Szeregi liczbowe

07.04.2022

Szeregi nieskończone

Definicja D1
Sumę wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]

nazywamy szeregiem nieskończonym o wyrazach [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

Definicja D2
Ciąg [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math].

Definicja D3
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] będziemy nazywali zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ \left ( S_n \right ) }[/math] jest zbieżny.

Twierdzenie D4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] będzie ciągiem sum częściowych, wtedy [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n }[/math]. Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math] jest zbieżny, zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \left ( S_{n+1} - S_{n} \right ) = \lim_{n \to \infty} S_{n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_n = 0 }[/math]

□

Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math] jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.
Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)
Niech ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli

[math]\displaystyle{ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a_n = 0 }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \underset{k = 1}{\overset{\infty}{\sum}} (- 1)^{k + 1} \cdot a_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci

[math]\displaystyle{ S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m}) }[/math]

Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w nawiasie jest liczbą nieujemną. Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ S_{2 m} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2 m - 2} - a_{2 m - 1}) {- a_{2 m}} < a_1 }[/math]

Zatem dla każdego [math]\displaystyle{ m }[/math] ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_{2 m} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia C12 jest zbieżny, czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g }[/math]

Pozostaje zbadać sumy częściowe [math]\displaystyle{ S_{2 m + 1} }[/math]. Rezultat jest natychmiastowy

[math]\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} S_{2 m + 1} = \lim_{m \to \infty} (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) = \lim_{m \to \infty} S_{2 m} + \lim_{m \to \infty} a_{2 m + 1} = g + 0 = g }[/math]

Co kończy dowód.
□

Zadanie D6
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}_+ }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Przypomnijmy wzór na sumę częściową szeregu geometrycznego

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} q^k = {\small\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} \qquad \qquad \text{dla} \quad q \neq 1 }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ q = - x^{a} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x \geqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a > 0 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ q \leqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ q \neq 1 }[/math]. Zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k = \frac{1 - (- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k + \frac{(- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} + \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} }[/math]

Całkując obie strony równania w granicach od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \qquad \qquad \qquad (\ast) }[/math]

Łatwo znajdujemy pierwszą całkę po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x = \sum^n_{k = 0} (- 1)^k \int^1_0 x^{a k} d x = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \left[ {\small\frac{x^{a k + 1}}{a k + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} \right] = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} }[/math]

Dla drugiej całki po prawej stronie wzoru [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math] wystarczy znaleźć odpowiednie oszacowanie. Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] i [math]\displaystyle{ a > 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ | x | = x }[/math] i [math]\displaystyle{ | 1 + x^{a} | = 1 + x^{a} \geqslant 1 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| \leqslant \int^1_0 \left| {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} \right| d x = \int^1_0 {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} d x \leqslant \int^1_0 x^{a (n + 1)} d x = {\small\frac{x^{a (n + 1) + 1}}{a (n + 1) + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{1}{a (n + 1) + 1}} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach (C11) wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| = 0 }[/math]

Czyli (zobacz C9 p.2)

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} dx = 0 }[/math]

Możemy teraz wzór [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math] zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x }[/math]

i przechodząc do granicy, dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x }[/math]

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^k}{{\small\frac{a}{b}} \cdot k + 1} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D7
Korzystając z rezultatu uzyskanego w zadaniu D6, znajdziemy sumy niektórych szeregów.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x}} d x = \log (1 + x) \biggr\rvert_{0}^{1} = \log 2 \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)          (szereg harmoniczny naprzemienny)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{2 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{7}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^2}} d x = \operatorname{arctg}(x) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)          (wzór Leibniza na [math]\displaystyle{ \pi }[/math])

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{3 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^3}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{3}}{9}} + {\small\frac{\log 2}{3}} = 0.8356488482647 \ldots \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{4 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{17}} - {\small\frac{1}{21}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^4}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{2}}{8}} + \frac{\sqrt{2} \cdot \log \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{4} = 0.8669729873399 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{6 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{25}} - {\small\frac{1}{31}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^6}} d x = {\small\frac{\pi}{6}} + \frac{\sqrt{3} \cdot \log \left( 2 + \sqrt{3} \right)}{6} = 0.90377177374877 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\pi k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{\pi}}} d x = {\small\frac{1}{2 \pi}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} \right) \right] = 0.840943255440756 \ldots }[/math]

Gdzie [math]\displaystyle{ \psi (x) }[/math] oznacza funkcję digamma (zobacz D148) oraz skorzystaliśmy ze wzoru z zadania D153.

Twierdzenie D8
Dla [math]\displaystyle{ s > 1 }[/math] prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Dowód

Zauważmy, że założenie [math]\displaystyle{ s > 1 }[/math] zapewnia zbieżność szeregu po prawej stronie. Zapiszmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math] w postaci sumy dla [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} = 1 + {\small\frac{1}{2^s}} + {\small\frac{1}{3^s}} + {\small\frac{1}{4^s}} + {\small\frac{1}{5^s}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} + {\small\frac{1}{2^s}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Podobnie rozpiszmy szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = 1 - {\small\frac{1}{2^s}} + {\small\frac{1}{3^s}} - {\small\frac{1}{4^s}} + {\small\frac{1}{5^s}} - \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} - {\small\frac{1}{2^s}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy ze znalezionego wyżej wzoru dla sumy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} }[/math]
□

Przykład D9
Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta, którą definiuje szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \eta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} }[/math]

lub funkcja dzeta Riemanna, którą definiuje inny szereg

[math]\displaystyle{ \zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Na podstawie twierdzenia D8 funkcje te są związane wzorem

[math]\displaystyle{ \eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ s \in \mathbb{R}_+ }[/math] funkcja eta Dirichleta jest zbieżna. Możemy ją wykorzystać do znajdowania sumy szeregu naprzemiennego [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} }[/math].

[math]\displaystyle{ s = {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{\sqrt{k}}} = 0.604898643421 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 = 0.693147180559 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{12}} = 0.822467033424 \ldots }[/math]	WolframAlpha

Twierdzenie D10
Niech [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W przypadku zbieżności zachodzi związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \left ( a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1} \right ) + \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S(n) =\sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]) oznacza sumę częściową pierwszego szeregu, a [math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math]) oznacza sumę częściową drugiego szeregu. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1}) + T (n) }[/math]

Widzimy, że dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności zbieżność (rozbieżność) jednego ciągu implikuje zbieżność (rozbieżność) drugiego.
□

Twierdzenie D11 (kryterium porównawcze)
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k > N_0 }[/math] jest spełniony warunek

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant a_k \leqslant b_k }[/math]

to

1.    zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] pociąga za sobą zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]
2.    rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] pociąga za sobą rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math]

Dowód

Dowód przeprowadzimy dla szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math], które są (odpowiednio) jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne z szeregami [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math].

Punkt 1.
Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math] jest zbieżny. Niech [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k = b }[/math], zatem z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k \leqslant b }[/math]

Zauważmy, że ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k }[/math] jest ciągiem rosnącym (bo [math]\displaystyle{ a_k \geqslant 0 }[/math]) i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ \left ( A_n \right ) }[/math] jest zbieżny, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny.

Punkt 2.
Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest rozbieżny, a z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k }[/math]

Rosnący ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k }[/math] nie może być ograniczony od góry, bo przeczyłoby to założeniu, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest rozbieżny. Wynika stąd i z wypisanych wyżej nierówności, że również ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ B_n = \sum_{k = N_0}^{n} b_k }[/math] nie może być ograniczony od góry, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math] jest rozbieżny.
□

Twierdzenie D12
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k \right | }[/math] jest zbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest również zbieżny.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ b_k = a_k + | a_k | }[/math]. Z definicji prawdziwe jest następujące kryterium porównawcze

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant b_k \leqslant 2 | a_k | }[/math]

Zatem z punktu 1. twierdzenia D11 wynika, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] jest zbieżny. Z definicji wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ \left ( b_k \right ) }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k = b_k - | a_k | }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \sum_{k = 1}^{\infty} b_k - \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

Ponieważ szeregi po prawej stronie są zbieżne, to zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]. Zauważmy, że jedynie w przypadku, gdyby obydwa szeregi po prawej stronie były rozbieżne, nie moglibyśmy wnioskować o zbieżności / rozbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], bo suma szeregów rozbieżnych może być zbieżna.
□

Definicja D13
Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | a_n | }[/math] jest zbieżny.

Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest zbieżny, ale szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | a_n | }[/math] jest rozbieżny.

Twierdzenie D14
Suma szeregów zbieżnych jest zbieżna, a suma szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżna.

Dowód

Punkt 1.

Pokażemy, że suma szeregów zbieżnych jest zbieżna.
Załóżmy, że szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] i [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] są zbieżne. Niech [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = 1}^n a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ B_n = \sum_{k = 1}^n b_k }[/math] będą ciągami sum częściowych tych szeregów. Ponieważ założyliśmy zbieżność szeregów, to ciągi [math]\displaystyle{ (A_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (B_n) }[/math] mają skończone granice.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} A_n = S_A \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \to \infty} B_n = S_B }[/math]

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_k = a_k + b_k }[/math]. Ciąg sum częściowych tego szeregu oznaczymy jako [math]\displaystyle{ C_n = \sum_{k = 1}^n c_k }[/math]. Ponieważ w przypadku sum skończonych możemy dowolnie zmieniać kolejność składników, to

[math]\displaystyle{ C_n = \sum_{k = 1}^n c_k = \sum_{k = 1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k = 1}^n a_k + \sum_{k = 1}^n b_k = A_n + B_n }[/math]

Aby zbadać zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k }[/math], musimy obliczyć granicę ciągu sum częściowych [math]\displaystyle{ (C_n) }[/math] przy [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math]. Korzystając z twierdzenia o granicy sumy ciągów (zobacz C14), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} C_n = \lim_{n \to \infty} (A_n + B_n) = \lim_{n \to \infty} A_n + \lim_{n \to \infty} B_n = S_A + S_B }[/math]

Skoro granica ciągu sum częściowych [math]\displaystyle{ C_n }[/math] istnieje i jest skończona, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} c_k }[/math] jest zbieżny.

Punkt 2.

Pokażemy, że suma szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżna.
Z założenia szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] i [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty}b_k }[/math] są bezwzględnie zbieżne, zatem szeregi zbudowane z modułów ich wyrazów są zbieżne do pewnych skończonych wartości

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} |a_k | = M_A \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} |b_k | = M_B }[/math]

Chcemy pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} |a_k + b_k | }[/math] jest zbieżny. Zdefiniujmy sumę częściową tego szeregu

[math]\displaystyle{ V_n = \sum_{k = 1}^n |a_k + b_k | }[/math]

Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant V_n = \sum_{k = 1}^n |a_k + b_k | \leqslant \sum_{k = 1}^n (| a_k | + | b_k |) = \sum_{k = 1}^n | a_k | + \sum_{k = 1}^n | b_k | \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | + \sum_{k = 1}^{\infty} | b_k | = M_A + M_B }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ (V_n) }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D15
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] można zapisać w jednej z postaci

1. [math]\displaystyle{ \quad a_k = f_k - f_{k + 1} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad a_k = f_{k - 1} - f_k }[/math]

to odpowiadający temu ciągowi szereg nazywamy szeregiem teleskopowym. Suma częściowa szeregu teleskopowego jest odpowiednio równa

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_m - f_{n + 1} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_{m - 1} - f_n }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_k - f_{k + 1}) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + (f_{m + 2} - f_{m + 3}) + \ldots + (f_{n - 1} - f_n) + (f_n - f_{n + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + f_{m + 2} - f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1} - f_n + f_n - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + f_{m + 2}) + (- f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1}) + (- f_n + f_n) - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_{k - 1} - f_k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (f_{m - 1} - f_m) + (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + \ldots + (f_{n - 2} - f_{n - 1}) + (f_{n - 1} - f_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} - f_m + f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2} - f_{n - 1} + f_{n - 1} - f_n }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} + (- f_m + f_m) + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2}) + (- f_{n - 1} + f_{n - 1}) - f_n }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} - f_n }[/math]

□

Twierdzenie D16
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k (k - 1)}} = 1 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{3}{4}} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848 \ldots }[/math]	A013661, WolframAlpha

Dowód

Punkt 1.
Dla dowodu wykorzystamy fakt, że rozpatrywany szereg jest szeregiem teleskopowym

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum^n_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = \sum^n_{k = 1} \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) = 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1 }[/math]

Punkt 2.
Szereg jest identyczny z szeregiem z punktu 1., co łatwo zauważyć zmieniając zmienną sumowania [math]\displaystyle{ k = s + 1 }[/math] i odpowiednio granice sumowania.

Punkt 3.
Należy skorzystać z tożsamości

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{1}{2}} \left[ \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) + \left( {\small\frac{1}{k - 1}} - {\small\frac{1}{k}} \right) \right] }[/math]

Punkt 4.
Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{1}{k^2 - 1}} }[/math]

to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie D11) ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}} }[/math] wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]
□

Twierdzenie D17
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 1.860025079221 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} = 0.788530565911 \ldots }[/math]	A085361
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.257746886944 \ldots }[/math]	A131688
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 3} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} = 1.069058310734 \ldots }[/math]	A115563

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy zauważyć, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} - {\small\frac{1}{\sqrt{k + 1}}} = {\small\frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot \left( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} \right)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, > {\small\frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot 2 \sqrt{k + 1}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, < 2 \sum_{k = 1}^n \left( {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} - {\small\frac{1}{\sqrt{k + 1}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = 2 \left( 1 - {\small\frac{1}{\sqrt{n + 1}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, < 2 }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Punkt 2.
Korzystając z twierdzenia A40 p.4, możemy napisać oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} < {\small\frac{\sqrt{k}}{k (k + 1)}} = {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math] wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} }[/math]

Punkt 3.
Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} = {\small\frac{k \log (k - 1) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{k \log \left( k \left( 1 - {\normalsize\frac{1}{k}} \right) \right) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{k \log (k) + k \log \left( 1 - {\normalsize\frac{1}{k}} \right) - k \log (k) + \log (k)}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, > {\small\frac{\log (k) - k \cdot {\normalsize\frac{1}{k - 1}}}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} - {\small\frac{1}{(k - 1)^2}} }[/math]

Czyli prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} < \left[ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} \right] + {\small\frac{1}{(k - 1)^2}} }[/math]

Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} < \sum_{k = 2}^{n} \left[ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} \right] + \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{(k - 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < - {\small\frac{\log (n)}{n}} + \sum_{j = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{j^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{j^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Punkt 4.
Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} = {\small\frac{\log (k + 1) - \log (k)}{\log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < {\small\frac{1}{k \cdot \log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} }[/math]

Z drugiej strony mamy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} = {\small\frac{\log (k) - \log (k - 1)}{\log (k - 1) \log (k)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k - 1}} \right)}{\log (k - 1) \log (k)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, > {\small\frac{1}{k \cdot \log (k - 1) \log (k)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, > {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} }[/math]

Wynika stąd następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} }[/math]

Rezultat ten wykorzystamy w pełni w przykładzie D18, a do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < \sum_{k = 3}^{n} \left[ {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{1}{\log 2}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < {\small\frac{1}{\log 2}} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.
□

Przykład D18
Na przykładzie szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math] pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.

Ponieważ nie jesteśmy w stanie zsumować nieskończenie wielu wyrazów, zatem najlepiej będzie podzielić szereg na dwie części

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} + \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math]

Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.

Dowodząc twierdzenie D17, w punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} }[/math]

Wykorzystamy powyższy wzór do znalezienia potrzebnego nam oszacowania. Sumując strony nierówności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) < \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right) }[/math]

Ponieważ szeregi po lewej i po prawej stronie są szeregami teleskopowymi, to łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} < \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} < \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} }[/math]

Teraz pozostaje dodać sumę wyrazów szeregu od [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = m }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math]

Poniżej przedstawiamy wartości oszacowania sumy szeregu znalezione przy pomocy programu PARI/GP dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wystarczy proste polecenie

for(n = 1, 8, s = sum( k = 3, 10^n, 1/k/(log(k))^2 ); print( "n= ", n, "   a= ", s + 1/log(10^n+1), "   b= ", s + 1/log(10^n) ))

[math]\displaystyle{ m = 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.07 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.068 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06904 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06906 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069057 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069058 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690582 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905830 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583105 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583109 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831071 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831074 }[/math]

Dysponując oszacowaniem reszty szeregu, znaleźliśmy wartość sumy szeregu z dokładnością 10 miejsc po przecinku.

Natomiast samo zsumowanie [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] wyrazów szeregu daje wynik

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{10^8} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = 1.014 771 500 510 916 \ldots }[/math]

Zatem mimo zsumowania stu milionów(!) wyrazów szeregu otrzymaliśmy rezultat z dokładnością jednego(!) miejsca po przecinku. Co więcej, nie wiemy, jaka jest dokładność uzyskanego rezultatu. Znając oszacowanie od dołu i od góry, dokładność jednego miejsca po przecinku uzyskaliśmy po zsumowaniu dziesięciu(!) wyrazów szeregu.

Rozpatrywana wyżej sytuacja pokazuje, że w przypadku znajdowania przybliżonej wartości sumy szeregu ważniejsze od sumowania ogromnej ilości wyrazów jest posiadanie oszacowania nieskończonej reszty szeregu. Ponieważ wyznaczenie tego oszacowania na ogół nie jest proste, pokażemy jak ten problem rozwiązać przy pomocy całki oznaczonej.

Grupowanie i przestawianie wyrazów szeregu

 

Funkcje

 

Definicja D19
Niech będą dane dwa zbiory [math]\displaystyle{ X }[/math] i [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Funkcją nazywamy takie odwzorowanie, które każdemu elementowi zbioru [math]\displaystyle{ X }[/math] przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych elementów [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] prawdziwa jest implikacja

[math]\displaystyle{ x_1 \neq x_2 \Longrightarrow f (x_1) \neq f (x_2) }[/math]

lub implikacja równoważna

[math]\displaystyle{ f(x_1) = f (x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 }[/math]

Powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją "na", jeżeli dla każdego elementu [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] istnieje taki element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], że [math]\displaystyle{ y = f (x) }[/math]

Funkcję różnowartościową nazywamy też iniekcją, a funkcję na "na" suriekcją.

Funkcję różnowartościową i "na" nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (lub bijekcją).

Niech [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math]. Powiemy, że [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją odwracalną, jeżeli istnieje taka funkcja [math]\displaystyle{ g : Y \rightarrow X }[/math], że

●    [math]\displaystyle{ g (f (x)) = x }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in X }[/math]

●    [math]\displaystyle{ f (g (y)) = y }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math]

Funkcję [math]\displaystyle{ g }[/math] spełniającą powyższe warunki będziemy nazywali funkcją odwrotną do [math]\displaystyle{ f }[/math] i oznaczali symbolem [math]\displaystyle{ f^{- 1} }[/math].

Twierdzenie D20
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (czyli jest bijekcją), to ma dokładnie jedną funkcję odwrotną.

Dowód

Załóżmy, że [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest bijekcją. Zauważmy, że

• z założenia [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją "na" (suriekcją), zatem każdemu elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] musi odpowiadać przynajmniej jeden element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math]

• przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że pewnemu elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] odpowiadają dwa różne elementy [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ f(x_1) = y }[/math] i [math]\displaystyle{ f(x_2) = y }[/math]; ale z założenia [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ f(x_1) = f (x_2) }[/math], to [math]\displaystyle{ x_1 = x_2 }[/math]; z otrzymanej sprzeczności wynika natychmiast, że element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] odpowiadający elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] jest jedyny.

Widzimy, że funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math], która jest różnowartościowa i "na" (bijekcja) przypisuje każdemu elementowi [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] dokładnie jeden element [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] (to akurat wynika z definicji funkcji) i jednocześnie każdemu elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] odpowiada dokładnie jeden element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math].

Zatem możemy zdefiniować funkcję odwrotną [math]\displaystyle{ f^{- 1} : Y \rightarrow X }[/math] w następujący sposób: dla każdego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] niech [math]\displaystyle{ f^{- 1} (y) }[/math] będzie tym jedynym elementem [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] spełniającym [math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math].

Z powyższej definicji wynika, że

• dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] mamy [math]\displaystyle{ f^{- 1} (f (x)) = f^{- 1} (y) = x }[/math]
• dla dowolnego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] jest [math]\displaystyle{ f (f^{- 1} (y)) = f (x) = y }[/math]

Pokażemy jeszcze, że funkcja odwrotna [math]\displaystyle{ f }[/math] jest wyznaczona jednoznacznie.

Niech [math]\displaystyle{ g : Y \rightarrow X }[/math] oraz [math]\displaystyle{ h : Y \rightarrow X }[/math] będą dwiema funkcjami odwrotnymi do [math]\displaystyle{ f }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ y }[/math] będzie dowolnym elementem zbioru [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Z definicji funkcji odwrotnej mamy [math]\displaystyle{ f (g (y)) = y }[/math] i [math]\displaystyle{ f (h (y)) = y }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją różnowartościową i [math]\displaystyle{ f (g (y)) = f (h (y)) }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ g(y) = h (y) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ y }[/math] był dowolnym elementem zbioru [math]\displaystyle{ Y }[/math], to wypisana równość zachodzi dla każdego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math], skąd natychmiast wynika, że funkcje [math]\displaystyle{ g }[/math] i [math]\displaystyle{ h }[/math] są identyczne. Czyli istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna do funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math].
□

Twierdzenie D21
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] ma funkcję odwrotną, to jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Dowód

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] ma funkcję odwrotną [math]\displaystyle{ f^{- 1} : Y \rightarrow X }[/math].

1. funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją "na" (jest suriekcją)

Załóżmy, że [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] i niech [math]\displaystyle{ x = f^{- 1} (y) }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ f(x) = f (f^{- 1} (y)) = y }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją "na".

2. funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją różnowartościową (jest iniekcją)

Załóżmy, że [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] i [math]\displaystyle{ f(x_1) = f (x_2) }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ x_1 = f^{- 1} (f (x_1)) = f^{- 1} (f (x_2)) = x_2 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją różnowartościową. Co należało pokazać.
□

Zadanie D22
Pokazać, że [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem ograniczonym.

Rozwiązanie

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem skończonym, zatem [math]\displaystyle{ A = \{ k_1, \ldots, k_n \} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k_i \in \mathbb{N} }[/math], a [math]\displaystyle{ n }[/math] jest iloscią elementów zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M = \max (k_1, \ldots, k_n) }[/math], aby dla każdego [math]\displaystyle{ k_i \in A }[/math] było [math]\displaystyle{ k_i \leqslant M }[/math]. Czyli zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest zbiorem ograniczonym.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem ograniczonym, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k_i \in A }[/math] jest [math]\displaystyle{ k_i \leqslant M }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem dyskretnym, to zbiór ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ M }[/math] elementów, zatem jest zbiorem skończonym.
□

Zadanie D23
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] będzie dowolnym zbiorem skończonym, a [math]\displaystyle{ f }[/math] dowolną funkcją określoną na [math]\displaystyle{ A }[/math]. Pokazać, że obraz [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] jest zbiorem skończonym.

Rozwiązanie

Z definicji funkcji wiemy, że każdemu elementowi [math]\displaystyle{ k \in A }[/math] odpowiada dokładnie jeden element zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math], zatem obraz [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] nie może zawierać więcej elementów niż zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math], zatem musi być zbiorem skończonym. Oczywiście [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] może zawierać mniej elementów niż zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math], np. w przypadku funkcji [math]\displaystyle{ f(k) = k^2 }[/math] i zbioru [math]\displaystyle{ A = \{ - 5, - 4, \ldots, 4, 5 \} }[/math] lub funkcji stałej [math]\displaystyle{ f(k) = C }[/math] i dowolnego skończonego zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math].
□

Grupowanie wyrazów szeregu

 

Uwaga D24
Problem, który pojawia się w przypadku grupowania wyrazów szeregu, zilustrujemy przykładem. Rozważmy szereg

[math]\displaystyle{ 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + {\small\frac{1}{8^2}} + {\small\frac{1}{9^2}} + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots \qquad (*) }[/math]

Jest to szereg zbieżny (zobacz D16 p.4) i oczywiście jest bezwzględnie zbieżny. Możemy łatwo popsuć zbieżność tego szeregu, dodając nowe wyrazy. Zauważmy, że szereg

[math]\displaystyle{ 1 - 1 + 1 + 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} + 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} + 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} + 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} + 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} + \ldots \qquad (**) }[/math]

jest rozbieżny. Czytelnik łatwo sprawdzi, że suma częściowa tego szeregu wyraża się wzorem

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{j = 1}^{\lfloor n / 3 \rfloor} {\small\frac{1}{j^2}} + \begin{cases} 0 & & \text{gdy } n = 3 k \\ \lfloor n / 3 \rfloor + 1 & & \text{gdy } n = 3 k + 1 \\ 0 & & \text{gdy } n = 3 k + 2 \\ \end{cases} }[/math]

Mamy zatem: [math]\displaystyle{ S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \infty }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n = 3 k + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n = 3 k }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 k + 2 }[/math]. Skąd wynika natychmiast rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ (**) }[/math]. Zauważmy, że możemy łatwo temu szeregowi przywrócić zbieżność grupując wyrazy po trzy

[math]\displaystyle{ (1 - 1 + 1) + \left( 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} \right) + \left( 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} \right) + \left( 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} \right) + \left( 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} \right) + \left( 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} \right) + \ldots }[/math]

W wyniku otrzymujemy zbieżny szereg [math]\displaystyle{ (*) }[/math]. Możemy też zastosować grupowanie: dwa wyrazy, jeden wyraz. Dostajemy

[math]\displaystyle{ (1 - 1) + (1) + (2 - 2) + \left( {\small\frac{1}{2^2}} \right) + (3 - 3) + \left( {\small\frac{1}{3^2}} \right) + (4 - 4) + \left( {\small\frac{1}{4^2}} \right) + (5 - 5) + \left( {\small\frac{1}{5^2}} \right) + (6 - 6) + \left( {\small\frac{1}{6^2}} \right) + \ldots }[/math]

Czyli szereg postaci

[math]\displaystyle{ 0 + 1 + 0 + {\small\frac{1}{2^2}} + 0 + {\small\frac{1}{3^2}} + 0 + {\small\frac{1}{4^2}} + 0 + {\small\frac{1}{5^2}} + 0 + {\small\frac{1}{6^2}} + 0 + {\small\frac{1}{7^2}} + 0 + {\small\frac{1}{8^2}} + 0 + {\small\frac{1}{9^2}} + 0 + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots }[/math]

Suma tego szeregu wynosi oczywiście [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math].

Widzimy, że szereg rozbieżny można uczynić zbieżnym, dobierając odpowiednie grupowanie wyrazów szeregu. Podane niżej twierdzenie odpowiada na pytanie: czy szereg zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo) możemy uczynić rozbieżnym, dobierając odpowiednie grupowanie wyrazów szeregu.

Zadanie D25
Zbadać, czy suma wypisanych niżej szeregów zależy od sposobu grupowania wyrazów tych szeregów.

[math]\displaystyle{ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} + \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Pierwszy i drugi szereg nie są zbieżne, bo nie spełniają warunku koniecznego zbieżności szeregu: [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math]. W przypadku pierwszego szeregu mamy

[math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} 0 & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\ 1 & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Widzimy, że nie istnieje granica [math]\displaystyle{ S_n }[/math] dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności, czyli szereg jest rozbieżny, ale grupując wyrazy po dwa, dostajemy

[math]\displaystyle{ (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0 + 0 + 0 + \ldots = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \ldots = 1 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 1 }[/math]

Dla drugiego szeregu jest podobnie

[math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} - {\large\frac{n}{2}} & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\ {\large\frac{n + 1}{2}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Nie istnieje granica [math]\displaystyle{ S_n }[/math] dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności, zatem szereg jest rozbieżny. Grupując wyrazy po dwa, mamy

[math]\displaystyle{ (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + (7 - 8) + (9 - 10) + (11 - 12) + \ldots = - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - \ldots = - \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + (- 2 + 3) + (- 4 + 5) + (- 6 + 7) + (- 8 + 9) + (- 10 + 11) + (- 12 + 13) + \ldots = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots = + \infty }[/math]

Trzeci szereg spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu, ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz B34). Mamy

[math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} \;\;\; 0 & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\ {\large\frac{2}{n + 1}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 0 }[/math], to trzeci szereg jest warunkowo zbieżny. Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ (1 - 1) + \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + \left( - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{20}} - \ldots = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 0 \qquad \quad }[/math] (zobacz D16 p.1)

[math]\displaystyle{ \left( 1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + \ldots \longrightarrow 0 }[/math]

Widzimy, że zmiana sposobu grupowania nie zmieniła sumy tego szeregu.
□

Twierdzenie D26
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo), to jego suma nie zależy od pogrupowania wyrazów pod warunkiem, że każda z grup obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów.

Dowód

Uwaga: warunek, aby grupy obejmowały jedynie skończoną ilość wyrazów, stosujemy do ustalonej grupy, co nie wyklucza sytuacji, że rozmiar grupy rośnie dla kolejnych grup, np. [math]\displaystyle{ n }[/math]-ta grupa zawiera [math]\displaystyle{ n }[/math] wyrazów szeregu. Zauważmy, że podciąg [math]\displaystyle{ k_j = {\small\frac{1}{2}} (j^2 - j + 2) }[/math] jest równie dobrym podciągiem, jak każdy inny, a w tym przypadku [math]\displaystyle{ n }[/math]-ta grupa obejmuje dokładnie [math]\displaystyle{ n }[/math] wyrazów szeregu.

