Różnica pomiędzy stronami "CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego" i "Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW"

Z Henryk Dąbrowski
(Różnica między stronami)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
 
 
Linia 1: Linia 1:
−
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">22.03.2023</div>
+
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">11.01.2023</div>
  
 
__FORCETOC__
 
__FORCETOC__
Linia 5: Linia 5:
  
  
−
== Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach ==
+
== Ciągi Lucasa ==
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J1</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N1</span><br/>
−
Niech <math>a, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Kongruencja
+
Niech <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> oraz <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>. Ciągi Lucasa <math>U_n = U_n (P, Q)</math> i <math>V_n = V_n (P, Q)</math> definiujemy następująco
  
−
::<math>u \equiv a \pmod{m n}</math>
+
::<math>U_n = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}}</math>
  
−
jest równoważna układowi kongruencji
+
::<math>V_n = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
gdzie liczby
−
u &\equiv a \pmod{m} \\
 
−
u &\equiv a \pmod{n} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>\alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}}</math>
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
::<math>\beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}}</math>
  
−
Jeżeli liczba <math>u - a</math> jest podzielna przez iloczyn <math>m n</math>, to tym bardziej jest podzielna przez dowolny czynnik tego iloczynu, skąd wynika natychmiast wypisany układ kongruencji.
+
są pierwiastkami równania <math>x^2 - P x + Q = 0</math>.
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 
  
−
Z kongruencji
 
  
−
::<math>u \equiv a \pmod{m}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N2</span><br/>
 +
Zauważmy, że:
  
−
wynika, że <math>u - a = k m</math>, zaś z&nbsp;kongruencji
+
::<math>P = \alpha + \beta</math>
  
−
::<math>u \equiv a \pmod{n}</math>
+
::<math>Q = \alpha \beta</math>
  
−
otrzymujemy <math>n \mid (u - a)</math>, czyli <math>n \mid k m</math>. Ponieważ <math>\gcd (m, n) = 1</math>, zatem <math>n \mid k</math> (zobacz C74) i&nbsp;istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>k = s n</math>, czyli <math>u - a = s n m</math>, a&nbsp;stąd <math>u \equiv a \!\! \pmod{m n}</math>. Co kończy dowód.<br/>
+
::<math>\sqrt{D} = \alpha - \beta</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>U_0 = 0</math>, <math>U_1 = 1</math>, <math>V_0 = 2</math> i <math>V_1 = P</math>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J2</span><br/>
+
Warunek <math>P^2 - 4 Q \neq 0</math> wyklucza następujące pary <math>(P, Q)</math>
−
Dla dowolnych liczb <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> i&nbsp;względnie pierwszych liczb <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> istnieje dokładnie jedna taka liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>), że prawdziwy jest układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>(0, 0), (\pm 2, 1), (\pm 4, 4), (\pm 6, 9), (\pm 8, 16), (\pm 10, 25), (\pm 12, 36), ..., (\pm 2 n, n^2), ...</math>
−
c & \equiv a \pmod{m} \\
 
−
c & \equiv b \pmod{n} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Z&nbsp;założenia liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, zatem na mocy lematu Bézouta (C.71) istnieją takie liczby <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>, że
 
  
−
::<math>m x + n y = 1</math>
 
  
−
Niech <math>c = a n y + b m x</math>. Modulo <math>m</math> dostajemy
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N3</span><br/>
 +
Oczywiście liczby <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> są również pierwiastkami równania
  
−
::<math>c \equiv a n y \pmod{m}</math>
+
::<math>x^{n + 2} - P x^{n + 1} + Q x^n = 0</math>
  
−
::<math>c \equiv a (1 - m x) \pmod{m}</math>
+
Wynika stąd, że ciągi <math>(\alpha^n)</math> i <math>(\beta^n)</math> spełniają równania rekurencyjne
  
−
::<math>c \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>\alpha^{n + 2} = P \alpha^{n + 1} - Q \alpha^n</math>
  
−
Natomiast modulo <math>n</math> mamy
+
::<math>\beta^{n + 2} = P \beta^{n + 1} - Q \beta^n</math>
  
−
::<math>c \equiv b m x \pmod{n}</math>
+
Ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> spełniają identyczne równania rekurencyjne jak ciągi <math>(\alpha^n)</math> i <math>(\beta^n)</math>. Istotnie, odejmując i&nbsp;dodając stronami wypisane powyżej równania, otrzymujemy
  
−
::<math>c \equiv b (1 - n y) \pmod{n}</math>
+
::<math>U_{n + 2} = P U_{n + 1} - Q U_n</math>
  
−
::<math>c \equiv b \pmod{n}</math>
+
::<math>V_{n + 2} = P V_{n + 1} - Q V_n</math>
  
−
Pokazaliśmy tym samym istnienie szukanej liczby <math>c</math>. Przypuśćmy, że istnieją dwie takie liczby <math>c</math> i <math>d</math>. Z&nbsp;założenia <math>m \mid (d - a)</math> i <math>m \mid (c - a)</math>, zatem <math>m</math> dzieli różnicę tych liczb, czyli <math>m \mid (d - c)</math>. Podobnie pokazujemy, że <math>n \mid (d - c)</math>. Ponieważ liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, to <math>m n \mid (d - c)</math> (zobacz C75), co oznacza, że
+
Dlatego możemy zdefiniować ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> w&nbsp;sposób równoważny
  
−
::<math>d \equiv c \pmod{m n}</math>.
 
  
−
Czyli możemy powiedzieć, że wybrana przez nas liczba <math>c</math> jest określona modulo <math>m n</math> i&nbsp;tak rozumiana jest dokładnie jedna. W&nbsp;szczególności istnieje tylko jedna liczba <math>c</math> taka, że <math>1 \leqslant c \leqslant m n</math>.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N4</span><br/>
 +
Niech <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}</math> oraz <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>. Ciągi Lucasa <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> określone są następującymi wzorami rekurencyjnymi
  
 +
::<math>U_0 = 0</math>, <math>U_1 = 1</math>, <math>U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J3 (chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach)</span><br/>
+
::<math>V_0 = 2</math>, <math>V_1 = P</math>, <math>V_n = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2}</math>
−
Niech <math>a, b, c, u \in \mathbb{Z}</math> i <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> oraz niech <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że kongruencja
 
  
−
::<math>u \equiv c \pmod{m n}</math>
 
  
−
jest równoważna układowi kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N5</span><br/>
−
u & \equiv a \pmod{m} \\
+
Początkowe wyrazy ciągów Lucasa
−
u & \equiv b \pmod{n} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
−
Z&nbsp;twierdzenia J2 wiemy, że istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m n</math>) taka, że prawdziwy jest układ kongruencji
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{U_n (P, Q)}</math> !! <math>\boldsymbol{V_n (P, Q)}</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>0</math>&nbsp;&nbsp; || <math>0</math> || <math>2</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>1</math>&nbsp;&nbsp; || <math>1</math> || <math>P</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>2</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P</math> || <math>P^2 - 2 Q</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>3</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^2 - Q</math> || <math>P^3 - 3 P Q</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>4</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^3 - 2 P Q</math> || <math>P^4 - 4 P^2 Q + 2 Q^2</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>5</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^4 - 3 P^2 Q + Q^2</math> || <math>P^5 - 5 P^3 Q + 5 P Q^2</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>6</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^5 - 4 P^3 Q + 3 P Q^2</math> || <math>P^6 - 6 P^4 Q + 9 P^2 Q^2 - 2 Q^3</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>7</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^6 - 5 P^4 Q + 6 P^2 Q^2 - Q^3</math> || <math>P^7 - 7 P^5 Q + 14 P^3 Q^2 - 7 P Q^3</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>8</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^7 - 6 P^5 Q + 10 P^3 Q^2 - 4 P Q^3</math> || <math>P^8 - 8 P^6 Q + 20 P^4 Q^2 - 16 P^2 Q^3 + 2 Q^4</math>
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;<math>9</math>&nbsp;&nbsp; || <math>P^8 - 7 P^6 Q + 15 P^4 Q^2 - 10 P^2 Q^3 + Q^4</math> || <math>P^9 - 9 P^7 Q + 27 P^5 Q^2 - 30 P^3 Q^3 + 9 P Q^4</math>
 +
|}
  
−
::<math>\begin{align}
 
−
c & \equiv a \pmod{m} \\
 
−
c & \equiv b \pmod{n} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Korzystając z&nbsp;tego rezultatu i&nbsp;twierdzenia J1, otrzymujemy
 
  
−
::<math>u \equiv c \pmod{m n} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N6</span><br/>
−
\begin{array}{l}
+
W PARI/GP możemy napisać prosty kod, który pozwoli obliczyć wartości wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math>
−
  u \equiv c \; \pmod{m} \\
 
−
  u \equiv c \; \pmod{n} \\
 
−
\end{array} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
 
−
\begin{array}{l}
 
−
  u \equiv a \; \pmod{m} \\
 
−
  u \equiv b \:\, \pmod{n} \\
 
−
\end{array} </math>
 
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">LucasU(n, P, Q) = '''if'''( n == 0, 0, '''if'''( n == 1, 1, P*LucasU(n-1, P, Q) - Q*LucasU(n-2, P, Q) ) )</span>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">LucasV(n, P, Q) = '''if'''( n == 0, 2, '''if'''( n == 1, P, P*LucasV(n-1, P, Q) - Q*LucasV(n-2, P, Q) ) )</span>
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J4</span><br/>
 
−
Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach<ref name="CRT1"/> (CRT<ref name="CRT2"/>) pozostaje prawdziwe w&nbsp;przypadku układu skończonej liczby kongruencji. Założenie, że moduły <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze, jest istotne. Przykładowo układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N7</span><br/>
−
u &\equiv 1 \pmod{4} \\
+
Niech <math>D = P^2 - 4 Q</math>. Wyrazy ciągów Lucasa można przedstawić w&nbsp;postaci sumy
−
u &\equiv 3 \pmod{8} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
nie może być zapisany w&nbsp;postaci jednej równoważnej kongruencji, bo nie istnieją liczby, które spełniałyby powyższy układ jednocześnie. Łatwo zauważamy, że rozwiązaniem pierwszego równania jest <math>u = 4 k + 1</math>, które dla liczb <math>k</math> parzystych i&nbsp;nieparzystych ma postać
+
::<math>2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
  
−
::<math>u = 8 j + 1, \qquad u = 8 j + 5</math>
+
::<math>2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
  
−
i nie może być <math>u \equiv 3 \!\! \pmod{8}</math>.
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Oznaczmy <math>\delta = \sqrt{D}</math>, zatem <math>2 \alpha = P + \delta</math> i <math>2 \beta = P - \delta</math>. Ze wzoru dwumianowego, mamy
  
 +
::<math>2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j</math>
  
 +
::<math>2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J5</span><br/>
+
Obliczając sumę powyższych wzorów, otrzymujemy
−
Niech <math>u, a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}</math> i <math>m_1, \ldots, m_k \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>m_1, \ldots, m_k</math> są parami względnie pierwsze (czyli <math>\gcd (m_i, m_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>), to istnieje dokładnie jedna liczba <math>c</math> (określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k</math>) taka, że układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>2^n (\alpha^n + \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j + (- \delta)^j)</math>
−
u & \equiv a_1 \pmod{m_1} \\
 
−
  & \cdots \\
 
−
u & \equiv a_k \pmod{m_k} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
można zapisać w&nbsp;sposób równoważny w&nbsp;postaci kongruencji
+
:::::<math>\quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} \cdot 2 \delta^{2 k}</math>
  
−
::<math>u \equiv c \;\; \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k}</math>
+
:::::<math>\quad \: = 2 \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
gdzie <math>j = 2 k</math> i&nbsp;sumowanie przebiega od <math>k = 0</math> do <math>k = \lfloor n / 2 \rfloor</math>
−
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby <math>k = 2</math> (zobacz J3). Zakładając prawdziwość twierdzenia dla liczby naturalnej <math>k \geqslant 2</math>, dla liczby <math>k + 1</math> otrzymujemy układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
Zatem
−
u & \equiv c \quad \;\, \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k} \\
 
−
u & \equiv a_{k + 1} \pmod{m_{k + 1}} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
gdzie skorzystaliśmy z&nbsp;założenia indukcyjnego. Z&nbsp;twierdzenia J3 wynika, że układ ten można zapisać w&nbsp;sposób równoważny w&nbsp;postaci kongruencji
+
::<math>2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k</math>
  
−
::<math>u \equiv c' \pmod{m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}}</math>
 
  
−
gdzie liczba <math>c'</math> jest dokładnie jedna i&nbsp;jest określona modulo <math>m_1 \cdot \ldots \cdot m_k m_{k + 1}</math>. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k + 1</math>. Co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
Obliczając różnicę tych wzorów, mamy
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j)</math>
  
 +
:::::<math>\quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} \cdot 2 \delta^{2 k + 1}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J6</span><br/>
+
:::::<math>\quad \: = 2 \delta \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
−
Dysponujemy pewną ilością kulek. Grupując je po <math>5</math>, zostają nam <math>3</math>, a&nbsp;kiedy próbujemy ustawić je po <math>7</math>, zostają nam <math>4</math>. Jaka najmniejsza ilość kulek spełnia te warunki? Rozważmy układ kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
gdzie <math>j = 2 k + 1</math> i&nbsp;sumowanie przebiega od <math>k = 0</math> do <math>k = \lfloor (n - 1) / 2 \rfloor</math>
−
n &\equiv 3 \pmod{5} \\
 
−
n &\equiv 4 \pmod{7} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Z chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach wiemy, że powyższy układ możemy zapisać w&nbsp;postaci równoważnej kongruencji modulo <math>35</math>. Jeśli chcemy zaoszczędzić sobie trudu, to wystarczy skorzystać z&nbsp;PARI/GP. Wpisując proste polecenie
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( Mod(3,5), Mod(4,7) )</span>
+
Zatem
  
−
uzyskujemy wynik <code>Mod(18, 35)</code>, zatem równoważna kongruencja ma postać
+
::<math>2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} = 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
  
−
::<math>n \equiv 18 \pmod{35}</math>
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Jest to zarazem odpowiedź na postawione pytanie: najmniejsza liczba kulek wynosi <math>18</math>.
 
  
−
Gdybyśmy chcieli rozważać bardziej rozbudowany układ kongruencji, przykładowo
 
  
−
::<math>\begin{align}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N8</span><br/>
−
n &\equiv 1 \pmod{2} \\
+
Korzystając z&nbsp;twierdzenia N7, możemy napisać proste funkcje do znajdowania postaci kolejnych wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math>
−
n &\equiv 2 \pmod{3} \\
 
−
n &\equiv 3 \pmod{5} \\
 
−
n &\equiv 4 \pmod{7} \\
 
−
n &\equiv 5 \pmod{11} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
to argumenty należy zapisać w&nbsp;postaci wektora
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">U(n) = 2^(1 - n)*'''sum'''(k=0, '''floor'''((n-1)/2), '''binomial'''(n, 2*k+1) * P^(n-2*k-1) * (P^2-4*Q)^k)</span>
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">chinese( [Mod(1,2), Mod(2,3), Mod(3,5), Mod(4,7), Mod(5,11)] )</span>
+
  <span style="font-size: 90%; color:black;">V(n) = 2^(1 - n)*'''sum'''(k=0, '''floor'''(n/2), '''binomial'''(n, 2*k) * P^(n-2*k) * (P^2-4*Q)^k)</span>
  
−
Otrzymujemy <code>Mod(1523, 2310)</code>.
 
  
  
 +
Często możemy spotkać założenie <math>P \geqslant 1</math>. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego tak jest.
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N9</span><br/>
 +
Jeżeli <math>(U_n)</math> i <math>(V_n)</math> są ciągami Lucasa, to
  
 +
::<math>U_n (- P, Q) = (- 1)^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
  
−
== Wielomiany ==
+
::<math>V_n (- P, Q) = (- 1)^n V_n (P, Q)</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J7</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla dowolnych liczb całkowitych <math>x, s</math> prawdziwy jest wzór
+
Niech
  
−
::<math>x^n = s^n + (x - s) \cdot R_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>\alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad \;\; \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2}</math>
  
−
gdzie <math>R_{n - 1} (x)</math> jest pewnym wielomianem całkowitym stopnia <math>n - 1</math>.
+
::<math>a = \frac{- P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad b = \frac{- P - \sqrt{D}}{2}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
−
Indukcja matematyczna. Dla <math>n = 1, 2, 3</math> mamy
 
  
−
::<math>x = s + (x - s) \cdot 1</math>
+
::<math>x^2 - P x + Q = 0</math>
  
−
::<math>x^2 = s^2 + (x - s) (x + s)</math>
+
::<math>x^2 + P x + Q = 0</math>
  
−
::<math>x^3 = s^3 + (x - s) (x^2 + x s + s^2)</math>
+
Zatem definiują one ciągi Lucasa
  
−
Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb całkowitych dodatnich należących do przedziału <math>[1, n]</math> otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
+
::<math>U_n (P, Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \qquad \qquad \;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
::<math>x^{n + 1} = x \cdot x^n</math>
+
::<math>U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} \qquad \qquad V_n (- P, Q) = a^n + b^n</math>
  
−
:::<math>\;\;\; = x \cdot [s^n + (x - s) \cdot R_{n - 1} (x)]</math>
+
Zauważmy, że
  
−
:::<math>\;\;\; = x s^n + x (x - s) R_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{D}</math>
  
−
:::<math>\;\;\; = [s + (x - s)] s^n + x (x - s) R_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>\frac{a}{\beta} = \frac{b}{\alpha} = - 1</math>
  
−
:::<math>\;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) s^n + x (x - s) R_{n - 1} (x)</math>
+
Łatwo znajdujemy
  
−
:::<math>\;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) [s^n + x R_{n - 1} (x)]</math>
+
::<math>U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} = \frac{(- \beta)^n - (- \alpha)^n}{\sqrt{D}} = (- 1)^n \cdot \frac{\beta^n - \alpha^n}{\alpha - \beta} = (- 1)^{n - 1} \cdot U_n (P, Q)</math>
  
−
:::<math>\;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) R_n (x)</math>
+
::<math>V_n (- P, Q) = a^n + b^n = (- \beta)^n + (- \alpha)^n = (- 1)^n \cdot (\alpha^n + \beta^n) = (- 1)^n \cdot V_n (P, Q)</math>
  
−
gdzie oznaczyliśmy <math>R_n (x) = s^n + x R_{n - 1} (x)</math>. Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 243: Linia 216:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J8</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N10</span><br/>
−
Niech <math>W_n (x)</math> będzie dowolnym wielomianem stopnia <math>n \geqslant 1</math>. Wielomian <math>W_n (x)</math> można przedstawić w postaci
+
Pokazać, że jeżeli <math>P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> i <math>D = P^2 - 4 Q \neq 0</math>, to
  
−
::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>U_n (2 P, 4 Q) = 2^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
  
−
gdzie <math>V_{n - 1} (x)</math> jest wielomianem stopnia <math>n - 1</math>, a współczynniki wiodące wielomianów <math>W_n (x)</math> i <math>V_{n - 1} (x)</math> są sobie równe.
+
::<math>V_n (2 P, 4 Q) = 2^n V_n (P, Q)</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Z założenia <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Korzystając z twierdzenia J7, dostajemy
+
Niech
  
−
::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math>
+
::<math>\alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} \qquad \qquad \;\; \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}}</math>
  
−
::::::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math>
+
::<math>a = P + \sqrt{D} \qquad \qquad \;\; b = P - \sqrt{D}</math>
  
−
::::::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x - s) R_{k - 1} (x)</math>
+
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
  
−
::::::<math>\quad \,\, = (x - s) \cdot \sum_{k = 1}^{n} a_k R_{k - 1} (x)</math>
+
::<math>x^2 - P x + Q = 0</math>
  
−
::::::<math>\quad \,\, = (x - s) \cdot V_{n - 1} (x)</math>
+
::<math>x^2 - 2 P x + 4 Q = 0</math>
  
−
gdzie oznaczyliśmy <math>V_{n - 1} (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_k R_{k - 1} (x)</math>. Ponieważ wielomian <math>a_n R_{n - 1} (x)</math> ma najwyższy stopnień równy <math>n - 1</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>n - 1</math>.
+
Zatem definiują one ciągi Lucasa
  
−
Niech <math>V_{n - 1} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>. Mamy
+
::<math>U_n (P, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \;\;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
::<math>\sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^{k + 1} - s \sum_{k = 0}^{n - 1} b_k x^k</math>
+
::<math>U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n</math>
  
−
Porównując wyrazy o najwyższym stopniu, łatwo zauważamy, że <math>a_n = b_{n - 1}</math>. Czyli współczynnik wiodący wielomianu <math>V_{n - 1} (x)</math> jest równy <math>a_n</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Zauważmy, że
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\alpha - \beta = \sqrt{D}</math>
  
 +
::<math>a - b = 2 \sqrt{D}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J9</span><br/>
+
::<math>{\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{b}{\beta}} = 2</math>
−
Wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>a_n \neq 0</math>, będziemy nazywali wielomianem całkowitym stopnia <math>n</math>.
 
  
 +
Łatwo znajdujemy
  
 +
::<math>U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} = {\small\frac{(2 \alpha)^n - (2 \beta)^n}{2 \sqrt{D}}} = 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = 2^{n - 1} U_n (P, Q)</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J10</span><br/>
+
::<math>V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n = (2 \alpha)^n + (2 \beta)^n = 2^n (\alpha^n + \beta^n) = 2^n V_n (P, Q)</math>
−
Powiemy, że wielomian całkowity <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą, jeżeli <math>p \nmid a_n</math>. Jeżeli każdy współczynnik <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, 1, \ldots, n</math>, jest podzielny przez <math>p</math>, to stopień wielomianu <math>W_n (x)</math> modulo <math>p</math> jest nieokreślony.
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J11</span><br/>
 
−
Niech <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> będzie wielomianem całkowitym i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli prawdziwa jest kongruencja <math>x \equiv y \!\! \pmod{m}</math>, to
 
−
 
 
−
::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
 
−
 
 
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Dla <math>k \geqslant 1</math> wyrażenie <math>x^k - y^k</math> jest podzielne przez <math>x - y</math>, co łatwo pokazać stosując indukcję matematyczną lub zauważając, że
 
−
 
 
−
::<math>x^k - y^k = (x - y) \sum_{j = 1}^{k} x^{k - j} y^{j - 1}</math>
 
−
 
 
−
Z założenia <math>m \mid (x - y)</math>, zatem dla <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>m \mid (x^k - y^k)</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
 
−
 
 
−
::<math>\begin{align}
 
−
  a_0 & \equiv a_0 \;\;\:\, \pmod{m}\\
 
−
  a_1 x & \equiv a_1 y \;\, \pmod{m}\\
 
−
  a_2 x^2 & \equiv a_2 y^2 \pmod{m}\\
 
−
  & \cdots \\
 
−
  a_n x^n & \equiv a_n y^n \pmod{m} \\
 
−
\end{align}</math>
 
−
 
 
−
Dodając wypisane kongruencje stronami, otrzymujemy
 
−
 
 
−
::<math>W_n (x) \equiv W_n (y) \pmod{m}</math>
 
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 315: Linia 262:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J12</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N11</span><br/>
−
Niech <math>W(x)</math> będzie wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencję
+
Pokazać, że jeżeli <math>Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> oraz <math>P = 4 Q - 1</math>, to
  
−
::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n} \qquad \qquad \qquad (1)</math>
+
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q)</math>
  
−
gdzie liczby <math>m</math> i <math>n</math> są względnie pierwsze.
+
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q)</math>
  
−
Kongruencja ta jest równoważna układowi kongruencji
+
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q)</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q)</math>
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{m} \\
 
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \\
 
−
\end{align} \qquad \qquad \qquad \; (2)</math>
 
  
−
Zatem problem szukania rozwiązań kongruencji <math>(1)</math> możemy sprowadzić do szukania rozwiązań układu kongruencji <math>(2)</math>. W&nbsp;szczególności wynika stąd, że jeżeli któraś z&nbsp;kongruencji <math>(2)</math> nie ma rozwiązania, to kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m n}</math> również nie ma rozwiązania.
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech
  
−
Załóżmy, że każda z&nbsp;kongruencji <math>(2)</math> ma przynajmniej jedno rozwiązanie i&nbsp;niech
+
::<math>\alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{- P}}{2}}</math>
  
−
:* <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
+
::<math>a = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{2}}</math>
−
:* <math>x \equiv b \!\! \pmod{n}</math> będzie pierwiastkiem kongruencji <math>W (x) \equiv 0 \!\! \pmod{n}</math>
 
  
−
Pierwiastki te tworzą układ kongruencji
+
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>x^2 - x + {\small\frac{P + 1}{4}} = 0</math>
−
x &\equiv a \pmod{m} \\
 
−
x &\equiv b \pmod{n} \\
 
−
\end{align} \qquad \qquad \qquad \qquad (3)</math>
 
  
−
Z chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach wiemy, że układ ten możemy zapisać w&nbsp;postaci równoważnej
+
::<math>x^2 - P x + {\small\frac{P (P + 1)}{4}} = 0</math>
  
−
::<math>x \equiv c \pmod{m n}</math>
+
Z założenia <math>P = 4 Q - 1</math>, zatem
  
−
Zauważmy, że liczba <math>c</math> określona modulo <math>m n</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(1)</math>. Istotnie z&nbsp;twierdzenia J11 mamy
+
::<math>x^2 - x + Q = 0</math>
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>x^2 - P x + P Q = 0</math>
−
  W (c) &\equiv W (a) \equiv 0 \pmod{m} \\
 
−
  W (c) &\equiv W (b) \equiv 0 \pmod{n} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
ale liczby <math>m, n</math> są względnie pierwsze, zatem otrzymujemy, że
+
Czyli definiują one ciągi Lucasa
  
−
::<math>W (c) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
+
::<math>U_n (1, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \:\:\: V_n (1, Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
Wynika stąd, że każdemu układowi rozwiązań <math>(3)</math> odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math>.
+
::<math>U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n</math>
  
−
Podsumujmy: jeżeli kongruencje
+
Zauważmy, że
  
−
::<math>\begin{align}
+
::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{- P}</math>
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{m} \\
 
−
  W (x) &\equiv 0 \pmod{n} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
mają odpowiednio <math>r</math> i <math>s</math> pierwiastków, to liczba różnych układów kongruencji <math>(3)</math> jest równa iloczynowi <math>r s</math> i&nbsp;istnieje <math>r s</math> różnych rozwiązań kongruencji
+
::<math>{\small\frac{a}{\beta}} = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{1 - \sqrt{- P}}} = \sqrt{- P}</math>
  
−
::<math>W(x) \equiv 0 \pmod{m n}</math>
+
::<math>{\small\frac{b}{\alpha}} = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{1 + \sqrt{- P}}} = - \sqrt{- P}</math>
  
  
 +
Łatwo znajdujemy
  
 +
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k}}{\sqrt{- P}} = \frac{(- P)^k (\beta^{2 k} - \alpha^{2 k})}{\alpha - \beta} = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q)</math>
  
  
−
== Twierdzenie Lagrange'a ==
+
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = (- P)^k (\beta^{2 k + 1} + \alpha^{2 k + 1}) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q)</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J13</span><br/>
 
−
Kongruencja
 
  
−
::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k} = (- P)^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q)</math>
  
−
gdzie <math>p \nmid a_1</math>, ma dokładnie jedno rozwiązanie modulo <math>p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} = (- P)^{k + 1} \cdot \frac{\beta^{2 k + 1} - \alpha^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q)</math>
  
−
'''A. Istnienie rozwiązania'''
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
Ponieważ rozpatrywaną kongruencję możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>a_1 x + a_0 = k p</math>, to istnienie liczb <math>x</math> i <math>k</math>, dla których ta równość jest prawdziwa, wynika z&nbsp;twierdzenia C76. Poniżej przedstawimy jeszcze jeden sposób znalezienia rozwiązania.
 
