Różnica pomiędzy stronami "Ciągi liczbowe" i "CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego"

Wersja z 17:16, 16 mar 2024

22.03.2023

Chińskie twierdzenie o resztach

Twierdzenie J1
Niech [math]\displaystyle{ a, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m n} }[/math]

jest równoważna układowi kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv a \pmod{m} \\ u &\equiv a \pmod{n} \\ \end{align} }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ u - a }[/math] jest podzielna przez iloczyn [math]\displaystyle{ m n }[/math], to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{m} }[/math]

wynika, że [math]\displaystyle{ u - a = k m }[/math], zaś z kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv a \pmod{n} }[/math]

otrzymujemy [math]\displaystyle{ n \mid (u - a) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n \mid k m }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ n \mid k }[/math] (zobacz C74) i istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ s }[/math], że [math]\displaystyle{ k = s n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ u - a = s n m }[/math], a stąd [math]\displaystyle{ u \equiv a \!\! \pmod{m n} }[/math]. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie J2
Dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] i względnie pierwszych liczb [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] istnieje dokładnie jedna taka liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]), że prawdziwy jest układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \\ \end{align} }[/math]

Dowód

Z założenia liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ m x + n y = 1 }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ c = a n y + b m x }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ c \equiv a n y \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ c \equiv a (1 - m x) \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ c \equiv a \pmod{m} }[/math]

Natomiast modulo [math]\displaystyle{ n }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ c \equiv b m x \pmod{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ c \equiv b (1 - n y) \pmod{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ c \equiv b \pmod{n} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby [math]\displaystyle{ c }[/math]. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby [math]\displaystyle{ c }[/math] i [math]\displaystyle{ d }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid (d - a) }[/math] i [math]\displaystyle{ m \mid (c - a) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] dzieli różnicę tych liczb, czyli [math]\displaystyle{ m \mid (d - c) }[/math]. Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ n \mid (d - c) }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, to [math]\displaystyle{ m n \mid (d - c) }[/math] (zobacz C75), co oznacza, że

[math]\displaystyle{ d \equiv c \pmod{m n} }[/math].

Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] i tak rozumiana jest dokładnie jedna. W szczególności istnieje tylko jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant c \leqslant m n }[/math].
□

Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o resztach)
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c, u \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz niech [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że kongruencja

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} }[/math]

jest równoważna układowi kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a \pmod{m} \\ u & \equiv b \pmod{n} \\ \end{align} }[/math]

Dowód

Z twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math]) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} c & \equiv a \pmod{m} \\ c & \equiv b \pmod{n} \\ \end{align} }[/math]

Korzystając z tego rezultatu i twierdzenia J1, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv c \; \pmod{m} \\ u \equiv c \; \pmod{n} \\ \end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{l} u \equiv a \; \pmod{m} \\ u \equiv b \:\, \pmod{n} \\ \end{array} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga J4
Chińskie twierdzenie o resztach^[1] (CRT^[2]) pozostaje prawdziwe w przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u &\equiv 1 \pmod{4} \\ u &\equiv 3 \pmod{8} \\ \end{align} }[/math]

nie może być zapisany w postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest [math]\displaystyle{ u = 4 k + 1 }[/math], które dla liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych ma postać

[math]\displaystyle{ u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5 }[/math]

i nie może być [math]\displaystyle{ u \equiv 3 \!\! \pmod{8} }[/math].

Zadanie J5
Niech [math]\displaystyle{ u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ m_1, \ldots, m_k }[/math] są parami względnie pierwsze (czyli [math]\displaystyle{ \gcd (m_i, m_j) = 1 }[/math] dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math]), to istnieje dokładnie jedna liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] (określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k }[/math]) taka, że układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ & \cdots \\ u & \equiv a_k \pmod{m_k} \\ \end{align} }[/math]

można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} }[/math]

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math], dla liczby [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] otrzymujemy układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\ u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} \\ \end{align} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Z twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w sposób równoważny w postaci kongruencji

[math]\displaystyle{ u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}} }[/math]

gdzie liczba [math]\displaystyle{ c' }[/math] jest dokładnie jedna i jest określona modulo [math]\displaystyle{ m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1} }[/math]. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]. Co kończy dowód indukcyjny.
□

Przykład J6
Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po [math]\displaystyle{ 5 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 3 }[/math], a kiedy próbujemy ustawić je po [math]\displaystyle{ 7 }[/math], zostają nam [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \\ \end{align} }[/math]

Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w postaci równoważnej kongruencji modulo [math]\displaystyle{ 35 }[/math]. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z PARI/GP. Wpisując proste polecenie

chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )

uzyskujemy wynik Mod(18, 35), zatem równoważna kongruencja ma postać

[math]\displaystyle{ n \equiv 18 \pmod{35} }[/math]

Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi [math]\displaystyle{ 18 }[/math].

Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo

[math]\displaystyle{ \begin{align} n &\equiv 1 \pmod{2} \\ n &\equiv 2 \pmod{3} \\ n &\equiv 3 \pmod{5} \\ n &\equiv 4 \pmod{7} \\ n &\equiv 5 \pmod{11} \\ \end{align} }[/math]

to argumenty należy zapisać w postaci wektora

chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )

Otrzymujemy Mod(1523, 2310).

Wielomiany

Twierdzenie J7
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] będzie dowolnym wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math]. Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] można przedstawić w postaci

[math]\displaystyle{ W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest wielomianem stopnia [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], a współczynniki wiodące wielomianów [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] są sobie równe.

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math]. Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x) }[/math]

Gdzie przez [math]\displaystyle{ U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1} }[/math] oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy [math]\displaystyle{ k - 1 }[/math]. Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x) }[/math]

Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math]. Ponieważ ze wszystkich wielomianów [math]\displaystyle{ a_k U^{(k)} (x) }[/math], wielomian [math]\displaystyle{ a_n U^{(n)} (x) }[/math] ma największy stopień równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Czyli

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k }[/math]

Porównując wyrazy o największym stopniu, łatwo zauważamy, że [math]\displaystyle{ a_n = b_{n - 1} }[/math]. Czyli współczynnik wiodący wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ a_n }[/math]. Co należało pokazać.
□

Definicja J8
Wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math], będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math].

Definicja J9
Powiemy, że wielomian całkowity [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a_n }[/math]. Jeżeli każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n }[/math], jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieokreślony.

Twierdzenie J10
Niech [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] będzie wielomianem całkowitym i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ x \equiv y \!\! \pmod{m} }[/math], to

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]

Dowód

Dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ x^k - y^k }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ x - y }[/math], co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że

[math]\displaystyle{ x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid (x - y) }[/math], zatem dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ m \mid (x^k - y^k) }[/math]. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje

[math]\displaystyle{ \begin{align} a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\ a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\ a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\ & \cdots \\ a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} \\ \end{align} }[/math]

Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga J11
Niech [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1) }[/math]

gdzie liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] są względnie pierwsze.

Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m} \\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \\ \end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2) }[/math]

Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math]. W szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] nie ma rozwiązania, to kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n} }[/math] również nie ma rozwiązania.

Załóżmy, że każda z kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] ma przynajmniej jedno rozwiązanie i niech

[math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ x \equiv b \!\! \pmod{n} }[/math] będzie pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n} }[/math]

Pierwiastki te tworzą układ kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} x &\equiv a \pmod{m} \\ x &\equiv b \pmod{n} \\ \end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3) }[/math]

Z chińskiego twierdzenia o resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w postaci równoważnej

[math]\displaystyle{ x \equiv c \pmod{m n} }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] określona modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Istotnie z twierdzenia J10 mamy

[math]\displaystyle{ \begin{align} W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\ W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} \\ \end{align} }[/math]

ale liczby [math]\displaystyle{ m, n }[/math] są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że

[math]\displaystyle{ W (c) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]

Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań [math]\displaystyle{ (3) }[/math] odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math].

Podsumujmy: jeżeli kongruencje

[math]\displaystyle{ \begin{align} W (x) &\equiv 0 \pmod{m} \\ W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \\ \end{align} }[/math]

mają odpowiednio [math]\displaystyle{ r }[/math] i [math]\displaystyle{ s }[/math] pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math] jest równa iloczynowi [math]\displaystyle{ r s }[/math] i istnieje [math]\displaystyle{ r s }[/math] różnych rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \pmod{m n} }[/math]

Twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie J12
Kongruencja

[math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

A. Istnienie rozwiązania

Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 = k p }[/math], to istnienie liczb [math]\displaystyle{ x }[/math] i [math]\displaystyle{ k }[/math], dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z twierdzenia C76. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a_1, p) = 1 }[/math], to istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math] (zobacz C73 - lemat Bézouta). Zauważmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid r }[/math], bo gdyby tak było, to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieliłaby wyrażenie [math]\displaystyle{ a_1 r + p s }[/math], ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ a_1 r + p s = 1 }[/math]. Czyli modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ a_1 r \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez [math]\displaystyle{ r }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ x \equiv - a_0 r \pmod{p} }[/math]

B. Brak innych rozwiązań

Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Jeśli oznaczymy je przez [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math], to otrzymamy

[math]\displaystyle{ a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ p \mid a_1 (x_1 - x_2) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid a_1 }[/math], to z lematu Euklidesa (C74) otrzymujemy natychmiast [math]\displaystyle{ p \mid (x_1 - x_2) }[/math]. Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p} }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.
□

Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)
Jeżeli wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], to kongruencja

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań.

Dowód

Indukcja matematyczna. Z J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Niech wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math]. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek [math]\displaystyle{ x \equiv s \!\! \pmod{p} }[/math]. Korzystając z twierdzenia J7, możemy napisać

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x) }[/math]

gdzie wielomian [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] ma stopień [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo wielomiany [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) }[/math] mają jednakowe współczynniki wiodące.

Z założenia [math]\displaystyle{ x \equiv s \!\! \pmod{p} }[/math] jest jednym z pierwiastków kongruencji [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to z rozpatrywanej kongruencji

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

wynika, że musi być (zobacz C74)

[math]\displaystyle{ x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Z założenia indukcyjnego kongruencja

[math]\displaystyle{ V_{n - 1} (x) \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] rozwiązań, zatem kongruencja

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie J14
Jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań, to wszystkie współczynniki [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, \ldots, n }[/math], muszą być podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \} }[/math] będzie zbiorem takim, że dla każdego [math]\displaystyle{ k \in S }[/math] jest [math]\displaystyle{ p \nmid a_k }[/math]. Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym. Niech [math]\displaystyle{ j }[/math] oznacza największy element zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ j = 0 }[/math], to wielomian [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math] jest stopnia [math]\displaystyle{ 0 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i

[math]\displaystyle{ a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Konsekwentnie, dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]

bo dla każdego [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math].

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ j \neq 0 }[/math], z twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ j \leqslant n }[/math] rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że [math]\displaystyle{ S }[/math] jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.
□

Przykład J15
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ p }[/math] rozwiązań. W rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] jest

[math]\displaystyle{ x^p \equiv x \pmod{p} }[/math]

Przykład J16
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ n \geqslant p }[/math], możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że [math]\displaystyle{ n \lt p }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ p = 5 }[/math] i

[math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ x^5 \equiv x \!\! \pmod{5} }[/math], to

[math]\displaystyle{ W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5} }[/math]

Co wynika również z faktu, że [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 }[/math]

ale [math]\displaystyle{ x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5} }[/math] na mocy twierdzenia Fermata.

W PARI/GP polecenie

Mod(x^15 + 11*x^11 + 5*x^5 + 2*x^2 + x + 1, x^5 - x)

znajduje resztę z dzielenia wielomianu [math]\displaystyle{ x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 }[/math] przez wielomian [math]\displaystyle{ x^5 - x }[/math]. Tutaj otrzymujemy

Mod(12*x^3 + 2*x^2 + 6*x + 1, x^5 - x)

Twierdzenie Wilsona

Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)
Liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą złożoną. Zatem liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] ma dzielnik [math]\displaystyle{ d }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ 2 \leqslant d \leqslant p - 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d \mid p , }[/math] to prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]

czyli

[math]\displaystyle{ 0 \equiv - 1 \pmod{d} }[/math]

co jest niemożliwe.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Niech teraz [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany

[math]\displaystyle{ W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1)) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ V(x) = x^{p - 1} - 1 }[/math]

Zauważmy, że

stopnie tych wielomianów są równe [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math]
współczynniki wiodące są równe [math]\displaystyle{ 1 }[/math]
wyrazy wolne są równe odpowiednio [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] oraz [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]
wielomiany mają [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ U(x) = W (x) - V (x) }[/math]

Zauważmy, że

stopień wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 2 \geqslant 1 }[/math], ponieważ wyrazy o najwyższym stopniu uległy redukcji
wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] ma [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo dla każdego [math]\displaystyle{ k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] mamy [math]\displaystyle{ U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] nie może mieć więcej niż [math]\displaystyle{ p - 2 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem z twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi dzielić każdy współczynnik [math]\displaystyle{ a_k }[/math] wielomianu [math]\displaystyle{ U(x) }[/math] i w szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy [math]\displaystyle{ (p - 1) ! + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie J18
Liczba całkowita nieparzysta [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]

Dowód

Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ (p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]

W przypadku, gdy liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w [math]\displaystyle{ (p - 1) ! }[/math] są określone modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to odejmując od każdego czynnika większego od [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie J19
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ (p - 2) ! \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ S }[/math] będzie zbiorem liczb całkowitych dodatnich mniejszych od [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Podstawą dowodu jest spostrzeżenie, że tylko dwie liczby należące do [math]\displaystyle{ S }[/math] są swoimi odwrotnościami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Pozostałe liczby są wzajemnie swoimi odwrotnościami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ x }[/math] jest swoją odwrotnością modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to musi być

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Łatwo zauważamy, że istnieją dwa rozwiązania [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{p} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, x \equiv - 1 \!\! \pmod{p} , }[/math] a z twierdzenia Lagrange'a (J13) wiemy, że są to wszystkie rozwiązania. Wynika stąd, że w zbiorze [math]\displaystyle{ S }[/math] liczby [math]\displaystyle{ 1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p - 1 }[/math] są swoimi odwrotnościami modulo [math]\displaystyle{ p , }[/math] a pozostałe liczby [math]\displaystyle{ 2, \ldots, p - 2 }[/math] są wzajemnie swoimi odwrotnościami modulo [math]\displaystyle{ p , }[/math] czyli można połączyć je w pary [math]\displaystyle{ a, b }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ a \neq b \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, a \cdot b \equiv 1 \!\! \pmod{p} . }[/math] Tworząc iloczyn wszystkich takich par, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (c \cdot d) \cdot \ldots \cdot (x \cdot y) \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Oczywiście iloczyn po lewej stronie wyczerpuje wszystkie liczby [math]\displaystyle{ 2, 3, \ldots, p - 2 , }[/math] zatem

[math]\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (p - 2) \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie J20
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 6 }[/math] jest liczbą złożoną, to [math]\displaystyle{ (m - 1) ! \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]

Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to możemy zapisać [math]\displaystyle{ m }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ m = a b , }[/math] gdzie liczby [math]\displaystyle{ a, b }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt m . }[/math] Rozpatrzmy najpierw przypadek kiedy [math]\displaystyle{ a \neq b , }[/math] wtedy w iloczynie [math]\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (m - 1) }[/math] występują obydwa czynniki [math]\displaystyle{ a \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, b }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a b \mid (m - 1) ! }[/math]

Rozważmy teraz przypadek gdy [math]\displaystyle{ m = a^2 }[/math]. Jeśli [math]\displaystyle{ m - 1 \geqslant 2 a , }[/math] to w iloczynie [math]\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (m - 1) }[/math] pojawi się czynnik [math]\displaystyle{ a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ 2 a , }[/math] wobec tego [math]\displaystyle{ a^2 \mid (m - 1) ! }[/math] Ponieważ z warunków [math]\displaystyle{ m = a^2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m - 1 \geqslant 2 a }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ a \geqslant 3 , }[/math] to jedynie dla [math]\displaystyle{ m = 2^2 = 4 }[/math] twierdzenie nie jest prawdziwe. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie Fermata

Twierdzenie J21 (Pierre de Fermat, 1640)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą

to liczba [math]\displaystyle{ a^p - a }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^p \equiv a \!\! \pmod p }[/math]
i jeśli dodatkowo [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math] jest podzielna przez [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Zauważmy, że
a) twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math]
b) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ a^p - a = a^2 - a = a (a - 1) }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math], bo jedna z liczb [math]\displaystyle{ a - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą parzystą
c) w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 1 }[/math], to jest też prawdziwe dla [math]\displaystyle{ - a }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a) }[/math]

Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math] twierdzenie jest prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math].

Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1^p - 1 = 0 }[/math] zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ a }[/math], czyli [math]\displaystyle{ p \mid a^p - a }[/math], otrzymujmy dla [math]\displaystyle{ a + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k }[/math]

Z założenia indukcyjnego [math]\displaystyle{ p \mid a^p - a }[/math], zaś [math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math] (ponieważ [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem [math]\displaystyle{ (a + 1)^p - (a + 1) }[/math] jest podzielne przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math].

Punkt 2.

Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^p - a = a (a^{p - 1} - 1) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], to z lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C74) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 }[/math].
□

Twierdzenie J22
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math] i liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Dowód

Z założenia

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ p \mid y }[/math]. Wtedy z powyższej kongruencji mamy natychmiast, że [math]\displaystyle{ p \mid x }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid y }[/math] i z twierdzenia Fermata dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]

Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] musi być liczbą parzystą, czyli [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie J23
Niech [math]\displaystyle{ x, y, n \geqslant 0 }[/math]. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2^n }[/math]

są liczby

[math]\displaystyle{ x = 2^{n / 2} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y = 0 \, }[/math] lub [math]\displaystyle{ \, x = 0 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y = 2^{n / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ 2 \mid n }[/math]
[math]\displaystyle{ x = y = 2^{(n - 1) / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ 2 \nmid n }[/math]

Rozwiązanie

A. Gdy jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (powiedzmy [math]\displaystyle{ y }[/math]), to mamy [math]\displaystyle{ x = 2^{n / 2} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest parzyste. Gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że [math]\displaystyle{ x, y \geqslant 1 }[/math]

B. Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Gdy obie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] są nieparzyste, to modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4} }[/math]

Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] i w tym przypadku mamy [math]\displaystyle{ (x, y) = (1, 1) }[/math].

C. W przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać [math]\displaystyle{ x = 2^a u }[/math], [math]\displaystyle{ y = 2^b w }[/math], gdzie liczby [math]\displaystyle{ u, w }[/math] są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant a \leqslant b \lt {\small\frac{n}{2}} }[/math]. Dostajemy

[math]\displaystyle{ u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a} }[/math]

Widzimy, że nie może być [math]\displaystyle{ a \lt b }[/math], bo suma liczby nieparzystej i parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem [math]\displaystyle{ a = b }[/math] i otrzymujemy równanie

[math]\displaystyle{ u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a} }[/math]

które ma rozwiązanie w liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika [math]\displaystyle{ n - 2 a = 1 }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ u = w = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ x = y = 2^{(n - 1) / 2} }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] musi być liczbą nieparzystą.
□

Twierdzenie J24
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 }[/math] ma dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Dowód

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x = y }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2 y^2 }[/math] i jeśli liczba [math]\displaystyle{ y }[/math] nie ma dzielnika pierwszego postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math], to nie ma go również liczba [math]\displaystyle{ 2 y^2 }[/math]. Przykładowo [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r} }[/math]. Dlatego zakładamy, że [math]\displaystyle{ x \neq y }[/math]. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] jest równa zero. Dlatego zakładamy, że [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{Z}_+ }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ \gcd (x, y) = d }[/math], zatem mamy [math]\displaystyle{ x = a d }[/math], [math]\displaystyle{ y = b d }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, a \neq b }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \, a \neq b }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J23). Z twierdzenia J22 zastosowanego do liczby [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 }[/math] musi mieć dzielnik pierwszy postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].
□

Zadanie J25
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to [math]\displaystyle{ m \geqslant 2 }[/math] nie jest dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ 2^m - 1 }[/math].

Rozwiązanie

Ponieważ liczby parzyste nie mogą dzielić liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ 2^m - 1 }[/math], to możemy założyć, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (m, 2) = 1 }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math], wtedy [math]\displaystyle{ \gcd (m, p - 1) = 1 }[/math] i z lematu Bezout'a (zobacz C73) istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że

[math]\displaystyle{ m x + (p - 1) y = 1 }[/math]

Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ m \mid (2^m - 1) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 2^m \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

i dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 = 2^1 = 2^{m x + (p - 1) y} \equiv (2^m)^x \cdot (2^{p - 1})^y \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Co jest niemożliwe.
□

Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera jest uogólnieniem twierdzenia Fermata.
Twierdzenie J26 (Leonhard Euler, 1763)
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], wtedy

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Dowód

Łatwo zauważyć, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ m = 1, 2 }[/math], zatem będziemy rozpatrywali przypadek, gdy [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ R = \{ r_1, r_2, \ldots, r_{\varphi (m)} \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ m }[/math] i względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ S = \{ a r_1, a r_2, \ldots, a r_{\varphi (m)} \} }[/math]. Prosta analiza właściwości zbiorów [math]\displaystyle{ R }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] stanowi podstawę dowodu twierdzenia.

1. Wszystkie elementy w [math]\displaystyle{ \boldsymbol{R} }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]

Nie może być [math]\displaystyle{ r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m} }[/math] dla różnych [math]\displaystyle{ i, j }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] mamy oszacowanie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant r_i, r_j \leqslant m - 1 }[/math], skąd otrzymujemy [math]\displaystyle{ 0 \leqslant | r_i - r_j | \leqslant m - 2 }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ m \mid (r_i - r_j) }[/math] tylko w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r_i = r_j }[/math], czyli gdy [math]\displaystyle{ i = j }[/math].

2. Wszystkie elementy w [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S} }[/math] są względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]

Z definicji dowolna liczba [math]\displaystyle{ r_i \in R }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math] oraz z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z twierdzenia H6 otrzymujemy natychmiast, że [math]\displaystyle{ \gcd (a r_i, m) = 1 }[/math].

3. Wszystkie elementy w [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S} }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla różnych wskaźników [math]\displaystyle{ i, j }[/math] jest [math]\displaystyle{ a r_i \equiv a r_j \!\! \pmod{m} }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ a^{- 1} }[/math] otrzymujemy [math]\displaystyle{ r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m} }[/math] dla różnych [math]\displaystyle{ i, j }[/math], co jest niemożliwe (zobacz punkt 1).

4. Każdy element w [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S} }[/math] jest równy modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] pewnemu elementowi w [math]\displaystyle{ \boldsymbol{R} }[/math]

Dla każdego [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, \varphi (m) }[/math] liczba [math]\displaystyle{ a r_i \in S }[/math] może być zapisana w postaci [math]\displaystyle{ a r_i = k m + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 0 \leqslant r \lt m }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ \gcd (a r_i, m) = 1 = \gcd (k m + r, m) = \gcd (r, m) }[/math]

to [math]\displaystyle{ r \in R }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ a r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m} }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ r_j \in R }[/math].

Z punktów 1., 2. i 4. wynika natychmiast, że zbiory [math]\displaystyle{ R }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz H24), zatem

[math]\displaystyle{ a r_1 \cdot a r_2 \cdot \ldots \cdot a r_{\varphi (m)} \equiv r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \cdot a^{\varphi (m)} \equiv r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \!\! \pmod{m} }[/math]

Ale [math]\displaystyle{ \gcd (r_1 r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)}, m) = 1 }[/math] i mnożąc obie strony powyższej kongruencji przez element odwrotny do [math]\displaystyle{ r_1 r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie J27
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math], zaś [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to kongruencja [math]\displaystyle{ a x \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math] ma jednoznaczne rozwiązanie równe

[math]\displaystyle{ x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m} }[/math]

Rozwiązanie

Z twierdzenia Eulera wynika, że jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to elementem odwrotnym do [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) - 1} }[/math]. Istotnie

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) - 1} \cdot a = a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem mnożąc obie strony kongruencji [math]\displaystyle{ a x \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math] przez [math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) - 1} }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) - 1} \cdot a x = a^{\varphi (m)} \cdot x \equiv x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m} }[/math]

Co było do pokazania.
□

Kryterium Eulera

Definicja J28
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ p \mid (k^2 - a) }[/math].

Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

nie ma rozwiązania.

Twierdzenie J29
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math] istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i tyle samo liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Zauważmy, że w rozważanym zbiorze liczb [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math], kwadraty liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] i [math]\displaystyle{ p - k }[/math] są takimi samymi liczbami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z oczywistej kongruencji

[math]\displaystyle{ k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p} }[/math]

Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ (1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right) }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1 }[/math]

to wypisane pary wyczerpują cały zbiór [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math]. Co więcej, liczby [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math] są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math], a jednocześnie [math]\displaystyle{ i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p} }[/math]. Gdyby tak było, to mielibyśmy

[math]\displaystyle{ (i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z czynników nie jest podzielny przez [math]\displaystyle{ p }[/math], co wynika z prostych oszacowań

[math]\displaystyle{ 1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j \lt p - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \lt i + j \lt p - 1 }[/math]

Ponieważ (z definicji) liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] musi przystawać do pewnego kwadratu modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest tyle samo, co kwadratów [math]\displaystyle{ 1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2 }[/math]. Czyli jest ich dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Pozostałe liczby w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] to liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i jest ich również [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie J30 (kryterium Eulera, 1748)
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

●	liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
●	liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Niech [math]\displaystyle{ Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], a [math]\displaystyle{ S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że

A	[math]\displaystyle{ \| Q \| = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]	zobacz J29
B	[math]\displaystyle{ \| S \| \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]	zobacz twierdzenie Lagrange'a J13
C	jeżeli [math]\displaystyle{ a \in Q }[/math], to [math]\displaystyle{ a \in S \qquad }[/math]	wynika z ciągu implikacji: [math]\displaystyle{ a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p} }[/math] [math]\displaystyle{ a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math] [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S }[/math]
D	[math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math]	z punktu C wynika, że każdy element zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math] należy do zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math]

Łącząc rezultaty z tabeli, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]

Skąd łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ | Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ Q \subseteq S }[/math], a zbiory [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz H23). Prostą konsekwencją równości zbiorów [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ S }[/math] jest stwierdzenie

liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Co kończy dowód punktu pierwszego.

Punkt 2.

Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika^[3], że

liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia Fermata

[math]\displaystyle{ a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

wynika natychmiast, że jeżeli [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], to musi być

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie

liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Symbol Legendre'a

Definicja J31
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math]. Symbolem Legendre'a^[4] nazywamy funkcję [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] zdefiniowaną następująco

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \, \text{ oraz } \, p \nmid a \\ - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\ 0 & \text{gdy } \, p \mid a \\ \end{array} \right. }[/math]

Uwaga J32
Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math]

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math]

Twierdzenie J33*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p, q }[/math] będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości

1.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) \gt 1 }[/math]
2.	[math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
3.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]
4.	[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p} }[/math]
5.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1 }[/math]
6.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} \\ \end{cases} }[/math]
7.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\ \end{cases} }[/math]
8.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} \\ \end{cases} }[/math]
9.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \\ \end{cases} }[/math]

Zadanie J34
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że

jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to element odwrotny liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] istnieje i jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że [math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Rozwiązanie

Z założenia [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math], czyli element odwrotny (zobacz H18) liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] istnieje. Mamy

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Zatem musi być

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]

Co należało pokazać.

Niech [math]\displaystyle{ a, b }[/math] będą liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi). Iloczyn [math]\displaystyle{ a b^{- 1} }[/math] jest liczbą kwadratową, bo

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( \pm 1 \right) \cdot \left( \pm 1 \right) = \left( \pm 1 \right)^2 = 1 }[/math]

Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że

[math]\displaystyle{ a b^{- 1} \equiv r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Symbol Jacobiego

Definicja J35
Niech liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math], że [math]\displaystyle{ m \mid (k^2 - a) }[/math].

Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], jeżeli kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania.

Uwaga J36
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

isQR(a, m) = 
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
{
local(w);
if( gcd(a, m) > 1, return(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
w = -1;
for(k = 1, floor(m/2), if( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; break() ));
return(w);
}

Uwaga J37
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], w której warunek [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math] zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w takim przypadku liczba [math]\displaystyle{ 0 }[/math] nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Przykładowo:

[math]\displaystyle{ \left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10} }[/math]

Liczby kwadratowe modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math] to [math]\displaystyle{ \left\{ 1, 9 \right\} }[/math], a niekwadratowe to [math]\displaystyle{ \left\{ 3, 7 \right\} }[/math]. Liczby [math]\displaystyle{ \left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\} }[/math] nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math].

Jeśli odrzucimy warunek [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to liczbami kwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ 10 }[/math] będą [math]\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\} }[/math], a niekwadratowymi [math]\displaystyle{ \left\{ 2, 3, 7, 8 \right\} }[/math].

Inny przykład. Niech [math]\displaystyle{ m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 }[/math]. W zależności od przyjętej definicji najmniejszą dodatnią liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie albo [math]\displaystyle{ 11 }[/math], albo [math]\displaystyle{ 2 }[/math].

Zadanie J38
Niech liczby [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (m, n) = 1 }[/math]. Pokazać, że liczba [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] i modulo [math]\displaystyle{ n }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ W(x) = x^2 - a }[/math]. Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja [math]\displaystyle{ W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w uwadze J11.
□

Definicja J39
Symbol Jacobiego^[5] [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] jest uogólnieniem symbolu Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla dodatnich liczb nieparzystych. Niech [math]\displaystyle{ n = \prod_i p_i^{\alpha_i} }[/math] będzie rozkładem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, wtedy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i} }[/math]

Uwaga J40
Zauważmy, że w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math].

Twierdzenie J41*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości

1.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) \gt 1 }[/math]
2.	[math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
3.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
4.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
5.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1 }[/math]
6.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \\ \end{cases} }[/math]
7.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \\ \end{cases} }[/math]
8.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \\ \end{cases} }[/math]
9.	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \\ \end{cases} }[/math]

Uwaga J42
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z powyższego twierdzenia i tabela z twierdzenia J33 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.

Uwaga J43
Zauważmy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą

jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to nie musi być [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math]

Przykład: jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ a }[/math] może być liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m^2 }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 5, 8 }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23 }[/math].

Uwaga J44
Wszystkie liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:

Pokaż kod

QRandQNR(m) = 
{
local(k, S, V);
S = [];
V = [];
for(k = 1,  m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); S = concat(S, k));
S = Set(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
for(k = 1,  m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); V = concat(V, k^2 % m));
V = Set(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
print("QR: ", V);
print("QNR: ", setminus(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
}

Zadanie J45
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ - 1 & \text{gdy } r = 5 \\ \end{cases} }[/math]

bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1 }[/math]

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie J46
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \\ \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\ - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3 \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. W tym przypadku mamy

[math]\displaystyle{ 3 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

i odpowiednio dla różnych postaci liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest

[math]\displaystyle{ m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

[math]\displaystyle{ m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4} }[/math]

Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J41 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ 5 \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], to nie ma już znaczenia, czy [math]\displaystyle{ m \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math], czy też [math]\displaystyle{ m \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J41 p.9)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 10 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7, 9 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, \quad = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ - 1 & \text{gdy } r = 3 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\ - 1 & \text{gdy } r = 7 \\ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9 \\ \end{cases} }[/math]

bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5, 7, 9 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga J47
Wykorzystując podane w twierdzeniu J41 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze.

jacobi(a, n) = 
{
local(r, w);
if( n <= 0 || n % 2 == 0, return("Error") );
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
w = 1;
while( a <> 0,
       while( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; if( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
       \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
       \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
       r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
       a = n;
       n = r;
       if( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
       \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
       a = a % n;
     );
if( n == 1, return(w), return(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
}

Zauważmy, że PARI/GP ma zaimplementowaną funkcję, która pozwala obliczać symbol Jacobiego. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą całkowitą, a [math]\displaystyle{ n }[/math] dodatnią liczbą nieparzystą, to wystarczy napisać

kronecker(a, n)

aby otrzymać wartość symbolu Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math].

