Szeregi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 11:50, 31 mar 2026

07.04.2022

Szeregi nieskończone

Definicja D1
Sumę wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]

nazywamy szeregiem nieskończonym o wyrazach [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

Definicja D2
Ciąg [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math].

Definicja D3
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] będziemy nazywali zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ \left ( S_n \right ) }[/math] jest zbieżny.

Twierdzenie D4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math].

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] będzie ciągiem sum częściowych, wtedy [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n }[/math]. Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math] jest zbieżny, zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \left ( S_{n+1} - S_{n} \right ) = \lim_{n \to \infty} S_{n + 1} - \lim_{n \to \infty} S_n = 0 }[/math]

□

Okazuje się, że bardzo łatwo podać przykład szeregów, dla których warunek [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 }[/math] jest warunkiem wystarczającym. Opisany w poniższym twierdzeniu rodzaj szeregów nazywamy szeregami naprzemiennymi.
Twierdzenie D5 (kryterium Leibniza)
Niech ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Jeżeli

[math]\displaystyle{ \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} a_n = 0 }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \underset{k = 1}{\overset{\infty}{\sum}} (- 1)^{k + 1} \cdot a_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Grupując wyrazy szeregu po dwa, otrzymujemy sumę częściową postaci

[math]\displaystyle{ S_{2 m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \ldots + (a_{2 m - 1} - a_{2 m}) }[/math]

Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest ciągiem malejącym, to każde wyrażenie w nawiasie jest liczbą nieujemną. Z drugiej strony

[math]\displaystyle{ S_{2 m} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - \ldots - (a_{2 m - 2} - a_{2 m - 1}) {- a_{2 m}} < a_1 }[/math]

Zatem dla każdego [math]\displaystyle{ m }[/math] ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_{2 m} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, skąd na mocy twierdzenia C12 jest zbieżny, czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} S_{2 m} = g }[/math]

Pozostaje zbadać sumy częściowe [math]\displaystyle{ S_{2 m + 1} }[/math]. Rezultat jest natychmiastowy

[math]\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} S_{2 m + 1} = \lim_{m \to \infty} (S_{2 m} + a_{2 m + 1}) = \lim_{m \to \infty} S_{2 m} + \lim_{m \to \infty} a_{2 m + 1} = g + 0 = g }[/math]

Co kończy dowód.
□

Zadanie D6
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R}_+ }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Przypomnijmy wzór na sumę częściową szeregu geometrycznego^[1]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} q^k = {\small\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} \qquad \qquad \text{dla} \quad q \neq 1 }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ q = - x^{a} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ x \geqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a > 0 }[/math], mamy [math]\displaystyle{ q \leqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ q \neq 1 }[/math]. Zatem otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k = \frac{1 - (- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k + \frac{(- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} + \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} }[/math]

Całkując obie strony równania w granicach od [math]\displaystyle{ 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \qquad \qquad \qquad (\ast) }[/math]

Łatwo znajdujemy pierwszą całkę po prawej stronie

[math]\displaystyle{ \int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x = \sum^n_{k = 0} (- 1)^k \int^1_0 x^{a k} d x = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \left[ {\small\frac{x^{a k + 1}}{a k + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} \right] = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} }[/math]

Dla drugiej całki po prawej stronie wzoru [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math] wystarczy znaleźć odpowiednie oszacowanie. Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math] i [math]\displaystyle{ a > 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ | x | = x }[/math] i [math]\displaystyle{ | 1 + x^{a} | = 1 + x^{a} \geqslant 1 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| \leqslant \int^1_0 \left| {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} \right| d x = \int^1_0 {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} d x \leqslant \int^1_0 x^{a (n + 1)} d x = {\small\frac{x^{a (n + 1) + 1}}{a (n + 1) + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{1}{a (n + 1) + 1}} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach (C11) wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| = 0 }[/math]

Czyli (zobacz C9 p.2)

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} dx = 0 }[/math]

Możemy teraz wzór [math]\displaystyle{ (\ast) }[/math] zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x }[/math]

i przechodząc do granicy, dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x }[/math]

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^k}{{\small\frac{a}{b}} \cdot k + 1} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D7
Korzystając z rezultatu uzyskanego w zadaniu D6, znajdziemy sumy niektórych szeregów.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x}} d x = \log (1 + x) \biggr\rvert_{0}^{1} = \log 2 \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha) (szereg harmoniczny naprzemienny)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{2 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{7}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^2}} d x = \operatorname{arctg}(x) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha) (wzór Leibniza na [math]\displaystyle{ \pi }[/math])

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{3 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^3}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{3}}{9}} + {\small\frac{\log 2}{3}} = 0.8356488482647 \ldots \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{4 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{17}} - {\small\frac{1}{21}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^4}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{2}}{8}} + \frac{\sqrt{2} \cdot \log \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{4} = 0.8669729873399 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{6 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{25}} - {\small\frac{1}{31}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^6}} d x = {\small\frac{\pi}{6}} + \frac{\sqrt{3} \cdot \log \left( 2 + \sqrt{3} \right)}{6} = 0.90377177374877 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\pi k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{\pi}}} d x = {\small\frac{1}{2 \pi}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} \right) \right] = 0.840943255440756 \ldots }[/math]

Gdzie [math]\displaystyle{ \psi (x) }[/math] oznacza funkcję digamma (zobacz D147) oraz skorzystaliśmy ze wzoru z zadania D152.

Twierdzenie D8
Dla [math]\displaystyle{ s > 1 }[/math] prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Dowód

Zauważmy, że założenie [math]\displaystyle{ s > 1 }[/math] zapewnia zbieżność szeregu po prawej stronie. Zapiszmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math] w postaci sumy dla [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i nieparzystych

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} = 1 + {\small\frac{1}{2^s}} + {\small\frac{1}{3^s}} + {\small\frac{1}{4^s}} + {\small\frac{1}{5^s}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} + {\small\frac{1}{2^s}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Otrzymujemy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Podobnie rozpiszmy szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} = 1 - {\small\frac{1}{2^s}} + {\small\frac{1}{3^s}} - {\small\frac{1}{4^s}} + {\small\frac{1}{5^s}} - \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k)^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = (1 - 2^{- s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} - {\small\frac{1}{2^s}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy ze znalezionego wyżej wzoru dla sumy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(2 k - 1)^s}} }[/math]
□

Przykład D9
Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta^[2], którą definiuje szereg naprzemienny

[math]\displaystyle{ \eta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} }[/math]

lub funkcja dzeta Riemanna^[3], którą definiuje inny szereg

[math]\displaystyle{ \zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

Na podstawie twierdzenia D8 funkcje te są związane wzorem

[math]\displaystyle{ \eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ s \in \mathbb{R}_+ }[/math] funkcja eta Dirichleta jest zbieżna. Możemy ją wykorzystać do znajdowania sumy szeregu naprzemiennego [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^s}} }[/math].

[math]\displaystyle{ s = {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{\sqrt{k}}} = 0.604898643421 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 = 0.693147180559 \ldots }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ s = 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{12}} = 0.822467033424 \ldots }[/math]	WolframAlpha

Twierdzenie D10
Niech [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W przypadku zbieżności zachodzi związek

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \left ( a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1} \right ) + \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math]

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ S(n) =\sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]) oznacza sumę częściową pierwszego szeregu, a [math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = N}^{\infty} a_k }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math]) oznacza sumę częściową drugiego szeregu. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_{N - 1}) + T (n) }[/math]

Widzimy, że dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności zbieżność (rozbieżność) jednego ciągu implikuje zbieżność (rozbieżność) drugiego.
□

Twierdzenie D11 (kryterium porównawcze)
Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k > N_0 }[/math] jest spełniony warunek

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant a_k \leqslant b_k }[/math]

to

zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] pociąga za sobą zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]
rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] pociąga za sobą rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math]

Dowód

Dowód przeprowadzimy dla szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math], które są (odpowiednio) jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne z szeregami [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math].

Punkt 1.
Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math] jest zbieżny. Niech [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k = b }[/math], zatem z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k \leqslant b }[/math]

Zauważmy, że ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k }[/math] jest ciągiem rosnącym (bo [math]\displaystyle{ a_k \geqslant 0 }[/math]) i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ \left ( A_n \right ) }[/math] jest zbieżny, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny.

Punkt 2.
Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest rozbieżny, a z założonych w twierdzeniu nierówności dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} a_k \leqslant \sum_{k = N_0}^{n} b_k }[/math]

Rosnący ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ A_n = \sum_{k = N_0}^{n} a_k }[/math] nie może być ograniczony od góry, bo przeczyłoby to założeniu, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} a_k }[/math] jest rozbieżny. Wynika stąd i z wypisanych wyżej nierówności, że również ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ B_n = \sum_{k = N_0}^{n} b_k }[/math] nie może być ograniczony od góry, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0}^{\infty} b_k }[/math] jest rozbieżny.
□

Twierdzenie D12
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k \right | }[/math] jest zbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest również zbieżny.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ b_k = a_k + | a_k | }[/math]. Z definicji prawdziwe jest następujące kryterium porównawcze

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant b_k \leqslant 2 | a_k | }[/math]

Zatem z punktu 1. twierdzenia D11 wynika, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] jest zbieżny. Z definicji wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ \left ( b_k \right ) }[/math] mamy [math]\displaystyle{ a_k = b_k - | a_k | }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \sum_{k = 1}^{\infty} b_k - \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

Ponieważ szeregi po prawej stronie są zbieżne, to zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math]. Zauważmy, że jedynie w przypadku, gdyby obydwa szeregi po prawej stronie były rozbieżne, nie moglibyśmy wnioskować o zbieżności / rozbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], bo suma szeregów rozbieżnych może być zbieżna.
□

Definicja D13
Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | a_n | }[/math] jest zbieżny.

Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest zbieżny, ale szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | a_n | }[/math] jest rozbieżny.

Twierdzenie D14
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Jeżeli wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] można zapisać w jednej z postaci

[math]\displaystyle{ \quad a_k = f_k - f_{k + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad a_k = f_{k - 1} - f_k }[/math]

to odpowiadający temu ciągowi szereg nazywamy szeregiem teleskopowym. Suma częściowa szeregu teleskopowego jest odpowiednio równa

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_m - f_{n + 1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = m}^{n} a_k = f_{m - 1} - f_n }[/math]

Dowód

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_k - f_{k + 1}) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + (f_{m + 2} - f_{m + 3}) + \ldots + (f_{n - 1} - f_n) + (f_n - f_{n + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + f_{m + 2} - f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1} - f_n + f_n - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + f_{m + 2}) + (- f_{m + 3} + \ldots + f_{n - 1}) + (- f_n + f_n) - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_m - f_{n + 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n} a_k = \sum_{k = m}^{n} (f_{k - 1} - f_k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = (f_{m - 1} - f_m) + (f_m - f_{m + 1}) + (f_{m + 1} - f_{m + 2}) + \ldots + (f_{n - 2} - f_{n - 1}) + (f_{n - 1} - f_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} - f_m + f_m - f_{m + 1} + f_{m + 1} - f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2} - f_{n - 1} + f_{n - 1} - f_n }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} + (- f_m + f_m) + (- f_{m + 1} + f_{m + 1}) + (- f_{m + 2} + \ldots + f_{n - 2}) + (- f_{n - 1} + f_{n - 1}) - f_n }[/math]

[math]\displaystyle{ = f_{m - 1} - f_n }[/math]

□

Twierdzenie D15
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k (k - 1)}} = 1 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{3}{4}} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} = 1.644934066848 \ldots }[/math]	A013661, WolframAlpha

Dowód

Punkt 1.
Dla dowodu wykorzystamy fakt, że rozpatrywany szereg jest szeregiem teleskopowym

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum^n_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = \sum^n_{k = 1} \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) = 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 1} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 1 }[/math]

Punkt 2.
Szereg jest identyczny z szeregiem z punktu 1., co łatwo zauważyć zmieniając zmienną sumowania [math]\displaystyle{ k = s + 1 }[/math] i odpowiednio granice sumowania.

Punkt 3.
Należy skorzystać z tożsamości

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k^2 - 1}} = {\small\frac{1}{2}} \left[ \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) + \left( {\small\frac{1}{k - 1}} - {\small\frac{1}{k}} \right) \right] }[/math]

Punkt 4.
Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 2 }[/math] prawdziwa jest nierówność

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{1}{k^2 - 1}} }[/math]

to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie D11) ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}} }[/math] wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]
□

Twierdzenie D16
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 1.860025079221 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} = 0.788530565911 \ldots }[/math]	A085361
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.257746886944 \ldots }[/math]	A131688
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum^{\infty}_{k = 3} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} = 1.069058310734 \ldots }[/math]	A115563

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy zauważyć, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} - {\small\frac{1}{\sqrt{k + 1}}} = {\small\frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot \left( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} \right)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, > {\small\frac{1}{\sqrt{k} \cdot \sqrt{k + 1} \cdot 2 \sqrt{k + 1}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} = 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 (k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, < 2 \sum_{k = 1}^n \left( {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} - {\small\frac{1}{\sqrt{k + 1}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = 2 \left( 1 - {\small\frac{1}{\sqrt{n + 1}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, < 2 }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Punkt 2.
Korzystając z twierdzenia A40 p.4, możemy napisać oszacowanie

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} < {\small\frac{\sqrt{k}}{k (k + 1)}} = {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math] wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{\log k}{k (k + 1)}} }[/math]

Punkt 3.
Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} = {\small\frac{k \log (k - 1) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{k \log \left( k \left( 1 - {\normalsize\frac{1}{k}} \right) \right) - (k - 1) \log (k)}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{k \log (k) + k \log \left( 1 - {\normalsize\frac{1}{k}} \right) - k \log (k) + \log (k)}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, > {\small\frac{\log (k) - k \cdot {\normalsize\frac{1}{k - 1}}}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} - {\small\frac{1}{(k - 1)^2}} }[/math]

Czyli prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} < \left[ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} \right] + {\small\frac{1}{(k - 1)^2}} }[/math]

Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\log (k)}{k (k - 1)}} < \sum_{k = 2}^{n} \left[ {\small\frac{\log (k - 1)}{k - 1}} - {\small\frac{\log (k)}{k}} \right] + \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{(k - 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < - {\small\frac{\log (n)}{n}} + \sum_{j = 1}^{n - 1} {\small\frac{1}{j^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < \sum_{j = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{j^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.

Punkt 4.
Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} = {\small\frac{\log (k + 1) - \log (k)}{\log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < {\small\frac{1}{k \cdot \log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} }[/math]

Z drugiej strony mamy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} = {\small\frac{\log (k) - \log (k - 1)}{\log (k - 1) \log (k)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k - 1}} \right)}{\log (k - 1) \log (k)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, > {\small\frac{1}{k \cdot \log (k - 1) \log (k)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, > {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} }[/math]

Wynika stąd następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} }[/math]

Rezultat ten wykorzystamy w pełni w przykładzie D17, a do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < \sum_{k = 3}^{n} \left[ {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = {\small\frac{1}{\log 2}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, < {\small\frac{1}{\log 2}} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu jest rosnący i ograniczony, to szereg jest zbieżny.
□

Przykład D17
Na przykładzie szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math] pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.

Ponieważ nie jesteśmy w stanie zsumować nieskończenie wielu wyrazów, zatem najlepiej będzie podzielić szereg na dwie części

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} + \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math]

Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.

Dowodząc twierdzenie D16, w punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} }[/math]

Wykorzystamy powyższy wzór do znalezienia potrzebnego nam oszacowania. Sumując strony nierówności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) < \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < \sum_{k = m + 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right) }[/math]

Ponieważ szeregi po lewej i po prawej stronie są szeregami teleskopowymi, to łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} < \sum_{k = m + 1}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} < \sum_{k = m + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} }[/math]

Teraz pozostaje dodać sumę wyrazów szeregu od [math]\displaystyle{ k = 3 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = m }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (m + 1)}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < \sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log m}} + \sum_{k = 3}^{m} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} }[/math]

Poniżej przedstawiamy wartości oszacowania sumy szeregu znalezione przy pomocy programu PARI/GP dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math]. Wystarczy proste polecenie

for(n = 1, 8, s = sum( k = 3, 10^n, 1/k/(log(k))^2 ); print( "n= ", n, "   a= ", s + 1/log(10^n+1), "   b= ", s + 1/log(10^n) ))

[math]\displaystyle{ m = 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.07 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.068 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06904 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06906 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069057 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.069058 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690582 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905830 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583105 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.0690583109 }[/math]
[math]\displaystyle{ m = 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831071 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.06905831074 }[/math]

Dysponując oszacowaniem reszty szeregu, znaleźliśmy wartość sumy szeregu z dokładnością 10 miejsc po przecinku.

Natomiast samo zsumowanie [math]\displaystyle{ 10^8 }[/math] wyrazów szeregu daje wynik

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 3}^{10^8} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} = 1.014 771 500 510 916 \ldots }[/math]

Zatem mimo zsumowania stu milionów(!) wyrazów szeregu otrzymaliśmy rezultat z dokładnością jednego(!) miejsca po przecinku. Co więcej, nie wiemy, jaka jest dokładność uzyskanego rezultatu. Znając oszacowanie od dołu i od góry, dokładność jednego miejsca po przecinku uzyskaliśmy po zsumowaniu dziesięciu(!) wyrazów szeregu.

Rozpatrywana wyżej sytuacja pokazuje, że w przypadku znajdowania przybliżonej wartości sumy szeregu ważniejsze od sumowania ogromnej ilości wyrazów jest posiadanie oszacowania nieskończonej reszty szeregu. Ponieważ wyznaczenie tego oszacowania na ogół nie jest proste, pokażemy jak ten problem rozwiązać przy pomocy całki oznaczonej.

Grupowanie i przestawianie wyrazów szeregu

Funkcje

Definicja D18
Niech będą dane dwa zbiory [math]\displaystyle{ X }[/math] i [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Funkcją nazywamy takie odwzorowanie, które każdemu elementowi zbioru [math]\displaystyle{ X }[/math] przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych elementów [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] prawdziwa jest implikacja

[math]\displaystyle{ x_1 \neq x_2 \Longrightarrow f (x_1) \neq f (x_2) }[/math]

lub implikacja równoważna

[math]\displaystyle{ f(x_1) = f (x_2) \Longrightarrow x_1 = x_2 }[/math]

Powiemy, że funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją "na", jeżeli dla każdego elementu [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] istnieje taki element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], że [math]\displaystyle{ y = f (x) }[/math]

Funkcję różnowartościową nazywamy też iniekcją, a funkcję na "na" suriekcją.

Funkcję różnowartościową i "na" nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (lub bijekcją).

Niech [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math]. Powiemy, że [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją odwracalną, jeżeli istnieje taka funkcja [math]\displaystyle{ g : Y \rightarrow X }[/math], że

● [math]\displaystyle{ g (f (x)) = x }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ x \in X }[/math]

● [math]\displaystyle{ f (g (y)) = y }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math]

Funkcję [math]\displaystyle{ g }[/math] spełniającą powyższe warunki będziemy nazywali funkcją odwrotną do [math]\displaystyle{ f }[/math] i oznaczali symbolem [math]\displaystyle{ f^{- 1} }[/math].

Twierdzenie D19
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (czyli jest bijekcją), to ma dokładnie jedną funkcję odwrotną.

Dowód

Załóżmy, że [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest bijekcją. Zauważmy, że

z założenia [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją "na" (suriekcją), zatem każdemu elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] musi odpowiadać przynajmniej jeden element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] taki, że [math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math]

przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że pewnemu elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] odpowiadają dwa różne elementy [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] takie, że [math]\displaystyle{ f(x_1) = y }[/math] i [math]\displaystyle{ f(x_2) = y }[/math]; ale z założenia [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ f(x_1) = f (x_2) }[/math], to [math]\displaystyle{ x_1 = x_2 }[/math]; z otrzymanej sprzeczności wynika natychmiast, że element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] odpowiadający elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] jest jedyny.

Widzimy, że funkcja [math]\displaystyle{ f }[/math], która jest różnowartościowa i "na" (bijekcja) przypisuje każdemu elementowi [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] dokładnie jeden element [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] (to akurat wynika z definicji funkcji) i jednocześnie każdemu elementowi [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] odpowiada dokładnie jeden element [math]\displaystyle{ x \in X }[/math].

Zatem możemy zdefiniować funkcję odwrotną [math]\displaystyle{ f^{- 1} : Y \rightarrow X }[/math] w następujący sposób: dla każdego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] niech [math]\displaystyle{ f^{- 1} (y) }[/math] będzie tym jedynym elementem [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] spełniającym [math]\displaystyle{ f(x) = y }[/math].

Z powyższej definicji wynika, że

dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] mamy [math]\displaystyle{ f^{- 1} (f (x)) = f^{- 1} (y) = x }[/math]
dla dowolnego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] jest [math]\displaystyle{ f (f^{- 1} (y)) = f (x) = y }[/math]

Pokażemy jeszcze, że funkcja odwrotna [math]\displaystyle{ f }[/math] jest wyznaczona jednoznacznie.

Niech [math]\displaystyle{ g : Y \rightarrow X }[/math] oraz [math]\displaystyle{ h : Y \rightarrow X }[/math] będą dwiema funkcjami odwrotnymi do [math]\displaystyle{ f }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ y }[/math] będzie dowolnym elementem zbioru [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Z definicji funkcji odwrotnej mamy [math]\displaystyle{ f (g (y)) = y }[/math] i [math]\displaystyle{ f (h (y)) = y }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ f }[/math] jest funkcją różnowartościową i [math]\displaystyle{ f (g (y)) = f (h (y)) }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ g(y) = h (y) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ y }[/math] był dowolnym elementem zbioru [math]\displaystyle{ Y }[/math], to wypisana równość zachodzi dla każdego [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math], skąd natychmiast wynika, że funkcje [math]\displaystyle{ g }[/math] i [math]\displaystyle{ h }[/math] są identyczne. Czyli istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna do funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math].
□

Twierdzenie D20
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] ma funkcję odwrotną, to jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Dowód

Z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] ma funkcję odwrotną [math]\displaystyle{ f^{- 1} : Y \rightarrow X }[/math].

1. funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją "na" (jest suriekcją)

Załóżmy, że [math]\displaystyle{ y \in Y }[/math] i niech [math]\displaystyle{ x = f^{- 1} (y) }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ f(x) = f (f^{- 1} (y)) = y }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją "na".

2. funkcja [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją różnowartościową (jest iniekcją)

Załóżmy, że [math]\displaystyle{ x_1, x_2 \in X }[/math] i [math]\displaystyle{ f(x_1) = f (x_2) }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ x_1 = f^{- 1} (f (x_1)) = f^{- 1} (f (x_2)) = x_2 }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ f : X \rightarrow Y }[/math] jest funkcją różnowartościową. Co należało pokazać.
□

Zadanie D21
Pokazać, że [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem ograniczonym.

Rozwiązanie

[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem skończonym, zatem [math]\displaystyle{ A = \{ k_1, \ldots, k_n \} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k_i \in \mathbb{N} }[/math], a [math]\displaystyle{ n }[/math] jest iloscią elementów zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math]. Wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M = \max (k_1, \ldots, k_n) }[/math], aby dla każdego [math]\displaystyle{ k_i \in A }[/math] było [math]\displaystyle{ k_i \leqslant M }[/math]. Czyli zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math] jest zbiorem ograniczonym.

[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ A \subset \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem ograniczonym, zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k_i \in A }[/math] jest [math]\displaystyle{ k_i \leqslant M }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] jest zbiorem dyskretnym, to zbiór ma nie więcej niż [math]\displaystyle{ M }[/math] elementów, zatem jest zbiorem skończonym.
□

Zadanie D22
Niech [math]\displaystyle{ A }[/math] będzie dowolnym zbiorem skończonym, a [math]\displaystyle{ f }[/math] dowolną funkcją określoną na [math]\displaystyle{ A }[/math]. Pokazać, że obraz [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] jest zbiorem skończonym.

Rozwiązanie

Z definicji funkcji wiemy, że każdemu elementowi [math]\displaystyle{ k \in A }[/math] odpowiada dokładnie jeden element zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math], zatem obraz [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math] nie może zawierać więcej elementów niż zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math], zatem musi być zbiorem skończonym. Oczywiście [math]\displaystyle{ f(A) }[/math] może zawierać mniej elementów niż zbiór [math]\displaystyle{ A }[/math], np. w przypadku funkcji [math]\displaystyle{ f(k) = k^2 }[/math] i zbioru [math]\displaystyle{ A = \{ - 5, - 4, \ldots, 4, 5 \} }[/math] lub funkcji stałej [math]\displaystyle{ f(k) = C }[/math] i dowolnego skończonego zbioru [math]\displaystyle{ A }[/math].
□

Grupowanie wyrazów szeregu

Uwaga D23
Problem, który pojawia się w przypadku grupowania wyrazów szeregu, zilustrujemy przykładem. Rozważmy szereg

[math]\displaystyle{ 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + {\small\frac{1}{8^2}} + {\small\frac{1}{9^2}} + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots \qquad (*) }[/math]

Jest to szereg zbieżny (zobacz D15 p.4) i oczywiście jest bezwzględnie zbieżny. Możemy łatwo popsuć zbieżność tego szeregu, dodając nowe wyrazy. Zauważmy, że szereg

[math]\displaystyle{ 1 - 1 + 1 + 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} + 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} + 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} + 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} + 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} + \ldots \qquad (**) }[/math]

jest rozbieżny. Czytelnik łatwo sprawdzi, że suma częściowa tego szeregu wyraża się wzorem

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{j = 1}^{\lfloor n / 3 \rfloor} {\small\frac{1}{j^2}} + \begin{cases} 0 & & \text{gdy } n = 3 k \\ \lfloor n / 3 \rfloor + 1 & & \text{gdy } n = 3 k + 1 \\ 0 & & \text{gdy } n = 3 k + 2 \\ \end{cases} }[/math]

Mamy zatem: [math]\displaystyle{ S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \infty }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n = 3 k + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math], gdy [math]\displaystyle{ n = 3 k }[/math] lub [math]\displaystyle{ n = 3 k + 2 }[/math]. Skąd wynika natychmiast rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ (**) }[/math]. Zauważmy, że możemy łatwo temu szeregowi przywrócić zbieżność grupując wyrazy po trzy

[math]\displaystyle{ (1 - 1 + 1) + \left( 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} \right) + \left( 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} \right) + \left( 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} \right) + \left( 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} \right) + \left( 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} \right) + \ldots }[/math]

W wyniku otrzymujemy zbieżny szereg [math]\displaystyle{ (*) }[/math]. Możemy też zastosować grupowanie: dwa wyrazy, jeden wyraz. Dostajemy

[math]\displaystyle{ (1 - 1) + (1) + (2 - 2) + \left( {\small\frac{1}{2^2}} \right) + (3 - 3) + \left( {\small\frac{1}{3^2}} \right) + (4 - 4) + \left( {\small\frac{1}{4^2}} \right) + (5 - 5) + \left( {\small\frac{1}{5^2}} \right) + (6 - 6) + \left( {\small\frac{1}{6^2}} \right) + \ldots }[/math]

Czyli szereg postaci

[math]\displaystyle{ 0 + 1 + 0 + {\small\frac{1}{2^2}} + 0 + {\small\frac{1}{3^2}} + 0 + {\small\frac{1}{4^2}} + 0 + {\small\frac{1}{5^2}} + 0 + {\small\frac{1}{6^2}} + 0 + {\small\frac{1}{7^2}} + 0 + {\small\frac{1}{8^2}} + 0 + {\small\frac{1}{9^2}} + 0 + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots }[/math]

Suma tego szeregu wynosi oczywiście [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math].

Widzimy, że szereg rozbieżny można uczynić zbieżnym, dobierając odpowiednie grupowanie wyrazów szeregu. Podane niżej twierdzenie odpowiada na pytanie: czy szereg zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo) możemy uczynić rozbieżnym, dobierając odpowiednie grupowanie wyrazów szeregu.

Zadanie D24
Zbadać, czy suma wypisanych niżej szeregów zależy od sposobu grupowania wyrazów tych szeregów.

[math]\displaystyle{ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 - 12 + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} + \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Pierwszy i drugi szereg nie są zbieżne, bo nie spełniają warunku koniecznego zbieżności szeregu: [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math]. W przypadku pierwszego szeregu mamy

[math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} 0 & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\ 1 & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Widzimy, że nie istnieje granica [math]\displaystyle{ S_n }[/math] dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności, czyli szereg jest rozbieżny, ale grupując wyrazy po dwa, dostajemy

[math]\displaystyle{ (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0 + 0 + 0 + \ldots = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \ldots = 1 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 1 }[/math]

Dla drugiego szeregu jest podobnie

[math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} - {\large\frac{n}{2}} & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\ {\large\frac{n + 1}{2}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Nie istnieje granica [math]\displaystyle{ S_n }[/math] dla [math]\displaystyle{ n }[/math] dążącego do nieskończoności, zatem szereg jest rozbieżny. Grupując wyrazy po dwa, mamy

[math]\displaystyle{ (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + (7 - 8) + (9 - 10) + (11 - 12) + \ldots = - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - \ldots = - \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + (- 2 + 3) + (- 4 + 5) + (- 6 + 7) + (- 8 + 9) + (- 10 + 11) + (- 12 + 13) + \ldots = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \ldots = + \infty }[/math]

Trzeci szereg spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu, ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz B34). Mamy

[math]\displaystyle{ S_n = \begin{cases} \;\;\; 0 & & \text{gdy } n \text{ jest parzyste} \\ {\large\frac{2}{n + 1}} & & \text{gdy } n \text{ jest nieparzyste} \\ \end{cases} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ S_n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 0 }[/math], to trzeci szereg jest warunkowo zbieżny. Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ (1 - 1) + \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1 + \left( - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{20}} - \ldots = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 0 \qquad \quad }[/math] (zobacz D15 p.1)

[math]\displaystyle{ \left( 1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + \ldots \longrightarrow 0 }[/math]

Widzimy, że zmiana sposobu grupowania nie zmieniła sumy tego szeregu.
□

Twierdzenie D25
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo), to jego suma nie zależy od pogrupowania wyrazów pod warunkiem, że każda z grup obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów.

Dowód

Uwaga: warunek, aby grupy obejmowały jedynie skończoną ilość wyrazów, stosujemy do ustalonej grupy, co nie wyklucza sytuacji, że rozmiar grupy rośnie dla kolejnych grup, np. [math]\displaystyle{ n }[/math]-ta grupa zawiera [math]\displaystyle{ n }[/math] wyrazów szeregu. Zauważmy, że podciąg [math]\displaystyle{ k_j = {\small\frac{1}{2}} (j^2 - j + 2) }[/math] jest równie dobrym podciągiem, jak każdy inny, a w tym przypadku [math]\displaystyle{ n }[/math]-ta grupa obejmuje dokładnie [math]\displaystyle{ n }[/math] wyrazów szeregu.

Rozważmy szereg

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + \ldots }[/math]

oraz dowolne grupowanie wyrazów tego szeregu, na przykład

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = (a_1) + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + (a_7 + a_8) + (a_9 + a_{10} + a_{11}) + (a_{12} + a_{13} + a_{14}) + \ldots }[/math]

Każda grupa (zgodnie z założeniem) obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów. Takie grupowanie w rzeczywistości tworzy nowy szereg

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_{k_j} = b_{k_1} + b_{k_2} + b_{k_3} + b_{k_4} + b_{k_5} + b_{k_6} + \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ (k_j) }[/math] jest pewnym podciągiem ciągu liczb naturalnych określonych przez wskaźnik pierwszego wyrazu po nawiasie otwierającym grupę, a samą grupę możemy zapisać jako

[math]\displaystyle{ b_{k_j} = (a_{k_j} + a_{k_j + 1} + \ldots + a_{k_{j + 1} - 1}) }[/math]

W naszym przykładzie mamy: [math]\displaystyle{ k_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ k_2 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ k_3 = 4 }[/math], [math]\displaystyle{ k_4 = 7 }[/math], [math]\displaystyle{ k_5 = 9 }[/math], [math]\displaystyle{ k_6 = 12, \; \ldots }[/math]

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, zatem ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k }[/math] ma granicę. Ciąg sum częściowych szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_{k_j} }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ T_m = \sum_{j = 1}^{m} b_{k_j} = b_{k_1} + b_{k_2} + \ldots + b_{k_m} = \sum_{j = 1}^{m} (a_{k_j} + a_{k_j + 1} + \ldots + a_{k_{j + 1} - 1}) }[/math]

Łatwo widzimy, że [math]\displaystyle{ T_m }[/math] jest sumą wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] o wskaźnikach mniejszych od [math]\displaystyle{ k_{m + 1} }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ T_m = S_{k_{m + 1} - 1} }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ (T_m) }[/math] jest podciągiem ciągu zbieżnego [math]\displaystyle{ (S_n) }[/math], to też jest zbieżny do tej samej granicy (zobacz C77). Co kończy dowód.
□

Przestawianie wyrazów szeregu

Definicja D26
Powiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }[/math] powstał w wyniku przestawiania wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], jeżeli [math]\displaystyle{ b_k = a_{f (k)} }[/math], gdzie funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną i [math]\displaystyle{ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} }[/math].

Uwaga D27
Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] musi

odwzorowywać zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] "na" [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], bo każdy wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] musi wystąpić w ciągu [math]\displaystyle{ (b_k) }[/math]
być funkcją różnowartościową

Różnowartościowość funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] wyklucza sytuację, gdy dwóm wyrazom ciągu [math]\displaystyle{ (b_k) }[/math] o różnych indeksach odpowiada taki sam wyraz z ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math]. Weźmy dla przykładu szeregi

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} = 1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + \ldots }[/math]

Mamy: [math]\displaystyle{ b_5 = a_{f (5)} = b_6 = a_{f (6)} = a_5 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ f(5) = f (6) = 5 }[/math]. Otrzymaliśmy w ten sposób szereg złożony z innych wyrazów: pierwszy ma wszystkie wyrazy różne, a drugi ma dwa takie same.

Uwaga D28
Niech [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z przestawionymi wyrazami definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }[/math]

Funkcji [math]\displaystyle{ f }[/math] opisującej przestawianie wyrazów zazwyczaj nie daje się zapisać prostym wzorem. Powiedzmy, że dokonujemy tylko jednego przestawienia: wyraz [math]\displaystyle{ a_5 }[/math] będzie teraz dziesiątym wyrazem w nowym szeregu. Takie przestawienie opisuje funkcja

[math]\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} k & & \text{gdy } k < 5 \\[0.3em] k + 1 & & \text{gdy } 5 \leq k < 10 \\[0.3em] 5 & & \text{gdy } k = 10 \\[0.3em] k & & \text{gdy } k > 10 \\ \end{cases} }[/math]

Co dobrze pokazuje tabela

suma	wyrazy sumy
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_7 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_9 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(5)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(6)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(7)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(8)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(9)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(10)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(11)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_7 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_9 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{11} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

Niżej przedstawiamy jeszcze dwa przykłady.

Przykład D29
Niech [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Funkcja

[math]\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} k + 1 & & \text{gdy } k \text{ jest nieparzyste} \\[0.3em] k - 1 & & \text{gdy } k \text{ jest parzyste} \\ \end{cases} }[/math]

tworzy nowy szereg, w którym wyrazy o indeksach parzystych mają w nowym szeregu indeksy nieparzyste, a wyrazy o indeksach nieparzystych mają w nowym szeregu indeksy parzyste.

Co ilustruje tabela

suma	wyrazy sumy
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{2 j - 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{2 j} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2 j - 1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2 j)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{2 j} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{2 j - 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

Przykład D30
Niech [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] będzie szeregiem harmonicznym naprzemiennym [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math], a funkcja opisująca przestawianie wyrazów szeregu ma postać

[math]\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} \large{\frac{2 k + 1}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j + 1 \\ \large{\frac{4 k - 2}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j + 2 \\ \large{\frac{4 k}{3}} & & \text{gdy } k = 3 j \\ \end{cases} }[/math]

Rezultaty przestawiania wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] zbierzemy w tabeli

suma	wyrazy sumy
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_7 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{3 j + 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{3 j + 2} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{3 j + 3} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(5)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(6)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(7)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(8)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3 j + 1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3 j + 2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3 j + 3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_6 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{10} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{2 j + 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{4 j + 2} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{4 j + 4} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{6}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{8}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{5}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{10}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2 j + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 j + 2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{4 j + 4}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ldots }[/math]

Dokładnie z takim przestawieniem wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego spotkamy się w zadaniu D31 p.2.

Zadanie D31
Niech [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math] i niech [math]\displaystyle{ [n, \ldots, n'] }[/math] będzie dowolnym przedziałem liczb naturalnych o długości nie większej od [math]\displaystyle{ M }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right) = 0 }[/math]

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją granicy chcemy pokazać, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right| < \varepsilon }[/math]

Z założenia [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math], a z definicji tej granicy wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon' > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N'_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k > N'_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon' }[/math].

Ponieważ [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] możemy obrać dowolnie, to dla wybranego przez nas [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] niech

[math]\displaystyle{ \varepsilon' = {\small\frac{\varepsilon}{M}} }[/math]

Teraz już łatwo widzimy, że dla [math]\displaystyle{ n > N'_0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} a_k \right| \leqslant \sum_{k \:\! \in \:\! [n, \ldots, n']} | a_k | < M \cdot \varepsilon' = M \cdot {\small\frac{\varepsilon}{M}} = \varepsilon }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D32
Rozważmy sytuację, gdy wszystkie wyrazy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] podzieliliśmy na bloki wyrazów – tak jak przykładowo poniżej

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k = [a_1 + a_2 + a_3] + [a_4] + [a_5 + a_6 + a_7] + [a_8] + [a_9 + a_{10}] + [a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14}] + [a_{15}] + [a_{16} + a_{17} + a_{18}] + [a_{19} + a_{20}] + \ldots }[/math]

Zauważmy, że każdy wyraz należy do pewnego bloku [math]\displaystyle{ B_k }[/math], a związany z blokiem wyrazów [math]\displaystyle{ B_k }[/math] zbiór indeksów tych wyrazów tworzy pewien przedział [math]\displaystyle{ I_k \subset \mathbb{N} }[/math]. W naszym przypadku mielibyśmy

[math]\displaystyle{ [1, 2, 3], [4], [5, 6, 7], [8], [9, 10], [11, 12, 13, 14], [15], [16, 17, 18], [19, 20], \ldots }[/math]

Definicja D33
Podziałem zbioru liczb naturalnych [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na skończone przedziały nazywamy zbiór przedziałów [math]\displaystyle{ \{ I_k \} }[/math] takich, że

[math]\displaystyle{ I_k \neq \varnothing }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ I_j \cap I_k = \varnothing }[/math] dla [math]\displaystyle{ j \neq k }[/math]
[math]\displaystyle{ | \, I_k \, | < \infty }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \bigcup_{k \geq 1} I_k =\mathbb{N} }[/math]
przedziały są uporządkowane rosnąco w naturalnym porządku, tzn. dla [math]\displaystyle{ j < k }[/math] zachodzi [math]\displaystyle{ \max (I_j) < \min (I_k) }[/math]

Twierdzenie D34
Niech [math]\displaystyle{ I_1, I_2, \ldots }[/math] będzie podziałem [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na przedziały o długości nie większej od [math]\displaystyle{ M }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest szeregiem, którego wyrazy spełniają konieczny warunek zbieżności [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{m \rightarrow \infty} \left( \sum_{j = 1}^m \sum_{k \:\! \in \:\! I_j} a_k \right) }[/math]

Czyli suma częściowa szeregu [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k }[/math] i suma wyrazów szeregu liczona po pełnych przedziałach [math]\displaystyle{ I_j }[/math] mają taką samą granicę.

Dowód

Rozważmy sumę częściową [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k }[/math]. Z definicji podziału [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na przedziały istnieje taki wskaźnik [math]\displaystyle{ r = r (n) }[/math] i taki odpowiadający mu przedział [math]\displaystyle{ I_r }[/math], że [math]\displaystyle{ n \in I_r }[/math]. Zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k = \underset{\text{przedziałach}}{\underset{\text{suma po pełnych}}{\sum_{j = 1}^{r - 1} \sum_{k \:\! \in \:\! I_j} a_k}} \quad + \quad \underset{\text{przedziału końcowego } I_r}{\underset{\text{suma po części}}{\sum_{k \:\! \in \:\! I_r, \;\! k < n} a_k}} }[/math]

Zauważmy, że druga suma po prawej stronie albo nie wystąpi (możemy powiedzieć, że jest równa zero), gdy [math]\displaystyle{ n = \max (I_r) }[/math], albo przebiega po pewnym przedziale [math]\displaystyle{ [\min (I_r), \ldots, n] }[/math]. Przedział ten ma długość nie większą od [math]\displaystyle{ M }[/math], bo jest podprzedziałem przedziału [math]\displaystyle{ I_r }[/math], a z założenia [math]\displaystyle{ | I_r | < M }[/math].

Gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, to również [math]\displaystyle{ r = r (n) }[/math] dąży do nieskończoności i tak samo liczba [math]\displaystyle{ \min (I_{r (n)}) }[/math] dąży do nieskończoności, a przedział [math]\displaystyle{ [\min (I_r), \ldots, n] \subset I_r }[/math] obejmuje coraz większe liczby naturalne. Z zadania D31 otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [\min (I_r), \ldots, n]} a_k \right) = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D35
Rozważmy szereg harmoniczny naprzemienny

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots }[/math]

Zbieżność tego szeregu wynika z kryterium Leibniza (zobacz D5), wynika też z kryterium Dirichleta (zobacz D74), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots }[/math]

Z twierdzenia D34 wynika, że sumę szeregu możemy liczyć po pełnych blokach, zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{2 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz D11) zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math].

Zadanie D36
Pokazać, że szereg

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots }[/math]

jest zbieżny, a jego suma jest równa

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 = 1.13197175 \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że dokonując podziału szeregu

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

na bloki, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \left[ 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} \right] + \ldots }[/math]

Z twierdzenia D34 wynika, że sumę szeregu możemy liczyć, sumując po pełnych blokach. Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{32 n^2 - 24 n + 3}{4 n (2 n - 1) (4 n - 1) (4 n - 3)}} < \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math] jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz D11) zbieżny jest też szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} }[/math].

Sumę szeregu trudniej policzyć. Zauważmy, że wyrazy szeregu

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

możemy pogrupować

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) - \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} \right) - \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{10}} \right) - \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{14}} \right) - \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{16}} \right) + \ldots }[/math]

Pozwala to zapisać rozpatrywany szereg w postaci sumy utworzonych wyżej grup

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2 k}} \right) }[/math]

Należy podkreślić, że takie pogrupowanie nie zmienia sumy szeregu (zobacz D25). Możemy zatem napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math]

Będziemy rozważali całki

[math]\displaystyle{ I_n = \int^1_0 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]. Przykładowo

[math]\displaystyle{ I_0 = \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}} dt = \operatorname{arctg}(t) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.785398 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ I_1 = \int_0^1 {\small\frac{t}{1 + t^2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{2 t}{1 + t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{du}{1 + u}} = {\small\frac{1}{2}} \biggr[ \log (1 + u) \biggr\rvert_{0}^{1} \biggr] = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 \approx 0.34657 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ I_2 = \int_0^1 {\small\frac{t^2}{1 + t^2}} dt = \int_0^1 {\small\frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2}} dt = \int_0^1 dt - \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}} dt = 1 - {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.21460 \ldots }[/math]

Udowodnimy kolejno, że

1. [math]\displaystyle{ \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \qquad I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} \qquad \qquad \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 2 }[/math]

3a. [math]\displaystyle{ \qquad I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0 }[/math]

3b. [math]\displaystyle{ \qquad I_{2 n} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0 }[/math]

4a. [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 }[/math]

4b. [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} = {\small\frac{\pi}{4}} }[/math]

Punkt 1.

Zauważmy, że w przedziale [math]\displaystyle{ [0, 1] }[/math] mamy [math]\displaystyle{ 1 \leqslant 1 + t^2 \leqslant 2 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} \leqslant {\small\frac{1}{1 + t^2}} \leqslant 1 }[/math]. Wynikają stąd oszacowania

[math]\displaystyle{ I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \leqslant \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \geqslant \int_0^1 {\small\frac{t^n}{2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{2 n + 2}} }[/math]

Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2 n + 2}} \leqslant I_n \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} I_n = 0 }[/math]

Punkt 2.

