Wzór Eulera-Maclaurina

Z Henryk Dąbrowski
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
29.05.2022



Wielomiany, liczby i funkcje okresowe Bernoulliego

Definicja E1
Wielomiany [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] spełniające warunki

●    [math]\displaystyle{ B_0(x) = 1 }[/math]
●    [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}}B_n(x) = n B_{n - 1}(x) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ \int_0^1 B_n(t) d t = 0 \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]

będziemy nazywali wielomianami Bernoulliego[1][2][3][4].


Zadanie E2
Korzystając z definicji E1 znaleźć jawną postać wielomianów [math]\displaystyle{ B_1 (x) }[/math], [math]\displaystyle{ B_2 (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ B_3 (x) }[/math].

Rozwiązanie


Twierdzenie E3*
Wielomiany Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] określone są następującym wzorem ogólnym

[math]\displaystyle{ B_n(x) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j {\small\binom{k}{j}} (x + j)^n }[/math]


Przykład E4
W tabeli wypisaliśmy początkowe wielomiany Bernoulliego.


Przykład E5
Przedstawiamy wykresy wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]

Wykresy


Definicja E6
Liczbami Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] będziemy nazywali wartości wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ B_n = B_n (0) }[/math].


Uwaga E7
Ze wzoru podanego w twierdzeniu E3 wynika natychmiast wzór ogólny dla liczb Bernoulliego.

[math]\displaystyle{ B_n = B_n (0) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^j {\small\binom{k}{j}} j^n }[/math]


Twierdzenie E8
Niech [math]\displaystyle{ B_n (x) }[/math] i [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oznaczają odpowiednio wielomiany i liczby Bernoulliego. Prawdziwe są następujące wzory

Dowód


Zadanie E9
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Pokazać, że wykres funkcji [math]\displaystyle{ B_{2 k} (x) }[/math] jest symetryczny, a funkcji [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (x) }[/math] jest antysymetryczny względem prostej [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Rozwiązanie


Zadanie E10
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1 / 2} B_{2 k + 1} (x) d x = - \int^1_{1 / 2} B_{2 k + 1} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1 / 2} B_{2 k + 2} (x) d x = 0 }[/math]
Rozwiązanie


Zadanie E11
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ B_n = - {\small\frac{n}{2 (1 - 2^{- n})}} \int_{0}^{1 / 2} B_{n - 1} (t) d t }[/math]

Rozwiązanie


Twierdzenie E12
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] będą ciągłymi funkcjami rzeczywistymi określonymi w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i różniczkowalnymi w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Jeżeli dla pewnego punktu [math]\displaystyle{ r \in (a, b) }[/math] spełnione są warunki [math]\displaystyle{ f(a) = f (b) = f (r) = 0 }[/math], to istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ t \in (a, b) }[/math], że [math]\displaystyle{ f'' (t) = 0 }[/math].

Dowód


Twierdzenie E13
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Wielomian [math]\displaystyle{ B_{2 k + 1} (x) }[/math] ma dokładnie trzy pierwiastki w przedziale [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math]. Są to liczby [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ x = {\small\frac{1}{2}} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, x = 1 }[/math].

Dowód


Twierdzenie E14
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_{2 k} }[/math] są różne od zera.

Dowód


Twierdzenie E15
Dla wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_{2 k} (x) }[/math] prawdziwe są następujące oszacowania

   ●      [math]\displaystyle{ | B_{2 k} (x) | \leqslant | B_{2 k} | \qquad }[/math] gdy [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] \;\; }[/math] i [math]\displaystyle{ \;\; k \geqslant 0 }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ | B_{2 k} (x) | \lt | B_{2 k} | \qquad }[/math] gdy [math]\displaystyle{ x \in (0, 1) \;\; }[/math] i [math]\displaystyle{ \;\; k \geqslant 1 }[/math]
Dowód


Twierdzenie E16
Załóżmy, że funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i różniczkowalna w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Jeżeli

   ●      [math]\displaystyle{ f' (x) \gt 0 \, }[/math] dla [math]\displaystyle{ \, x \in (a, b) }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest silnie rosnąca w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ f' (x) \lt 0 \, }[/math] dla [math]\displaystyle{ \, x \in (a, b) }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest silnie malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]
Dowód


Twierdzenie E17
Załóżmy, że funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła i różniczkowalna w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Jeżeli

   ●      [math]\displaystyle{ f' (x) \gt 0 \, }[/math] dla [math]\displaystyle{ \, x \in (a, b) }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest silnie rosnąca w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ f' (x) \lt 0 \, }[/math] dla [math]\displaystyle{ \, x \in (a, b) }[/math], to [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest silnie malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]
Dowód


Twierdzenie E18
Załóżmy, że funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] i dwukrotnie różniczkowalna w przedziale [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Jeżeli

   ●      [math]\displaystyle{ f'' (t) \gt 0 }[/math]  (odpowiednio: [math]\displaystyle{ f'' (t) \lt 0 }[/math])  dla [math]\displaystyle{ t \in (a, b) }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ A = (a, f (a)) \qquad \text{i} \qquad B = (b, f (b)) }[/math]

to dowolny punkt wykresu funkcji [math]\displaystyle{ f(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t \in (a, b) }[/math], leży poniżej  (odpowiednio: powyżej)  odcinka (cięciwy) [math]\displaystyle{ A B }[/math].

Dowód


Możemy osłabić uczynione w twierdzeniu E18 założenie ciągłości funkcji w [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math], ale będziemy musieli inaczej sformułować twierdzenie.
Twierdzenie E19
Załóżmy, że funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna w [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ f'' (t) \gt 0 }[/math]  (odpowiednio: [math]\displaystyle{ f'' (t) \lt 0 }[/math])  dla [math]\displaystyle{ t \in (a, b) }[/math], to dla dowolnych punktów [math]\displaystyle{ t_1, t_2 \in (a, b) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, t_2 \gt t_1 }[/math] wykres funkcji [math]\displaystyle{ f(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ t \in (t_1, t_2) }[/math], leży poniżej  (odpowiednio: powyżej)  odcinka (cięciwy) [math]\displaystyle{ A B }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ A = (t_1, f (t_1)) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, B = (t_2, f (t_2)) }[/math].

Dowód


Zadanie E20
Korzystając ze znalezionego w zadaniu E2 wzoru dla [math]\displaystyle{ B_3 (x) }[/math], opisać wykresy wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_4 (x), B_5 (x), B_6 (x), B_7 (x), \ldots }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ \left[ 0, {\small\frac{1}{2}} \right] }[/math].

