Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Lucasa i liczby silnie pseudopierwsze Lucasa. Test BPSW

Z Henryk Dąbrowski
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
11.01.2023



Symbol Jacobiego

Definicja L1
Symbol Jacobiego[1] [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math] jest uogólnieniem symbolu Legendre'a[2] [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{p}} \right)_{\small{\!\! L}} }[/math] dla dodatnich liczb nieparzystych. Niech [math]\displaystyle{ n = \prod_i p_i^{\alpha_i} }[/math] będzie rozkładem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze, wtedy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \prod_i \left( {\small\frac{a}{p_i}} \right)_{\small{\!\! L}}^{\!\! \alpha_i} }[/math]


Uwaga L2
Zauważmy, że w przypadku gdy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math], po prawej stronie mamy „pusty” iloczyn (bez jakiegokolwiek czynnika). Podobnie jak „pustej” sumie przypisujemy wartość zero, tak „pustemu” iloczynowi przypisujemy wartość jeden. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{1}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math].


Twierdzenie L3*
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m, n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ m, n }[/math] będą liczbami nieparzystymi. Symbol Jacobiego ma następujące właściwości

  1.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \gcd (a, n) \gt 1 }[/math]
  2.   [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod n \quad \Longrightarrow \quad \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
  3.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{b}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
  4.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{a}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
  5.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, 1 }[/math]
  6.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 1}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n - 1}{2}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]
  7.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{n^2 - 1}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 7 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 3, 5 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
  8.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 2}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, (- 1)^{\tfrac{(n - 1)(n - 3)}{8}} \,\, = \,\, \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } n \equiv 1, 3 \pmod{8} \\ - 1 & \text{gdy } n \equiv 5, 7 \pmod{8} \end{cases} }[/math]
  9.   [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{m}{n}} \right)_{\small{\!\! J}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (-1)^{\tfrac{n - 1}{2} \cdot \tfrac{m - 1}{2}} \,\, = \,\, \left( {\small\frac{n}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m \equiv 1 \pmod{4} \;\;\; \text{lub} \;\;\; n \equiv 1 \pmod{4} \\ - 1 & \text{gdy } m \equiv n \equiv 3 \pmod{4} \end{cases} }[/math]


Zadanie L4
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \end{cases} }[/math]
Rozwiązanie

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 1}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = (- 1)^{m - 1} \cdot \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

bo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą.

Rozważmy liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math] postaci [math]\displaystyle{ 6 k + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{6 k + r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \left( {\small\frac{r}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \; = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } r = 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } r = 3 \\ - 1 & \text{gdy } r = 5 \end{cases} }[/math]

bo odpowiednio dla [math]\displaystyle{ r = 1, 3, 5 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1)^{\tfrac{9 - 1}{8}} = - 1 }[/math]

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 12}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3 \cdot 2^2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = \left( {\small\frac{- 3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L5
Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 12 k \pm 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 12 k \pm 5 \end{cases} }[/math]


[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{- 4}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 4 k + 1 \\ - 1 & \text{gdy } m = 4 k + 3 \end{cases} }[/math]
Rozwiązanie
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k}{2}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{6 k} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 4}{2}} = \left( {\small\frac{5}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 2)} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 7}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 6}{2}} = \left( {\small\frac{1}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 3)} = - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{3}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{m}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{m - 1}{2} \cdot \tfrac{3 - 1}{2}} = \left( {\small\frac{12 k + 11}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{12 k + 10}{2}} = \left( {\small\frac{2}{3}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{(6 k + 5)} = (- 1) \cdot (- 1) = 1 }[/math]


□


Uwaga L6
Wykorzystując podane wyżej właściwości symbolu Jacobiego, możemy napisać prostą funkcję w PARI/GP znajdującą jego wartość. Zauważmy, że nie potrzebujemy znać rozkładu liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] na czynniki pierwsze. 

jacobi(a, n) = 
{
local(r, w);
if( n <= 0 || n % 2 == 0, return("Error") );
a = a % n; \\ korzystamy ze wzoru (a|n) = (b|n), gdy a ≡ b (mod n)
w = 1;
while( a <> 0,
       while( a % 2 == 0, a = a/2; r = n % 8; if( r == 3 || r == 5, w = -w ) );
       \\ usunęliśmy czynnik 2 ze zmiennej a, uwzględniając, że (2|n) = -1, gdy n ≡ 3,5 (mod 8)
       \\ teraz zmienne a oraz n są nieparzyste
       r = a; \\ zmienna r tylko przechowuje wartość a
       a = n;
       n = r;
       if( a % 4 == 3 && n % 4 == 3, w = -w );
       \\ zamieniliśmy zmienne, uwzględniając, że (a|n) = - (n|a), gdy a ≡ n ≡ 3 (mod 4)
       a = a % n;
     );
if( n == 1, return(w), return(0) ); \\ n jest teraz równe gcd(a, n)
}


Uwaga L7
Ten rozdział moglibyśmy zakończyć na podaniu kodu funkcji jacobi(a, m). Dlatego Czytelnik może pominąć dalsze rozważania i wrócić do nich, gdy będziemy omawiali metodę Selfridge'a – dopiero tam pojęcie najmniejszej liczby niekwadratowej modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] nabierze znaczenia, a i tak nie będzie konieczne dla zrozumienia tematu.


Przykład L8
W tabeli przedstawiliśmy najmniejsze liczby [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{g} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ - }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]


Do wyszukiwania liczb [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] (nazywanych najmniejszymi liczbami niekwadratowymi modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]) Czytelnik może wykorzystać prostą funkcję napisaną w PARI/GP 

LeastQuadraticNonresidue(m) = 
{
local(g);
if( m%2 == 0, return(0) );
if( issquare(m), return(0) );
forprime(g = 2, m, if( jacobi(g, m) == -1, return(g) ));
}


O liczbach kwadratowych i niekwadratowych modulo podamy jedynie podstawowe fakty.

Niech liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ m \geqslant 1 }[/math] będą względnie pierwsze.

  • jeżeli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
  • jeżeli nie istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r }[/math], że [math]\displaystyle{ r^2 \equiv a \pmod{m} }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].


Zauważmy również, że (w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą)

  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ a }[/math] nie musi być liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math]

Dla przykładu: jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{a}{m^2}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], ale [math]\displaystyle{ a }[/math] może być liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ m^2 }[/math].

Modulo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 5, 8 }[/math]. Modulo [math]\displaystyle{ 25 }[/math] liczbami niekwadratowymi są: [math]\displaystyle{ 2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23 }[/math].

Liczby kwadratowe i niekwadratowe modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] można łatwo znaleźć, wykorzystując prosty program: 

QRandQNR(m) = 
{
local(k, S, V);
S = [];
V = [];
for(k = 1,  m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); S = concat(S, k));
S = Set(S); \\ zbiór liczb względnie pierwszych z m
for(k = 1,  m - 1, if( gcd(k, m) > 1, next() ); V = concat(V, k^2 % m));
V = Set(V); \\ zbiór liczb kwadratowych modulo m
print("QR: ", V);
print("QNR: ", setminus(S, V)); \\ różnica zbiorów S i V
}


Twierdzenie L9
Niech [math]\displaystyle{ g, m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 3 }[/math] będzie liczbą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] musi być liczbą pierwszą.

Dowód

Przypuśćmy, że [math]\displaystyle{ g = a b }[/math] jest liczbą złożoną, gdzie [math]\displaystyle{ 1 \lt a, b \lt g }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - 1 = \left( {\small\frac{g}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{a}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math][math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{b}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Zatem jeden z czynników po prawej stronie musi być równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] wbrew definicji liczby [math]\displaystyle{ g }[/math].
□


Twierdzenie L10
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie najmniejszą liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ g (p) \lt \sqrt{p} + {\small\frac{1}{2}} }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ u = g - R_g (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ R_g (p) }[/math] jest resztą z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ p }[/math] przez [math]\displaystyle{ g }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ g \nmid p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ R_g (p) \neq 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ u \in [1, g - 1] }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ u = g - R_g (p) \equiv g + p - R_g (p) = {\small\frac{g + p - R_g (p)}{g}} \cdot g = b g \pmod{p} }[/math]

gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ b = {\small\frac{g + p - R_g (p)}{g}} }[/math]

Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ \gcd (u, p) = 1 }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = 1 }[/math], bo [math]\displaystyle{ u \lt g }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 1 = \left( {\small\frac{u}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - \left( {\small\frac{b}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Ale z założenia [math]\displaystyle{ g }[/math] jest najmniejszą liczbą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Wynika stąd, że musi być [math]\displaystyle{ g \leqslant b }[/math] i łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ g \leqslant {\small\frac{g + p - R_g (p)}{g}} \leqslant {\small\frac{g + p - 1}{g}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ g^2 \leqslant g + p - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left( g - {\small\frac{1}{2}} \right)^2 \leqslant p - {\small\frac{3}{4}} }[/math]
[math]\displaystyle{ g \leqslant {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p - {\small\frac{3}{4}}} \lt {\small\frac{1}{2}} + \sqrt{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L11*
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a [math]\displaystyle{ g }[/math] będzie najmniejszą liczbą pierwszą taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{p}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ p \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie[3][4][5]

[math]\displaystyle{ g (p) \leqslant 1.1 \cdot p^{1 / 4} \log p }[/math]


Uwaga L12
W przypadku liczb złożonych podane w twierdzeniu L10 oszacowanie [math]\displaystyle{ g(m) \lt \sqrt{m} + {\small\frac{1}{2}} }[/math] nie jest prawdziwe. Mamy

[math]\displaystyle{ g = g (15) = 7 \gt \sqrt{15} + {\small\frac{1}{2}} \approx 4.37 }[/math]
[math]\displaystyle{ g = g (39) = 7 \gt \sqrt{39} + {\small\frac{1}{2}} \approx 6.74 }[/math]
[math]\displaystyle{ g = g (105) = 11 \gt \sqrt{105} + {\small\frac{1}{2}} \approx 10.75 }[/math]
[math]\displaystyle{ g = g (231) = 17 \gt \sqrt{231} + {\small\frac{1}{2}} \approx 15.7 }[/math]

Nie ma więcej takich przypadków dla [math]\displaystyle{ m \lt 10^9 }[/math].


Twierdzenie L13
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą, a liczby [math]\displaystyle{ u_k = a k + b }[/math] tworzą ciąg arytmetyczny oraz [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math]. Ciąg [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] zawiera nieskończenie wiele liczb kwadratowych i nieskończenie wiele liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math].

Dowód

Wystarczy pokazać, że w ciągu [math]\displaystyle{ u_k = a k + b }[/math] rozpatrywanym modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje każda z liczb [math]\displaystyle{ 0, 1, 2, \ldots, p - 1 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ r }[/math] oznacza dowolną z tych liczb. Musimy pokazać istnienie takiej liczby [math]\displaystyle{ k }[/math], że

[math]\displaystyle{ u_k = a k + b \equiv r \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ a k \equiv r - b \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (a, p) = 1 }[/math], to istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ x, y }[/math], że [math]\displaystyle{ a x + p y = 1 }[/math] (zobacz C69 – lemat Bézouta). Zauważmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid x }[/math], bo gdyby tak było, to liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieliłaby wyrażenie [math]\displaystyle{ a x + p y }[/math], ale jest to niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ a x + p y = 1 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ a x k \equiv x (r - b) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ (1 - p y) k \equiv x (r - b) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ k - p y k \equiv x (r - b) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ k \equiv x (r - b) \pmod{p} }[/math]

Czyli szukana liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] istnieje dla każdego [math]\displaystyle{ r \in [0, 1, \ldots, p - 1] }[/math]. Co kończy dowód.
□


Uwaga L14
Metody użytej w dowodzie twierdzenia L10 nie można stosować w przypadku liczb złożonych, bo łatwo można znaleźć przykłady takich złożonych liczb [math]\displaystyle{ m }[/math], że każda z liczb [math]\displaystyle{ u \in [1, g - 1] }[/math] (poza liczbą [math]\displaystyle{ 1 }[/math] i potęgami liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) nie jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ g = p_{n + 1} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], oraz [math]\displaystyle{ r = p_2 \cdot \ldots \cdot p_n }[/math] będzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych nieparzystych mniejszych od [math]\displaystyle{ g }[/math]. Z definicji liczby [math]\displaystyle{ r }[/math] wynika, że

  • dla każdej liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ q }[/math] mniejszej od [math]\displaystyle{ g }[/math] mamy [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{q}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = 0 }[/math]
  • każda z liczb [math]\displaystyle{ u \in [1, g - 1] }[/math] (poza liczbą [math]\displaystyle{ 1 }[/math] i potęgami liczby [math]\displaystyle{ 2 }[/math]) nie jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ r }[/math]