Mamy

[math]\displaystyle{ I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot t^2}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot [(1 + t^2) - 1]}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \int_0^1 t^{n - 2} dt- \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2}}{1 + t^2}} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} }[/math]

Otrzymaliśmy wzór rekurencyjny prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} }[/math]

Punkt 3a. / 3b.
Korzystając ze znalezionego wzoru rekurencyjnego oraz indukcji matematycznej udowodnimy, że prawdziwe są następujące wzory (odpowiednio dla całek [math]\displaystyle{ I_m }[/math] o indeksie nieparzystym i dla całek [math]\displaystyle{ I_m }[/math] o indeksie parzystym)
[math]\displaystyle{ I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math]	[math]\displaystyle{ I_{2 n} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math]
Sprawdzamy poprawność wzoru dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Z dowodzonego wzoru otrzymujemy
[math]\displaystyle{ I_3 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 = {\small\frac{1}{2}} - I_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_2 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 = 1 - I_0 }[/math]
A ze wzoru rekurencyjnego dostajemy identyczny wzór
[math]\displaystyle{ I_3 = {\small\frac{1}{2}} - I_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ I_2 = 1 - I_0 }[/math]
Załóżmy (złożenie indukcyjne), że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] mamy
[math]\displaystyle{ I_{2 n + 3} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 2}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{2 n + 2}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{(2 n + 3) - 1}} - I_{2 n + 1} }[/math]	[math]\displaystyle{ I_{2 n + 2} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 1}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{2 n + 1}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) }[/math] [math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{(2 n + 2) - 1}} - I_{2 n} }[/math]
Ostatnia równość wynika z założenia indukcyjnego. Pokazaliśmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math], co kończy dowód indukcyjny.

Punkt 4a. / 4b.
Z twierdzenia C9 granicę policzoną w punkcie 1. możemy zapisać równoważnie w postaci [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \| I_{n} \| = 0 }[/math]. Zatem z punktów 3a i 3b mamy odpowiednio
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left\| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right\| = 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left\| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right\| = 0 }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) = 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} - I_0 \right) = 0 }[/math]
Skąd natychmiast dostajemy, że
[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = I_1 = {\small\frac{\log 2}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} = I_0 = {\small\frac{\pi}{4}} }[/math]

Zauważmy, że mnożąc obie strony ostatniego wzoru w lewej kolumnie przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math], otrzymujemy wzór na sumę szeregu harmonicznego naprzemiennego

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2 }[/math]

Teraz już łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = {\small\frac{\pi}{4}} + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D37
Pokazać, że

1. [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{14}} \right) + \ldots = \log 2 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{18}} - {\small\frac{1}{20}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{18}} - {\small\frac{1}{20}} - {\small\frac{1}{22}} - {\small\frac{1}{24}} \right) + \ldots = 0 }[/math]

4. [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} + {\small\frac{1}{25}} + {\small\frac{1}{27}} + {\small\frac{1}{29}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \ldots = + \infty }[/math]

Rozwiązanie

Uwagi ogólne
Nawiasy nie oznaczają tutaj jakiegoś szczególnego grupowania wyrazów szeregu. Zostały umieszczone jedynie po to, aby pokazać, jak poszczególne szeregi zostały zdefiniowane.

Każdy z zamieszczonych niżej dowodów (poza punktem 6.) wykorzystuje przybliżony wzór na sumę [math]\displaystyle{ n }[/math] początkowych wyrazów szeregu harmonicznego

[math]\displaystyle{ H_n = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log n + \gamma + {\small\frac{1}{2 n}} - {\small\frac{1}{12 n^2}} + {\small\frac{1}{120 n^4}} - \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma \approx 0.57721 \ldots }[/math] jest stałą Eulera (zobacz uwagę po twierdzeniu B34, więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w przykładzie E60). Powyższy wzór możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ H_n = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \log n + \gamma + h_n }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} h_n = 0 }[/math].

Wynikają stąd wzory

[math]\displaystyle{ \underset{k \text{ parzyste}}{\sum_{k = 2}^{2 n}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k}} = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n + 1}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n + 1} {\small\frac{1}{k}} - \underset{k \text{ parzyste}}{\sum^{2 n}_{k = 2}} {\small\frac{1}{k}} = H_{2 n + 1} - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{2 n - 1} {\small\frac{1}{k}} - \underset{k \text{ parzyste}}{\sum^{2 n - 2}_{k = 2}} {\small\frac{1}{k}} = H_{2 n - 1} - {\small\frac{1}{2}} H_{n - 1} = \left( H_{2 n} - {\small\frac{1}{2 n}} \right) - {\small\frac{1}{2}} \left( H_n - {\small\frac{1}{n}} \right) = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

Punkt 1.

Wzór został udowodniony w twierdzeniu D6, ale zastosujemy tutaj inny sposób. Zauważmy, że sumujemy bloki

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum^n_{k = 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = H_{2 n} - H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - (\log n + \gamma + h_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \left[ \log \left( {\small\frac{2 n}{n}} \right) + h_{2 n} - h_n \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \log 2 }[/math]

Punkt 2.

Pierwszy sposób

Z określenia szeregu wynika, że sumujemy bloki złożone z trzech wyrazów

[math]\displaystyle{ 0 < \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{4 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]

Z kryterium porównawczego (D11) wynika, że powyższy szereg jest zbieżny, zatem możemy grupować wyrazy (zobacz D25)

[math]\displaystyle{ 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) - {\small\frac{1}{4}} + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} \right) - {\small\frac{1}{8}} + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} \right) - {\small\frac{1}{12}} + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} \right) - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} + \ldots \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Drugi sposób

Szereg jest sumą bloków

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{4 k - 2}} + {\small\frac{1}{4 k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{4 n - 2}} + {\small\frac{1}{4 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 n - 1}} + {\small\frac{1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_{2 n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} [(\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - (\log n + \gamma + h_n)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \log \left( {\small\frac{2 n}{n}} \right) + h_{2 n} - h_n \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Punkt 3.

Zauważmy, że sumujemy bloki

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{8 k - 6}} - {\small\frac{1}{8 k - 4}} - {\small\frac{1}{8 k - 2}} - {\small\frac{1}{8 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{8 k - 6}} + {\small\frac{1}{8 k - 4}} + {\small\frac{1}{8 k - 2}} + {\small\frac{1}{8 k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = \underset{k \text{ nieparzyste}}{\sum_{k = 1}^{2 n - 1}} {\small\frac{1}{k}} - \left( {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{14}} + {\small\frac{1}{16}} + \ldots + {\small\frac{1}{8 n - 6}} + {\small\frac{1}{8 n - 4}} + {\small\frac{1}{8 n - 2}} + {\small\frac{1}{8 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} \left( 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + \ldots + {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} + {\small\frac{1}{4 n - 1}} + {\small\frac{1}{4 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = H_{2 n} - {\small\frac{1}{2}} H_n - {\small\frac{1}{2}} H_{4 n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = (\log (2 n) + \gamma + h_{2 n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log n + \gamma + h_n) - {\small\frac{1}{2}} (\log (4 n) + \gamma + h_{4 n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} [\log (4 n^2) + 2 \gamma + 2 h_{2 n} - \log n - \gamma - h_n - \log (4 n) - \gamma - h_{4 n}] }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = {\small\frac{1}{2}} \left[ \log \left( {\small\frac{4 n^2}{n \cdot 4 n}} \right) + 2 h_{2 n} - h_n - h_{4 n} \right] \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 0 }[/math]

Punkt 4.

Rozpatrujemy szereg

[math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{15}} + {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} + {\small\frac{1}{25}} + {\small\frac{1}{27}} + {\small\frac{1}{29}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{31}} + \ldots + {\small\frac{1}{61}} - {\small\frac{1}{16}} \right) + \ldots }[/math]

Zauważmy, że

● z definicji każda [math]\displaystyle{ k }[/math]-ta grupa obejmuje [math]\displaystyle{ 2^{k - 1} }[/math] wyrazów z mianownikiem nieparzystym i jeden wyraz z mianownikiem parzystym (największy z jeszcze niewykorzystanych wyrazów o mianowniku parzystym)

● pierwszy wyraz z mianownikiem nieparzystym w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej grupie jest równy [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2^k - 1}} }[/math], a ostatni to [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} }[/math]

● znajdujemy oszacowanie sumy wyrazów z mianownikiem nieparzystym w [math]\displaystyle{ k }[/math]-tej grupie

[math]\displaystyle{ S_{(k)} = {\small\frac{1}{2^k - 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} \geqslant 2^{k - 1} \cdot {\small\frac{1}{2^{k + 1} - 3}} > {\small\frac{2^{k - 1}}{2^{k + 1}}} = {\small\frac{1}{4}} }[/math]

● łatwo sprawdzamy, że suma wyrazów w każdej z pierwszych trzech grup jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math]

● począwszy od czwartej grupy, od sumy wyrazów z nieparzystym mianownikiem odejmujemy [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] lub mniej niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math] (dokładnie [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{10}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{12}} }[/math], [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{14}} }[/math], itd.), zatem suma wszystkich wyrazów w każdej z tych grup jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math]

● pokazaliśmy, że suma wyrazów w każdej grupie jest większa od [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{8}} }[/math], a ponieważ jest nieskończenie wiele grup, to szereg jest rozbieżny do nieskończoności

□

Zadanie D38
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left( \underbrace{{\small\frac{1}{2 b k - 2 b + 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 b k - 1}}}_{b \text{ wyrazów nieparzystych}} - \underbrace{{\small\frac{1}{2 a k - 2 a + 2}} - \ldots - {\small\frac{1}{2 a k}}}_{a \text{ wyrazów parzystych}} \right) }[/math]

Zauważmy, że sumujemy bloki zbudowane z wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} }[/math]. Każdy blok składa się z [math]\displaystyle{ b }[/math] wyrazów nieparzystych (dodatnich) i [math]\displaystyle{ a }[/math] wyrazów parzystych (ujemnych). Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 b k - 2 b + 1}} + \ldots + {\small\frac{1}{2 b k - 1}} \text{} - {\small\frac{1}{2 a k - 2 a + 2}} - \ldots - {\small\frac{1}{2 a k}} \right) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) }[/math]

Rozwiązanie

Uwzględniając twierdzenie D34, będziemy sumowali po pełnych blokach. Zauważmy, że po zsumowaniu [math]\displaystyle{ n }[/math] bloków mamy sumę [math]\displaystyle{ b n }[/math] wyrazów nieparzystych (dodatnich) i [math]\displaystyle{ a n }[/math] wyrazów parzystych (ujemnych). Zatem tak określona suma częściowa jest równa

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}} }[/math]

Podobnie jak w zadaniu poprzednim (D37) wykorzystamy przybliżony wzór na sumę [math]\displaystyle{ m }[/math] początkowych wyrazów szeregu harmonicznego

[math]\displaystyle{ H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log m + \gamma + {\small\frac{1}{2 m}} - {\small\frac{1}{12 m^2}} + {\small\frac{1}{120 m^4}} - \ldots }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma \approx 0.57721 \ldots }[/math] jest stałą Eulera (zobacz uwagę po twierdzeniu B34, więcej na ten temat Czytelnik znajdzie w przykładzie E60).

Powyższy wzór możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = \log m + \gamma + h_m }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow \infty} h_m = 0 }[/math].

Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k}} = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{k}} = {\small\frac{1}{2}} H_m }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k - 1}} = \sum_{k = 1}^{2 m} {\small\frac{1}{k}} - \sum_{k = 1}^m {\small\frac{1}{2 k}} = H_{2 m} - {\small\frac{1}{2}} H_m }[/math]

Podstawiając do wzoru na sumę częściową, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}} = \left( H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} \right) - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} = H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} }[/math]

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu harmonicznego, dostajemy

[math]\displaystyle{ S_n = H_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{b n} - {\small\frac{1}{2}} H_{a n} }[/math]

[math]\displaystyle{ = (\log (2 b n) + \gamma + h_{2 b n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log (b n) + \gamma + h_{b n}) - {\small\frac{1}{2}} (\log (a n) + \gamma + h_{a n}) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left[ \log (2 b n) - {\small\frac{1}{2}} \cdot \log (b n) - {\small\frac{1}{2}} \cdot \log (a n) \right] + \left[ \gamma - {\small\frac{1}{2}} \cdot \gamma - {\small\frac{1}{2}} \cdot \gamma \right] + \left[ h_{2 b n} - {\small\frac{1}{2}} \cdot h_{b n} - {\small\frac{1}{2}} \cdot h_{a n} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{4 b^2 n^2}{b n \cdot a n}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{4 b}{a}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \cdot \left( 2 h_{2 b n} - h_{b n} - h_{a n} \right) \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \cdot \log \left( {\small\frac{b}{a}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D39
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, to po dowolnym przestawieniu wyrazów suma tego szeregu nie ulegnie zmianie.

Dowód

Niech [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z przestawionymi wyrazami definiujemy następująco

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} }[/math]

Widzimy, że

suma	wyrazy sumy							w szczególności
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k } }[/math]	[math]\displaystyle{ b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ b_n }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{f^{-1}(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{f^{-1}(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ b_{f^{-1}(n)} }[/math]
[math]\displaystyle{ \boldsymbol{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)} } }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(3)} }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(4)} }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_{f(n)} }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ … }[/math]	[math]\displaystyle{ a_n }[/math]

Zatem, po przestawieniu, na [math]\displaystyle{ n }[/math]-tej pozycji w szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math] znajdzie się wyraz [math]\displaystyle{ a_{f (n)} }[/math].

Funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, co oznacza, że ma funkcję odwrotną. Zauważmy, że [math]\displaystyle{ f (f^{- 1} (n)) = n }[/math], zatem [math]\displaystyle{ f^{- 1} (n) }[/math] zwraca wartość indeksu, z jakim wyraz [math]\displaystyle{ a_n }[/math] z szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] występuje w szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] będzie dowolną ustaloną liczbą naturalną. Jeżeli przyjmiemy, że

[math]\displaystyle{ M_0 = \max \{ f^{- 1} (1), f^{- 1} (2), \ldots, f^{- 1} (N_0) \} }[/math]

to zapewnimy sobie, że każdy z wyrazów [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} }[/math] wystąpi w ciągu [math]\displaystyle{ (a_{f (1)}, a_{f (2)}, \ldots, a_{f (M_0)}) }[/math], czyli

[math]\displaystyle{ \{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} \subseteq \{ a_{f (1)}, a_{f (2)}, \ldots, a_{f (M_0)} \} }[/math]^[a]

Oczywiście musi być [math]\displaystyle{ M_0 \geqslant N_0 }[/math].

Niech

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 1}^n a_k \qquad \qquad S = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \qquad \qquad S^{\ast}_n = \sum_{k = 1}^n | a_k | \qquad \qquad S^{\ast} = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

Z założenia szereg jest bezwzględnie zbieżny, zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ | S^{\ast} - S^{\ast}_n | < \varepsilon }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} | a_k | < \varepsilon }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ T_m = \sum_{k = 1}^m a_{f (k)} }[/math]

będzie sumą częściową szeregu z przestawionymi wyrazami. Dla dowolnego [math]\displaystyle{ m > M_0 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S - T_m = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k - \sum_{k = 1}^m a_{f (k)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \left( \sum_{k = 1}^{N_0} a_k + \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k \right) - \left( \sum_{k = 1}^{N_0} a_k + \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\,\, = \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k - \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} }[/math]

Rozważmy różnicę sum w ostatnim wierszu. Druga z tych sum [math]\displaystyle{ \underset{f (k) > N_0}{\sum_{k = 1}^m} a_{f (k)} }[/math] jest sumą skończoną i zawiera [math]\displaystyle{ m - N_0 }[/math] wyrazów sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^m a_{f (k)} }[/math], które pozostały po wydzieleniu wyrazów [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} }[/math]. Zauważmy, że każdy wyraz tej sumy występuje w pierwszej sumie [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k }[/math]. Zatem zapisana w ostatnim wierszu różnica sum, jest sumą [math]\displaystyle{ \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} a_k }[/math], w której część wyrazów (skończona liczba) nie występuje, co zaznaczymy, używając znaku prim [math]\displaystyle{ (') }[/math] przy symbolu sumy. Mamy

[math]\displaystyle{ S - T_m = {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} a_k }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | S - T_m | = \left| \,\, {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} a_k \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, \leqslant \,\, {\mathop{\sum}\nolimits^{\;\! \boldsymbol{\prime}}}\limits_{\!\! k = N_0 + 1}^{\!\! \infty} | a_k | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, \leqslant \sum_{k = N_0 + 1}^{\infty} | a_k | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, < \varepsilon }[/math]

Pokazaliśmy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M_0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ m > M_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | S - T_m | < \varepsilon }[/math]. Zatem ciąg [math]\displaystyle{ (T_m) }[/math] ma granicę i wartość tej granicy jest równa [math]\displaystyle{ S }[/math]. Co kończy dowód.

[a] Możemy też argumentować inaczej. Z definicji przestawiania wyrazów szeregu wynika, że każdy wyraz [math]\displaystyle{ a_k }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math] musi wystąpić w szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} b_k }[/math]. Zatem musi istnieć taki wyraz [math]\displaystyle{ b_{g (k)} }[/math], że [math]\displaystyle{ b_{g (k)} = a_k }[/math]. Jeżeli dla kolejnych [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k }[/math], czyli dla wyrazów [math]\displaystyle{ \{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} }[/math] zdefiniujemy liczbę [math]\displaystyle{ M_0 = \max \{ b_{g (1)}, b_{g (2)}, \ldots, b_{g (N_0)} \} }[/math], to w zbiorze [math]\displaystyle{ \{ b_1, b_2, \ldots, b_{M_0} \} }[/math] musi wystąpić każdy z wyrazów [math]\displaystyle{ a_k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \leqslant N_0 }[/math]. Zbierając: istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M_0 }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ a_1, a_2, \ldots, a_{N_0} \} \subseteq \{ b_1, b_2, \ldots, b_{M_0} \} }[/math].
□

Zadanie D40
Pokazać, że każdą liczbę [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] można przedstawić jednoznacznie w postaci różnicy liczb nieujemnych [math]\displaystyle{ p, g }[/math] tak, aby jednocześnie były spełnione równania [math]\displaystyle{ x = p - g }[/math] oraz [math]\displaystyle{ | x | = p + g }[/math].

Rozwiązanie

Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} p - g = x \\[0.3em] p + g = | x | \\ \end{cases} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ p = {\small\frac{| x | + x}{2}} \qquad g = {\small\frac{| x | - x}{2}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ | x | \geqslant - x }[/math] i [math]\displaystyle{ | x | \geqslant x }[/math], to obie liczby [math]\displaystyle{ p, g }[/math] są nieujemne. Zauważmy, że rozkład liczby [math]\displaystyle{ x }[/math] możemy zapisać w równoważny sposób

[math]\displaystyle{ p = {\small\frac{| x | + x}{2}} = \max (0, x) = \begin{cases} x & & \text{gdy } x \geqslant 0 \\[0.3em] 0 & & \text{gdy } x < 0 \\ \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ g = {\small\frac{| x | - x}{2}} = \max (0, - x) = \begin{cases} 0 & & \text{gdy } x \geqslant 0 \\[0.3em] - x & & \text{gdy } x < 0 \\ \end{cases} }[/math]

□

Zadanie D41
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem nieskończonym, a [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów ujemnych tego ciągu. Pokazać, że jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny, to

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} a_{n_j} = + \infty \qquad \qquad \text{i} \qquad \qquad \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_k} = - \infty }[/math]

Rozwiązanie

Każdy wyraz [math]\displaystyle{ a_n }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] przedstawimy w postaci różnicy dwóch liczb nieujemnych [math]\displaystyle{ a^+_n }[/math] i [math]\displaystyle{ a^-_n }[/math] (zobacz D33), gdzie

[math]\displaystyle{ a^+_n = \max (0, a_n) }[/math]

[math]\displaystyle{ a^-_n = \max (0, - a_n) }[/math]

Zauważmy, że

● ciąg [math]\displaystyle{ (a^+_n) }[/math] powstaje z ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] przez zastąpienie wyrazów mniejszych od zera zerami

● ciąg [math]\displaystyle{ (a^-_n) }[/math] powstaje z ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] przez zastąpienie wyrazów większych od zera zerami, a wyrazów mniejszych od zera ich wartościami bezwzględnymi

Oczywiście [math]\displaystyle{ a_n = a^+_n - a^-_n }[/math] i [math]\displaystyle{ | a_n | = a^+_n + a^-_n }[/math] i możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum^{\infty}_{k = 1} a^-_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} | a_n | = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n + \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math]

Rozważmy możliwe przypadki

Punkt 1.

Jeżeli szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] są zbieżne, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} | a_n | = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n + \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest zbieżny. Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Punkt 2.

Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] jest zbieżny, a szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest rozbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest rozbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Punkt 3.

Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] jest rozbieżny, a szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest zbieżny, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum_{j = 1}^{\infty} a^+_n - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] jest rozbieżny, wbrew założeniu, że jest warunkowo zbieżny.

Wynika stąd, że możliwy jest tylko przypadek, gdy obydwa szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n }[/math] i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a^-_n }[/math] są rozbieżne. Zauważmy teraz, że pary ciągów [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (a^+_n) }[/math] oraz [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (- a^-_n) }[/math] różnią się jedynie nieskończoną ilością wyrazów równych zero, zatem odpowiednie szeregi również są rozbieżne

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} a_{n_j} = \sum_{n = 1}^{\infty} a^+_n = + \infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n_k} = - \sum_{k = 1}^{\infty} a^-_n = - \infty }[/math]

Skąd wynika natychmiast, że obydwa podciągi [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] mają nieskończoną liczbę wyrazów różnych od zera.
□

Twierdzenie D42 (Bernhard Riemann^[4], 1854)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest warunkowo zbieżny i [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{R} }[/math], to istnieje takie przestawienie wyrazów tego szeregu [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], że [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R }[/math].

Dowód

Zauważmy od razu (i zapamiętajmy), że ponieważ z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest zbieżny, to musi być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 \; }[/math] (zobacz D4).

Niech [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] będzie podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbudowanym z wyrazów ujemnych tego ciągu. Ponieważ podciągi [math]\displaystyle{ (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (a_{n_k}) }[/math] tworzą szeregi rozbieżne (zobacz D34) odpowiednio do [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] i do [math]\displaystyle{ - \infty }[/math], to skończona suma kolejnych wyrazów tych podciągów może osiągać dowolne wartości skończone odpowiednio dodatnie lub ujemne.

Dla ułatwienia zapisu oznaczmy: [math]\displaystyle{ (p_i) \equiv (a_{n_j}) }[/math] i [math]\displaystyle{ (q_i) \equiv (a_{n_k}) }[/math], a dla ustalenia uwagi załóżmy, że [math]\displaystyle{ R > 0 }[/math].

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ n_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ p_k }[/math] (dodatnich) będzie większa od [math]\displaystyle{ R }[/math] (liczby dodatniej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n_1 - 1} p_k \leqslant R < \sum_{k = 1}^{n_1} p_k }[/math]

[math]\displaystyle{ - p_{n_1} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k < 0 }[/math]

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ q_k }[/math] (ujemnych) będzie mniejsza od [math]\displaystyle{ R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k }[/math] (liczby ujemnej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k \leqslant \sum^{m_1 - 1}_{k = 1} q_k }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 < R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k \leqslant - q_{m_1} }[/math]

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ n_2 > n_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ p_k }[/math] (dodatnich) będzie większa od [math]\displaystyle{ R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k }[/math] (liczby dodatniej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = n_1 + 1}^{n_2 - 1} p_k \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_1} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < \sum_{k = n_1 + 1}^{n_2} p_k }[/math]

[math]\displaystyle{ - p_{n_2} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k < 0 }[/math]

Wybierzmy najmniejsze [math]\displaystyle{ m_2 > m_1 }[/math] takie, że suma wyrazów [math]\displaystyle{ q_k }[/math] (ujemnych) będzie mniejsza od [math]\displaystyle{ R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_1} q_k }[/math] (liczby ujemnej) o co najwyżej ostatni z wyrazów tej sumy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m_1 + 1}^{m_2} q_k < R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum^{m_1}_{k = 1} q_k \leqslant \sum_{k = m_1 + 1}^{m_2 - 1} q_k }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 < R - \sum_{k = 1}^{n_2} p_k - \sum_{k = 1}^{m_2} q_k \leqslant - q_{m_2} }[/math]

Kontynuując, zgodnie z zasadami przedstawionymi wyżej, naprzemienne dodawanie bloków liczb nieujemnych i ujemnych, osiągamy to, że kolejne sumy oscylują wokół wartości [math]\displaystyle{ R }[/math] z coraz mniejszą amplitudą.

W [math]\displaystyle{ j }[/math]-tym kroku dla bloku wyrazów nieujemnych [math]\displaystyle{ p_k }[/math] i [math]\displaystyle{ n_j > n_{j - 1} }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - p_{n_j} \leqslant R - \sum_{k = 1}^{n_j} p_k - \sum^{m_{j - 1}}_{k = 1} q_k < 0 }[/math]

a dla bloku wyrazów ujemnych [math]\displaystyle{ q_k }[/math] i [math]\displaystyle{ m_j > m_{j - 1} }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 < R - \sum_{k = 1}^{n_j} p_k - \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \leqslant - q_{m_j} }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ S(n_j, m_j) = \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k }[/math]

oznacza sumę częściową nowego szeregu (z przestawionymi wyrazami), którego konstrukcję przedstawiliśmy wyżej. Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], to z wypisanych nierówności i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C11) wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_j) = \lim_{j \rightarrow \infty} S(n_j, m_{j - 1}) = R }[/math]

Zauważmy teraz, że prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1}}_{k = 1} q_k \right) > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1} + 1}_{k = 1} q_k \right) > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum^{m_{j - 1} + 2}_{k = 1} q_k \right) > \ldots > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j - 1} q_k \right) > \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) }[/math]

Jest tak, ponieważ każde kolejne wyrażenie w nawiasie ma coraz więcej wyrazów ujemnych. Podobnie mamy też

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{k = 1}^{n_j} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \left( \sum_{k = 1}^{n_j + 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \left( \sum_{k = 1}^{n_j + 2} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \ldots \leqslant \left( \sum^{n_{j + 1} - 1}_{k = 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) \leqslant \left( \sum^{n_{j + 1}}_{k = 1} p_k + \sum_{k = 1}^{m_j} q_k \right) }[/math]

bo każde kolejne wyrażenie w nawiasie ma coraz więcej wyrazów nieujemnych. Co oznacza, że dla sum częściowych mamy odpowiednio

[math]\displaystyle{ S(n_j, m_{j - 1}) > S (n_j, m_{j - 1} + 1) > S (n_j, m_{j - 1} + 2) > \ldots > S (n_j, m_j - 1) > S (n_j, m_j) }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ S(n_j, m_j) \leqslant S (n_j + 1, m_j) \leqslant S (n_j + 2, m_j) \leqslant \ldots \leqslant S (n_{j + 1} - 1, m_j) \leqslant S (n_{j + 1}, m_j) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_j) = \lim_{j \rightarrow \infty} S (n_j, m_{j - 1}) = R , }[/math] to z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że cały ciąg sum częściowych (liczony do dowolnego wyrazu nowego szeregu) jest zbieżny do [math]\displaystyle{ R }[/math]. Możemy zatem napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R }[/math]

gdzie funkcja [math]\displaystyle{ f(n) }[/math] opisuje przestawianie wyrazów szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] zgodnie z przedstawioną wyżej metodą. Co należało pokazać.
□

Przykład D43
W dowodzie twierdzenia D42 Riemann podaje jawnie metodę budowania szeregów zbieżnych do określonej granicy [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{R} }[/math]. Korzystając z tej metody, w przypadku szeregu warunkowo zbieżnego, jakim jest szereg harmoniczny naprzemienny, sprawdziliśmy jakie szeregi generuje ta metoda dla różnych granic. Metodę zapisaliśmy w postaci procedury możliwej do wykonania w PARI/GP. Poniżej podajemy kod, który znakomicie ułatwia obliczenia.

Pokaż kod

Riemann(R, n) = 
\\ R – suma, którą chcemy uzyskać, przestawiając wyrazy szeregu harmonicznego naprzemiennego
\\ n – liczba podwójnych kroków do wykonania
{
local(i, j, k, M, S, txt);
M = matrix(3, n);
i = 0;  \\ liczy pobrane nieparzyste (dodatnie)
j = 0;  \\ liczy pobrane parzyste (ujemne)
k = 0;  \\ liczy podwójne kroki
S = R;  \\ początkowa wartość sumy S
txt = "R";  \\ wizualny zapis wykonanych obliczeń
while( k++ <= n,
       M[1, k] = k;
       while( S >= 0,
              S = S - 1/( 2*(i++) - 1 );
              txt = Str( txt, " - ", 1/(2*i - 1) );
              M[2, k] = M[2, k] + 1;
            );
       while( S < 0,
              S = S + 1/( 2*(j++) );  \\ odejmujemy ujemne – dlatego mamy znak "+"
              txt = Str( txt, " + ", 1/(2*j) );
              M[3, k] = M[3, k] + 1;
            );
     );
printp(M);
print(1.0 * S);
print(txt);
}

Uwaga D44
Naszą uwagę zwróciły dwa szeregi

[math]\displaystyle{ \left( 1 + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ \left( 1 + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2 }[/math]

Równość sum tych szeregów wynika wprost z wyniku uzyskanego w zadaniu D38. Łatwo widzimy, że wyrazy tych szeregów zostały poprzestawianie, a jednak suma tych szeregów nie uległa zmianie. Prowadzi to do ogólnego pytania: kiedy przestawianie wyrazów szeregu nie zmienia jego sumy? Częściowej odpowiedzi na to pytanie udziela zamieszczone niżej twierdzenie.

Twierdzenie D45
Niech [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] będzie szeregiem zbieżnym. Jeżeli wyrazy szeregu podzielimy na dowolne bloki [math]\displaystyle{ B_1, B_2, \ldots }[/math], zawierające nie więcej niż [math]\displaystyle{ M }[/math] wyrazów szeregu, to przestawienie wyrazów szeregu wewnątrz bloków nie zmienia sumy szeregu.

Dowód

Podziałowi wyrazów szeregu na bloki odpowiada pewien podział zbioru [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] na przedziały takie, że indeksy bloku

[math]\displaystyle{ B_k = [a_{n_k}, a_{n_k + 1}, a_{n_k + 2}, \ldots, a_{n_{k + 1} - 1}] }[/math]

odpowiadają pewnemu przedziałowi [math]\displaystyle{ I_k \subset \mathbb{N} }[/math]

[math]\displaystyle{ I_k = [n_k, n_k + 1, n_k + 2, \ldots, n_{k + 1} - 1] }[/math]

Ponieważ bloki [math]\displaystyle{ B_k }[/math] zawierają nie więcej niż [math]\displaystyle{ M }[/math] wyrazów szeregu, to przedziały [math]\displaystyle{ I_k }[/math] mają długość nie większą od [math]\displaystyle{ M }[/math].

Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n }[/math] jest szeregiem zbieżnym, zatem musi być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow + \infty} a_k = 0 }[/math]

Zatem na mocy twierdzenia D34 obliczając sumę szeregu, możemy sumować po pełnych blokach.

Ponieważ przestawianie wyrazów wewnątrz bloku nie wpływa na sumę tych wyrazów, to natychmiast widzimy, że przestawiane wyrazów wewnątrz skończonych bloków nie wpływa na sumę szeregu. Co należało pokazać.
□

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Twierdzenie D46
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, n + 1] }[/math], to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f(x) d x }[/math]

Dowód

Ponieważ funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest z założenia ciągła, dodatnia i malejąca, to zamieszczony niżej rysunek dobrze prezentuje problem.

Przedstawiona na rysunku krzywa odpowiada funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Dla współrzędnej [math]\displaystyle{ x = k }[/math] zaznaczyliśmy wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], a po lewej i prawej stronie tych punktów zaznaczyliśmy pasy o jednostkowej szerokości. Łatwo zauważamy, że

po lewej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem zielonym) jest większe od pola prostokąta o wysokości [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] i jednostkowej szerokości
po prawej stronie pole pod krzywą (zaznaczone kolorem niebieskim) jest mniejsze od pola prostokąta o wysokości [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] i jednostkowej szerokości

Korzystając z własności całki oznaczonej, otrzymujemy ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ \int_{k}^{k + 1} f(x) d x \leqslant f(k) \leqslant \int_{k - 1}^{k} f(x) d x }[/math]

W powyższym wzorze występują nierówności nieostre, bo rysunek przedstawia funkcję silnie malejącą, ale zgodnie z uczynionym założeniem funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] może być funkcją słabo malejącą.

Sumując lewą nierówność od [math]\displaystyle{ k = m }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], a prawą od [math]\displaystyle{ k = m + 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m + 1}^{n} f (k) \leqslant \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

Dodając [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] do obydwu stron drugiej z powyższych nierówności i łącząc je ze sobą, otrzymujemy kolejny i docelowy ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{n + 1} f (x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

□

Przykład D47
Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math].

Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x}} }[/math] jest ciągła, dodatnia i silnie malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math], zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \int_{1}^{n} {\small\frac{d x}{x}} }[/math]

Przy obliczaniu całek oznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) = \log \left( n \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) \right) = \log n + \log \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right) > \log n + {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

to dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} - \log n < 1 }[/math]

Zauważmy: nie tylko wiemy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math] jest rozbieżny, ale jeszcze potrafimy określić, jaka funkcja tę rozbieżność opisuje! Mamy zatem podstawy, by przypuszczać, że całki umożliwią opracowanie metody, która pozwoli rozstrzygać o zbieżności szeregów.

Twierdzenie D48 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)
Załóżmy, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego, czy funkcja pierwotna [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] ma dla [math]\displaystyle{ x \rightarrow \infty }[/math] granicę skończoną, czy nie.

Dowód

Nim przejdziemy do dowodu, wyjaśnimy uczynione założenia. Założenie, że funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest malejąca, będzie wykorzystane w czasie dowodu twierdzenia, ale rozważanie przypadku, gdy [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest rosnąca, nie ma sensu, bo wtedy nie mógłby być spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] (zobacz twierdzenie D4).

Moglibyśmy założyć bardziej ogólnie, że funkcja jest nieujemna, ale wtedy twierdzenie obejmowałoby przypadki funkcji takich, że dla pewnego [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] byłoby [math]\displaystyle{ f(x_0) = 0 }[/math]. Ponieważ z założenia funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest malejąca, zatem mielibyśmy [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ x \geqslant x_0 }[/math]. Odpowiadający tej funkcji szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] miałby dla [math]\displaystyle{ k \geqslant x_0 }[/math] tylko wyrazy zerowe i byłby w sposób oczywisty zbieżny.

Założenie ciągłości funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] ma zapewnić całkowalność funkcji [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]^[5]. Założenie to można osłabić^[6], tutaj ograniczymy się tylko do podania przykładów. Niech [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R} }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \int_a^b \text{sgn}(x) d x = | b | - | a | }[/math] [math]\displaystyle{ \qquad \qquad \int_0^a \lfloor x \rfloor d x = {\small\frac{1}{2}} \lfloor a \rfloor (2 a - \lfloor a \rfloor - 1) }[/math] [math]\displaystyle{ \qquad \qquad \int_{-a}^a \lfloor x \rfloor d x = - a }[/math]

Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu D46 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Z drugiej nierówności wynika, że jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest rozbieżna, to rosnący ciąg kolejnych całek oznaczonych [math]\displaystyle{ C_j = \int_{m}^{j} f (x) d x }[/math] nie może być ograniczony od góry (w przeciwnym wypadku całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math] byłby zbieżna), zatem również rosnący ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ F_j = \sum_{k = m}^{j} f(k) }[/math] nie może być ograniczony od góry, co oznacza, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest rozbieżny.

Z trzeciej nierówności wynika, że jeżeli całka [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] jest zbieżna, to ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ F_j = \sum_{k = m}^{j} f (k) }[/math] jest ciągiem rosnącym i ograniczonym od góry. Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ F_j }[/math] jest zbieżny, zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math] jest zbieżny.

Ponieważ zbieżność (rozbieżność) całki [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math] nie zależy od wyboru dolnej granicy całkowania, to wystarczy badać granicę [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F (x) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ F(x) = \int f (x) d x }[/math] jest dowolną funkcją pierwotną.
□

Przykład D49
Przykłady zebraliśmy w tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony WolframAlpha.

	szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} a_k }[/math]	funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]	całka [math]\displaystyle{ F(x) = \int f(x) d x }[/math]	granica [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} F(x) }[/math]	wynik
1.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
2.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{\sqrt{k}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{x}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 \sqrt{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
3.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny
4.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x \log x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \log \log x }[/math]	[math]\displaystyle{ \infty }[/math]	szereg rozbieżny
5.	[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^2 \! k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{x \log^2 \! x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{\log x}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	szereg zbieżny

Stosując kryterium całkowe, można łatwo pokazać, że szeregi

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \log^s \! k}} }[/math]

są zbieżne dla [math]\displaystyle{ s > 1 }[/math] i rozbieżne dla [math]\displaystyle{ s \leqslant 1 }[/math].

Twierdzenie D50
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest ciągła, dodatnia i malejąca w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math] oraz

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ a < m }[/math], to prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R(m) }[/math]

Dowód

Korzystając ze wzoru udowodnionego w twierdzeniu D46 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ R(m) \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + R (m) }[/math]

Odejmując od każdej ze stron nierówności liczbę [math]\displaystyle{ f(m) }[/math] i dodając do każdej ze stron nierówności sumę skończoną [math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant S(m) + R (m) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Przykład D51
Twierdzenie D50 umożliwia określenie, z jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ S(m) = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = 2 \text{arctg} \left( \sqrt{x} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ R(m) = \int_{m}^{\infty} {\small\frac{d x}{(x + 1) \sqrt{x}}} = \pi - 2 \text{arctg} \left( \sqrt{m} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ S(m) + R (m) - f (m) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}} \leqslant S (m) + R (m) }[/math]

Dla kolejnych wartości [math]\displaystyle{ m }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ m }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) - f(m) }[/math]	[math]\displaystyle{ S(m) + R(m) }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.84 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.87 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.85 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86000 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86004 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^4 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860024 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^5 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002506 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002509 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^6 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025078 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^7 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507920 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.86002507923 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^8 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079220 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.860025079221 }[/math]
[math]\displaystyle{ 10^9 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792211 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1.8600250792212 }[/math]

W programie PARI/GP wystarczy napisać:

f(k) = 1.0 / (k+1) / sqrt(k)
S(m) = sum( k = 1, m, f(k) )
R(m) = Pi - 2*atan( sqrt(m) )
for(j = 1, 9, m = 10^j; suma = S(m); reszta = R(m); print( "j= ", j, "   a= ", suma + reszta - f(m), "   b= ", suma + reszta ))

Prostym wnioskiem z twierdzenia D46 jest następujące
Twierdzenie D52
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego [math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{\infty} f (k) }[/math] (gdzie [math]\displaystyle{ a < m }[/math]) zastąpimy sumę [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] całką [math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math], to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy [math]\displaystyle{ f(m) }[/math].

Dowód

Korzystając ze wzoru z twierdzenia D46 i przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Dodając do każdej ze stron nierówności wyrażenie [math]\displaystyle{ - f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ - f(m) + \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) \leqslant \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x }[/math]

Skąd wynika natychmiast

[math]\displaystyle{ - f(m) \leqslant \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \leqslant 0 < f(m) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{k = a}^{\infty} f(k) - \left( \sum_{k = a}^{m} f(k) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x \right) \right| \leqslant f(m) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D53
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, + \infty) }[/math]. Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny, to dla każdego [math]\displaystyle{ n \geqslant m }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B }[/math] oraz [math]\displaystyle{ C }[/math] są dowolnymi stałymi spełniającymi nierówności

[math]\displaystyle{ B \geqslant 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ C \geqslant f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

Dowód

Z twierdzenia D46 mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int_{m}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) + B \int_{m}^{n} f (x) d x - B \int^n_m f (x) d x - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = f (m) - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! = \left[ f (m) + B \int_{m}^{\infty} f (x) d x \right] - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\! \leqslant C - B \int_{n}^{\infty} f (x) d x }[/math]

□

Uwaga D54
Niech [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] będzie funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ [m, \infty) }[/math]. Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math]. Zauważmy, że:

korzystając z całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f (k) }[/math] jest zbieżny
jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie D53), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math]

Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k) }[/math], możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{\infty} f(k) }[/math]. Zauważmy, że wybór większego [math]\displaystyle{ B }[/math] ułatwia dowód indukcyjny. Stałą [math]\displaystyle{ C }[/math] najlepiej zaokrąglić w górę do wygodnej dla nas wartości.

Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a do tego wystarczy indukcja matematyczna.

Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w tym celu twierdzenie D53.

Zadanie D55
Korzystając z twierdzenia D53, znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math]

Rozwiązanie

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x^2}} }[/math] jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ (0, + \infty) }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n > 0 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{d x}{x^2}} = {\small\frac{1}{n}} \qquad }[/math] (zobacz: WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ C \geqslant 1 + \int_{1}^{\infty} {\small\frac{d x}{x^2}} = 2 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} }[/math]

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math]. Funkcja [math]\displaystyle{ f(x) = {\small\frac{1}{x (\log x)^2}} }[/math] jest funkcją ciągłą, dodatnią i malejącą w przedziale [math]\displaystyle{ (1, + \infty) }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n > 1 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \int_{n}^{\infty} {\small\frac{d x}{x (\log x)^2}} = {\small\frac{1}{\log n}} \qquad }[/math] (zobacz: WolframAlpha)

[math]\displaystyle{ C \geqslant {\small\frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2}} + \int_{2}^{\infty} {\small\frac{d x}{x (\log x)^2}} = {\small\frac{1}{2 \cdot (\log 2)^2}} + {\small\frac{1}{\log 2}} = 2.483379 \ldots }[/math]

Przyjmijmy [math]\displaystyle{ C = 2.5 }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math]

□

Zadanie D56
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Łatwo zauważamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{k^2}} = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} + \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n}} + {\small\frac{1}{(n + 1)^2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \: = 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n (n + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \: < 2 - {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}} < 2 }[/math]

Czyli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.
□

Zadanie D57
Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} }[/math] i udowodnić, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

Indukcja matematyczna. Łatwo sprawdzamy, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{2} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} \approx 1.040684 < 2.5 - {\small\frac{1}{\log 2}} \approx 1.05730 }[/math]

Zakładając, że oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = m}^{n + 1} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} = \sum_{k = m}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + \left( {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} - {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot (\log (n + 1))^2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - {\small\frac{\log (n + 1)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - {\small\frac{\log \left( n \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right) \right)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: = 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( 1 - 1 - {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right)}{\log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \left( - {\small\frac{1}{(n + 1) \log n}} + {\small\frac{1}{(n + 1) \cdot \log (n + 1)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \: < 2.5 - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} }[/math]

Co kończy dowód indukcyjny. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}} < 2.5 }[/math]

Czyli ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} }[/math] jest rosnący i ograniczony od góry, a zatem zbieżny. Co oznacza, że szereg jest zbieżny.
□

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Twierdzenie D58
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{p_k}} = 0.269605966 \ldots }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2}} = 0.452247420041 \ldots }[/math]	A085548
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} = 1.375064994748 \ldots }[/math]	A086242
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p (p - 1)}} = 0.773156669049 \ldots }[/math]	A136141

Dowód

Punkt 1.
Szereg jest szeregiem naprzemiennym i jego zbieżność wynika z twierdzenia D5.

