Testy pierwszości. Liczby pseudopierwsze Fermata i liczby silnie pseudopierwsze: Różnice pomiędzy wersjami
| Linia 47: | Linia 47: | ||
Zauważmy, że w funkcji <code>modPower()</code> nie występują wyrażenia o wartości większej od <math>m^2</math>. | Zauważmy, że w funkcji <code>modPower()</code> nie występują wyrażenia o wartości większej od <math>m^2</math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L3</span><br/> | ||
| + | Wykorzystując wzór rekurencyjny | ||
| + | |||
| + | ::<math>a \cdot b = \left\{ \begin{array}{cll} | ||
| + | a & & \text{gdy } b = 1\\ | ||
| + | 2 a \cdot \frac{b}{2} & & \text{gdy } b \text{ jest parzyste}\\ | ||
| + | a + 2 a \cdot \frac{b - 1}{2} & & \text{gdy } b \text{ jest nieparzyste} | ||
| + | \end{array} \right.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | możemy napisać w PARI/GP prosty program do mnożenia modulo: | ||
| + | |||
| + | <span style="font-size: 90%; color:black;">modMult(a, b, m) = | ||
| + | \\ a, b - czynniki, m - moduł | ||
| + | { | ||
| + | '''local'''(w); | ||
| + | '''if'''( m == 1, '''return'''(0) ); | ||
| + | a = a % m; | ||
| + | b = b % m; | ||
| + | w = 0; | ||
| + | '''while'''( b > 0, | ||
| + | '''if'''( b % 2 == 1, w = (w + a) % m; b = b - 1 ); \\ gdy b jest nieparzysty, wydzielamy a i zmniejszamy b o jeden | ||
| + | a = (2 * a) % m; \\ wyliczamy nowy czynnik a modulo m | ||
| + | b = b / 2; \\ dla nowego czynnika a czynnik b jest dwa razy mniejszy | ||
| + | ); | ||
| + | '''return'''(w); | ||
| + | }</span> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Czytelnik może zapytać, po co nam program do obliczania iloczynu modulo. Istotnie, jeśli piszemy programy w PARI/GP, to liczby całkowite mogą być ogromne i nie mamy powodu do zmartwienia (między innymi dlatego podajemy przykłady programów w PARI/GP). Jeżeli jednak będziemy potrzebowali napisać program w innym języku – powiedzmy w C – to ten problem stanie się nagle bardzo ważny. W C możemy przeprowadzać obliczenia dla bardzo dużych liczb całkowitych. Zmienne całkowite zadeklarowane jako <code>uint32_t</code> mogą przyjmować wartości z przedziału <math>[0, 2^{32} - 1]</math>, a zmienne całkowite zadeklarowane jako <code>uint64_t</code> mogą przyjmować wartości z przedziału <math>[0, 2^{64} - 1]</math>. Liczba <math>2^{64} \approx 1.84 \cdot 10^{19}</math> jest na tyle duża, że możemy wiele problemów liczyć, pisząc programy w C, co zapewnia większą szybkość obliczeń. W takich przypadkach funkcja <code>modMult()</code> może być bardzo użyteczna. | ||
| + | |||
| + | Zauważmy, że wykonując potęgowanie modulo, obliczamy iloczyny <code>(w * a) % m</code> i <code>(a * a) % m</code>. Jeżeli <math>m < 2^{32}</math>, to nie napotkamy problemu: obydwa iloczyny są mniejsze od <math>2^{64}</math> i będziemy mogli je wyliczyć. Ale w przypadku większych modułów już tak nie będzie i jeżeli chcemy zwiększyć zakres obliczeń, to musimy mnożenie wykonywać przy użyciu funkcji <code>modMult()</code>. Wystarczy założenie, że moduł <math>m < 2^{63}</math>, aby suma <code>(w + a) % m</code> i iloczyn <code>(2 * a) % m</code> mogły zostać wyliczone. | ||
| Linia 56: | Linia 91: | ||
Liczby złożone nieparzyste spełniające równanie Fermata, otrzymały własną nazwę. | Liczby złożone nieparzyste spełniające równanie Fermata, otrzymały własną nazwę. | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L4</span><br/> |
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną nieparzystą i dla pewnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> prawdziwa jest kongruencja | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą złożoną nieparzystą i dla pewnego <math>a \in \mathbb{Z}</math> prawdziwa jest kongruencja | ||
| Linia 65: | Linia 100: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L5</span><br/> |
Zauważmy, że w definicji liczb pseudopierwszych Fermata nie musimy dodatkowo dołączać warunku <math>\gcd (a, m) = 1</math>, bo wynika on z przyjętej definicji. Mamy | Zauważmy, że w definicji liczb pseudopierwszych Fermata nie musimy dodatkowo dołączać warunku <math>\gcd (a, m) = 1</math>, bo wynika on z przyjętej definicji. Mamy | ||
| Linia 88: | Linia 123: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L6</span><br/> |
Dla każdej podstawy <math>a \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych Fermata. | Dla każdej podstawy <math>a \geqslant 2</math> istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych Fermata. | ||
| Linia 167: | Linia 202: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L7</span><br/> |
| − | Z dowodu twierdzenia | + | Z dowodu twierdzenia L6 wynika, że jeżeli liczba <math>p</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>p \nmid (a^2 - 1)</math>, to liczba <math>m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}}</math> jest PSP(<math>a</math>). Poniżej przedstawiamy przykłady takich liczb, dla kolejnych liczb pierwszych nieparzystych <math>p</math> takich, że <math>p \nmid (a^2 - 1)</math>. |
<span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 5, s=1; d=a^2-1; '''forprime'''(p=3, 50, '''if'''( d%p == 0, '''next'''() ); m=(a^(2*p)-1)/d; '''print'''("a= ", a, " m= ", m); s++; '''if'''( s>6, '''break'''() ) )) </span> | <span style="font-size: 90%; color:black;">'''for'''(a=2, 5, s=1; d=a^2-1; '''forprime'''(p=3, 50, '''if'''( d%p == 0, '''next'''() ); m=(a^(2*p)-1)/d; '''print'''("a= ", a, " m= ", m); s++; '''if'''( s>6, '''break'''() ) )) </span> | ||
| Linia 190: | Linia 225: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L8</span><br/> |
Wykorzystując funkcję potęgowania modulo, możemy napisać prosty program do testowania pierwszości liczb w oparciu o twierdzenie Fermata. | Wykorzystując funkcję potęgowania modulo, możemy napisać prosty program do testowania pierwszości liczb w oparciu o twierdzenie Fermata. | ||
| Linia 200: | Linia 235: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L9</span><br/> |
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | ||
| Linia 221: | Linia 256: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L10</span><br/> |
Tabela pokazuje ilość liczb pseudopierwszych Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | Tabela pokazuje ilość liczb pseudopierwszych Fermata dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | ||
| Linia 240: | Linia 275: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L11</span><br/> |
Można pokazać, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą złożoną i istnieje przynajmniej jedna liczba <math>a</math> względnie pierwsza z <math>m</math>, taka że | Można pokazać, że jeżeli <math>m</math> jest liczbą nieparzystą złożoną i istnieje przynajmniej jedna liczba <math>a</math> względnie pierwsza z <math>m</math>, taka że | ||