Rozwiązanie


Uwaga E21
Czytelnik łatwo uogólni rezultaty otrzymane w zadaniu E20 i metodą indukcji matematycznej udowodni niżej sformułowane twierdzenie.


Twierdzenie E22
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] wielomiany Bernoulliego mają w przedziale [math]\displaystyle{ \left[ 0, {\small\frac{1}{2}} \right] }[/math] następujące właściwości


Zadanie E23
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Pokazać, że prawdziwe są następujące właściwości liczb Bernoulliego

   ●      [math]\displaystyle{ B_{4 k} \lt 0 }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ B_{4 k + 2} \gt 0 \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \; k \geqslant 0 }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ {\small\frac{B_{2 k + 2}}{B_{2 k}}} \lt 0 }[/math]
   ●      [math]\displaystyle{ | B_{2 k} | = (- 1)^{k + 1} B_{2 k} }[/math]
Rozwiązanie


Przykład E24
W tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oraz minimalne [math]\displaystyle{ m_n }[/math] i maksymalne [math]\displaystyle{ M_n }[/math] wartości wielomianów [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ M_3 = {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \lt {\small\frac{3}{62}} }[/math], [math]\displaystyle{ \quad M_5 \lt {\small\frac{1}{40}} }[/math], [math]\displaystyle{ \quad M_7 \lt {\small\frac{1}{38}} \quad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \quad M_9 \lt {\small\frac{1}{21}} }[/math]


Przykład E25
Minima [math]\displaystyle{ m_n }[/math] i maksima [math]\displaystyle{ M_n }[/math] wielomianów Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] są równe[8]


W zamieszczonej niżej tabeli przedstawiamy liczby Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n }[/math] oraz minimalne i maksymalne wartości wielomianów [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] w zapisie dziesiętnym.

Tabela


Definicja E26
Funkcje okresowe Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ P_n(x) = B_n(x - \lfloor x \rfloor) }[/math]


Uwaga E27
Inaczej mówiąc funkcja okresowa Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math] na odcinku [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math], przyjmuje te same wartości, co wielomian Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_n(x) }[/math]. Wartości te powtarzają się dla kolejnych odcinków [math]\displaystyle{ [k, k + 1] }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math].


Uwaga E28
Wprost z definicji funkcji okresowych Bernoulliego wynika, że dla [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] jest

[math]\displaystyle{ P_n (k) = B_n (k - \lfloor k \rfloor) = B_n (0) = B_n }[/math]


Twierdzenie E29
Własności funkcji okresowych Bernoulliego

●    funkcja [math]\displaystyle{ P_0 (x) }[/math] jest ciągła i różniczkowalna
●    funkcja [math]\displaystyle{ P_1 (x) }[/math] nie jest ciągła w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]
●    funkcja [math]\displaystyle{ P_2 (x) }[/math] jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w punktach [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math]
●    dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math] są ciągłe i różniczkowalne
●    [math]\displaystyle{ {\small\frac{d}{d x}} P_n (x) = n P_{n - 1} (x) \qquad }[/math] o ile [math]\displaystyle{ n \neq 1, 2 }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 1, 2 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math]
●    [math]\displaystyle{ \int^x_0 P_n (t) d t = {\small\frac{P_{n + 1} (x)}{n + 1}} - {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} }[/math]
Dowód


Przykład E30
Przedstawiamy przykładowe wykresy funkcji okresowych Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_n (x) }[/math]. Stanowią one bardzo dobrą ilustrację do twierdzenia E29.

Wykresy


Twierdzenie E31*
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla liczb Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_{2 n} = (- 1)^{n + 1} | B_{2 n} | }[/math] prawdziwe są następujące oszacowania [9][10][11]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2 (2 n) !}{(2 \pi)^{2 n}}} \cdot {\small\frac{1}{1 - 2^{- 2 n}}} \lt | B_{2 n} | \lt {\small\frac{2 (2 n) !}{(2 \pi)^{2 n}}} \cdot {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 2 n}}} }[/math]

i asymptotyki

[math]\displaystyle{ B_{2 n} \sim (- 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{2 (2 n) !}{(2 \pi)^{2 n}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ B_{2 n} \sim (- 1)^{n + 1} \cdot 4 \sqrt{\pi n} \cdot \left( {\small\frac{n}{\pi e}} \right)^{2 n} }[/math]


Twierdzenie E32*
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla ilorazu kolejnych liczb Bernoulliego [math]\displaystyle{ B_{2 n} }[/math] prawdziwe są następujące oszacowania[12]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{2 n - 1} - 1}{2^{2 n + 1} - 1}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) (2 n + 2)}{\pi^2}} \lt \left| {\small\frac{B_{2 n + 2}}{B_{2 n}}} \right| \lt {\small\frac{2^{2 n} - 1}{2^{2 n + 2} - 1}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) (2 n + 2)}{\pi^2}} }[/math]

i asymptotyka

[math]\displaystyle{ {\small\frac{B_{2 n + 2}}{B_{2 n}}} \sim - {\small\frac{n^2}{\pi^2}} }[/math]



Wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina

Uwaga E33
Często w twierdzeniu musimy założyć, że rozważana funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest określona w pewnym zbiorze liczb rzeczywistych i jest funkcją ciągłą oraz wszystkie jej pochodne od [math]\displaystyle{ f' (x) }[/math] do [math]\displaystyle{ f^{(n)} (x) }[/math] istnieją i są ciągłe w tym zbiorze. Przekazanie tego prostego założenia wymaga użycia wielu słów, a samo twierdzenie staje się mało czytelne. Ze względów czysto praktycznych wprowadzamy pojęcie klasy funkcji.


Definicja E34
Funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określoną i ciągłą w zbiorze [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{R} }[/math] i mającą kolejno [math]\displaystyle{ n }[/math] ciągłych pochodnych w tym zbiorze będziemy nazywali funkcją klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła w [math]\displaystyle{ A }[/math], to powiemy, że jest klasy [math]\displaystyle{ C^0 }[/math]. Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^n }[/math] dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} }[/math]. W przypadku, gdy chcemy jednocześnie zaznaczyć dziedzinę funkcji, to stosujemy zapis [math]\displaystyle{ C^0 (A) }[/math], [math]\displaystyle{ C^n (A) }[/math] i [math]\displaystyle{ C^{\infty} (A) }[/math].


Przykład E35
Tylko dla potrzeb tego przykładu funkcję [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określoną następująco

[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} g (x) & & x \lt 0\\ h (x) & & x \geqslant 0 \end{array} \right. }[/math]

będziemy zapisywali jako [math]\displaystyle{ f(x) = \left \{ g (x) \big\rvert h (x) \right \} }[/math].


Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^0 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ - x \big\rvert x \right \} \;\; \text{czyli} \;\; | x | , \quad \left \{ 0 \big\rvert x \right \} , \quad \left \{ 1 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 + x \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^1 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^2 \right \} , \quad \left \{ 1 + x \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^2 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 \sqrt{x^2} , \quad \left \{ 0 \big\rvert x^3 \right \} , \quad \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ x \big\rvert \sin (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^3 (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left \{ 0 \big\rvert x^4 \right \} , \quad \left \{ 1 + x + \tfrac{1}{2} x^2 + \tfrac{1}{6} x^3 \big\rvert e^x \right \} , \quad \left \{ 1 - \tfrac{1}{2} x^2 \big\rvert \cos (x) \right \} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^n (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ P_{n + 2} (x) , \quad x^n \sqrt{x^2} , \quad \left \{ 0 \big\rvert x^{n + 1} \right \} , \quad \left\{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k}{k!}} \biggr\rvert e^x \right\} }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} (\mathbb{R}) }[/math]

[math]\displaystyle{ x^k \;\; \text{dla} \;\; k \in \mathbb{N}_0 , \quad e^x , \quad \sin (x) , \quad \cos (x) }[/math]

Przykłady funkcji klasy [math]\displaystyle{ C^{\infty} (\mathbb{R}_+) }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x}} }[/math],    [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math],    [math]\displaystyle{ \log x }[/math]


Twierdzenie E36
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją rzeczywistą klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [k, k + 1] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli zastąpimy na jednostkowym odcinku pole prostokąta całką, to błąd, jaki popełnimy, jest równy

[math]\displaystyle{ f(k) - \int_{k}^{k + 1} f(t) d t = \int_k^{k + 1} (t - \lfloor t \rfloor - 1) f'(t) d t }[/math]
Dowód


Zadanie E37
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ x \gt 0 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \int^x_0 (t - \lfloor t \rfloor)^n d t = {\small\frac{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x \rfloor)^{n + 1}}{n + 1}} }[/math]
Rozwiązanie


Twierdzenie E38
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją rzeczywistą klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [a, b] ) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math]. Możemy zastąpić sumowanie całkowaniem, stosując wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b \left( t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} \right) f'(t) d t }[/math]

Powyższy wzór można zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \int_a^b P_1(t) f'(t) d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ P_1(t) }[/math] jest funkcją okresową Bernoulliego.

Dowód


Uwaga E39
Czytelnik zapewne już domyśla się, w jakim kierunku zmierzamy. Całkując przez części i korzystając z własności funkcji okresowych Bernoulliego, przekształcimy całkę [math]\displaystyle{ \int_a^b P_1 (t) f' (t) d t }[/math] do postaci [math]\displaystyle{ \int_a^b P_2 (t) f'' (t) d t }[/math], a następnie do postaci [math]\displaystyle{ \int_a^b P_3 (t) f^{(3)} (t) d t }[/math] itd.


Twierdzenie E40
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_n(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^1 ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n(t) g(t) d t = {\small\frac{B_{n + 1}}{n + 1}} [g(b) - g(a)] - {\small\frac{1}{n + 1}} \int_a^b P_{n + 1}(t) g'(t) d t }[/math]
Dowód


Twierdzenie E41
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^k ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_n (t) g (t) d t = \sum_{j = 1}^k \frac{(- 1)^{j + 1} n! \cdot B_{n + j}}{(n + j) !} [g^{(j - 1)} (b) - g^{(j - 1)} (a)] + {\normalsize\frac{(- 1)^k n!}{(n + k) !}} \int_a^b P_{n + k} (t) g^{(k)} (t) d t }[/math]
Dowód


Twierdzenie E42 (wzór sumacyjny Eulera-Maclaurina, [math]\displaystyle{ \sim }[/math]1735)
Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z} }[/math], a funkcje [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], będą funkcjami okresowymi Bernoulliego. Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] jest klasy [math]\displaystyle{ C^r ( [a, b] ) }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} [f^{(k - 1)}(b) - f^{(k - 1)}(a)] - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

Dowód


Uwaga E43
Uwzględniając, że dla nieparzystych liczb [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest [math]\displaystyle{ B_k = 0 }[/math], możemy dla parzystego [math]\displaystyle{ r = 2 s }[/math] napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s}(t) f^{(2 s)}(t) d t }[/math]


W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = 2 s + 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ B_{2 s + 1} = 0 }[/math], zatem nie pojawi się nowy składnik sumy, ale ostatni wyraz ulegnie zmianie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} [f^{(2 k - 1)}(b) - f^{(2 k - 1)}(a)] + {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1}(t) f^{(2 s + 1)}(t) d t }[/math]


Oczywiście

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_a^b P_{2 s} (t) f^{(2 s)} (t) d t = {\small\frac{1}{(2 s + 1) !}} \int_a^b P_{2 s + 1} (t) f^{(2 s + 1)} (t) d t }[/math]

(zobacz twierdzenie E40).


Uwaga E44
Poniżej wypisaliśmy gotowe wzory Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1, \ldots, 9 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f(k) = \int_a^b f(t) d t + {\small\frac{1}{2}} [f(b) + f(a)] + Q_r }[/math]

gdzie


Nim przejdziemy do przykładów, przypomnimy kilka podstawowych definicji i twierdzeń dotyczących całek niewłaściwych.



Całki niewłaściwe – zbieżność i kryteria zbieżności

Definicja E45
Niech funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie określona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] i całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] tego przedziału. Granicę

[math]\displaystyle{ \lim_{b \to + \infty} \int^b_a f(x) d x }[/math]

będziemy nazywali całką niewłaściwą funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w granicach od [math]\displaystyle{ a }[/math] do [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] i zapisywali symbolicznie jako

[math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Jeżeli powyższa granica jest skończona, to powiemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna. Jeżeli granica jest nieskończona lub nie istnieje, to powiemy, że całka jest rozbieżna.


Twierdzenie E46 (kryterium porównawcze)
Jeżeli dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f(x) \leqslant g(x) }[/math]

to

●    ze zbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math] wynika zbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]
●    z rozbieżności całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] wynika rozbieżność całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} g(x) d x }[/math]
Dowód


Twierdzenie E47
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest całkowalna w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] i całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] jest zbieżna, to zbieżna jest też całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math]. O całce [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] powiemy wtedy, że jest bezwzględnie zbieżna.

Dowód


Twierdzenie E48
Jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) | d x }[/math] jest zbieżna, a funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona, to zbieżna jest też całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f(x) g(x) | d x }[/math].

Dowód


Twierdzenie E49
Niech [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] oznacza funkcję pierwotną funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math] jest skończona.

