Wzór Eulera-Maclaurina

Z Henryk Dąbrowski
Skocz do: nawigacja, szukaj
29.05.2022



Wielomiany, liczby i funkcje okresowe Bernoulliego

Definicja E1
Wielomiany [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] spełniające warunki

●    [math]\displaystyle{ B_0(x) = 1 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}}B_n(x) = n B_{n - 1}(x) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ \int_0^1 B_n(t) d t = 0 \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]

będziemy nazywali wielomianami Bernoulliego[1][2][3][4].


Twierdzenie E2*
Wielomiany Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] określone są następującym wzorem ogólnym

[math]\displaystyle{ B_n(x) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j \binom{k}{j} (x + j)^n }[/math]


Przykład E3
W tabeli wypisaliśmy początkowe wielomiany Bernoulliego.


Przykład E4
Przedstawiamy wykresy wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]

Wykresy
E B123.png
E B345.png
E B567.png
E B789.png



Definicja E5
Liczbami Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] będziemy nazywali wartości wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ B_n = B_n (0) }[/math].


Uwaga E6
Ze wzoru podanego w twierdzeniu E2 wynika natychmiast wzór ogólny dla liczb Bernoulliego.

[math]\displaystyle{ B_n = B_n (0) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j \binom{k}{j} j^n }[/math]


Twierdzenie E7
Niech [math]\displaystyle{ B_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oznaczają odpowiednio wielomiany i liczby Bernoulliego. Prawdziwe są następujące wzory

Dowód

Punkt 1.

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ B_n (1) - B_n (0) = \int_0^1 B'_n (t) d t = n \int_0^1 B_{n - 1} (t) d t = 0 }[/math]

Punkt 2.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Załóżmy, że jest prawdziwy dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Z założenia mamy

[math]\displaystyle{ B_n (1 - x) = (- 1)^n B_n (x) }[/math]
[math]\displaystyle{ - {\small\frac{d}{d x}} B_{n + 1} (1 - x) = (- 1)^n {\small\frac{d}{d x}} B_{n + 1} (x) }[/math]

Całkując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_{n + 1} (1 - x) = (- 1)^{n + 1} B_{n + 1} (x) + C }[/math]

Wystarczy pokazać, że stała [math]\displaystyle{ C }[/math] jest równa zero, istotnie

[math]\displaystyle{ \int_0^1 B_{n + 1} (1 - t) d t = (- 1)^{n + 1} \int_0^1 B_{n + 1} (t) d t + C \int_0^1 d t }[/math]
[math]\displaystyle{ - \int_1^0 B_{n + 1}(u) d u = C }[/math]

Punkt 3.

Kładąc we wzorze 2. [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n = 2 k + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = - B_{2 k + 1} (0) }[/math]

ale ze wzoru 1. mamy [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = B_{2 k + 1} (0) }[/math], dodając równania stronami, dostajemy [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (1) = 0 }[/math].

Kładąc we wzorze 2. [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ n = 2 k + 1 }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

czyli [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = 0 }[/math].

Punkt 4.

Indukcja matematyczna. Dla ułatwienia rachunków połóżmy [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{y}{a}} }[/math], zatem będziemy dowodzili, że

[math]\displaystyle{ B_n (y) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) }[/math]

Bez trudu możemy sprawdzić prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{a - 1} B_1 \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) = \sum_{k = 0}^{a - 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} - {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{y}{a}} \cdot a - {\small\frac{1}{2}} \cdot a + \sum_{k = 0}^{a - 1} {\small\frac{k}{a}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = y - {\small\frac{a}{2}} + {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{a (a - 1)}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = y - {\small\frac{1}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = B_1 (y) }[/math]


Załóżmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Korzystając z definicji wielomianów Bernoulliego, możemy napisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 1} (y) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} {\small\frac{a}{n + 1}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) }[/math]

Całkując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_{n + 1} (y) = a^n \sum_{k = 0}^{a - 1} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) + C }[/math]

Wystarczy pokazać, że stała [math]\displaystyle{ C }[/math] jest równa zero. Mamy

[math]\displaystyle{ \int_0^1 \sum_{k = 0}^{a - 1} B_{n + 1} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) d y = \sum_{k = 0}^{a - 1} \int_0^1 \left[ {\small\frac{a}{n + 2}} {\small\frac{d}{d y}} B_{n + 2} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) \right] d y }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{a - 1} \left[ B_{n + 2} \left( {\small\frac{y + k}{a}} \right) \biggr\rvert_{0}^{1} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{a - 1} \left[ B_{n + 2} \left( {\small\frac{k + 1}{a}} \right) - B_{n + 2} \left( {\small\frac{k}{a}} \right) \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{a}{n + 2}} [B_{n + 2} (1) - B_{n + 2} (0)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\, = 0 }[/math]

dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]. Przekształcając skorzystaliśmy z faktu, że suma jest teleskopowa. Ponieważ [math]\displaystyle{ \int^1_0 B_{n + 1} (y) d y = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \int_0^1 C d t = C = 0 }[/math].

Punkt 5.

Połóżmy [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] we wzorze udowodnionym w punkcie 4. Mamy

[math]\displaystyle{ B_n (0) = a^{n - 1} \sum_{k = 0}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) = a^{n - 1} \sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) + a^{n - 1} B_n (0) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{a - 1} B_n \left( {\small\frac{k}{a}} \right) = \left( {\small\frac{1}{a^{n - 1}}} - 1 \right) B_n }[/math]

Punkt 6.

Kładąc [math]\displaystyle{ a = 2 }[/math] we wzorze 5, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B_n \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{2^{n - 1}}} - 1 \right) B_n }[/math]

Co należało udowodnić.

Punkt 7.

Wzór podany w punkcie 5. dla [math]\displaystyle{ n = 2 m }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 3 }[/math] przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^2 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{2}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Korzystając z punktu 2, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) = (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Punkt 8.

Wzór podany w punkcie 5. dla [math]\displaystyle{ n = 2 m }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 4 }[/math] przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^3 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{4}} \right) = (4^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{3}{4}} \right) = (2^{2 - 4 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Korzystając z punktów 6. i 2., dostajemy

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) + (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} + (- 1)^{2 m} B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = (2^{2 - 4 m} - 1) B_{2 m} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = B_{2 m} (2^{2 - 4 m} - 2^{1 - 2 m}) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{4}} \right) = 2^{- 2 m} (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Punkt 9.

Wzór podany w punkcie 5. dla [math]\displaystyle{ n = 2 m }[/math] i [math]\displaystyle{ a = 6 }[/math] przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^5 B_{2 m} \left( {\small\frac{k}{6}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{2}{3}} \right) + B_{2 m} \left( {\small\frac{5}{6}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Korzystając z udowodnionych wyżej wzorów, dostajemy

[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) + 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{3}} \right) = (6^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} - (2^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} = 6^{1 - 2 m} B_{2 m} - 2^{1 - 2 m} B_{2 m} = 2^{1 - 2 m} (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2 B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) = 2^{1 - 2 m} (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} - (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} = (2^{1 - 2 m} - 1) (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ B_{2 m} \left( {\small\frac{1}{6}} \right) = \tfrac{1}{2} (2^{1 - 2 m} - 1) (3^{1 - 2 m} - 1) B_{2 m} }[/math]



Przykład E8
W tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oraz minimalne [math]\displaystyle{ m_n }[/math] i maksymalne [math]\displaystyle{ M_n }[/math] wartości wielomianów [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ M_3 = {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \lt {\small\frac{3}{62}} }[/math], [math]\displaystyle{ \quad M_5 \lt {\small\frac{1}{40}} }[/math], [math]\displaystyle{ \quad M_7 \lt {\small\frac{1}{38}} \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad M_9 \lt {\small\frac{1}{21}} }[/math]


Przykład E9
Minima [math]\displaystyle{ m_n }[/math] i maksima [math]\displaystyle{ M_n }[/math] wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] są równe[5]


W zamieszczonej niżej tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oraz minimalne i maksymalne wartości wielomianów [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] w zapisie dziesiętnym.

Tabela

Pogrubiliśmy czcionkę w rzędzie, w którym wartości bezwzględne liczb [math]\displaystyle{ B_n, m_n, M_n }[/math] przyjmują najmniejszą wartość.



Definicja E10
Funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ P_n(x) = B_n(x - \lfloor x \rfloor) }[/math]


Uwaga E11
Inaczej mówiąc funkcja okresowa Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math], przyjmuje te same wartości, co wielomian Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math]. Wartości te powtarzają się dla kolejnych odcinków [math]\displaystyle{ [k, k + 1] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math].


