frac{1}{\log n} \qquad }[/math] (zobacz: WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ C \geqslant \frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2} + \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} d x = \frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2} + \frac{1}{\log 2} = 2.483379 \ldots }[/math]

Przyjmijmy [math]\displaystyle{ C = 2.5 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} \lt 2.5 - \frac{1}{\log n} }[/math]

□

Zadanie D25
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} \leqslant 2 - \frac{1}{n} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Łatwo zauważamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{k^2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(n + 1)^2} \leqslant }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \leqslant 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)^2} \leqslant }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \leqslant 2 - \frac{1}{n + 1} + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)^2} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = 2 - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n (n + 1)^2} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \lt 2 - \frac{1}{n + 1} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} \leqslant 2 - \frac{1}{n} \lt 2 }[/math]

Czyli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.
□

Zadanie D26
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} \lt 2.5 - \frac{1}{\log n} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{2} \frac{1}{k (\log k)^2} \approx 1.040684 \lt 2.5 - \frac{1}{\log 2} \approx 1.05730 }[/math]

Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n + 1} \frac{1}{k (\log k)^2} = \sum_{k = m}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \lt 2.5 - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \left( \frac{1}{\log (n + 1)} - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( 1 - \frac{\log (n + 1)}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( 1 - \frac{\log \left( n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right)}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( 1 - 1 - \frac{\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \lt 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( - \frac{1}{(n + 1) \log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \lt 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} \lt 2.5 - \frac{1}{\log n} \lt 2.5 }[/math]

Czyli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.
□

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Twierdzenie D27
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{p_k} = 0.269605966 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p^2} = 0.452247420041 \ldots }[/math]	A085548
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{(p - 1)^2} = 1.375064994748 \ldots }[/math]	A086242
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p (p - 1)} = 0.773156669049 \ldots }[/math]	A136141

Dowód

Punkt 1.
Szereg jest szeregiem naprzemiennym i jego zbieżność wynika z twierdzenia D5.

Punkt 2.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p^2} \lt \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k^2} \lt \frac{\pi^2}{6} }[/math]

Punkt 3.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{1}{(p - 1)^2} \lt \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{(j - 1)^2} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} }[/math]

Punkt 4.
Zbieżność wzoru wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{1}{p (p - 1)} \lt \frac{1}{(p - 1)^2} }[/math]

□

Twierdzenie D28
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p \log p} = 1.636616323351 \ldots }[/math]	A137245
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p^2 \log p} = 0.507782187859 \ldots }[/math]	A221711
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = 0.755366610831 \ldots }[/math]	A138312
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p^2} = 0.493091109368 \ldots }[/math]	A136271

Dowód

Punkt 1.
Zbieżność tego szeregu udowodniliśmy w twierdzeniu B39, ale obecnie potrafimy uzyskać rezultat znacznie łatwiej. Zauważmy, że rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p \log p} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k \log p_k} = \frac{1}{2 \log 2} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{p_k \log p_k} }[/math]

Wyrażenie w mianowniku ułamka możemy łatwo oszacować. Z twierdzenia A1 mamy ([math]\displaystyle{ a = 0.72 }[/math])

[math]\displaystyle{ p_k \log p_k \gt a \cdot k \log k \cdot \log (a \cdot k \log k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a \cdot k \log k \cdot (\log a + \log k + \log \log k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a \cdot k \cdot (\log k)^2 \cdot \left( 1 + \frac{\log a + \log \log k}{\log k} \right) }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \gt \exp \left( \tfrac{1}{a} \right) = 4.01039 \ldots }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \log a + \log \log k \gt 0 }[/math]

to dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ p_k \log p_k \gt a \cdot k \cdot (\log k)^2 }[/math]

Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 5 }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{1}{p_k \log p_k} \lt \frac{1}{a \cdot k \cdot (\log k)^2} }[/math]

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \cdot (\log k)^2} }[/math] (zobacz twierdzenie D13 p. 4 lub przykład D18 p. 5) wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{p_k \log p_k} }[/math]

Punkt 2.
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego (twierdzenie D9), bo

[math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{1}{p^2 \log p} \lt \frac{1}{p \log p} }[/math]

Punkt 3.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} \lt \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{\log k}{k (k - 1)} = 1.2577 \ldots }[/math]

Punkt 4.
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 \lt \frac{\log p}{p^2} \lt \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math]

□

Twierdzenie D29
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p} }[/math] jest rozbieżny.

Dowód

Dla potrzeb dowodu zapiszmy szereg w innej postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log p_k}{p_k} }[/math]

Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math] wyrazy szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log p_k}{p_k} }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \frac{1}{p_k} \leqslant \frac{\log p_k}{p_k} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k} }[/math] jest rozbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie D9) rozbieżny jest również szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log p_k}{p_k} }[/math]
□

Uwaga D30
Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p} }[/math] podobnie, jak to uczyniliśmy w przypadku twierdzenia B37, ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.

Twierdzenie D31
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Prawdziwe są następujące nierówności

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! \gt n^n e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! \lt n^{n + 1} e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 7 }[/math]

Dowód

Punkt 1. (indukcja matematyczna)
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając prawdziwość dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) \gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \gt n^n \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{n^n}{(n + 1)^n} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \cdot e^{- n} \gt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \gt (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{e} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} e^{- (n + 1)} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \lt e }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \gt \frac{1}{e} }[/math]. Co kończy dowód punktu 1.

Punkt 2. (indukcja matematyczna)
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math]. Zakładając prawdziwość dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \lt n^{n + 1} \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \lt (n + 1)^{n + 2} \cdot \frac{1}{e} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot e^{- (n + 1)} }[/math]

Ostatnia nierówność wynika z faktu, że [math]\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \lt \frac{1}{e} }[/math]. Co kończy dowód punktu 2.
□

Twierdzenie D32
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{n}{p} - 1 \lt W_p (n!) \lt \frac{n}{p - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{n + 1}{p} - 1 \leqslant W_p (n!) \leqslant \frac{n - 1}{p - 1} }[/math]

Dowód

Punkt 1. (prawa nierówność)

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ W_p (n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \ldots \lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, \lt \frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \frac{n}{p^3} + \ldots + \frac{n}{p^k} + \ldots = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = \frac{n}{p} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = \frac{n}{p - 1} }[/math]

Punkt 1. (lewa nierówność)

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ W_p (n!) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \geqslant \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor \gt \frac{n}{p} - 1 }[/math]

Punkt 2. (prawa nierówność)

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że [math]\displaystyle{ (p - 1) W_p (n!) \lt n }[/math]. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ (p - 1) W_p (n!) \leqslant n - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą [math]\displaystyle{ W_p (n!) \leqslant \frac{n - 1}{p - 1} }[/math].

Punkt 2. (lewa nierówność)

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że [math]\displaystyle{ n - p \lt p \cdot W_p (n!) }[/math]. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ n - p \leqslant p \cdot W_p (n!) - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą [math]\displaystyle{ W_p (n!) \geqslant \frac{n + 1}{p} - 1 }[/math].
□

Twierdzenie D33
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \gt - 1 }[/math]

Dowód

Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n! \lt \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ n! \gt n^n e^{- n} }[/math] (zobacz punkt 1. twierdzenia D31), to

[math]\displaystyle{ n^n e^{- n} \lt \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)} }[/math]

Logarytmując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n \log n - n \lt \sum_{p \leqslant n} \frac{n \log p}{p - 1} = n \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} }[/math]

Dzieląc strony przez [math]\displaystyle{ n }[/math], dostajemy szukaną nierówność.
□

Twierdzenie D34 (pierwsze twierdzenie Mertensa^[5]^[6], 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n \gt - 1.755367 }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \frac{1}{p - 1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p (p - 1)} }[/math]

to z twierdzenia D33 dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} + \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n \gt - 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n \gt - 1 - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, \gt - 1 - \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - 1 - 0.755366610831 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, \gt - 1.755367 }[/math]

Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math] (twierdzenie D28 p. 3).
□

Twierdzenie D35 (pierwsze twierdzenie Mertensa^[5]^[6], 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n \lt 0.386295 }[/math]

Dowód

Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n! \geqslant \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 7 }[/math] jest [math]\displaystyle{ n! \lt n^{n + 1} e^{- n} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} \lt n^{n + 1} e^{- n} }[/math]

Logarytmując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \left( \frac{n + 1}{p} - 1 \right) \cdot \log p \lt (n + 1) \cdot \log n - n }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \sum_{p \leqslant n} \log p \lt (n + 1) \cdot \log n - n }[/math]

Skąd natychmiast wynika, że

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n \lt - \frac{n}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} \cdot \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = - 1 + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} \cdot \log (P (n)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \lt - 1 + \frac{1}{n + 1} + \frac{n \cdot \log 4}{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = - 1 + \frac{1}{n + 1} + \log 4 - \frac{\log 4}{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = \log 4 - 1 + \frac{1 - \log 4}{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = \log 4 - 1 - \frac{0.386294 \ldots}{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: \lt \log 4 - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\: = 0.386294361 \ldots }[/math]

Druga nierówność wynika z twierdzenia A9. Bezpośrednio sprawdzamy, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \lt 7 }[/math].
□

Twierdzenie D36
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \lt 1.141661 }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \frac{1}{p} = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{p (p - 1)} }[/math]

to z twierdzenia D35 dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n \lt \log 4 - 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \lt \log 4 - 1 + \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \lt \log 4 - 1 + \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = \log 4 - 1 + 0.755366610831 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \lt 1.141661 }[/math]

□

Uwaga D37

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} = \log n - E + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ E = 1.332582275733 \ldots }[/math] Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 319 }[/math] mamy też^[7] [math]\displaystyle{ \left\| \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E \right\| \lt \frac{1}{2 \log n} }[/math]

Uwaga D38

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} = \log n - \gamma + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.5772156649 \ldots }[/math] jest stałą Eulera. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie^[8] [math]\displaystyle{ \left\| \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n + \gamma \right\| \lt \frac{1}{2 \log n} }[/math]

Uwaga D39
Dla [math]\displaystyle{ n \leqslant 10^{10} }[/math] wartości wyrażeń

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n + \gamma }[/math]

są liczbami dodatnimi.

Twierdzenie D40
Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p^n} \right) = E - \gamma }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ \quad \gamma = 0.577215664901532 \ldots }[/math] jest stałą Eulera^[9]
[math]\displaystyle{ \quad E = 1.332582275733220 \ldots }[/math]^[10]
[math]\displaystyle{ \quad E - \gamma = 0.755366610831688 \ldots }[/math]^[11]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \frac{1}{p (p - 1)} = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{p} }[/math]

zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} = \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} = (\log n - \gamma + \ldots) - (\log n - E + \ldots) }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = E - \gamma }[/math]

Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ \frac{1}{p - 1} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \frac{1}{p} \cdot \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots + \frac{1}{p^k} + \ldots \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots + \frac{1}{p^k} + \ldots }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p} \cdot \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots + \frac{1}{p^k} + \ldots \right) = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p^n} \right) }[/math]

□

Twierdzenie D41
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n + \gamma \right| \lt \frac{1}{2 \log n} }[/math]

Dowód

Należy zauważyć, że tak dokładnego oszacowania nie można udowodnić metodami elementarnymi, dlatego punktem wyjścia jest oszacowanie podane w pracy Pierre'a Dusarta^[12]

[math]\displaystyle{ - \left( \frac{0.2}{\log n} + \frac{0.2}{\log^2 n} \right) \; \underset{n \geqslant 2}{\lt } \; \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{\lt } \; \frac{0.2}{\log n} + \frac{0.2}{\log^2 n} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x \gt e^2 \approx 7.389 }[/math] jest [math]\displaystyle{ 1 + \frac{1}{\log x} \lt 1.5 }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 8 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \frac{0.2}{\log n} + \frac{0.2}{\log^2 n} = \frac{0.2}{\log n} \left( 1 + \frac{1}{\log n} \right) \lt \frac{0.3}{\log n} }[/math]

Zatem wyjściowy układ nierówności możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ - \frac{0.3}{\log n} \; \underset{n \geqslant 8}{\lt } \; \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{\lt } \; \frac{0.3}{\log n} }[/math]

Z tożsamości

[math]\displaystyle{ \frac{1}{p} = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{p (p - 1)} }[/math]

wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ - \frac{0.3}{\log n} \; \underset{n \geqslant 8}{\lt } \; \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{\lt } \; \frac{0.3}{\log n} }[/math]

Prawa nierówność

Rozważmy prawą nierówność prawdziwą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2974 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n + E \lt \frac{0.3}{\log n} }[/math]

Z twierdzenia D40 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E = - \gamma }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \lt \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E + \frac{0.3}{\log n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \lt \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E + \frac{0.3}{\log n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma + \frac{0.3}{\log n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: \lt - \gamma + \frac{0.5}{\log n} }[/math]

Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \lt - \gamma + \frac{0.5}{\log n} }[/math]

jest prawdziwa dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ 318 \leqslant n \leqslant 3000 }[/math]

Lewa nierówność

Rozważmy teraz lewą nierówność prawdziwą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 8 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n + E \gt - \frac{0.3}{\log n} }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \gt \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E - \frac{0.3}{\log n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \sum_{p \gt n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E - \frac{0.3}{\log n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \sum_{p \gt n} \frac{\log p}{p (p - 1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{\log k}{k (k - 1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{\log k}{(k - 1)^2} }[/math]

Korzystając kolejno z twierdzeń D15 i C18, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \gt - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \int_{n}^{\infty} \frac{\log x}{(x - 1)^2} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \frac{\log n}{n - 1} + \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \frac{\log n}{n - 1} - \frac{1}{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = - \gamma - \frac{0.5}{\log n} + \left( \frac{0.2}{\log n} - \frac{\log n + 1}{n - 1} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, \gt - \gamma - \frac{0.5}{\log n} }[/math]

Do znalezienia całki oznaczonej Czytelnik może wykorzystać stronę WolframAlpha. Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 153 }[/math]. Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n \gt - \gamma - \frac{0.5}{\log n} }[/math]

jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ 2 \leqslant n \leqslant 200 }[/math].
□

Zadanie D42
Niech [math]\displaystyle{ r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944 }[/math]. Pokazać, że z nierówności prawdziwej dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p - 1} \lt \log x - r }[/math]

wynika twierdzenie Czebyszewa.

Rozwiązanie

Z twierdzenia D41 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 318 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p - 1} - \log x \lt - \gamma + \frac{1}{2\log x} \leqslant - \gamma + \frac{1}{2 \log (318)} = - 0.490441 \ldots \lt - 0.306852 \ldots = - r }[/math]

Zatem postulowane oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math]. Sprawdzając bezpośrednio dla [math]\displaystyle{ 2 \leqslant x \leqslant 317 }[/math], łatwo potwierdzamy prawdziwość nierówności

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p - 1} \lt \log x - r }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ a \geqslant 32 }[/math]. Korzystając z twierdzenia D32, łatwo znajdujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ a! = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \leqslant p^{(a - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(a - 1) / (p_n - 1)}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{a - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p_n \leqslant a \lt p_{n + 1} }[/math]. Oznaczając wyrażenie w nawiasie przez [math]\displaystyle{ U }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \log U = \frac{\log p_1}{p_1 - 1} + \ldots + \frac{\log p_n}{p_n - 1} = \sum_{p \leqslant a} \frac{\log p}{p - 1} \lt \log a - r }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania wskazanego w treści zadania. Zatem [math]\displaystyle{ U \lt a \cdot e^{- r} }[/math].

Przypuśćmy, że mnożymy liczbę [math]\displaystyle{ a! }[/math] przez kolejne liczby naturalne [math]\displaystyle{ a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b }[/math]. Możemy postawić pytanie: kiedy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ b! }[/math] musi pojawić się nowy czynnik pierwszy? Jeżeli takiego nowego czynnika pierwszego nie ma, to

[math]\displaystyle{ a! \cdot (a + 1) \cdot \ldots \cdot b = b! }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \leqslant p^{(b - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(b - 1) / (p_n - 1)}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{b - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = U^{b - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \lt (a \cdot e^{- r})^{b - 1} }[/math]

Jednocześnie z twierdzenia D31 wiemy, że prawdziwa jest nierówność [math]\displaystyle{ b! \gt b^b e^{- b} }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ b^b e^{- b} \lt b! \lt \frac{(a \cdot e^{- r})^b}{a \cdot e^{-r}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b e^{- 1} \lt \frac{a \cdot e^{- r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b \lt \frac{a \cdot e^{1 - r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ e^{1 - r} = e^{\log (2)} = 2 }[/math], to

[math]\displaystyle{ b \lt \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} \lt 2 a }[/math]

Z oszacowania [math]\displaystyle{ b \lt 2 a }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ (a \cdot e^{- r})^{1 / b} \gt (a \cdot e^{-r})^{1 / 2 a} }[/math]. Możemy teraz zapisać uzyskane wyżej oszacowanie w postaci, w której prawa strona nierówności nie zależy od [math]\displaystyle{ b }[/math]

[math]\displaystyle{ b \lt \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} \lt \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ e^{- r} = 0.735758 \ldots }[/math], to [math]\displaystyle{ (a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a} \gt (a / 2)^{1 / 2 a} }[/math], co pozwala uprościć uzyskane oszacowanie

[math]\displaystyle{ b \lt \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} \lt \frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}} }[/math]

Pokażemy, że dla [math]\displaystyle{ a \gt 303.05 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}} \lt 2 a - 5 }[/math]

Istotnie

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(a / 2)^{1 / 2 a}} \lt 1 - \frac{5}{2 a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \left( 1 - \frac{5}{2 a} \right)^{2 a} \gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \left[ \left( 1 - \frac{5}{2 a} \right)^{\tfrac{2 a}{5}} \right]^5 \gt 1 }[/math]

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest funkcją rosnącą i ograniczoną (zobacz twierdzenie C17) i dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 32 }[/math] przyjmuje wartości z przedziału [math]\displaystyle{ [0.353 \ldots, e^{- 1}) }[/math]. Zatem dla odpowiednio dużego [math]\displaystyle{ a }[/math] powyższa nierówność z pewnością jest prawdziwa. Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ a = 304 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \left( 1 - \frac{5}{2 a} \right)^{2 a} = 1.003213 \ldots }[/math]

Wynika stąd, że wszystkie kolejne liczby naturalne [math]\displaystyle{ a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b }[/math] mogą być liczbami złożonymi co najwyżej do chwili, gdy [math]\displaystyle{ b \lt 2 a - 5 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ b \leqslant 2 a - 6 }[/math]. Zatem w przedziale [math]\displaystyle{ (a, 2 a) }[/math] musi znajdować się przynajmniej jedna liczba pierwsza. Dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 303 }[/math] prawdziwość twierdzenia sprawdzamy bezpośrednio.
□

Definicja D43
Powiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli [math]\displaystyle{ \left | p - q \right | = 2 }[/math]

Twierdzenie D44* (Viggo Brun, 1919)
Suma odwrotności par liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math], takich że liczba [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] jest również pierwsza, jest skończona

[math]\displaystyle{ \underset{p + 2 \in \mathbb{P}}{\sum_{p \geqslant 2}} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p + 2} \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{17} + \frac{1}{19} \right) + \ldots = B_2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B_2 = 1.90216058 \ldots }[/math] jest stałą Bruna^[13]^[14].

Zadanie D45
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nie tworzących par liczb bliźniaczych.

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ q = p + 4 }[/math] będą liczbami pierwszymi i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ p q }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] są względnie pierwsze, to z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ a_n = p q n + (p + 2) }[/math] jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, a jednocześnie żadna z liczb [math]\displaystyle{ a_n }[/math] nie tworzy pary liczb bliźniaczych, bo

[math]\displaystyle{ a_n - 2 = p q n + p = p (q n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n + 2 = p q n + (p + 4) = q (p n + 1) }[/math]

są liczbami złożonymi. Najprostsze przykłady to [math]\displaystyle{ a_n = 21 n + 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n = 77 n + 9 }[/math]

Najłatwiej wszystkie przypadki takich ciągów wyszukać w programie PARI/GP. Polecenie

for(a=1,50, for(b=3,floor(a/2), g=gcd(a,b); g1=gcd(a,b-2); g2=gcd(a,b+2); if( g==1 && g1>1 && g2>1, print("a= ", a, "   b= ",b) )))

wyszukuje wszystkie liczby dodatnie [math]\displaystyle{ a, b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ b \leqslant \left\lfloor \frac{a}{2} \right\rfloor }[/math], które tworzą ciągi [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] o poszukiwanych właściwościach. Oczywiście ciągi [math]\displaystyle{ a k + (a - b) }[/math] również są odpowiednie. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 50 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 15 k + 7, \quad 21 k + 5, \quad 30 k + 7, \quad 33 k + 13, \quad 35 k + 12, \quad 39 k + 11, \quad 42 k + 5, \quad 45 k + 7, \quad 45 k + 8, \quad 45 k + 22 }[/math]

□

Przypisy

↑ Wikipedia, Funkcja η, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Funkcja dzeta Riemanna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.
↑ W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.
↑ ^5,0 ^5,1 Wikipedia, Twierdzenia Mertensa, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ ^6,0 ^6,1 Wikipedia, Franciszek Mertens, (Wiki-pl)
↑ J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, (LINK)
↑ Zobacz twierdzenie D41.
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A001620 - Decimal expansion of Euler's constant, (A001620)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant, (A083343)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant, (A138312)
↑ P. Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., (LINK)
↑ Wikipedia, Stałe Bruna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B, (A065421)

[DirichletEta-1] Wikipedia, Funkcja η, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[RiemannZeta-2] Wikipedia, Funkcja dzeta Riemanna, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[calkowalnosc1-3] Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.

[calkowalnosc2-4] W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.

[Mertens1-5] 5,0 ^5,1 Wikipedia, Twierdzenia Mertensa, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[Mertens2-6] 6,0 ^6,1 Wikipedia, Franciszek Mertens, (Wiki-pl)

[Rosser1-7] J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, (LINK)

[twierdzenie-8] Zobacz twierdzenie D41.