Punkt 2.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p^2}} < \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

Punkt 3.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} < \sum_{j = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{(j - 1)^2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} = {\small\frac{\pi^2}{6}} }[/math]

Punkt 4.
Zbieżność wzoru wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{p (p - 1)}} < {\small\frac{1}{(p - 1)^2}} }[/math]

□

Twierdzenie D59
Następujące szeregi są zbieżne

1. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = 1.636616323351 \ldots }[/math]	A137245
2. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p^2 \log p}} = 0.507782187859 \ldots }[/math]	A221711
3. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = 0.755366610831 \ldots }[/math]	A138312
4. [math]\displaystyle{ \quad \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^2}} = 0.493091109368 \ldots }[/math]	A136271

Dowód

Punkt 1.
Zbieżność tego szeregu udowodniliśmy w twierdzeniu B39, ale obecnie potrafimy uzyskać rezultat znacznie łatwiej. Zauważmy, że rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{1}{p \log p}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} = {\small\frac{1}{2 \log 2}} + \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} }[/math]

Wyrażenie w mianowniku ułamka możemy łatwo oszacować. Z twierdzenia A1 mamy ([math]\displaystyle{ a = 0.72 }[/math])

[math]\displaystyle{ p_k \log p_k > a \cdot k \log k \cdot \log (a \cdot k \log k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a \cdot k \log k \cdot (\log a + \log k + \log \log k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = a \cdot k \cdot (\log k)^2 \cdot \left( 1 + {\small\frac{\log a + \log \log k}{\log k}} \right) }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ k > \exp \left( \tfrac{1}{a} \right) = 4.01039 \ldots }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \log a + \log \log k > 0 }[/math]

to dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 5 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ p_k \log p_k > a \cdot k \cdot (\log k)^2 }[/math]

Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 5 }[/math] prawdziwy jest ciąg nierówności

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} < {\small\frac{1}{a \cdot k \cdot (\log k)^2}} }[/math]

Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot (\log k)^2}} }[/math] (zobacz twierdzenie D16 p. 4 lub przykład D49 p. 5) wynika zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} }[/math]

Punkt 2.
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego (twierdzenie D11), bo

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{p^2 \log p}} < {\small\frac{1}{p \log p}} }[/math]

Punkt 3.
Szereg jest zbieżny, bo sumy częściowe tego szeregu tworzą ciąg rosnący i ograniczony

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} < \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} = 1.2577 \ldots }[/math]

Punkt 4.
Zbieżność szeregu wynika z kryterium porównawczego, bo dla każdego [math]\displaystyle{ p \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{\log p}{p^2}} < {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

□

Twierdzenie D60
Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] jest rozbieżny.

Dowód

Dla potrzeb dowodu zapiszmy szereg w innej postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math]

Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math] wyrazy szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math] spełniają nierówności

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{p_k}} \leqslant {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} }[/math] jest rozbieżny (zobacz B37), to na mocy kryterium porównawczego rozbieżny jest również szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\log p_k}{p_k}} }[/math]
□

Uwaga D61
Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] podobnie, jak to uczyniliśmy w przypadku twierdzenia B37, ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.

Twierdzenie D62
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Prawdziwe są następujące nierówności

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! > n^n e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ n! < n^{n + 1} e^{- n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{dla} \;\; n \geqslant 7 }[/math]

Dowód

Punkt 1. (indukcja matematyczna)
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając prawdziwość dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) > }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; > n^n \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{n^n}{(n + 1)^n}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} \cdot \frac{1}{\left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n} \cdot e^{- n} > }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; > (n + 1)^{n + 1} \cdot {\small\frac{1}{e}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 1} e^{- (n + 1)} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n < e }[/math], zatem [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\left( 1 + {\normalsize\frac{1}{n}} \right)^n}} > {\small\frac{1}{e}} }[/math]. Co kończy dowód punktu 1.

Punkt 2. (indukcja matematyczna)
Łatwo sprawdzić prawdziwość nierówności dla [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math]. Zakładając prawdziwość dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) ! = n! \cdot (n + 1) < }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; < n^{n + 1} \cdot e^{- n} \cdot (n + 1) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot {\small\frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( {\small\frac{n}{n + 1}} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot \left( 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} \right)^{n + 1} \cdot e^{- n} < }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; < (n + 1)^{n + 2} \cdot {\small\frac{1}{e}} \cdot e^{- n} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (n + 1)^{n + 2} \cdot e^{- (n + 1)} }[/math]

Ostatnia nierówność wynika z faktu, że [math]\displaystyle{ \left( 1 - {\small\frac{1}{n + 1}} \right)^{n + 1} < {\small\frac{1}{e}} }[/math]. Co kończy dowód punktu 2.
□

Twierdzenie D63
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania

[math]\displaystyle{ \quad 1. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n}{p}} - 1 < W_p (n!) < {\small\frac{n}{p - 1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \quad 2. \quad }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \leqslant W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}} }[/math]

Dowód

Punkt 1. (prawa nierówność)

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ W_p (n!) = \left\lfloor {\small\frac{n}{p}} \right\rfloor + \left\lfloor {\small\frac{n}{p^2}} \right\rfloor + \left\lfloor {\small\frac{n}{p^3}} \right\rfloor + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, < {\small\frac{n}{p}} + {\small\frac{n}{p^2}} + {\small\frac{n}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{n}{p^k}} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{n}{p}} \cdot {\small\frac{1}{1 - {\normalsize\frac{1}{p}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{n}{p - 1}} }[/math]

Punkt 1. (lewa nierówność)

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ W_p (n!) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left\lfloor {\small\frac{n}{p^k}} \right\rfloor \geqslant \left\lfloor {\small\frac{n}{p}} \right\rfloor > {\small\frac{n}{p}} - 1 }[/math]

Punkt 2. (prawa nierówność)

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że [math]\displaystyle{ (p - 1) W_p (n!) < n }[/math]. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ (p - 1) W_p (n!) \leqslant n - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą [math]\displaystyle{ W_p (n!) \leqslant {\small\frac{n - 1}{p - 1}} }[/math].

Punkt 2. (lewa nierówność)

Z uzyskanego w punkcie 1. oszacowania wynika, że [math]\displaystyle{ n - p < p \cdot W_p (n!) }[/math]. Ponieważ nierówność ta dotyczy liczb całkowitych, to możemy napisać

[math]\displaystyle{ n - p \leqslant p \cdot W_p (n!) - 1 }[/math]

Skąd otrzymujemy natychmiast nierówność nieostrą [math]\displaystyle{ W_p (n!) \geqslant {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 }[/math].
□

Twierdzenie D64
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - 1 }[/math]

Dowód

Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n! < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest [math]\displaystyle{ n! > n^n e^{- n} }[/math] (zobacz punkt 1. twierdzenia D62), to

[math]\displaystyle{ n^n e^{- n} < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)} }[/math]

Logarytmując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n \log n - n < \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{n \log p}{p - 1}} = n \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} }[/math]

Dzieląc strony przez [math]\displaystyle{ n }[/math], dostajemy szukaną nierówność.
□

Twierdzenie D65 (pierwsze twierdzenie Mertensa^[7]^[8], 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n > - 1.755367 }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p - 1}} = {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p (p - 1)}} }[/math]

to z twierdzenia D64 dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n > - 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n > - 1 - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: > - 1 - \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = - 1 - 0.755366610831 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: > - 1.755367 }[/math]

Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math] (twierdzenie D59 p. 3).
□

Twierdzenie D66 (pierwsze twierdzenie Mertensa^[7]^[8], 1874)
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n < 0.386295 }[/math]

Dowód

Z oszacowania wykładnika, z jakim liczba pierwsza [math]\displaystyle{ p }[/math] występuje w rozwinięciu liczby [math]\displaystyle{ n! }[/math] na czynniki pierwsze, wynika natychmiast, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ n! \geqslant \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 7 }[/math] jest [math]\displaystyle{ n! < n^{n + 1} e^{- n} }[/math], to

[math]\displaystyle{ \prod_{p \leqslant n} p^{(n + 1) / p \: - \: 1} < n^{n + 1} e^{- n} }[/math]

Logarytmując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} \left( {\small\frac{n + 1}{p}} - 1 \right) \cdot \log p < (n + 1) \cdot \log n - n }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \sum_{p \leqslant n} \log p < (n + 1) \cdot \log n - n }[/math]

Skąd natychmiast wynika, że

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n < - {\small\frac{n}{n + 1}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \log (P (n)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: < - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{n \cdot \log 4}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = - 1 + {\small\frac{1}{n + 1}} + \log 4 - {\small\frac{\log 4}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = \log 4 - 1 + {\small\frac{1 - \log 4}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = \log 4 - 1 - {\small\frac{0.386294 \ldots}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: < \log 4 - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \;\: = 0.386294361 \ldots }[/math]

Druga nierówność wynika z twierdzenia A10. Bezpośrednio sprawdzamy, że powyższa nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n < 7 }[/math].
□

Twierdzenie D67
Dla dowolnego [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] prawdziwe jest następujące oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < 1.141661 }[/math]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}} }[/math]

to z twierdzenia D66 dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n < \log 4 - 1 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < \log 4 - 1 + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < \log 4 - 1 + \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = \log 4 - 1 + 0.755366610831 \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < 1.141661 }[/math]

□

Uwaga D68

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = \log n - E + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ E = 1.332582275733 \ldots }[/math] Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 319 }[/math] mamy też^[9] [math]\displaystyle{ \left\| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \right\| < {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Uwaga D69

Dokładniejsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} }[/math] jest dane wzorem [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} = \log n - \gamma + \ldots }[/math] gdzie [math]\displaystyle{ \gamma = 0.5772156649 \ldots }[/math] jest stałą Eulera. Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie^[10] [math]\displaystyle{ \left\| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right\| < {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Uwaga D70
Dla [math]\displaystyle{ n \leqslant 10^{10} }[/math] wartości wyrażeń

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma }[/math]

są liczbami dodatnimi.

Twierdzenie D71
Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right) = E - \gamma }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ \quad \gamma = 0.577215664901532 \ldots }[/math] jest stałą Eulera^[11]
[math]\displaystyle{ \quad E = 1.332582275733220 \ldots }[/math]^[12]
[math]\displaystyle{ \quad E - \gamma = 0.755366610831688 \ldots }[/math]^[13]

Dowód

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p (p - 1)}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p}} }[/math]

zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} = (\log n - \gamma + \ldots) - (\log n - E + \ldots) }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = E - \gamma }[/math]

Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p - 1}} = {\small\frac{1}{p}} \cdot {\small\frac{1}{1 - {\normalsize\frac{1}{p}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{p}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} = \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}} \cdot \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p^2}} + {\small\frac{1}{p^3}} + \ldots + {\small\frac{1}{p^k}} + \ldots \right) = \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p^n}} \right) }[/math]

□

Twierdzenie D72
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n + \gamma \right| < {\small\frac{1}{2 \log n}} }[/math]

Dowód

Należy zauważyć, że tak dokładnego oszacowania nie można udowodnić metodami elementarnymi, dlatego punktem wyjścia jest oszacowanie podane w pracy Pierre'a Dusarta^[14]

[math]\displaystyle{ - \left( {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} \right) \; \underset{n \geqslant 2}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} }[/math]

Ponieważ dla [math]\displaystyle{ x > e^2 \approx 7.389 }[/math] jest [math]\displaystyle{ 1 + {\small\frac{1}{\log x}} < 1.5 }[/math], to dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 8 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{0.2}{\log n}} + {\small\frac{0.2}{\log^2 n}} = {\small\frac{0.2}{\log n}} \left( 1 + {\small\frac{1}{\log n}} \right) < {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Zatem wyjściowy układ nierówności możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{0.3}{\log n}} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Z tożsamości

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}} }[/math]

wynika natychmiast, że

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{0.3}{\log n}} \; \underset{n \geqslant 8}{<} \; \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E \; \underset{n \geqslant 2974}{<} \; {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Prawa nierówność

Rozważmy prawą nierówność prawdziwą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2974 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E < {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Z twierdzenia D71 wiemy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E = - \gamma }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E + {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E + {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma + {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < - \gamma + {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n < - \gamma + {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

jest prawdziwa dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ 318 \leqslant n \leqslant 3000 }[/math]

Lewa nierówność

Rozważmy teraz lewą nierówność prawdziwą dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 8 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n + E > - {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E - {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = \sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \sum_{p > n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E - {\small\frac{0.3}{\log n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{p > n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} {\small\frac{\log k}{k (k - 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \sum_{k = n + 1}^{\infty} {\small\frac{\log k}{(k - 1)^2}} }[/math]

Korzystając kolejno z twierdzeń D46 i C19, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \int_{n}^{\infty} {\small\frac{\log x}{(x - 1)^2}} d x }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - {\small\frac{\log n}{n - 1}} + \log \left( 1 - {\small\frac{1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - {\small\frac{\log n}{n - 1}} - {\small\frac{1}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, = - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} + \left( {\small\frac{0.2}{\log n}} - {\small\frac{\log n + 1}{n - 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, > - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

Do znalezienia całki oznaczonej Czytelnik może wykorzystać stronę WolframAlpha. Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 153 }[/math]. Bezpośrednio obliczając, sprawdzamy, że nierówność

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.5}{\log n}} }[/math]

jest prawdziwa dla wszystkich [math]\displaystyle{ 2 \leqslant n \leqslant 200 }[/math].
□

Zadanie D73
Niech [math]\displaystyle{ r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944 }[/math]. Pokazać, że z nierówności prawdziwej dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log x - r }[/math]

wynika twierdzenie Czebyszewa.

Rozwiązanie

Z twierdzenia D72 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 318 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log x < - \gamma + {\small\frac{1}{2\log x}} \leqslant - \gamma + {\small\frac{1}{2 \log (318)}} = - 0.490441 \ldots < - 0.306852 \ldots = - r }[/math]

Zatem postulowane oszacowanie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 318 }[/math]. Sprawdzając bezpośrednio dla [math]\displaystyle{ 2 \leqslant x \leqslant 317 }[/math], łatwo potwierdzamy prawdziwość nierówności

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log x - r }[/math]

dla [math]\displaystyle{ x \geqslant 32 }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ a \geqslant 32 }[/math]. Korzystając z twierdzenia D63, łatwo znajdujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ a! = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \leqslant p^{(a - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(a - 1) / (p_n - 1)}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{a - 1} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ p_n \leqslant a < p_{n + 1} }[/math]. Oznaczając wyrażenie w nawiasie przez [math]\displaystyle{ U }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \log U = {\small\frac{\log p_1}{p_1 - 1}} + \ldots + {\small\frac{\log p_n}{p_n - 1}} = \sum_{p \leqslant a} {\small\frac{\log p}{p - 1}} < \log a - r }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z oszacowania wskazanego w treści zadania. Zatem [math]\displaystyle{ U < a \cdot e^{- r} }[/math].

Przypuśćmy, że mnożymy liczbę [math]\displaystyle{ a! }[/math] przez kolejne liczby naturalne [math]\displaystyle{ a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b }[/math]. Możemy postawić pytanie: kiedy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby [math]\displaystyle{ b! }[/math] musi pojawić się nowy czynnik pierwszy? Jeżeli takiego nowego czynnika pierwszego nie ma, to

[math]\displaystyle{ a! \cdot (a + 1) \cdot \ldots \cdot b = b! }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_n}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; \leqslant p^{(b - 1) / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{(b - 1) / (p_n - 1)}_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = (p^{1 / (p_1 - 1)}_1 \cdot \ldots \cdot p^{1 / (p_n - 1)}_n)^{b - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = U^{b - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; < (a \cdot e^{- r})^{b - 1} }[/math]

Jednocześnie z twierdzenia D62 wiemy, że prawdziwa jest nierówność [math]\displaystyle{ b! > b^b e^{- b} }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ b^b e^{- b} < b! < {\normalsize\frac{(a \cdot e^{- r})^b}{a \cdot e^{-r}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b e^{- 1} < \frac{a \cdot e^{- r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b < \frac{a \cdot e^{1 - r}}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ e^{1 - r} = e^{\log (2)} = 2 }[/math], to

[math]\displaystyle{ b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < 2 a }[/math]

Z oszacowania [math]\displaystyle{ b < 2 a }[/math] wynika, że [math]\displaystyle{ (a \cdot e^{- r})^{1 / b} > (a \cdot e^{-r})^{1 / 2 a} }[/math]. Możemy teraz zapisać uzyskane wyżej oszacowanie w postaci, w której prawa strona nierówności nie zależy od [math]\displaystyle{ b }[/math]

[math]\displaystyle{ b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / b}} < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ e^{- r} = 0.735758 \ldots }[/math], to [math]\displaystyle{ (a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a} > (a / 2)^{1 / 2 a} }[/math], co pozwala uprościć uzyskane oszacowanie

[math]\displaystyle{ b < \frac{2 a}{(a \cdot e^{- r})^{1 / 2 a}} < {\normalsize\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} }[/math]

Pokażemy, że dla [math]\displaystyle{ a > 303.05 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\normalsize\frac{2 a}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} < 2 a - 5 }[/math]

Istotnie

[math]\displaystyle{ {\normalsize\frac{1}{(a / 2)^{1 / 2 a}}} < 1 - {\small\frac{5}{2 a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{2 a} > 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{2}} \cdot \left[ \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{\tfrac{2 a}{5}} \right]^5 > 1 }[/math]

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest funkcją rosnącą i ograniczoną (zobacz twierdzenie C18) i dla [math]\displaystyle{ a \geqslant 32 }[/math] przyjmuje wartości z przedziału [math]\displaystyle{ [0.353 \ldots, e^{- 1}) }[/math]. Zatem dla odpowiednio dużego [math]\displaystyle{ a }[/math] powyższa nierówność z pewnością jest prawdziwa. Łatwo sprawdzamy, że dla [math]\displaystyle{ a = 304 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ {\small\frac{a}{2}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{5}{2 a}} \right)^{2 a} = 1.003213 \ldots }[/math]

Wynika stąd, że wszystkie kolejne liczby naturalne [math]\displaystyle{ a + 1, a + 2, \ldots, b - 1, b }[/math] mogą być liczbami złożonymi co najwyżej do chwili, gdy [math]\displaystyle{ b < 2 a - 5 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ b \leqslant 2 a - 6 }[/math]. Zatem w przedziale [math]\displaystyle{ (a, 2 a) }[/math] musi znajdować się przynajmniej jedna liczba pierwsza. Dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 303 }[/math] prawdziwość twierdzenia sprawdzamy bezpośrednio.
□

Definicja D74
Powiemy, że liczby pierwsze [math]\displaystyle{ p, q }[/math] są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli [math]\displaystyle{ \left | p - q \right | = 2 }[/math]

Twierdzenie D75* (Viggo Brun, 1919)
Suma odwrotności par liczb pierwszych [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math], takich że liczba [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] jest również pierwsza, jest skończona

[math]\displaystyle{ \underset{p + 2 \in \mathbb{P}}{\sum_{p \geqslant 2}} \left( {\small\frac{1}{p}} + {\small\frac{1}{p + 2}} \right) = \left( {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} \right) + \ldots = B_2 }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B_2 = 1.90216058 \ldots }[/math] jest stałą Bruna^[15]^[16].

Zadanie D76
Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nietworzących par liczb bliźniaczych.

Rozwiązanie

Niech [math]\displaystyle{ p }[/math] i [math]\displaystyle{ q = p + 4 }[/math] będą liczbami pierwszymi i [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]. Ponieważ liczby [math]\displaystyle{ p q }[/math] i [math]\displaystyle{ p + 2 }[/math] są względnie pierwsze, to z twierdzenia Dirichleta wiemy, że wśród liczb [math]\displaystyle{ a_n = p q n + (p + 2) }[/math] jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, a jednocześnie żadna z liczb [math]\displaystyle{ a_n }[/math] nie tworzy pary liczb bliźniaczych, bo

[math]\displaystyle{ a_n - 2 = p q n + p = p (q n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n + 2 = p q n + (p + 4) = q (p n + 1) }[/math]

są liczbami złożonymi. Najprostsze przykłady to [math]\displaystyle{ a_n = 21 n + 5 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_n = 77 n + 9 }[/math]

Najłatwiej wszystkie przypadki takich ciągów wyszukać w programie PARI/GP. Polecenie

for(a=1,50, for(b=3,floor(a/2), g=gcd(a,b); g1=gcd(a,b-2); g2=gcd(a,b+2); if( g==1 && g1>1 && g2>1, print("a= ", a, "   b= ",b) )))

wyszukuje wszystkie liczby dodatnie [math]\displaystyle{ a, b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ b \leqslant \left\lfloor {\small\frac{a}{2}} \right\rfloor }[/math], które tworzą ciągi [math]\displaystyle{ a k + b }[/math] o poszukiwanych właściwościach. Oczywiście ciągi [math]\displaystyle{ a k + (a - b) }[/math] również są odpowiednie. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ a \leqslant 50 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 15 k + 7, \quad 21 k + 5, \quad 30 k + 7, \quad 33 k + 13, \quad 35 k + 12, \quad 39 k + 11, \quad 42 k + 5, \quad 45 k + 7, \quad 45 k + 8, \quad 45 k + 22 }[/math]

□

Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math]

Twierdzenie D77
Suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.

Dowód

Poniższy dowód został przedstawiony przez Erdősa w pracy^[17] z 1938 roku. Jest to bardzo elegancki i chyba najprostszy dowód tego twierdzenia.

Załóżmy, dla otrzymania sprzeczności, że rozważana suma jest zbieżna, czyli [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} = C }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C }[/math] jest pewną stałą. Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich oznacza, że różnica między sumą tego szeregu i sumami częściowymi, które uwzględniają coraz więcej wyrazów ciągu, musi być coraz mniejsza. Wynika stąd istnienie najmniejszej liczby [math]\displaystyle{ r }[/math] takiej, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = r + 1}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k}} < {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Oznacza to, że zbiór liczb pierwszych rozpada się na dwa rozłączne podzbiory [math]\displaystyle{ P = \{ p_1, p_2, \ldots, p_r \} }[/math] i [math]\displaystyle{ Q = \{ p_{r + 1}, p_{r + 2,} \ldots \} }[/math].

Konsekwentnie zbiór liczb całkowitych dodatnich możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory: zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_Q }[/math] liczb podzielnych przez dowolną liczbę pierwszą ze zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math] i zbiór [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P }[/math] liczb, które nie są podzielne przez żadną liczbę pierwszą ze zbioru [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Czyli liczby ze zbioru [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P }[/math] muszą być iloczynami potęg liczb pierwszych ze zbioru [math]\displaystyle{ P }[/math].

Niech [math]\displaystyle{ M }[/math] będzie dostatecznie dużą liczbą całkowitą.

Oszacowanie od góry ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_Q }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math]

Zauważmy, że liczb nie większych od [math]\displaystyle{ M }[/math] i podzielnych przez liczbę pierwszą [math]\displaystyle{ p }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ \left\lfloor {\small\frac{M}{p}} \right\rfloor }[/math] (zobacz A20). Łatwo otrzymujemy oszacowanie^[a]

[math]\displaystyle{ \sum_{p \in Q} \left\lfloor {\small\frac{M}{p}} \right\rfloor < M \cdot \sum_{p \in Q} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{1}{2}} M }[/math]

bo z założenia [math]\displaystyle{ \sum_{p \in Q} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{1}{2}} }[/math]. Zatem liczb takich, że [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_Q }[/math] i [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math] jest mniej niż [math]\displaystyle{ {\small\frac{M}{2}} }[/math].

Oszacowanie od góry ilości liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_P }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math]

Każdą liczbę ze zbioru [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P }[/math] możemy zapisać w postaci [math]\displaystyle{ k = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_r}_r }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ \alpha_i = 2 \beta_i + \delta_i }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \delta_i }[/math] jest resztą z dzielenia liczby [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] przez [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ k = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_r}_r = (p^{\beta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\beta_r}_r)^2 \cdot (p^{\delta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\delta_r}_r) }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \delta_i }[/math] może przybierać tylko dwie wartości: zero lub jeden, to liczb postaci [math]\displaystyle{ p^{\delta_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\delta_r}_r }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ 2^r }[/math], a kwadratów liczb całkowitych nie większych od [math]\displaystyle{ M }[/math] jest dokładnie [math]\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor \leqslant \sqrt{M} }[/math]. Zatem liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_P }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math] jest nie więcej niż [math]\displaystyle{ 2^r \sqrt{M} \, }[/math]^[b].

Ponieważ [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_P \cup \mathbb{Z}_Q =\mathbb{Z}_+ }[/math] i liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math] jest po prostu [math]\displaystyle{ M }[/math], to musi być prawdziwe oszacowanie

[math]\displaystyle{ M < 2^r \sqrt{M} + {\small\frac{M}{2}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ 2^{r + 1} > \sqrt{M} }[/math]

Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ r }[/math] jest ustalone, a [math]\displaystyle{ M }[/math] może być dowolnie duże. Wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M \geqslant 2^{2 r + 2} }[/math].

[a] Zauważmy, że suma po lewej stronie może być większa od rzeczywistej ilości liczb [math]\displaystyle{ k }[/math]. Dla przykładu: gdy [math]\displaystyle{ M > p_{r + 1} p_{r + 2} }[/math], to liczba [math]\displaystyle{ p_{r + 1} p_{r + 2} }[/math] zostanie policzona dwukrotnie: raz jako podzielna przez [math]\displaystyle{ p_{r + 1} }[/math] i drugi raz jako podzielna przez [math]\displaystyle{ p_{r + 2} }[/math]. Co oczywiście nie wpływa na poprawność przedstawionego oszacowania.

[b] Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ M > 8 }[/math] liczba [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] taka, że [math]\displaystyle{ a^2 \leqslant M < (a + 1)^2 }[/math] wystąpi dokładnie jeden raz (jako [math]\displaystyle{ a^2 \cdot 1 }[/math]), ale my oszacujemy, że pojawiła się [math]\displaystyle{ 2^r }[/math] razy. Można pokazać, że dla dowolnych [math]\displaystyle{ r \geqslant 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ M \geqslant 1 }[/math], liczb [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_P }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ k \leqslant M }[/math], jest mniej niż [math]\displaystyle{ 2^r \sqrt{M} }[/math]. Jest ich nawet mniej niż [math]\displaystyle{ 2^r \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor }[/math], poza przypadkami [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ M = 2, 3, 8 }[/math], kiedy to ilość takich liczb jest równa [math]\displaystyle{ 2^r \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor < 2^r \sqrt{M} }[/math].
□

Sumowanie przez części

Uwaga D78
Omawianie metody sumowania przez części^[18] rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia, które dobrze ilustruje tę metodę i ułatwi zrozumienie uogólnienia. Potrzebna nam będzie następująca funkcja

[math]\displaystyle{ D(k) = \begin{cases} 1 & \text{gdy } k \, \text{ jest liczbą pierwszą} \\ 0 & \text{gdy } k \, \text{ nie jest liczbą pierwszą} \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy związek funkcji [math]\displaystyle{ D(k) }[/math] z funkcją [math]\displaystyle{ \pi (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi (k) - \pi (k - 1) = \sum_{p \leqslant k} 1 - \sum_{p \leqslant k - 1} 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 1}^{k} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = D (k) + \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) - \sum_{i = 1}^{k - 1} D (i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = D (k) }[/math]

Twierdzenie D79
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i niech [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} }[/math] oznacza sumę odwrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych od [math]\displaystyle{ n }[/math]. Prawdziwy jest następujący związek

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Dowód

Rozpatrywaną sumę możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{D (k)}{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k) - \pi (k - 1)}{k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k - 1)}{k}} }[/math]

W drugiej sumie zmieniamy zmienną sumowania. Niech [math]\displaystyle{ j = k - 1 }[/math]. Sumowanie po [math]\displaystyle{ k }[/math] przebiegało od [math]\displaystyle{ 2 }[/math] do [math]\displaystyle{ n }[/math], zatem sumowanie po [math]\displaystyle{ j }[/math] będzie przebiegało od [math]\displaystyle{ 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = \sum_{k = 2}^n {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{j = 1}^{n - 1} {\small\frac{\pi (j)}{j + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{j = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (j)}{j + 1}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \pi (1) = 0 }[/math]. Zmieniając jedynie oznaczenie zmiennej sumowania, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^n \pi (k) \left( {\small\frac{1}{k}} - {\small\frac{1}{k + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D80
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) }[/math].

Rozwiązanie

Z twierdzenia D79 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

Z twierdzenia A1 wiemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 3 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ \pi (n) > {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{n}{\log n}} }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 4 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + {\small\frac{1}{3}} + \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{2}{3}} \cdot {\small\frac{1}{\log n}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{k}{\log k \cdot k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{1}{(k + 1) \log k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{k = 4}^{n - 1} {\small\frac{1}{(k + 1) \log (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{j = 5}^n {\small\frac{1}{j \log j}} }[/math]

Korzystając z twierdzenia D46, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} \geqslant {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \int_{5}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x \log x}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log x \biggr\rvert_{5}^{n + 1} + {\small\frac{1}{3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) - {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log 5 + {\small\frac{1}{3}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1) }[/math]

Zauważmy, że znacznie mniejszym nakładem pracy otrzymaliśmy lepsze oszacowanie sumy [math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} }[/math] (porównaj B37).
□

Zadanie D81
Pokazać, że oszacowanie [math]\displaystyle{ \pi (n) < n^{1 - \varepsilon} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ \varepsilon \in (0, 1) }[/math], nie może być prawdziwe dla prawie wszystkich liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dla prawie wszystkich liczb naturalnych jest [math]\displaystyle{ \pi (n) < n^{1 - \varepsilon} }[/math]. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant n_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ \pi (n) < n^{1 - \varepsilon} }[/math]. Korzystając ze wzoru (zobacz D79)

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} }[/math]

dla liczby [math]\displaystyle{ n > n_0 }[/math] otrzymujemy oszacowanie

[math]\displaystyle{ \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} < {\small\frac{n^{1 - \varepsilon}}{n}} + \sum_{k = 2}^{n_0 - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}} + \sum_{k = n_0}^{n - 1} {\small\frac{k^{1 - \varepsilon}}{k (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = {\small\frac{1}{n^{\varepsilon}}} + C_1 + \sum_{k = n_0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k^{\varepsilon} (k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < {\small\frac{1}{(n_0)^{\varepsilon}}} + C_1 + \sum_{k = n_0}^{n} {\small\frac{1}{k^{1 + \varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; \leqslant {\small\frac{1}{(n_0)^{\varepsilon}}} + C_1 + {\small\frac{1}{(n_0)^{1 + \varepsilon}}} + \int^n_{n_0} {\small\frac{d x}{x^{1 + \varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = C_2 + \left[ - {\small\frac{1}{\varepsilon \cdot x^{\varepsilon}}} \biggr\rvert_{n_0}^{n} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = C_2 - {\small\frac{1}{\varepsilon n^{\varepsilon}}} + {\small\frac{1}{\varepsilon (n_0)^{\varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < C_2 + {\small\frac{1}{\varepsilon (n_0)^{\varepsilon}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; = C_3 }[/math]

Co jest niemożliwe, bo lewa strona rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem [math]\displaystyle{ n }[/math] (zobacz B37, D77, D80).
□

Twierdzenie D82 (sumowanie przez części)
Niech [math]\displaystyle{ a_j }[/math], [math]\displaystyle{ b_j }[/math] będą ciągami określonymi przynajmniej dla [math]\displaystyle{ s \leqslant j \leqslant n }[/math]. Prawdziwy jest następujący wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j }[/math]. Wzór ten nazywamy wzorem na sumowanie przez części.

Dowód

Jeżeli potrafimy wyliczyć lub oszacować sumę liczoną dla jednego z czynników (powiedzmy, że dla [math]\displaystyle{ b_j }[/math]), to do wyliczenia lub oszacowania sumy [math]\displaystyle{ \sum_{j = s}^{n} a_j b_j }[/math] może być pomocny dowodzony wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = s}^{k} b_j }[/math]. Nim przejdziemy do dowodu, zauważmy, że wprost z definicji funkcji [math]\displaystyle{ B(k) }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B(s) = \sum_{j = s}^{s} b_j = b_s }[/math]

oraz

[math]\displaystyle{ B(k) - B (k - 1) = \sum_{j = s}^{k} b_j - \sum^{k - 1}_{j = s} b_j = b_k + \sum_{j = s}^{k - 1} b_j - \sum_{j = s}^{k - 1} b_j = b_k }[/math]

Przekształcając prawą stronę dowodzonego wzoru, pokażemy, że obie strony są równe.

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = s}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a_n B (n) - \sum^{n - 1}_{k = s} a_{k + 1} B (k) + \sum_{k = s}^{n - 1} a_k B (k) }[/math]

W pierwszej sumie po prawej stronie zmieniamy wskaźnik sumowania na [math]\displaystyle{ j = k + 1 }[/math], a w drugiej sumie zmieniamy tylko nazwę wskaźnika

[math]\displaystyle{ \sum_{k = s}^{n} a_k b_k = a_n B (n) - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s}^{n - 1} a_j B (j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s}^{n} a_j B (j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = - \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j - 1) + \sum_{j = s + 1}^{n} a_j B (j) + a_s B (s) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{j = s + 1}^{n} a_j [B (j) - B (j - 1)] + a_s b_s }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{j = s + 1}^{n} a_j b_j + a_s b_s }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = \sum_{j = s}^{n} a_j b_j }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D83
Niech [math]\displaystyle{ r \neq 1 }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} k r^k = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2} }[/math].

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, połóżmy [math]\displaystyle{ s = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = k }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = r^k }[/math]. Zauważmy, że sumowanie od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] nic nie zmienia, a nieco upraszcza przekształcenia, bo możemy korzystać wprost ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k r^k = n \cdot B (n) - \sum_{k = 0}^{n - 1} (k + 1 - k) B (k) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 0}^{k} r^j = {\small\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k r^k = n \cdot {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}} - \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{r^{k + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - n - \sum_{k = 0}^{n - 1} r^{k + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - n - r \sum_{k = 0}^{n - 1} r^k + n \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{r - 1}} \left( n r^{n + 1} - r \cdot {\small\frac{r^n - 1}{r - 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = {\small\frac{1}{(r - 1)^2}} (n r^{n + 2} - n r^{n + 1} - r^{n + 1} + r) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D84 (kryterium Dirichleta)
Niech [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] i [math]\displaystyle{ (b_k) }[/math] będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest monotoniczny

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 }[/math]

istnieje taka stała [math]\displaystyle{ M }[/math], że [math]\displaystyle{ \left| \sum_{j = 1}^{k} b_j \right| \leqslant M }[/math] dla dowolnej liczby [math]\displaystyle{ k }[/math]

to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k }[/math] jest zbieżny.

Dowód

Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n} a_k b_k = a_n \cdot B (n) - \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_k) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = a_n \cdot B (n) + \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) B (k) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 1}^{k} b_j }[/math]. Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ B(n) }[/math] jest ograniczony i [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], zatem (zobacz C14)

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \cdot B (n) = 0 }[/math]

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest monotoniczny. Jeżeli jest malejący, to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_k - a_{k + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = M (a_1 - a_n) }[/math]

(zobacz D14). Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest rosnący, to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_{k + 1} - a_k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_k - a_{k + 1}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - M (a_1 - a_n) }[/math]

Łącząc uzyskane rezultaty oraz uwzględniając fakt, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest ograniczony, bo jest zbieżny (zobacz C10), możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant M | a_1 - a_n | \leqslant M (| a_1 | + | a_n |) \leqslant 2 M U }[/math]

Ponieważ sumy częściowe szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | }[/math] tworzą ciąg rosnący i ograniczony od góry, to szereg ten jest zbieżny (zobacz C11). Wynika stąd zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B (k) }[/math] (zobacz D12). Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k }[/math] musi być zbieżny. Co należało pokazać.
□

Zadanie D85
Udowodnić następujące wzory

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{j = 1}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cos \left( {\normalsize\frac{k}{2}} + 1 \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \quad }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

Stosując metodę indukcji matematycznej, udowodnimy, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \sin j = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \sin y = \cos (x - y) - \cos (x + y) }[/math]

to wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k + 1} \sin j = 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \sin j + 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \sin (k + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) + \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = \cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej.

Punkt 2.

Stosując metodę indukcji matematycznej, udowodnimy, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = \sin (k + 1) - \sin (1) }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ 2 \sin x \cos y = \sin (x - y) + \sin (x + y) }[/math]

to wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math]. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ k }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k + 1} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \sum_{j = 1}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) + 2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right) \cdot \cos \left( k + 1 + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sin (k + 1) - \sin (1) - \sin (k + 1) + \sin (k + 2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \,\, = \sin (k + 2) - \sin (1) }[/math]

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej.
□

Zadanie D86
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} }[/math] jest zbieżny.

Rozwiązanie

W zadaniu D85 p.1 pokazaliśmy, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} = {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Skąd natychmiast otrzymujemy oszacowanie^[a]

[math]\displaystyle{ \left| \sum_{j = 1}^{k} \sin j \right| = \left| {\small\frac{\sin \left( {\normalsize\frac{k}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\normalsize\frac{k + 1}{2}} \right)}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \right| \leqslant {\small\frac{1}{\sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Ponieważ spełnione są założenia kryterium Dirichleta, to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} }[/math] jest zbieżny. Wiemy, że [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}} = \tfrac{1}{2} (\pi - 1) = 1.070796 \ldots }[/math] (WolframAlpha).

[a] Zauważmy, że bez trudu możemy otrzymać dokładniejsze oszacowanie

[math]\displaystyle{ - 0.127671 < {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - 1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \leqslant \sum_{j = 1}^{k} \sin j \leqslant {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) + 1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} < 1.958159 }[/math]

□

Zadanie D87
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math] jest zbieżny, a suma tego szeregu jest w przybliżeniu równa [math]\displaystyle{ 0.6839137864 \ldots }[/math]

Rozwiązanie

Zbieżność szeregu wynika z kryterium Dirichleta, co pokazujemy tak samo jak w zadaniu poprzednim. Oszacowanie sumy szeregu jest znacznie trudniejsze, bo ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ S_n = \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math] silnie oscyluje i dopiero dla bardzo dużych [math]\displaystyle{ n }[/math] wynik sumowania mógłby być znaczący. Przykładowo:

[math]\displaystyle{ S_{10^6} = 0.609189 \qquad S_{10^7} = 0.748477 \qquad S_{10^8} = 0.727256 \qquad S_{10^9} = 0.660078 }[/math]

Okazuje się, że tutaj też będzie pomocne sumowanie przez części. We wzorze na sumowanie przez części połóżmy [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log k}} }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = \sin k }[/math]. Korzystając ze wzoru pokazanego w zadaniu D85 p.1, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \sin (1) = C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C_1 = \tfrac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( \tfrac{1}{2} \right) - \sin (1) \qquad \qquad \qquad C_2 = - {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Sumując przez części, dostajemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + \sum^{n - 1}_{k = 2} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \left( C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + C_1 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) + C_2 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) + C_1 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} \right) + C_2 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

Zauważmy, że szereg po prawej stronie jest zbieżny nawet bez uzbieżniającego czynnika [math]\displaystyle{ \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math], bo bez tego czynnika mielibyśmy szereg teleskopowy (zobacz D14). Pozwala to oczekiwać, że sumy częściowe szeregu po prawej stronie będą znacznie szybciej zbiegały do sumy szeregu. Rzeczywiście, tym razem dla sum

[math]\displaystyle{ S_n = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ S_{10^6} = 0.683913783004 \qquad S_{10^7} = 0.683913786642 \qquad S_{10^8} = 0.683913786411 \qquad S_{10^9} = 0.683913786415 }[/math]

Jest to przybliżona wartość sumy szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math].

Oszacowanie błędu z jakim wyznaczona została wartość sumy

Kolejne sumowanie przez części pozwoli określić błąd z jakim wyznaczona została wartość sumy [math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} }[/math]. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]

We wzorze na sumowanie przez części połóżmy [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) }[/math]. Korzystając ze wzoru pokazanego w zadaniu D85 p.2, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} b_j = \sum_{j = 2}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) = C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C_3 = - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) - {\small\frac{\sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \qquad \qquad \qquad C_4 = {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Wzór na sumowanie przez części ma teraz postać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) = \left( {\small\frac{1}{\log (n)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) B (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\, = \left( {\small\frac{1}{\log (n)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) B (n) + \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) (C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1)) }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) = C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) - C_3 \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (n)}} \right) - C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (3)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} \right) }[/math]

bo szeregi po prawej stronie są szeregami teleskopowymi.

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{C_3}{\log (2)}} - {\small\frac{C_3}{\log (3)}} + C_4 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) }[/math]

Zbierając, otrzymaliśmy wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log (2)}} + C_2 C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (3)}} \right) + C_2 C_4 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ C_1 = \tfrac{1}{2} \operatorname{ctg}\left( \tfrac{1}{2} \right) - \sin (1) \qquad \qquad \qquad \quad \: C_2 = - {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ C_3 = - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) - {\small\frac{\sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} \qquad \qquad \qquad C_4 = {\small\frac{1}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} }[/math]

Dla sum

[math]\displaystyle{ S_n = {\small\frac{C_1}{\log (2)}} + C_2 C_3 \left( {\small\frac{1}{\log (2)}} - {\small\frac{1}{\log (3)}} \right) + C_2 C_4 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ S_{10^7} = 0.68391378641827479894 \qquad S_{10^8} = 0.68391378641827482233 \qquad S_{10^9} = 0.68391378641827482268 }[/math]

Łatwo oszacujemy błąd z jakim wyliczyliśmy wartość sumy szeregu [math]\displaystyle{ S }[/math]

[math]\displaystyle{ | S - S_n | = \left| C_2 C_4 \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \left| \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \sin (k + 1) \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, \leqslant | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right| | \sin (k + 1) | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, \leqslant | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left| {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} + {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right| }[/math] (zobacz przypis [a])

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \sum_{k = n + 1}^{\infty} \left[ \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) - \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} \right) \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = | C_2 C_4 | \cdot \left( {\small\frac{1}{\log (n + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (n + 2)}} \right) }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 10^9 }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | S - S_n | < 2.533 \cdot 10^{- 12} }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ S = 0.6839137864 \ldots }[/math], gdzie wszystkie wypisane cyfry są prawidłowe.

[a] Z łatwego do sprawdzenia wzoru

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} = {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log (k) \log (k + 1)}} }[/math]

wynika, że wyrażenie [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} }[/math] maleje ze wzrostem [math]\displaystyle{ k }[/math], czyli ciąg [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} }[/math] jest ciągiem malejącym, zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} > {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 2)}} }[/math]

Ciągi [math]\displaystyle{ (a_k)_{k = 1}^n }[/math] liczb rzeczywistych takie, że [math]\displaystyle{ 2 a_k \leqslant a_{k - 1} + a_{k + 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ k = 2, \ldots, n - 1 }[/math] nazywamy ciągami wypukłymi^[19]. Wprost z definicji funkcji wypukłej wynika, że jeżeli [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] jest funkcją wypukłą i [math]\displaystyle{ a_k = f (k) }[/math], to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem wypukłym.
□

Zadanie D88
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumowanie przez części, połóżmy [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = \log k }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = D (k) }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \log k \cdot D (k) = \log n \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} (\log (k + 1) - \log k) B (k) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} D (k) = \pi (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} \log k \cdot D (k) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D89
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ {\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ A, B \in \mathbb{R}_+ }[/math], to istnieje granica

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1 }[/math]

Dowód

Z definicji funkcji [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math] łatwo otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p < \sum_{p \leqslant n} \log n = \log n \cdot \pi (n) }[/math]

Skąd wynika, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} < 1 }[/math]

Oszacowanie wyrażenia [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} }[/math] od dołu będzie wymagało więcej pracy. Ze wzoru

[math]\displaystyle{ \theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

(zobacz D88) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} = 1 - {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) }[/math]

Z twierdzenia C19 i założonego oszacowania funkcji [math]\displaystyle{ \pi (n) }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}} }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) < {\small\frac{\log n}{\log n \cdot A \cdot n}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{k}} \cdot {\small\frac{B \cdot k}{\log k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < {\small\frac{B}{A \cdot n}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} }[/math]

Nie możemy oszacować sumy całką, bo całka [math]\displaystyle{ \int {\small\frac{d x}{\log x}} }[/math] jest funkcją nieelementarną. Nie możemy też pozwolić sobie na zbyt niedokładne oszacowanie sumy i nie możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} < {\small\frac{n - 2}{\log 2}} < {\small\frac{n}{\log 2}} }[/math]

Wyjściem z tej sytuacji jest odpowiedni podział przedziału sumowania i szacowanie w każdym przedziale osobno. Niech punkt podziału [math]\displaystyle{ M }[/math] spełnia warunek [math]\displaystyle{ \sqrt{n} \leqslant M < \sqrt{n} + 1 }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{1}{\log k}} = \sum_{k = 2}^{M - 1} {\small\frac{1}{\log k}} + \sum^{n - 1}_{k = M} {\small\frac{1}{\log k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{M - 2}{\log 2}} + {\small\frac{n - M}{\log M}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{M}{\log 2}} + {\small\frac{n}{\log M}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{n}{\log \sqrt{n}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; < {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{2 n}{\log n}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k) < {\small\frac{B}{A \cdot n}} \cdot \left( {\small\frac{\sqrt{n}}{\log 2}} + {\small\frac{2 n}{\log n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \quad \; < {\small\frac{B}{A}} \cdot \left( {\small\frac{1}{\sqrt{n} \cdot \log 2}} + {\small\frac{2}{\log n}} \right) }[/math]

Łącząc otrzymane rezultaty, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 1 - {\small\frac{B}{A}} \cdot \left( {\small\frac{1}{\sqrt{n} \cdot \log 2}} + {\small\frac{2}{\log n}} \right) < {\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} < 1 }[/math]

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C10) mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} {\small\frac{\theta (n)}{\pi (n) \cdot \log n}} = 1 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga D90
Funkcja [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math] jest ściśle związana z dobrze nam znaną funkcją [math]\displaystyle{ P (n) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ P(n) = \prod_{p \leqslant n} p }[/math], to

[math]\displaystyle{ \log P (n) = \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n) }[/math].