  
−
Ponieważ <math>\gcd (a_1, p) = 1</math>, to istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>a_1 r + p s = 1</math> (zobacz C73 - lemat Bézouta). Zauważmy, że <math>p \nmid r</math>, bo gdyby tak było, to liczba pierwsza <math>p</math> dzieliłaby wyrażenie <math>a_1 r + p s</math>, ale jest to niemożliwe, bo <math>a_1 r + p s = 1</math>. Czyli modulo <math>p</math> mamy
 
  
−
::<math>a_1 r \equiv 1 \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N12</span><br/>
 +
Pokazać, że jeżeli <math>Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}</math> oraz <math>P = 4 Q + 1</math>, to
  
−
Mnożąc rozpatrywaną kongruencję przez <math>r</math>, otrzymujemy
+
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = P^k U_{2 k} (1, - Q)</math>
  
−
::<math>a_1 r x + a_0 r \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
  
−
Zatem
+
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = P^k V_{2 k} (1, - Q)</math>
  
−
::<math>x \equiv - a_0 r \pmod{p}</math>
+
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
  
−
'''B. Brak innych rozwiązań'''
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech
  
−
Przypuśćmy, że istnieją dwa różne rozwiązania kongruencji
+
::<math>\alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{P}}{2}}</math>
  
−
::<math>a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>a = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{2}}</math>
  
−
Jeśli oznaczymy je przez <math>x_1</math> i <math>x_2</math>, to otrzymamy
+
Liczby <math>\alpha, \beta</math> oraz <math>a, b</math> są odpowiednio pierwiastkami równań
  
−
::<math>a_1 x_1 + a_0 \equiv 0 \equiv a_1 x_2 + a_0 \pmod{p}</math>
+
::<math>x^2 - x - {\small\frac{P - 1}{4}} = 0</math>
  
−
Czyli
+
::<math>x^2 - P x + {\small\frac{P (P - 1)}{4}} = 0</math>
  
−
::<math>a_1 x_1 \equiv a_1 x_2 \pmod{p}</math>
+
Z założenia <math>P = 4 Q + 1</math>, zatem
  
−
::<math>p \mid a_1 (x_1 - x_2)</math>
+
::<math>x^2 - x - Q = 0</math>
  
−
Ponieważ <math>p \nmid a_1</math>, to z&nbsp;lematu Euklidesa (C74) otrzymujemy natychmiast <math>p \mid (x_1 - x_2)</math>. Skąd wynika, że <math>x_1 \equiv x_2 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>x_1</math> i <math>x_2</math> są dwoma różnymi rozwiązaniami. Co kończy dowód.<br/>
+
::<math>x^2 - P x + P Q = 0</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Czyli definiują one ciągi Lucasa
  
 +
::<math>U_n (1, - Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad V_n (1, - Q) = \alpha^n + \beta^n</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J14 (Joseph Louis Lagrange, 1768)</span><br/>
+
::<math>U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n</math>
−
Jeżeli wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>, gdzie <math>n \geqslant 1</math>, to kongruencja
 
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Zauważmy, że
  
−
ma co najwyżej <math>n</math> rozwiązań.
+
::<math>\alpha - \beta = a - b = \sqrt{P}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>{\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{1 + \sqrt{P}}} = \sqrt{P}</math>
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;J13 wiemy, że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n - 1</math>. Niech wielomian <math>W_n (x)</math> ma stopień <math>n</math> modulo <math>p</math>. Jeżeli kongruencja
 
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>{\small\frac{b}{\beta}} = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{1 - \sqrt{P}}} = - \sqrt{P}</math>
  
−
nie ma żadnego rozwiązania, to dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n</math>. Przypuśćmy teraz, że wypisana wyżej kongruencja ma przynajmniej jeden pierwiastek <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia J8, możemy napisać
 
  
−
::<math>W_n (x) - W_n (s) = (x - s) V_{n - 1} (x)</math>
+
Łatwo znajdujemy
  
−
gdzie wielomian <math>V_{n - 1} (x)</math> ma stopień <math>n - 1</math> modulo <math>p</math>, bo wielomiany <math>W_n (x)</math> oraz <math>V_{n - 1} (x)</math> mają jednakowe współczynniki wiodące.
+
::<math>U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k}}{\sqrt{P}} = \frac{P^k (\alpha^{2 k} - \beta^{2 k})}{\alpha - \beta} = P^k U_{2 k} (1, - Q)</math>
  
  
−
Z założenia <math>x \equiv s \!\! \pmod{p}</math> jest jednym z&nbsp;pierwiastków kongruencji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem modulo <math>p</math> otrzymujemy
+
::<math>U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^k (\alpha^{2 k + 1} + \beta^{2 k + 1}) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
  
−
::<math>W_n (x) \equiv (x - s) V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
 
  
−
Ponieważ <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to z&nbsp;rozpatrywanej kongruencji
+
::<math>V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k} = P^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = P^k V_{2 k} (1, - Q)</math>
  
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
 
  
−
wynika, że musi być (zobacz C74)
+
::<math>V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} = P^{k + 1} \cdot \frac{\alpha^{2 k + 1} - \beta^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q)</math>
  
−
::<math>x \equiv s \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad V_{n - 1} (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Co należało pokazać.<br/>
−
 
 
−
 
 
−
Z założenia indukcyjnego kongruencja
 
−
 
 
−
::<math>V_{n - 1} (x) \pmod{p}</math>
 
−
 
 
−
ma co najwyżej <math>n - 1</math> rozwiązań, zatem kongruencja
 
−
 
 
−
::<math>W_n (x) \equiv 0 \pmod{p}</math>
 
−
 
 
−
ma nie więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Co należało pokazać.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 470: Linia 390:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J15</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N13</span><br/>
−
Jeżeli kongruencja
+
Dla wyrazów ciągów Lucasa prawdziwe są wzory
  
−
::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
−
 
+
|-
−
ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań, to wszystkie współczynniki <math>a_k</math>, gdzie <math>k = 0, \ldots, n</math>, muszą być podzielne przez <math>p</math>.
+
| <math>1.</math> || <math>U_{m + n} = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>2.</math> || <math>V_{m + n} = V_m V_n - Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>3.</math> || <math>U_{m + n} = U_m V_n - Q^n U_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>4.</math> || <math>V_{m + n} = D U_m U_n + Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>5.</math> || <math>U_m V_n - V_m U_n = 2 Q^n U_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>6.</math> || <math>U^2_n = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1}</math> ||
 +
|-
 +
| <math>7.</math> || <math>V^2_n = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1}</math> ||
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
 +
|-
 +
| <math>\;\; 8.</math> || <math>2 U_{m + n} = U_m V_n + V_m U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>\;\; 9.</math> || <math>2 V_{m + n} = V_m V_n + D U_m U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>10.</math> || <math>V_m V_n - D U_m U_n = 2 Q^n V_{m - n}</math> || <math>m \geqslant n</math>
 +
|-
 +
| <math>11.</math> || <math>U_{2 n} = U_n V_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>12.</math> || <math>V_{2 n} = V^2_n - 2 Q^n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>13.</math> || <math>V_{2 n} = D U^2_n + 2 Q^n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>14.</math> || <math>V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>15.</math> || <math>D U_n = 2 V_{n + 1} - P V_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>16.</math> || <math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math> ||
 +
|-
 +
| <math>17.</math> || <math>D U_n = V_{n + 1} - Q V_{n - 1}</math> || <math>n \geqslant 1</math>
 +
|-
 +
| <math>18.</math> || <math>V_n = U_{n + 1} - Q U_{n - 1}</math> || <math>n \geqslant 1</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 100%; text-align: left;"
 +
|-
 +
| <math>19.</math> || <math>U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n</math>
 +
|-
 +
| <math>20.</math> || <math>U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n</math>
 +
|-
 +
| <math>21.</math> || <math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
 +
|}
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Niech <math>S \subset \{ 0, 1, \ldots, n \}</math> będzie zbiorem takim, że dla każdego <math>k \in S</math> jest <math>p \nmid a_k</math>. Przypuśćmy, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym. Niech <math>j</math> oznacza największy element zbioru <math>S</math>. Jeżeli <math>j = 0</math>, to wielomian <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math> jest stopnia <math>0</math> modulo <math>p</math> i
+
'''Wzory 1. - 7. najłatwiej udowodnić korzystając z&nbsp;definicji N1.'''
  
−
::<math>a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
+
Wzór 1.
  
−
Konsekwentnie, dla dowolnego <math>x \in \mathbb{Z}</math> jest
+
::<math>U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
::<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
+
:::<math>\quad \: = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} - \alpha \beta \cdot {\small\frac{\alpha^{m - 1} - \beta^{m - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
bo dla każdego <math>1 \leqslant k \leqslant n</math> mamy <math>a_k \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rozpatrywana kongruencja nie ma ani jednego rozwiązania, czyli rozwiązań nie może być więcej niż <math>n</math>.
+
:::<math>\quad \: = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n</math>
  
−
W przypadku gdy <math>j \neq 0</math>, z&nbsp;twierdzenia Lagrange'a wynika, że rozpatrywana kongruencja ma nie więcej niż <math>j \leqslant n</math> rozwiązań, ponownie wbrew założeniu, że kongruencja ta ma więcej niż <math>n</math> rozwiązań. Uczynione przypuszczenie, że <math>S</math> jest zbiorem niepustym, okazało się fałszywe, zatem zbiór <math>S</math> musi być zbiorem pustym. Co należało pokazać.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Wzór 2.
  
 +
::<math>V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J16</span><br/>
+
:::<math>\quad \;\! = (\alpha^m + \beta^m) (\alpha^n + \beta^n) - \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n})</math>
−
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że kongruencja
 
  
−
::<math>x^p - x - 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
:::<math>\quad \;\! = V_m V_n - Q^n V_{m - n}</math>
  
−
ma co najwyżej <math>p</math> rozwiązań. W&nbsp;rzeczywistości nie ma ani jednego rozwiązania, bo z&nbsp;twierdzenia Fermata wiemy, że dla dowolnej liczby pierwszej <math>p</math> jest
 
  
−
::<math>x^p \equiv x \pmod{p}</math>
+
Wzór 3.
  
 +
::<math>U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}}</math>
  
 +
:::<math>\quad \: = {\small\frac{(\alpha^m - \beta^m) (\alpha^n + \beta^n)}{\alpha - \beta}} - {\small\frac{\alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} - \beta^{m - n})}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J17</span><br/>
+
:::<math>\quad \: = U_m V_n - Q^n U_{m - n}</math>
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>n \geqslant p</math>, możemy zawsze wielomian przekształcić do postaci takiej, że <math>n < p</math>. Niech <math>p = 5</math> i
 
  
−
::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math>
 
  
−
Ponieważ <math>x^5 \equiv x \!\! \pmod{5}</math>, to
+
Wzór 4.
  
−
::<math>W(x) \equiv x^3 + 11 x^3 + 5 x + 2 x^2 + x + 1 \equiv 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1 \pmod{5}</math>
+
::<math>V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n}</math>
  
−
Co wynika również z&nbsp;faktu, że <math>W(x)</math> można zapisać w&nbsp;postaci
+
:::<math>\quad \;\! = (\alpha - \beta)^2 \cdot {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} + \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n})</math>
  
−
::<math>W(x) = x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1 = (x^5 - x) (x^{10} + 12 x^6 + 12 x^2 + 5) + 12 x^3 + 2 x^2 + 6 x + 1</math>
+
:::<math>\quad \;\! = D U_m U_n + Q^n V_{m - n}</math>
  
−
ale <math>x^5 - x \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> na mocy twierdzenia Fermata.
 
  
−
W PARI/GP polecenie
+
Wzór 5.
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">Mod(x^15 + 11*x^11 + 5*x^5 + 2*x^2 + x + 1, x^5 - x)</span>
+
::<math>U_m V_n - V_m U_n = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^m + \beta^m) \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
znajduje resztę z dzielenia wielomianu <math>x^{15} + 11 x^{11} + 5 x^5 + 2 x^2 + x + 1</math> przez wielomian <math>x^5 - x</math>. Tutaj otrzymujemy
+
::::::<math>\;\;\: = 2 \cdot \alpha^n \beta^n \cdot {\small\frac{\alpha^{m - n} - \beta^{m - n}}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">Mod(12*x^3 + 2*x^2 + 6*x + 1, x^5 - x)</span>
+
::::::<math>\;\;\: = 2 Q^n U_{m - n}</math>
  
  
 +
Wzór 6.
  
 +
::<math>U^2_n = \left( {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \right)^2</math>
  
 +
:::<math>\;\! = {\small\frac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} + \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1}</math>
  
−
== Twierdzenie Wilsona ==
+
:::<math>\;\! = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J18 (John Wilson, 1770)</span><br/>
 
−
Liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 
  
−
::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
+
Wzór 7.
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>V^2_n = (\alpha^n + \beta^n)^2</math>
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
:::<math>\;\! = (\alpha^{n - 1} + \beta^{n - 1}) (\alpha^{n + 1} + \beta^{n + 1}) - (\alpha - \beta)^2 \cdot \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1}</math>
  
−
Przypuśćmy, że prawdziwa jest kongruencja <math>(p - 1) ! \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> oraz <math>p</math> jest liczbą złożoną. Zatem liczba <math>p</math> ma dzielnik <math>d</math> taki, że <math>2 \leqslant d \leqslant p - 1</math>. Ponieważ <math>d \mid p ,</math> to prawdziwa jest kongruencja
+
:::<math>\;\! = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1}</math>
  
−
::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{d}</math>
 
  
−
czyli
+
'''Wzory 8. - 18. można łatwo udowodnić, korzystając ze wzorów 1. - 7.'''
  
−
::<math>0 \equiv - 1 \pmod{d}</math>
+
Wzór 8. Policzyć sumę wzoru 3. pomnożonego przez <math>2</math> i&nbsp;wzoru 5.
  
−
co jest niemożliwe.
+
Wzór 9. Policzyć sumę wzorów 2. i 4.
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
Wzór 10. Połączyć wzory 2. i 4.
  
−
Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>p = 2</math>. Niech teraz <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Rozważmy wielomiany
+
Wzór 11. We wzorze 3. położyć <math>m = n</math>.
  
−
::<math>W(x) = (x - 1) (x - 2) \cdot \ldots \cdot (x - (p - 1))</math>
+
Wzór 12. We wzorze 2. położyć <math>m = n</math>.
  
−
oraz
+
Wzór 13. We wzorze 4. położyć <math>m = n</math>.
  
−
::<math>V(x) = x^{p - 1} - 1</math>
+
Wzór 14. We wzorze 10. położyć <math>m = n</math> lub połączyć wzory 12. i 13.
  
−
Zauważmy, że
+
Wzór 15. We wzorze 9. położyć <math>m = 1</math>.
  
−
:* stopnie tych wielomianów są równe <math>p - 1</math>
+
Wzór 16. We wzorze 8. położyć <math>m = 1</math>.
−
:* współczynniki wiodące są równe <math>1</math>
 
−
:* wyrazy wolne są równe odpowiednio <math>(p - 1) !</math> oraz <math>- 1</math>
 
−
:* wielomiany mają <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>
 
  
−
Niech
+
Wzór 17. We wzorze 15. położyć <math>V_{n + 1} = P V_n - Q V_{n - 1}</math>.
  
−
::<math>U(x) = W (x) - V (x)</math>
+
Wzór 18. We wzorze 16. położyć <math>U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1}</math>.
−
 
 
−
Zauważmy, że
 
  
−
:* stopień wielomianu <math>U(x)</math> jest równy <math>p - 2 \geqslant 1</math>, ponieważ wyrazy o&nbsp;najwyższym stopniu uległy redukcji
 
−
:* wielomian <math>U(x)</math> ma <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math>, bo dla każdego <math>k \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> mamy <math>U(k) = W (k) - V (k) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 
  
−
Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że wielomian <math>U(x)</math> nie może mieć więcej niż <math>p - 2</math> rozwiązań modulo <math>p</math>. Zatem z&nbsp;twierdzenia J15 wynika natychmiast, że liczba pierwsza <math>p</math> musi dzielić każdy współczynnik <math>a_k</math> wielomianu <math>U(x)</math> i&nbsp;w&nbsp;szczególności musi dzielić wyraz wolny, który jest równy <math>(p - 1) ! + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
'''Wzory 19. - 21. to wzory, które wykorzystamy w&nbsp;przyszłości do szybkiego obliczania wartości wyrazów <math>U_n</math> i <math>V_n</math> modulo.'''
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Wzór 19. Wystarczy połączyć wzory 11. oraz 16.
  
 +
Wzór 20. Wystarczy we wzorze 1. położyć <math>m = n + 1</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J19</span><br/>
+
Wzór 21. Kładąc we wzorze 19. <math>n \rightarrow n + 1</math>, otrzymujemy
−
Liczba całkowita nieparzysta <math>p \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 
  
−
::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - P U^2_{n + 1} \qquad (*)</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Kładąc we wzorze 1. <math>m = n + 2</math>, mamy
−
Z twierdzenia Wilsona wiemy, że liczba całkowita <math>p \geqslant 2</math> jest liczbą pierwszą wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 
  
−
::<math>(p - 1) ! \equiv - 1 \pmod{p}</math>
+
::<math>U_{2 n + 2} = U_{n + 2} U_{n + 1} - Q U_{n + 1} U_n</math>
  
−
W przypadku, gdy liczba <math>p</math> jest liczbą nieparzystą możemy powyższy wzór łatwo przekształcić. Ponieważ czynniki w <math>(p - 1) !</math> są określone modulo <math>p</math>, to odejmując od każdego czynnika większego od <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczbę <math>p</math>, otrzymujemy
+
Czyli
  
−
::<math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot {\small\frac{p - 3}{2}} \cdot {\small\frac{p - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{p + 1}{2}} - p \right) \left( {\small\frac{p + 3}{2}} - p \right) \cdot \ldots \cdot (- 2) \cdot (- 1) \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>2 U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
  
−
::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \cdot \left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
Odejmując od powyższego wzoru wzór <math>(*)</math>, dostajemy wzór 21.
  
−
::<math>\left[ \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right) ! \right]^2 \equiv (- 1)^{\tfrac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 609: Linia 561:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J20</span><br/>
 
−
Pokazać, że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to <math>(p - 2) ! \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 
−
Niech <math>S</math> będzie zbiorem liczb całkowitych dodatnich mniejszych od <math>p</math>, czyli <math>S = \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Podstawą dowodu jest spostrzeżenie, że tylko dwie liczby należące do <math>S</math> są swoimi odwrotnościami modulo <math>p</math>.
 
−
Pozostałe liczby są wzajemnie swoimi odwrotnościami modulo <math>p</math>.
 
  
−
Jeżeli liczba <math>x</math> jest swoją odwrotnością modulo <math>p</math>, to musi być
+
== Obliczanie wyrazów ciągu Lucasa modulo <math>m</math> ==
  
−
::<math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N14</span><br/>
 +
Pokażemy, jak wykorzystać podane w&nbsp;twierdzeniu N13 wzory 19, 20, 21 i 16
  
−
Łatwo zauważamy, że istnieją dwa rozwiązania <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{p} \,</math> i <math>\, x \equiv - 1 \!\! \pmod{p} ,</math> a z twierdzenia Lagrange'a (J14) wiemy, że są to wszystkie rozwiązania. Wynika stąd, że w zbiorze <math>S</math> liczby <math>1 \,</math> i <math>\, p - 1</math> są swoimi odwrotnościami modulo <math>p ,</math> a pozostałe liczby <math>2, \ldots, p - 2</math> są wzajemnie swoimi odwrotnościami modulo <math>p ,</math> czyli można połączyć je w pary <math>a, b</math> takie, że <math>a \neq b \,</math> i <math>\, a \cdot b \equiv 1 \!\! \pmod{p} .</math> Tworząc iloczyn wszystkich takich par, otrzymujemy
+
::<math>U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n</math>
  
−
::<math>(a \cdot b) \cdot (c \cdot d) \cdot \ldots \cdot (x \cdot y) \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n</math>
  
−
Oczywiście iloczyn po lewej stronie wyczerpuje wszystkie liczby <math>2, 3, \ldots, p - 2 ,</math> zatem
+
::<math>U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1}</math>
  
−
::<math>2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (p - 2) \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math>
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa modulo <math>m</math>.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
Niech <math>P = 3</math>, <math>Q = 1</math>, <math>D = P^2 - 4 Q = 5</math>, <math>n = 22 = (10110)_2 = \sum_{j = 0}^{4} a_j \cdot 2^j</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J21</span><br/>
+
W tabeli przedstawione są kolejne kroki, jakie musimy wykonać, aby policzyć <math>U_n = U_{22}</math> modulo <math>m = 23</math>.
−
Pokazać, że jeżeli <math>m \geqslant 6</math> jest liczbą złożoną, to <math>(m - 1) ! \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
Ponieważ <math>m</math> jest liczbą złożoną, to możemy zapisać <math>m</math> w postaci <math>m = a b ,</math> gdzie liczby <math>a, b</math> spełniają warunek <math>1 < a, b < m .</math> Rozpatrzmy najpierw przypadek kiedy <math>a \neq b ,</math> wtedy w iloczynie <math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (m - 1)</math> występują obydwa czynniki <math>a \,</math> i <math>\, b</math>, zatem <math>a b \mid (m - 1) !</math>
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{j}</math> !! <math>\boldsymbol{a_j}</math> !! <math>\boldsymbol{k_j}</math> !! <math>\boldsymbol{U_{k_j}}</math> !! <math>\boldsymbol{U_{k_j + 1}}</math>
 +
|-
 +
| <math>4</math> || <math>1</math> || <math>(1)_2 = 1</math> || <math>U_1 = 1</math> || <math>U_2 = P = 3</math>
 +
|-
 +
| <math>3</math> || <math>0</math> || <math>(10)_2 = 2</math> || <math>U_2 = 2 U_1 U_2 - 3 U^2_1 = 6 - 3 = 3</math> || <math>U_3 = U^2_2 - 1 = 8</math>
 +
|-
 +
| <math>2</math> || <math>1</math> || <math>(101)_2 = 5</math> || <math>U_5 = U^2_3 - U^2_2 = 64 - 9 = 55 \equiv 9</math> || <math>U_6 = 3 U_3^2 - 2 U_2 U_3 = 192 - 48 = 144 \equiv 6</math>
 +
|-
 +
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>(1011)_2 = 11</math> || <math>U_{11} = U^2_6 - U^2_5 \equiv 36 - 81 \equiv - 45 \equiv 1</math> || <math>U_{12} = 3 U_6^2 - 2 U_5 U_6 \equiv 108 - 108 \equiv 0</math>
 +
|-
 +
| <math>0</math> || <math>0</math> || <math>(10110)_2 = 22</math> || <math>U_{22} = 2 U_{11} U_{12} - 3 U^2_{11} \equiv 0 - 3 \equiv 20</math> || <math>U_{23} = U^2_{12} - U^2_{11} \equiv 0 - 1 \equiv 22</math>
 +
|}
  
−
Rozważmy teraz przypadek gdy <math>m = a^2</math>. Jeśli <math>m - 1 \geqslant 2 a ,</math> to w iloczynie <math>1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (m - 1)</math> pojawi się czynnik <math>a</math> oraz <math>2 a ,</math> wobec tego <math>a^2 \mid (m - 1) !</math> Ponieważ z warunków <math>m = a^2</math> oraz <math>m - 1 \geqslant 2 a</math> wynika, że <math>a \geqslant 3 ,</math> to jedynie dla <math>m = 2^2 = 4</math> twierdzenie nie jest prawdziwe. Co należało pokazać.<br/>
+
W kolumnie <math>a_j</math> wypisujemy kolejne cyfry liczby <math>n = 22 = (10110)_2</math> zapisanej w&nbsp;układzie dwójkowym. Liczby w&nbsp;kolumnie <math>k_j</math> tworzymy, biorąc kolejne (od prawej do lewej) cyfry liczby <math>n</math> w&nbsp;zapisie dwójkowym. Postępując w&nbsp;ten sposób, w&nbsp;ostatnim wierszu mamy <math>k_j = n</math> i&nbsp;wyliczamy liczby <math>U_n</math> i <math>U_{n + 1}</math> modulo <math>m</math>.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Dla uproszczenia zapisu i&nbsp;ułatwienia zrozumienia liczbę <math>k_j</math> oznaczymy jako <math>r</math>, a <math>k_{j + 1}</math> jako <math>s</math>. Zauważmy, że
  
 +
:* tabela jest zbudowana tak, że musimy znaleźć wyrazy ciągu Lucasa o&nbsp;indeksie <math>r = k_j</math> oraz o&nbsp;indeksie o&nbsp;jeden większym: <math>r + 1 = k_j + 1</math>
 +
:* przejście do następnego wiersza (w dół) oznacza, że musimy znaleźć wyrazy o&nbsp;indeksie <math>s = k_{j + 1}</math> oraz o&nbsp;indeksie o&nbsp;jeden większym: <math>s + 1</math>
 +
:* przechodząc do następnego wiersza, dotychczasowa liczba <math>r = k_j</math> powiększa się o&nbsp;kolejną cyfrę ( <math>0</math> lub <math>1</math> ), którą dopisujemy z&nbsp;prawej strony
 +
:* dodanie na końcu liczby <math>r = k_j</math> zera podwaja liczbę <math>r</math>, czyli <math>s = k_{j + 1} = 2 r</math> oraz <math>s + 1 = 2 r + 1</math>
 +
:* dodanie na końcu liczby <math>r = k_j</math> jedynki podwaja liczbę <math>r</math> i&nbsp;zwiększą ją o&nbsp;jeden, czyli <math>s = k_{j + 1} = 2 r + 1</math> oraz <math>s + 1 = 2 r + 2</math>
  
  
 +
Dlatego, jeżeli kolejną dodaną cyfrą jest zero, to korzystamy ze wzorów
  
−
== Twierdzenie Fermata ==
+
::<math>U_s = U_{2 r} = 2 U_r U_{r + 1} - P U^2_r</math>
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J22 (Pierre de Fermat, 1640)</span><br/>
 
−
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą
 
  
−
:* to liczba <math>a^p - a</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^p \equiv a \!\! \pmod p</math>
+
::<math>U_{s + 1} = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r</math>
−
:* i&nbsp;jeśli dodatkowo <math>p \nmid a</math>, to liczba <math>a^{p - 1} - 1</math> jest podzielna przez <math>p</math>, czyli <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod p</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
Gdy kolejną dodaną cyfrą jest jeden, to stosujemy wzory
−
'''Punkt 1.'''
 
  
−
Zauważmy, że<br/>
+
::<math>U_s = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r</math>
−
a) twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a = 0</math><br/>
 
−
b) w&nbsp;przypadku, gdy <math>p = 2</math> wyrażenie <math>a^p - a = a^2 - a = a (a - 1)</math> jest podzielne przez <math>2</math>, bo jedna z&nbsp;liczb <math>a - 1</math> i <math>a</math> jest liczbą parzystą<br/>
 
−
c) w&nbsp;przypadku, gdy <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i&nbsp;twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a \geqslant 1</math>, to jest też prawdziwe dla <math>- a</math>, bo
 
−
::<math>(- a)^p - (- a) = (- 1)^p a^p + a = - a^p + a = - (a^p - a)</math><br/>
 
  
 +
::<math>U_{s + 1} = U_{2 r + 2} = P U^2_{r + 1} - 2 Q U_r U_{r + 1}</math>
  
−
Zatem wystarczy pokazać, że dla ustalonej liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math> twierdzenie jest prawdziwe dla każdego <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>.
 
  
−
Indukcja matematyczna. Dla <math>a = 1</math> mamy <math>1^p - 1 = 0</math> zatem liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem rozważanego wyrażenia. Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>a</math>, czyli <math>p \mid a^p - a</math>, otrzymujmy dla <math>a + 1</math>
+
Korzystając ze wzoru <math>V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n</math>, mamy
  
−
::<math>(a + 1)^p - (a + 1) = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} \cdot a^k - a - 1</math>
+
::<math>V_{22} = 2 U_{23} - 3 U_{22} \equiv 44 - 60 \equiv - 16 \equiv 7 \pmod{23}</math>
  
−
:::::::<math>\;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{p - 1} \binom{p}{k} \cdot a^k + a^p - a - 1</math>
+
Ostatecznie otrzymujemy
  
−
:::::::<math>\;\;\,\, = a^p - a + \sum^{p - 1}_{k = 1} \binom{p}{k} \cdot a^k</math>
+
::<math>U_{22} \equiv 20 \pmod{23} \quad</math> oraz <math>\quad V_{22} \equiv 7 \pmod{23}</math>
  
  
−
Z założenia indukcyjnego <math>p \mid a^p - a</math>, zaś <math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k) !}}</math> dla <math>k = 1, 2, \ldots, p - 1</math> jest podzielne przez <math>p</math> (ponieważ <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika). Zatem <math>(a + 1)^p - (a + 1)</math> jest podzielne przez liczbę pierwszą <math>p</math>.
 
  
−
'''Punkt 2.'''
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N15</span><br/>
 +
Uogólniając postępowanie przedstawione w&nbsp;przykładzie N14, możemy napisać program w&nbsp;PARI/GP do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa <math>U_n (P, Q)</math> i <math>V_n (P, Q)</math> modulo <math>m</math>.
  
−
Z punktu 1. wiemy, że liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>a^p - a = a (a^{p - 1} - 1)</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math>, to z&nbsp;lematu Euklidesa (zobacz twierdzenie C74) wynika natychmiast, że <math>p</math> dzieli <math>a^{p - 1} - 1</math>.<br/>
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">modLucas(n, P, Q, m) =
−
&#9633;
+
{
−
{{\Spoiler}}
+
'''local'''(A, i, s, U,&#32;U2, V, W,&#32;W2);
 +
'''if'''( m == 1, '''return'''([0, 0]) );
 +
'''if'''( n == 0, '''return'''([0, 2 % m]) );
 +
A = '''digits'''(n, 2); \\ otrzymujemy wektor cyfr liczby n w układzie dwójkowym
 +
s = '''length'''(A); \\ długość wektora A
 +
U = 1;
 +
W = P;
 +
i = 1;
 +
'''while'''( i++ <= s,
 +
        '''if'''( A[i] == 0, U2 = 2*U*W - P*U^2;  W2 = W^2 - Q*U^2 );
 +
        '''if'''( A[i] == 1, U2 = W^2 - Q*U^2;  W2 = P*W^2 - 2*Q*U*W );
 +
        U = U2 % m;
 +
        W = W2 % m;
 +
      );
 +
V = (2*W - P*U) % m;
 +
'''return'''([U, V]);
 +
}</span>
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J23</span><br/>
 
−
Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>\gcd (x, y) = 1</math> i&nbsp;liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>x^2 + y^2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
−
Z założenia
 
  
−
::<math>x^2 \equiv - y^2 \!\! \pmod{p}</math>
+
== Podzielność wyrazów <math>U_n (P, Q)</math> przez liczbę pierwszą nieparzystą ==
  
−
Przypuśćmy, że <math>p \mid y</math>. Wtedy z&nbsp;powyższej kongruencji mamy natychmiast, że <math>p \mid x</math>, wbrew założeniu, że <math>\gcd (x, y) = 1</math>. Zatem <math>p \nmid y</math> i&nbsp;z&nbsp;twierdzenia Fermata dostajemy
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N16</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. W&nbsp;przypadku, gdy <math>p \nmid P Q</math> nie możemy nic powiedzieć o&nbsp;podzielności wyrazów <math>U_n</math> przez <math>p</math>. Przykładowo, jeżeli <math>P \equiv 1 \pmod{p} \;</math> <math>\text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p}</math>, to modulo <math>p</math>, mamy
  
−
::<math>1 \equiv x^{p - 1} \equiv (x^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- y^2)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv y^{p - 1} \cdot (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>(U_n) \equiv (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, \ldots)</math>
  
−
Wynika stąd, że <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> musi być liczbą parzystą, czyli <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
W przypadku, gdy <math>P \equiv 2 \pmod{p} \;</math> <math>\text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p}</math>, to modulo <math>p</math> mamy
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>(U_n) \equiv (0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, \ldots)</math>
  
 +
Sytuacja wygląda inaczej, gdy <math>p \mid P Q</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J24</span><br/>
 
−
Niech <math>x, y, n \geqslant 0</math>. Pokazać, że jedynymi rozwiązaniami równania
 
  
−
::<math>x^2 + y^2 = 2^n</math>
 
  
−
są liczby
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N17</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą.
  