| Linia 259: | Linia 294: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L12</span><br/> |
Oto wszystkie liczby Carmichaela mniejsze od <math>100 000</math> | Oto wszystkie liczby Carmichaela mniejsze od <math>100 000</math> | ||
| Linia 280: | Linia 315: | ||
Rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia | Rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L13</span><br/> |
Jeśli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>x^2 \equiv 1 \pmod m</math>, to albo <math>x \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>x \equiv 1 \pmod m</math>. | Jeśli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>x^2 \equiv 1 \pmod m</math>, to albo <math>x \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>x \equiv 1 \pmod m</math>. | ||
| Linia 296: | Linia 331: | ||
Prace Gary'ego Millera<ref name="Miller1"/> i Michaela Rabina<ref name="Rabin1"/> pozwoliły sformułować znacznie silniejszy test. Podstawą tego testu jest następujące twierdzenie | Prace Gary'ego Millera<ref name="Miller1"/> i Michaela Rabina<ref name="Rabin1"/> pozwoliły sformułować znacznie silniejszy test. Podstawą tego testu jest następujące twierdzenie | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie L14</span><br/> |
Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m - 1 = 2^r d</math>, gdzie <math>d</math> jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnego <math>a \in [1, m - 1]</math> jest albo | Jeżeli <math>m</math> jest liczbą pierwszą nieparzystą i <math>m - 1 = 2^r d</math>, gdzie <math>d</math> jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnego <math>a \in [1, m - 1]</math> jest albo | ||
| Linia 356: | Linia 391: | ||
Przypadek b) jest możliwy (np. dla <math>m = 41</math> i <math>a = 10</math>), ale nie pozwala powiedzieć nic więcej ani o liczbie <math>m</math>, ani o wyrazach ciągu <math>(u_i)</math>, które wszystkie przystają do <math>1</math> modulo <math>m</math>.<br/> | Przypadek b) jest możliwy (np. dla <math>m = 41</math> i <math>a = 10</math>), ale nie pozwala powiedzieć nic więcej ani o liczbie <math>m</math>, ani o wyrazach ciągu <math>(u_i)</math>, które wszystkie przystają do <math>1</math> modulo <math>m</math>.<br/> | ||
| − | W przypadku c) mamy <math>u_k \equiv 1 \pmod m</math>, czyli <math>(u_{k - 1})^2 \equiv 1 \pmod m</math>. Z twierdzenia | + | W przypadku c) mamy <math>u_k \equiv 1 \pmod m</math>, czyli <math>(u_{k - 1})^2 \equiv 1 \pmod m</math>. Z twierdzenia L13 wiemy, że musi być albo <math>u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m</math>, albo <math>u_{k - 1} \equiv 1 \pmod m</math>. Ale drugi przypadek nie może zachodzić, bo założyliśmy, że <math>u_k</math> jest pierwszym wyrazem ciągu <math>(u_i)</math>, który przystaje do <math>1</math> modulo <math>m</math>. Zatem musi być <math>u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m</math>.<br/> |
Co kończy dowód twierdzenia.<br/> | Co kończy dowód twierdzenia.<br/> | ||
| Linia 364: | Linia 399: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja L15</span><br/> |
| − | Złożoną liczbę nieparzystą <math>m</math>, która spełnia twierdzenie | + | Złożoną liczbę nieparzystą <math>m</math>, która spełnia twierdzenie L14 dla pewnej liczby <math>a \in \mathbb{Z}</math>, będziemy nazywali liczbą silnie pseudopierwszą przy podstawie <math>a</math> (w skrócie: SPSP(<math>a</math>)). |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L16</span><br/> |
| − | Niech <math>a</math> będzie liczbą całkowitą względnie pierwszą z <math>m</math> i <math>a \in [1, m - 1]</math>. Można pokazać, że jeżeli <math>m \neq 9</math> jest liczbą nieparzystą złożoną, to co najwyżej <math>\tfrac{1}{4}</math> liczb <math>a</math> stanowią liczby silnie pseudopierwsze. Zatem w przypadku liczb silnie pseudopierwszych nie istnieje odpowiednik liczb Carmichaela. Czyli nie istnieją liczby złożone nieparzyste <math>m</math>, dla których twierdzenie | + | Niech <math>a</math> będzie liczbą całkowitą względnie pierwszą z <math>m</math> i <math>a \in [1, m - 1]</math>. Można pokazać, że jeżeli <math>m \neq 9</math> jest liczbą nieparzystą złożoną, to co najwyżej <math>\tfrac{1}{4}</math> liczb <math>a</math> stanowią liczby silnie pseudopierwsze. Zatem w przypadku liczb silnie pseudopierwszych nie istnieje odpowiednik liczb Carmichaela. Czyli nie istnieją liczby złożone nieparzyste <math>m</math>, dla których twierdzenie L14 byłoby prawdziwe dla wszystkich podstaw <math>a</math>. |
| − | Wynika stąd, że jeżeli dla <math>k</math> różnych liczb <math>a</math> prawdziwe jest twierdzenie | + | Wynika stąd, że jeżeli dla <math>k</math> różnych liczb <math>a</math> prawdziwe jest twierdzenie L14, to prawdopodobieństwo uznania liczby złożonej <math>m</math> za pierwszą wynosi <math>\left( \tfrac{1}{4} \right)^k</math>. |
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L17</span><br/> |
| − | Wykorzystując twierdzenie | + | Wykorzystując twierdzenie L14, możemy napisać w PARI/GP prosty program do testowania pierwszości liczb. |
<span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, a) = | <span style="font-size: 90%; color:black;">isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>(m, a) = | ||
| Linia 397: | Linia 432: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie L18</span><br/> |
Pokazać, że jeżeli liczba <math>m</math> jest SPSP(<math>a</math>), to jest PSP(<math>a</math>). | Pokazać, że jeżeli liczba <math>m</math> jest SPSP(<math>a</math>), to jest PSP(<math>a</math>). | ||
| Linia 428: | Linia 463: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L19</span><br/> |
Pokażemy, że jeżeli <math>m</math> jest PSP(<math>2</math>), to <math>2^m - 1</math> jest SPSP(<math>2</math>). | Pokażemy, że jeżeli <math>m</math> jest PSP(<math>2</math>), to <math>2^m - 1</math> jest SPSP(<math>2</math>). | ||
| Linia 447: | Linia 482: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L20</span><br/> |
Tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | Tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | ||
| Linia 468: | Linia 503: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład L21</span><br/> |
Tabela pokazuje ilość liczb silnie pseudopierwszych dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | Tabela pokazuje ilość liczb silnie pseudopierwszych dla podstaw <math>a</math> od <math>2</math> do <math>15</math> | ||
| Linia 489: | Linia 524: | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L22</span><br/> |