[A001620-9] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A001620 - Decimal expansion of Euler's constant, (A001620)

[A083343-10] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant, (A083343)

[A138312-11] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant, (A138312)

[Dusart1-12] P. Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., (LINK)

[Wiki1-13] Wikipedia, Stałe Bruna, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[A065421-14] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B, (A065421)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Różnica pomiędzy stronami "Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW" i "Szeregi liczbowe"

Aktualna wersja na dzień 17:38, 23 lut 2024

Spis treści

Szeregi nieskończone

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">11.01.2023</div>
+<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">07.04.2022</div>
 __FORCETOC__
@@ Linia 5: / Linia 5: @@
-== Ciągi Lucasa ==
+== Szeregi nieskończone ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N1</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D1</span><br/>
-Niech <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> oraz <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>. Ciągi Lucasa <math>U_n = U_n (P, Q)</math> i <math>V_n = V_n (P, Q)</math> definiujemy następująco
+Sumę wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego <math>(a_n)</math>
-::<math>U_n = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}}</math>
+::<math>a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>
-::<math>V_n = \alpha^n + \beta^n</math>
+nazywamy szeregiem nieskończonym o&nbsp;wyrazach <math>a_n</math>.
-gdzie liczby
-::<math>\alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}}</math>
-::<math>\beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D2</span><br/>
+Ciąg <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k</math> nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>.
-są pierwiastkami równania <math>x^2 - P x + Q = 0</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D3</span><br/>
+Szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> będziemy nazywali zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych <math>\left ( S_n \right )</math> jest zbieżny.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N2</span><br/>
-Zauważmy, że:
-::<math>P = \alpha + \beta</math>
-::<math>Q = \alpha \beta</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)</span><br/>
+Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest zbieżny, to <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>.
-::<math>\sqrt{D} = \alpha - \beta</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k</math> będzie ciągiem sum częściowych, wtedy <math>a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n</math>. Z&nbsp;założenia ciąg <math>(S_n)</math> jest zbieżny, zatem
-::<math>U_0 = 0</math>, <math>U_1 = 1</math>, <math>V_0 = 2</math> i <math>V_1 = P</math>
+::<math>\lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \left ( S_{n+1} - S_{n} \right ) = \lim_{n \to \infty} S_{n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_n = 0</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Warunek <math>P^2 - 4 Q \neq 0</math> wyklucza następujące pary <math>(P, Q)</math>
-::<math>(0, 0), (\pm 2, 1), (\pm 4, 4), (\pm 6, 9), (\pm 8, 16), (\pm 10, 25), (\pm 12, 36), ..., (\pm 2 n, n^2), ...</math>
+Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> jest warunkiem wystarczającym. Opisany w&nbsp;poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.<br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)</span><br/>
+Niech ciąg <math>(a_n)</math> będzie ciągiem malejącym o&nbsp;wyrazach nieujemnych. Jeżeli
+::<math>\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a_n = 0</math>
+to szereg <math>\underset{k = 1}{\overset{\infty}{\sum}} (- 1)^{k + 1} \cdot a_k</math> jest zbieżny.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N3</span><br/>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Oczywiście liczby <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> są również pierwiastkami równania
+Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci
-::<math>x^{n + 2} - P x^{n + 1} + Q x^n = 0</math>
+::<math>S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m})</math>
-Wynika stąd, że ciągi <math>(\alpha^n)</math> i <math>(\beta^n)</math> spełniają równania rekurencyjne
+Ponieważ ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w&nbsp;nawiasie jest liczbą nieujemną. Z&nbsp;drugiej strony
-::<math>\alpha^{n + 2} = P \alpha^{n + 1} - Q \alpha^n</math>
+::<math>S_{2 m} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2 m - 2} - a_{2 m - 1}) {- a_{2 m}}  < a_1</math>
-::<math>\beta^{n + 2} = P \beta^{n + 1} - Q \beta^n</math>
+Zatem dla każdego <math>m</math> ciąg sum częściowych <math>S_{2 m}</math> jest rosnący i&nbsp;ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia C10 jest zbieżny, czyli
-Ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> spełniają identyczne równania rekurencyjne jak ciągi <math>(\alpha^n)</math> i <math>(\beta^n)</math>. Istotnie, odejmując i&nbsp;dodając stronami wypisane powyżej równania, otrzymujemy
+::<math>\lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g</math>
-::<math>U_{n + 2} = P U_{n + 1} - Q U_n</math>
+Pozostaje zbadać sumy częściowe <math>S_{2 m + 1}</math>. Rezultat jest natychmiastowy
-::<math>V_{n + 2} = P V_{n + 1} - Q V_n</math>
+::<math>\lim_{m \to \infty} S_{2 m + 1} = \lim_{m \to \infty} (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) = \lim_{m \to \infty} S_{2 m} + \lim_{m \to \infty}  a_{2 m + 1} = g + 0 = g</math>
-Dlatego możemy zdefiniować ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> w&nbsp;sposób równoważny
+Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N4</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D6</span><br/>
-Niech <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> oraz <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>. Ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> określone są następującymi wzorami rekurencyjnymi
+Dla <math>s > 1</math> prawdziwy jest następujący związek
-::<math>U_0 = 0</math>, <math>U_1 = 1</math>, <math>U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s} = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math>
-::<math>V_0 = 2</math>, <math>V_1 = P</math>, <math>V_n = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Zauważmy, że założenie <math>s > 1</math> zapewnia zbieżność szeregu po prawej stronie. Zapiszmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math> w&nbsp;postaci sumy dla <math>k</math> parzystych i&nbsp;nieparzystych
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \ldots =</math>
+::::<math>\:\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k)^s} =</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N5</span><br/>
+::::<math>\:\, = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} + \frac{1}{2^s} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math>
-Początkowe wyrazy ciągów Lucasa
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+Otrzymujemy wzór
-|-
-! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{U_n (P, Q)}</math> !! <math>\boldsymbol{V_n (P, Q)}</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>0</math>&nbsp;&nbsp; || <math>0</math> || <math>2</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>1</math>&nbsp;&nbsp; || <math>1</math> || <math>P</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>2</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P</math> || <math>P^2 - 2 Q</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>3</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^2 - Q</math> || <math>P^3 - 3 P Q</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>4</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^3 - 2 P Q</math> || <math>P^4 - 4 P^2 Q + 2 Q^2</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>5</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^4 - 3 P^2 Q + Q^2</math> || <math>P^5 - 5 P^3 Q + 5 P Q^2</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>6</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^5 - 4 P^3 Q + 3 P Q^2</math> || <math>P^6 - 6 P^4 Q + 9 P^2 Q^2 - 2 Q^3</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>7</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^6 - 5 P^4 Q + 6 P^2 Q^2 - Q^3</math> || <math>P^7 - 7 P^5 Q + 14 P^3 Q^2 - 7 P Q^3</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>8</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^7 - 6 P^5 Q + 10 P^3 Q^2 - 4 P Q^3</math> || <math>P^8 - 8 P^6 Q + 20 P^4 Q^2 - 16 P^2 Q^3 + 2 Q^4</math>
-|-
-| &nbsp;&nbsp;<math>9</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^8 - 7 P^6 Q + 15 P^4 Q^2 - 10 P^2 Q^3 + Q^4</math> || <math>P^9 - 9 P^7 Q + 27 P^5 Q^2 - 30 P^3 Q^3 + 9 P Q^4</math>
-|}
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N6</span><br/>
+Podobnie rozpiszmy szereg naprzemienny
-W PARI/GP możemy napisać prosty kod, który pozwoli obliczyć wartości wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasU(n, P, Q) = '''if'''( n == 0, 0, '''if'''( n == 1, 1, P*LucasU(n-1, P, Q) - Q*LucasU(n-2, P, Q) ) )</span>
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - \ldots =</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasV(n, P, Q) = '''if'''( n == 0, 2, '''if'''( n == 1, P, P*LucasV(n-1, P, Q) - Q*LucasV(n-2, P, Q) ) )</span>
+::::::<math>= \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k)^s} =</math>
+::::::<math>= (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} - \frac{1}{2^s} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s} =</math>
+::::::<math>= (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N7</span><br/>
+gdzie skorzystaliśmy ze znalezionego wyżej wzoru dla sumy szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 k - 1)^s}</math><br/>
-Niech <math>D = P^2 - 4 Q</math>. Wyrazy ciągów Lucasa można przedstawić w&nbsp;postaci sumy
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
-::<math>2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D7</span><br/>
-Oznaczmy <math>\delta = \sqrt{D}</math>, zatem <math>2 \alpha = P + \delta</math> i <math>2 \beta = P - \delta</math>. Ze wzoru dwumianowego, mamy
+Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta<ref name="DirichletEta"/>, którą definiuje szereg naprzemienny
-::<math>2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j</math>
+::<math>\eta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}</math>
-::<math>2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j</math>
+lub funkcja dzeta Riemanna<ref name="RiemannZeta"/>, którą definiuje inny szereg
-Obliczając sumę powyższych wzorów, otrzymujemy
+::<math>\zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math>
-::<math>2^n (\alpha^n + \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j + (- \delta)^j)</math>
+Na podstawie twierdzenia D6 funkcje te są związane wzorem
-:::::<math>\quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} \cdot 2 \delta^{2 k}</math>
+::<math>\eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s)</math>
-:::::<math>\quad \: = 2 \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
+Dla <math>s \in \mathbb{R}_+</math> funkcja eta Dirichleta jest zbieżna. Możemy ją wykorzystać do znajdowania sumy szeregu naprzemiennego <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}</math>.
-gdzie <math>j = 2 k</math> i&nbsp;sumowanie przebiega od <math>k = 0</math> do <math>k = \lfloor n / 2 \rfloor</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|-
+| <math>s = \frac{1}{2}</math>
+| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{\sqrt{k}} = 0.604898643421 \ldots</math>
+| [https://www.wolframalpha.com/input/?i=DirichletEta%5B1%2F2%5D WolframAlpha]
+|-
+| <math>s = 1</math>
+| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} = \log 2 = 0.693147180559 \ldots</math>
+| [https://www.wolframalpha.com/input/?i=DirichletEta%5B1%5D WolframAlpha]
+|-
+| <math>s = 2</math>
+| <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k^2} = \frac{\pi^2}{12} = 0.822467033424 \ldots</math>
+| [https://www.wolframalpha.com/input/?i=DirichletEta%5B2%5D WolframAlpha]
+|}
-Zatem
-::<math>2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D8</span><br/>
+Niech <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>. Szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = N}^{\infty} a_k</math> są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W&nbsp;przypadku zbieżności zachodzi związek
-Obliczając różnicę tych wzorów, mamy
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \left ( a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1} \right ) + \sum_{k = N}^{\infty} a_k</math>
-::<math>2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>S(n) =\sum_{k = 1}^{n} a_k</math> (gdzie <math>n \geqslant 1</math>) oznacza sumę częściową pierwszego szeregu, a <math>T(n) = \sum_{k = N}^{\infty} a_k</math> (gdzie <math>n \geqslant N</math>) oznacza sumę częściową drugiego szeregu. Dla <math>n \geqslant N</math> mamy
-:::::<math>\quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} \cdot 2 \delta^{2 k + 1}</math>
+::<math>S(n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1}) + T (n)</math>
-:::::<math>\quad \: = 2 \delta \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
+Widzimy, że dla <math>n</math> dążącego do nieskończoności zbieżność (rozbieżność) jednego ciągu implikuje zbieżność (rozbieżność) drugiego.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-gdzie <math>j = 2 k + 1</math> i&nbsp;sumowanie przebiega od <math>k = 0</math> do <math>k = \lfloor (n - 1) / 2 \rfloor</math>
-Zatem
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D9 (kryterium porównawcze)</span><br/>
+Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k > N_0</math> jest spełniony warunek
-::<math>2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} = 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
+::<math>0 \leqslant a_k \leqslant b_k</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+to
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+#&nbsp;&nbsp;&nbsp;zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> pociąga za sobą zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>
+#&nbsp;&nbsp;&nbsp;rozbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> pociąga za sobą rozbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Dowód przeprowadzimy dla szeregów <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k</math>, które są (odpowiednio) jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne z&nbsp;szeregami <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N8</span><br/>
+'''Punkt 1.'''<br/>
-Korzystając z&nbsp;twierdzenia N7, możemy napisać proste funkcje do znajdowania postaci kolejnych wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math>
+Z założenia szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k</math> jest zbieżny. Niech <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k = b</math>, zatem z&nbsp;założonych w&nbsp;twierdzeniu nierówności dostajemy
- <span style="font-size: 90%; color:black;">U(n) = 2^(1 - n)*'''sum'''(k=0, '''floor'''((n-1)/2), '''binomial'''(n, 2*k+1) * P^(n-2*k-1) * (P^2-4*Q)^k)</span>
+::<math>0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k \leqslant b</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">V(n) = 2^(1 - n)*'''sum'''(k=0, '''floor'''(n/2), '''binomial'''(n, 2*k) * P^(n-2*k) * (P^2-4*Q)^k)</span>
+Zauważmy, że ciąg sum częściowych <math>A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k</math> jest ciągiem rosnącym (bo <math>a_k \geqslant 0</math>) i&nbsp;ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg <math>\left ( A_n \right )</math> jest zbieżny, zatem szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> jest zbieżny.
+'''Punkt 2.'''<br/>
+Z założenia szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> jest rozbieżny, a&nbsp;z&nbsp;założonych w&nbsp;twierdzeniu nierówności dostajemy
+::<math>0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k</math>
-Często możemy spotkać założenie <math>P \geqslant 1</math>. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego tak jest.
+Rosnący ciąg sum częściowych <math>A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k</math> nie może być ograniczony od góry, bo przeczyłoby to założeniu, że szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} a_k</math> jest rozbieżny. Wynika stąd i&nbsp;z&nbsp;wypisanych wyżej nierówności, że również ciąg sum częściowych <math>B_n = \sum_{k = N_0}^{n} b_k</math> nie może być ograniczony od góry, zatem szereg <math>\sum_{k = N_0}^{\infty} b_k</math> jest rozbieżny.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N9</span><br/>
-Jeżeli <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> są ciągami Lucasa, to
-::<math>U_n (- P, Q) = (- 1)^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
-::<math>V_n (- P, Q) = (- 1)^n V_n (P, Q)</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D10</span><br/>
+Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k  \right |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest również zbieżny.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech
+Niech <math>b_k = a_k + | a_k |</math>. Z&nbsp;definicji prawdziwe jest następujące kryterium porównawcze
-::<math>\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad \;\; \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}</math>
+::<math>0 \leqslant b_k \leqslant 2 | a_k |</math>
-::<math>a = \frac{- P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad b = \frac{- P - \sqrt{D}}{2}</math>
+Zatem z&nbsp;punktu 1. twierdzenia D9 wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> jest zbieżny. Z&nbsp;definicji wyrazów ciągu <math>\left ( b_k \right )</math> mamy <math>a_k = b_k - | a_k |</math> i&nbsp;możemy napisać
-Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \sum_{k = 1}^{\infty} b_k - \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math>
-::<math>x^2 - P x + Q = 0</math>
+Ponieważ szeregi po prawej stronie są zbieżne, to zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>. Zauważmy, że jedynie w&nbsp;przypadku, gdyby obydwa szeregi po prawej stronie były rozbieżne, nie moglibyśmy wnioskować o&nbsp;zbieżności / rozbieżności szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>, bo suma szeregów rozbieżnych może być zbieżna.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>x^2 + P x + Q = 0</math>
-Zatem definiują one ciągi Lucasa
-::<math>U_n (P, Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \qquad \qquad \;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D11</span><br/>
+Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> można zapisać w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci
-::<math>U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} \qquad \qquad V_n (- P, Q) = a^n + b^n</math>
+# <math>\quad a_k = f_k - f_{k + 1}</math>
+# <math>\quad a_k = f_{k - 1} - f_k</math>
-Zauważmy, że
+to odpowiadający temu ciągowi szereg nazywamy szeregiem teleskopowym. Suma częściowa szeregu teleskopowego jest odpowiednio równa
-::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{D}</math>
+# <math>\quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_m - f_{n + 1}</math>
+# <math>\quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_{m - 1} - f_n</math>
-::<math>\frac{a}{\beta} = \frac{b}{\alpha} = - 1</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>\sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_k - f_{k + 1}) =</math>
-Łatwo znajdujemy
+::::<math>= (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + (f_{m + 2} - f_{m + 3}) + \ldots + (f_{n - 1} - f_n) + (f_n - f_{n + 1}) =</math>
-::<math>U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} = \frac{(- \beta)^n - (- \alpha)^n}{\sqrt{D}} = (- 1)^n \cdot \frac{\beta^n - \alpha^n}{\alpha - \beta} = (- 1)^{n - 1} \cdot U_n (P, Q)</math>
+::::<math>= f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + f_{m + 2} - f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1} - f_n + f_n - f_{n + 1} =</math>
-::<math>V_n (- P, Q) = a^n + b^n = (- \beta)^n + (- \alpha)^n = (- 1)^n \cdot (\alpha^n + \beta^n) = (- 1)^n \cdot V_n (P, Q)</math>
+::::<math>= f_m + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + f_{m + 2}) + (- f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1}) + (- f_n + f_n) - f_{n + 1} =</math>
+::::<math>= f_m - f_{n + 1}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_{k - 1} - f_k) =</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N10</span><br/>
+::::<math>= (f_{m - 1} - f_m) + (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + \ldots + (f_{n - 2} - f_{n - 1}) + (f_{n - 1} - f_n) =</math>
-Pokazać, że jeżeli <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> i <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>, to
-::<math>U_n (2 P, 4 Q) = 2^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
+::::<math>= f_{m - 1} - f_m + f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2} - f_{n - 1} + f_{n - 1} - f_n =</math>
-::<math>V_n (2 P, 4 Q) = 2^n V_n (P, Q)</math>
+::::<math>= f_{m - 1} + (- f_m + f_m) + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2}) + (- f_{n - 1} + f_{n - 1}) - f_n =</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::::<math>= f_{m - 1} - f_n</math><br/>
-Niech
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>\alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} \qquad \qquad \;\; \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}}</math>
-::<math>a = P + \sqrt{D} \qquad \qquad \;\; b = P - \sqrt{D}</math>
-Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D12</span><br/>
+Następujące szeregi są zbieżne
-::<math>x^2 - P x + Q = 0</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|-
+| 1. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{1}{k (k + 1)} = 1</math>
+|
+|-
+| 2. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{1}{k (k - 1)} = 1</math>
+|
+|-
+| 3. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{1}{k^2 - 1} = \frac{3}{4}</math>
+|
+|-
+| 4. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 1} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} = 1.644934066848 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A013661 A013661], [https://www.wolframalpha.com/input/?i=Zeta%282%29 WolframAlpha]
+|}
-::<math>x^2 - 2 P x + 4 Q = 0</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''<br/>
+Dla dowodu wykorzystamy fakt, że rozpatrywany szereg jest szeregiem teleskopowym
-Zatem definiują one ciągi Lucasa
+::<math>\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}</math>
-::<math>U_n (P, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \;\;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
+Zatem
-::<math>U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n</math>
+::<math>\sum^n_{k = 1} \frac{1}{k (k + 1)} = \sum^n_{k = 1} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) = 1 - \frac{1}{n + 1}</math>
-Zauważmy, że
+Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
-::<math>\alpha - \beta = \sqrt{D}</math>
+::<math>\sum^{\infty}_{k = 1} \frac{1}{k (k + 1)} = 1</math>
-::<math>a - b = 2 \sqrt{D}</math>
+'''Punkt 2.'''<br/>
+Szereg jest identyczny z&nbsp;szeregiem z&nbsp;punktu 1., co łatwo zauważyć zmieniając zmienną sumowania <math>k = s + 1</math> i&nbsp;odpowiednio granice sumowania.
-::<math>{\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{b}{\beta}} = 2</math>
+'''Punkt 3.'''<br/>
+Należy skorzystać z&nbsp;tożsamości
-Łatwo znajdujemy
+::<math>\frac{1}{k^2 - 1} = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right) + \left( \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} \right) \right]</math>
-::<math>U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} = {\small\frac{(2 \alpha)^n - (2 \beta)^n}{2 \sqrt{D}}} = 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = 2^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
+'''Punkt 4.'''<br/>
+Ponieważ dla <math>k \geqslant 2</math> prawdziwa jest nierówność
-::<math>V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n = (2 \alpha)^n + (2 \beta)^n = 2^n (\alpha^n + \beta^n) = 2^n V_n (P, Q)</math>
+::<math>0 < \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k^2 - 1}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie D9) ze zbieżności szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 2} \frac{1}{k^2 - 1}</math> wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 262: / Linia 290: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N11</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D13</span><br/>
-Pokazać, że jeżeli <math>Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> oraz <math>P = 4 Q - 1</math>, to
+Następujące szeregi są zbieżne
-::<math>U_{2 k} (P, P Q) = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q)</math>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|-
+| 1. <math>\quad \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} = 1.860025079221 \ldots</math>
+|
+|-
+| 2. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{\log k}{k (k + 1)} = 0.788530565911 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A085361 A085361]
+|-
+| 3. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 2} \frac{\log k}{k (k - 1)} = 1.257746886944 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A131688 A131688]