Kod funkcji podaliśmy dlatego, że jest to ważna funkcja i Czytelnik powinien wiedzieć, jak jest realizowana. Znajomość kodu pozwala łatwo zapisać program w innych językach i obliczać wartości tej funkcji bez korzystania z programu PARI/GP.

Uwaga J48
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] nie istnieje, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] dostarcza jedynie ograniczonych informacji.

W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w formie uproszczonej [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] i nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:

jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Legendre'a
jeżeli wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Jacobiego
jeżeli nie wiemy, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol [math]\displaystyle{ (a \mid m) }[/math] jest symbolem Jacobiego

Rozwiązywanie kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]

Twierdzenie J49
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid (r^2 - a) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ p \mid (r^2 - a) }[/math], co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^n} }[/math]

ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n} }[/math] i pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ u_n }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant u_n \lt p^n }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] może zostać wybrana dowolnie (modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem

[math]\displaystyle{ u^2_n - a = k p^n }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jednoznacznie określona, bo wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] została ustalona. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2 u_n, p) = 1 }[/math], to równanie

[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k }[/math]

ma rozwiązanie (zobacz C76). Niech liczby [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] będą rozwiązaniem tego równania. Zatem

[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a ) }[/math]

[math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]

Modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} \mid p^{2 n} }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□

Uwaga J50
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math]. Ponieważ zakładamy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] musi być liczbą nieparzystą, zaś [math]\displaystyle{ x }[/math] nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy [math]\displaystyle{ 0 \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math], bo [math]\displaystyle{ 2 \mid 2^n }[/math].

Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2} }[/math]

ma dokładnie jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math].

Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{4} }[/math]

ma dwa rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{4} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.

Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]

ma cztery rozwiązania, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math]. Rozwiązaniami są: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8} }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8} }[/math] kongruencja nie ma rozwiązań.

Twierdzenie J51
Niech [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math]

ma rozwiązanie.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ 2^n \mid (r^2 - a) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ 2^3 \mid (r^2 - a) }[/math]. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{2^3} }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{8} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^n} }[/math]

ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n} }[/math] i pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

Z założenia istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k }[/math], że [math]\displaystyle{ u^2_n - a = k \cdot 2^n }[/math]. Niech

[math]\displaystyle{ r = \begin{cases} 0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą} \\ 1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} \\ \end{cases} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ (u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ k + r }[/math] jest liczbą parzystą, a dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 2 n - 2 \geqslant n + 1 }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1} }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□

Wniosek J52
Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą, to kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 2 k + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 8 k + 1 }[/math] w zależności od tego, czy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math], czy [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math].

Uwaga J53
Niech [math]\displaystyle{ m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3 i J11) wynika, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z kongruencji

[math]\displaystyle{ \begin{align} x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\ & \,\,\,\cdots \\ x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\ \end{align} }[/math]

Z definicji J31, twierdzeń J49 i J51, uwagi J50 i wniosku J52 otrzymujemy

Twierdzenie J54
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

● dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ p }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1 }[/math]

● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 8 \mid ( a - 1 ) }[/math]

● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math], to [math]\displaystyle{ 4 \mid ( a - 1 ) }[/math]

Twierdzenie J55
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

nie ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z warunków

● jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika [math]\displaystyle{ d }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 8 \nmid ( a - 1 ) }[/math]

● jeżeli [math]\displaystyle{ 8 \nmid m }[/math], ale [math]\displaystyle{ 4 \mid m }[/math] i [math]\displaystyle{ 4 \nmid ( a - 1 ) }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Z założenia [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math]. Gdyby kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{m} }[/math]

miała rozwiązanie, to również kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \pmod{d} }[/math]

miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ d }[/math].

Punkty 2. i 3. wynikają wprost z twierdzenia J54.
□

Przykład J56
Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. W tabelach zestawiliśmy kongruencje i ich rozwiązania.

Kongruencje	Rozwiązania
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19} }[/math]	[math]\displaystyle{ 25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19} }[/math]	[math]\displaystyle{ 13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19} }[/math]	[math]\displaystyle{ 9, 29, 47, 67 }[/math]

Kongruencje	Rozwiązania
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{brak} }[/math]

Zadanie J57
Rozwiązać kongruencję, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą

[math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2, p) = 1 }[/math], to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ 4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]

Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ b }[/math], że [math]\displaystyle{ b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p} }[/math], zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 x + r \equiv \pm b \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p} }[/math]

Jeśli [math]\displaystyle{ r^2 - 4 s }[/math] nie jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to kongruencja

[math]\displaystyle{ (2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p} }[/math]

nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

również nie ma rozwiązania.
□

Zadanie J58
Rozwiązać kongruencję

[math]\displaystyle{ 5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

Rozwiązanie

Rozwiązywanie kongruencji w przypadku konkretnych wartości liczb [math]\displaystyle{ r, s }[/math] jest łatwiejsze niż w przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez [math]\displaystyle{ 4 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy [math]\displaystyle{ x }[/math]. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.

[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19} }[/math]

[math]\displaystyle{ (x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19} }[/math]

[math]\displaystyle{ x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19} }[/math]

Otrzymujemy: [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{19} }[/math] lub [math]\displaystyle{ x \equiv 13 \!\! \pmod{19} }[/math].

Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że

[math]\displaystyle{ x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19} }[/math]

□

Przypisy

↑ Wikipedia, Chińskie twierdzenie o resztach, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: Chinese remainder theorem
↑ Wikipedia, Logical equivalence, (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Symbol Legendre’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Symbol Jacobiego, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[CRT1-1] Wikipedia, Chińskie twierdzenie o resztach, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[CRT2-2] CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: Chinese remainder theorem

[logic1-3] Wikipedia, Logical equivalence, (Wiki-en)

[legendre1-4] Wikipedia, Symbol Legendre’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[jacobi1-5] Wikipedia, Symbol Jacobiego, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Różnica pomiędzy stronami "Ciągi liczbowe" i "CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego"