Rozważmy szereg

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + \ldots }[/math]

oraz dowolne grupowanie wyrazów tego szeregu, na przykład

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = (a_1) + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + (a_7 + a_8) + (a_9 + a_{10} + a_{11}) + (a_{12} + a_{13} + a_{14}) + \ldots }[/math]

Każda grupa (zgodnie z założeniem) obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów. Takie grupowanie w rzeczywistości tworzy nowy szereg

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_{k_j} = b_{k_1} + b_{k_2} + b_{k_3} + b_{k_4} + b_{k_5} + b_{k_6} + \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ (k_j) }[/math] jest pewnym podciągiem ciągu liczb naturalnych określonych przez wskaźnik pierwszego wyrazu po nawiasie otwierającym grupę, a samą grupę możemy zapisać jako

[math]\displaystyle{ b_{k_j} = (a_{k_j} + a_{k_j + 1} + \ldots + a_{k_{j + 1} - 1}) }[/math]

W naszym przykładzie mamy: [math]\displaystyle{ k_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ k_2 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ k_3 = 4 }[/math], [math]\displaystyle{ k_4 = 7 }[/math], [math]\displaystyle{ k_5 = 9 }[/math], [math]\displaystyle{ k_6 = 12, \; \ldots }[/math]

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, zatem ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] ma granicę. Ciąg sum częściowych szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_{k_j} }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ T_m = \sum_{j = 1}^{m} b_{k_j} = b_{k_1} + b_{k_2} + \ldots + b_{k_m} = \sum_{j = 1}^{m} (a_{k_j} + a_{k_j + 1} + \ldots + a_{k_{j + 1} - 1}) }[/math]

Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ T_m }[/math] jest sumą wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] o wskaźnikach mniejszych od [math]\displaystyle{ k_{m + 1} }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ T_m = S_{k_{m + 1} - 1} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ (T_m) }[/math] jest podciągiem ciągu zbieżnego [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math], to też jest zbieżny do tej samej granicy (zobacz C77). Co kończy dowód.
□

Przestawianie wyrazów szeregu

 

Definicja D27
Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }[/math] powstał w wyniku przestawiania wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], jeżeli [math]\displaystyle{ b_k = a_{f (k)} }[/math], gdzie funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną i [math]\displaystyle{ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} }[/math].

Uwaga D28
Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] musi

• odwzorowywać zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] "na" [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], bo każdy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] musi wystąpić w ciągu [math]\displaystyle{ (b_k) }[/math]
• być funkcją różnowartościową

Różnowartościowość funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] wyklucza sytuację, gdy dwóm wyrazom ciągu [math]\displaystyle{ (b_k) }[/math] o różnych indeksach odpowiada taki sam wyraz z ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]. Weźmy dla przykładu szeregi

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} = 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + \ldots }[/math]

Mamy: [math]\displaystyle{ b_5 = a_{f (5)} = b_6 = a_{f (6)} = a_5 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f(5) = f (6) = 5 }[/math]. Otrzymaliśmy w ten sposób szereg złożony z innych wyrazów: pierwszy ma wszystkie wyrazy różne, a drugi ma dwa takie same.

Uwaga D29
Niech [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z przestawionymi wyrazami definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }[/math]

Funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math] opisującej przestawianie wyrazów zazwyczaj nie daje się zapisać prostym wzorem. Powiedzmy, że dokonujemy tylko jednego przestawienia: wyraz [math]\displaystyle{ a_5 }[/math] będzie teraz dziesiątym wyrazem w nowym szeregu. Takie przestawienie opisuje funkcja

[math]\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} k & & \text{gdy } k < 5 \\[0.3em] k + 1 & & \text{gdy } 5 \leq k < 10 \\[0.3em] 5 & & \text{gdy } k = 10 \\[0.3em] k & & \text{gdy } k > 10 \\ \end{cases} }[/math]

Co dobrze pokazuje tabela

suma	wyrazy sumy
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_7 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_9 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(5)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(6)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(7)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(8)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(9)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(10)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(11)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_7 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_9 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

Niżej przedstawiamy jeszcze dwa przykłady.

Przykład D30
Niech [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Funkcja

[math]\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} k + 1 & & \text{gdy } k \text{ jest nieparzyste} \\[0.3em] k - 1 & & \text{gdy } k \text{ jest parzyste} \\ \end{cases} }[/math]

tworzy nowy szereg, w którym wyrazy o indeksach parzystych mają w nowym szeregu indeksy nieparzyste, a wyrazy o indeksach nieparzystych mają w nowym szeregu indeksy parzyste.

Co ilustruje tabela

suma	wyrazy sumy
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{2 j - 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{2 j} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2 j - 1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2 j)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{2 j} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{2 j - 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

Przykład D31
Niech [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] będzie szeregiem harmonicznym naprzemiennym [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math], a funkcja opisująca przestawianie wyrazów szeregu ma postać

[math]\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} \large{\frac{2 k + 1}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j + 1 \\ \large{\frac{4 k - 2}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j + 2 \\ \large{\frac{4 k}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j \\ \end{cases} }[/math]

Rezultaty przestawiania wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] zbierzemy w tabeli

suma	wyrazy sumy
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_7 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{3 j + 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{3 j + 2} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{3 j + 3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(5)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(6)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(7)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(8)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3 j + 1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3 j + 2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3 j + 3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{2 j + 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{4 j + 2} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{4 j + 4} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{6}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{8}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{5}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{10}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2 j + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 j + 2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 j + 4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

Dokładnie z takim przestawieniem wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego spotkamy się w zadaniu D32 p.2.

Zadanie D32
Niech [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math] i niech [math]\displaystyle{ [n, \ldots, n'] }[/math] będzie dowolnym przedziałem liczb naturalnych o długości nie większej od [math]\displaystyle{ M }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right) = 0 }[/math]

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją granicy chcemy pokazać, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right| < \varepsilon }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math], a z definicji tej granicy wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon' > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N'_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k > N'_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon' }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] możemy obrać dowolnie, to dla wybranego przez nas [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] niech

[math]\displaystyle{ \varepsilon' = {\small\frac{\varepsilon}{M}} }[/math]

Teraz już łatwo widzimy, że dla [math]\displaystyle{ n > N'_0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right| \leqslant \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} | a_k | < M \cdot \varepsilon' = M \cdot {\small\frac{\varepsilon}{M}} = \varepsilon }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D33
Rozważmy sytuację, gdy wszystkie wyrazy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] podzieliliśmy na bloki wyrazów – tak jak przykładowo poniżej

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = [a_1 + a_2 + a_3] + [a_4] + [a_5 + a_6 + a_7] + [a_8] + [a_9 + a_{10}] + [a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}] + [a_{15}] + [a_{16} + a_{17} + a_{18}] + [a_{19} + a_{20}] + \ldots }[/math]

Zauważmy, że każdy wyraz należy do pewnego bloku [math]\displaystyle{ B_k }[/math], a związany z blokiem wyrazów [math]\displaystyle{ B_k }[/math] zbiór indeksów tych wyrazów tworzy pewien przedział [math]\displaystyle{ I_k \subset \mathbb{N} }[/math]. W naszym przypadku mielibyśmy

[math]\displaystyle{ [1, 2, 3], [4], [5, 6, 7], [8], [9, 10], [11, 12, 13, 14], [15], [16, 17, 18], [19, 20], \ldots }[/math]

Definicja D34
Podziałem zbioru liczb naturalnych [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na skończone przedziały nazywamy zbiór przedziałów [math]\displaystyle{ \{ I_k \} }[/math] takich, że

•    [math]\displaystyle{ I_k \neq \varnothing }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]
•    [math]\displaystyle{ I_j \cap I_k = \varnothing }[/math] dla [math]\displaystyle{ j \neq k }[/math]
•    [math]\displaystyle{ | \, I_k \, | < \infty }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]
•    [math]\displaystyle{ \bigcup_{k \geq 1} I_k =\mathbb{N} }[/math]
•    przedziały są uporządkowane rosnąco w naturalnym porządku, tzn. dla [math]\displaystyle{ j < k }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ \max (I_j) < \min (I_k) }[/math]

Twierdzenie D35
Niech [math]\displaystyle{ I_1, I_2, \ldots }[/math] będzie podziałem [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na przedziały o długości nie większej od [math]\displaystyle{ M }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest szeregiem, którego wyrazy spełniają konieczny warunek zbieżności [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{m \rightarrow \infty} \left( \sum_{j = 1}^m \sum_{k \:\! \in \:\! I_j} a_k \right) }[/math]

Czyli suma częściowa szeregu [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k }[/math] i suma wyrazów szeregu liczona po pełnych przedziałach [math]\displaystyle{ I_j }[/math] mają taką samą granicę.

Dowód

Rozważmy sumę częściową [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k }[/math]. Z definicji podziału [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na przedziały istnieje taki wskaźnik [math]\displaystyle{ r = r (n) }[/math] i taki odpowiadający mu przedział [math]\displaystyle{ I_r }[/math], że [math]\displaystyle{ n \in I_r }[/math]. Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k = \underset{\text{przedziałach}}{\underset{\text{suma po pełnych}}{\sum_{j = 1}^{r - 1} \sum_{k \:\! \in \:\! I_j} a_k}} \quad + \quad \underset{\text{przedziału końcowego } I_r}{\underset{\text{suma po części}}{\sum_{k \:\! \in \:\! I_r, \;\! k < n} a_k}} }[/math]

Zauważmy, że druga suma po prawej stronie albo nie wystąpi (możemy powiedzieć, że jest równa zero), gdy [math]\displaystyle{ n = \max (I_r) }[/math], albo przebiega po pewnym przedziale [math]\displaystyle{ [\min (I_r), \ldots, n] }[/math]. Przedział ten ma długość nie większą od [math]\displaystyle{ M }[/math], bo jest podprzedziałem przedziału [math]\displaystyle{ I_r }[/math], a z założenia [math]\displaystyle{ | I_r | < M }[/math].

Gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, to również [math]\displaystyle{ r = r (n) }[/math] dąży do nieskończoności i tak samo liczba [math]\displaystyle{ \min (I_{r (n)}) }[/math] dąży do nieskończoności, a przedział [math]\displaystyle{ [\min (I_r), \ldots, n] \subset I_r }[/math] obejmuje coraz większe liczby naturalne. Z zadania D32 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [\min (I_r), \ldots, n]} a_k \right) = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D36
Rozważmy szereg harmoniczny naprzemienny

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots }[/math]

Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz D5), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz D75), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots }[/math]

Z twierdzenia D35 wynika, że sumę szeregu możemy liczyć po pełnych blokach, zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{2 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz D11) zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math].

Zadanie D37
Pokazać, że szereg

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots }[/math]

jest zbieżny, a jego suma jest równa

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 = 1.13197175 \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że dokonując podziału szeregu

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

na bloki, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \left[ 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} \right] + \ldots }[/math]

Z twierdzenia D35 wynika, że sumę szeregu możemy liczyć, sumując po pełnych blokach. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{32 n^2 - 24 n + 3}{4 n (2 n - 1) (4 n - 1) (4 n - 3)}} < \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math] jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz D11) zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} }[/math].

Sumę szeregu trudniej policzyć. Zauważmy, że wyrazy szeregu

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

możemy pogrupować

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) - \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} \right) - \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} \right) - \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} \right) - \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{16}} \right) + \ldots }[/math]

Pozwala to zapisać rozpatrywany szereg w postaci sumy utworzonych wyżej grup

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2 k}} \right) }[/math]

Należy podkreślić, że takie pogrupowanie nie zmienia sumy szeregu (zobacz D26). Możemy zatem napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math]

Będziemy rozważali całki

[math]\displaystyle{ I_n = \int^1_0 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]. Przykładowo

[math]\displaystyle{ I_0 = \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}} dt = \operatorname{arctg}(t) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.785398 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ I_1 = \int_0^1 {\small\frac{t}{1 + t^2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{2 t}{1 + t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{du}{1 + u}} = {\small\frac{1}{2}} \biggr[ \log (1 + u) \biggr\rvert_{0}^{1} \biggr] = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 \approx 0.34657 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ I_2 = \int_0^1 {\small\frac{t^2}{1 + t^2}} dt = \int_0^1 {\small\frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2}} dt = \int_0^1 dt - \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}} dt = 1 - {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.21460 \ldots }[/math]

Udowodnimy kolejno, że

  1. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0 }[/math]

  2. [math]\displaystyle{ \qquad I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} \qquad \qquad \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 2 }[/math]

3a. [math]\displaystyle{ \qquad I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0 }[/math]

3b. [math]\displaystyle{ \qquad I_{2 n} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0 }[/math]

4a. [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 }[/math]

4b. [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} = {\small\frac{\pi}{4}} }[/math]

Punkt 1.

Zauważmy, że w przedziale [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1 \leqslant 1 + t^2 \leqslant 2 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} \leqslant {\small\frac{1}{1 + t^2}} \leqslant 1 }[/math]. Wynikają stąd oszacowania

[math]\displaystyle{ I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \leqslant \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \geqslant \int_0^1 {\small\frac{t^n}{2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{2 n + 2}} }[/math]

Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2 n + 2}} \leqslant I_n \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0 }[/math]

Punkt 2.

Mamy

[math]\displaystyle{ I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot t^2}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot [(1 + t^2) - 1]}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \int_0^1 t^{n - 2} dt- \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2}}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} }[/math]

Otrzymaliśmy wzór rekurencyjny prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} }[/math]

Punkt 3a. / 3b.
Korzystając ze znalezionego wzoru rekurencyjnego oraz indukcji matematycznej udowodnimy, że prawdziwe są następujące wzory (odpowiednio dla całek [math]\displaystyle{ I_m }[/math] o indeksie nieparzystym i dla całek [math]\displaystyle{ I_m }[/math] o indeksie parzystym)
[math]\displaystyle{ I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math]	[math]\displaystyle{ I_{2 n} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math]
Sprawdzamy poprawność wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Z dowodzonego wzoru otrzymujemy
[math]\displaystyle{ I_3 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 = {\small\frac{1}{2}} - I_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_2 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 = 1 - I_0 }[/math]
A ze wzoru rekurencyjnego dostajemy identyczny wzór
[math]\displaystyle{ I_3 = {\small\frac{1}{2}} - I_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_2 = 1 - I_0 }[/math]
Załóżmy (złożenie indukcyjne), że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] mamy
[math]\displaystyle{ I_{2 n + 3} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 2}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{2 n + 2}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{(2 n + 3) - 1}} - I_{2 n + 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ I_{2 n + 2} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 1}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{2 n + 1}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{(2 n + 2) - 1}} - I_{2 n} }[/math]
Ostatnia równość wynika z założenia indukcyjnego. Pokazaliśmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], co kończy dowód indukcyjny.
Punkt 4a. / 4b.
Z twierdzenia C9 granicę policzoną w punkcie 1. możemy zapisać równoważnie w postaci [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | I_{n} | = 0 }[/math]. Zatem z punktów 3a i 3b mamy odpowiednio
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right| = 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right| = 0 }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) = 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) = 0 }[/math]
Skąd natychmiast dostajemy, że
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = I_1 = {\small\frac{\log 2}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} = I_0 = {\small\frac{\pi}{4}} }[/math]

Zauważmy, że mnożąc obie strony ostatniego wzoru w lewej kolumnie przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math], otrzymujemy wzór na sumę szeregu harmonicznego naprzemiennego

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 }[/math]

Teraz już łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D38
Pokazać, że

1.   [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{14}} \right) + \ldots = \log 2 }[/math]

2.   [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{18}} - {\small\frac{1}{20}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

3.   [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{18}} - {\small\frac{1}{20}} - {\small\frac{1}{22}} - {\small\frac{1}{24}} \right) + \ldots = 0 }[/math]

4.   [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} + {\small\frac{1}{25}} + {\small\frac{1}{27}} + {\small\frac{1}{29}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \ldots = + \infty }[/math]

Rozwiązanie

Uwagi ogólne
Nawiasy nie oznaczają tutaj jakiegoś szczególnego grupowania wyrazów szeregu. Zostały umieszczone jedynie po to, aby pokazać, jak poszczególne szeregi zostały zdefiniowane.

Każdy z zamieszczonych niżej dowodów (poza punktem 6.) wykorzystuje przybliżony wzór na sumę [math]\displaystyle{ n }[/math] początkowych wyrazów szeregu harmonicznego

[math]\displaystyle{ H_n = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma \approx 0.57721 \ldots }[/math] jest stałą Eulera (zobacz uwagę po twierdzeniu B34, więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w przykładzie E60). Powyższy wzór możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ H_n = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + h_n }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} h_n = 0 }[/math].

Wynikają stąd wzory

[math]\displaystyle{ \underset{k \text{ parzyste}}{\sum_{k = 2}^{2 n}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k}} = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n + 1}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n + 1} {\small\frac{1}{k}} - \underset{k \text{ parzyste}}{\sum^{2 n}_{k = 2}} {\small\frac{1}{k}} = H_{2 n + 1} - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n - 1} {\small\frac{1}{k}} - \underset{k \text{ parzyste}}{\sum^{2 n - 2}_{k = 2}} {\small\frac{1}{k}} = H_{2 n - 1} - {\small\frac{1}{2}} H_{n - 1} = \left( H_{2 n} - {\small\frac{1}{2 n}} \right) - {\small\frac{1}{2}} \left( H_n - {\small\frac{1}{n}} \right) = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

Punkt 1.

Wzór został udowodniony w twierdzeniu D6, ale zastosujemy tutaj inny sposób. Zauważmy, że sumujemy bloki

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum^n_{k = 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = H_{2 n} - H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - (\log n + \gamma + h_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \left[ \log \left( {\small\frac{2 n}{n}} \right) + h_{2 n} - h_n \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \log 2 }[/math]

Punkt 2.

Pierwszy sposób

Z określenia szeregu wynika, że sumujemy bloki złożone z trzech wyrazów

[math]\displaystyle{ 0 < \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{4 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Z kryterium porównawczego (D11) wynika, że powyższy szereg jest zbieżny, zatem możemy grupować wyrazy (zobacz D26)

[math]\displaystyle{ 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) - {\small\frac{1}{4}} + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} \right) - {\small\frac{1}{8}} + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} \right) - {\small\frac{1}{12}} + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} \right) - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + \ldots \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Drugi sposób

Szereg jest sumą bloków

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{4 k - 2}} + {\small\frac{1}{4 k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{4 n - 2}} + {\small\frac{1}{4 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 n - 1}} + {\small\frac{1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_{2 n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} [(\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - (\log n + \gamma + h_n)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \log \left( {\small\frac{2 n}{n}} \right) + h_{2 n} - h_n \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Punkt 3.

Zauważmy, że sumujemy bloki

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{8 k - 6}} - {\small\frac{1}{8 k - 4}} - {\small\frac{1}{8 k - 2}} - {\small\frac{1}{8 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{8 k - 6}} + {\small\frac{1}{8 k - 4}} + {\small\frac{1}{8 k - 2}} + {\small\frac{1}{8 k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{8 n - 6}} + {\small\frac{1}{8 n - 4}} + {\small\frac{1}{8 n - 2}} + {\small\frac{1}{8 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} + {\small\frac{1}{4 n - 1}} + {\small\frac{1}{4 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_{4 n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = (\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log n + \gamma + h_n) - {\small\frac{1}{2}} (\log (4 n) + \gamma + h_{4 n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} [\log (4 n^2) + 2 \gamma + 2 h_{2 n} - \log n - \gamma - h_n - \log (4 n) - \gamma - h_{4 n}] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} \left[ \log \left( {\small\frac{4 n^2}{n \cdot 4 n}} \right) + 2 h_{2 n} - h_n - h_{4 n} \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 0 }[/math]

Punkt 4.

Rozpatrujemy szereg

[math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} + {\small\frac{1}{25}} + {\small\frac{1}{27}} + {\small\frac{1}{29}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{31}} + \ldots + {\small\frac{1}{61}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \ldots }[/math]

Zauważmy, że

●    z definicji każda [math]\displaystyle{ k }[/math]-ta grupa obejmuje [math]\displaystyle{ 2^{k - 1} }[/math] wyrazów z mianownikiem nieparzystym i jeden wyraz z mianownikiem parzystym (największy z jeszcze niewykorzystanych wyrazów o mianowniku parzystym)

●    pierwszy wyraz z mianownikiem nieparzystym w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej grupie jest równy [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2^k - 1}} }[/math], a ostatni to [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} }[/math]

●    znajdujemy oszacowanie sumy wyrazów z mianownikiem nieparzystym w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej grupie

[math]\displaystyle{ S_{(k)} = {\small\frac{1}{2^k - 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} \geqslant 2^{k - 1} \cdot {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} > {\small\frac{2^{k - 1}}{2^{k + 1}}} = {\small\frac{1}{4}} }[/math]

●    łatwo sprawdzamy, że suma wyrazów w każdej z pierwszych trzech grup jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math]

●    począwszy od czwartej grupy, od sumy wyrazów z nieparzystym mianownikiem odejmujemy [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] lub mniej niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] (dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{10}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{14}} }[/math], itd.), zatem suma wszystkich wyrazów w każdej z tych grup jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math]

●    pokazaliśmy, że suma wyrazów w każdej grupie jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math], a ponieważ jest nieskończenie wiele grup, to szereg jest rozbieżny do nieskończoności

□

Zadanie D39
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \underbrace{{\small\frac{1}{2 b k - 2 b + 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 b k - 1}}}_{b \text{ wyrazów nieparzystych}} - \underbrace{{\small\frac{1}{2 a k - 2 a + 2}} - \ldots - {\small\frac{1}{2 a k}}}_{a \text{ wyrazów parzystych}} \right) }[/math]

Zauważmy, że sumujemy bloki zbudowane z wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math]. Każdy blok składa się z [math]\displaystyle{ b }[/math] wyrazów nieparzystych (dodatnich) i [math]\displaystyle{ a }[/math] wyrazów parzystych (ujemnych). Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 b k - 2 b + 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 b k - 1}} \text{} - {\small\frac{1}{2 a k - 2 a + 2}} - \ldots - {\small\frac{1}{2 a k}} \right) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) }[/math]

Rozwiązanie

Uwzględniając twierdzenie D35, będziemy sumowali po pełnych blokach. Zauważmy, że po zsumowaniu [math]\displaystyle{ n }[/math] bloków mamy sumę [math]\displaystyle{ b n }[/math] wyrazów nieparzystych (dodatnich) i [math]\displaystyle{ a n }[/math] wyrazów parzystych (ujemnych). Zatem tak określona suma częściowa jest równa

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}} }[/math]

Podobnie jak w zadaniu poprzednim (D38) wykorzystamy przybliżony wzór na sumę [math]\displaystyle{ m }[/math] początkowych wyrazów szeregu harmonicznego

[math]\displaystyle{ H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log m + \gamma + {\small\frac{1}{2 m}} - {\small\frac{1}{12 m^2}} + {\small\frac{1}{120 m^4}} - \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma \approx 0.57721 \ldots }[/math] jest stałą Eulera (zobacz uwagę po twierdzeniu B34, więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w przykładzie E60).

Powyższy wzór możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = \log m + \gamma + h_m }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow \infty} h_m = 0 }[/math].

Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k}} = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{k}} = {\small\frac{1}{2}} H_m }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k - 1}} = \sum_{k = 1}^{2 m} {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k}} = H_{2 m} - {\small\frac{1}{2}} H_m }[/math]

Podstawiając do wzoru na sumę częściową, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}} = \left( H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} \right) - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} = H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} }[/math]

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu harmonicznego, dostajemy

[math]\displaystyle{ S_n = H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} }[/math]

[math]\displaystyle{ = (\log (2 b n) + \gamma + h_{2 b n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log (b n) + \gamma + h_{b n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log (a n) + \gamma + h_{a n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left[ \log (2 b n) - {\small\frac{1}{2}} \cdot \log (b n) - {\small\frac{1}{2}} \cdot \log (a n) \right] + \left[ \gamma - {\small\frac{1}{2}} \cdot \gamma - {\small\frac{1}{2}} \cdot \gamma \right] + \left[ h_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} \cdot h_{b n} - {\small\frac{1}{2}} \cdot h_{a n} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{4 b^2 n^2}{b n \cdot a n}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{4 b}{a}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D40
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, to po dowolnym przestawieniu wyrazów suma tego szeregu nie ulegnie zmianie.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z przestawionymi wyrazami definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }[/math]

Widzimy, że

suma	wyrazy sumy							w szczególności
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ b_n }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{f^{-1}(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{f^{-1}(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{f^{-1}(n)} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(n)} }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_n }[/math]

Zatem, po przestawieniu, na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tej pozycji w szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] znajdzie się wyraz [math]\displaystyle{ a_{f (n)} }[/math].

Funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, co oznacza, że ma funkcję odwrotną. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ f (f^{- 1} (n)) = n }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f^{- 1} (n) }[/math] zwraca wartość indeksu, z jakim wyraz [math]\displaystyle{ a_n }[/math] z szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] występuje w szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] będzie dowolną ustaloną liczbą naturalną. Jeżeli przyjmiemy, że

[math]\displaystyle{ M_0 = \max \{ f^{- 1} (1), f^{- 1} (2), \ldots, f^{- 1} (N_0) \} }[/math]

to zapewnimy sobie, że każdy z wyrazów [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} }[/math] wystąpi w ciągu [math]\displaystyle{ (a_{f (1)}, a_{f (2)}, \ldots, a_{f (M_0)}) }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ \{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} \subseteq \{ a_{f (1)}, a_{f (2)}, \ldots, a_{f (M_0)} \} }[/math]^[a]

Oczywiście musi być [math]\displaystyle{ M_0 \geqslant N_0 }[/math].

Niech

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k \qquad \qquad S = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \qquad \qquad S^{\ast}_n = \sum_{k = 1}^n | a_k | \qquad \qquad S^{\ast} = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

Z założenia szereg jest bezwzględnie zbieżny, zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ | S^{\ast} - S^{\ast}_n | < \varepsilon }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} | a_k | < \varepsilon }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ T_m = \sum_{k = 1}^m a_{f (k)} }[/math]

będzie sumą częściową szeregu z przestawionymi wyrazami. Dla dowolnego [math]\displaystyle{ m > M_0 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S - T_m = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k - \sum_{k = 1}^m a_{f (k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \left( \sum_{k = 1}^{N_0} a_k + \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k \right) - \left( \sum_{k = 1}^{N_0} a_k + \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k - \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} }[/math]

Rozważmy różnicę sum w ostatnim wierszu. Druga z tych sum [math]\displaystyle{ \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} }[/math] jest sumą skończoną i zawiera [math]\displaystyle{ m - N_0 }[/math] wyrazów sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^m a_{f (k)} }[/math], które pozostały po wydzieleniu wyrazów [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} }[/math]. Zauważmy, że każdy wyraz tej sumy występuje w pierwszej sumie [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k }[/math]. Zatem zapisana w ostatnim wierszu różnica sum, jest sumą [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k }[/math], w której część wyrazów (skończona liczba) nie występuje, co zaznaczymy, używając znaku prim [math]\displaystyle{ (') }[/math] przy symbolu sumy. Mamy

[math]\displaystyle{ S - T_m = {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} a_k }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | S - T_m | = \left| \,\, {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} a_k \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, \leqslant \,\, {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} | a_k | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, \leqslant \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, < \varepsilon }[/math]

Pokazaliśmy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M_0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ m > M_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | S - T_m | < \varepsilon }[/math]. Zatem ciąg [math]\displaystyle{ (T_m) }[/math] ma granicę i wartość tej granicy jest równa [math]\displaystyle{ S }[/math]. Co kończy dowód.

---

[a] Możemy też argumentować inaczej. Z definicji przestawiania wyrazów szeregu wynika, że każdy wyraz [math]\displaystyle{ a_k }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] musi wystąpić w szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math]. Zatem musi istnieć taki wyraz [math]\displaystyle{ b_{g (k)} }[/math], że [math]\displaystyle{ b_{g (k)} = a_k }[/math]. Jeżeli dla kolejnych [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], czyli dla wyrazów [math]\displaystyle{ \{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} }[/math] zdefiniujemy liczbę [math]\displaystyle{ M_0 = \max \{ b_{g (1)}, b_{g (2)}, \ldots, b_{g (N_0)} \} }[/math], to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ b_1, b_2, \ldots, b_{M_0} \} }[/math] musi wystąpić każdy z wyrazów [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \leqslant N_0 }[/math]. Zbierając: istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M_0 }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} \subseteq \{ b_1, b_2, \ldots, b_{M_0} \} }[/math].
□

Zadanie D41
Pokazać, że każdą liczbę [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] można przedstawić jednoznacznie w postaci różnicy liczb nieujemnych [math]\displaystyle{ p, g }[/math] tak, aby jednocześnie były spełnione równania [math]\displaystyle{ x = p - g }[/math] oraz [math]\displaystyle{ | x | = p + g }[/math].