+|-
+| 4. <math>\quad \sum^{\infty}_{k = 3} \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} = 1.069058310734 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A115563 A115563]
+|}
-::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''<br/>
-::<math>V_{2 k} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q)</math>
+Wystarczy zauważyć, że
-::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q)</math>
+::<math>\frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}} = \frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1}} =</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::::::<math>\quad\: = \frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot \left( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} \right)} ></math>
-Niech
-::<math>\alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{- P}}{2}}</math>
+::::::<math>\quad\: > \frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot 2 \sqrt{k + 1}}</math>
-::<math>a = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{2}}</math>
+::::::<math>\quad\: = \frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}</math>
-Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
+Zatem
-::<math>x^2 - x + {\small\frac{P + 1}{4}} = 0</math>
+::<math>\sum_{k = 1}^n \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} = 2 \sum_{k = 1}^n \frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}} <</math>
-::<math>x^2 - P x + {\small\frac{P (P + 1)}{4}} = 0</math>
+::::::<math>\;\;\;\: < 2 \sum_{k = 1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{k}} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}} \right) =</math>
-Z założenia <math>P = 4 Q - 1</math>, zatem
+::::::<math>\;\;\;\: = 2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \right) <</math>
-::<math>x^2 - x + Q = 0</math>
+::::::<math>\;\;\;\: < 2</math>
-::<math>x^2 - P x + P Q = 0</math>
+Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i&nbsp;ograniczony, to szereg jest zbieżny.
-Czyli definiują one ciągi Lucasa
+'''Punkt 2.'''<br/>
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia A37, możemy napisać oszacowanie
-::<math>U_n (1, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \:\:\: V_n (1, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
+::<math>0 < \frac{\log k}{k (k + 1)} < \frac{2 \sqrt{k}}{k (k + 1)} < \frac{2}{(k + 1) \sqrt{k}}</math>
-::<math>U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n</math>
+Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}</math> wynika zbieżność szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 2} \frac{\log k}{k (k + 1)}</math>
+'''Punkt 3.'''<br/>
 Zauważmy, że
-::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{- P}</math>
+::<math>\frac{\log (k - 1)}{k - 1} - \frac{\log (k)}{k} = \frac{k \log (k - 1) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)} =</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \frac{k \log \left( k \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \right) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)} =</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \frac{k \log (k) + k \log \left( 1 - \frac{1}{k} \right) - k \log (k) + \log (k)}{k (k - 1)} ></math>
+::::::::<math>\;\;\, > \frac{\log (k) - k \cdot \frac{1}{k - 1}}{k (k - 1)} =</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \frac{\log (k)}{k (k - 1)} - \frac{1}{(k - 1)^2}</math>
-::<math>{\small\frac{a}{\beta}} = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{1 - \sqrt{- P}}} = \sqrt{- P}</math>
+Czyli prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>{\small\frac{b}{\alpha}} = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{1 + \sqrt{- P}}} = - \sqrt{- P}</math>
+::<math>\frac{\log (k)}{k (k - 1)} < \left[ \frac{\log (k - 1)}{k - 1} - \frac{\log (k)}{k} \right] + \frac{1}{(k - 1)^2}</math>
+Zatem możemy napisać
-Łatwo znajdujemy
+::<math>\sum_{k = 2}^{n} \frac{\log (k)}{k (k - 1)} < \sum_{k = 2}^{n} \left[ \frac{\log (k - 1)}{k - 1} - \frac{\log (k)}{k} \right] + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{(k - 1)^2}</math>
-::<math>U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k}}{\sqrt{- P}} = \frac{(- P)^k (\beta^{2 k} - \alpha^{2 k})}{\alpha - \beta} = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q)</math>
+::::::<math>\: < - \frac{\log (n)}{n} + \sum_{j = 1}^{n - 1} \frac{1}{j^2}</math>
+::::::<math>\: < \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{1}{j^2} =</math>
-::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = (- P)^k (\beta^{2 k + 1} + \alpha^{2 k + 1}) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q)</math>
+::::::<math>\: = \frac{\pi^2}{6}</math>
+Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i&nbsp;ograniczony, to szereg jest zbieżny.
+'''Punkt 4.'''<br/>
+Zauważmy, że
-::<math>V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k} = (- P)^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q)</math>
+::<math>\frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} = \frac{\log (k + 1) - \log (k)}{\log (k) \log (k + 1)} =</math>
+::::::::<math>\;\;\, = \frac{\log \left( 1 + \frac{1}{k} \right)}{\log (k) \log (k + 1)} <</math>
-::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} = (- P)^{k + 1} \cdot \frac{\beta^{2 k + 1} - \alpha^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q)</math>
+::::::::<math>\;\;\, < \frac{1}{k \cdot \log (k) \log (k + 1)} <</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+::::::::<math>\;\;\, < \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Z drugiej strony mamy
+::<math>\frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} = \frac{\log (k) - \log (k - 1)}{\log (k - 1) \log (k)} =</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N12</span><br/>
+::::::::<math>\;\;\, = \frac{\log \left( 1 + \frac{1}{k - 1} \right)}{\log (k - 1) \log (k)} ></math>
-Pokazać, że jeżeli <math>Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> oraz <math>P = 4 Q + 1</math>, to
-::<math>U_{2 k} (P, P Q) = P^k U_{2 k} (1, - Q)</math>
+::::::::<math>\;\;\, > \frac{1}{k \cdot \log (k - 1) \log (k)} ></math>
-::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
+::::::::<math>\;\;\, > \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}</math>
-::<math>V_{2 k} (P, P Q) = P^k V_{2 k} (1, - Q)</math>
+Wynika stąd następujący ciąg nierówności
-::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
+::<math>\frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} < \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} < \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Niech
-::<math>\alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{P}}{2}}</math>
+Rezultat ten wykorzystamy w&nbsp;pełni w&nbsp;przykładzie D14, a&nbsp;do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy
-::<math>a = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{2}}</math>
+::<math>\sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k \cdot \log^2 \! k} < \sum_{k = 3}^{n} \left[ \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} \right] =</math>
-Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
+::::::<math>\; = \frac{1}{\log 2} - \frac{1}{\log (n)} <</math>
-::<math>x^2 - x - {\small\frac{P - 1}{4}} = 0</math>
+::::::<math>\; < \frac{1}{\log 2}</math>
-::<math>x^2 - P x + {\small\frac{P (P - 1)}{4}} = 0</math>
+Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i&nbsp;ograniczony, to szereg jest zbieżny.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Z założenia <math>P = 4 Q + 1</math>, zatem
-::<math>x^2 - x - Q = 0</math>
-::<math>x^2 - P x + P Q = 0</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D14</span><br/>
+Na przykładzie szeregu <math>\sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k}</math> pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.
-Czyli definiują one ciągi Lucasa
+Ponieważ nie jesteśmy w&nbsp;stanie zsumować nieskończenie wielu wyrazów, zatem najlepiej będzie podzielić szereg na dwie części
-::<math>U_n (1, - Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad V_n (1, - Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
+::<math>\sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} = \sum_{k = 3}^{m} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} + \sum_{k = m + 1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k}</math>
-::<math>U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n</math>
-Zauważmy, że
+Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a&nbsp;dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.
+Dowodząc twierdzenie D13, w&nbsp;punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności
-::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{P}</math>
+::<math>\frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} < \frac{1}{k \cdot \log^2 k} < \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)}</math>
-::<math>{\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{1 + \sqrt{P}}} = \sqrt{P}</math>
-::<math>{\small\frac{b}{\beta}} = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{1 - \sqrt{P}}} = - \sqrt{P}</math>
+Wykorzystamy powyższy wzór do znalezienia potrzebnego nam oszacowania. Sumując strony nierówności, dostajemy
+::<math>\sum_{k = m + 1}^{n} \left( \frac{1}{\log (k)} - \frac{1}{\log (k + 1)} \right) < \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} < \sum_{k = m + 1}^{n} \left( \frac{1}{\log (k - 1)} - \frac{1}{\log (k)} \right)</math>
-Łatwo znajdujemy
-::<math>U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k}}{\sqrt{P}} = \frac{P^k (\alpha^{2 k} - \beta^{2 k})}{\alpha - \beta} = P^k U_{2 k} (1, - Q)</math>
+Ponieważ szeregi po lewej i&nbsp;po prawej stronie są szeregami teleskopowymi, to łatwo znajdujemy, że
+::<math>\frac{1}{\log (m + 1)} - \frac{1}{\log (n + 1)} < \sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} < \frac{1}{\log m} - \frac{1}{\log n}</math>
-::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^k (\alpha^{2 k + 1} + \beta^{2 k + 1}) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
+Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy oszacowanie
-::<math>V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k} = P^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = P^k V_{2 k} (1, - Q)</math>
+::<math>\frac{1}{\log (m + 1)} < \sum_{k = m + 1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} < \frac{1}{\log m}</math>
-::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} = P^{k + 1} \cdot \frac{\alpha^{2 k + 1} - \beta^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
+Teraz pozostaje dodać sumę wyrazów szeregu od <math>k = 3</math> do <math>k = m</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+::<math>\frac{1}{\log (m + 1)} + \sum_{k = 3}^{m} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} < \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} < \frac{1}{\log m} + \sum_{k = 3}^{m} \frac{1}{k \cdot \log^2 k}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Poniżej przedstawiamy wartości oszacowania sumy szeregu znalezione przy pomocy programu PARI/GP dla kolejnych wartości <math>m</math>. Wystarczy proste polecenie
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N13</span><br/>
+ for(n=1, 8, s = sum( k = 3, 10^n, 1/k/(log(k))^2 ); print("n= ", n, "   a= ", s+1/log(10^n+1), "   b= ", s+1/log(10^n) ))
-Dla wyrazów ciągów Lucasa prawdziwe są wzory
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-|-
-| <math>1.</math> || <math>U_{m + n} = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n</math> ||
-|-
-| <math>2.</math> || <math>V_{m + n} = V_m V_n - Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
-|-
-| <math>3.</math> || <math>U_{m + n} = U_m V_n - Q^n U_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
-|-
-| <math>4.</math> || <math>V_{m + n} = D U_m U_n + Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
-|-
-| <math>5.</math> || <math>U_m V_n - V_m U_n = 2 Q^n U_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
-|-
-| <math>6.</math> || <math>U^2_n = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1}</math> ||
-|-
-| <math>7.</math> || <math>V^2_n = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1}</math> ||
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
-|-
-| <math>\;\; 8.</math> || <math>2 U_{m + n} = U_m V_n + V_m U_n</math> ||
-|-
-| <math>\;\; 9.</math> || <math>2 V_{m + n} = V_m V_n + D U_m U_n</math> ||
-|-
-| <math>10.</math> || <math>V_m V_n - D U_m U_n = 2 Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
-|-
-| <math>11.</math> || <math>U_{2 n} = U_n V_n</math> ||
-|-
-| <math>12.</math> || <math>V_{2 n} = V^2_n - 2 Q^n</math> ||
-|-
-| <math>13.</math> || <math>V_{2 n} = D U^2_n + 2 Q^n</math> ||
 |-
-| <math>14.</math> || <math>V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n</math> ||
+| <math>m = 10^1</math> || <math>1.06</math> || <math>1.07</math>
 |-
-| <math>15.</math> || <math>D U_n = 2 V_{n + 1} - P V_n</math> ||
+| <math>m = 10^2</math> || <math>1.068</math> || <math>1.069</math>
 |-
-| <math>16.</math> || <math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math> ||
+| <math>m = 10^3</math> || <math>1.06904</math> || <math>1.06906</math>
 |-
-| <math>17.</math> || <math>D U_n = V_{n + 1} - Q V_{n - 1}</math> || <math>n \geqslant 1</math>
+| <math>m = 10^4</math> || <math>1.069057</math> || <math>1.069058</math>
 |-
-| <math>18.</math> || <math>V_n = U_{n + 1} - Q U_{n - 1}</math> || <math>n \geqslant 1</math>
+| <math>m = 10^5</math> || <math>1.0690582</math> || <math>1.0690583</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
 |-
-| <math>19.</math> || <math>U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n</math>
+| <math>m = 10^6</math> || <math>1.06905830</math> || <math>1.06905831</math>
 |-
-| <math>20.</math> || <math>U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n</math>
+| <math>m = 10^7</math> || <math>1.0690583105</math> || <math>1.0690583109</math>
 |-
-| <math>21.</math> || <math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
+| <math>m = 10^8</math> || <math>1.06905831071</math> || <math>1.06905831074</math>
 |}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Dysponując oszacowaniem reszty szeregu, znaleźliśmy wartość sumy szeregu z&nbsp;dokładnością 10 miejsc po przecinku.
-'''Wzory 1. - 7. najłatwiej udowodnić korzystając z&nbsp;definicji N1.'''
-Wzór 1.
+Natomiast samo zsumowanie <math>10^8</math> wyrazów szeregu daje wynik
-::<math>U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}}</math>
+::<math>\sum_{k = 3}^{10^8} \frac{1}{k \cdot \log^2 k} = 1.014 771 500 510 916 \ldots</math>
-:::<math>\quad \: = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} - \alpha \beta \cdot {\small\frac{\alpha^{m - 1} - \beta^{m - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}</math>
+Zatem mimo zsumowania stu milionów(!) wyrazów szeregu otrzymaliśmy rezultat z&nbsp;dokładnością jednego(!) miejsca po przecinku. Co więcej, nie wiemy, jaka jest dokładność uzyskanego rezultatu. Znając oszacowanie od dołu i&nbsp;od góry, dokładność jednego miejsca po przecinku uzyskaliśmy po zsumowaniu dziesięciu(!) wyrazów szeregu.
-:::<math>\quad \: = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n</math>
+Rozpatrywana wyżej sytuacja pokazuje, że w&nbsp;przypadku znajdowania przybliżonej wartości sumy szeregu ważniejsze od sumowania ogromnej ilości wyrazów jest posiadanie oszacowania nieskończonej reszty szeregu. Ponieważ wyznaczenie tego oszacowania na ogół nie jest proste, pokażemy jak ten problem rozwiązać przy pomocy całki oznaczonej.
-Wzór 2.
-::<math>V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n}</math>
-:::<math>\quad \;\! = (\alpha^m + \beta^m) (\alpha^n + \beta^n) - \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n})</math>
-:::<math>\quad \;\! = V_m V_n - Q^n V_{m - n}</math>
+== Szeregi nieskończone i&nbsp;całka oznaczona ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D15</span><br/>
+Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca w&nbsp;przedziale <math>[m, n + 1]</math>, to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności
-Wzór 3.
+::<math>0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f(x) d x</math>
-::<math>U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ponieważ funkcja <math>f(x)</math> jest z&nbsp;założenia ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca, to zamieszczony niżej rysunek dobrze prezentuje problem.
-:::<math>\quad \: = {\small\frac{(\alpha^m - \beta^m) (\alpha^n + \beta^n)}{\alpha - \beta}} - {\small\frac{\alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} - \beta^{m - n})}{\alpha - \beta}}</math>
+::[[File: D_Szereg-i-calka-1.png|none]]
-:::<math>\quad \: = U_m V_n - Q^n U_{m - n}</math>
+Przedstawiona na rysunku krzywa odpowiada funkcji <math>f(x)</math>. Dla współrzędnej <math>x = k</math> zaznaczyliśmy wartość funkcji <math>f(k)</math>, a&nbsp;po lewej i&nbsp;prawej stronie tych punktów zaznaczyliśmy pasy o&nbsp;jednostkowej szerokości. Łatwo zauważamy, że
+* po lewej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem zielonym) jest większe od pola prostokąta o&nbsp;wysokości <math>f(k)</math> i&nbsp;jednostkowej szerokości
+* po prawej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem niebieskim) jest mniejsze od pola prostokąta o&nbsp;wysokości <math>f(k)</math> i&nbsp;jednostkowej szerokości
-Wzór 4.
+Korzystając z&nbsp;własności całki oznaczonej, otrzymujemy ciąg nierówności
-::<math>V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n}</math>
+::<math>\int_{k}^{k + 1} f(x) d x \leqslant f(k) \leqslant \int_{k - 1}^{k} f(x) d x</math>
-:::<math>\quad \;\! = (\alpha - \beta)^2 \cdot {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} + \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n})</math>
+W powyższym wzorze występują nierówności nieostre, bo rysunek przedstawia funkcję silnie malejącą, ale zgodnie z&nbsp;uczynionym założeniem funkcja <math>f(x)</math> może być funkcją słabo malejącą.
-:::<math>\quad \;\! = D U_m U_n + Q^n V_{m - n}</math>
+Sumując lewą nierówność od <math>k = m</math> do <math>k = n</math>, a&nbsp;prawą od <math>k = m + 1</math> do <math>k = n</math>, dostajemy
+::<math>\int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k)</math>
-Wzór 5.
+::<math>\sum_{k = m + 1}^{n} f (k) \leqslant \int_{m}^{n} f (x) d x</math>
-::<math>U_m V_n - V_m U_n = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^m + \beta^m) \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}</math>
+Dodając <math>f(m)</math> do obydwu stron drugiej z&nbsp;powyższych nierówności i&nbsp;łącząc je ze sobą, otrzymujemy kolejny i&nbsp;docelowy ciąg nierówności
-::::::<math>\;\;\: = 2 \cdot \alpha^n \beta^n \cdot {\small\frac{\alpha^{m - n} - \beta^{m - n}}{\alpha - \beta}}</math>
+::<math>0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::::::<math>\;\;\: = 2 Q^n U_{m - n}</math>
-Wzór 6.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D16</span><br/>
+Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}</math>.
-::<math>U^2_n = \left( {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \right)^2</math>
+Funkcja <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;silnie malejąca w&nbsp;przedziale <math>(0, + \infty)</math>, zatem dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest oszacowanie
-:::<math>\;\! = {\small\frac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} + \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1}</math>
+::<math>\int_{1}^{n + 1} \frac{d x}{x} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} < 1 + \int_{1}^{n} \frac{d x}{x}</math>
-:::<math>\;\! = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1}</math>
+Przy obliczaniu całek oznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2Fx+from+1+to+n WolframAlpha].
+::<math>\log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} < 1 + \log n</math>
-Wzór 7.
+Ponieważ
-::<math>V^2_n = (\alpha^n + \beta^n)^2</math>
+::<math>\log (n + 1) = \log \left( n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right) = \log n + \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) > \log n + \frac{1}{n + 1}</math>
-:::<math>\;\! = (\alpha^{n - 1} + \beta^{n - 1}) (\alpha^{n + 1} + \beta^{n + 1}) - (\alpha - \beta)^2 \cdot \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1}</math>
+to dostajemy
-:::<math>\;\! = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1}</math>
+::<math>\frac{1}{n + 1} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \log n < 1</math>
+Zauważmy: nie tylko wiemy, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}</math> jest rozbieżny, ale jeszcze potrafimy określić, jaka funkcja tę rozbieżność opisuje! Mamy zatem podstawy, by przypuszczać, że całki umożliwią opracowanie metody, która pozwoli rozstrzygać o&nbsp;zbieżności szeregów.
-'''Wzory 8. - 18. można łatwo udowodnić, korzystając ze wzorów 1. - 7.'''
-Wzór 8. Policzyć sumę wzoru 3. pomnożonego przez <math>2</math> i&nbsp;wzoru 5.
-Wzór 9. Policzyć sumę wzorów 2. i 4.
-Wzór 10. Połączyć wzory 2. i 4.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D17 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)</span><br/>
+Załóżmy, że funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca w&nbsp;przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest zbieżny lub rozbieżny w&nbsp;zależności od tego, czy funkcja pierwotna <math>F(x) = \int f (x) d x</math> ma dla <math>x \rightarrow \infty</math> granicę skończoną, czy nie.
-Wzór 11. We wzorze 3. położyć <math>m = n</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Nim przejdziemy do dowodu, wyjaśnimy uczynione założenia. Założenie, że funkcja <math>f(x)</math> jest malejąca, będzie wykorzystane w&nbsp;czasie dowodu twierdzenia, ale rozważanie przypadku, gdy <math>f(x)</math> jest rosnąca, nie ma sensu, bo wtedy nie mógłby być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> (zobacz twierdzenie D4).
-Wzór 12. We wzorze 2. położyć <math>m = n</math>.
-Wzór 13. We wzorze 4. położyć <math>m = n</math>.
-Wzór 14. We wzorze 10. położyć <math>m = n</math> lub połączyć wzory 12. i 13.
-Wzór 15. We wzorze 9. położyć <math>m = 1</math>.
-Wzór 16. We wzorze 8. położyć <math>m = 1</math>.
-Wzór 17. We wzorze 15. położyć <math>V_{n + 1} = P V_n - Q V_{n - 1}</math>.
-Wzór 18. We wzorze 16. położyć <math>U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1}</math>.
-'''Wzory 19. - 21. to wzory, które wykorzystamy w&nbsp;przyszłości do szybkiego obliczania wartości wyrazów <math>U_n</math> i <math>V_n</math> modulo.'''
-Wzór 19. Wystarczy połączyć wzory 11. oraz 16.
-Wzór 20. Wystarczy we wzorze 1. położyć <math>m = n + 1</math>.
+Moglibyśmy założyć bardziej ogólnie, że funkcja jest nieujemna, ale wtedy twierdzenie obejmowałoby przypadki funkcji takich, że dla pewnego <math>x_0</math> byłoby <math>f(x_0) = 0</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia funkcja <math>f(x)</math> jest malejąca, zatem mielibyśmy <math>f(x) = 0</math> dla <math>x \geqslant x_0</math>. Odpowiadający tej funkcji szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> miałby dla <math>k \geqslant x_0</math> tylko wyrazy zerowe i&nbsp;byłby w&nbsp;sposób oczywisty zbieżny.
-Wzór 21. Kładąc we wzorze 19. <math>n \rightarrow n + 1</math>, otrzymujemy
+Założenie ciągłości funkcji <math>f(x)</math> ma zapewnić całkowalność funkcji <math>f(x)</math><ref name="calkowalnosc1"/>. Założenie to można osłabić<ref name="calkowalnosc2"/>, tutaj ograniczymy się tylko do podania przykładów. Niech <math>a, b \in \mathbb{R}</math>, mamy
-::<math>U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - P U^2_{n + 1} \qquad (*)</math>
+::<math>\int_a^b \text{sgn}(x) d x = | b | - | a |</math> <math>\qquad \qquad \int_0^a \lfloor x \rfloor d x = \frac{1}{2} \lfloor a \rfloor (2 a - \lfloor a \rfloor - 1)</math> <math>\qquad \qquad \int_{-a}^a \lfloor x \rfloor d x = - a</math>
-Kładąc we wzorze 1. <math>m = n + 2</math>, mamy
-::<math>U_{2 n + 2} = U_{n + 2} U_{n + 1} - Q U_{n + 1} U_n</math>
+Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w&nbsp;twierdzeniu D15 i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
-Czyli
+::<math>0 \leqslant \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
-::<math>2 U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
-Odejmując od powyższego wzoru wzór <math>(*)</math>, dostajemy wzór 21.
+'''Z drugiej nierówności wynika''', że jeżeli całka <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> jest rozbieżna, to rosnący ciąg kolejnych całek oznaczonych <math>C_j = \int_{m}^{j} f (x) d x</math> nie może być ograniczony od góry (w&nbsp;przeciwnym wypadku całka <math>\int_{m}^{\infty} f (x) d x</math> byłby zbieżna), zatem również rosnący ciąg sum częściowych <math>F_j = \sum_{k = m}^{j} f(k)</math> nie może być ograniczony od góry, co oznacza, że szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest rozbieżny.
-::<math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
+'''Z trzeciej nierówności wynika''', że jeżeli całka <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> jest zbieżna, to ciąg sum częściowych <math>F_j = \sum_{k = m}^{j} f (k)</math> jest ciągiem rosnącym i&nbsp;ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg <math>F_j</math> jest zbieżny, zatem szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest zbieżny.
-Co należało pokazać.<br/>