Dowód


Twierdzenie E50
Jeżeli

●    funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją ciągłą i ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math]
●    całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math] jest zbieżna
●    funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest ograniczona w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math], czyli dla [math]\displaystyle{ x \geqslant a }[/math] jest

1. [math]\displaystyle{ \qquad m \leqslant g (x) \leqslant M }[/math]

      lub

2. [math]\displaystyle{ \qquad | g (x) | \leqslant L }[/math]
●    całka [math]\displaystyle{ \int^b_a g (x) d x }[/math] istnieje dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]

to całki [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] są zbieżne i prawdziwe są następujące oszacowania

1. [math]\displaystyle{ \qquad s \:\! m \int_{a}^{\infty} f (x) d x \leqslant s \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x \leqslant s M \int_{a}^{\infty} f (x) d x }[/math]

lub

2. [math]\displaystyle{ \qquad \int_{a}^{\infty} | f (x) g (x) | d x \leqslant L \left| \int_{a}^{\infty} f (x) d x \right| }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ s }[/math] jest znakiem funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math].

Dowód


Twierdzenie E51
Niech [math]\displaystyle{ P_n(t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\alpha}}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math], jest zbieżna.

Dowód


Twierdzenie E52
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_n(t)}{t^{\varepsilon}}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], jest zbieżna.

Dowód


Zadanie E53
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} P_n (t) t^{\varepsilon} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ 0 \lt \varepsilon \lt 1 }[/math], jest rozbieżna.

Rozwiązanie


Zadanie E54
Niech [math]\displaystyle{ P_n (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego. Pokazać, że całka

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_n (t)}{\log t}} d t }[/math]

jest zbieżna.

Rozwiązanie


Zadanie E55
Niech [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math], będzie funkcją okresową Bernoulliego oraz prawdziwe będzie następujące oszacowanie funkcji [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math]

[math]\displaystyle{ m_r \leqslant P_r (t) \leqslant M_r }[/math]

Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ \alpha \gt 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] jest

[math]\displaystyle{ {\small\frac{m_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{\alpha}}} d t \leqslant {\small\frac{M_r}{\alpha - 1}} \cdot {\small\frac{1}{n^{\alpha - 1}}} }[/math]
Rozwiązanie


Podamy teraz kryterium Dirichleta, dzięki któremu moglibyśmy natychmiast uzyskać dowody twierdzeń E51E52 oraz rozwiązanie zadania E54. Celowo nie stosowaliśmy tego kryterium, aby Czytelnik mógł zapoznać się z ciekawym zastosowaniem twierdzenia E40.

Twierdzenie E56* (kryterium Dirichleta)
Jeżeli funkcje [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] i [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] są całkowalne w każdym podprzedziale [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math] przedziału [math]\displaystyle{ [a, + \infty) }[/math] oraz spełniają warunki

●    całka z funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ograniczona, czyli istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math] jest [math]\displaystyle{ \left| \int^b_a f(x) d x \right| \leqslant M }[/math]
●    funkcja [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] jest funkcją monotoniczną (czyli malejącą lub rosnącą)
●    [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} g (x) = 0 }[/math]

to całka [math]\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x }[/math] jest zbieżna.


Zadanie E57
Korzystając z kryterium Dirichleta, pokazać, że całki

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} {\small\frac{\sin x}{x}} d x = {\small\frac{1}{2}} \pi }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_{2}^{\infty} {\small\frac{P_1 (x)}{\log x}} d x = - 0.117923474371 \ldots }[/math]

są zbieżne.

Rozwiązanie



Przykłady

Przykład E58
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n k^2 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ f(t) = t^2 }[/math], to [math]\displaystyle{ f'(t) = 2 t }[/math], [math]\displaystyle{ f''(t) = 2 }[/math], a dla [math]\displaystyle{ i \geqslant 3 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ f^{(i)}(t) = 0 }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ r = 3 }[/math] wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{6}} \int_1^n P_3(t) f^{(3)}(t) d t }[/math] jest równy zero i otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1) }[/math]


Przykład E59
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Wiemy, że przypadku szeregu nieskończonego jest

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848226436472415166646 \ldots }[/math]


Dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]

Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{12} ( 9 - \pi^2 ) }[/math].

Jeżeli tak, to możemy sumę zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{3}{2}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} - 2 \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \:\:\, = {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{2 n^2}} + 2 \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t }[/math]


Ponieważ dla [math]\displaystyle{ P_1(t) = t - \lfloor t \rfloor - {\small\frac{1}{2}} }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} \leqslant P_1(t) \leqslant {\small\frac{1}{2}} }[/math], to korzystając z pokazanego w zadaniu E55 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 n^2}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t \leqslant {\small\frac{1}{4 n^2}} }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \geqslant {\small\frac{\pi^2}{6}} - {\small\frac{1}{n}} }[/math]

Jeśli we wzorze Eulera-Maclaurina uwzględnimy więcej wyrazów, to otrzymamy dokładniejsze oszacowania.


Przykład E60
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane[14]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2k \cdot n^{2 k}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} - {\small\frac{1}{132 n^{10}}} + \cdots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.57721566490153286060651209 \ldots }[/math] jest stałą Eulera.


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{2 n}} - \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n \right) = {\small\frac{1}{2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t }[/math]

Rzeczywiście, całka po prawej stronie jest zbieżna i równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} - \gamma }[/math].


Zastosujemy teraz wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 3 }[/math] i znajdziemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^n {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \: = \log n + {\small\frac{7}{12}} + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{12}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t = \gamma }[/math]

Dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t }[/math]


Ponieważ prawdziwe są oszacowania (zobacz przykłady E24E25)

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} \leqslant P_3 (t) \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{36}} }[/math]

to korzystając z pokazanego w zadaniu E55 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_3 (t)}{t^4}} d t \leqslant {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \leqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \geqslant \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} - {\small\frac{\sqrt{3}}{108 n^3}} }[/math]

Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ n = 10^6 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 0.5772156649015328605 \leqslant \gamma \leqslant 0.5772156649015328607 }[/math]


Przykład E61
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k }[/math]

Rozwinięcie asymptotyczne tej sumy jest dobrze znane[15]

[math]\displaystyle{ \log n! = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{2 k (2 k - 1) \cdot n^{2 k - 1}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \; = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{1260 n^5}} - {\small\frac{1}{1680 n^7}} + {\small\frac{1}{1188 n^9}} - \cdots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) = 0.91893853320467274178 \ldots }[/math]


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + 1 + \int_1^n {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1(t)}{t}} d t }[/math]