Wersja z 17:16, 16 mar 2024

Spis treści

Chińskie twierdzenie o resztach

Wielomiany

Twierdzenie Lagrange'a

Twierdzenie Wilsona

Twierdzenie Fermata

Twierdzenie Eulera

Kryterium Eulera

Symbol Legendre'a

Symbol Jacobiego

Rozwiązywanie kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">12.03.2022</div>
+<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div>
 __FORCETOC__
@@ Linia 5: / Linia 5: @@
-== Ciągi nieskończone ==
+== Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach ==
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C1</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/>
-Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli każdej liczbie <math>n</math> przypiszemy pewną liczbę rzeczywistą <math>a_n</math>, to powiemy, że liczby <math>a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math> tworzą ciąg nieskończony.
+Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja
+::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math>
+jest równoważna układowi kongruencji
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C2</span><br/>
+::<math>\begin{align}
-Ciąg nieskończony <math>a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots</math> będziemy oznaczać <math>(a_n)</math>. Często, o&nbsp;ile nie będzie prowadziło to do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywać po prostu ciągiem.
+ u &\equiv a \pmod{m} \\
+ u &\equiv a \pmod{n} \\
+\end{align}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C3</span><br/>
+Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
-Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Ciąg <math>(a_n)</math> będziemy nazywali
-::* ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \geqslant a_n</math>
-::* ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} \leqslant a_n</math>
-Ciągi rosnące dzielimy na
+<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
-:::* ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} > a_n</math>
-:::* ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>
-Ciągi malejące dzielimy na
+Z kongruencji
-:::* ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego <math>n</math> jest <math>a_{n + 1} < a_n</math>
-:::* ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie <math>n</math>, że <math>a_{n + 1} = a_n</math>
+::<math>u \equiv a \pmod{m}</math>
+wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z&nbsp;kongruencji
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C4</span><br/>
+::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>
-Niech <math>\varepsilon \in \mathbb{R}_+</math>. Liczbę <math>a</math> będziemy nazywali granicą ciągu <math>(a_n)</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon</math> w&nbsp;przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> znajdują się '''prawie wszystkie wyrazy ciągu''' <math>(a_n)</math> (to znaczy wszystkie poza co najwyżej skończoną ilością).
+otrzymujemy <math>n \mid (u - a)</math>, czyli <math>n \mid k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \mid k</math> (zobacz C74) i&nbsp;istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a&nbsp;stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C5</span><br/>
-) sens definicji jest taki: jeżeli liczba <math>a</math> jest granicą ciągu <math>(a_n)</math>, to dla dowolnie małego <math>\varepsilon > 0</math>, poza przedziałem <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> może się znaleźć co najwyżej skończona ilość wyrazów ciągu <math>(a_n)</math>
-) słabsze żądanie, aby w&nbsp;przedziale <math>(a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math> znajdowała się nieskończona ilość wyrazów ciągu nie prowadzi do poprawnej definicji granicy. Przykładowo, w&nbsp;przedziale <math>(1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon)</math> znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a_n = (-1)^n</math>, ale ani liczba <math>1</math>, ani liczba <math>- 1</math> nie są granicami tego ciągu. O&nbsp;ciągu <math>a_n = (- 1)^n</math> mówimy, że nie ma granicy.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/>
+Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i&nbsp;względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji
-) ze względu na równoważność warunków
+::<math>\begin{align}
+ c & \equiv a \pmod{m} \\
+ c & \equiv b \pmod{n} \\
+\end{align}</math>
-::* <math>\quad a_n \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-::* <math>\quad a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon</math>
+Z&nbsp;założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że
-::* <math>\quad - \varepsilon < a_n - a < \varepsilon</math>
-::* <math>\quad | a_n - a | < \varepsilon</math>
-definicja C4 może być wypowiedziana następująco
+::<math>m x + n y = 1</math>
+Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy
+::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C6</span><br/>
+::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math>
-Liczbę <math>a</math> będziemy nazywali granicą ciągu <math>(a_n)</math>, jeżeli dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> '''prawie wszystkie wyrazy ciągu''' <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>|a_n - a| < \varepsilon</math>.
+::<math>c \equiv a \pmod{m}</math>
+Natomiast modulo <math>n</math> mamy
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C7</span><br/>
+::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math>
-Ciąg <math>(a_n)</math> mający granicę (w rozumieniu definicji C4 lub C6) będziemy nazywali ciągiem zbieżnym, a&nbsp;fakt ten zapisujemy symbolicznie następująco
-::<math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;lub&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a_n \longrightarrow a</math>
+::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math>
-(od łacińskiego słowa ''limes'' oznaczającego granicę).
+::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>
+Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z&nbsp;założenia <math>m \mid (d - a)</math> i <math>m \mid (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \mid (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \mid (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \mid (d - c)</math> (zobacz C75), co oznacza, że
+::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.
-Zauważmy jeszcze, że wprost z&nbsp;definicji granicy wynika</br>
+Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i&nbsp;tak rozumiana jest dokładnie jedna. W&nbsp;szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C8</span><br/>
-::1. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \qquad \iff \qquad \lim_{n \to \infty} (a_n - a) = 0 \qquad \iff \qquad \lim_{n \to \infty} | a_n - a | = 0</math>
-::2. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \qquad \iff \qquad \lim_{n \to \infty} | a_n | = 0</math>
-::3. <math>\quad \lim_{n \to \infty} a_n = a \qquad \implies \qquad \lim_{n \to \infty} | a_n | = | a |</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Punkt 1.'''<br/>
-Prawdziwość twierdzenia wynika ze względu na identyczność warunków, które muszą spełniać prawie wszystkie wyrazy ciągu
-::<math>| a_n - a | < \varepsilon \qquad \iff \qquad | (a_n - a) - 0 | < \varepsilon \qquad \iff \qquad \big|| a_n - a | - 0 \big| < \varepsilon</math>
-'''Punkt 2.'''<br/>
-Jest to jedynie szczególny przypadek punktu 1. dla <math>a = 0</math>.
-'''Punkt 3.'''<br/>
-Dla dowolnych liczb <math>x, y \in \mathbb{R}</math> prawdziwa jest nierówność
-::<math>\big|| x | - | y | \big| \leqslant |x - y|</math>
-Wynika stąd, że jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_n)</math> spełniona jest nierówność <math>|a_n - a| < \varepsilon</math>, to tym bardziej prawdą jest, że <math>\big|| a_n | - | a |\big| < \varepsilon</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 96: / Linia 80: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C9 (twierdzenie o&nbsp;trzech ciągach)</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach)</span><br/>
-Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>n > N_0</math> jest spełniony warunek
+Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja
-::<math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>
-oraz
+::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math>
-::<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = g</math>
+jest równoważna układowi kongruencji
-to <math>\lim_{n \to \infty} x_n = g</math>.
+::<math>\begin{align}
+ u & \equiv a \pmod{m} \\
+ u & \equiv b \pmod{n} \\
+\end{align}</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Niech <math>\varepsilon</math> będzie dowolną, ustaloną liczbą większą od <math>0</math>. Z&nbsp;założenia prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>|a_n - g| < \varepsilon</math>. Możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu <math>N_a</math>. Podobnie prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(b_n)</math> spełniają warunek <math>|b_n - g| < \varepsilon</math> i&nbsp;podobnie możemy założyć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od wyrazu <math>N_b</math>
+Z&nbsp;twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji
-Nierówność <math>a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math> jest spełniona dla wszystkich wyrazów, poczynając od <math>N_0</math>, zatem oznaczając przez <math>M</math> największą z&nbsp;liczb <math>N_a</math>, <math>N_b</math>, <math>N_0</math>, możemy napisać, że o&nbsp;ile <math>n > M</math>, to spełnione są jednocześnie nierówności
+::<math>\begin{align}
+ c & \equiv a \pmod{m} \\
+ c & \equiv b \pmod{n} \\
+\end{align}</math>
-::* <math>\quad g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon\</math>
+Korzystając z&nbsp;tego rezultatu i&nbsp;twierdzenia J1, otrzymujemy
-::* <math>\quad g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon\</math>
-::* <math>\quad a_n \leqslant x_n \leqslant b_n</math>
-Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności
+::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
+\begin{array}{l}
+  u \equiv c \; \pmod{m} \\
+  u \equiv c \; \pmod{n} \\
+\end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
+\begin{array}{l}
+  u \equiv a \; \pmod{m} \\
+  u \equiv b \:\, \pmod{n} \\
+\end{array} </math>
-::<math>g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon</math>
+Co należało pokazać.<br/>
-Co oznacza, że dla <math>n > M</math> zachodzi
-::<math>g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon</math>
-Czyli prawie wszystkie wyrazy ciągu <math>(x_n)</math> spełniają warunek <math>|x_n - g| < \varepsilon</math>. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 130: / Linia 118: @@
-Bez dowodu podamy kilka ważnych twierdzeń.<br>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C10*</span><br/>
+Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w&nbsp;przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
-Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
-::<math>a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \leqslant M</math>
+::<math>\begin{align}
+ u &\equiv 1 \pmod{4} \\
+ u &\equiv 3 \pmod{8} \\
+\end{align}</math>
-to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny.<br/>
+nie może być zapisany w&nbsp;postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i&nbsp;nieparzystych ma postać
-'''Inaczej mówiąc: ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony od góry jest zbieżny.'''
+::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math>
+i nie może być <math>u \equiv 3 \!\! \pmod{8}</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C11*</span><br/>
-Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>n</math> i&nbsp;rzeczywista <math>M</math>, że dla każdego <math>k > n</math> jest
-::<math>a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad</math> oraz <math>\qquad a_k \geqslant M</math>
-to ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny.<br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/>
-'''Inaczej mówiąc: ciąg malejący i&nbsp;ograniczony od dołu jest zbieżny.'''
+Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>) taka, że układ kongruencji
+::<math>\begin{align}
+ u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
+   & \cdots \\
+ u & \equiv a_k \pmod{m_k} \\
+\end{align}</math>
+można zapisać w&nbsp;sposób równoważny w&nbsp;postaci kongruencji
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C12*</span><br/>
+::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math>
-Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = a</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty} b_n = b</math>, gdzie <math>a, b</math> są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to
-# <math>\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-# <math>\quad \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b</math>
+Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej <math>k \geqslant 2</math>, dla liczby <math>k + 1</math> otrzymujemy układ kongruencji
-Jeżeli dodatkowo dla każdego <math>n</math> jest <math>b_n \neq 0</math> i <math>b \neq 0</math>, to
-:&nbsp;&nbsp;3. <math>\quad \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C13</span><br/>
-Jeżeli <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>, zaś ciąg <math>(x_n)</math> jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba <math>M > 0</math>, że dla każdej wartości <math>n</math> prawdziwa jest nierówność <math>| x_n | < M</math>, to
-::<math>\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot a_n) = 0</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Wystarczy pokazać, że (zobacz twierdzenie C8 p.2)
-::<math>\lim_{n \to \infty} |x_n \cdot a_n| = 0</math>
-Z założenia prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>0 \leqslant |x_n \cdot a_n| \leqslant |a_n| \cdot M</math>
+::<math>\begin{align}
+ u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\
+ u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} \\
+\end{align}</math>
-Zatem z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że
+gdzie skorzystaliśmy z&nbsp;założenia indukcyjnego. Z&nbsp;twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w&nbsp;sposób równoważny w&nbsp;postaci kongruencji
-::<math>\lim_{n \to \infty} |x_n \cdot a_n| = 0</math>
+::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math>
-Co kończy dowód.<br/>
+gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i&nbsp;jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 187: / Linia 165: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C14</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/>
-Dla <math>a \geqslant 0</math> i <math>n \geqslant 1</math> prawdziwa jest nierówność
+Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a&nbsp;kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
-::<math>(1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
+::<math>\begin{align}
+ n &\equiv 3 \pmod{5} \\
+ n &\equiv 4 \pmod{7} \\
+\end{align}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w&nbsp;postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z&nbsp;PARI/GP. Wpisując proste polecenie
-Wzór jest prawdziwy dla <math>a = 0</math>. Zakładając, że <math>a > 0</math> i&nbsp;korzystając ze wzoru dwumianowego, mamy dla <math>n \geqslant 1</math>
-::<math>\left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] \geqslant</math>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span>
-:::::<math>\;\; \geqslant \sum_{k=0}^{1}\left [\binom{n}{k} \cdot \left ( \frac{a}{n} \right )^k \right ] =</math>
-:::::<math>\;\; = 1 + n \cdot \frac{a}{n} =</math>
-:::::<math>\;\; = 1 + a</math>
-Co należało pokazać.<br/>
+uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C15</span><br/>
-Jeżeli <math>A > 0</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Dla <math>A > 1</math> możemy napisać <math>A = 1 + a</math>, gdzie <math>a > 0</math>, wtedy z&nbsp;twierdzenia C14 otrzymujemy
-::<math>1 < \sqrt[n]{A} = (1 + a)^{1 / n} \leqslant 1 + \frac{a}{n}</math>
-Z twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach dostajemy natychmiast (dla <math>A > 1</math>)
-::<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = 1</math>
-W przypadku gdy <math>0 < A < 1</math>, możemy napisać <math>A = \frac{1}{B}</math>, gdzie <math>B > 1</math>, wtedy ze względu na udowodniony wyżej rezultat <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{B} = 1</math>
+::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math>
-::<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{B}} = \frac{1}{\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \sqrt[n]{B}} = 1</math>
+Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>.
-Jeżeli <math>A = 1</math>, to <math>\sqrt[n]{A} = 1</math> dla każdego <math>n \geqslant 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
+Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\begin{align}
+ n &\equiv 1 \pmod{2} \\
+ n &\equiv 2 \pmod{3} \\
+ n &\equiv 3 \pmod{5} \\
+ n &\equiv 4 \pmod{7} \\
+ n &\equiv 5 \pmod{11} \\
+\end{align}</math>
+to argumenty należy zapisać w&nbsp;postaci wektora
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C16</span><br/>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span>
-Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciągu ciągu <math>(a_n)</math> spełniają warunek <math>0 < m < a_n < M</math>, to <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>.
-Z założenia dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>(a_n)</math> jest
-::<math>0 < m \leqslant a_n \leqslant M</math>
-Zatem dla prawie wszystkich wyrazów ciągu <math>a_n</math> mamy
-::<math>\sqrt[n]{m} \leqslant \sqrt[n]{a_n} \leqslant \sqrt[n]{M}</math>
-Z twierdzenia C15 wiemy, że <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1</math>, zatem na podstawie twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach otrzymujemy natychmiast <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1</math><br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+== Wielomiany ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/>
+Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w&nbsp;postaci
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C17</span><br/>
+::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
-Następujące ciągi są silnie rosnące i&nbsp;zbieżne
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
+gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a&nbsp;współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe.
-|- style=height:4em
-| <math>\quad 1. \quad</math> || <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e = 2.718281828 \ldots</math>
-|- style=height:4em
-| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} = 0.367879441 \ldots</math>
-|}
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Punkt 1'''<br/>
+Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Zauważmy, że
-W twierdzeniu A6 pokazaliśmy, że ciąg
-::<math>a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>
-jest silnie rosnący i&nbsp;ograniczony od góry. Zatem z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że jest zbieżny. Liczbę będącą granicą tego ciągu oznaczamy literą <math>e</math>, jest ona podstawą logarytmu naturalnego.
-'''Punkt 2'''<br/>
-Pokażemy najpierw, że ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math> jest silnie rosnący. Musimy pokazać, że prawdziwa jest nierówność
-::<math>\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} > \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math>
-Łatwo sprawdzamy prawdziwość nierówności dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz, że <math>n \geqslant 2</math>. Przekształcając,
-::<math>\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1} > \left( \frac{n - 1}{n} \right)^n</math>
-::<math>\frac{n}{n + 1} \cdot \left( \frac{n}{n + 1} \right)^n \cdot \left( \frac{n}{n - 1} \right)^n > 1</math>
-::<math>\left( \frac{n^2}{n^2 - 1} \right)^n > \frac{n + 1}{n}</math>
-otrzymujemy nierówność równoważną,
-::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > 1 + \frac{1}{n}</math>
-którą już łatwo udowodnić, bo
+::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math>
-::<math>\left( 1 + \frac{1}{n^2 - 1} \right)^n > \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \cdot \left( \frac{1}{n^2} \right)^k > \sum_{k = 0}^{1} \binom{n}{k} \cdot \frac{1}{n^{2k}} = 1 + \frac{1}{n}</math>
+::::::<math>\quad \; = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math>
-Ponieważ dla każdego <math>n \geqslant 1</math> jest <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \leqslant 1</math> (bo iloczyn liczb mniejszych od <math>1</math> nie może być liczbą większą do jedności), to z&nbsp;twierdzenia C10 wynika, że ciąg ten jest zbieżny. Zatem możemy napisać
+Dla <math>k \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór
-::<math>\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = g</math>
+::<math>x^k - s^k = (x - s) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math>
-Rozważmy teraz iloczyn wypisanych w&nbsp;twierdzeniu ciągów
+::::<math>\;\,\, = (x - s) (x^{k - 1} + s x^{k - 2} + \ldots + s^{k - 2} x + s^{k - 1})</math>
-::<math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n = \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n}</math>
+::::<math>\;\,\, = (x - s) U^{(k)} (x)</math>
-Łatwo widzimy, że ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2}</math> jest podciągiem ciągu <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math>, zatem jest ograniczony i&nbsp;dla <math>n \geqslant 2</math> spełniony jest układ nierówności
+Gdzie przez <math>U^{(k)} (x) = \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} s^{j - 1}</math> oznaczyliśmy wielomian, którego stopień jest równy <math>k - 1</math>. Zatem możemy napisać
-::<math>0 < \left( \frac{3}{4} \right)^4 \leqslant \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \leqslant 1</math>
+::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} a_k U^{(k)} (x)</math>
-Z twierdzenia C16 dostajemy
+Suma wypisana po prawej stronie jest pewnym wielomianem <math>V_{n - 1} (x)</math>. Ponieważ ze wszystkich wielomianów <math>a_k U^{(k)} (x)</math>, wielomian <math>a_n U^{(n)} (x)</math> ma największy stopień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>. Czyli
-::<math>\lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
+::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
-Z twierdzenia C12 p. 2 wynika natychmiast, że
+Niech <math>V_{n - 1} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy
-::<math>e \cdot g = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \right] = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} \right]^{1 / n} = 1</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>
-Zatem <math>g = \frac{1}{e}</math>.<br/>
+Porównując wyrazy o&nbsp;największym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 311: / Linia 245: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C18</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J8</span><br/>
-Dla <math>n \geqslant 2</math> prawdziwe są następujące nierówności
+Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>.
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
-|- style=height:4em
-| <math>\quad 1. \quad</math> || <math> \frac{1}{n + 1} < \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}</math>
-|- style=height:4em
-| <math>\quad 2. \quad</math> || <math>- \frac{1}{n - 1} < \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - \frac{1}{n}</math>
-|}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Ponieważ ciąg <math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math> jest silnie rosnący, to
-::<math>\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n < e</math>
-Logarytmując powyższą nierówność, mamy
-::<math>n \cdot \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < 1</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/>
+Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony.
-Stąd wynika natychmiast, że
-::<math>\log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J10</span><br/>
+Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \!\! \pmod{m}</math>, to
-Ponieważ ciąg <math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n</math> również jest silnie rosnący, to postępując analogicznie, dostajemy
+::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
-::<math>\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n < \frac{1}{e}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
-::<math>n \cdot \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - 1</math>
+::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math>
-::<math>\log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) < - \frac{1}{n}</math>
+Z założenia <math>m \mid (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \mid (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
+::<math>\begin{align}
+  a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\
+  a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\
+  a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\
+   & \cdots \\
+  a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} \\
+\end{align}</math>
-Przekształcając otrzymane wzory, otrzymujemy
+Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
-::<math>- \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n + 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n + 1} \right) = \log \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) < - \frac{1}{n + 1}</math>
+::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
-oraz
+Co należało pokazać.<br/>
-::<math>- \log \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = - \log \left( \frac{n - 1}{n} \right) = \log \left( \frac{n}{n - 1} \right) = \log \left( 1 + \frac{1}{n - 1} \right) < \frac{1}{n - 1}</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 356: / Linia 285: @@
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J11</span><br/>
+Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
+::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math>
-== Liczby pierwsze w&nbsp;ciągach arytmetycznych ==
+gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C19</span><br/>
-Każda liczba naturalna <math>n \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą lub iloczynem liczb pierwszych.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/>
-Przypuśćmy, że istnieją liczby naturalne większe od <math>1</math>, które nie są liczbami pierwszymi ani nie są iloczynami liczb pierwszych. Niech <math>m</math> oznacza najmniejszą<ref name="WellOrdering"/> z&nbsp;takich liczb. Z&nbsp;założenia <math>m</math> nie jest liczbą pierwszą, zatem <math>m</math> może być zapisana w&nbsp;postaci <math>m = a \cdot b</math>, gdzie liczby <math>a, b</math> są liczbami naturalnymi mniejszymi od <math>m</math>.
-Ponieważ <math>m</math> jest najmniejszą liczbą naturalną, która nie jest liczbą pierwszą ani nie jest iloczynem liczb pierwszych, to liczby <math>a</math> i <math>b</math> muszą być liczbami złożonymi, ale jako mniejsze od <math>m</math> są one iloczynami liczb pierwszych, zatem i&nbsp;liczba <math>m</math> musi być iloczynem liczb pierwszych.
-Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie jest fałszywe.
+Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
+::<math>\begin{align}
+  W (x) &\equiv 0 \pmod{m} \\
+  W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \\
+\end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math>
-<span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/>
+Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z&nbsp;kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania.
-Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest oczywiście prawdziwe dla <math>n = 2</math>.
-Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla '''wszystkich''' liczb naturalnych <math>k \in [2, n]</math>, dla liczby <math>n + 1</math> mamy dwie możliwości
-* <math>n + 1</math> jest liczbą pierwszą (wtedy twierdzenie jest prawdziwe w&nbsp;sposób oczywisty)
+Załóżmy, że każda z&nbsp;kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i&nbsp;niech
-* <math>n + 1</math> jest liczbą złożoną wtedy, <math>n + 1 = a b</math>, gdzie <math>1 < a, b < n + 1</math>; zatem na podstawie założenia indukcyjnego liczby <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami pierwszymi lub iloczynami liczb pierwszych, czyli <math>n + 1 = a b</math> jest iloczynem liczb pierwszych.
-Co należało pokazać.<br/>
+:* <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
-&#9633;
+:* <math>x \equiv b \!\! \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n}</math>
-{{\Spoiler}}
+Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
+::<math>\begin{align}
+ x &\equiv a \pmod{m} \\
+ x &\equiv b \pmod{n} \\
+\end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C20 (Euklides, IV w. p.n.e.)</span><br/>
+Z chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w&nbsp;postaci równoważnej
-Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math>
-Przypuśćmy, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> . Wtedy liczba <math>a = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1</math> jest większa od jedności i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia C19 wynika, że posiada dzielnik będący liczbą pierwszą, ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>a</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>p</math> będąca dzielnikiem pierwszym liczby <math>a</math> i&nbsp;różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>. Co kończy dowód.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z&nbsp;twierdzenia J10 mamy
+::<math>\begin{align}
+  W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\
+  W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} \\
+\end{align}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C21</span><br/>
+ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
-Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>4 k + 3</math><ref name="LiczbaJestPostaci"/>, to ma dzielnik postaci <math>4 k + 3</math> będący liczbą pierwszą.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
-Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy zatem sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;założenia <math>n</math> jest liczbą nieparzystą, zatem możliwe są trzy typy iloczynów
-::<math>(4 a + 1) (4 b + 1) = 16 a b + 4 a + 4 b + 1 = 4 (4 a b + a + b) + 1</math>
+Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>.
-::<math>(4 a + 1) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 4 b + 3 = 4 (4 a b + 3 a + b) + 3</math>
+Podsumujmy: jeżeli kongruencje
-::<math>(4 a + 3) (4 b + 3) = 16 a b + 12 a + 12 b + 9 = 4 (4 a b + 3 a + 3 b + 2) + 1</math>
+::<math>\begin{align}
+  W (x) &\equiv 0 \pmod{m} \\
+  W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \\
+\end{align}</math>
-Widzimy, że liczba złożona postaci <math>4 k + 3</math> jest iloczynem liczb postaci <math>4 k + 1</math> i <math>4 k + 3</math>. Wynika stąd natychmiast, że liczba złożona postaci <math>4 k + 3</math> posiada dzielnik postaci <math>4 k + 3</math>. Niech <math>q</math> oznacza najmniejszy dzielnik liczby <math>n</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Pokażemy, że <math>q</math> jest liczbą pierwszą. Istotnie, gdyby <math>q</math> była liczbą złożoną, to miałaby dzielnik <math>d</math> postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;byłoby <math>d < q</math>, wbrew założeniu, że <math>q</math> jest najmniejszym dzielnikiem liczby <math>n</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Co kończy dowód.<br/>
+mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i&nbsp;istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C22</span><br/>
-Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci <math>4 k + 3</math>. Niech będą to liczby <math>p_1, \ldots, p_s</math>. Liczba
-::<math>M = 4 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 4 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 3</math>
-jest postaci <math>4 k + 3</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C21, ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Ale jak łatwo zauważyć, żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>4 k + 3</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
+== Twierdzenie Lagrange'a ==
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J12</span><br/>
+Kongruencja
+::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C23</span><br/>
+gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>.
-Jeżeli liczba naturalna <math>n</math> jest postaci <math>6 k + 5</math>, to ma dzielnik postaci <math>6 k + 5</math> będący liczbą pierwszą.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione. Zbadajmy sytuację gdy <math>n</math> jest liczbą złożoną. Z&nbsp;twierdzenia C19 wiemy, że w&nbsp;tym przypadku liczba <math>n</math> będzie iloczynem liczb pierwszych. Zauważmy, że nieparzyste liczby pierwsze mogą być jedynie postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math> (liczba <math>6 k + 3</math> jest liczbą złożoną). Ponieważ iloczyn liczb postaci <math>6 k + 1</math>
-::<math>(6 a + 1) (6 b + 1) = 36 a b + 6 a + 6 b + 1 = 6 (6 a b + a + b) + 1</math>
+'''A. Istnienie rozwiązania'''
-jest liczbą postaci <math>6 k + 1</math>, to w&nbsp;rozkładzie liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze musi pojawić się przynajmniej jeden czynnik postaci <math>6 k + 5</math>. Co kończy dowód.<br/>
+Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z&nbsp;twierdzenia C76. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C73 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy
+::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C24</span><br/>
+Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy
-Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Przypuśćmy, że istnieje tylko skończona ilość liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math>. Niech będą to liczby <math>p_1, \ldots, p_s</math>. Liczba
-::<math>M = 6 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1 = 6 (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s - 1) + 5</math>
+Zatem
-jest postaci <math>6 k + 5</math> i&nbsp;jak wiemy z&nbsp;twierdzenia C23 ma dzielnik pierwszy <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math>. Ale jak łatwo zauważyć żadna z&nbsp;liczb <math>p_1, \ldots, p_s</math> nie dzieli liczby <math>M</math>. Zatem istnieje liczba pierwsza <math>q</math> postaci <math>6 k + 5</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math>. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
+::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+'''B. Brak innych rozwiązań'''
+Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C25</span><br/>
+::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>3 k + 2</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy
-Jeżeli <math>k = 2 j</math> jest liczbą parzystą, to otrzymujemy ciąg liczb parzystych
-::<math>3 k + 2 = 6 j + 2</math>
+::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math>
-w którym jedynie liczba <math>2</math> jest liczbą pierwszą (dla <math>j = 0</math>).
+Czyli
-Jeżeli <math>k = 2 j + 1</math> jest liczbą nieparzystą, to otrzymujemy ciąg liczb nieparzystych
+::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math>
-::<math>3 k + 2 = 3 (2 j + 1) + 2 = 6 j + 5</math>
+::<math>p \mid a_1 (x_1 - x_2)</math>
-o którym wiemy, że zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (zobacz twierdzenie C24). Zatem w&nbsp;ciągu arytmetycznym postaci <math>3 k + 2</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.<br/>
+Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z&nbsp;lematu Euklidesa (C74) otrzymujemy natychmiast <math>p \mid (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 475: / Linia 394: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C26</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/>
-Zauważmy, że liczby postaci <math>2 k + 1</math> to wszystkie liczby nieparzyste dodatnie. Ponieważ wszystkie liczby pierwsze (poza liczbą <math>2</math>) są liczbami nieparzystymi, to wśród liczb postaci <math>2 k + 1</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
+Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja
+::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Wszystkie omówione wyżej przypadki ciągów arytmetycznych: <math>2 k + 1</math>, <math>3 k + 2</math>, <math>4 k + 3</math> i <math>6 k + 5</math>, w&nbsp;których występuje nieskończona ilość liczb pierwszych są szczególnymi przypadkami udowodnionego w 1837 roku twierdzenia<br/>
+ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Indukcja matematyczna. Z&nbsp;J12 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja
+::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C27* (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1837)</span><br/>
+nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia J7, możemy napisać
-Niech <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
+::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
+gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C28</span><br/>
-Dowód twierdzenia Dirichleta jest bardzo trudny. Natomiast bardzo łatwo można pokazać, że dowolny ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math> zawiera nieskończenie wiele liczb złożonych. Istotnie, jeżeli liczby <math>a, b</math> nie są względnie pierwsze, to wszystkie wyrazy ciągu są liczbami złożonymi. Jeżeli <math>a, b</math> są względnie pierwsze i <math>b > 1 ,</math> to wystarczy przyjąć <math>k = b t</math>. Jeżeli są względnie pierwsze i <math>b = 1</math>, to wystarczy przyjąć <math>k = a t^2 + 2 t</math>, wtedy
-::<math>a k + 1 = a^2 t^2 + 2 a t + 1 = (a t + 1)^2</math>
+Z założenia <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math> jest jednym z&nbsp;pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy
+::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
+Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z&nbsp;rozpatrywanej kongruencji
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C29</span><br/>
+::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Wiemy już, że w przypadku gdy liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Pojawia się pytanie o to, czy możliwe jest oszacowanie najmniejszej liczby pierwszej <math>p</math> w takim ciągu. Jakkolwiek przypuszczamy, że prawdziwe jest oszacowanie <math>p < a^2</math>, to stan naszej obecnej wiedzy ujmuje twierdzenie Linnika<ref name="Linnik1"/><ref name="Linnik2"/><ref name="Linnik3"/><ref name="Linnik4"/>, które podajemy niżej. Trzeba było ponad pół wieku wysiłku wielu matematyków, aby pokazać, że w twierdzeniu Linnika możemy przyjąć <math>L = 5</math><ref name="Xylouris1"/>. Bombieri, Friedlander i Iwaniec udowodnili<ref name="Bombieri1"/>, że dla prawie wszystkich liczb <math>a</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>L \leqslant 2</math>.
+wynika, że musi być (zobacz C74)
+::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C30* (Jurij Linnik, 1944)</span><br/> Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p_{\min} (a, b)</math> oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>\gcd (a, b) = 1</math> i <math>b \in [1, a - 1]</math>, to istnieją takie stałe <math>L > 0</math> i <math>a_0 \geqslant 2</math>, że dla wszystkich <math>a > a_0</math> prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>p_{\min} (a, b) < a^L</math>
+Z założenia indukcyjnego kongruencja
+::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
+ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C31</span><br/>
+::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Pokazać, że z twierdzenia Linnika wynika istnienie takich stałych <math>c, L > 0</math>, że dla każdego <math>a \geqslant 2</math> prawdziwe jest oszacowanie
-::<math>p(a) < c a^L</math>
+ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-gdzie
-::<math>p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b < a}} p_{\min} (a, b)</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14</span><br/>
-Oszacowanie podane w twierdzeniu Linnika
+Jeżeli kongruencja
-::<math>p_{\min} (a, b) < a^L</math>
+::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
-jest prawdziwe dla dowolnej liczby <math>b \in [1, a - 1]</math> względnie pierwszej z <math>a</math>. Jeżeli zdefiniujemy funkcję
+ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>.
-::<math>p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b < a}} p_{\min} (a, b)</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i
-to możemy zapisać twierdzenie Linnika tak, aby po lewej stronie nie występowała liczba <math>b</math>, co czyni zapis bardziej przejrzystym. Mamy
+::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
-::<math>p(a) < a^L</math>
+Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest
-dla wszystkich <math>a > a_0</math>. Ponieważ dla <math>a \in [2, a_0]</math> funkcja <math>p(a)</math> przyjmuje wartości skończone, a dla <math>a > a_0</math> jest <math>p(a) < a^L</math>, to funkcja <math>{\small\frac{p (a)}{a^L}}</math> jest ograniczona od góry, czyli istnieje taka stała <math>c</math>, że
+::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
-::<math>{\small\frac{p (a)}{a^L}} < c</math>
+bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>.
-dla dowolnego <math>a \geqslant 2</math>. Co należało pokazać.<br/>
+W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z&nbsp;twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 537: / Linia 464: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C32</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J15</span><br/>
-Pokazaliśmy (zobacz C31), że istnieją takie stałe <math>c, L > 0</math>, że dla każdego <math>a \geqslant 2</math> prawdziwe jest oszacowanie
+Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
-::<math>p(a) < c a^L</math>
+::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
-gdzie
+ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W&nbsp;rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z&nbsp;twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest
-::<math>p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b < a}} p_{\min} (a, b)</math>
+::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math>
-Ponieważ <math>p(a) > a</math>, to prawdziwy jest ciąg nierówności
-::<math>1 < {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} < {\small\frac{\log c}{\log a}} + L \leqslant \left| {\small\frac{\log c}{\log a}} \right| +
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/>
+Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i
-L \leqslant {\small\frac{\left| \log c \right|}{\log 2}} + L</math>
+::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math>
-Wynika stąd, że dla <math>a \geqslant 2</math> funkcja <math>{\small\frac{\log p (a)}{\log a}}</math> jest ograniczona.
+Ponieważ <math>x^5 \equiv x \!\! \pmod{5}</math>, to
+::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math>
-Na zamieszczonym niżej obrazku przedstawiono pierwszych czternaście punktów funkcji <math>{\small\frac{\log p (a)}{\log a}}</math>. Ze względu na skokowy charakter zmian tej funkcji najwygodniej będzie przedstawić jej wykres, pokazując jedynie jej maksymalne i minimalne wartości w wybranych podprzedziałach <math>\mathbb{Z}_+</math>. Mówiąc precyzyjnie, zamieszczone zostały wykresy funkcji
+Co wynika również z&nbsp;faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w&nbsp;postaci
-::<math>f(t) = \max_{2^t \leqslant a < 2^{t + 1}} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \qquad \qquad \qquad \qquad g(t) = \min_{2^t \leqslant a < 2^{t + 1}} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \qquad \qquad \qquad \qquad h(a) = 1 + {\small\frac{2 \log \log a}{\log a}}</math>
+::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math>
-gdzie <math>t \in \mathbb{Z}_+</math>.
+ale <math>x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata.
-::[[File: Linnik-22.png|950px|none]]
+W PARI/GP polecenie
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod i dane do wykresu|Hide=Ukryj kod i dane do wykresu}}
