Różnica pomiędzy stronami "Henryk Dąbrowski" i "Rząd liczby modulo i generatory modulo. Kongruencje wielomianowe. Lemat Hensela"

Z Henryk Dąbrowski
(Różnica między stronami)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
 
(Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">08.04.2024</div> __FORCETOC__ == Rząd liczby modulo == <span id="L1" style="…")
 
Linia 1: Linia 1:
−
<div style="text-align:right; font-size: 90%; font-style: italic; ">Wolność nie czyni ludzi szczęśliwymi, czyni ich po prostu ludźmi</div>
+
<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">08.04.2024</div>
  
 +
__FORCETOC__
  
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Powitanie|Hide=Powitanie}}
+
 
−
*[[WOLNOŚĆ, PRAWDA, SPRAWIEDLIWOŚĆ, HONOR, MIŁOŚĆ, ...]]
+
== Rząd liczby modulo ==
 +
 
 +
<span id="L1" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L1</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>, <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia Eulera (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J27|J27]]) wynika natychmiast, że zbiór <math>S</math> złożony z&nbsp;liczb <math>t \in \mathbb{Z}_+</math> takich, że <math>a^t \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> nie jest zbiorem pustym. Jeśli tak, to zbiór <math>S</math> ma element najmniejszy. Wynika stąd poprawność następującej definicji.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L2" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L2</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>, <math>m \in \mathbb{Z}_+</math> oraz <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>m</math><ref name="order1"/> nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią <math>h</math> taką, że
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Liczbę tę będziemy oznaczali następująco <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L3" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L3</span><br/>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;z twierdzenia Eulera wynika oszacowanie <math>\operatorname{ord}(a, m) \leqslant \varphi (m)</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>\operatorname{ord}(a, m) = h</math>, to <math>\gcd (a, m) = 1</math>, bo gdyby było <math>\gcd (a, m) = d > 1</math>, to z&nbsp;kongruencji <math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> mielibyśmy natychmiast <math>0 \equiv 1 \!\! \pmod{d}</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> łatwo znajdziemy, wpisując w&nbsp;PARI/GP polecenie <code><span style="font-size: 90%; color:black;">znorder(Mod(a, m))</span></code>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L4" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L4</span><br/>
 +
Zauważmy, że modulo <math>15</math> jest
 +
 
 +
::<math>2^1 \equiv 2, \qquad 2^2 \equiv 4, \qquad 2^3 \equiv 8, \qquad 2^4 \equiv 1</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\operatorname{ord}(2, 15) = 4</math>. Czytelnik równie łatwo pokaże, że <math>\operatorname{ord}(5, 21) = 6 \;</math> i <math>\; \operatorname{ord}(3, 11) = 5</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L5" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L5</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; m \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> jest równy <math>h</math>, to liczby <math>a, a^2, \ldots, a^h</math> są różne modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>a^i \equiv a^j \!\! \pmod{m}</math> dla różnych liczb <math>1 \leqslant i, j \leqslant h</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>i > j</math>. Czyli <math>1 \leqslant i - j \leqslant h - 1</math> i&nbsp;otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>a^j (a^{i - j} - 1) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>m</math> musi dzielić wyrażenie <math>a^{i - j} - 1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C74|C74]]). Zatem
 +
 
 +
::<math>a^{i - j} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>a^{i - j} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu, że rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> jest równy <math>h</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L6" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L6</span><br/>
 +
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli
 +
 
 +
::<math>a^n \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to <math>2 n</math> nie może być rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>2 n</math> jest rzędem <math>a</math> modulo <math>p</math>. Z&nbsp;definicji mamy
 +
 
 +
::<math>a^{2 n} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>(a^n - 1) (a^n + 1) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Liczba pierwsza <math>p</math> może dzielić tylko jeden z&nbsp;wypisanych czynników. Istotnie, gdyby dzieliła obydwa, to dzieliłaby również ich różnicę i&nbsp;mielibyśmy <math>p \mid 2</math>. Co jest niemożliwe, bo <math>p \geqslant 3</math>. Zatem prawdziwa musi być dokładnie jedna z&nbsp;kongruencji
 +
 
 +
::<math>a^n \equiv - 1 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \text{albo} \qquad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Pierwsza z&nbsp;kongruencji nie może zachodzić, bo byłoby to sprzeczne z&nbsp;założeniem twierdzenia. Wynika stąd, że musi być
 +
 
 +
::<math>a^n \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co oznacza, że <math>\operatorname{ord}(a, p) \leqslant n < 2 n</math> wbrew uczynionemu przez nas przypuszczeniu. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że <math>2 n</math> nie może być rzędem <math>a</math> modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
'''Uwaga''': wynik ten nie oznacza, że jeżeli <math>a^n \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>, to <math>2 n</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>. Dla przykładu
 +
 
 +
::<math>13^6 \equiv - 1 \!\! \pmod{17}</math>
 +
 
 +
ale <math>\operatorname{ord}(13, 17) = 4 \neq 2 \cdot 6</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L7" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L7</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; \gcd (a, m) = 1</math>. Rzędy liczb <math>a</math> i <math>a^{- 1}</math> modulo <math>m</math> są równe.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Ponieważ z&nbsp;założenia <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to liczba <math>a</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math> (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H17|H17]], [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H18|H18]]). Dla uproszczenia zapisu rozważmy liczby <math>x, y</math> takie, że
 +
 
 +
::<math>x y \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Pokażemy, że <math>\operatorname{ord}(x, m) = \operatorname{ord}(y, m)</math>. Przypuśćmy, w&nbsp;celu uzyskania sprzeczności, że rzędy liczb <math>x, y</math> modulo <math>m</math> są różne. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>\operatorname{ord}(x, m) < \operatorname{ord}(y, m)</math>. Niech <math>h = \operatorname{ord}(x, m)</math>. Ponieważ <math>h</math> jest rzędem liczby <math>x</math> modulo <math>m</math>, to
 +
 
 +
::<math>x^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>x^h y^h \equiv y^h \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>(x y)^h \equiv y^h \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>1 \equiv y^h \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\operatorname{ord}(y, m) \leqslant h</math> (zobacz [[#L2|L2]]). Wynika stąd ciąg nierówności
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(x, m) < \operatorname{ord}(y, m) \leqslant \operatorname{ord}(x, m)</math>
 +
 
 +
Co jest niemożliwe. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L8" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L8</span><br/>
 +
Niech <math>m, n \in \mathbb{Z}_+</math>, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, m) = 1</math>, wtedy
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a^w \equiv 1 \!\! \pmod{m} \quad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \quad \operatorname{ord}(a, m) \mid w</math>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>m \mid n \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad \operatorname{ord}(a, m) \mid \operatorname{ord}(a, n)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Niech <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>. Z&nbsp;twierdzenia o&nbsp;dzieleniu z&nbsp;resztą możemy napisać <math>w = k \cdot h + r</math>, gdzie <math>r \in [0, h - 1]</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>a^w = a^{k h + r} = (a^h)^k \cdot a^r \equiv 1^k \cdot a^r \equiv a^r \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>h</math> jest z&nbsp;definicji najmniejszą liczbą dodatnią, dla której <math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> oraz <math>r < h</math>, to musi być <math>r = 0</math>, co oznacza, że <math>h \mid w</math>.
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>h</math> jest dzielnikiem wykładnika <math>w</math>, to istnieje liczba <math>s</math> taka, że <math>w = s \cdot h</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>a^w = a^{s h} = (a^h)^s \equiv 1^s \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Niech <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math> oraz <math>f = \operatorname{ord}(a, n)</math>. Z&nbsp;założenia <math>m \mid n</math>, zatem z&nbsp;kongruencji <math>a^f \equiv 1 \!\! \pmod{n}</math> wynika kongruencja <math>a^f \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>. Ponieważ rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> jest równy <math>h</math>, to wykładnik <math>f</math> musi być wielokrotnością <math>h</math> (zobacz punkt 1.), czyli <math>h \mid f</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L9" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L9</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; p</math> będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że jeżeli <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>\operatorname{ord}(a, m) \mid \varphi (m)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z twierdzenia Eulera wiemy, że <math>a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>, zatem <math>\varphi (m)</math> musi być wielokrotnością rzędu liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.1). Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L10" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L10</span><br/>
 +
Z zadania [[#L9|L9]] wynika, że w&nbsp;czasie znajdowania rzędu liczby możemy ograniczyć się do rozpatrywania jedynie dzielników <math>\varphi (m)</math>. Znajdźmy rząd liczby <math>3</math> modulo <math>37</math>. Dzielnikami <math>\varphi (37) = 36</math> są liczby <math>1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36</math>. Sprawdzając, otrzymujemy modulo <math>37</math>
 +
 
 +
::<math>3^1 \equiv 3, \qquad 3^2 \equiv 9, \qquad 3^3 \equiv 27 \equiv - 10, \qquad 3^4 \equiv - 10 \cdot 3 \equiv 7, \qquad 3^6 \equiv 100 \equiv - 11, \qquad 3^9 \equiv 110 \equiv - 1, \qquad 3^{12} \equiv 10, \qquad 3^{18} \equiv 1</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\operatorname{ord}(3, 37) = 18</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L11" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L11</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli <math>p \mid (n^2 + 1)</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>4 k + 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z założenia <math>n^2 + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, czyli <math>n^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>, zatem <math>n^4 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
Nie może być <math>n \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo mielibyśmy <math>n^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Z&nbsp;założenia nie jest <math>n^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Nie może też być <math>n^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo mielibyśmy <math>- n \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> i&nbsp;ponownie <math>n^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem rząd liczby <math>n</math> modulo <math>p</math> wynosi <math>4</math>. Z&nbsp;zadania [[#L9|L9]] mamy <math>4 \mid \varphi (p)</math>, czyli <math>4 \mid (p - 1)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L12" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L12</span><br/>
 +
Jeżeli <math>n \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; a \geqslant 2</math>, to liczba <math>n</math> jest dzielnikiem <math>\varphi (a^n - 1)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Łatwo widzimy, że <math>\gcd (a, a^n - 1) = 1</math>. Niech <math>\operatorname{ord}(a, a^n - 1) = h</math>.
 +
 
 +
Oczywiście <math>(a^n - 1) \mid (a^n - 1)</math>, czyli <math>a^n \equiv 1 \!\! \pmod{a^n - 1}</math>, zatem <math>h \leqslant n</math>.
 +
 
 +
Dla wykładników <math>r < n</math> dostajemy <math>a^r - 1 < a^n - 1</math> i&nbsp;nie może być <math>(a^n - 1) \mid (a^r - 1)</math>, bo większa liczba nie może dzielić mniejszej.
 +
 
 +
Zatem dla <math>r < n</math> mamy <math>a^r \not\equiv 1 \!\! \pmod{a^n - 1}</math>. Wynika stąd, że <math>h = n</math>. Ponieważ <math>\operatorname{ord}(a, a^n - 1) = n</math>, to <math>n \mid \varphi (a^n - 1)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L13" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L13</span><br/>
 +
Niech <math>a, m, n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że <math>\gcd (a^m - 1, a^n - 1) = a^{\gcd (m, n)} - 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że prawdziwy jest następujący ciąg równoważności.
 +
 
 +
 
 +
::<math>\begin{array}{lcll}
 +
d \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1) & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \mid (a^m - 1) \qquad \; \text{i} \qquad \; d \mid (a^m - 1) & \quad \text{(zobacz H3)} \\
 +
& & & \\
 +
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & a^m \equiv 1 \; \pmod{d} \qquad \text{i} \qquad a^n \equiv 1 \; \pmod{d} & \\
 +
& & & \\
 +
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & \operatorname{ord}(a, d) \mid m \qquad \text{i} \qquad \operatorname{ord}(a, d) \mid n & \quad \text{(zobacz L8 p.1)} \\
 +
& & & \\
 +
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & \operatorname{ord}(a, d) \mid \gcd (m, n) & \quad \text{(zobacz H3)} \\
 +
& & & \\
 +
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & a^{\gcd (m, n)} \equiv 1 \; \pmod{d} & \quad \text{(zobacz L8 p.1)} \\
 +
& & & \\
 +
& \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \mid (a^{\gcd (m, n)} - 1) & \\
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że
 +
 
 +
::<math>\gcd (a^m - 1, a^n - 1) \mid (a^{\gcd (m, n)} - 1)</math>
 +
 
 +
oraz
 +
 
 +
::<math>(a^{\gcd (m, n)} - 1) \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1)</math>
 +
 
 +
Czyli <math>| \gcd (a^m - 1, a^n - 1) | = | a^{\gcd (m, n)} - 1 |</math>. Co należało pokazać. Zobacz też twierdzenie [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H15|H15]].<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L14" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L14</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; \gcd (a, m) = 1</math>. Pokazać, że
 +
 
 +
::<math>a \equiv b \!\! \pmod{m} \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \quad \operatorname{ord}(a, m) = \operatorname{ord}(b, m)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy najpierw, że ponieważ <math>a \equiv b \!\! \pmod{m}</math>, to <math>\gcd (b, m) = 1</math>, czyli rząd liczby <math>b</math> jest określony. Oznaczmy: <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>, <math>f = \operatorname{ord}(b, m)</math>.
 +
 
 +
Z założenia <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>m</math>, zatem <math>1 \equiv a^h \equiv b^h \!\! \pmod{m}</math>, ale <math>f</math> jest rzędem liczby <math>b</math> modulo <math>m</math>, zatem <math>f \mid h</math>.
 +
 
 +
Z założenia <math>f</math> jest rzędem liczby <math>b</math> modulo <math>m</math>, zatem <math>1 \equiv b^f \equiv a^f \!\! \pmod{m}</math>, ale <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>m</math>, zatem <math>h \mid f</math>.
 +
 
 +
Ponieważ <math>f \mid h \;</math> i <math>\; h \mid f</math>, to <math>| h | = | f |</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L15" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L15</span><br/>
 +
Jeżeli <math>\gcd (a b, m) = 1</math> oraz <math>\gcd (\operatorname{ord}(a, m), \operatorname{ord}(b, m)) = 1</math>, to
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a b, m) = \operatorname{ord}(a, m) \cdot \operatorname{ord}(b, m)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>\gcd (a b, m) = 1</math>, czyli <math>\gcd (a, m) = 1 \;</math> i <math>\; \gcd (b, m) = 1</math>. Czyli liczby <math>a</math> i <math>b</math> mają określone rzędy modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
Niech <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math> oraz <math>f = \operatorname{ord}(b, m)</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>b^f \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>(a b)^{h f} = a^{h f} \cdot b^{h f} = (a^h)^f \cdot (b^f)^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje wykładnik <math>r < h f</math>, dla którego <math>(a b)^r \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>. Mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>(a b)^r \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>(a b)^{r h} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>(a^h)^r \cdot b^{r h} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>b^{r h} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>f \mid r h</math>, ale z&nbsp;założenia <math>\gcd (h, f) = 1</math>, czyli <math>f \mid r</math>.
 +
 
 +
Podobnie pokazujemy, że <math>h \mid r</math>.
 +
 
 +
Ponieważ <math>h</math> i <math>f</math> są względnie pierwsze, to <math>h f \mid r</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C75|C75]]), zatem <math>h f \leqslant r</math>. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L16" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L16</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą całkowitą. Pokazać, że jeżeli rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(- a, m) = 2 \cdot \operatorname{ord}(a, m)</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że wzór nie jest prawdziwy dla <math>m = 2</math>, bo dla dowolnej liczby nieparzystej <math>a</math> mamy <math>\operatorname{ord}(\pm a, 2) = 1</math>.
 +
 
 +
Dla <math>m \geqslant 3</math> jest <math>\operatorname{ord}(- 1, m) = 2</math>, bo <math>(- 1)^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} \;</math> i <math>\; (- 1)^1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>.
 +
 
 +
Z założenia rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, zatem
 +
 
 +
::<math>\gcd (\operatorname{ord}(- 1, m), \operatorname{ord}(a, m) ) = \gcd (2, \operatorname{ord}(a, m) ) = 1</math>
 +
 
 +
Ponieważ spełnione są założenia twierdzenia [[#L15|L15]], to
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(- a, m) = \operatorname{ord}(- 1, m) \cdot \operatorname{ord}(a, m) = 2 \cdot \operatorname{ord}(a, m)</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L17" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L17</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli liczby <math>a, m</math> są nieparzyste i <math>\operatorname{ord}(a, m) = h</math>, to <math>\operatorname{ord}(a, 2 m) = h</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że liczby <math>a, m</math> nie mogą być jednocześnie parzyste, bo mielibyśmy <math>\gcd (a, m) \geqslant 2</math> i&nbsp;rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> nie byłby określony (zobacz [[#L3|L3]]). Z&nbsp;założenia rząd liczby <math>a</math> modulo <math>m</math> istnieje i&nbsp;jest równy <math>h</math>, zatem <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Ponieważ <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, to <math>\gcd (a, 2) = 1</math>, czyli <math>\gcd (a, 2 m) = 1</math> (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H6|H6]]). Co oznacza, że rząd liczby <math>a</math> modulo <math>2 m</math> jest określony. Niech <math>f = \operatorname{ord}(a, 2 m)</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>a^f \equiv 1 \!\! \pmod{2 m}</math>
 +
 
 +
Skąd dostajemy
 +
 
 +
::<math>a^f \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>m</math>, to <math>h \mid f</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.1). Z&nbsp;założenia <math>a</math> jest liczbą nieparzystą, zatem prawdziwy jest układ kongruencji
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{2}</math>
 +
 
 +
Uwzględniając, że <math>\gcd (2, m) = 1</math>, układ ten możemy w&nbsp;sposób równoważny zapisać w&nbsp;postaci
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{2 m}</math>
 +
 
 +
(zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J1|J1]]). Ponieważ <math>f</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>2 m</math>, to <math>f \mid h</math>. Otrzymaliśmy, że <math>h \mid f \;</math> i <math>\; f \mid h</math>, zatem <math>| f | = | h |</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L18" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L18</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; \gcd (a, m) = 1</math>. Rząd liczby <math>a^r</math> modulo <math>m</math> jest równy
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a^r, m) = {\small\frac{h}{\gcd (r, h)}}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>h = \operatorname{ord}(a, m) \;</math> i <math>\; r \geqslant 0</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Aby ułatwić sobie operowanie liczbami występującymi w&nbsp;dowodzonym wzorze, wprowadzimy oznaczenia
 +
 
 +
::<math>b = a^r \qquad \quad f = \operatorname{ord}(b, m) \qquad \quad d = \gcd (r, h)</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>d = \gcd (r, h)</math>, to możemy napisać <math>r = s \cdot d \;</math> i <math>\; h = t \cdot d</math>, gdzie <math>\gcd (s, t) = 1</math> (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H11|H11]]).
 +
 
 +
Z definicji liczb <math>b \:</math> i <math>\: f</math> mamy
 +
 
 +
::<math>b^f = a^{r f} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ rząd liczby <math>a</math> jest równy <math>h</math>, to <math>h \mid r f</math>, czyli <math>t d \mid s d f</math>, zatem <math>t \mid s f</math>, ale <math>\gcd (s, t) = 1</math> i&nbsp;dostajemy, że <math>t \mid f</math>.
 +
 
 +
Zauważmy teraz, że
 +
 
 +
::<math>b^t = (a^r)^t = (a^{s d})^{\tfrac{h}{d}} = (a^s)^h = (a^h)^s \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>f \mid t</math>. Ponieważ <math>t \mid f</math> oraz <math>f \mid t</math>, to <math>| f | = | t |</math>. Wynika stąd
 +
 
 +
::<math>f = t = {\small\frac{h}{d}} = {\small\frac{h}{\gcd (r, h)}}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L19" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L19</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>, <math>\gcd (a, m) = 1</math> oraz <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>. Jeżeli <math>d \mid h</math>, to <math>\operatorname{ord}(a^d, m) = {\small\frac{h}{d}}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Wystarczy sprawdzić, że liczba <math>{\small\frac{h}{d}}</math> jest rzędem liczby <math>a^d</math> modulo <math>m</math>. Łatwo otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>(a^d)^{\tfrac{h}{d}} = a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zauważmy teraz, że gdyby istniała liczba <math>t < {\small\frac{h}{d}}</math> taka, że <math>(a^d)^t \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>, to mielibyśmy <math>a^{d t} \equiv 1 \!\! \pmod{m} \;</math> i <math>\; d t < h</math> wbrew założeniu, że <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L20" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L20</span><br/>
 +
Niech <math>p \in \mathbb{P}</math>. Jeżeli istnieje liczba całkowita <math>a</math> względnie pierwsza z <math>p</math> taka, że <math>\operatorname{ord}(a, p) = h</math>, to
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;liczby <math>a, a^2, \ldots, a^h</math> są wszystkimi liczbami modulo <math>p</math> spełniającymi kongruencję <math>x^h \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;istnieje dokładnie <math>\varphi (h)</math> liczb <math>x</math>, dla których <math>\operatorname{ord}(x, p) = h</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Każda liczba <math>a^k</math>, gdzie <math>k = 1, \ldots, h</math>, spełnia kongruencję <math>x^h \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo
 +
 
 +
::<math>(a^k)^h = (a^h)^k \equiv 1^k \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L5|L5]] wiemy, że liczby <math>a, a^2, \ldots, a^h</math> są różne modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia Lagrange'a wiemy, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^h - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
nie może mieć więcej niż <math>h</math> rozwiązań. Zatem nie może istnieć liczba <math>u</math> różna od każdej z&nbsp;liczb <math>a, a^2, \ldots, a^h</math> modulo <math>p</math> taka, że <math>u^h \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo liczba <math>u</math> byłaby <math>(h + 1)</math>-szym rozwiązaniem wypisanej kongruencji, co jest niemożliwe.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
Z punktu 1. wiemy, że liczby <math>a, a^2, \ldots, a^h</math> i&nbsp;tylko te liczby są rozwiązaniami kongruencji <math>x^h \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem dla liczb innych niż <math>a, a^2, \ldots, a^h</math> zawsze będziemy mieli <math>x^h \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, skąd natychmiast wynika, że <math>\operatorname{ord}(x, p) \neq h</math>.
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L18|L18]] wiemy, że
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a^k, m) = {\small\frac{h}{\gcd (k, h)}}</math>
 +
 
 +
Ponieważ istnieje <math>\varphi (h)</math> liczb całkowitych dodatnich <math>k \leqslant h</math> takich, że <math>\gcd (k, h) = 1</math>, to istnieje dokładnie <math>\varphi (h)</math> liczb <math>a^k</math> (różnych modulo <math>p</math>) takich, że <math>\operatorname{ord}(a^k, p) = h</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L21" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L21</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą i <math>h \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli <math>h \mid (p - 1)</math>, to istnieje <math>\varphi (h)</math> liczb, których rząd modulo <math>p</math> jest równy <math>h</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Zauważmy, że dowodzone twierdzenie jest istotnie różne od punktu 2. zadania [[#L20|L20]], bo teraz '''nie zakładamy''' istnienia liczby <math>a</math> takiej, że <math>\operatorname{ord}(a, p) = h</math>.
 +
 
 +
Niech ilość liczb <math>a</math>, dla których <math>\operatorname{ord}(a, p) = h</math>, będzie określona funkcją <math>f(h)</math>. Oczywiście <math>f(h) = 0</math> w&nbsp;przypadku, gdy <math>h \nmid (p - 1)</math> (zobacz [[#L9|L9]]). Możliwa jest też sytuacja, że <math>h \mid (p - 1)</math>, ale nie istnieje taka liczba <math>a</math>, dla której <math>\operatorname{ord}(a, p) = h</math>. Skoro nie istnieje ani jedna taka liczba <math>a</math>, dla której <math>\operatorname{ord}(a, p) = h</math>, to również w&nbsp;tym przypadku musi być <math>f(h) = 0</math>. W&nbsp;przypadku gdy <math>h \mid (p - 1)</math> i&nbsp;istnieje taka liczba <math>a</math>, dla której <math>\operatorname{ord}(a, p) = h</math>, to z&nbsp;zadania [[#L20|L20]] wiemy, że takich liczb jest <math>\varphi (h)</math>. Zbierając, mamy
 +
 
 +
::<math>
 +
f(h) =
 +
\begin{cases}
 +
      \;\; 0 & \text{jeżeli } h \nmid (p - 1) \\
 +
      \;\; 0 & \text{jeżeli } h \mid (p - 1) \;\; \text{i} \;\; \text{nie istnieje liczba } a \text{ taka, że } \operatorname{ord}(a, p) = h \\
 +
\varphi (h) & \text{jeżeli } h \mid (p - 1) \;\; \text{i} \;\; \text{istnieje liczba } a \text{ taka, że } \operatorname{ord}(a, p) = h \\
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
Otrzymujemy natychmiast oszacowanie <math>f(h) \leqslant \varphi (h)</math>.
 +
 
 +
Przy okazji zauważmy, że oszacowanie <math>f(h) \leqslant \varphi (h)</math> nie jest w&nbsp;ogólności prawdziwe dla modułu złożonego <math>m</math>. Przykładowo dla modułu <math>m = 33</math> mamy <math>12</math> liczb, których rząd <math>h = 10</math> (są to liczby <math>2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29</math>), ale <math>\varphi (h) = \varphi (10) = 4</math>.
 +
 
 +
Ponieważ każda liczba <math>a \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> jest względnie pierwsza z <math>p</math>, to dla każdej takiej liczby rząd <math>a</math> modulo <math>p</math> jest zdefiniowany, zatem liczba <math>h = \operatorname{ord}(a, p)</math> musi być dzielnikiem liczby <math>p - 1</math> (zobacz [[#L9|L9]]). Wynika stąd, że
 +
 
 +
::<math>\sum_{h \mid (p - 1)} f (h) = p - 1</math>
 +
 
 +
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dodatnich dzielnikach <math>h</math> liczby <math>p - 1</math>.
 +
 
 +
Z twierdzenia [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H44|H44]] wiemy, że
 +
 
 +
::<math>\sum_{h \mid (p - 1)} \varphi (h) = p - 1</math>
 +
 
 +
Zatem, uwzględniając oszacowanie <math>f(h) \leqslant \varphi (h)</math>, możemy napisać
 +
 
 +
::<math>0 = \sum_{h \mid (p - 1)} (\varphi (h) - f (h) ) = \sum_{h \mid (p - 1)} | \varphi (h) - f (h) |</math>
 +
 
 +
Skąd wynika natychmiast, że dla każdego dodatniego dzielnika <math>h</math> liczby <math>p - 1</math> jest <math>f(h) = \varphi (h)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L22" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L22</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; p</math> będzie liczbą pierwszą postaci <math>p = 6 k + 1</math>. Pokazać, że jeżeli <math>\operatorname{ord}(a, p) = 3</math>, to <math>\operatorname{ord}(a + 1, p) = 6</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Założenie, że liczba pierwsza jest postaci <math>6 k + 1</math>, jest konieczne, bo liczby <math>3</math> i <math>6</math> muszą być dzielnikami <math>\varphi (p) = p - 1</math>. Dla liczb pierwszych postaci <math>6 k + 5</math> nigdy nie będzie <math>\operatorname{ord}(a, p) = 3</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[#L21|L21]] wiemy, dla liczb pierwszych postaci <math>6 k + 1</math> istnieją dwie liczby, których rząd jest równy <math>3</math> i&nbsp;dwie liczby, których rząd jest równy <math>6</math>.
 +
 
 +
Z założenia <math>\operatorname{ord}(a, p) = 3</math>, zatem <math>a^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, czyli <math>(a - 1) (a^2 + a + 1) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Zauważmy, że nie może być <math>a \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo wtedy rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> byłby równy <math>1</math>, czyli musi być <math>a^2 + a + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Ponieważ z&nbsp;założenia rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> jest określony, to musi być <math>p \nmid a</math>, czyli <math>a \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>a + 1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>(a + 1)^2 = a^2 + a + 1 + a \equiv a \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>(a + 1)^3 \equiv (a + 1) a \equiv (a^2 + a + 1) - 1 \equiv - 1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>(a + 1)^4 \equiv a^2 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} , \;</math> bo gdyby <math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, to mielibyśmy <math>\operatorname{ord}(a, p) \leqslant 2</math>
 +
 
 +
::<math>(a + 1)^5 \equiv - a \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} , \;</math> bo gdyby <math>a \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>, to <math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} \;</math> i&nbsp;mielibyśmy <math>\operatorname{ord}(a, p) = 2</math>
 +
 
 +
::<math>(a + 1)^6 \equiv (- 1)^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\operatorname{ord}(a + 1, p) = 6</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L23" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L23</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; \gcd (a, m) = 1</math>. Kongruencja <math>a^r \equiv a^s</math> '''modulo''' <math>\boldsymbol{m}</math> jest prawdziwa wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy prawdziwa jest kongruencja <math>r \equiv s</math> '''modulo rząd liczby''' <math>\boldsymbol{a}</math>
 +
 
 +
::<math>a^r \equiv a^s \!\! \pmod{m} \quad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \quad r \equiv s \!\! \pmod{\operatorname{ord}(a, m)}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Jeśli <math>r = s</math>, to twierdzenie jest prawdziwe, bo każda liczba przystaje do samej siebie modulo dowolna liczba całkowita dodatnia. Nie zmniejszając ogólności, załóżmy, że <math>s > r</math>, zatem rozważaną kongruencję możemy zapisać w&nbsp;postaci
 +
 
 +
::<math>a^r \equiv a^s \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>a^r - a^s \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>a^r \cdot (a^{s - r} - 1) \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\gcd (a, m) = 1</math>, to <math>m</math> nie może być dzielnikiem <math>a</math>, czyli <math>m</math> musi dzielić <math>a^{s - r} - 1</math>, co oznacza, że
 +
 
 +
::<math>a^{s - r} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>a^{s - r} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L8|L8]] p.1 wiemy, że <math>\operatorname{ord}(a, m)</math> jest dzielnikiem <math>s - r</math>, co możemy zapisać w&nbsp;postaci kongruencji
 +
 
 +
::<math>r \equiv s \!\! \pmod{\operatorname{ord}(a, m})</math>
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>r \equiv s \!\! \pmod{h}</math>, gdzie <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>. Zatem dla pewnej liczby całkowitej <math>k</math> mamy <math>r = s + k \cdot h</math>, czyli
 +
 
 +
::<math>a^r = a^{s + k \cdot h} = a^s \cdot (a^h)^k \equiv a^s \cdot 1^k \equiv a^s \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L24" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L24</span><br/>
 +
Niech <math>m \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; \gcd (a, m) = 1</math> oraz <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>. Pokazać, że jeżeli <math>r \equiv s \!\! \pmod{h}</math>, to <math>\operatorname{ord}(a^r, m) = \operatorname{ord}(a^s, m)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Jeżeli <math>r \equiv s \!\! \pmod{h}</math>, to z&nbsp;twierdzenia [[#L23|L23]] wynika, że <math>a^r \equiv a^s \!\! \pmod{m}</math> i&nbsp;na mocy [[#L14|L14]] mamy <math>\operatorname{ord}(a^r, m) = \operatorname{ord}(a^s, m)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L25" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L25</span><br/>
 +
Niech <math>m, r \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; a \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli
 +
 
 +
::<math>a^r \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
oraz dla każdego dzielnika pierwszego <math>q</math> liczby <math>r</math> jest
 +
 
 +
::<math>a^{\tfrac{r}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
to <math>\operatorname{ord}(a, m) = r</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia
 +
 
 +
::<math>a^r \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\gcd (a, m) = 1 \;</math> i <math>\; h \mid r</math>, gdzie oznaczyliśmy <math>h = \operatorname{ord}(a, m)</math>.
 +
 
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>r = h d \;</math> i <math>\; d > 1</math>. Konsekwentnie istnieje liczba pierwsza <math>q</math> taka, że <math>q \mid d</math>, czyli <math>q \mid r</math>. Ponieważ <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>m</math>, to
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Podnosząc obie strony kongruencji do potęgi <math>{\small\frac{d}{q}}</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>1 \equiv (a^h)^{\tfrac{d}{q}} \equiv a^{\tfrac{h d}{q}} \equiv a^{\tfrac{r}{q}} \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L26" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L26</span><br/>
 +
Niech <math>a, n \in \mathbb{Z}_+ \:</math> i <math>\; p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli <math>p \mid (a^{2^{\large n}} + 1)</math>, to <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{2^{n + 1}}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Z założenia
 +
 
 +
::<math>a^{2^{\large n}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>(a^{2^{\large n}})^2 = a^{2^{\large n + 1}} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L25|L25]] wynika natychmiast, że <math>\operatorname{ord}(a, p) = 2^{n + 1}</math>. Ponieważ <math>\operatorname{ord}(a, p) \mid \varphi (p)</math> (zobacz [[#L9|L9]]), to <math>2^{n + 1} \mid (p - 1)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L27</span><br/>
 +
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci <math>2^{n + 1} k + 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że problem jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Dirichleta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C27|C27]]). Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych <math>p_1, \ldots, p_s</math> postaci <math>2^{n + 1} k + 1</math> i&nbsp;niech
 +
 
 +
::<math>a = (2 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s)^{2^{\large n}} + 1</math>
 +
 
 +
Jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione, bo <math>a</math> jest postaci <math>2^{n + 1} k + 1</math>. Istotnie
 +
 
 +
::<math>a = 2^{n + 1} \cdot \left[ 2^{2^{\large n} - n - 1} \cdot (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s)^{2^{\large n}} \right] + 1</math>
 +
 
 +
Rozważmy teraz przypadek, gdy <math>a</math> jest liczbą złożoną. Liczba <math>a</math> ma dzielnik pierwszy nieparzysty <math>q</math>, bo sama jest liczbą nieparzystą. Ponieważ <math>q \mid a</math>, to <math>q \neq p_i</math> dla <math>i = 1, \ldots, s</math>. Z&nbsp;zadania [[#L26|L26]] wynika, że <math>q</math> ma postać <math>2^{n + 1} k + 1</math>. Otrzymaliśmy sprzeczność z&nbsp;założeniem, że liczby <math>p_1, p_2, \ldots, p_s</math> wyczerpują wszystkie liczby pierwsze postaci <math>2^{n + 1} k + 1</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L28" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L28</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a <math>F_n = 2^{2^{\large n}} + 1</math> oznacza liczbę Fermata. Jeżeli liczba pierwsza <math>p</math> jest dzielnikiem <math>F_n</math>, gdzie <math>n \geqslant 2</math>, to <math>p</math> jest postaci <math>p = 2^{n + 2} k + 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia
 +
 
 +
::<math>2^{2^{\large n}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Podnosząc do kwadratu otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>(2^{2^{\large n}})^2 = 2^{2^{\large n + 1}} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
I z&nbsp;twierdzenia [[#L25|L25]] wynika natychmiast, że <math>\operatorname{ord}(2, p) = 2^{n + 1}</math>. Z&nbsp;własności rzędu liczby wiemy (zobacz [[#L9|L9]]), że <math>\operatorname{ord}(2, p) \mid \varphi (p)</math>, czyli <math>2^{n + 1} \mid (p - 1)</math>. Skąd otrzymujemy <math>p - 1 = k \cdot 2^{n + 1}</math> lub równoważnie
 +
 
 +
::<math>p \equiv 1 \!\! \pmod{2^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>p^2 \equiv 1 \!\! \pmod{2^{n + 2}}</math>
 +
 
 +
(zobacz [[#L97|L97]]). Wynika stąd, że <math>{\small\frac{1}{8}} (p^2 - 1)</math> jest liczbą parzystą dla <math>n \geqslant 2 \;</math> i
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{(p^{\large 2} - 1) / 8} = 1</math>
 +
 
 +
Czyli <math>2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> i&nbsp;z&nbsp;kryterium Eulera mamy
 +
 
 +
::<math>2^{\tfrac{p - 1}{2}} = 2^{k \cdot 2^{\large n}} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\operatorname{ord}(2, p) = 2^{n + 1}</math>, to <math>2^{n + 1} \mid k \cdot 2^n</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.1). Zatem <math>2 \mid k \;</math> i <math>\; k</math> musi być liczbą parzystą, skąd wynika natychmiast, że <math>p = k' \cdot 2^{n + 2} + 1</math>. Możemy łatwo sprawdzić, że dla <math>n = 0 \;</math> i <math>\; n = 1</math> twierdzenie nie jest prawdziwe.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L29" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L29</span><br/>
 +
Jeżeli <math>m \geqslant 3</math> jest liczbą nieparzystą, to kongruencja <math>x^{m - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math> nie ma rozwiązań.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Przypuśćmy, w&nbsp;celu uzyskania sprzeczności, że <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą lub potęgą liczby pierwszej nieparzystej. Wtedy mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>x^{p - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad x^{p^n - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{p^n}</math>
 +
 
 +
::::::::::::::<math>\quad \; x^{(p - 1) (1 + p + p^2 + \ldots + p^{n - 1})} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
I w&nbsp;każdym przypadku z&nbsp;twierdzenia Fermata mielibyśmy natychmiast <math>1 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>. Co jest niemożliwe. Zatem <math>m</math> musi być iloczynem liczb pierwszych nieparzystych.
 +
 
 +
 
 +
Niech <math>m = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s</math>. Ponieważ <math>m</math> jest liczbą nieparzystą, to może być zapisana w&nbsp;postaci <math>m = 2^u w + 1</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą. Przypuśćmy, że dla pewnego <math>x \equiv a \!\! \pmod{m}</math> rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie, czyli
 +
 
 +
::<math>a^{m - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Niech <math>p</math> oznacza dowolny czynnik pierwszy <math>q_i</math>. Ponieważ <math>p \mid m</math>, to możemy zapisaną kongruencję rozpatrywać modulo <math>p</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>a^{m - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Podnosząc obie strony kongruencji do kwadratu, dostajemy
 +
 
 +
::<math>a^{2 (m - 1)} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że <math>\gcd (a^{m - 1}, p) = \gcd (- 1, p) = 1</math>, zatem rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> jest określony.
 +
 
 +
Niech <math>h = \operatorname{ord}(a, p)</math> będzie rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[#L8|L8]] p.1 wynika, że <math>h \mid 2 (m - 1) \;</math> i <math>\; h \nmid (m - 1)</math>, czyli
 +
 
 +
::<math>h \mid 2^{u + 1} w \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad h \nmid 2^u w</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>w</math> jest liczbą nieparzystą, zatem spełnione są założenia twierdzenia [[#L98|L98]], z&nbsp;którego wynika, że <math>h = 2^{u + 1} r</math>, gdzie <math>r \mid w</math>.
 +
 
 +
Ponieważ <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>, to <math>h = 2^{u + 1} r</math> dzieli <math>\varphi (p) = p - 1</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>p \equiv 1 \!\! \pmod{2^{u + 1}}</math>
 +
 
 +
Ponieważ przez <math>p</math> oznaczyliśmy dowolny dzielnik pierwszy <math>q_i</math> liczby <math>m</math>, to otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>m = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \equiv 1 \!\! \pmod{2^{u + 1}}</math>
 +
 
 +
Co jest niemożliwe, bo <math>m = 2^u w + 1</math>, gdzie <math>w</math> jest liczbą nieparzystą. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Generatory modulo ==
 +
 
 +
<span id="L30" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L30</span><br/>
 +
Jedynymi liczbami naturalnymi mającymi generatory są liczby <math>2, 4, p^k, 2 p^k</math><ref name="generator1"/>, gdzie <math>k \geqslant 1</math> i <math>p</math> oznacza liczbę pierwszą nieparzystą. Zatem istnienie generatora jest raczej wyjątkiem niż regułą. Zbadamy właściwości generatorów, a&nbsp;następnie wyjaśnimy, dlaczego tak niewiele liczb ma generator.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Generatory modulo <math>\boldsymbol{m}</math></span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L31" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L31</span><br/>
 +
Jeżeli <math>g</math> jest dowolną liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (g, m) = 1</math> oraz rząd liczby <math>g</math> modulo <math>m</math> jest równy <math>\varphi (m)</math>, to liczbę <math>g</math> nazywamy generatorem lub pierwiastkiem pierwotnym modulo <math>m</math><ref name="generator2"/>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L32" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L32</span><br/>
 +
Niech <math>g</math> będzie generatorem modulo <math>m</math>. Nazwa „generator” wynika z&nbsp;prostej właściwości generatorów: kolejne potęgi <math>g^1, g^2, \ldots, g^{\varphi (m)}</math> są różne modulo <math>m</math> (zobacz [[#L5|L5]]) i&nbsp;generują wszystkie liczby względnie pierwsze z <math>m</math> (oczywiście modulo <math>m</math>).
 +
 
 +
W przypadku, gdy <math>m = p</math> jest liczbą pierwszą, zbiory <math>\{ g^1, g^2, \ldots, g^{p - 1} \} \;</math> i <math>\; \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \}</math> są równe modulo <math>p</math> (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H24|H24]]).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L33" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L33</span><br/>
 +
W tabeli przedstawiliśmy generatory dla początkowych wartości <math>m</math>
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{m}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>4</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>7</math> || <math>8</math> || <math>9</math> || <math>10</math> || <math>11</math> || <math>12</math> || <math>13</math> || <math>14</math> || <math>15</math> || <math>16</math> || <math>17</math> || <math>18</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{φ(m)}</math>
 +
| <math>1</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>4</math> || <math>2</math> || <math>6</math> || <math>4</math> || <math>6</math> || <math>4</math> || <math>10</math> || <math>4</math> || <math>12</math> || <math>6</math> || <math>8</math> || <math>8</math> || <math>16</math> || <math>6</math>
 +
|-
 +
! generatory
 +
| <math>0</math> || <math>1</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2,3</math> || <math>5</math> || <math>3,5</math> || <math>-</math> || <math>2,5</math> || <math>3,7</math> || <math>2,6,7,8</math> || <math>-</math> || <math>2,6,7,11</math> || <math>3,5</math> || <math>-</math> || <math>-</math> || <math>3,5,6,7,10,11,12,14</math> || <math>5,11</math>
 +
|}
 +
 