Uwaga E12
Wprost z definicji funkcji okresowych Bernoulliego wynika, że dla [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ P_n (k) = B_n (k - \lfloor k \rfloor) = B_n (0) = B_n }[/math]


Twierdzenie E13
Własności funkcji okresowych Bernoulliego

●    funkcja [math]\displaystyle{ P_0 (x) }[/math] jest ciągła i różniczkowalna
●    funkcja [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] nie jest ciągła w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]
●    funkcja [math]\displaystyle{ P_2 (x) }[/math] jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]
●    dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są ciągłe i różniczkowalne
●    [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x) \qquad }[/math] o ile [math]\displaystyle{ n \neq 1, 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 1, 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ \int^x_0 P_n (t) d t = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} }[/math]
Dowód

Ciągłość funkcji okresowych Bernoulliego

Policzymy granice prawostronne i granice lewostronne funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] w punktach [math]\displaystyle{ x = k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} P_n (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} P_n (k + \varepsilon) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k + \varepsilon - \lfloor k + \varepsilon \rfloor) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k + \varepsilon - k) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (\varepsilon) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = B_n (0) }[/math]


[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^-} P_n (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} P_n (k - \varepsilon) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - \lfloor k - \varepsilon \rfloor) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - (k - 1)) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (k - \varepsilon - k + 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = \lim_{\varepsilon \to 0} B_n (1 - \varepsilon) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = B_n (1) }[/math]


Z punktu 1. twierdzenia E7 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ B_n (0) = B_n (1) }[/math]. Oprócz tego dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ B_0 (0) = B_0 (1) = 1 }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ B_1 (0) = - {\small\frac{1}{2}} \neq {\small\frac{1}{2}} = B_1 (1) }[/math]

Wynika stąd, że wszystkie funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są ciągłe poza funkcją [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math].


Różniczkowalność funkcji okresowych Bernoulliego

Pochodne funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są równe

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = {\small\frac{d}{d x}} B_n (x - \lfloor x \rfloor) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = n B_{n - 1} (x - \lfloor x \rfloor) \cdot \left( 1 - {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor \right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = n P_{n - 1} (x) \cdot \left( 1 - {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor \right) }[/math]


Zauważmy, że pochodna [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} \lfloor x \rfloor = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math], ale funkcja [math]\displaystyle{ \lfloor x \rfloor }[/math] nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]. Wiemy, że pochodna funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne w tym punkcie istnieją i są równe. Zatem musimy zbadać, czy pochodne prawostronne i lewostronne funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są równe w punktach [math]\displaystyle{ x = k }[/math]. Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x) }[/math]

a jednocześnie dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ P_{n - 1} (x) }[/math] są ciągłe, to

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} n P_{n - 1} (x) = \lim_{x \to k^-} n P_{n - 1} (x) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = \lim_{x \to k^-} {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) }[/math]

Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] pochodne prawostronne i lewostronne funkcji [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są równe w punktach [math]\displaystyle{ x = k }[/math]. Zatem funkcje [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są różniczkowalne w tych punktach.


Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ P_0 (x) = B_0 (x - \lfloor x \rfloor) = 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ P_0 (x) }[/math] jest ciągła i różniczkowalna.

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] wiemy już, że funkcja [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] nie jest ciągła w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math], zatem nie jest w nich różniczkowalna.

Dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} 2 P_1 (x) = 2 B_1 (0) = - 1 \neq 1 = 2 B_1 (1) = \lim_{x \to k^-} 2 P_1 (x) }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to k^+} {\small\frac{d}{d x}} P_2 (x) \neq \lim_{x \to k^-} {\small\frac{d}{d x}} P_2 (x) }[/math]

Zatem funkcja [math]\displaystyle{ P_2 (x) }[/math] nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math].


Przeprowadzane wyżej rozważania dotyczące ciągłości i różniczkowalności funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] stanowią dowody pierwszych pięciu punktów twierdzenia.


Punkt 6.

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math] jest funkcją okresową o okresie równym [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] i całce na odcinku [math]\displaystyle{ [0, x - \lfloor x \rfloor] }[/math].

[math]\displaystyle{ \int^x_0 P_n (t) d t = \int_{0}^{\lfloor x \rfloor} P_n (t) d t + \int^x_{\lfloor x \rfloor} P_n (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \lfloor x \rfloor \int^1_0 P_n (t) d t + \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} P_n (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} B_n (t - \lfloor t \rfloor) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} B_n (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} \left [ {\small\frac{d}{d t}} B_{n + 1} (t) \right ] d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot B_{n + 1} (t) \biggr\rvert_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{n + 1}} [B_{n + 1} (x - \lfloor x \rfloor) - B_{n + 1} (0)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} }[/math]



Przykład E14
Przedstawiamy przykładowe wykresy funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math]. Stanowią one bardzo dobrą ilustrację do twierdzenia E13.

Wykresy
E P1.png
E P2.png
E P3.png
E P4.png
E P5.png
E P6.png
E P7.png
E P8.png




Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina

Uwaga E15
Często w twierdzeniu musimy założyć, że rozważana funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest określona w pewnym zbiorze liczb rzeczywistych i jest funkcją ciągłą oraz wszystkie jej pochodne od [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] do [math]\displaystyle{ f^{(n)} (x) }[/math] istnieją i są ciągłe w tym zbiorze. Przekazanie tego prostego założenia wymaga użycia wielu słów, a samo twierdzenie staje się mało czytelne. Ze względów czysto praktycznych wprowadzamy pojęcie klasy funkcji.


Definicja E16
Funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określoną i ciągłą w zbiorze [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{R} }[/math] i mającą kolejno [math]\displaystyle{ n }[/math] ciągłych pochodnych w tym zbiorze będziemy nazywali funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ A }[/math], to powiemy, że jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math] dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} }[/math]. W przypadku, gdy chcemy jednocześnie zaznaczyć dziedzinę funkcji, to stosujemy zapis [math]\displaystyle{ C^0 (A) }[/math], [math]\displaystyle{ C^n (A) }[/math] i [math]\displaystyle{ C^{\infty} (A) }[/math].


Przykład E17
Tylko dla potrzeb tego przykładu funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określoną następująco

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} g (x) & & x \lt 0\\ h (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

będziemy zapisywali jako [math]\displaystyle{ f(x) = \left \{ g (x) \big\rvert h (x) \right \} }[/math].


Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^0 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ - x \big\rvert x \right \} }[/math] czyli [math]\displaystyle{ | x | }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 \big\rvert e^x \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 + x \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^1 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^2 \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 + x \big\rvert e^x \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 \sqrt{x^2} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^3 \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert e^x \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ x \big\rvert \sin (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^3 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^4 \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{6} x^3 \big\rvert e^x \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 1 - \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^n (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ P_{n + 2} (x) }[/math],    [math]\displaystyle{ x^n \sqrt{x^2} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^{n + 1} \right \} }[/math],    [math]\displaystyle{ \left\{ \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^k}{k!} \biggr\rvert e^x \right\} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ e^x }[/math],    [math]\displaystyle{ \sin (x) }[/math],    [math]\displaystyle{ \cos (x) }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} (\mathbb{R}_+) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math],    [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math],    [math]\displaystyle{ \log x }[/math]


Twierdzenie E18
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją rzeczywistą klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [k, k + 1] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli zastąpimy na jednostkowym odcinku pole prostokąta całką, to błąd jaki popełnimy jest równy

[math]\displaystyle{ f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]
Dowód

Całkując przez części, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_k^{k + 1} f(t) d t = f(t) \cdot t \biggr\rvert_{k}^{k+1} - \int_k^{k + 1} f'(t) \cdot t d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \, = (k + 1) \cdot f(k + 1) - k \cdot f(k) - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \, = k \cdot f(k + 1) + f(k + 1) - k \cdot f(k) - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \, = f(k + 1) + \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t - \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]

Zatem poszukiwaną różnicę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = f(k) - f(k + 1) - \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t + \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ = - \int_k^{k + 1} f'(t) d t - \int_k^{k + 1} k \cdot f'(t) d t + \int_k^{k + 1} t \cdot f'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ = \int_k^{k + 1} (t - k - 1) f'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ = \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]

Co należało pokazać.


Zadanie E19
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]
Rozwiązanie

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ (x - \lfloor x \rfloor)^n }[/math] jest funkcją okresową o okresie równym [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] i całce na odcinku [math]\displaystyle{ [0, x - \lfloor x \rfloor] }[/math].