+Ponieważ zbieżność (rozbieżność) całki <math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x</math> nie zależy od wyboru dolnej granicy całkowania, to wystarczy badać granicę <math>\lim_{x \to \infty} F (x)</math>, gdzie <math>F(x) = \int f (x) d x</math> jest dowolną funkcją pierwotną.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 561: / Linia 570: @@
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D18</span><br/>
+Przykłady zebraliśmy w&nbsp;tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2Fsqrt%28x%29 WolframAlpha].
-== Obliczanie wyrazów ciągu Lucasa modulo <math>m</math> ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N14</span><br/>
-Pokażemy, jak wykorzystać podane w&nbsp;twierdzeniu N13 wzory 19, 20, 21 i 16
-::<math>U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n</math>
-::<math>U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n</math>
-::<math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
-::<math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math>
-do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa modulo <math>m</math>.
-Niech <math>P = 3</math>, <math>Q = 1</math>, <math>D = P^2 - 4 Q = 5</math>, <math>n = 22 = (10110)_2 = \sum_{j = 0}^{4} a_j \cdot 2^j</math>.
-W tabeli przedstawione są kolejne kroki, jakie musimy wykonać, aby policzyć <math>U_n = U_{22}</math> modulo <math>m = 23</math>.
 ::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+!
+! szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} a_k</math>
+! funkcja <math>f(x)</math>
+! całka <math>F(x) = \int f(x) d x</math>
+! granica <math>\lim_{x \to \infty} F(x)</math>
+! wynik
 |-
-! <math>\boldsymbol{j}</math> !! <math>\boldsymbol{a_j}</math> !! <math>\boldsymbol{k_j}</math> !! <math>\boldsymbol{U_{k_j}}</math> !! <math>\boldsymbol{U_{k_j + 1}}</math>
+| 1. || <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}</math> || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>\log x</math> || <math>\infty</math> || szereg rozbieżny
 |-
-| <math>4</math> || <math>1</math> || <math>(1)_2 = 1</math> || <math>U_1 = 1</math> || <math>U_2 = P = 3</math>
+| 2. || <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{x}}</math> || <math>2 \sqrt{x}</math> || <math>\infty</math> || szereg rozbieżny
 |-
-| <math>3</math> || <math>0</math> || <math>(10)_2 = 2</math> || <math>U_2 = 2 U_1 U_2 - 3 U^2_1 = 6 - 3 = 3</math> || <math>U_3 = U^2_2 - 1 = 8</math>
+| 3. || <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</math> || <math>\frac{1}{x^2}</math> || <math>- \frac{1}{x}</math> || <math>0</math> || szereg zbieżny
 |-
-| <math>2</math> || <math>1</math> || <math>(101)_2 = 5</math> || <math>U_5 = U^2_3 - U^2_2 = 64 - 9 = 55 \equiv 9</math> || <math>U_6 = 3 U_3^2 - 2 U_2 U_3 = 192 - 48 = 144 \equiv 6</math>
+| 4. || <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \log k}</math> || <math>\frac{1}{x \log x}</math> || <math>\log \log x</math> || <math>\infty</math> || szereg rozbieżny
 |-
-| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>(1011)_2 = 11</math> || <math>U_{11} = U^2_6 - U^2_5 \equiv 36 - 81 \equiv - 45 \equiv 1</math> || <math>U_{12} = 3 U_6^2 - 2 U_5 U_6 \equiv 108 - 108 \equiv 0</math>
+| 5. || <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \log^2 \! k}</math> || <math>\frac{1}{x \log^2 \! x}</math> || <math>- \frac{1}{\log x}</math> || <math>0</math> || szereg zbieżny
-|-
-| <math>0</math> || <math>0</math> || <math>(10110)_2 = 22</math> || <math>U_{22} = 2 U_{11} U_{12} - 3 U^2_{11} \equiv 0 - 3 \equiv 20</math> || <math>U_{23} = U^2_{12} - U^2_{11} \equiv 0 - 1 \equiv 22</math>
 |}
-W kolumnie <math>a_j</math> wypisujemy kolejne cyfry liczby <math>n = 22 = (10110)_2</math> zapisanej w&nbsp;układzie dwójkowym. Liczby w&nbsp;kolumnie <math>k_j</math> tworzymy, biorąc kolejne (od prawej do lewej) cyfry liczby <math>n</math> w&nbsp;zapisie dwójkowym. Postępując w&nbsp;ten sposób, w&nbsp;ostatnim wierszu mamy <math>k_j = n</math> i&nbsp;wyliczamy liczby <math>U_n</math> i <math>U_{n + 1}</math> modulo <math>m</math>.
+Stosując kryterium całkowe można łatwo pokazać, że szeregi
-Dla uproszczenia zapisu i&nbsp;ułatwienia zrozumienia liczbę <math>k_j</math> oznaczymy jako <math>r</math>, a <math>k_{j + 1}</math> jako <math>s</math>. Zauważmy, że
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^s}</math>
-:* tabela jest zbudowana tak, że musimy znaleźć wyrazy ciągu Lucasa o&nbsp;indeksie <math>r = k_j</math> oraz o&nbsp;indeksie o&nbsp;jeden większym: <math>r + 1 = k_j + 1</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \log^s \! k}</math>
-:* przejście do następnego wiersza (w dół) oznacza, że musimy znaleźć wyrazy o&nbsp;indeksie <math>s = k_{j + 1}</math> oraz o&nbsp;indeksie o&nbsp;jeden większym: <math>s + 1</math>
-:* przechodząc do następnego wiersza, dotychczasowa liczba <math>r = k_j</math> powiększa się o&nbsp;kolejną cyfrę ( <math>0</math> lub <math>1</math> ), którą dopisujemy z&nbsp;prawej strony
-:* dodanie na końcu liczby <math>r = k_j</math> zera podwaja liczbę <math>r</math>, czyli <math>s = k_{j + 1} = 2 r</math> oraz <math>s + 1 = 2 r + 1</math>
-:* dodanie na końcu liczby <math>r = k_j</math> jedynki podwaja liczbę <math>r</math> i&nbsp;zwiększą ją o&nbsp;jeden, czyli <math>s = k_{j + 1} = 2 r + 1</math> oraz <math>s + 1 = 2 r + 2</math>
+są zbieżne dla <math>s > 1</math> i&nbsp;rozbieżne dla <math>s \leqslant 1</math>.
-Dlatego, jeżeli kolejną dodaną cyfrą jest zero, to korzystamy ze wzorów
-::<math>U_s = U_{2 r} = 2 U_r U_{r + 1} - P U^2_r</math>
-::<math>U_{s + 1} = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r</math>
-Gdy kolejną dodaną cyfrą jest jeden, to stosujemy wzory
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D19</span><br/>
+Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca w&nbsp;przedziale <math>[m, \infty)</math> oraz
-::<math>U_s = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r</math>
+::<math>R(m) = \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
-::<math>U_{s + 1} = U_{2 r + 2} = P U^2_{r + 1} - 2 Q U_r U_{r + 1}</math>
+::<math>S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k)</math>
+gdzie <math>a < m</math>, to prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy szeregu nieskończonego <math>\sum_{k = a}^{\infty} f (k)</math>
-Korzystając ze wzoru <math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math>, mamy
+::<math>S(m) + R(m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R(m)</math>
-::<math>V_{22} = 2 U_{23} - 3 U_{22} \equiv 44 - 60 \equiv - 16 \equiv 7 \pmod{23}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Korzystając ze wzoru udowodnionego w&nbsp;twierdzeniu D15 i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
-Ostatecznie otrzymujemy
+::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
-::<math>U_{22} \equiv 20 \pmod{23} \quad</math> oraz <math>\quad V_{22} \equiv 7 \pmod{23}</math>
+Czyli
+::<math>R(m) \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + R (m)</math>
+Odejmując od każdej ze stron nierówności liczbę <math>f(m)</math> i&nbsp;dodając do każdej ze stron nierówności sumę skończoną <math>S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k)</math>, otrzymujemy
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N15</span><br/>
+::<math>S(m) + R (m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R (m)</math>
-Uogólniając postępowanie przedstawione w&nbsp;przykładzie N14, możemy napisać program w&nbsp;PARI/GP do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math> modulo <math>m</math>.
- <span style="font-size: 90%; color:black;">modLucas(n, P, Q, m) =
+Co należało pokazać.<br/>
- {
+&#9633;
- '''local'''(A,  i,  s,  U,  U2,  V,  W,  W2);
+{{\Spoiler}}
- '''if'''( m == 1, '''return'''([0, 0]) );
- '''if'''( n == 0, '''return'''([0, 2 % m]) );
- A = '''digits'''(n, 2); \\ otrzymujemy wektor cyfr liczby n w układzie dwójkowym
- s = '''length'''(A); \\ długość wektora A
- U = 1;
- W = P;
- i = 1;
- '''while'''( i++ <= s,
-        '''if'''( A[i] == 0,  U2 = 2*U*W - P*U^2;  W2 = W^2 - Q*U^2 );
-        '''if'''( A[i] == 1,  U2 = W^2 - Q*U^2;  W2 = P*W^2 - 2*Q*U*W );
-        U = U2 % m;
-        W = W2 % m;
-      );
- V = (2*W - P*U) % m;
- '''return'''([U, V]);
- }</span>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D20</span><br/>
+Twierdzenie D19 umożliwia określenie, z&nbsp;jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}</math>. Mamy
+::<math>S(m) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}</math>
-== Podzielność wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> przez liczbę pierwszą nieparzystą ==
+::<math>\int \frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}} = 2 \text{arctg} \left( \sqrt{x} \right)</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N16</span><br/>
+::<math>R(m) = \int_{m}^{\infty} \frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}} = \pi - 2 \text{arctg} \left( \sqrt{m} \right)</math>
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. W&nbsp;przypadku, gdy <math>p \nmid P Q</math> nie możemy nic powiedzieć o&nbsp;podzielności wyrazów <math>U_n</math> przez <math>p</math>. Przykładowo, jeżeli <math>P \equiv 1 \pmod{p} \;</math> <math>\text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p}</math>, to modulo <math>p</math>, mamy
-::<math>(U_n) \equiv (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, \ldots)</math>
+Zatem
-W przypadku, gdy <math>P \equiv 2 \pmod{p} \;</math> <math>\text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p}</math>, to modulo <math>p</math> mamy
+::<math>S(m) + R (m) - f (m) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}} \leqslant S (m) + R (m)</math>
-::<math>(U_n) \equiv (0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, \ldots)</math>
+Dla kolejnych wartości <math>m</math> otrzymujemy
-Sytuacja wygląda inaczej, gdy <math>p \mid P Q</math>.
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+! <math>m</math>
+! <math>S(m) + R(m) - f(m)</math>
+! <math>S(m) + R(m)</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N17</span><br/>
+|-
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą.
+| <math>10^1</math> || <math>1.84</math> || <math>1.87</math>
+|-
-::{| border="0"
+| <math>10^2</math> || <math>1.85</math> || <math>1.86</math>
-|-style=height:1.9em
+|-
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \mid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \mid Q , \;</math> to <math>\; p \mid U_n \;</math> dla <math>n \geqslant 2</math>
+| <math>10^3</math> || <math>1.86000</math> || <math>1.86004</math>
-|-style=height:1.9em
+|-
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \mid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \nmid Q , \;</math> to <math>\; p \mid U_{2 n} \;</math> i <math>\; p \nmid U_{2 n + 1}</math>
+| <math>10^4</math> || <math>1.860024</math> || <math>1.860025</math>
-|-style=height:1.9em
+|-
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \nmid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \mid Q , \;</math> to <math>\; p \nmid U_n \;</math> dla <math>n \geqslant 1</math>
+| <math>10^5</math> || <math>1.86002506</math> || <math>1.86002509</math>
-|-style=height:1.9em
+|-
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \mid Q , \;</math> to <math>\; p \mid U_n</math>, gdzie <math>n \geqslant 2</math>, wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>\; p \mid P</math>
+| <math>10^6</math> || <math>1.860025078</math> || <math>1.860025079</math>
-|-style=height:1.9em
+|-
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \nmid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \mid D , \;</math> to <math>\; p \mid U_n \;</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p \mid n</math>
+| <math>10^7</math> || <math>1.86002507920</math> || <math>1.86002507923</math>
+|-
+| <math>10^8</math> || <math>1.860025079220</math> || <math>1.860025079221</math>
+|-
+| <math>10^9</math> || <math>1.8600250792211</math> || <math>1.8600250792212</math>
+|-
 |}
-Założenie, że <math>p \nmid P</math> w&nbsp;ostatnim punkcie jest istotne. Gdy <math>\; p \mid P \;</math> i <math>\; p \mid D , \;</math> to <math>\; p \mid Q \;</math> i&nbsp;otrzymujemy punkt pierwszy.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+W programie PARI/GP wystarczy napisać:
-'''Punkt 1.'''
-Ponieważ <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \mid U_2</math>. Dla <math>n \geqslant 3</math> wyrażenie <math>U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}</math> jest podzielne przez <math>p</math>.
+ f(k) = 1.0/(k+1)/sqrt(k)
+ S(m) = sum( k = 1, m, f(k) )
+ R(m) = Pi - 2*atan( sqrt(m) )
+ for(j=1, 9, m=10^j; suma=S(m); reszta=R(m); print( "j= ", j, "   a= ", suma + reszta - f(m), "   b= ", suma + reszta ))
-'''Punkt 2.'''
-Indeksy parzyste. Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_0 = 0</math> i <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \mid U_0</math> i <math>p \mid U_2</math>. Zakładając, że <math>p \mid U_{2 n}</math>, z definicji ciągu <math>(U_k)</math>, otrzymujemy dla <math>U_{2 n + 2}</math>
-::<math>U_{2 n + 2} = P U_{2 n - 1} - Q U_{2 n}</math>
-Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \mid U_{2 n + 2}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich <math>n \geqslant 0</math>.
+Prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia D15 jest następujące<br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D21</span><br/>
+Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego <math>\sum_{k = a}^{\infty} f (k)</math> (gdzie <math>a < m</math>) zastąpimy sumę <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> całką <math>\int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>, to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy <math>f(m)</math>.
-Indeksy nieparzyste. Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_1 = 1</math> i <math>U_3 = P^2 - Q</math>, zatem <math>p \nmid U_1</math> i <math>p \nmid U_3</math>. Zakładając, że <math>p \nmid U_{2 n - 1}</math>, z definicji ciągu <math>(U_k)</math>, otrzymujemy dla <math>U_{2 n + 1}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Korzystając ze wzoru z&nbsp;twierdzenia D15 i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy
-::<math>U_{2 n + 1} = P U_{2 n} - Q U_{2 n - 1}</math>
+::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
-Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \nmid U_{2 n + 1}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich <math>n \geqslant 1</math>.
+Dodając do każdej ze stron nierówności wyrażenie <math>- f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k)</math>, dostajemy
-'''Punkt 3.'''
+::<math>- f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
-Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_1 = 1</math> i <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \nmid U_1</math> i <math>p \nmid U_2</math>. Zakładając, że <math>p \nmid U_n</math> zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n</math>, z&nbsp;definicji ciągu <math>(U_n)</math>
+Skąd wynika natychmiast
-otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
-::<math>U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1}</math>
+::<math>- f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \leqslant 0 < f(m)</math>
-Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \nmid U_{n + 1}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb <math>n \geqslant 1</math>.
+Czyli
-'''Punkt 4.'''
-Wynika z&nbsp;punktów pierwszego i&nbsp;trzeciego.
-'''Punkt 5.'''
-Z twierdzenia N7 wiemy, że
-::<math>2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
-::::<math>\;\; = n P^{n - 1} + \binom{n}{3} P^{n - 3} D + \binom{n}{5} P^{n - 5} D^2 + \ldots +
-\begin{cases}
-n P D^{(n - 2) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest parzyste} \\
-D^{(n - 1) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest nieparzyste} \\
-\end{cases}</math>
-Z założenia <math>p \mid D</math>, zatem modulo <math>p</math> dostajemy
+::<math>\left| \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \right| \leqslant f(m)</math>
-::<math>2^{n - 1} U_n \equiv n P^{n - 1} \pmod{p}</math>
+Co kończy dowód.<br/>
-Ponieważ <math>p \nmid P</math>, zatem <math>p \mid U_n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p \mid n</math>.
-Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 747: / Linia 711: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N18</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D22</span><br/>
-Jeżeli <math>d</math> jest nieparzystym dzielnikiem <math>Q</math>, to dla <math>n \geqslant 2</math> jest
+Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> jest zbieżny, to dla każdego <math>n \geqslant m</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n)</math>
+::<math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x</math>
-::<math>U_n \equiv P^{n - 1} \pmod{d}</math>
+gdzie <math>B</math> oraz <math>C</math> są dowolnymi stałymi spełniającymi nierówności
-W szczególności, gdy liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> jest dzielnikiem <math>Q</math> i <math>p \nmid P</math>, to
+::<math>B \geqslant 1</math>
-::<math>U_p \equiv 1 \pmod{p}</math>
+::<math>C \geqslant f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Oznaczmy <math>\delta = \sqrt{D}</math>, zatem <math>2 \alpha = P + \delta</math> i <math>2 \beta = P - \delta</math>. Ze wzoru dwumianowego, mamy
+Z twierdzenia D15 mamy
-::<math>2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j</math>
-::<math>2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j</math>
-Obliczając różnicę wyjściowych wzorów, mamy
-::<math>2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) =</math>
-:::::<math>\quad \: = \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot 2 \delta^j</math>
-:::::<math>\quad \: = 2 \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot \delta \cdot D^{(j - 1) / 2}</math>
+::<math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x \leqslant</math>
-Rozpatrując powyższą równość modulo <math>Q</math> dostajemy (zobacz N43)
+:::::::<math>\;\! \leqslant f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x =</math>
-::<math>2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\delta}} = 2^{n - 1} U_n \equiv \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot P^{j - 1}</math>
+:::::::<math>\;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int_{m}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x =</math>
-:::::::::<math>\;\:\: \equiv P^{n - 1} \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j}</math>
+:::::::<math>\;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int^n_m f (x) d x - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x =</math>
-:::::::::<math>\;\:\: \equiv 2^{n - 1} P^{n - 1}</math>
+:::::::<math>\;\! = f (m) - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x =</math>
-Czyli
+:::::::<math>\;\! = \left[ f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x \right] - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x \leqslant</math>
-::<math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q}</math>
+:::::::<math>\;\! \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x</math><br/>
-Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>U_n - P^{n - 1}</math> (zobacz C74).
-W przypadku szczególnym, gdy <math>d = p</math>, gdzie <math>p</math> jest nieparzystą liczbą pierwszą i <math>p \nmid P</math>, z&nbsp;twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast
-::<math>U_p \equiv P^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 796: / Linia 743: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N19</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D23</span><br/>
-Niech <math>D = P^2 - 4 Q</math>, a <math>(D \mid p)</math> oznacza symbol Legendre'a, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid Q</math>. Mamy
+Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>[m, \infty)</math>. Rozważmy szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math>. Zauważmy, że:
-::{| border="0"
+* korzystając z&nbsp;całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> jest zbieżny
-|-style=height:2em
+* jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie D22), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>U_p \equiv (D \mid p) \pmod{p}</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>(D \mid p) = - 1 , \;</math> to <math>\; p \mid U_{p + 1}</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>(D \mid p) = 1 , \;</math> to <math>\; p \mid U_{p - 1}</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>, możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a&nbsp;stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math>. Zauważmy, że wybór większego <math>B</math> ułatwia dowód indukcyjny. Stałą <math>C</math> najlepiej zaokrąglić w&nbsp;górę do wygodnej dla nas wartości.
-'''Punkt 1.'''
-Zauważmy, że przypadek gdy <math>p \mid Q</math>, omówiliśmy w&nbsp;twierdzeniu poprzednim. Z&nbsp;założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z&nbsp;twierdzenia N7, w&nbsp;przypadku nieparzystego <math>n = p</math>, otrzymujemy
-::<math>2^{p - 1} U_p = p P^{p - 1} + \binom{p}{3} P^{p - 3} D + \binom{p}{5} P^{p - 5} D^2 + \ldots + \binom{p}{p-2} P^2 D^{(p - 3) / 2} + D^{(p - 1) / 2}</math>
+Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w&nbsp;jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a&nbsp;do tego wystarczy indukcja matematyczna.
-Ponieważ dla każdego <math>k \in [1, p - 1]</math> (zobacz N43)
+Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w&nbsp;tym celu twierdzenie D22.
-::<math>\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
-to modulo <math>p</math> dostajemy (zobacz J32)
-::<math>2^{p - 1} U_p \equiv U_p \equiv D^{(p - 1) / 2} \equiv (D \mid p) \pmod{p}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D24</span><br/>
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia D22, znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów
-'''Punkt 2.'''
+::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \qquad</math> oraz <math>\qquad \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2}</math>
-Zauważmy, że warunek <math>(D \mid p) = - 1</math> nie może być spełniony, gdy <math>p \mid Q</math>. Istotnie, gdy <math>p \mid Q</math>, to <math>D = P^2 - 4 Q \equiv P^2 \pmod{p}</math>, czyli
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</math>. Funkcja <math>f(x) = \frac{1}{x^2}</math> jest funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>(0, + \infty)</math>. Dla <math>n > 0</math> jest
-::<math>(D \mid p) = (P^2 \mid p) = (P \mid p)^2 = 0 , \;</math> gdy <math>p \mid P</math>
+::<math>\int_{n}^{\infty} \frac{1}{x^2} d x = \frac{1}{n} \qquad</math> (zobacz: [https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2Fx%5E2%2C+x%3Dn%2C+infinity WolframAlpha])
-lub
+::<math>C \geqslant 1 + \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} d x = 2</math>
-::<math>(D \mid p) = (P^2 \mid p) = (P \mid p)^2 = 1 , \;</math> gdy <math>p \nmid P</math>
+Zatem
-i nie może być <math>(D \mid p) = - 1</math>.
+::<math>\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} \leqslant 2 - \frac{1}{n}</math>
-Dla parzystego <math>n = p + 1</math> otrzymujemy z&nbsp;twierdzenia N7
-::<math>2^p U_{p + 1} = (p + 1) P^p + \binom{p + 1}{3} P^{p - 2} D + \binom{p + 1}{5} P^{p - 4} D^2 + \ldots + \binom{p + 1}{p - 2} P^3 D^{(p - 3) / 2} + (p + 1) P D^{(p - 1) / 2}</math>
+Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2}</math>. Funkcja <math>f(x) = \frac{1}{x (\log x)^2}</math> jest funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>(1, + \infty)</math>. Dla <math>n > 1</math> jest
-Ponieważ dla <math>k \in [2, p - 1]</math> (zobacz N44)
+::<math>\int_{n}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} d x = \frac{1}{\log n} \qquad</math> (zobacz: [https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2F%28x*%28log%28x%29%29%5E2%29%2C+x%3Dn%2C+infinity WolframAlpha])
-::<math>\binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
+::<math>C \geqslant \frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2} + \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^2} d x = \frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2} + \frac{1}{\log 2} = 2.483379 \ldots</math>
-to modulo <math>p</math> dostajemy
+Przyjmijmy <math>C = 2.5</math>, zatem
-::<math>2 U_{p + 1} \equiv P + P D^{(p - 1) / 2} \pmod{p}</math>
+::<math>\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} < 2.5 - \frac{1}{\log n}</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Z założenia <math>D</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem <math>D^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> (zobacz J30). Skąd wynika natychmiast, że
-::<math>2 U_{p + 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D25</span><br/>
+Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania <math>\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} \leqslant 2 - \frac{1}{n}</math> i&nbsp;udowodnić, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</math> jest zbieżny.
-Czyli <math>p \mid U_{p + 1}</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Indukcja matematyczna. Łatwo zauważamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
-'''Punkt 3.'''
+::<math>\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{k^2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(n + 1)^2} \leqslant</math>
-Dla parzystego <math>n = p - 1</math> otrzymujemy z&nbsp;twierdzenia N7
+::::<math>\;\: \leqslant 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)^2} \leqslant</math>