Z twierdzenia D89 wynika, że jeżeli istnieje granica [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{n}} }[/math], to będzie istniała granica dla [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}} }[/math]. Jeżeli istnieje granica [math]\displaystyle{ {\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}} }[/math], to będzie istniała granica dla [math]\displaystyle{ {\small\frac{\theta (n)}{n}} }[/math] (zobacz C13 p.3).

Wiemy, że dla funkcji [math]\displaystyle{ \theta (n) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math], prawdziwe jest oszacowanie^[20]

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{\theta (n)}{n}} - 1 \right| \leqslant {\small\frac{151.3}{\log^4 n}} }[/math]

Zadanie D91
Niech [math]\displaystyle{ \theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

Rozwiązanie

Kładąc we wzorze na sumowanie przez części (zobacz D82) [math]\displaystyle{ s = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_k = {\small\frac{1}{\log k}} }[/math] i [math]\displaystyle{ b_k = D (k) \cdot \log k }[/math]. Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} D (k) = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) B (k) }[/math]

gdzie

[math]\displaystyle{ B(k) = \sum_{j = 2}^{k} D (k) \cdot \log k = \sum_{p \leqslant k} \log p = \theta (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 2}^{n} D (k) = \sum_{p \leqslant n} 1 = \pi (n) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \pi (n) = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) \theta (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} - \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log k - \log (k + 1)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{\theta (n)}{\log n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\log \left( 1 + {\normalsize\frac{1}{k}} \right)}{\log k \cdot \log (k + 1)}} \cdot \theta (k) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Twierdzenie D92 (kryterium d'Alemberta)
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] będzie ciągiem liczb rzeczywistych i istnieje granica

[math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| }[/math]

Jeżeli

[math]\displaystyle{ g < 1 }[/math], to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest bezwzględnie zbieżny

[math]\displaystyle{ g > 1 }[/math], to szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] jest rozbieżny

Dowód

Rozważmy najpierw przypadek, gdy [math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| < 1 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ r }[/math] będzie dowolną liczbą rzeczywistą taką, że [math]\displaystyle{ g < r < 1 }[/math] i przyjmijmy [math]\displaystyle{ \varepsilon = r - g }[/math]. Z definicji granicy ciągu wiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ \left( \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| \right) }[/math] spełniają warunek

[math]\displaystyle{ - \varepsilon < \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| - g < \varepsilon }[/math]

Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N }[/math]. Z prawej nierówności otrzymujemy, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math] jest

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| < r }[/math]

[math]\displaystyle{ | a_{n + 1} | < r | a_n | }[/math]

[math]\displaystyle{ | a_{n + k} | < r^k | a_n | }[/math]

Ostatnią nierówność można łatwo udowodnić metodą indukcji matematycznej względem [math]\displaystyle{ k }[/math]. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego^[1], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = N + 1}^{\infty} | a_k | = \sum_{k = 1}^{\infty} | a_{N + k} | < \sum_{k = 1}^{\infty} r^k | a_n | = r | a_n | \sum_{k = 1}^{\infty} r^{k - 1} = | a_n | \cdot {\small\frac{r}{1 - r}} }[/math]

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] jest bezwzględnie zbieżny.

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ g = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| > 1 }[/math] wybieramy liczbę [math]\displaystyle{ r }[/math] tak, aby spełniała warunek [math]\displaystyle{ 1 < r < g }[/math] i przyjmujemy [math]\displaystyle{ \varepsilon = g - r }[/math]. Z definicji granicy ciągu wiemy, że prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ \left( \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| \right) }[/math] spełniają warunek

[math]\displaystyle{ - \varepsilon < \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| - g < \varepsilon }[/math]

Przyjmując, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N }[/math], z lewej nierówności otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n \geqslant N }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| > r > 1 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ | a_{n + 1} | > | a_n | }[/math], zatem dla wszystkich [math]\displaystyle{ k > N }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_k | > | a_N | > 0 }[/math] i nie może być spełniony podstawowy warunek zbieżności szeregu (zobacz D4). Zatem szereg jest rozbieżny. Co kończy dowód.
□

Uwaga D93
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = 1 }[/math] kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności lub rozbieżności szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math]. Czytelnikowi zostawiamy zastosowanie tego kryterium do szeregów

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} 1 \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{n + 1}}{n}} \qquad \qquad \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}} }[/math]

Przykład D94
Niech [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math]. Zbadamy zbieżność szeregu

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{x^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{x^n}} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{| x |}{n + 1}} = 0 }[/math]

to z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Zadanie D95
Pokazać, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{n^n}{n!}} }[/math] jest rozbieżny.

Rozwiązanie

Łatwo znajdujemy, że

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = {\small\frac{(n + 1)^{n + 1}}{(n + 1) !}} \cdot {\small\frac{n!}{n^n}} = {\small\frac{(n + 1) (n + 1)^n}{(n + 1) n!}} \cdot {\small\frac{n!}{n^n}} = \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^n \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} e > 1 }[/math]

Z kryterium d'Alemberta wynika, że szereg jest rozbieżny.
□

Uwaga D96
W twierdzeniu A40, korzystając z następującej definicji funkcji [math]\displaystyle{ e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

pominęliśmy dowód własności [math]\displaystyle{ e^x e^{- x} = 1 }[/math]. Spróbujemy teraz pokazać, że [math]\displaystyle{ e^x e^y = e^{x + y} }[/math].

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \left( \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i}{i!}} \right) \left( \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{y^j}{j!}} \right) = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} }[/math]

Oznaczmy [math]\displaystyle{ a_i = {\small\frac{x^i}{i!}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ b_j = {\small\frac{y^j}{j!}} }[/math] i przyjrzyjmy się sumowaniu po [math]\displaystyle{ i, j }[/math]. W podwójnej sumie po prawej stronie [math]\displaystyle{ \sum^{\infty}_{i = 0} \sum_{j = 0}^{\infty} a_i b_j }[/math] sumujemy po kolejnych liniach poziomych tak, jak to zostało pokazane na rysunku

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_5 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ \; \cdots \; }[/math]

Zastępując sumowanie po kolejnych liniach poziomych sumowaniem po kolejnych przekątnych, otrzymamy taki rysunek

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_6 }[/math]

Co odpowiada sumie [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {a_k} b_{n - k} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ n }[/math] numeruje kolejne przekątne. Taka zmiana sposobu sumowania powoduje następujące przekształcenie wzoru

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}} }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k! \cdot (n - k) !}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}} = {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} }[/math]

to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ e^x e^y = \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{x^i y^j}{i! \cdot j!}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{x^k y^{n - k}}{k! \cdot (n - k) !}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n!}} \cdot {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \cdot x^k y^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n!}} (x + y)^n = e^{x + y} }[/math]

Pokazaliśmy tym samym, że z definicji

[math]\displaystyle{ e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{x^k}{k!}} = 1 + x + {\small\frac{x^2}{2}} + {\small\frac{x^3}{6}} + {\small\frac{x^4}{24}} + {\small\frac{x^5}{120}} + \ldots }[/math]

wynika podstawowa własność funkcji wykładniczej [math]\displaystyle{ e^x e^y = e^{x + y} }[/math].

Mamy świadomość, że dokonana przez nas zmiana sposobu sumowania była nieformalna i w związku z tym nie wiemy, czy była poprawna. Zatem musimy precyzyjnie zdefiniować takie sumowanie i zbadać, kiedy jest dopuszczalne. Dopiero wtedy będziemy mogli być pewni, że policzony rezultat jest poprawny.

Definicja D97
Iloczynem Cauchy'ego szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j }[/math] nazywamy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 }[/math]

W przypadku szeregów, których wyrazy są numerowane od liczby [math]\displaystyle{ 1 }[/math], iloczynem Cauchy'ego szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^{\infty} b_j }[/math] nazywamy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 1}^{n} a_k b_{n - k + 1} = a_1 b_n + a_2 b_{n - 1} + \ldots + a_{n - 1} b_2 + a_n b_1 }[/math]

Zadanie D98
Niech [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]. Pokazać, że

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (1, 0, 0, 0, 0, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest dowolnym ciągiem, to [math]\displaystyle{ c_n = b_n }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (1, 1, 1, 1, 1, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest dowolnym ciągiem, to [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} b_k = B_n }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = b_n = {\small\frac{r^n}{n!}} }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}} }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (a, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ (a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ (a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \neq r }[/math], to [math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Rozwiązanie

Punkt 1.

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a_0 b_n = b_n }[/math]

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} b_{n - k} = \sum^n_{j = 0} b_j = B_n }[/math]

Punkt 3.

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^k r^{n - k}}{k!(n - k) !}} = {\small\frac{r^n}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{r^n}{n!}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(2 r)^n}{n!}} }[/math]

Punkt 4.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_0 = a_0 b_0 = a b }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = a \cdot r + r \cdot b = (a + b) r }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a_0 b_n + a_n b_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a \cdot r^n + r^n \cdot b + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^k r^{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a + b) r^n + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (a + b + n - 1) r^n }[/math]

Zbierając, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \; a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ (a + b + n - 1) r^n & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Punkt 5.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_0 = a_0 b_0 = a b }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = a r + b q }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a_0 b_n + a_n b_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = a r^n + b q^n + \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} = 0 }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ r \neq 0 }[/math], to

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{n - 1} q^k r^{n - k} = r^n \sum_{k = 1}^{n - 1} \left( {\small\frac{q}{r}} \right)^k = r^n \cdot {\small\frac{\left( {\normalsize\frac{q}{r}} \right)^n - {\normalsize\frac{q}{r}}}{{\normalsize\frac{q}{r}} - 1}} = {\small\frac{r q^n - q r^n}{q - r}} }[/math]

Zauważmy, że znaleziony wzór obejmuje również przypadek [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ c_n = a r^n + b q^n + {\small\frac{r q^n - q r^n}{q - r}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = q^n \left( b + {\small\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\small\frac{q}{q - r}} \right) }[/math]

Zbierając, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

□

Przykład D99
Ostatni punkt zadania D98 pozwala stworzyć wiele przykładowych szeregów i ich iloczynów Cauchy'ego. Przypomnijmy, że

[math]\displaystyle{ (a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots) }[/math], [math]\displaystyle{ \quad (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots) }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ q \neq r }[/math]

[math]\displaystyle{ c_n = \begin{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, a b & \text{gdy } \; n = 0 \\ q^n \left( b + {\large\frac{r}{q - r}} \right) + r^n \left( a - {\large\frac{q}{q - r}} \right) & \text{gdy } \; n \geqslant 1 \\ \end{cases} }[/math]

Przykłady zebraliśmy w tabeli.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{q} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{b} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{r} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{(c_n)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} a_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} b_n} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{n=0}^{\infty} c_n} }[/math]
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (-6,0,0,0,0,0,…) }[/math]	zbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-6,0,0,0,0,0,…) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{r - 2q}{r - q}} }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{r}{r - q}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{r ( r - 2q )}{(r - q)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right) }[/math]	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -2 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( -8,{\small\frac{1}{3}}, {\small\frac{1}{3^2}}, {\small\frac{1}{3^3}}, {\small\frac{1}{3^4}}, {\small\frac{1}{3^5}}, \ldots \right) }[/math]	zbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{7}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( - {\small\frac{7}{9}}, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-3,3,3^2,3^3,3^4,3^5,…) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{1}{4}}, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-2, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (-3, 1, 1, 1, 1, 1,\ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (-2,0,0,0,0,0,…) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny
[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ (0, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ {\small\frac{r - 2}{r - 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{r}{r - 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ r }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( {\small\frac{r ( r - 2 )}{(r - 1)^2}}, r, r^2, r^3, r^4, r^5, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny / rozbieżny	zbieżny / rozbieżny
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ 2 }[/math]	[math]\displaystyle{ (0, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, \ldots ) }[/math]	rozbieżny	rozbieżny	rozbieżny
[math]\displaystyle{ 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ -1 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \left( - 3, {\small\frac{1}{2}}, {\small\frac{1}{2^2}}, {\small\frac{1}{2^3}}, {\small\frac{1}{2^4}}, {\small\frac{1}{2^5}}, \ldots \right) }[/math]	rozbieżny	zbieżny	zbieżny

Przykład D100
Podamy przykład szeregów zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny. Rozważmy zbieżny szereg (zobacz D5)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} = 0.604898643 \ldots \qquad \qquad }[/math] (WolframAlpha)

Mnożąc powyższy szereg przez siebie według reguły Cauchy'ego, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{\sqrt{k + 1}}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{\sqrt{n - k + 1}}} = (- 1)^n \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} }[/math]

Ale [math]\displaystyle{ k \leqslant n }[/math] i [math]\displaystyle{ n - k \leqslant n }[/math], zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}} \geqslant {\small\frac{1}{\sqrt{(n + 1) (n + 1)}}} = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ | c_n | \geqslant \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n + 1}} = 1 }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n \neq 0 }[/math], to iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny (zobacz D4).

Zadanie D101
Pokazać, że jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = b_n = r^n }[/math] i [math]\displaystyle{ c_n = (n + 1) r^n }[/math] (zobacz D98 p.3), to szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math] są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Sprawdzić, że w przypadku, gdy szeregi te są zbieżne, prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) }[/math]

Rozwiązanie

Zbieżność szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] łatwo zbadamy, stosując kryterium d'Alemberta.

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{c_{n + 1}}{c_n}} \right| = \left| {\small\frac{(n + 2) r^{n + 1}}{(n + 1) r^n}} \right| = {\small\frac{n + 2}{n + 1}} \cdot | r | \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} | r | }[/math]

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] jest zbieżny, gdy [math]\displaystyle{ | r | < 1 }[/math] i rozbieżny, gdy [math]\displaystyle{ | r | > 1 }[/math], tak samo, jak szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} r^n }[/math]. W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = \pm 1 }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} r^n }[/math] jest rozbieżny, a odpowiednie sumy częściowe szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] są równe

gdy [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n = n + 1 }[/math], [math]\displaystyle{ \quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) = {\small\frac{(L + 1) (L + 2)}{2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \infty \qquad \qquad }[/math] (zobacz [a], WolframAlpha)

gdy [math]\displaystyle{ r = - 1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n = (n + 1) (- 1)^n }[/math], [math]\displaystyle{ \quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) (- 1)^n = (- 1)^L \cdot {\small\frac{2 L + 3}{4}} + {\small\frac{1}{4}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \pm \infty \qquad \qquad }[/math] (zobacz D83, WolframAlpha)

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ | r | < 1 }[/math] wiemy^[1], że [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} r^n = {\small\frac{1}{1 - r}} }[/math]. Korzystając z zadania D83, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) r^n = \sum_{n = 0}^{L} n r^n + \sum_{n = 0}^{L} r^n = {\small\frac{L r^{L + 2} - (L + 1) r^{L + 1} + r}{(r - 1)^2}} + {\small\frac{r^{L + 1} - 1}{r - 1}} = {\small\frac{(L + 1) r^{L + 2} - (L + 2) r^{L + 1} + 1}{(r - 1)^2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{(r - 1)^2}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) r^n }[/math] jest zbieżny, gdy [math]\displaystyle{ | r | < 1 }[/math], to musi być [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (n + 1) r^n = 0 }[/math] (zobacz D4). Pokazaliśmy, że w rozważanym przypadku iloczyn sum szeregów jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów.

[a] Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k = {\small\frac{1}{2}} \left( \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} k \right) = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{j = 0}^{n} (n - j) \right] = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} k + \sum_{k = 0}^{n} (n - k) \right] = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 0}^{n} (k + n - k) = {\small\frac{n}{2}} \sum_{k = 0}^{n} 1 = {\small\frac{n (n + 1)}{2}} }[/math]

□

Uwaga D102
Przykłady D99 i D100 pokazują, że w ogólności nie jest prawdziwy wzór

[math]\displaystyle{ \left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) }[/math]

Skoro iloczyn sum szeregów nie zawsze jest równy sumie iloczynu Cauchy'ego tych szeregów, to musimy ustalić, jakie warunki muszą być spełnione, aby tak było.

Uwaga D103
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Mertensa, zauważmy, że od sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

możemy łatwo przejść do sumowania po liniach poziomych lub po liniach pionowych. Rysunek przedstawia sytuację, gdy [math]\displaystyle{ m = 5 }[/math].

[math]\displaystyle{ a_6 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_5 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_4 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_4 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_3 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_3 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_2 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_2 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_1 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_1 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ a_0 b_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_3 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_4 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_5 }[/math]	[math]\displaystyle{ a_0 b_6 }[/math]

Przejście do sumowania po liniach poziomych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach poziomych, a druga po kolejnych elementach w [math]\displaystyle{ i }[/math]-tej linii poziomej.

Przejście do sumowania po liniach pionowych

[math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_j b_i }[/math]

Pierwsza suma (po prawej stronie) przebiega po kolejnych liniach pionowych, a druga po kolejnych elementach w [math]\displaystyle{ i }[/math]-tej linii pionowej.

Twierdzenie D104 (Franciszek Mertens)
Jeżeli szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A }[/math] jest zbieżny bezwzględnie, szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B }[/math] jest zbieżny, to ich iloczyn Cauchy'ego [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math], jest zbieżny i [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B }[/math].

Dowód

Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] jest zbieżny bezwzględnie, oznaczmy [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A' }[/math]. Niech

[math]\displaystyle{ A_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i \qquad \qquad B_n = \sum_{j = 0}^{n} b_j \qquad \qquad C_n = \sum_{k = 0}^{n} c_k \qquad \qquad \beta_n = B_n - B }[/math]

Przekształcając sumę [math]\displaystyle{ C_m }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ C_m = \sum_{n = 0}^{m} c_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

Przechodzimy od sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych do sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych liniach poziomych (zobacz D103).

[math]\displaystyle{ C_m = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i \sum_{j = 0}^{m - i} b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i B_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i \left( {B + \beta_{m - i}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} a_i B + \sum_{i = 0}^{m} a_i \beta_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = B \sum_{i = 0}^{m} a_i + \sum_{i = 0}^{m} a_i \beta_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = A_m B + \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ C_m - A_m B = \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k} }[/math]

Niech

[math]\displaystyle{ \delta_m = \sum_{k = 0}^{m} \beta_k a_{m - k} }[/math]

Oczywiście chcemy pokazać, że [math]\displaystyle{ C_m \longrightarrow A B }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ A_m B \longrightarrow A B }[/math], to wystarczy pokazać, że [math]\displaystyle{ \delta_m \longrightarrow 0 }[/math].

Z założenia [math]\displaystyle{ B_m \longrightarrow B }[/math], zatem [math]\displaystyle{ \beta_m \longrightarrow 0 }[/math]. Ze zbieżności ciągu [math]\displaystyle{ (\beta_k) }[/math] wynika, że

ciąg [math]\displaystyle{ (\beta_k) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ U > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | \beta_k | \leqslant U }[/math] (zobacz C10)

dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 > 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (\beta_k) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | \beta_k | < \varepsilon_1 }[/math] (zobacz C5, C7)

Możemy przyjąć, że warunek [math]\displaystyle{ | \beta_k | < \varepsilon_1 }[/math] spełniają wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ M = M (\varepsilon_1) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ m > M }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ | \delta_m | \leqslant \sum_{k = 0}^{M} | \beta_k | | a_{m - k} | + \sum_{k = M + 1}^{m} | \beta_k | | a_{m - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; < U (| a_m | + \ldots + | a_{m - M} |) + \varepsilon_1 \sum_{k = M + 1}^{m} | a_{m - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; < U (| a_{m - M} | + \ldots + | a_m |) + \varepsilon_1 A' }[/math]

Z założenia szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] jest zbieżny, zatem musi być [math]\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow \infty} a_m = 0 }[/math] (zobacz D4). Czyli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 > 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon_2 }[/math]. Możemy przyjąć, że są to wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N = N (\varepsilon_2) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ m > M + N }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ | \delta_m | < U (| a_{m - M} | + \ldots + | a_m |) + \varepsilon_1 A' }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; < \varepsilon_2 (M + 1) U + \varepsilon_1 A' }[/math]

Prawa strona nierówności jest dowolnie mała. Przykładowo dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] wystarczy wybrać [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 = {\small\frac{\varepsilon / 2}{A'}} }[/math] i [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 = {\small\frac{\varepsilon / 2}{(M + 1) U}} }[/math], aby otrzymać [math]\displaystyle{ | \delta_m | < \varepsilon }[/math] dla wszystkich [math]\displaystyle{ m > M + N }[/math]. Ponieważ prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ \delta_m }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | \delta_m | < \varepsilon }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow \infty} \delta_m = 0 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Zadanie D105
Pokazać, że iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwiązanie

Z założenia szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j }[/math] są bezwzględnie zbieżne, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A' \qquad \qquad \sum^{\infty}_{j = 0} | b_j | = B' }[/math]

Zauważmy, że suma [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | }[/math] obejmuje [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] przekątnych. Łatwo możemy przejść od sumowania po kolejnych przekątnych do sumowana po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych liniach poziomych (zobacz D103).

[math]\displaystyle{ C'_m = \sum_{n = 0}^{m} | c_n | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{n = 0}^{m} \left| \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \leqslant \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k b_{n - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} | a_i | | b_j | \qquad \qquad }[/math] (zmieniliśmy sposób sumowania)

[math]\displaystyle{ \; = \sum_{i = 0}^{m} | a_i | \sum_{j = 0}^{m - i} | b_j | }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \leqslant A' B' }[/math]

Ponieważ ciąg sum częściowych [math]\displaystyle{ C'_m }[/math] jest rosnący (bo sumujemy wartości nieujemne) i ograniczony od góry, to jest zbieżny.
□

Zadanie D106
Podać przykład szeregów zbieżnych, z których tylko jeden jest bezwzględnie zbieżny i których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

Rozwiązanie

Zauważmy, że szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^i}{2^i}} = {\small\frac{2}{3}} }[/math] jest bezwzględnie zbieżny, bo [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2^i}} = 2 }[/math] jest zbieżny. Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2 }[/math] jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza (zobacz D5), ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz D47, D49 p.1, B34).

Zatem na podstawie twierdzenia Mertensa iloczyn Cauchy'ego tych szeregów [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{2^k}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (- 1)^n \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}} }[/math]

jest zbieżny. Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ | c_n | = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{1}{n + 1}} + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{2^k (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; \geqslant {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Ponieważ szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math] jest rozbieżny i

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant | c_n | }[/math]

to na mocy kryterium porównawczego (zobacz D11) szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | c_n | }[/math] jest rozbieżny. Co należało pokazać.
□

Zadanie D107
Podać przykład szeregów warunkowo zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.

Rozwiązanie

Szereg [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2 }[/math] jest warunkowo zbieżny (zobacz D5, D47, D49 p.1, B34). Iloczyn Cauchy'ego dwóch takich szeregów jest równy [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie

[math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = (- 1)^n \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(n - k + 1) + (k + 1)}{(k + 1) (n - k + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} + {\small\frac{1}{n - k + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{(- 1)^n}{n + 2}} \left( \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} + \sum_{j = 0}^{n} {\small\frac{1}{j + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = {\small\frac{2 (- 1)^n}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

Ponieważ (zobacz D47)

[math]\displaystyle{ \log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n }[/math]

to

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot \log (n + 2) < | c_n | < {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot (1 + \log (n + 1)) }[/math]

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = 0 }[/math]. Pokażemy teraz, że ciąg [math]\displaystyle{ (| c_n |) }[/math] jest ciągiem malejącym.

[math]\displaystyle{ | c_n | - | c_{n - 1} | = {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} + {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} + \left( {\small\frac{2}{n + 2}} - {\small\frac{2}{n + 1}} \right) \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} - {\small\frac{2}{(n + 2) (n + 1)}} \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; \leqslant 0 }[/math]

Bo [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} \geqslant 1 }[/math]. Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (| c_n |) }[/math] jest malejący i zbieżny do zera, to z kryterium Leibniza (zobacz D5) szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^n | c_n | }[/math] jest zbieżny. Zauważmy jeszcze, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant {\small\frac{2 \log (n + 2)}{n + 2}} < | c_n | }[/math]

Zatem na podstawie kryterium porównawczego (zobacz D11) szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} | c_n | }[/math] jest rozbieżny.
□

Uwaga D108
Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Abela, musimy udowodnić trzy twierdzenia dotyczące pewnych granic. Warto zauważyć, że twierdzenie D110 pozwala przypisać wartość sumy do szeregów, których suma w zwykłym sensie nie istnieje. Uogólnienie to nazywamy sumowalnością w sensie Cesàro^[21]. Nie będziemy zajmowali się tym tematem, ale podamy ciekawy przykład.

Rozważmy szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i }[/math]. Sumy częściowe tego szeregu wynoszą [math]\displaystyle{ S_k = {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}} }[/math] i tworzą ciąg rozbieżny, ale ciąg kolejnych średnich arytmetycznych dla ciągu [math]\displaystyle{ (S_k) }[/math] jest równy

[math]\displaystyle{ x_n = {\small\frac{S_0 + \ldots + S_n}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}} = {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1 + (- 1)^n}{4 (n + 1)}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{2}} \qquad \qquad }[/math] (WolframAlfa)

Zatem szereg [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i }[/math] jest sumowalny w sensie Cesàro i jego suma jest równa [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Twierdzenie D109
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0 }[/math].

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math]. Ze zbieżności ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] wynika, że

ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ U > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_k | \leqslant U }[/math] (zobacz C10)

dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] prawie wszystkie wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon }[/math] (zobacz C5, C7)

Możemy przyjąć, że warunek [math]\displaystyle{ | a_k | < \varepsilon }[/math] spełniają wszystkie wyrazy, poczynając od [math]\displaystyle{ N = N (\varepsilon) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N }[/math] możemy napisać

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = {\small\frac{| a_0 | + \ldots + | a_N | + |a_{N + 1} | + \ldots + | a_n |}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} + {\small\frac{\varepsilon (n - N)}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \,\, < {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} + \varepsilon }[/math]

Ponieważ liczba [math]\displaystyle{ n }[/math] może być dowolnie duża, to wyrażenie [math]\displaystyle{ {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} }[/math] może być dowolnie małe. W szczególności warunek

[math]\displaystyle{ {\small\frac{U (N + 1)}{n + 1}} < \varepsilon }[/math]

jest spełniony dla [math]\displaystyle{ n > {\small\frac{U (N + 1)}{\varepsilon}} - 1 }[/math] i otrzymujemy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | < 2 \varepsilon }[/math]

dla wszystkich [math]\displaystyle{ n > \max \left( N, {\small\frac{U (N + 1)}{\varepsilon}} - 1 \right) }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0 }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D110
Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, to ciąg kolejnych średnich arytmetycznych [math]\displaystyle{ x_n = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}} }[/math] jest zbieżny do tej samej granicy.

Dowód

Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g }[/math]

Z definicji ciągu [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] dostajemy

[math]\displaystyle{ x_n - g = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}} - g = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n - (n + 1) g}{n + 1}} = {\small\frac{(a_0 - g) + \ldots + (a_n - g)}{n + 1}} = {\small\frac{a_0 - g}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{a_n - g}{n + 1}} }[/math]

Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant | x_n - g | \leqslant {\small\frac{| a_0 - g |}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{| a_n - g |}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k - g | }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math], z twierdzenia D109 i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C11) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | x_n - g | = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g }[/math] (zobacz C9 p.2). Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D111
Niech [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] będą zbieżnymi ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a }[/math] i [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b }[/math], to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b }[/math].

Dowód

1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0} }[/math]

Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest zbieżny, to jest ograniczony (zobacz C10), czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ U > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k \geqslant 0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | b_k | \leqslant U }[/math]. Zatem

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | \leqslant {\small\frac{U}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math], z twierdzenia D109 i twierdzenia o trzech ciągach (zobacz C11) otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| = 0 }[/math]

Czyli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right) = 0 }[/math] (zobacz C9 p.2).

2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ x_n = a_n - a }[/math]. Oczywiście [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0 }[/math]. Podstawiając, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum^n_{k = 0} (a + x_k) b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a b_{n - k} + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = a \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{j = 0}^{n} b_j + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ n \longrightarrow \infty }[/math], z twierdzenia D110 i udowodnionego wyżej przypadku, gdy [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D112 (Niels Henrik Abel)
Jeżeli szeregi [math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B }[/math] są zbieżne i ich iloczyn Cauchy'ego [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math], jest zbieżny, to [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B }[/math].

Dowód

Będziemy stosowali następujące oznaczenia

[math]\displaystyle{ A_n = \sum_{i = 0}^{n} a_i \qquad \qquad \;\, B_n = \sum_{i = 0}^{n} b_i \qquad \qquad \;\; C_n = \sum_{i = 0}^{n} c_i }[/math]

Z założenia szeregi są zbieżne, zatem możemy napisać

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} A_n = A \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} B_n = B \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} C_n = C }[/math]

Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} c_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} }[/math]

Od sumowania wyrazów [math]\displaystyle{ a_k b_{n - k} }[/math] po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po [math]\displaystyle{ m + 1 }[/math] kolejnych liniach poziomych (zobacz D103).

[math]\displaystyle{ \sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} a_i \sum^{m - i}_{j = 0} b_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} a_i B_{m - i} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{k = 0}^{m} a_k B_{m - k} }[/math]

Od sumowania wyrazów [math]\displaystyle{ a_k B_{m - k} }[/math] po [math]\displaystyle{ L + 1 }[/math] kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po [math]\displaystyle{ L + 1 }[/math] kolejnych liniach pionowych (zobacz D103).

[math]\displaystyle{ \sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{i = 0}^{L} \sum_{j = 0}^{L - i} a_j B_i }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{i = 0}^{L} B_i \sum_{j = 0}^{L - i} a_j }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\; = \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{m = 0}^{L} C_m = {\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ L \longrightarrow \infty }[/math], z twierdzeń D110 i D111 otrzymujemy [math]\displaystyle{ C = A B }[/math]. Co należało pokazać.
□

Liczby Catalana

Definicja D113
Liczby Catalana [math]\displaystyle{ C_n }[/math] definiujemy wzorem

[math]\displaystyle{ C_n = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].

Twierdzenie D114
Liczby Catalana [math]\displaystyle{ C_n }[/math] mają następujące własności

[math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami całkowitymi dodatnimi

[math]\displaystyle{ C_n = {\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}} C_n }[/math]

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Twierdzenie jest prawdziwe dla początkowych wartości [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math], bo [math]\displaystyle{ (C_n) = (1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, \ldots) }[/math]. W ogólności wystarczy zauważyć, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ {\small\binom{2 n}{n + 1}} = {\small\frac{(2 n) !}{(n + 1) ! (n - 1) !}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{n}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} < {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\binom{2 n}{n}} - {\small\binom{2 n}{n + 1}} = {\small\binom{2 n}{n}} - {\small\frac{n}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n }[/math]

Zatem [math]\displaystyle{ C_n }[/math] jest liczbą całkowitą większą od zera.

Punkt 2.

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2 n + 1}} {\small\binom{2 n + 1}{n}} = {\small\frac{1}{2 n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) !}{n! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{2 n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n}} {\small\binom{2 n}{n - 1}} = {\small\frac{1}{n}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{(n - 1) ! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} = C_n }[/math]

Punkt 3.

[math]\displaystyle{ {\small\frac{C_{n + 1}}{C_n}} = {\small\frac{1}{n + 2}} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) ! (n + 1) !}} \cdot (n + 1) \cdot {\small\frac{n!n!}{(2 n) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{1}{n + 2}} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) (2 n + 1)}{(n + 1)^2}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!n!}} \cdot (n + 1) \cdot {\small\frac{n!n!}{(2 n) !}} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 2}} }[/math]

Punkt 4.

Dowód tego punktu został umieszczony w Uzupełnieniu (zobacz D139).
□

Zadanie D115
Niech [math]\displaystyle{ C_n }[/math] oznacza [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą liczbę Catalana i niech [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] oznacza szereg, który otrzymujemy, mnożąc szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] przez siebie według reguły Cauchy'ego. Pokazać, że

jeżeli [math]\displaystyle{ a_n = C_n }[/math], to [math]\displaystyle{ x_n = C_{n + 1} }[/math]

jeżeli [math]\displaystyle{ a_0 = \alpha }[/math] i [math]\displaystyle{ a_n = r^{n - 1} C_{n - 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ x_0 = \alpha^2 }[/math], [math]\displaystyle{ x_1 = 2 \alpha C_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ x_n = (1 + 2 \alpha r) r^{n - 2} C_{n - 1} }[/math] dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math]

Dla jakich wartości [math]\displaystyle{ \alpha, r }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] jest zbieżny?

Rozwiązanie

Punkt 2.

Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x_0 = a_0 a_0 = \alpha^2 }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ x_1 = a_0 a_1 + a_1 a_0 = 2 a_0 a_1 = 2 \alpha C_0 }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 2 }[/math] jest

[math]\displaystyle{ x_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k a_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = a_0 a_n + a_n a_0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_k a_{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 a_0 a_n + \sum_{k = 1}^{n - 1} r^{k - 1} C_{k - 1} \cdot r^{n - k - 1} C_{n - k - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} \sum_{k = 1}^{n - 1} C_{k - 1} C_{n - k - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} \sum_{j = 0}^{n - 2} C_j C_{n - 2 - j} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = 2 \alpha r^{n - 1} C_{n - 1} + r^{n - 2} C_{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\: = r^{n - 2} C_{n - 1} (1 + 2 \alpha r) }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} = \frac{{\normalsize\frac{1}{n + 1}} {\normalsize\binom{2 n}{n}}}{{\normalsize\frac{1}{n}} {\normalsize\binom{2 n - 2}{n - 1}}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n (2 n - 1) (2 n - 2) !}{n^2 [(n - 1) !]^2}} \cdot {\small\frac{[(n - 1) !]^2}{(2 n - 2) !}} = {\small\frac{n}{n + 1}} \cdot {\small\frac{2 n (2 n - 1)}{n^2}} = {\small\frac{2 (2 n - 1)}{n + 1}} }[/math]

Z kryterium d'Alemberta dla szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} a_n }[/math] i szeregu [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = \left| {\small\frac{r^n C_n}{r^{n - 1} C_{n - 1}}} \right| = | r | \cdot {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} = | r | \cdot {\small\frac{2 (2 n - 1)}{n + 1}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 4 | r | }[/math]

[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{x_{n + 1}}{x_n}} \right| = \left| {\small\frac{r^{n - 1} C_n (1 + 2 \alpha r)}{r^{n - 2} C_{n - 1} (1 + 2 \alpha r)}} \right| = | r | \cdot {\small\frac{C_n}{C_{n - 1}}} \xrightarrow{\; n \rightarrow \infty \;} 4 | r | }[/math]

Zatem szeregi te są bezwzględnie zbieżne w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ | r | < {\small\frac{1}{4}} }[/math]. W szczególności dla [math]\displaystyle{ \alpha = - {\small\frac{1}{2 r}} }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} x_n }[/math] zawsze będzie zbieżny, bo od trzeciego wyrazu będzie się składał z samych zer. Wiemy, że w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ r = {\small\frac{1}{4}} }[/math] szereg [math]\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{C_n}{4^n}} = 2 }[/math] jest zbieżny.
□

Sumy współczynników dwumianowych

Twierdzenie D116
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] i [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{R} }[/math] prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Ze wzoru dwumianowego natychmiast otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (1 + r)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} r^k }[/math]

Punkt 2.

Całkując obie strony wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \int^r_0 (1 + x)^n d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} \int^r_0 x^k d x }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{(r + 1)^{n + 1} - 1}{n + 1}} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{r^{k + 1}}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]

Punkt 3.

Obliczając pochodną każdej ze stron wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n (1 + x)^{n - 1} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k x^{k - 1} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], dostajemy dowodzony wzór.

Punkt 4.

Obliczając drugą pochodną każdej ze stron wzoru dwumianowego

[math]\displaystyle{ (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} x^k }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ n(n - 1) (1 + x)^{n - 2} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k (k - 1) x^{k - 1} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ n(n - 1) 2^{n - 2} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}} k (k - 1) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} - \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} - n 2^{n - 1} }[/math]

Skąd natychmiast wynika dowodzony wzór.
□

Twierdzenie D117
Dla [math]\displaystyle{ n, m \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + m + 1}{n}} }[/math]

Dowód

Ze wzoru Pascala

[math]\displaystyle{ {\small\binom{a}{k}} = {\small\binom{a - 1}{k}} + {\small\binom{a - 1}{k - 1}} }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\binom{a - 1}{k}} = {\small\binom{a}{k}} - {\small\binom{a - 1}{k - 1}} }[/math]

Kładąc [math]\displaystyle{ a = n + k + 1 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n + k}{k}} = {\small\binom{n + k + 1}{k}} - {\small\binom{n + k}{k - 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}} }[/math]

Wykorzystując powyższy wzór, łatwo pokazujemy, że (zobacz D14)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = 1 + \sum_{k = 1}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 + \sum_{k = 1}^{m} \left[ {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 - \sum_{k = 1}^{m} \left[ {\small\binom{n + k}{n + 1}} - {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = 1 - \left[ 1 - {\small\binom{n + m + 1}{n + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\,\, = {\small\binom{n + m + 1}{n}} }[/math]

Co kończy dowód.
□

Suma nieoznaczona

Uwaga D118
Sumą nieoznaczoną^[22] (lub antyróżnicą) funkcji [math]\displaystyle{ f(k) }[/math], będziemy nazywali dowolną funkcję [math]\displaystyle{ F(k) }[/math] taką, że

[math]\displaystyle{ F(k + 1) - F (k) = f (k) }[/math]

Łatwo zauważamy, że istnieje cała rodzina funkcji [math]\displaystyle{ F(k) }[/math], bo jeżeli [math]\displaystyle{ F (k) }[/math] jest sumą nieoznaczoną, to [math]\displaystyle{ F (k) + C }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C }[/math] jest stałą, również jest sumą nieoznaczoną. W szczególności

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = \sum_{k = a}^{b} (F (k + 1) - F (k)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - \sum_{k = a}^{b} (F (k) - F (k + 1)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = - ( F (a) - F (b + 1) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\: = F (b + 1) - F (a) }[/math]

Co przez analogię do całki nieoznaczonej możemy zapisać jako

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a}^{b} f (k) = F (k) \biggr\rvert_{a}^{b + 1} \qquad \qquad \qquad ( 1 ) }[/math]

Należy podkreślić różnicę między sumą oznaczoną [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] a sumą nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(k) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ f(k) = k^2 }[/math]. Oczywiście

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} k^2 = {\small\frac{1}{6}} n (n + 1) (2 n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ F(k) = {\small\frac{1}{6}} (k - 1) k (2 k - 1) }[/math]

Ponieważ dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] prawdziwy jest związek [math]\displaystyle{ S(n + 1) - S (n) = f (n + 1) }[/math], to otrzymujemy [math]\displaystyle{ F(k) = S (k - 1) }[/math]. Weźmy kolejny przykład, niech [math]\displaystyle{ f(k) = r^k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ r }[/math] jest stałą. Mamy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} r^k = {\small\frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}} }[/math]

ale

[math]\displaystyle{ F(k) = {\small\frac{r^k}{r - 1}} }[/math]

i nie jest prawdą, że [math]\displaystyle{ F(k) = S (k - 1) }[/math], bo pominięty został wyraz [math]\displaystyle{ {\small\frac{- 1}{r - 1}} }[/math], który jest stałą, ale jest to zrozumiałe.

Niech teraz [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]. Wiemy, że (zobacz D117)

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

Tym razem otrzymujemy zupełnie inne wyniki: suma [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] nie zależy od dwóch zmiennych, bo jest to niemożliwe, a suma nieoznaczona nadal zależy od [math]\displaystyle{ k }[/math], bo dla [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] musi być prawdziwy wzór [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Łatwo widzimy, że

[math]\displaystyle{ S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

Uwaga D119
Powiedzmy, że dysponujemy wzorem [math]\displaystyle{ S(b) = \sum_{k = a}^{b} f (k) }[/math] i chcemy udowodnić jego poprawność. W prostych przypadkach możemy wykorzystać indukcję matematyczną: wystarczy pokazać, że

[math]\displaystyle{ S(k + 1) = S (k) + f (k + 1) }[/math]

Jeżeli już udało nam się pokazać związek [math]\displaystyle{ f(k) = S (k) - S (k - 1) }[/math], to równie dobrze możemy zamienić sumę na sumę teleskopową (zobacz D14), aby otrzymać, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) = \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k) - S (k - 1) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k - 1) - S (k) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = - ( S (a) - S (b) ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\, = S (b) - S (a) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ S(b) = \sum_{k = a + 1}^{b} f (k) + S (a) = \sum_{k = a}^{b} f (k) }[/math]

bo [math]\displaystyle{ S(a) = f (a) }[/math].

W przypadkach bardziej skomplikowanych nie możemy tak postąpić. W poprzedniej uwadze rozważaliśmy sumę

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

ale

[math]\displaystyle{ S(n) - S (n - 1) = {\small\frac{3 n + 1}{2 (n + 1)}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

I nie da się pokazać związku [math]\displaystyle{ S(k) - S (k - 1) = f (n, k) }[/math], bo różnica [math]\displaystyle{ S(k) - S (k - 1) }[/math] nie zależy od [math]\displaystyle{ n }[/math].

Tutaj z pomocą przychodzi nam suma nieoznaczona. W programie Maxima możemy ją policzyć, wpisując polecenia

load ("zeilberger");
AntiDifference(binomial(n+k, n), k);

Otrzymujemy

[math]\displaystyle{ F(n, k) = {\small\frac{k}{n + 1}} {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

Oczywiście

[math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]

i

[math]\displaystyle{ S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

Podsumujmy. Jakkolwiek znalezienie ogólnego wzoru na sumę [math]\displaystyle{ S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) }[/math] może być bardzo trudne, to udowodnienie poprawności tego wzoru może być znacznie łatwiejsze (metodą indukcji matematycznej lub obliczając sumę teleskopową). Podobnie jest w bardziej skomplikowanym przypadku, gdy szukamy ogólnego wzoru na sumę [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Tutaj wymienionych przed chwilą metod zastosować nie można, a znalezienie wzoru na sumę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] może być jeszcze trudniejsze, ale gdy już taki wzór mamy, to sprawdzenie jego poprawności, czyli związku [math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k) }[/math], może być bardzo łatwe, a wtedy otrzymujemy natychmiast

[math]\displaystyle{ S(n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

Zadanie D120
Korzystając z programu Maxima znaleźć sumę nieoznaczoną [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] dla funkcji

[math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

i pokazać, że prawdziwy jest wzór [math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami Catalana.

Rozwiązanie

Wpisując w programie Maxima polecenia

load ("zeilberger");
AntiDifference( 1/(k+1) * 1/(n-k+1) * binomial(2*k, k) * binomial(2*n-2*k, n-k), k);

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ F(n, k) = - {\small\frac{(n - 2 k + 1) (2 n - 2 k + 1)}{(n + 1) (n + 2) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k)}{n - k}} }[/math]

Czytelnik bez trudu pokaże, że

[math]\displaystyle{ F(n, k + 1) = - {\small\frac{(2 k + 1) (n - 2 k - 1)}{(n + 1) (n + 2) (k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

oraz łatwo sprawdzi związek [math]\displaystyle{ F(n, k + 1) - F (n, k) = f (n, k) }[/math] i wyliczy sumę oznaczoną.