[math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = \int_{0}^{\lfloor x \rfloor} (t - \lfloor t \rfloor)^n d t + \int^x_{\lfloor x \rfloor} (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot \int^1_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t + \int^{x - \lfloor x \rfloor}_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot \int^1_0 t^n d t + \int_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} t^n d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{t^{n + 1}}{n + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} + {\small\frac{t^{n + 1}}{n + 1}} \biggr\rvert_{0}^{x - \lfloor x \rfloor} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \lfloor x \rfloor \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{(x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]

Co należało pokazać.


Twierdzenie E20
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją rzeczywistą klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [a, b] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math]. Możemy zastąpić sumowanie całkowaniem, stosując wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t }[/math]

Powyższy wzór można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b P_1(t) f'(t) d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P_1(t) }[/math] jest funkcją okresową Bernoulliego.

Dowód

Sumując uzyskany w twierdzeniu E18 związek od [math]\displaystyle{ k = a }[/math] do [math]\displaystyle{ k = b - 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b - 1} f(k) - \int^b_a f(t) d t = \int_a^b (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]

Dodając do obydwu stron [math]\displaystyle{ f(b) }[/math] i przekształcając prawą stronę, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = f(b) + \int^b_a f(t) d t + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t - {\small\frac{1}{2}} f(b) + {\small\frac{1}{2}} f(a) }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \int^b_a f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t }[/math]


Uwaga E21
Czytelnik zapewne już domyśla się, w jakim kierunku zmierzamy. Całkując przez części i korzystając z własności funkcji okresowych Bernoulliego, przekształcimy całkę [math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t }[/math] do postaci [math]\displaystyle{ \int_a^b P_2 (t) f'' (t) d t }[/math], a następnie do postaci [math]\displaystyle{ \int_a^b P_3 (t) f^{(3)} (t) d t }[/math] itd.


Twierdzenie E22
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_n(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]
Dowód

Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Rozważmy całkę [math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t }[/math] na odcinku [math]\displaystyle{ [k, k + 1] \subset [a, b] }[/math]. Całkując przez części, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_k^{k + 1} P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(t) g(t) \biggr\rvert_{k}^{k + 1} - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(k + 1) g(k + 1) - {\small\frac{1}{n + 1}} P_{n + 1}(k) g(k) - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} \cdot g (k + 1) - {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} \cdot g (k) - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\: = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \cdot [g (k + 1) - g (k)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_k^{k + 1} P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

Przekształcając, skorzystaliśmy z faktu, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ P_{n + 1} (k + 1) = P_{n + 1} (k) = B_{n + 1} }[/math]


Sumując po [math]\displaystyle{ k }[/math] od [math]\displaystyle{ k = a }[/math] do [math]\displaystyle{ k = b - 1 }[/math], natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]

Co należało udowodnić.


Twierdzenie E23
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^k ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]
Dowód

Indukcja matematyczna. Dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \frac{B_{n + 1}}{n + 1} [g (b) - g (a)] - \frac{1}{n + 1} \int_a^b P_{n + 1} (t) g^{(1)} (t) d t }[/math]

Czyli wzór udowodniony w twierdzeniu E22. Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zauważmy, że z tego samego twierdzenia natychmiast wynika, że

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t = \frac{B_{n + k + 1}}{n + k + 1} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] - \frac{1}{n + k + 1} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t }[/math]


Korzystając z powyższego wyniku, przy założeniu, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \left[ \frac{B_{n + k + 1}}{n + k + 1} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] - \frac{1}{n + k + 1} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 2} n! \cdot B_{n + k + 1}}{(n + k + 1) !} [g^{(k)} (b) - g^{(k)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 1} n!}{(n + k + 1) !} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{j = 1}^{k + 1} \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^{k + 1} n!}{(n + k + 1) !} \int_a^b P_{n + k + 1} (t) g^{(k + 1)} (t) d t }[/math]


Tym samym pokazaliśmy prawdziwość dowodzonego wzoru dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]. Na mocy zasady indukcji matematycznej dowodzony wzór jest prawdziwy dla wszystkich [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math].


Twierdzenie E24 (wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina, [math]\displaystyle{ \sim }[/math]1735)
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Dowód

Lewą stronę wzoru udowodnionego w twierdzeniu E23

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + \frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]

chcemy przekształcić do postaci, która występuje po prawej stronie wzoru z twierdzenia E20. Jeżeli położymy [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ g(t) = f' (t) = f^{(1)} (t) }[/math], to dostaniemy

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} \cdot B_{j + 1}}{(j + 1) !} [f^{(j)} (b) - f^{(j)} (a)] + \frac{(- 1)^k}{(k + 1) !} \int_a^b P_{k + 1} (t) f^{(k + 1)} (t) d t }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ k = r - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{j = 1}^{r - 1} \frac{(- 1)^{j + 1} \cdot B_{j + 1}}{(j + 1) !} [f^{(j)} (b) - f^{(j)} (a)] + \frac{(- 1)^{r - 1}}{r!} \int_a^b P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Ponieważ litera [math]\displaystyle{ k }[/math] już nie występuje we wzorze, to wykorzystamy ją jako nowy wskaźnik sumowania. Od sumowania po [math]\displaystyle{ j }[/math] przejdźmy do sumowania po [math]\displaystyle{ k = j + 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ k }[/math] zmienia się teraz od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ r }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t = \sum_{k = 2}^r \frac{(- 1)^k \cdot B_k}{k!} [f^{(k - 1)} (b) - f^{(k - 1)} (a)] - \frac{(- 1)^r}{r!} \int_a^b P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Podstawiając powyższy wzór do twierdzenia E20, otrzymujemy, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r ( [a, b] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{(- 1)^k B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ (- 1)^k B_k = B_k }[/math], bo dla nieparzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ (- 1)^k B_k = 0 = B_k }[/math], a dla parzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ (- 1)^k B_k = B_k }[/math]. Czynnik [math]\displaystyle{ (- 1)^k }[/math] został dodany tylko dla potrzeb dowodu indukcyjnego twierdzenia E23. Zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Co należało pokazać.


Uwaga E25
Uwzględniając, że dla nieparzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ B_k = 0 }[/math], możemy dla parzystego [math]\displaystyle{ r = 2 s }[/math] napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t }[/math]


W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 2 s + 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ B_{2 s + 1} = 0 }[/math], zatem nie pojawi się nowy składnik sumy, ale ostatni wyraz ulegnie zmianie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] + {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1}(t) f^{(2 s + 1)}(t) d t }[/math]


Oczywiście

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t = {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1} (t) f^{(2 s + 1)} (t) d t }[/math]

(zobacz twierdzenie E22).


Uwaga E26
Poniżej wypisaliśmy gotowe wzory Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1, \ldots, 9 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + Q_r }[/math]

gdzie


Nim przejdziemy do przykładów, przypomnimy kilka podstawowych definicji i twierdzeń dotyczących całek niewłaściwych.



Całki niewłaściwe – zbieżność i kryteria zbieżności

Definicja E27
Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie określona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] i całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] tego przedziału. Granicę

[math]\displaystyle{ \lim_{b \to + \infty} \int^b_a f(x) d x }[/math]

będziemy nazywali całką niewłaściwą funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w granicach od [math]\displaystyle{ a }[/math] do [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] i zapisywali symbolicznie jako

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Jeżeli powyższa granica jest skończona, to powiemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to powiemy, że całka jest rozbieżna.


Twierdzenie E28 (kryterium porównawcze)
Jeżeli dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) }[/math]

to

●    ze zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] wynika zbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]
●    z rozbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] wynika rozbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math]
Dowód

Punkt 1.

Niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math] będzie wybrane dowolnie, ale tak, aby [math]\displaystyle{ m \gt a }[/math]. Ponieważ z założenia funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] są całkowalne w dowolnym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math], to całki

[math]\displaystyle{ \int^m_a f(x) d x \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \int^m_a g(x) d x }[/math]

istnieją, a ich wartość nie wpływa na zbieżność / rozbieżność odpowiednich całek niewłaściwych. Zatem możemy ograniczyć się do badania zbieżności całek

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \int_{m}^{\infty} g(x) d x }[/math]

Niech dla [math]\displaystyle{ k \geqslant m }[/math] ciąg [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math] będzie rosnącym ciągiem kolejnych całek oznaczonych

[math]\displaystyle{ U_k = \int_m^k f(x) d x }[/math]

Ponieważ z założenia dla [math]\displaystyle{ x \geqslant m \gt a }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) }[/math]

to ciąg [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math] jest ograniczony od góry

[math]\displaystyle{ U_k = \int^k_m f(x) d x \leqslant \int^k_m g(x) d x \leqslant \int_{m}^{\infty} g(x) d x }[/math]

bo założyliśmy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} g(x) d x }[/math] jest zbieżna. Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (U_k) }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, to jest zbieżny. Wynika stąd, kolejno, istnienie granic


1. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{k \to \infty} U_k = g }[/math]


2. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{k \to \infty} \int_{k}^{k + 1} f(x) d x = \lim_{k \to \infty} U_{k + 1} - \lim_{k \to \infty} U_k = g - g = 0 }[/math]


3. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{b \to \infty} \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) = 0 }[/math]


4. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{b \to \infty} \int^b_m f(x) d x = \lim_{b \to \infty} \left[ \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) + U_{\lfloor b \rfloor} \right] = \lim_{b \to \infty} \left( \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} \right) + \lim_{k \to \infty} U_{\lfloor b \rfloor} = 0 + g = g }[/math]


Trzecia granica wymaga krótkiego omówienia. Prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int^b_m f(x) d x - U_{\lfloor b \rfloor} = \int^b_m f(x) d x - \int_{m}^{\lfloor b \rfloor} f(x) d x = \int^b_{\lfloor b \rfloor} f(x) d x \leqslant \int^{\lfloor b \rfloor + 1}_{\lfloor b \rfloor} f(x) d x }[/math]

Wystarczy zauważyć, że w granicy dla [math]\displaystyle{ b \rightarrow \infty }[/math] ostatni wyraz po prawej stronie dąży do zera (granica nr 2).

Zatem całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna. Co kończy dowód punktu 1.


Punkt 2.

Z założenia całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest rozbieżna. Przypuśćmy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] jest zbieżna. Jeśli tak, to na podstawie udowodnionego już punktu 1. całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] musiałaby być zbieżna, wbrew założeniu, że jest rozbieżna. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nasze przypuszczenie o zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] jest fałszywe. Co kończy dowód punktu 2.


Twierdzenie E29
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] i całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] jest zbieżna, to zbieżna jest też całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]. O całce [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] powiemy wtedy, że jest bezwzględnie zbieżna.

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) + | f(x) | \leqslant 2 | f(x) | }[/math]

to z kryterium porównawczego wynika, że całka

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} (f(x) + | f(x) |) d x }[/math]

jest zbieżna. Zatem całka

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x = \int_{a}^{\infty} (f(x) + | f(x) |) d x - \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math]

jest różnicą całek zbieżnych i również musi być zbieżna.


Twierdzenie E30
Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] jest zbieżna, a funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, to zbieżna jest też całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x }[/math].

Dowód

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] jest [math]\displaystyle{ | g(x) | \leqslant M }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] prawdziwy jest układ nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{M}} | f(x) g(x) | \leqslant | f(x) | }[/math]

Zatem na podstawie kryterium porównawczego ze zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] wynika zbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x }[/math].


Twierdzenie E31
Niech [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] oznacza funkcję pierwotną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math] jest skończona.

Dowód

Z definicji całki niewłaściwej mamy

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(t) d t = \lim_{b \to \infty} \int^b_a f(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = \lim_{b \to \infty} \biggl[ F(t) \biggr\rvert_{a}^{b} \biggr] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = \lim_{b \to \infty} [F (b) - F (a)] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; = - F (a) + \lim_{b \to \infty} F (b) }[/math]

Zauważmy, że aby możliwe było rozważanie, czy całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] jest zbieżna, muszą być spełnione warunki dodatkowe, których już jawnie nie wypisaliśmy

●    funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] musi być określona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math]
●    funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] musi być całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, \infty) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \int^b_a f(t) d t = F(b) - F(a) }[/math], to wartość [math]\displaystyle{ F(a) }[/math] musi być skończona. Zatem granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math] jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granica [math]\displaystyle{ \lim_{b \to \infty} \int^b_a f (t) d t }[/math] jest skończona. Co należało pokazać.


Twierdzenie E32
Jeżeli

●    funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją ciągłą i ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]
●    całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] jest zbieżna
●    funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math], czyli dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] jest

1. [math]\displaystyle{ \qquad m \leqslant g (x) \leqslant M }[/math]

      lub

2. [math]\displaystyle{ \qquad | g (x) | \leqslant L }[/math]
●    całka [math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x }[/math] istnieje dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]

to całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] są zbieżne i prawdziwe są następujące oszacowania

1. [math]\displaystyle{ \qquad s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math]

lub

2. [math]\displaystyle{ \qquad \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math].

Dowód

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f (t) }[/math] ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math], zatem mamy

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t = s \int_{a}^{\infty} [s \cdot f (t)] d t = s \int_{a}^{\infty} | f (t) | d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]. Czyli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) d t }[/math] jest bezwzględnie zbieżna. Ponieważ z założenia funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, to z twierdzenia E30 wynika, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (t) g (t) | d t }[/math] jest zbieżna, zatem jest też zbieżna całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (t) g (t) d t }[/math] (twierdzenie E29).

Przypadek 1.

Funkcja [math]\displaystyle{ s \cdot f (t) }[/math] jest dodatnia, gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]. Stąd i z założonej postaci ograniczenia funkcji [math]\displaystyle{ g (t) }[/math] wynika, że prawdziwy jest następujący układ nierówności

[math]\displaystyle{ s \:\! m f (x) \leqslant s f (x) g (x) \leqslant s M f (x) }[/math]

Wynika stąd odpowiedni układ nierówności dla całek oznaczonych właściwych

[math]\displaystyle{ s \:\! m \int^b_a f (x) d x \leqslant s \int^b_a f (x) g (x) d x \leqslant s M \int^b_a f (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]. Ponieważ całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] są zbieżne, to uprawnione jest przejście do granicy i w granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math]

Przypadek 2.

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ | f (t) | }[/math] jest dodatnia, to prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ | g (x) | \cdot | f (x) | \leqslant L | f (x) | }[/math]

Wynika stąd oszacowanie dla całek oznaczonych właściwych

[math]\displaystyle{ \int^b_a | f (x) g (x) | d x \leqslant L \int^b_a | f (x) | d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \, = s L \int^b_a f (x) d x }[/math]
[math]\displaystyle{ \, = L \left| \int^b_a f (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]. Ponieważ całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] i [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x }[/math] są zbieżne, to możemy przejść do granicy i w granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right| }[/math]

Co należało pokazać.


Twierdzenie E33
Niech [math]\displaystyle{ P_n(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math], jest zbieżna.

Dowód

Funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{t^{\alpha}}} }[/math] spełnia warunki

●    jest ciągła i nie zmienia znaku w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]
●    całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{d t}{t^{\alpha}}} = {\small\frac{1}{\alpha - 1}} }[/math] jest zbieżna

Funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math] są zdefiniowane wzorem

[math]\displaystyle{ P_r(t) = B_r(t - \lfloor t \rfloor) }[/math]

a wielomiany Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_r(t) }[/math] są ograniczone w przedziale [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math][6] (zobacz przykład E9), wynika stąd, że [math]\displaystyle{ P_r(t) }[/math] są funkcjami ograniczonymi. Zatem z twierdzenia E32 otrzymujemy natychmiast, że całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math] jest zbieżna.


Twierdzenie E34
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], jest zbieżna.

Dowód

W przypadku funkcji [math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{t^{\varepsilon}}} }[/math] z twierdzenia E22 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_1^b {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \left[ {\small\frac{1}{b^{\varepsilon}}} - 1 \right] + {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 + \varepsilon}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t = - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} + {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 + \varepsilon}}} d t }[/math]

Ponieważ na mocy twierdzenia E33 całka po prawej stronie jest zbieżna, to jest też zbieżna całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{t^{\varepsilon}}} d t }[/math]. Co należało pokazać.


Zadanie E35
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} P_n (t) t^{\varepsilon} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math], jest rozbieżna.

Rozwiązanie

W przypadku funkcji [math]\displaystyle{ g(t) = t^{\varepsilon} }[/math] z twierdzenia E22 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_1^b P_n(t) t^{\varepsilon} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [b^{\varepsilon} - 1] - {\small\frac{\varepsilon}{n + 1}} \int_1^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 - \varepsilon}}} d t }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t^{1 - \varepsilon}}} d t }[/math] jest zbieżna, ale pierwszy wyraz po prawej stronie jest rozbieżny, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, zatem cała prawa strona jest rozbieżna.