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">Mod(x^15 + 11*x^11 + 5*x^5 + 2*x^2 + x + 1, x^5 - x)</span>
-W tabeli przedstawiamy dane, na podstawie których sporządziliśmy zamieszczony wyżej wykres. Mamy kolejno
-:* przedział <math>U</math>
-:* minimalną wartość <math>\small{\frac{\log p(a)}{\log a}}</math> w przedziale <math>U</math>
-:* liczbę <math>a</math>, która odpowiada minimalnej wartości <math>\small{\frac{\log p(a)}{\log a}}</math>
-:* wartość <math>p(a) = \underset{\gcd (a, b) = 1}{\max_{1 \leqslant b < a}} p_{\min} (a, b)</math>
-:* liczbę <math>b</math> taką, że najmniejsza liczba pierwsza w ciągu <math>a k + b</math> jest równa <math>p ( a )</math>
-Następnie podajemy analogiczne wartości dla maksymalnej wartości <math>\small{\frac{\log p(a)}{\log a}}</math> w przedziale <math>U</math>. Pominęliśmy dane dla początkowych przedziałów <math>[2^{n},2^{n + 1})</math>, ponieważ Czytelnik z łatwością policzy je samodzielnie. Prosty kod do obliczeń w PARI/GP zamieściliśmy pod tabelą.
+znajduje resztę z dzielenia wielomianu <math>x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math> przez wielomian <math>x^5 - x</math>. Tutaj otrzymujemy
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 85%; text-align: right; margin-right: auto;"
+  <span style="font-size: 90%; color:black;">Mod(12*x^3 + 2*x^2 + 6*x + 1, x^5 - x)</span>
-|-
-! <math>\boldsymbol{U}</math> || <math>\boldsymbol{\min_{a \in U} \small{\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math> || <math>\boldsymbol{a}</math> || <math>\boldsymbol{p(a)}</math> || <math>\boldsymbol{b}</math> || <math>\boldsymbol{\max_{a \in U} \small{\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math> || <math>\boldsymbol{a}</math> || <math>\boldsymbol{p(a)}</math> || <math>\boldsymbol{b}</math>
-|-
-| <math>[2^{12},2^{13})</math> || <math>1.273691</math> || <math>6840</math> || <math>76679</math> || <math>1439</math> || <math>1.574826</math> || <math>4177</math> || <math>503771</math> || <math>2531</math>
-|-
-| <math>[2^{13},2^{14})</math> || <math>1.265227</math> || <math>14490</math> || <math>183949</math> || <math>10069</math> || <math>1.551307</math> || <math>8941</math> || <math>1348387</math> || <math>7237</math>
-|-
-| <math>[2^{14},2^{15})</math> || <math>1.257880</math> || <math>20790</math> || <math>269987</math> || <math>20507</math> || <math>1.519764</math> || <math>22133</math> || <math>4012709</math> || <math>6636</math>
-|-
-| <math>[2^{15},2^{16})</math> || <math>1.247285</math> || <math>39270</math> || <math>537157</math> || <math>26647</math> || <math>1.500736</math> || <math>40951</math> || <math>8352037</math> || <math>38984</math>
-|-
-| <math>[2^{16},2^{17})</math> || <math>1.244884</math> || <math>106260</math> || <math>1808207</math> || <math>1787</math> || <math>1.477806</math> || <math>84229</math> || <math>19005359</math> || <math>53834</math>
-|-
-| <math>[2^{17},2^{18})</math> || <math>1.243658</math> || <math>150150</math> || <math>2740469</math> || <math>37769</math> || <math>1.474387</math> || <math>132331</math> || <math>35588503</math> || <math>123795</math>
-|-
-| <math>[2^{18},2^{19})</math> || <math>1.233771</math> || <math>510510</math> || <math>11024723</math> || <math>304013</math> || <math>1.457138</math> || <math>297491</math> || <math>94537921</math> || <math>233274</math>
-|-
-| <math>[2^{19},2^{20})</math> || <math>1.233150</math> || <math>1021020</math> || <math>25706531</math> || <math>181031</math> || <math>1.437418</math> || <math>596081</math> || <math>200230391</math> || <math>543256</math>
-|-
-| <math>[2^{20},2^{21})</math> || <math>1.231259</math> || <math>2072070</math> || <math>59859383</math> || <math>1841423</math> || <math>1.419752</math> || <math>1181311</math> || <math>418069567</math> || <math>1066784</math>
-|-
-| <math>[2^{21},2^{22})</math> || <math>1.224444</math> || <math>3543540</math> || <math>104573173</math> || <math>1810513</math> || <math>1.405843</math> || <math>2753747</math> || <math>1131160207</math> || <math>2123937</math>
-|}
- <span style="font-size: 90%; color:black;">pmin(a, b) =
- \\ zwraca najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu a*k + b, gdzie k >= 1 i gcd(a, b) = 1
- {
- '''local'''(k, p);
- k = 1;
- p = a*k + b;
- '''while'''( !'''isprime'''(p), p = a*(k++) + b );
- '''return'''(p);
- }</span>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">PMAX(a) =
- \\ zwraca największą ze wszystkich najmniejszych liczb pierwszych
- \\ w ciągach a*k + b, gdzie k >= 1, 0 < b < a i gcd(a, b) = 1
- {
- '''local'''(b, p, w);
- w = [0, 0];
- b = 0;
- '''while'''( b++ < a,
-        '''if'''( '''gcd'''(a, b) > 1, '''next'''() );
-        p = pmin(a, b);
-        '''if'''( w[1] < p, w = [p, b] );
-      );
- '''return'''(w);
- }</span>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">Linnik(n) =
- \\ n >= 1, sprawdzamy przedział U = [ 2^n , 2^(n + 1) ), czyli  2^n <= a < 2^(n+1)
- {
- '''local'''(a, b, p4a, sep, txt, w, y, Ymin, Ymax);
- sep = ", "; \\ separator
- Ymin = [100, 1, 0, 0]; \\ najmniejsza wartość funkcji log( p(a) ) / log(a) w przedziale U
- Ymax = [0, 1, 0, 0]; \\ największa wartość funkcji log( p(a) ) / log(a) w przedziale U
- a = 2^n - 1;
- '''while'''( a++ < 2^(n+1),
-        w = PMAX(a);
-        p4a = w[1];
-        b = w[2];
-        y = '''log'''(p4a) / '''log'''(a);
-        if( y < Ymin[1], Ymin = [y, a, p4a, b] );
-        if( y > Ymax[1], Ymax = [y, a, p4a, b] );
-      );
- txt = '''Str'''(n, sep, Ymin[1], sep, Ymin[2], sep, Ymin[3], sep, Ymin[4], sep, Ymax[1], sep, Ymax[2], sep, Ymax[3], sep, Ymax[4]);
- '''print'''(txt);
- }</span>
-{{\Spoiler}}
-Przypuszczamy, że prawdziwe jest znacznie silniejsze oszacowanie najmniejszej liczby pierwszej w ciągu arytmetycznym<ref name="Turan1"/><ref name="Wagstaff1"/>
-::<math>p(a) \sim a \log^2 \! a</math>
+== Twierdzenie Wilsona ==
-W takim przypadku mielibyśmy
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J17 (John Wilson, 1770)</span><br/>
+Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
-::<math>{\small\frac{\log p (a)}{\log a}} \sim 1 + {\small\frac{2 \log \log a}{\log a}}</math>
+::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
-Rzeczywiście, porównanie wykresów funkcji <math>f(t)</math> i <math>h(a)</math> wydaje się potwierdzać to przypuszczenie dla <math>a \in [2, 2^{22}]</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \mid p ,</math> to prawdziwa jest kongruencja
-W tabeli zestawiliśmy wszystkie wartości funkcji <math>{\small\frac{\log p (a)}{\log a}}</math> większe od <math>1.75</math> dla <math>a \in [2, 2^{22}]</math>
+::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
+czyli
-|-
-! <math>\boldsymbol{a}</math> || <math>\boldsymbol{\log_2 \! a}</math> || <math>\boldsymbol{p(a)}</math> || <math>\boldsymbol{{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math>
-|-
-| <math>31</math> || <math>4.95</math> || <math>577</math> || <math>1.851446</math>
-|-
-| <math>5</math> || <math>2.32</math> || <math>19</math> || <math>1.829482</math>
-|-
-| <math>13</math> || <math>3.70</math> || <math>103</math> || <math>1.806947</math>
-|-
-| <math>47</math> || <math>5.55</math> || <math>967</math> || <math>1.785437</math>
-|-
-| <math>19</math> || <math>4.24</math> || <math>191</math> || <math>1.783794</math>
-|-
-| <math>61</math> || <math>5.93</math> || <math>1511</math> || <math>1.780771</math>
-|-
-| <math>11</math> || <math>3.46</math> || <math>71</math> || <math>1.777675</math>
-|-
-| <math>3</math> || <math>1.58</math> || <math>7</math> || <math>1.771243</math>
-|}
+::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math>
+co jest niemożliwe.
-Rozważmy zbiór <math>S</math> takich liczb <math>a</math>, że prawdziwe jest oszacowanie <math>p (a) < a \log^2 \! a</math>. Bez trudu możemy podać przykłady takich liczb, ale nie wiemy, czy jest ich nieskończenie wiele.
+<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 80%; text-align: center; margin-right: auto;"
+Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
-|-
-! <math>\boldsymbol{n}</math> || <math>\boldsymbol{a=p_1 \cdot \ldots \cdot p_n}</math> || <math>\boldsymbol{\log_2 \! a}</math> || <math>\boldsymbol{p(a)}</math> || <math>\boldsymbol{{\small\frac{a \log^2 \! a}{p(a)}}}</math> || <math>\boldsymbol{{\small\frac{\log p(a)}{\log a}}}</math>
-|-
-| <math>2</math> || <math>6</math> || <math>2.584</math> || <math>11</math> || <math>1.751</math> || <math>1.338290</math>
-|-
-| <math>3</math> || <math>30</math> || <math>4.906</math> || <math>79</math> || <math>4.392</math> || <math>1.284679</math>
-|-
-| <math>4</math> || <math>210</math> || <math>7.714</math> || <math>761</math> || <math>7.889</math> || <math>1.240789</math>
-|-
-| <math>5</math> || <math>2310</math> || <math>11.173</math> || <math>20477</math> || <math>6.766</math> || <math>1.281737</math>
-|-
-| <math>6</math> || <math>30030</math> || <math>14.874</math> || <math>520547</math> || <math>6.132</math> || <math>1.276692</math>
-|-
-| <math>7</math> || <math>510510</math> || <math>18.961</math> || <math>11024723</math> || <math>7.999</math> || <math>1.233770</math>
-|-
-| <math>8</math> || <math>9699690</math> || <math>23.209</math> || <math>375095881</math> || <math>6.692</math> || <math>1.227199</math>
-|-
-| <math>9</math> || <math>223092870</math> || <math>27.733</math> || <math>11799966613</math> || <math>6.986</math> || <math>1.206432</math>
-|-
-| <math>10</math> || <math>6469693230</math> || <math>32.591</math> || <math>451404994867</math> || <math>7.314</math> || <math>1.187922</math>
-|-
-| <math>11</math> || <math>200560490130</math> || <math>37.545</math> || <math>19822720510961</math> || <math>6.852</math> || <math>1.176506</math>
-|-
-| <math>12</math> || <math>7420738134810</math> || <math>42.754</math> || <math></math> || <math></math> || <math></math>
-|}
+::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math>
-Ponieważ <math>p(a) > a</math>, to prawdziwy jest układ nierówności
+oraz
-::<math>1 < {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} < 1 + {\small\frac{2 \log \log a}{\log a}}</math>
+::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math>
-Jeżeli zbiór <math>S</math> jest nieskończony, to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy
+Zauważmy, że
-::<math>\underset{a \in S}{\lim_{a \rightarrow \infty}} {\small\frac{\log p (a)}{\log a}} = 1</math>
+:* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math>
+:* współczynniki wiodące są równe <math>1</math>
+:* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math>
+:* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>
-W konsekwencji wykres funkcji
+Niech
-::<math>g(t) = \underset{2^t \leqslant a < 2^{t + 1}}{\min}  {\small\frac{\log p (a)}{\log a}}</math>
+::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math>
-będzie opadał ku prostej <math>y = 1</math>.
+Zauważmy, że
+:* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o&nbsp;najwyższym stopniu uległy redukcji
+:* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
+Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z&nbsp;twierdzenia J14 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i&nbsp;w&nbsp;szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C33</span><br/>
-Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi 99, przykładowo 199, 499, 599, 1399, 1499, ...
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Wszystkie liczby naturalne zakończone cyframi <math>99</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>a_n = 100 k + 99</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{N}</math>. Ponieważ ciąg <math>(a_n)</math> jest ciągiem arytmetycznym, a&nbsp;liczby <math>99</math> i <math>100</math> są względnie pierwsze, to na podstawie twierdzenia Dirichleta stwierdzamy, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych zakończonych cyframi <math>99</math>.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 738: / Linia 555: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja C34</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18</span><br/>
-Niech <math>a \geqslant 2</math> będzie liczbą całkowitą. Wartość funkcji <math>\pi(n; a, b)</math> jest równa ilości liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>, które przy dzieleniu przez <math>a</math> dają resztę <math>b</math>.
+Liczba całkowita nieparzysta <math>p \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
+::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C35</span><br/>
+::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
-Zauważmy, że w&nbsp;twierdzeniu Dirichleta na liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> nałożone są minimalne warunki: <math>a \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>b \in \mathbb{Z}</math>. Sytuacja w&nbsp;przypadku funkcji <math>\pi (n ; a, b)</math> jest odmienna – tutaj mamy <math>a \geqslant 2</math> oraz <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jest tak dlatego, że podział liczb pierwszych, który odzwierciedla funkcja <math>\pi (n ; a, b)</math> jest podziałem pierwotnym, a&nbsp;twierdzenie Dirichleta jest tylko jego uzasadnieniem. Podział
-liczb pierwszych musi być też precyzyjnie określony, tak aby zachodził naturalny związek
-::<math>\sum_{b = 0}^{a - 1} \pi (n ; a, b) = \pi (n)</math>
+W przypadku, gdy liczba <math>p</math> jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w <math>(p - 1) !</math> są określone modulo <math>p</math>, to odejmując od każdego czynnika większego od <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczbę <math>p</math>, otrzymujemy
-Oczywiście nie przeszkadza to w&nbsp;liczeniu liczb pierwszych w&nbsp;dowolnym ciągu arytmetycznym. Niech na przykład
+::<math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>u_k = 7 k + 101 = 7 (k + 14) + 3 \qquad</math> gdzie <math>k = 0, 1, \ldots</math>
+::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
-Ilość liczb pierwszych w&nbsp;ciagu <math>(u_k)</math> jest równa
+::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>\pi (n ; 7, 3) - \pi (7 \cdot 13 + 3 ; 7, 3) = \pi (n ; 7, 3) - 5</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C36</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J19</span><br/>
-Pokazać, że dla dowolnej liczby całkowitej <math>m \geqslant 1</math>
+Pokazać, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to <math>(p - 2) ! \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
-* wśród liczb naturalnych zawsze można wskazać <math>m</math> kolejnych liczb, które są złożone
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-* w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zawsze można wskazać <math>m</math> kolejnych wyrazów, które są złożone
+Niech <math>S</math> będzie zbiorem liczb całkowitych dodatnich mniejszych od <math>p</math>, czyli <math>S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Podstawą dowodu jest spostrzeżenie, że tylko dwie liczby należące do <math>S</math> są swoimi odwrotnościami modulo <math>p</math>.
+Pozostałe liczby są wzajemnie swoimi odwrotnościami modulo <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Jeżeli liczba <math>x</math> jest swoją odwrotnością modulo <math>p</math>, to musi być
-'''Punkt 1.'''<br/>
-W przypadku liczb naturalnych, łatwo widzimy, że kolejne liczby
-::<math>(m + 1) ! + 2, \quad (m + 1) ! + 3, \quad \ldots, \quad (m + 1) ! + (m + 1)</math>
+::<math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
-są liczbami złożonymi. Co oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>m</math> zawsze możemy wskazać taką liczbę <math>n</math>, że <math>p_{n + 1} - p_n > m</math>.
+Łatwo zauważamy, że istnieją dwa rozwiązania <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{p} \,</math> i <math>\, x \equiv - 1 \!\! \pmod{p} ,</math> a z twierdzenia Lagrange'a (J13) wiemy, że są to wszystkie rozwiązania. Wynika stąd, że w zbiorze <math>S</math> liczby <math>1 \,</math> i <math>\, p - 1</math> są swoimi odwrotnościami modulo <math>p ,</math> a pozostałe liczby <math>2, \ldots, p - 2</math> są wzajemnie swoimi odwrotnościami modulo <math>p ,</math> czyli można połączyć je w pary <math>a, b</math> takie, że <math>a \neq b \,</math> i <math>\, a \cdot b \equiv 1 \!\! \pmod{p} .</math> Tworząc iloczyn wszystkich takich par, otrzymujemy
-'''Punkt 2.'''<br/>
+::<math>(a \cdot b) \cdot (c \cdot d) \cdot \ldots \cdot (x \cdot y) \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
-W przypadku ciągu arytmetycznego <math>u_k = a k + b</math> rozważmy kolejne wyrazy ciągu począwszy od wskaźnika
-::<math>k_0 = \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b)</math>
+Oczywiście iloczyn po lewej stronie wyczerpuje wszystkie liczby <math>2, 3, \ldots, p - 2 ,</math> zatem
-Łatwo zauważamy, że dla <math>k = k_0, k_0 + 1, \ldots, k_0 + (m - 1)</math> wyrazy ciągu arytmetycznego <math>u_k = a k + b</math> są liczbami złożonymi. Istotnie, niech <math>t = 0, 1, \ldots, m - 1</math> wtedy
+::<math>2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (p - 2) \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
-::<math>u_k = a k + b =</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-:::<math>\! = a (k_0 + t) + b =</math>
-:::<math>\! = a k_0 + (a t + b) =</math>
-:::<math>\! = a \prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b) + (a t + b)</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J20</span><br/>
+Pokazać, że jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą złożoną, to <math>(m - 1) ! \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
-i liczba <math>a t + b</math> dzieli iloczyn <math>\prod^{m - 1}_{j = 0} (a j + b)</math> dla <math>t = 0, \ldots, m - 1</math>. Co należało pokazać.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Ponieważ <math>m</math> jest liczbą złożoną, to możemy zapisać <math>m</math> w postaci <math>m = a b ,</math> gdzie liczby <math>a, b</math> spełniają warunek <math>1 < a, b < m .</math> Rozpatrzmy najpierw przypadek kiedy <math>a \neq b ,</math> wtedy w iloczynie <math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (m - 1)</math> występują obydwa czynniki <math>a \,</math> i <math>\, b</math>, zatem <math>a b \mid (m - 1) !</math>
-Wiemy, że jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to w&nbsp;ciągu <math>a k + b</math> występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Niech będą to liczby <math>q_1, q_2, \ldots, q_r, \ldots</math>. Uzyskany rezultat oznacza, że dla dowolnej liczby naturalnej <math>m</math> zawsze możemy wskazać taką liczbę <math>n</math>, że <math>q_{n + 1} - q_n \geqslant a (m + 1)</math><br/>
+Rozważmy teraz przypadek gdy <math>m = a^2</math>. Jeśli <math>m - 1 \geqslant 2 a ,</math> to w iloczynie <math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (m - 1)</math> pojawi się czynnik <math>a</math> oraz <math>2 a ,</math> wobec tego <math>a^2 \mid (m - 1) !</math> Ponieważ z warunków <math>m = a^2</math> oraz <math>m - 1 \geqslant 2 a</math> wynika, że <math>a \geqslant 3 ,</math> to jedynie dla <math>m = 2^2 = 4</math> twierdzenie nie jest prawdziwe. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 796: / Linia 616: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C37</span><br/>
-Rozważmy ciąg arytmetyczny <math>u_k = 3 k + 2</math> i&nbsp;wskaźnik
-::<math>k_0 = \prod^{12}_{j = 0} (3 j + 2) = 3091650738176000</math>
-Trzynaście wyrazów tego szeregu dla <math>k = k_0 + t</math>, gdzie <math>t = 0, 1, \ldots, 12</math> to oczywiście liczby złożone, ale wyrazy dla <math>k = k_0 - 1</math> i <math>k = k_0 + 13</math> są liczbami pierwszymi.
-Przeszukując ciąg <math>u_k = 3 k + 2</math> możemy łatwo znaleźć, że pierwsze trzynaście kolejnych wyrazów złożonych pojawia się już dla <math>k = 370, 371, \ldots, 382</math>.
+== Twierdzenie Fermata ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J21 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/>
+Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C38</span><br/>
+:* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \!\! \pmod p</math>
-Jeżeli <math>n \geqslant 3</math>, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (n)</math> liczb pierwszych.
+:* i&nbsp;jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Warunek <math>n \geqslant 3</math> nie wynika z&nbsp;potrzeb dowodu, a&nbsp;jedynie pomija sytuacje nietypowe, których twierdzenie nie obejmuje. Zawsze istnieje jedna liczba naturalna, która jest liczbą pierwszą i&nbsp;łatwo możemy wskazać dwie kolejne liczby naturalne będące liczbami pierwszymi.
+'''Punkt 1.'''
-Niech <math>k \in \mathbb{N}</math>. Wartość funkcji
+Zauważmy, że<br/>
+a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/>
+b) w&nbsp;przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z&nbsp;liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/>
+c) w&nbsp;przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i&nbsp;twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo
+::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/>
-::<math>Q(k, n) = \pi (k + n) - \pi (k)</math>
-jest równa ilości liczb pierwszych wśród <math>n</math> kolejnych liczb naturalnych od liczby <math>k + 1</math> do liczby <math>k + n</math>.
+Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>.
-Uwzględniając, że wypisane niżej wyrażenia w&nbsp;nawiasach kwadratowych mogą przyjmować jedynie dwie wartości <math>0</math> lub <math>1</math>, dostajemy
+Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p \mid a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math>
-:* <math>\biggl| Q (k + 1, n) - Q (k, n) \biggr| = \biggl| \bigl[\pi (k + n + 1) - \pi (k + n) \bigr] - \bigl[\pi (k + 1) - \pi (k) \bigr] \biggr| \leqslant 1</math>
+::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math>
-Ponadto mamy
+:::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math>
-:* <math>Q(0, n) = \pi (n) \qquad</math> bo <math>\pi (0) = 0</math>
+:::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math>
-:* <math>Q((n + 1) ! + 1, n) = 0 \qquad</math> bo liczby <math>(n + 1) ! + 2, \ldots, (n + 1) ! + (n + 1)</math> są liczbami złożonymi
-Ponieważ wartości funkcji <math>Q(k, n)</math> mogą zmieniać się tylko o <math>- 1</math>, <math>0</math> lub <math>1</math>, to <math>Q(k, n)</math> musi przyjmować '''wszystkie''' wartości całkowite od <math>0</math> do <math>\pi (n)</math>. Wynika stąd, że istnieje taka liczba <math>k_r</math>, że <math>Q(k_r, n) = r</math>, gdzie <math>0 \leqslant r \leqslant \pi (n)</math>.
+Z założenia indukcyjnego <math>p \mid a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
-::[[File: C_Q10.png|none]]
+'''Punkt 2.'''
-Fragment wykresu funkcji <math>Q(k, 10)</math>. Widzimy, że dla <math>k = 113</math> po raz pierwszy mamy <math>Q(k, 10) = 0</math>, a&nbsp;funkcja <math>Q(k, 10)</math> przyjmuje wszystkie wartości całkowite od <math>0</math> do <math>5</math>.<br/>
+Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z&nbsp;lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C74) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 839: / Linia 656: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C39</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J22</span><br/>
-Czytelnik może łatwo sprawdzić, że ciąg <math>( 1308, \ldots, 1407 )</math> stu kolejnych liczb całkowitych zawiera dokładnie <math>8</math> liczb pierwszych.
+Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>\gcd (x, y) = 1</math> i&nbsp;liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>x^2 + y^2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Z założenia
+::<math>x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C40</span><br/>
+Przypuśćmy, że <math>p \mid y</math>. Wtedy z&nbsp;powyższej kongruencji mamy natychmiast, że <math>p \mid x</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Zatem <math>p \nmid y</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Fermata dostajemy
-Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C38, że istnieje <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Zauważmy, że <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych
-::<math>1001! + 2, 1001! + 3, \ldots, 1001! + 1001</math>
-nie zawiera żadnej liczby pierwszej. Wielokrotnie zmniejszając wszystkie wypisane wyżej liczby o&nbsp;jeden, aż do chwili, gdy pierwsza z&nbsp;wypisanych liczb będzie liczbą pierwszą uzyskamy <math>1000</math> kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest dokładnie jedna liczba pierwsza.
+::<math>1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
-Uwaga: dopiero liczba <math>1001! - 1733</math> jest pierwsza.<br/>
+Wynika stąd, że <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> musi być liczbą parzystą, czyli <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 860: / Linia 674: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C41</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J23</span><br/>
-Pokazać, że istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.
+Niech <math>x, y, n \geqslant 0</math>. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>x^2 + y^2 = 2^n</math>
-Rozwiązywanie zadania rozpoczniemy od dwóch spostrzeżeń
-:* wśród pierwszych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> jest <math>13</math> liczb pierwszych
+są liczby
-:* w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> istnieją dowolnie długie przedziały pozbawione liczb pierwszych (zobacz zadanie C36), zatem istnieje <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, wśród których nie ma ani jednej liczby pierwszej
-Pierwsze spostrzeżenie pokazuje, że rozwiązanie problemu jest potencjalnie możliwe. Rozwiązanie mogłoby nie istnieć, gdybyśmy szukali <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> wśród których jest, powiedzmy, <math>15</math> liczb pierwszych.
+:* <math>x = 2^{n / 2} \,</math> i <math>\, y = 0 \,</math> lub <math>\, x = 0 \,</math> i <math>\, y = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>2 \mid n</math>
+:* <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math>, gdy <math>2 \nmid n</math>
-Drugie spostrzeżenie mówi nam, że ilość liczb pierwszych wśród kolejnych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math> zmienia się od <math>13</math> do <math>0</math>. Analiza przebiegu tych zmian jest kluczem do dowodu twierdzenia.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+'''A.''' Gdy jedna z&nbsp;liczb <math>x, y</math> jest równa <math>0</math> (powiedzmy <math>y</math>), to mamy <math>x = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>n</math> jest parzyste. Gdy <math>n</math> jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że <math>x, y \geqslant 1</math>
+'''B.''' Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do <math>1</math> modulo <math>4</math>. Gdy obie liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to modulo <math>4</math> mamy
-Zbadajmy zatem, jak zmienia się ilość liczb pierwszych wśród kolejnych <math>20</math> liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>. Rozważmy ciąg <math>a_k = 6 k + 1</math>, gdzie <math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>
+::<math>2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4}</math>
-<math>(a_k) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127}, 133, \mathbf{139}, 145, \mathbf{151}, \mathbf{157}, \mathbf{163}, 169, 175, \mathbf{181}, 187, \mathbf{193}, \mathbf{199}, 205, \mathbf{211}, \ldots)</math>
+Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla <math>n = 1</math> i&nbsp;w&nbsp;tym przypadku mamy <math>(x, y) = (1, 1)</math>.
-Liczby pierwsze zostały pogrubione.
+'''C.''' W&nbsp;przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać <math>x = 2^a u</math>, <math>y = 2^b w</math>, gdzie liczby <math>u, w</math> są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że <math>1 \leqslant a \leqslant b < {\small\frac{n}{2}}</math>. Dostajemy
+::<math>u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
-Niech <math>(B^n)</math> będzie fragmentem ciągu <math>(a_k)</math> rozpoczynającym się od <math>n</math>-tego wyrazu ciągu i&nbsp;złożonym z <math>20</math> kolejnych wyrazów ciągu <math>(a_k)</math>. Przykładowo mamy
+Widzimy, że nie może być <math>a < b</math>, bo suma liczby nieparzystej i&nbsp;parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem <math>a = b</math> i&nbsp;otrzymujemy równanie
-<math>(B^1) = (1, \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115 )</math>
+::<math>u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
-<math>(B^2) = ( \mathbf{7}, \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121 )</math>
+które ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika <math>n - 2 a = 1</math>. Mamy <math>u = w = 1</math>, zatem <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math> i <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<math>(B^3) = ( \mathbf{13}, \mathbf{19}, 25, \mathbf{31}, \mathbf{37}, \mathbf{43}, 49, 55, \mathbf{61}, \mathbf{67}, \mathbf{73}, \mathbf{79}, 85, 91, \mathbf{97}, \mathbf{103}, \mathbf{109}, 115, 121, \mathbf{127} )</math>
-Musimy zrozumieć, jak przejście od ciągu <math>(B^n)</math> do ciągu <math>(B^{n + 1})</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J24</span><br/>
-wpływa na ilość liczb pierwszych w&nbsp;tych ciągach.
+Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>x \neq y</math>, to liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.
-* jeżeli najmniejszy wyraz ciągu <math>(B^n)</math> jest liczbą złożoną, to po przejściu do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych w&nbsp;tym ciągu w&nbsp;stosunku do ilości liczb pierwszych w&nbsp;ciągu <math>(B^n)</math> może
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-** pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą złożoną)
+W&nbsp;przypadku, gdy <math>x = y</math> mamy <math>x^2 + y^2 = 2 y^2</math> i&nbsp;jeśli liczba <math>y</math> nie ma dzielnika pierwszego postaci <math>4 k + 1</math>, to nie ma go również liczba <math>2 y^2</math>. Przykładowo <math>x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r}</math>. Dlatego zakładamy, że <math>x \neq y</math>. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z&nbsp;liczb <math>x, y</math> jest równa zero. Dlatego zakładamy, że <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>.
-** zwiększyć się o&nbsp;jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą pierwszą)
-* jeżeli najmniejszy wyraz ciągu <math>(B^n)</math> jest liczbą pierwszą, to po przejściu do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych w&nbsp;tym ciągu w&nbsp;stosunku do ilości liczb pierwszych w&nbsp;ciągu <math>(B^n)</math> może
-** zmniejszyć się o&nbsp;jeden (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą złożoną)
-** pozostać bez zmian (w przypadku, gdy największy wyraz ciągu <math>(B^{n + 1})</math> jest liczbą pierwszą)
-Wynika stąd, że przechodząc od ciągu <math>(B^n)</math> do ciągu <math>(B^{n + 1})</math> ilość liczb pierwszych może się zmienić o <math>- 1</math>, <math>0</math> lub <math>1</math>. Z&nbsp;drugiego ze spostrzeżeń uczynionych na początku dowodu wynika istnienie takiej liczby <math>r</math>, że wśród ciągów
-::<math>(B^1), (B^2), \ldots, (B^r)</math>
-ilość liczb pierwszych będzie przyjmowała '''wszystkie''' możliwe wartości od liczby <math>13</math> do liczby <math>0</math>. Co zapewnia istnienie takich <math>20</math> kolejnych liczb naturalnych postaci <math>6 k + 1</math>, że wśród nich jest dokładnie <math>5</math> liczb pierwszych.<br/>
+Niech <math>\gcd (x, y) = d</math>, zatem mamy <math>x = a d</math>, <math>y = b d</math>. Wynika stąd, że <math>x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2)</math>, gdzie <math>\gcd (a, b) = 1 \,</math> i <math>\, a \neq b</math>. Ponieważ <math>\, a \neq b</math>, to liczba <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J23). Z&nbsp;twierdzenia J22 zastosowanego do liczby <math>a^2 + b^2</math> wynika, że <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 912: / Linia 719: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C42</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J25</span><br/>
-Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a \geqslant 2</math> i <math>0 \leqslant b \leqslant a - 1</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> oraz <math>b</math> są względnie pierwsze, to istnieje <math>n</math> kolejnych liczb postaci <math>a k + b</math>, wśród których znajduje się dokładnie <math>r \leqslant \pi (a (n - 1) + b ; a, b)</math> liczb pierwszych.
+Pokazać, że jeżeli <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>, to <math>m \geqslant 2</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>2^m - 1</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Twierdzenie można udowodnić uogólniając dowód twierdzenia C38 lub wykorzystując metodę zastosowaną w&nbsp;rozwiązaniu zadania C41.<br/>
+Ponieważ liczby parzyste nie mogą dzielić liczby nieparzystej <math>2^m - 1</math>, to możemy założyć, że <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Zatem <math>\gcd (m, 2) = 1</math> i liczba <math>2</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>.
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Niech <math>p</math> będzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby nieparzystej <math>m</math>, wtedy <math>\gcd (m, p - 1) = 1</math> i z lematu Bezout'a (zobacz C73) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
+::<math>m x + (p - 1) y = 1</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C43</span><br/>
+Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>m \mid (2^m - 1)</math>. Zatem
-Niech <math>p \geqslant 5</math> będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że w&nbsp;ciągu <math>6 k + 1</math> występują kwadraty wszystkich liczb pierwszych <math>p</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>2^m \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
-Wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste <math>p \geqslant 5</math> mogą być postaci <math>6 k + 1</math> lub <math>6 k + 5</math>. Ponieważ
-::<math>(6 k + 1)^2 = 6 (6 k^2 + 2 k) + 1</math>
+i dostajemy
-::<math>(6 k + 5)^2 = 6 (6 k^2 + 10 k + 4) + 1</math>
+::<math>2 = 2^1 = 2^{m x + (p - 1) y} \equiv (2^m)^x \cdot (2^{p - 1})^y \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
-zatem kwadraty liczb pierwszych są postaci <math>6 k + 1</math> i&nbsp;nie mogą występować w&nbsp;ciągu postaci <math>6 k + 5</math>.<br/>
+Co jest niemożliwe.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 938: / Linia 743: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C44</span><br/>
-Dany jest ciąg arytmetyczny <math>a k + b</math>, gdzie liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze. Pokazać, że
-* jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a</math>, to żaden wyraz ciągu <math>a k + b</math> nie jest podzielny przez <math>p</math>
-* jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> nie dzieli <math>a</math>, to istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a k + b</math>, które są podzielne przez <math>p</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+== Twierdzenie Eulera ==
-'''Punkt 1.'''<br/>
-Zauważmy, że liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem liczba pierwsza <math>p</math> nie może jednocześnie dzielić liczb <math>a</math> i <math>b</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \mid a</math>, to wynika stąd, że <math>p</math> nie dzieli <math>b</math>. Jeśli tak, to
+Twierdzenie Eulera jest uogólnieniem twierdzenia Fermata.<br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J26 (Leonhard Euler, 1763)</span><br/>
+Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>, <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>\gcd (a, m) = 1</math>, wtedy
-::<math>a k + b = (n p) k + b</math>
+::<math>a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
-i <math>p</math> nie dzieli żadnej liczby postaci <math>a k + b</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Łatwo zauważyć, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m = 1, 2</math>, zatem będziemy rozpatrywali przypadek, gdy <math>m \geqslant 3</math>.
-'''Punkt 2.'''<br/>
+Niech <math>R = \{ r_1, r_2, \ldots, r_{\varphi (m)} \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>m</math> i względnie pierwszych z <math>m</math>. Niech <math>S = \{ a r_1, a r_2, \ldots, a r_{\varphi (m)} \}</math>. Prosta analiza właściwości zbiorów <math>R</math> i <math>S</math> stanowi podstawę dowodu twierdzenia.
-<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/><br/>
-Niech <math>k_0 \in \mathbb{N}</math>. Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych <math>i, j</math> takich, że <math>1 \leqslant i < j \leqslant p</math> liczby <math>a(k_0 + i) + b</math> oraz <math>a(k_0 + j) + b</math> dają tę samą resztę przy dzieleniu przez liczbę pierwszą <math>p</math>. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez <math>p</math>
-::<math>p \mid [a (k_0 + j) + b] - [a (k_0 + i) + b]</math>
+'''1. Wszystkie elementy w <math>\boldsymbol{R}</math> są różne modulo <math>\boldsymbol{m}</math>'''
-czyli
+Nie może być <math>r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m}</math> dla różnych <math>i, j</math>, bo dla <math>m \geqslant 3</math> mamy oszacowanie <math>1 \leqslant r_i, r_j \leqslant m - 1</math>, skąd otrzymujemy <math>0 \leqslant | r_i - r_j | \leqslant m - 2</math>. Wynika stąd, że <math>m \mid (r_i - r_j)</math> tylko w przypadku, gdy <math>r_i = r_j</math>, czyli gdy <math>i = j</math>.
-::<math>p \mid a (j - i)</math>
+'''2. Wszystkie elementy w <math>\boldsymbol{S}</math> są względnie pierwsze z <math>\boldsymbol{m}</math>'''
-Ponieważ <math>p \nmid a</math> to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74), mamy
+Z definicji dowolna liczba <math>r_i \in R</math> jest względnie pierwsza z <math>m</math> oraz z założenia <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z twierdzenia H6 otrzymujemy natychmiast, że <math>\gcd (a r_i, m) = 1</math>.
-::<math>p \mid (j - i)</math>
+'''3. Wszystkie elementy w <math>\boldsymbol{S}</math> są różne modulo <math>m</math>'''
-co jest niemożliwe, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant p - 1 < p</math>.
+Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla różnych wskaźników <math>i, j</math> jest <math>a r_i \equiv a r_j \!\! \pmod{m}</math>. Ponieważ <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczba <math>a</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>a^{- 1}</math> otrzymujemy <math>r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m}</math> dla różnych <math>i, j</math>, co jest niemożliwe (zobacz punkt 1).
-Zatem reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_p</math> są wszystkie różne, a&nbsp;ponieważ jest ich <math>p</math>, czyli tyle ile jest różnych reszt z&nbsp;dzielenia przez liczbę <math>p</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>p</math>, czyli ze zbiorem <math>S = \{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że wśród <math>p</math> kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jeden z&nbsp;tych wyrazów jest podzielny przez <math>p</math>. Zatem istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu <math>a k + b</math>, które są podzielne przez <math>p</math>.
+'''4. Każdy element w <math>\boldsymbol{S}</math> jest równy modulo <math>\boldsymbol{m}</math> pewnemu elementowi w <math>\boldsymbol{R}</math>'''
+Dla każdego <math>i = 1, \ldots, \varphi (m)</math> liczba <math>a r_i \in S</math> może być zapisana w postaci <math>a r_i = k m + r</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 \leqslant r < m</math>. Ponieważ
-<span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/><br/>
+::<math>\gcd (a r_i, m) = 1 = \gcd (k m + r, m) = \gcd (r, m)</math>
-Problem sprowadza się do wykazania istnienia nieskończenie wielu par liczb naturalnych <math>(k, n)</math>, takich że
-::<math>a k + b = n p</math>
+to <math>r \in R</math> i musi być <math>a r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m}</math> dla pewnego <math>r_j \in R</math>.
-Co z&nbsp;kolei sprowadza się do badania rozwiązań całkowitych równania
-::<math>n p - a k = b</math>
+Z punktów 1., 2. i 4. wynika natychmiast, że zbiory <math>R</math> i <math>S</math> są równe modulo <math>m</math> (zobacz H24), zatem
-Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Na mocy twierdzenia C78 równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
+::<math>a r_1 \cdot a r_2 \cdot \ldots \cdot a r_{\varphi (m)} \equiv r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \!\! \pmod{m}</math>
-::<math>n = n_0 + p t</math>
+::<math>r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \cdot a^{\varphi (m)} \equiv r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \!\! \pmod{m}</math>
-::<math>k = k_0 + a t</math>
-gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą, a&nbsp;para liczb <math>(n_0, k_0)</math> jest dowolnym rozwiązaniem tego równania. Widzimy, że dla dostatecznie dużych liczb <math>t</math> zawsze możemy uzyskać takie <math>n</math> i <math>k</math>, że <math>n, k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazaliśmy w&nbsp;ten sposób, że w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
+Ale <math>\gcd (r_1 r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)}, m) = 1</math> i mnożąc obie strony powyższej kongruencji przez element odwrotny do <math>r_1 r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)}</math> modulo <math>m</math>, otrzymujemy
+::<math>a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
-<span style="border-bottom-style: double;">Trzeci sposób</span><br/><br/>
+Co należało pokazać.<br/>
-Zauważmy, że ponieważ <math>p \nmid a</math>, to liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze. Zatem ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba <math>1</math>. Lemat Bézouta zapewnia istnienie takich liczb całkowitych <math>x</math> i <math>y</math>, że
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>a x + p y = 1</math>
-Niech <math>k_0 = r p - b x</math>, gdzie <math>r</math> jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, ale na tyle dużą, aby <math>k_0</math> była liczbą dodatnią bez względu na znak iloczynu <math>b x</math>. Łatwo sprawdzamy, że liczba <math>a k_0 + b</math> jest podzielna przez <math>p</math>
-::<math>a k_0 + b = a (r p - b x) + b =</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J27</span><br/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>, zaś <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to kongruencja <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> ma jednoznaczne rozwiązanie równe
-::::<math>\;\; = a r p - a b x + b =</math>
+::<math>x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m}</math>
-::::<math>\;\; = a r p + b (1 - a x) =</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Z twierdzenia Eulera wynika, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to elementem odwrotnym do <math>a</math> modulo <math>m</math> jest <math>a^{\varphi (m) - 1}</math>. Istotnie
-::::<math>\;\; = a r p + b p y =</math>
+::<math>a^{\varphi (m) - 1} \cdot a = a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
-::::<math>\;\; = p (a r + b y)</math>
+Zatem mnożąc obie strony kongruencji <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> przez <math>a^{\varphi (m) - 1}</math>, otrzymujemy
-Zatem w&nbsp;ciągu <math>a k + b</math> istnieje przynajmniej jeden wyraz podzielny przez liczbę pierwszą <math>p</math>. Jeśli tak, to w&nbsp;ciągu arytmetycznym <math>a k + b</math> istnieje nieskończenie wiele liczb podzielnych przez <math>p</math>, bo dla <math>k = k_0 + s p</math>, gdzie <math>s \in \mathbb{N}</math>, mamy
+::<math>a^{\varphi (m) - 1} \cdot a x = a^{\varphi (m)} \cdot x \equiv x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m}</math>
-::<math>a k + b = a (k_0 + s p) + b = a s p + (a k_0 + b)</math>
+::<math>x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m}</math>
-Czyli <math>p \mid a k + b</math>.<br/>
