Dynamika rozprzestrzeniania się koronawirusa SARS-CoV-2 w Polsce

Z Henryk Dąbrowski
Skocz do: nawigacja, szukaj
24.03.2020



Podejrzewasz zakażenie koronawirusem SARS-CoV-2? Sprawdź co robić!

Zakażenie koronawirusem może spowodować pojawienie się u chorego następujących objawów:

  • gorączka większa od 38°C
  • kaszel
  • duszność
  • problemy z oddychaniem

Jeżeli wystąpił u Ciebie co najmniej jeden z wyżej wymienionych objawów, to powinieneś zgłosić się do szpitalnego oddziału chorób zakaźnych, najbliższego Twojego miejsca pobytu.

Możesz też zadzwonić na całodobową infolinię Narodowego Funduszu Zdrowia 800 190 590, aby uzyskać więcej informacji o tym, jak postępować w przypadku podejrzenia zakażenia koronawirusem.

Listę szpitalnych oddziałów chorób zakaźnych (plik DOCX do pobrania) znajdziesz na stronie Ministerstwa Zdrowia: Byłeś w Chinach i źle się czujesz? Sprawdź co robić! (LINK).

Nie zgłaszaj się na SOR lub do przychodni POZ, bo możesz jedynie zarazić przebywające tam osoby.


Pamiętaj! Nie czekaj, aż objawy wystąpią u Ciebie lub u bliskich Ci osób. Pobierz plik już dziś! Już teraz musisz wiedzieć, co będziesz musiał zrobić. Twoja wiedza może okazać się przydatna, gdy choroba dotknie Ciebie lub inne osoby.


Poczyniwszy odpowiednie przygotowania, możemy teraz spokojnie przejść do zasadniczego tematu tego artykułu, jakim jest szybkość rozprzestrzeniania się koronawirusa w Polsce.



Epidemia i dynamika rozprzestrzeniania się zakażeń

Najgorszy przypadek rozprzestrzeniania się choroby opisuje krzywa wykładnicza. Typowy przykład: każda chora osoba w ciągu okresu T dni zaraża N zdrowych osób. Po upływie k takich okresów T zarażonych jest Nk osób. To wzrost wykładniczy – najgorszy z możliwych. Rozstrzygnięcie, z jakim rodzajem wzrostu mamy do czynienia w Polsce, jest kluczowe dla nas wszystkich. Najpierw przyjrzyjmy się rodzajom funkcji, które mogą opisywać wzrost liczby osób zakażonych i oczekiwaną liczbę przypadków w kolejnych dniach epidemii.


Liczba chorych po n dniach epidemii Przyrost liczby chorych w kolejnych dniach Uwagi
y(n) = ea·n + b y(n+1) - y(n) = ea·n + b + c wzrost wykładniczy,   c = log(ea - 1)
podwojenie co T = log(2)/a dni
y(n) = a·n + b y(n+1) - y(n) = a wzrost liniowy
y(n) = a·n2 + b·n + c y(n+1) - y(n) = 2a·n + b1 wzrost kwadratowy,   b1 = a + b
y(n) = a·n3 + b·n2 + c·n + d y(n+1) - y(n) = 3a·n2 + b2·n + c2 wzrost sześcienny,   b2 = 3a + 2b,   c2 = a + b + c


Widzimy, że jeżeli wzrost ogólnej liczby przypadków jest opisywany funkcją wykładniczą, to dzienne przyrosty liczby chorych również są opisywane funkcją wykładniczą. W przypadku, gdy wzrost ogólnej liczby chorych opisywany jest wielomianem, to dzienne przyrosty liczby chorych są opisywane wielomianem o jeden stopień niższym.



Liczba wykrytych zakażeń w kolejnych dniach

Poniższa tabela przedstawia liczbę stwierdzonych przypadków w kolejnych dniach. Liczby w nawiasie określają liczbę dni, które upłynęły od początku epidemii.