−
:* <math>x = 2^{n / 2} \,</math> i <math>\, y = 0 \,</math> lub <math>\, x = 0 \,</math> i <math>\, y = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>2 \mid n</math>
+
::{| border="0"
−
:* <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math>, gdy <math>2 \nmid n</math>
+
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \mid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \mid Q , \;</math> to <math>\; p \mid U_n \;</math> dla <math>n \geqslant 2</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \mid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \nmid Q , \;</math> to <math>\; p \mid U_{2 n} \;</math> i <math>\; p \nmid U_{2 n + 1}</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \nmid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \mid Q , \;</math> to <math>\; p \nmid U_n \;</math> dla <math>n \geqslant 1</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \mid Q , \;</math> to <math>\; p \mid U_n</math>, gdzie <math>n \geqslant 2</math>, wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>\; p \mid P</math>
 +
|-style=height:1.9em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>\; p \nmid P \;</math> <math>\text{i} \;\; p \mid D , \;</math> to <math>\; p \mid U_n \;</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p \mid n</math>
 +
|}
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Założenie, że <math>p \nmid P</math> w&nbsp;ostatnim punkcie jest istotne. Gdy <math>\; p \mid P \;</math> i <math>\; p \mid D , \;</math> to <math>\; p \mid Q \;</math> i&nbsp;otrzymujemy punkt pierwszy.
−
'''A.''' Gdy jedna z&nbsp;liczb <math>x, y</math> jest równa <math>0</math> (powiedzmy <math>y</math>), to mamy <math>x = 2^{n / 2}</math>, gdy <math>n</math> jest parzyste. Gdy <math>n</math> jest nieparzyste, to rozwiązanie nie istnieje. Od tej pory będziemy zakładali, że <math>x, y \geqslant 1</math>
 
  
−
'''B.''' Wiemy, że kwadrat liczby nieparzystej przystaje do <math>1</math> modulo <math>4</math>. Gdy obie liczby <math>x, y</math> są nieparzyste, to modulo <math>4</math> mamy
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1.'''
  
−
::<math>2 \equiv 2^n \!\! \pmod{4}</math>
+
Ponieważ <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \mid U_2</math>. Dla <math>n \geqslant 3</math> wyrażenie <math>U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2}</math> jest podzielne przez <math>p</math>.
  
−
Kongruencja ta jest prawdziwa tylko dla <math>n = 1</math> i&nbsp;w&nbsp;tym przypadku mamy <math>(x, y) = (1, 1)</math>.
+
'''Punkt 2.'''
  
−
'''C.''' W&nbsp;przypadku, gdy obie liczby są parzyste, możemy napisać <math>x = 2^a u</math>, <math>y = 2^b w</math>, gdzie liczby <math>u, w</math> są nieparzyste. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że <math>1 \leqslant a \leqslant b < {\small\frac{n}{2}}</math>. Dostajemy
+
Indeksy parzyste. Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_0 = 0</math> i <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \mid U_0</math> i <math>p \mid U_2</math>. Zakładając, że <math>p \mid U_{2 n}</math>, z definicji ciągu <math>(U_k)</math>, otrzymujemy dla <math>U_{2 n + 2}</math>
  
−
::<math>u^2 + 2^{2 b - 2 a} w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
+
::<math>U_{2 n + 2} = P U_{2 n - 1} - Q U_{2 n}</math>
  
−
Widzimy, że nie może być <math>a < b</math>, bo suma liczby nieparzystej i&nbsp;parzystej nie jest liczbą parzystą. Zatem <math>a = b</math> i&nbsp;otrzymujemy równanie
+
Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \mid U_{2 n + 2}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich <math>n \geqslant 0</math>.
  
−
::<math>u^2 + w^2 = 2^{n - 2 a}</math>
+
Indeksy nieparzyste. Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_1 = 1</math> i <math>U_3 = P^2 - Q</math>, zatem <math>p \nmid U_1</math> i <math>p \nmid U_3</math>. Zakładając, że <math>p \nmid U_{2 n - 1}</math>, z definicji ciągu <math>(U_k)</math>, otrzymujemy dla <math>U_{2 n + 1}</math>
  
−
które ma rozwiązanie w&nbsp;liczbach nieparzystych tylko dla wykładnika <math>n - 2 a = 1</math>. Mamy <math>u = w = 1</math>, zatem <math>x = y = 2^{(n - 1) / 2}</math> i <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą.<br/>
+
::<math>U_{2 n + 1} = P U_{2 n} - Q U_{2 n - 1}</math>
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \nmid U_{2 n + 1}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich <math>n \geqslant 1</math>.
  
 +
'''Punkt 3.'''
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J25</span><br/>
+
Indukcja matematyczna. Mamy <math>U_1 = 1</math> i <math>U_2 = P</math>, zatem <math>p \nmid U_1</math> i <math>p \nmid U_2</math>. Zakładając, że <math>p \nmid U_n</math> zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>n</math>, z&nbsp;definicji ciągu <math>(U_n)</math>
−
Niech <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>x \neq y</math>, to liczba <math>x^2 + y^2</math> ma dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.
+
otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::<math>U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1}</math>
−
W&nbsp;przypadku, gdy <math>x = y</math> mamy <math>x^2 + y^2 = 2 y^2</math> i&nbsp;jeśli liczba <math>y</math> nie ma dzielnika pierwszego postaci <math>4 k + 1</math>, to nie ma go również liczba <math>2 y^2</math>. Przykładowo <math>x^2 + y^2 = 2 y^2 = 2^{2 r + 1}, 2 \cdot 3^{2 r}, 2 \cdot 7^{2 r}</math>. Dlatego zakładamy, że <math>x \neq y</math>. Analogiczna sytuacja ma miejsce, gdy jedna z&nbsp;liczb <math>x, y</math> jest równa zero. Dlatego zakładamy, że <math>x, y \in \mathbb{Z}_+</math>.
 
  
−
Niech <math>\gcd (x, y) = d</math>, zatem mamy <math>x = a d</math>, <math>y = b d</math>. Wynika stąd, że <math>x^2 + y^2 = d^2 (a^2 + b^2)</math>, gdzie <math>\gcd (a, b) = 1 \,</math> i <math>\, a \neq b</math>. Ponieważ <math>\, a \neq b</math>, to liczba <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy nieparzysty (zobacz J24). Z&nbsp;twierdzenia J23 zastosowanego do liczby <math>a^2 + b^2</math> wynika, że <math>a^2 + b^2</math> musi mieć dzielnik pierwszy postaci <math>4 k + 1</math>.<br/>
+
Z założenia indukcyjnego wynika, że <math>p \nmid U_{n + 1}</math>, zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb <math>n \geqslant 1</math>.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
'''Punkt 4.'''
  
 +
Wynika z&nbsp;punktów pierwszego i&nbsp;trzeciego.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J26</span><br/>
+
'''Punkt 5.'''
−
Pokazać, że jeżeli <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>, to <math>m \geqslant 2</math> nie jest dzielnikiem liczby <math>2^m - 1</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Z twierdzenia N7 wiemy, że
−
Ponieważ liczby parzyste nie mogą dzielić liczby nieparzystej <math>2^m - 1</math>, to możemy założyć, że <math>m</math> jest liczbą nieparzystą. Zatem <math>\gcd (m, 2) = 1</math> i liczba <math>2</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>.
 
  
−
Niech <math>p</math> będzie najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby nieparzystej <math>m</math>, wtedy <math>\gcd (m, p - 1) = 1</math> i z lematu Bezout'a (zobacz C73) istnieją takie liczby całkowite <math>x, y</math>, że
+
::<math>2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k</math>
  
−
::<math>m x + (p - 1) y = 1</math>
+
::::<math>\;\; = n P^{n - 1} + \binom{n}{3} P^{n - 3} D + \binom{n}{5} P^{n - 5} D^2 + \ldots +
 +
\begin{cases}
 +
n P D^{(n - 2) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest parzyste} \\
 +
D^{(n - 1) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest nieparzyste} \\
 +
\end{cases}</math>
  
−
Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>m \mid (2^m - 1)</math>. Zatem
+
Z założenia <math>p \mid D</math>, zatem modulo <math>p</math> dostajemy
  
−
::<math>2^m \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
+
::<math>2^{n - 1} U_n \equiv n P^{n - 1} \pmod{p}</math>
  
−
i dostajemy
+
Ponieważ <math>p \nmid P</math>, zatem <math>p \mid U_n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p \mid n</math>.
−
 
+
Co należało pokazać.<br/>
−
::<math>2 = 2^1 = 2^{m x + (p - 1) y} \equiv (2^m)^x \cdot (2^{p - 1})^y \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 
−
 
 
−
Co jest niemożliwe.<br/>
 
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 773: Linia 747:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N18</span><br/>
 +
Jeżeli <math>d</math> jest nieparzystym dzielnikiem <math>Q</math>, to dla <math>n \geqslant 2</math> jest
  
 +
::<math>U_n \equiv P^{n - 1} \pmod{d}</math>
  
−
== Twierdzenie Eulera ==
+
W szczególności, gdy liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> jest dzielnikiem <math>Q</math> i <math>p \nmid P</math>, to
  
−
Twierdzenie Eulera jest uogólnieniem twierdzenia Fermata.<br/>
+
::<math>U_p \equiv 1 \pmod{p}</math>
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J27 (Leonhard Euler, 1763)</span><br/>
 
−
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>, <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>\gcd (a, m) = 1</math>, wtedy
 
−
 
 
−
::<math>a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
Łatwo zauważyć, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>m = 1, 2</math>, zatem będziemy rozpatrywali przypadek, gdy <math>m \geqslant 3</math>.
+
Oznaczmy <math>\delta = \sqrt{D}</math>, zatem <math>2 \alpha = P + \delta</math> i <math>2 \beta = P - \delta</math>. Ze wzoru dwumianowego, mamy
  
−
Niech <math>R = \{ r_1, r_2, \ldots, r_{\varphi (m)} \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od <math>m</math> i względnie pierwszych z <math>m</math>. Niech <math>S = \{ a r_1, a r_2, \ldots, a r_{\varphi (m)} \}</math>. Prosta analiza właściwości zbiorów <math>R</math> i <math>S</math> stanowi podstawę dowodu twierdzenia.
+
::<math>2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j</math>
  
−
'''1. Wszystkie elementy w <math>\boldsymbol{R}</math> są różne modulo <math>\boldsymbol{m}</math>'''
+
::<math>2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j</math>
  
−
Nie może być <math>r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m}</math> dla różnych <math>i, j</math>, bo dla <math>m \geqslant 3</math> mamy oszacowanie <math>1 \leqslant r_i, r_j \leqslant m - 1</math>, skąd otrzymujemy <math>0 \leqslant | r_i - r_j | \leqslant m - 2</math>. Wynika stąd, że <math>m \mid (r_i - r_j)</math> tylko w przypadku, gdy <math>r_i = r_j</math>, czyli gdy <math>i = j</math>.
 
  
−
'''2. Wszystkie elementy w <math>\boldsymbol{S}</math> są względnie pierwsze z <math>\boldsymbol{m}</math>'''
+
Obliczając różnicę wyjściowych wzorów, mamy
  
−
Z definicji dowolna liczba <math>r_i \in R</math> jest względnie pierwsza z <math>m</math> oraz z założenia <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z twierdzenia H6 otrzymujemy natychmiast, że <math>\gcd (a r_i, m) = 1</math>.
+
::<math>2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) =</math>
  
−
'''3. Wszystkie elementy w <math>\boldsymbol{S}</math> są różne modulo <math>m</math>'''
+
:::::<math>\quad \: = \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot 2 \delta^j</math>
  
−
Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla różnych wskaźników <math>i, j</math> jest <math>a r_i \equiv a r_j \!\! \pmod{m}</math>. Ponieważ <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczba <math>a</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>a^{- 1}</math> otrzymujemy <math>r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m}</math> dla różnych <math>i, j</math>, co jest niemożliwe (zobacz punkt 1).
+
:::::<math>\quad \: = 2 \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot \delta \cdot D^{(j - 1) / 2}</math>
  
−
'''4. Każdy element w <math>\boldsymbol{S}</math> jest równy modulo <math>\boldsymbol{m}</math> pewnemu elementowi w <math>\boldsymbol{R}</math>'''
+
Rozpatrując powyższą równość modulo <math>Q</math> dostajemy (zobacz N43)
  
−
Dla każdego <math>i = 1, \ldots, \varphi (m)</math> liczba <math>a r_i \in S</math> może być zapisana w postaci <math>a r_i = k m + r</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; 0 \leqslant r < m</math>. Ponieważ
+
::<math>2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\delta}} = 2^{n - 1} U_n \equiv \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot P^{j - 1}</math>
  
−
::<math>\gcd (a r_i, m) = 1 = \gcd (k m + r, m) = \gcd (r, m)</math>
+
:::::::::<math>\;\:\: \equiv P^{n - 1} \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j}</math>
  
−
to <math>r \in R</math> i musi być <math>a r_i \equiv r_j \!\! \pmod{m}</math> dla pewnego <math>r_j \in R</math>.
+
:::::::::<math>\;\:\: \equiv 2^{n - 1} P^{n - 1}</math>
  
 +
Czyli
  
−
Z punktów 1., 2. i 4. wynika natychmiast, że zbiory <math>R</math> i <math>S</math> są równe modulo <math>m</math> (zobacz H24), zatem
+
::<math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q}</math>
  
−
::<math>a r_1 \cdot a r_2 \cdot \ldots \cdot a r_{\varphi (m)} \equiv r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \!\! \pmod{m}</math>
+
Ponieważ <math>Q</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>, to tym bardziej <math>d</math> dzieli <math>2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1})</math>. Z założenia <math>\gcd (d, 2^{n - 1}) = 1</math>, zatem <math>d</math> dzieli <math>U_n - P^{n - 1}</math> (zobacz C74).
  
−
::<math>r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \cdot a^{\varphi (m)} \equiv r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)} \!\! \pmod{m}</math>
+
W przypadku szczególnym, gdy <math>d = p</math>, gdzie <math>p</math> jest nieparzystą liczbą pierwszą i <math>p \nmid P</math>, z&nbsp;twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast
  
−
Ale <math>\gcd (r_1 r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)}, m) = 1</math> i mnożąc obie strony powyższej kongruencji przez element odwrotny do <math>r_1 r_2 \cdot \ldots \cdot r_{\varphi (m)}</math> modulo <math>m</math>, otrzymujemy
+
::<math>U_p \equiv P^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math>
−
 
 
−
::<math>a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 
  
 
Co należało pokazać.<br/>
 
Co należało pokazać.<br/>
Linia 825: Linia 796:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J28</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N19</span><br/>
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>, zaś <math>a, b \in \mathbb{Z}</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to kongruencja <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> ma jednoznaczne rozwiązanie równe
+
Niech <math>D = P^2 - 4 Q</math>, a <math>(D \mid p)</math> oznacza symbol Legendre'a, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid Q</math>. Mamy
 +
 
 +
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>U_p \equiv (D \mid p) \pmod{p}</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>(D \mid p) = - 1 , \;</math> to <math>\; p \mid U_{p + 1}</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli <math>(D \mid p) = 1 , \;</math> to <math>\; p \mid U_{p - 1}</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Zauważmy, że przypadek gdy <math>p \mid Q</math>, omówiliśmy w&nbsp;twierdzeniu poprzednim. Z&nbsp;założenia <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z&nbsp;twierdzenia N7, w&nbsp;przypadku nieparzystego <math>n = p</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>2^{p - 1} U_p = p P^{p - 1} + \binom{p}{3} P^{p - 3} D + \binom{p}{5} P^{p - 5} D^2 + \ldots + \binom{p}{p-2} P^2 D^{(p - 3) / 2} + D^{(p - 1) / 2}</math>
 +
 
 +
Ponieważ dla każdego <math>k \in [1, p - 1]</math> (zobacz N43)
 +
 
 +
::<math>\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to modulo <math>p</math> dostajemy (zobacz J33)
 +
 
 +
::<math>2^{p - 1} U_p \equiv U_p \equiv D^{(p - 1) / 2} \equiv (D \mid p) \pmod{p}</math>
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Zauważmy, że warunek <math>(D \mid p) = - 1</math> nie może być spełniony, gdy <math>p \mid Q</math>. Istotnie, gdy <math>p \mid Q</math>, to <math>D = P^2 - 4 Q \equiv P^2 \pmod{p}</math>, czyli
  
−
::<math>x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m}</math>
+
::<math>(D \mid p) = (P^2 \mid p) = (P \mid p)^2 = 0 , \;</math> gdy <math>p \mid P</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
lub
−
Z twierdzenia Eulera wynika, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to elementem odwrotnym do <math>a</math> modulo <math>m</math> jest <math>a^{\varphi (m) - 1}</math>. Istotnie
 
  
−
::<math>a^{\varphi (m) - 1} \cdot a = a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
+
::<math>(D \mid p) = (P^2 \mid p) = (P \mid p)^2 = 1 , \;</math> gdy <math>p \nmid P</math>
  
−
Zatem mnożąc obie strony kongruencji <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> przez <math>a^{\varphi (m) - 1}</math>, otrzymujemy
+
i nie może być <math>(D \mid p) = - 1</math>.
  
−
::<math>a^{\varphi (m) - 1} \cdot a x = a^{\varphi (m)} \cdot x \equiv x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m}</math>
+
Dla parzystego <math>n = p + 1</math> otrzymujemy z&nbsp;twierdzenia N7
  
−
::<math>x \equiv a^{\varphi (m) - 1} \cdot b \!\! \pmod{m}</math>
+
::<math>2^p U_{p + 1} = (p + 1) P^p + \binom{p + 1}{3} P^{p - 2} D + \binom{p + 1}{5} P^{p - 4} D^2 + \ldots + \binom{p + 1}{p - 2} P^3 D^{(p - 3) / 2} + (p + 1) P D^{(p - 1) / 2}</math>
  
−
Co było do pokazania.<br/>
+
Ponieważ dla <math>k \in [2, p - 1]</math> (zobacz N44)
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
::<math>\binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
 +
to modulo <math>p</math> dostajemy
  
 +
::<math>2 U_{p + 1} \equiv P + P D^{(p - 1) / 2} \pmod{p}</math>
  
  
−
== Kryterium Eulera ==
+
Z założenia <math>D</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, zatem <math>D^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math> (zobacz J31). Skąd wynika natychmiast, że
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J29</span><br/>
+
::<math>2 U_{p + 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
Czyli <math>p \mid U_{p + 1}</math>.
  
−
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>p \mid (k^2 - a)</math>.
+
'''Punkt 3.'''
  
−
Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
+
Dla parzystego <math>n = p - 1</math> otrzymujemy z&nbsp;twierdzenia N7
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} = (p - 1) P^{p - 2} + \binom{p - 1}{3} P^{p - 4} D + \binom{p - 1}{5} P^{p - 6} D^2 + \ldots + \binom{p - 1}{p - 4} P^3 D^{(p - 5) / 2} + (p - 1) P D^{(p - 3) / 2}</math>
  
−
nie ma rozwiązania.
+
Ponieważ dla <math>k \in [0, p - 1]</math> (zobacz N45)
  
 +
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
  
 +
to modulo <math>p</math> mamy
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J30</span><br/>
+
::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - (P^{p - 2} + P^{p - 4} D + P^{p - 6} D^2 + \ldots + P D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p}</math>
−
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to wśród liczb <math>1, 2, \ldots, p - 1</math> istnieje dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i&nbsp;tyle samo liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
::::<math>\quad \,\, \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} D + P^{p - 7} D^2 + \ldots + D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p}</math>
−
Zauważmy, że w&nbsp;rozważanym zbiorze liczb <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>, kwadraty liczb <math>k</math> i <math>p - k</math> są takimi samymi liczbami modulo <math>p</math>, co wynika z&nbsp;oczywistej kongruencji
 
  
−
::<math>k^2 \equiv (p - k)^2 \pmod{p}</math>
 
  
−
Pozwala to wypisać pary liczb, których kwadraty są identyczne modulo <math>p</math>
+
Z założenia <math>D</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> (zobacz J29), zatem istnieje taka liczba <math>R</math>, że
  
−
::<math>(1, p - 1), (2, p - 2), \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}}, p - {\small\frac{p - 1}{2}} \right)</math>
+
::<math>D \equiv R^2 \pmod{p}</math>
  
 
Ponieważ
 
Ponieważ
  
−
::<math>p - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p + 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} + 1</math>
+
:* <math>(D \mid p) = 1</math>, to <math>p \nmid D</math>, zatem <math>p \nmid R</math>
 +
:* z&nbsp;założenia <math>p \nmid Q</math>, to <math>P^2 - R^2 \equiv P^2 - D \equiv 4 Q \not\equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
  
−
to wypisane pary wyczerpują cały zbiór <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math>. Co więcej, liczby <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math>. Istotnie, przypuśćmy, że <math>1 \leqslant i, j \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> oraz <math>i \neq j</math>, a&nbsp;jednocześnie <math>i^2 \equiv j^2 \!\! \pmod{p}</math>. Gdyby tak było, to mielibyśmy
+
Czyli
  
−
::<math>(i - j) (i + j) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p}</math>
  
−
Łatwo zauważamy, że jest to niemożliwe, bo żaden z&nbsp;czynników nie jest podzielny przez <math>p</math>, co wynika z&nbsp;prostych oszacowań
 
  
−
::<math>1 \leqslant | i - j | \leqslant i + j < p - 1</math>
+
Uwzględniając, że <math>P^2 - R^2 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, możemy napisać
  
−
::<math>2 < i + j < p - 1</math>
+
::<math>2^{p - 2} (P^2 - R^2) U_{p - 1} \equiv - P (P^2 - R^2) (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p}</math>
  
 +
::::::::<math>\equiv - P (P^{p - 1} - R^{p - 1}) \pmod{p}</math>
  
−
Ponieważ (z definicji) liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, jeżeli kongruencja
+
::::::::<math>\equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
Zauważmy, że wynik nie zależy od tego, czy <math>p \mid P</math>, czy <math>p \nmid P</math>. Skąd wynika
  
−
ma rozwiązanie, to liczba kwadratowa modulo <math>p</math> musi przystawać do pewnego kwadratu modulo <math>p</math>.
+
::<math>U_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
Wynika stąd, że różnych liczb kwadratowych modulo <math>p</math> jest tyle samo, co kwadratów <math>1^2, 2^2, \ldots, \left( {\small\frac{p - 1}{2}} \right)^2</math>. Czyli jest ich dokładnie <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Pozostałe liczby w&nbsp;zbiorze <math>\{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> to liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> i&nbsp;jest ich również <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math>. Co należało pokazać.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 905: Linia 904:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J31 (kryterium Eulera, 1748)</span><br/>
+
Aby zapisać punkty 2. i 3. twierdzenia N19 (i tylko te punkty) w&nbsp;zwartej formie, musimy założyć, że <math>\gcd (p, D) = 1</math>. Otrzymujemy<br/>
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid a</math>. Modulo <math>p</math> mamy
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N20</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>\gcd (p, Q D) = 1</math>, to
 +
 
 +
::<math>U_{p - (D \mid p)} \equiv 0 \pmod{p}</math>
 +
 
  
−
::{| border="0"
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>
 
−
|}
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
  
−
'''Punkt 1.'''
 
  
−
Niech <math>Q \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich liczb kwadratowych modulo <math>p</math>, a <math>S \subset \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> będzie zbiorem wszystkich rozwiązań kongruencji
+
== Liczby pseudopierwsze Lucasa ==
  
−
::<math>x^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N21</span><br/>
 +
Z twierdzenia N20 wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste <math>p</math> takie, że <math>p \nmid Q D</math> są dzielnikami wyrazów ciągu Lucasa <math>U_{p - (D \mid p)}</math>, gdzie <math>(D \mid p)</math> oznacza symbol Legendre'a. Jeśli zastąpimy symbol Legendre'a symbolem Jacobiego, to będziemy mogli badać prawdziwość tego twierdzenia dla liczb złożonych i&nbsp;łatwo przekonamy się, że dla pewnych liczb złożonych <math>m</math> kongruencja
  
−
Zauważmy, że
+
::<math>U_{m - (D \mid m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
::{| border=1 style="border-collapse: collapse;"
+
również jest prawdziwa. Prowadzi to definicji liczb pseudopierwszych Lucasa.
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''A'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| Q | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;zobacz J30
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''B'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;zobacz twierdzenie Lagrange'a J14
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''C'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a \in Q</math>, to <math>a \in S \qquad </math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;wynika z&nbsp;ciągu implikacji:<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a \in Q \qquad \Longrightarrow \qquad a \equiv k^2 \pmod{p}</math><br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a \equiv k^2 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a^{(p - 1) / 2} \equiv (k^2)^{(p - 1) / 2} \equiv k^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p} \qquad \Longrightarrow \qquad a \in S</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;'''D'''&nbsp;&nbsp;&nbsp; || &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>Q \subseteq S</math> || &nbsp;&nbsp;&nbsp;z punktu '''C''' wynika, że '''każdy''' element zbioru <math>Q</math> należy do zbioru <math>S</math>
 
−
|}
 
  
  
−
Łącząc rezultaty z&nbsp;tabeli, otrzymujemy
 
  
−
::<math>{\small\frac{p - 1}{2}} = | Q | \leqslant | S | \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N22</span><br/>
 +
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math> (symbolicznie: LPSP( <math>P, Q</math> )), jeżeli <math>\gcd (m, Q D) = 1</math> i
  
−
Skąd łatwo widzimy, że
+
::<math>U_{m - (D \mid m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
::<math>| Q | = | S | = {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
+
gdzie <math>(D \mid m)</math> oznacza symbol Jacobiego.
  
−
Ponieważ <math>Q \subseteq S</math>, a&nbsp;zbiory <math>Q</math> i <math>S</math> są równoliczne, to zbiory te są równe (zobacz H23). Prostą konsekwencją równości zbiorów <math>Q</math> i <math>S</math> jest stwierdzenie
 
  
−
::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
 
−
|-style=height:2.0em
 
−
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 
−
|}
 
  
−
Co kończy dowód punktu pierwszego.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N23</span><br/>
 +
Jeżeli liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P = a + 1</math> i <math>Q = a</math>, gdzie <math>a \geqslant 2</math>, to jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>.
  
−
'''Punkt 2.'''
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Połóżmy we wzorze definiującym ciąg Lucasa
  
−
Z udowodnionego już punktu pierwszego wynika<ref name="logic1"/>, że
+
::<math>U_m = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}}</math>
  
−
::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+
<math>\alpha = a</math> i <math>\beta = 1</math>. Odpowiada to parametrom <math>P = \alpha + \beta = a + 1</math>, <math>Q = \alpha \beta = a</math>, <math>D = (\alpha - \beta)^2 = (a - 1)^2</math>.
−
|-style=height:2.0em
 
−
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \not\equiv 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 
−
|}
 
  
−
Z twierdzenia Fermata
+
Ponieważ musi być <math>\gcd (m, Q D) = 1</math>, to mamy <math>\gcd (m, (a - 1) a) = 1</math> i&nbsp;wynika stąd, że <math>(D \mid m) = 1</math>. Z&nbsp;założenia <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów <math>P = a + 1</math> i <math>Q = a</math>, zatem
  
−
::<math>a^{p - 1} - 1 = (a^{(p - 1) / 2} - 1) \cdot (a^{(p - 1) / 2} + 1) \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>U_{m - 1} (a + 1, a) \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
wynika natychmiast, że jeżeli <math>a^{(p - 1) / 2} - 1 \not\equiv 0 \pmod{p}</math>, to musi być
+
Czyli
  
−
::<math>a^{(p - 1) / 2} + 1 \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>{\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
Fakt ten pozwala sformułować uzyskaną równoważność bardziej precyzyjnie
+
Jeżeli <math>m \biggr\rvert {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}}</math>, to tym bardziej <math>m \big\rvert (a^{m - 1} - 1)</math> i&nbsp;możemy napisać
  
−
::{| border=0 style="background: #EEEEEE;"
+
::<math>a^{m - 1} - 1 \equiv 0 \pmod{m}</math>
−
|-style=height:2.0em
 
−
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 
−
|}
 
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
Zatem <math>m</math> jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie <math>a</math>. Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 984: Linia 962:
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N24</span><br/>
 +
Wykorzystując funkcje <code>jacobi(a, n)</code> i <code>modLucas(n, P, Q, m)</code> (zobacz J48, N15) możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy dla liczby nieparzystej <math>m</math> prawdziwe jest twierdzenie N20.
  