Rozwiązanie

Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} p - g = x \\[0.3em] p + g = | x | \\ \end{cases} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p = {\small\frac{| x | + x}{2}} \qquad g = {\small\frac{| x | - x}{2}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ | x | \geqslant - x }[/math] i [math]\displaystyle{ | x | \geqslant x }[/math], to obie liczby [math]\displaystyle{ p, g }[/math] są nieujemne. Zauważmy, że rozkład liczby [math]\displaystyle{ x }[/math] możemy zapisać w równoważny sposób

[math]\displaystyle{ p = {\small\frac{| x | + x}{2}} = \max (0, x) = \begin{cases} x & & \text{gdy } x \geqslant 0 \\[0.3em] 0 & & \text{gdy } x < 0 \\ \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ g = {\small\frac{| x | - x}{2}} = \max (0, - x) = \begin{cases} 0 & & \text{gdy } x \geqslant 0 \\[0.3em] - x & & \text{gdy } x < 0 \\ \end{cases} }[/math]

□

Zadanie D42
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem nieskończonym, a [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów ujemnych tego ciągu. Pokazać, że jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny, to

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} a_{n_j} = + \infty \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_k} = - \infty }[/math]

Rozwiązanie

Każdy wyraz [math]\displaystyle{ a_n }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] przedstawimy w postaci różnicy dwóch liczb nieujemnych [math]\displaystyle{ a^+_n }[/math] i [math]\displaystyle{ a^-_n }[/math] (zobacz D34), gdzie

[math]\displaystyle{ a^+_n = \max (0, a_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ a^-_n = \max (0, - a_n) }[/math]

Zauważmy, że

●    ciąg [math]\displaystyle{ (a^+_n) }[/math] powstaje z ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] przez zastąpienie wyrazów mniejszych od zera zerami

●    ciąg [math]\displaystyle{ (a^-_n) }[/math] powstaje z ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] przez zastąpienie wyrazów większych od zera zerami, a wyrazów mniejszych od zera ich wartościami bezwzględnymi

Oczywiście [math]\displaystyle{ a_n = a^+_n - a^-_n }[/math] i [math]\displaystyle{ | a_n | = a^+_n + a^-_n }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum^{\infty}_{k = 1} a^-_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} | a_n | = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n + \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math]

Rozważmy możliwe przypadki

Punkt 1.

Jeżeli szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] są zbieżne, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} | a_n | = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n + \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest zbieżny. Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Punkt 2.

Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] jest zbieżny, a szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest rozbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest rozbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Punkt 3.

Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] jest rozbieżny, a szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest zbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest rozbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Wynika stąd, że możliwy jest tylko przypadek, gdy obydwa szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] są rozbieżne. Zauważmy teraz, że pary ciągów [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (a^+_n) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (- a^-_n) }[/math] różnią się jedynie nieskończoną ilością wyrazów równych zero, zatem odpowiednie szeregi również są rozbieżne

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} a_{n_j} = \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n = + \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_k} = - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n = - \infty }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że obydwa podciągi [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] mają nieskończoną liczbę wyrazów różnych od zera.
□

Twierdzenie D43 (Bernhard Riemann, 1854)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny i [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{R} }[/math], to istnieje takie przestawienie wyrazów tego szeregu [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], że [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R }[/math].

Dowód

Zauważmy od razu (i zapamiętajmy), że ponieważ z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest zbieżny, to musi być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \; }[/math] (zobacz D4).

Niech [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów ujemnych tego ciągu. Ponieważ podciągi [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] tworzą szeregi rozbieżne (zobacz D35) odpowiednio do [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] i do [math]\displaystyle{ - \infty }[/math], to skończona suma kolejnych wyrazów tych podciągów może osiągać dowolne wartości skończone odpowiednio dodatnie lub ujemne.

Dla ułatwienia zapisu oznaczmy: [math]\displaystyle{ (p_i) \equiv (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (q_i) \equiv (a_{n_k}) }[/math], a dla ustalenia uwagi załóżmy, że [math]\displaystyle{ R > 0 }[/math].

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ n_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ p_k }[/math] (dodatnich) będzie większa od [math]\displaystyle{ R }[/math] (liczby dodatniej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n_1 - 1} p_k \leqslant R < \sum_{k = 1}^{n_1} p_k }[/math]

[math]\displaystyle{ - p_{n_1} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k < 0 }[/math]

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ q_k }[/math] (ujemnych) będzie mniejsza od [math]\displaystyle{ R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k }[/math] (liczby ujemnej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k \leqslant \sum^{m_1 - 1}_{k = 1} q_k }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 < R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k \leqslant - q_{m_1} }[/math]

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ n_2 > n_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ p_k }[/math] (dodatnich) będzie większa od [math]\displaystyle{ R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k }[/math] (liczby dodatniej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = n_1 + 1}^{n_2 - 1} p_k \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < \sum_{k = n_1 + 1}^{n_2} p_k }[/math]

[math]\displaystyle{ - p_{n_2} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < 0 }[/math]

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ m_2 > m_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ q_k }[/math] (ujemnych) będzie mniejsza od [math]\displaystyle{ R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k }[/math] (liczby ujemnej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m_1 + 1}^{m_2} q_k < R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum^{m_1}_{k = 1} q_k \leqslant \sum_{k = m_1 + 1}^{m_2 - 1} q_k }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 < R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_2} q_k \leqslant - q_{m_2} }[/math]

Kontynuując, zgodnie z zasadami przedstawionymi wyżej, naprzemienne dodawanie bloków liczb nieujemnych i ujemnych, osiągamy to, że kolejne sumy oscylują wokół wartości [math]\displaystyle{ R }[/math] z coraz mniejszą amplitudą.

W [math]\displaystyle{ j }[/math]-tym kroku dla bloku wyrazów nieujemnych [math]\displaystyle{ p_k }[/math] i [math]\displaystyle{ n_j > n_{j - 1} }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - p_{n_j} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_j} p_k - \sum^{m_{j - 1}}_{k = 1} q_k < 0 }[/math]

a dla bloku wyrazów ujemnych [math]\displaystyle{ q_k }[/math] i [math]\displaystyle{ m_j > m_{j - 1} }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 < R - \sum_{k = 1}^{n_j} p_k - \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \leqslant - q_{m_j} }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ S(n_j, m_j) = \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k }[/math]

oznacza sumę częściową nowego szeregu (z przestawionymi wyrazami), którego konstrukcję przedstawiliśmy wyżej. Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], to z wypisanych nierówności i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C11) wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_j) = \lim_{j \rightarrow \infty} S(n_j, m_{j - 1}) = R }[/math]

Zauważmy teraz, że prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1}}_{k = 1} q_k \right) > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1} + 1}_{k = 1} q_k \right) > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1} + 2}_{k = 1} q_k \right) > \ldots > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j - 1} q_k \right) > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) }[/math]

Jest tak, ponieważ każde kolejne wyrażenie w nawiasie ma coraz więcej wyrazów ujemnych. Podobnie mamy też

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \left( \sum_{k = 1}^{n_j + 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \left( \sum_{k = 1}^{n_j + 2} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \ldots \leqslant \left( \sum^{n_{j + 1} - 1}_{k = 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \left( \sum^{n_{j + 1}}_{k = 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) }[/math]

bo każde kolejne wyrażenie w nawiasie ma coraz więcej wyrazów nieujemnych. Co oznacza, że dla sum częściowych mamy odpowiednio

[math]\displaystyle{ S(n_j, m_{j - 1}) > S (n_j, m_{j - 1} + 1) > S (n_j, m_{j - 1} + 2) > \ldots > S (n_j, m_j - 1) > S (n_j, m_j) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ S(n_j, m_j) \leqslant S (n_j + 1, m_j) \leqslant S (n_j + 2, m_j) \leqslant \ldots \leqslant S (n_{j + 1} - 1, m_j) \leqslant S (n_{j + 1}, m_j) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_j) = \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_{j - 1}) = R , }[/math] to z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że cały ciąg sum częściowych (liczony do dowolnego wyrazu nowego szeregu) jest zbieżny do [math]\displaystyle{ R }[/math]. Możemy zatem napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R }[/math]

gdzie funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] opisuje przestawianie wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] zgodnie z przedstawioną wyżej metodą. Co należało pokazać.
□

Przykład D44
W dowodzie twierdzenia D43 Riemann podaje jawnie metodę budowania szeregów zbieżnych do określonej granicy [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{R} }[/math]. Korzystając z tej metody, w przypadku szeregu warunkowo zbieżnego, jakim jest szereg harmoniczny naprzemienny, sprawdziliśmy jakie szeregi generuje ta metoda dla różnych granic. Metodę zapisaliśmy w postaci procedury możliwej do wykonania w PARI/GP. Poniżej podajemy kod, który znakomicie ułatwia obliczenia.

Pokaż kod

Riemann(R, n) = 
\\ R – suma, którą chcemy uzyskać, przestawiając wyrazy szeregu harmonicznego naprzemiennego
\\ n – liczba podwójnych kroków do wykonania
{
local(i, j, k, M, S, txt);
M = matrix(3, n);
i = 0;  \\ liczy pobrane nieparzyste (dodatnie)
j = 0;  \\ liczy pobrane parzyste (ujemne)
k = 0;  \\ liczy podwójne kroki
S = R;  \\ początkowa wartość sumy S
txt = "R";  \\ wizualny zapis wykonanych obliczeń
while( k++ <= n,
       M[1, k] = k;
       while( S >= 0,
              S = S - 1/( 2*(i++) - 1 );
              txt = Str( txt, " - ", 1/(2*i - 1) );
              M[2, k] = M[2, k] + 1;
            );
       while( S < 0,
              S = S + 1/( 2*(j++) );  \\ odejmujemy ujemne – dlatego mamy znak "+"
              txt = Str( txt, " + ", 1/(2*j) );
              M[3, k] = M[3, k] + 1;
            );
     );
printp(M);
print(1.0 * S);
print(txt);
}

Uwaga D45
Naszą uwagę zwróciły dwa szeregi

[math]\displaystyle{ \left( 1 + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \left( 1 + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Równość sum tych szeregów wynika wprost z wyniku uzyskanego w zadaniu D39. Łatwo widzimy, że wyrazy tych szeregów zostały poprzestawianie, a jednak suma tych szeregów nie uległa zmianie. Prowadzi to do ogólnego pytania: kiedy przestawianie wyrazów szeregu nie zmienia jego sumy? Częściowej odpowiedzi na to pytanie udziela zamieszczone niżej twierdzenie.

Twierdzenie D46
Niech [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] będzie szeregiem zbieżnym. Jeżeli wyrazy szeregu podzielimy na dowolne bloki [math]\displaystyle{ B_1, B_2, \ldots }[/math], zawierające nie więcej niż [math]\displaystyle{ M }[/math] wyrazów szeregu, to przestawienie wyrazów szeregu wewnątrz bloków nie zmienia sumy szeregu.

Dowód

Podziałowi wyrazów szeregu na bloki odpowiada pewien podział zbioru [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na przedziały takie, że indeksy bloku

[math]\displaystyle{ B_k = [a_{n_k}, a_{n_k + 1}, a_{n_k + 2}, \ldots, a_{n_{k + 1} - 1}] }[/math]

odpowiadają pewnemu przedziałowi [math]\displaystyle{ I_k \subset \mathbb{N} }[/math]

[math]\displaystyle{ I_k = [n_k, n_k + 1, n_k + 2, \ldots, n_{k + 1} - 1] }[/math]

Ponieważ bloki [math]\displaystyle{ B_k }[/math] zawierają nie więcej niż [math]\displaystyle{ M }[/math] wyrazów szeregu, to przedziały [math]\displaystyle{ I_k }[/math] mają długość nie większą od [math]\displaystyle{ M }[/math].

Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest szeregiem zbieżnym, zatem musi być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow + \infty} a_k = 0 }[/math]

Zatem na mocy twierdzenia D35 obliczając sumę szeregu, możemy sumować po pełnych blokach.

Ponieważ przestawianie wyrazów wewnątrz bloku nie wpływa na sumę tych wyrazów, to natychmiast widzimy, że przestawiane wyrazów wewnątrz skończonych bloków nie wpływa na sumę szeregu. Co należało pokazać.
□

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Twierdzenie D47
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, n + 1] }[/math], to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f(x) d x }[/math]

Dowód

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest z założenia ciągła, dodatnia i malejąca, to zamieszczony niżej rysunek dobrze prezentuje problem.

Przedstawiona na rysunku krzywa odpowiada funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Dla współrzędnej [math]\displaystyle{ x = k }[/math] zaznaczyliśmy wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], a po lewej i prawej stronie tych punktów zaznaczyliśmy pasy o jednostkowej szerokości. Łatwo zauważamy, że

• po lewej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem zielonym) jest większe od pola prostokąta o wysokości [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] i jednostkowej szerokości
• po prawej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem niebieskim) jest mniejsze od pola prostokąta o wysokości [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] i jednostkowej szerokości

Korzystając z własności całki oznaczonej, otrzymujemy ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \int_{k}^{k + 1} f(x) d x \leqslant f(k) \leqslant \int_{k - 1}^{k} f(x) d x }[/math]

W powyższym wzorze występują nierówności nieostre, bo rysunek przedstawia funkcję silnie malejącą, ale zgodnie z uczynionym założeniem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być funkcją słabo malejącą.

Sumując lewą nierówność od [math]\displaystyle{ k = m }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], a prawą od [math]\displaystyle{ k = m + 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} f (k) \leqslant \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

Dodając [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] do obydwu stron drugiej z powyższych nierówności i łącząc je ze sobą, otrzymujemy kolejny i docelowy ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

□

Przykład D48
Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math].

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math] jest ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math], zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \int_{1}^{n} {\small\frac{d x}{x}} }[/math]

Przy obliczaniu całek oznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) = \log \left( n \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) \right) = \log n + \log \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) > \log n + {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

to dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n < 1 }[/math]

Zauważmy: nie tylko wiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math] jest rozbieżny, ale jeszcze potrafimy określić, jaka funkcja tę rozbieżność opisuje! Mamy zatem podstawy, by przypuszczać, że całki umożliwią opracowanie metody, która pozwoli rozstrzygać o zbieżności szeregów.

Twierdzenie D49 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)
Załóżmy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego, czy funkcja pierwotna [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] ma dla [math]\displaystyle{ x \rightarrow \infty }[/math] granicę skończoną, czy nie.

Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, wyjaśnimy uczynione założenia. Założenie, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest malejąca, będzie wykorzystane w czasie dowodu twierdzenia, ale rozważanie przypadku, gdy [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest rosnąca, nie ma sensu, bo wtedy nie mógłby być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] (zobacz twierdzenie D4).

Moglibyśmy założyć bardziej ogólnie, że funkcja jest nieujemna, ale wtedy twierdzenie obejmowałoby przypadki funkcji takich, że dla pewnego [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] byłoby [math]\displaystyle{ f(x_0) = 0 }[/math]. Ponieważ z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest malejąca, zatem mielibyśmy [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \geqslant x_0 }[/math]. Odpowiadający tej funkcji szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] miałby dla [math]\displaystyle{ k \geqslant x_0 }[/math] tylko wyrazy zerowe i byłby w sposób oczywisty zbieżny.

Założenie ciągłości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma zapewnić całkowalność funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Założenie to można osłabić, tutaj ograniczymy się tylko do podania przykładów. Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R} }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \int_a^b \text{sgn}(x) d x = | b | - | a | }[/math] [math]\displaystyle{ \qquad \qquad \int_0^a \lfloor x \rfloor d x = {\small\frac{1}{2}} \lfloor a \rfloor (2 a - \lfloor a \rfloor - 1) }[/math] [math]\displaystyle{ \qquad \qquad \int_{-a}^a \lfloor x \rfloor d x = - a }[/math]

Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu D47 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Z drugiej nierówności wynika, że jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest rozbieżna, to rosnący ciąg kolejnych całek oznaczonych [math]\displaystyle{ C_j = \int_{m}^{j} f (x) d x }[/math] nie może być ograniczony od góry (w przeciwnym wypadku całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math] byłby zbieżna), zatem również rosnący ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ F_j = \sum_{k = m}^{j} f(k) }[/math] nie może być ograniczony od góry, co oznacza, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest rozbieżny.

Z trzeciej nierówności wynika, że jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna, to ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ F_j = \sum_{k = m}^{j} f (k) }[/math] jest ciągiem rosnącym i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ F_j }[/math] jest zbieżny, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny.

Ponieważ zbieżność (rozbieżność) całki [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] nie zależy od wyboru dolnej granicy całkowania, to wystarczy badać granicę [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] jest dowolną funkcją pierwotną.
□

Przykład D50
Przykłady zebraliśmy w tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

	szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} a_k }[/math]	funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]	całka [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math]	granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math]	wynik
1.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
2.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{x}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \sqrt{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
3.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny
4.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x \log x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
5.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x \log^2 \! x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny

Stosując kryterium całkowe, można łatwo pokazać, że szeregi

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^s \! k}} }[/math]

są zbieżne dla [math]\displaystyle{ s > 1 }[/math] i rozbieżne dla [math]\displaystyle{ s \leqslant 1 }[/math].

Twierdzenie D51
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math] oraz

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a < m }[/math], to prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R(m) }[/math]

Dowód

Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu D47 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ R(m) \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + R (m) }[/math]

Odejmując od każdej ze stron nierówności liczbę [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] i dodając do każdej ze stron nierówności sumę skończoną [math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R (m) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D52
Twierdzenie D51 umożliwia określenie, z jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = 2 \text{arctg} \left( \sqrt{x} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = \pi - 2 \text{arctg} \left( \sqrt{m} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f (m) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} \leqslant S (m) + R (m) }[/math]

Dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.84 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.87 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.85 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86000 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86004 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860024 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002506 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002509 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025078 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507920 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507923 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079220 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079221 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792211 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792212 }[/math]

W programie PARI/GP wystarczy napisać:

f(k) = 1.0 / (k+1) / sqrt(k)
S(m) = sum( k = 1, m, f(k) )
R(m) = Pi - 2*atan( sqrt(m) )
for(j = 1, 9, m = 10^j; suma = S(m); reszta = R(m); print( "j= ", j, "   a= ", suma + reszta - f(m), "   b= ", suma + reszta ))

Prostym wnioskiem z twierdzenia D47 jest następujące
Twierdzenie D53
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ a < m }[/math]) zastąpimy sumę [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] całką [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math], to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy [math]\displaystyle{ f(m) }[/math].

Dowód

Korzystając ze wzoru z twierdzenia D47 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Dodając do każdej ze stron nierówności wyrażenie [math]\displaystyle{ - f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ - f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Skąd wynika natychmiast

[math]\displaystyle{ - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \leqslant 0 < f(m) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \right| \leqslant f(m) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D54
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny, to dla każdego [math]\displaystyle{ n \geqslant m }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B }[/math] oraz [math]\displaystyle{ C }[/math] są dowolnymi stałymi spełniającymi nierówności

[math]\displaystyle{ B \geqslant 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ C \geqslant f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

Dowód

Z twierdzenia D47 mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int_{m}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int^n_m f (x) d x - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \left[ f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x \right] - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

□

Uwaga D55
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math]. Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math]. Zauważmy, że:

• korzystając z całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny
• jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie D54), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math]

Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math], możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math]. Zauważmy, że wybór większego [math]\displaystyle{ B }[/math] ułatwia dowód indukcyjny. Stałą [math]\displaystyle{ C }[/math] najlepiej zaokrąglić w górę do wygodnej dla nas wartości.

Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a do tego wystarczy indukcja matematyczna.

Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w tym celu twierdzenie D54.

Zadanie D56
Korzystając z twierdzenia D54, znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math]

Rozwiązanie

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x^2}} }[/math] jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n > 0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{d x}{x^2}} = {\small\frac{1}{n}} \qquad }[/math] (zobacz: WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ C \geqslant 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{d x}{x^2}} = 2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} }[/math]

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x (\log x)^2}} }[/math] jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ (1, + \infty) }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n > 1 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{d x}{x (\log x)^2}} = {\small\frac{1}{\log n}} \qquad }[/math] (zobacz: WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ C \geqslant {\small\frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2}} + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{d x}{x (\log x)^2}} = {\small\frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2}} + {\small\frac{1}{\log 2}} = 2.483379 \ldots }[/math]

Przyjmijmy [math]\displaystyle{ C = 2.5 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math]

□

Zadanie D57
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Łatwo zauważamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{k^2}} = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} + \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n (n + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: < 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} < 2 }[/math]

Czyli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.
□

Zadanie D58
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{2} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} \approx 1.040684 < 2.5 - {\small\frac{1}{\log 2}} \approx 1.05730 }[/math]

Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n + 1} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} = \sum_{k = m}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + \left( {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} - {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - {\small\frac{\log (n + 1)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - {\small\frac{\log \left( n \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right) \right)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - 1 - {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( - {\small\frac{1}{(n + 1) \log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} < 2.5 }[/math]

Czyli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.
□

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Twierdzenie D59
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{p_k}} = 0.269605966 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2}} = 0.452247420041 \ldots }[/math]	A085548
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} = 1.375064994748 \ldots }[/math]	A086242
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p (p - 1)}} = 0.773156669049 \ldots }[/math]	A136141

Dowód

Punkt 1.
Szereg jest szeregiem naprzemiennym i jego zbieżność wynika z twierdzenia D5.

Punkt 2.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p^2}} < \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

Punkt 3.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} < \sum_{j = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{(j - 1)^2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

Punkt 4.
Zbieżność wzoru wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{p (p - 1)}} < {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} }[/math]

□

Twierdzenie D60
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = 1.636616323351 \ldots }[/math]	A137245
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2 \log p}} = 0.507782187859 \ldots }[/math]	A221711
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = 0.755366610831 \ldots }[/math]	A138312
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^2}} = 0.493091109368 \ldots }[/math]	A136271

Dowód

Punkt 1.
Zbieżność tego szeregu udowodniliśmy w twierdzeniu B39, ale obecnie potrafimy uzyskać rezultat znacznie łatwiej. Zauważmy, że rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} = {\small\frac{1}{2 \log 2}} + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} }[/math]

Wyrażenie w mianowniku ułamka możemy łatwo oszacować. Z twierdzenia A1 mamy ([math]\displaystyle{ a = 0.72 }[/math])

[math]\displaystyle{ p_k \log p_k > a \cdot k \log k \cdot \log (a \cdot k \log k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a \cdot k \log k \cdot (\log a + \log k + \log \log k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a \cdot k \cdot (\log k)^2 \cdot \left( 1 + {\small\frac{\log a + \log \log k}{\log k}} \right) }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k > \exp \left( \tfrac{1}{a} \right) = 4.01039 \ldots }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \log a + \log \log k > 0 }[/math]

to dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ p_k \log p_k > a \cdot k \cdot (\log k)^2 }[/math]

Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 5 }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} < {\small\frac{1}{a \cdot k \cdot (\log k)^2}} }[/math]

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot (\log k)^2}} }[/math] (zobacz twierdzenie D17 p. 4 lub przykład D50 p. 5) wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} }[/math]

Punkt 2.
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego (twierdzenie D11), bo

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{p^2 \log p}} < {\small\frac{1}{p \log p}} }[/math]

Punkt 3.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} < \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.2577 \ldots }[/math]

Punkt 4.
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{\log p}{p^2}} < {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

□

Twierdzenie D61
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] jest rozbieżny.

Dowód

Dla potrzeb dowodu zapiszmy szereg w innej postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math]

Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math] wyrazy szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{p_k}} \leqslant {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} }[/math] jest rozbieżny (zobacz B37), to na mocy kryterium porównawczego rozbieżny jest również szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math]
□

Uwaga D62
Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] podobnie, jak to uczyniliśmy w przypadku twierdzenia B37, ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.

Twierdzenie D63
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Prawdziwe są następujące nierówności

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! > n^n e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! < n^{n + 1} e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 7 }[/math]

Dowód

Punkt 1. (indukcja matematyczna)
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając prawdziwość dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) > }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; > n^n \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{n^n}{(n + 1)^n}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{\left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n} \cdot e^{- n} > }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; > (n + 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{1}{e}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} e^{- (n + 1)} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n < e }[/math], zatem [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right)^n}} > {\small\frac{1}{e}} }[/math]. Co kończy dowód punktu 1.

Punkt 2. (indukcja matematyczna)
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math]. Zakładając prawdziwość dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) < }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; < n^{n + 1} \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot {\small\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( {\small\frac{n}{n + 1}} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} < }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; < (n + 1)^{n + 2} \cdot {\small\frac{1}{e}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot e^{- (n + 1)} }[/math]

Ostatnia nierówność wynika z faktu, że [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} \right)^{n + 1} < {\small\frac{1}{e}} }[/math]. Co kończy dowód punktu 2.
□

Twierdzenie D64
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{p}} - 1 < W_p (n!) < {\small\frac{n}{p - 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \leqslant W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}} }[/math]

Dowód

Punkt 1. (prawa nierówność)

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ W_p (n!) = \left\lfloor {\small\frac{n}{p}} \right\rfloor + \left\lfloor {\small\frac{n}{p^2}} \right\rfloor + \left\lfloor {\small\frac{n}{p^3}} \right\rfloor + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, < {\small\frac{n}{p}} + {\small\frac{n}{p^2}} + {\small\frac{n}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{n}{p^k}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{n}{p}} \cdot {\small\frac{1}{1 - {\normalsize\frac{1}{p}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{n}{p - 1}} }[/math]

Punkt 1. (lewa nierówność)

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ W_p (n!) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left\lfloor {\small\frac{n}{p^k}} \right\rfloor \geqslant \left\lfloor {\small\frac{n}{p}} \right\rfloor > {\small\frac{n}{p}} - 1 }[/math]

Punkt 2. (prawa nierówność)

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że [math]\displaystyle{ (p - 1) W_p (n!) < n }[/math]. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ (p - 1) W_p (n!) \leqslant n - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą [math]\displaystyle{ W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}} }[/math].

Punkt 2. (lewa nierówność)

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że [math]\displaystyle{ n - p < p \cdot W_p (n!) }[/math]. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ n - p \leqslant p \cdot W_p (n!) - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą [math]\displaystyle{ W_p (n!) \geqslant {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 }[/math].
□

Twierdzenie D65
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - 1 }[/math]

Dowód

Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n! < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ n! > n^n e^{- n} }[/math] (zobacz punkt 1. twierdzenia D63), to

[math]\displaystyle{ n^n e^{- n} < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)} }[/math]

Logarytmując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n \log n - n < \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{n \log p}{p - 1}} = n \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} }[/math]

Dzieląc strony przez [math]\displaystyle{ n }[/math], dostajemy szukaną nierówność.
□

Twierdzenie D66 (pierwsze twierdzenie Mertensa, 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n > - 1.755367 }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p - 1}} = {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p (p - 1)}} }[/math]

to z twierdzenia D65 dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n > - 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n > - 1 - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: > - 1 - \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = - 1 - 0.755366610831 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: > - 1.755367 }[/math]

Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math] (twierdzenie D60 p. 3).
□

Twierdzenie D67 (pierwsze twierdzenie Mertensa, 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n < 0.386295 }[/math]

Dowód

Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n! \geqslant \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 7 }[/math] jest [math]\displaystyle{ n! < n^{n + 1} e^{- n} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} < n^{n + 1} e^{- n} }[/math]

Logarytmując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \left( {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \right) \cdot \log p < (n + 1) \cdot \log n - n }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \sum_{p \leqslant n} \log p < (n + 1) \cdot \log n - n }[/math]

Skąd natychmiast wynika, że

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n < - {\small\frac{n}{n + 1}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \log (P (n)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: < - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{n \cdot \log 4}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + \log 4 - {\small\frac{\log 4}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = \log 4 - 1 + {\small\frac{1 - \log 4}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = \log 4 - 1 - {\small\frac{0.386294 \ldots}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: < \log 4 - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = 0.386294361 \ldots }[/math]

Druga nierówność wynika z twierdzenia A10. Bezpośrednio sprawdzamy, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n < 7 }[/math].
□

Twierdzenie D68
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < 1.141661 }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}} }[/math]

to z twierdzenia D67 dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n < \log 4 - 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < \log 4 - 1 + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < \log 4 - 1 + \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = \log 4 - 1 + 0.755366610831 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < 1.141661 }[/math]

□

Uwaga D69

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = \log n - E + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ E = 1.332582275733 \ldots }[/math] Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 319 }[/math] mamy też [math]\displaystyle{ \left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Uwaga D70

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} = \log n - \gamma + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.5772156649 \ldots }[/math] jest stałą Eulera. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Uwaga D71
Dla [math]\displaystyle{ n \leqslant 10^{10} }[/math] wartości wyrażeń

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma }[/math]

są liczbami dodatnimi.

Twierdzenie D72
Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right) = E - \gamma }[/math]

gdzie

• [math]\displaystyle{ \quad \gamma = 0.577215664901532 \ldots }[/math] jest stałą Eulera
• [math]\displaystyle{ \quad E = 1.332582275733220 \ldots }[/math]
• [math]\displaystyle{ \quad E - \gamma = 0.755366610831688 \ldots }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p (p - 1)}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p}} }[/math]

zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = (\log n - \gamma + \ldots) - (\log n - E + \ldots) }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = E - \gamma }[/math]

Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p - 1}} = {\small\frac{1}{p}} \cdot {\small\frac{1}{1 - {\normalsize\frac{1}{p}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{p}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} \cdot \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots \right) = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right) }[/math]

□

Twierdzenie D73
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Dowód

Należy zauważyć, że tak dokładnego oszacowania nie można udowodnić metodami elementarnymi, dlatego punktem wyjścia jest oszacowanie podane w pracy Pierre'a Dusarta

[math]\displaystyle{ - \left( {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} \right) \; \underset{n \geqslant 2}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x > e^2 \approx 7.389 }[/math] jest [math]\displaystyle{ 1 + {\small\frac{1}{\log x}} < 1.5 }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 8 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} = {\small\frac{0.2}{\log n}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\log n}} \right) < {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Zatem wyjściowy układ nierówności możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{0.3}{\log n}} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Z tożsamości

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}} }[/math]

wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{0.3}{\log n}} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Prawa nierówność

Rozważmy prawą nierówność prawdziwą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2974 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E < {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Z twierdzenia D72 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E = - \gamma }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E + {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E + {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma + {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < - \gamma + {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < - \gamma + {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

jest prawdziwa dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ 318 \leqslant n \leqslant 3000 }[/math]

Lewa nierówność

Rozważmy teraz lewą nierówność prawdziwą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 8 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E > - {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E - {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \sum_{p > n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E - {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{p > n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} {\small\frac{\log k}{(k - 1)^2}} }[/math]

Korzystając kolejno z twierdzeń D47 i C19, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \int_{n}^{\infty} {\small\frac{\log x}{(x - 1)^2}} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - {\small\frac{\log n}{n - 1}} + \log \left( 1 - {\small\frac{1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - {\small\frac{\log n}{n - 1}} - {\small\frac{1}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} + \left( {\small\frac{0.2}{\log n}} - {\small\frac{\log n + 1}{n - 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

Do znalezienia całki oznaczonej Czytelnik może wykorzystać stronę WolframAlpha. Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 153 }[/math]. Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ 2 \leqslant n \leqslant 200 }[/math].
□

Zadanie D74
Niech [math]\displaystyle{ r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944 }[/math]. Pokazać, że z nierówności prawdziwej dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log x - r }[/math]

wynika twierdzenie Czebyszewa.