Chcemy zwrócić uwagę na występującą tutaj trudność. Oczywiście

[math]\displaystyle{ S (n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n + 1} }[/math]

ale funkcja [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] nie jest określona dla [math]\displaystyle{ k = n + 1 }[/math]. Żeby ominąć ten problem, możemy przekształcić funkcję [math]\displaystyle{ F(n, k) }[/math] tak, aby możliwe było obliczenie jej wartości dla [math]\displaystyle{ k = n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ F(n, k) = - {\small\frac{n - 2 k + 1}{2 (n + 1) (n + 2)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 (n - k + 1)}{n - k + 1}} }[/math]

lub zapisać sumę w postaci

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n - 1} f (n, k) + f (n, n) = F (n, k) \biggr\rvert_{k = 0}^{k = n} + f (n, n) }[/math]

□

Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S(n)} }[/math]

Uwaga D121
Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

W twierdzeniach D137 i D138 wyliczyliśmy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math], znajdując najpierw równanie rekurencyjne dla sumy. Możemy przypuszczać, że równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] wynika z istnienia odpowiedniego równania rekurencyjnego dla składników sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math]. Zagadnieniem tym zajmowała się siostra Mary Celine Fasenmyer, która podała algorytm postępowania^[23]^[24]. Prace Zeilbergera oraz Wilfa i Zeilbergera uogólniły ten algorytm^[25]^[26]. My przedstawimy jedynie kilka prostych przypadków, które zilustrujemy przykładami. Szersze omówienie tematu Czytelnik znajdzie w książce Petkovšeka, Wilfa i Zeilbergera^[27].

Twierdzenie D122
Niech [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Jeżeli składniki sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] spełniają równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0 }[/math]

gdzie współczynniki [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] są funkcjami tylko [math]\displaystyle{ n }[/math], to suma [math]\displaystyle{ S (n) }[/math] spełnia równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0 }[/math]

Dowód

Łatwo zauważamy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n + 1, k + 1) = \sum_{j = 1}^{n + 1} f (n + 1, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - f (n + 1, 0) + \sum^{n + 1}_{j = 0} f (n + 1, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = - f (n + 1, 0) + S (n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n + 1, k) = - f (n + 1, n + 1) + \sum_{k = 0}^{n + 1} f (n + 1, k) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (n + 1, n + 1) + S (n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (n, k + 1) = \sum_{j = 1}^{n + 1} f (n, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (n, 0) + f (n, n + 1) + \sum_{j = 0}^{n} f (n, j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = - f (n, 0) + f (n, n + 1) + S (n) }[/math]

Zatem sumując założone równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ a \cdot f (n + 1, k + 1) + b \cdot f (n + 1, k) + c \cdot f (n, k + 1) + d \cdot f (n, k) = 0 }[/math]

po [math]\displaystyle{ k }[/math] od [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot [- f (n + 1, 0) + S (n + 1)] + b \cdot [- f (n + 1, n + 1) + S (n + 1)] + c \cdot [- f (n, 0) + f (n, n + 1) + S (n)] + d \cdot S (n) = 0 }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ (a + b) S (n + 1) + (c + d) S (n) - a \cdot f (n + 1, 0) - b \cdot f (n + 1, n + 1) - c [f (n, 0) - f (n, n + 1)] = 0 }[/math]

Co należało pokazać.
□

Uwaga D123
Nie ma sensu stosowanie opisanej powyżej metody do prostych sum postaci [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} f (k) }[/math], bo równanie rekurencyjne otrzymujemy w takim przypadku natychmiast: [math]\displaystyle{ S(n + 1) - S (n) = f (n + 1) }[/math].

Zadanie D124
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D117)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

Rozwiązanie

W tym przypadku nie otrzymamy równania rekurencyjnego, ale od razu wzór ogólny na sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math].

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D122)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{(n + k + 1) (n + k + 2)}{(k + 1) (n + 1)}} + b \cdot {\small\frac{n + k + 1}{n + 1}} + c \cdot {\small\frac{n + k + 1}{k + 1}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (a + b) k^2 + ((2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d) k + (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 0 \\ (2 a + b + c + d) n + 3 a + 2 b + c + d = 0 \\ (a + c) n^2 + (3 a + b + 2 c + d) n + 2 a + b + c + d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = - a }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a }[/math], [math]\displaystyle{ d = 0 }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D122)

[math]\displaystyle{ - a S (n) = a - a {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - a \left( 1 - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - a \left[ {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - a {\small\binom{2 n + 1}{n}} }[/math]

I otrzymaliśmy dowodzony wzór.

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum1() := 
(
f(n, k):= binomial(n+k, n),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2 ),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
solve( S4 = 0, S[n] )
/*     S[n] = (2*n+1)! / (n! * (n+1)!)     */
)$

□

Zadanie D125
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D116 p.1)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = r^k {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D122)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{(n + 1) r}{k + 1}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{(n - k) r}{k + 1}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (c r - d) k^2 + (- ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b) k + ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} c r - d = 0 \\ - ((a + 2 c) n + a + c) r + (b + d) n + b = 0 \\ ((a + c) n^2 + (2 a + c) n + a) r + (b + d) n + b + d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a }[/math], [math]\displaystyle{ d = - a \cdot r }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D122)

[math]\displaystyle{ S(n + 1) = (r + 1) S (n) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = (r + 1)^n }[/math].

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum2() := 
(
f(n, k):= r^k * binomial(n, k),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
/*     S[n+1] = (r+1)*S[n]     */
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0, S[n] )        /*   S[n] = C*(r+1)^n   */
)$

□

Zadanie D126
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D116 p.2)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Po podstawieniu do równania (zobacz D122)

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0 }[/math]

i zredukowaniu silni, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ a \cdot {\small\frac{n + 1}{k + 2}} + b \cdot {\small\frac{n + 1}{n - k + 1}} + c \cdot {\small\frac{n - k}{k + 2}} + d = 0 }[/math]

Sprowadzając do wspólnego mianownika, mamy

[math]\displaystyle{ (c - d) k^2 + ((- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d) k + (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 }[/math]

Ponieważ powyższe równanie musi być prawdziwe dla każdego [math]\displaystyle{ k }[/math], to współczynniki przy potęgach [math]\displaystyle{ k }[/math] muszą być równe zero. Zatem dostajemy układ równań

[math]\displaystyle{ \begin{cases} c - d = 0 \\ (- a + b - 2 c + d) n - a + b - c - d = 0 \\ (a + c) n^2 + (2 a + 2 b + c + 2 d) n + a + 2 b + 2 d = 0 \\ \end{cases} }[/math]

Łatwo znajdujemy rozwiązania: [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ c = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}} }[/math], [math]\displaystyle{ d = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}} }[/math]. Skąd wynika związek dla [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] (zobacz D122)

[math]\displaystyle{ (n + 2) S (n + 1) = 2 (n + 1) S (n) + 1 }[/math]

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math].

Do obliczeń wykorzystaliśmy oprogramowanie Maxima. Poniżej podajemy kod procedury.

sum3() := 
(
f(n, k):= 1/(k+1) * binomial(n, k),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n,k) ),
F1: a * f(n+1,k+1)/f(n,k) + b * f(n+1,k)/f(n,k) + c * f(n,k+1)/f(n,k) + d,   /* równanie rekurencyjne dla składników sumy f(n, k) */
S1: (a+b) * S[n+1] + (c+d) * S[n] - a * f(n+1, 0) - b * f(n+1, n+1) - c * ( f(n, 0) - f(n, n+1) ),   /* równanie rekurencyjne dla sumy S(n) */
/*   przekształcamy F1, S1   */
F2: minfactorial( makefact(F1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
print("równanie: ", F2),
F3: num( factor(F2) ),   /* faktoryzuj i weź licznik */
print("licznik = ", rat(F3, k)),
deg: hipow(F3, k),
print("stopień = ", deg),
/*    stopień wielomianu F3 jest równy deg i mamy deg+1 równań    */
LE:  [subst(0, k, F3) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F3, k^i)=0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
print("lista równań: ", LE),
sol: solve( LE, [a, b, c, d] ),   /* lista rozwiązań */
print("rozwiązanie: ", sol),
S2: minfactorial( makefact(S1) ),   /* zamień na silnie i uprość silnie */
S3: subst( sol[1], S2),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
/*       (n+2)*S[n+1] = 2*(n+1)*S[n] + 1     */
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0, S[n] )        /*   S[n] = ( (C+1) * 2^n - 1 )/(n + 1)   */
)$

□

Zadanie D127
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Uzasadnić, dlaczego przyjmujemy, że [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ k > n }[/math].

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszmy [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{k!}} }[/math]

to natychmiast widzimy, że prawa strona musi być równa zero dla [math]\displaystyle{ k > n }[/math].

Jeżeli we wzorze Pascala

[math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = {\small\binom{n - 1}{k}} + {\small\binom{n - 1}{k - 1}} }[/math]

położymy [math]\displaystyle{ n = m + 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math], to otrzymamy

[math]\displaystyle{ 1 = 1 + {\small\binom{m}{- 1}} }[/math]

czyli [math]\displaystyle{ {\small\binom{m}{- 1}} = 0 }[/math]

I tak samo dla wszystkich [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math].

Znacznie mocniejszego uzasadnienia dostarczy nam funkcja gamma (zobacz D140), która jest uogólnieniem silni na liczby rzeczywiste. Rozważmy funkcję

[math]\displaystyle{ g(n, x) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} }[/math]

Jeżeli [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ 0 \leqslant k \leqslant n }[/math], to funkcja [math]\displaystyle{ g(n, k) }[/math] jest równa współczynnikowi dwumianowemu [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math].

[math]\displaystyle{ g(n, k) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (k + 1) \Gamma (n - k + 1)}} = {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\binom{n}{k}} }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow k} g (n, x) = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} \cdot \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (n - x + 1)}} = 0 \cdot {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (n - k + 1)}} = 0 }[/math]

W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ k > n }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow k} g (n, x) = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}} = \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1)}} \cdot \lim_{x \rightarrow k} {\small\frac{1}{\Gamma (n - x + 1)}} = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (k + 1)}} \cdot 0 = 0 }[/math]

Co najlepiej wyjaśnia, dlaczego przyjmujemy, że [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} = 0 }[/math], gdy [math]\displaystyle{ k < 0 }[/math] lub [math]\displaystyle{ k > n }[/math].
□

Twierdzenie D128
Niech [math]\displaystyle{ n, I, J \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math] i składniki sumy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] spełniają równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0 }[/math]

gdzie współczynniki [math]\displaystyle{ a_{i j} }[/math] są funkcjami tylko [math]\displaystyle{ n }[/math], to suma

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

spełnia następujące równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Dowód

Z założenia [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math], zatem sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n, k) }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ 0 \leqslant i \leqslant I }[/math] oraz [math]\displaystyle{ 0 \leqslant j \leqslant J }[/math]. Rozważmy sumę

[math]\displaystyle{ \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) }[/math]

Zauważmy, że [math]\displaystyle{ f(n + i, k + j) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [- J, n + I] }[/math], bo

dla [math]\displaystyle{ k < - J }[/math] mamy [math]\displaystyle{ k + j < - J + j \leqslant 0 }[/math]
dla [math]\displaystyle{ k > n + I }[/math] mamy [math]\displaystyle{ k + j > n + I + j \geqslant n + I \geqslant n + i }[/math]

Wynika stąd, że rozszerzając rozpatrywaną sumę na cały zbiór liczb całkowitych, nie zmienimy wartości sumy. Czyli, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n + i, k + j) }[/math]

Teraz już łatwo otrzymujemy równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) }[/math]

[math]\displaystyle{ 0 = \sum_{k = - J}^{n + I} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k = - J}^{n + I} f (n + i, k + j) \, }[/math]^[a]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} f (n + i, k + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum^{+ \infty}_{l = - \infty} f (n + i, l) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot S (n + i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \sum_{i = 0}^{I} S (n + i) \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] }[/math]

Co należało pokazać.

[a] W przypadku wielokrotnych sum skończonych możemy dowolnie zmieniać ich kolejność ze względu na łączność dodawania.
□

Uwaga D129
Z zadania D127 wynika, że jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] zawiera czynnik [math]\displaystyle{ {\small\binom{n}{k}} }[/math], to może spełniać warunek [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math]. Oczywiście nie jest to warunek wystarczający, bo funkcja [math]\displaystyle{ f (n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math] jest różna od zera dla [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math].

Zadanie D130
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór (zobacz D116 p.3)

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście [math]\displaystyle{ f(n, k) = k {\small\binom{n}{k}} }[/math]. Do rozwiązania problemu wykorzystamy oprogramowanie Maxima i procedurę

sum5(I, J) := 
(
read("podaj definicję f(n, k)"),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n, k) ),
F1: sum( sum( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( F1 ) ) ) ) ),
deg: hipow(F2, k),
LE:  [subst(0, k, F2) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F2, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: create_list(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J),   /* lista zmiennych */
sol: solve( LE, LV ),   /* lista rozwiązań */
S1: sum( S[n+i] * sum(a[i,j], j, 0, J), i, 0, I),
S2: subst( sol[1], S1 ),   /* pierwszy element listy sol */
S3: num( factor( expand( S2 ) ) ),
print("rekurencja: ", S3 = 0),
load("solve_rec"),
solve_rec( S3 = 0,  S[n] )
)$

Wywołujemy procedurę sum5(1, 2) i wpisujemy funkcję

f(n, k):= k * binomial(n, k)

W wyniku otrzymujemy równanie rekurencyjne

n * S[n+1] = 2 * (n+1) * S[n]

którego rozwiązanie jest postaci

S[n] = C * n * 2^(n-1)

Łatwo sprawdzamy, że C = 1. Co należało pokazać.
□

Zadanie D131
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwe są wzory

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}} = n (n + 1) 2^{n - 2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}} = n^2 (n + 3) 2^{n - 3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^2 {\small\binom{n}{k}}^2 = n^2 {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} k^3 {\small\binom{n}{k}}^2 = {\small\frac{1}{2}} n^2 (n + 1) {\small\binom{2 n - 2}{n - 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Wskazówki:

Korzystamy z procedury sum5(), której kod został podany w zadaniu D130.

Zawsze próbujemy znaleźć rozwiązanie dla najmniejszych wartości parametrów I, J.

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot n! \cdot {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

Punkt 1. sum5(1, 2), zobacz też sum5(2, 1)

Punkt 2. sum5(1, 3), zobacz też sum5(2, 2)

Punkt 3. sum5(2, 2)

Punkt 4. sum5(2, 2)

Punkt 5. sum5(2, 2)

Punkt 6. sum5(2, 3), zobacz też sum5(3, 2)
□

Uwaga D132
Niech [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]. Wiemy (zobacz D128), że jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ n }[/math] wartość funkcji [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] jest określona dla wszystkich [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ f(n, k) = 0 }[/math] dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math], to sumę [math]\displaystyle{ S(n) }[/math] możemy zapisać w równoważnej postaci [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) }[/math]

Rozważmy teraz funkcję [math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math], która powyższego warunku nie spełnia, bo jest różna od zera dla [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]. Jeżeli zapiszemy [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{n!}{k! (n - k) !}} = {\small\frac{n!}{(k + 1) ! (n - k) !}} }[/math]

to natychmiast widzimy, że

[math]\displaystyle{ f(n, - 1) = {\small\frac{n!}{0! (n + 1) !}} = {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Zatem w przypadku tej funkcji mamy

[math]\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) + f (n, - 1) = S (n) + {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

Zakładając, że spełnione jest równanie

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = 0 }[/math]

otrzymujemy następujące równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot f (n + i, k + j) = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n + i, k + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \sum_{l \in \mathbb{Z}} f (n + i, l) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \cdot \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = \sum_{i = 0}^{I} \left[ S (n + i) + {\small\frac{1}{n + i + 1}} \right] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Jeżeli mamy skończoną liczbę punktów [math]\displaystyle{ k_r \notin [0, n] }[/math], w których funkcja [math]\displaystyle{ f(n, k) }[/math] jest określona i różna od zera, to możemy zdefiniować funkcję

[math]\displaystyle{ T(n) = f (n, k_1) + f (n, k_2) + f (n, k_3) + \ldots = \sum_r f (n, k_r) }[/math]

W takim przypadku otrzymamy następujące równanie rekurencyjne dla sumy [math]\displaystyle{ S (n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{I} [S (n + i) + T (n + i)] \cdot \left[ \sum_{j = 0}^{J} a_{i j} \right] = 0 }[/math]

Wystarczy drobna modyfikacja procedury sum5(), aby obejmowała ona również takie przypadki

sum6(I, J):= 
(
read("podaj definicję f(n, k)"),   /* składnik sumy */
print("f(n, k) = ", f(n, k) ),
read("podaj definicję T(n)"),   /* suma skończonych wartości funkcji f(n, k), gdzie k<0 lub k>n */
print("T(n) = ", T(n) ),
F1: sum( sum( a[i,j] * f(n+i, k+j), i, 0, I), j, 0, J) / f(n, k),
F2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( F1 ) ) ) ) ),
deg: hipow(F2, k),
LE:  [subst(0, k, F2) = 0],
for i: 1 thru deg do push(coeff(F2, k^i) = 0, LE),   /* kolejne równania wpisujemy do listy LE */
LV: create_list(a[i, j], i, 0, I , j, 0, J),   /* lista zmiennych */
sol: solve( LE, LV ),   /* lista rozwiązań */
S1: sum( ( S[n+i] + T(n+i) ) * sum( a[i,j], j, 0, J ), i, 0, I ),
S2: num( factor( minfactorial( makefact( expand( S1 ) ) ) ) ),
S3: subst( sol[1], S2 ),   /* pierwszy element listy sol */
S4: num( factor( expand( S3 ) ) ),
print("rekurencja: ", S4 = 0),
load("solve_rec"),
solve_rec( S4 = 0,  S[n] )
)$

Korzystając z powyższej procedury, Czytelnik może łatwo policzyć wypisane poniżej sumy.

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,k)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,-1)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{f(n,-2)} }[/math]	[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\sum_{k = 0}^n f(n,k)} }[/math]	WolframAlpha
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}} }[/math]	LINK1
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{k + 2}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{n 2^{n + 1} + 1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	LINK2
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(k + 1) (k + 2)}} {\small\binom{n}{k}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	[math]\displaystyle{ {\small\frac{2^{n + 2} - n - 3}{(n + 1) (n + 2)}} }[/math]	LINK3

Zadanie D133
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math] (zobacz zadanie D145). Zatem korzystając z procedury sum6(2, 1), otrzymujemy równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (n + 2) S (n + 2) - 4 (2 n + 3) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) = 0 }[/math]

i rozwiązanie

[math]\displaystyle{ S(n) = C \cdot 4^n }[/math]

Łatwo sprawdzamy, że [math]\displaystyle{ C = 1 }[/math].
□

Zadanie D134
Pokazać, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Rozwiązanie

Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla [math]\displaystyle{ k \notin [0, n] }[/math] (zobacz D145) poza punktem [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]. Wiemy, że (zobacz D146)

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = - {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ f(n, - 1) = - {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Korzystając z procedury sum6(2, 1), otrzymujemy równanie rekurencyjne

[math]\displaystyle{ (n^2 + 5 n + 6) S (n + 2) - 8 (n^2 + 4 n + 4) S (n + 1) + 16 (n^2 + 3 n + 2) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{[(n + 1) !]^2}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 2) (n + 3) S (n + 2) - 8 (n + 2)^2 S (n + 1) + 16 (n + 1) (n + 2) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{[(n + 1) !]^2}} = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 3) S (n + 2) - 8 (n + 2) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) + 2 \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) ! (n + 2) !}} = 0 }[/math]

Maxima nie potrafi rozwiązać tego równania rekurencyjnego, ale można sprawdzić, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math] jest jego rozwiązaniem.
□

Uzupełnienie

Dowód własności liczb Catalana [math]\displaystyle{ {\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}} }[/math]

Uwaga D135
Przedstawiony poniżej dowód czwartego punktu twierdzenia D114 został oparty na pracy Jovana Mikicia^[28].

Twierdzenie D136
Jeżeli funkcja [math]\displaystyle{ f(k) }[/math] nie zależy od [math]\displaystyle{ n }[/math] i dane są sumy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math]

Dowód

Z definicji sumy [math]\displaystyle{ T(n) }[/math] ostatni wyraz tej sumy jest równy zero, zatem dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] mamy

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (n - k) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} (n - k) f (k) \cdot {\small\frac{(2 n - 2 k) (2 n - 2 k - 1)}{(n - k)^2}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} 2 (2 n - 2 k - 1) f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n - 1} [4 (n - 1 - k) + 2] f (k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k - 2}{n - k - 1}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D137
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = 4^n }[/math]

Dowód

Niech

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{j = 0}^{n} j {\small\binom{2 n - 2 j}{n - j}} {\small\binom{2 j}{j}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} (n - k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} {\small\binom{2 k}{k}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 0}^{n} (n - k + k) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{n}{2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{n S (n)}{2}} }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ T(n) = {\small\frac{n S (n)}{2}} }[/math] i [math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math] (zobacz D136), to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{n S (n)}{2}} = 4 \cdot {\small\frac{(n - 1) S (n - 1)}{2}} + 2 S (n - 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ n S (n) = 4 n S (n - 1) - 4 S (n - 1) + 4 S (n - 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = 4 S (n - 1) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej łatwo dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = 4^n }[/math]. Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D138
Dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math] prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

Dowód

Oznaczmy

[math]\displaystyle{ S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n - k}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ T(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n - k}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{n + 1 - (k + 1)}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = (n + 1) \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} - \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = (n + 1) S (n) - 4^n }[/math]

Ponieważ [math]\displaystyle{ T(n) = (n + 1) S (n) - 4^n }[/math] i [math]\displaystyle{ T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1) }[/math] (zobacz D136), to otrzymujemy

[math]\displaystyle{ (n + 1) S (n) - 4^n = 4 \cdot (n S (n - 1) - 4^{n - 1}) + 2 S (n - 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ (n + 1) S (n) - 4^n = 4 n S (n - 1) - 4^n + 2 S (n - 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 1}} S (n - 1) }[/math]

Metodą indukcji matematycznej dowodzimy, że [math]\displaystyle{ S(n) = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]. Dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ S(0) = 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2}{1}} = 1 }[/math]. Zatem wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{2 (2 n + 1)}{n + 1}} S (n - 1) = {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{2 n + 1}{n + 1}} \cdot {\small\frac{(n + 1)^2}{(2 n + 1) (2 n + 2)}} \cdot {\small\frac{(2 n + 1) (2 n + 2)}{(n + 1)^2}} \cdot {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\; = S (n) }[/math]

Co kończy dowód.
□

Twierdzenie D139
Jeżeli [math]\displaystyle{ C_n }[/math] są liczbami Catalana, to

[math]\displaystyle{ C_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} }[/math]

Dowód

Zauważmy, że

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{(k + 1) (n - k + 1)}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} \left( {\small\frac{1}{k + 1}} + {\small\frac{1}{n - k + 1}} \right) {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{n - k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} \left[ \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} + \sum_{j = 0}^{n} {\small\frac{1}{j + 1}} {\small\binom{2 n - 2 j}{n - j}} {\small\binom{2 j}{j}} \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{2}{n + 2}} \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} {\small\binom{2 n - 2 k}{n - k}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{2}{n + 2}} \cdot {\small\frac{1}{2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = {\small\frac{1}{n + 2}} {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = C_{n + 1} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Funkcja gamma [math]\displaystyle{ {\small \Gamma (z)} }[/math]

Definicja D140
Funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math]^[29] jest zdefiniowana równoważnymi wzorami

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t \qquad \operatorname{Re}(z) > 0 \qquad \qquad }[/math] (definicja całkowa Eulera)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja Gaussa)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod_{n = 1}^{\infty} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja iloczynowa Eulera)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (definicja iloczynowa Weierstrassa)

Trzy ostatnie wzory możemy wykorzystać do zdefiniowania funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} }[/math], która jest określona dla dowolnych [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}{n^z n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z)}} = z e^{\gamma z} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) e^{- \tfrac{z}{n}} }[/math]

Pokaż wykres

Poniżej przedstawiamy wykresy funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (x) }[/math] (kolor niebieski) i [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (x)}} }[/math] (kolor czerwony).

□

Pokaż równoważność definicji

Równoważność definicji Gaussa i definicji całkowej Eulera

Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z) > 0 }[/math]. Rozważmy całki

[math]\displaystyle{ I_k = \int^n_0 t^{z - 1 + k} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} d t }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, \ldots, n }[/math]. Całkując przez części

[math]\displaystyle{ d u = t^{z - 1 + k} \, d t \qquad \qquad \qquad v = \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} }[/math]

[math]\displaystyle{ u = {\small\frac{t^{z + k}}{z + k}} \qquad \qquad \qquad \quad \; d v = - {\small\frac{n - k}{n}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k - 1} d t }[/math]

otrzymujemy

[math]\displaystyle{ I_k = {\small\frac{t^{z + k}}{z + k}} \cdot \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k} \, \biggr\rvert_{0}^{n} \; + \; {\small\frac{n - k}{n (z + k)}} \int^n_0 t^{z + k} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^{n - k - 1} d t }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n - k}{n (z + k)}} \cdot I_{k + 1} }[/math]

Zatem całkując [math]\displaystyle{ n }[/math]-krotnie przez części, mamy

[math]\displaystyle{ I_0 = {\small\frac{n}{n z}} \cdot I_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot I_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot I_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{1}{n (z + n - 1)}} \cdot I_n }[/math]

Ponieważ

[math]\displaystyle{ I_n = \int^n_0 t^{z + n - 1} \, d t = {\small\frac{n^{z + n}}{z + n}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ I_0 = \int^n_0 t^{z - 1} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^n d t = {\small\frac{n}{n z}} \cdot {\small\frac{n - 1}{n (z + 1)}} \cdot {\small\frac{n - 2}{n (z + 2)}} \cdot \ldots \cdot {\small\frac{1}{n (z + n - 1)}} \cdot {\small\frac{n^{z + n}}{z + n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\; = {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

Przechodząc z [math]\displaystyle{ n }[/math] do nieskończoności, dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int^n_0 t^{z - 1} \left( 1 - {\small\frac{t}{n}} \right)^n d t = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} \, d t }[/math]

Co należało pokazać.

Równoważność definicji iloczynowej Eulera i definicji Gaussa

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{k}} \right)^{- 1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{\left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right)^z}{1 + {\small\frac{z}{k}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{z}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} {\small\frac{k (k + 1)^z}{(k + z) k^z}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \left( {\small\frac{(n + 1) !}{n!}} \right)^z }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(n + 1)^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

Co należało pokazać.

Równoważność definicji iloczynowej Weierstrassa i definicji Gaussa

Stała [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] jest równa

[math]\displaystyle{ \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( - \log n + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{\tfrac{z}{n}} = z^{- 1} \cdot e^{- \gamma z} \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{e^{\tfrac{z}{k}}}{1 + \tfrac{z}{k}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = z^{- 1} \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\left( \log n - 1 - \tfrac{1}{2} - \ldots - \tfrac{1}{n} \right) z} \right) \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^n_{k = 1} \frac{k e^{\tfrac{z}{k}}}{z + k} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = \left( \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\left( \log n - 1 - \tfrac{1}{2} - \ldots - \tfrac{1}{n} \right) z} \right) \cdot \left( \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot e^{\left( 1 + \tfrac{1}{2} + \ldots + \tfrac{1}{n} \right) z} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = \lim_{n \rightarrow \infty} e^{z \log n} \cdot {\small\frac{n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D141
Dla funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \Gamma (1) = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ z \Gamma (z) = \Gamma (z + 1) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} \qquad z \notin \mathbb{Z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (wzór Legendre'a o podwajaniu)

Dowód

Punkt 1.

[math]\displaystyle{ \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} t^{1 - 1} e^{- t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = - e^{- t} \biggr\rvert_{0}^{\infty} = 0 - (- 1) = 1 }[/math]

Punkt 2.

Z definicji Gaussa funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (z + 1) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) (z + 2) \cdot \ldots \cdot (z + n + 1)}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ z \Gamma (z) = z \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot {\small\frac{n}{z + n + 1}} \cdot {\small\frac{z + n + 1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n) (z + n + 1)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{z + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{z + 1} n!}{(z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n) (z + n + 1)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {\small\frac{z + 1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\;\, = \Gamma (z + 1) }[/math]

Punkt 3.

Z definicji iloczynowej Eulera mamy

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{1}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{\Gamma (z) \Gamma (- z + 1)}} = {\small\frac{1}{- z \Gamma (z) \Gamma (- z)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{z \cdot (- z)}{- z}} \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^{- z} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) \left( 1 + {\small\frac{1}{n}} \right)^z \left( 1 - {\small\frac{z}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = z \cdot \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 - {\small\frac{z^2}{n^2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \; = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi}} }[/math]

gdzie wykorzystaliśmy wzór Eulera

[math]\displaystyle{ \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 - {\small\frac{z^2}{n^2}} \right) = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi z}} }[/math]

Dowód wzoru Eulera jest trudny. Elegancki dowód, ale tylko dla liczb rzeczywistych, Czytelnik znajdzie na stronie ProofWiki.

Punkt 4.

Z definicji Gaussa funkcji gamma mamy

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^{2 z} n!}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + n)}} }[/math]

Jeżeli w powyższym równaniu położymy [math]\displaystyle{ 2 n }[/math] zamiast [math]\displaystyle{ n }[/math], to dostaniemy

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} }[/math]

Zauważmy teraz, że

[math]\displaystyle{ 2^{2 n + 2} [z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)] \cdot \left[ \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right) \right] = [2 z (2 z + 2) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)] \cdot [(2 z + 1) (2 z + 3) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n + 1)] }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\,\, = 2 z (2 z + 1) (2 z + 2) (2 z + 3) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n) (2 z + 2 n + 1) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n) (2 z + 2 n + 1)}} \cdot (2 z + 2 n + 1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2^{2 n + 2} [z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)] \cdot \left[ \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right) \right]}} \cdot 2 n \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot {\small\frac{n^{z + (1 / 2)} n!}{\left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right)}} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{n^z n!}{z (z + 1) \cdot \ldots \cdot (z + n)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{\small\frac{n^{z + (1 / 2)} n!}{\left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \left( z + {\small\frac{3}{2}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( z + n + {\small\frac{1}{2}} \right)}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + {\small\frac{2 z + 1}{2 n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\:\, = 2^{2 z} \cdot \Gamma (z) \cdot \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot C \cdot 1 }[/math]

Ponieważ wyrażenie

[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} \cdot {\small\frac{\sqrt{n}}{2^{2 n + 1}}} }[/math]

nie zależy od [math]\displaystyle{ z }[/math], a wartości funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) }[/math], [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] i [math]\displaystyle{ \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math] są określone dla [math]\displaystyle{ 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math], to powyższa granica musi być pewną stałą. Jeżeli po lewej stronie położymy [math]\displaystyle{ z = {\small\frac{1}{2}} }[/math], to otrzymamy

[math]\displaystyle{ \Gamma (1) = 2 \cdot \Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma (1) \cdot C }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ C = {\small\frac{1}{2 \sqrt{\pi}}} }[/math]

I ostatecznie dostajemy

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Przy okazji pokazaliśmy asymptotykę: [math]\displaystyle{ {\small\binom{2 n}{n}} \sim {\small\frac{2^{2 n}}{\sqrt{\pi \, n}}} }[/math]

Zauważmy jeszcze, że gdy położymy [math]\displaystyle{ 2 n + 1 }[/math] zamiast [math]\displaystyle{ n }[/math], to otrzymamy taki sam rezultat, bo

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n + 1)^{2 z} (2 n + 1) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n + 1)}} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{(2 n)^{2 z} (2 n) !}{2 z (2 z + 1) \cdot \ldots \cdot (2 z + 2 n)}} \cdot \left( 1 + {\small\frac{1}{2 n}} \right)^{\! 2 z} \cdot \left( {\small\frac{1}{1 + {\normalsize\frac{2 z}{2 n + 1}}}} \right) }[/math]

□

Ze wzorów podanych w twierdzeniu D141 otrzymujemy
Twierdzenie D142
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \sqrt{\pi} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (n + 1) = n! }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{\pi}{\cos (\pi z)}} \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \cdot (- 1)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = {\small\frac{1}{2}} }[/math] we wzorze 3. twierdzenia D141

Punkt 2.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (n + 2) = (n + 1) \Gamma (n + 1) = (n + 1) n! = (n + 1) ! }[/math]

Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych / zespolonych.

Punkt 3.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = z' + {\small\frac{1}{2}} }[/math] we wzorze 3. twierdzenia D141

Punkt 4.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = n }[/math] we wzorze 3. tego twierdzenia

Punkt 5.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot 2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n) !}{n!}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot {\small\frac{4 (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}} \cdot 2^{- 2 n - 2} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) !}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = 2^{- 2 n - 2} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{(2 n + 2) !}{(n + 1) !}} }[/math]

bo

[math]\displaystyle{ \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) \cdot {\small\frac{4 (n + 1)}{(2 n + 2) (2 n + 1)}} = 1 }[/math]

Punkt 6.

Ze wzoru 3. i 4. tego twierdzenia dostajemy

[math]\displaystyle{ \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi \cdot (- 1)^n}{\Gamma \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right)} = \frac{\pi \cdot (- 1)^n \cdot n!}{2^{- 2 n} \sqrt{\pi} \cdot (2 n) !} = (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Punkt 7.

Ze wzoru Legendre'a o podwajaniu otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

Dla [math]\displaystyle{ z = - n }[/math] po lewej stronie mamy symbol nieoznaczony [math]\displaystyle{ {\small\frac{\infty}{\infty}} }[/math], ale w punktach [math]\displaystyle{ z = - n }[/math] istnieje granica funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{2^{- 2 n - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot \Gamma \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = {\small\frac{2^{- 2 n - 1}}{\sqrt{\pi}}} \cdot (- 1)^n \cdot 2^{2 n} \sqrt{\pi} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Pokaż wykres

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} \cdot 10^{| x |} }[/math]. Uwaga: wykres funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} }[/math] został celowo zniekształcony przez dodanie czynnika [math]\displaystyle{ 10^{| x |} }[/math], aby dało się zauważyć, że wartości granic [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x)}{\Gamma (x)}} }[/math] są różne od zera dla [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math].

□

Twierdzenie D143
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}} }[/math]

Dowód

Wiemy, że jeżeli [math]\displaystyle{ z }[/math] nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz D141 p.3)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \Gamma (a z) \Gamma (- a z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi a z)}} }[/math]

Dzieląc powyższe równania przez siebie, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (a z) \Gamma (- a z + 1)}{\Gamma (z) \Gamma (- z + 1)}} = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi a z)}} \cdot {\small\frac{\sin (\pi z)}{\pi}} = {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} }[/math]

Skąd dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{\Gamma (- z + 1)}{\Gamma (- a z + 1)}} \cdot {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} }[/math]

Niech [math]\displaystyle{ k }[/math] oznacza dowolną liczbę całkowitą. W granicy, gdy [math]\displaystyle{ z \rightarrow k }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow k} {\small\frac{\sin (\pi z)}{\sin (\pi a z)}} = {\small\frac{\pi \cdot \cos (\pi k)}{a \pi \cdot \cos (\pi a k)}} = {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{(- 1)^k}{(- 1)^{a k}}} = {\small\frac{1}{a}} \cdot (- 1)^{(a - 1) k} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z reguły de l'Hospitala. Wynika stąd, że

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z)}{\Gamma (z)}} = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (a n + 1)}} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot (- 1)^{(a - 1) n} = (- 1)^{(a - 1) n} \cdot {\small\frac{1}{a}} \cdot {\small\frac{n!}{(a n) !}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D144
Jeżeli [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_+ }[/math], to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}} }[/math]

Dowód

Z twierdzenia D141 p.2 wynika, że

[math]\displaystyle{ \Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Gamma (b z + b n + 1) = \Gamma (b z + 1) \cdot \prod^{b n}_{j = 1} (b z + j) }[/math]

Dzieląc równania przez siebie, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = {\small\frac{\Gamma (a z + a n + 1)}{\Gamma (b z + b n + 1)}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n}_{j = 1} (b z + j)}{\displaystyle\prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)} = {\small\frac{\Gamma (a z + a n + 1)}{\Gamma (z + n + 1)}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (b z + j)}{\displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (a z + j)} \cdot {\small\frac{b}{a}} }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (a z + 1)}{\Gamma (b z + 1)}} = {\small\frac{b}{a}} \cdot \frac{\displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (- b n + j)}{\displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (- a n + j)} \cdot {\small\frac{\Gamma (1)}{\Gamma (1)}} = {\small\frac{b}{a}} \cdot \frac{(- 1)^{b n - 1} \cdot \displaystyle\prod^{b n - 1}_{j = 1} (b n - j)}{(- 1)^{a n - 1} \cdot \displaystyle\prod^{a n - 1}_{j = 1} (a n - j)} = {\small\frac{b}{a}} \cdot (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n - 1) !}{(a n - 1) !}} = (- 1)^{(a - b) n} \cdot {\small\frac{(b n) !}{(a n) !}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D145
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] i [math]\displaystyle{ g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]. Pokazać, że

rozszerzając funkcję [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} g (x) = 0 }[/math]

Rozwiązanie

Zapiszmy funkcję [math]\displaystyle{ g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} }[/math] w postaci

[math]\displaystyle{ g(n) = {\small\binom{2 n}{n}} = {\small\frac{(2 n) !}{(n!)^2}} = {\small\frac{\Gamma (2 n + 1)}{\Gamma (n + 1)^2}} }[/math]

Możemy teraz przejść do zmiennej rzeczywistej

[math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

bo funkcja [math]\displaystyle{ \Gamma (x) }[/math] jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych.

Korzystając z twierdzenia D144, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}} }[/math]

Ale wiemy, że (zobacz D140)

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} = 0 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} = 0 }[/math]

Co należało pokazać i co jest dobrze widoczne na wykresie funkcji [math]\displaystyle{ {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)^2}} }[/math]

□

Zadanie D146
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ g(n) = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}} }[/math]. Pokazać, że

rozszerzając funkcję [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] na zbiór liczb rzeczywistych, otrzymujemy [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Rozwiązanie

Oczywiście funkcja [math]\displaystyle{ g(k) }[/math] nie jest określona w punkcie [math]\displaystyle{ k = - 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ g(k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = {\small\frac{1}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(2 k) !}{(k!)^2}} = {\small\frac{(2 k) !}{(k + 1) !k!}} = {\small\frac{\Gamma (2 k + 1)}{\Gamma (k + 2) \Gamma (k + 1)}} }[/math]

Jeżeli przejdziemy do zmiennej rzeczywistej

[math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

to łatwo pokażemy, że granica funkcji [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] w punkcje [math]\displaystyle{ x = - 1 }[/math] istnieje i jest równa [math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} }[/math].

Z twierdzenia D144 dostajemy

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1) \cdot {\small\frac{1}{2}} = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - 1} g (x) = \lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} = - {\small\frac{1}{2}} \cdot {\small\frac{1}{\Gamma (1)}} = - {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Co dobrze widać na wykresie funkcji [math]\displaystyle{ g(x) = {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 2) \Gamma (x + 1)}} }[/math]

□

Funkcja digamma [math]\displaystyle{ {\small \psi (z)} }[/math]

Definicja D147
Funkcję digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] (inne oznaczenia: [math]\displaystyle{ \Psi (z) }[/math], [math]\displaystyle{ \psi_0 (z) }[/math], [math]\displaystyle{ \psi^{(0)} (z) }[/math] ) definiujemy jako pochodną logarytmiczną (czyli pochodną logarytmu) funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math]. Mamy zatem

[math]\displaystyle{ \psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z)) = {\small\frac{\Gamma' (z)}{\Gamma (z)}} }[/math]

Pokaż wykres

Poniżej przedstawiamy wykres funkcji [math]\displaystyle{ \psi (x) }[/math]

□

Twierdzenie D148
Funkcję digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad }[/math] (wzór szeregowy Weierstrassa)

gdzie [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] jest stałą Eulera.

Dowód

Skorzystamy z definicji iloczynowej Weierstrassa funkcji [math]\displaystyle{ \Gamma (z) }[/math] (zobacz D139)

[math]\displaystyle{ \Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{z / n} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

Mamy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (z) = - \gamma z - \log z + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ - \log \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) + {\small\frac{z}{n}} \right] }[/math]

Różniczkując, otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z)) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( - \frac{{\small\frac{1}{n}}}{1 + {\small\frac{z}{n}}} + {\small\frac{1}{n}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} - \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\: = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Twierdzenie D149
Dla funkcji digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] prawdziwe są następujące wzory

[math]\displaystyle{ \psi (1) = - \gamma }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi (z + 1) = \psi (z) + {\small\frac{1}{z}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi (- z + 1) - \psi (z) = \pi \operatorname{ctg}(\pi z) \qquad z \notin \mathbb{Z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}}\right) + \log 2 \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad }[/math] (wzór na podwajanie)

Dowód

Punkt 1.

Wzór wynika natychmiast z twierdzenia D148

Punkt 2.

Logarytmując obie strony wzoru [math]\displaystyle{ \Gamma (z + 1) = z \Gamma (z) }[/math] (zobacz D140 p.2), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (z + 1) = \log z + \log \Gamma (z) }[/math]

Różniczkując obie strony równania po zmiennej [math]\displaystyle{ z }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \psi (z + 1) = {\small\frac{1}{z}} + \psi (z) }[/math]

Punkt 3.

Logarytmując obie strony wzoru [math]\displaystyle{ \Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}} }[/math] (zobacz D140 p.3), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (z) + \log \Gamma (- z + 1) = \log \pi - \log (\sin (\pi z)) }[/math]

Różniczkując obie strony równania po zmiennej [math]\displaystyle{ z }[/math], mamy

[math]\displaystyle{ \psi (z) - \psi (- z + 1) = - {\small\frac{1}{\sin (\pi z)}} \cdot \cos (\pi z) \cdot \pi = - \pi \operatorname{ctg}(\pi z) }[/math]

Punkt 4.

Korzystamy ze wzoru Legendre'a o podwajaniu (zobacz D140 p.4)

[math]\displaystyle{ \Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Logarytmując obie strony powyższego wzoru, dostajemy

[math]\displaystyle{ \log \Gamma (2 z) = (2 z - 1) \log 2 - \log \sqrt{\pi} + \log \Gamma (z) + \log \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Różniczkując obie strony równania po zmiennej [math]\displaystyle{ z }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ 2 \psi (2 z) = 2 \log 2 + \psi (z) + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Czyli

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Co należało pokazać.
□

Ze wzorów podanych w twierdzeniu D149 otrzymujemy
Twierdzenie D150
Niech [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }[/math] i [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \operatorname{tg}(\pi z) \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} [2 \psi (2 z) - \psi (z)] = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Dowód

Punkt 1.

Kładąc we wzorze na podwajanie

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ z = {\small\frac{1}{2}} }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \psi (1) = {\small\frac{1}{2}} \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \psi (1) + \log 2 }[/math]

Skąd mamy natychmiast

[math]\displaystyle{ \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi (1) - 2 \log 2 = - \gamma - 2 \log 2 }[/math]

Punkt 2.

We wzorze

[math]\displaystyle{ \psi (z + 1) = \psi (z) + {\small\frac{1}{z}} }[/math]

połóżmy [math]\displaystyle{ z = k }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Mamy

[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{k}} = \psi (k) - \psi (k + 1) }[/math]

Sumując obie strony od [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math] do [math]\displaystyle{ k = n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ - \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} [\psi (k) - \psi (k + 1)] = \psi (1) - \psi (n + 1) }[/math]

bo suma po prawej stronie jest sumą teleskopową (zobacz D13). Zatem

[math]\displaystyle{ \psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ H_n }[/math] jest [math]\displaystyle{ n }[/math]-tą liczbą harmoniczną.

Punkt 3.

Wystarczy położyć [math]\displaystyle{ z = z' + {\small\frac{1}{2}} }[/math] we wzorze 3. twierdzenia D149.

Punkt 4.

Kładąc we wzorze z punktu 3. [math]\displaystyle{ z = n }[/math] i uwzględniając, że [math]\displaystyle{ \operatorname{tg}(\pi n) = 0 }[/math], dostajemy

[math]\displaystyle{ \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

Punkt 5.

Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math]. Zakładając, że jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{2}{2 n + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

gdzie skorzystaliśmy z twierdzenia D149 p.2 i założenia indukcyjnego.

Punkt 6.

Korzystając ze wzoru na podwajanie (D149 p.4), mamy

[math]\displaystyle{ 2 \psi (2 z) = \psi (z) + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + 2 \log 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \psi (2 z) - \psi (z) = 2 \log 2 + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ z \longrightarrow - n }[/math], otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} [2 \psi (2 z) - \psi (z)] = 2 \log 2 + \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) = }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = 2 \log 2 - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

Punkt 7.

Korzystając ze wzoru na podwajanie

[math]\displaystyle{ \psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 }[/math]

dostajemy

[math]\displaystyle{ {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} + \frac{{\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2}{\psi (z)} }[/math]

W granicy, gdy [math]\displaystyle{ z \longrightarrow - n }[/math] wartość funkcji [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] dąży do [math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]. Ponieważ licznik po prawej stronie dąży do wartości skończonej

[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 \;\; \xrightarrow{\; z \rightarrow -n \;} \;\; {\small\frac{1}{2}} \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma - \log 2 + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} }[/math]

to

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} \frac{{\small\frac{1}{2}} \psi (z + {\small\frac{1}{2}}) + \log 2}{\psi (z)} = 0 }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to - n} {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D151
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Pokazać, że prawdziwy jest wzór

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right] }[/math]

gdzie [math]\displaystyle{ \psi (x) }[/math] jest funkcją digamma.

Rozwiązanie

Z twierdzenia D148 wiemy, że funkcję digamma [math]\displaystyle{ \psi (z) }[/math] możemy zapisać w postaci

[math]\displaystyle{ \psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) }[/math]

Zatem

[math]\displaystyle{ \psi (z_1) - \psi (z_2) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + z_2}} - {\small\frac{1}{n + z_1}} \right) }[/math]

Rozkładając sumę [math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} }[/math] na dwie sumy (po [math]\displaystyle{ k }[/math] parzystych i [math]\displaystyle{ k }[/math] nieparzystych), otrzymujemy

[math]\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n) + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n + 1) + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2 a}}} - \frac{1}{n + {\small\frac{a + 1}{2 a}}} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right] }[/math]

Co należało pokazać.
□

Zadanie D152
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Pokazać, że

[math]\displaystyle{ \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^a}} d x = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right] }[/math]

Rozwiązanie

Wzór wynika natychmiast z połączenia rezultatu z zadania poprzedniego (D151) i zadania D6.
□

Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Wikipedia, Szereg geometryczny, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Funkcja η, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Funkcja dzeta Riemanna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Bernhard Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, [rozprawa habilitacyjna z 1854, w:] Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen vol. 13, 1868, pp. 87 - 1
↑ Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.
↑ W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.
↑ ^7,0 ^7,1 Wikipedia, Twierdzenia Mertensa, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ ^8,0 ^8,1 Wikipedia, Franciszek Mertens, (Wiki-pl)
↑ J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, (LINK)
↑ Zobacz twierdzenie D72.
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A001620 - Decimal expansion of Euler's constant, (A001620)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant, (A083343)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant, (A138312)
↑ Pierre Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., 2010, (LINK)
↑ Wikipedia, Stałe Bruna, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B, (A065421)
↑ Paul Erdős, Über die Reihe [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math], Mathematica, Zutphen B 7, 1938, 1-2.
↑ sumowanie przez części (ang. summation by parts)
↑ ciąg wypukły (ang. convex sequence)
↑ Pierre Dusart, Explicit estimates of some functions over primes, The Ramanujan Journal, vol. 45(1), 2018, 227-251.
↑ Wikipedia, Sumowalność metodą Cesàro, (Wiki-pl), (Wiki-en)
↑ Wikipedia, Indefinite sum, (Wiki-en)
↑ Sister Mary Celine Fasenmyer, Some Generalized Hypergeometric Polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 806-812
↑ Sister Mary Celine Fasenmyer, A Note on Pure Recurrence Relations, Amer. Math. Monthly 56 (1949), 14-17
↑ Doron Zeilberger, Sister Celine's technique and its generalizations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 85 (1982), 114-145
↑ Herbert Wilf and Doron Zeilberger, Rational Functions Certify Combinatorial Identities, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 147-158
↑ Marko Petkovšek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, A = B, AK Peters, Ltd., 1996
↑ Jovan Mikić, A Proof of a Famous Identity Concerning the Convolution of the Central Binomial Coefficients, Journal of Integer Sequences, Vol. 19, No. 6 (2016), pp. 1 - 10, (LINK)
↑ Wikipedia, Funkcja Γ, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[GeometricSeries1-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Wikipedia, Szereg geometryczny, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[DirichletEta-2] Wikipedia, Funkcja η, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[RiemannZeta-3] Wikipedia, Funkcja dzeta Riemanna, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[Riemann1-4] Bernhard Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, [rozprawa habilitacyjna z 1854, w:] Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen vol. 13, 1868, pp. 87 - 1

[calkowalnosc1-5] Twierdzenie: funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale.

[calkowalnosc2-6] W szczególności: funkcja ograniczona i mająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.

[Mertens1-7] 7,0 ^7,1 Wikipedia, Twierdzenia Mertensa, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[Mertens2-8] 8,0 ^8,1 Wikipedia, Franciszek Mertens, (Wiki-pl)

[Rosser1-9] J. B. Rosser and L. Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, (LINK)

[twierdzenie-10] Zobacz twierdzenie D72.

[A001620-11] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A001620 - Decimal expansion of Euler's constant, (A001620)

[A083343-12] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A083343 - Decimal expansion of constant B3 (or B_3) related to the Mertens constant, (A083343)

[A138312-13] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A138312 - Decimal expansion of Mertens's constant minus Euler's constant, (A138312)

[Dusart10-14] Pierre Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., 2010, (LINK)

[Wiki1-15] Wikipedia, Stałe Bruna, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[A065421-16] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A065421 - Decimal expansion of Viggo Brun's constant B, (A065421)

[Erdos1-17] Paul Erdős, Über die Reihe [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math], Mathematica, Zutphen B 7, 1938, 1-2.

[sumowanie1-18] sumowanie przez części (ang. summation by parts)

[convexseq1-19] ąg wypukły (ang. convex sequence)

[Dusart18-20] Pierre Dusart, Explicit estimates of some functions over primes, The Ramanujan Journal, vol. 45(1), 2018, 227-251.

[CesaroSum1-21] Wikipedia, Sumowalność metodą Cesàro, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[IndefiniteSum1-22] Wikipedia, Indefinite sum, (Wiki-en)

[Fasenmyer1-23] Sister Mary Celine Fasenmyer, Some Generalized Hypergeometric Polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 806-812

[Fasenmyer2-24] Sister Mary Celine Fasenmyer, A Note on Pure Recurrence Relations, Amer. Math. Monthly 56 (1949), 14-17

[Zeilberger1-25] Doron Zeilberger, Sister Celine's technique and its generalizations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 85 (1982), 114-145

[WilfZeilberger1-26] Herbert Wilf and Doron Zeilberger, Rational Functions Certify Combinatorial Identities, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 147-158

[PetkovsekWilfZeilberger1-27] Marko Petkovšek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, A = B, AK Peters, Ltd., 1996

[JovanMikic1-28] Jovan Mikić, A Proof of a Famous Identity Concerning the Convolution of the Central Binomial Coefficients, Journal of Integer Sequences, Vol. 19, No. 6 (2016), pp. 1 - 10, (LINK)

[gamma1-29] Wikipedia, Funkcja Γ, (Wiki-pl), (Wiki-en)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

Szeregi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 11:50, 31 mar 2026

Spis treści

Szeregi nieskończone

Grupowanie i przestawianie wyrazów szeregu

Funkcje

Grupowanie wyrazów szeregu

Przestawianie wyrazów szeregu

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math]

Sumowanie przez części

Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Liczby Catalana

Sumy współczynników dwumianowych

Suma nieoznaczona

Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S(n)} }[/math]

Uzupełnienie

Dowód własności liczb Catalana [math]\displaystyle{ {\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}} }[/math]

Funkcja gamma [math]\displaystyle{ {\small \Gamma (z)} }[/math]

Funkcja digamma [math]\displaystyle{ {\small \psi (z)} }[/math]