Interesujące i pożyteczne będzie zbadanie najmniejszych liczb silnie pseudopierwszych dla wielu podstaw. Niech badanymi podstawami będą kolejne liczby pierwsze. Najmniejszą liczbę SPSP(<math>2</math>) już znamy: <math>2047</math>. Najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie SPSP(<math>2</math>) i SPSP(<math>3</math>) musimy poszukać. Prostym poleceniem | Interesujące i pożyteczne będzie zbadanie najmniejszych liczb silnie pseudopierwszych dla wielu podstaw. Niech badanymi podstawami będą kolejne liczby pierwsze. Najmniejszą liczbę SPSP(<math>2</math>) już znamy: <math>2047</math>. Najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie SPSP(<math>2</math>) i SPSP(<math>3</math>) musimy poszukać. Prostym poleceniem | ||
| Linia 528: | Linia 563: | ||
== Uzupełnienie == | == Uzupełnienie == | ||
| − | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga | + | <span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga L23</span><br/> |
W funkcji <code>isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowane w PARI/GP funkcje: | W funkcji <code>isPrimeOr<span style="background-color: #fee481;">SPSP</span>()</code> wykorzystaliśmy zaimplementowane w PARI/GP funkcje: | ||
Wersja z 19:26, 2 wrz 2023
Potęgowanie modulo
Uwaga L1
Z twierdzenia Fermata (zobacz J19) wynika, że jeżeli liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ m }[/math] są względnie pierwsze oraz [math]\displaystyle{ m }[/math] nie dzieli liczby [math]\displaystyle{ a^{m - 1} - 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną. Każde twierdzenie pozwalające wykryć złożoność liczby może być wykorzystane do badania pierwszości liczb. Twierdzenia takie nie dają całkowitej pewności, że badana liczba jest pierwsza. Mamy na przykład [math]\displaystyle{ 341 = 11 \cdot 31 }[/math], ale [math]\displaystyle{ 341 \mid (2^{340} - 1) }[/math], bo
- [math]\displaystyle{ 2^{340} - 1 = 2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115775 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \;\;\; = 341 \cdot 6568166399348399444449977362370804334667582103327417990909058947107894050381703652143335757394742275 }[/math]
Widzimy, że nawet dla niewielkiej liczby [math]\displaystyle{ 341 }[/math], potęga [math]\displaystyle{ 2^{340} - 1 }[/math] jest liczbą ogromną. Jeśli ta metoda ma mieć jakiekolwiek zastosowanie, to musimy znaleźć inny sposób obliczania reszty z dzielenia [math]\displaystyle{ a^n }[/math] przez [math]\displaystyle{ m }[/math], czyli potęgowania modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
Uwaga L2
Wykorzystując wzór rekurencyjny
- [math]\displaystyle{ a^n = \left\{ \begin{array}{cll} a & & \text{gdy } n = 1\\ (a^2)^{{\large\frac{n}{2}}} & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste}\\ a \cdot (a^2)^{{\large\frac{n - 1}{2}}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \end{array} \right. }[/math]
możemy napisać w PARI/GP prosty program do potęgowania modulo:
modPower(a, n, m) =
\\ a - podstawa, n - wykładnik, m - moduł
{
local(w);
if( m == 1, return(0) );
a = a % m;
w = 1;
while( n > 0,
if( n % 2 == 1, w = (w * a) % m; n = n - 1); \\ gdy n jest nieparzyste, wyłączamy a i zmniejszamy n o jeden
a = (a*a) % m; \\ wyliczamy nową podstawę modulo m
n = n/2; \\ dla nowej podstawy wykładnik jest dwa razy mniejszy
);
return(w);
}
Zauważmy, że w funkcji modPower() nie występują wyrażenia o wartości większej od [math]\displaystyle{ m^2 }[/math].
Uwaga L3
Wykorzystując wzór rekurencyjny
- [math]\displaystyle{ a \cdot b = \left\{ \begin{array}{cll} a & & \text{gdy } b = 1\\ 2 a \cdot \frac{b}{2} & & \text{gdy } b \text{ jest parzyste}\\ a + 2 a \cdot \frac{b - 1}{2} & & \text{gdy } b \text{ jest nieparzyste} \end{array} \right. }[/math]
możemy napisać w PARI/GP prosty program do mnożenia modulo:
modMult(a, b, m) =
\\ a, b - czynniki, m - moduł
{
local(w);
if( m == 1, return(0) );
a = a % m;
b = b % m;
w = 0;
while( b > 0,
if( b % 2 == 1, w = (w + a) % m; b = b - 1 ); \\ gdy b jest nieparzysty, wydzielamy a i zmniejszamy b o jeden
a = (2 * a) % m; \\ wyliczamy nowy czynnik a modulo m
b = b / 2; \\ dla nowego czynnika a czynnik b jest dwa razy mniejszy
);
return(w);
}
Czytelnik może zapytać, po co nam program do obliczania iloczynu modulo. Istotnie, jeśli piszemy programy w PARI/GP, to liczby całkowite mogą być ogromne i nie mamy powodu do zmartwienia (między innymi dlatego podajemy przykłady programów w PARI/GP). Jeżeli jednak będziemy potrzebowali napisać program w innym języku – powiedzmy w C – to ten problem stanie się nagle bardzo ważny. W C możemy przeprowadzać obliczenia dla bardzo dużych liczb całkowitych. Zmienne całkowite zadeklarowane jako uint32_t mogą przyjmować wartości z przedziału [math]\displaystyle{ [0, 2^{32} - 1] }[/math], a zmienne całkowite zadeklarowane jako uint64_t mogą przyjmować wartości z przedziału [math]\displaystyle{ [0, 2^{64} - 1] }[/math]. Liczba [math]\displaystyle{ 2^{64} \approx 1.84 \cdot 10^{19} }[/math] jest na tyle duża, że możemy wiele problemów liczyć, pisząc programy w C, co zapewnia większą szybkość obliczeń. W takich przypadkach funkcja modMult() może być bardzo użyteczna.
Zauważmy, że wykonując potęgowanie modulo, obliczamy iloczyny (w * a) % m i (a * a) % m. Jeżeli [math]\displaystyle{ m \lt 2^{32} }[/math], to nie napotkamy problemu: obydwa iloczyny są mniejsze od [math]\displaystyle{ 2^{64} }[/math] i będziemy mogli je wyliczyć. Ale w przypadku większych modułów już tak nie będzie i jeżeli chcemy zwiększyć zakres obliczeń, to musimy mnożenie wykonywać przy użyciu funkcji modMult(). Wystarczy założenie, że moduł [math]\displaystyle{ m \lt 2^{63} }[/math], aby suma (w + a) % m i iloczyn (2 * a) % m mogły zostać wyliczone.
Liczby pseudopierwsze Fermata
Liczby złożone nieparzyste spełniające równanie Fermata, otrzymały własną nazwę.
Definicja L4
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą złożoną nieparzystą i dla pewnego [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] prawdziwa jest kongruencja
- [math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m }[/math]
to powiemy, że [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math] lub krótko: [math]\displaystyle{ m }[/math] jest PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]).
Uwaga L5
Zauważmy, że w definicji liczb pseudopierwszych Fermata nie musimy dodatkowo dołączać warunku [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math], bo wynika on z przyjętej definicji. Mamy
- [math]\displaystyle{ \gcd (a^{m - 1}, m) = \gcd (1, m) = 1 }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = 1 }[/math].