+Co było do pokazania.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1015: / Linia 817: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C45</span><br/>
-Łatwo możemy napisać w&nbsp;PARI/GP funkcję, która zwraca najmniejszą liczbę naturalną <math>k_0</math>, dla której wyraz ciągu arytmetycznego <math>a k + b</math> jest podzielny przez <math>p</math> (przy założeniu, że liczby <math>a</math> i <math>p</math> są względnie pierwsze).
- f(a,b,p) = lift( Mod(-b,p)*Mod(a,p)^(-1) )
+== Kryterium Eulera ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J28</span><br/>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \mid (k^2 - a)</math>.
-== Ciągi nieskończone i&nbsp;liczby pierwsze ==
+Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C46</span><br/>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
-Choć wiele ciągów jest dobrze znanych i&nbsp;równie dobrze zbadanych, to nie wiemy, czy zawierają one nieskończenie wiele liczb pierwszych. Przykładowo
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+nie ma rozwiązania.
-|-
-| <math>\quad 1. \quad</math>
-| <math>a_n = n^2 + 1</math>
-| [https://oeis.org/A002496 A002496]
-|-
-| <math>\quad 2. \quad</math>
-| <math>b_n = n^2 - n - 1</math>
-| [https://oeis.org/A002327 A002327]
-|-
-| <math>\quad 3. \quad</math>
-| <math>c_n = n^2 + n + 1</math>
-| [https://oeis.org/A002383 A002383]
-|-
-| <math>\quad 4. \quad</math>
-| <math>d_n = n^4 + 1</math>
-| [https://oeis.org/A000068 A000068]
-|-
-| <math>\quad 5. \quad</math>
-| <math>u_n = n! + 1</math>
-| [https://oeis.org/A002981 A002981]
-|-
-| <math>\quad 6. \quad</math>
-| <math>v_n = n! - 1</math>
-| [https://oeis.org/A002982 A002982]
-|-
-| <math>\quad 7. \quad</math>
-| <math>M_n = 2^n - 1</math> (liczby Mersenne'a)
-| [https://oeis.org/A000043 A000043]
-|-
-| <math>\quad 8. \quad</math>
-| <math>F_n = 2^{2^n} + 1</math> (liczby Fermata)
-| [https://oeis.org/A019434 A019434]
-|-
-| <math>\quad 9. \quad</math>
-| <math>F_n (a) = a^{2^n} + 1</math> (uogólnione liczby Fermata, <math>a</math> parzyste)
-| [https://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFermatNumber.html MathWorld]
-|}
-Nie wiemy, czy istnieje wielomian całkowity <math>W(n)</math> stopnia większego niż jeden taki, że <math>W(n)</math> jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu liczb <math>n</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C47</span><br/>
-Łatwo sprawdzić, że wartości wielomianu <math>W(n) = n^2 + n + 41</math> są liczbami pierwszymi dla <math>1 \leqslant n \leqslant 39</math>. Oczywiście <math>41 \mid W(41)</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C48</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J29</span><br/>
-Niech <math>a, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>a \geqslant 2</math>. Jeżeli liczba <math>a^n + 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a</math> jest liczbą parzystą i <math>n = 2^m</math>.
+Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Gdyby liczba <math>a</math> była nieparzysta, to liczba <math>a^n + 1 \geqslant 4</math> byłaby parzysta i&nbsp;nie mogłaby być liczbą pierwszą.
+Zauważmy, że w&nbsp;rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z&nbsp;oczywistej kongruencji
-Niech wykładnik <math>n = x y</math> będzie liczbą złożoną, a <math>x</math> będzie liczbą nieparzystą. Wtedy
-::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1</math>
-Oznaczając <math>b = a^y</math> oraz <math>x = 2 k + 1</math>, otrzymujemy
+::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math>
-::<math>a^n + 1 = (a^y)^x + 1</math>
+Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math>
-::::<math>\: = b^x + 1</math>
+::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math>
-::::<math>\: = b^{2 k + 1} + 1</math>
+Ponieważ
-::::<math>\: = (b + 1) \cdot (1 - b + b^2 - b^3 + \ldots + b^{2 k - 2} - b^{2 k - 1} + b^{2 k})</math>
+::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math>
-Czyli <math>a^n + 1</math> jest liczbą złożoną. Wynika stąd, że wykładnik <math>n</math> nie może zawierać czynników nieparzystych, czyli musi być <math>n = 2^m</math>. Co należało pokazać.<br/>
+to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a&nbsp;jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z&nbsp;czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z&nbsp;prostych oszacowań
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C49</span><br/>
+::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math>
-Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 1</math> liczba <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::<math>2 < i + j < p - 1</math>
-Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>, bo <math>x - y</math> dzieli <math>x^1 - y^1</math>. Załóżmy, że <math>x - y</math> jest dzielnikiem wyrażenia <math>x^n - y^n</math>, czyli <math>x^n - y^n = (x - y) \cdot k</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
-::<math>x^{n + 1} - y^{n + 1} = x x^n - y x^n + y x^n - y y^n =</math>
-:::::<math>\quad \, = (x - y) x^n + y (x^n - y^n) =</math>
+Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
-:::::<math>\quad \, = (x - y) x^n + y (x - y) \cdot k =</math>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
-:::::<math>\quad \, = (x - y) (x^n + y \cdot k)</math>
+ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>.
-Czyli <math>x - y</math> jest dzielnikiem <math>x^{n + 1} - y^{n + 1}</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1123: / Linia 875: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C50</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J30 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/>
-Jeżeli <math>n \geqslant 2</math> oraz <math>a^n - 1</math> jest liczbą pierwszą, to <math>a = 2</math> i <math>n</math> jest liczbą pierwszą.
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy
+::{| border="0"
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
+|}
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z twierdzenia C49 wiemy, że <math>x - y \mid x^n - y^n</math>. W&nbsp;przypadku gdy <math>a > 2</math> mamy
-::<math>a - 1 \mid a^n - 1</math>
+'''Punkt 1.'''
-Czyli musi być <math>a = 2</math>. Z&nbsp;tego samego twierdzenia wynika też, że jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną <math>n = r s</math>, to
+Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
-::<math>2^r - 1 \mid 2^{r s} - 1</math>
+::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
-bo <math>a^r - b^r \mid (a^r)^s - (b^r)^s</math>. Zatem <math>n</math> musi być liczbą pierwszą. Co kończy dowód.<br/>
+Zauważmy, że
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::{| border=1 style="border-collapse: collapse;"
+|-style=height:2.5em
+| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''A'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;zobacz J29
+|-style=height:2.5em
+| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''B'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;zobacz twierdzenie Lagrange'a J13
+|-style=height:2.5em
+| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''C'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;wynika z&nbsp;ciągu implikacji:<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math>
+|-style=height:2.5em
+| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''D'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>Q \subseteq S</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math>
+|}
+Łącząc rezultaty z&nbsp;tabeli, otrzymujemy
+::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
+Skąd łatwo widzimy, że
-== Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych ==
+::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C51</span><br/>
+Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a&nbsp;zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz H23). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie
-Ciągi arytmetyczne liczb pierwszych<ref name="PAPWiki"/><ref name="PAPMathWorld"/> zbudowane z&nbsp;dwóch liczb pierwszych nie są interesujące, bo dowolne dwie liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Dlatego będziemy się zajmowali ciągami arytmetycznymi liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>.
-Ponieważ nie da się zbudować ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math>, w&nbsp;którym pierwszym wyrazem jest liczba <math>p_0 = 2</math>, to będą nas interesowały ciągi rozpoczynające się od liczby pierwszej <math>p_0 \geqslant 3</math>
+::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+|-style=height:2.0em
+|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
+|}
-Jeżeli do liczby pierwszej nieparzystej dodamy dodatnią liczbę nieparzystą, to otrzymamy liczbę parzystą złożoną, zatem różnica ciągu arytmetycznego <math>d</math> musi być liczbą parzystą, aby zbudowanie jakiegokolwiek ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n \geqslant 3</math> było możliwe.
+Co kończy dowód punktu pierwszego.
-Istnienie nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> pokazano już wiele lat temu<ref name="Corput"/>. Temat ciągów arytmetycznych liczb pierwszych zyskał na popularności<ref name="largestPAP"/> po udowodnieniu przez Bena Greena i&nbsp;Terence'a Tao twierdzenia o&nbsp;istnieniu dowolnie długich (ale skończonych) ciągów arytmetycznych liczb pierwszych<ref name="GeenTao"/>.
+'''Punkt 2.'''
+Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że
+::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+|-style=height:2.0em
+|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
+|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C52* (Ben Green i&nbsp;Terence Tao, 2004)</span><br/>
+Z twierdzenia Fermata
-Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele <math>n</math>-wyrazowych ciągów arytmetycznych liczb pierwszych.
+::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być
+::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C53</span><br/>
+Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
-Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 3</math> i <math>n = 4</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
-W przypadku <math>n = 3</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 2 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
+|-style=height:2.0em
+|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
+|}
-W przypadku <math>n = 4</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 6 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
+Co należało pokazać.<br/>
-Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 3}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 61</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 24}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 28}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 34}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 36}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 37</math>||<math> 67</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 38}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 40}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 53</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 50}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 54}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 43</math>||<math> 59</math>||<math> 73</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 43</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 64}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 66}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 47</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 68}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 72}</math>||<math> 7</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 67</math>||<math> 79</math>||<math> 107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 78}</math>||<math> 11</math>||<math> 23</math>||<math> 71</math>||<math> 73</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 80}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 84}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 43</math>||<math> 73</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 47</math>||<math> 59</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 94}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 98}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 102}</math>||<math> 7</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 79</math>||<math> 89</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 104}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 108}</math>||<math> 23</math>||<math> 41</math>||<math> 131</math>||<math> 163</math>||<math> 173</math>||<math> 223</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 110}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 114}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 79</math>||<math> 83</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 11</math>||<math> 17</math>||<math> 29</math>||<math> 31</math>||<math> 37</math>||<math> 43</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 124}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 97</math>||<math> 101</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 132}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 19</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 134}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 138}</math>||<math> 41</math>||<math> 61</math>||<math> 73</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 173</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 144}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 79</math>||<math> 113</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 31</math>||<math> 47</math>||<math> 73</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 154}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 156}</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>||<math> 67</math>||<math> 71</math>||<math> 107</math>||<math> 127</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 162}</math>||<math> 29</math>||<math> 107</math>||<math> 109</math>||<math> 197</math>||<math> 239</math>||<math> 269</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 164}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 168}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 31</math>||<math> 43</math>||<math> 61</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 174}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 178}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 13</math>||<math> 19</math>||<math> 59</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 186}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 188}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 190}</math>||<math> 3</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 192}</math>||<math> 5</math>||<math> 37</math>||<math> 47</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 139</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 198}</math>||<math> 13</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>||<math> 113</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 4}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 41</math>||<math> 61</math>||<math> 251</math>||<math> 601</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 47</math>||<math> 127</math>||<math> 227</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18}</math>||<math> 5</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 113</math>||<math> 313</math>||<math> 673</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 24}</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 349</math>||<math> 419</math>||<math> 499</math>||<math> 569</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 36}</math>||<math> 31</math>||<math> 241</math>||<math> 281</math>||<math> 311</math>||<math> 751</math>||<math> 911</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 97</math>||<math> 107</math>||<math> 157</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||<math> 13</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 613</math>||<math> 643</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 54}</math>||<math> 5</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 239</math>||<math> 379</math>||<math> 719</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 19</math>||<math> 43</math>||<math> 47</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 66}</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 241</math>||<math> 251</math>||<math> 521</math>||<math> 541</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 72}</math>||<math> 7</math>||<math> 67</math>||<math> 167</math>||<math> 347</math>||<math> 947</math>||<math> 1217</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 78}</math>||<math> 23</math>||<math> 73</math>||<math> 113</math>||<math> 233</math>||<math> 353</math>||<math> 443</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 84}</math>||<math> 5</math>||<math> 29</math>||<math> 149</math>||<math> 179</math>||<math> 379</math>||<math> 439</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 11</math>||<math> 13</math>||<math> 47</math>||<math> 61</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>||<math> 631</math>||<math> 761</math>||<math> 1471</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 102}</math>||<math> 7</math>||<math> 47</math>||<math> 127</math>||<math> 257</math>||<math> 337</math>||<math> 557</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 108}</math>||<math> 23</math>||<math> 163</math>||<math> 223</math>||<math> 293</math>||<math> 353</math>||<math> 643</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 114}</math>||<math> 79</math>||<math> 349</math>||<math> 569</math>||<math> 709</math>||<math> 1259</math>||<math> 2039</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 29</math>||<math> 37</math>||<math> 71</math>||<math> 73</math>||<math> 107</math>||<math> 149</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||<math> 11</math>||<math> 31</math>||<math> 41</math>||<math> 101</math>||<math> 131</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 132}</math>||<math> 5</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 257</math>||<math> 277</math>||<math> 487</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 138}</math>||<math> 73</math>||<math> 173</math>||<math> 383</math>||<math> 463</math>||<math> 563</math>||<math> 773</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 144}</math>||<math> 29</math>||<math> 509</math>||<math> 599</math>||<math> 1019</math>||<math> 1579</math>||<math> 2609</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 163</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 156}</math>||<math> 41</math>||<math> 151</math>||<math> 191</math>||<math> 461</math>||<math> 571</math>||<math> 641</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 162}</math>||<math> 107</math>||<math> 197</math>||<math> 337</math>||<math> 967</math>||<math> 1297</math>||<math> 1627</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 168}</math>||<math> 43</math>||<math> 73</math>||<math> 83</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 373</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 174}</math>||<math> 19</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>||<math> 509</math>||<math> 839</math>||<math> 929</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 59</math>||<math> 61</math>||<math> 101</math>||<math> 103</math>||<math> 281</math>||<math> 283</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 186}</math>||<math> 11</math>||<math> 151</math>||<math> 271</math>||<math> 281</math>||<math> 491</math>||<math> 691</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 192}</math>||<math> 37</math>||<math> 157</math>||<math> 307</math>||<math> 647</math>||<math> 1087</math>||<math> 1427</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 198}</math>||<math> 13</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 263</math>||<math> 373</math>||<math> 853</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 204}</math>||<math> 79</math>||<math> 149</math>||<math> 449</math>||<math> 479</math>||<math> 569</math>||<math> 919</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 29</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 103</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 216}</math>||<math> 11</math>||<math> 181</math>||<math> 761</math>||<math> 1021</math>||<math> 1061</math>||<math> 1231</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 222}</math>||<math> 17</math>||<math> 157</math>||<math> 197</math>||<math> 547</math>||<math> 617</math>||<math> 787</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 228}</math>||<math> 43</math>||<math> 263</math>||<math> 313</math>||<math> 593</math>||<math> 953</math>||<math> 1093</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 234}</math>||<math> 359</math>||<math> 499</math>||<math> 619</math>||<math> 829</math>||<math> 1549</math>||<math> 2309</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 41</math>||<math> 67</math>||<math> 107</math>||<math> 139</math>||<math> 263</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 246}</math>||<math> 31</math>||<math> 71</math>||<math> 101</math>||<math> 331</math>||<math> 541</math>||<math> 661</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 252}</math>||<math> 5</math>||<math> 17</math>||<math> 97</math>||<math> 127</math>||<math> 197</math>||<math> 257</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 258}</math>||<math> 53</math>||<math> 313</math>||<math> 503</math>||<math> 1103</math>||<math> 1873</math>||<math> 3253</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 264}</math>||<math> 19</math>||<math> 29</math>||<math> 89</math>||<math> 199</math>||<math> 379</math>||<math> 409</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 47</math>||<math> 67</math>||<math> 229</math>||<math> 491</math>||<math> 557</math>||<math> 613</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 276}</math>||<math> 181</math>||<math> 191</math>||<math> 401</math>||<math> 601</math>||<math> 661</math>||<math> 1171</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 282}</math>||<math> 137</math>||<math> 317</math>||<math> 457</math>||<math> 1297</math>||<math> 1747</math>||<math> 1787</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 288}</math>||<math> 23</math>||<math> 43</math>||<math> 233</math>||<math> 353</math>||<math> 463</math>||<math> 743</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 294}</math>||<math> 59</math>||<math> 89</math>||<math> 139</math>||<math> 269</math>||<math> 349</math>||<math> 719</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 7</math>||<math> 47</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 109</math>||<math> 139</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 306}</math>||<math> 491</math>||<math> 691</math>||<math> 971</math>||<math> 1321</math>||<math> 1471</math>||<math> 2341</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 312}</math>||<math> 127</math>||<math> 257</math>||<math> 347</math>||<math> 547</math>||<math> 607</math>||<math> 757</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 318}</math>||<math> 283</math>||<math> 373</math>||<math> 653</math>||<math> 1063</math>||<math> 1493</math>||<math> 1823</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 324}</math>||<math> 179</math>||<math> 349</math>||<math> 839</math>||<math> 2389</math>||<math> 2699</math>||<math> 2879</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 23</math>||<math> 59</math>||<math> 79</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>||<math> 127</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 336}</math>||<math> 11</math>||<math> 61</math>||<math> 281</math>||<math> 311</math>||<math> 421</math>||<math> 491</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 342}</math>||<math> 7</math>||<math> 67</math>||<math> 137</math>||<math> 257</math>||<math> 467</math>||<math> 887</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 348}</math>||<math> 5</math>||<math> 73</math>||<math> 563</math>||<math> 593</math>||<math> 743</math>||<math> 1373</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 354}</math>||<math> 89</math>||<math> 239</math>||<math> 389</math>||<math> 509</math>||<math> 659</math>||<math> 739</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 101</math>||<math> 107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 366}</math>||<math> 461</math>||<math> 571</math>||<math> 1481</math>||<math> 1511</math>||<math> 1901</math>||<math> 2111</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 372}</math>||<math> 7</math>||<math> 547</math>||<math> 857</math>||<math> 877</math>||<math> 1087</math>||<math> 2887</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 378}</math>||<math> 53</math>||<math> 83</math>||<math> 163</math>||<math> 313</math>||<math> 503</math>||<math> 563</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 384}</math>||<math> 139</math>||<math> 229</math>||<math> 719</math>||<math> 1229</math>||<math> 1439</math>||<math> 1699</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 31</math>||<math> 43</math>||<math> 59</math>||<math> 131</math>||<math> 157</math>||<math> 197</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 396}</math>||<math> 5</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 431</math>||<math> 691</math>||<math> 701</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 402}</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 167</math>||<math> 727</math>||<math> 997</math>||<math> 1637</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 408}</math>||<math> 13</math>||<math> 223</math>||<math> 643</math>||<math> 683</math>||<math> 1063</math>||<math> 1213</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 414}</math>||<math> 269</math>||<math> 359</math>||<math> 619</math>||<math> 1039</math>||<math> 1879</math>||<math> 2089</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 19</math>||<math> 23</math>||<math> 37</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 47</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 426}</math>||<math> 5</math>||<math> 131</math>||<math> 181</math>||<math> 431</math>||<math> 761</math>||<math> 811</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 432}</math>||<math> 227</math>||<math> 617</math>||<math> 857</math>||<math> 997</math>||<math> 1657</math>||<math> 1667</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 438}</math>||<math> 5</math>||<math> 53</math>||<math> 383</math>||<math> 1163</math>||<math> 1303</math>||<math> 1873</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 444}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 1109</math>||<math> 1669</math>||<math> 1889</math>||<math> 2029</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 11</math>||<math> 97</math>||<math> 149</math>||<math> 193</math>||<math> 251</math>||<math> 359</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 456}</math>||<math> 191</math>||<math> 521</math>||<math> 631</math>||<math> 1171</math>||<math> 1291</math>||<math> 2341</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 462}</math>||<math> 47</math>||<math> 107</math>||<math> 137</math>||<math> 277</math>||<math> 307</math>||<math> 367</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 468}</math>||<math> 193</math>||<math> 293</math>||<math> 503</math>||<math> 683</math>||<math> 733</math>||<math> 1013</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 474}</math>||<math> 5</math>||<math> 29</math>||<math> 379</math>||<math> 479</math>||<math> 719</math>||<math> 829</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 127</math>||<math> 347</math>||<math> 439</math>||<math> 449</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 486}</math>||<math> 241</math>||<math> 811</math>||<math> 941</math>||<math> 1361</math>||<math> 1861</math>||<math> 1871</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 492}</math>||<math> 7</math>||<math> 107</math>||<math> 947</math>||<math> 1607</math>||<math> 2897</math>||<math> 3037</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 498}</math>||<math> 73</math>||<math> 883</math>||<math> 953</math>||<math> 983</math>||<math> 1723</math>||<math> 1913</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 504}</math>||<math> 89</math>||<math> 109</math>||<math> 229</math>||<math> 359</math>||<math> 599</math>||<math> 619</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 13</math>||<math> 67</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>||<math> 97</math>||<math> 167</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 516}</math>||<math> 31</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 1181</math>||<math> 1361</math>||<math> 1471</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 522}</math>||<math> 47</math>||<math> 487</math>||<math> 907</math>||<math> 1097</math>||<math> 1237</math>||<math> 1747</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 528}</math>||<math> 13</math>||<math> 73</math>||<math> 443</math>||<math> 503</math>||<math> 653</math>||<math> 1213</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 534}</math>||<math> 839</math>||<math> 919</math>||<math> 1019</math>||<math> 1399</math>||<math> 1579</math>||<math> 1619</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 7</math>||<math> 17</math>||<math> 37</math>||<math> 73</math>||<math> 101</math>||<math> 113</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 546}</math>||<math> 31</math>||<math> 61</math>||<math> 71</math>||<math> 401</math>||<math> 431</math>||<math> 821</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 552}</math>||<math> 67</math>||<math> 257</math>||<math> 277</math>||<math> 727</math>||<math> 1427</math>||<math> 2267</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 558}</math>||<math> 463</math>||<math> 593</math>||<math> 673</math>||<math> 1013</math>||<math> 1583</math>||<math> 2243</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 564}</math>||<math> 109</math>||<math> 179</math>||<math> 659</math>||<math> 719</math>||<math> 859</math>||<math> 1429</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 23</math>||<math> 31</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 163</math>||<math> 241</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 576}</math>||<math> 151</math>||<math> 401</math>||<math> 541</math>||<math> 991</math>||<math> 1061</math>||<math> 1091</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 582}</math>||<math> 37</math>||<math> 127</math>||<math> 457</math>||<math> 647</math>||<math> 967</math>||<math> 1087</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 588}</math>||<math> 103</math>||<math> 113</math>||<math> 223</math>||<math> 233</math>||<math> 443</math>||<math> 613</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 594}</math>||<math> 5</math>||<math> 89</math>||<math> 439</math>||<math> 599</math>||<math> 839</math>||<math> 1019</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 31</math>||<math> 101</math>||<math> 173</math>||<math> 227</math>||<math> 229</math>||<math> 239</math>
-|}
-<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 1511: / Linia 954: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C54</span><br/>
-Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 5</math> i <math>n = 6</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
-W przypadku <math>n = 5</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 6 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
-W przypadku <math>n = 6</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 30 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
+== Symbol Legendre'a ==
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J31</span><br/>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco
-Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
+::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left\{ \begin{array}{rl}
+& \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \,  \text{ oraz } \, p \nmid a \\
+ - 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\
+& \text{gdy } \, p \mid a \\
+\end{array} \right.</math>
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 5}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 11</math>||<math> 37</math>||<math> 107</math>||<math> 137</math>||<math> 151</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 42}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 48}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 43</math>||<math> 53</math>||<math> 71</math>||<math> 113</math>||<math> 571</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 13</math>||<math> 61</math>||<math> 83</math>||<math> 89</math>||<math> 103</math>||<math> 503</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 96}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 29</math>||<math> 107</math>||<math> 239</math>||<math> 281</math>||<math> 359</math>||<math> 379</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 126}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 17</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 223</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 101</math>||<math> 103</math>||<math> 367</math>||<math> 397</math>||<math> 577</math>||<math> 1013</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 23</math>||<math> 47</math>||<math> 71</math>||<math> 127</math>||<math> 157</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 263</math>||<math> 331</math>||<math> 571</math>||<math> 823</math>||<math> 947</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 252}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 491</math>||<math> 557</math>||<math> 613</math>||<math> 641</math>||<math> 743</math>||<math> 827</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 83</math>||<math> 223</math>||<math> 383</math>||<math> 419</math>||<math> 509</math>||<math> 523</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 79</math>||<math> 113</math>||<math> 127</math>||<math> 317</math>||<math> 457</math>||<math> 491</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 7</math>||<math> 13</math>||<math> 227</math>||<math> 293</math>||<math> 349</math>||<math> 577</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 59</math>||<math> 229</math>||<math> 311</math>||<math> 619</math>||<math> 1097</math>||<math> 1489</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 19</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 67</math>||<math> 193</math>||<math> 199</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 426}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 11</math>||<math> 149</math>||<math> 193</math>||<math> 599</math>||<math> 1033</math>||<math> 1117</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 474}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 11</math>||<math> 347</math>||<math> 491</math>||<math> 1019</math>||<math> 1103</math>||<math> 1723</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 13</math>||<math> 89</math>||<math> 97</math>||<math> 167</math>||<math> 229</math>||<math> 419</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 113</math>||<math> 211</math>||<math> 281</math>||<math> 379</math>||<math> 673</math>||<math> 919</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 31</math>||<math> 157</math>||<math> 241</math>||<math> 269</math>||<math> 647</math>||<math> 839</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 594}</math>||<math> 5</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 283</math>||<math> 311</math>||<math> 353</math>||<math> 509</math>||<math> 1223</math>||<math> 1531</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 6}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 30}</math>||<math> 7</math>||<math> 107</math>||<math> 359</math>||<math> 541</math>||<math> 2221</math>||<math> 6673</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 60}</math>||<math> 11</math>||<math> 53</math>||<math> 641</math>||<math> 5443</math>||<math> 10091</math>||<math> 12457</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 90}</math>||<math> 13</math>||<math> 503</math>||<math> 1973</math>||<math> 2351</math>||<math> 5081</math>||<math> 10709</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 120}</math>||<math> 239</math>||<math> 281</math>||<math> 701</math>||<math> 2339</math>||<math> 2437</math>||<math> 10613</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||<math> 73</math>||<math> 157</math>||<math> 2467</math>||<math> 4637</math>||<math> 6079</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 180}</math>||<math> 397</math>||<math> 1013</math>||<math> 1307</math>||<math> 17029</math>||<math> 20963</math>||<math> 24337</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 13</math>||<math> 47</math>||<math> 179</math>||<math> 199</math>||<math> 257</math>||<math> 389</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 240}</math>||<math> 23</math>||<math> 331</math>||<math> 2207</math>||<math> 3677</math>||<math> 5021</math>||<math> 6323</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 270}</math>||<math> 557</math>||<math> 1201</math>||<math> 2377</math>||<math> 8467</math>||<math> 9923</math>||<math> 12107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 300}</math>||<math> 83</math>||<math> 223</math>||<math> 587</math>||<math> 1511</math>||<math> 4073</math>||<math> 4423</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 330}</math>||<math> 127</math>||<math> 491</math>||<math> 2129</math>||<math> 2857</math>||<math> 3137</math>||<math> 5153</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 360}</math>||<math> 227</math>||<math> 577</math>||<math> 1669</math>||<math> 9187</math>||<math> 13331</math>||<math> 13933</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 390}</math>||<math> 229</math>||<math> 3701</math>||<math> 9007</math>||<math> 9833</math>||<math> 13291</math>||<math> 17911</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 41</math>||<math> 43</math>||<math> 193</math>||<math> 613</math>||<math> 743</math>||<math> 1289</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 450}</math>||<math> 149</math>||<math> 1381</math>||<math> 1451</math>||<math> 3607</math>||<math> 5651</math>||<math> 8521</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 480}</math>||<math> 11</math>||<math> 5051</math>||<math> 8719</math>||<math> 10567</math>||<math> 11113</math>||<math> 13591</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 510}</math>||<math> 97</math>||<math> 419</math>||<math> 811</math>||<math> 3191</math>||<math> 3583</math>||<math> 4283</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 540}</math>||<math> 379</math>||<math> 673</math>||<math> 3851</math>||<math> 3907</math>||<math> 7043</math>||<math> 12377</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 570}</math>||<math> 269</math>||<math> 1039</math>||<math> 2887</math>||<math> 3853</math>||<math> 10979</math>||<math> 11399</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 600}</math>||<math> 8839</math>||<math> 23371</math>||<math> 38183</math>||<math> 44189</math>||<math> 59743</math>||<math> 63467</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 179</math>||<math> 193</math>||<math> 1637</math>||<math> 2267</math>||<math> 2897</math>||<math> 4813</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 660}</math>||<math> 163</math>||<math> 317</math>||<math> 401</math>||<math> 2753</math>||<math> 3229</math>||<math> 5077</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 690}</math>||<math> 277</math>||<math> 1523</math>||<math> 6101</math>||<math> 10427</math>||<math> 15971</math>||<math> 27059</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 720}</math>||<math> 1231</math>||<math> 3793</math>||<math> 4003</math>||<math> 6229</math>||<math> 7573</math>||<math> 10079</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 750}</math>||<math> 1051</math>||<math> 1289</math>||<math> 1583</math>||<math> 2857</math>||<math> 12377</math>||<math> 18523</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 780}</math>||<math> 1151</math>||<math> 3517</math>||<math> 3923</math>||<math> 4637</math>||<math> 5309</math>||<math> 9929</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 810}</math>||<math> 1993</math>||<math> 7817</math>||<math> 11443</math>||<math> 17519</math>||<math> 52631</math>||<math> 109919</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 97</math>||<math> 313</math>||<math> 1061</math>||<math> 1753</math>||<math> 1901</math>||<math> 2593</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 870}</math>||<math> 2039</math>||<math> 2179</math>||<math> 5273</math>||<math> 5987</math>||<math> 9431</math>||<math> 10957</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 900}</math>||<math> 1747</math>||<math> 12541</math>||<math> 14767</math>||<math> 21193</math>||<math> 31511</math>||<math> 40289</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 930}</math>||<math> 7</math>||<math> 293</math>||<math> 9043</math>||<math> 10247</math>||<math> 34327</math>||<math> 38891</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 960}</math>||<math> 4943</math>||<math> 8737</math>||<math> 15373</math>||<math> 28351</math>||<math> 35393</math>||<math> 36919</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 990}</math>||<math> 1249</math>||<math> 1319</math>||<math> 2467</math>||<math> 2957</math>||<math> 4049</math>||<math> 8291</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1020}</math>||<math> 887</math>||<math> 929</math>||<math> 2441</math>||<math> 4639</math>||<math> 15083</math>||<math> 19997</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 53</math>||<math> 257</math>||<math> 443</math>||<math> 839</math>||<math> 1103</math>||<math> 3469</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1080}</math>||<math> 1423</math>||<math> 9011</math>||<math> 10663</math>||<math> 27799</math>||<math> 36493</math>||<math> 51473</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1110}</math>||<math> 3847</math>||<math> 9643</math>||<math> 10357</math>||<math> 11743</math>||<math> 16223</math>||<math> 21977</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1140}</math>||<math> 1063</math>||<math> 1301</math>||<math> 1553</math>||<math> 1777</math>||<math> 5683</math>||<math> 6397</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1170}</math>||<math> 379</math>||<math> 701</math>||<math> 911</math>||<math> 2143</math>||<math> 2297</math>||<math> 2857</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1200}</math>||<math> 367</math>||<math> 2677</math>||<math> 3391</math>||<math> 18749</math>||<math> 34961</math>||<math> 59699</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1230}</math>||<math> 2539</math>||<math> 6053</math>||<math> 6823</math>||<math> 9091</math>||<math> 12101</math>||<math> 14831</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 359</math>||<math> 617</math>||<math> 739</math>||<math> 1051</math>||<math> 1619</math>||<math> 1931</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1290}</math>||<math> 149</math>||<math> 17747</math>||<math> 20981</math>||<math> 24481</math>||<math> 46643</math>||<math> 47917</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1320}</math>||<math> 53</math>||<math> 977</math>||<math> 991</math>||<math> 2237</math>||<math> 9461</math>||<math> 20983</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1350}</math>||<math> 811</math>||<math> 937</math>||<math> 3877</math>||<math> 14923</math>||<math> 16001</math>||<math> 18493</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1380}</math>||<math> 3613</math>||<math> 9227</math>||<math> 15541</math>||<math> 16927</math>||<math> 17417</math>||<math> 18089</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1410}</math>||<math> 367</math>||<math> 2593</math>||<math> 