Zauważmy, że

  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ r }[/math] jest poszukiwaną liczbą, czyli [math]\displaystyle{ m = r }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to wystarczy znaleźć liczbę nieparzystą [math]\displaystyle{ k }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], wtedy liczba [math]\displaystyle{ m = k r }[/math] jest poszukiwaną liczbą, bo
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{k r}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot (- 1) = + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{g}{k r}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{g}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = (+ 1) \cdot (- 1) = - 1 }[/math]
  • jeżeli [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math], to wystarczy znaleźć liczbę nieparzystą [math]\displaystyle{ k }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math], wtedy liczba [math]\displaystyle{ m = k r }[/math] jest poszukiwaną liczbą, bo
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{k r}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{2}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{2}{r}} \right)_{\small{\!\! J}}^{\! 2} = + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{m}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{g}{k r}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot \left( {\small\frac{g}{r}} \right)_{\small{\!\! J}} = (- 1) \cdot (+ 1) = - 1 }[/math]


Zauważmy, że poszukiwana liczba [math]\displaystyle{ k }[/math] istnieje. Pokażemy to dla punktu drugiego, ale Czytelnik bez trudu może powtórzyć poniższe rozważania dla punktu trzeciego. Szukamy liczby [math]\displaystyle{ k }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math]. Ponieważ musi być [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{2}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ k }[/math] musi być postaci [math]\displaystyle{ k = 8 j \pm 3 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ k = 8 j - 3 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{k}{g}} \right)_{\small{\!\! J}} \cdot (- 1)^{\tfrac{k - 1}{2} \cdot \tfrac{g - 1}{2}} }[/math]

Wykładnik jest liczbą parzystą, bo [math]\displaystyle{ {\small\frac{g - 1}{2}} }[/math] jest liczbą całkowitą, a [math]\displaystyle{ {\small\frac{k - 1}{2}} = 4 j - 2 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{k}{g}} \right)_{\small{\!\! J}} = \left( {\small\frac{8 j - 3}{g}} \right)_{\small{\!\! J}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \gcd (8, g) = 1 }[/math], to ciąg arytmetyczny liczb [math]\displaystyle{ k = 8 j - 3 }[/math] zawiera nieskończenie wiele liczb kwadratowych i nieskończenie wiele liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ g }[/math] (zobacz L13), zatem istnieje taki wyraz [math]\displaystyle{ k = 8 j - 3 }[/math], że [math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{g}{k}} \right)_{\small{\!\! J}} = + 1 }[/math].


Poniżej podajemy przykłady najmniejszych liczb [math]\displaystyle{ k }[/math] dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ g }[/math]. Nie wypisujemy pełnych iloczynów [math]\displaystyle{ m = k r }[/math], bo są to zbyt duże liczby. Przykładowo liczba [math]\displaystyle{ m = k r }[/math] dla [math]\displaystyle{ g = 97 }[/math] jest równa [math]\displaystyle{ m \approx 3.565 \cdot 10^{34} }[/math].

[math]\displaystyle{ g }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ 31 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math] [math]\displaystyle{ 43 }[/math] [math]\displaystyle{ 47 }[/math] [math]\displaystyle{ 53 }[/math] [math]\displaystyle{ 59 }[/math] [math]\displaystyle{ 61 }[/math] [math]\displaystyle{ 67 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 79 }[/math] [math]\displaystyle{ 83 }[/math] [math]\displaystyle{ 89 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math]
[math]\displaystyle{ k }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 23 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math]


Uwaga L15
Liczby [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math] są zaskakująco małe. Średnia wartość [math]\displaystyle{ g = g (p) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] są nieparzystymi liczbami pierwszymi, jest równa[6]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{\pi (x)}} \sum_{p \leqslant x} g (p) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{p_k}{2^k}} = 3.674643966 \ldots }[/math]

A średnia wartość [math]\displaystyle{ g = g (m) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ m }[/math] są liczbami nieparzystymi (przyjmujemy [math]\displaystyle{ g(m) = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową) wynosi[7]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} {\small\frac{1}{x / 2}} \underset{m \; \text{nieparzyste}}{\sum_{m \leqslant x}} g (m) = \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{p_k + 1}{2^{k - 1}}} \prod^{k - 1}_{j = 1} \left( 1 - {\small\frac{1}{p_j}} \right) = 3.147755149 \ldots }[/math]



Ciągi Lucasa

Definicja L16
Niech [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math]. Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ U_n = U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n = V_n (P, Q) }[/math] definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ U_n = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n = \alpha^n + \beta^n }[/math]

gdzie liczby

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}} }[/math]

są pierwiastkami równania [math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math].


Uwaga L17
Zauważmy, że:

[math]\displaystyle{ P = \alpha + \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ Q = \alpha \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{D} = \alpha - \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ V_0 = 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ V_1 = P }[/math]


Warunek [math]\displaystyle{ P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math] wyklucza następujące pary [math]\displaystyle{ (P, Q) }[/math]

[math]\displaystyle{ (0, 0), (\pm 2, 1), (\pm 4, 4), (\pm 6, 9), (\pm 8, 16), (\pm 10, 25), (\pm 12, 36), ..., (\pm 2 n, n^2), ... }[/math]


Uwaga L18
Oczywiście liczby [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta }[/math] są również pierwiastkami równania

[math]\displaystyle{ x^{n + 2} - P x^{n + 1} + Q x^n = 0 }[/math]

Wynika stąd, że ciągi [math]\displaystyle{ (\alpha^n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta^n) }[/math] spełniają równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \alpha^{n + 2} = P \alpha^{n + 1} - Q \alpha^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta^{n + 2} = P \beta^{n + 1} - Q \beta^n }[/math]

Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] spełniają identyczne równania rekurencyjne jak ciągi [math]\displaystyle{ (\alpha^n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (\beta^n) }[/math]. Istotnie, odejmując i dodając stronami wypisane powyżej równania, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{n + 2} = P U_{n + 1} - Q U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{n + 2} = P V_{n + 1} - Q V_n }[/math]

Dlatego możemy zdefiniować ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] w sposób równoważny


Definicja L19
Niech [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math]. Ciągi Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] określone są następującymi wzorami rekurencyjnymi

[math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_0 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ V_1 = P }[/math], [math]\displaystyle{ V_n = P V_{n - 1} - Q V_{n - 2} }[/math]


Przykład L20
Początkowe wyrazy ciągów Lucasa

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_n (P, Q)} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{V_n (P, Q)} }[/math]
  [math]\displaystyle{ 0 }[/math]   [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 1 }[/math]   [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ P }[/math]
  [math]\displaystyle{ 2 }[/math]   [math]\displaystyle{ P }[/math] [math]\displaystyle{ P^2 - 2 Q }[/math]
  [math]\displaystyle{ 3 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^2 - Q }[/math] [math]\displaystyle{ P^3 - 3 P Q }[/math]
  [math]\displaystyle{ 4 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^3 - 2 P Q }[/math] [math]\displaystyle{ P^4 - 4 P^2 Q + 2 Q^2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 5 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^4 - 3 P^2 Q + Q^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P^5 - 5 P^3 Q + 5 P Q^2 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 6 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^5 - 4 P^3 Q + 3 P Q^2 }[/math] [math]\displaystyle{ P^6 - 6 P^4 Q + 9 P^2 Q^2 - 2 Q^3 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 7 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^6 - 5 P^4 Q + 6 P^2 Q^2 - Q^3 }[/math] [math]\displaystyle{ P^7 - 7 P^5 Q + 14 P^3 Q^2 - 7 P Q^3 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 8 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^7 - 6 P^5 Q + 10 P^3 Q^2 - 4 P Q^3 }[/math] [math]\displaystyle{ P^8 - 8 P^6 Q + 20 P^4 Q^2 - 16 P^2 Q^3 + 2 Q^4 }[/math]
  [math]\displaystyle{ 9 }[/math]   [math]\displaystyle{ P^8 - 7 P^6 Q + 15 P^4 Q^2 - 10 P^2 Q^3 + Q^4 }[/math] [math]\displaystyle{ P^9 - 9 P^7 Q + 27 P^5 Q^2 - 30 P^3 Q^3 + 9 P Q^4 }[/math]


Uwaga L21
W PARI/GP możemy napisać prosty kod, który pozwoli obliczyć wartości wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] 

LucasU(n, P, Q) = if( n == 0, 0, if( n == 1, 1, P*LucasU(n-1, P, Q) - Q*LucasU(n-2, P, Q) ) )

LucasV(n, P, Q) = if( n == 0, 2, if( n == 1, P, P*LucasV(n-1, P, Q) - Q*LucasV(n-2, P, Q) ) )


Twierdzenie L22
Niech [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q }[/math]. Wyrazy ciągów Lucasa można przedstawić w postaci sumy

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]
Dowód

Oznaczmy [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{D} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 \alpha = P + \delta }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 \beta = P - \delta }[/math]. Ze wzoru dwumianowego, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j }[/math]

Obliczając sumę powyższych wzorów, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n + \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j + (- \delta)^j) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} \cdot 2 \delta^{2 k} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 2 k }[/math] i sumowanie przebiega od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = \lfloor n / 2 \rfloor }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} V_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k} P^{n - 2 k} D^k }[/math]


Obliczając różnicę tych wzorów, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} \cdot 2 \delta^{2 k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \delta \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ j = 2 k + 1 }[/math] i sumowanie przebiega od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = \lfloor (n - 1) / 2 \rfloor }[/math]


Zatem

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{D}}} = 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga L23
Korzystając z twierdzenia L22, możemy napisać proste funkcje do znajdowania postaci kolejnych wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] 

U(n) = 2^(1 - n)*sum(k=0, floor((n-1)/2), binomial(n, 2*k+1) * P^(n-2*k-1) * (P^2-4*Q)^k)

V(n) = 2^(1 - n)*sum(k=0, floor(n/2), binomial(n, 2*k) * P^(n-2*k) * (P^2-4*Q)^k)


Często możemy spotkać założenie [math]\displaystyle{ P \geqslant 1 }[/math]. Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego tak jest.

Twierdzenie L24
Jeżeli [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] są ciągami Lucasa, to

[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = (- 1)^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (- P, Q) = (- 1)^n V_n (P, Q) }[/math]
Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = \frac{P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad \;\; \beta = \frac{P - \sqrt{D}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = \frac{- P + \sqrt{D}}{2} \qquad \qquad b = \frac{- P - \sqrt{D}}{2} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 + P x + Q = 0 }[/math]

Zatem definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (P, Q) = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} \qquad \qquad \;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} \qquad \qquad V_n (- P, Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{a}{\beta} = \frac{b}{\alpha} = - 1 }[/math]

Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_n (- P, Q) = \frac{a^n - b^n}{a - b} = \frac{(- \beta)^n - (- \alpha)^n}{\sqrt{D}} = (- 1)^n \cdot \frac{\beta^n - \alpha^n}{\alpha - \beta} = (- 1)^{n - 1} \cdot U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (- P, Q) = a^n + b^n = (- \beta)^n + (- \alpha)^n = (- 1)^n \cdot (\alpha^n + \beta^n) = (- 1)^n \cdot V_n (P, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L25
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ P, Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] i [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \neq 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = 2^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (2 P, 4 Q) = 2^n V_n (P, Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{P + \sqrt{D}}{2}} \qquad \qquad \;\; \beta = {\small\frac{P - \sqrt{D}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = P + \sqrt{D} \qquad \qquad \;\; b = P - \sqrt{D} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - P x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - 2 P x + 4 Q = 0 }[/math]

Zatem definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (P, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \;\;\; V_n (P, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ a - b = 2 \sqrt{D} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{b}{\beta}} = 2 }[/math]

Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_n (2 P, 4 Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} = {\small\frac{(2 \alpha)^n - (2 \beta)^n}{2 \sqrt{D}}} = 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} = 2^{n - 1} U_n (P, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n (2 P, 4 Q) = a^n + b^n = (2 \alpha)^n + (2 \beta)^n = 2^n (\alpha^n + \beta^n) = 2^n V_n (P, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L26
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P = 4 Q - 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{- P}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{2}} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - x + {\small\frac{P + 1}{4}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + {\small\frac{P (P + 1)}{4}} = 0 }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ P = 4 Q - 1 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ x^2 - x + Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + P Q = 0 }[/math]

Czyli definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (1, Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad \:\:\: V_n (1, Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{- P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\beta}} = {\small\frac{P + \sqrt{- P}}{1 - \sqrt{- P}}} = \sqrt{- P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{b}{\alpha}} = {\small\frac{P - \sqrt{- P}}{1 + \sqrt{- P}}} = - \sqrt{- P} }[/math]


Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k}}{\sqrt{- P}} = \frac{(- P)^k (\beta^{2 k} - \alpha^{2 k})}{\alpha - \beta} = - (- P)^k U_{2 k} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = (- P)^k (\beta^{2 k + 1} + \alpha^{2 k + 1}) = (- P)^k V_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k} = (- P)^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = (- P)^k V_{2 k} (1, Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \beta \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \alpha \sqrt{- P} \right)^{2 k + 1} = (- P)^{k + 1} \cdot \frac{\beta^{2 k + 1} - \alpha^{2 k + 1}}{\sqrt{- P}} = - (- P)^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Zadanie L27
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ Q \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ P = 4 Q + 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = P^k U_{2 k} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = P^k V_{2 k} (1, - Q) }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]
Rozwiązanie