Rozwiązanie

Z twierdzenia D73 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 318 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log x < - \gamma + {\small\frac{1}{2\log x}} \leqslant - \gamma + {\small\frac{1}{2 \log (318)}} = - 0.490441 \ldots < - 0.306852 \ldots = - r }[/math]

Zatem postulowane oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math]. Sprawdzając bezpośrednio dla [math]\displaystyle{ 2 \leqslant x \leqslant 317 }[/math], łatwo potwierdzamy prawdziwość nierówności

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log x - r }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ a \geqslant 32 }[/math]. Korzystając z twierdzenia D64, łatwo znajdujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ a! = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \leqslant p^{(a - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(a - 1) / (p_n - 1)}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{a - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p_n \leqslant a < p_{n + 1} }[/math]. Oznaczając wyrażenie w nawiasie przez [math]\displaystyle{ U }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \log U = {\small\frac{\log p_1}{p_1 - 1}} + \ldots + {\small\frac{\log p_n}{p_n - 1}} = \sum_{p \leqslant a} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log a - r }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania wskazanego w treści zadania. Zatem [math]\displaystyle{ U < a \cdot e^{- r} }[/math].

Przypuśćmy, że mnożymy liczbę [math]\displaystyle{ a! }[/math] przez kolejne liczby naturalne [math]\displaystyle{ a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b }[/math]. Możemy postawić pytanie: kiedy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ b! }[/math] musi pojawić się nowy czynnik pierwszy? Jeżeli takiego nowego czynnika pierwszego nie ma, to

[math]\displaystyle{ a! \cdot (a + 1) \cdot \ldots \cdot b = b! }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \leqslant p^{(b - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(b - 1) / (p_n - 1)}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{b - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = U^{b - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; < (a \cdot e^{- r})^{b - 1} }[/math]

Jednocześnie z twierdzenia D63 wiemy, że prawdziwa jest nierówność [math]\displaystyle{ b! > b^b e^{- b} }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ b^b e^{- b} < b! < {\normalsize\frac{(a \cdot e^{- r})^b}{a \cdot e^{-r}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b e^{- 1} < \frac{a \cdot e^{- r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b < \frac{a \cdot e^{1 - r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ e^{1 - r} = e^{\log (2)} = 2 }[/math], to

[math]\displaystyle{ b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < 2 a }[/math]

Z oszacowania [math]\displaystyle{ b < 2 a }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ (a \cdot e^{- r})^{1 / b} > (a \cdot e^{-r})^{1 / 2 a} }[/math]. Możemy teraz zapisać uzyskane wyżej oszacowanie w postaci, w której prawa strona nierówności nie zależy od [math]\displaystyle{ b }[/math]

[math]\displaystyle{ b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ e^{- r} = 0.735758 \ldots }[/math], to [math]\displaystyle{ (a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a} > (a / 2)^{1 / 2 a} }[/math], co pozwala uprościć uzyskane oszacowanie

[math]\displaystyle{ b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} < {\normalsize\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} }[/math]

Pokażemy, że dla [math]\displaystyle{ a > 303.05 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\normalsize\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} < 2 a - 5 }[/math]

Istotnie

[math]\displaystyle{ {\normalsize\frac{1}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} < 1 - {\small\frac{5}{2 a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{2 a} > 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{2}} \cdot \left[ \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{\tfrac{2 a}{5}} \right]^5 > 1 }[/math]

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest funkcją rosnącą i ograniczoną (zobacz twierdzenie C18) i dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 32 }[/math] przyjmuje wartości z przedziału [math]\displaystyle{ [0.353 \ldots, e^{- 1}) }[/math]. Zatem dla odpowiednio dużego [math]\displaystyle{ a }[/math] powyższa nierówność z pewnością jest prawdziwa. Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ a = 304 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{2 a} = 1.003213 \ldots }[/math]

Wynika stąd, że wszystkie kolejne liczby naturalne [math]\displaystyle{ a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b }[/math] mogą być liczbami złożonymi co najwyżej do chwili, gdy [math]\displaystyle{ b < 2 a - 5 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ b \leqslant 2 a - 6 }[/math]. Zatem w przedziale [math]\displaystyle{ (a, 2 a) }[/math] musi znajdować się przynajmniej jedna liczba pierwsza. Dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 303 }[/math] prawdziwość twierdzenia sprawdzamy bezpośrednio.
□

Definicja D75
Powiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli [math]\displaystyle{ \left | p - q \right | = 2 }[/math]

Twierdzenie D76* (Viggo Brun, 1919)
Suma odwrotności par liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math], takich że liczba [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] jest również pierwsza, jest skończona

[math]\displaystyle{ \underset{p + 2 \in \mathbb{P}}{\sum_{p \geqslant 2}} \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p + 2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} \right) + \ldots = B_2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B_2 = 1.90216058 \ldots }[/math] jest stałą Bruna.

Zadanie D77
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nietworzących par liczb bliźniaczych.

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ q = p + 4 }[/math] będą liczbami pierwszymi i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ p q }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] są względnie pierwsze, to z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ a_n = p q n + (p + 2) }[/math] jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, a jednocześnie żadna z liczb [math]\displaystyle{ a_n }[/math] nie tworzy pary liczb bliźniaczych, bo

[math]\displaystyle{ a_n - 2 = p q n + p = p (q n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n + 2 = p q n + (p + 4) = q (p n + 1) }[/math]

są liczbami złożonymi. Najprostsze przykłady to [math]\displaystyle{ a_n = 21 n + 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n = 77 n + 9 }[/math]

Najłatwiej wszystkie przypadki takich ciągów wyszukać w programie PARI/GP. Polecenie

for(a=1,50, for(b=3,floor(a/2), g=gcd(a,b); g1=gcd(a,b-2); g2=gcd(a,b+2); if( g==1 && g1>1 && g2>1, print("a= ", a, "   b= ",b) )))

wyszukuje wszystkie liczby dodatnie [math]\displaystyle{ a, b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ b \leqslant \left\lfloor {\small\frac{a}{2}} \right\rfloor }[/math], które tworzą ciągi [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] o poszukiwanych właściwościach. Oczywiście ciągi [math]\displaystyle{ a k + (a - b) }[/math] również są odpowiednie. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 50 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 15 k + 7, \quad 21 k + 5, \quad 30 k + 7, \quad 33 k + 13, \quad 35 k + 12, \quad 39 k + 11, \quad 42 k + 5, \quad 45 k + 7, \quad 45 k + 8, \quad 45 k + 22 }[/math]

□

Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math]

Twierdzenie D78
Suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.

Dowód

Poniższy dowód został przedstawiony przez Erdősa w pracy z 1938 roku. Jest to bardzo elegancki i chyba najprostszy dowód tego twierdzenia.

Załóżmy, dla otrzymania sprzeczności, że rozważana suma jest zbieżna, czyli [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} = C }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C }[/math] jest pewną stałą. Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich oznacza, że różnica między sumą tego szeregu i sumami częściowymi, które uwzględniają coraz więcej wyrazów ciągu, musi być coraz mniejsza. Wynika stąd istnienie najmniejszej liczby [math]\displaystyle{ r }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = r + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} < {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Oznacza to, że zbiór liczb pierwszych rozpada się na dwa rozłączne podzbiory [math]\displaystyle{ P = \{ p_1, p_2, \ldots, p_r \} }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = \{ p_{r + 1}, p_{r + 2,} \ldots \} }[/math].

Konsekwentnie zbiór liczb całkowitych dodatnich możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory: zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_Q }[/math] liczb podzielnych przez dowolną liczbę pierwszą ze zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math] i zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P }[/math] liczb, które nie są podzielne przez żadną liczbę pierwszą ze zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Czyli liczby ze zbioru [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P }[/math] muszą być iloczynami potęg liczb pierwszych ze zbioru [math]\displaystyle{ P }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ M }[/math] będzie dostatecznie dużą liczbą całkowitą.

Oszacowanie od góry ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_Q }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math]

Zauważmy, że liczb nie większych od [math]\displaystyle{ M }[/math] i podzielnych przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{M}{p}} \right\rfloor }[/math] (zobacz A20). Łatwo otrzymujemy oszacowanie^[a]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \in Q} \left\lfloor {\small\frac{M}{p}} \right\rfloor < M \cdot \sum_{p \in Q} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{1}{2}} M }[/math]

bo z założenia [math]\displaystyle{ \sum_{p \in Q} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{1}{2}} }[/math]. Zatem liczb takich, że [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_Q }[/math] i [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math] jest mniej niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{M}{2}} }[/math].

Oszacowanie od góry ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_P }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math]

Każdą liczbę ze zbioru [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P }[/math] możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ k = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_r}_r }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ \alpha_i = 2 \beta_i + \delta_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \delta_i }[/math] jest resztą z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ k = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_r}_r = (p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_r}_r)^2 \cdot (p^{\delta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\delta_r}_r) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \delta_i }[/math] może przybierać tylko dwie wartości: zero lub jeden, to liczb postaci [math]\displaystyle{ p^{\delta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\delta_r}_r }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ 2^r }[/math], a kwadratów liczb całkowitych nie większych od [math]\displaystyle{ M }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor \leqslant \sqrt{M} }[/math]. Zatem liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_P }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math] jest nie więcej niż [math]\displaystyle{ 2^r \sqrt{M} \, }[/math]^[b].

Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P \cup \mathbb{Z}_Q =\mathbb{Z}_+ }[/math] i liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math] jest po prostu [math]\displaystyle{ M }[/math], to musi być prawdziwe oszacowanie

[math]\displaystyle{ M < 2^r \sqrt{M} + {\small\frac{M}{2}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{r + 1} > \sqrt{M} }[/math]

Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ r }[/math] jest ustalone, a [math]\displaystyle{ M }[/math] może być dowolnie duże. Wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M \geqslant 2^{2 r + 2} }[/math].

---

[a] Zauważmy, że suma po lewej stronie może być większa od rzeczywistej ilości liczb [math]\displaystyle{ k }[/math]. Dla przykładu: gdy [math]\displaystyle{ M > p_{r + 1} p_{r + 2} }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ p_{r + 1} p_{r + 2} }[/math] zostanie policzona dwukrotnie: raz jako podzielna przez [math]\displaystyle{ p_{r + 1} }[/math] i drugi raz jako podzielna przez [math]\displaystyle{ p_{r + 2} }[/math]. Co oczywiście nie wpływa na poprawność przedstawionego oszacowania.

[b] Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ M > 8 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ a^2 \leqslant M < (a + 1)^2 }[/math] wystąpi dokładnie jeden raz (jako [math]\displaystyle{ a^2 \cdot 1 }[/math]), ale my oszacujemy, że pojawiła się [math]\displaystyle{ 2^r }[/math] razy. Można pokazać, że dla dowolnych [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ M \geqslant 1 }[/math], liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_P }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math], jest mniej niż [math]\displaystyle{ 2^r \sqrt{M} }[/math]. Jest ich nawet mniej niż [math]\displaystyle{ 2^r \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor }[/math], poza przypadkami [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ M = 2, 3, 8 }[/math], kiedy to ilość takich liczb jest równa [math]\displaystyle{ 2^r \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor < 2^r \sqrt{M} }[/math].
□

Sumowanie przez części

Uwaga D79
Omawianie metody sumowania przez części rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia, które dobrze ilustruje tę metodę i ułatwi zrozumienie uogólnienia. Potrzebna nam będzie następująca funkcja

[math]\displaystyle{ D(k) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } k \, \text{ jest liczbą pierwszą} \\ 0 & \text{gdy } k \, \text{ nie jest liczbą pierwszą} \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy związek funkcji [math]\displaystyle{ D(k) }[/math] z funkcją [math]\displaystyle{ \pi (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi (k) - \pi (k - 1) = \sum_{p \leqslant k} 1 - \sum_{p \leqslant k - 1} 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 1}^{k} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = D (k) + \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = D (k) }[/math]

Twierdzenie D80
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} }[/math] oznacza sumę odwrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Dowód

Rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{D (k)}{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k) - \pi (k - 1)}{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k - 1)}{k}} }[/math]

W drugiej sumie zmieniamy zmienną sumowania. Niech [math]\displaystyle{ j = k - 1 }[/math]. Sumowanie po [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiegało od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ n }[/math], zatem sumowanie po [math]\displaystyle{ j }[/math] będzie przebiegało od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{j = 1}^{n - 1} {\small\frac{\pi (j)}{j + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{j = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (j)}{j + 1}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \pi (1) = 0 }[/math]. Zmieniając jedynie oznaczenie zmiennej sumowania, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^n \pi (k) \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D81
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) }[/math].

Rozwiązanie

Z twierdzenia D80 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Z twierdzenia A1 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \pi (n) > {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{n}{\log n}} }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 4 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + {\small\frac{1}{3}} + \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{k}{\log k \cdot k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{1}{(k + 1) \log k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{1}{(k + 1) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{j = 5}^n {\small\frac{1}{j \log j}} }[/math]

Korzystając z twierdzenia D47, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} \geqslant {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \int_{5}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x \log x}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log x \biggr\rvert_{5}^{n + 1} + {\small\frac{1}{3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) - {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log 5 + {\small\frac{1}{3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) }[/math]

Zauważmy, że znacznie mniejszym nakładem pracy otrzymaliśmy lepsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} }[/math] (porównaj B37).
□

Zadanie D82
Pokazać, że oszacowanie [math]\displaystyle{ \pi (n) < n^{1 - \varepsilon} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon \in (0, 1) }[/math], nie może być prawdziwe dla prawie wszystkich liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dla prawie wszystkich liczb naturalnych jest [math]\displaystyle{ \pi (n) < n^{1 - \varepsilon} }[/math]. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant n_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ \pi (n) < n^{1 - \varepsilon} }[/math]. Korzystając ze wzoru (zobacz D80)

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

dla liczby [math]\displaystyle{ n > n_0 }[/math] otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{n^{1 - \varepsilon}}{n}} + \sum_{k = 2}^{n_0 - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} + \sum_{k = n_0}^{n - 1} {\small\frac{k^{1 - \varepsilon}}{k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{1}{n^{\varepsilon}}} + C_1 + \sum_{k = n_0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k^{\varepsilon} (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < {\small\frac{1}{(n_0)^{\varepsilon}}} + C_1 + \sum_{k = n_0}^{n} {\small\frac{1}{k^{1 + \varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; \leqslant {\small\frac{1}{(n_0)^{\varepsilon}}} + C_1 + {\small\frac{1}{(n_0)^{1 + \varepsilon}}} + \int^n_{n_0} {\small\frac{d x}{x^{1 + \varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = C_2 + \left[ - {\small\frac{1}{\varepsilon \cdot x^{\varepsilon}}} \biggr\rvert_{n_0}^{n} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = C_2 - {\small\frac{1}{\varepsilon n^{\varepsilon}}} + {\small\frac{1}{\varepsilon (n_0)^{\varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < C_2 + {\small\frac{1}{\varepsilon (n_0)^{\varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = C_3 }[/math]

Co jest niemożliwe, bo lewa strona rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem [math]\displaystyle{ n }[/math] (zobacz B37, D78, D81).
□

Twierdzenie D83 (sumowanie przez części)
Niech [math]\displaystyle{ a_j }[/math], [math]\displaystyle{ b_j }[/math] będą ciągami określonymi przynajmniej dla [math]\displaystyle{ s \leqslant j \leqslant n }[/math]. Prawdziwy jest następujący wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j }[/math]. Wzór ten nazywamy wzorem na sumowanie przez części.

Dowód

Jeżeli potrafimy wyliczyć lub oszacować sumę liczoną dla jednego z czynników (powiedzmy, że dla [math]\displaystyle{ b_j }[/math]), to do wyliczenia lub oszacowania sumy [math]\displaystyle{ \sum_{j = s}^{n} a_j b_j }[/math] może być pomocny dowodzony wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j }[/math]. Nim przejdziemy do dowodu, zauważmy, że wprost z definicji funkcji [math]\displaystyle{ B(k) }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B(s) = \sum_{j = s}^{s} b_j = b_s }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ B(k) - B (k - 1) = \sum_{j = s}^{k} b_j - \sum^{k - 1}_{j = s} b_j = b_k + \sum_{j = s}^{k - 1} b_j - \sum_{j = s}^{k - 1} b_j = b_k }[/math]

Przekształcając prawą stronę dowodzonego wzoru, pokażemy, że obie strony są równe.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a_n B (n) - \sum^{n - 1}_{k = s} a_{k + 1} B (k) + \sum_{k = s}^{n - 1} a_k B (k) }[/math]

W pierwszej sumie po prawej stronie zmieniamy wskaźnik sumowania na [math]\displaystyle{ j = k + 1 }[/math], a w drugiej sumie zmieniamy tylko nazwę wskaźnika

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n B (n) - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s}^{n - 1} a_j B (j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s}^{n} a_j B (j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j) + a_s B (s) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{j = s + 1}^{n} a_j [B (j) - B (j - 1)] + a_s b_s }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{j = s + 1}^{n} a_j b_j + a_s b_s }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{j = s}^{n} a_j b_j }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D84
Niech [math]\displaystyle{ r \neq 1 }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k r^k = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2} }[/math].

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, połóżmy [math]\displaystyle{ s = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = k }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = r^k }[/math]. Zauważmy, że sumowanie od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] nic nie zmienia, a nieco upraszcza przekształcenia, bo możemy korzystać wprost ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k r^k = n \cdot B (n) - \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1 - k) B (k) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 0}^{k} r^j = {\small\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k r^k = n \cdot {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}} - \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - n - \sum_{k = 0}^{n - 1} r^{k + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - n - r \sum_{k = 0}^{n - 1} r^k + n \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - r \cdot {\small\frac{r^n - 1}{r - 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{(r - 1)^2}} (n r^{n + 2} - n r^{n + 1} - r^{n + 1} + r) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D85 (kryterium Dirichleta)
Niech [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] i [math]\displaystyle{ (b_k) }[/math] będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

•    ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest monotoniczny
  
  

•    [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math]

•    istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M }[/math], że [math]\displaystyle{ \left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant M }[/math] dla dowolnej liczby [math]\displaystyle{ k }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a_n \cdot B (n) + \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 1}^{k} b_j }[/math]. Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ B(n) }[/math] jest ograniczony i [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], zatem (zobacz C14)

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \cdot B (n) = 0 }[/math]

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest monotoniczny. Jeżeli jest malejący, to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_k - a_{k + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = M (a_1 - a_n) }[/math]

(zobacz D15). Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest rosnący, to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_{k + 1} - a_k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - M (a_1 - a_n) }[/math]

Łącząc uzyskane rezultaty oraz uwzględniając fakt, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest ograniczony, bo jest zbieżny (zobacz C10), możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant M | a_1 - a_n | \leqslant M (| a_1 | + | a_n |) \leqslant 2 M U }[/math]

Ponieważ sumy częściowe szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | }[/math] tworzą ciąg rosnący i ograniczony od góry, to szereg ten jest zbieżny (zobacz C11). Wynika stąd zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B (k) }[/math] (zobacz D12). Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k }[/math] musi być zbieżny. Co należało pokazać.
□

Zadanie D86
Udowodnić następujące wzory

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{j = 1}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cos \left( {\normalsize\frac{k}{2}} + 1 \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Stosując metodę indukcji matematycznej, udowodnimy, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \sin j = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \sin y = \cos (x - y) - \cos (x + y) }[/math]

to wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k + 1} \sin j = 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \sin j + 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \sin (k + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) + \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej.

Punkt 2.

Stosując metodę indukcji matematycznej, udowodnimy, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = \sin (k + 1) - \sin (1) }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ 2 \sin x \cos y = \sin (x - y) + \sin (x + y) }[/math]

to wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k + 1} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) + 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sin (k + 1) - \sin (1) - \sin (k + 1) + \sin (k + 2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sin (k + 2) - \sin (1) }[/math]

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej.
□

Zadanie D87
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

W zadaniu D86 p.1 pokazaliśmy, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowanie^[a]

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{j = 1}^{k} \sin j \right| = \left| {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \right| \leqslant {\small\frac{1}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Ponieważ spełnione są założenia kryterium Dirichleta, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} }[/math] jest zbieżny. Wiemy, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} = \tfrac{1}{2} (\pi - 1) = 1.070796 \ldots }[/math] (WolframAlpha).

---

[a] Zauważmy, że bez trudu możemy otrzymać dokładniejsze oszacowanie

[math]\displaystyle{ - 0.127671 < {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - 1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \leqslant \sum_{j = 1}^{k} \sin j \leqslant {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) + 1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} < 1.958159 }[/math]

□

Zadanie D88
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math] jest zbieżny, a suma tego szeregu jest w przybliżeniu równa [math]\displaystyle{ 0.6839137864 \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta, co pokazujemy tak samo jak w zadaniu poprzednim. Oszacowanie sumy szeregu jest znacznie trudniejsze, bo ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math] silnie oscyluje i dopiero dla bardzo dużych [math]\displaystyle{ n }[/math] wynik sumowania mógłby być znaczący. Przykładowo:

[math]\displaystyle{ S_{10^6} = 0.609189 \qquad S_{10^7} = 0.748477 \qquad S_{10^8} = 0.727256 \qquad S_{10^9} = 0.660078 }[/math]

Okazuje się, że tutaj też będzie pomocne sumowanie przez części. We wzorze na sumowanie przez części połóżmy [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log k}} }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = \sin k }[/math]. Korzystając ze wzoru pokazanego w zadaniu D86 p.1, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \sin (1) = C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C_1 = \tfrac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( \tfrac{1}{2} \right) - \sin (1) \qquad \qquad \qquad C_2 = - {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Sumując przez części, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + \sum^{n - 1}_{k = 2} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \left( C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + C_1 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) + C_2 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + C_1 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} \right) + C_2 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Zauważmy, że szereg po prawej stronie jest zbieżny nawet bez uzbieżniającego czynnika [math]\displaystyle{ \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math], bo bez tego czynnika mielibyśmy szereg teleskopowy (zobacz D15). Pozwala to oczekiwać, że sumy częściowe szeregu po prawej stronie będą znacznie szybciej zbiegały do sumy szeregu. Rzeczywiście, tym razem dla sum

[math]\displaystyle{ S_n = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S_{10^6} = 0.683913783004 \qquad S_{10^7} = 0.683913786642 \qquad S_{10^8} = 0.683913786411 \qquad S_{10^9} = 0.683913786415 }[/math]

Jest to przybliżona wartość sumy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math].

Oszacowanie błędu z jakim wyznaczona została wartość sumy

Kolejne sumowanie przez części pozwoli określić błąd z jakim wyznaczona została wartość sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math]. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

We wzorze na sumowanie przez części połóżmy [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]. Korzystając ze wzoru pokazanego w zadaniu D86 p.2, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} b_j = \sum_{j = 2}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) = C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C_3 = - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) - {\small\frac{\sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \qquad \qquad \qquad C_4 = {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Wzór na sumowanie przez części ma teraz postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) = \left( {\small\frac{1}{\log (n)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \left( {\small\frac{1}{\log (n)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) B (n) + \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) (C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1)) }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) = C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) - C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} \right) - C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (3)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) }[/math]

bo szeregi po prawej stronie są szeregami teleskopowymi.

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{C_3}{\log (2)}} - {\small\frac{C_3}{\log (3)}} + C_4 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) }[/math]

Zbierając, otrzymaliśmy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log (2)}} + C_2 C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (3)}} \right) + C_2 C_4 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C_1 = \tfrac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( \tfrac{1}{2} \right) - \sin (1) \qquad \qquad \qquad \quad \: C_2 = - {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ C_3 = - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) - {\small\frac{\sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \qquad \qquad \qquad C_4 = {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Dla sum

[math]\displaystyle{ S_n = {\small\frac{C_1}{\log (2)}} + C_2 C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (3)}} \right) + C_2 C_4 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ S_{10^7} = 0.68391378641827479894 \qquad S_{10^8} = 0.68391378641827482233 \qquad S_{10^9} = 0.68391378641827482268 }[/math]

Łatwo oszacujemy błąd z jakim wyliczyliśmy wartość sumy szeregu [math]\displaystyle{ S }[/math]

[math]\displaystyle{ | S - S_n | = \left| C_2 C_4 \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \left| \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, \leqslant | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right| | \sin (k + 1) | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, \leqslant | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right| }[/math]                (zobacz przypis [a])

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left[ \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) - \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \left( {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 2)}} \right) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 10^9 }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | S - S_n | < 2.533 \cdot 10^{- 12} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ S = 0.6839137864 \ldots }[/math], gdzie wszystkie wypisane cyfry są prawidłowe.

---

[a] Z łatwego do sprawdzenia wzoru

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

wynika, że wyrażenie [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} }[/math] maleje ze wzrostem [math]\displaystyle{ k }[/math], czyli ciąg [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} }[/math] jest ciągiem malejącym, zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} > {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} }[/math]

Ciągi [math]\displaystyle{ (a_k)_{k = 1}^n }[/math] liczb rzeczywistych takie, że [math]\displaystyle{ 2 a_k \leqslant a_{k - 1} + a_{k + 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 2, \ldots, n - 1 }[/math] nazywamy ciągami wypukłymi. Wprost z definicji funkcji wypukłej wynika, że jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją wypukłą i [math]\displaystyle{ a_k = f (k) }[/math], to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem wypukłym.
□

Zadanie D89
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, połóżmy [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = \log k }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = D (k) }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \log k \cdot D (k) = \log n \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} (\log (k + 1) - \log k) B (k) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} D (k) = \pi (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \log k \cdot D (k) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D90
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ {\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ A, B \in \mathbb{R}_+ }[/math], to istnieje granica

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1 }[/math]

Dowód

Z definicji funkcji [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math] łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p < \sum_{p \leqslant n} \log n = \log n \cdot \pi (n) }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} < 1 }[/math]

Oszacowanie wyrażenia [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} }[/math] od dołu będzie wymagało więcej pracy. Ze wzoru

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

(zobacz D89) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} = 1 - {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Z twierdzenia C19 i założonego oszacowania funkcji [math]\displaystyle{ \pi (n) }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}} }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) < {\small\frac{\log n}{\log n \cdot A \cdot n}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} \cdot {\small\frac{B \cdot k}{\log k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < {\small\frac{B}{A \cdot n}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} }[/math]

Nie możemy oszacować sumy całką, bo całka [math]\displaystyle{ \int {\small\frac{d x}{\log x}} }[/math] jest funkcją nieelementarną. Nie możemy też pozwolić sobie na zbyt niedokładne oszacowanie sumy i nie możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} < {\small\frac{n - 2}{\log 2}} < {\small\frac{n}{\log 2}} }[/math]

Wyjściem z tej sytuacji jest odpowiedni podział przedziału sumowania i szacowanie w każdym przedziale osobno. Niech punkt podziału [math]\displaystyle{ M }[/math] spełnia warunek [math]\displaystyle{ \sqrt{n} \leqslant M < \sqrt{n} + 1 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} = \sum_{k = 2}^{M - 1} {\small\frac{1}{\log k}} + \sum^{n - 1}_{k = M} {\small\frac{1}{\log k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{M - 2}{\log 2}} + {\small\frac{n - M}{\log M}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{M}{\log 2}} + {\small\frac{n}{\log M}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{n}{\log \sqrt{n}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{2 n}{\log n}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) < {\small\frac{B}{A \cdot n}} \cdot \left( {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{2 n}{\log n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < {\small\frac{B}{A}} \cdot \left( {\small\frac{1}{\sqrt{n} \cdot \log 2}} + {\small\frac{2}{\log n}} \right) }[/math]

Łącząc otrzymane rezultaty, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 1 - {\small\frac{B}{A}} \cdot \left( {\small\frac{1}{\sqrt{n} \cdot \log 2}} + {\small\frac{2}{\log n}} \right) < {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} < 1 }[/math]

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C10) mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga D91
Funkcja [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math] jest ściśle związana z dobrze nam znaną funkcją [math]\displaystyle{ P (n) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ P(n) = \prod_{p \leqslant n} p }[/math], to

[math]\displaystyle{ \log P (n) = \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n) }[/math].

Z twierdzenia D90 wynika, że jeżeli istnieje granica [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{n}} }[/math], to będzie istniała granica dla [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}} }[/math]. Jeżeli istnieje granica [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}} }[/math], to będzie istniała granica dla [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{n}} }[/math] (zobacz C13 p.3).