Z twierdzenia E52 wiemy, że całka [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t }[/math] jest zbieżna, a z rozwinięcia asymptotycznego wiemy, że granica po lewej stronie jest równa [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) }[/math], zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = \tfrac{1}{2} \log (2 \pi) - 1 }[/math]


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \log k - \left( n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n \right) \right] = {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i jest równa stałej – w tym przypadku [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) }[/math]. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + {\small\frac{331}{360}} + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} + {\small\frac{1}{4}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} d t - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k = n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{360 n^3}} - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} d t }[/math]


Z przykładów E24E25 wiemy, że prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}} }[/math]

Zatem korzystając z pokazanego w zadaniu E55 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{90 n^3}} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{720 n^3}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{7}{2880 n^3}} \leqslant - {\small\frac{1}{4}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^4}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{360 n^3}} }[/math]


Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k \leqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \log k \geqslant n \log n - n + {\small\frac{1}{2}} \log n + \tfrac{1}{2} \log \left( 2 \pi \right) + {\small\frac{1}{12 n}} - {\small\frac{1}{192 n^3}} }[/math]

Oczywiście, podobnie jak w poprzednim przykładzie, powyższe nierówności mogą służyć do wyznaczenia wartości stałej.


Przykład E62
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} - \left( {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]


Ponieważ całka po prawej stronie jest zbieżna, to granica wypisana po lewej stronie istnieje i jest równa pewnej stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]. Możemy teraz wzór Eulera-Maclaurina zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} - {\small\frac{133}{640}} + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} + {\small\frac{5}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} = {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t }[/math]


Z przykładów E24E25 wiemy, że prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{30}} \leqslant P_4 (x) \leqslant {\small\frac{7}{240}} }[/math]

Zatem korzystając z pokazanego w zadaniu E55 wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{75}} n^{- 5 / 2} \leqslant \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{7}{600}} n^{- 5 / 2} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{7}{15360}} n^{- 5 / 2} \leqslant - {\small\frac{5}{128}} \int_n^{\infty} {\small\frac{P_4 (t)}{t^{7 / 2}}} (t) d t \leqslant {\small\frac{1}{1920}} n^{- 5 / 2} }[/math]


I otrzymujemy oszacowania

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \leqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \geqslant {\small\frac{2}{3}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{1 / 2} + C + {\small\frac{1}{24}} n^{- 1 / 2} - {\small\frac{1}{1024}} n^{- 5 / 2} }[/math]

Powyższe nierówności mogą nam posłużyć do wyznaczenia stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ n = 10^6 }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - 0.207886224977354567 \leqslant C \leqslant - 0.207886224977354565 }[/math]


Przykład E63
Pokażemy, dlaczego lepiej wybrać wartość [math]\displaystyle{ r }[/math] za dużą niż za małą i dlaczego należy sprawdzać zbieżność całki

[math]\displaystyle{ \int_a^b P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

korzystając z kryterium Dirichleta (twierdzenie E56) lub z twierdzenia E52. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} }[/math]

Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^n \sqrt{t} \cdot P_1 (t) d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} \right) \right] = {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{3}{2}} \int_1^{\infty} \sqrt{t} \cdot P_1(t) d t }[/math]

Jeszcze nie wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione – lewa strona jest rozbieżna. Podobnie rozbieżna jest całka po prawej stronie – rozbieżność tej całki informuje nas, że wybraliśmy za małą wartość [math]\displaystyle{ r }[/math].


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 2 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^n {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{1}{40}} - {\small\frac{3}{8}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2(t)}{\sqrt{t}}} d t }[/math]

Całka po prawej stronie jest zbieżna, co wynika z kryterium Dirichleta. Zatem i lewa strona jest zbieżna, czyli wszystkie wyrazy rozbieżne, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, zostały wyodrębnione. Możemy to łatwo sprawdzić, obierając większą wartość [math]\displaystyle{ r }[/math].


Stosując wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 4 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} = {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} - {\small\frac{49}{1920}} + {\small\frac{1}{1920}} n^{- 3 / 2} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^n {\small\frac{P_4 (t)}{t^{5 / 2}}} d t }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k = 1}^{n} k^{3 / 2} - \left( {\small\frac{2}{5}} n^{5 / 2} + {\small\frac{1}{2}} n^{3 / 2} + {\small\frac{1}{8}} n^{1 / 2} \right) \right] = - {\small\frac{49}{1920}} - {\small\frac{3}{128}} \int_1^{\infty} {\small\frac{P_4(t)}{t^{5 / 2}}} d t }[/math]


Uwaga E64
Rozwiązując przykłady znaleźliśmy wartości następujących całek oznaczonych

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t}} d t = {\small\frac{1}{2}} \log (2 \pi) - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} - \gamma }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{9 - \pi^2}{12}} }[/math]


Jeżeli funkcja rzeczywista [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] ma ciągłą pochodną w [math]\displaystyle{ [a, b] \subset \mathbb{R} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f (t) = 0 }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_{n + 1} (t) f'(t) d t = - B_{n + 1} f(a) - (n + 1) \int_a^{\infty} P_n(t) f(t) d t }[/math]

(Jest to prosty wniosek z twierdzenia E40).


Powyższy rezultat możemy wykorzystać do wyliczenia kolejnych całek zawierających funkcje okresowe Bernoulliego. Przykładowo mamy

[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^2}} d t = \log (2 \pi) - {\small\frac{11}{6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^3}} d t = {\small\frac{7}{12}} - \gamma }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} {\small\frac{P_2 (t)}{t^4}} d t = {\small\frac{10 - \pi^2}{18}} }[/math]



Metody wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina

Uwaga E65
W przedstawionych wyżej przykładach wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina (przykład E60E62) oraz pokazaliśmy, że wartość całki [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest związana z wartością stałej (przykład E59, E60E61). Obecnie dokładnie omówimy ten problem.


Twierdzenie E66
Jeżeli założymy, że

●    całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math] nie zawiera wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ x }[/math] (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f(t) d t = F(b) - F(a) }[/math] i nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
●    dla pewnego [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math] całka [math]\displaystyle{ \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math] jest zbieżna

to wzór Eulera-Maclaurina może być zapisany w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C(a) = - F (a) + {\small\frac{1}{2}} f (a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)} (a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]
[math]\displaystyle{ E(b) = F (b) + {\small\frac{1}{2}} f (b) + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(b) + {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_b^{\infty} P_r (t) f^{(r)} (t) d t }[/math]
Dowód


Uwaga E67
We wzorze

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^b f (k) = C (a) + E (b) }[/math]

składnik [math]\displaystyle{ C(a) }[/math] jest wartością stałej [math]\displaystyle{ C }[/math] we wzorze Eulera-Maclaurina, a [math]\displaystyle{ E(b) }[/math] zwraca kolejne wyrazy rozwinięcia. Pokażemy, że wartość tej stałej możemy wyliczyć bezpośrednio ze wzoru

[math]\displaystyle{ C = C (a) }[/math]

lub metodą pośrednią, wykorzystując związek

[math]\displaystyle{ C(a) = \sum_{k = a}^b f (k) - E (b) }[/math]

W obydwu przypadkach obliczenia wykonamy dla znanej już Czytelnikowi sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math] (przykład E56).