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q) =
 +
{
 +
'''local'''(D, js);
 +
D = P^2 - 4*Q;
 +
'''if'''( gcd(m, 2*Q*D) > 1, '''return'''(0) );
 +
js = jacobi(D, m);
 +
'''if'''( modLucas(m - js, P, Q, m)[1] == 0, '''return'''(1), '''return'''(0) );
 +
}
  
−
== Symbol Legendre'a ==
 
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J32</span><br/>
 
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>a \in \mathbb{Z}</math>. Symbolem Legendre'a<ref name="legendre1"/> nazywamy funkcję <math>a</math> i <math>p</math> zdefiniowaną następująco
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left\{ \begin{array}{rl}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N25</span><br/>
−
  1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą kwadratową modulo } \, p \,  \text{ oraz } \, p \nmid a \\
+
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>
−
- 1 & \text{gdy } \, a \, \text{ jest liczbą niekwadratową modulo } \, p \\
 
−
  0 & \text{gdy } \, p \mid a \\
 
−
\end{array} \right.</math>
 
  
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>253</math> || <math>121</math> || <math>57</math> || <math>217</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>69</math> || <math>121</math> || <math>253</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>91</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>57</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| <math>217</math> || <math>91</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>9</math> || <math>85</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>25</math> || <math>33</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>25</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>21</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || style="background-color: yellow" | <math>115</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| <math>1541</math> || <math>9</math> || <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>21</math> || <math>85</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>629</math> || style="background-color: yellow" | <math>559</math> || <math>25</math> || <math>91</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>55</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>85</math> || <math>21</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || style="background-color: yellow" | <math>65</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>115</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || <math>217</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
 +
|}
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">FirstLPSP(Stop) =
 +
\\ najmniejsze LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0,
 +
                  '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------");
 +
                  '''next'''();
 +
                );
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m),
 +
                          '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  m= ", m, "  (D|m)= ", jacobi(D, m));
 +
                          '''break'''();
 +
                        );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J33</span><br/>
+
Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których <math>(D \mid m) = - 1</math>.
−
Powyższa definicja pozwala nam zapisać kryterium Eulera w&nbsp;zwartej formie, która obejmuje również przypadek, gdy <math>p \mid a</math>
 
  
−
::<math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N26</span><br/>
 +
Ilość liczb LPSP(<math>P, Q</math>) mniejszych od <math>10^9</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J34*</span><br/>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
−
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>p, q</math> będą nieparzystymi liczbami pierwszymi. Symbol Legendre'a ma następujące właściwości
+
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
−
 
+
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>4266</math> || <math>4935</math> || <math>4278</math> || <math>4981</math> || <math>6363</math> || <math>6028</math> || <math>5202</math> || <math>4426</math> || <math>5832</math> || <math>6027</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, p) > 1</math>
+
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>4599</math> || <math>4152</math> || <math>9272</math> || <math>5886</math> || <math>6958</math> || <math>4563</math> || <math>5600</math> || <math>9509</math> || <math>7007</math> || <math>4142</math>  
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod p \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| <math>4265</math> || <math>5767</math> || <math>4241</math> || <math>5114</math> || <math>5859</math> || <math>7669</math> || <math>6083</math> || <math>6120</math> || <math>4420</math> || <math>5096</math>  
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot  \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>5361</math> || <math>4389</math> || <math>5063</math> || <math>5632</math> || <math>5364</math> || <math>5228</math> || <math>5859</math> || <math>10487</math> || <math>5370</math> || <math>9798</math>  
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>a^{(p - 1) / 2} \equiv \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \pmod{p}</math>
+
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| <math>4152</math> || <math>5886</math> || <math>4563</math> || <math>9509</math> || <math>4142</math> || <math>6273</math> || <math>5773</math> || <math>4497</math> || <math>5166</math> || <math>5305</math>  
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, 1</math>
+
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>282485800</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>6567</math> || <math>7669</math> || <math>7131</math> || <math>10882</math> || <math>8626</math> || <math>8974</math> || <math>8509</math> || <math>8752</math>  
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\,
+
! <math>\boldsymbol{2}</math>
−
  \begin{cases}
+
| <math>7803</math> || <math>449152466</math> || <math>5597</math> || <math>5886</math> || <math>6509</math> || <math>5761</math> || <math>8115</math> || <math>6945</math> || <math>8380</math> || <math>7095</math>  
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3 \pmod{4} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{p^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
+
! <math>\boldsymbol{3}</math>
−
  \begin{cases}
+
| <math>5974</math> || <math>8768</math> || <math>282485800</math> || <math>5767</math> || <math>5651</math> || <math>5632</math> || <math>6640</math> || <math>5725</math> || <math>6058</math> || <math>7050</math>  
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 3, 5 \pmod{8} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(p - 1)(p - 3)}{8}} \,\, = \,\,
+
! <math>\boldsymbol{4}</math>
−
  \begin{cases}
+
| <math>10749</math> || <math>282485800</math> || <math>14425</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>9735</math> || <math>6567</math> || <math>8164</math> || <math>7669</math> || <math>7608</math> || <math>7131</math>  
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv 5, 7 \pmod{8} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{p}{q}} \right)_{\small{\!\! L}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot (-1)^{\tfrac{q - 1}{2} \cdot \tfrac{p - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{q}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot
+
! <math>\boldsymbol{5}</math>
−
\begin{cases}
+
| <math>5047</math> || <math>15127</math> || <math>6155</math> || <math>15127</math> || <math>4152</math> || <math>5146</math> || <math>4423</math> || <math>5526</math> || <math>6289</math> || <math>9509</math>  
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } p \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; q \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } p \equiv q \equiv 3 \pmod{4} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|}
 
|}
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">NumOfLPSP(Stop) =
 +
\\ ilość liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0, '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------"); '''next'''() );
 +
              s = 0;
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">LPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m), s++ );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
              '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  s= ", s);
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N27</span><br/>
 +
Dla <math>(P, Q) = (1, 1)</math> ciąg Lucasa <math>(U_n)</math> ma postać
 +
 +
::<math>(U_n) = (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, \ldots)</math>
 +
 +
Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy, że <math>U_{3 k} = 0</math>. Łatwo sprawdzamy, że dla <math>k = 0</math> i <math>k = 1</math> wzór jest prawdziwy. Zakładając prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od <math>k</math>, otrzymujemy dla <math>k + 1</math> (zobacz N13 p.3)
  
 +
::<math>U_{3 (k + 1)} = U_{3 k + 3} = U_{3 k} V_3 - U_{3 (k - 1)} = 0</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J35</span><br/>
+
Co kończy dowód. Zbadajmy liczby pseudopierwsze Lucasa dla <math>(P, Q) = (1, 1)</math>.
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że
 
  
−
:*&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>, to element odwrotny liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> istnieje i jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>
+
Mamy <math>D = P^2 - 4 Q = - 3</math>. Wynika stąd, że nie może być <math>3 \mid m</math>, bo mielibyśmy <math>\gcd (m, Q D) = 3 > 1</math>.
  
−
:*&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>a, b</math> są liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi) modulo <math>p</math>, to istnieje taka liczba <math>r</math>, że <math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
+
Z zadania J46 wiemy, że
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>(- 3 \mid m) =
−
Z założenia <math>a</math> jest liczbą kwadratową (niekwadratową) modulo <math>p</math>, zatem <math>\gcd (a, p) = 1</math>, czyli element odwrotny (zobacz H18) liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> istnieje. Mamy
+
\begin{cases}
 +
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
 +
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
 +
      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \\
 +
\end{cases}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>3 \nmid m</math>, to wystarczy zbadać przypadki <math>m = 6 k + 1</math> i <math>m = 6 k + 5</math>. W&nbsp;pierwszym przypadku jest
 +
 
 +
::<math>U_{m - (- 3 \mid m)} = U_{6 k + 1 - 1} = U_{6 k} = 0</math>
  
−
::<math>1 = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
+
W drugim przypadku, gdy <math>m = 6 k + 5</math>, dostajemy
−
= \left( {\small\frac{a a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 
−
= \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
 
  
−
Zatem musi być
+
::<math>U_{m - (- 3 \mid m)} = U_{6 k + 5 + 1} = U_{6 (k + 1)} = 0</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>
+
Zatem dla dowolnej liczby nieparzystej <math>m</math> niepodzielnej przez <math>3</math> jest
  
−
Co należało pokazać.
+
::<math>U_{m - (- 3 \mid m)} \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
 +
Czyli liczbami pseudopierwszymi Lucasa dla parametrów <math>(P, Q) = (1, 1)</math> będą liczby nieparzyste <math>m</math>, które nie są podzielne przez <math>3</math> i&nbsp;nie są liczbami pierwszymi. Ilość takich liczb nie większych od <math>10^k</math> możemy łatwo znaleźć poleceniem
  
−
Niech <math>a, b</math> będą liczbami kwadratowymi (niekwadratowymi). Iloczyn <math>a b^{- 1}</math> jest liczbą kwadratową, bo
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(k = 1, 9, s = 0; '''forstep'''(m = 3, 10^k, 2, '''if'''( m%6 <> 3, s = s + !'''isprime'''(m) )); '''print'''(s))</span>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 
−
= \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b^{- 1}}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 
−
= \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} \cdot \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}
 
−
= \left( \pm 1 \right) \cdot \left( \pm 1 \right)
 
−
= \left( \pm 1 \right)^2
 
−
= 1</math>
 
  
−
Zatem istnieje taka liczba <math>r</math>, że
 
  
−
::<math>a b^{- 1} \equiv r^2 \!\! \pmod{p}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N28</span><br/>
 +
Pokazać, że ilość liczb pseudopierwszych Lucasa dla parametrów <math>(P, Q) = (2, 2)</math> nie większych od <math>10^k</math> możemy znaleźć poleceniem
  
−
Czyli
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(k = 1, 9, s = 0; '''forstep'''(m = 3, 10^k, 2, s = s + !'''isprime'''(m)); '''print'''(s))</span>
  
−
::<math>a \equiv b r^2 \!\! \pmod{p}</math>
 
  
−
Co należało pokazać.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
  
 +
== Metoda Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math> ==
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N29</span><br/>
 +
Twierdzenie N20 możemy wykorzystać do testowania pierwszości liczb. Ponieważ musi być spełniony warunek <math>\gcd (m, Q D) = 1</math>, to nie każda para liczb <math>P, Q</math> (np. wybrana losowo) nadaje się do przeprowadzenia testu. Zawsze będziemy zmuszeni określić zasadę postępowania, która doprowadzi do wyboru właściwej pary <math>P, Q</math>.
  
−
== Symbol Jacobiego ==
+
Robert Baillie i&nbsp;Samuel Wagstaff przedstawili<ref name="BaillieWagstaff1"/> dwie metody wyboru parametrów dla testu Lucasa. Ograniczymy się do omówienia tylko pierwszej z&nbsp;nich (metodę zaproponował John Selfridge).
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J36</span><br/>
+
Rozważmy ciąg <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math>, gdzie <math>k \geqslant 2</math>, czyli <math>a_k = (5, - 7, 9, - 11, 13, - 15, \ldots)</math>. Niech <math>D</math> będzie pierwszym wyrazem ciągu <math>(a_k)</math>, dla którego jest <math>(a_k \mid m) = - 1</math>. Dla tak ustalonego <math>D</math> przyjmujemy <math>P = 1</math> i <math>Q = (1 - D) / 4</math>.
−
Niech liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> będą względnie pierwsze. Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
Tabela przedstawia początkowe wartości <math>Q</math>, jakie otrzymamy, stosując tę metodę.
  
−
ma rozwiązanie, czyli istnieje taka liczba <math>k \in \mathbb{Z}</math>, że <math>m \mid (k^2 - a)</math>.
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{k}</math>
 +
| <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{a_k}</math>
 +
| <math>5</math> || <math>-7</math> || <math>9</math> || <math>-11</math> || <math>13</math> || <math>-15</math> || <math>17</math> || <math>-19</math> || <math>21</math> || <math>-23</math> || <math>25</math> || <math>-27</math> || <math>29</math> || <math>-31</math> || <math>33</math> || <math>-35</math> || <math>37</math> || <math>-39</math> || <math>41</math>
 +
|-
 +
!  <math>\boldsymbol{Q}</math>  
 +
| <math>-1</math> || <math>2</math> || style="background-color: red" | <math>-2</math> || <math>3</math> || <math>-3</math> || <math>4</math> || <math>-4</math> || <math>5</math> || <math>-5</math> || <math>6</math> || style="background-color: red" | <math>-6</math> || <math>7</math> || <math>-7</math> || <math>8</math> || <math>-8</math> || <math>9</math> || <math>-9</math> || <math>10</math> || <math>-10</math>
 +
|}
  
−
Powiemy, że liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, jeżeli kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
Zauważmy, że
 +
:* jeżeli liczba nieparzysta <math>m</math> jest liczbą kwadratową, to wybór <math>D</math> nie będzie możliwy
 +
:* w&nbsp;przypadku zastosowania tej metody znajdziemy tylko liczby pierwsze lub pseudopierwsze Lucasa, które spełniają kongruencję <math>U_{m + 1} \equiv 0 \pmod{m}</math>, czyli tylko część liczb pseudopierwszych Lucasa określonych w&nbsp;definicji N22
  
−
nie ma rozwiązania.
 
  
 +
Ponieważ Baillie i&nbsp;Wagstaff określili metodę zaproponowaną przez Selfridge'a jako metodę A, to pozostaniemy przy tej nazwie. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego
  
 +
::<math> a_{k+1} =
 +
  \begin{cases}
 +
  \qquad \qquad 5 & \text{gdy } k = 1 \\
 +
      - a_k - 2 * \mathop{\textnormal{sign}}( a_k ) & \text{gdy } k \geqslant 2 \\
 +
  \end{cases}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J37</span><br/>
+
możemy łatwo napisać odpowiednią funkcję znajdującą liczby <math>P, Q</math> według tej metody.
−
Prosta funkcja pozwala łatwo sprawdzić, czy liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>.
 
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">isQR(a, m) =  
+
  <span style="font-size: 90%; color:black;">MethodA(m) =  
−
\\ funkcja zwraca 1, gdy a jest liczbą kwadratową modulo m,
 
−
\\ -1, gdy a jest liczbą niekwadratową i 0, gdy gcd(a, m) > 1
 
 
  {
 
  {
−
  '''local'''(w);
+
  '''local'''(a, js);
−
  '''if'''( '''gcd'''(a, m) > 1, '''return'''(0) ); \\ liczba nie jest ani QR, ani QNR
+
a = 5;
−
w = -1;
+
  '''while'''( 1,
−
'''for'''(k = 1, '''floor'''(m/2), '''if'''( (k^2 - a)%m == 0, w = 1; '''break'''() ));
+
        js = jacobi(a, m);
−
'''return'''(w);
+
        '''if'''( js == 0  &&  a % m <> 0, '''return'''([0, 0]) );
 +
        '''if'''( js == -1, '''return'''([1, (1 - a)/4]) );
 +
        a = -a - 2*'''sign'''(a);
 +
      );
 
  }</span>
 
  }</span>
  
 +
Wyjaśnienia wymaga druga linia kodu w&nbsp;pętli <code>while</code>. Wiemy, że (zobacz J42)
 +
 +
::<math>(a \mid m) = 0 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a, m) > 1</math>
 +
 +
Jednak z&nbsp;faktu, że <math>\gcd (a, m) > 1</math> nie wynika natychmiast, że liczba <math>m</math> jest liczbą złożoną. Rozważmy dwa przypadki: gdy <math>m \mid a</math> i <math>m \nmid a</math>.
  
 +
Gdy <math>\gcd (a, m) > 1</math> i <math>m \mid a</math>, to <math>\gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m, m) = m > 1</math> i&nbsp;nie jesteśmy w&nbsp;stanie rozstrzygnąć, czy liczba <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Widać to dobrze na prostych przykładach
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J38</span><br/>
+
::<math>\gcd (7, 7) = \gcd (14, 7) = 7 > 1</math>
−
Ponieważ często można spotkać definicję liczb kwadratowych i&nbsp;niekwadratowych modulo <math>m</math>, w&nbsp;której warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math> zostaje pominięty, to Czytelnik powinien zawsze upewnić się, jaka definicja jest stosowana. Najczęściej w&nbsp;takim przypadku liczba <math>0</math> nie jest uznawana za liczbę kwadratową modulo <math>m</math>.
 
  
−
Przykładowo:
+
::<math>\gcd (15, 15) = \gcd (30, 15) = 15 > 1</math>
  
−
::<math>\left\{ 0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2 \right\} \equiv \left\{ 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 \right\} \pmod{10}</math>
+
Gdy <math>\gcd (a, m) > 1</math> i <math>m \nmid a</math>, to <math>m</math> jest liczbą złożoną. Ponieważ <math>m \nmid a</math>, to <math>a = k \cdot m + r</math>, gdzie <math>r \in [1, m - 1]</math>. Mamy
  
−
Liczby kwadratowe modulo <math>10</math> to <math>\left\{ 1, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowe to <math>\left\{ 3, 7 \right\}</math>. Liczby <math>\left\{ 0, 2, 4, 5, 6, 8 \right\}</math> nie są ani liczbami kwadratowymi, ani liczbami niekwadratowymi modulo <math>10</math>.
+
::<math>\gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m + r, m) = \gcd (r, m) = d</math>
  
−
Jeśli odrzucimy warunek <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczbami kwadratowymi modulo <math>10</math> będą <math>\left\{ 0, 1, 4, 5, 6, 9 \right\}</math>, a&nbsp;niekwadratowymi <math>\left\{ 2, 3, 7, 8 \right\}</math>.
+
Musi być <math>d > 1</math>, bo założyliśmy, że <math>\gcd (a, m) > 1</math> i&nbsp;musi być <math>d < m</math>, bo <math>d \leqslant r \leqslant m - 1</math>. Zatem <math>d</math> jest dzielnikiem nietrywialnym liczby <math>m</math> i <math>m</math> jest liczbą złożoną.
  
−
Inny przykład. Niech <math>m = 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7</math>. W&nbsp;zależności od przyjętej definicji najmniejszą dodatnią liczbą niekwadratową modulo <math>m</math> będzie albo <math>11</math>, albo <math>2</math>.
+
Omawiana linia kodu zapewnia wysłanie informacji o&nbsp;tym, że liczba <math>m</math> jest liczbą złożoną (zwrot wektora [0, 0]). W&nbsp;przypadku, gdy nie mamy takiej pewności, kontynuujemy szukanie liczby <math>a</math>, takiej że <math>(a \mid m) = - 1</math>, pozostawiając zbadanie pierwszości liczby <math>m</math> na kolejnym etapie testowania.
  
  
 +
Uważny Czytelnik dostrzeże, że nie zbadaliśmy, czy spełniony jest warunek <math>\gcd (m, Q) = 1</math>. Nie musimy tego robić, bo zwracana przez funkcję <code>MethodA()</code> liczba <math>Q</math> jest względnie pierwsza z <math>m</math>. Omówimy ten problem dokładnie w&nbsp;zadaniu N30. Poniżej pokażemy, że nawet gdyby było <math>\gcd (m, Q) > 1</math>, to złożona liczba <math>m</math> nie zostanie uznana za liczbę pseudopierwszą Lucasa.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J39</span><br/>
+
Zauważmy, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną i&nbsp;ma dzielnik pierwszy <math>p < m</math>, który dzieli <math>Q</math>, to <math>p \mid Q</math> i <math>p \nmid P</math> (bo <math>P = 1</math>), zatem <math>p \nmid U_k</math> dla <math>k \geqslant 1</math> (zobacz N17), czyli nie może być
−
Niech liczby <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (m, n) = 1</math>. Pokazać, że liczba <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m n</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> i&nbsp;modulo <math>n</math>.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{m}</math>
−
Niech <math>W(x) = x^2 - a</math>. Zauważmy, że liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja <math>W(x) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie. Dalsza analiza problemu przebiega dokładnie tak, jak to zostało przedstawione w&nbsp;uwadze J12.<br/>
+
 
−
&#9633;
+
bo mielibyśmy
−
{{\Spoiler}}
+
 
 +
::<math>U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
 +
a to jest niemożliwe. Zatem program wykorzystujący twierdzenie N20 wykryje złożoność liczby <math>m</math>.
  
 +
Łatwo pokażemy, że nie jest możliwe, aby liczba <math>m</math> była liczbą pierwszą i&nbsp;była dzielnikiem <math>Q</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie <math>\tfrac{m - 1}{2}</math> liczb kwadratowych modulo <math>p</math> i <math>\tfrac{m - 1}{2}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math>, zatem rozpoczynając od wyrazu <math>a_2</math> możemy dojść co najwyżej do wyrazu o&nbsp;indeksie <math>k = \tfrac{m - 1}{2} + 2</math>, czyli
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja J40</span><br/>
+
::<math>| a_k | \leqslant m + 4</math>
−
Symbol Jacobiego<ref name="jacobi1"/> <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> jest uogólnieniem symbolu Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> dla dodatnich liczb nieparzystych.
 
−
Niech <math>n = \prod_i p_i^{\alpha_i}</math> będzie rozkładem liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze, wtedy
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i}</math>
+
Skąd wynika, że
  
 +
::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_k}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{m + 5}{4}} < m</math>
  
 +
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla <math>m > {\small\frac{5}{3}}</math>, czyli dla wszystkich liczb pierwszych. Ponieważ <math>| Q | < m</math>, w&nbsp;przypadku gdy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to <math>m</math> nie może być dzielnikiem liczby <math>Q</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J41</span><br/>
 
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku gdy <math>n = 1</math>, po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>.
 
  
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N30</span><br/>
 +
Pokazać, że w&nbsp;przypadku, gdy dla kolejnych liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> sprawdzamy, czy konsekwencją <math>(a_k \mid m) = 0</math> jest złożoność liczby <math>m</math>, to dla każdej liczby <math>Q</math> wyznaczonej metodą Selfridge'a jest <math>\gcd (Q, m) = 1</math>.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J42*</span><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
Niech <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> oraz <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>m, n</math> będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości
+
Niech <math>m = 21</math>. Rozpoczniemy od przykładu liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> dla <math>k = 0, 1, \ldots, m - 1</math>.
  
−
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 100%; text-align: left; margin-right: auto;"
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
−
|-
+
! <math>\boldsymbol{k}</math> !! <math>\boldsymbol{0}</math> !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! !! <math>\boldsymbol{(m-1)/2}</math> !! !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !!  !! <math>\boldsymbol{m-1}</math>
−
| &nbsp;&nbsp;1.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) > 1</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;2.&nbsp;&nbsp; || <math>a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;3.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;4.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot  \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
! <math>\boldsymbol{k}</math>
 +
| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math> || <math>19</math> || <math>20</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;5.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1</math>
+
! <math>\boldsymbol{a_k}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>-3</math> || <math>5</math> || <math>-7</math> || <math>9</math> || <math>-11</math> || <math>13</math> || <math>-15</math> || <math>17</math> || <math>-19</math> || <math>21</math> || <math>-23</math> || <math>25</math> || <math>-27</math> || <math>29</math> || <math>-31</math> || <math>33</math> || <math>-35</math> || <math>37</math> || <math>-39</math> || <math>41</math>
 
|-
 
|-
−
| &nbsp;&nbsp;6.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\,
+
! <math>\boldsymbol{R_m(a_k)}</math>
−
  \begin{cases}
+
| <math>1</math> || <math>18</math> || <math>5</math> || <math>14</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>13</math> || <math>6</math> || <math>17</math> || <math>2</math> || <math>0</math> || <math>19</math> || <math>4</math> || <math>15</math> || <math>8</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>7</math> || <math>16</math> || <math>3</math> || <math>20</math>
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;7.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\,
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;8.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\,
 
−
  \begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
−
|-
 
−
| &nbsp;&nbsp;9.&nbsp;&nbsp; || <math>\left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot
 
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
 
|}
 
|}
  
 +
Zauważmy, że modulo <math>21</math> ciąg <math>(a_k) = (1, - 3, 5, - 7, \ldots, 37, - 39, 41)</math> jest identyczny z&nbsp;ciągiem <math>(0, 1, 2, \ldots, 19, 20)</math>, a&nbsp;ciąg <math>(| a_k |)</math> to kolejne liczby nieparzyste od <math>1</math> do <math>2 m - 1</math>.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J43</span><br/>
+
Poniżej pokażemy, dlaczego musi być <math>\gcd (Q, m) = 1</math>, gdzie <math>Q</math> jest liczbą wyznaczoną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby <math>m</math> przy testowaniu kolejnych liczb <math>a_k</math>). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby <math>m</math>. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość <math>Q</math> na podstawie innego wyrazu ciągu <math>a_k</math> (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).
−
Zauważmy, że poza zmienionym założeniem tabela z&nbsp;powyższego twierdzenia i&nbsp;tabela z&nbsp;twierdzenia J34 różnią się jedynie punktem czwartym. Oczywiście jest to tylko podobieństwo formalne – symbol Legendre'a i&nbsp;symbol Jacobiego są różnymi funkcjami.
 
  
 +
::<math>m = 3 , \;\; (5 \mid 3) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
 +
::<math>m = 5 , \;\; (5 \mid 5) = 0 , \;\; (- 7 \mid 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(5 \mid 5) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J44</span><br/>
+
::<math>m = 7 , \;\; (5 \mid 7) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
−
Zauważmy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>m</math> jest liczbą nieparzystą
 
  
−
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, to <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>
+
::<math>m = 9 , \;\; </math> (liczba kwadratowa)
−
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>m</math>, to '''nie musi być''' <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
:* jeżeli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>, to <math>a</math> '''nie musi być''' liczbą kwadratową modulo <math>m</math>
 
−
:* jeżeli <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>m</math>, to jest <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1</math>
 
  
−
Przykład: jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^2 = + 1</math>, ale <math>a</math> może być liczbą niekwadratową modulo <math>m^2</math>.
+
::<math>m = 11 , \;\; (- 11 \mid 11) = 0 , \;\; (13 \mid 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(- 11 \mid 11) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
  
−
Modulo <math>9</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 5, 8</math>. Modulo <math>25</math> liczbami niekwadratowymi są: <math>2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23</math>.
+
::<math>m = 13 , \;\; (5 \mid 13) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
 +
::<math>m = 15 , \;\; \boldsymbol{(5 \mid 15) = 0} , \;\; (13 \mid 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
  
 +
::<math>m = 17 , \;\; (5 \mid 17) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J45</span><br/>
+
::<math>m = 19 , \;\; (- 7 \mid 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
−
Wszystkie liczby kwadratowe i&nbsp;niekwadratowe modulo <math>m</math> można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program:
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
+
::<math>m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \mid 21) = 0} , \;\; (- 11 \mid 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">QRandQNR(m) =  
 
−
{
 
−
'''local'''(k, S, V);
 
−
S = [];
 
−
V = [];
 
−
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); S = '''concat'''(S, k));
 
−
S = '''Set'''(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
 
−
'''for'''(k = 1,  m - 1, '''if'''( '''gcd'''(k, m) > 1, '''next'''() ); V = '''concat'''(V, k^2 % m));
 
−
V = '''Set'''(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
 
−
'''print'''("QR: ", V);
 
−
'''print'''("QNR: ", '''setminus'''(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
 
−
}</span>
 
−
<br/>
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
 +
Niech <math>m \geqslant 23</math>. Wiemy, że w&nbsp;ciągu <math>(5, - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1)</math> wystąpią liczby <math>a_k</math> takie, że <math>(a_k \mid m) = - 1</math>. Warunek <math>(a_k \mid m) = 0</math> oznacza, że <math>(2 k + 1 \mid m) = 0</math>, bo
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J46</span><br/>
+
::<math>(a_k \mid m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \mid m) = ((- 1)^k \mid m) \cdot (2 k + 1 \mid m) = (- 1 \mid m)^k \cdot (2 k + 1 \mid m) = \pm (2 k + 1 \mid m)</math>
−
Pokazać, że
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
Jeżeli będą spełnione warunki <math>(a_k \mid m) = 0</math> i <math>R_m (a_k) \neq 0</math>, to liczba <math>m</math> będzie liczbą złożoną.
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \\
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
Wypiszmy kolejne próby dla <math>m \geqslant 23</math>. Liczba <math>r</math> jest numerem próby.
−
Zauważmy, że
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>r = 1 , \;\; a_{r + 1} = 5</math>
  
−
::::<math>\; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \mid m) = 1</math> || <math>5 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \mid m) = 0</math> || <math>5 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(5 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>5 \nmid m</math> || <math>D = 5 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
−
::::<math>\; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>r = 2 , \;\; a_{r + 1} = - 7</math>
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 1</math> || <math>7 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 0</math> || <math>7 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>7 \nmid m</math> || <math>D = -7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
−
bo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą.
+
::<math>r = 3</math>, <math>a_{r + 1} = 9</math>
  
−
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>6 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5</math>. Mamy
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 1</math> || <math>3 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 0</math> || <math>3 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) \neq - 1 \quad</math> || - - - - || bo <math>9</math> jest liczbą kwadratową
 +
|}
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Po wykonaniu trzech prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności <math>m</math> lub ustaleniem wartości liczb <math>D</math> i <math>Q</math>) wiemy, że <math>m</math> nie jest podzielna przez żadną z&nbsp;liczb pierwszych <math>p = 3, 5, 7</math>.
  