Możemy też łatwo pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ \gcd (a, m) = d \gt 1 }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] nie może być liczbą pseudopierwszą Fermata przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math]. Istotnie, gdyby tak było, to mielibyśmy
- [math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv 1 \pmod{m} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ d \mid m }[/math], to jest również
- [math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv 1 \pmod{d} }[/math]
Ale modulo [math]\displaystyle{ d }[/math] otrzymujemy natychmiast
- [math]\displaystyle{ 0 \equiv 1 \pmod{d} }[/math]
Co jest niemożliwe, czyli [math]\displaystyle{ m }[/math] nie jest PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]).
Twierdzenie L6
Dla każdej podstawy [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych Fermata.
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to
- [math]\displaystyle{ a^p - 1 = (a - 1) (a^{p - 1} + a^{p - 2} + \ldots + a^2 + a + 1) }[/math]
oraz
- [math]\displaystyle{ a^p + 1 = (a + 1) (a^{p - 1} - a^{p - 2} + \ldots + a^2 - a + 1) }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ a - 1 \mid a^p - 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ a + 1 \mid a^p + 1 }[/math].
Jeżeli przez [math]\displaystyle{ R_2 (a) }[/math] oznaczymy resztę z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ a }[/math] przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math] równą [math]\displaystyle{ 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to prawdziwe są kongruencje
- [math]\displaystyle{ a \equiv R_2 (a) \pmod 2 }[/math]
oraz
- [math]\displaystyle{ a^n \equiv R_2 (a) \pmod 2 }[/math]
dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej [math]\displaystyle{ n }[/math]. Zatem modulo [math]\displaystyle{ 2 }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \equiv R_2 (a) \cdot (p - 1) + 1 \equiv 1 \pmod 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod 2 }[/math]
Co oznacza, że
- [math]\displaystyle{ m = {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \cdot {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod 2 }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest złożoną liczbą nieparzystą. Pozostaje pokazać, że [math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m }[/math].
Z twierdzenia Fermata wiemy, że
- [math]\displaystyle{ a^p - 1 \equiv a - 1 \pmod p }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ (a - 1) \mid (a^p - 1) }[/math], to możemy napisać
- [math]\displaystyle{ (a - 1) \cdot \left( {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} - 1 \right) \equiv 0 \pmod p }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ p \nmid (a - 1) }[/math], zatem liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] musi dzielić [math]\displaystyle{ {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} - 1 }[/math] i otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{a^p - 1}{a - 1}} \equiv 1 \pmod p }[/math]
Postępując analogicznie jak wyżej, dostajemy
- [math]\displaystyle{ a^p + 1 \equiv a + 1 \pmod p }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a + 1) \cdot \left( {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} - 1 \right) \equiv 0 \pmod p }[/math]
- [math]\displaystyle{ {\small\frac{a^p + 1}{a + 1}} \equiv 1 \pmod p }[/math]
Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ m \equiv 1 \pmod p }[/math].
Zbierając mamy [math]\displaystyle{ 2 \mid (m - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ p \mid (m - 1) }[/math], zatem [math]\displaystyle{ 2 p \mid (m - 1) }[/math], czyli
- [math]\displaystyle{ m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}} \equiv 1 \pmod{2 p} }[/math]
Oznacza to, że [math]\displaystyle{ m = 1 + 2 k p }[/math] dla pewnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ k \gt 0 }[/math].
Zauważmy teraz, że z definicji liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] mamy [math]\displaystyle{ (a^2 - 1) m = a^{2 p} - 1 }[/math]. Rozpatrując to równanie modulo [math]\displaystyle{ m }[/math], otrzymujemy
- [math]\displaystyle{ a^{2 p} \equiv 1 \pmod m }[/math]
Zatem modulo [math]\displaystyle{ m }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ a^{m - 1} = a^{2 k p} = (a^{2 p})^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod m }[/math]
Ponieważ dowolna liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p \gt a^2 - 1 }[/math] nie dzieli [math]\displaystyle{ a^2 - 1 }[/math], to dla każdego [math]\displaystyle{ a \geqslant 2 }[/math] istnieje nieskończenie wiele liczb, które są PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]). Co należało pokazać.
□
Przykład L7
Z dowodu twierdzenia L6 wynika, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ p }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ p \nmid (a^2 - 1) }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ m = {\small\frac{a^{2 p} - 1}{a^2 - 1}} }[/math] jest PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]). Poniżej przedstawiamy przykłady takich liczb, dla kolejnych liczb pierwszych nieparzystych [math]\displaystyle{ p }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ p \nmid (a^2 - 1) }[/math].
for(a=2, 5, s=1; d=a^2-1; forprime(p=3, 50, if( d%p == 0, next() ); m=(a^(2*p)-1)/d; print("a= ", a, " m= ", m); s++; if( s>6, break() ) ))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 17895697 }[/math] [math]\displaystyle{ 406901 }[/math] [math]\displaystyle{ 5461 }[/math] [math]\displaystyle{ 7381 }[/math] [math]\displaystyle{ 1172812402961 }[/math] [math]\displaystyle{ 254313151 }[/math] [math]\displaystyle{ 1398101 }[/math] [math]\displaystyle{ 597871 }[/math] [math]\displaystyle{ 300239975158033 }[/math] [math]\displaystyle{ 99341074625651 }[/math] [math]\displaystyle{ 22369621 }[/math] [math]\displaystyle{ 3922632451 }[/math] [math]\displaystyle{ 19676527011956855057 }[/math] [math]\displaystyle{ 62088171641031901 }[/math] [math]\displaystyle{ 5726623061 }[/math] [math]\displaystyle{ 317733228541 }[/math] [math]\displaystyle{ 5037190915060954894609 }[/math] [math]\displaystyle{ 24253192047278086344401 }[/math] [math]\displaystyle{ 91625968981 }[/math] [math]\displaystyle{ 2084647712458321 }[/math] [math]\displaystyle{ 330117343809434739973099793 }[/math] [math]\displaystyle{ 15158245029548803965250651 }[/math]
Uwaga L8
Wykorzystując funkcję potęgowania modulo, możemy napisać prosty program do testowania pierwszości liczb w oparciu o twierdzenie Fermata.