12421</math>||<math> 50599</math>||<math> 60889</math>||<math> 80629</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1440}</math>||<math> 439</math>||<math> 6277</math>||<math> 20753</math>||<math> 21929</math>||<math> 39079</math>||<math> 57727</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 1279</math>||<math> 1877</math>||<math> 2383</math>||<math> 2393</math>||<math> 2749</math>||<math> 2801</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1500}</math>||<math> 7331</math>||<math> 8423</math>||<math> 15493</math>||<math> 28513</math>||<math> 31607</math>||<math> 38453</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1530}</math>||<math> 2741</math>||<math> 3203</math>||<math> 8537</math>||<math> 14389</math>||<math> 20143</math>||<math> 21277</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1560}</math>||<math> 419</math>||<math> 727</math>||<math> 3499</math>||<math> 3919</math>||<math> 6257</math>||<math> 9029</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1590}</math>||<math> 2213</math>||<math> 2339</math>||<math> 4523</math>||<math> 6469</math>||<math> 9241</math>||<math> 9857</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1620}</math>||<math> 7717</math>||<math> 9103</math>||<math> 12379</math>||<math> 37607</math>||<math> 43613</math>||<math> 46567</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1650}</math>||<math> 19</math>||<math> 3001</math>||<math> 3659</math>||<math> 4051</math>||<math> 4289</math>||<math> 11527</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 197</math>||<math> 997</math>||<math> 1289</math>||<math> 1319</math>||<math> 2309</math>||<math> 2683</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1710}</math>||<math> 373</math>||<math> 1549</math>||<math> 1913</math>||<math> 2711</math>||<math> 12539</math>||<math> 15031</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1740}</math>||<math> 1621</math>||<math> 5387</math>||<math> 6269</math>||<math> 15551</math>||<math> 61723</math>||<math> 77543</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1770}</math>||<math> 1483</math>||<math> 13691</math>||<math> 15329</math>||<math> 20873</math>||<math> 23869</math>||<math> 29917</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1800}</math>||<math> 421</math>||<math> 967</math>||<math> 1499</math>||<math> 6217</math>||<math> 30983</math>||<math> 37171</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1830}</math>||<math> 31</math>||<math> 17909</math>||<math> 46567</math>||<math> 89057</math>||<math> 105619</math>||<math> 128341</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1860}</math>||<math> 5087</math>||<math> 6151</math>||<math> 9133</math>||<math> 16567</math>||<math> 23819</math>||<math> 29881</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 23</math>||<math> 727</math>||<math> 1109</math>||<math> 1279</math>||<math> 1409</math>||<math> 1543</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1920}</math>||<math> 79</math>||<math> 1493</math>||<math> 13967</math>||<math> 19973</math>||<math> 41351</math>||<math> 46867</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1950}</math>||<math> 3259</math>||<math> 4813</math>||<math> 8803</math>||<math> 12373</math>||<math> 13577</math>||<math> 13619</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1980}</math>||<math> 1511</math>||<math> 3863</math>||<math> 4969</math>||<math> 5039</math>||<math> 7027</math>||<math> 9337</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2010}</math>||<math> 1303</math>||<math> 3739</math>||<math> 7309</math>||<math> 13763</math>||<math> 22093</math>||<math> 31151</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2040}</math>||<math> 1039</math>||<math> 6779</math>||<math> 7507</math>||<math> 8963</math>||<math> 10069</math>||<math> 12281</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2070}</math>||<math> 1097</math>||<math> 2063</math>||<math> 2917</math>||<math> 4289</math>||<math> 6571</math>||<math> 11149</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 29</math>||<math> 281</math>||<math> 757</math>||<math> 1459</math>||<math> 1847</math>||<math> 2503</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2130}</math>||<math> 3677</math>||<math> 5077</math>||<math> 11699</math>||<math> 17159</math>||<math> 21149</math>||<math> 31159</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2160}</math>||<math> 5849</math>||<math> 6619</math>||<math> 24329</math>||<math> 43019</math>||<math> 114419</math>||<math> 126823</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2190}</math>||<math> 643</math>||<math> 4283</math>||<math> 4339</math>||<math> 23743</math>||<math> 24821</math>||<math> 30211</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2220}</math>||<math> 4229</math>||<math> 11243</math>||<math> 11467</math>||<math> 12503</math>||<math> 13693</math>||<math> 26209</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2250}</math>||<math> 4721</math>||<math> 6359</math>||<math> 17321</math>||<math> 19477</math>||<math> 21661</math>||<math> 23117</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2280}</math>||<math> 719</math>||<math> 2399</math>||<math> 15797</math>||<math> 22391</math>||<math> 23189</math>||<math> 27809</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 37</math>||<math> 71</math>||<math> 83</math>||<math> 547</math>||<math> 661</math>||<math> 859</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2340}</math>||<math> 107</math>||<math> 4363</math>||<math> 5483</math>||<math> 9613</math>||<math> 12413</math>||<math> 14737</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2370}</math>||<math> 1187</math>||<math> 1831</math>||<math> 4211</math>||<math> 7963</math>||<math> 9419</math>||<math> 15607</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2400}</math>||<math> 503</math>||<math> 853</math>||<math> 4787</math>||<math> 15091</math>||<math> 20327</math>||<math> 23603</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2430}</math>||<math> 13217</math>||<math> 31039</math>||<math> 38851</math>||<math> 43261</math>||<math> 46747</math>||<math> 67481</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2460}</math>||<math> 227</math>||<math> 1459</math>||<math> 6779</math>||<math> 6863</math>||<math> 18553</math>||<math> 29207</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2490}</math>||<math> 1237</math>||<math> 7621</math>||<math> 14411</math>||<math> 19801</math>||<math> 46457</math>||<math> 55921</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 113</math>||<math> 709</math>||<math> 1013</math>||<math> 1181</math>||<math> 1303</math>||<math> 1409</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2550}</math>||<math> 1871</math>||<math> 9403</math>||<math> 33203</math>||<math> 36241</math>||<math> 70009</math>||<math> 74587</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2580}</math>||<math> 277</math>||<math> 6101</math>||<math> 29383</math>||<math> 35851</math>||<math> 55871</math>||<math> 61723</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2610}</math>||<math> 5179</math>||<math> 8539</math>||<math> 8861</math>||<math> 10093</math>||<math> 15679</math>||<math> 17989</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2640}</math>||<math> 9283</math>||<math> 10781</math>||<math> 12377</math>||<math> 12433</math>||<math> 13679</math>||<math> 22751</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2670}</math>||<math> 1039</math>||<math> 4133</math>||<math> 12589</math>||<math> 14731</math>||<math> 16411</math>||<math> 23789</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2700}</math>||<math> 8629</math>||<math> 10267</math>||<math> 16217</math>||<math> 17477</math>||<math> 18149</math>||<math> 19843</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 19</math>||<math> 631</math>||<math> 761</math>||<math> 811</math>||<math> 1091</math>||<math> 1423</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2760}</math>||<math> 7</math>||<math> 2473</math>||<math> 2767</math>||<math> 9137</math>||<math> 9403</math>||<math> 9767</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2790}</math>||<math> 6899</math>||<math> 15733</math>||<math> 20353</math>||<math> 20899</math>||<math> 23447</math>||<math> 29201</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2820}</math>||<math> 727</math>||<math> 1259</math>||<math> 3023</math>||<math> 7951</math>||<math> 17989</math>||<math> 20201</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2850}</math>||<math> 379</math>||<math> 463</math>||<math> 2843</math>||<math> 4831</math>||<math> 9661</math>||<math> 10067</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2880}</math>||<math> 1459</math>||<math> 2803</math>||<math> 4973</math>||<math> 7283</math>||<math> 8543</math>||<math> 12281</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2910}</math>||<math> 397</math>||<math> 12409</math>||<math> 19087</math>||<math> 25121</math>||<math> 37441</math>||<math> 41081</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 17</math>||<math> 383</math>||<math> 691</math>||<math> 983</math>||<math> 2393</math>||<math> 2797</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2970}</math>||<math> 1031</math>||<math> 2879</math>||<math> 3593</math>||<math> 5147</math>||<math> 6029</math>||<math> 6673</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3000}</math>||<math> 907</math>||<math> 35543</math>||<math> 45413</math>||<math> 60337</math>||<math> 65713</math>||<math> 89009</math>
-|}
-<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J32</span><br/>
+Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w&nbsp;zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \mid a</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C55</span><br/>
+::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
-Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> i <math>n = 8</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
-W przypadku <math>n = 7</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 30 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
-W przypadku <math>n = 8</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^8</math>.
-Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J33*</span><br/>
+Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 7}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
 |-
+| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 150}</math>||<math> 7</math>||||||||||
+| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 47</math>||<math> 179</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 619</math>||<math> 829</math>
+| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot   \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 193</math>||<math> 1619</math>||<math> 2239</math>||<math> 2659</math>||<math> 4259</math>||<math> 5849</math>
+| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 1637</math>||<math> 2267</math>||<math> 5569</math>||<math> 8369</math>||<math> 11003</math>||<math> 11633</math>
+| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 1061</math>||<math> 1753</math>||<math> 3623</math>||<math> 4493</math>||<math> 5651</math>||<math> 6043</math>
+| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\
+      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} \\
+  \end{cases}</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 53</math>||<math> 3469</math>||<math> 6653</math>||<math> 8629</math>||<math> 8783</math>||<math> 8837</math>
+| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
+      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\
+  \end{cases}</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 359</math>||<math> 1931</math>||<math> 2063</math>||<math> 3323</math>||<math> 4583</math>||<math> 13933</math>
+| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
+      - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} \\
+  \end{cases}</math>
 |-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 1279</math>||<math> 2393</math>||<math> 2801</math>||<math> 8117</math>||<math> 8191</math>||<math> 9661</math>
+| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
-|-
+\begin{cases}
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1289</math>||<math> 1319</math>||<math> 2683</math>||<math> 2969</math>||<math> 11261</math>||<math> 12941</math>
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\
-|-
+      - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \\
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 1279</math>||<math> 1723</math>||<math> 1811</math>||<math> 1879</math>||<math> 2693</math>||<math> 4583</math>
+  \end{cases}</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 1847</math>||<math> 3947</math>||<math> 26497</math>||<math> 34913</math>||<math> 35771</math>||<math> 36187</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 71</math>||<math> 547</math>||<math> 1019</math>||<math> 1063</math>||<math> 1367</math>||<math> 1747</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 113</math>||<math> 1181</math>||<math> 1409</math>||<math> 5413</math>||<math> 7109</math>||<math> 7933</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 631</math>||<math> 811</math>||<math> 1091</math>||<math> 2417</math>||<math> 3643</math>||<math> 3821</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2760}</math>||<math> 7</math>||||||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 17</math>||<math> 6317</math>||<math> 6911</math>||<math> 9433</math>||<math> 11927</math>||<math> 12373</math>
 |}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 8}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 619</math>||<math> 881</math>||<math> 3499</math>||<math> 3709</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 2239</math>||<math> 10243</math>||<math> 18493</math>||<math> 29297</math>||<math> 39199</math>||<math> 40343</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 1637</math>||<math> 11003</math>||<math> 38693</math>||<math> 53161</math>||<math> 56477</math>||<math> 198971</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 6043</math>||<math> 6883</math>||<math> 10861</math>||<math> 11701</math>||<math> 84521</math>||<math> 103837</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 8837</math>||<math> 41507</math>||<math> 246289</math>||<math> 302273</math>||<math> 382727</math>||<math> 499679</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 2063</math>||<math> 3323</math>||<math> 87511</math>||<math> 145949</math>||<math> 208099</math>||<math> 213247</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 8191</math>||<math> 15289</math>||<math> 101027</math>||<math> 102497</math>||<math> 187931</math>||<math> 227399</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1289</math>||<math> 11261</math>||<math> 31333</math>||<math> 33013</math>||<math> 133919</math>||<math> 193283</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 2693</math>||<math> 15493</math>||<math> 15607</math>||<math> 17497</math>||<math> 45767</math>||<math> 47657</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 1847</math>||<math> 34913</math>||<math> 37013</math>||<math> 39113</math>||<math> 83311</math>||<math> 102871</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 1019</math>||<math> 3823</math>||<math> 5557</math>||<math> 6133</math>||<math> 7853</math>||<math> 9941</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 5413</math>||<math> 7109</math>||<math> 19141</math>||<math> 21661</math>||<math> 23509</math>||<math> 24763</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 1091</math>||<math> 4721</math>||<math> 7451</math>||<math> 22079</math>||<math> 49339</math>||<math> 53759</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 9433</math>||<math> 11927</math>||<math> 14867</math>||<math> 50587</math>||<math> 80933</math>||<math> 127207</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 433</math>||<math> 3583</math>||<math> 7877</math>||<math> 24677</math>||<math> 27827</math>||<math> 49031</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 6571</math>||<math> 9041</math>||<math> 39791</math>||<math> 210391</math>||<math> 213751</math>||<math> 217111</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 8971</math>||<math> 10429</math>||<math> 27737</math>||<math> 28387</math>||<math> 37313</math>||<math> 57047</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 45767</math>||<math> 82037</math>||<math> 155569</math>||<math> 473513</math>||<math> 477293</math>||<math> 511873</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 1699</math>||<math> 2909</math>||<math> 5689</math>||<math> 25033</math>||<math> 29873</math>||<math> 40559</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 12547</math>||<math> 16747</math>||<math> 37013</math>||<math> 57139</math>||<math> 89899</math>||<math> 94099</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 20809</math>||<math> 87623</math>||<math> 142271</math>||<math> 262733</math>||<math> 267143</math>||<math> 439009</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 103</math>||<math> 1531</math>||<math> 3083</math>||<math> 3257</math>||<math> 6427</math>||<math> 9461</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 3907</math>||<math> 13313</math>||<math> 30427</math>||<math> 35257</math>||<math> 40087</math>||<math> 72547</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 13477</math>||<math> 14951</math>||<math> 25073</math>||<math> 25931</math>||<math> 30113</math>||<math> 57457</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 3413</math>||<math> 8663</math>||<math> 44179</math>||<math> 49429</math>||<math> 111109</math>||<math> 648107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 1559</math>||<math> 18899</math>||<math> 36389</math>||<math> 43711</math>||<math> 59393</math>||<math> 75541</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 187477</math>||<math> 231109</math>||<math> 402137</math>||<math> 680123</math>||<math> 706463</math>||<math> 712133</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 73</math>||<math> 29959</math>||<math> 152389</math>||<math> 158269</math>||<math> 317021</math>||<math> 2115961</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 12239</math>||<math> 22469</math>||<math> 38543</math>||<math> 50893</math>||<math> 72533</math>||<math> 90863</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 37097</math>||<math> 86869</math>||<math> 92639</math>||<math> 224633</math>||<math> 440269</math>||<math> 641327</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 1063</math>||<math> 20599</math>||<math> 21701</math>||<math> 27109</math>||<math> 41611</math>||<math> 46187</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 3167</math>||<math> 7457</math>||<math> 22669</math>||<math> 62347</math>||<math> 69067</math>||<math> 75787</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 17</math>||<math> 5581</math>||<math> 6947</math>||<math> 7151</math>||<math> 13469</math>||<math> 14081</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 3347</math>||<math> 53309</math>||<math> 281557</math>||<math> 370879</math>||<math> 380447</math>||<math> 466897</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 206047</math>||<math> 348163</math>||<math> 363037</math>||<math> 435661</math>||<math> 576677</math>||<math> 906107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 29387</math>||<math> 36947</math>||<math> 39191</math>||<math> 44267</math>||<math> 342389</math>||<math> 349949</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 6553</math>||<math> 14323</math>||<math> 25169</math>||<math> 28549</math>||<math> 36319</math>||<math> 42061</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 137</math>||<math> 4091</math>||<math> 7237</math>||<math> 8117</math>||<math> 12071</math>||<math> 24029</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 3593</math>||<math> 21017</math>||<math> 35591</math>||<math> 43781</math>||<math> 49727</math>||<math> 59021</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 86599</math>||<math> 173909</math>||<math> 788413</math>||<math> 1251869</math>||<math> 1365019</math>||<math> 1392731</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 541</math>||<math> 1867</math>||<math> 63703</math>||<math> 132283</math>||<math> 140893</math>||<math> 175837</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 9403</math>||<math> 83563</math>||<math> 84421</math>||<math> 93241</math>||<math> 187823</math>||<math> 296983</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 11087</math>||<math> 195203</math>||<math> 219799</math>||<math> 352813</math>||<math> 426973</math>||<math> 487651</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 199</math>||<math> 937</math>||<math> 10177</math>||<math> 21031</math>||<math> 27961</math>||<math> 30271</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 1609</math>||<math> 157181</math>||<math> 182867</math>||<math> 663049</math>||<math> 1028479</math>||<math> 1037929</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 521</math>||<math> 3449</math>||<math> 10181</math>||<math> 50417</math>||<math> 84229</math>||<math> 218363</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 61</math>||<math> 43013</math>||<math> 89923</math>||<math> 220333</math>||<math> 294479</math>||<math> 490493</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 6949</math>||<math> 17029</math>||<math> 54293</math>||<math> 99023</math>||<math> 125353</math>||<math> 125899</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 6143</math>||<math> 16433</math>||<math> 179057</math>||<math> 211777</math>||<math> 681949</math>||<math> 1018357</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 9109</math>||<math> 91153</math>||<math> 218527</math>||<math> 447817</math>||<math> 513167</math>||<math> 1113239</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 9419</math>||<math> 28603</math>||<math> 28871</math>||<math> 37861</math>||<math> 43691</math>||<math> 75041</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 14657</math>||<math> 21491</math>||<math> 52321</math>||<math> 63241</math>||<math> 79997</math>||<math> 80621</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 49681</math>||<math> 70607</math>||<math> 187009</math>||<math> 198139</math>||<math> 209269</math>||<math> 219613</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 24197</math>||<math> 57143</math>||<math> 68483</math>||<math> 158617</math>||<math> 212297</math>||<math> 237257</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 4483</math>||<math> 4673</math>||<math> 9619</math>||<math> 16223</math>||<math> 21169</math>||<math> 66161</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 3511</math>||<math> 241793</math>||<math> 469613</math>||<math> 517949</math>||<math> 548263</math>||<math> 643469</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 6221</math>||<math> 10531</math>||<math> 22501</math>||<math> 40343</math>||<math> 216233</math>||<math> 280187</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 18211</math>||<math> 65437</math>||<math> 126943</math>||<math> 137239</math>||<math> 149939</math>||<math> 361213</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 7477</math>||<math> 24391</math>||<math> 41669</math>||<math> 76913</math>||<math> 95213</math>||<math> 181211</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 26003</math>||<math> 435577</math>||<math> 448177</math>||<math> 558431</math>||<math> 571031</math>||<math> 583631</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 19289</math>||<math> 35437</math>||<math> 40949</math>||<math> 53791</math>||<math> 59357</math>||<math> 94309</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 15913</math>||<math> 55843</math>||<math> 77773</math>||<math> 179519</math>||<math> 418927</math>||<math> 670853</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 5843</math>||<math> 7433</math>||<math> 9391</math>||<math> 31729</math>||<math> 40543</math>||<math> 53773</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 2141</math>||<math> 15581</math>||<math> 270143</math>||<math> 335021</math>||<math> 405269</math>||<math> 448741</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 3343</math>||<math> 12097</math>||<math> 16993</math>||<math> 19259</math>||<math> 63611</math>||<math> 81001</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 6029</math>||<math> 6211</math>||<math> 26171</math>||<math> 27653</math>||<math> 32441</math>||<math> 51839</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 40879</math>||<math> 87793</math>||<math> 87991</math>||<math> 159491</math>||<math> 285497</math>||<math> 485389</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 6947</math>||<math> 15923</math>||<math> 27337</math>||<math> 79481</math>||<math> 111227</math>||<math> 364687</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 41039</math>||<math> 48491</math>||<math> 142049</math>||<math> 144667</math>||<math> 159157</math>||<math> 161263</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 12409</math>||<math> 36583</math>||<math> 51283</math>||<math> 161363</math>||<math> 218989</math>||<math> 578267</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 23957</math>||<math> 74161</math>||<math> 79633</math>||<math> 89071</math>||<math> 109367</math>||<math> 120977</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 33997</math>||<math> 121853</math>||<math> 136973</math>||<math> 203429</math>||<math> 330413</math>||<math> 379369</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 12781</math>||<math> 64613</math>||<math> 505559</math>||<math> 588529</math>||<math> 614071</math>||<math> 873121</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 15053</math>||<math> 33071</math>||<math> 41131</math>||<math> 160781</math>||<math> 176321</math>||<math> 209357</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 7001</math>||<math> 10459</math>||<math> 64579</math>||<math> 80329</math>||<math> 103409</math>||<math> 119159</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 6037</math>||<math> 17807</math>||<math> 21997</math>||<math> 33767</math>||<math> 71917</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 32321</math>||<math> 66179</math>||<math> 82349</math>||<math> 99661</math>||<math> 130343</math>||<math> 219451</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 22859</math>||<math> 28579</math>||<math> 43759</math>||<math> 43913</math>||<math> 60139</math>||<math> 95107</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 6703</math>||<math> 23293</math>||<math> 29009</math>||<math> 45599</math>||<math> 51341</math>||<math> 57917</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 91463</math>||<math> 276037</math>||<math> 524857</math>||<math> 874063</math>||<math> 940319</math>||<math> 957119</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 6571</math>||<math> 70529</math>||<math> 117037</math>||<math> 227147</math>||<math> 797119</math>||<math> 814129</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 120713</math>||<math> 225769</math>||<math> 242989</math>||<math> 343601</math>||<math> 819229</math>||<math> 965711</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 4219</math>||<math> 6101</math>||<math> 15643</math>||<math> 25471</math>||<math> 33073</math>||<math> 42901</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 12917</math>||<math> 34877</math>||<math> 59407</math>||<math> 62047</math>||<math> 85667</math>||<math> 193607</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 9803</math>||<math> 129379</math>||<math> 147229</math>||<math> 238229</math>||<math> 270157</math>||<math> 289253</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 87613</math>||<math> 90583</math>||<math> 117223</math>||<math> 512671</math>||<math> 574297</math>||<math> 623353</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 29567</math>||<math> 47837</math>||<math> 86491</math>||<math> 268189</math>||<math> 424819</math>||<math> 511201</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 1861</math>||<math> 2711</math>||<math> 8093</math>||<math> 10831</math>||<math> 11161</math>||<math> 11909</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 881</math>||<math> 19571</math>||<math> 79531</math>||<math> 529829</math>||<math> 654767</math>||<math> 812353</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 6899</math>||<math> 23201</math>||<math> 52267</math>||<math> 73823</math>||<math> 92723</math>||<math> 462079</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 8941</math>||<math> 30091</math>||<math> 39367</math>||<math> 58603</math>||<math> 63737</math>||<math> 80611</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 6857</math>||<math> 218761</math>||<math> 236699</math>||<math> 237733</math>||<math> 300319</math>||<math> 300499</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 33829</math>||<math> 46183</math>||<math> 50929</math>||<math> 70459</math>||<math> 283859</math>||<math> 361651</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 1117</math>||<math> 2729</math>||<math> 22469</math>||<math> 30757</math>||<math> 50497</math>||<math> 165391</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 13339</math>||<math> 23767</math>||<math> 44549</math>||<math> 47791</math>||<math> 92399</math>||<math> 142699</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 2857</math>||<math> 5821</math>||<math> 147089</math>||<math> 948263</math>||<math> 1044859</math>||<math> 1094123</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 81649</math>||<math> 154073</math>||<math> 164239</math>||<math> 398539</math>||<math> 443881</math>||<math> 556123</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 9689</math>||<math> 30269</math>||<math> 105379</math>||<math> 316501</math>||<math> 337081</math>||<math> 398023</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 12713</math>||<math> 20023</math>||<math> 33503</math>||<math> 40813</math>||<math> 69829</math>||<math> 92251</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 5501</math>||<math> 19471</math>||<math> 26501</math>||<math> 29153</math>||<math> 40471</math>||<math> 56773</math>
-|}
-<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C56</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J34</span><br/>
-Tabela zawiera przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 9</math> i <math>n = 10</math>.
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że
+:*&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>, to element odwrotny liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> istnieje i jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+:*&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi) modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że <math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
-W przypadku <math>n = 9</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^9</math>.
-W przypadku <math>n = 10</math> wyszukiwanie ciągów zostało przeprowadzone dla <math>d = 210 k</math>, gdzie <math>1 \leqslant k \leqslant 100</math> i (przy ustalonym <math>d</math>) dla kolejnych liczb pierwszych <math>p_0 \leqslant 10^{10}</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Z założenia <math>a</math> jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>, zatem <math>\gcd (a, p) = 1</math>, czyli element odwrotny (zobacz H18) liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> istnieje. Mamy
-Jeżeli w&nbsp;tabeli jest wypisanych sześć wartości <math>p_0</math>, to oznacza to, że zostało znalezionych co najmniej sześć wartości <math>p_0</math>.
+::<math>1 = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( {\small\frac{a a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
+Zatem musi być
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 9}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 409</math>||<math> 3499</math>||<math> 10859</math>||<math> 564973</math>||<math> 1288607</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 52879</math>||<math> 53299</math>||<math> 56267</math>||<math> 61637</math>||<math> 3212849</math>||<math> 3544939</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 279857</math>||<math> 514949</math>||<math> 939359</math>||<math> 964417</math>||<math> 965047</math>||<math> 1003819</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 6043</math>||<math> 10861</math>||<math> 103837</math>||<math> 201781</math>||<math> 915611</math>||<math> 916451</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 26052251</math>||<math> 33267943</math>||<math> 54730813</math>||<math> 87640921</math>||<math> 112704443</math>||<math> 115677517</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 2063</math>||<math> 1040089</math>||<math> 2166511</math>||<math> 2202547</math>||<math> 4152847</math>||<math> 4400639</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 101027</math>||<math> 363949</math>||<math> 1936289</math>||<math> 2534561</math>||<math> 2536031</math>||<math> 3248197</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 31333</math>||<math> 216947</math>||<math> 258527</math>||<math> 316621</math>||<math> 607109</math>||<math> 4635361</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 15607</math>||<math> 45767</math>||<math> 194113</math>||<math> 534211</math>||<math> 997201</math>||<math> 1442173</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 34913</math>||<math> 37013</math>||<math> 102871</math>||<math> 176087</math>||<math> 581393</math>||<math> 583493</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 3823</math>||<math> 60317</math>||<math> 80761</math>||<math> 563117</math>||<math> 574813</math>||<math> 1215583</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 19141</math>||<math> 23509</math>||<math> 1058597</math>||<math> 1061117</math>||<math> 1465993</math>||<math> 5650097</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 4721</math>||<math> 65881</math>||<math> 122069</math>||<math> 123059</math>||<math> 124799</math>||<math> 125789</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 11927</math>||<math> 145723</math>||<math> 1222279</math>||<math> 12424921</math>||<math> 23527081</math>||<math> 33820273</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 433</math>||<math> 24677</math>||<math> 49031</math>||<math> 348763</math>||<math> 1243393</math>||<math> 1640071</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 210391</math>||<math> 213751</math>||<math> 245173</math>||<math> 1863509</math>||<math> 3831437</math>||<math> 6470249</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 57047</math>||<math> 133271</math>||<math> 150343</math>||<math> 153913</math>||<math> 399433</math>||<math> 920827</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 473513</math>||<math> 1282607</math>||<math> 3536881</math>||<math> 4045763</math>||<math> 4049543</math>||<math> 5655283</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 1699</math>||<math> 99877</math>||<math> 103867</math>||<math> 649217</math>||<math> 1614973</math>||<math> 2732441</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 12547</math>||<math> 89899</math>||<math> 835721</math>||<math> 2544221</math>||<math> 5013919</math>||<math> 11254637</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 262733</math>||<math> 439009</math>||<math> 12940541</math>||<math> 15091459</math>||<math> 27878321</math>||<math> 29196199</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 55697</math>||<math> 64919</math>||<math> 85363</math>||<math> 89983</math>||<math> 217409</math>||<math> 372751</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 30427</math>||<math> 35257</math>||<math> 72547</math>||<math> 351749</math>||<math> 2985809</math>||<math> 6020477</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 25073</math>||<math> 57457</math>||<math> 531359</math>||<math> 1245479</math>||<math> 2491381</math>||<math> 7136659</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 3413</math>||<math> 44179</math>||<math> 2117239</math>||<math> 2122489</math>||<math> 2649067</math>||<math> 4895993</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 144779</math>||<math> 913921</math>||<math> 1280987</math>||<math> 2243491</math>||<math> 2283571</math>||<math> 2289031</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 706463</math>||<math> 915221</math>||<math> 10882211</math>||<math> 21206993</math>||<math> 21212663</math>||<math> 23859467</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 152389</math>||<math> 4896887</math>||<math> 6559873</math>||<math> 9131321</math>||<math> 19210043</math>||<math> 24248461</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 206191</math>||<math> 357661</math>||<math> 517003</math>||<math> 1910927</math>||<math> 5835283</math>||<math> 10292729</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 641327</math>||<math> 1962449</math>||<math> 2797723</math>||<math> 3626881</math>||<math> 4663249</math>||<math> 5601139</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 20599</math>||<math> 155461</math>||<math> 161971</math>||<math> 573437</math>||<math> 4395739</math>||<math> 6457669</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 62347</math>||<math> 69067</math>||<math> 5072869</math>||<math> 9545051</math>||<math> 10379081</math>||<math> 11184743</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 17</math>||<math> 7151</math>||<math> 13469</math>||<math> 36469</math>||<math> 38261</math>||<math> 309167</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 1241197</math>||<math> 1247479</math>||<math> 2614559</math>||<math> 4496813</math>||<math> 4575947</math>||<math> 7799837</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 1445303</math>||<math> 8526533</math>||<math> 12683299</math>||<math> 12690649</math>||<math> 21459209</math>||<math> 21466559</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 29387</math>||<math> 342389</math>||<math> 539839</math>||<math> 2141497</math>||<math> 7573327</math>||<math> 7580887</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 6553</math>||<math> 28549</math>||<math> 36319</math>||<math> 90373</math>||<math> 819317</math>||<math> 827087</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 137</math>||<math> 4091</math>||<math> 24029</math>||<math> 31393</math>||<math> 165313</math>||<math> 182687</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 35591</math>||<math> 59021</math>||<math> 287629</math>||<math> 401627</math>||<math> 410257</math>||<math> 702323</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 6127909</math>||<math> 8133469</math>||<math> 8528483</math>||<math> 8536883</math>||<math> 14448397</math>||<math> 19175929</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 132283</math>||<math> 2164387</math>||<math> 6903121</math>||<math> 10892747</math>||<math> 10901357</math>||<math> 17489623</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 84421</math>||<math> 466451</math>||<math> 3052177</math>||<math> 3905777</math>||<math> 11397371</math>||<math> 53189407</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 2630153</math>||<math> 4927921</math>||<math> 5686141</math>||<math> 6043399</math>||<math> 8411567</math>||<math> 8510357</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 937</math>||<math> 21031</math>||<math> 53681</math>||<math> 62921</math>||<math> 95339</math>||<math> 495791</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 1028479</math>||<math> 1832711</math>||<math> 8104549</math>||<math> 15802459</math>||<math> 43975031</math>||<math> 97126691</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 521</math>||<math> 464413</math>||<math> 707071</math>||<math> 716731</math>||<math> 1197121</math>||<math> 1259053</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 576439</math>||<math> 1115923</math>||<math> 7516427</math>||<math> 9249301</math>||<math> 16561691</math>||<math> 16571561</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 6949</math>||<math> 125353</math>||<math> 156941</math>||<math> 949517</math>||<math> 3363089</math>||<math> 3373169</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 6143</math>||<math> 1535489</math>||<math> 2477177</math>||<math> 4259887</math>||<math> 5294563</math>||<math> 10818191</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 1113239</math>||<math> 1841087</math>||<math> 7005059</math>||<math> 8026327</math>||<math> 13707959</math>||<math> 22837799</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 314299</math>||<math> 439123</math>||<math> 735467</math>||<math> 1784911</math>||<math> 1923049</math>||<math> 2781203</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 52321</math>||<math> 285521</math>||<math> 527909</math>||<math> 538829</math>||<math> 1673941</math>||<math> 2214349</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 187009</math>||<math> 198139</math>||<math> 255803</math>||<math> 547499</math>||<math> 2160253</math>||<math> 11518723</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 57143</math>||<math> 559051</math>||<math> 1091561</math>||<math> 10756139</math>||<math> 13865323</math>||<math> 13876663</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 4673</math>||<math> 9619</math>||<math> 89659</math>||<math> 112643</math>||<math> 155317</math>||<math> 166601</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 3458731</math>||<math> 5759843</math>||<math> 6305939</math>||<math> 6904789</math>||<math> 11527693</math>||<math> 15296227</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 10531</math>||<math> 1911199</math>||<math> 2210573</math>||<math> 2298397</math>||<math> 15519563</math>||<math> 21608347</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 1067597</math>||<math> 1778461</math>||<math> 1784599</math>||<math> 3551221</math>||<math> 7384493</math>||<math> 12485003</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 184291</math>||<math> 651017</math>||<math> 804493</math>||<math> 1536187</math>||<math> 4158103</math>||<math> 4751293</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 435577</math>||<math> 558431</math>||<math> 571031</math>||<math> 727369</math>||<math> 2890117</math>||<math> 3367363</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 116953</math>||<math> 166909</math>||<math> 5627029</math>||<math> 6623117</math>||<math> 10981339</math>||<math> 10994149</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 1691411</math>||<math> 3574871</math>||<math> 22963981</math>||<math> 27098723</math>||<math> 29812603</math>||<math> 31218403</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 40543</math>||<math> 104651</math>||<math> 313219</math>||<math> 4705247</math>||<math> 4718477</math>||<math> 6268289</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 2141</math>||<math> 448741</math>||<math> 815261</math>||<math> 1560997</math>||<math> 1574437</math>||<math> 2070517</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 3343</math>||<math> 96997</math>||<math> 110647</math>||<math> 521047</math>||<math> 1590961</math>||<math> 2276503</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 110437</math>||<math> 124297</math>||<math> 138157</math>||<math> 148891</math>||<math> 152017</math>||<math> 152947</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 2679239</math>||<math> 2886281</math>||<math> 3817111</math>||<math> 6446353</math>||<math> 6460423</math>||<math> 6976289</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 364687</math>||<math> 749773</math>||<math> 1867573</math>||<math> 2146181</math>||<math> 2434997</math>||<math> 4112627</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 144667</math>||<math> 161263</math>||<math> 259603</math>||<math> 286333</math>||<math> 336251</math>||<math> 377809</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 36583</math>||<math> 578267</math>||<math> 8529749</math>||<math> 14365553</math>||<math> 14380253</math>||<math> 