Niech

[math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1 + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad \beta = {\small\frac{1 - \sqrt{P}}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ a = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{2}} \qquad \qquad b = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{2}} }[/math]

Liczby [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a, b }[/math] są odpowiednio pierwiastkami równań

[math]\displaystyle{ x^2 - x - {\small\frac{P - 1}{4}} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + {\small\frac{P (P - 1)}{4}} = 0 }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ P = 4 Q + 1 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ x^2 - x - Q = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x^2 - P x + P Q = 0 }[/math]

Czyli definiują one ciągi Lucasa

[math]\displaystyle{ U_n (1, - Q) = {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \qquad \qquad V_n (1, - Q) = \alpha^n + \beta^n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_n (P, P Q) = {\small\frac{a^n - b^n}{a - b}} \qquad \qquad V_n (P, P Q) = a^n + b^n }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \alpha - \beta = a - b = \sqrt{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{\alpha}} = {\small\frac{P + \sqrt{P}}{1 + \sqrt{P}}} = \sqrt{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ {\small\frac{b}{\beta}} = {\small\frac{P - \sqrt{P}}{1 - \sqrt{P}}} = - \sqrt{P} }[/math]


Łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 k} (P, P Q) = \frac{a^{2 k} - b^{2 k}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k}}{\sqrt{P}} = \frac{P^k (\alpha^{2 k} - \beta^{2 k})}{\alpha - \beta} = P^k U_{2 k} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ U_{2 k + 1} (P, P Q) = \frac{a^{2 k + 1} - b^{2 k + 1}}{a - b} = \frac{\left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} - \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^k (\alpha^{2 k + 1} + \beta^{2 k + 1}) = P^k V_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k} (P, P Q) = a^{2 k} + b^{2 k} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k} = P^k (\alpha^{2 k} + \beta^{2 k}) = P^k V_{2 k} (1, - Q) }[/math]


[math]\displaystyle{ V_{2 k + 1} (P, P Q) = a^{2 k + 1} + b^{2 k + 1} = \left( \alpha \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} + \left( - \beta \sqrt{P} \right)^{2 k + 1} = P^{k + 1} \cdot \frac{\alpha^{2 k + 1} - \beta^{2 k + 1}}{\sqrt{P}} = P^{k + 1} U_{2 k + 1} (1, - Q) }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L28
Dla wyrazów ciągów Lucasa prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ 1. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{m + n} = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 2. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{m + n} = V_m V_n - Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 3. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{m + n} = U_m V_n - Q^n U_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 4. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{m + n} = D U_m U_n + Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 5. }[/math] [math]\displaystyle{ U_m V_n - V_m U_n = 2 Q^n U_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 6. }[/math] [math]\displaystyle{ U^2_n = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ 7. }[/math] [math]\displaystyle{ V^2_n = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; 8. }[/math] [math]\displaystyle{ 2 U_{m + n} = U_m V_n + V_m U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; 9. }[/math] [math]\displaystyle{ 2 V_{m + n} = V_m V_n + D U_m U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 10. }[/math] [math]\displaystyle{ V_m V_n - D U_m U_n = 2 Q^n V_{m - n} }[/math] [math]\displaystyle{ m \geqslant n }[/math]
[math]\displaystyle{ 11. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n} = U_n V_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 12. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{2 n} = V^2_n - 2 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 13. }[/math] [math]\displaystyle{ V_{2 n} = D U^2_n + 2 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 14. }[/math] [math]\displaystyle{ V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n }[/math]
[math]\displaystyle{ 15. }[/math] [math]\displaystyle{ D U_n = 2 V_{n + 1} - P V_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 16. }[/math] [math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 17. }[/math] [math]\displaystyle{ D U_n = V_{n + 1} - Q V_{n - 1} }[/math] [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 18. }[/math] [math]\displaystyle{ V_n = U_{n + 1} - Q U_{n - 1} }[/math] [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 19. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 20. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ 21. }[/math] [math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]
Dowód

Wzory 1. - 7. najłatwiej udowodnić korzystając z definicji L16.

Wzór 1.

[math]\displaystyle{ U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} - \alpha \beta \cdot {\small\frac{\alpha^{m - 1} - \beta^{m - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = U_m U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_n }[/math]


Wzór 2.

[math]\displaystyle{ V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = (\alpha^m + \beta^m) (\alpha^n + \beta^n) - \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = V_m V_n - Q^n V_{m - n} }[/math]


Wzór 3.

[math]\displaystyle{ U_{m + n} = {\small\frac{\alpha^{m + n} - \beta^{m + n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = {\small\frac{(\alpha^m - \beta^m) (\alpha^n + \beta^n)}{\alpha - \beta}} - {\small\frac{\alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} - \beta^{m - n})}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = U_m V_n - Q^n U_{m - n} }[/math]


Wzór 4.

[math]\displaystyle{ V_{m + n} = \alpha^{m + n} + \beta^{m + n} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = (\alpha - \beta)^2 \cdot {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} + \alpha^n \beta^n \cdot (\alpha^{m - n} + \beta^{m - n}) }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \;\! = D U_m U_n + Q^n V_{m - n} }[/math]


Wzór 5.

[math]\displaystyle{ U_m V_n - V_m U_n = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} \cdot (\alpha^n + \beta^n) - (\alpha^m + \beta^m) \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: = 2 \cdot \alpha^n \beta^n \cdot {\small\frac{\alpha^{m - n} - \beta^{m - n}}{\alpha - \beta}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: = 2 Q^n U_{m - n} }[/math]


Wzór 6.

[math]\displaystyle{ U^2_n = \left( {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}} \right)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = {\small\frac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}} \cdot {\small\frac{\alpha^{n + 1} - \beta^{n + 1}}{\alpha - \beta}} + \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = U_{n - 1} U_{n + 1} + Q^{n - 1} }[/math]


Wzór 7.

[math]\displaystyle{ V^2_n = (\alpha^n + \beta^n)^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = (\alpha^{n - 1} + \beta^{n - 1}) (\alpha^{n + 1} + \beta^{n + 1}) - (\alpha - \beta)^2 \cdot \alpha^{n - 1} \beta^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\! = V_{n - 1} V_{n + 1} - D Q^{n - 1} }[/math]


Wzory 8. - 18. można łatwo udowodnić, korzystając ze wzorów 1. - 7.

Wzór 8. Policzyć sumę wzoru 3. pomnożonego przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i wzoru 5.

Wzór 9. Policzyć sumę wzorów 2. i 4.

Wzór 10. Połączyć wzory 2. i 4.

Wzór 11. We wzorze 3. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 12. We wzorze 2. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 13. We wzorze 4. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math].

Wzór 14. We wzorze 10. położyć [math]\displaystyle{ m = n }[/math] lub połączyć wzory 12. i 13.

Wzór 15. We wzorze 9. położyć [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math].

Wzór 16. We wzorze 8. położyć [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math].

Wzór 17. We wzorze 15. położyć [math]\displaystyle{ V_{n + 1} = P V_n - Q V_{n - 1} }[/math].

Wzór 18. We wzorze 16. położyć [math]\displaystyle{ U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1} }[/math].


Wzory 19. - 21. to wzory, które wykorzystamy w przyszłości do szybkiego obliczania wartości wyrazów [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n }[/math] modulo.

Wzór 19. Wystarczy połączyć wzory 11. oraz 16.

Wzór 20. Wystarczy we wzorze 1. położyć [math]\displaystyle{ m = n + 1 }[/math].

Wzór 21. Kładąc we wzorze 19. [math]\displaystyle{ n \rightarrow n + 1 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - P U^2_{n + 1} \qquad (*) }[/math]

Kładąc we wzorze 1. [math]\displaystyle{ m = n + 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = U_{n + 2} U_{n + 1} - Q U_{n + 1} U_n }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2 U_{2 n + 2} = 2 U_{n + 1} U_{n + 2} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]

Odejmując od powyższego wzoru wzór [math]\displaystyle{ (*) }[/math], dostajemy wzór 21.

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□



Obliczanie wyrazów ciągu Lucasa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]

Przykład L29
Pokażemy, jak wykorzystać podane w twierdzeniu L28 wzory 19, 20, 21 i 16

[math]\displaystyle{ U_{2 n} = 2 U_n U_{n + 1} - P U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = U^2_{n + 1} - Q U^2_n }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U^2_{n + 1} - 2 Q U_n U_{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math]

do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].


Niech [math]\displaystyle{ P = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ Q = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q = 5 }[/math], [math]\displaystyle{ n = 22 = (10110)_2 = \sum_{j = 0}^{4} a_j \cdot 2^j }[/math].

W tabeli przedstawione są kolejne kroki, jakie musimy wykonać, aby policzyć [math]\displaystyle{ U_n = U_{22} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m = 23 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{k_j} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_{k_j}} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{U_{k_j + 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (1)_2 = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_2 = P = 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (10)_2 = 2 }[/math] [math]\displaystyle{ U_2 = 2 U_1 U_2 - 3 U^2_1 = 6 - 3 = 3 }[/math] [math]\displaystyle{ U_3 = U^2_2 - 1 = 8 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (101)_2 = 5 }[/math] [math]\displaystyle{ U_5 = U^2_3 - U^2_2 = 64 - 9 = 55 \equiv 9 }[/math] [math]\displaystyle{ U_6 = 3 U_3^2 - 2 U_2 U_3 = 192 - 48 = 144 \equiv 6 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ (1011)_2 = 11 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{11} = U^2_6 - U^2_5 \equiv 36 - 81 \equiv - 45 \equiv 1 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{12} = 3 U_6^2 - 2 U_5 U_6 \equiv 108 - 108 \equiv 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ (10110)_2 = 22 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{22} = 2 U_{11} U_{12} - 3 U^2_{11} \equiv 0 - 3 \equiv 20 }[/math] [math]\displaystyle{ U_{23} = U^2_{12} - U^2_{11} \equiv 0 - 1 \equiv 22 }[/math]

W kolumnie [math]\displaystyle{ a_j }[/math] wypisujemy kolejne cyfry liczby [math]\displaystyle{ n = 22 = (10110)_2 }[/math] zapisanej w układzie dwójkowym. Liczby w kolumnie [math]\displaystyle{ k_j }[/math] tworzymy, biorąc kolejne (od prawej do lewej) cyfry liczby [math]\displaystyle{ n }[/math] w zapisie dwójkowym. Postępując w ten sposób, w ostatnim wierszu mamy [math]\displaystyle{ k_j = n }[/math] i wyliczamy liczby [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ U_{n + 1} }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].

Dla uproszczenia zapisu i ułatwienia zrozumienia liczbę [math]\displaystyle{ k_j }[/math] oznaczymy jako [math]\displaystyle{ r }[/math], a [math]\displaystyle{ k_{j + 1} }[/math] jako [math]\displaystyle{ s }[/math]. Zauważmy, że

  • tabela jest zbudowana tak, że musimy znaleźć wyrazy ciągu Lucasa o indeksie [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] oraz o indeksie o jeden większym: [math]\displaystyle{ r + 1 = k_j + 1 }[/math]
  • przejście do następnego wiersza (w dół) oznacza, że musimy znaleźć wyrazy o indeksie [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} }[/math] oraz o indeksie o jeden większym: [math]\displaystyle{ s + 1 }[/math]
  • przechodząc do następnego wiersza, dotychczasowa liczba [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] powiększa się o kolejną cyfrę ( [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ), którą dopisujemy z prawej strony
  • dodanie na końcu liczby [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] zera podwaja liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math], czyli [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} = 2 r }[/math] oraz [math]\displaystyle{ s + 1 = 2 r + 1 }[/math]
  • dodanie na końcu liczby [math]\displaystyle{ r = k_j }[/math] jedynki podwaja liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] i zwiększą ją o jeden, czyli [math]\displaystyle{ s = k_{j + 1} = 2 r + 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ s + 1 = 2 r + 2 }[/math]


Dlatego, jeżeli kolejną dodaną cyfrą jest zero, to korzystamy ze wzorów

[math]\displaystyle{ U_s = U_{2 r} = 2 U_r U_{r + 1} - P U^2_r }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{s + 1} = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r }[/math]

Gdy kolejną dodaną cyfrą jest jeden, to stosujemy wzory

[math]\displaystyle{ U_s = U_{2 r + 1} = U^2_{r + 1} - Q U^2_r }[/math]
[math]\displaystyle{ U_{s + 1} = U_{2 r + 2} = P U^2_{r + 1} - 2 Q U_r U_{r + 1} }[/math]