 +
Zauważmy, że dla liczb <math>8, 12, 15, 16</math> generatory nie istnieją. Na przykład generator modulo <math>8</math> nie istnieje, ponieważ dla liczb nieparzystych jest <math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>, ale <math>\varphi (8) = 4</math>.
 +
 
 +
Oczywiście, jeżeli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>, to liczby <math>g + m</math>, <math>g + 2 m</math>, ... też są generatorami modulo <math>m</math>. Przykładowo <math>2^6 \equiv 11^6 \equiv 20^6 \equiv 1 \!\! \pmod{9}</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L34</span><br/>
 +
Niech <math>g \in \mathbb{Z}</math>, <math>\; k, m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; \gcd (g, m) = 1</math>. Jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>, to liczby <math>g^k</math>, gdzie <math>k</math> spełnia warunek <math>\gcd (k, \varphi (m)) = 1</math>, są generatorami modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Ponieważ <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>, to <math>\operatorname{ord}(g, m) = \varphi (m)</math>, zatem (zobacz [[#L18|L18]])
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(g^k, m) = {\small\frac{\varphi (m)}{\gcd (k, \varphi (m))}}</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>\gcd (k, \varphi (m)) = 1</math>, czyli <math>\operatorname{ord}(g^k, m) = \varphi (m)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L35" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L35</span><br/>
 +
Jeżeli liczba <math>m</math> ma generator, to ma ich dokładnie <math>\varphi (\varphi (m))</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Rozważmy zbiór <math>S = \{ g^1, g^2, \ldots, g^{\varphi (m)} \}</math>. Ponieważ <math>\gcd (g, m) = 1</math>, to wszystkie elementy zbioru <math>S</math> są względnie pierwsze z <math>m</math>. Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru <math>S</math> są różne modulo <math>m</math> (zobacz [[#L5|L5]]), zatem zbiór <math>S</math> zawiera '''wszystkie''' liczby względnie pierwsze z <math>m</math> (rozpatrywane modulo <math>m</math>).
 +
 
 +
Jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>, to <math>\operatorname{ord}(g, m) = \varphi (m)</math>. Ponieważ (zobacz [[#L18|L18]])
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(g^k, m) = {\small\frac{\varphi (m)}{\gcd (k, \varphi (m))}}</math>
 +
 
 +
to ilość liczb w&nbsp;zbiorze <math>S</math>, które mają rząd równy <math>\varphi (m)</math>, jest równa ilości liczb całkowitych <math>1 \leqslant k \leqslant \varphi (m)</math>, dla których <math>\gcd (k, \varphi (m)) = 1</math>. Ponieważ wśród liczb całkowitych <math>k = 1, 2, \ldots, \varphi (m)</math> istnieje dokładnie <math>\varphi (\varphi (m))</math> liczb względnie pierwszych z <math>\varphi (m)</math>, to istnieje <math>\varphi (\varphi (m))</math> generatorów. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L36" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L36</span><br/>
 +
Jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>, to dla <math>m \geqslant 3</math> jest
 +
 
 +
::<math>g^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Pokażemy, że jeżeli liczba <math>m \geqslant 3</math> ma generator, to kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
ma dokładnie dwa rozwiązania. Wynik <math>g^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math> będzie jedynie logiczną konsekwencją tego dowodu. Dla przykładu zauważmy, że kongruencja <math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{15}</math> ma cztery rozwiązania: <math>x \equiv 1, 4, 11, 14 \!\! \pmod{15}</math>.
 +
 
 +
 
 +
Jeżeli <math>x \equiv u \!\! \pmod{m}</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>, to <math>\gcd (u^2, m) = \gcd (1, m) = 1</math>. Zatem liczba <math>u</math> jest względnie pierwsza z <math>m</math>. Ponieważ liczby <math>g^k</math>, gdzie <math>k = 1, 2, \ldots, \varphi (m)</math> są wszystkimi liczbami względnie pierwszymi z <math>m</math>, to możemy szukać rozwiązań, ograniczając się do tych liczb, czyli szukać rozwiązań kongruencji
 +
 
 +
::<math>g^{2 k} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Przypomnijmy (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H38|H38]]), że dla <math>m \geqslant 3</math> wartości funkcji Eulera <math>\varphi (m)</math> są liczbami parzystymi. Ponieważ rząd liczby <math>g</math> modulo <math>m</math> jest równy <math>\varphi (m)</math>, to <math>\varphi (m) \mid 2k</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.1), zatem <math>2 k = s \cdot \varphi (m)</math>, gdzie <math>s</math> jest liczbą całkowitą, czyli <math>k = s \cdot {\small\frac{\varphi (m)}{2}}</math>. W&nbsp;zależności od parzystości liczby <math>s</math> otrzymujemy
 +
 
 +
*&nbsp;&nbsp;&nbsp;dla <math>s = 2 t</math>
 +
 
 +
::<math>g^k \equiv g^{s \cdot \varphi (m) / 2} \equiv g^{2 t \cdot \varphi (m) / 2} \equiv \left( g^{\varphi (m)} \right) ^{\! t} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
*&nbsp;&nbsp;&nbsp;dla <math>s = 2 t + 1</math>
 +
 
 +
::<math>g^k \equiv g^{s \cdot \varphi (m) / 2} \equiv g^{(2 t + 1) \cdot \varphi (m) / 2} \equiv g^{t \cdot \varphi (m)} \cdot g^{\varphi (m) / 2} \equiv g^{\varphi (m) / 2} \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>g</math> jest generatorem, to <math>g^{\varphi (m) / 2} \not\equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>. Pokazaliśmy tym samym, że jeżeli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>, to dla <math>m \geqslant 3</math> kongruencja <math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> ma dokładnie dwa rozwiązania.
 +
 
 +
 
 +
Z drugiej strony widzimy, że kongruencja <math>x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> ma co najmniej dwa rozwiązania, bo dwa rozwiązania możemy natychmiast wypisać
 +
 
 +
::<math>x \equiv 1 \!\! \pmod{m} \qquad \quad \text{i} \qquad \quad x \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Rozwiązania te są różne modulo <math>m</math>, bo dla <math>m \geqslant 3</math> nie jest możliwa kongruencja
 +
 
 +
::<math>1 \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
ponieważ <math>m \nmid 2</math>.
 +
 
 +
 
 +
Łącząc powyższe rezultaty, otrzymujemy, że musi być <math>g^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>. Co należało udowodnić.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L37" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L37</span><br/>
 +
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czyli istnieją liczby <math>a</math> niebędące generatorami, dla których <math>a^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>. Przykładowo dla modułu <math>m = 41</math> mamy <math>3^4 \equiv 3^{20} \equiv - 1 \!\! \pmod{41}</math>. Natomiast łatwo pokażemy, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie tylko dla modułów <math>m \geqslant 3</math> mających generator (zobacz twierdzenia [[#L54|L54]] i [[#L56|L56]]).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L38" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L38</span><br/>
 +
Jeżeli liczby <math>g_1</math> i <math>g_2</math> są generatorami modulo <math>m</math>, to liczba <math>a \equiv g_1 g_2 \!\! \pmod{m}</math> nie jest generatorem.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Policzmy
 +
 
 +
::<math>a^{\varphi (m) / 2} \equiv (g_1 g_2)^{\varphi (m) / 2} \equiv g_1^{\varphi (m) / 2} \cdot g_2^{\varphi (m) / 2} \equiv (- 1) \cdot (- 1) \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>a \equiv g_1 g_2 \!\! \pmod{m}</math> nie jest generatorem modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L39" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L39</span><br/>
 +
Pokazać, że dla <math>m = 5</math> i <math>m \geqslant 7</math> iloczyn wszystkich generatorów modulo <math>m</math> przystaje do <math>1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech <math>g</math> będzie generatorem modulo <math>m</math>. Zauważmy, że dla <math>m \geqslant 7</math> liczby <math>g</math> i <math>g^{- 1}</math> są zawsze różne modulo <math>m</math>. Istotnie, gdyby było
 +
 
 +
::<math>g \equiv g^{- 1} \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
to mielibyśmy
 +
 
 +
::<math>g^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
i rząd liczby <math>g</math> modulo <math>m</math> byłby nie większy od <math>2</math>, ale <math>\varphi (m) > 2</math> dla <math>m \geqslant 7</math> (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H41|H41]]), czyli liczba <math>g</math> nie byłaby generatorem wbrew założeniu.
 +
 
 +
Ponieważ dla <math>m \geqslant 7</math> każdy generator <math>g</math> ma element odwrotny różny od <math>g</math>, to łącząc generatory w&nbsp;pary takie, że <math>g g' \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>\prod_i g_i = \prod_k g_k g_{k}^{- 1} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Przypadek <math>m = 5</math> sprawdzamy bezpośrednio. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L40" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L40</span><br/>
 +
Niech <math>g, m \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; m \geqslant 3</math> oraz <math>\gcd (g, m) = 1</math>. Liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{\varphi (m)}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
dla każdego dzielnika pierwszego <math>q</math> liczby <math>\varphi (m)</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla pewnego dzielnika pierwszego <math>q</math> liczby <math>\varphi (m)</math> jest
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{\varphi (m)}{q}} \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(g, m) \leqslant {\small\frac{\varphi (m)}{q}} < \varphi (m)</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu, że liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Niech <math>h = \operatorname{ord}(g, m)</math>, zatem <math>h \mid \varphi (m)</math> (zobacz [[#L9|L9]]). Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>\varphi (m) = h d \;</math> i <math>\; d > 1</math>. Konsekwentnie istnieje liczba pierwsza <math>q</math> taka, że <math>q \mid d</math>, czyli <math>q \mid \varphi (m)</math>. Ponieważ <math>h</math> jest rzędem liczby <math>g</math> modulo <math>m</math>, to
 +
 
 +
::<math>g^h \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Podnosząc obie strony kongruencji do potęgi <math>{\small\frac{d}{q}}</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>1 \equiv (g^h)^{\tfrac{d}{q}} \equiv g^{\tfrac{h d}{q}} \equiv g^{\tfrac{\varphi (m)}{q}} \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu. Zatem musi być <math>d = 1 \;</math> i <math>\; h = \varphi (m)</math>, czyli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>m</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Generatory modulo <math>\boldsymbol{p}</math></span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L41" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L41</span><br/>
 +
Przedstawimy poniżej postać twierdzenia [[#L40|L40]] w&nbsp;przypadku, gdy moduł <math>m</math> jest liczbą pierwszą. Oczywiście twierdzenie [[#L40|L40]] jest bardziej ogólne, ale znacznie wygodniej jest korzystać ze szczególnej postaci w&nbsp;przypadku, gdy wiemy, że rozpatrywana liczba <math>m</math> jest liczbą pierwszą.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L42" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L42</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą, <math>g \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; p \nmid g</math>. Liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{p - 1}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
dla każdego dzielnika pierwszego <math>q</math> liczby <math>p - 1</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L43" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L43</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/>
 +
Z założenia <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, zatem z&nbsp;twierdzenia [[#L36|L36]] mamy
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
I z&nbsp;kryterium Eulera (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J31|J31]]) wynika natychmiast, że <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Co należało pokazać.
 +
 
 +
<br/><span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/>
 +
Z założenia <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, ale z&nbsp;twierdzenia [[#L42|L42]] wiemy, że <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy dla wszystkich dzielników pierwszych <math>q</math> liczby <math>p - 1</math> jest
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{p - 1}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
W przypadku liczb pierwszych nieparzystych liczba <math>2</math> jest zawsze dzielnikiem <math>p - 1</math>, zatem jeżeli <math>g</math> jest generatorem, to
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{p - 1}{2}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
I z&nbsp;kryterium Eulera wynika, że <math>g</math> nie może być liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, czyli <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L44" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L44</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli liczba <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, to <math>a</math> nie jest generatorem modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>a</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, zatem z&nbsp;kryterium Eulera (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J31|J31]]) mamy
 +
 
 +
::<math>a^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\operatorname{ord}(a, p) \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} < p - 1</math>, czyli <math>a</math> nie jest generatorem modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L45" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L45</span><br/>
 +
Ponieważ liczba generatorów modulo liczba pierwsza <math>p</math> jest równa <math>\varphi (p - 1)</math>, to z&nbsp;zadań [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H49|H49]], [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H50|H50]] wynika, że
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\varphi (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}}</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p - 1 = 2^k</math>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\varphi (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} - 1</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>p - 1 = 2 q</math>, gdzie <math>q \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą
 +
 
 +
Zauważmy, że pierwszy punkt odpowiada sytuacji, gdy wszystkie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math> są generatorami modulo <math>p</math>. Liczba pierwsza <math>p</math> musi być liczbą pierwszą Fermata <math>p = 2^{2^{\large n}} + 1</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C48|C48]]).
 +
 
 +
Drugi punkt odpowiada sytuacji, gdy wszystkie liczby niekwadratowe modulo <math>p</math>, poza dokładnie jedną, są generatorami modulo <math>p</math>. Liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>p = 2 q + 1</math>, gdzie <math>q \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą. Łatwo możemy stwierdzić, że liczba <math>- 1</math> jest jedyną liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, która w&nbsp;tym przypadku nie jest generatorem modulo <math>p</math>. Z&nbsp;kryterium Eulera (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J31|J31]]) otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>(- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} = (- 1)^q = - 1</math>
 +
 
 +
czyli <math>- 1</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Dla liczb pierwszych nieparzystych <math>\operatorname{ord}(- 1, p) = 2</math>, bo <math>(- 1)^1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} \;</math> i <math>\; (- 1)^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Natomiast dla liczb pierwszych postaci <math>p = 2 q + 1</math>, gdzie <math>q \geqslant 3</math> jest liczbą pierwszą, mamy <math>\varphi (p) = p - 1 = 2 q \geqslant 6</math>. Zatem nie może być <math>\operatorname{ord}(- 1, p) = \varphi (p)</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L46" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L46</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą postaci <math>4 k + 3</math>. Pokazać, że jeżeli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to <math>- g</math> nie jest generatorem modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Policzmy
 +
 
 +
::<math>(- g)^{\varphi (p) / 2} = (- g)^{\tfrac{p - 1}{2}}</math>
 +
 
 +
:::::<math>\: = (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} g^{\tfrac{p - 1}{2}}</math>
 +
 
 +
:::::<math>\: \equiv (- 1)^{\tfrac{4 k + 2}{2}} \cdot (- 1)</math>
 +
 
 +
:::::<math>\: \equiv - (- 1)^{2 k + 1}</math>
 +
 
 +
:::::<math>\: \equiv + 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>- g</math> nie może być generatorem modulo <math>p</math>, dla liczby pierwszej <math>p</math> postaci <math>4 k + 3</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L47" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L47</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą postaci <math>4 k + 1</math>. Pokazać, że jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to liczba <math>- g</math> też jest generatorem modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Niech <math>h = \operatorname{ord}(- g, p)</math>. Z&nbsp;definicji mamy <math>(- g)^h \equiv 1 \pmod{p}</math>. Podnosząc obie strony kongruencji do kwadratu, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>g^{2 h} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ale rząd liczby <math>g</math> modulo <math>p</math> musi dzielić wykładnik <math>2 h</math>, zatem <math>(p - 1) \mid 2 h</math>, czyli <math>4 k \mid 2 h</math>, skąd wynika, że <math>h</math> musi być liczbą parzystą. Jeśli tak, to
 +
 
 +
::<math>1 \equiv (- g)^h \equiv (- 1)^h g^h \equiv g^h \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponownie rząd liczby <math>g</math> musi dzielić <math>h</math>, czyli <math>(p - 1) \mid h</math>.
 +
 
 +
Z właściwości <math>h</math> jako rzędu liczby <math>- g</math> mamy <math>h \mid (p - 1)</math>. Wynika stąd, że <math>h = p - 1 \;</math> i <math>\; - g</math> jest generatorem modulo <math>p = 4 k + 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L48</span><br/>
 +
Niech <math>p, q \in \mathbb{P}</math>, gdzie <math>q \geqslant 3</math>. Pokazać, że jeżeli <math>p = 2 q + 1 \;</math> i <math>\; g \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że liczba <math>p - 1</math> ma tylko dwa dzielniki pierwsze. Ponieważ z&nbsp;założenia <math>g</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J31|J31]])
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Mamy też
 +
 
 +
::<math>g^{\tfrac{p - 1}{q}} = g^2 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Istotnie, gdyby prawdziwa była kongruencja
 +
 
 +
::<math>g^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to mielibyśmy <math>g \equiv - 1 \!\! \pmod{p} \;</math> lub <math>\; g \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Pierwszy przypadek nie jest możliwy ze względu na uczynione założenie, a&nbsp;w&nbsp;drugim przypadku <math>g</math> byłaby liczbą kwadratową modulo <math>p</math>, bo (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] p.2)
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1</math>
 +
 
 +
Widzimy, że spełnione są założenia twierdzenia [[#L42|L42]], zatem <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L49" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L49</span><br/>
 +
Niech <math>p \in \mathbb{P}</math>. Pokazać, że jeżeli liczba <math>p - 1</math> ma dzielnik pierwszy nieparzysty <math>q</math>, to istnieje liczba całkowita <math>a</math>, która jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math> i&nbsp;nie jest generatorem modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Wiemy, że istnieje <math>{\small\frac{p - 1}{2}}</math> liczb niekwadratowych modulo <math>p</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J30|J30]]). Oznaczmy przez <math>b</math> dowolną z&nbsp;tych liczb, czyli
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1</math>
 +
 
 +
Niech teraz <math>a = b^q</math>. Liczba <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, bo
 +
 
 +
::<math>\left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b^q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right]^q = (- 1)^q = - 1</math>
 +
 
 +
Ale
 +
 
 +
::<math>a^{\tfrac{p - 1}{q}} = (b^q)^{\tfrac{p - 1}{q}} = b^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\operatorname{ord}(a, p) \leqslant {\small\frac{p - 1}{q}} < p - 1</math>, to <math>a</math> nie jest generatorem modulo <math>p</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L50" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L50</span><br/>
 +
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, dla których liczba <math>2</math> nie jest generatorem. Wskazówka: rozważyć liczby pierwsze postaci <math>p = 2^n k + 1</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Dla <math>n \geqslant 3</math> liczbę <math>p</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>p = 8 k \cdot 2^{n - 3} + 1</math>, zatem <math>p \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math> i&nbsp;liczba <math>2</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p.7), czyli nie jest generatorem modulo <math>p</math>. Ponieważ liczb pierwszych postaci <math>p = 2^n k + 1</math> istnieje nieskończenie wiele (zobacz [[#L27|L27]] lub [[Ciągi liczbowe#C27|C27]]), to możemy stwierdzić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, dla których liczba <math>2</math> nie jest generatorem. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L51" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L51</span><br/>
 +
Pokazać, że jeżeli liczby <math>q \geqslant 7</math> oraz <math>p = 4 q + 1</math> są liczbami pierwszymi, to liczby <math>2 \:</math> i <math>\: 3</math> są generatorami modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Liczby pierwsze <math>p = 4 q + 1</math> tworzą ciąg <math>13, 29, 53, 149, 173, 269, 293, 317, 389, 509, 557, 653, 773, 797, \ldots</math>
 +
 
 +
Przypuszczamy, że liczb pierwszych <math>p</math> postaci <math>p = 4 q + 1</math> jest nieskończenie wiele, a&nbsp;ilość takich liczb <math>p \leqslant n</math> jest w&nbsp;przybliżeniu równa <math>{\small\frac{C n}{(\log n)^2}}</math>.
 +
 
 +
Dla <math>q = 3</math> łatwo sprawdzamy, że <math>\operatorname{ord}(2, 13) = 12 \;</math> i <math>\; \operatorname{ord}(3, 13) = 3</math>.
 +
 
 +
Ponieważ liczba <math>q \geqslant 7</math> jest liczbą pierwszą, to może być tylko postaci <math>q = 6 k + 1</math> lub <math>q = 6 k + 5</math>. Wynika stąd, że liczba <math>p = 4 q + 1</math> musi być postaci <math>p = 24 k + 5</math>, bo w&nbsp;drugim przypadku otrzymujemy <math>p = 24 k + 21</math>, która jest liczbą złożoną.
 +
 
 +
Widzimy, że liczby <math>2 \:</math> i <math>\: 3</math> są liczbami niekwadratowymi modulo <math>p</math>, bo odpowiednio <math>p \equiv 5 \!\! \pmod{8} \;</math> i <math>\; p \equiv 5 \!\! \pmod{12}</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J42|J42]] p.7 i [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J47|J47]]).
 +
 
 +
Niech <math>a</math> oznacza dowolną z&nbsp;liczb <math>2</math> lub <math>3</math> i&nbsp;niech <math>h</math> będzie rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>. Oczywiście <math>h \mid (p - 1)</math>, czyli <math>h \mid 4 q</math>, zatem możliwe wartości <math>h</math>, to <math>1, 2, 4, q, 2 q, 4 q</math>.
 +
 
 +
Ponieważ dla <math>p \geqslant 13</math> nie są możliwe kongruencje <math>a^1 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, <math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, to <math>h \neq 1</math> i <math>h \neq 2</math>. Nie może też być <math>h = 4</math>, bo kongruencja <math>a^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math> również nie jest możliwa (zobacz [[#L6|L6]]).
 +
 
 +
Z kryterium Eulera (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J31|J31]]) mamy
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / 2} = a^{2 q} \equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Widzimy, że nie może być <math>a^q \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo wtedy byłoby <math>a^{2 q} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Zatem musi być <math>a^{4 q} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, czyli rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p</math> jest równy <math>p - 1</math> i <math>a</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L52" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L52</span><br/>
 +
Znaleźć rozwiązania układu kongruencji
 +
 
 +
::<math>\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
  11^x \cdot y^5 \equiv 4 & \pmod{13} \\
 +
  6^x \cdot y^6 \equiv 9 & \pmod{13} \\
 +
\end{array}
 +
\right.</math>
 +
 
 +
Wskazówka: liczba <math>2</math> jest generatorem modulo <math>13</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Dokonujemy podstawień: <math>y \equiv 2^z \!\! \pmod{13}, \qquad 11 \equiv 2^7 \!\! \pmod{13}, \qquad 6 \equiv 2^5 \!\! \pmod{13}, \qquad 9 \equiv 2^8 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
  2^{7 x} \cdot 2^{5 z} \equiv 2^2 & \pmod{13} \\
 +
  2^{5 x} \cdot 2^{6 z} \equiv 2^8 & \pmod{13} \\
 +
\end{array}
 +
\right.</math><br/>
 +
</div>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
  2^{7 x + 5 z} \equiv 2^2 & \pmod{13} \\
 +
  2^{5 x + 6 z} \equiv 2^8 & \pmod{13} \\
 +
\end{array}
 +
\right.</math><br/>
 +
</div>
 +
 
 +
Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#L23|L23]], dostajemy
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
  7 x + 5 z \equiv 2 & \pmod{12} \\
 +
  5 x + 6 z \equiv 8 & \pmod{12} \\
 +
\end{array}
 +
\right.</math>
 +
</div>
 +
 
 +
Mnożąc pierwszą kongruencję przez <math>5</math>, drugą przez <math>7</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
  35 x + 25 z \equiv 10 & \pmod{12} \\
 +
  35 x + 42 z \equiv 56 & \pmod{12} \\
 +
\end{array}
 +
\right.</math>
 +
</div>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left\{
 +
\begin{array}{rl}
 +
  - x + z \equiv 10 & \pmod{12} \\
 +
  - x + 6 z \equiv 8 & \pmod{12} \\
 +
\end{array}
 +
\right.</math>
 +
</div>
 +
 
 +
Odejmując kongruencje od siebie, mamy
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>
 +
\begin{array}{rl}
 +
  5 z \equiv - 2 & \pmod{12} \\
 +
  25 z \equiv - 10 & \pmod{12} \\
 +
  z \equiv 2 & \pmod{12} \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
</div>
 +
 
 +
Czyli <math>y \equiv 2^2 \equiv 4 \!\! \pmod{13}</math>. Podstawiając <math>z \equiv 2 \!\! \pmod{12}</math> do pierwszej kongruencji, dostajemy <math>x \equiv 4 \!\! \pmod{12}</math>. Zatem rozwiązaniem układu kongruencji są liczby <math>x \equiv 4 \!\! \pmod{12}</math> oraz <math>y \equiv 4 \!\! \pmod{13}</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Liczby, które nie mają generatora</span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L53" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L53</span><br/>
 +
Rozważymy dwa przypadki: gdy liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> dzieli <math>m</math> i&nbsp;gdy liczba pierwsza nieparzysta <math>p</math> nie dzieli <math>m</math>. W&nbsp;pierwszym przypadku <math>m</math> jest postaci <math>m = r p^k</math>, a&nbsp;w&nbsp;drugim <math>m = 2^k</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L54" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L54</span><br/>
 +
Niech <math>k, m \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;liczba <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli <math>m = r p^k</math>, gdzie <math>p \nmid r \;</math> i <math>\; r \geqslant 3</math>, to nie istnieją generatory modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>a</math> będzie dowolną liczbą całkowitą i <math>\gcd (a, m) = 1</math>. Ponieważ <math>\varphi (r) \;</math> i <math>\; \varphi (p^k)</math> są liczbami parzystymi (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H38|H38]]), to z&nbsp;twierdzenia Eulera otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>a^{\varphi (m) / 2} = \left[ a^{\varphi (r)} \right]^{\varphi (p^k) / 2} \equiv 1 \!\! \pmod{r}</math>
 +
 
 +
::<math>a^{\varphi (m) / 2} = \left[ a^{\varphi (p^k)} \right]^{\varphi (r) / 2} \equiv 1 \!\! \pmod{p^k}</math>
 +
 
 +
Ponieważ liczby <math>r \;</math> i <math>\; p^k</math> są względnie pierwsze, zatem (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J1|J1]])
 +
 
 +
::<math>a^{\varphi (m) / 2} \equiv 1 \!\! \pmod{r p^k}</math>
 +
 
 +
Co oznacza, że nie istnieje liczba, której rząd modulo <math>m = r p^k</math> wynosiłby <math>\varphi (m)</math>, czyli nie istnieją generatory modulo <math>m</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L55" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Wniosek L55</span><br/>
 +
Z twierdzenia [[#L54|L54]] wynika natychmiast, że poza potęgami liczby <math>2</math> jedynie liczby postaci <math>p^k</math> i <math>2 p^k</math>, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą, mogą mieć generatory. Problem istnienia generatorów dla liczb postaci <math>2^k</math> rozstrzyga następne twierdzenie.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L56" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L56</span><br/>
 +
Nie istnieją generatory modulo <math>2^k</math> dla <math>k \geqslant 3</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Udowodnimy (indukcja matematyczna), że dla dowolnej liczby nieparzystej <math>a</math> i <math>k \geqslant 3</math> prawdziwa jest kongruencja
 +
 
 +
::<math>a^{2^{\large {k - 2}}} \equiv 1 \!\! \pmod{2^k} \qquad \qquad (1)</math>
 +
 
 +
Wzór jest prawdziwy dla <math>k = 3</math>, bo dla dowolnej liczby nieparzystej <math>a</math> prawdziwa jest kongruencja
 +
 
 +
::<math>a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8}</math>
 +
 
 +
Dla dowodu wystarczy rozważyć modulo <math>8</math> liczby nieparzyste postaci <math>4 j + 1</math> i <math>4 j + 3</math>.
 +
 
 +
Załóżmy, że wzór <math>(1)</math> jest prawdziwy dla pewnego <math>k \geqslant 3</math>. Z&nbsp;uczynionego założenia wynika, że istnieje taka liczba całkowita <math>t</math>, że
 +
 
 +
::<math>a^{2^{\large {k - 2}}} = 1 + t \cdot 2^k</math>
 +
 
 +
Podnosząc obie strony powyższej równości do kwadratu, z&nbsp;łatwością pokazujemy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>k + 1</math>
 +
 
 +
::<math>a^{2^{\large {k - 1}}} = 1 + 2 t \cdot 2^k + t^2 \cdot 2^{2 k} \equiv 1 \!\! \pmod{2^{k + 1}}</math>
 +
 
 +
Co kończy dowód indukcyjny wzoru <math>(1)</math>. Ze wzoru <math>(1)</math> wynika natychmiast, że <math>\operatorname{ord}(a, 2^k) \leqslant 2^{k - 2}</math>, ale <math>\varphi (2^k) = 2^{k - 1}</math>, zatem rząd liczby nieparzystej <math>a</math> modulo <math>2^k</math> nigdy nie będzie równy <math>\varphi (2^k)</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Liczba pierwsza ma generator</span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L57" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L57</span><br/>
 +
Zauważmy, że istnienie generatora dla liczby pierwszej <math>p</math> jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia [[#L21|L21]]. Ponieważ <math>h = p - 1</math> dzieli liczbę <math>p - 1</math>, to istnieje <math>\varphi (p - 1)</math> liczb, których rząd modulo <math>p</math> jest równy <math>h = p - 1 = \varphi (p)</math>, czyli generatorów modulo <math>p</math>. Dowód twierdzenia [[#L21|L21]] jest dowodem niekonstruktywnym – nie pokazaliśmy jawnie sposobu otrzymania liczby, która byłaby generatorem modulo <math>p</math>. W&nbsp;kolejnym twierdzeniu przedstawimy dowód konstruktywny.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L58" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L58 (Carl Friedrich Gauss, 1801)</span><br/>
 +
Każda liczba pierwsza ma generator.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Liczba <math>p = 2</math> ma generator <math>g = 1</math>, bo <math>\varphi (2) = 1</math>. Zatem możemy założyć, że <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą. Niech liczba <math>p - 1</math> ma następujący rozkład na czynniki pierwsze
 +
 
 +
::<math>p - 1 = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia Lagrange'a (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J14|J14]]) wynika, że każda z&nbsp;kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^{\tfrac{p - 1}{q_i}} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma co najwyżej <math>{\small\frac{p - 1}{q_i}}</math> rozwiązań. Ponieważ
 +
 
 +
::<math>(p - 1) - {\small\frac{p - 1}{q_i}} \geqslant (p - 1) - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}}</math>
 +
 
 +
to dla każdej z&nbsp;wypisanych wyżej kongruencji istnieje taka liczba <math>w_i \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, '''która nie jest''' rozwiązaniem powyższej kongruencji.
 +
 
 +
 
 +
Zdefiniujmy liczbę <math>a_i</math> następująco
 +
 
 +
::<math>a_i = (w_i)^{(p - 1) / q_i^{\large \alpha_i}}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>(a_i)^{q_i^{\large \alpha_i}} = (w_i)^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
oraz
 +
 
 +
::<math>(a_i)^{q_i^{\large \alpha_i - 1}} = (w_i)^{\tfrac{p - 1}{q_i}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>\operatorname{ord}(a_i, p) = q^{\alpha_i}_i</math> (zobacz [[#L25|L25]]). Wynika stąd, że dla <math>i \neq j</math> jest
 +
 
 +
::<math>\gcd (\operatorname{ord}(a_i, p), \operatorname{ord}(a_j, p) ) = \gcd (q^{\alpha_i}_i, q^{\alpha_j}_j) = 1</math>
 +
 
 +
 
 +
Pamiętamy, że liczby <math>w_i</math> wybraliśmy tak, aby <math>\gcd (w_i, p) = 1</math>, czyli <math>\gcd (a_i, p) = 1</math>. Ponieważ spełnione są założenia twierdzenia [[#L15|L15]], to
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a_1 \cdot \ldots \cdot a_s, p) = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s = p - 1</math>
 +
 
 +
Co oznacza, że liczba <math>a_1 \cdot \ldots \cdot a_s</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Kwadrat liczby pierwszej ma generator</span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L59" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L59</span><br/>
 +
Niech <math>p \in \mathbb{P}</math>, <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Jeżeli <math>h = \operatorname{ord}(a, p)</math>, to
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a, p^2) =
 +
\begin{cases}
 +
h & \text{gdy } a^h \equiv 1 \; \pmod{p^2} \\
 +
h p & \text{gdy } a^h \not\equiv 1 \; \pmod{p^2} \\
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''1. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}}</math>'''
 +
 
 +
Zauważmy, że nie istnieje liczba <math>d < h</math> taka, że <math>a^d \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>, bo mielibyśmy <math>a^d \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, wbrew założeniu, że <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>. Zatem <math>\operatorname{ord}(a, p^2) = h</math>.
 +
 
 +
'''2. Przypadek, gdy <math>\boldsymbol{a^h \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2}}</math>'''
 +
 
 +
Niech <math>f = \operatorname{ord}(a, p^2)</math>. Ponieważ <math>p \mid p^2</math>, to <math>h \mid f</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.2), czyli <math>f = s \cdot h</math>.
 +
 
 +
Z definicji liczby <math>h</math> mamy
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Z powyższej kongruencji oraz twierdzenia [[#L97|L97]] wynika, że
 +
 
 +
::<math>a^{h p} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
Liczba <math>f</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p^2</math>, zatem <math>f \mid h p</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.1). Ponieważ <math>f = s \cdot h</math>, to mamy
 +
 
 +
::<math>s h \mid h p \qquad \Longrightarrow \qquad s \mid p \qquad \Longrightarrow \qquad s = 1 \qquad \text{lub} \qquad s = p \qquad \Longrightarrow \qquad f = h \qquad \text{lub} \qquad f = h p</math>
 +
 
 +
Ale nie może być <math>f = h</math>, bo mielibyśmy <math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>, wbrew założeniu. Zatem musi być <math>f = h p</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L60" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L60</span><br/>
 +
Niech <math>h</math> będzie rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>. Rząd przynajmniej jednej z&nbsp;liczb <math>a</math> i <math>a + p</math> modulo <math>p^2</math> jest równy <math>h p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Z założenia <math>\operatorname{ord}(a, p) = \operatorname{ord}(a + p, p) = h</math> (zobacz [[#L14|L14]]). Z&nbsp;twierdzenia [[#L59|L59]] wiemy, że rząd każdej z&nbsp;liczb <math>a</math> i <math>a + p</math> modulo <math>p^2</math> może być równy <math>h</math> lub <math>h p</math>. Udowodnimy, że rzędy liczb <math>a</math> i <math>a + p</math> modulo <math>p^2</math> nie mogą być jednocześnie równe <math>h</math>, zatem rząd przynajmniej jednej z&nbsp;nich jest równy <math>h p</math>.
 +
 
 +
Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>\operatorname{ord}(a, p^2) = \operatorname{ord}(a + p, p^2) = h</math>. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje
 +
 
 +
::<math>a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} \qquad \text{i} \qquad (a + p)^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
Ze wzoru dwumianowego dostajemy
 +
 
 +
::<math>(a + p)^h = \sum_{i = 0}^h \binom{h}{i} a^{h - i} p^i</math>
 +
 
 +
::::<math>\;\;\:\, = a^h + h \cdot a^{h - 1} p + \sum_{i = 2}^h \binom{h}{i} a^{h - i} p^i</math>
 +
 
 +
Zatem modulo <math>p^2</math> jest
 +
 
 +
::<math>0 \equiv (a + p)^h - a^h</math>
 +
 
 +
::<math>\;\;\: \equiv a^h + h \cdot a^{h - 1} p + \sum_{i = 2}^h \binom{h}{i} a^{h - i} p^i - a^h</math>
 +
 
 +
::<math>\;\;\: \equiv h \cdot a^{h - 1} p \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
Czyli <math>p^2 \mid (h \cdot a^{h - 1} p)</math>, zatem <math>p \mid (h \cdot a^{h - 1})</math>. Z&nbsp;założenia <math>\gcd (a, p) = 1</math>, skąd wynika, że <math>p \mid h</math>, ale <math>h</math> jest rzędem liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>, zatem <math>h \mid \varphi (p)</math>. Łącząc, otrzymujemy, że <math>p \mid \varphi (p)</math>, czyli <math>p \mid (p - 1)</math>, co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L61" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L61</span><br/>
 +
Niech <math>p = 7</math>. Dla <math>a = 2, 3, 4, 5, 6</math> mamy odpowiednio <math>h = \operatorname{ord}(a, p) = 3, 6, 3, 6, 2</math>. Łatwo sprawdzamy, że dla tych liczb jest
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a, p^2) = \operatorname{ord}(a + p, p^2) = h p</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L62" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L62</span><br/>
 +
Jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to <math>g</math> lub <math>g + p</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Jeżeli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to rząd liczby <math>g</math> modulo <math>p</math> jest równy <math>\varphi (p) = p - 1</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[#L60|L60]] otrzymujemy natychmiast, że rząd przynajmniej jednej z&nbsp;liczb <math>g</math> lub <math>g + p</math> jest równy <math>(p - 1) p = \varphi (p^2)</math>, czyli jedna z&nbsp;tych liczb jest generatorem modulo <math>p^2</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Brak kary śmierci w kodeksie karnym jest pogardą dla ofiar|Hide=Brak kary śmierci w kodeksie karnym jest pogardą dla ofiar}}
 
−
<br/><div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Prawa ustanowione są dla sprawiedliwych nie dlatego, by nie popełniali nieprawości, lecz by jej nie doznawali.</div>
 
−
[[File:Epikur83x100.png|50px]]<span style="font-size: 90%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold; color: #808080;">&nbsp;&nbsp;Epikur</span><br/><br/>
 
  
−
<div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Jestem głosem zamordowanych. Jestem głosem tych, których godność i prawo do życia uczyniono mniej znaczącymi od godności i prawa do życia morderców. Jestem głosem tych, którzy nie mogą się już bronić. Jestem głosem niezgody na Twoje milczenie.</div><br/>
 
  
−
*[[NIE!]]
+
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Liczba <math>\boldsymbol{p^n}</math> ma generator (<math>\boldsymbol{p \geqslant 3}</math>)</span> ===
−
*[[Brak kary śmierci w kodeksie karnym jest pogardą dla ofiar]]
+
 
−
*[[Śmierć i Sprawiedliwość (Edward I. Koch)]]
+
&nbsp;
−
*[[Pamiętajmy, że to co tolerujemy na nic więcej nie zasługuje]]
+
 
−
*[[Strzeżcie się fałszywych proroków]]
+
<span id="L63" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L63</span><br/>
−
*[[Dlaczego Jezus, przybywszy do świątyni, powywracał kupcom stoły?]]
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \geqslant 2</math>. Jeżeli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p^n</math>, to jest generatorem modulo <math>p^{n + 1}</math>.
−
*[[Rozmowa Chrześcijanina i Człowieka Postępu o karze śmierci]]
+
 
−
*[[Bezcenne czy przecenione?]]
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach (1)]]
+
Niech <math>f = \operatorname{ord}(g, p^{n + 1})</math>. Z&nbsp;założenia <math>h = \operatorname{ord}(g, p^n) = \varphi (p^n)</math>.
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach (2)]]
+
 
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach (3)]]
+
Ponieważ <math>p^n \mid p^{n + 1}</math>, to z&nbsp;twierdzenia [[#L8|L8]] p.2 wiemy, że <math>h \mid f</math>, zatem <math>f = k h = k \varphi (p^n)</math>.
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach (4)]]
+
 
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach (5)]]
+
Z zadania [[#L9|L9]] mamy <math>f \mid \varphi (p^{n + 1})</math>, czyli <math>k \varphi (p^n) \mid \varphi (p^{n + 1})</math>, zatem (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H36|H36]]) <math>k \varphi (p^n) \mid p \varphi (p^n)</math>. Wynika stąd, że <math>k \mid p</math>, zatem <math>k = 1</math> lub <math>k = p</math>.
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach – „Rozważania… ” Camusa]]
+
 
−
*[[Albert Camus – fobia czy rzeczywistość?]]
+
Jeżeli <math>k = p</math>, to <math>f = p \varphi (p^n) = \varphi (p^{n + 1})</math> i&nbsp;twierdzenie zostało dowiedzione.
−
*[[George Orwell – uraz psychiczny czy rzeczywistość?]]
+
 
−
*[[Księga powtórnie powtórzonego prawa]]
+
Jeżeli <math>k = 1</math>, to <math>f = \varphi (p^n)</math>. Aby wykluczyć wartość <math>k = 1</math>, wystarczy pokazać, że <math>f = \varphi (p^n)</math> nie może być rzędem liczby <math>g</math> modulo <math>p^{n + 1}</math>, czyli, że
−
*[[CBOS – czy poznamy stosunek Polaków do kary śmierci?]]
+
 
−
*[[Jak postęp zapewnił bezpieczeństwo mordercom i zbrodniarzom]]
+
::<math>g^{\varphi (p^{\large n})} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
−
*[[Jak to z moratorium było|Jak to z moratorium było - uzupełnienie!]]
+
 
−
*[[Kara śmierci: topór kontra karabin maszynowy (USA)]]
+
Z twierdzenia Eulera mamy
−
*[[Morderstwa, egzekucje, odstraszanie - amerykański eksperyment]]
+
 
−
*[[Stany Zjednoczone, Murzyni, zabójstwa, kara śmierci i odstraszanie]]
+
::<math>g^{\varphi (p^{\large n - 1})} \equiv 1 \!\! \pmod{p^{n - 1}}</math>
−
*[[Kara śmierci w Stanach Zjednoczonych]]
+
 
−
*[[Czy kara śmierci ratuje życie?]]
+
Zatem istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że
−
*[[Kara śmierci: topór kontra karabin maszynowy (Japonia)]]
+
 
−
*[[Kara śmierci: kto nie ma topora, a kto ma karabin (Polska)]]
+
::<math>g^{\varphi (p^{\large n - 1})} = 1 + s p^{n - 1}</math>
−
*[[Kara śmierci: lista państw świata według wskaźnika reakcji]]
+
 