Wiemy, że dla funkcji [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{\theta (n)}{n}} - 1 \right| \leqslant {\small\frac{151.3}{\log^4 n}} }[/math]

Zadanie D92
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

Rozwiązanie

Kładąc we wzorze na sumowanie przez części (zobacz D83) [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log k}} }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = D (k) \cdot \log k }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} D (k) = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) B (k) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} D (k) \cdot \log k = \sum_{p \leqslant k} \log p = \theta (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} D (k) = \sum_{p \leqslant n} 1 = \pi (n) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) \theta (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log k - \log (k + 1)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Twierdzenie D93 (kryterium d'Alemberta)
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem liczb rzeczywistych i istnieje granica

[math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| }[/math]

Jeżeli

•    [math]\displaystyle{ g < 1 }[/math], to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny

•    [math]\displaystyle{ g > 1 }[/math], to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest rozbieżny

Dowód

Rozważmy najpierw przypadek, gdy [math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| < 1 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie dowolną liczbą rzeczywistą taką, że [math]\displaystyle{ g < r < 1 }[/math] i przyjmijmy [math]\displaystyle{ \varepsilon = r - g }[/math]. Z definicji granicy ciągu wiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ \left( \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| \right) }[/math] spełniają warunek

[math]\displaystyle{ - \varepsilon < \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| - g < \varepsilon }[/math]

Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N }[/math]. Z prawej nierówności otrzymujemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| < r }[/math]

[math]\displaystyle{ | a_{n + 1} | < r | a_n | }[/math]

[math]\displaystyle{ | a_{n + k} | < r^k | a_n | }[/math]

Ostatnią nierówność można łatwo udowodnić metodą indukcji matematycznej względem [math]\displaystyle{ k }[/math]. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = N + 1}^{\infty} | a_k | = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_{N + k} | < \sum_{k = 1}^{\infty} r^k | a_n | = r | a_n | \sum_{k = 1}^{\infty} r^{k - 1} = | a_n | \cdot {\small\frac{r}{1 - r}} }[/math]

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] jest bezwzględnie zbieżny.

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| > 1 }[/math] wybieramy liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] tak, aby spełniała warunek [math]\displaystyle{ 1 < r < g }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ \varepsilon = g - r }[/math]. Z definicji granicy ciągu wiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ \left( \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| \right) }[/math] spełniają warunek

[math]\displaystyle{ - \varepsilon < \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| - g < \varepsilon }[/math]

Przyjmując, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N }[/math], z lewej nierówności otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| > r > 1 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ | a_{n + 1} | > | a_n | }[/math], zatem dla wszystkich [math]\displaystyle{ k > N }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_k | > | a_N | > 0 }[/math] i nie może być spełniony podstawowy warunek zbieżności szeregu (zobacz D4). Zatem szereg jest rozbieżny. Co kończy dowód.
□

Uwaga D94
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = 1 }[/math] kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności lub rozbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math]. Czytelnikowi zostawiamy zastosowanie tego kryterium do szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]

Przykład D95
Niech [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math]. Zbadamy zbieżność szeregu

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{x^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{x^n}} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{| x |}{n + 1}} = 0 }[/math]

to z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Zadanie D96
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{n^n}{n!}} }[/math] jest rozbieżny.

Rozwiązanie

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = {\small\frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{n^n}} = {\small\frac{(n + 1) (n + 1)^n}{(n + 1) n!}} \cdot {\small\frac{n!}{n^n}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} e > 1 }[/math]

Z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest rozbieżny.
□

Uwaga D97
W twierdzeniu A40, korzystając z następującej definicji funkcji [math]\displaystyle{ e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

pominęliśmy dowód własności [math]\displaystyle{ e^x e^{- x} = 1 }[/math]. Spróbujemy teraz pokazać, że [math]\displaystyle{ e^x e^y = e^{x + y} }[/math].

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \left( \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i}{i!}} \right) \left( \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{y^j}{j!}} \right) = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} }[/math]

Oznaczmy [math]\displaystyle{ a_i = {\small\frac{x^i}{i!}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b_j = {\small\frac{y^j}{j!}} }[/math] i przyjrzyjmy się sumowaniu po [math]\displaystyle{ i, j }[/math]. W podwójnej sumie po prawej stronie [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{i = 0} \sum_{j = 0}^{\infty} a_i b_j }[/math] sumujemy po kolejnych liniach poziomych tak, jak to zostało pokazane na rysunku

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \; \cdots \; }[/math]

Zastępując sumowanie po kolejnych liniach poziomych sumowaniem po kolejnych przekątnych, otrzymamy taki rysunek

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_6 }[/math]

Co odpowiada sumie [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {a_k} b_{n - k} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n }[/math] numeruje kolejne przekątne. Taka zmiana sposobu sumowania powoduje następujące przekształcenie wzoru

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k! \cdot (n - k) !}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} }[/math]

to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} (x + y)^n = e^{x + y} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym, że z definicji

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

wynika podstawowa własność funkcji wykładniczej [math]\displaystyle{ e^x e^y = e^{x + y} }[/math].

Mamy świadomość, że dokonana przez nas zmiana sposobu sumowania była nieformalna i w związku z tym nie wiemy, czy była poprawna. Zatem musimy precyzyjnie zdefiniować takie sumowanie i zbadać, kiedy jest dopuszczalne. Dopiero wtedy będziemy mogli być pewni, że policzony rezultat jest poprawny.

Definicja D98
Iloczynem Cauchy'ego szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j }[/math] nazywamy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 }[/math]

W przypadku szeregów, których wyrazy są numerowane od liczby [math]\displaystyle{ 1 }[/math], iloczynem Cauchy'ego szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_j }[/math] nazywamy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k b_{n - k + 1} = a_1 b_n + a_2 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_2 + a_n b_1 }[/math]

Zadanie D99
Niech [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]. Pokazać, że

•    jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (1, 0, 0, 0, 0, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest dowolnym ciągiem, to [math]\displaystyle{ c_n = b_n }[/math]

•    jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (1, 1, 1, 1, 1, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest dowolnym ciągiem, to [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} b_k = B_n }[/math]

•    jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = b_n = {\small\frac{r^n}{n!}} }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}} }[/math]

•    jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (a, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ (a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

•    jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \neq r }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n = b_n }[/math]

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} b_{n - k} = \sum^n_{j = 0} b_j = B_n }[/math]

Punkt 3.

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^k r^{n - k}}{k!(n - k) !}} = {\small\frac{r^n}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{r^n}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}} }[/math]

Punkt 4.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_0 = a_0 b_0 = a b }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = a \cdot r + r \cdot b = (a + b) r }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a_0 b_n + a_n b_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a \cdot r^n + r^n \cdot b + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^k r^{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a + b) r^n + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a + b + n - 1) r^n }[/math]

Zbierając, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ (a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Punkt 5.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_0 = a_0 b_0 = a b }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = a r + b q }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a_0 b_n + a_n b_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a r^n + b q^n + \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} = 0 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ r \neq 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} = r^n \sum_{k = 1}^{n - 1} \left( {\small\frac{q}{r}} \right)^k = r^n \cdot {\small\frac{\left( {\normalsize\frac{q}{r}} \right)^n - {\normalsize\frac{q}{r}}}{{\normalsize\frac{q}{r}} - 1}} = {\small\frac{r q^n - q r^n}{q - r}} }[/math]

Zauważmy, że znaleziony wzór obejmuje również przypadek [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ c_n = a r^n + b q^n + {\small\frac{r q^n - q r^n}{q - r}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = q^n \left( b + {\small\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\small\frac{q}{q - r}} \right) }[/math]

Zbierając, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

□

Przykład D100
Ostatni punkt zadania D99 pozwala stworzyć wiele przykładowych szeregów i ich iloczynów Cauchy'ego. Przypomnijmy, że

[math]\displaystyle{ (a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \quad (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math],  gdzie [math]\displaystyle{ q \neq r }[/math]

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Przykłady zebraliśmy w tabeli.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{b} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{r} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{(c_n)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} a_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} b_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} c_n} }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (-6,0,0,0,0,0,…) }[/math]	zbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-6,0,0,0,0,0,…) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{r - 2q}{r - q}} }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{r}{r - q}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{r ( r - 2q )}{(r - q)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right) }[/math]	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( -8,{\small\frac{1}{3}}, {\small\frac{1}{3^2}}, {\small\frac{1}{3^3}}, {\small\frac{1}{3^4}}, {\small\frac{1}{3^5}}, \ldots \right) }[/math]	zbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( - {\small\frac{7}{9}}, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-3,3,3^2,3^3,3^4,3^5,…) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{4}}, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-2, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-3, 1, 1, 1, 1, 1,\ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (-2,0,0,0,0,0,…) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (0, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{r - 2}{r - 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{r}{r - 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{r ( r - 2 )}{(r - 1)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (0, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( - 3, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny

Przykład D101
Podamy przykład szeregów zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny. Rozważmy zbieżny szereg (zobacz D5)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} = 0.604898643 \ldots \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Mnożąc powyższy szereg przez siebie według reguły Cauchy'ego, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{\sqrt{n - k + 1}}} = (- 1)^n \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} }[/math]

Ale [math]\displaystyle{ k \leqslant n }[/math] i [math]\displaystyle{ n - k \leqslant n }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} \geqslant {\small\frac{1}{\sqrt{(n + 1) (n + 1)}}} = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ | c_n | \geqslant \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n + 1}} = 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n \neq 0 }[/math], to iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny (zobacz D4).

Zadanie D102
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = b_n = r^n }[/math] i [math]\displaystyle{ c_n = (n + 1) r^n }[/math] (zobacz D99 p.3), to szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Sprawdzić, że w przypadku, gdy szeregi te są zbieżne, prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) }[/math]

Rozwiązanie

Zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] łatwo zbadamy, stosując kryterium d'Alemberta.

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{c_{n + 1}}{c_n}} \right| = \left| {\small\frac{(n + 2) r^{n + 1}}{(n + 1) r^n}} \right| = {\small\frac{n + 2}{n + 1}} \cdot | r | \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} | r | }[/math]

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] jest zbieżny, gdy [math]\displaystyle{ | r | < 1 }[/math] i rozbieżny, gdy [math]\displaystyle{ | r | > 1 }[/math], tak samo, jak szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} r^n }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = \pm 1 }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} r^n }[/math] jest rozbieżny, a odpowiednie sumy częściowe szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] są równe

•     gdy [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n = n + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) = {\small\frac{(L + 1) (L + 2)}{2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \infty \qquad \qquad }[/math] (zobacz [a], WolframAlpha)

•     gdy [math]\displaystyle{ r = - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n = (n + 1) (- 1)^n }[/math], [math]\displaystyle{ \quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) (- 1)^n = (- 1)^L \cdot {\small\frac{2 L + 3}{4}} + {\small\frac{1}{4}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \pm \infty \qquad \qquad }[/math] (zobacz D84, WolframAlpha)

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ | r | < 1 }[/math] wiemy, że [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} r^n = {\small\frac{1}{1 - r}} }[/math]. Korzystając z zadania D84, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) r^n = \sum_{n = 0}^{L} n r^n + \sum_{n = 0}^{L} r^n = {\small\frac{L r^{L + 2} - (L + 1) r^{L + 1} + r}{(r - 1)^2}} + {\small\frac{r^{L + 1} - 1}{r - 1}} = {\small\frac{(L + 1) r^{L + 2} - (L + 2) r^{L + 1} + 1}{(r - 1)^2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{(r - 1)^2}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] jest zbieżny, gdy [math]\displaystyle{ | r | < 1 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (n + 1) r^n = 0 }[/math] (zobacz D4). Pokazaliśmy, że w rozważanym przypadku iloczyn sum szeregów jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów.

---

[a] Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k = {\small\frac{1}{2}} \left( \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} k \right) = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{j = 0}^{n} (n - j) \right] = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} (n - k) \right] = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 0}^{n} (k + n - k) = {\small\frac{n}{2}} \sum_{k = 0}^{n} 1 = {\small\frac{n (n + 1)}{2}} }[/math]

□

Uwaga D103
Przykłady D100 i D101 pokazują, że w ogólności nie jest prawdziwy wzór

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) }[/math]

Skoro iloczyn sum szeregów nie zawsze jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów, to musimy ustalić, jakie warunki muszą być spełnione, aby tak było.

Uwaga D104
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Mertensa, zauważmy, że od sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

możemy łatwo przejść do sumowania po liniach poziomych lub po liniach pionowych. Rysunek przedstawia sytuację, gdy [math]\displaystyle{ m = 5 }[/math].

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_6 }[/math]

Przejście do sumowania po liniach poziomych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach poziomych, a druga po kolejnych elementach w [math]\displaystyle{ i }[/math]-tej linii poziomej.

Przejście do sumowania po liniach pionowych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_j b_i }[/math]

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach pionowych, a druga po kolejnych elementach w [math]\displaystyle{ i }[/math]-tej linii pionowej.

Twierdzenie D105 (Franciszek Mertens)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A }[/math] jest zbieżny bezwzględnie, szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B }[/math] jest zbieżny, to ich iloczyn Cauchy'ego [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math], jest zbieżny i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B }[/math].

Dowód

Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] jest zbieżny bezwzględnie, oznaczmy [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A' }[/math]. Niech

[math]\displaystyle{ A_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i \qquad \qquad B_n = \sum_{j = 0}^{n} b_j \qquad \qquad C_n = \sum_{k = 0}^{n} c_k \qquad \qquad \beta_n = B_n - B }[/math]

Przekształcając sumę [math]\displaystyle{ C_m }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ C_m = \sum_{n = 0}^{m} c_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

Przechodzimy od sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych do sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych liniach poziomych (zobacz D104).

[math]\displaystyle{ C_m = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i \sum_{j = 0}^{m - i} b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i B_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i \left( {B + \beta_{m - i}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i B + \sum_{i = 0}^{m} a_i \beta_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = B \sum_{i = 0}^{m} a_i + \sum_{i = 0}^{m} a_i \beta_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = A_m B + \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ C_m - A_m B = \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k} }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ \delta_m = \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k} }[/math]

Oczywiście chcemy pokazać, że [math]\displaystyle{ C_m \longrightarrow A B }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ A_m B \longrightarrow A B }[/math], to wystarczy pokazać, że [math]\displaystyle{ \delta_m \longrightarrow 0 }[/math].

Z założenia [math]\displaystyle{ B_m \longrightarrow B }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \beta_m \longrightarrow 0 }[/math]. Ze zbieżności ciągu [math]\displaystyle{ (\beta_k) }[/math] wynika, że

•    ciąg [math]\displaystyle{ (\beta_k) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ U > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | \beta_k | \leqslant U }[/math] (zobacz C10)

•    dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 > 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (\beta_k) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | \beta_k | < \varepsilon_1 }[/math] (zobacz C5, C7)

Możemy przyjąć, że warunek [math]\displaystyle{ | \beta_k | < \varepsilon_1 }[/math] spełniają wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ M = M (\varepsilon_1) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ m > M }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ | \delta_m | \leqslant \sum_{k = 0}^{M} | \beta_k | | a_{m - k} | + \sum_{k = M + 1}^{m} | \beta_k | | a_{m - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; < U (| a_m | + \ldots + | a_{m - M} |) + \varepsilon_1 \sum_{k = M + 1}^{m} | a_{m - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; < U (| a_{m - M} | + \ldots + | a_m |) + \varepsilon_1 A' }[/math]

Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] jest zbieżny, zatem musi być [math]\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow \infty} a_m = 0 }[/math] (zobacz D4). Czyli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 > 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon_2 }[/math]. Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N = N (\varepsilon_2) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ m > M + N }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | \delta_m | < U (| a_{m - M} | + \ldots + | a_m |) + \varepsilon_1 A' }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; < \varepsilon_2 (M + 1) U + \varepsilon_1 A' }[/math]

Prawa strona nierówności jest dowolnie mała. Przykładowo dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] wystarczy wybrać [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 = {\small\frac{\varepsilon / 2}{A'}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 = {\small\frac{\varepsilon / 2}{(M + 1) U}} }[/math], aby otrzymać [math]\displaystyle{ | \delta_m | < \varepsilon }[/math] dla wszystkich [math]\displaystyle{ m > M + N }[/math]. Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ \delta_m }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | \delta_m | < \varepsilon }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow \infty} \delta_m = 0 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie D106
Pokazać, że iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwiązanie

Z założenia szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j }[/math] są bezwzględnie zbieżne, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A' \qquad \qquad \sum^{\infty}_{j = 0} | b_j | = B' }[/math]

Zauważmy, że suma [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | }[/math] obejmuje [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] przekątnych. Łatwo możemy przejść od sumowania po kolejnych przekątnych do sumowana po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych liniach poziomych (zobacz D104).

[math]\displaystyle{ C'_m = \sum_{n = 0}^{m} | c_n | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{n = 0}^{m} \left| \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \leqslant \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k b_{n - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} | a_i | | b_j | \qquad \qquad }[/math] (zmieniliśmy sposób sumowania)

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} | a_i | \sum_{j = 0}^{m - i} | b_j | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \leqslant A' B' }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ C'_m }[/math] jest rosnący (bo sumujemy wartości nieujemne) i ograniczony od góry, to jest zbieżny.
□

Zadanie D107
Podać przykład szeregów zbieżnych, z których tylko jeden jest bezwzględnie zbieżny i których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

Rozwiązanie

Zauważmy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^i}{2^i}} = {\small\frac{2}{3}} }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, bo [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2^i}} = 2 }[/math] jest zbieżny. Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2 }[/math] jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza (zobacz D5), ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz D48, D50 p.1, B34).

Zatem na podstawie twierdzenia Mertensa iloczyn Cauchy'ego tych szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{2^k}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (- 1)^n \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}} }[/math]

jest zbieżny. Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ | c_n | = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{1}{n + 1}} + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \geqslant {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math] jest rozbieżny i

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant | c_n | }[/math]

to na mocy kryterium porównawczego (zobacz D11) szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | c_n | }[/math] jest rozbieżny. Co należało pokazać.
□

Zadanie D108
Podać przykład szeregów warunkowo zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

Rozwiązanie

Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2 }[/math] jest warunkowo zbieżny (zobacz D5, D48, D50 p.1, B34). Iloczyn Cauchy'ego dwóch takich szeregów jest równy [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (- 1)^n \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(n - k + 1) + (k + 1)}{(k + 1) (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} + {\small\frac{1}{n - k + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \left( \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} + \sum_{j = 0}^{n} {\small\frac{1}{j + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{2 (- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

Ponieważ (zobacz D48)

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n }[/math]

to

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot \log (n + 2) < | c_n | < {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot (1 + \log (n + 1)) }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0 }[/math]. Pokażemy teraz, że ciąg [math]\displaystyle{ (| c_n |) }[/math] jest ciągiem malejącym.

[math]\displaystyle{ | c_n | - | c_{n - 1} | = {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} + \left( {\small\frac{2}{n + 2}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \right) \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} - {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; \leqslant 0 }[/math]

Bo [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} \geqslant 1 }[/math]. Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (| c_n |) }[/math] jest malejący i zbieżny do zera, to z kryterium Leibniza (zobacz D5) szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^n | c_n | }[/math] jest zbieżny. Zauważmy jeszcze, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant {\small\frac{2 \log (n + 2)}{n + 2}} < | c_n | }[/math]

Zatem na podstawie kryterium porównawczego (zobacz D11) szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | c_n | }[/math] jest rozbieżny.
□

Uwaga D109
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Abela, musimy udowodnić trzy twierdzenia dotyczące pewnych granic. Warto zauważyć, że twierdzenie D111 pozwala przypisać wartość sumy do szeregów, których suma w zwykłym sensie nie istnieje. Uogólnienie to nazywamy sumowalnością w sensie Cesàro. Nie będziemy zajmowali się tym tematem, ale podamy ciekawy przykład.

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i }[/math]. Sumy częściowe tego szeregu wynoszą [math]\displaystyle{ S_k = {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}} }[/math] i tworzą ciąg rozbieżny, ale ciąg kolejnych średnich arytmetycznych dla ciągu [math]\displaystyle{ (S_k) }[/math] jest równy

[math]\displaystyle{ x_n = {\small\frac{S_0 + \ldots + S_n}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}} = {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1 + (- 1)^n}{4 (n + 1)}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad }[/math] (WolframAlfa)

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i }[/math] jest sumowalny w sensie Cesàro i jego suma jest równa [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Twierdzenie D110
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0 }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math]. Ze zbieżności ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] wynika, że

•    ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ U > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_k | \leqslant U }[/math] (zobacz C10)

•    dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon }[/math] (zobacz C5, C7)

Możemy przyjąć, że warunek [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon }[/math] spełniają wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N = N (\varepsilon) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = {\small\frac{| a_0 | + \ldots + | a_N | + |a_{N + 1} | + \ldots + | a_n |}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} + {\small\frac{\varepsilon (n - N)}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} + \varepsilon }[/math]

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] może być dowolnie duża, to wyrażenie [math]\displaystyle{ {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} }[/math] może być dowolnie małe. W szczególności warunek

[math]\displaystyle{ {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} < \varepsilon }[/math]

jest spełniony dla [math]\displaystyle{ n > {\small\frac{U (N + 1)}{\varepsilon}} - 1 }[/math] i otrzymujemy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | < 2 \varepsilon }[/math]

dla wszystkich [math]\displaystyle{ n > \max \left( N, {\small\frac{U (N + 1)}{\varepsilon}} - 1 \right) }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D111
Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, to ciąg kolejnych średnich arytmetycznych [math]\displaystyle{ x_n = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}} }[/math] jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g }[/math]

Z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ x_n - g = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}} - g = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n - (n + 1) g}{n + 1}} = {\small\frac{(a_0 - g) + \ldots + (a_n - g)}{n + 1}} = {\small\frac{a_0 - g}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{a_n - g}{n + 1}} }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant | x_n - g | \leqslant {\small\frac{| a_0 - g |}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{| a_n - g |}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k - g | }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math], z twierdzenia D110 i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C11) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | x_n - g | = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g }[/math] (zobacz C9 p.2). Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D112
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] będą zbieżnymi ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b }[/math].

Dowód

1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0} }[/math]

Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest zbieżny, to jest ograniczony (zobacz C10), czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ U > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | b_k | \leqslant U }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | \leqslant {\small\frac{U}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math], z twierdzenia D110 i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C11) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) = 0 }[/math] (zobacz C9 p.2).

2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ x_n = a_n - a }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0 }[/math]. Podstawiając, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum^n_{k = 0} (a + x_k) b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a b_{n - k} + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = a \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{j = 0}^{n} b_j + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \longrightarrow \infty }[/math], z twierdzenia D111 i udowodnionego wyżej przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D113 (Niels Henrik Abel)
Jeżeli szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B }[/math] są zbieżne i ich iloczyn Cauchy'ego [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math], jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B }[/math].

Dowód

Będziemy stosowali następujące oznaczenia

[math]\displaystyle{ A_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i \qquad \qquad \;\, B_n = \sum_{i = 0}^{n} b_i \qquad \qquad \;\; C_n = \sum_{i = 0}^{n} c_i }[/math]

Z założenia szeregi są zbieżne, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} A_n = A \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} B_n = B \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} C_n = C }[/math]

Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} c_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

Od sumowania wyrazów [math]\displaystyle{ a_k b_{n - k} }[/math] po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych liniach poziomych (zobacz D104).

[math]\displaystyle{ \sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} a_i \sum^{m - i}_{j = 0} b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} a_i B_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{k = 0}^{m} a_k B_{m - k} }[/math]

Od sumowania wyrazów [math]\displaystyle{ a_k B_{m - k} }[/math] po [math]\displaystyle{ L + 1 }[/math] kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po [math]\displaystyle{ L + 1 }[/math] kolejnych liniach pionowych (zobacz D104).

[math]\displaystyle{ \sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{i = 0}^{L} \sum_{j = 0}^{L - i} a_j B_i }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{i = 0}^{L} B_i \sum_{j = 0}^{L - i} a_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{m = 0}^{L} C_m = {\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ L \longrightarrow \infty }[/math], z twierdzeń D111 i D112 otrzymujemy [math]\displaystyle{ C = A B }[/math]. Co należało pokazać.
□

Liczby Catalana

Definicja D114
Liczby Catalana [math]\displaystyle{ C_n }[/math] definiujemy wzorem

[math]\displaystyle{ C_n = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].

Twierdzenie D115
Liczby Catalana [math]\displaystyle{ C_n }[/math] mają następujące własności

•    [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami całkowitymi dodatnimi

•    [math]\displaystyle{ C_n = {\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ C_{n + 1} = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}} C_n }[/math]

•    [math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Twierdzenie jest prawdziwe dla początkowych wartości [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math], bo [math]\displaystyle{ (C_n) = (1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, \ldots) }[/math]. W ogólności wystarczy zauważyć, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ {\small\binom{2 n}{n + 1}} = {\small\frac{(2 n) !}{(n + 1) ! (n - 1) !}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{n}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} < {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\binom{2 n}{n}} - {\small\binom{2 n}{n + 1}} = {\small\binom{2 n}{n}} - {\small\frac{n}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ C_n }[/math] jest liczbą całkowitą większą od zera.

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{2 n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) !}{n! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{2 n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}} = {\small\frac{1}{n}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{(n - 1) ! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n }[/math]

Punkt 3.

[math]\displaystyle{ {\small\frac{C_{n + 1}}{C_n}} = {\small\frac{1}{n + 2}} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) ! (n + 1) !}} \cdot (n + 1) \cdot {\small\frac{n!n!}{(2 n) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{n + 2}} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) (2 n + 1)}{(n + 1)^2}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} \cdot (n + 1) \cdot {\small\frac{n!n!}{(2 n) !}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}} }[/math]

Punkt 4.

Dowód tego punktu został umieszczony w Uzupełnieniu (zobacz D140).
□

Zadanie D116
Niech [math]\displaystyle{ C_n }[/math] oznacza [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą liczbę Catalana i niech [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] oznacza szereg, który otrzymujemy, mnożąc szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] przez siebie według reguły Cauchy'ego. Pokazać, że

•    jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = C_n }[/math],  to  [math]\displaystyle{ x_n = C_{n + 1} }[/math]

•    jeżeli [math]\displaystyle{ a_0 = \alpha }[/math] i [math]\displaystyle{ a_n = r^{n - 1} C_{n - 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math],  to  [math]\displaystyle{ x_0 = \alpha^2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_1 = 2 \alpha C_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_n = (1 + 2 \alpha r) r^{n - 2} C_{n - 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]

Dla jakich wartości [math]\displaystyle{ \alpha, r }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] jest zbieżny?

Rozwiązanie

Punkt 2.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x_0 = a_0 a_0 = \alpha^2 }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x_1 = a_0 a_1 + a_1 a_0 = 2 a_0 a_1 = 2 \alpha C_0 }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ x_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k a_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = a_0 a_n + a_n a_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k a_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 a_0 a_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^{k - 1} C_{k - 1} \cdot r^{n - k - 1} C_{n - k - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} \sum_{k = 1}^{n - 1} C_{k - 1} C_{n - k - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} \sum_{j = 0}^{n - 2} C_j C_{n - 2 - j} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} C_{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = r^{n - 2} C_{n - 1} (1 + 2 \alpha r) }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} = \frac{{\normalsize\frac{1}{n + 1}} {\normalsize\binom{2 n}{n}}}{{\normalsize\frac{1}{n}} {\normalsize\binom{2 n - 2}{n - 1}}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n (2 n - 1) (2 n - 2) !}{n^2 [(n - 1) !]^2}} \cdot {\small\frac{[(n - 1) !]^2}{(2 n - 2) !}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n (2 n - 1)}{n^2}} = {\small\frac{2 (2 n - 1)}{n + 1}} }[/math]

Z kryterium d'Alemberta dla szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] i szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = \left| {\small\frac{r^n C_n}{r^{n - 1} C_{n - 1}}} \right| = | r | \cdot {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} = | r | \cdot {\small\frac{2 (2 n - 1)}{n + 1}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 4 | r | }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_{n + 1}}{x_n}} \right| = \left| {\small\frac{r^{n - 1} C_n (1 + 2 \alpha r)}{r^{n - 2} C_{n - 1} (1 + 2 \alpha r)}} \right| = | r | \cdot {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 4 | r | }[/math]

Zatem szeregi te są bezwzględnie zbieżne w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ | r | < {\small\frac{1}{4}} }[/math]. W szczególności dla [math]\displaystyle{ \alpha = - {\small\frac{1}{2 r}} }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] zawsze będzie zbieżny, bo od trzeciego wyrazu będzie się składał z samych zer. Wiemy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = {\small\frac{1}{4}} }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{C_n}{4^n}} = 2 }[/math] jest zbieżny.
□

Sumy współczynników dwumianowych

Twierdzenie D117
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{R} }[/math] prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Ze wzoru dwumianowego natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (1 + r)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} r^k }[/math]

Punkt 2.

Całkując obie strony wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int^r_0 (1 + x)^n d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \int^r_0 x^k d x }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]

Punkt 3.

Obliczając pochodną każdej ze stron wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n (1 + x)^{n - 1} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k x^{k - 1} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], dostajemy dowodzony wzór.

Punkt 4.