-::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} = (p - 1) P^{p - 2} + \binom{p - 1}{3} P^{p - 4} D + \binom{p - 1}{5} P^{p - 6} D^2 + \ldots + \binom{p - 1}{p - 4} P^3 D^{(p - 5) / 2} + (p - 1) P D^{(p - 3) / 2}</math>
+::::<math>\;\: \leqslant 2 - \frac{1}{n + 1} + \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n + 1)^2} \right) =</math>
-Ponieważ dla <math>k \in [0, p - 1]</math> (zobacz N45)
+::::<math>\;\: = 2 - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n (n + 1)^2} <</math>
-::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
+::::<math>\;\: < 2 - \frac{1}{n + 1}</math>
-to modulo <math>p</math> mamy
+Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla <math>n \geqslant 1</math> mamy
-::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - (P^{p - 2} + P^{p - 4} D + P^{p - 6} D^2 + \ldots + P D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p}</math>
+::<math>S(n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} \leqslant 2 - \frac{1}{n} < 2</math>
+Czyli ciąg sum częściowych <math>S(n) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2}</math> szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</math> jest rosnący i&nbsp;ograniczony od góry, a&nbsp;zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::::<math>\quad \,\, \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} D + P^{p - 7} D^2 + \ldots + D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p}</math>
-Z założenia <math>D</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> (zobacz J28), zatem istnieje taka liczba <math>R</math>, że
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D26</span><br/>
+Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania <math>\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} < 2.5 - \frac{1}{\log n}</math> i&nbsp;udowodnić, że szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2}</math> jest zbieżny.
-::<math>D \equiv R^2 \pmod{p}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n = 2</math>
-Ponieważ
+::<math>\sum_{k = 2}^{2} \frac{1}{k (\log k)^2} \approx 1.040684 < 2.5 - \frac{1}{\log 2} \approx 1.05730</math>
-:* <math>(D \mid p) = 1</math>, to <math>p \nmid D</math>, zatem <math>p \nmid R</math>
+Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
-:* z&nbsp;założenia <math>p \nmid Q</math>, to <math>P^2 - R^2 \equiv P^2 - D \equiv 4 Q \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
+::<math>\sum_{k = m}^{n + 1} \frac{1}{k (\log k)^2} = \sum_{k = m}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2} <</math>
-Czyli
+::::::<math>\;\: < 2.5 - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2} =</math>
-::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p}</math>
+::::::<math>\;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \left( \frac{1}{\log (n + 1)} - \frac{1}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2} \right) =</math>
+::::::<math>\;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( 1 - \frac{\log (n + 1)}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) =</math>
-Uwzględniając, że <math>P^2 - R^2 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, możemy napisać
+::::::<math>\;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( 1 - \frac{\log \left( n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right)}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) =</math>
-::<math>2^{p - 2} (P^2 - R^2) U_{p - 1} \equiv - P (P^2 - R^2) (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p}</math>
+::::::<math>\;\: = 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( 1 - 1 - \frac{\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{\log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) <</math>
-::::::::<math>\equiv - P (P^{p - 1} - R^{p - 1}) \pmod{p}</math>
+::::::<math>\;\: < 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)} + \frac{1}{\log (n + 1)} \left( - \frac{1}{(n + 1) \log n} + \frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)} \right) <</math>
-::::::::<math>\equiv 0 \pmod{p}</math>
+::::::<math>\;\: < 2.5 - \frac{1}{\log (n + 1)}</math>
-Zauważmy, że wynik nie zależy od tego, czy <math>p \mid P</math>, czy <math>p \nmid P</math>. Skąd wynika
+Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla <math>n \geqslant 2</math> mamy
-::<math>U_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
+::<math>S(n) = \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k (\log k)^2} < 2.5 - \frac{1}{\log n} < 2.5</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+Czyli ciąg sum częściowych <math>S(n)</math> szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (\log k)^2}</math> jest rosnący i&nbsp;ograniczony od góry, a&nbsp;zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 904: / Linia 851: @@
-Aby zapisać punkty 2. i 3. twierdzenia N19 (i tylko te punkty) w&nbsp;zwartej formie, musimy założyć, że <math>\gcd (p, D) = 1</math>. Otrzymujemy<br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N20</span><br/>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>\gcd (p, Q D) = 1</math>, to
-::<math>U_{p - (D \mid p)} \equiv 0 \pmod{p}</math>
+== Szeregi nieskończone i&nbsp;liczby pierwsze ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D27</span><br/>
+Następujące szeregi są zbieżne
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|-
+| 1. <math>\quad \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{p_k} = 0.269605966 \ldots</math>
+|
+|-
+| 2. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p^2} = 0.452247420041 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A085548 A085548]
+|-
+| 3. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{(p - 1)^2} = 1.375064994748 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A086242 A086242]
+|-
+| 4. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p (p - 1)} = 0.773156669049 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A136141 A136141]
+|}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''<br/>
+Szereg jest szeregiem naprzemiennym i&nbsp;jego zbieżność wynika z&nbsp;twierdzenia D5.
-== Liczby pseudopierwsze Lucasa ==
+'''Punkt 2.'''<br/>
+Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N21</span><br/>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{p^2} < \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \frac{\pi^2}{6}</math>
-Z twierdzenia N20 wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste <math>p</math> takie, że <math>p \nmid Q D</math> są dzielnikami wyrazów ciągu Lucasa <math>U_{p - (D \mid p)}</math>, gdzie <math>(D \mid p)</math> oznacza symbol Legendre'a. Jeśli zastąpimy symbol Legendre'a symbolem Jacobiego, to będziemy mogli badać prawdziwość tego twierdzenia dla liczb złożonych i&nbsp;łatwo przekonamy się, że dla pewnych liczb złożonych <math>m</math> kongruencja
-::<math>U_{m - (D \mid m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
+'''Punkt 3.'''<br/>
+Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony
-również jest prawdziwa. Prowadzi to definicji liczb pseudopierwszych Lucasa.
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{1}{(p - 1)^2} < \sum_{j = 2}^{\infty} \frac{1}{(j - 1)^2} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}</math>
+'''Punkt 4.'''<br/>
+Zbieżność wzoru wynika z&nbsp;kryterium porównawczego, bo dla każdego <math>p \geqslant 2</math> jest
+::<math>0 < \frac{1}{p (p - 1)} < \frac{1}{(p - 1)^2}</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N22</span><br/>
-Powiemy, że liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math> (symbolicznie: LPSP( <math>P, Q</math> )), jeżeli <math>\gcd (m, Q D) = 1</math> i
-::<math>U_{m - (D \mid m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
-gdzie <math>(D \mid m)</math> oznacza symbol Jacobiego.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D28</span><br/>
+Następujące szeregi są zbieżne
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+|-
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N23</span><br/>
+| 1. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p \log p} = 1.636616323351 \ldots</math>
-Jeżeli liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P = a + 1</math> i <math>Q = a</math>, gdzie <math>a \geqslant 2</math>, to jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>.
+| [https://oeis.org/A137245 A137245]
+|-
+| 2. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p^2 \log p} = 0.507782187859 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A221711 A221711]
+|-
+| 3. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = 0.755366610831 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A138312 A138312]
+|-
+| 4. <math>\quad \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p^2} = 0.493091109368 \ldots</math>
+| [https://oeis.org/A136271 A136271]
+|}
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Połóżmy we wzorze definiującym ciąg Lucasa
+'''Punkt 1.'''<br/>
+Zbieżność tego szeregu udowodniliśmy w&nbsp;twierdzeniu B39, ale obecnie potrafimy uzyskać rezultat znacznie łatwiej. Zauważmy, że rozpatrywaną sumę możemy zapisać w&nbsp;postaci
-::<math>U_m = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}}</math>
+::<math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p \log p} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k \log p_k} = \frac{1}{2 \log 2} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{p_k \log p_k}</math>
-<math>\alpha = a</math> i <math>\beta = 1</math>. Odpowiada to parametrom <math>P = \alpha + \beta = a + 1</math>, <math>Q = \alpha \beta = a</math>, <math>D = (\alpha - \beta)^2 = (a - 1)^2</math>.
+Wyrażenie w&nbsp;mianowniku ułamka możemy łatwo oszacować. Z&nbsp;twierdzenia A1 mamy (<math>a = 0.72</math>)
-Ponieważ musi być <math>\gcd (m, Q D) = 1</math>, to mamy <math>\gcd (m, (a - 1) a) = 1</math> i&nbsp;wynika stąd, że <math>(D \mid m) = 1</math>. Z&nbsp;założenia <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P = a + 1</math> i <math>Q = a</math>, zatem
+::<math>p_k \log p_k > a \cdot k \log k \cdot \log (a \cdot k \log k) =</math>
-::<math>U_{m - 1} (a + 1, a) \equiv 0 \pmod{m}</math>
+::::<math>\;\;\:\, = a \cdot k \log k \cdot (\log a + \log k + \log \log k) =</math>
-Czyli
+::::<math>\;\;\:\, = a \cdot k \cdot (\log k)^2 \cdot \left( 1 + \frac{\log a + \log \log k}{\log k} \right)</math>
-::<math>{\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} \equiv 0 \pmod{m}</math>
+Ponieważ dla <math>k > \exp \left( \tfrac{1}{a} \right) = 4.01039 \ldots</math> jest
-Jeżeli <math>m \biggr\rvert {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}}</math>, to tym bardziej <math>m \big\rvert (a^{m - 1} - 1)</math> i&nbsp;możemy napisać
+::<math>\log a + \log \log k > 0</math>
-::<math>a^{m - 1} - 1 \equiv 0 \pmod{m}</math>
+to dla <math>k \geqslant 5</math> prawdziwe jest oszacowanie
-Zatem <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>. Co należało pokazać.<br/>
+::<math>p_k \log p_k > a \cdot k \cdot (\log k)^2</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Wynika stąd, że dla <math>k \geqslant 5</math> prawdziwy jest ciąg nierówności
+::<math>0 < \frac{1}{p_k \log p_k} < \frac{1}{a \cdot k \cdot (\log k)^2}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N24</span><br/>
+Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k \cdot (\log k)^2}</math> (zobacz twierdzenie D13 p. 4 lub przykład D18 p. 5) wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{p_k \log p_k}</math>
-Wykorzystując funkcje <code>jacobi(a, n)</code> i <code>modLucas(n, P, Q, m)</code> (zobacz J47, N15) możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy dla liczby nieparzystej <math>m</math> prawdziwe jest twierdzenie N20.
- <span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q) =
+'''Punkt 2.'''<br/>
- {
+Zbieżność szeregu wynika z&nbsp;kryterium porównawczego (twierdzenie D9), bo
- '''local'''(D, js);
- D = P^2 - 4*Q;
- '''if'''( gcd(m, 2*Q*D) > 1, '''return'''(0) );
- js = jacobi(D, m);
- '''if'''( modLucas(m - js, P, Q, m)[1] == 0, '''return'''(1), '''return'''(0) );
- }
+::<math>0 < \frac{1}{p^2 \log p} < \frac{1}{p \log p}</math>
+'''Punkt 3.'''<br/>
+Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N25</span><br/>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} < \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{\log k}{k (k - 1)} = 1.2577 \ldots</math>
-Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+'''Punkt 4.'''<br/>
-! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
+Zbieżność szeregu wynika z&nbsp;kryterium porównawczego, bo dla każdego <math>p \geqslant 2</math> jest
-! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
-| <math>253</math> || <math>121</math> || <math>57</math> || <math>217</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>69</math> || <math>121</math> || <math>253</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
-| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>91</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>57</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
-| <math>217</math> || <math>91</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
-| <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>9</math> || <math>85</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>25</math> || <math>33</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{1}</math>
-| <math>25</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>21</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || style="background-color: yellow" | <math>115</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{2}</math>
-| <math>1541</math> || <math>9</math> || <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>21</math> || <math>85</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{3}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>629</math> || style="background-color: yellow" | <math>559</math> || <math>25</math> || <math>91</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>55</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{4}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>85</math> || <math>21</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>115</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{5}</math>
-| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>217</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+::<math>0 < \frac{\log p}{p^2} < \frac{\log p}{p (p - 1)}</math><br/>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">FirstLPSP(Stop) =
+&#9633;
- \\ najmniejsze LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
- {
- '''local'''(D, m, P, Q);
- Q = -6;
- '''while'''( Q++ <= 5,
-        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
-        P = 0;
-        '''while'''( P++ <= 10,
-               D = P^2 - 4*Q;
-               '''if'''( D == 0,
-                   '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
-                   '''next'''();
-                 );
-               m = 3;
-               '''while'''( m < Stop,
-                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m),
-                          '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
-                          '''break'''();
-                        );
-                      m = m + 2;
-                    );
-             );
-      );
- }</span>
-<br/>
 {{\Spoiler}}
-Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których <math>(D \mid m) = - 1</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D29</span><br/>
+Szereg <math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p}</math> jest rozbieżny.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N26</span><br/>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Ilość liczb LPSP(<math>P, Q</math>) mniejszych od <math>10^9</math>
+Dla potrzeb dowodu zapiszmy szereg w&nbsp;innej postaci
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
-! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
-! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
-| <math>4266</math> || <math>4935</math> || <math>4278</math> || <math>4981</math> || <math>6363</math> || <math>6028</math> || <math>5202</math> || <math>4426</math> || <math>5832</math> || <math>6027</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
-| <math>4599</math> || <math>4152</math> || <math>9272</math> || <math>5886</math> || <math>6958</math> || <math>4563</math> || <math>5600</math> || <math>9509</math> || <math>7007</math> || <math>4142</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
-| <math>4265</math> || <math>5767</math> || <math>4241</math> || <math>5114</math> || <math>5859</math> || <math>7669</math> || <math>6083</math> || <math>6120</math> || <math>4420</math> || <math>5096</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
-| <math>5361</math> || <math>4389</math> || <math>5063</math> || <math>5632</math> || <math>5364</math> || <math>5228</math> || <math>5859</math> || <math>10487</math> || <math>5370</math> || <math>9798</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
-| <math>4152</math> || <math>5886</math> || <math>4563</math> || <math>9509</math> || <math>4142</math> || <math>6273</math> || <math>5773</math> || <math>4497</math> || <math>5166</math> || <math>5305</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{1}</math>
-| <math>282485800</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>6567</math> || <math>7669</math> || <math>7131</math> || <math>10882</math> || <math>8626</math> || <math>8974</math> || <math>8509</math> || <math>8752</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{2}</math>
-| <math>7803</math> || <math>449152466</math> || <math>5597</math> || <math>5886</math> || <math>6509</math> || <math>5761</math> || <math>8115</math> || <math>6945</math> || <math>8380</math> || <math>7095</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{3}</math>
-| <math>5974</math> || <math>8768</math> || <math>282485800</math> || <math>5767</math> || <math>5651</math> || <math>5632</math> || <math>6640</math> || <math>5725</math> || <math>6058</math> || <math>7050</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{4}</math>
-| <math>10749</math> || <math>282485800</math> || <math>14425</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>9735</math> || <math>6567</math> || <math>8164</math> || <math>7669</math> || <math>7608</math> || <math>7131</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{5}</math>
-| <math>5047</math> || <math>15127</math> || <math>6155</math> || <math>15127</math> || <math>4152</math> || <math>5146</math> || <math>4423</math> || <math>5526</math> || <math>6289</math> || <math>9509</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+::<math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log p_k}{p_k}</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">NumOfLPSP(Stop) =
- \\ ilość liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
- {
- '''local'''(D, m, P, Q);
- Q = -6;
- '''while'''( Q++ <= 5,
-        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
-        P = 0;
-        '''while'''( P++ <= 10,
-               D = P^2 - 4*Q;
-               '''if'''( D == 0, '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); '''next'''() );
-               s = 0;
-               m = 3;
-               '''while'''( m < Stop,
-                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m), s++ );
-                      m = m + 2;
-                    );
-               '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
-             );
-      );
- }</span>
-<br/>
-{{\Spoiler}}
+Zauważmy, że dla <math>k \geqslant 3</math> wyrazy szeregów <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k}</math> oraz <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log p_k}{p_k}</math> spełniają nierówności
+::<math>0 \leqslant \frac{1}{p_k} \leqslant \frac{\log p_k}{p_k}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N27</span><br/>
+Ponieważ szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{p_k}</math> jest rozbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie D9) rozbieżny jest również szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\log p_k}{p_k}</math><br/>
-Dla <math>(P, Q) = (1, 1)</math> ciąg Lucasa <math>(U_n)</math> ma postać
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>(U_n) = (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, \ldots)</math>
-Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy, że <math>U_{3 k} = 0</math>. Łatwo sprawdzamy, że dla <math>k = 0</math> i <math>k = 1</math> wzór jest prawdziwy. Zakładając prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od <math>k</math>, otrzymujemy dla <math>k + 1</math> (zobacz N13 p.3)
-::<math>U_{3 (k + 1)} = U_{3 k + 3} = U_{3 k} V_3 - U_{3 (k - 1)} = 0</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D30</span><br/>
+Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p}</math> podobnie, jak to uczyniliśmy w&nbsp;przypadku twierdzenia B37, ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.
-Co kończy dowód. Zbadajmy liczby pseudopierwsze Lucasa dla <math>(P, Q) = (1, 1)</math>.
-Mamy <math>D = P^2 - 4 Q = - 3</math>. Wynika stąd, że nie może być <math>3 \mid m</math>, bo mielibyśmy <math>\gcd (m, Q D) = 3 > 1</math>.
-Z zadania J45 wiemy, że
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D31</span><br/>
+Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Prawdziwe są następujące nierówności
-::<math>(- 3 \mid m) =
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-\begin{cases}
+|- style=height:3em
- \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
+| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>n! > n^n e^{- n}</math> || <math>\text{dla} \;\; n \geqslant 1</math>
- \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
+|- style=height:3em
-      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \\
+| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>n! < n^{n + 1} e^{- n}</math> || <math>\text{dla} \;\; n \geqslant 7</math>
-\end{cases}</math>
+|}
-Ponieważ <math>3 \nmid m</math>, to wystarczy zbadać przypadki <math>m = 6 k + 1</math> i <math>m = 6 k + 5</math>. W&nbsp;pierwszym przypadku jest
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1. (indukcja matematyczna)'''<br/>
+Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla <math>n = 1</math>. Zakładając prawdziwość dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
-::<math>U_{m - (- 3 \mid m)} = U_{6 k + 1 - 1} = U_{6 k} = 0</math>
+::<math>(n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) ></math>
-W drugim przypadku, gdy <math>m = 6 k + 5</math>, dostajemy
+::::<math>\;\;\; > n^n \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) =</math>
-::<math>U_{m - (- 3 \mid m)} = U_{6 k + 5 + 1} = U_{6 (k + 1)} = 0</math>
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{n^n}{(n + 1)^n} \cdot e^{- n} =</math>
-Zatem dla dowolnej liczby nieparzystej <math>m</math> niepodzielnej przez <math>3</math> jest
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \cdot e^{- n} ></math>
-::<math>U_{m - (- 3 \mid m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
+::::<math>\;\;\; > (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{e} \cdot e^{- n} =</math>
-Czyli liczbami pseudopierwszymi Lucasa dla parametrów <math>(P, Q) = (1, 1)</math> będą liczby nieparzyste <math>m</math>, które nie są podzielne przez <math>3</math> i&nbsp;nie są liczbami pierwszymi. Ilość takich liczb nie większych od <math>10^k</math> możemy łatwo znaleźć poleceniem
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 1} e^{- (n + 1)}</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(k = 1, 9, s = 0; '''forstep'''(m = 3, 10^k, 2, '''if'''( m%6 <> 3, s = s + !'''isprime'''(m) )); '''print'''(s))</span>
+Ponieważ <math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e</math>, zatem <math>\frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} > \frac{1}{e}</math>. Co kończy dowód punktu 1.
+'''Punkt 2. (indukcja matematyczna)'''<br/>
+Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla <math>n = 7</math>. Zakładając prawdziwość dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N28</span><br/>
+::<math>(n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) <</math>
-Pokazać, że ilość liczb pseudopierwszych Lucasa dla parametrów <math>(P, Q) = (2, 2)</math> nie większych od <math>10^k</math> możemy znaleźć poleceniem
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(k = 1, 9, s = 0; '''forstep'''(m = 3, 10^k, 2, s = s + !'''isprime'''(m)); '''print'''(s))</span>
+::::<math>\;\;\; < n^{n + 1} \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) =</math>
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot e^{- n} =</math>
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} =</math>
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} <</math>
+::::<math>\;\;\; < (n + 1)^{n + 2} \cdot \frac{1}{e} \cdot e^{- n} =</math>
-== Metoda Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math> ==
+::::<math>\;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot e^{- (n + 1)}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N29</span><br/>
+Ostatnia nierówność wynika z&nbsp;faktu, że <math>\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} < \frac{1}{e}</math>. Co kończy dowód punktu 2.<br/>
-Twierdzenie N20 możemy wykorzystać do testowania pierwszości liczb. Ponieważ musi być spełniony warunek <math>\gcd (m, Q D) = 1</math>, to nie każda para liczb <math>P, Q</math> (np. wybrana losowo) nadaje się do przeprowadzenia testu. Zawsze będziemy zmuszeni określić zasadę postępowania, która doprowadzi do wyboru właściwej pary <math>P, Q</math>.