Przykład E68
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} }[/math]

to wzór na wartość stałej z twierdzenia E65

[math]\displaystyle{ C(a) = - F(a) + {\small\frac{1}{2}} f(a) - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} f^{(k - 1)}(a) - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r(t) f^{(r)}(t) d t }[/math]

przyjmuje postać

[math]\displaystyle{ C(1) = - \log (1) + {\small\frac{1}{2}} - \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k!}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{k - 1} (k - 1) !}{x^k}} - {\small\frac{(- 1)^r}{r!}} \int_a^{\infty} P_r (t) \cdot {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ C(1) = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r(t)}{t^{r + 1}}} d t }[/math]

Oznaczmy

[math]\displaystyle{ C_r = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 2}^r {\small\frac{B_k}{k}} }[/math]
[math]\displaystyle{ I_r = - \int_1^{\infty} {\small\frac{P_r (t)}{t^{r + 1}}} d t }[/math]

Wartość [math]\displaystyle{ I_r }[/math] obliczymy numerycznie w programie PARI/GP poleceniem

Int(r) = - intnum(t = 1,+oo, P(r, t)/t^(r+1), 12 )

gdzie

P(r, t) = B(r, t - floor(t))

jest funkcją okresową Bernoulliego [math]\displaystyle{ P_r (t) }[/math].

Ponieważ wyliczenie wartości [math]\displaystyle{ C_r }[/math] jest bardzo łatwe, to w tabeli przedstawiamy jedynie wartość całki [math]\displaystyle{ I_r }[/math] oraz wielkość błędu, z jakim wyliczyliśmy wartość stałej we wzorze Eulera-Maclaurina. Przy precyzji obliczeń w PARI/GP równej [math]\displaystyle{ 77 }[/math] cyfr znaczących (wyświetlanych jest tylko [math]\displaystyle{ 60 }[/math]) otrzymujemy


Zwróćmy uwagę, jak bardzo [math]\displaystyle{ C_r \approx \gamma - I_r }[/math] odbiega od wartości stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] dla dużych wartości [math]\displaystyle{ r }[/math] – dopiero suma [math]\displaystyle{ C_r + I_r }[/math] daje prawidłowy rezultat. Tylko po to, aby uwidocznić ten fakt, przedstawiliśmy dane dla tak wielu wartości [math]\displaystyle{ r }[/math].


Uwaga E69
W przykładzie E68 uzyskaliśmy zaskakująco dokładny wynik, ale wiemy o tym tylko dlatego, że znaliśmy wynik prawidłowy. Gdybyśmy nie znali wartości stałej [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], to nie bylibyśmy w stanie określić, ile cyfr sumy [math]\displaystyle{ C_r + I_r }[/math] jest prawidłowych.

Nim przejdziemy do przedstawienia drugiego sposobu wyliczania stałej we wzorze Eulera-Maclaurina, udowodnimy twierdzenie, które pozwoli nam działać bardziej efektywnie.


Twierdzenie E70
Jeżeli założymy, że

●    całka nieoznaczona [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] nie zawiera wyrazów, które nie zależą od [math]\displaystyle{ x }[/math] (takie wyrazy ulegają redukcji przy wyliczaniu całki [math]\displaystyle{ \int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a) }[/math] i nie występują we wzorze Eulera-Maclaurina)
●    funkcja [math]\displaystyle{ f^{(2 s)} (t) }[/math] jest funkcją ciągłą i ma stały znak w przedziale [math]\displaystyle{ [b, \infty) }[/math]
●    [math]\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} f^{(2 s - 1)} (t) = 0 }[/math]

to dla stałej [math]\displaystyle{ C(a) }[/math] we wzorze Eulera-Maclaurina prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ W - \Delta \leqslant C(a) \leqslant W + \Delta }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ W = W (s, a, b) = \sum_{k = a}^b f(k) - \left[ F (b) + {\small\frac{1}{2}} f(b) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} f^{(2 k - 1)}(b) \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta = \Delta (s, b) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | f^{(2 s - 1)} (b) | }[/math]

Czyli błąd, jakim obarczony jest wynik [math]\displaystyle{ W }[/math], jest nie większy od wartości bezwzględnej ostatniego składnika sumy.

Dowód


Przykład E71
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int {\small\frac{d x}{x}} = \log x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} {\small\frac{1}{x}} = {\small\frac{(- 1)^r r!}{x^{r + 1}}} }[/math]

to z twierdzenia E69 dostajemy

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{2 k \cdot n^{2 k}}} \right] }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{| B_{2 s} |}{2 s \cdot n^{2 s}}} }[/math]


Dla [math]\displaystyle{ s = 4 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10^8 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ \Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67} }[/math]

Uznając, że dokładność rzędu [math]\displaystyle{ 10^{- 65} }[/math] nas zadowala, otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ s = 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ W = \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{k}} - \left[ \log n + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - {\small\frac{1}{252 n^6}} + {\small\frac{1}{240 n^8}} \right] }[/math]

Wyliczając wartość prawej strony dla [math]\displaystyle{ n = 10^8 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ W = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467 \ldots }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \Delta = 4.17 \cdot 10^{- 67} }[/math], to ostatecznie możemy napisać

[math]\displaystyle{ \gamma = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488 \ldots }[/math]

Wyznaczyliśmy stałą [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] z dokładnością [math]\displaystyle{ 65 }[/math] cyfr po przecinku. W rzeczywistości błąd jest mniejszy od [math]\displaystyle{ 10^{- 81} }[/math].


Uwaga E72
Zauważmy, że wyliczając wartość [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], znamy wartość błędu jeszcze przed wykonaniem całości obliczeń. Dobierając odpowiednie wartości liczb [math]\displaystyle{ s }[/math] i [math]\displaystyle{ n }[/math] możemy sprawić, że błąd będzie odpowiednio mały. Unikamy numerycznego całkowania, które w przypadku bardziej skomplikowanych funkcji może być długie i obarczone znacznym i nieznanym błędem.