isPrimeOrPSP(m, a) =
{
if( modPower(a, m-1, m) == 1, return(1), return(0) );
}
Przykład L9
Poniższa tabela zawiera najmniejsze liczby pseudopierwsze Fermata dla podstaw [math]\displaystyle{ a }[/math] od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
for(a=2, 15, s=1; forstep(m=1, 2000, 2, if( isPrimeOrPSP(m, a) && !isprime(m), print("a=", a, " m=", m); s++ ); if( s>5, break() ) ))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{12} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{13} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{14} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{15} }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 35 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 561 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 561 }[/math] [math]\displaystyle{ 185 }[/math] [math]\displaystyle{ 325 }[/math] [math]\displaystyle{ 21 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 33 }[/math] [math]\displaystyle{ 133 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 39 }[/math] [math]\displaystyle{ 1477 }[/math] [math]\displaystyle{ 645 }[/math] [math]\displaystyle{ 671 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 561 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] [math]\displaystyle{ 205 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 259 }[/math] [math]\displaystyle{ 133 }[/math] [math]\displaystyle{ 105 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 1105 }[/math] [math]\displaystyle{ 703 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 301 }[/math] [math]\displaystyle{ 703 }[/math] [math]\displaystyle{ 63 }[/math] [math]\displaystyle{ 511 }[/math] [math]\displaystyle{ 99 }[/math] [math]\displaystyle{ 305 }[/math] [math]\displaystyle{ 143 }[/math] [math]\displaystyle{ 231 }[/math] [math]\displaystyle{ 195 }[/math] [math]\displaystyle{ 1687 }[/math] [math]\displaystyle{ 1387 }[/math] [math]\displaystyle{ 949 }[/math] [math]\displaystyle{ 435 }[/math] [math]\displaystyle{ 1729 }[/math] [math]\displaystyle{ 481 }[/math] [math]\displaystyle{ 817 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 671 }[/math] [math]\displaystyle{ 259 }[/math] [math]\displaystyle{ 481 }[/math] [math]\displaystyle{ 145 }[/math] [math]\displaystyle{ 357 }[/math] [math]\displaystyle{ 481 }[/math] [math]\displaystyle{ 1729 }[/math]
Przykład L10
Tabela pokazuje ilość liczb pseudopierwszych Fermata dla podstaw [math]\displaystyle{ a }[/math] od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
for(a=2, 15, s=0; forstep(k=1, 10^6, 2, if( isPrimeOrPSP(k, a) && !isprime(k), s++ )); print("a= ", a, " ", s))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{12} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{13} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{14} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{15} }[/math] #PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^6 }[/math] [math]\displaystyle{ 245 }[/math] [math]\displaystyle{ 243 }[/math] [math]\displaystyle{ 464 }[/math] [math]\displaystyle{ 238 }[/math] [math]\displaystyle{ 301 }[/math] [math]\displaystyle{ 229 }[/math] [math]\displaystyle{ 678 }[/math] [math]\displaystyle{ 362 }[/math] [math]\displaystyle{ 271 }[/math] [math]\displaystyle{ 236 }[/math] [math]\displaystyle{ 378 }[/math] [math]\displaystyle{ 257 }[/math] [math]\displaystyle{ 283 }[/math] [math]\displaystyle{ 203 }[/math] #PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^7 }[/math] [math]\displaystyle{ 750 }[/math] [math]\displaystyle{ 749 }[/math] [math]\displaystyle{ 1347 }[/math] [math]\displaystyle{ 726 }[/math] [math]\displaystyle{ 895 }[/math] [math]\displaystyle{ 651 }[/math] [math]\displaystyle{ 1993 }[/math] [math]\displaystyle{ 1150 }[/math] [math]\displaystyle{ 766 }[/math] [math]\displaystyle{ 672 }[/math] [math]\displaystyle{ 1091 }[/math] [math]\displaystyle{ 719 }[/math] [math]\displaystyle{ 817 }[/math] [math]\displaystyle{ 614 }[/math] #PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^8 }[/math] [math]\displaystyle{ 2057 }[/math] [math]\displaystyle{ 2131 }[/math] [math]\displaystyle{ 3805 }[/math] [math]\displaystyle{ 1910 }[/math] [math]\displaystyle{ 2314 }[/math] [math]\displaystyle{ 1782 }[/math] [math]\displaystyle{ 5407 }[/math] [math]\displaystyle{ 3214 }[/math] [math]\displaystyle{ 2091 }[/math] [math]\displaystyle{ 1891 }[/math] [math]\displaystyle{ 2933 }[/math] [math]\displaystyle{ 1929 }[/math] [math]\displaystyle{ 2155 }[/math] [math]\displaystyle{ 1718 }[/math] #PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^9 }[/math] [math]\displaystyle{ 5597 }[/math] [math]\displaystyle{ 5767 }[/math] [math]\displaystyle{ 10173 }[/math] [math]\displaystyle{ 5146 }[/math] [math]\displaystyle{ 6204 }[/math] [math]\displaystyle{ 4923 }[/math] [math]\displaystyle{ 14629 }[/math] [math]\displaystyle{ 8670 }[/math] [math]\displaystyle{ 5599 }[/math] [math]\displaystyle{ 5020 }[/math] [math]\displaystyle{ 7781 }[/math] [math]\displaystyle{ 5082 }[/math] [math]\displaystyle{ 5848 }[/math] [math]\displaystyle{ 4665 }[/math]
Uwaga L11
Można pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą nieparzystą złożoną i istnieje przynajmniej jedna liczba [math]\displaystyle{ a }[/math] względnie pierwsza z [math]\displaystyle{ m }[/math], taka że
- [math]\displaystyle{ a^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m }[/math]
to dla co najmniej połowy liczb [math]\displaystyle{ b \in [1, m - 1] }[/math] względnie pierwszych z [math]\displaystyle{ m }[/math] jest
- [math]\displaystyle{ b^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m }[/math]
Zatem przeprowadzając test Fermata, możemy z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math] twierdzić, że liczba, która przeszła test, jest liczbą pierwszą. Wykonując test [math]\displaystyle{ k }[/math] razy dla [math]\displaystyle{ k }[/math] różnych podstaw z przedziału [math]\displaystyle{ [1, m - 1] }[/math] możemy z prawdopodobieństwem większym niż [math]\displaystyle{ 1 - \left( \tfrac{1}{2} \right)^k }[/math] twierdzić, że badana liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest pierwsza.
Niestety, istnieją liczby złożone [math]\displaystyle{ m }[/math] takie, że
- [math]\displaystyle{ a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m }[/math]
dla każdego [math]\displaystyle{ a }[/math] względnie pierwszego z [math]\displaystyle{ m }[/math]. Liczby te nazywamy liczbami Carmichaela i jest ich nieskończenie wiele. Pokazano, że dla dostatecznie dużych [math]\displaystyle{ x }[/math] ilość liczb Carmichaela mniejszych od [math]\displaystyle{ x }[/math] przekracza [math]\displaystyle{ x^{1/3} }[/math][1][2][3]. Test Fermata jest zatem zbyt zawodny, aby można było go stosować.
Przykład L12
Oto wszystkie liczby Carmichaela mniejsze od [math]\displaystyle{ 100 000 }[/math]
[math]\displaystyle{ 561=3⋅11⋅17 }[/math] [math]\displaystyle{ 1105=5⋅13⋅17 }[/math] [math]\displaystyle{ 1729=7⋅13⋅19 }[/math] [math]\displaystyle{ 2465=5⋅17⋅29 }[/math] [math]\displaystyle{ 2821=7⋅13⋅31 }[/math] [math]\displaystyle{ 6601=7⋅23⋅41 }[/math] [math]\displaystyle{ 8911=7⋅19⋅67 }[/math] [math]\displaystyle{ 10585=5⋅29⋅73 }[/math] [math]\displaystyle{ 15841=7⋅31⋅73 }[/math] [math]\displaystyle{ 29341=13⋅37⋅61 }[/math] [math]\displaystyle{ 41041=7⋅11⋅13⋅41 }[/math] [math]\displaystyle{ 46657=13⋅37⋅97 }[/math] [math]\displaystyle{ 52633=7⋅73⋅103 }[/math] [math]\displaystyle{ 62745=3⋅5⋅47⋅89 }[/math] [math]\displaystyle{ 63973=7⋅13⋅19⋅37 }[/math] [math]\displaystyle{ 75361=11⋅13⋅17⋅31 }[/math]
Test Millera-Rabina
Rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia
Twierdzenie L13
Jeśli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \pmod m }[/math], to albo [math]\displaystyle{ x \equiv - 1 \pmod m }[/math], albo [math]\displaystyle{ x \equiv 1 \pmod m }[/math].