Marzec Liczba Razem Kwiecień Liczba Razem
2020.03.01 (   ) 2020.04.01 ( 29) 243 2554
2020.03.02 (   ) 2020.04.02 ( 30) 392 2946
2020.03.03 (   ) 2020.04.03 ( 31) 437 3383
2020.03.04 (  1) 1 1 2020.04.04 ( 32) 244 3627
2020.03.05 (  2) 0 1 2020.04.05 ( 33) 475 4102
2020.03.06 (  3) 4 5 2020.04.06 ( 34) 311 4413
2020.03.07 (  4) 1 6 2020.04.07 ( 35) 435 4848
2020.03.08 (  5) 5 11 2020.04.08 ( 36) 357 5205
2020.03.09 (  6) 6 17 2020.04.09 ( 37)
2020.03.10 (  7) 5 22 2020.04.10 ( 38)
2020.03.11 (  8) 9 31 2020.04.11 ( 39)
2020.03.12 (  9) 20 51 2020.04.12 ( 40)
2020.03.13 ( 10) 17 68 2020.04.13 ( 41)
2020.03.14 ( 11) 36 104 2020.04.14 ( 42)
2020.03.15 ( 12) 21 125 2020.04.15 ( 43)
2020.03.16 ( 13) 52 177 2020.04.16 ( 44)
2020.03.17 ( 14) 61 238 2020.04.17 ( 45)
2020.03.18 ( 15) 49 287 2020.04.18 ( 46)
2020.03.19 ( 16) 68 355 2020.04.19 ( 47)
2020.03.20 ( 17) 70 425 2020.04.20 ( 48)
2020.03.21 ( 18) 111 536 2020.04.21 ( 49)
2020.03.22 ( 19) 98 634 2020.04.22 ( 50)
2020.03.23 ( 20) 115 749 2020.04.23 ( 51)
2020.03.24 ( 21) 152 901 2020.04.24 ( 52)
2020.03.25 ( 22) 150 1051 2020.04.25 ( 53)
2020.03.26 ( 23) 170 1221 2020.04.26 ( 54)
2020.03.27 ( 24) 168 1389 2020.04.27 ( 55)
2020.03.28 ( 25) 249 1638 2020.04.28 ( 56)
2020.03.29 ( 26) 224 1862 2020.04.29 ( 57)
2020.03.30 ( 27) 193 2055 2020.04.30 ( 58)
2020.03.31 ( 28) 256 2311


Liczba wykrytych zakażeń (w ciągu doby). Okres od 26 marca 2020 r. do 8 kwietnia 2020 r. Zielona linia jest krzywą regresji liniowej, a czerwona linia krzywą regresji wielomianowej dla wielomianu drugiego stopnia.


Łączna liczba wykrytych zakażeń. Okres od 26 marca 2020 r. do 8 kwietnia 2020 r. Zielona linia jest krzywą regresji wielomianowej dla wielomianu drugiego stopnia.


Łączna liczba wykrytych zakażeń (skala logarytmiczna). Okres od 26 marca 2020 r. do 8 kwietnia 2020 r. Zielona linia jest krzywą regresji wielomianowej dla wielomianu drugiego stopnia. Dobrze widoczne jest powolne wyhamowywanie epidemii.



Zastosowany sposób analizy całkowitej liczby zakażeń

Do badania statystycznego wybieramy okres 14 dni. Ostatni dzień tego okresu, to dzień nadejścia najnowszych danych. Omówimy jak znajdować wykładniczą i wielomianową funkcję regresji. Jeśli Czytelnik nie jest zainteresowany zapoznaniem się z zastosowaną metodą obliczeń, to bez najmniejszej straty może pominąć tę sekcję.