Przypisy

Menu nawigacyjne

@@ Linia 69: / Linia 69: @@
-<span id="D6" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D6</span><br/>
+<span id="D6" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D6</span><br/>
-Szereg harmoniczny naprzemienny <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math> jest zbieżny i
+Pokazać, że dla <math>a, b \in \mathbb{R}_+</math> jest
-::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x</math>
-{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-Zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math> wynika natychmiast z&nbsp;kryterium Leibniza ([[#D5|D5]]). Sumę szeregu trudniej policzyć – przedstawiony niżej sposób korzysta z&nbsp;własności całek
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x</math>
+</div>
-::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}}  dt</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-gdzie <math>n \geqslant 0</math>. Przykładowo
+'''Punkt 1.'''
-::<math>I_0 = \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}}  dt = \operatorname{arctg}(t) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.785398 \ldots</math>
+Przypomnijmy wzór na sumę częściową szeregu geometrycznego<ref name="GeometricSeries1"/>
-::<math>I_1 = \int_0^1 {\small\frac{t}{1 + t^2}}  dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{2 t}{1 + t^2}} d t = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 {\small\frac{du}{1 + u}} = {\small\frac{1}{2}} \biggr[ \log (1 + u) \biggr\rvert_{0}^{1} \biggr] = {\small\frac{1}{2}} \cdot \log 2 \approx 0.34657 \ldots</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} q^k = {\small\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} \qquad \qquad \text{dla} \quad q \neq 1</math>
-::<math>I_2 = \int_0^1 {\small\frac{t^2}{1 + t^2}}  dt = \int_0^1 {\small\frac{1 + t^2 - 1}{1 + t^2}}  dt = \int_0^1  dt - \int_0^1 {\small\frac{1}{1 + t^2}}  dt = 1 - {\small\frac{\pi}{4}} \approx 0.21460 \ldots</math>
+Kładąc <math>q = - x^{a}</math>, gdzie <math>x \geqslant 0</math> i <math>a > 0</math>, mamy <math>q \leqslant 0</math> i <math>q \neq 1</math>. Zatem otrzymujemy
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k = \frac{1 - (- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>{\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- x^{a})^k + \frac{(- x^{a})^{n + 1}}{1 + x^{a}}</math>
+</div>
-Udowodnimy kolejno, że
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>{\small\frac{1}{1 + x^{a}}} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} + \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}</math>
+</div>
-::1. <math>\qquad {\small\frac{1}{2 n + 2}} \leqslant I_n \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \qquad \qquad \;\; \text{dla} \;\; n \geqslant 0</math>
+Całkując obie strony równania w&nbsp;granicach od <math>0</math> do <math>1</math>, dostajemy
-::2. <math>\qquad I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2} \qquad \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 2</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \qquad \qquad \qquad (\ast)</math>
+</div>
-::3. <math>\qquad I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) \qquad \qquad \text{dla} \;\; n \geqslant 0</math>
+Łatwo znajdujemy pierwszą całkę po prawej stronie
-::4. <math>\qquad \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \log 2</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\int^1_0 \left[ \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k x^{a k} \right] d x = \sum^n_{k = 0} (- 1)^k \int^1_0 x^{a k} d x = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^k \left[ {\small\frac{x^{a k + 1}}{a k + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} \right] = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}}</math>
+</div>
+Dla drugiej całki po prawej stronie wzoru <math>(\ast)</math> wystarczy znaleźć odpowiednie oszacowanie. Ponieważ dla <math>x \in [0, 1]</math> i <math>a > 0</math>, to <math>| x | = x</math> i <math>| 1 + x^{a} | = 1 + x^{a} \geqslant 1</math>. Zatem
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>0 \leqslant \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| \leqslant \int^1_0 \left| {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} \right| d x = \int^1_0 {\small\frac{x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}}} d x \leqslant \int^1_0 x^{a (n + 1)} d x = {\small\frac{x^{a (n + 1) + 1}}{a (n + 1) + 1}} \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{1}{a (n + 1) + 1}}</math>
+</div>
-'''Punkt 1.'''
+Z twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach ([[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) wynika natychmiast, że
-Zauważmy, że w&nbsp;przedziale <math>[0, 1]</math> mamy <math>1 \leqslant 1 + t^2 \leqslant 2</math>, zatem <math>{\small\frac{1}{2}} \leqslant {\small\frac{1}{1 + t^2}} \leqslant 1</math>. Wynika stąd oszacowanie od góry
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x \right| = 0</math>
+</div>
-::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \leqslant \int_0^1 t^n  dt = {\small\frac{1}{n + 1}}</math>
+Czyli (zobacz [[Ciągi liczbowe#C9|C9]] p.2)
-I oszacowanie od dołu
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} dx = 0</math>
-::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt \geqslant \int_0^1 {\small\frac{t^n}{2}} dt = {\small\frac{1}{2}} \int_0^1 t^n dt = {\small\frac{1}{2 n + 2}}</math>
+</div>
-Co kończy dowód punktu 1.
-'''Punkt 2.'''
-Mamy
-::<math>I_n = \int_0^1 {\small\frac{t^n}{1 + t^2}} dt</math>
+Możemy teraz wzór <math>(\ast)</math> zapisać w&nbsp;postaci
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-::<math>\;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot t^2}{1 + t^2}} dt</math>
+::<math>\int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} + \int^1_0 \frac{(- 1)^{n + 1} x^{a (n + 1)}}{1 + x^{a}} d x</math>
 </div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+i przechodząc do granicy, dla <math>n</math> dążącego do nieskończoności, otrzymujemy
-::<math>\;\;\;\:\, = \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2} \cdot [(1 + t^2) - 1]}{1 + t^2}} dt</math>
-</div>
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-::<math>\;\;\;\:\, = \int_0^1 t^{n - 2}  dt- \int_0^1 {\small\frac{t^{n - 2}}{1 + t^2}} dt</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a}}} d x</math>
 </div>
-::<math>\;\;\;\:\, = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2}</math>
-Otrzymaliśmy wzór rekurencyjny prawdziwy dla <math>n \geqslant 2</math>
+'''Punkt 2.'''
-::<math>I_n = {\small\frac{1}{n - 1}} - I_{n - 2}</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{a k + b}} = {\small\frac{1}{b}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^k}{{\small\frac{a}{b}} \cdot k + 1} = {\small\frac{1}{b}} \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{a / b}}} d x</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
-'''Punkt 3.'''
-Korzystając ze znalezionego wzoru rekurencyjnego oraz indukcji matematycznej udowodnimy, że prawdziwy jest wzór
-::<math>I_{2 n + 1} = (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
-Sprawdzamy poprawność wzoru dla <math>n = 1</math>. Z&nbsp;dowodzonego wzoru otrzymujemy
+<span id="D7" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D7</span><br/>
+Korzystając z&nbsp;rezultatu uzyskanego w&nbsp;zadaniu [[#D6|D6]], znajdziemy sumy niektórych szeregów.
-::<math>I_3 = \sum_{k = 1}^1 {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 = {\small\frac{1}{2}} - I_1</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x}} d x = \log (1 + x) \biggr\rvert_{0}^{1} = \log 2 \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate++1%2F%281+%2B+x%29+dx+++from+x%3D0+to+1 WolframAlpha])&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(szereg harmoniczny naprzemienny)
-A ze wzoru rekurencyjnego dostajemy identyczny wzór
-::<math>I_3 = {\small\frac{1}{2}} - I_1</math>
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{2 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{7}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^2}} d x = \operatorname{arctg}(x) \biggr\rvert_{0}^{1} = {\small\frac{\pi}{4}} \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate++1%2F%281+%2B+x%5E2%29+dx+++from+x%3D0+to+1 WolframAlpha])&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(wzór Leibniza na <math>\pi</math>)
-Załóżmy (złożenie indukcyjne), że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>n</math>, dla <math>n + 1</math> mamy
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{3 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{10}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^3}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{3}}{9}} + {\small\frac{\log 2}{3}} = 0.8356488482647 \ldots \qquad \qquad</math> ([https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate++1%2F%281+%2B+x%5E3%29+dx+++from+x%3D0+to+1 WolframAlpha])
-::<math>I_{2 n + 3} = (- 1)^{n + 2} \left( \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{4 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{17}} - {\small\frac{1}{21}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^4}} d x = {\small\frac{\pi \sqrt{2}}{8}} + \frac{\sqrt{2} \cdot \log \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{4} = 0.8669729873399 \ldots</math>
-:::<math>\;\;\;\: = (- 1)^{n + 2} \left( {\small\frac{(- 1)^{n + 2}}{2 n + 2}} + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
-</div>
-<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
-:::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{2 n + 2}} - (- 1)^{n + 1} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right)</math>
-</div>
-:::<math>\;\;\;\: = {\small\frac{1}{(2 n + 3) - 1}} - I_{2 n + 1}</math>
-Ostatnia równość wynika z&nbsp;założenia indukcyjnego. Pokazaliśmy, że dowodzony wzór jest prawdziwy dla <math>n + 1</math>, co kończy dowód indukcyjny.
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{6 k + 1}} = 1 - {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{25}} - {\small\frac{1}{31}} + \ldots = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^6}} d x = {\small\frac{\pi}{6}} + \frac{\sqrt{3} \cdot \log \left( 2 + \sqrt{3} \right)}{6} = 0.90377177374877 \ldots</math>
-'''Punkt 4.'''
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{\pi k + 1}} = \int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^{\pi}}} d x = {\small\frac{1}{2 \pi}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 \pi}} \right) \right] = 0.840943255440756 \ldots</math>
-Z punktu 1. wynika ciąg nierówności
+Gdzie <math>\psi (x)</math> oznacza funkcję digamma (zobacz [[#D147|D147]]) oraz skorzystaliśmy ze wzoru z&nbsp;zadania [[#D152|D152]].
-::<math>{\small\frac{1}{4 (n + 1)}} \leqslant I_{2 n + 1} \leqslant {\small\frac{1}{2 (n + 1)}}</math>
-Z twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach i&nbsp;twierdzenia [[Ciągi liczbowe#C9|C9]] wynika natychmiast
-::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} I_{2 n + 1} = 0 = \lim_{n \rightarrow \infty} | I_{2 n + 1} |</math>
+<span id="D8" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D8</span><br/>
-Zatem z&nbsp;punktu 3. mamy
-::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right| = 0</math>
-Czyli
-::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k = 1}^n {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} - I_1 \right) = 0</math>
-Skąd natychmiast dostajemy, że
-::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = I_1 = {\small\frac{\log 2}{2}}</math>
-Mnożąc obie strony przez <math>2</math>, otrzymujemy dowodzony wzór. Co należało pokazać.<br/>
-&#9633;
-{{\Spoiler}}
-<span id="D7" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D7</span><br/>
 Dla <math>s > 1</math> prawdziwy jest następujący związek
@@ Linia 234: / Linia 212: @@
-<span id="D8" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D8</span><br/>
+<span id="D9" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D9</span><br/>
 Szeregi niekończone często definiują ważne funkcje. Dobrym przykładem może być funkcja eta Dirichleta<ref name="DirichletEta"/>, którą definiuje szereg naprzemienny
@@ Linia 243: / Linia 221: @@
 ::<math>\zeta (s) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^s}}</math>
-Na podstawie twierdzenia [[#D7|D7]] funkcje te są związane wzorem
+Na podstawie twierdzenia [[#D8|D8]] funkcje te są związane wzorem
 ::<math>\eta (s) = (1 - 2^{1 - s}) \zeta (s)</math>
@@ Linia 266: / Linia 244: @@
-<span id="D9" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D9</span><br/>
+<span id="D10" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D10</span><br/>
 Niech <math>N \in \mathbb{Z}_+</math>. Szeregi <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> oraz <math>\sum_{k = N}^{\infty} a_k</math> są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. W&nbsp;przypadku zbieżności zachodzi związek
@@ Linia 282: / Linia 260: @@
-<span id="D10" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D10 (kryterium porównawcze)</span><br/>
+<span id="D11" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D11 (kryterium porównawcze)</span><br/>
 Jeżeli istnieje taka liczba całkowita <math>N_0</math>, że dla każdego <math>k > N_0</math> jest spełniony warunek
@@ Linia 313: / Linia 291: @@
-<span id="D11" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D11</span><br/>
+<span id="D12" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D12</span><br/>
 Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} \left | a_k  \right |</math> jest zbieżny, to szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest również zbieżny.
@@ Linia 321: / Linia 299: @@
 ::<math>0 \leqslant b_k \leqslant 2 | a_k |</math>
-Zatem z&nbsp;punktu 1. twierdzenia [[#D10|D10]] wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> jest zbieżny. Z&nbsp;definicji wyrazów ciągu <math>\left ( b_k \right )</math> mamy <math>a_k = b_k - | a_k |</math> i&nbsp;możemy napisać
+Zatem z&nbsp;punktu 1. twierdzenia [[#D11|D11]] wynika, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k</math> jest zbieżny. Z&nbsp;definicji wyrazów ciągu <math>\left ( b_k \right )</math> mamy <math>a_k = b_k - | a_k |</math> i&nbsp;możemy napisać
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k = \sum_{k = 1}^{\infty} b_k - \sum_{k = 1}^{\infty} | a_k |</math>
@@ Linia 331: / Linia 309: @@
-<span id="D12" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D12</span><br/>
+<span id="D13" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D13</span><br/>
 Powiemy, że szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> jest '''bezwzględnie zbieżny''', jeżeli szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | a_n |</math> jest zbieżny.
@@ Linia 338: / Linia 316: @@
-<span id="D13" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D13</span><br/>
+<span id="D14" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D14</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Jeżeli wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> można zapisać w&nbsp;jednej z&nbsp;postaci
@@ Linia 376: / Linia 354: @@
-<span id="D14" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D14</span><br/>
+<span id="D15" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D15</span><br/>
 Następujące szeregi są zbieżne
@@ Linia 421: / Linia 399: @@
 ::<math>0 < {\small\frac{1}{k^2}} < {\small\frac{1}{k^2 - 1}}</math>
-to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie [[#D10|D10]]) ze zbieżności szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}}</math> wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math><br/>
+to na mocy kryterium porównawczego (twierdzenie [[#D11|D11]]) ze zbieżności szeregu <math>\sum^{\infty}_{k = 2} {\small\frac{1}{k^2 - 1}}</math> wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math><br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 427: / Linia 405: @@
-<span id="D15" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D15</span><br/>
+<span id="D16" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D16</span><br/>
 Następujące szeregi są zbieżne
@@ Linia 532: / Linia 510: @@
-Rezultat ten wykorzystamy w&nbsp;pełni w&nbsp;przykładzie [[#D16|D16]], a&nbsp;do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy
+Rezultat ten wykorzystamy w&nbsp;pełni w&nbsp;przykładzie [[#D17|D17]], a&nbsp;do pokazania zbieżności szeregu wystarczy nam prawa nierówność. Mamy
 ::<math>\sum_{k = 3}^{n} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 \! k}} < \sum_{k = 3}^{n} \left[ {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}} \right]</math>
@@ Linia 546: / Linia 524: @@
-<span id="D16" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D16</span><br/>
+<span id="D17" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D17</span><br/>
 Na przykładzie szeregu <math>\sum_{k = 3}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}}</math> pokażemy, jak należy obliczać przybliżoną wartość sumy szeregu.
@@ Linia 556: / Linia 534: @@
 Wartość pierwszej części możemy policzyć bezpośrednio, a&nbsp;dla drugiej części powinniśmy znaleźć jak najlepsze oszacowanie.
-Dowodząc twierdzenie [[#D15|D15]], w&nbsp;punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności
+Dowodząc twierdzenie [[#D16|D16]], w&nbsp;punkcie 4. pokazaliśmy, że prawdziwy jest ciąg nierówności
 ::<math>{\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} < {\small\frac{1}{k \cdot \log^2 k}} < {\small\frac{1}{\log (k - 1)}} - {\small\frac{1}{\log (k)}}</math>
@@ Linia 626: / Linia 604: @@
 &nbsp;
-<span id="D17" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D17</span><br/>
+<span id="D18" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D18</span><br/>
 Niech będą dane dwa zbiory <math>X</math> i <math>Y</math>. Funkcją nazywamy takie odwzorowanie, które każdemu elementowi zbioru <math>X</math> przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru <math>Y</math>.
@@ Linia 652: / Linia 630: @@
-<span id="D18" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D18</span><br/>
+<span id="D19" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D19</span><br/>
 Jeżeli funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (czyli jest bijekcją), to ma dokładnie jedną funkcję odwrotną.
@@ Linia 681: / Linia 659: @@
-<span id="D19" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D19</span><br/>
+<span id="D20" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D20</span><br/>
 Jeżeli funkcja <math>f : X \rightarrow Y</math> ma funkcję odwrotną, to jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
@@ Linia 707: / Linia 685: @@
-<span id="D20" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D20</span><br/>
+<span id="D21" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D21</span><br/>
 Pokazać, że <math>A \subset \mathbb{N}</math> jest zbiorem skończonym wtedy i&nbsp;tylko wtedy, gdy jest zbiorem ograniczonym.
@@ Linia 724: / Linia 702: @@
-<span id="D21" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D21</span><br/>
+<span id="D22" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D22</span><br/>
 Niech <math>A</math> będzie dowolnym zbiorem skończonym, a <math>f</math> dowolną funkcją określoną na <math>A</math>. Pokazać, że obraz <math>f(A)</math> zbioru <math>A</math> jest zbiorem skończonym.
@@ Linia 740: / Linia 718: @@
 &nbsp;
-<span id="D22" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D22</span><br/>
+<span id="D23" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D23</span><br/>
 Problem, który pojawia się w&nbsp;przypadku grupowania wyrazów szeregu, zilustrujemy przykładem. Rozważmy szereg
 ::<math>1 + {\small\frac{1}{2^2}} + {\small\frac{1}{3^2}} + {\small\frac{1}{4^2}} + {\small\frac{1}{5^2}} + {\small\frac{1}{6^2}} + {\small\frac{1}{7^2}} + {\small\frac{1}{8^2}} + {\small\frac{1}{9^2}} + {\small\frac{1}{10^2}} + \ldots \qquad (*)</math>
-Jest to szereg zbieżny (zobacz [[#D14|D14]] p.4) i&nbsp;oczywiście jest bezwzględnie zbieżny. Możemy łatwo popsuć zbieżność tego szeregu, dodając nowe wyrazy. Zauważmy, że szereg
+Jest to szereg zbieżny (zobacz [[#D15|D15]] p.4) i&nbsp;oczywiście jest bezwzględnie zbieżny. Możemy łatwo popsuć zbieżność tego szeregu, dodając nowe wyrazy. Zauważmy, że szereg
 ::<math>1 - 1 + 1 + 2 - 2 + {\small\frac{1}{2^2}} + 3 - 3 + {\small\frac{1}{3^2}} + 4 - 4 + {\small\frac{1}{4^2}} + 5 - 5 + {\small\frac{1}{5^2}} + 6 - 6 + {\small\frac{1}{6^2}} + \ldots \qquad (**)</math>
@@ Linia 777: / Linia 755: @@
-<span id="D23" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D23</span><br/>
+<span id="D24" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D24</span><br/>
 Zbadać, czy suma wypisanych niżej szeregów zależy od sposobu grupowania wyrazów tych szeregów.
@@ Linia 829: / Linia 807: @@
 ::<math>(1 - 1) + \left( {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots = 0</math>
-::<math>1 + \left( - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{20}} - \ldots = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 0 \qquad \quad</math> (zobacz [[#D14|D14]] p.1)
+::<math>1 + \left( - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \ldots = 1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{12}} - {\small\frac{1}{20}} - \ldots = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k (k + 1)}} = 0 \qquad \quad</math> (zobacz [[#D15|D15]] p.1)
 ::<math>\left( 1 - 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{3}} \right) + \left( {\small\frac{1}{4}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} \right) + \left( - {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \ldots = {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{5}} + \ldots \longrightarrow 0</math>
@@ Linia 839: / Linia 817: @@
-<span id="D24" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D24</span><br/>
+<span id="D25" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D25</span><br/>
 Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo), to jego suma nie zależy od pogrupowania wyrazów pod warunkiem, że każda z&nbsp;grup obejmuje jedynie skończoną ilość wyrazów.
@@ Linia 885: / Linia 863: @@
 &nbsp;
-<span id="D25" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D25</span><br/>
+<span id="D26" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D26</span><br/>
 Powiemy, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} b_k = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{f (k)}</math> powstał w&nbsp;wyniku przestawiania wyrazów szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math>, jeżeli <math>b_k = a_{f (k)}</math>, gdzie funkcja <math>f(k)</math> jest funkcją wzajemnie jednoznaczną i <math>f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>.
-<span id="D26" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D26</span><br/>
+<span id="D27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D27</span><br/>
 Zauważmy, że funkcja <math>f(k)</math> musi
 :* odwzorowywać zbiór <math>\mathbb{N}</math> "na" <math>\mathbb{N}</math>, bo każdy wyraz ciągu <math>(a_k)</math> musi wystąpić w&nbsp;ciągu <math>(b_k)</math>
@@ Linia 905: / Linia 883: @@
-<span id="D27" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D27</span><br/>
+<span id="D28" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D28</span><br/>
 Niech <math>f(k)</math> będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Szereg z&nbsp;przestawionymi wyrazami definiujemy następująco
@@ Linia 940: / Linia 918: @@
-<span id="D28" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D28</span><br/>
+<span id="D29" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D29</span><br/>
 Niech <math>f(k)</math> będzie funkcją opisującą przestawianie wyrazów. Funkcja
@@ Linia 969: / Linia 947: @@
-<span id="D29" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D29</span><br/>
+<span id="D30" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D30</span><br/>
 Niech <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> będzie szeregiem harmonicznym naprzemiennym <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>, a&nbsp;funkcja opisująca przestawianie wyrazów szeregu ma postać
@@ Linia 998: / Linia 976: @@
 |}
-Dokładnie z&nbsp;takim przestawieniem wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego spotkamy się w&nbsp;zadaniu [[#D30|D30]] p.2.
+Dokładnie z&nbsp;takim przestawieniem wyrazów szeregu harmonicznego naprzemiennego spotkamy się w&nbsp;zadaniu [[#D31|D31]] p.2.
-<span id="D30" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D30</span><br/>
+<span id="D31" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D31</span><br/>
 Niech <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math> i&nbsp;niech <math>[n, \ldots, n']</math> będzie dowolnym przedziałem liczb naturalnych o&nbsp;długości nie większej od <math>M</math>. Pokazać, że
@@ Linia 1028: / Linia 1006: @@
-<span id="D31" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D31</span><br/>
+<span id="D32" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D32</span><br/>
 Rozważmy sytuację, gdy wszystkie wyrazy szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> podzieliliśmy na bloki wyrazów – tak jak przykładowo poniżej
@@ Linia 1039: / Linia 1017: @@
-<span id="D32" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D32</span><br/>
+<span id="D33" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D33</span><br/>
 Podziałem zbioru liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> na skończone przedziały nazywamy zbiór przedziałów <math>\{ I_k \}</math> takich, że
@@ Linia 1050: / Linia 1028: @@
-<span id="D33" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D33</span><br/>
+<span id="D34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D34</span><br/>
 Niech <math>I_1, I_2, \ldots</math> będzie podziałem <math>\mathbb{N}</math> na przedziały o&nbsp;długości nie większej od <math>M</math>. Jeżeli <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest szeregiem, którego wyrazy spełniają konieczny warunek zbieżności <math>\lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0</math>, to
@@ Linia 1064: / Linia 1042: @@
 Zauważmy, że druga suma po prawej stronie albo nie wystąpi (możemy powiedzieć, że jest równa zero), gdy <math>n = \max (I_r)</math>, albo przebiega po pewnym przedziale <math>[\min (I_r), \ldots, n]</math>. Przedział ten ma długość nie większą od <math>M</math>, bo jest podprzedziałem przedziału <math>I_r</math>, a&nbsp;z&nbsp;założenia <math>| I_r | < M</math>.
-Gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, to również <math>r = r (n)</math> dąży do nieskończoności i&nbsp;tak samo liczba <math>\min (I_{r (n)})</math> dąży do nieskończoności, a&nbsp;przedział <math>[\min (I_r), \ldots, n] \subset I_r</math> obejmuje coraz większe liczby naturalne. Z&nbsp;zadania [[#D30|D30]] otrzymujemy natychmiast
+Gdy <math>n</math> dąży do nieskończoności, to również <math>r = r (n)</math> dąży do nieskończoności i&nbsp;tak samo liczba <math>\min (I_{r (n)})</math> dąży do nieskończoności, a&nbsp;przedział <math>[\min (I_r), \ldots, n] \subset I_r</math> obejmuje coraz większe liczby naturalne. Z&nbsp;zadania [[#D31|D31]] otrzymujemy natychmiast
 ::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \sum_{k \:\! \in \:\! [\min (I_r), \ldots, n]} a_k \right) = 0</math>
@@ Linia 1074: / Linia 1052: @@
-<span id="D34" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D34</span><br/>
+<span id="D35" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D35</span><br/>
 Rozważmy szereg harmoniczny naprzemienny
@@ Linia 1080: / Linia 1058: @@
-Zbieżność tego szeregu wynika z&nbsp;kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]), wynika też z&nbsp;kryterium Dirichleta (zobacz [[#D73|D73]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać
+Zbieżność tego szeregu wynika z&nbsp;kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]), wynika też z&nbsp;kryterium Dirichleta (zobacz [[#D74|D74]]), które poznamy później. Zauważmy, że dokonując podziału na bloki, możemy napisać
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \left[ 1 - {\small\frac{1}{2}} \right] + \left[ {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right] + \ldots</math>
-Z twierdzenia [[#D33|D33]] wynika, że sumę szeregu możemy liczyć po pełnych blokach, zatem
+Z twierdzenia [[#D34|D34]] wynika, że sumę szeregu możemy liczyć po pełnych blokach, zatem
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{2 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{2 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math>
-Ponieważ szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D10|D10]]) zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>.
+Ponieważ szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>.
-<span id="D35" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D35</span><br/>
+<span id="D36" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D36</span><br/>
 Pokazać, że szereg
@@ Linia 1111: / Linia 1089: @@
-Z twierdzenia [[#D33|D33]] wynika, że sumę szeregu możemy liczyć, sumując po pełnych blokach. Zatem
+Z twierdzenia [[#D34|D34]] wynika, że sumę szeregu możemy liczyć, sumując po pełnych blokach. Zatem
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{4 n - 3}} + {\small\frac{1}{4 n - 2}} - {\small\frac{1}{4 n - 1}} - {\small\frac{1}{4 n}} \right) = \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{32 n^2 - 24 n + 3}{4 n (2 n - 1) (4 n - 1) (4 n - 3)}} < \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math>
-Ponieważ szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math> jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D10|D10]]) zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}}</math>.
+Ponieważ szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n^2}}</math> jest zbieżny, to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) zbieżny jest też szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}}</math>.
@@ Linia 1131: / Linia 1109: @@
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2 k}} \right)</math>
-Należy podkreślić, że takie pogrupowanie nie zmienia sumy szeregu (zobacz [[#D24|D24]]). Możemy zatem napisać
+Należy podkreślić, że takie pogrupowanie nie zmienia sumy szeregu (zobacz [[#D25|D25]]). Możemy zatem napisać
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{\lfloor (k - 1) / 2 \rfloor}}{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1}} + {\small\frac{1}{2}} \sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^{k + 1}}{k}}</math>
@@ Linia 1341: / Linia 1319: @@
-<span id="D36" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D36</span><br/>
+<span id="D37" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D37</span><br/>
 Pokazać, że
 ::1.&nbsp;&nbsp; <math>\left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{6}} \right) + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} - {\small\frac{1}{10}} \right) + \left( {\small\frac{1}{11}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \left( {\small\frac{1}{13}} - {\small\frac{1}{14}} \right) + \ldots = \log 2</math>
@@ Linia 1400: / Linia 1378: @@
 ::<math>0 < \sum_{k = 1}^{n} \left( {\small\frac{1}{2 k - 1}} - {\small\frac{1}{4 k - 2}} - {\small\frac{1}{4 k}} \right) = \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{4 k (2 k - 1)}} < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}}</math>
-Z kryterium porównawczego ([[#D10|D10]]) wynika, że powyższy szereg jest zbieżny, zatem możemy grupować wyrazy (zobacz [[#D24|D24]])
+Z kryterium porównawczego ([[#D11|D11]]) wynika, że powyższy szereg jest zbieżny, zatem możemy grupować wyrazy (zobacz [[#D25|D25]])
 ::<math>1 - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} - {\small\frac{1}{16}} + \ldots = \left( 1 - {\small\frac{1}{2}} \right) - {\small\frac{1}{4}} + \left( {\small\frac{1}{3}} - {\small\frac{1}{6}} \right) - {\small\frac{1}{8}} + \left( {\small\frac{1}{5}} - {\small\frac{1}{10}} \right) - {\small\frac{1}{12}} + \left( {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{14}} \right) - {\small\frac{1}{16}} + \ldots</math>
@@ Linia 1476: / Linia 1454: @@
-<span id="D37" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D37</span><br/>
+<span id="D38" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D38</span><br/>
 Rozważmy sumę
@@ Linia 1489: / Linia 1467: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Uwzględniając twierdzenie [[#D33|D33]], będziemy sumowali po pełnych blokach. Zauważmy, że po zsumowaniu <math>n</math> bloków mamy sumę <math>b n</math> wyrazów nieparzystych (dodatnich) i <math>a n</math> wyrazów parzystych (ujemnych). Zatem tak określona suma częściowa jest równa
+Uwzględniając twierdzenie [[#D34|D34]], będziemy sumowali po pełnych blokach. Zauważmy, że po zsumowaniu <math>n</math> bloków mamy sumę <math>b n</math> wyrazów nieparzystych (dodatnich) i <math>a n</math> wyrazów parzystych (ujemnych). Zatem tak określona suma częściowa jest równa
 ::<math>S_n = \sum_{k = 1}^{b n} {\small\frac{1}{2 k - 1}} - \sum_{k = 1}^{a n} {\small\frac{1}{2 k}}</math>
-Podobnie jak w&nbsp;zadaniu poprzednim ([[#D36|D36]]) wykorzystamy przybliżony wzór na sumę <math>m</math> początkowych wyrazów szeregu harmonicznego
+Podobnie jak w&nbsp;zadaniu poprzednim ([[#D37|D37]]) wykorzystamy przybliżony wzór na sumę <math>m</math> początkowych wyrazów szeregu harmonicznego
 ::<math>H_m = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{k}} = 1 + {\small\frac{1}{2}} + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{4}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{6}} + {\small\frac{1}{7}} + {\small\frac{1}{8}} + {\small\frac{1}{9}} + \ldots = \log m + \gamma + {\small\frac{1}{2 m}} - {\small\frac{1}{12 m^2}} + {\small\frac{1}{120 m^4}} - \ldots</math>
@@ Linia 1539: / Linia 1517: @@
-<span id="D38" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D38</span><br/>
+<span id="D39" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D39</span><br/>
 Jeżeli szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k</math> jest bezwzględnie zbieżny, to po dowolnym przestawieniu wyrazów suma tego szeregu nie ulegnie zmianie.
@@ Linia 1626: / Linia 1604: @@
-<span id="D39" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D39</span><br/>
+<span id="D40" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D40</span><br/>
 Pokazać, że każdą liczbę <math>x \in \mathbb{R}</math> można przedstawić jednoznacznie w&nbsp;postaci różnicy liczb nieujemnych <math>p, g</math> tak, aby jednocześnie były spełnione równania <math>x = p - g</math> oraz <math>| x | = p + g</math>.
@@ Linia 1661: / Linia 1639: @@
-<span id="D40" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D40</span><br/>
+<span id="D41" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D41</span><br/>
 Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem nieskończonym, a <math>(a_{n_j})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z&nbsp;wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast <math>(a_{n_k})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z&nbsp;wyrazów ujemnych tego ciągu. Pokazać, że jeżeli szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest warunkowo zbieżny, to
@@ Linia 1667: / Linia 1645: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Każdy wyraz <math>a_n</math> szeregu <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> przedstawimy w&nbsp;postaci różnicy dwóch liczb nieujemnych <math>a^+_n</math> i <math>a^-_n</math> (zobacz [[#D32|D32]]), gdzie
+Każdy wyraz <math>a_n</math> szeregu <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> przedstawimy w&nbsp;postaci różnicy dwóch liczb nieujemnych <math>a^+_n</math> i <math>a^-_n</math> (zobacz [[#D33|D33]]), gdzie
 ::<math>a^+_n = \max (0, a_n)</math>
@@ Linia 1712: / Linia 1690: @@
-<span id="D41" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D41 (Bernhard Riemann</span><ref name="Riemann1"/><span style="font-size: 110\%; font-weight: bold;">, 1854)</span><br/>
+<span id="D42" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D42 (Bernhard Riemann</span><ref name="Riemann1"/><span style="font-size: 110\%; font-weight: bold;">, 1854)</span><br/>
 Jeżeli szereg <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> jest warunkowo zbieżny i <math>R \in \mathbb{R}</math>, to istnieje takie przestawienie wyrazów tego szeregu <math>f(k)</math>, że <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f (n)} = R</math>.
@@ Linia 1719: / Linia 1697: @@
-Niech <math>(a_{n_j})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z&nbsp;wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast <math>(a_{n_k})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z&nbsp;wyrazów ujemnych tego ciągu. Ponieważ podciągi <math>(a_{n_j})</math> i <math>(a_{n_k})</math> tworzą szeregi rozbieżne (zobacz [[#D33|D33]]) odpowiednio do <math>+ \infty</math> i&nbsp;do <math>- \infty</math>, to skończona suma kolejnych wyrazów tych podciągów może osiągać dowolne wartości skończone odpowiednio dodatnie lub ujemne.
+Niech <math>(a_{n_j})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z&nbsp;wyrazów nieujemnych tego ciągu, natomiast <math>(a_{n_k})</math> będzie podciągiem ciągu <math>(a_n)</math> zbudowanym z&nbsp;wyrazów ujemnych tego ciągu. Ponieważ podciągi <math>(a_{n_j})</math> i <math>(a_{n_k})</math> tworzą szeregi rozbieżne (zobacz [[#D34|D34]]) odpowiednio do <math>+ \infty</math> i&nbsp;do <math>- \infty</math>, to skończona suma kolejnych wyrazów tych podciągów może osiągać dowolne wartości skończone odpowiednio dodatnie lub ujemne.
 Dla ułatwienia zapisu oznaczmy: <math>(p_i) \equiv (a_{n_j})</math> i <math>(q_i) \equiv (a_{n_k})</math>, a&nbsp;dla ustalenia uwagi załóżmy, że <math>R > 0</math>.
@@ Linia 1816: / Linia 1794: @@
-<span id="D42" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D42</span><br/>
+<span id="D43" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D43</span><br/>
-W dowodzie twierdzenia [[#D41|D41]] Riemann podaje jawnie metodę budowania szeregów zbieżnych do określonej granicy <math>R \in \mathbb{R}</math>. Korzystając z&nbsp;tej metody, w&nbsp;przypadku szeregu warunkowo zbieżnego, jakim jest szereg harmoniczny naprzemienny, sprawdziliśmy jakie szeregi generuje ta metoda dla różnych granic. Metodę zapisaliśmy w&nbsp;postaci procedury możliwej do wykonania w&nbsp;PARI/GP. Poniżej podajemy kod, który znakomicie ułatwia obliczenia.
+W dowodzie twierdzenia [[#D42|D42]] Riemann podaje jawnie metodę budowania szeregów zbieżnych do określonej granicy <math>R \in \mathbb{R}</math>. Korzystając z&nbsp;tej metody, w&nbsp;przypadku szeregu warunkowo zbieżnego, jakim jest szereg harmoniczny naprzemienny, sprawdziliśmy jakie szeregi generuje ta metoda dla różnych granic. Metodę zapisaliśmy w&nbsp;postaci procedury możliwej do wykonania w&nbsp;PARI/GP. Poniżej podajemy kod, który znakomicie ułatwia obliczenia.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż kod|Hide=Ukryj kod}}
@@ Linia 1853: / Linia 1831: @@
-<span id="D43" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D43</span><br/>
+<span id="D44" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D44</span><br/>
 Naszą uwagę zwróciły dwa szeregi
@@ Linia 1862: / Linia 1840: @@
 ::<math>\left( 1 + {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{1}{5}} + {\small\frac{1}{7}} - {\small\frac{1}{2}} - {\small\frac{1}{4}} \right) + \left( {\small\frac{1}{9}} + {\small\frac{1}{11}} + {\small\frac{1}{13}} + {\small\frac{1}{15}} - {\small\frac{1}{6}} - {\small\frac{1}{8}} \right) + \left( {\small\frac{1}{17}} + {\small\frac{1}{19}} + {\small\frac{1}{21}} + {\small\frac{1}{23}} - {\small\frac{1}{10}} - {\small\frac{1}{12}} \right) + \ldots = {\small\frac{3}{2}} \cdot \log 2</math>
-Równość sum tych szeregów wynika wprost z&nbsp;wyniku uzyskanego w&nbsp;zadaniu [[#D37|D37]]. Łatwo widzimy, że wyrazy tych szeregów zostały poprzestawianie, a&nbsp;jednak suma tych szeregów nie uległa zmianie. Prowadzi to do ogólnego pytania: kiedy przestawianie wyrazów szeregu nie zmienia jego sumy? Częściowej odpowiedzi na to pytanie udziela zamieszczone niżej twierdzenie.
+Równość sum tych szeregów wynika wprost z&nbsp;wyniku uzyskanego w&nbsp;zadaniu [[#D38|D38]]. Łatwo widzimy, że wyrazy tych szeregów zostały poprzestawianie, a&nbsp;jednak suma tych szeregów nie uległa zmianie. Prowadzi to do ogólnego pytania: kiedy przestawianie wyrazów szeregu nie zmienia jego sumy? Częściowej odpowiedzi na to pytanie udziela zamieszczone niżej twierdzenie.
-<span id="D44" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D44</span><br/>
+<span id="D45" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D45</span><br/>
 Niech <math>\sum_{n = 1}^{\infty} a_n</math> będzie szeregiem zbieżnym. Jeżeli wyrazy szeregu podzielimy na dowolne bloki <math>B_1, B_2, \ldots</math>, zawierające nie więcej niż <math>M</math> wyrazów szeregu, to przestawienie wyrazów szeregu wewnątrz bloków nie zmienia sumy szeregu.
@@ Linia 1884: / Linia 1862: @@
 ::<math>\lim_{k \rightarrow + \infty} a_k = 0</math>
-Zatem na mocy twierdzenia [[#D33|D33]] obliczając sumę szeregu, możemy sumować po pełnych blokach.
+Zatem na mocy twierdzenia [[#D34|D34]] obliczając sumę szeregu, możemy sumować po pełnych blokach.
 Ponieważ przestawianie wyrazów wewnątrz bloku nie wpływa na sumę tych wyrazów, to natychmiast widzimy, że przestawiane wyrazów wewnątrz skończonych bloków nie wpływa na sumę szeregu. Co należało pokazać.<br/>
@@ Linia 1896: / Linia 1874: @@
 == Szeregi nieskończone i&nbsp;całka oznaczona ==
-<span id="D45" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D45</span><br/>
+<span id="D46" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D46</span><br/>
 Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca w&nbsp;przedziale <math>[m, n + 1]</math>, to prawdziwy jest następujący ciąg nierówności
@@ Linia 1931: / Linia 1909: @@
-<span id="D46" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D46</span><br/>
+<span id="D47" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D47</span><br/>
 Rozważmy szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k}}</math>.
@@ Linia 1955: / Linia 1933: @@
-<span id="D47" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D47 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)</span><br/>
+<span id="D48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D48 (kryterium całkowe zbieżności szeregów)</span><br/>
 Załóżmy, że funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca w&nbsp;przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math> jest zbieżny lub rozbieżny w&nbsp;zależności od tego, czy funkcja pierwotna <math>F(x) = \int f (x) d x</math> ma dla <math>x \rightarrow \infty</math> granicę skończoną, czy nie.
@@ Linia 1968: / Linia 1946: @@
-Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w&nbsp;twierdzeniu [[#D45|D45]] i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
+Po tych uwagach dotyczących założeń możemy przejść do właściwego dowodu. Korzystając ze wzoru udowodnionego w&nbsp;twierdzeniu [[#D46|D46]] i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
 ::<math>0 \leqslant \int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
@@ Linia 1983: / Linia 1961: @@
-<span id="D48" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D48</span><br/>
+<span id="D49" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D49</span><br/>
 Przykłady zebraliśmy w&nbsp;tabeli. Przy obliczaniu całek nieoznaczonych Czytelnik może skorzystać ze strony [https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+1%2Fsqrt%28x%29 WolframAlpha].
@@ Linia 2016: / Linia 1994: @@
-<span id="D49" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D49</span><br/>
+<span id="D50" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D50</span><br/>
 Jeżeli funkcja <math>f(x)</math> jest ciągła, dodatnia i&nbsp;malejąca w&nbsp;przedziale <math>[m, \infty)</math> oraz
@@ Linia 2028: / Linia 2006: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Korzystając ze wzoru udowodnionego w&nbsp;twierdzeniu [[#D45|D45]] i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
+Korzystając ze wzoru udowodnionego w&nbsp;twierdzeniu [[#D46|D46]] i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, dostajemy
 ::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
@@ Linia 2046: / Linia 2024: @@
-<span id="D50" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D50</span><br/>
+<span id="D51" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D51</span><br/>
-Twierdzenie [[#D49|D49]] umożliwia określenie, z&nbsp;jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math>. Mamy
+Twierdzenie [[#D50|D50]] umożliwia określenie, z&nbsp;jaką dokładnością została wyznaczona suma szeregu. Wyznaczmy sumę szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math>. Mamy
 ::<math>S(m) = \sum_{k = 1}^{m} {\small\frac{1}{(k + 1) \sqrt{k}}}</math>
@@ Linia 2097: / Linia 2075: @@
-Prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia [[#D45|D45]] jest następujące<br/>
+Prostym wnioskiem z&nbsp;twierdzenia [[#D46|D46]] jest następujące<br/>
-<span id="D51" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D51</span><br/>
+<span id="D52" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D52</span><br/>
 Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Jeżeli przy wyliczaniu sumy szeregu nieskończonego <math>\sum_{k = a}^{\infty} f (k)</math> (gdzie <math>a < m</math>) zastąpimy sumę <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> całką <math>\int_{m}^{\infty} f (x) d x</math>, to błąd wyznaczenia sumy szeregu nie przekroczy <math>f(m)</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Korzystając ze wzoru z&nbsp;twierdzenia [[#D45|D45]] i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy
+Korzystając ze wzoru z&nbsp;twierdzenia [[#D46|D46]] i&nbsp;przechodząc z <math>n</math> do nieskończoności, otrzymujemy
 ::<math>\int_{m}^{\infty} f(x) d x \leqslant \sum_{k = m}^{\infty} f(k) \leqslant f(m) + \int_{m}^{\infty} f(x) d x</math>
@@ Linia 2124: / Linia 2102: @@
-<span id="D52" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D52</span><br/>
+<span id="D53" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D53</span><br/>
 Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>[m, + \infty)</math>. Jeżeli szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> jest zbieżny, to dla każdego <math>n \geqslant m</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n)</math>
@@ Linia 2136: / Linia 2114: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z twierdzenia [[#D45|D45]] mamy
+Z twierdzenia [[#D46|D46]] mamy
 ::<math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f (k) \leqslant f (m) + \int_{m}^{n} f (x) d x</math>
@@ Linia 2156: / Linia 2134: @@
-<span id="D53" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D53</span><br/>
+<span id="D54" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D54</span><br/>
 Niech <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą, dodatnią i&nbsp;malejącą w&nbsp;przedziale <math>[m, \infty)</math>. Rozważmy szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math>. Zauważmy, że:
 * korzystając z&nbsp;całkowego kryterium zbieżności, możemy łatwo zbadać, czy szereg <math>\sum_{k = m}^{\infty} f (k)</math> jest zbieżny
-* jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie [[#D52|D52]]), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>
+* jeżeli szereg jest zbieżny, to ponownie wykorzystując całki (twierdzenie [[#D53|D53]]), możemy znaleźć oszacowanie sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>
 Jednak dysponując już oszacowaniem sumy częściowej szeregu <math>S(n) = \sum_{k = m}^{n} f(k)</math>, możemy udowodnić jego poprawność przy pomocy indukcji matematycznej, a&nbsp;stąd łatwo pokazać zbieżność szeregu <math>\sum_{k = m}^{\infty} f(k)</math>. Zauważmy, że wybór większego <math>B</math> ułatwia dowód indukcyjny. Stałą <math>C</math> najlepiej zaokrąglić w&nbsp;górę do wygodnej dla nas wartości.
@@ Linia 2167: / Linia 2145: @@
 Czasami potrzebujemy takiego uproszczenia problemu, aby udowodnić zbieżność szeregów bez odwoływania się do całek. Zauważmy, że Czytelnik nawet nie musi znać całek – wystarczy, że policzy je przy pomocy programów, które potrafią to robić (np. WolframAlpha). Kiedy już znajdziemy oszacowanie sumy częściowej szeregu, nie musimy wyjaśniać, w&nbsp;jaki sposób je znaleźliśmy – wystarczy udowodnić, że jest ono poprawne, a&nbsp;do tego wystarczy indukcja matematyczna.
-Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w&nbsp;tym celu twierdzenie [[#D52|D52]].
+Zamieszczonej niżej zadania pokazują, jak wykorzystać w&nbsp;tym celu twierdzenie [[#D53|D53]].
-<span id="D54" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D54</span><br/>
+<span id="D55" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D55</span><br/>
-Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D52|D52]], znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D53|D53]], znaleźć oszacowania sumy częściowej szeregów
 ::<math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}} \qquad</math> oraz <math>\qquad \sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}}</math>
@@ Linia 2202: / Linia 2180: @@
-<span id="D55" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D55</span><br/>
+<span id="D56" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D56</span><br/>
 Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania <math>\sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k^2}} \leqslant 2 - {\small\frac{1}{n}}</math> i&nbsp;udowodnić, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{k^2}}</math> jest zbieżny.
@@ Linia 2228: / Linia 2206: @@
-<span id="D56" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D56</span><br/>
+<span id="D57" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D57</span><br/>
 Stosując indukcję matematyczną, udowodnić prawdziwość oszacowania <math>\sum_{k = 2}^{n} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}} < 2.5 - {\small\frac{1}{\log n}}</math> i&nbsp;udowodnić, że szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k (\log k)^2}}</math> jest zbieżny.
@@ Linia 2268: / Linia 2246: @@
 == Szeregi nieskończone i&nbsp;liczby pierwsze ==
-<span id="D57" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D57</span><br/>
+<span id="D58" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D58</span><br/>
 Następujące szeregi są zbieżne
@@ Linia 2309: / Linia 2287: @@
-<span id="D58" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D58</span><br/>
+<span id="D59" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D59</span><br/>
 Następujące szeregi są zbieżne
@@ Linia 2353: / Linia 2331: @@
 ::<math>0 < {\small\frac{1}{p_k \log p_k}} < {\small\frac{1}{a \cdot k \cdot (\log k)^2}}</math>
-Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot (\log k)^2}}</math> (zobacz twierdzenie [[#D15|D15]] p. 4 lub przykład [[#D48|D48]] p. 5) wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}}</math>
+Zatem na mocy kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{k \cdot (\log k)^2}}</math> (zobacz twierdzenie [[#D16|D16]] p. 4 lub przykład [[#D49|D49]] p. 5) wynika zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{1}{p_k \log p_k}}</math>
 '''Punkt 2.'''<br/>
-Zbieżność szeregu wynika z&nbsp;kryterium porównawczego (twierdzenie [[#D10|D10]]), bo
+Zbieżność szeregu wynika z&nbsp;kryterium porównawczego (twierdzenie [[#D11|D11]]), bo
 ::<math>0 < {\small\frac{1}{p^2 \log p}} < {\small\frac{1}{p \log p}}</math>
@@ Linia 2374: / Linia 2352: @@
-<span id="D59" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D59</span><br/>
+<span id="D60" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D60</span><br/>
 Szereg <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}}</math> jest rozbieżny.
@@ Linia 2392: / Linia 2370: @@
-<span id="D60" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D60</span><br/>
+<span id="D61" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D61</span><br/>
 Moglibyśmy oszacować rozbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p}}</math> podobnie, jak to uczyniliśmy w&nbsp;przypadku twierdzenia [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]], ale tym razem zastosujemy inną metodę, która pozwoli nam uzyskać bardziej precyzyjny rezultat.
-<span id="D61" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D61</span><br/>
+<span id="D62" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D62</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Prawdziwe są następujące nierówności
@@ Linia 2449: / Linia 2427: @@
-<span id="D62" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D62</span><br/>
+<span id="D63" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D63</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math>. Dla wykładnika, z&nbsp;jakim liczba pierwsza <math>p</math> występuje w&nbsp;rozwinięciu liczby <math>n!</math> na czynniki pierwsze, prawdziwe są oszacowania
@@ Linia 2498: / Linia 2476: @@
-<span id="D63" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D63</span><br/>
+<span id="D64" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D64</span><br/>
 Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
@@ Linia 2508: / Linia 2486: @@
 ::<math>n! < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)}</math>
-Ponieważ dla <math>n \geqslant 1</math> jest <math>n! > n^n e^{- n}</math> (zobacz punkt 1. twierdzenia [[#D61|D61]]), to
+Ponieważ dla <math>n \geqslant 1</math> jest <math>n! > n^n e^{- n}</math> (zobacz punkt 1. twierdzenia [[#D62|D62]]), to
 ::<math>n^n e^{- n} < \prod_{p \leqslant n} p^{n / (p - 1)}</math>
@@ Linia 2522: / Linia 2500: @@
-<span id="D64" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D64 (pierwsze twierdzenie Mertensa</span><ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/><span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">, 1874)</span><br/>
+<span id="D65" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D65 (pierwsze twierdzenie Mertensa</span><ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/><span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">, 1874)</span><br/>
 Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
@@ Linia 2533: / Linia 2511: @@
-to z&nbsp;twierdzenia [[#D63|D63]] dostajemy
+to z&nbsp;twierdzenia [[#D64|D64]] dostajemy
 ::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p}} + \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n > - 1</math>
@@ Linia 2547: / Linia 2525: @@
 ::::::<math>\quad \;\: > - 1.755367</math>
-Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math> (twierdzenie [[#D58|D58]] p. 3).<br/>
+Gdzie wykorzystaliśmy zbieżność szeregu <math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}}</math> (twierdzenie [[#D59|D59]] p. 3).<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 2553: / Linia 2531: @@
-<span id="D65" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D65 (pierwsze twierdzenie Mertensa</span><ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/><span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">, 1874)</span><br/>
+<span id="D66" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D66 (pierwsze twierdzenie Mertensa</span><ref name="Mertens1"/><ref name="Mertens2"/><span style="font-size: 110%; font-weight: bold;">, 1874)</span><br/>
 Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
@@ Linia 2598: / Linia 2576: @@
-<span id="D66" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D66</span><br/>
+<span id="D67" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D67</span><br/>
 Dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> prawdziwe jest następujące oszacowanie
@@ Linia 2608: / Linia 2586: @@
 ::<math>{\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{1}{p - 1}} - {\small\frac{1}{p (p - 1)}}</math>
-to z&nbsp;twierdzenia [[#D65|D65]] dostajemy
+to z&nbsp;twierdzenia [[#D66|D66]] dostajemy
 ::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - \log n < \log 4 - 1</math>
@@ Linia 2626: / Linia 2604: @@
-<span id="D67" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D67</span><br/>
+<span id="D68" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D68</span><br/>
 {| class="wikitable"
 |
@@ Linia 2643: / Linia 2621: @@
-<span id="D68" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D68</span><br/>
+<span id="D69" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D69</span><br/>
 {| class="wikitable"
 |
@@ Linia 2660: / Linia 2638: @@
-<span id="D69" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D69</span><br/>
+<span id="D70" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D70</span><br/>
 Dla <math>n \leqslant 10^{10}</math> wartości wyrażeń
@@ Linia 2671: / Linia 2649: @@
-<span id="D70" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D70</span><br/>
+<span id="D71" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D71</span><br/>
 Prawdziwy jest następujący związek
@@ Linia 2712: / Linia 2690: @@
-<span id="D71" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D71</span><br/>
+<span id="D72" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D72</span><br/>
 Dla <math>n \geqslant 318</math> prawdziwe jest oszacowanie
@@ Linia 2749: / Linia 2727: @@
-Z twierdzenia [[#D70|D70]] wiemy, że
+Z twierdzenia [[#D71|D71]] wiemy, że
 ::<math>\sum_{p \geqslant 2} {\small\frac{\log p}{p (p - 1)}} - E = - \gamma</math>
@@ Linia 2790: / Linia 2768: @@
-Korzystając kolejno z&nbsp;twierdzeń [[#D45|D45]] i&nbsp;[[Ciągi liczbowe#C19|C19]], dostajemy
+Korzystając kolejno z&nbsp;twierdzeń [[#D46|D46]] i&nbsp;[[Ciągi liczbowe#C19|C19]], dostajemy
 ::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log n > - \gamma - {\small\frac{0.3}{\log n}} - \int_{n}^{\infty} {\small\frac{\log x}{(x - 1)^2}} d x</math>
@@ Linia 2813: / Linia 2791: @@
-<span id="D72" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D72</span><br/>
+<span id="D73" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D73</span><br/>
 Niech <math>r = 1 - \log (2) \approx 0.30685281944</math>. Pokazać, że z&nbsp;nierówności prawdziwej dla <math>x \geqslant 32</math>
@@ Linia 2821: / Linia 2799: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Z twierdzenia [[#D71|D71]] wiemy, że dla <math>x \geqslant 318</math> jest
+Z twierdzenia [[#D72|D72]] wiemy, że dla <math>x \geqslant 318</math> jest
 ::<math>\sum_{p \leqslant x} {\small\frac{\log p}{p - 1}} - \log x < - \gamma + {\small\frac{1}{2\log x}} \leqslant - \gamma + {\small\frac{1}{2 \log (318)}} = - 0.490441 \ldots < - 0.306852 \ldots = - r</math>
@@ Linia 2832: / Linia 2810: @@
-Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>a \geqslant 32</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D62|D62]], łatwo znajdujemy oszacowanie
+Niech <math>a \in \mathbb{Z}</math> i <math>a \geqslant 32</math>. Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D63|D63]], łatwo znajdujemy oszacowanie
 ::<math>a! = p^{\alpha_1}_1 \cdot \ldots \cdot p^{\alpha_n}_n</math>
@@ Linia 2862: / Linia 2840: @@
-Jednocześnie z&nbsp;twierdzenia [[#D61|D61]] wiemy, że prawdziwa jest nierówność <math>b! > b^b e^{- b}</math>, zatem
+Jednocześnie z&nbsp;twierdzenia [[#D62|D62]] wiemy, że prawdziwa jest nierówność <math>b! > b^b e^{- b}</math>, zatem
 ::<math>b^b e^{- b} < b! < {\normalsize\frac{(a \cdot e^{- r})^b}{a \cdot e^{-r}}}</math>
@@ Linia 2909: / Linia 2887: @@
-<span id="D73" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D73</span><br/>
+<span id="D74" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D74</span><br/>
 Powiemy, że liczby pierwsze <math>p, q</math> są liczbami bliźniaczymi (tworzą parę liczb bliźniaczych), jeżeli <math>\left | p - q \right | = 2</math>
-<span id="D74" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D74* (Viggo Brun, 1919)</span><br/>
+<span id="D75" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D75* (Viggo Brun, 1919)</span><br/>
 Suma odwrotności par liczb pierwszych <math>p</math> i <math>p + 2</math>, takich że liczba <math>p + 2</math> jest również pierwsza, jest skończona
@@ Linia 2924: / Linia 2902: @@
-<span id="D75" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D75</span><br/>
+<span id="D76" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D76</span><br/>
 Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych nietworzących par liczb bliźniaczych.
@@ Linia 2952: / Linia 2930: @@
 == Dowód z&nbsp;Księgi. Rozbieżność sumy <math>\textstyle \sum {\small\frac{1}{p}}</math> ==
-<span id="D76" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D76</span><br/>
+<span id="D77" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D77</span><br/>
 Suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.
@@ Linia 3009: / Linia 2987: @@
 == Sumowanie przez części ==
-<span id="D77" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D77</span><br/>
+<span id="D78" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D78</span><br/>
 Omawianie metody sumowania przez części<ref name="sumowanie1"/> rozpoczniemy od udowodnienia prostego twierdzenia, które dobrze ilustruje tę metodę i&nbsp;ułatwi zrozumienie uogólnienia. Potrzebna nam będzie następująca funkcja
@@ Linia 3031: / Linia 3009: @@
-<span id="D78" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D78</span><br/>
+<span id="D79" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D79</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> i&nbsp;niech <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}}</math> oznacza sumę odwrotności wszystkich liczb pierwszych nie większych od <math>n</math>. Prawdziwy jest następujący związek
@@ Linia 3065: / Linia 3043: @@
-<span id="D79" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D79</span><br/>
+<span id="D80" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D80</span><br/>
 Pokazać, że dla <math>n \geqslant 1</math> prawdziwe jest oszacowanie <math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} > {\small\frac{2}{3}} \cdot \log \log (n + 1)</math>.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Z twierdzenia [[#D78|D78]] wiemy, że dla <math>n \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór
+Z twierdzenia [[#D79|D79]] wiemy, że dla <math>n \geqslant 1</math> prawdziwy jest wzór
 ::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>
@@ Linia 3087: / Linia 3065: @@
 :::<math>\quad \; = {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \sum_{j = 5}^n {\small\frac{1}{j \log j}}</math>
-Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D45|D45]], otrzymujemy
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D46|D46]], otrzymujemy
 ::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} \geqslant {\small\frac{1}{3}} + {\small\frac{2}{3}} \cdot \int_{5}^{n + 1} {\small\frac{d x}{x \log x}}</math>
@@ Linia 3103: / Linia 3081: @@
-<span id="D80" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D80</span><br/>
+<span id="D81" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D81</span><br/>
 Pokazać, że oszacowanie <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>, gdzie <math>\varepsilon \in (0, 1)</math>, nie może być prawdziwe dla prawie wszystkich liczb naturalnych.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Przypuśćmy, że dla prawie wszystkich liczb naturalnych jest <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>n_0</math>, że dla wszystkich <math>n \geqslant n_0</math> jest <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>. Korzystając ze wzoru (zobacz [[#D78|D78]])
+Przypuśćmy, że dla prawie wszystkich liczb naturalnych jest <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>. Zatem istnieje taka liczba <math>n_0</math>, że dla wszystkich <math>n \geqslant n_0</math> jest <math>\pi (n) < n^{1 - \varepsilon}</math>. Korzystając ze wzoru (zobacz [[#D79|D79]])
 ::<math>\sum_{p \leqslant n} {\small\frac{1}{p}} = {\small\frac{\pi (n)}{n}} + \sum_{k = 2}^{n - 1} {\small\frac{\pi (k)}{k (k + 1)}}</math>
@@ Linia 3129: / Linia 3107: @@
 :::<math>\quad \; = C_3</math>
-Co jest niemożliwe, bo lewa strona rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem <math>n</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]], [[#D76|D76]], [[#D79|D79]]).<br/>
+Co jest niemożliwe, bo lewa strona rośnie nieograniczenie wraz ze wzrostem <math>n</math> (zobacz [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B37|B37]], [[#D77|D77]], [[#D80|D80]]).<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 3135: / Linia 3113: @@
-<span id="D81" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D81 (sumowanie przez części)</span><br/>
+<span id="D82" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D82 (sumowanie przez części)</span><br/>
 Niech <math>a_j</math>, <math>b_j</math> będą ciągami określonymi przynajmniej dla <math>s \leqslant j \leqslant n</math>. Prawdziwy jest następujący wzór
@@ Linia 3182: / Linia 3160: @@
-<span id="D82" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D82</span><br/>
+<span id="D83" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D83</span><br/>
 Niech <math>r \neq 1</math>. Pokazać, że <math>\sum_{k = 1}^{n} k r^k = \frac{n r^{n + 2} - (n + 1) r^{n + 1} + r}{(r - 1)^2}</math>.
@@ Linia 3218: / Linia 3196: @@
-<span id="D83" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D83 (kryterium Dirichleta)</span><br/>
+<span id="D84" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D84 (kryterium Dirichleta)</span><br/>
 Niech <math>(a_k)</math> i <math>(b_k)</math> będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli
@@ Linia 3248: / Linia 3226: @@
 ::::::::<math>\;\;\; = M (a_1 - a_n)</math>
-(zobacz [[#D13|D13]]). Jeżeli ciąg <math>(a_k)</math> jest rosnący, to
+(zobacz [[#D14|D14]]). Jeżeli ciąg <math>(a_k)</math> jest rosnący, to
 ::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant \sum_{k = 1}^{n - 1} M (a_{k + 1} - a_k)</math>
@@ Linia 3260: / Linia 3238: @@
 ::<math>\sum_{k = 1}^{n - 1} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) | \leqslant M | a_1 - a_n | \leqslant M (| a_1 | + | a_n |) \leqslant 2 M U</math>
-Ponieważ sumy częściowe szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) |</math> tworzą ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony od góry, to szereg ten jest zbieżny (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]). Wynika stąd zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B (k)</math> (zobacz [[#D11|D11]]). Zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> musi być zbieżny. Co należało pokazać.<br/>