14830787</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 74161</math>||<math> 109367</math>||<math> 120977</math>||<math> 1260011</math>||<math> 1372211</math>||<math> 11898287</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 121853</math>||<math> 689459</math>||<math> 822383</math>||<math> 11354437</math>||<math> 37245407</math>||<math> 48384221</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 7713709</math>||<math> 8049187</math>||<math> 11583113</math>||<math> 12934973</math>||<math> 16769749</math>||<math> 30793649</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 160781</math>||<math> 580577</math>||<math> 4095187</math>||<math> 5838409</math>||<math> 9523079</math>||<math> 10473559</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 64579</math>||<math> 103409</math>||<math> 182587</math>||<math> 849869</math>||<math> 865619</math>||<math> 1468729</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 6037</math>||<math> 17807</math>||<math> 137147</math>||<math> 652969</math>||<math> 989977</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 66179</math>||<math> 219451</math>||<math> 511843</math>||<math> 583421</math>||<math> 812431</math>||<math> 848567</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 43759</math>||<math> 339263</math>||<math> 355643</math>||<math> 695047</math>||<math> 2011517</math>||<math> 2893309</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 6703</math>||<math> 29009</math>||<math> 2489183</math>||<math> 4028743</math>||<math> 9340181</math>||<math> 10005263</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 940319</math>||<math> 3772907</math>||<math> 3873007</math>||<math> 9905921</math>||<math> 79622351</math>||<math> 95679271</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 797119</math>||<math> 18296627</math>||<math> 23152907</math>||<math> 38133913</math>||<math> 60796007</math>||<math> 83709047</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 225769</math>||<math> 1452511</math>||<math> 1469731</math>||<math> 1606379</math>||<math> 2415473</math>||<math> 3469069</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 15643</math>||<math> 25471</math>||<math> 42901</math>||<math> 1170599</math>||<math> 3120547</math>||<math> 3983249</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 193607</math>||<math> 211247</math>||<math> 7624613</math>||<math> 10290239</math>||<math> 16104047</math>||<math> 22618907</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 129379</math>||<math> 289253</math>||<math> 1341433</math>||<math> 1728911</math>||<math> 1746761</math>||<math> 2918737</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 1013921</math>||<math> 1038209</math>||<math> 2703941</math>||<math> 3580333</math>||<math> 3914689</math>||<math> 11110339</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 29567</math>||<math> 511201</math>||<math> 1615723</math>||<math> 1890701</math>||<math> 1989811</math>||<math> 2008081</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 2711</math>||<math> 25643</math>||<math> 40853</math>||<math> 149143</math>||<math> 194839</math>||<math> 213319</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 881</math>||<math> 9421469</math>||<math> 10687877</math>||<math> 11455753</math>||<math> 14740463</math>||<math> 21499799</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 73823</math>||<math> 462079</math>||<math> 804113</math>||<math> 823013</math>||<math> 1323799</math>||<math> 1370987</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 63737</math>||<math> 322171</math>||<math> 520193</math>||<math> 999763</math>||<math> 1023487</math>||<math> 1032067</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 682411</math>||<math> 743747</math>||<math> 1343669</math>||<math> 1373233</math>||<math> 1782499</math>||<math> 2574437</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 50929</math>||<math> 738919</math>||<math> 1773689</math>||<math> 1793219</math>||<math> 6121807</math>||<math> 18867007</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 2729</math>||<math> 30757</math>||<math> 360163</math>||<math> 1652591</math>||<math> 18160973</math>||<math> 18862889</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 142699</math>||<math> 162649</math>||<math> 239957</math>||<math> 302287</math>||<math> 322237</math>||<math> 661547</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 3330211</math>||<math> 5620609</math>||<math> 6413401</math>||<math> 15055609</math>||<math> 32094917</math>||<math> 52863893</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 1158881</math>||<math> 1216213</math>||<math> 1236583</math>||<math> 3893899</math>||<math> 7991839</math>||<math> 8012209</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 9689</math>||<math> 316501</math>||<math> 398023</math>||<math> 2047813</math>||<math> 2219557</math>||<math> 2240137</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 12713</math>||<math> 20023</math>||<math> 141079</math>||<math> 159571</math>||<math> 296117</math>||<math> 914813</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 5501</math>||<math> 19471</math>||<math> 65837</math>||<math> 688139</math>||<math> 3980407</math>||<math> 8983031</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=7 | <math>\mathbf{n = 10}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-| colspan=6 | <math>\mathbf{p_0}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 210}</math>||<math> 199</math>||<math> 243051733</math>||<math> 498161423</math>||<math> 2490123989</math>||<math> 5417375591</math>||<math> 8785408259</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 420}</math>||<math> 52879</math>||<math> 3544939</math>||<math> 725283077</math>||<math> 1580792347</math>||<math> 1931425157</math>||<math> 8392393693</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 630}</math>||<math> 964417</math>||<math> 1021331</math>||<math> 3710699</math>||<math> 174610351</math>||<math> 396598051</math>||<math> 525173641</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 840}</math>||<math> 915611</math>||<math> 24748189</math>||<math> 33791509</math>||<math> 314727967</math>||<math> 510756371</math>||<math> 1079797657</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1050}</math>||<math> 130006783</math>||<math> 208734751</math>||<math> 400663741</math>||<math> 963551671</math>||<math> 1219200119</math>||<math> 1231110787</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1260}</math>||<math> 6722909</math>||<math> 27846803</math>||<math> 63289771</math>||<math> 1000262819</math>||<math> 1476482057</math>||<math> 4565705117</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1470}</math>||<math> 2534561</math>||<math> 189999707</math>||<math> 833570987</math>||<math> 1168004581</math>||<math> 2010828277</math>||<math> 3182258251</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1680}</math>||<math> 1343205113</math>||<math> 3033769813</math>||<math> 4093882757</math>||<math> 4112814241</math>||<math> 4348188919</math>||<math> 4749575333</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 1890}</math>||<math> 41513261</math>||<math> 95317913</math>||<math> 6232033069</math>||<math> 6361761239</math>||<math> 6709899029</math>||<math> 8521839071</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2100}</math>||<math> 34913</math>||<math> 581393</math>||<math> 8397091</math>||<math> 10200607</math>||<math> 31913837</math>||<math> 258411317</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2310}</math>||<math> 2564251</math>||<math> 7245143</math>||<math> 15898823</math>||<math> 34834237</math>||<math> 51404371</math>||<math> 60858179</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2520}</math>||<math> 1058597</math>||<math> 8226307</math>||<math> 438716653</math>||<math> 799422581</math>||<math> 975166567</math>||<math> 983999677</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2730}</math>||<math> 122069</math>||<math> 123059</math>||<math> 158633</math>||<math> 3319219</math>||<math> 3427393</math>||<math> 5082629</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 2940}</math>||<math> 2546781317</math>||<math> 3736609957</math>||<math> 4895747497</math>||||||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3150}</math>||<math> 34071019</math>||<math> 1174379903</math>||<math> 1247572429</math>||<math> 1914733781</math>||<math> 5502174781</math>||<math> 5598860513</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3360}</math>||<math> 210391</math>||<math> 762261571</math>||<math> 2289797801</math>||<math> 5842998881</math>||<math> 5973997177</math>||<math> 6486241481</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3570}</math>||<math> 150343</math>||<math> 920827</math>||<math> 47896129</math>||<math> 110935963</math>||<math> 124813783</math>||<math> 253908793</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3780}</math>||<math> 4045763</math>||<math> 162045979</math>||<math> 3611162221</math>||<math> 3953439013</math>||<math> 5751477079</math>||<math> 6389572141</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 3990}</math>||<math> 99877</math>||<math> 2732441</math>||<math> 145829681</math>||<math> 1512868211</math>||<math> 1519374557</math>||<math> 1905288811</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4200}</math>||<math> 75187297</math>||<math> 436800197</math>||<math> 825073159</math>||<math> 953483507</math>||<math> 1237285949</math>||<math> 1620977257</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4410}</math>||<math> 343475219</math>||<math> 718394137</math>||<math> 1714841501</math>||<math> 4312513897</math>||<math> 4433557501</math>||<math> 7302174197</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4620}</math>||<math> 85363</math>||<math> 372751</math>||<math> 926879</math>||<math> 10645541</math>||<math> 11022827</math>||<math> 11027447</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 4830}</math>||<math> 30427</math>||<math> 6020477</math>||<math> 16424981</math>||<math> 151254533</math>||<math> 229780123</math>||<math> 482610239</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5040}</math>||<math> 145866041</math>||<math> 226851517</math>||<math> 292104419</math>||<math> 517266257</math>||<math> 986618569</math>||<math> 1785262393</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5250}</math>||<math> 2117239</math>||<math> 134051459</math>||<math> 444256783</math>||<math> 635071121</math>||<math> 3239335223</math>||<math> 3689988833</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5460}</math>||<math> 2283571</math>||<math> 11988607</math>||<math> 17327831</math>||<math> 18230447</math>||<math> 97175423</math>||<math> 168445523</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5670}</math>||<math> 21206993</math>||<math> 42322087</math>||<math> 232282121</math>||<math> 530515507</math>||<math> 2074726021</math>||<math> 2176462667</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 5880}</math>||<math> 769792447</math>||<math> 1028745119</math>||<math> 2716511507</math>||<math> 2850255403</math>||<math> 4059527753</math>||<math> 4338343433</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6090}</math>||<math> 98202331</math>||<math> 218657237</math>||<math> 508050341</math>||<math> 965528153</math>||<math> 1963343323</math>||<math> 2133623147</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6300}</math>||<math> 46452799</math>||<math> 161073877</math>||<math> 416581987</math>||<math> 444443777</math>||<math> 799148171</math>||<math> 1536915817</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6510}</math>||<math> 155461</math>||<math> 11699279</math>||<math> 59259649</math>||<math> 82736531</math>||<math> 138908647</math>||<math> 156852947</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6720}</math>||<math> 62347</math>||<math> 18249241</math>||<math> 402509117</math>||<math> 646946233</math>||<math> 694032349</math>||<math> 748855249</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 6930}</math>||<math> 1664417</math>||<math> 3306839</math>||<math> 6703841</math>||<math> 10343167</math>||<math> 16988767</math>||<math> 17046329</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7140}</math>||<math> 12331793</math>||<math> 21994589</math>||<math> 32695477</math>||<math> 135554233</math>||<math> 355138829</math>||<math> 730901161</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7350}</math>||<math> 12683299</math>||<math> 21459209</math>||<math> 38446267</math>||<math> 423264613</math>||<math> 3158377081</math>||<math> 5208862573</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7560}</math>||<math> 7573327</math>||<math> 369901513</math>||<math> 2755541693</math>||<math> 2774476609</math>||<math> 3311703233</math>||<math> 5004136327</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7770}</math>||<math> 28549</math>||<math> 819317</math>||<math> 3721051</math>||<math> 11941571</math>||<math> 35273473</math>||<math> 46949093</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 7980}</math>||<math> 1024853</math>||<math> 355670309</math>||<math> 446786191</math>||<math> 547343483</math>||<math> 682871447</math>||<math> 1772834893</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8190}</math>||<math> 7328437</math>||<math> 15275849</math>||<math> 17503261</math>||<math> 22737017</math>||<math> 27294053</math>||<math> 45150331</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8400}</math>||<math> 8528483</math>||<math> 40313929</math>||<math> 243787771</math>||<math> 385895737</math>||<math> 467671013</math>||<math> 797154607</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8610}</math>||<math> 10892747</math>||<math> 17489623</math>||<math> 28416517</math>||<math> 55350017</math>||<math> 200631439</math>||<math> 449962543</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 8820}</math>||<math> 275550449</math>||<math> 340210649</math>||<math> 375439381</math>||<math> 1299902701</math>||<math> 7189505563</math>||<math> 8000213747</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9030}</math>||<math> 31057003</math>||<math> 150282967</math>||<math> 634308509</math>||<math> 643690123</math>||<math> 2295863833</math>||<math> 2515095703</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9240}</math>||<math> 53681</math>||<math> 14224981</math>||<math> 14432399</math>||<math> 23559377</math>||<math> 28467293</math>||<math> 42049001</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9450}</math>||<math> 334554023</math>||<math> 488051653</math>||<math> 2038389299</math>||<math> 2162899399</math>||<math> 2445407273</math>||<math> 3057392207</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9660}</math>||<math> 707071</math>||<math> 125628439</math>||<math> 303544463</math>||<math> 441911263</math>||<math> 449336813</math>||<math> 511484261</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 9870}</math>||<math> 16561691</math>||<math> 26691349</math>||<math> 373909451</math>||<math> 558247033</math>||<math> 626630117</math>||<math> 1074793063</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10080}</math>||<math> 3363089</math>||<math> 35937059</math>||<math> 57814343</math>||<math> 83864653</math>||<math> 264068017</math>||<math> 2293066417</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10290}</math>||<math> 459609859</math>||<math> 522069971</math>||<math> 535273337</math>||<math> 720980111</math>||<math> 1617247087</math>||<math> 1769323693</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10500}</math>||<math> 38610347</math>||<math> 185388121</math>||<math> 511207351</math>||<math> 512002717</math>||<math> 573447551</math>||<math> 728734969</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10710}</math>||<math> 2781203</math>||<math> 10327159</math>||<math> 15741997</math>||<math> 161184019</math>||<math> 290334601</math>||<math> 387848743</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 10920}</math>||<math> 527909</math>||<math> 8754457</math>||<math> 19711711</math>||<math> 68442943</math>||<math> 70092481</math>||<math> 108555763</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11130}</math>||<math> 187009</math>||<math> 74743931</math>||<math> 1717072597</math>||<math> 2241197341</math>||<math> 3885152797</math>||<math> 5442728839</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11340}</math>||<math> 13865323</math>||<math> 151172779</math>||<math> 155052347</math>||<math> 169766761</math>||<math> 417004037</math>||<math> 759377761</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11550}</math>||<math> 166601</math>||<math> 178151</math>||<math> 189701</math>||<math> 2902951</math>||<math> 2939267</math>||<math> 6906061</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11760}</math>||<math> 15296227</math>||<math> 115733179</math>||<math> 793412467</math>||<math> 2045327461</math>||<math> 3317282629</math>||<math> 3405094727</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 11970}</math>||<math> 70627031</math>||<math> 81131437</math>||<math> 190977547</math>||<math> 295424263</math>||<math> 435613939</math>||<math> 436230467</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12180}</math>||<math> 96579871</math>||<math> 196123667</math>||<math> 1414855181</math>||<math> 1594532899</math>||<math> 1852156771</math>||<math> 5477685029</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12390}</math>||<math> 355974491</math>||<math> 1228212781</math>||<math> 1597738157</math>||<math> 2356239043</math>||<math> 2537515919</math>||<math> 2664004501</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12600}</math>||<math> 558431</math>||<math> 4885897</math>||<math> 62631409</math>||<math> 222308641</math>||<math> 247236973</math>||<math> 597208309</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 12810}</math>||<math> 10981339</math>||<math> 73391203</math>||<math> 614195423</math>||<math> 722428933</math>||<math> 1804485667</math>||<math> 2011342889</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13020}</math>||<math> 37278391</math>||<math> 396360829</math>||<math> 477013687</math>||<math> 1035592279</math>||<math> 1668997513</math>||<math> 1740405707</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13230}</math>||<math> 4705247</math>||<math> 43971617</math>||<math> 150462859</math>||<math> 3214143193</math>||<math> 4385611183</math>||<math> 6156888427</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13440}</math>||<math> 1560997</math>||<math> 2070517</math>||<math> 319796189</math>||<math> 397320779</math>||<math> 534628103</math>||<math> 1466338729</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13650}</math>||<math> 96997</math>||<math> 8628157</math>||<math> 23309989</math>||<math> 84831493</math>||<math> 95865989</math>||<math> 183786877</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 13860}</math>||<math> 110437</math>||<math> 124297</math>||<math> 138157</math>||<math> 152947</math>||<math> 166807</math>||<math> 180667</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14070}</math>||<math> 6446353</math>||<math> 6976289</math>||<math> 9167027</math>||<math> 315420997</math>||<math> 324294169</math>||<math> 850130293</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14280}</math>||<math> 8022137</math>||<math> 46017523</math>||<math> 49573471</math>||<math> 84264127</math>||<math> 201286747</math>||<math> 664107853</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14490}</math>||<math> 4421849</math>||<math> 7258067</math>||<math> 55181701</math>||<math> 266196461</math>||<math> 400560449</math>||<math> 658093439</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14700}</math>||<math> 14365553</math>||<math> 79088123</math>||<math> 578429339</math>||<math> 1590374273</math>||<math> 1620663103</math>||<math> 1692678277</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 14910}</math>||<math> 1313271217</math>||<math> 1398822683</math>||<math> 3458123993</math>||<math> 5050258823</math>||<math> 8564509277</math>||
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15120}</math>||<math> 643929523</math>||<math> 1697175937</math>||<math> 3456724013</math>||<math> 3604668029</math>||<math> 5105194837</math>||<math> 5972188679</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15330}</math>||<math> 423644591</math>||<math> 792183047</math>||<math> 1013912467</math>||<math> 1239474463</math>||<math> 1707297247</math>||<math> 1918187839</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15540}</math>||<math> 15113711</math>||<math> 49877209</math>||<math> 90195289</math>||<math> 113317157</math>||<math> 542625751</math>||<math> 801528769</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15750}</math>||<math> 849869</math>||<math> 281904709</math>||<math> 741349123</math>||<math> 1196157763</math>||<math> 1264569469</math>||<math> 1628362679</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 15960}</math>||<math> 1847</math>||<math> 3178141</math>||<math> 47378869</math>||<math> 105168887</math>||<math> 140273363</math>||<math> 315104063</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16170}</math>||<math> 3360767</math>||<math> 7292851</math>||<math> 8511059</math>||<math> 10038841</math>||<math> 26643899</math>||<math> 35098631</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16380}</math>||<math> 339263</math>||<math> 2893309</math>||<math> 7118387</math>||<math> 189387287</math>||<math> 209606629</math>||<math> 266620267</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16590}</math>||<math> 381816437</math>||<math> 695288453</math>||<math> 1555003309</math>||<math> 2096563163</math>||<math> 2844269837</math>||<math> 4876784057</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 16800}</math>||<math> 143614397</math>||<math> 681135667</math>||<math> 1337835403</math>||<math> 1547432483</math>||<math> 1809315247</math>||<math> 2850704453</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17010}</math>||<math> 83709047</math>||<math> 1041057263</math>||<math> 1265416651</math>||<math> 1665987569</math>||<math> 2529254831</math>||<math> 4576482871</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17220}</math>||<math> 1452511</math>||<math> 10612519</math>||<math> 16814099</math>||<math> 216348577</math>||<math> 382728461</math>||<math> 532388587</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17430}</math>||<math> 25471</math>||<math> 137293657</math>||<math> 632342783</math>||<math> 960368107</math>||<math> 5503090291</math>||<math> 6704824913</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17640}</math>||<math> 193607</math>||<math> 33411011</math>||<math> 511632469</math>||<math> 819466853</math>||<math> 960062011</math>||<math> 1178974859</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 17850}</math>||<math> 1728911</math>||<math> 4584401</math>||<math> 7627309</math>||<math> 77294621</math>||<math> 99462899</math>||<math> 170832131</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18060}</math>||<math> 51826531</math>||<math> 210101329</math>||<math> 235062067</math>||<math> 605501191</math>||<math> 1083324911</math>||<math> 2230437163</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18270}</math>||<math> 1989811</math>||<math> 825611753</math>||<math> 2281896011</math>||<math> 2468212757</math>||<math> 2968471043</math>||<math> 4958366753</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18480}</math>||<math> 194839</math>||<math> 1044739</math>||<math> 1075237</math>||<math> 2169967</math>||<math> 2467369</math>||<math> 3135841</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18690}</math>||<math> 90365419</math>||<math> 551760331</math>||<math> 1165944209</math>||<math> 1887703247</math>||<math> 1932471091</math>||<math> 3396823123</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 18900}</math>||<math> 804113</math>||<math> 1087721813</math>||<math> 2462595313</math>||<math> 3420103007</math>||<math> 5068097201</math>||<math> 5268928117</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19110}</math>||<math> 1023487</math>||<math> 6202067</math>||<math> 6640901</math>||<math> 19304167</math>||<math> 78325591</math>||<math> 152030453</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19320}</math>||<math> 13154717</math>||<math> 123351947</math>||<math> 180065461</math>||<math> 191400653</math>||<math> 307980523</math>||<math> 526607503</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19530}</math>||<math> 1773689</math>||<math> 128832049</math>||<math> 226504217</math>||<math> 544697521</math>||<math> 880832749</math>||<math> 1511819633</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19740}</math>||<math> 216443629</math>||<math> 1460073841</math>||<math> 2172351869</math>||<math> 3696955411</math>||<math> 4020404251</math>||<math> 4234603313</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 19950}</math>||<math> 142699</math>||<math> 302287</math>||<math> 661547</math>||<math> 64740661</math>||<math> 176566177</math>||<math> 562542581</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20160}</math>||<math> 77727823</math>||<math> 585546277</math>||<math> 1013154997</math>||<math> 1309662637</math>||<math> 2007871577</math>||<math> 2231189419</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20370}</math>||<math> 1216213</math>||<math> 7991839</math>||<math> 156234857</math>||<math> 1222246309</math>||<math> 2382533789</math>||<math> 2523592993</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20580}</math>||<math> 2219557</math>||<math> 508048529</math>||<math> 906000787</math>||<math> 1111806827</math>||<math> 2134225213</math>||<math> 6894499589</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 20790}</math>||<math> 2397931</math>||<math> 4022297</math>||<math> 4043087</math>||<math> 15314617</math>||<math> 26974879</math>||<math> 35575247</math>
-|-
-| style="background:#ffd890;"|<math>\mathbf{ 21000}</math>||<math> 49402277</math>||<math> 263368843</math>||<math> 701455591</math>||<math> 2403274567</math>||<math> 3097244987</math>||<math> 5984865767</math>
-|}
-<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>\left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+Co należało pokazać.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C57</span><br/>
-Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>a, d, k, k_0 \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> z&nbsp;dzielenia <math>n</math> liczb <math>x_k</math> postaci
-::<math>x_k = a + k d \qquad</math> dla <math>\; k = k_0 + 1, \ldots, k_0 + n</math>
+Niech <math>a, b</math> będą liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi). Iloczyn <math>a b^{- 1}</math> jest liczbą kwadratową, bo
-przez liczbę <math>n</math> są wszystkie różne i&nbsp;tworzą zbiór <math>S = \{ 0, 1, \ldots, n - 1 \}</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że wśród liczb <math>x_k</math> jedna jest podzielna przez <math>n</math>.
+::<math>\left( {\small\frac{a b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+ = \left( \pm 1 \right) \cdot \left( \pm 1 \right)
+ = \left( \pm 1 \right)^2
+ = 1</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Zatem istnieje taka liczba <math>r</math>, że
-Przypuśćmy, że dla pewnych różnych liczb naturalnych <math>i, j</math> takich, że <math>1 \leqslant i < j \leqslant n</math> liczby <math>a + (k_0 + i) d</math> oraz <math>a + (k_0 + j) d</math> dają tę samą resztę przy dzieleniu przez <math>n</math>. Zatem różnica tych liczb jest podzielna przez <math>n</math>
-::<math>n \mid [a + (k_0 + j) d] - [a + (k_0 + i) d]</math>
+::<math>a b^{- 1} \equiv r^2 \!\! \pmod{p}</math>
 Czyli
-::<math>n \mid d (j - i)</math>
+::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
-Ponieważ liczby <math>d</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74), mamy
+Co należało pokazać.<br/>
-::<math>n \mid (j - i)</math>
-Co jest niemożliwe, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant n - 1 < n</math>.
-Zatem reszty <math>r_1, r_2, \ldots, r_n</math> są wszystkie różne, a&nbsp;ponieważ jest ich <math>n</math>, czyli tyle ile jest różnych reszt z&nbsp;dzielenia przez liczbę <math>n</math>, to zbiór tych reszt jest identyczny ze zbiorem reszt z&nbsp;dzielenia przez <math>n</math>, czyli ze zbiorem <math>S = \{ 0, 1, 2, \ldots, n - 1 \}</math>.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2527: / Linia 1062: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C58</span><br/>
-Niech <math>d \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech będzie dany ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
-::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
-Z żądania, aby dany ciąg arytmetyczny był ciągiem arytmetycznym liczb pierwszych, wynika, że muszą być spełnione następujące warunki
+== Symbol Jacobiego ==
-:* <math>p_0 \nmid d</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J35</span><br/>
-:* <math>n \leqslant p_0</math>
+Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
-:* <math>P(n - 1) \mid d</math>
-:* jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>
-gdzie <math>P(t)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>t</math>.
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \mid (k^2 - a)</math>.
-'''Punkt 1.'''<br/>
-Gdyby <math>p_0 \mid d</math>, to dla <math>k \geqslant 1</math> mielibyśmy <math>p_k = p_0 \left( 1 + k \cdot \frac{d}{p_0} \right)</math> i&nbsp;wszystkie te liczby byłyby złożone.
-'''Punkt 2.'''<br/>
+Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
-Ponieważ <math>p_0</math> dzieli <math>p_0 + p_0 d</math>, więc musi być <math>n - 1 < p_0</math>, czyli <math>n \leqslant p_0</math>.
-'''Punkt 3.'''<br/>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą mniejszą od <math>n</math>, a&nbsp;liczby <math>r_k</math> będą resztami uzyskanymi z&nbsp;dzielenia liczb <math>p_k = p_0 + k d</math> przez <math>q</math>, dla <math>k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia liczby <math>p_0, \ldots, p_{n - 1}</math> są liczbami pierwszymi większymi od <math>q</math> (zauważmy, że <math>p_0 \geqslant n</math>), to żadna z&nbsp;reszt <math>r_k</math> nie może być równa zeru. Czyli mamy <math>q</math> reszt mogących przyjmować jedynie <math>q - 1</math> różnych wartości. Zatem istnieją różne liczby <math>i, j</math>, takie że <math>0 \leqslant i < j \leqslant q - 1</math>, dla których <math>r_i = r_j</math>. Wynika stąd, że różnica liczb
-::<math>p_j - p_i = (p_0 + j d) - (p_0 + i d) = d (j - i)</math>
+nie ma rozwiązania.
-musi być podzielna przez <math>q</math>. Ponieważ <math>q \nmid (j - i)</math>, bo <math>1 \leqslant j - i \leqslant q - 1 < q</math>, zatem z&nbsp;lematu Euklidesa <math>q \mid d</math>.
-Z uwagi na fakt, że jest tak dla każdej liczby pierwszej <math>q < n</math>, liczba <math>d</math> musi być podzielna przez
-::<math>P(n - 1) = \prod_{q < n} q</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J36</span><br/>
+Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
-'''Punkt 4.'''<br/>
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">isQR(a, m) =
-Ponieważ <math>P(n - 1)|d</math>, to wszystkie liczby pierwsze mniejsze od <math>n</math> muszą być dzielnikami <math>d</math>. Wynika stąd, że jeśli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to musi być <math>q \geqslant n</math>. Co należało pokazać.<br/>
+ \\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
-&#9633;
+ \\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
-{{\Spoiler}}
+ {
+ '''local'''(w);
+ '''if'''( '''gcd'''(a, m) > 1, '''return'''(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
+ w = -1;
+ '''for'''(k = 1, '''floor'''(m/2), '''if'''( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; '''break'''() ));
+ '''return'''(w);
+ }</span>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C59</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
-Czasami, zamiast pisać „ciąg arytmetyczny liczb pierwszych”, będziemy posługiwali się skrótem PAP od angielskiej nazwy „''prime arithmetic progression''”. Konsekwentnie zapis PAP-<math>n</math> będzie oznaczał ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, a&nbsp;zapis PAP<math>(n, d, q)</math> ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>, pierwszym wyrazie <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d</math>.
+Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo <math>m</math>, w&nbsp;której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w&nbsp;takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
+Przykładowo:
+::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C60</span><br/>
+Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
-Jakkolwiek sądzimy, że istnieje nieskończenie wiele ciągów arytmetycznych liczb pierwszych rozpoczynających się od dowolnej liczby pierwszej <math>q</math> i&nbsp;o&nbsp;dowolnej długości <math>3 \leqslant n \leqslant q</math>, to obecnie jest to tylko nieudowodnione przypuszczenie.
-Dlatego '''nawet dla najmniejszej''' liczby pierwszej <math>q</math> takiej, że <math>q \nmid d</math> nierówność <math>n \leqslant q</math>, pokazana w&nbsp;twierdzeniu C58, pozostaje nadal tylko oszacowaniem. W&nbsp;szczególności nie możemy z&nbsp;góry przyjmować, że dla liczby <math>n = q</math> znajdziemy taką liczbę <math>d</math> będącą wielokrotnością liczby <math>P(q - 1)</math> i&nbsp;niepodzielną przez <math>q</math>, że będzie istniał PAP<math>(q, d, q)</math>.
+Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
+Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W&nbsp;zależności od przyjętej definicji najmniejszą dodatnią liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C61</span><br/>
-Rozważmy dwie różnice <math>d_1 = 6 = 2 \cdot 3</math> oraz <math>d_2 = 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7</math>. Zauważmy, że liczba pierwsza <math>5</math> nie dzieli ani <math>d_1</math>, ani <math>d_2</math>. Co więcej, liczba pierwsza <math>5</math> jest '''najmniejszą''' liczbą pierwszą, która nie dzieli rozpatrywanych różnic, zatem nierówność <math>n \leqslant 5</math> zapewnia najmocniejsze oszacowanie długości ciągu <math>n</math>. Łatwo sprawdzamy w&nbsp;zamieszczonych tabelach, że dla <math>d = 6</math> oraz dla <math>d = 42</math> są ciągi o&nbsp;długości <math>3, 4, 5</math>, ale nie ma ciągów o&nbsp;długości <math>6, 7, \ldots</math>
-W szczególności z&nbsp;twierdzenia C58 wynika, że szukając ciągów arytmetycznych liczb pierwszych o&nbsp;określonej długości <math>n</math>, należy szukać ich tylko dla różnic <math>d</math> będących wielokrotnością liczby <math>P(n - 1)</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J38</span><br/>
+Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i&nbsp;modulo <math>n</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w&nbsp;uwadze J11.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C62</span><br/>
-Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że jeżeli <math>p_0 = 3</math>, to dwa następne wyrazu rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych są różnych postaci.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J39</span><br/>
-Ponieważ <math>p_0 = 3</math>, a&nbsp;rozpatrywany PAP jest rosnący, to kolejne wyrazy ciągu są większe od liczby <math>3</math> i&nbsp;mogą być przedstawione w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia C58 wiemy, że musi być <math>n \leqslant p_0 = 3</math>, czyli długość rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi dokładnie <math>3</math> i&nbsp;istnieją tylko dwa następne wyrazy.
+Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
+Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
-Rozważmy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych składający się z&nbsp;trzech wyrazów <math>p, q, r</math> takich, że <math>p = 3</math>. Mamy
+::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math>
-::<math>r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p</math>
-Zatem
-::<math>r + q = 3 q - 3</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J40</span><br/>
+Zauważmy, że w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
-Widzimy, że prawa strona powyższej równości jest podzielna przez <math>3</math>. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być różnych postaci, bo tylko w&nbsp;takim przypadku lewa strona równości będzie również podzielna przez <math>3</math>.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J41*</span><br/>
+Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C63</span><br/>
+::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
-Wiemy, że liczby pierwsze <math>p > 3</math> można przedstawić w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci <math>6 k - 1</math> lub <math>6 k + 1</math>. Pokazać, że wszystkie wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math>, gdzie <math>p_0 \geqslant 5</math> i <math>n \geqslant 3</math> muszą być jednakowej postaci.
+|-
+| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+|-
-Niech liczby <math>p, q, r</math> będą trzema kolejnymi (dowolnie wybranymi) wyrazami rozpatrywanego ciągu. Łatwo zauważmy, że
+| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+|-
-::<math>r = q + d = q + (q - p) = 2 q - p</math>
+| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot   \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+|-
+| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot   \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+|-
+| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math>
+|-
+| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
+      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \\
+  \end{cases}</math>
+|-
+| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
+      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \\
+  \end{cases}</math>
+|-
+| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\,
+  \begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
+      - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \\
+  \end{cases}</math>
+|-
+| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
+      - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \\
+  \end{cases}</math>
+|}
-Zatem
-::<math>p + q = 3 q - r</math>
-::<math>q + r = 3 q - p</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J42</span><br/>
+Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z&nbsp;powyższego twierdzenia i&nbsp;tabela z&nbsp;twierdzenia J33 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
-::<math>p + r = 2 q</math>
-Zauważmy, że prawa strona wypisanych wyżej równości nie jest podzielna przez <math>3</math>, bo liczby <math>p, q, r</math> są liczbami pierwszymi większymi od liczby <math>3</math>. Zatem liczby po lewej stronie wypisanych wyżej równości muszą być tej samej postaci, bo gdyby było inaczej, to lewa strona tych równości byłaby podzielna przez <math>3</math>, a&nbsp;prawa nie. Czyli każda para liczb z&nbsp;trójki <math>p, q, r</math> musi być tej samej postaci i&nbsp;wynika stąd, że wszystkie trzy liczby muszą być tej samej postaci. Ponieważ trzy kolejne wyrazy ciągu <math>p_0, p_1, \ldots, p_{n - 1}</math> były wybrane dowolnie, to wszystkie wyrazy tego ciągu muszą być tej samej postaci.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J43</span><br/>
+Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
+:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
+:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
+:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C64</span><br/>
+Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>.
-Niech <math>d > 0</math> będzie różnicą ciągu arytmetycznego liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math>
-::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
-Pokazać, nie korzystając z&nbsp;twierdzenia C58, że jeżeli liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, to <math>n \leqslant q</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Przypuśćmy, że <math>n > q</math> tak, że <math>q < n \leqslant p_0</math>, zatem
-::<math>q < p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J44</span><br/>
+Wszystkie liczby kwadratowe i&nbsp;niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
-Ponieważ <math>q \nmid d</math>, to na mocy twierdzenia C57 wśród <math>q</math> kolejnych wyrazów <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math> (zauważmy, że <math>q - 1 < n - 1</math>) jedna liczba pierwsza <math>p_k</math> musi być podzielna przez <math>q</math>, zatem musi być równa <math>q</math>. Jednak jest to niemożliwe, bo <math>q < p_k</math> dla wszystkich <math>k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>. Zatem nie może być <math>n > q</math>.<br/>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
-&#9633;
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =
+ {
+ '''local'''(k, S, V);
+ S = [];
+ V = [];
+ '''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
+ S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
+ '''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
+ V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
+ '''print'''("QR: ", V);
+ '''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
+ }</span>
+<br/>
 {{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C65</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J45</span><br/>
-Niech <math>q</math> będzie liczbą pierwszą, a&nbsp;liczby pierwsze
+Pokazać, że
-::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> gdzie <math>\; k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>
+::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
+ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
+      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \\
+\end{cases}</math>
-tworzą ciąg arytmetyczny o&nbsp;długości <math>q</math> i&nbsp;różnicy <math>d > 0</math>.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Zauważmy, że
-Równość <math>p_0 = q</math> zachodzi wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>q \nmid d</math>.
+::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-<math>\Longrightarrow</math><br/>
-Jeżeli <math>p_0 = q</math>, to <math>q</math>-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych ma postać
-::<math>p_k = q + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, q - 1</math>
+::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-Gdyby <math>q \mid d</math>, to mielibyśmy
+::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-::<math>p_k = q \left( 1 + k \cdot \frac{d}{q} \right)</math>
+bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
-i wszystkie liczby <math>p_k</math> dla <math>k \geqslant 1</math> byłyby złożone, wbrew założeniu, że <math>p_k</math> tworzą <math>q</math>-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych.
+Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
-<math>\Longleftarrow</math><br/>
+::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-Ponieważ <math>q</math> jest długością rozpatrywanego ciągu arytmetycznego liczb pierwszych, to z&nbsp;twierdzenia C58 wynika, że musi być <math>q \leqslant p_0</math>.
-Z założenia liczba pierwsza <math>q</math> nie dzieli <math>d</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia C57 wiemy, że <math>q</math> musi dzielić jedną z&nbsp;liczb <math>p_0, p_1, \ldots, p_{q - 1}</math>.
+::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-Jeżeli <math>q \mid p_k</math>, to <math>p_k = q</math>. Ponieważ <math>q \leqslant p_0</math>, to możliwe jest jedynie <math>q \mid p_0</math> i&nbsp;musi być <math>p_0 = q</math>.<br/>
+::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::::<math>\; =
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
+      - 1 & \text{gdy } r = 5 \\
+\end{cases}</math>
+bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C66</span><br/>
+::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-Niech ciąg arytmetyczny liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> ma postać
-::<math>p_k = p_0 + k d \qquad</math> dla <math>\; k = 0, 1, \ldots, n - 1</math>