Obliczając drugą pochodną każdej ze stron wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n(n - 1) (1 + x)^{n - 2} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k (k - 1) x^{k - 1} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ n(n - 1) 2^{n - 2} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k (k - 1) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} - \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} - n 2^{n - 1} }[/math]

Skąd natychmiast wynika dowodzony wzór.
□

Twierdzenie D118
Dla [math]\displaystyle{ n, m \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + m + 1}{n}} }[/math]

Dowód

Ze wzoru Pascala

[math]\displaystyle{ {\small\binom{a}{k}} = {\small\binom{a - 1}{k}} + {\small\binom{a - 1}{k - 1}} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\binom{a - 1}{k}} = {\small\binom{a}{k}} - {\small\binom{a - 1}{k - 1}} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ a = n + k + 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n + k}{k}} = {\small\binom{n + k + 1}{k}} - {\small\binom{n + k}{k - 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}} }[/math]

Wykorzystując powyższy wzór, łatwo pokazujemy, że (zobacz D15)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = 1 + \sum_{k = 1}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{m} \left[ {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 - \sum_{k = 1}^{m} \left[ {\small\binom{n + k}{n + 1}} - {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 - \left[ 1 - {\small\binom{n + m + 1}{n + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\binom{n + m + 1}{n}} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Suma nieoznaczona

Uwaga D119
Sumą nieoznaczoną (lub antyróżnicą) funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], będziemy nazywali dowolną funkcję [math]\displaystyle{ F(k) }[/math] taką, że

[math]\displaystyle{ F(k + 1) - F (k) = f (k) }[/math]

Łatwo zauważamy, że istnieje cała rodzina funkcji [math]\displaystyle{ F(k) }[/math], bo jeżeli [math]\displaystyle{ F (k) }[/math] jest sumą nieoznaczoną, to [math]\displaystyle{ F (k) + C }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C }[/math] jest stałą, również jest sumą nieoznaczoną. W szczególności

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = \sum_{k = a}^{b} (F (k + 1) - F (k)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - \sum_{k = a}^{b} (F (k) - F (k + 1)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - ( F (a) - F (b + 1) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = F (b + 1) - F (a) }[/math]

Co przez analogię do całki nieoznaczonej możemy zapisać jako

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = F (k) \biggr\rvert_{a}^{b + 1} \qquad \qquad \qquad ( 1 ) }[/math]

Należy podkreślić różnicę między sumą oznaczoną [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] a sumą nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(k) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ f(k) = k^2 }[/math]. Oczywiście

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ F(k) = {\small\frac{1}{6}} (k - 1) k (2 k - 1) }[/math]

Ponieważ dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] prawdziwy jest związek [math]\displaystyle{ S(n + 1) - S (n) = f (n + 1) }[/math], to otrzymujemy [math]\displaystyle{ F(k) = S (k - 1) }[/math]. Weźmy kolejny przykład, niech [math]\displaystyle{ f(k) = r^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r }[/math] jest stałą. Mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} r^k = {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

ale

[math]\displaystyle{ F(k) = {\small\frac{r^k}{r - 1}} }[/math]

i nie jest prawdą, że [math]\displaystyle{ F(k) = S (k - 1) }[/math], bo pominięty został wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{- 1}{r - 1}} }[/math], który jest stałą, ale jest to zrozumiałe.

Niech teraz [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]. Wiemy, że (zobacz D118)

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

Tym razem otrzymujemy zupełnie inne wyniki: suma [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] nie zależy od dwóch zmiennych, bo jest to niemożliwe, a suma nieoznaczona nadal zależy od [math]\displaystyle{ k }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] musi być prawdziwy wzór [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

Uwaga D120
Powiedzmy, że dysponujemy wzorem [math]\displaystyle{ S(b) = \sum_{k = a}^{b} f (k) }[/math] i chcemy udowodnić jego poprawność. W prostych przypadkach możemy wykorzystać indukcję matematyczną: wystarczy pokazać, że

[math]\displaystyle{ S(k + 1) = S (k) + f (k + 1) }[/math]

Jeżeli już udało nam się pokazać związek [math]\displaystyle{ f(k) = S (k) - S (k - 1) }[/math], to równie dobrze możemy zamienić sumę na sumę teleskopową (zobacz D15), aby otrzymać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) = \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k) - S (k - 1) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k - 1) - S (k) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - ( S (a) - S (b) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = S (b) - S (a) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ S(b) = \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) + S (a) = \sum_{k = a}^{b} f (k) }[/math]

bo [math]\displaystyle{ S(a) = f (a) }[/math].

W przypadkach bardziej skomplikowanych nie możemy tak postąpić. W poprzedniej uwadze rozważaliśmy sumę

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

ale

[math]\displaystyle{ S(n) - S (n - 1) = {\small\frac{3 n + 1}{2 (n + 1)}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

I nie da się pokazać związku [math]\displaystyle{ S(k) - S (k - 1) = f (n, k) }[/math], bo różnica [math]\displaystyle{ S(k) - S (k - 1) }[/math] nie zależy od [math]\displaystyle{ n }[/math].

Tutaj z pomocą przychodzi nam suma nieoznaczona. W programie Maxima możemy ją policzyć, wpisując polecenia

load ("zeilberger");
AntiDifference(binomial(n+k, n), k);

Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

i

[math]\displaystyle{ S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

Podsumujmy. Jakkolwiek znalezienie ogólnego wzoru na sumę [math]\displaystyle{ S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) }[/math] może być bardzo trudne, to udowodnienie poprawności tego wzoru może być znacznie łatwiejsze (metodą indukcji matematycznej lub obliczając sumę teleskopową). Podobnie jest w bardziej skomplikowanym przypadku, gdy szukamy ogólnego wzoru na sumę [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Tutaj wymienionych przed chwilą metod zastosować nie można, a znalezienie wzoru na sumę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] może być jeszcze trudniejsze, ale gdy już taki wzór mamy, to sprawdzenie jego poprawności, czyli związku [math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k) }[/math], może być bardzo łatwe, a wtedy otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

Zadanie D121
Korzystając z programu Maxima znaleźć sumę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] dla funkcji

[math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

i pokazać, że prawdziwy jest wzór [math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami Catalana.

Rozwiązanie

Wpisując w programie Maxima polecenia

load ("zeilberger");
AntiDifference( 1/(k+1) * 1/(n-k+1) * binomial(2*k, k) * binomial(2*n-2*k, n-k), k);

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ F(n, k) = - {\small\frac{(n - 2 k + 1) (2 n - 2 k + 1)}{(n + 1) (n + 2) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k)}{n - k}} }[/math]

Czytelnik bez trudu pokaże, że

[math]\displaystyle{ F(n, k + 1) = - {\small\frac{(2 k + 1) (n - 2 k - 1)}{(n + 1) (n + 2) (k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

oraz łatwo sprawdzi związek [math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k) }[/math] i wyliczy sumę oznaczoną.

Chcemy zwrócić uwagę na występującą tutaj trudność. Oczywiście

[math]\displaystyle{ S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

ale funkcja [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] nie jest określona dla [math]\displaystyle{ k = n + 1 }[/math]. Żeby ominąć ten problem, możemy przekształcić funkcję [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] tak, aby możliwe było obliczenie jej wartości dla [math]\displaystyle{ k = n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ F(n, k) = - {\small\frac{n - 2 k + 1}{2 (n + 1) (n + 2)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k + 1)}{n - k + 1}} }[/math]

lub zapisać sumę w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n - 1} f (n, k) + f (n, n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n} + f (n, n) }[/math]

□

Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S(n)} }[/math]

Uwaga D122
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

W twierdzeniach D138 i D139 wyliczyliśmy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math], znajdując najpierw równanie rekurencyjne dla sumy. Możemy przypuszczać, że równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] wynika z istnienia odpowiedniego równania rekurencyjnego dla składników sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math]. Zagadnieniem tym zajmowała się siostra Mary Celine Fasenmyer, która podała algorytm postępowania. Prace Zeilbergera oraz Wilfa i Zeilbergera uogólniły ten algorytm. My przedstawimy jedynie kilka prostych przypadków, które zilustrujemy przykładami. Szersze omówienie tematu Czytelnik znajdzie w książce Petkovšeka, Wilfa i Zeilbergera.

Twierdzenie D123
Niech [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Jeżeli składniki sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] spełniają równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0 }[/math]

gdzie współczynniki [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] są funkcjami tylko [math]\displaystyle{ n }[/math], to suma [math]\displaystyle{ S (n) }[/math] spełnia równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0 }[/math]

Dowód

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n + 1, k + 1) = \sum_{j = 1}^{n + 1} f (n + 1, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - f (n + 1, 0) + \sum^{n + 1}_{j = 0} f (n + 1, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - f (n + 1, 0) + S (n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n + 1, k) = - f (n + 1, n + 1) + \sum_{k = 0}^{n + 1} f (n + 1, k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (n + 1, n + 1) + S (n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n, k + 1) = \sum_{j = 1}^{n + 1} f (n, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (n, 0) + f (n, n + 1) + \sum_{j = 0}^{n} f (n, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (n, 0) + f (n, n + 1) + S (n) }[/math]

Zatem sumując założone równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0 }[/math]

po [math]\displaystyle{ k }[/math] od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot [- f (n + 1, 0) + S (n + 1)] + b \cdot [- f (n + 1, n + 1) + S (n + 1)] + c \cdot [- f (n, 0) + f (n, n + 1) + S (n)] + d \cdot S (n) = 0 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ (a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga D124
Nie ma sensu stosowanie opisanej powyżej metody do prostych sum postaci [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (k) }[/math], bo równanie rekurencyjne otrzymujemy w takim przypadku natychmiast: [math]\displaystyle{ S(n + 1) - S (n) = f (n + 1) }[/math].

Zadanie D125
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D118)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

Rozwiązanie

W tym przypadku nie otrzymamy równania rekurencyjnego, ale od razu wzór ogólny na sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math].

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D123)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{(n + k + 1) (n + k + 2)}{(k + 1) (n + 1)}} + b \cdot {\small\frac{n + k + 1}{n + 1}} + c \cdot {\small\frac{n + k + 1}{k + 1}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (a + b) k^2 + ((2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d) k + (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 0 \\ (2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d = 0 \\ (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = - a }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a }[/math], [math]\displaystyle{ d = 0 }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D123)

[math]\displaystyle{ - a S (n) = a - a {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - a \left( 1 - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - a \left[ {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - a {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

I otrzymaliśmy dowodzony wzór.

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum1() := 
(
f(n, k):= binomial(n+k, n),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2 ),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
solve( S4 = 0, S[n] )
/*     S[n] = (2*n+1)! / (n! * (n+1)!)     */
)$

□

Zadanie D126
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D117 p.1)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = r^k {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D123)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{(n + 1) r}{k + 1}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{(n - k) r}{k + 1}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (c r - d) k^2 + (- ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b) k + ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} c r - d = 0 \\ - ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b = 0 \\ ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a }[/math], [math]\displaystyle{ d = - a \cdot r }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D123)

[math]\displaystyle{ S(n + 1) = (r + 1) S (n) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = (r + 1)^n }[/math].

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum2() := 
(
f(n, k):= r^k * binomial(n, k),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
/*     S[n+1] = (r+1)*S[n]     */
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0, S[n] )        /*   S[n] = C*(r+1)^n   */
)$

□

Zadanie D127
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D117 p.2)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D123)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{n + 1}{k + 2}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{n - k}{k + 2}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (c - d) k^2 + ((- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d) k + (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} c - d = 0 \\ (- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d = 0 \\ (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}} }[/math], [math]\displaystyle{ d = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}} }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D123)

[math]\displaystyle{ (n + 2) S (n + 1) = 2 (n + 1) S (n) + 1 }[/math]

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math].

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum3() := 
(
f(n, k):= 1/(k+1) * binomial(n, k),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i)=0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
/*       (n+2)*S[n+1] = 2*(n+1)*S[n] + 1     */
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0, S[n] )        /*   S[n] = ( (C+1) * 2^n - 1 )/(n + 1)   */
)$

□

Zadanie D128
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Uzasadnić, dlaczego przyjmujemy, że [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ k > n }[/math].

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszmy [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{k!}} }[/math]

to natychmiast widzimy, że prawa strona musi być równa zero dla [math]\displaystyle{ k > n }[/math].

Jeżeli we wzorze Pascala

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = {\small\binom{n - 1}{k}} + {\small\binom{n - 1}{k - 1}} }[/math]

położymy [math]\displaystyle{ n = m + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math], to otrzymamy

[math]\displaystyle{ 1 = 1 + {\small\binom{m}{- 1}} }[/math]

czyli [math]\displaystyle{ {\small\binom{m}{- 1}} = 0 }[/math]

I tak samo dla wszystkich [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math].

Znacznie mocniejszego uzasadnienia dostarczy nam funkcja gamma (zobacz D141), która jest uogólnieniem silni na liczby rzeczywiste. Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ g(n, x) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ 0 \leqslant k \leqslant n }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ g(n, k) }[/math] jest równa współczynnikowi dwumianowemu [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math].

[math]\displaystyle{ g(n, k) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (k + 1) \Gamma (n - k + 1)}} = {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\binom{n}{k}} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow k} g (n, x) = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} \cdot \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (n - x + 1)}} = 0 \cdot {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (n - k + 1)}} = 0 }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ k > n }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow k} g (n, x) = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1)}} \cdot \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{1}{\Gamma (n - x + 1)}} = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (k + 1)}} \cdot 0 = 0 }[/math]

Co najlepiej wyjaśnia, dlaczego przyjmujemy, że [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ k > n }[/math].
□

Twierdzenie D129
Niech [math]\displaystyle{ n, I, J \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math] i składniki sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] spełniają równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0 }[/math]

gdzie współczynniki [math]\displaystyle{ a_{i j} }[/math] są funkcjami tylko [math]\displaystyle{ n }[/math], to suma

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

spełnia następujące równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math], zatem sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n, k) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i \leqslant I }[/math] oraz [math]\displaystyle{ 0 \leqslant j \leqslant J }[/math]. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ f(n + i, k + j) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [- J, n + I] }[/math], bo

•    dla [math]\displaystyle{ k < - J }[/math] mamy [math]\displaystyle{ k + j < - J + j \leqslant 0 }[/math]
•    dla [math]\displaystyle{ k > n + I }[/math] mamy [math]\displaystyle{ k + j > n + I + j \geqslant n + I \geqslant n + i }[/math]

Wynika stąd, że rozszerzając rozpatrywaną sumę na cały zbiór liczb całkowitych, nie zmienimy wartości sumy. Czyli, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n + i, k + j) }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 = \sum_{k = - J}^{n + I} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) \, }[/math]^[a]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n + i, k + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum^{+ \infty}_{l = - \infty} f (n + i, l) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot S (n + i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] }[/math]

Co należało pokazać.

---

[a] W przypadku wielokrotnych sum skończonych możemy dowolnie zmieniać ich kolejność ze względu na łączność dodawania.
□

Uwaga D130
Z zadania D128 wynika, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] zawiera czynnik [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math], to może spełniać warunek [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math]. Oczywiście nie jest to warunek wystarczający, bo funkcja [math]\displaystyle{ f (n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math] jest różna od zera dla [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math].

Zadanie D131
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D117 p.3)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = k {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Do rozwiązania problemu wykorzystamy oprogramowanie Maxima i procedurę

sum5(I, J) := 
(
read("podaj definicję f(n, k)"),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n, k) ),
F1: sum( sum( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( F1 ) ) ) ) ),
deg: hipow(F2, k),
LE:  [subst(0, k, F2) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F2, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: create_list(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J),   /* lista zmiennych */
sol: solve( LE, LV ),   /* lista rozwiązań */
S1: sum( S[n+i] * sum(a[i,j], j, 0, J), i, 0, I),
S2: subst( sol[1], S1 ),   /* pierwszy element listy sol */
S3: num( factor( expand( S2 ) ) ),
print("rekurencja: ", S3 = 0),
load("solve_rec"),
solve_rec( S3 = 0,  S[n] )
)$

Wywołujemy procedurę sum5(1, 2) i wpisujemy funkcję

f(n, k):= k * binomial(n, k)

W wyniku otrzymujemy równanie rekurencyjne

n * S[n+1] = 2 * (n+1) * S[n]

którego rozwiązanie jest postaci

S[n] = C * n * 2^(n-1)

Łatwo sprawdzamy, że C = 1. Co należało pokazać.
□

Zadanie D132
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}} = n^2 (n + 3) 2^{n - 3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}}^2 = n^2 {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n^2 (n + 1) {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Wskazówki:

Korzystamy z procedury sum5(), której kod został podany w zadaniu D131.

Zawsze próbujemy znaleźć rozwiązanie dla najmniejszych wartości parametrów I, J.

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot n! \cdot {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

Punkt 1. sum5(1, 2), zobacz też sum5(2, 1)

Punkt 2. sum5(1, 3), zobacz też sum5(2, 2)

Punkt 3. sum5(2, 2)

Punkt 4. sum5(2, 2)

Punkt 5. sum5(2, 2)

Punkt 6. sum5(2, 3), zobacz też sum5(3, 2)
□

Uwaga D133
Niech [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Wiemy (zobacz D129), że jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ n }[/math] wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] jest określona dla wszystkich [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math], to sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] możemy zapisać w równoważnej postaci [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) }[/math]

Rozważmy teraz funkcję [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math], która powyższego warunku nie spełnia, bo jest różna od zera dla [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]. Jeżeli zapiszemy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n!}{(k + 1) ! (n - k) !}} }[/math]

to natychmiast widzimy, że

[math]\displaystyle{ f(n, - 1) = {\small\frac{n!}{0! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Zatem w przypadku tej funkcji mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) + f (n, - 1) = S (n) + {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Zakładając, że spełnione jest równanie

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0 }[/math]

otrzymujemy następujące równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n + i, k + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{l \in \mathbb{Z}} f (n + i, l) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Jeżeli mamy skończoną liczbę punktów [math]\displaystyle{ k_r \notin [0, n] }[/math], w których funkcja [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] jest określona i różna od zera, to możemy zdefiniować funkcję

[math]\displaystyle{ T(n) = f (n, k_1) + f (n, k_2) + f (n, k_3) + \ldots = \sum_r f (n, k_r) }[/math]

W takim przypadku otrzymamy następujące równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} [S (n + i) + T (n + i)] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Wystarczy drobna modyfikacja procedury sum5(), aby obejmowała ona również takie przypadki

sum6(I, J):= 
(
read("podaj definicję f(n, k)"),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n, k) ),
read("podaj definicję T(n)"),   /* suma skończonych wartości funkcji f(n, k), gdzie k<0 lub k>n */
print("T(n) = ", T(n) ),
F1: sum( sum( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( F1 ) ) ) ) ),
deg: hipow(F2, k),
LE:  [subst(0, k, F2) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F2, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: create_list(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J),   /* lista zmiennych */
sol: solve( LE, LV ),   /* lista rozwiązań */
S1: sum( ( S[n+i] + T(n+i) ) * sum( a[i,j], j, 0, J ), i, 0, I ),
S2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( S1 ) ) ) ) ),
S3: subst( sol[1], S2 ),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0,  S[n] )
)$

Korzystając z powyższej procedury, Czytelnik może łatwo policzyć wypisane poniżej sumy.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,k)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,-1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,-2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{k = 0}^n f(n,k)} }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]	LINK1
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k + 2}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n 2^{n + 1} + 1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	LINK2
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(k + 1) (k + 2)}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{n + 2} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	LINK3

Zadanie D134
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math] (zobacz zadanie D146). Zatem korzystając z procedury sum6(2, 1), otrzymujemy równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (n + 2) S (n + 2) - 4 (2 n + 3) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) = 0 }[/math]

i rozwiązanie

[math]\displaystyle{ S(n) = C \cdot 4^n }[/math]

Łatwo sprawdzamy, że [math]\displaystyle{ C = 1 }[/math].
□

Zadanie D135
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math] (zobacz D146) poza punktem [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]. Wiemy, że (zobacz D147)

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = - {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ f(n, - 1) = - {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Korzystając z procedury sum6(2, 1), otrzymujemy równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (n^2 + 5 n + 6) S (n + 2) - 8 (n^2 + 4 n + 4) S (n + 1) + 16 (n^2 + 3 n + 2) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{[(n + 1) !]^2}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 2) (n + 3) S (n + 2) - 8 (n + 2)^2 S (n + 1) + 16 (n + 1) (n + 2) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{[(n + 1) !]^2}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 3) S (n + 2) - 8 (n + 2) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) ! (n + 2) !}} = 0 }[/math]

Maxima nie potrafi rozwiązać tego równania rekurencyjnego, ale można sprawdzić, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math] jest jego rozwiązaniem.
□

Uzupełnienie

 

Dowód własności liczb Catalana [math]\displaystyle{ {\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}} }[/math]

Uwaga D136
Przedstawiony poniżej dowód czwartego punktu twierdzenia D115 został oparty na pracy Jovana Mikicia.

Twierdzenie D137
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] nie zależy od [math]\displaystyle{ n }[/math] i dane są sumy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math]

Dowód

Z definicji sumy [math]\displaystyle{ T(n) }[/math] ostatni wyraz tej sumy jest równy zero, zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} (n - k) f (k) \cdot {\small\frac{(2 n - 2 k) (2 n - 2 k - 1)}{(n - k)^2}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} 2 (2 n - 2 k - 1) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} [4 (n - 1 - k) + 2] f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D138
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n }[/math]

Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{j = 0}^{n} j {\small\binom{2 n - 2 j}{n - j}} {\small\binom{2 j}{j}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} {\small\binom{2 k}{k}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 0}^{n} (n - k + k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{n}{2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{n S (n)}{2}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ T(n) = {\small\frac{n S (n)}{2}} }[/math] i [math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math] (zobacz D137), to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{n S (n)}{2}} = 4 \cdot {\small\frac{(n - 1) S (n - 1)}{2}} + 2 S (n - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ n S (n) = 4 n S (n - 1) - 4 S (n - 1) + 4 S (n - 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = 4 S (n - 1) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = 4^n }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D139
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Dowód

Oznaczmy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n - k}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n - k}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n + 1 - (k + 1)}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = (n + 1) \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} - \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = (n + 1) S (n) - 4^n }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ T(n) = (n + 1) S (n) - 4^n }[/math] i [math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math] (zobacz D137), to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (n + 1) S (n) - 4^n = 4 \cdot (n S (n - 1) - 4^{n - 1}) + 2 S (n - 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) S (n) - 4^n = 4 n S (n - 1) - 4^n + 2 S (n - 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 1}} S (n - 1) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ S(0) = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2}{1}} = 1 }[/math]. Zatem wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 1}} S (n - 1) = {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(n + 1)^2}{(2 n + 1) (2 n + 2)}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) (2 n + 2)}{(n + 1)^2}} \cdot {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = S (n) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D140
Jeżeli [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami Catalana, to

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math]

Dowód

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} + {\small\frac{1}{n - k + 1}} \right) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n - k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{j = 0}^{n} {\small\frac{1}{j + 1}} {\small\binom{2 n - 2 j}{n - j}} {\small\binom{2 j}{j}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = C_{n + 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Funkcja gamma [math]\displaystyle{ {\small \Gamma (z)} }[/math]

 

Definicja D141
Funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] jest zdefiniowana równoważnymi wzorami

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t \qquad \operatorname{Re}(z) > 0 \qquad \qquad }[/math] (definicja całkowa Eulera)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja Gaussa)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja iloczynowa Eulera)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja iloczynowa Weierstrassa)

Trzy ostatnie wzory możemy wykorzystać do zdefiniowania funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} }[/math], która jest określona dla dowolnych [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}{n^z n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z e^{\gamma z} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) e^{- \tfrac{z}{n}} }[/math]

Pokaż wykres

Poniżej przedstawiamy wykresy funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (x) }[/math] (kolor niebieski) i [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (x)}} }[/math] (kolor czerwony).

□

Pokaż równoważność definicji

Równoważność definicji Gaussa i definicji całkowej Eulera

Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math]. Rozważmy całki

[math]\displaystyle{ I_k = \int^n_0 t^{z - 1 + k} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, \ldots, n }[/math]. Całkując przez części

[math]\displaystyle{ d u = t^{z - 1 + k} \, d t \qquad \qquad \qquad v = \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ u = {\small\frac{t^{z + k}}{z + k}} \qquad \qquad \qquad \quad \; d v = - {\small\frac{n - k}{n}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k - 1} d t }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ I_k = {\small\frac{t^{z + k}}{z + k}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} \, \biggr\rvert_{0}^{n} \; + \; {\small\frac{n - k}{n (z + k)}} \int^n_0 t^{z + k} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k - 1} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n - k}{n (z + k)}} \cdot I_{k + 1} }[/math]

Zatem całkując [math]\displaystyle{ n }[/math]-krotnie przez części, mamy

[math]\displaystyle{ I_0 = {\small\frac{n}{n z}} \cdot I_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot I_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot I_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{1}{n (z + n - 1)}} \cdot I_n }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ I_n = \int^n_0 t^{z + n - 1} \, d t = {\small\frac{n^{z + n}}{z + n}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ I_0 = \int^n_0 t^{z - 1} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^n d t = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{1}{n (z + n - 1)}} \cdot {\small\frac{n^{z + n}}{z + n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int^n_0 t^{z - 1} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^n d t = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t }[/math]

Co należało pokazać.

Równoważność definicji iloczynowej Eulera i definicji Gaussa

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{k}} \right)^{- 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{\left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right)^z}{1 + {\small\frac{z}{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} {\small\frac{k (k + 1)^z}{(k + z) k^z}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \left( {\small\frac{(n + 1) !}{n!}} \right)^z }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(n + 1)^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

Co należało pokazać.

Równoważność definicji iloczynowej Weierstrassa i definicji Gaussa

Stała [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( - \log n + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} = z^{- 1} \cdot e^{- \gamma z} \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{e^{\tfrac{z}{k}}}{1 + \tfrac{z}{k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = z^{- 1} \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\left( \log n - 1 - \tfrac{1}{2} - \ldots - \tfrac{1}{n} \right) z} \right) \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{k e^{\tfrac{z}{k}}}{z + k} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = \left( \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\left( \log n - 1 - \tfrac{1}{2} - \ldots - \tfrac{1}{n} \right) z} \right) \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot e^{\left( 1 + \tfrac{1}{2} + \ldots + \tfrac{1}{n} \right) z} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = \lim_{n \rightarrow \infty} e^{z \log n} \cdot {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D142
Dla funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] prawdziwe są następujące wzory

•    [math]\displaystyle{ \Gamma (1) = 1 }[/math]

•    [math]\displaystyle{ z \Gamma (z) = \Gamma (z + 1) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad z \notin \mathbb{Z} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (wzór Legendre'a o podwajaniu)

Dowód

Punkt 1.

[math]\displaystyle{ \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} t^{1 - 1} e^{- t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = - e^{- t} \biggr\rvert_{0}^{\infty} = 0 - (- 1) = 1 }[/math]

Punkt 2.

Z definicji Gaussa funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (z + 1) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) (z + 2) \cdot \ldots \cdot (z + n + 1)}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ z \Gamma (z) = z \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot {\small\frac{n}{z + n + 1}} \cdot {\small\frac{z + n + 1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n) (z + n + 1)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{z + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n) (z + n + 1)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {\small\frac{z + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \Gamma (z + 1) }[/math]

Punkt 3.

Z definicji iloczynowej Eulera mamy

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z) \Gamma (- z + 1)}} = {\small\frac{1}{- z \Gamma (z) \Gamma (- z)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{z \cdot (- z)}{- z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 - {\small\frac{z}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = z \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 - {\small\frac{z^2}{n^2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi}} }[/math]

gdzie wykorzystaliśmy wzór Eulera

[math]\displaystyle{ \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 - {\small\frac{z^2}{n^2}} \right) = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi z}} }[/math]

Dowód wzoru Eulera jest trudny. Elegancki dowód, ale tylko dla liczb rzeczywistych, Czytelnik znajdzie na stronie ProofWiki.

Punkt 4.

Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{2 z} n!}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + n)}} }[/math]

Jeżeli w powyższym równaniu położymy [math]\displaystyle{ 2 n }[/math] zamiast [math]\displaystyle{ n }[/math], to dostaniemy

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} }[/math]

Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ 2^{2 n + 2} [z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)] \cdot \left[ \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right) \right] = [2 z (2 z + 2) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)] \cdot [(2 z + 1) (2 z + 3) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n + 1)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = 2 z (2 z + 1) (2 z + 2) (2 z + 3) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n) (2 z + 2 n + 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n) (2 z + 2 n + 1)}} \cdot (2 z + 2 n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2^{2 n + 2} [z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)] \cdot \left[ \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right) \right]}} \cdot 2 n \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot {\small\frac{n^{z + (1 / 2)} n!}{\left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right)}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{\small\frac{n^{z + (1 / 2)} n!}{\left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \Gamma (z) \cdot \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot C \cdot 1 }[/math]

Ponieważ wyrażenie

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} }[/math]

nie zależy od [math]\displaystyle{ z }[/math], a wartości funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math] są określone dla [math]\displaystyle{ 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math], to powyższa granica musi być pewną stałą. Jeżeli po lewej stronie położymy [math]\displaystyle{ z = {\small\frac{1}{2}} }[/math], to otrzymamy

[math]\displaystyle{ \Gamma (1) = 2 \cdot \Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma (1) \cdot C }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ C = {\small\frac{1}{2 \sqrt{\pi}}} }[/math]

I ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Przy okazji pokazaliśmy asymptotykę: [math]\displaystyle{ {\small\binom{2 n}{n}} \sim {\small\frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi \, n}}} }[/math]

Zauważmy jeszcze, że gdy położymy [math]\displaystyle{ 2 n + 1 }[/math] zamiast [math]\displaystyle{ n }[/math], to otrzymamy taki sam rezultat, bo

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n + 1)^{2 z} (2 n + 1) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n + 1)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{2 n}} \right)^{\! 2 z} \cdot \left( {\small\frac{1}{1 + {\normalsize\frac{2 z}{2 n + 1}}}} \right) }[/math]

□

Ze wzorów podanych w twierdzeniu D142 otrzymujemy
Twierdzenie D143
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \sqrt{\pi} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma (n + 1) = n! }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{\pi}{\cos (\pi z)}} \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \cdot (- 1)^n }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = {\small\frac{1}{2}} }[/math] we wzorze 3. twierdzenia D142

Punkt 2.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (n + 2) = (n + 1) \Gamma (n + 1) = (n + 1) n! = (n + 1) ! }[/math]

Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych / zespolonych.

Punkt 3.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = z' + {\small\frac{1}{2}} }[/math] we wzorze 3. twierdzenia D142

Punkt 4.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = n }[/math] we wzorze 3. tego twierdzenia

Punkt 5.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot {\small\frac{4 (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}} \cdot 2^{- 2 n - 2} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = 2^{- 2 n - 2} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) !}} }[/math]

bo

[math]\displaystyle{ \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot {\small\frac{4 (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}} = 1 }[/math]

Punkt 6.