Korzystając ze wzoru [math]\displaystyle{ V_n = 2 U_{n + 1} - P U_n }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ V_{22} = 2 U_{23} - 3 U_{22} \equiv 44 - 60 \equiv - 16 \equiv 7 \pmod{23} }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ U_{22} \equiv 20 \pmod{23} \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad V_{22} \equiv 7 \pmod{23} }[/math]


Uwaga L30
Uogólniając postępowanie przedstawione w przykładzie L29, możemy napisać program w PARI/GP do szybkiego obliczania wyrazów ciągu Lucasa [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n (P, Q) }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. 

modLucas(n, P, Q, m) =
{
local(A, i, s, U, U2, V, W, W2);
if( m == 1, return([0, 0]) );
if( n == 0, return([0, 2 % m]) );
A = digits(n, 2); \\ otrzymujemy wektor cyfr liczby n w układzie dwójkowym
s = length(A); \\ długość wektora A
U = 1;
W = P;
i = 1;
while( i++ <= s,
       if( A[i] == 0,  U2 = 2*U*W - P*U^2;  W2 = W^2 - Q*U^2 );
       if( A[i] == 1,  U2 = W^2 - Q*U^2;  W2 = P*W^2 - 2*Q*U*W );
       U = U2 % m;
       W = W2 % m;
     );
V = (2*W - P*U) % m;
return([U, V]);
}



Podzielność wyrazów [math]\displaystyle{ U_n (P, Q) }[/math] przez liczbę pierwszą nieparzystą

Uwaga L31
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ p \nmid P Q }[/math] nie możemy nic powiedzieć o podzielności wyrazów [math]\displaystyle{ U_n }[/math] przez [math]\displaystyle{ p }[/math]. Przykładowo, jeżeli [math]\displaystyle{ P \equiv 1 \pmod{p} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ (U_n) \equiv (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, \ldots) }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ P \equiv 2 \pmod{p} \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; Q \equiv 1 \pmod{p} }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ (U_n) \equiv (0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, 0, 1, 2, \ldots, p - 1, \ldots) }[/math]

Sytuacja wygląda inaczej, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, P Q }[/math].


Twierdzenie L32
Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] będzie liczbą pierwszą nieparzystą.

●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \, | \, Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_n \; }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \nmid Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_{2 n} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \nmid U_{2 n + 1} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \nmid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \, | \, Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \nmid U_n \; }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \, | \, Q , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ \; p \nmid P \; }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\; p \, | \, D , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_n \; }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, n }[/math]

Założenie, że [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math] w ostatnim punkcie jest istotne. Gdy [math]\displaystyle{ \; p \, | \, P \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p \, | \, D , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, Q \; }[/math] i otrzymujemy punkt pierwszy.

Dowód

Punkt 1.

Ponieważ [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_2 }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] wyrażenie [math]\displaystyle{ U_n = P U_{n - 1} - Q U_{n - 2} }[/math] jest podzielne przez [math]\displaystyle{ p }[/math].

Punkt 2.

Indeksy parzyste. Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_0 = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \, | \, U_2 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 n} }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 2} = P U_{2 n - 1} - Q U_{2 n} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 n + 2} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].

Indeksy nieparzyste. Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_3 = P^2 - Q }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid U_3 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 n - 1} }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{2 n + 1} = P U_{2 n} - Q U_{2 n - 1} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 n + 1} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Punkt 3.

Indukcja matematyczna. Mamy [math]\displaystyle{ U_1 = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ U_2 = P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid U_2 }[/math]. Zakładając, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_n }[/math] zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math], z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{n + 1} = P U_n - Q U_{n - 1} }[/math]

Z założenia indukcyjnego wynika, że [math]\displaystyle{ p \nmid U_{n + 1} }[/math], zatem na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Punkt 4.

Wynika z punktów pierwszego i trzeciego.

Punkt 5.

Z twierdzenia L22 wiemy, że

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n = \sum_{k = 0}^{\lfloor (n - 1) / 2 \rfloor} \binom{n}{2 k + 1} P^{n - 2 k - 1} D^k }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = n P^{n - 1} + \binom{n}{3} P^{n - 3} D + \binom{n}{5} P^{n - 5} D^2 + \ldots + \begin{cases} n P D^{(n - 2) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest parzyste} \\ D^{(n - 1) / 2} & \text{gdy }n\text{ jest nieparzyste} \end{cases} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ p \, | \, D }[/math], zatem modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} U_n \equiv n P^{n - 1} \pmod{p} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_n }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, n }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L33
Jeżeli [math]\displaystyle{ d }[/math] jest nieparzystym dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_n \equiv P^{n - 1} \pmod{d} }[/math]

W szczególności, gdy liczba pierwsza nieparzysta [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_p \equiv 1 \pmod{p} }[/math]
Dowód

Oznaczmy [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{D} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 \alpha = P + \delta }[/math] i [math]\displaystyle{ 2 \beta = P - \delta }[/math]. Ze wzoru dwumianowego, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n \alpha^n = (P + \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ 2^n \beta^n = (P - \delta)^n = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (- \delta)^j }[/math]


Obliczając różnicę wyjściowych wzorów, mamy

[math]\displaystyle{ 2^n (\alpha^n - \beta^n) = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j} P^{n - j} (\delta^j - (- \delta)^j) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot 2 \delta^j }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \: = 2 \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot \delta \cdot D^{(j - 1) / 2} }[/math]

Rozpatrując powyższą równość modulo [math]\displaystyle{ Q }[/math] dostajemy (zobacz L58)

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} \cdot {\small\frac{\alpha^n - \beta^n}{\delta}} = 2^{n - 1} U_n \equiv \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} P^{n - j} \cdot P^{j - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: \equiv P^{n - 1} \underset{j \; \text{nieparzyste}}{\sum_{j = 1}^{n}} \binom{n}{j} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: \equiv 2^{n - 1} P^{n - 1} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) \equiv 0 \pmod{Q} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ Q }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ 2^{n - 1} (U_n - P^{n - 1}) }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ \gcd (d, 2^{n - 1}) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ U_n - P^{n - 1} }[/math] (zobacz C70).

W przypadku szczególnym, gdy [math]\displaystyle{ d = p }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest nieparzystą liczbą pierwszą i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math], z twierdzenia Fermata otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ U_p \equiv P^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L34
Niech [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q }[/math], a [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) }[/math] oznacza symbol Legendre'a, gdzie [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math]. Mamy

●    [math]\displaystyle{ U_p \equiv (D \, | \, p) \pmod{p} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - 1 , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_{p + 1} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = 1 , \; }[/math] to [math]\displaystyle{ \; p \, | \, U_{p - 1} }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Zauważmy, że przypadek gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math], omówiliśmy w twierdzeniu poprzednim. Z założenia [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Z twierdzenia L22, w przypadku nieparzystego [math]\displaystyle{ n = p }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 1} U_p = p P^{p - 1} + \binom{p}{3} P^{p - 3} D + \binom{p}{5} P^{p - 5} D^2 + \ldots + \binom{p}{p-2} P^2 D^{(p - 3) / 2} + D^{(p - 1) / 2} }[/math]

Ponieważ dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] (zobacz L58)

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 1} U_p \equiv U_p \equiv D^{(p - 1) / 2} \equiv (D \, | \, p) \pmod{p} }[/math]

Punkt 2.

Zauważmy, że warunek [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - 1 }[/math] nie może być spełniony, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math]. Istotnie, gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math], to [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q \equiv P^2 \pmod{p} }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = (P^2 \, | \, p) = (P \, | \, p)^2 = 0 , \; }[/math] gdy [math]\displaystyle{ p \, | \, P }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = (P^2 \, | \, p) = (P \, | \, p)^2 = 1 , \; }[/math] gdy [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math]

i nie może być [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - 1 }[/math].

Dla parzystego [math]\displaystyle{ n = p + 1 }[/math] otrzymujemy z twierdzenia L22

[math]\displaystyle{ 2^p U_{p + 1} = (p + 1) P^p + \binom{p + 1}{3} P^{p - 2} D + \binom{p + 1}{5} P^{p - 4} D^2 + \ldots + \binom{p + 1}{p - 2} P^3 D^{(p - 3) / 2} + (p + 1) P D^{(p - 1) / 2} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] (zobacz L59)

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 U_{p + 1} \equiv P + P D^{(p - 1) / 2} \pmod{p} }[/math]


Z założenia [math]\displaystyle{ D }[/math] jest liczbą niekwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem [math]\displaystyle{ D^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 \pmod{p} }[/math]. Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ 2 U_{p + 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{p + 1} }[/math].

Punkt 3.

Dla parzystego [math]\displaystyle{ n = p - 1 }[/math] otrzymujemy z twierdzenia L22

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} = (p - 1) P^{p - 2} + \binom{p - 1}{3} P^{p - 4} D + \binom{p - 1}{5} P^{p - 6} D^2 + \ldots + \binom{p - 1}{p - 4} P^3 D^{(p - 5) / 2} + (p - 1) P D^{(p - 3) / 2} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math] (zobacz L60)

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - (P^{p - 2} + P^{p - 4} D + P^{p - 6} D^2 + \ldots + P D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \,\, \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} D + P^{p - 7} D^2 + \ldots + D^{(p - 3) / 2}) \pmod{p} }[/math]


Z założenia [math]\displaystyle{ D }[/math] jest liczbą kwadratową modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ R }[/math], że

[math]\displaystyle{ D \equiv R^2 \pmod{p} }[/math]

Ponieważ

  • [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid D }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \nmid R }[/math]
  • z założenia [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math], to [math]\displaystyle{ P^2 - R^2 \equiv P^2 - D \equiv 4 Q \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math]


Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} U_{p - 1} \equiv - P (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p} }[/math]


Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ P^2 - R^2 \not\equiv 0 \pmod{p} }[/math], możemy napisać

[math]\displaystyle{ 2^{p - 2} (P^2 - R^2) U_{p - 1} \equiv - P (P^2 - R^2) (P^{p - 3} + P^{p - 5} R^2 + P^{p - 7} R^4 + \ldots + R^{p - 3}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \equiv - P (P^{p - 1} - R^{p - 1}) \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Zauważmy, że wynik nie zależy od tego, czy [math]\displaystyle{ p \, | \, P }[/math], czy [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math]. Skąd wynika

[math]\displaystyle{ U_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Aby zapisać punkty 2. i 3. twierdzenia L34 (i tylko te punkty) w zwartej formie, musimy założyć, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, D) = 1 }[/math]. Otrzymujemy
Twierdzenie L35
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ U_{p - (D \, | \, p)} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]



Liczby pseudopierwsze Lucasa

Uwaga L36
Z twierdzenia L35 wiemy, że liczby pierwsze nieparzyste [math]\displaystyle{ p }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ p \nmid Q D }[/math] są dzielnikami wyrazów ciągu Lucasa [math]\displaystyle{ U_{p - (D \, | \, p)} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) }[/math] oznacza symbol Legendre'a. Jeśli zastąpimy symbol Legendre'a symbolem Jacobiego, to będziemy mogli badać prawdziwość tego twierdzenia dla liczb złożonych i łatwo przekonamy się, że dla pewnych liczb złożonych [math]\displaystyle{ m }[/math] kongruencja

[math]\displaystyle{ U_{m - (D \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

również jest prawdziwa. Prowadzi to definicji liczb pseudopierwszych Lucasa.


Definicja L37
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math] (symbolicznie: LPSP( [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] )), jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math] i

[math]\displaystyle{ U_{m - (D \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) }[/math] oznacza symbol Jacobiego.


Twierdzenie L38
Jeżeli liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P = a + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = a }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math], to jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math].

Dowód

Połóżmy we wzorze definiującym ciąg Lucasa

[math]\displaystyle{ U_m = {\small\frac{\alpha^m - \beta^m}{\alpha - \beta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha = a }[/math] i [math]\displaystyle{ \beta = 1 }[/math]. Odpowiada to parametrom [math]\displaystyle{ P = \alpha + \beta = a + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ Q = \alpha \beta = a }[/math], [math]\displaystyle{ D = (\alpha - \beta)^2 = (a - 1)^2 }[/math].

Ponieważ musi być [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math], to mamy [math]\displaystyle{ \gcd (m, (a - 1) a) = 1 }[/math] i wynika stąd, że [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) = 1 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P = a + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = a }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ U_{m - 1} (a + 1, a) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ m \biggr\rvert {\small\frac{a^{m - 1} - 1}{a - 1}} }[/math], to tym bardziej [math]\displaystyle{ m \big\rvert (a^{m - 1} - 1) }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ a^{m - 1} - 1 \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math]. Co należało pokazać.
□


Uwaga L39
Wykorzystując funkcje jacobi(a, n) i modLucas(n, P, Q, m) (zobacz L6, L30) możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy dla liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math] prawdziwe jest twierdzenie L35. 

isPrimeOrLPSP(m, P, Q) = 
{
local(D, js);
D = P^2 - 4*Q;
if( gcd(m, 2*Q*D) > 1, return(0) );
js = jacobi(D, m);
if( modLucas(m - js, P, Q, m)[1] == 0, return(1), return(0) );
}


Przykład L40
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 69 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 115 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 629 }[/math] [math]\displaystyle{ 559 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 115 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
Pokaż kod
FirstLPSP(Stop) = 
\\ najmniejsze LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, 
                  print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
                  next();
                );
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m),
                         print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
                         break();
                       );
                     m = m + 2;
                   );
            );
     );
}


Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) = - 1 }[/math].