−
*[[Czy kara śmierci odstrasza?]]
+
Gdyby <math>p \mid s</math>, to modulo <math>p^n</math> mielibyśmy
−
*[[Pomyłki sądowe – mordercy którym pozwolono zabić ponownie]]
+
 
−
*[[Za drugą szansę zabójcy możesz zapłacić życiem]]
+
::<math>g^{\varphi (p^{\large n - 1})} \equiv 1 \!\! \pmod{p^n}</math>
−
*[[Lepiej, aby zginęło stu niewinnych, niż gdyby jeden winny miał zginąć]]
+
 
−
*[[Crime International – Polska 2015]]
+
Wbrew założeniu, że <math>h = \operatorname{ord}(g, p^n) = \varphi (p^n) = p \varphi (p^{n - 1})</math>. Zatem <math>p \nmid s</math>.
−
*[[Crime International – Polska 2016]]
+
 
−
*[[Crime International – Polska 2017]]
+
Korzystając ze wzoru dwumianowego, dostajemy
−
*[[Crime International – Polska 2018]]
+
 
−
*[[Wielokrotni mordercy – typologia i przykłady]]
+
::<math>g^{\varphi (p^{\large n})} = g^{p \varphi (p^{\large n - 1})}</math>
−
*[[Prawie niewinni mordercy. Co jeszcze jesteś gotów dla nich uczynić?]]
+
 
−
*[[Prawa człowieka czy prawa bandyty? Przyrodzona godność ludzka]]
+
:::<math>\quad \: = [g^{\varphi (p^{\large n - 1})}]^p</math>
−
*[[Arthur Schopenhauer: godność ludzka czyli nowe szaty króla]]
+
 
−
*[[Prawo do życia, czyli zwycięstwo hipokryzji]]
+
:::<math>\quad \: = (1 + s p^{n - 1})^p =</math>
−
*[[Sąd Najwyższy USA: czarne jest najpiękniejsze]]
 
−
*[[Pomyłka sądowa – prawie niewinny morderca Marlene Miller]]
 
−
*[[Banalizacja zła]]
 
−
*[[Krótkie historie o zabijaniu]]
 
−
*[[Kara śmierci – cytaty]]
 
  
 +
:::<math>\quad \: = \sum_{i = 0}^{p} \binom{p}{i} s^i p^{i (n - 1)} =</math>
  
 +
:::<math>\quad \: = 1 + s p^n + {\small\frac{p (p - 1)}{2}} s^2 p^{2 (n - 1)} + \sum_{i = 3}^{p} \binom{p}{i} s^i p^{i (n - 1)}</math>
  
−
[https://drive.google.com/uc?export=download&id=0B1HrFK-3gYNvRC1JT0Q2T2dyeVU Pobierz artykuły dotyczące kary śmierci – plik PDF]
+
:::<math>\quad \: \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
  
 +
Wystarczy zauważyć, że w&nbsp;przedostatniej linii trzeci i&nbsp;czwarty wyraz są podzielne przez <math>p^{n + 1}</math>, co wynika z&nbsp;prostych oszacowań
  
 +
*&nbsp;&nbsp;&nbsp;dla <math>\; n \geqslant 2 \;</math> jest <math>\; 1 + 2 (n - 1) \geqslant n + 1</math>
  
 +
*&nbsp;&nbsp;&nbsp;dla <math>\; n \geqslant 2 \;</math> oraz <math>\; i \geqslant 3 \; </math> jest <math>\; i(n - 1) = n - 1 + (i - 1)(n - 1) \geqslant n - 1 + 2 \cdot 1 = n + 1</math>
 +
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Historia|Hide=Historia}}
+
 
−
*[[Hańba i chwała - II Rzeczpospolita]]
+
 
−
*[[Hańba i chwała - II Wojna Światowa]]
+
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Liczba <math>\boldsymbol{2 p^n}</math> ma generator (<math>\boldsymbol{p \geqslant 3}</math>)</span> ===
−
*[[Hańba i chwała – Powstanie Warszawskie]]
+
 
−
*[[Hańba i chwała – Stalin'44]]
+
&nbsp;
−
*[[Hańba i chwała – sieroty po II RP]]
+
 
−
*[[Hańba i chwała – policzmy głosy]]
+
<span id="L64" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L64</span><br/>
−
*[[Czy niemiecką mordownię z lat 1939-45 można nazywać okupacją?]]
+
Każda liczba <math>2 p^n</math> ma generator, gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>n \geqslant 1</math>.
−
*[[Niemiecka Mordownia 1939-1945]]
+
 
−
*[[Bandyci, mordercy i towarzysze]]
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
−
*[[Poeci, pisarze i towarzysze]]
+
Niech <math>g</math> będzie generatorem modulo <math>p^n</math>. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że <math>g</math> jest liczbą nieparzystą (gdyby było inaczej, to rozpatrywalibyśmy liczbę <math>g + p^n</math>, która też jest generatorem modulo <math>p^n</math>). Ponieważ liczby <math>g \,</math> i <math>\, p^n</math> są nieparzyste i <math>\operatorname{ord}(g, p^n) = \varphi (p^n)</math>, to <math>\operatorname{ord}(g, 2 p^n) = \varphi (p^n) = \varphi (2 p^n)</math> (zobacz [[#L17|L17]]), czyli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>2 p^n</math>.
−
*[[Szymborska – ciszej nad tą trumną]]
+
 
 +
Jeśli nie chcemy wchodzić w&nbsp;szczegóły zadania [[#L17|L17]], to wystarczy zauważyć, że wybór liczby <math>g</math> tak, aby była nieparzystym generatorem modulo <math>p^n</math>, zapewnia nam, że <math>\gcd (g, 2 p^n) = 1</math>, czyli rząd liczby <math>g</math> modulo <math>2 p^n</math> jest określony.
 +
 
 +
Ponieważ <math>p^n \mid 2p^n</math>, to <math>\operatorname{ord}(g, p^n) \mid \operatorname{ord}(g, 2 p^n)</math> (zobacz [[#L8|L8]] p.2), zatem możemy napisać
 +
 
 +
::<math>\varphi (2 p^n) = \varphi (2) \varphi (p^n) = \varphi (p^n) = \operatorname{ord}(g, p^n) \leqslant \operatorname{ord}(g, 2 p^n) \leqslant \varphi (2 p^n)</math>
 +
 
 +
Skąd natychmiast otrzymujemy, że <math>\operatorname{ord}(g, 2 p^n) = \varphi (2 p^n)</math>, czyli <math>g</math> jest generatorem modulo <math>2 p^n</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Powstanie Warszawskie|Hide=Powstanie Warszawskie}}
 
−
<br/><div style="font-size: 110%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Celem wojny nie jest śmierć za ojczyznę, ale sprawienie, aby tamci skurwiele umierali za swoją.</div>
 
−
[[File:Patton94x133.png|45px]]<span style="font-size: 110%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold; color: #808080;"> gen. George Patton</span><br/><br/>
 
  
−
*[[POMNIK TRUPA]]
+
 
−
*[[Hańba i chwała – Powstanie Warszawskie]]
+
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Najmniejsze dodatnie generatory modulo <math>\boldsymbol{p}</math> i&nbsp;modulo <math>\boldsymbol{p^2}</math></span> ===
−
*[[Hańba i chwała – Stalin'44]]
+
 
−
*[[Hańba i chwała – sieroty po II RP]]
+
&nbsp;
−
*[[Hańba i chwała – policzmy głosy]]
+
 
 +
<span id="L65" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L65</span><br/>
 +
Z twierdzenia [[#L43|L43]] wiemy, że każdy generator <math>g</math> modulo <math>p</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>. Ale nie każda liczba niekwadratowa modulo <math>p</math> jest generatorem modulo <math>p</math> (zobacz [[#L49|L49]]). Wynika stąd, że najmniejszy dodatni generator <math>\mathbb{g} (p)</math> modulo <math>p</math> nie może być mniejszy od najmniejszej dodatniej liczby niekwadratowej <math>\mathbb{n} (p)</math> modulo <math>p</math>, czyli <math>\mathbb{g} (p) \geqslant \mathbb{n} (p)</math>.
 +
 
 +
W tabeli przedstawiliśmy przypadki, gdy <math>\mathbb{g} (p) > \mathbb{n} (p)</math> dla początkowych liczb pierwszych.
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
| <math>41</math> || <math>43</math> || <math>103</math> || <math>109</math> || <math>151</math> || <math>157</math> || <math>191</math> || <math>229</math> || <math>251</math> || <math>271</math> || <math>277</math> || <math>283</math> || <math>307</math> || <math>311</math> || <math>313</math> || <math>331</math> || <math>337</math> || <math>367</math> || <math>397</math> || <math>409</math> || <math>439</math> || <math>457</math> || <math>499</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{n} (p)}</math>
 +
| <math>3</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>11</math> || <math>5</math> || <math>2</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>2</math> || <math>7</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>2</math>
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{\mathbb{g} (p)}</math>
 +
| <math>6</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>6</math> || <math>6</math> || <math>5</math> || <math>19</math> || <math>6</math> || <math>6</math> || <math>6</math> || <math>5</math> || <math>3</math> || <math>5</math> || <math>17</math> || <math>10</math> || <math>3</math> || <math>10</math> || <math>6</math> || <math>5</math> || <math>21</math> || <math>15</math> || <math>13</math> || <math>7</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Ponieważ <math>\mathbb{g} (p) \geqslant \mathbb{n} (p)</math>, to z&nbsp;twierdzenia [[Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia#K18|K18]] otrzymujemy natychmiast, że istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych <math>p</math> takich, że najmniejszy generator modulo <math>p</math> jest większy od <math>{\small\frac{\log p}{2 L \log 2}}</math>, gdzie <math>L</math> jest stałą Linnika (zobacz [[Ciągi liczbowe#C30|C30]]). Zobacz też [[Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia#K16|K16]] i [[Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia#K17|K17]].
 +
 
 +
 
 +
Liczby <math>\mathbb{g} (p)</math> są bardzo małe, podobnie jak najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe <math>\mathbb{n} (p)</math>. Przypuszczamy<ref name="ElliottMurata1"/><ref name="OliveiraSilva1"/>, że istnieje skończona granica
 +
 
 +
::<math>\lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{g} (p) = 4.9264 \ldots</math>
 +
 
 +
gdzie <math>p</math> są nieparzystymi liczbami pierwszymi.
 +
 
 +
 
 +
Oszacowania <math>\mathbb{g} (p)</math>:
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;oszacowanie <math>\mathbb{g} (p) < \sqrt{p} - 2</math> jest prawdziwe dla <math>409 < p < 2.5 \cdot 10^{15}</math> i&nbsp;dla <math>p > 3.67 \cdot 10^{71}</math><ref name="CohenOliveiraSilvaTrudgian1"/>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;oszacowanie <math>\mathbb{g} (p) < \sqrt{p}</math> jest prawdziwe dla <math>p > 10^{56}</math><ref name="McGownTrudgian1"/>
 +
 
 +
Dla <math>\mathbb{g} (p^2)</math> możemy łatwo pokazać oszacowanie <math>\mathbb{g} (p^2) < p</math> (zobacz [[#L66|L66]]).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L66" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L66</span><br/>
 +
Niech <math>a</math> będzie generatorem modulo <math>p</math>. Prawdziwe są następujące stwierdzenia
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p^2</math> jest równy <math>p - 1</math> lub <math>p(p - 1)</math>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>a</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math> wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>a^{p - 1}
 +
\not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>1 < a, b < p \;</math> i <math>\; b \,</math> jest elementem odwrotnym liczby <math>a</math> modulo <math>p</math>, to co najmniej jedna z&nbsp;liczb <math>a, b</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math>
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;jeżeli <math>\mathbb{g} (p^2)</math> jest najmniejszym dodatnim generatorem modulo <math>p^2</math>, to prawdziwe jest oszacowanie <math>\mathbb{g} (p^2) < p</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
Niech <math>f = \operatorname{ord}(a, p^2)</math>. Z&nbsp;definicji rzędu liczby
 +
 
 +
::<math>a^f \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
Zatem
 +
 
 +
::<math>a^f \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>a</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to <math>(p - 1) \mid f</math>, czyli <math>f = s (p - 1)</math>. Z&nbsp;zadania [[#L9|L9]] wiemy, że <math>s(p - 1) \mid p (p - 1)</math>, zatem <math>s \mid p</math> i&nbsp;otrzymujemy <math>s = 1</math> lub <math>s = p</math>.
 +
 
 +
Wynika stąd, że jeżeli <math>a</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p^2</math> jest równy <math>p - 1</math> lub <math>p(p - 1)</math>.
 +
 
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>, zatem
 +
 
 +
::<math>\operatorname{ord}(a, p^2) \leqslant p - 1 < p (p - 1) = \varphi (p^2)</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu, że <math>a</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math>.
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>g^{p - 1} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>, zatem nie może być <math>\operatorname{ord}(g, p^2) = p - 1</math>. Z&nbsp;punktu 1. wynika natychmiast, że <math>\operatorname{ord}(g, p^2) = p (p - 1) = \varphi (p^2)</math>. Co należało pokazać.
 +
 
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''
 +
 
 +
W pracy<ref name="Lebesgue1"/> z 1867 roku Victor-Amédée Lebesgue podał dowodzone tutaj stwierdzenie bez dowodu. Poniższy dowód jest uproszczoną wersją dowodu przedstawionego przez Johna Maxfielda i&nbsp;Margaret Maxfield<ref name="Maxfield1"/>.
 +
 
 +
Z punktu 1. wiemy, że rząd liczby <math>a</math> modulo <math>p^2</math> jest równy <math>p - 1</math> lub <math>p(p - 1)</math>. Jeżeli <math>\operatorname{ord}(a, p^2) = p (p - 1)</math>, to twierdzenie jest dowiedzione. Musimy pokazać, że w&nbsp;przypadku gdy <math>\operatorname{ord}(a, p^2) = p - 1</math>, jest <math>\operatorname{ord}(b, p^2) = p (p - 1)</math>.
 +
 
 +
Dla poprawienia czytelności przekształceń oznaczmy <math>h = \operatorname{ord}(a, p) = p - 1</math>. Ponieważ <math>a b \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, to <math>\operatorname{ord}(b, p) = h = p - 1</math> (zobacz [[#L7|L7]]). Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>b \equiv a^{h - 1} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Zatem dla pewnej liczby całkowitej <math>k</math> jest
 +
 
 +
::<math>b = a^{h - 1} + k p</math>
 +
 
 +
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>p \mid k</math>. Dostajemy
 +
 
 +
::<math>b \equiv a^{h - 1} \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
::<math>a b \equiv a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
Ale z&nbsp;założenia <math>1 < a, b < p</math>, zatem <math>0 < a b - 1 < p^2 - 1 < p^2</math>, czyli <math>p^2 \nmid (a b - 1)</math>. Wynika stąd, że uczynione przypuszczenie jest nieprawdziwe i <math>p \nmid k</math>.
 +
 
 +
Zgodnie z&nbsp;punktem 2. pozostaje pokazać, że <math>b^h \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>. Mamy
 +
 
 +
::<math>b^h = (a^{h - 1} + k p)^h</math>
 +
 
 +
::<math>\quad \: = \sum_{j = 0}^{h} \binom{h}{j} (a^{h - 1})^{h - j} \cdot (k p)^j</math>
 +
 
 +
::<math>\quad \: = (a^{h - 1})^h + h (a^{h - 1})^{h - 1} \cdot k p + \sum_{j = 2}^{h} \binom{h}{j} (a^{h - 1})^{h - j} \cdot (k p)^j</math>
 +
 
 +
::<math>\quad \: \equiv (a^h)^{h - 1} + h a^{(h - 1)^{\large 2}} \cdot k p \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
::<math>\quad \: \equiv 1 + h b^{3 h - 1} \cdot k p \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
::<math>\quad \: \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
 +
 
 +
gdzie uwzględniliśmy, że
 +
 
 +
::<math>(h - 1)^2 = (p - 2)^2 = p (p - 1) - (3 p - 4) = \varphi (p^2) - (3 h - 1)</math>
 +
 
 +
Co kończy dowód.
 +
 
 +
 
 +
'''Punkt 4.'''
 +
 
 +
Punkt 4. jest prostym wnioskiem z&nbsp;punktu 3.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Polska|Hide=Polska}}
+
 
−
*[[Manewry polityczne i nie tylko]]
+
 
−
*[[Referendum, wybory, jednomandatowe okręgi wyborcze (1)]]
+
<span id="L67" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L67</span><br/>
−
*[[Referendum, wybory, jednomandatowe okręgi wyborcze (2)]]
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli liczba <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math>, to <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.
−
*[[Referendum, wybory, jednomandatowe okręgi wyborcze (3)]]
+
 
−
*[[Refleksje]]
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
*[[Kreacja pieniądza. Rząd vs. banki.]]
+
 
−
*[[III RP – kraj w którym żyjesz]]
+
<span style="border-bottom-style: double;">Pierwszy sposób</span><br/>
−
*[[III RP - krajem faszystów]]
+
Przypuśćmy, w&nbsp;celu otrzymania sprzeczności, że <math>g</math> nie jest generatorem modulo <math>p</math>. Zatem istnieje liczba <math>r \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>r < p - 1</math> taka, że
−
*[[Konsultacje KRRiT - odpowiedź]]
+
 
−
*[[Co stało by się ze światem, gdyby krowy zrozumiały, że potrafią latać?]]
+
::<math>g^r \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
−
*[[Pełnosprawni też mają prawa!]]
+
 
−
*[[Smoleńskie pytania]]
+
Z twierdzenia [[#L97|L97]] dostajemy
−
*[[Dlaczego należy zlikwidować abonament RTV]]
+
 
−
*[[Bajki o braniu odpowiedzialności]]
+
::<math>g^{rp} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
−
*[[Nieudolność może być przestępstwem]]
+
 
−
*[[Panie premierze, coś trzeba zrobić!]]
+
Ale <math>r p < (p - 1) p = \varphi (p^2)</math>, wbrew założeniu, że <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math>.
−
*[[Nie jestem Charlie]]
+
 
−
*[[Polska – Chiny. Szokujące porównanie.]]
+
<br/><span style="border-bottom-style: double;">Drugi sposób</span><br/>
−
*[[Nadzwyczajne przemówienie]]
+
Niech <math>h = \operatorname{ord}(g, p)</math>, zatem
−
*[[Europa czy dyktatura ciemniaków?]]
+
 
−
*[[HejtStop kontra Pudzianowski]]
+
::<math>g^h \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
−
*[[Demokracja czy dyktatura Sądu Najwyższego?]]
+
 
−
*[[Witaj w świecie obrońców zygot i przyjaciół morderców]]
+
Z twierdzenia [[#L97|L97]] otrzymujemy
−
*[[Ksenofobia może uratować ci życie]]
+
 
−
*[[UE – 27 milczących ludzi]]
+
::<math>g^{h p} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}</math>
−
*[[Przemówienie prezydenta Donalda Trumpa w Warszawie]]
+
 
−
*[[Wieluń]]
+
Ponieważ <math>g</math> jest generatorem modulo <math>p^2</math>, to <math>\operatorname{ord}(g, p^2) = \varphi (p^2) = p (p - 1)</math>, zatem <math>p(p - 1) \mid h p</math>, czyli <math>(p - 1) \mid h</math> i&nbsp;otrzymujemy
−
*[[Bezpłodność. Feminizm. Homoseksualizm. Czy damy radę?]]
+
 
−
*[[Murzyni. Czy czarne jest piękne?]]
+
::<math>h = s (p - 1) \leqslant \varphi (p) = p - 1</math>
−
*[[IQ, rozkład Gaussa i czarno-białe konsekwencje]]
+
 
−
*[[Aborcja – orzeczenie Trybunału Konstytucyjnego z 1997 roku]]
+
Skąd wynika, że <math>h = p - 1</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Prawo – artykuł 257 kodeksu karnego|Hide=Prawo – artykuł 257 kodeksu karnego}}
+
 
−
*[[Co nam jeszcze wolno powiedzieć?]]
+
 
−
*[[Artykuł 257 kodeksu karnego – dalsze rozważania]]
+
<span id="L68" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L68</span><br/>
−
*[[Małpy w zoo]]
+
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Pokazać, że jeżeli <math>a^n</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to <math>a</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.
−
*[[HejtStop kontra Pudzianowski]]
+
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że <math>n</math> musi być liczbą nieparzystą, bo gdy <math>n</math> jest liczbą parzystą, to <math>a^n</math> jest liczbą kwadratową i&nbsp;nie może być generatorem modulo <math>p</math> (zobacz [[#L44|L44]]). Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że <math>a</math> nie jest generatorem modulo <math>p</math>. Zatem musi istnieć taki dzielnik pierwszy <math>q</math> liczby <math>p - 1</math>, że
 +
 
 +
::<math>a^{\tfrac{p - 1}{q}} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Podnosząc obie strony kongruencji do <math>n</math>-tej potęgi, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>(a^n)^{\tfrac{p - 1}{q}} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Wbrew założeniu, że liczba <math>a^n</math> jest generatorem modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Lewactwo|Hide=Lewactwo}}
 
−
<br/><div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Nie logika, lecz chęć szczera zrobi z ciebie myśliciela.</div><br/>
 
  
−
<div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Nam bajki trzeba pisać. Powiem więcej: brednie... Niech przy naszych bajkach nawet prawda zblednie.</div><br/>
 
  
−
<div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Ślepi prowadzą ociemniałych ku świetlanej przyszłości.</div><br/>
+
<span id="L69" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L69</span><br/>
 +
Pokazać, że jeżeli <math>8</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, to liczba pierwsza <math>p</math> musi być postaci <math>p = 24 k + 5</math> lub <math>p = 24 k + 11</math>.
  
−
<div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Czytasz: "Dla nas najważniejszy jest człowiek" i myślisz, że to o Tobie mówią? To błąd. Człowiek to pederasta, lesbijka, zboczeniec, morderca, gwałciciel, złodziej, bandyta, feministka, uchodźca, imigrant, a w ostateczności niepełnosprawny. Jeśli nie zaliczasz się do wymienionych, to nie o Tobie mówią...</div><br/>
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Załóżmy dla uzyskania sprzeczności, że <math>3 \mid (p - 1)</math>. Zatem
  
−
<div style="font-size: 95%; line-height: 1.1em; font-style: italic; font-weight: bold;color: #808080;">Nawet Kościół nie obieca wam takiego raju w niebie, jaki lewactwo obieca wam na ziemi.</div><br/>
+
::<math>8^{\tfrac{p - 1}{3}} = 2^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
*[[Zrówność jako podstawa lewackiej ideologii]]
+
Wbrew założeniu, że <math>8</math> jest generatorem modulo <math>p</math> (zobacz [[#L42|L42]]). Wynika stąd, że <math>3 \nmid (p - 1)</math> i&nbsp;musi być
−
*[[Lewactwo – przyczyny politycznego obłędu (Lyle Rossiter)]]
+
 
−
*[[Bezpłodność. Feminizm. Homoseksualizm. Czy damy radę?]]
+
::<math>p - 1 = 3 k + 1 \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad p - 1 = 3 k + 2</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>p = 3 k + 2 \qquad \qquad \quad \;\;\, \text{lub} \qquad \qquad p = 3 k + 3</math>
 +
 
 +
Drugi przypadek nie jest możliwy, bo liczba pierwsza <math>p</math> byłaby liczbą złożoną.
 +
 
 +
Z zadania [[#L68|L68]] wiemy, że liczba <math>2</math> jest generatorem modulo <math>p</math>, zatem jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, skąd wynika, że liczba pierwsza <math>p</math>
 +
musi być postaci <math>p = 8 k \pm 3</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J34|J34]] p.7). Z&nbsp;chińskiego twierdzenia o&nbsp;resztach (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J3|J3]]) wynika, że układom kongruencji
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>\left\{ \begin{array}{cc}
 +
  p \equiv 2 & \pmod{3} \\
 +
  p \equiv 3 & \pmod{8} \\
 +
\end{array} \right. \qquad \qquad \qquad
 +
\left\{ \begin{array}{ccc}
 +
  p \equiv 2 & \pmod{3} \\
 +
  p \equiv 5 & \pmod{8} \\
 +
\end{array} \right.</math>
 +
</div>
 +
 
 +
odpowiadają kongruencje <math>p \equiv 11 \!\! \pmod{24} \;</math> i <math>\; p \equiv 5 \!\! \pmod{24}</math>. Co należało pokazać.
 +
 
 +
Najmniejsze liczby pierwsze <math>p</math>, dla których liczba <math>8</math> jest generatorem: <math>11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, \ldots</math><br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Pederaści, lesbijki i homopropaganda|Hide=Pederaści, lesbijki i homopropaganda}}
+
 
−
*[[Marsz ku tęczy]]
+
 
−
*[[Pederaści i lesbijki – cud uzdrowienia]]
+
<span id="L70" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L70</span><br/>
−
*[[Domagajmy się ustawy zakazującej homopropagandy!]]
+
 
−
*[[Czy już idą po Cejrowskiego?]]
+
Tabele zawierają najmniejsze liczby pierwsze <math>p</math> takie, że <math>\mathbb{g} (p) = n</math>, dla <math>1 \leqslant n \leqslant 100</math> (zobacz [https://oeis.org/A023048 A023048]).
−
*[[Zrówność jako podstawa lewackiej ideologii]]
+
 
−
*[[Homopropaganda – 10 zasad prowadzenia debaty (Scott Lively)]]
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż tabele|Hide=Ukryj tabele}}
−
*[[Jak pokonać homopropagandę? (Scott Lively)]]
+
 
−
*[[Jeśli kochasz swoje dzieci, protestuj przeciwko homopropagandzie]]
+
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 85%; text-align: right;"
−
*[[Bezpłodność. Feminizm. Homoseksualizm. Czy damy radę?]]
+
|-
−
*[[Komu zagraża tęczowa zaraza?]]
+
! <math>\boldsymbol{n}</math> || <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
|-
 +
| <math>1</math> || <math>2</math>
 +
|-
 +
| <math>2</math> || <math>3</math>
 +
|-
 +
| <math>3</math> || <math>7</math>
 +
|-
 +
| <math>4</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>5</math> || <math>23</math>
 +
|-
 +
| <math>6</math> || <math>41</math>
 +
|-
 +
| <math>7</math> || <math>71</math>
 +
|-
 +
| <math>8</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>9</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>10</math> || <math>313</math>
 +
|-
 +
| <math>11</math> || <math>643</math>
 +
|-
 +
| <math>12</math> || <math>4111</math>
 +
|-
 +
| <math>13</math> || <math>457</math>
 +
|-
 +
| <math>14</math> || <math>1031</math>
 +
|-
 +
| <math>15</math> || <math>439</math>
 +
|-
 +
| <math>16</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>17</math> || <math>311</math>
 +
|-
 +
| <math>18</math> || <math>53173</math>
 +
|-
 +
| <math>19</math> || <math>191</math>
 +
|-
 +
| <math>20</math> || <math>107227</math>
 +
|-
 +
| <math>21</math> || <math>409</math>
 +
|-
 +
| <math>22</math> || <math>3361</math>
 +
|-
 +
| <math>23</math> || <math>2161</math>
 +
|-
 +
| <math>24</math> || <math>533821</math>
 +
|-
 +
| <math>25</math> || <math>-</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 85%; text-align: right;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> || <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
|-
 +
| <math>26</math> || <math>12391</math>
 +
|-
 +
| <math>27</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>28</math> || <math>133321</math>
 +
|-
 +
| <math>29</math> || <math>15791</math>
 +
|-
 +
| <math>30</math> || <math>124153</math>
 +
|-
 +
| <math>31</math> || <math>5881</math>
 +
|-
 +
| <math>32</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>33</math> || <math>268969</math>
 +
|-
 +
| <math>34</math> || <math>48889</math>
 +
|-
 +
| <math>35</math> || <math>64609</math>
 +
|-
 +
| <math>36</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>37</math> || <math>36721</math>
 +
|-
 +
| <math>38</math> || <math>55441</math>
 +
|-
 +
| <math>39</math> || <math>166031</math>
 +
|-
 +
| <math>40</math> || <math>1373989</math>
 +
|-
 +
| <math>41</math> || <math>156601</math>
 +
|-
 +
| <math>42</math> || <math>2494381</math>
 +
|-
 +
| <math>43</math> || <math>95471</math>
 +
|-
 +
| <math>44</math> || <math>71761</math>
 +
|-
 +
| <math>45</math> || <math>95525767</math>
 +
|-
 +
| <math>46</math> || <math>273001</math>
 +
|-
 +
| <math>47</math> || <math>275641</math>
 +
|-
 +
| <math>48</math> || <math>823766851</math>
 +
|-
 +
| <math>49</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>50</math> || <math>23126821</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 85%; text-align: right;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> || <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
|-
 +
| <math>51</math> || <math>322999</math>
 +
|-
 +
| <math>52</math> || <math>129361</math>
 +
|-
 +
| <math>53</math> || <math>161831</math>
 +
|-
 +
| <math>54</math> || <math>4348468741</math>
 +
|-
 +
| <math>55</math> || <math>459841</math>
 +
|-
 +
| <math>56</math> || <math>219605251</math>
 +
|-
 +
| <math>57</math> || <math>471769</math>
 +
|-
 +
| <math>58</math> || <math>336361</math>
 +
|-
 +
| <math>59</math> || <math>712321</math>
 +
|-
 +
| <math>60</math> || <math>697591</math>
 +
|-
 +
| <math>61</math> || <math>1171921</math>
 +
|-
 +
| <math>62</math> || <math>658681</math>
 +
|-
 +
| <math>63</math> || <math>102896401</math>
 +
|-
 +
| <math>64</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>65</math> || <math>11089681</math>
 +
|-
 +
| <math>66</math> || <math>27955201</math>
 +
|-
 +
| <math>67</math> || <math>3384481</math>
 +
|-
 +
| <math>68</math> || <math>3733801</math>
 +
|-
 +
| <math>69</math> || <math>110881</math>
 +
|-
 +
| <math>70</math> || <math>5620201</math>
 +
|-
 +
| <math>71</math> || <math>3659401</math>
 +
|-
 +
| <math>72</math> || <math>226547941621</math>
 +
|-
 +
| <math>73</math> || <math>760321</math>
 +
|-
 +
| <math>74</math> || <math>8954401</math>
 +
|-
 +
| <math>75</math> || <math>194515471</math>
 +
|}
 +
{| class="wikitable plainlinks"  style="display: inline-table; margin-left: 5px; margin-right: 50px; font-size: 85%; text-align: right;"
 +
|-
 +
! <math>\boldsymbol{n}</math> || <math>\boldsymbol{p}</math>
 +
|-
 +
| <math>76</math> || <math>25291561</math>
 +
|-
 +
| <math>77</math> || <math>8359009</math>
 +
|-
 +
| <math>78</math> || <math>102009601</math>
 +
|-
 +
| <math>79</math> || <math>7510801</math>
 +
|-
 +
| <math>80</math> || <math>596653488817</math>
 +
|-
 +
| <math>81</math> || <math>-</math>
 +
|-
 +
| <math>82</math> || <math>24818641</math>
 +
|-
 +
| <math>83</math> || <math>16889161</math>
 +
|-
 +
| <math>84</math> || <math>16271999719</math>
 +
|-
 +
| <math>85</math> || <math>23821561</math>
 +
|-
 +
| <math>86</math> || <math>7415641</math>
 +
|-
 +
| <math>87</math> || <math>41299801</math>
 +
|-
 +
| <math>88</math> || <math>264935161</math>
 +
|-
 +
| <math>89</math> || <math>6366361</math>
 +
|-
 +
| <math>90</math> || <math>341058118633</math>
 +
|-
 +
| <math>91</math> || <math>70716649</math>
 +
|-
 +
| <math>92</math> || <math>110591881</math>
 +
|-
 +
| <math>93</math> || <math>65150401</math>
 +
|-
 +
| <math>94</math> || <math>5109721</math>
 +
|-
 +
| <math>95</math> || <math>29128969</math>
 +
|-
 +
| <math>96</math> || <math>5260410488191</math>
 +
|-
 +
| <math>97</math> || <math>17551561</math>
 +
|-
 +
| <math>98</math> || <math>179199874981</math>
 +
|-
 +
| <math>99</math> || <math>2648833321</math>
 +
|-
 +
| <math>100</math> || <math>-</math>
 +
|}
 +
<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Wiersze|Hide=Wiersze}}
+
 
−
*[[NIE!]]
+
 
−
*[[ONI]]
+
 
−
*[[Historia się powtarza]]
+
 
−
*[[MÓJ NARODZIE]]
+
== Kongruencje wielomianowe ==
−
*[[Marsz ku tęczy]]
+
 
−
*[[Ludziom honoru]]
+
<span id="L71" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L71</span><br/>
−
*[[POMNIK TRUPA]]
+
Kongruencjami wielomianowymi modulo liczba pierwsza <math>p</math> nazywamy kongruencje postaci
−
*[[Przyzwoitość]]
+
 
−
*[[Wieluń]]
+
::<math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>W_n (x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0</math>.
 +
 
 +
Jeżeli <math>p \nmid a_n</math>, to powiemy, że stopień kongruecji <math>W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> jest równy <math>n</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J9|J9]], [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J10|J10]], [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J14|J14]]).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L72" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L72</span><br/>
 +
Niech <math>x, a \in \mathbb{Z}</math>, <math>\; n, m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; \gcd (a, m) = 1</math>. Rozważmy kongruencje
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Jeżeli pierwsza z&nbsp;tych kongruencji ma rozwiązania, to obie kongruencje mają taką samą ilość rozwiązań.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech zbiory <math>S_1 = \{ \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r \}</math> i <math>S_a = \{ \alpha_1, \ldots, \alpha_t \}</math> będą zbiorami wszystkich (różnych modulo <math>m</math>) rozwiązań kongruencji <math>x^n \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math> i&nbsp;odpowiednio <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{m}</math>.
 +
 
 +
Zbiory <math>S_1</math> i <math>S_a</math> nie są zbiorami pustymi, bo <math>1 \in S_1</math>, a&nbsp;kongruencja <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{m}</math> ma z&nbsp;założenia przynajmniej jedno rozwiązanie.
 +
 
 +
Ponieważ liczba <math>\alpha_1</math> jest pierwiastkiem kongruencji <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{m}</math>, to
 +
 
 +
::<math>\gcd (\alpha^n_1, m) = \gcd (a, m) = 1</math>
 +
 
 +
czyli <math>\gcd (\alpha_1, m) = 1</math>, zatem <math>\alpha_1</math> ma element odwrotny modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
Niech liczby <math>\Alpha_i = \alpha_1 \cdot \varepsilon_i</math>, gdzie <math>\varepsilon_i \in S_1</math>, tworzą zbiór <math>S_{\Alpha} = \{ \Alpha_1, \ldots, \Alpha_r \}</math>. Łatwo zauważamy, że elementy zbioru <math>S_{\Alpha}</math>
 +
 
 +
*&nbsp;&nbsp;są wszystkie różne modulo <math>m</math>, bo liczba <math>\alpha_1</math> ma element odwrotny (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H21|H21]]), zatem z&nbsp;definicji <math>| S_1 | = | S_{\Alpha} |</math>
 +
 
 +
*&nbsp;&nbsp;są rozwiązaniami kongruencji <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{m}</math>, bo
 +
 
 +
::<math>(\Alpha_i)^n = (\alpha_1 \cdot \varepsilon_i)^n = (\alpha_1)^n (\varepsilon_i)^n \equiv a \cdot 1 \equiv a \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>S_{\Alpha} \subseteq S_a</math> i <math>| S_{\Alpha} | \leqslant | S_a |</math>.
 +
 
 +
Niech liczby <math>\Epsilon_j = \alpha^{- 1}_1 \cdot \alpha_j</math>, gdzie <math>\alpha_j \in S_a</math>, tworzą zbiór <math>S_{\Epsilon} = \{ \Epsilon_1, \ldots, \Epsilon_t \}</math>. Łatwo zauważamy, że elementy zbioru <math>S_{\Epsilon}</math>
 +
 
 +
*&nbsp;&nbsp;są wszystkie różne modulo <math>m</math>, bo liczba <math>\alpha^{- 1}_1</math> ma element odwrotny (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H21|H21]]), zatem z&nbsp;definicji <math>| S_a | = | S_{\Epsilon} |</math>
 +
 
 +
*&nbsp;&nbsp;są rozwiązaniami kongruencji <math>x^n \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>, bo
 +
 
 +
::<math>(\Epsilon_j)^n = (\alpha^{- 1}_1 \cdot \alpha_j)^n = (\alpha^{- 1}_1)^n \cdot (\alpha_j)^n \equiv [(\alpha_1)^n]^{- 1} \cdot a \equiv a^{- 1} \cdot a \equiv 1 \!\! \pmod{m}</math>
 +
 
 +
Zatem <math>S_{\Epsilon} \subseteq S_1</math> i <math>| S_{\Epsilon} | \leqslant | S_1 |</math>.
 +
 
 +
Łącząc oszacowania, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>| S_1 | = | S_{\Alpha} | \leqslant | S_a | = | S_{\Epsilon} | \leqslant | S_1 |</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że <math>| S_1 | = | S_a |</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L73" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L73</span><br/>
 +
Niech <math>m \geqslant 3</math> będzie liczbą, która ma generator i&nbsp;istnieją rozwiązania kongruencji <math>x^2 \equiv a \!\! \pmod{m}</math>. Pokazać, że istnieją dokładnie dwa rozwiązania tej kongruencji. Wskazówka: zobacz dowód twierdzenia [[#L36|L36]].
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L74" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L74</span><br/>
 +
Niech <math>x, a \in \mathbb{Z}</math>, <math>\; n \in \mathbb{Z}_+</math>, liczba <math>p</math> będzie liczbą pierwszą taką, że <math>p \nmid a \;</math> i <math>\; d = \gcd (n, p - 1)</math>. Kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Z założenia kongruencja <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie, powiedzmy <math>x \equiv u \!\! \pmod{p}</math>. Ponieważ <math>d \mid n</math>, to
 +
 
 +
::<math>a \equiv u^n \equiv u^{k d} \equiv (u^k)^d \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
Z założenia kongruencja <math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie, powiedzmy <math>x \equiv u \!\! \pmod{p}</math>. Z&nbsp;lematu Bézouta (zobacz [[Ciągi liczbowe#C73|C73]]) wiemy, że istnieją takie liczby <math>r, s</math>, że <math>n r + (p - 1) s = d</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>a \equiv u^d \equiv u^{n r + (p - 1) s} \equiv (u^r)^n \cdot (u^{p - 1})^s \equiv (u^r)^n \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L75" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L75</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Jeżeli <math>d \mid (p - 1)</math>, to kongruencja <math>x^d \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> ma dokładnie <math>d</math> rozwiązań modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Zauważmy, że jeżeli <math>d \mid (p - 1)</math>, to
 +
 
 +
::<math>x^{p - 1} - 1 = (x^d - 1) (1 + x^d + x^{2 d} + \ldots + x^{p - 1 - 2 d} + x^{p - 1 - d}) = (x^d - 1) \sum_{k = 1}^{(p - 1) / d} x^{p - 1 - k d}</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia Fermata wiemy, że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^{p - 1} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \qquad (1)</math>
 +
 
 +
ma dokładnie <math>p - 1</math> rozwiązań modulo <math>p</math> i&nbsp;są nimi liczby <math>1, 2, \ldots, p - 1</math>.
 +
 
 +
Z twierdzenia Lagrange'a liczba rozwiązań kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^d - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \qquad \;\;\; (2)</math>
 +
 
 +
spełnia warunek <math>\alpha \leqslant d</math>, a&nbsp;liczba rozwiązań kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^{p - 1 - d} + x^{p - 1 - 2 d} + \ldots + x^d + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \qquad (3)</math>
 +
 
 +
spełnia warunek <math>\beta \leqslant p - 1 - d</math>. Z&nbsp;tych dwóch warunków wynika, że
 +
 
 +
::<math>\alpha + \beta \leqslant p - 1</math>
 +
 
 +
Jednocześnie każde rozwiązanie kongruencji <math>(1)</math> jest rozwiązaniem jednej lub obydwu kongruencji <math>(2)</math> i <math>(3)</math>, zatem musi być
 +
 
 +
::<math>p - 1 \leqslant \alpha + \beta</math>
 +
 
 +
Łącząc, dostajemy
 +
 
 +
::<math>p - 1 \leqslant \alpha + \beta \leqslant p - 1</math>
 +
 
 +
Czyli <math>\alpha + \beta = p - 1</math>. Z&nbsp;prostego oszacowania
 +
 
 +
::<math>\alpha \leqslant d = (p - 1) - (p - 1 - d) = \alpha + \beta - (p - 1 - d) \leqslant \alpha + (p - 1 - d) - (p - 1 - d) = \alpha</math>
 +
 
 +
otrzymujemy <math>\alpha = d</math>.
 +
 
 +
Jeśli tak, to <math>\beta = p - 1 - \alpha = p - 1 - d</math>.
 +
 
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L76" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L76</span><br/>
 +
Niech <math>p \nmid a \;</math> i <math>\; d = \gcd (n, p - 1)</math>. Jeżeli jedna z&nbsp;kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązania, to każda z&nbsp;tych kongruencji ma dokładnie <math>d</math> rozwiązań.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Dowód jest prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzeń [[#L74|L74]], [[#L72|L72]] i [[#L75|L75]].
 +
 
 +
Niech <math>S_{n, a}</math>, <math>S_{n, 1}</math>, <math>S_{d, a}</math> i <math>S_{d, 1}</math> będą odpowiednio zbiorami (różnych modulo <math>p</math>) rozwiązań kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>x^d \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>p \nmid a</math> i <math>d = \gcd (n, p - 1)</math>. Oto co na temat ilości rozwiązań możemy powiedzieć na podstawie wspomnianych twierdzeń.
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L74|L74]]:&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| S_{n, a} | = | S_{d, a} |</math>
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L72|L72]]:&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| S_{n, a} | = | S_{n, 1} |</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(jeżeli kongruencja <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązania)
 +
 