+Ponieważ sumy częściowe szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} | (a_k - a_{k + 1}) B (k) |</math> tworzą ciąg rosnący i&nbsp;ograniczony od góry, to szereg ten jest zbieżny (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]). Wynika stąd zbieżność szeregu <math>\sum_{k = 1}^{\infty} (a_k - a_{k + 1}) B (k)</math> (zobacz [[#D12|D12]]). Zatem szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} a_k b_k</math> musi być zbieżny. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 3266: / Linia 3244: @@
-<span id="D84" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D84</span><br/>
+<span id="D85" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D85</span><br/>
 Udowodnić następujące wzory
@@ Linia 3334: / Linia 3312: @@
-<span id="D85" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D85</span><br/>
+<span id="D86" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D86</span><br/>
 Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 1}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{k}}</math> jest zbieżny.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-W zadaniu [[#D84|D84]] p.1 pokazaliśmy, że prawdziwy jest wzór
+W zadaniu [[#D85|D85]] p.1 pokazaliśmy, że prawdziwy jest wzór
 ::<math>\sum_{j = 1}^{k} \sin j =
@@ Linia 3362: / Linia 3340: @@
-<span id="D86" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D86</span><br/>
+<span id="D87" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D87</span><br/>
 Pokazać, że szereg <math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}}</math> jest zbieżny, a&nbsp;suma tego szeregu jest w&nbsp;przybliżeniu równa <math>0.6839137864 \ldots</math>
@@ Linia 3370: / Linia 3348: @@
 ::<math>S_{10^6} = 0.609189 \qquad S_{10^7} = 0.748477 \qquad S_{10^8} = 0.727256 \qquad S_{10^9} = 0.660078</math>
-Okazuje się, że tutaj też będzie pomocne sumowanie przez części. We wzorze na sumowanie przez części połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log k}}</math> i <math>b_k = \sin k</math>. Korzystając ze wzoru pokazanego w&nbsp;zadaniu [[#D84|D84]] p.1, otrzymujemy
+Okazuje się, że tutaj też będzie pomocne sumowanie przez części. We wzorze na sumowanie przez części połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log k}}</math> i <math>b_k = \sin k</math>. Korzystając ze wzoru pokazanego w&nbsp;zadaniu [[#D85|D85]] p.1, otrzymujemy
 ::<math>B(k) = \sum_{j = 2}^{k} \sin j = {\small\frac{\cos \left( \tfrac{1}{2} \right) - \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \sin (1) = C_1 + C_2 \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>
@@ Linia 3392: / Linia 3370: @@
 ::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} {\small\frac{\sin k}{\log k}} = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>
-Zauważmy, że szereg po prawej stronie jest zbieżny nawet bez uzbieżniającego czynnika <math>\cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>, bo bez tego czynnika mielibyśmy szereg teleskopowy (zobacz [[#D13|D13]]). Pozwala to oczekiwać, że sumy częściowe szeregu po prawej stronie będą znacznie szybciej zbiegały do sumy szeregu. Rzeczywiście, tym razem dla sum
+Zauważmy, że szereg po prawej stronie jest zbieżny nawet bez uzbieżniającego czynnika <math>\cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>, bo bez tego czynnika mielibyśmy szereg teleskopowy (zobacz [[#D14|D14]]). Pozwala to oczekiwać, że sumy częściowe szeregu po prawej stronie będą znacznie szybciej zbiegały do sumy szeregu. Rzeczywiście, tym razem dla sum
 ::<math>S_n = {\small\frac{C_1}{\log 2}} + C_2 \sum_{k = 2}^{n} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>
@@ Linia 3409: / Linia 3387: @@
 ::<math>\sum_{k = 2}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} \right) \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>
-We wzorze na sumowanie przez części połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}}</math> i <math>b_k = \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>. Korzystając ze wzoru pokazanego w&nbsp;zadaniu [[#D84|D84]] p.2, otrzymujemy
+We wzorze na sumowanie przez części połóżmy <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log (k)}} - {\small\frac{1}{\log (k + 1)}}</math> i <math>b_k = \cos \left( k + \tfrac{1}{2} \right)</math>. Korzystając ze wzoru pokazanego w&nbsp;zadaniu [[#D85|D85]] p.2, otrzymujemy
 ::<math>B(k) = \sum_{j = 2}^{k} b_j = \sum_{j = 2}^{k} \cos \left( j + \tfrac{1}{2} \right) = {\small\frac{\sin (k + 1) - \sin (1)}{2 \sin \left( \tfrac{1}{2} \right)}} - \cos \left( \tfrac{3}{2} \right) = C_3 + C_4 \cdot \sin (k + 1)</math>
@@ Linia 3490: / Linia 3468: @@
-<span id="D87" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D87</span><br/>
+<span id="D88" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D88</span><br/>
 Niech <math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p</math>. Pokazać, że
@@ Linia 3516: / Linia 3494: @@
-<span id="D88" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D88</span><br/>
+<span id="D89" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D89</span><br/>
 Niech <math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p</math>. Jeżeli prawdziwe jest oszacowanie <math>{\small\frac{A \cdot n}{\log n}} < \pi (n) < {\small\frac{B \cdot n}{\log n}}</math>, gdzie <math>A, B \in \mathbb{R}_+</math>, to istnieje granica
@@ Linia 3534: / Linia 3512: @@
 ::<math>\theta (n) = \log n \cdot \pi (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k)</math>
-(zobacz [[#D87|D87]]) otrzymujemy
+(zobacz [[#D88|D88]]) otrzymujemy
 ::<math>{\small\frac{\theta (n)}{\log n \cdot \pi (n)}} = 1 - {\small\frac{1}{\log n \cdot \pi (n)}} \cdot \sum_{k = 2}^{n - 1} \log \left( 1 + {\small\frac{1}{k}} \right) \pi (k)</math>
@@ Linia 3584: / Linia 3562: @@
-<span id="D89" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D89</span><br/>
+<span id="D90" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D90</span><br/>
 Funkcja <math>\theta (n)</math> jest ściśle związana z&nbsp;dobrze nam znaną funkcją <math>P (n)</math>. Ponieważ <math>P(n) = \prod_{p \leqslant n} p</math>, to
 ::<math>\log P (n) = \log \left( \prod_{p \leqslant n} p \right) = \sum_{p \leqslant n} \log p = \theta (n)</math>.
-Z twierdzenia [[#D88|D88]] wynika, że jeżeli istnieje granica <math>{\small\frac{\theta (n)}{n}}</math>, to będzie istniała granica dla <math>{\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}}</math>. Jeżeli istnieje granica <math>{\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}}</math>, to będzie istniała granica dla <math>{\small\frac{\theta (n)}{n}}</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C13|C13]] p.3).
+Z twierdzenia [[#D89|D89]] wynika, że jeżeli istnieje granica <math>{\small\frac{\theta (n)}{n}}</math>, to będzie istniała granica dla <math>{\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}}</math>. Jeżeli istnieje granica <math>{\small\frac{\pi (n) \cdot \log n}{n}}</math>, to będzie istniała granica dla <math>{\small\frac{\theta (n)}{n}}</math> (zobacz [[Ciągi liczbowe#C13|C13]] p.3).
 Wiemy, że dla funkcji <math>\theta (n)</math>, gdzie <math>n \geqslant 2</math>, prawdziwe jest oszacowanie<ref name="Dusart18"/>
@@ Linia 3597: / Linia 3575: @@
-<span id="D90" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D90</span><br/>
+<span id="D91" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D91</span><br/>
 Niech <math>\theta (n) = \sum_{p \leqslant n} \log p</math>. Pokazać, że
@@ Linia 3603: / Linia 3581: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Kładąc we wzorze na sumowanie przez części (zobacz [[#D81|D81]]) <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log k}}</math> i <math>b_k = D (k) \cdot \log k</math>. Otrzymujemy
+Kładąc we wzorze na sumowanie przez części (zobacz [[#D82|D82]]) <math>s = 2</math>, <math>a_k = {\small\frac{1}{\log k}}</math> i <math>b_k = D (k) \cdot \log k</math>. Otrzymujemy
 ::<math>\sum_{k = 2}^{n} D (k) = {\small\frac{1}{\log n}} \cdot B (n) - \sum_{k = 2}^{n - 1} \left( {\small\frac{1}{\log (k + 1)}} - {\small\frac{1}{\log k}} \right) B (k)</math>
@@ Linia 3631: / Linia 3609: @@
 == Iloczyn Cauchy'ego szeregów ==
-<span id="D91" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D91 (kryterium d'Alemberta)</span><br/>
+<span id="D92" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D92 (kryterium d'Alemberta)</span><br/>
 Niech <math>(a_n)</math> będzie ciągiem liczb rzeczywistych i&nbsp;istnieje granica
@@ Linia 3675: / Linia 3653: @@
-<span id="D92" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D92</span><br/>
+<span id="D93" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D93</span><br/>
 W przypadku, gdy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{a_{n + 1}}{a_n}} \right| = 1</math> kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o&nbsp;zbieżności lub rozbieżności szeregu <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math>. Czytelnikowi zostawiamy zastosowanie tego kryterium do szeregów
@@ Linia 3682: / Linia 3660: @@
-<span id="D93" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D93</span><br/>
+<span id="D94" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D94</span><br/>
 Niech <math>x \in \mathbb{R}</math>. Zbadamy zbieżność szeregu
@@ Linia 3695: / Linia 3673: @@
-<span id="D94" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D94</span><br/>
+<span id="D95" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D95</span><br/>
 Pokazać, że szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{n^n}{n!}}</math> jest rozbieżny.
@@ Linia 3709: / Linia 3687: @@
-<span id="D95" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D95</span><br/>
+<span id="D96" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D96</span><br/>
 W twierdzeniu [[Twierdzenie Czebyszewa o funkcji π(n)#A40|A40]], korzystając z&nbsp;następującej definicji funkcji <math>e^x</math>
@@ Linia 3782: / Linia 3760: @@
-<span id="D96" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D96</span><br/>
+<span id="D97" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D97</span><br/>
 Iloczynem Cauchy'ego szeregów <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i</math> oraz <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j</math> nazywamy szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie
@@ Linia 3793: / Linia 3771: @@
-<span id="D97" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D97</span><br/>
+<span id="D98" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D98</span><br/>
 Niech <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>. Pokazać, że
@@ Linia 3890: / Linia 3868: @@
-<span id="D98" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D98</span><br/>
+<span id="D99" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D99</span><br/>
-Ostatni punkt zadania [[#D97|D97]] pozwala stworzyć wiele przykładowych szeregów i&nbsp;ich iloczynów Cauchy'ego. Przypomnijmy, że
+Ostatni punkt zadania [[#D98|D98]] pozwala stworzyć wiele przykładowych szeregów i&nbsp;ich iloczynów Cauchy'ego. Przypomnijmy, że
 ::<math>(a_n) = (a, q, q^2, q^3, \ldots)</math>, <math>\quad (b_n) = (b, r, r^2, r^3, \ldots)</math>, &nbsp;gdzie <math>q \neq r</math>
@@ Linia 3939: / Linia 3917: @@
-<span id="D99" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D99</span><br/>
+<span id="D100" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Przykład D100</span><br/>
 Podamy przykład szeregów zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest rozbieżny. Rozważmy zbieżny szereg (zobacz [[#D5|D5]])
@@ Linia 3961: / Linia 3939: @@
-<span id="D100" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D100</span><br/>
+<span id="D101" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D101</span><br/>
-Pokazać, że jeżeli <math>a_n = b_n = r^n</math> i <math>c_n = (n + 1) r^n</math> (zobacz [[#D97|D97]] p.3), to szeregi <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> oraz <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math> są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Sprawdzić, że w&nbsp;przypadku, gdy szeregi te są zbieżne, prawdziwy jest wzór
+Pokazać, że jeżeli <math>a_n = b_n = r^n</math> i <math>c_n = (n + 1) r^n</math> (zobacz [[#D98|D98]] p.3), to szeregi <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> oraz <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math> są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Sprawdzić, że w&nbsp;przypadku, gdy szeregi te są zbieżne, prawdziwy jest wzór
 ::<math>\left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right)</math>
@@ Linia 3975: / Linia 3953: @@
 :*&nbsp;&nbsp;&nbsp; gdy <math>r = 1</math>, <math>c_n = n + 1</math>, <math>\quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) = {\small\frac{(L + 1) (L + 2)}{2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \infty \qquad \qquad</math> (zobacz <span style="color: Green">[a]</span>, [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B+n%2B1%2C+%7Bn%2C+0%2C+L%7D+%5D WolframAlpha])
-:*&nbsp;&nbsp;&nbsp; gdy <math>r = - 1</math>, <math>c_n = (n + 1) (- 1)^n</math>, <math>\quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) (- 1)^n = (- 1)^L \cdot {\small\frac{2 L + 3}{4}} + {\small\frac{1}{4}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \pm \infty \qquad \qquad</math> (zobacz [[#D82|D82]], [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B+%28n%2B1%29*%28-1%29%5En%2C+%7Bn%2C+0%2C+L%7D+%5D WolframAlpha])
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp; gdy <math>r = - 1</math>, <math>c_n = (n + 1) (- 1)^n</math>, <math>\quad C_L = \sum_{n = 0}^{L} (n + 1) (- 1)^n = (- 1)^L \cdot {\small\frac{2 L + 3}{4}} + {\small\frac{1}{4}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} \pm \infty \qquad \qquad</math> (zobacz [[#D83|D83]], [https://www.wolframalpha.com/input?i=Sum%5B+%28n%2B1%29*%28-1%29%5En%2C+%7Bn%2C+0%2C+L%7D+%5D WolframAlpha])
-W przypadku, gdy <math>| r | < 1</math> wiemy<ref name="GeometricSeries1"/>, że <math>\sum_{n = 0}^{\infty} r^n = {\small\frac{1}{1 - r}}</math>. Korzystając z&nbsp;zadania [[#D82|D82]], otrzymujemy
+W przypadku, gdy <math>| r | < 1</math> wiemy<ref name="GeometricSeries1"/>, że <math>\sum_{n = 0}^{\infty} r^n = {\small\frac{1}{1 - r}}</math>. Korzystając z&nbsp;zadania [[#D83|D83]], otrzymujemy
 ::<math>\sum_{n = 0}^{L} (n + 1) r^n = \sum_{n = 0}^{L} n r^n + \sum_{n = 0}^{L} r^n = {\small\frac{L r^{L + 2} - (L + 1) r^{L + 1} + r}{(r - 1)^2}} + {\small\frac{r^{L + 1} - 1}{r - 1}} = {\small\frac{(L + 1) r^{L + 2} - (L + 2) r^{L + 1} + 1}{(r - 1)^2}} \xrightarrow{\; L \rightarrow \infty \;} {\small\frac{1}{(r - 1)^2}}</math>
@@ Linia 3994: / Linia 3972: @@
-<span id="D101" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D101</span><br/>
+<span id="D102" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D102</span><br/>
-Przykłady [[#D98|D98]] i [[#D99|D99]] pokazują, że w&nbsp;ogólności nie jest prawdziwy wzór
+Przykłady [[#D99|D99]] i [[#D100|D100]] pokazują, że w&nbsp;ogólności nie jest prawdziwy wzór
 ::<math>\left( \sum_{i = 0}^{\infty} a_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 0}^{\infty} b_j \right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right)</math>
@@ Linia 4003: / Linia 3981: @@
-<span id="D102" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D102</span><br/>
+<span id="D103" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D103</span><br/>
 Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Mertensa, zauważmy, że od sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych
@@ Linia 4042: / Linia 4020: @@
-<span id="D103" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D103 (Franciszek Mertens)</span><br/>
+<span id="D104" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D104 (Franciszek Mertens)</span><br/>
 Jeżeli szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A</math> jest zbieżny bezwzględnie, szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B</math> jest zbieżny, to ich iloczyn Cauchy'ego <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>, jest zbieżny i <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B</math>.
@@ Linia 4056: / Linia 4034: @@
 :::<math>\; = \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>
-Przechodzimy od sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych do sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D102|D102]]).
+Przechodzimy od sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych do sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D103|D103]]).
 ::<math>C_m = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j</math>
@@ Linia 4109: / Linia 4087: @@
-<span id="D104" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D104</span><br/>
+<span id="D105" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D105</span><br/>
 Pokazać, że iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów bezwzględnie zbieżnych jest bezwzględnie zbieżny.
@@ Linia 4117: / Linia 4095: @@
 ::<math>\sum_{i = 0}^{\infty} | a_i | = A' \qquad \qquad \sum^{\infty}_{j = 0} | b_j | = B'</math>
-Zauważmy, że suma <math>\sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} |</math> obejmuje <math>m + 1</math> przekątnych. Łatwo możemy przejść od sumowania po kolejnych przekątnych do sumowana po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D102|D102]]).
+Zauważmy, że suma <math>\sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} |</math> obejmuje <math>m + 1</math> przekątnych. Łatwo możemy przejść od sumowania po kolejnych przekątnych do sumowana po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D103|D103]]).
 ::<math>C'_m = \sum_{n = 0}^{m} | c_n |</math>
@@ Linia 4139: / Linia 4117: @@
-<span id="D105" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D105</span><br/>
+<span id="D106" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D106</span><br/>
 Podać przykład szeregów zbieżnych, z&nbsp;których tylko jeden jest bezwzględnie zbieżny i&nbsp;których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Zauważmy, że szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^i}{2^i}} = {\small\frac{2}{3}}</math> jest bezwzględnie zbieżny, bo <math>\sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2^i}} = 2</math> jest zbieżny. Szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2</math> jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]), ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz [[#D46|D46]], [[#D48|D48]] p.1, [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]).
+Zauważmy, że szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^i}{2^i}} = {\small\frac{2}{3}}</math> jest bezwzględnie zbieżny, bo <math>\sum_{i = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2^i}} = 2</math> jest zbieżny. Szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2</math> jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza (zobacz [[#D5|D5]]), ale nie jest bezwzględnie zbieżny (zobacz [[#D47|D47]], [[#D49|D49]] p.1, [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]).
 Zatem na podstawie twierdzenia Mertensa iloczyn Cauchy'ego tych szeregów <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie
@@ Linia 4163: / Linia 4141: @@
 ::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant | c_n |</math>
-to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D10|D10]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | c_n |</math> jest rozbieżny. Co należało pokazać.<br/>
+to na mocy kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | c_n |</math> jest rozbieżny. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 4169: / Linia 4147: @@
-<span id="D106" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D106</span><br/>
+<span id="D107" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D107</span><br/>
 Podać przykład szeregów warunkowo zbieżnych, których iloczyn Cauchy'ego jest warunkowo zbieżny.
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2</math> jest warunkowo zbieżny (zobacz [[#D5|D5]], [[#D46|D46]], [[#D48|D48]] p.1, [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]). Iloczyn Cauchy'ego dwóch takich szeregów jest równy <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie
+Szereg <math>\sum_{j = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^j}{j + 1}} = \log 2</math> jest warunkowo zbieżny (zobacz [[#D5|D5]], [[#D47|D47]], [[#D49|D49]] p.1, [[Twierdzenie Czebyszewa o liczbie pierwszej między n i 2n#B34|B34]]). Iloczyn Cauchy'ego dwóch takich szeregów jest równy <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie
 ::<math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{(- 1)^k}{k + 1}} \cdot {\small\frac{(- 1)^{n - k}}{n - k + 1}}</math>
@@ Linia 4188: / Linia 4166: @@
-Ponieważ (zobacz [[#D46|D46]])
+Ponieważ (zobacz [[#D47|D47]])
 ::<math>\log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} < 1 + \log n</math>
@@ Linia 4212: / Linia 4190: @@
 ::<math>0 \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \leqslant {\small\frac{2 \log (n + 2)}{n + 2}} < | c_n |</math>
-Zatem na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[#D10|D10]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | c_n |</math> jest rozbieżny.<br/>
+Zatem na podstawie kryterium porównawczego (zobacz [[#D11|D11]]) szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} | c_n |</math> jest rozbieżny.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 4218: / Linia 4196: @@
-<span id="D107" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D107</span><br/>
+<span id="D108" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D108</span><br/>
-Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Abela, musimy udowodnić trzy twierdzenia dotyczące pewnych granic. Warto zauważyć, że twierdzenie [[#D109|D109]] pozwala przypisać wartość sumy do szeregów, których suma w&nbsp;zwykłym sensie nie istnieje. Uogólnienie to nazywamy sumowalnością w&nbsp;sensie Cesàro<ref name="CesaroSum1"/>. Nie będziemy zajmowali się tym tematem, ale podamy ciekawy przykład.
+Nim przejdziemy do dowodu twierdzenia Abela, musimy udowodnić trzy twierdzenia dotyczące pewnych granic. Warto zauważyć, że twierdzenie [[#D110|D110]] pozwala przypisać wartość sumy do szeregów, których suma w&nbsp;zwykłym sensie nie istnieje. Uogólnienie to nazywamy sumowalnością w&nbsp;sensie Cesàro<ref name="CesaroSum1"/>. Nie będziemy zajmowali się tym tematem, ale podamy ciekawy przykład.
 Rozważmy szereg <math>\sum_{i = 0}^{\infty} (- 1)^i</math>. Sumy częściowe tego szeregu wynoszą <math>S_k = {\small\frac{1 + (- 1)^k}{2}}</math> i&nbsp;tworzą ciąg rozbieżny, ale ciąg kolejnych średnich arytmetycznych dla ciągu <math>(S_k)</math> jest równy
@@ Linia 4231: / Linia 4209: @@
-<span id="D108" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D108</span><br/>
+<span id="D109" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D109</span><br/>
 Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | = 0</math>.
@@ Linia 4263: / Linia 4241: @@
-<span id="D109" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D109</span><br/>
+<span id="D110" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D110</span><br/>
 Jeżeli ciąg <math>(a_k)</math> jest zbieżny, to ciąg kolejnych średnich arytmetycznych <math>x_n = {\small\frac{a_0 + \ldots + a_n}{n + 1}}</math> jest zbieżny do tej samej granicy.
@@ Linia 4282: / Linia 4260: @@
 ::<math>0 \leqslant | x_n - g | \leqslant {\small\frac{| a_0 - g |}{n + 1}} + \ldots + {\small\frac{| a_n - g |}{n + 1}} = {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k - g |</math>
-W granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzenia [[#D108|D108]] i&nbsp;twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy
+W granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzenia [[#D109|D109]] i&nbsp;twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy
 ::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} | x_n - g | = 0</math>
@@ Linia 4292: / Linia 4270: @@
-<span id="D110" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D110</span><br/>
+<span id="D111" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D111</span><br/>
 Niech <math>(a_n)</math> i <math>(b_n)</math> będą zbieżnymi ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a</math> i <math>\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b</math>, to <math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b</math>.
@@ Linia 4303: / Linia 4281: @@
 ::<math>0 \leqslant \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| \leqslant {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k | | b_{n - k} | \leqslant {\small\frac{U}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} | a_k |</math>
-W granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzenia [[#D108|D108]] i&nbsp;twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy
+W granicy, gdy <math>n \rightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzenia [[#D109|D109]] i&nbsp;twierdzenia o&nbsp;trzech ciągach (zobacz [[Ciągi liczbowe#C11|C11]]) otrzymujemy
 ::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} \right| = 0</math>
@@ Linia 4320: / Linia 4298: @@
 :::::::<math>\, = a \cdot {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{j = 0}^{n} b_j + {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} x_k b_{n - k}</math>
-W granicy, gdy <math>n \longrightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzenia [[#D109|D109]] i&nbsp;udowodnionego wyżej przypadku, gdy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, dostajemy
+W granicy, gdy <math>n \longrightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzenia [[#D110|D110]] i&nbsp;udowodnionego wyżej przypadku, gdy <math>\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0</math>, dostajemy
 ::<math>\lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k} = a b</math>
@@ Linia 4331: / Linia 4309: @@
-<span id="D111" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D111 (Niels Henrik Abel)</span><br/>
+<span id="D112" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D112 (Niels Henrik Abel)</span><br/>
 Jeżeli szeregi <math>\sum_{i = 0}^{\infty} a_i = A</math> oraz <math>\sum_{j = 0}^{\infty} b_j = B</math> są zbieżne i&nbsp;ich iloczyn Cauchy'ego <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n</math>, gdzie <math>c_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>, jest zbieżny, to <math>\sum_{n = 0}^{\infty} c_n = A B</math>.
@@ Linia 4349: / Linia 4327: @@
 ::::<math>\;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{n = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} a_k b_{n - k}</math>
-Od sumowania wyrazów <math>a_k b_{n - k}</math> po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D102|D102]]).
+Od sumowania wyrazów <math>a_k b_{n - k}</math> po <math>m + 1</math> kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po <math>m + 1</math> kolejnych liniach poziomych (zobacz [[#D103|D103]]).
 ::<math>\sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m - i} a_i b_j</math>
@@ Linia 4359: / Linia 4337: @@
 ::::<math>\;\; = \sum_{m = 0}^{L} \sum_{k = 0}^{m} a_k B_{m - k}</math>
-Od sumowania wyrazów <math>a_k B_{m - k}</math> po <math>L + 1</math> kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po <math>L + 1</math> kolejnych liniach pionowych (zobacz [[#D102|D102]]).
+Od sumowania wyrazów <math>a_k B_{m - k}</math> po <math>L + 1</math> kolejnych przekątnych przechodzimy do sumowania po <math>L + 1</math> kolejnych liniach pionowych (zobacz [[#D103|D103]]).
 ::<math>\sum_{m = 0}^{L} C_m = \sum_{i = 0}^{L} \sum_{j = 0}^{L - i} a_j B_i</math>
@@ Linia 4371: / Linia 4349: @@
 ::<math>{\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{m = 0}^{L} C_m = {\small\frac{1}{L + 1}} \sum_{i = 0}^{L} B_i A_{L - i}</math>
-W&nbsp;granicy, gdy <math>L \longrightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzeń [[#D109|D109]] i [[#D110|D110]] otrzymujemy <math>C = A B</math>. Co należało pokazać.<br/>
+W&nbsp;granicy, gdy <math>L \longrightarrow \infty</math>, z&nbsp;twierdzeń [[#D110|D110]] i [[#D111|D111]] otrzymujemy <math>C = A B</math>. Co należało pokazać.<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 4381: / Linia 4359: @@
 == Liczby Catalana ==
-<span id="D112" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D112</span><br/>
+<span id="D113" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D113</span><br/>
 Liczby Catalana <math>C_n</math> definiujemy wzorem
@@ Linia 4390: / Linia 4368: @@
-<span id="D113" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D113</span><br/>
+<span id="D114" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D114</span><br/>
 Liczby Catalana <math>C_n</math> mają następujące własności
@@ Linia 4449: / Linia 4427: @@
 '''Punkt 4.'''
-Dowód tego punktu został umieszczony w&nbsp;Uzupełnieniu (zobacz [[#D138|D138]]).<br/>
+Dowód tego punktu został umieszczony w&nbsp;Uzupełnieniu (zobacz [[#D139|D139]]).<br/>
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
@@ Linia 4455: / Linia 4433: @@
-<span id="D114" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D114</span><br/>
+<span id="D115" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D115</span><br/>
 Niech <math>C_n</math> oznacza <math>n</math>-tą liczbę Catalana i&nbsp;niech <math>\sum_{n = 0}^{\infty} x_n</math> oznacza szereg, który otrzymujemy, mnożąc szereg <math>\sum_{n = 0}^{\infty} a_n</math> przez siebie według reguły Cauchy'ego. Pokazać, że
@@ Linia 4516: / Linia 4494: @@
 == Sumy współczynników dwumianowych ==
-<span id="D115" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D115</span><br/>
+<span id="D116" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D116</span><br/>
 Dla <math>n \geqslant 0</math> i <math>r \in \mathbb{R}</math> prawdziwe są wzory
@@ Linia 4579: / Linia 4557: @@
-<span id="D116" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D116</span><br/>
+<span id="D117" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D117</span><br/>
 Dla <math>n, m \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór
@@ Linia 4601: / Linia 4579: @@
 ::<math>{\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{n + k + 1}{n + 1}} - {\small\binom{n + k}{n + 1}}</math>
-Wykorzystując powyższy wzór, łatwo pokazujemy, że (zobacz [[#D13|D13]])
+Wykorzystując powyższy wzór, łatwo pokazujemy, że (zobacz [[#D14|D14]])
 ::<math>\sum_{k = 0}^{m} {\small\binom{n + k}{n}} = 1 + \sum_{k = 1}^{m} {\small\binom{n + k}{n}}</math>
@@ Linia 4621: / Linia 4599: @@
 === <span style="border-bottom:2px solid #000;">Suma nieoznaczona</span> ===
-<span id="D117" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D117</span><br/>
+<span id="D118" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D118</span><br/>
 Sumą nieoznaczoną<ref name="IndefiniteSum1"/> (lub antyróżnicą) funkcji <math>f(k)</math>, będziemy nazywali dowolną funkcję <math>F(k)</math> taką, że
@@ Linia 4665: / Linia 4643: @@
 i nie jest prawdą, że <math>F(k) = S (k - 1)</math>, bo pominięty został wyraz <math>{\small\frac{- 1}{r - 1}}</math>, który jest stałą, ale jest to zrozumiałe.
-Niech teraz <math>f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>. Wiemy, że (zobacz [[#D116|D116]])
+Niech teraz <math>f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>. Wiemy, że (zobacz [[#D117|D117]])
 ::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>
@@ Linia 4677: / Linia 4655: @@
-<span id="D118" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D118</span><br/>
+<span id="D119" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D119</span><br/>
 Powiedzmy, że dysponujemy wzorem <math>S(b) = \sum_{k = a}^{b} f (k)</math> i&nbsp;chcemy udowodnić jego poprawność. W&nbsp;prostych przypadkach możemy wykorzystać indukcję matematyczną: wystarczy pokazać, że
 ::<math>S(k + 1) = S (k) + f (k + 1)</math>
-Jeżeli już udało nam się pokazać związek <math>f(k) = S (k) - S (k - 1)</math>, to równie dobrze możemy zamienić sumę na sumę teleskopową (zobacz [[#D13|D13]]), aby otrzymać, że
+Jeżeli już udało nam się pokazać związek <math>f(k) = S (k) - S (k - 1)</math>, to równie dobrze możemy zamienić sumę na sumę teleskopową (zobacz [[#D14|D14]]), aby otrzymać, że
 ::<math>\sum_{k = a + 1}^{b} f (k) = \sum_{k = a + 1}^{b} ( S (k) - S (k - 1) )</math>
@@ Linia 4736: / Linia 4714: @@
-<span id="D119" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D119</span><br/>
+<span id="D120" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D120</span><br/>
 Korzystając z&nbsp;programu Maxima znaleźć sumę nieoznaczoną <math>F(n, k)</math> dla funkcji
@@ Linia 4777: / Linia 4755: @@
 === <span style="border-bottom:2px solid #000;">Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy <math>\boldsymbol{S(n)}</math></span> ===
-<span id="D120" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D120</span><br/>
+<span id="D121" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D121</span><br/>
 Rozważmy sumę
 ::<math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>
-W twierdzeniach [[#D136|D136]] i [[#D137|D137]] wyliczyliśmy <math>S(n)</math>, znajdując najpierw równanie rekurencyjne dla sumy. Możemy przypuszczać, że równanie rekurencyjne dla sumy <math>S(n)</math> wynika z&nbsp;istnienia odpowiedniego równania rekurencyjnego dla składników sumy <math>f(n, k)</math>. Zagadnieniem tym zajmowała się siostra Mary Celine Fasenmyer, która podała algorytm postępowania<ref name="Fasenmyer1"/><ref name="Fasenmyer2"/>. Prace Zeilbergera oraz Wilfa i&nbsp;Zeilbergera uogólniły ten algorytm<ref name="Zeilberger1"/><ref name="WilfZeilberger1"/>. My przedstawimy jedynie kilka prostych przypadków, które zilustrujemy przykładami. Szersze omówienie tematu Czytelnik znajdzie w&nbsp;książce Petkovšeka, Wilfa i&nbsp;Zeilbergera<ref name="PetkovsekWilfZeilberger1"/>.
+W twierdzeniach [[#D137|D137]] i [[#D138|D138]] wyliczyliśmy <math>S(n)</math>, znajdując najpierw równanie rekurencyjne dla sumy. Możemy przypuszczać, że równanie rekurencyjne dla sumy <math>S(n)</math> wynika z&nbsp;istnienia odpowiedniego równania rekurencyjnego dla składników sumy <math>f(n, k)</math>. Zagadnieniem tym zajmowała się siostra Mary Celine Fasenmyer, która podała algorytm postępowania<ref name="Fasenmyer1"/><ref name="Fasenmyer2"/>. Prace Zeilbergera oraz Wilfa i&nbsp;Zeilbergera uogólniły ten algorytm<ref name="Zeilberger1"/><ref name="WilfZeilberger1"/>. My przedstawimy jedynie kilka prostych przypadków, które zilustrujemy przykładami. Szersze omówienie tematu Czytelnik znajdzie w&nbsp;książce Petkovšeka, Wilfa i&nbsp;Zeilbergera<ref name="PetkovsekWilfZeilberger1"/>.
-<span id="D121" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D121</span><br/>
+<span id="D122" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D122</span><br/>
 Niech <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>. Jeżeli składniki sumy <math>f(n, k)</math> spełniają równanie rekurencyjne
@@ Linia 4835: / Linia 4813: @@
-<span id="D122" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D122</span><br/>
+<span id="D123" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D123</span><br/>
 Nie ma sensu stosowanie opisanej powyżej metody do prostych sum postaci <math>\sum_{k = 0}^{n} f (k)</math>, bo równanie rekurencyjne otrzymujemy w&nbsp;takim przypadku natychmiast: <math>S(n + 1) - S (n) = f (n + 1)</math>.
-<span id="D123" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D123</span><br/>
+<span id="D124" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D124</span><br/>
-Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D116|D116]])
+Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D117|D117]])
 ::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\binom{n + k}{n}} = {\small\binom{2 n + 1}{n}}</math>
@@ Linia 4848: / Linia 4826: @@
 W tym przypadku nie otrzymamy równania rekurencyjnego, ale od razu wzór ogólny na sumę <math>S(n)</math>.
-Oczywiście <math>f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D121|D121]])
+Oczywiście <math>f(n, k) = {\small\binom{n + k}{n}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D122|D122]])
 ::<math>a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0</math>
@@ Linia 4871: / Linia 4849: @@
-Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = - a</math>, <math>c = - a</math>, <math>d = 0</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D121|D121]])
+Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = - a</math>, <math>c = - a</math>, <math>d = 0</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D122|D122]])
 ::<math>- a S (n) = a - a {\small\binom{2 n + 2}{n + 1}} - a \left( 1 - {\small\binom{2 n + 1}{n}} \right)</math>
@@ Linia 4915: / Linia 4893: @@
-<span id="D124" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D124</span><br/>
+<span id="D125" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D125</span><br/>
-Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D115|D115]] p.1)
+Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D116|D116]] p.1)
 ::<math>\sum_{k = 0}^{n} r^k {\small\binom{n}{k}} = (r + 1)^n</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Oczywiście <math>f(n, k) = r^k {\small\binom{n}{k}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D121|D121]])
+Oczywiście <math>f(n, k) = r^k {\small\binom{n}{k}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D122|D122]])
 ::<math>a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0</math>
@@ Linia 4944: / Linia 4922: @@
-Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = 0</math>, <math>c = - a</math>, <math>d = - a \cdot r</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D121|D121]])
+Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = 0</math>, <math>c = - a</math>, <math>d = - a \cdot r</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D122|D122]])
 ::<math>S(n + 1) = (r + 1) S (n)</math>
@@ Linia 4985: / Linia 4963: @@
-<span id="D125" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D125</span><br/>
+<span id="D126" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D126</span><br/>
-Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D115|D115]] p.2)
+Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D116|D116]] p.2)
 ::<math>\sum_{k = 0}^{n} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}} = {\small\frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1}}</math>
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Oczywiście <math>f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D121|D121]])
+Oczywiście <math>f(n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math>. Po podstawieniu do równania (zobacz [[#D122|D122]])
 ::<math>a \cdot {\small\frac{f (n + 1, k + 1)}{f (n, k)}} + b \cdot {\small\frac{f (n + 1, k)}{f (n, k)}} + c \cdot {\small\frac{f (n, k + 1)}{f (n, k)}} + d = 0</math>
@@ Linia 5014: / Linia 4992: @@
-Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = 0</math>, <math>c = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}}</math>, <math>d = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}}</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D121|D121]])
+Łatwo znajdujemy rozwiązania: <math>b = 0</math>, <math>c = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}}</math>, <math>d = - a \cdot {\small\frac{n + 1}{n + 2}}</math>. Skąd wynika związek dla <math>S(n)</math> (zobacz [[#D122|D122]])
 ::<math>(n + 2) S (n + 1) = 2 (n + 1) S (n) + 1</math>
@@ Linia 5055: / Linia 5033: @@
-<span id="D126" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D126</span><br/>
+<span id="D127" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D127</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Uzasadnić, dlaczego przyjmujemy, że <math>{\small\binom{n}{k}} = 0</math>, gdy <math>k < 0</math> lub <math>k > n</math>.
@@ Linia 5078: / Linia 5056: @@
-Znacznie mocniejszego uzasadnienia dostarczy nam funkcja gamma (zobacz [[#D139|D139]]), która jest uogólnieniem silni na liczby rzeczywiste. Rozważmy funkcję
+Znacznie mocniejszego uzasadnienia dostarczy nam funkcja gamma (zobacz [[#D140|D140]]), która jest uogólnieniem silni na liczby rzeczywiste. Rozważmy funkcję
 ::<math>g(n, x) = {\small\frac{\Gamma (n + 1)}{\Gamma (x + 1) \Gamma (n - x + 1)}}</math>
@@ Linia 5103: / Linia 5081: @@
-<span id="D127" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D127</span><br/>
+<span id="D128" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D128</span><br/>
 Niech <math>n, I, J \in \mathbb{N}_0</math> i <math>k \in \mathbb{Z}</math>. Jeżeli <math>f(n, k) = 0</math>
 dla <math>k \notin [0, n]</math> i&nbsp;składniki sumy <math>f(n, k)</math> spełniają równanie rekurencyjne
@@ Linia 5158: / Linia 5136: @@
-<span id="D128" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D128</span><br/>
+<span id="D129" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D129</span><br/>
-Z zadania [[#D126|D126]] wynika, że jeżeli funkcja <math>f(n, k)</math> zawiera czynnik <math>{\small\binom{n}{k}}</math>, to może spełniać warunek <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>. Oczywiście nie jest to warunek wystarczający, bo funkcja <math>f (n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math> jest różna od zera dla <math>k = - 1</math>.
+Z zadania [[#D127|D127]] wynika, że jeżeli funkcja <math>f(n, k)</math> zawiera czynnik <math>{\small\binom{n}{k}}</math>, to może spełniać warunek <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>. Oczywiście nie jest to warunek wystarczający, bo funkcja <math>f (n, k) = {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{n}{k}}</math> jest różna od zera dla <math>k = - 1</math>.
-<span id="D129" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D129</span><br/>
+<span id="D130" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D130</span><br/>
-Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D115|D115]] p.3)
+Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D116|D116]] p.3)
 ::<math>\sum_{k = 0}^{n} k {\small\binom{n}{k}} = n 2^{n - 1}</math>
@@ Linia 5209: / Linia 5187: @@
-<span id="D130" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D130</span><br/>
+<span id="D131" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D131</span><br/>
 Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwe są wzory
@@ Linia 5227: / Linia 5205: @@
 Wskazówki:
-Korzystamy z&nbsp;procedury <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>sum5()</code></span>, której kod został podany w&nbsp;zadaniu [[#D129|D129]].
+Korzystamy z&nbsp;procedury <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>sum5()</code></span>, której kod został podany w&nbsp;zadaniu [[#D130|D130]].
 Zawsze próbujemy znaleźć rozwiązanie dla najmniejszych wartości parametrów <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>I, J</code></span>.
@@ Linia 5249: / Linia 5227: @@
-<span id="D131" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D131</span><br/>
+<span id="D132" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D132</span><br/>
-Niech <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>. Wiemy (zobacz [[#D127|D127]]), że jeżeli dla dowolnego <math>n</math> wartość funkcji <math>f(n, k)</math> jest określona dla wszystkich <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>, to sumę <math>S(n)</math> możemy zapisać w&nbsp;równoważnej postaci
+Niech <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k)</math>. Wiemy (zobacz [[#D128|D128]]), że jeżeli dla dowolnego <math>n</math> wartość funkcji <math>f(n, k)</math> jest określona dla wszystkich <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>f(n, k) = 0</math> dla <math>k \notin [0, n]</math>, to sumę <math>S(n)</math> możemy zapisać w&nbsp;równoważnej postaci
 <math>S(n) = \sum_{k = 0}^{n} f (n, k) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f (n, k)</math>
@@ Linia 5331: / Linia 5309: @@
-<span id="D132" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D132</span><br/>
+<span id="D133" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D133</span><br/>
 Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór
@@ Linia 5337: / Linia 5315: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla <math>k \notin [0, n]</math> (zobacz zadanie [[#D144|D144]]). Zatem korzystając z&nbsp;procedury <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>sum6(2, 1)</code></span>, otrzymujemy równanie rekurencyjne
+Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla <math>k \notin [0, n]</math> (zobacz zadanie [[#D145|D145]]). Zatem korzystając z&nbsp;procedury <span style="font-size: 90%; color:black;"><code>sum6(2, 1)</code></span>, otrzymujemy równanie rekurencyjne
 ::<math>(n + 2) S (n + 2) - 4 (2 n + 3) S (n + 1) + 16 (n + 1) S (n) = 0</math>
@@ Linia 5351: / Linia 5329: @@
-<span id="D133" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D133</span><br/>
+<span id="D134" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D134</span><br/>
 Pokazać, że dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór
@@ Linia 5357: / Linia 5335: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
-Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla <math>k \notin [0, n]</math> (zobacz [[#D144|D144]]) poza punktem <math>k = - 1</math>. Wiemy, że (zobacz [[#D145|D145]])
+Zauważmy, że składniki sumy są równe zero dla <math>k \notin [0, n]</math> (zobacz [[#D145|D145]]) poza punktem <math>k = - 1</math>. Wiemy, że (zobacz [[#D146|D146]])
 ::<math>\lim_{k \rightarrow - 1} {\small\frac{1}{k + 1}} {\small\binom{2 k}{k}} = - {\small\frac{1}{2}}</math>
@@ Linia 5392: / Linia 5370: @@
 === <span style="border-bottom:2px solid #000; padding-bottom: 0.2em">Dowód własności liczb Catalana <math>{\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}}</math></span> ===
-<span id="D134" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D134</span><br/>
+<span id="D135" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Uwaga D135</span><br/>
-Przedstawiony poniżej dowód czwartego punktu twierdzenia [[#D113|D113]] został oparty na pracy Jovana Mikicia<ref name="JovanMikic1"/>.
+Przedstawiony poniżej dowód czwartego punktu twierdzenia [[#D114|D114]] został oparty na pracy Jovana Mikicia<ref name="JovanMikic1"/>.
-<span id="D135" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D135</span><br/>
+<span id="D136" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D136</span><br/>
 Jeżeli funkcja <math>f(k)</math> nie zależy od <math>n</math> i&nbsp;dane są sumy
@@ Linia 5429: / Linia 5407: @@
-<span id="D136" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D136</span><br/>
+<span id="D137" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D137</span><br/>
 Dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór
@@ Linia 5457: / Linia 5435: @@
 :::<math>\;\;\:\, = {\small\frac{n S (n)}{2}}</math>
-Ponieważ <math>T(n) = {\small\frac{n S (n)}{2}}</math> i <math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math> (zobacz [[#D135|D135]]), to otrzymujemy
+Ponieważ <math>T(n) = {\small\frac{n S (n)}{2}}</math> i <math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math> (zobacz [[#D136|D136]]), to otrzymujemy
 ::<math>{\small\frac{n S (n)}{2}} = 4 \cdot {\small\frac{(n - 1) S (n - 1)}{2}} + 2 S (n - 1)</math>
@@ Linia 5473: / Linia 5451: @@
-<span id="D137" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D137</span><br/>
+<span id="D138" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D138</span><br/>
 Dla <math>n \geqslant 0</math> prawdziwy jest wzór
@@ Linia 5497: / Linia 5475: @@
 </div>
-Ponieważ <math>T(n) = (n + 1) S (n) - 4^n</math> i <math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math> (zobacz [[#D135|D135]]), to otrzymujemy
+Ponieważ <math>T(n) = (n + 1) S (n) - 4^n</math> i <math>T(n) = 4 T (n - 1) + 2 S (n - 1)</math> (zobacz [[#D136|D136]]), to otrzymujemy
 <div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
@@ Linia 5527: / Linia 5505: @@
-<span id="D138" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D138</span><br/>
+<span id="D139" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D139</span><br/>
 Jeżeli <math>C_n</math> są liczbami Catalana, to
@@ Linia 5560: / Linia 5538: @@
-=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Funkcja gamma</span> ===
+=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Funkcja gamma <math>{\small \Gamma (z)}</math></span> ===
 &nbsp;
-<span id="D139" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D139</span><br/>
+<span id="D140" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D140</span><br/>
 Funkcja <math>\Gamma (z)</math><ref name="gamma1"/> jest zdefiniowana równoważnymi wzorami
@@ Linia 5682: / Linia 5660: @@
-<span id="D140" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D140</span><br/>
+<span id="D141" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D141</span><br/>
 Dla funkcji <math>\Gamma (z)</math> prawdziwe są następujące wzory
@@ Linia 5816: / Linia 5794: @@
-Ze wzorów podanych w&nbsp;twierdzeniu [[#D140|D140]] otrzymujemy<br/>
+Ze wzorów podanych w&nbsp;twierdzeniu [[#D141|D141]] otrzymujemy<br/>
-<span id="D141" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D141</span><br/>
+<span id="D142" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D142</span><br/>
 Niech <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \mathbb{N}_0</math>
@@ Linia 5852: / Linia 5830: @@
 '''Punkt 1.'''
-Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 3. twierdzenia [[#D140|D140]]
+Wystarczy położyć <math>z = {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 3. twierdzenia [[#D141|D141]]
 '''Punkt 2.'''
@@ Linia 5864: / Linia 5842: @@
 '''Punkt 3.'''
-Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 3. twierdzenia [[#D140|D140]]
+Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 3. twierdzenia [[#D141|D141]]
 '''Punkt 4.'''
@@ Linia 5916: / Linia 5894: @@
-<span id="D142" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D142</span><br/>
+<span id="D143" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D143</span><br/>
 Jeżeli <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>, to
@@ Linia 5922: / Linia 5900: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D140|D140]] p.3)
+Wiemy, że jeżeli <math>z</math> nie jest liczbą całkowitą, to prawdziwy jest wzór (zobacz [[#D141|D141]] p.3)
 ::<math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math>
@@ Linia 5952: / Linia 5930: @@
-<span id="D143" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D143</span><br/>
+<span id="D144" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D144</span><br/>
 Jeżeli <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>a \in \mathbb{Z}_+</math>, to
@@ Linia 5958: / Linia 5936: @@
 {{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
-Z twierdzenia [[#D140|D140]] p.2 wynika, że
+Z twierdzenia [[#D141|D141]] p.2 wynika, że
 ::<math>\Gamma (a z + a n + 1) = \Gamma (a z + 1) \cdot \prod^{a n}_{j = 1} (a z + j)</math>
@@ Linia 5982: / Linia 5960: @@
-<span id="D144" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D144</span><br/>
+<span id="D145" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D145</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{Z}_+</math> i <math>g(n) = {\small\binom{2 n}{n}}</math>. Pokazać, że
@@ Linia 6000: / Linia 5978: @@
 bo funkcja <math>\Gamma (x)</math> jest rozszerzeniem pojęcia silni na zbiór liczb rzeczywistych.
-Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D143|D143]], otrzymujemy
+Korzystając z&nbsp;twierdzenia [[#D144|D144]], otrzymujemy
 ::<math>\lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1)^n \cdot {\small\frac{n!}{(2 n) !}}</math>
-Ale wiemy, że (zobacz [[#D139|D139]])
+Ale wiemy, że (zobacz [[#D140|D140]])
 ::<math>\lim_{x \rightarrow - n} {\small\frac{1}{\Gamma (x + 1)}} = 0</math>
@@ Linia 6020: / Linia 5998: @@
-<span id="D145" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D145</span><br/>
+<span id="D146" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D146</span><br/>
 Niech <math>n \in \mathbb{N}_0</math> i <math>g(n) = {\small\frac{1}{n + 1}} {\small\binom{2 n}{n}}</math>. Pokazać, że
@@ Linia 6038: / Linia 6016: @@
 to łatwo pokażemy, że granica funkcji <math>g(x)</math> w&nbsp;punkcje <math>x = - 1</math> istnieje i&nbsp;jest równa <math>- {\small\frac{1}{2}}</math>.
-Z twierdzenia [[#D143|D143]] dostajemy
+Z twierdzenia [[#D144|D144]] dostajemy
 ::<math>\lim_{x \rightarrow - 1} {\small\frac{\Gamma (2 x + 1)}{\Gamma (x + 1)}} = (- 1) \cdot {\small\frac{1}{2}} = - {\small\frac{1}{2}}</math>
@@ Linia 6052: / Linia 6030: @@
 &#9633;
 {{\Spoiler}}
+=== <span style="border-bottom:2px solid #000;">Funkcja digamma <math>{\small \psi (z)}</math></span> ===
+&nbsp;
+<span id="D147" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Definicja D147</span><br/>
+Funkcję digamma <math>\psi (z)</math> (inne oznaczenia: <math>\Psi (z)</math>, <math>\psi_0 (z)</math>, <math>\psi^{(0)} (z)</math> ) definiujemy jako pochodną logarytmiczną (czyli pochodną logarytmu) funkcji <math>\Gamma (z)</math>. Mamy zatem
+::<math>\psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z)) = {\small\frac{\Gamma' (z)}{\Gamma (z)}}</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Pokaż wykres|Hide=Ukryj wykres}}
+Poniżej przedstawiamy wykres funkcji <math>\psi (x)</math>
+::[[File: digamma1.png|700px|none]]
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="D148" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D148</span><br/>
+Funkcję digamma <math>\psi (z)</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>\psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right) \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}  \qquad</math> (wzór szeregowy Weierstrassa)
+gdzie <math>\gamma</math> jest stałą Eulera.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+Skorzystamy z&nbsp;definicji iloczynowej Weierstrassa funkcji <math>\Gamma (z)</math> (zobacz [[#D139|D139]])
+::<math>\Gamma (z) = {\small\frac{e^{- \gamma z}}{z}} \prod^{\infty}_{n = 1} \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right)^{- 1} e^{z / n} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>
+Mamy
+::<math>\log \Gamma (z) = - \gamma z - \log z + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[ - \log \left( 1 + {\small\frac{z}{n}} \right) + {\small\frac{z}{n}} \right]</math>
+Różniczkując, otrzymujemy
+::<math>\psi (z) = {\small\frac{d}{d z}} (\log \Gamma (z))</math>
+:::<math>\;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left( - \frac{{\small\frac{1}{n}}}{1 + {\small\frac{z}{n}}} + {\small\frac{1}{n}} \right)</math>
+:::<math>\;\;\: = - \gamma - {\small\frac{1}{z}} - \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\small\frac{1}{n}}</math>
+:::<math>\;\;\: = - \gamma - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + z}} + \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{n + 1}}</math>
+:::<math>\;\;\: = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right)</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="D149" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D149</span><br/>
+Dla funkcji digamma <math>\psi (z)</math> prawdziwe są następujące wzory
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi (1) = - \gamma</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi (z + 1) = \psi (z) + {\small\frac{1}{z}} \qquad z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi (- z + 1) - \psi (z) = \pi \operatorname{ctg}(\pi z) \qquad z \notin \mathbb{Z}</math>
+</div>
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}}\right) + \log 2 \qquad 2 z \notin \mathbb{Z}_- \cup \{ 0 \} \qquad \qquad</math> (wzór na podwajanie)
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''
+Wzór wynika natychmiast z&nbsp;twierdzenia [[#D148|D148]]
+'''Punkt 2.'''
+Logarytmując obie strony wzoru <math>\Gamma (z + 1) = z \Gamma (z)</math> (zobacz [[#D140|D140]] p.2), otrzymujemy
+::<math>\log \Gamma (z + 1) = \log z + \log \Gamma (z)</math>
+Różniczkując obie strony równania po zmiennej <math>z</math>, mamy
+::<math>\psi (z + 1) = {\small\frac{1}{z}} + \psi (z)</math>
+'''Punkt 3.'''
+Logarytmując obie strony wzoru <math>\Gamma (z) \Gamma (- z + 1) = {\small\frac{\pi}{\sin (\pi z)}}</math> (zobacz [[#D140|D140]] p.3), otrzymujemy
+::<math>\log \Gamma (z) + \log \Gamma (- z + 1) = \log \pi - \log (\sin (\pi z))</math>
+Różniczkując obie strony równania po zmiennej <math>z</math>, mamy
+::<math>\psi (z) - \psi (- z + 1) = - {\small\frac{1}{\sin (\pi z)}} \cdot \cos (\pi z) \cdot \pi = - \pi \operatorname{ctg}(\pi z)</math>
+'''Punkt 4.'''
+Korzystamy ze wzoru Legendre'a o&nbsp;podwajaniu (zobacz [[#D140|D140]] p.4)
+::<math>\Gamma (2 z) = {\small\frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{\pi}}} \Gamma (z) \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+Logarytmując obie strony powyższego wzoru, dostajemy
+::<math>\log \Gamma (2 z) = (2 z - 1) \log 2 - \log \sqrt{\pi} + \log \Gamma (z) + \log \Gamma \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+Różniczkując obie strony równania po zmiennej <math>z</math>, otrzymujemy
+::<math>2 \psi (2 z) = 2 \log 2 + \psi (z) + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+Czyli
+::<math>\psi (2 z) = \log 2 + {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+Ze wzorów podanych w&nbsp;twierdzeniu [[#D149|D149]] otrzymujemy<br/>
+<span id="D150" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Twierdzenie D150</span><br/>
+Niech <math>k \in \mathbb{Z}</math> i <math>n \in \mathbb{N}_0</math>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( - z + {\small\frac{1}{2}} \right) = \pi \operatorname{tg}(\pi z) \qquad z \neq k + {\small\frac{1}{2}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\lim_{z \to - n} [2 \psi (2 z) - \psi (z)] = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
+</div>
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1.5em;">
+:*&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\lim_{z \rightarrow - n} {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}}</math>
+</div>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Dowód|Hide=Ukryj dowód}}
+'''Punkt 1.'''
+Kładąc we wzorze na podwajanie
+::<math>\psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2</math>
+<math>z = {\small\frac{1}{2}}</math>, otrzymujemy
+::<math>\psi (1) = {\small\frac{1}{2}} \psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) + {\small\frac{1}{2}} \psi (1) + \log 2</math>
+Skąd mamy natychmiast
+::<math>\psi \left( {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi (1) - 2 \log 2 = - \gamma - 2 \log 2</math>
+'''Punkt 2.'''
+We wzorze
+::<math>\psi (z + 1) = \psi (z) + {\small\frac{1}{z}}</math>
+połóżmy <math>z = k</math>, gdzie <math>k \in \mathbb{Z}_+</math>. Mamy
+::<math>- {\small\frac{1}{k}} = \psi (k) - \psi (k + 1)</math>
+Sumując obie strony od <math>k = 1</math> do <math>k = n</math>, otrzymujemy
+::<math>- \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = \sum_{k = 1}^{n} [\psi (k) - \psi (k + 1)] = \psi (1) - \psi (n + 1)</math>
+bo suma po prawej stronie jest sumą teleskopową (zobacz [[#D13|D13]]). Zatem
+::<math>\psi (n + 1) = - \gamma + \sum_{k = 1}^{n} {\small\frac{1}{k}} = - \gamma + H_n</math>
+gdzie <math>H_n</math> jest <math>n</math>-tą liczbą harmoniczną.
+'''Punkt 3.'''
+Wystarczy położyć <math>z = z' + {\small\frac{1}{2}}</math> we wzorze 3. twierdzenia [[#D149|D149]].
+'''Punkt 4.'''
+Kładąc we wzorze z&nbsp;punktu 3. <math>z = n</math> i&nbsp;uwzględniając, że <math>\operatorname{tg}(\pi n) = 0</math>, dostajemy
+::<math>\psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+'''Punkt 5.'''
+Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla <math>n = 0</math>. Zakładając, że jest prawdziwy dla <math>n</math>, otrzymujemy dla <math>n + 1</math>
+::<math>\psi \left( n + 1 + {\small\frac{1}{2}} \right) = \psi \left( n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2}}}</math>
+::::::<math>\;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + {\small\frac{2}{2 n + 1}}</math>
+::::::<math>\;\;\;\, = - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n + 1} {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
+gdzie skorzystaliśmy z&nbsp;twierdzenia [[#D149|D149]] p.2 i&nbsp;założenia indukcyjnego.
+'''Punkt 6.'''
+Korzystając ze wzoru na podwajanie ([[#D149|D149]] p.4), mamy
+::<math>2 \psi (2 z) = \psi (z) + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + 2 \log 2</math>
+::<math>2 \psi (2 z) - \psi (z) = 2 \log 2 + \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right)</math>
+W granicy, gdy <math>z \longrightarrow - n</math>, otrzymujemy
+::<math>\lim_{z \to - n} [2 \psi (2 z) - \psi (z)] = 2 \log 2 + \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) =</math>
+::::::::<math>\:\, = 2 \log 2 - \gamma - 2 \log 2 + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
+::::::::<math>\:\, = - \gamma + 2 \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
+'''Punkt 7.'''
+Korzystając ze wzoru na podwajanie
+::<math>\psi (2 z) = {\small\frac{1}{2}} \psi (z) + {\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2</math>
+dostajemy
+::<math>{\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}} + \frac{{\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2}{\psi (z)}</math>
+W granicy, gdy <math>z \longrightarrow - n</math> wartość funkcji <math>\psi (z)</math> dąży do <math>\pm \infty</math>. Ponieważ licznik po prawej stronie dąży do wartości skończonej
+<div style="margin-top: 1em; margin-bottom: 1em;">
+::<math>{\small\frac{1}{2}} \psi \left( z + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 \;\; \xrightarrow{\; z \rightarrow -n \;} \;\; {\small\frac{1}{2}} \psi \left( - n + {\small\frac{1}{2}} \right) + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma - \log 2 + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}} + \log 2 = - {\small\frac{1}{2}} \gamma + \sum_{k = 1}^n {\small\frac{1}{2 k - 1}}</math>
+</div>
+to
+::<math>\lim_{z \to - n}  \frac{{\small\frac{1}{2}} \psi (z + {\small\frac{1}{2}}) + \log 2}{\psi (z)} = 0</math>
+Zatem
+::<math>\lim_{z \to - n}  {\small\frac{\psi (2 z)}{\psi (z)}} = {\small\frac{1}{2}}</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="D151" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D151</span><br/>
+Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że prawdziwy jest wzór
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = {\small\frac{1}{2 a}}  \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right]</math>
+gdzie <math>\psi (x)</math> jest funkcją digamma.
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Z twierdzenia [[#D148|D148]] wiemy, że funkcję digamma <math>\psi (z)</math> możemy zapisać w&nbsp;postaci
+::<math>\psi (z) = - \gamma + \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + 1}} - {\small\frac{1}{n + z}} \right)</math>
+Zatem
+::<math>\psi (z_1) - \psi (z_2) = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{n + z_2}} - {\small\frac{1}{n + z_1}} \right)</math>
+Rozkładając sumę <math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}}</math> na dwie sumy (po <math>k</math> parzystych i <math>k</math> nieparzystych), otrzymujemy
+::<math>\sum_{k = 0}^{\infty} {\small\frac{(- 1)^k}{ak + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n) + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{a (2 n + 1) + 1}}</math>
+:::::<math>\:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - \sum_{n = 0}^{\infty} {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}}</math>
+:::::<math>\:\, = \sum_{n = 0}^{\infty} \left( {\small\frac{1}{2 a n + 1}} - {\small\frac{1}{2 a n + a + 1}} \right)</math>
+:::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \sum_{n = 0}^{\infty} \left( \frac{1}{n + {\small\frac{1}{2 a}}} - \frac{1}{n + {\small\frac{a + 1}{2 a}}} \right)</math>
+:::::<math>\:\, = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right]</math>
+Co należało pokazać.<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
+<span id="D152" style="font-size: 110%; font-weight: bold;">Zadanie D152</span><br/>
+Niech <math>a \in \mathbb{R}_+</math>. Pokazać, że
+::<math>\int^1_0 {\small\frac{1}{1 + x^a}} d x = {\small\frac{1}{2 a}} \left[ \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} + {\small\frac{1}{2}} \right) - \psi \left( {\small\frac{1}{2 a}} \right) \right]</math>
+{{Spoiler|Style = font-style: italic; font-weight: bold; color: olive; text-decoration: underline;|Show=Rozwiązanie|Hide=Ukryj rozwiązanie}}
+Wzór wynika natychmiast z&nbsp;połączenia rezultatu z&nbsp;zadania poprzedniego ([[#D151|D151]]) i&nbsp;zadania [[#D6|D6]].<br/>
+&#9633;
+{{\Spoiler}}
@@ Linia 6085: / Linia 6384: @@
 <ref name="Rosser1">J. B. Rosser and L. Schoenfeld, ''Approximate formulas for some functions of prime numbers'', Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94, ([https://projecteuclid.org/journals/illinois-journal-of-mathematics/volume-6/issue-1/Approximate-formulas-for-some-functions-of-prime-numbers/10.1215/ijm/1255631807.full LINK])</ref>
-<ref name="twierdzenie">Zobacz twierdzenie [[#D71|D71]].</ref>
+<ref name="twierdzenie">Zobacz twierdzenie [[#D72|D72]].</ref>
 <ref name="A001620">The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ''A001620 - Decimal expansion of Euler's constant'', ([https://oeis.org/A001620 A001620])</ref>

Szeregi liczbowe: Różnice pomiędzy wersjami

Wersja z 11:50, 31 mar 2026

Szeregi nieskończone

Grupowanie i przestawianie wyrazów szeregu

Funkcje

Grupowanie wyrazów szeregu

Przestawianie wyrazów szeregu

Szeregi nieskończone i całka oznaczona

Szeregi nieskończone i liczby pierwsze

Dowód z Księgi. Rozbieżność sumy [math]\displaystyle{ \textstyle \sum {\small\frac{1}{p}} }[/math]

Sumowanie przez części

Iloczyn Cauchy'ego szeregów

Liczby Catalana

Sumy współczynników dwumianowych

Suma nieoznaczona

Znajdowanie równania rekurencyjnego dla sumy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{S(n)} }[/math]

Uzupełnienie

Dowód własności liczb Catalana [math]\displaystyle{ {\small C_{n + 1} = \textstyle\sum_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k}} }[/math]

Funkcja gamma [math]\displaystyle{ {\small \Gamma (z)} }[/math]

Funkcja digamma [math]\displaystyle{ {\small \psi (z)} }[/math]

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj