Wersja z dnia 12:29, 6 kwi 2025 autorstwa HenrykDabrowski(dyskusja | edycje)(Utworzono nową stronę "<div style="text-align:right; font-size: 130%; font-style: italic; font-weight: bold;">06.04.2025</div> __FORCETOC__ == Liczby zespolone == <span id="ZA1" style="fo…")
Definicja ZA1
Liczbą zespoloną nazywamy liczbę [math]\displaystyle{ z = a + i b }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ a, b \in \mathbb{R} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ i^2 = - 1 }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ a }[/math] (odpowiednio [math]\displaystyle{ b }[/math]) nazywamy częścią rzeczywistą (odpowiednio urojoną) liczby zespolonej [math]\displaystyle{ z }[/math]. Fakt ten zapisujemy następująco: [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z) = a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}(z) = b }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ \bar{z} = a - i b }[/math] nazywamy liczbą zespoloną sprzężoną z liczbą [math]\displaystyle{ z }[/math]. Przez [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] oznaczamy zbiór wszystkich liczb zespolonych, czyli [math]\displaystyle{ \mathbb{C}= \{ z = x + i y \; : \; x, y \in \mathbb{R} \} }[/math].
Uwaga ZA2
Niech [math]\displaystyle{ z_1 = a + i b }[/math], [math]\displaystyle{ z_2 = c + i d }[/math]. Czytelnik łatwo pokaże, że
1.[math]\displaystyle{ z_1 + z_2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d) }[/math]
2.[math]\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 = (a + i b) \cdot (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c) }[/math]
3.[math]\displaystyle{ {\small\frac{z_1}{z_2}} = {\small\frac{a + i b}{c + i d}} = {\small\frac{a c + b d}{c^2 + d^2}} + i \cdot {\small\frac{b c - a d}{c^2 + d^2}} \qquad \qquad \text{ o ile } \; z_2 \neq 0 }[/math]
4.[math]\displaystyle{ \overline{(\bar{z})} = z }[/math]
Definicja ZA3
Niech [math]\displaystyle{ z = x + i y }[/math]. Liczbę [math]\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 + y^2} = | z | }[/math] nazywamy modułem liczby zespolonej [math]\displaystyle{ z }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ z \neq 0 }[/math], to liczbę [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] spełniającą układ równań
[math]\displaystyle{ \begin{cases}
x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi \\
\end{cases} }[/math]
nazywamy argumentem liczby zespolonej [math]\displaystyle{ z }[/math], co zapisujemy jako [math]\displaystyle{ \varphi = \arg(z) }[/math]. Wynika stąd wzór [math]\displaystyle{ z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ \varphi \in [0, 2 \pi) }[/math], to powiemy, że [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] jest argumentem głównym liczby zespolonej [math]\displaystyle{ z }[/math] i oznaczamy [math]\displaystyle{ \varphi = \operatorname{Arg}(z) }[/math].
Wzór jest prawdziwy w przypadku, gdy [math]\displaystyle{ z_1 = z_2 = 0 }[/math]. Możemy zatem założyć, że przynajmniej jedna z liczb [math]\displaystyle{ z_1, z_2 }[/math] jest różna od zera.
Indukcja matematyczna. Wzór jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 1, 2 }[/math]. Zakładając prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]
Indukcja matematyczna. Wzór de Moivre'a jest prawdziwy dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając prawdziwość wzoru dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math], otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ z^{n + 1} = z^n z }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\, = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) \cdot | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi) }[/math]
Definicja ZA6
Niech [math]\displaystyle{ c, z \in \mathbb{C} }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ z^n = c }[/math], to powiemy, że [math]\displaystyle{ z }[/math] jest pierwiastkiem [math]\displaystyle{ n }[/math]-tego stopnia z liczby zespolonej [math]\displaystyle{ c }[/math]. Ten z pierwiastków, który ma najmniejszy nieujemny argument, będziemy nazywali pierwiastkiem głównym.
Zadanie ZA7
Pokazać, że ze wzoru de Moivre'a wynika następujący wzór na pierwiastki [math]\displaystyle{ n }[/math]-tego stopnia z liczby [math]\displaystyle{ z }[/math]
[math]\displaystyle{ z^{1 / n} = | z |^{1 / n} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ \varphi = \arg z }[/math]. Zauważmy, że dla [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math] otrzymujemy [math]\displaystyle{ n }[/math] różnych pierwiastków [math]\displaystyle{ n }[/math]-tego stopnia z liczby [math]\displaystyle{ z }[/math].
Rozwiązanie
Niech [math]\displaystyle{ w }[/math] będzie pierwiastkiem [math]\displaystyle{ n }[/math]-tego stopnia z liczby zespolonej [math]\displaystyle{ z }[/math]. Z definicji [math]\displaystyle{ w^n = z }[/math]. Jeżeli zapiszemy liczby [math]\displaystyle{ z }[/math] i [math]\displaystyle{ w }[/math] jako
[math]\displaystyle{ z = R (\cos \varphi + i \sin \varphi) }[/math]
[math]\displaystyle{ w = r (\cos \theta + i \sin \theta) }[/math]
to równanie [math]\displaystyle{ w^n = z }[/math] możemy zapisać w postaci
[math]\displaystyle{ r^n (\cos n \theta + i \sin n \theta) = R (\cos \varphi + i \sin \varphi) }[/math]
Porównując część rzeczywistą i część urojoną, dostajemy
[math]\displaystyle{ r^n \cos n \theta = R \cos \varphi }[/math]
[math]\displaystyle{ r^n \sin n \theta = R \sin \varphi }[/math]
Mnożąc strony przez siebie, mamy
[math]\displaystyle{ r^n R \sin n \theta \cos \varphi = r^n R \cos n \theta \sin \varphi }[/math]
[math]\displaystyle{ n \theta = \varphi + 2 k \pi }[/math]
i oczywiście
[math]\displaystyle{ r = \sqrt[n]{R} }[/math]
Wszystkie wartości [math]\displaystyle{ \theta }[/math] wynikają z równania
[math]\displaystyle{ \theta = {\small\frac{\varphi}{n}} + {\small\frac{2 k \pi}{n}} }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]. Pozostałym wartościom [math]\displaystyle{ k }[/math] odpowiadają kąty [math]\displaystyle{ \theta }[/math], które różnią się o [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math] od pewnego wypisanego wyżej kąta [math]\displaystyle{ \theta }[/math].
□
d) Ponieważ [math]\displaystyle{ \operatorname{Arg}(1 + i) = {\small\frac{\pi}{4}} }[/math], to liczbę [math]\displaystyle{ 1 + i }[/math] możemy zapisać w postaci
[math]\displaystyle{ 1 + i = \sqrt{2} \left( \cos {\small\frac{\pi}{4}} + i \sin {\small\frac{\pi}{4}} \right) }[/math]
Wszystkie pierwiastki [math]\displaystyle{ 4 }[/math]-tego stopnia z liczby [math]\displaystyle{ 1 + i }[/math] otrzymujemy ze wzoru
[math]\displaystyle{ \sqrt[8]{2} \left( \cos \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) + i \sin \left( {\small\frac{(8 k + 1) \pi}{16}} \right) \right) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ k = 0, 1, 2, 3 }[/math].
□
Przykład ZA9
W przypadku liczb zespolonych łatwo jest napisać nierówności, które mają być spełnione, ale trudniej wyobrazić sobie ich rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Ogromnym ułatwieniem jest oprogramowanie WolframAlpha dostępne online. Podamy kilka przykładów.
[math]\displaystyle{ | z |^2 < 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \operatorname{Im}(z) > 0 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \; x^2 + y^2 < 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; y > 0 }[/math] (WolframAlpha)
[math]\displaystyle{ | z |^2 < 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \operatorname{Im}(z) > \operatorname{Re}(z) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \; x^2 + y^2 < 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; y > x }[/math] (WolframAlpha)
[math]\displaystyle{ | z | = \arg (z) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \; r = \varphi }[/math] (WolframAlpha)
[math]\displaystyle{ | z | = 1 + \cos (\operatorname{Arg}(z)) }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \; r = 1 + \cos \varphi }[/math] (WolframAlpha)
Ciągi nieskończone liczb zespolonych
Definicja ZA10
Niech [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math]. Jeżeli każdej liczbie [math]\displaystyle{ n }[/math] przypiszemy pewną liczbę zespoloną [math]\displaystyle{ c_n }[/math], to powiemy, że liczby [math]\displaystyle{ c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots }[/math] tworzą ciąg nieskończony o wyrazach zespolonych.
Definicja ZA11
Ciąg nieskończony [math]\displaystyle{ c_0, c_1, \ldots, c_n, \ldots }[/math] będziemy oznaczać symbolem [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math]. Często, o ile nie będzie to prowadziło do nieporozumień, ciąg nieskończony będziemy nazywali po prostu ciągiem.
Definicja ZA12
Jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba naturalna [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | c_n - c | < \varepsilon }[/math], to powiemy, że [math]\displaystyle{ c }[/math] jest granicą ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] i w takim przypadku będziemy pisali [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c }[/math]. Ciąg mający skończoną granicę będziemy nazywali zbieżnym.
Uwaga ZA13
Porównajmy. W przypadku nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] mieliśmy taki obrazek granicy
Pomimo formalnego podobieństwa definicji, w przypadku liczb zespolonych obrazek wygląda tak
Definicja ZA14
Niech [math]\displaystyle{ a_n, b_n \in \mathbb{R}\; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; c_n \in \mathbb{C} }[/math]. Ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math], [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math], [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] mają granice niewłaściwe, jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ M > 0 }[/math] istnieje taka liczba naturalna [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest
● [math]\displaystyle{ a_n > M \qquad \;\;\, }[/math] (ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] ma granicę niewłaściwą równą [math]\displaystyle{ + \infty }[/math])
● [math]\displaystyle{ b_n < - M \qquad }[/math] (ciąg [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] ma granicę niewłaściwą równą [math]\displaystyle{ - \infty }[/math])
● [math]\displaystyle{ | c_n | > M \qquad \: }[/math] (ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] ma granicę niewłaściwą równą [math]\displaystyle{ \infty }[/math])
Powiemy wtedy, że
● ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] jest rozbieżny do plus nieskończoności, co zapisujemy jako [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = + \infty }[/math]
● ciąg [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math] jest rozbieżny do minus nieskończoności, co zapisujemy jako [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = - \infty }[/math]
● ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] jest rozbieżny do nieskończoności, co zapisujemy jako [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \infty }[/math]
Przykład ZA15
Ciąg [math]\displaystyle{ a_n = 1 + {\small\frac{1}{n}} }[/math] jest zbieżny do liczby [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Istotnie, dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; N_0 = \left\lfloor {\small\frac{1}{\varepsilon}} \right\rfloor + 1 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_n - 1 | < \varepsilon }[/math]. Co łatwo sprawdzamy
Ciąg [math]\displaystyle{ a_n = n^2 }[/math] jest rozbieżny do plus nieskończoności. Istotnie, dla dowolnego [math]\displaystyle{ M > 0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; N_0 = \left\lfloor \sqrt{M} \right\rfloor + 1 }[/math] dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_n > M }[/math]. Co łatwo sprawdzamy
Twierdzenie ZA16
Niech [math]\displaystyle{ c_n = a_n + i b_n }[/math] oraz [math]\displaystyle{ c = a + i b }[/math]. Ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] ma granicę [math]\displaystyle{ c }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] mają granice [math]\displaystyle{ a }[/math] i [math]\displaystyle{ b }[/math].
Dowód
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] ma granicę równą [math]\displaystyle{ c }[/math], zatem z definicji granicy ciągu dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | c_n - c | < \varepsilon }[/math]. Korzystając z definicji modułu, otrzymujemy kolejno nierówności prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \qquad \qquad \text{oraz} \qquad \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b }[/math].
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Z założenia [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = b }[/math]. Z definicji granicy ciągów [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] i [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]
dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ | b_n - b | <
\frac{\varepsilon}{2} }[/math]. Zatem dostajemy dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ | c_n - c | = | (a_n - a) + i (b_n - b) | }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; \leqslant | a_n - a | + | i (b_n - b) | }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\; \leqslant | a_n - a | + | b_n - b | }[/math]
ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \geqslant a_n }[/math]
ciągiem malejącym, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} \leqslant a_n }[/math]
Ciągi rosnące dzielimy na
ciągi silnie rosnące, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} > a_n }[/math]
ciągi słabo rosnące, jeżeli istnieją takie [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = a_n }[/math]
Ciągi malejące dzielimy na
ciągi silnie malejące, jeżeli dla każdego [math]\displaystyle{ n }[/math] jest [math]\displaystyle{ a_{n + 1} < a_n }[/math]
ciągi słabo malejące, jeżeli istnieją takie [math]\displaystyle{ n }[/math], że [math]\displaystyle{ a_{n + 1} = a_n }[/math]
Zadanie ZA18
Jeżeli [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g }[/math], to [math]\displaystyle{ a_k \geqslant g }[/math] dla wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math].
Jeżeli [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest silnie malejącym ciągiem liczb rzeczywistych i [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = g }[/math], to [math]\displaystyle{ a_k > g }[/math] dla wszystkich wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math].
Rozwiązanie
Punkt 1.
Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz [math]\displaystyle{ a_m }[/math], że [math]\displaystyle{ a_m < g }[/math]. Wybierzmy liczby [math]\displaystyle{ r \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \varepsilon }[/math] tak, aby [math]\displaystyle{ a_m < r < g \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \varepsilon = g - r > 0 }[/math]. Zatem istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | a_n - g | < \varepsilon }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ - \varepsilon < a_n - g < \varepsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < a_n < \varepsilon + g }[/math]
Z lewej nierówności wynika, że
[math]\displaystyle{ a_n > g - \varepsilon = r > a_m }[/math]
Ponieważ wskaźnik [math]\displaystyle{ m }[/math] był liczbą ustaloną, a [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] może być dowolnie duże, to istnieje takie [math]\displaystyle{ n > m }[/math], że [math]\displaystyle{ a_n > a_m }[/math], wbrew założeniu, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem malejącym.
Punkt 2.
Przypuśćmy, że istnieje taki wyraz [math]\displaystyle{ a_m }[/math], że [math]\displaystyle{ a_m \leqslant g }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ a_m < g }[/math], to postępujemy tak jak wyżej i otrzymujemy, że istnieje takie [math]\displaystyle{ n > m }[/math], że [math]\displaystyle{ a_n > a_m }[/math], wbrew założeniu, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem silnie malejącym.
Rozważmy przypadek, gdy [math]\displaystyle{ a_m = g }[/math]. Ponieważ ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest z założenia ciągiem silnie malejącym, to [math]\displaystyle{ a_{m + 1} < a_m = g }[/math]. Powtarzając rozumowanie z punktu 1. dla wyrazu [math]\displaystyle{ a_{m + 1} }[/math], otrzymujemy, że istnieje takie [math]\displaystyle{ n > m +
1 }[/math], że [math]\displaystyle{ a_n > a_{m + 1} }[/math], wbrew założeniu, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem silnie malejącym.
□
Zadanie ZA19
Niech [math]\displaystyle{ c_n \in \mathbb{C} }[/math]. Pokazać, że
Z definicji granicy ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] jest zbieżny do [math]\displaystyle{ c }[/math], jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | c_n - c | < \varepsilon }[/math]. Warunek ten możemy w sposób równoważny zapisać w postaci [math]\displaystyle{ | (c_n - c) - 0 | < \varepsilon \; }[/math] lub [math]\displaystyle{ \; | | c_n - c | - 0 | < \varepsilon }[/math]. Skąd natychmiast wynika wypisany ciąg równoważności.
Punkt 2.
Jest to jedynie szczególny przypadek punktu 1. dla [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math].
Punkt 3.
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] jest zbieżny do [math]\displaystyle{ c }[/math], czyli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | c_n - c | < \varepsilon }[/math].
Wiemy, że dla dowolnych liczb zespolonych [math]\displaystyle{ z_1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, z_2 }[/math] prawdziwa jest nierówność (zobacz ZA4 p. 8)
Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | | c_n | - | c | | < \varepsilon }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | c_n | = | c | }[/math].
□
Definicja ZA20
Powiemy, że ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] liczb zespolonych jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że [math]\displaystyle{ | c_n | \leqslant M }[/math] dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math].
Twierdzenie ZA21
Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] liczb zespolonych jest zbieżny, to jest ograniczony.
Dowód
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] jest zbieżny. Z definicji granicy dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] spełniają warunek [math]\displaystyle{ | c_n - c | < \varepsilon }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | | c_n | - | c | | \leqslant | c_n - c | < \varepsilon }[/math]
Wynika stąd, że dla [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | c_n | < M }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ M = \max (| c_1 |, \ldots, | c_{N_0} |, | c | + \varepsilon) }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA22 (twierdzenie o trzech ciągach)
Niech [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest spełniony warunek
to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g }[/math].
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z definicji zbieżności ciągów [math]\displaystyle{ (a_n) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, (b_n) }[/math] wynika, że dla ustalonego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieją takie liczby [math]\displaystyle{ N_a \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, N_b }[/math], że
[math]\displaystyle{ | a_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a }[/math]
[math]\displaystyle{ | b_n - g | < \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_a }[/math]
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_b }[/math]
Z założenia nierówność [math]\displaystyle{ a_n \leqslant x_n \leqslant b_n }[/math] jest spełniona dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ N_1 = \max (N_0, N_a, N_b) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N_1 }[/math]
spełnione są jednocześnie nierówności
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < a_n < g + \varepsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < b_n < g + \varepsilon }[/math]
Z powyższych nierówności wynika natychmiast następujący ciąg nierówności
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < a_n \leqslant x_n \leqslant b_n < g + \varepsilon }[/math]
Co oznacza, że dla [math]\displaystyle{ n > N_1 }[/math] zachodzi
[math]\displaystyle{ g - \varepsilon < x_n < g + \varepsilon }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ | x_n - g | < \varepsilon }[/math], co oznacza, że ciąg [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math] jest zbieżny i [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = g }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA23
Niech [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{C} }[/math] będzie pewną stałą zespoloną. Jeżeli ciągi [math]\displaystyle{ (w_n) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, (z_n) }[/math] liczb zespolonych są zbieżne oraz [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +
\infty} w_n = w \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \lim_{n \rightarrow \infty} z_n = z }[/math], to
● [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (c w_n) = c w }[/math]
● [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \pm z_n) = w \pm z }[/math]
● [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z }[/math]
Jeżeli dodatkowo [math]\displaystyle{ z_n \neq 0 }[/math] dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; z \neq 0 }[/math], to
Jeżeli [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math], to ciąg [math]\displaystyle{ (c w_n) }[/math] składa się z samych zer i ma granicę równą zero – twierdzenie jest prawdziwe. Możemy zatem założyć, że [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z definicji granicy ciągu [math]\displaystyle{ (w_n) }[/math] wynika, że istnieje liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] taka, że dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ | w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{| c |}} }[/math]
Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] mamy
[math]\displaystyle{ | (c w_n) - (c w) | = | c | | w_n - w | < \varepsilon }[/math]
Co należało pokazać.
Punkt 2.
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z definicji granic ciągów [math]\displaystyle{ (w_n) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, (z_n) }[/math] wynika, że istnieją liczby [math]\displaystyle{ N_1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, N_2 }[/math] takie, że
[math]\displaystyle{ | w_n - w | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ | z_n - z | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} \qquad \qquad \text{dla} \;\; n > N_2 }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ N_0 = \max (N_1, N_2) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest
Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ (w_n + z_n) }[/math] jest zbieżny do granicy [math]\displaystyle{ w + z }[/math]. Z punktu 1. wynika natychmiast, że ciąg [math]\displaystyle{ (- z_n) }[/math] jest zbieżny do granicy [math]\displaystyle{ - z }[/math]. Zatem ciąg [math]\displaystyle{ (w_n - z_n) }[/math] jest zbieżny do granicy [math]\displaystyle{ w - z }[/math].
Punkt 3.
Rozpoczniemy od dowodu prostszego przypadku i pokażemy, że iloczyn ciągów [math]\displaystyle{ (a_n) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, (b_n) }[/math] zbieżnych do zera jest zbieżny do zera. Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z definicji granic ciągów [math]\displaystyle{ (a_n) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, (b_n) }[/math] wynika, że dla ustalonego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieją liczby [math]\displaystyle{ N_1 \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, N_2 }[/math] takie, że
Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n \cdot z_n) = w \cdot z \; }[/math] w przypadku, gdy obydwa ciągi są zbieżne do zera.
Dowodząc przypadek ogólny, wykorzystamy fakt, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n - w) = 0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n - z) = 0 }[/math]. Zatem
[math]\displaystyle{ \;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - z \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n) - w \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n) + w z }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\:\: = \lim_{n \rightarrow \infty} (w_n z_n) - w z }[/math]
Co kończy dowód.
Punkt 4.
Dla dowodu wystarczy pokazać, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} {\small\frac{1}{z_n}} = {\small\frac{1}{z}} }[/math]. Z definicji granicy ciągu [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math], zatem w szczególności dla [math]\displaystyle{ \varepsilon = {\small\frac{1}{2}} | z | }[/math], istnieje takie [math]\displaystyle{ N_1 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_1 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z | }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ | z_n - z | \geqslant | | z_n | - | z | | }[/math], to
[math]\displaystyle{ | | z_n | - | z | | < {\small\frac{1}{2}} | z | }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ - {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | - | z | < {\small\frac{1}{2}} | z | }[/math]
[math]\displaystyle{ \;\;\: {\small\frac{1}{2}} | z | < | z_n | < {\small\frac{3}{2}} | z | }[/math]
Z lewej nierówności wynika, że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_1 }[/math] mamy
[math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{| z_n |}} < {\small\frac{2}{| z |}} }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z definicji granicy ciągu [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] wynika, że istnieje liczba [math]\displaystyle{ N_2 }[/math] taka, że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_2 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | z_n - z | < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ N_0 = \max (N_1, N_2) }[/math]. Zatem dla [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ \left| {\small\frac{1}{z_n}} - {\small\frac{1}{z}} \right| = \left| {\small\frac{z - z_n}{z_n z}} \right| = {\small\frac{| z_n - z |}{| z_n | | z |}} < {\small\frac{1}{2}} | z |^2 \cdot \varepsilon \cdot {\small\frac{2}{| z |}} \cdot {\small\frac{1}{| z |}} = \varepsilon }[/math]
Co kończy dowód.
□
Twierdzenie ZA24
Jeżeli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = 0 }[/math], zaś ciąg [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] jest ograniczony, to [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (z_n \cdot c_n) = 0 }[/math].
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (z_n) }[/math] jest ograniczony, czyli istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ M > 0 }[/math], że [math]\displaystyle{ | z_n | \leqslant M }[/math]. Zatem prawdziwe jest oszacowanie
Zadanie ZA25
Niech [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x^n = 0 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ | x | < 1 }[/math].
Rozwiązanie
Zauważmy, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} 0^n = 0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \lim_{n \rightarrow \infty} 1^n = 1 }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ (- 1)^{2 k} = + 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (- 1)^{2 k + 1} = - 1 }[/math], zatem granica [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (- 1)^n }[/math] nie istnieje.
1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x > 1} }[/math]
Bo [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = 0 }[/math], a ciąg [math]\displaystyle{ (- 1)^n }[/math] jest ciągiem ograniczonym (zobacz ZA24).
4. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{x < - 1} }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ x = - | x | \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \lim_{n \rightarrow \infty} | x |^n = + \infty }[/math], to ciąg [math]\displaystyle{ (x^n) }[/math] jest w tym przypadku rozbieżny. Dla parzystych [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do plus nieskończoności, a dla nieparzystych [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do minus nieskończoności.
□
Twierdzenie ZA26
Niech [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math]. Granica [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} z^n = 0 }[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ | z | < 1 }[/math].
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ \varphi = \operatorname{Arg}(z) }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ z = | z | (\cos \varphi + i \sin \varphi) }[/math], zatem
[math]\displaystyle{ z^n = | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ \cos n \varphi }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \sin n \varphi }[/math] nie mogą być jednocześnie równe zero (bo mielibyśmy wtedy [math]\displaystyle{ \cos^2 \! n \varphi + \sin^2 \! n \varphi = 0 }[/math]), to [math]\displaystyle{ | z |^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi) }[/math] dąży do zera wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ | z |^n }[/math] dąży do zera, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy [math]\displaystyle{ | z | < 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie ZA27
Niech [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1 }[/math].
Rozwiązanie
1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{a > 1} }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a^{1 / n} = 1 }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie ZA28
Niech [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math]. Pokazać, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} z^{1 / n} = 1 }[/math] pod warunkiem, że [math]\displaystyle{ z^{1 / n} }[/math] jest pierwiastkiem głównym [math]\displaystyle{ n }[/math]-tego stopnia z liczby [math]\displaystyle{ z }[/math].
Rozwiązanie
Wszystkie pierwiastki, których nieujemny argument główny jest najmniejszy, są określone wzorem (zobacz ZA7)
[math]\displaystyle{ z^{1 / n} = | z |^{1 / n} \left( \cos {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi + 2 k \pi}{n}} \right) }[/math]
gdzie [math]\displaystyle{ \varphi = \operatorname{Arg}(z) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; k = 0, 1, \ldots, n - 1 }[/math]. Pierwiastek główny otrzymujemy dla [math]\displaystyle{ k = 0 }[/math], czyli
[math]\displaystyle{ z^{1 / n} = | z |^{1 / n} \left( \cos {\small\frac{\varphi}{n}} + i \sin {\small\frac{\varphi}{n}} \right) }[/math]
Z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy natychmiast, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} d_n = 0 }[/math], skąd wynika, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} n^{1 / n} = 1 }[/math].
□
Zadanie ZA30
Pokazać, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} (n!)^{1 / n} = + \infty }[/math].
[math]\displaystyle{ \;\;\:\, = \prod^n_{k = 1} k \cdot (n - k + 1) }[/math]
Łatwo widzimy, że dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, \ldots, n - 1, n }[/math] prawdziwa jest nierówność [math]\displaystyle{ k \cdot (n - k + 1) \geqslant n }[/math], bo w równoważnej nierówności [math]\displaystyle{ (k - 1) (n - k) \geqslant 0 }[/math] obydwa czynniki są nieujemne. Zatem [math]\displaystyle{ (n!)^2 \geqslant n^n }[/math], czyli [math]\displaystyle{ n! \geqslant \sqrt{n^n} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (n!)^{1 / n} \geqslant \sqrt{n} }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} = + \infty }[/math].
□
Podciągi, punkty skupienia, granica dolna i górna
Definicja ZA31
Jeżeli [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] jest ciągiem nieskończonym liczb zespolonych i [math]\displaystyle{ \left( {k_j} \right) }[/math] jest silnie rosnącym ciągiem nieskończonym liczb naturalnych, to powiemy, że ciąg [math]\displaystyle{ (c_{k_j}) }[/math] jest nieskończonym podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math].
Przykład ZA32
Ciąg [math]\displaystyle{ (c_{2 k}) }[/math], czyli ciąg postaci [math]\displaystyle{ c_2, c_4, c_6 \ldots }[/math] i ciąg [math]\displaystyle{ (c_{2^k}) }[/math], czyli ciąg postaci [math]\displaystyle{ c_2, c_4, c_8 \ldots }[/math] są podciągami ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math]. Ciąg [math]\displaystyle{ c_2, c_8, c_4, c_{32}, c_{16}, \ldots }[/math] nie jest podciągiem, bo kolejne wskaźniki nie tworzą ciągu silnie rosnącego.
Pociągami ciągu [math]\displaystyle{ c_n = (- 1)^n }[/math] są ciągi [math]\displaystyle{ (1, 1, 1, \ldots) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (- 1, - 1, - 1, \ldots) }[/math]. Widzimy, że ciąg, który nie jest zbieżny, ma zbieżne podciągi. Oczywiście każdy podciąg ciągu zbieżnego jest ciągiem zbieżnym.
Definicja ZA33
Powiemy, że liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] jest punktem skupienia ciągu liczb zespolonych [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math], gdy istnieje podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] zbieżny do [math]\displaystyle{ c }[/math].
Powiemy, że [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], gdy istnieje podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] rozbieżny do [math]\displaystyle{ + \infty }[/math].
Powiemy, że [math]\displaystyle{ - \infty }[/math] jest punktem skupienia ciągu liczb rzeczywistych [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], gdy istnieje podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] rozbieżny do [math]\displaystyle{ - \infty }[/math].
Przykład ZA34
Punktami skupienia ciągu [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k }[/math] są liczby [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Punktami skupienia ciągu [math]\displaystyle{ c_k = i^k }[/math] są liczby [math]\displaystyle{ 1, - 1, i, - i }[/math]. Punktami skupienia ciągu [math]\displaystyle{ a_k = k \cdot (- 1)^k }[/math] są [math]\displaystyle{ - \infty }[/math] i [math]\displaystyle{ + \infty }[/math].
W ogólności: jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] zawiera nieskończenie wiele jednakowych wyrazów [math]\displaystyle{ c }[/math], to oczywiście liczba [math]\displaystyle{ c }[/math] jest punktem skupienia tego ciągu, bo łatwo możemy wybrać podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] zbieżny do [math]\displaystyle{ c }[/math].
Twierdzenie ZA35
Niech [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{C} }[/math]. Jeżeli dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] otoczenie [math]\displaystyle{ | z - c | < \varepsilon }[/math] zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różny od [math]\displaystyle{ c }[/math], to punkt [math]\displaystyle{ c }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math].
Dowód
Z założenia otoczenie [math]\displaystyle{ | z - c | < \varepsilon }[/math] zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różny od [math]\displaystyle{ c }[/math]. Zauważmy, że w rzeczywistości otoczenie [math]\displaystyle{ | z - c | < \varepsilon }[/math] musi zawierać nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różnych od [math]\displaystyle{ c }[/math]. Istotnie, gdyby w rozpatrywanym otoczeniu była tylko skończona liczba wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różnych od [math]\displaystyle{ c }[/math], to moglibyśmy wyznaczyć taką liczbę [math]\displaystyle{ \varepsilon' > 0 }[/math], że w otoczeniu [math]\displaystyle{ | z - c | < \varepsilon' }[/math] nie byłoby ani jednego wyrazu ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różnego od [math]\displaystyle{ c }[/math] wbrew założeniu, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] otoczenie [math]\displaystyle{ | z - c | < \varepsilon }[/math] zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różny od [math]\displaystyle{ c }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ j \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Z nieskończenie wielu wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] różnych od [math]\displaystyle{ c }[/math] zawartych w otoczeniu [math]\displaystyle{ | z - c | < {\small\frac{1}{j}} }[/math] wybieramy dowolny wyraz następujący po już wybranych wyrazach [math]\displaystyle{ c_{k_1}, c_{k_2}, \ldots, c_{k_{j - 1}} }[/math]. Oznaczmy ten wyraz przez [math]\displaystyle{ c_{k_j} }[/math]. Postępując tak dla kolejnych liczb [math]\displaystyle{ j }[/math], otrzymujemy podciąg [math]\displaystyle{ (c_{k_j}) }[/math] zbieżny do [math]\displaystyle{ c }[/math]. Pokażemy zbieżność podciągu [math]\displaystyle{ (c_{k_j}) }[/math]. Dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] obierzmy [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] tak, aby [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon }[/math]. Z konstrukcji ciągu [math]\displaystyle{ (c_{k_j}) }[/math] widzimy, że dla każdego [math]\displaystyle{ j > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | c_{k_j} - c | < {\small\frac{1}{N_0}} < \varepsilon }[/math]. Co kończy dowód.
Zauważmy, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Punkt [math]\displaystyle{ 1 }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ a_n = (- 1)^n }[/math], ale nieprawdą jest, że dowolne otoczenie punktu [math]\displaystyle{ 1 }[/math] zawiera przynajmniej jeden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] różny od [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
□
Definicja ZA36 (granica dolna i górna)
Granicą górną ciągu liczb rzeczywistych [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], nazywamy największy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem [math]\displaystyle{ \limsup_{k \rightarrow \infty} a_k }[/math].
Granicą dolną ciągu liczb rzeczywistych [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math], nazywamy najmniejszy z jego punktów skupienia i oznaczamy symbolem [math]\displaystyle{ \liminf_{k \rightarrow \infty} a_k }[/math].
Twierdzenie ZA37
Ciąg liczb rzeczywistych [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy granice górna i dolna są skończone i jednakowe.
Przykład ZA38
Granice dolna i górna ciągu [math]\displaystyle{ a_k = (- 1)^k }[/math] są odpowiednio równe [math]\displaystyle{ - 1 }[/math] i [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]
Dwa ważne twierdzenia podamy bez dowodu[1][2]. Twierdzenie ZA39*
Niech [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ n }[/math] i rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k > n }[/math] jest
[math]\displaystyle{ a_{k + 1}\geqslant a_k \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad a_k \leqslant M }[/math]
to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny. Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych rosnący i ograniczony od góry jest zbieżny.
Twierdzenie ZA40*
Niech [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeżeli istnieje taka liczba całkowita [math]\displaystyle{ n }[/math] i rzeczywista [math]\displaystyle{ M }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k > n }[/math] jest
[math]\displaystyle{ a_{k + 1} \leqslant a_k \qquad }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \qquad a_k \geqslant M }[/math]
to ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny. Inaczej mówiąc: ciąg liczb rzeczywistych malejący i ograniczony od dołu jest zbieżny.
Twierdzenie ZA41 (o przedziałach zstępujących)
Niech będzie dany nieskończony ciąg przedziałów domkniętych [math]\displaystyle{ I_n = [a_n, b_n] \subset \mathbb{R} }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ I_{n + 1} \subset I_n }[/math]. Jeżeli długości przedziałów [math]\displaystyle{ I_n }[/math] dążą do zera, gdy [math]\displaystyle{ n }[/math] dąży do nieskończoności, czyli
Zatem [math]\displaystyle{ b = a }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA42 (Bernard Bolzano, 1817; Karl Weierstrass)
Każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych ma podciąg zbieżny.
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] będzie rozpatrywanym ciągiem. Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] jest ograniczony, zatem istnieją takie liczby rzeczywiste [math]\displaystyle{ a_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ b_0 }[/math], że [math]\displaystyle{ a_0 \leqslant u_k \leqslant b_0 }[/math]. Zbudujemy ciąg przedziałów zstępujących [math]\displaystyle{ I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots }[/math] i związany z nimi podciąg zbieżny ciągu [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] powtarzając następującą procedurę
1. przedział [math]\displaystyle{ I_n = [a_n, b_n] }[/math] dzielimy na połowy tworząc dwa podprzedziały [math]\displaystyle{ \left[ a_n, {\small\frac{a_n + b_n}{2}} \right] }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \left[ {\small\frac{a_n + b_n}{2}}, b_n \right] }[/math]
2. z utworzonych podprzedziałów wybieramy ten, w którym jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math][a]; wybór definiuje przedział [math]\displaystyle{ I_{n + 1} = [a_{n + 1}, b_{n + 1}] }[/math]
3. ze sposobu konstrukcji przedziału [math]\displaystyle{ I_{n + 1} }[/math] wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ | I_{n + 1} | = {\small\frac{| I_n |}{2}} }[/math]
4. dowolny wyraz ciągu [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math] w przedziale [math]\displaystyle{ I_{n + 1} }[/math] (ale następujący po wcześniej wybranych wyrazach [math]\displaystyle{ u_{k_1}, u_{k_2}, \ldots, u_{k_n} }[/math]) będzie [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] wyrazem budowanego podciągu i oznaczymy go jako [math]\displaystyle{ u_{k_{n + 1}} }[/math]
Zauważmy, że
ciąg przedziałów [math]\displaystyle{ I_0, I_1, I_2, \ldots }[/math] jest ciągiem przedziałów zstępujących, bo z definicji [math]\displaystyle{ I_{n + 1} \subset I_n }[/math] oraz [math]\displaystyle{ | I_n | = {\small\frac{b_0 - a_0}{2^n}} }[/math], czyli długość przedziałów [math]\displaystyle{ I_n }[/math] dąży do zera
ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, (b_n) }[/math] są zbieżne do wspólnej granicy [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = g \; }[/math] (zobacz ZA41)
ponieważ [math]\displaystyle{ a_n \leqslant u_{k_n} \leqslant b_n }[/math], to z twierdzenia o trzech ciągach (zobacz ZA22) wynika natychmiast, że [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} u_{k_n} = g }[/math]
[a] Gdyby w każdym z podprzedziałów było nieskończenie wiele wyrazów ciągu [math]\displaystyle{ (u_k) }[/math], to wybieramy dowolny z nich.
□
Definicja ZA43 (ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych)
Powiemy, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] liczb rzeczywistych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że [math]\displaystyle{ | a_n - a_m | < \varepsilon }[/math] dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ m, n }[/math] spełniających warunek [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] i [math]\displaystyle{ m > N_0 }[/math].
Twierdzenie ZA44
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb rzeczywistych jest ograniczony.
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] będzie ciągiem Cauchy'ego liczb rzeczywistych. Zatem dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 = N_0 ( \varepsilon ) }[/math], że dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ m, n > N_0 }[/math] jest
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny. Niech [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla wszystkich liczb [math]\displaystyle{ m, n > N_0 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ | a_n - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} }[/math]
Zatem
[math]\displaystyle{ | a_n - a_m | = | (a_n - a) - (a_m - a) | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon }[/math]
Czyli [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem Cauchy'ego.
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest ciągiem Cauchy'ego. Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Wiemy, że istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_1 }[/math], ża dla wszystch liczb [math]\displaystyle{ m, n > N_1 }[/math] jest
Ponieważ każdy ciąg Cauchy'ego jest ograniczony (zobacz ZA44), to na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa można z ciągu [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] wybrać podciąg zbieżny [math]\displaystyle{ (a_{k_j}) }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ \lim_{j \rightarrow \infty} a_{k_j} = \alpha }[/math]. Zatem istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_2 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ k_j > N_2 }[/math] jest
Wynika stąd, że ciąg [math]\displaystyle{ (a_k) }[/math] jest zbieżny i [math]\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = \alpha }[/math]. Ponieważ ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę, to oczywiście [math]\displaystyle{ \alpha = a }[/math].
□
Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa i ciągi Cauchy'ego w [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]
Twierdzenie ZA46 (Bolzana-Weierstrassa dla liczb zespolonych)
Każdy ograniczony ciąg liczb zespolonych ma podciąg zbieżny.
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] będzie rozpatrywanym ciągiem i niech [math]\displaystyle{ c_k = a_k + i b_k }[/math]. Z założenia [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] jest ograniczony, zatem ograniczone są ciągi [math]\displaystyle{ (a_k) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_k) }[/math], bo [math]\displaystyle{ | a_k | \leqslant | c_k | \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; | b_k | \leqslant | c_k | }[/math]. Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa dla liczb rzeczywistych wynika natychmiast, że z każdego z ciągów [math]\displaystyle{ (a_k) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_k) }[/math] można wybrać podciąg zbieżny. Oznaczmy te podciągi odpowiednio jako [math]\displaystyle{ (a_{k_j}) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_{k_j}) }[/math]. Zatem ciąg [math]\displaystyle{ c_{k_j} = a_{k_j} + i b_{k_j} }[/math] jest zbieżny i jest podciągiem ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math]. Co należało pokazać.
□
Definicja ZA47
Powiemy, że ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego, jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że [math]\displaystyle{ | c_n - c_m | < \varepsilon }[/math] dla dowolnych liczb [math]\displaystyle{ m, n }[/math] spełniających warunek [math]\displaystyle{ n > N_0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; m > N_0 }[/math].
Twierdzenie ZA48
Jeżeli ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] liczb zespolonych jest ciągiem Cauchy'ego i [math]\displaystyle{ \, c_n = a_n + i b_n }[/math], to ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] też są ciągami Cauchy'ego.
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z założenia dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla dowolnych [math]\displaystyle{ m, n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | c_n - c_m | < \varepsilon }[/math]. Ponieważ
to tym bardziej [math]\displaystyle{ | a_n - a_m | < \varepsilon \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; | b_n - b_m | < \varepsilon }[/math]. Zatem ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] też są ciągami Cauchy'ego. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA49
Każdy ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych jest ograniczony.
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] będzie ciągiem Cauchy'ego liczb zespolonych i [math]\displaystyle{ c_n = a_n + i b_n }[/math]. Ponieważ ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych, to są ograniczone (zobacz ZA44). Zatem istnieją takie liczby rzeczywiste [math]\displaystyle{ M_a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; M_b }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | a_n | \leqslant M_a \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; | b_n | \leqslant M_b }[/math]. Wynika stąd natychmiast, że
Czyli istnieje taka liczba rzeczywista [math]\displaystyle{ M_c }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | c_n | \leqslant M_c }[/math] (wystarczy przyjąć [math]\displaystyle{ M_c \geqslant \sqrt{M^2_a + M^2_b} }[/math]). Co oznacza, że ciąg Cauchy'ego liczb zespolonych [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] jest ograniczony.
□
Twierdzenie ZA50
Ciąg [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] liczb zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego.
Dowód
[math]\displaystyle{ \Large{\Longrightarrow} }[/math]
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] jest zbieżny. Niech [math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = c \, }[/math] i niech [math]\displaystyle{ \varepsilon \in \mathbb{R}_+ }[/math]. Z definicji zbieżności wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | c_n - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} }[/math]
Oczywiście jest tak również dla wszystkich [math]\displaystyle{ m > N_0 }[/math], czyli
[math]\displaystyle{ | c_m - c | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} }[/math]
Wynika stąd, że
[math]\displaystyle{ | c_n - c_m | = | (c_n - c) - (c_m - c) | \leqslant | (c_n - c) | + | (c_m - c) | < {\small\frac{\varepsilon}{2}} + {\small\frac{\varepsilon}{2}} = \varepsilon }[/math]
Pokazaliśmy, że dla ustalonego [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla wszystkich [math]\displaystyle{ m, n > N_0 }[/math] jest [math]\displaystyle{ | c_n - c_m | < \varepsilon }[/math], czyli ciąg [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] jest ciągiem Cauchy'ego.
[math]\displaystyle{ \Large{\Longleftarrow} }[/math]
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] jest ciągiem Cauchy'ego. Niech [math]\displaystyle{ c_k = a_k + i b_k }[/math]. Wiemy, że ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] są ciągami Cauchy'ego liczb rzeczywistych (zobacz ZA48). Zatem ciągi [math]\displaystyle{ (a_n) \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; (b_n) }[/math] są zbieżne (zobacz ZA45). Wynika stąd zbieżność ciągu [math]\displaystyle{ (c_k) }[/math] (zobacz ZA16). Co należało pokazać.
□
Zadanie ZA51
Niech ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] będzie ograniczonym ciągiem liczb zespolonych, który ma dokładnie dwa punkty skupienia [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] i [math]\displaystyle{ z_2 }[/math]. Pokazać, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math] wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] spełniają jeden z warunków
Z założenia ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] jest ograniczony, zatem dla [math]\displaystyle{ M > 0 }[/math] prawdziwe jest oszacowanie [math]\displaystyle{ | c_n | \leqslant M }[/math]. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że stwierdzenie, które mamy pokazać, nie jest prawdziwe. Zatem prawdziwe jest jego zaprzeczenie, które brzmi: istnieje takie [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ N_0 }[/math] istnieją takie [math]\displaystyle{ n > N_0 }[/math], że wyrazy ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] nie spełniają żadnego z warunków
Wynika stąd, że wyrazów, które nie spełniają powyższych warunków, jest nieskończenie wiele i tworzą one nieskończony i ograniczony podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math]. Na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa z tego podciągu możemy wybrać podciąg zbieżny. Co oznacza, wbrew założeniu, że ciąg [math]\displaystyle{ (c_n) }[/math] ma co najmniej trzy punkty skupienia.
□
Uzupełnienie
Zadanie ZA52
Dla dowolnych [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R} }[/math] prawdziwe są nierówności
[math]\displaystyle{ | \sin x - \sin y | \leqslant | x - y | }[/math]
[math]\displaystyle{ | \cos x - \cos y | \leqslant | x - y | }[/math]
Rozwiązanie
Punkt 1.
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x = y }[/math] nierówność jest prawdziwa. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ y > x }[/math]. Zauważmy, że funkcja [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] jest ciągła w przedziale [math]\displaystyle{ [x, y] }[/math] i różniczkowalna w przedziale [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math]. Oznacza to, że spełnione są założenia twierdzenia Lagrange'a[3]. Zatem istnieje taki punkt [math]\displaystyle{ a \in (x, y) }[/math], że
[math]\displaystyle{ \sin y - \sin x = (y - x) \cdot \cos (a) }[/math]
[math]\displaystyle{ | \sin y - \sin x | = | y - x | \cdot | \cos (a) | }[/math]
[math]\displaystyle{ | \sin x - \sin y | \leqslant | x - y | }[/math]
Co należało pokazać. Analogicznie dowodzimy punkt 2.
□
Twierdzenie ZA53
Niech [math]\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ \, k \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; n \in N_0 }[/math]. Część ułamkową liczby rzeczywistej [math]\displaystyle{ x }[/math] definiujemy następująco: [math]\displaystyle{ \{ x \} = x - \lfloor x \rfloor }[/math]. Prawdziwe są następujące właściwości funkcji [math]\displaystyle{ \{ x \} }[/math].
1.[math]\displaystyle{ \{ k + x \} = \{ x \} }[/math]
2.[math]\displaystyle{ \{ \{ x \} \} = \{ x \} }[/math]
3.[math]\displaystyle{ \{ x \} + \{ - x \} =
\begin{cases}
0 & \text{gdy } \, x \in \mathbb{Z} \\
1 & \text{gdy } \, x \notin \mathbb{Z} \\
\end{cases} }[/math]
4.[math]\displaystyle{ \{ k \{ x \} \} = \{ k x \} }[/math]
5.[math]\displaystyle{ n \{ x \} < 1 \qquad \qquad \, \Longrightarrow \qquad n \{ x \} = \{ n x \} }[/math]
6.[math]\displaystyle{ \{ x \} \geqslant \{ y \} \qquad \quad \;\;\, \Longrightarrow \qquad \{ x \} - \{ y \} = \{ x - y \} }[/math]
7.[math]\displaystyle{ \{ x \} + \{ y \} < 1 \qquad \Longrightarrow \qquad \{ x \} + \{ y \} = \{ x + y \} }[/math]
Dowód
Punkt 1.
Wynika z analogicznej własności funkcji [math]\displaystyle{ \lfloor x \rfloor }[/math]: [math]\displaystyle{ \lfloor k + x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor }[/math], którą łatwo dowodzimy, zapisując [math]\displaystyle{ x }[/math] w postaci [math]\displaystyle{ x = j + \varepsilon }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ j \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 0 < \varepsilon < 1 }[/math].
Punkt 2.
[math]\displaystyle{ \{ \{ x \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor \} = \{ x \} }[/math]
Punkt 3.
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math] wynik jest natychmiastowy, bo [math]\displaystyle{ \{ x \} + \{ - x \} = 0 + 0 }[/math]. Załóżmy, że [math]\displaystyle{ x \notin \mathbb{Z} }[/math], zatem możemy napisać [math]\displaystyle{ x = k + \varepsilon }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; 0 < \varepsilon < 1 }[/math]. Łatwo zauważamy, że [math]\displaystyle{ 0 < 1 - \varepsilon < 1 \, }[/math] i otrzymujemy
[math]\displaystyle{ \{ k \{ x \} \} = \{ k (x - \lfloor x \rfloor) \} = \{ k x - k \lfloor x \rfloor \} = \{ k x \} }[/math]
Punkt 5.
Z założenia [math]\displaystyle{ 0 \leqslant n \{ x \} < 1 }[/math]. Zatem
[math]\displaystyle{ n \{ x \} = \{ n \{ x \} \} = \{ n x \} }[/math]
Gdzie skorzystaliśmy z punktu 4.
Punkt 6.
Z założenia [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \{ x \} - \{ y \} < 1 }[/math]. Zatem
[math]\displaystyle{ \{ x \} - \{ y \} = \{ \{ x \} - \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor - y + \lfloor y \rfloor \} = \{ (x - y) + (\lfloor y \rfloor - \lfloor x \rfloor) \} = \{ x - y \} }[/math]
Punkt 7.
Z założenia [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \{ x \} + \{ y \} < 1 }[/math]. Zatem
[math]\displaystyle{ \{ x \} + \{ y \} = \{ \{ x \} + \{ y \} \} = \{ x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor \} = \{ (x + y) - (\lfloor y \rfloor + \lfloor x \rfloor) \} = \{ x + y \} }[/math]
Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA54 (zasada szufladkowa)
Jeżeli więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] przedmiotów (przynajmniej [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]) zostało rozmieszczonych w [math]\displaystyle{ n }[/math] szufladach, to jedna z szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot.
Dowód
Pierwszy sposób
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że żadna z szuflad nie zawiera więcej niż jednego przedmiotu. Zatem każda z szuflad zawiera jeden lub mniej przedmiotów, czyli ogólna liczba przedmiotów w szufladach nie może być większa niż [math]\displaystyle{ n \cdot 1 = n }[/math], wbrew założeniu, że w szufladach rozmieszczono więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] przedmiotów.
Drugi sposób
Indukcja matematyczna. Twierdzenie jest prawdziwe dla [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math]. Zakładając prawdziwość twierdzenia dla [math]\displaystyle{ n }[/math], przeprowadzimy dla liczby [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math]
następujące rozumowanie.
Rozmieśćmy więcej niż [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] przedmiotów w [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] szufladach. Zaglądając do jednej z szuflad, możemy stwierdzić, że
a) zawiera ona więcej niż jeden przedmiot – co kończy dowód
b) nie zawiera ona żadnego przedmiotu, wynika stąd, że więcej niż [math]\displaystyle{ n + 1 }[/math] przedmiotów (czyli więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] przedmiotów) zostało rozmieszczonych w pozostałych [math]\displaystyle{ n }[/math] szufladach, zatem z założenia indukcyjnego jedna z nich zawiera więcej niż jeden przedmiot
c) zawiera ona dokładnie jeden przedmiot, zatem pozostałe więcej niż [math]\displaystyle{ n }[/math] przedmiotów zostało rozmieszczone w pozostałych [math]\displaystyle{ n }[/math] szufladach i ponownie z założenia indukcyjnego wynika, że jedna z pozostałych szuflad zawiera więcej niż jeden przedmiot.
□
Twierdzenie ZA55
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną i niech [math]\displaystyle{ \{ n \alpha \} }[/math] oznacza część ułamkową liczby [math]\displaystyle{ n \alpha }[/math]. Nie istnieją takie różne liczby całkowite [math]\displaystyle{ j, k }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ k \alpha \} = \{ j \alpha \} }[/math]. W szczególności dla dowolnej liczby całkowitej [math]\displaystyle{ k \neq 0 }[/math] mamy [math]\displaystyle{ \{ k \alpha \} \neq {\small\frac{p}{q}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ p, q \in \mathbb{Z} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; q \neq 0 }[/math].
Dowód
Część ułamkową liczby [math]\displaystyle{ x }[/math] definiujemy następująco: [math]\displaystyle{ \{ x \} = x - \lfloor x \rfloor }[/math]. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że takie liczby [math]\displaystyle{ j, k }[/math] istnieją. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ k > j }[/math]. Otrzymujemy
Zatem [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] byłaby liczbą wymierną wbrew założeniu. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Gdyby było [math]\displaystyle{ \{ k \alpha \} = {\small\frac{p}{q}} }[/math], to mielibyśmy
[math]\displaystyle{ k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor = {\small\frac{p}{q}} }[/math]
[math]\displaystyle{ k \alpha = {\small\frac{p}{q}} + \lfloor k \alpha \rfloor }[/math]
Co jest niemożliwe, bo [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] jest liczbą niewymierną.
□
Twierdzenie ZA56 (twierdzenie Dirichleta o aproksymacji)
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną i niech [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Istnieją takie liczby całkowite [math]\displaystyle{ p \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; q }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ 1 \leqslant q \leqslant N }[/math], że
[math]\displaystyle{ | q \alpha - p | < {\small\frac{1}{N}} }[/math]
Podzielmy przedział [math]\displaystyle{ [0, 1) }[/math] na [math]\displaystyle{ N }[/math] podprzedziałów, każdy o długości [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{N}} }[/math].
Dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1 }[/math] wypiszmy części ułamkowe liczb [math]\displaystyle{ k \alpha }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor }[/math]. Dostajemy ciąg liczb
z których każda należy do przedziału [math]\displaystyle{ (0, 1) }[/math].
Mamy [math]\displaystyle{ N + 1 }[/math] różnych liczb [math]\displaystyle{ \{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, N }[/math] przedziałów, zatem z zasady szufladkowej w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby [math]\displaystyle{ \{ i \alpha \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \{ j \alpha \} }[/math]. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że [math]\displaystyle{ j > i }[/math]. Mamy
Uwaga ZA57
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną i niech [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ }[/math], będzie ułamkiem, którego istnienie wynika z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji. Zauważmy, że ułamki [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math] dla różnych liczb [math]\displaystyle{ N }[/math] nie muszą być różne. Przykładowo dla [math]\displaystyle{ \alpha = \pi \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; N = 8, \ldots, 105 }[/math] znajdujemy jeden ułamek [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} = {\small\frac{22}{7}} }[/math]. Jednak wśród ułamków [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math] jest nieskończenie wiele różnych ułamków.
Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że wśród ułamków [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math], jest jedynie skończona ilość różnych ułamków. Gdyby tak było, to dla pewnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] nie byłoby żadnego ułamka [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math] takiego, że
Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wśród ułamków [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math] jest nieskończenie wiele różnych ułamków.
Przykład ZA58
Z twierdzenia o aproksymacji Dirichleta wiemy, że [math]\displaystyle{ 1 \leqslant q \leqslant N }[/math]. Dla ustalonego [math]\displaystyle{ q }[/math] mamy
Łatwo sprawdzamy, że jedynymi możliwymi wartościami [math]\displaystyle{ p }[/math] są liczby [math]\displaystyle{ p = \lfloor q \alpha \rfloor \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; p = \lfloor q \alpha \rfloor + 1 }[/math].
Dla zadanej liczby niewymiernej [math]\displaystyle{ a }[/math] i liczby całkowitej dodatniej [math]\displaystyle{ N }[/math] wystarczy prosta instrukcja w PARI/GP, aby znaleźć odpowiadające im ułamki [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{q}} }[/math].
for(q = 1, N, m = floor(q*a); for(p = m, m + 1, if( abs(q*a - p) < 1/N, print(p, " ", q, " ", p/q, " ", 1.0*p/q) )))
Okazuje się, że takich ułamków nie ma zbyt wiele. Przykłady ułamków (w postaci nieskracalnej) zebraliśmy w tabeli.
Warto też zobaczyć jak znalezione ułamki [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math] zmieniają się ze wzrostem liczby [math]\displaystyle{ N }[/math]. W tabeli mamy tylko takie liczby N, dla których nastąpiła zmiana w znalezionych ułamkach.
Zauważmy, że każdy redukt ułamka łańcuchowego reprezentującego liczbę [math]\displaystyle{ \pi }[/math] występuje wśród ułamków [math]\displaystyle{ {\small\frac{p_N}{q_N}} }[/math].
Twierdzenie ZA59
Między dowolnymi różnymi liczbami rzeczywistymi znajduje się liczba wymierna.
Dowód
Rozważmy dwie liczby rzeczywiste [math]\displaystyle{ x, y }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ y > x }[/math], [math]\displaystyle{ a = {\small\frac{x + y}{2}} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; d = y - a = a - x }[/math]. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą wymierną, to twierdzenie jest udowodnione. Jeżeli [math]\displaystyle{ a }[/math] jest liczbą niewymierną, to niech [math]\displaystyle{ N > {\small\frac{1}{d}} }[/math].
Pierwszy sposób
Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji mamy
[math]\displaystyle{ \left| a - {\small\frac{p}{q}} \right| < {\small\frac{1}{q N}} \leqslant {\small\frac{1}{N}} < d }[/math]
Zatem liczba wymierna [math]\displaystyle{ {\small\frac{p}{q}} }[/math] leży między liczbami rzeczywistymi [math]\displaystyle{ x \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y }[/math].
Drugi sposób
Łatwo zauważamy, że
[math]\displaystyle{ a - {\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} = {\small\frac{a \cdot N - \lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} < {\small\frac{1}{N}} < d }[/math]
Zatem liczba wymierna [math]\displaystyle{ {\small\frac{\lfloor a \cdot N \rfloor}{N}} }[/math] leży między liczbami rzeczywistymi [math]\displaystyle{ x \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \, y }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA60
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną i niech [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ m \alpha \} < \varepsilon }[/math].
Dowód
Liczbę naturalną [math]\displaystyle{ N }[/math] wybieramy tak, aby [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon }[/math]. Podzielmy przedział [math]\displaystyle{ [0, 1) }[/math] na [math]\displaystyle{ N }[/math] podprzedziałów, każdy o długości [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{N}} }[/math].
Dla [math]\displaystyle{ k = 1, 2, 3, \ldots, N, N + 1 }[/math] wypiszmy części ułamkowe liczb [math]\displaystyle{ k \alpha }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \{ k \alpha \} = k \alpha - \lfloor k \alpha \rfloor }[/math]. Dostajemy ciąg liczb
z których każda należy do przedziału [math]\displaystyle{ (0, 1) }[/math].
Mamy [math]\displaystyle{ N + 1 }[/math] różnych liczb [math]\displaystyle{ \{ 1 \alpha \}, \{ 2 \alpha \}, \{ 3 \alpha \}, \ldots, \{ N \alpha \}, \{ (N + 1) \alpha \} \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; N }[/math] przedziałów, zatem z zasady szufladkowej wynika, że w jednym z przedziałów znajdują się co najmniej dwie z tych liczb. Powiedzmy, że są to liczby [math]\displaystyle{ \{ i \alpha \} }[/math] oraz [math]\displaystyle{ \{ j \alpha \} }[/math]. Dostajemy
Połóżmy teraz [math]\displaystyle{ m = j - i }[/math]. Mamy
[math]\displaystyle{ 0 < \{ m \alpha \} < {\small\frac{1}{N}} }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ 0 < \{ m \alpha \} < \varepsilon }[/math]
W przypadku, gdy [math]\displaystyle{ m > 0 }[/math] dowód jest zakończony.
Rozważmy przypadek, gdy [math]\displaystyle{ m < 0 }[/math]. Wybierzmy liczbę całkowitą dodatnią [math]\displaystyle{ b }[/math] tak, aby spełniony był układ nierówności
[math]\displaystyle{ b < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} < b + 1 }[/math]
Z lewej nierówności wynika, że [math]\displaystyle{ b \{ m \alpha \} < 1 }[/math], zatem [math]\displaystyle{ b \{ m \alpha \} = \{ b m \alpha \} }[/math] (zobacz ZA53 p. 5). Przekształcając, otrzymujemy
[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{1}{\{ m \alpha \}}} - b < 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < 1 - b \{ m \alpha \} < \{ m \alpha \} < \varepsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < 1 - \{ b m \alpha \} < \varepsilon }[/math]
Ze wzoru [math]\displaystyle{ 1 - \{ x \} = \{ - x \} }[/math] (zobacz ZA53 p. 3) dostajemy
[math]\displaystyle{ 0 < \{ - b m \alpha \} < \varepsilon }[/math]
Gdzie [math]\displaystyle{ - b m \in \mathbb{Z}_+ }[/math]. Co kończy dowód.
□
Zadanie ZA61
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną. Pokazać, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ m_j }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \{ m_j \alpha \} < \varepsilon }[/math].
Rozwiązanie
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Z twierdzenia ZA60 wiemy, że zbiór liczb całkowitych dodatnich [math]\displaystyle{ m_j }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \{ m_j \alpha \} < \varepsilon }[/math] nie jest zbiorem pustym. Przypuśćmy, dla uzyskania sprzeczności, że istnieje jedynie skończona ilość liczb [math]\displaystyle{ m_j }[/math] takich, że [math]\displaystyle{ \{ m_j \alpha \} < \varepsilon }[/math]. Niech [math]\displaystyle{ n }[/math] oznacza największą z nich.
Zauważmy, że liczba [math]\displaystyle{ \beta = n \alpha }[/math] jest liczbą niewymierną i dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon' > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ k \beta \} < \varepsilon' }[/math].
Niech [math]\displaystyle{ \varepsilon' < \min (\varepsilon, \{ \beta \}) }[/math]. Przy takim wyborze liczby [math]\displaystyle{ \varepsilon' }[/math] nie może być [math]\displaystyle{ k = 1 }[/math], bo mielibyśmy [math]\displaystyle{ \varepsilon' < \{ \beta \} < \varepsilon' }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ k > 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; \{ k \beta \} < \varepsilon' }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \{ k n \alpha \} < \varepsilon' < \varepsilon }[/math]. Wynika stąd, że [math]\displaystyle{ m_j = k n }[/math] jest kolejną i większą od [math]\displaystyle{ n }[/math] liczbą całkowitą dodatnią taką, że [math]\displaystyle{ \{ m_j \alpha \} < \varepsilon }[/math]. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
□
Twierdzenie ZA62
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną. Jeżeli [math]\displaystyle{ g \in [0, 1] }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ (\{ n \alpha \}) }[/math].
Dowód
1. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g = 0} }[/math]
Dla ustalonego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] w otoczeniu [math]\displaystyle{ (- \varepsilon, \varepsilon) }[/math] znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ a_n = \{ n \alpha \} }[/math] różny od zera. Fakt ten wynika natychmiast z twierdzenia ZA60. Zatem punkt [math]\displaystyle{ g = 0 }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ (\{ n \alpha \}) }[/math] (zobacz ZA35).
2. Przypadek, gdy [math]\displaystyle{ \boldsymbol{g \in (0, 1]} }[/math]
Z twierdzenia ZA60 wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ m }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ m \alpha \} < \varepsilon }[/math]. Nie zmniejszając ogólności, możemy [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] wybrać tak, aby spełniony był warunek [math]\displaystyle{ \varepsilon < g }[/math]. Mamy wtedy [math]\displaystyle{ \{ m \alpha \} < \varepsilon < g }[/math], czyli [math]\displaystyle{ {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} > 1 }[/math].
Liczbę [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] wybieramy tak, aby
[math]\displaystyle{ n < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} \leqslant n + 1 }[/math]
Zatem
[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{g}{\{ m \alpha \}}} - n \leqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < g - n \{ m \alpha \} \leqslant \{ m \alpha \} < \varepsilon }[/math]
Z lewej nierówności otrzymujemy [math]\displaystyle{ n \{ m \alpha \} < g \leqslant 1 }[/math]. Z twierdzenia ZA53 p. 5 mamy [math]\displaystyle{ n \{ m \alpha \} = \{ n m \alpha \} }[/math] i ostatecznie dostajemy
[math]\displaystyle{ 0 < g - \{ n m \alpha \} < \varepsilon }[/math]
Pokazaliśmy, że w otoczeniu [math]\displaystyle{ (g - \varepsilon, g + \varepsilon) }[/math] znajduje się przynajmniej jeden wyraz ciągu [math]\displaystyle{ a_n = \{ n \alpha \} }[/math] różny od [math]\displaystyle{ g }[/math]. Zatem [math]\displaystyle{ g }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ (\{ n \alpha \}) }[/math]. Co należało pokazać.
□
Zadanie ZA63
Pokazać, że [math]\displaystyle{ \limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1 }[/math].
Rozwiązanie
Niech [math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}} }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} \in [0, 1] }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ a_n = \{ n \alpha \} }[/math] (zobacz ZA62). Zatem istnieje podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbieżny do [math]\displaystyle{ {\small\frac{1}{4}} }[/math], co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych [math]\displaystyle{ k_j }[/math], że [math]\displaystyle{ \lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{1}{4}} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{1}{4}} }[/math]. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k_j > N_0 }[/math] jest
Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu ZA52. Zatem [math]\displaystyle{ \lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = 1 }[/math], czyli [math]\displaystyle{ 1 }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ (\sin n) }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ \sin x \leqslant 1 }[/math], to [math]\displaystyle{ 1 }[/math] największym puntem skupienia, zatem [math]\displaystyle{ \limsup_{n \rightarrow \infty} \sin n = 1 }[/math].
□
Twierdzenie ZA64
Jeżeli [math]\displaystyle{ g \in [- 1, 1] }[/math], to [math]\displaystyle{ g }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ s_n = \sin n }[/math].
Dowód
Niech [math]\displaystyle{ \alpha = {\small\frac{1}{2 \pi}} }[/math] i niech liczba rzeczywista [math]\displaystyle{ t \in [0, 2 \pi] }[/math] będzie wybrana tak, aby [math]\displaystyle{ \sin t = g }[/math]. Ponieważ [math]\displaystyle{ {\small\frac{t}{2 \pi}} \in [0, 1] }[/math], to [math]\displaystyle{ {\small\frac{t}{2 \pi}} }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ a_n = \{ n \alpha \} }[/math]. Zatem istnieje podciąg ciągu [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] zbieżny do [math]\displaystyle{ {\small\frac{t}{2 \pi}} }[/math], co oznacza, że istnieje taki silnie rosnący ciąg liczb naturalnych [math]\displaystyle{ k_j }[/math], że [math]\displaystyle{ \lim_{k_j \rightarrow \infty} a_{k_j} = {\small\frac{t}{2 \pi}} }[/math], czyli [math]\displaystyle{ \lim_{k_j \rightarrow \infty} \{ k_j \alpha \} = {\small\frac{t}{2 \pi}} }[/math]. Z definicji zbieżności wynika, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ k_j > N_0 }[/math] jest
Gdzie skorzystaliśmy z nierówności podanej w zadaniu ZA52. Zatem [math]\displaystyle{ \lim_{k_j \rightarrow \infty} \sin (k_j) = g }[/math], czyli [math]\displaystyle{ g }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ s_n = \sin n }[/math]. Co należało pokazać.
□
Twierdzenie ZA65
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \, }[/math] i dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka para liczb [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z}_+ \, }[/math] i [math]\displaystyle{ \; k \in \mathbb{Z} , \, }[/math] że [math]\displaystyle{ \; | m \alpha + k - x | < \varepsilon }[/math].
Dowód
Pierwszy sposób
Ponieważ [math]\displaystyle{ \{ x \} \in [0, 1) }[/math], to [math]\displaystyle{ \{ x \} }[/math] jest punktem skupienia ciągu [math]\displaystyle{ (\{ n \alpha \}) }[/math] (zobacz ZA62). Zatem istnieje podciąg [math]\displaystyle{ (\{ n_j \alpha \}) }[/math] ciągu [math]\displaystyle{ (\{ n \alpha \}) }[/math] zbieżny do [math]\displaystyle{ \{ x \} }[/math].
Zauważmy, że dodając [math]\displaystyle{ \lfloor x \rfloor }[/math] do wyrazów podciągu [math]\displaystyle{ (\{ n_j \alpha \}) }[/math], otrzymujemy ciąg zbieżny do [math]\displaystyle{ x }[/math]. Wyrazy tak zmodyfikowanego podciągu możemy zapisać w postaci
Z definicji zbieżności tego podciągu wynika, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje takie [math]\displaystyle{ N_0 }[/math], że dla każdego [math]\displaystyle{ n_j > N_0 }[/math] jest
[math]\displaystyle{ | n_j \alpha + \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor - x | < \varepsilon }[/math]
Liczby [math]\displaystyle{ m = n_j > N_0 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; k = \lfloor x \rfloor - \lfloor n_j \alpha \rfloor }[/math] tworzą parę liczb [math]\displaystyle{ (m, k) }[/math] taką, że [math]\displaystyle{ \; | m \alpha + k - x | < \varepsilon }[/math].
Drugi sposób
Z twierdzenia ZA60 wiemy, że dla dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka liczba [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{Z}_+ }[/math], że [math]\displaystyle{ \{ r \alpha \} < \varepsilon }[/math]. Wybierzmy [math]\displaystyle{ j \in \mathbb{Z} }[/math] tak, aby [math]\displaystyle{ x + j > \{ r \alpha \} }[/math] i wybierzmy [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_+ }[/math] tak, aby
[math]\displaystyle{ n < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} \leqslant n + 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{x + j}{\{ r \alpha \}}} - n \leqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < x + j - n \{ r \alpha \} \leqslant \{ r \alpha \} < \varepsilon }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ 0 < | n \{ r \alpha \} - j - x | < \varepsilon }[/math]
Ponieważ [math]\displaystyle{ n \{ r \alpha \} = n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor }[/math], to
[math]\displaystyle{ 0 < | n r \alpha - n \lfloor r \alpha \rfloor - j - x | < \varepsilon }[/math]
Co pokazuje, że poszukiwana para liczb istnieje i jest równa [math]\displaystyle{ (m, k) = (n r, - n \lfloor r \alpha \rfloor - j) }[/math].
□
Zadanie ZA66
Niech [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnego [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \, }[/math] i dowolnego [math]\displaystyle{ \varepsilon > 0 }[/math] istnieje taka para liczb całkowitych [math]\displaystyle{ m, n }[/math], że [math]\displaystyle{ | m \alpha + n - x | < \varepsilon }[/math].
Rozwiązanie
Niech [math]\displaystyle{ N \in \mathbb{Z}_+ \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; {\small\frac{1}{N}} < \varepsilon }[/math]. Z twierdzenia Dirichleta o aproksymacji (ZA56) wiemy, że dla dowolnej liczby [math]\displaystyle{ N }[/math] istnieje taka para liczb [math]\displaystyle{ p, q }[/math], że
Liczbę całkowitą [math]\displaystyle{ j }[/math] wybieramy tak, aby [math]\displaystyle{ x + j > | q \alpha - p | }[/math], a liczbę [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_+ }[/math] wybieramy tak, aby
[math]\displaystyle{ k < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \leqslant k + 1 }[/math]
Otrzymujemy
[math]\displaystyle{ 0 < {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} - k \leqslant 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < x + j - k | q \alpha - p | \leqslant | q \alpha - p | < \varepsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 < x + j - k | q \alpha - p | < \varepsilon }[/math]
Niech [math]\displaystyle{ s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p) }[/math], oczywiście [math]\displaystyle{ s = \pm 1 }[/math]. Mamy [math]\displaystyle{ | q \alpha - p | = s (q \alpha - p) }[/math], zatem
[math]\displaystyle{ 0 < x + j - s k q \alpha + s k p < \varepsilon }[/math]
Czyli
[math]\displaystyle{ 0 < | s k q \alpha - s k p - j - x | < \varepsilon }[/math]
Wystarczy położyć: [math]\displaystyle{ m = s k q \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; n = - s k p - j }[/math], gdzie [math]\displaystyle{ k = \left\lceil {\small\frac{x + j}{| q \alpha - p |}} \right\rceil - 1 \; }[/math] i [math]\displaystyle{ \; s = \operatorname{sgn}(q \alpha - p) }[/math].
□
Przypisy
↑Wikipedia, Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego, (Wiki-pl)