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Robert Baillie i&nbsp;Samuel Wagstaff przedstawili<ref name="BaillieWagstaff1"/> dwie metody wyboru parametrów dla testu Lucasa. Ograniczymy się do omówienia tylko pierwszej z&nbsp;nich (metodę zaproponował John Selfridge).
-Rozważmy ciąg <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math>, gdzie <math>k \geqslant 2</math>, czyli <math>a_k = (5, - 7, 9, - 11, 13, - 15, \ldots)</math>. Niech <math>D</math> będzie pierwszym wyrazem ciągu <math>(a_k)</math>, dla którego jest <math>(a_k \mid m) = - 1</math>. Dla tak ustalonego <math>D</math> przyjmujemy <math>P = 1</math> i <math>Q = (1 - D) / 4</math>.
-Tabela przedstawia początkowe wartości <math>Q</math>, jakie otrzymamy, stosując tę metodę.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D32</span><br/>
+Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla wykładnika, z&nbsp;jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
-! <math>\boldsymbol{k}</math>
+|- style=height:3em
-| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
+| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>\frac{n}{p} - 1 < W_p (n!) < \frac{n}{p - 1}</math>
-|-
+|- style=height:3em
-!  <math>\boldsymbol{a_k}</math>
+| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>\frac{n + 1}{p} - 1 \leqslant W_p (n!) \leqslant \frac{n - 1}{p - 1}</math>
-| <math>5</math> || <math>-7</math> || <math>9</math> || <math>-11</math> || <math>13</math> || <math>-15</math> || <math>17</math> || <math>-19</math> || <math>21</math> || <math>-23</math> || <math>25</math> || <math>-27</math> || <math>29</math> || <math>-31</math> || <math>33</math> || <math>-35</math> || <math>37</math> || <math>-39</math> || <math>41</math>
-|-
-!  <math>\boldsymbol{Q}</math>
-| <math>-1</math> || <math>2</math> || style="background-color: red" | <math>-2</math> || <math>3</math> || <math>-3</math> || <math>4</math> || <math>-4</math> || <math>5</math> || <math>-5</math> || <math>6</math> || style="background-color: red" | <math>-6</math> || <math>7</math> || <math>-7</math> || <math>8</math> || <math>-8</math> || <math>9</math> || <math>-9</math> || <math>10</math> || <math>-10</math>
 |}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1. (prawa nierówność)'''
 Zauważmy, że
-:* jeżeli liczba nieparzysta <math>m</math> jest liczbą kwadratową, to wybór <math>D</math> nie będzie możliwy
-:* w&nbsp;przypadku zastosowania tej metody znajdziemy tylko liczby pierwsze lub pseudopierwsze Lucasa, które spełniają kongruencję <math>U_{m + 1} \equiv 0 \pmod{m}</math>, czyli tylko część liczb pseudopierwszych Lucasa określonych w&nbsp;definicji N22
+::<math>W_p (n!) = \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \ldots <</math>
-Ponieważ Baillie i&nbsp;Wagstaff określili metodę zaproponowaną przez Selfridge'a jako metodę A, to pozostaniemy przy tej nazwie. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego
+::::<math>\;\, < \frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \frac{n}{p^3} + \ldots + \frac{n}{p^k} + \ldots =</math>
-::<math> a_{k+1} =
+::::<math>\;\, = \frac{n}{p} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} =</math>
-  \begin{cases}
-  \qquad \qquad 5 & \text{gdy } k = 1 \\
-      - a_k - 2 * \mathop{\textnormal{sign}}( a_k ) & \text{gdy } k \geqslant 2 \\
-  \end{cases}</math>
-możemy łatwo napisać odpowiednią funkcję znajdującą liczby <math>P, Q</math> według tej metody.
+::::<math>\;\, = \frac{n}{p - 1}</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">MethodA(m) =
+'''Punkt 1. (lewa nierówność)'''
- {
- '''local'''(a, js);
- a = 5;
- '''while'''( 1,
-        js = jacobi(a, m);
-        '''if'''( js == 0  &&  a % m <> 0, '''return'''([0, 0]) );
-        '''if'''( js == -1, '''return'''([1, (1 - a)/4]) );
-        a = -a - 2*'''sign'''(a);
-      );
- }</span>
-Wyjaśnienia wymaga druga linia kodu w&nbsp;pętli <code>while</code>. Wiemy, że (zobacz J41)
+Łatwo znajdujemy, że
-::<math>(a \mid m) = 0 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a, m) > 1</math>
+::<math>W_p (n!) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \geqslant \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor > \frac{n}{p} - 1</math>
-Jednak z&nbsp;faktu, że <math>\gcd (a, m) > 1</math> nie wynika natychmiast, że liczba <math>m</math> jest liczbą złożoną. Rozważmy dwa przypadki: gdy <math>m \mid a</math> i <math>m \nmid a</math>.
+'''Punkt 2. (prawa nierówność)'''
-Gdy <math>\gcd (a, m) > 1</math> i <math>m \mid a</math>, to <math>\gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m, m) = m > 1</math> i&nbsp;nie jesteśmy w&nbsp;stanie rozstrzygnąć, czy liczba <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Widać to dobrze na prostych przykładach
+Z uzyskanego w&nbsp;punkcie 1. oszacowania wynika, że <math>(p - 1) W_p (n!) < n</math>. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać
-::<math>\gcd (7, 7) = \gcd (14, 7) = 7 > 1</math>
+::<math>(p - 1) W_p (n!) \leqslant n - 1</math>
-::<math>\gcd (15, 15) = \gcd (30, 15) = 15 > 1</math>
+Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą <math>W_p (n!) \leqslant \frac{n - 1}{p - 1}</math>.
-Gdy <math>\gcd (a, m) > 1</math> i <math>m \nmid a</math>, to <math>m</math> jest liczbą złożoną. Ponieważ <math>m \nmid a</math>, to <math>a = k \cdot m + r</math>, gdzie <math>r \in [1, m - 1]</math>. Mamy
+'''Punkt 2. (lewa nierówność)'''
-::<math>\gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m + r, m) = \gcd (r, m) = d</math>
+Z uzyskanego w&nbsp;punkcie 1. oszacowania wynika, że <math>n - p < p \cdot W_p (n!)</math>. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać
-Musi być <math>d > 1</math>, bo założyliśmy, że <math>\gcd (a, m) > 1</math> i&nbsp;musi być <math>d < m</math>, bo <math>d \leqslant r \leqslant m - 1</math>. Zatem <math>d</math> jest dzielnikiem nietrywialnym liczby <math>m</math> i <math>m</math> jest liczbą złożoną.
+::<math>n - p \leqslant p \cdot W_p (n!) - 1</math>
-Omawiana linia kodu zapewnia wysłanie informacji o&nbsp;tym, że liczba <math>m</math> jest liczbą złożoną (zwrot wektora [0, 0]). W&nbsp;przypadku, gdy nie mamy takiej pewności, kontynuujemy szukanie liczby <math>a</math>, takiej że <math>(a \mid m) = - 1</math>, pozostawiając zbadanie pierwszości liczby <math>m</math> na kolejnym etapie testowania.
+Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą <math>W_p (n!) \geqslant \frac{n + 1}{p} - 1</math>.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Uważny Czytelnik dostrzeże, że nie zbadaliśmy, czy spełniony jest warunek <math>\gcd (m, Q) = 1</math>. Nie musimy tego robić, bo zwracana przez funkcję <code>MethodA()</code> liczba <math>Q</math> jest względnie pierwsza z <math>m</math>. Omówimy ten problem dokładnie w&nbsp;zadaniu N30. Poniżej pokażemy, że nawet gdyby było <math>\gcd (m, Q) > 1</math>, to złożona liczba <math>m</math> nie zostanie uznana za liczbę pseudopierwszą Lucasa.
-Zauważmy, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną i&nbsp;ma dzielnik pierwszy <math>p < m</math>, który dzieli <math>Q</math>, to <math>p \mid Q</math> i <math>p \nmid P</math> (bo <math>P = 1</math>), zatem <math>p \nmid U_k</math> dla <math>k \geqslant 1</math> (zobacz N17), czyli nie może być
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D33</span><br/>
+Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
-::<math>U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{m}</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n > - 1</math>
-bo mielibyśmy
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z oszacowania wykładnika, z&nbsp;jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla <math>n \geqslant 2</math> mamy
-::<math>U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+::<math>n! < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)}</math>
-a to jest niemożliwe. Zatem program wykorzystujący twierdzenie N20 wykryje złożoność liczby <math>m</math>.
+Ponieważ dla <math>n \geqslant 1</math> jest <math>n! > n^n e^{- n}</math> (zobacz punkt 1. twierdzenia D31), to
-Łatwo pokażemy, że nie jest możliwe, aby liczba <math>m</math> była liczbą pierwszą i&nbsp;była dzielnikiem <math>Q</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie <math>\tfrac{m - 1}{2}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>\tfrac{m - 1}{2}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, zatem rozpoczynając od wyrazu <math>a_2</math> możemy dojść co najwyżej do wyrazu o&nbsp;indeksie <math>k = \tfrac{m - 1}{2} + 2</math>, czyli
+::<math>n^n e^{- n} < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)}</math>
-::<math>| a_k | \leqslant m + 4</math>
+Logarytmując, otrzymujemy
-Skąd wynika, że
+::<math>n \log n - n < \sum_{p \leqslant n} \frac{n \log p}{p - 1} = n \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1}</math>
-::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_k}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{m + 5}{4}} < m</math>
+Dzieląc strony przez <math>n</math>, dostajemy szukaną nierówność.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla <math>m > {\small\frac{5}{3}}</math>, czyli dla wszystkich liczb pierwszych. Ponieważ <math>| Q | < m</math>, w&nbsp;przypadku gdy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to <math>m</math> nie może być dzielnikiem liczby <math>Q</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D34 (pierwsze twierdzenie Mertensa</span><ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/><span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">, 1874)</span><br/>
+Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N30</span><br/>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n > - 1.755367</math>
-Pokazać, że w&nbsp;przypadku, gdy dla kolejnych liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> sprawdzamy, czy konsekwencją <math>(a_k \mid m) = 0</math> jest złożoność liczby <math>m</math>, to dla każdej liczby <math>Q</math> wyznaczonej metodą Selfridge'a jest <math>\gcd (Q, m) = 1</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>m = 21</math>. Rozpoczniemy od przykładu liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> dla <math>k = 0, 1, \ldots, m - 1</math>.
+Ponieważ
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
+::<math>\frac{1}{p - 1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p (p - 1)}</math>
-! <math>\boldsymbol{k}</math> !! <math>\boldsymbol{0}</math> !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! <math>\boldsymbol{(m-1)/2}</math> !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! <math>\boldsymbol{m-1}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{k}</math>
-| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{a_k}</math>
-| <math>1</math> || <math>-3</math> || <math>5</math> || <math>-7</math> || <math>9</math> || <math>-11</math> || <math>13</math> || <math>-15</math> || <math>17</math> || <math>-19</math> || <math>21</math> || <math>-23</math> || <math>25</math> || <math>-27</math> || <math>29</math> || <math>-31</math> || <math>33</math> || <math>-35</math> || <math>37</math> || <math>-39</math> || <math>41</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{R_m(a_k)}</math>
-| <math>1</math> || <math>18</math> || <math>5</math> || <math>14</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>13</math> || <math>6</math> || <math>17</math> || <math>2</math> || <math>0</math> || <math>19</math> || <math>4</math> || <math>15</math> || <math>8</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>7</math> || <math>16</math> || <math>3</math> || <math>20</math>
-|}
-Zauważmy, że modulo <math>21</math> ciąg <math>(a_k) = (1, - 3, 5, - 7, \ldots, 37, - 39, 41)</math> jest identyczny z&nbsp;ciągiem <math>(0, 1, 2, \ldots, 19, 20)</math>, a&nbsp;ciąg <math>(| a_k |)</math> to kolejne liczby nieparzyste od <math>1</math> do <math>2 m - 1</math>.
+to z&nbsp;twierdzenia D33 dostajemy
-Poniżej pokażemy, dlaczego musi być <math>\gcd (Q, m) = 1</math>, gdzie <math>Q</math> jest liczbą wyznaczoną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby <math>m</math> przy testowaniu kolejnych liczb <math>a_k</math>). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby <math>m</math>. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość <math>Q</math> na podstawie innego wyrazu ciągu <math>a_k</math> (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} + \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n > - 1</math>
-::<math>m = 3 , \;\; (5 \mid 3) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+Czyli
-::<math>m = 5 , \;\; (5 \mid 5) = 0 , \;\; (- 7 \mid 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(5 \mid 5) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n > - 1 - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)}</math>
-::<math>m = 7 , \;\; (5 \mid 7) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+:::::::<math>\;\, > - 1 - \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)}</math>
-::<math>m = 9 , \;\; </math> (liczba kwadratowa)
+:::::::<math>\;\, = - 1 - 0.755366610831 \ldots</math>
-::<math>m = 11 , \;\; (- 11 \mid 11) = 0 , \;\; (13 \mid 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(- 11 \mid 11) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
+:::::::<math>\;\, > - 1.755367</math>
-::<math>m = 13 , \;\; (5 \mid 13) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)}</math> (twierdzenie D28 p. 3).<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>m = 15 , \;\; \boldsymbol{(5 \mid 15) = 0} , \;\; (13 \mid 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
-::<math>m = 17 , \;\; (5 \mid 17) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
-::<math>m = 19 , \;\; (- 7 \mid 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D35 (pierwsze twierdzenie Mertensa</span><ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/><span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">, 1874)</span><br/>
+Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
-::<math>m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \mid 21) = 0} , \;\; (- 11 \mid 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n < 0.386295</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z oszacowania wykładnika, z&nbsp;jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla <math>n \geqslant 1</math> mamy
-Niech <math>m \geqslant 23</math>. Wiemy, że w&nbsp;ciągu <math>(5, - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1)</math> wystąpią liczby <math>a_k</math> takie, że <math>(a_k \mid m) = - 1</math>. Warunek <math>(a_k \mid m) = 0</math> oznacza, że <math>(2 k + 1 \mid m) = 0</math>, bo
+::<math>n! \geqslant \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1}</math>
-::<math>(a_k \mid m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \mid m) = ((- 1)^k \mid m) \cdot (2 k + 1 \mid m) = (- 1 \mid m)^k \cdot (2 k + 1 \mid m) = \pm (2 k + 1 \mid m)</math>
+Ponieważ dla <math>n \geqslant 7</math> jest <math>n! < n^{n + 1} e^{- n}</math>, to
-Jeżeli będą spełnione warunki <math>(a_k \mid m) = 0</math> i <math>R_m (a_k) \neq 0</math>, to liczba <math>m</math> będzie liczbą złożoną.
+::<math>\prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} < n^{n + 1} e^{- n}</math>
-Wypiszmy kolejne próby dla <math>m \geqslant 23</math>. Liczba <math>r</math> jest numerem próby.
+Logarytmując, otrzymujemy
-::<math>r = 1 , \;\; a_{r + 1} = 5</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \left( \frac{n + 1}{p} - 1 \right) \cdot \log p < (n + 1) \cdot \log n - n</math>
-::{| border="0"
+::<math>(n + 1) \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \sum_{p \leqslant n} \log p < (n + 1) \cdot \log n - n</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \mid m) = 1</math> || <math>5 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \mid m) = 0</math> || <math>5 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>5 \nmid m</math> || <math>D = 5 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
-|}
-::<math>r = 2 , \;\; a_{r + 1} = - 7</math>
-::{| border="0"
+Skąd natychmiast wynika, że
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 1</math> || <math>7 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 0</math> || <math>7 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>7 \nmid m</math> || <math>D = -7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
-|}
-::<math>r = 3</math>, <math>a_{r + 1} = 9</math>
-::{| border="0"
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 1</math> || <math>3 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 0</math> || <math>3 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) \neq - 1 \quad</math> || - - - - || bo <math>9</math> jest liczbą kwadratową
-|}
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n < - \frac{n}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} \cdot \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right)</math>
-Po wykonaniu trzech prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności <math>m</math> lub ustaleniem wartości liczb <math>D</math> i <math>Q</math>) wiemy, że <math>m</math> nie jest podzielna przez żadną z&nbsp;liczb pierwszych <math>p = 3, 5, 7</math>.
+:::::::<math>\;\: = - 1 + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} \cdot \log (P (n))</math>
-::<math>r</math>-ta próba, gdzie <math>r \geqslant 4 , \;\;</math> wyraz <math>a_{r + 1}</math>
+:::::::<math>\;\: < - 1 + \frac{1}{n + 1} + \frac{n \cdot \log 4}{n + 1}</math>
-::{| border="0"
+:::::::<math>\;\: = - 1 + \frac{1}{n + 1} + \log 4 - \frac{\log 4}{n + 1}</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \mid m) = 1</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \mid m) = 0</math> || A. jeżeli <math>m \mid a_{r + 1}</math><sup>( * )</sup><br/>B. jeżeli <math>m \nmid a_{r + 1}</math> || A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math> <br/> B. <math>a_{r + 1} \mid m</math><sup>( ** )</sup>, '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \mid m) = - 1 \quad</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || <math>D = a_{r + 1}</math>, <math>Q = {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}}</math>, '''koniec'''
-|}
-<sup>( * )</sup> jest to możliwe tylko dla <math>a_{r + 1} = a_{(m - 1) / 2} = m</math>
+:::::::<math>\;\: = \log 4 - 1 + \frac{1 - \log 4}{n + 1}</math>
-<sup>( ** )</sup> zauważmy, że jeżeli <math>m \nmid a_{r + 1}</math>, to <math>\gcd (a_{r + 1}, m) = | a_{r + 1} |</math>, bo gdyby liczba <math>| a_{r + 1} |</math> była liczbą złożoną, to żaden z&nbsp;jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby <math>m</math>
+:::::::<math>\;\: = \log 4 - 1 - \frac{0.386294 \ldots}{n + 1}</math>
+:::::::<math>\;\: < \log 4 - 1</math>
-Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby <math>m</math>, to żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m</math>. Zatem <math>\gcd (Q, m) > 1</math> może być tylko w&nbsp;przypadku, gdy pewna liczba pierwsza <math>q \geqslant 2 r + 5</math> będzie wspólnym dzielnikiem liczb <math>Q</math> i <math>m</math>, ale jest to niemożliwe, bo
+:::::::<math>\;\: = 0.386294361 \ldots</math>
-::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 1} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 4}{4}} < 2 r + 5 \leqslant q</math>
+Druga nierówność wynika z&nbsp;twierdzenia A9. Bezpośrednio sprawdzamy, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla <math>n < 7</math>.<br/>
-Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich <math>r</math> naturalnych.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1371: / Linia 1185: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N31</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D36</span><br/>
-Zmodyfikujmy metodę Selfridge'a w&nbsp;taki sposób, że będziemy rozpoczynali próby nie od wyrazu <math>a_2 = 5</math>, ale od wyrazu <math>a_3 = - 7</math>. Pokazać, że w&nbsp;przypadku, gdy dla kolejnych liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> sprawdzamy, czy konsekwencją <math>(a_k \mid m) = 0</math> jest złożoność liczby <math>m</math>, to dla każdej liczby <math>Q</math> wyznaczonej tak zmodyfikowaną metodą Selfridge'a jest <math>\gcd (Q, m) = 1</math>.
+Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n < 1.141661</math>
-Poniżej pokażemy, dlaczego musi być <math>\gcd (Q, m) = 1</math>, gdzie <math>Q</math> jest liczbą wyznaczoną zmodyfikowaną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby <math>m</math> przy testowaniu kolejnych liczb <math>a_k</math>). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby <math>m</math>. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość <math>Q</math> na podstawie innego wyrazu ciągu <math>a_k</math> (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).
-::<math>m = 3 , \;\; (- 7 \mid 3) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ponieważ
-::<math>m = 5 , \;\; (- 7 \mid 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+::<math>\frac{1}{p} = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{p (p - 1)}</math>
-::<math>m = 7 , \;\; (- 7 \mid 7) = 0 , \;\; (- 11 \mid 7) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math> (zauważmy, że <math>(- 7 \mid 7) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
+to z&nbsp;twierdzenia D35 dostajemy
-::<math>m = 9 , \;\; </math> (liczba kwadratowa)
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n < \log 4 - 1</math>
-::<math>m = 11 , \;\; (- 11 \mid 11) = 0 , \;\; (13 \mid 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(- 11 \mid 11) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
+Czyli
-::<math>m = 13 , \;\; (- 7 \mid 13) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n < \log 4 - 1 + \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)}</math>
-::<math>m = 15 , \;\; \boldsymbol{(9 \mid 15) = 0} , \;\; (13 \mid 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
+:::::::<math>\;\;\: < \log 4 - 1 + \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)}</math>
-::<math>m = 17 , \;\; (- 7 \mid 17) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+:::::::<math>\;\;\: = \log 4 - 1 + 0.755366610831 \ldots</math>
-::<math>m = 19 , \;\; (- 7 \mid 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
+:::::::<math>\;\;\: < 1.141661</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \mid 21) = 0} , \;\; (- 11 \mid 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
-Niech <math>m \geqslant 23</math>. Wiemy, że w&nbsp;ciągu <math>( - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1)</math> wystąpią liczby <math>a_k</math> takie, że <math>(a_k \mid m) = - 1</math>. Warunek <math>(a_k \mid m) = 0</math> oznacza, że <math>(2 k + 1 \mid m) = 0</math>, bo
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D37</span><br/>
+{| class="wikitable"
+|
+Dokładniejsze oszacowanie sumy <math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p}</math> jest dane wzorem
-::<math>(a_k \mid m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \mid m) = ((- 1)^k \mid m) \cdot (2 k + 1 \mid m) = (- 1 \mid m)^k \cdot (2 k + 1 \mid m) = \pm (2 k + 1 \mid m)</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} = \log n - E + \ldots</math>
-Jeżeli będą spełnione warunki <math>(a_k \mid m) = 0</math> i <math>R_m (a_k) \neq 0</math>, to liczba <math>m</math> będzie liczbą złożoną.
+gdzie <math>E = 1.332582275733 \ldots</math>
-Wypiszmy kolejne próby dla <math>m \geqslant 23</math>. Liczba <math>r</math> jest numerem próby.
+Dla <math>n \geqslant 319</math> mamy też<ref name="Rosser1"/>
-::<math>r = 1 , \;\; a_{r + 2} = - 7</math>
+::<math>\left| \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E \right| < \frac{1}{2 \log n}</math>
-::{| border="0"
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 1</math> || <math>7 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 0</math> || <math>7 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>7 \nmid m</math> || <math>D = - 7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 |}
-::<math>r = 2 , \;\; a_{r + 2} = 9</math>
-::{| border="0"
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 1</math> || <math>3 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 0</math> || <math>3 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) \neq - 1 \quad</math> || - - - - || bo <math>9</math> jest liczbą kwadratową
-|}
-::<math>r = 3 , \;\; a_{r + 2} = - 11</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D38</span><br/>
+{| class="wikitable"
+|
+Dokładniejsze oszacowanie sumy <math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1}</math> jest dane wzorem
-::{| border="0"
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} = \log n - \gamma + \ldots</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \mid m) = 1</math> || <math>11 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \mid m) = 0</math> || <math>11 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>11 \nmid m</math> || <math>D = - 11 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec''' (bo liczby złożone <math>m = 3 k</math> zostały usunięte w&nbsp;poprzedniej próbie, <math>r = 2</math>)
-|}
-::<math>r = 4 , \;\; a_{r + 2} = 13</math>
+gdzie <math>\gamma = 0.5772156649 \ldots</math> jest stałą Eulera.
-::{| border="0"
+Dla <math>n \geqslant 318</math> prawdziwe jest oszacowanie<ref name="twierdzenie"/>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \mid m) = 1</math> || <math>13 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \mid m) = 0</math> || <math>13 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>13 \nmid m</math> || <math>D = 13 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec''' (bo liczby złożone <math>m = 3 k</math> zostały usunięte w&nbsp;próbie o&nbsp;numerze <math>r = 2</math>)
-|}
-::<math>r = 5 , \;\; a_{r + 2} = - 15</math>
+::<math>\left| \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n + \gamma \right| < \frac{1}{2 \log n}</math>
-::{| border="0"
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \mid m) = 1</math> || <math>5 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \mid m) = 0</math> || <math>5 \mid m</math> || '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>5 \nmid m</math> || <math>D = - 15 , \;\; Q = 4 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 |}
-Po wykonaniu pięciu prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności <math>m</math> lub ustaleniem wartości liczb <math>D</math> i <math>Q</math>) wiemy, że <math>m</math> nie jest podzielna przez żadną z&nbsp;liczb pierwszych <math>p = 3, 5, 7, 11, 13</math>.
-::<math>r</math>-ta próba, gdzie <math>r \geqslant 6 , \;\;</math> wyraz <math>a_{r + 2}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D39</span><br/>
+Dla <math>n \leqslant 10^{10}</math> wartości wyrażeń
-::{| border="0"
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \mid m) = 1</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n + \gamma</math>
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \mid m) = 0</math> || A. jeżeli <math>m \mid a_{r + 2}</math><sup>( * )</sup><br/>B. jeżeli <math>m \nmid a_{r + 2}</math> || A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math> <br/> B. <math>a_{r + 1} \mid m</math><sup>( ** )</sup>, '''koniec'''
-|-style=height:2em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \mid m) = - 1 \quad</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || <math>D = a_{r + 2}</math>, <math>Q = {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}}</math>, '''koniec'''
-|}
-<sup>( * )</sup> jest to możliwe tylko dla <math>a_{r + 2} = a_{(m - 1) / 2} = m</math>
+są liczbami dodatnimi.
-<sup>( ** )</sup> zauważmy, że jeżeli <math>m \nmid a_{r + 2}</math>, to <math>\gcd (a_{r + 2}, m) = | a_{r + 2} |</math>, bo gdyby liczba <math>| a_{r + 2} |</math> była liczbą złożoną, to żaden z&nbsp;jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby <math>m</math>
-Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby <math>m</math>, to żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m</math>. Zatem <math>\gcd (Q, m) > 1</math> może być tylko w&nbsp;przypadku, gdy pewna liczba pierwsza <math>q \geqslant 2 r + 7</math> będzie wspólnym dzielnikiem liczb <math>Q</math> i <math>m</math>, ale jest to niemożliwe, bo
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D40</span><br/>
+Prawdziwy jest następujący związek
-::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 2} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 6}{4}} < 2 r + 7 \leqslant q</math>
+::<math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p^n} \right) = E - \gamma</math>
-Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich <math>r</math> naturalnych.<br/>
+gdzie
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+* <math>\quad \gamma = 0.577215664901532 \ldots</math> jest stałą Eulera<ref name="A001620"/>
+* <math>\quad E = 1.332582275733220 \ldots</math><ref name="A083343"/>
+* <math>\quad E - \gamma = 0.755366610831688 \ldots</math><ref name="A138312"/>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Ponieważ
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N32</span><br/>
+::<math>\frac{1}{p (p - 1)} = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{p}</math>
-Przyjmując metodę Selfridge'a wyboru parametrów <math>P, Q</math> dla testu Lucasa, możemy łatwo napisać odpowiedni program w&nbsp;PARI/GP testujący pierwszość liczb
- <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasTest(m) =
+zatem
- {
- '''local'''(P, Q, X);
- '''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) );
- '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); \\ sprawdzamy, czy m nie jest liczbą kwadratową
- X = MethodA(m);
- P = X[1];
- Q = X[2];
- '''if'''( P == 0, '''return'''(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
- '''if'''( modLucas(m + 1, P, Q, m)[1] == 0, '''return'''(1), '''return'''(0) );
- }</span>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} = \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} = (\log n - \gamma + \ldots) - (\log n - E + \ldots)</math>
+Przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N33</span><br/>
+::<math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = E - \gamma</math>
-Najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, które pojawiają się przy zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, to
-::<math>323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877, 11419, 11663, 13919, 14839, 16109, 16211, 18407, 18971, 19043, 22499, \ldots</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+Zauważmy teraz, że
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(k=1, 3*10^4, 2, '''if'''( LucasTest(k) && !'''isprime'''(k), '''print'''(k)) )</span>
-<br/>
-{{\Spoiler}}
+::<math>\frac{1}{p - 1} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} =</math>
+::::<math>\;\! = \frac{1}{p} \cdot \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots + \frac{1}{p^k} + \ldots \right) =</math>
-Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od <math>10^n</math>
+::::<math>\;\! = \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots + \frac{1}{p^k} + \ldots</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+Zatem
-! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math>
-|-
-| #LPSP <math>< 10^n</math> (metoda Selfridge'a) || <math>2</math> || <math>9</math> || <math>57</math> || <math>219</math> || <math>659</math> || <math>1911</math> || <math>5485</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+::<math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} = \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p} \cdot \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots + \frac{1}{p^k} + \ldots \right) = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p^n} \right)</math><br/>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n=3, 9, s=0; '''forstep'''(k = 1, 10^n, 2, '''if'''( LucasTest(k) && !'''isprime'''(k), s++ ) ); '''print'''("n= ", n, "   ", s) )</span>
+&#9633;
-<br/>
 {{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D41</span><br/>
+Dla <math>n \geqslant 318</math> prawdziwe jest oszacowanie
+::<math>\left| \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n + \gamma \right| < \frac{1}{2 \log n}</math>
-== Liczby silnie pseudopierwsze Lucasa ==
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Należy zauważyć, że tak dokładnego oszacowania nie można udowodnić metodami elementarnymi, dlatego punktem wyjścia jest oszacowanie podane w&nbsp;pracy Pierre'a Dusarta<ref name="Dusart1"/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N34</span><br/>
+::<math>- \left( \frac{0.2}{\log n} + \frac{0.2}{\log^2 n} \right) \; \underset{n \geqslant 2}{<} \; \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; \frac{0.2}{\log n} + \frac{0.2}{\log^2 n}</math>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że <math>\gcd (p, Q D) = 1</math> oraz <math>p - (D \mid p) = 2^r w</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą, to spełniony jest dokładnie jeden z&nbsp;warunków
-::<math>U_w \equiv 0 \pmod{p}</math>
+Ponieważ dla <math>x > e^2 \approx 7.389</math> jest <math>1 + \frac{1}{\log x} < 1.5</math>, to dla <math>n \geqslant 8</math> mamy
-lub
+::<math>\frac{0.2}{\log n} + \frac{0.2}{\log^2 n} = \frac{0.2}{\log n} \left( 1 + \frac{1}{\log n} \right) < \frac{0.3}{\log n}</math>
-::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad</math> dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Zatem wyjściowy układ nierówności możemy zapisać w&nbsp;postaci
-Wiemy (zobacz N20), że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że <math>\gcd (p, Q D) = 1</math>, to <math>p \mid U_{p - (D \mid p)}</math>. Z&nbsp;założenia jest <math>p - (D \mid p) = 2^r w</math>, zatem <math>p \mid U_{2^r w}</math>. Ponieważ założyliśmy, że <math>p \nmid Q</math> i <math>p \nmid D</math>, to ze wzoru <math>V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n</math> (zobacz N13 p.14) wynika natychmiast, że <math>p</math> nie może dzielić jednocześnie liczb <math>U_n</math> i <math>V_n</math>.
-Korzystając ze wzoru <math>U_{2 n} = U_n V_n</math> (zobacz N13 p.11), otrzymujemy
+::<math>- \frac{0.3}{\log n} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; \frac{0.3}{\log n}</math>
-::{| border="0"
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{2^r w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2^{r - 1} w} \cdot V_{2^{r - 1} w} \quad</math> || Jeżeli <math>p \mid V_{2^{r - 1} w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2^{r - 1} w}</math>, to <math>p \mid U_{2^{r - 1} w}</math>.
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{2^{r - 1} w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2^{r - 2} w} \cdot V_{2^{r - 2} w} \quad</math> || Jeżeli <math>p \mid V_{2^{r - 2} w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2^{r - 2} w}</math>, to <math>p \mid U_{2^{r - 2} w}</math>.
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>.................</math> ||
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{4 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2 w} \cdot V_{2 w}</math> || Jeżeli <math>p \mid V_{2 w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2 w}</math>, to <math>p \mid U_{2 w}</math>.
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{2 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_w \cdot V_w</math> || Jeżeli <math>p \mid V_w</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_w</math>, to <math>p \mid U_w</math>.
-|}
-Z powyższego wynika, że musi być spełniony jeden z wypisanych w twierdzeniu warunków.
+Z tożsamości
+::<math>\frac{1}{p} = \frac{1}{p - 1} - \frac{1}{p (p - 1)}</math>
-Zauważmy teraz, że jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>V_w</math>, to <math>p \nmid U_w</math>, bo <math>p</math> nie może jednocześnie być dzielnikiem liczb <math>U_w</math> i <math>V_w</math>.
-Zauważmy też, że jeżeli dla pewnego <math>k \in [1, r - 1]</math> liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>V_{2^k w}</math>, to <math>p</math> nie dzieli żadnej liczby <math>V_{2^j w}</math> dla <math>j \in [0, k - 1] \;\; \text{i} \;\; p \nmid U_w</math>. Istotnie:
+wynika natychmiast, że
-::{| border="0"
+::<math>- \frac{0.3}{\log n} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n}  \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; \frac{0.3}{\log n}</math>
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \mid V_{2^k w}</math>, to <math>p \nmid U_{2^k w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^k w} = U_{2^{k - 1} w} V_{2^{k - 1} w}</math>, zatem <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 1} w}</math>
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^{k - 1} w} = U_{2^{k - 2} w} V_{2^{k - 2} w}</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2^{k - 2} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 2} w}</math>
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>.................</math> ||
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{4 w} \;\; \text{i} \;\; U_{4 w} = U_{2 w} V_{2 w}</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; V_{2 w}</math>
-|-style=height:3em
-| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; U_{2 w} = U_w V_w</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_w \;\; \text{i} \;\; V_w</math>
-|}
-Co dowodzi, że spełniony jest dokładnie jeden z <math>r + 1</math> warunków:
+'''Prawa nierówność'''
-::<math>U_w \equiv 0 \pmod{p}</math>
+Rozważmy prawą nierówność prawdziwą dla <math>n \geqslant 2974</math>
-::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad</math> gdzie <math>k \in [0, r - 1]</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n + E < \frac{0.3}{\log n}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Z twierdzenia D40 wiemy, że
+::<math>\sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E = - \gamma</math>
-Konsekwentnie definiujemy liczby pseudopierwsze<br/>
+Zatem
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N35</span><br/>
-Powiemy, że liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą silnie pseudopierwszą Lucasa (SLPSP) dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, jeżeli <math>\gcd (m, Q D) = 1</math> oraz <math>m - (D \mid m) = 2^r w</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą i&nbsp;spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
-::<math>U_w \equiv 0 \pmod{m}</math>
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n < \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E + \frac{0.3}{\log n}</math>
-lub
+:::::::<math>\;\;\: < \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E + \frac{0.3}{\log n}</math>
-::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{m} \;</math> dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
+:::::::<math>\;\;\: = - \gamma + \frac{0.3}{\log n}</math>
+:::::::<math>\;\;\: < - \gamma + \frac{0.5}{\log n}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N36</span><br/>
+Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność
-Każda liczba SLPSP(<math>P, Q</math>) jest LPSP(<math>P, Q</math>). Korzystając ze zdefiniowanych wcześniej funkcji: <code>modPower(a, n, m)</code>, <code>jacobi(a, n)</code> i <code>modLucas(n, P, Q, m)</code> (zobacz M2, J47, N15), możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy liczba <math>m</math> spełnia jeden z&nbsp;warunków podanych w&nbsp;twierdzeniu N34.
- <span style="font-size: 90%; color: black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q) =
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n < - \gamma + \frac{0.5}{\log n}</math>
- {
- '''local'''(a, b, c, D, js, k, r, w, X);
- D = P^2 - 4*Q;
- '''if'''( gcd(m, 2*Q*D) > 1, '''return'''(0) );
- js = jacobi(D, m);
- r = '''valuation'''(m - js, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m - js
- w = (m - js) / 2^r;
- X =  modLucas(w, P, Q, m);
- a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
- b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
- '''if'''( a == 0 || b == 0, '''return'''(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
- '''if'''( r == 1, '''return'''(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
- c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
- k = 0;
- \\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) % m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*t) = (V_t)^2 - 2*Q^t
- '''while'''( k++ < r,
-        b = (b^2 - 2*c) % m;
-        '''if'''( b == 0, '''return'''(1) );
-        c = c^2 % m;
-      );
- '''return'''(0);
- }</span>
+jest prawdziwa dla wszystkich liczb <math>318 \leqslant n \leqslant 3000</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N37</span><br/>
+'''Lewa nierówność'''
-Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+Rozważmy teraz lewą nierówność prawdziwą dla <math>n \geqslant 8</math>
-! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
-! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
-| <math>253</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>781</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>299</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>407</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
-| <math>9</math> || <math>4181</math> || <math>341</math> || <math>169</math> || <math>33</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>57</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>799</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>25</math> || <math>85</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>55</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>169</math> || <math>529</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
-| <math>2047</math> || style="background-color: yellow" | <math>989</math> || <math>161</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>9</math> || <math>265</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
-| <math>4181</math> || <math>169</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>629</math> || <math>25</math> || <math>33</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>51</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{1}</math>
-| <math>25</math> || style="background-color: red" | <math></math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>559</math> || <math>9</math> || <math>49</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{2}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>5459</math> || <math>9</math> || <math>2047</math> || <math>169</math> || <math>21</math> || <math>253</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || <math>9</math> || <math>49</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{3}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>899</math> || style="background-color: yellow" | <math>5983</math> || <math>25</math> || <math>121</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>55</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{4}</math>
-| style="background-color: yellow" | <math>899</math> || <math>25</math> || <math>1541</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>377</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{5}</math>
-| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>4181</math> || <math>781</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \log n + E > - \frac{0.3}{\log n}</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">FirstSLPSP(Stop) =
- \\ najmniejsze SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
- {
- '''local'''(D, m, P, Q);
- Q = -6;
- '''while'''( Q++ <= 5,
-        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
-        P = 0;
-        '''while'''( P++ <= 10,
-               D = P^2 - 4*Q;
-               '''if'''( D == 0,
-                   '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
-                   '''next'''();
-                 );
-               m = 3;
-               '''while'''( m < Stop,
-                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m),
-                          '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
-                          '''break'''();
-                        );
-                      m = m + 2;
-                    );
-            );
-      );
- }</span>
-<br/>
-{{\Spoiler}}
-Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których <math>(D \mid m) = - 1</math>.
+Mamy
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n > \sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E - \frac{0.3}{\log n}</math>
+:::::::<math>\;\;\, = \sum_{p \geqslant 2} \frac{\log p}{p (p - 1)} - \sum_{p > n} \frac{\log p}{p (p - 1)} - E - \frac{0.3}{\log n}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N38</span><br/>
+:::::::<math>\;\;\, = - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \sum_{p > n} \frac{\log p}{p (p - 1)}</math>
-Ilość liczb SLPSP(<math>P, Q</math>) mniejszych od <math>10^9</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+:::::::<math>\;\;\, > - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{\log k}{k (k - 1)}</math>
-! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
-! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
-| <math>1056</math> || <math>1231</math> || <math>1184</math> || <math>1264</math> || <math>2278</math> || <math>1284</math> || <math>1181</math> || <math>1174</math> || <math>1281</math> || <math>1429</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
-| <math>1043</math> || <math>1165</math> || <math>2139</math> || <math>1316</math> || <math>1151</math> || <math>1079</math> || <math>1112</math> || <math>2377</math> || <math>1197</math> || <math>989</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
-| <math>952</math> || <math>1514</math> || <math>1055</math> || <math>1153</math> || <math>1135</math> || <math>2057</math> || <math>998</math> || <math>1202</math> || <math>1077</math> || <math>1112</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
-| <math>1282</math> || <math>1092</math> || <math>1212</math> || <math>1510</math> || <math>1155</math> || <math>1179</math> || <math>1173</math> || <math>2240</math> || <math>1089</math> || <math>2109</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
-| <math>1165</math> || <math>1316</math> || <math>1079</math> || <math>2377</math> || <math>989</math> || <math>1196</math> || <math>1129</math> || <math>1050</math> || <math>1055</math> || <math>1147</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{1}</math>
-| <math>282485800</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>2278</math> || <math>2057</math> || <math>2113</math> || <math>2266</math> || <math>4053</math> || <math>2508</math> || <math>2285</math> || <math>3083</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{2}</math>
-| <math>1776</math> || <math>449152466</math> || <math>1282</math> || <math>1316</math> || <math>1645</math> || <math>1413</math> || <math>1564</math> || <math>1595</math> || <math>1683</math> || <math>1435</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{3}</math>
-| <math>1621</math> || <math>1553</math> || <math>282485800</math> || <math>1514</math> || <math>1530</math> || <math>1510</math> || <math>1588</math> || <math>1549</math> || <math>1468</math> || <math>1692</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{4}</math>
-| <math>2760</math> || <math>282485800</math> || <math>2978</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>2137</math> || <math>2278</math> || <math>1995</math> || <math>2057</math> || <math>2260</math> || <math>2113</math>
-|-
-! <math>\boldsymbol{5}</math>
-| <math>1314</math> || <math>2392</math> || <math>1497</math> || <math>2392</math> || <math>1165</math> || <math>1268</math> || <math>1227</math> || <math>1411</math> || <math>1253</math> || <math>2377</math>
-|}
+:::::::<math>\;\;\, > - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{\log k}{(k - 1)^2}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+Korzystając kolejno z&nbsp;twierdzeń D15 i&nbsp;C18, dostajemy
- <span style="font-size: 90%; color:black;">NumOfSLPSP(Stop) =
- \\ ilość liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
- {
- '''local'''(D, m, P, Q);
- Q = -6;
- '''while'''( Q++ <= 5,
-        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
-        P = 0;
-        '''while'''( P++ <= 10,
-               D = P^2 - 4*Q;
-               '''if'''( D == 0, '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); '''next'''() );
-               s = 0;
-               m = 3;
-               '''while'''( m < Stop,
-                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m), s++ );
-                      m = m + 2;
-                    );
-               '''print'''("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
-             );
-      );
- }</span>
-<br/>
-{{\Spoiler}}
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n > - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \int_{n}^{\infty} \frac{\log x}{(x - 1)^2} d x</math>
+:::::::<math>\;\;\, = - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \frac{\log n}{n - 1} + \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right)</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N39</span><br/>
+:::::::<math>\;\;\, > - \gamma - \frac{0.3}{\log n} - \frac{\log n}{n - 1} - \frac{1}{n - 1}</math>
-Można pokazać<ref name="Arnault1"/>, że dla liczby złożonej nieparzystej <math>m \neq 9</math> i&nbsp;ustalonego <math>D</math> ilość par <math>P, Q</math> takich, że
-:* <math>0 \leqslant P, Q < m</math>
+:::::::<math>\;\;\, = - \gamma - \frac{0.5}{\log n} + \left( \frac{0.2}{\log n} - \frac{\log n + 1}{n - 1} \right)</math>
-:* <math>\gcd (Q, m) = 1</math>
-:* <math>P^2 - 4 Q \equiv D \pmod{m}</math>
-:* <math>m</math> jest SLPSP(<math>P, Q</math>)
-nie przekracza <math>\tfrac{4}{15} n</math>.
+:::::::<math>\;\;\, > - \gamma - \frac{0.5}{\log n}</math>
-Nie dotyczy to przypadku, gdy <math>m = p (p + 2)</math> jest iloczynem liczb pierwszych bliźniaczych takich, że <math>(D \mid p) = - (D \mid p + 2) = - 1</math>, wtedy mamy słabsze oszacowanie: <math>\# (P, Q) \leqslant \tfrac{1}{2} n</math>. Zauważmy, że taką sytuację łatwo wykryć, bo w&nbsp;tym przypadku <math>m + 1 = (p + 1)^2</math> jest liczbą kwadratową.
+Do znalezienia całki oznaczonej Czytelnik może wykorzystać stronę [https://www.wolframalpha.com/input?i=int+log%28x%29%2F%28x-1%29%5E2+from+n+to+inf WolframAlpha]. Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla <math>n \geqslant 153</math>. Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność
+::<math>\sum_{p \leqslant n} \frac{\log p}{p - 1} - \log n > - \gamma - \frac{0.5}{\log n}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N40</span><br/>
+jest prawdziwa dla wszystkich <math>2 \leqslant n \leqslant 200</math>.<br/>