−
::::<math>\; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>r</math>-ta próba, gdzie <math>r \geqslant 4 , \;\;</math> wyraz <math>a_{r + 1}</math>
  
−
::::<math>\; =
+
::{| border="0"
−
\begin{cases}
+
|-style=height:2em
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
+
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \mid m) = 1</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\
+
|-style=height:2em
−
      - 1 & \text{gdy } r = 5 \\
+
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \mid m) = 0</math> || A. jeżeli <math>m \mid a_{r + 1}</math><sup>( * )</sup><br/>B. jeżeli <math>m \nmid a_{r + 1}</math> || A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math> <br/> B. <math>a_{r + 1} \mid m</math><sup>( ** )</sup>, '''koniec'''
−
\end{cases}</math>
+
|-style=height:2em
−
 
+
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 1} \mid m) = - 1 \quad</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || <math>D = a_{r + 1}</math>, <math>Q = {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}}</math>, '''koniec'''
−
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5</math> jest
+
|}
  
−
::<math>\left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
<sup>( * )</sup> jest to możliwe tylko dla <math>a_{r + 1} = a_{(m - 1) / 2} = m</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
+
<sup>( ** )</sup> zauważmy, że jeżeli <math>m \nmid a_{r + 1}</math>, to <math>\gcd (a_{r + 1}, m) = | a_{r + 1} |</math>, bo gdyby liczba <math>| a_{r + 1} |</math> była liczbą złożoną, to żaden z&nbsp;jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby <math>m</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1</math>
 
  
−
Łatwo zauważamy, że
+
Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby <math>m</math>, to żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3</math> nie dzieli liczby <math>m</math>. Zatem <math>\gcd (Q, m) > 1</math> może być tylko w&nbsp;przypadku, gdy pewna liczba pierwsza <math>q \geqslant 2 r + 5</math> będzie wspólnym dzielnikiem liczb <math>Q</math> i <math>m</math>, ale jest to niemożliwe, bo
  
−
::<math>\left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 1} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 4}{4}} < 2 r + 5 \leqslant q</math>
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich <math>r</math> naturalnych.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1303: Linia 1371:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J47</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie N31</span><br/>
−
Pokazać, że
+
Zmodyfikujmy metodę Selfridge'a w&nbsp;taki sposób, że będziemy rozpoczynali próby nie od wyrazu <math>a_2 = 5</math>, ale od wyrazu <math>a_3 = - 7</math>. Pokazać, że w&nbsp;przypadku, gdy dla kolejnych liczb <math>a_k = (- 1)^k (2 k + 1)</math> sprawdzamy, czy konsekwencją <math>(a_k \mid m) = 0</math> jest złożoność liczby <math>m</math>, to dla każdej liczby <math>Q</math> wyznaczonej tak zmodyfikowaną metodą Selfridge'a jest <math>\gcd (Q, m) = 1</math>.
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =  
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
\begin{cases}
+
Poniżej pokażemy, dlaczego musi być <math>\gcd (Q, m) = 1</math>, gdzie <math>Q</math> jest liczbą wyznaczoną zmodyfikowaną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby <math>m</math> przy testowaniu kolejnych liczb <math>a_k</math>). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby <math>m</math>. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość <math>Q</math> na podstawie innego wyrazu ciągu <math>a_k</math> (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\
+
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\
+
::<math>m = 3 , \;\; (- 7 \mid 3) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
−
      - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \\
+
 
−
\end{cases}</math>
+
::<math>m = 5 , \;\; (- 7 \mid 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
 +
 
 +
::<math>m = 7 , \;\; (- 7 \mid 7) = 0 , \;\; (- 11 \mid 7) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math> (zauważmy, że <math>(- 7 \mid 7) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
 +
 
 +
::<math>m = 9 , \;\; </math> (liczba kwadratowa)
  
 +
::<math>m = 11 , \;\; (- 11 \mid 11) = 0 , \;\; (13 \mid 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\;</math> (zauważmy, że <math>(- 11 \mid 11) = 0</math> nie pozwala wnioskować o&nbsp;złożoności)
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} =
+
::<math>m = 13 , \;\; (- 7 \mid 13) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 1 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } m = 10 k + 5 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } m = 10 k \pm 3 \\
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>m = 15 , \;\; \boldsymbol{(9 \mid 15) = 0} , \;\; (13 \mid 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
  
−
'''Punkt 1.'''
+
::<math>m = 17 , \;\; (- 7 \mid 17) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
Przy wyliczaniu symboli Legendre'a i&nbsp;Jacobiego, zawsze warto sprawdzić, czy da się ustalić przystawanie liczb modulo <math>4</math>. W&nbsp;tym przypadku mamy
+
::<math>m = 19 , \;\; (- 7 \mid 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1</math>
  
−
::<math>3 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
::<math>m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \mid 21) = 0} , \;\; (- 11 \mid 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\;</math> (gdyby nie zbadano złożoności)
  
−
i odpowiednio dla różnych postaci liczby <math>m</math> jest
 
  
−
::<math>m = 12 k + 1 \equiv 1 \pmod{4}</math>
+
Niech <math>m \geqslant 23</math>. Wiemy, że w&nbsp;ciągu <math>( - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1)</math> wystąpią liczby <math>a_k</math> takie, że <math>(a_k \mid m) = - 1</math>. Warunek <math>(a_k \mid m) = 0</math> oznacza, że <math>(2 k + 1 \mid m) = 0</math>, bo
  
−
::<math>m = 12 k + 5 \equiv 1 \pmod{4}</math>
+
::<math>(a_k \mid m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \mid m) = ((- 1)^k \mid m) \cdot (2 k + 1 \mid m) = (- 1 \mid m)^k \cdot (2 k + 1 \mid m) = \pm (2 k + 1 \mid m)</math>
  
−
::<math>m = 12 k + 7 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
Jeżeli będą spełnione warunki <math>(a_k \mid m) = 0</math> i <math>R_m (a_k) \neq 0</math>, to liczba <math>m</math> będzie liczbą złożoną.
  
−
::<math>m = 12 k + 11 \equiv 3 \pmod{4}</math>
+
Wypiszmy kolejne próby dla <math>m \geqslant 23</math>. Liczba <math>r</math> jest numerem próby.
  
−
Ułatwi nam to znacznie wykonywanie przekształceń (zobacz J42 p.9)
+
::<math>r = 1 , \;\; a_{r + 2} = - 7</math>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::{| border="0"
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 1}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
|-style=height:2em
−
</div>
+
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 1</math> || <math>7 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = 0</math> || <math>7 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 7 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>7 \nmid m</math> || <math>D = - 7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::<math>r = 2 , \;\; a_{r + 2} = 9</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::{| border="0"
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 7}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+
|-style=height:2em
−
</div>
+
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 1</math> || <math>3 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) = 0</math> || <math>3 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(9 \mid m) \neq - 1 \quad</math> || - - - - || bo <math>9</math> jest liczbą kwadratową
 +
|}
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::<math>r = 3 , \;\; a_{r + 2} = - 11</math>
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{12 k + 11}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 
−
</div>
 
  
−
'''Punkt 2.'''
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \mid m) = 1</math> || <math>11 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \mid m) = 0</math> || <math>11 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 11 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>11 \nmid m</math> || <math>D = - 11 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec''' (bo liczby złożone <math>m = 3 k</math> zostały usunięte w&nbsp;poprzedniej próbie, <math>r = 2</math>)
 +
|}
  
−
Ponieważ <math>5 \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, to nie ma już znaczenia, czy <math>m \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>, czy też <math>m \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>. Otrzymujemy natychmiast (zobacz J42 p.9)
+
::<math>r = 4 , \;\; a_{r + 2} = 13</math>
  
−
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+
::{| border="0"
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
|-style=height:2em
−
</div>
+
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \mid m) = 1</math> || <math>13 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \mid m) = 0</math> || <math>13 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(13 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>13 \nmid m</math> || <math>D = 13 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec''' (bo liczby złożone <math>m = 3 k</math> zostały usunięte w&nbsp;próbie o&nbsp;numerze <math>r = 2</math>)
 +
|}
  
−
Rozważmy liczby nieparzyste <math>m</math> postaci <math>10 k + r</math>, gdzie <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math>. Mamy
+
::<math>r = 5 , \;\; a_{r + 2} = - 15</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \mid m) = 1</math> || <math>5 \nmid m \quad</math> || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \mid m) = 0</math> || <math>5 \mid m</math> || '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(- 15 \mid m) = - 1 \quad</math> || <math>5 \nmid m</math> || <math>D = - 15 , \;\; Q = 4 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\;</math> '''koniec'''
 +
|}
  
−
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{10 k + r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
 
  
−
:::<math>\:\, \quad = \left( {\small\frac{r}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>
+
Po wykonaniu pięciu prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności <math>m</math> lub ustaleniem wartości liczb <math>D</math> i <math>Q</math>) wiemy, że <math>m</math> nie jest podzielna przez żadną z&nbsp;liczb pierwszych <math>p = 3, 5, 7, 11, 13</math>.
  
−
:::<math>\:\, \quad =
+
::<math>r</math>-ta próba, gdzie <math>r \geqslant 6 , \;\;</math> wyraz <math>a_{r + 2}</math>
−
\begin{cases}
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 3 \\
 
−
\;\;\: 0 & \text{gdy } r = 5 \\
 
−
      - 1 & \text{gdy } r = 7 \\
 
−
\;\;\: 1 & \text{gdy } r = 9 \\
 
−
\end{cases}</math>
 
  
−
bo odpowiednio dla <math>r = 1, 3, 5, 7, 9</math> jest
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \mid m) = 1</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math>
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \mid m) = 0</math> || A. jeżeli <math>m \mid a_{r + 2}</math><sup>( * )</sup><br/>B. jeżeli <math>m \nmid a_{r + 2}</math> || A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu <math>(a_k)</math> <br/> B. <math>a_{r + 1} \mid m</math><sup>( ** )</sup>, '''koniec'''
 +
|-style=height:2em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>(a_{r + 2} \mid m) = - 1 \quad</math> || żadna liczba pierwsza <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m \quad</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;  || <math>D = a_{r + 2}</math>, <math>Q = {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}}</math>, '''koniec'''
 +
|}
  
−
::<math>\left( {\small\frac{1}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
+
<sup>( * )</sup> jest to możliwe tylko dla <math>a_{r + 2} = a_{(m - 1) / 2} = m</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{-2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{(5 - 1)(5 - 3)}{8}} = -1</math>
+
<sup>( ** )</sup> zauważmy, że jeżeli <math>m \nmid a_{r + 2}</math>, to <math>\gcd (a_{r + 2}, m) = | a_{r + 2} |</math>, bo gdyby liczba <math>| a_{r + 2} |</math> była liczbą złożoną, to żaden z&nbsp;jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby <math>m</math>
  
−
::<math>\left( {\small\frac{5}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0</math>
 
  
−
::<math>\left( {\small\frac{7}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{25 - 1}{8}} = - 1</math>
+
Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby <math>m</math>, to żadna z&nbsp;liczb pierwszych <math>p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5</math> nie dzieli liczby <math>m</math>. Zatem <math>\gcd (Q, m) > 1</math> może być tylko w&nbsp;przypadku, gdy pewna liczba pierwsza <math>q \geqslant 2 r + 7</math> będzie wspólnym dzielnikiem liczb <math>Q</math> i <math>m</math>, ale jest to niemożliwe, bo
  
−
::<math>\left( {\small\frac{9}{5}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{3}{5}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = 1</math>
+
::<math>| Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 2} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 6}{4}} < 2 r + 7 \leqslant q</math>
  
−
Co należało pokazać.<br/>
+
Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich <math>r</math> naturalnych.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1400: Linia 1490:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J48</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N32</span><br/>
−
Wykorzystując podane w&nbsp;twierdzeniu J42 właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w&nbsp;PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby <math>n</math> na czynniki pierwsze.
+
Przyjmując metodę Selfridge'a wyboru parametrów <math>P, Q</math> dla testu Lucasa, możemy łatwo napisać odpowiedni program w&nbsp;PARI/GP testujący pierwszość liczb
  
−
  <span style="font-size: 90%; color:black;">jacobi(a, n) =  
+
  <span style="font-size: 90%; color:black;">LucasTest(m) =  
 
  {
 
  {
−
  '''local'''(r, w);
+
  '''local'''(P, Q, X);
−
  '''if'''( n <= 0 || n % 2 == 0, '''return'''("Error") );
+
  '''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) );
−
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a &equiv; b (mod n)
+
  '''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); \\ sprawdzamy, czy m nie jest liczbą kwadratową
−
w = 1;
+
X = MethodA(m);
−
  '''while'''( a <> 0,
+
P = X[1];
−
        '''while'''( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; '''if'''( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
+
Q = X[2];
−
        \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n &equiv; 3,5 (mod 8)
+
'''if'''( P == 0, '''return'''(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
−
        \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
+
  '''if'''( modLucas(m + 1, P, Q, m)[1] == 0, '''return'''(1), '''return'''(0) );
−
        r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
 
−
        a = n;
 
−
        n = r;
 
−
        '''if'''( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
 
−
        \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a &equiv; n &equiv; 3 (mod 4)
 
−
        a = a % n;
 
−
      );
 
−
  '''if'''( n == 1, '''return'''(w), '''return'''(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
 
 
  }</span>
 
  }</span>
  
−
Zauważmy, że PARI/GP ma zaimplementowaną funkcję, która pozwala obliczać symbol Jacobiego. Jeżeli <math>a</math> jest liczbą całkowitą, a <math>n</math>
 
−
dodatnią liczbą nieparzystą, to wystarczy napisać
 
  
−
<span style="font-size: 90%; color:black;">kronecker(a, n)</span>
 
  
−
aby otrzymać wartość symbolu Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}}</math>.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N33</span><br/>
 +
Najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, które pojawiają się przy zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, to
  
−
Kod funkcji podaliśmy dlatego, że jest to ważna funkcja i Czytelnik powinien wiedzieć, jak jest realizowana. Znajomość kodu pozwala łatwo zapisać program w innych językach i obliczać wartości tej funkcji bez korzystania z programu PARI/GP.
+
::<math>323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877, 11419, 11663, 13919, 14839, 16109, 16211, 18407, 18971, 19043, 22499, \ldots</math>
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(k=1, 3*10^4, 2, '''if'''( LucasTest(k) && !'''isprime'''(k), '''print'''(k)) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J49</span><br/>
 
−
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol Jacobiego jest symbolem Legendre'a, czyli <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math>. Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol Legendre'a <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! L}}</math> nie istnieje, a&nbsp;symbol Jacobiego <math>\left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}</math> dostarcza jedynie ograniczonych informacji.
 
  
−
W przyszłości symbol Legendre'a / Jacobiego będziemy zapisywali w&nbsp;formie uproszczonej <math>(a \mid m)</math> i&nbsp;nie będziemy rozróżniali tych symboli. Interpretacja zapisu jest prosta:
+
Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od <math>10^n</math>
  
−
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą pierwszą, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Legendre'a
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
−
:* jeżeli '''wiemy''', że <math>m</math> jest liczbą złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
+
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math>
−
:* jeżeli '''nie wiemy''', czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną, to symbol <math>(a \mid m)</math> jest symbolem Jacobiego
+
|-
 +
| #LPSP <math>< 10^n</math> (metoda Selfridge'a) || <math>2</math> || <math>9</math> || <math>57</math> || <math>219</math> || <math>659</math> || <math>1911</math> || <math>5485</math>
 +
|}
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n=3, 9, s=0; '''forstep'''(k = 1, 10^n, 2, '''if'''( LucasTest(k) && !'''isprime'''(k), s++ ) ); '''print'''("n= ", n, "  ", s) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
  
  
  
−
== Rozwiązywanie kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ==
 
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J50</span><br/>
+
== Liczby silnie pseudopierwsze Lucasa ==
−
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N34</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że <math>\gcd (p, Q D) = 1</math> oraz <math>p - (D \mid p) = 2^r w</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą, to spełniony jest dokładnie jeden z&nbsp;warunków
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
+
::<math>U_w \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
lub
  
−
ma rozwiązanie.
+
::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad</math> dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
  
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Wiemy (zobacz N20), że jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że <math>\gcd (p, Q D) = 1</math>, to <math>p \mid U_{p - (D \mid p)}</math>. Z&nbsp;założenia jest <math>p - (D \mid p) = 2^r w</math>, zatem <math>p \mid U_{2^r w}</math>. Ponieważ założyliśmy, że <math>p \nmid Q</math> i <math>p \nmid D</math>, to ze wzoru <math>V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n</math> (zobacz N13 p.14) wynika natychmiast, że <math>p</math> nie może dzielić jednocześnie liczb <math>U_n</math> i <math>V_n</math>.
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
Korzystając ze wzoru <math>U_{2 n} = U_n V_n</math> (zobacz N13 p.11), otrzymujemy
  
−
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{2^r w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2^{r - 1} w} \cdot V_{2^{r - 1} w} \quad</math> || Jeżeli <math>p \mid V_{2^{r - 1} w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2^{r - 1} w}</math>, to <math>p \mid U_{2^{r - 1} w}</math>.
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{2^{r - 1} w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2^{r - 2} w} \cdot V_{2^{r - 2} w} \quad</math> || Jeżeli <math>p \mid V_{2^{r - 2} w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2^{r - 2} w}</math>, to <math>p \mid U_{2^{r - 2} w}</math>.
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>.................</math> ||
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{4 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2 w} \cdot V_{2 w}</math> || Jeżeli <math>p \mid V_{2 w}</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_{2 w}</math>, to <math>p \mid U_{2 w}</math>.
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>p \mid U_{2 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_w \cdot V_w</math> || Jeżeli <math>p \mid V_w</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli <math>p \nmid V_w</math>, to <math>p \mid U_w</math>.
 +
|}
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
Z powyższego wynika, że musi być spełniony jeden z wypisanych w twierdzeniu warunków.
  
−
Ponieważ <math>p^n \mid (r^2 - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (r^2 - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
 
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{p}</math>
+
Zauważmy teraz, że jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>V_w</math>, to <math>p \nmid U_w</math>, bo <math>p</math> nie może jednocześnie być dzielnikiem liczb <math>U_w</math> i <math>V_w</math>.
  
−
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
+
Zauważmy też, że jeżeli dla pewnego <math>k \in [1, r - 1]</math> liczba pierwsza <math>p</math> dzieli <math>V_{2^k w}</math>, to <math>p</math> nie dzieli żadnej liczby <math>V_{2^j w}</math> dla <math>j \in [0, k - 1] \;\; \text{i} \;\; p \nmid U_w</math>. Istotnie:
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
+
::{| border="0"
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \mid V_{2^k w}</math>, to <math>p \nmid U_{2^k w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^k w} = U_{2^{k - 1} w} V_{2^{k - 1} w}</math>, zatem <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 1} w}</math>
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^{k - 1} w} = U_{2^{k - 2} w} V_{2^{k - 2} w}</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2^{k - 2} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 2} w}</math>
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || <math>.................</math> ||
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{4 w} \;\; \text{i} \;\; U_{4 w} = U_{2 w} V_{2 w}</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; V_{2 w}</math>
 +
|-style=height:3em
 +
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; || jeżeli <math>p \nmid U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; U_{2 w} = U_w V_w</math>, to <math>p</math> nie może być dzielnikiem żadnej z liczb <math>U_w \;\; \text{i} \;\; V_w</math>
 +
|}
  
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^n}</math>
+
Co dowodzi, że spełniony jest dokładnie jeden z <math>r + 1</math> warunków:
  
−
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i&nbsp;pokażmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
+
::<math>U_w \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad</math> gdzie <math>k \in [0, r - 1]</math>
  
−
Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona — wymaga tego precyzja i&nbsp;czytelność dowodu. Zatem
+
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>u^2_n - a = k p^n</math>
 
  
−
Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (2 u_n, p) = 1</math>, to równanie
 
  
−
::<math>2 u_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
+
Konsekwentnie definiujemy liczby pseudopierwsze<br/>
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja N35</span><br/>
 +
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta <math>m</math> jest liczbą silnie pseudopierwszą Lucasa (SLPSP) dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, jeżeli <math>\gcd (m, Q D) = 1</math> oraz <math>m - (D \mid m) = 2^r w</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą i&nbsp;spełniony jest jeden z&nbsp;warunków
  
−
ma rozwiązanie (zobacz C76). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
+
::<math>U_w \equiv 0 \pmod{m}</math>
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 - p \cdot l_0 = - k</math>
+
lub
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - k p^n</math>
+
::<math>V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{m} \;</math> dla pewnego <math>k \in [0, r - 1]</math>
  
−
::<math>2 u_n \cdot s_0 p^n - l_0 \cdot p^{n + 1} = - ( u^2_n - a )</math>
 
  
−
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
 
  
−
Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N36</span><br/>
 +
Każda liczba SLPSP(<math>P, Q</math>) jest LPSP(<math>P, Q</math>). Korzystając ze zdefiniowanych wcześniej funkcji: <code>modPower(a, n, m)</code>, <code>jacobi(a, n)</code> i <code>modLucas(n, P, Q, m)</code> (zobacz M2, J48, N15), możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy liczba <math>m</math> spełnia jeden z&nbsp;warunków podanych w&nbsp;twierdzeniu N34.
  
−
::<math>u^2_n + 2 u_n \cdot s_0 p^n \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
<span style="font-size: 90%; color: black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q) =
 +
{
 +
'''local'''(a, b, c, D, js, k, r, w, X);
 +
D = P^2 - 4*Q;
 +
'''if'''( gcd(m, 2*Q*D) > 1, '''return'''(0) );
 +
js = jacobi(D, m);
 +
r = '''valuation'''(m - js, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m - js
 +
w = (m - js) / 2^r;
 +
X =  modLucas(w, P, Q, m);
 +
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
 +
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
 +
'''if'''( a == 0 || b == 0, '''return'''(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
 +
'''if'''( r == 1, '''return'''(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
 +
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
 +
k = 0;
 +
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) % m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*t) = (V_t)^2 - 2*Q^t
 +
'''while'''( k++ < r,
 +
        b = (b^2 - 2*c) % m;
 +
        '''if'''( b == 0, '''return'''(1) );
 +
        c = c^2 % m;
 +
      );
 +
'''return'''(0);
 +
}</span>
  
−
::<math>(u_n + s_0 p^n)^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
 
  
−
bo <math>p^{n + 1} \mid p^{2 n}</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{p^{n + 1}}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N37</span><br/>
 +
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>
  
−
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
−
&#9633;
+
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>253</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math> || <math>781</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>299</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>407</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>143</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>9</math> || <math>4181</math> || <math>341</math> || <math>169</math> || <math>33</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>57</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>799</math> || <math>121</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>25</math> || <math>85</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>55</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>169</math> || <math>529</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>2047</math> || style="background-color: yellow" | <math>989</math> || <math>161</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>9</math> || <math>265</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| <math>4181</math> || <math>169</math> || style="background-color: yellow" | <math>119</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>629</math> || <math>25</math> || <math>33</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>51</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>25</math> || style="background-color: red" | <math></math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>559</math> || <math>9</math> || <math>49</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>5459</math> || <math>9</math> || <math>2047</math> || <math>169</math> || <math>21</math> || <math>253</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>15</math> || <math>9</math> || <math>49</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>899</math> || style="background-color: yellow" | <math>5983</math> || <math>25</math> || <math>121</math> || <math>49</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math> || <math>55</math> || <math>25</math> || style="background-color: yellow" | <math>35</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| style="background-color: yellow" | <math>899</math> || <math>25</math> || <math>1541</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>341</math> || style="background-color: yellow" | <math>323</math> || style="background-color: yellow" | <math>377</math> || style="background-color: yellow" | <math>209</math> || <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>9</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>49</math> || style="background-color: yellow" | <math>527</math> || <math>4181</math> || <math>781</math> || style="background-color: yellow" | <math>39</math> || <math>9</math> || <math>9</math> || <math>9</math>
 +
|}
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">FirstSLPSP(Stop) =
 +
\\ najmniejsze SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0,
 +
                  '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------");
 +
                  '''next'''();
 +
                );
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q)  && !'''isprime'''(m),
 +
                          '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  m= ", m, "  (D|m)= ", jacobi(D, m));
 +
                          '''break'''();
 +
                        );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
 +
Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których <math>(D \mid m) = - 1</math>.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J51</span><br/>
 
−
Dla niewielkich modułów rozwiązania dowolnej kongruencji możemy znaleźć przez bezpośrednie sprawdzenie. Omówimy teraz rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> dla <math>n = 1, 2, 3</math>. Ponieważ zakładamy, że <math>\gcd (a, m) = \gcd (a, 2^n) = 1</math>, to <math>a</math> musi być liczbą nieparzystą, zaś <math>x</math> nie może być liczbą parzystą. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>, bo <math>2 \mid 2^n</math>.
 
  
−
Kongruencja
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład N38</span><br/>
 +
Ilość liczb SLPSP(<math>P, Q</math>) mniejszych od <math>10^9</math>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\boldsymbol{P}</math><br/><math>\boldsymbol{Q}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math> !! <math>\boldsymbol{2}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math> !! <math>\boldsymbol{10}</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 5}</math>
 +
| <math>1056</math> || <math>1231</math> || <math>1184</math> || <math>1264</math> || <math>2278</math> || <math>1284</math> || <math>1181</math> || <math>1174</math> || <math>1281</math> || <math>1429</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 4}</math>
 +
| <math>1043</math> || <math>1165</math> || <math>2139</math> || <math>1316</math> || <math>1151</math> || <math>1079</math> || <math>1112</math> || <math>2377</math> || <math>1197</math> || <math>989</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 3}</math>
 +
| <math>952</math> || <math>1514</math> || <math>1055</math> || <math>1153</math> || <math>1135</math> || <math>2057</math> || <math>998</math> || <math>1202</math> || <math>1077</math> || <math>1112</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 2}</math>
 +
| <math>1282</math> || <math>1092</math> || <math>1212</math> || <math>1510</math> || <math>1155</math> || <math>1179</math> || <math>1173</math> || <math>2240</math> || <math>1089</math> || <math>2109</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{- 1}</math>
 +
| <math>1165</math> || <math>1316</math> || <math>1079</math> || <math>2377</math> || <math>989</math> || <math>1196</math> || <math>1129</math> || <math>1050</math> || <math>1055</math> || <math>1147</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{1}</math>
 +
| <math>282485800</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>2278</math> || <math>2057</math> || <math>2113</math> || <math>2266</math> || <math>4053</math> || <math>2508</math> || <math>2285</math> || <math>3083</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{2}</math>
 +
| <math>1776</math> || <math>449152466</math> || <math>1282</math> || <math>1316</math> || <math>1645</math> || <math>1413</math> || <math>1564</math> || <math>1595</math> || <math>1683</math> || <math>1435</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{3}</math>
 +
| <math>1621</math> || <math>1553</math> || <math>282485800</math> || <math>1514</math> || <math>1530</math> || <math>1510</math> || <math>1588</math> || <math>1549</math> || <math>1468</math> || <math>1692</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{4}</math>
 +
| <math>2760</math> || <math>282485800</math> || <math>2978</math> || style="background-color: red" | <math></math> || <math>2137</math> || <math>2278</math> || <math>1995</math> || <math>2057</math> || <math>2260</math> || <math>2113</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{5}</math>
 +
| <math>1314</math> || <math>2392</math> || <math>1497</math> || <math>2392</math> || <math>1165</math> || <math>1268</math> || <math>1227</math> || <math>1411</math> || <math>1253</math> || <math>2377</math>
 +
|}
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2}</math>
 
  
−
ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>.
 
  
−
Kongruencja
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">NumOfSLPSP(Stop) =
 +
\\ ilość liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
 +
{
 +
'''local'''(D, m, P, Q);
 +
Q = -6;
 +
'''while'''( Q++ <= 5,
 +
        '''if'''( Q == 0, '''next'''() );
 +
        P = 0;
 +
        '''while'''( P++ <= 10,
 +
              D = P^2 - 4*Q;
 +
              '''if'''( D == 0, '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  ------------------"); '''next'''() );
 +
              s = 0;
 +
              m = 3;
 +
              '''while'''( m < Stop,
 +
                      '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SLPSP</span>(m, P, Q)  &&  !'''isprime'''(m), s++ );
 +
                      m = m + 2;
 +
                    );
 +
              '''print'''("Q= ", Q, "  P= ", P, "  s= ", s);
 +
            );
 +
      );
 +
}</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{4}</math>
 
  
−
ma dwa rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{4}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3 \!\! \pmod{4}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
 
  
−
Kongruencja
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N39</span><br/>
 +
Można pokazać<ref name="Arnault1"/>, że dla liczby złożonej nieparzystej <math>m \neq 9</math> i&nbsp;ustalonego <math>D</math> ilość par <math>P, Q</math> takich, że
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
+
:* <math>0 \leqslant P, Q < m</math>
 +
:* <math>\gcd (Q, m) = 1</math>
 +
:* <math>P^2 - 4 Q \equiv D \pmod{m}</math>
 +
:* <math>m</math> jest SLPSP(<math>P, Q</math>)
  
−
ma cztery rozwiązania, gdy <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>. Rozwiązaniami są: <math>x \equiv 1, 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math>. W&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv 3, 5, 7 \!\! \pmod{8}</math> kongruencja nie ma rozwiązań.
+
nie przekracza <math>\tfrac{4}{15} n</math>.
  
 +
Nie dotyczy to przypadku, gdy <math>m = p (p + 2)</math> jest iloczynem liczb pierwszych bliźniaczych takich, że <math>(D \mid p) = - (D \mid p + 2) = - 1</math>, wtedy mamy słabsze oszacowanie: <math>\# (P, Q) \leqslant \tfrac{1}{2} n</math>. Zauważmy, że taką sytuację łatwo wykryć, bo w&nbsp;tym przypadku <math>m + 1 = (p + 1)^2</math> jest liczbą kwadratową.
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J52</span><br/>
 
−
Niech <math>n \geqslant 3</math> i <math>a</math> będzie liczbą nieparzystą. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N40</span><br/>
 +
Podobnie jak w&nbsp;przypadku liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(<math>P, Q</math>) tak i&nbsp;w&nbsp;przypadku liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(<math>P, Q</math>) możemy testować pierwszość liczby <math>m</math>, wybierając liczby <math>P, Q</math> losowo lub zastosować wybraną metodę postępowania. Przedstawiony poniżej program, to zmodyfikowany kod z uwagi N36. Teraz parametry <math>P, Q</math> są wybierane metodą Selfridge'a, a symbol Jacobiego <math>(D \mid m)</math> jest równy <math>- 1</math>.
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">StrongLucasTest(m) =
 +
{
 +
'''local'''(a, b, c, k, P, Q, r, w, X);
 +
'''if'''( m % 2 == 0, '''return'''(m == 2) );
 +
'''if'''( '''issquare'''(m), '''return'''(0) ); \\ sprawdzamy, czy liczba m nie jest kwadratowa
 +
X = MethodA(m);
 +
P = X[1];
 +
Q = X[2];
 +
'''if'''( P == 0 || '''gcd'''(m, 2*Q) > 1, '''return'''(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
 +
r = '''valuation'''(m + 1, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m + 1
 +
w = (m + 1) / 2^r;
 +
X =  modLucas(w, P, Q, m);
 +
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
 +
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
 +
'''if'''( a == 0 || b == 0, '''return'''(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
 +
'''if'''( r == 1, '''return'''(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
 +
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
 +
k = 0;
 +
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) %m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*w) = (V_w)^2 - 2*Q^w
 +
'''while'''( k++ < r,
 +
        b = (b^2 - 2*c) % m;
 +
        '''if'''( b == 0, '''return'''(1) );
 +
        c = c^2 % m;
 +
      );
 +
'''return'''(0);
 +
}</span>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math>
 
  
−
ma rozwiązanie.
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N41</span><br/>
 +
Najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa, które otrzymujemy po zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, to
  
−
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
+
::<math>5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519, 75077, 97439, \ldots</math>
  
−
Z założenia kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie, zatem istnieje taka liczba <math>r \in \mathbb{Z}</math>, że
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(k=1, 10^5, 2, '''if'''( StrongLucasTest(k) && !'''isprime'''(k), '''print'''(k)) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
 
  
−
Ponieważ <math>2^n \mid (r^2 - a)</math>, gdzie <math>n \geqslant 3</math>, to tym bardziej <math>2^3 \mid (r^2 - a)</math>. Co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
+
Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od <math>10^n</math>
  
−
::<math>r^2 \equiv a \pmod{2^3}</math>
+
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: right; margin-right: auto;"
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> !! <math>\boldsymbol{3}</math> !! <math>\boldsymbol{4}</math> !! <math>\boldsymbol{5}</math> !! <math>\boldsymbol{6}</math> !! <math>\boldsymbol{7}</math> !! <math>\boldsymbol{8}</math> !! <math>\boldsymbol{9}</math>
 +
|-
 +
| #SLPSP <math>< 10^n</math> (metoda Selfridge'a) || <math>0</math> || <math>2</math> || <math>12</math> || <math>58</math> || <math>178</math> || <math>505</math> || <math>1415</math>
 +
|}
  
−
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{8}</math> ma rozwiązanie.
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(n=3, 9, s=0; '''forstep'''(k = 1, 10^n, 2, '''if'''( StrongLucasTest(k) && !'''isprime'''(k), s++ ) ); '''print'''("n=", n, "  ", s) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 
  
−
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \pmod{8}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 3</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^n}</math>
 
  
−
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{2^n}</math> i&nbsp;pokażemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
+
== Test BPSW ==
  
−
Z założenia istnieje taka liczba <math>k</math>, że <math>u^2_n - a = k \cdot 2^n</math>. Niech
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N42</span><br/>
 +
Jest <math>488</math> liczb SPSP(<math>2</math>) mniejszych od <math>10^8</math> i są 582 liczby SPSP(<math>3</math>) mniejsze od <math>10^8</math> (zobacz M21). Ale jest aż <math>21</math> liczb mniejszych od <math>10^8</math> silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw <math>2</math> i <math>3</math>:
  
−
::<math>r =
+
<math>1373653, 1530787, 1987021, 2284453, 3116107, 5173601, 6787327, 11541307, 13694761, 15978007, 16070429,</math>
−
  \begin{cases}
 
−
  0 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą parzystą} \\
 
−
  1 & \text{gdy } k \text{ jest liczbą nieparzystą} \\
 
−
  \end{cases}</math>
 
  
−
Zauważmy, że
+
<math>16879501, 25326001, 27509653, 27664033, 28527049, 54029741, 61832377, 66096253, 74927161, 80375707</math>
  
−
::<math>(u_n + r \cdot 2^{n - 1})^2 - a = u^2_n - a + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''forstep'''(m=3, 10^8, 2, '''if'''( isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2)  &&  isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 3)  &&  !'''isprime'''(m), '''print'''("m=", m) ) )</span>
 +
<br/>
 +
{{\Spoiler}}
  
−
::::::::<math>\;\! = k \cdot 2^n + 2^n r + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
Widzimy, że prawdopodobieństwo błędnego rozpoznania pierwszości w&nbsp;przypadku liczb mniejszych od <math>10^8</math> dla podstawy <math>2</math> lub podstawy <math>3</math> jest rzędu kilku milionowych. Gdyby prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania pierwszości w&nbsp;przypadku podstawy <math>2</math> lub podstawy <math>3</math> były niezależne, to spodziewalibyśmy się, że nie będzie wcale liczb mniejszych od <math>10^8</math> silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw <math>2</math> i <math>3</math>, bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia byłoby równe kilkudziesięciu bilonowym. Ale tak nie jest.
  