Zadanie E36
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t }[/math]

jest zbieżna.

Rozwiązanie

W przypadku funkcji [math]\displaystyle{ g(t) = {\small\frac{1}{\log t}} }[/math] z twierdzenia E22 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_2^b {\small\frac{P_n(t)}{\log t}} d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} \left[ {\small\frac{1}{\log b}} - {\small\frac{1}{\log 2}} \right] + {\small\frac{1}{n + 1}} \int_2^b {\small\frac{P_{n + 1}(t)}{t \cdot \log^2 t}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ b }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t = - {\small\frac{B_{n + 1}}{(n + 1) \log 2}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \int_2^{\infty} {\small\frac{P_{n + 1} (t)}{t \cdot \log^2 t}} d t }[/math]

Ponieważ na mocy twierdzenia E34 całka po prawej stronie jest zbieżna, to jest też zbieżna całka [math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t }[/math].


Zadanie E37
Niech [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego oraz prawdziwe będzie następujące oszacowanie funkcji [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math]

[math]\displaystyle{ m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r }[/math]

Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] jest

[math]\displaystyle{ {\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math]
Rozwiązanie

Zauważmy, że

  • funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{t^{\alpha}}} }[/math] jest funkcją ciągłą i zachowuje stały (dodatni) znak w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]
  • całka [math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{d t}{t^{\alpha}}} = {\small\frac{1}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math] jest zbieżna
  • funkcja [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math] jest ograniczona i z założenia prawdziwy jest układ nierówności [math]\displaystyle{ m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r }[/math]
  • całka [math]\displaystyle{ \int^b_n P_r (t) d t }[/math] istnieje dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt n }[/math]

Zatem spełnione są założenia twierdzenia E32 i natychmiast otrzymujemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math] jest zbieżna i prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math]

Co należało pokazać.


Podamy teraz kryterium Dirichleta, dzięki któremu moglibyśmy natychmiast uzyskać dowody twierdzeń E33 i E34 oraz rozwiązanie zadania E36. Celowo nie stosowaliśmy tego kryterium, aby Czytelnik mógł zapoznać się z ciekawym zastosowaniem twierdzenia E22.

Twierdzenie E38* (kryterium Dirichleta)
Jeżeli funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] są całkowalne w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] oraz spełniają warunki

●    całka z funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ograniczona, czyli istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f(x) d x \right| \leqslant M }[/math]
●    funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest funkcją monotoniczną (czyli malejącą lub rosnącą)
●    [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} g (x) = 0 }[/math]

to całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] jest zbieżna.


Zadanie E39
Korzystając z kryterium Dirichleta, pokazać, że całki

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x = {\small\frac{1}{2}} \pi }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} {\small\frac{P_1 (x)}{\log x}} d x = - 0.117923474371 \ldots }[/math]

są zbieżne.

Rozwiązanie

Punkt 1.

Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ {\small\frac{\sin x}{x}} }[/math] jest ciągła w punkcie [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]. Mamy też [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} {\small\frac{\sin x}{x}} = 1 }[/math]. Oszacowanie całki jest natychmiastowe

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_0 \sin t d t \right| = \biggl| - \cos t \big\rvert_{0}^{b} \biggr| = | - \cos b + 1 | \leqslant 2 }[/math]

Zatem z kryterium Dirichleta wynika, że całka [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x }[/math] jest zbieżna.

Punkt 2.

Ponieważ [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] jest funkcją okresową o okresie równym [math]\displaystyle{ 1 }[/math], to całka oznaczona będzie równa sumie wielokrotności całek na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] i całce na odcinku [math]\displaystyle{ [0, x - \lfloor x \rfloor] }[/math]. Pamiętając o tym, że

[math]\displaystyle{ \int^1_0 P_1 (t) d t = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int B_n (x) = {\small\frac{1}{n + 1}} B_{n + 1} (x) }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int^b_2 P_1 (t) d t = (\lfloor b \rfloor - 2) \cdot \int^1_0 P_1 (t) d t + \int_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} P_1 (t) d t = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = \int_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} B_1 (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{1}{2}} B_2 (t) \biggr\rvert_{0}^{b - \lfloor b \rfloor} }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = {\small\frac{1}{2}} (B_2 (b - \lfloor b \rfloor) - B_2 (0)) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \left| \int^b_2 P_1 (t) d t \right| = {\small\frac{1}{2}} | B_2 (b - \lfloor b \rfloor) - B_2 | \leqslant {\small\frac{1}{2}} (| B_2 (b - \lfloor b \rfloor) | + | B_2 |) \leqslant B_2 }[/math]

bo [math]\displaystyle{ | B_{2 k}(x) | \leqslant | B_{2 k} | }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math][7][8].

Z kryterium Dirichleta wynika natychmiast, że całka [math]\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} P_1 (t) d t }[/math] jest zbieżna.



Przykłady

Przykład E40
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n k^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ f(t) = t^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ f'(t) = 2 t }[/math], [math]\displaystyle{ f''(t) = 2 }[/math], a dla [math]\displaystyle{ i \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ f^{(i)}(t) = 0 }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ r = 3 }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{6}} \int_1^n P_3(t) f^{(3)}(t) d t }[/math] jest równy zero i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1) }[/math]


Przykład E41
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Wiemy, że przypadku szeregu nieskończonego jest

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848226436472415166646 \ldots }[/math]


Dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{12} ( 9 - \pi^2 ) }[/math].

Jeżeli tak, to możemy sumę zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\:\, = {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]


Ponieważ dla [math]\displaystyle{ P_1(t) = t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} \leqslant P_1(t) \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math], to korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 n^2}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t \leqslant {\small\frac{1}{4 n^2}} }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \geqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} }[/math]

Jeśli we wzorze Eulera-Maclaurina uwzględnimy więcej wyrazów, to otrzymamy dokładniejsze oszacowania.


Przykład E42
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane[9]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2k \cdot n^{2 k}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} - {\small\frac{1}{132 n^{10}}} + \cdots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.57721566490153286060651209 \ldots }[/math] jest stałą Eulera.


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{2 n}} - \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n \right) = {\small\frac{1}{2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t }[/math]

Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} - \gamma }[/math].


Zastosujemy teraz wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 3 }[/math] i znajdziemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^n {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{12}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t = \gamma }[/math]

Dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]


Ponieważ prawdziwe są oszacowania (zobacz przykłady E8 i E9)

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \leqslant P_3 (t) \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} }[/math]

to korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \leqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \geqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ n = 10^6 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 0.5772156649015328605 \leqslant \gamma \leqslant 0.5772156649015328607 }[/math]


Przykład E43
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k }[/math]

Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane[10]

[math]\displaystyle{ \log n! = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2 k (2 k - 1) \cdot n^{2 k - 1}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{1260 n^5}} - {\small\frac{1}{1680 n^7}} + {\small\frac{1}{1188 n^9}} - \cdots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) = 0.91893853320467274178 \ldots }[/math]


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1(t)}{t}} d t }[/math]

Z twierdzenia E34 wiemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t }[/math] jest zbieżna, a z rozwinięcia asymptotycznego wiemy, że granica po lewej stronie jest równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) }[/math], zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = \tfrac{1}{2} \log (2 \pi) - 1 }[/math]


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i jest równa stałej – w tym przypadku [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) }[/math]. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} d t - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]


Z przykładów E8 i E9 wiemy, że prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}} }[/math]

Zatem korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{90 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{720 n^3}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{7}{2880 n^3}} \leqslant - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{360 n^3}} }[/math]


Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k \leqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k \geqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{192 n^3}} }[/math]

Oczywiście, podobnie jak w poprzednim przykładzie, powyższe nierówności mogą służyć do wyznaczenia wartości stałej.


Przykład E44
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} - \left( {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]


Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i jest równa pewnej stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]


Z przykładów E8 i E9 wiemy, że prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}} }[/math]

Zatem korzystając z pokazanego w zadaniu E37 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{75}} n^{- 5 / 2} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{600}} n^{- 5 / 2} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{7}{15360}} n^{- 5 / 2} \leqslant - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} }[/math]


I otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \leqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \geqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1024}} n^{- 5 / 2} }[/math]

Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ n = 10^6 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - 0.207886224977354567 \leqslant C \leqslant - 0.207886224977354565 }[/math]


Przykład E45
Pokażemy, dlaczego lepiej wybrać wartość [math]\displaystyle{ r }[/math] za dużą niż za małą i dlaczego należy sprawdzać zbieżność całki

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

korzystając z kryterium Dirichleta (twierdzenie E38) lub z twierdzenia E34. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^n \sqrt{t} \cdot P_1 (t) d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} \right) \right] = {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^{\infty} \sqrt{t} \cdot P_1(t) d t }[/math]

Jeszcze nie wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione – lewa strona jest rozbieżna. Podobnie rozbieżna jest całka po prawej stronie – rozbieżność tej całki informuje nas, że wybraliśmy za małą wartość [math]\displaystyle{ r }[/math].


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^n {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t }[/math]

Całka po prawej stronie jest zbieżna, co wynika z kryterium Dirichleta. Zatem i lewa strona jest zbieżna, czyli wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione. Możemy to łatwo sprawdzić, obierając większą wartość [math]\displaystyle{ r }[/math].


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{49}{1920}} + {\small\frac{1}{1920}} n^{- 3 / 2} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{5 / 2}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{49}{1920}} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^{5 / 2}}} d t }[/math]


Uwaga E46
Rozwiązując przykłady znaleźliśmy wartości następujących całek oznaczonych

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} - \gamma }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{9 - \pi^2}{12}} }[/math]


Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] ma ciągłą pochodną w [math]\displaystyle{ [a, b] \subset \mathbb{R} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f (t) = 0 }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_{n + 1} (t) f'(t) d t = - B_{n + 1} f(a) - (n + 1) \int_a^{\infty} P_n(t) f(t) d t }[/math]

(Jest to prosty wniosek z twierdzenia E22).


Powyższy rezultat możemy wykorzystać do wyliczenia kolejnych całek zawierających funkcje okresowe Bernoulliego. Przykładowo mamy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^2}} d t = \log (2 \pi) - {\small\frac{11}{6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{7}{12}} - \gamma }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^4}} d t = {\small\frac{10 - \pi^2}{18}} }[/math]



Metody wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina

Uwaga E47
W przedstawionych wyżej przykładach wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina (przykład E42 i E44) oraz pokazaliśmy, że wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest związana z wartością stałej (przykład E41, E42 i E43). Obecnie dokładnie omówimy ten problem.


Twierdzenie E48
Jeżeli założymy, że

●    całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math] nie zawiera wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ x }[/math] (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f(t) d t = F(b) - F(a) }[/math] i nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
●    dla pewnego [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest zbieżna

to wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]
Dowód

Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest zbieżna, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = F(b) - F(a) + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \left[ - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t \right] + \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]

Co należało pokazać.


Uwaga E49
We wzorze

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

składnik [math]\displaystyle{ C(a) }[/math] jest wartością stałej [math]\displaystyle{ C }[/math] we wzorze Eulera-Maclaurina, a [math]\displaystyle{ E(b) }[/math] zwraca kolejne wyrazy rozwinięcia. Pokażemy, że wartość tej stałej możemy wyliczyć bezpośrednio ze wzoru

[math]\displaystyle{ C = C (a) }[/math]

lub metodą pośrednią, wykorzystując związek

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - E (b) }[/math]

W obydwu przypadkach obliczenia wykonamy dla znanej już Czytelnikowi sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math] (przykład E38).


Przykład E50
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} }[/math]

to wzór na wartość stałej z twierdzenia E47

[math]\displaystyle{ C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ C(1) = - \log (1) + {\small\frac{1}{2}} - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{k - 1} (k - 1) !}{x^k}} - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) \cdot {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ C(1) = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{r + 1}}} d t }[/math]

Oznaczmy

[math]\displaystyle{ C_r = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} }[/math]
[math]\displaystyle{ I_r = - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{r + 1}}} d t }[/math]

Wartość [math]\displaystyle{ I_r }[/math] obliczymy numerycznie w programie PARI/GP poleceniem

Int(r) = - intnum(t=1,+oo, P(r,t)/t^(r+1), 12 )

gdzie

P(r, t) = B(r, t - floor(t))

jest funkcją okresową Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math].

Ponieważ wyliczenie wartości [math]\displaystyle{ C_r }[/math] jest bardzo łatwe, to w tabeli przedstawiamy jedynie wartość całki [math]\displaystyle{ I_r }[/math] oraz wielkość błędu, z jakim wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina. Przy precyzji obliczeń w PARI/GP równej [math]\displaystyle{ 77 }[/math] cyfr znaczących (wyświetlanych jest tylko [math]\displaystyle{ 60 }[/math]) otrzymujemy


Zwróćmy uwagę, jak bardzo [math]\displaystyle{ C_r \approx \gamma - I_r }[/math] odbiega od wartości stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] dla dużych wartości [math]\displaystyle{ r }[/math] – dopiero suma [math]\displaystyle{ C_r + I_r }[/math] daje prawidłowy rezultat. Tylko po to, aby uwidocznić ten fakt, przedstawiliśmy dane dla tak wielu wartości [math]\displaystyle{ r }[/math].


Uwaga E51
W przykładzie E50 uzyskaliśmy zaskakująco dokładny wynik, ale wiemy o tym tylko dlatego, że znaliśmy wynik prawidłowy. Gdybyśmy nie znali wartości stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], to nie bylibyśmy w stanie określić, ile cyfr sumy [math]\displaystyle{ C_r + I_r }[/math] jest prawidłowych.

Nim przejdziemy do przedstawienia drugiego sposobu wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina, udowodnimy twierdzenie, które pozwoli nam działać bardziej efektywnie.


Twierdzenie E52
Jeżeli założymy, że

●    całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] nie zawiera wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ x }[/math] (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a) }[/math] i nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
●    funkcja [math]\displaystyle{ f^{(2 s)} (t) }[/math] jest funkcją ciągłą i ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [b, \infty) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)} (t) = 0 }[/math]

to dla stałej [math]\displaystyle{ C(a) }[/math] we wzorze Eulera-Maclaurina prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ W = W (s, a, b) = \sum_{k = a}^b f(k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} f^{(2 k - 1)}(b) \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta = \Delta (s, b) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) | }[/math]

Czyli błąd, jakim obarczony jest wynik [math]\displaystyle{ W }[/math], jest nie większy od wartości bezwzględnej ostatniego składnika sumy.

Dowód

Z twierdzenia E47 wiemy, że przy poczynionych założeniach wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ E(b) = F(b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f(k) - E(b) }[/math]


W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 2 s }[/math] jest liczbą parzystą, możemy położyć [math]\displaystyle{ k = 2 j }[/math] i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ E(b) = F(b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)}(b) + {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t }[/math]


Ponieważ [math]\displaystyle{ f^{(2 s - 1)} (t) }[/math] jest funkcją pierwotną funkcji [math]\displaystyle{ f^{(2 s)}(t) }[/math], a z założenia jest [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)}(t) = 0 }[/math], to na podstawie twierdzenia E31 całka [math]\displaystyle{ \int_b^{\infty} f^{(2 s)}(t) d t }[/math] jest zbieżna.


Dla funkcji okresowych Bernoulliego o indeksie parzystym prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ | P_{2 s}(x) | \leqslant | B_{2 s} | }[/math][7] (zobacz przykład E9 i wzór 6. twierdzenia E7). Zatem z twierdzenia E32 i założenia, że [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)}(t) = 0 }[/math] dostajemy oszacowanie całki


[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)}(t) d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} | P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) | d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \,\, \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot \left| \int_b^{\infty} f^{(2 s)}(t) d t \right| }[/math]
[math]\displaystyle{ \,\, = {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot \biggl| f^{(2 s - 1)}(t) \big\rvert_{b}^{\infty} \biggr| }[/math]
[math]\displaystyle{ \,\, = {\small\frac{1}{(2 s) !}} | B_{2 s} | \cdot | - f^{(2 s - 1)}(b) | }[/math]
[math]\displaystyle{ \,\, = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)}(b) | }[/math]


Łącząc powyższe rezultaty, otrzymujemy oszacowanie stałej [math]\displaystyle{ C(a) }[/math]

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\:\: \leqslant \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] + \Delta }[/math]
[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_b^{\infty} P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\:\: \geqslant \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] - \Delta }[/math]

gdzie oznaczyliśmy

[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) | }[/math]

Jeśli dodatkowo oznaczymy

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = a}^b f (k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{j = 1}^s {\small\frac{B_{2 j}}{(2 j) !}} f^{(2 j - 1)} (b) \right] }[/math]

to dostaniemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta }[/math]

Co należało pokazać.