Przykład L41
Ilość liczb LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 4266 }[/math] [math]\displaystyle{ 4935 }[/math] [math]\displaystyle{ 4278 }[/math] [math]\displaystyle{ 4981 }[/math] [math]\displaystyle{ 6363 }[/math] [math]\displaystyle{ 6028 }[/math] [math]\displaystyle{ 5202 }[/math] [math]\displaystyle{ 4426 }[/math] [math]\displaystyle{ 5832 }[/math] [math]\displaystyle{ 6027 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 4599 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 9272 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 6958 }[/math] [math]\displaystyle{ 4563 }[/math] [math]\displaystyle{ 5600 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math] [math]\displaystyle{ 7007 }[/math] [math]\displaystyle{ 4142 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 4265 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 4241 }[/math] [math]\displaystyle{ 5114 }[/math] [math]\displaystyle{ 5859 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 6083 }[/math] [math]\displaystyle{ 6120 }[/math] [math]\displaystyle{ 4420 }[/math] [math]\displaystyle{ 5096 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 5361 }[/math] [math]\displaystyle{ 4389 }[/math] [math]\displaystyle{ 5063 }[/math] [math]\displaystyle{ 5632 }[/math] [math]\displaystyle{ 5364 }[/math] [math]\displaystyle{ 5228 }[/math] [math]\displaystyle{ 5859 }[/math] [math]\displaystyle{ 10487 }[/math] [math]\displaystyle{ 5370 }[/math] [math]\displaystyle{ 9798 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 4563 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math] [math]\displaystyle{ 4142 }[/math] [math]\displaystyle{ 6273 }[/math] [math]\displaystyle{ 5773 }[/math] [math]\displaystyle{ 4497 }[/math] [math]\displaystyle{ 5166 }[/math] [math]\displaystyle{ 5305 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 6567 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 7131 }[/math] [math]\displaystyle{ 10882 }[/math] [math]\displaystyle{ 8626 }[/math] [math]\displaystyle{ 8974 }[/math] [math]\displaystyle{ 8509 }[/math] [math]\displaystyle{ 8752 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 7803 }[/math] [math]\displaystyle{ 449152466 }[/math] [math]\displaystyle{ 5597 }[/math] [math]\displaystyle{ 5886 }[/math] [math]\displaystyle{ 6509 }[/math] [math]\displaystyle{ 5761 }[/math] [math]\displaystyle{ 8115 }[/math] [math]\displaystyle{ 6945 }[/math] [math]\displaystyle{ 8380 }[/math] [math]\displaystyle{ 7095 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 5974 }[/math] [math]\displaystyle{ 8768 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 5651 }[/math] [math]\displaystyle{ 5632 }[/math] [math]\displaystyle{ 6640 }[/math] [math]\displaystyle{ 5725 }[/math] [math]\displaystyle{ 6058 }[/math] [math]\displaystyle{ 7050 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 10749 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 14425 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 9735 }[/math] [math]\displaystyle{ 6567 }[/math] [math]\displaystyle{ 8164 }[/math] [math]\displaystyle{ 7669 }[/math] [math]\displaystyle{ 7608 }[/math] [math]\displaystyle{ 7131 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 5047 }[/math] [math]\displaystyle{ 15127 }[/math] [math]\displaystyle{ 6155 }[/math] [math]\displaystyle{ 15127 }[/math] [math]\displaystyle{ 4152 }[/math] [math]\displaystyle{ 5146 }[/math] [math]\displaystyle{ 4423 }[/math] [math]\displaystyle{ 5526 }[/math] [math]\displaystyle{ 6289 }[/math] [math]\displaystyle{ 9509 }[/math]
Pokaż kod
NumOfLPSP(Stop) = 
\\ ilość liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); next() );
              s = 0;
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), s++ );
                     m = m + 2;
                   );
              print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
            );
     );
}



Uwaga L42
Dla [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math] ciąg Lucasa [math]\displaystyle{ (U_n) }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ (U_n) = (0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, 0, - 1, - 1, 0, 1, 1, \ldots) }[/math]

Stosując indukcję matematyczną, udowodnimy, że [math]\displaystyle{ U_{3 k} = 0 }[/math]. Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] wzór jest prawdziwy. Zakładając prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] (zobacz L28 p.3)

[math]\displaystyle{ U_{3 (k + 1)} = U_{3 k + 3} = U_{3 k} V_3 - U_{3 (k - 1)} = 0 }[/math]

Co kończy dowód. Zbadajmy liczby pseudopierwsze Lucasa dla [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math].

Mamy [math]\displaystyle{ D = P^2 - 4 Q = - 3 }[/math]. Wynika stąd, że nie może być [math]\displaystyle{ 3 \, | \, m }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 3 \gt 1 }[/math].

Z zadania L4 wiemy, że

[math]\displaystyle{ (- 3 \, | \, m) = \begin{cases} \;\;\: 1 & \text{gdy } m = 6 k + 1 \\ \;\;\: 0 & \text{gdy } m = 6 k + 3 \\ - 1 & \text{gdy } m = 6 k + 5 \end{cases} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ 3 \nmid m }[/math], to wystarczy zbadać przypadki [math]\displaystyle{ m = 6 k + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m = 6 k + 5 }[/math]. W pierwszym przypadku jest

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \, | \, m)} = U_{6 k + 1 - 1} = U_{6 k} = 0 }[/math]

W drugim przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = 6 k + 5 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \, | \, m)} = U_{6 k + 5 + 1} = U_{6 (k + 1)} = 0 }[/math]

Zatem dla dowolnej liczby nieparzystej [math]\displaystyle{ m }[/math] niepodzielnej przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ U_{m - (- 3 \, | \, m)} \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

Czyli liczbami pseudopierwszymi Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ (P, Q) = (1, 1) }[/math] będą liczby nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math], które nie są podzielne przez [math]\displaystyle{ 3 }[/math] i nie są liczbami pierwszymi. Ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^k }[/math] możemy łatwo znaleźć poleceniem 

for(k = 1, 9, s = 0; forstep(m = 3, 10^k, 2, if( m%6 <> 3, s = s + !isprime(m) )); print(s))


Zadanie L43
Pokazać, że ilość liczb pseudopierwszych Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ (P, Q) = (2, 2) }[/math] nie większych od [math]\displaystyle{ 10^k }[/math] możemy znaleźć poleceniem 

for(k = 1, 9, s = 0; forstep(m = 3, 10^k, 2, s = s + !isprime(m)); print(s))



Metoda Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

Uwaga L44
Twierdzenie L35 możemy wykorzystać do testowania pierwszości liczb. Ponieważ musi być spełniony warunek [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math], to nie każda para liczb [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] (np. wybrana losowo) nadaje się do przeprowadzenia testu. Zawsze będziemy zmuszeni określić zasadę postępowania, która doprowadzi do wyboru właściwej pary [math]\displaystyle{ P, Q }[/math].

Robert Baillie i Samuel Wagstaff przedstawili[7] dwie metody wyboru parametrów dla testu Lucasa. Ograniczymy się do omówienia tylko pierwszej z nich (metodę zaproponował John Selfridge).

Rozważmy ciąg [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ a_k = (5, - 7, 9, - 11, 13, - 15, \ldots) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ D }[/math] będzie pierwszym wyrazem ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], dla którego jest [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = - 1 }[/math]. Dla tak ustalonego [math]\displaystyle{ D }[/math] przyjmujemy [math]\displaystyle{ P = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = (1 - D) / 4 }[/math].

Tabela przedstawia początkowe wartości [math]\displaystyle{ Q }[/math], jakie otrzymamy, stosując tę metodę.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_k} }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ -15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ -19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ -23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ -27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ -31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ -35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ -39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math] [math]\displaystyle{ -1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ -2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ -4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ -6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ -8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ -10 }[/math]


Zauważmy, że

  • jeżeli liczba nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową, to wybór [math]\displaystyle{ D }[/math] nie będzie możliwy
  • w przypadku zastosowania tej metody znajdziemy tylko liczby pierwsze lub pseudopierwsze Lucasa, które spełniają kongruencję [math]\displaystyle{ U_{m + 1} \equiv 0 \pmod{m} }[/math], czyli tylko część liczb pseudopierwszych Lucasa określonych w definicji L37


Ponieważ Baillie i Wagstaff określili metodę zaproponowaną przez Selfridge'a jako metodę A, to pozostaniemy przy tej nazwie. Korzystając ze wzoru rekurencyjnego

[math]\displaystyle{ a_{k+1} = \begin{cases} \qquad \qquad 5 & \text{gdy } k = 1\\ - a_k - 2 * \mathop{\textnormal{sign}}( a_k ) & \text{gdy } k \geqslant 2 \end{cases} }[/math]

możemy łatwo napisać odpowiednią funkcję znajdującą liczby [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] według tej metody. 

MethodA(m) = 
{
local(a, js);
a = 5;
while( 1,
       js = jacobi(a, m);
       if( js == 0  &&  a % m <> 0, return([0, 0]) );
       if( js == -1, return([1, (1 - a)/4]) );
       a = -a - 2*sign(a);
     );
}

Wyjaśnienia wymaga druga linia kodu w pętli while. Wiemy, że (zobacz L3)

[math]\displaystyle{ (a \, | \, m) = 0 \quad \qquad \Longleftrightarrow \quad \qquad \gcd (a, m) \gt 1 }[/math]

Jednak z faktu, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] nie wynika natychmiast, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Rozważmy dwa przypadki: gdy [math]\displaystyle{ m \, | \, a }[/math] i [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math].

Gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \, | \, a }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m, m) = m \gt 1 }[/math] i nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Widać to dobrze na prostych przykładach

[math]\displaystyle{ \gcd (7, 7) = \gcd (14, 7) = 7 \gt 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \gcd (15, 15) = \gcd (30, 15) = 15 \gt 1 }[/math]

Gdy [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Ponieważ [math]\displaystyle{ m \nmid a }[/math], to [math]\displaystyle{ a = k \cdot m + r }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \in [1, m - 1] }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = \gcd (k \cdot m + r, m) = \gcd (r, m) = d }[/math]

Musi być [math]\displaystyle{ d \gt 1 }[/math], bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) \gt 1 }[/math] i musi być [math]\displaystyle{ d \lt m }[/math], bo [math]\displaystyle{ d \leqslant r \leqslant m - 1 }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ d }[/math] jest dzielnikiem nietrywialnym liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną.

Omawiana linia kodu zapewnia wysłanie informacji o tym, że liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną (zwrot wektora [0, 0]). W przypadku, gdy nie mamy takiej pewności, kontynuujemy szukanie liczby [math]\displaystyle{ a }[/math], takiej że [math]\displaystyle{ (a \, | \, m) = - 1 }[/math], pozostawiając zbadanie pierwszości liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] na kolejnym etapie testowania.


Uważny Czytelnik dostrzeże, że nie zbadaliśmy, czy spełniony jest warunek [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q) = 1 }[/math]. Nie musimy tego robić, bo zwracana przez funkcję MethodA() liczba [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Omówimy ten problem dokładnie w zadaniu L45. Poniżej pokażemy, że nawet gdyby było [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q) \gt 1 }[/math], to złożona liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie zostanie uznana za liczbę pseudopierwszą Lucasa.

Zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną i ma dzielnik pierwszy [math]\displaystyle{ p \lt m }[/math], który dzieli [math]\displaystyle{ Q }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid P }[/math] (bo [math]\displaystyle{ P = 1 }[/math]), zatem [math]\displaystyle{ p \nmid U_k }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math] (zobacz L32), czyli nie może być

[math]\displaystyle{ U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

bo mielibyśmy

[math]\displaystyle{ U_{m + 1} (1, Q) \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

a to jest niemożliwe. Zatem program wykorzystujący twierdzenie L35 wykryje złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math].

Łatwo pokażemy, że nie jest możliwe, aby liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] była liczbą pierwszą i była dzielnikiem [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to istnieje dokładnie [math]\displaystyle{ \tfrac{m - 1}{2} }[/math] liczb kwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ \tfrac{m - 1}{2} }[/math] liczb niekwadratowych modulo [math]\displaystyle{ p }[/math], zatem rozpoczynając od wyrazu [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] możemy dojść co najwyżej do wyrazu o indeksie [math]\displaystyle{ k = \tfrac{m - 1}{2} + 2 }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ | a_k | \leqslant m + 4 }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_k}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{m + 5}{4}} \lt m }[/math]

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ m \gt {\small\frac{5}{3}} }[/math], czyli dla wszystkich liczb pierwszych. Ponieważ [math]\displaystyle{ | Q | \lt m }[/math], w przypadku gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, to [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może być dzielnikiem liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math].