−
::::::::<math>\;\! = 2^n (k + r) + r^2 \cdot 2^{2 n - 2}</math>
+
Jest to mocny argument za tym, że zastosowanie różnych (niezależnych) testów może być znacznie silniejszym narzędziem do testowania pierwszości liczb, niż wielokrotne stosowanie tego samego testu, gdzie poszczególne próby są tylko pozornie niezależne.
  
−
::::::::<math>\;\! \equiv 0 \pmod{2^{n + 1}}</math>
+
Połączenie znanych nam już testów prowadzi do prostego programu
  
−
bo <math>k + r</math> jest liczbą parzystą, a&nbsp;dla <math>n \geqslant 3</math> mamy <math>2 n - 2 \geqslant n + 1</math>. Zatem liczba <math>u_{n + 1} = u_n + r \cdot 2^{n - 1}</math> jest rozwiązaniem kongruencji
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">BPSWtest(m) =
 +
{
 +
'''forprime'''(p = 2, 1000, '''if'''( m % p > 0, '''next'''() ); '''if'''( m == p, '''return'''(1), '''return'''(0) ));
 +
'''if'''( !isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, 2), '''return'''(0) );
 +
'''if'''( !StrongLucasTest(m), '''return'''(0), '''return'''(1) );
 +
}</span>
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{2^{n + 1}}</math>
 
  
−
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
 +
Funkcja <code>BPSWtest(m)</code> kolejno sprawdza:
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek J53</span><br/>
+
:* czy liczba <math>m</math> jest podzielna przez niewielkie liczby pierwsze (w naszym przypadku mniejsze od <math>1000</math>); jeśli tak, to sprawdza, czy <math>m</math> jest liczbą pierwszą, czy złożoną i&nbsp;zwraca odpowiednio <math>1</math> lub <math>0</math>
−
Jeżeli <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{2^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a</math> jest postaci <math>2 k + 1</math>, <math>4 k + 1</math> lub <math>8 k + 1</math> w&nbsp;zależności od tego, czy <math>n = 1</math>, czy <math>n = 2</math>, czy <math>n \geqslant 3</math>.
+
:* czy liczba <math>m</math> przechodzi test Millera-Rabina dla podstawy <math>2</math>; jeśli nie, to zwraca <math>0</math>
 +
:* czy liczba <math>m</math> przechodzi silny test Lucasa dla parametrów <math>P</math> i <math>Q</math>, które wybieramy metodą Selfridge'a; jeśli nie, to zwraca <math>0</math>, w&nbsp;przeciwnym wypadku zwraca <math>1</math>
  
  
 +
Test w&nbsp;dokładnie takiej postaci zaproponowali Robert Baillie i&nbsp;Samuel Wagstaff<ref name="BaillieWagstaff1"/>. Nazwa testu to akronim, utworzony od pierwszych liter nazwisk Roberta Bailliego, Carla Pomerance'a, Johna Selfridge'a i&nbsp;Samuela Wagstaffa.
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga J54</span><br/>
+
Nie jest znany żaden przykład liczby złożonej <math>m</math>, którą test BPSW<ref name="BPSW1"/><ref name="BPSW2"/> identyfikowałby jako pierwszą i&nbsp;z&nbsp;pewnością nie ma takich liczb dla <math>m < 2^{64} \approx 1.844 \cdot 10^{19}</math>. Warto przypomnieć: potrzebowaliśmy siedmiu testów Millera-Rabina (dla podstaw <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17</math>), aby mieć pewność, że dowolna liczba <math>m < 3.41 \cdot 10^{14}</math> jest pierwsza (zobacz M22).
−
Niech <math>m = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_s}_s</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z&nbsp;chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz J3 i&nbsp;J12) wynika, że kongruencja <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy ma rozwiązanie każda z&nbsp;kongruencji
 
  
−
::<math>\begin{align}
 
−
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_1}_1} \\
 
−
    & \,\,\,\cdots \\
 
−
x^2 & \equiv a \pmod{p^{\alpha_s}_s} \\
 
−
\end{align}</math>
 
  
−
Z definicji J32, twierdzeń J50 i&nbsp;J52, uwagi J51 i&nbsp;wniosku J53 otrzymujemy
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J55</span><br/>
+
== Uzupełnienia ==
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
&nbsp;
  
−
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
+
=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Pewne własności współczynników dwumianowych</span> ===
  
−
::{| border="0"
+
&nbsp;
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; dla każdego nieparzystego dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>m</math> jest&nbsp; <math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} = 1</math>
 
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>8 \mid ( a - 1 )</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math>, &nbsp;to&nbsp; <math>4 \mid ( a - 1 )</math>
 
−
|}
 
  
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N43</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to
  
 +
::<math>\binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie J56</span><br/>
+
dla każdego <math>k \in [1, p - 1]</math>.
−
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja
 
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Łatwo zauważamy, że dla <math>k \in [1, p - 1]</math> liczba pierwsza <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynnika dwumianowego
  
−
nie ma rozwiązania wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy spełniony jest co najmniej jeden z&nbsp;warunków
+
::<math>\binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k)!}}</math>
  
−
::{| border="0"
+
zatem <math>p \biggr\rvert \binom{p}{k}</math>. Co należało pokazać.<br/>
−
|-style=height:1em
+
&#9633;
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli dla dowolnego nieparzystego dzielnika <math>d</math> liczby <math>m</math> jest <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
+
{{\Spoiler}}
−
|-style=height:1em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>8 \nmid ( a - 1 )</math>
 
−
|-style=height:2.5em
 
−
| &#9679;&nbsp;&nbsp;&nbsp; jeżeli&nbsp; <math>8 \nmid m</math>, &nbsp;ale&nbsp; <math>4 \mid m</math> &nbsp;i&nbsp; <math>4 \nmid ( a - 1 )</math>
 
−
|}
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 
  
−
'''Punkt 1.'''
 
  
−
Z założenia <math>d \mid m</math>. Gdyby kongruencja
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N44</span><br/>
 +
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{m}</math>
+
::<math>\binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
miała rozwiązanie, to również kongruencja
+
dla każdego <math>k \in [2, p - 1]</math>.
  
−
::<math>x^2 \equiv a \pmod{d}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Jeżeli <math>k \in [2, p - 1]</math>, to modulo <math>p</math> dostajemy
  
−
miałaby rozwiązanie, ale jest to niemożliwe, bo założyliśmy, że <math>\left( {\small\frac{a}{d}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>, co oznacza, że <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>d</math>.
+
::<math>\binom{p + 1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k - 1} \equiv 0 \pmod{p}</math>
  
−
Punkty 2. i 3. wynikają wprost z&nbsp;twierdzenia J55.<br/>
+
Bo liczba pierwsza <math>p</math> dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynników dwumianowych po prawej stronie. Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1675: Linia 1939:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład J57</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N45</span><br/>
−
Zauważmy, że <math>\left( {\small\frac{17}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{19}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math> oraz <math>\left( {\small\frac{17}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{5}{23}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>. W&nbsp;tabelach zestawiliśmy kongruencje i&nbsp;ich rozwiązania.
+
Jeżeli <math>p</math> jest liczbą pierwszą, to
  
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 60px; margin-right: 50px; font-size: 90%; text-align: left;"
+
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
−
|-
+
 
−
! Kongruencje || Rozwiązania
+
dla każdego <math>k \in [0, p - 1]</math>.
−
|-
+
 
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 19}</math> || <math>25, 63, 89, 127, 177, 215, 241, 279</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
|-
+
Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby pierwszej parzystej <math>p = 2</math>. Załóżmy, że <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Równie łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>k = 0</math> i <math>k = 1</math>. Zauważmy, że dla <math>k \in [1, p - 1]</math> jest
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>13, 25, 51, 63, 89, 101, 127, 139</math>
+
 
−
|-
+
::<math>\binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! (p - 1 - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot {\small\frac{(p - 1) !}{(k - 1) ! (p - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} = {\small\frac{p}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} - \binom{p - 1}{k - 1}</math>
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 19}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
 
−
|-
+
Ponieważ współczynniki dwumianowe są liczbami całkowitymi, a&nbsp;liczba <math>k \in [2, p - 1]</math> nie dzieli liczby pierwszej nieparzystej <math>p</math>, to <math>k</math> musi dzielić liczbę <math>\binom{p - 1}{k - 1}</math>. Zatem dla <math>k \in [2, p - 1]</math> modulo <math>p</math> mamy
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 19}</math> || <math>9, 29, 47, 67</math>
+
 
−
|}
+
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv - \binom{p - 1}{k - 1}\pmod{p}</math>
−
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 5px; font-size: 90%; text-align: left;"
+
 
−
|-
+
Skąd otrzymujemy
−
! Kongruencje || Rozwiązania
+
 
−
|-
+
::<math>\binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^1 \binom{p - 1}{k - 1} \equiv (- 1)^2 \binom{p - 1}{k - 2} \equiv \ldots \equiv (- 1)^{k - 2} \binom{p - 1}{2} \equiv (- 1)^{k - 1} \binom{p - 1}{1} \equiv (- 1)^k \pmod{p}</math>
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{16 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
 
−
|-
+
Co należało pokazać. Zobacz też zadanie H22.<br/>
−
| <math>x^2 \equiv 17 \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
+
&#9633;
−
|-
+
{{\Spoiler}}
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{8 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>x^2 \equiv 5 \;\, \pmod{4 \cdot 23}</math> || <math>\text{brak}</math>
 
−
|}
 
  
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J58</span><br/>
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie N46</span><br/>
−
Rozwiązać kongruencję, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą
+
Dla współczynników dwumianowych prawdziwe są następujące wzory
  
−
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>\underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
::<math>\underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
−
Ponieważ <math>\gcd (2, p) = 1</math>, to nie zmniejszając ogólności kongruencję powyższą możemy zapisać w&nbsp;postaci
 
  
−
::<math>4 x^2 + 4 rx + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Ze wzoru dwumianowego
  
−
::<math>(2 x + r)^2 - r^2 + 4 s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n - k} b^k</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
+
z łatwością otrzymujemy
  
−
Widzimy, że rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy liczba <math>r^2 - 4 s</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>. Istotnie, jeśli jest liczbą kwadratową, to istnieje taka liczba <math>b</math>, że <math>b^2 \equiv r^2 - 4 s \!\! \pmod{p}</math>, zatem otrzymujemy
+
::<math>(1 + 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv b^2 \pmod{p}</math>
+
::<math>(1 - 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \binom{n}{k} = 0</math>
  
−
::<math>2 x + r \equiv \pm b \pmod{p}</math>
+
Obliczając sumę i&nbsp;różnicę powyższych wzorów mamy
  
−
::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- r \pm b) \pmod{p}</math>
+
::<math>\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 + (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum^n_{k = 0}} \binom{n}{k} = 2^n</math>
  
−
Jeśli <math>r^2 - 4 s</math> nie jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja
+
::<math>\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 - (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^n</math>
  
−
::<math>(2 x + r)^2 \equiv r^2 - 4 s \pmod{p}</math>
+
Skąd natychmiast wynika
  
−
nie ma rozwiązania. Wynika stąd, że równoważna jej kongruencja
+
::<math>\underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
  
−
::<math>x^2 + rx + s \equiv 0 \pmod{p}</math>
+
::<math>\underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1}</math>
  
−
również nie ma rozwiązania.<br/>
+
Co należało pokazać.<br/>
 
&#9633;
 
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
Linia 1741: Linia 2001:
  
  
−
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie J59</span><br/>
 
−
Rozwiązać kongruencję
 
  
−
::<math>5 x^2 + 6 x + 8 \equiv 0 \pmod{19}</math>
 
  
−
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+
=== <span style="border-bottom:1px solid #000;">Funkcje <span style="font-size: 95%; background-color: #f8f9fa"><tt>digits(m, b)</tt></span> oraz <span style="font-size: 95%; background-color: #f8f9fa"><tt>issquare(m)</tt></span></span> ===
−
Rozwiązywanie kongruencji w&nbsp;przypadku konkretnych wartości liczb <math>r, s</math> jest łatwiejsze niż w&nbsp;przypadku ogólnym. Mnożąc obie strony kongruencji przez <math>4</math>, otrzymujemy
+
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N47</span><br/>
 +
W funkcji <code>modLucas()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowaną w&nbsp;PARI/GP funkcję
 +
 
 +
<code>digits(m, b)</code> – zwraca wektor cyfr liczby <math>| m |</math> w&nbsp;systemie liczbowym o&nbsp;podstawie <math>b</math>
 +
 
 +
W naszym przypadku potrzebowaliśmy uzyskać wektor cyfr liczby <math>m</math> w&nbsp;układzie dwójkowym, czyli funkcję <code>digits(m, 2)</code> . Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Zauważmy, że do zapisania liczby <math>m \geqslant 1</math> potrzebujemy <math>\log_2 m + 1</math> cyfr. Zastępując funkcję <math>\log_2 m</math> funkcją <math>\left \lfloor \tfrac{\log m}{\log 2} \right \rfloor</math> musimy liczyć się z&nbsp;możliwym błędem zaokrąglenia – dlatego w&nbsp;programie deklarujemy wektor <code>V</code> o&nbsp;długości <code>floor( log(m)/log(2) ) + 2</code>. Zwracany wektor <code>W</code> ma już prawidłową długość.
 +
 
 +
<span style="font-size: 90%; color:black;">Dec2Bin(m) =
 +
\\ zwraca wektor cyfr liczby m w układzie dwójkowym
 +
{
 +
'''local'''(i, k, V, W);
 +
'''if'''( m == 0, '''return'''([0]) );
 +
V = '''vector'''( '''floor'''( '''log'''(m)/'''log'''(2) ) + 2 ); \\ potrzeba floor( log(m)/log(2) ) + 1, ale błąd zaokrąglenia może zepsuć wynik
 +
k = 0;
 +
'''while'''( m > 0,
 +
        V[k++] = m % 2;
 +
        m = '''floor'''(m / 2);
 +
      );
 +
W = '''vector'''(k);
 +
'''for'''(i = 1, k, W[i] = V[k + 1 - i]);
 +
'''return'''(W);
 +
}
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 32 \equiv 0 \pmod{19}</math>
 
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
 
  
−
Celowo zostawiliśmy parzysty współczynnik przy <math>x</math>. Gdyby był nieparzysty, to zawsze możemy dodać do niego nieparzysty moduł.
+
<span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga N48</span><br/>
 +
W funkcjach <code>LucasTest()</code> i <code>StrongLucasTest()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowaną w&nbsp;PARI/GP funkcję
  
−
::<math>(x + 12)^2 - 144 + 13 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
<code>issquare(m)</code> – sprawdza, czy liczba <math>m</math> jest liczbą kwadratową
  
−
::<math>(x + 12)^2 + 2 \equiv 0 \pmod{19}</math>
+
Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Potrzebna nam będzie funkcja, która znajduje całość z&nbsp;pierwiastka z&nbsp;liczby <math>m</math>, czyli <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math>. Wykorzystamy tutaj ciąg
  
−
::<math>(x + 12)^2 \equiv - 2 \pmod{19}</math>
+
::<math>a_{k + 1} =
 +
  \begin{cases}
 +
  \qquad \;\; 1 & \text{gdy } k = 0 \\
 +
      \tfrac{1}{2} \left( a_k + \tfrac{x}{a_k} \right) & \text{gdy } k > 0 \\
 +
  \end{cases}</math>
  
−
::<math>(x + 12)^2 \equiv 6^2 \pmod{19}</math>
+
którego granicą jest <math>\sqrt{x}</math> <ref name="pierwiastek1"/>.
  
−
::<math>x + 12 \equiv \pm 6 \pmod{19}</math>
+
Modyfikując powyższą definicję tak, aby operacje były zawsze wykonywane na liczbach całkowitych<ref name="IntegerSquareRoot1"/>
 +
 
 +
::<math>a_{k + 1} =
 +
  \begin{cases}
 +
  \qquad \quad \; 1 & \text{gdy } k = 0 \\
 +
      \left\lfloor \tfrac{1}{2} \left( a_k + \left\lfloor \tfrac{m}{a_k} \right\rfloor \right) \right\rfloor & \text{gdy } k > 0 \\
 +
  \end{cases}</math>
  
−
Otrzymujemy: <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{19}</math> lub <math>x \equiv 13 \!\! \pmod{19}</math>.
+
otrzymujemy ciąg, którego wszystkie wyrazy, począwszy od pewnego skończonego <math>n_0</math>, są równe <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math>. Nie dotyczy to przypadku, gdy <math>m + 1</math> jest liczbą kwadratową, wtedy, począwszy od pewnego skończonego <math>n_0</math>, wyrazy ciągu przyjmują na zmianę wartości <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor</math> oraz <math>\left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor + 1</math>.
  
 +
Na tej podstawie możemy w&nbsp;PARI/GP napisać funkcję
  
−
Nieco spostrzegawczości pozwala znaleźć rozwiązanie kongruencji natychmiast. W&nbsp;naszym przypadku wystarczyło zauważyć, że
+
<span style="font-size: 90%; color:black;">intSqrt(m) =
 +
{
 +
'''local'''(a, b);
 +
'''if'''( m == 0, '''return'''(0) );
 +
a = 2^( '''floor'''( '''log'''(m)/'''log'''(2)/2 ) + 2 ); \\ musi być a > sqrt(m)
 +
b = '''floor'''(( a + '''floor'''( m/a ) )/2);
 +
'''while'''( b < a,
 +
        a = b;
 +
        b = '''floor'''( ( a + '''floor'''(m/a) )/2 );
 +
      );
 +
'''return'''(a);
 +
}</span>
  
−
::<math>x^2 + 24 x + 13 \equiv x^2 - 14 x + 13 \equiv (x - 1) (x - 13) \equiv 0 \pmod{19}</math><br/>
+
Oczywiście liczba <math>m</math> jest liczbą kwadratową, wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>m = \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor^2</math>, zatem wystarczy sprawdzić, czy <code>m == intSqrt(m)^2</code>.
−
&#9633;
 
−
{{\Spoiler}}
 
  
  
Linia 1791: Linia 2091:
 
<references>
 
<references>
  
−
<ref name="CRT1">Wikipedia, ''Chińskie twierdzenie o&nbsp;resztach'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Chi%C5%84skie_twierdzenie_o_resztach Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem Wiki-en])</ref>
+
<ref name="BaillieWagstaff1">Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., ''Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), ([http://mpqs.free.fr/LucasPseudoprimes.pdf LINK])</ref>
 +
 
 +
<ref name="Arnault1">François Arnault, ''The Rabin-Monier Theorem for Lucas Pseudoprimes'', Mathematics of Computation Vol. 66, No. 218 (1997)</ref>
  
−
<ref name="CRT2">CRT to często używany skrót od angielskiej nazwy twierdzenia: ''Chinese remainder theorem''</ref>
+
<ref name="pierwiastek1">Wikipedia, ''Pierwiastek kwadratowy'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_obliczania_pierwiastka_kwadratowego#Metoda_babilo%C5%84ska Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="logic1">Wikipedia, ''Logical equivalence'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_equivalence Wiki-en])</ref>
+
<ref name="IntegerSquareRoot1">Wikipedia, ''Integer square root'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_square_root#Using_only_integer_division Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="jacobi1">Wikipedia, ''Symbol Jacobiego'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Jacobiego Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol Wiki-en])</ref>
+
<ref name="BPSW1">Wikipedia, ''Baillie–PSW primality test'', ([https://en.wikipedia.org/wiki/Baillie%E2%80%93PSW_primality_test Wiki-en])</ref>
  
−
<ref name="legendre1">Wikipedia, ''Symbol Legendre’a'', ([https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a Wiki-pl]), ([https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol Wiki-en])</ref>
+
<ref name="BPSW2">MathWorld, ''Baillie-PSW Primality Test'', ([https://mathworld.wolfram.com/Baillie-PSWPrimalityTest.html LINK])</ref>
  
 
</references>
 
</references>

Aktualna wersja na dzień 18:40, 17 mar 2024

11.01.2023



Ciągi Lucasa

Definicja N1
Niech [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math]. Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ U_n = U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n = V_n (P, Q) }[/math] definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ U_n = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n = \alpha^n + \beta^n }[/math]

gdzie liczby

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}} }[/math]

są pierwiastkami równania [math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math].


Uwaga N2
Zauważmy, że:

[math]\displaystyle{ P = \alpha + \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ Q = \alpha \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{D} = \alpha - \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ V_0 = 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ V_1 = P }[/math]


Warunek [math]\displaystyle{ P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math] wyklucza następujące pary [math]\displaystyle{ (P, Q) }[/math]

[math]\displaystyle{ (0, 0), (\pm 2, 1), (\pm 4, 4), (\pm 6, 9), (\pm 8, 16), (\pm 10, 25), (\pm 12, 36), ..., (\pm 2 n, n^2), ... }[/math]


Uwaga N3
Oczywiście liczby [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta }[/math] są również pierwiastkami równania

[math]\displaystyle{ x^{n + 2} - P x^{n + 1} + Q x^n = 0 }[/math]

Wynika stąd, że ciągi [math]\displaystyle{ (\alpha^n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta^n) }[/math] spełniają równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \alpha^{n + 2} = P \alpha^{n + 1} - Q \alpha^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta^{n + 2} = P \beta^{n + 1} - Q \beta^n }[/math]

Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] spełniają identyczne równania rekurencyjne jak ciągi [math]\displaystyle{ (\alpha^n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta^n) }[/math]. Istotnie, odejmując i dodając stronami wypisane powyżej równania, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{n + 2} = P U_{n + 1} - Q U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{n + 2} = P V_{n + 1} - Q V_n }[/math]

Dlatego możemy zdefiniować ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] w sposób równoważny


Definicja N4
Niech [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math]. Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] określone są następującymi wzorami rekurencyjnymi

[math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_0 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ V_1 = P }[/math], [math]\displaystyle{ V_n = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2} }[/math]


Przykład N5
Początkowe wyrazy ciągów Lucasa

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_n (P, Q)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{V_n (P, Q)} }[/math]
  [math]\displaystyle{ 0 }[/math]   [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 1 }[/math]   [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ P }[/math]
  [math]\displaystyle{ 2 }[/math]   [math]\displaystyle{ P }[/math] [math]\displaystyle{ P^2 - 2 Q }[/math]
  [math]\displaystyle{ 3 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^2 - Q }[/math] [math]\displaystyle{ P^3 - 3 P Q }[/math]
  [math]\displaystyle{ 4 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^3 - 2 P Q }[/math] [math]\displaystyle{ P^4 - 4 P^2 Q + 2 Q^2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 5 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^4 - 3 P^2 Q + Q^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P^5 - 5 P^3 Q + 5 P Q^2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 6 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^5 - 4 P^3 Q + 3 P Q^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P^6 - 6 P^4 Q + 9 P^2 Q^2 - 2 Q^3 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 7 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^6 - 5 P^4 Q + 6 P^2 Q^2 - Q^3 }[/math] [math]\displaystyle{ P^7 - 7 P^5 Q + 14 P^3 Q^2 - 7 P Q^3 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 8 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^7 - 6 P^5 Q + 10 P^3 Q^2 - 4 P Q^3 }[/math] [math]\displaystyle{ P^8 - 8 P^6 Q + 20 P^4 Q^2 - 16 P^2 Q^3 + 2 Q^4 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 9 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^8 - 7 P^6 Q + 15 P^4 Q^2 - 10 P^2 Q^3 + Q^4 }[/math] [math]\displaystyle{ P^9 - 9 P^7 Q + 27 P^5 Q^2 - 30 P^3 Q^3 + 9 P Q^4 }[/math]


Uwaga N6
W PARI/GP możemy napisać prosty kod, który pozwoli obliczyć wartości wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] 

LucasU(n, P, Q) = if( n == 0, 0, if( n == 1, 1, P*LucasU(n-1, P, Q) - Q*LucasU(n-2, P, Q) ) )

LucasV(n, P, Q) = if( n == 0, 2, if( n == 1, P, P*LucasV(n-1, P, Q) - Q*LucasV(n-2, P, Q) ) )


Twierdzenie N7
Niech [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q }[/math]. Wyrazy ciągów Lucasa można przedstawić w postaci sumy

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]
Dowód

Oznaczmy [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{D} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 \alpha = P + \delta }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 \beta = P - \delta }[/math]. Ze wzoru dwumianowego, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j }[/math]

Obliczając sumę powyższych wzorów, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n + \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j + (- \delta)^j) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} \cdot 2 \delta^{2 k} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 2 k }[/math] i sumowanie przebiega od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = \lfloor n / 2 \rfloor }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]


Obliczając różnicę tych wzorów, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} \cdot 2 \delta^{2 k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \delta \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 2 k + 1 }[/math] i sumowanie przebiega od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = \lfloor (n - 1) / 2 \rfloor }[/math]


Zatem

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} = 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga N8
Korzystając z twierdzenia N7, możemy napisać proste funkcje do znajdowania postaci kolejnych wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] 

U(n) = 2^(1 - n)*sum(k=0, floor((n-1)/2), binomial(n, 2*k+1) * P^(n-2*k-1) * (P^2-4*Q)^k)

V(n) = 2^(1 - n)*sum(k=0, floor(n/2), binomial(n, 2*k) * P^(n-2*k) * (P^2-4*Q)^k)


Często możemy spotkać założenie [math]\displaystyle{ P \geqslant 1 }[/math]. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego tak jest.

Twierdzenie N9
Jeżeli [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] są ciągami Lucasa, to

[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = (- 1)^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (- P, Q) = (- 1)^n V_n (P, Q) }[/math]
Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad \;\; \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = \frac{- P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad b = \frac{- P - \sqrt{D}}{2} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + P x + Q = 0 }[/math]

Zatem definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (P, Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \qquad \qquad \;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} \qquad \qquad V_n (- P, Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{\beta} = \frac{b}{\alpha} = - 1 }[/math]

Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} = \frac{(- \beta)^n - (- \alpha)^n}{\sqrt{D}} = (- 1)^n \cdot \frac{\beta^n - \alpha^n}{\alpha - \beta} = (- 1)^{n - 1} \cdot U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (- P, Q) = a^n + b^n = (- \beta)^n + (- \alpha)^n = (- 1)^n \cdot (\alpha^n + \beta^n) = (- 1)^n \cdot V_n (P, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie N10
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] i [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = 2^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (2 P, 4 Q) = 2^n V_n (P, Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} \qquad \qquad \;\; \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = P + \sqrt{D} \qquad \qquad \;\; b = P - \sqrt{D} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 2 P x + 4 Q = 0 }[/math]

Zatem definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (P, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \;\;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ a - b = 2 \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{b}{\beta}} = 2 }[/math]

Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} = {\small\frac{(2 \alpha)^n - (2 \beta)^n}{2 \sqrt{D}}} = 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = 2^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n = (2 \alpha)^n + (2 \beta)^n = 2^n (\alpha^n + \beta^n) = 2^n V_n (P, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie N11
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P = 4 Q - 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{- P}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{2}} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - x + {\small\frac{P + 1}{4}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + {\small\frac{P (P + 1)}{4}} = 0 }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ P = 4 Q - 1 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ x^2 - x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + P Q = 0 }[/math]

Czyli definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (1, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \:\:\: V_n (1, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{- P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\beta}} = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{1 - \sqrt{- P}}} = \sqrt{- P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{b}{\alpha}} = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{1 + \sqrt{- P}}} = - \sqrt{- P} }[/math]


Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k}}{\sqrt{- P}} = \frac{(- P)^k (\beta^{2 k} - \alpha^{2 k})}{\alpha - \beta} = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = (- P)^k (\beta^{2 k + 1} + \alpha^{2 k + 1}) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k} = (- P)^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} = (- P)^{k + 1} \cdot \frac{\beta^{2 k + 1} - \alpha^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie N12
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P = 4 Q + 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = P^k U_{2 k} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = P^k V_{2 k} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{P}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{2}} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - x - {\small\frac{P - 1}{4}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + {\small\frac{P (P - 1)}{4}} = 0 }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ P = 4 Q + 1 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ x^2 - x - Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + P Q = 0 }[/math]

Czyli definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (1, - Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad V_n (1, - Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{1 + \sqrt{P}}} = \sqrt{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{b}{\beta}} = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{1 - \sqrt{P}}} = - \sqrt{P} }[/math]


Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k}}{\sqrt{P}} = \frac{P^k (\alpha^{2 k} - \beta^{2 k})}{\alpha - \beta} = P^k U_{2 k} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^k (\alpha^{2 k + 1} + \beta^{2 k + 1}) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k} = P^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = P^k V_{2 k} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} = P^{k + 1} \cdot \frac{\alpha^{2 k + 1} - \beta^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie N13
Dla wyrazów ciągów Lucasa prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ 1. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{m + n} = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 2. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{m + n} = V_m V_n - Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{m + n} = U_m V_n - Q^n U_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 4. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{m + n} = D U_m U_n + Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 5. }[/math] [math]\displaystyle{ U_m V_n - V_m U_n = 2 Q^n U_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 6. }[/math] [math]\displaystyle{ U^2_n = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ 7. }[/math] [math]\displaystyle{ V^2_n = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; 8. }[/math] [math]\displaystyle{ 2 U_{m + n} = U_m V_n + V_m U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; 9. }[/math] [math]\displaystyle{ 2 V_{m + n} = V_m V_n + D U_m U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 10. }[/math] [math]\displaystyle{ V_m V_n - D U_m U_n = 2 Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 11. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n} = U_n V_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 12. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{2 n} = V^2_n - 2 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 13. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{2 n} = D U^2_n + 2 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 14. }[/math] [math]\displaystyle{ V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 15. }[/math] [math]\displaystyle{ D U_n = 2 V_{n + 1} - P V_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 16. }[/math] [math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 17. }[/math] [math]\displaystyle{ D U_n = V_{n + 1} - Q V_{n - 1} }[/math] [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18. }[/math] [math]\displaystyle{ V_n = U_{n + 1} - Q U_{n - 1} }[/math] [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 19. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 20. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 21. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]
Dowód

Wzory 1. - 7. najłatwiej udowodnić korzystając z definicji N1.