Wykładnicza krzywa regresji

Przypuśćmy, że wzrost całkowitej liczby zakażeń jest opisywany funkcją wykładniczą y(n) = exp(a·n + b) i wyznaczmy parametry tej funkcji. Łatwo zauważamy, że problem ten sprowadza się do problemu liniowego, bo logarytmując obie strony wypisanego równania mamy log( y(n) ) = a·n + b. Dlatego w kolejnych kolumnach arkusza kalkulacyjnego umieszczamy:

  • logarytm naturalny całkowitej liczby zakażeń w kolejnych dniach wybranego przedziału (to są dane Y)
  • numer kolejnego dnia epidemii odpowiadający datom z wybranego okresu (to są dane X)


Korzystając z funkcji arkusza REGLINP()[1][2], otrzymujemy wartości współczynników. Przykładowo dla dnia 25 marca 2020 r. (22 dzień epidemii) znajdujemy wartości:

a = 0,229 (z błędem 0,018)
b = 2,08 (z błędem 0,28)

Jako wartość błędu przyjęliśmy podwojoną wartość odchylenia standardowego σ dla każdego ze współczynników. Zatem szukana funkcja ma postać: y(n) = exp( 0,229·n + 2,08 ), gdzie n przyjmuje wartości z przedziału [9, 22].

Zwraca uwagę wysoka korelacja równa 0,992. Zauważmy, że znalezionej wartości współczynnika a odpowiada okres podwojenia całkowitej liczby zakażeń T2 = log(2)/a równy 3 dni. Wartość ta tak znacznie odbiega od rzeczywistości, że wykładniczej funkcji regresji w ogóle nie będziemy brali pod uwagę.


Już teraz zauważmy, że jeśli epidemia potrwa dłużej, to numery kolejnych dni epidemii osiągną duże wartości. Przykładowo będziemy mieli n = 101, 102, …, 114. Gdy argument funkcji przyjmuje tak duże wartości, to w funkcji opisującej znalezioną krzywą regresji pojawiają się ogromne współczynniki. Przewidując ten problem, warto dokonać podstawienia x = n – n0 + 1, gdzie n0 oznacza numer dnia epidemii dla pierwszego dnia wybranego przedziału danych. W naszym przypadku tak zdefiniowana zmienna x będzie zawsze przyjmowała wartości od 1 do 14.

Powtarzając obliczenia dla zmiennej x, otrzymujemy:

a = 0,229 (z błędem 0,018)
b = 3,92 (z błędem 0,15)

Czyli szukana funkcja wykładnicza ma postać: y(x) = exp( 0,229·x + 3,92 ), gdzie x przymuje wartości z przedziału [1, 14].

Zauważmy, że wartości współczynnika a oraz współczynnika korelacji nie zmieniły się, ale współczynnik b oraz błąd z jakim został wyznaczony uległy zmianie. Czego należało się spodziewać.

Zawsze możemy przejść od zmiennej x do zmiennej n. W naszym przypadku wystarczy wykonać podstawienie: x = n – 8. Czytelnik może wykonać to podstawienie i porównać uzyskany wzór ze wzorem obliczonym wcześniej.

Dokładnie taka postać funkcji jest znajdowana, gdy tworzymy krzywą regresji przy pomocy Kreatora wykresów dostępnego w pakiecie LibreOffice Calc. W rzeczywistości jest to ogromne ułatwienie: nie musimy wzoru opisującego krzywą regresji znajdować sami, a zostaje on automatycznie wygenerowany w czasie tworzenia wykresu. Oczywiście nie uzyskamy w ten sposób innych informacji statystycznych (na przykład odchylenia standardowego dla wyliczonych współczynników), ale w pewnych przypadkach uzyskanie postaci funkcji może nas w zupełności zadowolić.


Kwadratowa funkcja regresji

Zauważmy, że wzrost całkowitej liczby zakażeń z pewnością nie jest opisywany funkcją liniową, bo liczba rejestrowanych każdego dnia przypadków nie jest stała, ale zdecydowanie rośnie. Przypuśćmy zatem, że wzrost ten jest opisywany funkcją kwadratową i wyznaczmy parametry tej funkcji. Sytuacja jest bardziej skomplikowana, bo odpowiednie wzory opisujące regresję liniową są łatwo dostępne, ale na regresję nieliniową już nie. Jednak niektóre problemy nieliniowe dają się łatwo zlinearyzować. Tak uczyniliśmy przed chwilą w przypadku funkcji wykładniczej: logarytmy wartości tej funkcji są opisywane funkcją liniową, dlatego przygotowaliśmy w kolumnie logarytmy ogólnej liczby przypadków. Podobnie w przypadku zjawiska opisywanego funkcją kwadratową postaci y = ax2 + b, podstawienie u = x2 linearyzuje problem, a w kolumnie wystarczy wpisać wartości kwadratów zmiennej niezależnej x.