Zadanie L45
Pokazać, że w przypadku, gdy dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] sprawdzamy, czy konsekwencją [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla każdej liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math] wyznaczonej metodą Selfridge'a jest [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math].

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ m = 21 }[/math]. Rozpoczniemy od przykładu liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, m - 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{0} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{(m-1)/2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{k} }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a_k} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ -7 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ -11 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ -15 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ -19 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ -23 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ -27 }[/math] [math]\displaystyle{ 29 }[/math] [math]\displaystyle{ -31 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ -35 }[/math] [math]\displaystyle{ 37 }[/math] [math]\displaystyle{ -39 }[/math] [math]\displaystyle{ 41 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{R_m(a_k)} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 18 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 14 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 10 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 17 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 19 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 8 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 16 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 20 }[/math]

Zauważmy, że modulo [math]\displaystyle{ 21 }[/math] ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) = (1, - 3, 5, - 7, \ldots, 37, - 39, 41) }[/math] jest identyczny z ciągiem [math]\displaystyle{ (0, 1, 2, \ldots, 19, 20) }[/math], a ciąg [math]\displaystyle{ (| a_k |) }[/math] to kolejne liczby nieparzyste od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ 2 m - 1 }[/math].


Poniżej pokażemy, dlaczego musi być [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą wyznaczoną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] przy testowaniu kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math]). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość [math]\displaystyle{ Q }[/math] na podstawie innego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ a_k }[/math] (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).

[math]\displaystyle{ m = 3 , \;\; (5 \, | \, 3) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 5 , \;\; (5 \, | \, 5) = 0 , \;\; (- 7 \, | \, 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (5 \, | \, 5) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 7 , \;\; (5 \, | \, 7) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 9 , \;\; }[/math] (liczba kwadratowa)
[math]\displaystyle{ m = 11 , \;\; (- 11 \, | \, 11) = 0 , \;\; (13 \, | \, 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, 11) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 13 , \;\; (5 \, | \, 13) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 15 , \;\; \boldsymbol{(5 \, | \, 15) = 0} , \;\; (13 \, | \, 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 17 , \;\; (5 \, | \, 17) = - 1 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 19 , \;\; (- 7 \, | \, 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \, | \, 21) = 0} , \;\; (- 11 \, | \, 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)


Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Wiemy, że w ciągu [math]\displaystyle{ (5, - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1) }[/math] wystąpią liczby [math]\displaystyle{ a_k }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = - 1 }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] oznacza, że [math]\displaystyle{ (2 k + 1 \, | \, m) = 0 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \, | \, m) = ((- 1)^k \, | \, m) \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = (- 1 \, | \, m)^k \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = \pm (2 k + 1 \, | \, m) }[/math]

Jeżeli będą spełnione warunki [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \neq 0 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą złożoną.

Wypiszmy kolejne próby dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] jest numerem próby.

[math]\displaystyle{ r = 1 , \;\; a_{r + 1} = 5 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (5 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (5 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (5 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = 5 , \;\; Q = - 1 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 2 , \;\; a_{r + 1} = - 7 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = -7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 3 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{r + 1} = 9 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) \neq - 1 \quad }[/math] - - - - bo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] jest liczbą kwadratową


Po wykonaniu trzech prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności [math]\displaystyle{ m }[/math] lub ustaleniem wartości liczb [math]\displaystyle{ D }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]) wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p = 3, 5, 7 }[/math].

[math]\displaystyle{ r }[/math]-ta próba, gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 4 , \;\; }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ a_{r + 1} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \, | \, m) = 1 }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \, | \, m) = 0 }[/math] A. jeżeli [math]\displaystyle{ m \, | \, a_{r + 1} }[/math]( * )
B. jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 1} }[/math]		 A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
B. [math]\displaystyle{ a_{r + 1} \, | \, m }[/math]( ** ), koniec
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 1} \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     [math]\displaystyle{ D = a_{r + 1} }[/math], [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} }[/math], koniec

( * ) jest to możliwe tylko dla [math]\displaystyle{ a_{r + 1} = a_{(m - 1) / 2} = m }[/math]

( ** ) zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 1} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a_{r + 1}, m) = | a_{r + 1} | }[/math], bo gdyby liczba [math]\displaystyle{ | a_{r + 1} | }[/math] była liczbą złożoną, to żaden z jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]


Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 1} | = 2 r + 3 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) \gt 1 }[/math] może być tylko w przypadku, gdy pewna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 2 r + 5 }[/math] będzie wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math], ale jest to niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 1}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 1} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 4}{4}} \lt 2 r + 5 \leqslant q }[/math]

Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ r }[/math] naturalnych.
□


Zadanie L46
Zmodyfikujmy metodę Selfridge'a w taki sposób, że będziemy rozpoczynali próby nie od wyrazu [math]\displaystyle{ a_2 = 5 }[/math], ale od wyrazu [math]\displaystyle{ a_3 = - 7 }[/math]. Pokazać, że w przypadku, gdy dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k (2 k + 1) }[/math] sprawdzamy, czy konsekwencją [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to dla każdej liczby [math]\displaystyle{ Q }[/math] wyznaczonej tak zmodyfikowaną metodą Selfridge'a jest [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math].

Rozwiązanie

Poniżej pokażemy, dlaczego musi być [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ Q }[/math] jest liczbą wyznaczoną zmodyfikowaną metodą Selfridge'a (o ile sprawdzana jest złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] przy testowaniu kolejnych liczb [math]\displaystyle{ a_k }[/math]). Pogrubioną czcionką zaznaczone są symbole Jacobiego, które wykryły złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Gdyby nie była badana złożoność, to wyliczona zostałaby wartość [math]\displaystyle{ Q }[/math] na podstawie innego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ a_k }[/math] (ten symbol Jacobiego został zapisany zwykłą czcionką).

[math]\displaystyle{ m = 3 , \;\; (- 7 \, | \, 3) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 5 , \;\; (- 7 \, | \, 5) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 7 , \;\; (- 7 \, | \, 7) = 0 , \;\; (- 11 \, | \, 7) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, 7) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 9 , \;\; }[/math] (liczba kwadratowa)
[math]\displaystyle{ m = 11 , \;\; (- 11 \, | \, 11) = 0 , \;\; (13 \, | \, 11) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 \;\; }[/math] (zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, 11) = 0 }[/math] nie pozwala wnioskować o złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 13 , \;\; (- 7 \, | \, 13) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 15 , \;\; \boldsymbol{(9 \, | \, 15) = 0} , \;\; (13 \, | \, 15) = - 1 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)
[math]\displaystyle{ m = 17 , \;\; (- 7 \, | \, 17) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 19 , \;\; (- 7 \, | \, 19) = - 1 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 21 , \;\; \boldsymbol{(- 7 \, | \, 21) = 0} , \;\; (- 11 \, | \, 21) = - 1 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 3 \;\; }[/math] (gdyby nie zbadano złożoności)


Niech [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Wiemy, że w ciągu [math]\displaystyle{ ( - 7, 9, \ldots, \pm m, \mp (m + 2), \ldots, - (2 m - 3), 2 m - 1) }[/math] wystąpią liczby [math]\displaystyle{ a_k }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = - 1 }[/math]. Warunek [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] oznacza, że [math]\displaystyle{ (2 k + 1 \, | \, m) = 0 }[/math], bo

[math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = ((- 1)^k (2 k + 1) \, | \, m) = ((- 1)^k \, | \, m) \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = (- 1 \, | \, m)^k \cdot (2 k + 1 \, | \, m) = \pm (2 k + 1 \, | \, m) }[/math]

Jeżeli będą spełnione warunki [math]\displaystyle{ (a_k \, | \, m) = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ R_m (a_k) \neq 0 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] będzie liczbą złożoną.

Wypiszmy kolejne próby dla [math]\displaystyle{ m \geqslant 23 }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ r }[/math] jest numerem próby.

[math]\displaystyle{ r = 1 , \;\; a_{r + 2} = - 7 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 7 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 7 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 7 , \;\; Q = 2 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec
[math]\displaystyle{ r = 2 , \;\; a_{r + 2} = 9 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (9 \, | \, m) \neq - 1 \quad }[/math] - - - - bo [math]\displaystyle{ 9 }[/math] jest liczbą kwadratową
[math]\displaystyle{ r = 3 , \;\; a_{r + 2} = - 11 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 11 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 11 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 11 , \;\; Q = 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec (bo liczby złożone [math]\displaystyle{ m = 3 k }[/math] zostały usunięte w poprzedniej próbie, [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math])
[math]\displaystyle{ r = 4 , \;\; a_{r + 2} = 13 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (13 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (13 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (13 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 13 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = 13 , \;\; Q = - 3 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec (bo liczby złożone [math]\displaystyle{ m = 3 k }[/math] zostały usunięte w próbie o numerze [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math])
[math]\displaystyle{ r = 5 , \;\; a_{r + 2} = - 15 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \, | \, m) = 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m \quad }[/math] przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \, | \, m) = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \, | \, m }[/math] koniec
●    [math]\displaystyle{ (- 15 \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] [math]\displaystyle{ 5 \nmid m }[/math] [math]\displaystyle{ D = - 15 , \;\; Q = 4 , \;\; \gcd (m, Q) = 1 , \;\; }[/math] koniec


Po wykonaniu pięciu prób niezakończonych sukcesem (tzn. wykryciem złożoności [math]\displaystyle{ m }[/math] lub ustaleniem wartości liczb [math]\displaystyle{ D }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]) wiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p = 3, 5, 7, 11, 13 }[/math].

[math]\displaystyle{ r }[/math]-ta próba, gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 6 , \;\; }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ a_{r + 2} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \, | \, m) = 1 }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \, | \, m) = 0 }[/math] A. jeżeli [math]\displaystyle{ m \, | \, a_{r + 2} }[/math]( * )
B. jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 2} }[/math]		 A. przechodzimy do kolejnego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]
B. [math]\displaystyle{ a_{r + 1} \, | \, m }[/math]( ** ), koniec
●    [math]\displaystyle{ (a_{r + 2} \, | \, m) = - 1 \quad }[/math] żadna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m \quad }[/math]     [math]\displaystyle{ D = a_{r + 2} }[/math], [math]\displaystyle{ Q = {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} }[/math], koniec

( * ) jest to możliwe tylko dla [math]\displaystyle{ a_{r + 2} = a_{(m - 1) / 2} = m }[/math]

( ** ) zauważmy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \nmid a_{r + 2} }[/math], to [math]\displaystyle{ \gcd (a_{r + 2}, m) = | a_{r + 2} | }[/math], bo gdyby liczba [math]\displaystyle{ | a_{r + 2} | }[/math] była liczbą złożoną, to żaden z jej dzielników pierwszych nie dzieliłby liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]


Jeżeli nie została wykryta złożoność liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], to żadna z liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p \leqslant | a_{r + 2} | = 2 r + 5 }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) \gt 1 }[/math] może być tylko w przypadku, gdy pewna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ q \geqslant 2 r + 7 }[/math] będzie wspólnym dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ Q }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math], ale jest to niemożliwe, bo

[math]\displaystyle{ | Q | = \left| {\small\frac{1 - a_{r + 2}}{4}} \right| \leqslant {\small\frac{| a_{r + 2} | + 1}{4}} = {\small\frac{2 r + 6}{4}} \lt 2 r + 7 \leqslant q }[/math]

Przedostatnia (ostra) nierówność jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ r }[/math] naturalnych.
□


Uwaga L47
Przyjmując metodę Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] dla testu Lucasa, możemy łatwo napisać odpowiedni program w PARI/GP testujący pierwszość liczb 

LucasTest(m) = 
{
local(P, Q, X);
if( m % 2 == 0, return(m == 2) );
if( issquare(m), return(0) ); \\ sprawdzamy, czy m nie jest liczbą kwadratową
X = MethodA(m);
P = X[1];
Q = X[2];
if( P == 0, return(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
if( modLucas(m + 1, P, Q, m)[1] == 0, return(1), return(0) );
}


Uwaga L48
Najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, które pojawiają się przy zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], to

[math]\displaystyle{ 323, 377, 1159, 1829, 3827, 5459, 5777, 9071, 9179, 10877, 11419, 11663, 13919, 14839, 16109, 16211, 18407, 18971, 19043, 22499, \ldots }[/math]
Pokaż kod
forstep(k=1, 3*10^4, 2, if( LucasTest(k) && !isprime(k), print(k)) )



Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math]
#LPSP [math]\displaystyle{ \lt 10^n }[/math] (metoda Selfridge'a) [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 219 }[/math] [math]\displaystyle{ 659 }[/math] [math]\displaystyle{ 1911 }[/math] [math]\displaystyle{ 5485 }[/math]
Pokaż kod
for(n=3, 9, s=0; forstep(k = 1, 10^n, 2, if( LucasTest(k) && !isprime(k), s++ ) ); print("n= ", n, "   ", s) )




Liczby silnie pseudopierwsze Lucasa

Twierdzenie L49
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ p - (D \, | \, p) = 2^r w }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą, to spełniony jest dokładnie jeden z warunków

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]
Dowód

Wiemy (zobacz L35), że jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą taką, że [math]\displaystyle{ \gcd (p, Q D) = 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{p - (D \, | \, p)} }[/math]. Z założenia jest [math]\displaystyle{ p - (D \, | \, p) = 2^r w }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^r w} }[/math]. Ponieważ założyliśmy, że [math]\displaystyle{ p \nmid Q }[/math] i [math]\displaystyle{ p \nmid D }[/math], to ze wzoru [math]\displaystyle{ V^2_n - D U^2_n = 4 Q^n }[/math] (zobacz L28 p.14) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może dzielić jednocześnie liczb [math]\displaystyle{ U_n }[/math] i [math]\displaystyle{ V_n }[/math].