Z założenia
- [math]\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \pmod m }[/math]
Zatem [math]\displaystyle{ m \mid (x^2 - 1) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ m \mid (x - 1) (x + 1) }[/math]. Ponieważ z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą, to [math]\displaystyle{ m }[/math] dzieli dokładnie jedną z liczb [math]\displaystyle{ x - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ x + 1 }[/math]. Istotnie, gdyby [math]\displaystyle{ m \mid (x - 1) }[/math] [math]\displaystyle{ \text{i} \;\, m \mid (x + 1) }[/math], to [math]\displaystyle{ m }[/math] dzieliłaby również ich różnicę równą [math]\displaystyle{ 2 }[/math], co jest niemożliwe w przypadku gdy [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą.
□
Prace Gary'ego Millera[4] i Michaela Rabina[5] pozwoliły sformułować znacznie silniejszy test. Podstawą tego testu jest następujące twierdzenie
Twierdzenie L14
Jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest liczbą pierwszą nieparzystą i [math]\displaystyle{ m - 1 = 2^r d }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ d }[/math] jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnego [math]\displaystyle{ a \in [1, m - 1] }[/math] jest albo
- [math]\displaystyle{ a^d \equiv 1 \pmod m }[/math]
albo
- [math]\displaystyle{ a^{2^k d} \equiv - 1 \pmod m }[/math]
dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math].
Rozważmy ciąg [math]\displaystyle{ r + 1 }[/math] liczb zdefiniowanych następująco
- [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} u_0 = a^d\\ u_1 = a^{2 d} = (a^d)^2\\ u_2 = a^{2^2 d} = (a^{2 d})^2\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ u_{r - 1} = a^{2^{r - 1} d} = (a^{2^{r - 2}})^2\\ u_r = a^{2^r d} = (a^{2^{r - 1} d})^2 = a^{m - 1} \end{array} }[/math]
Wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math] są dane wzorem ogólnym
- [math]\displaystyle{ u_i = a^{2^i d} }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ i = 0, 1, \ldots, r }[/math]
Zauważmy, że mogą zdarzyć się następujące sytuacje
- a) żaden z wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math] nie przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
- b) wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math] przystają do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
- c) [math]\displaystyle{ u_k }[/math] jest pierwszym wyrazem ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math], który przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]
Co możemy zapisać jako
- a) [math]\displaystyle{ u_i \not\equiv 1 \pmod m \quad }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ i \in [0, r] }[/math]
- b) [math]\displaystyle{ u_i \equiv 1 \pmod m \quad }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ i \in [0, r] }[/math]
- c) [math]\displaystyle{ u_k \equiv 1 \pmod m \quad }[/math] dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r] }[/math]
Z definicji każdy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math] jest kwadratem poprzedniego. W szczególności oznacza to, że jeżeli dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r] }[/math] jest [math]\displaystyle{ u_k \equiv 1 \pmod m }[/math], to [math]\displaystyle{ u_i \equiv 1 \pmod m }[/math] dla wszystkich [math]\displaystyle{ i \geqslant k }[/math]. Ten fakt pozwala doprecyzować zapis poszczególnych przypadków.
- a) [math]\displaystyle{ u_i \not\equiv 1 \pmod m \quad }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ i \in [0, r] }[/math]
- b) [math]\displaystyle{ u_0 \equiv 1 \pmod m }[/math]
- c) [math]\displaystyle{ u_0 \not\equiv 1 \pmod m \quad }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ i \in [0, k - 1] \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad u_k \equiv 1 \pmod m \quad }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ i \in [k, r] , \quad }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math]
W przypadku a) mamy [math]\displaystyle{ u_r = a^{m - 1} \not\equiv 1 \pmod m }[/math], zatem liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] byłaby liczbą złożoną, wbrew założeniu, że jest liczbą pierwszą.
Przypadek b) jest możliwy (np. dla [math]\displaystyle{ m = 41 }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 10 }[/math]), ale nie pozwala powiedzieć nic więcej ani o liczbie [math]\displaystyle{ m }[/math], ani o wyrazach ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math], które wszystkie przystają do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math].
W przypadku c) mamy [math]\displaystyle{ u_k \equiv 1 \pmod m }[/math], czyli [math]\displaystyle{ (u_{k - 1})^2 \equiv 1 \pmod m }[/math]. Z twierdzenia L13 wiemy, że musi być albo [math]\displaystyle{ u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m }[/math], albo [math]\displaystyle{ u_{k - 1} \equiv 1 \pmod m }[/math]. Ale drugi przypadek nie może zachodzić, bo założyliśmy, że [math]\displaystyle{ u_k }[/math] jest pierwszym wyrazem ciągu [math]\displaystyle{ (u_i) }[/math], który przystaje do [math]\displaystyle{ 1 }[/math] modulo [math]\displaystyle{ m }[/math]. Zatem musi być [math]\displaystyle{ u_{k - 1} \equiv - 1 \pmod m }[/math].
Co kończy dowód twierdzenia.
□
Definicja L15
Złożoną liczbę nieparzystą [math]\displaystyle{ m }[/math], która spełnia twierdzenie L14 dla pewnej liczby [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math], będziemy nazywali liczbą silnie pseudopierwszą przy podstawie [math]\displaystyle{ a }[/math] (w skrócie: SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math])).
Uwaga L16
Niech [math]\displaystyle{ a }[/math] będzie liczbą całkowitą względnie pierwszą z [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ a \in [1, m - 1] }[/math]. Można pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ m \neq 9 }[/math] jest liczbą nieparzystą złożoną, to co najwyżej [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{4} }[/math] liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] stanowią liczby silnie pseudopierwsze. Zatem w przypadku liczb silnie pseudopierwszych nie istnieje odpowiednik liczb Carmichaela. Czyli nie istnieją liczby złożone nieparzyste [math]\displaystyle{ m }[/math], dla których twierdzenie L14 byłoby prawdziwe dla wszystkich podstaw [math]\displaystyle{ a }[/math].
Wynika stąd, że jeżeli dla [math]\displaystyle{ k }[/math] różnych liczb [math]\displaystyle{ a }[/math] prawdziwe jest twierdzenie L14, to prawdopodobieństwo uznania liczby złożonej [math]\displaystyle{ m }[/math] za pierwszą wynosi [math]\displaystyle{ \left( \tfrac{1}{4} \right)^k }[/math].