W naszym przypadku uczynimy tak samo, choć problem będzie bardziej skomplikowany. Podstawiając u = x2 sprowadzamy problem badania funkcji y = ax2 + bx + c do badania funkcji y = au + bx + c, czyli do problemu dwukrotnej regresji liniowej[3], gdzie są już odpowiednie wzory, a funkcja REGLINP() ponownie okaże się przydatna.


Pamiętając o potrzebie przejścia do zmiennej x = n – n0 + 1, gdzie n0 oznacza numer dnia epidemii dla pierwszego dnia wybranego przedziału danych, w kolejnych kolumnach arkusza kalkulacyjnego umieszczamy:

  • całkowitą liczbę zakażeń w kolejnych dniach wybranego przedziału (to są dane Y)
  • liczby od 1 do 14 (numerują one dni epidemii w wybranym przedziale danych) (to są dane X)
  • kwadraty liczb od 1 do 14 (to też są dane X)


Ponownie korzystając z funkcji arkusza REGLINP(), otrzymujemy wartości współczynników

a = 5,46 (z błędem 0,49)
b = -7,3 (z błędem 7,5)
c = 66 (z błędem 25)

Zwraca uwagę niezwykle wyskoki współczynnik korelacji równy 0,999.

Czyli szukany wielomian drugiego stopnia ma postać: z(x) = 5,46·x2 - 7,3·x + 66, gdzie x przyjmuje wartości z przedziału [1, 14].


Wzrost całkowitej liczby zakażeń opisywany funkcją kwadratową jest znacznie bardziej zbliżony do rzeczywistości. Funkcja kwadratowa jest znacznie lepiej dopasowana do rzeczywistych danych – pokazuje to efekt działań podjętych przez rząd: początkowo wykładniczy wzrost liczby chorych przeszedł we wzrost opisywany funkcją kwadratową i miejmy nadzieję, że za kilka tygodni zacznie wygasać.


Sześcienna funkcja regresji

Oczywiście (wbrew doniesieniom mediów) całkowita liczba zakażeń nie nie rośnie wykładniczo, a rośnie (od 20 dnia epidemii) wielomianowo i biegnie między krzywymi opisywanymi wielomianem 2 i 3 stopnia.

Sposób postępowania jest analogiczny jak dla wielomianu stopnia drugiego, dlatego jedynie go naszkicujemy. Podstawiając u = x2t = x3, sprowadzamy problem do badania funkcji postaci y = at + bu + cx + d, czyli sprowadzamy problem do trzykrotnej regresji liniowej[3] i ponownie funkcja REGLINP() okaże się niezwykle pomocna.

Dokonujemy przejścia do zmiennej x = n – n0 + 1, gdzie n0 oznacza numer dnia epidemii dla pierwszego dnia wybranego przedziału danych i w kolejnych kolumnach arkusza kalkulacyjnego umieszczamy:

  • całkowitą liczbę zakażeń w kolejnych dniach wybranego przedziału (to są dane Y)
  • liczby od 1 do 14 (numerują one dni epidemii w wybranym przedziale danych) (to są dane X)
  • kwadraty liczb od 1 do 14 (to też są dane X)
  • sześciany liczb od 1 do 14 (to również są dane X)


Korzystając z funkcji arkusza REGLINP(), otrzymujemy wartości współczynników (dla danych z dnia 26 marca 2020 r.):

a = 0,206 (z błędem 0,077)
b = 1,3 (z błędem 1,8)
c = 26 (z błędem 12)
d = 41 (z błędem 21)

Zwraca uwagę niezwykle wysoki współczynnik korelacji równy 0,9999.