 +
Z twierdzenia [[#L75|L75]]:&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>| S_{d, 1} | = d</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązania, to korzystając kolejno z&nbsp;twierdzeń [[#L74|L74]], [[#L72|L72]] i [[#L75|L75]], otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>| S_{n, a} | = | S_{d, a} | = | S_{d, 1} | = d</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>x^d \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązania, to z&nbsp;twierdzenia [[#L74|L74]] wynika, że <math>| S_{d, a} | = | S_{n, a} |</math>. Z&nbsp;twierdzeń [[#L72|L72]] i [[#L75|L75]] otrzymujemy <math>| S_{d, a} | = | S_{d, 1} | = d</math>. Łącząc, dostajemy ten sam ciąg równości.
 +
 
 +
W szczególności, gdy jedna z&nbsp;wypisanych w&nbsp;twierdzeniu kongruencji ma rozwiązania, mamy
 +
 
 +
::<math>| S_{n, a} | = | S_{d, a} | = d</math>
 +
 
 +
Co było do pokazania.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L77" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L77</span><br/>
 +
Wykorzystując pojęcie rzędu liczby i&nbsp;generatora, znajdziemy warunek, który rozstrzyga, kiedy kongruencja <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązania. Przedstawimy też metodę, która pozwala znaleźć wszystkie rozwiązania tej kongruencji.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L78" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L78</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą, zaś <math>a</math> liczbą całkowitą taką, że <math>\gcd (a, p) = 1</math>. Kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązania wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / d} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>d = \gcd (n, p - 1)</math>. Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to istnieje dokładnie <math>d</math> rozwiązań modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>g</math> będzie generatorem modulo <math>p</math> i&nbsp;niech <math>x \equiv g^y</math>, <math>a \equiv g^b</math> modulo <math>p</math>. Z&nbsp;twierdzenia [[#L23|L23]] dostajemy
 +
 
 +
::<math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad (g^y)^n \equiv g^b \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::::::::::<math>\: \Longleftrightarrow \qquad \qquad g^{n y} \equiv g^b \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::::::::::<math>\: \Longleftrightarrow \qquad \qquad n y \equiv b \!\! \pmod{p - 1}</math>
 +
 
 +
 
 +
Kongruencja <math>n y \equiv b \!\! \pmod{p - 1}</math> nie ma rozwiązań, gdy <math>d \nmid b</math> lub ma <math>d</math> rozwiązań, gdy <math>d \mid b</math>. Warunek <math>d \mid b</math> możemy równoważnie przekształcić
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::<math>d \mid b \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad (p - 1) \biggr\rvert {\small\frac{(p - 1)b}{d}}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::::::<math>\:\, \Longleftrightarrow \qquad \qquad {\small\frac{b \cdot (p - 1)}{d}} \equiv 0 \!\! \pmod{p - 1}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
 +
::::::<math>\:\, \Longleftrightarrow \qquad \qquad g^{b (p - 1) / d} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::::::<math>\:\, \Longleftrightarrow \qquad \qquad a^{(p - 1)/ d} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
Jeżeli <math>d \mid b</math>, to przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz [[#L99|L99]]), dostajemy
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{n}{d}} \cdot y \equiv {\small\frac{b}{d}} \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{p - 1}{d}} \right)</math>
 +
 
 +
Czyli
 +
 
 +
::<math>y \equiv {\small\frac{b}{d}} \cdot \left( {\small\frac{n}{d}} \right)^{- 1} \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{p - 1}{d}} \right)</math>
 +
 
 +
Wynika stąd, że istnieje dokładnie <math>d</math> rozwiązań powyższej kongruencji modulo <math>p - 1</math> i&nbsp;tyle samo rozwiązań ma kongruencja <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math>. Co kończy dowód.<br/>
 +
&#9633;
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Edukacja|Hide=Edukacja}}
+
 
−
*[[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)|A. Twierdzenie Czebyszewa o funkcji <math>\pi (n)</math>]]
+
 
−
*[[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n|B. Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między <math>n</math> i <math>2 n</math>]]
+
<span id="L79" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L79</span><br/>
−
*[[Ciągi liczbowe|C. Ciągi liczbowe]]
+
Pokazać, że kongruencja <math>x^3 \equiv 3 \!\! \pmod{31}</math> nie ma rozwiązania.
−
*[[Szeregi liczbowe|D. Szeregi liczbowe]]
+
 
−
*[[Wzór Eulera-Maclaurina|E. Wzór Eulera-Maclaurina]]
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
*[[Całkowanie numeryczne. Metoda Simpsona|F. Całkowanie numeryczne. Metoda Simpsona]]
+
Łatwo znajdujemy, że <math>{\small\frac{p - 1}{\gcd (n, p - 1)}} = {\small\frac{30}{3}} = 10 \;</math> oraz <math>\; 3^{10} \equiv 3 \cdot (3^3)^3 \equiv 3 \cdot (- 4)^3 \equiv - 6 \not\equiv 1 \!\! \pmod{31}</math>.<br/>
−
*[[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera|H. Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera]]
+
&#9633;
−
*[[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego|J. CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego]]
 
−
*[[Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia|K. Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia]]
 
−
*[[Rząd liczby modulo i generatory modulo. Kongruencje wielomianowe. Lemat Hensela|L. Rząd liczby modulo i generatory modulo. Kongruencje wielomianowe. Lemat Hensela]]
 
−
*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Fermata i liczby silnie pseudopierwsze|M. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Fermata i liczby silnie pseudopierwsze]]
 
−
*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW|N. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW]]
 
−
*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju|P. Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju]]
 
−
*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy|Q. Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]
 
−
*[[Liczby losowe – metoda odwracania dystrybuanty]]
 
−
*[[Nadciśnienie tętnicze – leki]]
 
−
*[[Dynamika rozprzestrzeniania się koronawirusa SARS-CoV-2 w Polsce]]
 
−
*[[LibreOffice Calc – makra – przykłady]]
 
−
*[[Kalendarz juliański i kalendarz gregoriański]]
 
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
{{Spoiler|Style=font-size:1.5em; color:#000|Show=Najnowsze artykuły|Hide=Najnowsze artykuły}}
+
<span id="L80" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L80</span><br/>
−
*[[Rząd liczby modulo i generatory modulo. Kongruencje wielomianowe. Lemat Hensela]]
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą postaci <math>p = 6 k + 5</math>. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej <math>a</math> kongruencja <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma jedno rozwiązanie i&nbsp;jest ono postaci <math>u \equiv a^{4 k + 3} \!\! \pmod{p}</math>.
−
*[[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera]]
+
 
−
*[[Protokół Diffiego-Hellmana. Szyfrowanie RSA. Podpis cyfrowy]]
+
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
−
*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Dicksona drugiego rodzaju]]
+
Jeżeli <math>p \mid a</math>, to kongruencja <math>x^3 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math> ma jedno rozwiązanie <math>x \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Jeżeli <math>p \nmid a</math> i (z założenia) <math>p</math> jest postaci <math>6 k + 5</math>, to
−
*[[Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo. Wybrane zagadnienia]]
+
 
−
*[[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego]]
+
::<math>d = \gcd (n, p - 1) = \gcd (3, 6 k + 4) = 1</math>
−
*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW]]
+
 
−
*[[Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Fermata i liczby silnie pseudopierwsze]]
+
Wynika stąd, że dla każdej liczby całkowitej <math>a</math> takiej, że <math>p \nmid a</math> kongruencja <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie, bo z&nbsp;twierdzenia Fermata otrzymujemy
−
*[[Przemówienie premiera Viktora Orbána na 31. Letnim Wolnym Uniwersytecie Bálványos]]
+
 
−
*[[Całkowanie numeryczne. Metoda Simpsona]]
+
::<math>a^{(p - 1) / d} = a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
−
*[[Wzór Eulera-Maclaurina]]
+
 
−
*[[Szeregi liczbowe]]
+
Ilość rozwiązań jest równa <math>d = 1</math>. Możemy łatwo podać jawną postać rozwiązania. Istotnie, niech <math>u \equiv a^{4 k + 3} \!\! \pmod{p}</math>, gdzie <math>p = 6 k + 5</math>. Mamy
−
*[[Ciągi liczbowe]]
+
 
−
*[[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n|Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między <math>n</math> i <math>2 n</math>]]
+
::<math>u^3 = (a^{4 k + 3})^3 = a^{12 k  + 9} = a^{6 k + 5} a^{6 k + 4} = a^p a^{p - 1} \equiv a \!\! \pmod{p}</math><br/>
−
*[[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)|Twierdzenie Czebyszewa o funkcji <math>\pi (n)</math>]]
+
&#9633;
−
*[[Prawo do życia, czyli zwycięstwo hipokryzji]]
 
−
*[[Krótkie historie o zabijaniu]]
 
−
*[[LibreOffice Calc – makra – przykłady]]
 
−
*[[Dynamika rozprzestrzeniania się koronawirusa SARS-CoV-2 w Polsce]]
 
−
*[[Liczby losowe – metoda odwracania dystrybuanty]]
 
−
*[[Aborcja – orzeczenie Trybunału Konstytucyjnego z 1997 roku]]
 
−
*[[Nadciśnienie tętnicze – leki]]
 
−
*[[Kara śmierci – cytaty]]
 
−
*[[Jak to z moratorium było|Jak to z moratorium było - uzupełnienie!]]
 
−
*[[Porozmawiajmy o argumentach – „Rozważania… ” Camusa]]
 
−
*[[Komu zagraża tęczowa zaraza?]]
 
−
*[[George Orwell – uraz psychiczny czy rzeczywistość?]]
 
−
*[[Albert Camus – fobia czy rzeczywistość?]]
 
−
*[[Crime International – Polska 2018]]
 
−
*[[Banalizacja zła]]
 
−
*[[IQ, rozkład Gaussa i czarno-białe konsekwencje]]
 
−
*[[Pomyłka sądowa – prawie niewinny morderca Marlene Miller]]
 
−
*[[Sąd Najwyższy USA: czarne jest najpiękniejsze]]
 
−
*[[Arthur Schopenhauer: godność ludzka czyli nowe szaty króla]]
 
−
*[[Kalendarz juliański i kalendarz gregoriański]]
 
−
*[[Crime International – Polska 2017]]
 
−
*[[Prawa człowieka czy prawa bandyty? Przyrodzona godność ludzka]]
 
−
*[[Prawie niewinni mordercy. Co jeszcze jesteś gotów dla nich uczynić?]]
 
−
*[[Murzyni. Czy czarne jest piękne?]]
 
−
*[[Bezpłodność. Feminizm. Homoseksualizm. Czy damy radę?]]
 
−
*[[Wieluń]]
 
−
*[[Jeśli kochasz swoje dzieci, protestuj przeciwko homopropagandzie]]
 
−
*[[Przemówienie prezydenta Donalda Trumpa w Warszawie]]
 
−
*[[Wielokrotni mordercy – typologia i przykłady]]
 
−
*[[Przyzwoitość]]
 
−
*[[Za drugą szansę zabójcy możesz zapłacić życiem]]
 
−
*[[UE – 27 milczących ludzi]]
 
−
*[[Crime International – Polska 2016]]
 
−
*[[Lewactwo – przyczyny politycznego obłędu (Lyle Rossiter)]]
 
−
*[[Ksenofobia może uratować ci życie]]
 
−
*[[Jak pokonać homopropagandę? (Scott Lively)]]
 
−
*[[Homopropaganda – 10 zasad prowadzenia debaty (Scott Lively)]]
 
−
*[[Zrówność jako podstawa lewackiej ideologii]]
 
−
*[[Crime International – Polska 2015]]
 
−
*[[Witaj w świecie obrońców zygot i przyjaciół morderców]]
 
−
*[[Demokracja czy dyktatura Sądu Najwyższego?]]
 
−
*[[HejtStop kontra Pudzianowski]]
 
−
*[[Stany Zjednoczone, Murzyni, zabójstwa, kara śmierci i odstraszanie]]
 
−
*[[Kara śmierci w Stanach Zjednoczonych]]
 
−
*[[Europa czy dyktatura ciemniaków?]]
 
−
*[[Czy kara śmierci ratuje życie?]]
 
−
*[[Morderstwa, egzekucje, odstraszanie - amerykański eksperyment]]
 
−
*[[Nadzwyczajne przemówienie]]
 
−
*[[Kara śmierci: kto nie ma topora, a kto ma karabin (Polska)]]
 
−
*[[Polska – Chiny. Szokujące porównanie.]]
 
−
*[[Lepiej, aby zginęło stu niewinnych, niż gdyby jeden winny miał zginąć]]
 
−
*[[Pomyłki sądowe – mordercy którym pozwolono zabić ponownie]]
 
−
*[[Czy kara śmierci odstrasza?]]
 
−
*[[Kara śmierci: lista państw świata według wskaźnika reakcji]]
 
−
*[[Śmierć i Sprawiedliwość (Edward I. Koch)]]
 
−
*[[Kara śmierci: topór kontra karabin maszynowy (Japonia)]]
 
−
*[[Kara śmierci: topór kontra karabin maszynowy (USA)]]
 
−
*[[Nie jestem Charlie]]
 
−
*[[Jak postęp zapewnił bezpieczeństwo mordercom i zbrodniarzom]]
 
−
*[[Księga powtórnie powtórzonego prawa]]
 
−
*[[CBOS – czy poznamy stosunek Polaków do kary śmierci?]]
 
−
*[[POMNIK TRUPA]]
 
 
{{\Spoiler}}
 
{{\Spoiler}}
  
  
  
−
{|style="border-left:solid 15px #9FFB88; border-right:solid 15px #9FFB88; border-top:solid 10px #9FFB88; border-bottom:solid 10px #9FFB88; text-align:justify; font-size: 90%; font-style: italic; background-color: #9FFB88; font-weight: bold; "
+
<span id="L81" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L81</span><br/>
−
|
+
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą. Znaleźć rozwiązania kongruencji <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
−
Drogi Czytelniku!<br/><br/>
 
−
Przygotowanie niektórych artykułów wymagało nawet kilkudziesięciu godzin pracy. Większość tekstów to nie są felietony, a&nbsp;opracowania i&nbsp;tłumaczenia, których próżno szukać w&nbsp;mediach głównego nurtu. Jeśli chciałbyś dobrowolnie wesprzeć ten wysiłek i&nbsp;pomóc w&nbsp;rozwoju strony, proszę o&nbsp;dokonanie wpłaty na podane niżej konto bankowe.<br/><br/>
 
−
Dziękuję za Twoją życzliwą pomoc!<br/>
 
−
Henryk Dąbrowski
 
  
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Łatwo sprawdzamy, że dla <math>p = 2, 3, 5</math> mamy tylko jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Jest to oczywiste rozwiązanie prawdziwe dla wszystkich liczb pierwszych <math>p</math>. Ponieważ
  
 +
::<math>x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1)</math>
  
 +
to problem istnienia kolejnych rozwiązań sprowadza się do poszukiwania rozwiązań kongruencji
  
−
<html>
+
::<math>x^2 + x + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
−
<form action="https://www.paypal.com/cgi-bin/webscr" method="post" target="_top">
 
−
<input type="hidden" name="cmd" value="_s-xclick">
 
−
<input type="hidden" name="hosted_button_id" value="Y2RF4E2DLZL6Y">
 
−
<input type="image" src="https://www.paypalobjects.com/pl_PL/PL/i/btn/btn_donate_LG.gif" border="0" name="submit" alt="PayPal – Płać wygodnie i bezpiecznie">
 
−
<img alt="" border="0" src="https://www.paypalobjects.com/pl_PL/i/scr/pixel.gif" width="1" height="1">
 
−
</form>
 
−
</html>
 
  
−
[[Konto bankowe|Dane konta bankowego do wykonania wpłaty]]
+
Niech <math>p \geqslant 5</math>, ponieważ <math>\gcd (4, p) = 1</math>, to liczba <math>4</math> ma element odwrotny modulo <math>p</math> i&nbsp;możemy napisać
  
 +
::<math>4 x^2 + 4 x + 4 \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
  
−
[[Wpłaty]]
+
::<math>(2 x + 1)^2 \equiv - 3 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad (1)</math>
 +
 
 +
Liczba <math>- 3</math> jest liczbą kwadratową modulo <math>p = 6 k + 1</math> i&nbsp;liczbą niekwadratową dla <math>p = 6 k + 5</math> (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J46|J46]]). Zatem dla liczb pierwszych postaci <math>p = 6 k + 5</math> kongruencja <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> ma tylko jedno rozwiązanie <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
W przypadku liczb pierwszych postaci <math>p = 6 k + 1</math> kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązania. Niech <math>u</math> oznacza liczbę będącą rozwiązaniem kongruencji <math>u^2 \equiv - 3 \!\! \pmod{p}</math>. Otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>2 x + 1 \equiv \pm u \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>x \equiv 2^{- 1} (- 1 \pm u) \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>2^{- 1} \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p}</math>, to
 +
 
 +
::<math>x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- 1 \pm u) \equiv (p + 1) \cdot {\small\frac{- 1 \pm u}{2}} \equiv {\small\frac{- 1 \pm u'}{2}} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
gdzie przez <math>u'</math> oznaczyliśmy nieparzystą z&nbsp;liczb <math>u</math> i <math>p - u</math>, zapewniając tym samym parzystość licznika. Zatem dla liczb pierwszych postaci <math>p = 6 k + 1</math> kongruencja <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> ma trzy rozwiązania <math>x \equiv 1, {\small\frac{- 1 - u'}{2}}, {\small\frac{- 1 + u'}{2}} \!\! \pmod{p}</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L82" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L82</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą postaci <math>p = 6 k + 1</math>. Znaleźć rozwiązania kongruencji <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>d = \gcd (3, p - 1) = \gcd (3, 6 k) = 3</math>
 +
 
 +
Ponieważ kongruencja <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązania, bo <math>x \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> jest rozwiązaniem dla każdej liczby pierwszej <math>p</math>, to ma dokładnie trzy rozwiązania różne modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Rozwiązania najprościej wypisać, korzystając z&nbsp;tego, że każda liczba pierwsza ma generator. Niech <math>g</math> będzie generatorem modulo <math>p</math>. Liczby
 +
 
 +
::<math>u_1 \equiv g^{(p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_2 \equiv g^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_3 \equiv g^{(p - 1)} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
są różne modulo <math>p</math>, bo <math>0 < {\small\frac{p - 1}{3}} < 2 \cdot {\small\frac{p - 1}{3}} < p - 1 < p</math> i&nbsp;są rozwiązaniami kongruencji <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, co można łatwo sprawdzić. Mamy
 +
 
 +
::<math>(u_1)^3 \equiv g^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>(u_2)^3 \equiv (g^{p - 1})^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Oczywiście dla każdej liczby <math>a</math> względnie pierwszej z <math>p</math> możemy napisać analogiczne wzory
 +
 
 +
::<math>u_1 \equiv a^{(p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_2 \equiv a^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_3 \equiv a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
i będziemy mieli <math>(u_1)^3 \equiv (u_2)^3 \equiv (u_3)^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
Ale nie każdy wybór będzie dobry i&nbsp;zaraz pokażemy dlaczego. Zauważmy, że w&nbsp;ogólności muszą być spełnione warunki
 +
 
 +
::<math>u_1 \equiv a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>u_2 \equiv a^{2 (p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / 3} \not\equiv a^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Pierwszy warunek zapewnia, że <math>u_1 \not\equiv u_3 \!\! \pmod{p}</math>, drugi, że <math>u_2 \not\equiv u_3 \!\! \pmod{p}</math>, a&nbsp;ostatni zapewnia, że <math>u_1 \not\equiv u_2 \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
Trzeci warunek możemy zapisać w&nbsp;postaci
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / 3} (1 - a^{(p - 1) / 3}) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Oczywiście <math>a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, bo z&nbsp;założenia <math>p \nmid a</math>. Nie może też być <math>1 - a^{(p - 1) / 3} \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, bo w&nbsp;warunku pierwszym założyliśmy, że <math>a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
Ponieważ <math>u_2 \equiv (u_1)^2 \!\! \pmod{p}</math>, to warunek drugi możemy zapisać jako <math>(u_1)^2 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, czyli <math>(u_1 - 1) (u_1 + 1) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Ze względu na pierwszy warunek nie może być <math>u_1 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math> i&nbsp;pozostaje jedynie <math>u_1 \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>. Zauważmy, że warunki
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / 3} \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
odpowiadają założeniu, że rząd liczby <math>a</math> nie dzieli liczb <math>{\small\frac{p - 1}{3}} \;</math> i <math>\; {\small\frac{2 (p - 1)}{3}}</math>.
 +
 
 +
Wynika stąd, że dysponując dowolną liczbą <math>a</math> względnie pierwszą z <math>p</math> taką, że <math>a^{(p - 1) / 3} \not\equiv \pm 1 \!\! \pmod{p}</math>, możemy utworzyć wszystkie rozwiązania kongruencji <math>x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>. Okazuje się, że bardzo łatwo znaleźć taką liczbę. Średnia liczba prób, które trzeba wykonać, aby znaleźć taką liczbę dla miliarda liczb pierwszych postaci <math>6 k + 1</math> (<math>p \leqslant 47056180177</math>), jest równa tylko <math>1.694548</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L83" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L83</span><br/>
 +
Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math>, <math>\; p</math> będzie liczbą pierwszą postaci <math>p = 6 k + 1 \;</math> i <math>\; p \nmid a</math>. Znaleźć rozwiązania kongruencji <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
::<math>d = \gcd (3, p - 1) = \gcd (3, 6 k) = 3</math>
 +
 
 +
Zatem, jeżeli kongruencja <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązania, to ma <math>3</math> rozwiązania różne modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Niech <math>g</math> będzie generatorem modulo <math>p</math>. Ponieważ liczby <math>g^1, g^2, \ldots, g^{p - 1}</math> są wszystkie różne modulo <math>p</math> (zobacz [[#L32|L32]]), to istnieje taki wykładnik dodatni <math>r < p</math>, że <math>a \equiv g^r \!\! \pmod{p}</math>. Liczba <math>r</math> może być postaci <math>3 k</math> lub <math>3 k + 1</math>, lub <math>3 k + 2</math>. Zobaczmy, jak ten fakt wpływa na istnienie rozwiązań.
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / d} \equiv (g^{3 k})^{(p - 1) / 3} \equiv g^{k (p - 1)} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Widzimy, że w&nbsp;przypadku, gdy <math>a \equiv g^{3 k} \!\! \pmod{p}</math>, to rozpatrywana kongruencja ma rozwiązania.
 +
 
 +
::<math>a^{(p - 1) / d} \equiv (g^{3 k + 1})^{(p - 1) / 3} \equiv g^{3 k (p - 1) / 3 + (p - 1) / 3} \equiv g^{k (p - 1)} g^{(p - 1) / 3} \equiv g^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Oczywiście nie może być <math>g^{(p - 1) / 3} \equiv 1 \!\! \pmod{p}</math>, bo rząd liczby <math>g</math> byłby nie większy od <math>{\small\frac{p - 1}{3}}</math>, wbrew założeniu, że <math>g</math> jest generatorem. Podobnie otrzymujemy dla przypadku, gdy <math>r = 3 k + 2</math>.
 +
 
 +
Podsumowując: jeżeli <math>a \equiv g^r \!\! \pmod{p} \;</math> i <math>\; 3 \mid r</math>, to kongruencja <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma trzy rozwiązania
 +
 
 +
::<math>u_1 \equiv g^{r / 3} g^{(p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_2 \equiv g^{r / 3} g^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_3 \equiv g^{r / 3} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Powyższe rozwiązania są różne modulo <math>p</math>, bo <math>0 < {\small\frac{r}{3}} < {\small\frac{r + (p - 1)}{3}} < {\small\frac{r + 2 (p - 1)}{3}} < p</math>
 +
 
 +
Jeżeli <math>3 \nmid r</math>, to kongruencja <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> nie ma rozwiązań.
 +
 
 +
Warto jeszcze zauważyć, że wśród liczb <math>a</math> takich, że <math>0 < a < p = 6 k + 1</math>, liczby sześcienne modulo <math>p</math> (czyli takie, dla których kongruencja <math>x^3 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie) stanowią <math>{\small\frac{1}{3}}</math> tych liczb, a&nbsp;pozostałe <math>{\small\frac{2}{3}}</math> to liczby niesześcienne modulo <math>p</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L84" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L84</span><br/>
 +
Jeżeli w&nbsp;kongruencji <math>x^n \equiv a \!\! \pmod{p}</math> <math>n</math> jest liczbą parzystą, zaś <math>a</math> jest liczbą niekwadratową modulo <math>p</math>, to kongruencja ta nie ma rozwiązania. Jest to łatwo widoczne, jeśli położymy <math>n = 2 k \;</math> i <math>\; y = x^k</math>, wtedy kongruencja <math>y^2 \equiv a \!\! \pmod{p}</math> w&nbsp;sposób oczywisty nie ma rozwiązania.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L85" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L85</span><br/>
 +
Znaleźć rozwiązania kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 11 \!\! \pmod{13}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Odp.: brak rozwiązań
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 10 \!\! \pmod{13}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Odp.: <math>x \equiv 6 \!\! \pmod{13} \;</math> i <math>\; x \equiv 7 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>x^3 \equiv 5 \!\! \pmod{13}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Odp.: <math>x \equiv 7 \!\! \pmod{13}</math>, <math>x \equiv 8 \!\! \pmod{13} \;</math> i <math>\; x \equiv 11 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>x^7 \equiv 4 \!\! \pmod{13}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Odp.: <math>x \equiv 4 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
Wskazówka: liczba <math>2</math> jest generatorem modulo <math>13</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
W każdym przypadku będziemy stosowali podstawienie <math>x \equiv 2^y \!\! \pmod{13}</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 1.'''
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 11 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>2^{2 y} \equiv 11 \equiv 2^7 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>2 y \equiv 7 \!\! \pmod{12}</math>
 +
 
 +
Powyższa kongruencja nie ma rozwiązań, bo w&nbsp;ogólności kongruencja <math>a x \equiv b \!\! \pmod{m}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy <math>\gcd (a, m) \mid b</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C76|C76]]). Jeżeli <math>\gcd (a, m) \mid b</math>, to istnieje <math>\gcd (a, m)</math> różnych rozwiązań modulo <math>m</math>.
 +
 
 +
'''Punkt 2.'''
 +
 
 +
::<math>x^2 \equiv 10 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>2^{2 y} \equiv 10 \equiv 2^{10} \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>2 y \equiv 10 \!\! \pmod{12}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\gcd (2, 12) \mid 10</math>, to istnieją <math>2</math> rozwiązania. Przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz [[#L99|L99]]), dostajemy
 +
 
 +
::<math>y \equiv 5 \!\! \pmod{6}</math>
 +
 
 +
Co modulo <math>12</math> daje dwa rozwiązania <math>y \equiv 5 \!\! \pmod{12} \;</math> i <math>\; y \equiv 11 \!\! \pmod{12}</math>. Otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>x \equiv 2^5 \equiv 6 \!\! \pmod{13}</math> i <math>x \equiv 2^{11} \equiv 7 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
'''Punkt 3.'''
 +
 
 +
::<math>x^3 \equiv 5 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>2^{3 y} \equiv 5 \equiv 2^9 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>3 y \equiv 9 \!\! \pmod{12}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>\gcd (3, 12) \mid 9</math>, to istnieją <math>3</math> rozwiązania. Przechodząc do kongruencji równoważnej, dostajemy
 +
 
 +
::<math>y \equiv 3 \!\! \pmod{4}</math>
 +
 
 +
Co modulo <math>12</math> daje trzy rozwiązania: <math>y \equiv 3 \!\! \pmod{12}</math>, <math>y \equiv 7 \!\! \pmod{12} \;</math> i <math>\; y \equiv 11 \!\! \pmod{12}</math>. Otrzymujemy <math>x \equiv 2^3 \equiv 8 \!\! \pmod{13}</math>, <math>x \equiv 2^7 \equiv 11 \!\! \pmod{13} \;</math> <math>\text{i} \;\; x \equiv 2^{11} \equiv 7 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
'''Punkt 4.'''
 +
 
 +
::<math>x^7 \equiv 4 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>2^{7 y} \equiv 4 \equiv 2^2 \!\! \pmod{13}</math>
 +
 
 +
::<math>7 y \equiv 2 \!\! \pmod{12}</math>
 +
 
 +
::<math>y \equiv 14 \equiv 2 \!\! \pmod{12}</math>
 +
 
 +
::<math>x \equiv 2^2 \equiv 4 \!\! \pmod{13}</math><br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L86" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L86</span><br/>
 +
Korzystając z&nbsp;faktu, że <math>12</math> jest generatorem modulo <math>31</math>, znaleźć rozwiązania kongruencji <math>x^{14} \equiv 12^6 \!\! \pmod{31}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Zapiszmy <math>x \equiv 12^y \!\! \pmod{31}</math>, gdzie <math>0 \leqslant y \leqslant 30</math>, zatem należy rozwiązać kongruencję <math>12^{14 y} \equiv 12^6 \!\! \pmod{31}</math>, czyli modulo <math>30</math> mamy
 +
 
 +
::<math>\begin{array}{rl}
 +
  14 y \equiv 6 & \pmod{30} \\
 +
  7 y \equiv 3 & \pmod{15} \\
 +
  13 \cdot 7 y \equiv 13 \cdot 3 & \pmod{15} \\
 +
  y \equiv 39 \equiv 9 & \pmod{15} \\
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
Rozwiązaniami w&nbsp;przedziale <math>[0, 30]</math> są liczby <math>9, 24</math>. Odpowiednio dla <math>x</math> mamy <math>x \equiv 12^9, 12^{24} \!\! \pmod{31}</math>, czyli <math>x \equiv 15, 16 \!\! \pmod{31}</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Lemat Hensela ==
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Wielomiany</span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L87" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L87</span><br/>
 +
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnych liczb całkowitych <math>x, s</math> prawdziwy jest wzór
 +
 
 +
::<math>x^n = s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1} + (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x)</math>
 +
 
 +
gdzie <math>R_{n - 2} (x)</math> jest pewnym wielomianem całkowitym stopnia <math>n - 2</math>. Dla <math>n = 1</math> wielomian <math>R_{n - 2} (x)</math> jest wielomianem zerowym.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Indukcja matematyczna. Dla <math>n = 1, 2, 3</math> mamy
 +
 
 +
::<math>x = s + (x - s) \cdot 1 + (x - s)^2 \cdot 0</math>
 +
 
 +
::<math>x^2 = s^2 + (x - s) \cdot 2 s + (x - s)^2 \cdot 1</math>
 +
 
 +
::<math>x^3 = s^3 + (x - s) \cdot 3 s^2 + (x - s)^2 \cdot (x + 2 s)</math>
 +
 
 +
Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb całkowitych dodatnich należących do przedziału <math>[1, n]</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
 +
 
 +
::<math>x^{n + 1} = x \cdot x^n</math>
 +
 
 +
:::<math>\;\;\; = x \cdot [s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1} + (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x)]</math>
 +
 
 +
:::<math>\;\;\; = x \cdot [s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1}] + x (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x)</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>x</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci <math>x = s + (x - s)</math>, to
 +
 
 +
::<math>x^{n + 1} = [s + (x - s)] \cdot [s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1}] + x (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x)</math>
 +
 
 +
:::<math>\;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) \cdot n s^n + (x - s) s^n + (x - s)^2 n s^{n - 1} + x (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x)</math>
 +
 
 +
:::<math>\;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) \cdot (n + 1) s^n + (x - s)^2 [n s^{n - 1} + x R_{n - 2} (x)]</math>
 +
 
 +
:::<math>\;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) \cdot (n + 1) s^n + (x - s)^2 R_{n - 1} (x)</math>
 +
 
 +
gdzie oznaczyliśmy <math>R_{n - 1} (x) = n s^{n - 1} + x R_{n - 2} (x)</math>. Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L88" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L88</span><br/>
 +
Jeżeli <math>W_n (x)</math> jest wielomianem całkowitym stopnia <math>n \geqslant 1</math>, zaś <math>W'_n (x)</math> jego pochodną, to
 +
 
 +
::<math>W_n (x) = W_n (s) + (x - s) \cdot W'_n (s) + (x - s)^2 \cdot V_{n - 2} (x)</math>
 +
 
 +
gdzie <math>V_{n - 2} (x)</math> jest pewnym wielomianem całkowitym. Dla <math>n = 1</math> wielomian <math>V_{n - 2} (x)</math> jest wielomianem zerowym.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
W przypadku gdy <math>W_n (x)</math> jest wielomianem stopnia pierwszego, mamy <math>W_1 (x) = a x + b</math> i&nbsp;możemy napisać
 +
 
 +
::<math>a x + b = (a s + b) + (x - s) a + (x - s)^2 \cdot 0</math>
 +
 
 +
::<math>W_1 (x) = W_1 (s) + (x - s) \cdot W_1' (s) + (x - s)^2 \cdot 0</math>
 +
 
 +
W przypadku gdy <math>n \geqslant 2</math>, mamy <math>W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k</math>, gdzie <math>a_n \neq 0</math>. Oczywiście pochodna wielomianu <math>W_n (x)</math> jest równa <math>W'_n (x) = \sum^n_{k = 1} k a_k x^{k - 1}</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#L87|L87]], dostajemy
 +
 
 +
::<math>W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k</math>
 +
 
 +
::::::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k)</math>
 +
 
 +
::::::<math>\quad \,\, = \sum_{k = 1}^{n} a_k [(x - s) \cdot k s^{k - 1} + (x - s)^2 \cdot R_{k - 2} (x)]</math>
 +
 
 +
::::::<math>\quad \,\, = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} k a_k s^{k - 1} + (x - s)^2 \sum_{k = 1}^{n} a_k R_{k - 2} (x)</math>
 +
 
 +
::::::<math>\quad \,\, = (x - s) W'_n (s) + (x - s)^2 V_{n - 2} (x)</math>
 +
 
 +
gdzie oznaczyliśmy <math>V_{n - 2} (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_k R_{k - 2} (x)</math>. Ponieważ wielomian <math>a_n R_{n - 2} (x)</math> ma stopnień równy <math>n - 2</math>, to stopień wielomianu <math>V_{n - 2} (x)</math> jest równy <math>n - 2</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Rozwiązania kongruencji wielomianowych modulo <math>\boldsymbol{p^n}</math></span> ===
 +
 
 +
&nbsp;
 +
 
 +
<span id="L89" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L89</span><br/>
 +
Niech <math>a, r \in \mathbb{Z}</math>, <math>r \geqslant 2</math> i <math>p</math> będzie liczbą pierwszą nieparzystą oraz <math>\gcd (a r, p) = 1</math>. Kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 
 +
Z założenia kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba <math>u \in \mathbb{Z}</math>, że
 +
 
 +
::<math>u^r \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>p^n \mid (u^r - a)</math>, to tym bardziej <math>p \mid (u^r - a)</math>, co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja
 +
 
 +
::<math>u^r \equiv a \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Skąd wynika natychmiast, że kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie.
 +
 
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 
 +
W przypadku, gdy <math>r = 2</math> twierdzenie jest prawdziwe (zobacz [[CRT, twierdzenia Lagrange'a, Wilsona i Fermata, kryterium Eulera, symbole Legendre'a i Jacobiego#J50|J50]]). Niech <math>r \geqslant 3</math>.
 +
 
 +
Indukcja matematyczna. Z&nbsp;uczynionego w&nbsp;twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n = 1</math>. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie <math>x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n}</math> i&nbsp;pokażemy (teza indukcyjna), że twierdzenie jest prawdziwe dla <math>n + 1</math>, czyli że rozwiązanie ma kongruencja
 +
 
 +
::<math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
Wiemy, że liczba <math>u_n</math> jest określona modulo <math>p^n</math>. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że <math>1 \leqslant u_n < p^n</math>. Wartość <math>u_n</math> może zostać wybrana dowolnie (modulo <math>p^n</math>), ale musi zostać ustalona – wymaga tego precyzja i&nbsp;czytelność dowodu. Zatem
 +
 
 +
::<math>u^r_n - a = k p^n</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że liczba <math>k</math> jest jednoznacznie określona, bo wartość <math>u_n</math> została ustalona. Ponieważ <math>\gcd (r u_n, p) = 1</math>, to równanie
 +
 
 +
::<math>r u^{r - 1}_n \cdot s - p \cdot l = - k</math>
 +
 
 +
ma rozwiązanie (zobacz [[Ciągi liczbowe#C76|C76]]). Niech liczby <math>s_0</math> i <math>l_0</math> będą rozwiązaniem tego równania. Zatem
 +
 
 +
::<math>k + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 = l_0 \cdot p</math>
 +
 
 +
::<math>k p^n + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n = l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
 +
 
 +
::<math>u^r_n - a + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n = l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
 +
 
 +
::<math>u^r_n + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
 +
 
 +
Ponieważ
 +
 
 +
::<math>(u_n + s_0 p^n)^r = \sum_{j = 0}^{r} \binom{r}{j} (u_n)^{r - j} (s_0 p^n)^j = u^r_n + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n + \sum_{j = 2}^{r} \binom{r}{j} u^{r - j}_n s^j_0 p^{n j}</math>
 +
 
 +
to
 +
 
 +
::<math>(u_n + s_0 p^n)^r - \sum_{j = 2}^{r} \binom{r}{j} u^{r - j}_n s^j_0 p^{n j} = a + l_0 \cdot p^{n + 1}</math>
 +
 
 +
Modulo <math>p^{n + 1}</math> dostajemy
 +
 
 +
::<math>(u_n + s_0 p^n)^r \equiv a \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
bo <math>n j \geqslant n + 1</math> dla <math>j \geqslant 2</math>.
 +
 
 +
Czyli liczba <math>u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n</math> jest rozwiązaniem kongruencji
 +
 
 +
::<math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L90" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L90</span><br/>
 +
Niech <math>\beta</math> będzie rozwiązaniem kongruencji <math>f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>, gdzie <math>f(x)</math> jest wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencje
 +
 
 +
::<math>f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}} \qquad \qquad (1)</math>
 +
 
 +
::<math>f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^n} \qquad \qquad \;\;\,\, (2)</math>
 +
 
 +
::<math>f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{p^n} \qquad \qquad \;\;\,\, (3)</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że
 +
 
 +
:*&nbsp;&nbsp;rozwiązanie <math>\beta</math> w&nbsp;przypadku kongruencji <math>(1)</math> jest określone modulo <math>p^{n + 1}</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;kongruencja <math>(2)</math> wynika z&nbsp;kongruencji <math>(1)</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;rozwiązania <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_s</math> kongruencji <math>(3)</math> są określone modulo <math>p^n</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;modulo <math>p^n</math> rozwiązanie <math>\beta</math> musi być identyczne z&nbsp;jednym z&nbsp;rozwiązań <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_s</math> kongruencji <math>(3)</math>
 +
:*&nbsp;&nbsp;nie zmniejszając ogólności, możemy to rozwiązanie <math>\alpha_i</math>, któremu odpowiada rozwiązanie <math>\beta</math>, oznaczyć po prostu przez <math>\alpha</math>
 +
 
 +
Z powyższych spostrzeżeń wynika, że
 +
 
 +
::<math>\beta \equiv \alpha \!\! \pmod{p^n}</math>
 +
 
 +
gdzie <math>\alpha</math> jest rozwiązaniem kongruencji <math>(3)</math>. Zatem
 +
 
 +
::<math>\beta = \alpha + k \cdot p^n</math>
 +
 
 +
Rozpatrując powyższe równanie modulo <math>p^{n + 1}</math>, dostajemy
 +
 
 +
::<math>\beta \equiv \alpha + k \cdot p^n \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
Ponieważ <math>p^n \mid (\beta - \alpha)</math>, to przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz [[#L99|L99]]), dostajemy
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{\beta - \alpha}{p^n}} \equiv k \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Czyli liczba <math>k</math> jest określona modulo <math>p</math>.
 +
 
 +
Podsumujmy. Otrzymaliśmy wzór
 +
 
 +
::<math>\beta \equiv \alpha + k \cdot p^n \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
który wiąże rozwiązanie <math>\beta</math> kongruencji <math>(1)</math> z&nbsp;pewnym rozwiązaniem <math>\alpha</math> kongruencji <math>(3)</math>. Podkreślmy, że wzór ten uzyskaliśmy przy założeniu, że kongruencja <math>(1)</math> ma rozwiązanie.
 +
 
 +
Lemat Hensela, który za chwilę udowodnimy, precyzuje warunki, jakie muszą być spełnione, aby istnienie rozwiązania kongruencji <math>(3)</math> pociągało za sobą istnienie rozwiązania kongruencji <math>(1)</math>.
 +
 
 +
Na zakończenie zilustrujmy powyższe rozważania przykładem. Niech <math>f(x) = (x - 2) (x - 3) + 7</math>. Rozwiązania <math>u_n</math> i <math>v_n</math> kongruencji <math>f(x) \equiv 0
 +
\!\! \pmod{7^n}</math> otrzymujemy, uwzględniając <math>n</math> początkowych składników sum
 +
 
 +
::<math>2 + 1 \cdot 7 + 1 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^4 + 0 \cdot 7^5 + 2 \cdot 7^6 + 5 \cdot 7^7 + 0 \cdot 7^8 + 3 \cdot 7^9 + 10 \cdot 7^{10} + \ldots</math>
 +
 