Korzystając ze wzoru [math]\displaystyle{ U_{2 n} = U_n V_n }[/math] (zobacz L28 p.11), otrzymujemy

●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^r w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2^{r - 1} w} \cdot V_{2^{r - 1} w} \quad }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2^{r - 1} w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2^{r - 1} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^{r - 1} w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^{r - 1} w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2^{r - 2} w} \cdot V_{2^{r - 2} w} \quad }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2^{r - 2} w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2^{r - 2} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2^{r - 2} w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ ................. }[/math]
●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{4 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_{2 w} \cdot V_{2 w} }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2 w} }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_{2 w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 w} }[/math].
●    [math]\displaystyle{ p \, | \, U_{2 w} \;\; \Longleftrightarrow \;\; p \, | \, U_w \cdot V_w }[/math] Jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_w }[/math], to twierdzenie jest dowiedzione. Jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p \, | \, U_w }[/math].

Z powyższego wynika, że musi być spełniony jeden z wypisanych w twierdzeniu warunków.


Zauważmy teraz, że jeżeli liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid U_w }[/math], bo [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może jednocześnie być dzielnikiem liczb [math]\displaystyle{ U_w }[/math] i [math]\displaystyle{ V_w }[/math].

Zauważmy też, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [1, r - 1] }[/math] liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli [math]\displaystyle{ V_{2^k w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie dzieli żadnej liczby [math]\displaystyle{ V_{2^j w} }[/math] dla [math]\displaystyle{ j \in [0, k - 1] \;\; \text{i} \;\; p \nmid U_w }[/math]. Istotnie:

●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \, | \, V_{2^k w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2^k w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^k w} = U_{2^{k - 1} w} V_{2^{k - 1} w} }[/math], zatem [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 1} w} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2^{k - 1} w} \;\; \text{i} \;\; U_{2^{k - 1} w} = U_{2^{k - 2} w} V_{2^{k - 2} w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2^{k - 2} w} \;\; \text{i} \;\; V_{2^{k - 2} w} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ ................. }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{4 w} \;\; \text{i} \;\; U_{4 w} = U_{2 w} V_{2 w} }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; V_{2 w} }[/math]
●    jeżeli [math]\displaystyle{ p \nmid U_{2 w} \;\; \text{i} \;\; U_{2 w} = U_w V_w }[/math], to [math]\displaystyle{ p }[/math] nie może być dzielnikiem żadnej z liczb [math]\displaystyle{ U_w \;\; \text{i} \;\; V_w }[/math]


Co dowodzi, że spełniony jest dokładnie jeden z [math]\displaystyle{ r + 1 }[/math] warunków:

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{p} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{p} \qquad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]

Co należało pokazać.
□


Konsekwentnie definiujemy liczby pseudopierwsze
Definicja L50
Powiemy, że liczba złożona nieparzysta [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą silnie pseudopierwszą Lucasa (SLPSP) dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (m, Q D) = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ m - (D \, | \, m) = 2^r w }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ w }[/math] jest liczbą nieparzystą i spełniony jest jeden z warunków

[math]\displaystyle{ U_w \equiv 0 \pmod{m} }[/math]

lub

[math]\displaystyle{ V_{2^k w} \equiv 0 \pmod{m} \; }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]


Uwaga L51
Każda liczba SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) jest LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]). Korzystając ze zdefiniowanych wcześniej funkcji: modPower(a, n, m), jacobi(a, n) i modLucas(n, P, Q, m) (zobacz K3, L6, L30), możemy napisać prosty program, który sprawdza, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] spełnia jeden z warunków podanych w twierdzeniu L49. 

isPrimeOrSLPSP(m, P, Q) = 
{
local(a, b, c, D, js, k, r, w, X);
D = P^2 - 4*Q;
if( gcd(m, 2*Q*D) > 1, return(0) );
js = jacobi(D, m);
r = valuation(m - js, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m - js
w = (m - js) / 2^r;
X =  modLucas(w, P, Q, m);
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
if( a == 0 || b == 0, return(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
if( r == 1, return(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
k = 0;
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) % m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*t) = (V_t)^2 - 2*Q^t
while( k++ < r,
       b = (b^2 - 2*c) % m;
       if( b == 0, return(1) );
       c = c^2 % m;
     );
return(0);
}


Przykład L52
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa dla różnych parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 299 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 407 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 57 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 799 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 529 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math] [math]\displaystyle{ 161 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 265 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 119 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 629 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 51 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 559 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 5459 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 169 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 253 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 899 }[/math] [math]\displaystyle{ 5983 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 55 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 899 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 323 }[/math] [math]\displaystyle{ 377 }[/math] [math]\displaystyle{ 209 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 49 }[/math] [math]\displaystyle{ 527 }[/math] [math]\displaystyle{ 4181 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math]
Pokaż kod
FirstSLPSP(Stop) = 
\\ najmniejsze SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, 
                  print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------");
                  next();
                );
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrSLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), 
                         print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   m= ", m, "   (D|m)= ", jacobi(D, m));
                         break();
                       );
                     m = m + 2;
                   );
           );
     );
}


Żółtym tłem oznaczyliśmy te najmniejsze liczby pseudopierwsze Lucasa, dla których [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) = - 1 }[/math].


Przykład L53
Ilość liczb SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]

       [math]\displaystyle{ \boldsymbol{P} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{Q} }[/math]        		[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1056 }[/math] [math]\displaystyle{ 1231 }[/math] [math]\displaystyle{ 1184 }[/math] [math]\displaystyle{ 1264 }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 1284 }[/math] [math]\displaystyle{ 1181 }[/math] [math]\displaystyle{ 1174 }[/math] [math]\displaystyle{ 1281 }[/math] [math]\displaystyle{ 1429 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 4} }[/math] [math]\displaystyle{ 1043 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 2139 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1151 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079 }[/math] [math]\displaystyle{ 1112 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 1197 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 3} }[/math] [math]\displaystyle{ 952 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 1055 }[/math] [math]\displaystyle{ 1153 }[/math] [math]\displaystyle{ 1135 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 998 }[/math] [math]\displaystyle{ 1202 }[/math] [math]\displaystyle{ 1077 }[/math] [math]\displaystyle{ 1112 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1092 }[/math] [math]\displaystyle{ 1212 }[/math] [math]\displaystyle{ 1510 }[/math] [math]\displaystyle{ 1155 }[/math] [math]\displaystyle{ 1179 }[/math] [math]\displaystyle{ 1173 }[/math] [math]\displaystyle{ 2240 }[/math] [math]\displaystyle{ 1089 }[/math] [math]\displaystyle{ 2109 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{- 1} }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1079 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math] [math]\displaystyle{ 989 }[/math] [math]\displaystyle{ 1196 }[/math] [math]\displaystyle{ 1129 }[/math] [math]\displaystyle{ 1050 }[/math] [math]\displaystyle{ 1055 }[/math] [math]\displaystyle{ 1147 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{1} }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2113 }[/math] [math]\displaystyle{ 2266 }[/math] [math]\displaystyle{ 4053 }[/math] [math]\displaystyle{ 2508 }[/math] [math]\displaystyle{ 2285 }[/math] [math]\displaystyle{ 3083 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ 1776 }[/math] [math]\displaystyle{ 449152466 }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1316 }[/math] [math]\displaystyle{ 1645 }[/math] [math]\displaystyle{ 1413 }[/math] [math]\displaystyle{ 1564 }[/math] [math]\displaystyle{ 1595 }[/math] [math]\displaystyle{ 1683 }[/math] [math]\displaystyle{ 1435 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ 1621 }[/math] [math]\displaystyle{ 1553 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 1530 }[/math] [math]\displaystyle{ 1510 }[/math] [math]\displaystyle{ 1588 }[/math] [math]\displaystyle{ 1549 }[/math] [math]\displaystyle{ 1468 }[/math] [math]\displaystyle{ 1692 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ 2760 }[/math] [math]\displaystyle{ 282485800 }[/math] [math]\displaystyle{ 2978 }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 2137 }[/math] [math]\displaystyle{ 2278 }[/math] [math]\displaystyle{ 1995 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2260 }[/math] [math]\displaystyle{ 2113 }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 1314 }[/math] [math]\displaystyle{ 2392 }[/math] [math]\displaystyle{ 1497 }[/math] [math]\displaystyle{ 2392 }[/math] [math]\displaystyle{ 1165 }[/math] [math]\displaystyle{ 1268 }[/math] [math]\displaystyle{ 1227 }[/math] [math]\displaystyle{ 1411 }[/math] [math]\displaystyle{ 1253 }[/math] [math]\displaystyle{ 2377 }[/math]


Pokaż kod
NumOfSLPSP(Stop) = 
\\ ilość liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP(P,Q) < Stop;  dla 1<=P<=10 i -5<=Q<=5
{
local(D, m, P, Q);
Q = -6;
while( Q++ <= 5,
       if( Q == 0, next() );
       P = 0;
       while( P++ <= 10,
              D = P^2 - 4*Q;
              if( D == 0, print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   ------------------"); next() );
              s = 0;
              m = 3;
              while( m < Stop,
                     if( isPrimeOrSLPSP(m, P, Q)  &&  !isprime(m), s++ );
                     m = m + 2;
                   );
              print("Q= ", Q, "   P= ", P, "   s= ", s);
            );
     );
}



Uwaga L54
Można pokazać[8], że dla liczby złożonej nieparzystej [math]\displaystyle{ m \neq 9 }[/math] i ustalonego [math]\displaystyle{ D }[/math] ilość par [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] takich, że

  • [math]\displaystyle{ 0 \leqslant P, Q \lt m }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \gcd (Q, m) = 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ P^2 - 4 Q \equiv D \pmod{m} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ m }[/math] jest SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math])

nie przekracza [math]\displaystyle{ \tfrac{4}{15} n }[/math].

Nie dotyczy to przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m = p (p + 2) }[/math] jest iloczynem liczb pierwszych bliźniaczych takich, że [math]\displaystyle{ (D \, | \, p) = - (D \, | \, p + 2) = - 1 }[/math], wtedy mamy słabsze oszacowanie: [math]\displaystyle{ \# (P, Q) \leqslant \tfrac{1}{2} n }[/math]. Zauważmy, że taką sytuację łatwo wykryć, bo w tym przypadku [math]\displaystyle{ m + 1 = (p + 1)^2 }[/math] jest liczbą kwadratową.


Uwaga L55
Podobnie jak w przypadku liczb pseudopierwszych Lucasa LPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) tak i w przypadku liczb silnie pseudopierwszych Lucasa SLPSP([math]\displaystyle{ P, Q }[/math]) możemy testować pierwszość liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], wybierając liczby [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] losowo lub zastosować wybraną metodę postępowania. Przedstawiony poniżej program, to zmodyfikowany kod z uwagi L51. Teraz parametry [math]\displaystyle{ P, Q }[/math] są wybierane metodą Selfridge'a, a symbol Jacobiego [math]\displaystyle{ (D \, | \, m) }[/math] jest równy [math]\displaystyle{ - 1 }[/math]. 