+::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
-Z udowodnionych wyżej twierdzeń C58 i&nbsp;C65 wynika, że ciągi arytmetyczne liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n</math> można podzielić na dwie grupy
+::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math>
-:* jeżeli <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>, to <math>P(n - 1) \mid d</math> oraz <math>p_0 = n</math> (dla ustalonego <math>d</math> może istnieć tylko jeden ciąg)
+Łatwo zauważamy, że
-:* jeżeli <math>n</math> jest liczbą złożoną lub <math>n \mid d</math>, to <math>P(n) \mid d</math> oraz <math>p_0 > n</math>
-Funkcja <math>P(t)</math> jest iloczynem wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>t</math>.
+::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C67</span><br/>
-Niech różnica ciągu arytmetycznego liczb pierwszych wynosi <math>d = 10^t</math>, gdzie <math>t \geqslant 1</math>. Zauważmy, że dla dowolnego <math>t</math> liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
-Jeżeli długość ciągu <math>n = 3</math> i <math>n \nmid d</math>, to musi być <math>p_0 = n = 3</math> i&nbsp;może istnieć tylko jeden PAP dla każdego <math>d</math>. W&nbsp;przypadku <math>t \leqslant 10000</math> jedynie dla <math>t = 1, 5, 6, 17</math> wszystkie liczby ciągu arytmetycznego <math>(3, 3 + 10^t, 3 + 2 \cdot 10^t)</math> są pierwsze.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J46</span><br/>
+Pokazać, że
+::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
+ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
+      - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \\
+\end{cases}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C68</span><br/>
+::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
-Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14, 16</math>.
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
+ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
+      - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3 \\
+\end{cases}</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Zauważmy, że dla każdej z&nbsp;podanych różnic <math>d</math>, liczba <math>3</math> jest najmniejszą liczbą pierwszą, która nie dzieli <math>d</math>. Z&nbsp;oszacowania <math>n \leqslant 3</math> wynika, że musi być <math>n = 3</math>.
-Ponieważ <math>n = 3</math> jest liczbą pierwszą i&nbsp;dla wypisanych <math>d</math> liczba <math>n \nmid d</math>, to w&nbsp;każdym przypadku może istnieć tylko jeden ciąg, którego pierwszym wyrazem jest liczba pierwsza <math>p_0 = n = 3</math>. Dla <math>d = 2, 4, 8, 10, 14</math> łatwo znajdujemy odpowiednie ciągi
+'''Punkt 1.'''
-::<math>(3, 5, 7)</math>, <math>\qquad (3, 7, 11)</math>, <math>\qquad (3, 11, 19)</math>, <math>\qquad (3, 13, 23)</math>, <math>\qquad (3, 17, 31)</math>
+Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i&nbsp;Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W&nbsp;tym przypadku mamy
-Dla <math>d = 16</math> szukany ciąg nie istnieje, bo <math>35 = 5 \cdot 7</math>.<br/>
+::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
+::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C69</span><br/>
+::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
-Znaleźć wszystkie PAP<math>(n, d, p)</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11</math> i <math>d = P (n - 1)</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
-Z założenia PAP ma długość <math>n</math>, liczba <math>n</math> jest liczbą pierwszą i <math>n \nmid d</math>. Zatem może istnieć tylko jeden PAP taki, że <math>p_0 = n</math>. Dla <math>n = 3, 5</math> i&nbsp;odpowiednio <math>d = 2, 6</math> otrzymujemy ciągi arytmetyczne liczb pierwszych
-::<math>(3, 5, 7)</math>, <math>\qquad (5, 11, 17, 23, 29)</math>
+::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
-Ale dla <math>n = 7, 11</math> i&nbsp;odpowiednio <math>d = 30, 210</math> szukane ciągi nie istnieją, bo
+Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J41 p.9)
-::<math>(7, 37, 67, 97, 127, 157, {\color{Red} 187 = 11 \cdot 17})</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+</div>
-::<math>(11, {\color{Red} 221 = 13 \cdot 17}, 431, 641, {\color{Red} 851 = 23 \cdot 37}, 1061, {\color{Red} 1271 = 31 \cdot 41}, 1481, {\color{Red} 1691 = 19 \cdot 89}, 1901, 2111)</math><br/>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-&#9633;
+::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
-{{\Spoiler}}
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+</div>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C70</span><br/>
+'''Punkt 2.'''
-Przedstawiamy przykładowe ciągi arytmetyczne liczb pierwszych, takie że <math>n = p_0</math> dla <math>n = 3, 5, 7, 11, 13</math>. Zauważmy, że wypisane w&nbsp;tabeli wartości <math>d</math> są wielokrotnościami liczby <math>P(n - 1)</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabelę|Hide=Ukryj tabelę}}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="text-align: center;"
-| style="background:#98fb98;"|<math>\mathbf{n = p_0}</math>
-| colspan=10 style="background:#ffd890;"| <math>\mathbf{d}</math>
-|-
-|-
-| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{3}</math>||<math>2</math>||<math>4</math>||<math>8</math>||<math>10</math>||<math>14</math>||<math>20</math>||<math>28</math>||<math>34</math>||<math>38</math>||<math>40</math>
-|-
-| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{5}</math>||<math>6</math>||<math>12</math>||<math>42</math>||<math>48</math>||<math>96</math>||<math>126</math>||<math>252</math>||<math>426</math>||<math>474</math>||<math>594</math>
-|-
-| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{7}</math>||<math>150</math>||<math>2760</math>||<math>3450</math>||<math>9150</math>||<math>14190</math>||<math>20040</math>||<math>21240</math>||<math>63600</math>||<math>76710</math>||<math>117420</math>
-|-
-| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{11}</math>||<math>1536160080</math>||<math>4911773580</math>||<math>25104552900</math>||<math>77375139660</math>||<math>83516678490</math>||<math>100070721660</math>||<math>150365447400</math>||<math>300035001630</math>||<math>318652145070</math>||<math>369822103350</math>
-|-
-| style="background:#98fb98; text-align: center;"|<math>\mathbf{13}</math>||<math>9918821194590</math>||<math>104340979077720</math>||<math>187635245859600</math>||<math>232320390245790</math>||<math>391467874710990</math>||<math>859201916576850</math>||<math>1024574038282410</math>||<math>1074380369464710</math>||<math>1077624363457950</math>||<math>1185763337651970</math>
-|}
+Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J41 p.9)
-Przykłady takich ciągów dla jeszcze większych liczb pierwszych Czytelnik znajdzie na stronie [http://oeis.org/A088430 A088430].<br/>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-&#9633;
+::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-{{\Spoiler}}
+</div>
+Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
+::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C71</span><br/>
+:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-Liczby <math>3, 5, 7</math> są najprostszym przykładem ciągu arytmetycznego '''kolejnych''' liczb pierwszych. Zauważmy, że tylko w&nbsp;przypadku <math>n = 3</math> możliwa jest sytuacja, że <math>n = p_0 = 3</math>. Istotnie, łatwo stwierdzamy, że
-:* ponieważ <math>p_0</math> i <math>p_1</math> są '''kolejnymi''' liczbami pierwszymi, to <math>p_1 - p_0 < p_0</math> (zobacz zadanie B22)
+:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
-:* dla dowolnej liczby pierwszej <math>q \geqslant 5</math> jest <math>q < P (q - 1)</math> (zobacz zadanie B26)
-Przypuśćmy teraz, że istnieje ciąg arytmetyczny '''kolejnych''' liczb pierwszych, taki że <math>n = p_0 \geqslant 5</math>. Mamy
+:::<math>\:\, \quad =
+\begin{cases}
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
+ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
+      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
+ \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9 \\
+\end{cases}</math>
-::<math>d = p_1 - p_0 < p_0 < P (p_0 - 1) = P (n - 1)</math>
+bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
-Zatem <math>P(n - 1) \nmid d</math>, co jest niemożliwe.
+::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
-Wynika stąd, że poza przypadkiem <math>n = p_0 = 3</math> ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych musi spełniać warunek <math>P(n) \mid d</math>, czyli <math>P(n) \mid (p_1 - p_0)</math>.
+::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
-Poniższe tabele przedstawiają przykładowe ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długościach <math>n = 3, 4, 5, 6</math> dla rosnących wartości <math>p_0</math>. Nie istnieje ciąg arytmetyczny kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> dla <math>p_0 < 10^{13}</math>. Prawdopodobnie CPAP-7 pojawią się dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
+::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
-Znane są ciągi arytmetyczne kolejnych liczb pierwszych o&nbsp;długościach <math>n \leqslant 10</math><ref name="CPAP1"/>.
+::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
+::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
+Co należało pokazać.<br/>
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 3}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{3}}</math>
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-|-
-| <math>\mathbf{3}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>2</math>
-|-
-| <math>\mathbf{47}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{151}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{167}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{199}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>12</math>
-|-
-| <math>\mathbf{251}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{257}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{367}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{557}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{587}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{601}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{647}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{727}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{941}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{971}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 4}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{4}}</math>
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-|-
-| <math>\mathbf{251}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{1741}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{3301}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{5101}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{5381}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{6311}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|-
-| <math>\mathbf{6361}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>6</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 5}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{8}}</math>
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-|-
-| <math>\mathbf{9843019}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{37772429}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{53868649}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{71427757}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{78364549}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{79080577}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{98150021}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{99591433}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|}
-{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 80%; text-align: right;"
-|- style="background: #98fb98; text-align: center;"
-| colspan=2 | <math>\mathbf{n = 6}</math>
-|- style="text-align: center;"
-| <math>\mathbf{p_0 \leqslant 10^{10}}</math>
-| style="background: #ffd890;" | <math>\mathbf{d}</math>
-|-
-| <math>\mathbf{121174811}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{1128318991}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{2201579179}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{2715239543}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{2840465567}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{3510848161}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{3688067693}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{3893783651}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{5089850089}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{5825680093}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{6649068043}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{6778294049}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{7064865859}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{7912975891}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{8099786711}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{9010802341}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{9327115723}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{9491161423}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|-
-| <math>\mathbf{9544001791}</math> || style="background:#ffd890;"|<math>30</math>
-|}
-<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2912: / Linia 1370: @@
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie C72</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J47</span><br/>
-Uzasadnij przypuszczenie, że ciągów arytmetycznych '''kolejnych''' liczb pierwszych o&nbsp;długości <math>n = 7</math> możemy oczekiwać dopiero dla <math>p_0 \sim 10^{20}</math>.
+Wykorzystując podane w&nbsp;twierdzeniu J41 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w&nbsp;PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) =
+ {
+ '''local'''(r, w);
+ '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
+ a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a &equiv; b (mod n)
+ w = 1;
+ '''while'''( a <> 0,
+        '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
+        \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n &equiv; 3,5 (mod 8)
+        \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
+        r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
+        a = n;
+        n = r;
+        '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
+        \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a &equiv; n &equiv; 3 (mod 4)
+        a = a % n;
+      );
+ '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
+ }</span>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Zauważmy, że PARI/GP ma zaimplementowaną funkcję, która pozwala obliczać symbol Jacobiego. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą całkowitą, a <math>n</math>
-Zauważmy, że ilość liczb pierwszych nie większych od <math>x</math> w&nbsp;dobrym przybliżeniu jest określona funkcją <math>\frac{x}{\log x}</math>. Ponieważ funkcja <math>\log x</math> zmienia się bardzo wolno, to odcinki liczb naturalnych o&nbsp;tej samej długości położone w&nbsp;niewielkiej odległości od siebie będą zawierały podobne ilości liczb pierwszych. Przykładowo, dla dużych wartości <math>x</math>, ilość liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(x, 2 x)</math> jest tego samego rzędu, co ilość liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(1, x)</math><ref name="PrimesInInterval"/>.
+dodatnią liczbą nieparzystą, to wystarczy napisać
+ <span style="font-size: 90%; color:black;">kronecker(a, n)</span>
-Zatem liczbę <math>\frac{1}{\log x}</math> możemy traktować jako prawdopodobieństwo trafienia na liczbę pierwszą wśród liczb znajdujących się w&nbsp;pobliżu liczby <math>x</math>. Zakładając, że liczby pierwsze są rozłożone przypadkowo, możemy wyliczyć prawdopodobieństwo tego, że <math>n</math> kolejnych liczb pierwszych, położonych w&nbsp;pobliżu liczby <math>x</math>, utworzy ciąg arytmetyczny
+aby otrzymać wartość symbolu Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>.
-::<math>\text{prob}_{\text{cpap}} (n, x) = \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)}</math>
+Kod funkcji podaliśmy dlatego, że jest to ważna funkcja i Czytelnik powinien wiedzieć, jak jest realizowana. Znajomość kodu pozwala łatwo zapisać program w innych językach i obliczać wartości tej funkcji bez korzystania z programu PARI/GP.
-gdzie <math>d = P (n)</math>. Jest tak, ponieważ w&nbsp;ciągu kolejnych liczb całkowitych musimy trafić na liczbę pierwszą, następnie na <math>d - 1</math> liczb złożonych, taka sytuacja musi się powtórzyć dokładnie <math>n - 1</math> razy, a&nbsp;na koniec znowu musimy trafić na liczbę pierwszą. Czyli potrzebujemy <math>n</math> liczb pierwszych, na które trafiamy z&nbsp;prawdopodobieństwem <math>\frac{1}{\log x}</math> oraz <math>(n - 1) (d - 1)</math> liczb złożonych, na które trafiamy z&nbsp;prawdopodobieństwem <math>1 - \frac{1}{\log x}</math>, a&nbsp;liczby te muszą pojawiać się w&nbsp;ściśle określonej kolejności.
-Ilość ciągów arytmetycznych utworzonych przez <math>n</math> kolejnych liczb pierwszych należących do przedziału <math>(x, 2 x)</math> możemy zatem oszacować na równą około
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/>
+Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a&nbsp;symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
-::<math>Q_{\text{cpap}}(n, x) = x \cdot \left( \frac{1}{\log x} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{\log x} \right)^{(n - 1) (d - 1)}</math>
+W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w&nbsp;formie uproszczonej <math>(a \mid m)</math> i&nbsp;nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
+:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Legendre'a
+:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
+:* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
-Porównując powyższe oszacowanie z&nbsp;rzeczywistą ilością <math>\# \text{CPAP}(n, x)</math> ciągów arytmetycznych kolejnych liczb pierwszych w&nbsp;przedziale <math>(x, 2x)</math> dostajemy
-::<math>\frac{\# \text{CPAP}(n, x)}{Q_{\text{cpap}} (n, x)} = f (n, x)</math>
-gdzie w&nbsp;możliwym do zbadania zakresie, czyli dla <math>x < 2^{42} \approx 4.4 \cdot 10^{12}</math> mamy
-::<math>f(n, x) \approx a_n \cdot \log x + b_n</math>
-Stałe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> wyznaczamy metodą regresji liniowej. Musimy pamiętać, że uzyskanych w&nbsp;ten sposób wyników nie możemy ekstrapolować dla dowolnie dużych <math>x</math>.
+== Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
-W przypadku <math>n = 5</math> oraz <math>n = 6</math> dysponowaliśmy zbyt małą liczbą danych, aby wyznaczyć stałe <math>a_n</math> i <math>b_n</math> z&nbsp;wystarczającą dokładnością. Dlatego w&nbsp;tych przypadkach ograniczyliśmy się do podania oszacowania funkcji <math>f(n, x)</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J49</span><br/>
+Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
-Uzyskany wyżej rezultaty są istotne, bo z&nbsp;wyliczonych postaci funkcji <math>f(n, x)</math> wynika, że są to funkcje bardzo wolno zmienne, a&nbsp;ich ekstrapolacja jest w&nbsp;pełni uprawniona.
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
-W zamieszczonej niżej tabeli mamy kolejno
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
-:* <math>n</math>, czyli długość CPAP
+ma rozwiązanie.
-:* wartość iloczynu <math>n \cdot P (n)</math>
-:* znalezioną postać funkcji <math>f(n, x)</math> lub oszacowanie wartości tej funkcji <math>C_n</math> na podstawie uzyskanych danych; w&nbsp;przypadku <math>n = 7</math> jest to oszacowanie wynikające z&nbsp;obserwacji, że wartości funkcji <math>f(n, x)</math> są rzędu <math>n \cdot P (n)</math>
-:* wyliczoną wartość <math>\frac{\# \text{CPAP}(n, 2^{40})}{Q_{\text{cpap}}(n, 2^{40})}</math>, czyli <math>f(n, 2^{40})</math>
-:* wartość funkcji <math>f(n, 2^{70})</math> wynikające z&nbsp;ekstrapolacji wzoru <math>f(n, x) = a_n \cdot \log x + b_n \qquad</math> (dla <math>n = 3, 4</math>)
-:* wartość <math>x</math> wynikającą z&nbsp;rozwiązania równania
-::: <math>\qquad (a_n \cdot \log x + b_n) \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad</math> (dla <math>n = 3, 4</math>)
-::: <math>\qquad C_n \cdot Q_{\text{cpap}} (n, x) = 1 \qquad</math> (dla <math>n = 5, 6, 7</math>)
-:* dla porównania w&nbsp;kolejnych kolumnach zostały podane dwie najmniejsze wartości <math>p_0</math> dla CPAP-n
-::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: right; margin-right: auto;"
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-|-
-! <math>n</math> !! <math>n \cdot P(n)</math> !! <math>f (n, x) \quad \text{lub} \quad C_n</math> !! <math>f (n, 2^{40})</math> !! <math>f (n, 2^{70})</math> !! <math>\sim p_0</math> !! <math></math> !! <math></math>
-|-
-| <math>\quad 3 \quad</math> || <math>18</math> || <math>0.52 \cdot \log x + 6.3</math> || <math>20.94</math> || <math>30</math> || <math>130</math> || <math>47</math> || <math>151</math>
-|-
-| <math>\quad 4 \quad</math> || <math>24</math> || <math>0.53 \cdot \log x + 11.6</math> || <math>26.61</math> || <math>36</math> || <math>1.5 \cdot 10^3</math> || <math>251</math> || <math>1741</math>
-|-
-| <math>\quad 5 \quad</math> || <math>150</math> || <math>120</math> || <math>121.45</math> || <math></math> || <math>15 \cdot 10^6</math> || <math>9843019</math> || <math>37772429</math>
-|-
-| <math>\quad 6 \quad</math> || <math>180</math> || <math>235</math> || <math>228.27</math> || <math></math> || <math>540 \cdot 10^6</math> || <math>121174811</math> || <math>1128318991</math>
-|-
-| <math>\quad 7 \quad</math> || <math>1470</math> || <math>2500</math> || <math>0</math> || <math></math> || <math>2 \cdot 10^{20}</math> || <math></math> || <math></math>
-|}
-Zauważając, że funkcje <math>f(n, x)</math> są rzędu <math>n \cdot P (n)</math> i&nbsp;przyjmując, że podobnie będzie dla <math>f(7, x)</math>, możemy wyliczyć wartość <math>x</math>, dla której może pojawić się pierwszy CPAP-7. Wartość ta jest równa w&nbsp;przybliżeniu <math>2 \cdot 10^{20}</math> i&nbsp;wynika z&nbsp;rozwiązania równania
+<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
-::<math>f(7, x) \cdot Q_{\text{cpap}}(7, x) = 1</math>
+Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
-Możemy ją łatwo wyliczyć w&nbsp;PARI/GP. Oczywiście funkcję <math>f(7, x)</math> zastąpiliśmy jej oszacowaniem <math>C_7 = 2500</math>
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">P(n) = '''prod'''(k = 2, n, '''if'''( '''isprime'''(k), k, 1 ))</span>
+Ponieważ <math>p^n \mid (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
- <span style="font-size: 90%; color:black;">Q(x) = 2500 * x * ( 1/'''log'''(x) )^7 * ( 1 - 1/'''log'''(x) )^( (7 - 1)*(P(7) - 1) )</span>
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
- <span style="font-size: 90%; color:black;">'''solve'''(x = 10^10, 10^23, Q(x) - 1 )</span>
+Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i&nbsp;pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
-== Uzupełnienie ==
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C73 (lemat Bézouta)</span><br/>
+Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i&nbsp;czytelność dowodu. Zatem
-Jeżeli liczby całkowite <math>a</math> i <math>b</math> nie są jednocześnie równe zeru, a&nbsp;największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>D</math>, to istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
-::<math>a x + b y = D</math>
+::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
-Niech <math>S</math> będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich postaci <math>a n + b m</math>, gdzie <math>n, m</math> są dowolnymi liczbami całkowitymi. Zbiór <math>S</math> nie jest zbiorem pustym, bo przykładowo liczba <math>a^2 + b^2 \in S</math>. Z&nbsp;zasady dobrego uporządkowania liczb naturalnych wynika, że zbiór <math>S</math> ma element najmniejszy, oznaczmy go literą <math>d</math>.
-Pokażemy, że <math>d \mid a</math> i <math>d \mid b</math>. Z&nbsp;twierdzenia o&nbsp;dzieleniu z&nbsp;resztą możemy napisać <math>a = k d + r</math>, gdzie <math>0 \leqslant r < d</math>.
+::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
-Przypuśćmy, że <math>d \nmid a</math>, czyli że <math>r > 0</math>. Ponieważ <math>d \in S</math>, to mamy <math>d = a u + b v</math> dla pewnych liczb całkowitych <math>u</math> i <math>v</math>. Zatem
+ma rozwiązanie (zobacz C76). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
-::<math>r = a - k d =</math>
+::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
-::<math>\;\;\, = a - k (a u + b v) =</math>
+::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
-::<math>\;\;\, = a \cdot (1 - k u) + b \cdot (- k v)</math>
+::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
-Wynika stąd, że dodatnia liczba <math>r</math> należy do zbioru <math>S</math> oraz <math>r < d</math>, wbrew określeniu liczby <math>d</math>, czyli musi być <math>r = 0</math> i <math>d \mid a</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>d \mid b</math>.
+::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
-Jeżeli <math>d'</math> jest innym dzielnikiem liczb <math>a</math> i <math>b</math>, to <math>d' \mid d</math>, bo <math>d' \mid (a u + b v)</math>. Zatem <math>d' \leqslant d</math>, skąd wynika natychmiast, że liczba <math>d</math> jest największym z&nbsp;dzielników, które jednocześnie dzielą liczby <math>a</math> oraz <math>b</math>.
+Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
-Czyli <math>d = D</math>.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C74 (lemat Euklidesa)</span><br/>
+bo <math>p^{n + 1} \mid p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
-Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą oraz <math>a, b, d \in \mathbb{Z}</math>.
-:* jeżeli <math>d \mid a b</math> i liczba <math>d</math> jest względnie pierwsza z <math>a</math>, to <math>d \mid b</math>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
-:* jeżeli <math>p \mid a b</math>, to <math>p \mid a</math> lub <math>p \mid b</math>
+Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-'''Punkt 1.'''
-Z założenia liczby <math>d</math> i <math>a</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (twierdzenie C73) istnieją takie liczby całkowite <math>x</math> i <math>y</math>, że
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J50</span><br/>
+Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \mid 2^n</math>.
-::<math>d x + a y = 1</math>
+Kongruencja
-Mnożąc obie strony równania przez <math>b</math>, dostajemy
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
-::<math>d b x + a b y = b</math>
+ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
-Obydwa wyrazy po prawej stronie są podzielne przez <math>d</math>, bo z założenia <math>d \mid a b</math>. Zatem prawa strona również jest podzielna przez <math>d</math>, czyli <math>d \mid b</math>. Co kończy dowód punktu pierwszego.
+Kongruencja
-'''Punkt 2.'''
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
-Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to <math>\gcd (p, a) = 1</math>, zatem z punktu pierwszego wynika, że <math>p \mid b</math>.
+ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
-Jeżeli <math>p \nmid b</math>, to <math>\gcd (p, b) = 1</math>, zatem z punktu pierwszego wynika, że <math>p \mid a</math>.
+Kongruencja
-Czyli <math>p</math> musi dzielić przynajmniej jedną z liczb <math>a, b</math>. Co należało pokazać.<br/>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C75</span><br/>
-Niech <math>a, b, m \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>a \mid m</math> i <math>b \mid m</math> oraz <math>\gcd (a, b) = 1</math>, to <math>a b \mid m</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J51</span><br/>
+Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
-Z założenia istnieją takie liczby <math>r, s, x, y \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m = a r</math> i <math>m = b s</math> oraz
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
-::<math>a x + b y = 1</math>
+ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
-(zobacz C73). Zatem
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
-::<math>m = m (a x + b y)</math>
+ma rozwiązanie.
-::<math>\quad \, = m a x + m b y </math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-::<math>\quad \, = b s a x + a r b y</math>
+<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
-::<math>\quad \, = a b (s x + r y)</math>
+Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
-Czyli <math>a b \mid m</math>. Co należało pokazać.<br/>
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
+Ponieważ <math>2^n \mid (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \mid (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
+::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C76</span><br/>
+Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
-Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Równanie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest dzielnikiem liczby <math>c</math>.
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
-Niech <math>D</math> oznacza największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math>.
-<math>\Longrightarrow</math>
+Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
-Jeżeli liczby całkowite <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są rozwiązaniem rozpatrywanego równania, to
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
-::<math>a x_0 + b y_0 = c</math>
+ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i&nbsp;pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
-Ponieważ <math>D</math> dzieli lewą stronę równania, to musi również dzielić prawą, zatem musi być <math>D \mid c</math>.
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
-<math>\Longleftarrow</math>
+Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
-Jeżeli <math>D \mid c</math>, to możemy napisać <math>c = k D</math> i&nbsp;równanie przyjmuje postać
+::<math>r =
+  \begin{cases}
+& \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą} \\
+& \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} \\
+  \end{cases}</math>
-::<math>a x + b y = k D</math>
+Zauważmy, że
-Lemat Bézouta (twierdzenie C73) zapewnia istnienie liczb całkowitych <math>x_0</math> i <math>y_0</math> takich, że
+::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
-::<math>a x_0 + b y_0 = D</math>
+::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
-Czyli z&nbsp;lematu Bézouta wynika, że równanie <math>a x + b y = D</math> ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach całkowitych. Przekształcając, dostajemy
+::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
-::<math>a(k x_0) + b (k y_0) = k D</math>
+::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
-Zatem liczby <math>k x_0</math> i <math>k y_0</math> są rozwiązaniem równania
+bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a&nbsp;dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
-::<math>a x + b y = k D</math>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
-Co oznacza, że równianie <math>a x + b y = c</math> ma rozwiązanie.<br/>
+Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J52</span><br/>
+Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w&nbsp;zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga C77</span><br/>
-Z twierdzenia C76 wynika, że szukając rozwiązań równania <math>A x + B y = C</math> w&nbsp;liczbach całkowitych, powinniśmy
-:* obliczyć największy wspólny dzielnik <math>D</math> liczb <math>A</math> i <math>B</math>
-:* jeżeli <math>D > 1</math>, należy sprawdzić, czy <math>D \mid C</math>
-:* jeżeli <math>D \nmid C</math>, to równanie <math>A x + B y = C</math> nie ma rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych
-:* jeżeli <math>D \mid C</math>, należy podzielić obie strony równania <math>A x + B y = C</math> przez <math>D</math> i&nbsp;przejść do rozwiązywania równania równoważnego <math>a x + b y = c</math>, gdzie <math>a = \frac{A}{D}</math>, <math>b = \frac{B}{D}</math>, <math>c = \frac{C}{D}</math>, zaś największy wspólny dzielnik liczb <math>a</math> i <math>b</math> jest równy <math>1</math>.
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J53</span><br/>
+Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z&nbsp;chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3 i&nbsp;J11) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z&nbsp;kongruencji
+::<math>\begin{align}
+ x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
+     & \,\,\,\cdots \\
+ x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
+\end{align}</math>
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie C78</span><br/>
+Z definicji J31, twierdzeń J49 i&nbsp;J51, uwagi J50 i&nbsp;wniosku J52 otrzymujemy
-Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to równanie
-::<math>a x + b y = c</math>
-ma nieskończenie wiele rozwiązań w&nbsp;liczbach całkowitych.
-Jeżeli para liczb całkowitych <math>(x_0, y_0)</math> jest jednym z&nbsp;tych rozwiązań, to wszystkie pozostałe rozwiązania całkowite można otrzymać ze wzorów
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J54</span><br/>
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
-::<math>x = x_0 + b t</math>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-::<math>y = y_0 - a t</math>
-gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą.
+ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+::{| border="0"
-Z założenia liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, zatem największy wspólny dzielnik tych liczb jest równy <math>1</math> i&nbsp;dzieli liczbę <math>c</math>. Na mocy twierdzenia C76 równanie
+|-style=height:1em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest&nbsp; <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
+|-style=height:1em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>8 \mid ( a - 1 )</math>
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>4 \mid ( a - 1 )</math>
+|}
-::<math>a x + b y = c</math>
-ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach całkowitych.
-Zauważmy, że jeżeli para liczb całkowitych <math>(x_0, y_0)</math> jest rozwiązaniem równania <math>a x + b y = c</math>, to para liczb <math>(x_0 + b t, y_0 - a t)</math> również
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J55</span><br/>
-jest rozwiązaniem. Istotnie
+Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
-::<math>a(x_0 + b t) + b (y_0 - a t) = a x_0 + a b t + b y_0 - b a t =</math>
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-:::::::::<math>\, = a x_0 + b y_0 =</math>
+nie ma rozwiązania wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z&nbsp;warunków
-:::::::::<math>\, = c</math>
+::{| border="0"
+|-style=height:1em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+|-style=height:1em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
+|-style=height:2.5em
+| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
+|}
-Pokażmy teraz, że nie istnieją inne rozwiązania niż określone wzorami
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-::<math>x = x_0 + b t</math>
+'''Punkt 1.'''
-::<math>y = y_0 - a t</math>
-gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą.
+Z założenia <math>d \mid m</math>. Gdyby kongruencja
-Przypuśćmy, że pary liczb całkowitych <math>(x, y)</math> oraz <math>(x_0, y_0)</math> są rozwiązaniami rozpatrywanego równania, zatem
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
-::<math>a x + b y = c = a x_0 + b y_0</math>
+miała rozwiązanie, to również kongruencja
-Wynika stąd, że musi być spełniony warunek
+::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
-::<math>a (x - x_0) = b (y_0 - y)</math>
+miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
-Ponieważ liczby <math>a</math> i <math>b</math> są względnie pierwsze, to na mocy lematu Euklidesa (twierdzenie C74) <math>b \mid (x - x_0)</math>. Skąd mamy
+Punkty 2. i 3. wynikają wprost z&nbsp;twierdzenia J54.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>x - x_0 = b t</math>
-gdzie <math>t</math> jest dowolną liczbą całkowitą. Po podstawieniu dostajemy natychmiast
-::<math>y - y_0 = - a t</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J56</span><br/>
+Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;tabelach zestawiliśmy kongruencje i&nbsp;ich rozwiązania.
-Co kończy dowód.<br/>
+{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
-&#9633;
+|-
-{{\Spoiler}}
+! Kongruencje || Rozwiązania
+|-
+| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math>
+|-
+| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math>
+|-
+| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math>
+|-
+| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math>
+|}
+{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
+|-
+! Kongruencje || Rozwiązania
+|-
+| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+|-
+| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+|-
+| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+|-
+| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+|}
-<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład C79</span><br/>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J57</span><br/>
-Rozwiązania równania
+Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
-::<math>a x + b y = c</math>
+::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
-gdzie <math>\gcd (a, b) = 1</math>, które omówiliśmy w poprzednim twierdzeniu, najłatwiej znaleźć korzystając w PARI/GP z funkcji <code>gcdext(a, b)</code>. Funkcja ta zwraca wektor liczb <code>[x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, d]</code>, gdzie <math>d = \gcd (a, b)</math>, a liczby <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są rozwiązaniami równania
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w&nbsp;postaci
-::<math>a x_0 + b y_0 = \gcd (a, b)</math>
+::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
-Ponieważ założyliśmy, że <math>\gcd (a, b) = 1</math>, to łatwo zauważmy, że
+::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
-::<math>a(c x_0) + b (c y_0) = c</math>
+::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
-Zatem para liczb całkowitych <math>(c x_0, c y_0)</math> jest jednym z rozwiązań równania
+Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
-::<math>a x + b y = c</math>
+::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
-i wszystkie pozostałe rozwiązania uzyskujemy ze wzorów
+::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math>
-::<math>x = c x_0 + b t</math>
+::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math>
-::<math>y = c y_0 - a t</math>
+Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
-Niech <math>a = 7</math> i <math>b = 17</math>. Funkcja <code>gcdext(7,17)</code> zwraca wektor <code>[5, -2, 1]</code>, zatem rozwiązaniami równania <math>7 x + 17 y = 1</math> są liczby
+::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
-::<math>x = 5 + 17 t</math>
+nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
-::<math>y = - 2 - 7 t</math>
+::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
-A rozwiązaniami równania <math>7 x + 17 y = 10</math> są liczby
+również nie ma rozwiązania.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-::<math>x = 50 + 17 t</math>
-::<math>y = - 20 - 7 t</math>
+<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J58</span><br/>
+Rozwiązać kongruencję
+::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Rozwiązywanie kongruencji w&nbsp;przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w&nbsp;przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
+::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
+::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math>
+::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math>
+::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math>
+Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
-== Przypisy ==
-<references>
-<ref name="WellOrdering">Korzystamy w&nbsp;tym momencie z&nbsp;zasady dobrego uporządkowania zbioru liczb naturalnych, która stwierdza, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_dobrego_uporz%C4%85dkowania Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle Wiki-en])</ref>
+Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W&nbsp;naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
-<ref name="LiczbaJestPostaci">Określenie, że „liczba <math>n</math> jest postaci <math>a k + b</math>”, jest jedynie bardziej czytelnym (obrazowym) zapisem stwierdzenia, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>n</math> przez <math>a</math> wynosi <math>b</math>. Zapis „liczba <math>n</math> jest postaci <math>a k - 1</math>” oznacza, że reszta z&nbsp;dzielenia liczby <math>n</math> przez <math>a</math> wynosi <math>a - 1</math>.</ref>
+::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-<ref name="Linnik1">Wikipedia, ''Linnik's theorem'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Linnik%27s_theorem Wiki-en])</ref>
-<ref name="Linnik2">MathWorld, ''Linnik's Theorem''. ([https://mathworld.wolfram.com/LinniksTheorem.html MathWorld])</ref>
-<ref name="Linnik3">Yuri Linnik, ''On the least prime in an arithmetic progression. I. The basic theorem'', Mat. Sb. (N.S.) 15 (1944) 139–178.</ref>
-<ref name="Linnik4">Yuri Linnik, ''On the least prime in an arithmetic progression. II. The Deuring-Heilbronn phenomenon'', Mat. Sb. (N.S.) 15 (1944) 347–368.</ref>
-<ref name="Xylouris1">Triantafyllos Xylouris, ''Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression'', Bonner Mathematische Schriften, vol. 404, Univ. Bonn, 2011, Diss.</ref>
-<ref name="Bombieri1">Enrico Bombieri, John B. Friedlander and Henryk Iwaniec, ''Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III'', Journal of the American Mathematical Society 2 (1989) 215-224</ref>
-<ref name="Turan1">Paul Turán, ''Über die Primzahlen der arithmetischen Progression'', Acta Sci. Szeged 8 (1937), 226-235</ref>
-<ref name="Wagstaff1">Samuel S. Wagstaff, Jr., ''Greatest of the Least Primes in Arithmetic Progressions Having a Given Modulus'', Mathematics of Computation Vol. 33, No. 147 (1979), 1073-1080</ref>
-<ref name="PAPWiki">Wikipedia, ''Primes in arithmetic progression'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression Wiki-en])</ref>
-<ref name="PAPMathWorld">MathWorld, ''Prime Arithmetic Progression'', ([https://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html LINK])</ref>
-<ref name="Corput">J. G. van der Corput, ''Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten'', Mathematische Annalen, 116 (1939) 1-50, ([https://eudml.org/doc/159991 LINK])</ref>
-<ref name="largestPAP">Wikipedia, ''Largest known primes in AP'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression#Largest_known_primes_in_AP Wiki-en])</ref>
-<ref name="GeenTao">Ben Green and Terence Tao, ''The Primes Contain Arbitrarily Long Arithmetic Progressions.'', Ann. of Math. (2) 167 (2008), 481-547, ([https://annals.math.princeton.edu/2008/167-2/p03 LINK1]), Preprint. 8 Apr 2004, ([http://arxiv.org/abs/math.NT/0404188 LINK2])</ref>
-<ref name="CPAP1">Wikipedia, ''Primes in arithmetic progression - Largest known consecutive primes in AP'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression#Largest_known_consecutive_primes_in_AP Wiki-en])</ref>
+== Przypisy ==
-<ref name="PrimesInInterval">Henryk Dąbrowski, ''Twierdzenie Czebyszewa o&nbsp;liczbie pierwszej między n i 2n - Uwagi do twierdzenia'', ([https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Twierdzenie_Czebyszewa_o_liczbie_pierwszej_mi%C4%99dzy_n_i_2n#Uwagi_do_twierdzenia LINK])</ref>
+<references>
-</references>
+<ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref>
+<ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref>
+<ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref>
+<ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref>
+<ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref>
+</references>