 +
::<math>3 + 6 \cdot 7 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^3 + 1 \cdot 7^4 + 6 \cdot 7^5 + 4 \cdot 7^6 + 1 \cdot 7^7 + 6 \cdot 7^8 + 3 \cdot 7^9 + 6 \cdot 7^{10} + \ldots</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L91" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L91</span><br/>
 +
Jeżeli <math>f(x)</math> jest wielomianem całkowitym, zaś <math>p</math> liczbą pierwszą, to prawdziwa jest kongruencja
 +
 
 +
::<math>f(x + k p^n) \equiv f (x) + k p^n \cdot f' (x) \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Niech <math>s \in \mathbb{Z}</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#L88|L88]] i&nbsp;kładąc <math>x = s + k p^n</math>, otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>f(s + k p^n) = f (s) + k p^n \cdot f' (s) + k^2 p^{2 n} \cdot V (s + k p^n)</math>
 +
 
 +
Z powyższej równości wynika kongruencja
 +
 
 +
::<math>f(s + k p^n) \equiv f (s) + k p^n \cdot f' (s) \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
bo <math>2 n \geqslant n + 1</math> dla <math>n \geqslant 1</math>. Zauważmy, że <math>s</math> jest dowolną liczbą całkowitą, zatem wystarczy zmienić oznaczenie <math>s \longrightarrow x</math>, aby otrzymać tezę twierdzenia.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L92" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L92 (lemat Hensela)</span><br/>
 +
Niech <math>\alpha, \beta \in \mathbb{Z} \;</math> i <math>\; p</math> będzie liczbą pierwszą, <math>f(x)</math> wielomianem całkowitym, a <math>f' (x)</math> jego pochodną. Jeżeli dla pewnego <math>\alpha</math> spełnione są warunki
 +
 
 +
::<math>f (\alpha) \equiv 0 \!\! \pmod{p^n} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad f' (\alpha) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
to istnieje liczba <math>\beta</math> taka, że <math>f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Wiemy, że (zobacz [[#L91|L91]])
 +
 
 +
::<math>f (\alpha + k p^n) \equiv f (\alpha) + k p^n \cdot f' (\alpha) \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
Zauważmy, że możemy tak wybrać wartość liczby <math>k</math>, aby prawa strona kongruencji była równa zero.
 +
 
 +
::<math>f (\alpha) + k p^n \cdot f' (\alpha) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>
 +
 
 +
Z założenia <math>p^n \mid f (\alpha)</math>. Przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz [[#L99|L99]]) otrzymujemy
 +
 
 +
::<math>{\small\frac{f (\alpha)}{p^n}} + k \cdot f' (\alpha) \equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>k \cdot f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{p^n}} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
::<math>k \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{p^n}} \cdot [f' (\alpha)]^{- 1} \!\! \pmod{p}</math>
 +
 
 +
Ponieważ z&nbsp;założenia <math>p \nmid f' (\alpha)</math>, to liczba <math>f' (\alpha)</math> ma element odwrotny modulo <math>p</math>. Zatem <math>\beta = \alpha + k p^n \;</math> i <math>\; f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}}</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L93" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L93</span><br/>
 +
Rozważmy wielomian
 +
 
 +
::<math>f(x) = x^2 + 10 x + 11 \qquad \qquad f' (x) = 2 x + 10</math>
 +
 
 +
Łatwo sprawdzamy, że
 +
 
 +
::<math>f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{5} \; \qquad \text{dla} \quad x \equiv 2, 3 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
::<math>f' (x) \not\equiv 0 \!\! \pmod{5} \qquad \text{dla} \quad x \equiv 2, 3 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
Korzystając z&nbsp;twierdzenia Hensela, znajdziemy pierwiastki wielomianu <math>f(x)</math> modulo <math>5^n</math>. Zbadamy tylko przypadek <math>x \equiv 2 \!\! \pmod{5}</math>.
 +
 
 +
'''Modulo 25'''
 +
 
 +
Rozważmy kongruencję
 +
 
 +
::<math>k f' (2) \equiv - {\small\frac{f (2)}{5}} \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
::<math>4 k \equiv - {\small\frac{35}{5}} \equiv - 7 \equiv 3 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
::<math>k \equiv 2 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
Zatem otrzymujemy rozwiązanie modulo <math>25</math>
 +
 
 +
::<math>x \equiv 2 + 2 \cdot 5 \equiv 12 \!\! \pmod{25}</math>
 +
 
 +
'''Modulo 125'''
 +
 
 +
Rozważmy kongruencję
 +
 
 +
::<math>k f' (12) \equiv - {\small\frac{f (12)}{25}} \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
::<math>4 k \equiv - {\small\frac{275}{25}} \equiv - 11 \equiv 4 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
::<math>k \equiv 1 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 
 +
Zatem otrzymujemy rozwiązanie modulo <math>125</math>
 +
 
 +
::<math>x \equiv 12 + 1 \cdot 25 \equiv 37 \!\! \pmod{125}</math>
 +
 
 +
 
 +
Zbierając i&nbsp;kontynuując obliczenia dla kolejnych potęg liczby <math>5</math>, gdzie
 +
 
 +
::<math>f(x) = x^2 + 15 x + 31 \qquad \qquad f' (x) = 2 x + 15</math>
 +
 
 +
otrzymujemy
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|- style="height: 4em"
 +
! <math>\;\; \boldsymbol{n} \;\;</math> || <math>\;\; \boldsymbol{\alpha} \;\;</math> || <math>\boldsymbol{f (\alpha)}</math> || <math>\boldsymbol{f' (\alpha)}</math> || <math>\boldsymbol{k f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{5^n}} \!\! \pmod{5}}</math> || <math>\boldsymbol{k \!\! \pmod{5}}</math> || <math>\boldsymbol{\beta \equiv \alpha + k \cdot 5^n \!\! \pmod{5^{n + 1}}}</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>1</math> || <math>2</math> || <math>35 = 5^n \cdot 7</math> || <math>14</math> || <math>4 k \equiv 3 \!\! \pmod{5}</math> || <math>2</math> || <math>2 + 2 \cdot 5^n \equiv 12</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>2</math> || <math>12</math> || <math>275 = 5^n \cdot 11</math> || <math>34</math> || <math>4 k \equiv 4 \!\! \pmod{5}</math> || <math>1</math> || <math>12 + 1 \cdot 5^n \equiv 37</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>3</math> || <math>37</math> || <math>1750 = 5^n \cdot 14</math> || <math>84</math> || <math>4 k \equiv 1 \!\! \pmod{5}</math> || <math>4</math> || <math>37 + 4 \cdot 5^n \equiv 537</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>4</math> || <math>537</math> || <math>293750 = 5^n \cdot 470</math> || <math>1084</math> || <math>4 k \equiv 0 \!\! \pmod{5}</math> || <math>0</math> || <math>537 + 0 \cdot 5^n \equiv 537</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>5</math> || <math>537</math> || <math>293750 = 5^n \cdot 94</math> || <math>1084</math> || <math>4 k \equiv 1 \!\! \pmod{5}</math> || <math>4</math> || <math>537 + 4 \cdot 5^n \equiv 13037</math>
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<span id="L94" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L94</span><br/>
 +
Niech <math>f(x) = x^3 - 2 x + 7</math>. Korzystając z&nbsp;lematu Hensela, znaleźć rozwiązania kongruencji <math>f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{11^6}</math>.
 +
 
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
 +
Mamy
 +
 
 +
::<math>f(x) = x^3 - 2 x + 7 \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad f' (x) = 3 x^2 - 2</math>.
 +
 
 +
Kongruencja <math>f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{11}</math> ma jedno rozwiązanie <math>x \equiv 2 \!\! \pmod{11}</math>. Sporządzimy podobną tabelę jak w&nbsp;przykładzie [[#L93|L93]].
 +
 
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|- style="height: 4em"
 +
! <math>\;\; \boldsymbol{n} \;\;</math> || <math>\boldsymbol{\alpha}</math> || <math>\boldsymbol{f (\alpha)}</math> || <math>\boldsymbol{f' (\alpha)}</math> || <math>\boldsymbol{k f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{11^n}} \!\! \pmod{11}}</math> || <math>\boldsymbol{k \!\! \pmod{11}}</math> || <math>\boldsymbol{\beta \equiv \alpha + k \cdot 11^n \!\! \pmod{11^{n + 1}}}</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>1</math> || <math>2</math> || <math>11 = 11^n \cdot 1</math> || <math>10</math> || <math>10 k \equiv 10 \!\! \pmod{11}</math> || <math>1</math> || <math>2 + 1 \cdot 11^n \equiv 13</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>2</math> || <math>13</math> || <math>2178 = 11^n \cdot 18</math> || <math>505</math> || <math>10 k \equiv 4 \!\! \pmod{11}</math> || <math>7</math> || <math>13 + 7 \cdot 11^n \equiv 860</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>3</math> || <math>860</math> || <math>636054287 = 11^n \cdot 477877</math> || <math>2218798</math> || <math>10 k \equiv 7 \!\! \pmod{11}</math> || <math>4</math> || <math>860 + 4 \cdot 11^n \equiv 6184</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>4</math> || <math>6184</math> || <math>236487625143 = 11^n \cdot 16152423</math> || <math>114725566</math> || <math>10 k \equiv 10  \!\! \pmod{11}</math> || <math>1</math> || <math>6184 + 1 \cdot 11^n \equiv 20825</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>5</math> || <math>20825</math> || <math>9031398973982 = 11^n \cdot 56077882</math> || <math>1301041873</math> || <math>10 k \equiv 8  \!\! \pmod{11}</math> || <math>3</math> || <math>20825 + 3 \cdot 11^n \equiv 503978</math>
 
|}
 
|}
  
 +
Znajdujemy, że <math>f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{11^6}</math> dla <math>x = 503978</math>.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
Z lematu Hensela wynika natychmiast.<br/>
 +
<span id="L95" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L95</span><br/>
 +
Niech <math>p</math> będzie liczbą pierwszą, <math>f(x)</math> wielomianem całkowitym, a <math>f' (x)</math> jego pochodną. Jeżeli dla pewnej liczby całkowitej <math>x = \alpha</math> wielomian <math>f(x)</math> ma rozwiązanie modulo <math>p</math> <math>\text{i} \; f' (\alpha) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>, to <math>f(x)</math> ma rozwiązanie modulo <math>p^n</math> dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>.
 +
 +
 +
 +
<span id="L96" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L96</span><br/>
 +
Pokazaliśmy (zobacz [[#L89|L89]]), że jeżeli kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p}</math> ma rozwiązanie, to kongruencja <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math> też ma rozwiązanie. Z&nbsp;lematu Hensela rezultat ten otrzymujemy natychmiast. Z&nbsp;założenia istnieje takie <math>\alpha</math>, że <math>\alpha^r \equiv a \!\! \pmod{p}</math>. Pochodna wielomianu <math>x^r - a</math> jest równa <math>r x^{r - 1}</math> i&nbsp;musi być <math>r \alpha^{r - 1} \not\equiv 0 \!\! \pmod{p}</math>. Skąd otrzymujemy <math>\gcd (\alpha r, p) = 1</math> (warunek ten jest dodatkowym założeniem w&nbsp;twierdzeniu [[#L89|L89]]) i&nbsp;przy tym założeniu istnieje rozwiązanie kongruencji <math>x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n}</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
== Uzupełnienie ==
 +
 +
<span id="L97" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L97</span><br/>
 +
Niech <math>k, m \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; a, b \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>a \equiv b \!\! \pmod{m^k}</math>, to <math>a^m \equiv b^m \!\! \pmod{m^{k + 1}}</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Dla <math>m = 1</math> twierdzenie jest prawdziwe. Niech <math>m \geqslant 2</math>. Z&nbsp;założenia istnieje taka liczba całkowita <math>s</math>, że <math>a = b + s m^k</math>. Korzystając z&nbsp;dwumianu Newtona, otrzymujemy
 +
 +
::<math>a^m = (b + s m^k)^m</math>
 +
 +
::<math>\quad \;\: = \sum_{i = 0}^m \binom{m}{i} (s m^k)^i \cdot b^{m - i}</math>
 +
 +
::<math>\quad \;\: = \binom{m}{0} \cdot b^m + \binom{m}{1} s m^k b^{m - 1} + \sum_{i = 2}^m \binom{m}{i} s^i m^{i k} b^{m - i}</math>
 +
 +
::<math>\quad \;\: = b^m + s m^{k + 1} b^{m - 1} + \sum_{i = 2}^m \binom{m}{i} s^i m^{i k} b^{m - i}</math>
 +
 +
::<math>\quad \;\: \equiv b^m \!\! \pmod{m^{k + 1}}</math>
 +
 +
Ponieważ dla <math>i \geqslant 2</math> oraz <math>k \geqslant 1</math> mamy <math>i k = k + (i - 1) k \geqslant k + 1</math>, zatem <math>m^{k + 1} \mid m^{i k}</math>. Co było do pokazania.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span id="L98" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L98</span><br/>
 +
Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+ \;</math> i <math>\; \gcd (a, b) = 1</math>. Jeżeli <math>d \mid a^{n} b \;</math> i <math>\; d \nmid a^{n - 1} b</math>, to <math>d = a^{n} r</math>, gdzie <math>\gcd (a, r) = 1 \;</math> i <math>\; r \mid b</math>.
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
Zapiszmy <math>d</math> w&nbsp;postaci <math>d = a^t r</math>, gdzie <math>\gcd (a, r) = 1</math>. Łatwo zauważamy, że
 +
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;ponieważ <math>a^t \mid d \;</math> i <math>\; d \mid a^{n} b</math>, to <math>a^t \mid a^{n} b</math>, ale <math>\gcd (a, b) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C74|C74]]) <math>a^t \mid a^{n}</math>, skąd wynika, że <math>t \leqslant n</math>
 +
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;ponieważ <math>r \mid d \;</math> i <math>\; d \mid a^{n} b</math>, to <math>r \mid a^{n} b</math>, ale <math>\gcd (a, r) = 1</math>, zatem (zobacz [[Ciągi liczbowe#C74|C74]]) <math>r \mid b</math>, skąd wynika, że <math>b = r k</math>, gdzie <math>\gcd (a, k) = 1</math>
 +
 +
:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;ponieważ <math>d \nmid a^{n - 1} b</math>, to <math>a^t r \nmid a^{n - 1} r k</math>, czyli <math>a^t \nmid a^{n - 1} k</math>, ale <math>a \nmid k</math>, bo <math>\gcd (a, k) = 1</math>, zatem musi być <math>t > n - 1</math>
 +
 +
Łącząc uzyskane oszacowania, dostajemy <math>n - 1 < t \leqslant n</math>, skąd wynika, że <math>t = n</math>, czyli <math>d = a^{n} r</math>. Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span id="L99" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L99</span><br/>
 +
Niech <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math> i <math>m \in \mathbb{Z}_+</math>. Prawdziwa jest następująca równoważność kongruencji
 +
 +
::<math>a \cdot c \equiv b \cdot c \!\! \pmod{m} \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad a \equiv b \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \right)</math>
 +
 +
{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
 +
 +
<math>\Large{\Longrightarrow}</math>
 +
 +
Z założenia <math>a c \equiv b c \!\! \pmod{m}</math>, zatem <math>a c - b c = k m</math>, gdzie <math>k</math> jest pewną liczbą całkowitą, stąd
 +
 +
::<math>(a - b) \cdot {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} = k \cdot {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math>
 +
 +
Zauważmy, że liczby <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \;</math> i <math>\; {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math> są liczbami całkowitymi i&nbsp;są względnie pierwsze (zobacz [[Największy wspólny dzielnik, element odwrotny modulo, funkcja Eulera#H11|H11]]).
 +
 +
Ponieważ liczba <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> musi dzielić prawą stronę i&nbsp;jest względnie pierwsza z <math>{\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math>, zatem <math>{\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math> dzieli <math>k</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C74|C74]]), czyli
 +
 +
::<math>k = {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \cdot s</math>
 +
 +
dla pewnego całkowitego <math>s</math>. Stąd
 +
 +
::<math>(a - b) \cdot {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} = {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \cdot s \cdot {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math>
 +
 +
I ostatecznie otrzymujemy
 +
 +
::<math>a - b = s \cdot {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}}</math>
 +
 +
Co należało pokazać.
 +
 +
 +
<math>\Large{\Longleftarrow}</math>
 +
 +
Z założenia <math>a \equiv b \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \right)</math>, zatem
 +
 +
::<math>a \equiv b \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \right) \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \biggr\rvert (a - b)</math>
 +
 +
::::::::::::<math>\;\:\, \Longrightarrow \qquad \qquad {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \cdot \gcd (m, c) \biggr\rvert (a - b) \cdot \gcd (m, c)</math>
 +
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::::::::::::<math>\;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad m \mid (a - b) \cdot \gcd (m, c)</math>
 +
</div>
 +
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::::::::::::<math>\;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad m \biggr\rvert (a - b) \cdot \gcd (m, c) \cdot {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}}</math>
 +
</div>
 +
 +
<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
 +
::::::::::::<math>\;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad m \mid (a - b) \cdot c</math>
 +
</div>
 +
 +
<div style="margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1em;">
 +
::::::::::::<math>\;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad a \cdot c \equiv b \cdot c \!\! \pmod{m}</math>
 +
</div>
 +
Co należało pokazać.<br/>
 +
&#9633;
 +
{{\Spoiler}}
 +
 +
 +
 +
<span id="L100" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L100</span><br/>
 +
Rozważmy kongruencję
 +
 +
::<math>3 x \equiv 2 \!\! \pmod{5}</math>
 +
 +
Oczywiście liczba <math>3</math> ma element odwrotny <math>3^{- 1} \equiv 2 \!\! \pmod{5}</math> i&nbsp;łatwo znajdujemy rozwiązanie <math>x \equiv 4 \!\! \pmod{5}</math>. W&nbsp;zbiorze liczb całkowitych mamy taki obraz
  
 +
<div style="font-size: 80%; margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{[}1, 2, 3, {\color{Red}\boldsymbol{4}}, 5\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}6, 7, 8, {\color{Red}\boldsymbol{9}}, 10\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}11, 12, 13, {\color{Red}\boldsymbol{14}}, 15\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}16, 17, 18, {\color{Red}\boldsymbol{19}}, 20\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}21, 22, 23, {\color{Red}\boldsymbol{24}}, 25\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}26, 27, 28, {\color{Red}\boldsymbol{29}}, 30\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}31, 32, 33, {\color{Red}\boldsymbol{34}}, 35\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}36, 37, 38, {\color{Red}\boldsymbol{39}}, 40\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}41, 42, 43, {\color{Red}\boldsymbol{44}}, 45\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}46, 47, 48, {\color{Red}\boldsymbol{49}}, 50\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}51, 52, 53, {\color{Red}\boldsymbol{54}}, 55\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}56, \dots</math>
 +
</div>
  
 +
Jeśli pomnożymy obie strony kongruencji i&nbsp;moduł przez <math>5</math>, to otrzymamy kongruencję równoważną (zobacz [[#L99|L99]])
  
−
<div style="font-size: 75%;">Some rights reserved.
+
::<math>15 x \equiv 10 \!\! \pmod{25}</math>
  
−
(CC) 2009 - 2020 by Henryk Dąbrowski
+
Teraz liczba <math>15</math> nie ma elemetu odwrotnego modulo <math>25</math>, ale dla tak małego modułu bez trudu znajdujemy rozwiązania kongruencji <math>x \equiv 4, 9, 14, 19, 24 \!\! \pmod{25}</math>. W&nbsp;zbiorze liczb całkowitych mamy taki obraz
  
 +
<div style="font-size: 80%; margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{[}1, 2, 3, {\color{Red}\boldsymbol{4}}, 5, 6, 7, 8, {\color{Red}\boldsymbol{9}}, 10, 11, 12, 13, {\color{Red}\boldsymbol{14}}, 15, 16, 17, 18, {\color{Red}\boldsymbol{19}}, 20, 21, 22, 23, {\color{Red}\boldsymbol{24}}, 25\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}26, 27, 28, {\color{Red}\boldsymbol{29}}, 30, 31, 32, 33, {\color{Red}\boldsymbol{34}}, 35, 36, 37, 38, {\color{Red}\boldsymbol{39}}, 40, 41, 42, 43, {\color{Red}\boldsymbol{44}}, 45, 46, 47, 48, {\color{Red}\boldsymbol{49}}, 50\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}51, 52, 53, {\color{Red}\boldsymbol{54}}, 55, 56, 57, 58, {\color{Red}\boldsymbol{59}}, 60, \ldots</math>
 +
</div>
  
−
Żadna część jak i całość niniejszego opracowania nie może być wykorzystywana w celach komercyjnych, bez uprzedniej pisemnej zgody autora.
+
Zbiór rozwiązań nie uległ zmianie, jedynie inaczej je teraz klasyfikujemy. Zauważmy, że
  
−
Dozwolone jest kopiowanie, rozpowszechnianie, przedstawianie i wykonywanie treści jedynie w celach niekomercyjnych pod warunkiem zachowania jej w&nbsp;oryginalnej postaci. Niedozwolone jest jej zmienianie i/lub tworzenie na jej bazie utworów pochodnych.
+
:* każde rozwiązanie kongruencji modulo <math>5</math> jest rozwiązaniem kongruencji modulo <math>25</math>
 +
:* modulo <math>25</math> rozwiązania mają postać <math>x = 4 + 5 t</math>, gdzie <math>t = 0, 1, 2, 3, 4</math>
  
 +
Nie ma w&nbsp;tym nic zaskakującego, bo
  
−
Kontakt: brakkarysmierci@gmail.com
+
::<math>15 x = 15 (4 + 5 t) = 60 + 75 t \equiv 10 \!\! \pmod{25}</math>
  
 +
Tak, jak być powinno.
  
 +
 +
Gdybyśmy dokonali całkowicie nieuprawnionego podzielenia stron kongruencji bez dzielenia modułu, to otrzymalibyśmy
 +
 +
::<math>3 x \equiv 2 \!\! \pmod{25}</math>
 +
 +
Ale rozwiązaniem tej kongruencji jest <math>x \equiv 9 \!\! \pmod{25}</math>. W&nbsp;zbiorze liczb całkowitych mamy teraz taki obraz
 +
 +
<div style="font-size: 80%; margin-top: 1.5em; margin-bottom: 1.5em;">
 +
<math>\boldsymbol{[}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, {\color{Red}\boldsymbol{9}}, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, {\color{Red}\boldsymbol{34}}, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, {\color{Red}\boldsymbol{59}}, 60, 61, \ldots</math>
 
</div>
 
</div>
 +
 +
I zgubilibyśmy <math>80</math>% rozwiązań.
 +
 +
 +
Rozwiązania kongruencji <math>3 x \equiv 2 \!\! \pmod{25}</math> możemy znaleźć, korzystając z&nbsp;lematu Hensela (zobacz [[#L92|L92]]).
 +
 +
::<math>f(x) = 3 x - 2 \qquad \qquad f' (x) = 3</math>
 +
 +
::{| class="wikitable plainlinks"  style="font-size: 90%; text-align: center; margin-right: auto;"
 +
|- style="height: 4em"
 +
! <math>\;\; \boldsymbol{n} \;\;</math> || <math>\;\; \boldsymbol{\alpha} \;\;</math> || <math>\boldsymbol{f (\alpha)}</math> || <math>\boldsymbol{f' (\alpha)}</math> || <math>\boldsymbol{k f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{5^n}} \!\! \pmod{5}}</math> || <math>\boldsymbol{k \!\! \pmod{5}}</math> || <math>\boldsymbol{\beta \equiv \alpha + k \cdot 5^n \!\! \pmod{5^{n + 1}}}</math>
 +
|- style="height: 3.5em"
 +
| <math>1</math> || <math>4</math> || <math>10 = 5^n \cdot 2</math> || <math>3</math> || <math>3 k \equiv 3 \!\! \pmod{5}</math> || <math>1</math> || <math>4 + 1 \cdot 5^n \equiv 9</math>
 +
|}
 +
 +
Zauważmy, że <math>k</math> jest określone modulo <math>5</math>, ale możemy je w&nbsp;tym przypadku wstawić do kongruencji określonej modulo <math>25</math>, bo modulo <math>25</math> mielibyśmy <math>k \equiv 1 + 5 t</math>, gdzie <math>t = 0, 1, 2, 3, 4</math> i&nbsp;niezależnie od wyboru wartości liczby <math>t</math> otrzymujemy <math>\beta \equiv \alpha + k \cdot 5 \equiv 4 + (1 + 5 t) \cdot 5 \equiv 4 + 5 + 25 t \equiv 9 \!\! \pmod{25}</math>.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
== Przypisy ==
 +
<references>
 +
 +
<ref name="order1">ang. ''order of'' <math>a</math> ''modulo'' <math>m</math></ref>
 +
 +
<ref name="generator1">Niekiedy do tej listy dodaje się liczbę <math>1</math>, dla której każda liczba całkowita jest generatorem: <math>\varphi (1) = 1</math>, <math>\gcd (a, 1) = 1</math>, <math>a^1 \equiv 1 \!\! \pmod{1}</math>.</ref>
 +
 +
<ref name="generator2">ang. ''generator or primitive root modulo'' <math>m</math></ref>
 +
 +
<ref name="ElliottMurata1">P. D. T. A. Elliott and Leo Murata, ''On the average of the least primitive root modulo p'', Journal of the London Mathematical Society, vol. 56, no. 2, pp. 435-454, 1997</ref>
 +
 +
<ref name="OliveiraSilva1">Tomás Oliveira e&nbsp;Silva, ''Least primitive root of prime numbers'', ([https://sweet.ua.pt/tos/p_roots.html LINK])</ref>
 +
 +
<ref name="CohenOliveiraSilvaTrudgian1">Stephen D. Cohen, Tomás Oliveira e&nbsp;Silva and Tim Trudgian, ''On Grosswald's conjecture on primitive roots'', Acta Arithmetica (2016), Volume: 172, Issue: 3, page 263-270</ref>
 +
 +
<ref name="McGownTrudgian1">Kevin J. McGown and Tim Trudgian, ''Explicit upper bounds on the least primitive root'', Proc. Amer. Math. Soc. 148 (2020), no. 3, 1049-1061.</ref>
 +
 +
<ref name="Lebesgue1">Victor-Amédée Lebesgue, ''Théorème sur les racines primitives'', Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences LXIV (24 June 1867), 1268-1269.</ref>
 +
 +
<ref name="Maxfield1">John Maxfield and Margaret Maxfield, ''The Existence of Integers Less than p&nbsp;Belonging to ep<sup>r-1</sup> (mod p<sup>r</sup>)'', Mathematics Magazine, Vol. 33, No. 4 (Mar. - Apr., 1960), pp. 219-220</ref>
 +
 +
</references>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
  
  
−
<span class="plainlinks">[https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Aborcja_%E2%80%93_orzeczenie_Trybuna%C5%82u_Konstytucyjnego_z_1997_roku <span style="font-size: 50%; line-height: 0.5em; color: transparent;">LINK</span>]</span>
+
&nbsp;

Wersja z 16:51, 8 kwi 2024

08.04.2024



Rząd liczby modulo

Uwaga L1
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Z twierdzenia Eulera (zobacz J27) wynika natychmiast, że zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] złożony z liczb [math]\displaystyle{ t \in \mathbb{Z}_+ }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ a^t \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] nie jest zbiorem pustym. Jeśli tak, to zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] ma element najmniejszy. Wynika stąd poprawność następującej definicji.


Definicja L2
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math][1] nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią [math]\displaystyle{ h }[/math] taką, że

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Liczbę tę będziemy oznaczali następująco [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math].


Uwaga L3

  •    z twierdzenia Eulera wynika oszacowanie [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, m) \leqslant \varphi (m) }[/math]
  •    jeżeli [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, m) = h }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], bo gdyby było [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = d \gt 1 }[/math], to z kongruencji [math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] mielibyśmy natychmiast [math]\displaystyle{ 0 \equiv 1 \!\! \pmod{d} }[/math]
  •    rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] łatwo znajdziemy, wpisując w PARI/GP polecenie znorder(Mod(a, m))


Przykład L4
Zauważmy, że modulo [math]\displaystyle{ 15 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 2^1 \equiv 2, \qquad 2^2 \equiv 4, \qquad 2^3 \equiv 8, \qquad 2^4 \equiv 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(2, 15) = 4 }[/math]. Czytelnik równie łatwo pokaże, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(5, 21) = 6 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \operatorname{ord}(3, 11) = 5 }[/math].


Twierdzenie L5
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ a, a^2, \ldots, a^h }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ a^i \equiv a^j \!\! \pmod{m} }[/math] dla różnych liczb [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i, j \leqslant h }[/math]. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ i \gt j }[/math]. Czyli [math]\displaystyle{ 1 \leqslant i - j \leqslant h - 1 }[/math] i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^j (a^{i - j} - 1) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] musi dzielić wyrażenie [math]\displaystyle{ a^{i - j} - 1 }[/math] (zobacz C74). Zatem

[math]\displaystyle{ a^{i - j} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{i - j} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu, że rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L6
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli

[math]\displaystyle{ a^n \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

to [math]\displaystyle{ 2 n }[/math] nie może być rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ 2 n }[/math] jest rzędem [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z definicji mamy

[math]\displaystyle{ a^{2 n} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a^n - 1) (a^n + 1) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] może dzielić tylko jeden z wypisanych czynników. Istotnie, gdyby dzieliła obydwa, to dzieliłaby również ich różnicę i mielibyśmy [math]\displaystyle{ p \mid 2 }[/math]. Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ p \geqslant 3 }[/math]. Zatem prawdziwa musi być dokładnie jedna z kongruencji

[math]\displaystyle{ a^n \equiv - 1 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \text{albo} \qquad \qquad a^n \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Pierwsza z kongruencji nie może zachodzić, bo byłoby to sprzeczne z założeniem twierdzenia. Wynika stąd, że musi być

[math]\displaystyle{ a^n \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Co oznacza, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) \leqslant n \lt 2 n }[/math] wbrew uczynionemu przez nas przypuszczeniu. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że [math]\displaystyle{ 2 n }[/math] nie może być rzędem [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Uwaga: wynik ten nie oznacza, że jeżeli [math]\displaystyle{ a^n \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math], to [math]\displaystyle{ 2 n }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dla przykładu

[math]\displaystyle{ 13^6 \equiv - 1 \!\! \pmod{17} }[/math]

ale [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(13, 17) = 4 \neq 2 \cdot 6 }[/math].
□


Twierdzenie L7
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Rzędy liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ a^{- 1} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są równe.

Dowód

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz H17, H18). Dla uproszczenia zapisu rozważmy liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math] takie, że

[math]\displaystyle{ x y \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Pokażemy, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(x, m) = \operatorname{ord}(y, m) }[/math]. Przypuśćmy, w celu uzyskania sprzeczności, że rzędy liczb [math]\displaystyle{ x, y }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] są różne. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(x, m) \lt \operatorname{ord}(y, m) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(x, m) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ x }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to

[math]\displaystyle{ x^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^h y^h \equiv y^h \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ (x y)^h \equiv y^h \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 \equiv y^h \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(y, m) \leqslant h }[/math] (zobacz L2). Wynika stąd ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(x, m) \lt \operatorname{ord}(y, m) \leqslant \operatorname{ord}(x, m) }[/math]

Co jest niemożliwe. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.
□


Twierdzenie L8
Niech [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], wtedy

  •    [math]\displaystyle{ a^w \equiv 1 \!\! \pmod{m} \quad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \quad \operatorname{ord}(a, m) \mid w }[/math]
  •    [math]\displaystyle{ m \mid n \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad \operatorname{ord}(a, m) \mid \operatorname{ord}(a, n) }[/math]
Dowód

Punkt 1.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math]. Z twierdzenia o dzieleniu z resztą możemy napisać [math]\displaystyle{ w = k \cdot h + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \in [0, h - 1] }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ a^w = a^{k h + r} = (a^h)^k \cdot a^r \equiv 1^k \cdot a^r \equiv a^r \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] jest z definicji najmniejszą liczbą dodatnią, dla której [math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ r \lt h }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math], co oznacza, że [math]\displaystyle{ h \mid w }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ h }[/math] jest dzielnikiem wykładnika [math]\displaystyle{ w }[/math], to istnieje liczba [math]\displaystyle{ s }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ w = s \cdot h }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ a^w = a^{s h} = (a^h)^s \equiv 1^s \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Co należało pokazać.

Punkt 2.

Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(a, n) }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m \mid n }[/math], zatem z kongruencji [math]\displaystyle{ a^f \equiv 1 \!\! \pmod{n} }[/math] wynika kongruencja [math]\displaystyle{ a^f \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]. Ponieważ rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h }[/math], to wykładnik [math]\displaystyle{ f }[/math] musi być wielokrotnością [math]\displaystyle{ h }[/math] (zobacz punkt 1.), czyli [math]\displaystyle{ h \mid f }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L9
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p }[/math] będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, m) \mid \varphi (m) }[/math].

Rozwiązanie

Z twierdzenia Eulera wiemy, że [math]\displaystyle{ a^{\varphi (m)} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] musi być wielokrotnością rzędu liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz L8 p.1). Co należało pokazać.
□


Uwaga L10
Z zadania L9 wynika, że w czasie znajdowania rzędu liczby możemy ograniczyć się do rozpatrywania jedynie dzielników [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math]. Znajdźmy rząd liczby [math]\displaystyle{ 3 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 37 }[/math]. Dzielnikami [math]\displaystyle{ \varphi (37) = 36 }[/math] są liczby [math]\displaystyle{ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }[/math]. Sprawdzając, otrzymujemy modulo [math]\displaystyle{ 37 }[/math]

[math]\displaystyle{ 3^1 \equiv 3, \qquad 3^2 \equiv 9, \qquad 3^3 \equiv 27 \equiv - 10, \qquad 3^4 \equiv - 10 \cdot 3 \equiv 7, \qquad 3^6 \equiv 100 \equiv - 11, \qquad 3^9 \equiv 110 \equiv - 1, \qquad 3^{12} \equiv 10, \qquad 3^{18} \equiv 1 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(3, 37) = 18 }[/math].


Zadanie L11
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid (n^2 + 1) }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math].

Rozwiązanie

Z założenia [math]\displaystyle{ n^2 + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ n^4 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

Nie może być [math]\displaystyle{ n \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ n^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Z założenia nie jest [math]\displaystyle{ n^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Nie może też być [math]\displaystyle{ n^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ - n \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] i ponownie [math]\displaystyle{ n^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zatem rząd liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wynosi [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Z zadania L9 mamy [math]\displaystyle{ 4 \mid \varphi (p) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ 4 \mid (p - 1) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L12
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a \geqslant 2 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ \varphi (a^n - 1) }[/math].

Rozwiązanie

Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, a^n - 1) = 1 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, a^n - 1) = h }[/math].

Oczywiście [math]\displaystyle{ (a^n - 1) \mid (a^n - 1) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^n \equiv 1 \!\! \pmod{a^n - 1} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ h \leqslant n }[/math].

Dla wykładników [math]\displaystyle{ r \lt n }[/math] dostajemy [math]\displaystyle{ a^r - 1 \lt a^n - 1 }[/math] i nie może być [math]\displaystyle{ (a^n - 1) \mid (a^r - 1) }[/math], bo większa liczba nie może dzielić mniejszej.

Zatem dla [math]\displaystyle{ r \lt n }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a^r \not\equiv 1 \!\! \pmod{a^n - 1} }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ h = n }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, a^n - 1) = n }[/math], to [math]\displaystyle{ n \mid \varphi (a^n - 1) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L13
Niech [math]\displaystyle{ a, m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) = a^{\gcd (m, n)} - 1 }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że prawdziwy jest następujący ciąg równoważności.


[math]\displaystyle{ \begin{array}{lcll} d \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1) & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \mid (a^m - 1) \qquad \; \text{i} \qquad \; d \mid (a^m - 1) & \quad \text{(zobacz H3)} \\ & & & \\ & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & a^m \equiv 1 \; \pmod{d} \qquad \text{i} \qquad a^n \equiv 1 \; \pmod{d} & \\ & & & \\ & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & \operatorname{ord}(a, d) \mid m \qquad \text{i} \qquad \operatorname{ord}(a, d) \mid n & \quad \text{(zobacz L8 p.1)} \\ & & & \\ & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & \operatorname{ord}(a, d) \mid \gcd (m, n) & \quad \text{(zobacz H3)} \\ & & & \\ & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & a^{\gcd (m, n)} \equiv 1 \; \pmod{d} & \quad \text{(zobacz L8 p.1)} \\ & & & \\ & \qquad \Longleftrightarrow \qquad & d \mid (a^{\gcd (m, n)} - 1) & \\ \end{array} }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ \gcd (a^m - 1, a^n - 1) \mid (a^{\gcd (m, n)} - 1) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ (a^{\gcd (m, n)} - 1) \mid \gcd (a^m - 1, a^n - 1) }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ | \gcd (a^m - 1, a^n - 1) | = | a^{\gcd (m, n)} - 1 | }[/math]. Co należało pokazać. Zobacz też twierdzenie H15.
□


Zadanie L14
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ a \equiv b \!\! \pmod{m} \qquad \quad \Longrightarrow \qquad \quad \operatorname{ord}(a, m) = \operatorname{ord}(b, m) }[/math]
Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że ponieważ [math]\displaystyle{ a \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (b, m) = 1 }[/math], czyli rząd liczby [math]\displaystyle{ b }[/math] jest określony. Oznaczmy: [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math], [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(b, m) }[/math].

Z założenia [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 1 \equiv a^h \equiv b^h \!\! \pmod{m} }[/math], ale [math]\displaystyle{ f }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ b }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f \mid h }[/math].

Z założenia [math]\displaystyle{ f }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ b }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 1 \equiv b^f \equiv a^f \!\! \pmod{m} }[/math], ale [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], zatem [math]\displaystyle{ h \mid f }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ f \mid h \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; h \mid f }[/math], to [math]\displaystyle{ | h | = | f | }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L15
Jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \gcd (\operatorname{ord}(a, m), \operatorname{ord}(b, m)) = 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a b, m) = \operatorname{ord}(a, m) \cdot \operatorname{ord}(b, m) }[/math]
Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a b, m) = 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (b, m) = 1 }[/math]. Czyli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math] mają określone rzędy modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(b, m) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ b^f \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ (a b)^{h f} = a^{h f} \cdot b^{h f} = (a^h)^f \cdot (b^f)^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje wykładnik [math]\displaystyle{ r \lt h f }[/math], dla którego [math]\displaystyle{ (a b)^r \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]. Mielibyśmy

[math]\displaystyle{ (a b)^r \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a b)^{r h} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a^h)^r \cdot b^{r h} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ b^{r h} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ f \mid r h }[/math], ale z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (h, f) = 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f \mid r }[/math].

Podobnie pokazujemy, że [math]\displaystyle{ h \mid r }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] i [math]\displaystyle{ f }[/math] są względnie pierwsze, to [math]\displaystyle{ h f \mid r }[/math] (zobacz C75), zatem [math]\displaystyle{ h f \leqslant r }[/math]. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.
□


Zadanie L16
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą całkowitą. Pokazać, że jeżeli rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(- a, m) = 2 \cdot \operatorname{ord}(a, m) }[/math]
Rozwiązanie

Zauważmy, że wzór nie jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], bo dla dowolnej liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ a }[/math] mamy [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(\pm a, 2) = 1 }[/math].

Dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] jest [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(- 1, m) = 2 }[/math], bo [math]\displaystyle{ (- 1)^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (- 1)^1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math].

Z założenia rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem

[math]\displaystyle{ \gcd (\operatorname{ord}(- 1, m), \operatorname{ord}(a, m) ) = \gcd (2, \operatorname{ord}(a, m) ) = 1 }[/math]

Ponieważ spełnione są założenia twierdzenia L15, to

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(- a, m) = \operatorname{ord}(- 1, m) \cdot \operatorname{ord}(a, m) = 2 \cdot \operatorname{ord}(a, m) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L17
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a, m }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, m) = h }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, 2 m) = h }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ a, m }[/math] nie mogą być jednocześnie parzyste, bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \geqslant 2 }[/math] i rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] nie byłby określony (zobacz L3). Z założenia rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] istnieje i jest równy [math]\displaystyle{ h }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ \gcd (a, 2) = 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (a, 2 m) = 1 }[/math] (zobacz H6). Co oznacza, że rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 2 m }[/math] jest określony. Niech [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(a, 2 m) }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ a^f \equiv 1 \!\! \pmod{2 m} }[/math]

Skąd dostajemy

[math]\displaystyle{ a^f \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ h \mid f }[/math] (zobacz L8 p.1). Z założenia [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem prawdziwy jest układ kongruencji

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{2} }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ \gcd (2, m) = 1 }[/math], układ ten możemy w sposób równoważny zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{2 m} }[/math]

(zobacz J1). Ponieważ [math]\displaystyle{ f }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 2 m }[/math], to [math]\displaystyle{ f \mid h }[/math]. Otrzymaliśmy, że [math]\displaystyle{ h \mid f \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; f \mid h }[/math], zatem [math]\displaystyle{ | f | = | h | }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L18
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Rząd liczby [math]\displaystyle{ a^r }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest równy

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a^r, m) = {\small\frac{h}{\gcd (r, h)}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; r \geqslant 0 }[/math].

Dowód

Aby ułatwić sobie operowanie liczbami występującymi w dowodzonym wzorze, wprowadzimy oznaczenia

[math]\displaystyle{ b = a^r \qquad \quad f = \operatorname{ord}(b, m) \qquad \quad d = \gcd (r, h) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ d = \gcd (r, h) }[/math], to możemy napisać [math]\displaystyle{ r = s \cdot d \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; h = t \cdot d }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (s, t) = 1 }[/math] (zobacz H11).

Z definicji liczb [math]\displaystyle{ b \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \: f }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ b^f = a^{r f} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponieważ rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h }[/math], to [math]\displaystyle{ h \mid r f }[/math], czyli [math]\displaystyle{ t d \mid s d f }[/math], zatem [math]\displaystyle{ t \mid s f }[/math], ale [math]\displaystyle{ \gcd (s, t) = 1 }[/math] i dostajemy, że [math]\displaystyle{ t \mid f }[/math].

Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ b^t = (a^r)^t = (a^{s d})^{\tfrac{h}{d}} = (a^s)^h = (a^h)^s \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ f \mid t }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ t \mid f }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f \mid t }[/math], to [math]\displaystyle{ | f | = | t | }[/math]. Wynika stąd

[math]\displaystyle{ f = t = {\small\frac{h}{d}} = {\small\frac{h}{\gcd (r, h)}} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L19
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math], [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid h }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a^d, m) = {\small\frac{h}{d}} }[/math].

Rozwiązanie

Wystarczy sprawdzić, że liczba [math]\displaystyle{ {\small\frac{h}{d}} }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a^d }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (a^d)^{\tfrac{h}{d}} = a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zauważmy teraz, że gdyby istniała liczba [math]\displaystyle{ t \lt {\small\frac{h}{d}} }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ (a^d)^t \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math], to mielibyśmy [math]\displaystyle{ a^{d t} \equiv 1 \!\! \pmod{m} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d t \lt h }[/math] wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L20
Niech [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{P} }[/math]. Jeżeli istnieje liczba całkowita [math]\displaystyle{ a }[/math] względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = h }[/math], to

  •    liczby [math]\displaystyle{ a, a^2, \ldots, a^h }[/math] są wszystkimi liczbami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] spełniającymi kongruencję [math]\displaystyle{ x^h \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
  •    istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (h) }[/math] liczb [math]\displaystyle{ x }[/math], dla których [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(x, p) = h }[/math]
Rozwiązanie

Punkt 1.

Każda liczba [math]\displaystyle{ a^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 1, \ldots, h }[/math], spełnia kongruencję [math]\displaystyle{ x^h \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a^k)^h = (a^h)^k \equiv 1^k \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia L5 wiemy, że liczby [math]\displaystyle{ a, a^2, \ldots, a^h }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^h - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

nie może mieć więcej niż [math]\displaystyle{ h }[/math] rozwiązań. Zatem nie może istnieć liczba [math]\displaystyle{ u }[/math] różna od każdej z liczb [math]\displaystyle{ a, a^2, \ldots, a^h }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ u^h \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo liczba [math]\displaystyle{ u }[/math] byłaby [math]\displaystyle{ (h + 1) }[/math]-szym rozwiązaniem wypisanej kongruencji, co jest niemożliwe.

Punkt 2.

Z punktu 1. wiemy, że liczby [math]\displaystyle{ a, a^2, \ldots, a^h }[/math] i tylko te liczby są rozwiązaniami kongruencji [math]\displaystyle{ x^h \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zatem dla liczb innych niż [math]\displaystyle{ a, a^2, \ldots, a^h }[/math] zawsze będziemy mieli [math]\displaystyle{ x^h \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], skąd natychmiast wynika, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(x, p) \neq h }[/math].

Z twierdzenia L18 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a^k, m) = {\small\frac{h}{\gcd (k, h)}} }[/math]

Ponieważ istnieje [math]\displaystyle{ \varphi (h) }[/math] liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ k \leqslant h }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \gcd (k, h) = 1 }[/math], to istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (h) }[/math] liczb [math]\displaystyle{ a^k }[/math] (różnych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) takich, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a^k, p) = h }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L21
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ h \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ h \mid (p - 1) }[/math], to istnieje [math]\displaystyle{ \varphi (h) }[/math] liczb, których rząd modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h }[/math].

Dowód

Zauważmy, że dowodzone twierdzenie jest istotnie różne od punktu 2. zadania L20, bo teraz nie zakładamy istnienia liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = h }[/math].

Niech ilość liczb [math]\displaystyle{ a }[/math], dla których [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = h }[/math], będzie określona funkcją [math]\displaystyle{ f(h) }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ f(h) = 0 }[/math] w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ h \nmid (p - 1) }[/math] (zobacz L9). Możliwa jest też sytuacja, że [math]\displaystyle{ h \mid (p - 1) }[/math], ale nie istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ a }[/math], dla której [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = h }[/math]. Skoro nie istnieje ani jedna taka liczba [math]\displaystyle{ a }[/math], dla której [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = h }[/math], to również w tym przypadku musi być [math]\displaystyle{ f(h) = 0 }[/math]. W przypadku gdy [math]\displaystyle{ h \mid (p - 1) }[/math] i istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ a }[/math], dla której [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = h }[/math], to z zadania L20 wiemy, że takich liczb jest [math]\displaystyle{ \varphi (h) }[/math]. Zbierając, mamy

[math]\displaystyle{ f(h) = \begin{cases} \;\; 0 & \text{jeżeli } h \nmid (p - 1) \\ \;\; 0 & \text{jeżeli } h \mid (p - 1) \;\; \text{i} \;\; \text{nie istnieje liczba } a \text{ taka, że } \operatorname{ord}(a, p) = h \\ \varphi (h) & \text{jeżeli } h \mid (p - 1) \;\; \text{i} \;\; \text{istnieje liczba } a \text{ taka, że } \operatorname{ord}(a, p) = h \\ \end{cases} }[/math]

Otrzymujemy natychmiast oszacowanie [math]\displaystyle{ f(h) \leqslant \varphi (h) }[/math].

Przy okazji zauważmy, że oszacowanie [math]\displaystyle{ f(h) \leqslant \varphi (h) }[/math] nie jest w ogólności prawdziwe dla modułu złożonego [math]\displaystyle{ m }[/math]. Przykładowo dla modułu [math]\displaystyle{ m = 33 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 12 }[/math] liczb, których rząd [math]\displaystyle{ h = 10 }[/math] (są to liczby [math]\displaystyle{ 2, 5, 7, 8, 13, 14, 17, 19, 20, 26, 28, 29 }[/math]), ale [math]\displaystyle{ \varphi (h) = \varphi (10) = 4 }[/math].

Ponieważ każda liczba [math]\displaystyle{ a \in \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ p }[/math], to dla każdej takiej liczby rząd [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest zdefiniowany, zatem liczba [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, p) }[/math] musi być dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] (zobacz L9). Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ \sum_{h \mid (p - 1)} f (h) = p - 1 }[/math]

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich dodatnich dzielnikach [math]\displaystyle{ h }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math].

Z twierdzenia H44 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{h \mid (p - 1)} \varphi (h) = p - 1 }[/math]

Zatem, uwzględniając oszacowanie [math]\displaystyle{ f(h) \leqslant \varphi (h) }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ 0 = \sum_{h \mid (p - 1)} (\varphi (h) - f (h) ) = \sum_{h \mid (p - 1)} | \varphi (h) - f (h) | }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że dla każdego dodatniego dzielnika [math]\displaystyle{ h }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ f(h) = \varphi (h) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L22
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p }[/math] będzie liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 1 }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = 3 }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a + 1, p) = 6 }[/math].

Rozwiązanie

Założenie, że liczba pierwsza jest postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math], jest konieczne, bo liczby [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ 6 }[/math] muszą być dzielnikami [math]\displaystyle{ \varphi (p) = p - 1 }[/math]. Dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math] nigdy nie będzie [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = 3 }[/math]. Z twierdzenia L21 wiemy, dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] istnieją dwie liczby, których rząd jest równy [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i dwie liczby, których rząd jest równy [math]\displaystyle{ 6 }[/math].

Z założenia [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = 3 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ (a - 1) (a^2 + a + 1) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zauważmy, że nie może być [math]\displaystyle{ a \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo wtedy rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] byłby równy [math]\displaystyle{ 1 }[/math], czyli musi być [math]\displaystyle{ a^2 + a + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Ponieważ z założenia rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest określony, to musi być [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ a + 1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a + 1)^2 = a^2 + a + 1 + a \equiv a \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a + 1)^3 \equiv (a + 1) a \equiv (a^2 + a + 1) - 1 \equiv - 1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a + 1)^4 \equiv a^2 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} , \; }[/math] bo gdyby [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], to mielibyśmy [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) \leqslant 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ (a + 1)^5 \equiv - a \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} , \; }[/math] bo gdyby [math]\displaystyle{ a \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math], to [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} \; }[/math] i mielibyśmy [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ (a + 1)^6 \equiv (- 1)^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a + 1, p) = 6 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L23
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Kongruencja [math]\displaystyle{ a^r \equiv a^s }[/math] modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwa jest kongruencja [math]\displaystyle{ r \equiv s }[/math] modulo rząd liczby [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ a^r \equiv a^s \!\! \pmod{m} \quad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \quad r \equiv s \!\! \pmod{\operatorname{ord}(a, m)} }[/math]
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Jeśli [math]\displaystyle{ r = s }[/math], to twierdzenie jest prawdziwe, bo każda liczba przystaje do samej siebie modulo dowolna liczba całkowita dodatnia. Nie zmniejszając ogólności, załóżmy, że [math]\displaystyle{ s \gt r }[/math], zatem rozważaną kongruencję możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ a^r \equiv a^s \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^r - a^s \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^r \cdot (a^{s - r} - 1) \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może być dzielnikiem [math]\displaystyle{ a }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m }[/math] musi dzielić [math]\displaystyle{ a^{s - r} - 1 }[/math], co oznacza, że

[math]\displaystyle{ a^{s - r} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{s - r} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Z twierdzenia L8 p.1 wiemy, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, m) }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ s - r }[/math], co możemy zapisać w postaci kongruencji

[math]\displaystyle{ r \equiv s \!\! \pmod{\operatorname{ord}(a, m}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ r \equiv s \!\! \pmod{h} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math]. Zatem dla pewnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ k }[/math] mamy [math]\displaystyle{ r = s + k \cdot h }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ a^r = a^{s + k \cdot h} = a^s \cdot (a^h)^k \equiv a^s \cdot 1^k \equiv a^s \!\! \pmod{m} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L24
Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, m) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ r \equiv s \!\! \pmod{h} }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a^r, m) = \operatorname{ord}(a^s, m) }[/math].

Rozwiązanie

Jeżeli [math]\displaystyle{ r \equiv s \!\! \pmod{h} }[/math], to z twierdzenia L23 wynika, że [math]\displaystyle{ a^r \equiv a^s \!\! \pmod{m} }[/math] i na mocy L14 mamy [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a^r, m) = \operatorname{ord}(a^s, m) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L25
Niech [math]\displaystyle{ m, r \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli

[math]\displaystyle{ a^r \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

oraz dla każdego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ q }[/math] liczby [math]\displaystyle{ r }[/math] jest

[math]\displaystyle{ a^{\tfrac{r}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, m) = r }[/math].

Dowód

Z założenia

[math]\displaystyle{ a^r \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; h \mid r }[/math], gdzie oznaczyliśmy [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, m) }[/math].

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ r = h d \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \gt 1 }[/math]. Konsekwentnie istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q \mid d }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid r }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Podnosząc obie strony kongruencji do potęgi [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{q}} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 \equiv (a^h)^{\tfrac{d}{q}} \equiv a^{\tfrac{h d}{q}} \equiv a^{\tfrac{r}{q}} \!\! \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
□


Zadanie L26
Niech [math]\displaystyle{ a, n \in \mathbb{Z}_+ \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid (a^{2^{\large n}} + 1) }[/math], to [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{2^{n + 1}} }[/math].

Rozwiązanie

Z założenia

[math]\displaystyle{ a^{2^{\large n}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ (a^{2^{\large n}})^2 = a^{2^{\large n + 1}} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia L25 wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = 2^{n + 1} }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) \mid \varphi (p) }[/math] (zobacz L9), to [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} \mid (p - 1) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L27
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} k + 1 }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że problem jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Dirichleta (zobacz C27). Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje jedynie skończona ilość liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p_1, \ldots, p_s }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} k + 1 }[/math] i niech

[math]\displaystyle{ a = (2 p_1 \cdot \ldots \cdot p_s)^{2^{\large n}} + 1 }[/math]

Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą pierwszą, to twierdzenie jest dowiedzione, bo [math]\displaystyle{ a }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} k + 1 }[/math]. Istotnie

[math]\displaystyle{ a = 2^{n + 1} \cdot \left[ 2^{2^{\large n} - n - 1} \cdot (p_1 \cdot \ldots \cdot p_s)^{2^{\large n}} \right] + 1 }[/math]

Rozważmy teraz przypadek, gdy [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą złożoną. Liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] ma dzielnik pierwszy nieparzysty [math]\displaystyle{ q }[/math], bo sama jest liczbą nieparzystą. Ponieważ [math]\displaystyle{ q \mid a }[/math], to [math]\displaystyle{ q \neq p_i }[/math] dla [math]\displaystyle{ i = 1, \ldots, s }[/math]. Z zadania L26 wynika, że [math]\displaystyle{ q }[/math] ma postać [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} k + 1 }[/math]. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że liczby [math]\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_s }[/math] wyczerpują wszystkie liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} k + 1 }[/math]. Co kończy dowód.
□


Twierdzenie L28
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ F_n = 2^{2^{\large n}} + 1 }[/math] oznacza liczbę Fermata. Jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ F_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ p = 2^{n + 2} k + 1 }[/math].

Dowód

Z założenia

[math]\displaystyle{ 2^{2^{\large n}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (2^{2^{\large n}})^2 = 2^{2^{\large n + 1}} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

I z twierdzenia L25 wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(2, p) = 2^{n + 1} }[/math]. Z własności rzędu liczby wiemy (zobacz L9), że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(2, p) \mid \varphi (p) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} \mid (p - 1) }[/math]. Skąd otrzymujemy [math]\displaystyle{ p - 1 = k \cdot 2^{n + 1} }[/math] lub równoważnie

[math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{2^{n + 1}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ p^2 \equiv 1 \!\! \pmod{2^{n + 2}} }[/math]

(zobacz L97). Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} (p^2 - 1) }[/math] jest liczbą parzystą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 \; }[/math] i

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{(p^{\large 2} - 1) / 8} = 1 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i z kryterium Eulera mamy

[math]\displaystyle{ 2^{\tfrac{p - 1}{2}} = 2^{k \cdot 2^{\large n}} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(2, p) = 2^{n + 1} }[/math], to [math]\displaystyle{ 2^{n + 1} \mid k \cdot 2^n }[/math] (zobacz L8 p.1). Zatem [math]\displaystyle{ 2 \mid k \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; k }[/math] musi być liczbą parzystą, skąd wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p = k' \cdot 2^{n + 2} + 1 }[/math]. Możemy łatwo sprawdzić, że dla [math]\displaystyle{ n = 0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; n = 1 }[/math] twierdzenie nie jest prawdziwe.
□


Twierdzenie L29
Jeżeli [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] jest liczbą nieparzystą, to kongruencja [math]\displaystyle{ x^{m - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math] nie ma rozwiązań.

Dowód

Przypuśćmy, w celu uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą lub potęgą liczby pierwszej nieparzystej. Wtedy mielibyśmy

[math]\displaystyle{ x^{p - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad x^{p^n - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{p^n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; x^{(p - 1) (1 + p + p^2 + \ldots + p^{n - 1})} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

I w każdym przypadku z twierdzenia Fermata mielibyśmy natychmiast [math]\displaystyle{ 1 \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Co jest niemożliwe. Zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] musi być iloczynem liczb pierwszych nieparzystych.


Niech [math]\displaystyle{ m = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą, to może być zapisana w postaci [math]\displaystyle{ m = 2^u w + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą. Przypuśćmy, że dla pewnego [math]\displaystyle{ x \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] rozpatrywana kongruencja ma rozwiązanie, czyli

[math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza dowolny czynnik pierwszy [math]\displaystyle{ q_i }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid m }[/math], to możemy zapisaną kongruencję rozpatrywać modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Podnosząc obie strony kongruencji do kwadratu, dostajemy

[math]\displaystyle{ a^{2 (m - 1)} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a^{m - 1}, p) = \gcd (- 1, p) = 1 }[/math], zatem rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest określony.

Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, p) }[/math] będzie rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia L8 p.1 wynika, że [math]\displaystyle{ h \mid 2 (m - 1) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; h \nmid (m - 1) }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ h \mid 2^{u + 1} w \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad h \nmid 2^u w }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą, zatem spełnione są założenia twierdzenia L98, z którego wynika, że [math]\displaystyle{ h = 2^{u + 1} r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \mid w }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ h = 2^{u + 1} r }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ \varphi (p) = p - 1 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{2^{u + 1}} }[/math]

Ponieważ przez [math]\displaystyle{ p }[/math] oznaczyliśmy dowolny dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q_i }[/math] liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s \equiv 1 \!\! \pmod{2^{u + 1}} }[/math]

Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ m = 2^u w + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
□



Generatory modulo

Uwaga L30
Jedynymi liczbami naturalnymi mającymi generatory są liczby [math]\displaystyle{ 2, 4, p^k, 2 p^k }[/math][2], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] oznacza liczbę pierwszą nieparzystą. Zatem istnienie generatora jest raczej wyjątkiem niż regułą. Zbadamy właściwości generatorów, a następnie wyjaśnimy, dlaczego tak niewiele liczb ma generator.


Generatory modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math]

 

Definicja L31
Jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (g, m) = 1 }[/math] oraz rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math], to liczbę [math]\displaystyle{ g }[/math] nazywamy generatorem lub pierwiastkiem pierwotnym modulo [math]\displaystyle{ m }[/math][3].


Uwaga L32
Niech [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Nazwa „generator” wynika z prostej właściwości generatorów: kolejne potęgi [math]\displaystyle{ g^1, g^2, \ldots, g^{\varphi (m)} }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz L5) i generują wszystkie liczby względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ m }[/math] (oczywiście modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]).

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = p }[/math] jest liczbą pierwszą, zbiory [math]\displaystyle{ \{ g^1, g^2, \ldots, g^{p - 1} \} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \{ 1, 2, \ldots, p - 1 \} }[/math] są równe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz H24).


Przykład L33
W tabeli przedstawiliśmy generatory dla początkowych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{φ(m)} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math]
generatory [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,7 }[/math] [math]\displaystyle{ 2,6,7,8 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2,6,7,11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 3,5,6,7,10,11,12,14 }[/math] [math]\displaystyle{ 5,11 }[/math]

Zauważmy, że dla liczb [math]\displaystyle{ 8, 12, 15, 16 }[/math] generatory nie istnieją. Na przykład generator modulo [math]\displaystyle{ 8 }[/math] nie istnieje, ponieważ dla liczb nieparzystych jest [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math], ale [math]\displaystyle{ \varphi (8) = 4 }[/math].

Oczywiście, jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ g + m }[/math], [math]\displaystyle{ g + 2 m }[/math], ... też są generatorami modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Przykładowo [math]\displaystyle{ 2^6 \equiv 11^6 \equiv 20^6 \equiv 1 \!\! \pmod{9} }[/math].


Zadanie L34
Niech [math]\displaystyle{ g \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ \; k, m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (g, m) = 1 }[/math]. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to liczby [math]\displaystyle{ g^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k }[/math] spełnia warunek [math]\displaystyle{ \gcd (k, \varphi (m)) = 1 }[/math], są generatorami modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, m) = \varphi (m) }[/math], zatem (zobacz L18)

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g^k, m) = {\small\frac{\varphi (m)}{\gcd (k, \varphi (m))}} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (k, \varphi (m)) = 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g^k, m) = \varphi (m) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L35
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] ma generator, to ma ich dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (\varphi (m)) }[/math].

Dowód

Rozważmy zbiór [math]\displaystyle{ S = \{ g^1, g^2, \ldots, g^{\varphi (m)} \} }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (g, m) = 1 }[/math], to wszystkie elementy zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] są względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru [math]\displaystyle{ S }[/math] są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] (zobacz L5), zatem zbiór [math]\displaystyle{ S }[/math] zawiera wszystkie liczby względnie pierwsze z [math]\displaystyle{ m }[/math] (rozpatrywane modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]).

Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, m) = \varphi (m) }[/math]. Ponieważ (zobacz L18)

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g^k, m) = {\small\frac{\varphi (m)}{\gcd (k, \varphi (m))}} }[/math]

to ilość liczb w zbiorze [math]\displaystyle{ S }[/math], które mają rząd równy [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math], jest równa ilości liczb całkowitych [math]\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant \varphi (m) }[/math], dla których [math]\displaystyle{ \gcd (k, \varphi (m)) = 1 }[/math]. Ponieważ wśród liczb całkowitych [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, \varphi (m) }[/math] istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ \varphi (\varphi (m)) }[/math] liczb względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math], to istnieje [math]\displaystyle{ \varphi (\varphi (m)) }[/math] generatorów. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L36
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ g^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
Dowód

Pokażemy, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] ma generator, to kongruencja

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

ma dokładnie dwa rozwiązania. Wynik [math]\displaystyle{ g^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math] będzie jedynie logiczną konsekwencją tego dowodu. Dla przykładu zauważmy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{15} }[/math] ma cztery rozwiązania: [math]\displaystyle{ x \equiv 1, 4, 11, 14 \!\! \pmod{15} }[/math].


Jeżeli [math]\displaystyle{ x \equiv u \!\! \pmod{m} }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (u^2, m) = \gcd (1, m) = 1 }[/math]. Zatem liczba [math]\displaystyle{ u }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ g^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \ldots, \varphi (m) }[/math] są wszystkimi liczbami względnie pierwszymi z [math]\displaystyle{ m }[/math], to możemy szukać rozwiązań, ograniczając się do tych liczb, czyli szukać rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ g^{2 k} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Przypomnijmy (zobacz H38), że dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] wartości funkcji Eulera [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] są liczbami parzystymi. Ponieważ rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math], to [math]\displaystyle{ \varphi (m) \mid 2k }[/math] (zobacz L8 p.1), zatem [math]\displaystyle{ 2 k = s \cdot \varphi (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest liczbą całkowitą, czyli [math]\displaystyle{ k = s \cdot {\small\frac{\varphi (m)}{2}} }[/math]. W zależności od parzystości liczby [math]\displaystyle{ s }[/math] otrzymujemy

  •    dla [math]\displaystyle{ s = 2 t }[/math]
[math]\displaystyle{ g^k \equiv g^{s \cdot \varphi (m) / 2} \equiv g^{2 t \cdot \varphi (m) / 2} \equiv \left( g^{\varphi (m)} \right) ^{\! t} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]
  •    dla [math]\displaystyle{ s = 2 t + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ g^k \equiv g^{s \cdot \varphi (m) / 2} \equiv g^{(2 t + 1) \cdot \varphi (m) / 2} \equiv g^{t \cdot \varphi (m)} \cdot g^{\varphi (m) / 2} \equiv g^{\varphi (m) / 2} \!\! \pmod{m} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem, to [math]\displaystyle{ g^{\varphi (m) / 2} \not\equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]. Pokazaliśmy tym samym, że jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] ma dokładnie dwa rozwiązania.


Z drugiej strony widzimy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] ma co najmniej dwa rozwiązania, bo dwa rozwiązania możemy natychmiast wypisać

[math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{m} \qquad \quad \text{i} \qquad \quad x \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Rozwiązania te są różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] nie jest możliwa kongruencja

[math]\displaystyle{ 1 \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

ponieważ [math]\displaystyle{ m \nmid 2 }[/math].


Łącząc powyższe rezultaty, otrzymujemy, że musi być [math]\displaystyle{ g^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]. Co należało udowodnić.
□


Uwaga L37
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czyli istnieją liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] niebędące generatorami, dla których [math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]. Przykładowo dla modułu [math]\displaystyle{ m = 41 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 3^4 \equiv 3^{20} \equiv - 1 \!\! \pmod{41} }[/math]. Natomiast łatwo pokażemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^{\varphi (m) / 2} \equiv - 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

ma rozwiązanie tylko dla modułów [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] mających generator (zobacz twierdzenia L54 i L56).


Twierdzenie L38
Jeżeli liczby [math]\displaystyle{ g_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] są generatorami modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ a \equiv g_1 g_2 \!\! \pmod{m} }[/math] nie jest generatorem.

Dowód

Policzmy

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) / 2} \equiv (g_1 g_2)^{\varphi (m) / 2} \equiv g_1^{\varphi (m) / 2} \cdot g_2^{\varphi (m) / 2} \equiv (- 1) \cdot (- 1) \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ a \equiv g_1 g_2 \!\! \pmod{m} }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L39
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ m = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] iloczyn wszystkich generatorów modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] i [math]\displaystyle{ g^{- 1} }[/math] są zawsze różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Istotnie, gdyby było

[math]\displaystyle{ g \equiv g^{- 1} \!\! \pmod{m} }[/math]

to mielibyśmy

[math]\displaystyle{ g^2 \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

i rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] byłby nie większy od [math]\displaystyle{ 2 }[/math], ale [math]\displaystyle{ \varphi (m) \gt 2 }[/math] dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] (zobacz H41), czyli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] nie byłaby generatorem wbrew założeniu.

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 7 }[/math] każdy generator [math]\displaystyle{ g }[/math] ma element odwrotny różny od [math]\displaystyle{ g }[/math], to łącząc generatory w pary takie, że [math]\displaystyle{ g g' \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \prod_i g_i = \prod_k g_k g_{k}^{- 1} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Przypadek [math]\displaystyle{ m = 5 }[/math] sprawdzamy bezpośrednio. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L40
Niech [math]\displaystyle{ g, m \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; m \geqslant 3 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \gcd (g, m) = 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{\varphi (m)}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

dla każdego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ q }[/math] liczby [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math].

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że dla pewnego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ q }[/math] liczby [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math] jest

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{\varphi (m)}{q}} \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, m) \leqslant {\small\frac{\varphi (m)}{q}} \lt \varphi (m) }[/math]

Wbrew założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(g, m) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ h \mid \varphi (m) }[/math] (zobacz L9). Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ \varphi (m) = h d \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \gt 1 }[/math]. Konsekwentnie istnieje liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ q \mid d }[/math], czyli [math]\displaystyle{ q \mid \varphi (m) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to

[math]\displaystyle{ g^h \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Podnosząc obie strony kongruencji do potęgi [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{q}} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ 1 \equiv (g^h)^{\tfrac{d}{q}} \equiv g^{\tfrac{h d}{q}} \equiv g^{\tfrac{\varphi (m)}{q}} \!\! \pmod{m} }[/math]

Wbrew założeniu. Zatem musi być [math]\displaystyle{ d = 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; h = \varphi (m) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Co należało pokazać.
□


Generatory modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]

 

Uwaga L41
Przedstawimy poniżej postać twierdzenia L40 w przypadku, gdy moduł [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą. Oczywiście twierdzenie L40 jest bardziej ogólne, ale znacznie wygodniej jest korzystać ze szczególnej postaci w przypadku, gdy wiemy, że rozpatrywana liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą.


Twierdzenie L42
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, [math]\displaystyle{ g \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \nmid g }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{p - 1}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

dla każdego dzielnika pierwszego [math]\displaystyle{ q }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math].


Twierdzenie L43
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Pierwszy sposób
Z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem z twierdzenia L36 mamy

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

I z kryterium Eulera (zobacz J31) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co należało pokazać.


Drugi sposób
Z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], ale z twierdzenia L42 wiemy, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich dzielników pierwszych [math]\displaystyle{ q }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{p - 1}{q}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

W przypadku liczb pierwszych nieparzystych liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest zawsze dzielnikiem [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], zatem jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem, to

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{p - 1}{2}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

I z kryterium Eulera wynika, że [math]\displaystyle{ g }[/math] nie może być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L44
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem z kryterium Eulera (zobacz J31) mamy

[math]\displaystyle{ a^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) \leqslant {\small\frac{p - 1}{2}} \lt p - 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Uwaga L45
Ponieważ liczba generatorów modulo liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ \varphi (p - 1) }[/math], to z zadań H49, H50 wynika, że

  •    [math]\displaystyle{ \varphi (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p - 1 = 2^k }[/math]
  •    [math]\displaystyle{ \varphi (p - 1) = {\small\frac{p - 1}{2}} - 1 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p - 1 = 2 q }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \geqslant 3 }[/math] jest liczbą pierwszą

Zauważmy, że pierwszy punkt odpowiada sytuacji, gdy wszystkie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] są generatorami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być liczbą pierwszą Fermata [math]\displaystyle{ p = 2^{2^{\large n}} + 1 }[/math] (zobacz C48).

Drugi punkt odpowiada sytuacji, gdy wszystkie liczby niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], poza dokładnie jedną, są generatorami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ p = 2 q + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \geqslant 3 }[/math] jest liczbą pierwszą. Łatwo możemy stwierdzić, że liczba [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest jedyną liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], która w tym przypadku nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z kryterium Eulera (zobacz J31) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} = (- 1)^q = - 1 }[/math]

czyli [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dla liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(- 1, p) = 2 }[/math], bo [math]\displaystyle{ (- 1)^1 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (- 1)^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Natomiast dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ p = 2 q + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \geqslant 3 }[/math] jest liczbą pierwszą, mamy [math]\displaystyle{ \varphi (p) = p - 1 = 2 q \geqslant 6 }[/math]. Zatem nie może być [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(- 1, p) = \varphi (p) }[/math].


Zadanie L46
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ - g }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Policzmy

[math]\displaystyle{ (- g)^{\varphi (p) / 2} = (- g)^{\tfrac{p - 1}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = (- 1)^{\tfrac{p - 1}{2}} g^{\tfrac{p - 1}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \: \equiv (- 1)^{\tfrac{4 k + 2}{2}} \cdot (- 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \: \equiv - (- 1)^{2 k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \: \equiv + 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ - g }[/math] nie może być generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 3 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L47
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ 4 k + 1 }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ - g }[/math] też jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(- g, p) }[/math]. Z definicji mamy [math]\displaystyle{ (- g)^h \equiv 1 \pmod{p} }[/math]. Podnosząc obie strony kongruencji do kwadratu, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ g^{2 h} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Ale rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] musi dzielić wykładnik [math]\displaystyle{ 2 h }[/math], zatem [math]\displaystyle{ (p - 1) \mid 2 h }[/math], czyli [math]\displaystyle{ 4 k \mid 2 h }[/math], skąd wynika, że [math]\displaystyle{ h }[/math] musi być liczbą parzystą. Jeśli tak, to

[math]\displaystyle{ 1 \equiv (- g)^h \equiv (- 1)^h g^h \equiv g^h \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponownie rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] musi dzielić [math]\displaystyle{ h }[/math], czyli [math]\displaystyle{ (p - 1) \mid h }[/math].

Z właściwości [math]\displaystyle{ h }[/math] jako rzędu liczby [math]\displaystyle{ - g }[/math] mamy [math]\displaystyle{ h \mid (p - 1) }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ h = p - 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; - g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p = 4 k + 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L48
Niech [math]\displaystyle{ p, q \in \mathbb{P} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \geqslant 3 }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ p = 2 q + 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; g \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] ma tylko dwa dzielniki pierwsze. Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to (zobacz J31)

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{p - 1}{2}} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Mamy też

[math]\displaystyle{ g^{\tfrac{p - 1}{q}} = g^2 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Istotnie, gdyby prawdziwa była kongruencja

[math]\displaystyle{ g^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

to mielibyśmy [math]\displaystyle{ g \equiv - 1 \!\! \pmod{p} \; }[/math] lub [math]\displaystyle{ \; g \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Pierwszy przypadek nie jest możliwy ze względu na uczynione założenie, a w drugim przypadku [math]\displaystyle{ g }[/math] byłaby liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo (zobacz J42 p.2)

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{1}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]

Widzimy, że spełnione są założenia twierdzenia L42, zatem [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L49
Niech [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{P} }[/math]. Pokazać, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] ma dzielnik pierwszy nieparzysty [math]\displaystyle{ q }[/math], to istnieje liczba całkowita [math]\displaystyle{ a }[/math], która jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Wiemy, że istnieje [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz J30). Oznaczmy przez [math]\displaystyle{ b }[/math] dowolną z tych liczb, czyli

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]

Niech teraz [math]\displaystyle{ a = b^q }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b^q}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left[ \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \right]^q = (- 1)^q = - 1 }[/math]

Ale

[math]\displaystyle{ a^{\tfrac{p - 1}{q}} = (b^q)^{\tfrac{p - 1}{q}} = b^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) \leqslant {\small\frac{p - 1}{q}} \lt p - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L50
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, dla których liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie jest generatorem. Wskazówka: rozważyć liczby pierwsze postaci [math]\displaystyle{ p = 2^n k + 1 }[/math].

Rozwiązanie

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] liczbę [math]\displaystyle{ p }[/math] możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \cdot 2^{n - 3} + 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz J34 p.7), czyli nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ p = 2^n k + 1 }[/math] istnieje nieskończenie wiele (zobacz L27 lub C27), to możemy stwierdzić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, dla których liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] nie jest generatorem. Co należało pokazać.
□


Zadanie L51
Pokazać, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ q \geqslant 7 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p = 4 q + 1 }[/math] są liczbami pierwszymi, to liczby [math]\displaystyle{ 2 \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \: 3 }[/math] są generatorami modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p = 4 q + 1 }[/math] tworzą ciąg [math]\displaystyle{ 13, 29, 53, 149, 173, 269, 293, 317, 389, 509, 557, 653, 773, 797, \ldots }[/math]

Przypuszczamy, że liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] postaci [math]\displaystyle{ p = 4 q + 1 }[/math] jest nieskończenie wiele, a ilość takich liczb [math]\displaystyle{ p \leqslant n }[/math] jest w przybliżeniu równa [math]\displaystyle{ {\small\frac{C n}{(\log n)^2}} }[/math].

Dla [math]\displaystyle{ q = 3 }[/math] łatwo sprawdzamy, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(2, 13) = 12 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \operatorname{ord}(3, 13) = 3 }[/math].

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ q \geqslant 7 }[/math] jest liczbą pierwszą, to może być tylko postaci [math]\displaystyle{ q = 6 k + 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ q = 6 k + 5 }[/math]. Wynika stąd, że liczba [math]\displaystyle{ p = 4 q + 1 }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ p = 24 k + 5 }[/math], bo w drugim przypadku otrzymujemy [math]\displaystyle{ p = 24 k + 21 }[/math], która jest liczbą złożoną.

Widzimy, że liczby [math]\displaystyle{ 2 \: }[/math] i [math]\displaystyle{ \: 3 }[/math] są liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo odpowiednio [math]\displaystyle{ p \equiv 5 \!\! \pmod{8} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \equiv 5 \!\! \pmod{12} }[/math] (zobacz J42 p.7 i J47).

Niech [math]\displaystyle{ a }[/math] oznacza dowolną z liczb [math]\displaystyle{ 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i niech [math]\displaystyle{ h }[/math] będzie rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ h \mid (p - 1) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ h \mid 4 q }[/math], zatem możliwe wartości [math]\displaystyle{ h }[/math], to [math]\displaystyle{ 1, 2, 4, q, 2 q, 4 q }[/math].

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 13 }[/math] nie są możliwe kongruencje [math]\displaystyle{ a^1 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], [math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], to [math]\displaystyle{ h \neq 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ h \neq 2 }[/math]. Nie może też być [math]\displaystyle{ h = 4 }[/math], bo kongruencja [math]\displaystyle{ a^2 \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math] również nie jest możliwa (zobacz L6).

Z kryterium Eulera (zobacz J31) mamy

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 2} = a^{2 q} \equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Widzimy, że nie może być [math]\displaystyle{ a^q \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo wtedy byłoby [math]\displaystyle{ a^{2 q} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zatem musi być [math]\displaystyle{ a^{4 q} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], czyli rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ a }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Zadanie L52
Znaleźć rozwiązania układu kongruencji

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rl} 11^x \cdot y^5 \equiv 4 & \pmod{13} \\ 6^x \cdot y^6 \equiv 9 & \pmod{13} \\ \end{array} \right. }[/math]

Wskazówka: liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ 13 }[/math].

Rozwiązanie

Dokonujemy podstawień: [math]\displaystyle{ y \equiv 2^z \!\! \pmod{13}, \qquad 11 \equiv 2^7 \!\! \pmod{13}, \qquad 6 \equiv 2^5 \!\! \pmod{13}, \qquad 9 \equiv 2^8 \!\! \pmod{13} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rl} 2^{7 x} \cdot 2^{5 z} \equiv 2^2 & \pmod{13} \\ 2^{5 x} \cdot 2^{6 z} \equiv 2^8 & \pmod{13} \\ \end{array} \right. }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rl} 2^{7 x + 5 z} \equiv 2^2 & \pmod{13} \\ 2^{5 x + 6 z} \equiv 2^8 & \pmod{13} \\ \end{array} \right. }[/math]

Korzystając z twierdzenia L23, dostajemy

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rl} 7 x + 5 z \equiv 2 & \pmod{12} \\ 5 x + 6 z \equiv 8 & \pmod{12} \\ \end{array} \right. }[/math]

Mnożąc pierwszą kongruencję przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], drugą przez [math]\displaystyle{ 7 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rl} 35 x + 25 z \equiv 10 & \pmod{12} \\ 35 x + 42 z \equiv 56 & \pmod{12} \\ \end{array} \right. }[/math]
[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{rl} - x + z \equiv 10 & \pmod{12} \\ - x + 6 z \equiv 8 & \pmod{12} \\ \end{array} \right. }[/math]

Odejmując kongruencje od siebie, mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{rl} 5 z \equiv - 2 & \pmod{12} \\ 25 z \equiv - 10 & \pmod{12} \\ z \equiv 2 & \pmod{12} \\ \end{array} }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ y \equiv 2^2 \equiv 4 \!\! \pmod{13} }[/math]. Podstawiając [math]\displaystyle{ z \equiv 2 \!\! \pmod{12} }[/math] do pierwszej kongruencji, dostajemy [math]\displaystyle{ x \equiv 4 \!\! \pmod{12} }[/math]. Zatem rozwiązaniem układu kongruencji są liczby [math]\displaystyle{ x \equiv 4 \!\! \pmod{12} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ y \equiv 4 \!\! \pmod{13} }[/math].
□


Liczby, które nie mają generatora

 

Uwaga L53
Rozważymy dwa przypadki: gdy liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math] i gdy liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ m }[/math]. W pierwszym przypadku [math]\displaystyle{ m }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ m = r p^k }[/math], a w drugim [math]\displaystyle{ m = 2^k }[/math].


Twierdzenie L54
Niech [math]\displaystyle{ k, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Jeżeli [math]\displaystyle{ m = r p^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid r \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; r \geqslant 3 }[/math], to nie istnieją generatory modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie dowolną liczbą całkowitą i [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \varphi (r) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \varphi (p^k) }[/math] są liczbami parzystymi (zobacz H38), to z twierdzenia Eulera otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) / 2} = \left[ a^{\varphi (r)} \right]^{\varphi (p^k) / 2} \equiv 1 \!\! \pmod{r} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) / 2} = \left[ a^{\varphi (p^k)} \right]^{\varphi (r) / 2} \equiv 1 \!\! \pmod{p^k} }[/math]

Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ r \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p^k }[/math] są względnie pierwsze, zatem (zobacz J1)

[math]\displaystyle{ a^{\varphi (m) / 2} \equiv 1 \!\! \pmod{r p^k} }[/math]

Co oznacza, że nie istnieje liczba, której rząd modulo [math]\displaystyle{ m = r p^k }[/math] wynosiłby [math]\displaystyle{ \varphi (m) }[/math], czyli nie istnieją generatory modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
□


Wniosek L55
Z twierdzenia L54 wynika natychmiast, że poza potęgami liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jedynie liczby postaci [math]\displaystyle{ p^k }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 p^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, mogą mieć generatory. Problem istnienia generatorów dla liczb postaci [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] rozstrzyga następne twierdzenie.


Twierdzenie L56
Nie istnieją generatory modulo [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math]

Dowód

Udowodnimy (indukcja matematyczna), że dla dowolnej liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math] prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ a^{2^{\large {k - 2}}} \equiv 1 \!\! \pmod{2^k} \qquad \qquad (1) }[/math]

Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math], bo dla dowolnej liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ a }[/math] prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ a^2 \equiv 1 \!\! \pmod{8} }[/math]

Dla dowodu wystarczy rozważyć modulo [math]\displaystyle{ 8 }[/math] liczby nieparzyste postaci [math]\displaystyle{ 4 j + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ 4 j + 3 }[/math].

Załóżmy, że wzór [math]\displaystyle{ (1) }[/math] jest prawdziwy dla pewnego [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math]. Z uczynionego założenia wynika, że istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ t }[/math], że

[math]\displaystyle{ a^{2^{\large {k - 2}}} = 1 + t \cdot 2^k }[/math]

Podnosząc obie strony powyższej równości do kwadratu, z łatwością pokazujemy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ a^{2^{\large {k - 1}}} = 1 + 2 t \cdot 2^k + t^2 \cdot 2^{2 k} \equiv 1 \!\! \pmod{2^{k + 1}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny wzoru [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Ze wzoru [math]\displaystyle{ (1) }[/math] wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, 2^k) \leqslant 2^{k - 2} }[/math], ale [math]\displaystyle{ \varphi (2^k) = 2^{k - 1} }[/math], zatem rząd liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] nigdy nie będzie równy [math]\displaystyle{ \varphi (2^k) }[/math]. Co należało pokazać.
□


Liczba pierwsza ma generator

 

Uwaga L57
Zauważmy, że istnienie generatora dla liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math] jest prostym wnioskiem z twierdzenia L21. Ponieważ [math]\displaystyle{ h = p - 1 }[/math] dzieli liczbę [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], to istnieje [math]\displaystyle{ \varphi (p - 1) }[/math] liczb, których rząd modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h = p - 1 = \varphi (p) }[/math], czyli generatorów modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Dowód twierdzenia L21 jest dowodem niekonstruktywnym – nie pokazaliśmy jawnie sposobu otrzymania liczby, która byłaby generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. W kolejnym twierdzeniu przedstawimy dowód konstruktywny.