Ze wzoru 3. i 4. tego twierdzenia dostajemy

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi \cdot (- 1)^n}{\Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right)} = \frac{\pi \cdot (- 1)^n \cdot n!}{2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot (2 n) !} = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Punkt 7.

Ze wzoru Legendre'a o podwajaniu otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ z = - n }[/math] po lewej stronie mamy symbol nieoznaczony [math]\displaystyle{ {\small\frac{\infty}{\infty}} }[/math], ale w punktach [math]\displaystyle{ z = - n }[/math] istnieje granica funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{2^{- 2 n - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{2^{- 2 n - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Pokaż wykres

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} \cdot 10^{| x |} }[/math]. Uwaga: wykres funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} }[/math] został celowo zniekształcony przez dodanie czynnika [math]\displaystyle{ 10^{| x |} }[/math], aby dało się zauważyć, że wartości granic [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} }[/math] są różne od zera dla [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math].

□

□

Twierdzenie D144
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}} }[/math]

Dowód

Wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ z }[/math] nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz D142 p.3)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \Gamma (a z) \Gamma (- a z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi a z)}} }[/math]

Dzieląc powyższe równania przez siebie, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (a z) \Gamma (- a z + 1)}{\Gamma (z) \Gamma (- z + 1)}} = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi a z)}} \cdot {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi}} = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} }[/math]

Skąd dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{\Gamma (- z + 1)}{\Gamma (- a z + 1)}} \cdot {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ k }[/math] oznacza dowolną liczbę całkowitą. W granicy, gdy [math]\displaystyle{ z \rightarrow k }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow k} {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} = {\small\frac{\pi \cdot \cos (\pi k)}{a \pi \cdot \cos (\pi a k)}} = {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{(- 1)^k}{(- 1)^{a k}}} = {\small\frac{1}{a}} \cdot (- 1)^{(a - 1) k} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (a n + 1)}} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot (- 1)^{(a - 1) n} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D145
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}} }[/math]

Dowód

Z twierdzenia D142 p.2 wynika, że

[math]\displaystyle{ \Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (b z + b n + 1) = \Gamma (b z + 1) \cdot \prod^{b n}_{j = 1} (b z + j) }[/math]

Dzieląc równania przez siebie, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = {\small\frac{\Gamma (a z + a n + 1)}{\Gamma (b z + b n + 1)}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n}_{j = 1} (b z + j)}{\displaystyle\prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)} = {\small\frac{\Gamma (a z + a n + 1)}{\Gamma (z + n + 1)}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (b z + j)}{\displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (a z + j)} \cdot {\small\frac{b}{a}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = {\small\frac{b}{a}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (- b n + j)}{\displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (- a n + j)} \cdot {\small\frac{\Gamma (1)}{\Gamma (1)}} = {\small\frac{b}{a}} \cdot \frac{(- 1)^{b n - 1} \cdot \displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (b n - j)}{(- 1)^{a n - 1} \cdot \displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (a n - j)} = {\small\frac{b}{a}} \cdot (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n - 1) !}{(a n - 1) !}} = (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D146
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]. Pokazać, że

•    rozszerzając funkcję [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} g (x) = 0 }[/math]

Rozwiązanie

Zapiszmy funkcję [math]\displaystyle{ g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} = {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} = {\small\frac{\Gamma (2 n + 1)}{\Gamma (n + 1)^2}} }[/math]

Możemy teraz przejść do zmiennej rzeczywistej

[math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

bo funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (x) }[/math] jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych.

Korzystając z twierdzenia D145, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Ale wiemy, że (zobacz D141)

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} = 0 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} = 0 }[/math]

Co należało pokazać i co jest dobrze widoczne na wykresie funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

□

Zadanie D147
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ g(n) = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]. Pokazać, że

•    rozszerzając funkcję [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście funkcja [math]\displaystyle{ g(k) }[/math] nie jest określona w punkcie [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ g(k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(2 k) !}{(k!)^2}} = {\small\frac{(2 k) !}{(k + 1) !k!}} = {\small\frac{\Gamma (2 k + 1)}{\Gamma (k + 2) \Gamma (k + 1)}} }[/math]

Jeżeli przejdziemy do zmiennej rzeczywistej

[math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

to łatwo pokażemy, że granica funkcji [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] w punkcje [math]\displaystyle{ x = - 1 }[/math] istnieje i jest równa [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Z twierdzenia D145 dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1) \cdot {\small\frac{1}{2}} = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = \lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} = - {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{1}{\Gamma (1)}} = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Co dobrze widać na wykresie funkcji [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

□

Funkcja digamma [math]\displaystyle{ {\small \psi (z)} }[/math]

 

Definicja D148
Funkcję digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] (inne oznaczenia: [math]\displaystyle{ \Psi (z) }[/math], [math]\displaystyle{ \psi_0 (z) }[/math], [math]\displaystyle{ \psi^{(0)} (z) }[/math] ) definiujemy jako pochodną logarytmiczną (czyli pochodną logarytmu) funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math]. Mamy zatem

[math]\displaystyle{ \psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z)) = {\small\frac{\Gamma' (z)}{\Gamma (z)}} }[/math]

Pokaż wykres

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji [math]\displaystyle{ \psi (x) }[/math]

□

Twierdzenie D149
Funkcję digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad }[/math] (wzór szeregowy Weierstrassa)

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] jest stałą Eulera.

Dowód

Skorzystamy z definicji iloczynowej Weierstrassa funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] (zobacz D140)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{z / n} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (z) = - \gamma z - \log z + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ - \log \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) + {\small\frac{z}{n}} \right] }[/math]

Różniczkując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( - \frac{{\small\frac{1}{n}}}{1 + {\small\frac{z}{n}}} + {\small\frac{1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} - \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D150
Dla funkcji digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] prawdziwe są następujące wzory

•    [math]\displaystyle{ \psi (1) = - \gamma }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi (z + 1) = \psi (z) + {\small\frac{1}{z}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi (- z + 1) - \psi (z) = \pi \operatorname{ctg}(\pi z) \qquad z \notin \mathbb{Z} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}}\right) + \log 2 \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (wzór na podwajanie)

Dowód

Punkt 1.

Wzór wynika natychmiast z twierdzenia D149

Punkt 2.

Logarytmując obie strony wzoru [math]\displaystyle{ \Gamma (z + 1) = z \Gamma (z) }[/math] (zobacz D141 p.2), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (z + 1) = \log z + \log \Gamma (z) }[/math]

Różniczkując obie strony równania po zmiennej [math]\displaystyle{ z }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \psi (z + 1) = {\small\frac{1}{z}} + \psi (z) }[/math]

Punkt 3.

Logarytmując obie strony wzoru [math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} }[/math] (zobacz D141 p.3), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (z) + \log \Gamma (- z + 1) = \log \pi - \log (\sin (\pi z)) }[/math]

Różniczkując obie strony równania po zmiennej [math]\displaystyle{ z }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \psi (z) - \psi (- z + 1) = - {\small\frac{1}{\sin (\pi z)}} \cdot \cos (\pi z) \cdot \pi = - \pi \operatorname{ctg}(\pi z) }[/math]

Punkt 4.

Korzystamy ze wzoru Legendre'a o podwajaniu (zobacz D141 p.4)

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Logarytmując obie strony powyższego wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (2 z) = (2 z - 1) \log 2 - \log \sqrt{\pi} + \log \Gamma (z) + \log \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Różniczkując obie strony równania po zmiennej [math]\displaystyle{ z }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2 \psi (2 z) = 2 \log 2 + \psi (z) + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Ze wzorów podanych w twierdzeniu D150 otrzymujemy
Twierdzenie D151
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2 }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \operatorname{tg}(\pi z) \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} [2 \psi (2 z) - \psi (z)] = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

•    [math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Kładąc we wzorze na podwajanie

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ z = {\small\frac{1}{2}} }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \psi (1) = {\small\frac{1}{2}} \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \psi (1) + \log 2 }[/math]

Skąd mamy natychmiast

[math]\displaystyle{ \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi (1) - 2 \log 2 = - \gamma - 2 \log 2 }[/math]

Punkt 2.

We wzorze

[math]\displaystyle{ \psi (z + 1) = \psi (z) + {\small\frac{1}{z}} }[/math]

połóżmy [math]\displaystyle{ z = k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{k}} = \psi (k) - \psi (k + 1) }[/math]

Sumując obie strony od [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} [\psi (k) - \psi (k + 1)] = \psi (1) - \psi (n + 1) }[/math]

bo suma po prawej stronie jest sumą teleskopową (zobacz D13). Zatem

[math]\displaystyle{ \psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ H_n }[/math] jest [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą liczbą harmoniczną.

Punkt 3.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = z' + {\small\frac{1}{2}} }[/math] we wzorze 3. twierdzenia D150.

Punkt 4.

Kładąc we wzorze z punktu 3. [math]\displaystyle{ z = n }[/math] i uwzględniając, że [math]\displaystyle{ \operatorname{tg}(\pi n) = 0 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Punkt 5.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{2}{2 n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z twierdzenia D150 p.2 i założenia indukcyjnego.

Punkt 6.

Korzystając ze wzoru na podwajanie (D150 p.4), mamy

[math]\displaystyle{ 2 \psi (2 z) = \psi (z) + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + 2 \log 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \psi (2 z) - \psi (z) = 2 \log 2 + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ z \longrightarrow - n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} [2 \psi (2 z) - \psi (z)] = 2 \log 2 + \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = 2 \log 2 - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

Punkt 7.

Korzystając ze wzoru na podwajanie

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} + \frac{{\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2}{\psi (z)} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ z \longrightarrow - n }[/math] wartość funkcji [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] dąży do [math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]. Ponieważ licznik po prawej stronie dąży do wartości skończonej

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 \;\; \xrightarrow{\; z \rightarrow -n \;} \;\; {\small\frac{1}{2}} \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma - \log 2 + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} \frac{{\small\frac{1}{2}} \psi (z + {\small\frac{1}{2}}) + \log 2}{\psi (z)} = 0 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D152
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Pokazać, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right] }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \psi (x) }[/math] jest funkcją digamma.

Rozwiązanie

Z twierdzenia D149 wiemy, że funkcję digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \psi (z_1) - \psi (z_2) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + z_2}} - {\small\frac{1}{n + z_1}} \right) }[/math]

Rozkładając sumę [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} }[/math] na dwie sumy (po [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i [math]\displaystyle{ k }[/math] nieparzystych), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n) + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n + 1) + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2 a}}} - \frac{1}{n + {\small\frac{a + 1}{2 a}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right] }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D153
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^a}} d x = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right] }[/math]

Rozwiązanie

Wzór wynika natychmiast z połączenia rezultatu z zadania poprzedniego (D152) i zadania D6.
□

Uogólnione twierdzenie o wartości średniej. Wzór Frullaniego

 

Uwaga D154
Podamy niżej uogólnione twierdzenie o wartości średniej (dla całek) i dowód tego twierdzenia (zobacz D160). Samo twierdzenie i jego dowód są dobrze znane, ale najczęściej postuluje się istnienie odpowiedniego punktu [math]\displaystyle{ \xi }[/math] w przedziale domkniętym [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Bardzo rzadko można spotkać mocniejsze sformułowanie, w którym postuluje się istnienie odpowiedniego punktu [math]\displaystyle{ \xi }[/math] w przedziale otwartym [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. A jeśli już spotkamy to dokładniejsze sformułowanie, to pozostanie ono bez dowodu. Nie jest to dziwne, bo dowód (stosunkowo prosty) jest długi i lepiej po prostu pozostawić go czytelnikowi. Postanowiliśmy uzupełnić tę lukę.

Uwaga D155
W tekście będziemy używać pojęć: „zbiór miary zero” i „prawie wszędzie”. Chcemy te sformułowania nieco przybliżyć Czytelnikowi.

Pojęcie zbiór miary zero w przypadku całki Riemanna oznacza: zbiór tak mały, że nie ma on wpływu na wartość całki.

Pojęcie prawie wszędzie w przypadku całki Riemanna oznacza: wszędzie poza zbiorem tak małym, że nie ma on wpływu na wartość całki lub wszędzie poza zbiorem miary zero.

Całka Riemanna „widzi” tylko to, co dzieje się na odcinkach o dodatniej długości, a ignoruje pojedyncze punkty, bo na najmniejszym nawet odcinku (choćby tylko maleńkim otoczeniu punktu) da się zbudować prostokąt, a na punkcie prostokąta nie utworzymy.

Nie przez przypadek będziemy mówili o „przedziałach” i „podprzedziałach”, bo to one (i tylko one) dają wkład do całki Riemanna. Wartość całki Riemanna jest całkowicie niewrażliwa na zmiany funkcji w pojedynczych punktach. Punkty nie dają żadnego wkładu do ostatecznego wyniku, ponieważ nie mają one „szerokości”. W przypadku nieskończonej liczby punktów są dwie możliwości: dopóki punkty te są rozproszone na tyle „rzadko”, że funkcja pozostaje całkowalna, ich łączny wkład do całki nadal wynosi zero. Jeśli jednak punktów tych jest nieskończenie wiele i są one rozłożone zbyt „gęsto”, to definicja całki Riemanna się załamuje – sumy dolne i górne nie mogą się spotkać, przez co całka Riemanna przestaje istnieć.

Zauważmy, że zmiana wartości funkcji w skończonej lub przeliczalnej liczbie punktów nie wpływa na wartość całki. Konsekwentnie: jeżeli dwie funkcje są równe prawie wszędzie, to mają takie same całki Riemanna. Przykłady funkcji, których całki w dowolnym przedziale są takie same

[math]\displaystyle{ f(x) = 0 \qquad\qquad g(x) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } x = 0 \\ 0 & \text{gdy } x \neq 0 \\ \end{cases} \qquad\qquad h(x) = \begin{cases} x & \text{gdy } x \in \mathbb{Z} \\ 0 & \text{gdy } x \notin \mathbb{Z} \\ \end{cases} }[/math]

Przykład funkcji, której całka Riemanna nie istnieje

[math]\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{gdy } x \notin \mathbb{Q} \\ \end{cases} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] oznacza zbiór liczb wymiernych. Powyższą funkcję nazywamy funkcją Dirichleta. Zauważmy, że różni się ona od funkcji [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] jedynie w przeliczalnej liczbie punktów (zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] jest zbiorem przeliczalnym), ale tym razem liczba punktów jest tak wielka i są tak „gęsto” rozmieszczone w [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], że całka nie istnieje. Poniżej podajemy twierdzenie (bez dowodu), które pozwala rozstrzygnąć, kiedy funkcja jest całkowalna.

Twierdzenie D156*
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] spełnia jeden z podanych warunków

• [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ograniczona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i ma w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości
• [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ograniczona i monotoniczna w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]

to jest w tym przedziale całkowalna.

Zadanie D157
Sformułować definicję granicy funkcji w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] oraz definicję ciągłości funkcji w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. Omówić różnice.

Rozwiązanie

Definicja granicy (skończonej)
Niech [math]\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math]. Jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ \delta > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x }[/math] należącego do dziedziny funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math] spełniony jest warunek

[math]\displaystyle{ 0 < |x - x_0 | < \delta \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad |f (x) - g| < \varepsilon }[/math]

to powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] ma granicę skończoną [math]\displaystyle{ g }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Definicja ciągłości
Niech [math]\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }[/math]. Jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ \delta > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x }[/math] należącego do dziedziny funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math] spełniony jest warunek

[math]\displaystyle{ |x - x_0 | < \delta \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad |f (x) - f (x_0) | < \varepsilon }[/math]

to powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

Definicje zapisane przy użyciu kwantyfikatorów

Definicja granicy: [math]\displaystyle{ \qquad\qquad \;\,\, \forall_{\varepsilon > 0} \quad \exists_{\delta > 0} \quad \forall_{x \in D} \quad 0 < |x - x_0 | < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f (x) - g| < \varepsilon }[/math]

Definicja ciągłości: [math]\displaystyle{ \qquad\qquad \forall_{\varepsilon > 0} \quad \exists_{\delta > 0} \quad \forall_{x \in D} \qquad \;\;\; |x - x_0 | < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f (x) - f (x_0) | < \varepsilon }[/math]

Podstawowe różnice

Granica (skończona)	Ciągłość
Funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] nie musi być określona w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].	Funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] musi być określona w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], a [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] musi mieć wartość skończoną.
Liczba [math]\displaystyle{ g }[/math] może mieć dowolną wartość skończoną (bo mówimy tutaj o granicy skończonej).	Rolę liczby [math]\displaystyle{ g }[/math] pełni konkretna wartość: wartość, jaką funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] przyjmuje w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
Warunek [math]\displaystyle{ 0 < | x - x_0 | < \delta }[/math] oznacza, że badamy zachowanie funkcji wokół punktu [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. To czy funkcja jest określona w [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], czy nie jest i jaką wartość ma w [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], nie ma znaczenia.	Warunek [math]\displaystyle{ |x - x_0 | < \delta }[/math] oznacza, że badamy zachowanie funkcji wokół punktu [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], wraz z punktem [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. Zauważmy, że warunek ten dopuszcza sytuację [math]\displaystyle{ x = x_0 }[/math].

Podsumowanie

Ciągłość stawia dodatkowe wymagania, co najlepiej widzimy w następującym twierdzeniu:

Funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy

•    istnieje granica skończona [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f (x) = g }[/math].
•    funkcja jest określona w [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (istnieje [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]).

•    [math]\displaystyle{ g = f (x_0) }[/math].

□

Zadanie D158
Pokazać, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ f (x_0) > 0 }[/math], to istnieje takie otoczenie [math]\displaystyle{ U = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x \in U }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ f(x) > 0 }[/math].

Rozwiązanie

Do dowodu wykorzystamy definicję Cauchy'ego ciągłości funkcji (zobacz D157). Funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], jeżeli dla dowolnej liczby [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ \delta > 0 }[/math], że spełniony jest warunek

[math]\displaystyle{ |x - x_0 | < \delta \qquad\qquad \Longrightarrow \qquad\qquad |f (x) - f (x_0) | < \varepsilon }[/math]

Zapiszmy nierówność dla wartości funkcji w postaci

[math]\displaystyle{ f(x_0) - \varepsilon < f (x) < f (x_0) + \varepsilon }[/math]

Powyższa definicja musi być spełniona dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ f(x_0) > 0 }[/math] i jeżeli wybierzemy [math]\displaystyle{ 0 < \varepsilon < f (x_0) }[/math], to możemy napisać

[math]\displaystyle{ 0 < f (x_0) - \varepsilon < f (x) < f (x_0) + \varepsilon \qquad\qquad (\ast) }[/math]

Ze wspomnianej na początku rozwiązania definicji ciągłości wynika, że dla tak ustalonego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ \delta > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x }[/math] należącego do przedziału [math]\displaystyle{ (x_0 - \delta, x_0 + \delta) }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math].

Zatem [math]\displaystyle{ f(x) > 0 }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ (x_0 - \delta, x_0 + \delta) }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie D159
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] funkcją całkowalną i dodatnią w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Pokazać, że jeżeli

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g(x)\,dx = 0 }[/math]

to [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [a, b] }[/math].

Rozwiązanie

Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ x_0 \in [a, b] }[/math], dla którego [math]\displaystyle{ f(x_0) > 0 }[/math]. Z ciągłości funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math] w punkcie [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] wynika, że istnieje otoczenie [math]\displaystyle{ U }[/math] punktu [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] takie, że dla każdego [math]\displaystyle{ x \in U }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ f(x) > 0 }[/math] (zobacz D158). Oczywiście w przypadku punktu [math]\displaystyle{ x_0 = a }[/math] będzie to otoczenie prawostronne, a w przypadku punktu [math]\displaystyle{ x_0 = b }[/math] lewostronne. Dostajemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g(x)\,dx = \int_{[a, b] \setminus U} f (x) g (x)\,dx + \int_U f (x) g (x)\,dx > 0 }[/math]

Jest tak, ponieważ pierwsza całka po prawej stronie jest nieujemna (całkujemy funkcję nieujemną), a druga całka jest dodatnia (całkujemy funkcję dodatnią). Widzimy, że nasze przypuszczenie doprowadziło do sprzeczności z założeniem, że

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g(x)\,dx = 0 }[/math]

W konsekwencji [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [a, b] }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D160 (uogólnione twierdzenie o wartości średniej)
Niech [math]\displaystyle{ f }[/math] będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], a [math]\displaystyle{ g }[/math] funkcją całkowalną i niezmieniającą znaku, tzn. [math]\displaystyle{ g(x) \geqslant 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ g(x) \leqslant 0 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [a, b] }[/math]. Wówczas istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ \xi \in (a, b) }[/math], że

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g (x)\,dx = f (\xi) \int_a^b g (x)\,dx }[/math]

Dowód

Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ g(x) \geqslant 0 }[/math], bo w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ g(x) \leqslant 0 }[/math], wystarczy pomnożyć obie strony równania przez [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] i dowodzić twierdzenie dla funkcji [math]\displaystyle{ \hat{g} (x) = - g (x) }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{ f(x) } }[/math] jest funkcją stałą

W przypadku, gdy funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją stałą, mamy [math]\displaystyle{ f(x) = C }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i oczywiście

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g (x)\,dx = C \int_a^b g (x)\,dx }[/math]

Zatem możemy wybrać dowolny punkt [math]\displaystyle{ \xi \in (a, b) }[/math].

Od tej chwili będziemy zakładali, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] nie jest funkcją stałą w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math].

Ciąg nierówności dla całek

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale domkniętym [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], to na mocy twierdzenia Weierstrassa o osiąganiu kresów, funkcja ta przyjmuje w tym przedziale swoją wartość najmniejszą [math]\displaystyle{ m }[/math] oraz wartość największą [math]\displaystyle{ M }[/math]. Zatem dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [a, b] }[/math] zachodzi nierówność

[math]\displaystyle{ m \leqslant f (x) \leqslant M }[/math]

Pomnóżmy powyższą nierówność stronami przez [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ g (x) \geqslant 0 }[/math], zwroty nierówności zostają zachowane

[math]\displaystyle{ m \cdot g (x) \leqslant f (x) g (x) \leqslant M \cdot g (x) }[/math]

Całkując strony nierówności w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] względem zmiennej [math]\displaystyle{ x }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ m \int_a^b g(x)\,dx \leqslant \int_a^b f (x) g (x)\,dx \leqslant M \int_a^b g (x)\,dx \qquad\qquad (\ast) }[/math]

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \int_a^b g(x)\,dx = 0 } }[/math]

W tym przypadku z ciągu nierówności [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math] wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g(x)\,dx = 0 }[/math]

Zatem dowodzona równość jest prawdziwa, bo równanie [math]\displaystyle{ 0 = f (\xi) \cdot 0 }[/math] jest prawdziwe dla dowolnego [math]\displaystyle{ \xi \in (a, b) }[/math].

Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \int_a^b g(x)\,dx > 0 } }[/math]

W tym przypadku możemy ciąg nierówności [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math] podzielić przez całkę [math]\displaystyle{ \int_a^b g(x)\,dx }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ m \leqslant {\normalsize\frac{\int_a^b f (x) g (x)\,dx}{\int_a^b g (x)\,dx}} \leqslant M }[/math]

Zdefiniujmy liczbę [math]\displaystyle{ w }[/math]

[math]\displaystyle{ w = {\normalsize\frac{\int_a^b f (x) g (x)\,dx}{\int_a^b g (x)\,dx}} }[/math]

Widzimy, że prawdziwy dla niej ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ m \leqslant w \leqslant M }[/math]

jest taki sam, jaki zachodzi dla funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

Podprzypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{ m < w < M } }[/math]

Rozważmy dwa punkty w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], w których funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] osiąga swoje kresy

•     niech [math]\displaystyle{ x_m }[/math] będzie punktem, w którym [math]\displaystyle{ f(x_m) = m }[/math]
•     niech [math]\displaystyle{ x_M }[/math] będzie punktem, w którym [math]\displaystyle{ f(x_M) = M }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ m < M }[/math], to [math]\displaystyle{ x_m \neq x_M }[/math] i punkty te wyznaczają pewien przedział. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ x_m < x_M }[/math]. Mamy zatem [math]\displaystyle{ [x_m, x_M] \subset [a, b] }[/math]. Z twierdzenia Darboux o wartościach pośrednich wynika, że wewnątrz przedziału [math]\displaystyle{ [x_m, x_M] }[/math] istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ \xi }[/math], że [math]\displaystyle{ f (\xi) = w }[/math]. Ponieważ przedział [math]\displaystyle{ [x_m, x_M] }[/math] leży w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], to jego wnętrze [math]\displaystyle{ (x_m, x_M) }[/math] leży w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \xi \in (a, b) }[/math] i z definicji liczby [math]\displaystyle{ w }[/math] wynika dowodzony wzór

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g (x)\,dx = w \int_a^b g (x)\,dx = f (\xi) \int_a^b g (x)\,dx }[/math]

Podprzypadek, gdy [math]\displaystyle{ w = m }[/math] (analogicznie postępujemy, gdy [math]\displaystyle{ w = M }[/math])

Z definicji liczby [math]\displaystyle{ w }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b (f (x) - m) g (x)\,dx = 0 \qquad\qquad (\ast \ast) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ U = \{ [a, b] \ni x \, : \, g (x) > 0\} }[/math] będzie zbiorem tych puntów [math]\displaystyle{ x }[/math], dla których [math]\displaystyle{ g(x) > 0 }[/math]. Pamiętamy, że całka z funkcji [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest dodatnia

[math]\displaystyle{ \int_a^b g (x)\,dx = \int_{[a, b] \backslash U} g (x)\,dx + \int_U g (x)\,dx = \int_U g (x)\,dx > 0 }[/math]

Wynika stąd, że zbiór [math]\displaystyle{ U }[/math] nie może być zbiorem miary zero, czyli musi zawierać przynajmniej jeden podprzedział przedziału [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Dla ustalenia uwagi niech będzie to podprzedział [math]\displaystyle{ [r, s] }[/math] i rozważmy całkę [math]\displaystyle{ (\ast \ast) }[/math]. Ponieważ iloczyn [math]\displaystyle{ (f (x) - m) g (x) }[/math] jest funkcją nieujemną, to dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 = \int_a^b (f (x) - m) g (x)\,dx = \int_{[a, b] \backslash U} (f (x) - m) g (x)\,dx + \int_{U \backslash [r, s]} (f (x) - m) g (x)\,dx + \int_{[r, s]} (f (x) - m) g (x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\:\, \geqslant \int_{[r, s]} (f (x) - m) g (x)\,dx \geqslant 0 }[/math]

Skąd wynika, że musi być

[math]\displaystyle{ \int^s_r (f (x) - m) g (x)\,dx = 0 }[/math]

Jeśli połączymy powyższy warunek z oczywistymi faktami, że

•     funkcja [math]\displaystyle{ f(x) - m }[/math] jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [math]\displaystyle{ [r, s] }[/math]
•     funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] funkcją całkowalną i dodatnią w [math]\displaystyle{ [r, s] }[/math]

to na podstawie zadania D159^[a] natychmiast widzimy, że musi być [math]\displaystyle{ f(x) = m }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [r, s] }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ [r, s] \subset U \subset [a, b] }[/math] i [math]\displaystyle{ f(x) = m }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [r, s] }[/math], to możemy wybrać punkt [math]\displaystyle{ \xi \in [r, s] }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ \xi \neq a }[/math], [math]\displaystyle{ \xi \neq b }[/math] i [math]\displaystyle{ f (\xi) = m }[/math]. Wtedy z definicji liczby [math]\displaystyle{ w }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b f (x) g (x)\,dx = w \int_a^b g (x)\,dx = m \int_a^b g (x)\,dx = f (\xi) \int_a^b g (x)\,dx }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \xi \in (a, b) }[/math]. Co należało pokazać.

---

[a] Zauważmy, że nie musimy korzystać z rezultatu pokazanego w zadaniu D159. Z warunku

[math]\displaystyle{ \int^s_r (f (x) - m) g (x)\,dx = 0 }[/math]

wynika, że [math]\displaystyle{ (f (x) - m) g (x) = 0 }[/math] prawie wszędzie w [math]\displaystyle{ [r, s] }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ g(x) > 0 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [r, s] }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) = m }[/math] prawie wszędzie w [math]\displaystyle{ [r, s] }[/math]. Co całkowicie wystarcza, aby wybrać odpowiedni punkt [math]\displaystyle{ \xi \in [r, s] }[/math].
□

Twierdzenie D161*
Twierdzenie obejmuje różne rodzaje granic: [math]\displaystyle{ x \rightarrow x_0, x^+_0, x^-_0, \infty, - \infty }[/math]. Dowolny z tych punktów granicznych oznaczyliśmy ogólnie jako [math]\displaystyle{ x^{\ast} }[/math]. Typy granic i odpowiadające im sąsiedztwa zostały zestawione w tabeli

Typ granicy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{ ( x \rightarrow x^{\ast} ) } }[/math]	[math]\displaystyle{ x \rightarrow x_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ x \rightarrow x^+_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ x \rightarrow x^-_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ x \rightarrow \infty }[/math]	[math]\displaystyle{ x \rightarrow - \infty }[/math]
Sąsiedztwo [math]\displaystyle{ \boldsymbol{ S } }[/math]	[math]\displaystyle{ (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) }[/math]	[math]\displaystyle{ (x_0, x_0 + \delta) }[/math]	[math]\displaystyle{ (x_0 - \delta, x_0) }[/math]	[math]\displaystyle{ (M, \infty) }[/math]	[math]\displaystyle{ (- \infty, - M) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \delta, M \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Wystarczy, że postulowane nierówności są spełnione dla dostatecznie małego [math]\displaystyle{ \delta }[/math] i dostatecznie dużego [math]\displaystyle{ M }[/math].