Czyli szukany wielomian trzeciego stopnia ma postać: w(x) = 0,206·x3 + 1,3·x2 + 26·x + 41, gdzie x przyjmuje wartości z przedziału [1, 14].



Zestawienie wyników dla kolejnych dni

W tabeli przedstawiamy rezultaty otrzymane dla danych obejmujących 14 dni (do daty podanej w kolumnie Data). W kolumnach zamieszczamy:

  • kolejne daty (w nawiasie dzień epidemii), dla których wykonane zostały obliczenia
  • otrzymaną postać wielomianu drugiego stopnia
  • liczbę dni T2 po jakiej (dla znalezionego wielomianu drugiego stopnia) nastąpi podwojenie łącznej liczby stwierdzonych zakażeń (dla wielomianu w(x), gdzie x przyjmuje wartości z przedziału [1, 14], wartość T2 wynika z rozwiązania równania w(T2 + 14) = 2·w(14)[4])
  • otrzymaną postać wielomianu trzeciego stopnia
  • liczbę dni T2 po jakiej (dla znalezionego wielomianu trzeciego stopnia) nastąpi podwojenie łącznej liczby stwierdzonych zakażeń (dla wielomianu w(x), gdzie x przyjmuje wartości z przedziału [1, 14], wartość T2 wynika z rozwiązania równania w(T2 + 14) = 2·w(14)[4])
  • związek między zmienną x przyjmującą wartości z przedziału [1, 14], a zmienną n oznaczającą kolejne dni epidemii


Zauważmy, że kierunek zmian wartości T2 obserwowany w dłuższym okresie czasu będzie bardzo dobrym wskaźnikiem przebiegu epidemii.

Data Wielomian 2 stopnia T2 Wielomian 3 stopnia T2 Uwagi
23.03.2020 ( 20) 4,37·x2 - 11,2·x + 39 4,80 0.127·x3 + 1.5·x2 + 7·x + 13 4.32 x = n - 6
24.03.2020 ( 21) 4,92·x2 - 9,7·x + 50 4,96 0.185·x3 + 0.8·x2 + 16·x + 12 4.35 x = n - 7
25.03.2020 ( 22) 5,46·x2 - 7,3·x + 66 5,13 0.196·x3 + 1.0·x2 + 20·x + 26 4.53 x = n - 8
26.03.2020 ( 23) 5,96·x2 - 3,3·x + 83 5,32 0,206·x3 + 1,3·x2 + 26·x + 41 4,73 x = n - 9
27.03.2020 ( 24) 6,33·x2 + 2,9·x + 104 5,55 0,136·x3 + 3,3·x2 + 22·x + 77 5,15 x = n - 10
28.03.2020 ( 25) 7,05·x2 + 6,3·x + 136 5,69 0,240·x3 + 1,6·x2 + 40·x + 87 5,08 x = n - 11
29.03.2020 ( 26) 7,79·x2 + 9,9·x + 180 5,84 0,207·x3 + 3,1·x2 + 39·x + 138 5,33 x = n - 12
30.03.2020 ( 27) 7,85·x2 + 23,1·x + 211 6,15 0,023·x3 + 7,3·x2 + 26·x + 206 6,09 x = n - 13
31.03.2020 ( 28) 7,79·x2 + 39,1·x + 242 6,50 -0,028·x3 + 8,4·x2 + 35·x + 248 6,58 x = n - 14
01.04.2020 ( 29) 7,57·x2 + 57,2·x + 285 6,89 -0,114·x3 + 10,1·x2 + 41·x + 308 7,25 x = n - 15
02.04.2020 ( 30) 8,39·x2 + 63,0·x + 367 7,01 0,161·x3 + 4,8·x2 + 85·x + 334 6,61 x = n - 16
03.04.2020 ( 31) 10,21·x2 + 57,3·x + 489 6,91 0,530·x3 -1,7·x2 + 131·x + 381 5,92 x = n - 17
04.04.2020 ( 32) 10,3·x2 + 74,8·x + 571 7,21 0,363·x3 + 2,2·x2 + 125·x + 497 6,49 x = n - 18
05.04.2020 ( 33) 11,4·x2 + 81,0·x + 694 7,30 0,447·x3 + 1,3·x2 + 144·x + 602 6,50 x = n - 19
06.04.2020 ( 34) 11,4·x2 + 101·x + 805 7,64 0,082·x3 + 9,5·x2 + 113·x + 788 7,46 x = n - 20
07.04.2020 ( 35) 11,3·x2 + 124·x + 925 7,97 -0,101·x3 + 13,6·x2 + 110·x + 946 8,20 x = n - 21
08.04.2020 ( 36) 10,4·x2 + 156·x + 1043 8,50 -0,437·x3 + 20,2·x2 + 95·x + 1132 9,74 x = n - 22