Wzór 1.

[math]\displaystyle{ U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} - \alpha \beta \cdot {\small\frac{\alpha^{m - 1} - \beta^{m - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n }[/math]


Wzór 2.

[math]\displaystyle{ V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = (\alpha^m + \beta^m) (\alpha^n + \beta^n) - \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = V_m V_n - Q^n V_{m - n} }[/math]


Wzór 3.

[math]\displaystyle{ U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = {\small\frac{(\alpha^m - \beta^m) (\alpha^n + \beta^n)}{\alpha - \beta}} - {\small\frac{\alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} - \beta^{m - n})}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = U_m V_n - Q^n U_{m - n} }[/math]


Wzór 4.

[math]\displaystyle{ V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = (\alpha - \beta)^2 \cdot {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} + \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = D U_m U_n + Q^n V_{m - n} }[/math]


Wzór 5.

[math]\displaystyle{ U_m V_n - V_m U_n = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^m + \beta^m) \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: = 2 \cdot \alpha^n \beta^n \cdot {\small\frac{\alpha^{m - n} - \beta^{m - n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: = 2 Q^n U_{m - n} }[/math]


Wzór 6.

[math]\displaystyle{ U^2_n = \left( {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \right)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} + \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1} }[/math]


Wzór 7.

[math]\displaystyle{ V^2_n = (\alpha^n + \beta^n)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = (\alpha^{n - 1} + \beta^{n - 1}) (\alpha^{n + 1} + \beta^{n + 1}) - (\alpha - \beta)^2 \cdot \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1} }[/math]


Wzory 8. - 18. można łatwo udowodnić, korzystając ze wzorów 1. - 7.

Wzór 8. Policzyć sumę wzoru 3. pomnożonego przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i wzoru 5.

Wzór 9. Policzyć sumę wzorów 2. i 4.

Wzór 10. Połączyć wzory 2. i 4.

Wzór 11. We wzorze 3. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 12. We wzorze 2. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 13. We wzorze 4. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 14. We wzorze 10. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math] lub połączyć wzory 12. i 13.

Wzór 15. We wzorze 9. położyć [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math].

Wzór 16. We wzorze 8. położyć [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math].

Wzór 17. We wzorze 15. położyć [math]\displaystyle{ V_{n + 1} = P V_n - Q V_{n - 1} }[/math].

Wzór 18. We wzorze 16. położyć [math]\displaystyle{ U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1} }[/math].


Wzory 19. - 21. to wzory, które wykorzystamy w przyszłości do szybkiego obliczania wartości wyrazów [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n }[/math] modulo.

Wzór 19. Wystarczy połączyć wzory 11. oraz 16.

Wzór 20. Wystarczy we wzorze 1. położyć [math]\displaystyle{ m = n + 1 }[/math].

Wzór 21. Kładąc we wzorze 19. [math]\displaystyle{ n \rightarrow n + 1 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - P U^2_{n + 1} \qquad (*) }[/math]

Kładąc we wzorze 1. [math]\displaystyle{ m = n + 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = U_{n + 2} U_{n + 1} - Q U_{n + 1} U_n }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2 U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]

Odejmując od powyższego wzoru wzór [math]\displaystyle{ (*) }[/math], dostajemy wzór 21.

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Obliczanie wyrazów ciągu Lucasa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Przykład N14
Pokażemy, jak wykorzystać podane w twierdzeniu N13 wzory 19, 20, 21 i 16

[math]\displaystyle{ U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math]

do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].


Niech [math]\displaystyle{ P = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ Q = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q = 5 }[/math], [math]\displaystyle{ n = 22 = (10110)_2 = \sum_{j = 0}^{4} a_j \cdot 2^j }[/math].

W tabeli przedstawione są kolejne kroki, jakie musimy wykonać, aby policzyć [math]\displaystyle{ U_n = U_{22} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m = 23 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k_j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_{k_j}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_{k_j + 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (1)_2 = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_2 = P = 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (10)_2 = 2 }[/math] [math]\displaystyle{ U_2 = 2 U_1 U_2 - 3 U^2_1 = 6 - 3 = 3 }[/math] [math]\displaystyle{ U_3 = U^2_2 - 1 = 8 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (101)_2 = 5 }[/math] [math]\displaystyle{ U_5 = U^2_3 - U^2_2 = 64 - 9 = 55 \equiv 9 }[/math] [math]\displaystyle{ U_6 = 3 U_3^2 - 2 U_2 U_3 = 192 - 48 = 144 \equiv 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (1011)_2 = 11 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{11} = U^2_6 - U^2_5 \equiv 36 - 81 \equiv - 45 \equiv 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{12} = 3 U_6^2 - 2 U_5 U_6 \equiv 108 - 108 \equiv 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (10110)_2 = 22 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{22} = 2 U_{11} U_{12} - 3 U^2_{11} \equiv 0 - 3 \equiv 20 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{23} = U^2_{12} - U^2_{11} \equiv 0 - 1 \equiv 22 }[/math]

W kolumnie [math]\displaystyle{ a_j }[/math] wypisujemy kolejne cyfry liczby [math]\displaystyle{ n = 22 = (10110)_2 }[/math] zapisanej w układzie dwójkowym. Liczby w kolumnie [math]\displaystyle{ k_j }[/math] tworzymy, biorąc kolejne (od prawej do lewej) cyfry liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] w zapisie dwójkowym. Postępując w ten sposób, w ostatnim wierszu mamy [math]\displaystyle{ k_j = n }[/math] i wyliczamy liczby [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ U_{n + 1} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dla uproszczenia zapisu i ułatwienia zrozumienia liczbę [math]\displaystyle{ k_j }[/math] oznaczymy jako [math]\displaystyle{ r }[/math], a [math]\displaystyle{ k_{j + 1} }[/math] jako [math]\displaystyle{ s }[/math]. Zauważmy, że

  • tabela jest zbudowana tak, że musimy znaleźć wyrazy ciągu Lucasa o indeksie [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] oraz o indeksie o jeden większym: [math]\displaystyle{ r + 1 = k_j + 1 }[/math]
  • przejście do następnego wiersza (w dół) oznacza, że musimy znaleźć wyrazy o indeksie [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} }[/math] oraz o indeksie o jeden większym: [math]\displaystyle{ s + 1 }[/math]
  • przechodząc do następnego wiersza, dotychczasowa liczba [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] powiększa się o kolejną cyfrę ( [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ), którą dopisujemy z prawej strony
  • dodanie na końcu liczby [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] zera podwaja liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math], czyli [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} = 2 r }[/math] oraz [math]\displaystyle{ s + 1 = 2 r + 1 }[/math]
  • dodanie na końcu liczby [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] jedynki podwaja liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] i zwiększą ją o jeden, czyli [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} = 2 r + 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ s + 1 = 2 r + 2 }[/math]


Dlatego, jeżeli kolejną dodaną cyfrą jest zero, to korzystamy ze wzorów

[math]\displaystyle{ U_s = U_{2 r} = 2 U_r U_{r + 1} - P U^2_r }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{s + 1} = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r }[/math]

Gdy kolejną dodaną cyfrą jest jeden, to stosujemy wzory

[math]\displaystyle{ U_s = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{s + 1} = U_{2 r + 2} = P U^2_{r + 1} - 2 Q U_r U_{r + 1} }[/math]


Korzystając ze wzoru [math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ V_{22} = 2 U_{23} - 3 U_{22} \equiv 44 - 60 \equiv - 16 \equiv 7 \pmod{23} }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{22} \equiv 20 \pmod{23} \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad V_{22} \equiv 7 \pmod{23} }[/math]


Uwaga N15
Uogólniając postępowanie przedstawione w przykładzie N14, możemy napisać program w PARI/GP do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. 

modLucas(n, P, Q, m) =
{
local(A, i, s, U, U2, V, W, W2);
if( m == 1, return([0, 0]) );
if( n == 0, return([0, 2 % m]) );
A = digits(n, 2); \\ otrzymujemy wektor cyfr liczby n w układzie dwójkowym
s = length(A); \\ długość wektora A
U = 1;
W = P;
i = 1;
while( i++ <= s,
       if( A[i] == 0,  U2 = 2*U*W - P*U^2;  W2 = W^2 - Q*U^2 );
       if( A[i] == 1,  U2 = W^2 - Q*U^2;  W2 = P*W^2 - 2*Q*U*W );
       U = U2 % m;
       W = W2 % m;
     );
V = (2*W - P*U) % m;
return([U, V]);
}



Podzielność wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] przez liczbę pierwszą nieparzystą

Uwaga N16
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p \nmid P Q }[/math] nie możemy nic powiedzieć o podzielności wyrazów [math]\displaystyle{ U_n }[/math] przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przykładowo, jeżeli [math]\displaystyle{ P \equiv 1 \pmod{p} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ (U_n) \equiv (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, \ldots) }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ P \equiv 2 \pmod{p} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ (U_n) \equiv (0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, \ldots) }[/math]

Sytuacja wygląda inaczej, gdy [math]\displaystyle{ p \mid P Q }[/math].


Twierdzenie N17
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą.

●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \mid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \mid Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid U_n \; }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \mid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \nmid Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid U_{2 n} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \nmid U_{2 n + 1} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \nmid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \mid Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \nmid U_n \; }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \mid Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid U_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \; p \mid P }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \nmid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \mid D , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid U_n \; }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p \mid n }[/math]

Założenie, że [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math] w ostatnim punkcie jest istotne. Gdy [math]\displaystyle{ \; p \mid P \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \mid D , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid Q \; }[/math] i otrzymujemy punkt pierwszy.

Dowód

Punkt 1.

Ponieważ [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \mid U_2 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2} }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].

Punkt 2.

Indeksy parzyste. Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \mid U_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \mid U_2 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \mid U_{2 n} }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U_{2 n - 1} - Q U_{2 n} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \mid U_{2 n + 2} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].

Indeksy nieparzyste. Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_3 = P^2 - Q }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid U_3 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 n - 1} }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = P U_{2 n} - Q U_{2 n - 1} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 n + 1} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Punkt 3.

Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid U_2 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_n }[/math] zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{n + 1} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Punkt 4.

Wynika z punktów pierwszego i trzeciego.

Punkt 5.

Z twierdzenia N7 wiemy, że

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = n P^{n - 1} + \binom{n}{3} P^{n - 3} D + \binom{n}{5} P^{n - 5} D^2 + \ldots + \begin{cases} n P D^{(n - 2) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest parzyste} \\ D^{(n - 1) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ p \mid D }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n \equiv n P^{n - 1} \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \mid U_n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p \mid n }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie N18
Jeżeli [math]\displaystyle{ d }[/math] jest nieparzystym dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_n \equiv P^{n - 1} \pmod{d} }[/math]

W szczególności, gdy liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_p \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Dowód

Oznaczmy [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{D} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 \alpha = P + \delta }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 \beta = P - \delta }[/math]. Ze wzoru dwumianowego, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j }[/math]


Obliczając różnicę wyjściowych wzorów, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot 2 \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot \delta \cdot D^{(j - 1) / 2} }[/math]

Rozpatrując powyższą równość modulo [math]\displaystyle{ Q }[/math] dostajemy (zobacz N43)

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\delta}} = 2^{n - 1} U_n \equiv \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot P^{j - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: \equiv P^{n - 1} \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: \equiv 2^{n - 1} P^{n - 1} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ Q }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (d, 2^{n - 1}) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ U_n - P^{n - 1} }[/math] (zobacz C74).

W przypadku szczególnym, gdy [math]\displaystyle{ d = p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieparzystą liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], z twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ U_p \equiv P^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie N19
Niech [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q }[/math], a [math]\displaystyle{ (D \mid p) }[/math] oznacza symbol Legendre'a, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math]. Mamy

●    [math]\displaystyle{ U_p \equiv (D \mid p) \pmod{p} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ (D \mid p) = - 1 , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid U_{p + 1} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ (D \mid p) = 1 , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \mid U_{p - 1} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Zauważmy, że przypadek gdy [math]\displaystyle{ p \mid Q }[/math], omówiliśmy w twierdzeniu poprzednim. Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z twierdzenia N7, w przypadku nieparzystego [math]\displaystyle{ n = p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 1} U_p = p P^{p - 1} + \binom{p}{3} P^{p - 3} D + \binom{p}{5} P^{p - 5} D^2 + \ldots + \binom{p}{p-2} P^2 D^{(p - 3) / 2} + D^{(p - 1) / 2} }[/math]

Ponieważ dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] (zobacz N43)

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy (zobacz J33)

[math]\displaystyle{ 2^{p - 1} U_p \equiv U_p \equiv D^{(p - 1) / 2} \equiv (D \mid p) \pmod{p} }[/math]

Punkt 2.

Zauważmy, że warunek [math]\displaystyle{ (D \mid p) = - 1 }[/math] nie może być spełniony, gdy [math]\displaystyle{ p \mid Q }[/math]. Istotnie, gdy [math]\displaystyle{ p \mid Q }[/math], to [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \equiv P^2 \pmod{p} }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ (D \mid p) = (P^2 \mid p) = (P \mid p)^2 = 0 , \; }[/math] gdy [math]\displaystyle{ p \mid P }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ (D \mid p) = (P^2 \mid p) = (P \mid p)^2 = 1 , \; }[/math] gdy [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math]

i nie może być [math]\displaystyle{ (D \mid p) = - 1 }[/math].

Dla parzystego [math]\displaystyle{ n = p + 1 }[/math] otrzymujemy z twierdzenia N7

[math]\displaystyle{ 2^p U_{p + 1} = (p + 1) P^p + \binom{p + 1}{3} P^{p - 2} D + \binom{p + 1}{5} P^{p - 4} D^2 + \ldots + \binom{p + 1}{p - 2} P^3 D^{(p - 3) / 2} + (p + 1) P D^{(p - 1) / 2} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] (zobacz N44)

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 U_{p + 1} \equiv P + P D^{(p - 1) / 2} \pmod{p} }[/math]


Z założenia [math]\displaystyle{ D }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ D^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math] (zobacz J31). Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ 2 U_{p + 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ p \mid U_{p + 1} }[/math].

Punkt 3.

Dla parzystego [math]\displaystyle{ n = p - 1 }[/math] otrzymujemy z twierdzenia N7

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} = (p - 1) P^{p - 2} + \binom{p - 1}{3} P^{p - 4} D + \binom{p - 1}{5} P^{p - 6} D^2 + \ldots + \binom{p - 1}{p - 4} P^3 D^{(p - 5) / 2} + (p - 1) P D^{(p - 3) / 2} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math] (zobacz N45)

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - (P^{p - 2} + P^{p - 4} D + P^{p - 6} D^2 + \ldots + P D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} D + P^{p - 7} D^2 + \ldots + D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p} }[/math]


Z założenia [math]\displaystyle{ D }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz J29), zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ R }[/math], że

[math]\displaystyle{ D \equiv R^2 \pmod{p} }[/math]

Ponieważ

  • [math]\displaystyle{ (D \mid p) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid D }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid R }[/math]
  • z założenia [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math], to [math]\displaystyle{ P^2 - R^2 \equiv P^2 - D \equiv 4 Q \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]


Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p} }[/math]


Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ P^2 - R^2 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} (P^2 - R^2) U_{p - 1} \equiv - P (P^2 - R^2) (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \equiv - P (P^{p - 1} - R^{p - 1}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że wynik nie zależy od tego, czy [math]\displaystyle{ p \mid P }[/math], czy [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math]. Skąd wynika

[math]\displaystyle{ U_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Aby zapisać punkty 2. i 3. twierdzenia N19 (i tylko te punkty) w zwartej formie, musimy założyć, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, D) = 1 }[/math]. Otrzymujemy
Twierdzenie N20
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{p - (D \mid p)} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]



Liczby pseudopierwsze Lucasa

Uwaga N21
Z twierdzenia N20 wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste [math]\displaystyle{ p }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid Q D }[/math] są dzielnikami wyrazów ciągu Lucasa [math]\displaystyle{ U_{p - (D \mid p)} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ (D \mid p) }[/math] oznacza symbol Legendre'a. Jeśli zastąpimy symbol Legendre'a symbolem Jacobiego, to będziemy mogli badać prawdziwość tego twierdzenia dla liczb złożonych i łatwo przekonamy się, że dla pewnych liczb złożonych [math]\displaystyle{ m }[/math] kongruencja

[math]\displaystyle{ U_{m - (D \mid m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

również jest prawdziwa. Prowadzi to definicji liczb pseudopierwszych Lucasa.


Definicja N22
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math] (symbolicznie: LPSP( [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] )), jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math] i

[math]\displaystyle{ U_{m - (D \mid m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ (D \mid m) }[/math] oznacza symbol Jacobiego.


Twierdzenie N23
Jeżeli liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P = a + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math], to jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math].

Dowód

Połóżmy we wzorze definiującym ciąg Lucasa

[math]\displaystyle{ U_m = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha = a }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta = 1 }[/math]. Odpowiada to parametrom [math]\displaystyle{ P = \alpha + \beta = a + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ Q = \alpha \beta = a }[/math], [math]\displaystyle{ D = (\alpha - \beta)^2 = (a - 1)^2 }[/math].

Ponieważ musi być [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math], to mamy [math]\displaystyle{ \gcd (m, (a - 1) a) = 1 }[/math] i wynika stąd, że [math]\displaystyle{ (D \mid m) = 1 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P = a + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = a }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ U_{m - 1} (a + 1, a) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m \biggr\rvert {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ m \big\rvert (a^{m - 1} - 1) }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ a^{m - 1} - 1 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math]. Co należało pokazać.
□


Uwaga N24
Wykorzystując funkcje jacobi(a, n) i modLucas(n, P, Q, m) (zobacz J48, N15) możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy dla liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math] prawdziwe jest twierdzenie N20. 

isPrimeOrLPSP(m, P, Q) = 
{
local(D, js);
D = P^2 - 4*Q;
if( gcd(m, 2*Q*D) > 1, return(0) );
js = jacobi(D, m);
if( modLucas(m - js, P, Q, m)[1] == 0, return(1), return(0) );
}


Przykład N25
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 69 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 115 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 629 }[/math] [math]\displaystyle{ 559 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 115 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
Pokaż kod
FirstLPSP(Stop) = 
\\ najmniejsze LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, 
                  print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
                  next();
                );
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m),
                         print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
                         break();
                       );
                     m = m + 2;
                   );
            );
     );
}


Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których [math]\displaystyle{ (D \mid m) = - 1 }[/math].


Przykład N26
Ilość liczb LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 4266 }[/math] [math]\displaystyle{ 4935 }[/math] [math]\displaystyle{ 4278 }[/math] [math]\displaystyle{ 4981 }[/math] [math]\displaystyle{ 6363 }[/math] [math]\displaystyle{ 6028 }[/math] [math]\displaystyle{ 5202 }[/math] [math]\displaystyle{ 4426 }[/math] [math]\displaystyle{ 5832 }[/math] [math]\displaystyle{ 6027 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 4599 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 9272 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 6958 }[/math] [math]\displaystyle{ 4563 }[/math] [math]\displaystyle{ 5600 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math] [math]\displaystyle{ 7007 }[/math] [math]\displaystyle{ 4142 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 4265 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 4241 }[/math] [math]\displaystyle{ 5114 }[/math] [math]\displaystyle{ 5859 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 6083 }[/math] [math]\displaystyle{ 6120 }[/math] [math]\displaystyle{ 4420 }[/math] [math]\displaystyle{ 5096 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 5361 }[/math] [math]\displaystyle{ 4389 }[/math] [math]\displaystyle{ 5063 }[/math] [math]\displaystyle{ 5632 }[/math] [math]\displaystyle{ 5364 }[/math] [math]\displaystyle{ 5228 }[/math] [math]\displaystyle{ 5859 }[/math] [math]\displaystyle{ 10487 }[/math] [math]\displaystyle{ 5370 }[/math] [math]\displaystyle{ 9798 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 4563 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math] [math]\displaystyle{ 4142 }[/math] [math]\displaystyle{ 6273 }[/math] [math]\displaystyle{ 5773 }[/math] [math]\displaystyle{ 4497 }[/math] [math]\displaystyle{ 5166 }[/math] [math]\displaystyle{ 5305 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 6567 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 7131 }[/math] [math]\displaystyle{ 10882 }[/math] [math]\displaystyle{ 8626 }[/math] [math]\displaystyle{ 8974 }[/math] [math]\displaystyle{ 8509 }[/math] [math]\displaystyle{ 8752 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 7803 }[/math] [math]\displaystyle{ 449152466 }[/math] [math]\displaystyle{ 5597 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 6509 }[/math] [math]\displaystyle{ 5761 }[/math] [math]\displaystyle{ 8115 }[/math] [math]\displaystyle{ 6945 }[/math] [math]\displaystyle{ 8380 }[/math] [math]\displaystyle{ 7095 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 5974 }[/math] [math]\displaystyle{ 8768 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 5651 }[/math] [math]\displaystyle{ 5632 }[/math] [math]\displaystyle{ 6640 }[/math] [math]\displaystyle{ 5725 }[/math] [math]\displaystyle{ 6058 }[/math] [math]\displaystyle{ 7050 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 10749 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 14425 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 9735 }[/math] [math]\displaystyle{ 6567 }[/math] [math]\displaystyle{ 8164 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 7608 }[/math] [math]\displaystyle{ 7131 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 5047 }[/math] [math]\displaystyle{ 15127 }[/math] [math]\displaystyle{ 6155 }[/math] [math]\displaystyle{ 15127 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 5146 }[/math] [math]\displaystyle{ 4423 }[/math] [math]\displaystyle{ 5526 }[/math] [math]\displaystyle{ 6289 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math]
Pokaż kod
NumOfLPSP(Stop) = 
\\ ilość liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); next() );
              s = 0;
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), s++ );
                     m = m + 2;
                   );
              print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
            );
     );
}



Uwaga N27
Dla [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math] ciąg Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ (U_n) = (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, \ldots) }[/math]

Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy, że [math]\displaystyle{ U_{3 k} = 0 }[/math]. Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] wzór jest prawdziwy. Zakładając prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] (zobacz N13 p.3)

[math]\displaystyle{ U_{3 (k + 1)} = U_{3 k + 3} = U_{3 k} V_3 - U_{3 (k - 1)} = 0 }[/math]

Co kończy dowód. Zbadajmy liczby pseudopierwsze Lucasa dla [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math].

Mamy [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q = - 3 }[/math]. Wynika stąd, że nie może być [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 3 \gt 1 }[/math].

Z zadania J46 wiemy, że

[math]\displaystyle{ (- 3 \mid m) = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \\ \end{cases} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to wystarczy zbadać przypadki [math]\displaystyle{ m = 6 k + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m = 6 k + 5 }[/math]. W pierwszym przypadku jest

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \mid m)} = U_{6 k + 1 - 1} = U_{6 k} = 0 }[/math]

W drugim przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = 6 k + 5 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \mid m)} = U_{6 k + 5 + 1} = U_{6 (k + 1)} = 0 }[/math]

Zatem dla dowolnej liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math] niepodzielnej przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \mid m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Czyli liczbami pseudopierwszymi Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math] będą liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math], które nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i nie są liczbami pierwszymi. Ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^k }[/math] możemy łatwo znaleźć poleceniem 

for(k = 1, 9, s = 0; forstep(m = 3, 10^k, 2, if( m%6 <> 3, s = s + !isprime(m) )); print(s))


Zadanie N28
Pokazać, że ilość liczb pseudopierwszych Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ (P, Q) = (2, 2) }[/math] nie większych od [math]\displaystyle{ 10^k }[/math] możemy znaleźć poleceniem 

for(k = 1, 9, s = 0; forstep(m = 3, 10^k, 2, s = s + !isprime(m)); print(s))



Metoda Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

Uwaga N29
Twierdzenie N20 możemy wykorzystać do testowania pierwszości liczb. Ponieważ musi być spełniony warunek [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math], to nie każda para liczb [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] (np. wybrana losowo) nadaje się do przeprowadzenia testu. Zawsze będziemy zmuszeni określić zasadę postępowania, która doprowadzi do wyboru właściwej pary [math]\displaystyle{ P, Q }[/math].

Robert Baillie i Samuel Wagstaff przedstawili[1] dwie metody wyboru parametrów dla testu Lucasa. Ograniczymy się do omówienia tylko pierwszej z nich (metodę zaproponował John Selfridge).

Rozważmy ciąg [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a_k = (5, - 7, 9, - 11, 13, - 15, \ldots) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ D }[/math] będzie pierwszym wyrazem ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], dla którego jest [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = - 1 }[/math]. Dla tak ustalonego [math]\displaystyle{ D }[/math] przyjmujemy [math]\displaystyle{ P = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = (1 - D) / 4 }[/math].

Tabela przedstawia początkowe wartości [math]\displaystyle{ Q }[/math], jakie otrzymamy, stosując tę metodę.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_k} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ -15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ -19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ -23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ -27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ -31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ -35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ -39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ -2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ -4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ -6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ -8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ -10 }[/math]


Zauważmy, że

  • jeżeli liczba nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową, to wybór [math]\displaystyle{ D }[/math] nie będzie możliwy
  • w przypadku zastosowania tej metody znajdziemy tylko liczby pierwsze lub pseudopierwsze Lucasa, które spełniają kongruencję [math]\displaystyle{ U_{m + 1} \equiv 0 \pmod{m} }[/math], czyli tylko część liczb pseudopierwszych Lucasa określonych w definicji N22


Ponieważ Baillie i Wagstaff określili metodę zaproponowaną przez Selfridge'a jako metodę A, to pozostaniemy przy tej nazwie. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego

[math]\displaystyle{ a_{k+1} = \begin{cases} \qquad \qquad 5 & \text{gdy } k = 1 \\ - a_k - 2 * \mathop{\textnormal{sign}}( a_k ) & \text{gdy } k \geqslant 2 \\ \end{cases} }[/math]

możemy łatwo napisać odpowiednią funkcję znajdującą liczby [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] według tej metody. 

MethodA(m) = 
{
local(a, js);
a = 5;
while( 1,
       js = jacobi(a, m);
       if( js == 0  &&  a % m <> 0, return([0, 0]) );
       if( js == -1, return([1, (1 - a)/4]) );
       a = -a - 2*sign(a);
     );
}

Wyjaśnienia wymaga druga linia kodu w pętli while. Wiemy, że (zobacz J42)

[math]\displaystyle{ (a \mid m) = 0 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a, m) \gt 1 }[/math]

Jednak z faktu, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] nie wynika natychmiast, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Rozważmy dwa przypadki: gdy [math]\displaystyle{ m \mid a }[/math] i [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math].

Gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \mid a }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m, m) = m \gt 1 }[/math] i nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Widać to dobrze na prostych przykładach

[math]\displaystyle{ \gcd (7, 7) = \gcd (14, 7) = 7 \gt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \gcd (15, 15) = \gcd (30, 15) = 15 \gt 1 }[/math]

Gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Ponieważ [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math], to [math]\displaystyle{ a = k \cdot m + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \in [1, m - 1] }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m + r, m) = \gcd (r, m) = d }[/math]

Musi być [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math], bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ d \lt m }[/math], bo [math]\displaystyle{ d \leqslant r \leqslant m - 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem nietrywialnym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną.

Omawiana linia kodu zapewnia wysłanie informacji o tym, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną (zwrot wektora [0, 0]). W przypadku, gdy nie mamy takiej pewności, kontynuujemy szukanie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math], takiej że [math]\displaystyle{ (a \mid m) = - 1 }[/math], pozostawiając zbadanie pierwszości liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] na kolejnym etapie testowania.


Uważny Czytelnik dostrzeże, że nie zbadaliśmy, czy spełniony jest warunek [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q) = 1 }[/math]. Nie musimy tego robić, bo zwracana przez funkcję MethodA() liczba [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Omówimy ten problem dokładnie w zadaniu N30. Poniżej pokażemy, że nawet gdyby było [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q) \gt 1 }[/math], to złożona liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie zostanie uznana za liczbę pseudopierwszą Lucasa.

Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną i ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \lt m }[/math], który dzieli [math]\displaystyle{ Q }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math] (bo [math]\displaystyle{ P = 1 }[/math]), zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_k }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] (zobacz N17), czyli nie może być

[math]\displaystyle{ U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

a to jest niemożliwe. Zatem program wykorzystujący twierdzenie N20 wykryje złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math].

Łatwo pokażemy, że nie jest możliwe, aby liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] była liczbą pierwszą i była dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ \tfrac{m - 1}{2} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ \tfrac{m - 1}{2} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem rozpoczynając od wyrazu [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] możemy dojść co najwyżej do wyrazu o indeksie [math]\displaystyle{ k = \tfrac{m - 1}{2} + 2 }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ | a_k | \leqslant m + 4 }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_k}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{m + 5}{4}} \lt m }[/math]

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ m \gt {\small\frac{5}{3}} }[/math], czyli dla wszystkich liczb pierwszych. Ponieważ [math]\displaystyle{ | Q | \lt m }[/math], w przypadku gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może być dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math].


Zadanie N30
Pokazać, że w przypadku, gdy dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] sprawdzamy, czy konsekwencją [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = 0 }[/math] jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla każdej liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math] wyznaczonej metodą Selfridge'a jest [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ m = 21 }[/math]. Rozpoczniemy od przykładu liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, m - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{(m-1)/2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_k} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ -15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ -19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ -23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ -27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ -31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ -35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ -39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{R_m(a_k)} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]

Zauważmy, że modulo [math]\displaystyle{ 21 }[/math] ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) = (1, - 3, 5, - 7, \ldots, 37, - 39, 41) }[/math] jest identyczny z ciągiem [math]\displaystyle{ (0, 1, 2, \ldots, 19, 20) }[/math], a ciąg [math]\displaystyle{ (| a_k |) }[/math] to kolejne liczby nieparzyste od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ 2 m - 1 }[/math].


Poniżej pokażemy, dlaczego musi być [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą wyznaczoną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] przy testowaniu kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math]). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość [math]\displaystyle{ Q }[/math] na podstawie innego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ a_k }[/math] (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).

[math]\displaystyle{ m = 3 , \;\; (5 \mid 3) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 5 , \;\; (5 \mid 5) = 0 , \;\; (- 7 \mid 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (5 \mid 5) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 7 , \;\; (5 \mid 7) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 9 , \;\; }[/math] (liczba kwadratowa)
[math]\displaystyle{ m = 11 , \;\; (- 11 \mid 11) = 0 , \;\; (13 \mid 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 11 \mid 11) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 13 , \;\; (5 \mid 13) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 15 , \;\; \boldsymbol{(5 \mid 15) = 0} , \;\; (13 \mid 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 17 , \;\; (5 \mid 17) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 19 , \;\; (- 7 \mid 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \mid 21) = 0} , \;\; (- 11 \mid 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)


Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Wiemy, że w ciągu [math]\displaystyle{ (5, - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1) }[/math] wystąpią liczby [math]\displaystyle{ a_k }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = - 1 }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = 0 }[/math] oznacza, że [math]\displaystyle{ (2 k + 1 \mid m) = 0 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \mid m) = ((- 1)^k \mid m) \cdot (2 k + 1 \mid m) = (- 1 \mid m)^k \cdot (2 k + 1 \mid m) = \pm (2 k + 1 \mid m) }[/math]

Jeżeli będą spełnione warunki [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \neq 0 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą złożoną.

Wypiszmy kolejne próby dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] jest numerem próby.

[math]\displaystyle{ r = 1 , \;\; a_{r + 1} = 5 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (5 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (5 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (5 \mid m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = 5 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 2 , \;\; a_{r + 1} = - 7 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \mid m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = -7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{r + 1} = 9 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (9 \mid m) \neq - 1 \quad }[/math] - - - - bo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] jest liczbą kwadratową


Po wykonaniu trzech prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności [math]\displaystyle{ m }[/math] lub ustaleniem wartości liczb [math]\displaystyle{ D }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]) wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p = 3, 5, 7 }[/math].

[math]\displaystyle{ r }[/math]-ta próba, gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 4 , \;\; }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ a_{r + 1} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \mid m) = 1 }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \mid m) = 0 }[/math] A. jeżeli [math]\displaystyle{ m \mid a_{r + 1} }[/math]( * )
B. jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 1} }[/math]		 A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
B. [math]\displaystyle{ a_{r + 1} \mid m }[/math]( ** ), koniec
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \mid m) = - 1 \quad }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     [math]\displaystyle{ D = a_{r + 1} }[/math], [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} }[/math], koniec

( * ) jest to możliwe tylko dla [math]\displaystyle{ a_{r + 1} = a_{(m - 1) / 2} = m }[/math]

( ** ) zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 1} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a_{r + 1}, m) = | a_{r + 1} | }[/math], bo gdyby liczba [math]\displaystyle{ | a_{r + 1} | }[/math] była liczbą złożoną, to żaden z jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]


Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) \gt 1 }[/math] może być tylko w przypadku, gdy pewna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 2 r + 5 }[/math] będzie wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math], ale jest to niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 1} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 4}{4}} \lt 2 r + 5 \leqslant q }[/math]

Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ r }[/math] naturalnych.
□


Zadanie N31
Zmodyfikujmy metodę Selfridge'a w taki sposób, że będziemy rozpoczynali próby nie od wyrazu [math]\displaystyle{ a_2 = 5 }[/math], ale od wyrazu [math]\displaystyle{ a_3 = - 7 }[/math]. Pokazać, że w przypadku, gdy dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] sprawdzamy, czy konsekwencją [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = 0 }[/math] jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla każdej liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math] wyznaczonej tak zmodyfikowaną metodą Selfridge'a jest [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math].

Rozwiązanie

Poniżej pokażemy, dlaczego musi być [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą wyznaczoną zmodyfikowaną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] przy testowaniu kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math]). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość [math]\displaystyle{ Q }[/math] na podstawie innego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ a_k }[/math] (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).

[math]\displaystyle{ m = 3 , \;\; (- 7 \mid 3) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 5 , \;\; (- 7 \mid 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 7 , \;\; (- 7 \mid 7) = 0 , \;\; (- 11 \mid 7) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 7 \mid 7) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 9 , \;\; }[/math] (liczba kwadratowa)
[math]\displaystyle{ m = 11 , \;\; (- 11 \mid 11) = 0 , \;\; (13 \mid 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 11 \mid 11) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 13 , \;\; (- 7 \mid 13) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 15 , \;\; \boldsymbol{(9 \mid 15) = 0} , \;\; (13 \mid 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 17 , \;\; (- 7 \mid 17) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 19 , \;\; (- 7 \mid 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \mid 21) = 0} , \;\; (- 11 \mid 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)


Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Wiemy, że w ciągu [math]\displaystyle{ ( - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1) }[/math] wystąpią liczby [math]\displaystyle{ a_k }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = - 1 }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = 0 }[/math] oznacza, że [math]\displaystyle{ (2 k + 1 \mid m) = 0 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \mid m) = ((- 1)^k \mid m) \cdot (2 k + 1 \mid m) = (- 1 \mid m)^k \cdot (2 k + 1 \mid m) = \pm (2 k + 1 \mid m) }[/math]

Jeżeli będą spełnione warunki [math]\displaystyle{ (a_k \mid m) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \neq 0 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą złożoną.

Wypiszmy kolejne próby dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] jest numerem próby.

[math]\displaystyle{ r = 1 , \;\; a_{r + 2} = - 7 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \mid m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 2 , \;\; a_{r + 2} = 9 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (9 \mid m) \neq - 1 \quad }[/math] - - - - bo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] jest liczbą kwadratową
[math]\displaystyle{ r = 3 , \;\; a_{r + 2} = - 11 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \mid m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 11 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec (bo liczby złożone [math]\displaystyle{ m = 3 k }[/math] zostały usunięte w poprzedniej próbie, [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math])
[math]\displaystyle{ r = 4 , \;\; a_{r + 2} = 13 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (13 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (13 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (13 \mid m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = 13 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec (bo liczby złożone [math]\displaystyle{ m = 3 k }[/math] zostały usunięte w próbie o numerze [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math])
[math]\displaystyle{ r = 5 , \;\; a_{r + 2} = - 15 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \mid m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \mid m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \mid m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \mid m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 15 , \;\; Q = 4 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec


Po wykonaniu pięciu prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności [math]\displaystyle{ m }[/math] lub ustaleniem wartości liczb [math]\displaystyle{ D }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]) wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p = 3, 5, 7, 11, 13 }[/math].

[math]\displaystyle{ r }[/math]-ta próba, gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 6 , \;\; }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ a_{r + 2} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \mid m) = 1 }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \mid m) = 0 }[/math] A. jeżeli [math]\displaystyle{ m \mid a_{r + 2} }[/math]( * )
B. jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 2} }[/math]		 A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
B. [math]\displaystyle{ a_{r + 1} \mid m }[/math]( ** ), koniec
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \mid m) = - 1 \quad }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     [math]\displaystyle{ D = a_{r + 2} }[/math], [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} }[/math], koniec

( * ) jest to możliwe tylko dla [math]\displaystyle{ a_{r + 2} = a_{(m - 1) / 2} = m }[/math]

( ** ) zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 2} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a_{r + 2}, m) = | a_{r + 2} | }[/math], bo gdyby liczba [math]\displaystyle{ | a_{r + 2} | }[/math] była liczbą złożoną, to żaden z jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]


Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) \gt 1 }[/math] może być tylko w przypadku, gdy pewna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 2 r + 7 }[/math] będzie wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math], ale jest to niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 2} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 6}{4}} \lt 2 r + 7 \leqslant q }[/math]

Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ r }[/math] naturalnych.
□


Uwaga N32
Przyjmując metodę Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] dla testu Lucasa, możemy łatwo napisać odpowiedni program w PARI/GP testujący pierwszość liczb 

LucasTest(m) = 
{
local(P, Q, X);
if( m % 2 == 0, return(m == 2) );
if( issquare(m), return(0) ); \\ sprawdzamy, czy m nie jest liczbą kwadratową
X = MethodA(m);
P = X[1];
Q = X[2];
if( P == 0, return(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
if( modLucas(m + 1, P, Q, m)[1] == 0, return(1), return(0) );
}


Uwaga N33
Najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, które pojawiają się przy zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], to

[math]\displaystyle{ 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877, 11419, 11663, 13919, 14839, 16109, 16211, 18407, 18971, 19043, 22499, \ldots }[/math]
Pokaż kod
forstep(k=1, 3*10^4, 2, if( LucasTest(k) && !isprime(k), print(k)) )



Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math]
#LPSP [math]\displaystyle{ \lt 10^n }[/math] (metoda Selfridge'a) [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 219 }[/math] [math]\displaystyle{ 659 }[/math] [math]\displaystyle{ 1911 }[/math] [math]\displaystyle{ 5485 }[/math]
Pokaż kod
for(n=3, 9, s=0; forstep(k = 1, 10^n, 2, if( LucasTest(k) && !isprime(k), s++ ) ); print("n= ", n, "   ", s) )




Liczby silnie pseudopierwsze Lucasa

Twierdzenie N34
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p - (D \mid p) = 2^r w }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą, to spełniony jest dokładnie jeden z warunków

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]
Dowód

Wiemy (zobacz N20), że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid U_{p - (D \mid p)} }[/math]. Z założenia jest [math]\displaystyle{ p - (D \mid p) = 2^r w }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \mid U_{2^r w} }[/math]. Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid D }[/math], to ze wzoru [math]\displaystyle{ V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n }[/math] (zobacz N13 p.14) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może dzielić jednocześnie liczb [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n }[/math].

Korzystając ze wzoru [math]\displaystyle{ U_{2 n} = U_n V_n }[/math] (zobacz N13 p.11), otrzymujemy

●    [math]\displaystyle{ p \mid U_{2^r w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2^{r - 1} w} \cdot V_{2^{r - 1} w} \quad }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid V_{2^{r - 1} w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2^{r - 1} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid U_{2^{r - 1} w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ p \mid U_{2^{r - 1} w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2^{r - 2} w} \cdot V_{2^{r - 2} w} \quad }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid V_{2^{r - 2} w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2^{r - 2} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid U_{2^{r - 2} w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ ................. }[/math]
●    [math]\displaystyle{ p \mid U_{4 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_{2 w} \cdot V_{2 w} }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid V_{2 w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2 w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid U_{2 w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ p \mid U_{2 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \mid U_w \cdot V_w }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid V_w }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p \mid U_w }[/math].

Z powyższego wynika, że musi być spełniony jeden z wypisanych w twierdzeniu warunków.


Zauważmy teraz, że jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid U_w }[/math], bo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może jednocześnie być dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ U_w }[/math] i [math]\displaystyle{ V_w }[/math].

Zauważmy też, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [1, r - 1] }[/math] liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ V_{2^k w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli żadnej liczby [math]\displaystyle{ V_{2^j w} }[/math] dla [math]\displaystyle{ j \in [0, k - 1] \;\; \text{i} \;\; p \nmid U_w }[/math]. Istotnie:

●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid V_{2^k w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2^k w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^k w} = U_{2^{k - 1} w} V_{2^{k - 1} w} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 1} w} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^{k - 1} w} = U_{2^{k - 2} w} V_{2^{k - 2} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2^{k - 2} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 2} w} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ ................. }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{4 w} \;\; \text{i} \;\; U_{4 w} = U_{2 w} V_{2 w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; V_{2 w} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; U_{2 w} = U_w V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_w \;\; \text{i} \;\; V_w }[/math]


Co dowodzi, że spełniony jest dokładnie jeden z [math]\displaystyle{ r + 1 }[/math] warunków:

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]

Co należało pokazać.
□


Konsekwentnie definiujemy liczby pseudopierwsze
Definicja N35
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą silnie pseudopierwszą Lucasa (SLPSP) dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m - (D \mid m) = 2^r w }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą i spełniony jest jeden z warunków

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{m} \; }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]


Uwaga N36
Każda liczba SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) jest LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]). Korzystając ze zdefiniowanych wcześniej funkcji: modPower(a, n, m), jacobi(a, n) i modLucas(n, P, Q, m) (zobacz M2, J48, N15), możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] spełnia jeden z warunków podanych w twierdzeniu N34. 

isPrimeOrSLPSP(m, P, Q) = 
{
local(a, b, c, D, js, k, r, w, X);
D = P^2 - 4*Q;
if( gcd(m, 2*Q*D) > 1, return(0) );
js = jacobi(D, m);
r = valuation(m - js, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m - js
w = (m - js) / 2^r;
X =  modLucas(w, P, Q, m);
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
if( a == 0 || b == 0, return(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
if( r == 1, return(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
k = 0;
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) % m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*t) = (V_t)^2 - 2*Q^t
while( k++ < r,
       b = (b^2 - 2*c) % m;
       if( b == 0, return(1) );
       c = c^2 % m;
     );
return(0);
}


Przykład N37
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 299 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 407 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 799 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 529 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math] [math]\displaystyle{ 161 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 265 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 629 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 559 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 5459 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 899 }[/math] [math]\displaystyle{ 5983 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 899 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 377 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
Pokaż kod
FirstSLPSP(Stop) = 
\\ najmniejsze SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, 
                  print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
                  next();
                );
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrSLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), 
                         print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
                         break();
                       );
                     m = m + 2;
                   );
           );
     );
}


Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których [math]\displaystyle{ (D \mid m) = - 1 }[/math].


Przykład N38
Ilość liczb SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1056 }[/math] [math]\displaystyle{ 1231 }[/math] [math]\displaystyle{ 1184 }[/math] [math]\displaystyle{ 1264 }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 1284 }[/math] [math]\displaystyle{ 1181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1174 }[/math] [math]\displaystyle{ 1281 }[/math] [math]\displaystyle{ 1429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 1043 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 2139 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1151 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079 }[/math] [math]\displaystyle{ 1112 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 1197 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 952 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 1055 }[/math] [math]\displaystyle{ 1153 }[/math] [math]\displaystyle{ 1135 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 998 }[/math] [math]\displaystyle{ 1202 }[/math] [math]\displaystyle{ 1077 }[/math] [math]\displaystyle{ 1112 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1092 }[/math] [math]\displaystyle{ 1212 }[/math] [math]\displaystyle{ 1510 }[/math] [math]\displaystyle{ 1155 }[/math] [math]\displaystyle{ 1179 }[/math] [math]\displaystyle{ 1173 }[/math] [math]\displaystyle{ 2240 }[/math] [math]\displaystyle{ 1089 }[/math] [math]\displaystyle{ 2109 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math] [math]\displaystyle{ 1196 }[/math] [math]\displaystyle{ 1129 }[/math] [math]\displaystyle{ 1050 }[/math] [math]\displaystyle{ 1055 }[/math] [math]\displaystyle{ 1147 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2113 }[/math] [math]\displaystyle{ 2266 }[/math] [math]\displaystyle{ 4053 }[/math] [math]\displaystyle{ 2508 }[/math] [math]\displaystyle{ 2285 }[/math] [math]\displaystyle{ 3083 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1776 }[/math] [math]\displaystyle{ 449152466 }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1645 }[/math] [math]\displaystyle{ 1413 }[/math] [math]\displaystyle{ 1564 }[/math] [math]\displaystyle{ 1595 }[/math] [math]\displaystyle{ 1683 }[/math] [math]\displaystyle{ 1435 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 1621 }[/math] [math]\displaystyle{ 1553 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 1530 }[/math] [math]\displaystyle{ 1510 }[/math] [math]\displaystyle{ 1588 }[/math] [math]\displaystyle{ 1549 }[/math] [math]\displaystyle{ 1468 }[/math] [math]\displaystyle{ 1692 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 2760 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 2978 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2137 }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 1995 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2260 }[/math] [math]\displaystyle{ 2113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1314 }[/math] [math]\displaystyle{ 2392 }[/math] [math]\displaystyle{ 1497 }[/math] [math]\displaystyle{ 2392 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 1268 }[/math] [math]\displaystyle{ 1227 }[/math] [math]\displaystyle{ 1411 }[/math] [math]\displaystyle{ 1253 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math]


Pokaż kod
NumOfSLPSP(Stop) = 
\\ ilość liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); next() );
              s = 0;
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrSLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), s++ );
                     m = m + 2;
                   );
              print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
            );
     );
}



Uwaga N39
Można pokazać[2], że dla liczby złożonej nieparzystej [math]\displaystyle{ m \neq 9 }[/math] i ustalonego [math]\displaystyle{ D }[/math] ilość par [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] takich, że

  • [math]\displaystyle{ 0 \leqslant P, Q \lt m }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ P^2 - 4 Q \equiv D \pmod{m} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ m }[/math] jest SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math])

nie przekracza [math]\displaystyle{ \tfrac{4}{15} n }[/math].

Nie dotyczy to przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = p (p + 2) }[/math] jest iloczynem liczb pierwszych bliźniaczych takich, że [math]\displaystyle{ (D \mid p) = - (D \mid p + 2) = - 1 }[/math], wtedy mamy słabsze oszacowanie: [math]\displaystyle{ \# (P, Q) \leqslant \tfrac{1}{2} n }[/math]. Zauważmy, że taką sytuację łatwo wykryć, bo w tym przypadku [math]\displaystyle{ m + 1 = (p + 1)^2 }[/math] jest liczbą kwadratową.


Uwaga N40
Podobnie jak w przypadku liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) tak i w przypadku liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) możemy testować pierwszość liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], wybierając liczby [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] losowo lub zastosować wybraną metodę postępowania. Przedstawiony poniżej program, to zmodyfikowany kod z uwagi N36. Teraz parametry [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] są wybierane metodą Selfridge'a, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ (D \mid m) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. 

StrongLucasTest(m) =
{
local(a, b, c, k, P, Q, r, w, X);
if( m % 2 == 0, return(m == 2) );
if( issquare(m), return(0) ); \\ sprawdzamy, czy liczba m nie jest kwadratowa
X = MethodA(m);
P = X[1];
Q = X[2];
if( P == 0 || gcd(m, 2*Q) > 1, return(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
r = valuation(m + 1, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m + 1
w = (m + 1) / 2^r;
X =  modLucas(w, P, Q, m);
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
if( a == 0 || b == 0, return(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
if( r == 1, return(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
k = 0;
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) %m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*w) = (V_w)^2 - 2*Q^w
while( k++ < r,
       b = (b^2 - 2*c) % m;
       if( b == 0, return(1) );
       c = c^2 % m;
     );
return(0);
}


Uwaga N41
Najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa, które otrzymujemy po zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], to

[math]\displaystyle{ 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519, 75077, 97439, \ldots }[/math]
Pokaż kod
forstep(k=1, 10^5, 2, if( StrongLucasTest(k) && !isprime(k), print(k)) )



Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math]
#SLPSP [math]\displaystyle{ \lt 10^n }[/math] (metoda Selfridge'a) [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 178 }[/math] [math]\displaystyle{ 505 }[/math] [math]\displaystyle{ 1415 }[/math]
Pokaż kod
for(n=3, 9, s=0; forstep(k = 1, 10^n, 2, if( StrongLucasTest(k) && !isprime(k), s++ ) ); print("n=", n, "   ", s) )




Test BPSW

Uwaga N42
Jest [math]\displaystyle{ 488 }[/math] liczb SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] i są 582 liczby SPSP([math]\displaystyle{ 3 }[/math]) mniejsze od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] (zobacz M21). Ale jest aż [math]\displaystyle{ 21 }[/math] liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ 1373653, 1530787, 1987021, 2284453, 3116107, 5173601, 6787327, 11541307, 13694761, 15978007, 16070429, }[/math]

[math]\displaystyle{ 16879501, 25326001, 27509653, 27664033, 28527049, 54029741, 61832377, 66096253, 74927161, 80375707 }[/math]

Pokaż kod
forstep(m=3, 10^8, 2, if( isPrimeOrSPSP(m, 2)  &&  isPrimeOrSPSP(m, 3)  &&  !isprime(m), print("m=", m) ) )


Widzimy, że prawdopodobieństwo błędnego rozpoznania pierwszości w przypadku liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] dla podstawy [math]\displaystyle{ 2 }[/math] lub podstawy [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest rzędu kilku milionowych. Gdyby prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania pierwszości w przypadku podstawy [math]\displaystyle{ 2 }[/math] lub podstawy [math]\displaystyle{ 3 }[/math] były niezależne, to spodziewalibyśmy się, że nie będzie wcale liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math], bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia byłoby równe kilkudziesięciu bilonowym. Ale tak nie jest.

Jest to mocny argument za tym, że zastosowanie różnych (niezależnych) testów może być znacznie silniejszym narzędziem do testowania pierwszości liczb, niż wielokrotne stosowanie tego samego testu, gdzie poszczególne próby są tylko pozornie niezależne.

Połączenie znanych nam już testów prowadzi do prostego programu 

BPSWtest(m) =
{
forprime(p = 2, 1000, if( m % p > 0, next() ); if( m == p, return(1), return(0) ));
if( !isPrimeOrSPSP(m, 2), return(0) );
if( !StrongLucasTest(m), return(0), return(1) );
}


Funkcja BPSWtest(m) kolejno sprawdza:

  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest podzielna przez niewielkie liczby pierwsze (w naszym przypadku mniejsze od [math]\displaystyle{ 1000 }[/math]); jeśli tak, to sprawdza, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną i zwraca odpowiednio [math]\displaystyle{ 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi test Millera-Rabina dla podstawy [math]\displaystyle{ 2 }[/math]; jeśli nie, to zwraca [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi silny test Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], które wybieramy metodą Selfridge'a; jeśli nie, to zwraca [math]\displaystyle{ 0 }[/math], w przeciwnym wypadku zwraca [math]\displaystyle{ 1 }[/math]


Test w dokładnie takiej postaci zaproponowali Robert Baillie i Samuel Wagstaff[1]. Nazwa testu to akronim, utworzony od pierwszych liter nazwisk Roberta Bailliego, Carla Pomerance'a, Johna Selfridge'a i Samuela Wagstaffa.

Nie jest znany żaden przykład liczby złożonej [math]\displaystyle{ m }[/math], którą test BPSW[3][4] identyfikowałby jako pierwszą i z pewnością nie ma takich liczb dla [math]\displaystyle{ m \lt 2^{64} \approx 1.844 \cdot 10^{19} }[/math]. Warto przypomnieć: potrzebowaliśmy siedmiu testów Millera-Rabina (dla podstaw [math]\displaystyle{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }[/math]), aby mieć pewność, że dowolna liczba [math]\displaystyle{ m \lt 3.41 \cdot 10^{14} }[/math] jest pierwsza (zobacz M22).



Uzupełnienia

 

Pewne własności współczynników dwumianowych

 

Twierdzenie N43
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math].

Dowód

Łatwo zauważamy, że dla [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynnika dwumianowego

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k)!}} }[/math]

zatem [math]\displaystyle{ p \biggr\rvert \binom{p}{k} }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie N44
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math].

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k - 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Bo liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynników dwumianowych po prawej stronie. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie N45
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math].

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby pierwszej parzystej [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Załóżmy, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Równie łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! (p - 1 - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot {\small\frac{(p - 1) !}{(k - 1) ! (p - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} = {\small\frac{p}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} - \binom{p - 1}{k - 1} }[/math]

Ponieważ współczynniki dwumianowe są liczbami całkowitymi, a liczba [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] nie dzieli liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ k }[/math] musi dzielić liczbę [math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k - 1} }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv - \binom{p - 1}{k - 1}\pmod{p} }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^1 \binom{p - 1}{k - 1} \equiv (- 1)^2 \binom{p - 1}{k - 2} \equiv \ldots \equiv (- 1)^{k - 2} \binom{p - 1}{2} \equiv (- 1)^{k - 1} \binom{p - 1}{1} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać. Zobacz też zadanie H22.
□


Twierdzenie N46
Dla współczynników dwumianowych prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
Dowód

Ze wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n - k} b^k }[/math]

z łatwością otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (1 + 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]
[math]\displaystyle{ (1 - 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \binom{n}{k} = 0 }[/math]

Obliczając sumę i różnicę powyższych wzorów mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 + (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum^n_{k = 0}} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 - (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]

Skąd natychmiast wynika

[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Funkcje digits(m, b) oraz issquare(m)

 

Uwaga N47
W funkcji modLucas() wykorzystaliśmy zaimplementowaną w PARI/GP funkcję

digits(m, b) – zwraca wektor cyfr liczby [math]\displaystyle{ | m | }[/math] w systemie liczbowym o podstawie [math]\displaystyle{ b }[/math]

W naszym przypadku potrzebowaliśmy uzyskać wektor cyfr liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] w układzie dwójkowym, czyli funkcję digits(m, 2) . Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Zauważmy, że do zapisania liczby [math]\displaystyle{ m \geqslant 1 }[/math] potrzebujemy [math]\displaystyle{ \log_2 m + 1 }[/math] cyfr. Zastępując funkcję [math]\displaystyle{ \log_2 m }[/math] funkcją [math]\displaystyle{ \left \lfloor \tfrac{\log m}{\log 2} \right \rfloor }[/math] musimy liczyć się z możliwym błędem zaokrąglenia – dlatego w programie deklarujemy wektor V o długości floor( log(m)/log(2) ) + 2. Zwracany wektor W ma już prawidłową długość. 

Dec2Bin(m) = 
\\ zwraca wektor cyfr liczby m w układzie dwójkowym
{
local(i, k, V, W);
if( m == 0, return([0]) );
V = vector( floor( log(m)/log(2) ) + 2 ); \\ potrzeba floor( log(m)/log(2) ) + 1, ale błąd zaokrąglenia może zepsuć wynik
k = 0;
while( m > 0,
       V[k++] = m % 2;
       m = floor(m / 2);
     );
W = vector(k);
for(i = 1, k, W[i] = V[k + 1 - i]);
return(W);
}


Uwaga N48
W funkcjach LucasTest() i StrongLucasTest() wykorzystaliśmy zaimplementowaną w PARI/GP funkcję

issquare(m) – sprawdza, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową

Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Potrzebna nam będzie funkcja, która znajduje całość z pierwiastka z liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math]. Wykorzystamy tutaj ciąg

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} = \begin{cases} \qquad \;\; 1 & \text{gdy } k = 0 \\ \tfrac{1}{2} \left( a_k + \tfrac{x}{a_k} \right) & \text{gdy } k \gt 0 \\ \end{cases} }[/math]

którego granicą jest [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] [5].

Modyfikując powyższą definicję tak, aby operacje były zawsze wykonywane na liczbach całkowitych[6]

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} = \begin{cases} \qquad \quad \; 1 & \text{gdy } k = 0 \\ \left\lfloor \tfrac{1}{2} \left( a_k + \left\lfloor \tfrac{m}{a_k} \right\rfloor \right) \right\rfloor & \text{gdy } k \gt 0 \\ \end{cases} }[/math]

otrzymujemy ciąg, którego wszystkie wyrazy, począwszy od pewnego skończonego [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], są równe [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math]. Nie dotyczy to przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] jest liczbą kwadratową, wtedy, począwszy od pewnego skończonego [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], wyrazy ciągu przyjmują na zmianę wartości [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor + 1 }[/math].

Na tej podstawie możemy w PARI/GP napisać funkcję 

intSqrt(m) = 
{
local(a, b);
if( m == 0, return(0) );
a = 2^( floor( log(m)/log(2)/2 ) + 2 ); \\ musi być a > sqrt(m)
b = floor(( a + floor( m/a ) )/2);
while( b < a,
       a = b;
       b = floor( ( a + floor(m/a) )/2 );
     );
return(a);
}

Oczywiście liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową, wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ m = \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor^2 }[/math], zatem wystarczy sprawdzić, czy m == intSqrt(m)^2.








Przypisy

  1. ↑ 1,0 1,1 Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), (LINK)
  2. ↑ François Arnault, The Rabin-Monier Theorem for Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 66, No. 218 (1997)
  3. ↑ Wikipedia, Baillie–PSW primality test, (Wiki-en)
  4. ↑ MathWorld, Baillie-PSW Primality Test, (LINK)
  5. ↑ Wikipedia, Pierwiastek kwadratowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  6. ↑ Wikipedia, Integer square root, (Wiki-en)






 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=CRT,_twierdzenia_Lagrange%27a,_Wilsona_i_Fermata,_kryterium_Eulera,_symbole_Legendre%27a_i_Jacobiego&oldid=696”