Uwaga L17
Wykorzystując twierdzenie L14, możemy napisać w PARI/GP prosty program do testowania pierwszości liczb.
isPrimeOrSPSP(m, a) =
{
local(d, k, r, x);
if( m % 2 == 0, return(m == 2) );
r = valuation(m - 1, 2); \\ wykładnik, z jakim liczba 2 występuje w rozwinięciu na czynniki pierwsze liczby m - 1
d = (m - 1) / 2^r;
x = modPower(a, d, m);
if( x == 1 || x == m - 1, return(1) ); \\ x = m - 1 to przypadek k == 0
k = 0;
while( k++ < r,
x = x^2 % m;
if( x == m - 1, return(1) );
);
return(0);
}
Zadanie L18
Pokazać, że jeżeli liczba [math]\displaystyle{ m }[/math] jest SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math]), to jest PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]).
Z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] jest SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math]), zatem spełniony jest dokładnie jeden z warunków
- [math]\displaystyle{ a^d \equiv 1 \pmod m }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{2^k \cdot d} \equiv - 1 \pmod m }[/math], dla pewnego [math]\displaystyle{ k \in [0, r - 1] }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ m - 1 = 2^r \cdot d }[/math], przy czym [math]\displaystyle{ d }[/math] jest liczbą nieparzystą.
Jeżeli spełniony jest pierwszy warunek, to
- [math]\displaystyle{ (a^d)^{2^r} \equiv 1 \pmod m }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{2^r \cdot d} \equiv 1 \pmod m }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]).
Jeżeli spełniony jest drugi warunek, to
- [math]\displaystyle{ (a^{2^k \cdot d})^{2^{r - k}} \equiv (- 1)^{2^{r - k}} \pmod m }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{2^r \cdot d} \equiv 1 \pmod m }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest PSP([math]\displaystyle{ a }[/math]).
□
Przykład L19
Pokażemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ m }[/math] jest PSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]), to [math]\displaystyle{ 2^m - 1 }[/math] jest SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]).
Z założenia [math]\displaystyle{ m }[/math] jest złożoną liczbą nieparzystą, zatem [math]\displaystyle{ N = 2^m - 1 }[/math] jest złożoną liczbą nieparzystą. Ponieważ [math]\displaystyle{ m }[/math] jest FPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]), to
- [math]\displaystyle{ 2^{m - 1} \equiv 1 \pmod m }[/math]
Wynika stąd natychmiast, że [math]\displaystyle{ 2^{m - 1} - 1 = k m }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k }[/math] jest liczbą nieparzystą. Zatem
- [math]\displaystyle{ N - 1 = 2^m - 2 = 2 (2^{m - 1} - 1) = 2 k m }[/math]
Widzimy, że liczba [math]\displaystyle{ 2 }[/math] występuje w pierwszej potędze w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ N - 1 }[/math] na czynniki pierwsze i łatwo otrzymujemy, że
- [math]\displaystyle{ 2^{(N - 1) / 2} = 2^{k m} = (2^m)^k = (2^m - 1 + 1)^k = (N + 1)^k \equiv 1 \pmod N }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ N = 2^m - 1 }[/math] jest SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]).
Przykład L20
Tabela zawiera najmniejsze liczby silnie pseudopierwsze dla podstaw [math]\displaystyle{ a }[/math] od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
for(a=2, 15, s=1; forstep(m=3, 20000, 2, if( isPrimeOrSPSP(m, a) && !isprime(m), print("a=", a, " m=", m); s++ ); if( s>5, break() ) ))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{12} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{13} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{14} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{15} }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 341 }[/math] [math]\displaystyle{ 781 }[/math] [math]\displaystyle{ 217 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 9 }[/math] [math]\displaystyle{ 133 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 85 }[/math] [math]\displaystyle{ 15 }[/math] [math]\displaystyle{ 1687 }[/math] [math]\displaystyle{ 3277 }[/math] [math]\displaystyle{ 703 }[/math] [math]\displaystyle{ 1387 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 481 }[/math] [math]\displaystyle{ 325 }[/math] [math]\displaystyle{ 65 }[/math] [math]\displaystyle{ 121 }[/math] [math]\displaystyle{ 91 }[/math] [math]\displaystyle{ 793 }[/math] [math]\displaystyle{ 133 }[/math] [math]\displaystyle{ 1099 }[/math] [math]\displaystyle{ 841 }[/math] [math]\displaystyle{ 3277 }[/math] [math]\displaystyle{ 4033 }[/math] [math]\displaystyle{ 1891 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 5461 }[/math] [math]\displaystyle{ 1111 }[/math] [math]\displaystyle{ 703 }[/math] [math]\displaystyle{ 481 }[/math] [math]\displaystyle{ 671 }[/math] [math]\displaystyle{ 1729 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 145 }[/math] [math]\displaystyle{ 5149 }[/math] [math]\displaystyle{ 2743 }[/math] [math]\displaystyle{ 6541 }[/math] [math]\displaystyle{ 4681 }[/math] [math]\displaystyle{ 3281 }[/math] [math]\displaystyle{ 3277 }[/math] [math]\displaystyle{ 5611 }[/math] [math]\displaystyle{ 1261 }[/math] [math]\displaystyle{ 2101 }[/math] [math]\displaystyle{ 511 }[/math] [math]\displaystyle{ 703 }[/math] [math]\displaystyle{ 4187 }[/math] [math]\displaystyle{ 4577 }[/math] [math]\displaystyle{ 247 }[/math] [math]\displaystyle{ 7107 }[/math] [math]\displaystyle{ 3277 }[/math] [math]\displaystyle{ 14041 }[/math] [math]\displaystyle{ 8321 }[/math] [math]\displaystyle{ 8401 }[/math] [math]\displaystyle{ 4033 }[/math] [math]\displaystyle{ 7813 }[/math] [math]\displaystyle{ 2701 }[/math] [math]\displaystyle{ 2353 }[/math] [math]\displaystyle{ 1417 }[/math] [math]\displaystyle{ 1541 }[/math] [math]\displaystyle{ 6533 }[/math] [math]\displaystyle{ 5041 }[/math] [math]\displaystyle{ 1649 }[/math] [math]\displaystyle{ 8911 }[/math] [math]\displaystyle{ 5713 }[/math] [math]\displaystyle{ 14701 }[/math]
Przykład L21
Tabela pokazuje ilość liczb silnie pseudopierwszych dla podstaw [math]\displaystyle{ a }[/math] od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ 15 }[/math]
for(a=2, 15, s=0; forstep(k=3, 10^6, 2, if( isPrimeOrSPSP(k, a) && !isprime(k), s++ )); print("a= ", a, " ", s))
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{2} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{3} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{4} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{5} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{6} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{7} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{8} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{9} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{10} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{11} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{12} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{13} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{14} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{15} }[/math] #SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^6 }[/math] [math]\displaystyle{ 46 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 97 }[/math] [math]\displaystyle{ 64 }[/math] [math]\displaystyle{ 73 }[/math] [math]\displaystyle{ 66 }[/math] [math]\displaystyle{ 127 }[/math] [math]\displaystyle{ 161 }[/math] [math]\displaystyle{ 62 }[/math] [math]\displaystyle{ 58 }[/math] [math]\displaystyle{ 90 }[/math] [math]\displaystyle{ 71 }[/math] [math]\displaystyle{ 74 }[/math] [math]\displaystyle{ 45 }[/math] #SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^7 }[/math] [math]\displaystyle{ 162 }[/math] [math]\displaystyle{ 207 }[/math] [math]\displaystyle{ 305 }[/math] [math]\displaystyle{ 199 }[/math] [math]\displaystyle{ 203 }[/math] [math]\displaystyle{ 177 }[/math] [math]\displaystyle{ 377 }[/math] [math]\displaystyle{ 459 }[/math] [math]\displaystyle{ 158 }[/math] [math]\displaystyle{ 157 }[/math] [math]\displaystyle{ 251 }[/math] [math]\displaystyle{ 193 }[/math] [math]\displaystyle{ 190 }[/math] [math]\displaystyle{ 148 }[/math] #SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^8 }[/math] [math]\displaystyle{ 488 }[/math] [math]\displaystyle{ 582 }[/math] [math]\displaystyle{ 833 }[/math] [math]\displaystyle{ 475 }[/math] [math]\displaystyle{ 486 }[/math] [math]\displaystyle{ 446 }[/math] [math]\displaystyle{ 1023 }[/math] [math]\displaystyle{ 1241 }[/math] [math]\displaystyle{ 437 }[/math] [math]\displaystyle{ 430 }[/math] [math]\displaystyle{ 666 }[/math] [math]\displaystyle{ 472 }[/math] [math]\displaystyle{ 440 }[/math] [math]\displaystyle{ 398 }[/math] #SPSP([math]\displaystyle{ a }[/math]) [math]\displaystyle{ \lt 10^9 }[/math] [math]\displaystyle{ 1282 }[/math] [math]\displaystyle{ 1514 }[/math] [math]\displaystyle{ 2162 }[/math] [math]\displaystyle{ 1268 }[/math] [math]\displaystyle{ 1232 }[/math] [math]\displaystyle{ 1163 }[/math] [math]\displaystyle{ 2599 }[/math] [math]\displaystyle{ 3210 }[/math] [math]\displaystyle{ 1113 }[/math] [math]\displaystyle{ 1125 }[/math] [math]\displaystyle{ 1655 }[/math] [math]\displaystyle{ 1142 }[/math] [math]\displaystyle{ 1151 }[/math] [math]\displaystyle{ 1041 }[/math]
Widzimy, że liczb silnie pseudopierwszych jest znacznie mniej niż liczb pseudopierwszych Fermata.
Uwaga L22
Interesujące i pożyteczne będzie zbadanie najmniejszych liczb silnie pseudopierwszych dla wielu podstaw. Niech badanymi podstawami będą kolejne liczby pierwsze. Najmniejszą liczbę SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]) już znamy: [math]\displaystyle{ 2047 }[/math]. Najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie SPSP([math]\displaystyle{ 2 }[/math]) i SPSP([math]\displaystyle{ 3 }[/math]) musimy poszukać. Prostym poleceniem
forstep(m=3, 10^7, 2, if( isprime(m), next() ); if( isPrimeOrSPSP(m, 2) && isPrimeOrSPSP(m, 3), print("m=", m) ))
znajdujemy, że [math]\displaystyle{ m = 1373653 }[/math]. Więcej czasu będzie wymagało znalezienie liczby jednocześnie silnie pseudopierwszej względem podstaw [math]\displaystyle{ 2, 3, 5 }[/math]. Poleceniem
forstep(m=3, 10^8, 2, if( isprime(m), next() ); if( isPrimeOrSPSP(m, 2) && isPrimeOrSPSP(m, 3) && isPrimeOrSPSP(m, 5), print("m=", m) ))
znajdujemy, że szukana liczba to [math]\displaystyle{ m = 25326001 }[/math].
Stosując bardziej wyrafinowane metody[6][7] znaleziono wartości liczb silnie pseudopierwszych względem wielu podstaw, które są kolejnymi liczbami pierwszymi, dla większej ilości liczb pierwszych[8]. Dla przykładu
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \boldsymbol{m} }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ 2047 }[/math] [math]\displaystyle{ 2 }[/math] [math]\displaystyle{ 1373653 }[/math] [math]\displaystyle{ 3 }[/math] [math]\displaystyle{ 25326001 }[/math] [math]\displaystyle{ 4 }[/math] [math]\displaystyle{ 3215031751 }[/math] [math]\displaystyle{ 5 }[/math] [math]\displaystyle{ 2152302898747 }[/math] [math]\displaystyle{ 6 }[/math] [math]\displaystyle{ 3474749660383 }[/math] [math]\displaystyle{ 7 }[/math] [math]\displaystyle{ 341550071728321 }[/math]
Podane w prawej kolumnie liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] są najmniejszymi liczbami jednocześnie silnie pseudopierwszymi względem podstaw [math]\displaystyle{ p_1, \ldots, p_n }[/math]. Zauważmy, że wyniki te mają bardzo praktyczne zastosowanie. Przykładowo, jeśli [math]\displaystyle{ m }[/math] przechodzi test Millera-Rabina dla siedmiu podstaw [math]\displaystyle{ a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }[/math] i jest liczbą mniejszą od [math]\displaystyle{ 3.41 \cdot 10^{14} }[/math], to jest z pewnością liczbą pierwszą.
Uzupełnienie
Uwaga L23
W funkcji isPrimeOrSPSP() wykorzystaliśmy zaimplementowane w PARI/GP funkcje:
gcd(a, b)– znajduje największy wspólny dzielnik liczb a i bvaluation(a, b)– znajduje największą wartość liczby [math]\displaystyle{ r }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ b^r \mid a }[/math]
Wprowadzenie tych funkcji pozwoliło zwiększyć czytelność kodu, ale bez trudu możemy sami je napisać:
gcd2(a, b) =
{
local(r);
if( b == 0, return(abs(a)) );
r = a % b;
while( r > 0, a = b; b = r; r = a % b );
return(abs(b));
}
valuation2(a, b) =
{
local(s);
s = 0;
while(a % b == 0, s++; a = a / b);
return(s);
}
Przypisy
- ↑ W. R. Alford, Andrew Granville and Carl Pomerance, There are Infinitely Many Carmichael Numbers, Annals of Mathematics, 140, (1994), 703-722
- ↑ Glyn Harman, On the Number of Carmichael Numbers up to x, Bull. London Math. Soc. 37 (2005) 641–650
- ↑ Glyn Harman, Watt’s Mean Value Theorem and Carmichael Numbers, International Journal of Number Theory, Vol. 4, No. 2 (2008) 241–248
- ↑ Gary L. Miller, Riemann's Hypothesis and Tests for Primality, Journal of Computer and System Sciences 13, 300-317 (1976)
- ↑ Michael O. Rabin, Probabilistic Algorithm for Testing Primality, Journal of Number Theory 12, 128-138 (1980)
- ↑ Carl Pomerance, J. L. Selfridge and Samuel S. Wagstaff, Jr., The Pseudoprimes to 25*10^9, Mathematics of Computation, Vol. 35, No. 151 (1980), 1003-1026
- ↑ Gerhard Jaeschke, On Strong Pseudoprimes to Several Bases, Mathematics of Computation, Vol. 61, No. 204 (Oct., 1993), 915-926
- ↑ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, Smallest odd number for which Miller-Rabin primality test on bases <= n-th prime does not reveal compositeness, (A014233)