Przykład E53
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} }[/math]

to z twierdzenia E51 dostajemy

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{2 k \cdot n^{2 k}}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{2 s \cdot n^{2 s}}} }[/math]


Dla [math]\displaystyle{ s = 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10^8 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67} }[/math]

Uznając, że dokładność rzędu [math]\displaystyle{ 10^{- 65} }[/math] nas zadowala, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ s = 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} \right] }[/math]

Wyliczając wartość prawej strony dla [math]\displaystyle{ n = 10^8 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ W = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467 \ldots }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67} }[/math], to ostatecznie możemy napisać

[math]\displaystyle{ \gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488 \ldots }[/math]

Wyznaczyliśmy stałą [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] z dokładnością [math]\displaystyle{ 65 }[/math] cyfr po przecinku. W rzeczywistości błąd jest mniejszy od [math]\displaystyle{ 10^{- 81} }[/math].


Uwaga E54
Zauważmy, że wyliczając wartość [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], znamy wartość błędu jeszcze przed wykonaniem całości obliczeń. Dobierając odpowiednie wartości liczb [math]\displaystyle{ s }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] możemy sprawić, że błąd będzie odpowiednio mały. Unikamy numerycznego całkowania, które w przypadku bardziej skomplikowanych funkcji może być długie i obarczone znacznym i nieznanym błędem.


Przykład E55
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) }[/math]

W PARI/GP funkcję specjalną [math]\displaystyle{ \mathop{\text{li}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{d t}{\log t}} }[/math] (logarytm całkowy[11][12]) możemy uzyskać następująco

li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )

W powyższym wzorze wykorzystaliśmy zaimplementowaną pod nazwą [math]\displaystyle{ \text{eint1} (x) }[/math] inną funkcję specjalną [math]\displaystyle{ E_1 (x) = \int_{x}^{\infty} {\small\frac{e^{- t}}{t}} d t }[/math][13][14].


Mamy:

[math]\displaystyle{ f(x) = \mathop{\text{li}}(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int \mathop{\text{li}}(x) d x = x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(1)} (x) = {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{k - 1} \sum_{j = 1}^{k - 1} {\small\frac{A^{k - 1}_j}{x^{k - 1} \log^{j + 1} x}} = \mathop{\text{DLog}}(k - 1, x) }[/math]

Oznaczenie [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej pochodnej funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] jako [math]\displaystyle{ \mathop{\text{DLog}}(k, x) }[/math] znacząco ułatwi nam zapisywanie wzorów. Liczby naturalne [math]\displaystyle{ A^k_j }[/math] spełniają następujące równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ A^k_1 = (k - 1) A^{k - 1}_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_j^k = j A^{k - 1}_{j - 1} + (k - 1) A^{k - 1}_j \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad j = 2, \ldots, k - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A^k_k = k A^{k - 1}_{k - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math] (zobacz twierdzenia E58 i E59).


Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] są funkcjami ciągłymi i mają stały znak dla [math]\displaystyle{ x \gt 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f^{(k - 1)} (x) = 0 }[/math]. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] spełnione są założenia twierdzenia E52. W przypadku rozpatrywanej przez nas sumy z twierdzenia E52 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \Delta = \Delta (s, n) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | \mathop{\text{DLog}}(2 s - 2, n) | }[/math]
[math]\displaystyle{ W = W (s, 2, n) = \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) - \left[ n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{B_2}{2 \log n}} + \sum_{k = 2}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \mathop{\text{DLog}}(2 k - 2, n) \right] }[/math]


Obliczenia przeprowadziliśmy w programie PARI/GP. Wymagają one zwiększenia precyzji obliczeń do [math]\displaystyle{ 80 }[/math] miejsc znaczących i wcześniejszego przygotowania kilku funkcji omówionych szerzej w uwadze E60. Mamy

B(n, x) = sum(k=0, n, 1/(k+1)*sum(j=0, k, (-1)^j*binomial(k,j)*(x+j)^n))

A(n, k) = if( k==1 || k==n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )

DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k=1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))

li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )

delta(s, n) = B(2*s, 0)/(2*s)! * DLog(2*s-2, n)

W(s, n) = sum(k=2, n, li(k)) - n*li(n) + li(n^2) - 1/2*li(n) - B(2,0)/2! * 1/log(n) - sum(k=2, s, B(2*k,0)/(2*k)! * DLog(2*k-2, n))


Dla [math]\displaystyle{ s = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10^7 }[/math] otrzymujemy (porównaj WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{B_{10}}{10!}} \cdot | \mathop{\text{DLog}}(8, 10^7) | = 5.632 \cdot 10^{- 63} }[/math]

[math]\displaystyle{ W = 1.28191595049146577908068521816208913078488987854947239276268700691879666704021184913771562 }[/math]


Po uwzględnieniu możliwego błędu znajdujemy wartość stałej z dokładnością [math]\displaystyle{ 61 }[/math] miejsc po przecinku.

[math]\displaystyle{ C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots }[/math]


Przykład E56
Rozważmy jeszcze raz sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) }[/math]

Wypiszmy dla tej sumy wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) = \int_2^n \mathop{\text{li}}(t) d t + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = (x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2)) \biggr\rvert_{2}^{n} + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) - 2 \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t \right] + n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]


Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest stałą wstępującą we wzorze Eulera-Maclaurina, zatem

[math]\displaystyle{ C = - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = C + {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) - \mathop{\text{li}}(4) }[/math]


W poprzednim przykładzie wyliczyliśmy wartość stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]

[math]\displaystyle{ C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots }[/math]

Wynika stąd natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = -0.117923474371345921663180326620119770994144590988603907635106 \ldots }[/math]

Właśnie w taki sposób została obliczona wartość całki niewłaściwej, która występuje w zadaniu E39.


Przykład E57
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int e^x d x = e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} e^x = e^x }[/math]

Zatem ze wzoru Eulera-Maclaurina otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = e^n - 1 + {\small\frac{1}{2}} (e^n + 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) + {\small\frac{1}{2}} (e^n - 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]


Ponieważ dla [math]\displaystyle{ | x | \lt 2 \pi }[/math] prawdziwy jest wzór[15]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{e^x - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k \cdot x^k}{k!}} }[/math]

to dla [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{e - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k}{k!}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} }[/math]


W granicy, gdy [math]\displaystyle{ s }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} \left[ 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) \right] = 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + {\small\frac{1}{e - 1}} - {\small\frac{1}{2}} \right) = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{e - 1}} \right) = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}} }[/math]


W obliczeniu granicy całki dla [math]\displaystyle{ s }[/math] dążącego do nieskończoności pomocne będzie oszacowanie[7]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} \lt {\small\frac{| B_{2 k} |}{(2 k) !}} \lt {\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} \left( {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 2 k}}} \right) \leqslant {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 k}}} }[/math]

prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math].


Teraz już łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n | P_{2 s} (t) | e^t d t \leqslant {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} \int_0^n e^t d t = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} (e^n - 1) \lt {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) }[/math]


Dla dowolnego, ale ustalonego [math]\displaystyle{ n }[/math], jest

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) = 0 }[/math]


Zatem z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz twierdzenia C9 i C8) dostajemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| = \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t = 0 }[/math]


Ostatecznie otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}} }[/math]


Znalezienie wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego nie jest odkrywcze, ale z pewnością było pouczające.




Uzupełnienie

Twierdzenie E58
Ogólny wzór na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą pochodną funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

Liczby naturalne [math]\displaystyle{ A^n_k }[/math] spełniają następujące równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math].