Twierdzenie L58 (Carl Friedrich Gauss, 1801)
Każda liczba pierwsza ma generator.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą. Liczba [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math] ma generator [math]\displaystyle{ g = 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ \varphi (2) = 1 }[/math]. Zatem możemy założyć, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Niech liczba [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] ma następujący rozkład na czynniki pierwsze

[math]\displaystyle{ p - 1 = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s }[/math]

Z twierdzenia Lagrange'a (zobacz J14) wynika, że każda z kongruencji

[math]\displaystyle{ x^{\tfrac{p - 1}{q_i}} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

ma co najwyżej [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{q_i}} }[/math] rozwiązań. Ponieważ

[math]\displaystyle{ (p - 1) - {\small\frac{p - 1}{q_i}} \geqslant (p - 1) - {\small\frac{p - 1}{2}} = {\small\frac{p - 1}{2}} }[/math]

to dla każdej z wypisanych wyżej kongruencji istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ w_i \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], która nie jest rozwiązaniem powyższej kongruencji.


Zdefiniujmy liczbę [math]\displaystyle{ a_i }[/math] następująco

[math]\displaystyle{ a_i = (w_i)^{(p - 1) / q_i^{\large \alpha_i}} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ (a_i)^{q_i^{\large \alpha_i}} = (w_i)^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ (a_i)^{q_i^{\large \alpha_i - 1}} = (w_i)^{\tfrac{p - 1}{q_i}} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a_i, p) = q^{\alpha_i}_i }[/math] (zobacz L25). Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ i \neq j }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \gcd (\operatorname{ord}(a_i, p), \operatorname{ord}(a_j, p) ) = \gcd (q^{\alpha_i}_i, q^{\alpha_j}_j) = 1 }[/math]


Pamiętamy, że liczby [math]\displaystyle{ w_i }[/math] wybraliśmy tak, aby [math]\displaystyle{ \gcd (w_i, p) = 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \gcd (a_i, p) = 1 }[/math]. Ponieważ spełnione są założenia twierdzenia L15, to

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a_1 \cdot \ldots \cdot a_s, p) = q^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot q^{\alpha_s}_s = p - 1 }[/math]

Co oznacza, że liczba [math]\displaystyle{ a_1 \cdot \ldots \cdot a_s }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Kwadrat liczby pierwszej ma generator

 

Twierdzenie L59
Niech [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{P} }[/math], [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, p) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) = \begin{cases} h & \text{gdy } a^h \equiv 1 \; \pmod{p^2} \\ h p & \text{gdy } a^h \not\equiv 1 \; \pmod{p^2} \\ \end{cases} }[/math]
Dowód

1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2}} }[/math]

Zauważmy, że nie istnieje liczba [math]\displaystyle{ d \lt h }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ a^d \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ a^d \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) = h }[/math].

2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a^h \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2}} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(a, p^2) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ p \mid p^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ h \mid f }[/math] (zobacz L8 p.2), czyli [math]\displaystyle{ f = s \cdot h }[/math].

Z definicji liczby [math]\displaystyle{ h }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z powyższej kongruencji oraz twierdzenia L97 wynika, że

[math]\displaystyle{ a^{h p} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Liczba [math]\displaystyle{ f }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f \mid h p }[/math] (zobacz L8 p.1). Ponieważ [math]\displaystyle{ f = s \cdot h }[/math], to mamy

[math]\displaystyle{ s h \mid h p \qquad \Longrightarrow \qquad s \mid p \qquad \Longrightarrow \qquad s = 1 \qquad \text{lub} \qquad s = p \qquad \Longrightarrow \qquad f = h \qquad \text{lub} \qquad f = h p }[/math]

Ale nie może być [math]\displaystyle{ f = h }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math], wbrew założeniu. Zatem musi być [math]\displaystyle{ f = h p }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L60
Niech [math]\displaystyle{ h }[/math] będzie rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Rząd przynajmniej jednej z liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ a + p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ h p }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p) = \operatorname{ord}(a + p, p) = h }[/math] (zobacz L14). Z twierdzenia L59 wiemy, że rząd każdej z liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ a + p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] może być równy [math]\displaystyle{ h }[/math] lub [math]\displaystyle{ h p }[/math]. Udowodnimy, że rzędy liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ a + p }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] nie mogą być jednocześnie równe [math]\displaystyle{ h }[/math], zatem rząd przynajmniej jednej z nich jest równy [math]\displaystyle{ h p }[/math].

Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) = \operatorname{ord}(a + p, p^2) = h }[/math]. Wynika stąd, że prawdziwe są kongruencje

[math]\displaystyle{ a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} \qquad \text{i} \qquad (a + p)^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Ze wzoru dwumianowego dostajemy

[math]\displaystyle{ (a + p)^h = \sum_{i = 0}^h \binom{h}{i} a^{h - i} p^i }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a^h + h \cdot a^{h - 1} p + \sum_{i = 2}^h \binom{h}{i} a^{h - i} p^i }[/math]

Zatem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 \equiv (a + p)^h - a^h }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv a^h + h \cdot a^{h - 1} p + \sum_{i = 2}^h \binom{h}{i} a^{h - i} p^i - a^h }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: \equiv h \cdot a^{h - 1} p \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ p^2 \mid (h \cdot a^{h - 1} p) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \mid (h \cdot a^{h - 1}) }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math], skąd wynika, że [math]\displaystyle{ p \mid h }[/math], ale [math]\displaystyle{ h }[/math] jest rzędem liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ h \mid \varphi (p) }[/math]. Łącząc, otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ p \mid \varphi (p) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ p \mid (p - 1) }[/math], co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
□


Przykład L61
Niech [math]\displaystyle{ p = 7 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ a = 2, 3, 4, 5, 6 }[/math] mamy odpowiednio [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, p) = 3, 6, 3, 6, 2 }[/math]. Łatwo sprawdzamy, że dla tych liczb jest

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) = \operatorname{ord}(a + p, p^2) = h p }[/math]


Twierdzenie L62
Jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] lub [math]\displaystyle{ g + p }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math].

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ \varphi (p) = p - 1 }[/math]. Z twierdzenia L60 otrzymujemy natychmiast, że rząd przynajmniej jednej z liczb [math]\displaystyle{ g }[/math] lub [math]\displaystyle{ g + p }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ (p - 1) p = \varphi (p^2) }[/math], czyli jedna z tych liczb jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Liczba [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p^n} }[/math] ma generator ([math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \geqslant 3} }[/math])

 

Twierdzenie L63
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math], to jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(g, p^{n + 1}) }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(g, p^n) = \varphi (p^n) }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid p^{n + 1} }[/math], to z twierdzenia L8 p.2 wiemy, że [math]\displaystyle{ h \mid f }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f = k h = k \varphi (p^n) }[/math].

Z zadania L9 mamy [math]\displaystyle{ f \mid \varphi (p^{n + 1}) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ k \varphi (p^n) \mid \varphi (p^{n + 1}) }[/math], zatem (zobacz H36) [math]\displaystyle{ k \varphi (p^n) \mid p \varphi (p^n) }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ k \mid p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ k = p }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ k = p }[/math], to [math]\displaystyle{ f = p \varphi (p^n) = \varphi (p^{n + 1}) }[/math] i twierdzenie zostało dowiedzione.

Jeżeli [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ f = \varphi (p^n) }[/math]. Aby wykluczyć wartość [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math], wystarczy pokazać, że [math]\displaystyle{ f = \varphi (p^n) }[/math] nie może być rzędem liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math], czyli, że

[math]\displaystyle{ g^{\varphi (p^{\large n})} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Z twierdzenia Eulera mamy

[math]\displaystyle{ g^{\varphi (p^{\large n - 1})} \equiv 1 \!\! \pmod{p^{n - 1}} }[/math]

Zatem istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ s }[/math], że

[math]\displaystyle{ g^{\varphi (p^{\large n - 1})} = 1 + s p^{n - 1} }[/math]

Gdyby [math]\displaystyle{ p \mid s }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math] mielibyśmy

[math]\displaystyle{ g^{\varphi (p^{\large n - 1})} \equiv 1 \!\! \pmod{p^n} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(g, p^n) = \varphi (p^n) = p \varphi (p^{n - 1}) }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ p \nmid s }[/math].

Korzystając ze wzoru dwumianowego, dostajemy

[math]\displaystyle{ g^{\varphi (p^{\large n})} = g^{p \varphi (p^{\large n - 1})} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = [g^{\varphi (p^{\large n - 1})}]^p }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = (1 + s p^{n - 1})^p = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{i = 0}^{p} \binom{p}{i} s^i p^{i (n - 1)} = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 1 + s p^n + {\small\frac{p (p - 1)}{2}} s^2 p^{2 (n - 1)} + \sum_{i = 3}^{p} \binom{p}{i} s^i p^{i (n - 1)} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Wystarczy zauważyć, że w przedostatniej linii trzeci i czwarty wyraz są podzielne przez [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math], co wynika z prostych oszacowań

  •    dla [math]\displaystyle{ \; n \geqslant 2 \; }[/math] jest [math]\displaystyle{ \; 1 + 2 (n - 1) \geqslant n + 1 }[/math]
  •    dla [math]\displaystyle{ \; n \geqslant 2 \; }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \; i \geqslant 3 \; }[/math] jest [math]\displaystyle{ \; i(n - 1) = n - 1 + (i - 1)(n - 1) \geqslant n - 1 + 2 \cdot 1 = n + 1 }[/math]

Co należało pokazać.
□


Liczba [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2 p^n} }[/math] ma generator ([math]\displaystyle{ \boldsymbol{p \geqslant 3} }[/math])

 

Twierdzenie L64
Każda liczba [math]\displaystyle{ 2 p^n }[/math] ma generator, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest liczbą nieparzystą (gdyby było inaczej, to rozpatrywalibyśmy liczbę [math]\displaystyle{ g + p^n }[/math], która też jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]). Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ g \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, p^n }[/math] są nieparzyste i [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, p^n) = \varphi (p^n) }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, 2 p^n) = \varphi (p^n) = \varphi (2 p^n) }[/math] (zobacz L17), czyli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ 2 p^n }[/math].

Jeśli nie chcemy wchodzić w szczegóły zadania L17, to wystarczy zauważyć, że wybór liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] tak, aby była nieparzystym generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math], zapewnia nam, że [math]\displaystyle{ \gcd (g, 2 p^n) = 1 }[/math], czyli rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 2 p^n }[/math] jest określony.

Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid 2p^n }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, p^n) \mid \operatorname{ord}(g, 2 p^n) }[/math] (zobacz L8 p.2), zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \varphi (2 p^n) = \varphi (2) \varphi (p^n) = \varphi (p^n) = \operatorname{ord}(g, p^n) \leqslant \operatorname{ord}(g, 2 p^n) \leqslant \varphi (2 p^n) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, 2 p^n) = \varphi (2 p^n) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ 2 p^n }[/math]. Co należało pokazać.
□


Najmniejsze dodatnie generatory modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] i modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p^2} }[/math]

 

Uwaga L65
Z twierdzenia L43 wiemy, że każdy generator [math]\displaystyle{ g }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ale nie każda liczba niekwadratowa modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz L49). Wynika stąd, że najmniejszy dodatni generator [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być mniejszy od najmniejszej dodatniej liczby niekwadratowej [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) \geqslant \mathbb{n} (p) }[/math].

W tabeli przedstawiliśmy przypadki, gdy [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) \gt \mathbb{n} (p) }[/math] dla początkowych liczb pierwszych.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 103 }[/math] [math]\displaystyle{ 109 }[/math] [math]\displaystyle{ 151 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 191 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 251 }[/math] [math]\displaystyle{ 271 }[/math] [math]\displaystyle{ 277 }[/math] [math]\displaystyle{ 283 }[/math] [math]\displaystyle{ 307 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math] [math]\displaystyle{ 331 }[/math] [math]\displaystyle{ 337 }[/math] [math]\displaystyle{ 367 }[/math] [math]\displaystyle{ 397 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math] [math]\displaystyle{ 439 }[/math] [math]\displaystyle{ 457 }[/math] [math]\displaystyle{ 499 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{n} (p)} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\mathbb{g} (p)} }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]


Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) \geqslant \mathbb{n} (p) }[/math], to z twierdzenia K18 otrzymujemy natychmiast, że istnieje niekończenie wiele liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że najmniejszy generator modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] jest większy od [math]\displaystyle{ {\small\frac{\log p}{2 L \log 2}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ L }[/math] jest stałą Linnika (zobacz C30). Zobacz też K16 i K17.


Liczby [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) }[/math] są bardzo małe, podobnie jak najmniejsze dodatnie liczby niekwadratowe [math]\displaystyle{ \mathbb{n} (p) }[/math]. Przypuszczamy[4][5], że istnieje skończona granica

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} \mathbb{g} (p) = 4.9264 \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi.


Oszacowania [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) }[/math]:

  •    oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) \lt \sqrt{p} - 2 }[/math] jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ 409 \lt p \lt 2.5 \cdot 10^{15} }[/math] i dla [math]\displaystyle{ p \gt 3.67 \cdot 10^{71} }[/math][6]
  •    oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) \lt \sqrt{p} }[/math] jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ p \gt 10^{56} }[/math][7]

Dla [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p^2) }[/math] możemy łatwo pokazać oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p^2) \lt p }[/math] (zobacz L66).


Twierdzenie L66
Niech [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Prawdziwe są następujące stwierdzenia

  •    rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ p(p - 1) }[/math]
  •    [math]\displaystyle{ a }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ a^{p - 1} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]
  •    jeżeli [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt p \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; b \, }[/math] jest elementem odwrotnym liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to co najmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ a, b }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math]
  •    jeżeli [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p^2) }[/math] jest najmniejszym dodatnim generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math], to prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p^2) \lt p }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Niech [math]\displaystyle{ f = \operatorname{ord}(a, p^2) }[/math]. Z definicji rzędu liczby

[math]\displaystyle{ a^f \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ a^f \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ a }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ (p - 1) \mid f }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f = s (p - 1) }[/math]. Z zadania L9 wiemy, że [math]\displaystyle{ s(p - 1) \mid p (p - 1) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ s \mid p }[/math] i otrzymujemy [math]\displaystyle{ s = 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ s = p }[/math].

Wynika stąd, że jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ p(p - 1) }[/math].


Punkt 2.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) \leqslant p - 1 \lt p (p - 1) = \varphi (p^2) }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ a }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ g^{p - 1} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math], zatem nie może być [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, p^2) = p - 1 }[/math]. Z punktu 1. wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, p^2) = p (p - 1) = \varphi (p^2) }[/math]. Co należało pokazać.


Punkt 3.

W pracy[8] z 1867 roku Victor-Amédée Lebesgue podał dowodzone tutaj stwierdzenie bez dowodu. Poniższy dowód jest uproszczoną wersją dowodu przedstawionego przez Johna Maxfielda i Margaret Maxfield[9].

Z punktu 1. wiemy, że rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ p(p - 1) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) = p (p - 1) }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Musimy pokazać, że w przypadku gdy [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(a, p^2) = p - 1 }[/math], jest [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(b, p^2) = p (p - 1) }[/math].

Dla poprawienia czytelności przekształceń oznaczmy [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(a, p) = p - 1 }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ a b \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(b, p) = h = p - 1 }[/math] (zobacz L7). Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ b \equiv a^{h - 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

Zatem dla pewnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ k }[/math] jest

[math]\displaystyle{ b = a^{h - 1} + k p }[/math]

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ p \mid k }[/math]. Dostajemy

[math]\displaystyle{ b \equiv a^{h - 1} \!\! \pmod{p^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ a b \equiv a^h \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Ale z założenia [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 0 \lt a b - 1 \lt p^2 - 1 \lt p^2 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ p^2 \nmid (a b - 1) }[/math]. Wynika stąd, że uczynione przypuszczenie jest nieprawdziwe i [math]\displaystyle{ p \nmid k }[/math].

Zgodnie z punktem 2. pozostaje pokazać, że [math]\displaystyle{ b^h \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ b^h = (a^{h - 1} + k p)^h }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{j = 0}^{h} \binom{h}{j} (a^{h - 1})^{h - j} \cdot (k p)^j }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = (a^{h - 1})^h + h (a^{h - 1})^{h - 1} \cdot k p + \sum_{j = 2}^{h} \binom{h}{j} (a^{h - 1})^{h - j} \cdot (k p)^j }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: \equiv (a^h)^{h - 1} + h a^{(h - 1)^{\large 2}} \cdot k p \!\! \pmod{p^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: \equiv 1 + h b^{3 h - 1} \cdot k p \!\! \pmod{p^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: \not\equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

gdzie uwzględniliśmy, że

[math]\displaystyle{ (h - 1)^2 = (p - 2)^2 = p (p - 1) - (3 p - 4) = \varphi (p^2) - (3 h - 1) }[/math]

Co kończy dowód.


Punkt 4.

Punkt 4. jest prostym wnioskiem z punktu 3.
□


Zadanie L67
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. Pokazać, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Pierwszy sposób
Przypuśćmy, w celu otrzymania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ g }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem istnieje liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ r \lt p - 1 }[/math] taka, że

[math]\displaystyle{ g^r \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia L97 dostajemy

[math]\displaystyle{ g^{rp} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Ale [math]\displaystyle{ r p \lt (p - 1) p = \varphi (p^2) }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math].


Drugi sposób
Niech [math]\displaystyle{ h = \operatorname{ord}(g, p) }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ g^h \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Z twierdzenia L97 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ g^{h p} \equiv 1 \!\! \pmod{p^2} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}(g, p^2) = \varphi (p^2) = p (p - 1) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p(p - 1) \mid h p }[/math], czyli [math]\displaystyle{ (p - 1) \mid h }[/math] i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ h = s (p - 1) \leqslant \varphi (p) = p - 1 }[/math]

Skąd wynika, że [math]\displaystyle{ h = p - 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L68
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ a^n }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ n }[/math] musi być liczbą nieparzystą, bo gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą parzystą, to [math]\displaystyle{ a^n }[/math] jest liczbą kwadratową i nie może być generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz L44). Załóżmy, dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ a }[/math] nie jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem musi istnieć taki dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ q }[/math] liczby [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math], że

[math]\displaystyle{ a^{\tfrac{p - 1}{q}} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Podnosząc obie strony kongruencji do [math]\displaystyle{ n }[/math]-tej potęgi, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (a^n)^{\tfrac{p - 1}{q}} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wbrew założeniu, że liczba [math]\displaystyle{ a^n }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Zadanie L69
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ 8 }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ p = 24 k + 5 }[/math] lub [math]\displaystyle{ p = 24 k + 11 }[/math].

Rozwiązanie

Załóżmy dla uzyskania sprzeczności, że [math]\displaystyle{ 3 \mid (p - 1) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 8^{\tfrac{p - 1}{3}} = 2^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ 8 }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz L42). Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ 3 \nmid (p - 1) }[/math] i musi być

[math]\displaystyle{ p - 1 = 3 k + 1 \qquad \qquad \text{lub} \qquad \qquad p - 1 = 3 k + 2 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ p = 3 k + 2 \qquad \qquad \quad \;\;\, \text{lub} \qquad \qquad p = 3 k + 3 }[/math]

Drugi przypadek nie jest możliwy, bo liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] byłaby liczbą złożoną.

Z zadania L68 wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], skąd wynika, że liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ p = 8 k \pm 3 }[/math] (zobacz J34 p.7). Z chińskiego twierdzenia o resztach (zobacz J3) wynika, że układom kongruencji

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{cc} p \equiv 2 & \pmod{3} \\ p \equiv 3 & \pmod{8} \\ \end{array} \right. \qquad \qquad \qquad \left\{ \begin{array}{ccc} p \equiv 2 & \pmod{3} \\ p \equiv 5 & \pmod{8} \\ \end{array} \right. }[/math]

odpowiadają kongruencje [math]\displaystyle{ p \equiv 11 \!\! \pmod{24} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \equiv 5 \!\! \pmod{24} }[/math]. Co należało pokazać.

Najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math], dla których liczba [math]\displaystyle{ 8 }[/math] jest generatorem: [math]\displaystyle{ 11, 29, 53, 59, 83, 101, 107, \ldots }[/math]
□


Przykład L70

Tabele zawierają najmniejsze liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \mathbb{g} (p) = n }[/math], dla [math]\displaystyle{ 1 \leqslant n \leqslant 100 }[/math] (zobacz A023048).

Pokaż tabele
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math]
[math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math]
[math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 313 }[/math]
[math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 643 }[/math]
[math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 4111 }[/math]
[math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 457 }[/math]
[math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 1031 }[/math]
[math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 439 }[/math]
[math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 311 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 53173 }[/math]
[math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 191 }[/math]
[math]\displaystyle{ 20 }[/math] [math]\displaystyle{ 107227 }[/math]
[math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 409 }[/math]
[math]\displaystyle{ 22 }[/math] [math]\displaystyle{ 3361 }[/math]
[math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 2161 }[/math]
[math]\displaystyle{ 24 }[/math] [math]\displaystyle{ 533821 }[/math]
[math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ 26 }[/math] [math]\displaystyle{ 12391 }[/math]
[math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 28 }[/math] [math]\displaystyle{ 133321 }[/math]
[math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 15791 }[/math]
[math]\displaystyle{ 30 }[/math] [math]\displaystyle{ 124153 }[/math]
[math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 5881 }[/math]
[math]\displaystyle{ 32 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 268969 }[/math]
[math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 48889 }[/math]
[math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 64609 }[/math]
[math]\displaystyle{ 36 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 36721 }[/math]
[math]\displaystyle{ 38 }[/math] [math]\displaystyle{ 55441 }[/math]
[math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 166031 }[/math]
[math]\displaystyle{ 40 }[/math] [math]\displaystyle{ 1373989 }[/math]
[math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 156601 }[/math]
[math]\displaystyle{ 42 }[/math] [math]\displaystyle{ 2494381 }[/math]
[math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 95471 }[/math]
[math]\displaystyle{ 44 }[/math] [math]\displaystyle{ 71761 }[/math]
[math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 95525767 }[/math]
[math]\displaystyle{ 46 }[/math] [math]\displaystyle{ 273001 }[/math]
[math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 275641 }[/math]
[math]\displaystyle{ 48 }[/math] [math]\displaystyle{ 823766851 }[/math]
[math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 50 }[/math] [math]\displaystyle{ 23126821 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ 51 }[/math] [math]\displaystyle{ 322999 }[/math]
[math]\displaystyle{ 52 }[/math] [math]\displaystyle{ 129361 }[/math]
[math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 161831 }[/math]
[math]\displaystyle{ 54 }[/math] [math]\displaystyle{ 4348468741 }[/math]
[math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 459841 }[/math]
[math]\displaystyle{ 56 }[/math] [math]\displaystyle{ 219605251 }[/math]
[math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 471769 }[/math]
[math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 336361 }[/math]
[math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 712321 }[/math]
[math]\displaystyle{ 60 }[/math] [math]\displaystyle{ 697591 }[/math]
[math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 1171921 }[/math]
[math]\displaystyle{ 62 }[/math] [math]\displaystyle{ 658681 }[/math]
[math]\displaystyle{ 63 }[/math] [math]\displaystyle{ 102896401 }[/math]
[math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 11089681 }[/math]
[math]\displaystyle{ 66 }[/math] [math]\displaystyle{ 27955201 }[/math]
[math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 3384481 }[/math]
[math]\displaystyle{ 68 }[/math] [math]\displaystyle{ 3733801 }[/math]
[math]\displaystyle{ 69 }[/math] [math]\displaystyle{ 110881 }[/math]
[math]\displaystyle{ 70 }[/math] [math]\displaystyle{ 5620201 }[/math]
[math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 3659401 }[/math]
[math]\displaystyle{ 72 }[/math] [math]\displaystyle{ 226547941621 }[/math]
[math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 760321 }[/math]
[math]\displaystyle{ 74 }[/math] [math]\displaystyle{ 8954401 }[/math]
[math]\displaystyle{ 75 }[/math] [math]\displaystyle{ 194515471 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ 76 }[/math] [math]\displaystyle{ 25291561 }[/math]
[math]\displaystyle{ 77 }[/math] [math]\displaystyle{ 8359009 }[/math]
[math]\displaystyle{ 78 }[/math] [math]\displaystyle{ 102009601 }[/math]
[math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 7510801 }[/math]
[math]\displaystyle{ 80 }[/math] [math]\displaystyle{ 596653488817 }[/math]
[math]\displaystyle{ 81 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]
[math]\displaystyle{ 82 }[/math] [math]\displaystyle{ 24818641 }[/math]
[math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 16889161 }[/math]
[math]\displaystyle{ 84 }[/math] [math]\displaystyle{ 16271999719 }[/math]
[math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 23821561 }[/math]
[math]\displaystyle{ 86 }[/math] [math]\displaystyle{ 7415641 }[/math]
[math]\displaystyle{ 87 }[/math] [math]\displaystyle{ 41299801 }[/math]
[math]\displaystyle{ 88 }[/math] [math]\displaystyle{ 264935161 }[/math]
[math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 6366361 }[/math]
[math]\displaystyle{ 90 }[/math] [math]\displaystyle{ 341058118633 }[/math]
[math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 70716649 }[/math]
[math]\displaystyle{ 92 }[/math] [math]\displaystyle{ 110591881 }[/math]
[math]\displaystyle{ 93 }[/math] [math]\displaystyle{ 65150401 }[/math]
[math]\displaystyle{ 94 }[/math] [math]\displaystyle{ 5109721 }[/math]
[math]\displaystyle{ 95 }[/math] [math]\displaystyle{ 29128969 }[/math]
[math]\displaystyle{ 96 }[/math] [math]\displaystyle{ 5260410488191 }[/math]
[math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 17551561 }[/math]
[math]\displaystyle{ 98 }[/math] [math]\displaystyle{ 179199874981 }[/math]
[math]\displaystyle{ 99 }[/math] [math]\displaystyle{ 2648833321 }[/math]
[math]\displaystyle{ 100 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math]


□



Kongruencje wielomianowe

Definicja L71
Kongruencjami wielomianowymi modulo liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] nazywamy kongruencje postaci

[math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ W_n (x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 }[/math].

Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a_n }[/math], to powiemy, że stopień kongruecji [math]\displaystyle{ W_n (x) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ n }[/math] (zobacz J9, J10, J14).


Twierdzenie L72
Niech [math]\displaystyle{ x, a \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ \; n, m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, m) = 1 }[/math]. Rozważmy kongruencje

[math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Jeżeli pierwsza z tych kongruencji ma rozwiązania, to obie kongruencje mają taką samą ilość rozwiązań.

Dowód

Niech zbiory [math]\displaystyle{ S_1 = \{ \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_r \} }[/math] i [math]\displaystyle{ S_a = \{ \alpha_1, \ldots, \alpha_t \} }[/math] będą zbiorami wszystkich (różnych modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]) rozwiązań kongruencji [math]\displaystyle{ x^n \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math] i odpowiednio [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math].

Zbiory [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ S_a }[/math] nie są zbiorami pustymi, bo [math]\displaystyle{ 1 \in S_1 }[/math], a kongruencja [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math] ma z założenia przynajmniej jedno rozwiązanie.

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] jest pierwiastkiem kongruencji [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \gcd (\alpha^n_1, m) = \gcd (a, m) = 1 }[/math]

czyli [math]\displaystyle{ \gcd (\alpha_1, m) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Niech liczby [math]\displaystyle{ \Alpha_i = \alpha_1 \cdot \varepsilon_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon_i \in S_1 }[/math], tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S_{\Alpha} = \{ \Alpha_1, \ldots, \Alpha_r \} }[/math]. Łatwo zauważamy, że elementy zbioru [math]\displaystyle{ S_{\Alpha} }[/math]

  •   są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo liczba [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] ma element odwrotny (zobacz H21), zatem z definicji [math]\displaystyle{ | S_1 | = | S_{\Alpha} | }[/math]
  •   są rozwiązaniami kongruencji [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math], bo
[math]\displaystyle{ (\Alpha_i)^n = (\alpha_1 \cdot \varepsilon_i)^n = (\alpha_1)^n (\varepsilon_i)^n \equiv a \cdot 1 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ S_{\Alpha} \subseteq S_a }[/math] i [math]\displaystyle{ | S_{\Alpha} | \leqslant | S_a | }[/math].

Niech liczby [math]\displaystyle{ \Epsilon_j = \alpha^{- 1}_1 \cdot \alpha_j }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \alpha_j \in S_a }[/math], tworzą zbiór [math]\displaystyle{ S_{\Epsilon} = \{ \Epsilon_1, \ldots, \Epsilon_t \} }[/math]. Łatwo zauważamy, że elementy zbioru [math]\displaystyle{ S_{\Epsilon} }[/math]

  •   są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], bo liczba [math]\displaystyle{ \alpha^{- 1}_1 }[/math] ma element odwrotny (zobacz H21), zatem z definicji [math]\displaystyle{ | S_a | = | S_{\Epsilon} | }[/math]
  •   są rozwiązaniami kongruencji [math]\displaystyle{ x^n \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math], bo
[math]\displaystyle{ (\Epsilon_j)^n = (\alpha^{- 1}_1 \cdot \alpha_j)^n = (\alpha^{- 1}_1)^n \cdot (\alpha_j)^n \equiv [(\alpha_1)^n]^{- 1} \cdot a \equiv a^{- 1} \cdot a \equiv 1 \!\! \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ S_{\Epsilon} \subseteq S_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ | S_{\Epsilon} | \leqslant | S_1 | }[/math].

Łącząc oszacowania, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | S_1 | = | S_{\Alpha} | \leqslant | S_a | = | S_{\Epsilon} | \leqslant | S_1 | }[/math]

Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ | S_1 | = | S_a | }[/math]. Co należało pokazać.
□


Zadanie L73
Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą, która ma generator i istnieją rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^2 \equiv a \!\! \pmod{m} }[/math]. Pokazać, że istnieją dokładnie dwa rozwiązania tej kongruencji. Wskazówka: zobacz dowód twierdzenia L36.


Twierdzenie L74
Niech [math]\displaystyle{ x, a \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ \; n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ p \nmid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d = \gcd (n, p - 1) }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

[math]\displaystyle{ x^d \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązanie.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie, powiedzmy [math]\displaystyle{ x \equiv u \!\! \pmod{p} }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ d \mid n }[/math], to

[math]\displaystyle{ a \equiv u^n \equiv u^{k d} \equiv (u^k)^d \!\! \pmod{p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^d \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie, powiedzmy [math]\displaystyle{ x \equiv u \!\! \pmod{p} }[/math]. Z lematu Bézouta (zobacz C73) wiemy, że istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ r, s }[/math], że [math]\displaystyle{ n r + (p - 1) s = d }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a \equiv u^d \equiv u^{n r + (p - 1) s} \equiv (u^r)^n \cdot (u^{p - 1})^s \equiv (u^r)^n \!\! \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L75
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą. Jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid (p - 1) }[/math], to kongruencja [math]\displaystyle{ x^d \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] ma dokładnie [math]\displaystyle{ d }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid (p - 1) }[/math], to

[math]\displaystyle{ x^{p - 1} - 1 = (x^d - 1) (1 + x^d + x^{2 d} + \ldots + x^{p - 1 - 2 d} + x^{p - 1 - d}) = (x^d - 1) \sum_{k = 1}^{(p - 1) / d} x^{p - 1 - k d} }[/math]

Z twierdzenia Fermata wiemy, że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^{p - 1} - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \qquad (1) }[/math]

ma dokładnie [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i są nimi liczby [math]\displaystyle{ 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math].

Z twierdzenia Lagrange'a liczba rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ x^d - 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \qquad \;\;\; (2) }[/math]

spełnia warunek [math]\displaystyle{ \alpha \leqslant d }[/math], a liczba rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ x^{p - 1 - d} + x^{p - 1 - 2 d} + \ldots + x^d + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \qquad (3) }[/math]

spełnia warunek [math]\displaystyle{ \beta \leqslant p - 1 - d }[/math]. Z tych dwóch warunków wynika, że

[math]\displaystyle{ \alpha + \beta \leqslant p - 1 }[/math]

Jednocześnie każde rozwiązanie kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] jest rozwiązaniem jednej lub obydwu kongruencji [math]\displaystyle{ (2) }[/math] i [math]\displaystyle{ (3) }[/math], zatem musi być

[math]\displaystyle{ p - 1 \leqslant \alpha + \beta }[/math]

Łącząc, dostajemy

[math]\displaystyle{ p - 1 \leqslant \alpha + \beta \leqslant p - 1 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ \alpha + \beta = p - 1 }[/math]. Z prostego oszacowania

[math]\displaystyle{ \alpha \leqslant d = (p - 1) - (p - 1 - d) = \alpha + \beta - (p - 1 - d) \leqslant \alpha + (p - 1 - d) - (p - 1 - d) = \alpha }[/math]

otrzymujemy [math]\displaystyle{ \alpha = d }[/math].

Jeśli tak, to [math]\displaystyle{ \beta = p - 1 - \alpha = p - 1 - d }[/math].

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L76
Niech [math]\displaystyle{ p \nmid a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d = \gcd (n, p - 1) }[/math]. Jeżeli jedna z kongruencji

[math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^d \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązania, to każda z tych kongruencji ma dokładnie [math]\displaystyle{ d }[/math] rozwiązań.

Dowód

Dowód jest prostym wnioskiem z twierdzeń L74, L72 i L75.

Niech [math]\displaystyle{ S_{n, a} }[/math], [math]\displaystyle{ S_{n, 1} }[/math], [math]\displaystyle{ S_{d, a} }[/math] i [math]\displaystyle{ S_{d, 1} }[/math] będą odpowiednio zbiorami (różnych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]) rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^d \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^d \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math] i [math]\displaystyle{ d = \gcd (n, p - 1) }[/math]. Oto co na temat ilości rozwiązań możemy powiedzieć na podstawie wspomnianych twierdzeń.

Z twierdzenia L74:   [math]\displaystyle{ | S_{n, a} | = | S_{d, a} | }[/math]

Z twierdzenia L72:   [math]\displaystyle{ | S_{n, a} | = | S_{n, 1} | }[/math]   (jeżeli kongruencja [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązania)

Z twierdzenia L75:   [math]\displaystyle{ | S_{d, 1} | = d }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązania, to korzystając kolejno z twierdzeń L74, L72 i L75, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | S_{n, a} | = | S_{d, a} | = | S_{d, 1} | = d }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ x^d \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązania, to z twierdzenia L74 wynika, że [math]\displaystyle{ | S_{d, a} | = | S_{n, a} | }[/math]. Z twierdzeń L72 i L75 otrzymujemy [math]\displaystyle{ | S_{d, a} | = | S_{d, 1} | = d }[/math]. Łącząc, dostajemy ten sam ciąg równości.

W szczególności, gdy jedna z wypisanych w twierdzeniu kongruencji ma rozwiązania, mamy

[math]\displaystyle{ | S_{n, a} | = | S_{d, a} | = d }[/math]

Co było do pokazania.
□


Uwaga L77
Wykorzystując pojęcie rzędu liczby i generatora, znajdziemy warunek, który rozstrzyga, kiedy kongruencja [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązania. Przedstawimy też metodę, która pozwala znaleźć wszystkie rozwiązania tej kongruencji.


Twierdzenie L78
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą, zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] liczbą całkowitą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Kongruencja

[math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / d} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ d = \gcd (n, p - 1) }[/math]. Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ d }[/math] rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i niech [math]\displaystyle{ x \equiv g^y }[/math], [math]\displaystyle{ a \equiv g^b }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Z twierdzenia L23 dostajemy

[math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad (g^y)^n \equiv g^b \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \: \Longleftrightarrow \qquad \qquad g^{n y} \equiv g^b \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \: \Longleftrightarrow \qquad \qquad n y \equiv b \!\! \pmod{p - 1} }[/math]


Kongruencja [math]\displaystyle{ n y \equiv b \!\! \pmod{p - 1} }[/math] nie ma rozwiązań, gdy [math]\displaystyle{ d \nmid b }[/math] lub ma [math]\displaystyle{ d }[/math] rozwiązań, gdy [math]\displaystyle{ d \mid b }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ d \mid b }[/math] możemy równoważnie przekształcić

[math]\displaystyle{ d \mid b \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad (p - 1) \biggr\rvert {\small\frac{(p - 1)b}{d}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, \Longleftrightarrow \qquad \qquad {\small\frac{b \cdot (p - 1)}{d}} \equiv 0 \!\! \pmod{p - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, \Longleftrightarrow \qquad \qquad g^{b (p - 1) / d} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, \Longleftrightarrow \qquad \qquad a^{(p - 1)/ d} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]


Jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid b }[/math], to przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz L99), dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{d}} \cdot y \equiv {\small\frac{b}{d}} \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{p - 1}{d}} \right) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ y \equiv {\small\frac{b}{d}} \cdot \left( {\small\frac{n}{d}} \right)^{- 1} \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{p - 1}{d}} \right) }[/math]

Wynika stąd, że istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ d }[/math] rozwiązań powyższej kongruencji modulo [math]\displaystyle{ p - 1 }[/math] i tyle samo rozwiązań ma kongruencja [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]. Co kończy dowód.
□


Zadanie L79
Pokazać, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 3 \!\! \pmod{31} }[/math] nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie

Łatwo znajdujemy, że [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{\gcd (n, p - 1)}} = {\small\frac{30}{3}} = 10 \; }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \; 3^{10} \equiv 3 \cdot (3^3)^3 \equiv 3 \cdot (- 4)^3 \equiv - 6 \not\equiv 1 \!\! \pmod{31} }[/math].
□


Zadanie L80
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 5 }[/math]. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ a }[/math] kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma jedno rozwiązanie i jest ono postaci [math]\displaystyle{ u \equiv a^{4 k + 3} \!\! \pmod{p} }[/math].

Rozwiązanie

Jeżeli [math]\displaystyle{ p \mid a }[/math], to kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math] ma jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math] i (z założenia) [math]\displaystyle{ p }[/math] jest postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 5 }[/math], to

[math]\displaystyle{ d = \gcd (n, p - 1) = \gcd (3, 6 k + 4) = 1 }[/math]

Wynika stąd, że dla każdej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ a }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math] kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie, bo z twierdzenia Fermata otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / d} = a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Ilość rozwiązań jest równa [math]\displaystyle{ d = 1 }[/math]. Możemy łatwo podać jawną postać rozwiązania. Istotnie, niech [math]\displaystyle{ u \equiv a^{4 k + 3} \!\! \pmod{p} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p = 6 k + 5 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ u^3 = (a^{4 k + 3})^3 = a^{12 k + 9} = a^{6 k + 5} a^{6 k + 4} = a^p a^{p - 1} \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

□


Zadanie L81
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą. Znaleźć rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

Rozwiązanie

Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ p = 2, 3, 5 }[/math] mamy tylko jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Jest to oczywiste rozwiązanie prawdziwe dla wszystkich liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1) }[/math]

to problem istnienia kolejnych rozwiązań sprowadza się do poszukiwania rozwiązań kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 + x + 1 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math], ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (4, p) = 1 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ 4 }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ 4 x^2 + 4 x + 4 \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (2 x + 1)^2 \equiv - 3 \!\! \pmod{p} \qquad \qquad (1) }[/math]

Liczba [math]\displaystyle{ - 3 }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p = 6 k + 1 }[/math] i liczbą niekwadratową dla [math]\displaystyle{ p = 6 k + 5 }[/math] (zobacz J46). Zatem dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 5 }[/math] kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] ma tylko jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

W przypadku liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 1 }[/math] kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązania. Niech [math]\displaystyle{ u }[/math] oznacza liczbę będącą rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ u^2 \equiv - 3 \!\! \pmod{p} }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2 x + 1 \equiv \pm u \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ x \equiv 2^{- 1} (- 1 \pm u) \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ 2^{- 1} \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math], to

[math]\displaystyle{ x \equiv {\small\frac{p + 1}{2}} \cdot (- 1 \pm u) \equiv (p + 1) \cdot {\small\frac{- 1 \pm u}{2}} \equiv {\small\frac{- 1 \pm u'}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math]

gdzie przez [math]\displaystyle{ u' }[/math] oznaczyliśmy nieparzystą z liczb [math]\displaystyle{ u }[/math] i [math]\displaystyle{ p - u }[/math], zapewniając tym samym parzystość licznika. Zatem dla liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 1 }[/math] kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] ma trzy rozwiązania [math]\displaystyle{ x \equiv 1, {\small\frac{- 1 - u'}{2}}, {\small\frac{- 1 + u'}{2}} \!\! \pmod{p} }[/math].
□


Zadanie L82
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 1 }[/math]. Znaleźć rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ d = \gcd (3, p - 1) = \gcd (3, 6 k) = 3 }[/math]

Ponieważ kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązania, bo [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] jest rozwiązaniem dla każdej liczby pierwszej [math]\displaystyle{ p }[/math], to ma dokładnie trzy rozwiązania różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Rozwiązania najprościej wypisać, korzystając z tego, że każda liczba pierwsza ma generator. Niech [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Liczby

[math]\displaystyle{ u_1 \equiv g^{(p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_2 \equiv g^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_3 \equiv g^{(p - 1)} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 0 \lt {\small\frac{p - 1}{3}} \lt 2 \cdot {\small\frac{p - 1}{3}} \lt p - 1 \lt p }[/math] i są rozwiązaniami kongruencji [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], co można łatwo sprawdzić. Mamy

[math]\displaystyle{ (u_1)^3 \equiv g^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (u_2)^3 \equiv (g^{p - 1})^2 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Oczywiście dla każdej liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] względnie pierwszej z [math]\displaystyle{ p }[/math] możemy napisać analogiczne wzory

[math]\displaystyle{ u_1 \equiv a^{(p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_2 \equiv a^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_3 \equiv a^{p - 1} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

i będziemy mieli [math]\displaystyle{ (u_1)^3 \equiv (u_2)^3 \equiv (u_3)^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

Ale nie każdy wybór będzie dobry i zaraz pokażemy dlaczego. Zauważmy, że w ogólności muszą być spełnione warunki

[math]\displaystyle{ u_1 \equiv a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ u_2 \equiv a^{2 (p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} \not\equiv a^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} }[/math]

Pierwszy warunek zapewnia, że [math]\displaystyle{ u_1 \not\equiv u_3 \!\! \pmod{p} }[/math], drugi, że [math]\displaystyle{ u_2 \not\equiv u_3 \!\! \pmod{p} }[/math], a ostatni zapewnia, że [math]\displaystyle{ u_1 \not\equiv u_2 \!\! \pmod{p} }[/math].