Przykład E73
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) }[/math]

W PARI/GP funkcję specjalną [math]\displaystyle{ \mathop{\text{li}}(x) = \int^x_0 {\small\frac{d t}{\log t}} }[/math] (logarytm całkowy[16][17]) możemy uzyskać następująco

li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )

W powyższym wzorze wykorzystaliśmy zaimplementowaną pod nazwą [math]\displaystyle{ \text{eint1} (x) }[/math] inną funkcję specjalną [math]\displaystyle{ E_1 (x) = \int_{x}^{\infty} {\small\frac{e^{- t}}{t}} d t }[/math][18][19].


Mamy:

[math]\displaystyle{ f(x) = \mathop{\text{li}}(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int \mathop{\text{li}}(x) d x = x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(1)} (x) = {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]

dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^{k - 1} \sum_{j = 1}^{k - 1} {\small\frac{A^{k - 1}_j}{x^{k - 1} \log^{j + 1} x}} = \mathop{\text{DLog}}(k - 1, x) }[/math]

Oznaczenie [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej pochodnej funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] jako [math]\displaystyle{ \mathop{\text{DLog}}(k, x) }[/math] znacząco ułatwi nam zapisywanie wzorów. Liczby naturalne [math]\displaystyle{ A^k_j }[/math] spełniają następujące równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ A^k_1 = (k - 1) A^{k - 1}_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_j^k = j A^{k - 1}_{j - 1} + (k - 1) A^{k - 1}_j \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad j = 2, \ldots, k - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A^k_k = k A^{k - 1}_{k - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math] (zobacz twierdzenia E76E77).


Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] funkcje [math]\displaystyle{ f^{(k)} (x) = {\small\frac{d^{k - 1}}{d x^{k - 1}}} {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] są funkcjami ciągłymi i mają stały znak dla [math]\displaystyle{ x \gt 1 }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f^{(k - 1)} (x) = 0 }[/math]. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] spełnione są założenia twierdzenia E70. W przypadku rozpatrywanej przez nas sumy z twierdzenia E70 otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \Delta = \Delta (s, n) = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} | \mathop{\text{DLog}}(2 s - 2, n) | }[/math]
[math]\displaystyle{ W = W (s, 2, n) = \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) - \left[ n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{B_2}{2 \log n}} + \sum_{k = 2}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \mathop{\text{DLog}}(2 k - 2, n) \right] }[/math]


Obliczenia przeprowadziliśmy w programie PARI/GP. Wymagają one zwiększenia precyzji obliczeń do [math]\displaystyle{ 80 }[/math] miejsc znaczących i wcześniejszego przygotowania kilku funkcji omówionych szerzej w uwadze E78. Mamy

B(n, x) = sum(k = 0, n, 1/(k+1)*sum(j = 0, k, (-1)^j*binomial(k,j)*(x+j)^n))

A(n, k) = if( k == 1 || k == n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )

DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k = 1, n, A(n,k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))

li(x) = real( -eint1( -log(x) ) )

delta(s, n) = B(2*s, 0)/(2*s)! * DLog(2*s-2, n)

W(s, n) = sum(k = 2, n, li(k)) - n*li(n) + li(n^2) - 1/2*li(n) - B(2,0)/2! * 1/log(n) - sum(k = 2, s, B(2*k,0)/(2*k)! * DLog(2*k-2, n))


Dla [math]\displaystyle{ s = 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ n = 10^7 }[/math] otrzymujemy (porównaj WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ \Delta = {\small\frac{B_{10}}{10!}} \cdot | \mathop{\text{DLog}}(8, 10^7) | = 5.632 \cdot 10^{- 63} }[/math]

[math]\displaystyle{ W = 1.28191595049146577908068521816208913078488987854947239276268700691879666704021184913771562 }[/math]


Po uwzględnieniu możliwego błędu znajdujemy wartość stałej z dokładnością [math]\displaystyle{ 61 }[/math] miejsc po przecinku.

[math]\displaystyle{ C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots }[/math]


Przykład E74
Rozważmy jeszcze raz sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) }[/math]

Wypiszmy dla tej sumy wzór Eulera-Maclaurina dla [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^n \mathop{\text{li}}(k) = \int_2^n \mathop{\text{li}}(t) d t + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = (x \mathop{\text{li}}(x) - \mathop{\text{li}}(x^2)) \biggr\rvert_{2}^{n} + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^n {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) - 2 \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = \left[ - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t \right] + n \mathop{\text{li}}(n) - \mathop{\text{li}}(n^2) + {\small\frac{1}{2}} \mathop{\text{li}}(n) - \int_n^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t }[/math]


Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest stałą wstępującą we wzorze Eulera-Maclaurina, zatem

[math]\displaystyle{ C = - {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) + \mathop{\text{li}}(4) + \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1(t)}{\log t}} d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = C + {\small\frac{3}{2}} \mathop{\text{li}}(2) - \mathop{\text{li}}(4) }[/math]


W poprzednim przykładzie wyliczyliśmy wartość stałej [math]\displaystyle{ C }[/math]

[math]\displaystyle{ C = 1.2819159504914657790806852181620891307848898785494723927626870 \ldots }[/math]

Wynika stąd natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \int_2^{\infty} {\small\frac{P_1 (t)}{\log t}} d t = -0.117923474371345921663180326620119770994144590988603907635106 \ldots }[/math]

Właśnie w taki sposób została obliczona wartość całki niewłaściwej, która występuje w zadaniu E57.


Przykład E75
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ f(x) = e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ F(x) = \int e^x d x = e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ f^{(r)} (x) = {\small\frac{d^r}{d x^r}} e^x = e^x }[/math]

Zatem ze wzoru Eulera-Maclaurina otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = e^n - 1 + {\small\frac{1}{2}} (e^n + 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) + {\small\frac{1}{2}} (e^n - 1) + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} (e^n - 1) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) - {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t }[/math]


Ponieważ dla [math]\displaystyle{ | x | \lt 2 \pi }[/math] prawdziwy jest wzór[20]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{x}{e^x - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k \cdot x^k}{k!}} }[/math]

to dla [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{e - 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{B_k}{k!}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} = {\small\frac{1}{2}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} }[/math]


W granicy, gdy [math]\displaystyle{ s }[/math] dąży do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} \left[ 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + \sum_{k = 1}^s {\small\frac{B_{2 k}}{(2 k) !}} \right) \right] = 1 + (e^n - 1) \left( {\small\frac{3}{2}} + {\small\frac{1}{e - 1}} - {\small\frac{1}{2}} \right) = 1 + (e^n - 1) \left( 1 + {\small\frac{1}{e - 1}} \right) = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}} }[/math]


W obliczeniu granicy całki dla [math]\displaystyle{ s }[/math] dążącego do nieskończoności pomocne będzie oszacowanie (zobacz E31)

[math]\displaystyle{ {\small\frac{| B_{2 k} |}{(2 k) !}} \lt {\small\frac{2}{(2 \pi)^{2 k}}} \cdot {\small\frac{1}{1 - 2^{1 - 2 k}}} \leqslant {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 k}}} }[/math]

prawdziwe dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 1 }[/math].