-Podobnie jak w&nbsp;przypadku liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(<math>P, Q</math>) tak i&nbsp;w&nbsp;przypadku liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(<math>P, Q</math>) możemy testować pierwszość liczby <math>m</math>, wybierając liczby <math>P, Q</math> losowo lub zastosować wybraną metodę postępowania. Przedstawiony poniżej program, to zmodyfikowany kod z uwagi N36. Teraz parametry <math>P, Q</math> są wybierane metodą Selfridge'a, a symbol Jacobiego <math>(D \mid m)</math> jest równy <math>- 1</math>.
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
- <span style="font-size: 90%; color:black;">StrongLucasTest(m) =
- {
- '''local'''(a, b, c, k, P, Q, r, w, X);
- '''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) );
- '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); \\ sprawdzamy, czy liczba m nie jest kwadratowa
- X = MethodA(m);
- P = X[1];
- Q = X[2];
- '''if'''( P == 0 || '''gcd'''(m, 2*Q) > 1, '''return'''(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
- r = '''valuation'''(m + 1, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m + 1
- w = (m + 1) / 2^r;
- X =  modLucas(w, P, Q, m);
- a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
- b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
- '''if'''( a == 0 || b == 0, '''return'''(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
- '''if'''( r == 1, '''return'''(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
- c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
- k = 0;
- \\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) %m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*w) = (V_w)^2 - 2*Q^w
- '''while'''( k++ < r,
-        b = (b^2 - 2*c) % m;
-        '''if'''( b == 0, '''return'''(1) );
-        c = c^2 % m;
-      );
- '''return'''(0);
- }</span>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D42</span><br/>
+Niech <math>r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944</math>. Pokazać, że z&nbsp;nierówności prawdziwej dla <math>x \geqslant 32</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N41</span><br/>
+::<math>\sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p - 1} < \log x - r</math>
-Najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa, które otrzymujemy po zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, to
-::<math>5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519, 75077, 97439, \ldots</math>
+wynika twierdzenie Czebyszewa.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(k=1, 10^5, 2, '''if'''( StrongLucasTest(k) && !'''isprime'''(k), '''print'''(k)) )</span>
+Z twierdzenia D41 wiemy, że dla <math>x \geqslant 318</math> jest
-<br/>
-{{\Spoiler}}
+::<math>\sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p - 1} - \log x < - \gamma + \frac{1}{2\log x} \leqslant - \gamma + \frac{1}{2 \log (318)} = - 0.490441 \ldots < - 0.306852 \ldots = - r</math>
-Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od <math>10^n</math>
+Zatem postulowane oszacowanie jest prawdziwe dla <math>n \geqslant 318</math>. Sprawdzając bezpośrednio dla <math>2 \leqslant x \leqslant 317</math>, łatwo potwierdzamy prawdziwość nierówności
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
+::<math>\sum_{p \leqslant x} \frac{\log p}{p - 1} < \log x - r</math>
-! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math>
-|-
-| #SLPSP <math>< 10^n</math> (metoda Selfridge'a) || <math>0</math> || <math>2</math> || <math>12</math> || <math>58</math> || <math>178</math> || <math>505</math> || <math>1415</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+dla <math>x \geqslant 32</math>.
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n=3, 9, s=0; '''forstep'''(k = 1, 10^n, 2, '''if'''( StrongLucasTest(k) && !'''isprime'''(k), s++ ) ); '''print'''("n=", n, "   ", s) )</span>
-<br/>
-{{\Spoiler}}
+Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>a \geqslant 32</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia D32, łatwo znajdujemy oszacowanie
+::<math>a! = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n</math>
+::<math>\quad \leqslant p^{(a - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(a - 1) / (p_n - 1)}_n</math>
-== Test BPSW ==
+::<math>\quad = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{a - 1}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N42</span><br/>
+gdzie <math>p_n \leqslant a < p_{n + 1}</math>. Oznaczając wyrażenie w&nbsp;nawiasie przez <math>U</math>, mamy
-Jest <math>488</math> liczb SPSP(<math>2</math>) mniejszych od <math>10^8</math> i są 582 liczby SPSP(<math>3</math>) mniejsze od <math>10^8</math> (zobacz M21). Ale jest aż <math>21</math> liczb mniejszych od <math>10^8</math> silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw <math>2</math> i <math>3</math>:
-<math>1373653, 1530787, 1987021, 2284453, 3116107, 5173601, 6787327, 11541307, 13694761, 15978007, 16070429,</math>
+::<math>\log U = \frac{\log p_1}{p_1 - 1} + \ldots + \frac{\log p_n}{p_n - 1} = \sum_{p \leqslant a} \frac{\log p}{p - 1} < \log a - r</math>
-<math>16879501, 25326001, 27509653, 27664033, 28527049, 54029741, 61832377, 66096253, 74927161, 80375707</math>
+gdzie skorzystaliśmy z&nbsp;oszacowania wskazanego w&nbsp;treści zadania. Zatem <math>U < a \cdot e^{- r}</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 10^8, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2)  &&  isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span>
-<br/>
-{{\Spoiler}}
-Widzimy, że prawdopodobieństwo błędnego rozpoznania pierwszości w&nbsp;przypadku liczb mniejszych od <math>10^8</math> dla podstawy <math>2</math> lub podstawy <math>3</math> jest rzędu kilku milionowych. Gdyby prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania pierwszości w&nbsp;przypadku podstawy <math>2</math> lub podstawy <math>3</math> były niezależne, to spodziewalibyśmy się, że nie będzie wcale liczb mniejszych od <math>10^8</math> silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw <math>2</math> i <math>3</math>, bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia byłoby równe kilkudziesięciu bilonowym. Ale tak nie jest.
+Przypuśćmy, że mnożymy liczbę <math>a!</math> przez kolejne liczby naturalne <math>a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b</math>. Możemy postawić pytanie: kiedy w&nbsp;rozkładzie na czynniki pierwsze liczby <math>b!</math> musi pojawić się nowy czynnik pierwszy? Jeżeli takiego nowego czynnika pierwszego nie ma, to
-Jest to mocny argument za tym, że zastosowanie różnych (niezależnych) testów może być znacznie silniejszym narzędziem do testowania pierwszości liczb, niż wielokrotne stosowanie tego samego testu, gdzie poszczególne próby są tylko pozornie niezależne.
+::<math>a! \cdot (a + 1) \cdot \ldots \cdot b = b!</math>
-Połączenie znanych nam już testów prowadzi do prostego programu
+:::::::<math>\;\;\; = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">BPSWtest(m) =
+:::::::<math>\;\;\; \leqslant p^{(b - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(b - 1) / (p_n - 1)}_n</math>
- {
- '''forprime'''(p = 2, 1000, '''if'''( m % p > 0, '''next'''() ); '''if'''( m == p, '''return'''(1), '''return'''(0) ));
- '''if'''( !isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2), '''return'''(0) );
- '''if'''( !StrongLucasTest(m), '''return'''(0), '''return'''(1) );
- }</span>
+:::::::<math>\;\;\; = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{b - 1}</math>
+:::::::<math>\;\;\; = U^{b - 1}</math>
-Funkcja <code>BPSWtest(m)</code> kolejno sprawdza:
+:::::::<math>\;\;\; < (a \cdot e^{- r})^{b - 1}</math>
-:* czy liczba <math>m</math> jest podzielna przez niewielkie liczby pierwsze (w naszym przypadku mniejsze od <math>1000</math>); jeśli tak, to sprawdza, czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną i&nbsp;zwraca odpowiednio <math>1</math> lub <math>0</math>
-:* czy liczba <math>m</math> przechodzi test Millera-Rabina dla podstawy <math>2</math>; jeśli nie, to zwraca <math>0</math>
-:* czy liczba <math>m</math> przechodzi silny test Lucasa dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, które wybieramy metodą Selfridge'a; jeśli nie, to zwraca <math>0</math>, w&nbsp;przeciwnym wypadku zwraca <math>1</math>
+Jednocześnie z&nbsp;twierdzenia D31 wiemy, że prawdziwa jest nierówność <math>b! > b^b e^{- b}</math>, zatem
-Test w&nbsp;dokładnie takiej postaci zaproponowali Robert Baillie i&nbsp;Samuel Wagstaff<ref name="BaillieWagstaff1"/>. Nazwa testu to akronim, utworzony od pierwszych liter nazwisk Roberta Bailliego, Carla Pomerance'a, Johna Selfridge'a i&nbsp;Samuela Wagstaffa.
+::<math>b^b e^{- b} < b! < \frac{(a \cdot e^{- r})^b}{a \cdot e^{-r}}</math>
-Nie jest znany żaden przykład liczby złożonej <math>m</math>, którą test BPSW<ref name="BPSW1"/><ref name="BPSW2"/> identyfikowałby jako pierwszą i&nbsp;z&nbsp;pewnością nie ma takich liczb dla <math>m < 2^{64} \approx 1.844 \cdot 10^{19}</math>. Warto przypomnieć: potrzebowaliśmy siedmiu testów Millera-Rabina (dla podstaw <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17</math>), aby mieć pewność, że dowolna liczba <math>m < 3.41 \cdot 10^{14}</math> jest pierwsza (zobacz M22).
+::<math>b e^{- 1} < \frac{a \cdot e^{- r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}}</math>
+::<math>b < \frac{a \cdot e^{1 - r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}}</math>
+Ponieważ <math>e^{1 - r} = e^{\log (2)} = 2</math>, to
+::<math>b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < 2 a</math>
-== Uzupełnienia ==
-&nbsp;
+Z oszacowania <math>b < 2 a</math> wynika, że <math>(a \cdot e^{- r})^{1 / b} > (a \cdot e^{-r})^{1 / 2 a}</math>. Możemy teraz zapisać uzyskane wyżej oszacowanie w&nbsp;postaci, w&nbsp;której prawa strona nierówności nie zależy od <math>b</math>
-=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Pewne własności współczynników dwumianowych</span> ===
+::<math>b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}}</math>
-&nbsp;
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N43</span><br/>
+Ponieważ <math>e^{- r} = 0.735758 \ldots</math>, to <math>(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a} > (a / 2)^{1 / 2 a}</math>, co pozwala uprościć uzyskane oszacowanie
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to
-::<math>\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
+::<math>b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} < \frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}</math>
-dla każdego <math>k \in [1, p - 1]</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Pokażemy, że dla <math>a > 303.05</math>
-Łatwo zauważamy, że dla <math>k \in [1, p - 1]</math> liczba pierwsza <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynnika dwumianowego
-::<math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k)!}}</math>
+::<math>\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}} < 2 a - 5</math>
-zatem <math>p \biggr\rvert \binom{p}{k}</math>. Co należało pokazać.<br/>
+Istotnie
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\frac{1}{(a / 2)^{1 / 2 a}} < 1 - \frac{5}{2 a}</math>
+::<math>\frac{a}{2} \cdot \left( 1 - \frac{5}{2 a} \right)^{2 a} > 1</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N44</span><br/>
+::<math>\frac{a}{2} \cdot \left[ \left( 1 - \frac{5}{2 a} \right)^{\tfrac{2 a}{5}} \right]^5 > 1</math>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
-::<math>\binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
+Wyrażenie w&nbsp;nawiasie kwadratowym jest funkcją rosnącą i&nbsp;ograniczoną (zobacz twierdzenie C17) i&nbsp;dla <math>a \geqslant 32</math> przyjmuje wartości z&nbsp;przedziału <math>[0.353 \ldots, e^{- 1})</math>. Zatem dla odpowiednio dużego <math>a</math> powyższa nierówność z&nbsp;pewnością jest prawdziwa. Łatwo sprawdzamy, że dla <math>a = 304</math> jest
-dla każdego <math>k \in [2, p - 1]</math>.
+::<math>\frac{a}{2} \cdot \left( 1 - \frac{5}{2 a} \right)^{2 a} = 1.003213 \ldots</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Wynika stąd, że wszystkie kolejne liczby naturalne <math>a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b</math> mogą być liczbami złożonymi co najwyżej do chwili, gdy <math>b < 2 a -
-Jeżeli <math>k \in [2, p - 1]</math>, to modulo <math>p</math> dostajemy
+</math>, czyli <math>b \leqslant 2 a - 6</math>. Zatem w&nbsp;przedziale <math>(a, 2 a)</math> musi znajdować się przynajmniej jedna liczba pierwsza. Dla <math>a \leqslant 303</math> prawdziwość twierdzenia sprawdzamy bezpośrednio.<br/>
-::<math>\binom{p + 1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k - 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Bo liczba pierwsza <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynników dwumianowych po prawej stronie. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1939: / Linia 1496: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N45</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D43</span><br/>
-Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to
+Powiemy, że liczby pierwsze <math>p, q</math> są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli <math>\left | p - q \right | = 2</math>
-::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
-dla każdego <math>k \in [0, p - 1]</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D44* (Viggo Brun, 1919)</span><br/>
-Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby pierwszej parzystej <math>p = 2</math>. Załóżmy, że <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Równie łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k = 0</math> i <math>k = 1</math>. Zauważmy, że dla <math>k \in [1, p - 1]</math> jest
+Suma odwrotności par liczb pierwszych <math>p</math> i <math>p + 2</math>, takich że liczba <math>p + 2</math> jest również pierwsza, jest skończona
-::<math>\binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! (p - 1 - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot {\small\frac{(p - 1) !}{(k - 1) ! (p - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} = {\small\frac{p}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} - \binom{p - 1}{k - 1}</math>
+::<math>\underset{p + 2 \in \mathbb{P}}{\sum_{p \geqslant 2}} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p + 2} \right) = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5}
+\right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{11} + \frac{1}{13} \right) + \left( \frac{1}{17} + \frac{1}{19} \right) + \ldots = B_2</math>
-Ponieważ współczynniki dwumianowe są liczbami całkowitymi, a&nbsp;liczba <math>k \in [2, p - 1]</math> nie dzieli liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math>, to <math>k</math> musi dzielić liczbę <math>\binom{p - 1}{k - 1}</math>. Zatem dla <math>k \in [2, p - 1]</math> modulo <math>p</math> mamy
+gdzie <math>B_2 = 1.90216058 \ldots</math> jest stałą Bruna<ref name="Wiki1"/><ref name="A065421"/>.
-::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv - \binom{p - 1}{k - 1}\pmod{p}</math>
-Skąd otrzymujemy
-::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^1 \binom{p - 1}{k - 1} \equiv (- 1)^2 \binom{p - 1}{k - 2} \equiv \ldots \equiv (- 1)^{k - 2} \binom{p - 1}{2} \equiv (- 1)^{k - 1} \binom{p - 1}{1} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D45</span><br/>
+Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nie tworzących par liczb bliźniaczych.
-Co należało pokazać. Zobacz też zadanie H21.<br/>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-&#9633;
+Niech <math>p</math> i <math>q = p + 4</math> będą liczbami pierwszymi i <math>n \geqslant 1</math>. Ponieważ liczby <math>p q</math> i <math>p + 2</math> są względnie pierwsze, to z&nbsp;twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb <math>a_n = p q n + (p + 2)</math> jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, a&nbsp;jednocześnie żadna z&nbsp;liczb <math>a_n</math> nie tworzy pary liczb bliźniaczych, bo
-{{\Spoiler}}
+::<math>a_n - 2 = p q n + p = p (q n + 1)</math>
+::<math>a_n + 2 = p q n + (p + 4) = q (p n + 1)</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N46</span><br/>
+są liczbami złożonymi. Najprostsze przykłady to <math>a_n = 21 n + 5</math> i <math>b_n = 77 n + 9</math>
-Dla współczynników dwumianowych prawdziwe są następujące wzory
-::<math>\underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
+Najłatwiej wszystkie przypadki takich ciągów wyszukać w&nbsp;programie PARI/GP. Polecenie
-::<math>\underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
+ for(a=1,50, for(b=3,floor(a/2), g=gcd(a,b); g1=gcd(a,b-2); g2=gcd(a,b+2); if( g==1 && g1>1 && g2>1, print("a= ", a, "   b= ",b) )))
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+wyszukuje wszystkie liczby dodatnie <math>a, b</math>, gdzie <math>b \leqslant \left\lfloor \frac{a}{2} \right\rfloor</math>, które tworzą ciągi <math>a k + b</math> o&nbsp;poszukiwanych właściwościach. Oczywiście ciągi <math>a k + (a - b)</math> również są odpowiednie. Przykładowo dla <math>a \leqslant 50</math> mamy
-Ze wzoru dwumianowego
-::<math>(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n - k} b^k</math>
+::<math>15 k + 7, \quad 21 k + 5, \quad 30 k + 7, \quad 33 k + 13, \quad 35 k + 12, \quad 39 k + 11, \quad 42 k + 5, \quad 45 k + 7, \quad 45 k + 8, \quad 45 k + 22</math><br/>
-z łatwością otrzymujemy
-::<math>(1 + 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n</math>
-::<math>(1 - 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \binom{n}{k} = 0</math>
-Obliczając sumę i&nbsp;różnicę powyższych wzorów mamy
-::<math>\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 + (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum^n_{k = 0}} \binom{n}{k} = 2^n</math>
-::<math>\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 - (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^n</math>
-Skąd natychmiast wynika
-::<math>\underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
-::<math>\underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
-Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2003: / Linia 1537: @@
-=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Funkcje <span style="font-size: 95%; background-color: #f8f9fa"><tt>digits(m, b)</tt></span> oraz <span style="font-size: 95%; background-color: #f8f9fa"><tt>issquare(m)</tt></span></span> ===
-&nbsp;
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N47</span><br/>
-W funkcji <code>modLucas()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowaną w&nbsp;PARI/GP funkcję
-<code>digits(m, b)</code> – zwraca wektor cyfr liczby <math>| m |</math> w&nbsp;systemie liczbowym o&nbsp;podstawie <math>b</math>
-W naszym przypadku potrzebowaliśmy uzyskać wektor cyfr liczby <math>m</math> w&nbsp;układzie dwójkowym, czyli funkcję <code>digits(m, 2)</code> . Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Zauważmy, że do zapisania liczby <math>m \geqslant 1</math> potrzebujemy <math>\log_2 m + 1</math> cyfr. Zastępując funkcję <math>\log_2 m</math> funkcją <math>\left \lfloor \tfrac{\log m}{\log 2} \right \rfloor</math> musimy liczyć się z&nbsp;możliwym błędem zaokrąglenia – dlatego w&nbsp;programie deklarujemy wektor <code>V</code> o&nbsp;długości <code>floor( log(m)/log(2) ) + 2</code>. Zwracany wektor <code>W</code> ma już prawidłową długość.
- <span style="font-size: 90%; color:black;">Dec2Bin(m) =
- \\ zwraca wektor cyfr liczby m w układzie dwójkowym
- {
- '''local'''(i, k, V, W);
- '''if'''( m == 0, '''return'''([0]) );
- V = '''vector'''( '''floor'''( '''log'''(m)/'''log'''(2) ) + 2 ); \\ potrzeba floor( log(m)/log(2) ) + 1, ale błąd zaokrąglenia może zepsuć wynik
- k = 0;
- '''while'''( m > 0,
-        V[k++] = m % 2;
-        m = '''floor'''(m / 2);
-      );
- W = '''vector'''(k);
- '''for'''(i = 1, k, W[i] = V[k + 1 - i]);
- '''return'''(W);
- }
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N48</span><br/>
-W funkcjach <code>LucasTest()</code> i <code>StrongLucasTest()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowaną w&nbsp;PARI/GP funkcję
-<code>issquare(m)</code> – sprawdza, czy liczba <math>m</math> jest liczbą kwadratową
-Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Potrzebna nam będzie funkcja, która znajduje całość z&nbsp;pierwiastka z&nbsp;liczby <math>m</math>, czyli <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math>. Wykorzystamy tutaj ciąg
-::<math>a_{k + 1} =
-  \begin{cases}
-  \qquad \;\; 1 & \text{gdy } k = 0 \\
-      \tfrac{1}{2} \left( a_k + \tfrac{x}{a_k} \right) & \text{gdy } k > 0 \\
-  \end{cases}</math>
-którego granicą jest <math>\sqrt{x}</math> <ref name="pierwiastek1"/>.
+== Przypisy ==
+<references>
-Modyfikując powyższą definicję tak, aby operacje były zawsze wykonywane na liczbach całkowitych<ref name="IntegerSquareRoot1"/>
+<ref name="DirichletEta">Wikipedia, ''Funkcja η'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%B7 Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_eta_function Wiki-en])</ref>
-::<math>a_{k + 1} =
+<ref name="RiemannZeta">Wikipedia, ''Funkcja dzeta Riemanna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_dzeta_Riemanna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function Wiki-en])</ref>
-  \begin{cases}
-  \qquad \quad \; 1 & \text{gdy } k = 0 \\
-      \left\lfloor \tfrac{1}{2} \left( a_k + \left\lfloor \tfrac{m}{a_k} \right\rfloor \right) \right\rfloor & \text{gdy } k > 0 \\
-  \end{cases}</math>
-otrzymujemy ciąg, którego wszystkie wyrazy, począwszy od pewnego skończonego <math>n_0</math>, są równe <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math>. Nie dotyczy to przypadku, gdy <math>m + 1</math> jest liczbą kwadratową, wtedy, począwszy od pewnego skończonego <math>n_0</math>, wyrazy ciągu przyjmują na zmianę wartości <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math> oraz <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor + 1</math>.
+<ref name="calkowalnosc1">Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.</ref>
-Na tej podstawie możemy w&nbsp;PARI/GP napisać funkcję
- <span style="font-size: 90%; color:black;">intSqrt(m) =
- {
- '''local'''(a, b);
- '''if'''( m == 0, '''return'''(0) );
- a = 2^( '''floor'''( '''log'''(m)/'''log'''(2)/2 ) + 2 ); \\ musi być a > sqrt(m)
- b = '''floor'''(( a + '''floor'''( m/a ) )/2);
- '''while'''( b < a,
-        a = b;
-        b = '''floor'''( ( a + '''floor'''(m/a) )/2 );
-      );
- '''return'''(a);
- }</span>
-Oczywiście liczba <math>m</math> jest liczbą kwadratową, wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>m = \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor^2</math>, zatem wystarczy sprawdzić, czy <code>m == intSqrt(m)^2</code>.
+<ref name="calkowalnosc2">W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.</ref>
+<ref name="Mertens1">Wikipedia, ''Twierdzenia Mertensa'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenia_Mertensa Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems Wiki-en])</ref>
+<ref name="Mertens2">Wikipedia, ''Franciszek Mertens'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Franciszek_Mertens Wiki-pl])</ref>
+<ref name="Rosser1">J. B. Rosser and L. Schoenfeld, ''Approximate formulas for some functions of prime numbers'', Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, ([https://projecteuclid.org/journals/illinois-journal-of-mathematics/volume-6/issue-1/Approximate-formulas-for-some-functions-of-prime-numbers/10.1215/ijm/1255631807.full LINK])</ref>
+<ref name="twierdzenie">Zobacz twierdzenie D41.</ref>
+<ref name="A001620">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A001620 - Decimal expansion of Euler's constant'', ([https://oeis.org/A001620 A001620])</ref>
+<ref name="A083343">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A083343 - Decimal expansion of constant&#32;B3 (or B_3) related to the Mertens constant'', ([https://oeis.org/A083343 A083343])</ref>
+<ref name="A138312">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant'', ([https://oeis.org/A138312 A138312])</ref>
+<ref name="Dusart1">P. Dusart, ''Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.'', ([https://arxiv.org/abs/1002.0442 LINK])</ref>
+<ref name="Wiki1">Wikipedia, ''Stałe Bruna'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82e_Bruna Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem Wiki-en])</ref>
+<ref name="A065421">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B'', ([https://oeis.org/A065421 A065421])</ref>
+</references>
-== Przypisy ==
-<references>
-<ref name="BaillieWagstaff1">Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., ''Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), ([http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf LINK])</ref>
-<ref name="Arnault1">François Arnault, ''The Rabin-Monier Theorem for Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 66, No. 218 (1997)</ref>
-<ref name="pierwiastek1">Wikipedia, ''Pierwiastek kwadratowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_obliczania_pierwiastka_kwadratowego#Metoda_babilo%C5%84ska Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method Wiki-en])</ref>
-<ref name="IntegerSquareRoot1">Wikipedia, ''Integer square root'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_square_root#Using_only_integer_division Wiki-en])</ref>
-<ref name="BPSW1">Wikipedia, ''Baillie–PSW primality test'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Baillie%E2%80%93PSW_primality_test Wiki-en])</ref>
-<ref name="BPSW2">MathWorld, ''Baillie-PSW Primality Test'', ([https://mathworld.wolfram.com/Baillie-PSWPrimalityTest.html LINK])</ref>
-</references>