Trzeci warunek możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} (1 - a^{(p - 1) / 3}) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

Oczywiście [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], bo z założenia [math]\displaystyle{ p \nmid a }[/math]. Nie może też być [math]\displaystyle{ 1 - a^{(p - 1) / 3} \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], bo w warunku pierwszym założyliśmy, że [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ u_2 \equiv (u_1)^2 \!\! \pmod{p} }[/math], to warunek drugi możemy zapisać jako [math]\displaystyle{ (u_1)^2 \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ (u_1 - 1) (u_1 + 1) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Ze względu na pierwszy warunek nie może być [math]\displaystyle{ u_1 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math] i pozostaje jedynie [math]\displaystyle{ u_1 \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Zauważmy, że warunki

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} \not\equiv - 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

odpowiadają założeniu, że rząd liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] nie dzieli liczb [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{3}} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; {\small\frac{2 (p - 1)}{3}} }[/math].

Wynika stąd, że dysponując dowolną liczbą [math]\displaystyle{ a }[/math] względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ p }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / 3} \not\equiv \pm 1 \!\! \pmod{p} }[/math], możemy utworzyć wszystkie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^3 \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]. Okazuje się, że bardzo łatwo znaleźć taką liczbę. Średnia liczba prób, które trzeba wykonać, aby znaleźć taką liczbę dla miliarda liczb pierwszych postaci [math]\displaystyle{ 6 k + 1 }[/math] ([math]\displaystyle{ p \leqslant 47056180177 }[/math]), jest równa tylko [math]\displaystyle{ 1.694548 }[/math].
□


Zadanie L83
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ \; p }[/math] będzie liczbą pierwszą postaci [math]\displaystyle{ p = 6 k + 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \nmid a }[/math]. Znaleźć rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math].

Rozwiązanie

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ d = \gcd (3, p - 1) = \gcd (3, 6 k) = 3 }[/math]

Zatem, jeżeli kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązania, to ma [math]\displaystyle{ 3 }[/math] rozwiązania różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie generatorem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ g^1, g^2, \ldots, g^{p - 1} }[/math] są wszystkie różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (zobacz L32), to istnieje taki wykładnik dodatni [math]\displaystyle{ r \lt p }[/math], że [math]\displaystyle{ a \equiv g^r \!\! \pmod{p} }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] może być postaci [math]\displaystyle{ 3 k }[/math] lub [math]\displaystyle{ 3 k + 1 }[/math], lub [math]\displaystyle{ 3 k + 2 }[/math]. Zobaczmy, jak ten fakt wpływa na istnienie rozwiązań.

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / d} \equiv (g^{3 k})^{(p - 1) / 3} \equiv g^{k (p - 1)} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Widzimy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ a \equiv g^{3 k} \!\! \pmod{p} }[/math], to rozpatrywana kongruencja ma rozwiązania.

[math]\displaystyle{ a^{(p - 1) / d} \equiv (g^{3 k + 1})^{(p - 1) / 3} \equiv g^{3 k (p - 1) / 3 + (p - 1) / 3} \equiv g^{k (p - 1)} g^{(p - 1) / 3} \equiv g^{(p - 1) / 3} \not\equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math]

Oczywiście nie może być [math]\displaystyle{ g^{(p - 1) / 3} \equiv 1 \!\! \pmod{p} }[/math], bo rząd liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] byłby nie większy od [math]\displaystyle{ {\small\frac{p - 1}{3}} }[/math], wbrew założeniu, że [math]\displaystyle{ g }[/math] jest generatorem. Podobnie otrzymujemy dla przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 3 k + 2 }[/math].

Podsumowując: jeżeli [math]\displaystyle{ a \equiv g^r \!\! \pmod{p} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 3 \mid r }[/math], to kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma trzy rozwiązania

[math]\displaystyle{ u_1 \equiv g^{r / 3} g^{(p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_2 \equiv g^{r / 3} g^{2 (p - 1) / 3} \!\! \pmod{p} \qquad \qquad u_3 \equiv g^{r / 3} \!\! \pmod{p} }[/math]

Powyższe rozwiązania są różne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], bo [math]\displaystyle{ 0 \lt {\small\frac{r}{3}} \lt {\small\frac{r + (p - 1)}{3}} \lt {\small\frac{r + 2 (p - 1)}{3}} \lt p }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ 3 \nmid r }[/math], to kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] nie ma rozwiązań.

Warto jeszcze zauważyć, że wśród liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ 0 \lt a \lt p = 6 k + 1 }[/math], liczby sześcienne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] (czyli takie, dla których kongruencja [math]\displaystyle{ x^3 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie) stanowią [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math] tych liczb, a pozostałe [math]\displaystyle{ {\small\frac{2}{3}} }[/math] to liczby niesześcienne modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].
□


Przykład L84
Jeżeli w kongruencji [math]\displaystyle{ x^n \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] [math]\displaystyle{ n }[/math] jest liczbą parzystą, zaś [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], to kongruencja ta nie ma rozwiązania. Jest to łatwo widoczne, jeśli położymy [math]\displaystyle{ n = 2 k \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; y = x^k }[/math], wtedy kongruencja [math]\displaystyle{ y^2 \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] w sposób oczywisty nie ma rozwiązania.


Zadanie L85
Znaleźć rozwiązania kongruencji

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 11 \!\! \pmod{13} }[/math]   Odp.: brak rozwiązań
[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 10 \!\! \pmod{13} }[/math]   Odp.: [math]\displaystyle{ x \equiv 6 \!\! \pmod{13} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; x \equiv 7 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^3 \equiv 5 \!\! \pmod{13} }[/math]   Odp.: [math]\displaystyle{ x \equiv 7 \!\! \pmod{13} }[/math], [math]\displaystyle{ x \equiv 8 \!\! \pmod{13} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; x \equiv 11 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ x^7 \equiv 4 \!\! \pmod{13} }[/math]   Odp.: [math]\displaystyle{ x \equiv 4 \!\! \pmod{13} }[/math]

Wskazówka: liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ 13 }[/math].

Rozwiązanie

W każdym przypadku będziemy stosowali podstawienie [math]\displaystyle{ x \equiv 2^y \!\! \pmod{13} }[/math].

Punkt 1.

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 11 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{2 y} \equiv 11 \equiv 2^7 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 y \equiv 7 \!\! \pmod{12} }[/math]

Powyższa kongruencja nie ma rozwiązań, bo w ogólności kongruencja [math]\displaystyle{ a x \equiv b \!\! \pmod{m} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \mid b }[/math] (zobacz C76). Jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \mid b }[/math], to istnieje [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) }[/math] różnych rozwiązań modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ x^2 \equiv 10 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{2 y} \equiv 10 \equiv 2^{10} \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 y \equiv 10 \!\! \pmod{12} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (2, 12) \mid 10 }[/math], to istnieją [math]\displaystyle{ 2 }[/math] rozwiązania. Przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz L99), dostajemy

[math]\displaystyle{ y \equiv 5 \!\! \pmod{6} }[/math]

Co modulo [math]\displaystyle{ 12 }[/math] daje dwa rozwiązania [math]\displaystyle{ y \equiv 5 \!\! \pmod{12} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; y \equiv 11 \!\! \pmod{12} }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ x \equiv 2^5 \equiv 6 \!\! \pmod{13} }[/math] i [math]\displaystyle{ x \equiv 2^{11} \equiv 7 \!\! \pmod{13} }[/math]

Punkt 3.

[math]\displaystyle{ x^3 \equiv 5 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{3 y} \equiv 5 \equiv 2^9 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 y \equiv 9 \!\! \pmod{12} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (3, 12) \mid 9 }[/math], to istnieją [math]\displaystyle{ 3 }[/math] rozwiązania. Przechodząc do kongruencji równoważnej, dostajemy

[math]\displaystyle{ y \equiv 3 \!\! \pmod{4} }[/math]

Co modulo [math]\displaystyle{ 12 }[/math] daje trzy rozwiązania: [math]\displaystyle{ y \equiv 3 \!\! \pmod{12} }[/math], [math]\displaystyle{ y \equiv 7 \!\! \pmod{12} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; y \equiv 11 \!\! \pmod{12} }[/math]. Otrzymujemy [math]\displaystyle{ x \equiv 2^3 \equiv 8 \!\! \pmod{13} }[/math], [math]\displaystyle{ x \equiv 2^7 \equiv 11 \!\! \pmod{13} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; x \equiv 2^{11} \equiv 7 \!\! \pmod{13} }[/math]

Punkt 4.

[math]\displaystyle{ x^7 \equiv 4 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{7 y} \equiv 4 \equiv 2^2 \!\! \pmod{13} }[/math]
[math]\displaystyle{ 7 y \equiv 2 \!\! \pmod{12} }[/math]
[math]\displaystyle{ y \equiv 14 \equiv 2 \!\! \pmod{12} }[/math]
[math]\displaystyle{ x \equiv 2^2 \equiv 4 \!\! \pmod{13} }[/math]

□


Zadanie L86
Korzystając z faktu, że [math]\displaystyle{ 12 }[/math] jest generatorem modulo [math]\displaystyle{ 31 }[/math], znaleźć rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x^{14} \equiv 12^6 \!\! \pmod{31} }[/math].

Rozwiązanie

Zapiszmy [math]\displaystyle{ x \equiv 12^y \!\! \pmod{31} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 \leqslant y \leqslant 30 }[/math], zatem należy rozwiązać kongruencję [math]\displaystyle{ 12^{14 y} \equiv 12^6 \!\! \pmod{31} }[/math], czyli modulo [math]\displaystyle{ 30 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \begin{array}{rl} 14 y \equiv 6 & \pmod{30} \\ 7 y \equiv 3 & \pmod{15} \\ 13 \cdot 7 y \equiv 13 \cdot 3 & \pmod{15} \\ y \equiv 39 \equiv 9 & \pmod{15} \\ \end{array} }[/math]

Rozwiązaniami w przedziale [math]\displaystyle{ [0, 30] }[/math] są liczby [math]\displaystyle{ 9, 24 }[/math]. Odpowiednio dla [math]\displaystyle{ x }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x \equiv 12^9, 12^{24} \!\! \pmod{31} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ x \equiv 15, 16 \!\! \pmod{31} }[/math].
□



Lemat Hensela

 

Wielomiany

 

Twierdzenie L87
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnych liczb całkowitych [math]\displaystyle{ x, s }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ x^n = s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1} + (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ R_{n - 2} (x) }[/math] jest pewnym wielomianem całkowitym stopnia [math]\displaystyle{ n - 2 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] wielomian [math]\displaystyle{ R_{n - 2} (x) }[/math] jest wielomianem zerowym.

Dowód

Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ x = s + (x - s) \cdot 1 + (x - s)^2 \cdot 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 = s^2 + (x - s) \cdot 2 s + (x - s)^2 \cdot 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^3 = s^3 + (x - s) \cdot 3 s^2 + (x - s)^2 \cdot (x + 2 s) }[/math]

Zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb całkowitych dodatnich należących do przedziału [math]\displaystyle{ [1, n] }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^{n + 1} = x \cdot x^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = x \cdot [s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1} + (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = x \cdot [s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1}] + x (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ x }[/math] możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ x = s + (x - s) }[/math], to

[math]\displaystyle{ x^{n + 1} = [s + (x - s)] \cdot [s^n + (x - s) \cdot n s^{n - 1}] + x (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) \cdot n s^n + (x - s) s^n + (x - s)^2 n s^{n - 1} + x (x - s)^2 \cdot R_{n - 2} (x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) \cdot (n + 1) s^n + (x - s)^2 [n s^{n - 1} + x R_{n - 2} (x)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = s^{n + 1} + (x - s) \cdot (n + 1) s^n + (x - s)^2 R_{n - 1} (x) }[/math]

gdzie oznaczyliśmy [math]\displaystyle{ R_{n - 1} (x) = n s^{n - 1} + x R_{n - 2} (x) }[/math]. Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich.
□


Twierdzenie L88
Jeżeli [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] jest wielomianem całkowitym stopnia [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], zaś [math]\displaystyle{ W'_n (x) }[/math] jego pochodną, to

[math]\displaystyle{ W_n (x) = W_n (s) + (x - s) \cdot W'_n (s) + (x - s)^2 \cdot V_{n - 2} (x) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ V_{n - 2} (x) }[/math] jest pewnym wielomianem całkowitym. Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] wielomian [math]\displaystyle{ V_{n - 2} (x) }[/math] jest wielomianem zerowym.

Dowód

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] jest wielomianem stopnia pierwszego, mamy [math]\displaystyle{ W_1 (x) = a x + b }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ a x + b = (a s + b) + (x - s) a + (x - s)^2 \cdot 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ W_1 (x) = W_1 (s) + (x - s) \cdot W_1' (s) + (x - s)^2 \cdot 0 }[/math]

W przypadku gdy [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ W_n (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math]. Oczywiście pochodna wielomianu [math]\displaystyle{ W_n (x) }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ W'_n (x) = \sum^n_{k = 1} k a_k x^{k - 1} }[/math]. Korzystając z twierdzenia L87, dostajemy

[math]\displaystyle{ W_n (x) - W_n (s) = \sum_{k = 0}^{n} a_k x^k - \sum_{k = 0}^{n} a_k s^k }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{n} a_k (x^k - s^k) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sum_{k = 1}^{n} a_k [(x - s) \cdot k s^{k - 1} + (x - s)^2 \cdot R_{k - 2} (x)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, = (x - s) \sum_{k = 1}^{n} k a_k s^{k - 1} + (x - s)^2 \sum_{k = 1}^{n} a_k R_{k - 2} (x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, = (x - s) W'_n (s) + (x - s)^2 V_{n - 2} (x) }[/math]

gdzie oznaczyliśmy [math]\displaystyle{ V_{n - 2} (x) = \sum_{k = 1}^{n} a_k R_{k - 2} (x) }[/math]. Ponieważ wielomian [math]\displaystyle{ a_n R_{n - 2} (x) }[/math] ma stopnień równy [math]\displaystyle{ n - 2 }[/math], to stopień wielomianu [math]\displaystyle{ V_{n - 2} (x) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ n - 2 }[/math].
□


Rozwiązania kongruencji wielomianowych modulo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{p^n} }[/math]

 

Twierdzenie L89
Niech [math]\displaystyle{ a, r \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ r \geqslant 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą oraz [math]\displaystyle{ \gcd (a r, p) = 1 }[/math]. Kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math] ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie.

Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ u \in \mathbb{Z} }[/math], że

[math]\displaystyle{ u^r \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid (u^r - a) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ p \mid (u^r - a) }[/math], co oznacza, że prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ u^r \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math] twierdzenie jest prawdziwe (zobacz J50). Niech [math]\displaystyle{ r \geqslant 3 }[/math].

Indukcja matematyczna. Z uczynionego w twierdzeniu założenia wiemy, że kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy teraz (założenie indukcyjne), że kongruencja

[math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math]

ma rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv u_n \!\! \pmod{p^n} }[/math] i pokażemy (teza indukcyjna), że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], czyli że rozwiązanie ma kongruencja

[math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Wiemy, że liczba [math]\displaystyle{ u_n }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]. Nie tracąc ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant u_n \lt p^n }[/math]. Wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] może zostać wybrana dowolnie (modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]), ale musi zostać ustalona – wymaga tego precyzja i czytelność dowodu. Zatem

[math]\displaystyle{ u^r_n - a = k p^n }[/math]

Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest jednoznacznie określona, bo wartość [math]\displaystyle{ u_n }[/math] została ustalona. Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (r u_n, p) = 1 }[/math], to równanie

[math]\displaystyle{ r u^{r - 1}_n \cdot s - p \cdot l = - k }[/math]

ma rozwiązanie (zobacz C76). Niech liczby [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ l_0 }[/math] będą rozwiązaniem tego równania. Zatem

[math]\displaystyle{ k + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 = l_0 \cdot p }[/math]
[math]\displaystyle{ k p^n + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n = l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ u^r_n - a + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n = l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ u^r_n + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n = a + l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^r = \sum_{j = 0}^{r} \binom{r}{j} (u_n)^{r - j} (s_0 p^n)^j = u^r_n + r u^{r - 1}_n \cdot s_0 p^n + \sum_{j = 2}^{r} \binom{r}{j} u^{r - j}_n s^j_0 p^{n j} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^r - \sum_{j = 2}^{r} \binom{r}{j} u^{r - j}_n s^j_0 p^{n j} = a + l_0 \cdot p^{n + 1} }[/math]

Modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ (u_n + s_0 p^n)^r \equiv a \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ n j \geqslant n + 1 }[/math] dla [math]\displaystyle{ j \geqslant 2 }[/math].

Czyli liczba [math]\displaystyle{ u_{n + 1} = u_n + s_0 p^n }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji

[math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym prawdziwość tezy indukcyjnej, co kończy dowód indukcyjny.
□


Uwaga L90
Niech [math]\displaystyle{ \beta }[/math] będzie rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest wielomianem całkowitym. Rozważmy kongruencje

[math]\displaystyle{ f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}} \qquad \qquad (1) }[/math]
[math]\displaystyle{ f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^n} \qquad \qquad \;\;\,\, (2) }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{p^n} \qquad \qquad \;\;\,\, (3) }[/math]

Zauważmy, że

  •   rozwiązanie [math]\displaystyle{ \beta }[/math] w przypadku kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] jest określone modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math]
  •   kongruencja [math]\displaystyle{ (2) }[/math] wynika z kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math]
  •   rozwiązania [math]\displaystyle{ \alpha_1, \ldots, \alpha_s }[/math] kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math] są określone modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math]
  •   modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math] rozwiązanie [math]\displaystyle{ \beta }[/math] musi być identyczne z jednym z rozwiązań [math]\displaystyle{ \alpha_1, \ldots, \alpha_s }[/math] kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math]
  •   nie zmniejszając ogólności, możemy to rozwiązanie [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math], któremu odpowiada rozwiązanie [math]\displaystyle{ \beta }[/math], oznaczyć po prostu przez [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]

Z powyższych spostrzeżeń wynika, że

[math]\displaystyle{ \beta \equiv \alpha \!\! \pmod{p^n} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \beta = \alpha + k \cdot p^n }[/math]

Rozpatrując powyższe równanie modulo [math]\displaystyle{ p^{n + 1} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \beta \equiv \alpha + k \cdot p^n \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p^n \mid (\beta - \alpha) }[/math], to przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz L99), dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\beta - \alpha}{p^n}} \equiv k \!\! \pmod{p} }[/math]

Czyli liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] jest określona modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Podsumujmy. Otrzymaliśmy wzór

[math]\displaystyle{ \beta \equiv \alpha + k \cdot p^n \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

który wiąże rozwiązanie [math]\displaystyle{ \beta }[/math] kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math] z pewnym rozwiązaniem [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math]. Podkreślmy, że wzór ten uzyskaliśmy przy założeniu, że kongruencja [math]\displaystyle{ (1) }[/math] ma rozwiązanie.

Lemat Hensela, który za chwilę udowodnimy, precyzuje warunki, jakie muszą być spełnione, aby istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ (3) }[/math] pociągało za sobą istnienie rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ (1) }[/math].

Na zakończenie zilustrujmy powyższe rozważania przykładem. Niech [math]\displaystyle{ f(x) = (x - 2) (x - 3) + 7 }[/math]. Rozwiązania [math]\displaystyle{ u_n }[/math] i [math]\displaystyle{ v_n }[/math] kongruencji [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{7^n} }[/math] otrzymujemy, uwzględniając [math]\displaystyle{ n }[/math] początkowych składników sum

[math]\displaystyle{ 2 + 1 \cdot 7 + 1 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^4 + 0 \cdot 7^5 + 2 \cdot 7^6 + 5 \cdot 7^7 + 0 \cdot 7^8 + 3 \cdot 7^9 + 10 \cdot 7^{10} + \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 + 6 \cdot 7 + 5 \cdot 7^2 + 4 \cdot 7^3 + 1 \cdot 7^4 + 6 \cdot 7^5 + 4 \cdot 7^6 + 1 \cdot 7^7 + 6 \cdot 7^8 + 3 \cdot 7^9 + 6 \cdot 7^{10} + \ldots }[/math]


Twierdzenie L91
Jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest wielomianem całkowitym, zaś [math]\displaystyle{ p }[/math] liczbą pierwszą, to prawdziwa jest kongruencja

[math]\displaystyle{ f(x + k p^n) \equiv f (x) + k p^n \cdot f' (x) \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ s \in \mathbb{Z} }[/math]. Korzystając z twierdzenia L88 i kładąc [math]\displaystyle{ x = s + k p^n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ f(s + k p^n) = f (s) + k p^n \cdot f' (s) + k^2 p^{2 n} \cdot V (s + k p^n) }[/math]

Z powyższej równości wynika kongruencja

[math]\displaystyle{ f(s + k p^n) \equiv f (s) + k p^n \cdot f' (s) \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ 2 n \geqslant n + 1 }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ s }[/math] jest dowolną liczbą całkowitą, zatem wystarczy zmienić oznaczenie [math]\displaystyle{ s \longrightarrow x }[/math], aby otrzymać tezę twierdzenia.
□


Twierdzenie L92 (lemat Hensela)
Niech [math]\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p }[/math] będzie liczbą pierwszą, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] wielomianem całkowitym, a [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jego pochodną. Jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] spełnione są warunki

[math]\displaystyle{ f (\alpha) \equiv 0 \!\! \pmod{p^n} \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad f' (\alpha) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]

to istnieje liczba [math]\displaystyle{ \beta }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math].

Dowód

Wiemy, że (zobacz L91)

[math]\displaystyle{ f (\alpha + k p^n) \equiv f (\alpha) + k p^n \cdot f' (\alpha) \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Zauważmy, że możemy tak wybrać wartość liczby [math]\displaystyle{ k }[/math], aby prawa strona kongruencji była równa zero.

[math]\displaystyle{ f (\alpha) + k p^n \cdot f' (\alpha) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ p^n \mid f (\alpha) }[/math]. Przechodząc do kongruencji równoważnej (zobacz L99) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{f (\alpha)}{p^n}} + k \cdot f' (\alpha) \equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ k \cdot f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{p^n}} \!\! \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ k \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{p^n}} \cdot [f' (\alpha)]^{- 1} \!\! \pmod{p} }[/math]

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p \nmid f' (\alpha) }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ f' (\alpha) }[/math] ma element odwrotny modulo [math]\displaystyle{ p }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \beta = \alpha + k p^n \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; f (\beta) \equiv 0 \!\! \pmod{p^{n + 1}} }[/math]. Co należało pokazać.
□


Przykład L93
Rozważmy wielomian

[math]\displaystyle{ f(x) = x^2 + 10 x + 11 \qquad \qquad f' (x) = 2 x + 10 }[/math]

Łatwo sprawdzamy, że

[math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{5} \; \qquad \text{dla} \quad x \equiv 2, 3 \!\! \pmod{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ f' (x) \not\equiv 0 \!\! \pmod{5} \qquad \text{dla} \quad x \equiv 2, 3 \!\! \pmod{5} }[/math]

Korzystając z twierdzenia Hensela, znajdziemy pierwiastki wielomianu [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ 5^n }[/math]. Zbadamy tylko przypadek [math]\displaystyle{ x \equiv 2 \!\! \pmod{5} }[/math].

Modulo 25

Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ k f' (2) \equiv - {\small\frac{f (2)}{5}} \!\! \pmod{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 k \equiv - {\small\frac{35}{5}} \equiv - 7 \equiv 3 \!\! \pmod{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ k \equiv 2 \!\! \pmod{5} }[/math]

Zatem otrzymujemy rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math]

[math]\displaystyle{ x \equiv 2 + 2 \cdot 5 \equiv 12 \!\! \pmod{25} }[/math]

Modulo 125

Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ k f' (12) \equiv - {\small\frac{f (12)}{25}} \!\! \pmod{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 k \equiv - {\small\frac{275}{25}} \equiv - 11 \equiv 4 \!\! \pmod{5} }[/math]
[math]\displaystyle{ k \equiv 1 \!\! \pmod{5} }[/math]

Zatem otrzymujemy rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ 125 }[/math]

[math]\displaystyle{ x \equiv 12 + 1 \cdot 25 \equiv 37 \!\! \pmod{125} }[/math]


Zbierając i kontynuując obliczenia dla kolejnych potęg liczby [math]\displaystyle{ 5 }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ f(x) = x^2 + 15 x + 31 \qquad \qquad f' (x) = 2 x + 15 }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \;\; \boldsymbol{n} \;\; }[/math] [math]\displaystyle{ \;\; \boldsymbol{\alpha} \;\; }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{f (\alpha)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{f' (\alpha)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{5^n}} \!\! \pmod{5}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k \!\! \pmod{5}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\beta \equiv \alpha + k \cdot 5^n \!\! \pmod{5^{n + 1}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 = 5^n \cdot 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 k \equiv 3 \!\! \pmod{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 + 2 \cdot 5^n \equiv 12 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 275 = 5^n \cdot 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 34 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 k \equiv 4 \!\! \pmod{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 + 1 \cdot 5^n \equiv 37 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 1750 = 5^n \cdot 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 84 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 k \equiv 1 \!\! \pmod{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 + 4 \cdot 5^n \equiv 537 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 537 }[/math] [math]\displaystyle{ 293750 = 5^n \cdot 470 }[/math] [math]\displaystyle{ 1084 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 k \equiv 0 \!\! \pmod{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 537 + 0 \cdot 5^n \equiv 537 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 537 }[/math] [math]\displaystyle{ 293750 = 5^n \cdot 94 }[/math] [math]\displaystyle{ 1084 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 k \equiv 1 \!\! \pmod{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 537 + 4 \cdot 5^n \equiv 13037 }[/math]


Zadanie L94
Niech [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x + 7 }[/math]. Korzystając z lematu Hensela, znaleźć rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{11^6} }[/math].

Rozwiązanie

Mamy

[math]\displaystyle{ f(x) = x^3 - 2 x + 7 \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad f' (x) = 3 x^2 - 2 }[/math].

Kongruencja [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{11} }[/math] ma jedno rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 2 \!\! \pmod{11} }[/math]. Sporządzimy podobną tabelę jak w przykładzie L93.

[math]\displaystyle{ \;\; \boldsymbol{n} \;\; }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\alpha} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{f (\alpha)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{f' (\alpha)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{11^n}} \!\! \pmod{11}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k \!\! \pmod{11}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\beta \equiv \alpha + k \cdot 11^n \!\! \pmod{11^{n + 1}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 = 11^n \cdot 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 k \equiv 10 \!\! \pmod{11} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 + 1 \cdot 11^n \equiv 13 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 2178 = 11^n \cdot 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 505 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 k \equiv 4 \!\! \pmod{11} }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 + 7 \cdot 11^n \equiv 860 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 860 }[/math] [math]\displaystyle{ 636054287 = 11^n \cdot 477877 }[/math] [math]\displaystyle{ 2218798 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 k \equiv 7 \!\! \pmod{11} }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 860 + 4 \cdot 11^n \equiv 6184 }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 6184 }[/math] [math]\displaystyle{ 236487625143 = 11^n \cdot 16152423 }[/math] [math]\displaystyle{ 114725566 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 k \equiv 10 \!\! \pmod{11} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 6184 + 1 \cdot 11^n \equiv 20825 }[/math]
[math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 20825 }[/math] [math]\displaystyle{ 9031398973982 = 11^n \cdot 56077882 }[/math] [math]\displaystyle{ 1301041873 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 k \equiv 8 \!\! \pmod{11} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 20825 + 3 \cdot 11^n \equiv 503978 }[/math]

Znajdujemy, że [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 \!\! \pmod{11^6} }[/math] dla [math]\displaystyle{ x = 503978 }[/math].
□


Z lematu Hensela wynika natychmiast.
Twierdzenie L95
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] wielomianem całkowitym, a [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] jego pochodną. Jeżeli dla pewnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ x = \alpha }[/math] wielomian [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \; f' (\alpha) \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma rozwiązanie modulo [math]\displaystyle{ p^n }[/math] dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math].


Przykład L96
Pokazaliśmy (zobacz L89), że jeżeli kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math] ma rozwiązanie, to kongruencja [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math] też ma rozwiązanie. Z lematu Hensela rezultat ten otrzymujemy natychmiast. Z założenia istnieje takie [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], że [math]\displaystyle{ \alpha^r \equiv a \!\! \pmod{p} }[/math]. Pochodna wielomianu [math]\displaystyle{ x^r - a }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ r x^{r - 1} }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ r \alpha^{r - 1} \not\equiv 0 \!\! \pmod{p} }[/math]. Skąd otrzymujemy [math]\displaystyle{ \gcd (\alpha r, p) = 1 }[/math] (warunek ten jest dodatkowym założeniem w twierdzeniu L89) i przy tym założeniu istnieje rozwiązanie kongruencji [math]\displaystyle{ x^r \equiv a \!\! \pmod{p^n} }[/math].



Uzupełnienie

Twierdzenie L97
Niech [math]\displaystyle{ k, m \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; a, b \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ a \equiv b \!\! \pmod{m^k} }[/math], to [math]\displaystyle{ a^m \equiv b^m \!\! \pmod{m^{k + 1}} }[/math].

Dowód

Dla [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] twierdzenie jest prawdziwe. Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 2 }[/math]. Z założenia istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ s }[/math], że [math]\displaystyle{ a = b + s m^k }[/math]. Korzystając z dwumianu Newtona, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a^m = (b + s m^k)^m }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: = \sum_{i = 0}^m \binom{m}{i} (s m^k)^i \cdot b^{m - i} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: = \binom{m}{0} \cdot b^m + \binom{m}{1} s m^k b^{m - 1} + \sum_{i = 2}^m \binom{m}{i} s^i m^{i k} b^{m - i} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: = b^m + s m^{k + 1} b^{m - 1} + \sum_{i = 2}^m \binom{m}{i} s^i m^{i k} b^{m - i} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\: \equiv b^m \!\! \pmod{m^{k + 1}} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ i \geqslant 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ i k = k + (i - 1) k \geqslant k + 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ m^{k + 1} \mid m^{i k} }[/math]. Co było do pokazania.
□


Twierdzenie L98
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \gcd (a, b) = 1 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ d \mid a^{n} b \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \nmid a^{n - 1} b }[/math], to [math]\displaystyle{ d = a^{n} r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, r) = 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; r \mid b }[/math].

Dowód

Zapiszmy [math]\displaystyle{ d }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ d = a^t r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, r) = 1 }[/math]. Łatwo zauważamy, że

  •    ponieważ [math]\displaystyle{ a^t \mid d \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \mid a^{n} b }[/math], to [math]\displaystyle{ a^t \mid a^{n} b }[/math], ale [math]\displaystyle{ \gcd (a, b) = 1 }[/math], zatem (zobacz C74) [math]\displaystyle{ a^t \mid a^{n} }[/math], skąd wynika, że [math]\displaystyle{ t \leqslant n }[/math]
  •    ponieważ [math]\displaystyle{ r \mid d \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d \mid a^{n} b }[/math], to [math]\displaystyle{ r \mid a^{n} b }[/math], ale [math]\displaystyle{ \gcd (a, r) = 1 }[/math], zatem (zobacz C74) [math]\displaystyle{ r \mid b }[/math], skąd wynika, że [math]\displaystyle{ b = r k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \gcd (a, k) = 1 }[/math]
  •    ponieważ [math]\displaystyle{ d \nmid a^{n - 1} b }[/math], to [math]\displaystyle{ a^t r \nmid a^{n - 1} r k }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a^t \nmid a^{n - 1} k }[/math], ale [math]\displaystyle{ a \nmid k }[/math], bo [math]\displaystyle{ \gcd (a, k) = 1 }[/math], zatem musi być [math]\displaystyle{ t \gt n - 1 }[/math]

Łącząc uzyskane oszacowania, dostajemy [math]\displaystyle{ n - 1 \lt t \leqslant n }[/math], skąd wynika, że [math]\displaystyle{ t = n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ d = a^{n} r }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L99
Niech [math]\displaystyle{ a, b, c \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Prawdziwa jest następująca równoważność kongruencji

[math]\displaystyle{ a \cdot c \equiv b \cdot c \!\! \pmod{m} \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad a \equiv b \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \right) }[/math]
Dowód

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ a c \equiv b c \!\! \pmod{m} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ a c - b c = k m }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k }[/math] jest pewną liczbą całkowitą, stąd

[math]\displaystyle{ (a - b) \cdot {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} = k \cdot {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} }[/math]

Zauważmy, że liczby [math]\displaystyle{ {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} }[/math] są liczbami całkowitymi i są względnie pierwsze (zobacz H11).

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} }[/math] musi dzielić prawą stronę i jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ k }[/math] (zobacz C74), czyli

[math]\displaystyle{ k = {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \cdot s }[/math]

dla pewnego całkowitego [math]\displaystyle{ s }[/math]. Stąd

[math]\displaystyle{ (a - b) \cdot {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} = {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} \cdot s \cdot {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} }[/math]

I ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a - b = s \cdot {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} }[/math]

Co należało pokazać.


[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ a \equiv b \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \right) }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ a \equiv b \;\, \left( \operatorname{mod} \,\, {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \right) \qquad \qquad \Longrightarrow \qquad \qquad {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \biggr\rvert (a - b) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\, \Longrightarrow \qquad \qquad {\small\frac{m}{\gcd (m, c)}} \cdot \gcd (m, c) \biggr\rvert (a - b) \cdot \gcd (m, c) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad m \mid (a - b) \cdot \gcd (m, c) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad m \biggr\rvert (a - b) \cdot \gcd (m, c) \cdot {\small\frac{c}{\gcd (m, c)}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad m \mid (a - b) \cdot c }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, \Longrightarrow \qquad \qquad a \cdot c \equiv b \cdot c \!\! \pmod{m} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga L100
Rozważmy kongruencję

[math]\displaystyle{ 3 x \equiv 2 \!\! \pmod{5} }[/math]

Oczywiście liczba [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ma element odwrotny [math]\displaystyle{ 3^{- 1} \equiv 2 \!\! \pmod{5} }[/math] i łatwo znajdujemy rozwiązanie [math]\displaystyle{ x \equiv 4 \!\! \pmod{5} }[/math]. W zbiorze liczb całkowitych mamy taki obraz

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{[}1, 2, 3, {\color{Red}\boldsymbol{4}}, 5\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}6, 7, 8, {\color{Red}\boldsymbol{9}}, 10\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}11, 12, 13, {\color{Red}\boldsymbol{14}}, 15\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}16, 17, 18, {\color{Red}\boldsymbol{19}}, 20\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}21, 22, 23, {\color{Red}\boldsymbol{24}}, 25\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}26, 27, 28, {\color{Red}\boldsymbol{29}}, 30\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}31, 32, 33, {\color{Red}\boldsymbol{34}}, 35\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}36, 37, 38, {\color{Red}\boldsymbol{39}}, 40\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}41, 42, 43, {\color{Red}\boldsymbol{44}}, 45\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}46, 47, 48, {\color{Red}\boldsymbol{49}}, 50\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}51, 52, 53, {\color{Red}\boldsymbol{54}}, 55\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}56, \dots }[/math]

Jeśli pomnożymy obie strony kongruencji i moduł przez [math]\displaystyle{ 5 }[/math], to otrzymamy kongruencję równoważną (zobacz L99)

[math]\displaystyle{ 15 x \equiv 10 \!\! \pmod{25} }[/math]

Teraz liczba [math]\displaystyle{ 15 }[/math] nie ma elemetu odwrotnego modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math], ale dla tak małego modułu bez trudu znajdujemy rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ x \equiv 4, 9, 14, 19, 24 \!\! \pmod{25} }[/math]. W zbiorze liczb całkowitych mamy taki obraz

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{[}1, 2, 3, {\color{Red}\boldsymbol{4}}, 5, 6, 7, 8, {\color{Red}\boldsymbol{9}}, 10, 11, 12, 13, {\color{Red}\boldsymbol{14}}, 15, 16, 17, 18, {\color{Red}\boldsymbol{19}}, 20, 21, 22, 23, {\color{Red}\boldsymbol{24}}, 25\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}26, 27, 28, {\color{Red}\boldsymbol{29}}, 30, 31, 32, 33, {\color{Red}\boldsymbol{34}}, 35, 36, 37, 38, {\color{Red}\boldsymbol{39}}, 40, 41, 42, 43, {\color{Red}\boldsymbol{44}}, 45, 46, 47, 48, {\color{Red}\boldsymbol{49}}, 50\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}51, 52, 53, {\color{Red}\boldsymbol{54}}, 55, 56, 57, 58, {\color{Red}\boldsymbol{59}}, 60, \ldots }[/math]

Zbiór rozwiązań nie uległ zmianie, jedynie inaczej je teraz klasyfikujemy. Zauważmy, że

  • każde rozwiązanie kongruencji modulo [math]\displaystyle{ 5 }[/math] jest rozwiązaniem kongruencji modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math]
  • modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] rozwiązania mają postać [math]\displaystyle{ x = 4 + 5 t }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t = 0, 1, 2, 3, 4 }[/math]

Nie ma w tym nic zaskakującego, bo

[math]\displaystyle{ 15 x = 15 (4 + 5 t) = 60 + 75 t \equiv 10 \!\! \pmod{25} }[/math]

Tak, jak być powinno.


Gdybyśmy dokonali całkowicie nieuprawnionego podzielenia stron kongruencji bez dzielenia modułu, to otrzymalibyśmy

[math]\displaystyle{ 3 x \equiv 2 \!\! \pmod{25} }[/math]

Ale rozwiązaniem tej kongruencji jest [math]\displaystyle{ x \equiv 9 \!\! \pmod{25} }[/math]. W zbiorze liczb całkowitych mamy teraz taki obraz

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{[}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, {\color{Red}\boldsymbol{9}}, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, {\color{Red}\boldsymbol{34}}, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50\boldsymbol{]}, \boldsymbol{[}51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, {\color{Red}\boldsymbol{59}}, 60, 61, \ldots }[/math]

I zgubilibyśmy [math]\displaystyle{ 80 }[/math]% rozwiązań.


Rozwiązania kongruencji [math]\displaystyle{ 3 x \equiv 2 \!\! \pmod{25} }[/math] możemy znaleźć, korzystając z lematu Hensela (zobacz L92).

[math]\displaystyle{ f(x) = 3 x - 2 \qquad \qquad f' (x) = 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; \boldsymbol{n} \;\; }[/math] [math]\displaystyle{ \;\; \boldsymbol{\alpha} \;\; }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{f (\alpha)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{f' (\alpha)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k f' (\alpha) \equiv - {\small\frac{f (\alpha)}{5^n}} \!\! \pmod{5}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k \!\! \pmod{5}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\beta \equiv \alpha + k \cdot 5^n \!\! \pmod{5^{n + 1}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 = 5^n \cdot 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 k \equiv 3 \!\! \pmod{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 + 1 \cdot 5^n \equiv 9 }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ k }[/math] jest określone modulo [math]\displaystyle{ 5 }[/math], ale możemy je w tym przypadku wstawić do kongruencji określonej modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math], bo modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] mielibyśmy [math]\displaystyle{ k \equiv 1 + 5 t }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t = 0, 1, 2, 3, 4 }[/math] i niezależnie od wyboru wartości liczby [math]\displaystyle{ t }[/math] otrzymujemy [math]\displaystyle{ \beta \equiv \alpha + k \cdot 5 \equiv 4 + (1 + 5 t) \cdot 5 \equiv 4 + 5 + 25 t \equiv 9 \!\! \pmod{25} }[/math].








Przypisy

  1. ↑ ang. order of [math]\displaystyle{ a }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
  2. ↑ Niekiedy do tej listy dodaje się liczbę [math]\displaystyle{ 1 }[/math], dla której każda liczba całkowita jest generatorem: [math]\displaystyle{ \varphi (1) = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \gcd (a, 1) = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ a^1 \equiv 1 \!\! \pmod{1} }[/math].
  3. ↑ ang. generator or primitive root modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
  4. ↑ P. D. T. A. Elliott and Leo Murata, On the average of the least primitive root modulo p, Journal of the London Mathematical Society, vol. 56, no. 2, pp. 435-454, 1997
  5. ↑ Tomás Oliveira e Silva, Least primitive root of prime numbers, (LINK)
  6. ↑ Stephen D. Cohen, Tomás Oliveira e Silva and Tim Trudgian, On Grosswald's conjecture on primitive roots, Acta Arithmetica (2016), Volume: 172, Issue: 3, page 263-270
  7. ↑ Kevin J. McGown and Tim Trudgian, Explicit upper bounds on the least primitive root, Proc. Amer. Math. Soc. 148 (2020), no. 3, 1049-1061.
  8. ↑ Victor-Amédée Lebesgue, Théorème sur les racines primitives, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences LXIV (24 June 1867), 1268-1269.
  9. ↑ John Maxfield and Margaret Maxfield, The Existence of Integers Less than p Belonging to epr-1 (mod pr), Mathematics Magazine, Vol. 33, No. 4 (Mar. - Apr., 1960), pp. 219-220












 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Henryk_Dąbrowski&oldid=705”