Rzeczywista dzienna liczba zakażonych a wartości oczekiwane

W zamieszczonej niżej tabeli zebraliśmy rzeczywiste liczby osób zakażonych koronawirusem, tak aby można było łatwo je porównać z przewidywanymi wartościami.

Data Rzeczywista liczba zakażeń Przewidywana liczba - wielomian 2 stopnia Przewidywana liczba - wielomian 3 stopnia
24.03.2020 (21) 152 105 131+
25.03.2020 (22) 150 111 149+
26.03.2020 (23) 170 134 174-
27.03.2020 (24) 168 154+ 196
28.03.2020 (25) 249 183 211+
29.03.2020 (26) 224 179 228-
30.03.2020 (27) 193 218- 260
31.03.2020 (28) 256 268- 273
01.04.2020 (29) 243 272 266-
02.04.2020 (30) 392 292+ 269
03.04.2020 (31) 437 254 287+
04.04.2020 (32) 244 263- 371
05.04.2020 (33) 475 388 462+
06.04.2020 (34) 311 372- 463
07.04.2020 (35) 435 470- 487
08.04.2020 (36) 357 472 452-
09.04.2020 (37) --- 518 429


W ostatnim wierszu tabeli podajemy oczekiwaną liczbę nowych zakażeń koronawirusem w następnym dniu epidemii dla wielomianowych krzywych regresji. Najlepiej dopasowaną przewidywaną wartość do danych rzeczywistych zapisaliśmy pogrubioną czcionką. Znak + informuje nas, że wartość tę należy powiększyć, aby uzyskać wartość rzeczywistą, a znak - informuje nas, że wartość tę należy pomniejszyć. Tabela ta pokazuje w bardzo przejrzysty sposób sytuację epidemiczną. Rzeczywisty sukces w walce z epidemią zostanie natychmiast zauważony: najlepiej dopasowane będą wartości w trzeciej kolumnie i zostaną opatrzone znakiem minus.


28 marca 2020 r.: Duży wzrost liczby zakażonych, znacznie odbiegający od wartości oczekiwanych. W komunikacie z 20:02 Ministerstwo Zdrowia poinformowało o 157 nowych przypadkach, z których ponad połowę (103) stanowiły osoby z województwa mazowieckiego. Następnego dnia wyjaśniono, że wzrost ten spowodowany został wykryciem ogniska koronawirusa w Domu Pomocy Społecznej w Niedabylu – stwierdzono zakażenie koronawirusem u 60 osób[5].

31 marca 2020 r.: Po raz pierwszy współczynnik przy x3 zmienił znak i stał się liczbą ujemną. Oznacza to, że wielomian 3 stopnia dla pewnej wartości x osiągnie maksimum i przestanie rosnąć.

2 kwietnia 2020 r.: Duży wzrost liczby zakażonych, znacznie odbiegający od wartości oczekiwanych. W komunikacie z 21:14 Ministerstwo Zdrowia poinformowało o 254 nowych przypadkach, z których ponad połowę (142) stanowiły osoby z województwa mazowieckiego. Nie wyjaśniono powodów tak dużej liczby zakażeń. Może ma to związek ze znacznym zwiększeniem liczby wykonywanych testów[6], a może czeka nas gwałtowny wzrost liczby zakażeń.