Twierdzenie o trzech funkcjach (dowodzimy, że funkcja [math]\displaystyle{ g }[/math] dąży do granicy właściwej [math]\displaystyle{ L \in \mathbb{R} }[/math])

Jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ x \in S }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ f(x) \leqslant g (x) \leqslant h (x) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^{\ast}} f (x) = \lim_{x \to x^{\ast}} h (x) = L }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^{\ast}} g (x) = L }[/math].

Twierdzenie o dwóch funkcjach (dowodzimy, że funkcja [math]\displaystyle{ g }[/math] dąży do granicy niewłaściwej [math]\displaystyle{ L = \infty }[/math])

Jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ x \in S }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ g(x) \geqslant f (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^{\ast}} f (x) = \infty }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^{\ast}} g (x) = \infty }[/math]

Twierdzenie o dwóch funkcjach (dowodzimy, że funkcja [math]\displaystyle{ g }[/math] dąży do granicy niewłaściwej [math]\displaystyle{ L = - \infty }[/math])

Jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ x \in S }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ g(x) \leqslant f (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^{\ast}} f (x) = - \infty }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x^{\ast}} g (x) = - \infty }[/math]

Zadanie D162
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f (x) = 0 }[/math], a funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona w pewnym otoczeniu nakłutym [math]\displaystyle{ \mathring{U} (x_0, r) = (x_0 - r, x_0 + r) \backslash \{ x_0 \} }[/math] punktu [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f (x) g (x) = 0 }[/math].

Rozwiązanie

Ponieważ [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, to istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M > 0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ x \in \mathring{U} (x_0, r) }[/math] zachodzi

[math]\displaystyle{ |g (x) | \leqslant M }[/math]

Wynika stąd, że dla każdego [math]\displaystyle{ x \in \mathring{U} (x_0, r) }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant |g (x) f (x) | = | g (x) | | f (x) | \leqslant M | f (x) | }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f (x) = 0 }[/math], zatem z twierdzenia D161 p.1 otrzymujemy natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f (x) g (x) = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D163 (wzór Frullaniego)
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [0, \infty) }[/math] oraz istnieje skończona granica [math]\displaystyle{ f (\infty) = \lim_{x \to \infty} f (x) }[/math], to prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty} {\small\frac{f (ax) - f (bx)}{x}}\,dx = (f (0) - f (\infty)) \cdot \log {\small\frac{b}{a}} }[/math]

Dowód

Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ b > a }[/math]. Rozważmy całkę w skończonym przedziale [math]\displaystyle{ [\varepsilon, R] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 0 < \varepsilon < R < \infty }[/math] i dodatkowo niech [math]\displaystyle{ b \varepsilon < a R }[/math] (spełnienie tego warunku zawsze możemy uzyskać, obierając [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] odpowiednio małe i [math]\displaystyle{ R }[/math] odpowiednio duże).

Mamy zatem [math]\displaystyle{ a \varepsilon < b \varepsilon < a R < b R }[/math]. Rozpatrywaną całkę oznaczymy jako [math]\displaystyle{ I (\varepsilon, R) }[/math]

[math]\displaystyle{ I (\varepsilon, R) = \int_{\varepsilon}^R {\small\frac{f (ax) - f (bx)}{x}}\,dx = \int_{\varepsilon}^R {\small\frac{f (ax)}{x}}\,dx - \int_{\varepsilon}^R {\small\frac{f (bx)}{x}}\,dx }[/math]

W pierwszej całce po prawej stronie stosujemy podstawienie [math]\displaystyle{ u = ax }[/math], co daje [math]\displaystyle{ du = a\,dx }[/math], zaś granice zmieniają się na [math]\displaystyle{ [a \varepsilon, aR] }[/math]. W drugiej całce podstawiamy [math]\displaystyle{ u = bx }[/math], co daje [math]\displaystyle{ du = b\,dx }[/math] i nowe granice całkowania [math]\displaystyle{ [b \varepsilon, bR] }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ I (\varepsilon, R) = \int_{a \varepsilon}^{aR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du - \int_{b \varepsilon}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \left( \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du + \int_{b \varepsilon}^{aR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du \right) - \left( \int_{b \varepsilon}^{aR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du + \int_{aR}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du - \int_{aR}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du }[/math]

bo całki w przedziale [math]\displaystyle{ [b \varepsilon, aR] }[/math] redukują się. Na mocy uogólnionego twierdzenia o wartości średniej (zobacz D160) dla pierwszej całki istnieje punkt [math]\displaystyle{ \xi_1 \in (a \varepsilon, b \varepsilon) }[/math], a dla drugiej całki punkt [math]\displaystyle{ \xi_2 \in (aR, bR) }[/math] taki, że

[math]\displaystyle{ \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du = f (\xi_1) \int_{a \varepsilon}^{b \varepsilon} {\small\frac{1}{u}}\,du = f (\xi_1) \cdot \log {\small\frac{b \varepsilon}{a \varepsilon}} = f (\xi_1) \cdot \log {\small\frac{b}{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{aR}^{bR} {\small\frac{f (u)}{u}}\,du = f (\xi_2) \int_{aR}^{bR} {\small\frac{1}{u}}\,du = f (\xi_2) \cdot \log {\small\frac{bR}{aR}} = f (\xi_2) \cdot \log {\small\frac{b}{a}} }[/math]

Podstawiając te wyniki do wyrażenia na [math]\displaystyle{ I (\varepsilon, R) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ I (\varepsilon, R) = (f (\xi_1) - f (\xi_2)) \cdot \log {\small\frac{b}{a}} }[/math]

Zauważmy, że (zobacz D161)

•     ponieważ [math]\displaystyle{ a \varepsilon < \xi_1 < b \varepsilon }[/math], to w granicy, gdy [math]\displaystyle{ \varepsilon \to 0^+ }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \xi_1 \to 0 }[/math], a zatem [math]\displaystyle{ f (\xi_1) \to f (0) }[/math]

•     ponieważ [math]\displaystyle{ \xi_2 > a R }[/math], to w granicy, gdy [math]\displaystyle{ R \to \infty }[/math], mamy [math]\displaystyle{ \xi_2 \to \infty }[/math], więc [math]\displaystyle{ f (\xi_2) \to f (\infty) }[/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \underset{R \rightarrow \infty}{\lim_{\; \varepsilon \rightarrow 0^+}} I (\varepsilon, R) = (f (0) - f (\infty)) \cdot \log {\small\frac{b}{a}} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Zadanie D164
Pokazać, że prawdziwe są następujące przedstawienia całkowe logarytmu

[math]\displaystyle{ \log n = \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- n t}}{t}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \log n = \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{n - 1}}{- \log t}}\,dt }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Niech [math]\displaystyle{ f(t) = e^{- t} }[/math], [math]\displaystyle{ a = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b = n }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ f(0) = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ f (\infty) = 0 }[/math]. Korzystając ze wzoru Frullaniego (zobacz D163)

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty} {\small\frac{f (at) - f (bt)}{t}}\,dt = (f (0) - f (\infty)) \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- n t}}{t}\,dt = \log n }[/math]

Punkt 2.

Wykorzystujemy znalezioną w punkcie 1. reprezentację całkową

[math]\displaystyle{ \log n = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} - e^{- nx}}{x}\,dx }[/math]

Przejście do nowej zmiennej [math]\displaystyle{ t = e^{- x} }[/math] prowadzi do następujących zależności

[math]\displaystyle{ x = - \log t \qquad\qquad dx = - {\small\frac{1}{t}}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ e^{- x} = t \qquad\qquad\quad\:\: e^{- nx} = (e^{- x})^n = t^n }[/math]

i nowych granic całkowania

•     gdy [math]\displaystyle{ x \to 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ t \to 1 }[/math]
•     gdy [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math], to [math]\displaystyle{ t \to 0 }[/math]

Podstawiając do całki, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \log n = \int_1^0 {\small\frac{t - t^n}{- \log t}} \cdot \left( - {\small\frac{1}{t}} \right)\,dt = \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{n - 1}}{- \log t}}\,dt }[/math]

Co należało pokazać.
□

Całkowe przedstawienia stałej Eulera i funkcji digamma

 

Definicja D165
Niech [math]\displaystyle{ g \in \mathbb{R} }[/math]. Jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba rzeczywista [math]\displaystyle{ R }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x > R }[/math] jest [math]\displaystyle{ |f (x) - g| < \varepsilon }[/math], to powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] ma granicę [math]\displaystyle{ g }[/math] w plus nieskończoności. Symbolicznie fakt ten zapisujemy następująco [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f (x) = g }[/math].

Twierdzenie D166
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f : [a, \infty) \to \mathbb{R} }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math] oraz posiada skończoną granicę [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f (x) = g }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ograniczona w tym przedziale.

Dowód

Z definicji granicy funkcji w nieskończoności wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ R }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ x > R }[/math] zachodzi

[math]\displaystyle{ |f (x) - g| < \varepsilon }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] jest dowolną liczbą, to możemy przyjąć konkretną wartość, np. [math]\displaystyle{ \varepsilon = 1 }[/math]. Wówczas istnieje takie [math]\displaystyle{ R }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x \in (R, \infty) }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ g - 1 < f (x) < g + 1 }[/math]

Gdyby było [math]\displaystyle{ R = a }[/math], to dowód byłby zakończony. Rozważmy zatem przypadek, gdy [math]\displaystyle{ R > a }[/math]. Na mocy twierdzenia Weierstrassa o kresach funkcja ciągła [math]\displaystyle{ f }[/math] w przedziale domkniętym [math]\displaystyle{ [a, R] }[/math] osiąga swoje kresy. Czyli istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ m }[/math] i [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [a, R] }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ m \leqslant f (x) \leqslant M }[/math]

Jeżeli zdefiniujemy liczby [math]\displaystyle{ k = \min (m, g - 1) }[/math] i [math]\displaystyle{ K = \max (M, g + 1) }[/math], to łącząc przedstawione wyżej rezultaty, możemy napisać oszacowanie

[math]\displaystyle{ k \leqslant f (x) \leqslant K }[/math]

prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ x \in [a, \infty) }[/math]. Co kończy dowód ograniczoności funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math].
□

Twierdzenie D167
Dla stałej Eulera prawdziwe są następujące reprezentacje całkowe

[math]\displaystyle{ \gamma = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^t - 1}} - {\small\frac{1}{t e^t}} \right)\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Stałą Eulera [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] definiujemy jako granicę różnicy między sumą częściową szeregu harmonicznego a logarytmem naturalnym

[math]\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \log n \right) }[/math]

Dla uproszczenia zdefiniujmy ciąg [math]\displaystyle{ (\gamma_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma_n = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \log n }[/math]

Oczywiście [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \gamma_n = \gamma }[/math]. Wykonywanie przekształceń dla [math]\displaystyle{ \gamma_n }[/math] (zamiast dla [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]) znakomicie je ułatwia i (co najważniejsze) pozwala doprowadzić wynik do takiej postaci, dla której przejście do granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math], nie będzie już rodziło problemów. Pamiętamy, że w ogólnym przypadku nie możemy przenosić granicy pod znak całki.

Aby móc połączyć sumę i logarytm, musimy zapisać oba wyrażenia jako całki w tych samych granicach od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ \infty }[/math]. Dla sumy wykorzystujemy tożsamość prawdziwą dla [math]\displaystyle{ k > 0 }[/math] (dla [math]\displaystyle{ k \leqslant 0 }[/math] całka jest rozbieżna)

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k}} = \int_0^{\infty} e^{- kx}\,dx }[/math]

Sumując po [math]\displaystyle{ k }[/math] od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^n \int_0^{\infty} e^{- kx}\,dx = \int_0^{\infty} \sum_{k = 1}^n (e^{- x})^k\,dx }[/math]

Zauważmy, że dokonaliśmy zamiany kolejności sumowania i całkowania. Jest to dopuszczalne, bo suma jest skończona. Pod całką mamy teraz sumę ciągu geometrycznego, gdzie pierwszy wyraz to [math]\displaystyle{ a_1 = e^{- x} }[/math], a iloraz to [math]\displaystyle{ q = e^{- x} }[/math]. Korzystając ze wzoru na sumę [math]\displaystyle{ n }[/math] wyrazów takiego ciągu, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} (1 - e^{- nx})}{1 - e^{- x}}\,dx }[/math]

Reprezentację całkową logarytmu znajdujemy, korzystając ze wzoru Frullaniego (zobacz D163, D164)

[math]\displaystyle{ \log n = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} - e^{- nx}}{x}\,dx }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \gamma_n = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \log n = \int_0^{\infty} \left[ \frac{e^{- x} (1 - e^{- nx})}{1 - e^{- x}} - \frac{e^{- x} - e^{- nx}}{x} \right]\,dx }[/math]

Wydzielenie wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ n }[/math], pozwala nam zapisać [math]\displaystyle{ \gamma_n }[/math] jako sumę docelowej całki [math]\displaystyle{ I }[/math] oraz reszty [math]\displaystyle{ R_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma_n = \underbrace{ \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} - {\small\frac{e^{- x}}{x}} \right)\,dx }_I + \underbrace{ \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- nx}}{x}} - {\small\frac{e^{- (n + 1) x}}{1 - e^{- x}}} \right)\,dx }_{R_n} }[/math]

Aby udowodnić, że [math]\displaystyle{ \gamma = I }[/math], musimy pokazać, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} R_n = 0 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ R_n = \int_0^{\infty} e^{- nx} \left( {\small\frac{1}{x}} - {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} \right)\,dx }[/math]

Zbadajmy funkcję pomocniczą

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} - {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} = {\small\frac{e^x - x - 1}{x (e^x - 1)}} }[/math]

Widzimy, że

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} f (x) = \lim_{x \rightarrow 0} {\small\frac{e^x - x - 1}{x (e^x - 1)}} = \lim_{x \rightarrow 0} {\small\frac{e^x - 1}{e^x (x + 1) - 1}} = \lim_{x \rightarrow 0} {\small\frac{e^x}{e^x (x + 2)}} = {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Gdzie dwukrotnie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Dodefiniowując [math]\displaystyle{ f(0) = {\small\frac{1}{2}} }[/math], otrzymujemy funkcję ciągłą w [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Bez trudu znajdujemy granicę funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math] w nieskończoności

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty} f (x) = \lim_{x \rightarrow \infty} {\small\frac{e^x - x - 1}{x (e^x - 1)}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{{\normalsize\frac{1}{x}} - e^{- x} - {\normalsize\frac{1}{x}} \cdot e^{- x}}{1 - e^{- x}} = 0 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ f }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ [0, \infty) }[/math] i ma skończoną granicę w nieskończoności, to jest funkcją ograniczoną w tym przedziale (zobacz D166). Niech [math]\displaystyle{ | f (x) | \leqslant M }[/math]. Łatwo otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant | R_n | \leqslant \int_0^{\infty} e^{- nx} | f (x) |\,dx \leqslant M \int_0^{\infty} e^{- nx}\,dx = {\small\frac{M}{n}} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach, natychmiast otrzymujemy, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | R_n | = 0 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} \gamma_n = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- x}}{1 - e^{- x}}} - {\small\frac{e^{- x}}{x}} \right)\,dx }[/math]

Co należało pokazać.

Punkt 2.

W otrzymanym w punkcie 1. wzorze

[math]\displaystyle{ \gamma = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^x - 1}} - {\small\frac{1}{xe^x}} \right)\,dx }[/math]

stosujemy podstawienie [math]\displaystyle{ t = e^{- x} }[/math], co daje następujące zależności

[math]\displaystyle{ x = - \log t \qquad\qquad dx = - {\small\frac{dt}{t}} }[/math]

i nowe granice całkowania

•     gdy [math]\displaystyle{ x \to 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ t \to 1 }[/math]
•     gdy [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math], to [math]\displaystyle{ t \to 0 }[/math]

Podstawiając do całki, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \gamma = \int_1^0 \left( \frac{1}{{\normalsize\frac{1}{t}} - 1} + \frac{1}{{\normalsize\frac{1}{t}} \log t} \right) \left( - {\small\frac{d t}{t}} \right) = \int_0^1 \left( {\small\frac{t}{1 - t}} + {\small\frac{t}{\log t}} \right) {\small\frac{d t}{t}} = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D168
Niech [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] będzie funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej [math]\displaystyle{ t }[/math] całkowalną w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]. Prawdziwa jest następująca nierówność

[math]\displaystyle{ \left| \int_a^b f(t)\,dt \right| \leqslant \int_a^b |f (t) |\,dt }[/math]

Dowód

Wartość całki z funkcji [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest pewną liczbą zespoloną, którą oznaczymy jako [math]\displaystyle{ I }[/math]

[math]\displaystyle{ I = \int_a^b f(t)\,dt }[/math]

Jeśli [math]\displaystyle{ I = 0 }[/math], nierówność jest oczywista. Załóżmy więc, że [math]\displaystyle{ I \neq 0 }[/math] i zapiszmy tę liczbę (w ogólności zespoloną) w postaci wykładniczej [math]\displaystyle{ I = |I| e^{i \theta} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ |I| }[/math] jest modułem, a [math]\displaystyle{ \theta }[/math] jest argumentem liczby [math]\displaystyle{ I }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ |I| = e^{- i \theta} I = e^{- i \theta} \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b e^{- i \theta} f (t)\,dt }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ |I| = \int_a^b [\operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t)) + i \cdot \operatorname{Im}(e^{- i \theta} f (t))]\,dt = \int_a^b \operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t))\,dt + i \int_a^b \operatorname{Im}(e^{- i \theta} f (t))\,dt }[/math]

Ponieważ po lewej stronie mamy liczbę rzeczywistą, to musi być

[math]\displaystyle{ \int_a^b \operatorname{Im}(e^{- i \theta} f (t))\,dt = 0 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ |I| = \int_a^b \operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t))\,dt }[/math]

Korzystając z prostej nierówności [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z) \leqslant |z| }[/math] prawdziwej dla dowolnego [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ |I| = \int_a^b \operatorname{Re}(e^{- i \theta} f (t))\,dt \leqslant \int_a^b |e^{- i \theta} f (t) |\,dt = \int_a^b |f (t) |\,dt }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D169
Funkcja digamma ma następującą reprezentację całkową

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{- \log t}} - {\small\frac{t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math]

Dowód

Pokazaliśmy (zobacz D149), że funkcja digamma ma postać

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \sum_{k = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{1}{k + z}} \right) \qquad\qquad\qquad \text{dla } z \neq 0, - 1, - 2, - 3, \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] oznacza stałą Eulera.

W ogólności nie wolno zamieniać sumy nieskończonej z całką. Aby uniknąć tego problemu, będziemy rozpatrywali sumy częściowe, a odpowiadające im funkcje oznaczymy przez [math]\displaystyle{ \psi_n (z) }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi_n (z) = - \gamma + \sum_{k = 0}^n \left( {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{1}{k + z}} \right) \qquad\qquad\qquad \text{dla } z \neq 0, - 1, - 2, \ldots, - n }[/math]

Oczywiście [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \psi_n (z) = \psi (z) }[/math].

Każdy składnik sumy zastępujemy całką z funkcji potęgowej. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k > 0 }[/math] mamy (dla [math]\displaystyle{ k \leqslant 0 }[/math] całka jest rozbieżna)

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k}} = \int^1_0 t^{k - 1}\,dt }[/math]

W naszym przypadku, gdzie w mianownikach mamy odpowiednio [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ k + z }[/math], otrzymujemy natychmiast warunek [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math]^[a] oraz wzór

[math]\displaystyle{ \psi_n (z) = - \gamma + \sum_{k = 0}^n \int_0^1 (t^k - t^{k + z - 1})\,dt }[/math]

Dla skończonej liczby składników sumy możemy zamienić kolejność sumowania i całkowania. Wyłączając wspólny czynnik przed sumę, dostajemy

[math]\displaystyle{ \psi_n (z) = - \gamma + \int_0^1 (1 - t^{z - 1}) \left( \sum_{k = 0}^n t^k \right)\,dt }[/math]

Stosując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego o ilorazie [math]\displaystyle{ t }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \psi_n (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} (1 - t^{n + 1})\,dt = \underset{\psi (z)}{\underbrace{- \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt}} - \underset{R_n (z)}{\underbrace{\int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt}} }[/math]

Musimy wykazać, że całka

[math]\displaystyle{ R_n (z) = \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt }[/math]

dąży do zera, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] rośnie do nieskończoności. W tym celu dzielimy przedział całkowania na dwa obszary, wykorzystując punkt pomocniczy [math]\displaystyle{ \delta }[/math] z przedziału [math]\displaystyle{ (0, 1) }[/math].

[math]\displaystyle{ R_n (z) = \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt + \int_{\delta}^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \qquad\qquad (\ast) }[/math]

Szacujemy pierwszą całkę określoną w przedziale [math]\displaystyle{ [0, \delta] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right| \leqslant \int_0^{\delta} \left| {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1} \right|\,dt \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\, }[/math] (z twierdzenia D168)

[math]\displaystyle{ \leqslant \int_0^{\delta} {\small\frac{| 1 - t^{z - 1} |}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \leqslant \int_0^{\delta} {\small\frac{1 + | t^{z - 1} |}{1 - \delta}} t^{n + 1}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \int_0^{\delta} (1 + t^{\operatorname{Re}(z) - 1}) t^{n + 1}\,dt \qquad\qquad\qquad }[/math] (bo [math]\displaystyle{ 1 - \delta }[/math] to najmniejsza wartość mianownika dla [math]\displaystyle{ t \in [0, \delta] }[/math])

[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \int_0^{\delta} (t^{n + 1} + t^{n + \operatorname{Re}(z)})\,dt \qquad\qquad\qquad\;\, }[/math] (bo [math]\displaystyle{ | t^{z - 1} | = | t^{a + i b - 1} | = | t^{a - 1} \cdot t^{i b} | = | t^{a - 1} | \cdot | e^{i \cdot b \log t} | = t^{a - 1} }[/math])

[math]\displaystyle{ \leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \left( {\small\frac{\delta^{n + 2}}{n + 2}} + \frac{\delta^{n + \operatorname{Re}(z) + 1}}{n + \operatorname{Re}(z) + 1} \right) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \delta }[/math] jest mniejsza od [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to oba składniki dążą do zera wraz ze wzrostem liczby [math]\displaystyle{ n }[/math].

Szacujemy drugą całkę określoną w przedziale [math]\displaystyle{ [\delta, 1] }[/math]. Rozważmy występującą pod całką funkcję

[math]\displaystyle{ f(t) = {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} }[/math]

Jeśli dodefiniujemy [math]\displaystyle{ f(1) = z - 1 }[/math], to funkcja będzie funkcją ciągłą w przedziale [math]\displaystyle{ [\delta, 1] }[/math], bo

[math]\displaystyle{ \lim_{t \rightarrow 1} f (t) = \lim_{t \rightarrow 1} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} = \lim_{t \rightarrow 1} {\small\frac{- (z - 1) t^{z - 2}}{- 1}} = z - 1 }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left| \int_{\delta}^1 f (t) t^{n + 1}\,dt \right| \leqslant \int_{\delta}^1 | f (t) t^{n + 1} |\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, \leqslant \int_{\delta}^1 | f (t) | t^{n + 1}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, \leqslant M \int_{\delta}^1 t^{n + 1}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = M \cdot {\small\frac{1 - \delta^{n + 2}}{n + 2}} }[/math]

Pierwsza nierówność wynika z twierdzenia D168. Trzecią (i ostatnią) nierówność otrzymujemy z twierdzenia Weierstrassa zastosowanego do funkcji rzeczywistej [math]\displaystyle{ | f (t) | }[/math] określonej w przedziale domkniętym [math]\displaystyle{ [\delta, 1] }[/math]. Na mocy tego twierdzenia [math]\displaystyle{ | f (t) | }[/math] jest funkcją ograniczoną w przedziale [math]\displaystyle{ [\delta, 1] }[/math], czyli istnieje takie [math]\displaystyle{ M > 0 }[/math], że [math]\displaystyle{ | f (t) | \leqslant M }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ t \in [\delta, 1] }[/math].

Możemy teraz oszacować resztę [math]\displaystyle{ R_n (z) }[/math] daną wzorem [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant | R_n (z) | = \left| \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt + \int_{\delta}^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, \leqslant \left| \int_0^{\delta} {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right| + \left| \int_{\delta}^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} t^{n + 1}\,dt \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, \leqslant {\small\frac{1}{1 - \delta}} \left( {\small\frac{\delta^{n + 2}}{n + 2}} + \frac{\delta^{n + \operatorname{Re}(z) + 1}}{n + \operatorname{Re}(z) + 1} \right) + M \cdot {\small\frac{1 - \delta^{n + 2}}{n + 2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, < {\small\frac{\delta^{n + 1}}{1 - \delta}} \left( {\small\frac{\delta}{n + 2}} + \frac{\delta^{\operatorname{Re}(z)}}{n + \operatorname{Re}(z) + 1} \right) + {\small\frac{M}{n + 2}} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | R_n (z) | = 0 }[/math]. Pokazaliśmy tym samym, że

[math]\displaystyle{ \psi (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} \psi_n (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re} (z) > 0 }[/math]

Aby udowodnić drugi wzór

[math]\displaystyle{ \psi (z) = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{- \log t}} - {\small\frac{t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re} (z) > 0 }[/math]

skorzystamy z twierdzenia D167. Mamy

[math]\displaystyle{ \gamma = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt }[/math]

Podstawiając wyrażenie na [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] do wzoru na [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1}{\log t}} \right)\,dt + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = \int_0^1 \left( - {\small\frac{1}{\log t}} - {\small\frac{1}{1 - t}} + {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = \int_0^1 \left( {\small\frac{1}{- \log t}} - {\small\frac{t^{z - 1}}{1 - t}} \right)\,dt }[/math]

Co kończy dowód.

---

[a] Całka [math]\displaystyle{ \int_0^1 t^{z - 1}\,dt }[/math] jest niewłaściwa w punkcie [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math], bo łatwo wskazać wartości [math]\displaystyle{ z }[/math], dla których wyrażenie [math]\displaystyle{ t^{z - 1} }[/math] dąży do nieskończoności, gdy [math]\displaystyle{ t \rightarrow 0^+ }[/math]. W szczególności zauważmy, że całka jest rozbieżna, gdy [math]\displaystyle{ z = 0 }[/math]. Dlatego zapiszemy ją jako granicę

[math]\displaystyle{ \int_0^1 t^{z - 1}\,dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 t^{z - 1}\,dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( {\small\frac{t^z}{z}} \biggr\rvert_{\varepsilon}^{1} \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( {\small\frac{1^z}{z}} - {\small\frac{\varepsilon^z}{z}} \right) = {\small\frac{1}{z}} - {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon^z }[/math]

Zapisując [math]\displaystyle{ \varepsilon^z }[/math] w postaci wykładniczej, gdzie [math]\displaystyle{ z = x + iy }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \varepsilon^z = \varepsilon^{x + iy} = \varepsilon^x \cdot \varepsilon^{iy} = e^{x \log \varepsilon} \cdot e^{i y \log \varepsilon} }[/math]

Widzimy, że

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant | \varepsilon^z | = e^{\operatorname{Re}(z) \cdot \log \varepsilon} }[/math]

Zatem z twierdzenia o trzech funkcjach (zobacz D161 p.1) otrzymujemy natychmiast, że [math]\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon^z = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math].
□

Twierdzenie D170
Funkcja digamma ma następującą reprezentację całkową

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- zt}}{1 - e^{- t}}\,dt = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- t}}{t}} - {\small\frac{e^{- zt}}{1 - e^{- t}}} \right)\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math]

Dowód

W twierdzeniu D169 pokazaliśmy, że

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt \qquad\qquad\qquad \text{dla } \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math]

W całce stosujemy podstawienie [math]\displaystyle{ t = e^{- x} }[/math]. Otrzymujemy następujące zależności

[math]\displaystyle{ dt = - e^{- x}\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ t^{z - 1} = (e^{- x})^{z - 1} = e^{- xz + x} }[/math]

oraz nowe granice całkowania

•     gdy [math]\displaystyle{ t \to 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math]
•     gdy [math]\displaystyle{ t \to 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ x \to 0 }[/math]

Podstawiając do całki, mamy

[math]\displaystyle{ \int_0^1 {\small\frac{1 - t^{z - 1}}{1 - t}}\,dt = \int_{\infty}^0 {\small\frac{1 - e^{- xz + x}}{1 - e^{- x}}} (- e^{- x})\,dx = \int_0^{\infty} {\small\frac{1 - e^{- xz + x}}{1 - e^{- x}}} e^{- x}\,dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{- x} - e^{- zx}}{1 - e^{- x}}\,dx }[/math]

Skąd natychmiast wynika pierwszy dowodzony wzór (z wydzieloną stałą [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]).

Korzystamy teraz z reprezentacji całkowej stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (zobacz D167)

[math]\displaystyle{ \gamma = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^t - 1}} - {\small\frac{1}{t e^t}} \right)\,dt }[/math]

Łącząc obydwie znalezione całki, dostajemy

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{1}{e^t - 1}} - {\small\frac{1}{t e^t}} \right)\,dt + \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- zt}}{1 - e^{- t}}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = \int_0^{\infty} \left( - {\small\frac{e^{- t}}{1 - e^{- t}}} + {\small\frac{e^{- t}}{t}} \right)\,dt + \int_0^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- zt}}{1 - e^{- t}}\,dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = \int_0^{\infty} \left( {\small\frac{e^{- t}}{t}} - {\small\frac{e^{- zt}}{1 - e^{- t}}} \right)\,dt }[/math]

Co kończy dowód.
□