StrongLucasTest(m) =
{
local(a, b, c, k, P, Q, r, w, X);
if( issquare(m), return(0) ); \\ sprawdzamy, czy liczba m nie jest kwadratowa
X = MethodA(m);
P = X[1];
Q = X[2];
if( P == 0 || gcd(m, 2*Q) > 1, return(0) ); \\ jeżeli P = 0, to m jest liczbą złożoną
r = valuation(m + 1, 2); \\ znajdujemy wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w m + 1
w = (m + 1) / 2^r;
X =  modLucas(w, P, Q, m);
a = X[1]; \\ U_w(P, Q) % m
b = X[2]; \\ V_w(P, Q) % m
if( a == 0 || b == 0, return(1) ); \\ b == 0 to przypadek k == 0
if( r == 1, return(0) ); \\ nie ma dalszych przypadków
c = modPower(Q, w, m); \\ Q^w % m
k = 0;
\\ sprawdzamy warunek V_(2^k * w) %m = 0; korzystamy ze wzoru V_(2*w) = (V_w)^2 - 2*Q^w
while( k++ < r,
       b = (b^2 - 2*c) % m;
       if( b == 0, return(1) );
       c = c^2 % m;
     );
return(0);
}


Uwaga L56
Najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze Lucasa, które otrzymujemy po zastosowaniu metody Selfridge'a wyboru parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], to

[math]\displaystyle{ 5459, 5777, 10877, 16109, 18971, 22499, 24569, 25199, 40309, 58519, 75077, 97439, \ldots }[/math]
Pokaż kod
forstep(k=1, 10^5, 2, if( StrongLucasTest(k) && !isprime(k), print(k)) )



Tabela przedstawia ilość takich liczb nie większych od [math]\displaystyle{ 10^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math]
#SLPSP [math]\displaystyle{ \lt 10^n }[/math] (metoda Selfridge'a) [math]\displaystyle{ 0 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 12 }[/math] [math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 178 }[/math] [math]\displaystyle{ 505 }[/math] [math]\displaystyle{ 1415 }[/math]
Pokaż kod
for(n=3, 9, s=0; forstep(k = 1, 10^n, 2, if( StrongLucasTest(k) && !isprime(k), s++ ) ); print("n=", n, "   ", s) )




Test BPSW

Uwaga L57
Jest [math]\displaystyle{ 488 }[/math] liczb SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]) mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] i są 582 liczby SPSP([math]\displaystyle{ 3 }[/math]) mniejsze od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] (zobacz K21). Ale jest aż [math]\displaystyle{ 21 }[/math] liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ 1373653, 1530787, 1987021, 2284453, 3116107, 5173601, 6787327, 11541307, 13694761, 15978007, 16070429, }[/math]

[math]\displaystyle{ 16879501, 25326001, 27509653, 27664033, 28527049, 54029741, 61832377, 66096253, 74927161, 80375707 }[/math]

Pokaż kod
forstep(m=3, 10^8, 2, if( isPrimeOrSPSP(m, 2)  &&  isPrimeOrSPSP(m, 3)  &&  !isprime(m), print("m=", m) ) )


Widzimy, że prawdopodobieństwo błędnego rozpoznania pierwszości w przypadku liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] dla podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] jest rzędu kilku milionowych. Gdyby prawdopodobieństwa błędnego rozpoznania pierwszości w przypadku podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math] były niezależne, to spodziewalibyśmy się, że nie będzie wcale liczb mniejszych od [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] silnie pseudopierwszych jednocześnie względem podstaw [math]\displaystyle{ 2 }[/math] i [math]\displaystyle{ 3 }[/math], bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia byłoby równe kilkudziesięciu bilonowym. Ale tak nie jest.

Jest to mocny argument za tym, że zastosowanie różnych (niezależnych) testów może być znacznie silniejszym narzędziem do testowania pierwszości liczb, niż wielokrotne stosowanie tego samego testu, gdzie poszczególne próby są tylko pozornie niezależne.

Połączenie znanych nam już testów prowadzi do prostego programu 

BPSWtest(m) =
{
forprime(p = 2, 1000, if( m % p > 0, next() ); if( m == p, return(1), return(0) ));
if( !isPrimeOrSPSP(m, 2), return(0) );
if( !StrongLucasTest(m), return(0), return(1) );
}


Funkcja BPSWtest(m) kolejno sprawdza:

  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest podzielna przez niewielkie liczby pierwsze (w naszym przypadku mniejsze od [math]\displaystyle{ 1000 }[/math]); jeśli tak, to sprawdza, czy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą, czy złożoną i zwraca odpowiednio [math]\displaystyle{ 1 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi test Millera-Rabina dla podstawy [math]\displaystyle{ 2 }[/math]; jeśli nie, to zwraca [math]\displaystyle{ 0 }[/math]
  • czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi silny test Lucasa dla parametrów [math]\displaystyle{ P }[/math] i [math]\displaystyle{ Q }[/math], które wybieramy metodą Selfridge'a; jeśli nie, to zwraca [math]\displaystyle{ 0 }[/math], w przeciwnym wypadku zwraca [math]\displaystyle{ 1 }[/math]


Test w dokładnie takiej postaci zaproponowali Robert Baillie i Samuel Wagstaff[7]. Nazwa testu to akronim, utworzony od pierwszych liter nazwisk Roberta Bailliego, Carla Pomerance'a, Johna Selfridge'a i Samuela Wagstaffa.

Nie jest znany żaden przykład liczby złożonej [math]\displaystyle{ m }[/math], którą test BPSW[9][10] identyfikowałby jako pierwszą i z pewnością nie ma takich liczb dla [math]\displaystyle{ m \lt 2^{64} \approx 1.844 \cdot 10^{19} }[/math]. Warto przypomnieć: potrzebowaliśmy siedmiu testów Millera-Rabina (dla podstaw [math]\displaystyle{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }[/math]), aby mieć pewność, że dowolna liczba [math]\displaystyle{ m \lt 3.41 \cdot 10^{14} }[/math] jest pierwsza (zobacz K22).



Uzupełnienie

Twierdzenie L58
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math].

Dowód

Łatwo zauważamy, że dla [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynnika dwumianowego

[math]\displaystyle{ \binom{p}{k} = {\small\frac{p!}{k! \cdot (p - k)!}} }[/math]

zatem [math]\displaystyle{ p \biggr\rvert \binom{p}{k} }[/math]. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L59
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math].

Dowód

Jeżeli [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math], to modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \binom{p + 1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k - 1} \equiv 0 \pmod{p} }[/math]

Bo liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] dzieli licznik, ale nie dzieli mianownika współczynników dwumianowych po prawej stronie. Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L60
Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą, to

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

dla każdego [math]\displaystyle{ k \in [0, p - 1] }[/math].

Dowód

Łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby pierwszej parzystej [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math]. Załóżmy, że [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą. Równie łatwo sprawdzamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \in [1, p - 1] }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} = {\small\frac{(p - 1) !}{k! (p - 1 - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot {\small\frac{(p - 1) !}{(k - 1) ! (p - k) !}} = {\small\frac{p - k}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} = {\small\frac{p}{k}} \cdot \binom{p - 1}{k - 1} - \binom{p - 1}{k - 1} }[/math]

Ponieważ współczynniki dwumianowe są liczbami całkowitymi, a liczba [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] nie dzieli liczby pierwszej nieparzystej [math]\displaystyle{ p }[/math], to [math]\displaystyle{ k }[/math] musi dzielić liczbę [math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k - 1} }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ k \in [2, p - 1] }[/math] modulo [math]\displaystyle{ p }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv - \binom{p - 1}{k - 1}\pmod{p} }[/math]

Skąd otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \binom{p - 1}{k} \equiv (- 1)^1 \binom{p - 1}{k - 1} \equiv (- 1)^2 \binom{p - 1}{k - 2} \equiv \ldots \equiv (- 1)^{k - 2} \binom{p - 1}{2} \equiv (- 1)^{k - 1} \binom{p - 1}{1} \equiv (- 1)^k \pmod{p} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Twierdzenie L61
Dla współczynników dwumianowych prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
Dowód

Ze wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n - k} b^k }[/math]

z łatwością otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (1 + 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]
[math]\displaystyle{ (1 - 1)^n = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \binom{n}{k} = 0 }[/math]

Obliczając sumę i różnicę powyższych wzorów mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 + (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum^n_{k = 0}} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} (1 - (- 1)^k) = 2 \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^n }[/math]

Skąd natychmiast wynika

[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{parzyste}}{\sum_{k = 0}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \underset{k \; \text{nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{n}} \binom{n}{k} = 2^{n - 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□


Uwaga L62
W funkcji modLucas() wykorzystaliśmy zaimplementowaną w PARI/GP funkcję

digits(m, b) - zwraca wektor cyfr liczby [math]\displaystyle{ | m | }[/math] w systemie liczbowym o podstawie [math]\displaystyle{ b }[/math]

W naszym przypadku potrzebowaliśmy uzyskać wektor cyfr liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] w układzie dwójkowym, czyli funkcję digits(m, 2) . Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Zauważmy, że do zapisania liczby [math]\displaystyle{ m \geqslant 1 }[/math] potrzebujemy [math]\displaystyle{ \log_2 m + 1 }[/math] cyfr. Zastępując funkcję [math]\displaystyle{ \log_2 m }[/math] funkcją [math]\displaystyle{ \left \lfloor \tfrac{\log m}{\log 2} \right \rfloor }[/math] musimy liczyć się z możliwym błędem zaokrąglenia – dlatego w programie deklarujemy wektor V o długości floor( log(m)/log(2) ) + 2. Zwracany wektor W ma już prawidłową długość. 

Dec2Bin(m) = 
\\ zwraca wektor cyfr liczby m w układzie dwójkowym
{
local(i, k, V, W);
if( m == 0, return([0]) );
V = vector( floor( log(m)/log(2) ) + 2 ); \\ potrzeba floor( log(m)/log(2) ) + 1, ale błąd zaokrąglenia może zepsuć wynik
k = 0;
while( m > 0,
       V[k++] = m % 2;
       m = floor(m / 2);
     );
W = vector(k);
for(i = 1, k, W[i] = V[k + 1 - i]);
return(W);
}


Uwaga L63
W funkcjach LucasTest() i StrongLucasTest() wykorzystaliśmy zaimplementowaną w PARI/GP funkcję

issquare(m) - sprawdza, czy liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową

Wprowadzenie tej funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy ją sami napisać. Potrzebna nam będzie funkcja, która znajduje całość z pierwiastka z liczby [math]\displaystyle{ m }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math]. Wykorzystamy tutaj ciąg

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} = \begin{cases} \qquad \;\; 1 & \text{gdy } k = 0 \\ \tfrac{1}{2} \left( a_k + \tfrac{x}{a_k} \right) & \text{gdy } k \gt 0 \end{cases} }[/math]

którego granicą jest [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] [11].

Modyfikując powyższą definicję tak, aby operacje były zawsze wykonywane na liczbach całkowitych[12]

[math]\displaystyle{ a_{k + 1} = \begin{cases} \qquad \quad \; 1 & \text{gdy } k = 0 \\ \left\lfloor \tfrac{1}{2} \left( a_k + \left\lfloor \tfrac{m}{a_k} \right\rfloor \right) \right\rfloor & \text{gdy } k \gt 0 \end{cases} }[/math]

otrzymujemy ciąg, którego wszystkie wyrazy, począwszy od pewnego skończonego [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], są równe [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math]. Nie dotyczy to przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] jest liczbą kwadratową, wtedy, począwszy od pewnego skończonego [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], wyrazy ciągu przyjmują na zmianę wartości [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor + 1 }[/math].

Na tej podstawie możemy w PARI/GP napisać funkcję 

intSqrt(m) = 
{
local(a, b);
if( m == 0, return(0) );
a = 2^( floor( log(m)/log(2)/2 ) + 2 ); \\ musi być a > sqrt(m)
b = floor(( a + floor( m/a ) )/2);
while( b < a,
       a = b;
       b = floor( ( a + floor(m/a) )/2 );
     );
return(a);
}

Oczywiście liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą kwadratową, wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ m = \left\lfloor \sqrt{m} \right\rfloor^2 }[/math], zatem wystarczy sprawdzić, czy m == intSqrt(m)^2.








Przypisy

  1. ↑ Wikipedia, Symbol Jacobiego, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  2. ↑ Wikipedia, Symbol Legendre’a, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  3. ↑ Karl K. Norton, Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 106 (1971)
  4. ↑ Enrique Treviño, The least k-th power non-residue, Journal of Number Theory, Volume 149 (2015)
  5. ↑ Kevin J. McGown and Enrique Treviño, The least quadratic non-residue, Mexican Mathematicians in the World (2021)
  6. ↑ Paul Erdős, Számelméleti megjegyzések I, Afar. Lapok, v. 12 (1961)
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 Robert Baillie and Samuel S. Wagstaff Jr., Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 35, No. 152 (1980), (LINK)
  8. ↑ François Arnault, The Rabin-Monier Theorem for Lucas Pseudoprimes, Mathematics of Computation Vol. 66, No. 218 (1997)
  9. ↑ Wikipedia, Baillie–PSW primality test, (Wiki-en)
  10. ↑ MathWorld, Baillie-PSW Primality Test, (LINK)
  11. ↑ Wikipedia, Pierwiastek kwadratowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  12. ↑ Wikipedia, Integer square root, (Wiki-en)






 

Źródło: „https://henryk-dabrowski.pl/index.php?title=Testy_pierwszości._Liczby_pseudopierwsze_Lucasa_i_liczby_silnie_pseudopierwsze_Lucasa._Test_BPSW&oldid=479”