3 kwietnia 2020 r.: W komunikacie z godziny 10:00 Ministerstwo poinformowało o 203 nowych przypadkach. Ponad połowa, bo 125 osób, były to przypadki z województwa śląskiego. Nie wyjaśniono przyczyn tak wielkiej liczby zakażeń w tym województwie.


Na podstawie następujących faktów:

  • wzrost całkowitej liczby zakażeń nie ma charakteru wykładniczego, a wielomianowy o stopniu nie wyższym od trzeciego
  • przewidywany okres podwojenia T2 systematycznie wydłuża się
  • oczekiwane wartości liczby zakażeń w ciągu kolejnych dni dobrze odpowiadają odnotowanym danym rzeczywistym

łatwo stwierdzamy, że sytuacja w Polsce powoli się poprawia dzięki zdecydowanym działaniom rządu i wysiłkowi całego społeczeństwa, a sugestie, że w Polsce powtórzy się scenariusz włoski, są całkowicie nieprawdziwe.


Przedstawiony obraz był prawdziwy i przewidywalny do 2 kwietnia. Co takiego się stało, że epidemia przyspieszyła mimo nakładania kolejnych ograniczeń przez rząd?








Przypisy

  1. LibreOffice Calc, Funkcje macierzowe, (LINK)
  2. LibreOffice 6.4 Help, REGLINP, (LINK)
  3. 3,0 3,1 Wyznaczenie współczynników wielokrotnej regresji liniowej oraz ich odchyleń standardowych przy pomocy metody najmniejszych kwadratów, (Opracowanie własne - LINK)
  4. 4,0 4,1 W rzeczywistości okres podwojenia T2 wyliczamy w bardziej skomplikowany sposób. Najpierw wyliczamy, jaka liczba dni D musi upłynąć od ostatniego (czyli 14) dnia badanego okresu, aby całkowita liczba zakażeń wzrosła o 18,9207%. Gdyby taka tendencja wzrostu liczby zakażeń była trwała, to podwojenie całkowitej liczby zakażonych nastąpiłoby po 4·D dniach. Jest tak dlatego, że (1.189207)^4 = 2. Wnioskowanie o okresie podwojenia na podstawie rozwiązania równania w(T2 + 14) = 2·w(14) jest nieuprawnioną ekstrapolacją wielomianu w(x). Nieuprawnioną dlatego, że na podstawie danych z 14 dni sięgamy od 5 do 7 dni w przyszłość (takie wartości T2 wynikały z rozwiązania tego równania). Zbierając: rozwiązujemy równanie w(D + 14) = 2^(1/4)·w(14) i otrzymaną liczbę D mnożymy przez 4.
  5. Polska Agencja Prasowa SA, Kraska: Żaden polityk nie podejmie decyzji o wyborach narażając ludzi na niebezpieczeństwo utraty życia i zdrowia, (LINK)
  6. Ministerstwo Zdrowia informowało o następujących liczbach testów przeprowadzonych w ciągu doby:
    15 marca – 1 tys. (LINK)
    17 marca – 1,2 tys. (LINK)
    18 marca – 1,6 tys. (LINK)
    19 marca – 1,6 tys. (LINK)
    20 marca – 1,8 tys. (LINK)
    21 marca – 2 tys. (LINK)
    22 marca – 2,5 tys. (LINK)
    23 marca – 2,5 tys. (LINK)
    24 marca – 2,8 tys. (LINK)
    25 marca – 3,3 tys. (LINK)
    26 marca – 3,3 tys. (LINK)
    27 marca – 4,5 tys. (LINK)
    28 marca – 4,6 tys. (LINK)
    29 marca – 4,1 tys. (LINK)
    30 marca – 3,8 tys. (LINK)
    31 marca – 4,8 tys. (LINK)
    1 kwietnia – 4,3 tys. (LINK)
    2 kwietnia – 5,3 tys. (LINK)
    3 kwietnia – 5,7 tys. (LINK)