Teraz już łatwo znajdujemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| \leqslant {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n | P_{2 s} (t) | e^t d t \leqslant {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} \int_0^n e^t d t = {\small\frac{| B_{2 s} |}{(2 s) !}} (e^n - 1) \lt {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) }[/math]


Dla dowolnego, ale ustalonego [math]\displaystyle{ n }[/math], jest

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} {\small\frac{4}{(2 \pi)^{2 s}}} (e^n - 1) = 0 }[/math]


Zatem z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz twierdzenia C10C8) dostajemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \left| \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t \right| = \lim_{s \to \infty} {\small\frac{1}{(2 s) !}} \int_0^n P_{2 s} (t) e^t d t = 0 }[/math]


Ostatecznie otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} e^k = {\small\frac{e^{n + 1} - 1}{e - 1}} }[/math]


Znalezienie wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego nie jest odkrywcze, ale z pewnością było pouczające.




Uzupełnienie

Twierdzenie E76
Ogólny wzór na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą pochodną funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] ma postać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

Liczby naturalne [math]\displaystyle{ A^n_k }[/math] spełniają następujące równania rekurencyjne

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math].

Dowód


Twierdzenie E77
Z równań rekurencyjnych

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) A^{n - 1}_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n A^{n - 1}_{n - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ A^1_1 = 1 }[/math], wynikają następujące wzory ogólne

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) ! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n! }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ A^n_{n - 1} = {\small\frac{1}{2}} (n - 1) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_{n - 2} = {\small\frac{1}{24}} (n - 2) (3 n - 1) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_{n - 3} = {\small\frac{1}{48}} n (n - 1) (n - 3) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_{n - 4} = {\small\frac{1}{5760}} (n - 4) (15 n^3 - 30 n^2 + 5 n + 2) \cdot n! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_2 = 2 (n - 1) ! \cdot \sum_{k = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} }[/math]
Dowód


Uwaga E78
Z twierdzeń E76E77 wynika, że ogólną postać [math]\displaystyle{ n }[/math]-tej pochodnej funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] możemy łatwo wypisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} = (- 1)^n \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{A^n_k}{x^n \log^{k + 1} x}} }[/math]

ale nie istnieje wzór ogólny, który pozwoliłby łatwo wyliczać wartości współczynników [math]\displaystyle{ A_k^n }[/math]. W tej sytuacji jedynym wyjściem jest wykorzystanie równania rekurencyjnego

[math]\displaystyle{ A_k^n = k A^{n - 1}_{k - 1} + (n - 1) A^{n - 1}_k \qquad }[/math] dla [math]\displaystyle{ \quad k = 2, \ldots, n - 1 }[/math]

oraz wzorów

[math]\displaystyle{ A^n_1 = (n - 1) ! }[/math]
[math]\displaystyle{ A^n_n = n! }[/math]


Programy odwołujące się do wzorów rekurencyjnych są zazwyczaj niezwykle proste, ale należy ich unikać, bo działają wolno i zużywają duże ilości pamięci. Niżej podajemy przykłady prostych funkcji rekurencyjnych wyliczających silnię i liczby Fibonacciego napisanych w PARI/GP

silnia(n) = if( n == 0, 1, n*silnia(n-1) )
Fibonacci(n) = if( n <= 1, n, Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2) )


W naszym przypadku rekurencji ominąć nie można, ale rozwiązaniem problemu jest równie prosta funkcja

A(n, k) = if( k == 1 || k == n, k*(n-1)!, k*A(n-1, k-1) + (n-1)*A(n-1, k) )


Dysponując funkcją wyliczającą współczynniki A(n, k), możemy łatwo zapisać wzór na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą pochodną funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]

DLog(n, x) = (-1)^n * sum(k = 1, n, A(n, k)/( x^n * log(x)^(k+1) ))


Powyższy wzór jest bardzo przydatny przy wyliczaniu wartości [math]\displaystyle{ {\small\frac{d^n}{d x^n}} {\small\frac{1}{\log x}} }[/math] dla większych liczb [math]\displaystyle{ n }[/math]. Jednak [math]\displaystyle{ n }[/math] nie może być zbyt duże – ceną, jaką musimy zapłacić za użycie funkcji rekurencyjnych, jest wydłużenie czasu obliczeń. Przykładowo obliczenie

DLog(26, 10^8) = 7.1305293508389973644228947613613744962 10^(-186)

trwało ponad pół minuty. Zobacz też WolframAlpha









Przypisy

  1. Wikipedia, Bernoulli polynomials, (Wiki‑en)
  2. WolframAlpha, Bernoulli Polynomial, (WolframAlpha)
  3. Wolfram MathWorld, Bernoulli Polynomial, (Wolfram)
  4. NIST Digital Library of Mathematical Functions, Bernoulli and Euler Polynomials, (LINK)
  5. Skocz do: 5,0 5,1 Wikipedia, Twierdzenie Rolle’a, (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  6. Skocz do: 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 Wikipedia, Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy), (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  7. Skocz do: 7,0 7,1 Wikipedia, Twierdzenie Darboux, (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  8. D. H. Lehmer, On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials, The American Mathematical Monthly, Vol. 47, No. 8 (Oct., 1940), pp. 533-538
  9. M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 10th printing, Washington, 1972, (LINK)
  10. Wikipedia, Abramowitz and Stegun, (Wiki‑en)
  11. C. D'Aniello, On some inequalities for the Bernoulli numbers, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series II, Volume 43 (1994), pp. 329-332
  12. Feng Qi, A double inequality for the ratio of two non-zero neighbouring Bernoulli numbers, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 351 (2019), pp. 1-5, (LINK)
  13. Twierdzenie Weierstrassa: Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] określona w przedziale domkniętym jest ciągła, to jest w nim ograniczona i osiąga swoje kresy. (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  14. Wikipedia, Euler–Maclaurin formula, (Wiki‑en)
  15. Wikipedia, Wzór Stirlinga, (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  16. Wikipedia, Logarytm całkowy, (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  17. Wolfram MathWorld, Logarithmic Integral, (Wolfram)
  18. Wikipedia, Funkcja całkowo-wykładnicza, (Wiki‑pl), (Wiki‑en)
  19. Wolfram MathWorld, Exponential Integral, (Wolfram)
  20. Wikipedia, Liczby Bernoulliego, (Wiki‑pl)