Dowód

Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Ponieważ

[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{x^n \log^{k + 1} x}} \right)' = \frac{- (k + 1)}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{- n}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} }[/math]

to zakładając, że wzór

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} \right)' = }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\,\, = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{- (k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{- n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) }[/math]


Mnożąc obie strony przez [math]\displaystyle{ (- 1)^{n + 1} }[/math] ułatwimy sobie przekształcanie prawej strony

[math]\displaystyle{ (- 1)^{n + 1} {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = \sum_{k = 1}^{n} \left( \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) = }[/math]
[math]\displaystyle{ \! = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} = }[/math]
[math]\displaystyle{ \! = \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{(k + 1) A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 2} x} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} + {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} }[/math]


Zmieniając w pierwszej sumie wskaźnik sumowania na [math]\displaystyle{ j = k + 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ (- 1)^{n + 1} {\small\frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} + \sum_{j = 2}^{n} \frac{j A^n_{j - 1}}{x^{n + 1} \log^{j + 1} x} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} + {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} = }[/math]
[math]\displaystyle{ \! = {\small\frac{n A^n_1}{x^{n + 1} \log^2 x}} + \sum_{k = 2}^{n} \left( \frac{k A^n_{k - 1} + n A^n_k}{x^{n + 1} \log^{k + 1} x} \right) + \frac{(n + 1) A^n_n}{x^{n + 1} \log^{n + 2} x} }[/math]

Oznaczając

[math]\displaystyle{ A^{n + 1}_1 = n A^n_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_k^{n + 1} = k A^n_{k - 1} + n A^n_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n }[/math]
[math]\displaystyle{ A^{n + 1}_{n + 1} = (n + 1) A^n_n }[/math]

Otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^{n+1}}{d x^{n+1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{A^{n + 1}_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Aby uzyskać podane w twierdzeniu równania rekurencyjne, wystarczy we wprowadzonych oznaczeniach zamienić [math]\displaystyle{ n }[/math] na [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math].


Twierdzenie E59
Z równań rekurencyjnych

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math], wynikają następujące wzory ogólne

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) ! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n! }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ A^n_{n - 1} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_{n - 3} = {\small\frac{1}{48}} n (n - 1) (n - 3) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_{n - 4} = {\small\frac{1}{5760}} (n - 4) (15 n^3 - 30 n^2 + 5 n + 2) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} }[/math]
Dowód

Rozwiązania pierwszego i trzeciego równania rekurencyjnego łatwo sprawdzamy. Drugie równanie jest znacznie trudniejsze. Rozważmy je dla [math]\displaystyle{ k = n - 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ A^{n - 1}_{n - 1} = (n - 1) ! }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) (n - 1) ! }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ A_1^2 = U^2_1 = 1 }[/math]. Podstawiając, mamy

[math]\displaystyle{ (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} = (n - 1) \cdot (n - 2) ! \cdot U^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) (n - 1) ! }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} = U^{n - 1}_{n - 2} + (n - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} - U^{n - 1}_{n - 2} = n - 1 }[/math]

Łatwo znajdujemy ogólną postać [math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 1} = U^2_1 + \sum_{k = 3}^{n} (U^k_{k - 1} - U^{k - 1}_{k - 2}) = 1 + \sum_{k = 3}^{n} (k - 1) = 1 + {\small\frac{1}{2}} (n - 2) (n + 1) = {\small\frac{1}{2}} n (n - 1) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 1}^n = (n - 1) ! \cdot U^n_{n - 1} = (n - 1) ! \cdot {\small\frac{1}{2}} n (n - 1) = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n! }[/math]


Zbadajmy drugie równanie rekurencyjne dla [math]\displaystyle{ k = n - 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) A^{n - 1}_{n - 3} + (n - 1) A^{n - 1}_{n - 2} }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ A^{n - 1}_{n - 2} = {\small\frac{1}{2}} (n - 2) \cdot (n - 1)! }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) A^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1) (n - 2) \cdot (n - 1) ! }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ A_1^3 = U^3_1 = 2 }[/math]. Podstawiając, mamy

[math]\displaystyle{ (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} = (n - 2) \cdot (n - 3) ! \cdot U^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1) (n - 2) \cdot (n - 1) ! }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} = U^{n - 1}_{n - 3} + {\small\frac{1}{2}} (n - 1)^2 (n - 2) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} - U^{n - 1}_{n - 3} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1)^2 (n - 2) }[/math]

Łatwo znajdujemy ogólną postać [math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ U^n_{n - 2} = U^3_1 + \sum_{k = 4}^{n} (U^k_{k - 2} - U^{k - 1}_{k - 3}) = 2 + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 4}^{n} (k - 1)^2 (k - 2) = {\small\frac{1}{24}} n (n - 1) (n - 2) (3 n - 1) }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A_{n - 2}^n = (n - 2) ! \cdot U^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n! }[/math]


Podobnie znajdujemy rozwiązania [math]\displaystyle{ k = n - 3 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = n - 4 }[/math]. Przypadek [math]\displaystyle{ k = 2 }[/math] jest podobny do poprzednich, ale w tym przypadku wyliczona suma nie może być przedstawiona w zwartej formie. Dlatego omówimy go dodatkowo.

[math]\displaystyle{ A_2^n = 2 A^{n - 1}_1 + (n - 1) A^{n - 1}_2 }[/math]

Uwzględniając, że [math]\displaystyle{ A^{n - 1}_1 = (n - 2) ! }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ A_2^n = 2 (n - 2) ! + (n - 1) A^{n - 1}_2 }[/math]

Połóżmy

[math]\displaystyle{ A_2^n = (n - 1) ! \cdot U^n_2 }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ A_2^2 = U^2_2 = 2 }[/math]. Podstawiając, mamy

[math]\displaystyle{ (n - 1) ! \cdot U^n_2 = (n - 1) \cdot (n - 2) ! \cdot U^{n - 1}_2 + 2 (n - 2)! }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ U^n_2 = U^{n - 1}_2 + {\small\frac{2}{n - 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ U^n_2 - U^{n - 1}_2 = {\small\frac{2}{n - 1}} }[/math]

Łatwo znajdujemy ogólną postać [math]\displaystyle{ U^n_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ U^n_2 = U^2_2 + \sum_{k = 3}^{n} (U^k_2 - U^{k - 1}_2) = 2 + 2 \sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} = 2 \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ A_2^n = (n - 1) ! \cdot U^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k - 1}} = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} }[/math]


Uwaga E60
Z twierdzeń E58 i E59 wynika, że ogólną postać [math]\displaystyle{ n }[/math]-tej pochodnej funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] możemy łatwo wypisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

ale nie istnieje wzór ogólny, który pozwoliłby łatwo wyliczać wartości współczynników [math]\displaystyle{ A_k^n }[/math]. W tej sytuacji jedynym wyjściem jest wykorzystanie równania rekurencyjnego

[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]

oraz wzorów

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) ! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n! }[/math]


Programy odwołujące się do wzorów rekurencyjnych są zazwyczaj niezwykle proste, ale należy ich unikać, bo działają wolno i zużywają duże ilości pamięci. Niżej podajemy przykłady prostych funkcji rekurencyjnych wyliczających silnię i liczby Fibonacciego napisanych w PARI/GP

silnia(n) = if( n==0, 1, n*silnia(n-1) )
Fibonacci(n) = if( n<=1, n, Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2) )


W naszym przypadku rekurencji ominąć nie można, ale rozwiązaniem problemu jest równie prosta funkcja

A(n,k) = if( k==1 || k==n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )


Dysponując funkcją wyliczającą wartości współczynników, możemy łatwo zapisać wzór na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą pochodną funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]

DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k=1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))


Powyższy wzór jest bardzo przydatny przy wyliczaniu wartości [math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] dla większych wartości [math]\displaystyle{ n }[/math]. Jednak [math]\displaystyle{ n }[/math] nie może być zbyt duże – ceną, jaką musimy zapłacić za użycie funkcji rekurencyjnych, jest wydłużenie czasu obliczeń. Przykładowo obliczenie

DLog(26, 10^8) = 7.1305293508389973644228947613613744962 10^(-186)

trwało ponad pół minuty. Zobacz też WolframAlpha









Przypisy

  1. Wikipedia, Bernoulli polynomials, (Wiki-en)
  2. WolframAlpha, Bernoulli Polynomial, (WolframAlpha)
  3. Wolfram MathWorld, Bernoulli Polynomial, (Wolfram)
  4. NIST Digital Library of Mathematical Functions, Bernoulli and Euler Polynomials, (LINK)
  5. D. H. Lehmer, On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials, The American Mathematical Monthly, Vol. 47, No. 8 (Oct., 1940), pp. 533-538
  6. Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona. (Wiki-pl), (Wiki-en)
  7. 7,0 7,1 7,2 M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 10th printing, Washington, 1972, (LINK)
  8. Wikipedia, Abramowitz and Stegun, (Wiki-en)
  9. Wikipedia, Euler–Maclaurin formula, (Wiki-en)
  10. Wikipedia, Wzór Stirlinga, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  11. Wikipedia, Logarytm całkowy, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  12. Wolfram MathWorld, Logarithmic Integral, (Wolfram)
  13. Wikipedia, Funkcja całkowo-wykładnicza, (Wiki-pl), (Wiki-en)
  14. Wolfram MathWorld, Exponential Integral, (Wolfram)
  15. Wikipedia, Liczby Bernoulliego, (Wiki-pl)